Текст
АБАК — 1) Счетная доска, применявшаяся для
арифметич. вычислений в Древней Греции, Риме, затем
в Зап. Европе — до 18 в. Доска разделялась на полосы,
счет осуществлялся передвижением находящихся в по-
полосах счетных марок (костяшек, камней и т. п.). В стра-
странах Дальнего Востока распространен китайский ана-
аналог А.— суан-пан, в России — счеты. 2) В номографии
особый чертеж (т. н. сетчатая номограмма). БСЭ-з.
АБЕЛЕВ ДИФФЕРЕНЦИАЛ — голоморфный или
мероморфный дифференциал на компактной, или замк-
замкнутой, римановой поверхности S (см. Дифференциал на
римановой поверхности).
Пусть g— род поверхности S; a1b1a2b2- ¦ -agbg — цик-
циклы канонич. базиса гомологии S. В зависимости от
характера особенностей различают А. д. трех родов:
I, II и III, причем имеют место строгие включения:
IczIIcrlll. А. д. I р о д а — это голоморфные всюду на
5 дифференциалы 1-го порядка, к-рые в окрестности V
каждой точки Pq^,S имеют вид a>=pdz=p(z)dz, где
z—x-\-iy — локальная униформизирующая переменная
в U, dz=dx^idy, a p (г) — голоморфная, или регуляр-
регулярная, аналитич. функция от z в U. Сложение А. д. и
умножение на голоморфную функцию определяются
естественными правилами: если
u>=pdz, n=^qdz, a=a(z),
то
u>Jrn=(pJ\-q)dz, a(?>—(ap)dz.
А. д. I рода образуют векторное пространство 91 раз-
размерности g. После введения скалярного произведения
со * я,
где со * я — внешнее произведение со на звездно сопря-
сопряженный дифференциал я, пространство 31 превращается
в гильбертово пространство.
Пусть A-l, Вг, Аг, В2,..., Ag, Bg суть А- и В-пе-
риоды А. д. I рода со, т. е. интегралы
Тогда имеет место соотношение:
II «в II2 =' 2/_i МД--B,Aj) Э= 0. A)
Если А{, В[, А2, В'ъ,..., А'&, Bg— периоды другого
А. д. I рода я, то
i (со, я) =2/^1 (AjB'j-BjA'}) = 0. B)
Соотношения A) и B) наз. билинейными соот-
соотношениями Римана для А. д. I рода. Ка-
Канонич. б а з и с А. д. I рода, т. е. канонич. базис ф1,
ф2,..., cpg. пространства Щ, выбирается таким образом,
что
где б,-,= 1 и 6,у=0 при ]Ф1. При этом матрица
i, /=1,2,..., g, В-периодов
симметрическая, а матрица мнимых частей (Im В/у)
положительно определенная. А. д. I рода, у к-рого все
А -периоды или все В-периоды равны нулю, тождест-
тождественно равен нулю. Если все периоды А. д. I рода со
действительны, то со=0.
А. д. II и III рода относятся, вообще говоря,
к мероморфным дифференциалам, т. е. к таким анали-
тич. дифференциалам, к-рые имеют на S не более чем
конечное множество особенностей типа полюсов с ло-
локальным представлением
где /(г) — регулярная функция, ге — порядок полюса
(если а-пф0I а_1~ вычет в данном полюсе. При ге=1
полюс наз. простым. А. д. II рода — это мероморфные
дифференциалы, у к-рых все вычеты равны нулю, т. е.
мероморфные дифференциалы с локальным представ-
представлением
А. д. III рода — это А. д. произвольного вида.
Если со — произвольный А. д. с А -периодами
А2,..., A g, то А. д. w' = a> — A1(pl — А 2ср2 — ¦ • -~А gg
имеет нулевые А -периоды и наз. нормировав"-
н ы м А. д. В частности, если Рх и Р2 — любые раз-
различные точки S, то можно построить нормированный
А. д. cox> 2 с особенностями (i/z)dz в Рх и (—ilz)dz в Р2,
к-рый наз. нормальным А. д. III рода. Пусть
со — произвольный А. д. с вычетами с17 с2,.. ., с,,
в точках Рх, Р2,..., Р„ соответственно, при этом
всегда cj-rc2-^... +с«=:=0. Если Ро — произвольная
точка на 5 такая, что РофР/, /=1, 2,..., ге, то со
можно представить в виде линейной комбинации нор-
нормированного А. д. II рода со2, конечного числа нормаль-
нормальных А. д. III рода со,-,0 и базисных А. д. I рода cpft:
со
= со2 + 2/=i О'03/, о + 2ft-i Ak<tk-
Пусть со3 — А. д. III рода, имеющий только простые
полюсы с вычетами cj в точках Pj, /=1,2,..., re, a cox —
произвольный А. д. I рода;
, B'k=\ co3, ft = l, 2, ..., g,
=\ co3 \
причем циклы а^, b^ не проходят через полюсы со3.
Пусть точка Pog S не лежит на циклах ак, Ъ^ и Lj есть
путь от Ро к Р .. Тогда имеем билинейные соот-
соотношения для А. д. I и III рода:
2LiU*B* — BkA'k)=2ni 2/=1c/$L wi-
Между А. д. I и II рода также имеются билинейные
соотношения аналогичного вида.
Произвольный А. д. III рода, кроме А- и В-перио-
дов A k, В^, fc=l, 2,.. ., g, наз. циклическими
периодами, имеет еще полярные периоды
вида 2 nic: вдоль циклов, гомологичных нулю, но охва-
охватывающих полюсы Pj. Таким образом, для произволь-
произвольного цикла у имеем:
где 1ь, lo + k' mj " целые числа.
Важные свойства А. д. описываются в терминах ди-
дивизоров. Пусть (со) — дивизор А. д. со, т. е. вы-
выражение вида (со) = Р"'Р.. .Р™", где Рj — все нули и
полюсы со, а <Ху — их кратности, или порядки. Степень
дивизора d[(co)]=a1+a2+. ¦ • + «„ для А. д. со зависит
только от рода S, а именно всегда a![(co)] — 2g — 2. Пусть
О — нек-рый произвольно заданный дивизор. Обозна-
Обозначим через О(й) комплексное векторное пространство
А. д. со, дивизоры к-рых (со) кратны й; L (а) — век-
векторное пространство мероморфных функций / на S,
дивизоры к-рых (/) кратны й. Тогда размерность
dim Q (ii) = dim L (й/ (со)). Другая важная информация
о размерности этих пространств содержится в теоре-
теореме Р и м а н а — Р о х а: для любого дивизора и
имеем равенство:
dimi (a-1)—dimQ (a) = d [a] — g + l.
Отсюда следует, напр., что при g=l, т. е. на поверх-
поверхности тора, мероморфная функция не может иметь
единственный простой полюс.
Пусть S — произвольная компактная риманова по-
поверхность, на к-рой z и w — мероморфные функции,
удовлетворяющие неприводимому алгебраич. уравне-
уравнению F(z, ш) = 0. Произвольный А. д. со на 51 можно
выразить тогда в виде co=if(z, w)dz, где R (z, w) ~
нек-рая рациональная функция от z и w, и обратно:
выражение co=i?(z, w)dz есть А. д. Таким образом,
произвольный абелев интеграл
R (z, w) dz= С
со
является интегралом от нек-рого А. д. на компактной
римановой поверхности S.
См. также Алгебраическая функция.
Лит.: [1] С п р и н г е р Дш., Введение в теорию римановых
поверхностей, пер. с англ., М., 1П60; [2] Н е в а н л и н и а Р.,
Униформизаиия, пер. с нем., М., 1955; [3] Чеботарев Н. Г,,
Теория алгебраических функций, М.— Л., 1948.
-Б. Д. Соломенцев
АБЕЛЕВ ИНТЕГРАЛ, алгебраический
интеграл,— интеграл от алгебраической функции,
т. е. интеграл вида:
\ZlR(z, w)dz, A)
где R (z, w) — любая рациональная функция от пере-
переменных z и w, связанных алгебраич. уравнением
F(z, w) = ao(z)wn + ai(z)w"-i+...-'~an(z)=0 B)
с целыми рациональными по z коэффициентами fly(z),
/ = 0, 1,..., п. Уравнению B) соответствует компактная
риманова поверхность F, и-листно накрывающая сферу
Римана, на к-рой z, w, а следовательно, и Л (z, го),
рассматриваемые как функции точки поверхности /,
однозначны.
Интеграл A) задается как интеграл \ со от абелева
дифференциала co=i?(z, w)dz на /'', взятый вдоль не-
некоторого спрямляемого пути L. Вообще говоря, за-
задание только начальной и конечной точек z0 и zx этого
пути L не вполне определяет значение А. и. A), или,
что то же, интеграл A) является, вообще говоря, мно-
многозначной функцией от начальной и конечной точек
пути L.
Поведение А. и. на F зависит прежде всего от топо-
логич. структуры, в частности от топологич. инвариан-
та — рода g поверхности F (см. Род поверхности). Род
g связан с числом листов п и числом точек ветвления v
(взятых с надлежащей кратностью) соотношением g=
= v/2— га-f-l. При g=0 неременные z и к; выражаются
рационально через нек-рый параметр t, и А. и. сводится
к интегралу от рациональной функции от t. Так об-
обстоит дело, напр., в элементарных случаях w2=a г-\-аг
и !<;2=aoz2+a1z-|-a2-
При g^l любой А. и. можно выразить в виде линей-
линейной комбинации элементарных функций и к а н о н и-
ч е с к и х А. и. трех родов. Интеграл \ со наз. А. и.
I рода, если со — абелев дифференциал I рода. Ина-
Иначе, А. и. I рода характеризуется тем, что при фикси-
фиксированном начале z0 пути L он является всюду конечной
на F функцией верхнего предела zly вообще говоря,
многозначной. Эта характеристика используется, напр.,
при построении аналогов А. и. I рода на некомпактных
римановых поверхностях. Любой А. и. I рода может
быть представлен в виде линейной комбинации g ли-
линейно независимых нормальных А. и. I рода
от дифференциалов фь ф2,. . ., ф^, составляющих ка-
нонич. базис абелевых дифференциалов I рода. Если
разрезать поверхность F вдоль циклов а^ЬхагЪг. . -agbg
канонич. базиса гомологии, то получается односвязная
область F*. Для всех путей L*ciF* с фиксированным
началом г0 и концом z1 интегралы \ ^<p,- являются одно-
однозначными функциями верхнего предела z2. Многознач-
Многозначность интегралов и,- на F теперь полностью характери-
характеризуется тем, что интеграл м,-= \ ф, вдоль произвольного
пути LczF, соединяющего те же точки z0 и zlf отлича-
отличается от интеграла \ 4ф,- лишь прибавлением целочис-
целочисленной линейной комбинации Л-периодов A{j и В-пе-
риодов Bjj базисных дифференциалов I рода, состав-
составляющих матрицу периодов размера g X 2g,
к-рая удовлетворяет билинейным соотношениям Ри-
мана (см. А белев дифференциал).
Интеграл \ со, где со — абелев дифференциал II ро-
рода, наз. А. и. II рода. Рассматриваемый как функ-
функция от верхнего предела, он всюду на F не имеет иных
особенностей, кроме полюсов. А. и. от нормированного
абелева дифференциала II рода наз. нормальным
А. и. II рода.
А. и. III рода — это А. и. произвольного вида. На
F они допускают, вообще говоря, и логарифмич. осо-
особенности. При этом логарифмич. особенности могут
встречаться только попарно. А. и. от нормального абе-
абелева дифференциала III рода наз. нормальным
А. и. III рода. Любой А. и. можно представить в виде
линейной комбинации нормальных А. и. I, II и III ро-
рода. В отличие от А. и. I и II рода, А. и. III рода,
кроме А- и 5-периодов, наз. циклическими
периодам и, имеет еще, вообще говоря, поля р-
ные периоды вдоль циклов, гомологичных нулю,
но охватывающих логарифмич. особенности этого А. и.,
порождаемые полюсами абелева дифференциала со с
отличными от нуля вычетами.
Для произвольно взятых А. и. на одной и той же
римановой поверхности F существуют определенные
соотношения, обусловленные топологической и конформ-
конформной структурой F. Напр., если сор.р. — нормальный
абелев дифференциал III рода с простыми полюсами в
точках Pi, Pj, то справедлива теорема о пере-
становке параметров и пределов для
А. и. III рода: для любых точек Ри Р2, Р3, Р4
SP С Р
Соотношения, связывающие А. и. с рациональными
функциями на F, носят назв. теоремы Абеля.
Напр., в терминах дивизоров теорема Абеля для А. и.
I рода имеет вид: дивизор й на /' является дивизором
мероморфной функции тогда и только тогда, когда
существует такая цепь L, что 5? = а и \ со=0 для
всех абелевых дифференциалов I рода на F. Сущест-
Существуют варианты теоремы Абеля для А. и. II и III рода
(см. [4]). А. и., и в частности теорема Абеля, служат
основой для трансцендентного построения Якоби много-
многообразия римановой поверхности. Вопрос обращения
А. и. как функции верхнего предела ведет также к
понятиям абелевых функций, эллиптических функций И
тета-функций (см. Якоби проблема обращения).
Исторически начало теории А. и. было положено
рассмотрением поверхности рода g=\. Записав соот-
соответствующее уравнение в виде:
F (z, w)^.w2 — f{z)^0,
где f(z) — многочлен от z 3-й или 4-й степени, полу-
получают в качестве соответствующих А. и. эллиптические
интегралы. Впервые они появились при спрямлении
дуг кривых 2-го порядка в работах Я. и И. Бернулли
(Jacob Bernoulli, Johann Bernoulli), Дж. Фаньяно
(G. Faniano) конца 17 и начала 18 вв. Л. Эйлер (L.
Euler) подошел к теореме сложения для эллиптич. ин-
интегралов - - частному случаю теоремы Абеля A752).
В 1827 в работах Н. Абеля (N. Abel) и К. Якоби
(С. Jacobi) была поставлена и решена проблема обра-
обращения эллиптич. интегралов. Тем самым было положено
начало теории эллинтич. функций. Однако нек-рыми
фактами этой теории владел уже к началу 18 в. К. Гаусс
(С. Gauss). Проблема обращения А. и. в гораздо более
сложном случае g>l возникла в работах Н. Абеля и
К. Якоби. В самом начале развития теории большое
внимание привлек случай гиперэллиптических интегра~
лов, когда F (z, ш)=м>2 — /(z), где /(z) — многочлен
5-й или 6-й степени без кратных корней. Здесь g— 2 и
трудности проблемы обращения уже достаточно ощути-
ощутимы. Существенное продвижение в теории А. и. связано
с именем Б. Римана (В. Biemann), к-рый ввел понятие
римановой поверхности A851), сформулировал и дока-
доказал ряд важных результатов.
Многомерные обобщения теории А. и. изучаются в
алгебраич. геометрии и теории комплексных многооб-
многообразий.
Лит.: [1] Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических
функций, М.— Л., 1948, гл. 8, 9; [2] С п р и н г е р Дж., Введе-
Введение в теорию римановых поверхностей, пер. с англ., М., 1960,
гл. 10; [3] Н е в а н л и и н а Р., Униформизация, пер. с нем.,
М., 1955, гл. 5; [4] Bliss G. A., Algebraic functions, N. Y.,
1966; [5] S t a h 1 H., Theorie der Abelschen Funktionen, Lpz.,
1896; [6] III а ф а р е в и ч И. Р., Основы алгебраической гео-
геометрии, М., 1972. Е. Д. Соломенцев.
АБЕЛЕВА ГРУППА — группа, операция в к-рой
удовлетворяет закону коммутативности. Названа по
имени Н. Абеля (N. Abel), установившего роль таких
групп в теории разрешимости алгебраич. уравнений
в радикалах. Обычно для обозначения операции в А. г.
используется аддитивная запись, т. е. знак 4- для самой
операции, наз. сложением, знак 0 для нейтрального
элемента, наз. нулем (в мультипликативной записи он
наз. единицей).
Примеры А. г. Все циклические группы — абе-
левы, в частности аддитивная группа целых чисел —
абелева. А. г. будут всевозможные прямые суммы
циклич. групп, аддитивная группа рациональных чисел
Q (являющаяся локально циклической
группой, т. е. группой, все конечно порожденные
подгруппы к-рой циклические), группы типа р°° (или
квазициклич. группы Zp00, где р — произвольное про-
простое число).
Свободное объединение в многообразии А. г. совпадает
с прямой суммой. Свободная абелева группа есть прямая
сумма нек-рого множества бесконечных циклич. групп.
Всякая подгруппа свободной А. г.— свободная А. г.
Совокупность всех элементов конечного порядка А. г.
образует подгруппу, наз. периодической
частью А. г. Факторгруппа А. г. по ее периодич.
части является группой без кручения. Таким образом,
всякая А. г.— расширение периодич. А. г. при помо-
помощи А. г. без кручения. Это расширение не всегда рас-
расщепляемо, т. е. периодпч. часть, вообще говоря, не
выделяется в виде прямого слагаемого. Периодич. А. г.,
порядки всех элементов к-рой являются степенями
фиксированного простого числа р, наз. пример-
примерной по простому числу р (в общей теории групп упо-
употребляется термин р-группа). Всякая периодич. А. г.
может быть разложена, притом единственным способом,
в прямую сумму примерных групп, относящихся к раз-
различным простым числам.
Наиболее полное описание известно для А. г. с
конечным числом образующих. Его дает основная
теорема об абелевых группах с ко-
конечным числом образующих: всякая
конечно порожденная А. г. разлагается в прямую
сумму конечного числа неразложимых циклич. под-
подгрупп, из к-рых часть — конечные примерные, часть —
бесконечные [Г. Фробениус (G. Fiobenius), Л. Штик-
кельбергер (L. Stickelberger)]. В частности, конечная
А. г. разложима в прямую сумму примерных циклич.
групп. Такое разложение, вообще говоря, не единст-
единственно, но любые два разложения А. г. с конечным
числом образующих в прямую сумму неразложимых
циклич. групп изоморфны между собой и, таким обра-
образом, число бесконечных циклич. слагаемых и совокуп-
совокупность порядков примерных циклич. слагаемых не за-
зависят от выбора разложения. Эти числа, наз. инва-
инвариантами конечно порожденной А. г.,
они являются полной системой инвариантов в том смыс-
смысле, что всякие две группы, у к-рых эти инварианты сов-
совпадают, изоморфны. Всякая подгруппа А. г. с ко-
конечным числом образующих сама обладает конечной
системой образующих.
Не всякая А. г. представима в виде прямой суммы
(даже бесконечного числа) циклич. групп. Для пример-
примерных А. г. имеется необходимое и достаточное условие
существовения текого резложения — критерий Кули-
Куликове. Пусть А — примернея А. г. по нек-рому просто-
простому р. Ненулевой элемента группы А нез. элемен-
элементом бесконечной высоты в А, если для
любого целого к уревнение р**х-=а разрешимо в А, и
элементом высотып, если это уревнение рез-
решимо лишь для к^п. Критерий Куликове:
примарнея А. г. разложима в прямую сумму циклич.
групп тогда и только тогда, когда оне есть объединение
возрастающей последовательности своих подгрупп, у
каждой из к-рых высоты элементов ограничены в сово-
совокупности. Любая подгруппа А. г., разложимой в пря-
прямую сумму циклич. подгрупп, саме разложима в пря-
прямую сумму циклич. подгрупп. Неразложимые (в пря-
прямую сумму) примерные группы исчерпывеготся
циклич. примерными группами и группами Zpoo.
Конечное множество элементов gy,. . ., gk А. г. наз.
линейно зависимы м, если существуют такие
целые числа пи . . ., п;г, не все равные нулю, что
?,i=lni!!i—0- Если же таких чисел не существует, то это
множество наз. линейно независимым. Про-
Произвольная система элементе А. г. наз. линейно зави-
симой, если линейно зависима нек-рая конечная ее под-
подсистема. А. г., не являющаяся периодической, обладает
максимальными линейно независимыми системами. Мощ-
Мощности всех максимальных линейно независимых под-
подсистем одинаковы и наз. рангом (Прюфера)
данной А. г. Ранг периодич. группы считается равным
нулю. Ранг свободной А. г. совпадает с мощностью
системы ее свободных образующих.
Всякая А. г. без кручения ранга I изоморфна нек-рой
подгруппе аддитивной группы рациональных чисел.
Существует полное описание таких групп на языке
типов. Всякому элементу А. г. без кручения ставится в
соответствие его характеристика — счетная
последовательность, состоящая из неотрицательных
чисел и символа оо. Эти последовательности строятся
следующим образом. Все простые числа нумеруются в
порядке возрастания р1, р2, .. ., р&, . • •, и элементу а
сопоставляется последовательность, на k-м месте к-рой
стоит число sfc, если уравнение а=р^'''.г имеет решение
в группе, а уравнение а=р^'1+ *х уже решения не имеет,
и стоит символ оо, если уравнение а=р^х имеет решение
при любом s. Характеристики считаются эквивалентны-
эквивалентными, если они отличаются не более, чем на конечном
числе мест, и символ оо в каждой из них стоит на местах
с одними и теми же номерами. Характеристики двух
линейно зависимых элементов эквивалентны. Класс
эквивалентных характеристик наз. т и п о м. Всякой
А. г. без кручения ранга I однозначно соответствует
тип, наз. типом данной группы, причем
неизоморфным группам соответствуют различные типы.
А. г. без кручения, разложимые в прямую сумму
групп ранга 1, наз. вполне разложимыми.
Не всякая подгруппа вполне разложимой группы будет
вполне разложимой (но всякое прямое слагаемое та-
таково). Для всякого целого п существует А. г. без кру-
кручения ранга л, неразложимая в прямую сумму. Для
счетных А. г. без кручения может быть построена пол-
полная система инвариантов.
А. г. наз. полной, или делимо й, если для
любого ее элемента а и любого целого т в ней разре-
разрешимо уравнение тх--а. Все делимые А. г. исчерпы-
исчерпываются всевозможными прямыми суммами групп, изо-
изоморфных Q и группам ZpCC, причем мощности множеств
компонент, изоморфных Q, а также Zpao (для каждого^),
составляют полную и независимую систему инвари-
инвариантов делимой группы. Всякая А. г. может быть изо-
изоморфно вложена в нек-рую делимую А. г. Делимые А. г.
и только они являются инъективными объектами в ка-
категории А. г. и служат прямыми слагаемыми для вся-
всякой содержащей их А. г. Таким образом, всякая А. г.
представима в виде прямой суммы полной группы и
так наз. редуцированной группы, т. е.
группы, к-рая не содержит ненулевых полных подгрупп.
Описание редуцированных А. г. известно лишь в немно-
немногих случаях. Так, теорема Ульма (см. [1], § 28) дает
описание всех счетных редуцированных периодич. А. г.
Теория А. г., берущая свое начало в теории чисел,
находит применение во многих современных математич.
теориях. Так, теория двойственности характеров конеч-
конечных А. г. получила глубокое развитие в теории двой-
двойственности для топологических локально компактных
групп. Развитие гомология, алгебры позволило решить
ряд проблем в теории А. г., напр. дать описание мно-
множества всех расширений одной группы с помощью дру-
другой. Развитие теории модулей неразрывно связано с
А. г. как модулями над кольцом целых чисел. Многие
результаты теории А. г. удается перенести на случай
модулей над кольцом главных идеалов. Относительная
простота и изученность А. г. (что подтверждает, напр.,
разрешимость элементарной теории А. г.) вместе с до-
вольно разнообразным запасом объектов делают А. г.
постоянным источником примеров во многих разделах
математики.
Лит.: [1] К у р о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967;
[2] F u с h s L., Abelian groups, 3 ed., Bdpst., 1966; [3] Ф у к с Л.,
Бесконечные абелевы группы, пер. с англ., т. 1, М., 1974;
[4] Kaplansky I., Infinite abelian groups, Ann Arbor,
1954; [5] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1965,
М.. 1967, с. 9—44; [6] Итоги науки и техники. Алгебра. Тополо-
Топология. Геометрия, т. 10, М., 1972, с. 5—45. Ю. Л. Ершов.
АВЕЛЕВА КАТЕГОРИЯ — категория, обладающая
рядом характерных свойств категории всех абелевых
групп. А. к. были введены как основа абстрактного по-
построения гомологич. алгебры (см. [4]). Категория 9t наз.
абелевой (см. [2]), если она удовлетворяет сле-
следующим аксиомам:
АО. Существует нулевой объект.
А1. Каждый морфизм обладает ядром и коядром.
А2. Каждый мономорфизм является нормальным
мономорфизмом; каждый эпиморфизм является нор-
нормальным эпиморфизмом.
A3. Для каждой пары объектов существуют произве-
произведение и копроизведение.
Часто в определении А. к. дополнительно пред-
предполагается, что 21 локально малая слева категория
(см. Малая категория). Для А. к. это предположение
равносильно локальной малости справа и, следова-
следовательно, локальной малости. Копроизведение объектов
А и В А. к. наз. также прямой суммой этих
объектов и обозначают А(?)В или А-\-В.
Примеры А. к.
1) Категория, двойственная А. к., также является
А. к.
2) Категория дЗД1 всех левых унитарных модулей над
произвольным ассоциативным кольцом R с единицей и
всех Я-модульных гомоморфизмов является А. к.
(напр., категория всех абелевых групп).
3) Всякая полная подкатегория А. к., содержащая
вместе с каждым морфизмом его ядро и коядро и
вместе с каждой парой объектов А , В — их произведе-
произведение и копроизведение, есть А. к.
Все малые А. к. исчерпываются подкатегориями ука-
указанного типа категорий дЭД1 левых унитарных модулей,
а именно, справедлива следующая теорема Мит-
Митчелла: для всякой малой А. к. существует полное
точное вложение в нек-рую категорию /<9П.
4) Всякая категория диаграмм -JC), 91) со схемой 3)
над А. к. 91 является А. к. В схеме 3) можно выделить
множество С соотношений коммутативности, т. е. мно-
множество пар (ф,-ф) путей ф=(ф1, .. ., ф„), тр= (я^, . . ., ¦§„)
в 3? с общими началом и концом. Тогда полная подкате-
подкатегория категории $C\ 91), порожденная всеми такими
диаграммами D: ф->-9{, что
Д(ф)=2)(ф1). . .D((fn) = D (ih).. .D №m)=D(ty,
является А. к. В частности, если 3) — малая катего-
категория, а множество С состоит из всех пар вида (ар, у),
где 7=аР> т0 соответствующая подкатегория является
А. к. одноместных ковариантных функторов из 3} в 9t.
Пусть в малой категории 3) есть нулевой объект;
функтор F : ?¦—*Ж наз. нормализованным,
если он переводит нулевой объект в нулевой объект.
Полная подкатегория категории функторов, порожден-
порожденная нормализованными функторами, является А. к.
В частности, если 3) — категория, объектами к-рой
служат все целые числа и нулевой объект N, а ненуле-
ненулевые неединичные морфизмы образуют последователь-
последовательность
в к-рой dndn + l=O, ra=0, ±1, ±2, ..., то соответствую-
соответствующая подкатегория, порождаемая нормализованными
функторами, наз. категорией комплексов
над 91. В категории комплексов определяются адди-
тивные функторы Z", В", Нп соответственно и-мерных
циклов, и-мерных граней и гс-мерной гомологии со зна-
значениями в 31 и на их основе развивается аппарат гомо-
логич. алгебры.
5) Полная подкатегория Ж' А. к. 31 наз. плот-
плотной, если она содержит подобъекты и факторобъек-
ты своих объектов и если в точной последовательно-
последовательности
B?ObW тогда и только тогда, когда А, С?ОЬЗГ.
Факторкатегория 91 3F строится следующим образом.
Пусть (Я, \х] — подобъект прямой суммы AQ)B с
проекциями щ, л2 и пусть квадрат
R > А
ДЛ2 | | а
В » X
коуниверсален (т. е. является корасслоенным произве-
произведением). Подобъект (Я, р.] наз. ЗГ-подобъектом, если
Сокег [хях, Кегр?ЗГ. Два 3['-подобъекта эквивалент-
эквивалентны, если они содержат нек-рый ЭГ-подобъект. Множе-
Множество //„(,„(/(Л, В) состоит по определению из классов
эквивалентных ЗГ-подобъектов. Обычное умножение
бинарных отношений согласовано с введенной эквива-
эквивалентностью, что позволяет построить факторкатегорию
ЗС/ЭГ, являющуюся А. к. Точный функтор Т : 31—>¦
-*-9t ЭС определяется сопоставлением каждому морфиз-
му а: А—>-В его графика в AQB. Подкатегория 31' наз.
подкатегорией локализации, если
функтор Т обладает полным унивалентньш сопряже-
сопряжением справа функтором Q : ЗГ/ЭГ—>-3f.
6) Для всякого топология, пространства X категория
левых G-модулей над X, где G — пучок колец с едини-
единицей над X, является А. к.
Во всякой А. к. 3( можно ввести частичное суммиро-
суммирование морфпзмов таким образом, что 31 станет аддитив-
аддитивной категорией. Поэтому в А. к. произведение и ко-
произведенпе любой пары объектов совпадают. Более
того, в определении А. к. можно предполагать суще-
существование либо произведений, либо копроизведений.
Всякая А. к. есть бикатегория с единственной бикате-
горной структурой. Перечисленные свойства характе-
характеризуют А. к.: категория 31 с конечными произведения-
произведениями является абелевой тогда и только тогда, когда она
аддитивна и когда всякий морфизм а имеет ядро и ко-
коядро и разлагается в произведение
а = Сокег (кег а) в кег (Сокег а),
в к-ром в — изоморфизм.
Приведенная выше теорема Митчелла обосновывает
метод «диаграммного поиска» в А. к.: всякое утверж-
утверждение о коммутативных диаграммах, справедливое во
всех категориях левых модулей /ДГ1 и вытекающее из
точности нек-рых последовательностей морфизмов,
справедливо во всех А. к.
В локально малой А. к. 31 -подобъекты любого объек-
объекта образуют дедекиндову решетку. Если в ЗС сущест-
существуют произведения (или копроизведения) любого се-
семейства объектов, то эта решетка и оказывается пол-
полной. Перечисленные условия заведомо выполняются,
если в 31 имеется образующий объект U и существуют
копроизведения
п;6/
для любого множества /. Таковы, напр., Гротен-
дика категории, эквивалентные факторкатегориям
категорий модулей по подкатегориям локализации
(теорема Габриеля — Попеску).
Лит.: [1] Б у к у р И., Деляну А., Введение в теорию
категорий и функторов, пер. с англ., М., 1972; [2] F г е у d P.,
Abelian categories, N. Y., 1964; [3] G a b r i e 1 P., « Bull. Soc.
math. France», 1962, t. 90, № 3, p. 323—448; [4] Г р от е н-
д и к А., О некоторых вопросах гомологической алгебры, пер.
с франц., М., 1961. М. ЯГ. Цаленпо.
АВЕЛЕВА СХЕМА — гладкая схема групп над базис-
базисной схемой S, слои к-рой являются абелееыми многооб-
многообразиями. Эквивалентное определение состоит в том, что
абелева схема над S, или а б е л е в a S-c x е-
м а, есть собственная гладкая 5-схема групп, все слои
к-рой геометрически связаны. С интуитивной точки
зрения абелеву б'-схему можно понимать как семейство
абелевых многообразий, параметризованных схемой S.
На А. с. переносится ряд фундаментальных свойств абе-
абелевых многообразий. Напр., абелева б'-схема А явля-
является коммутативной 5-схемой групп (см. [1]); если схе-
схема S нормальна, то А проективна над S (см. [2]).
А. с. изучаются в основном как схемы модулей
абелевых многообразий с различными дополнительными
структурами, а также в теории редукции абелевых
многообразий (см. Нерона модель).
Лит.: [1] Mumlord D., Geometric invariant theory. В.,
1965; [2] R а у n a u d M., Faisceaux amples sur les schemas en
groupes et les espaces homogenes, В., 1970. И. В. Долгачев.
АВЕЛЕВА ФУНКЦИЯ — обобщение эллиптической
функции одного комплексного переменного на случай
многих комплексных переменных. Мероморфная в комп-
комплексном пространстве С, p~^i, функция /(z) от р ком-
комплексных переменных zx, z2, . . ., zp, 2=(zx, z2, ...,zp),
наз. А. ф., если существуют 2p векторов-строк из С
u\,=(colv, <b2v, •••, <Bpv), v = l, 2, ..., 2p,
линейно независимых над полем действительных чисел
и таких, что f(z~i-wv) — f(z) для всех г^С^, v—1, 2, . . .,
2р. Векторы wv наз. периодами, или система-
системами п е р и о д о в, А. ф. /(г). Все периоды А. ф. /(г)
образуют абелеву группу Г по сложению, наз. груп-
группой периодов (или модулем периодов).
Базис этой группы наз. базисом периодов
А. ф., а также системой основных (или при-
примитивных) периодов. А. ф. наз. вырож-
вырожденной, если существует такое линейное преобразо-
преобразование переменных z1, z2, . . ., zp, к-рое переводит f(z) в
функцию меньшего числа переменных; в противном
случае /(z) наз. невырожденной А. ф. Вырож-
Вырожденные А. ф. характеризуются также тем, что они име-
имеют бесконечно малые периоды, т. е. для любого числа
е >0 можно найти период wv , для к-рого
Если/? = 1, то невырожденные А. ф. суть эллиптич. функ-
функции одного комплексного переменного. Каждая А. ф.
с группой периодов Г естественным образом отожде-
отождествляется с мероморфной функцией на комплекс-
комплексном торе С/Г, т. е. на факторпространстве С/Г
(см. также Квазиабелева функция).
Исследование А. ф. началось в 19 в. в связи с пробле-
проблемой обращения абелевых интегралов I рода (см. Якоби
проблема обращения, [1], [2]). Возникающие при реше-
решении этой проблемы А. ф. наз. специальными
А. ф., а иногда в старых работах под А. ф. только они и
подразумевались. Пусть ць иг, . . ., ир — линейно не-
независимые нормальные абелевы интегралы I рода, по-
построенные на римановой поверхности F:
С X С X
,= \ du2, . . ., ир= \ dup,
— заданная система сумм, в к-рой нижние пределы
интегрирования с1, с2, . . ., ср считаются фиксирован-
фиксированными на поверхности F. Тогда специальные А. ф. и:ожно
определить как все рациональные функции координат р
верхних пределов хг, хг,. . ., хр, рассматриваемых в
свою очередь как функции от р точек zj, z2, . . ., zp
поверхности F. В символической записи, ведущей свое
начало от К. Вейерштрасса (К. Weierstrass), любую
специальную А. ф. Al(z) можно изобразить в виде
Al(z) = Al(Zl, z2, ..., zp) =
=R[x1(z1, z2, ..., zp), x.2(z1, z2, ...,zp), ..., xp(zlt z2, ..., zp)\.
Соответствующие специальным А. ф. комплексные торы
С^/Г являются Якоби многообразиями алгебраич. кри-
кривых.
Матрица W, столбцы к-рой образуют базис периодов
А. ф. /(z), имеет размер рХ2р и наз. матрицей
периодов А. ф. /(z). Для того чтобы данная мат-
матрица W размера рХ2р была матрицей периодов нек-рой
невырожденной А. ф. /(z), необходимо и достаточно,
чтобы она удовлетворяла определенным условиям
(условия Р и м а н а — Фробениуса). Она
должна являться р и м а н о в о й матрицей, т. е.
для W должна существовать такая антисимметрическая
неособенная целочисленная квадратная матрица М
порядка 2р, что: 1) WMWT=0, где WT — транспони-
транспонированная матрица W; 2) матрица iWMWT определяет
положительно определенную эрмитову форму (см. f3]).
Если выразить условия 1) и 2) в виде соответственно
уравнений и неравенств, то получится система р (р— 1)/2
р и меновых уравнений и р (р — 1)/2 р и м а-
новых неравенств. Число р наз. родом
матрицы W и соответствующей А. ф. /(z). Столбцы
wv = \\ewv-\-ilmwv матрицы W, рассматриваемые как
векторы в действительном евклидовом пространстве
R'2f, определяют параллелотоп периодов
А. ф. f(z).
Все А. ф., соответствующие одной и той же матрице
периодов W, образуют абелево функцио-
функциональное поле Kw. В случае, когда поле Kw
содержит невырожденную А. ф., степень его трансцен-
трансцендентности над полем С равна р; тор CplT при этом яв-
является абелевым многообразием, а К\у совпадает с его
полем рациональных функций. Если же все А. ф. из
Kw вырожденные, то Kw изоморфно полю рациональ-
рациональных функций на абелевом многообразии, размерность
к-рого меньше р. См. также Квазиабелева функция.
Подобно эллпптич. функциям, каждая А. ф. может
быть представлена в виде отношения двух целых транс-
трансцендентных тета-функций, представимых в свою оче-
очередь в виде тета-рядов. Задание римановой матрицы W
определяет класс тета-рядов, позволяющий построить
все А. ф. поля Kw.
Для специальных А. ф. матрица W посредством ли-
линейного преобразования независимых переменных zx,
z2,..., zp всегда может быть приведена к виду
яг 0 ... О а
W =
1 2 • ¦ • ulp
О яг ... О а21 аг9 . . . а2»
О 0 ... яг ар1 ар2
При этом римановы соотношения между элементами
матрицы lla^ftll, /, fc=l, 2,..., р, должны обеспечивать
симметрию этой матрицы, а^—а^-, и положительную
определенность матрицы действительных частей ЦИеа.-^Н,
/, к— 1, 2,..., р. Однако при р>3 независимых среди
элементов а^ матрицы ||а^|| будет только 3(р —1),
т. е. столько, сколько конформных модулей имеет
риманова поверхность F, на к-рой решается проблема
обращения (см. Модули римановой поверхности).. По-
мимо римановых соотношений, в этом случае между
а,-/, существует (р — 2)(р — 3)/2 соотношений трансцен-
трансцендентной природы, явный вид которых для случая
р~4 впервые нашел в 1886 Ф. Шотки (F. Schottky;
обзор последующих достижений по этой проблеме
см. в [5]),
Специальные А. ф. представимы в виде отношения
двух целых тета-функций с нолуцелыми характеристи-
характеристиками специального вида. Из этого представления выте-
вытекает ряд свойств специальных А. ф., обобщающих
многие свойства эллггатич. функций; так: производные
А. ф. /(z) по любому аргументу zj суть А. ф.; любые
р-\-\ А. ф. связаны алгебраич. уравнением; любую А. ф.
можно выразить рационально через /> + 1 нек-рых А. ф.,
напр, через произвольную А. ф. и ее р частных произ-
производных 1-го порядка; для А. ф. справедлива теорема
сложения, т. е. значение А. ф. в точке а+Ь^С^
можно выразить рационально через значения нек-рых
p-\-i А. ф. в точках а, 6?СЛ
А. ф. имеют большое значение в алгебраич. геомет-
геометрии как средство униформизации алгебранч. многооб-
многообразий определенных классов.
Лит.: [11 С п р и и г е р Д ж., Введение в теорию римано-
римановых поверхностей, пер. с англ., М., 1Я60, гл. 10; [2] Чебота-
Чеботарев II. г., Теория алгебраических функций, М.— Л., 1948,
гл. 8, 9; [3] 3 и г е л ь К., Автоморфные функции нескольких
комплексных переменных, пер. с англ., М., 1954; Г4] В е й л ь А.,
Введение в теорию кэлеровых многообразий, пер. с франц., М.,
1961; [5J М амфор д Д., «Математика», 1973, т. 17, №4,
с. 34—49; [6] Stahl H., Theorie der Abelschen Funktionen,
Lpz., 1896; 17] Clebsch A., G о г d a n P., Theorie der
Abelschen Funktionen, Lpz., 1866; Neudruck, Wtirzburg, 1967;
Г81 С on for to F., Abelsche Funktionen und algebraische
Geometrie, B.— [u.a.], 1956. E. Д. Соломенцев.
АБЕЛЕВО МНОГООБРАЗИЕ - алгебраическая
группа, являющаяся полным алгебраическим многооб-
многообразием. Условие полноты накладывает сильные огра-
ограничения на А. м. Так, А. м. можно вложить в качестве
замкнутого подмногообразия в проективное простран-
пространство, каждое рациональное отображение неособого
многообразия в А. м. регулярно, групповой закон на
А. м. всегда коммутативен.
Теория А. м. над полем комплексных чисел С эк-
эквивалентна, по существу, теории абелевых функций,
основы к-рой были заложены в работах К. Якоби
(С. Jacobi), H. Абеля (N. Abel) и Б. Римана (В. Rie-
mann). Если С" есть n-мерное векторное пространство,
ГсгС" — решетка (см. Дискретная подгруппа) ранга 2п,
то факторгруппа Х~С"/Г будет комплексным тором.
Мероморфные функции на X отождествляются с меро-
морфными функциями на С", инвариантными относи-
относительно решетки периодов Г. Если степень трансцендент-
трансцендентности поля К мероморфных функций на X равна п,
то X можно наделить структурой алгебраич. группы,
единственной в силу компактности X и такой, что иоле
рациональных функций этой структуры совпадает с
К. Получающиеся таким образом алгебраич. группы
являются А. м. и всякое А. м. над полем С имеет такой
вид. Матрицу, задающую базис решетки Г, можно
привести к виду (E\Z), где Е — единичная матрица, а
Z — матрица порядка пХп. Комплексный тор X —
= СП/Г есть А. м. в том и только том случае, когда мат-
матрица Z симметрична и ее мнимая часть положительно
определена. Необходимо отметить, что как веществен-
вещественные группы Ли все многообразия X изоморфны, но это
неверно для их аналитич. или алгебраич. структур,
к-рые сильно меняются при деформации решетки Г.
Рассмотрение матрицы периодов Z показывает, что это
изменение носит аналитич. характер и это приводит к
конструкции многообразия модулей всех абелевых мно-
многообразий данной размерности п. Его размерность рав-
равна -L га(га+1) (см- Модулей проблема).
Теория А. м. над произвольным полем к принадле-
принадлежит А. Вейлю (см. [1], [2]). Она имеет большое количе-
ство приложений как в самой алгебраич. геометрии, так
и в других областях математики, особенно в теории чи-
чисел и теории автоморфных функций. Каждому полному
алгебраич. многообразию можно сопоставить функ-
ториальным образом А. м. (см. Алъбанезе многообразие,
Пикара многообразие, Промежуточный якобиан). Эти
конструкции представляют собой мощный метод изу-
изучения геометрич. структуры алгебраич. многообразий.
Так, с их по.мощыо было получено одно из решений Лю-
рота проблемы. Другим приложением является дока-
доказательство гипотезы Римана для алгебраич. кривых
над конечным полем. Именно для решения этой проб-
проблемы и была создана абстрактная теория А. м. Она по-
послужила также одним из источников теории 1-адических
когомологий. Простейшим примером таких когомологий
служит Тейта модуль А. м. Он является проективным
пределом групп Х^п точек 1п-то порядка при п—>-оо.
Определение структуры последних было одним из глав-
главных достижений теории А. Вейля. Именно, если m
взаимно просто с характеристикой р поля k n k
алгебраически замкнуто, то группа Хт изоморфна
(~Ж> тЖJ^т Х¦ Ситуация в случае т=р гораздо сложнее
и она привела к появлению таких понятий, как конеч-
конечные групповые схемы, формальные группы и р-делимые
группы. Изучение действия эндоморфизмов А. м., в
частности Фробениуса эндоморфизма на его модуль
Тейта, дает возможность доказать гипотезу Римана,
а также является основным инструментом в теории
комплексного умножения А. м. Другой круг вопросов,
связанный с модулем Тейта, состоит в исследовании
действия на нем группы Галуа замыкания основного
поля. Отсюда возникли гипотезы Тейта и теория Тейта—
Хонды, дающая для А. м. над конечными полями
их описание в терминах модуля Тейта [5].
Интенсивно развивается изучение А. м. над локаль-
локальными, в том числе р-адическими полями. Аналог упо-
упомянутого выше представления А. м. в виде факторпро-
странства С", Г (которое обычно наз. униформизацией)
был построен над такими полями Д. Мамфордом
(D. Mumford) и М. Рейно (М. Raynaud). В отличие от
комплексного случая униформизуются не все А. м.,
а только имеющие редукцией по mod p мультиплика-
мультипликативную группу [6]. Теория А. м. над глобальными
(числовыми и функциональными) полями играет важ-
важную роль в диофантовой геометрии. Основной резуль-
результат здесь — теорема Морделла— Вейля:
группа рациональных точек А. м., определенного над
конечным расширением ноля рациональных чисел,
конечно порождена.
Лит.: [1] Weil A., Varietes abtfliennes et courbes algebri-
ques. P., 1948; [2] его же, Sur les courbes algebriques et les
varietes qui s'en deduisent, P., 1948; [31 В е й л ь А., Введение
в теорию келеровых многообразий, пер. с франц., И., 1961;
[4] Lang S., Abelian varietes, N.Y.—L., 1959; [5] M a ni-
nidi орд Д., Абелевы многообразия, пер. с англ., М., 1971;
[6] Мани п 10. И., в сб.: Итоги пауки и техники. Сер.
Современные проблемы математики, т. 3, М., 1974, с. 5—93; [7]
С е р р Ж. П., Алгебраические группы и поля классов, пер. с
франц., М.. 1968; Г8] 3 и г с л ь К., Автоморфные функции не-
нескольких комплексных переменных, пер. с англ., М., 1954,
Б. Б. Венков, А. Н. Паршин.
АВЕЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ —
обыкновенное дифференциальное уравнение
(А. д. у. 1-го рода) или
(А. д. у. 2-го рода). Эти уравнения возникли в связи с
исследованиями Н. Абеля [1] но теории эллиптич.
функций. А. д. у. 1-го рода представляет естествен-
естественное обобщение Риккати уравнения.
Если h?C(a, Ъ), /2 и f3?Cl(a, Ъ) и /3 (х)фО при
х?[а, Ъ], то А. д. у. 1-го рода заменой переменных
(см. [2]) приводится к нормальной форме dz/di=
= z3-fcp (t). В общем случае А. д. у. 1-го рода в замк-
замкнутой форме не интегрируется; это удается сделать
лишь в отдельных частных случаях (см. [2]). Если g0
игг€с1(я, Ь) и gl(x)=?0, go(x)Jrg1(x)y=^O, то А. д. у.
2-го рода сводится к А. д. у. 1-го рода подстановкой
А. д. у. 1-го и 2-го рода, как и их дальнейшие об-
обобщения
y'=Hto U (*) V', У' 2"lo S/ <*) yi - 2"_о U (*) »'.
подробно рассматривались в комплексной области
(см., напр., [3]).
Лит.: [I] Abel N. Н., «J. reine und angew. Math.», 1829,
Bd 4, S. 309 — 48; [2] К а м к е Э., Справочник по обыкновенным
дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976;
[3] Голубев В. В., Лекции пп аналитической теории диф-
дифференциальных уравнений, 2 изд., М.— Л., 1950.
И. X. Розов.
АВЕЛЯ ЗАДАЧА — задача о нахождении в верти-
вертикальной плоскости s, т) такой кривой, по к-рой ма-
материальная точка под действием силы тяжести, на-
начав движение без начальной скорости в точке с ордина-
ординатой х, достигнет оси От за время Г—/(х), где функция
f(x) задана заранее. А. з. поставлена Н. Абелем
(N. Abel) в 1823; при ее решении им было получено
(и решено) одно из первых интегральных уравнений —
Абеля интегральное уравнение. Именно, если со есть
угол наклона к оси Ох касательной к искомой кривой, то
Интегрирование этого равенства в пределах от 0 до г
и введение обозначений
приводит к интегральному уравнению
ГШ /(*)
O Il-I
относительно неизвестной функции tp(s), нахождение
к-рой дает возможность составить уравнение искомой
кривой. Решение приведенного выше уравнения имеет
вид
Лит.; [ll A b е 1 N. Н., OSuvres completes, t. 1, Christiania
1881, p. 11—27. В. В. Хвсделидзе.
АВЕЛЯ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — инте-
интегральное уравнение
[X-^ds^f(x), A)
Jo I'j-i
к к-рому сводится решение Абеля задачи. А.и.у. наз.
также более общее уравнение (обобщенное А.и.у.)
Г* фE) ds = f(x), а<х<Ь, B)
Ja (x-s)"-
где а>0 и 0<а<1 — заданные постоянные, f(x) —
известная функция, а (р(.г) — искомая функция. Вы-
Выражение (х — s)~a наз. я д р о м А. и. у., или ядром
Абеля. А. и. у. принадлежат к классу Волътерра
уравнений 1-го рода. Уравнение
(• 6 4>Wds==fix)i а<ж<6, C)
на:). А. и. у. с постоянными пределами.
Если f(x) — непрерывно дифференцируемая функ-
функция, то А.и.у. B) имеет единственное непрерывное ре-
решение, представимое формулой
W — il'.T^' D)
или, что то же самое, формулой
ф {Х)
Формула E) является решением А. и. у. B) при более
широких предположениях (см. [3], [4]). Так, в [3] пока-
показано, что если i(x) абсолютно непрерывна на отрезке
[а, Ь], то А. и.у. B) имеет в классе интегрируемых
но Лебегу функций единственное решение, определяе-
определяемое формулой E). Решение А.и.у. C) дано в [2]; см.
также [б].
Лит.: [1] В 6с her M., «Trans. Amer. Matli. Soc», 1909,
v. 10, p. 271 — 78; [2] G a r 1 e m a n Т., «Math. Z.», 1922, Bd 15,
S. 111—20; [3] Tonelli Z., «Math. Ann.», 1928, Bd 99,
S. 183—99; [41 T am ark in J., «Ann. Math.». 1930,
v. 31, p. 219—29; [5] M и х л и и С. Г., Лекции по линейным
интегральным уравнениям, М., 1959; [6] Г а х о в Ф. Д.,
Краевые задачи 2 изд., М., 1963. Б. В. Хведелидзе.
АВЕЛЯ МЕТОД СУММИРОВАНИЯ —один из
методов суммирования числовых рядов. Ряд
суммируется методом Абеля D-ме-
тодом) к числу S, если для любого действительного
числа х, 0<?<1, ряд
сходится п
1 — 0
Этот метод суммирования встречался еще у Л. Эйлера
(L. Euler) и даже у Г. Лейбница (G. Leibniz). Название
«А.м.с.» обосновано Абеля теоремой о непрерывности
суммы степенного ряда. А. м. с. является вполне
регулярным методом суммирования, к-рый сильнее всей
совокупности Чезаро методов суммирования. А. м. с.
применяется в связи с тауберовыми теоремами для
доказательства сходимости рядов.
С А. м. с. тесно связан А *-метод суммирования:
пусть z-комплексное число, |z|<l; ряд
Суммируется А *-м е т о д о м к числу 5, если
li2ftS
когда z—»-l по любому некасательному к единичной ок-
окружности пути.
Лит.: fi] Хард и Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ.,
М., 1951; [2] Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М.,
1961. А. А. Захаров.
АВЕЛЯ НЕРАВЕНСТВО об оценке суммы попарных
произведений чисел: если заданы такие множества чи-
чисел a/i и b/г, что все суммы Bit=b1-\-b2-\-. • - + ^fc.
fc=l,2,..., re, ограничены по абсолютной величине
числом В, т. е. |5^|<В, и либо a,-^a; + 1, либо
0.1 ^.G: -t-1 j I —~ X .il, • • • j Yi ~ 1. TO
В случае, когда ak не возрастают и неотрицательны,
оценка упрощается:
А. н. доказывается с помощью А беля преобразования.
Л. Д. Кудрявцев.
АВЕЛЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, суммирование
по частям,— преобразование вида:
ib *S ^ B ( )
где в?, Ь/, заданы, Вп выбирается произвольно, а
B+ fi+ ++b fc=l,..., N.
А. п. есть дискретный аналог интегрирования
частям формула.
Если адг—>-0 и последовательность {Bk} ограничена,
то А. п. обобщается на ряды:
При помощи А. п. доказываются многие признаки
сходимости числовых и функциональных рядов
(см. Абеля признак). А. п. ряда часто приводит к ряду
с той же суммой, но с лучшей сходимостью. Кроме то-
того, А. п. постоянно используется в различных оцен-
оценках (см. Абеля неравенство), в частности при исследо-
исследовании скорости сходимости ряда. А. п. введено Н. Абе-
Абелем [1].
Лит.: [1] A b е 1 N. Н., «J. reine und angew. Math.», 1826,
Bd 1, S. 311—99; [2] M a p к у ш е в и ч А. И., Теория анали-
аналитических функций, т. 1, 2 изд., М., 1987; [3] У и т т е к е р Э. Т.,
В а тс о н Д ж. II., Курс современного анализа, пер. с англ.,
ч. 1, 2 изд., М., 1963. .7. Я. Купцов,
АВЕЛЯ ПРИЗНАК — 1) А. п. для числовых
рядов: если сходится ряд
а числа ап образуют монотонную ограниченную после-
последовательность, то ряд
сходится.
2) А. п. для функциональных рядов:
ряд
2n=i а» (*) Ъп №
равномерно сходится на множестве X, если ряд
равномерно сходится на X, а функции ап(х), n=i,2,. ..,
при каждом х?Х образуют монотонную последователь-
последовательность, равномерно ограниченную на множестве X. Ана-
Аналогично формулируется А. и. равномерной сходимости
интегралов
SOC
а (п, х) b (n, x) an,
сс
зависящих от параметра х?Х.
А. п. могут быть усилены (см., напр., Дедекинда
признак). См. также Дирихле признак, Абеля преоб-
преобразование.
Лит.: [ПФихтснгольц Г. М., Курс дифференциаль-
дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, 7 изд., М., 1969; [2] Куд-
Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, 2 изд., М.,
1973; [3] У и т т с к е р Э. Т., В а т с о н Д ж. Н., Курс со-
современного анализа, пер. с англ., ч. 1, 2 изд., М., 1963.
Л. П. Купцов.
АБЕЛЯ ТЕОРЕМА — 1) А. т. об алгебраи-
алгебраических у р а в н е н и я х: ни для какого п, большего
или равного пяти, нельзя указать формулу, к-рая вы-
выражала бы корни любого уравнения п-й степени через
его коэффициенты при помощи радикалов. Найдена
Н. Абелем в 1824 (см. {1]). А. т. может быть получена
также как следствие Галуа теории, из к-рой вытекает
и более общее утверждение: для любого п~^Ь сущест-
существуют алгебраич. уравнения с целыми коэффициентами,
корни к-рых не выражаются через радикалы из рацио-
рациональных чисел. Современную формулировку А. т. для
уравнений над произвольным полем см. Алгебраическое
уравнение.
2) А. т. для степенных рядов: если сте-
степенной ряд
где а/г, b, z — комплексные числа, сходится при z=z0,
то он абсолютно и равномерно сходится в любом круге
\z— b| <:р радиуса p<|z0— Ь\ с центром в точке Ь. Уста-
Установлена Н. Абелем [2]. Из этой теоремы вытекает, что
существует число Д?[0, оо], обладающее тем свойст-
свойством, что при \z— Ь| <Л ряд сходится, а при |z—Ь|>Я
расходится. Это число R наз. радиусом сходи-
сходимости ряда (*), а круг \z — Ь\ <Я наз. кругом
сходимости ряда (*).
3) А. т. о непрерывности: если степенной
ряд (*) сходится в точке Zq границы круга сходимости,
то он представляет собой непрерывную функцию в лю-
любом замкнутом треугольнике Т с вершинами z0, z1, z2,
где z-y, z2 лежат внутри круга сходимости. В частности,
lim S(z) = S(z0).
г -*¦ г0, z€T
Этот предельный переход всегда можно осуществить
по радиусу: на всем радиусе круга сходимости, соеди-
соединяющем точки Ь и z0, ряд (*) будет сходиться равно-
равномерно. Эта теорема используется, в частности, для вы-
вычисления суммы степенного ряда, сходящегося в
точках на границе круга сходимости.
4) А. т. для рядов Дирихле: если Дирихле
ряд
<P(s)=2r=ia«e~X"S' s = a + it, \n>0,
сходится в точке so=ao-\-it0, то он сходится в полупло-
полуплоскости О">о и сходится равномерно внутри любого
угла |arg(s—s0)|<8<я/2. Является обобщением А. т.
для степенных рядов (достаточно взять Х„=п и обозна-
обозначить e~s=z). Из теоремы следует, что область сходи-
сходимости ряда Дирихле — нек-рая полуплоскость 0">с,
где с — абсцисса сходимости ряда.
Для обыкновенного ряда Дирихле (когда 'кп=\п п)
с известной асимптотикой для сумматорной функции
^и=а1~га2"г-•- + an коэффициентов ряда справедлива
следующая теорема: если
где В, slt а — комплексные числа, р — действитель-
действительное число, о у— 1<р<о"!,то ряд Дирихле сходится при
о±<Со, функция (p(s) регулярно продолжается на полу-
полуплоскость р<а, исключая точку s=slt причем
если а Ф —1, —2, . . .,
Ф (s) =B[Z^Zl\ s (s-s1)-a-1 In (s-Sl)
если a=—1, —2,... Здесь g(s) — регулярная при
a>p функция.
Напр., дзета-функция Римана t,(s) (A„=re, B—l, sx=l,
a=0, p>0) регулярна по крайней мере в полуплос-
полуплоскости a>0, исключая точку s=l, в к-рой она имеет по-
полюс 1-го порядка с вычетом, равным 1. Эта теорема
допускает различные обобщения. Так, если
где Bj, sj, ay(l<7<:fc) — любые комплексные числа, и
0"?— 1 <Р<0"?<. . . <0"i, то ряд Дирихле сходится при
о">о"!, cp(s) регулярен в области а>р, исключая точки
«!, s2,. ¦ ., Sfr, в к-рых он имеет алгебраич. или логариф-
мич. особенности. Теоремы такого типа позволяют на
основании асимптотики Ап получать определенные
сведения о поведении ряда Дирихле в нек-рой полу-
полуплоскости.
Лит.: [1] Abel N., Oeuvres completes, t. 1, Christiania,
1881; [2] e г о же, «J. reine und angew. Math.», 1826, Bd 1,
S. 311—99; [3] Маркушевич А. И., Теория аналитиче-
аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967. Л.П.Купцов.
АВЕЛЯ — ГОНЧАРОВА ПРОБЛЕМА, проблема
Гончарова, — проблема в теории функций комп-
комплексного переменного, состоящая в нахождении множе-
множества всех функций /(z) из того или иного класса, удов-
удовлетворяющих соотношениям /("'(A,n) = ^n (n=0, 1,...),
где {Ап} и {кп} — допустимые для данного класса по-
последовательности комплексных чисел. Эта проблема
была поставлена В. Л. Гончаровым (см. [2]).
Функции /(z) ставится в соответствие ряд
— интерполяционный ряд Абеля-
Гончарова, где Рп (z) — п о л и н о м Г о н ч а-
р о в а, определяемый равенствами:
Случай, когда Xn = a-\-nh(n=0,i,. . .), а и h — дей-
действительные числа (кфО), с формальной точки зрения
рассмотрен Н. Абелем (см. [1]). Здесь
Рп (z) = l!r <z -«) (z-a-nh)n-K
Ряд (*) является инструментом для изучения нулей
последовательных производных регулярных функций.
Множество функций f(z), представимых рядом (*),
наз. классом сходимости А.— Г. п.
В случае Нт|Я„|=оо был выделен класс сходимости
гс->зо
А.— Г. п. в терминах ограничений на порядок и тип
целых функций /(z) в зависимости от роста величины
2По^* + 1-^1 <см- [2])-
В случае Xn=n1'f>l (п), где 1(п) — медленно растущая
функция, 0<р<оо, был получен в нек-ром смысле точ-
точный класс сходимости А.— Г. п. (см. [6]). Были выде-
выделены также классы сходимости А.— Г. н. для целых
функций конечного и бесконечного порядков в терми-
терминах различных ограничений, наложенных на индика-
индикаторы соответствующих классов функций; рассмотрена
А.— Г. п. для целых функций многих переменных.
Для нек-рого класса узлов интерполяции получены
точные оценки полиномов Гончарова.
Пусть Af~ класс функций /(z) вида
0<г<оо, 0<а<оо, Ла — класс всевозможных после-
последовательностей {Х„} таких, что |Я„| «jfra+l)", ra =
— 0,1,.... Границей сходимости для класса
Ла наз. верхняя грань Sa тех значений г, для i.-рых
всякая функция f(z)?A? представима рядом (*).
Нижняя грань Wa тех г, для к-рых существуют функция
f(z)?A? и последовательность {Я„}^Ла такие, что
/<">(Я„) = 0, п^О, 1,..., /(z)^0, наз. границей
единственности. Величины Wx и Wa наз.
соответственно константами Уиттекера и
Гончарова. Было показано, что 5j= Wt (см. [6]);
доказаны также более общие утверждения:
5а = ^ и Wa = W1,Q^.a<oo
(см. [5], [10]).
Таким образом, при {Я„}?Ла А.— Г. п. сводится к
нахождению константы W1. Ее точное числовое значе-
значение неизвестно, однако найдены оценки: 0,7259 <iWx<
<0,7378 (см. [9]).
При рассмотрении А.— Г. п. в классе А\ функций,
регулярных в области |z|^l и таких, что /(оо) = 0,
было показано, что для любого множества чисел {к}
удовлетворяющих условию
где {n/i} — возрастающая подпоследовательность на-
натуральных чисел, из равенств /'"¦'¦''(Я^) =
следует /(z)=0. Причем для любого числа Ь>0 суще-
существуют последовательность {Я.п},
и функция /(zM^0, f(z)?A\, для к-рых /("'(X,,) — О,
п -0, 1,... (см. [7]).
Л.— Г. п. включает так наз. задачу о двух
точках, поставленную Э. Уиттекером (см. [12]).
Пусть последовательности {v/,} и{(х„} таковы, что {v/,}(J
U{p-n}={ra} n {"VftlD {V-n}—0- Задача состоит в вы-
выяснении условий, при к-рых существует регулярная на
отрезке [0, 1] функция /(z)^0, удовлетворяющая ус-
условиям /(v'('(l) = 0, /^п)@) = 0. Эта задача решалась в
различных подклассах класса функций, регулярных в
круге |z| <Л (/?>1). Полученные в нек-ром смысле точ-
точные условия выражены в терминах различных ограни-
ограничений, наложенных на коэффициенты av разложений
в зависимости от {v^} (см. [3]). Эта задача была обоб-
обобщена, для решения ее были использованы методы
теории бесконечных систем линейных уравнений (см.
[4]). В частном случае, когда последовательность {v/,}
образует арифметич. прогрессию для целых функций
экспоненциального типа, задача о двух точках в изве-
известном смысле решена до конца (см. [8]).
Лит.: [1] А Ь е 1 N. Н., Oeuvres completes, t. 2, Ghristiania,
1839, p. 77—88; [2] О о n t с h a r о f f W. L., «Ann. Ec. Norm.
Super » 1930, t. 47, p. 1 — 78; [3]Гельфонд А. О., И б р а-
гимов И. И., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1947, т. 11,
.М» 6, с. 547—60; [(] Джрбашян М. М., там же, 1952,
т. 16, №3, с. 225—52; [5] Д р а г и л е в М. М., Ч у х -
нова О. П., «Сиб. матем. ж.», 1963, т. 4, N2, с. 2S7—9'.;
[6] Евграфов М. А., Интерполяционная задача Абеля —
Гончарова, М., 1954; П] Казьмин Ю. А., «Вест. Моск.
ун-та. Сер. матем., мех.», 1963, № 1, с. 26—34; [8] Казь-
Казьмин Ю. А., «Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., мех.», 1965,
М 6, с. 37—44- Гэ] М а с t n t у г е S. S., «Trans. Amer. Math.
Soc», 1948, v. 67, p. 241 — 52; [101 Суетин Ю. К., «Вестн.
Моск. ун-та. Сер. матем., мех.», 1966, J* 5, с. 16—25; [11] О с-
колков В. А., «Матем. сб.», 1973, т. 92, №1, с. 55—59;
Г12] Whittaker J. Т., Interpolatory function theory,
Camb 1935. В. А. Осколков.
АБЕЛЯ — ПУАССОНА МЕТОД СУММИРОВАНИЯ—
один из методов суммирования рядов Фурье. Ряд Фурье
функции f(x)?L [0, 2л] суммируется методом
Абеля — Пуассона в точке ср к числу S, если
lim /(p, (f) — S,
р ->¦ 1-0
где /(р, <р)=-у- + У^ д fa cos kg + bk sin fe<p) p*,
Если f{x)?C(Q, 2л), то интеграл в правой части есть
гармонич. функция для |z| = |pe'4> | <1 и, как показал
С. Пуассон (S. Poisson), является решением задачи Ди-
Дирихле для круга. В связи с этим Абеля метод суммиро-
суммирования в применении к рядам Фурье наз. А.— П. м. с,
а интеграл («) — Пуассона интегралом.
Если (р, ф) — полярные координаты точки внутри
круга радиуса 1, то можно рассматривать предел функ-
функции /(р, ф), когда точка (р, ср) стремится к точке на ок-
окружности не по радиальному, но и не по касательному
и даже произвольному пути. Так, имеет место теоре-
теорема Фату: если функция f(x) принадлежит L [0, 2л]
н непрерывна в точке ф0, то
lim /(p, ф) = /(ф0)
(Р, ф) -* A. Фо)
независимо от способа стремления точки М (р, ф) к
точке РA, фо) при условии, что она остается внутри
круга радиуса 1.
Лит.: [1] Бари II. К., Тригонометрические ряды, М.
1961. А. А. Захаров.
АБНОРМАЛЬНАЯ ПОДГРУППА — подгруппа А
группы G, обладающая тем свойством, что g?(A, A&)
для любого элемента g?G. Здесь {А, А&) — подгруппа,
порожденная А и сопряженной с ней подгруппой
A^ — gAg-1. Примером А. п. конечной группы G может
служить нормализатор Nq(P) любой силовской р-
подгруппыРсгС, а также всякая максимальная подгруп-
подгруппа M(Z.G, не являющаяся нормальной в G. В теории
конечных разрешимых групп, где к А. п. относятся
многие важные классы подгрупп, употребительно еще
понятие субабнормальной подгруппы
А группы G, определяемой рядом подгрупп:
где Aj абнормальна в Л,- + 1, г=0, 1,..-, п— 1.
Л. И. Нострикин,
АБСОЛЮТ — 1) А. регулярного тополо-
топологического пространства X — простран-
пространство аХ, обладающее тем свойством, что оно совершенно
и неприводимо отображается на X, а всякий совершен-
совершенный неприводимый прообр'аз пространства аХ гомеомор-
фен пространству аХ. У каждого регулярного прост-
пространства X имеется единственный А. При этом А. про-
пространства X всегда экстремально несвязан и вполне ре-
регулярен и отображается на X совершенно и неприводи-
неприводимо посредством отображения яу : аХ—*-Х. Если два
пространства X и У связаны (однозначным или много-
многозначным) совершенным неприводимым отображением
f : X—*Y, то их А. гомеоморфны и существует такой
гомеоморфизм fa : aX—*-aY, что /=яу/оях1.
Если дан гомеоморфизм fa : aX—>-aY, то отображе-
отображение, вообще говоря, многозначное, f=nyfanx1 непри-
неприводимо и совершенно. Таким образом, А. и их гомео-
гомеоморфизмы «управляют» всем классом совершенных
неприводимых отображений регулярных пространств.
Это фундаментальное свойство означает, что А. регу-
регулярных топологич. пространств являются проектив-
проективными объектами в категории регулярных пространств
и совершенных неприводимых отображений. Если ре-
регулярное пространство X, соответственно, бикомпакт-
бикомпактно, финально компактно, полно в смысле Чеха, то тем же
свойством обладает и А. этого пространства. У пара-
компактного пространства А. даже сильно паракомпак-
тен и, более того, совершенно нульмерен. Но А. нор-
нормального пространства может не быть нормальным.
Если X — вполне регулярное пространство, то расши-
расширение Стоуна — Чеха (см. Стоуна — Чеха бикомпакт-
бикомпактное расширение) его А. является А. любого бикомпакт-
бикомпактного расширения пространства X. Два пространства
называются соабсолютными, если их А. го-
гомеоморфны.
Таким образом, класс регулярных пространств раз-
разбивается на дизъюнктные (попарно непересекающие-
непересекающиеся) классы соабсолютных пространств. Пространство X
соабсолютно с некоторым метрическим пространством
тогда и только тогда, когда оно является паракомнакт-
ным перистым пространством и в нем существует плот-
плотная сг-дискретная система открытых множеств. Биком-
Бикомпакт соабсолютен с нек-рым компактом в том и только
том случае, когда он имеет счетный я-всс. Если биком-
бикомпакт имеет счетный я-вес и не имеет изолированных
точек (и только в этом случае), то он соабсолютен с кан-
торовым совершенным множеством. Следовательно,
все компакты без изолированных точек соабсолютны с
канторовым совершенным множеством. А. счетного
компакта является расширением Стоуна — Чеха про-
пространства натуральных чисел. А. экстремально несвяз-
несвязного пространства гомеоморфен ему. Таким образом,
класс А. (каких бы то ни было) регулярных пространств
совпадает с классом экстремально несвязных про-
пространств. Так как недискретное экстремально несвяз-
ное пространство не содержит никакой сходящейся
последовательности попарно различных точек, А. лю-
любого недискретного пространства неметризуем (и даже
не удовлетворяет первой аксиоме счетности).
Среди многочисленных способов построения абсолюта
аХ данного (регулярного) пространства X одним из
простейших является следующий.
Семейство ?= {А} непустых канонич. ха-множеств,
т. е. замкнутых канонич. множеств А пространства X,
наз. нитью, если оно направлено по вклю-
включению, т. е. если ко всяким двум элементам А,
А' семейства ? существует элемент А", содержащийся в
A f)A'. Нить § наз. максимальной, или к о н-
ц о м, если она не является подсемейством никакой
отличной от нее нити. Можно доказать, что нити суще-
существуют; более того, что для каждого непустого ха-
множества А множество Од всех нитей, содержащих
множестве А в качестве элемента, непусто. Каждая
нить содержится в нек-рой максимальной нити. Пере-
Пересечение всех множеств, являющихся элементами мак-
максимальной нити %, или пусто, или состоит из единст-
единственной течки х(%); в последнем случае нить | наз.
сходящейся (к точке х(%)). В множестве аХ всех
концов вводят топологию, объявляя совокупность всех
множеств В д ее замкнутой базой. Полученная тополо-
топология оказывается хаусдорфовой и бикомпактной. Сходя-
Сходящиеся концы в бикомпакте аХ образуют всюду плотное
подпространство. Подпространство пространства аХ,
состоящее из всех сходящихся концов, и есть абсолют
а А' пространства X; при этом оказывается, что биком-
бикомпакт аХ есть не что иное, как максимальное бикомпакт-
бикомпактное расширение Стоуна — Чеха fiaX абсолюта аХ.
Если же X не только регулярно, но и вполне регулярно,
то имеет место формула переместитель-
переместительности операторов аир":
В. И. Пономарев.
9-а бсолют пространства 6-близости
(X, 6) — пара (Х(>, iij), состоящая из близости про-
пространства Хв и проекции лх '¦ Хь—*-Х, являющейся
регулярным 9-отображением. При этом 9-отображе-
нием называется всякое 0-совершенное, неприводимое,
8-близостно непрерывное отображение. У всякого про-
пространства 9-близости существует единственный 9-А.
Всякое регулярное 9-отображение на 9-А. есть близо-
стная эквивалентность. 9-А. пространства {X, 6) яв-
является максимальным прообразом пространства (X, 6)
относительно регулярных 9-отображений. Для всякого
регулярного 8-отображения / : (х, 6)->(К, 6') сущест-
существует такая близостная эквивалентность F : X(>-*-Yu,
что коммутативна следующая диаграмма:
F
А'б >Y6-
nxi \ nY
X > Y
f
Для максимальных 9-близостей на регулярных топо-
логич. пространствах понятие регулярного 9-отображе-
ния совпадает с понятием совершенно неприводимого
отображения, а понятие 9-А.— с понятием А. регуляр-
регулярного топологич. пространства. В. В. Федорчук.
Лит.: [1] Пономарев В. И., «Успехи матем. наук»,
1966, т. 21, в. 4, с. 101—32; [2] G 1 е a s о n A. M., «111. J.
Math.», 1958, v. 2, № 4 (А), р. 482—89; [3] П о н о м а р е в В. И.
«Матем. сб.», 1963, т. 60, JV« 1, с. 89—119; [4] Федорчук
В. В., «Матем. сб.», 1968, т. 76, Л5 4, с. 513—36.
2) Абсолют в проективной геомет-
геометрии — кривая (поверхность) 2-го порядка, представ-
представляющая собой множество бесконечно удаленных точек
в Клейна интерпретации гиперболич. плоскости (про-
странства). При помощи А. может быть введено меро-
мероопределение в проективной плоскости (пространстве)
(см. Проективное мероопределение). Напр., проек-
проективная мера отрезка А В определяется как
величина, пропорциональная натуральному логарифму
двойного отношения (ABCD) четырех точек, где С и
D — точки пересечения прямой А В с А. а. Б. Иванов.
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА, модуль, дейст
вительного числа а— неотрицательное число
(обозначается |а|), определяемое следующим образом:
если а>0, то \а\ = а; если а<0, то |а| = — а. А. в. (мо-
(модуль) комплексного числа z^=x-\-iy (x
и у — действительные числа) — число + |Лг2-|-1/2. Для
А. в. имеют место следующие соотношения:
|а| = |-а|, |a|2 = |a2|=a2,
|fl|-|b|<|a + b|<|fl| + |b|,
|<|fl —6|<|a| + |b|,
11 = | a |-| Ь |, а при b ф О
а
\ъ\ I ь Г
Об обобщении понятия А. в. на случай произвольного
тела см. статью Абсолютное значение.
АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — геометрия, в основе
к-рой лежат аксиомы евклидовой геометрии, за исклю-
исключением аксиомы о параллельных (V постулата). А. г.
содержит предложения, общие для евклидовой геомет-
геометрии и для Лобачевского геометрии. Термин «А. г.»
введен Я. Больяй (J. Bolyai, 1832). А. в. Иванов.
АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ — 1) А. н. и а-
теграла — свойство неопределенного интеграла
(Лебега). Пусть функция / [д-интегрируема на мно-
множестве Е. Интеграл от / на ^-измеримых подмножест-
подмножествах есЕ является абсолютно непрерывной функцией
(см. ниже — п. 3) множества относительно меры ц,
т. е. для всякого е>0 найдется такое 6>0, что интег-
интеграл \ jd\i <e для любого множества е с ц (е) <б.
В общем случае интеграл по конечно аддитивной функ-
функции множества ц как со скалярными, так и с вектор-
векторными / или ц, есть абсолютно непрерывная функция.
А. П. Терехин, В. Ф. Емельянов.
2) А. н. меры— понятие теории меры. Мера v наз.
абсолютно непрерывной относительно меры [д, если
v — абсолютно непрерывная функция множества отно-
относительно ц. Так, пусть v — конечная мера, заданная с
[д на нек-рой фиксированной ст-алгебре G; тогда v аб-
абсолютно непрерывна относительно [д, если из ц.(Л) = 0,
A ?G, следует \(А)=0. Обобщенная конечная мера v
абсолютно непрерывна относительно обобщенной меры
[д,, если v{A) = 0 как только |и.[(Л) = 0, где \ц\ — пол-
полная вариация Ц. А. П. Терехин.
3) А. н. функции— усиление понятия непре-
непрерывности. Функция 1{х), определенная на отрезке
[а, Ь], наз. абсолютно непрерывной, если
для любого е>0 существует такое 6>0, что для любой
конечной системы попарно непересекающихся интер-
интервалов (в?, bk)c(a, b), k=l, 2,..., п, для которой
справедливо неравенство
SLiI/<**)-/<»*) l<e. *
Всякая абсолютно непрерывная на отрезке функция
непрерывна на этом отрезке; обратное неверно, напр.
функция /(.z)=^sm— при 0<ж<1 и /@) = 0, будучи
непрерывной на отрезке [0, 1], не является на нем аб-
абсолютно непрерывной. Если в определении абсолютно
непрерывной функции, отбросить требование пустоты
попарных пересечений интервалов (ak, b^), то функций
будет удовлетворять более сильному условию — Лип-
Липшица условию с нек-рой постоянной.
Если функции j(x) и g(x) абсолютно непрерывны, то
абсолютно непрерывны и их сумма, разность и произве-
произведение, а если g(x) не обращается в нуль, то и частное
f(x)lg(x). Суперпозиция двух абсолютно непрерывных
функций может и не быть абсолютно непрерывной.
Однако, если функция f(x) абсолютно непрерывна на
отрезке [a, b] Hi</(i)<S, ^?[я, b], a функция F(у)
удовлетворяет условию Липшица на отрезке [А, В],
то сложная функция F[f(x)] абсолютно непрерывна
на отрезке [а, Ь]. Если абсолютно непрерывная на
[а, Ь] функция f(x) монотонно возрастает, а функция
F(у) абсолютно непрерывна на отрезке [/(a), f(b)],
то функция F[f(x)] также абсолютно непрерывна на
[а, Ь].
Абсолютно непрерывная функция отображает мно-
множество меры нуль в множество меры нуль, а измеримое
множество в измеримое. Всякая непрерывная функция
с конечной вариацией, отображающая каждое множество
меры нуль в множество меры нуль, является абсолют-
абсолютно непрерывной функцией. Всякая абсолютно непре-
непрерывная функция может быть представлена как раз-
разность двух абсолютно непрерывных неубывающих
функций.
Абсолютно непрерывная на отрезке [а, Ь] функция
f(x) имеет на нем конечную вариацию и почти в каждой
его точке — конечную производную /' (х), суммируемую
на этом отрезке, причем
/(*) = /(а)+$*/'(«)<«•
Если производная абсолютно непрерывной функции
почти всюду равна нулю, то сама функция постоянна.
С другой стороны, для любой суммируемой на отрезке
[а, Ь] функции ф(ж) функция \ (p(t)dt абсолютно не-
J а
прерывна на этом отрезке. Поэтому класс абсолютно
непрерывных на данном отрезке функций совпадает с
классом функций, представимых в виде неопределенного
интеграла Лебега: интеграла Лебега с переменным
верхним пределом от нек-рой суммируемой функции
плюс постоянная.
Если f(x) абсолютно непрерывна на [а, Ь], то ее п о л-
ная вариация равна:
Понятие А. н. обобщается как на случай функций
многих переменных, так и на случай функций мно-
множеств (см. ниже — п. 4).
Лит.: [1] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Эле-
Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М.,
t976; [2] Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 5,
М., 1959. Л. Д. Кудрявцев.
4) А. н. функции множества— поня-
понятие, употребляемое обычно применительно к счетно
аддитивным функциям, определенным на ст-кольце S
подмножеств множества X. Так, если (х, v — две опре-
определенные на S счетно аддитивные функции со значе-
значениями из расширенной числовой прямой [— оо, оо],
то v абсолютно непрерывна относительно ft (символи-
(символически это записывается в виде v<^ft), если |ц,| (Е) = 0
влечет \(Е)~0 (здесь |и.| — полная вариация ц:
ц + н ц~ —меры, наз. положительной и отрицатель-
отрицательной вариациями ц; по теореме Жордана — Хана \i~
= ц,+ — и,-). Оказывается, что соотношения 1) v<?ju,, 2)
v+<<C|i, \~<SQi, 3) |v|«:|(i| равносильны. Если мера v ко-
конечна, то v-^ft тогда и только тогда, когда для любого
е>0 существует 6>0 такое, что |li|<6 влечет |v| <s.
В силу Радона — Никодима теоремы, если ц., v —
вполне ст-конечны (т. е. X ? S и существует последова-
последовательность {Е,г}, ге=1, 2,..., такая, что
и v<^p,), то на X существует конечная измеримая функ-
функция / такая, что
Обратно, если (i вполне ст-конечна и интеграл \fd\i
имеет смысл., то \ jd\i как функция множества Е
абсолютно непрерывна по ц. Если |i и v вполне а-ко-
нечные меры на (X, S), то существуют однозначно
определенные вполне а-конечные меры vi и \>., такие,
что v—Vj-|-V2, vx<^n и \>2 сингулярна относительно ,а
(т. е. существует множество E?S такое, что |v2| (А) = 0,
|ц| (Х\А) = 0) (теорема Лебега). Мера, опре-
определенная на борелевских множествах конечномерного
евклидова пространства (или, более общим образом,
локально компактной группы), называется абсолютно
непрерывной, если она абсолютно непрерывна относи-
относительно меры Лебега (меры Хаара). Неотрицательная
мера \i на борелевских множествах действительной
прямой абсолютно непрерывна тогда и только тогда,
когда отвечающая ей функция распределения F (х) =
= ц{(— оо, х)} абсолютно непрерывна (как функция
действительного переменного). Понятие А. н. функ-
функций множества может быть определено и для конечно
аддитивных функций, и для функций с векторными
значениями.
Лит.: [1] X а лмош П., Теория меры, пер. с англ., М.,
1953; [2] Неве Ж., Математические основы теории вероят-
вероятностей, пер. с фрагщ., М., 1969. В. В. Сазонов.
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ — см. Погреш-
Погрешность.
АБСОЛЮТНАЯ СУММИРУЕМОСТЬ — специальный
вид суммируемости рядов и последовательностей, выде-
выделяемый из обычной суммируемости наложением допол-
дополнительных условий. В матричном методе суммирования
эти условия состоят в требовании абсолютной сходи-
сходимости рядов или последовательностей, полученных в
результате преобразования, соответствующего данному
методу суммирования. Пусть метод суммирования А
определен преобразованием последовательности {sn}
в последовательность {о"„} посредством матрицы ||я;г?|[:
CT« = 2r=oa"*s*' " = 0,1,2,...,
тогда последовательность {sn} абсолютно сум-
суммируема методом А (|А |-суммируема) к пределу
s, если она Л-суммируема к этому пределу, т. е.
lim an = s,
п->- со
и последовательность {о„} имеет ограниченную вариа-
вариацию:
Если sn являются частичными суммами ряда
то в этом случае ряд B) абсолютно сумми-
суммируем методом А к сумме s. Условие A) и есть то
дополнительное условие, к-рое выделяет в этом случае
А. с. из обычной суммируемости. Аналогично опреде-
определяется А. с. для методов, определяемых матричными
преобразованиями рядов в последовательности. Если
же метод суммирования определен преобразованием
ряда B) в ряд
посредством матрицы
то дополнительное условие здесь состоит в требовании
абсолютной сходимости ряда C). В частном случае,
когда методу А соответствует тождественное преобра-
преобразование последовательности в последовательность или
ряда в ряд, А. с. ряда совпадает с его абсолютной схо-
сходимостью.
Для нематричных методов. суммирования соответ-
соответствующие дополнительные условия надлежащим обра-
образом видоизменяются. Так, для Абеля метода суммиро-
суммирования таким условием является требование, чтобы функ-
функция
имела ограниченную вариацию на полуинтервале 0<:
<ж<1. Для интегральных методов суммирования А. с.
выделяется требованием абсолютной сходимости соот-
соответствующих интегралов. Так, в Бореля методе сумми-
суммирования должен абсолютно сходиться интеграл
o ftl
Метод суммирования наз. сохраняющим
абсолютную сходимость ряда, если он
абсолютно суммирует каждый абсолютно сходящийся
ряд. Если каждый такой ряд суммируем этим методом
к той же сумме, к к-рой он сходится, то метод наз. а б-
солютно регулярным. Напр., Чезаро метод
суммирования (С, к) абсолютно регулярен при к^О.
Метод Абеля абсолютно регулярен. Необходимыми и
достаточными условиями абсолютной регулярности
метода суммирования, определенного преобразованием
ряда в ряд посредством матрицы ||bn&||, являются ус-
.ювия:
2Г=о I Ъ"к I < М, 2Г-оЬ»* = 1' * = 0, 1, 2, ....
(теорема Кноппа— Лоренца). Имеются
аналоги этих условий и для методов суммирования,
определяемых преобразованиями других видов.
Обобщением А. с. является абсолютная сум-
суммируемость в степенир (р!>1). Дополнитель-
Дополнительным условием, выделяющим А. с. в степени р из обыч-
обычной суммируемости, напр., для метода суммирования,
заданного преобразованием последовательности {.?„}
в последовательность {ст„}, является условие:
Понятие А. с. введено Э. Борелем (Е. Borel) для од-
одного из его методов в формулировке, отличной от
современной: А. с. выделялась требованием
J о
к\
J
dx < оо
для каждого р = 0, 1, 2,... . А. с. применялась перво-
первоначально при исследовании суммируемости степенных
рядов вне круга сходимости. В связи с вопросами умно-
умножения суммируемых рядов была определена и иссле-
исследовалась А. с. методами суммирования Чезаро (\С, к\-
суммируемость). Общее определение А. с. возникло
позже и получило широкое применение в исследова-
исследованиях по суммированию рядов Фурье.
Лит.: [1] X арди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ.,
М., 1951; [2] Kogbetliantz E., Sommation des series
et integrales divergentes par les moyennes arithmetiques et typi-
ques, P., 1931; [3] К n о p p K., L о r e n t z G. G., «Arch.
Math.», 1949/50, Bd 2, S. 10 — 16; [4] К а н г р о Г. Ф.,
в сб.: Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 12,
М., 1974. И. И. Волков.
АБСОЛЮТНО БЕСПРИСТРАСТНАЯ ПОСЛЕДОВА
ТЕЛЬНОСТЬ — последовательность случайных вели-
величин Хь Х2,- ¦ -, Хп,. . ., для к-рой выполняются
условия
Е(Х,)=0 п Е(Х„+1|Х1, ..., Хя)=0,
где га=1, 2,... . Частные суммы Sn=X1-\-.. .-\-Хп
А. б. п. образуют мартингал. Между этими двумя ти-
типами последовательностей устанавливается следующая
связь: последовательность {Уп} образует мартингал
тогда и только тогда, когда она имеет вид Yn=X1-\-. . .
+ Xn+c (n=l, 2,... и с=Е(У1) — постоянная), где
{Х„\ — А. б. п. Таким образом, все мартингалы свя-
связаны с частными суммами нек-рых А. б. п. Простым
примером А. б. и. являются последовательности неза-
независимых случайных величин с нулевым математич. ожи-
ожиданием. Наряду с термином «беспристрастная» упо-
употребляют и термин «безобидная», связанный с понятием
безобидной игры. А. в. Лпохоров.
АБСОЛЮТНО ИНТЕГРИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ —
функция, у к-рой интегрируема ее абсолютная вели-
величина. Если функция /(х) интегрируема по Риману на
отрезке [a, b], a<b, то ее абсолютная величина инте-
интегрируема по Рпману на этом отрезке и
dx.
Аналогичное утверждение справедливо для функции п
переменных, интегрируемой по Риману на кубируемой
области га-мерного евклидова пространства. Обратное
утверждение для функций, интегрируемых по Рнману,
не справедливо: функция f(x), равная 1 для рациональ-
рациональных х и — 1 для иррациональных, не интегрируема по
Риману, а ее абсолютная величина интегрируема. Для
функций, интегрируемых ио Лебегу, дело обстоит иначе:
функция f(x) интегрируема но Лебегу (суммируема)
на измеримом множестве Е re-мерного пространства
тогда и только тогда, когда на этом множестве интегри-
интегрируема по Лебегу ее абсолютная величина, при этом спра-
справедливо неравенство:
В случае несобственных одномерных интегралов в
смысле Римана или Лебега по промежутку [а, ?>),
а<Ь<:+оо (при условии, что функция/(ж) интегрируема
по Риману или, соответственно, по Лебегу на любом
отрезке [а, ц], a<t]<&) из существования несобствен-
несобственного интеграла от абсолютной величины функции
b\f{x)\dx
следует и существование интеграла
ь
\ f(x)dx,
J а
но не наоборот (см. Абсолютно сходящийся несобствен-
несобственный интеграл). При этом, если существует несобствен-
несобственный интеграл
\f(x)\dx
= lim \X[\f(x)\dx,
то функция f(x) интегрируема по Лебегу на промежутке
[а, Ь) и несобственный интеграл от нее равен интегралу
Лебега.
В случае функций многих переменных (число к-рых
га>1) несобственные интегралы обычно определяются
таким образом, что существование несобственного
интеграла от абсолютной величины функции равносиль-
но существованию несобственного интеграла от самой
функции.
Пусть значения функции f(x) принадлежат нек-рому
банахову пространству с нормой ||-||. Тогда функция
/(х) наз. абсолютно интегрируемой на измеримом мно-
множестве Е, если существует интеграл
при этом, если функция /' (х) интегрируема на Е, то
Лит.: [1] Ильин В. А., П о з н я к Э. Г., Основы ма-
математического анализа, ч. 1, 3 изд., М., 1971; [2] Кудряв-
Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, 2 изд., М., 1973;
[3] Никольский С. М., Курс математического анализа,
2 изд., т. 1.М., 1975; [4] Ш в а р ц Л., Анализ, пер. с франц.,
т. 1, М., 1972. Л. Д. Кудрявцев.
АБСОЛЮТНО ПЛОСКОЕ КОЛЬЦО — кольцо, над
к-рым любой модуль (правый или левый) является
плоским модулем. Этот класс колец совпадает с классом
регулярных колец в смысле фон Неймана.
АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЙСЯ НЕСОБСТВЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛ — несобственный интеграл, для к-рого
интеграл от абсолютной величины подинтегральной
функции сходится. Если несобственный интеграл абсо-
абсолютно сходится, то он и просто сходится. Пусть дан (для
определенности) несобственный интеграл вида:
\ / (х) dx = Km \ / (х) dx, — оо < а < 6 <:+ оо, (*)
.) а ,) _,. ь 0 а
где функция f{x) интегрируема по Риману (или по
Лебегу) на любом отрезке [а, т)], а«т)<Ь.
Для абсолютной сходимости интеграла (*) необхо-
необходимо и достаточно (критерий Коши абсолютной
сходимости несобственного интеграла), чтобы для лю-
любого в>0 существовало такое % , a<:tie <Ь, что для всех
т)' и г)", х\г <Т)'<&, т)е -<г]"<6, выполнялось неравенство
< е.
Если несобственный интеграл абсолютно сходится, то
он равен интегралу Лебега от рассматриваемой функ-
функции. Существуют несобственные интегралы, сходящиеся,
но не абсолютно сходящиеся, напр.
Чтобы определить сходится или нет заданный интеграл
абсолютно, полезно использовать признаки сходимости
несобственных интегралов от неотрицательных функ-
функций; напр., с помощью сравнения признака устанавли-
устанавливается абсолютная сходимость интеграла
f"x sin ж In xdx
Jl
Для кратных несобственных интегралов (в большей
части имеющихся определений) связь сходимости и
абсолютной сходимости интегралов другая. Пусть на
открытом множестве G гг-мерного евклидова простран-
пространства определена функция f(x). Если для любой после-
последовательности кубируемых областей G^, k=l, 2,...,
монотонно исчерпывающей область G (т. е
<=Gfc + 1) и
существует при /с->оо предел интегралов Римана
[х) dx,
\
и этот предел не зависит от выбора указанной последо-
последовательности областей, то он обычно и наз. несобствен-
несобственным интегралом
Так определенный интеграл сходится тогда и только
тогда, когда он абсолютно сходится. Существуют и
другие определения несобственных кратных интегра-
интегралов. Напр., для функции f(x), определенной на всем
пространстве Е" и интегрируемой по Риману на любом
гг-мерном шаре Qr радиуса г<+оо, можно определить
несобственный интеграл по Е" равенством
\ f(x)dx = lim \Q f(x)dx.
•> & r-+ я> •> г
В этом случае из абсолютной сходимости интеграла
снова следует просто сходимость, но обратное неверно.
Лит.: [1] И л ь и н В. А., П о з н я к Э. Г., Основы математи-
математического анализа, ч. 2, М., 1973; [2] Кудрявцев Л. д.,
Математический анализ, т. 1, 2 изд., М., 1973; [3] Николь-
Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1,
М., 1975. Л.Д.Кудрявцев.
АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЙСЯ РЯД — ряд
с (вообще говоря) комплексными членами, для к-рого
сходится ряд
Для абсолютной сходимости ряда A) необходимо
и достаточно (критерий Коши абсолютной схо-
сходимости ряда), чтобы для любого е>0 существовал
такой номер гее , что для всех номеров п>пЕ и всех целых
^О выполнялось неравенство
Если ряд абсолютно сходится, то он сходится. Ряд
абсолютно сходится (г=У^—1), а ряд
V°° (- 1)"
сходится, но не абсолютно. Пусть
— ряд, составленный из тех же членов, что и ряд A),
но взятых, вообще говоря, в другом порядке. Из абсо-
абсолютной сходимости ряда A) следует и абсолютная схо-
сходимость ряда C), и ряд(З) имеет ту же самую сумму, что
и ряд A). Если ряды
абсолютно сходятся, то: любая их линейная комбина-
комбинация
также абсолютно сходится; ряд, полученный из все-
всевозможных попарных произведений umvn членов этих
рядов, расположенных в произвольном порядке, также
абсолютно сходится и его сумма равна произведению
сумм данных рядов. Перечисленные свойства абсолютно
сходящихся рядов переносятся и на кратные ряды,
¦^(«i. п, nk) "л,, п пк- <4)
При этом, если кратный ряд абсолютно сходится, то он
сходится, напр., как в смысле сферических частных
сумм, так и в смысле прямоугольных; притом его сумма
в обоих случаях оказывается одной и той же. Если
кратный ряд D) абсолютно сходится, то повторный ряд
&пк = \ ¦¦¦ Ai, = l Ai,= l Un,n,...nk E)
абсолютно сходится, т. е. абсолютно сходятся все ряды,
получающиеся последовательным суммированием чле-
членов ряда D) по индексам щ, п2,. ¦ ., п^, причем суммы
кратного ряда D) и повторного E) равны и совпадают с
суммой любого однократного ряда, образованного из
всех членов ряда D).
Если члены ряда A) суть элементы нек-рого банахова
пространства с нормой элементов ||-||, то ряд A) наз.
абсолютно сходящимся, если сходится ряд
2Г-1 i
На случай А. с. р. элементов банахова пространства
также обобщаются рассмотренные выше свойства аб-
абсолютно сходящихся числовых рядов, в частности
А. с. р. элементов банахова пространства сходится в
этом пространстве. Аналогичным образом понятие
А. с. р. переносится и на кратные ряды в банаховом
пространстве.
Лит.: [1] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы ма-
математического анализа, ч. 1, 3 изд., М., 1971; [2] Кудряв-
Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, 2 изд., М., 1973;
[3] Никольский СМ., Курс математического анализа,
2 изд., т. 1, М., 1975. Л. Д. Кудрявцев.
АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ на теле — отобра-
отображение ф тела К в множество R действительных чисел,
удовлетворяющее условиям:
1) ф(хMгО и ф(ж)=0 тогда и только тогда, когда х=0;
2) ()()()
3)
Отсюда фA) = ф(—1)=1, ф(ж-1) = ф~1(ж).
А. з. часто обозначается \х\ вместо ц>(х). А. з. наз.
также нормой, мультипликативным
нормированием. А. з. могут рассматриваться
на любом кольце со значениями в линейно-упорядочен-
линейно-упорядоченном кольце [4] (см. также Нормирование).
Примеры А. з. Если K=R — поле действитель-
действительных чисел, то |а;|=тах {х, — х} является абсолютной
величиной, или модулем, числа х ?R. Аналогично,
если К — поле С комплексных чисел или тело |Н| ква-
кватернионов, то \х\ = у х-х есть А. з. Подполя этих полей
также снабжаются индуцированным А. з. Любое тело
имеет тривиальное А. з.:
О, х = 0;
конечные поля и их алгебраич. расширения имеют
только такие А. з.
Примеры А. з. другого типа доставляют логариф-
мич. нормирования тела К: если v — нормирование К
со значениями в группе R и а — действительное число,
0<а<1, то (f(x) = aV(X) является А. з. Например,
еслиА^=О, a vp есть р-адическое нормирование поля Q,
то \x\p=(i/p)vi><-x) называется р-а д и ч е с к и м А. з.,
или р-а дической нормой. Эти А. з. удовлет-
удовлетворяют более сильному, чем 3), условию
4) ф(я+у)<шах {ф(х), <f(y)\.
А. з., удовлетворяющие условию 4), наз. ульт-
ультраметрическими А. з., или неархиме-
неархимедовыми А. з. (в отличие от архимедовых
А. з., не удовлетворяющих этому условию). Они ха-
характеризуются тем, что ф(ге •!)<:! для всех целых п.
Все А. з. тела характеристики р>0 являются ультра-
метрич. А. з. Все ультраметрич. А. з. получаются из
нормирований указанным выше способом: ф = аг'1*> (и
обратно, за нормирование всегда можно взять — logcp).
А. з. ф определяет метрику на К, если за расстояние
между хну принять (f(x— у), и тем самым определяет
топологию на К. Так, топология любого локально
компактного тела определяется нек-рым абсолютным
значением. А. з. ф! и ф2 наз. эквивалентными, если они
определяют одну топологию; в этом случае существует
такое ?i>0, что ц>1(х) = ц>!.{х)'к для всех х?К.
Структура всех архимедовых А. з. дается теоре-
теоремой Островского: если ф — архимедово А. з.
на теле К, то существует такой изоморфизм К на
нек-рое всюду плотное подтело тела R, С или |Н|, что ф
эквивалентно А. з., индуцированному с R, С или |Н|.
Любое нетривиальное А. з. поля Q рациональных
чисел эквивалентно либо р-адическому А. з. | \р
(где р — простое число), либо обычной абсолютной ве-
величине. При этом для любого рационального числа r?Q
Аналогичная формула имеет место и для полей алге-
браич. чисел (см. [2], [3]).
Если ф — нек-рое А. з. тела К, то К может быть
вложено, при помощи классич. процесса пополнения,
в тело Кц,, полное относительно А. з., продолжающего
ф (см. Полное топологическое пространство). Одним из
основных современных методов изучения полей явля-
является вложение поля К в прямое произведение Яф Ку
пополнений Ку поля К по всем А. з. (см. А делъ); поле К
плотно лежит в ПуКц,: именно, если <pj,..., ф„ — не-
нетривиальные неэквивалентные А. з. на поле К. а1,...,
ап — элементы из К и е>0, то существует такое а?К,
что ф,-(а — а,)<е для всех i (теорема аппрок-
аппроксимации для А. з.).
А. з. поля К может быть продолжено (вообще говоря
неоднозначно) на любое алгебраич. расширение поля
К. Если К полно относительно А. з. ф, a L есть рас-
расширение К степени п, то продолжение ф на L единст-
единственно и задается формулой ф' (х)= y^(f(NL,K(x)) для
Лит.: [1] БурСаки Н., Коммутативная алгебра, пер.
с франц., М., 1971; [2] Б о р е в и ч 3. И., III а ф а р е-
в и ч И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [3] Л е н г С, Ал-
Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [4] Кур от А. Г., Лекции по
общей алгебре, 2 изд., М., 1973; [5] Алгебраическая теория
чисел, пер. с англ., М., 1969. В. И. Данилов.
АБСОЛЮТНОЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ СВОЙСТВО —
устаревший термин для обозначения свойства данного
множества как топологич. пространства в отличие от
свойств его расположения в других пространствах.
П. С. Александров.
АБСОЛЮТНЫЙ МОМЕНТ случайной вели-
величин ы X — математич. ожидание \Х\Г, г>0. Обычное
обозначение А. м. РА; таким образом,
Число г наз. порядком А. м. Если F (х) — функ-
функция распределения X, то
A)
и, напр., если распределение X имеет плотность р (х), то
\x\r p (х) dx. B)
В соответствии с A) и B) говорят об А. м. функции
распределения F (х) или плотности р (х). Из существо-
существования Рг вытекает существование А. м. pV, а также
моментов порядка г', 0</<г. А. м. часто фигурируют
в оценках для распределений вероятностей и их харак-
теристич. функций (см. Чебышева неравенство, Ляпунова
теорема). Функция log Рг является выпуклой функ-
функцией от г, а функция pj/r — неубывающей функцией от
,.(г^>0). Ю. В. Прохоров.
АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ—
одна из математических идеализации, связанная с
определенной формой идеи бесконечности в матема-
математике — с идеей так наз. актуальной беско-
бесконечности.
В применении к потенциально неограниченно про-
должпмым конструктивным процессам (таким, напр.,
как процесс последовательного, отправляясь от нуля,
порождения натуральных чисел) А. а. б. состоит в
отвлечении от принципиальной незавершаемости этих
процессов и в равноправном затем рассмотрении ре-
результатов воображаемого завершения этих процес-
процессов — множеств порождаемых ими объектов, причем эти
результаты начинают восприниматься нашим сознанием
в качестве актуальных, «готовых» объектов рассмотре-
рассмотрения. Применение А. а. б. в указанном выше примере
позволяет нам считать математич. объектом множество
всех натуральных чисел — натуральный ряд.
В логич. аспекте последовательное принятие А. а. б.
ведет к принятию в качестве логич. принципа закона
исключенного третьего.
Особую роль А. а. б. играет при построении матема-
математики на базе общей теории множеств, созданной Г. Кан-
Кантором (G. Cantor). Являясь далеко идущей идеализа-
идеализацией, А. а. б., особенно при многократном применении
ее в переплетении с другими идеализациями, порож-
порождает объекты, «осязаемость» к-рых становится косвен-
косвенной, вследствие чего решение проблемы понимания суж-
суждений о таких объектах наталкивается на определенные
трудности. Неограниченное применение А. а. б. в мате-
математике в качестве правомерного средства образования
математич. объектов встречало возражения со стороны
ряда математиков [Л. Кронекер (L. Кгопескег), К. Гаусс
(К. Gauss), Д. Гильберт (D. Hilbert), Г. Вейль
(Н. Weyl) и др.]. Позитивные программы построения
математики на базе абстракции потенциальной осуще-
осуществимости без использования А. а. б. предложили
Л. Э. Я. Брауэр (L. E. J. Brouwer, см. Интуицио-
Интуиционизм) и А. А. Марков (см. Конструктивная матема-
математика).
См. также Абстракция математическая.
Н. М. Нагорный.
АБСТРАКЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ — абстракция
в математике, мысленное отвлечение, представляющее
собой существенную составную часть мыслительной
деятельности, направленной на формирование основ-
основных математич. понятий. Наиболее характерными для
математики типами абстрагирования являются «чистое»
отвлечение, идеализация и их разнообразные много-
многоступенчатые наслоения (см. 15], с. 284).
Мысленный акт «ч истого» отвлечения со-
состоит в том, что в нек-рой рассматриваемой нами ситуа-
ситуации наше внимание фиксируется лишь на определенных
(существенных для нас) свойствах исходных объектов
рассмотрения н отношениях между этими объектами,
в то время как другие свойства и отношения, рассмат-
рассматриваемые нами как несущественные, нашим сознанием
в расчет не принимаются. Результат такого акта абст-
абстрагирования, закрепленный с помощью надлежащих
языковых средств, начинает играть роль общего поня-
понятия. Типичный пример такой А. м.— абстракция
отождествления.
Мысленный акт идеализации состоит в том,
что в нек-рой рассматриваемой нами ситуации наше
воображение порождает нек-рое понятие, становящееся
для нашего сознания предметом рассмотрения, причем
это понятие наделяется нашим воображением не только
такими свойствами, к-рые были выделены у исходных
объектов в результате актов «чистого» отвлечения,
но и другими — воображаемыми — свойствами, отра-
отражающими свойства исходных объектов в измененном
виде или даже вообще отсутствующими у этих послед-
последних. Одной из наиболее традиционных для математики
идеализации является абстракция актуальной бесконеч-
бесконечности, ведущая к идее актуальной бесконеч-
бесконечности. Эта абстракция лежит в основе теоретико-
множественного построения математики. Другая тради-
традиционная идеализация — абстракция потенциальной
осуществимости — приводит к идее потенциаль-
потенциальной бесконечности. Эта абстракция, в сочета-
сочетании с отказом от применения абстракции актуальной
бесконечности, лежит в основе конструктивного по-
построения математики.
Характер той или иной математич. теории в значи-
значительной мере определяется характером А. м., приме-
применяемых в этой теории при формировании ее основных
понятий. Анализ этих А. м. является одной из цент-
центральных задач оснований математики. Тщательное рас-
рассмотрение относящейся к этому кругу вопросов пробле-
проблематики привело к осознанию следующих играющих
фундаментальную роль обстоятельств: 1) суждения об
абстрактных объектах, возникающих в результате на-
наслоения далеко идущих идеализации, требуют разра-
разработки особых способов их понимания; разработка этих
способов представляет собой трудную проблему, являю-
являющуюся предметом специальной научной дисциплины —
семантики; 2) логич. аппарат, применение к-рого ока-
оказывается допустимым в рамках той или иной матема-
математич. теории, существенным образом зависит от харак-
характера исходных понятий этой теории, а следовательно, и
от характера А. м., применяемых при формировании
этих понятий (см. Интуиционизм, Конструктивная ма-
математика).
Значительный вклад в анализ абстракций, применяе-
применяемых в математике, внесли Л. Э. Я. Брауэр [1], Г.
Вейль [2], Д. Гильберт [3], А. А. Марков [4] и др.
Лит.: [1] Brouwer L. E.J., «Tijdschrift voor wijsbege-
erte», 1908, t. 2, p. 152; [2] W e у 1 H., Das Kontinuum, Kritische
Untersuchungen ttber die Grundlagen der Analysis, Lpz., 1918;
[3] Гильберт Д., О бесконечном, в кн.: Гильберт Д.,
Основания геометрии, пер. с нем., М.— Л., 1948, добавление VIII;
[4] Марков А. А., О логике конструктивной математики,
М., 1972; [5] Шанин Н. А., «Тр. матем. ин-та АН СССР»,
1962, т. 67, с. 15—294. Я. М. Нагорный.
АБСТРАКЦИЯ ОТОЖДЕСТВЛЕНИЯ — способ фор
мирования общих абстрактных понятий, состоящий в
том, что при рассмотрении к.-л. исходных объектов мы
начинаем принимать во внимание лишь те их различия,
к-рые в данной ситуации по тем или иным причинам
оказываются для нас существенными, игнорируя дру-
другие — несущественные. Исходные объекты, различаю-
различающиеся лишь несущественным образом, мы начинаем
считать одинаковыми, и в речевом аспекте А. о. прояв-
проявляется в том, что о двух одинаковых исходных объектах
мы начинаем, отождествляя их, говорить как об одном
и том же абстрактном объекте, закрепив за ним соответ-
соответствующий термин. Так, напр., отождествляя одинако-
одинаковые буквы (слова, алфавиты), мы приходим к понятию
абстрактной буквы (абстрактного слова, абстрактного
алфавита, см. [1], с. 7 — 15); отождествляя эквивалентные
фундаментальные последовательности рациональных
чисел, мы приходим к понятию действительного числа;
отождествляя изоморфные группы, мы приходим к по-
понятию абстрактной группы и т. д.
См. также А бстракция математическая, Эквивалент-
Эквивалентность, Изоморфизм.
Лит.: [1] Марков А. А., «Тр. матем. ин-та АН СССР»,
1954, т. 42; [2] его ж е, О логике конструктивной математики,
М., 1972. Я. М. Нагорный.
АБСТРАКЦИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ОСУЩЕСТВИ-
ОСУЩЕСТВИМОСТИ — одна из математич. идеализации, связанная
с определенной формой идеи бесконечности в матема-
математике — идеей потенциальной бесконеч-
бесконечности.
В применении к потенциально неограниченно продол-
жимым конструктивным процессам (таким, напр., как
процесс последовательного, отправляясь от нуля, по-
порождения натуральных чисел) А. п. о. состоит в отвлече-
отвлечении от возможных пространственных, временных и
материальных препятствий к осуществлению очередного
шага данного конструктивного процесса и в рассмотре-
рассмотрении этого шага как потенциально осуществимого. При-
Применение А. п. о. в упомянутом примере позволяет нам
считать, что к любому натуральному числу может
быть прибавлена единица, что может быть построена
сумма любых двух натуральных чисел и т. п., но к воз-
возникновению идеи натурального ряда как актуаль-
актуального «бесконечного объекта» применение А. п. о. не
приводит.
В логич. аспекте принятие А. п. о. ведет к обоснова-
обоснованию принципа математич. индукции.
Особую роль А. п. о. играет в конструктивной ма-
математике, в к-рой утверждения о существовании кон-
конструктивных объектов, удовлетворяющих заданным
условиям, понимаются как утверждения о потенциаль-
потенциальной осуществимости этих объектов.
См. также Абстракция математическая.
Н. М. Нагорный.
АБСЦИССА — одна из декартовых координат точки.
АВТОКОВАРИАЦИЯ случайного процесса
А'( — коеариация Xf и Xf + /t. Если ВХ обозначает ма-
математич. ожидание случайной величины X, то А. равна
E(X,-EX,)(Xf + fc-EX1 + h).
Термин «А.» употребляют обычно применительно к
стационарным случайным процессам (в широком смыс-
смысле). Для них А. зависит только от h и лишь множите-
множителем, равным дисперсии X-t, отличается от автокорре-
автокорреляции. Наряду с А. употребляют термин «ковариацион-
«ковариационная функция» (или функция автоковариации).
Л. В. Прохоров.
АВТОКОЛЕБАНИЯ — незатухающие колебания
в нелинейной динамической системе, амплитуда и ча-
частота к-рых в течение длительного промежутка времени
могут оставаться постоянными, не зависят в широких
пределах от начальных условий и определяются свой-
свойствами самой системы (см. также Колебаний теория).
Термин «А.» был введен А. А. Андроновым (см. [1],
с. 41-43).
Динамич. системы, способные совершать А., наз.
автоколебательными системами. К та-
таковым относятся часы, генераторы электрич. колеба-
колебании, электрич. звонок, духовые и смычковые музыкаль-
музыкальные инструменты и т. п. При определенных условиях А.
могут возникать и в динамич. системах, нормальным
состоянием работы к-рых является отсутствие А. (напр.,
А. в передней подвеске автомобиля — «шимми»; флаттер
крыла самолета, А. в системах автоматич. регулирова-
регулирования и управления). Простейшую автоколебательную
систему можно представить состоящей из постоянного
источника энергии, устройства, регулирующего поступ-
поступление энергии в колебательную систему, и колебатель-
колебательной системы. Существенным является наличие обрат-
нон с в я з п: регулирующее устройство, с одной
стороны, управляет движением колебательной системы,
а с другой — управление работой регулирующего уст-
устройства осуществляется движением колебательной сис-
системы (см. [6]). С математич. точки зрения, напр., авто-
автономные автоколебательные системы с одной степенью
свободы можно определить как такие системы, уравне-
уравнения движения к-рых характеризуются наличием на фа-
фазовой плоскости одного или нескольких предельных
циклов.
Важным характерным свойством А. является незави-
независимость их амплитуды в широких пределах от началь-
начальных условий, т. е. существование одной или нескольких
областей начальных условий таких, что любым началь-
начальным условиям, принадлежащим к.-л. из этих областей,
будет соответствовать одна и та же амплитуда А. Это
значит, что в колебательных системах может существо-
существовать несколько стационарных процессов с различными
амплитудами, каждый из к-рых устанавливается в сис-
системе в зависимости от выбранной области начальных
условий. Рассмотренное свойство является основным
отличием периодич. движения в автоколебательной сис-
системе от периодич. движения в консервативной системе.
Характерным свойством автоколебательных систем яв-
является также то, что период А. определяется свойствами
самой системы, а не навязывается извне. Это — основ-
основное отличие А. от вынужденных колебаний.
Для А. существенно то, что для восполнения потерь
энергии должен существовать постоянный источник
энергии, к-рый в автономной системе, не имеющей сил,
явно зависящих от времени, должен создавать силу, не
являющуюся заданной функцией времени и определяе-
определяемую самой системой. Постоянными источниками энергии
могут быть: заводной механизм в часах, вал, вращаю-
вращающийся с постоянной угловой скоростью, непрерывная
движущаяся с постоянной скоростью лента, струя жид-
жидкости или газа, имеющая постоянную скорость, а в сис-
системах, где движущая сила — электрич. ток, таким ис-
источником энергии является, напр., батарея.
Примером простейшей автоколебательной системы
может служить маятник, находящийся в среде с вязким
трением, на к-рый действует постоянная по величине
сила, всегда направленная в сторону движения. Диф-
Дифференциальное уравнение этой динамической системы
имеет вид
2hk2x = F signi,
где Л>0, ^>0, к2 — постоянные коэффициенты. При
любых начальных условиях в системе устанавливается
периодич. движение, причем максимальное отклонение
маятника от положения равновесия (амплитуда) равно
где Т=п1 Ук'1—!^ — полупериод периодич. движения.
На фазовой плоскости хх этому движению соответствует
устойчивый предельный цикл (см. [3]).
Характерной особенностью всех автоколебательных
систем является такая связь между постоянным источ-
источником энергии и системой, когда энергия, отдаваемая
источником, периодически изменяется, причем период
этого изменения определяется свойствами системы.
Можно сказать, что автоколебательная система пред-
представляет собой систему, к-рая за счет непериодич. ис-
источника энергии создает периодич. процесс. А. могут
быть по форме близки к синусоидальным колебаниям,
но могут и существенно отличаться от последних. А.,
существенно отличающиеся от синусоидальных, наз.
релаксационными. А., близкие по форме к
синусоидальным, обычно бывают в системах, потери
энергии в к-рых за один период малы, и, следовательно,
поступление энергии также мало. А., близкие по форме
к синусоидальным, могут быть и в том случае, когда
потери в системе за один период велики, но при надле-
надлежащем подборе параметров происходит компенсация
потерь не только за период, а и за каждую малую долю
периода в отдельности. К таким системам относятся так
наз. RC-т енераторы синусоидальных
колебаний (см. [4]). При релаксационных коле-
колебаниях обычно потери энергии велики и за период ком-
пенсируются почти всей энергией колебательной сис-
системы.
Возникновение А. может быть «мягким» и «жестким»
(см. [2]). Мягкое возникновение А. характеризуется
тем, что в системе, находящейся в положении устойчи-
устойчивого состояния равновесия, при изменении к.-л. пара-
параметра возникают А., амплитуда к-рых непрерывно воз-
возрастает от нуля при непрерывном изменении параметра.
При обратном изменении параметра амплитуда А. не-
непрерывно уменьшается до нуля, и состояние равновесия
системы становится устойчивым. При жестком возник-
возникновении А. система при медленном и непрерывном из-
изменении параметра переходит из состояния устойчивого
равновесия к А. конечной амплитуды; при дальнейшем
изменении параметра амплитуда возрастает уже равно-
равномерно. При обратном изменении параметра амплитуда
непрерывно уменьшается до определенного значения,
после чего система переходит к состоянию устойчивого
равновесия. Существенно при этом, что система пере-
переходит к А. и от А. при различных значениях параметра.
Автоколебательные системы обладают интересным и
важным свойством — явлением принудитель-
принудительной синхронизации, называемым иногда
«захватыванием». Оно состоит в том, что при достаточно
малой разности между частотой автоколебательной сис-
системы и частотой внешней силы, действующей на эту
систему, устойчивое периодическое движение систе-
системы приобретает частоту внешней силы, т. е. внешняя
сила навязывает свой темп автоколебательной системе
(см. [3], [5]).
Лит.: [1] Андронов А. А., Собрание трудов. ГМ.],
1956; [2] Андронов А. А., В и т т А. А., X а й к и н
С. Э., Теория колебаний, 2 изд.. М., 1959,- [3] Б у т е н и н Н. В.,
Элементы теории нелинейных колебаний Л., 1962; [4] Горе-
Горелик Г. С, Колебания и волны, М.— Л., 1950; [5] Ф е л ь д-
б а у м А. А., Введение в теорию нелинейных цепей, М.— Л.,
1948; [6] Харкевич А. А., Автоколебания, М., 1953.
Н. В. Бутенин.
АВТОКОРРЕЛОГРАММА случайного про-
процесс а — то же, что коррелограмма.
АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ случайного процес-
процесса Xf — корреляция значений Xt и Xt + и- Термин «А.»
употребляют (наряду с термином «корреляционная
функция») в основном при изучении стационарных слу-
случайных процессов, для к-рых А. зависит лишь от h (но
Не ОТ t). А. В. Прохоров.
АВТОМАТ — управляющая система, являющаяся ав-
автоматом конечным или некоторой его модификацией,
полученной путем изменения компонент или функцио-
функционирования. Основное понятие — конечный А. — воз-
возникло в середине 20 в. в связи с попытками описать на
математическом языке функционирование нервных сис-
систем, универсальных вычислительных машин и других
реальных А., предпринятыми впервые У. Мак-Калло-
ком и У. Питтсом (W. McCulloch, W. Pitts, 1943),
С. К. Клини (S. С. Kleene, 1951), А. Бёрксом и Дж. Рай-
Райтом (A. W. Burks, 1954, J. Wright) и др. Характерной
особенностью такого описания является дискретность
соответствующих математических моделей и конечность
областей значений их параметров, что приводит к поня-
понятию конечного А. При этом внешние воздействия, реак-
реакции и состояния рассматриваются как буквы трех
алфавитов, наз., соответственно, входным алфавитом,
выходным алфавитом и алфавитом состояний. Тогда
законы их взаимодействия могут быть заданы двумя
функциями — функцией переходов и функцией выхо-
выходов, отображающими пары «состояние — входная бук-
буква» в состояния и выходные буквы, соответственно.
В каждый из моментов дискретного времени устройство,
находящееся в определенном состоянии, воспринимает
входной сигнал — букву входного алфавита, выдает
выходной сигнал — букву выходного алфавита, опре-
определяемую функцией выходов, и переходит в новое со-
состояние, определяемое функцией переходов. Наряду с
понятием конечного А. рассматриваются различные
его обобщения и модификации, отражающие те или
иные особенности реальных устройств. Для конечного
A. (A, S, В, ф, i|)) существующие модификации можно
разбить на следующие три основные группы. К пер-
первой группе относятся А., у которых некоторые из ал-
алфавитов A, S или В бесконечны, в связи с чем такие А.
наз. бесконечными. Ко второй группе относятся
А., у к-рых вместо функций ф и г|) допускаются произ-
произвольные отношения или случайные функции. Таковы
частичные, недетерминированные, вероятностные и дру-
другие А. К третьей группе относятся А. со специфич. мно-
множествами входных объектов. Таковы А. с переменной
структурой, А. над термами (см. Автоматов алгебраи-
алгебраическая теория). Существуют А., принадлежащие одно-
одновременно разным группам; напр., А. нечеткие относят-
относятся ко всем трем группам. Наряду с этим большую роль
играют специальные подклассы конечных А.; на-
например, А. без памяти, автономные, обратимые А. и т. д.
Кроме того, использование понятий и методов из других
разделов математики также приводит к появлению спе-
специфич. классов А. и связанных с ними задач. Напр.,
при применении алгебраич. средств возникают понятия
А. над термами, линейного, группового, свободного и
других А. (см. Автоматов алгебраическая теория);
вопросы теории кодирования порождают понятия само-
самонастраивающихся, обратимых А. и др. (см. также Авто-
Автомат вероятностный). Для структурных А. также имеет-
имеется целый ряд обобщений, сводящихся в основном к до-
допущению бесконечных сетей и возможности изменения
связей между элементами в процессе функционирования.
Таким образом возникает понятие растущего А.
Ниже описываются основные модификации и подклассы
конечных А., а также их важнейшие свойства.
Макроподход. 1. А. бесконечные (первая
группа) отличаются от А. конечных только тем, что их
алфавиты А, В или S (входной, выходной и множество
состояний) могут быть бесконечными. Большинство по-
понятий и задач, связанных с конечными А., естественно
распространяются на бесконечные А. Увеличение мощ-
мощности алфавитов расширяет вычислительные возмож-
возможности А. Так, напр., если конечные А. реализуют огра-
ограниченно-детерминированные функции, то с помощью
бесконечных А. можно реализовать любую детермини-
детерминированную функцию. Более того, с помощью бесконечных
А. может быть описано функционирование любых А.
и машин. Вместе с тем большая общность понятия бес-
бесконечного А. снижает его содержательное значение, так
что в основном изучаются лишь специальные подклассы
бесконечных А., связанные с конкретными моделями
управляющих систем.
2. Недетерминированные А. и асин-
асинхронные А. (вторая группа). Формально неде-
недетерминированный А. определяется как сис-
система (A, S, В, %), где A, S, В — алфавиты, имеющие
прежний смысл, a %crSXA XSXB — отношение пере-
переходов-выходов. В том случае, когда отношение % яв-
является функцией, отображающей SXA в SxB, не-
недетерминированный А. наз. детерминирован-
детерминированным А. и фактически совпадает с конечным А., по-
поскольку в этом случае функцию % можно рассматривать
как пару функций ф, \|), отображающих SXA в S и В,
соответственно. В отличие от конечного А., инициаль-
инициальный недетерминированный A. 3ls имеет несколько на-
начальных состояний, образующих подмножество 5Х мно-
множества S. Под поведением этого A. 3ts обычно понима-
понимают одно из следующих обобщений поведения конечно-
конечного А.
1) Вместо функции / автомат 2ts реализует отноше-
отношение /', состоящее из всех пар слов (аг.. .ап, &i...6n)?;
?А*ХВ* таких, что найдутся состояния slt s2, ...,
sn +1, для к-рых sl ? Si и для любого i= 1, 2, ..., n имеет
место (S|a,s,+ib,)?%. Класс отношений, реализуемых
инициальным недетерминированным А., совпадает с
классом ограниченно-детерминированных отношений
(см. Ограниченно-детерминированная функция).
2) Инициальный недетерминированный A. 9tg , у
к-рого выделено множество S' заключительных состоя-
состояний, а алфавит В пуст (т. е. x^SXA X S), представляет
событие Ls', состоящее из всех слов а1ш . .а„?А* таких,
что найдутся состояния s1; s2, . . ., sn + l, для к-рых s1?S1,
sn + i?S' и для любого i=l, 2, ..., п имеет место
(s,a;s,+1)?x- Класс событий, представимых A. 2ts ,
совпадает с классом регулярных событий, т. е. относи-
относительно такого поведения недетерминированные А. экви-
эквивалентны конечным А. В то же время большая общность
понятия недетерминированного А. проявляется в том,
что для представления одного и того же события с по-
помощью недетерминированного А. и конечного А. тре-
требуется различное число состояний. Существуют собы-
события, лредставимые недетерминированными А. с т со-
состояниями и представиыые конечными А. с 2т состо-
состояниями, причем никакие конечные А. с меньшим чис-
числом состояний не представляют эти события.
Специальный подкласс недетерминированных А. об-
образуют так наз. частичные А., у к-рых отноше-
отношение % является частичной функцией, отображающей
множество SXA в SXB, и к-рые реализуют частичные
ограниченно-детерминированные функции.
Термином «асинхронный А.» обычно обозначают один
из двух следующих видов А. К первому относятся А.
вида (A, S, В, ф,г|>), где функция выходов ip отображает
множество SxB в В* (у конечного А. \|) отображает
SX.B в В). Эти А. используются главным образом в тео-
теории кодирования. Ко второму виду относятся конечные
А., функция переходов у к-рых обладает следующим
свойством: ф(х, ая) = ф(«, а) для любых s и а. Эти А.
также используются в теории кодирования и, кроме
того, для моделирования нек-рых систем в технике и
биологии.
3. А. с переменной структурой (третья
группа) — это конечные А. 31= (АХ A, S, В, ф, г|з) с дву-
двумя входами, у к-рых зафиксирована нек-рая бесконеч-
бесконечная последовательность а (сверхслово) в алфавите А. На
первый вход такого А. подаются произвольные слова в
алфавите А, а на второй — начала последовательности
а той же длины. Тем самым накладывается ограничение
на множество пар входных слов. Если А. с переменной
структурой рассматривать ка.к А. с одним первым вхо-
входом (на к-рый могут подаваться любые слова в алфави-
алфавите Л), то его функции переходов и выходов будут зави-
зависеть от длины поданной части входного слова. Относи-
Относительно поведения А. с переменной структурой эквива-
эквивалентны бесконечным А. с конечными входным и выход-
выходным алфавитами и счетным множеством состояний.
4. Нечеткие А. получаются как обобщение по-
понятия конечного А. путем замены функций переходов и
выходов нечеткими отношениями. Нечеткое под-
подмножество множества М задается функцией, ото-
отображающей М в отрезок [0,1]. Таким образом, роль
функций переходов и выходов в нечетком А. играют
функции, отображающие множества SXAXS и SXAX
ХВ в отрезок [0,1], где S — множество состояний, А —
входной алфавит, В — выходной алфавит. Для нечетких
А. естественно обобщаются основные понятия и задачи,
характерные для конечных А., в частности задачи пред-
представления нечетких событий и реализации нечетких от-
отношений. Нечеткие А. являются математич. моделями
нек-рых распознающих устройств и используются в за-
задачах распознавания образов.
5. Специальные классы конечных А.
А. без памяти — это конечные А. с одним состо-
янием или А., эквивалентные им. Для таких А. каждая
выходная буква полностью определяется входной бук-
буквой, поступившей в тот же момент. Эти А. часто наз.
функциональными элементами и ши-
широко применяются в задачах синтеза А.
А. с конечным запоминанием, наз.
иногда А. с конечной памятью,— это конеч-
конечные А., любая выходная буква к-рых при любом исход-
исходном состоянии полностью определяется ограниченным
отрезком входного слова, поступившим в предшествую-
предшествующие моменты. Минимальная длина таких отрезков для
А. с конечным запоминанием с п состояниями не превос-
превосходит -^-п(п— \), причем для нек-ры.х А. эта оценка
достигается. А. с конечным запоминанием наз. само-
самонастраивающимся, если для нек-рого t вы-
выходная буква в любой момент x^t не зависит от исход-
исходного состояния. Эти А. используются в теории кодиро-
кодирования (см. Кодирование и декодирование), где обычно
рассматривается модификация таких А., к-рая удовле-
удовлетворяет указанному условию не для всех входных слов,
а только для нек-рого подмножества их. А. с конечным
запоминанием реализуются логич. сетями без обратных
связей.
А. обратимые, или А. без потери ин-
информации,— это конечные А., реализующие взаим-
взаимно однозначные функции. Эти А. также используются в
теории кодирования.
Микроподход. Существует три вида обобщений струк-
структурных А., к-рые можно рассматривать как обобщенные
логич. сети: 1) обобщенные логнч. сети с неизменной
структурой, у к-рых элементы и связи между ними не
меняются в процессе функционирования; 2) обобщенные
логич. сети с изменяющейся структурой; 3) обобщенные
логич. сети из объемных элементов и связей. Ниже при-
приведены основные классы таких А.
1. Обобщенные логич. сети с неиз-
неизменной структурой. К ним относятся моза-
мозаичные структуры и итеративные сети, являю-
являющиеся конечными фрагментами мозаичных структур с
аналогичным кругом задач.
Мозаичные структуры представляют со-
собой бесконечные соединения переходных систем (А, S,
ф) (т. е. конечных А. вида (A, S, S, ф, ф), где функция
выходов совпадает с функцией переходов, а выходной
алфавит — с множеством состояний). Такие системы
помещаются в целочисленные точки n-мерного простран-
пространства, причем для каждой точки определено конечное
множество целочисленных точек, называемое ее окрест-
окрестностью. Входной алфавит переходной системы, поме-
помещенной в данную точку, представляет собой декартово
произведение множеств состоянии переходных систем,
помещенных в точки ее окрестности.
Мозаичную структуру можно рассматривать как бес-
бесконечный А., входной и выходной алфавиты, а также
множество состояний к-рого равны и являются беско-
бесконечным декартовым произведением множеств состояний
всех переходных систем, содержащихся в ней. Это по-
позволяет сводить многие задачи для мозаичных струк-
структур к задачам для бесконечных А. К числу специфич.
задач для мозаичных структур относится моделирование
эффективных процедур и, в частности, вычислительных
процессов. Иногда рассматривают мозаичные структу-
структуры, в к-рых вместо переходных систем используются
произвольные А.
Важный класс мозаичных структур образуют одно-
однородные структуры. В случае, когда все переходные сис-
системы одинаковы и окрестность любой точки получается
параллельным переносом нек-рой окрестности, мозаич-
мозаичная структура наз. однородной структу-
р о й. При этом обычно предполагается, что имеется
нек-рое «устойчивое» состояние переходной системы,
к-рое сохраняется, когда входной буквой является
кортеж, каждый член к-рого совпадает с этим состоя-
состоянием. Характерными задачами для однородных струк-
структур являются задачи о самовоспроизведении и «райских
садах».
В каждый момент состояния переходных систем, по-
помещенных в точках целочисленной решетки, образуют
как бы пространственную мозаичную картину, наз.
обычно конфигурацией. Конфигурация, со-
содержащая только конечное множество переходных сис-
систем, находящихся в состояниях, отличных от устойчи-
устойчивого (возбужденная часть), наз. конечной. Задача
о самовоспроизведении состоит в выяс-
выяснении существования конечных конфигураций, к-рые
в процессе функционирования однородной системы пере-
переходят в конфигурации, возбужденная часть к-рых пред-
представляет собой многократно повторенную возбужденную
часть исходной конфигурации. «Райским садом»
наз. конфигурация, к-рая не может возникнуть из кон-
конфигураций, отличных от нее. Задача о «рай-
«райских садах» состоит в выяснении существования
«райских садов» для заданной однородной структуры.
2. Обобщенные логич. сети с изме-
изменяющейся структурой. Существуют раз-
разные виды таких логич. сетей. К числу наиболее общих
из них относятся мозаичные структуры, у к-рых в про-
процессе функционирования меняются как окрестности
элементов, так и сами элементы. Примером такой обоб-
обобщенной логич. сети может служить одномерная струк-
структура, имитирующая работу Тьюринга машины со вхо-
входом. Одному из узлов одномерной решетки в этом
случае соответствует управляющее устройство, а ос-
остальным — ячейки ленты, рассматриваемые как пере-
переходные системы, входными буквами и состояниями
к-рых являются буквы рабочего алфавита машины Тью-
Тьюринга. Коммутация определяется положением головки.
Другим видом обобщенных логич. сетей с изменяю-
изменяющейся структурой являются так наз. растущие А.
Они представляют собой однородные структуры, в к-рых
возбужденная часть растет в процессе функционирова-
функционирования. Существует несколько моделей таких А., отражаю-
отражающих различные особенности реальных устройств.
3. Обобщенные логич. сети из объ-
объемных элементов отличаются тем, что эле-
элементарным А. и связям между ними приписывается оп-
определенный объем, в связи с чем возникает задача син-
синтеза А., имеющих минимальный объем.
Термин «А.» употребляется также в таких понятиях,
как двусторонний, многоленточный, многоголовочный,
линейно ограниченный и т. п. А., к-рые фактически яв-
являются модификациями машин Тьюринга. Более того,
иногда в понятие А. включают все абстрактные машины.
Лит.: fil м а к-К а л л о к У. Питтс В., в сб.: Автома-
Автоматы, М., 1956, с. 362—84; [2] К л и н и С, там же, с. 15—67;
[3] Б ё р к с А., Райт Д., в кн.: Кибернетический сборник,
в. 4 М., 1962 с 33—57; [4] Г л у ш к о в В. М., «Успехи матем.
наук», 1961, т. 16, ЛЬ 5, с. 3—62; 1962, т. 17, И2; [5] Р а-
б и н М. О., Скотт Д., в кн.: Кибернетический сборник, в. 4.
М., 1962, с. 58—91" [6] Z a d e h L. A., «J. Math. Anal, and
Appl.», 1968, v.23,№ 2,p. 421—427; [7] Аладьев В. 3., К
теории однородных структур, Тал., 1972. В. Б. Кудрявцев,
Ю. И. Янов.
АВТОМАТ ВЕРОЯТНОСТНЫЙ- обобщение авто-
автомата конечного, в к-ром функции переходов и выходов
являются случайными функциями. Другими словами,
А. в. может быть задан системой (А , S, В, ф, \|)), где А,
S, В — конечные алфавиты, имеющие тот же смысл,
что и в конечном автомате, а ф, г)) — случайные функции,
отображающие SXA соответственно в S и В и задавае-
задаваемые системами вероятностных мер ф5>a,tys, a> определен-
определенных для любых а из А и s из S, соответственно, на мно-
множествах S и В. Эти меры обычно задаются с помощью
стохастич. матриц (см. Автоматов способа задания).
В том случае, когда эта вероятностная мера принимает
только два значения 0 и 1, понятие А. в. фактически
совпадает с понятием детерминированного автомата.
Автономные А. в. без выхода по существу эквивалентны
дискретным цепям Маркова. Функционирование А. в.
определяется аналогично функционированию недетер-
недетерминированного автомата, причем начальное состояние
определяется путем задания вероятностной меры а
на множестве S. Если А. в. находится с нек-рой вероят-
вероятностью р в состоянии s и воспринимает входную букву
а, то с вероятностью р •a(s, a, s', b) он переходит в со-
состояние s' и выдает букву Ъ выходного алфавита.
Подобно конечным автоматам, А. в. по характеру по-
поведения разделяются на преобразователи и акцепторы.
В первом случае, в соответствии с функционированием,
А. в. преобразует входные слова с нек-рыми вероятно-
вероятностями в выходные слова и в слова в алфавите состояний.
Эти вероятности для слов одинаковой длины образуют
вероятностную меру, так что указанное поведение мож-
можно рассматривать как задание счетной системы таких
мер. Во втором случае задается подмножество S'g^S
заключительных состояний и число X из отрезка [0,1],
называемое точкой сечения. Событие, предста-
вимое вероятностным акцептором Щ,а=(А, S, ф, S', X),
где ф — случайная функция, отображающая S X А в S
и задаваемая системой вероятностных мер ф5а, опре-
определенных на S, состоит из всех слов в алфавите А, под
действием к-рых автомат переходит в одно из заключи-
заключительных состояний с вероятностью, не меньшей X.
В отличие от конечных атоматов, при помощи А. в. пред-
представим континуальный класс событий. Более того, уже
один А. в. при варьировании X может представлять кон-
континуальный класс событий. В случае же однобуквен-
ного входного алфавита каждый А. в. представляет
лишь счетный класс событий, содержащий, вообще гово-
говоря, и нерегулярные события. Для специальных точек
сечения, наз. изолированными, А. в. представляют лишь
регулярные события. Число X из отрезка [0,1] наз. и з о-
лированной точкой сечения для дан-
данного А. в., если существует такое положительное число
б, что для любого входного слова вероятность перевода
А. в. этим словом в заключительное состояние отличает-
отличается от X не менее чем на 6.
Большая часть понятий и задач, характерных для
конечных автоматов, в различных вариантах может быть
распространена и на А. в. При этом многие из них со-
сохраняют свойства, присущие конечным автоматам. Напр.,
можно ввести понятие эквивалентности состояний так,
что будет сохранена известная теорема об отличимо-
отличимости состояний простым экспериментом (см. Эксперимен-
Эксперименты с автоматами). Вместе с тем в отличие от конеч-
конечных автоматов, для к-рых минимальная форма опреде-
определяется однозначно (с точностью до изоморфизма), для
данного А. в. может существовать континуум эквива-
эквивалентных минимальных А. в.
Существуют различные виды и способы задания А. в.
Напр., А. в. может быть представлен в виде детерми-
детерминированного автомата с двумя входами, на один и;!
к-рых поступает случайная последовательность входных
букв. А. в. являются математич. моделями многих ре-
реальных устройств и используются при изучении по-
поведения организмов.
Лит • [11 Бухараев Р. Г., Вероятностные автоматы,
Казань 1970; [2] S t a r k e P., Abstrakte Automaten, В., 1969.
В. Б. Кудрявцев, Ю. И. Янов.
АВТОМАТ КОНЕЧНЫЙ — математическая модель
устройства с конечной памятью, преобразующего ди-
дискретную информацию. А. к. является одним из важ-
важнейших видов управляющих систем. Содержательно А. к.
можно охарактеризовать как устройство, имеющее вход-
входной и выходной каналы и находящееся в каждый из мо-
моментов дискретного времени, наз. тактовыми мо-
моментами, В ОДНОМ ИЗ П СОСТОЯНИй Sj, S2, . . ., Sn. По
входному каналу в каждый тактовый момент в устрой-
устройство поступают сигналы — буквы входного алфавита.
В те же моменты по выходному каналу устройство вы-
выдает сигналы — буквы выходного алфавита. С соответст-
соответствующей точки зрения, к таким устройствам могут быть
отнесены формальные системы, реальные автоматы, жи-
живые организмы и т. п.
Существуют различные подходы к определению поня-
понятия А. к. При макроподходе, т. е. когда инте-
интересуются только внешним поведением устройств, опре-
определение А. к. может быть дано в виде совокупности
функций, либо в виде конечного ориентированного
графа, либо в алгебраич. форме — в виде конечной ал-
алгебры с унарными операциями (см. Автоматов способы
задания). При микроподходе А. к. задается
множеством элементов и схемой их соединения, т. е. в
этом случае кроме функционирования описывается и
строение автомата, в связи с чем это понятие обычно наз.
структурным, а сами А. к.— структур-
структурными автоматами, или автоматными
сетями.
Макроподход. А. к.— это система (A, S, В, ф, г);),
где A, S, В — конечные, как правило непустые, алфави-
алфавиты, наз., соответственно, входным алфавитом,
множеством состояний и выходным алфа-
алфавитом; ф— функция переходов, отображаю-
отображающая множество 5X4 в S;if- функция выхо-
выходов, отображающая SxA в В. Такие А. к. иногда
называются автоматами Мили. В случае,
когда функция выходов я|> отображает 5 в Б (т. е. не за-
зависит от букв входного алфавита), А. к. называют а в-
томатом Мура. Всякий автомат Мура является
автоматом Мили.
Важнейшей характеристикой А. к. является его по-
поведение (см. Автомата поведение), к-рое может быть
определено по-разному. В зависимости от того, какой
тип поведения рассматривается, А. к. подразделяются
на преобразователи, акцепторы (распознаватели), гене-
генераторы и др. Чтобы определить основные виды поведе-
поведения А. к., функции ф ия|) распространяют на множество
SxA* (где А* — множество всех слов в алфавите А,
включая пустое слово л):
(f(s, A) = s, <p(s, аа) = ф(ф(«, а), а),
г|)(я, Л)=Л, ^(s, aa) = y(<p(s, a), a)
(здесь s?S, а?А*, а?А, а запись аа обозначает слово,
получаемое путем приписывания буквы а к слову а).
Таким образом распространенные функции y(s, a),
i|)(s, ее) для произвольных s и а описывают соответствен-
соответственно состояние, в к-рое переходит автомат из состояния s
под действием входного слова а, и выходную букву,
к-рая выдается автоматом в момент поступления по-
последней буквы входного слова а. Пусть а] обозначает
п
начало длины п слова а и ф(х, а), я|)(х, а) — слова в ал-
алфавитах S и В, определяемые следующим образом:
<p(s, a) = (p(s, <x])<p(s, a])...<p(s, a),
г|) (s, a) = ib(s, a]) ib (s, a])...ib(s, a).
1 2
Функции ф(в, a),\|)(s, a) описывают уже последователь-
последовательность всех состояний, в к-рых находился автомат при
поступлении в него букв слова а, а также выходное сло-
слово, т. е. последовательность букв выходного алфавита,
выдаваемых автоматом под воздействием входного сло-
слова ее. Тернарное отношение
*¦ = {(«, ф(*, a), $(s, a.)):a?A*, s?S}
наз. функционированием А. к. 3(=(/1, S,
В, ф, 4")- Функции ф и я|) естественно распространяются
и на бесконечные последовательности (с в е р х с л о-
в а) в алфавите А. Поэтому под функционированием
А. к. иногда понимают отношение вида F, в к-ром а —
произвольное сверхслово. В зтом случае значение
функции ф (s, а) определяется как множество всех тех
п только тех состояний, к-рые встречаются в последова-
последовательности <p(s, а) бесконечное число раз.
А. к. с выделенным начальным состоянием st наз.
инициальным и обозначается 91г . Поведе-
Поведением инициального А. к. SL наз. обычно
одно из следующих трех отношении.
1) Функция /(a)— i|)(s!, а), отображающая А* в В*
(или 4" в В°°, где Л™, В°° — множества всех сверх-
сверхслов в алфавитах А и В соответственно). Эта функция
наз. функцией вычислимой, или реализуемой, иници-
инициальным А. к. 2ls .
2) Множество Ls'SA*, определяемое для выделен-
выделенного множества S'c^S заключительных сос-
состоянии так:
Ls-={a^ A* itp (gl \
Множество LS' наз. событием, и р е д с т а в п-
м ы м А. к. 918 с множеством S' заключительных со-
состояний.
3) Множество значений функции /(а)=1|з(«1, а) для
всевозможных а из А*, называемое множеством, пе-
перечислимым данным А. к. 91 s .
4) Множество Л/г?4°°, определяемое для системы у
подмножеств множества S следующим образом:
Множество M-t наз. сперхсобытием, представимым А. к.
9ts с системой у заключительных подмножеств состоя-
состояний. А. к. с поведением типа 1) наз. конечным
преобразователем, ас поведением типа 2) —
конечным распознавателем, или а к-
ц е и т о р о м.
Если в качестве входного и выходного алфавитов
взять декартовы произведения Л1Х...ХЛтнД1Х...Х
ХВп, соответственно, то поведением типа 1) будет на-
набор из п функций от т аргументов. В этом случае гово-
говорят, что автомат имеет т входов и п выходов, причем
алфавиты Al7 .. ., Ат, Ви . . ., В„ наз., соответственно,
входными н выходными алфавитами
такого автомата. Класс событий, нредставимых А. к.,
и класс функций, вычислимых А. к., могут быть описа-
описаны различными математич. средствами. Основной ре-
результат состоит в том, что события, представимые А. к.,
совпадают с так наз. регулярными событиями, а функ-
функции, вычислимые А. к., совпадают с ограниченно-детер-
ограниченно-детерминированными функциями. Кроме того, класс мно-
множеств, перечислимых А. к., совпадает с классом собы-
событий, нредставимых А. к.
Относительно поведений 2), 3) и 4) автоматы Мура
эквивалентны автоматам Мили в том смысле, что для
всякого автомата Мили найдется эквивалентный ему,
т. е. имеющий то же самое поведение, автомат Мура, и
обратно. Для поведения 1) это неверно. Однако, если
в автоматах Мура вместо г|з брать функции вида
f(s, а) = я|)(ф(«, a]))t(<p(s. «]))• • -t (ф (s. a))>
1 2
то автоматы Мура будут эквивалентны автоматам Милн.
Автомат Мура 91= (.4, S, В, <р, я|)) наз. автоном-
автономным автоматом, или генератором, если
функция переходов не зависит от букв входного алфа-
алфавита. Под и о в е д е н и е м инициального ав-
автономного автомата 91 s принято понимать
сверхслово
где ф" + 1(х) = ф(ф'!(«)). Эта последовательность являет-
является периодической с нек-рым предпериодом.
А. к. 91 наз. переходной системой, если
Z?=S и для всякого s из S имеет место if>(s, a) = s, или же
если выходной алфавит В — пустой. Таким образом,
переходная система полностью определяется тройкой
(A, S, Ф).
Понятия А. к. и функционирования А. к. могут быть
определены различными эквивалентными способами
(см. Автоматов способы задания. Автомата поведение).
Широкое распространение получили так наз. кано-
канонические уравнения. Для произвольного
слова а пусть a(t) обозначает t-ю букву слова а, а |а| —
длину слова а. Тогда функционирование F А. к. 51
состоит из всех тех и только тех троек слов (а, а, Р),
к-рые удовлетворяют условиям: 1) |а|=|р|=|сг|— 1;
2) для всякого t такого, что l<t<|a], имеют место ра-
равенства a(H-l)=<p(a(t), a(t)), р @=t(a@. «(<))• Для
определения поведения инициального А. к. 9lg необ-
необходимо добавить равенство сгA)=х1. Совокупность этих
равенств однозначно определяет поведение инициально-
инициального А. к. и наз. обычно каноническими уравне-
уравнениями. Канонич. уравнения широко используются в за-
задачах анализа и синтеза автоматов.
Микроподход. Рассматривается множество элементов,
состоящее из определенных выше А. к. с входными и
-ы-—ы-
:f
Рис. i.
выходными алфавитами вида А", где А — конечный ал-
алфавит, одинаковый для всех элементов. Правила по-
построения структурных А. к. из элементов описывают
дозволенные соединения (отождествления) входов и вы-
выходов, а также определяют множества входов и выходов,
получаемых А. к.
Важнейшим примером таких А. к. являются логи-
логические сети (л. с). Ниже приводится один из ва-
вариантов этого понятия. В рассматриваемом случае А =
= {0,1} и элементами являют-
являются так наз. функциональ-
функциональные элементы (ф. э.),
представляющие собой А. к. с
одним состоянием, а также спе-
специальные автоматы Мура, наз.
задержками. Последние
характеризуются тем, что они
имеют два состояния, к-рые
обычно обозначаются буквами
0 и 1 входного алфавита, при-
Рис. 2. чем функции переходов и вы-
выходов удовлетворяют услови-
условиям: ф(а, Ь)=Ь, 1|з(а) = я. Поскольку ф. э. имеет
только одно состояние, то он полностью характеризует-
характеризуется функцией выходов 1|з, являющейся в этом случае
булевой функцией от п аргументов, где п — число входов
ф. э. Элементы являются исходными л. с, входы и вы-
выходы к-рых совпадают, соответственно, с входами и вы-
выходами элементов. Дальнейшее построение более слож-
сложных л. с. производится по следующим правилам.
1. Объединение двух л. с. есть л. с, входами и вы-
выходами к-рой являются, соответственно, входы и выхо-
выходы объединяемых л. с. (рис. 1).
2. Результат отождествления любых двух входов л. с.
является л. с, выходы к-рой совпадают с выходами
исходной л. с, а входами служат все входы исходной
л. с, кроме одного из отождествленных (рис. 2).
3. Результат отождествления выхода одной л. с. с
входом другой л. с. есть л. с. Ее входами являются все
входы первой л. с. и те входы второй л. с. к-рые не
отождествлялись с выходом первой л. с; ее выходами
являются все выходы обеих л. с. (рис. 3).
г—т— —
4. Результат отождествления выхода л. с, являюще-
являющегося выходом задержки, с произвольным входом этой
же л. с. есть л. с, входы к-рой — все входы исходной
л. с, кроме отождествленного, а выходы — все выходы
исходной л. с. (рис. 4). (При нек-рых ограничениях это
правило может быть применимо и
к выходам, не являющимся выхо- 1 ,
дами задержек.) {" | # # # _
5. В любой л. с. можно объ- !
явить выходами только часть j
выходов, определенных согласно ¦
правилам 1 — 4. Л. с, получаемые |
из ф. э. с помощью правил J, 2,
3, 5, наз. обычно схемами
Функционирование
держательно можно описать сле-
следующим образом. Пусть в момент
1эвил J, 2, j l
ли из ф. э. i I
Л. С. СО- J ... г
Рис. 4.
ду р у
t всем входам л. с. приписаны входные буквы и опреде-
определены состояния задержек. Тогда в этот же момент всем
входам и выходам элементов л. с, в частности всем
выходам л. с, будут приписаны буквы в соответствии
со следующими правилами. Если входам ф. э. с вы-
выходной функцией ty(xlt ..., х„) приписаны, соответ-
соответственно, буквы ai ..., ain, то
его выходу в этот же момент бу-
будет приписана буква, являюща-
являющаяся значением \p(ai , ...,а{ )•
Если задержка находится в мо-
момент t в состоянии а, то в этот
же момент ее выходу припи-
приписывается буква а. Отождест-
Отождествленным входам и выходам
приписываются одинаковые
буквы. Далее, в момент t-\-\
состояния задержек определя-
определяются входными буквами в мо-
момент t, как было определено вы-
выше, т. е. ф(а, b)=b. Таким об-
образом, при фиксированных на-
начальных состояниях задержек
л. с. определяет нек-рое отоб-
отображение входных последова-
последовательностей в алфавите Ат в
выходные последовательности в алфавите А", где т,
т^1,— число входов, а п, п~^1,— число выходов
л. с. Класс таких отображений совпадает с классом
функций, реализуемых А. к. в первом смысле (т. е.
с классом ограниченно детерминированных функ-
функций), поскольку описанное выше функционирование
л. с. совпадает с функционированием А. к. (Ат, S, А",
ф, 1|з), где т — число входов, п — число выходов л. с,
S — декартово произведение множеств состояний всех
задержек л. с; функция переходов ср является покоор-
покоординатным применением функций переходов задержек,
а функция выходов 1|) определяется в соответствии с вы-
вышеописанным функционированием ф. э. и задержек.
Рис. 5.
Пусть, напр., элементами являются задержки (к-рые
на рисунке изображаются прямоугольниками) и ф. э.
с выходными функциями х, xV у и х&у (треугольники
с соответствующими символами функций). На рис. 5
изображена л. с, к-рая в тактовый момент t выдает вы-
выходную букву 1 в том н только в том случае, если среди
входных букв в моменты 0, 1, 2, .. ., t содержится нечет-
нечетное число букв 1 (задержка в начальный момент имеет
состояние 0; буквами а а Ь обозначены, соответственно,
вход и выход л. с). Если обозначить через s(t), a(t),
b(t), соответственно, состояние, входную букву и вы-
выходную букву в момент t, то функционирование такой
л. с. можно задать следующими канонич. уравнениями:
s@) = 0, s(H-l) = s(i) + a(i)(mod 2), b(t) = s(t).
При макроподходе этот автомат можно представить в
виде (A, S, А, ф, 4')» гДе -4 =5= {0,1}, <p(s, a) = s+a
(mod 2) и \f(s, a) = s.
Понятие А. к. явилось отправным пунктом совре-
современной автоматов теории, изучающей также различные
модификации и обобщения этого понятия.
Лит.: [1] Автоматы. Сб. статей, под ред. К. Э. Шеннона и
Дж. Маккарти, пер. с англ., М., 1956; [2] Г л у ш к о в В. М.,
Синтез цифровых автоматов, М., 1962; [31 Кобринский
Н. Е., Трахтенброт Б. А., Введение в теорию конечных
автоматов, М., 1962. В. Б. Кудрявцев, Ю. И. Янов.
АВТОМАТА ПОВЕДЕНИЕ — математическое поня-
понятие, описывающее взаимодействие автомата с внешней
средой. Так, для автомата конечного внешней средой
обычно является множество входных слов, а поведени-
поведением — словарная функция, реализуемая автоматом, или
событие (иногда сверхсобытие), представимое автома-
автоматом. Для автомата над термами (см. Автоматов алгебра-
алгебраическая теория) внешней средой является множество
константных термов, а поведением — класс тех термов,
значения к-рых, вычисляемые с помощью данного ав-
автомата, принадлежат выделенному подмножеству эле-
элементов соответствующей алгебры. Для мозаичных струк-
структур внешней средой является множество начальных
конфигураций, а поведением — последовательности
конфигураций, возникающих в тактовые моменты вре-
времени. Вообще, для большинства автоматов А. п. пред-
представляет собой ту или иную модификацию поведения
конечных автоматов.
Специальным случаем является так наз. А. п. в слу-
случайной среде. Под средой здесь можно понимать
вероятностный автомат 58, преобразующий выходные
сигналы рассматриваемого автомата 91 в его входные
сигналы. Так что можно считать, что автомат 91 в слу-
случайной среде 5В представляет собой автономную логич.
сеть, построенную из автоматов 91 и S3 путем соедине-
соединения выхода каждого из этих автоматов со входом друго-
другого. Тогда поведение автомата 91 в случайной среде 58
можно рассматривать как функционирование указанной
автономной логич. сети. Среда 53 наз. стационар-
н о й, если она является автоматом с одним состоянием.
Если рассматривать выходные сигналы автомата 58
как различные «поощрения» или «наказания» автомата
31, то естественно возникает задача построения автомата
31, поведение к-рого в среде 58 является оптималь-
н ы м, т. е. дает наибольший возможный в данной среде
выигрыш. Обычно предполагается, что выходной алфа-
алфавит среды 58 состоит из букв 0 и 1 и в ответ на выходные
сигналы fcx, ..., bfi автомата 21 буква 1 выдается, соот-
соответственно, с вероятностями р1, .. ., р^. При этом «поощ-
«поощрением» автомата Ж считается только буква 1.
Если среда 58 стационарна, то множество состояний
автономной логич. сети совпадает с множеством состоя-
состояний автомата 91. Если, кроме того, выходная буква ав-
автомата 31 однозначно определяется состоянием, те
функционирование этой логич. сети может быть описа-
описано стохастич. матрицей Q переходов состояний. Как
правило, рассматривают случаи, когда матрица Q
эргодическая (см. Эргодичность). Тогда определена
функция:
где а,- — сумма финальных вероятностей всех состояний,
определяющих выходную букву &,-. При этом
min Bр,- — 1)<ИЛ (Ш, 58)<тах B/>,- — 1).
i i
Если выходные сигналы автомата 91 не зависят от воз-
воздействий среды и равновероятны, т.е. ст1=ст2=...=
= ак = \1к, то
Функция TFBl, 58) является математич. ожиданием
величины, наз. выигрышем автомата ЗГв
среде 58. Говорят, что автомат 91 обладает целесо-
целесообразным поведением в среде 58, если
ЩЩ, 23) > Wo. Задача об оптимальном поведении в слу-
случайной среде ставится следующим образом. Требуется
построить так наз. асимптотически опти-
оптимальную последовательность автома-
автоматов Stj, Sl2, ... такую, что математич. ожидание выигры-
выигрыша автомата 21„ с ростом п стремится к максимальному
выигрышу в данной среде, равному величине dmax=
= max{2/>,— I, i=l, ..., к). В рассматриваемом случае
г
такую последовательность образуют так наз. авто-
автоматы с линейной тактикой при условии,
что ^тах^/г- [Автомат с линейной тактикой 91„ с к-
буквенным выходным алфавитом имеет кп состояний «,у,
i=l, . . ., &, /=1, •••> га, и следующие функции ф и т|)
переходов и выходов:
ф (sij, l)=s,->y + 1, если / = 1, 2, ..., п—1,
Ф (sini l)==s/n> f(sij' 0) = s,- ,-_j, если 1=2, ..., и,
j = l, ..., ft, /=-1, ..., п.]
Впервые правила асимптотически оптимального пове-
поведения в стационарной случайной среде начали изучать-
изучаться в математич. статистике. Однако получаемые там ре-
результаты естественно переводятся на язык теории авто-
автоматов.
Рассматривается А. п. и в более сложных средах, а
также поведение коллективов автоматов
в случайных средах. В последнем случае автоматы рас-
рассматриваются как игроки, а правила игры, в к-рой уча-
участвуют эти автоматы, выступают в роли среды.
Лит.: [1] Б а р з д и н ь Я. М., Трахтенброт Б. А.,
Конечные автоматы (Поведение и синтез), М., 1970; [2] Ц е т -
лин М. Л., Исследования по теории автоматов и моделиро-
моделированию биологических систем, М., 1969; [3] R о b b i n s H.,
«Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.», 1956, v. 42, JM4 12, p. 920—923.
В.Б. Кудрявцев, Ю. И. Янов.
АВТОМАТИЗАЦИЯ ПРОГРАММИРОВАНИЯ — ис-
использование вычислительных машин для автоматич.
получения машинной программы по нек-рой исходной
записи, более близкой к начальной формулировке за-
задачи. Содержание А. п. меняется со временем, отра-
отражая общее развитие средств общения человека с вычис-
вычислительной машиной и методов программирования. В на-
начале А. п. заключалась в передаче машине процесса
трансляции (перевода) в машинную программу описа-
описания алгоритма решения задачи, выраженного в нек-ром
алгоритмическом языке. Затем в процесс А. п. была
включена процедура направленного синтеза алгоритма
решения по сокращенной записи задачи, принадлежа-
принадлежащей нек-рому фиксированному классу. В настоящее вре-
мя G0-е гг.) складывается новое содержание А. п. как
всеобъемлющей процедуры синтеза алгоритма решения
задачи в рамках существенно более широкого языка
формулирования задач, не ограничиваемого конкрет-
конкретным классом. Синтез сопровождается контролем пра-
правильности алгоритма и привлекает в качестве формаль-
формального аппарата различные модели семантики естествен-
естественных языков, исчисление предикатов и методы поиска
доказательств. а. п. Ершов.
АВТОМАТИЧЕСКИЙ ПЕРЕВОД, м а ш и н н ы й
перевод, — перевод текстов с одного языка на
другой с помощью автоматнч. устройств.
А. п.— одна из задач моделирования и автоматизации
различных видов умственной деятельности человека, в
данном случае — речевой деятельности. А. п. осуществ-
осуществляется с помощью алгоритма, правила к-рого не со-
содержат ссылок на знания и интуицию человека, т. е.
строго формальны. Алгорнт.м А. п. может выполняться
любым подходящим устройством, действующим авто-
автоматически, напр, универсальной цифровой вычисли-
вычислительной машиной.
Проблема А. и. тесно связана с развитием современ-
современной структурной и математич. лингвистики, причем с
самыми принципиальными и трудными лингвистнч. про-
проблемами, многие из к-рых ранее мало разрабатывались
или лаже осознанно не ставились.
Теоретич. базой разработки А. п. является теория
формальных грамматик. Алгоритм А. п. реализует не-
к-рое соответствие между двумя языками, определяе-
определяемыми своими грамматиками,— так нал. перевод-
переводное соответствие. Оно формулируется в тер-
терминах структурных описаний предложений этих языков
в рамках их грамматик. В качестве структурных описа-
описаний чаще всего используются системы составляющих и
деревья подчинения (см. Синтаксическая структура).
В соответствии с этим алгоритм А. п. в общих чертах
состоит из трех основных частей: 1) анализ текста на
входном языке, т. е. выявление структуры входного тек-
текста на основе заданной грамматики входного языка;
2) преобразование, т. е. переход от структуры текста
на входном языке к структуре текста на выходном язы-
языке на основе заданного переводного соответствия;
3) синтез текста на выходном языке, т. е. переход от
структуры выходного текста к конкретной последо-
последовательности слов.
В начальный период работ по А. п. правила перевода
формулировались обычно сразу в виде алгоритмич.
предписаний без предварительного построения формаль-
формальных грамматик входного и выходного языков и без явной
формулировки переводного соответствия. Из-за этого
сведения чисто лингвпетич. характера перемешивались
с математич. оформлением алгоритма. В дальнейшем был
взят курс на построение алгоритмов А. п. по общим
схемам, пригодным для широкого круга языков, с мак-
максимально возможной расчлененностью этапов перевода
и независимостью этапа анализа от этапа синтеза, с на-
нахождением всех вариантов обработки текста, допускае-
допускаемых грамматиками и переводным соответствием (так
наз. многовариантный перевод). Сведе-
Сведения о конкретном языке стали, как правило, четко от-
отделяться от алгорнтмнч. части. Таким образом, оказа-
оказалось возможным отвлечься от гигантского количества
частностей, специфических для конкретных языков, и
сосредоточиться на разработке общих процедур поиска
решений, удовлетворяющих заданным условиям.
Что касается собственно лингвистич. стороны А. п.,
то морфологические и почти все синтаксич. проблемы
А. п. в рамках изолированного предложения можно счи-
считать решенными. Главные трудности при создании пол-
полностью автоматизированных систем высококачественно-
высококачественного перевода связаны с недостаточным уровнем разрабо-
разработанности семантич. теории языков, с помощью к-рой
можно было бы точно сформулировать правила обработ-
обработки смысла и значений, а также учитывать смысловые
связи между отдельными предложениями связного тек-
текста. Без надлежащего учета семантики текста перевод
нередко оказывается неоднозначным или неверным. Не-
Неправильность перевода является обычно следствием то-
того, что правила перевода не учитывают все возможные
осмысления переводимого текста или не позволяют вся-
всякий раз выбирать правильное осмысление, к-рое может
определяться довольно широким контекстом и в конеч-
конечном счете — сведениями из конкретной области, зна-
знаниями о мире и т. п.
Действующих систем высококачественного А. п. про-
производственного типа пока G0-е гг. 20 в.) нет. Имеются
экспериментальные системы разной степени сложности.
На практике успешно используются упрощенные и спе-
специализированные системы А. ц., связанные с автомати-
автоматизацией обработки научно-технич. информации (послов-
(пословный перевод с частичной грамматич. обработкой, час-
частичный перевод и автоматич. реферирование для целей
экспресс-информации, патентной документации и для
информационно-поисковых систем). В обозримом буду-
будущем А. п. может использоваться для перевода только
научно-технич. публикаций. Задача А. п. для литера-
литературно-художественных текстов не представляется ре-
реальной и нужной.
Лит.: [1] Машинный перевод. Сб. статей, пер. с англ., М.,
1957; [2] Панов Д. Ю., Автоматический перевод, 2 изд.,
М., 1958; [3] Автоматический перевод. Сб. статей, пер. с англ.,
итал., нем., франц., М., 1971. С. Я. Фитиалое.
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕОРИЯ —
наука о методах определения законов управления к.-л.
объектами, допускающих реализацию с помощью тех-
нич. средств автоматики. Исторически сложилось так,
что методы А. у. т. получили свое первое развитие при-
применительно к процессам, встречающимся главным об-
образом в технике (см. [1]). Напр., летящий самолет пред-
представляет собой объект, законы управления к-рьш га-
гарантируют его полет по требуемой траектории. Они реа-
реализуются с помощью совокупности измерительных при-
приборов, преобразующих и исполнительных устройств,
называемой автопилотом. Три причины лежат в основе
этого развития: многие объекты управления были иден-
идентифицированы классиками науки (идентифицировать
объект управления — значит написать его математич.
модель, т. е. соотношения A), B), см. ниже); еще за-
задолго до развития А. у. т., благодаря установлению ря-
ряда фундаментальных законов природы, существовал
хорошо развитый математич. аппарат дифференци-
дифференциальных уравнений и особенно аппарат теории устой-
устойчивости движения (см. [2]); инженеры открыли закон
обратной связи (см. ниже) и нашли средства его ре-
реализации.
Простейшие объекты управления описываются (век-
(векторным) обыкновенным дифференциальным уравнением
x=f(x, и, t) A)
и неравенством
N(x, и, «)>0, B)
где х{хи ..., хп} — вектор состояния объекта, и{щ,
. . ., иг} — вектор управления, к-рый можно выбирать,
t — время. Уравнение A) есть математич. запись зако-
законов, к-рым подчинен объект управления; неравенство
B) — область его определения.
Пусть U есть к.-л. данный класс функций u(t) (напр.,
кусочно непрерывных), принимающих численное зна-
значение из B). Любую функцию u(t) ? U назовем допус-
допустимым управлением. Уравнение A) наз.
математической моделью объекта
управления, если:
1) указана область N(x, u, *)>0 определения функ-
функции f(x, и, t);
2) указан интервал времени <&~=[t;, tj] (или [/,-, tfi,
если i|=oo), на к-ром наблюдается движение x(t);
3) указан класс допустимых управлений;
4) область tV>0 и функция f(x, и, t) таковы, что урав-
уравнение A) имеет единственное решение, определенное
при любом ??оГ", xo?N, каково бы ни было допустимое
управление u(t). Далее всюду в A) f(x, и, t) предпола-
предполагается гладкой по всем аргументам.
Пусть xi—x{tj) — начальное, a xf~x(tj) — конечное
состояния объекта управления. Состояние хj наз.
целью управления. Существуют две главные
задачи А. у. т.: задача программирования — определе-
определение управления u(t), при к-ром гарантируется достиже-
достижение цели из xi\ определение закона обратной связи (см.
ниже). Обе задачи разрешаются при условии полной
управляемости объекта A).
Объект A) наз. полностью управляемым,
если, каковы бы ни были х;, if?N, найдутся хотя бы
одно допустимое управление и (t) и интервал <jT~, при
к-рых цель управления достижима. В противном случае
говорят, что объект управляем неполностью.
Поэтому возникает задача предварительного исследо-
исследования: дана математич. модель A), требуется устано-
установить критерий управляемости. В разрешении этой за-
задачи достигнут (к 1977) незначительный прогресс. В слу-
случае, когда уравнение A) линейно:
х = Ах+Ви, C)
где А, В — стационарные матрицы, критерий полной
управляемости формулируется так: для того чтобы сис-
система C) была полностью управляема, необходимо и до-
достаточно, чтобы ранг матрицы
Q=\\B, AB, А2В, ..., An-iB\\ D)
пыл равен п. Матрица D) наз. матрицей управ-
управляемости.
Если А, В — известные дифференцируемые функции
т t, то матрица управляемости определяется так:
(?= || /-!(<), МО- •••- J-n(t)\l E)
где ^(*) = 5@, ?*(*) = 4 (<)?*-i- -^— , к=2, ..., п.
В этом случае имеет место теорема: для того чтобы сис-
система C) была полностью управляема, достаточно, чтобы
существовала хотя бы одна точка i*^#", в к-рой ранг
матрицы E) равен п (см. [3]). Для нелинейных систем
критерий управляемости пока (к 1977) не найден.
Первая главная задача А. у. т. заключается в выборе
допустимого управления, при к-ром гарантируется до-
достижение цели Xf. Она имеет два способа решения. Пер-
Первый из них состоит в проявлении воли главного конст-
конструктора (ГК) объекта A) — назначение определенного
вида движения, при к-ром цель х^ достижима, и в под-
подборе соответствующего управления. Такой способ ре-
решения задачи программирования применяется в прак-
практике во многих случаях. При другом способе ищется
допустимое управление, минимизирующее заданную
плату управления. Математич. формулировка задачи
такова. Даны: математич. модель объекта управления
A), B); граничные условия на вектор х, к-рые символи-
символически запишем в виде
(i, /) = 0; F)
гладкая функция G(x, t) и плата за принятое управле-
управление
|[ G)
Задача программирования: среди допу-
допустимых управлений требуется найти такое, при к-ром
условия F) выполняются, а функционал G) принимает
минимальное значение. Необходимые условия мини-
мума этой неклассическои вариационной задачи до-
доставляются следующей теоремой, носящей название
«принцип максимума Л. С. Понтрягина» (см. [4]). Вве-
Введем в рассмотрение вспомогательный вектор oj) {"фх, ...,
1|з„} н вспомогательную скалярную функцию
ЯA|), х, и, <)=1|,./(х, и, t). (8)
Функция // позволяет записать уравнение A) и уравне-
уравнение для вектора 1|з в следующей форме:
он • вн ,п>
X=W' * = --аГ- (9)
Уравнение (9) является линейным и однородным отно-
относительно tp, имеет единственное непрерывное решение,
определенное при любых начальных условиях i|) (*,-) и
1^.<?Г. Вектор 1|з наз. нулевым, если хотя бы одна из его
компонент не обращается тождественно в нуль при
t?.$~- Справедлива теорема: для того чтобы кривая
хй, и0 доставляла сильный минимум функционалу G),
необходимо существование ненулевого непрерывного
вектора 1|), определенного уравнением (9), при к-ром
функция II {ty, х, и, I) достигает максимума по и и вы-
выполняется условие трансверсальности
[6G - #6* + 2 f a 6*cJ = 0.
Пусть x°(t, x{, xj), u°(t, Xi, xj) — решение, отвечающее
задаче. Доказано, что в стационарной системе функция
(°°, и0) удовлетворяет условию
х\ и°) = С, A0)
где С — постоянная, то есть A0) — ее первый интег-
интеграл. Решение и0, х° наз. программой управ-
л е н и я.
Пусть и0, х° есть к.-л. (необязательно оптимальная)
программа управления. Оказывается, что знание лишь
одной программы управления недостаточно для дости-
достижения цели. Дело в том, что программа и0, х°, как пра-
правило, неустойчива относительно любых сколь угодно
малых изменений в задаче, в частности наиболее важных
изменений начальных значений (г, /), или, иными сло-
словами, эта задача некорректна. Особенность некоррект-
некорректности, однако, заключается в том, что она может быть
исправлена средствами автоматич. стабилизации, осно-
основанными только лишь на использовании «принципа об-
обратной связи». В связи с этим возникает другая главная
задача управления — задача определения закона об-
обратной связи.
Пусть у — вектор возмущенного движения системы, а
g — вектор, характеризующий дополнительное откло-
отклонение органа управления, предназначенное для гаше-
гашения возмущенного движения. Для реализации отклоне-
отклонения ? должен быть заранее предусмотрен соответствую-
соответствующий ресурс управления. Возмущенное движение будет
описываться уравнением
у=Ау+В1+(р{у, I, <)-г/°(«). (И)
Здесь: А, В — известные матрицы, определенные на
движении ха, и", и суть известные функции времени;
ф — нелинейные члены разложения функции f(x, и, t);
f°(t) — постоянно действующая возмущающая сила,
происходящая либо от того, что программное движение
не определено точно, либо от того, что при построении
модели A) не были учтены к.-л. дополнительные силы.
Уравнение A1) определено в окрестности |[j/||<://, где Н,
вообще говоря, достаточно малое, а в нек-рых случаях
любое конечное положительное число пли даже оо.
Заметим, что полная управляемость системы A), во-
вообще говоря, не гарантирует полной управляемости
системы A1).
Будем говорить, что объект управления A1) н а б л го-
года е м по координатам уи ..., уг, г<.п, если
существует набор готовых к действию измерительных
приборов, способных непрерывно производить измере-
измерения координат в любой момент времени t?$~. Значение
этого определения может быть проиллюстрировано
примером управления продольным движением самоле-
самолета. Хотя авиация существует более 50 лет, до сих
пор нет прибора, измеряющего возмущение угла атаки
крыла самолета или высоту его полета вблизи земли.
Совокупность измеряемых координат назовем полем
регулирования и обозначим через Р (у1, ...,
уг), г«га.
Рассмотрим совокупность допустимых управлений |,
определенных над полем Р:
1=5@1. .-., Уг, t, р), г«ге, A2)
где р — векторный пли матричный параметр. Будем
говорить, что управление A2) представляет собой з а-
кон обратной связи, если операция замыка-
замыкания [т. е. подстановка A2) в уравнение A1)] дает сис-
систему
У = АулгВ1{уи ..., yr, t, p) +
+ ФBЛ 1(Уи •••> У г, t, p), t), A3)
невозмущенное движение к-рой у = 0 асимптотически
устойчиво (см. Асимптотически устойчивое решение).
Система A3) наз. асимптотически устой-
устойчивой, если ее невозмущенное движение у = 0 асимп-
асимптотически устойчиво.
Существует два класса задач, к-рые могут быть сфор-
сформулированы относительно замкнутой системы A3):
класс задач анализа и класс задач синтеза.
Рассмотрим допустимое управление A2), заданное
с точностью до выбора параметра р, напр.
1 =
/>11 • ¦ • Р1Г
Рп ¦ ¦¦ Ргг I
Уг
Задача анализа: требуется определить об-
область S значений параметра р, для к-рых замкнутая
система A3) асимптотически устойчива. Построение об-
области 5 осуществляется на основании методов, разра-
разработанных в теории устойчивости движения (см. Устойчи-
Устойчивости теория) и нашедших широкое применение в А. у. т.
В частности, отметим методы частотного анализа; ме-
методы, основанные: на Ляпунова теории устойчивости
по первому приближению (теоремы Гурвица, Рауса
и др.), на прямом методе Ляпунова построения !?-функ-
ций, на теории Ляпунова — Пуанкаре построения пе-
риодич. решений, на методе гармонич. баланса, методе
Б. В. Булгакова, методе А. А. Андронова, теории то-
точечного преобразования поверхностей (см. [5]). Послед-
Последняя группа методов дает возможность не только строить
в пространстве Р области S, но также проанализировать
параметры устойчивых периодич. решений уравнения
A3), характеризующих автоколебательные движения
системы A3). Все эти методы получили широкое приме-
применение в практике автоматич. управления, и их изучают
в рамках различных специальностей в высшей школе
(см. [5]).
Если S не пусто, то управление A2) наз. законом
обратной связи, или законом регули-
регулирования. Его реализация, осуществленная с по-
помощью совокупности измерительных приборов, усили-
усилителей, преобразователей и исполнительных устройств,
наз. регулятором.
С задачей анализа тесно связана другая весьма важ-
важная для практики задача о построении гра-
границ области притяжения (см. [6], [7]).
Рассмотрим систему A3), в к-рой p?S. Множество зна-
значений у (ti)=y0, содержащее точку у=0, для к-рых замк-
нутая система A3) сохраняет свойство асимптотич.
устойчивости, наз. областью притяжения
тривиального решения у—О. Задача со-
состоит в том, чтобы для данной замкнутой системы A3)
и точки р ?S определить границы области притяжения.
Современная научная литература не содержит эф-
эффективных методов построения границ области притя-
притяжения, за исключением редких случаев, в к-рых удает-
удается построить неустойчивые периодич. решения замкну-
замкнутых систем. Однако имеются нек-рые методы, позволяю-
позволяющие построить границы множества значений уд, цели-
целиком содержащегося в области притяжения. В большин-
большинстве случаев эти методы основаны на оценке области
фазового пространства, в к-ром Ляпунова функция удов-
удовлетворяет условию г>5гО, г><:0 (см. [7]).
Любое решение y(t, у0, р) замкнутой системы A3)
представляет так наз. переходный процесс.
В большинстве случаев практич. значения нельзя огра-
ограничиться решением лишь проблемы устойчивости. При
разработке проекта предъявляются дополнительные,
имеющие важное практич. значение, требования, при
к-рых гарантируется наличие у переходного процесса
нек-рых новых свойств. Характер требований и пере-
перечень свойств существенно связаны с физич. природой
объекта управления. В задачах анализа обеспечение
этих свойств переходного процесса, напр, заданного вре-
времени регулирования t*, в ряде случаев может быть до-
достигнуто за счет выбора параметра р. Задача выбора па-
параметра р носит назв. проблемы качества
регулирования (см. [5]), и методы решения
этой проблемы связаны с тем или иным построением
оценок решений y(t, у0, р)': либо фактич. интегрирова-
интегрированием уравнения A3), либо нахождением оценки этих
решений экспериментально, с помощью аналоговой или
цифровой вычислительной машины.
Задачи анализа переходных процессов имеют много
иных формулировок во всех случаях, в к-рых /°(?) пред-
представляет собой случайную функцию, как, напр., в сле-
следящих системах (см. [5], [8]). Другие формулировки
связаны с возможностью случайного изменения матриц
А, В или даже функции <р (см. [5], [8]). В связи с этим
развивались методы исследования случайных процессов,
методы адаптации и обучения машин (см. [9]). Исследо-
Исследовались также переходные процессы в системах с запаз-
запаздыванием и системах с распределенными параметрами
(см. [10], [11]), в системах с переменной структурой (см.
[12]).
Задача синтеза: дано уравнение A1), поле
регулирования Р (у1, ..., уг), г<:га, и множество ?(ffi>
..., yr, t) допустимых управлений; требуется найти все
множество М законов обратной связи (см. [13]). Одной
из наиболее важных разновидностей этой задачи явля-
является задача о структуре минимальных
полей. Поле Р(ух, ..., уг), г«:га, наз. минималь-
минимальным полем, если на нем существует хотя бы один
закон обратной связи и если размерность поля г мини-
минимальна. Задача состоит в том, чтобы для данного уравне-
уравнения A1) и множества допустимых управлений опреде-
определить структуру P(yai, •••, уаг) всех его минимальных
полей. Поясним характер задачи на примере:
0
m
0
0
го
0
0
—n
0
0
0
к
0
n
к
0
, D =
0
1
0
0
0
0
0
1
ш, п, к — заданные числа. Допустимые управления —
множество кусочно непрерывных функций и2, их, при-
принимающих свои значения из области
Минимальными полями в задаче являются либо поле
P(z2), либо поле -P(z4). Размерноеть каждого поля равна
единице и понизить ее нельзя (см. [13]).
Пока известен A977) лишь один метод синтеза за-
законов обратной связи, основанный на использовании
функций Ляпунова (см. [13]). При этом существенную
роль играет теорема Барбашина— Кра-
совского (см. [6], [10], [15]): для того чтобы невоз-
невозмущенное движение у=0 замкнутой системы
V=V(V) A4)
было асимптотически устойчиво, достаточно существо-
существования знакоопределенной положительной функции
и (у), полная производная к-рой, в силу уравнения A4),
есть функция w(y), знакопостоянная отрицательная,
однако такая, что на многообразии w(y) = 0 не лежат це-
целые траектории системы A4), кроме у=0. Задача выяс-
выяснения существования и структуры минимальных полей
имеет важное практич. значение, поскольку эти поля
отвечают требованиям ГК о минимуме веса, габаритов,
сложности, стоимости системы управления и ее макси-
максимальной надежности. Особый научный и практич. ин-
интерес эта задача приобретает для бесконечномерных сис-
систем, встречающихся в технике, биологии, медицине,
экономике и социологии.
К сожалению, при проектировании систем управле-
управления невозможно ограничиться решением задачи синтеза
законов обратной связи. В большинстве случаев требо-
требования ГК касаются обеспечения нек-рых важных спе-
цифич. свойств переходного процесса в замкнутой сис-
системе. Важность этих требований видна на примере регу-
регулирования атомного реактора. В случае, если переход-
переходный процесс затягивается долее 5 сек или максимальное
уклонение к.-л. его координаты превосходит заданное
значение, происходит атомный взрыв. В связи с этим
возникают новые задачи синтеза законов регулирова-
регулирования, определенных на множестве М. Приведем форму-
формулировку одной из таких задач. Рассмотрим две сферы:
\\ya\\=R, уо=у;, \\y(t,)H=E, Л^-s — заданные числа. Об-
Обратимся к множеству М всех законов обратной связи.
Возьмем любой из них и произведем замыкание, полу-
получим уравнение:
у = Ау + Щ(У1, ...,yr,t) + <f(y,l(yi, •.., Уп t), t). A5)
Рассмотрим все множество решений y(t, y0) уравнения
A5), начинающихся на сфере R. Будем называть их R-
решениями. Поскольку система A5) асимптоти-
асимптотически устойчива для любого у0 на сфере, существует
момент времени ?х, при к-ром соблюдаются условия
h(h, J/o)H-=e, \\y(t, yo)\\<s
при любом J>ij.
Пусть
i!* = sup tx.
Vo
Из определения tt ясно, что t* существует. Интервал
t* — ?,• наз. временем регулирования (за-
(затухания переходного процесса) в
замкнутой системе A5), если любое Д-решение выходит
на сферу е при ^<:i* и остается внутри ее при t>tj.
Очевидно, что время регулирования есть функционал
вида t* — t*(R, е, |). Пусть Т — заданное число. Возни-
Возникает задача синтеза быстродействую-
быстродействующих регуляторов: дано множество М законов
обратной связи, требуется выделить такое его подмно-
подмножество Мъ на к-ром время регулирования в замкнутой
системе удовлетворяет условию
** — «,< Г.
Аналогично могут быть сформулированы задачи синтеза
множеств М2, ..., Mb законов обратной связи, при
к-рых соблюдаются другие к— 1 требований ГК.
Главная задача синтеза об удовлетворении всех тре-
требований ГК разрешима, если множества Mi, ..-, М^
имеют непустое пересечение (см. [13]).
Наиболее детально задача синтеза изучена для слу-
случая, в к-ром поле Р имеет максимальную размерность
г=п, а показатель качества системы характеризуется
функционалом
J=\°°w(y, I, 0 Л, A6)
где w(y, \, t) — знакоопределенная положительная
функция по у, \. В этом случае задача наз. задачей
аналитического конструирования
оптимальных регуляторов (см. [14]) и
формулируется так. Даны уравнение A1), класс допус-
допустимых управлений \ (у, t), определенных над полем
Р (у) максимальной размерности, и функционал A6).
Требуется найти управление ?=?;((/, t), при к-ром функ-
функционал A6) достигает минимально го значения. ;)та за-
задача разрешается теоремой: если уравнение A1) таково,
что можно найти знакоопределенную положительную
допускающую бесконечно малый высший предел функ-
функцию г°((/, t) н функцию V(y, t) такие, что выполняется
равенство
? |? 6°, t)) = 0 A7)
и справедливо неравенство
0K*0
при любых допустимых %, то функция |°(г/, t) разрешает
задачу. При этом имеет место равенство
v°(t0, г/о) = min С °° w(y, |, t)dt.
5 «JO
Функция ъа(у, t) наз. оптимальной функцией
Ляпунова (см. [15]). Она служит решением урав-
уравнения A7) с частными производными типа Гамильтона—
Якоби, удовлетворяющего условию v(y(oo), оо) = 0.
Методы эффективного решения такой задачи разрабо-
разработаны для случая, в к-ром функции w, <p допускают раз-
разложение в целые сходящиеся ряды по у, ? с коэффициен-
коэффициентами, являющимися непрерывными и ограниченными
функциями от *. При этом принципиальное значение
имеет разрешимость задачи по линейному приближению
в уравнении A1) и оптимизации лишь интеграла от квад-
квадратичных членов, удерживаемых в разложении w.
Разрешимость же последней задачи гарантируется со-
соблюдением условия полной управляемости (см. [15]).
Лит.: [1] Максвелл Д. К., Вышнеградский
И. А., Стодола А., Теория автоматического регулирова-
регулирования, М 1949; [2] Чета ев Н. Г., Устойчивость движения,
3 изд., М., 1965; [3] Красовский Н. Н., Теория управ-
управления движением, М., 1968; Г4] П о н т р я г и н Л. С. [и др.],
Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд., М.,
1969; [5] Техническая кибернетика, кн. 1—2, М., 1967; [6] Б а р-
б а ш и н Е. А., Введение в теорию устойчивости, М., 1967;
[7] 3 у б в в В. И., Математические методы исследования си-
систем автоматического регулирования, Л., 1959; [8] Пуга-
Пугачев В. С, Теория случайных функций и ее применение к за-
задачам автоматического управления, 3 изд., М., 1962; [9] Ц ы п-
к и н Я. 3., Основы теории обучающихся систем, М., 1970;
Г10 3 Красовский Н. Н., Некоторые задачи теории устой-
устойчивости движения, М., 1959; [11] Бесекерский В. А.,
Попов Е. П., Теория систем автоматического регулиро-
регулирования, М., 1966; [12] Теория систем с переменной структурой,
под ред. С. В. Емельянова, М., 1970; [13] Летов А. М.,
«Дифференц. уравнения», 1970, т. 6, № 4, с. 592—615; [14] его
ж е, Динамика полета и управление, М., 1963; [15] М а л-
к и н И. Г., Теория устойчивости движения, 2 изд., М., 1966,
(дополнение 4). А. М. Летов.
АВТОМАТОВ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ — на
правление в автоматов теории, характеризующееся ис-
использованием алгебраич. средств в изучении автоматов.
А. а. т. основана на том, что автоматы можно рассмат-
рассматривать как нек-рые специальные алгебры или алгебраи-
алгебраические системы. Кроме того, события, представимые ко-
нечными автоматами, относительно операций объеди-
объединения, произведения и итерации образуют алгебру, по-
порождаемую конечным множеством так наз. элементар-
элементарных событий, каждое из к-рых состоит из одного одно-
буквенного или пустого слова. Алгебраический подход
позволяет непосредственно использовать алгебраич.
результаты в теории автоматов, а также помогает в не-
к-рых случаях установлению связи теории автоматов с
другими областями математики. Так, с помощью теории
автоматов были получены доказательства разрешимости
нек-рых арифметических теорий второй ступени, а
также новое, более простое, решение ограниченной
Бернсайда проблемы.
С алгебраич. точки зрения, автомат (конечный или
бесконечный) Ш—(А, S, В, ср, т|з) является трехос-
трехосновной алгеброй, т. е. алгеброй с тремя мно-
множествами А , S, В элементов и двумя операциями <р : Sx
ХА -^S и i|) : SXA-^-B. С другой стороны, переходную
систему (A, S, ср), гдеЛ = {а1, ..., а„} — входной алфа-
алфавит, S —множество состояний (см. Автомат конечный),
можно рассматривать как алгебру {S, а1: . . ., ап) с
унарными операциями, обозначаемыми буквами а,- вход-
входного алфавита А и такими, что a{Sj=y(sj, о,-). Таким об-
образом, для автоматов естественно определяются такие
понятия, как автоматов гомоморфизм, изоморфизм, под-
подавтомат н т. д. Вместе с тем этот подход позволяет со-
сопоставить автомату 31= (A, S, В, ср, if) полугруппу пре-
преобразований множества S с операцией суперпозиции,
порожденную операциями а,-, так что для произвольных
а,-, а,- из А и s из S положено
aidjS =(p((p(s, a,-), aj).
Эта полугруппа наз. полугруппой автола-
т а 2(, она используется как средство описания опре-
определенных свойств автоматов (классификация, разложи-
разложимость, изоморфизм и т. д.) на алгебраич. языке. В то же
время всякой полугруппе Q с единицей можно сопоста-
сопоставить автомат с заданным входным алфавитом A={alt
.. ., ап} и множеством состояний Q следующим образом.
Каждой букве а,- из А ставят в соответствие нек-рый эле-
элемент (ц из Q и тогда функцию переходов ф можно опре-
определить так: ф (q, ai) = qq(. Полугруппа такого автомата
изоморфна подполугруппе полугруппы Q, порожден-
порожденной элементами д1; .. ., qn, и тем самым в случае, если
qlt ..., qn суть образующие полугруппы Q, полугруппа
автомата изоморфна исходной полугруппе Q. Полу-
Полугруппа автомата очевидным образом изоморфна фак-
торполугруппе входной полугруппы всех слов в ал-
алфавите А (множество А*) с операцией последовательно-
последовательного соединения слов (конкатенация) по конгруэнции
(ф (s, a) = q> (s, |3))}.
Для произвольного состояния s?S конгруэнция R
является максимальной подконгруэнцией отношения
Л, = {(а, Р):а, §?А* и Ф (*, а) = Ф (*, C)}.
Это означает, в частности, что событие, представимое
инициальным акцептором Ш$= (A, S, ф, S'), является
объединением нек-рых Л-классов. Поскольку полугруп-
полугруппа автомата характеризует его с точностью до изомор-
изоморфизма, то различным классам полугрупп соответствуют
свои классы автоматов. В том случае, когда полугруппа
автомата является свободной, или абелевой, или цикли-
циклической, или нильпотентной и т. п., или, наконец, груп-
группой-, автомат называется, соответственно, свобод-
свободным, а б е л е в ы м, циклическим, н и л ь-
потентным, групповым (или переста-
перестановочны м). Другой подход, связанный с алгебраич.
классификацией функций переходов и выходов, при-
приводит к классам линейных, подстановочных и др.
автоматов (см. Автомат). Подстановочные автоматы
реализуют взаимно однозначные функции и исполь-
зуются в теории кодирования. Линейные автоматы пред-
представляют интерес в связи с простотой их схемной реа-
реализации.
Автомат (A, S, В, ф, т|з) наз. линейным авто-
автоматом (л. а.), если A, S и В — линейные простран-
пространства над нек-рым полем Р,
(f(s, а) = -:ф1(«)+ф2(а),1|)(«, й)=1|'1(*)+11;2(йI
где ф1? ф2, i|)j, i|J — линейные отображения соответст-
соответственно: S в S, A bS,SbB,AbB. Обычно предполагает-
предполагается, что поле Р конечно, а пространства A, S, В конеч-
конечномерны; в этом случае л. а. является конечным авто-
автоматом. Если в представлении конечного акцептора в
виде алгебры, операциями к-рой являются буквы вход-
входного алфавита, допустить многоместные операции, то
полученное обобщение наз. автоматом над
термами (автоматом над деревья-
деревьями, обобщенным автоматом). Такие ав-
автоматы используются для доказательства разрешимо-
разрешимости нек-рых математич. теорий второй ступени.
Лит.: [1] Алгебраическая теория автоматов, языков и полу-
полугрупп, М., 1975; [2] Глушков В. М., «Успехи матем,
наук», 1961, т. 16, К 5, с. 3—62; [3] Т э т ч е р Д ж. В.,
Райт Д ж. Б., в кн.: Кибернетический сборник, в. В, М.,
1969, с. 112—44. См. также лит. к статье Автомат.
В. Б. Кудрявцев, Ю. И. Янов.
АВТОМАТОВ ГОМОМОРФИЗМ — отображение вход-
входного и выходного алфавитов, а также множества состоя-
состояний одного автомата в аналогичные множества другого
автомата, сохраняющее функции переходов и выходов.
Более точно А. г. автомата Щ1=(Л1, 5Х, В1, фх, г^)
в автомат 9t2= (yl 2i ^21 ^2> Фг* Ч'г) (см- Автомат конеч-
конечный) — это отображение h=(hx, h2, h3) множества
A1xS1XB1 в множество A2XS2XB2 такое, что
ht : Аг—>-А2, h2 : S±—ьУ2, h3 : В1—>В0_,
и для любых s из S1 и а из Ах имеют место равенства:
Для автоматов инициальных, кроме того, требуется,
чтобы функция h начальное состояние переводила в
начальное. Автоматы 9tj и 912 наз- гомоморфны-
м и, если существует А. г. h, отображающий АгХ S1XB1
на А2Х S2XB2. Если, кроме того, отображение h взаим-
взаимно однозначно, то h наз. изоморфизмом, а ав-
автоматы 9t1 и Э12 —изоморфными автома-
автоматам и. Если алфавиты А1 и А 2, а также Вг и В2 совпа-
совпадают и отображения hl и h3 тождественны, то гомомор-
гомоморфизм (изоморфизм) h наз. гомоморфизмом
(изоморфизмом) по состояниям. Ана-
Аналогично определяются гомоморфизмы (изоморфизмы)
по входному и выходному алфавитам. Изоморфные по
состояниям автоматы, а также гомоморфные по состоя-
состояниям инициальные автоматы эквивалентны (см. Авто-
Автоматов эквивалентность).
Понятие А. г. используется в связи с задачами ми-
минимизации, разложения, полноты автоматов и др.
Лит.: 11] Глушков В. М., «Успехи матем. наук», 1961,
т. 16, в. 5, с. 3—62. А. А. Летичевский.
АВТОМАТОВ КОМПОЗИЦИИ — операции, позволяю-
позволяющие из одних автоматов получать другие, более слож-
сложные, путем соединения исходных автоматов по опреде-
определенным правилам. А. к. играют важную роль в задачах
синтеза и разложения автоматов. Важнейшими и наибо-
наиболее употребительными А. к. являются прямое произве-
произведение, суперпозиция, обратная связь.
Прямым произведением автоматов 51,- =
= (А[, Si, Bi, ф,-, if>;), ?=1, ..., п, наз. автомат Щ =
= (А, S, В, ф, ty), у к-рого
... Х-В„,
а функции ф (s, а) и i|) (s, а) определяются соотноше-
соотношениями:
ф ((«к .. •, sn), (ai, • • ¦, ап)) = (фх (*!, ai), ..., ф„ («„, а„)),
f ((«1, • • •, sn), (ai. ¦ • •. ап)) = (-^i («1, %), • • •, ifn (*в> <*«))•
Под суперпозицией автоматов Ш.1=(А1, Slt
Bi, Ф1, ifi) и Sf2= Elt 52, B2, ф2, гE2) понимают автомат
5B=(^i, 5, В2, ф, ijj), у к-рого 5=52X5^ а
ф((«2, *lh а) = (ф2(«2. tl (Sl> <*))> ф1 (Sl> <*))
и i|5 ((s2, Sj), а) = 1|J (s2, % («!, а)),
где (s2, s^S и а^^!.
В вопросах полноты и синтеза автоматов большую
роль играет операция обратной связи.
Эта операция применима к автоматам с п входами и т
выходами: ЭД = (Д, S, В, ф, if), где A=AtX.. .ХАа,
В=В1Х...ХВт,
1E (s, (ах, ..., а„)) =
= (fl (*. (аь • • • > ал)). • • •' Ут («. К. • • • - <*«)))
таким, что для нек-рых i, j имеет место В[= A t и функ-
функция 1|з,- не зависит от а,-, т. е.
Тогда в применении к i-му выходу и /-му входу автома-
автомата Ш операция обратной связи дает автомат 9Г = (Д', 5, В
ф', ijj') такой, что Л' = Л1Х...ХЛ/-_1хЛу + 1Х...ХЛ„'
ф' (s, («i, .. ., ау-_1; ау- + 1, . . ., а„)) =
= ф(«, (ai. •• -, o.j-i, fiK, ••-, a/-i> a/ + i, •••,а„),
a,- + 1, . . ., а„)),
¦ф' (s, (а1; ..^ау.!, ау- + 1, . . ., ап)) =
Кроме указанных, иногда используются другие виды
А. к., напр, произведение, прямая сумма, полупрямое
произведение и т. д.
Лит.: [1] Г л У ш к о в В. М., «Успехи матем. наук», 1961,
т. 1С, в. 5 A01), с. 3—62; [2] К у д р я в ц е в В. Б., «Проб-
«Проблемы кибернетики», 1965, в. 13, с. 45—74. В. Н. Редько.
АВТОМАТОВ МИНИМИЗАЦИЯ — минимизация зна-
значений параметров автоматов, приводящая к эквива-
эквивалентным и в определенном смысле оптимальным авто-
автоматам. Задача А. м. возникает при синтезе автоматов, и
ее специфика зависит от подхода к их изучению.
При макроподходе минимизируют, как правило, чис-
число состояний автоматов, получая минимальные,
или приведенные, автоматы. Специфика
отыскания приведенных автоматов связана с формой
задания автоматов и типа их поведения. Так, если в ка-
качестве поведения автомата конечного, заданного, напр.,
с помощью диаграммы переходов, рассматривать си-
систему ограниченно-детерминированных функций, реали-
реализуемых автоматом, то отыскание минимального конеч-
конечного автомата, эквивалентного исходному, осуществ-
осуществляется эффективно; оно основано на теореме М у-
р а, согласно к-рой отличимость двух состояний авто-
автомата с п состояниями может быть установлена экспери-
экспериментом длины я—1. Алгоритм минимизации состоит в
построении такого автомата при том же способе задания,
состояния к-рого соответствуют классам неотличимых
состояний исходного автомата, а функции переходов и
выходов определяются по представителям из этих клас-
классов. При этом минимальный автомат с точностью до изо-
изоморфизма состояний единствен. При рассмотрении ко-
конечного автомата как акцептора, представляющего под-
подмножеством выделенных состояний событие, описанное
с помощью заданного регулярного выражения, мини-
минимальный автомат строится эффективно, и алгоритм его
построения можно разделить на два этапа. Сначала по
исходному регулярному выражению строится нек-рый,
не обязательно минимальный, автомат, представ-
представляющий соответствующее регулярное событие. Такой
автомат может быть построен, напр., с помощью индук-
индукции по операциям объединения U, конкатенации о и
итерации *, входящим в регулярное выражение. По
автоматам 9lj, 912 и 9t3, представляющим, соответст-
соответственно, события Л,, R, и Я3, специальным образом стро-
строятся автоматы 3l4, §f5 и Ш6, представляющие события
^iU^2> ^1 э^2 и ^з\ причем число состояний автомата
9l4 He превосходит произведения чисел состояний авто-
автоматов 9tj и 912; число состояний автомата 9ts, вообще
говоря, не больше произведения числа состояний авто-
автомата ЭДХ на число всех подмножеств множества состоя-
состояний автомата Ш2> а число состояний автомата 916 не
больше числа подмножеств множества состояний авто-
автомата ЭД3- На втором этапе число состояний полученного
автомата минимизируется обычным способом, причем
классам неотличимых финальных состояний исходного
автомата соответствуют финальные состояния мини-
минимального автомата. Аналогичным способом строится
минимальный автомат, представляющий заданное
сверхсобытие. Существуют единственные с точностью
до изоморфизма состояний минимальные автоматы,
представляющие заданные события и сверхсобытия.
Для недетерминированных конечных, а также для
недетерминированных и детерминированных бесконеч-
бесконечных автоматов также существует единственный с точ-
точностью до изоморфизма состояний приведенный авто-
автомат. В первом случае отыскание этого автомата анало-
аналогично рассмотренному случаю конечных автоматов, а
во втором его построение, вообще говоря, не является
эффективным. Для стохастич. автомата с конечным чис-
числом состояний существует, вообще говоря, континуум
различных приведенных автоматов, эквивалентных ис-
исходному. Отсюда следует отсутствие эффективного спо-
способа описания множества приведенных автоматов по
заданному стохастич. автомату.
При микроподходе к изучению конечных автоматов
для построения заданного автомата исходят из нек-рого
конечного базисного набора 93 логич. сетей. Требуется
по автомату 91, заданному, напр., с помощью канонич.
уравнений, указать логич. сеть S, построенную из
элементов базиса 58 с использованием операций супер-
суперпозиции и обратной связи, к-рая реализует автомат Ж
и содержит минимальное число L (91) элементов базиса
58, достаточное для реализации этого автомата. Т. о.,
сеть S будет являться в этом смысле оптимальной схе-
схемой для автомата 91. В общем случае задача о реализа-
реализации произвольного автомата 91 с помощью сетей над
базисом 91 неразрешима и, следовательно, функция
сложности L(W) автомата 31 невычислима. В случае же,
когда известно, что базис 91 является полным (см. Авто-
Автоматов полные системы), построение любой оптималь-
оптимальной сети для 91 может быть осуществлено эффективно,
напр., следующим образом. Известно, что проверка реа-
реализуемости автомата 91 с помощью заданной сети S
устанавливается эффективно. Кроме того, для заданного
числа I число сетей над базисом 58 сложности не более
чем I вычислимо, и все эти сети строятся эффективно.
Тем самым в качестве алгоритма построения всех опти-
оптимальных сетей для заданного автомата 91 может быть
использован последовательный просмотр на реализуе-
реализуемость автомата 91 всех сетей сложности 1, 2, . . ., L (91).
Вопрос о поведении функции L (91) и нек-рых ее обоб-
обобщений составляет часть общей проблемы синтеза авто-
автоматов. Существует ряд эвристич. алгоритмов синтеза
минимальных схем для автоматов, основанных на спе-
специальных свойствах базисов и конкретном содержании
понятия оптимальности.
Лит. см. при ст Автомат почечный. В. А. Буевич.
АВТОМАТОВ ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ — специальные
подмножества заданного класса М автоматов, на к-ром
определено нек-рое множество Q операций со значения-
значениями в М. Эти подмножества обладают следующим основ-
основным свойством (свойством полноты): мно-
множество всех автоматов, к-рые получаются путем конеч-
конечного числа применений операций из Q к автоматам из
заданного подмножества AczM, совпадает с М. Задача
о том, обладает ли множество свойством полноты или
нет, наз. проблемой полноты (п. п.) для
автоматов. Эта проблема изучена для различных моде-
моделей автоматов и операций. В порядке нарастания слож-
сложности объекта исследования сюда могут быть отнесены
истинностные автоматы, автоматы, реализующие функ-
функции с задержками (т. е. функции /с-значной логики с
нек-рым временным сдвигом), конечные автоматы и др.
П. п. для истинностных автоматов с обычно рассматри-
рассматриваемыми операциями суперпозиции по существу совпа-
совпадает с п. п. для функций fe-значной логики (см. Много-
Многозначная логика) и достаточно хорошо изучена. Под
синхронной суперпозицией понимается
такая суперпозиция автоматов, когда ко всем входам
присоединяются автоматы, реализующие функции с од-
одной и той же задержкой. Из найденных в этих случаях
критериев полноты вытекает, в частности, существова-
существование алгоритма, устанавливающего для любой конечной
системы автоматов ее полноту или неполноту. Основ-
Основные критерии полноты даются в терминах так наз.
предполных классов (т. е. таких под-
подмножеств класса М, к-рые замкнуты относительно опе-
операций из Q и каждый из к-рых вместе с любым автома-
автоматом, ему не принадлежащим, образует полную систему).
Показано, что множество А является полным тогда и
только тогда, когда оно не является подмножеством ни
одного нредполного класса, к-рые, в свою очередь,
полностью описаны. Этот подход успешно осуществлен
в целом ряде других случаев. Принципиально он воз-
возможен и при рассмотрении конечных автоматов, когда в
качестве Q выбираются операции суперпозиции авто-
автоматов и операция обратной связи (см. Автоматов ком-
композиции). Здесь также справедлив указанный выше кри-
критерий, однако в этом случае установлено, что семейство
предполных классов является континуальным, что ис-
исключает возможность получения эффективных критери-
критериев полноты в указанных терминах. Заметим, что во всех
описанных случаях существуют конечные полные сис-
системы, и потому п. п. для произвольных систем автома-
автоматов сводится к п. п. для конечных систем автоматов.
С последним обстоятельством, как и выше, связана за-
задача об алгоритмич. разрешимости п. п. для конечных
систем конечных автоматов. Эта проблема может быть
обобщена: для данного автомата а и множества В тре-
требуется определить, может ли а быть получен из автома-
автоматов множества В при помощи заданного набора опера-
операций. Таким образом приходят к изучению предиката
Р(х, у) — «автомат х реализуется набором у». Установ-
Установлено, что проблема распознавания реализуемости ал-
алгоритмически неразрешима при любом фиксированном
а, т. е. одноместный предикат Р (а, у) нерекурсивен.
С другой стороны, при различных значениях В парамет-
параметра у предикат Р (х, В) может быть как рекурсивным, так
и нерекурсивным. В связи с алгоритмич. неразреши-
неразрешимостью п. п. для автоматов возникает задача об отыска-
отыскании классов множеств, для к-рых указанная проблема
имеет эффективное решение. В частности, существует
алгоритм для распознавания полноты систем, состоящих
только из автоматов Мура и всех истинностных автома-
автоматов. С п. п. связана задача нахождения конкретных
полных множеств автоматов с заданными свойствами.
Установлено, что для любого натурального п существу-
существует полная система автоматов, никакая собственная под-
подсистема к-рой не является полной, и таких систем при
заданном п бесконечно много. Существует также в
нек-ром смысле простейший автомат с двумя состояния-
ми, двумя входными и одним выходным каналами, к-рыи
образует полную систему. П. п. рассматривается также
для различных обобщений конечных автоматов и опера-
операций над ними; другое направление обобщений связано с
введением различных отношений эквивалентности в рас-
рассматриваемом классе автоматов.
Лит.: [1] Яблонский С. В., «Тр. матем. ин-та АН
СССР», 1958, т. 51, с. 5—142; [2] К у д р я в ц е в В. В., «Проб-
«Проблемы кибернетики», 1962, в. 8, с. 91—115; [3] его же, там
же, 1965, вып. 13, с. 45—74; [4] К р а т к о М. И., «Алгебра
и логика. Тр. семинара», 1964, т. 3, № 2, с. 33—44; [5] Л е-
т и невский А. А., Условия полноты в классе автома-
автоматов Мура, К., 1963; [6] Б у е в и ч В. А., «Проблемы кибер-
кибернетики», 1970, в. 22, с. 75—83. В. Б. Кудрявцев.
АВТОМАТОВ СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ — варианты
описания автоматов, их функционирования или пове-
поведения. А. с. з. зависят от подхода к определению поня-
понятия автомата. При макроподходе (см. Автомат конеч-
конечный) описывается внешнее поведение автомата; при
микроиодходе задание должно содержать описание эле-
элементов, из к-рых строится автомат, и схемы их соедине-
соединения. Ниже приводятся способы задания конечных авто-
автоматов.
Макроподход. В этом случае задать конечный автомат
31= (A, S, В, ф, ty) при условии, что заданы алфавиты
А={а1, ..., ат), S={Sl, ..., sn}, B^bj, ..., bk), ~
значит описать функции ф и i|) или описать поведение
этого автомата (см. Автомата поведение). Для задания
функций ф и if> обычно используют таблицу переходов,
диаграмму переходов или матрицу переходов. Таб-
Таблица переходов Т автомата 91 состоит из двух
подтаблиц Гф= \\tfj\\ и 7>= \\tfj\\, i=l, ..., п, /= 1 т,
*i/€^t Vj?B. Функции ф и if> определяются как
(p(sj, uj) — tfj, i|)(s,-, aj)=tfj. Если все столбцы Т^ совпа-
совпадают, то таблица Т задает автомат Мура. Напр.,
пусть Ао= {аи а2}, So= {su s2], Bo= {bl7 Ь2); тогда таб-
таблица Т (рис. 1) задает функции ф0 nip0 нек-рого автомата
№ (на рис. 2 показаны подтаблицы Гф и Ту таблицы Г).
*¦
s2
s2, b,
! •.
| *2,*2
T
1 S| , U2
1
h
s2
«I
s2
o2
s2 s,
«¦
0, j 02
*2 | *2
I
Рис. 1
Рис. 2
Диаграмма автомата (диаграмма
переходов автомата) — это ориентирован-
ориентированный граф G, вершинам к-рого взаимно однозначно соот-
соответствуют элементы S, а ребрам приписаны нек-рые
множества пар вида (а, Ь), а?А, Ь?В. Из каждой вер-
вершины G исходит по крайней мере одно ребро; при этом
множество Щ всех пар, приписанных ребрам, исходя-
исходящим из одной вершины, имеет вид 91= {(%, Ь^), (я3,
6| ), .. ., (ат, Ъ^ )}. Функции ф и-я|) определяются сле-
следующим образом: ф(в/, aj) — sr, i|)(s,-, aj)=bp, если ребру,
исходящему из вершины ^ к
S{, приписана пара (а,-,
Ър) и это ребро ведет в (а|.*2)
вершину sr. Нек-рые
свойства автоматов удоб-
удобно формулировать на Рис- з.
языке диаграмм (связность автомата, достижимость
состояний и т. п.). На рис. 3 представлена диаграмма
переходов автомата ЭД°.
Матрица переходов используется для опи-
описания функционирования переходной системы (A, S, ф)
(см. Автомат конечный). Она представляет собой
(«X ге)-матрицу P—\)P[j\\, элементами к-рой являются
подмножества алфавита А (может быть, пустые) такие,
что a?Pij тогда и только тогда, когда (p(s,-, a) = s;- и,
следовательно, для всякого j=l, 2, ..., re имеет место
Pip[\Pir=<l> при рфг и U/=i^>i7=j4- Чтобы распростра-
распространить функцию ф на множество SXA* (А* — множество
всех слов в алфавите А, включая пустое слово), рас-
рассматривают последовательность степеней матрицы Р.
Умножение матрицы Р на себя производится по обыч-
обычному алгоритму с использованием вместо операций ум-
умножения и сложения операций произведения (к о н-
к а т е н а ц и и) и объединения множеств слов. Если
а?А* — слово длины d и a?Pij\ где .Pi/'— элемент
матрицы Pi, то (p(s/, a) = Sj. Так, матрица переходов Р
переходной системы (Ао, So, ф0) и матрица Р2 имеют,
соответственно, вид:
«2 I, „*_ „^ „__„
{e2ai, eii2} {a2a2> aiai}
С указанными А. с. з. связан ряд алгоритмов миними-
минимизации (приведения) и синтеза автоматов.
Для задания поведения инициального (не обязатель-
обязательно конечного) автомата 91$, (преобразователя) необхо-
необходимо описать функцию
f(a)=ty(s1, а), отображаю-
отображающую А* в В* (или А°° в
В"", гдеЛ°°, В°° — множест-
множества всех сверхслов в алфа-
алфавитах А и В, соответствен-
соответственно). Эта функция может
быть задана информационным деревом.
Из каждой вершины информационного дерева исхо-
исходит т ребер, взаимно однозначно соответствующих
буквам алфавита А. Каждой вершине приписано со-
состояние автомата 91s,, а каждому ребру — буква ал-
алфавита В следующим образом. Корню приписано со-
состояние st. Если нек-рой вершине приписано состояние
Sj, то ребру, соответствующему букве а из А , приписана
буква b~\p(s(, а) и вершине, в к-рую ведет это ребро,
приписано состояние Sj-=(p(S[, а). Каждому слову а=
=а1а2.. .аг?А* соответствует единственная последо-
последовательность p=Pip2.. .pr ребер этого дерева такая, что
рх исходит из корня и p,+i исходит из вершины, в к-рую
ведет р,-. Слово P=PiP2.. .$г, где E,- — буква из В, при-
приписанная ребру р,-, i=l, ..., г, совпадает со значением
if>(sx, а). Если функция / реализуется конечным автома-
автоматом, то соответствующее информационное дерево может
быть задано эффективно своим конечным поддеревом.
На рис. 4 изображено поддерево информационного де-
дерева, задающее поведение инициального автомата 91°
(левые ребра, исходящие из вершин, соответствуют сим-
символу а1, правые — символу а2).
Описание поведения конечного автомата (акцептора)
в терминах представимого события (сверхсобытия) мо-
может быть сделано с помощью регулярного выражения
(см. Регулярное событие). Такие события могут быть
также заданы как множества слов, порождаемых (выво-
(выводимых) в нек-рой формальной системе (полу-Туэ грам-
грамматике и т. п.). Система полу-Туэ в этом случае задается
четверкой Т= (A, S, ?, со), где А, S — конечные алфа-
алфавиты, A |~M=0, % — аксиом схема вида s0X и со —
множество схем правил вывода вида saX-*-s' X, r-*-r, где
s, s', r?S, a?A w X — переменная, принимающая зна-
значения из А*. При этом, если saX-*-s'X и saX-*-s"X при-
принадлежат со, то s' = s". Слово а?А* выводимо в системе
Г, если существует последовательность слов soa=w1,
w2, .. ., wn такая, что м?,- + 1 получается из и;,-, г=1, .. .,
га— 1, применением нек-рого правила из to, wn ? S и ш не
содержит правила wn-+-wn. Аналогичный вид имеет
грамматика, порождающая регулярное событие. Она
задается четверкой Т=(А , S, slt со), где s1 из S — аксио-
аксиома, to — множество правил вида s,—yas,-, либо Sj-^-a.
Слово а=ах.. .а„ выводимо в Г, если в ы имеются пра-
правила s1—^a1si , si-^-a2si , ..., s4 —>-а„. Известны алго-
алгоритмы, позволяющие получать матрицу переходов
автомата по формальным системам описанного типа.
Так, событие, представимое в акцепторе (Ао, So, ф0, sx)
состоянием s2, может быть, напр., задано как множест-
множество слов, выводимых в системе полу-Туэ, к-рая имеет вид:
>-s2X;
Существует ряд других А. с. з. Напр., переходная
система {A, S, ф), не обязательно конечная, может быть
задана как алгебра {S, Ф), гдеФ={фа|а?Л } есть мно-
множество унарных операций на 5 таких, что фа(«) = ф(а, s).
Так, переходную систему (Ао, So, ф0) можно рассматри-
рассматривать как алгебру (So, {фа„ фа2}), где фа,(«1)^«1.
4>al(s2) = s2i <Pa*(si) = s2'_ <Pa»(sa) = si- Можно также рас-
рассматривать алгебру (S, Ф), где S— множество слов
вида sa, s?S, a?A*, и Ф= {<ра\а?А} — множество
унарных операций на S таких, что (pa(sa) = saa. Алгебра
(S, Ф) задается системой образующих S и множеством
определяющих соотношений о>= {«,a, = s1a,-, 2=1, 2. . .}.
Такая алгебра задает автомат (вообще говоря, частич-
частичный) {A, S, ф) такой, что если s,a, = s,a,- — соотношение
из со, то ф(в(", a,-) —9(s,-, а,-). Напр., переходную систему
(Ао, So, ф0) можно задать системой образующих SB и
множеством определяющих соотношений @={.51=s1a1,
s1=s2a2, s2=s1a2, s^s^}. При этом предполагается,
что ф(«х, A) = su <p(s2, A) — s2.
Поведение автомата может быть описано средствами
языка логики одноместных предикатов. При этом выбор
класса формул, задающих конечные автоматы, осу-
осуществляется различными способами. Описание может
быть неполным, тогда оно определяет нек-рый класс
автоматов, поведение к-рых идентично с точностью до
этого описания. Напр., «анкетный» подход связан с за-
заданием класса автоматов с помощью фрагментов инфор-
информационных деревьев, частичного определения функций
фифит. п.
Указанные А. с. з. могут быть использованы с соот-
соответствующими модификациями при макроподходе к по-
поведению нек-рых обобщений конечных автоматов (не-
(недетерминированных, бесконечных и т. п., см. Автомат).
Так, элементами таблицы Гф конечного недетерминиро-
недетерминированного автомата могут быть произвольные подмножест-
подмножества множества S. Поведение конечного недетерминиро-
недетерминированного акцептора описывается регулярным выраже-
выражением, как и в детерминированном случае. Другими обоб-
обобщениями конечных автоматов являются конечные авто-
автоматы вероятностные, автоматы над термами, мозаич-
мозаичные структуры и т. п.
Задать вероятностный автомат (A, S, В, ц), если из-
известны алфавиты А = {а1у ..., ат}, B={bl, ..., Ь^},
S^={s1, ..., sn], — значит при любых фиксированных i
и/ A<:г«:гс, 1<:/<:т) указать условную вероятностную
меру Hij(sr, bg) на множестве всех пар {sr, bq), r=l, . . ., re,
9=1, ..., к. Для этого обычно рассматривают систему
квадратных матриц с неотрицательными элементами
М<7,; = ||ц;М||, i, г = 1, ..., Щ / = 1, ..., т;
k
такую, что каждая матрица Mi—^q=xMq'i является
стохастической. Мера и, определяется так: ц,-у(«г, Ь9) =
= ц?'/. Вероятностный автомат {A, S, В, ц) рассматри-
рассматривается совместно с нек-рым начальным распределением
вероятностей на множестве S:
Иногда при задании вероятностных автоматов ограни-
ограничиваются либо указанием матриц М'', либо указанием
матриц Af/=||fi/,<?
где
i=l, . • ., га, g=l, . ¦ .1 к, /=1, .. ., m. Любая конечная
Маркова цепь может рассматриваться как конечный
вероятностный автомат, у к-рого матрицы Mi, ; = 1, ...,
т, совпадают. Ниже представлены система матриц, за-
задающая нек-рый вероятностный автомат ЭД (ге=2, fe=2,
т=2), и матрицы М1, М2, М1, М2 этого автомата:
1 1
4 4
1 1
4 2
1 1
4 4
1 1
T 2
1 1
2 ~^~
1 3
4 4
1 1
Т Т
, М i2 —
, М 2.2 =
, м2 =
„
, л? =
1 2
3 3
1 1
5 5
0 0
2 1
5 5
1 2
3 3
3 2'
5 ~5~
1 0
2 3 •
5 5
Чтобы задать конечный автомат над термами (A, S, а,
аа), когда известны алфавиты А = {а1, ..., ат}, S —
= {sl, ..., sn}, необходимо, во-первых, указать отобра-
отображение а множества А в конечное множество неотрица-
неотрицательных целых чисел, причем так, чтобы существовал
хотя бы один элемент а?А такой, что ст(а) = 0, a во-вто-
во-вторых, для всякого ai^-A , i=l, . • ., т, требуется опреде-
определить cf (а,)-местную функцию аа., отображающую мно-
множество [S\at-ai)=SX.. .XS в S. Каждому элементу
а?А такому, что ст(а) = 0, ставится в соответствие эле-
элемент aa?S, наз. начальным состоянием автомата.
Напр., еслиЛ = {а1, а2}, 5= {$i, s2}, o(o1) = 0, а(а2) = 2,
^йг=^51' ^а2\51» Sl)~52» ^•az\slt S2f 51? ^«2(^2^ 5l)"s2»
ай2(.?2, s2) = s2, то функции cf, ааг, ааг задают нек-рый
автомат над термами (A, S, а, {а,а1, ааз}) с начальным
состоянием su.
Чтобы задать мозаичную структуру (бесконечное
соединение переходных систем вида (A, S, ф), где Л =
= Sr, см. Автомат), необходимо для каждой целочис-
целочисленной точки re-мерного пространства определить конеч-
конечное упорядоченное множество целочисленных точек —
ее окрестность. При этом входной алфавит А переход-
переходной системы (A, S, ф), помещенной в нек-рую точку,
есть декартово произведение множеств состояний пере-
переходных систем, помещенных в точки ее окрестности.
Напр., пусть S={s1, s2} и для всякой целочисленной
точки двумерного пространства (а, E) ее окрестность
Da.fi есть упорядоченное множество {(а—1, E), (а,
E+1), (а+1, Р)}. Чтобы задать однородную двумерную
мозаичную структуру, определяют функцию ф следую-
следующим образом: (f(s1, sx, «1) = s1, (f(sr, s", s"') = s2 в остальных
случаях. Входной алфавит А в данном случае — декар-
декартово произведение SXSXS.
Микроподход. При микроподходе задать структурный
автомат — значит описать элементы, из к-рых он по-
построен, и схему их соединения. Описание может произ-
производиться на различных уровнях детализации. Часто ог-
ограничиваются рассмотрением так наз. канониче-
канонической схемы построения автоматов; при этом эле-
элементы делят на две группы — функциональ-
функциональные элементы (автоматы с одним состоянием) и
элементы памяти. Канонич. схема (рис. 5)
состоит из двух функциональных блоков / и g с присо-
присоединенными к ним элементами памяти, в качестве к-рых
используются автоматы Мура: 31,= (Я,-, 5,-, Qi, ф,-, ip,-),
г=1, ..., I. Блоки / и g построены из функциональных
элементов. При данном способе задания структуру
этих блоков не описывают, а задают (напр., таблично)
реализуемые ими вектор-функции:
., хп,
., хп, щ, ..., и,), ...,
., г„, мх, ..., ис)):
где Ап и В'п —, соответственно, входной и выходной
алфавиты канонич. схемы. Эта схема задает структур-
х
У/
Рис. 5. Рис. 6.
ный автомат {Ап, S, Вт, ф, if>), где S=StX.. .XSh
а функции ф и -ф определяются следующим образом:
b/ = ff/ K, . . ., an, % (s^, . . ., % (st)).
Важным примером структурных автоматов являются
логич. сети (см. Автомат конечный). На рис. 6 представ-
представлена канонич. схема автомата {А , S, В, ф, 1|з), изоморф-
изоморфного автомату 31°, диаграмма к-рого изображена на рис. 3,
A = S=B={0,l}. Автомат 31'= E, 5, S, <р', -ф'> -
автомат Мура такой, что ф'A, z)=z, ф'@, z) = z.
Для описания структурных автоматов часто исполь-
используются канонические уравнения, т. е.
системы вида:
ui A)=*о.
ut(i)=s0,
=/i К(*), •••, «/
, '.. \,'x'n (/))"
где t=\, 2, ... — целочисленный параметр, «0??, а
функции /,-, i=l, .. ., i, ^,-, i=l, .. ., т, и переменные гл,
г^1, .¦•, ге, принимают значения из множества А . Этой
системе соответствует канонич. схема, в к-рой все эле-
элементы памяти совпадают: Щ,-=(Л, S, В, ф, if>, ^0), где
A = S=B, i=l, ..., I; cp(o, o') = o',ij)(o, a') = a. Функцио-
Функционирование автомата 91,- содержательно может быть опи-
описано следующим образом. Пусть в момент времени t
входу 91,- приписана буква a(t), тогда эта же буква
будет приписана выходу 31,- в момент г+1. На рис. 6
представлен автомат 31, канонич. уравнения к-рого име-
имеют вид:
иA) = 0,
(t) (mod 2),
y{t)=x(t) V u(t).
В общем случае описание структурных автоматов свя-
связано с заданием набора элементарных автоматов и не-
к-рого класса «правильно устроенных» схем (сетей),
причем последние обычно определяются индуктивно.
Лит.: [1] Автоматы. Сб. статей, пер. с англ., М., 1956; [2]
Глушков В. М., Синтез цифровых автоматов, М., 1962.
В. А. Буевич, С. В. Алешин.
АВТОМАТОВ ТЕОРИЯ — раздел теории управляю-
управляющих систем, изучающий математич. модели преобразова-
преобразователей дискретной информации, называемые автоматами.
С определенной точки зрения такими преобразователя-
преобразователями являются как реальные устройства (вычислитель-
(вычислительные машины, автоматы, живые организмы и т. д.), так
и абстрактные системы (математич. машины, аксиома-
тич. теории п т. д.). А. т. возникла в сер. 20 в. в связи с
изучением автоматов конечных, как математич. моделей
нервных систем, и вычислительных машин. В дальней-
дальнейшем класс объектов и проблематика А. т. существенно
расширились, включив нек-рые понятия и задачи дру-
других разделов математики. Наиболее тесно А. т. связана
с алгоритмов теорией, в частности с теорией абстракт-
абстрактных машин, поскольку автоматы можно рассматривать
как частный случай последних.
Большинство задач А. т.— общие для основных ви-
видов управляющих систем. К ним относятся задачи ана-
анализа и синтеза автоматов, задачи полноты, минимиза-
минимизации, эквивалентных преобразований автоматов и др.
Задача анализа состоит в том, чтобы по заданному
автомату описать его поведение или по неполным дан-
данным об автомате и его функционированию установить те
или иные его свойства (см. Автомата поведение, Экспе-
Эксперименты с автоматами). Задача синтеза автоматов со-
состоит в построении автомата с наперед заданным пове-
поведением или функционированием (см. Синтеза задачи).
К этой задаче примыкают проблемы, связанные с оцен-
оценкой сложности автоматов, обладающих заданным пове-
поведением, а также с построением алгоритмов, дающих в
определенном смысле оптимальные автоматы (см. Авто-
Автоматов минимизация). Кроме того, применительно к
классам исходных автоматов или автоматных отобра-
отображений возникает проблема полноты (см. Функциональ-
Функциональные системы, Автоматов полные системы). Задача эк-
эквивалентных преобразований ставится как для автома-
автоматов, так и для различных заданий их поведения (см.
Эквивалентные преобразования). Помимо перечисленных
постановок задач, общих для многих управляющих сис-
систем, в А. т. имеются специфич. проблемы, характерные
для автоматов. Так, в зависимости от условий задачи
поведение автоматов удобно задавать на разных языках
(регулярные выражения, канонич. уравнения, язык ло-
логики предикатов и т. д., см. Автоматов способы зада-
задания), в связи с чем важными задачами являются выбор
достаточно удобного адекватного языка и перевод с
одного языка на другой. В тесной связи с задачами син-
синтеза и эквивалентных преобразований находится задача
минимизации числа состояний автомата, а также полу-
получение соответствующих оценок. Для конечных автома-
автоматов выработаны достаточно простые алгоритмы, позво-
позволяющие по регулярным выражениям получать автома-
автоматы, представляющие соответствующие события и имею-
имеющие минимальное возможное число состояний (см. Авто-
Автоматов минимизация). Близкий круг вопросов возникает
в связи с моделированием доведения автоматов одного
класса автоматами другого класса. Здесь также пред-
представляют интерес вопросы минимизации моделирующих
автоматов и оценки их сложности. Напр., при перехо-
переходе от недетерминированного автомата (источника), пред-
представляющего (порождающего) регулярное множество
слов, к конечному автомату, представляющему это же
множество, число состояний может возрастать как по-
показательная функция. Специальный раздел А. т. связан
с так наз. экспериментами с автоматами. Основная за-
задача здесь состоит в том, чтобы получить определенные
сведения о строении автомата путем наблюдения его
реакции на те или иные внешние воздействия. При этом
возникает большой круг задач, связанный с классифи-
классификацией экспериментов и с вопросами разрешимости за-
задач определенными видами экспериментов, а также с
оцепками длин минимальных экспериментов, достаточ-
достаточных для решения тех или иных задач. Понятие экспери-
эксперимента с автоматами используется также в задачах конт-
контроля автоматов (см. Надежность и контроль управляю-
управляющих систем). В разделах игры автоматов и автоматов
поведение в случайной среде рассматриваются вопросы
взаимодействия автоматов друг с другом или с опреде-
определенными внешними средами. Многие из перечислен-
перечисленных выше задач могут рассматриваться как массовые
(алгоритмические) проблемы. Для конечных автоматов
большинство из них имеет положительное решение.
А. т. находит применение как в других областях ма-
математики, так и в решении практич. задач. Напр., сред-
средствами А. т. доказывается разрешимость нек-рых фор-
формальных исчислений. Применение методов и понятий
А. т. к изучению формальных и естественных языков
привело к возникновению раздела теории алгоритмов —
математической лингвистике. Понятие автомата может
служить модельным объектом в самых разнообразных
задачах, благодаря чему возможно применение А. т.
в различных научных и прикладных исследованиях.
Лит.: [1] Автоматы. Сб. ст., пер. с англ., М., 1956; [2]
Глушков В. М., Синтез цифровых автоматов, М., 1962;
[3] Трахтенброт Б. А., Барздинь Я. М., Конеч-
Конечные автоматы, М., 1970. В. Б. Кудрявцев, Ю. И. Янов.
АВТОМАТОВ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ — отношение
эквивалентности на множестве автоматов, возникающее
в связи с изученном тех или иных содержательных
свойств автоматов. Обычно таким свойством является
автоматов поведение, так что два автомата считаются
эквивалентными, если они имеют одинаковое поведение.
При этом в качестве поведения автомата, как правило,
рассматривается система функций, реализуемых авто-
автоматом (см. Автомат конечный). Для конечных автома-
автоматов такое отношение эквивалентности разрешимо, и по-
потому существует алгоритм минимизации автоматов, т. е.
построения для заданного автомата эквивалентного ему
автомата с минимальным числом состояний (минималь-
(минимального автомата).
Для определения А. э. удобно использовать понятие
эквивалентности состояний: состоя-
состояния s и s' соответственно автоматов 31 и ЗГ (быть мо-
может, совпадающих) наз. эквивалентными, если иници-
инициальные автоматы 315 и 3ls' реализуют одну и ту же
функцию. Тогда эквивалентность автоматов 31 и ЗГ
равносильна тому, что для любого состояния автомата
31 найдется эквивалентное ему состояние автомата 31',
и обратно. Автомат является минимальным тогда и
только тогда, когда любые два его состояния неэквива-
неэквивалентны. Для любого автомата минимальный автомат
определяется однозначно с точностью до изоморфизма.
Алгоритм разрешения этого отношения эквивалентности
для конечных автоматов основывается на теореме
Мура о том, что состояния s и s' автомата 31 эквива-
эквивалентны точно тогда, когда функции, реализуемые ини-
инициальными автоматами 31^ и 3lS', совпадают на словах
длины ге—1, где п — число состояний автомата 31.
В случае, когда состояния s и s' принадлежат, соответ-
соответственно, двум автоматам 31 и ЗГ, эта оценка равна
ге+и' — 1, где п' — число состояний автомата 31'. На
этой же теореме основан известный алгоритм минимиза-
минимизации конечных автоматов, состоящий в построении так
наз. приведенного автомата, состояниями
к-рого являются классы эквивалентных состояний, а
функции переходов и выходов естественно индуцируют-
индуцируются соответствующими функциями исходного автомата.
Приведенный автомат является минимальным, посколь-
поскольку любые два его состояния неэквивалентны.
Существуют асимптотич. оценки числа А (т, п, р)
минимальных автоматов с п состояниями, т входными
и р выходными буквами; при условии, что m-j-re+p—>-oo
П
для пС^Ъ имеет место оценка А (т, п, р)--
п\
2„
время как А B, п, р)~е ^р2-^Щ^— . Другой задачей,
связанной с изучением А. э., является проблема эквива-
эквивалентных преобразований автоматов. Эта задача рассмат-
рассматривалась применительно к двум формам задания конеч-
конечных автоматов — диаграммам и логическим сетям. В об-
общем виде она состоит в том, чтобы найти систему правил
преобразований, удовлетворяющих определенным ус-
условиям и позволяющих преобразовать произвольный ав-
автомат в любой эквивалентный ему автомат,— т. н. пол-
полную систему правил. В обоих случаях правило преоб-
преобразования представляет собой пару схем (фрагментов
диаграмм пли логич. сетей), реализующих одинаковые
наборы отображений. Применение такого правила со-
состоит в замене одного фрагмента другим. Для конечных
автоматов полной системы таких правил не существует.
Однако для логич. сетей с ограниченным числом задер-
задержек такая система существует.
Основные понятия, проблематика я методы, возни-
возникающие при изучении эквивалентности конечных авто-
автоматов, как правило, переносятся п на другие типы ав-
автоматов с учетом их особенностей.
Лит. см. при статье Автомат.
В. В. Кудрявцев, Ю. 11. Янов.
АВТОМОРФИЗМ — изоморфизм (изоморфное ото-
отображение) нек-рой системы объектов на себя. Совокуп-
Совокупность всех А. произвольной алгебранч. системы яв-
является группой; изучение этой группы служит важным
и удобным орудием изучения свойств самой системы (см.
Алгебраической системы автоморфизм).
АВТОМОРФНАЯ ФОРМА — мероморфная функция
в ограниченной области D комплексного пространства
Сп, удовлетворяющая относительно некоторой дискрет-
дискретной группы Г, действующей в этой области, уравнению:
где jy(x) — якобиан отображения х—*у(х), am — целое
число, наз. весом автоморфной фор мы.
Если группа Г действует без неподвижных точек, то
А. ф. определяют дифференциальные формы на фактор-
пространстве D/T и обратно. С помощью А. ф. можно
строить нетривиальные автоморфные функции. Оказы-
Оказывается, что если g(x) — голоморфная и ограниченная
в области D функция, то ряд
2у6 г *<?(*))/?•(*>
сходится при больших т, давая тем самым нетривиаль-
нетривиальную А. ф. веса т. Эти ряды наз. тета-рядами Пуанкаре.
Приведенное выше классич. определение А. ф. по-
послужило в последнее время исходным пунктом для весь-
весьма широкого обобщения этого понятия в теории ди-
дискретных подгрупп групп Ли п групп аделей (см.[3]).
Лит.: [1]Пуанкаре А., Избр. труды, т. 3, пер. с франц.,
М., 1974; [2] 3 и г е л ь К. Д., Автоморфные функции несколь-
нескольких комплексных переменных, пер. с англ., М., 1954; [3] Ариф-
Арифметические группы и автоморфные функции, цер. с англ. и
франц., М., 1969. А. Н. Паршин.
АВТОМОРФНАЯ ФУНКЦИЯ - мероморфная функ-
функция нескольких комплексных переменных, инвариант-
инвариантная относительно некоторой дискретной группы Г
аналитич. преобразований данного комплексного много-
многообразия М:
/(V (*))=/(*),
Часто под А. ф. понимают лишь функции, определен-
определенные в ограниченной связной области D re-мерного комп-
комплексного пространства С", инвариантные относительно
дискретной группы Г автоморфизмов этой области.
Факторпространство Х—М/Г может быть наделено
комплексной структурой и А. ф. суть мероморфные
функции на X. Подавляющее большинство изученных
случаев относится к ситуации, когда пространство X
имеет компактификацию X. В определение А. ф. ес-
естественно включается тогда требование ее продолжимо-
продолжимости на все пространство X в виде мероморфной функции.
Если M=D (т. е. ограниченная связная область), то
это условие необходимо требовать лишь при гс= 1 (если
и>1 или М/Г компактно, условие выполняется автома-
автоматически). Легко проверяется, что А. ф. образуют поле
К (Г), изучение к-рого составляет одну из основных за-
задач теории А. ф.
Наиболее подробно исследованы А. ф. одного пере-
переменного. Основы их теории заложены в 19 в. Ф. Клей-
Клейном (F. Klein [1]) и А. Пуанкаре (Н. Poincare [2]). В ка-
качестве многообразия М здесь обычно рассматривают
односвязную область. Различаются три случая: М=
= Р1{С) (комплексная проективная прямая, или сфера
Римана), М=С и М=Н (верхняя полуплоскость
{z?C : Imz>0}). В первом случае дискретные группы Г
конечны, кривые М/Г суть алгебраич. кривые рода О
(см. Род кривой) и, следовательно, А. ф. образуют ноле
рациональных функций. Примерами А. ф. в случае
М— С служат периодич. функции (так, функция е2П1г
инвариантна относительно группы сдвигов {z—>-z-j-«,
re?z}) и, в частности, эллиптич. функции. Для послед-
последних кривая М/Г компактна и является эллиптич. кри-
кривой. Поле К (Г) в этом случае будет полем всех алгебра-
алгебраич. функций на М/Г. Наконец, для М=Н и дискрет-
дискретных групп Г таких, что Н/Г компактно или имеет ко-
конечный объем (в метрике Пуанкаре), Н/Г — алгебраич.
кривая, а К (Г) — также поле всех алгебрапч. функ-
функций на М/Г. Род g этой кривой можно определить,
построив для группы Г фундаментальную область в
виде многоугольника на верхней полуплоскости Н (рас-
(рассматриваемой как плоскость Лобачевского). Основной
способ построения А. ф. в этой ситуации состоит в рас-
рассмотрении отношения двух автоморфных форм одинако-
одинакового достаточно большого веса. Этот способ принадле-
принадлежит А. Пуанкаре, к-рый доказал с его помощью приве-
приведенные выше результаты о строении полей А. ф. (см.
[2], [3], [4]). Аналогом этой конструкции для эллиптич.
функций является представление их в виде отношения
тета-функций. С помощью теории униформизации мож-
можно показать, что таким образом получаются все поля
алгебраич. функций от одной переменной [3].
Эти результаты, полученные еще в 19 в., дают полное
описание полей А. ф. для ге=1 и таких групп Г, что
пространство Н/ Г имеет конечный объем. Случай групп
Г с бесконечным объемом пространства Н/Г (клейновы
группы) гораздо сложнее и интенсивно изучается вплоть
до настоящего времени (см. [5], [6]).
В 20 в. основное внимание в теории А. ф. уделяется
функциям нескольких переменных. Пожалуй, единст-
единственным примером А. ф. от п переменных, детально изу-
изученным в 19 в., являются абелевы функции, связанные
с абелевыми многообразиями подобно тому, как связа-
связаны эллиптич. функции с эллиптич. кривыми [1], [7].
Первым примером А. ф. п переменных в ограниченной
области D явились модулярные функции Зигеля [7]
(см. Модулярная группа). Их область определения пред-
представляет собой re-мерное обобщение верхней полуплос-
полуплоскости // и является одним из основных примеров огра-
ограниченной симметрии, области. К. Зигелю (С. Siegel)
принадлежат также первые общие результаты о произ-
произвольных А. ф. в ограниченной области D. Обобщая упо-
упомянутую выше конструкцию Пуанкаре построения
А. ф., он показал, что в поле К (Г) всегда существует
по крайней мере п алгебраически независимых функций.
В дальнейшем основные усилия были направлены на
выяснение, для каких областей D и групп Г выполняет-
ся следующее утверждение, получившее название тео-
теоремы об алгебраических соотноше-
соотношениях. Если /i, ..., /п — алгебраически независимые
функции, то поле К (Г) есть конечное алгебраич. рас-
расширение поля рациональных функций С(/ь ..., fn)c
СЛ'(Г).
Теорема эта доказана к настоящему времени A977)
в следующих случаях: 1) если факторпространство DlV
компактно [7]; 2) если группа Г псевдовогнута [8];
3) если D — симметрическая область, а Г — арифмети-
арифметическая группа. Псевдовогнутая группа
определяется следующим образом. Пусть X — подоб-
подобласть области D, содержащаяся в ней вместе с замыка-
замыканием. Тогда точка границы хо?дХ наз. исевдовогнутой,
если для любой открытой окрестности U точки х0 и для
любой регулярной в U функции ц>(х) существует точка
x?U[)X такая, что |ф(г)|^|ф(го)|. Группа Г наз. псев-
псевдовогнутой, если существует подобласть XdD такая,
что каждая граничная точка х ? дХ переводится преоб-
преобразованием из Г либо во внутреннюю точку, принадле-
принадлежащую X, либо в псевдовогнутую точку границы дХ.
Вопрос о природе и свойствах алгебраич. многообра-
многообразий, возникающих в теории А. ф. п переменных, в от-
отличие от случая одной переменной, исследован мало.
Важные обобщения понятия А. ф. — автоморфные
формы, mema-функции и нек-рые др. Все они — частные
случаи следующей общей конструкции. Рассматривает-
Рассматривается расслоение L на М и действие на нем группы Г. Тогда
можно определить сечения расслоения L, инвариантные
относительно Г. А. ф. получаются, когда расслоение L
и действие группы Г тривиальны.
При изучении А. ф. выявилась важная роль группы
автоморфизмов области D. Именно на этом пути поня-
понятия и методы теории А. ф. были перенесены в теорию
алгебраических групп, где они играют существенную
роль при описании бесконечномерных представлений
(см. [10]).
С самого начала своего развития теория А. ф. была
богата связями с другими разделами математики. Преж-
Прежде всего сюда относится алгебраич. геометрия. Помимо
упомянутых выше результатов, методы А. ф. важны для
исследования многообразий модулей таких объектов,
как алгебраич. кривые и абелевы многообразия. Су-
Существенное значение имеют А. ф. и для теории чисел.
В настоящее время они служат единственным инстру-
инструментом для изучения дзета-функций алгебраич. много-
многообразий (см. [11]). Другое весьма многообещающее
теоретико-числовое направление в теории А. ф. —
исследование р-адических А. ф. и автоморфных форм
(см. [9]). Наконец, следует упомянуть о применении
А, ф. при исследовании обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений в комплексной области [12], или о по-
построении решений алгебраич. уравнений выше 4-й сте-
степени посредством автоморфных функций.
Лит.: [1] Клейн Ф., Лекции о развитии математики
в XIX столетии, пер. с нем., ч. 1, М.— Л., 1937, гл. 8; [2] П у-
анкаре А., Избр. труды, т. 3, пер. с франц., М., 1974;
[3] Форд Л. Р., Автоморфные функции, пер. с англ., М,—Л.,
1936; [4] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцен-
трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции,
функции Ламе и Матье, пер. с англ., М., 1967; [5] А д а м а р Ж.,
Неевклидова геометрия в теории автоморфных функций, пер.
с франц., М., 1952; [6] К р а И., Автоморфные формы и клей-
новы группы, пер. с англ., М., 1975; [7] 3 и г е л ь К. Л., Авто-
Автоморфные функции нескольких комплексных переменных, пер.
с англ., М., 1954; [8] Андреотти А., Г р а у е р т Г.,
Алгебраические поля автоморфных функций, в кн.: Комплекс-
Комплексные пространства, М., 1965; [9] Modular functions of one vari-
variable, v. 1—3, В., 1973; [10] ЖакеЭ., ЛенглендсР., Авто-
Автоморфные формы на GL B), пер. с англ., М., 1973; [11] Ш и-
м у р а Г., Введение в арифметическую теорию автоморфных
функций, пер. с англ., М., 1973; [12] Голубев В. В., Лек-
Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений,
М., 1950. А. Н. Андрианов, А. Н. Паршин.
АВТОНИМИЯ — использование выражения (слова)
в качестве своего собственного имени. Такое употребле-
употребление выражения наз. автонимным (в противопо-
ложность его употреблению в своем обычном смысле).
Напр., говоря «х входит в уравнение х-\-3 = 2», мы ис-
используем х в качестве имени для буквы х, а ж-)-3=2 —
в качестве имени для выражения ж+3=2. Говоря «12
делится на 2», мы употребляем выражение 12 неавто-
нимно (как имя нек-рого упоминаемого натурального
числа), а говоря «12 состоит из двух цифр», мы употреб-
употребляем выражение 12 автонимно (как имя самого себя).
В естественных языках контекст речи и синтаксис
обычно являются достаточно надежными критериями
отличения автонимного употребления выражения от не-
неавто нимного его употребления. Однако возможны слу-
случаи, когда такое отличение затруднительно. В этих
случаях во избежание двусмысленностей приходится
соблюдать осторожность: отличать объект от его имени
(обозначения), отличать употребление нек-рого языко-
языкового выражения в качестве названия от его упоминания
в качестве предмета высказывания. Различение обозна-
обозначаемого и обозначающего может быть достигнуто ис-
использованием имен, образованных специально для этой
цели, или использованием кавычек, причем выражение,
заключенное в кавычки, считается отличным от этого же
выражения без кавычек. Автонимное употребление вы-
выражения означает слияние упоминания выражения с его
употреблением в качестве имени; выражение, исполь-
использованное автонимно,— это и объект, и средство называ-
называния этого же объекта.
Лит.: [1] Ч ё р ч А., Введение в математическую логику,
пер. с англ., т. 1, М., i960, § 8; [2] Клин и С. К., Введение
в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 224—25; [3] Кар-
р и X., Основания математической логики, пер. с англ., М.,
1969, С. 59—60. А. С. Кувичев.
АВТОНОМНАЯ СИСТЕМА обыкновенных
дифференциальных уравнений— си-
система обыкновенных дифференциальных уравнений, в
к-рую не входит явно независимое переменное ( (время).
Общий вид А. с. 1-го порядка в нормальной форме:
или, в векторной записи,
*=/(*). A)
Неавтономная система x=f(t, x) сводится к А. с, если
ввести новую неизвестную функцию х„ + 1=(. Историче-
Исторически А. с. возникли при описании физич. процессов с
конечным числом степеней свободы. А. с. наз. также
динамическими, или консервативны-
м и (см. Динамическая система).
Комплексная А. с. вида A) эквивалентна веществен-
вещественной А. с. с 2ге неизвестными функциями
¦i(Rez) = Re/(z), -^ (Imi) = lmf(x).
Содержательная теория комплексных А. с, отличная от
вещественного случая, имеет место в случае аналитиче-
аналитических f(x) (см. Аналитическая теория дифференциальных
уравнений).
Будем рассматривать А. с. с действительными коэффи-
коэффициентами и их действительные решения. Пусть я=ф (t) —
(произвольное) решение А. с. A), A=(f_, t + ) — ин-
интервал его определения, x(t; t0, ж0) — решение с началь-
начальными данными х I t_t —x°. Пусть G — область в R" и
/^СЦС). Точка x°?G наз. положением равно-
равновесия (точкой покоя) А. с. A), если /(я°)=0.
Положению равновесия отвечает решение <p(t)s=x0,
t?R = (-oo, +oo).
Локальные свойства решений.
1) Если cp(i) — решение, то ф(?+с) — решение при
любом c?R.
2) Существование: при любых @6"^> X°?G
решение x(t; t0, x°) существует на нек-ром интервале
АЭ
3) Гладкость: если f?Cp(G), р>1, то ф(«)€
4) Зависимость от параметров:
пусть /=/(ж, a), a?Gac:Rm (Ga — область); если
f?CP(GXGa), р>1, то x(t; t0, x°, a) ?С(AX Ga) (под-
(подробнее см. [1] — [4]).
5) Пусть х° не является положением равновесия, тог-
тогда существуют окрестности V, W точек х°, /(ж0), соответ-
соответственно, и диффеоморфизм y = h(x) : F—>-W такие, что
А. с. имеет вид у = const в W.
Замена переменных ж=ф(г/) в А. с. A) приводит к
системе
У — W (у))^11 (ф (</)) B)
W(у) ~~ Якоби матрица).
Глобальные свойства решений.
1) Любое решение x=(f(t) А. с. A) можно продолжить
на интервал А=B_, t + ). Если A=R, то решение наз.
неограниченно продолжаемым; если
*+ = + °°, ?_>— оо, то решение наз. неограни-
неограниченно продолжаемым «вперед по вре-
времени» (аналогично — «назад»). Если i+<+°°, то
для любого компакта KdQ, х°?К, существует т=
= т (/?)<? + такое, что точка x(t\ t0, х°) находится вне К
при t^>x(K) (аналогично при ?_>—оо; см. Продол-
Продолжаемость решений дифференциальных уравнений).
2) Продолжение единственно в том смысле, что любые
два решения с общими начальными данными совпадают
на общей области их определения.
3) Всякое решение А. с. принадлежит к одному из
трех типов: а) непериодическое, причем ф(*1)?=ф(*г)
для любых t^t2, tj?R; b) периодическое, непостоян-
непостоянное; с) ф(?)=сопз1.
Геометрическая интерпретация А. с.
Каждому решению x~<p(t) ставится в соответствие
кривая Г: ж=ф((), *?Д, лежащая в области G. Тогда G
наз. фазовым пространством А. с, Г— фазовой
траекторией, решение интерпретируется как
движение по фазовой траектории. Фазовым по-
потоком наз. отображение gt : G-+-G по формуле gtx°=
= x(t; 0, ха) (т. е. каждая точка сдвигается за время t
вдоль фазовой траектории). На своей области определе-
определения фазовый поток удовлетворяет условиям: 1) gtx
непрерывно по (t, x), 2) справедливо групповое
свойство: gti + t^x=gtigt2x.
Имеет место теорема Л и у в и л л я: пусть
DczG — область с конечным объемом, v^ — объем об-
области g^DczG; тогда
dv+ С
Для гамильтоновой системы из C) следует сохранение
фазового объема фазовым потоком. Другой вариант ра-
равенства C): пусть ж=ф(?, а) — семейство решений А. с.
A), а=(ах, ..., an-i)?Ga— область, ф^С1(ДХба);
тогда
-^т1п/(?, cx) = div/(?), C')
где I(t, a) = det dx/d(t, a).
Структура фазовых траекторий.
1) Любые две фазовые траектории либо не имеют об-
общих точек, либо совпадают.
2) Всякая фазовая траектория принадлежит к одному
из типов: а) гладкая простая незамкнутая жорданова
дуга, Ь) цикл, т. е. кривая, диффеоморфная окружно-
окружности, с) точка (положение равновесия). Локальная струк-
структура фазовых траекторий в малой окрестности точки,
отличной от положения равновесия, тривиальна (см.
локальное свойство 5) решений): семейство фазовых тра-
траекторий диффеоморфно семейству параллельных пря-
прямых. Для линейной А. с. структура фазовых траекторий
в окрестности положения равновесия известна, так как
А. с. интегрируема (см. [5]). Для нелинейных А. с. этот
вопрос принадлежит к числу не решенных до конца
проблем даже при ге=2 (см. Качественная теория диф-
дифференциальных уравнений). Одним из аспектов этой про-
проблемы является вопрос об устойчивости положения рав-
равновесия (см. Устойчивости теория). Ниже приведены
нек-рые результаты. Пусть х°, у0 — положения равно-
равновесия систем A) и
У=ё(у). (!')
U, V — окрестности точек х°, у0. Системы A) и A') наз.
эквивалентными в окрестности по-
положения равновесиях0,!/0, если существуют
U, V и взаимно однозначное отображение h : U-+-V та-
такие, что (hof)x^=(gtoh)x (если x?U, fx? U, (gtoh)x^ V),
т. е. при замене y — h(x) траектории А. с. A) пере-
переходят в траектории А. с. A'). Эквивалентность наз.
дифференцируемой (топологической),
если h есть диффеоморфизм (гомеоморфизм). Пусть х" —
положение равновесия А. с. A), матрица /'(ж0) невырож-
невырождена и не имеет чисто мнимых собственных значений.
Тогда А. с. A) в окрестности х° топологически эквива-
эквивалентна своей линейной части y=f'(x°)y. Полярный при-
пример: А. с. х=Ах, у = Ву, где А, В — постоянные мат-
матрицы с чисто мнимыми собственными значениями и ге>2;
неизвестно, когда эти А. с. топологически эквивалент-
эквивалентны. Одной из самых фундаментальных задач теории
А. с. является задача о структуре всего семейства фазо-
фазовых траекторий. Наиболее полные результаты получены
при п = 2, но даже в этом случае задача далека от своего
разрешения.
Лит.: [1]Петровский И. Г., Лекции по теории обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений, 6 изд., М., 1970;
[2] Понтрягин Л. С, Обыкновенные дифференциальные
уравнения, 2 изд., М., 1965: [3] Коддингтон Э. А.,
Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных
уравнений, пер. с англ., М., 195S; [4] Арнольд В. И.,
Обыкновенные дифференциальные уравнения, М., 1971; [5] Н е-
мыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная тео-
теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.— Л., 1949.
М. В. Федорюп.
АВТОРЕГРЕССИОННЫИ ПРОЦЕСС — случайный
процесс {Х^}, значения к-рого удовлетворяют при
нек-рых постоянных а1л .. ., ар уравнению авторегрессии
Xt^^Xt-i + .-. + apXt-p + Yt, (*)
где р — нек-рое положительное число, а величины Yt
обычно предполагаются некоррелированными и одина-
одинаково распределенными со средним 0 и дисперсией а2.
Если все нули функции ф(г) = 2/'— а^ь?-1— ... — ар
комплексного аргумента z лежат внутри единичного
круга, уравнение (*) имеет решение
где bv связаны с aj соотношением
Пусть, напр., {Yt} является процессом белого шума
со спектральной плотностью ст2/2л; тогда единственным
А. п., удовлетворяющим уравнению (*), будет стацио-
стационарный в широком смысле процесс {Xf} со спектральной
плотностью
если ф(ел) не имеет действительных нулей. Автокоеа-
риации процесса rft=EXfXt_/j удовлетворяют рекур-
рекуррентному соотношению
rk = airk-i+-~ + aprk-p, к > О,
и в терминах bv имеют вид
Параметры а^ авторегрессии связаны с коэффициентами
автокорреляции процесса Pfc = rfc/ro матричным соотно-
соотношением
где А = {а1, .,., ар)', рА,= (рь ..., рр) и Rp - матри-
матрица коэффициентов автокорреляции (уравнение Юна —
Уокера).
Лит.: [1] Grenander U., Rosenblatt M., Statis-
Statistical analysis of stationary time series, Stockh., 1956; [2] X e н-
на н Э., Анализ временных рядов, пер. с англ., М., 1964.
А. В. Прохоров.
АВТОРЕГРЕССИЯ — регрессионная зависимость
значений Хп нек-рой случайной последовательности
{Хп, п=0, ±1, ...} от предшествующих значений
Х„_ь Хп-2, ..., Хп-т. Схема линейной А. m-го по-
порядка определяется уравнением линейной регрессии Хп
по Х„_й, k=i, . . ., т, то есть
где р\, ..., Рт — постоянные, случайные величины 8„
одинаково распределены с нулевым средним, дисперси-
дисперсией а2 и некоррелированы (иногда независимы). Схема
А. служит полезной стохастич. моделью для описания
нек-рых временных рядов (впервые схема линейная А.
была введена Дж. Юлом, Yule G., 1921) для анализа вре-
временных рядов, к-рыми описывается система, осцилирую-
щая под воздействием внутренних сил и случайных уда-
ударов извне. Схема А. (*) может быть рассмотрена как
случайный процесс особого типа — авторегрессионный
процесс. А. В. Прохоров.
АДАМАРА ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛА — фор-
формула
g*(z, O=g(z, Q-
(s), z) d
для Грина функции g(z, J) re-связной области G (re=l,
2, ...) комплексной z-плоскости. А. в. ф. имеет место,
если: 1) граничные компоненты Г^= {z : z=(pfc(s)} обла-
области G суть дважды дифференцируемые замкнутые кри-
кривые Жордана, s — длина дуги на Г^, 0<:s<:^; 2) числа
е^, 8^>0, настолько малы, что лежащие в G концы от-
отрезков внутренних нормалей «(А) к Г/j длины RkVk(s)
образуют непрерывно дифференцируемые кривые, огра-
ограничивающие re-связную область G*, G*czG; 3) ?, есть
фиксированная точка в G*. А. в. ф. представляет функ-
функцию Грина g*{z, ?) области G* через g(z, ?) с равномер-
равномерной оценкой О (е2), е=тах е^, 0<:/с<:ге, остаточного чле-
члена в прямом произведении области G* и любого компак-
компакта из G. А. в. ф. применима и для функции Грина ко-
конечной римановой поверхности с краем.
Предложена Ж. Адамаром [1].
Лит.: [1] Hadamard J., «Mem. presenters par divers
savants a l'Acad. sci.», 1908, t. 33; [2] III и ф ф e p M., С п е н-
cep Д. К., Функционалы на конечных римановых поверх-
поверхностях, пер. с англ., М., 1957, гл. 7. И. А. Александров.
АДАМАРА МАТРИЦА — квадратная матрица
#=||Л,-/|| порядка ге, элементы Л,-у к-рой суть +1 или — 1,
и такая, что имеет место равенство
где Нт — транспонированная матрица Н, а Iп — еди-
единичная матрица порядка ге. Равенство (*) эквивалентно
утверждению, что любые две строки Н ортогональны.
А. м. названы по имени Ж. Адамара, доказавшего [1],
что определитель \А\ матрицы А = ||о/у|| порядка ге, эле-
элементы aij к-рой суть комплексные числа, удовлетворяет
неравенству Адамара:
где
a^j — элемент, сопряженный a^j (см. А дамара теорема
об определителях). В частности, если |о,-^|<ЛГ, то |Л|<
^.Мппп/2. Отсюда следует, что А. м. есть квадратная
матрица из ± 1 порядка п с максимальным абсолютным
значением определителя, равным пп/2. Свойства А. м.:
1) из ННТ=п1п следует НтН=п1„, и наоборот; 2) пере-
перестановка строк или столбцов и умножение элементов
к.-л. строки или столбца А. м. на — 1 сохраняют свой-
свойство матрицы быть А. м.; 3) прямое произведение двух
А. м. есть снова А. м., порядок к-рой равен произведе-
произведению порядков сомножителей. Иными словами, если А =
= ||о,-у|| и Д=||Ь,-у|| суть А. м. порядков тин соответст-
соответственно, то C=\\aijB\\ есть А. м. порядка т.п. А. м., у
к-рой первая строка и первый столбец состоят из +1,
наз. нормализованной. Порядок А. м. п= 1, 2
или гс=0 (mod 4). Нормализованные А. м. порядков 1
и 2 суть:
[I -I]'
Существование А. м. доказано для нескольких классов
значений ге (см., напр., [2], [3]). Предположение о су-
существовании А. м. для любого re=0(mod 4) остается
G0-е гг. 20 в.) недоказанным. Методы построения А. м.
рассмотрены в [2]. А. м. используются при построении
нек-рых типов блок-схем [2] и кодов [3]. Так, А. м. по-
порядка гс=4* эквивалентна адамаровой (i>=4?— I, b=
= 2*— 1, X=t— 1)-конфигурации.
Обобщенной A.m. наз. квадратная матрица
Н(р, h) порядка h, элементами к-рой являются корни
р-й степени из единицы и к-рая удовлетворяет равенст-
равенству
где НСТ — транспонированная матрица Н с сопряжен-
сопряженными элементами, a Ih — единичная матрица порядка
h. Для обобщенных А. м. справедливы свойства, ана-
аналогичные 1) и 3) (см. [4]).
Лит.: Ш Н a d a m a r d J., «Bull. sci. math.», 1893, ser.
2, t. 17, pt. 1, p. 240—246; [2] Холл М., Комбинаторика,
пер. с англ., М., 1970; [3] Питерсон У,, Коды, исправля-
исправляющие ошибки, пер. с англ., М., 1964; [4] В u t s о п А. Т.,
«Ргос. Amer. Math. Soc», 1962, v. 13, № 6, p. 894—898.
С. А. Рукова.
АДАМАРА ТЕОРЕМА — 1) А. т. о лакунах
(о пропусках): если номера пх, ге2, .. . всех отличных от
нуля коэффициентов степенного ряда
удовлетворяют условию
где 9>0, то граница круга сходимости этого ряда яв-
является его естественной границей, т. е. функция не мо-
может быть аналитически продолжена за пределы этого
круга. Условие (*) наз. условием Адамара;
лакуны, удовлетворяющие условию Адамара, наз. л а-
кунами Адамара. См. также Лакунарный ряд,
Фабри теорема.
Лит.: [1] Hadamard J., «J. math, pures et appl.»,
ser. 4, 1892, t. 8, p. 101—86; [2]Бибербах Л., Аналитиче-
Аналитическое продолжение, пер. с нем., М., 1967. Е. Д. Соломенцев.
2) А. т. о целых функциях— теорема о
представлении целых функций с помощью их нулей,
уточняющая Вейерштрасса теорему о бесконечных про-
произведениях в случае целой функции /(z) конечного по-
порядка р. Если, для простоты, /@)^=0, то
где Q(z) — многочлен степени не выше р, а
— каноническое произведение Вейерштрасса рода <?<:р,
построенное по нулям ад функции /(z). Иначе говоря,
А. т. утверждает, что род целой функции не превосхо-
превосходит ее порядка. Эта теорема использовалась Ж. Адама-
ром при доказательстве асимптотич. закона распределе-
распределения простых чисел.
Лит.: [1] Hadamard J., «J. math, pures et appl.»,
ser. 4, 1893, t. 9, p. 171—215; [2] M a p к у ш е в и ч А. И.,
Теория аналитических функции, 2 изд., т. 2, М., 1968, гл. 2;
[3] Левин Б. Я., Распределение корней целых функций,
М., 1956. Е. Д. Соломенцев.
3) А. т. об определителях: пусть D — оп-
определитель матрицы с элементами a^v, ц, v = l, ..., п.
Тогда имеет место неравенство
Равенство имеет место в том и только в том случае,
когда
Q. О, —]— Я й —J— . ~\— п d = U
111 VI ' IA2 V'2 ' ' \X,fl Vtl
для каждой пары различных ц, V, или когда хотя бы
один множитель в правой части (*) равен нулю. Гео-
метрич. смысл этой теоремы заключается в том, что объ-
объем параллелепипеда в re-мерном пространстве не превы-
превышает произведения длин его ребер, исходящих из одной
вершины, и что равенство имеет место, когда эти ребра
взаимно перпендикулярны или когда длина одного из
ребер равна нулю.
Ж. Адамар в [1] рассматривал эту задачу для опреде-
определителя с комплексными элементами.
Лит.: [1] Hadamard J., «Bull. sci. math.», 1893, ser.
2, t. 17, pt. 1, p. 240—6. О. А. Иванова.
4) А. т. о трех кругах: если /(z) — голоморф-
голоморфная функция комплексного переменного z=re'f в коль-
кольце 001002<°о, непрерывная в замкнутом кольце
ri<r<:r2, и М(r)=max |/(z)| при \z\ = r, то справедливо
неравенство
log -~ log —
log M (г) <: — log M [Г])-\ '-log M (г2),
log — log —-
г. г.
Это неравенство означает, что log M (г) есть выпуклая
функция от log г. А. т. является частным случаем двух
констант теоремы.
А. т. допускает обобщения в различных направлени-
направлениях, в частности обобщение для других метрик, для гар-
монич. и субгармонич. функций.
Лит.: [1] Hadamard J «Bull. Soc. math. France»,
1896, ser. 2, v. 24, p. 199—220; [2]Маркушевич А. И.,
Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968, гл. 6; [3]
Привалов И. И., Субгармонические функции, М.— Л.,
1937, гл. 3; [4] Соломенцев Е. Д., «Докл. АН
АрмССР», 1966, т. 42, ЛИ 5, с. 274—78. Е. Д. Соломенцев.
5) А. т. мультипликационная, А. т. об
умножении особенностей: если степенные
ряды
имеют, соответственно, радиусы сходимости rt>0 и г2>
>0, если S± и S2 — звезды Миттаг-Леффлера (см.
Звезда элемента функции), соответственно, для /(z) и
g(z), и если а — множество особых точек функции f(z)
на границе звезды 5Х, а р — множество особых точек
функции g(z) на границе звезды S2, то степенной ряд
имеет радиус сходимости r>rir2, а его звезда Миттаг-
Леффлера S содержит звезду-произведение C{CSXX
ХС52), где С А обозначает дополнение множества А и
АХ В — множество всех произведений pq чисел р?А,
q?B; кроме того, из угловых и хорошо достижимых то-
точек границы звезды-произведения особыми точками
функции Р (г) могут быть лишь точки произведения мно-
множеств аХр\ Первоначальные формулировки теоремы
(см. [1], [2]) были несколько отличны от приведенной
выше, они потребовали уточнений (см. [2]).
Степенной ряд B) наз. адамаровским про-
произведением, или адамаровской ком-
композицией, степенных рядов A). Свойства адама-
ровского произведения, выявленные этой А. т. и в по-
последующих исследованиях (см. [3]), позволяют исполь-
использовать его в вопросах аналитич. продолжения степенных
рядов, когда по коэффициентам ряда вида B) оказывает-
оказывается возможным сделать нек-рые заключения об особен-
особенностях представляемой им аналитич. функции.
Если К — произвольное компактное множество, рас-
расположенное внутри звезды-произведения С (CS-^XCS^),
то найдется такой замкнутый спрямляемый контур L,
расположенный внутри С (CSjX CS2) и охватывающий
К, что для всех z ? К справедливо интегральное
представление адамаровского про-
произведения:
Представление C) также применяется в вопросах ана-
аналитич. продолжения.
Лит.: [1] Hadamard J., «Acta math.», 1899, Bd 22,
S. 55—63; [2] e г о же, «Scientia Phys.-matli.», 1901, Л1 12;
[3] Бибербах Л., Аналитическое продолжение, пер. с нем.,
М., 1967. Е. Д. Соломенцев.
АДАМСА МЕТОД — конечно разностный метод ре-
решения задачи Коши для систем дифференциальных
уравнений 1-го порядка
У' = 1(х, У), У{хо) = Уо-
При интегрировании по сетке с постоянным шагом
xn=x0-\-nh расчетные формулы имеют вид: а) экстра-
поляционные
yn + i = yn + h^=au_^f(xn_x, yn_x),
б) интерполяционные
При одном и том же к формула б) точнее, но требует ре-
решения нелинейной системы уравнений для нахождения
значения уп+1.
На практике находят приближение из а), а затем
приводят одно-два уточнения по формуле
уточнения сходятся при условии h[v1[\\(df/dy)H<li. На-
Начальные условия уи ..., yk для А. м., необходимые для
начала вычислений по формулам а), определяются ка-
каким-либо специальным образом. Погрешность решения
записывается в виде
где Q (x, t) — решение системы
^-j?J1 = fy{x,y(x))Q(x,t) при Q(t,t) = E.
Структура члена O(hk+2) такова, что обычно при малых
h он равномерно мал по сравнению с главным членом
на больших промежутках интегрирования. Это обстоя-
обстоятельство обеспечивает возможность применения А. м.
на больших промежутках интегрирования в случае аб-
абсолютно устойчивого решения дифференциальной зада-
задачи; в частности, в отличие от Милна метода, его можно
применять для отыскания устойчивых периодич. реше-
решений дифференциальных уравнений. Стандартная про-
программа А. м. интегрирования с автоматич. выбором ша-
шага существенно сложнее стандартной программы Рун-
ге — Кутта метода, вследствие более сложного алго-
алгоритма при изменении шага и нестандартного выбора
начальных значений </?.
Для случая уравнений у'= — ау, а>0, расчетная
формула а) имеет вид:
Это уравнение имеет частные решения г/л=Сцл,
где |х — корень уравнения
!
Если аЬ^^=0\и-х\ >2, то среди корней этого уравне-
уравнения есть корень |[х|>1, и ошибки округления сильно
возрастают. При интегрировании с автоматич. выбором
шага в ряде случаев это обстоятельство вызывает не-
неоправданное измельчение шага. Однако в большинстве
случаев А. м. оказывается несколько более экономичным
по сравнению с методом Рунге — Кутта. А. м. предло-
предложен впервые Дж. К. Адамсом (J. С. Adams, 1855).
Лит.: [1] Б е р е з и н И. С, Ж и д к о в Н. П., Методы
вычислений, 2 изд., т. 2, М., 1962; [2] Б а х в а л о в Н. С,
Численные методы, 2 изд., М., 1975; [3] Тихонов А. Н.,
Горбунов А. Д., «Ж. вычисл. матем. и матем. физ.», 1962,
т, 2, № 4, о. 537—48; [4] Л о з и н с к и й С. М., «Изв. высш.
учеон. заведений. Математика», 1958, ЛГ« 5, с. 52—90; [5] Б е-
ленький В. 3., в сб.: Вычислительные методы и програм-
программирование, М., 1965, с. 253—61; [6] Бахвалов Н. С, «Докл.
АН СССР», 1955, т. 104, № 5, с. 683—86. Н. С. Бахвалов.
АДДИТИВНАЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ —
арифметическая функция одного аргумента, удовлетво-
удовлетворяющая для любой пары взаимно простых т, п условию
f(mn) = f(m) + f(n).
А. а. ф. наз. сильно аддитивной, если/(ра) =
=f(p) для всех простых р и всех натуральных а. А. а. ф.
наз. вполне аддитивной, если условие
f(mn)=f(m)-{-f(n) справедливо не обязательно для вза-
взаимно простых т, п; в этом случае f(pa) = a,f(p).
Примеры. Функция Q (га) — число всех простых
делителей числа т (кратные делители считаются столь-
столько раз, какова их кратность) — А. а. ф.; функция
ш(т) — число различных простых делителей числа т —
сильно А. а. ф.; функция log m — вполне А. а. ф.
11. П. Нубилюс.
АДДИТИВНАЯ ГРУППА кольца — группа, об-
образуемая всеми элементами данного кольца относитель-
относительно операции сложения в кольце. А. г. кольца всегда
абелева. О. А. Иванова.
АДДИТИВНАЯ КАТЕГОРИЯ —категория С, в крой
для любых двух объектов X и Y на множестве морфиз-
мов Homc(X, Y) определена структура абелевой группы
таким образом, что композиция морфизмов
Нотс(Х, Г) х Нотс (Г, Z)-^Homc(X, Z)
является билинейным отображением. Кроме того, тре-
требуется, чтобы в С существовал нулевой объект (или
нуль), а также произведение X X Y любых двух объектов
X и Y.
В А. к. существует прямая сумма XQjY любых двух
объектов, к-рая изоморфна их произведению ХХУ.
Двойственная категория к А. к. также является А. к.
Функтор F : C^f-C из А. к. С в А. к. С наз. адди-
аддитивным, если для любых объектов X \\Y категории
С отображение F : Нотс(Х, У)->Нотс{^(Х), F(Y)}
является гомоморфизмом соответствующих абелевых
групп. А. к. наз. предабелевой, если для любо-
любого морфизма существует ядро и коядро.
Если для морфизма и : X-+Y в А. к. существует об-
образ 1т(м) и кообраз Coim(«), to определен единствен-
единственный морфизм и : Coim(u)—>-Im(«) такой, что морфизм и
разлагается в композицию
X —+¦ Coim (и) ~* Im (и) —у Y.
Каждая абелева категория по определению аддитив-
аддитивна. Примерами аддитивных неабелевых категорий могут
служить категория топологич. модулей над заданным
топологич. кольцом относительно морфизмов, являю-
являющихся непрерывными линейными отображениями, а
также категория абелевых групп Г с фильтрацией Г=
= F0Z5r1Z5. . .ЗГ„= {0} относительно морфизмов, яв-
являющихся гомоморфизмами групп, сохраняющими
фильтрацию.
Лит.: [1] Б у к у р И., Деляну А., Введение в теорию
категорий и функторов, пер. с англ., М., 1972; [2] Гроте н-
д и к А., О некоторых вопросах гомологической алгебры, пер.
с франц., М., 1961; [3] G r u а о n L., «Bull. sci. math.», 1966,
v. 90, ЛГ> 1, p. 17—40. И. В. Долгачев.
АДДИТИВНАЯ ПРОБЛЕМА ДЕЛИТЕЛЕЙ — проб-
проблема, заключающаяся в нахождении асимптотич. зна-
значения сумм вида:
2m<nt*.('re)Tfta('re + 0). 1
2jm<nxkAm)xk, (п — т), )
где ikim) ~~ количество различных разложений целого
числа т на к множителей, считая и порядок, кг и /с2>
^2 — натуральные числа, а — фиксированное целое
число, отличное от нуля, п — достаточно большое на-
натуральное число. В частности, Т2(т)=т(т) — делителей
число числа т. Суммы вида A) выражают, соответствен-
соответственно, количества решений уравнений
Частные случаи А. п. д. (/c1=fc2=2, /сх=2 и /с2=3) рас-
рассматривались в [1] —[3]. А. п. д. при к1=2 и любом на-
натуральном /с2 была решена с помощью дисперсионного
метода Ю. В. Линником.
Лит.: [1] I n g h а m A., «J. Lond. Math. Soc», 1927, v. 2,
p. 202—8; [2] Esterman Т., «Proc. Lond. Math. Soc»,
1930, v. 31, p. 123—33; [3] Hooly C, «Proc. Lond. Math.
Soc», 1957, v. 7, p. 396—413. Б. М. Бредихин.
АДДИТИВНАЯ РАВНОМЕРНАЯ СТРУКТУРА т о-
пологического тела К — равномерная
структура его аддитивной группы. При этом базис ок-
окружений равномерной структуры коммутативной топо-
топологич. группы А' образуют множества V всех таких пар
(х, у), что x~y?V, где V — произвольная окрестность
нуля. Покрытие топологич. тела К будет равномерным
для А. р. с, если в него можно вписать покрытие вида
{Vy\y?K}t гДе V — произвольная окрестность нуля и
Vy={x-iry\x^V}. В частности, базис А. р. с. числовой
прямой образуют все покрытия, каждое из к-рых состо-
состоит из всех интервалов фиксированной длины. Попол-
Пополнением тела рациональных чисел по его А. р. с. яв-
является числовая прямая.
Равномерная структура группы R", называемая ее
A. р. с, является произведением равномерных струк-
структур ее сомножителей R. Базис ее составляют все покры-
покрытия, каждое из к-рых образовано всеми (открытыми)
шарами фиксированного радиуса. В В Федорчук
АДДИТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ — одна из вет-
ветвей современной алгебры. Главная задача А. т. и.—
представление любого идеала кольца (или другой алгеб-
раич. системы) в виде пересечения конечного числа иде-
идеалов специального вида (примарных, терциарных, при-
мальных, одночастных и др.). При этом вид представле-
представлений выбирается так, что: 1) для любого идеала сущест-
существует нужное представление, или, что то же, справедлива
нек-рая теорема «существования»; 2) выбранные пред-
представления должны быть единственны с точностью до
каких-то ограничений, или, что то же, выполняется
нек-рая теорема «единственности». Начало А. т. и. было
положено в 20—30-х гг. 20 в. работами Э. Нётер [1] и
B. Крулля [2].
Все особенности А. т. и. отчетливо проявляются в
случае колец. Пусть Л — нётерово кольцо, т. е. — ас-
социативное кольцо с условием максимальности для
идеалов. Если А — идеал в R, то существует наиболь-
наибольший идеал N кольца R, обладающий свойством: Nk^A
для нек-рого натурального fe^l. Этот идеал N наз.
примарным радикалом идеала А (в кольце
R) и обозначается через рг(Л). Идеал Q кольца R наз.
примарным, если для любых двух идеалов А , В
в R выполняется условие:
АВ S Q, A^Q=>B^pr (Q).
Для примарных идеалов верна теорема пересе-
пересечения: пересечение любых двух примарных идеалов
с одним и тем же примарным радикалом Р само есть при-
марный идеал с тем же радикалом Р. С помощью этой
теоремы доказывается теорема существова-
существования: если кольцо R коммутативно, то для любого иде-
идеала A=?R существует такое представление идеала А
в виде пересечения конечного числа примарных идеа-
идеалов At:
A^A^..-ПАп, A)
что ни один из идеалов А,- не содержит пересечения ос-
остальных, и примарные радикалы рг(Л,) попарно раз-
различны. Такие представления наз. несократим ы-
м и, или примарно редуцированными
(см. [1], [4]). Для этих представлений верна теорема
единственности: если A) и
А=В1Г\...(\Вт B)
— два примарно редуцированных представления идеала
А кольца R, то т — п и рг (А ,) = рг E,-) для 1<:г<:ге, при
надлежащей перенумеровке идеалов 5,-.
Именно А. т. и. нётеровых коммутативных колец
(классич. А. т. и.) нашла многочисленные применения
в различных разделах математики.
Если кольцо R некоммутативно, то теорема «сущест-
«существования», указанная выше, перестает быть верной, в то
время как теоремы «единственности» и «пересечения»
верны. Этот факт начиная с 30-х гг. 20 в. привел к по-
поискам такого обобщения классич. примарности на не-
некоммутативный случай, при к-ром оставалась бы спра-
справедливой и теорема «существования». Было найдено
нужное обобщение (см. [4]) — терциарность (см. Терци-
Терциарный идеал). В дальнейшем было показано, что при
нек-рых естественных ограничениях терциарность яв-
является единственным «хорошим» обобщением понятия
примарности (см. [6], [7], [8]).
В 60-е гг. 20 в. А. т. и. развивалась в рамках теорий
решеток, систем с частными и мультипликативных сис-
систем (см. [4], [5], [6]), что дало толчок развитию, напр.,
А. т. и. неассоциативных колец, нормальных делителей
группы и подмодулей модуля.
Лит.: [1] Noether E., «Math. Ann.», 1921, Bd 83,
Н. 1—2, S. 24—66; [2] Krull W., там же, 1929, Bd 101,
H. 4, S. 729—744; [3] 3 a p и с с к и Й О., С а м ю э л ь П.,
Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1, М., 1963; [4] L е-
s i e u r L., Croisot R., Algebre noetherienne non commuta-
commutative, P., 1963; [5] M u r a t a K., «J. Inst. Pol. Osaka City Univ.»,
1959, v. A10, № 2, p. 91—115; [6]Андр у нак иевич В. А.,
Рябухин Ю. М., «Изв. АН СССР. Серия матем.», 1967
т. 31, № 5, с. 1057—90; [7] R i 1 е у J. A., «Trans. Amer. Math
Soc», 1962, v. 105, №2, p. 177—201; [8] Г о я н И. М., Ря-
Рябухин Ю. М., «Матем. исследования», 1967, т. 2, в. 1
с. 14—25; [9] F u с h s L., «Proc. Amer. Math. Soc», 1950,
v. 1, № 1, p. 1—6; [10] Итоги науки. Алгебра. Топология. Гео-
Геометрия. 1965, М., 1967, с. 133 —180. В. А. Андрунакиевич
АДДИТИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ — раздел теории
чисел, в к-ром изучаются задачи о разложении целых
чисел на слагаемые заданного вида, а также алгебраич.
и геометрич. аналоги таких задач, относящиеся к полям
алгебраич. чисел и к множествам точек решетки. Эти
задачи наз. аддитивными задачами. Обыч-
Обычно рассматриваются аддитивные задачи о разложении
больших чисел.
К классич. проблемам А. т. ч. относятся: задача о
представлении числа суммой четырех квадратов, девяти
кубов и т. д. (см. Варинга проблема); задача о представ-
представлении числа в виде суммы не более трех простых (см.
Гольдбаха проблема); задача о представлении числа в
виде суммы простого и двух квадратов (см. Харди —
Литлвуда проблема) и другие аддитивные проблемы.
Для решения задач А. т. ч. применяются аналитиче-
аналитические, алгебраические, элементарные и смешанные мето-
методы, а также методы, основанные на вероятностных со-
соображениях. В зависимости от методов решения, адди-
аддитивные задачи входят составной частью в другие разде-
разделы теории чисел — аналитич. теорию чисел, алгебраич.
теорию чисел, вероятностную теорию чисел.
Первые систематич. результаты в А. т. ч. были полу-
получены Л. Эйлером (L. Euler, 1748), к-рый исследовал с
помощью степенных рядов разложения целых чисел
на положительные слагаемые; в частности, им была рас-
рассмотрена задача о разложении числа на заданное коли-
количество слагаемых.
Многие классич. задачи А. т. ч. решаются методом
редукции к производящим функциям, к-рый восходит
к Л. Эйлеру и лежит в основе аналитич. методов, разви-
развитых Г. X. Харди (G. H. Hardy) и Дж. И. Литлвудом
(J. E. Littlewood) и И. М. Виноградовым. Исходной яв-
является идея сопоставления заданным последовательно-
последовательностям A j= {а,} (где а^О — целое, г=1, 2, 3, . . .) сте-
степенных рядов
с производящей функцией
где r(n) = rk, а(п) ~ количество представлений числа
п в виде
ге = а1 + а2+...+аА, а{ ? Ah А ={ЛЬ А2, . . . }.
При этом г(п) вычисляется при помощи интеграла Ко-
ши. В методе Виноградова степенные ряды заменяются
тригонометрич. суммами
/i(a)=2o<a(.< „ехрBшаа,-),
г (re) = \ F'.(а) ехр (— 2ягпа) da.
Из г(п) выделяется главная часть, состоящая из интер-
интервалов, распространенных на окрестности нек-рых ра-
рациональных точек. Вместо аналитич. свойств F(z),
требующих в ряде задач А. т. ч. привлечения гипотез,
аналогичных Римана гипотезе, центральную роль при
вычислении г(п) играют чисто арифметич. оценки три-
тригонометрич. сумм по методу Виноградова и законы рас-
распределения простых чисел в арифметич. прогрессиях,
получаемые трансцендентными методами теории L-
функций Дирихле. Устанавливается, что в зависимости
от к либо г(п)ф0 для всех ra^l, либо г(п)фО для доста-
достаточно больших п (п^по(А)), либо для почти всех п вы-
выполняется соотношение г(п)Ф0, т. е.
или, наконец, для г(п) имеется асимптотич. формула.
Наименьшее число к, удовлетворяющее одному из пере-
перечисленных условий, обозначается соответственно g(A),
G(A), G0(A), ко(А). В случае {а/}={р}, где {р} - после-
последовательность простых чисел, при /с=3 получается
теорема Виноградова: всякое достаточно
большое нечетное число может быть представлено в виде
суммы трех простых чисел; при ft=2 — теорема
Ч у д а к о в а: почти все четные числа могут быть
представлены в виде суммы двух простых чисел.
Нек-рые задачи А. т. ч. решаются при помощи иссле-
исследования структуры множеств, получающихся в резуль-
тате суммирования последовательностей А ({а;}, за-
заданных лишь их плотностями d (A ,-) = inf A i(n)ln, где
Ai(n) = 2ji<a-<rA- ^з положительности d(A;) при А1=
=Аг=.. .—Ац=А уже следует, что #(Л)<оо. Приме-
Применение этого факта к задачам А. т. ч., в к-рых суммируют-
суммируются последовательности нулевой плотности, осуществ-
осуществляется путем конструирования из данных последова-
последовательностей новых последовательностей с положительной
плотностью. Ведущую роль при этом играют решета
методы, с помощью к-рых доказывается положи-
положительность d(Ai). Таким способом Л. Г. Шнирельманом
доказана теорема о представимости натуральных чисел
в виде суммы ограниченного числа простых слагаемых,
Ю. В. Линником найдено элементарное решение пробле-
проблемы Варинга.
Элементарные методы решета, принадлежащие В.
Бруну (см. Вруна решето) и А. Сельбергу (см. Селъберга
решето), приводят в ряде задач А. т. ч. к результатам,
недоступным пока современным аналитич. средствам.
Однако наиболее законченные решения нек-рых задач
А. т. ч. получаются путем комбинирования аналитиче-
аналитических и элементарных методов. В методах решета прин-
принцип высеивания простых чисел из натурального ряда
(см. Эратосфена решето) распространяется на совокуп-
совокупности последовательностей. Так, одновременное высеи-
высеивание с должной точностью из последовательностей {т }
и {2п—т} простых чисел, «ги9» и, соответственно, <пвг
(где 81<1 и 82<1 — надлежащим образом выбранные
положительные константы), приводит к решению так
ваз. квазипроблемы Гольдбаха— Эй-
Эйлер а о представлении четного числа суммой двух чи-
чисел, одно из к-рых имеет не более Ах, а другое — не
более к2 простых множителей.
В 1959 Ю. В. Линником при помощи созданного им
дисперсионного метода была решена проблема Харди —
Литлвуда, а именно, было доказано (см. [2]), что вся-
всякое достаточно большое натуральное число может быть
представлено в виде суммы простого числа и двух квад-
квадратов целых чисел. Дисперсионным методом был решен
ряд так наз. бинарных проблем, связанных
с нахождением числа Q (п) решений уравнения а+Р= п,
где аир пробегают заданные последовательности
чисел, достаточно хорошо распределенные в арифметич.
прогрессиях. Для метода Линника характерно исполь-
использование элементарных теоретико-вероятностных поня-
понятий, примененных П. Л. Чебышевым в его выводе зако-
закона больших чисел. С этой целью данное бинарное урав-
уравнение сводится к большому числу вспомогательных
уравнений, для к-рых сопоставляются ожидаемые
(S;(n)) и истинные (Q[(n)) количества решений уравне-
уравнений. Если подсчет дисперсии показывает, что Qi(n) «в
среднем» мало отличаются от 5,-(и), то (J(n)=2 5,(n)
(с допустимой погрешностью). Дисперсионный метод
был использован также для исследования общего урав-
уравнения Харди — Литлвуда.
Область применения дисперсионного метода пересе-
пересекается с областью применения метода большого решета,
разработанного Ю. В. Линником в 1941. Этот метод по-
позволяет высеивать последовательности при помощи про-
простых чисел с возрастающим числом выбрасываемых вы-
вычетов. Фактически метод большого решета является
следствием законов распределения слабо зависимых
случайных величин.
В А. т. ч. существуют задачи, систематич. изучение
к-рых относится к другим разделам теории чисел: про-
проблема представимости целых чисел квадратичными фор-
формами и формами высших степеней; исследование дио-
фантовых уравнений, допускающих трактовку с пози-
позиций общей А. т. ч.
В современной теории чисел интенсивно развиваются
различные направления А. т. ч., наблюдается тенден-
ция к перенесению проблем и методов А. т. ч. на произ-
произвольные поля алгебраич. чисел.
Лит.: [1] В и н о г р а д о в И. М., Избранные труды, М.,
1952; [2] Л инник Ю. В., Дисперсионный метод в бинарных
аддитивных задачах, Л., 1961; [3] Хуа Ло-ген, Метод
тригонометрических сумм и его применения в теории чисел,
пер. с нем М., 1964; [4] О s t m a n n H. H., Additive Zah-
lentheorie, Bd 1—2, В., 1956; [5] Ч у д а к о в Н. Г., «Успехи
матем. наук», 1938, вып. 4, с. 14—33; [6] Бредихин Б. М.,
там же, 1965, т. 20, в. 2 A22), с. 89 — 130. В. М, Бредихин,
АДДИТИВНАЯ ФУНКЦИЯ, конечно адди-
аддитивная функция (множества, обла-
области),— действительная функция |х, определенная на
системе множеств Е и такая, что
для всякого конечного числа попарно непересекающих-
непересекающихся множеств {Ег, .. ., Еп) из Е, объединение к-рых так-
также принадлежит Е. Особую роль среди А. ф. играют
счетно аддитивные функции. а п Терехин
АДДИТИВНОЕ ОТНОШЕНИЕ — подмодуль г пря-
прямой суммы А(р<В двух модулей А ж В над нек-рым коль-
кольцом Я. Каждое А. о. можно рассматривать, таким обра-
образом, и как (неоднозначное) отображение г : А—^В, точ-
точнее как «многозначный» гомоморфизм, т. е. гомоморфизм;
г° подмодуля Def г в фактормодуль B/Ind (г), где
= {а?А | (а, }
Ind г =Кег г,
д В-*-А — обратное к А. о. г отношение, со-
состоящее из всех таких пар (b, a)?BQ)A, что (а, Ь)?г.
Обратно, если даны подмодуль ScA, фактормодуль
В/L модуля В и гомоморфизм р : S-+B/L, то существует
и притом единственное А. о. г : A—vB такое, что г°=р.
Если даны два А. о. г : А—^В и s : В-^С, то, как и для
других бинарных отношений, может быть определена
произведение А. о. sr : A^C (это множества
всех nap (a, c)?AQ)C таких, что существует элемент
Ь?В, для к-рого (я, b)?r и (b, c)?s). Это умножение
ассоциативно (там, где оно определено), более того, А. о.
образуют категорию с инволюцией г-^-г'1.
А. о. используются для естественного определения
связывающих гомоморфизмов для точных последова-
последовательностей комплексов. Аналогичные рассмотрения мо-
могут быть проведены не только в категории модулей, но
и в любой абелевой категории.
Лит.: [1] Маклейн С, Гомология, пер. с англ., Ж.,
1966; [2] П у п п е Д., «Математика», 1964, т. 8, № 6, с. 109^
139. А. В. Михалев.
АДДИТИВНОСТЬ — свойство величин, состоящее
в том, что значение величины, соответствующее целому
объекту, равно сумме значений величин, соответствую-
соответствующих его частям при любом разбиении объекта на части.
Напр., А. объема означает, что объем целого тела равен
сумме объемов составляющих его частей. См. Адди-
Аддитивная функция, Счетно аддитивная функция.
АДДИТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ — проблемы теорий
чисел о разложении целых чисел на слагаемые задан-
заданного вида. Решение классич. А. п. привело к созданию
новых методов в теории чисел. К классич. А. п. отно-
относятся:
1) Гольдбаха проблема о представлении нечетных
натуральных чисел, больших 5, суммой трех простых
и проблема Эйлера — Гольдбаха о представлении чет-
четных чисел, больших 2, суммой двух простых (поставле-
(поставлены в 1742).
2) Варинга проблема A770) о представлении всякого
натурального числа в виде суммы s=s(k) неотрицатель-
неотрицательных /с-х степеней с фиксированным k^l.
Другими А. п. являются, напр., следующие.
3) Проблема представления натуральных чисел сум-
суммой ограниченного числа простых (ослабленная
проблема Гольдбаха).
4) Харди — Литлвуда проблема о представлении
всякого целого числа, большего 1, в виде суммы про-
простого и двух квадратов (сформулирована в 20-х гг.
20 в.).
5) Задачи о представлении всех достаточно больших
четных чисел суммами двух чисел с ограниченным чис-
числом простых сомножителей.
6) Задачи о представлении целых чисел квадратичны-
квадратичными формами с тремя и четырьмя переменными и анало-
аналогичные задачи.
Для решения А. п. применяются аналитические, ал-
алгебраические, элементарные и смешанные методы (см.
Аддитивная теория чисел). Значительная часть А. п.
может быть сведена к двум классам:
а) Тернарные аддитивные проблемы типа и=а+Р+
-f-у, где аир принадлежат к достаточно густым и хоро-
хорошо распределенным в арифметич. прогрессиях последо-
последовательностям целых чисел, у принадлежит последова-
последовательности, может быть и редкой, но с хорошим поведе-
поведением нек-рых, соответствующих ей, тригонометрич.
сумм.
б) Бинарные аддитивные проблемы типа n=a-f-p с
теми же условиями для аир, что ива).
Универсальным средством решения тернарных А. п.
для достаточно больших п является общий аналитич.
метод Харди — Литлвуда — Виноградова в форме ме-
метода тригонометрических сумм (см. Виноградова метод).
Бинарные А. п. обычно не могут быть решены этими
методами. Для решения таких А. п. применяются раз-
различные варианты элементарного решета (см. Решета
метод). Особенно сильные результаты получаются при
помощи большого решета и дисперсионного метода
Ю. В. Линника. А. п. типа 6) также являются бинар-
бинарными. Они исследуются своеобразными арифметико-
геометрич. методами теории квадратичных форм.
Лит.: [1] Виноградов И. М., Метод тригонометри-
тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; 12] Л и н и и к Ю. В.,
Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах, Л.,
1961; [3] его же, Эргодические свойства алгебраических
полей, Л., 1967; [4] X у а Ло-ген, Метод тригонометриче-
тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, пер. с нем., М.,
1964. Ь\ М. Бредихин.
АДДНЦИОННАЯ ТЕОРЕМА для веса: если
би компакт X представим в виде объединения множества
бесконечной мощности <:т своих подпространств веса
<т, то вес X не больше т. А. т. (справедливость ее
предполагалась в [11) установлена в [3] для т=^#От
в полном объеме — в [4]. См. Вес топологич. простран-
пространства.
Лит.: [1] Alex and г oft P., U г у s о h n P-, M&noire
sur les espaces topologiques compacts, Amst., 1929; 12] E n g e 1~
king R., Outline of general topology, Amst.—Warsz., 1968;
[3] Смирнов Ю. M., «Fundam. math.», 1956, t. 43, J* 3,
p. 387—93: [4] Архангельский А. В., «Докл. АН
СССР», 1959, т. 126, №2, с. 239—41. А. В. Архангельский.
АДЕЛЬ — элемент группы а д е л е й, т. е. то-
пологич. прямого произведения
Групп Gh с отмеченными открытыми подгруппами GQ
Здесь Gjj — линейная алгебраическая группа, определен-
определенная над глобальным полем к, V — множество всех неэк-
неэквивалентных нормирований поля к, kv — пополнение к
относительно у? V, Ov— кольцо целых элементов в kv.
Группа А. алгебраич. группы G обозначается через Gj.
Так как все группы Ghi локально компактны, a Go^
компактны, то Gд — локально компактная группа.
Примеры. 1) Если 6^ — аддитивная группа к+
поля к, то пд обладает естественной структурой кольца,
к-рое наз. кольцом аделей поля к и обозна-
обозначается Aft. 2) Если Gk — мультипликативная группа к*
поля к, то вд наз. группой иделей поля к
(группа иделей является группой единиц в кольце аде-
аделей А /г). 3) Если Gk=GL(n, к) — полная линейная труп-
па над к, то Ga состоит из таких элементов g~(gv)?
?IIt.€yGj,, что gv?GL(n, Ov) для почти всех нормиро-
нормирований V.
Понятие группы А. было впервые введено К. Шевалле
(С. Chevalley) в 30-х гг. 20 в. для полей алгебраич. чисел
в связи с потребностями теории полей классов. Спустя
20 лет оно было обобщено М. Кнезером (М. Kneser) и
Ц. Тамагава (Т. Tamagawa) на алгебраич. группы
(см. [1], [2]). Последние заметили, что основные резуль-
результаты об арифметике квадратичных форм над числовыми
полями удобно переформулировать на языке группы А.
Образ диагонального вложения G^ в G^ является ди-
дискретной подгруппой в G^ и наз. подгруппой
главных аделей. Если со — множество всех
архимедовых нормирований к, то
наз. подгруппой целых аделей. Если
Gjt=k*, то число различных двойных классов смежно-
смежности вида GftxG^jo,,) группы A. G^ конечно и равно числу
классов идеалов поля к. Естественно возникающий во-
вопрос о конечности числа таких двойных классов для
произвольной алгебраич. группы G связан с теорией
приведения для подгруппы главных А., т. е. с конструк-
конструкцией фундаментальной области для факторпространства
G^/G/t- В [5] доказано, что G^lG^ тогда и только тогда
компактно, когда группа G является fc-анизотропной
(см. Анизотропная группа). Более того, решен вопрос о
том, когда над полем алгебраич. чисел факторпростран-
ство G^lG^ имеет конечный объем в Хаара мере. Так как
вд локально компактна, то такая мера всегда существует
и объем G^/G/i в мере Хаара конечен тогда и только тог-
тогда, когда группа G не имеет рациональных ^-характеров
(см. Характер алгебраич. группы). Величина t(G)
объема G^lG/i представляет важный арифметич. инвари-
инвариант алгебраич. группы G (см. Тамагава число). Опираясь
на эти результаты, доказано (см. [5]), что для произ-
произвольной алгебраич. группы G имеет место разложение
Ga= Ut=i G^xfi^i^).
Для случая, когда к — функциональное поле, также
доказана конечность числа двойных классов смежности
указанного вида для группы А. алгебраич. группы и
построен аналог теории приведения [6]. Относительно
разнообразных арифметич. применений группы А. см.
[4], [7].
Лит.: L1] В ей ль А., «Математика», 1964, т. 8, ЛГ« 4,
с. 3—74; [2] Арифметические группы и автоморфные функции,
пер. с англ. и франц., М., 1969, с. 44—55; [3] Алгебраическая
теория чисел, пер. с англ., М., 1969; [4] Итоги науки. Алгебра.
Геометрия. Топология, т. 11, М. 1973, с. 5—37; [5] В о г с 1 А.,
в кн.: Publ. Math. I.H.E.S., 1963, Ли 16, р. 5—30; [6] Har-
Harder G., «Invent, math.», 1969, v. 7, Ли 1, p. 33—54; [7] Пла-
Платонов В. П., «Труды матем. института им. Стеклова», 1973,
т. 132, с. 162—68; [8] В ей ль А., Основы теории чисел, пер.
с англ., М., 1972. В. П. Платонов.
АДИАБАТИЧЕСКИЙ ИНВАРИАНТ — термин фи-
зич. происхождения с математически не вполне точным
содержанием. Обычно А. и. определяются как количест-
количественные характеристики движения гамилътоновой си-
системы, почти не изменяющиеся при адиабатическом
(т. е. очень медленным по сравнению с характерным
масштабом времени для движения в системе) изменении
ее параметров (к-рое может продолжаться столь долго,
что значения самих этих параметров, в отличие от А. и.,
значительно изменяются). Так, для простейшей системы
dx dv „ , .. , .
•57 = "' йГ = -ю'(е*)*. М
где е — малый параметр, а со (s) — положительная до-
достаточно гладкая функция, А. и. служит
При ш = const система (*) описывает обычный гармо-
нич. осциллятор с частотой со; таким образом, в данном
случае при медленном (по сравнению с периодом коле-
колебания) изменении параметров системы ее энергия (i--2+
+ ш2х2)/2 меняется пропорционально частоте. Как и в
этом примере, обычно подразумевается, что если бы па-
параметры вообще не изменялись, то рассматриваемая
гамильтонова система была бы вполне интегрируе-
интегрируемой и ее движения были бы квазипериодическими (в
данном примере — просто периодическими); известны
и другие обобщения. Во многих работах математиков
или специалистов по небесной механике, посвящен-
посвященных гамильтоновым системам, близким к вполне инте-
интегрируемым, термин «А. и.» не используется, хотя по-
полученная там информация позволяет утверждать, что
те или иные величины в том или ином случае явля-
являются А. и.
«Приближенное сохранение» А. и. I (t) означает, что
при всех рассматриваемых t разность /(?) —/@) остает-
остается малой. (При этом производная dl(t)ldt вполне может
быть величиной того же порядка, что и производные дру-
других параметров системы, лишь бы с течением времени
изменения А. и. не накапливались.) Такое приближен-
приближенное сохранение может иметь место либо на очень боль-
большом, но конечном промежутке времени (времени ы е
А. и.), либо на всей бесконечной оси ((стационар-
((стационарные, или вечные, А. п.; см. [1]). Слова «медленное
изменение параметров системы» можно уточнять двумя
способами: а) функция Гамильтона Н явно зависит от
времени t (система неавтономна), но производная
dHldt мала; б) рассматриваемая система с канонич. пере-
переменными р, q представляет собой подсистему в большей
системе с переменными р, q, p', q , к-рая уже автономна
и такова, что р', q' либо изменяются медленно, либо их
изменение слабо влияет на подсистему.
При всех этих подстановках существование А. и.
можно утверждать лишь при различных дополнитель-
дополнительных предположениях, к-рым трудно дать отчетливую
общую формулировку (см., напр., [1]). Временные
А. и. для систем описанного выше типа фактически от-
относятся к асимптотич. методам теории возмущений (при
более общей постановке также имеются нек-рые стро-
строгие результаты, см. [4]). При доказательстве временной
асимптотич. инвариантности к.-л. величины I (t) обычно
строится другая величина J(t) с теми свойствами, что
значения I (t) осциллируют возле J(t), a dj(t)ldt имеет
более высокий порядок малости, чем производные дру-
других параметров системы. Так, в примере (*) для /=
= /+есй'xvlсо2 (штрих обозначает производную от со по
аргументу s=e?) непосредственное дифференцирование
дает =О(е2); это гарантирует, что / — вре-
временной А. и. Существование вечных А. и. в случае а)
при сколько-нибудь общем характере зависимости Н
от t (исключающем, в частности, периодичность или су-
существование пределов при t—>-±oo) сомнительно. Для
случая б) вопрос о вечных А. и. связан с малыми зна-
знаменателями (см. [2]).
Исторически А. и. играли важную роль в квантовой
теории Бора — Зоммерфельда, где имелся рецепт: ве-
величины, подлежащие квантованию,— А. и. С создани-
созданием последовательной квантовой механики этот рецепт
потерял значение. В современной физике А. и. исполь-
используются при исследовании движения заряженных частиц
в электромагнитных полях (см. [3]). Здесь чаще всего
фигурирует отношение у2 III, где Н — величина напря-
напряженности магнитного поля, v , — компонента скорости
частицы, лежащая в плоскости, перпендикулярной к
вектору Н; это отношение является А. и. при условии,
что магнитное поле мало изменяется по длине лармо-
ровского радиуса.
Кроме того, в квантовой механике при адиабатиче-
адиабатическом изменении состояния нек-рые величины сохраняют
свои значения (напр., квантовые числа), исключая
процессы, приводящие к вырожденным состояниям сис-
системы. Поэтому в квантовой механике тоже можно гово-
говорить об А. и., однако они не играют в ней особой роли
и даже сам этот термин там обычно не вводится.
Лит.: [1] М а н д е л ь ш т а м Л. И., Андронов А. А.,
Леонтович М. А., «Журнал Русского физико-химиче-
физико-химического о-ва», 1928, т. 60, N4 5, с. 413 —19; [2] А р н о л ь д В. И.,
«Успехи матем. наук», 1963, т. 18, № 6, с. 91 — 192; [3] Н о р т-
р о п Т., Адиабатическая теория движения заряженных час-
частиц, пер. с англ., М., 1967; [4] Kasuga Т., «Proc. Japan.
Acad.», 1961, v. 37, JN5 7, p. 366—82.
Д. В. Аносов, А. П. Фаворский.
АДИАБАТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ — течение, при
к-ром отсутствует теплообмен между различными участ-
участками жидкости и окружающими ее телами. Если тече-
течение сжимаемой жидкости является адиабатическим и
непрерывным, то энтропия элемента жидкости постоян-
постоянна. Если движение установившееся, т. е. характеристи-
характеристики поля течения не зависят от времени, то для любого
элемента жидкости сумма энтальпии и кинетич. энергии
не изменяется.
Лит.: [1] Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Меха-
Механика сплошных сред, 2 изд., М., 1954; [2] Основы газовой ди-
динамики, пер. с англ., М., 1963. А. П. Фаворский.
АДИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ - линейная топология
кольца А, в к-рой фундаментальная система окрестно-
окрестностей нуля образована степенями 31" нек-рого двусто-
двустороннего идеала 31. В этом случае топология наз. 31-
адической, а идеал Ж — идеалом опре-
определения топологии. Замыкание любого мно-
множества FczA в ЗГ-адической топологии равно [\n-^.0{F-{-
+ 31"); в частности, топология отделима тогда, и только
тогда, когда nn>o^B==(O)- Отделимое пополнение А
кольца А в Щ-адической топологии изоморфно проек-
проективному пределу lira D/31").
Аналогично определяется ЭГ-адическая топология
А -модуля М: ее фундаментальная система окрестностей
нуля задается подмодулями 31™М; в 21-адической топо-
топологии М становится топологическим А -модулем.
Пусть А — коммутативное кольцо с единицей в 31-
адической топологии и А — его пополнение; если 31 —
идеал конечного типа, то топология в А является Э(-
адической, а Э1"=31. Если 31 — максимальный иде-
идеал, то А является локальным кольцом с максимальным
идеалом 21. Топологией локального
кольца считается А. т., определяемая максималь-
максимальным идеалом (ttt-а дическая топология).
Для изучения А. т. колец фундаментальной является
лемма Артина— Риса: пусть А есть комму-
коммутативное нётерово кольцо, 31 есть идеал в А, Е есть
А -модуль конечного типа и F—подмодуль модуля Е.
Тогда существует такое к, что для любого гс^О выпол-
выполняется равенство
31" (ШкЕ Г) F) = 31* + "Е П F.
Топологич. интерпретация леммы Артина — Риса
показывает, что 31-адическая топология на F индуциро-
индуцирована 21-адической топологией модуля Е. Отсюда сле-
следует, что пополнение А кольца А в 31-адической топо-
топологии является плоским А -модулем (см. Плоский мо-
модуль), что пополнение Е А -модуля Е конечного типа сов-
совпадает с Е(р)дА, а также теорема Крулл я: 31-
адическая топология нётерова кольца отделима тогда,
и только тогда, когда множество 1 + 31 не содержит
делителей нуля. В частности, топология отделима, ес-
если 31 содержится в радикал* (Джекобсона) кольца.
Лит.: [1] Зарисский О., Самюэль П., Коммута-
Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 2, М., 1963; [2] Б у р б а к и Н.,
Коммутативная алгебра, пер. сфранц., М., 1971. В. И.Данилов.
/ АДИЧЕСКИЕ КОГОМОЛОГИИ — одна из конст-
конструкции когомологий абстрактных алгебраич. многооб-
многообразий и схем. Эталъные когомологий схем являются пе-
риодич. модулями. Для различных нужд, в первую оче-
очередь для доказательства формулы Лефшеца и приложе-
приложений к дзета-функциям, необходимы когомологий «с ко-
коэффициентами в кольцах нулевой характеристики».
Они получаются из этальных когомологий переходом к
проективному пределу.
Пусть I — простое число, Z-адическим пуч-
пучком на схеме X наз. проективная система F=(Fn)neN
этальных абелевых пучков Fn такая, что для всех п
гомоморфизмы перехода Fn + 1->-Fn эквивалентны кано-
нич. морфизму Fn + 1-*-Fn + 1/lnFn + 1. Каждая компо-
компонента Fn Z-адического пучка является пучком Zlln Z-
мо дулей. Z-адический пучок F наз. конструкт пв-
н ы м (соответственно, локально постоя н-
н ы м), если все пучки F" конструктивные (локально
постоянные) этальные пучки. Имеет место естественная
эквивалентность категории локально постоянных конст-
конструктивных пучков на связной схеме X и категорией мо-
модулей конечного типа над кольцом Z[ целых J-адических
чисел, на к-рых непрерывно слева действует фундамен-
фундаментальная группа схемы X. Это показывает, что конструк-
конструктивные локально постоянные пучки являются абстракт-
абстрактными аналогами системы локальных коэффициентов в
топологии. Примерами конструктивных Z-адических
пучков являются пучок Zlix=((Z/lnZ)x)n€N, пучки
Т е й т a Z,(m)x=(u,^ )n6lv, где (ZllnZ)x - постоян-
постоянный пучок на X, ассоциированный с группой Z/l"Z, a
(д,гп х ~ ПУЧОК корней 1п-ш степени из единицы на X.
Если А — абелева схема над X, то Tl(A) = (Aln)niN ,
где А1П — ядро умножения в А на I", образует локаль-
локально постоянный конструктивный Z-адический пучок на
X, наз. модулем Тейта абелевой схемы А.
Если X — схема над полем к, а Х = Х^^к3 — схема,
полученная из X заменой базы с к на сепарабельное за-
замыкание ks поля к, и F=(Fn) — Z-адический пучок на X,
то этальные когомологии Н'(Х, Fn) определяют проек-
проективную систему (Н'(Х, Fn))n9N Оа1(/сх/й)-модулей. Про-
Проективный предел Н'(Х, F) = lim H'(X, Fп) естественным
п
образом снабжается структурой Z;-MOflynH, на к-ром
Gal(ks/k) действует непрерывно относительно Z-адиче-
ской топологии, и наз. г-ми Z-адическими когомология-
мп пучка F на X. В случае, когда k=ks, обычно пишут
Н'(Х, F) = H'(X, F). На 1-А. к. конструктивных г~ади-
ческих пучков переносятся фундаментальные теоремы
об этальных когомологиях. Если Qt — поле рациональ-
рациональных Z-адических чисел, то (^-пространства Н\(Х) =
= Н'(Х, Z{)@Qi наз. рациональными l-a. д и-
ч е с к и м и к о г о м о л о г и я м и схемы X. Их
размерность Ь,(Х; I) (в случае, когда она определена)
наз. г-м числом Бетти X. Для полных /с-схем
числа bj(X; I) определены и не зависят от I Aфс\\ат к).
Если к — алгебраически замкнутое поле характеристи-
характеристики р и 1фр, то сопоставление гладкому полному к-
многообразию пространств Н){Х) определяет Вейля ко-
гомологии. В случае, когда fe=C — поле комплексных
чисел, имеет место теорема сравнения: Н\=
Hl(X Q)®Q
(, Q)®Qt
Лит.: [1] Grothendieck А., в кн.: Seminare Bour-
baki, Textes des conferences. Annee, 1964/65, N.Y.—Amst.,
1966, exposes Л» 279, p. 1 —15. И. В. Долгпчев.
p-АДИЧЕСКОЕ ЧИСЛО — элемент расширения поля
рациональных чисел, получаемого на основе свойств де-
делимости целых чисел на заданное простое число р.
Это расширение есть пополнение поля рациональных
чисел относительно неархимедова нормирования (см.
Абсолютное значение).
Целым р-а дическим числом для произ-
произвольного простого р наз. последовательность х=(ха,
Xj, . . .) вычетов хп по mod p" + 1, удовлетворяющих усло-
условию
хп = хп _ j (mod рп), п^1.
Сложение и умножение целых р-А. ч. определяется фор-
формулами
Каждое целое число т отождествляется с р-А. ч. х=
= G/1, т, . . .). Относительно сложения и умножения це-
целые р-А. ч. образуют кольцо, к-рое содержит кольцо
целых чисел. Кольцо целых р-А. ч. может быть также
определено как проективный предел
lim J?__
колец вычетов по mod pn (относительно естественных
проекций).
р-адическим числом, или рациональ-
рациональным р - а д и ч е с к и м числом, наз. элемент
поля отношений Qp кольца Zp целых р-А. ч. Это поле
наз. полем р-адическ их чисел и содержит
поле рациональных чисел в качестве подполя. Как
кольцо, так и поло р-А. ч. наделяются естественной топо-
топологией. Эта топология может быть определена метрикой,
связанной с р-ади ческой нормой, т. е. с
функцией Ul^, от р-А. ч. х, определяемой следующим
образом. Если хфО, то х однозначно представимо в виде
р"а, где а — обратимый элемент кольца целых р-А. ч.
Тогда р-адическая норма \х\р равна р~п. Если х=0,
то \х\р=0. Определяя \х\р сначала только на рациональ-
рациональных числах, можно получить поле р-А. ч. как пополне-
пополнение поля рациональных чисел.
Каждый элемент поля р-А. ч. может быть представ-
представлен в виде
где «ft — целые, к0 — нек-рое целое число, а^^фО, и ряд
(*) сходится в метрике поля Qp. Числа .т ? Zp с условием
Wjp-<1 (т. е. с /сО5&О) образуют кольцо Zp целых р-А. ч.,
являющееся пополнение.м кольца целых чисел поля Q.
Числа x?Zp с условием |а-|р=1 (т. е. feo=O, а0ф0) обра-
образуют мультипликативную группу и наз. р - а д и ч е-
с к и м и единицами. Совокупность чисел x?Zp
с условием \х\ <1 (т. е. с feo^l) является главным идеа-
идеалом в Zp с образующим элементом р. Кольцо Zp являет-
является полным кольцом дискретного нормирования. Поле
Qp локально компактно в топологии, индуцируемой мет-
метрикой \х — х'\р. Поэтому в нем существует инвариант-
инвариантная мера ц, подчиняемая обычно условию \i(Vj,)—l.
Для различных р нормирования \х\р независимы, а по-
поля Qp неизоморфны. Многие факты и понятия класси-
классического анализа переносятся на случай р-адических
полей.
р-А. ч. связаны с решением диофантовых уравнений
по модулю возрастающей степени простого числа. Так,
если F(хх, . . ., хт) — многочлен с целыми коэффициен-
коэффициентами, то разрешимость при всех fc^l сравнения
F(xu ..., xm) = 0(modpk)
эквивалентна разрешимости уравнения F(xl, . . ., хт)~
= 0 в целых р-А. ч. Необходимым условием разрешимо-
разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах
является его разрешимость в кольцах или, соответствен-
соответственно, полях р-А. ч. при всех р. Такой подход к решению
диофантовых уравнений и, в частности, выяснение во-
вопроса о достаточности этих условий, наз. локаль-
локальными условиями, составляет важную часть
современной теории чисел (см. Диофантоеа геометрия).
Упомянутое выше свойство разрешимости в одном
частном случае может быть заменено более простым.
Именно, если
F (х1У ..., xm)=0{modp)
имеет решение (х1: . . ., хт), и это решение определяет
неособую точку гиперповерхности F(хх, ..., хт) = 0,
где F — многочлен F, взятый по mod p, то данное урав-
уравнение имеет решение в целых р-А. ч., сравнимое с (х1,
..., хт) по mod p. Это утверждение, известное под назв.
Гензеля леммы, является частным случаем более общего
факта, относящегося к теории схем.
Кольцо целых р-А. ч. может рассматриваться как
часть более общей конструкции колец Витта W(A).
Кольцо целых р-А. ч. получается в том случае, когда
A = Fp— конечное поле из р элементов (см. Витта век-
вектор). Другим обобщением р-А. ч. являются )з-адические
числа, возникающие при пополнении полей алгебраич.
чисел относительно неархимедовых нормирований, свя-
связанных с простыми дивизорами.
р-А. ч. были введены К. Гензелем (см. [1]). Существу-
Существующее для них канонич. представление является анало-
аналогом разложения аналитич. функций в степенной ряд.
Это есть одно из проявлений аналогии между алгебраич.
числами и алгебраич. функциями.
Лит.: [1] Н е n s e 1. К., «Jahresber. Dtsch. Math. Ver.»,
1899, Bd 6, H. 1, S. 83—8; [2] Б о р е в и ч 3. И., Ill а ф а-
ревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; ГЗ] Л е н г С,
Алгебраические числа, пер. с англ., М., 1966; [4] В е й л ь Г.,
Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1947; [5] Н a s-
s e H., Zahlentheorie, 2 Aufl., В., 1963; [6] В е й л ь А., Осно-
Основы теории чисел, пер. с англ., М., 1972; [7] Б у р б а к и Н.,
Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971.
А. Н. Паршин, В. Г. Спринджук.
АДСОРБЦИЯ — поглощение вещества из газа или
раствора поверхностью раздела между ними (или по-
поверхностью твердого тела). Иными словами, А. есть
поглощение адсорбата из объема фаз на поверхности
адсорбента. А. является частным случаем сорбции.
Молекулы адсорбата, попадая на поверхность адсор-
адсорбента, удерживаются силовым полем поверхности в те-
течение нек-poro времени, зависящего от природы адсор-
адсорбата и адсорбента, от температуры Т и давления р,
а затем покидают поверхность (десорбируются). В со-
состоянии термодинамического и молекулярного равнове-
равновесия скорости А. и десорбции равны. Зависимость между
относительным давлением (j>=p/ps адсорбента и отно-
относительной концентрацией Q = c/cs, где индекс s означает
предельное значение при постоянной температуре, наз.
изотермой А.
Уравнение Ленгмюра мономолекулярной
А. имеет вид
ф = 1
где к — константа равновесия, приближенно учитываю-
учитывающая взаимодействие между молекулами адсорбат —
адсорбент.
Для однородной поверхности адсорбента при поли-
полимолекулярной А. обычно используется уравнение
Брунауера [1].
Для капиллярных тел широкое распространение по-
получила эмпирическая формула Поснова [2]
где А — коэффициент, зависящий от температуры и
структуры адсорбента.
Лит.: [1] Брунауер С, Адсорбция газов и паров,
пер. с англ., т. 1, М., 1948; [2] По снов В. А., «Ж. техн.
физики», 1953, Л1» 23, с. 865; 13] И л ь и н Б. В., Природа ад-
адсорбционных сил, М.— Л., 1952; [4] де Бур Я. X., Дина-
Динамический характер адсорбции, пер. с англ., М., 1962.
А. В. Лыков.
АЗАРТНАЯ ИГРА — многошаговая игра одного
игрока. А. и. G определяют как систему
где F — множество капиталов, /0 — начальный капи-
капитал игрока, Г (/) — множество конечно аддитивных
мер, определенных на всех подмножествах F, и (/) —
функция полезности (см. Полезности теория) игрока,
определенная на множестве его капиталов. Игрок выби-
выбирает о?Г(/0), и ег0 капитал f1 будет распределен со-
согласно мере <т0. Затем игрок выбирает Oi(/i)?r(/j)
и получает соответственно /2 и т. д. Последовательность
ст= {<т0, 0"х, ...} является стратегией игрока. Если иг-
игрок кончает игру в момент t, то его выигрыш определяет-
определяется как математич. ожидание по а функции u(ff). Цель
игрока состоит в максимизации его функции полезно-
полезности. Простейшим примером А. и. является лотерея.
Игрок, имея наличный капитал /, может приобрести к
лотерейных билетов стоимостью с, к—1, . . ., [f/c].
Каждому к соответствует вероятностная мера на множе-
множестве всех капиталов, и после тиража капитал игрока
становится равным /х. Если /х <с, то игра кончается; если
/i^c, то игрок может либо выйти из игры, либо снова
приобретать лотерейные билеты в количестве от одного
до [file] штук и т. д. Функцией полезности игрока может
являться, напр., математич. ожидание капитала или ве-
вероятность получения выигрыша не менее определенной
величины.
Теория А. и. является составной частью общей теории
управляемых вероятностных процессов. В А. и. могут
играть и сразу несколько лиц, но с теоретико-игровой
точки зрения А. и.— игра одного игрока, т. к. его вы-
выигрыш не зависит от стратегий партнеров.
Лит.: [i] Dubins L. E., Savage L. J., How to
gamble if you must: Inequalities for stochastic processes, N.Y.—¦
[a.o.], 1965. E. Б. Яновская.
АКСИАЛЬНЫЙ ВЕКТОР - то же, что осевой век-
вектор.
АКСИОМ СХЕМА — единый способ задания
аксиом, обладающих одной и той же синтаксич. струк-
структурой. Конкретная А. с. обычно реализуется при по-
помощи фиксирующего ее синтаксич. структуру выраже-
выражения 21 (чаще всего не принадлежащего языку, в к-ром
записываются аксиомы) и правил, позволяющих, исходя
из выражения Э(, получить произвольную аксиому
данной структуры.
В контекстах с заранее сформулированными или одно-
однозначно подразумеваемыми правилами порождения ак-
аксиом с помощью выражения 51 А. с. обычно наз. само-
самовыражение 51. Так, напр., говорят о А. с. am((Jz>a) про-
пропозиционального исчисления Р, подразумевая иод этим
совокупность аксиом вида A^){BzdA), где А а В —
произвольные формулы исчисления Р.
Примером схемы нелогических аксиом является сле-
следующий вариант схемы индукции в традиционных ак-
аксиоматизациях арифметики:
(а @) & Vx (а (х) z> а (х1))) id Via (x);
здесь а и г предполагаются не принадлежащими алфа-
алфавиту языка рассматриваемой формализации арифметики
и интерпретируются, соответственно, как произвольная
формула и произвольная переменная этой формали-
формализации.
Применение А. с. обычно позволяет обойтись без
правила подстановки при построении формальных тео-
теорий. Так, напр., во всяком достаточно сильном пропо-
пропозициональном исчислении с двумя правилами вывода —
правилом подстановки и правилом заключения — ока-
оказывается возможным ограничиться при выводах подста-
вовкамп только в аксиомы, что позволяет эквивалент-
эквивалентным образом модифицировать такое исчисление, заме-
заменив каждую аксиому соответствующей А. с. и удалив
правило подстановки из числа действующих в нем пра-
правил вывода.
Лит.: [1 ] К л и н и С. К., Введение в метаматематику,
пер. с англ., М., 1957; [2] Чёрч А., Введение в математиче-
математическую логику, т. 1, пер. с англ., М., 1960. Ф. А. Кабаков.
АКСИОМА — основное положение, самоочевидный
принцип. В дедуктивных научных теориях А. наз.
основные исходные положения той или иной теории,
из к-рых путем дедукции, т. е. чисто логич. средствами,
извлекается все остальное ее содержание. См. Аксиома-
Аксиоматический метод. П. С. Новиков.
АКСИОМАТИЗИРУЕМЫЙ КЛАСС — класс одно
типных моделей, определяемый системой аксиом. Класс
К моделей формального языка L наз. аксиомати-
аксиоматизируемым (конечно а к с и о м а т и з и р у е-
м ы м), если существует (конечная) система 2 замкну-
замкнутых формул языка L такая, что К содержит те и только
те модели, на к-рых определены и истинны все формулы
из 2 (см. Алгебраическая система). Класс моделей ре-
рекурсивной сигнатуры наз. рекурсивно аксио-
аксиоматизируемы м, если он может быть задан ре-
рекурсивным множеством аксиом.
Многие классы алгебраич. систем, изучаемых в мате-
математике, определяются системой аксиом языка 1-й сту-
ступени. Напр., классы всех булевых алгебр, всех групп,
всех полей, всех решеток являются конечно аксиомати-
аксиоматизируемыми. Классы всех групп без кручения, всех полей
характеристики 0, всех алгебраически замкнутых полей
рекурсивно аксиоматизируемы, хотя не конечно аксио-
аксиоматизируемы. Теория А. к. выявляет закономерности,
общие для всех классов объектов, определяемых с по-
помощью данного языка; она хорошо разработана для язы-
языка 1-й ступени, поэтому далее речь идет только о таких
классах и формулах.
Две модели наз. элементарно эквивалент-
эквивалентным и, если всякая формула языка 1-й ступени, ис-
истинная в одной из них, истинна и в другой. Модель ОЛ
наз. элементарным расширением мо-
модели 9?, если всякая формула, определенная и ис-
истинная в 9J, будет истинной в ЯЛ.
Элементарно замкнутый класс К моделей наз. п о л-
н ы м, если все его модели элементарно эквивалентны
между собой. Каждый А. к. моделей является суммой
попарно непересекающихся полных классов. Класс наз.
категоричным в мощности т, если все
его модели мощности m изоморфны. Полный класс мо-
моделей счетной сигнатуры, категоричный в несчетной
мощности, будет категоричным во всех несчетных мощ-
мощностях, но может быть некатегоричным в счетной мощ-
мощности; и в этом случае класс имеет счетное число попар-
попарно неизоморфных счетных моделей. Для любого пф2 су-
существует полный А. к., имеющий ровно п неизоморф-
неизоморфных счетных моделей.
А. к. моделей К наз. разрешимым, если суще-
существует алгорифм, позволяющий для каждой замкнутой
формулы языка L указать, истинна или нет она на каж-
каждой модели К. Связь полных, категоричных и разреши-
разрешимых классов дает теорема: если К категоричен в беско-
бесконечной мощности и не имеет конечной модели, то он по-
полон. Полный рекурсивно А. к. моделей разрешим.
Обобщениями А. к. являются редукционные классы и
проентивные классы. Проективные классы
определяются аксиомой 2-й ступени, имеющей вид:
ЗГ1...ЗГ„Щ(/>1, ..., Pk, Тг Тп),
где Р(, Т(— предикатные переменные, Щ.(РХ, ..., Pk,
Т1г ..., Т„) — формула сигнатуры о={Рг, ..., Р/,, Т1,
.. ., Тп). Многие свойства А. к. переносятся на эти
классы.
Лит.: [1] Мальцев А. И., Алгебраические системы,
М., 1970; [2] его ж е, в кн.: Тр. 4-го Всесоюзн. матем. съезда
т. 1, Л., 1963, с. 169—98. А. Д. Тайманов.
АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ —на
правление в математич. логике, занимающееся изуче-
изучением фрагментов содержательной теории множеств ме-
методами математич. логики. Обычно с этой целью фраг-
фрагменты теории множеств оформляются в виде формальной
аксиоматич. теории. В более узком смысле термин
«А. т. м.» может служить для обозначения к.-л. фор-
формальной аксиоматич. теории, направленной на построе-
построение нек-рого фрагмента содержательной («наивной»)
теории множеств.
Теория множеств, возникшая на рубеже 19 — 20 вв.,
уже в самом начале своего развития натолкнулась на
парадоксы. Открытие таких фундаментальных парадок-
парадоксов, как Рассела и Кантора (см. Антиномия), вызвало
широкую дискуссию и способствовало коренному пере-
пересмотру логико-математич. принципов. Аксиоматич.
направление в теории множеств можно рассматривать
как инструмент более детального изучения положения
дол в создавшейвя ситуации.
Построение формальной А. т. м. начинается с точного
описания языка, на к-ром формулируются утверждения.
Затем принципы «наивной» теории множеств выражаются
на описанном языке в виде аксиом, схем аксиом. Ниже
дано краткое описание нек-рых наиболее распростра-
распространенных систем А. т. м. Важную роль при этом играет
язык, содержащий следующие исходные символы: 1) пе-
переменные х, у, z, и, v, хх, . . ., к-рые в языке играют роль
общих имен множеств; 2) предикатные символы е (знак
принадлежности) и = (знак равенства); 3) оператор
дескрипции i (означающий «такой объект,
что.. .»); 4) логические связки и кванторы: <-> (эквива-
(эквивалентно), —>- (влечет), V (или), л (и), ~) (не), у (для
всех), з (существует); 5) скобки ( , ). Выражения язы-
языка делятся на термы и формулы. Термы являются име-
именами множеств, а формулы выражают суждения. Термы
и формулы образуются согласно следующим правилам.
П1. Если т и ст — переменные или термы, то (тест) и
(т=ст) суть формулы.
П2. Если А и В — формулы и х — переменная, то
(А<г+В), (А-+В), (AvB), (АлВ), -]А, ЧхА, 3-хА суть
формулы и \,хА — терм; переменная х есть терм.
Напр., формула ух(хгу-^xEz) выражает суждение
«г/ есть подмножество z», ее естественно обозначить г/?=г;
терм iwVy (yEw<r->y~z) является именем множества всех
подмножеств z, в привычной математич. символике его
обозначают через Pz. Пусть знак ±z; означает «стоящее
слева есть обозначение для стоящего справа». Приведем
нек-рые дальнейшие обозначения для формул и термов.
Пустое множество:
0 tzz ix\jy ~] угх.
Множество таких х, что А (х):
^х | A (x)j *—' iz Vх (^ez <-» А (х)),
где z не входит свободно в А (х) (т. е. не является пара-
параметром формулы А (х)).
Неупорядоченная пара х и у.
Одноэлементное множество из х:
Упорядоченная пара х и у:
<х, у> -ZZZ {{х\, {х, у}}-
Объединение х и у.
х [} у ^{z\ztx\r zey}.
Пересечение х и у.
х П У tzZr \z | zex Л 28!/}.
Объединение всех элементов х:
[]х " ; {» | 3v (zev Л увх)}.
Декартово произведение х и у:
х X у " 7 {z | Juv (z = <«, v> Л ыеж Л vay)}.
w есть функция:
Fnc (w) Izz^ 3v {w=v X v) Л
4uvxv2 (<«, v{> ew Л <«, v2~> e,w —>¦ i>i = i>2)-
Значение функции ш на элементе х:
w'x •' ; I!/ <х, г/> еш.
z есть стандартное бесконечное множество:
Inf (z) ±z; 0ez Л V" («ez —>¦ и U {u} g z).
Следующая аксиоматич. теория А наиболее полно
отражает принципы «наивной» теории множеств. Аксио-
Аксиомы А:
А1. аксиома объемности:
Vx (хгу <-> xez) —>¦ y = z
(«если множества у и z содержат одни и те же элементы,
то они равны»);
А2. аксиомы свертывания:
ЗуЧх(хгу <-> А),
где А — произвольная формула, не содержащая в ка-
качестве параметра у («существует множество у, содержа-
содержащее те и только те элементы х, для к-рых А»).
Описанная система противоречива. Если в А2 в ка-
качестве А взять формулу ~~\хгх, то из формулы \1х(хъу <—>
*-*~\хгх) легко выводится уъу <—*~\уъу, что противоре-
противоречиво.
Аксиоматич. системы теории множеств можно разде-
разделить на следующие четыре группы.
а) Построение аксиоматич. систем первой группы
направлено на такое ограничение аксиом свертывания,
к-рое обеспечивает наиболее естественный способ фор-
формализации обычных математич. доказательств и в то же
время позволяет избежать известных парадоксов. Пер-
Первой аксиоматикой такого рода была система Z Цермело
(Е. Zermelo, 1908). Однако в системе Z невозможно ес-
естественным образом формализовать нек-рые разделы
математики, и А. Френкель (A. Fraenkel, 1922) предло-
предложил пополнить Z новым принципом, названным им
аксиомой подстановки. Полученная сис-
система наз. системой Цермело— Френкеля
и обозначается ZF.
б) Вторую группу составляют системы, аксиомы
к-рых выбраны в связи с к.-л. объяснением парадоксов,
напр, как следствий непредикативных определений.
Сюда относятся: разветвленная теория типов Рассела,
простая теория типов Т, теории типов с трансфинит-
трансфинитными индексами (см. Типов теория).
в) Третья группа характеризуется использованием
нестандартных средств логич. вывода, многозначных
логик, дополнительных условий на доказательства, бес-
бесконечных правил вывода. Системы, относящиеся к этому
направлению, наименее развиты.
г) Четвертая группа включает модификации систем
первых трех групп, преследующие определенные логич.
или математич. цели. Укажем только на системы NBG
Неймана — Гёделя — Бернайса (J. Neumann — К. Go-
del—Р. Bernays, 1925) и NF Куайна (W. Quine, 1937).
Построение системы NBG вызвано желанием иметь
конечное число аксиом для теории множеств, основан-
основанной на системе ZF. В NF реализуется стремление пре-
преодолеть расслоение понятий, имеющее место в теории
типов.
Системы Z, ZF, NF можно формулировать в описанном
выше языке. Правила вывода, а также так наз. л о г и-
ческие аксиомы у этих систем совпадают и об-
образуют прикладное исчисление предикатов 1-й ступени
с равенством и оператором дескрипции. Укажем только
аксиомы для равенства и оператора дескрипции:
2=2, х = у —> (А (х) —>~ А (г/)),
где А (х) — формула, не содержащая связанной пере-
переменной у (т. е. не имеющая вхождений вида Vj/, Зу,
iy), и А (у) получается из формулы А (х) заменой нек-рых
свободных вхождений переменной х на у;
3\хА {х) —>- А {IXА (ж)),
где квантор з! х означает «существует одно и только од-
одно х», а формула A (ixA (x)) получается из формулы А (х)
заменой всех свободных вхождений переменной х
на терм ixA (х). Квантор з! х выразим через кванторы
V и з и равенство.
Нелогические аксиомы системы Z:
Z1. аксиома объемности А1;
Z2. аксиома пары:
3uVz (геи *r-? z = ж v z = y)
(«существует множество {х, у}»);
Z3. аксиома суммы:
3y4z {хгу <-> Jt {tez Л xet))
(«существует множество (J z»);
Z4. аксиома степени:
Зг/Vx {хгу <-> х S z)
(«существует множество Pz»);
Z5. аксиома выделения:
3J/V2 {хгу <-» 28Z Л А {х))
(«существует подмножество z, состоящее из тех элемен-
элементов х, для к-рых имеет место А (ж)»); аксиомы Z2—Z5
являются примерами аксиом свертывания;
Z6. аксиома бесконечности:
azlnf(z);
Z7. аксиома выбора:
Vz3w (Fnc (ш) Л V^ (жег Л ~] ж = 0 —>- ш' хеж))
(«для всякого множества z существует функция г«, вы-
выбирающая из каждого непустого элемента х множества
z единственный элемент и/ж»). К этим аксиомам добав-
добавляют еще аксиому фундирования:
Z8.
ух G х = Я —>- 32/ (уел; Л г/ Г) ж = 0)),
цель к-рой — постулировать, что не существует убы-
убывающих цепей х2гх1у х3гх21 х^х3, . . . Аксиома Z8 позво-
позволяет упростить построения в Z. Добавление этой аксио-
аксиомы не вносит противоречия.
В системе Z можно развивать арифметику, анализ,
функциональный анализ, рассматривать кардинальные
числа, меньшие Ца. Однако если определить алефы
стандартным образом, то доказать в Z существование ifa
и более высоких кардиналов уже невозможно.
Система ZF получается из Z добавлением аксиом под-
подстановки Френкеля, к-рым можно придать вид аксиом
свертывания:
ZF9.
Зг/V^ (хгу <r-> 3v (vez А х = it A {t, v)))
(«существует множество у, состоящее из х, x=itA (t, v),
когда v пробегает все элементы множества z»). Иначе
говоря, у получается из z, если каждый элемент v из z
заменить на it A (t, v).
Система ZF является очень сильной теорией. Все
обычные математич. теоремы формализуются в ZF.
Система NBG получается из системы ZF добавлением
нового типа переменных — классовых переменных X,
Y, Z, . . . п конечного числа аксиом образования клас-
классов, позволяющих доказать формулы вида
SYmx (xeY <-> А (х)),
где А (х) — формула системы NBG, не содержащая свя-
связанных классовых переменных и символа i. Поскольку
по каждой формуле А(х) можно образовать класс, то бес-
бесконечное число аксиом ZF удается заменить конечным
числом аксиом, содержащих классовую переменную.
Аксиома выбора имеет вид:
3.Y (Fnc (X) Л 4xQ х = 0 —>- X' хех))
и утверждает существование единой для всех множеств
функции выбора, являющейся классом.
Система NF имеет наиболее простую аксиоматику,
а именно: 1) аксиому объемности и 2) те аксиомы свер-
свертывания, в к-рых формулу А можно стратифици-
стратифицировать, т. е. приписать всем переменным формулы
А верхние индексы таким образом, чтобы получилась
формула теории типов Т, т. е. в подформулах вида хгу
индекс у х на единицу меньше, чем индекс у у.
Система NF обладает следующими особенностями:
а) выбора аксиома и обобщенная континуум-гипо-
континуум-гипотеза опровержимы;
б) бесконечности аксиома доказуема;
в) аксиома объемности играет весьма существенную
роль. Так, если аксиому объемности заменить несколько
более слабой аксиомой:
(Зм {игу) Л V" (иеу <-> uez)) —>- y = z,
допускающей много пустых множеств, а аксиомы свер-
свертывания NF оставить без изменения, то получится до-
довольно слабая теория, именно: уже в формальной ариф-
арифметике можно доказать непротиворечивость полученной
системы.
Ниже приведены результаты о соотношениях между
описанными системами.
(а) Всякая формула ZF доказуема в NBG тогда и
только тогда, когда она доказуема в ZF.
(Р) В ZF можно установить непротиворечивость Z,
пополненной любым конечным числом примеров схемы
аксиом подстановки ZF9. Таким образом, ZF значитель-
значительно сильнее Z.
(у) В Z доказуема непротиворечивость Т, так что Z
сильнее Т.
(б) NF не слабее Т в том смысле, что в NF можно раз-
развить всю теорию типов.
Аксиоматич. подход к теории множеств позволил
придать точный смысл утверждению о принципиальной
неразрешимости нек-рых математич. проблем и строго
доказать его. Общая схема применения аксиоматич.
метода здесь такова. Рассматривается формальная ак-
аксиоматич. система S теории множеств (как правило,
это ZF или нек-рые ее модификации), настолько уни-
универсальная, чтобы она содержала все обычные способы
рассуждения классич. математики и все обычные мате-
математич. факты могли бы в ней быть выведены. Данная
проблема А может быть записана в виде формулы в язы-
языке S. Затем математич. методами устанавливается, что
в S невозможно вывести ни А, ни отрицание А. Отсюда
следует, что проблема А не может быть разрешена
(в ту или иную сторону) средствами теории S, но так как
теория S определялась в расчете охватить все обычные
методы рассуждения, то полученный результат свиде-
свидетельствует о том, что А не может быть разрешена обыч-
обычными методами рассуждения, т. е. свидетельствует о
«трансцендентности» А.
Результаты о невыводимости в теории S доказывают-
доказываются, как правило, в предположении о непротиворечиво-
непротиворечивости S или нек-рого естественного расширения S. Это
связано с тем, что, с одной стороны, проблема может
быть невыводима в S только при непротиворечивости S,
последнее же не может быть установлено средствами S
(согласно Ге'деля теореме о неполноте'), т. е. не может
быть доказано обычными методами. С другой стороны,
непротиворечивость S является обычно весьма правдо-
правдоподобной гипотезой. Сама теория S определяется в рас-
расчете на выполнение этой гипотезы.
Далее, аксиоматич. подход к теории множеств позво-
позволил точно поставить и решить проблемы, связанные с
эффективностью в теории множеств, интенсивно обсуж-
обсуждавшиеся особенно в первый период развития теории
множеств в работах Р. Бэра (R. Baire), Э. Бореля (Е.
Borel), А. Лебега (Н. Lebesgue), С. Н. Бернштейна,
Н. Н. Лузина, В. Сершшского (W. Sierpinski). А имен-
именно, говорят, что теоретико-множественный объект, удов-
удовлетворяющий свойству Щ, задается эффективно в ак-
аксиоматич. теории S, если может быть построена формула
А (х) теории S, про к-рую в S можно доказать, что ей
удовлетворяет единственный объект, и этот объект удов-
удовлетворяет свойству Ж. Это определение дает возмож-
возможность точно доказать, что для нек-рых свойств 51 в тео-
теории S невозможно эффективно указать объект, удовле-
удовлетворяющий свойству 21, в то время как существование
этих объектов в S может быть установлено. Но посколь-
поскольку теория S выбирается достаточно универсальной, то
неэффективность существования нек-рых объектов в S
свидетельствует и о невозможности эффективно устано-
установить их существование обычными математич. средст-
средствами.
Наконец, методы А. т. м. позволили решить ряд труд-
трудных проблем и в классич. ветвях математики: теории
кардинальных и ординальных чисел, дескриптивной
теории множеств, топологии.
Ниже приведены нек-рые из результатов в А. т. м.
Большинство теорем относится к А. т. м. ZF Цермело —
Френкеля, наиболее употребительной в настоящее вре-
время. Пусть ZF- есть система ZF без аксиомы выбора Z7.
В силу (а) результаты легко адаптируются и к системе
NBG.
1) К. Гёдель A939) показал, что если ZF- непроти-
непротиворечива, то она остается непротиворечивой и после до-
добавления аксиомы выбора и континуум-гипотезы. От-
Отсюда следует, что в ZF невозможно опровергнуть ак-
аксиому выбора или континуум-гипотезу. Для доказатель-
доказательства этого результата Гёдель построил модель теории
ZF, состоящую из так наз. конструктивных по Гёделю
множеств и играющую важную роль в современной
А. т. м.
2) Вопрос о том, можно ли вывести в ZF аксиому вы-
выбора или континуум-гипотезу, оставался открытым
вплоть до 1963, когда П. Коэн (P. Cohen) с помощью
разработанного им вынуждения метода показал, что
если ZF~ непротиворечива, то она остается таковой и
после присоединения любой комбинации из аксиомы вы-
выбора, континуум-гипотезы или их отрицаний. Таким
образом, эти две проблемы независимы в ZF.
Основным методом установления невыводимости фор-
формулы А в ZF является построение модели ZF, в к-рой
имеет место отрицание А. Метод вынуждения Коэна,
усовершенствованный затем другими авторами, сильно
расширил возможности построения моделей теории
множеств и в настоящее время лежит в основе почти всех
дальнейших результатов о невыводимости. Напр.:
3) Показано, что к ZF без противоречия можно при-
присоединить гипотезу о том, что мощность множества под-
подмножеств множества х может быть почти произвольной
наперед заданной функцией мощности х на регулярных
кардиналах (единственные существенные ограничения
связаны с теоремой Кёнига).
4) В 1920 М. Я. Суслин сформулировал г и п о т е-
з у: всякое линейно полно упорядоченное множество
такое, что всякое попарно непересекающееся семейство
непустых открытых интервалов в нем не более чем счет-
счетно, необходимо содержит счетное всюду плотное подмно-
жество. Методом Коэна была установлена неразреши-
неразрешимость в ZF гипотезы Суслина.
5) Показана неразрешимость в ZF~ (без аксиомы вы-
выбора) утверждения: всякое подмножество множества
действительных чисел измеримо по Лебегу.
6) Выяснено взаимоотношение с ZF многих важных
проблем дескриптивной теории множеств. Первые ре-
результаты в этом направлении были объявлены Гёделем
в 30-х гг. и доказаны П. С. Новиковым [5]. Методы
А. т. м. позволили обнаружить неизвестные ранее связи
между проблемами «наивной» теории множеств. Дока-
Доказано, напр., что из существования неизмеримого по Ле-
Лебегу множества действительных чисел типа 2 2 (т. е. А 2)
вытекает существование несчетного П1 (т. е. С А) мно-
множества без совершенного подмножества.
7) Доказано отсутствие в ZF эффективного вполне
упорядочения континуума. Получены многочисленные
результаты об отсутствии эффективно определенных объ-
ектоп в дескриптивной теории множеств и теории орди-
ординалов.
Лит.: [1] Френкель А.А., Бар-Хиплеп И.,
Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966; [2] К о э п
Пол Дж., Теория множеств и континуум-гипотеза, пер.
с англ., М., 1969; [3] Й е х Т., Теория множеств и метод фор-
форсинга, пер. с англ., М., 1973; [4] D r a k e F. R., Set theory,
Amsterdam. 1974; [5] Новиков П. С. «Тр. матем. ин-та
АН СССР», 1951, т. 38, с. 279—316.
В. Н. Гришин, А. Г. Драгалин.
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД — способ построения
научной теории, при к-ром в основу теории кладутся
нек-рые исходные положения, наз. аксиомами теории, а
все остальные предложения теории получаются как
логич. следствия аксиом.
В математике А. м. зародился в работах древне-
древнегреческих геометров. Блестящим, остававшимся единст-
единственным вплоть до 19 в. образцом применения А. м. была
геометрич. система, известная под назв. «Начал» Евкли-
Евклида (ок. 300 до н. э.). Хотя в то время не вставал еще во-
вопрос об описании логич. средств, применяемых для из-
извлечения содержательных следствий из аксиом, в сис-
системе Евклида уже достаточно четко проведена идея по-
получения всего основного содержания геометрич. теории
чисто дедуктивным путем из нек-рого, относительно не-
небольшого, числа утверждений — аксиом, истинность
к-рых представлялась наглядно очевидной.
Открытие в нач. 19 в. неевклидовой геометрии
Н. И. Лобачевским и Я. Больяй (J. Bolyai) явилось
толчком к дальнейшему развитию А. м. Они установи-
установили, что, заменив привычный и, казалось бы, единствен-
единственно «объективно истинный» V постулат Евклида о парал-
параллельных его отрицанием, можно развивать чисто логич.
путем геометрич. теорию, столь же стройную и богатую
содержанием, как и геометрия Евклида. Этот факт за-
заставил математиков 19 в. обратить специальное внима-
внимание на дедуктивный способ построения математич. тео-
теорий, что повлекло за собой возникновение новой проб-
проблематики, связанной с самим понятием А. м., и фор-
формальной (аксиоматической) математич. теории. По мере
того как накапливался опыт аксиоматич. изложения
математич. теорий — здесь надо отметить прежде всего
завершение логически безупречного (в отличие от «На-
«Начал» Евклида) построения элементарной геометрии [М.
Паш (М. Pasch), Дж. Пеано (G. Реапо), Д. Гильберт
(D. Hilbert)] и первые попытки аксиоматизации ариф-
арифметики (Дж. Пеано),— уточнялось понятие формаль-
формальной аксиоматич. системы (см. ниже); возникала специ-
фич. проблематика, на основе к-рой выросла так наз.
доказательств теория как основной раздел современной
математич. логики.
Понимание необходимости обоснования математики
и конкретные задачи в этой области зародились в более
или менее отчетливой форме уже в 19 в. При этом, с од-
одной стороны, уточнение основных понятий и сведение
более сложных понятий к простейшим на точной и логи-
логически все более строгой основе проводились гл. обр. в
области анализа [«е — 8»-язык О. Коши (A. Cauchy),
теоретико-функциональные концепции Б. Больцано
(В. Bolzano) и К. Вейерштрасса (К. Weierstrass), кон-
континуум Г. Кантора (G. Cantor) и Р. Дедекинда (R. Dede-
kind)]; с другой стороны, открытие неевклидовых
геометрий стимулировало развитие А. м., возникнове-
возникновение новых идей и постановку проблем более общего ме-
таматематич. характера, прежде всего проблем, связан-
связанных с понятием произвольной аксиоматич. теории, та-
таких, как проблемы непротиворечивости, полноты и не-
независимости той или иной системы аксиом. Первые ре-
результаты в этой области принес метод интер-
интерпретаций, к-рый грубо может быть описан сле-
следующим образом. Пусть каждому исходному понятию
и отношению данной аксиоматич. теории Т поставлен в
соответствие нек-рый конкретный математич. объект.
Совокупность таких объектов наз. полем интер-
интерпретации. Всякому утверждению 91 теории Т
естественным образом ставится теперь в соответствие
нек-рое высказывание 31* об элементах поля интерпре-
интерпретации, к-рое может быть истинным или ложным. Тогда
говорят, что утверждение Ш теории Т, соответственно,
истинно или ложно в данной интерпретации. Поле ин-
интерпретации и его свойства сами обычно являются объ-
объектом рассмотрения к.-л., вообще говоря другой, мате-
математич. теории Тх, к-рая, в частности, тоже может быть
аксиоматической. Метод интерпретаций следующим
образом позволяет устанавливать факт относи-
относительной непротиворечивости, т.е. до-
доказывать суждения типа: «если теория Т\ непротиворе-
непротиворечива, то непротиворечива и теория Т». Пусть теория Т
проинтерпретирована в теории Тх таким образом, что
все аксиомы А ,¦ теории Т интерпретируются истинными
суждениями А[ теории Тх. Тогда всякая теорема
теории Т, т. е. всякое утверждение А, логически выве-
выведенное из аксиом А[ в Т, интерпретируется в Tt нек-рым
утверждением А *, выводимым в Тх из интерпретаций
Ai аксиом А;, и, следовательно, истинным. Последнее
утверждение опирается на еще одно неявно делаемое
нами допущение известного подобия логич. средств тео-
теорий Т и Т1? но практически это условие обычно выпол-
выполняется. (На заре применения метода интерпретаций об
этом допущении специально даже не задумывались: оно
представлялось само собой разумеющимся; на самом
деле в случае первых опытов доказательства теорем об
относительной непротиворечивости логич. средства тео-
теорий Т и Tj просто совпадали — это была классич. ло-
логика предикатов.) Пусть теперь теория Т противоречи-
противоречива, т. е. нек-рое утверждение А этой теории выводимо в
ней вместе со своим отрицанием. Тогда из вышесказан-
вышесказанного следует, что утверждения А* и «не А*» будут одно-
одновременно истинными утверждениями теории Т1; т. е.,
что теория Тг противоречива. Этим методом была,
напр., доказана [Ф. Клейн (F. Klein), А. Пуанкаре
(Н. Poincare)] непротиворечивость неевклидовой геомет-
геометрии Лобачевского в предположении, что непротиворечи-
непротиворечива геометрия Евклида; а вопрос о непротиворечивости
гильбертовой аксиоматизации евклидовой геометрии
был сведен (Д. Гильберт) к проблеме непротиворечиво-
непротиворечивости арифметики. Метод интерпретаций позволяет также
решать вопрос о независимости систем аксиом: для до-
доказательства того, что аксиома А теории Т не зависит
от остальных аксиом этой теории, т. е. не выводима из
них, и, следовательно, существенно необходима для
получения всего объема данной теории, достаточно по-
построить такую интерпретацию теории Т, в к-рой аксио-
аксиома А была бы ложна, а все остальные аксиомы этой тео-
теории истинны. Иной формой этого способа доказательст-
доказательства независимости А является установление непротиворе-
чивости теории, к-рая получается, если в данной теории
Таксиому А заменить ее отрицанием. Упомянутое выше
сведение проблемы непротиворечивости геометрии Лоба-
Лобачевского к проблеме непротиворечивости евклидовой
геометрии, а этой последней — к вопросу о непротиво-
непротиворечивости арифметики имеет своим следствием утверж-
утверждение, что V постулат Евклида не выводим из остальных
аксиом геометрии, если только непротиворечива ариф-
арифметика натуральных чисел. Слабая сторона метода ин-
интерпретаций состоит в том, что в вопросах непротиворе-
непротиворечивости и независимости систем аксиом он дает возмож-
возможность получать результаты, носящие неизбежно лишь
относительный характер. Но важным достижением этого
метода стал тот факт, что с его помощью была выявлена
на достаточно точной основе особая роль арифметики как
такой математич. теории, к вопросу о непротиворечиво-
непротиворечивости к-рой сводится аналогичный вопрос для целого ряда
других теорий.
Дальнейшее развитие — а в известном смысле это
была вершина — А. м, получил в работах Д. Гильберта
и его школы в виде так наз. метода формализма в осно-
основаниях математики. В рамках этого направления была
выработана следующая стадия уточнения понятия ак-
сиоматич. теории, а именно понятие формальной систе-
системы,. В результате этого уточнения оказалось возможным
представлять сами математич. теории как точные мате-
математич. объекты и строить общую теорию, или метатео-
метатеорию, таких теорий. При этом соблазнительной представ-
представлялась перспектива (и Д. Гильберт был в свое время ею
увлечен) решить на этом пути все главные вопросы обос-
обоснования математики. Основным понятием этого направ-
направления является понятие формальной системы. Всякая
формальная система строится как точно очерченный
класс выражений — формул, в к-ром нек-рым точным
образом выделяется подкласс формул, наз. теоремами
данной формальной системы. При этом формулы фор-
формальной системы непосредственно не несут в себе ника-
никакого содержательного смысла, и их можно строить из
произвольных, вообще говоря, значков или элементар-
элементарных символов, руководствуясь только соображениями
технического удобства. На самом деле способ построе-
построения формул и понятие теоремы той или иной формаль-
формальной системы выбираются с таким расчетом, чтобы весь
этот формальный аппарат можно было применять для
выражения, возможно более адекватного и полного,
той или иной конкретной математической (и не матема-
математической) теории, точнее, как ее фактич. содержания,
так и ее дедуктивной структуры. Общая схема построе-
построения (задания) произвольной формальной системы S
такова.
I. Язык системы S:
а) алфавит— перечень элементарных символов
системы;
б) правила образования (синтаксис) —
правила, по к-рым из элементарных символов строятся
формулы системы S; при этом последовательность эле-
элементарных символов считается формулой тогда и только
тогда, когда она может быть построена с помощью
правил образования.
II. Аксиомы системы S. Выделяется нек-рое
множество формул (обычно конечное или перечнелнмое),
к-рые наз. аксиомами системы S.
III. Правила вывода системы S. Фик-
Фиксируется (обычно конечная) совокупность предикатов
Яь .. ., Rff на множестве всех формул системы S. Пусть
Ri(xu ..., х„1 + 1) — к.-л. из этих предикатов (гс,->0);
если для данных формул Flt ..., Fn. + 1 утверждение
i?,(flt ..., Fn. + 1) истинно, то говорят, что формула
Fn. + l непосредственно следует из формул Flt ..., Fn.
по правилу Я,-.
Заданием I, II, III исчерпывается задание формаль-
формальной системы S как точного математич. объекта, по-
поскольку понятие теоремы или выводимой формулы сис-
системы S образуется для всех формальных систем следую-
следующим единообразным способом (при этом степень точно-
точности определяется уровнем точности задания алфавита,
правил образования и правил вывода, т. е. предикатов
/?!, ..., R-k). Выводом системы S наз. всякая конеч-
конечная последовательность формул системы S, в к-рой каж-
каждая формула либо является аксиомой системы S, либо
непосредственно следует из к.-л. предшествующих ей в
этой последовательности формул по одному из правил
вывода R[ системы S. Формула системы S наз. тео-
теоремой этой системы, если существует вывод системы
S, заканчивающийся этой формулой.
Всякую конкретную математич. теорию Т можно
перевести на язык подходящей формальной системы S
таким образом, что каждое осмысленное (ложное или
истинное) предложение теории Т выражается нек-рой
формулой системы S.
Естественно было надеяться, что этот метод формали-
формализации позволит строить все положительное содержание
математич. теорий на такой точной и, казалось бы, на-
надежной основе, как понятие выводимой формулы (тео-
(теоремы формальной системы), а такие принципиальные
вопросы, как проблема непротиворечивости математич.
теорий, решать в форме доказательств соответствующих
утверждений о формализующих эти теории формальных
системах. Поскольку формальные системы описанного
выше типа сами оказываются точными, или, как говори-
говорили в школе Гильберта, финитными, математич. объекта-
объектами, можно было ожидать, что удастся получить финит-
финитные доказательства утверждений о непро-
непротиворечивости, т. е. доказательства, к-рые в определен-
определенном смысле были бы эффективными, не зависящими от
тех мощных средств, вроде абстракции актуальной бес-
бесконечности, к-рые в классических математич. теориях
как раз и являются причиной трудностей в их обоснова-
обосновании. Таким образом, требование финитности средств,
применяемых для получения результатов о формальных
системах, в частности теорем о их непротиворечивости,
было вполне закономерной особенностью формалпстич.
программы Гильберта. Однако результаты К. Гёделя
(К. Godel) начала 30-х гг. 20 в. привели к краху основ-
основных надежд, связывавшихся с этой программой. Гёдель
показал:
1) Всякая естественная, непротиворечивая формали-
формализация S арифметики или любой другой математич. тео-
теории, содержащей арифметику (напр., теории множеств),
неполна и непополнима в том смысле, что: а) в S имеют-
имеются (содержательно истинные) неразрешимые формулы,
т. е. такие формулы А, что ни А, ни отрицание А не
выводимы в S (неполнота формализован-
формализованной а р и ф м е т и к и), б) каким бы конечным множе-
множеством дополнительных аксиом (напр., неразрешимыми в
S формулами) ни расширить систему S, в новой, уси-
усиленной таким образом, формальной системе неизбежно
появятся свои неразрешимые формулы (н е п о п о л-
н и м о с т ь; см. [5], а также Гёделя теорема о непол-
неполноте).
2) Если формализованная арифметика в действи-
действительности непротиворечива, то хотя утверждение о ее
непротиворечивости выразимо на ее собственном язы-
языке, однако доказательство этого утверждения, проведен-
проведенное средствами, формализуемыми в ней самой, невоз-
невозможно.
Это означает, что уже для арифметики принципиаль-
принципиально невозможно исчерпать весь объем ее содержательно
истинных суждений классом выводимых формул какой
бы то ни было формальной системы, и что нет никакой
надежды получить когда-либо финитное доказательство
непротиворечивости арифметики, т. к., по-видимому,
всякое разумное уточнение понятия финитного доказа-
доказательства оказывается формализуемым в формальной
арифметике.
Все это ставит определенные границы возможностям
А. м. в том его виде, к-рый он приобрел в рамках гиль-
бертовского формализма. Однако и в этих границах он
сыграл и продолжает играть важную роль в основаниях
математики. Так, напр., уже после описанных резуль-
результатов Гёделя им же в 1938 — 40, а затем П. Коэном
(P. Cohen) в 1963 на основе аксиоматич. подхода с при-
применением метода интерпретаций были получены фунда-
фундаментальные результаты о совместимости и независимо-
независимости аксиомы выбора и континуум-гипотезы в теории
множеств (см. [6], [7]). Что касается такого основного
вопроса оснований математики, как проблема непроти-
непротиворечивости, то после результатов Гёделя стало ясно,
что для его решения, по-видимому, не обойтись без
других, отличных от финитистских, средств и идей.
Здесь оказались возможными разные подходы, не для
всех математиков в равной степени приемлемые или убе-
убедительные, в частности в виду существования различных
точек зрения на допустимость тех или иных логич.
средств. Из результатов о непротиворечивости формаль-
формальных систем следует прежде всего указать на доказатель-
доказательство непротиворечивости формализованной арифметики
(см. [8]), к-рое опирается на бесконечную индукцию до
нек-рого счетного трансфинита. Другим, более поздним,
примером такого рода является попытка обоснования
утверждения о непротиворечивости формальной системы
анализа с помощью нек-рых идей интуиционизма
(см. [9]).
Лит.: И] «Начала» Евклида, пер. с греч., кн. 1—15, М.— Л.,
1948—50; [2] Каган В. Ф., Основания геометрии, ч. 1,
М.— Л., 1949; [3] Гильберт Д., Основания геометрии,
пер. с нем., М.— Л., 1948; [4] Р е а п о G., «Rivista di matema-
tica», 1891, v. 1, p. 1 — 10; [5] G б d e 1 K., «Monatsh. Math.
Phys.», 1931, Bd 38, S. 173—98; [6] Гёдель К., «Успехи
матем. наук», 1948, т. 3, в. 1, с. 96—149; [7] К о э н П. Д т., Те-
Теория множеств и континуум-гипотеза, пер. с англ., М., 1969;
[8] Г е н ц е н Г., Непротиворечивость чистой теории чисел,
в кн.: Математическая теория логического вывода, М., 1967,
с. 77—153; [9] Spec tor С, в кн.: Recursive function theory,
Providence, 1962, p. 1—27. П. С. Новиков.
АКСОНОМЕТРИЯ — один из способов изображения
пространственных фигур на плоскости. А. заключается
в том, что фигура, выбранная прямоугольная декартова
система координат и ортогональная проекция фигуры
на одну из координатных плоскостей проектируются на
плоскость чертежа. В зависимости от способа проекти-
проектирования А. делится на параллельную и цент-
центральную. Если направление параллельного проек-
проектирования на плоскость чертежа перпендикулярно этой
плоскости, то А. наз. ортогональной, или нор-
нормальной, в противном случае — косоуголь-
косоугольной. При ортогональной А. указывают косинусы углов
наклона координатных осей к плоскости чертежа, назы-
называемые иногда показателями искажения.
Если два показателя искажения равны, то А. наз.
диметр и ей; если равны три показателя — и з о-
м е т р и е й; если все показатели искажения различ-
различны — т р и м е т р и е й. Основной теоремой А. явля-
является теорема Польке— Шварца, состоящая
в том, что любой тетраэдр может быть спроектирован
в плоский четырехугольник, подобный данному.
Лит.: Глазунов Б. А., Четверухин Н. Ф.,
Аксонометрия, М., 1953. А. В, Иванов.
АЛГАМС — алгоритмический язык, ориентирован-
ориентированный в основном на вычислительные машины средней
мощности. А. разработан в 1963—66 Группой по Авто-
Автоматизации программирования для Машин Среднего
типа (ГАМС), созданной комиссией многостороннего
сотрудничества академий наук социалистич. стран. А.
призван сыграть роль эталонного языка для обмена
алгоритмами между социалистич. странами. В основу
А. положен язык алгол-60 (см. Алгол), на к-рый были
наложены нек-рые ограничения, облегчающие процесс
трансляции. Наиболее важными ограничениями яв-
являются: запрещение рекурсивного использования про-
процедур, требование обязательной спецификации формаль-
формальных параметров процедуры, описание идентификато-
идентификаторов (кроме меток) до их использования, упрощение кон-
конструкций именующих выражений. Эти ограничения
согласованы с ограничениями, наложенными на ал-
гол-60 в унифицированном языке, называемом подмно-
подмножеством алгол-60. Наряду с ограничениями в А. введе-
введены новые понятия внешнего идентификатора и идентифи-
идентификатора части, отсутствующие в языке алгол-60. С по-
помощью внешних идентификаторов име-
именуются массивы, к-рые желательно разместить во внеш-
внешней памяти машины. Чтение и запись внешних масси-
массивов производятся с помощью стандартной процедуры
обмена. Идентификаторы части, помещае-
помещаемые перед блоками, выделяют части программы, к-рые
могут храниться во внешней памяти и вызываться в
оперативную память при входе в соответствующий
блок. Эти понятия повышают эффективность использо-
использования языка при ограниченном объеме оперативной
памяти машины. Кроме того, в А. детально разрабо-
разработаны процедуры ввода и вывода информации и уточнен
способ описания тел процедур с помощью др. языков.
Лит.: [1] Описание языка АЛГАМС, в сб.: Алгоритмы и ал-
алгоритмические языки, в. 3, М., 1968, с. 3—56; [2] Любим-
ский Э. 3., Мартынюк В. В., «Программирование».
1976, № 1, с. 87—8. В. В.Луцикович.
АЛГЕ15РА — 1) Часть математики (см. Алгебра).
В этом понимании термин «А.» употребляется в таких
сочетаниях, как гомологическая алгебра, коммутатив-
коммутативная алгебра, линейная алгебра, полилинейная алгебра,
топологическая алгебра.
2) Частный случай операторного кольца: А. (иног-
(иногда — линейная, или векторная, А.) над полем, телом,
коммутативным кольцом. Ассоциативная А. (прежнее
назв. «гиперкомплексная система»), неассоциативная
А., альтернативная А.— алгебры именно в этом пони-
понимании.
3) То же, что универсальная алгебра. В этом пони-
понимании алгебрами будут, напр., булевы алгебры, унарные
алгебры.
АЛГЕБРА — часть математики, посвященная изуче-
изучению алгебраических операций.
Исторический очерк. Простейшие алгебраич. опера-
операции — арифметич. действия над натуральными и по-
положительными рациональными числами — встречаются
в самых ранних математич. текстах, свидетельст-
свидетельствующих о том, что уже в глубокой древности были из-
известны все основные свойства этих действий. Значи-
Значительное влияние на развитие алгебраич. идей и симво-
символики оказала, в частности, «Арифметика» Диофанта
C в. н. э.). Термин «А.» происходит от названия сочи-
сочинения Мухаммеда аль-Хорезми «Альджебр аль-мукаба-
ла» (9 в.), содержащего общие приемы для решения
задач, сводящихся к алгебранч. уравнениям 1-й и 2-й
степеней. В конце 15 в. вместо громоздкого словесного
описания алгебраич. действий, господствовавшего ра-
ранее, в математич. сочинениях появляются принятые
теперь знаки + и — , затем знаки степеней, корней,
скобки. Ф. Виет (F. Viete, конец 16 в.) первым стал при-
применять буквенные обозначения как для неизвестных,
так и для заданных в задаче величин. К сер. 17 в. в
основном сложилась современная алгебраич. символи-
символика и тем самым завершилась «предыстория» А. Раз-
Развитие собственно А. происходило в три последующих
столетия, причем точка зрения на ее предмет несколько
раз существенно менялась.
В 17—18 вв. под А. понималась наука о буквен-
буквенных вычислениях — тождественных преобразованиях
буквенных формул, решения алгебраических уравнений
и т. п., — в отличие от арифметики, занимавшейся
вычислениями над конкретными числами. Предпола-
Предполагалось, однако, что под буквами подразумеваются чис-
числа, целые пли дробные. Вот краткое содержание одного
из лучших руководств того времени — «Введения в ал-
алгебру» Л. Эйлера (L. Euler): целые числа, обыкновен-
обыкновенные и десятичные дроби, корни, логарифмы, алгебра-
ич. уравнения 1-й — 4-й степеней, прогрессии, соеди-
соединения, бином Ньютона, диофантовы уравнения. Таким
образом, к сер. 18 в. А. сложилась в том приблизительно
объеме, к-рый теперь принято наз. «элементарной» А.
А. 18—19 вв. есть прежде всего А. многочленов.
Исторически первой задачей А. было решение алгебра-
ич. уравнений с одним неизвестным, т. е. уравнений
вида:
аох" + а^"-^+ . . . -\-ап=0.
Имелось в виду отыскание формул, выражающих корни
уравнения через его коэффициенты при помощи сложе-
сложения, умножения, вычитания, деления и извлечения
корней («решение в радикалах»). С древнейших времен
математики умели решать уравнения 1-й и 2-й степеней.
В 16 в. существенное продвижение было сделано италь-
итальянскими математиками — сначала была найдена фор-
формула для решения уравнений 3-й степени (см. Кардана
формула), а затем и метод решения (см. Феррари метод)
уравнения 4-й степени. В течение почти трех последую-
последующих столетий продолжались безуспешные попытки най-
найти аналогичные формулы для решения уравнений
высших степеней, в связи с чем приобрела большой ин-
интерес задача найти хотя бы «бесформульное» доказа-
доказательство существования комплексного корня для про-
произвольного алгебраич. уравнения с комплексными
коэффициентами. Эта теорема была впервые высказана
в 17 в. А. Жираром (A. Girard), но первое строгое
доказательство ее дал К. Гаусс (С. Gauss) в конце 18 в.
(см. Алгебры основная теорема). Наконец, в 1824
Н. Абель (N. Abel) установил, что уравнения выше
4-й степени в общем случае в радикалах не разрешимы,
а в 1830 Э. Галуа (Е. Galois) указал общий критерий
разрешимости алгебраич. уравнения в радикалах (см.
Галуа теория). Другие задачи отходят в это время на
второй план, и под А. понимается «анализ уравнений»,
как отмечает Ж. Серре (J. Serret) в своем курсе высшей
алгебры A849).
Наряду с теорией алгебраич. уравнений с одним
неизвестным развивается теория систем алгебраич.
уравнений с несколькими неизвестными, в частности
систем линейных уравнений. В связи с исследованием
последних возникают понятия матрицы и определителя.
В дальнейшем матрицы становятся предметом самосто-
самостоят, теории — алгебры матриц, роль к-рой не исчерпы-
исчерпывается применением к исследованию систем линейных
уравнений.
Начиная с сер. 19 в., центр тяжести в алгебраич. ис-
исследованиях постепенно перемещается с теории урав-
уравнений на изучение произвольных алгебраич. операций.
Первоначальные попытки аксиоматич. изучения алгеб-
алгебраич. операций можно проследить уже в «теории отно-
отношений» Евклида, однако они не получили развития
из-за невозможности геометрически интерпретировать
даже простейшие действия над числами как отношения-
отношениями длин или площадей. Дальнейший прогресс оказался
возможным только после постепенного расширения и
углубления понятия числа, а также в результате появ-
появления разнообразных примеров алгебраич. операций
над объектами совсем иной природы, нежели числа,—
первыми такими примерами (нач. 19 в.) явились «ком-
«композиция двоичных квадратичных форм» К. Гаусса и
умножение подстановок П. Руффини (P. Ruffini) и
О. Кошп (A. Cauchy). Явное выделение абстрактного
понятия алгебраич. операции было сделано в сер. 19 в.
в связи с исследованиями природы комплексных чисел.
Возникают алгебра логики Дж. Буля (G. Boole), внеш-
внешние алгебры Г. Грассмана (Н. Grassmann), кватернионы
У. Гамильтона (W. Hamilton). А. Кэли (A. Cayley)
создает матричное исчисление, К. Жордан (С. Jordan)
публикует большой трактат о группах подстано-
подстановок.
Эти работы подготовили вступление А. в конце 19 —
нач. 20 вв. в современный этап ее развития, характери-
характеризующийся объединением ранее разрозненных алгебра-
алгебраич. идей на общей аксиоматич. основе и существенным
расширением области приложений А. Современная
точка зрения на А. как на общую теорию алгебраич.
операций сформировалась в нач. 20 в. под влиянием
работ Д. Гильберта (D. Hilbert), Э. Штейница (Е. Stei-
nitz), Э. Артина (Е. Artin), Э. Нётер (Е. Noether) и
окончательно утвердилась с выходом в 1930 монографии
Б. Л. ван дер Вардена (В. L. van der Waerden) «Сов-
«Современная алгебра».
Предмет, основные разделы алгебры, связь с другими
областями математики. Предметом изучения современ-
современной А. являются множества с заданными на них алгеб-
алгебраич. операциями (т. е. алгебры, или универсальные
алгебры, см. терминологич. справку Алгебра), рассмат-
рассматриваемые с точностью до изоморфизма. Последнее оз-
означает, что природа множеств — носителей алгебраич.
операций с точки зрения А. безразлична, и в этом смысле
подлинным объектом изучения являются сами алгеб-
алгебраич. операции (см. начало статьи).
Фактическому изучению долгое время подвергались
сравнительно немногие основные типы универсальных
алгебр, естественно выделившиеся в ходе развития ма-
математики и ее приложений.
Один из наиболее важных и наиболее изученных
типов алгебр — группы, т. е. алгебры с одной ассоциа-
ассоциативной бинарной операцией, содержащие единицу и для
каждого элемента — обратный элемент. Понятие груп-
группы явилось исторически первым примером универсаль-
универсальной алгебры и послужило во многих отношениях образ-
образцом при перестройке А. и, вообще, математики на рубе-
рубеже 19 — 20 вв. Значительно позже началось самостоя-
самостоятельное изучение таких обобщений групп, как полу-
полугруппы, квазигруппы и лупы.
Важнейшие типы алгебр с двумя бинарными опера-
операциями — кольца и поля. Операции в них обычно наз.
сложением и умножением. Кольцо определяется аксио-
аксиомами абелевой группы для сложения и законами дис-
дистрибутивности для умножения относительно сложения
(см. Кольца и алгебры). Первоначально изучались лишь
кольца с ассоциативным умножением, и это требование
ассоциативности иногда даже включают в определение
кольца (см. Ассоциативные кольца и алгебры). В на-
настоящее время вполне сложившимся является общее
направление, посвященное изучению неассоциативных
колец (см. Неассоциативные кольца и алгебры). Телом
наз. ассоциативное кольцо, все отличные от нуля эле-
элементы к-рого образуют группу по умножению. Поле —
тело с коммутативным умножением. Числовые поля,
т. е. совокупности чисел, замкнутые относительно
сложения, умножения, вычитания и деления на число,
отличное от нуля, неявно фигурировали уже в началь-
начальных исследованиях по алгебраич. уравнениям. Ассо-
Ассоциативно-коммутативные кольца и поля являются ос-
основными объектами изучения коммутативной алгебры,
с к-рой тесно связана алгебраическая геометрия.
Другой важный тип алгебр с двумя бинарными опе-
операциями — решетки. Типичные примеры решеток: си-
система подмножеств данного множества с операциями
теоретико-множественного объединения и пересечения,
множество положительных целых чисел с операциями
взятия наименьшего общего кратного и наибольшего
общего делителя.
Линейные (или векторные) пространства над полем
можно трактовать как универсальные алгебры с одной
бинарной операцией — сложением и набором унарных
операций — умножений на скаляры из основного поля.
Рассматриваются также линейные пространства над
телами. Если за множество скаляров взять кольцо, то
получается более широкое понятие модуля. Изучению
линейных пространств, модулей, а также их линейных
преобразований и смежным вопросам посвящен важный
раздел А.— линейная алгебра, частью к-рой являются
сформировавшиеся еще в 19 в. теория линейных урав-
уравнений и теория матриц. К линейной алгебре тесно при-
примыкает полилинейная алгебра.
Первые работы по общей теории произвольных уни-
универсальных алгебр (иногда сама эта теория наз. уни-
универсальной алгеброй) относятся к 30-м гг. 20 в. и
принадлежат Г. Биркгофу (G. Birkhoff). В те же годы
А. И. Мальцев и А. Тарский (A. Tarski) заложили
основы теории моделей, т. е. множеств с отмеченными
на них отношениями. В дальнейшем теория универсаль-
универсальных алгебр и теория моделей столь тесно переплелись
между собой, что привели к возникновению новой
дисциплины, пограничной между А. и математич.
логикой,— теории алгебраических систем, изучающей
множества с определенными на них алгебраич. опера-
операциями и отношениями.
Ряд дисциплин, пограничных между А. и другими
частями математики, определяется внесением в уни-
универсальные алгебры дополнительных структур, согла-
согласованных с алгебраич. операциями. Сюда относятся
топологическая алгебра, в т. ч. теория топологических
групп и Ли групп, теория нормированных колец, диффе-
дифференциальная алгебра, теории различных упорядоченных
алгебраич. образований. К сер. 50-х гг. 20 в. оформи-
оформилась в самостоятельную дисциплину гомологическая ал-
алгебра, уходящая своими истоками как в А., так и в то-
топологию.
Роль А. в современной математике исключительно
велика, и существует объективная тенденция к даль-
дальнейшей «алгебраизации» математики. Типичный путь
изучения многих математич. объектов, порой очень
далеких от А., состоит в построении алгебраич. систем,
достаточно хорошо отражающих поведение изучаемых
объектов. Так, изучение групп Ли во многом сводится
к изучению их алгебраич. отражений — Ли алгебр.
Аналогичный метод используется в топологии — каж-
каждому топологич. пространству сопоставляется нек-рым
стандартным способом бесконечная серия групп гомо-
гомологии (см. Гомологии группа), и эти серии алгебраич.
отражений позьоляют очень точно судить о свойствах
самих пространств. Именно с помощью А. сделаны пос-
последние крупные открытия в топологии (см. Алгебраи-
Алгебраическая топология).
Казалось бы, перевод задач на язык А., решение
их на этом языке, а затем обратный перевод только
усложняют дело. В действительности такой путь ока-
оказывается весьма выгодным, а порой и единственно
возможным. Объясняется это тем, что алгебраизация
позволяет применить для решения задачи не только
чисто словесные рассуждения, но и мощный аппарат
формальных алгебраич. вычислений, сокрушающий
подчас самые сложные препятствия. Эта роль А. в ма-
математич. творчестве напоминает роль современных
ЭВМ в задачах практики.
Алгебраич. понятия и методы широко применяются
в теории чисел (см. Алгебраическая теория чисел),
в функциональном анализе, в теории дифференциальных
уравнений, в геометрии (см. Инвариантов теория,
Проективная геометрия, Тензорная алгебра) и в других
математич. дисциплинах.
Наряду с фундаментальной ролью внутри математи-
математики А. имеет большое прикладное значение — следует
отметить ее выходы в физику (теория представлений
конечных групп в квантовой механике, дискретные
группы в кристаллографии), в кибернетику (автоматов
теория), в математич. экономику (линейные неравен-
неравенства).
Лцт.: [1] История математики с древнейших времен до на-
начала XIX столетия, т. 1—3, М., 1970 — 72; [2] М а л ь ц е в А. И.,
К истории алгебры в СССР за первые 25 лет, «Алгебра и логика»,
1971. т. 10, Л» 1,с. 103—18; [3] Математика, ее содержание, методы
и значение. Сб. статей, т. 1—3, М., 1956; [4] К у р о ш А. Г.,
Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971; [5] Б у р б а к и Н.,
Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилиней-
полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [6] В а н дер В а р-
д е н Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976; [7] Л е н г С, Ал-
Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [8] Мальцев А. И., Алге-
Алгебраические системы, М., 1970.
См. также лит. при статьях об отдельных алгебраических дис-
дисциплинах. Ю. И. Мерзляков, А. И. Ширшов.
С* -АЛГЕБРА — банахова алгебра А над полем ком-
комплексных чисел, снабженная такой инволюцией, х—ух*,
х?А, что норма и инволюция связаны соотношением
|la;*a;l!= |!х[|2 для любого элемента х?А. С*-А. были
введены в 1943 (см. [1]) под назв. вполне регу-
регулярных колец, их наз. также В*-алгебрами.
Важнейшие примеры С*-А. 1) Алгебра С0(Х)
непрерывных комплекснозначных функций на локально
компактном хаусдорфовом пространстве X, стремя-
стремящихся к нулю на бесконечности (т. е. таких непрерыв-
непрерывных функций / на X, что для любого е>0 множество то-
точек х?Х, удовлетворяющих условию |/(ж)|^е, ком-
компактно в X); СВ(Х) снабжается равномерной нормой
|| / И = sup | / {х) |;
л:е X
инволюция в С0(Х) определяется как переход к комп-
комплексно сопряженной функции: /* (x) = f(x). Любая ком-
коммутативная С*-А. А изометрически и симметрически
изоморфна С*-А. (т. е. изоморфна как банахова алгеб-
алгебра А с инволюцией) С0(Х), где X — пространство
максимальных идеалов алгебры А, снабженное топо-
топологией Гельфанда (см. [1], [2], [3]).
2) Алгебра L (Н) всех ограниченных линейных опе-
операторов в гильбертовом пространстве Н, рассматривае-
рассматриваемая относительно обычных линейных операций и ум-
умножения операторов; инволюция в L (Н) определяется
как переход к сопряженному оператору, норма — как
обычная норма оператора.
Подмножество МаА наз. самосопряжен.
н ы м, если М=М*, где М* = {х*, х?М}. Любая замк-
замкнутая самосопряженная подалгебра В С*-А. А яв-
является С*-А. относительно линейных операций,
умножения, инволюции и нормы, заимствованных из
А; В наз. С*-подалгеброй А. Всякая С*-А. изомет-
изометрически и симметрически изоморфна С*-подалгебре
нек-рой С*-А. вида L(H). Любой замкнутый двусто-
двусторонний идеал / в С*-А. А самосопряжен (поэтому /
есть С*-подалгебра А), факторалгебра А/1, снабженная
естественными линейными операциями, умножением,
инволюцией и нормой факторпространства, есть С*-А.
Множество К(Н) вполне непрерывных линейных опе-
операторов в гильбертовом пространстве Н есть замкнутый
двусторонний идеал в L(H). Если А есть С*-А., А —
алгебра с инволюцией, получаемая из А присоедине-
присоединением единичного элемента, то на А существует единст-
единственная норма, превращающая Л в С*-А. и продолжаю-
продолжающая норму на А. Кроме того, для С*-А. определены
операции ограниченной прямой суммы и тензорного
произведения (см. [3], [4]).
Как и во всякой симметричной банаховой алгебре, в
С*-А. А можно выделить подмножества: действитель-
действительное линейное пространство А^ эрмитовых элементов;
множество нормальных элементов; мультипликативную
группу U унитарных элементов (если А содержит еди-
единичный элемент); множество А + положительных эле-
ментов. Множество А+ есть замкнутый конус в А%,
А + (){ — А) + = {0}, A + ~A+=Ah, и конус А+ превра-
превращает Ah в упорядоченное действительное векторное
пространство. Если А содержит единичный элемент 1.
то 1 — внутренняя точка конуса А+аА^. Линейный
функционал на А наз. положительным, если
f(x)^0 для всех х?А+; такой функционал непреры-
непрерывен. Если х?В, где В есть С*-подалгебра А, то спектр
элемента х в В совпадает со спектром х в А . Спектр
эрмитова элемента действителен, спектр унитарного
элемента лежит на единичной окружности, спектр
положительного элемента неотрицателен. Построено
функциональное исчисление для нормальных элементов
С*-А. Любая С*-А. А имеет аппроксимативную
единицу, лежащую в единичном шаре алгебры А и
образованную положительными элементами из А. Если
/, / — замкнутые двусторонние идеалы в А , то /+/ —
замкнутый двусторонний идеал в А и (/+/) + = /++
/+. Если / — замкнутый двусторонний идеал в /, / —
замкнутый двусторонний идеал в А, то I — замкнутый
двусторонний идеал в А . Всякий замкнутый двусторон-
двусторонний идеал есть пересечение содержащих его двусторон-
двусторонних примитивных идеалов; всякий замкнутый левый
идеал в А — есть пересечение содержащих его макси-
максимальных регулярных левых идеалов.
Любой *-изоморфизм С*-А. является изометрическим.
Любой *-гомоморфизм я банаховой алгебры с инволю-
инволюцией В в С*-А. А непрерывен и ||я(ж)||<:||а;|| для всех
х?В. В частности, все представления банаховой ал-
алгебры с инволюцией (т. е. *-гомоморфизм В в С*-А.
вида L(H)) непрерывны. Теория представлений С*-А.
составляют существенную часть теории С*-А., и при-
приложения теории С*-А. связаны именно с теорией пред-
представлений С*-А. Свойства представлений С*-А. позво-
позволяют построить для каждой С*-А. А топологич. про-
пространство А, наз. спектром С*-А., и снабдить это про-
пространство Макки борелевской структурой. Спектр С*-А.,
вообще говоря, не удовлетворяет никаким аксиомам
отделимости, но является локально бикомпактным
Вэра пространством.
С*-А. А наз. CCR-в. л г е б р о й (соответственно
GCR-a л г е б р о й), если для любого ненулевого непри-
неприводимого представления я С*-А. А в гильбертовом
пространстве Н выполняется соотношение я (А )= К (Нл)
(соответственно n(A)ZDK (Лл)).
С*-А. наз. NGCR-n л г е б р о й, если А не содер-
содержит ненулевых замкнутых двусторонних GCR-идеалов
(т. е. идеалов, являющихся ССЛ-алгебрами). Любая
С*-А. А содержит максимальный двусторонний GCR-
идеал /, и факторалгебра АН есть ЛгС6'/?-алгебра.
Всякая GCR-алгебра содержит возрастающее семейство
замкнутых двусторонних идеалов 1а, занумерованных
порядковыми числами а, а<:р, такое, что I =А, 11=
~ {0}, Ia+Jla есть ССЛ-алгебра при всех С?<р, и 1а =
= Ua,<a/a/ для предельных порядковых чисел а.
Спектр GCR-алгебры содержит открытое всюду плотное
отделимое локально бикомпактное подмножество.
С*-А. А наз. С*-а лгеброй типа /, если для
любого представления я С*-А. А в гильбертовом про-
пространстве Нл Неймана алгебра, порожденная семейст-
семейством я (А) в Нл, есть алгебра Неймана типа /. Для С*-А.
А следующие условия эквивалентны: а) А есть С*-А.
типа /; б) А есть GCR-алгебра; в) любое факторпред-
ставление С*-А. А кратно неприводимому. Если А удов-
удовлетворяет этим условиям, то: 1) неприводимые пред-
представления С*-А. А эквивалентны тогда и только тогда,
когда их ядра совпадают; 2) спектр С*-А. А есть Го-
пространство. Если А — сепарабельная С*-А., то каж-
каждое из условий 1) и 2) эквивалентно условиям а) —
в). В частности, всякая сепарабельная С*-А., имеющая
единственное с точностью до эквивалентности неприво-
димое представление, изоморфна С*-А. К(Н) для
нек-рого гильбертова пространства //.
Пусть А есть С*-А., Р — множество таких элементов
х?А, что функция л—уТтк(х) конечна и непрерывна на
спектре С*-А. А. Если линейная оболочка множества Р
всюду плотна в А, то А наз. С*-А. с непрерывным сле-
следом. Спектр таких С*-А. отделим, и при нек-рых до-
дополнительных условиях С*-А. с непрерывным следом
можно представить в виде алгебры вектор-функций на
спектре А (см. [3]).
Пусть А есть С*-А., F — множество положительных
линейных функционалов на А с нормой <:1, Р (А) —
множество ненулевых крайних точек выпуклого мно-
множества F. Тогда Р (А) — множество чистых состояний
С*-А. А (см. Представления симметричных алгебр).
Пусть В есть С*-подалгебра А. Если А есть GCR-ал-
гебра и В разделяет точки множества Р (A)\J {0}, т. е.
для любых /lt f2?P(A) U {0}, /j^/г, существует х?В
такой, что fi{x)=^f2(x), то В = А (теорема Стоу-
Стоуна — В е й е р ш т р а с с а). Если А — произвольная
С*-А. и В разделяет точки множества Р (A)\J {0}, то
В = А.
Второе сопряженное пространство А** с С*-А. А
естественным образом снабжается операцией умноже-
умножения, превращающей А** в С*-А., изоморфную нек-рой
алгебре Неймана; эта алгебра наз. обертываю-
обертывающей алгеброй Неймана С*-А. (см. [3], [4]).
Теория С*-А. имеет многочисленные применения
в теории представлений групп и симметричных алгебр
[3], теории динамич. систем [4], статистич. физике и
квантовой теории поля [5], а также в теории операторов
в гильбертовом пространстве [6].
Лит.: [1] Гельфанд И. М., Наймарк М. А., «Матем.
сб.», 1943, т. 12, № 2, с. 197—213; [2] Наймарк М. А.,
Нормированные кольца, М., 1956; [3] Диксмье Ж., С*-ал-
С*-алгебры и их представления, пер. с франц., М., 1974; [4] S a k a i
S., C*-algebras and XV* -algebras, N. Y.,1971; [5] РюэльД.,
Статистическая механика. Строгие результаты, пер. с франц.,
М., 1971; [6] Douglas R. G., Banach Algebra Technigues
in Operator Theory, N. Y., 1972. А. II. Штерн.
PI-АЛГЕБРА — алгебра над полем, в к-рой выпол-
выполняются нек-рые полиномиальные тождества.
Пусть А — ассоциативная алгебра над полем F,
F[X] = F[xu..., хп,...]
— свободная ассоциативная алгебра (алгебра не-
некоммутативных многочленов) от счет-
счетного множества образующих x=(xt,. . ., хп. . .) над F
и f(xt,. . ., хп) — ненулевой элемент алгебры F[x]. Тогда
/(zlv.., хп) = 0
наз. полиномиальным тождеством
алгебры А, если f(a1,..., я„) = 0 для любого набора
элементов а1,..., ап?А.
Примеры PI-A. и тождеств. В коммутатив-
коммутативной алгебре выполняется тождество
[Xj^X^]^ XiX.2~ Х2Х1=0
(тождество коммутативности); во внеш-
внешней алгебре линейного пространства выполняется тож-
тождество метабелевости Цхг, х2], х3] = 0; алгебра А конеч-
конечной размерности ге — 1 над полем F удовлетворяет так
наз. стандартному тождеству п-й степени
где Sn — группа подстановок множества, состоящего
из первых п натуральных чисел и (— 1)° =sgna, а также
более общему тождеству Капелл и
Кп (хг, ..., хп, Уи ..., уп + 1) =
Sn~!)a У1хоA)У2хо B) ¦ ¦ ¦ Упха {п)Уп + 1 = 0;
в алгебре Fп квадратных матриц порядка п над полем F
выполняется стандартное тождество степени 2п. Тен-
Тензорное произведение PI-A. является PI-A.
Для всякой PI-A. А над полем F характеристики
нуль можно указать такое натуральное число п, что
тождества алгебры А исчерпываются степенями тож-
тождеств алгебры матриц Fn, причем нек-рая степень лю-
любого тождества алгебры F,, является тождеством алгеб-
алгебры А. Таким образом, во всякой PI-A. над нолем харак-
характеристики нуль выполняется нек-рая степень стандарт-
стандартного тождества.
Совокупность всех левых частей тождеств, выпол-
выполняющихся в данной алгебре А, образует вполне харак-
теристич. идеал (коротко, Т-идеал) свободной алгебры
F[x] и обратно, для всякого Т-идеала существует ал-
алгебра, совокупность тождеств к-рой совпадает с этим
Т-идеалом (ею будет, напр., факторалгебра F\x]IT).
В случае; когда поле F нулевой характеристики, тож-
тождества можно дифференцировать, и Т-идеалы алгебры
F[x] — это в точности дифференциально замкнутые
односторонние идеалы. Напр., из нильтождества х" = 0
многократным дифференцированием получается тож-
тождество
— V х х —О
— ?loeSn xa (i) • • • а (я) — '
к-рое является полилинейным (точнее, n-л и-
нейным), т. е. линейным по каждой переменной,
входящей в его запись. Причем и обратно, полошив в
последнем тождестве хг=. . . = хп=0, можно получить
тождество п\ хп=0, или х" = 0. Этот процесс линеари-
линеаризации тождеств позволяет утверждать (в случае полей
нулевой характеристики), что все тождества алгебры
являются следствиями ее полилинейных тождеств. Для
алгебры с единицей, более того, все тождества вытека-
вытекают из ее полилинейных тождеств, представимых в виде
линейных комбинаций произведений правонормиро-
ванных коммутаторов различных степеней от образую-
образующих х;. Вопрос о том, всякая ли ассоциативная алгебра
обладает конечным базисом тождеств, составляет со-
содержание проблемы Шпехта.
Совокупность всех алгебр, удовлетворяющих данной
системе тождеств, наз. многообразием. Много-
Многообразие может быть определено также как класс ал-
алгебр, замкнутый относительно взятия подалгебр, гомо-
гомоморфных образов и подпрямых произведений (см. также
Алгебраических систем многообразие). Для ряда много-
многообразий алгебр доказана их конечная базируемость
(т. е. в этих многообразиях положительно решена
проблема Шпехта). Таковы многообразия (все над по-
полем нулевой характеристики) нильпотентных алгебр
данного индекса п, алгебр, в к-рых аддитивные комму-
коммутаторы длины п равны нулю (Ли-нильпотент-
ные алгебры), многообразие алгебр, определяе-
определяемое Т-идеалом политождеств М2—алгебры матриц 2-го
порядка. Однако для многообразия, определяемого
идеалом тождеств Мп—алгебры матриц порядка п>2,
вопрос открыт.
Наличие полиномиального тождества жестко опреде-
определяет структуру ассоциативной алгебры. Примитивная
алгебра А, удовлетворяющая полиномиальному тож-
тождеству степени d, изоморфна алгебре матриц В п над те-
телом D с центром Z и
Поэтому полупростая (в смысле Джекобсона радикала)
PI-A. разлагается в подпрямую сумму полных матрич-
матричных алгебр над телами, причем порядки этих алгебр и
размерности тел над центрами ограничены в совокуп-
совокупности, и Т-идеал тождеств полупростой алгебры совпа-
совпадает с нек-рым «матричным» Т-идеалом Мп. Упорядо-
ченная PI-A. коммутативна. Первичная PI-A. А обла-
обладает двусторонним классич. кольцом частных Q(A),
к-рое изоморфно матричной алгебре Dm над телом D,
конечномерным над своим центром Z. Кольцо Q(A)
является центральным расширением алгебры А в
том смысле, что Q(A)=AZ. Идеалы тождеств алгебр
А и Q(А) совпадают. PI-A. удовлетворяют ряду усло-
условий «бернсайдовского типа» (см. Бернсайда пробле-
проблема). Например, алгебраическая (ниль-) PI-A. локально
конечна (локально нильпотентна). Ассоциативная
нильалгебра ограниченного индекса п нильпотентна,
если характеристика основного поля нулевая или
больше п.
PI-A., не имеющая ненулевых нильидеалов, пред-
ставима матрицами над коммутативным кольцом. Но
не всякая PI-A. представима в таком смысле. Напр.,
внешняя алгебра счетномерного пространства не пред-
представима — в ней не выполняется никакое стандартное
тождество. Внутренняя характеризация представимо-
представимости алгебры матрицами над коммутативным кольцом
составляет самостоятельное направление исследований
в теории PI-A.
Радикал Джекобсона конечно порожденной PI-A.
над полем нулевой характеристики является нильидеа-
лом. Вопрос о его нильпотентности пока A977) открыт.
Если радикал Джекобсона PI-A. нильпотентен, то она
удовлетворяет всем тождествам алгебры матриц поряд-
порядка п для нек-рого п. Для конечно порожденных алгебр
доказано и обратное утверждение. Более того, для ко-
конечно порожденной алгебры над полем нулевой харак-
характеристики нильпотентность радикала Джекобсона эк-
эквивалентна выполнимости в ней нек-рого стандартною
тождества.
Во многих случаях выполнимость тождества для
«части» элементов алгебры влечет за собой выполнимость
нек-рого тождества во всей алгебре. Напр., если в ал-
алгебре с инволюцией симметрические элементы удовлет-
удовлетворяют тождеству, то она — PI-A.; если на алгебре
над полем нулевой характеристики действует конечная
группа автоморфизмов и подалгебра инвариантов удов-
удовлетворяет нек-рому тождеству, то исходная алгебра
будет PI-A.
Представляет интерес при каких условиях те или
иные алгебры специального типа удовлетворяют поли-
полиномиальному тождеству.
Для того чтобы групповая алгебра F(G) группы G
над полем нулевой характеристики удовлетворяла не-
некоторому полиномиальному тождеству, необходимо и
достаточно, чтобы группа G обладала абелевой под-
подгруппой конечного индекса. Если же характеристика F
конечна и равна р, то F[G] является PI-A. тогда и толь-
только тогда, когда G обладает р-абелевой подгруппой
конечного индекса (группа наз. р-а б е л е в о й, если
ее коммутант — конечная р-группа).
Универсальная обертывающая алгебра Ui алгебры
Ли L над полем F характеристики нуль есть PI-A. в том
и только том случае, когда L абелева (?//.— коммута-
коммутативна). Если же F — поле конечной характеристики,
то Vi является PI-A. тогда и только тогда, когда L
обладает абелевым идеалом конечной коразмерности и
присоединенное представление алгебры L является
алгебраическим ограниченной степени.
Все PI-подалгебры свободной ассоциативной алгебры
коммутативны.
Теория PI-A. является естественным обобщением
коммутативной алгебры, она содержит глубокие и за-
законченные аналоги теорем коммутативной алгебры, что
позволяет говорить о зарождении некоммутативной
алгебраич. геометрии.
Во всякой конечно порожденной PI-A. А с образую-
образующими а1?. . ., ak над полем F выполняется условие
ограниченности высот, т. е. существуют
конечное число слов i>1?. .., vm от о,- и натуральное чис-
число h такие, что всякое слово и от образующих я,- пред-
ставимо в Л в виде линейной комбинации слов
где d*ch, совпадающих по составу относительно а,- со
словом и. В коммутативном случае в качестве слов v;
можно взять сами образующие а,-. Свободным
некоммутативным аффинным коль-
кольцом наз. факторалгебра
%(F,k, n)=F[xlt ...,xk}!Mn,
где F[xl,. . ., ?/Л — свободная алгебра с конечным
числом образующих х,- над полем /' характеристики
нуль, а Мп — определенный выше Т-идеал тождеств
матричной алгебры Рп. Алгебра 5I(.F, к, п) есть PI-A.
без делителей нуля, она обладает классич. телом част-
частных D{F, к, п), конечномерным над своим центром Z.
Пусть, далее, {Fn)/; — пространство, элементами к-рого
являются строки длины к, состоящие из матриц алгеб-
алгебры Fn. Можно говорить о нулях элементов алгебры
Щ/% к, п), лежащих в пространстве (F^)k, об алгеб-
раич. многообразиях пространства (Fn)k и т. д. При этом
окажутся выполненными основные положения класси-
классической алгебраич. геометрии. Так, имеет место неком-
некоммутативный аналог Гильберта теоремы о нулях. Не-
Неприводимым алгебраич. многообразиям соответствуют
первичные идеалы алгебры, удовлетворяющие условию
нётеровости. Выполняется теорема Крулля о совпаде-
совпадении максимальной из длин цепочек первичных идеалов
алгебры $i(F, к, п) со степенью трансцендентности Z
над F, к-рая в рассматриваемом случае равна
кп2— (и2—1).
По аналогии с ассоциативными алгебрами можно
определить с помощью элементов свободных алгебр
PI-A. в других классах алгебр, обладающих свободны-
свободными алгебрами (лиевы, альтернативные и др.).
Алгебра Ли над полем нулевой характеристики,
удовлетворяющая и-му тождеству Энгеля
[х, у, ..., у]=0,
локально нильпотентна. Вопрос о том, влечет ли тож-
тождество Энгеля нильпотентность (проблема X и г-
г и н с а), решен положительно лишь для ге=4. Для
полей положительной характеристики эта проблема
имеет отрицательное решение.
Лит.: [l]Procesi С, Rings with polynomical identities,
N.Y., 1973; [2] Джекобсон Н., Строение колец, пер.
с англ., М., 1961; [3] X ерстейн И., Некоммутативные
кольца, пер. с англ., М., 1972; [4] Кон П., Универсальная
алгебра, пер. с англ., М., 1968; [5] Ш и р ш о в А. И., «Матем.
сб.», 1957, т. 43 [85J, вып. 2, с. 277—83; [6] Кострикнн
А. И., «Известия АН СССР. Сер. матем.», 1959, т. 23, К» 1
с. 3—34; [7] Higman G., «Proc. Cambr. Phil. Soc», 1956,
v. 52, part 1, p. 1—4; [8] H i g g i n s P. J., «Proc. Cambr.
Phil. Soc», 1954, t. 50, part 1, p. 8 — 15. в н Латышее.
АЛГЕБРА ЛОГИКИ — раздел математической ло-
логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со
стороны их логич. значений (истинности или ложности),
и логич. операций над ними.
А. л. возникла в сер. 19 в. в трудах Дж. Буля (см.
[1], [2]) и развилась затем в работах Ч. Пирса (С. S. Ре-
irs), П. С. Порецкого, Б. Рассела (В. Russel), Д. Гиль-
Гильберта (D. HUbert) и др. Создание А. л. представляло
собой попытку решать традиционные логич. задачи
алгебраич. методами. С появлением теории множеств
G0-е гг. 19 в.) основным предметом А. л. стали высказы-
высказывания и логич. операции над ними. Под в ы с к а з ы-
в а н и я м и понимаются предложения, относительно
к-рых имеет смысл утверждать, истинны они или лож-
ны; напр., высказывание «кит — животное» истинно,
в то время как высказывание «все углы — прямые»
ложно. Употребляемые в обычной речи логич. связки
«и», «или», «если..., то», «эквивалентно», частица «не»
и т. д. позволяют из уже заданных высказываний стро-
строить новые, более «сложные» высказывания. Так, из
высказываний «х>2», «х<3» при помощи связки «и»
можно получить высказывание «х>2 и х<;3», при по-
помощи связки «или» — высказывание «,г>2 или х<3»
н т. д.
Истинность или ложность получаемых таким образом
высказываний зависит от истинности или ложности ис-
исходных высказываний и соответствующей трактовки
связок как операций над высказываниями. Для обозна-
обозначения истинности вводится символ «И» и для обозна-
обозначения ложности—символ «Л». Затем вместо эгих сим-
символов стали употреблять числа 1 и 0. Связки «и», «или»,
«если..., то», «эквивалентно» обозначаются соответ-
соответственно знаками & (конъюнкция), V (д и з ъ -
ю н к ц и я), —>- (импликация), — (эквива-
(эквивалентность); для отрицания вводится знак
(черточка сверху). Наряду с индивидуальны-
индивидуальными высказываниями, примеры к-рых приво-
приводились выше, стали использоваться также перемен-
переменные в ы с к а з ы в а н и я, т. е. такие переменные,
значениями к-рых могут быть любые наперед заданные
индивидуальные высказывания. Далее индуктивно вво-
вводится понятие формулы, являющееся формализацией
понятия сложного высказывания. Пусть А, В, С,...
обозначают индивидуальные, а х, у, z,. . . — перемен-
переменные высказывания. Каждая из этих букв наз. форму-
л о й. Если знак * обозначает любую из перечисленных
выше связок, а!и8 суть формулы, то B1*83) и % суть
формулы, напр, ({х & у )—>-z). Связки и частица «не» ста-
стали рассматриваться как операции над величинами, при-
принимающими значения 0 и 1, и результатом примене-
применения этих операций также являются числа 0 и 1. Конъ-
Конъюнкция х & у равна 1 тогда и только тогда, когда и х,
и у равны 1; дизъюнкция xVy равна 0 тогда и только
тогда, когда и х, и у равны 0; импликация х—>у равна 0
тогда и только тогда, когда х равен 1, а у равен 0; эк-
эквивалентность х—у равна 1 тогда и только тогда,
когда значения хну совпадают; отрицание х равно 1 тог-
тогда и только тогда, когда х равен 0. Введенные операции
позволяют каждой формуле при заданных значениях
входящих в нее высказываний приписать одно из двух
значений 0 или 1. Тем самым каждая формула может
одновременно рассматриваться как нек-рый способ
задания, или реализации, функций А. л., т. е.
таких функций, к-рые определены на наборах из нулей
и единиц и к-рые в качестве значений принимают также
0 или 1. При этом формулы % и 83 наз. равными
(обозначение 91 = 33), если они реализуют равные функ-
функции. Объектом изучения А. л. стали функции А. л. и
различные операции над ними. В последующем класс
функций А.л.был расширен до класса функций, аргу-
аргументы к-рых и сами функции принимают в качестве
значений элементы фиксированного конечного мно-
множества Е; расширился также запас операций над
функциями. Иногда под А. л. понимается как раз
последняя концепция. Для приложений, однако, на-
наибольшее значение имеет все-таки тот случай, когда
мощность указанного множества Е равна двум, поэтому
он будет рассмотрен особенно подробно. Излагаемые
здесь результаты также тесно связаны с другим под-
подходом в изучении высказываний — так наз. высказы-
высказываний исчислением.
Для задания функций А. л. иногда используют таб-
таблицы, содержащие все наборы значений переменных и
значения функций на этих наборах. Так, напр., свод-
ная таблица, задающая функции х, х&у, xVy, х—
у, х~у, имеет вид:
X
0
0
1
1
У
0
1
0
1
X
1
1
0
0
х&у
0
0
0
1
хУу
0
1
1
1
1
1
0
1
х~у
1
0
0
1
Аналогично устроены таблицы для произвольных функ-
функций А. л. Это — так наз. табличный способ
задания функций А. л. Сами таблицы иногда наз.
истинностными таблицами. Для преоб-
преобразования формул в равные формулы важную роль
играют следующие равенства:
х&у = у&х, х V У = У V х A)
(закон коммутативности),
(x&y)&z=x& (y&z),
(xyy)yz=x\/(y\/z)
(закон ассоциативности),
х& (х\/у)=х,
х V (х&у) = х
(закон поглощения),
B)
C)
x V (y&z) — (xv У)&{х V z)
(закон дистрибутивности),
х&х = 0 E)
(закон противоречия),
xvx = \ F)
(закон исключенного третьего),
х-^-у х у, ^ ^
x~y = (x&y)v(x&y).
Эти равенства позволяют уже без помощи таблиц по-
получать другие равенства. Методом получения послед-
последних являются так наз. тождественные пре-
преобразования, к-рые меняют, вообще говоря,
выражение, но не функцию, реализуемую этим выраже-
выражением. Напр., при помощи законов поглощения полу-
получается закон идемпотентности xv х=х.
Упомянутые равенства в ряде случаев позволяют су-
существенно упростить запись формул освобождением
от «лишних скобок». Так, соотношения A) и B)
дают возможность вместо формул (. . .(911? & Щ.2)&...)&Ш1)
и (...(SBj V 582) V ¦ • •) V S3, ) использовать более компак-
((j 2) ) ,$ )
тную запись Six & 912 &.. . &_ЗЪ и SBiVSPa V ... V ,
Первое из этих соотношений наз. конъюнкцией
сомножителей 91Ь..., Ш.3, а второе — дизъ-
дизъюнкцией слагаемых 83Х,. . ., $8S. Равенст-
Равенства E), F), G) показывают также, что константы 0 и
1, импликацию и эквивалентность, рассматривая их
как функции, можно выразить через конъюнкцию,
дизъюнкцию и отрицание. Более того, всякая функция
А. л. может быть реализована формулой, записываемой
с помощью символов &, V, "¦
Множество всех формул, в построении к-рых участ-
участвуют переменные высказывания и нек-рые из символов
&, V, ->, —, ~ и констант 0 и 1, наз. языком над
данными символами и константами.
Равенства A)— G) показывают, что для всякой формулы
в языке над &, V, —»-, —, ~, 0,1 найдется равная ей
формула в языке над &, v. ~, 0, 1, напр.:
(х
z) v ((xVy) &z).
Особую роль в последнем языке играет класс формул,
к-рые могут быть записаны в виде 9(х v9l2 V .. . v2E,
О или 1, где s^l и каждое 21; — либо переменное
высказывание, либо его отрицание, либо конъюнкция
таковых, при этом каждое 91/ не содержит одинаковых
сомножителей и не содержит сомножителей вида х и х
одновременно и все 21,- попарно не равны. Здесь скобки
опускаются, т. к. предполагается, что операция конъ-
конъюнкции связывает «сильнее», чем дизъюпкция, т. е.
при вычислении по заданным значениям переменных
следует сначала вычислять значения ЭГх,..., %s. Эти
выражения наз. дизъюнктивными нор-
нормальными формами (д. н. ф.). Каждую фор-
формулу и в языке над &, V, —*¦, ~, ~, 0, 1, реализующую
функцию А. л., отличную от 0, при помощи равенств
A) — G), можно привести к равной ей д. н. ф., содержа-
содержащей все переменные формулы и и любое число других
переменных, причем каждое 31,- в этой д. н. ф. содержит
одни и те же переменные. Такая д. н. ф. наз. с о в е р-
ш е н н о й д. н. ф. формулы и; для 0 совершен-
совершенной д. н. ф. является сама формула 0. Возможность
приведения к совершенной д. н. ф. лежит в основе алго-
алгоритма, устанавливающего равенство или неравенство
двух наперед заданных формул. Алгоритм этот состоит
в следующем: приводят исследуемые формулы щ и и2
к совершенным д. н. ф., содержащим все те переменные,
к-рые есть как в щ, так и в м2, и смотрят, совпадают
полученные выражения или нет; если совпадают, то
1^=1*2, если нет, то и1^Фи2. Важную роль в А. л. и ее
приложениях играет с о к р а щ е н н а я д. н. ф., т. е.
такая, для к-рой выполнены следующие условия: 1) в
ней нет таких пар слагаемых Щ,- и 2ty, что всякий сомно-
сомножитель из 21,- имеется и в 21^-; 2) для всяких двух сла-
слагаемых 21,- и 21,-, из к-рых одно содержит сомножите-
сомножителем нек-рое переменное, а другое — отрицание этого
переменного (при условии, что другого переменного,
для к-рого это же имеет место, в данной паре слагае-
слагаемых нет), имеется (в этой же д. н. ф.) слагаемое 21^,
равное конъюнкции остальных сомножителей этих
двух слагаемых. Всякая д. н. ф. при помощи равенств
A) — G) может быть приведена к равной ей сокращен-
сокращенной д. н. ф. Напр., сокращенной д. н. ф. для формулы
((х—(у—yz))—>-(x&z)) является х&у v z V тку. Формулы
щ и м2 равны тогда и только тогда, когда их сокра-
сокращенные д. н. ф. совпадают. Кроме д. н. ф., употребля-
употребляются также конъюнктивные нормаль-
нормальные формы (к. н. ф.), т. е. выражения, к-рые можно
получить из д. н. ф. путем замены в них знаков v на &,
а & на V и 0 на 1. Напр., из д. н. ф. х&у V x&z полу-
получается к. н. ф. (хУу) & (x\/z). Операция (или функция) /
наз. двойственной для операции т|з, если табли-
таблица, задающая /, получается из таблицы, задающей i|j>
путем замены в ней всюду 0 на 1 и 1 на 0 (включая за-
замену значений функций). Напр., конъюнкция и дизъюнк-
дизъюнкция двойственны между собой, отрицание двойственно
самому себе, константы 1 и 0 двойственны друг другу и
т. д. Преобразование формул, при к-ром знаки всех
операций в выражении заменяются на знаки двойст-
двойственных им операций, константа 0 заменяется на 1, а 1
на 0, наз. преобразованием двойствен-
двойственности. Если верно равенство 21 = 5Р и 21* двойст-
двойственно 2(, a SB* двойственно 5В, то верно равенство
21* = 83*, наз. двойственным предыдущему; это — так.
наз. принцип двойственности. Приме-
Примерами двойственных равенств являются пары законов
A), B), C); равенство E) двойственно равенству F),
каждая к. и. ф. двойственна нек-рой д. н. ф. Совер-
Совершенная к. н. ф. и сокращенная к.н. ф. опре-
определяются как такие к. н. ф., что двойственные им выра-
выражения являются соответственно совершенной д. н. ф.
и сокращенной д. н. ф. Совершенные и сокращенные
д. н. ф. и к. н. ф. используются для решения задачи
обзора всех гипотез и всех следствий заданной формулы.
Под гипотезой формулы 31 понимается такая
формула 33, что (83—>-ЗГ) = 1; а под следствием
формулы 31 — такая формула 33, что C1 —v 33)= 1.
Гипотеза формулы SI наз. простой, если она есть
конъюнкция переменных или их отрицаний и после
отбрасывания любого из ее сомножителей перестает
быть гипотезой формулы 31. Аналогично следствие
формулы 31 наз. простым, если оно есть дизъюнк-
дизъюнкция неременных или их отрицаний и после отбрасыва-
отбрасывания любого из ее слагаемых перестает быть следствием
формулы ЗГ. Решение задачи обзора гипотез и следст-
следствий основано на указании алгоритма, строящего все
простые гипотезы и следствия для заданной формулы, и
на получении из них при помощи законов B) — G)
всех остальных гипотез и следствий. Алгоритм опира-
опирается на следующие факты. Если 31 = 33, то 31 и 93 имеют
одни и те же гипотезы и следствия, соответственно.
Слагаемое д. н. ф. является гипотезой этой д. н. ф.,
сомножитель к. н. ф.— следствием этой к. н. ф. Если
31 — гипотеза выражения 83, то 3t&E есть тоже гипо-
гипотеза для 33; если 3( — следствие выражения 33, то
3(vK есть тоже следствие из 83. Если 31 и © — ги-
гипотезы выражения $В, то Ж V 6 — тоже гипотеза для
33; если Ж и (\ — следствия из 31, то 31&E — тоже
следствие из 3t. У совершенной д. н. ф. нет других
гипотез (не содержащих букв, не входящих в эту д. н. ф.),
кроме дизъюнкций нек-рых ее слагаемых или д. н. ф.,
равных им. У совершенной к. н. ф. нет других следст-
следствий, кроме конъюнкций нек-рых ее сомножителей пли
равных им выражений. Сокращенная д. н. ф. есть дизъ-
дизъюнкция всех своих простых гипотез; сокращенная к. н.
ф. есть конъюнкция всех своих простых следствий. Со-
Сокращенная д. н. ф. имеет важные приложения. Прежде
всего следует отметить задачу минимизации функций
А. л., являющуюся частью задачи синтеза управляю-
управляющих систем. Минимизация функций А. л.
состоит в построении такой д. н. ф. для заданной функ-
функций А. л., к-рая реализует эту функцию и имеет наимень-
наименьшее суммарное число сомножителей в своих слагаемых,
т. е. имеет минимальную сложность. Такие д. н. ф. наз.
минимальными. Каждая минимальная д. н, ф.
для заданной отличной от константы функции А. л.
получается из сокращенной д. н. ф. этой функции путем
выбрасывания нек-рых слагаемых. Для отдельных
функций сокращенная д. н. ф. может совпадать с ми-
минимальной д. н. ф. Это имеет место, напр., для моно-
монотонных ф у н к ц и й, т. е. таких функций, к-рые
реализуются формулами над &, V, 0, 1.
В языке над &, V, —у, ~,0, 1, +, где знак + интер-
интерпретируется как слогкение по модулю 2, устанавли-
устанавливаются следующие соотношения:
(8)
1, (9)
x + y = (x&y)\j(xky~), l=xVx. A0)
Эти формулы позволяют переводить формулы в языке
над &, V, —>-, ~, 0, 1 в равные им формулы в языке над
&, +, 1, и обратно. Тождественные преобразования в
последнем яяыке осуществляются при помощи ра-
равенств, установленных для конъюнкции, и дополни-
дополнительных:
х + у = у + х, (И)
A2)
A3)
х + (У + У)=*< x&i=x; A4)
здесь по-прежнему считается, что конъюнкция связы-
связывает сильнее, чем знак +. Этих равенств достаточно,
для того чтобы из них при помощи тождественных
преобразований так же, как и при рассмотрении языка
над &, V, —*•, —, ~, 0,1, можно было вывести любое
верное равенство в языке над &, + , 1. Выражение в
этом языке наз. приведенным пол и но-
м о м, если оно либо имеет вид 9lx+ 3t2+- • • + 2ls, где
91,- есть или 1, или переменное, или конъюнкция различ-
различных переменных без отрицаний, Ш/ф 91/ при 1ф], s^l,
либо равно 1+1. Напр., выражение x&y&z + х&у ~\- 1
является приведенным полиномом. Всякую формулу
А. л. при помощи тождественных преобразований
можно привести к приведенному полиному. Равенстпо
3t = SB имеет место тогда и только тогда, когда приве-
приведенный полином для Щ совпадает с приведенным поли-
полиномом для 83. Кроме рассмотренных языков, сущест-
существуют и другие языки, равносильные им (два языка наз.
равносильными, если при помощи нек-рых
правил преобразований каждая формула одного из этих
языков переводится в нек-рую равную ей формулу в
другом языке, и обратно). В основу такого языка доста-
достаточно положить любую систему операций (и констант),
обладающую тем свойством, что через операции (и кон-
константы) этой системы можно представить всякую функ-
функцию А. л. Такие системы наз. функциональ-
функционально полными. Примерами полных систем яв-
являются {xvy}, {xvy, х), {х-\-у, 1, х&у} и т. п. Суще-
Существует алгоритм, к-рый по произвольной конечной систе-
системе функций А. л. устанавливает ее полноту или непол-
неполноту. Он основан на следующем факте. Система функ-
функций А. л. является полной тогда и только тогда, когда
она содержит такие функции j1(x, у,..., v) и /2(^, у,- ¦ -,v),
что f1@,0,...1 0)=l и /2A,1,.. .,1) = 0, а также функ-
функции /3, /4 и /6, где /з=т^/з, /4 не монотонная, а для /6
приведенный полином содержит слагаемое 5t, в к-ром
больше одного сомножителя. Рассматриваются и такие
языки, в основе к-рых лежат системы операций, не яв-
являющиеся функционально полными, и таких языков
бесконечно много. Среди них имеется бесконечно много
попарно несравнимых языков (в смысле отсутствия пе-
реводимости при помощи тождественных преобразова-
преобразований с одного языка на другой). Однако для всякого
языка, построенного на основе тех или иных операций
А. л., существует такая конечная система равенств
этого языка, что всякое равенство выводимо при помо-
помощи тождественных преобразований из равенств этой
системы. Такая система наз. дедуктивно пол-
полной системой равенств данного языка.
Напр., равенства A) — F) составляют полную систему
равенств языка над &, V, ~, 0, 1.
Рассматривая тот или иной из упомянутых выше
языков вместе с нек-рой полной системой равенств
этого языка, иногда отвлекаются от табличного зада-
задания операций, лежащих в основе языка, и от того, что
значениями его переменных являются высказывания.
Вместо этого допускаются различные интерпретации
языка, состоящие из той или иной совокупности объек-
объектов (служащих значениями переменных) и системы опе-
операций над объектами этого множества, удовлетворяю-
удовлетворяющих равенствам из полной системы равенств языка.
Так, язык над &, V, ~, 0, 1 в результате такого шага
превращается в язык булевой алгебры; язык над &, + > 1
превращается в язык булева кольца (с единицей), язык
над &, V, ~ превращается в язык дистрибутивной,
решетки и т. д.
А. л. развивается гл. обр. под влиянием задач,
встающих в области ее приложений. Из них самую
важную роль играют приложения в теории электрич.
схем. Для описания последних в нек-рых случаях при-
приходится отказываться от использования лишь обычной
двузначной А. л. и рассматривать те или иные ее много-
многозначные обобщения (см. Многозначная логика).
Лит.: [!] Boole G., The mathematical analysis of logic,
being an essay towards a calculus of deductive reasoning, Oxf,,
1948; [2] его же, An investigation of the laws of thought,
on which are founded the mathematical theories of logic and pro-
probabilities, N.Y., 1951; [3] П о р е ц к и й П. С, О способах
решения логических равенств и об обратном способе математи-
математической логики, в кн.: Собрание протоколов заседаний секции
физико-матем. наук Общества естествоиспытателей при Казан-
Казанском ун-те, т. 2, Казань, 1884, с. 161 — 330; [4] Гильберт Д.,
Аккерман Б., Основы теоретической логики, пер. с нем.,
М., 1947; [5] Новиков П. С, Элементы математической
логики, 2 изд.. М., 1973; [6] Я б л о и с к и й С. В., Гавр и-
лов Г. П., Кудрявцев В. Б., Функции алгебры ло-
логики и классы Поста, М., 1964. В. Б. Кудрявцев.
АЛГЕБРА МЕР - алгебра М (G) комплексных ре-
регулярных борелевских мер на локально компактной
абелевой группе G, имеющих ограниченную вариа-
вариацию, с обычными линейными операциями и сверткой
в качество умножения (см. Гармонический анализ аб-
абстрактный). Свертка Я*и мер X, fx?M(G) полностью
определяется из условия, что для любой непрерывной
функции / на G с компактным носителем
[Qfd (X * ц) = $ с $ с / (х + у) dX (х) rfjj. (у).
Если за норму в М (G) принять полную вариацию меры,
то M(G) становится коммутативной банаховой алгеброй
над полем комплексных чисел. А. м. М (G) обладает
единицей, к-рой служит б-мера, сосредоточенная в нуле
группы. Совокупность дискретных мер, содержащихся
в M(G), образует замкнутую подалгебру.
Каждой функции /, принадлежащей групповой алгебре
Ll(G), может быть поставлена в соответствие мера
?M(G) по правилу
(интеграл по мере Хаара). При этом возникает изомет-
изометрическое изоморфное вложение L1(G)—t-M(G). Образ
при этом вложении является замкнутым идеалом в M(G).
Преобразованием Фурье— Стил-
тьеса меры u.?M (G) наз. функция и. на двойст-
двойственной группе G, определяемая формулой:
При этом Я*|х=А,-|х и |||х||=0, если |х=0. В частности,
M(G) есть алгебра без радикала.
Если группа G не дискретна, то А. м. М (G) устроена
весьма сложно: она не симметрична, и ее пространство
максимальных идеалов обладает рядом патологич.
свойств. Напр., это пространство содержит бесконеч-
бесконечномерные аналитич. образования, а естественно вло-
вложенная в него группа G не плотна даже в границе
Шилова. Вместе с тем известны идемпотентные меры,
т. е. такие, что ц.*ц,= ц,. Каждая идемпотентная мера
есть конечная целочисленная комбинация n1u.1+.-- +
+Зд1?, где ц,,- = %;v,-, причем v,- — мера Хаара компакт-
компактной подгруппы, а %,¦ — характер. В случае G=~%_ это
приводит к тому, что последовательность (ст) из 0 и
1 тогда и только тогда есть преобразование Фурье —
Стилтьеса нек-рой меры на окружности, когда (ст)
не более чем в конечном числе членов отличается от пе-
риодич. последовательности.
В общем случае теорема об идемпотентных мерах
допускает естественную интерпретацию в терминах
нульмерных когомологий пространства максимальных
идеалов. Удовлетворительное описание известно и
для других групп когомологий пространства макси-
максимальных идеалов А. м., что, в частности, позволяет
судить о возможности логарифмировать обратимую ме-
меру из М(G) (одномерные целочисленные когомологий).
Лит.: [1] Rudin W., Fourier analysis on groups, N.Y.—
L., 1962; [2]T а у 1 о r J. L., «Acta mafh.», 1971, v. 126, N, 3—4,
p. 195—225. E. А. Горин.
АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ — непустая совокупность
подмножеств нек-рого множества Q, замкнутая относи-
относительно теоретико-множественных операций (объедине-
ния, пересечения, образования дополнения), произво-
производимых в конечном числе. Для того чтобы нек-рый класс
подмножеств множества Q был А. м., достаточно (и
необходимо), чтобы он был замкнут относительно об-
образования объединений и дополнений. А. м., замкнутая
относительно образования счетных объединений, наз.
ст-а лгеброймножеств (ст-А. м.). Всякая ст-А. м.
замкнута относительно теоретико-множественных опе-
операций, производимых в счетном числе.
Примеры. 1) Совокупность конечных подмно-
подмножеств произвольного множества Q и дополнений к ним
есть А. м.; совокупность не более чем счетных под-
подмножеств Я и дополнений к ним есть а-А. м.
2) Совокупность конечных объединений интервалов
вида
{ ^ й' б}, —оо sgasS&sS+оо,
образует А. м.
3) Q — тоиологич. пространство; ст-А. м. В, порож-
денная открытыми подмножествами Q (иными словами,
наименьшая ст-А. м., содержащая все открытые под-
подмножества Q), наз. борелевской ст-а л г е б р о й
подмножеств Q, а множества, принадлежащие В, наз.
борелевскими множествами.
4) Q = Rr, где Т — произвольное множество (т. е.
Q — множество всех действительных функций на Т);
класс А множеств вида
где Е — борелевское подмножество Rft, образует А. м.;
в теории случайных процессов вероятностная мера
часто задается первоначально лишь для множеств из
алгебры этого типа и затем доопределяется на более
широком классе множеств (на a-алгебре, порожденной
А).
5) Совокупность измеримых по Лебегу подмножеств
Rk образует а-А. м.
Алгебры (соответственно ст-алгебры) являются есте-
естественной областью определения конечно аддитивных
(соответственно ст-аддитивных) мер. По теореме о про-
продолжении меры всякая ст-конечная ст-аддитивная мера,
заданная на алгебре А, может быть однозначно продол-
продолжена до о-аддитивной меры, определенной на о-алгебре,
порожденной А.
Лит.: [1] Данфорд Н., Шварц Д ж., Линейные
операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962; [2] Хал-
нош П., Теория меры, пер. с англ., М., 1953; [3] Неве Ж.,
Математические основы теории вероятностей, пер. с франц.,
М. 1969 В, В. Сазонов.
АЛГЕБРА С АССОЦИАТИВНЫМИ СТЕПЕНЯМИ —
линейная алгебра А над полем F, всякий элемент к-рой
порождает ассоциативную подалгебру. Множество всех
А. с а. с. над данным полем F образует многообразие
алгебр, к-рое в случае, когда характеристика поля F
равна 0, задается системой тождеств
(х, х, х)=(х\ х, х) = 0,
где (х, у, z) = (xy)z — x(yz). Если F — бесконечное поле
простой характеристики р, то многообразие А. с а. с.
не может быть задано никакой конечной системой тож-
тождеств, но известна бесконечная независимая система
тождеств, определяющая его (см. [3]). Если коммутатив-
коммутативная А. с а. с. Л характеристики, отличной от 2, обла-
обладает идемпотентом е=?0, то для А имеет место пирсов-
ское разложен и ев прямую сумму векторных
подпространств:
A = Aa(e)(?,A1/i(e)®A1(e), (*)
где А% (е)={а?А\еа=Ха}, Х=0, 1/2, 1. При этом А0(е)
и Ах(е) — подалгебры, Ао(е)А1(е) = О, Ai^(e)A1/2(e)^
SA0(e) + A1(e), A %(e)A 4Je) S At/Je) + 4i-*.(e) Для
Х=0; 1. Разложение (*) играет фундаментальную
роль в структурной теории А. с а. с.
Лит.: [1] Albert A. A., «Trans. Amer. Math. Soc»,
1948, v. 64, № 3, p. 552—93; [2] Г а й н о в А. Т., «Успехи
матем. наук», 1957, т. 12, № 3 G5). с. 141—46; [3] е г о же,
«Алгебра и логика», 1970, т. 9, № 1, с. 9 — 33. А. Т. Гайнов.
АЛГЕБРА С ДЕЛЕНИЕМ - алгебра А над полем F,
для любых элементов а=^=0 и b к-рой уравнения ах=Ь,
уа=Ь разрешимы в А. Ассоциативная А. с д., рассмат-
рассматриваемая как кольцо, является телом, а ее центр С —
полем и C^F. Если C=F, то А. с д. А наз. центра-
л ь н о й А. с д. Конечномерные центральные ассоциа-
ассоциативные А. с д. над F, рассматриваемые с точностью до
изоморфизма, можно отождествить с элементами Брауэ-
ра группы В (F) поля F. Пусть [А : F] обозначает раз-
размерность А над F. Если А ?В (F) и L — максимальное
подполе в A (L=iF), то [А : F] = [L : F]2. Согласно
Фробениуса теореме, все ассоциативные конечномер-
конечномерные А. с д. над полем действительных чисел R исчерпы-
исчерпываются самим R, полем комплексных чисел и алгеброй
кватернионов. Поэтому группа В (R) является цикли-
циклической порядка 2. При отказе от ассоциативности
появляется еще один пример А. с д. над полем действи-
действительных чисел — Кэли — Диксона алгебра. Эта алгебра
альтернативна и имеет размерность 8 над R. Если А —
конечномерная (не обязательно ассоциативная) А. с д.
над R, то [А : R] имеет одно из следующих значений:
1, 2, 4, 8.
Лит.: [1] К у р о ш А. Г. Лекции по общей алгебре,
2 изд., М., 1973; [2] Albert A. A., Structure of algebras,
3 ed., Providence, [1968]; [3] Херстейн И., Некоммутатив-
Некоммутативные кольца, пер. с англ., М., 1972; [4] Адаме Д ж. Ф.,
«Математика», 1961, т. 5, № 4, с. 3—86. Е. Н. Кузьмин.
АЛГЕБРА ФУНКЦИИ — полупростая коммутатив-
коммутативная банахова алгебра 4, реализованная в виде алгебры
непрерывных функций на пространстве максимальных
идеалов. Если а ?А и / — нек-рая функция, определен-
определенная на с н е к т р е элемента а (т. е. на множестве зна-
значений функции а=а), то f(a) есть нек-рая функция на
ЯЛ. Условие /(я)?А, конечно, не обязано выполняться.
Если, однако, / — целая функция, то f(a)?A для лю-
любого а?А. Использование интегральной формулы Коши
позволяет существенно усилить этот результат: если
функция / регулярна в нек-рой окрестности спектра
элемента а, то f(a) ?А, и отображение /—>-/(а) является
гомоморфизмом А. ф., аналитических в нек-рой окрест-
окрестности спектра элемента а?А, в алгебру А. Это утверж-
утверждение остается справедливым и для неполупростых
коммутативных банаховых алгебр. Кроме того, класс
функций, аналитических в окрестности спектра данного
элемента, может оказаться не расширяемым: напр.,
если A = L1Q7) и f(a)?A для всех а?А, спектр к-рых
принадлежит отрезку [0, 1], то / аналитична в нек-рой
окрестности этого отрезка.
В отдельных случаях элемент /(а) можно определить
и для многозначных аналитич. функций /, но это опре-
определение встречает естественные затруднения. Напр.,
пусть А — алгебра непрерывных функций в круге
|z|<:l, аналитических в круге |z|<l и удовлетворяю-
удовлетворяющих условию /' @) = 0. Единичный круг естественно
отождествляется с пространством максимальных идеа-
идеалов А. Непрерывная на пространстве максимальных
идеалов функция f1(z) = z не принадлежит алгебре А,
но является решением квадратного уравнения
/i2-22=0,
где z2 ? А .
Если А — полупростая алгебра с пространством мак-
максимальных идеалов X, f?C(X),
P(/)^/" + «i/"-1+..-+a» = 0, <Ч$А,
р' (f)^e(A) (простой корень), то f?A. Аналогично,
если f?C(X) и exp f?A, то f?A.
А. ф. наз. алгебройеравномернойсхо-
димостью, если норма в этой алгебре определяет
сходимость, эквивалентную равномерной сходимости
функций а на пространстве максимальных идеалов.
Если ||а2||= ||а||2 для всех а?А, то А — алгебра с рав-
равномерной сходимостью. Общим примером алгебры с рав-
равномерной сходимостью является замкнутая подалгебра
в алгебре ограниченных непрерывных функций на не-
некотором топологич. пространстве, наделенной естест-
естественной sup-нормой.
Если А — алгебра с равномерной сходимостью, и ее
пространство максимальных идеалов метризуемо, то
среди всех кольцевых границ (не только замкнутых)
существует минимальная граница Го, замыканием к-рой
служит граница Шилова. Множество Го состоит из «то-
«точек пика»: х0 наз. точкой пика, если существует
такая функция /?4, что \f(x) | < | / (хо)\ для всех
хфхй. В рассматриваемом случае для любой точки из
пространства максимальных идеалов существует пред-
представляющая мера, сосредоточенная на Го.
А. ф. наз. аналитической, если всякая
функция из этой алгебры, равная нулю на непустом
открытом подмножестве пространства максимальных
идеалов, равна нулю тождественно. Аналогично опреде-
определяются алгебры, аналитические относительно границы.
Всякая аналитич. алгебра является аналитической от-
относительно границы Шилова; обратное, вообще говоря,
неверно.
А. ф. А наз. регулярно й, если для любого зам-
замкнутого множества F в пространстве X максимальных
идеалов алгебры А и любой не содержащейся в F точки
ха найдется такая функция f?A, что /(х) = 1 для всех
x?F и /(хо) = О. Всякая регулярная алгебра нормальна,
т. е. для любой пары непересекающихся замкнутых
множеств F,FocX существует элемент/?4 такой, что
f(x)=i для всех x(^F и /(.го) = О для всех x?F0. Более
того, в регулярной алгебре для любого конечного от-
открытого покрытия {и,}, l«:t<ro, пространства X
имеется разбиение единицы, принадлежащее А, т. е.
система функций /1?. . ., fn?A, для к-рых
/,-(*) = 0 при x?Ut.
Функция g наз. локально принадлежащей А. ф. А,
если для любой точки х0 ? X существует такая окрест-
окрестность, в к-рой эта функция совпадает с нек-рой функ-
функцией из алгебры. Всякая функция, локально принадле-
принадлежащая регулярной алгебре, сама является элементом
этой алгебры.
Элемент / А. ф. наз. вещественным, если f(x)
вещественно при всех х?Х. Если А — алгебра с веще-
вещественными образующими /а и
для всех /а, то А регулярна.
Идеал в банаховой алгебре наз. прим арным,
если он содержится только в одном максимальном
идеале. Если А — регулярная А. ф., то в каждом мак-
максимальном идеале х0 имеется наименьший замкнутый
примерный идеал J (х0), к-рый содержится в любом
замкнутом примарном идеале, содержащемся в х0;
идеал / (г0) есть замыкание идеала, образованного
функциями / ? А, равными нулю в нек-рой (зависящей
от /) окрестности точки хо?Х.
В алгебре абсолютно сходящихся интегралов Фу-
Фурье с присоединенной единицей всякий максимальный
идеал совпадает с соответствующим примерным иде-
идеалом.
Пусть А — замкнутая подалгебра алгебры С (X),
где X — нек-рый компакт (не обязательно совпадаю-
совпадающий с пространством максимальных идеалов алгебры
А). Пусть А разделяет точки компакта X, т. е. для
любых двух различных точек xv, х2?Х существует
такая функция / из алгебры А, для к-рой }(х1)ф((х2).
АлгебраЛ наз. симметричной, если вместе
с функцией / алгебре принадлежит и функция f(x).
Согласно теореме Стоуна—Вейерштрасса, если А
симметрична, то А=С(Х). АлгебраЛ наз. анти-
антисимметричной, если из условий / ? А, f?A
следует, что / — постоянная функция. Антисимметрич-
Антисимметричными являются, в частности, алгебры аналитич. функ-
функций. Подмножество Sc=x наз. множеством ан-
антисимметрии (относительно алгебры А), если
любая функция f?A, вещественная на S, постоянна на
этом множестве. Согласно этому определению алгебра А
антисимметрична, если все X являются множеством
антисимметрии. В общем случае пространство А' можно
представить в виде объединения непересекающихся
замкнутых максимальных множеств антисимметрии.
Каждое максимальное множество антисимметрии явля-
является пересечением множеств пика (множество Р наз.
множеством пика, если существует такая
функция f?A, что /|р=1 и |/(х)|<1 при х(?Р). От-
Отсюда следует, что сужение А \ у алгебры А на макси-
максимальное множество антисимметрии есть замкнутая (ан-
(антисимметричная) подалгебра алгебры C(Y). Если X
есть пространство максимальных идеалов алгебры А,
то максимальные множества антисимметрии связны.
Если непрерывная функция такова, что на каждом
максимальном множестве антисимметрии она совпадает
с нек-рой функцией из алгебры А , то и сама эта функ-
функция принадлежит А. Это обобщение теоремы Стоуна—
Вейерштрасса позволяет в принципе свести изучение
произвольных алгебр с равномерной сходимостью к
изучению антисимметричных алгебр А. Вместе с тем
изучение произвольных алгебр А не может быть све-
сведено к аналитическим алгебрам: существует пример
алгебры типа R (X) (замкнутой подалгебры алгебры
С(Х)), не совпадающей с С(Х), антисимметричной и
регулярной.
Пусть ReA — вещественное пространство функций
вида Re/, где f?A; если ЯеА — алгебра, или если ReA
замкнуто в С (X), то А=С(Х). Пространство X можно
рассматривать как часть пространства максимальных
идеалов алгебры А; поэтому на X можно рассматривать
не только обычную топологию пространства максималь-
максимальных идеалов, но и метрику, индуцированную вложе-
вложением X в пространство, сопряженное А. Расстояние
в смысле этой метрики обозначим р^. Для любых точек
xv х2?Х имеет место неравенство p^(*i, ^2)<2; отно-
отношение Pa(zii х2)<2 является отношением эквивалент-
эквивалентности, и классы эквивалентности наз. долями Гли-
Глисона. Если X—круг |z|<l и А—замкнутая подалгеб-
подалгебра в С (X), состоящая из аналитических при |г| <1 функ-
функций, то метрика р^ неевклидова, а долями Глисона слу-
служат одноточечные множества на границе и внутренность
круга. Доли Глисона не всегда обладают аналитич.
структурой: любое сг-компактное вполне регулярное
пространство гомеоморфно доле Глисона пространства
максимальных идеалов нек-рой алгебры, такой, что
сужение алгебры на эту долю содержит всякую ограни-
ограниченную непрерывную функцию. Принадлежность двух
точек к одной и той же доле Глисона может быть оха-
охарактеризована в терминах представляющих мер на
границе Шилова: такие две точки обладают взаимно
абсолютно непрерывными представляющими мерами с
ограниченными производными. Алгебра, для к-рой
Re/4|r плотно в С (Г), наз. алгеброй Дирихле;
еслиР—доля Глисона в пространстве максимальных иде-
идеалов алгебры Дирихле, состоящая более, чем из одной
точки, то существует такое непрерывное взаимно одноз-
однозначное отображение ij> круга U|<1 на Р, что для любой
функции /? А функция /(ij>(z)) аналитична при \z\ <1. Та-
ким образом, Р обладает структурой, относительно к-рой
функции f?A аналитичны; отображение ij>, вообще
говоря, не является гомеоморфизмом, если Р снабжено
обычной топологией пространства максимальных идеа-
идеалов, но ij> является гомеоморфизмом, если снабдить Р
метрикой рА.
Лит. см. при статье Банахова алгебра. Е. А. Горин.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА — алгебра А с ас
социативными степенями (в частности, ассоциативная)
над полем F, все элементы к-рой являются алгебраи-
алгебраическими (элемент а?А наз. алгебраическим,
если порожденная им подалгебра F[a] конечномерна,
или, что равносильно, элемент а обладает аннулирую-
аннулирующим многочленом с коэффициентами из основного по-
поля F). Алгебра А наз. А. а. ограниченной сте-
степе н и, если она алгебраическая и степени минималь-
минимальных аннулирующих многочленов ее элементов ограни-
ограничены в совокупности. Подалгебра и гомоморфный образ
А. а. (ограниченной степени) являются А. а. (ограни-
(ограниченной степени).
Примеры А. а.: локально конечные алгебры
(в частности, конечномерные), нильалгебры, ассоциа-
ассоциативные тела со счетным множеством образующих над
несчетным полем.
Рассматриваемые ниже алгебры предполагаются ас-
ассоциативными. Джекобсона радикал А. а. является
нильндеалом. Примитивная А. а. А изоморфна плот-
плотной алгебре линейных преобразований векторного про-
пространства над телом, если при этом А ограниченной
степени, то А изоморфна кольцу матриц над телом.
А. а. без ненулевых нильпотентых элементов (в част-
частности, тело) над конечным нолем коммутативна. Отсю-
Отсюда следует коммутативность конечных тел. А. а. огра-
ограниченной степени удовлетворяет полиномиальному тож-
тождеству (Pl-алгебра). Алгебраическая PI-алгебра ло-
локально конечна. Если основное поле несчетно, то алгеб-
алгебра, полученная из А. а. расширением основного поля,
а также тензорное произведение А. а., суть А. а.
Лит.: [1] Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ.,
М., 1961; [2] Херстейн И., Некоммутативные кольца,
пер. с англ., М., 1972. В. Н. Латышев.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел мате-
математики, изучающий геометрич. объекты, связанные с
коммутативными кольцами: алгебраические многообра-
многообразия и их различные обобщения (схемы, алгебраические
пространства и др.)'
В «наивной» формулировке предмет А. г. составляет
изучение решений алгебраич. уравнений. Геометрич.
интуиция появляется, когда все «множество решений»
отождествляется с «множеством точек в нек-ром коор-
координатном пространстве». Если координаты — действи-
действительные числа и пространство имеет размерность два
или три, наглядность ситуации несомненна; однако
геометрич. язык используется и при более общих об-
обстоятельствах. Этот язык подсказывает задачи, нон,
струкции и типы рассуждений, едва ли естественные с
точки зрения чистой алгебры. В свою очередь, алгебра
доставляет аппарат гибкий и мощный, равно приспо-
приспособленный и для превращения правдоподобных рас-
рассуждений в доказательства и для формулировки их в
наиболее естественном и общем виде.
В А. г. над полем комплексных чисел всякое алгеб-
алгебраич. многообразие является в то же время комплекс-
комплексно-аналитическим, дифференцируемым и топологич.
пространством в обычной хаусдорфовой топологии. Это
обстоятельство позволяет ввести целый ряд классич.
структур, доставляющих такие инварианты алгебраич.
многообразий, к-рые лишь с большим трудом или вовсе
не удается получить чисто алгебраич. средствами.
Понятия и результаты А. г. интенсивно используются
в теории чисел (диофантовы уравнения, оценки триго-
нометрич. сумм), дифференциальной топологии (осо-
бенности и дифференцируемые структуры), теории групп
(алгебраич. группы, простые конечные группы, связан-
связанные с группами Ли), теории дифференциальных урав-
уравнений (А'-теория и индекс эллиптич. операторов), тео-
теории комплексных пространств, теории категорий (то-
посы, абелевы категории), функциональном анализе
(теория представлений). В свою очередь, А. г. исполь-
использует идеи и методы названных дисциплин.
Возникновение А. г. относится к 17 в., когда в гео-
геометрию было введено понятие координат. Тем не менее
только в сер. 19 в. А. г. начала оформляться в само-
самостоятельную науку. Применение координат в проектив-
проективной геометрии привело к тому, что алгебраич. методы
стали соперничать с синтетич. методами. Однако дости-
достижения этой ветви А. г. относятся собственно к проек-
проективной геометрии, хотя и оставили в наследство А. г.
традицию рассмотрения проективных алгебраич. мно-
многообразий. Современная А. г. возникла как теория
алгебраических кривых. Исторически первый этап раз-
развития теории алгебраич. кривых состоял в выяснении
основных понятий и идей этой теории на примере эл-
эллиптич. кривых. Комплекс понятий и результатов,
к-рый наз. теперь теорией эллиптич. кривых, возник
как часть анализа (а не геометрии) — теория интегра-
интегралов от рациональных функций на эллиптической кри-
кривой. Именно эти интегралы и получили первона-
первоначально название эллиптических, а потом это название
перешло на функции и на кривые (см. Эллиптический
интеграл).
В самом конце 17 в. Я. и И. Бернулли (Jakob Bernou-
Bernoulli, Johann Bernoulli) обнаружили новое интересное
свойство эллиптич. интегралов. В их исследованиях
рассматривались интегралы, выражающие длины дуг
нек-рых кривых. Они нашли преобразования одной
кривой в другую, сохраняющие длину дуги кривой,
хотя соответствующие дуги не могут быть совмещены
друг с другом. Аналитически это приводит к преобра-
преобразованию одного интеграла в другой. В нек-рых случаях
возникают преобразования интеграла в себя. В 1-й
пол. 18 в. много примеров таких преобразований нашел
Дж. Фаньяно (G. Faniano).
Л. Эйлер (L. Euler) исследовал произвольный много-
многочлен 4-й степени f(x) и поставил вопрос о соотношениях
между х и у, при к-рых
dx _ dy .j
Это равенство он рассматривал как дифференциальное
уравнение, связывающее хну. Искомое соотношение
является общим интегралом данного уравнения. При-
Причина существования интеграла уравнения A) и всех его
частных случаев, открытых Дж. Фаньяно и Бернулли,—
наличие группового закона на эллиптич. кривой с
уравнением s2=/(f) и инвариантность всюду регулярной
дифференциальной формы s'1 dt относительно сдвигов
на элементы группы. Найденные Л. Эйлером соотноше-
соотношения, к-рые связывают х и у в A), могут быть записаны
в виде
(*, У7Щ)®(е, УПс)) = (у, VW)),
где ф означает сложение точек на эллиптической
кривой.
Таким образом, эти результаты содержат в себе сразу
и групповой закон на эллиптич. кривой, и существова-
существование инвариантной дифференциальной формы на этой
кривой (см. Эллиптическая кривая).
После Л. Эйлера теория эллиптич. интегралов разви-
развивалась в основном А. Лежандром (A. Legendre). Его
исследования, начавшиеся в 1786, собраны в трехтом-
трехтомном «Трактате по теории эллиптич. функций и эйлеро-
эйлеровых интегралов».
Работы Н. Абеля (N. Abel) по теории эллиптич. функ-
функций появились в 1827 — 29. Н. Абель исходил из эллип-
эллиптич. интеграла
dx
где сие— комплексные числа, рассматривал его как
функцию верхнего предела и ввел обратную функцию
Я F) и функцию
Л (9) — У(\—сЧг) A— е2Я2).
Обе эти функции имеют в комплексной области два пе-
периода 2ш и 2со:
_„ Г 1/с dx ~ г 1/е dx
Ш Jo d-Л'Ш-Л')' Ш = ^3о КA-е'**)A-в**«7
и тем самым отображение з;=Х(9), г/= Д (9) определяет
униформизацию эллиптич. кривой г/2=A--Аг2) A — е2л2)
эллиотич. функциями.
Немного позже Н. Абеля, но независимо от него,
К. Якоби (С. Jacobi) также рассмотрел функцию,
обратную эллиптич. интегралу, доказал, что она имеет
два независимых периода, и получил ряд результатов
в проблеме преобразований. Преобразуя в форме рядов
найденные Н. Абелем выражения эллиптич. функций в
виде произведений, К. Якоби пришел к понятию
0-функцнй и нашел им многочисленные применения не
только в теории эллиптич. функций, но и в теории чисел
и в механике.
Занимаясь проблемой преобразований эллиптич.
функций, Н. Абель впервые исследовал группу гомо-
гомоморфизмов одномерных абелевых многообразий.
Наконец, после опубликования наследия К. Гаусса
(С. Gauss) и, особенно, его дневника стало ясно, что
он задолго до работ Н. Абеля и К. Якоби в той или иной
мере владел нек-рыми из этих идей. Переход к изуче-
изучению произвольных алгебраич. кривых произошел
все еще в рамках анализа: Н. Абель ноказал, как ос-
основные свойства эллиптич. интегралов могут быть
обобщены на интегралы от произвольных алгебраич.
функций. Такие интегралы стали впоследствии наз.
абелевыми (см. А белев интеграл).
В 1826 Н. Абель написал работу, к-рая явилась на-
началом общей теории алгебраич. кривых. Эта работа со-
содержит понятие рода алгебраич. кривой, эквивалент-
эквивалентности дивизоров и дает критерий эквивалентности в
терминах интегралов. Она подводит к теории якобие-
вых многообразий алгебраич. кривых.
В диссертации, опубликованной в 1851, Б. Риман
(В. Riemann) применил совершенно новый принцип
исследования функций комплексного переменного. Он
предполагал, что такая функция задана не на плоскости
комплексного переменного, а на некоторой поверхно-
поверхности, которая «многолистно распростерта» над этой плос-
плоскостью.
Поверхности, введенные Б. Риманом (см. Риманова
поверхность), близко соответствуют современному по-
понятию одномерного комплексного аналитического мно-
многообразия; это — такие множества, на к-рых определе-
определены аналитич. функции. Б. Риман поставил и решил
вопрос о связи этого понятия с понятием алгебраич.
кривой; соответствующий результат наз. теперь тео-
теоремой существования Римана. Исследуя возможные
расположения точек ветвления поверхностей, он дока-
доказал, что множество классов зависит прир>1 от Зр — 3
независимых параметров, к-рые назвал модулями (см.
Модулей проблема).
С работы Б. Римана начинается изучение топологии
алгебраич. кривых; в ней выясняется топологич. смысл
размерности р пространства QX[X] — это половина
размерности одномерной группы гомологии простран-
пространства Х(С). Аналитич. путем получено неравенство
l(D) > AegD-p + 1. Равенство Римана — Роха было
доказано Э. Рохом (Е. Roche), учеником Б. Римана (см.
Римана — Роха теорема). Наконец, в этой работе
впервые выступает поле к(Х) как первичный объект,
связанный с кривой X, и появляется понятие бирацио-
нального изоморфизма. Еще Н. Абелем поставлен во-
вопрос об обращении интегралов от произвольных алгеб-
раич. функций. Другая часть работы Б. Римана об абе-
левых функциях посвящена связи между 6-функциями
и проблемой обращения в общем случае; в нет! рассмат-
рассматривается ряд от р переменных
eM = 2me/r<m) + 2<m'0). B)
где т=(т1,..., тр) пробегает все целочисленные р-
мерные векторы,
v = (vlt ..., vp), (m, y)=2»W.
F (m) = 2 ajbmjmki <*/* = a*/-
i)TOT ряд сходится для всех значений v, если действи-
действительная часть квадратичной формы F отрицательно
определена. Основное свойство функции 9 — это урав-
уравнение
9(у + Л1г) = 9(г), 9(i> + ay-)=eVO)9(v), C)
где г — целочисленный вектор, ау- — столбец матрицы
(<Zjk), а Lj(v) — линейная функция.
Б. Риман доказал, что можно выбрать разрезы al7 .. .,
ар, &],..., Ьр, превращающие введенную им поверхность
в односвязную, и базис ult . . ., ир всюду конечных ин-
интегралов на этой поверхности так, что интегралы uj по
ак равны 0 при ]фк и яг при ) = к, а интегралы ыу- по
Ь^ образуют симметрическую матрицу (ocyj), удовлет-
удовлетворяющую условиям, при к-рых сходится ряд B). Он
рассмотрел функцию 9, соответствующую этим коэф-
коэффициентам a.jk. Периоды произвольной 2ге-периодиче-
ской функции от п переменных удовлетворяют соотно-
соотношениям, аналогичным тем, к-рые необходимы для схо-
сходимости рядов, определяющих 9-функции. Эти соот-
соотношения между периодами были явно выписаны Г. Фро-
бениусом (G. Frobenius), к-рый доказал, что они не-
необходимы и достаточны для существования нетриви-
нетривиальных функций, удовлетворяющих функциональному
уравнению C) (см. Тета-функция, Абелева функция).
Эти соотношения необходимы и достаточны для сущест-
существования мероморфной функции с заданными периодами,
к-рая не может быть сведена линейной заменой пере-
переменных к функции меньшего числа переменных. Эта
теорема была сформулирована К. Вейерштрассом
(К. Weierstrass) и доказана А. Пуанкаре (Н. Poincare).
В 1921 С. Лефшец (S. Lefschetz) доказал, что при
выполнении соотношений Фробениуса 9-функцни оп-
определяют вложение многообразия C/Q в проективное
пространство (Q — решетка, соответствующая задан-
заданной матрице периодов; см. Комплексный тор).
Понятия и результаты, составляющие теперь основу
теории алгебраич. кривых, создавались под влиянием
и в рамках аналитич. теории алгебраич. функций и их
интегралов. Независимо от этого направления разви-
развивалась и чисто геометрич. теория алгебраич. кривых.
Напр., в вышедшей в 1834 книге Ю. Плюккер (J. Pliic-
ker) нашел формулы, связывающие класс, степень кри-
кривой и число ее двойных точек. Там же он доказал су-
существование девяти точек перегиба у плоской кривой
3-й степени. Но подобного рода исследования занима-
занимали второстепенное место в математике того времени,
они не были связаны с ее наиболее глубокими идеями.
Только после работ Б. Римана, геометрия алгебра-
алгебраич. кривых заняла важное место в математике наряду
с теорией абелевых интегралов и абелсвых функций.
Это изменение точки зрения связано гл. обр. с работами
А. Клебша (A. Clebsch). В то время как у Б. Римана ос-
новной являлась функция, А. Клебш считал основным
объектом алгебраич. кривую. В книге А. Клебша и
П. Гордана [10] выведена формула для числа р линейно
независимых интегралов 1-го рода (т. е. рода кривой
X), выражающая его через степень кривой и число
особых точек. Там же доказано, что при р = 0 кривая
обладает рациональной параметризацией, а при р=1
преобразуется в плоскую кривую 3-й степени.
Для развития алгебро-геометрич. аспекта теории
алгебраич. кривых полезной оказалась одна ошибка
Б. Римана. При доказательстве своих теорем существо-
существования он считал очевидной разрешимость нек-рой вариа-
вариационной задачи: «принципа Дирихле». Вскоре К. Вей-
ерштрасс показал, что не любая вариационная задача
имеет решение. Поэтому нек-рое время результаты
Б. Римана оставались необоснованными. Один из вы-
выходов заключался в алгебраич. доказательстве этих
теорем — формулировка их была, по существу, алгеб-
алгебраической. Эти исследования, предпринятые А. Клеб-
шем, в значительной мере способствовали выяснению
алгебро-геометрич. характера результатов Н. Абеля и
Б. Римана, скрытого под аналитич. оболочкой.
Направление исследований, начатое А. Клебгаем,
достигло своего расцвета в работах его ученика — М. Нё-
тера (М. Noether). Круг идей М. Нётера особенно ясно
намечен в его совместной работе с А. Бриллем (A. Brill).
В ней ставится задача развить геометрию на алгебраич.
кривой, лежащей в проективной плоскости, как сово-
совокупность результатов, инвариантных относительно
взаимно однозначных (т. е. бирациональных) преобра-
преобразований (см. Бирациональная геометрия).
К началу 2-й пол. 19 в. было найдено много специ-
специальных свойств алгебраич. многообразий размерности
большей, чем 1, в основном поверхностей. Напр., были
детально исследованы поверхности 3-й степени, и, в
частности, Дж. Сальмон (G. Salmon) и А. Кэли(А. Cay-
ley) доказали в 1849, что на любой кубич. поверхности
без особых точек лежит 27 различных прямых. Однако
эти результаты долго не объединялись к.-л. общими
принципами и не были связаны с глубокими идеями,
выработанными к тому времени в теории алгебраич.
кривых.
Итальянская школа А. г. оказала большое влияние
на развитие этой науки. Основателями итальянской
геометрич. школы являются Л. Кремона (L. Cremona),
К. Сегре (С. Segre), Э. Бертини (Е. Bertini). Ее самые
значительные представители — Г. Кастельнуово
(G. Castelnuovo), Ф. Энрикес (F. Enriques) и Ф. Сове-
ри (F. Severi). Одно из основных достижений итальян-
итальянской школы — классификация алгебраических поверх-
поверхностей. Первым результатом здесь можно считать ра-
работу Э. Бертини 1877, в к-рой дана классификация
инволютивных преобразований плоскости, т. е. (в совре-
современной терминологии) классификация с точностью до
сопряженности в группе бирациональных автоморфиз-
автоморфизмов плоскости всех элементов 2-го порядка этой группы.
Классификация оказывается очень простой, и из нее,
в частности, легко вывести, что факторплоскость по
группе 2-го порядка является рациональной поверх-
поверхностью. Иначе говоря, если поверхность X унирацио-
нальна и морфизм / : Р2—уХ имеет степень 2, то X
рациональна. Общий случай Люрота проблемы для
алгебраич. поверхностей решил (положительно) Г. Ка-
Кастельнуово в 1893. Он же поставил и решил вопрос о
характеристике рациональных поверхностей числен-
численными инвариантами. Классификация поверхностей
была получена Ф. Энрикесом в серии работ, завершив-
завершившейся уже в 10-х гг. 20 в.
Основным средством итальянской школы было иссле-
исследование семейств кривых на поверхности — линей-
линейных и алгебраических (последние называли непрерыв-
непрерывными). Это привело к понятию линейной и алгебраич.
эквивалентности. Связь этих понятий впервые иссле-
исследовал Г. Кастельнуово. Важный вклад в дальнейшую
разработку вопроса внес Ф. Севери. Хотя значительная
часть понятий возникла в аналитич. форме, их алгеб-
раич. смысл был со временем выяснен. Существует тем
не менее ряд понятий и результатов, к-рые, по существу
(по крайней мере с современной точки зрения), связаны
с анализом.
В самом начале 80-х гг. 19 в. появились работы
Ф. Клейна (F. Klein) и А. Пуанкаре (Н. Poincare), посвя-
посвященные проблеме униформизации алгебраич. кривых
автоморфными функциями. Их цель заключалась в том,
чтобы аналогично тому, как эллиптич. функции унифор-
мизируют кривые рода 1, униформизировать любые
кривые функциями, к-рые теперь наз. автоморфными.
Ф. Клейн исходил при этом из теории модулярных функ-
функций. Поле модулярных функций изоморфно полю рацио-
рациональных функций, но можно рассматривать функции,
инвариантные относительно различных подгрупп моду-
модулярной группы, и получать таким способом более слож-
сложные поля. В частности, Ф. Клейн рассмотрел функции,
автоморфные относительно группы, состоящей из всех
преобразовании г -*¦ р—=, в к-рых, а, Ь, с и а — целые
CZ —J— CL
числа, ad—bc=l и
Он показал, что эти функции униформизируют кривую
рода 3 с уравнением zo^1+3;iZ2+^i.2:o=O. Можно дефор-
деформировать фундаментальный многоугольник этой группы
и получать таким путем новые группы, к-рые будут
униформизировать кривые рода 3. Подобный ход мыс-
мыслей лежал в основе работ Ф. Клейна и А. Пуанкаре,
причем А. Пуанкаре пользовался для построения
автоморфных функций рядами, к-рые носят ныне его
имя. Оба они правильно угадали, что любая алгебраич.
кривая допускает униформизацию соответствующей
группой, и значительно продвинулись в направлении
доказательства этого результата. Полное доказательство
было получено только в 1907 А. Пуанкаре и независи-
независимо от него П. Кёбе (Р. КоеЬе). При этом большую роль
сыграло то, что к тому времени в работах А. Пуанкаре
было исследовано понятие фундаментальной группы и
универсальной накрывающей.
Топология алгебраич. кривых очень проста и была
полностью исследована Б. Риманом. Для изучения то-
топологии алгебраич. поверхностей Э. Пикар (Е. Picard)
развил метод, основанный на изучении слоев морфизма
/ : Х-+Р1. Он исследовал, как меняется топология слоя
/-1(а) при изменении точки а^Р1, и, в частности,
когда этот слой приобретает особую точку. Таким
способом, напр., была доказана односвязность гладких
поверхностей в Р3 (см. [11], т. 1). Важный вклад в то-
топологию алгебраич. поверхностей внес также А. Пуан-
Пуанкаре.
В 1921 С. Лефшец (S. Lefschetz) начал применять
новую науку — топологию — к изучению алгебраич.
многообразий над полем комплексных чисел. Его перво-
первоначальной целью было упрощение результатов Э. Пи-
кара и А. Пуанкаре и обобщение их на многомерный
случай. Однако он сделал значительно больше и его
работы открыли новую область исследований в А. г.
Дальнейший вклад С. Лефшеца в А. г. относится к
теории алгебраич. циклов на алгебраич. многообразиях.
Он доказал, что двумерный цикл на алгебраич. поверх-
поверхности гомологичен циклу, представляемому алгебраич.
кривой, в том, и только том случае, когда регулярные
двойные интегралы $$R (x, у, z) dxdy имеют нулевые
периоды на нем.
Исследования С. Лефшеца заложили основу совре-
современной теории комплексных многообразий. Позднее
были введены мощные средства для их изучения, среди
к-рых — теория гармонич. интегралов [У. Ходж
(W. Hodge), Ж. де Рам (G. de Rham)] и теория пучков
[А. Картан (Н, Cartan), Ж. Лере (J. Leray)]. Используя
эту технику, удалось показать, что неособые алгебра-
ич. многообразия составляют часть важного класса
комплексных многообразий — кэлеровых многообразий.
Теория пучков и связанная с ней теория векторных
расслоений на комплексных многообразиях позволили
дать новую интерпретацию и значительно обобщить
многие классич. инварианты алгебраич. поверхностей
(арифметич. и геометрич. род, канонич. системы).
Одним из важнейших достижений этой теории было
создание теории Чжэня классов и значительного обоб-
обобщения классич. теоремы Римана — Роха (Ф. Хирце-
брух [7]).
К сер. 20 в. А. г. подверглась значительной перера-
переработке на теоретико-множественной и аксиоматич. осно-
основе. Область применения А. г. необычайно расширилась
в сторону комплексных многообразий и в сторону ал-
алгебраич. многообразий над произвольными полями.
Интерес к А. г. над «неклассическими» полями возник
сначала в связи с теорией сравнений, к-рые можно
интерпретировать как уравнения над конечным полем.
В своем докладе на Международном конгрессе матема-
математиков в 1908 А. Пуанкаре говорил, что к изучению
сравнений от двух неизвестных можно применить
методы теории алгебраич. кривых. Почва для система-
тич. построения А. г. была подготовлена общим разви-
развитием теории полей и колец в 10 — 20-х гг. 20 в.
Попытка доказательства Римана гипотезы (к-рую
можно сформулировать для любой алгебраич. кривой над
конечным полем) привела в 30-х гг. в работах X. Хассе
(Н. Hasse) и его учеников к построению теории алгеб-
алгебраич. кривых над произвольным полем. При этом сама
гипотеза была доказана X. Хассе для эллиптич. кривых.
С другой стороны, в серии статей, опубликованных в
1931 — 39, Б. Л. ван дер Варден (В. L. van der Waerden)
продвинулся в построении А. г. над произвольным
полем. В частности, им была построена теория пересе-
пересечений на гладком проективном многообразии.
В 1940 А. Вейлю (A. Weil) удалось доказать гипотезу
Римана для произвольной алгебраич. кривой над
конечным полем. Он нашел два пути ее доказательства.
Один из них основывается на теории соответствий кри-
кривой X (т. е. дивизоров на поверхности XXX), а дру-
другой — на рассмотрении ее якобиева многообразия.
Таким образом, в обоих случаях привлекаются много-
многомерные многообразия. В связи с этим в книге А. Вейля
[5] содержится построение А. г. над произвольным
полем: теория дивизоров, циклов, пересечений. Здесь
впервые определяются «абстрактные» (не обязательно
квазипроективные) многообразия путем процесса склеи-
склеивания аффинных кусков. Работами О. Зариского
(О. Zariski), П. Самюэля (P. Samuel), К. Шевалле
(С. Chevalley) и Ж. П. Серра (J. P. Serre) были введены
в А. г. в нач. 50-х гг. 20 в. мощные методы коммута-
коммутативной и, в частности, локальной алгебры.
Определение многообразий, основанное на понятии
пучка, было дано Ж. П. Серром. Он же построил и
теорию когерентных алгебраических пучков, причем про-
прообразом ее служила незадолго до того созданная тео-
теория когерентных аналитических пучков.
В конце 50-х гг. 20 в. А. г. подвергается кардиналь-
кардинальной перестройке, предпринятой А. Гротендиком (A. Gro-
thendieck) на основе понятия схемы. Используя язык
теории категорий, А. Гротендику удалось значительно
обобщить и прояснить многие важные классич. конструк-
конструкции в А. г., абстрактное определение к-рых было ранее
мало геометрично. Им же было основано много новых
важных разделов А. г. (см. Алгебраическая геометрия
абстрактная). Язык теории схем прочно вошел в
обиход современной А. г., органически слил ее с комму-
коммутативной алгеброй и принес в исследования арифметич.
вопросов алгебраич. многообразий значительный прог-
прогресс (см. Алгебраических многообразий арифметика).
Непосредственное влияние теория схем оказала на од-
одно из важнейших достижений А. г. за последний пе-
период — решение проблемы существования неособой
бирациональной модели алгебраич. многообразий, опре-
определенных над полем характеристики нуль (см. Разреше-
Разрешение особенностей).
Лит.: [1] Ш а ф а р е в и ч И. Р., Основы алгебраической
геометрии, М., 1972; [2] X о д ж В., П и д о Д., Методы алге-
алгебраической геометрии, пер. с англ., т. 1—3, М., 1954—55; [3]
Бальдассари М., Алгебраические многообразия, пер.
с англ., М., 1961; [4] D i e u d о n n ё J., «Amer. Math. Monthly»,
1972, v. 79, Ki 8, p. 827—66; [5] W e i 1 A., Foundations of al-
algebraic geometry, N. Y., 1946; Г6] Grothendieck A.,
Dieudonne J., Elements de geometrie algebrique, B.—
[a.o.l, 1971; [7] Hinehruch Г., Topological methods in
Algebraic Geometry, B. — [a.o.], 1966; [8] E n r i q и е s F.,
Le superficie algebriche, Bologna, 1949; [9] Z а г i s k i O.,
Algebraic surfaces, 2 ed., В.—[a.o.], 1971; [10] С 1 e Ь s с h A.,
Gordan P., Theorie der Abelschen Funktionen, Lpz., 1866; [11]
Picard E., Simart G., Theorie des fonctions algebriques
de deux variables independantes, t. 1—2, P., 1897—1906.
По материалам «Исторического
очерка» книги И. Р. Шафаревича [11.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ АБСТРАКТ-
АБСТРАКТНАЯ — раздел алгебраической геометрии, в к-ром изу-
изучаются общие свойства алгебраических многообразий
над произвольными полями, а также их обобщения —
схемы. Хотя первые работы в А. г. а. появились еще в
19 в., особенно бурное развитие этой области алгеб-
алгебраич. геометрии происходило, начиная с 50-х гг. 20 в., и
было связано с созданием А. Гротендиком (A. Grothen-
dieck) общей теории схем. Интерес к алгебраич.
геометрии применительно к произвольным полям воз-
возник первоначально в связи с теоретико-числовыми за-
задачами и, в частности, с теорией сравнений от двух
неизвестных. Особенно существенным для развития
А. г. а. было введенное Э. Артином (Е. Artin) в 1924
понятие дзета-функции алгебраич. кривой (см. Дзета-
функция в алгебраич. геометрии), а также доказатель-
доказательство X. Хассе (Н. Hasse) в 1933 аналога гипотезы Рима-
на для эллиптических кривых. Развитая при этом тео-
теория алгебраических кривых над произвольным полем
констант играла существенную роль в данном доказа-
доказательстве.
Почва для систематич. построения многомерной ал-
алгебраич. геометрии над произвольными полями констант
была подготовлена общим развитием теории колец и
полей в 10—20-х гг. 20 в. В цикле статей Б. Л. ван
дер Вардена (В. L. van der Waerden, 1933—38) в основу
А. г. а. была положена теория полиномиальных идеа-
идеалов. В частности, им была построена пересечений теория
на неособом проективном алгебраич. многообразии. Ре-
Результаты работ этого направления подытожены в [4].
В 1940 А. Вейль (A. Weil) обнаружил, что доказа-
доказательство гипотезы Римана для алгебраич. кривых про-
произвольного рода требует привлечения теории многомер-
многомерных многообразий над произвольными полями. В связи
с этим им была построена теория абстрактных алгеб-
алгебраич. многообразий (не обязательно проективных) над
произвольным основным полем, теория дивизоров и тео-
теория пересечений для таких многообразий, а также об-
общая теория абелевых многообразий, ранее изучавших-
изучавшихся только в аналитич. случае. Под влиянием книги [9],
вышедшей в 1946, общепринятой основой А. г. а. на
долгое время стали теория нормирований и теория по-
полей (язык «общих точек» Веиля).
В нач. 50-х гг. в А. г. а. были введены мощные мето-
методы коммутативной алгебры (см. [6], [8]). Дальнейшей
перестройке А. г. а. послужила работа Ж. П. Серра о
когерентных алгебраических пучках [7]. В ней впервые в
А. г. а. были изложены идеи и методы гомологической
алгебры. Развитие А. г. а. шло параллельно с разви-
тием понятия алгебраич. многообразия. После опреде-
определения А. Вейлем абстрактного алгебраич. многообразия
предлагались различные обобщения этого понятия.
Самым плодотворным из них оказалось понятие схемы.
Систематич. изложение этих идей и построение общей
теории схем было начато А. Гротендиком в 1960 в серии
мемуаров [5], где введен в А. г. а. язык функторов и
теории категорий и кардинально перестроены многие
классич. конструкции в алгебраич. геометрии.
Бурное развитие А. г. а. было связано с осознанием
того, что рамки теории схем позволяют перенести на
«абстрактный случай» практически все известные в клас-
классич. комплексном случае понятия и, в частности, тео-
теорию когомологий комплексных аналитич. многообра-
многообразий. Важную роль для развития А. г. а. сыграла ги-
гипотеза А. Вейля A947), предположившего существова-
существование теории когомологий, в к-рой была бы верна Лефшеца
формула для числа неподвижных точек отображения,
и установившего глубокие связи этой гипотезы с чисто
арифметич. вопросами алгебраич. многообразий (см.
Дзета-функция в алгебраической геометрии).
Понятие топологизированной категории (топология
Гротендика) нашло многочисленные применения, разра-
разработка и развитие к-рых положили начало новым на-
направлениям А. г. а.— теории представимых функто-
функторов, формальной геометрии (см. Формальная группа),
Вейля когомологиям, К-теории, теории групповых схем.
Развитые при этом идеи и методы нашли свое отражение
во многих разделах математики (коммутативная алгеб-
алгебра, теория категорий, теория аналитич. пространств,
топология).
Предложенное в конце 60-х гг. новое обобщение ал-
алгебраич. многообразия — алгебраическое пространство
позволило расширить рамки А. г. а. и еще теснее свя-
связать ее с другими разделами алгебраич. геометрии.
Лит.: [1] Гротендик А., в кн.: Международный ма-
математический конгресс в Эдинбурге, 1958, М., 1962, с. 116—37;
[2] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия,
т. 10, М., 1972, с. 47—112; [3] Серр Ж. - П., «Математика»,
1963, т. 7, № 5; [4] G г б Ь п о г W., Moderne algebraische Geo-
metrie, W.—Innsbruck, 1949; [5] Grothendieck A.,
Elements de geometrie algebrique, t. 1, В., 1971; [6] S a m u e 1 P.,
Methodes d'algebre abstraite en geometrie algebrique, 2 ed., В.,
1967; [7] Serre J.-P., «Ann. Math.», 1955, v. 61, № 1, p.
197—278; [8] Z a r i s k i О., в кн.: Proceedings of the Interna-
International Congress of Mathematicians. Cambridge (Mass.), 1950,
Providence, 1952, v. 2, p. 77—89; [9] W e i 1 A., Foundations
of algebraic geometry. Providence, 1962. И. В. Долгачев.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГРУППА - группа G, наде-
наделенная структурой алгебраического многообразия, в к-роп
умножение GXG-+G и переход к обратному элементу
СгД-G являются регулярными отображениями (м о р-
ф и з м а м и) алгебраич. многообразий. А. г. наз.
определеннойнад поле м/с, если ее алгеб-
алгебраич. многообразие, а также морфизм (х и v определены
над к. В этом случае множество fc-рациональных точек
многообразия G является абстрактной группой, к-рая
обозначается G^. А. г. наз. связной, если ее алгеб-
алгебраич. многообразие связно. Размерностью А. г.
наз. размерность ее алгебраич. многообразия. В даль-
дальнейшем рассматриваются только связные А. г. Подгруп-
Подгруппа Н А. г. G наз. алгебраической, если она
является замкнутым подмногообразием алгебраич. мно-
многообразия G. Для таких подгрупп пространство классов
смежности (левых или правых) может быть естественным
образом наделено структурой алгебраич. многообразия,
обладающей универсальным свойством (см. Фактор-
пространство алгебраической группы). Если подгруп-
подгруппа Н, кроме того, нормальна, то факторгруппа Gi H
является А. г. относительно указанной выше структуры;
она наз. алгебраической факторгруп-
факторгруппой. Гомоморфизм G->-G' А. г. наз. алгебраи-
алгебраическим, если ф — морфизм их алгебраич. многооб-
многообразий; если ф определен над к, то он наз. к-т о м о-
морфизмом. Аналогично определяется к-ш з о-
м о р ф и з м А. г.
Примеры А. г.: полная линейная группа
GL(re, к) — группа всех обратимых матриц порядка п с
коэффициентами в фиксированном алгебраически зам-
замкнутом поле к, группа треугольных матриц, эллиптиче-
эллиптическая кривая.
Существуют два основных типа А. г., совершенно раз-
различных по своим свойствам: абелевы многообразия и
линейные алгебраические группы; при этом принадлеж-
принадлежность А. г. к одному из этих типов определяется исклю-
исключительно свойствами многообразия группы. А. г. наз.
а б е л е в ы м многообразием, если ее алгеб-
раич. многообразие полное. А. г. наз. линейно й
А. г., если она изоморфна алгебраич. подгруппе полной
линейной группы. А. г. является линейной тогда и
только тогда, когда ее алгебраич. многообразие аффинно.
Эти два класса А. г. имеют тривиальное пересечение:
если А. г. есть одновременно абелево многообразие и
линейная группа, то она единичная группа. Изучение
произвольных А. г. в значительной степени сводится к
изучению абелевых многообразий и линейных групп.
Именно, в произвольной А. г. существует единственная
нормальная линейная алгебраич. подгруппа Н такая,
что факторгруппа G/H есть абелево многообразие.
Многочисленные примеры А. г., не являющихся ни
линейными А. г., ни абелевыми многообразиями, дает
теория обобщенных Якоби многообразий для алгебраич.
кривых с особенностями (см. [4]). Естественное расшире-
расширение класса алгебраич. групп приводит к понятию груп-
групповой схемы.
Лит.: [1] В о р е л ь А., Линейные алгебраические группы,
пер. с англ., М., 1972: [2J М а м ф о р д Д., Абелевы многооб-
многообразия, пер. с англ., М., 1971; [3] С е р р Ж.-П., Алгебраи-
Алгебраические группы и поля классов, пер. с франц., М., 1968: [4] III е-
валле К., Теория алгебраических групп, в кн.: Междуна-
Международный математический конгресс в Эдинбурге, М., 1962: [5]
Demazure M., Grothendieck A., Shemas en groupes
t. 1—3, В.—Hdlb.—N. Y., 1970. Б. Б. Венков, В. П. Платонов.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГРУППА ПРЕОБРАЗОВА-
ПРЕОБРАЗОВАНИИ — алгебраическая группа G, действующая регу-
регулярно на алгебраич. многообразии V. Точнее, А. г. п.
есть тройка (G, V, т), где т: GX V-*-V (t(g, x) = gx) —
морфизм алгебраич. многообразий, удовлетворяющий
условиям: ех=х, g(hx)=(gh)x для всех x?V и g,
h?G (e — единица G). Если G, V и т определены над
полем к, то (G, V, т) наз. алгебраич. группой
к-п реобразований. Напр., (G, G, т), где т —
присоединенное действие или действие посредством сдви-
сдвигов, является А. г. п. Если G — алгебраич. подгруппа
в GL(n), т — ее естественное действие в аффинном
пространстве V=kn, то (G, V, т) — А. г. п. Для всякой
точки x?V через G(x)= (gx\g?G) обозначается орбита
х, а через Gx= {g?G\gx=x}~- стабилизатор х. Орбита
G(x) не обязательно замкнута в V, но всегда сущест-
существуют замкнутые орбиты, напр, замкнутые орбиты мини-
минимальной размерности. Иногда под А. г. п. понимается
алгебраич. группа G, действующая рационально (но не
обязательно регулярно) на алгебраич. многообразии V
(это значит, что т : GX Vl—>-V — рациональное отобра-
отображение, а выписанные выше свойства т выполнены для
общих точек). Как показал А. Вейль [3], всегда суще-
существует многообразие V1, бирационально изоморфное V
и такое, что действие G на V1, индуцированное рацио-
рациональным действием G на V, регулярно. Задачи описа-
описания орбит, стабилизаторов, полей инвариантных ра-
рациональных функций (см. Инвариантов теория) и
построения фактормногообразий являются основными
в теории А. г. п. и имеют многочисленные приме-
применения.
Лит.: [1]Борель А., Линейные алгебраические группы,
пер. с англ., М., 1972; [2] Дьедонне Ж., К е р р о л Д ж.,
Мамфорд Д., Гегмзтрическая теория инвариантов, пер
с англ., М., 1974; ГЗ] Weil A., «Amer. J. Math.», 1955, v. 77,
.\s 2, p. 355—91. В. П. Платонов.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ —ир-
—иррациональное алгебраическое число. А. и. является кор-
корнем неприводимого многочлена степени, не меньшей
двух, с рациональными коэффициентами, а. И Галочкин
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ КРИВАЯ - алгебраическое
многообразие размерности 1. А. к. является наибо-
наиболее изученным объектом алгебраической геометрии.
В дальнейшем под А. к. понимается, как правило,
неприводимая А. к. над алгебраически замкнутым
полем.
Наиболее простым и интуитивно ясным является по-
понятие плоской аффинной А. к. Это — множество точек
аффинной плоскости А \, удовлетворяющих уравнению
1(х, (/) = 0, где j(x, у) — многочлен с коэффициентами
из алгебраически замкнутого поля к. Поле рациональ-
рациональных функций неприводимой А. к. над к есть поле ал-
гебраич. функций одного переменного и имеет вид
к(х, у), где хну связаны уравнением f(x, i/) = 0, a
f(x, у) — многочлен над к. Это означает, что всякая
А. к. бирационально изоморфна плоской аффинной
кривой.
Уже давно было замечено, что даже при изучении
аффинных кривых глубокие закономерности удается
вскрыть только при учете бесконечно удаленных точек
и детальном исследовании особенностей. Для изучения
всех точек аффинной кривой ее погружают в проектив-
проективное пространство Р" с последующим замыканием в
Зариского топологии. Таким образом получается проек-
проективная кривая X, причем исходная аффинная кривая
Y может быть получена из X выбрасыванием конечного
числа точек. Если Y неприводима, то X и У бирацио-
бирационально изоморфны. Каждая полная А. к. является
проективной. Если X — гладкая проективная кривая
(г. п. к.), то все кольца нормирования поля к (х) исчер-
исчерпываются локальными кольцами Ох, х?Х. Если две
г. п. к. бирационально эквивалентны, то они изоморф-
изоморфны. Нормальная А. к. является гладкой. В частности,
всякая неприводимая А. к. бирационально эквивалент-
эквивалентна г. п. к. Получаемая в процессе нормализации глад-
гладкая проективная модель А. к. лежит в нек-ром про-
пространстве Р". Любая г. п. к. изоморфна кривой, распо-
расположенной в Р3. Каждая плоская А. к. кремоновым пре-
преобразованием может быть преобразована в кривую с
обыкновенными особыми точками.
Дивизоры на гладкой А. к. представляют собой ли-
линейные комбинации точек с целыми коэффициентами
гех=0 почти для всех х. Если все пх~^0, то дивизор D
наз. положительным, или эффективным,
что обозначается D~^0. Степенью дивизора/)
наз. число
deg D = 2xnx.
Главные дивизоры образуют подгруппу Р(X) группы
Div X всех дивизоров на X. Факторгруппа Div Х/Р (X)
наз. группой классов дивизоров и обоз-
обозначается через С1(Х). Группа С1(Х) изоморфна группе
Pic (X) классов одномерных векторных расслоений на X
(см. Векторное алгебраическое расслоение). Степень глав-
главных дивизоров на г. п. к. равна нулю, поэтому все ди-
дивизоры из одного класса имеют одну и ту же степень.
В частности, можно говорить о степени класса дивизоров
и о подгруппе С1°(Х) классов дивизоров степени 0.
Справедливо следующее равенство:
С1 (Х)/С1° (X) = Ж-
Для прямой Р1, C1(/>1)=Z- С1°(^1)=0, т. е. любой
дивизор степени 0 является главным. Это свойство
характерно для рациональных г. п. к.
Для любой полной А. к. X число n=dim Н1(Х, Оу)
наз. арифметическим родом А. к. X. Если
X — гладкая, то ji совпадает с размерностью простран-
пространства Н°(Х, Qi) всех регулярных дифференциальных
форм на X, эта размерность наз. родом А. к. X.
По определению, род А. к. равен роду ее неособой мо-
модели. Для любого неотрицательного целого числа g
существует А. к. рода g. Рациональные кривые харак-
характеризуются равенством g=0. Если X проективная пло-
плоская кривая порядка т, то
(m-l) (m-2)
а ее род вычисляется по формуле:
(m-l) (m-2) ,
g~ 2 а>
где d — неотрицательное целое число, измеряющее
отклонение от гладкости на X. Если X имеет только
обыкновенные двойные точки, то d есть просто число
особых точек.
В частности, плоская г. п. к. имеет род
g = ±-(m-l)(m-2),
откуда следует, что не всякая г. п. к. является плоской.
Для пространственной кривой X имеет место оценка
/' (п- 2J
—т— , если п — четно,
если п — нечетно,
где п — степень X. Кривые п-й степени максимального
рода существуют для каждого значения п и лежат на
квадрике (М. Альфан, М. Alphen, 1870, см. [8]).
Степень канонич. класса Кх г. п. к. X связана с ро-
родом кривой формулой deg Kx=2g— 2. Если г. п. к. X
лежит на гладкой алгебраич. поверхности F, то имеет
место формула присоединения: Кх =
= X(X+KF). В частности, deg Kx = (XJ+(X -KF). Для
произвольного дивизора D на X можно рассмотреть
подмножество поля к(Х), состоящее из нуля и тех функ-
функций /, для к-рых (/) + ?) Js0. Это—линейное пространство
над к конечной размерности l(D). Размерность полной
линейной системы, определяемой дивизором D, равна
l(D)—i. Вычисление размерности l(D) является важ-
важной задачей теории А. к. Наиболее сильный результат
в этом направлении — Римана — Роха теорема. Для
г. п. к. эта теорема заключается в равенстве:
гДе S — род кривой X. В случае, когда l(K— )
(соответственно l(K — D) — 0), говорят, что дивизор D
специальный (соответственно н е с п е ц и-
а л ь н ы й). Для неспециальных дивизоров теорема
Римана — Роха дает равенство l(D) = deg(D) — g-}-l.
Каждый дивизор степени большей 2g— 2 является
неспециальным.
Класс дивизоров, линейно эквивалентных дивизору D
на г. п. к. X, определяет точку на Якоби многообразии
J(X) А. к. X. Это многообразие совпадает с Альбанезе
многообразием и 1/икара многообразием А. к. X. Точки,
соответствующие классам специальных дивизоров,
есть особые точки Пуанкаре дивизора на J(X). Если
Gn обозначает подмножество точек J(X), соответствую-
соответствующих классам дивизоров D с deg D=n и l(D) = r, то
G'n образует подсхему в J(X) и
dim G^ 5= г (п — r + 1) — (r — \) g
(теорема Римана — Врилля — Нёте-
р а). Эта теорема имеет многочисленные применения,
одним из к-рых является следующее. Всякий дивизор
D, для к-рого l(D)~^l, определяет рациональное отоб-
отображение фд кривой X в проективное пространство
pi(D)-i_ Отображение фд зависит от класса D. Если
deg D>2g+1, то фд определяет изоморфное вложение
кривой X в Рт, причем фд(Х) не содержится ни в ка-
каком собственном подпространстве пространства Рт(т =
= l(D)~i). Наиболее интересным с точки зрения бира-
циональной классификации кривых являются отобра-
отображения ф, соответствующие кратности пК канонич. клас-
класса кривой X. При g>l класс ЗК определяет изоморфное
вложение г. п. к. в Pbg-6. При этом кривые X и X' би-
рационально эквивалентны тогда и только тогда, когда
их образы <р3к(Х) и (p3f((X') получаются друг из друга
проективным преобразованием пространства Pbs~6.
Исследование отображения фд- позволило получить
более тонкую характеристику кривых рода g>l. Для
этих кривых отображение фд-: X—кР^-1 будет изоморф-
изоморфным вложением в том и только том случае, когда X не
является гиперэллиптической кривой. В случае, когда
фд- — изоморфизм, кривая фд-(Х) наз. каноничес-
к о й; она определена однозначно с точностью до про-
проективных преобразований в PS-1. Важнейшей задачей
теории А. к. является классификация кривых с точ-
точностью до бирационального изоморфизма. В этом на-
направлении получен ряд сильных результатов, но ис-
исчерпывающего решения задачи пока A977) не имеется.
Г. п. к. можно разбить на следующие 4 класса:
1) кривые рода 0 бирационально эквивалентны Р'\
2) кривые рода 1 (эллиптич. кривые) бирационально
эквивалентны гладкой кубической кривой в Р2;
3) гиперэллиптич. кривые;
4) негиперэллиптич. кривые рода g>l бирациональ-
бирационально эквивалентны канонич. кривой в PS-1 (А. к. о с-
новного типа).
Род кривой не характеризует полностью бирацио-
нальный класс А. к. Единственное исключение состав-
составляют кривые рода 0. В случае, когда к есть поле комп-
комплексных чисел С, множество классов изоморфных друг-
другу эллиптич. кривых описывается точками фак-
торпространства HlG, где // — верхняя полуплоскость,
G — модулярная группа, состоящая из дробно-линей-
дробно-линейных преобразований с целыми коэффициентами и
определителем, равным +1. Пространство HlG имеет
строение аналитич. многообразия, изоморфного С
(см. Эллиптическая кривая). Классы бирационально эк-
эквивалентных кривых рода#>1 описываются точками не-
некоторого алгебраич. многообразия Mg размерности 3g— 3,
называемого многообразием модулей кривых рода g.
Это многообразие неприводимо. Есть гипотеза, что Мg
унирационально, но она доказана только для g<ll
(Ф. Севери, F. Severi).
Имеют место следующие результаты о группе Aut(X)
автоморфизмов г. п. к. X. 1) Если X есть Р\, то Aut(X)
—группа дробно-линейных преобразований PGLA, k).
2) Если X — эллиптическая кривая, то Aut(X) есть
алгебраич. группа, связная компонента единицы к-рой
совпадает с группой точек Х(к). 3) Если X — кривая
рода g>l, то Aut(X) всегда конечная группа. Ее
порядок ограничен числом 84(g—1) (см. [6]). В по-
последнем случае важную роль при изучении группы
Aut(X) играют Вейерштрасса точки на X.
Другой способ изучения группы Aut(X) дает тот
факт, что каждая г. п. к. является конечным (разветв-
(разветвленным) накрытием проективной прямой.
Пусть X — г. п. к., определенная над полем С. Мно-
Множество точек кривой X (С) снабжается естественным
строением одномерного компактного аналитич. много-
многообразия, к-рое наз. также компактной римановой поверх-
поверхностью. Обратное тоже верно, т. е. всякая компактная
риманова поверхность может быть получена из нек-рой
г. п. к. Обычно употребляется один и тот же сим-
символ X для обозначения г. п. к. и соответствующего
ей одномерного комплексного многообразия. Всякое
связное комплексное многообразие представимо в виде
фактора X/G, где X — связное односвязное комплекс-
комплексное многообразие, G — группа автоморфизмов многооб-
многообразия X, действующая на X дискретно и свободно.
Весьма примечательно, что одномерных связных одно-
связных аналитических многообразий, с точностью до
изоморфизма, всего три. Это — проективная прямая
С Р1 (риманова сфера), аффинная прямая С (конеч-
(конечная плоскость) и внутренность единичного круга D =
= {z, |z|<l} (плоскость Лобачевского). Все г. п. к.
можно разбить на три класса в зависимости от того,
к какому из трех типов относится их универсальная
накрывающая.
Вопрос о классификации г. п. к. данного типа сво-
сводится к изучению дискретных групп преобразований
универсальных накрывающих, действующих свободно с
относительно компактной фундаментальной областью.
В случае проективной прямой G — единичная группа; в
случае аффинной прямой G изоморфна подгруппе Q
аддитивной группы С, являющейся двумерной решет-
решеткой в С; в случае внутренности единичного круга G —
подгруппа движений в плоскости Лобачевского, опре-
определяемая нек-рым неевклидовым ограниченным много-
многоугольником. Таким образом, первый класс содержит
единственную кривую Р1, второй класс состоит из
комплексных торов C/Q, и все они имеют строение
одномерного абелевого многообразия (эллиптич. кри-
кривой), причем сложение точек на торе определяет груп-
групповую структуру на соответствующей кривой. Всякая
гладкая эллиптич. кривая получается таким образом.
Поле рациональных функций С (X) на эллиптич. кри-
кривой X^=C/Q изоморфно полю мероморфных двоякопе-
риодических (эллиптических) функций с группой пе-
периодов Q. Если f(x, j/)=0 — уравнение аффинной
модели кривой X, то существует его параметризация
x=q>(z), y=ty(z) эллиптич. функциями (униформизация
кривой X). Третий класс состоит из всех г. п. к. X рода
g>l. Поле С (X) в этом случае изоморфно полю меромор-
мероморфных на D функций, инвариантных относительно
группы G. Такие функции наз. автоморфными.
Любая А. к. рода g>l униформизуется автоморфными
функциями (см. Униформизация). Задача классификации
эллиптич. кривых также приводила к рассмотрению
фактора DIG, но там ситуация существенно отличалась
от только что рассмотренной. Во-первых, группа G
имела неподвижные точки в D, во-вторых, многообра-
многообразие DIG было некомпактным, хотя обладало конечной
площадью по Лобачевскому. Рассмотрение в общем
случае таких групп и соответствующих факторов игра-
играет важную роль в современных арифметич. исследо-
исследованиях.
Если А. к. X определена над незамкнутым полем к,
то одним из важнейших является вопрос о существо-
существовании и нахождении рациональных точек X (к) кривой
X. Для г. п. к. X над конечным полем к доказано не-
неравенство \N— q— 1| <:2g V q, где TV — число точек кри-
кривой X, рациональных над конечным расширением L
поля к, q — число элементов поля L, a g — род кри-
кривой X. Это неравенство эквивалентно гипотезе Римана о
нулях ^-функции кривой X — все нули ^-функции
лежат на вертикальной прямой 0=1/2 (см. Дзета-функ-
Дзета-функция в алтебраич. геометрии).
Пусть теперь X — А. к., определенная над полем
рациональных чисел Q. Тогда для кривых рода 0 точки
X (Q) находятся сравнительно легко, для эллиптич.
кривых рациональные точки составляют группу с ко-
конечным числом образующих (если X(Q) не пусто), для
кривых рода g>2 имеется пока не доказанная A977)
Морделла гипотеза о том, что X (Q) конечно.
Если основное поле к есть поле рациональных функ-
функций к0 (В) г. п. к. В, то каждая г. п. к. X над к изоморф-
на общему слою Хц морфизма / : V-+-B гладкой проек-
проективной алгебраич. поверхности V над к0. Этот морфизм
будет однозначно определен, если потребовать, чтобы в
его слоях не было исключительных кривых рода 1.
Множество рациональных точек X (к) находится в биек-
биективном соответствии с множеством сечений V (В) мор-
морфизма / и Х(к) конечно для кривых рода g5=2. Кривые
рода 0 и 1 над полем к0 (В) изучаются в теории ал-
алгебраич. поверхностей (см. Эллиптическая поверхность,
Линейчатая поверхность).
Лит.: [I] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической
геометрии, М., 1972; [2] У о к е р Р., Алгебраические кривые,
пер. с англ., М., 1952; [3] М а м ф о р д Д., Лекции о кривых
на алгебраической поверхности, пер. с англ., М., 1968; [4] Щ е-
в а л л е К., Введение в теорию алгебраических функций от
одной переменной, пер. с англ., М., 1959; [5] С е р р Ж.-П.,
Алгебраические группы и поля классов, пер. с франц., М., 1968;
[6] Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций,
М.— Л., 1948; [7] Спрингер Д т., Введение в теорию
римановых поверхностей, пер. с англ., М., 1960; [8] Итоги науки
и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 12, М., 1974,
с. 77—170. В. Е. Воскресенский.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ — понятие
теории расширений полей. Пусть К нек-рое расшире-
расширение ноля к. Элементы Ьг,..., Ьп?К наз. алгебраи-
алгебраически независимыми над к, если для всякого
не равного тождественно нулю многочлена f(x1,...,
хп) с коэффициентами из поля к f(bu. . ., Ьп)ф0. В про-
противном случае элементы Ьг,.. ., Ьп наз. алгебраи-
алгебраически зависимыми. Бесконечное множество
элементов наз. алгебраически независимым, если не-
независимо каждое его конечное подмножество, и зависи-
зависимым в противном случае. Определение А. н. может быть
распространено на случай, когда К—кольцо и А —его
подкольцо (см., напр., [1]).
Алгебраическая независимость чисел. Комплексные
числа alt..., ап наз. алгебраически неза-
независимыми, если они алгебраически независимы
над полем алгебраич. чисел, т. е. для любого много-
многочлена Р (х1,.. ., хп) с алгебраич. коэффициентами, из
к-рых не все равны нулю, имеет место Р(а1,..., а„)ф
ФО. В противном случае аь..., ап наз. алгебраи-
алгебраически зависимыми. Понятие А. н. чисел
является обобщением понятия трансцендентности числа
(случай ге=1). Если несколько чисел алгебраически
независимы, то каждое из них трансцендентно. Дока-
Доказательство А. н. каких-либо чисел сопряжено обычно с
большими трудностями. Существующие аналитич.
методы в теории трансцендентных чисел позволяют
решать эту проблему для значений нек-рых классов
аналитич. функций. Так, установлено, что значения по-
показательной функции ег при алгебраических линейно
независимых над полем рациональных чисел значениях
аргумента алгебраически независимы. Аналогичный ре-
результат получен для функций Бесселя (см. Зигеля ме-
метод). Установлен также ряд общих теорем об А. н.
значений в алгебраич. точках ?-функций, удовлетво-
удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям с
коэффициентами из поля рациональных функций [2]. [3].
Доказана А. н. чисел a^ и а^*, где афО, 1 — алгебраич.
число, ар — кубическая иррациональность, и, кроме
того, ряд теорем об алгебраич. невыражаемости чисел-
понятий, близком к понятию А. н.
Качественному понятию А. н. чисел можно придать
количественную характеристику, если рассмотреть ал-
алгебраической независимости меру этих чисел. Упомя-
Упомянутые аналитич. методы позволяют получать оценки
снизу для меры А. н. нек-рых классов чисел. Установ-
Установлены общие теоремы об оценке меры А. н. значений
Е-функций [3].
Лит.: [1] Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [2]
Фельдман Н. И., Ш и д л о в с к и й А. В., «Успехи ма-
тем, наук» 1967, т. 22 в. 3 с. 3—81; [3] Ш и д л о в с к и й А. В.,
«Труды Матем. ин-та АН СССР», 1973, т. 132, с. 169—202.
А. Б. Шидловский.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ, «арная
операция, на множестве А — отображение
ш: А" —у А
п-й декартовой степени множества А в само множество
А. Число п наз. арностью А. о. Исторически
сначала возникли понятия бинарной (ге=2) и унар-
унарной (п=1) операций. Нульарные операции — это
фиксированные элементы множества А, наз. также
выделенными элементами, иногда н у-
л я м и. В 20 в. появилось понятие бесконеч-
бесконечно м е с т н о й операции, т. е. отображения
со : Аа-*-А, где а — произвольное кардинальное число.
Множество с системой определенных на нем А. о. наз.
универсальной алгеброй. т. М Варанович.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ - двумер-
двумерное алгебраическое многообразие. Вместе с алгебраиче-
алгебраическими кривыми А. п. представляют собой наиболее изу-
изученный класс алгебраич. многообразий. Богатство
задач и идей, применяемых для их решения, делает
теорию А. п. одним из самых интересных разделов
алгебраич. геометрии.
В отличие от алгебраич. кривых, две бирационально
изоморфные А. п. могут не быть бирегулярно изоморф-
изоморфными. На классич. этапе развития алгебраич. геометрии
A868— 1920) под А. п. понимался фактически класс по
бирациональной эквивалентности, а его представители
считались погруженными в комплексное трехмерное
проективное пространство СР3, где они задавались одним
однородным алгебраич. уравнением f (xg, xl7 x2, х3)=0.
Начало теории А. п. положили работы А. Клебша
(A. Clebsch) и М. Нётера (М. Noether) (конец 60-х — нача-
начало 70-х гг. 19 в.), в к-рых были определены первые важ-
важные инварианты А. п. —геометрич. род и канонич. класс.
Дальнейшей разработкой теории А. п. занимались
представители итальянской школы алгебраич. геомет-
геометрии — К. Сегре (С. Segre), Л. Кремона (L. Cremona;,
Э. Вертини (Е. Bertini), Г. Кастельнуово (G. Castel-
nuovo), Ф. Энрикес (F. Enriques), Ф. Севери (F. Se-
veri) и др. Топологические и трансцендентные методы в
теорию А. п. были введены Э. Пикаром (Е. Picard),
А. Пуанкаре (Н. Poincare) и С. Лефшецем (S. Lefschetz).
Многие полученные в этих работах общие факты об
А. п. оказались затем справедливыми для алгебраич.
многообразий и схем произвольной размерности. Часть
же результатов до сих пор не поддается обобщению на
многомерный случай. Таковы, напр., классифика-
классификация А. п. с помощью численных инвариантов, крите-
критерии рациональности и линейчатости А. п., теория
минимальных моделей. Большинство из них были кри-
критически пересмотрены и передоказаны современными
когомологическими методами в 50—60-х гг. 20 в. (см.
[1], [5], [8]).
Общие факты об алгебраических поверхностях.
Всюду в дальнейшем, если не оговорено специально, под
А. п. понимается проективная А. п. над алгебраически
замкнутым полем к.
а) Разрешение особенностей. Первые
строгие доказательства существования неособой модели
А. п. были даны в 30-х гг. 20 в. (Р. Уокер, R. Walker;
0. Зариский, О. Zariski). Ранее существовавшие гео-
геометрич. доказательства итальянских геометров содер-
содержали пробелы (см. [9]). В случае положительной харак-
характеристики основного поля существование неособой мо-
модели А. п. было доказано в 1956 (см. Разрешение осо-
особенностей).
Каждая неособая А. п. может быть бирационально
спроектирована в СР3 на поверхность с обыкновенными
особенностями — двойными обыкновенными кривыми с
конечным числом на них обыкновенных каспидальных
точек и тройных точек, являющихся трипланарными
особыми точками поверхности. Именно такие поверх-
ности являлись основными объектами исследования
на классич. этапе развития теории А. п. Теорема о
разрешении особенностей А. п. позволяет применить
для локального изучения особых точек А. п. глобаль-
глобальные методы теории схем. Основополагающей в этом на-
направлении явилась работа Д. Мамфорда (D. Mumford,
1961), в к-рой были введены важные инварианты дву-
двумерных особенностей и доказано, что топологич. про-
пространство нормальной А. п. является топологич. много-
многообразием в том и только том случае, когда поверхность
неособая.
б) Численные инварианты А. п. Обоб-
Обобщением понятия рода алгебраич. кривой в теории А. и.
является понятие геометрич. рода Pg(V) А. п. V —
максимальное число линейно независимых регулярных
двумерных дифференциалов на V (см. Геометрический
род). Виртуальный арифметич. род дивизоров из ка-
нонич. системы \Ку\ А. п. V наз. линейным ро-
родом и обозначается через рA). Для неособой А. п.
имеет место равенство
где c1= — Kv— первый Чжэня класс касательного
расслоения к поверхности V. Кратные канонич. си-
системы |-ff,-| = \iKv\ наз. плюриканонически-
м и системами А. п. V. Число dim|isT(-|-}-l наз.
i-p о д о м и обозначается через />,-; оно совпадает с
размерностью всюду регулярных г-кратных двумерных
дифференциальных форм на V.
Согласно формуле постулации К э л и —
Н ё т е р а, число Nт линейно независимых форм до-
достаточно большой степени т, проходящих через про-
пространственную кривую степени d рода pet тройными
точками и т двойными точками, дается формулой
Для А. п. с обыкновенными особенностями в 1875
был введен в рассмотрение арифметич. род pa(V), опре-
определяемый формулой:
здесь d — степень, т — число двойных точек, р — род,
a t — число тройных точек двойной кривой V (для неосо-
неособых поверхностей считается ?=r=d=0, р = 1). Позже
были даны другие эквивалентные определения pa(V)
(см. Арифметический род).
Разность pg(V) — pa(V) всегда неотрицательна,
она наз. иррегулярностью А. п. F и обозна-
обозначается через q(V). А. п. наз. регулярной (соот-
(соответственно иррегулярной), если q(F) = 0 (соот-
(соответственно q(V)>0). Первые примеры иррегулярных
поверхностей были приведены в конце 19 в. (А. Кэли,
A. Cayley; Г. Кастельнуово). Иррегулярность может
быть охарактеризована как максимальная недостаточ-
недостаточность линейной системы, высекаемой системой |С+
-\-Kv\ на кривой С (Ф. Энрикес, 1896, см. [9]). Кого-
мологич. определение ра и q для неособых А. п. да-
дается формулами:
(V, Ov) =
m(V, Ov).
Арифметич. род pa(V) неособой А. п. V выражается
через классы Чжэня касательного расслоения к V но
формуле:
наз. формулой Нётера. Число / = deg (C2) —4
наз. инвариантом Цейтена — Се г ре.
в) Т е о р е м а Римана— Роха для А. п.
Обобщение теоремы Римана — Роха для алгебраич.
кривых на случай А. п. принадлежит Г. Кастельнуово
A897). Для неособой А. п. V и волной линейной систе-
системы \Г>\ дивизоров виртуальной степени re=(D2) и вир-
(D') (DK)
туального рода п= l+1 теорема Римана —
Роха утверждает существование неравенства
dim \D | San — л-\-ра (F) + l — i.
Здесь число i=dim \KV—D\ наз. индексом спе-
специальности дивизора D. Когомологич. до-
доказательство этой теоремы (см. Римана — Роха теорема)
позволяет дать необходимое и достаточное условие для
превращения предыдущего неравенства в равенство.
Оно состоит в обращении в нуль пространства когомо-
логий IP-(V, OV(D)). Для любого дивизора D и доста-
достаточно больших чисел п доказано, что H'(V, Ov{D-\-
-\-пН)) = 0, где ?>0, а Н — гиперплоское сечение по-
поверхности V (Ж. П. Серр, J. P. Serre, 1955). В случае
нулевой характеристики основного поля неравенство
превращается в равенство для любого обильного диви-
дивизора D. Этот результат обобщает классич. теорему
Пикара — Севери о регулярности присоединенной си-
системы (см. [9]).
г) Системы кривых на А. п. Основным ме-
методом в исследованиях итальянских геометров была
созданная ими теория линейных и алгебраич. систем
кривых на А. п. С этой теорией тесно связаны понятия
алгебраич. и линейной эквивалентностей дивизоров.
Эти понятия не совпадают только для иррегулярной
А. п. (Г. Кастельнуово, 1896). Всякая достаточно об-
общая кривая на А. п. V иррегулярности q содержится в
максимальном алгебраич. семействе, к-рое расслаива-
расслаивается на линейные системы одинаковой размерности, а
базой расслоения служит многообразие размерности а
(Ф. Энрикес, 1904). Это многообразие является абеле-
вым многообразием и наз. многообразием Пикара А. п.
V (см. Пикара схема). Доказательство приведенного
выше результата Ф. Энрикеса (носящего назв. «фунда-
«фундаментальной теоремы в теории иррегулярных поверх-
поверхностей», или «теоремы о полноте характеристического
ряда»), так же как и последующие доказательства Ф. Се-
Севери, содержало пробелы. Первое строгое трансцендент-
трансцендентное доказательство этой теоремы получено в 1910 А. Пу-
Пуанкаре, и только через 50 лет было дано алгебраич. до-
доказательство (А. Гротендик, A. Grothendieck, см. [5]).
В случае положительной характеристики основного
поля эта теорема, вообще говоря, неверна (Д. Игуса,
J. Igusa, 1955). В общем случае доказано, что q не мень-
меньше размерности многообразия Пикара.
Несовпадение алгебраической и линейной эквива-
эквивалентностей на А. п. влечет существование на ней всюду
регулярных одномерных дифференциалов. Размерность
пространства таких дифференциалов в случае к=С сов-
совпадает с иррегулярностью (Г. Кастельнуово, Ф. Севери,
1905). Этот факт является частным случаем равенства
dim Нр (V, Q?) = dim Hq(V, Qp), справедливого для
произвольных компактных кэлеровых многообразий V.
В случае char k >0 этот результат перестает быть вер-
верным.
Группа классов дивизоров относительно алгебраич.
эквивалентности конечно порождена (см. Нерона —
Севери группа). Ее ранг обозначается через р и наз.
числом Пикара А. п. V. Порядок подгруппы
кручения этой группы обозначается через а и наз.
делителем Севери А. п. V (см. [9]).
Ф. Севери положено также начало теории нульмер-
нульмерных циклов на А. п., в к-рой осталось еще много инте-
интересных нерешенных вопросов.
д) Топологические свойства А. п.
Неособая проективная А. п. над полем комплексных
чисел представляет собой компактное 4-мерное ориен-
ориентированное вещественное многообразие, в частности
для такой А. п. определены группы целочисленных го-
гомологии Hj(V, 2!) и когомологий Н' (V, 21), удовле-
удовлетворяющие Пуанкаре двойственности. Каждый дивизор
на А. п. V определяет двумерный цикл, при этом ал-
алгебраически эквивалентные нулю дивизоры соответ-
соответствуют гомологичным нулю циклам. Индекс пересече-
пересечения дивизоров совпадает с топологич. индексом пере-
пересечения циклов. Имеют место равенства: а равно поряд-
порядку группы кручения группы H2(V, 2D, b1(V) = 2q(V),
где i>i(F) — первое число Бетти поверхности V ([4], [9]).
Для исследования топологии А. п. был развит метод,
основанный на рассмотрении линейного пучка кривых
на поверхности и изучении поведения топологии кри-
кривых, варьируемых в этом пучке. Таким способом была
доказана односвязность неособых гиперповерхностей
в СР (см. [6]). Этот метод позже нашел применение
также для изучения топологии многообразий высшей
размерности.
Теория этальных когомологий схем позволяет сфор-
сформулировать и доказать алгебраич. аналоги многих
классич. утверждений о топологии А. п. для поверхно-
поверхностей, определенных над полем произвольной характери-
характеристики. В частности, определены группы 1-адических
когомологий H\(V), фундаментальная группа и гомо-
гомотопический тип А. и. (см. [9]).
Начало теории интегралов на А. п. положили работы
Э. Пикара [6]. В дальнейшем его результаты были обоб-
обобщены на многообразия высшей размерности (В. Ходж,
W. Hodge, 30— 40-е гг. 20 в.). Из этих результатов,
в частности, следует неравенство Ь2{ V)%p-\-2pg(V).
Кроме того, доказано, что число положительных квад-
квадратов в квадратичной форме, определяемой на H2(V, 21)
индексом пересечения, равна 2p^(F) + l- Аналоги этих
результатов для случая поля конечной характеристики
неверны. Развитие трансцендентной теории А. и. свя-
связано с работами Ф. Гриффитса (P. Griphits).
е) Проективные погружения А. п.
В связи с возникновением понятия абстрактного алгеб-
алгебраич. многообразия встал вопрос о существовании
(абстрактных) А. п., нспогружаемых в проективное
пространство. Доказано, что неособая полная А. п.
всегда является проективной [8]. Существуют полные
особые непроективные А. п. Имеются различные чис-
численные критерии проективности А. п. (см. Обильный
пучок). Каждое неособое двумерное алгебраич. про-
пространство является А. п.
Минимальные модели алгебраических поверхностей.
Неособая А. п. V наз. минимальной м о-
д е л ь ю, если каждый бирациональный морфизм
V—>V на неособую А. п. V является изоморфизмом.
В каждом классе по бирациональнои эквивалентности
существует минимальная модель. За исключением клас-
классов линейчатых поверхностей, эта минимальная модель
единственна с точностью до изоморфизма ([2], [8], [1]).
Для того чтобы А. п. была минимальной моделью,
необходимо и достаточно, чтобы на ней не было исклю-
исключительных кривых 1-го рода, т. е. неприводимых
кривых, стягивающихся в неособую точку при нек-ром
бирациональном морфизмо. Впервые такие кривые были
исследованы в 1895 М. Нётером. Они характеризуются
условиями: С — рациональная неособая кривая и
(С2)^= — 1(см. [1], [2]). Минимальные модели линейча-
линейчатых поверхностей полностью классифицированы.
Классификация алгебраических поверхностей. Со-
Согласно классификации Ф. Энрикеса (см. [2]), каждая
неособая А. п. над полем нулевой характеристики с
точностью до бирациональнои эквивалентности принад-
принадлежит к одному из следующих типов: а) линейчатые
поверхности; б) двумерные абелевы многообразия;
в) КЗ-поверхности; г) эллиптические поверхности; д) ос-
основного типа алгебраические поверхности. Эта классифи-
классификация во многом аналогична классификации алгебраич.
кривых. При этом рациональным кривым соответствуют
линейчатые поверхности, поверхности типов б) — г) со-
соответствуют эллиптич. кривым, поверхности основного
типа — кривым рода g>l. Тип минимальной модели
А. п. определяется значениями ее числовых инвариан-
инвариантов. Линейчатые поверхности характеризуются усло-
условием />i2=0; А. п. типа б) — условиями р12=1, р„=\,
ро= —1; А. п. типа в) — условиями Kv=0, q—0; А. и.
типа г) — условиями (Ку)=0 ир12>1 либор12=1 ир =
=0. Наконец, А. п. основного типа характеризуются
условиями (Ку)>0 и р12>1.
В классе линейчатых поверхностей содержатся рацио-
рациональные поверхности, характеризующиеся условиями
Рг=Ра=0 (чт0 позволяет дать утвердительный ответ в
двумерном случае на Люрота проблему).
Многие разрозненные результаты в теории класси-
классификации А. п. посвящены задаче построения А. ц. с
заданными численными инвариантами. Наиболее часто
встречающийся способ построения А. п. состоит в
представлении ее в виде двойного накрытия проективной
плоскости со специально подобранной кривой ветвле-
ветвления (см. Двойная плоскость). Неизвестно A977), какие
значения инвариантов рн> и ра могут принимать по-
поверхности основного типа. Часть результатов о класси-
классификации А. п. была распространена в последнее время
на случай поля произвольной характеристики. Для
аналитических поверхностей классификационные ре-
результаты Ф. Энрикеса были обобщены К. Кодаирой
(К. Kodaira).
Проблема модулей для алгебраических поверхностей.
Содержанием проблемы модулей для А. и. является
классификация А. п. с точностью до изоморфизма. Пер-
Первая формула для числа параметров (модулей), от к-рых
зависит А. п. с заданными инвариантами ра, pg и
рA> для одного класса А. п., была дана М. Нётером
A888). Нелинейчатые поверхности с заданными инва-
инвариантами ра, рg и р{1) зависят от М модулей, где
8 — некоторый бирациональный инвариант рассматри-
рассматриваемых А. п. (см. [2], [9]).
Современная теория деформаций дает следующую
интерпретацию этого классич. результата. Число моду-
модулей М есть не что иное, как размерность касательного
пространстваариского к локальной (или, в алгебра-
алгебраич. случае., к формальной) схеме модулей Sa для поля-
поляризованной поверхности (V, а) из данного класса А. п.
Кроме того,' если
есть канонич. расширение касательного пучка Tv к по-
поверхности V с помощью структурного пучка Ov, опре-
определяемое фундаментальным классом поляризации а,
то
M=dimIm(H1(V, Ea) -^Н1 (V, 7»).
Формула (*) является следствием этой точной последо-
последовательности и теоремы Римана — Роха. При этом число
8 оказывается суммой
dimA#2(F, ?2) + dimA#2(F, Tv).
Имеет место неравенство
dim* № (F, Еа) 5э 2pg - Ра -1
(см. [9]). Локальная схема модулей Sa может быть осо-
особой даже в случае char /c=0. Это показывает, что «на-
«настоящее» число модулей, т. е. M' = dim Sa, может быть
меньше М. Разность co=Af — М' наз. числом пре-
препятствий к деформации; известна оценка
w<;dimft//2(F, Ea)- Существование глобального много-
многообразия модулей А. п. доказано только п некоторых
случаях. Для поверхностей основного типа и КЗ-по-
КЗ-поверхностей многообразие модулей существует как ана-
аналитическое пространство либо как алгебраическое про-
пространство.
Автоморфизмы алгебраических поверхностей. Груп-
Группа автоморфизмов Aut(F) полной А. п. V есть группа
/с-точек нек-рой схемы групп, связная компонента
к-рой AutofF) является алгебраич. группой. Если V не
является линейчатой поверхностью и dim Aut°(F)>0,
т0Ра=~1- При этом если pg?=i либо Pg=i и />2>1>
то К — эллиптич. поверхность, a Aut°(F) — одномерное
абелево многообразие. В остальных случаях F и
Aut°(F) — абелевы поверхности (см. [2]). Для поверх-
поверхностей основного типа группа Aut(F) есть конечная
подгруппа проективной группы. Хорошо изучена груп-
группа Aut(F) для КЗ-поверхностей над полем комплексных
чисел и для линейчатых поверхностей. Если поверх-
поверхность V не является линейчатой, то группа Aut(F)
совпадает с группой бирациональных преобразований
поверхности V. Последняя группа для линейчатых
поверхностей не обладает алгебраической структурой и
мало изучена (см. Кремоны группа). Интенсивно изу-
изучается группа автоморфизмов аффинных алгебраи-
алгебраических поверхностей (см. Алгебраического многообра-
многообразия автоморфизм).
Алгебраические поверхности над алгебраически не-
незамкнутыми полями. Теоретико-числовые вопросы в тео-
теории А. п. связаны с диофантовыми задачами (см. Диофан-
това геометрия). До настоящего времени A977) оста-
остается непроверенной последняя из гипотез Вейля для
А. п. над коночным полем. Однако для нек-рых классов
А. п. это сделано (рациональные поверхности, абелевы
поверхности и КЗ-поверхности, поднимаемые в нулевую
характеристику). Завершена начатая Ф. Онрикесом,
А. Комессатти (A. Comessatti) и Б. Сегре (В. Segre)
классификация рациональных поверхностей над неза-
незамкнутыми полями. Для некоторого класса таких по-
поверхностей изучена группа бирациональных автомор-
автоморфизмов.
Результаты теории А. п. применяются к изучению
алгебраических кривых над функциональными поля-
полями (см. Морделла гипотеза). Обобщение некоторых ре-
результатов теории А. п. (минимальные модели, теория
пересечений) на более широкий класс регулярных
двумерных схем [7] позволяет ввести геометрический
язык при изучении алгебраических кривых над число-
числовыми полями.
Лит.: [1] Алгебраические поверхности, М., 1965 (Тр. Матем.
ин-та АН СССР, т. 75); [2] Е n r i q u e s F., Le superficie al-
gebriche, Bologna, 1949; [3] Jung H., Algebraische Fiachen,
Hannover, 1925; [4] L e f s с h 1 t z S., L'analysis situs et la
geometric algebrique, P., 1924; [5] Мамфорд Д., Лекции
о кривых на алгебраической поверхности, пер. с англ., М.,
1968; [6] Picard E., Siraart G., Theorie des fonctions
algebriques de deux variables independantes, t. 1—2, P., 1897—
1906; [7] Safarevich I., Lectures on minimal models and
birational transformations of twodimensional schemes, Bombay,
1966; [8] Z a r i s k i O., Introduction to the problem of minimal
models in the theory of algebraic surfaces, Tokyo, 1958; [9]e г о же,
Algebraic surfaces, 2 ed., В., 1971; [10] его же, An introduc-
introduction to the theory of algebraic surfaces, В., 1969.
И. В. Долгачев.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ топологи-
топологического пространства— различные свя-
связанные с размерностью числовые инварианты кольца
непрерывных функций на данном пространстве.
П. С. Александров.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ РЕШЕТКА, компактно
порожденная решетка,— решетка, каждый
элемент к-рой является объединением (т. е. точной
верхней гранью) нек-рого множества компактных эле-
элементов. Решетка изоморфна решетке подалгебр нек-рой
универсальной алгебры тогда и только тогда, когда она
полная и алгебраическая. Эти же условия являются
необходимыми и достаточными, для того чтобы решетка
была изоморфна решетке конгруэнции нек-рой универ-
универсальной алгебры (теорема Грэтцера —
Шмидта). В обоих случаях арность операций уни-
универсальной алгебры предполагается конечной.
Лит.: [1] Birkhoff G., Lattice theory, «Amer. Math.
Soc. Colloq. Publ.», 1967, v.25. Т. С. Фофанова.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СИСТЕМА — множество с оп-
определенными на нем операциями и отношениями. А. с.
принадлежат к числу основных математич. структур и
имеют глубоко разработанную общую теорию, сформи-
сформировавшуюся в начале 50-х гг. 20 в. на грани между ал-
алгеброй и математич. логикой.
Основные понятия. Алгебраической си-
системой наз. объект А= {А, О, R), состоящий из не-
непустого множества А, семейства О алгебраических опе-
операций о,-: AHl-+-A (i ?/) и семейства R отношений rj^kAml
(/ё1^)» заданных на множестве А. Показатели и,-, т,-
рассматриваемых декартовых степеней множества А
предполагаются целыми неотрицательными числами и
наз. арностями соответствующих операций и от-
отношений. Множество А наз. носителем, или
основным множеством, А. с. А, а его эле-
элементы — элементами этой системы. Мощность \А I мно-
множества А наз. мощностью, или порядком,
А. с. А. Образ О[(аг, . . ., ап.) элемента (аи . . ., an.)^A"i
при отображении о,-: A"i—>-A наз. значением
операции о,- в точке (%, . . ., ап.). Аналогично, если
(аь . . ., am.)?rj, то говорят, что элементы ах, . . ., ат .
из А находятся в отношении г,-, и пишут rJ-(a1, . . ., ат.).
Операции o;(i?/) и отношения гу (/?/), в отличие от
других операций и отношений, к-рые могут быть опре-
определены на множестве А, наз. основными, или
главными.
Пара семейств ({«,¦: '$/}; {«г,-: }?J}) наз. типом
А. с. А. Две А. с. А, А' однотипны, если 1=1',
J=J' и nf—ni, mj=mj для всех i?I, i?.J- Основные
операции о/, о\ и основные отношения rj, rj однотип-
однотипных А. с. А, А', имеющих одинаковые индексы в I, J
соответственно, наз. одноименными.
А. с. А наз. конечной, если множество А конечно,
иконечного типа, если множество IUJ конеч-
конечно. А. с. А конечного типа записывают в виде А = (А;
ои ¦ ¦ ¦, os, ги . . ., rt).
А. с. А={А, О, R) наз. универсальной алгеброй, или
алгеброй, если множество R основных отношений
ее является пустым, и моделью, или реляционной
системой, если множество О основных операций ее
пустое. Классическими А. с. являются группы, кольца,
линейные пространства, линейные алгебры, линейно упо-
упорядоченные множества, линейно упорядоченные груп-
группы, линейно упорядоченные кольца, решетки и т. д.
Непустое подмножество В основного множества А
А. с. А = (А, О, R) наз. замкнутым, если для лю-
любых элементов Ь1; . . ., Ьп. из В значение о,-(Ь1; . . ., Ьп.)
каждой основной операции о^О также принадлежит
множеству В. Рассматривая операции из О и отно-
отношения из R на замкнутом подмножестве В, мы полу-
получим А. с. В= (В, О', R'y, однотипную данной и наз.
подсистемой А. с. А. Подсистемы алгебр наз.
подалгебрами, а подсистемы моделей —под-
—подмоделями. Понятие подалгебры существенно за-
зависит от множества основных операций рассматривае-
рассматриваемой алгебры. Напр., группоид весть алгебра типа B),
т. е. алгебра с одной основной операцией GXG-^-G.
Группоид Н с выделенной единицей е есть алгебра типа
B, 0), выделенный элемент к-рой обладает по отноше-
отношению к основной операции о: НХН-ъ-Н свойством
о(е, h) = o(h, e) = h для всех h?H. Поэтому всякий под-
группоид группоида Н с выделенной единицей е содер-
содержит е, тогда как подгруппоид группоида (Н, о) не обя-
обязан содержать элемент е. В отличие от алгебр, любое
непустое подмножество модели может рассматриваться
как подмодель.
А. с. А изоморфна однотипной А. с. А', если
существует такое взаимно однозначное отображение ф
множества А на множество А', что
<P(o,-(fli, •¦-, an.)) = o'i(ip(a1), .. ., ф (а„.)), A)
Tj (аг, ..., ат/) <ф=ф г'} (ф («i), . . ., ф (amj)) B)
для всех а,, а2, . . . из Л и для всех i?I, j?J. Отобра-
Отображение ф с этими свойствами наз. изоморфизмом.
Под классом алгебраич. систем понимается в даль-
дальнейшем только абстрактный класс, т. е. такой класс од-
однотипных А. с, к-рый содержит с каждой системой А и
все изоморфные ей системы. При рассмотрении того или
иного класса Я А. с. все системы из этого класса запи-
записывают обычно в определенной сигнатуре следующим
образом. Пусть класс SX имеет тип ({га,-: г?/},
{'"/• ]?¦?})¦ Каждому i?/ сопоставляют нек-рый сим-
символ Р[, наз. функциональным, а каждому
j ?J — символ Pj, наз. предикатным. Если
А. с. А принадлежит классу Ж и о,-: Ап[—*-А — основ-
основная операция в ней, то элемент о,- (alt . . . , а„.) из А запи-
записывают в виде F/ (а1? ..., а„(.). Аналогично, если Г]<==А т1—
основное отношение в Л и элемент (аь . . . , ат .) ^ г/,
то пишут Pj(au . . ., ат.) = И (истинно) или просто Р/(аи
. . ., amj). Если же (аи . . ., amj)^rj, то пишут Р;(аи
¦ . ., ат.) = Л (ложно) или ~\Р (аг, . . ., аи.). Пусть
Qj={Fj-: i?I}, ilp={Pj-: j^J} и v — отображение
объединения Q^U^ B множество натуральных чисел
{0,1,2,. . .}, определяемое формулами: v (F[) = ni (i ?/),
v(Pj)=mj(i?/). Объект Й= (Q^, Qp, v) наз. сигна-
сигнатурой класса Ж- Конечную сигнатуру записывают в
виде строкиCF*"'), . . ., F["s)), /><"'>) , . . . ,p<m«> ) или ко-
короче (Fu . . . , Fs; Plt . . ., Pt). А. с. А, записанная в
сигнатуре Q, наз. Й-с и с т е м о й и обозначается
А=(А, Q).
Условия A), B) изоморфизма однотипных систем
Л, А' упрощаются, если эти системы рассматривать
в одной сигнатуре Q. Так, если сигнатурными символа-
символами будут Fi(i?I), PjU?J), то A), B) примут вид
ф (Fi (%,..., а„.)) = F,- (ф К), . . ., ф (а„.)), C)
Pj (ai, • • •, aOT/) 4=> ^ (Ф (а,), ..., Ф {amj)). D)
Гомоморфизмом Q-системы А в Й-систему
А' наз. всякое отображение ф: А—ч-А', удовлетворяю-
удовлетворяющее условию C) и условию
Pj <»i, • • •, »»у) => ^/ (Ф (»i) , • • •, ф (»»у)) E)
для всех F[??lf, Pj?Qp и для всех ах, а2> • • • из ^4-
Гомоморфизм ф : А—*-А' наз. сильным, если для
любых элементов blt . . ., bm . из А' и для любого преди-
предикатного символа Ру- из Qp соотношение PJ{b1, . . ., bm.) =
= И влечет существование в А таких прообразов аи
. . ., ат элементов Ьи . . . , Ьт., для к-рых Pj(at,
• • • ! ат)~—И. Понятия гомоморфизма и сильного го-
гомоморфизма алгебр совпадают. Для моделей существуют
гомоморфизмы, к-рые не являются сильными, и взаимно
однозначные гомоморфизмы, к-рые не являются изо-
изоморфизмами. При гомоморфизме ф: А—уА' образами
в А' подсистем из А и непустыми полными прообраза-
прообразами в А подсистем из А' являются подсистемы.
Эквивалентность 0cz/l ХА наз. конгруэн-
конгруэнцией Я-системы А, если
=> B(Fi(ax, ...,а„.),^,-(Ь1, ..., Ь„.))
для всех аь Ьх, . . ., ani, Ь„. из А и для всех
Для каждого гомоморфизма ф А. с. 4 бинарное отноше-
отношение 0(а, 6), истинное тогда и только тогда, когда
ф(а) = ф(Ь), является конгруэнцией в А, к-рая наз.
ядерной. Для произвольной конгруэнции 6 Й-
системы А и для каждого элемента а?А множество
я/9= {х?А : Q(x, а)}, наз. смежным классом
А. с. А по конгруэнции 0. Полагая для каждых F;??l,,
Fi (п1/в, ..., anijQ)=Fi (au ..., an.)/6
11 p,.(ve, ...,ьт./в)=и
тогда и только тогда, когда существуют такие эле-
элементы С1? . . ., Ст. В Л, ЧТО 6F!, Cj), . . ., в(Ьт/, Cmj)
и Pj(c1, . . . , ст.),шы получим А. с. A/Q, однотипную
данной и наз. факторсистемой А. с. А
по конгруэнции Э. Для каждой- конгруэнции 0 А. с. А
канонич. отображение ср(а) = а/9 (а?А) является го-
гомоморфизмом А. с. 4 на факторсистему A/Q, для кото-
которого данная конгруэнция 6 ядерная. Если ср есть гомо-
гомоморфизм А. с. А на А. с. А' и 0 — ядерная конгруэнция
для ф, то отображение 1|)(а/0)=ф(а) является го-
гомоморфизмом факторсистемы A/Q на А. с. А'. Если при
этом гомоморфизм ф сильный, то if> есть изомор-
изоморфизм.
Декартовым произведением Й-сис-
тем Аа =(Aa,Q) (а?Лф0) наз. Й-система Z>= {D, Q),
в к-рой D есть декартово произведение основных мно-
множеств Ла(а?Л),а основные операции и основные от-
отношения на D задаются условиями: Fi(dt, . . ., dn.)
(dj,.. .,dn .?D,Fi?Q Л есть элемент d?D с координатами
d(a) = Fi('d1(a), ..., dni(a)) (ogA), Pj(du . . .,dm.) =
=11 {Pj?Qp) тогда и только тогда, когда PJ-(d1(a), . . .,
im. (a) )—h для всех а? Л.
Язык 1-й ступени. Основным формальным языком
теории А. с. является язык 1-й ступени L, к-рый стро-
строится следующим образом. Алфавит языка L в заданной
сигнатуре Q= (Qf, Qp, v), Qf={Fr, i?I}, Qp={Pf,
j?J}, состоит из предметных переменных xlt x2,
функциональных символов Fj(i?I), предикатных
символов Pj(j^J), символов логич. связок:
&, V, —*, -|, =
кванторов:
Vxk — «для каждого элемента xk»,
Jx^— «существует такой элемент х^»
п вспомогательных символов: скобок и запятых. Для
выражения свойств A-й ступени) Й-систем употребля-
употребляются конечные последовательности алфавитных сим-
символов, или слова, составленные по определенным пра-
правилам и наз. термами и формулами. Индук-
Индуктивно полагают, что каждое слово вида х/, или F( при
\{F,) = 0 есть терм; если /х, . . ., /„— термы и re=v(-f,),
то Fi(f1, . . ., /„) — также терм.
Если А есть Q-система и f(x1, . . . , хп) — терм сигна-
сигнатуры Й, содержащий предметные переменные х1у . . .,
Xfc, то, заменяя хг, . . ., х% к.-н. элементами alt . . ., а^
из Л и выполняя над последними операции в А, соответ-
соответствующие входящим в терм символам из Й^, получают
элемент /(%, . . ., а&) из А , называемый значением
терма f(xi, . . ., хь) при x1 = ai, . ¦ . , х^ = а^. Если ф —
гомоморфизм Й-системы А в Й-систему А', то
ф (/(«!, ..., аА)) = /(ф(а1), ..., ф(аА)).
Понятие формулы сигнатуры Й, свободных и
связанных предметных переменных в ней опре-
определяется также индуктивно:
1) Если Р — какой-нибудь предикатный символ из
Й или знак равенства =, m=v (P) или 2 соответственно,
а /и • • • 1 im~ произвольные термы сигнатуры Й, то
слово Р (flt . . . , fm) есть формула, в к-рой все предмет-
предметные переменные свободны.
2) Если ft — формула, то ~^ft — также формула.
Свободные (связанные) предметные переменные в фор-
формуле ~~\ ft те и только те, к-рые являются свободными
(связанными) в ft.
3) Если ftt, $2— формулы и предметные перемен-
переменные, входящие одновременно в обе эти формулы, сво-
свободны в каждой из них, то слова
gl&^2. 5l V ft2, fo—>& F)
— также формулы.
Предметные переменные, свободные (связанные) хотя
бы в одной из формул ftt, g?2) наз. свободными (свя-
(связанными) и в формулах F).
4) Если предметное переменное х^ входит свободно
в формулу g, то слова (Vx^) ft, (Ix^ft снова являются
формулами, в к-рых переменное х^ связанное, а все
остальные предметные переменные, входящие в форму-
формулу ft свободно или связанно, остаются такими же и в
формулах (ухк) ft, Cxk) %¦
Если заданы Й-система А и формула ft сигнатуры й,
то придавая всем свободным предметным переменным
хи . . ., xk в ft какие-нибудь значения я15 . . . , а^ из Л
и интерпретируя функциональные и предикатные сим-
символы, входящие в g, как соответствующие основные опе-
операции и основные отношения в А, мы получим конкрет-
конкретное высказывание, к-рое будет истинным или ложным.
В соответствии с этим формуле "q приписывают значе-
значение И или Л при Хх=а1, . . . , Xf:=a/i, обозначаемое
g(alt . . . , ak). Если ф — изоморфное отображение
Q-системы А на Й-систему А', то
для всех а1? . . ., aj из 4.
Формула g наз. замкнутой, если она не содер-
содержит свободных предметных переменных. Для любой
замкнутой формулы Щ сигнатуры Q и произвольной
Й-системы А можно говорить об истинности или ложно-
ложности ft в А. Совокупность S замкнутых формул данной
сигнатуры Й наз. выполнимой, или совмест-
совместной, если существует Й-система, в к-рой истинны все
формулы из S.
Теорема компактности или локаль-
локальная теорема Гёделя — Мальцева. Если
выполнима каждая конечная часть бесконечной сово-
совокупности S замкнутых формул какой-то сигнатуры й,
то выполнима и вся совокупность S.
Аксиоматизируемые классы. Пусть S — некоторая
совокупность замкнутых формул сигнатуры Q. Класс
всех Q-систем, в к-рых истинны все формулы из S,
будет обозначаться KS. Совокупность Th Я всех за-
замкнутых формул сигватуры Q, истинных во всех й-
системах из заданного класса $, наз. элементарной те-
теорией класса Я. В частности, если (А) — класс Й-систем,
изоморфных данной Й-системе А, то ТЪ(Л) наз. эле-
элементарной теорией Й-системы А и обозначается просто
ThA. Класс ,f Й-систем наз. аксиоматизиру-
аксиоматизируемым, если Я = КТ\\ й. Класс Я Й-систем аксиома-
аксиоматизируем тогда и только тогда, когда существует та-
такая совокупность S замкнутых формул сигнатуры й,
что $t=KS.
Наряду с общим понятием аксиоматизируемости рас-
рассматривают аксиоматизируемость при помощи формул
1-й ступени специального вида. Наиболее важными в
алгебре специальными формулами заданной сигнатуры
Й являются:
Тождества— формулы вида
(V*i) • • • Dxs)P(fu ...,/„),
где Р — к.-л. предикатный символ из й или знак ра-
равенства = , а Д, ¦ . ., fm— термы сигнатуры й от
хг, . . ., xs.
Квазитождества — формулы вида
(V*!) . . . (V*,) [P(h, . ... /ft) &...&<? (gl, ...,gm)—~
~+R(K, ..., ft,,)],
где P, . . .,Q, Я — нек-рые предикатные символы из
йр или знаки равенства, а /,, . . ., fk, gi, ¦ ¦ ., gm, й-ъ
. . ., hn— термы сигнатуры Й от хг, . . ., xs.
Универсальные формулы— формулы
вида (V^i). . -(Va-j) $•. где g — формула сигнатуры й,
не содержащая кванторов.
Если задано множество S тождеств (квазитождеств
или универсальных формул) сигнатуры Й, то класс KS
наз. многообразием (квазимногообразием или универ-
универсальным классом) Й-систем.
Теорема Виркгофа. Непустой класс ,5?
Й-систем является многообразием тогда и только тогда,
когда он замкнут относительно подсистем, декартовых
произведений и гомоморфных образов.
ЕслиЛ=(А, Й) — некоторая Q-система, то, заменяя
каждый функциональный символ F; из Q/ предикатным
символом F( арности ге,—1-1 (на 1 выше) и полагая для
элементов аг, . . ., ani, а из А
F* (ап ¦¦ •> а«,-. а) <?=> Fi (ai- а„.)=а,
мы получим модель А*=(А, Й* }, для которой Й* =
= ^pU{^'7 ' ^(€^/}- Подмодели модели А* наз. под-
подмоделями Й-системы А. Для любых непустых конечных
подмножеств А а^=А , Йр cr Q* модель Аа$— (А а, йр)
наз. конечным обеднением коночной под-
подмодели Аа= (Аа, Й* ) Й-системы А. Й-система А наз.
локально вложимой в класс .ft1 Й-систем,
если для каждого конечного обеднения Аа$ любой ко-
конечной подмодели А а Й-системы А существует в классе
Я такая Й-система В (зависящая от выбранного конеч-
конечного обеднения Аа$), что модель Аа$ = (Аа, fig)
изоморфна модели Вар = (Ва, й„) для подходящего под-
подмножества Вас^В.
Подкласс ? класса $t Й-систем наз. универ-
универсальным (или универсальпо аксио-
аксиоматизируемым) в Я, если существует такая
совокупность S универсальных формул сигнатуры Й,
что 8=Х5ПЯ.
Теорема Тарского — Лося. Подкласс %
класса Й Й-систем универсален в Я тогда и только
тогда, когда S содержит все системы из Я, локально
вложимые в S.
Фильтрованные произведения. Пусть />=ТТ^(а —
декартово произведение Й-систем Ла(а^Л, Л -р 0) и
Ф — некоторый фильтр над Л. Отношение
сг^фАф=5>{а ?A:d(a) = h(a)} ? Ф (d, h g D)
есть эквивалентность на основном множестве D Й-
системы D. Для каждого элемента d?D пусть d/Ф есть
смежный класс по этой эквивалентности и /)/Ф =
— {d/Ф : d?D}. Полагая
{a:Pf (d, (a), ..., dm. (а))} g Ф (^ € Q,),
можно получить fi-систему 1>/Ф=(/)/Ф, Й), которая
наз. фильтрованным по фильтру ф
произведением Й-систем Аа(а(^Л). Й-системы
Аа(а?Л) наз. сомножителями этого произведения. Если
Ф — ультрафильтр над Л, то фильтрованное произве-
произведение D/Ф наз. ультрапроизведением
Й-систем ^а(а?Л).
Теорема об ультрапроизведениях.
Если D/Ф— ультрапроизведение Q-систем Ла(а?Л) и
5(^i, . . . , хь) — произвольная формула сигнатуры
Й, в к-рой свободными предметными переменными явля-
являются х-у, . . ., Xfc, то для любых элементов da, . . ., d^D
В частности, замкнутая формула Щ сигнатуры Й
истинна в ультра'произведении D/Ф Й-систем Аа(а?Л)
тогда и только тогда, когда множество номеров сомно-
сомножителей, в к-рых формула 5 истинна, принадлежит
ультрафильтру Ф. Поэтому всякий аксиоматизируе-
аксиоматизируемый класс Й-систем замкнут относительно ультрапроиз-
ультрапроизведений.
Класс L Й-систем универсально аксиоматизируем
тогда и только тогда, когда он замкнут относительно
подсистем и ультрапроизведений.
Й-система Е= {{e},Q) наз. единичной, если ее
основное множество состоит из одного элемента, скажем
е, и Pj(e, . . . , е) = И для всех Pj?Qp.
Теорема Мальцева. Класс Я Й-систем яв-
является квазимногообразием тогда и только тогда, когда
он содержит единичную Й-систему и замкнут относитель-
относительно подсистем и фильтрованных (но произвольному
фильтру) произведений.
Полнота и категоричность. Непустой класс $ Й-сис-
Й-систем наз. категоричным, если все Й-системы и.ч
Я' изоморфны между собой. Всякий категоричный ак-
аксиоматизируемый класс Й-систем состоит из одной (с
точностью до изоморфизма) конечной Q-системы.
Класс Я Й-систем наз. категоричным в
мощности щ, если он содержит Й-систему мощ-
мощности m и все Й-системы из Я, имеющие мощность т,
изоморфны между собой. Напр., класс алгебраически
замкнутых полей фиксированной характеристики кате-
категоричен в любой несчетной бесконечной мощности. Не-
Непустой класс Я Й-систем наз. полным, если для
любых Й-систем А, Виз Я имеет место равенство ТЬЛ =
= Th В.
Теорема Boot а. Если аксиоматизируемый
класс Я Й-систем категоричен в нек-рой мощности т>
^s[Qj\JQp\ и все Й-системы из Я бесконечны, то St -
полный класс.
В частности, класс всех алгебраически замкнутых
полей фиксированной характеристики является полным.
См. также Алгебраической системы автоморфизм, Ал-
Алгебраических систем квазимногообразие, Алгебраических
систем класс, Алгебраических систем многообразие.
Лит.: [1] Мальцев А. И., Алгебраические системы,
М\, 1970; [2] Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ.,
М., 1968; [3] Gratzer G., Uneversal algebra, Princeton,
1968; [41 В е 1 1 J. L, Slomson А. В., Models and ultra-
products, Amst.—L., 1969; [5] G h a n g G. G., Keisler
H. J., Model theory, Amst. — N.Y., 1973. Д. М. Смирнов.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ -К-ТЕОРИЯ — раздел алгебры,
к-рый в основном занимается изучением К-функторов
(Кв, Кг и др.); по существу — это часть общей линейной
алгебры. Она имеет дело со структурной теорией проек-
проективных модулей и их групп автоморфизмов. Упрощен-
Упрощенно, это — обобщение результатов о существовании и
единственности (с точностью до автоморфизма) базиса
векторного пространства и других общих теоретико-
групповых фактов о линейных группах над полями.
При переходе от поля к произвольному кольцу П эти
теоремы, как правило, уже неверны, а группы Гротен-
дика K0(R) и Уайтхеда KX(R), в нек-ром смысле, яв-
являются мерой отклонения от их истинности. Аналогич-
Аналогичные обобщения структурных теорем линейной алгебры
возникают и в топологии. Векторное пространство
можно рассматривать как частный случай векторного
расслоения. Гомотопич. теория векторных расслоений и
топологич. К-теория делают возможными рассмотрения
такого рода. Существенную роль играет тот факт, что
проективный модуль можно рассматривать как модуль
сечений векторного расслоения. Это объясняет выбор
именно класса проективных модулей в качестве объекта
теории. В А. К-т. широко используются теория колец,
гомологич. алгебра, теория категорий и теория линей-
линейных групп.
А. К-т. имеет два различных историч. источника, оба
лежащих в геометрии. Первый связан с нек-рыми то-
топологич. препятствиями. Исходным пунктом было
введение понятия Уайтхеда кручения, связанного с
гомотопич. эквивалентностью конечных комплексов и
лежащего в группе Уайтхеда, являющейся нек-рой
факторгруппой группы K1(R), где Л=^П — целочис-
целочисленное групповое кольцо фундаментальной группы П.
Следующий шаг связан с рассмотрением топологич.
пространства X, доминируемого конечным комплексом,
и его обобщенной эйлеровой характеристики %(А),
лежащей в группе Ко (~%п). Вычисление групп Уайтхеда
и L-групп, являющееся в принципе алгебраич. задачей
о групповых кольцах, и было одной из первых целей
А. К-т. К2 и другие высшие функторы имеют топологич.
приложения такого же типа (напр., препятствие для
деформации псевдоизотопии замкнутого многообразия
в изотопию лежит в нек-рой факторгруппе группы
К2(ЖЛ))- Алгебраич. изучение группы Уайтхеда на-
началось в 40-х гг. 20 в. Сюда же примыкает изучение
структуры линейных групп над произвольными коль-
кольцами, в частности теория определителей над телами
(см. [10]).
Второй источник А. /С-т.— алгебраич. доказательство
А. Гротендиком (A. Grothendieck) в 1957 теоремы Ри-
мана — Роха (см. [7]) и ее обобщений. В этом доказа-
доказательстве был введен Х-функтор К(Х) как группа зна-
значений универсальной аддитивной функции на когерент-
когерентных пучках на гладком алгебраич. многообразии. Впро-
Впрочем, хорошо известные ранее кольца представлений,
Витта кольца классов квадратичных форм и т. п. яв-
являются родственными конструкциями. Затем ЛГ-функтор
был перенесен в топологию, где нашел многочисленные
применения, сделав возможным решение многих недо-
недоступных ранее задач.
Кроме того, выяснилось, что эта конструкция открыва-
открывает новые перспективы в понимании старых проблем ана-
анализа (вопрос об индексе эллиптических операторов),
топологии (экстраординарные теории гомологии), тео-
теории представлений групп. Развитию А. К-т. для ко-
колец (начавшемуся с установления соответствия (ана-
(аналогии) между проективными конечно порожденными
модулями и векторными расслоениями) препятствова-
препятствовало, однако, отсутствие в алгебре адекватного аналога
понятия надстройки в топологии.
В 50—60-х гг. 20 в. подверглись систематич. изуче-
изучению проективные модули над конечными группами,
была развита одна из важнейших идей, лежащая в ос-
основе А. К-т.,— идея «стабилизации», состоящая, гру-
грубо говоря, в том, что общие закономерности проявля-
проявляются более отчетливо при переходе к пределу по размер-
размерности рассматриваемых объектов (напр., линейных
групп или проективных модулей). Были обнаружены
связи А. К-т. с взаимности законами в теории алгебра-
алгебраич. чисел и алгебраич. функций, исследованы вопросы,
связанные с конгруэнц-подгруппами, получен алгебраич.
аналог Ботта теоремы периодичности — теория по-
полиномиальных расширений.
Для кольца R с единицей группа Гротенди-
ка K0(R) определяется как абелева группа, образую-
образующими к-рой служат классы изоморфных конечно поро-
жденных проективных Я-модулей, с определяющими со-
соотношениями
где [Р] — класс модулей, изоморфных модулю Р. Пусть
GL (га, Я) — полная линейная группа над Л, A—t-Vn л
вложение Gh(n, Я) в GL(ra+l, Я), GLG?) -
прямой предел групп GL(n, Л), Е(К) — подгруппа
в GL(fl), порожденная элементарными матрицами <?,у,
Х? Л
т. е. матрицами с элементом Х? Л на i, /-м месте, и сов-
совпадающая с единичной матрицей на остальных местах.
Тогда Е(Л) совпадает с коммутантом группы вЬ(Л).
Факторгруппа GL (R)/E(R) обозначается через А'1(Л)
и наз. группой Уайтхеда. Наконец, группа
С т е й н б е р г a St(n, Л) при га^З определяется в
образующих хц, Х?Л, 1<:г, /<га, г=^=/, соотношениями
[xif- xji\=Xif при г т= I;
\_xij, х%1~\ = 1 при j Ф k, i ф\.
Переходя к прямому пределу, получают группу St (Я)
и естественный гомоморфизм
q>:St(fl)—уЕ (Я),
при к-ром
Ядро ker ф обозначается через K2(R) (группа
М и л н о р а). Оно совпадает с центром группы
St(R). Таким образом, Ко, Kt, A'2— функторы из кате-
категории колец в категорию абелевых групп. Каждый из
функторов Ко и Кг может быть охарактеризован как
функтор, сопоставляющий конечно порожденному про-
проективному модулю абелеву группу, удовлетворяющий
нек-рым свойствам и универсальный относительно этих
свойств. Такая «универсальная» характеризация по-
позволяет определить аналог функторов Кд и Кг на «до-
«достаточно хороших» категориях. В частности, для кате-
категории нётеровых Я-модулей получаются весьма близ-
близкие к Kj(R) функторы Gi(R).
Примеры групп Kj(R). Если Л — тело,
Я*— его мультипликативная группа, то K0(R) = ~]? —
группа целых чисел, K1(R) = R"/[R*, Я*]; КгB?) -
циклич. группа 2-го порядка. Если Л — конечное поле,
то K2(R) = O.
Важным результатом в А. К-т. является точная
последовательность Майера-Вье-
т о р и с а для декартова квадрата. Именно, если диа-
диаграмма —
я *я2
К\ |/2
декартов квадрат гомоморфизмов колец, в к-ром
/х— эпиморфизм, то точна последовательность
К± (R) -+ Кг (Л,) © Кг (Л2) — Кг (/?') —»¦
—> Ко (Л) —^ Ко (Rl) + K0 (Л2) —^ Ко (Л');
причем, если /2 также эпиморфизм, то последователь-
последовательность дополняется членами
К2 (Л) —> Кг (Л,) ф К2 (Л2) -^ К2 (Л') -^ Кг (R) —+ ...
Если / — двусторонний идеал кольца Л, то последова-
последовательность Майера — Вьеториса позволяет (см. [8])
определить относительные функторы Я,(Л, /), дающие
точную последовательность
К2 (Л, 1)—>-Кг (R)—*K2 {R/I)^K, (/?, /) —+КХ (Л) —
—^ Кх (Л//) ~+K0(R, I)—+KO{R)-^ Ко (Л//).
Достаточно полно исследован вопрос о поведении
Л'-функторов при переходе от кольца R к его локализа-
локализации по центральной мультипликативно замкнутой си-
системе. В частности, при соответствующих условиях на
кольцо Л для функтора G0(R) получена точная после-
последовательность
Us е s Go (R/{s)) -+ G0(R) ~^G0 (S-iR) -^0.
Если кольцо R коммутативно, то группа А0(Л) пре-
превращается в кольцо с единицей путем введения умноже-
умножения, индуцируемого тензорным произведением модулей.
Существует расщепляющийся эпиморфизм кольца
А0(Л) на кольцо Н (R) непрерывных целочисленных
функций (кольцо 2 рассматривается в дискретной то-
топологии) на спектре кольца R. Ядро этого гомоморфиз-
гомоморфизма обозначается А0(Л). Известно, что K0(R) является
нильрадикалом кольца А"о (Л), причем если R — нётеро-
во и размерность его максимального спектра равна а,
то А'о(Л)а+1 = 0. Если же эта размерность не превос-
превосходит 1, то группа А0(Л) изоморфна Пикара группе
Pic (А).
Для колец арифметич. типа существуют теоремы
конечности для функторов А', (Я) и G[(R). Именно,
если А является кольцом целых чисел или кольцом мно-
многочленов над конечным полем, а Л является Л-поряд-
ком п одновременно Л-решеткой в полупростой конеч-
конечномерной алгебре над полем частных кольца А, то груп-
группы А',-(Л) и G[(R) конечно порождены (t=0, 1).
Развитию А. А-т. способствовали исследования по
проблеме конгруэнц-подгрупп: каждая ли подгруппа
конечного индекса в арифметич. группе содержит не-
некоторую конгруэнц-подгруппу? Этот вопрос тесно свя-
связан с проблемой вычисления группы АХ(Л, I) для
идеалов / в Л.
Из результатов о стабильном строении проективных
модулей следует отметить теорему: если Л — комму-
коммутативное нётерово кольцо, максимальный спектр к-рого
имеет размерность d, a A — конечномерная Л-алгебра,
то любой конечно порожденный проективный Л-модуль
Р такой, что
для всех максимальных идеалов m кольца Л изомор-
изоморфен AQN (здесь Мт— локализация модуля М по т).
Другой важной теоремой о строении проективных моду-
модулей является теорема о сокращении: пусть кольца
Л, А и модуль Р — такие же, как выше, Q —конечно
порожденный проективный Л-модуль и М, N — произ-
произвольные Л-модули. Тогда из
следует
РфМ = N.
С вопросами стабильного строения проективных моду-
модулей тесно связан стабильный ранг кольца Л. Напр.,
если Л — коммутативное кольцо стабильного ранга
меньше d, то
Кг (Л) = CL(d + r, R)/E(d + 1, Л).
В связи с теорией индуцированных представлений
групп изучались функторы А,- от групповых колец.
Один из результатов этого направления: если G — ко-
коночная группа порядка п и С — семейство циклич.
подгрупп группы G, то показатель подгруппы
2 с ? с Im (A,- (RC) ~+ K[ (RG))
в группе A'i(RG) при ( = 0, 1, 2 делит п.
О полиномиальных расширениях колец известно,
что если Л — регулярное кольцо, то
Ао (Л [*]) = Ао (Л [t, i-i|) = А'о (Л),
A\ (Л [*])?? А-ЛЯ).
Кроме того, для произвольного кольца R точна последо-
последовательность
О —>К, (Л) — Кг (Л [(]) 0 Kt (Л [<-1]) —
—>A'!(fl[i, г-1])—*-#„(/?)—+0.
Одним из результатов о вычислении функтора К2 (Л)
является теорема М а ц у м о т о: если Л — поле,
то группа К2 (Л) задается образующими I (а) (взаимно
однозначно сопоставленным всем ненулевым элементам
а поля R) и соотношениями 1(а) /A —а)=1 при аф\.
В 70-х гг. 20 в. появились многочисленные варианты
определения функторов К( при г^2. Было доказано
[9] совпадение этих теорий, дающих классич. функторы
Кп при и<:2. В ряде случаев найдены эффективные
средства вычисления высших ЛГ-групп. Начала разви-
развиваться унитарная ЛГ-тоория (см. [9], т. 3), изучающая
аналогичные вопросы для модулей, на к-рых определе-
определены квадратичные и билинейные формы.
Лит.: [1] Атья М., Лекции по /{-теории, пер. с англ.,
М., 1967; [2] Bass H., Topics in algebraic A>theory. Tata
institute of Fundamental research, Bombay, 1966; [3] Б а с с Х.,
Алгебраическая /{-теория, пер. с англ., М., 1973; [4] Swan
R. G., Algebraic K-theory, В.—Heidelberg—N.Y., 1968; [5]
Swan R. G., E v a n s E.G., /{-theory finite groups and
orders, В.—Heidelberg—N.Y., 1970; [6] Algebraic /{-theory and
its Geometric Applications, В.—Heidelberg—N.Y., 1969; Г7] M a-
н и н Ю. И., «Успехи матем. наук», 1969, т. 24, в. 5, с. 3—86;
[8] М и л н о р Д ж., Введение в алгебраическую /{-теорию,
пер. с англ., М., 1974; [9] Algebraic A-theory, v. I—III, В.—
Heidelberg—N.Y., 1973; [10] A p т и н Э., Геометрическая
алгебра, пер. с англ., М., 1969. А. В. Михалев, А. И. Немытое.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ — раздел
теории чисел, основной задачей к-рого является изу-
изучение свойств целых чисел нолей К алгебраических
чисел конечной степени над полем Q рациональных чи-
чисел. Все целые числа поля A7Q — расширения К поля
Q степени п — могут быть получены с помощью фунда-
фундаментального базиса («>!, со2, . . ., со„), если в линейной
форме х1а1-\~х2@2-\-. . .-\-хпа>п каждое Х( пробегает все
целые рациональные числа. При этом такое представле-
представление для каждого целого числа из К единственно.
Переход от целых рациональных чисел к целым ал-
алгебраическим не сопровождается ожидаемыми аналоги-
аналогиями. Первое нарушение аналогии относится к единицам,
В то время как поле рациональных чисел имеет только
две единицы: +1 и — 1, в общих нолях алгебраич.
чисел может быть даже бесконечно много единиц. Пусть>
напр., имеется вещественное квадратичное поле Q ( УО),
где D^>1 — целое рациональное число, не равное точ-
точному квадрату. Его фундаментальный базис имеет вид
A, УО), Z)ErEl(mod 4). У двучленного Пелля уравнения
х2—Dy'2=l бесконечно много целочленных решений
(х, у). Любое из них порождает единицу х^уУБ поля
Q( V"D). Именно,
и H(x-\-yVD)=x-yVlj
тоже является целым числом поля Q(Y~D). Единицы
этого ноля образуют бесконечную мультипликативную
группу (группу единиц П е л л я). Возникает
вопрос о том, как устроена эта группа.
Второе нарушение аналогии, при переходе от поля
рациональных чисел к полю алгебраич. чисел, связано
с теоремой об однозначном разложении целых рацио-
рациональных п на простые множители:
Для алгебраич. чисел это уже не так. Пусть, напр.,
имеется поле Q ( V — 5); в нем число 6 можно разложить
двумя существенно различными способами: 6=2-3,
6=(l-f-}/"— 5) A— У — 5). При переходе к полям более
высокой степени картина усложняется. Возникает во-
прос: что происходит с теоремой об однозначном раз-
разложении и имеет ли она вообще смысл в полях алгебра-
ич. чисел.
Третье нарушение аналогий доставляют простые чис-
числа. При переходе к полям алгобраич. чисел они, вообще
говоря, перестают быть простыми. Так, простое число 5
в поле гауссовых чисел Q(Y~— 1) распадается на два:
5--=B+ V~—l) B— У — 1). Но в атом же поле число 7
остается простым. Возникает вопрос: существуют ли
общие законы, управляющие поведением простых чисел
при переходе к полям алгебраич. чисел более высокой
степени. Другими словами, можно ли найти правила,
к-рые давали бы однозначный ответ на вопрос — оста-
остается данное простое число простым при переходе к
полю K/Q или распадается в нем, и если распадается,
то на сколько множителей.
И наконец, последний (четвертый) вопрос касается
общей структуры полей алгебраич. чисел. Поле Q
является минимальным нолем с нулевой характеристи-
характеристикой и не содержит собственных подполей. Любое дру-
другое поле алгебраич. чисел уже имеет подполя. Так, Q
служит подполем любого поля алгобраич. чисел. Воз-
Возникает вопрос: сколько подполей содержит данное поле
KIQ — конечное или бесконочное — и как они устроены.
Эти четыре вопроса являются главными в А. т. ч.,
и отпеты на них составляют ео содержание. Естествен-
Естественно начать рассмотрение с четвертого вопроса, так
как ответ на него прольет свет и на первые три.
Соответствующая задача была решена 0. Галуа
(Е. Galois) в 20-х гг. 19 в. (см. Галуа теория).
Конечность числа подполой расширения K/Q степени
п над Q следует из существования взаимно однозначного
соответствия (основного соответствия
Галуа) между всеми подполями поля К и всеми под-
подгруппами его группы Галуа, порядок (число элементов)
к-рой конечен (и но превосходит га!).
Строение группы единиц поля было выяснено П.
Дирихле (P. Dirichlet). Основную идею можно просле-
проследить на примере группы единиц Пелля (см. выше).
Любая степень такой единицы (как поло?кительная, так
и отрицательная) будет единицей. Существует основ-
основная единица r\ — xo-\-yn \^D, а все остальные являются
ее целыми степенями, т. е. единицы Пелля составляют
бесконечную циклич. группу с одной образующей.
Этот факт есть частный случай общей теоремы
Дирихле о единицах поля алгебра-
алгебраич. ч и с е л: если поле KIQ имеет степень n=r14-2r2,
где j-j— число вещественных, а г2— число пар комплек-
комплексно сопряженных полей для KIQ, то бесконечная группа
единиц поля K/Q имеет r=r1+r2--l образующих еди-
единиц т]х, т]2, . . ., т)г, а все остальные являются произве-
произведениями их целочисленных степеней г] г]"а ... r\rr.
Таким образом, бесконечная группа единиц поля KIQ
является произведением г бесконечных циклич. под-
подгрупп. Если домножить ее на конечную циклич. под-
подгруппу корней из единицы, к-рые могут быть в KIQ,
то будет получена самая общая картина строения груп-
группы единиц поля. Норма любой единицы поля,
т. е. произведение этой единицы и всех ей сопряженных,
равна единице поля Q.
Проблема неоднозначного разложения целых чисел
в алгебраич. полях была решена Э. Куммором (Е. Kum-
mer), к-рый, как и Э. Галуа, начал с частной задачи —
попытки доказать великую теорему Ферма о невозмож-
невозможности решить в целых числах уравнение xP-\-yP=zP
для любого простого р>2. Э. Куммер разложил левую
часть по корням р-й степени из 1, и задача была сведена
к целым числам поля Q(?). Если бы для них существо-
существовало однозначное разложение на простые множители
в поле Q (?), то достаточно было бы показать, что не все
простые множители левой части имеют степень, кратную
р. Вначале Э. Куммер так и считал, но П. Дирихле об-
обратил его внимание на отсутствие однозначности. Имен-
Именно для преодоления этой трудности Э. Куммер ввел
идеальные числа, и это преобразило в даль-
дальнейшем все здание А. т. ч. Понятие идеального числа
происходит из того, что если в поле к нет простых чисел,
на к-рые однозначно распадалось бы любое целое число
из к, то найдется другое поле К/к конечной степени над
к, в к-ром существует необходимое количество чисел,
играющих роль простых для поля к. Эти числа Э. Кум-
Куммер назвал идеальными (так как они не принадлежат
исходному полю к). С привлечением идеальных чисел
теорема об однозначности разложения в поле к восста-
восстанавливается. При этом два числа поля, отличающиеся
только единицей Дирихле (так наз. ассоцииро-
ассоциированные числа), имеют одни и те же идеальные
множители. Понятие идеального числа относительно —
для другого поля к' строится ноле К'/к' другой степе-
степени над к', в к-ром содержатся идеальные числа поля к'.
Э. Куммер ввел также понятие класса иде-
идеальных чисел: два идеальных числа принадле-
принадлежат одному классу, если их отношение лежит в перво-
первоначальном поле к. Он получил важный результат: чис-
число этих классов h конечно, и они образуют абелеву
группу по умножению. Таким образом, любое идеаль-
идеальное число можно считать корнем h-ii степени из нек-рого
числа первоначального поля к. Число классов h явно
выписывается через константы поля (регулятор, ди-
дискриминант, степень поля и).
В дальнейшем понятие идеального числа было заме-
заменено эквивалентным понятием идеала, к-рое удается
описать средствами самого поля к, и уже в сер. 20 в.
идеал уступил место более емкому понятию дивигорт.
Поэтому современная теория Куммера излагается на
языке дивизоров. Но для полей алгебраич. чисел клас-
сич. понятие идеала совпадает с понятием дивизора.
Далее всюду идет речь лишь о таких полях. Понятие
идеала тесно связано с понятием неассоциированных
чисел, что способствует пониманию глубоких связей
теории Куммера и теории единиц Дирихле. Хотя
О. Куммеру и не удалось решить проблему Ферма, но
его идеи вышли далеко за рамки этой задачи, и по-
понятие идеала ныне является одним из главных для
всей математики.
В связи с относительностью понятия простого иде-
идеального числа, или, в современной терминологии, про-
простого идеала, третий вопрос о распадении простых чисел
поля Q при переходе к полям алгебраич. чисел может
быть поставлен в общем виде. Пусть дано поле к и его
простой идеал )). Ставится вопрос о том, остается ли
идеал простым при переходе от поля к к его расширению
K=k(Q) или распадается в произведение простых иде-
идеалов поля К, и если распадается, то по какому закону.
Этот вопрос приводит к полей классов теории — цен-
центральной части всей современной А. т. ч. Первое реше-
решение этого вопроса было дано Э. Куммером, показавшим,
что если 9 — корень неприводимого многочлена /(ж),
то простой идеал р распадается в к (В) по тому же за-
закону, что и f(x) при переходе к полю вычетов (mod p).
Другими словами, разложение )) в 4F) определяется
сравнением
/ (х) s /?¦ (х) ft (х) ... /> (х) (mod «.
Параллельное равенство наз. формулой (или раз-
разложением) Куммера:
где $Р,- — простые идеалы поля K=k(Q).
Это равенство в принципе решает третью задачу
А. т. ч., но оно локально в том смысле, что требует
проверки каждого простого идеала в отдельности. За-
Задача же о разбиении всех простых идеалов на классы
так, чтобы в одном классе закон разложения был один
и тот же и чтобы, кроме того, можно было найти про-
простые правила задания этих классов, решается теорией
полей классов для расширения К/к с абелевой группой
Галуа G(K/k).
Предварительное понятие класса можно получить
из равенства A). Пусть п — степень поля К/к, /,-— от-
относительная степень идеала ($,-. Вычисление относи-
относительной нормы NKjk обеих частей A) приводит к равен-
равенству
n = <hf1+...+amfm, B)
где а,-, /,-— натуральные. При фиксированном п урав-
уравнение B) имеет конечное число решений, так что все
простые идеалы поля к можно разбить на конечное
число классов и собрать в один класс те из них, разло-
разложению Куммера к-рых соответствует один и тот же на-
набор пар (а,-, /,) из решения B). Интерес представляют
лишь бесконечные классы, поэтому можно оставить в
стороне те классы, где имеется а,С&2. Число простых
идеалов с таким свойством конечно, и все они являются
делителями дискриминанта 33 поля К/к.
Для упрощения задачи поле К/к считается нормаль-
нормальным. В таких полях выполняется условие
/, = /,= ...=/„.
Поэтому все р^ЗЗ разбиваются на d(n) классов, где
d(n) — функция числа делителей. Особый интерес
представляет класс с условием т=п, где
/1 = /2=...=/„ = 1;
в нем р имеет максимальное число простых делителей
поля К/к:
р = р1р2...К>п. C)
Такие р наз. вполне разложимыми, а их
класс наз. главным классом поля к относи-
относительно К/к. В теории полей классов он является основ-
основным объектом изучения. Определение главного класса с
помощью C) требует доказательства того, что в поле к
такие идеалы на самом деле существуют и что их бес-
бесконечно много. Поэтому основная задача теории по-
полей классов состоит в том, чтобы определить главный
класс средствами самого поля к, из к-рого бы следовала
его бесконечность. Эта задача полностью решена для
абелевых расширений К/к.
Для более подробного ознакомления с идеями теории
полей классов необходимо общее понятие группы клас-
классов идеалов. Приведенное выше определение Куммера
соответствует современному понятию абсолютной груп-
группы классов идеалов. Современные общие понятия группы
классов принадлежат Г. Веберу (Н. Weber) и Т. Та-
каги (Т. Takagi) (см. [5]).
Г. Вебером введено понятие ведущего моду-
модуля группы классов. Пусть m — целый идеал
поля к, Lm — подгруппа главных идеалов а поля
к, заданных сравнением а=1 (mod m), Am— под-
подгруппа всех идеалов поля к, взаимно простых с т.
Любая подгруппа йт с условием Lm?-flmE4ra может
быть объявлена главной, таким образом и будет по-
построена группа классов Ат/Нт. При т=1 и H1=L1
получается определение Куммера. В общем случае Нт
состоит из прогрессий (mod m), вычеты к-рых образуют
подгруппу всей мультипликативной группы (mod m).
Порядок h<m этой общей группы классов лежит в преде-
пределах 1<:Лт«Л-ф(т), где h — порядок абсолютной груп-
группы Куммера, ср — функция Эйлера. Для разных моду-
модулей nti и т2 группы классов могут быть эквивалентны-
эквивалентными, если Нтг и НЛ]2 состоят фактически из одних и
тех же прогрессий по (mod /), где /= (ntx, m2). Если ус-
ловиться не различать эквивалентные группы классов,
то будет получено понятие группы классов
в смысле Вебера с ведущим модулем /, к-рый
равен наибольшему общему делителю всех эквивалент-
эквивалентных модулей. Полем классов в смысле
Вебера наз. поле К/к, в к-ром простые идеалы его
главного класса Н^ и только они, вполне разложимы.
Их бесконечность следует из теоремы Дирихле о прос-
простых идеалах в прогрессиях, к-рая справедлива для лю-
любого поля к. В нек-рых частных случаях Г. Вебер
доказал изоморфность группы Галуа поля классов
G(K/k) и группы классов A f/Hj поля к.
К Д. Гильберту (D. Hilbert) восходит совершенно но-
новая точка зрения на теорию полей классов, к-рая со-
сохранилась до настоящего времени. Он понял, что меж-
между всеми относительно абелевыми расширениями поля к
и всеми полями классов для этого поля должно сущес-
существовать взаимно однозначное соответствие. Это соответ-
соответствие выглядит так. Если для нек-рого ведущего моду-
модуля / построить группу классов Вебера, то найдется только
одно нормальное расширение К/к, в к-ром простые иде-
идеалы главного класса Вебера, и только они, будут це-
целиком распадаться, причем группа Галуа поля К/к
изоморфна группе классов Вебера, а дискриминант D
поля Klk состоит из тех же простых идеалов, что и ве-
ведущий модуль /. Верно и обратное: если дано нек-рое
абелево расширение Klk с группой Галуа G(K/k),
то существует правило (сформулированное впоследствии
Т. Такаги), по к-рому можно однозначно построить
главный класс Нj так, что группа классов A //¦#/ изо-
изоморфна группе Галуа G(Klk), и только простые идеалы
главного класса Нj вполне разложимы в К, а ведущий
модуль / имеет те же простые делители, что и дискрими-
дискриминант D поля Klk. Эта двойственность полей классов и
абелевых расширений была высказана Д. Гильбертом
в 1900 в качестве гипотезы (доказательства были даны
им лишь для частных случаев). В общем виде она до-
доказана Т. Такаги.
Следующий важный этап в развитии теории полей
классов связан с именем Э. Артина (Е. Artin), выявив-
выявившего особую роль канонич. изоморфизма между груп-
группой Галуа и группой классов идеалов и показавшего,
что эту роль играет Фробениуса автоморфизм ар абе-
левого расширения К/к, к-рый задается сравнением
а р = оуг (mod р),
где Np — абсолютная норма идеала р, а пробегает все
числа поля К,р — простой идеал поля к. Автоморфизм
ар (имеющий теперь обозначение *—j—' зависит только
от класса идеалов, к-рому принадлежит р, и обладает
мультипликативным свойством.
K/h \ / K/h \ _ / K/h_
pip,
причем символ в правой части понимается как автомор-
автоморфизм класса, к-рому принадлежит t>ilh- На основании
этого Э. Артин ввел символ (—?-) на всей группе A j
идеалов ft поля к , взаимно простых с ведущим модулем
/. Он наз. символом Артина и осуществляет
изоморфизм группы классов AflHfH группы Галуа
G(Klk), явный вид к-рого выражается законом
взаимности Артина
только в том случае, если a^Hf (взаимность пони-
понимается пока в групповом смысле, как соответствие
между G(K/k) и AflHf). Отсюда можно получить клас-
сич. форму взаимности закона на языке символа Кум-
мера степенного вычета (рассмотрев поле К = к(^/а).
Из этой формы, в свою очередь, можно получить закон
взаимности на языке символа Гильберта. Во всех
трех видах закон взаимности рассматривается как изо-
изоморфизм групп, а символы Артина, Куммера и Гильбер-
Гильберта — как групповые элементы, осуществляющие этот
изоморфизм. Но каждый из них имеет и численное
значение, равное нек-рому корню п-й степени из 1. По-
Поэтому закон взаимности может быть сформулирован в
следующей форме. Если известно значение символа (г)п>
то требуется выяснить, каково значение взаимного к
нему символа (^)п> т- е- выяснить явный вид функции
от (а, Р), определяющий произведение ("и)(^)~ •
Именно в такой форме этот закон и появился впер-
впервые у К. Гаусса (см. Гаусса закон взаимности) для ква-
квадратичного поля и у Э. Куммера для кругового поля
простой степени. В дальнейшем К. Якоби (С. Jacobi),
Ф. Г. М. Эйзенштейн (F. G. M. Eisenstein), Д. Гильберт,
X. Хассе (Н. Hasse) и др. продолжали исследование за-
закона взаимности в таком виде, но ими были получены
лишь частные результаты. В общем виде эта проблема
была решена в 1948 И. Р. Шафаревичем [6] на основе
идеи, состоящей в выявлении связи между арифметич.
определением символа ( —р J с аналитич. определе-
определением абелевого дифференциала a-d$ на римановой по-
поверхности, И. Р. Шафаревичем была создана конструк-
конструкция символа ( —~ ), к-рая в точности соответствует оп-
определению вычета абелева дифференциала a-d$ в
р-адическом поле. Для этого он ввел Я-функции, наз.
также функциями Шафаревича, на языке
к-рых и получил явный вид закона взаимности в общем
случае.
В конце 20-х гг. 20 в. X. Хассе ввел в теорию полей
классов локальный принцип и передоказал
многие теоремы для случая абелевого расширения Кр
локального поля кр. Первоначально этот принцип иг-
играл второстепенную роль (он получался в качестве след-
следствия глобальной теории). Но в конце 30-х гг. К. Шо-
валле (С. Chevalley) показал необычайную важность
локальной точки зрения для всего здания теории полей
классов. Он ввел понятие группы иделей и на ее языке
изложил общую теорию полей классов с локальной точ-
точки зрения. После этого в теории полей классов утвер-
утвердился локально глобальный принцип. В дальнейшем он
развивался и дополнялся (см. [5]), и в результате тео-
теория полей классов для абелевых расширений приняла
стройный и завершенный вид. Встал вопрос о создании
неабелевой теории полей классов для нормальных рас-
расширений с неабелевой группой Галуа.
Все вышеизложенное относилось к качественным сто-
сторонам А. т. ч. В вопросах количественных оценок и
методов их получения А. т. ч. тесно переплетается с
аналитич. теорией чисел. Она также базируется в зна-
значительной мере на свойствах ?-функций и L-рядов ал-
гебраич. полей.
Лит.: [1] Боревич 3. И., Шафаревич И. Р.,
Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [2] Постников М. М.,
Теория Галуа, М., 1963; [3] В е й л ь Г., Алгебраическая тео-
теория чисел, пер. с англ., М., 1947; [4] Л е н г С, Алгебраические
числа, пер. с англ., М., 1966; [5] Алгебраическая теория чисел,
пер. с англ., М., 1969; [6] Шафаревич И. Р. «Матем.
сб.» 1950, т 26, в. 1, с. 113—46; [7] Проблемы Гильберта, М.,
1969; [8] Art in E., Tate J., Class field theory, N.Y.—
[a.o.], 1967; [9] Weil A., Basic number theory, В.,— [а.о.],
1967; [10] Lang S., Algebraic numbers, Reading [Mass.],
1964; [11] Бур баки Н., Коммутативная алгебра, пер.
с франц., М., 1971. А. И. Виноградов.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ — область мате-
математики, возникшая для изучения таких свойств гео-
метрич. фигур (в широком смысле — любых объектов,
где можно говорить о непрерывности) и их отображений
друг в друга, к-рые не меняются при непрерывных де-
деформациях (гомотопиях). В принципе, целью А. т. яв-
является полное перечисление таких свойств. Само назв.
«А. т.» происходит от определяющей роли алгебраич.
понятий и методов в решении задач этой области. Наи-
Наиболее фундаментальными классами объектов, свой-
свойства к-рых изучаются в А. т., являются: комплексы
(многогранники, полиэдры) — симплициальные, кле-
клеточные и др.; многообразия — замкнутые, открытые, с
краем (границей), подразделяющиеся в свою очередь
на гладкие (дифференцируемые), аналитические, комп-
комплексно аналитические, кусочно линейные и, наконец,
чисто непрерывные (топологические); косые произве-
произведения (расслоения) и их сечения. Основные типы отоб-
отображений, рассматриваемые в А. т.,— это произвольные
непрерывные, кусочно линейные, гладкие отображе-
отображения или их важнейшие подклассы: гомеоморфизмы, п
частности непрерывные кусочно линейные или глад-
гладкие (диффеоморфизмы); вложения одного объекта в
другой, а также погружение (локальное вложение,
иммерсия).
Важнейшим понятием А. т. является понятие дефор-
деформации. Деформации подвергается отображение какого-
то класса одного объекта в другой. Основными типами
деформаций являются: гомотопия, или произвольная
непрерывная (гладкая, кусочно линейная) деформация,
непрерывного отображения; изотопия (непрерывная,
гладкая, кусочно линейная) — деформация гомеомор-
гомеоморфизма, вложения или погружения, где в процессе де-
деформации в каждый момент времени отображение оста-
остается гомеоморфизмом, вложением или погружением.
Главные внутренние проблемы А. т. — это проблема
классификации многообразий относительно гомеомор-
гомеоморфизмов (непрерывных, гладких, кусочно линейных),
классификация вложений (или погружений) относи-
относительно изотопии (регулярных гомотопий), классифика-
классификация общих непрерывных отображений относительно
гомотопий. Важную промежуточную роль в решении
этих задач играет проблема классификации комплек-
комплексов или многообразий относительно так наз. гомотопич.
эквивалентности или гомотопического типа.
Большую роль в развитии А. т. играли следующие
задачи, носящие несколько более частный характер.
1) Обычно проблему вложения понимают не в самой
общей форме, а лишь для вложений в евклидово прост-
пространство. Особо важным частным случаем здесь яв-
является узлов теория (и зацеплений) в трехмерном про-
пространстве, к-рая послужила одним из главных истоков
А. т. К этому случаю примыкает также кос теория.
2) Заметную роль в истории А. т. играла теория го-
мологич. инвариантов расположения различных мно-
множеств в евклидовом пространстве и законов двойст-
двойственности (см. Двойственность в алгебраич. топологии),
связывающих гомологии множества и дополнения к
нему.
3) Ряд фундаментальных результатов был получен
о вычислении алгебраич. числа неподвижных точек
отображения многообразия в себя; особенно много
глубоких фактов было здесь открыто для неподвиж-
неподвижных точек компактных гладких групп преобразова-
преобразований — даже циклич. групп конечного порядка.
4) Большую технич. роль в развитии А. т. сыграли
методы, развитые для решения так наз. задачи о ко-
бордизме: найдется ли многообразие с краем (кобор-
дизм), границей к-рого служит заданное замкнутое
многообразие. Вопросы такого рода возникли впервые
в связи с вычислением гомотопических групп сфер.
Важны случаи, когда задача о кобордизме решается
до конца на языке характеристических классов.
5) Накоплено много фактов о гомологич. инвариан-
инвариантах особенностей векторных, реперных, тензорных
полей и особенностей гладких отображений многообра-
знй друг в друга и, в частности, в евклидово простран-
пространство. Решение этой задачи приводит, в частности, к ха-
рактеристич. классам. Особо важным случаем явля-
являются стационарные точки гладких функций на много-
многообразиях или различных функционалов на пространст-
пространствах путей (экстремалей) — их связь с гомологии теорией
играет большую роль в выяснении геометрич. строения
многообразий, оценке снизу числа экстремалей.
6) Исследование алгебро-топологич. свойств важней-
важнейших специальных пространств — Ли групп — тесно
связано с их алгебраич. структурой, их представле-
представлениями, вариационным исчислением на группах Ли.
Результаты о топологич. строении групп Ли лежат в
основе многих методов и фактов А. т., относящихся к
любым многообразиям. К группам Ли по методам при-
примыкает А. т. однородных многообразий.
7) Особую роль в А. т. играют специальные инвари-
инварианты, связанные с различными алгебраич. структурами
над фундаментальной группой. Простейшие инварианты
такого типа появились в теории узлов и трехмерных
многообразий; в дальнейшем их алгебраич. теория
существенно развилась и выделилась в алгебраич. дис-
дисциплину — стабильную алгебру, или алгебраическую
К-теорию.
8) Анализ геометрич. строения громадного числа при-
примеров простейших наиболее часто встречающихся ти-
типов многообразий (напр., групп Ли, однородных прост-
пространств, многообразий линейных элементов, многообра-
многообразий с дискретными группами движений), а также фунда-
фундаментальные основы римановой геометрии приводят к
понятию косого произведения (расслоения), составлен-
составленного из сомножителей — базы и слоя, всего простран-
пространства произведения вместе с проекцией на базу, струк-
структурной группы преобразований слоя. В связи с этим
к числу центральных проблем А. т. относятся также
проблема классификации косых произведений и про-
проблема классификации их сечений относительно гомото-
пии. Особо важными являются главные расслоения и
векторные расслоения.
Метод, с помощью к-рого решаются все основные во-
вопросы А. т., состоит в построении алгебраич. инва-
инвариантов, эффективно вычислимых в конкретных приме-
примерах и принимающих какую-то дискретную совокупность
значений; значение инварианта но должно меняться
при деформациях в соответствующем классе отображе-
отображений, для изучения к-рого этот инвариант построен.
Большое количество необходимых инвариантов, бо-
богатство алгебраич. связей между ними и трудность их
вычисления определили, в конечном счете, современ-
современное лицо А. т.
Вычисление алгебро-топологич. инвариантов про-
простейших часто встречающихся многообразий не всегда
является легким делом. Напр., вычисление гомологич.
инвариантов групп Ли и многих однородных прост-
пространств потребовало больших усилий и использования
сложных методов. Еще труднее вычислять гомотопич.
группы. Ряд наиболее важных гомотопич. групп для
групп Ли был неожиданным образом вычислен с по-
помощью вариационной теории геодезических; знание таб-
таблицы этих гомотопич. групп для групп Ли позволило
классифицировать векторные расслоения.
Большинство алгебро-топологич. инвариантов пред-
представляет собой так наз. функтор на категории тополо-
топологич. пространств изучаемого типа. Это означает, грубо
говоря, что значения инварианта естественно преобра-
преобразуются при отображениях пространств друг в друга:
напр., фундаментальные группы любых пространств
или их группы (кольца) гомологии (когомологий) ис-
испытывают гомоморфизмы при непрерывных отображе-
отображениях; характеристич. классы (отмеченные элементы в
гомологиях) переходят друг в друга при гомеоморфиз-
гомеоморфизмах многообразий; результат применения когомологич.
операции к элементу гомологии (когомологий) перехо-
переходит, после непрерывного отображения пространства,
в результат применения этой операции к образу этого
элемента и т. д.
Одно из главных свойств, лежащее в основе изуче-
изучения и применений почти всех алгебро-топологич. ин-
инвариантов, заключается в том, что их эффективное
построение, как правило, связано с существенно до-
дополнительной геометрич. структурой: построение всех
основных инвариантов гомеоморфизма ^для комплексов
требует разбиения на симплексы или клетки, в то время
как результат построения должен быть инвариантен
относительно всех непрерывных гомеоморфизмов и да-
даже гомотопич. эквивалентностей — напр., фундамен-
фундаментальная группа, эйлерова характеристика, гомологии
группа (группа Бетти), когомологий кольцо, когомологи-
когомологические операции. Точно так же построение всех основ-
основных инвариантов гомеоморфизма для гладких много-
многообразий требует либо их предварительной триангу-
триангуляции и тем самым сведения к комплексам, либо суще-
существенного использования средств анализа; напр.,
построение кольца когомологий через дифференциаль-
дифференциальные формы (кососимметрич. тензоры) и дифференци-
дифференциальные операции над ними, либо построение характе-
рнстич. классов через особенности векторных, репер-
ных или тензорных полей. Более того, иногда необ-
необходимо использовать средства римановой геометрии —
напр., существенную роль играет определение харак-
теристич. классов многообразия или косого произве-
произведения через риманову кривизну, хотя результат ин-
инвариантен относительно всех непрерывных гомеомор-
гомеоморфизмов. В связи с этим в истории топологии появле-
появление основных эффективно вычислимых инвариантов
было связано с трудным вопросом о том, как доказать
инвариантность этой величины. Это — еще один тип
проблем, существовавших в А. т. Напр., рациональные
характеристич. классы (или интегралы от классов по
циклам) оказались топологически инвариантными, а
гомотопически неинвариантными. Полные целочислен-
целочисленные характеристич. классы оказались неинпариантны-
ми относительно непрерывных и даже кусочно линей-
линейных гомеоморфизмов.
Напротив, если инвариант строится так, что он с са-
самого начала — по определению — инвариантен отно-
относительно непрерывных гомеоморфизмов (или более об-
общего класса преобразований — гомотопич:. эквивалент-
ностой), то этот инвариант, как правило, трудно вы-
вычислять. Важнейшим таким инвариантом являются
гомотопич. группы или классы гомотопных отображе-
отображений сферы в изучаемое пространство. Даже в ряде
простейших примеров вычисление гомотопич. групп при-
приводит к большим трудностям. Так, гомотопич. группы
самих сфер неизвестны полностью, несмотря на боль-
большое количество методов, к-рые были найдены для их
вычисления в процессе развития А. т.
В основе методов классификации гомотопич. клас-
классов отображений лежит теория гомологии в соединении
с теорией косых произведений, где возникает аппарат
спектральных последовательностей, а также когомоло-
гич. операции и их обобщения. Алгебраич. дисциплина,
возникшая на базе сложных вычислительных средств
А. т., связанных с теорией гомологии, наз. гомологи-
гомологической алгеброй.
Все основные первичные построения теории гомоло-
гомологии для комплексов и гладких многообразий через
триангуляцию или дифференциальные формы носят эф-
эффективный комбинаторно-алгебраич. или аналитич.
характер. Вместо с тем в процессе развития А. т. было
замечено, что теория гомологии полностью определя-
определяется небольшим набором своих формальных свойств
(аксиом), к-рые и лежат в основе всех ее вычислитель-
вычислительных средств:
1) Гомотопическая инвариантность групп гомоло-
гомологии.
2) При непрерывных отображениях пространств их
группы гомологии отображаются друг в друга гомо-
гомоморфно, причем суперпозиции отображений соответ-
соответствует суперпозиция этих гомоморфизмов (функтори-
альность).
3) Постулируется определенная форма связи между
когомологиямн комплекса, подкомплекса и факторком-
плекса (аксиома точности).
4) Так наз. аксиома вырезания.
5) Нормировка: надо знать группы гомологии лишь
для точки и знать,что они равны нулю в ненулевых раз-
размерностях.
Позднее было замечено, что объекты совершенно
различной гоометрич. природы могут обладать всеми
этими свойствами, кроме последнего (нет нормировки).
Такие объекты были названы обобщенными, или эк-
экстраординарными теориями гомологии; они использо-
использованы для усовершенствования вычислительных мето-
методов А. т. Важнейшим примером является К-теория,
построенная из линейных (векторных) косых произве-
произведений над изучаемым пространством вместо его циклов
или дифференциальных форм, из к-рых строились
обычные группы гомологии. Другой важный пример —
теория кобордизмов (бордизмов), где вместо любых цик-
циклов берутся только отображения замкнутых многооб-
многообразий в изучаемое пространство, а вместо любых пле-
пленок — только отображения многообразий с краем ка-
какого-то класса.
Соединение методов А. т. с небольшим числом не-
непосредственно геометрич. фактов о строении многооб-
многообразий и их групп гомеоморфизмов привело, в конечном
счете, к более или менее полному с современной точки
зрения решению задачи о классификации многообра-
многообразий относительно всех видов гомеоморфизмов (гладких,
кусочно линейных, непрерывных), а также к решению
основных задач о классификации вложений и погруже-
погружений. Исключение представляют, как ни странно, зада-
задачи, связанные с трехмерными и четырехмерными мно-
многообразиями, где основные проблемы не решены A977).
Ввиду завершенности ряда основных внутренних
проблем собственно А. т., ее современные усилия по-
постепенно переключаются на применение сложившихся
идей к различным задачам других областей.
Лит.: [1] А т ь я Ы. Ф., Лекции по .К-теории, пер. с англ.,
М., 1967; [2] 3 е й ф е р т Г., Т р е л ь ф а л л ь В., Тополо-
Топология, пер. с нем., М.— Л., J 938; [3] Ми л нор Д ж., Теория
Морса, пер. с англ., М., 1965; [4] е г о ж е, Теорема об li-ко-
бордизме, пер. с англ., М., 1969; [5] его же, Особые точки
комплексных гиперповерхностей, пер. с англ., М., 1971; [6]
его же, «Математика», 1959, т. 3, К« 4, с. 3—53; 1965, т. 9,
Х° 4, с. 3—40; [7] М и л н о р Д ж., Уоллес А., Диффе-
Дифференциальная топология, пер. с англ., М., 1972; [8] X у С ы-
ц з я н, Теория гомотопий, пер. с англ., М., 1964; [9] С т и н-
род Н., Топология косых произведений, пер. с англ., М.,
1953; [10] Н о м и д з у К., Группы Ли и дифференциальная
геометрия, пер. с англ., М., I960; [11] Л ер е Ж., Дифферен-
Дифференциальное и интегральное исчисления на комплексном аналити-
аналитическом многообразии, пер. с франц., 1961; [12] Ч ж е н ь III э н-
ш е н ь, Комплексные многообразия, пер. с англ., М., 1961;
[13] Спрингер Д ж., Введение в теорию римановых по-
поверхностей, пер. с англ., М., 1960; [14] Александров П. С,
Комбинаторная топология, М.— Л., 1947; [15] П о н т р я-
гин Л. С, Основы комбинаторной топологии, 2 изд.. М., 1976;
[16] его же, Гладкие многообразия и их применения в теории
гомотопий, 2 изд., М., 1976; [17] СпеньерЭ., Алгебраическая
топология, пер. с англ., Ы., 1971; [18] Фукс Д. Б., Фо-
Фоменко А. Т., Гутенмахер В. Л., Гомотопическая то-
топология, М., 1969; Г19] Новиков С. П. [и др.], «Успехи
матем. наук», 1966, т. 21, вып. 5; [20] Хирцебрух Ф.,
Топологические методы в алгебраической геометрии, пер. с
англ., М., 1973. С. П. Новиков.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОЧКА ВЕТВЛЕНИЯ, а л-
гебраическая особая точка,— изолирован-
изолированная точка ветвления а конечного порядка аналитич.
функции/(z), обладающая тем свойством, что для лю-
любого элемента аналитич. продолжения этой функции,
регулярного в области, имеющей точку а гранич-
ной точкой, существует предел lim/(z). Точнее, точка
z-*a
а плоскости комплексного переменного z, являющаяся
oco6oii для полной аналитической функции f (z) при
продолжении нек-рого правильного элемента е0 этой
функции с центром z0 вдоль путей, проходящих через
а, наз. алгебраической точкой ветвле-
н и я, если выполняются следующие условия. 1) Су-
Существует такое положительное число р, что элемент е0
может быть продолжен вдоль любой непрерывной кри-
кривой, лежащей в кольце D= {z; 0<|z—a| <p}. 2) Сущест-
Существует такое натуральное fe>l, что если zx— любая точка
кольца D, то аналитич. продолжение элемента е0 в
кольце D дает в точности к различных элементов функ-
функции f(z) с центром zj; если ех — какой-либо элемент с
центром zt, то все остальные к — 1 элементов с центром
zt получаются аналитич. продолжением по замкнутым
путям, охватывающим точку а. 3) Значения всех эле-
элементов, получаемых из е0 продолжением в D в точках
z кольца D, стремятся к определенному, конечному или
бесконечному, пределу, когда z стремится к а, остава-
оставаясь в D.
Число ft—1 наз. порядком А. т. в. Все ветви
функции /(z), получаемые аналитич. продолжением
элемента е0 в кольце D, могут быть представлены в про-
проколотой окрестности точки а при помощи обобщенного
ряда Лорана (ряда Пюизё):
Бесконечно удаленная точка а=оо наз. А. т. в. для
функции /(z), если точка 6 = 0 является А. т. в. функции
() f(i/)
g() f()
Может существовать несколько (и даже бесконечно
много) различных А. т. в. и правильных точек полной
аналитич. функции с одним и тем же аффиксом а.
Лит.: [1] Маркушевич А. И., Теория аналитических
функций, 2 изд., т. 2, М., 1968, гл. 8; [2] Г у р в и ц А., К у-
р а н т Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968, ч. 3, гл. 4.
Е. Д. Соломенцев.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ - функция у =
= f(x1, . . ., хп) переменных хи . . ., хп, удовлетворяю-
удовлетворяющая уравнению
F(y, хи ..., *„) = 0, A)
где F ~ неприводимый многочлен от у, х1, . . ., хп с
коэффициентами из нек-рого ноля К, наз. полем
констант. А. ф., заданная над этим полем, наз.
А. ф. над полем К. Многочлен F(y, хг, . . ., хп) часто
записывается по степеням переменного у, так что урав-
уравнение A) приобретает вид
ць(и . . ., хп), . . ., Р0(х1, . . .,хп) — многочлены
от хх, . . ., х„, причем Р/С(х1, . . ., хп)ф0. Число ft — сте-
степень многочлена F относительно у, наз. степенью А. ф.
В случае ft=l А. ф. может быть представлена в виде
отношения
_ Ро (X,, . . . , Хп)
У= Pt (х, хп)
многочленов и наз. рациональной функцией от 1Ь . . .,
хп. При ft=2, 3, 4 А. ф. может быть выражена через
квадратные и кубич. радикалы от рациональных функ-
функций переменных х1; . . ., хп; при ft>4 это, вообще гово-
говоря, невозможно.
Исторически сложилось три подхода к теории А. ф.:
теоретико-функциональный, возникновение к-рого свя-
связано в первую очередь с работами II. Абеля (N. Abel),
К. Вейерштрасса (К. Weierstrass) и Б. Римана (В. Rie-
mann), арифметпко-алгебраический, восходящий к Р.
Дедекинду (R. Dedekind), Г. Веберу (Н. Weber) и
К. Гензелю (К. Hensel) и алгебро-геометрический, бе-
рущий свое начало от работ А. Клебша {A. Clebsh),
М. Нётера (М. Noether) и др. (см. Алгебраическая гео-
геометрия). Первое направление в теории А. ф. одного пе-
переменного связано с изучением А. ф. над полем комплек-
комплексных чисел и рассмотрением их как мероморфных функ-
функций на римановых поверхностях и комплексных много-
многообразиях; важнейшие применяемые здесь методы — гео-
метрич. и топологич. методы теории анал'итич. функций.
Арифметико-алгебраич. подход связан с изучением А. ф.
над произвольными полями. Применяемые методы —
чисто алгебраические. Особенно большое значение
имеют теории нормирований и расширений полей. При
алгебро-геометрич. подходе А. ф. рассматриваются как
рациональные функции на алгебраич. многообразии, а
их изучение ведется методами алгебраич. геометрии.
Первоначально эти подходы различались не только
по методам и но способу изложения, но и по терминоло-
терминологии. На современном этапе такое разделение направле-
направлений представляется в значительной мере условным, ибо
в функциональном направлении широко используются
алгебраич. методы, а многие результаты, полученные в
первом направлении с помощью теоретико-функцио-
теоретико-функциональных и топологич. методов, успешно переносятся
на случай более общих полей при помощи алгебраич.
аналогов функциональных и топологич. методов.
Алгебраические функции одного переменного. Над
полем С комплексных чисел А. ф. одного переменного
y = f{x) [в упрощенной записи — у (х)} является к-
значной аналитич. функцией. Если обозначить через
D (х) дискриминант многочлена
*"(*, y) = Pk(z)yk+---+Pi(z)y + Pon, B)
Pk (x) Щ О,
(т. е. многочлена, для к-рого F(x, f (x))= 0), получаю-
получающийся исключением у из уравнений
р / ,л n dF (х, у) п
и составить уравнение
Pk(x)D(x)=0,
то корни х1, . . ., хт этого последнего уравнения наз.
критическими значениями А. ф. y=f(x).
Дополнительное множество G=C— {хг, . . ., хт} наз.
некритическим множеством. Для лю-
любой точки xB?G уравнение B) имеет к различных кор-
корней у0, . . ., у„, причем выполняются условия
По теореме о неявных функциях, в окрестности точки
ха существует к однозначных аналитич. функций /J (х),
. . ., /о (х), удовлетворяющих условиям
и разлагающихся в сходящиеся ряды
U (x)=yi + °-i (z-*o) + a2'>-*oJ+ ¦ ¦ ¦ C)
Таким образом, для каждой точки xo?G строится к
элементов аналитич. функций, наз. функциональ-
функциональными элементами с центром в точ-
к е х0. Для любых двух точек xt, x2?G любые элементы
/i (x) и /4 (х) с центрами, соответственно, хх и х2, полу-
получаются друг из друга аналитич. продолжением вдоль
нек-рой кривой, лежащей в G; в частности, таким спо-
способом связаны и любые два элемента с одним центром.
Если х0— критич. точка А. ф., то возможны два слу-
случая: 1) х0— корень дискриминанта, т. е. D (xQ)=0, но
Р()ф0; 2) P() 0
Случай 1. Пусть Ло— малый круг с центром в
х0, не содержащий других критич. точек, a f[(x), . . .,
fk {x) — система регулярных элементов с центром в
х' ?К0, х'фх0. Эти функции остаются ограниченными
при х—>-х0. Пусть, далее, D — окружность с центром
х0, проходящая черех х'; она целиком лежит внутри Ко.
Аналитич. продолжение нек-рого элемента, напр.,
fi(x), вдоль окружности D (скажем, обходя х0 по ча-
часовой стрелке) приводит к элементу /' {х), также при-
принадлежащему системе элементов с центром х . Эта сис-
система состоит из к элементов, и нек-рое (минимальное)
конечное число ах<:/с таких обходов приводит к исход-
исходному элементу fi{x). Получается подсистема f'i(x),
fz(x), . . ., fai(x) элементов с центром ж'; каждый из этих
элементов может быть получен аналитическим продол-
продолжением другого путем обходов вокруг точки х0; такая
подсистема наз. циклом. Вся система f\(x), . . .,
fk (x) разбивается на нек-рое число непересекающих-
непересекающихся циклов
I fat+. . .+as_1+l (x)> ¦ • ¦' /a,+ . . .;+а$ (x)},
ai+a2+- • ¦~\~as-iJras^=^c- Элемент /i (x) не является
(в случае «i>l) однозначной функцией от а: в круге Ка,
но будет однозначной аналитич. функцией от параметра
т=ал/ж — х0 в окрестности точки т=0. В нек-рой окрест-
окрестности этой точки элементы f^{x), . . ., fa(x) первого
цикла представимы в виде сходящихся рядов
D)
й м=2 Г- Sxi=2 Г- о <' {х~ Xo)i/at>
аналогичные разложения имеют место для элементов
других циклов. Такие разложения элементов по дроб-
дробным степеням разности х— х0, где х0— критич. точка,
наз. рядами Пюизё. Преобразованием т-*-тг,
г=е2яг , соответствующим однократному обходу вокруг
хй, ряды Пюизё элементов одного цикла переводятся
друг в друга в циклич. порядке, т. е. происходит цик-
лич. перестановка рядов и соответствующих элементов.
Обходам вокруг критич. точки соответствуют переста-
перестановки элементов с центром в этой точке; эти переста-
перестановки состоят из циклов порядков al7 . . ., as, ^J4=k-
Определяемые таким способом подстановки составля-
составляют группу монодромииА. ф. Если хотя бы
одно из а,- больше 1, критич. точка х0 наз. алгебра-
алгебраической точкой ветвления А.ф.; числа
а.( (иногда а,-— 1) наз. индексами (или поряд-
порядками) ветвления А. ф.
Случай 2. Заменой функции у на Рь{х)у сводится
к 1); получаются разложения, аналогичные разложе-
разложениям D), к-рые могут содержать конечное число чле-
членов с отрицательными показателями:
/ (*> = 2 Г- - ра'т'=2 7—р а<- (*-*о)'/в. E)
При р >0 точка х0 является полюсом порядка
р А. ф. Обычно А. ф. рассматриваются на сфере Римана
S, т. е. на комплексной плоскости, пополненной беско-
бесконечно удаленной точкой ж=оо. Введение переменной
т= i/x сводит этот случай к предыдущему; в окрестно-
окрестности точки т=0 (ж=оо) имеет место разложение
у (*) = 2 7_ _г «/*//о=27=_, <*/*~//в. F)
При г>0 точка ?=оо является полюсом порядка г.
Параметр разложения в рядах C), D), E), F) наз.
локальной униформизующей для
А. ф. Еслих0— некритич. точка А. ф., таким параметром
может быть х-=х~х0; если же х0— критич. точка, за
параметр может быть принят корень 'i/ х — х0, где а —
натуральное число. Совокупность всех описанных выше
элементов А. ф. образует полную А. ф. в смысле
Вейерштрасса. А. ф. не имеют других особенностей,
кроме, быть может, алгебраич. точек ветвления и по-
полюсов. Верно и обратное: функция y=f(x), аналитиче-
аналитическая и не более чем s-значная во всех точках сферы Ри-
мана, за исключением конечного числа точек х1 , . . ., хт
и ж=оо, а в этих точках имеющая лишь полюсы пли ал-
алгебраич. точки ветвления, есть А. ф. степени &<:.?.
Риманова поверхность полной А. ф. компактна и яв-
является ft-листным накрытием сферы Римана, точками
разветвления к-рого являются, быть может, критпч.
точки и точка ж=оо. А. ф. представляют собой единст-
единственный класс функций, риманова поверхность к-рых
компактна. Род римановой поверхности А. ф. играет
важную роль; он наз. родом А. ф. Он вычисляется
по Римана — Гурвица формуле. Род рациональной функ-
функции равен 0; ее риманова поверхность есть сфера Рима-
Римана. Риманова поверхность эллиптич. функций, удовле-
удовлетворяющих уравнениям 3-й и 4-й степеней, есть тор;
род этих функций равен 1.
Универсальная накрывающая римановой поверхно-
поверхности А. ф. является односвязным двумерным многообра-
многообразием, т. е. имеет тривиальную фундаментальную группу
и конформно эквивалентна либо сфере Римана, либо
комплексной плоскости, либо внутренности единич-
единичного круга. В первом случае А. ф. является рациональ-
рациональной, во втором — эллиитич. функцией; третий случай
является общим.
С теорией римановых поверхностей А. ф. тесно свя-
связана проблема униформизации А. ф. Функция y=f(x)
может быть униформизована, если у и х представимы
как однозначные аналитич. функции
y = y(t), x=x(t)
параметра t, тождественно удовлетворяющие уравне-
уравнению B). Локально проблема униформизации решается
при помощи локальной униформизующей; однако ин-
интерес представляет ее решение «в целом». При &=1, т. е.
когда у (х) есть рациональная функция от х, за этот па-
параметр может быть принято переменное х—хй\ при
к=2 униформизация достигается посредством рацио-
рациональных или тригонометрич. функций. Напр., если
У (х) удовлетворяет уравнению
„2_ ^2— А
У Х *!
то можно положить
y=jrzj, x = j^j или y = sect, x = tgt.
При /с=3, 4, в случае А. ф. рода 1, униформизация до-
достигается посредством эллиптических функций. Нако-
Наконец, при А:>4, в случае А. ф. рода>1, униформизация
осуществляется при помощи автоморфпых функций.
Алгебраические функции многих переменных. Если
/ — А. ф. от переменных хг, . . ., хп, то множество всех
рациональных функций R (у, хг, . . . , хп) образует
поле Ку, совпадающее с полем рациональных функций
на алгебраич. гиперповерхности в пространстве (п+1)
измерений, задаваемой уравнением F(у, хг, . . ., хп) = 0.
Если поле констант к есть поле комплексных чисел С,
а п= 1, то поле Кj совпадает с полем мероморфных функ-
функций на римановой поверхности А. ф. /. Поле Kf явля-
является расширением конечного типа поля констант к сте-
степени трансцендентности п (см. Расширение поля).
В частности, любые п-\-1 элементов этого поля связаны
алгебраич. уравнением и тем самым каждый из них опре-
определяет А.ф. от остальных элементов. Любое расширение
К конечного типа поля к степени трансцендентности п
наз. полем алгебраических функций от п
переменных (иногда функциональным по-
полем). Каждое такое поле содержит чисто трансцендент-
трансцендентное расширение к(х1, . . ., хп) поля к (называемое п о-
лем рациональных функций от п пе-
переменных). Любой элемент у?К удовлетворяет
нек-рому алгебраич. уравнению Ф{у, х1, . . ., хп) = 0
и может рассматриваться как А. ф. от переменных
xlt . . ., хп. Каждое поле К А. ф. от п переменных изо-
изоморфно полю рациональных функций на нек-ром алге-
алгебраическом многообразии размерности п, называемом
моделью поля К. Если поле констант к является
алгебраически замкнутым полем характеристики О,
то каждое поле А. ф. имеет неособую проективную мо-
модель (см. Разрешение особенностей). Пусть S — мно-
множество всех нетривиальных нормирований поля А. ф.
К, неотрицательных на поле констант. Снабженное
естественной топологией, оно наз. абстрактной
римановой поверхностью поля К [1].
В случае полей А. ф. от одной переменной риманова по-
поверхность совпадает с множеством неособой проектив-
проективной модели, к-рая в этом случае определена однозначно
с точностью до изоморфизма. Многие понятия и резуль-
результаты алгебраич. геометрии модели поля К можно пе-
переформулировать на языке теории нормирований поля
(см. [1], [6]). Особенно близкая аналогия существует
для полей А. ф. одного переменного, теория к-рых фак-
фактически совпадает с теорией алгебраич. кривых.
Каждое поле А. ф. от одного переменного является
полем частных дедекиндова кольца, благодаря этому
многие результаты и понятия теории делимости в полях
алгебраич. чисел переносятся на случай функциональ-
функциональных полей [12]. Многие задачи и построения в теории
алгебраич. чисел служат мотивировкой для аналогичных
задач и построений в полях А. ф., и наоборот. Так,
напр., перенос разложения Пюизё в теорию алгебраич.
чисел привел к созданию К. Гензелем р-адического ме-
метода в теории чисел. Теория полей классов, первоначаль-
первоначально относящаяся к алгебраич. числам, была позже пере-
перенесена на функциональный случай (см. [2]). Особенно
близкая аналогия существует между полями алгебраич.
чисел и полями А. ф. над конечным полем констант.
Напр., для последних определяется понятие дзета-
функции и доказывается аналог гипотезы Римана (см.
Дзета-функция в алгебраической геометрии).
Лит.: [1] Зарисский О., Самюэль П., Коммута-
Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1—2, М-, 1963; [2] С е р р Ж.-П.,
Алгебраические группы и поля классов, пер. с франц., М.,
1968; [3] С т о и л о в С, Теория функций комплексного пере-
переменного, пер. с рум., т. 1—2, М., 1962; [4] Ч е б о т а р ё в Н. Г.,
Теория алгебраических функций, М.— Л., 1948; [5] Ш а ф а-
ревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972;
[6] Ш е в а л л е К., Введение в теорию алгебраических функ-
функций от одной переменной, пер. с англ., М., 1959; [7] А р р е 1 1 Р.,
Coursat В., Theorie des fonctions algebriques, t. 1—2, P
1929—30; [8] Dedekind R., Weber H., «J. reine und
angew. Math.», 1879, Bd 92, S. 181—290; [9] Hensel K.,
Landsberg G., Theorie der algebraischen Funktionen einer
Variabeln und ihre Anwendung auf algebraischen Kurven und
Abelsche Integrale, Lpz., 1902; [10] P i с а г d E., SimartG.,
Theorie des fonctions algebriques de deux variables independents,
t. 1—2, P., 1897, 1906; [11] Jung H. W. E., Einfuhrung in
die Theorie der algebraischen Funktionen zweier Veranderlicher,
В., 1951; [12] H a s s e H., Zahlentheorie, 2 Aufl., В., 1963; [13]
Lang S., Algebraic functions, N.Y.—Amst., 1965.
А. Б. Жижченко.
АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТОЕ ПОЛЕ - поле к,
в к-ром всякий многочлен ненулевой степени над к
имеет хотя бы один корень. В действительности, из ал-
алгебраич. замкнутости поля будет следовать, что каждый
многочлен степени п над к имеет в к ровно п корней, т. е.
каждый неприводимый многочлен из кольца многочле-
многочленов к [х] имеет степень 1. Поле к алгебраически замкну-
замкнуто тогда и только тогда, когда оно не имеет собственного
алгебраич. расширения (см. Расширение поля). Суще-
Существует единственное с точностью до изоморфизма алге-
брапч. расширение поля к, являющееся А. з. п.; оно
наз. алгебраическим замыканием по-
поля ft и обычно обозначается через к. Всякое А. з. п.,
содержащее к, содержит подполе, изоморфное к.
Алгебраич. замыканием поля действительных чисел
является поле комплексных чисел. Его алгебраич. зам-
замкнутость устанавливается Алгебры основной теоремой.
Лит.: [1] Зарисский О., Самюэль П., Коммута-
Коммутативная алгебра, т. 1, пер. с англ., М., 1963; [2] Лепр С,
Алгебра, пер. с англ., IVL_, 1968. О. А. Иванова.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН НАИЛУЧШЕГО
ПРИБЛИЖЕНИЯ — многочлен, наименее уклоняю-
уклоняющийся от заданной функции. Точнее, пусть измеримая
функция f(x) интегрируема с p-ii степенью (р~^\) на
[а. Ь\ и Нп— множество алгебраич. многочленов степе-
степени не выше п. Величину
?„(/)/> = inf \\f(x)-Pn(x)\\L f b, (*)
Рп WtHn р '
наз. наилучшим приближением, а многочлен, для к-рого
нижняя грань достигается, наз. алгебраичес-
алгебраическим многочленом наилучшего приб-
приближения в Lp{a, b]. Многочлены, наименее укло-
уклоняющиеся от данной непрерывной функции в равно-
равномерной (р=оо) метрике, впервые встретились A852)
у П. Л. Чебышева и были исследованы им в 1856
(см. [1]). Доказательство существования А. м. н. п.
дано Э. Борелем [2]. П. Л. Чебыгаев показал, что
Р°п(х) является А. м. н. п. в равномерной метрике тог-
тогда и только тогда, когда у разности f(x)~ P% (ж)
существует чебышевский альтернанс; в этом случае
такой многочлен единствен. Прир>1 А. м. н. п. един-
единствен в силу строгой выпуклости пространства Lp.
При р=1 единственности нет, но для непрерывных функ-
функций единственность А. м. н. п. доказана Д. Джексоном
[3]). Скорость стремления Еп{\)р к нулю оценивается
в Джексона теореме.
Аналогично (*) определяется А. м. н. п. для большого
числа т переменных. Если число переменных т~^2,
то А. м. н. п. (в равномерной метрике), вообще говоря,
не единствен.
Лит.: [1] Чебышев П. Л., Полное собрание сочине-
сочинений, т. 2, Ы., 1947, с. 478, с. 152—236; [2] В о г е 1 К., Levons
sur les (onctions de variables reelles et les developpements en serie
de polynomes, P., 1905; [a] Jackson D., «Amer. J. Math.»,
1924, v. 46; [4] Г а р к а в и А. Л., в кн.: Итоги науки. Мате-
Математический анализ. 1967, М., 1969. Ю. Н. Субботин.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ТОР - алгебраическая группа,
изоморфная над нек-рым расширением основного поля
прямому произведению конечного числа мультиплика-
мультипликативных групп Gm. Группа Т всех гомоморфизмов А. т.
Т в Gm наз. группой характеров А. т. Г;
она является свободной абелевой группой ранга, рав-
равного размерности А. т. Т. Если А. т. Т определен над
полем /с, то Т наделяется структурой G-модуля, где G
есть группа Галуа алгебраич. замыкания поля к. Функ-
Функтор Т—уТ определяет двойственность между категорией
А. т. над к и категорией ^-свободных G-модулей ко-
конечного ранга. А. т., изоморфный произведению групп
Gm над своим полем определения ft, наз. расщеп и-
м ы м над ft; всякий А. т. расщепляется над конечным
сепарабельным расширением поля ft. В теории алгеб-
алгебраич. групп А. т. играет роль, весьма схожую с ролью
торов в теории групп Ли. Изучение А. т., определенных
над полем алгебраич. чисел, занимает важное место в
вопросах арифметики и классификации алгебраич.
групп (см. Линейная алгебраическая группа, Тамагавы
число).
Лит.: [1]БорельА., Линейные алгебраические группы,
пер. с англ., М., 1972; [2] On о Т., «Ann. Math.», 1961, v. 74,
p. 101—39; [3] его же, «Ann. Math.», 1963, v. 78, p. 47—73.
В. Е. Воскресенский.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ЦИКЛ на алгебраиче-
алгебраическом многообразии— элемент свободной абе-
левой группы, множество свободных образующих к-рои —
все замкнутые неприводимые подмногообразия данного
алгебраич. многообразия. Подгруппа группы С' (х)
алгебраич. циклов на многообразии X, порожденная
подмногообразием коразмерности р, обозначается через
Ср (X). Группа С (X) представима в виде прямой суммы
Подгруппа С1 {X) совпадает с группой дивизоров Вейля
на X.
В дальнейшем X обозначает неособое проективное
алгебраич. многообразие размерности п над алгебраи-
алгебраически замкнутым полем к. Если к — поле комплексных
чисел С, то каждый А. ц. Z?CP(X) определяет
Bга— 2р)-мерный класс гомологии [Z] ?//2„_2/)(Х, JD
и, но двойственности Пуанкаре, класс когомологий
y(Z)^HiP(X, ~g). Классы гомологии (соответственно
когомологий) вида [Z] (соответственно y{Z)) наз. а л-
гебраическими классами го мол о-
г и й (соответственно когомологий). Каждый
аналитич. цикл гомологичен А. ц. Имеется предполо-
предположение (гипотеза Ходжа), что целочисленный
Bп—2р)-мерный цикл Г на X гомологичен А. ц. тогда и
только тогда, когда интегралы всех замкнутых диффе-
дифференциальных форм типа Bp — q, q), q=/=p, по Г равны 0.
Эта гипотеза доказана лишь в случаях р=1 (для гс=2
см. [6], для всех п см. [7]) и р = п—1, а также для от-
отдельных классов многообразий (см. [4]).
Если И/=2'г/ W7! —А. ц. на произведении двух мно-
многообразий XX Т, то множество циклов на X вида
2*,- wtr\(x x{t})
наз. семейством А. ц. на X, параметризованным
базой Т. При этом обычно требуют, чтобы проекция
каждого подмногообразия Wfpa. Убыла плоским морфю-
мом. Если W= Wj определяется неприводимым подмно-
подмногообразием, то соответствующее семейство А. ц. на А
наз. семейством алгебраических под-
подмногообразий. В частности, для любого пло-
плоского морфизма /: X—yY алгебраич. многообразий его
слои Ху образуют семейство алгебраич. подмногообра-
подмногообразий X, параметризованное базой Y. Другим частным
случаем этого понятия являются линейные системы.
Все члены семейства алгебраич. подмногообразий (со-
(соответственно алгебраич. циклов) проективного многооб-
многообразия X, параметризованного связной базой, имеют оди-
одинаковый Гильберта многочлен (соответственно вирту-
виртуальный арифметический род).
А. ц. Z и Z' на многообразии X наз. алгебраи-
алгебраически эквивалентными (что обозначается
Z^Z'), если они принадлежат одному и тому же се-
семейству, параметризованному связной базой. Интуитив-
Интуитивно эквивалентность А. ц. означает, что Z можно алге-
алгебраически деформировать в Z'. Если в этом определе-
определении требовать, чтобы в качестве базы Т можно было вы
брать рациональное многообразие, то А. ц. Z и Z' нал
рационально эквивалентными (чти
обозначается Z^Z'). В случае, когда Z, Z'?СЦХ).
понятие рациональной эквивалентности сводится к по-
понятию линейной эквивалентности дивизоров. Подгруп-
Подгруппа А. ц., рационально (соответственно алгебраически)
эквивалентных нулю, обозначается Ста^(Х) (соответст-
(соответственно C3is(X)~). Каждая из этих групп является пря-
прямой суммой своих компонент:
ч (X).
Факторгруппа C1{X)/Cl]g(X) конечно порождена и на:!
группой Нерона — Севери многообразия А'.
Вопрос о конечной порожденности при р>1 фактор-
группы Ср(X)/C^lg(X) остается открытым A977). Фак-
Факторгруппа Cl\g(X)/C].at(X) обладает структурой абеле-
ва многообразия (см. Пикара схема). Операция пересе-
пересечения циклон позволяет определить умножение в фак-
факторгруппе С(X)iCrai(X), превращающее ее в коммута-
коммутативное кольцо, наз. кольцом Чжоу многообра-
многообразия X (см. Пересечений теория).
Для любой теории когомологий Вейля И* (X) су-
существует однозначно определенный гомоморфизм групп
у.С (Х)^Н"-Р (X).
А. ц. Z и Z' наз. гомологически эквива-
эквивалентными (что обозначается Z^^ Z'), если у (Z) =
= y(Z'). Подгруппа А. ц., гомологически эквивалент-
эквивалентных нулю, обозначается С<пот(Х). Имеет место вложение
Calg(X)tzChom(X). Факторгруппа C(X)/Chom(X) конечно
порождена и является подкольцом в кольце Н* (X),
к-рое обозначается через А* (X) и наз. кольцом
алгебраических классов когомо-
л о г п й Be й л я. Неизвестно A977), зависит ли А * (X)
от выбранной теории когомологий Вейля.
А. ц. Z и Z' наз. т-э кв и валентными (что
обозначается Z^Z'), если существует т^{ такое, что
mZ^-mZ'. Подгруппа А. ц., т-эквивалентных нулю,
обозначается через Ст (X). А. ц. Z и Z' из Ср'(X) наз.
численно эквивалентными (что обозна-
обозначается 2n^jt] Z'), если для любого W?Cn~P(X) имеет
место равенство WZ=WZ', при условии, что обе части
равенства определены. Подгруппа А. ц., численно эк-
эквивалентных нулю, обозначается через Спит(Х). Имеют
место включения
Ct(X)cChom(X)cCmn,(X).
Для дивизоров группы Сх (X)pd(X), Chom(X)(]Cl(X)
иСпит(Х) П С1(Х) совпадают [6]. Однако (как показывает
построенный в [5] для случая к=С контрпример)
Сх (X) Ф Chom (ЛГ),
где С\10т(Х) рассматривается относительно обычной
теории когомологий с рациональными коэффициентами.
Аналогичный контрпример построен для ноля к про-
произвольной характеристики и Z-адической теории ко-
когомологий Вейля. Остается открытым A977) вопрос
о совпадении групп Chom(X) и Cnum(X).
Пусть X вложено в проективное пространство н Lx~
класс когомологий гиперплоского сечения. Алгебраич.
класс когомологий
наз. примитивным, если xL"x~p=0. В случае,
когда к есть поле комплексных чисел С, билинейная
форма
(а, Ъ)—+(—1)"Ьх~2раЪ
положительно определена на подпространстве прими-
примитивных классов в Ар (X). Аналогичное утверждение для
произвольного к, тесно связанное с гипотезами Вейля
о дзета-функции на алгебраич. многообразии, доказа-
доказано лишь для п<:2.
Если многообразие X определено над полем к, не
являющимся алгебраически замкнутым полем, то группа
Галуа сепарабельного алгебраич. замыкания G(k/k)
поля к действует на когомологиях Вейля Н* (X),
где Х=Х(^)к. Каждый элемент из А* (X) инвариантен
относительно нек-рой подгруппы конечного индекса
группы G(klk). Имеется предположение (гипотеза
Т е й т а об алгебраических циклах),
что обратное утверждение также справедливо, если к
конечно порождено над своим простым подполем. На
этом предположении основаны многие гипотезы о дзета-
функции алгебраич. многообразия [2].
Лит.: [1] Б а л ь д а с с а р и М., Алгебраические много-
многообразия, пер. с англ., М., 1961; [21 Т э й т Д ж., «Успехи
матем. наук», 1965, т. 20, в. 6, с. 27—40, пер. с англ.; [3] Итоги
науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 12, М.,
1974, 77—170; [41 Kleiman S. L., в сб.: Dix exposes sur
cohomologie des schemas, Amst.—P., 1968, p. 359—86; [5] G r i f-
( i t h s P. A., «Ann. Math.», 1969, v. 90, J\« 3, p. 496 — 541;
[6] Lefschetz S., L'Analysis situs et la geometrie algebri-
que. P., [1924J; [7] H о d g с W., The theory and applications of
harmonic integrals, Camb., 1941; [8] Groupes de monodromie en
geometric algebrique, В., 1973. И. В. Долгачев.
АЛГЕБРАИЧЕСКИ-ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ОСО-
ОСОБАЯ ТОЧКА — изолированная особая точка z0 анали-
тич. функции /(z), обладающая тем свойством, что в се
окрестности функция f (z) может быть представлена
как сумма конечного числа слагаемых вида
где s — комплексное число, к — целое неотрицатель-
неотрицательное число и g(z) — регулярная аналитич. функция в
точке z0, причем ^(zo)^=O.
Лит.: [1] Б и 0 с р б а х Л., Аналитическое продолжение,
пер. с нем., М., 1967. Е. Д. Соломенцев.
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИИ АРИФМЕ-
АРИФМЕТИКА, арифметическая алгебраиче-
алгебраическая геометрия,— направление в алгебра-
алгебраич. геометрии, изучающее свойства алгебраич. многооб-
многообразий, определенных над полями так наз. арифметиче-
арифметического типа, т. е. конечными, локальными и глобальными
полями алгебраич. чисел или алгебраич. функций.
В случае коночных полей основным является изучение
числа рациональных точек алгебраич. многообразия
в этих полях и их конечных расширениях. Используе-
Используемая для такого изучения дзета-функция многообразия
оказала большое влияние на развитие методов алгебра-
алгебраич. геометрии. Большое значение имеют также оценки
числа точек снизу (см. [1], [4]).
Если X — алгебраич. многообразие (или схема)
над локальным полем К с полем вычетов к, то рассмо-
рассмотрение множества X (К) рациональных точек со значе-
значениями в К позволяет связать две совершенно различ-
различные задачи: нахождение решений сравнений (или точек
многообразий над конечными полями) и целочисленных
или рациональных решений диофантовых уравнений
(см. Хассе принцип). Задавая многообразие X системой
уравнений с коэффициентами из кольца А целых эле-
элементов поля К, можно определить редукцию этого мно-
многообразия той же системой уравнений, но с коэффициен-
коэффициентами, взятыми по модулю максимального идеала кольца
А. Получаются «многообразие» Хо над полем вычетов
к п канонич. отображение, или редукция:
Rcd:X(K)—>-X0(k).
Приведенное описание редукции трудно объяснить в
рамках класснч. алгебраич. геометрии. Ото явилось од-
одной из причин введения понятия схем, на языке к-рых
описанный процесс допускает строгое определение.
Основная задача состоит в определении образа отобра-
отображения Red, т. е. в нахождении тех точек х?Х0(к),
к-рые поднимаются до рациональных if-точек много-
многообразия; Гензеля лемма утверждает, что это так, если
х — неособая точка. Наиболее, общие результаты об
этом см. [4].
Другим кругом вопросов, относящихся к локальной
А. м. а., является изучение форм над такими полями.
Пусть F — форма от п переменных степени d над ло-
локальным полем; гипотеза Артина утвеРжДает> что при
ra>d2 уравнение F = 0 имеет нетривиальное решение.
В функциональном случае справедливость этого
утверждения известна. Для р-адических полей доказано,
что для каждого d имеется такое конечное число про-
простых A (d), что гипотеза Артина верна для форм степе-
степени d; если p(jrA (d). В 1966 было показано, что уже мпо-
жество A (L) не пусто, тем самым гипотеза Артина была
опровергнута (см. [4]). Неизвестно A977), верна ли она
для форм нечетной степени.
А. м. а. над глобальными полями представляет со-
собой наиболее обширную и разветвленную область ал-
гебраич. геометрии. Сюда относятся диофантова
геометрия, теория полей классов, теории дзета-функ-
дзета-функций многообразий, комплексное умножение абелевых
функций (или многообразий). Все эти теории разви-
развиваются параллельным образом для числовых и функ-
функциональных полей. Впервые такая возможность была
продемонстрирована развитием теории полей классов
в 30-х гг. 20 в., она основана на глубокой аналогии
между этими полями, получившей наиболее полное во-
воплощение в конструкциях теории схем.
Лит.: [1] Б о р е в и ч 3. И., Ш а ф а р е в и ч И. Р.,
Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [2] В е й л ь А., «Математика»,
1958, т. 2, М 4; [3] G г о t h en d i ее k A., D i e u d о n n i J.,
Elements de geometrie algebrique I, B., 1971; [4] Итоги науки.
Алгебра. Топология. Геометрия. 1970, Ы., 1971, с. 111 —152;
[5] Swinnerton-Dyer H. P. F., в кн.: Proceedings
of Symposia in pure mathematics, v. 20, 1969, Providence, 1971.
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ КВАЗИМНОГООБ-
КВАЗИМНОГООБРАЗИЕ — класс алгебраич. систем (Q-систем), аксио-
аксиоматизируемый при помощи специальных формул логич.
языка 1-й ступени, к-рые наз. квазитождест-
квазитождествами, или условными тождествами, и
имеют вид:
где Ро, Ръ . . ., Рке {й,= }, a /i0>, . . ., /,<f-термы сиг-
к
натуры Q от предметных переменных xlt . . ., xs. В силу
теоремы Мальцева [1], А. с. к. Я сигнатуры Q может
быть определено также как абстрактный класс Q-систем,
содержащий единичную Q-систему Е и замкнутый отно-
относительно подсистем и фильтрованных произведений
(см. [1], [2]). Аксиоматизируемый класс Q-систем яв-
является квазимногообразием тогда и только тогда, когда
он содержит единичную Q-систему Е и замкнут отно-
относительно подсистем и декартовых произведений. Если
Я — квазимногообразие сигнатуры Q, то подкласс Ях
тех систем Я, которые изоморфно вложимы в подходя-
подходящие системы из некоторого квазимногообразия Я сиг-
сигнатуры Q'3Q, сам является квазимногообразием.
Напр., класс полугрупп, вложимых в группы, есть ква-
квазимногообразие; класс ассоциативных колец без дели-
делителей нуля, вложимых в ассоциативные тела, также яв-
является квазимногообразием.
Квазимногообразие Я сигнатуры Q наз. конечно
определимым (или обладающим конечным ба-
базисом квазптождеств), если существует такое конечное
множество S квазитождеств сигнатуры Q, что Я состоит
из тех и только тех Q-систем, в к-рых истинны все фор-
формулы из множества 5. Напр., квазимногообразие всех
полугрупп с сокращением определяется двумя квази-
квазитождествами
zx = zy—>-х=у, xz — yz—*-х — у.
и потому конечно определимо. Напротив, квазимного-
квазимногообразие полугрупп, вложимых в группы, не имеет ко-
конечного базиса квазитождеств (см. [1], [2]).
Если Я — произвольный (не обязательно абстракт-
абстрактный) класс Q-систем, то наименьшее среди квазимного-
квазимногообразий, содержащих Я, наз. и м п л и к а т и в н ы м
замыканием класса Я. Оно состоит из подсис-
подсистем изоморфных копий фильтрованных произведений
Q-систем из класса ${J{E}> гДе Е ~ единичная Q-
система. Если Я — импликативное замыкание класса
Q-систем %, то 91 наз. порождающим клас-
сом кваз и многообразия Я. Квазимного-
Квазимногообразие R порождается одной системой тогда и только
тогда, когда для любых двух систем J, ВизЯ сущест-
существует в классе Я система С, содержащая подсистемы,
изоморфные системам А, В (см. [1]). Всякое квазимно-
квазимногообразие Я, содержащее неодноэлементную систему,
обладает свободными системами любого ранга, к-рые
являются одновременно свободными системами в эк-
вациональном замыкании класса Л. Квазимногообра-
Квазимногообразия Q-систем, содержащиеся в к.-л. фиксированном ква-
квазимногообразии Я сигнатуры Q, составляют полную ре-
решетку относительно теоретико-множественного вклю-
включения. Атомы решетки всех квазимногообразий сигна-
сигнатуры Q наз. минимальными квазимного-
квазимногообразиями сигнатуры Q. Минимальное квази-
квазимногообразие ЗЛ порождается любой своей неединичной
системой. Каждое квазимногообразие Я, обладающее
неединичной системой, содержит хотя бы одно мини-
минимальное квазимногообразие. Если Я — квазимно-
квазимногообразие Q-систем конечной сигнатуры Q, то все его
подквазимногообразия составляют группоид относитель-
относительно мальцевского Я-умножения (см. [3]).
Лит.: [1] Мальцев А. И., Алгебраические системы,
М., 1970; [2] Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ.,
М., 1968; [3] М а л ь ц е в А. И., «Сиб. матем ж.» 1967, т. 8,
№ 2, с. 346—65. Д. М. Смирнов.
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ КЛАСС — класс одно-
однотипных алгебраических систем. Все системы любого
данного типа предполагаются записанными в определен-
определенной сигнатуре Q и наз. Q-системами. Класс Ж Q-сис-
Q-систем наз. абстрактным, если он содержит вместе
с каждой своей системой А и все изоморфные ей Q-сис-
темы.
Пусть Я — абстрактный класс Q-систем. Говорят, что
Q-система А обладает локальной совокуп-
совокупностью Я-п о д с и с т е м, если существует направлен-
направленное по включению множество {Аа: а ? Л } подсистем А а
системы А, к-рые покрывают систему А (т. е. (_Ма=^)
и принадлежат классу Я. Класс Я наз. локальным,
если каждая Q-система А, обладающая локальной сово-
совокупностью Я-подсистем, принадлежит классу Я. Те-
Теоремы, устанавливающие локальность тех или иных
абстрактных классов, принято наз. локальными
(см. Мальцева локальные теоремы).
Q-система А наз. Я-а ппроксимируемой
(или Й-р ез и дуальной), если для любого пре-
предиката Р ?{Qp,= } (т. е. для любого основного преди-
предиката, а также для предиката, совпадающего с отно-
отношением равенства в А) и для любых элементов аг, . . ., ап
из А, для к-рых Р (аг, . . ., an) = JJ, существует гомо-
гомоморфизм ср: А—>В системы А в нек-рую систему В нз
класса Я1, при к-ром снова Р(<^(а1), . . ., ф(ап)) = Л".
Любая подсистема Я-аппроксимируемой системы сама
Я-аппроксимируема. Если Я1 — класс всех конечных
Q-систем, то jt-аппроксимируемая система А наз.
финитно аппроксимируемой (или р е-
з и дуально конечной). Если абстрактный
класс 5t обладает единичной системой Е=({е}, Q), то
Q-снстема А Я-аппроксимируема тогда и только тог-
тогда, когда она изоморфно вложима в декартово произ-
произведение систем из класса Я1 (см. [3]). Класс Я наз. р е-
з и д у а л ь н ы м, если всякая й-аппроксимируе-
мая система принадлежит классу Я. Класс Я наз. г о-
моморфно замкнутым, если он содержит с
каждой своей Q-системой А и все Q-системы, являющи-
являющиеся гомоморфными образами системы А. Всякий рези-
дуальный гомоморфно замкнутый класс — локальный
(см. [5]).
Класс Ш Q-систем наз. (конечно) аксиома-
аксиоматизируемым, если существует такая (конечная)
совокупность 5 замкнутых формул 1-й ступени сигна-
сигнатуры Q, что Я состоит из тех и только тех Q-систем, в
к-рых истинны все формулы из 5. Конечно аксиомати-
зируемые классы наз. иначе элементарными
классами. При помощи обобщенной гипотезы кон-
континуума доказано (см. [5]), что: 1) А. с. к. й аксиома-
аксиоматизируем тогда и только тогда, когда он замкнут отно-
относительно ультрапроизведений и его дополнение (в
классе всех Q-систем) замкнуто относительно ультра-
ультрастепеней; 2) А. с. к. it элементарен тогда и только тогда,
когда он и его дополнение замкнуты относительно уль-
ультрапроизведений. Теория аксиоматизируемых А. с. к.
изучает связи между структурными свойствами рассмат-
рассматриваемых классов и синтаксич. особенностями формаль-
формального языка, на к-ром эти классы могут быть заданы.
Среди аксиоматизируемых классов особенно важную
роль в алгебре играют многообразия (см. Алгебраичес-
Алгебраических систем многообразие) и квазимногообразия (см. Ал-
Алгебраических систем квазимногообразие), к-рые локаль-
локальны и резидуальны.
Наряду с аксиоматизируемостью замкнутыми форму-
формулами 1-й ступени рассматривают также аксиоматизируе-
аксиоматизируемость при помощи специальных замкнутых формул 2-й
ступени. К сигнатурным функциональным и предикат-
предикатным символам F[(i?I), PjQ^I) фиксированной сигна-
сигнатуры Q присоединяют предикатные переменные Яи
Л 2, .... Пусть % — бескванторная формула 1-й сту-
ступени, составленная из сигнатурных функциональных
и предикатных символов, предикатных переменных
R1,. . ., Rs и предметных переменных хх, . . ., хг. Фор-
Формула 2-й ступени Q %, где Q — нек-рая последователь-
последовательность кванторов вида DRj), (ЗД/) или (V^ft), наз.
криптоуниверсальной. Формула 2-й сту-
ступени, образованная из криптоуниверсальных формул
без свободных предметных переменных при помощи ло-
гич. связок &, V, —*¦, ~\ с последующим навешиванием
квантора всеобщности V на все свободные предикатные
переменные, встречающиеся в записях криптоунивер-
криптоуниверсальных формул, наз. булево-универсаль-
ной формулой сигнатуры Q. Класс Ц Q-систем
наз. квазиуниверсальным, если существует
такая совокупность 5 булево-универсальных формул
сигнатуры Q, что $t состоит из тех и только тех Q-систем,
в к-рых истинны все формулы из 5. Квазиуниверсальный
класс Q-систем локален (теорема Мальцева).
Имеется более сложное определение квазиуниверсаль-
квазиуниверсального класса, данное А. И. Мальцевым [4].
Лит.: [1] М а л ь ц е в А. И., «Уч. зап. Ивановен, гос. пед.
ин-та», 1941, т. 1, в. 1, с. 3—9; [2] е г о же, «Изв. АН СССР.
Сер. матем.», 1959, т. 23, .N5 3, с. 313 — 36; [3] е г о же, Алгеб-
Алгебраические системы, М., 1970; [4] его ж е, в кн.: Тр. четвер-
четвертого всес. матем. съезда. Ленинград, 1961, т. 1, Л., 1963; [5]
Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968;
[6] С 1 е a v e J. P., «J. London Math. Soc», 1969, v. 44, pt 1,
M 173, p. 121 — 30. Д. М. Смирнов.
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ МНОГООБРАЗИЕ —
алгебраических систем класс фиксированной сигнатуры
Q, аксиоматизируемый при помощи тождеств, т. е.
формул вида
(Vzx) ... (Vxs) P (h, ..., /„),
где Р — к.-л. предикатный символ из Q или знак ра-
равенства, а /х, . . ., /„— термы сигнатуры Q от предмет-
предметных переменных хг, . . ., xs. А. с. м. наз. иначе э к-
вациональными классами, иногда при-
примитивными классами. Многообразие сигна-
сигнатуры Q может быть определено также (теорема
Биркгофа) как непустой класс Q-систем, замкну-
замкнутый относительно подсистем, гомоморфных образов и
декартовых произведений.
Пересечение всех многообразий сигнатуры Q, содер-
содержащих данный (не обязательно абстрактный) класс й
Й-систем, наз. эквациональным замыка-
замыканием класса Я1 (или многообразием, порожденным
классом Ж) и обозначается varM\ В частности, если
класс Я состоит из одной Q-системы А, то его экваци-
ональное замыкание обозначают var^l. Если система А
конечна, то все конечно порожденные системы в много-
многообразии уатА также конечны [1], [2].
Пусть X — нек-рый класс Q-систем, SX — класс
подсистем систем из X, НХ — класс гомоморфных об-
образов систем из X, ИХ — класс изоморфных копий де-
декартовых произведений систем из X. Для произволь-
произвольного непустого класса $? Q-систем имеет место соотно-
соотношение (см. [1], [2]):
Многообразие наз. тривиальным, если в каждой
его системе истинно тождество х=у. Всякое нетриви-
нетривиальное многообразие 9J} обладает свободными системами
Fm(W) любого ранга m и ?01=var ^Ио(Ш?) (см. [1], [2]).
Пусть 5 — множество тождеств сигнатуры Q и
KS — класс всех Q-систем, в к-рых истинны все тожде-
тождества из S. Если для многообразия 3J1 сигнатуры Q
выполняется равенство Щ]— KS, то S наз. базисом
для 9Л. Многообразие 9Л наз. конечно базиру-
базируемы м, если оно имеет конечный базис 5. Для любой
системы А базис многообразия \вхА наз. также б а-
зисом тождеств системы А. Если 9J! — ко-
конечно базируемое многообразие алгебр конечной сигна-
сигнатуры и все алгебры из 9J! имеют дистрибутивные решет-
решетки конгруэнции, то каждая конечная алгебра А из 9Л
имеет конечный базис тождеств (см. [10]). В частности,
любая конечная решетка {А, v , л) обладает конеч-
конечным базисом тождеств. Конечный базис тождеств имеет
любая конечная группа [3]. Напротив, существует 6-
элементная полугруппа [5] и 3-элементный группоид
[6], у к-рых нет конечного базиса тождеств.
Многообразия Q-систем, содержащиеся в к.-л. фик-
фиксированном многообразии 3J1 сигнатуры Q, составляют
по включению полную решетку Z/CJ}) с нулем и еди-
единицей, к-рая наз. решеткой и о д м н о г о о б р а-
з и й многообразия 9Л. Нулем этой решетки служит
многообразие с базисом х = у, Р {хи . . ., х) (P?Q), a
единицей — многообразие 5П. Если многообразие 9Л
нетривиально, то решетка ?(ЯП) антиизоморфна решет-
решетке всех вполне характеристических конгруэнции сво-
свободной в Щ} системы Fx (9J}) счетного ранга [1]. Решетка
Lq всех многообразий сигнатуры Q бесконечна, кроме
случая, когда множество Q конечно и состоит лишь из
предикатных символов. Известно точное значение мощ-
мощности бесконечной решетки La (см. [1]). Решетка всех
многообразий решеток (L, Л, V ) дистрибутивна и име-
имеет мощность континуума [7], [8]. Решетка всех много-
многообразий групп (G,-,-1) модулярна, но не дистрибутивна
[3], [4]. Решетка многообразий коммутативных полу-
полугрупп не модулярна [9].
Атомы решетки LQ всех многообразий сигнатуры Q
наз. минимальными многообразиями
сигнатуры Q. Каждое многообразие, обладающее нееди-
неединичной системой, содержит хотя бы одно минимальное
многообразие. Если Q-система А конечна и конечного
типа, то многообразие var^ содержит лишь конечное
число минимальных подмногообразий [1].
Пусть Э1, 5В — подмногообразия фиксированного
многообразия Щ1 Q-систем. Мальцевским про-
произведением Stjjj^S наз. класс тех систем А
из 9Л, к-рые обладают такой конгруэнцией 0, что
(^1/0) ^ S, а все смежные классы а/0 (а ? Д), являющиеся
системами из 5П, принадлежат St. Если Ш! — многообра-
многообразие всех групп, a St, 58 — его подмногообразия, то
произведение ЭДщ°58 совпадает с произведением в
смысле X. Нейман [3]. Произведение многообразий
полугрупп может не быть многообразием. Многообразие
Ш1 Q-систем наз. поляризованным, если суще-
существует такой терм е(х) сигнатуры Q, что в каждой сис-
системе из 9J! истинны тождества е(х)=е{у), F(e(x), . . .,
. . ., е(х)) = е(х) (F?Q). Если Ш} — поляризованное мно-
гообрагше алгебр и в каждой алгебре из Ш конгруэн-
конгруэнции перестановочны, то мальцевское произведение ЭЦ{оЯЗ
любых подмногообразий 91, S3 из 9Л есть многообразие.
В частности, можно говорить о группоиде G/(DlT1)
подмногообразий любого многообразия ЩГ[ групп, колец
и т. п. Если Ш1 — многообразие всех групп или всех
алгебр Ли над фиксированным полем Р характеристики
нуль, то G/(9Jt) — свободная полугруппа [1].
Лит.: [1] Мальцев А. И., Алгебраические системы,
Ж., 1970; [2] К о и П., Универсальная алгебра, пер. с англ.,
М., 1968; [3] Нейман X., Многообразия групп, пер. с англ.,
М., 1969; [4] В и р к г о ф Г., Теория структур, иер. с англ.,
М., 1952; [5] Pertins P., «J. of Algebra» 1969 v. 11, J* 2,
p. 298—314; [6] M у р с к и й В. Л., «Докл. АН СССР», 1965,
т. 163, М4, с. 815—18; [7] J 6 п s s о п В., «Math. Scand.»,
1967, v. 21, № 1, p. 110—21; [8] В а к е г К. A., «Pacific J. of
Math.», 1969, v. 28, Л"» 1, p. 9—15; [9] S с h w а Ь a u e г R.,
«Proc. Amer. Math. Soc», 1969, v. 20, Mi 2, p. 503—04; [10]
Baker K. A., «Trans. Amer. Math. Soc», 1974, v. 190, p
125—50. Д. М. Смирнов
АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МНОГООБРАЗИЯ АВТО-
АВТОМОРФИЗМ — обратимый морфизм алгебраич. много-
многообразия (или схемы) в себя. Группа всех А. м. а., обо-
обозначаемая обычно Aut X,— важный инвариант многообра-
многообразия X. Изучение действий группы А. м. а. на объектах,
функториально связанных с X, таких, как Пикара груп-
группа, Чжоу кольцо, К-функтор, группа когомологш'т, явля-
является средством изучения самих многообразий. Группа
А. м. а. участвует при образовании форм алгебраич.
многообразия. Для полных алгебраич. многообразий над
полем комплексных чисел группа А. м. а. совпадает с
группой биголоморфных автоморфизмов.
Для ряда простых алгебраич. многообразий строе-
строение группы Aut X известно. Напр., если X проектив-
проективное n-мерное пространство Р" над полем к, то любой его
автоморфизм является линейным проективным преоб-
преобразованием и Aut P" совпадает с проективной линейной
группой PGL(ra+l, к). Группа автоморфизмов эллпптич.
кривой и, вообще, любого абелева многообразия А
является расширением группы G автоморфизмов, со-
сохраняющих структуру абелева многообразия, при по-
помощи группы А (к) сдвигов на точки многообразия А,
т. е. последовательность групп
1 —у А (к) —>¦ Aut А —>¦ G —> 1
точна. Если X — гладкая полная алгебраич. кривая рода
?>1, то группа Aut X конечна; известна оценка ее по-
порядка в зависимости от g (см. Алгебраическая кривая).
Об автоморфизмах поверхностей см. Алгебраическая
поверхность.
Для алгебраич. многообразий с обильным канонич.
или антиканонич. обратимым пучком группа автомор-
автоморфизмов является алгебраич. подгруппой группы
PGL(jV, k) для нек-рого Л\ Группа автоморфизмов
гладкой поверхности размерности п^2 и степени
а"^.Ъ конечна [1].
Во всех приведенных выше примерах Aut X обла-
обладает естественной структурой алгебраич. группы, быть
может, с бесконечным числом связных компонент; это
верно и в общем случае [2].
Современный подход к изучению группы А. м. а.
состоит в рассмотрении семейств автоморфизмов. С е-
м е и с т в о м автоморфизмов многообразия
X со схемой параметров Т наз. автоморфизм произведе-
произведения XX Т, перестановочный с проекцией на второй
множитель; множество семейств автоморфизмов со схе-
схемой параметров Т обозначается AutT(XX T). Сопостав-
Сопоставление :TH-Autr(XX T) является контравариаитным функ-
функтором от Т. Если многообразие X полное, то этот функ-
функтор представим (см. Предстаеимый функтор) локально
алгебраич. схемой групп с не более чем счетным числом
связных компонент [3]. Для проективных многообразий
этот факт был доказан А. Гротендиком(А. Grothendieck);
существует обобщение этой теоремы на случай собствен-
собственных плоских морфизмов схем. Представляющая схема
не осязательно является приведенной, даже в случае,
когда X — гладкая проективная поверхность; однако,
если характеристика основного поля равна 0, либо если
X — гладкая кривая или гладкая гиперповерхность,
то связная компонента единицы этой схемы является
многообразием.
Для неполных многообразий функтор автоморфизАюв
не всегда представим в категории схем. Для аффинного
многообразия функтор автоморфизмов представим в
категории индуктивных пределов схем.
Для аффинных пространств, кроме простого случая
аффинной прямой, известна только группа автоморфиз-
автоморфизмов аффинной плоскости. Она является свободным про-
произведением с объединенным пересечением двух своих
подгрупп — подгруппы линейных аффинных преобра-
преобразований и подгруппы треугольных автоморфизмов, т. е.
преобразований вида
х' = ах-\-Ь,
где a, b, с?к, афО, сфО, a f (х) — произвольный мно-
многочлен от х (см. [4], [5]). Об аффинных алгебраич. по-
поверхностях, на к-рых группа автоморфизмов действует
транзитивно, см. [0].
Лит.: [t] Matsumura H., Monsky P., «J. Math.
Kyoto Univ.», 1964, v. 3, p. 347—61; [2] M a t s u s a k а Т.,
«Amer. J. Math.», 1958, v. 80, JNT» 1, p. 45—82; [3] Matsu-
Matsumura H., О о г t F., «Invent Math.», 1967, v. 4, № 1, p. 1—25;
[4] E n g-e 1 W., «Math. Ann.» 1958, v. 136 p. 319—25; [5]
S h a f a r e v i с h I. R., «Rend. Math.», 1966, v. 25, p. 208—12;
[6] Г и з а т у л л и н М. X., «Изв. АН СССР. Сер. матем.»,
1971, т. 35, МЬ 5, с. 1047—71; [7] R о t h L., Algebraic three-
folds, В.—[u.a.], 1955. В. И. Данилов, В. А. Псковских.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ для ми-
минора М — число, равное
4J;
где М — минор порядка к, расположенный в строках с
номерами ц, г2, . . ., ij. и столбцах с номерами ;ь /2, . . .,
. . ., ik некоторой квадратной матрицы А порядка п;
det A \\jl )к — определитель матрицы порядка п—к,
полученной из матрицы А вычеркиванием строк и столб-
столбцов минора М; s=i1+B+. . • + е'ь <=/i+/2+- • •+/*•
Справедлива теорема Лапласа: если в опре-
определителе порядка п фиксировать к.-л. г строк, то сумма
произведений миноров r-го порядка, принадлежащих
фиксированным строкам, на их А. д. равна величине
данного определителя. А. д. наз. также а д. ъ ю н к-
Т О II. В. Н Ремесленников
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЗАМЫКАНИЕ поля к -
алгебраич. расширение поля к, являющееся алгебраиче-
алгебраически замкнутым полем. Такое расширение для любого
поля к существует и определено однозначно с точно-
точностью до изоморфизма. А. з. поля действительных чи-
чисел является ноле комплексных чисел (см. Алгебры
основная теорема). В. Н. Ремесленников
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ — один из
основных объектов изучения алгебраич. геометрии. Со-
Современное определение А. м. над нолем к как приведен-
приведенной схемы конечного типа над полем к претерпело дли-
длительную эволюцию. Классич. определение А. и. огра-
ограничивалось аффинными и проективными алгебраич.
множествами над полями действительных или комплекс-
комплексных чисел (см. Аффинное алгебраическое, множество,
Проективное алгебраическое множество). Начиная с
кон. 20-х гг. 20 в. is работах Б. Л. ван дер Вардена
(В. L. van der Waerden), Э. Нётер (Е. Noether) и др
понятие А. м. подверглось существенной алгебраиза-
ции, позволившей перейти к рассмотрению А. м. над
произвольными полями. А. Вейль [6] перенес на А. м.
идею конструкции дифференцируемых многообразий с
помощью склейки. Полученное таким образом а б-
с т р а к т н о е А. м. определяется как система (Va)
[шнных алгебраич. множеств над полем к, в каждом из
к-рых выделены открытые подмножества WafiCZVa,
согласованно изоморфные открытым подмножествам
W paCFp. На такие А. м. удалось перенести все основ-
основные понятия классической алгебраич. геометрии. При-
Примеры абстрактных А. м., неизоморфных алгебраич.
подмножествам проективного пространства, были затем
построены М. Нагатой (М. Nagata) и X. Хиронака
(Н. Hironaka) (см. [2], [3]). Аналогом проективных ал-
алгебраич. множеств при этом служили полные алгебраи-
алгебраические многообразия.
Ж. П. Серром [5] было обнаружено, что единое опре-
определение дифференцируемых многообразий и аналитич.
пространств как окольцованных топологич. пространств
имеет свой аналог и в алгебраич. геометрии. А. м. ста-
стало наз. окольцованное пространство, локально изоморф-
изоморфное аффинному алгебраич. множеству над полем к
с топологией Зариского и пучком ростков регулярных
функций на нем. Дополнительная структура окольцо-
окольцованного пространства на А. м. позволяет упростить
различные конструкции с абстрактными А. м., а также
ввести в их изучение методы гомологич. алгебры, свя-
связанные с теорией пучков.
В 1958 на Международном математич. конгрессе в
Эдинбурге А. Гротендик (A. Grothendieck) наметил пер-
перспективы дальнейшего обобщения понятия А. м.,
связанного с теорией схем. После того как были зало-
заложены [4] основы этой теории, под А. м. стали пониматься
приведенные схемы конечного типа над полем к, при-
причем такие аффинные (соответственно проективные)
схемы стали паз. аффинными (соответственно проектив-
проективными) многообразиями. Включение А. м. в более широ-
широкие рамки схем оказалось полезным в ряде вопросов
классической алгебраич. геометрии (разрешение осо-
особенностей, модулей проблема и др.).
Другое обобщение понятия А. м. связано с понятием
алгебраического пространства.
Над полем комплексных чисел каждое А. м. обладает
структурой комплексного аналитического простран-
пространства, что позволяет привлекать к изучению топологи-
топологические и трансцендентные методы (см. Кэлерово мно-
многообразие).
Многие вопросы теории чисел (теория сравнений,
диофантовы уравнения, модулярные формы и др.)
приводят к изучению А. м. над конечными полями и
полями алгебраич. чисел (см. Алгебраических многооб-
многообразий арифметика, Диофантова геометрия, Дзета-
функция в алгебраической геометрии).
Лит.; [1] Бальдассари М., Алгебраические многооб-
многообразия, пер. с англ., М., 1961; [2] Шафаревич И. Р.,
Основы алгебраической геометрии, М"., 1972; [3] Итоги науки
и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. М., 1972, с. 47—112;
[4] Grothendieck A., Dieudonne J., Elements
de geometric algebrique, t. 1—Le langage des schunas, P., 1960;
MSerre J.-P.,«Ann. Math.», 1955, v. 61, Л» 2, p. 197—278;
[6] Weil A., Foundations of algebraic geometry, N.Y., 1946
B ed., 1962). II. В. Долгачев.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — обобщение
понятия схемы и алгебраического многообразия. К этому
обобщению приводят нек-рые конструкции алгебраич.
геометрии: схемы Гильберта, схемы Пикара, многооб-
многообразия модулей, стягивания, не выполнимые зачастую в
категории схем и требующие расширения ее. В то же
время категория А. п. замкнута относительно таких
конструкций, что позволяет считать А. п. естественным
объектом алгебраич. геометрии.
Любая схема S определяет нек-рый пучок в
эталъной топологии категории схем, к-рый в свою оче-
очередь однозначно определяет схему 5. Алгебраи-
Алгебраическим пространством называется пучок
множеств F в этальной топологии схем, удовлетво-
удовлетворяющей условию локальной представимости (в эталь-
этальной топологии): существует схема U и морфизм пуч-
пучков й—ь-F такие, что для любой схемы V и морфизма
V—>F расслоенное произведение U X V представляется
F
схемой Z, причем индуцированный морфизм схем Z—>-V
есть сгоръектпвный этальный морфизм. Схема U при
этом называется этальным покрытием пучка F, к-рый
является факторпучком пучка U по этальному от-
отношению эквивалентности UX U. Последнее вскры-
F
вает геометрический смысл А. п. как факторсхемы по
этальному отношению эквивалентности. Морфизмы А. п.
определяются как морфизмы пучков; категория схем
отождествляется при этом с полной подкатегорией ка-
категории А. п.
На А. п. распространяются многие понятия теории
схем: точка, локальное кольцо, этальная топология,
топология Зариского, поле функций, структурный
пучок, когерентные пучки. Многие результаты теории
схем, таких, как критерий аффинности Серра (см. Аффин-
Аффинная схема), теорема конечности и существования для
собственного морфизма, переносятся на А. п.
Более тонкие результаты — представимость функто-
функторов Пикара и Гильберта в категории А. п. Если на А. п.
задано плоское отношение эквивалентности, то факто-
факторизация по нему дает А. п. (такая ситуация возникает,
например, при свободном действии на пространстве ко-
конечной группы). Наконец, А. п. допускает стягивание
подпространства с обильным ненормальным пучком.
Каждое А. п. содержит открытое и плотное в тополо-
топологии Зариского подпространство, являющееся схемой.
Одномерные и неособые двумерные А. п. будут схема-
схемами, однако это уже не верно для трехмерных и особых
двумерных А. п.; группа в категории А. п. над полем
есть схема. Полные А. п. размерности п над полем ком-
комплексных чисел имеют естественную структуру ком-
компактного аналитич. пространства с п алгебраически не-
независимыми мероморфными функциями.
Лит.: [1] А р т и it M., «Успехи матем. наук», 1971 т. 26.
в. 1 A57), с. 181—205; [2] К n u t s о n D., Algebraic spaces,
В., 1971. В. И. Данилов.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ СРАВНЕНИЕ — сравнение
вида:
F (хх, ..., я„) = 0 (mod m), A)
где
^ = 2^=0 ••• Z,in=0%
— многочлен от переменных х±, . . ., хп с целыми рацио-
рациональными коэффициентами а^, . . ., ;п. Максимальное
значение величины
d(h, •¦•. ln) = h + ••¦ + '«,
где максимум берется по всевозможным наборам ilt . . ,,in,
для к-рых a/j, . . ., а,-„.^0 (mod m), наз. сте-
степенью по совокупности переменных
хи . . ., хп, или степенью алгебраическо-
алгебраического сравнения A). Максимальное значение ве-
величины is, l<:s<:n, где максимум берется по тем же на-
наборам il5 . . . , in, наз. степенью алгебраи-
алгебраического сравнения A) по перемен-
переменной xs.
Основным вопросом в теории А. с. является вопрос
о числе решений того или иного сравнения. При этом
можно ограничиться лишь случаем простого модуля,
поскольку вопрос о числе решений А. с. A) по состав-
составному модулю т, за исключением нек-рых вырожденных
случаев, сводится к вопросу о числе решений сравне-
сравнений F (хх, ..., хп) s 0 (mod p) по простым модулям р,
делящим т.
Среди А. с. F(x)sssO (mod p) от одной переменной наи-
наиболее изучены двучленные сравнения
хп =- a (mod p), афО (mod p).
Исследование вопроса о числе решений сравнения в
случае многочлена F (х) общего вида встречает зна-
значительные трудности и при его решении получены лишь
отдельные частные результаты.
Систему сравнений
Fi(*i, ...,*„)= О (mod р), «= 1, 2, .... m, B)
можно трактовать как систему алгебраич. уравнений:
Fifa, ..., х() = 0, г = 1, 2, ..., т,
над простым конечным полем ^/(р), состоящим из р эле-
элементов; число решений этой системы сравнений будет
числом 2!/(р)-рациональных точек алгебраического мно-
многообразия, определяемого системой уравнений B).
Поэтому, наряду с теоретико-числовыми методами, к
изучению А. с. или систем А. с. применяются методы ал-
алгебраич. геометрии.
Среди А. с. от нескольких .переменных более полно
исследованы сравнения вида
F(x, i/)sO (mod p).
Именно, для числа решений Nр А. с. этого вида, где
F(x, у) — абсолютно неприводимый многочлен, полу-
получена оценка
\Np-p\<2g Y~P-
Здесь константа g зависит лишь от многочлена и равна
роду кривой F(x, y) = 0. В первом нетривиальном слу-
случае — для эллиптич. сравнения
(mod p)
такую оценку получил X. Хассе (Н. Hasse) в 1934,
основываясь на формуле сложения точек Якоби мно-
многообразия кривой у2=х3-\-ах-\-Ь. Позже метод Хассе
был распространен А. Вейлем [4] на случай абсолютно
неприводимых многочленов F. В [3] указанная оценка
была получена с помощью элементарных методов.
А. с. с числом переменных пйгЗ изучены значительно
слабее. В качестве общего результата можно отметить
теорему Шевалле, утверждающую, что если
F(xlt . . ., *„) —форма, степень к-рой строго меньше чи-
числа переменных, то число решений сравнения
F (хъ ..., хп) = 0 (modp)
положительно и делится на р; для однородных много-
многочленов существование решения не гарантируется; но
делимость на р остается в силе (теорема Варнин-
г а). Существуют обобщения последней теоремы на слу-
случай систем сравнений.
Теория А. с. имеет многочисленные применения в
других разделах теории чисел — в теории диофантовых
уравнений, задачах аддитивной теории чисел, теории
алгебраич. чисел и т. д.
Лит.: [1] Б о р е в к ч 3. И., Ш а ф а р е в и ч И. Р.,
Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [2] Виноградов И. М.,
Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; [3] С т е п а н о в С. А.,
«Труды Матем. ин-та АН СССР», 1973, т. 132, с. 237—46; Г4]
Weil A. Sur les courbes algebriques et Ies varietes qui s'en
deduisent, P., 1948. С. А. Степанов
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение
вида /„ = 0, где /„— многочлен п-й степени от одного или
нескольких переменных (пЭгО). А. у. с одним неизвест-
неизвестным наз. уравнение вида:
аох" + а1х"-1+...+ап = 0. A)
Здесь п — целое неотрицательное число, а0, %, . . ., ап
наз. коэффициентами уравнения и являются
данными, х наз. неизвестным и является иско-
искомым. Коэффициенты А. у. A) предполагаются не все
равными нулю. Если а0ф0, то п наз. степенью
уравнения.
Значения неизвестного х, к-рые удовлетворяют урав-
уравнению A), т. е. при подстановке вместо х обращают
уравнение в тождество, наз. корнями уравне-
уравнения A), а также корнями многочлена
fn(x) = aox" + a1z"-1+...+an. B)
Корни многочлена связаны с его коэффициентами по
формулам Виета (см. Виета теорема). Решить уравне-
уравнение — значит найти все его корни, лежащие в рассма-
рассматриваемой области значений неизвестного.
Для приложений наиболее важен случай, когда ко-
коэффициенты и корни уравнения — числа той или иной
природы (напр., рациональные, действительные или
комплексные). Рассматривается также и случай, когда
коэффициенты и корни — элементы произвольного поля.
Если данное число (или элемент поля) с — корень
многочлена /„ (х), то согласно Безу теореме /„ (х) делится
на х— с без остатка. Деление можно выполнять по Гор-
нера схеме.
Число (или элемент поля) с наз. fe-к ратным кор-
корнем многочлена f(x) (к — натуральное чксго),
если f(x) делится на {x—c)k, но не делится на (х~с)* + 1.
Корни кратности 1 наз. простыми корнями
многочлена.
Каждый многочлен f(x) степени п>0 с коэффициен-
коэффициентами из поля Р имеет в поле Р не более п корней, счи-
считая каждый корень столько раз, какова его кратность
(и, значит, не более п различных корней).
В алгебраически замкнутом поле каждый многочлен
степени п имеет ровно п корней (считая их кратность).
В частности, это справедливо для поля комплексных
чисел.
Уравнение A) степени п с коэффициентами из поля Р
наз. неприводимым над полем Р, если много-
многочлен B) неприводим над этим полем, т. е. не может
быть представлен в виде произведения других много-
многочленов над полем Р, степени к-рых меньше п. В про-
противном случае многочлен и соответствующее уравнение
наз. приводимыми. Многочлены нулевой сте-
степени и сам нуль не причисляются ни к приводимым, ни
к неприводимым. Свойство данного многочлена быть
приводимым или неприводимым над нолем Р зависит
от рассматриваемого поля. Так, многочлен х2—2 не-
неприводим над полем рациональных чисел, т. к. иначе
он имел бы рациональные корни, но приводим над по-
полем действительных чисел: ж2— 2=(z+ У^2) (x— У^2) .
Аналогично, многочлен х2-}-1 неприводим над полем
действительных чисел, но приводим над полем комплек-
комплексных чисел. Вообще, над полем комплексных чисел
неприводимы только многочлены 1-й степени, и всякий
многочлен может быть разложен на линейные множите-
множители. Над полем действительных чисел неприводимы
только многочлены 1-й степени и многочлены 2-й сте-
степени, не имеющие действительных корней (и всякий
многочлен разлагается в произведение линейных и не-
неприводимых квадратных многочленов). Над полем
рациональных чисел существуют неприводимые много-
многочлены любых степеней, таковы, напр., многочлены вида
х"-\-2. Неприводимость многочлена над полем ра-
рациональных чисел устанавливается критерием
Эйзенштейна: если для многочлена B) степени
гс>0 с целыми коэффициентами существует простое
число р такое, что старший коэффициент аа не делится
на р, все остальные коэффициенты делятся на р, а сво-
свободный член ап не делится на р2, то этот многочлен не-
нриводим над полем рациональных чисел.
Пусть Р — произвольное поле. Для любого много-
многочлена f(x) степени и>1, неприводимого над полем Р,
существует такое расширение поля Р, в к-ром содер-
содержится хотя бы один корень многочлена f(x); более того,
существует ноле разложения многочле-
многочлена f(x), т. е. расширение поля Р, в к-ром этот много-
член может быть разложен на линейные множители.
Любое поле имеет алгебраически замкнутое расшире-
расширение.
Разрешимость алгебраических уравнений в радика-
радикалах. Всякое А. у. степени, не превосходящей 4, ре-
решается в радикалах. Решение задач, приводящихся к
частным видам уравнений 2-й и 3-й степеней, можно
найти еще в древнем Вавилоне B000 лет до н. э.) (см.
Квадратное уравнение. Кубическое уравнение). Первое
изложение теории решения квадратных уравнений
дано в книге Диофанта «Арифметика» C в. н. э.). Ре-
Решение в радикалах уравнений 3-й и 4-й степеней с бук-
буквенными коэффициентами было получено итальянскими
математиками в 16 в. (см. Кардано формула, Феррари
метод). В течение почти 300 лет после этого делались
безуспешные попытки решить в радикалах уравнение
с буквенными коэффициентами 5-й и более высоких
степеней. Наконец, в 1826 Н. Абель (N. Abel) доказал,
что такое решение невозможно.
Современная формулировка теоремы Абеля:
пусть A) — уравнение степени п>4 с буквенными ко-
коэффициентами а0, аг, . . ., ап; К — любое поле и Р —
поле рациональных функций от а0, аг, . . ., ап с коэф-
коэффициентами из К; тогда корни уравнения A) (лежащие
в нек-ром расширении поля Р) нельзя выразить через
коэффициенты этого уравнения при помощи конечного
числа действий сложения, вычитания, умножения, де-
деления (имеющих смысл в поле Р) и знаков корня (име-
(имеющих смысл в расширении поля Р). Иными словами,
общее уравнение степени п>4 неразрешимо в радика-
радикалах (см. [3], с. 226).
Теорема Абеля не исключает, однако, того, что каждое
А. у. с данными числовыми коэффициентами (или ко-
коэффициентами из данного поля) решается в радикалах.
Уравнения любой степени п нек-рых частных видов ре-
решаются в радикалах (напр., двучленные уравнения).
Полное решение вопроса о том, при каких условиях
А. у. разрешимо в радикалах, было получено ок. 1830
Э. Галуа (Е. Galois).
Основная теорема Галуа теории о разрешимости
А. у. в радикалах формулируется следующим образом:
пусть f(x) — многочлен с коэффициентами из поля К,
неприводимый над А"; тогда: 1) если хотя бы один ко-
корень уравнения f(x) = O выражается в радикалах через
коэффициенты этого уравнения, причем показателя
радикалов не делятся на характеристику поля А', то
группа Галуа этого уравнения над полем К разрешима;
2) обратно, если группа Галуа уравнения f(x) = O над
полем К разрешима, причем характеристика поля К
или равна нулю, или больше всех порядков компози-
композиционных факторов этой группы, то все корни уравне-
уравнения представляются в радикалах через "его коэффици-
коэффициенты, причем все показатели встречающихся радикалов
?/а — простые числа, а соответствующие этим ради-
радикалам двучленные уравнения хп — а = 0 неприводимы
над полями, к к-рым эти радикалы присоединяются.
Э. Галуа доказал эту теорему для случая, когда
К — поле рациональных чисел; при этом все условия
на характеристику поля К, содержащиеся в формули-
формулировке теоремы, становятся ненужными.
Теорема Абеля является следствием теоремы Галуа,
так как группа Галуа уравнения степени п с буквен-
буквенными коэффициентами над полем Р рациональных функ-
функций от коэффициентов уравнения с коэффициентами из
любого поля К — симметрич. группа Sn и при ге>4
неразрешима. Для любого п>4 существуют уравнения
степени п с.'рациональными (и даже целыми) коэффи-
коэффициентами, неразрешимые в радикалах. Примером та-
такого уравнения для п — 5 может служить уравнение
хъ—р'гх — р = 0, где р — простое число. В теории Галуа
применяется метод сведения решения данного А. у.
к цепочке более простых уравнений, наз. резольвентами
данного уравнения.
Разрешимость уравнений в радикалах тесно связана
с вопросом о геометрич. построениях с помощью цир-
циркуля и линейки, в частности задача о делении окруж-
окружности нап равных частей (см. Деления круга многочлен,
Первообразный корень).
Алгебраические уравнения с одним неизвестным
с числовыми коэффициентами. Для отыскания корней
А. у. с коэффициентами из поля действительных или
комплексных чисел степени выше 2-й, как правило, ис-
используются методы приближенных вычислений (напр.,
Парабол метод). При этом удобно сначала освободиться
от кратных корней. Число с является fc-кратным кор-
корнем многочлена f(x) тогда и только тогда, когда мно-
многочлен и его производные до порядка к— 1 включитель-
включительно обращаются в нуль при х=с, а ^к)(с)Ф0. Если разде-
разделить f(x) на наибольший общий делитель d(x) этого
многочлена и его производной, то получится многочлен,
имеющий те же корни, что и многочлен j(x), но только
первой кратности. Можно даже построить многочлены,
имеющие в качестве простых корней все корни много-
многочлена f(x) одинаковой кратности. Многочлен имеет
кратные корни тогда и только тогда, когда его дискри-
дискриминант равен нулю.
Часто возникают задачи определения границ и числа
корней. За верхнюю границу модулей всех корней
(как действительных, так и комплексных) А. у. A) с
любыми комплексными коэффициентами можно взять
число
max I a- |
^ I «о I
В случае действительных коэффициентов более точную
границу обычно дает Ньютона метод. К определению
верхней границы положительных корней сводится опре-
определение нижней границы положительных, а также верх-
верхней и нижней границ отрицательных корней.
Для определения числа действительных корней проще
всего применить Декарта теорему. Если известно, что
все корни данного многочлена действительны (как,
напр., для характеристич. многочлена действительной
симметрич. матрицы), то теорема Декарта дает точное
число корней. Рассматривая многочлен /( — х), можно
с помощью этой же теоремы найти число отрицательных
корней f(x). Точное число действительных корней,
лежащих на данном интервале (в частности, число всех
действительных корней) многочлена с действительными
коэффициентами, не имеющего кратных корней, можно
найти по Штурма правилу. Теорема Декарта является
частным случаем Бюдана — Фурье теоремы, дающей
оценку сверху числа действительных корней многочле-
многочлена с действительными коэффициентами, заключенных в
нек-ром фиксированном интервале.
Иногда интересуются разысканием корней специаль-
специального вида, так, напр., критерий Гурвица дает необхо-
необходимое и достаточное условие для того, чтобы все корни
уравнения (с комплексными коэффициентами) имели
отрицательные действительные части (см. Рауса —
Гурвица критерий).
Для многочлена с рациональными коэффициентами
существует метод вычисления всех его рациональных
корней. Многочлен f(x) с рациональными коэффициен-
коэффициентами имеет те же корни, что и многочлен g(x) с целыми
коэффициентами, получающийся из f(x) умножением
на общее кратное всех знаменателей коэффициентов
f(x). Рациональными корнями многочлена g(x)=
= Ьохп + Ъ1хп-1+. . .-\-Ь„, Ъпф0 с целыми коэффициен-
коэффициентами могут быть только те несократимые дроби вида
plq, у к-рых р — делитель числа Ьп, a q — делитель
числа Ьо (и даже только те из этих дробей, для к-рых
при любом целом то число g(m) делится на p — mq).
Если ?>о=1» то все рациональные корни многочлена
g(x) (если они у него вообще есть) — целые числа, яв-
являющиеся делителями свободного члена, и могут быть
найдены перебором.
Системы алгебраических уравнений. О системах
А. у. 1-й степени см. Линейное уравнение.
Систему двух А. у. любых степеней с двумя неизвест-
неизвестными х и у можно записать в виде:
f(x, у) = ао(х)у + а1(х)у+...+ап(х) = О,\
g(x, у)=Ь0(х)у' + Ь1(х) ?-*+...+Ь,(*)=0, /
где ai(x), bj(x) — многочлены от одного неизвестного х.
Если х придать нек-рое числовое значение, получится
система двух уравнений от одного неизвестного у с
постоянными коэффициентами a,-, bj. Результантом этой
системы будет следующий определитель:
a0
0
0
0
0
a
aa ax .
0 .. .
b0 6j .
0 o.. .
а„
¦ bs
и
an
0
0
bs
0
о
0
a0 al ..
0
0
b0 ... .
0
0
. ar
0
0
• • ъ,
S
строк
п
строк
Справедливо утверждение: число х0 тогда и только тог-
тогда является корнем результанта R (/, g), когда или мно-
многочлены f{x0, у) и g(x0, у) имеют общий корень у0,
или оба старших коэффициента а9(х0) и Ь0(ха) равны
нулю.
Таким образом, для решения системы C) надо найти
все корни результанта R(f, g), подставить каждый из
этих корней в систему C) и найти общие корни этих
двух уравнений с одним неизвестным у. Кроме того,
надо найти общие корни двух многочленов ао(х) и
Ь0(х) и также подставить их в систему C) и проверить,
не имеют ли полученные уравнения с одним неизвест-
неизвестным у общих корней. Иными словами, решение системы
двух А. у. с двумя неизвестными сводится к решению
одного уравнения с одним неизвестным и вычислению
общих корней двух уравнений с одним неизвестным (об-
(общие корни двух или нескольких многочленов с одним
неизвестным являются корнями их наибольшего общего
делителя).
Аналогично рассмотренному случаю решается система
любого числа А. у. с любым числом неизвестных. Эта
задача приводит к громоздким вычислениям. Она свя-
связана с так наз. исключения теорией.
Лит.: [1] К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд.,
М., 1971; [2] Сушкевич А. К., Основы высшей алгебры,
4 изд., М.— Л., 1941; [3] В а н д е р В а р д е н Б. Л., Со-
Современная алгебра, пер. с нем., ч. 1—2, 2 изд., М.— Л., 1947;
[4] М а н и н Ю. И., в кн.: Энциклопедия элементарной мате-
математики, кн. 4, М., 1963, с. 205—27; [5] Д о м о р яд А. П., в
кн.: Энциклопедия элементарной математики, кн. 2, М., 1951,
с. 313—411. И.В.Проскуряков.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЧИСЛО — комплексное (в част-
частности, действительное) число, являющееся корнем мно-
многочлена
A)
с рациональными коэффициентами, из к-рых не все рав-
равны нулю. Если а — А. ч., то среди всех многочленов с
рациональными коэффициентами, имеющих а своим
корнем, существует единственный многочлен ф (х) наи-
наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным
1, и, следовательно, неприводимый (см. Неприводимый
многочлен). Он наз. каноническим, или мини-
минимальным, многочленом А. ч. а. Степень п канонич.
многочлена <р(х) наз. степенью А. ч. а. Существование
неприводимых многочленов любой степени п обуслов-
обусловливает существование А. ч. степени п. Все рациональ-
ные числа, и только они, являются А. ч. 1-й степени.
Число i есть_А. ч. 2-й степени как корень многочлена
x2-\-i, а ?/2 при любом натуральном п есть А. ч. сте-
степени п как корень неприводимого многочлена х"— 2-
Корни ах, . . ., ап канонич. многочлена наз. числами*
сопряженными с А. ч. а, и тоже являются А. ч-
степени п. Все числа, сопряженные с а, различны-
Важной характеристикой А. ч., кроме степени, явля-
является его высота (аналог знаменателя рациональной дро-
дроби). Высотой А. ч. а наз. наибольшая из абсолютных
величин коэффициентов в неприводимом и примитив-
примитивном многочлене с целыми рациональными коэффициен-
коэффициентами, имеющем а своим корнем. Сумма, разность, про-
произведение и частное двух А. ч. (кроме деления на нуль)
суть А. ч., т. е. множество всех А. ч. образует поле.
Корень многочлена с алгебраич. коэффициентами есть
А. ч.
А. ч. наз. целым, если все коэффициенты в его кано-
канонич. многочлене — целые рациональные числа. Напр.,
i и 1+ У~2 — целые А. ч. как корни многочленов х*-\-1
и х2— 2х — 1.
Понятие целого А. ч. является обобщением понятия
целого рационального числа (целое рациональное чис-
число т есть целое А. ч. как корень многочлена х — т).
Многие свойства целых рациональных чисел сохраня-
сохраняются и для целых А. ч. Так, целые А. ч. образуют коль-
кольцо. Однако действительные целые А. ч. образуют всю-
всюду плотное множество, в то время как целые рацио-
рациональные — дискретное множество. В 1872 Г. Кан-
Кантор (G. Kantor) доказал, что множество всех А. ч. счет
но, откуда следовало существование трансцендентньи
чисел.
Корень любого (не обязательно неприводимого) мно-
многочлена с целыми рациональными коэффициентами и
старшим коэффициентом, равным единице, является
целым А. ч. Более того, корень многочлена с целыми ал-
алгебраич. коэффициентами и старшим коэффициентом 1
есть целое А. ч. В частности, корень любой степени к
из целого А. ч. есть целое А. ч. Для всякого А. ч. а
существует такое натуральное г, что га — целое А. ч.
(аналогия с рациональными числами). В качестве наи-
наименьшего возможного числа г можно взять модуль
старшего коэффициента в неприводимом и примитив-
примитивном многочлене с целыми рациональными коэффициен-
коэффициентами, имеющем а своим корнем. Все сопряженные це-
целого А. ч.— тоже целые А. ч.
Говорят, что целое А. ч. р4 делится на целое А. ч.
а [афЬ), если существует целое А. ч. у, для к-рого
Р="уа. Для целых А. ч. справедливы многие свойства
делимости, к-рые имеют место для целых рациональных
чисел.
Целое А. ч. е наз. алгебраич. единицей
(коротко — единицей), если оно делит число 1,
т. е. если 1/е — целое А. ч. Единица делит любое целое
А. ч. Число, обратное единице, есть единица; числа,
сопряженные с единицей, суть единицы; каждый дели-
делитель единицы есть единица; произведение конечного
числа единиц есть единица. Целое А. ч. будет единицей
тогда и только тогда, когда произведение всех его со-
сопряженных равно х 1. Корни к-й степени из числа 1
являются единицами, причем каждая из них по модулю
равна 1. Существует бесконечное множество других
единиц, не равных по модулю 1. Напр., числа 2— |/^3
и 2+ 1^3 являются единицами как корни многочлена
х2— 4е+1. Но среди их степеней найдутся единицы,
сколь угодно малые и сколь угодно большие по вели-
величине. В поле рациональных чисел имеются лишь две
единицы +1 и —1.
Два целых А. ч. наз. ассоциированными,
если они отличаются множителем, являющимся еди-
единицей. Имеется еще одно важное отличие кольца целых
А. ч. от кольца целых рациональных чисел. В первом —
нельзя ввести понятие неразложимого целого числа
(аналог простого числа). Это видно хотя бы из того, что
корень из любого целого А. ч. есть целое А. ч. Понятие
неразложимого числа (с точностью до класса ассоцииро-
ассоциированных чисел) можно ввести в нек-рых подполях поля
всех А. ч., так наз. алгебраических полях.
Но оказывается, что в таких полях разложение целого
А. ч. на неразложимые сомножители не всегда одно-
однозначно.
А. ч. не допускают слишком хорошее приближение
рациональными и алгебраич. числами (теорема Лиувил-
ля). Этот факт впервые позволил в 1844 доказать су-
существование трансцендентных чисел. Проблема при-
приближения А. ч. рациональными является одной из
труднейших в теории чисел; в ее решении получены
очень важные результаты (теоремы Туэ, Туэ — Зигеля,
Туэ — Зигеля — Рота), но она еще далека от окончатель-
окончательного завершения. Другой труднейшей проблемой теории
чисел является вопрос о разложении А. ч. в цепные
дрооп. Действительные А. ч. 2-й степени (квадратичные
иррациональности) представляются в виде бесконечных
периодических цепных дробей. О характере разложе-
разложения действительных А. ч. степеней выше 3-й в обыкно-
обыкновенные цепные дроби до сих пор G0-е гг. 20 в.) ничего
не известно.
Комплексное число наз. алгебраическим
числом над полем Р, если оно является кор-
корнем многочлена A) с коэффициентами из Р. Для А. ч.
над полем Р аналогично определяются канонич. мно-
многочлен, степень над полем Р, сопряженные числа над
полем Р. Корень многочлена, коэффициенты к-рого —
алгебраические числа над Р, есть А. ч. над Р.
Не над любым полем Р могут существовать А. ч. лю-
любой степени п. Напр., над полем комплексных чисел су-
существуют только А. ч. 1-й степени — сами числа этого
поля. Одно и то же А. ч. может относительно различных
полей иметь разные степени. Так, число i является А. ч.
2-й степени, но имеет 1-ю степень относительно поля
комплексных чисел. Множество всех А. ч. над полем Р
образует числовое поле.
Впервые А. ч. и алгебраич. поле систематически стал
рассматривать К. Гаусс (С. Gauss) (гауссовы чис-
л а вида а+Ы, где а и Ь — рациональные числа). Для
обоснования теории биквадратичных вычетов он раз-
развил арифметику целых гауссовых чисел. Изучая те-
теорию кубических вычетов, К. Якоби (С. Jacobi) и
Ф. Эйзенштейн (F. Eisenstein) создали арифметику чисел
вида а+Ьр, где р= — A+ У—ЪI2 — кубич. корень
из числа 1, а а и Ь — рациональные числа. Попытки
доказать Ферма теорему привели Э. Куммера (Е. Kum-
mer) к глубокому изучению полей деления круга (см.
Круговое поле), введению понятия идеала и созданию
элементов теории А. ч. В работах П. Дирихле (P. Di-
richlet), Л. Кронекера (L. Кгопескег), Д. Гильберта
(D. Hilbert) и др. теория А. ч. получила свое дальней-
дальнейшее развитие. Большой вклад в нее внесли русские
математики Е. И. Золотарев (теория идеалов),
Г. Ф. Вороной (кубич. иррациональности, единицы
кубич. полей), А. А. Марков (кубич. поле), Ю. В. Со-
хоцкий (теория идеалов) и др.
Понятие А. ч. и связанное с ним понятие алгебраич.
поля — важнейшие понятия теории чисел и алгебры.
А. ч., являясь обобщением рациональных чисел, выде-
выделяют в полях действительных и комплексных чисел под-
поля А. ч., обладающих специальными алгебраич.
свойствами. Развитие теории А. ч. оказало большое
влияние на создание и развитие общей теории колец
и полей.
А. ч. находит большое применение в различных раз-
разделах теории чисел, алгебры и др. разделах математики:
теории форм, диофантовых уравнениях, диофантовых
приближениях, трансцендентных числах, геометрии
чисел, алгебраической геометрии, теории Галуа и др.
Лит.: [1] Чеботарев Н. Г., Основы теории Галуа,
ч. 1—2, М.— Л., 1934—37; [2] Г е к к е Э., Лекции по теории
алгебраических чисел, пер. с нем., М.— Л., 1940; [3] Lan-
Landau Е., Einfuhrung in die elementare und analytische Theorie
der algebraischen Zahlen und der Ideale, Lpz. —В., 1918; [4] Lan-
Landau E., Vorlesungen iiber Zahlentheorie, Bd 3, Lpz., 1927;
[5] Л енг С, Алгебраические числа, пер. с аьгл., М., 1966.
А. В. Шидловский,
АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ МЕРА ч и-
с е л <*!, . . ., ат — функция
Ф(ах, ..., ат; п, Н) =min | P (а1( .., ат) | ,
где минимум берется по всем многочленам степени не
выше п, с целыми рациональными коэффициентами, из
к-рых не все равны нулю, и высоты, не превосходящей Н.
Подробнее см. Трансцендентности мера.
А. Б. Шивловский.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ АВТОМОРФИЗМ —
изоморфное отображение алгебраической системы на
себя. Автоморфизмом (А.) Й-системы А= {A ,Q)
наз. всякое взаимно однозначное отображение ф мно-
множества А на себя, обладающее свойствами:
ФОЛ*!, ..., xn))=F(q>(x1), ..., Ф (*„)), A)
D?W, ...,Ф(*Я)) B)
для всех хх, х2, ... из Л и для всех F, Р из Q. Другими
словами, А. Q-системы А есть изоморфное отображение
системы А на себя. Пусть G — множество всех А. сис-
системы А. Если ф?б, то обратное отображение ф~г также
обладает свойствами A), B) и поэтому q>~1?G. Произ-
Произведение а=ф'ф А. ф, \(з системы А, определяемое фор-
формулой а(д;)=г|)(ф(ж)), х?А, снова является А. системы
А. Поскольку умножение отображений ассоциативно,
то {G, •, -1) есть группа, наз. группой всех А.
системы А и обозначаемая через Aut (А). Подгруппы
группы Aut (А) наз. просто группами А. системы А.
Пусть ф — А. системы А и 9 — конгруэнция этой
системы. Полагая
получим снова конгруэнцию 9Ф системы А, А. ф наз.
/С-а втоморфизмом, если 9Ф=Э для любой
конгруэнции 8 системы А. Множество [С(А) всех/С-
автоморфизмов системы А является нормальным дели-
делителем группы Aut (А), и факторгруппа Aut (А)/1С (А)
изоморфна нек-рой группе А. решетки всех конгруэн-
конгруэнции системы А [1]. В частности, всякий внутренний А.
х—^а~1ха группы, определяемый к.-л. фиксированным
элементом а этой группы, является /С-автоморфизмом.
Однако пример циклич. группы простого порядка по-
показывает, что не всякий /С-автоморфизм группы — вну-
внутренний.
Пусть ft — нетривиальное многообразие Q-систем
или к.-л. другой класс fi-систем, обладающий свобод-
свободными системами любого (ненулевого) ранга. А. ф сис-
системы А из класса Ж наз. /-а втоморфизмом,
если существует терм /ф(ж1, . . ., хп) сигнатуры Q от
неизвестных хг, . . ., хп, для к-рого: 1) в системе А су-
существуют такие элементы а2, . . ., а„, что для каждого
элемента ж?Л имеет место равенство
ф(я)=/ф(*> а2> • • •> ап),
2) для любой системы В из класса Л отображение
является А. этой системы при любом выборе элементов
х%, . . ., хп в системе В. Множество I(А) всех /-автомор-
/-автоморфизмов каждой системы А из класса Ш. является нор-
нормальным делителем группы Aut (А). В классе Si всех
групп понятие /-автоморфизма совпадает с понятием
внутреннего А. группы [2|. Более общее понятие
формульного А. Q-системы см. в [3].
Пусть А — алгебраич. система. Заменяя каждую
основную операцию F в А предикатом
<*i> ..-, х„, у ? А),
получим так наз. модель А*, представляющую сис-
систему А. Справедливо равенство Aut(^-*) = Aut (A).
Если системы А=(А, Q), A'—(A, Q') имеют общий
носитель А и QczQ', то Aut (^)r>Aut (А'). Если Q-
система А с конечным числом порождающих финитно
аппроксимируема, то группа Aut (А) также финитно
аппроксимируема (см. [1], с. 432). Пусть Ж — класс
Q-систем и пусть Aut (Й) — класс всех изоморфных
копий групп Aut (A), A?$t, a SAut (й) — класс
подгрупп групп из класса Aut (Я). Класс SAut (St) со-
состоит из групп, изоморфно вложимых в группы Aut (А),
a eat.
В исследовании групп А. алгебраич. систем выдели-
выделились следующие две проблемы.
1) Пусть дан класс Й Q-систем. Что можно ска-
сказать о классах Aut (й) и SAut (й)?
2) Пусть дан (абстрактный) класс К групп. Сущест-
Существует ли класс Q-систем it данной сигнатуры Q такой,
что /f=Aut (й) или хотя бы A!=SAut (Й)? Доказано,
что для любого аксиоматизируемого класса Я моделей
класс групп SAut (Й) универсально аксиоматизируем
[1]. Доказано также [1], [4], что если Й — аксиоматизи-
аксиоматизируемый класс моделей, имеющий бесконечные модели,
{В, <) — линейно упорядоченное множество и G —
группа А. модели (В, <), то существует модель А?$
такая, что AZ2B и для каждого элемента g?G сущест-
существует А. ф системы А такой, что g(x)=y(x) для всех
х?В. Группа G наз.: 1) универсальной, если
G^SAut (St) для любого аксиоматизируемого класса
й моделей, обладающего бесконечными моделями;
2) группой порядковых А. упорядочивае-
упорядочиваемой группы И (см. Линейно упорядоченная группа),
если G изоморфна нек-рой группе А. группы Н, сохра-
сохраняющих фиксированный линейный порядок < этой
группы (т. е. о<Ь=фф(а)<ф(й) для всех а, b?H, (f?G).
Пусть I — класс линейно упорядоченных множеств
(М, <), U — класс универсальных групп, ВО —
класс правоупорядочиваемых групп, ОА — класс
групп порядковых А. свободных абелевых групп. Тогда
(см. [4] - [6]):
SAut (l) = U = RU=OA.
Каждая группа изоморфна группе всех А. нек-рой
Q — алгебры. Если Й — класс всех колец, то
Aut(ft) — класс всех групп (см. [1], с. 117, 118). Но
если Й — класс всех групп, то АиЦЙ^Й; напр.,
циклич. группы С3, С5, С-, порядков 3, 5, 7, соответ-
соответственно, не принадлежат классу Aut ($). Не существу-
существует также топологич. группы, для к-рой группа всех
топологич. А. была бы изоморфна группе Съ (см. [7]).
Лит.: [1] Плотин Б. И., Группы автоморфизмов ал-
алгебраических систем, М., 1966; 12] Сэйкйпу В., «РиЫ.
Math. Debrecen», 1965, v. 12, p. 331—33; [3] G r a n t I., «Pacif.
J. Math.», 1973, v. 44, „Mi 1, p. 107—15; [4] R a b i n M. O.,
в кн.: The theory of models, Amst 1965, p. 274—84; [5] С о h n
P. M., «Mathematika», 1957, v. 4, № 7, p. 41—50; [6] Смир-
Смирнов Д. М., «Алгебра и логика», 1966, т. 5, JVj 6, с. 41—•
59; [7] W i 1 1 е R. J., «Quart. J. Math. Oxford», ser. 2, 1967,
v. 18, № 69, p. 53 — 57. Д. М. Смирное.
АЛГЕБРЫ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА — теорема,
утверждающая, что любой многочлен с комплексными
коэффициентами имеет корень в поле комплексных чи-
чисел. А. о. т. была высказана впервые А» Жираром (A. Gi-
rard, 1629) и Р. Декартом (R. Descartes, 1637) в формули-
формулировке, отличной от современной. К. Маклорен (С. Maclau-
rin) и Л. Эйлер (L. Euler) уточнили формулировку
А. о. т., придав ей форму, эквивалентную современной:
всякий многочлен с действительными коэффициентами
можно разложить в произведение линейных и квадра-
квадратичных множителей с действительными коэффициента-
коэффициентами. Ж. Д'Аламбер (J. D'Alembert) первым в 1746 опуб-
опубликовал доказательство А. о. т. Во 2-й пол. 18 в. по-
появляются доказательства Л. Эйлера, П. Лапласа
(P. Laplace), Ж. Лагранжа (J. Lagrange) и др. Во всех
этих доказательствах предполагается заранее, что ка-
какие-то «идеальные» корни многочлена существуют, а за-
затем доказывается, что, по крайней мере, один из них
является комплексным числом. К. Гаусс (С. Gauss)
первый доказал А. о. т. без предположения, что корни
существуют. Его доказательство, по существу, содер-
содержит построение поля разложения многочлена. Во всех
доказательствах А. о. т. используются в той или иной
форме топологич. свойства действительных и комплекс-
комплексных чисел. Роль топологии была сведена в конечном
итоге к единственному предложению, согласно к-рому
многочлен с действительными коэффициентами нечетной
степени имеет действительный корень.
Лит.: [1] К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, изд. 9,
М., 1968, с. 147—55, 345—49; [2] Лен г С, Алгебра, М.,
1968, с. 230—31; [3] Б а ш м а к о в а И. Г., сб. «Историко
математические исследования», 1957, в. 10, с. 257—304.
В. Н. Ремесленников.
АЛГОЛ — общее название ряда алгоритмических
языков, предназначенных для автоматизации програм-
программирования и для публикации алгоритмов (сокращение от
слов ALGOrithmic и Language).
Первый вариант А. был разработан группой ученых
разных стран в 1958. На международной конфе-
конференции в Париже A960) был принят язык «алгол-60»,
к-рый объединил многие удачные свойства существо-
существовавших ранее языков программирования. Этот язык
получил самое широкое распространение и обычно под-
подразумевается под термином «А.». А. особенно удобен
для описания алгоритмов численного анализа. В А. не
учитываются конкретные особенности вычислительных
машин и не предусмотрены развитые канонизирован-
канонизированные средства для задания операций ввода и вывода ин-
информации. Для различных машин могут быть разра-
разработаны различные конкретные представления эталон-
эталонного языка А., каждое из к-рых является языком, вос-
воспринимаемым транслятором для данной машины. Как
правило, переход от эталонного языка А. к конкретному
представлению является естественным и не представ-
представляет большого труда. Основными символами в А. яв-
являются десятичные цифры, строчные и заглавные ла-
латинские буквы, знаки препинания, знаки арифме-
тич. и логич. операций, прочие специальные знаки и
нек-рые английские слова [в частности, begin («начало»),
end («конец»), real («вещественный»), integer («целый»),
array («массив»)]. Из основных символов языка по опре-
определенным правилам образуются числа, идентификаторы
(имена), простые переменные, элементы массивов, ука-
указатели функций, выражения, описания, примечания и
операторы. Предусмотрено несколько основных типов
операторов: оператор присваивания, оператор перехода,
условный оператор, к-рый в зависимости
от значения входящего в него логич. выражения выбира-
выбирает для выполнения один из содержащихся в нем внут-
внутренних операторов, и оператор цикла. Группа опе-
операторов может быть объединена в составной оператор
или в блок, содержащий описания. В запись алгоритма
на А. могут быть включены описания проце-
процедур. Описание процедуры состоит из заголовка и тела.
Тело процедуры может дредставлять собой оператор
(чаще всего блок), записанный по обычным правилам А.
Для придания языку А. большей гибкости допускается
применение процедур, описанных на к.-л. другом языке
(напр., на машинном языке). Процедуру можно вызвать
с помощью оператора процедуры, состоящего из иден-
идентификатора процедуры и списка фактич. параметров,
к-рые соответствуют формальным параметрам, преду-
смотренным в заголовке процедуры с данным иденти-
идентификатором. Выражение может содержать указатель
функции, означающий вызов процедуры, предназна-
предназначенной для вычисления одной величины. Допускается
рекурсивный вызов процедур, т. е. такой вызов, при
к-ром в процессе выполнения процедуры происходит
вызов той же процедуры. В конкретных представлениях
А. часто сокращаются языковые возможности, имею-
имеющиеся в эталонном А. С целью унификации таких
сокращений разработан алгоритмич. язык, наз. под-
подмножеством алгол-60 и представляющий собой
упрощенный вариант эталонного А., из к-рого
исключены возможности, вызывающие особые труд-
трудности при разработке трансляторов для небольших
машин. В качестве преемника алгола-60 был предло-
предложен язык алгол-68, к-рый существенно отличается по
структуре от алгола-60, содержит много новых понятий
и возможностей и рассчитан на более мощные машины.
Лит.: [1] Алгоритмический язык АЛГОЛ-60, пер. с англ.,
М., 1965; [2] Л а в р о в С. С, Универсальный язык програм-
программирования (АЛГОЛ-60), 2 изд., М., 1967; [3] Ван В е й н-
гаарден А. [и др.], Сообщение об алгоритмическом языке
АЛГОЛ-68, «Кибернетика», 1969, № 6, с. 23—145; 1970, № 1,
с. 13 — 160. В. В. Мартынюк.
АЛГОЛ-68 — универсальный алгоритмический язык,
разработанный в 1964 — 68 коллективом ученых 12 стран
в составе рабочей группы по алголу Международной фе-
федерации по обработке информации для обмена алгорит-
алгоритмами, для эффективного их выполнения на различных
вычислительных машинах и как средство для изучения
алгоритмов. Сохраняя стилистич. связь с алголом-60,
А.-68 существенно отличается от него богатством и
общностью конструкций. Основными видами данных, в
дополнение к типам алгола-60 «вещественный», «целый»
и «логический», могут быть «литерный» (для буквенно-
цифровой информации), «форматный» (для описания
формата внешней информации), имя и процедура. Таким
образом, имена и процедуры могут «вычисляться» при
выполнении программы на А.-68, хотя это вычисление
ограничивается динамич. выбором значения имени или
процедуры из явно заданной конечной совокупности.
Из основных видов можно индуктивно строить новые,
составные виды, представляющие либо однородные ин-
индексируемые последовательности данных одного вида
(и ульт и значения), либо упорядоченные на-
наборы данных произвольного вида (структуры).
В дополнение к обычному аппарату описания проце-
процедур А.-68 содержит средства для описания так наз.
инфиксных операций типа х-\-у. Наличие
описания приоритета позволяет задавать
отношения старшинства между вводимыми инфиксными
операциями. Характерное для А.-68 описание
тождества является универсальной конструкцией
для описания переменных, задания начальных значе-
значений, организации подстановки фактич. параметров в
процедуры и для задания синонимии.
В А.-68 в позиции выражения может стоять оператор
присваивания или даже любая цепочка операторов, вы-
вырабатывающая нек-рое значение. В сочетании с возмож-
возможностью вычисления имен и процедур, а также введе-
введением парных скобок для условных выражений это при-
приводит к допустимости в А.-68 конструкций, поясняемых
следующим примером:
1) Алгол-68:
если х > 0, то и иначе z все
: =а-\-(т < п\ sin | cos) (t: = х f 2),
2) Алгол-60:
t:=x\2;
г: = о-(-если т < п то sin (t) иначе
cos (Z); если х>0 го и: =г иначе z := г.
Программа в А.-68 состоит из замкнутых, последова-
последовательных, условных и совместных предложений. Первые
три обобщают такие понятия алгола-60, как блок, сос-
составной оператор и условные выражение и оператор.
Совместные предложения обозначают неупорядочен-
неупорядоченные совокупности составляющих фраз, являясь, в ча-
частности, основным средством для указания параллель-
параллельных ветвей в общем ходе выполнения программы.
Описание семантики А.-68 характерно углубленной
проработкой основных концепций алгоритмич. языков,
позволяющей с помощью небольшого числа незави-
независимых фундаментальных понятий точно описывать про-
процесс выполнения программы. Различаются внешние
(относящиеся к конструкциям программы) и внутрен-
внутренние (относящиеся к данным, в том числе к процедурам
и именам) объекты. Аксиоматически вводятся отноше-
отношения между внешними (Е) и внутренними (/) объектами,
напр. «Е1 содержит Е2», «Е1 идентифицирует Е2»,
<tE обладает /», «11 именует /2», «А является компонен-
компонентой /2» и т. п. Выполнение программы описывается в тер-
терминах введенных отношений как функция разбора про-
программы.
Особенностью синтаксиса А.-68 является его задание
в виде двухступенчатой грамматики, когда порождаю-
порождающие правила А.-68 являются сами допустимыми тек-
текстами в нек-ром метаязыке, заданном своей порождаю-
порождающей грамматикой. Грамматич. правила А.-68 имеют,
напр., вид:
список ПОНЯТИЙ разделенных РАЗДЕЛИТЕЛЕМ:
ПОНЯТИЕ; список ПОНЯТИЙ разделенных
разделителем, РАЗДЕЛИТЕЛЬ, ПОНЯТИЕ,
оператор присваивания ВИДА: выражение
вырабатывающее имя ВИДА,:=,
выражение вырабатывающее вид.
Слова, выраженные большими буквами,— это грамма-
грамматич. единицы метаязыка, порождающие правила для
к-рых имеют, напр., вид:
ПОНЯТИЕ: идентификатор, оператор.
РАЗДЕЛИТЕЛЬ: запятая, точка с запятой.
ВИД: целый, логический, имя ВИДА.
Нек-рые понятия метаязыка, напр. ВИД, могут иметь
бесконечное число порождений. Собственно порождаю-
порождающие правила А.-68 получаются систематич. заменой
понятий метаязыка в грамматич. правилах на любое
одно и то же их порождение. Результирующие правила
в металингвистич. обозначениях алгола-60 выглядят,
напр., так:
(список идентификаторов разделенных запятыми) :: =
(идентификатор)! (список идентификаторов
разделенных запятыми) (запятая) (идентификатор)
(оператор присваивания целого) ::= (выражение
вырабатывающее имя целого) := (выражение вы-
вырабатывающее целое).
Использование двухступенчатой грамматики позво-
позволяет, во-первых, сократить число однотипных порож-
порождающих правил и, во-вторых, выразить средствами син-
синтаксиса атрибутную информацию понятий и нек-рые
контекстные зависимости, к-рые в противном случае
формулируются в виде содержательных ограничений.
Лит.: [1] Ван Вейнгаарден А. [и др.], Сообщение
об алгоритмическом языке АЛГОЛ-68, «Кибернетика», 1969,
№6, с. 23—145; 1970, №1, с. 13—160; [2] Л и н д с и Ч.,
Мюй лен С, Неформальное введение в АЛГОЛ-68, пер. с
англ., М., 1973. А. П. Ершов.
АЛГОРИТМ, алгорифм,— точное предписание,
к-рое задает вычислительный процесс (называемый в
этом случае алгоритмическим), начинающийся
с произвольного исходного данного (из
нек-рой совокупности возможных для данного А. ис-
исходных данных) и направленный на получение полно-
полностью определяемого этим исходным данным резуль-
результата. А. являются, напр., известные из начальной
школы правила сложения, вычитания, умножения и де-
деления столбиком; в этих А. возможными результатами
служат натуральные числа, записанные в десятичной
системе, а возможными исходными данными — упоря-
упорядоченные пары таких чисел. Вообще говоря, не предпо-
предполагается, что результат будет обязательно получен:
процесс применения А. к конкретному возможному
исходному данному (т. е. алгоритмич. процесс, развер-
развертывающийся начиная с этого данного) может также обо-
оборваться безрезультатно (в этом случае говорят, что про-
произошла безрезультатная остановка) или
пе закончиться вовсе. В случае, если процесс закан-
заканчивается (соответственно не заканчивается) получением
результата, говорят, что А. применим (соответ-
(соответственно неприменим) к рассматриваемому возмож-
возможному исходному данному. (Можно построить такой А.
а, для к-рого не существует А., распознающего по про-
произвольному возможному для а исходному данному,
применим к нему а или нет; такой А. а можно, в част-
частности, построить так, чтобы совокупностью его возмож-
возможных исходных данных служил натуральный ряд.)
Понятие А. занимает одно из центральных мест в со-
современной математике, прежде всего вычислительной.
Так, проблема численного решения уравнений данного
типа заключается в отыскании А., к-рый всякую пару,
составленную из произвольного уравнения этого типа и
произвольного положительного рационального числа е,
перерабатывает в число (или набор чисел), отличающее-
отличающееся (отличающихся) от корня (корней) этого уравнения
меньше, чем на е. Усовершенствование цифровых вы-
вычислительных машин дает возможность реализовать на
них все более сложные А. Однако встретившийся в
описывающей понятие А. формулировке термин «вы-
«вычислительный процесс» не следует понимать в узком
смысле только цифровых вычислений: уже в школьном
курсе алгебры говорят о буквенных вычислениях, да
и в арифметич. вычислениях появляются отличные от
цифр символы (скобки, знак равенства, знаки арифме-
арифметич. действий). Целесообразно, таким образом, рассма-
рассматривать А., оперирующие с произвольными символами
и их комбинациями. Простейшим случаем такой ком-
комбинации является линейная последовательность симво-
символов, образующая слово, однако можно рассматривать и
«нелинейные» комбинации — такие, как алгебраич. ма-
матрицы, знакосочетания в смысле Н. Бурбаки (N. Bour-
baki), фразы того или иного языка с расставленными
стрелками синтаксич. управления и, вообще, разме-
размеченные тем или иным способом графы. Наиболее общее
интуитивное понимание состоит в том, что исходными
данными и результатами А. могут служить самые раз-
разнообразные конструктивные объекты. Это открывает
возможность широкого применения понятия А. Можно
говорить об А. перевода с одного языка на другой, об А.
работы поездного диспетчера (перерабатывающего ин-
информацию о движении поездов в приказы) и др. приме-
примерах алгоритмич. описания процессов управления; имен-
именно поэтому понятие А. является одним из центральных
понятий кибернетики.
Пример алгоритма. Пусть возможными исходными
данными и возможными результатами служат всевоз-
всевозможные слова в алфавите {а, Ь}. Условимся называть
переход от слова X к слову У «допустимым» в следую-
следующих двух случаях (ниже Р обозначает произвольное
слово): 1) X имеет вид аР, а У имеет вид РЬ; 2) X имеет
вид ЬаР, а У имеет вид РаЬа. Формулируется предпи-
предписание: «взяв к.-л. слово в качестве исходного, делай
допустимые переходы до тех пор, пока не получится
слово вида ааР; тогда остановись, слово Р и есть ре-
результат». Это предписание образует А., к-рый обозначим
Ш. Возьмем в качестве исходного данного слово ЪаЬаа.
После одного перехода получим ЬаааЬа, после второго
ааЪааЪа. В силу предписания мы должны остановиться,
результат есть ЬааЬа. Возьмем в качестве исходного
данного слово ЬааЬа. Получим последовательно abaaba,
baabab, abababa, bababab, babababa, .... Можно дока-
доказать, что процесс никогда не кончится (т. е. никогда не
возникает слово, начинающееся с аа, и для каждого
из получающихся слов можно будет совершить допу-
допустимый переход). Возьмем теперь в качестве исходного
данного слово abaab. Получим baabb, abbaba, bbabab.
Далее мы не можем совершить допустимый переход,
и в то же время нет сигнала остановки. Произошла без-
безрезультатная остановка. Итак, 31 применим к слову
ЪаЪаа и неприменим к словам baaba и abaab.
Значение алгоритмов. А. встречаются в науке на
каждом шагу: умение решать задачу «в общем виде»
всегда означает, по существу, владение нек-рым А.
Говоря, напр., об умении человека складывать числа,
имеют в виду не то, что он для любых чисел рано или
поздно сумеет найти их сумму, а то, что он владеет
нек-рым единообразным приемом сложения, примени-
применимым к любым двум конкретным записям чисел, т. е.,
иными словами, А. сложения (примером такого А. и
является известное правило сложения чисел столби-
столбиком). Понятие задачи «в общем виде» уточняется при
помощи понятия массовая алгоритмическая проблема
(м. а. п.). М. а. п. задается серией отдельных, единич-
единичных проблем и состоит в требовании найти единый А.
их решения (когда такого А. не существует, говорят, что
рассматриваемая м. а. п. неразрешима). Так,
проблема численного решения уравнений данного типа
и проблема автоматического перевода суть м. а. п.:
образующими их единичными проблемами являются в
1-м случае проблемы численного решения отдельных
уравнений данного типа, а во 2-м случае — проблемы
перевода отдельных фраз. Ролью м. а.п. и определя-
определяется как значение, так и сфера приложения понятия А.:
напр., а алгебре возникают м. а. п. проверки алгебраич.
равенств различных типов, в математич. логике — м. а.
п. распознавания выводимости предложений из задан-
заданных аксиом и т. п. (для математич. логики понятие а.
существенно еще и потому, что на него опирается цен-
центральное для математич. логики понятие исчисления,
слук:ащее обобщением и уточнением интуитивных по-
понятий «вывода» и «доказательства»). Установление не-
неразрешимости к.-л. м. а. п. (напр., проблемы распозна-
распознавания истинности или доказуемости для к.-л. логико-
математич. языка) является важным познавательным
актом, показывающим, что для решения конкретных
единичных проблем данной серии принципиально не-
необходимы специфические для каждой отдельной про-
проблемы методы.
Содержательные явления, к-рые легли в основу обра-
образования понятия «А.», издавна занимали важное место
в науке. С древнейших времен многие задачи математи-
математики заключались в поисках тех или иных конструктив-
конструктивных методов. Эти поиски, особенно усилившиеся в свя-
связи с созданием удобной символики, а также осмысления
принципиального отсутствия искомых методов в ряде
случаев (задача о квадратуре круга и подобные ей) —
все это было мощным фактором развития научных зна-
знаний. Осознание невозможности решить задачу прямым
вычислением привело к созданию в 19 в. теоретико-мно-
теоретико-множественной концепции. Лишь после периода бурного
развития этой концепции (в рамках к-рой вопрос о кон-
конструктивных методах в современном их понимании во-
вообще не возникает) оказалось возможным в сер. 20 в.
вновь вернуться к вопросам конструктивности, но уже
на новом уровне, обогащенном выкристаллизовавшим-
выкристаллизовавшимся понятием А. Это понятие легло в основу конструк-
конструктивного направления в математике.
Само слово «А.» происходит от algoritmi, являющего-
являющегося, в свою очередь, латинской транслитерацией араб-
арабского имени хорезмийского математика 9 в. аль-Хорез-
ми. В средневековой Европе А. назывались десятичная
позиционная система счисления и искусство счета в
ней, поскольку именно благодаря латинскому переводу
A2 в.) трактата аль-Хорезми Европа познакомилась с
позиционной системой.
Строение алгоритмического процесса. Алгоритмич.
процесс есть процесс последовательного преобразова-
преобразования конструктивных объектов (к. о.), происходящий
дискретными «шагами»; каждый шаг состоит в смене
одного к. о. другим. Так, при применении A. St к слову
baaba возникают последовательно ЬааЬа, abaaba, ЬааЬаЬ
п т. д. А при применении, скажем, А. вычитания стол-
столбиком к паре C07, 49} последовательно возникнут такие
к. о.:
307 307 307 307
49 ~~ 49 49 ~ 49
8 58 258
При этом в ряду сменяющих друг друга к. о. каждый
последующий полностью определяется (в рамках дан-
данного А.) непосредственно предшествующим. При более
строгом подходе предполагается также, что переход
от каждого к. о. к непосредственно следующему доста-
достаточно «элементарен» — в том смысле, что происходящее
за один шаг преобразование предыдущего к. о. в сле-
следующий носит локальный характер (преобразованию
подвергается не весь к. о., а лишь нек-рая, заранее
ограниченная для данного А. его часть, и само это пре-
преобразование определяется не всем предыдущим к. о., а
лишь этой ограниченной частью).
Таким образом, наряду с совокупностями возможных
исходных данных и возможных результатов для каждо-
каждого А. имеется еще совокупность возможных проме-
промежуточных результатов, представляющая
собой ту рабочую среду, в к-рой развивается алгорит-
алгоритмич. процесс. Для 91 все три совокупности совпадают,
а для А. вычитания столбиком — нет: возможными ис-
исходными данными служат пары чисел, возможными ре-
результатами — числа (все в десятичной системе), а воз-
возможные промежуточные результаты суть «трехэтаж-
_р
ные» записи вида —-, где q — запись числа в деся-
десятичной системе, г — такая же запись или пустое слово,
ар— запись числа в десятичной системе с допущением
точек над нек-рыми цифрами. Как правило, для данного
А. можно выделить 7 характеризующих его (не незави-
независимых) параметров: 1) совокупность возможных исход-
исходных данных, 2) совокупность возможных результатов,
3) совокупность возможных промежуточных результа-
результатов, 4) правило начала, 5) правило непосредственной пе-
переработки, 6) правило окончания, 7) правило извле-
извлечения результата.
«Уточнения» понятия алгоритма. Понятие А. в его
общем виде принадлежит к числу основных первона-
первоначальных понятий математики, не допускающих опреде-
определения в терминах более простых понятий. Возможные
уточнения понятия А. приводят, строго говоря, к из-
известному сужению этого понятия. Каждое такое уточ-
уточнение состоит в том, что для каждого из указанных
7 параметров А. точно описывается нек-рый класс, в
пределах к-рого этот параметр может меняться. Выбор
таких классов и отличает одно уточнение от другого.
Поскольку 7 параметров однозначно определяют
нек-рый А., то выбор 7 классов изменения этих пара-
параметров определяет нек-рый класс А. Однако такой вы-
выбор может претендовать на название «уточнения», лишь
если имеется убеждение, что для произвольного А., имею-
имеющего допускаемые данным выбором совокупности воз-
возможных исходных данных и возможных результатов,
может быть указан равносильный ему А. из определен-
определенного данным выбором класса А. Это убеждение фор-
формулируется для каждого уточнения в виде основной ги-
гипотезы, к-рая — при современном уровне наших пред-
ставлении — не может быть предметом математич-
доказательства.
Первые уточнения описанного типа предложили в
1936 Э. Л. Пост (Е. L. Post, см. [5]) и А. М. Тьюринг
(А. М. Turing, см. [3], [4]), их конструкции во многом
предвосхитили идеи, заложенные в основу современных
цифровых вычислительных машин. Известны также
уточнения, сформулированные А. А. Марковым (см.
[10], [11], Нормальный алгорифм) и А. Н. Колмогоровым
(см. [12],[13]; последний предложил трактовать конструк-
конструктивные объекты как топологич. комплексы определен-
определенного вида, что дало возможность уточнить свойство
«локальности» преобразования). Для каждого из пред-
предложенных уточнений соответствующая основная ги-
гипотеза хорошо согласуется с практикой. В пользу этой
гипотезы говорит и то, что, как можно доказать, все
предложенные уточнения в нек-ром естественном смы-
смысле эквивалентны друг другу.
В качестве примера рассмотрим уточнение, предло-
предложенное А. М. Тьюрингом. В своем оригинальном виде
это уточнение заключалось в описании нек-рой абстракт-
абстрактной вычислительной машины, состоящей из: 1) бес-
бесконечной ленты, разбитой на следующие друг за дру-
другом в линейном порядке ячейки, причем в каждой ячей-
ячейке записан к.-л. символ из так наз. «внешнего алфави-
алфавита» машины, и 2) каретки, находящейся в каждый мо-
момент в нек-ром «состоянии» (из заданного конечного
списка состояний), способной перемещаться вдоль лен-
ленты и изменять содержимое ячеек; А. вычислений на та-
такой машине («тьюрингов А.») задается в виде програм-
программы, управляющей действиями каретки. Более подроб-
подробное и точное описание см. в статье Тьюринга машина;
здесь приводится модернизированное изложение кон-
конструкции Тьюринга в терминах, указанных выше 7 па-
параметров. Чтобы задать тьюрингов А., надо указать:
а) попарно непересекающиеся алфавиты Б, Д, Ч с вы-
выделенной в Д буквой к и выделенными в Ч буквами а
и со, б) набор пар вида (pg, r\Tq), где р, q?4, ?, т]?
?Б[)Д, а Т есть один из трех знаков —, 0, +, причем
предполагается, что в этом наборе (наз. программой)
нет 2 пар с одинаковыми первыми членами. Параметры
А. задаются так: возможными исходными данными я
возможными результатами служат слова в Б, а возмож-
возможными промежуточными результатами — слова в алфа-
алфавите Б\}Д \}Ч, содержащие не более одной буквы из Ч.
Правило начала: исходное слово Р переводится в слово
каРк. Правило окончания: заключительным является
промежуточный результат, содержащий со. Правило
извлечения результата: результатом объявляется це-
цепочка всех тех букв заключительного промежуточного
результата, к-рая идет вслед за со и предшествует пер-
первой букве, не принадлежащей Б. Правило непосред-
непосредственной переработки, переводящее А в Л', состоит в
следующем. Приписываем к А слева и справа букву к;
затем в образовавшемся слове часть вида ер|, где р?Ч,
е???(_1Д> заменяем на слово Q по следующему прави-
правилу: в программе ищется пара с первым членом р|; пусть
второй член этой пары есть r\Tq; если Т есть —, то
Q—q&\\; если Т есть 0, то Q=tqr\; если Т есть +, то Q =
= ет]д. Возникающее после этой замены слово и есть А'.
Лит. см. [3]—[5], [10]—[13] при ст. Алгоритмов теория.
В. А. Успенский.
АЛГОРИТМ В АЛФАВИТЕ А — «точное общепонят-
общепонятное предписание, определяющее потенциально осуще-
осуществимый процесс последовательного преобразования
абстрактных слов в алфавите А, процесс, допускающий
любое слово в Л в качестве исходного» (см. [1], с. 51).
А. в а. представляют собой частный случай общего
понятия алгоритма. Исходными данными и возможны-
возможными результатами применения А. в а. являются кон-
конструктивные объекты достаточно общего типа — слова,
и это обстоятельство определяет роль понятия А. в а.
в математике. К 70-м гг. 20 в. были выработаны раз-
различные уточнения (стандартизации) понятия А. в а.;
наибольшую известность среди них получили нормаль-
нормальные алгорифмы А. А. Маркова и алгоритмы, определя-
определяемые на основе понятия Тьюринга машины. При построе-
построении конкретных А. в а., иногда по соображениям тех-
технического характера, связанным с деталями определе-
определения алгоритма или кодировки исходных данных, при-
приходится расширять исходные алфавиты путем введения
дополнительных букв и рассматривать алгоритмы в так
расширенных алфавитах. В таких ситуациях удобным
инструментом является понятие алгоритма над
данным алфавитом, т. е. алгоритма в нек-ром
расширении этого алфавита. Для двух алгоритмов над
данным алфавитом могут быть естественным образом
введены понятия эквивалентности и полной эквивалент-
эквивалентности относительно него этих алгоритмов.
Лит.: [1] Марков А. А., Теория алгорифмов, «Тр.
матем. ин-та АН СССР», 1954, т. 42. Н. М. Нагорный.
АЛГОРИТМ ЛОКАЛЬНЫЙ — алгоритм, устанав-
устанавливающий свойства элементов множества и использую-
использующий на каждом шаге при этом только информацию об
окрестности элемента. В терминах А. л. естественно
формулируются и решаются задачи о существовании
или несуществовании эффективных алгоритмов для
различных дискретных экстремальных задач.
Пусть задано семейство {ЯЛ : ЯЛ?А/} множеств, и
пусть каждой паре C1, ЯЛ), где 3(?ЯЛ, сопоставлено
множество S Ct, Ш1) такое, что: 1) 9tgSCt, ЯЛ),
2) SCl, ЯЛ)<=ЯЛ, 3) если 31€2П1. ЗГеЯПг и SCt, ВДе
SS0n2?imi, то 5Ct, ©ti)=SCl, ЯЛ2). Тогда множество
S (Ж, ЯЛ) наз. окрестностью Ж п Щ1. Примерами
окрестностей служат окрестности конъюнкции в сокра-
сокращенной нормальной форме (см. Булевых функций мини-
минимизация).
Пусть Г — конечный неориентированный граф, Г =
= M1[]Mi, М1={а1, аг, ..., ад} — множество вершин
Г, Mi={(aii, ai,), ..., (аГр, аг,)} — множество ре-
ребер Г. Окрестность S1(R, Г) ребра R= (a,-, aj) графа Г
состоит из всех вершин ребер, инцидентных ребру
R, а также из всех ребер, вершины к-рых входят в ок-
окрестность Sx{R, Г). Пусть определена окрестность
Sn_! (R, Г), тогда окрестность Sn (R, Г) состоит из
всех вершин ребер, инцидентных вершинам окрестно-
окрестности 5„_х (Я, Г), и всех ребер, вершины к-рых принад-
принадлежат окрестности Sn(R, Г). Аналогично вводятся
окрестности S1(aJ-, Г), ..., Sn{aj, Г), ... для произ-
произвольной вершины aj графа Г.
Пусть на парах C1, Ш1), Ж ?Ш1, определена система
двуместных предикатов Рг (Ж, Щ,..., PiC&, 3J1), к-рая
разбита на два непересекающихся подмножества (Р1,...,
РГ) и {Рг + 1, ..., Р[). Элементы первого подмножества
наз. основными предикатами, второго —
вспомогательными предикатами. Век-
Вектор (%=((%!, а2,..., а./) наз. информационным,
если а,-?{0, 1, Д}, г=1,2, ..., I. Вектор а наз. до-
допустимым для 91 в ЯЛ, если для всех а,-=И=Д вы-
выполнено равенство а( = Р,C1, ©}). Множество / (9t, ЯЛ)
всех информационных векторов, допустимых для Щ
в ЯЛ, наз. информационным множе-
множеством % в ЯЛ.
Пусть ЯЛ={Зи, ...,Щ) и (a1-1,...,al-/)€/Ct,,3Il),t=
=1, 2, ..., q. Множество ЯЛ*= {31"" - а",..., 2PV ¦" а}
наз. допустимым для ЯЛ. Класс /(ЯЛ) всех допу-
допустимых для ЯЛ множеств ЯЛ* наз. информацион-
информационным классом множества ЯЛ по системе предикатов
Plt Р2, •¦¦, Pi- Очевидно, что окрестность 5C1, ЯЛ)
определяет окрестность SCla' ¦¦¦ ai, ЯЛ*).
Введем систему функций фь ..., фг таких, что
ф;BГ1 - °", S (ЗТ' - а', Ш1*))=(Р1, . .., Р,). Функции ф,
определены на всех парах (^а' ¦•¦ а', S(ЭР1 ¦•¦ а', ЗЛ*))
таких, что Sta'•¦a'gSm*, 2Л*^/BП), и удовлетво-
удовлетворяют следующим условиям: 1) а, = Ру, если /=тМ; 2) мно-
множество ЯЛ*, которое получается из ЯЛ* заменой эле-
элемента 5C«i-«( на 2tPl ¦¦• Pl, допустимо для ЯЛ, т. е.
ЯЛ*€/(ЯЛ). Для краткости пары BРХ -¦ а<, ЯC(а' - а',
ЯЛ*)) обозначаются через (%, аи ..., аг, S, ЯЛ*).
На нек-рых из описанных множеств вводится частич-
частичный порядок: 1) на множестве Мг= {0,1, Д}— А<0,
Д<1, 2) на множестве М2 информационных векторов
длины I— (аь а2, ..., аг)<(Р1? р2, ..., рг), если а,«:
•<Р,-, i=l, 2, ...,/; 3) на множестве элементов с от-
отметками - 91а> ••¦ a'<3tPl '•• Pi, если (ах, ..., а,)<
<(Рь •••. Рг); 4} на множестве M*=JUyUMJ(%Sl)-
— QJlj <ЯЛг, если, во-первых, ЯЛГ и ЯЛ2 принадлежат
одному информационному классу /(ЯЛ) и, во-вторых,
из того, что 3(а' -"'gffili и Ч1Р< -Pi gfjjij, следует
((%!, ..., аг)<:(Р1, ..., рг); 5) на множестве окрестностей
вида S(Sta'-a<, Щ1») - 51<:52, где S1=S (9ta> - a',
Ш1х) и 52=SB(P1 ••' Pi, Ш1а), тогда и только тогда, ког-
когда 5(ЭГ, 3J}i) = 5Cl, Ш72) и из условий Ф7' - 7ig Su
586'-6'^52 следует, что (Vl, ..., Тг)<(^. •••, 6,).
Пусть А и В — элементы одного из множеств 1) —
5). Если А «сВ и 4^В, то элементы А и В наз. рав-
равными по информации, что обозначается А$\В.
Функция ф C1, <*!, ..., аг, S, Щ}*) наз. монотон-
монотонной, если из соотношения 5Х<:52 следует, что для i=
= 1, 2, ..., I
ф|(Я, а, а,, 5„ SmjXq-ifSl.P!, ..., Р„ 52> Щ).
Для определения А. л. необходимо также ввести а л-
горитм Ап упорядочивания. Пусть М —
произвольное множество, составленное из элементов е
информационными векторами, а N={\, 2, ..., I).
Рассмотрим множество MxN всех пар C1™' " а', /)
таких, что ЗГ*1 •• a'?Jl/, ;?JV, а;=Д. Алгоритм Ап
упорядочивает множество MxN. А. л. А полностью
определяется системой предикатов Plt ...,Ph разби-
разбиением этой системы на основные Pi, ..., Рг и вспомога-
вспомогательные Рr+i, . . ., Pi предикаты, системой монотон-
монотонных функций фл, ..., фг, ф,=ф,C1, alt ..., а.[, S, 5Ш*),
и алгоритмом Ля.
Пусть Ш1*=и™,г^?" ¦¦ а", 2И* ^^(ЗЛ)- Первый шаг
А. л. состоит в следующем. К множеству MxN, где
•Л/=5ЭД*, применяется алгоритм Ля; для первой по по-
порядку пары (9Ia' •• a', /) вычисляется фу C(, alt ...,
ссг, 5, Ш1*)=(Р1, .. ., Р() и элемент 21™' •" а' заменяется
на щР. •¦• Р(. если (alt ..., а,)= (рх, ..., рг), то берется
втораяпара, ит. д.; еслидля всех элементов (S371 ¦¦¦ 7l, i)
выполнено равенство ф,- (S3, Vi, • • ч Ть S, 3Jl*)=(Vi. • • -i
"Уг)> то А. л. Л заканчивается после просмотра всех пар
из MXN. В противном случае, после замены вектора
(<*!, ..., а() на новый вектор (Рх, ..., р(), если нет больше
элементов, у к-рых на первых г местах в информацион-
информационных векторах имеется хотя бы один символ Д, алго-
алгоритм А заканчивается; если они есть, то заканчивается
первый шаг А. л. Пусть выполнено п шагов А. л. А.
Описание (п+1)-го шага в точности повторяет описа-
описание первого, если вместо множества Щ}* рассматривать
множество Ш1„, в к-рое перешло Ш1* после первых га
шагов А. л. Л. В силу монотонности функций ф,-, i =
= 1,2,..., I, А. л. А закончится после конечного числа
шагов.
Исходными теоремами для А. л. являются теоре-
теорема единственности и теорема суще-
ствования наилучшего алгоритма.
Первая теорема утверждает, что результат вычислений
основных предикатов не зависит от алгоритма Ап (по-
(порядка обхода элементов множества 9Л*). Вторая теоре-
теорема утверждает существование в весьма общих предпо-
предположениях наилучшего А. л., т. е. А. л.,
к-рый по заданной фиксированной системе окрестностей
вычисляет заданные основные предикаты при фиксиро-
фиксированных вспомогательных предикатах всегда, когда это
делает любой другой А. л. с той же системой окрест-
окрестностей, основных и вспомогательных предикатов.
Задача получения наилучшего А. л. в явной форме
решена для алгоритмов синтеза минимальных покрытий.
Пусть задан набор <[9Xlt ..., %д, ць ..., ц9, М), где
%1 — множество, ц; — сложность 21,-, ц,- > 0, г=1,
2, ..., д, Л/?11?=Л- Сложность набора (ЗГ»,, . • •, 3fip)
есть 2=iM'V- Требуется построить покрытие М мно-
множествами из числа 5tx, ..., 2Ij с минимальной сложно-
сложностью. Система окрестностей Slt ..., Stl, . .. для каж-
каждого 2(, вводится аналогично системе окрестностей для
конъюнкций. Наилучший А. л. строится для системы
окрестностей S^ при фиксированных предикатах: мно-
множество вспомогательных предикатов пусто; в качестве
основных рассматриваются предикаты Рг B1, М)
(«2t не входит ни в одно минимальное покрытие М») и
Р2 C1, M) («21 входит во все минимальные покрытия
М»). Наилучшие А. л. построены также для вычисле-
вычисления простых свойств ребер графа. Большое число раз-
различных А. л. было предложено для решения задач
минимизации булевых функций, дискретного линейного
программирования и т. д.
Важное место в теории А. л. занимают задачи о не-
невычислимости экстремальных свойств в классе А. л.
Если на парах B1, ЯЛ), 21?ЯЛ, ЯЛ?Л/", задана система
вложенных окрестностей: Sx (Я, Ш1)с=52 C1, ЯЛ)<=
...c=SnCt, ЯЛ)& .. и А. л. работает по системе ок-
окрестностей 5(91, ЯЛ), где Sfc-iC», im)SS (ЗГ, ЯЛ)^
—Sk(%, *Ш), то говорят, что А. л. имеет индекс к.
Число предикатов Ри .. ., Р( в определении А. л. есте-
естественно считать величиной памяти А. л. Пусть
задано множество <J> предикатов Р (%, Ш1). Считается,
что все предикаты, участвующие в определении А. л.,
принадлежат Ц>. Пусть А (ЯЛ*) — результат примене-
применения А. л. А к ЯЛ*, ЯЛ*€^BЛ)> тем. Про преди-
предикат Рг Ct, ЯЛ) говорят, что он не является (к, 1)-в ы-
числимым, если для всякого А. л. индекса к
с величиной памяти I, основным предикатом Рг и вспо-
вспомогательными Р2, ..., Р[ из <у найдется множество
Ш* такое, что в А (Щ}*) предикат Pt будет вычислен не
для всех элементов.
Пусть / (х1? .. ., хп) — совокупность всех булевых функ-
функций от переменных Ж!, ...,хп и /31Ct, f(xly ...,xn)) —
предикат «конъюнкция 3t входит хотя бы в одну
минимальную дизъюнктивную нормальную форму».
При естественных ограничениях на класс предика-
предикатов <у> установлено, что предикат Рх(91, / (х1у . . ., хп))
не является (к, ^-вычислимым, если fe/<const -2". Инте-
Интересно отметить, что предикат Р B1, f(xi, ¦¦-, хп)) «конъ-
«конъюнкция 3t входит хотя бы в одну тупиковую дизъ-
дизъюнктивную нормальную форму /» (см. Булевых функ-
функций нормальные формы) является B, 1)-вычислимым,
но не A, 1)-вычислимым. Аналогичные результаты по-
получены для предикатов, описывающих вхождение ре-
ребра в минимальный путь между заданными вершина-
вершинами графа.
Лит.: [1] Журавлев Ю. И., «Кибернетика», 1965,
Л1 1, с. 12—19; 1966, № 2, с. 1 — 11; [2] Хуторянская
И. В., «Кибернетика», 1971, № 1, с. 29—33; [3] Журавлев
Ю. И., сб. «Проблемы кибернетики», 1962, вып. 8, с. 5—44.
См. также лит. при статье Булевых функций минимизация.
Ю. И. Журавлев.
АЛГОРИТМА ИЗОБРАЖЕНИЕ - конструктивный
объект определенного вида (как правило, натуральное
число или слово), содержащий в себе закодированную
по фиксированным для алгоритмов данного типа прави-
правилам полную информацию об этом алгоритме. Обычно
определение А. и. формулируется таким образом,
чтобы процедуры получения А. и. по исходному алго-
алгоритму и восстановления исходного алгоритма по А. и.
осуществлялись по возможности более просто.
Изображение ?[и нормального алгорифма 51 в
алфавите А (не содержащем букв а, р и у) определя-
определяется как слово в алфавите Аа$у, получаемое следую-
следующим образом (см. [1], с. 163). В каждой формуле под-
подстановки схемы Ш стрелка заменяется буквой а, точка
(если она имеется) — буквой Р, а в конце так построен-
построенного слова приписывается буква у. Затем полученные
слова выписываются друг за другом в том порядке, в
каком соответствующие им формулы подстановки шли
в схеме %. По существу, 91й представляет собой всего
лишь несколько иначе — в виде слова — записанную
схему нормального алгорифма 3L По соображениям,
связанным с технич. деталями определения нормаль-
нормального алгорифма, несколько более удобным оказывается
другой тип изображения нормального алгорифма —
так называемая запись нормального алгорифма
(см. [1], с. 187), являющаяся результатом перевода сло-
слова ?[и в к.-л. двухбуквенный алфавит (обычно 01).
Аналогичным образом может быть построено изобра-
изображение программы Тьюринга машины. Роль изображе-
изображения рекурсивной функции играет гёделев номер
системы определяющих эту функцию равенств (см.
[2], с. 221).
При к.-л. уточнении общего понятия алгоритма А. и.
определяется с таким расчетом, чтобы оно (фактически —
изображаемый им алгоритм) могло входить в состав
исходных данных для алгоритмов такого типа. При
этом открывается возможность доказывать так наз.
«теоремы об универсальных алгоритмах», трактующие
об осуществимости алгоритмов, способных моделировать
по А. и. работу любого алгоритма рассматриваемого
типа.
Если для к.-л. алгоритма А. и. является допустимым
исходным данным, то этот алгоритм наз. с а м о п р и-
м е н и м ы м, если он применим к своему А. и., и н е-
самоприменимым— в противном случае.
Рассуждением, представляющим собой вариант «пара-
«парадокса Рассела» (см. Антиномия) применительно к дан-
данной ситуации, можно показать, что естественно возни-
возникающая при этом алгоритмич. проблема распознавания
самоприменимых алгоритмов среди прочих алгоритмов
того же типа оказывается неразрешимой. Этот резуль-
результат лежит в основе многих теорем о неразрешимости
алгоритмич. проблем.
Длина А. и. является одной из естественных мер
алгоритма сложности (объем памяти, требующейся
для запоминания программы алгоритма).
Лит.: [1] Марков А. А., Теория алгорифмов, М., 1954
(«Тр. матем. ин-та АН СССР», т. 42); [2] К л и н и С. К., Вве-
Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957.
Н. М. Нагорный.
АЛГОРИТМА СЛОЖНОСТЬ вычислений —
функция, дающая числовую оценку трудности (громозд-
(громоздкости) процессов применения алгоритма к исходным
данным. Уточнением А. с. вычислений служит понятие
сигнализирующей функции (или просто
сигнализирующей) — функции,, к-рая зада-
задается разрешимым отношением между объектами при-
применения алгоритма и натуральными числами и имеет
область определения, совпадающую с областью приме-
применимости алгоритма.
Чаще всего рассматриваются временные и простран-
пространственные характеристики алгоритмич. процессов. Так,
для Тьюринга машины М сигнализирующая
функция времени (время работы) Т'м(Р) есть
число t тактов работы М при преобразовании исходных
слов Р в заключительные; сигнализирующая
памяти (или емкости) S^ (P) определяется как
количество ячеек ленты, в к-рых хотя бы раз побывала
головка машины при работе над Р. Сходным образом
определяются сигнализирующие времени и емкости для
нормальных алгорифмов, итеративных сетей, многоголо-
многоголовочных и многоленточных машин Тьюринга и т. п.
Общей особенностью этих двух конкретных типов
сигнализирующих является наличие эффективной про-
процедуры, позволяющей для любого алгоритма а (т. е.,
в частности, для машины Тьюринга, или, точнее, для
ее программы), всякого исходного данного х и на-
натурального числа t установить, верно ли, что процесс
применения а к х заканчивается со сложностью t.
Это обстоятельство положено в основу аксиоматич.
построения теории сложности вычислений (см. [1]).
Эффективная процедура г наз. мерой вычисле-
вычислений, если она: 1) всегда заканчивается результатом О
или 1 применительно к тройкам вида (алгоритм, исход-
исходное данное, натуральное число), 2) обладает тем свой-
свойством, что для любого алгоритма а и исходного данного
х равенство г (а, х, ?)=1 верно не более чем при одном
натуральном t, причем такое t существует тогда и толь-
только тогда, когда процесс применения а к х заканчивается.
Вводится сигнализирующая функция
fia по мере г для а : Ra(x)=t тогда и только тогда,
когда г (а, х, t) = l.
Таким образом, последнее равенство объявляется
эквивалентом высказывания «сложность вычисления
а на х равна t (по мере г)».
Фиксируя ту или иную меру вычислений, можно ста-
ставить задачи о сложности вычисления конкретных функ-
функций /, напр, об отыскании алгоритма а, вычисляющего
/ «лучше других алгоритмов». Однако, как показывает
теорема ускорения (см. ниже), подобная поотановка
не всегда правомерна, и речь может идти скорее об
описании скорости роста тех сигнализирующих Ra,
для к-рых а вычисляет / [напр., об отыскании верхней
и нижней границ сложности вычисления / — двух
функций G(x) и g(x) таких, что существует вычисление
а функции /, для к-рого Ra(x)*cG(x), и для всякого ал-
алгоритма р, вычисляющего /, функция Яр в каком-то
смысле мажорирует g].
Другим важным направлением в теории сложности
вычислений является изучение классов слож-
сложности— множеств функций, для к-рых существуют
вычисления со сложностью, не превышающей к.-л.
границы из множества границ, задающих класс. К это-
этому направлению можно отнести и задачи сравнения
сложности вычисления для различных типов алгоритмов
(автоматов): переход к иной алгоритмич. системе и мере
сложности обычно равносилен рассмотрению подходя-
подходящей новой меры для исходной концепции алгоритмов.
Укажем нек-рые фундаментальные результаты, не
зависящие от выбора меры сложности (в том числе и
от выбора конкретного уточнения понятия алгоритма) —
лишь бы существовала, напр., эффективная возможность
взаимного моделирования алгоритмов рассматривае-
рассматриваемого типа и обыкновенных машин Тьюринга. (Для
простоты можно представить себе дело так, что речь идет
о времени вычисления на машинах Тьюринга натураль-
нозначных функций натурального аргумента.) Пусть Т
и h суть вычислимые натуральнозначные функции (см.
Вычислимая функция) на объектах применения алго-
алгоритмов, / — функция, определенная на тех же объ-
объектах и принимающая лишь два значения (например,
О и 1).
Во-первых, существуют сколь угодно сложно вычис-
вычислимые функции. Точнее, для любой функции Т су-
ществует вычислимая функция/ такая, что для всякого
алгоритма а, вычисляющего /, неравенство
Л« (х) > Т (х)
неверно лишь в ограниченном числе случаев.
Во-вторых, существуют функции, любое вычисление
к-рых в принципе может быть улучшено как угодно
сильно. Точнее, имеет место теорема ускоре-
ускорения: для любой функции h (напр., /г(<) = 2() можно
указать вычислимую функцию / такую, что для всякого
алгоритма а, вычисляющего /, не может не найтись
(здесь эффективная процедура не предполагается) алго-
алгоритм р, тоже вычисляющий / и такой, что для всех х
(кроме конечного множества)
h (Лр (*)) < Ra (х);
в случае /г(?) = 2* это приводит к
Яр (х) < log2 Ba (х)
для почти всех х.
Для мер вычислений, определяющих время работы и
объем памяти, заключение теоремы ускорения верно
для большинства вычислений в такой форме: если /
вычислима со сложностью Я(п), то она вычислима и
со сложностью R (п)/2 (говорят, что / вычислима со
сложностью R(n), если для нек-рого а, вычисляющего
ее, Ra(P)^:fi(п) для всех слов Р длины п в рассматри-
рассматриваемом алфавите). Поэтому временная и объемная
сложности вычислений конкретных функций часто
оцениваются с точностью до порядка. Ниже приведены
нек-рые конкретные результаты.
Установлено, что время распознавания равенства
слов равно (по порядку) п2 для машин Тьюринга и
нормальных алгорифмов; что всякое свойство слов,
распознаваемое на машинах Тьюринга за время, по по-
порядку меньшее функции п log2 n, распознается и за
время п; что вычисления на машинах Тьюринга со
временем Т(п) (для Т(п)~^пг по порядку) моделируются
на машинах Тьюринга с объемом памяти У~Т(п). Дока-
Доказано, что умножение двух n-разрядных чисел на много-
многоленточных машинах Тьюринга осуществимо за время
п1+Е, но всегда более п по порядку, а итеративные сети
могут умножать в реальное в р е м я, т. е. г-й
младший разряд произведения появляется на выходе
с подачей на вход г-х разрядов сомножителей. При мо-
моделировании алгоритмич. процессов одного типа с по-
помощью других сложность вычислений, вообще говоря,
меняется. Так, уменьшение размерности итеративных
сетей приводит к увеличению времени. В то же время
замена многоголовочных машин Тьюринга многоленточ-
многоленточными не меняет времени вычисления функций. Для
многих типов алгоритмов доказывается возможность
их моделирования на машинах Тьюринга с полиноми-
полиномиальным (обычно даже квадратичным) возрастанием
времени работы и незначительным увеличением объ-
объема памяти.
Сложностный подход оказывается полезным при
изучении известных иерархий классов общерекурсивных
функций, связанных с логическими и алгебраическими
их особенностями. Так, напр., примитивно рекурсив-
цие функции оказываются в точности теми функциями,
к-рые вычислимы на машинах Тьюринга с объемом па-
памяти, ограниченным определенной функцией. Факты
существования достаточно сложно распознаваемых
свойств, не зависящие от выбора вычислений, дока-
доказываются применением диагонального процесса. Их
естественные аналоги были обнаружены для нек-рых
разрешимых элементарных теорий и в областях, примы-
примыкающих к математич. лингвистике. В то же время для
многих практически важных проблем получение хо-
хороших нижних границ сопряжено со значительными
трудностями. Так, в частности, обстоит дело с задачами
переборного характера, к-рые уточняются (в одном из
вариантов) как задачи об отыскании среди слов опре-
определенной длины слова, удовлетворяющего вычислимому
за полиномиальное время условию. Упомянем еще о
сложности вычислений на недетерминированных авто-
автоматах и автоматах вероятностных. В первом случае
речь идет о процессах с элементами произвола, и под
сложностью вычислений понимается сложность «самого
простого» варианта процесса. Во втором — конкретный
ход процесса определяется, помимо программы и аргу-
аргумента, последовательностью показаний датчика случай-
случайных чисел, а результат должен с большой вероятностью
совпадать со значением вычисляемой функции. В обоих
случаях удается доказать иногда уменьшение сложно-
сложности вычислений по сравнению с детерминированными
процессами.
Качество алгоритмов оценивают не только с точки
зрения А. с. вычислений, но и с точки зрения алгорит-
алгоритма сложности описания. Имеются результаты, совме-
совмещающие оба подхода.
Лит.: [1] X а р т м а н и с Д т., X о п к р о ф т Д ж. Э.,
«Кибернетический сборник», 1974, вып. 11, с. 131—76.
Я. В. Петри.
АЛГОРИТМА СЛОЖНОСТЬ описания — вели-
величина, характеризующая длину описания алгоритма.
В зависимости от точной концепции алгоритма А. с.
описания уточняется по-разному. Единого достаточно
устоявшегося уточнения к настоящему моменту A977)
не существует. Ниже рассмотрены наиболее часто встре-
встречающиеся случаи.
Под сложностью описания нормалъь.ою алго-
алгорифма обычно понимают длину его изображения, т. е.
длину записи всех его формул подстановок в одну стро-
строку (между формулами проставляется специальная
разделительная буква). Под сложностью опи-
описания Тьюринга машины обычно понимают число ее
внутренних состояний и внешних символов. Иногда
для характеристики сложности машины Тьюринга ис-
используют число команд данной машины. Для рекурсив-
рекурсивных функций, задаваемых схемами рекурсий, в качестве
меры сложности обычно используют число букв в этих
схемах.
Предложено также и аксиоматическое
определение А. с. описания (см. [2]). Рассмот-
Рассмотрим это определение применительно к машинам Тью-
Тьюринга. Пусть (М{), 1=0, 1, 2, ...,— естественная нуме-
нумерация машин Тьюринга, характеризующаяся тем, что
по номеру машины можно эффективно восстановить
саму машину (т. е. ее программу), а по машине (т. е.
программе) — ее номер. Общерекурсивная функция s
наз. мерой сложности машин (при этом
s(i) наз. сложностью машины Л/,-) тогда и
только тогда, когда: а) для любого у существует не
более чем конечное число машин, имеющих сложность
у; б) существует эффективная процедура, позволяющая
определить для любого у все те машины, к-рые имеют
сложность у.
Пусть s — произвольная мера сложности машин Тью-
Тьюринга. Если U — произвольный эффективно (т. е. алго-
алгоритмически) перечислимый бесконечный подкласс ма-
машин Тьюринга, то существует машина Т, принадлежа-
принадлежащая U, и существует машина 7" (не обязательно из U)
такая, что 7" и Т вычисляют одну и ту же функцию,
и сложность 7" значительно меньше, чем сложность Т.
Отсюда, в частности, вытекает существование прими-
примитивно рекурсивных функций, наименьшая сложность
к-рых в примитивно рекурсивной форме (т. е. через
схемы примитивной рекурсии) значительно больше, чем
их наименьшая сложность в общерекурсивной форме
(т. е. через схемы общей рекурсии). Пусть под слож-
сложностью нормальных алгорифмов и машин Тьюринга
понимаются, соответственно, длина изображения и число
внутренних состояний. Тогда любую функцию алгебры
логики от N переменных (см. Булева функция) можно
реализовать (см. [3]): а) нормальным алгорифмом в
/га-буквенном алфавите со сложностью ~2jV/log2 m;
б) машиной Тьюринга с m-буквенным внешним алфа-
алфавитом со сложностью ~2NI N (m—i).
С 60-х гг. 20 в. начато изучение сложности алгорит-
алгоритмов, решающих конечные куски алгоритмически нераз-
неразрешимых массовых проблем (так наз. ограниченные ал-
горитмич. проблемы). А. А. Марков рассмотрел сле-
следующую задачу: для любой функции алгебры логики от
N переменных построить изображение нормального
алгорифма в алфавите Ф= {0, 1, о, 6, с}, реализующего
данную функцию и имеющего минимальную сложность
среди всех таких алгорифмов. Показано (см. [1], [4]),
что сложность нормального алгорифма, решающего эту
задачу, имеет порядок 2N. Изучен также вопрос о слож-
сложности алгоритмов, решающих для первых гс натураль-
натуральных чисел проблему вхождения в рекурсивно перечис-
перечислимое множество (сложность гс-к у с к о в ре-
рекурсивно перечислимых множеств).
Показано, что в случае нормальных алгорифмов эта
сложность по порядку не превосходит log2rc и что в об-
общем случае эта оценка не может быть понижена. В то же
время существуют множества, задаваемые с помощью
достаточно простых логич. средств, к-рые имеют слож-
сложность гс-кусков порядка гс. Показано также, что при
общерекурсивном ограничении времени работы алго-
алгорифмов сложность гс-кусков рекурсивно перечислимых
множеств может возрастать экспоненциально и по по-
порядку достичь величины гс.
Понятие А. с. описания используется в основном при
уточнении вопроса о том, какова минимальная слож-
сложность алгоритма, строящего тот или иной конечный
объект. Эту минимальную сложность часто наз. просто
сложностью конечного объекта (при
данном уточнении понятия А. с. описания).
Определение сложности конечных объектов впервые
было предложено А. Н. Колмогоровым (см. Алгорит-
Алгоритмическая теория информации). Оказывается, что между
сложностью К(х) по Колмогорову, сложностью Мт(х)
этих же объектов, выражаемой через длину изображе-
изображения нормального алгорифма в m-буквенном алфавите, и
сложностью Тт(х), выражаемой числом внутренних
состояний машины Тьюринга с m-буквенным внешним
алфавитом, существуют асимптотически точные соот-
соотношения.
м <х\ ~ К(х) Т (х\ К(х)
m я у> log m ' m ( ' (m-l) log2 К (х) *
Лит.: [1] Марков А. А., «Изв. АН СССР. Сер. матем.»,
1967, т. 31, № 1, с. 168—208; [2] Блюм М., сб. «Проблемы
математической логики», М., 1970, с. 423—31; [3] Кузь-
Кузьмин В. А., сб. «Проблемы кибернетики», 1965, вып. 13,
с 75—96; [4] П е т р и Н. В., «Докл. АН СССР», 1969, т. 185,
JVs 1, с. 37—39; [5] Звонкий А. К., Левин Л. А.,
«Успехи матем. наук», 1970, т. 25, вып. 6, с. 85—127.
Я. М. Барздинъ.
АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА — проблема, в
к-рой требуется найти единый метод (алгоритм) для
решения бесконечной серии однотипных единичных
задач. Такие проблемы иногда наз. также массо-
массовыми проблемами. А. п. возникали и решались
в различных областях математики на протяжении всей
ее истории; однако нек-рые из них долгое время не под-
поддавались решению. Причина этого выяснилась лишь
после того, как в 30-х гг. 20 в. в математич. логике было
выработано точное определение понятия алгоритма.
Оказалось, что А. п. могут быть неразрешимыми, т. е.
искомые в них алгоритмы могут не существовать. Та-
Таким образом, представление математиков об А. п. зна-
значительно изменилось: теперь уже новые А. п. стали
формулировать как проблемы решения вопроса о суще-
существовании алгоритма для решения данной бесконечной
серии однотипных задач и нахождения такого алгорит-
, ма в случае, если он существует.
В алгоритмов теории почти одновременно появилось
несколько различных по форме уточнений понятия
алгоритма, к-рые по существу оказались эквивалент-
эквивалентными. Каждое из этих уточнений заключается в том, что
выделяется тот или иной достаточно широкий класс кон-
конкретных алгоритмов, замкнутый относительно естест-
естественных операций соединения алгоритмов. Каждое ут-
утверждение о неразрешимости той или иной А. п. пред-
представляет собой математически строго доказанную тео-
теорему о невозможности решения рассматриваемой А. п.
с помощью алгоритмов данного класса. В такой форме
эти теоремы можно было бы рассматривать как специ-
фич. теоремы, связанные с данным классом алгоритмов.
Однако все результаты такого рода можно перенести на
общепонятный для математиков язык алгоритмов, по-
понимаемых в интуитивном смысле. Этот перенос основан
на так наз. тезисе Чёрча(в зависимости от фор-
формы уточнения понятия алгоритма его наз. еще тези-
тезисом Тьюринга, или принципом норма-
нормализации), к-рый утверждает, что рассматриваемый
класс алгоритмов универсален, т. е. с помощью алго-
алгоритмов этого класса по существу можно выполнить
работу любого алгоритма, понимаемого в интуитивном
смысле. Этот тезис есть естественнонаучный факт,
подкрепленный историей математики: все известные в
математике алгоритмы удовлетворяют ему; все попытки
построить примеры алгоритмов, выходящих за указан-
указанные рамки, не увенчались успехом. Наконец, эквива-
эквивалентность различных по форме уточнений понятия
алгоритма также служит подкреплением этого тезиса.
Тезис Чёрча не может быть доказан, поскольку отно-
относится к математически расплывчатому понятию алго-
алгоритма в интуитивном смысле; однако он очень важен
для математики, так как позволяет говорить о неразре-
неразрешимости тех или иных А. п. в широком и общепонятном
для математиков смысле.
Первые примеры неразрешимых А. п. были обнару-
обнаружены в самой теории алгоритмов. К ним относятся
проблема распознавания принадлежности данному не-
нерекурсивному множеству натуральных чисел, проблема
остановки универсальной машины Тьюринга, проблема
распознавания самоприменимости нормальных алгориф-
алгорифмов и др.
Из А. п., выходящих за рамки самой теории алго-
алгоритмов, прежде всего следует отметить проблему распо-
распознавания тождественной истинности формул,исчисления
предикатов 1-й ступени, неразрешимость к-рой впер-
впервые была доказана А. Чёрчем (A. Church) в 1936. К это-
этому результату по существу примыкают многочисленные
исследования А. п. в моделей теории. Теория моделей,
изучающая непустые множества с определенными на
них отношениями с помощью исчисления предикатов,
возникла в 30-х гг. в работах А. И. Мальцева и А. Тар-
ского (A. Tarski). Им же принадлежат точные постановки
многих А. п. в теории моделей и ряд фундаментальных
результатов в этом направлении. Элементарной
теорией данного класса К моделей наз. совокуп-
совокупность всех замкнутых формул исчисления предикатов
1-й ступени, к-рые истинны во всех моделях класса К.
Класс К может состоять из одной модели. Элементарная
теория Т наз. разрешимой или неразре-
неразрешимой в зависимости от того, существует или нет
алгоритм для распознавания по любой формуле, при-
принадлежит она теории Т или нет. Нек-рый обзор методов
исследования А. п. в теории моделей и результатов,
полученных в этом направлении, имеется в [3]. Из ука-
указанных в [3] и оставшихся пока A977) нерешенными
проблем наиболее интересен вопрос о разрешимости
элементарной теории свободных групп.
Многочисленные и разнообразные А. п. возникают
также при конструктивном истолковании различных
разделов математики. Ниже приведены основные ре-
зультаты, относящиеся к А. п. в традиционных разде-
разделах математики.
Долгое время оставался открытым естественный воп-
вопрос: являются ли неразрешимые А. п. специфическими
для теории алгоритмов и математич. логики? Иначе
говоря, существуют ли неразрешимые А. п. в тради-
традиционных разделах математики, далеких от математич.
логики? Первый результат такого рода был получен в
1947 независимо друг от друга А. А. Марковым и
Э. Л. Постом (Е. L. Post). Они доказали неразреши-
неразрешимость проблемы равенства слов (тождества) для полу-
полугрупп, к-рая была поставлена А. Туэ (A. Time) еще в
1914. В этой проблеме рассматриваются полугруппы,
заданные с помощью конечного числа образующих (ал-
(алфавита)
«к а2, ..., ап A)
и определяющих соотношений
A[ = Bt, i = l, 2, ..., k. B)
Элементарным преобразованием рас-
рассматриваемой полугруппы П наз. переход от слова
вида PAiQ к слову PBtQ или обратно, где Р и Q —
произвольные слова в алфавите A). Два слова X и У
в алфавите A) наз. эквивалентными в П, если они либо
совпадают графически, либо одно из них получается из
другого с помощью конечной последовательности эле-
элементарных преобразований. Множество всех классов
эквивалентности с операцией умножения, к-рая опре-
определяется естественным образом через операцию припи-
приписывания слов, и есть полугруппаП, заданная образую-
образующими A) и определяющими соотношениями B). Проб-
Проблема равенства слов (тождества) по-
полугруппы П заключается в отыскании алгоритма для
распознавания по любой паре слов X и У полугруппы П,
эквивалентны они в П или нет, т. е. тождественны
определенные ими элементы полугруппы П или нет.
А. А. Марков и Э. Л. Пост построили конкретные
полугруппы, для к-рых уже невозможен алгоритм,
решающий проблему равенства (см. [1]).
Наиболее замечательный результат в этом направле-
направлении был получен П. С. Новиковым [4], [5]. Он доказал
неразрешимость классич. проблемы тождества теории
групп, к-рая была поставлена М. Деном (М. Dehn) в
1912 и привлекала внимание многих алгебраистов мира.
Эта проблема формулируется аналогично проблеме
тождества для полугрупп с тем отличием, что рассмат-
рассматриваются только такие системы соотношений B), к-рые
гарантируют существование в рассматриваемой полу-
полугруппе обратных элементов для всех образующих A).
П. С. Новиков доказал также неразрешимость очень
важной для теории групп проблемы изомор-
изоморфизм а, к-рая заключалась в отыскании алгоритма
для распознавания по любым двум группам, изоморфны
они или нет. Позже было показано [6], что для всякой
фиксированной группы G невозможен алгоритм, к-рый
проверял бы по произвольной группе, изоморфна она
группе G или нет.
А. А. Марков исследовал проблемы распо-
распознавания инвариантных свойств
полугрупп, т. е. таких свойств, к-рые сохраня-
сохраняются при переходе к изоморфным полугруппам [2].
Он доказал, что если для инвариантного полугруппово-
полугруппового свойства а существует полугруппа со свойством а
и другая полугруппа, не вложимая ни в какую полу-
полугруппу с этим свойством, то невозможен алгоритм для
распознавания по любой полугруппе, обладает она
свойством а или нет. Это по существу означает, что
почти все инвариантные полугрупповые свойства
алгоритмически не распознаваемы в классе полугрупп.
В теории групп также был получен аналог этой фунда-
фундаментальной теоремы (см. [7], [8], [9]). Из нее, в частно-
частности, вытекает следствие: пусть Ка есть класс всех групп,
обладающих инвариантным свойством а; с каждым та-
таким классом связаны две А. п.— проблема тождества
для групп из класса Ка и проблема распознавания
по любой группе, принадлежит она классу Ка или
нет. Оказывается, что для любого непустого класса
Ка по крайней мере одна из этих двух А. п. нераз-
неразрешима. Аналогичная ситуация имеет место и для по-
полугрупп.
Исследовался вопрос о возможно простых заданиях
групп и полугрупп с неразрешимой проблемой равен-
равенства слов. Из многочисленных исследований в этом на-
направлении следует отметить доказательство неразреши-
неразрешимости проблемы равенства слов для полугруппы, задан-
заданной 7 простыми определяющими соотношениями:
ас=са, ad=da, Ье=сЬ, bd=db,
b^=de, cca=ccae
(см. [10]). Позже был построен пример полугруппы с
3 определяющими соотношениями и неразрешимой
проблемой равенства [И]. Даже для полугрупп с одним
определяющим соотношением до сих пор A977) не най-
найден алгоритм, решающий проблему тождества в общем
случае. Такой алгоритм построен только для несокра-
несократимого определяющего соотношения [12]. Для групп с
одним определяющим соотношением алгоритм, решаю-
решающий проблему равенства, был построен давно [13]; но
уже для двух соотношений вопрос остается открытым.
Минимальное число определяющих соотношений, при
к-ром известны примеры групп с неразрешимой проб-
проблемой тождества, равно 12. Доказана разрешимость
проблемы равенства слов для коммутативных полу-
полугрупп. Для коммутативных групп разрешима также и
проблема изоморфизма. Проблема равенства слов раз-
разрешима для конечных групп, для конечно определенных
простых групп, для нильпотентных групп, а также для
разрешимых групп ступени 2. Но уже в классе разре-
разрешимых групп ступени 5 можно указать группу с нераз-
неразрешимой проблемой равенства, заданную с помощью
соответствующего тождества ступени 5 и конечного
числа определяющих соотношений (см. [15]).
Исследование проблемы тождества для групп с ог-
ограниченной мерой налегания определяющих слов,
т. е. левых частей определяющих соотношений, было
начато еще до того, как была доказана неразрешимость
общей проблемы тождества. Самым сильным результа-
результатом в этом направлении в настоящее время A977) явля-
является доказательство разрешимости проблемы тождества
в классе групп, задаваемых системами определяющих
соотношений, в к-рых определяющие слова могут на-
налегать друг на друга лишь менее чем на 1/6 своей длины
[14]. Если допустить налегание на 1/3 длины опреде-
определяющих слов, то пример группы с неразрешимой проб-
проблемой тождества строится довольно просто. Для проме-
промежутка между 1/5 и V3 вопрос остается открытым. Ана-
Аналогичные исследования проводились и для полугрупп.
Оказалось, что для полугрупп с максимальной мерой
налегания определяющих слов, меньшей х/г, проблема
тождества разрешима, в то время как известны приме-
примеры полугрупп с неразрешимой проблемой тождества и
с максимальной мерой налегания определяющих слов,
равной 1/2.
Из топологич. А. п. прежде всего выделяется клас-
сич. проблема распознавания гомеоморфизма для
n-мерных многообразий. А. А. Марков построил пример
4-мерного многообразия Ш1, для к-рого невозможен
алгоритм, распознающий по любому 4-мерному многооб-
многообразию, гомеоморфно оно ЗЛ или нет [17]. Известно, что
при п=2 эта проблема имеет положительное решение;
при тг=3 вопрос остается открытым; для n-мерных мно-
многообразий при /г^4 неразрешимы также проблемы
распознавания комбинаторной и гомотопич. эквива-
лентностей многообразий. Заметим также, что если
взять полиэдр Р, фундаментальная группа к-рого имеет
неразрешимую проблему тождества, то для Р невозмо-
невозможен алгоритм, распознающий связанную гомотопность
(или свободную гомотопность) двух произвольных пу-
путей на Р, проходящих через данную точку. Получено
положительное решение проблемы сопряженности в
группах кос, к-рая эквивалентна топологич. пробле-
проблеме распознавания эквивалентности кос [16].
Одной из наиболее знаменитых А. п. математики яв-
являлась 10-я проблема Гильберта, в к-рой
требовалось найти алгоритм для распознавания по лю-
любой системе диофантовых уравнений с целочисленными
коэффициентами, имеет она целочисленное решение
или нет. После появления многочисленных результатов
о неразрешимых А. п. возникла гипотеза о том, что и
эта проблема неразрешима. Более того, группе американ-
американских математиков удалось установить, что неразреши-
неразрешимость 10-й проблемы Гильберта следует из существова-
существования двуместного диофантова предиката экспоненциаль-
экспоненциального роста (см. [18], [19]). Однако построить такой
предикат им не удалось. Они доказали лишь неразре-
неразрешимость проблемы распознавания существования
целочисленных решений показательных уравнений.
Искомый диофантов предикат экспоненциального роста
впервые был построен в 1970 (см. [20], [21]). Тем самым
впервые была доказана неразрешимость 10-й пробле-
проблемы Гильберта.
В теории алгоритмов доказано существование нераз-
неразрешимых А. п. различных неразрешимости степеней.
Многочисленные исследования возникающих в матема-
математике А. п. показали, что каждая из этих А. п. в общем
случае имеет максимальную степень неразрешимости,
а в своих частных вариантах (например, проблема тож-
тождества в конкретных полугруппах или группах)
может иметь любую наперед заданную степень нераз-
неразрешимости.
Лит.: [1] Мальцев А. И., Алгоритмы и рекурсивные
функции, М., 1965; [2] Марков А. А., «Тр. Матем. ин-та
АН СССР», 1954, т. 42, с. 1—376; [3] Е р ш о в Ю. Л. и др.,
«Успехи матем. наук», 1965, т. 20, Лд 4, с. 37—108; [4] Н о в и-
ков П. С, «Докл. АН СССР», 1952, т. 85, №4, с. 709 — 12;
[5] Н о в и к о в П. С, «Тр. Матем. ин-та АН СССР», 1955,
т. 44, с. 1—444; [6] Ад ян С. И., «Тр. Моск. матем. об-ва»,
1957, т. 6, с. 231—98; [7] Адян С. И., «Докл. АН СССР»,
1957, т. 117, № 1, с. 9—12; [8] А д я н С. И., «Докл. АН СССР»,
1958, т. 123, № 1, с. 13—16; [9] Kabin M. О., «Ann. math.»,
1958, v. 67, .Ns 1, p. 172—94; [10] Ц е йт и н Г. С, «Тр. Матем.
ин-та АН СССР», 1958, т. 52, с. 172—89; [11] Матиясевич
Ю В., «ДОКЛ. АН СССР», 1967, т. 173, JV« 6, с. 1264—6; [12]
Адян СИ., «Тр. Матем. ин-та АН СССР», 1966, т. 85, с. 1 —
123; [13] Магнус В., «Успехи матем. наук», 1941, Bd 8
с. 365—76; [14] L у n d о n R. С, «Math. Ann.», 1966, Bd. 166,
№ 3, S. 208—28;v[l5] Ремесленников В. Н., «Алгебра
и логика», 1973, т. 12, Ла 5, с. 577—602; [16] Г а р с а й д Ф А.,
«Математика», 1970, т. 14, № 4, с. 113—32; [17] М а р к о в А. А.,
«Докл. АН СССР», 1958, т. 123, Ks 6, с. 978—80; [18] Д э в и с М.,
П у т н а м X., Робинсон Д ш., «Математика», 1964,
т. 8, М5 5, с. 69—79; [19] Робинсон Д ж., «Математика»,
1964, т. 8, М> 5, с. 3—14; [20] Матиясевич Ю. В., «Докл.
АН СССР», 1970, т. 191, JV« 2, с. 279—82; [21] Матиясе-
Матиясевич Ю. В., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1971, т. 35, № 1,
с. з—30. С. И. Адян.
АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ СВОДИМОСТЬ — одно из ос-
основных понятий алгоритмов теории и ее приложений,
Возникло в связи с тем, что неразрешимость (и разре-
разрешимость) мнагих алгоритмических проблем устанавли-
устанавливается большей частью не непосредственно, а путем
сведения к исследуемой проблеме такой алгоритмич.
проблемы, неразрешимость к-рой уже доказана (или
исследуемой проблемы к нек-рой уже решенной проб-
проблеме). Так, неразрешимость проблемы гомотопии путей
в полиэдре доказывается путем сведения к ней пробле-
проблемы равенства слов в соответствующей фундаментальной
группе.
Ниже приведены простейшие примеры А. с. теорети-
теоретико-числовых (т. е. определенных на натуральных чис-
числах) предикатов и функций:
где Р и Q — предикаты. Проблема разре-
разрешения предиката Р, т. е. установления ис-
истинности и ложности Р для разных х, сводится к проб-
проблеме разрешения Q, или, короче, Р сводится к Q.
Говорят также, что множество истинности Р, т. е.
{х\Р (х) }=МР, сводится к Mq={x\Q(x)}.
Пусть
где /(ж) и g{u, у) — теоретико-числовые функции.
Проблема вычисления функции /
сводится к проблеме вычисления g, или, короче, /
сводится к g.
Понятие А. с. было уточнено А. М. Тьюрингом
(А. М. Turing): если, грубо говоря, нек-рая Тьюринга
машина перерабатывает последовательность закодиро-
закодированных значений функции g в последовательность зако-
закодированных значений функции /, то функция / сводится
к функции g. Близкое понятие относительной вычисли-
вычислимости С. К. Клини (S. С. Kleene) уточнил с помощью
рекурсивных схем равенств (см. [1]). После арифмети-
зации каждая алгоритмич. проблема сводится к проб-
проблеме вычисления пек-рой теоретико-числовой функции
/. Если / сводится к g по Тьюрингу, f<r8i a 8 сводится
к U g<-rU T0 говорят, что fag имеют одну и ту же
степень неразрешимости, или f=re-
Отношение <:г рефлексивно и транзитивно. Таким об-
образом, все функции (и множества натуральных чисел
или их характеристич. предикаты) разбиваются на клас-
классы эквивалентности, наз. тьюринговыми сте-
степенями или Т-степенями (см. [3]). Большинство
алгоритмич. проблем, рассматриваемых в логике и
математике, являются проблемами разрешения (рекур-
(рекурсивно) перечислимых множеств конструктивных объек-
объектов. В связи с этим Э. Л. Пост [2] в 40-х гг. 20 в. пред-
предпринял исследование перечислимых множеств и ввел
наряду с тьюринговой нек-рые специальные виды А. с,
сформулировав проблему (сводимости): сводят-
сводятся ли (по Тьюрингу) друг к другу различные перечис-
перечислимые неразрешимые множества? Позже было установ-
установлено, что перечислимые множества образуют бесконеч-
бесконечную весьма богатую систему Г-степеней. При этом был
найден так наз. метод приоритета, широко
используемый в теории алгоритмов.
В дальнейшем степени неразрешимости нашли приме-
применение в других областях математики. Так, напр., для
всяких Г-степеней а и Ъ перечислимых множеств при
о<:гЬ существует конечно определенная группа, в
к-рой проблема равенства слов имеет степень о, а
проблема сопряженности — степень Ь. Имеется тесная
связь между степенями (относительно различных видов
А. с.) перечислимых множеств и скоростью роста
сложности начальных фрагментов перечислимых мно-
множеств. Специальный вид сводимости — полиноми-
полиномиальная сводимость, или р-с водимость
(сводимость с нек-рым ограничением на время),— ис-
используется при доказательстве универсальности алго-
алгоритмич. проблем «переборного типа», т. е. проблем
комбинаторного характера из разных областей матема-
математики (см. [5]; более подробную лит. см. в [1]). В свою
очередь, при исследовании степеней стали применять
методы теории меры (см. [1], гл. 16) и вынуждения ме-
метод (см. [4]).
Лит.: [1] Роджерс X., Теория рекурсивных функций
и эффективная вычислимость, пер. с англ., М., 1972, гл.9, 10,
13, 16; [2] Р о s t E. L., «Bull. Amer. Math. Soc», 1944, v. 50
№ 5, p. 284—316; [3] К lee n e S. C, P os t E. L., «Ann. Math.»,
ser. 2, 1954, v. 59, № 3, p. 379—407; [4] S e 1 m a n A. L.
«Proc. Lond. Math. Soc», ser. 3, 1972, v. 25, № 4, p. 586—602
[5] Карп Р., в кн.: Кибернетический сборник, в. 12, М.
1975. .4. А. Мучник
АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ —
раздел математич. логики, уточняющий и изучаю-
щий на базе понятий алгоритма и вычислимой функции
основные понятия теории информации. А. т. и. стремит-
стремится обосновать эти понятия без помощи обращения к тео-
теории вероятностей и так, чтобы понятия энтропии и ко-
количества информации были применимы к индивидуаль-
индивидуальным объектам. Наряду с этим она порождает и свои
собственные проблемы, связанные с изучением энтро-
энтропии конкретных индивидуальных объектов.
Центральным понятием А. т. и. является понятие
энтропии индивидуального объек-
т а, называемое сложностью объекта (по
Колмогорову). Интуитивно под этим понимает-
понимается минимальное количество информации, необходи-
необходимое для восстановления данного объекта. Точное оп-
определение понятия сложности индивидуального объ-
объекта и на основе этого понятия количества инфор-
информации в индивидуальном объекте у относительно ин-
индивидуального объекта х было дано А. Н. Колмо-
Колмогоровым в 1962— 65, что и послужило началом развития
А. т. и.
Без существенных ограничений общности можно рас-
рассматривать только двоичные слова (что в дальнейшем
и будет делаться). Под сложностью слова г
понимается длина I (р) самого короткого (двоичного)
слова р, содержащего всю информацию, необходимую
для восстановления х при помощи к.-л. фиксированного
способа декодирования. Точное определение этого по-
понятия следующее.
Пусть F(s) — произвольная словарная частично
рекурсивная функция. Тогда под сложностью слова х
но F понимается:
/minZ(p), F (р)=х,
( оо, если нет такого р, что F(p)=x.
Слово р такое, что F (р)=х, наз. кодом, или програм-
программой, по к-рой F восстанавливает слово х. Имеет место
теорема: существует частично рекурсивная функция
Fo (называемая оптимальной) такая, что для
любой частично рекурсивной функции F выполняется
неравенство:
K
где Ср — константа, не зависящая от х. Эта теорема
позволяет дать инвариантное (с точностью до аддитив-
аддитивной константы) определение сложности: сложностью
К(х) слова х наз. сложность KFg(x) по нек-рой раз и
навсегда фиксированной оптимальной частично ре-
рекурсивной функции Fo. Очевидно, К (x)-*?l(x)-\-C, где
С — константа, не зависящая от х.
Используя К(х), можно определить также слож-
сложность К(х, у) пар слов (х, у): для этого
пары (х, у) эффективно кодируются в виде одного
слова с(х, у), и под сложностью К(х, у) понимается
К(с{х, у)).
П. Мартином-Лёфом (P. Martin-Lof) был исследован
вопрос о том, как ведет себя сложность начальных кус-
кусков бесконечных двоичных последовательностей. Пусть
(о„ означает начальный кусок последовательности со,
составленной из первых п знаков. Тогда почти все
(относительно меры Лебега) бесконечные двоичные
последовательности со обладают свойствами: а) для бес-
бесконечно многих натуральных п справедливо неравен-
неравенство К(шп)^п — с, где с — нек-рая константа; б) для
всех натуральных п, больших нек-рого ге?, ^(со„)^
~^п— (l-)-e)log2n, где е — произвольное положительное
число (теорема Мартин а-Л ё ф а). С другой
стороны, для любой последовательности со существует
бесконечно много натуральных п таких, что ЛГ(со„)<:
l
Понятие сложности используется также при изуче-
изучении алгоритмич. проблем. Здесь более естественной
является так наз. сложность разрешения
слова х. Интуитивно под этим понимается минималь-
минимальное количество информации, к-рую надо иметь, чтобы
по каждому числу i*g.l(x) найти г-й знак слова х (длину
снова х при этом можно и не знать). Точнее, под слож-
сложностью разрешения слова х=ххх2.. -хкх) по частично
рекурсивной функции G(s, t) понимается
( min I (p): Vi < I (x) G (p, i) = z,-,
KR0(x) = {
\ oo, если нет такого р.
Имеет место теорема: существует частично рекурсивная
функция Go (называемая оптимальной) такая,
что для любой другой частично рекурсивной функции
G выполняется неравенство KRQa(x)<iKRo(x)-^C q,
где Cq — константа, не зависящая от х. Сложностью
разрешения KR(x) слова х наз. сложность KRoa(x)
по нек-рой раз и навсегда фиксированной оптимальной
частично рекурсивной функции Go. Очевидно, KR(x)<.
<К{х)+С и K(x)*s:KR (x)+2l(x)+C. Используя
KR(x), можно для любого множества натуральных
чисел М определить сложность К(М, п) для ге-куска
множества М : К(М, п) = KR((on), где ы=х^х2. . .
xj. .. — характеристическая последо-
последовательность множества М (ж,= 1, если
и ж,-=0, если
Алгоритмич. проблемы обычно могут быть представ-
представлены в виде проблемы вхождения в нек-рое рекурсивно
перечислимое множество М. Если мы фиксируем нек-
некрое п и ограничиваемся рассмотрением проблемы вхож-
вхождения в М только для первых п натуральных чисел,
то мы получаем ограниченную алгорит-
алгоритмическую проблему. Величина К (М, п)
интуитивно выражает количество информации, к-рую
надо иметь, чтобы можно было решить данную ограни-
ограниченную проблему. В частности, множество М рекур-
рекурсивно тогда и только тогда, когда К(М, п) ограничено
сверху нек-рой константой.
Из теоремы Мартина-Лёфа следует существование
множеств, для к-рых К(М, п)~п. При этом оказы-
оказывается, что максимально сложные множества уже суще-
существуют среди множеств, задаваемых арифметич. преди-
предикатами с двумя кванторами. Однако в случае рекурсив-
рекурсивно перечислимых множеств имеет место теорема:
а) для любого рекурсивно перечислимого множества
М и любого п справедливо неравенство К(М, гс)<:
<log2 гс+С, где С не зависит от п; б) существует
рекурсивно перечислимое множество М такое, что для
любого п имеет место неравенство К(М, rc)>log2 п.
В то же время существуют такие рекурсивно перечисли-
перечислимые множества М, что при ограничении времени вычис-
вычислений произвольной общерекурсивной функцией t
имеет место оценка К* (М, n)~^n/cf, где С{ не зависит
от п.
В указанных терминах можно дать также характе-
характеристику универсальных по нек-рому типу сводимости
множеств (см. Универсальное множество): множество М
является слабо таблично универсальным тогда и только
тогда, когда существует неограниченная общерекурсив-
общерекурсивная функция f(n) такая, что для любого п имеет место
неравенство К(М, n)^f(n).
При изучении сложности ограниченных алгоритмич.
проблем иногда используются и другие меры сложно-
сложности, как, напр., минимальная длина изображения нор-
нормального алгорифма, решающего данную ограниченную
проблему. Но оказывается, что между введенными
выше сложностями и аналогами этих сложностей, выра-
выраженными через минимальную длину изображения нор-
нормального алгорифма (или через минимальное число
внутренних состояний машины Тьюринга), существуют
асимптотически точные соотношения (см. Алгоритма
сложность).
При построении А. т. и. вводится еще понятие у с-
ловной сложности слова i при известном
у по частично рекурсивной функции G(s, t):
mini (p):G (p, y) = x,
oo, если нет такого р, что G (p, y)=x.
Для этого понятия также имеет место теорема о сущест-
существовании оптимальной функции Go, и условная слож-
сложность К (х\у) слова х при известном у определяется как
сложность Ка„(х\у) по нек-рой раз и навсегда фикси-
фиксированной оптимальной функции Go; K(x\y) интуитивно
обозначает минимальное количество информации, к-рое
необходимо добавить к информации, содержащейся в
слове у, чтобы можно было восстановить слово х. Оче-
Очевидно, К(х\у)<.К(х)+С.
Следующим центральным понятием А. т. и. яв-
является понятие количества информации
в индивидуальном объекте;/ относительно
индивидуального объекта х:
Цу :х)=К(х)-К(х\у).
Величину I (у : х) наз. алгоритмическим
количеством информации в у об х.
Соответственно величины К(х) и К(х\у) наз. иногда а л-
горитмической энтропией х и алго-
алгоритмической условной энтропией х
при заданном у. Формулы разложения энтропии Н (X,
Y) = H (X)-\-H (Y\X) и коммутативности информации
I (X : Y)=I(Y : X) верны в алгоритмич. концепции
лишь с точностью до членов порядка О (logH (X, Y)):
\К(х, у) — [К (х)+К (y\x)]\<O(logK (х, у)),
\I(x:y)~I(y:x)\<O(\ogK(x, у)).
Между алгоритмич. и классич. определениями коли-
количества информации (точнее, между сложностью слова по
Колмогорову и энтропией распределения частот по
Шеннону) существует определенная связь (А. Н. Кол-
Колмогоров): пусть задано число г и пусть слово х дли-
длины t-r состоит из i слов длины г, причем k-е слово
длины г входит в х с частотой <7.fc(/c=l, 2, . . ., 2Г),
тогда
где
Н = — 2А = 1 4k^Og2qk
и ot(i)—>-0 при г—>-оо. В общем случае более тесную связь
между энтропией и сложностью установить нельзя.
Это объясняется тем, что энтропия приспособлена для
изучения текстов, не имеющих других закономерностей,
кроме частотных. Следовательно, для случайных по-
последовательностей со по мере, соответствующей незави-
независимым испытаниям, между рассматриваемыми величи-
величинами можно установить полную связь;
lim (K(wir)/i)=H.
Аналогичный факт имеет место и для произвольного
эргодического стационарного случайного процесса.
Лит.: Ш Колмогоров А. Н., «Проблемы передачи
информации», 1965, т. 1, вып. 1, с. 3—11; 12] е г о же, «Про-
«Проблемы передачи информации», 1969, т. 5, вып. 3, с. 3—7; [3]
Звонкий А. К., Левин Л. А., «Успехи матем. наук»,
1970 т. 25, вып. 6 с. 85—127; [4] Б а р з д и н ь Я. М., «Докл.
АН СССР», 1968, т. 182, № 6, с. 1249 — 1252; [5] К а н о в и ч
М. И., «Докл. АН СССР», 1970, т. 194, № 3, с. 500 — 503.
Я. М. Барздипъ.
АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ — см.
Рекурсивная теория множеств.
АЛГОРИТМИЧЕСКИЙ ЯЗЫК, формальный
язык программирования, — формальный
язык, предназначенный для описания вычислительных
процессов, или, что то же, для записи алгоритмов, под-
подлежащих выполнению на вычислительных машинах.
Различают проблемно-ориентирован-
проблемно-ориентированные А. я. (А. я. высокого уровня), предназначенные
для записи алгоритмов безотносительно к к.-л. опре-
определенным вычислительным машинам, и машинно-
ориентированные А. я. (А. я. низкого уров-
уровня), уже учитывающие особенности той или иной вы-
вычислительной машины (список команд, характеристики
запоминающего устройства и т. д.). Обычно под терми-
термином «А. я.» понимают проблемно-ориентированный
язык, противопоставляя его машинному языку,
т. е. средству записи, воспринимаемой машиной не-
непосредственно. Над законченными текстами (програм-
(программами) в А. я. определен универсальный алгоритм их
однозначного выполнения, что отличает А. я. от н е а л-
горитмических языков программирова-
программирования, в к-рых процесс выполнения текста сугубо неод-
неоднозначен или текст служит только материалом для
синтеза алгоритма решения задачи.
Подобно естественным языкам, А. я. строится над
алфавитом основных символов (в к-ром записывается
программа) в виде иерархич. системы своих грамматич.
элементов с заданными на них отношениями (подобно
словам, словосочетаниям и предложениям в естествен-
естественном языке, связанным синтаксич. правилами). Элемен-
Элементы низшего уровня, образованные цепочками основных
символов, наз. лексемам и. Для вхождений лек-
лексем в программу определена их принадлежность к нек-
рому классу и к области действия— к.-л.
однозначно выделяемой части программы, к к-рой
относятся все входящие в нее экземпляры лексемы.
Среди всех вхождений лексемы выделяется одно, к-рое
наз. определяющим; остальные вхождения лек-
лексемы в область действия наз. использующими.
Следующие уровни элементов А. я. образуются п о-
н я т и я м и. Между понятиями А. я. задается отно-
отношение быть (прямой) конституентой (т. е. не-
непосредственной составной частью), а между конститу-
ентами данного понятия — отношение конкате-
конкатенации (текстуального следования). Транзитивное
замыкание конституентного отношения однозначно
сопоставляет понятию нек-рое подслово текста про-
программы, наз. порождением этого понятия. Су-
Существует одно начальное понятие, порождением к-рого
является весь текст программы. Среди понятий выде-
выделяются позиции и субституенты. Субсти-
туента занимает нек-рую позицию, являясь ее прямой
конституентой. Дерево, корень к-рого — начальное
понятие, концевые вершины — лексемы и основные
символы, внутренние вершины — понятия, а дуги —
конституентные отношения, наз. деревом раз-
разбора программы. Построение этого дерева наз. син-
синтаксическим анализ ом программы.
Понятия и лексемы обладают а т р и б у т а м и, т. е.
нек-рыми фиксированными описанием А. я. множест-
множествами, элементы к-рых сопоставляются элементам А. я.
в качестве их характеристик. Нахождение атрибутов
элементов А. я., входящих в программу, наз. ее с е-
мантическим анализом. Нахождение ат-
атрибутов лексем начинается с анализа их определяющих
вхождений, к-рые обычно содержат информацию об
атрибутах в явном виде. Затем атрибутивная информа-
информация в пределах соответствующей области действия пере-
переносится на все использующие вхождения лексемы
(идентификация). Атрибуты нек-рого понятия
находятся индукцией по дереву разбора как функции
атрибутов его конституент. Существенной частью се-
мантич. анализа, имеющей большое значение для конт-
контроля правильности программы, является проверка на
совместимость атрибутов позиции и ее субституенты
(приведение). Почти во всех А. я. действуют те
или иные правила умолчания, т. е. приписы-
приписывание не специфицированному явно атрибуту нек-рого
значения как функции контекста данного понятия. Та-
Таким контекстом могут быть: позиция, область действия,
вся программа и, наконец, само описание А. я.
Правила синтаксич. анализа задаются либо порожда-
порождающей грамматикой А. я. (см. Грамматика порождаю-
порождающая), либо анализирующим автоматом (точнее, его
различными обобщениями), преобразующим текст
программы в дерево разбора. Правила семантич. ана-
анализа описываются обычно неформально, однако пред-
предпринимались попытки формализовать определение ат-
атрибутивной информации и учет контекста с помощью
механизма двухступенчатых грамматик (см. Алгол-68).
Алгоритм выполнения программ А. я. задается сопо-
сопоставлением вершинам дерева разбора различных испол-
исполнительных процедур (называемых также трансдук-
торами, семантическими процеду-
процедурами). Каждая процедура выполняет нек-рые дей-
действия как функцию атрибутов и того или иного контекста
данного понятия (или лексемы), а затем определяет
последующую процедуру. Действия процедуры либо
непосредственно задают вычислительный процесс в
терминах нек-рой абстрактной машины (семантика
интерпретирующего типа), либо трансфор-
трансформируют порождение данного понятия во фрагмент про-
программы в нек-ром языке низшего уровня (семантика
трансляционного типа).
В конкретных А. я. алфавит основных символов обыч-
обычно состоит из букв латинского (иногда с добавлением
русского) алфавита, цифр, парных ограничителей (ско-
(скобок), разделителей (знаков препинания) и нек-рых зна-
знаков операций. В связи с ограниченностью алфавита
существуют правила кодирования основных символов
комбинациями знаков, воспринимаемых входными уст-
устройствами машины. Основные классы лексем — н у-
м е р а л ы для изображения чисел, литералы
для изображения текстов, идентификаторы
для обозначения различных объектов программы,
определяемых в ней самой. Основными объектами
являются переменные величины, метки (наименова-
(наименования различных частей программы) и процедуры
(функциональные обозначения). Смысл и назначение
нек-рых идентификаторов фиксируется описанием
А. я. (закрепленные слова).
Среди понятий А. я. выделяются базовые конструк-
конструкции — описания, выражения и операторы. Описа-
Описания являются источником атрибутивной информации,
приписываемой определяющему вхождению лексемы.
В основном атрибуты характеризуют тип (вид) значе-
значений, вычисляемых при выполнении программы, их
представление и режим хранения в памяти ЭВМ. Для
составных значений (векторов, матриц, структурных
величин) указывается также способ доступа к их эле-
элементарным компонентам. Выражения являются
источником значений; операторы — единицами
законченных действий в программе; базовые опе-
операторы— это оператор присваивания зна-
значения выражения переменной величине, оператор п е-
редачи управления (безусловной или по
условию), оператор вызова процедуры,
оператор цикла.
Циклы и процедуры являются наиболее характерны-
характерными средствами А. я. для сокращенной записи сколь угод-
угодно длинных вычислений. Оператор цикла организует
повторное вынолнение нек-рой части программы (т е-
л а цикла), управляемое заданным условием на
число повторений. Описание процедуры вводит сокра-
сокращенное параметризованное функциональное обозначе-
обозначение для нек-рой части программы (тело проце-
процедуры). Выполнение тела процедуры впоследствии
может трактоваться как элементарное действие, ини-
инициируемое вызовом процедуры, вносящим одновременно
в тело процедуры фактич. значения параметров.
Важное свойство А. я. — возможность регуляриза-
регуляризации структуры программы, облегчающей ее написание,
изучение и проверку правильности. Основными сред-
средствами регуляризации являются ограничения на струк-
структуру областей действия, тел процедур и циклов, а также
регламентация употребления операторов передачи
управления, ограничивающая ветвимость цепочек вы-
выполнения базовых операторов параллельно-последова-
параллельно-последовательной структурой.
Программирование с использованием А. я. для вы-
вычислительной машины требует включения в ее програм-
программное обеспечение специальных программирую-
программирующих процессоров — посредников между про-
программами на А. я. и машиной. Процессор в своем раз-
развернутом составе выполняет следующие функции:
ввод программы, лексический (выделение и классифика-
классификация лексем), синтаксический и семантич. анализы с
сигнализацией о формальных ошибках, синтез проме-
промежуточной формы (представление программы на внутрен-
внутреннем языке нек-рой абстрактной вычислительной ма-
машины, удобное для последующей обработки или выпол-
выполнения программы), оптимизация (систематич. преобра-
преобразование промежуточной формы, улучшающее такие ха-
характеристики программы, как ее размер, скорость и
объем расходуемой памяти), генерация (построение
машинной программы), выполнение программы. В про-
процессорах транслирующего типа (трансляторы,
компиляторы, программирующие
программы) выполнение программы происходит
после полного построения машинной программы. В про-
процессорах интерпретирующего типа (шаговые, диа-
диалоговые, отладочные трансляторы)
программа выполняется с помощью нек-рого механизма
интерпретации ее либо промежуточной формы, либо
дерева разбора, либо даже исходного текста.
Различают одно-, двух- и многофазные схемы
трансляции программ. В однофазной схеме все
функции транслятора объединены в один просмотр тек-
текста программы. Оптимизация и промежуточная форма
отсутствуют, а выделяемые вершины дерева разбора тут
же порождают машинные команды программы. В двух-
двухфазных трансляторах обычно на первом просмотре
программы строится дерево разбора, а на втором про-
просмотре семантич. анализ объединяется с генерацией.
Многофазные схемы с использованием промежуточной
формы применяются в оптимизирующих трансляторах
или в системах со сменной генерацией для различных
типов машин, а для нек-рых А. я. требуются в силу
сложности синтаксич. и семантич. анализов.
Количество разнообразных А. я., созданных для ра-
работы на вычислительных машинах, весьма велико (боль-
(больше тысячи), однако только нек-рые из них получили
широкое распространение. К ним относятся языки
алгол, алгол-68, кобол, лисп, ПЛИ, симула, фортран,
а в СССР также алгамс, альфа, рефал.
Лит.: Г1] Ингерман П., Синтаксически ориентирован-
ориентированный транслятор, пер. с англ., М., 1969; [2] Языки программиро-
программирования, пер. с англ., М., 1Я72; [3] X о п г у д Ф., Методы ком-
компиляции, пер. с англ., М., 1972; D] X и г м а н Б., Сравни-
Сравнительное изучение языков программирования, пер. с англ., М.,
1974. А. П. Ершов.
АЛГОРИТМОВ СОЧЕТАНИЯ — название, устано-
установившееся за рядом конкретных способов конструиро-
конструирования новых алгоритмов из нескольких заданных.
В применении к нормальным алгорифмам наибольшую
известность получили следующие А. с: нормаль-
нормальная композиция E3^20 двух нормальных
алгорифмов 91 и 5В, нормальное объедине-
объединение (ЗС' '33) двух нормальных алгорифмов ЭД и 58,
нормальное разветвление (91 Y 58 I 6)
двух нормальных алгорифмов 91 и 58, управляемое
нормальным алгорифмом E, нормальное пов-
повторение Bt О (?) нормального алгорифма 2t, уп-
равляемое нормальным алгорифмом (J. Если ЭГ, 5Р,
E — нормальные алгорифмы в нек-ром алфавите А,
то упомянутые их сочетания являются нормальными
алгорифмами в нек-ром фиксированном расширении А
и удовлетворяют следующим условиям: а) для любого
слова Р в А имеет место (Sg^LPJ ^ SBL1LPJJ
(теорема композиции); б) для любого слова
Р в А имеет место CI~58)LPJ ^ 1LPJSBLPJ (т е о-
рема объединения); в) для любого слова Р в А
( 3TLPJ, если (SLP
C1 Y 581 6)LPJ -= <^
\ 58LPJ, если
причем если (91 Y 5B|E)L.PJ определено, то определено
и (aL-P-J (теорема разветвления); г) для
любых слов Р и Q в А графическое равенство
(91OE)'-.PJ Ж Q имеет место тогда и только тогда,
когда может быть указан ряд слов Ро, Plt . . ., Р (^l
в алфавите А таких, что
l B = 1, ..., /с),
= l, ..., k—i),
(теорема повторения). Аналогичные теоремы
могут быть получены и для Тьюринга машин. В теории
рекурсивных функций наибольшее употребление нашли
их сочетания, доставляемые оператором подстановки,
оператором примитивной рекурсии и и-оператором.
Теоремы об А. с. вскрывают весьма существенную
особепность осуществленных стандартизации общего
понятия алгоритма — их «устойчивость» по отношению
к естественным способам А. с. Это обстоятельство яв-
является одним из наиболее веских доводов в пользу
основной гипотезы теории алгоритмов (Че'рча тезиса).
Теоремы об А. с. составляют важный раздел общей тео-
теории алгоритмов. Будучи доказаны однажды, они позво-
позволяют в дальнейшем убеждаться в осуществимости слож-
сложных и громоздких алгоритмов без фактического выпи-
выписывания определяющих их схем.
Значительный интерес для общей теории алгоритмов
представляет вопрос о разыскании базиса, позволяюще-
позволяющего при фиксированном наборе способов А. с. порож-
порождать любой алгоритм к.-л. интересующего нас класса.
Лит : [1] Марков А. А., Теория алгорифмов, «Тр.
Матем. ип-таАНСССР», 1954, т. 42, с. 94—145; [2J К л и ни С. К.,
Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; [3] У с п е н-
с к и и В. А., Лекции о вычислимых функциях, М., 1960;
[4] Мальцев А. И., Алгоритмы и рекурсивные функции,
М., 1965. Н. М. Нагорный.
АЛГОРИТМОВ ТЕОРИЯ — раздел математики, изу-
изучающий общие свойства алгоритмов. Содержательные
явления, приведшие к образованию понятия «алгоритм»,
прослеживаются в математике в течение всего времени
ее существования. Однако само это понятие сформиро-
сформировалось лишь в 20 в. и стало предметом самостоятельного
изучения (по-видимому, впервые, хотя еще в расплыв-
расплывчатом виде) в 20-х гг. 20 в. в трудах представителей
интуиционизма Л. Э. Я. Врауэра (L. E. J. Brouwer)
и Г. Вейля (Н. Weyl, см. [1]). Началом систематич.
разработки А. т. можно считать 1936, когда А. Чёрч
(A. Church, [2]) опубликовал первое уточнение понятия
вычислимой функции (предложив отождествлять поня-
понятие всюду определенной вычислимой функции, имеющей
натуральные аргументы и значения, с понятием обще-
общерекурсивной функции) и привел первый пример функ-
функции, не являющейся вычислимой, а А. М. Тьюринг
(А. М. Turing, [3], [4]) и Э. Л. Пост (Е. L. Post, [5]) да-
дали первые уточнения понятия алгоритма (в терминах
идеализированных вычислительных машин, см. Тью-
Тьюринга машина). В дальнейшем А. т. получила развитие
в трудах С. К. Клинн (S. С. Kleene), Э.Л. Поста
(см. [6] - [8]), А. А. Маркова (см. [9J - [И]) и др.
В частности, А. А. Марков предложил уточнять поня-
понятие алгоритма с помощью введенного им понятия нор-
нормального алгорифма (см. [10]). Наиболее общий подход
к уточнению понятия алгоритма предложил А. Н. Кол-
Колмогоров (см. [12], [13]).
Поскольку алгоритмы могут иметь дело лишь с так
наз. конструктивными объектами, то, чтобы перенести
понятия и методы А. т. на случай неконструктивных
объектов, надо эти последние объекты обозначить, или
поименовать, конструктивными объектами. Изучение
общих свойств таких попменований (прежде всего, когда
в качестве обозначений, или имен, выступают натураль-
натуральные числа) составляет предмет теории нумерации (см.
[14]), образующей важный раздел А. т.
Основные понятия теории алгоритмов. О бластью
применимости алгоритма наз. совокуп-
совокупность тех объектов, к к-рым он применим. Про алгоритм
31 говорят, что он: 1) «вычисляет функцию /», коль
скоро его область применимости совпадает с областью
определения /, и 21 перерабатывает всякий х из своей
области применимости в f(x); 2) «разрешает множество
А относительно множества X», коль скоро он применим
ко всякому х из X и перерабатывает всякий х из ХП^
в слово «да», а всякий х из Х\Л в слово «нет»; 3) «пере-
«перечисляет множество В», коль скоро его область примени-
применимости есть натуральный ряд, а совокупность результа-
результатов есть В. Функция наз. вычислимо и, если
существует вычисляющий ее алгоритм. Множество наз.
разрешимым относительно X, если существует
разрешающий его относительно X алгоритм. Множество
наз. и е р е ч и с л и м ы м, если либо оно пусто, либо
существует перечисляющий его алгоритм.
Детальный анализ понятия «алгоритм» обнаруживает,
что: (I) область возможных исходных данных и область
применимости любого алгоритма суть перечислимые
множества. В свою очередь, (II) для любой пары вло-
вложенных одно в другое перечислимых множеств можно
подобрать алгоритм, у к-рого большее множество слу-
служит областью возможных исходных данных, а меньшее —
областью применимости. Имеют место следующие ос-
основные теоремы: (III) функция / вычислима тогда и
только тогда, когда перечислим ее график, т. е. множе-
множество всех пар вида <ж, /(ж)>. (IV) Подмножество А
перечислимого множества X тогда и только тогда
разрешимо относительно X, когда А и Х\А перечис-
перечислимы. (V) Если А и В перечислимы, то A (JB и А (]В
также перечислимы. (VI) В каждом бесконечном пере-
перечислимом множестве X существует перечислимое под-
подмножество с неперечислимым дополнением [в силу (IV)
это перечислимое подмножество будет неразрешимым
относительно X]. (VII) Для каждого бесконечного
перечислимого множества X существует вычислимая
функция, определенная на подмножестве этого множе-
множества и не продолжаемая до вычислимой функции,
определенной, на всем X. Утверждения (VI) и (II) в
совокупности дают упоминаемый в статье Алгоритм
пример алгоритма с неразрешимой областью примени-
применимости. Разрешимые и перечислимые множества состав-
составляют простейшие (и наиболее важные) примеры мно-
множеств, строение к-рых задается с помощью тех или иных
алгоритмич. процедур. Систематич. изучение множеств
конструктивных объектов с точки зрения таких свойств
этих множеств, к-рые связаны с наличием тех или
иных алгоритмов, образует так наз. алгоритмическую
теорию множеств; нек-рые понятия, методы и резуль-
результаты этой теории находят глубокие аналогии в дескрип-
дескриптивной теории множеств.
Алгоритмические проблемы. Проблема построения ал-
алгоритма, обладающего теми или иными свойствами,
наз. алгоритмической проблемой (а. п.). Как правило,
свойство искомого алгоритма формулируется в терминах
свойств того соответствия, к-рое должно иметь место
между исходными данными и результатами алгоритма.
Важные примеры а. п.: проблема вычисления данной
функции (требуется построить алгоритм, вычисляющий
эту функцию); проблема разрешения данного множе-
множества (требуется построить алгоритм, разрешающий это
множество относительно нек-рого другого множества);
проблема перечисления данного множества (требуется
построить алгоритм, перечисляющий данное множество).
Все примеры а. п. из различных областей математики,
названные ниже в разделе «Приложения», являются
проблемами разрешения. Неразрешимость а. п. означает
отсутствие соответствующего алгоритма; теоремы, ус-
устанавливающие неразрешимость таких проблем, отно-
относятся к числу наиболее важных теорем А. т. Так, для
алгоритма с неразрешимой областью применимости не-
неразрешима а. п. разрешения этой области относительно
области возможных исходных данных. Посредством
сведения к неразрешимости этой проблемы была уста-
установлена неразрешимость большинства других проблем
разрешения (в частности, всех проблем, указанных
ниже в разделе «Приложения»). Вопрос о том, для любой
ли неразрешимой проблемы разрешения ее неразреши-
неразрешимость может быть установлена таким способом, состав-
составляет так наз. проблему алгоритмической сводимости.
Метрическая теория алгоритмов. А. т. можно разде-
разделить на дескриптивную (качественную) и метрическую
(количественную). Первая — исследует алгоритмы с
точки зрения устанавливаемого ими соответствия меж-
между исходными данными и результатами; к ней относят-
относятся, в частности, те алгоритмич. проблемы, о к-рых
говорилось в предыдущем разделе. Вторая — исследу-
исследует алгоритмы с точки зрения сложности как самих ал-
алгоритмов (см. Алгоритма сложность), так и зада-
задаваемых ими «вычислений», то есть процессов последо-
последовательного преобразования конструктивных объектов.
Важно подчеркнуть, что как сложность алгоритмов,
так и сложность вычислений могут определяться раз-
различными способами, причем может оказаться, что при
одном способе А будет сложнее В, а при другом спо-
способе — наоборот. Чтобы говорить о сложности алго-
алгоритмов, надо сначала описать к.-л. точный язык для
записи алгоритмов и затем под сложностью алгоритма
понимать сложность его записи; сложность же записи
можно определять различными способами (напр., как
число символов данного типа, участвующих в записи,
или как набор таких чисел, вычисленных для разных
типов символов). Чтобы говорить о сложности вычисле-
вычисления, надо уточнить, как именно вычисление представ-
представляется в виде цепочки сменяющих друг друга конструк-
конструктивных объектов и что считается сложностью такой це-
цепочки (только ли число членов в ней — «число шагов»
вычисления, или еще учитывается «размер» этих членов
и т. п.); в любом случае сложность вычисления зависит
от исходного данного, с к-рого начинается вычисление,
поэтому сложность вычисления есть функция, сопостав-
сопоставляющая с каждым объектом из области применимости
алгоритма сложность соответствующей цепочки. Разра-
Разработка методов оценки сложности алгоритмов п вычис-
вычислений имеет важное теоретич. и практич. значение,
однако в отличие от дескриптивной А. т., оформившей-
оформившейся в целостную математич. дисциплину (см. [11], [15],
[16]), метрич. А. т. находится в процессе становления
(см. [17] - [20]).
Приложения теории алгоритмов имеются во всех об-
областях математики, в к-рых встречаются алгоритмич.
проблемы. Такие проблемы возникают в математичес-
математической логике и моделей теории; для каждой теории форму-
формулируется проблема разрешения множества всех истин-
истинных или доказуемых предложений этой теории относи-
относительно множества всех ее предложений (теории подрал-
деляются на разрешимые и неразрешимые — в зависи-
зависимости от разрешимости или неразрешимости указанной
проблемы); в 1936 А. Чёрч (см. [21], [22]) установил
неразрешимость проблемы разрешения для множества
всех истинных предложений логики предикатов, даль-
дальнейшие важные результаты в этом направлении принад-
принадлежат А. Тарскому (A. Tarski), А. И. Мальцеву и др.
(см. [23]). Неразрешимые алгоритмпч. проблемы встре-
встречаются в алгебре (проблема тождества для полугрупп и,
в частности, для групп); первые примеры полугрупп с
неразрешимой проблемой тождества были найдены в
1947 независимо А. А. Марковым (см. [9]) и Э. Л. По-
стом (см. [8]), а пример группы с неразрешимой пробле-
проблемой тождества — в 1952 П. С. Новиковым (см. [24],
[25]); в топологии (проблема гомеоморфии, неразреши-
неразрешимость к-рой для важного класса случаев была доказана
в 1958 А. А. Марковым, (см. [26]); в теории чисел (про-
(проблема разрешимости диофантовых уравнений, неразре-
неразрешимость к-рой была установлена в 1970 Ю. В. Матия-
севичем, (см. [27], [28]) и др. разделах математики.
А. т. тесно связана с математич. логикой, поскольку
на понятие алгоритма опирается одно из центральных
понятий математич. логики — понятие исчисления, и
потому, напр., Гёделя теорема о неполноте формальных
систем может быть получена как следствие теорем А. т.
(см. [29]). Наконец, А. т. тесно связана с основаниями
математики, в к-рых одно из центральных мест занимает
проблема соотношения конструктивного и неконструк-
неконструктивного; в частности, А. т. дает аппарат, необходимый
для разработки конструктивного направления в мате-
математике; в 1965 А. Н. Колмогоров предложил использо-
использовать А. т. для обоснования теории информации (см. [30],
Алгоритмическая теория информации). А. т. образует
теоретич. фундамент для ряда вопросов вычислительной
математики и тесно связана с кибернетикой, в кото-
которой важное место занимает изучение алгоритмов уп-
управления.
Лит.: [1]Вейль Г., О философии математики, пер. с нем.,
М,—Л., 1934; [2] Church A., «Amer. J. Math.», 1936,
v. 58, Л? 2, р. 345—63; 13] Turing A. M.,«Proc. London
Math. Soc», ser. 2, 1936, v. 42, « 3—4, p. 230—65; [4] e г о же,
там же, 1937, v. 43, № 7, p. 544—46; [5] Р о s t E. L., «J.
Symbol. Log.», 1936, v. 1, № 3, p. 103—05; Гб] е г о же, «Amer.
J. Math.», 1943, v. 65, J\li 2, p. 197—215; [7] e г о же, «Bull.
Amer. Math. Soc», 1944, v. 50, Ni 5, p. 284—316; [8] e г о же,
«J. Symbol. Log.», 1947, v. 12, Ms 1, p. 1—11; [9] M a p к о в А. А.,
«Докл. АН СССР», 1947, т. 55, Л» 7, с 587—90; [10] его же,
«Тр. Матем. ин-та АН СССР», 1951, т. 38, с. 176—89; [11] его же,
Теория алгорифмов, М.— JI., 1954; [12] Колмогорова. Н.,
«Успехи матем. наук», 1953, т. 8, JM1 4, с. 175—76; [13] Колмо-
Колмогоров А. II., Успенский В. А., там же, 1958, т. 13,
,Nt 4, с. 3—28; [14] Ершов Ю. Л., Теория нумераций, ч.
1—2, Новосибирск, 1969—73; [15] Мальцев А. И.,
Алгоритмы и рекурсивные функции, М., 1965; [16] Род-
Роджерс X., Теория рекурсивных функций и эффективная вы-
вычислимость, пер. с англ., М., 1972; [17] Марков А. А.,
«Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1967, т. 31, № 1, с. 161—208;
[18] Трахтенброт Б. А., Сложность алгоритмов и вы-
вычислений, Новосибирск, 1967; [19] Проблемы математической
логики. Сложность алгоритмов и классы вычислимых функций,
сб. переводов, М., 1970; [20] Сложность вычислений и алгорит-
алгоритмов, сб. переводов, М., 1974; [21] Church A., «J. Symbol.
Log» 1936, v. 1, J\T« 1, p. 40—41; [22] его же, там же, № 3,
р. 101—02; [23] Ершов Ю. Л., Л а в р о в И. А., Тай-
Тайна и о в А. Д., Т а й ц л и н М. А., «Успехи матем. наук»,
1965 т. 20, X» 4 с. 37—108; [24] Новиков П. С, «Докл.
АН СССР», 1952, т. 85, с. 709 — 12; [25] его ж е, Об алгоритми-
алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в теории
групп, М., 1955; [26] Марков А. А., «Докл. АН СССР»,
1958, т. 121, № 2, с. 218—20; [27] М а т и я с е в и ч Ю. В.,
там же, 1970, т. 191, № 2, с. 279—82; [28] его же, «Успехи
матем. наук», 1972, т. 27, № 5, с. 185—222; [29] Успенс-
Успенский В. А., там же, 1974, т. 29, № 1, с. 3—47; [30] Колмо-
Колмогоров А. Н., «Проблемы передачи информации», 1965, т. 1,
Ki 1, с. 3—11. В. А. Успенский.
АЛГОРИТМОВ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ — бинарное
отношение, связывающее алгоритмы фиксированного
типа и выражающее тот факт, что у всяких двух свя-
связанных этим отношением алгоритмов при совпадении
определенного вида исходных данных совпадают и ре-
результаты работы (а также, быть может, и нек-рые до-
полнительные сведения относительно выполненных при
этом вычислений — так наз. истории в ы ч и с л е-
н и й). Ниже приведено несколько типичных примеров
таких отношений.
а) Рассматриваются всевозможные рекурсив-
рекурсивные схемы— системы равенств, определяющие п-
местные частично рекурсивные функции. Две схемы, оп-
определяющие функции ф И1|з, наз. функциональ-
функционально эквивалентными, если для любых нату-
натуральных чисел xt, ..., хп имеет место условное равен-
равенство
(оно считается верным, если обе его части осмысленны
одновременно и в случае осмысленности принимают оди-
одинаковые значения). С. К. Клини (S. С. Kleene; см., напр.,
[1], с. 314) показал, что для любого всюду определенно-
определенного вычислимого оператора Ъ1 над рекурсивными схема-
схемами можно указать схему S такую, что S и 3J (S) функцио-
функционально эквивалентны (так наз. теорема о не-
неподвижной точке)'. Отсюда, в частности, выте-
вытекает теорема Успенского — Раиса о неразрешимости про-
произвольного инвариантного относительно функциональ-
функциональной эквивалентности свойства рекурсивных схем ири
условии, что имеются схемы S1 и 52 такие, что St обла-
обладает этим свойством, a S2 им не обладает. Из этой теоре-
теоремы следует неразрешимость и самого отношения функ-
функциональной эквивалентности.
б) Рассматриваются нормальные алгорифмы над фик-
фиксированным алфавитом А . Два таких алгорифма ЗС и 33
наз. эквивалентными относительно
А (см. [2], с. 51), если для любого слова Р в А выпол-
выполняется следующее условие: если один из этих алгориф-
алгорифмов перерабатывает Р в нек-рое слово Q, снова оказы-
оказывающееся в алфавите А, то и второй из них также пере-
перерабатывает Р в Q. Те же алгорифмы наз. вполне
эквивалентными относительно А, ес-
если для любого Р в А выполняется условное равенство
% (Р) ^ 23 (Р)-
Оба эти отношения неразрешимы.
в) Рассматриваются логич. схемы алгоритмов (с х е-
м ы Я н о в а, см. [3]). Реализацией такой схемы наз.
последовательность операторов, выполняемых при про-
прохождении по этой схеме от начала до конца. Две схемы
наз. эквивалентными, если множества их реа-
реализаций совпадают. Отношение эквивалентности схем
Янова оказалось разрешимым, и для него была построе-
построена полная система эквивалентных преобразований (см.
[3], [4]).
Детальное изучение отношений А. э. представляет
большой интерес в связи с рядом актуальных задач
(особенно в области теории схем программ), требующих
для своего решения развитой техники эквивалентных
преобразований алгоритмов. Таковы, напр., задача
трансляции алгоритмов (перевод с одного алгоритмич.
языка на другой) и их оптимизации (преобразование с
целью улучшения «рабочих характеристик»). В этом
круге вопросов особое внимание уделяют (см., напр.,
[5]) возможности отыскания таких разрешимых отно-
отношений А. э., к-рые допускали бы удобные в приложе-
приложениях полные системы эквивалентных преобразований.
Концепция, намеченная в [3], во многом предопредели-
предопределила общий подход к исследованию отношений А. э.
Лит.: [1] Клини С. К., Введение в метаматематику,
пер. с англ., М., 1957; [2] Марков А. А., Теория алгориф-
алгорифмов, М., 1954; [3] Янов Ю. И., «Проблемы кибернетики»,
1958, в. 1, с. 75—127; [4] Е р ш о в А. П., «Проблемы кибер-
кибернетики», 1968, в. 20; [5] его же, там же, 1973, в. 27.
Н. М. Нагорпъш.
АЛЕКСАНДЕРА ДВОЙСТВЕННОСТЬ — связь меж-
между гомологич. свойствами взаимно дополнительных под-
подмножеств топологич. пространства, к-рая позволяет
гомологич. свойства множества определять нек-рыми
свойствами его дополнения. Первые теоремы такого рода
были сформулированы в терминах не алгебраической,
а теоретико-множественной топологии. В 1892 К. Жор-
даном (С. Jordan) было доказано, что простая замкну-
замкнутая непрерывная кривая разбивает плоскость на две
области и является их общей границей (теорема
Ж о р д а н а). Эта теорема была A911) независимо обоб-
обобщена А. Лебегом (Н. Lebesgue) и Л. Э. Я. Брауэром
(L. E. J. Brouwer) на случай га-мерного многообразия,
лежащего в гс+1-мерном сферическом (или евклидовом)
пространстве; при этом была установлена связь между
указанным фактом и свойством r-мерного многообразия
(в гс-мерном пространстве) быть зацепленным с (гс — г— 1)-
мерным многообразием (А. Лебег). В 1913 Л. Э. Я.
Брауэр показал, что число областей, на к-рые плоское
замкнутое множество разбивает плоскость, зависит
лишь от топологич. свойств этого множества. В 1922
Дж. Александер [1] впервые выразил двойственность
этого рода в чисто гомологич. понятиях. Теорема
Александера (см. [2], [3], [4]) утверждает, что
r-мерное число Бетти mod 2 (конечного) полиэдра Ф,
лежащего в га-мерном сферич. пространстве, равно
(гс — г— 1)-мерному числу Бетти mod 2 его дополнения.
П. С. Александровым A927) эта теорема была обобщена
на случай любого замкнутого множества Ф. Двойствен-
Двойственность, сформулированная в этой теореме, наз. двой-
двойственностью Александера.
Следующим важным этапом в развитии этого рода
двойственности была теорема Понтрягина
A934) (см. [2], [3], [4]), утверждающая, что г-мерная
гомологии группа НГ(А, X) замкнутого множества А,
расположенного в гс-мерном сферич. многообразии Мп
над компактной группой X коэффициентов, и (п—г—1)-
мерная группа гомологии Hn-r-1(B, Y) дополнения
В = Мп\А над (дискретной) группой У коэффициентов,
двойственной с X в смысле теории характеров, двойст-
двойственны в том же смысле, причем скалярное произведение
определяется как коэффициент зацепления циклов, про-
произвольно выбранных из перемножаемых классов гомо-
гомологии. Эта теорема обычно наз. теоремойАлек-
сандера— Понтрягина; двойственность,
формулируемая в ней, наз. двойственностью
Понтрягина, или двойственностью
Александера— Понтрягина (см. Понт-
Понтрягина двойственность). Ряд последующих обобщений
завершился теоремой П. С. Александрова (см. [5], [7]),
формулировка к-рой отличается от теоремы Понтрягина
тем, что А может быть произвольным подмножеством
из М", группа X может быть как компактной, так и ди-
дискретной, а под Нг (А , X) и jyra_r_x(i?, Y) понимаются
группы гомологии Александрова — Чеха (см. Алек-
Александрова — Чеха гомологии и когомологии), причем од-
одна—с компактными носителями, а другая — спектро-
вого типа. Формы А. д. для любых множеств получаются
заменой последних групп двойственными им группами
когомологии той же размерности над двойственной груп-
группой коэффициентов.
В дальнейших обобщениях сферич. многообразия за-
заменяются более общими многообразиями (гомологически-
(гомологическими многообразиями, к-рые ацикличны в определенных
размерностях), группы Александрова — Чеха — груп-
группами Ситникова — Стинрода и др., группы коэффици-
коэффициентов — модулями, пучками и т. п.
Лит.: Ll] Alexander J. W., «Trans. Amer. Math.
Soc», 1915, v. 16, p. 148—54; [2]Александров П. С, Ком-
Комбинаторная топология, М.— Л., 1947; [3]П онтрягин Л. С,
«Успехи матем. наук», 1947, т. 2, в. 2, с. 45—55; L4] Л е ф-
ш ец С, Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1949;
15J Александров П. С, «Матем. сб.», 1947, т. 21, в. 3,
с. 161—232; 16] его же, Топологические теоремы двойствен-
двойственности, ч. 1—2, «Тр. матем. ин-та им. В. А. Стек лова», М., 1955,
т. 48; 1959, т. 54; [7] Ч о г о ш в и л и Г. С, в кн.: Тр. 4 Всес.
матем, съезда, т. 2, М., 1964, с. 57—62. Г. С. Чогоишили.
АЛЕКСАНДЕРА ИНВАРИАНТЫ — инварианты,
связанные с модульной структурой одномерных гомо-
логий многообразия М, на к-ром свободно действует
свободная абелева группа Ja ранга а с фиксированной
системой образующих ib ?2, ..., ta.
Проекция многообразия М на пространство орбит М
является накрытием, отвечающим ядру Ка гомоморфиз-
гомоморфизма у: G^>-Ja фундаментальной группы nx(M) = G много-
многообразия М. Так как Ка=л1(М), то группа Ва~ Ка1 к'а ,
где Ка — коммутант ядра Ка, изоморфна одномерной
группе гомологии Н^М, Z). При этом расширение
l-vA'a->-G-v/a—>-1 порождает расширение (*): 1-уВа^
—yGlКа—у/а—»-1, к-рое определяет на Ва модульную
структуру над целочисленным групповым кольцом
Z(Ja) группы J" (см. Групповая алгебра). Та же самая
структура индуцируется в Ва данным действием Ja
на М. Фиксация образующих ?,- в Ja отождествляет
Z(Ja) с кольцом La=La(«1, ..., ta) = Z[t1, if1, •...
ta-i 'a^1] лорановых многочленов от переменных t,-. Рас
ширение (*) чисто алгебраически определяет и опрс
делено модульным расширением (**): 0 —уВа—*-Аа—.
—>1а—*-0 (см. [5]). Здесь /а — ядро гомоморфизма к
La~+Z, (ei, = l). Модуль Аа наз. модулем Але:;
сандера накрытия М—уД/. В случае (рас-
(рассмотренном впервые Дж. Александером [1]), в к-ром
М=М(к) — дополнительное пространство нек-рого за-
зацепления к кратности \х в трехмерной сфере S3, а накры-
накрытие отвечает гомоморфизму коммутирования у^: G(k)—t-
—>Jv- группы зацепления, — А^ наз. модулем
Александора зацепления к. Основные
свойства G, существенные для дальнейшего: GIG' —
свободная аболова группа, дефект группы G равен 1, G
имеет непредставление {хг, ..., хт+1; rt, ..., гт},
для к-рого y\\.(xi) = ti, 1<:г<-|Х, y\i.{xj) = i, г>р, (см. Узлов
и зацеплений диаграммы). В случае зацеплений об-
образующие ti^Jv- отвечают меридианам компонент к^ск
и фиксируются ориентацией этих компонент и сферы.
Обычно М есть дополнительное пространство М (к)
зацепления к, состоящего из jx (re— 2)-мерных сфер fe,- в
Sn. Кроме гомоморфизма у,„ рассматривается гомомор-
гомоморфизм уа: G(k)~yJ, где у (х) равно сумме коэффициентов
зацепления петли, представляющей х, со всеми kj.
Матрица 2У1а модульных соотношений модуля А а наз.
матрицей Александера накрытия, а
в случае зацеплений — матрицей Алексан-
Александера зацепления. Она может быть получена
как матрица
где {х[;г{}~ копредставление группы G. При ц=1
матрица Ша модульных соотношений для Ва получает-
получается из Щ1а отбрасыванием столбца из нулей. Матрицы Щ1а
и ЧЯа определены модулями Аа и Ва лишь с точностью
до преобразований, отвечающих переходам к другим
копредставлениям модуля. Однако с их помощью вы-
вычисляется ряд инвариантов модуля. Идеалами
Александера наз. идеалы модуля А а, т. е. ряд
идеалов Ei(Aa) кольца La: @)^Е0^ .. .<= Ei-^E^
& • -<=A), где Е{ порождается минорами матрицы ЭД1а
порядка (т,— к) X (т— к) и Ela=La для г— ?<1. Употреб-
Употребляется и противоположный порядок нумерации. Так
как La — гауссово кольцо и нётерово кольцо, то каждый
идеал Е[ лежит в минимальном главном идеале (Д,);
его образующая Д,- определена с точностью до делителей
единицы ц. Лоранов многочлен Д,- (t1, . . ., t^) наз. i - м
многочленом Александера, a A1(i1, . ..,
t^) — просто многочленом Александе-
р а зацепления к (или накрытия Л/-уЛ/). Если Д^О,
то он домножается на i*1, ..., <*»* так, чтобы Д,- @, ...,
00 и =5^оо. Гомоморфизму у о отвечает модуль А , идеа
лы Ej и полиномы Д,-, к-рые наз., соответственно, при-
приведенным модулем Александера,
приведенными идеалами Алексан-
Александера и приведенными многочленами
Александера зацепления к (или накрытия Ма—>-
-*-М). Если ц=1, то А=А. ЯУ1(А) получается из Щ} за-
заменой всех t{ на t. При |л^3=2 А1 делится на (t— l)^—2.
Полином V (t)=Ax(t)l(t— 1)M-—а наз. полиномом
Хосокавы [4]. Модульные свойства Л (fe) изучены
в [4], [8], [10]. Случай зацеплений исследован мало. Для
ц=1 группа Hi[M; R) конечно порождена над любым
кольцом Л, содержащим 2, в к-ром Д @) обратим [7],
в частности, над полем рациональных чисел, а если
Л@) = + 1, то над Z. В этом случае Д (t) — характерис-
тич. многочлен преобразования t: H^M; Щ—ь-Н^М; R).
Степень Дх(() равна рангу НХ{М; R); в частности,
Ai(i) = l в том и только том случае, когда НХ(М\ Z) = 0.
При ?г=3 идеалы зацепления обладают следующим
свойством симметрии: ?¦/=?,¦, где черта означает взя-
взятие образа при автоморфизме, порожденном заменой
всех ti на if1. Отсюда вытекает, что Д,- (if1, . . ., f|хХ) =
= *^\ ..., г^цД,-(<!,..., t^) для нек-рых целых TV,-. Эта
симметрия является следствием двойственности Фок-
Фокса — Троттера для групп узлов и зацеплений. Она мо-
может быть выведена также из Пуанкаре двойственности
для многообразия М с учетом свободного действия
J" (см. [3]). Если Д^, . . ., ?|j,)=^0, то над полем дробей
Рц кольца Л|х цепной комплекс С%(М) ацикличен (ге=
= 3). Следовательно, определено Рейдемейстера круче-
кручение т?.Рц,/П, отвечающее вложению ЛцСРц,, где П —
группа единиц Ьц.. Для ц=2 т= ДХ) для (х= 1 т=Д1/«—1
(с точностью до единиц Z/ц). Симметрия Дх для ге=3
является следствием симметрии т. В случае ц=1 из сим-
симметрии Д,(?) и свойства Д,A)=±1 вытекает четность
степени Д,•(*)• Степень v (t) также четна [4]. Свойства
многочленов узлов Д,(?): Д,-A)=±1, Д,-(*) = г2*Д,(г-1),
Д,+1 делит Д; и А, = 1 для г, превосходящих нек-рое
ЛГ, являются характеристическими, т. е. для каждого
набора Д,(?) с этими свойствами существует узел к,
для к-рого они служат многочленами Александера.
Полиномы Хосокавы [4] характеризуются свойством
V {t) = tZk у (i) при любом ц^3=2; полиномы Дх дву-
двумерных узлов — свойством Д хA)=1.
А. и., в первую очередь многочлены, являются мощ-
мощным средством различения узлов и зацеплений. Напр.,
среди узлов из таблицы с менее чем девятью двойными
точками Аг не различает только три пары (см. Узлов
таблица). См. также Узлов теория, Альтернирующие
узлы и зацепления.
Лит.: [1] Alexander J. W., «Trans. Amer. Math.
So3.», 1928, v. 30, К» 2, p. 275—306; [2]Reidemeister K.,
Knotentheorie, В., 1932; [3] Blanch tie Id R. C, «Ann.
Math.», 1957, v. 65, p. 340 — 56; [4] H о s о k a w a P., «Osaka
J. Math.» 1958, v. 10, p. 273—82; [5] С г о w e 1 1 R. H., «Na—
goya Math. J.», 1961, v. 19, p. 27—40; [6] К р о у э л л Р.,
Фокс Р., Введение в теорию узлов, пер. с англ., М., 1967;
И Neuwirtli L., Knot group, Princeton (N.Y.), 1965;
[8] С г о w e 1 1 R. H., «J. Math, and Mech.», 1965, v. 14, № 2,
p. 289—98- [9] L e v i n e J., «Amer. J. Math.», 1967, v. 89,
p. 69—84; [10] M i 1 n о r J. W., в кн.: Conference on the topo-
topology of manifolds, v. 13, Boston (a.o.), 1968, p. 115—33.
А. В. Чернавский.
АЛЕКСАНДРОВА БИКОМПАКТНОЕ РАСШИРЕ-
РАСШИРЕНИЕ, Александрова компактифика-
ция,— единственное хаусдорфово бикомпактное рас-
расширение аХ локально бикомпактного не бикомпактного
хаусдорфова пространства X, получаемое присоедине-
присоединением к пространству X одной точки оо. Произвольная
окрестность точки оо при этом обязана иметь вид {оо }(J
\J(X\F), где F — нек-рый бикомпакт в X. А. б. р. аХ
является наименьшим элементом во множестве В (X)
всех бикомпактных расширений пространства X. При
этом наименьший элемент во множестве В (X) существу-
существует лишь для локально бикомпактного X и непременно
совпадает с аХ.
А. б. р. было определено П. С. Александровым [1] и
играет важную роль в топологии. Так, А. б. p. aR" n-
мерного евклидова пространства совпадает с ге-мерной
сферой, А. б. p. a.N множества натуральных чисел
гомеоморфно пространству сходящейся последователь-
последовательности вместе с предельной точкой, А. б. р. «открытого»
листа Мёбиуса совпадает с действительной проективной
плоскостью RP2. Имеются патологич. ситуации, свя-
связанные с А. б. р., напр, существует совершенно нор-
нормальное, локально бикомпактное и счетно компактное
пространство X, А. б. р. аХ к-рого имеет размерности
dim aX<dim X и Ind aX<Ind X.
Лит.: [1] Александров П. С, «Math. Ann.», 1924,
Bd. 92, S. 294—301. В. В. Федорчук.
АЛЕКСАНДРОВА — ЧЕХА ГОМОЛОГИИ И КОГО-
МОЛОГИИ, спектральные гомологии и
когомологии, — гомологии и когомологии, удов-
удовлетворяющие всем Стинрода — Эйленберга аксиомам
(кроме, быть может, аксиомы точности) и нек-рому ус-
условию непрерывности. Группы (или модули)
гомологии Нп(Х, A; G) Александрова-
Чеха [1], [2] определяются как обратный предел
lim Hn(a, a'; G) по всем открытым покрытиям а про-
пространства X; при этом а означает не только покрытие,
но и его нерв, а а' есть подкомплекс в а, являющийся
нервом ограничения покрытия а на замкнутое множест-
множество А. Возможность перехода к пределу обеспечивается
существованием симплициальных проекций (Р, Р')—*¦
—*-{а, а'), определяемых, с точностью до гомотопных,
вписанностью рва. Когомологии Нп(Х, A; G)
Александрова— Чеха определяются как
прямой предел lim Hn(a, a'; G). Гомологии удовлетво-
удовлетворяют всем аксиомам Стинрода — Эйленберга, кроме
аксиомы точности. Для когомологии справедливы все
аксиомы; частично поэтому когомологии значительно
более употребительны. На категории бикомпактов ак-
аксиома точности имеет место и для гомологии, если G —
компактная группа или поле. Кроме того, А.— Ч. г.
и к. обладают свойством непрерывности: для Х =
= lim Xx гомологии (когомологии) равны соответствую-
соответствующему пределу гомологии (когомологии) бикомпактов
Хк ¦ При этом теория Александрова — Чеха является
единственной теорией, удовлетворяющей аксиомам
Стинрода — Эйленберга (с указанным исключением) и
этому условию непрерывности. На категории параком-
пактных пространств для когомологии справедлива
обычная характеристика через отображения в полиэдры
Эйленберга — Маклейна, а сами когомологии эквива-
эквивалентны когомологиям, определяемым в пучков теории.
Когомологии могут быть определены также как кого-
когомологии нек-рого предельного коцепного комплекса,
что дает возможность оперировать пучками коцепей.
Аналогичные идеи в применении к гомологиям приводят
к теории гомологии, идущей от Н. Стинрода (N. Steen-
rod), А. Вореля (A. Borel) и др. и удовлетворяющей всем
аксиомам, включая точность (но свойство непрерывно-
непрерывности теряется). А.— Ч. г. и к., вместе с указанной моди-
модификацией, применяются в гомологич. вопросах теории
непрерывных отображений, в теории групп преобразо-
преобразований (связь с факторпространством), в теории обоб-
обобщенных многообразий (в частности, в различных соот-
соотношениях двойственности), в теории аналитич. про-
пространств (напр., для определения фундаментальных
классов гомологии), в гомологич. теории размерности
и т. п.
Лит.: [1] Александров П. С, «Ann. of Math.»,
1928, v. 30, p. 101—87; [2] С е с h E., «Fundam. math.», 1932,
t. 19, p. 149—83; [3] С т и н р о д Н., Э й л е н б е р г С,
Основания алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1958;
[4] С к л я р е н к о Е. Г., Теория гомологии и аксиома точ-
точности, «Успехи матем. наук», 1969, т. 24, вып. 5 A49), с. 87—140.
Е. Г. Скляренпо.
АЛЕФ-НУЛЪ — кардинальное число, являющееся
мощностью счетного множества, обозначается tto-
П. С. Александров.
АЛЕФЫ, Ц,— первая буква древнееврейского ал-
алфавита,— символы, введенные Г. Кантором (G. Cantor)
для обозначения кардинальных чисел (мощностей) бес-
бесконечных вполне упорядоченных множеств. Каждое
кардинальное число есть нек-рый А. (следствие выбора
аксиомы). Но многие теоремы об А. доказываются без
аксиомы выбора. Для каждого порядкового числа а
через tta = w(oaa) обозначается мощность множества
всех порядковых чисел, меньших соа. В частности, На
есть мощность множества всех натуральных чисел,
#! — мощность множества всех счетных порядковых
чисел и т.д. Если а<Р, то #а<#р. Кардинал Ha+i
является наименьшим кардинальным числом, следую-
следующим за Na. Обобщенная континуум-
гипотеза заключается в том, что 2^a = tfa+i для
любого порядкового числа а. При а=0 равенство при-
приобретает вид 2^°=Ц1 и составляет содержание конти-
континуум-гипотезы. Множество всех А., меньших На, впол-
вполне упорядочено по величине и порядковый тип его ра-
равен ее. Естественным образом определяются сумма,
произведение и степень А. При этом
=1*а-йр = йтах (а, 3>-
Наиболее часто встречаются следующие формулы. Р е-
курсивная формула Хаусдорфа:
ее частным случаем при а=0 является формула
Бернштейна:
Рекурсивная формула Тарского:
если порядковое число а предельно и р<с/(а), то
При этом с/(а) обозначает конфинальный характер по-
порядкового числа а. Как и в случае кардинальных чисел,
различают сингулярные А., регулярные
А., предельные А., слабо недостижи-
недостижимые А., сильно недостижимые А. и др.
Напр., На сингулярно, если а предельно и с/(а)<а.
Среди А. нет наибольшего. Множество всех А., как по-
показал Г. Кантор, не мыслимо, т. е. такого множества
не существует. См. также Вполне упорядоченное множе-
множество, Кардинальное число, Континуум-гипотеза, Мно-
Множеств теория, Порядковое число.
Лит.: [^Александров П. С, Введение в общую тео-
теорию множеств и функций, М.— Л., 1948; [2]Х а у с д о р ф Ф.,
Теория множеств, пер. с нем., М.— Л., 1937; [3]К о э н П. Д ж.,
Теория множеств и континуум-гипотеза, пер. с англ., М., 1969;
[4] Куратовский К., Мостовский А., Теория
множеств, пер. с англ., М., 1970. Б. А. Ефимов.
АЛИКВОТНАЯ ДРОБЬ ¦- дробь вида 1/ге, где п -
натуральное число. Для решения ряда математич. и
физич. задач существенно, что каждое положительное
рациональное число представимо в виде суммы конеч-
конечного числа А. д. с различными знаменателями. Так,
3 111
У7=~8—^П~Ьбб" А- Я- широко использовались в Древ-
Древнем Египте и получили впоследствии назв. египет-
египетских дробей. Б. М. Бредихин.
АЛФАВИТ — список (конечное множество) букв.
Обычно в А. объединяются буквы, необходимые для
развития той или иной символики (или, как иногда го-
говорят, языка). Для двух А. А ж В естественным образом
определяются их объединение А []В, пересечение А (]В
и разность А\В, а также отношение включения АсВ.
В целях удобства обычно допускают к рассмотрению и
пустой А., то есть А., не содержащий ни одной
буквы. Н. М. Нагорный.
АЛЬВАНЕЗЕ МНОГООБРАЗИЕ - абелево многооб-
многообразие Alb(X), канонически сопоставляемое каждому
алгебраич. многообразию X и являющееся решением
следующей универсальной задачи: существует морфизм
ф: X—>-А1Ъ(Х) такой, что любой морфизм /: X—*-А в абе-
абелево многообразие А разлагается в произведение /=
= /' -ф, где /': A-^-Alb(X) (название в честь Альбанезе;
Albanese). Если X полное неособое многообразие над
полем комплексных чисел, то А. м. можно описать сле-
следующим образом. Пусть Q1 — пространство всюду регу-
регулярных дифференциальных форм степени 1 на X. Каж-
Каждый одномерный цикл у топологич. пространства X оп-
определяет линейную функцию со—у\ со на Q1. Образ по-
получающегося отображения ЯХ(Х, ~jt)—^(Q1)* является
решеткой Г в (Q1)*, а фактор — пространство (Q1)*/?
совпадает с А. м. многообразия X. С алгебраич. точки
зрения А. м. можно рассматривать как способ задания
алгебраич. структуры на нек-рой факторгруппе группы
Z нульмерных циклов степени 0 на многообразии X.
В случае, когда X — неособая полная кривая, Alb(A')
совпадает с Якоби многообразием кривой X. Если ос-
основное поле к имеет нулевую характеристику, то имеют
место равенства dim А\Ь(Х)=й.\ткНй(Х, Qx) =
= dim/tH1 (X, Оу). Число dim Alb(X) наз. иррегу-
иррегулярностью многообразия X. В случае,
когда поле имеет конечную характеристику, имеет
место неравенство
irr (X) < dim Я° (а\ Qx) и irr (XXdimtf1 (X, Ох)
и
dim Я1 (X, Ох) Ф dim Я» (X, Qx) в общем случае.
А. м. двойственно Пикара многообразию.
Лит.: [1] Бальдассарри М., Алгебраические много-
многообразия, пер. с англ., М., 1961; [2] L a n g S., Abelian varieties,
N.Y.—L., 1959. A. H. Паршин.
АЛЬБЕДНЫЙ МЕТОД (в теории переноса) — метод
решения краевых задач для уравнения переноса. А. м.
представляет собой вариант матричной факторизации
метода, когда роль коэффициентов факторизации игра-
играют матрицы отражения и пропускания последователь-
последовательности слоев возрастающей толщины. А. м. используется
практически лишь в пространственно одномерных зада-
задачах, как при отыскании коэффициентов отражения и
пропускания, так и для нахождения решения уравнения
переноса в среде.
Лит.: [1] Б е р е з и н И. С, Жидков Н. П., Методы
вычислений, 2 изд., т. 2, М., 1962; [2] Г е р м о г е н о в а Т. А.
и др., Альбедо нейтронов, М., 1973, гл. 2. Т. А. Гермогенова.
АЛЬТЕРНАНСА ТОЧКИ - последовательность точек
в к-рых разность а,-=/(.г,-) — Р„{х{), где f(x) — непре-
непрерывная на замкнутом множестве Qd[a, b] функция и
Рп(х) — алгебраич. многочлен степени не выше ге, при-
принимает неравные нулю значения чередующихся знаков.
Аналогично вводится понятие А. т. для многочленов
почебышевской системе функций {sft(x)}a
(удовлетворяющих Хаара условию). Если при этом все
а; по абсолютной величине равны
max| f(x)-Pn(x)\,
то точки {x[}o+1 наз. точками чебышевс-
кого альтернанса. А. т. играют важную
роль в теории приближения функций. Так, в терминах
А. т. формулируется Балле Пуссена теорема (об аль-
тернансе) и критерий Чебышева (см. Чебышевский аль-
альтернат). А. т. используются при построении много-
многочленов наилучшего приближения. Ю. н. Субботин.
АЛЬТЕРНАТИВА (в теории игр) — одна из позиций,
в к-рую, согласно правилам игры, можно перейти из
данной позиции за один ход. А. называют также соот-
соответствующий ход или приписанный ему индекс.
И. Н. Врублееская.
АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ. А л ь-
тернативным кольцом (А. к.) наз. кольцо,
в к-ром каждые два элемента порождают ассоциативное
подкольцо; альтернативной а л г е б р о й (А.
а.) наз. линейная алгебра, являющаяся А. к. Согласно
теореме Артина класс всех А. к. задается системой тож-
тождеств:
(ху)у = х(уу) — правая альтернативность,
(хх)у=х(ху) — левая альтернативность.
Таким образом, все А. к. составляют многообразие. Тер-
Термин «А. к.» оправдан тем, что в любом таком кольце
ассоциатор (дефект ассоциативности)
(х, у, z) = (xy)z-x(yz)
является кососпмметрической (альтернативной) функ-
функцией своих аргументов.
Первым примером А. к. явились Кэли числа, дающие
пример альтернативного тела, т. е. А. к.
с единицей, в к-ром однозначно разрешимы уравнения
ах— Ь и уа=Ь для всех Ъ и всех афО. Альтернативные
тела играют существенную роль в теории проективных
плоскостей, поскольку проективная плоскость м у-
ф а н г о в а (т. е. плоскость'трансляций относительно
любой прямой) тогда и только тогда, когда любое коор-
динатизирующее ее тернарное кольцо является альтер-
альтернативным телом. Если в кольце R с единицей каждый
элемент обратим, и для любых a, b?R выполняется
тождество
a~1(ab) = b
(или тождество (ba)a~1=b), то R является альтерна-
альтернативным телом. Всякое альтернативное тело либо ассо-
ассоциативно, либо имеет строение Кэли — Диксона ал-
алгебры над своим центром.
Всякое простое А. к. также либо ассоциативно, либо
является алгеброй Кэли — Диксона над своим центром
(последняя в этом случае не обязана уже быть телом).
Алгебрами Кэли — Диксона исчерпываются за преде-
пределами ассоциативных и все примитивные А. к. Всякое
первичное А. к. R, если 3R=?0, либо ассоциативно, либо
является кольцом Кэли — Диксона.
Многие свойства А. к. весьма сильно отличаются от
свойств ассоциативного кольца в аналогичных ситуаци-
ситуациях. Так, если R есть А. к., а А и В — его правые идеа-
идеалы, то их произведение А В уже не обязано быть пра-
правым идеалом, даже если А — двусторонний идеал в R;
но произведение двусторонних идеалов А. к. является
его двусторонним идеалом. Различие в случае ассоциа-
ассоциативных колец и А. к. сильно проявляется и в том, что в
А. к. существуют различные нильпотентности, посколь-
поскольку произведение элементов, при одной расстановке
скобок равное 0, при другой — может быть отлично от 0.
Обычно в А. к. используются следующие нильпотент-
нильпотентности: разрешимость (кольцо R наз. разре-
разрешимым индекса т, если существует такое число т,
что Rm = 0, где Л, + 1=Л,Л/, Rx = R), правая ниль-
нильпотентность (существует такое число ге, что
Л(п>=0, где Л(' + 1>=Л«»ЛA), ЛA»=Л) и нильпо-
нильпотентность (существует такое число к, что Я*=0,
т. е. произведение любых к элементов R равно 0 при
любой расстановке скобок). Имеется А. к. разрешимое
индекса 3, но не нильпотентное. Правая нильпотент-
нильпотентность В А. к. эквивалентна нильпотентности (А. к.,
правонильпотентное индекса п, нильпотентно индекса
¦<(ге+1J)- Локально, т. е. на конечно порожденных
кольцах, все нильпотентности эквивалентны. Теория,
устанавливающая достаточные признаки локальной
нильпотентности А. к., вполне параллельна соответст-
соответствующей теории для ассоциативных колец. Это вытекает
из следующего факта: пусть Л есть А. к., в к-ром можно
выбрать такую систему S порождающих, что любые два
элемента из S порождают нилькольцо; пусть, далее, все
ассоциативные гомоморфные образы Л локально ниль-
потентны, тогда Я локально нильпотентно. Поэтому
если R есть А. к. с тождеством х"=0, то R локально
нильпотентно; если Л есть А. а. с тождеством, к-рое не
является следствием ассоциативности, и каждый эле-
элемент R есть сумма конечного числа нильэлементов, то
алгебра R локально нильпотентна. Если речь идет не о
локальной, а о глобальной нильпотентности, то ситуа-
ситуация в А. к. отличается от ассоциативной. Так, уже А. к.
R с тождеством х3=0 не обязано быть нильпотентным
(даже если его аддитивная группа без кручения). Од-
Однако А. к. с тождествомхп= 0 и без элементов порядка
к, 0</с<:?г, в аддитивной группе разрешимо индекса
(+1)/2
()
Если R — алгебраич. А. а. с тождественным соот-
соотношением, не являющимся следствием ассоциативности
(или степени алгебраичности элементов R ограничены в
совокупности), то R локально конечномерна.
В А. к. имеется аналог Джекобсона радикала: во вся-
всяком А. к. R существует максимальный квазирегулярный
идеал J (Л), равный пересечению всех модулярных мак-
максимальных правых идеалов. Факторкольцо RlJ (R) яв-
является /-полупростым, т. е. /(RU(Л))=0;
если / есть идеал R, то J (I)=J (R)[\I, всякое /-полу-
/-полупростое кольцо аппроксимируется примитивными А. к.
(т. е. примитивными ассоциативными кольцами и ал-
алгебрами Кэли — Диксона). Имеются аналоги и всех
других ассоциативных радикалов (нижнего нильради-
нильрадикала, локально нильпотентного радикала и т. д.), к-рые
обладают теми же основными свойствами, что и в ассо-
ассоциативных кольцах.
В артиновомА. к. (то есть в А. к., удовлетво-
удовлетворяющем условию минимальности для правых идеалов)
R радикал / (R) нильпотентен, нильпотентен и всякий
нильподгруппоид мультипликативного группоида R.
Кольцо R является артиновым А. к. без нильпотентных
идеалов тогда и только тогда, когда R раскладывается
в прямую сумму конечного числа полных матричных
алгебр (над нек-рыми ассоциативными телами) и алгебр
Кэли — Диксона; такое разложение для каждого Л
единственно с точностью до перенумерации слагаемых.
Если Л есть А. к., / — его идеал и Л удовлетворяет ус-
условию минимальности для двусторонних идеалов, со-
содержащихся в /, то / нильпотентен тогда и только тогда,
когда для любого гомоморфизма ф кольца Л в /ф нет
идеалов кольца Лф, которые являются простыми коль-
кольцами.
В А. к. Л различаются ассоциативный
центр
Л' (Л) = {гс?Я | (ге, а, Ь) = 0 для всех a, 6?Л},
коммутативный центр
С (R) = {c?R | [с, а]=са — ас = 0 для всех a?R\
и центр
Z(R)=N(R) ПС (Л).
Если в аддитивной группе Л нет элементов порядка
3, то С(R)^N(Л). Однако над полем характеристики 3
существуют коммутативные неассоциативные А. а. В
первичном А. к. R всегда С(Л)^ЛГ(Л). В любом А. к.
Л всегда [АГ(Л), Л]^ЛГ(Л). Пусть в А. к. Л нет нетри-
нетривиальных идеалов, тогда: 1) либо ЗЛ = 0, либо N(R)=?G.
2) либо ЗЛ^ЛГ(Л), либо г{Я)фО, 3) если А - правый
идеал Я, то N(A)=A f]N(R) и Z(A)=A ftZ(R). В то же
время над любым полем F можно построить такое А. к.
К с тривиальными идеалами, что N(K)=C (К) = 0, но
К2, являясь идеалом К, будет ассоциативно
коммутативным кольцом, т. е.
N (К2) = С (К2) = К2 фО.
Из тождеств, выполняющихся в А. к., наиболее из-
известны следующие:
[(ху) z] y=x[(yz) у], [(ху) x]z=x[y (xz)],
(ху) (zx) = [x (yz)\x
(тождества Муфанг);
(ху, z, t)—y(x, z, t) — (y, z, t)x =
= ([x, у], z, t) + (x, y, [z, t]),
([x, y]\ z, t) = [x, y]([x, y]2, z, /) =
= ([x, y]\ z, t)[x, y]=0.
В А. к. с З образующими выполняется, кроме того, тож-
тождество:
([х, y][z, t] + [z, t][x, у], и, v)=0. (*)
В А. к. с более чем 3 образующими тождество (*), вооб-
вообще говоря, не выполняется, более того, в этих А. к.,
вообще говоря, {[х, у]2, z, t)=?0. Во всяком А. к. без
локально нильпотентных идеалов тождество (*) вы-
выполнено, т. к. такое А. к. аппроксимируется первичны-
первичными ассоциативными кольцами и кольцами Кэли — Дик-
Диксона.
Во всяком свободном А. к. Я имеется ненулевой иде-
идеал U(R), содержащийся в ассоциативном центре N(Я).
Свободное А. к. с 3 или более образующими не только
содержит делители нуля, но и не является первичным.
Свободное А. к. с 4 или более образующими содержит
даже тривиальные идеалы и поэтому не аппроксими-
аппроксимируется первичными кольцами.
Лит.: [1] Дорофеев Г. В., «Успехи матем. наук»
1960, т. 15, М5 3, с. 147—50; [2] Ж е в л а к о в К. А., «Алгебра
и логика», 1966, т. 5, JN» 3, с. 11—36; [3]е гоже, там же, 1969,
т 8 .№ 4, с 425—39;[4] Ширшов А. И., «Матем. сб »
1957 т. 41, с. 381—94; [51 Kleinfeld E., «Ann. Math.»
1953, v. 58, .№ 3, p. 544 — 547; [6] е г о ж е, там же, 1957 v.
«6, I* 3, р. 395—99; [7] С к о р н я к о в Л. A., «Rend. mat. e
applies, 1965, v. 24, Л? 3—4, р. 360 — 72; [8] S 1 a ter M., «J
Algebra», 1968, v. 8, Ml, p. 60—76; [9] Дорофеев Г.
В., «Сиб. матем. ж.», 1963, т. 4, № 5, с. 1029—48.
К. А. Жевлаков.
АЛЬТЕРНИОН — гиперкомплексное число, А. могут
рассматриваться как обобщение комплексных чисел,
двойных чисел (см. Двойные и дуальные числа) и кватер-
кватернионов. Алгеброй 1АН альтернионов ге-го
порядка индекса I наз. алгебра ранга 2"-1 над полем
действительных чисел с единицей 1 и системой образую-
образующих 1и .. ., ln-i, умножение к-рых производится по фор-
формулам
где 8,-=±1, причем —1 встречается I раз, а+1, соот-
соответственно, n—1—i раз. Базис алгебры можно составить
из элементов вида
lfilh ..•'/* = Vi/a • • • /ft- где >i < • • < '"
и единицы. Произвольный А. а будет иметь в этой базе
запись
а = а + 2; "'i,- + 2'' 2/ "'^i/ + • • •
где а, а1, аЧ, ..., о12---' — действительные числа.
Сопряженный к А. о А. а определяется форму-
формулой
Справедливы равенства
Произведение olol всегда является положительным дейст-
действительным числом, величина |а| = к сса наз. моду-
модулем А. а. Если принять за расстояние между А. а и Р
число |р — а\, то алгебры °Ап и lAn (?>0) оказываются
изометричными евклидовым пространствам R2«-i и
псевдоевклидовым пространствам 'Кг™-' соответствен-
соответственно. Алгебра °А1 изоморфна полю действительных чисел,
алгебра °А2 изоморфна полю комплексных чисел, алгеб-
алгебра гА2 изоморфна алгебре двойных чисел, алгебра °А3
изоморфна телу кватернионов, алгебры 1А3 и 2А3 изо-
изоморфны так наз. алгебрам антикватернионов.
Элементы алгебр °Ап наз. числами Клиффор-
д а. Алгебра ААЪ рассматривалась П. Дираком (P. Di-
гас) при изучении спина электрона.
Алгебра А. является частным случаем Клиффорда
алгебр.
Лит.: [1] Розенфельд Б. А., Неевклидовы геометрии,
М., 1955. Н. Н. Вильяме.
АЛЬТЕРНИРОВАНИЕ, кососимметриро-
кососимметрирование, ант и симметрирование, аль-
альтернация, — одна из операций тензорной алгеб-
алгебры, при помощи к-рой по данному тензору строится ко-
сосимметрический (по группе индексов) тензор. А. всег-
всегда производится по нескольким верхним или ниж-
нижним индексам. Тензор А с координатами {а1.1 '" ? ,
ii<.iv , jfx <«} является результатом А. тензора Т с коор-
координатами {t.' '" Р, 1-<;V, jn,<.n} по верхним индексам,
напр., по группе индексов I=(i1, i2, ..., im), если
Здесь суммирование цроизводится по всем т\ пере-
перестановкам а=(а1? а2, ..., ат) группы индексов /, a
число о (I, а) равно +1 или — 1, если соответствующая
перестановка четна или нечетна. Аналогично опреде-
определяется А. по группе нижних индексов.
А. по группе индексов обозначается взятием этих
индексов в квадратные скобки. Посторонние индексы,
попавшие внутрь квадратных скобок, отделяются вер-
вертикальными черточками.
Напр.,
Последовательное А. по группам индексов /х и
IiC:I2, совпадает с А. по группе индексов /2:
'[*!•••['*•• Л] ¦••*«»]
= t.
Если п — размерность векторного- пространства, б
к-ром определен тензор, то А. по группе индексов, ко-
количество к-рых больше п, всегда дает нулевой тензор.
А. по нек-рой группе индексов тензора, симметричного
(см. Симметрирование) по этой группе, также дает ну-
нулевой тензор. Тензор, не изменяющийся при А. по
нек-рой группе индексов /, наз. кососимметрп-
ч е с к и м, или альтернированным, по
группе индексов /. Перестановка любой пары
таких индексов ведет к изменению знака у координаты
тензора.
Операция А. тензора, наряду с операцией симметри-
симметрирования, применяется для разложения тензора на бо-
более простые тензоры.
Произведение двух тензоров с последующей А. по
всем индексам наз. альтернированным про-
произведением (внешним произведен и-
е м).
А. применяется также для образования знакопере-
знакопеременных (альтернированных) сумм вида (*) с многоин-
многоиндексными слагаемыми. Напр., вычисление определите-
ля (с коммутирующими при умножении элементами)
производится по следующим формулам:
ах а2 ... ап
Лит.: [1] Широков П. А., Тензорное исчисление,
2 изд., Казань, 1961; [2] Б е к л е и и ш е в Д. В., Курс ана-
аналитической геометрии и линейной алгебры, М., 1971; [3] С х о у-
тен Я. А., Тензорный анализ для физиков, пер. с англ., М.,
1965; [ 4] Е ф и м о в Н. В., Р о з е н д о р н Э. Р., Линей-
Линейная алгебра и многомерная геометрия, М., 1970. Л. П. Купцов.
АЛЬТЕРНИРУЮЩИЕ УЗЛЫ И ЗАЦЕПЛЕНИЯ —
узлы и зацепления, имеющие альтернирующую диа-
диаграмму (см. Узлов и зацеплений диаграммы), т. е. такую
проекцию в общее положение на плоскость, при к-рой
при обходе каждой компоненты проходы сверху и снизу
двойных точек чередуются. Каждую диаграмму можно
превратить в альтернирующую, изменив в нек-рых двой-
двойных точках проходы сверху и снизу.
Пусть F — поверхность Зейферта. В отличие от об-
общего случая, неравенство d<2h-\-\i—1, где d — сте-
степень многочлена Александера (см. Александера инва-
инварианты}, h — род поверхности Зейферта и ц. — число
компонент зацепления к, становится для А. у. и з.
равенством. Поэтому род А. з. может быть вычислен
по любой его альтернирующей диаграмме, и поверх-
поверхность Зейферта оказывается поверхностью минималь-
минимального рода. Это показывает также, что если диаграм-
диаграмма нормирована, т. е. на плоскости проекции нет про-
простого замкнутого контура, который пересекает диа-
диаграмму в одной двойной точке, то зацепление тривиаль-
тривиально (см. Узлов теория) в том и только том случае, когда
диаграмма не имеет двойных точек. Если такой контур
есть, то вращением на 180° части диаграммы, лежащей
внутри него, можно уменьшить число двойных точек,
сохраняя диаграмму альтернированной. Это дает алго-
алгоритм для решения вопроса о тривиальности А. у. и з.
Кроме того, если диаграмма связана, то зацепление не
распадается, так как d^3=l, а приведенный полином
Александера распадающегося зацепления равен нулю.
Матрица Александера вычисляется как матрица инци-
денций нек-рого графа, откуда выводится (см. [1], [2]),
что A(t) — альтернирующий полином, т. е. его коэф-
коэффициенты не нули и их знаки чередуются. Если Д @)= 1,
то А. у. и з. являются Нейвирта узлами и зацепления-
зацеплениями. Для А. у. и з. число двойных точек нормированной
диаграммы не больше, чем его детерминант. Группы
А. у. и з. (см. Узлов и зацеплений группы) представля-
представляются в виде свободного произведения с отождествлени-
отождествлением двух свободных групп нек-рого ранга q по под-
подгруппе ранга 2<7— 1. Это представление получается с
помощью теоремы Ван Кампена, если пространство
зацепления к разбить границей регулярной окрестно-
окрестности относительно к поверхности Зейферта, построенной
по альтернирующей диаграмме. Все узлы стандартной
таблицы (см. Узлов таблица) с неальтернирующими
диаграммами являются неальтернирующими узлами.
Не альтернирует большинство параллельных узлов,
обмоток и т. п.
Лит.: [1] Murasugi К., «Osaka J. Math.», 1958, v. 10,
p. 181—89; [2] С го well R. H., «Ann. Math.», 1959, v. 69,
p. 258—75; [3] M u r a s u g i K., «Osaka J. Math.», 1960, v. 12,
p. 277—303. А. В. Чернавский.
АЛЬФА — алгоритмический язык, разработанный в
СССР для решения научно-технич. задач на вычисли-
вычислительных машинах. Представляет собой нек-рое расшире-
расширение изобразительных средств языка алгол. К величинам
алгола добавлены комплексные числа и составные ве-
личины, имеющие внутреннюю размерность (вектор,
матрицы и т. п.). Добавлены описания, позволяющие
вводить обозначения для компонент комплексных и мно-
многомерных величин. Введен особый класс процедур-функ-
процедур-функций, тело к-рых задается выражением. Разрешается
указывать перечисление натуральных чисел через мно-
многоточие, употреблять знаки суммирования и произведе-
произведения, а также цепочки неравенств. Имеется дополни-
дополнительный вид циклов, в к-рых организация нужного
числа повторений не требует введения перечисляющего
параметра. Основные системы программирования: аль-
альфа (для машин типа М-20), алгибр (для комплекса
М-220/БЭСМ-6), альфа-6 (для машин БЭСМ-6).
Лит.: [1] Ершов А. П., К о ж у х и н Г. И., Воло-
Волошин Ю. М., Входной язык для систем автоматического про-
программирования, Новосиб., 1964; [2] АЛЬФА — система автома-
автоматизации программирования, Новосиб., 1967; [3] Е р ш о в А. П.,
К о ж у х и н Г. И., П о т т о с и н И. В., Руководство к поль-
пользованию системой АЛЬФА, Новосиб., 1968; [41 Руковод-
Руководство к пользованию системой автоматизации программирова-
программирования АЛЬФА-6, Новосиб., 1975. А. П. Ершов.
АЛЬФАНА ПУЧОК — пучок плоских алгебраич.
кривых степени Зп с девятью га-кратными базисными
точками. Для га=2 такие пучки впервые были рассмот-
рассмотрены Ж. Альфаном в [1]. Базисные точки А. п. i>lt . . .,
•Р9, среди к-рых могут быть и бесконечно близкие точ-
точки, всегда лежат на кубич. кривой F=F(x0, хл, х2) = 0.
Произвольная кривая из А. п. имеет уравнение ~KG-\-
-\-\\,Fn = 0, где G=G(x0, %\, xz) = 0 — эллинтич. кривая
степени Зге с особыми точками Р1} .. ., Р9 кратности га.
Если ^=0 — неособая кривая, то относительно груп-
группового закона на этой кривой п(Р1ф. . .0Р9) = О. Имеет-
Имеется обобщение этого факта на случай, когда F=0 кривая
с особыми точками [3]. Каждый пучок эллиптических
кривых на плоскости бирациональным преобразова-
преобразованием плоскости может быть преобразован в А. п. (см.
[2], [3]).
Лит.: [1] Н alp hen G. H., «Bull. Soc. math. France»,
1882, v. 10, p. 162—72; [2] В e r t i n i E., «Ann. mat. pura
ed appl.», 1877 v. 8, p. 224—86; [3] Д о л г а ч е в И. В.,
«Изв. АН СССР», сер. матем., 1966, т. 30, в. 5, 1073—100.
И. В. Долгачев,
АМАЛЬГАМА — множество М, представимое в виде
теоретико-множественного объединения семейства
{Aj\ i?/} алгебраических систем Aj из заданного клас-
класса U с пересечениями ?/,у, причем для всех г, / пересече-
пересечение
непусто и является подсистемой в каждой из систем Л/,
A j. Если существует система В в классе ,Н, содержащая
все At(i^I) в качестве подсистем, то говорят, что А. М
вложима в it-систему.
А. двух групп и вообще любая А. групп {Л,-|г?/},
у к-рой все пересечения Uij(i=?j) совпадают между собой
и равны U, всегда вкладывается в группу, напр, в сво-
свободное произведение групп Л,¦(;?/) с объединенной
подгруппой U. Существуют, однако, А. групп, не вло-
жимые в группу. (Условия вложимости А. групп в
группу см. в [1], А. полугрупп в полугруппу см. в [2].)
См. также Амальгама групп.
Пусть Я — класс всех алгебр над данным полем F
или класс коммутативных, антикоммутативных или ли-
лиевых алгебр над полем F. А. {А(\г?1} .Sl-алгебр А;
с совпадающими пересечениями U{j= U (для всех 1ф])
вложима в .^-свободное произведение этих алгебр с
объединенной подалгеброй U (см. [3]). Доказано (см.
[4]), что A. {2\-|i?/} ассоциативных тел Г,- с совпадаю-
совпадающими пересечениями 7\у= Т (i?=j) вложима в ассоциа-
ассоциативное тело.
Лит.: [1] К у р о ш А. Г., Теория трупп, 3 изд., М., 1967,
с. 462; [2] К л и ф ф о р д А., Престон Г., Алгебраиче-
Алгебраическая теория полугрупп, т. 2, пер. с англ., М., 1972; [3] Шир-
Ширшов А. И., «Сиб. матем. ж.», 1962, т. 3, № 2, с. 297—301;
[41 С о h n P. M., «Ргос. London Math. Soc», 1971, v. 23,
№ 2, p. 193—213. Л. А. Бокутъ, Д. М. Смирнов.
АМАЛЬГАМА ГРУПП — совокупность групп Ga,
а€-Л с условием, что пересечение GaV\G^ есть подгруп-
подгруппа в Ga и (Эр при любых а, р" из /. Примером А. г. слу-
служит произвольное семейство подгрупп нек-рой группы.
Вложением А. г. Л={(?а|а?/} в группу G наз.
взаимно однозначное отображение объединения (J a s /<?а
в G, сужение к-рого на каждое Ga есть изоморфизм.
А. г., у к-рой все пересечения СаЛ<?р совпадают (и
равны, напр., подгруппе Н), вкладывается в группу,
являющуюся свободным произведением групп Ga с объ-
объединенной подгруппой Н. С другой стороны, существует
амальгама четырех абелевых групп, не вложимая в
группу. Основная задача для А. г. в общей постановке
состоит в следующем. Пусть а, т. — свойства, к-рыми
могут обладать группы. Спрашивается, пргГ каких ус-
условиях А. г., обладающих свойством а, вкладывается в
группу, обладающую свойством т? Установлено, что
всякая амальгама двух конечных групп вложима в ко-
конечную группу. Амальгама трех абелевых групп вкла-
вкладывается в абелеву группу. Амальгама четырех абеле-
абелевых групп, вложимая в группу, вкладывается в абелеву
группу. Существует амальгама пяти абелевых групп,
вложимая в группу и не вложимая в абелеву группу.
Исследовался также вопрос о вложимости А. г. в слу-
случаях, когда а, т обозначают (в различных комбинациях)
разрешимость, нильпотентность, периодичность, ло-
локальную конечность и т. п.
Ю. И. Мерзляков, Н. С. Романовошй.
АМПЛИТУДА ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ИНТЕГРАЛА —
переменная ер, рассматриваемая как функция от z в
эллиптическом интеграле I рода
(•Ф dt
>, k)= \ ,,
Jo Kl-ft2 sin2 (
в нормальной форме Лежандра. Понятие А. э. и. и обо-
обозначение ф=ат z ввел К. Якоби (С. Jacobi) в 1829.
А. э. и. является бесконечнозначной периодич. функци-
функцией от z. Однозначными являются основные эллиптич.
функции Якоби sin am z=sn z, cos am z=cn z, A am z=
= dn z. С другой стороны, практически удобно, напр,
при табулировании, рассматривать эллиптич. интеграл
как функцию F(cp, k) от амплитуды ф и модуля к. См.
также Якоби эллиптические функции. Е.Д. Соломенцев.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел геомет-
геометрии. Основными понятиями А. г. являются простейшие
геометрич. образы (точки, прямые, плоскости, кривые и
поверхности 2-го порядка). Основными средствами ис-
исследования в А. г. служат метод координат и методы
элементарной алгебры. Возникновение метода коорди-
координат тесно связано с бурным развитием астрономии, ме-
механики и техники в 17 в. Отчетливое и исчерпывающее
изложение этого метода и основ А. г. было сделано
Р. Декартом (R. Dercartes) в его «Геометрии» A637).
Основные идеи метода были известны также его совре-
современнику П. Ферма (P. Fermat). Дальнейшая разработка
А. г. связана с трудами Г. Лейбница (G. Leibniz),
И. Ньютона (I. Newton) и особенно Л. Эйлера (L. Euler).
Средствами А. г. пользовался Ж. Лагранж (J. Lagran-
ge) при построении аналитич. механики, Г. Монж
(G. Monge) в дифференциальной геометрии. Ныне А. г.
не имеет самостоятельного значения как наука, однако
ее методы широко применяются в различных разделах
математики, механики, физики и др. наук.
Сущность метода координат заключается в следую-
следующем. Рассмотрим, напр., на плоскости л две взаимно
перпендикулярные прямые Ох и Оу. Эти прямые с ука-
указанным на них направлением, началом координат О
и выбранной масштабной единицей е образуют так наз.
декартову прямоугольную систему
координат Оху на плоскости. Прямые Ох и Оу наз. соот-
соответственно осью абсцисс и осью ординат.
Положение любой точки М на плоскости по отношению
к этой системе Оху можно определить следующим обра-
образом. Пусть Мх и Му — проекции М на Ох и Оу, а чис-
числа х и у — величины отрезков ОМх и ОМу (величина х
отрезка ОМх, напр., равна длине этого отрезка, взятой
со знаком плюс, если направление от О к Мх совпадает
с направлением на прямой Ох, и со знаком минус —
в противоположном случае). Числа х (абсцисса)
и У (ордината) наз. декартовыми прямо-
прямоугольными координатами точки М в
системе Оху. Для обозначения точки М с абсциссой х
и ординатой у пользуются символом М(х, у). Ясно, что
координаты точки М определяют ее положение относи-
относительно системы Оху.
Пусть на плоскости п с данной декартовой прямо-
прямоугольной системой координат Оху задана нек-рая линия
L. Используя понятие координат точек, можно ввести
понятие уравнения данной линии L относительно сис-
системы Оху как соотношения вида F(х, г/) = 0, к-рому удов-
удовлетворяют координаты х ж у любой точки М, располо-
расположенной на L, и не удовлетворяют координаты каждой
точки, не лежащей на L.
Основная идея метода координат на плоскости состо-
состоит в том, что геометрич. свойства линии L выясняются
путем изучения аналитич. и алгебраич. средствами
свойств уравнения F(x, у}=0 этой линии. Напр., гео-
геометрич. вопрос о числе точек пересечения прямой и ок-
окружности сводится к аналитич. вопросу о числе решений
алгебраич. системы уравнений прямой и окружности.
В А. г. на плоскости подробно изучаются геометрич.
свойства эллипса, гиперболы и параболы, представляю-
представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плос-
плоскостями, не проходящими через его вершину (см. Кони-
Конические сечения).
В А. г. на плоскости систематически исследуются так
наз. алгебраические линии 1-го и
2-го порядков; эти линии в декартовых прямо-
прямоугольных координатах определяются соответственно
алгебраич. уравнениями 1-й и 2-й степеней. Линии 1-го
порядка суть прямые и обратно, каждая прямая опре-
определяется алгебраич. уравнением 1-й степени Ах-\-Ву-\-
+ С=0. Линии 2-го порядка определяются уравнениями
вида Ax2JrBxyJrCy'iJrDxJrEy-\-F=Q. Основной метод
исследования и классификации этих линий заключается
в подборе такой декартовой прямоугольной системы
координат, в к-рой уравнение линии имеет наиболее
простой вид, и последующем исследовании этого просто-
простого уравнения. См. Линии второго порядка.
В А. г. в пространстве декартовы прямоугольные ко-
координаты х, у и z (абсцисса, ордината и аппликата) точки
М вводятся в полной аналогии с плоским случаем. Каж-
Каждой поверхности S в пространстве можно сопоставить ее
уравнение F(x, у, z) = 0 относительно системы коорди-
координат Oxyz. При этом геометрич. свойства поверхности S
выясняются путем изучения аналитич. и алгебраич.
средствами свойств уравнения этой поверхности. Линию
L в пространстве задают как линию пересечения двух
поверхностей S1 и 52. Если Рг(х, у, z) = 0 и F2(x, у, z) =
= 0 — уравнения S, и 5г, то пара этих уравнений, рас-
рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение
линии L. Напр., прямую L в пространстве можно рас-
рассматривать как линию пересечения двух плоскостей.
В А. г. в пространстве систематически исследуются так
наз. алгебраические поверхности
1-го и 2-го порядков. Выясняется, что ал-
алгебраич. поверхностями 1-го порядка являются лишь
плоскости. Поверхности 2-го порядка
определяются уравнениями вида:
Ах2 -\- By2 + Cz2 +Dxy + Eyz
Основной метод исследования и классификации этих
поверхностей заключается в подборе такой декартовой
прямоугольной системы координат, в к-рой уравнение
поверхности имеет наиболее простой вид, и последую-
последующем исследовании этого простого уравнения. См. По-
Поверхности второго порядка.
Лит.: [1] Д с к а р т Р., Геометрия, пер. с франц. и латин.,
М.— Л., 1938; [2] В и л е й т н е р Г., История математики от
Декарта до середины XIX столетия, пер. с нем., 2 изд., М.,
1966; [3] Е ф и м о в Н. В., Краткий курс аналитической гео-
геометрии, 9 изд., М., 1967; [4] И л ь и н В. А., П о з н я к Э. Г.,
Аналитическая геометрия, М., 1968; [5] Александров
П. С, Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; [6]
Постников М. М., Аналитическая геометрия, М., 1973;
[7] Бахвалов С. В., Моденов П. С, Пархо-
Пархоменко А. С, Сборник задач по аналитической геометрии,
3 изд., М., 1964. Э. Г. Позняп.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ - теория анали-
аналитических пространств. Этот термин был введен Ж. П.
Серром [1] по аналогии с алгебраич. геометрией.
Лит.: [1] S егге J. P., «Ann. Inst. Fourier», 1955—56,
t. 6, p. 1 — 42. А. Л. Онищик.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГРУППА - множество G, на-
наделенное одновременно структурой топологической
группы и структурой конечномерного аналитического
многообразия (над полем к, полным относительно нек-ро-
го нетривиального абсолютного значения) так, что ото-
отображение GxG-^-G, заданное правилом (х, у)^-ху, яв-
является аналитическим. А. г. G всегда хаусдорфова; если
А: локально компактно, то G локально компактна. В слу-
случае, когда к является соответственно полем действитель-
действительных, комплексных или р-адических чисел, G наз. соот-
соответственно вещественной (действительной), комплекс-
комплексной или р-адической А. г. Примером А. г. может слу-
служить полная линейная группа GL (п, к) векторного про-
пространства к11 над к (см. Линейная классическая группа)
или, более общо, группа обратимых элементов произ-
произвольной конечномерной ассоциативной алгебры с еди-
единицей над к. Вообще, группа fe-рациональных точек
алгебраической группы, определенной над к, является
А. г. Подгруппа в А. г. G, являющаяся подмногообрази-
подмногообразием в G, наз. аналитической подгруппой;
такая подгруппа обязательно замкнута в G. Напр.,
ортогональная группа О(п, к)= {g?GL(n, k)\ tgg=l]
является аналнтич. подгруппой в GL(ra, к). Всякая
замкнутая подгруппа вещественной или р-адической
А. г. аналитична и всякий непрерывный гомоморфизм
таких групп аналитичен (теоремы Картана,
см. [1]).
А. г. иногда наз. группой Ли (см. [1]), однако
обычно группа Ли понимается более узко как вещест-
вещественная А. г. (см. [2], [3] и Ли группа). Комплексная же
и р-адическая А. г. наз. соответственно комплексной и
р-адической группами Ли.
Сформулированные выше теоремы Картана означают,
что категория вещественных или р-адических А. г. бу-
будет полной подкатегорией в категории локально ком-
компактных топологич. групп. Вопрос о том, насколько
эти категории отличаются, т. е. когда локально ком-
компактная группа G является вещественной или р-адиче-
ской А. г., допускает исчерпывающий ответ: в действи-
действительном случае в G должна существовать окрестность
единицы, не содержащая нетривиальных подгрупп (см.
[5] —[9]); в р-адическом случае в G должна содержаться
конечно порожденная открытая подгруппа U, являю-
являющаяся про- р-группой, коммутант к-рой лежит в множе-
множестве Up р2-х степеней элементов из U (см. [10]). В част-
частности, любая топологич. группа, имеющая окрестность
единицы, гомеоморфную евклидову пространству (так
наз. локально евклидова топологи-
топологическая группа, см. [4]), есть вещественная А. г.
Иначе говоря, из существования в топологич. группе
непрерывных локальных координат вытекает существо-
существование аналитических локальных координат; этот ре-
результат составляет положительное решение пятой
проблемы Гильберта (см. [5], [И]).
В случае нулевой характеристики поля к важнейшим
методом исследования А. г. является изучение их ал-
алгебр Ли (см. Ли алгебра аналитической группы).
О бесконечномерных А. г. см. Ли банахова группа.
Лит.: [1] Серр Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер.
с англ. и франц., М., 1969; [2] П о н т р я г и н Л. С, Непре-
Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; [3] Ш е в а л л е К., Теория
групп Ли, т. 1, пер. с англ., М., 1948; [4] X е л г а с о и С,
Дифференциальная геометрия и симметрические пространства,
пер. с англ., М., 1964; [5] Проблемы Гильберта, М., 1969, с.
101 — 15; [6] G 1 в a s о n A., «Ann. Math.», 1952, v. 56, №2,
p. 193—212; [7] Montgomery D., Z i p p i n L., «Ann.
Math.», 1952, v. 56, № 2, p. 213—41; Г8] Y a m a b e H., «Ann.
Math.», 1953, v. 58, Ni 1, p. 48 — 54; [9 ] e г о же, там же, 1953,
v. 58, № 2, р. 351—65; [10] L a z а г d M. «Publ. Math. IHES»,
1965, t. 26, p. 389 — 594; [11] К а и л а н с к и Й И., Алгебры
Ли и локально компактные группы, пер. с англ.. Ж., 1974.
В. Л. Попов.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ, аналитичес-
аналитическая мера, аналитическая мера Аль-
фор с а,— функция плоского множества, введенная
Л. Альфорсом [1] и являющаяся аналогом логарифмич.
емкости, приспособленным для характеризации мно-
множеств устранимых особенностей ограниченных аналити-
аналитических функций. Пусть Е — замкнутое ограниченное
множество на плоскости, А (Е) — множество функций,
аналитических вне Е, равных нулю в бесконечно уда-
удаленной точке и ограниченных всюду вне Е константой 1,
и пусть у(Е; /) = lim z-f(z) при z^-oo. Число у(Е) =
=sup | у(Е; /)|, f?A (E), наз. аналитической
емкостью множества Е. А. е. произ-
произвольного множества обычно наз. верхняя
грань А. е. его замкнутых ограниченных подмножеств.
Если Е — замкнутое ограниченное множество, то
для того чтобы всякая аналитическая и ограниченная
вне Е функция аналитически продолжалась на множест-
множестве Е, необходимо и достаточно равенство нулю А. е.
множества ? (теорема Альфорса).
Существует также ряд родственных А. е. понятий,
приспособленных к метрикам различных других про-
пространств аналитич. функций (см., напр., [2] и [3]).
Понятие А. е. оказалось удачно приспособленным в
нек-рых задачах теории приближения, где решение ряда
основных вопросов формулируется в терминах А. е. Так
[4], для того чтобы на замкнутом ограниченном плоском
множестве Е всякая непрерывная функция равномерно
приближалась с любой точностью рациональными функ-
функциями, необходимо и достаточно, чтобы для любого кру-
круга аб радиуса б выполнялось равенство
Лит.: [1] Ahlfors L., «Duke. Math. J.», 1947, v. 14,
p. 1 — 11; Г2] G а г a b e d i a n P. «Trans. Amer. Math. Soc.»,
1950, v. 69, Ms 3, p. 392—415; [3] С и н а н я н С. О., «Докл.
АН Арм. ССР», 1962, т. 35, Ms 3, с. 107—12; [4] В и т у ш-
к и н А. Г., «Успехи матем. наук», 1967, т. 22, в. 6, с. 141—99.
А. Г. Витушкин.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ КРИВАЯ, аналитиче-
аналитическая дуга,— кривая К re-мерного евклидова про-
пространства R", п^2, допускающая аналитич. параметри-
параметризацию. Это означает, что координаты ее точек х={х1,
х2, ..., хп) могут быть выражены в виде аналитич. функ-
функций действительного параметра xi=xj(t), i=l, 2, . . ., п,
Р т. е. в нек-рой окрестности каждой точки t0,
, функции xt(t) представимы в виде сумм сходя-
сходящихся степенных рядов по степеням t— ta, причем про-
производные xi(t0), i=l, 2, . . ., и, не равны нулю одновре-
одновременно ни в одной точке отрезка [а, [5]. Последнее усло-
условие иногда оговаривают дополнительно, называя удов-
удовлетворяющую ему А. к. п р а в и л ь н о й. А. к. наз.
замкнутой, если ж,-(а)=а:/(Р), i—i, 2, . . ., п.
На плоскости С=С1 комплексного переменного z=
=x1-\-ix2 А. к. допускает представление в виде комп-
комплексной аналитич. функции действительного параметра
z=f(t), а<?<Р, /'(<)#0 на [а, р]. Если А. к. распо-
расположена в области 2>сгС, то при конформном отображе-
отображении D на к.-л. область она отображается также в А. к.
Если множество точек пересечения двух Л. к. бесконеч-
бесконечно, то эти А. к. совпадают.
Вообще, в комплексном пространстве С", re^l, комп-
комплексные координаты z; точек А. к. допускают представ-
представление в виде аналитич. функций действительного пара-
параметра z,-=z,-(i), а<*<Р, i=l,2, ...,ге. Следует, од-
однако, иметь в виду, что при ге>1 термин «А. к.» иногда
обозначает аналитическую поверхность комплексной
размерности единица.
На римановой поверхности S А. к. К допускает пред-
представление вида /@=1Мф№)> гДе z=\J)(P) — локальный
униформизируюлщй параметр точек Р поверхности S,
f (t) — аналитич. функция действительного параметра
в окрестности любой точки to?[a, [5].
Лит.: fl] Маркушевич А. И., Теория аналитических
функций, т. 2, М., 1968, гл. 8; [2] III а б а т Б. В., Введение
в комплексный анализ, ч. 1—2, 2 изд., М., 1976.
Е. Д. Соломенцев.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЯЗЫКА, анали-
анализирующая модель языка,— один из типов
математич. конструкций, используемых в математиче-
математической лингвистике для описания строения естественных
языков. Эти конструкции служат для формального мо-
моделирования основных категорий лингвистики, а также
самого процесса лингвистич. исследования, иначе го-
говоря — для получения по нек-рым совокупностям «не-
«неупорядоченных» данных о языке (точнее, о речи) тех
или иных сведений о строении механизма языка, т. е.
о его грамматике в широком смысле слова. «Работа»
такой модели не всегда носит характер эффективного по-
построения, поскольку совокупность исходных данных
может не быть конструктивным объектом; в принципе
это не уменьшает значения таких моделей.
В наиболее полно разработанных А. м. я. в качестве
совокупности исходных данных выступает объект, моде-
моделирующий множество грамматически правильных пред-
предложений естественного языка, а именно нек-рый фор-
формальный язык в заданном алфавите (словаре) V. Если
L — язык в словаре V и V", v?V* [uzv?L€$uyv?L],
то говорят, что цепочка ^замещаема на цепочку
у относительно V и L; если каждая из двух цепочек х
и у замещаема на другую относительно V и L, то гово-
говорят, что хну взаимозамещаемы относительно
V a L. Понятие взаимозамещаемости имеет простой линг-
лингвистич. смысл: если L понимается как множество грам-
грамматически правильных предложений нек-рого естест-
естественного языка, то взаимозамещаемые цепочки пред-
представляют собой «синтаксически эквивалентные», т. е.
выполняющие одни и те же синтаксич. функции, слово-
словосочетания. В частности, если односимвольная цепочка а
(в лингвистич. интерпретации — слово) взаимозаме-
щаема с цепочкой х длины >1, то х является «потенци-
«потенциальной составляющей», т. е. может входить в лингвис-
лингвистически естественные системы составляющих граммати-
грамматически правильных предложений данного языка (см.
Синтаксическая структура); в этом случае цепочку х
наз. конфигурацией 1-го ранга язы-
языка L с результирующим а. Так, для рус-
русского языка цепочку «равномерно непрерывная» можно
считать конфигурацией 1-го ранга с результирующим
«непрерывная». Однако конфигурациями 1-го ранга не
исчерпываются все «потенциальные составляющие»:
напр., словосочетание «непрерывная функция» не яв-
является конфигурацией 1-го ранга, т. к. на него заме-
замещаемы только такие слова, как «функция», «производ-
«производная», ..., но само оно ни на одно из этих слов не заме-
замещаемо («/(.г) есть равномерно непрерывная функция» —
правильное предложение, а «/(ж) есть равномерно функ-
функция» — нет). Поэтому вводится следующее определе-
определение: если г>1 есть натуральное число и для каждого
г=1, . . ., i—1 определено понятие конфигурации язы-
языка L ранга ?, то цепочка х длины >1 наз. к о н ф и-
гурацией ранга г языка L с резуль-
результирующим а, где а ? V, если: а замещаема на х
относительно V и L; если zrxz2^L и zrxz2 не содержит
вхождений конфигураций рангов, меньших г, перекры-
перекрывающихся с выделенным вхождением х, но не содержа-
содержащихся в нем целиком, то zxaz2 ?L. В русском языке сло-
словосочетание «непрерывная функция» можно считать
конфигурацией 2-го ранга с результирующим «функция»
(а также, напр., «производная»). Можно показать, что в
нек-ром смысле язык вполне определяется совокуп-
совокупностью своих конфигураций.
Конфигурационная модель принадлежит к так наз.
синтагматическим А. м. я., предназначен-
предназначенным для описания отношений между элементами отрез-
отрезков речи (в лингвистике такие отношения наз. синтаг-
синтагматическими). Другой класс А. м. я. составляют п а-
радигматические модели, предназначенные
для описания парадигматич. отношений, т. е. отноше-
отношений между элементами языка в его системе. В таких мо-
моделях обычно строятся те или иные отношения на слова-
словаре, часто (но не всегда) являющиеся отношениями экви-
эквивалентности. В частности, с помощью парадигматич.
А. м. я. строятся формальные аналоги традиционных
лингвистич. категорий таких, как часть речи, падеж,
род, фонема и т. п. «Исходным материалом» во многих
парадигматич. А. м. я. также служит множество грам-
грамматически правильных предложений; в ряде моделей
этого типа используется понятие замещаемости. Про-
Простейшее из получаемых таким образом отношений экви-
эквивалентности — ограниченное словарем отношение взаи-
мозамещаемости; классы эквивалентности по этому от-
отношению наз. семействами. Если ввести еще од-
одно отношение на словаре, интерпретируемое как «быть
формами одного слова» (точнее, одной лексемы; в таком
отношении находятся, напр., слова «предел» и «проде-
«проделом», «число» и «числу»; при этом производится идеали-
идеализация — считается, что слово может быть формой толь-
только одной лексемы; соответствующие классы эквивалент-
эквивалентности наз. окрестностями), то с помощью ука-
указанных двух отношений удается ввести нек-рые другие
классификации, к-рые можно рассматривать как при-
приближения к формальным аналогам понятия части речи
и других традиционных грамматических понятий, в
частности понятий падежа и рода существительного.
Последние два понятия являются объектом особенно
интенсивных исследований; для их формализации пред-
предложен ряд моделей, основывающихся на понятии грам-
матич. правильности, а также моделей иного характера.
Имеется, в частности, модель, в к-рой каждый падеж
трактуется как множество «одинаково управляемых»
форм существительных, а каждый род — как множество
«одинаково управляющих» существительных. Исход-
Исходными данными для определения падежа служат в этой
модели словарь, множество окрестностей, множество
существительных и бинарное отношение «потенциально-
«потенциального подчинения» на словаре: а потенциально подчиняет Ь,
если в нек-ром «лингвистически естественном» дереве
подчинения (см. Синтаксическая структура) граммати-
грамматически правильного предложения данного языка из к.-л.
вхождения а идет дуга в нек-рое вхождение Ь; для опре-
определения рода добавляются еще нек-рые исходные данные
аналогичного характера. Модели, основанные на «по-
«потенциальном подчинении» или иных понятиях, относя-
относящихся к деревьям, позволяют, видимо, дать более адек-
адекватную формализацию традиционных грамматич. кате-
категорий, чем модели, имеющие дело только с цепочками,
поскольку в «древесных» моделях синтаксич. отношения
отделены от линейных (ср. Грамматика трансформа-
трансформационная).
Математич. аппарат, используемый при построении
А. м. я., обычно сравнительно несложен. Для нек-рых
моделей он сводится к простейшим понятиям теории
множеств (такие модели часто наз. теоретико-множест-
теоретико-множественными; иногда это назв. распространяют на все
А. м. я.), в других случаях используются алгебраич.
понятия, в особенности понятия теории полугрупп и
алгебры бинарных отношений (в связи с чем теорию
А. м. я. иногда наз. алгебраической линг-
лингвистикой).
Лит.: [1] К v л а г и н а О. С, «Проблемы кибернетики»,
1958, вып. 1, с. 03—14; [21 Успенский В. А., «Бюлле-
«Бюллетень Объединения по проблемам машинного перевода», 1957,
№ 5, с. 11 —18; [3] его же, «Вопросы языкознания», 1064,
.Ni 6, с. 39—53; 14] Маркус С, Теоретико-множественные
модели языков, пер. с англ., М., 1970; [5] Р е в з и н И. И.,
Метод моделирования и типология славянских языков, М.,
1067; [6] Г л а д к и й А. В., «Вопросы языкознания», 1969,
№ 2, с. НО—23; [7] его же, Формальные грамматики и языки,
М., 1973. А. В. Гладкий.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ПЛОСКОСТЬ, комплекс-
комплексно-аналитическая плоскость,— множе-
множество точек z=(z1, . . ., zn) в комплексном евклидовом
пространстве С", удовлетворяющих системе уравнений
2Г=1 аЧг^Ьг /=1' •••' Л; а<7' Ь/?С'
rank || ац || = k < re.
Число к наз. комплексной коразмер-
коразмерностью, а п — к наз. комплексной раз-
размерностью А. п. Действительная размерность
А. п., равная 2(ге — к), четная, однако не всякая четно-
мерная действительная плоскость в R2"=C" является
А. п. Комплексно-одномерные А. п. наз. иногда к о м-
плексными, или аналитическими, пря-
прямыми. См. также Аналитическая поверхность.
Е.Д. Соломащсв, Е. М. Чирка.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ (в евклидовом
пространстве) — произвольное двумерное аналитическое
подмногообразие X в пространстве R™, га>2. Часто,
однако, термин «А. п.» в R" употребляется в более ши-
широком смысле как многообразие, допускающее аналптич.
параметризацию. Это означает, что координаты точек
х=(хг, .. ., хп) ?Х можно представить в виде аналитич.
функций xi=xi(t) действительного параметра t=(t1,
..., tfr), изменяющегося в нек-рой области ДсК*, 1<:
</с<га. Если при этом ранг матрицы Якоби rang Цдя/dill,
к-рый для аналитич. многообразия всюду в Д максима-
максимален и равен к, то размерность А. п. X равна к.
В комплексном пространстве С" термин «А. п.» ис-
используется также для обозначения комплексно-
аналитической поверхности X в С",
т. е. многообразия, допускающего голоморфную (комп-
(комплексно-аналитическую) параметризацию. Это означает,
что комплексные координаты точек z=(zl7 . . ., z,,)?X
можно выразить в виде голоморфных функций z, = z,(t)
параметра t=(Ti, . . ., т^), изменяющегося в нек-рой
области ДсС, 1<А;<гс (как правило, предполагается
еще, что rang ||dz/dT||=fc). Если Д=С* и все функции
z,(t) линейные, то получается комплексно-аналитич.
плоскость (см. Аналитическая плоскость). При k=i
иногда употребляется термин голоморфная кри-
кривая (комплексно-аналитическая кри-
в а я); если при этом все функции z,-(t) линейные, то го-
говорят о комплексной прямой (в парамет-
рич. представлении):
z,- = o,-t + 6,-; а,-, 6,?С, г = 1, ..., п, (аг, ..., ап)фй.
Лит.: [1] III а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ,
ч. 1—2, 2 изд., М., 1976. Е.Д. Соломенцев, Е. М.Чирка
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ абстракт-
абстрактная — двумерное комплексное аналитическое много-
многообразие, т. е. четырехмерное гладкое многообразие,
снабженное комплексной структурой. Хотя теория А. п.
и является частью общей теории комплексных многооб-
многообразий, двумерный случай выделяется особо, т. к. об
А. п. известно гораздо больше, чем о re-мерных многооб-
многообразиях при ?г^3. Кроме того, нек-рые факты специфич-
специфичны только для размерности 2. Эти специфич. резуль-
таты 0D А. п. касаются классификации А. п., аналогич-
аналогичной классификации алгебраических поверхностей, что в
значительной степени сводит теорию А. п. к теории ал-
гебраич. поверхностей. Основные результаты по клас-
классификации А. п. получены К. Кодаирой [1], [2], [3],
к-рый, однако, опирался на работы классиков итальян-
итальянской школы алгебраич. геометрии по классификации
алгебраич. поверхностей.
Все рассматриваемые в дальнейшем А. п. предпола-
предполагаются компактными и связными.
Примеры. 1)Алгебраические поверх-
поверхности. Пусть
/,• (х0, ..., xN), i = l, 2, ..., m,
набор однородных многочленов с комплексными коэф-
коэффициентами. Замкнутое подмножество комплексного
проективного пространства Р^(С), выделяемое уравне-
уравнениями /,(х) = 0, будет А. п., если оно неособо, связно и
имеет комплексную размерность 2. Это — основной
пример А. п.
2) Комплексные торы. Пусть Са— двумер-
двумерное векторное пространство над полем комплексных чи-
чисел (как векторное пространство над полем действитель-
действительных чисел оно изоморфно R4) и пусть Г^2[4— решетка
в С2. Факторпространство Х=С2/Г будет А. п. Как
гладкое многообразие X диффеоморфно 4-мерному тору,
однако комплексная структура на X зависит от решетки
Г. Комплексные торы Х=С2/Г играют важную роль в
анализе, так как мероморфные функции на них это
мероморфные функции на С2, к-рые периодичны с ре-
решеткой периодов Г. А. п. вида С2/Г не всегда алгебра-
ичны. Существуют даже такие решетки Г, что па соот-
соответствующем торе С2/Г вообще нет мероморфных функ-
функций (кроме констант). Конкретные примеры таких то-
торов можно найти в [5].
3) Поверхности Хопфа. Пусть У=с2 — {0},
с — положительное число, и рассматривается действие
группы 2 на У
(z,, z2)—>(CAZl, ckz2)
Группа Z действует дискретно и без неподвижных точек
на У, а факторпространство X=Y/Z диффеоморфно
S1XS3. Факторпространство X естественным образом
является А. п., наз. поверхностью Хопфа.
Классификация аналитических поверхностей. Основ-
Основным инвариантом при классификации А. п. является
степень трансцендентности поля мероморфных функций
С (X) на А. п. X. Согласно теореме Зигеля, для любого
компактного связного комплексного многообразия X
поле С (X) конечно порождено и его степень трансцен-
трансцендентности не превышает комплексной размерности для
X. Таким образом, для А. п. X ноле С (X) может со-
содержать две алгебраические независимые мероморфные
функции, одну такую функцию или, вообще, состоять
только из констант. В соответствии с этими возможнос-
возможностями имеют место следующие теоремы.
Для того чтобы А. п. X была алгебраич. поверх-
поверхностью, необходимо и достаточно, чтобы на X существо-
существовали две алгебраически независимые мероморфные
функции.
Если А. п. X обладает полем мероморфных функций
степени трансцендентности 1, то X является эллиптич.
поверхностью, т. е. обладает голоморфным отображе-
отображением на алгебраич. кривую У, Р: X-+Y таким, что
P*C{Y) = C(X)
и все слои отображения Р, кроме конечного числа, яв-
являются эллиптич. кривыми (особые слои могут иметь
только очень специальный вид, к-рый хорошо изучен).
Если на А. п. X не существует мероморфных функций,
кроме констант, и на X нет исключительных кривых
(см. Исключительное подмногообразие), то первое число
Бетти Ьг для X может принимать только три значения:
4, 1 и 0. При этом, если bi = 4, то X является комплекс-
комплексным тором, а если 6i=0, то X обладает тривиальным ка-
нонич. расслоением. Последние А. п. наз. КЗ-поверх-
КЗ-поверхностями. Все они гомеоморфны между собой. Случай
&!=1 подробно не изучен, но известные примеры А. п.
с &j=l получаются обобщением конструкции поверх-
поверхностей Хопфа.
Кэлерова А. п. не всегда будет алгебраич. поверх-
поверхностью. Однако это так, если квадрат ее первого Чжэня
класса положителен. Каждая кэлерова А. п. с &!>0
является деформацией алгебраич. поверхности.
Лит.: [1] Кодаира К., «Математика», сб. переводов,
1902, т. 6, MS 6, с. 3 — 17; [2] К о d a i r а К., «Ann. Math.»,
1960, v. 71, p. 111 — 52; 1963, v. 77, p. 563—626; 1963, v. 78,
p. 1—40; [3] e г о же, «Amer. J. Math.», 1964, v. 86, p. 751—98;
1966, v. 88, p. 682 — 721; 1968, v. 90, p. 55—83; 1048—66; [4] Ал-
Алгебраические поверхности, М., 1965 («Труды Матем. ин-та АН
СССР», 1965, т. 75); [5] Ш а ф а р е в и ч И. Р., Основы ал-
алгебраической геометрии, М., 1972. Б. Б. Венков.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬ-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ — раздел теории обыкновенных
дифференциальных уравнений, в к-ром решения иссле-
исследуются с точки зрения теории аналитич. функций. Ти-
Типичная постановка задачи в А. т. д. у. такова: дан
нек-рый класс дифференциальных уравнений, все реше-
решения к-рых суть аналитич. функции одной переменной;
требуется выяснить, какими специфич. свойствами об-
обладают аналитич. функции, являющиеся решениями
данного класса уравнений. В таком широком понима-
понимании А. т. д. у. включает теорию алгебраич. функций,
теорию абелевых интегралов, теорию специальных
функций и т. д. Специальные функции — Бесселя функ-
функции, Эйри функции, Лежаидра функции, Лагерра функ-
функции, Эрмита функции, Чебышева многочлены, Сонина
функции, Уиттекера функции, Вебера функции, Матъе
функции, гипергеометрическая функция и многие дру-
другие — являются решениями линейных дифференциаль-
дифференциальных уравнений с аналитич. коэффициентами.
Линейная теория. Рассмотрим систему из п уравне-
уравнений в матричной записи
x=A(t)x+f(t). A)
1) Пусть матрицы А (?), /(?) голоморфны в области
GczC(t) (С(t) — комплексная плоскость t). Тогда вся-
всякое решение системы A) аналитично в G (но, вообще
говоря, неоднозначно, если область G неодносвязна).
Предположим, что A (t) мероморфна в области G, и рас-
рассмотрим однородную систему
х=А {t)x. B)
[Матрица A (t) наз. голоморфной ( м е р о-
морфной) в области G, если все ее элементы голо-
голоморфны (мероморфны) в этой области.] Точка to?G наз,
полюсом матрицы i(l) порядка v^sl, если в
нек-рой окрестности этой точки
A (t) = A_v {t-toyv + A_v+1 (t-torv+1+ ...
где A -j — постоянные матрицы, A _v Ф 0, а матрица
В (t) голоморфна в точке t0. Полюс t0=^=oo порядка v наз.
регулярной особой точкой при v=1 и
иррегулярной особой точкой при v^2.
Случай t0=oo сводится к случаю to=O заменой t-*-t~1.
Ниже i0?too.
2) Пусть t0 — полюс A (t). Тогда существует фунда-
фундаментальная матрица X (t) системы B) вида
Х@=Ф@(«~«о)°. C)
где D — постоянная матрица, Ф (t) — голоморфна при
| *— *0| <р, если t0 — регулярная особая точка, и Ф (?)
голоморфна при 0<|i—го|<р, если t0 — иррегулярная
особая точка, для нек-рого р>0. (Здесь (t—ta)O=
= exp(ln(?— to)D), по определению.) Для регулярной
особой точки матрица D выражается через A (t) в явном
виде (см. llj, [2J); для иррегулярных особых точек
это не так.
Аналогичная классификация особых точек вводится
для дифференциальных уравнений порядка п с меро-
морфными коэффициентами. Дифференциальные урав-
уравнения и системы, все особые точки к-рых регулярны,
наз. дифференциальными уравнения-
уравнениями (системами) класса Фукса. Общий
вид матрицы A (t) для такой системы:
A (t) — Zj1=1 ((— tj)~1 Ap 4/ = const, к < oo.
Примером дифференциального уравнения класса Фукса
является гипергеометрическое уравнение.
3) Пусть A (t) = tiB(t), ?>0 — целое, В (t) голодюрф-
на при г=оо (это иррегулярная особая точка, если
В(°°)фО). Если 5 — достаточно узкий сектор вида
И>Я, a<arg i<p, то существует фундаментальная
матрица вида
X(t) = P(t)tQexp(R(t)), D)
где Q — постоянная матрица, R (t) — диагональная
матрица, элементы к-рой суть полиномы от t1^,
целое и
при |/]->сю, t?S. Вся плоскость С(t) разбивается на
конечное число секторов, в каждом из к-рых есть фун-
фундаментальная матрица вида D) (см. [3], [4], а также [1],
[2]).
4) При аналитич. продолжении вдоль замкнутого
пути 7 фундаментальная матрица X (t) умножается на
By : X {t)—>-X (t)By , где By — постоянная матрица; воз-
возникает монодромии группа дифференциального уравне-
уравнения. И. А. Лаппо-Данилевским [5] была исследована
проблема Римана: пусть A (t) — рациональ-
рациональная функция от t, и пусть известны особенности фунда-
фундаментальной матрицы X (t); требуется найти A (t).
5) Пусть функция z=(p(t) конформно отображает
верхнюю полуплоскость Im ?>0 на внутренность мно-
многоугольника, граница к-рого состоит из конечного числа
отрезков прямых и дуг окружностей. Тогда функция
ф@ удовлетворяет уравнению Шварца
где R (t) — рациональная функция, причем уравнение
4-Л(*)ш = 0 F)
принадлежит классу Фукса. Любое решение уравнения
E) может быть представлено в виде z=w1lw%, где w1,
w2 — линейно независимые решения уравнения F).
Пусть G — бесконечная дискретная группа, ф(г) —
автоморфная функция группы G; тогда ф (t) может быть
представлена в виде ф=ц?1/ц'2, где и\, w2 — линейно
независимые решения уравнения F) и R (t) — нек-рая
алгебраическая функция.
Нелинейная теория. 1) Рассмотрим задачу Коши:
i = /(«,*), x(to)=x», G)
здесь t?C(t), x={xlt . . ., хп) ?Сп(х), /=(/ь ...,/„).
Теорема Коши: пусть функция f(t, x) голо-
голоморфна по (t, x) в области GdC (t)XCn(x) и точка
(t0, x°)?G. Тогда существует б>0 такое, что в области
\t—to\<.8 существует решение x(t; t0, x°) задачи Коши
G), единственное и голоморфное.
Аналитич. продолжение решения x(t\ t0, x°) также
будет решением системы G), однако полученная в ре-
результате продолжения функция может иметь особен-
особенности и, вообще говоря, будет неоднозначной функцией
от t. Возникают вопросы: какие особенности может иметь
эта функция, как устроено решение в целом? В линей-
ном случае получены окончательные ответы на эти во-
вопросы. В нелинейном случае ситуация значительно
сложнее и не выяснена достаточно полно даже в том слу-
случае, когда fj(t, x) — рациональные функции от t, x.
2) Рассмотрим одно дифференциальное уравнение
dx_ _ ]>(t, х) ,„,
dt ~ Q (t, x) ' [ '
где t?C, x?C, a P и Q — голоморфные по (t, x) функ-
функции в нек-рой области G. Точка (t0, x0) ?G наз. (суще-
(существенно) особой точкой уравнения (8),
если Р (t0, xo) = O, Q (t0, xo) = O. Выясним структуру ре-
решений в окрестности особой точки уравнения. Разло-
Разложим Р и Q в ряды Тейлора:
Р (t, х) = аи (х — хо)-\-а12 (t — to)+...,
Q (t, х)=а21 (x — xo)-\-a22 (t — to)+ . . .,
и пусть X], Х2 — собственные значения матрицы ||а,-у|1.
Имеет место теорема: пусть Xj-фО и ни одно из чисел
Л1/Я,2, X2iX1 не является: а) целым неотрицательным чис-
числом, б) действительным отрицательным числом. Тогда
существуют окрестность U точки (t0, x0), окрестность V
точки t=0, х=0 и функции t=t(t, x), x=x(t, x) такие,
что: отображение U—*-V, задаваемое этими функциями,
является биголоморфным; дифференциальное уравнение
(8) в новых переменных принимает вид (см. [6]):
dx ktx
dl ~Kj '
Все решения уравнения (8) в новых переменных запи-
записываются в виде х=с1}''/^' и ж=0. Таким образом, осо-
особая точка уравнения является точкой ветвления беско-
бесконечного порядка для всех решений уравнения (8) (кроме
тривиальных). Особые точки решения, совпадающие с
особыми точками уравнения, наз. неподвижны-
м и. В отличие от линейного случая, решение нелиней-
нелинейного уравнения может иметь особые точки не только в
особых точках уравнения; такие особые точки решения
наз. подвижными. Справедлива теорема
Пенлеве: решения уравнения
P(t, х, х) = 0,
где Р — многочлен от х и х с голоморфными по t коэф-
коэффициентами, не имеют подвижных трансцендентных осо-
особых точек (см. [7]).
Если в уравнении (8) Р и Q суть многочлены от t, x,
то в силу теоремы Пенлеве все подвижные особые точки
являются алгебраическими. При замене t=i/t', x=
= x'/t', уравнение (8) примет вид
dx' -Pi (Г, ж')
dt7 Qi(t', x') '
где Рг, Q1 — многочлены. Пусть х]— корни уравнения
Р]@, х') = 0. Точки @, х)) наз. бесконечно уда-
удаленными особыми точками уравне-
уравнения (8); структуру решений в окрестности этих точек
описывает приведенная выше теорема [6].
Пусть Р, Q — многочлены степени п. Поскольку Р, Q
определяются своими коэффициентами и пара (ХР, XQ)
задает то же уравнение, получают взаимно однозначное
соответствие между уравнениями (8) и точками ком-
комплексного проективного пространства СР^(Лг=(га+1) X
Х(п+2)—1). Имеет место теорема: если удалить из СРЛ1
ек-рое множество меры нуль, то оставшиеся уравне-
уравнения (8) обладают следующим свойством: все решения
x=x(t) всюду плотны в C2=C(t)XC{x) (см. [8]).
3) Рассмотрим автономную систему
*=/(*), (9)
t?C(t), х?С"(х), /=(А, .. .,/л)- Точка ж0 наз. осо-
особой точкой системы (9), если f(x°) = 0.
Справедлива теорема Пуанкаре. Пусть х° —
особая точка автономной системы (9). Пусть, кроме
того: а) элементарные делители матрицы Якоби f'(x°)
простые и б) собственные значения Xj этой матрицы ле-
лежат по одну сторону от нек-рой прямой в С (Я), проходя-
проходящей через начало координат. Тогда существуют окрест-
окрестности U, V точек х=х°, х=0 и биголоморфное отобра-
отображение х=х(х): V-±U такое, что в переменных х авто-
автономная система (9) имеет вид (см. [9]):
dx.
-^- = 'kjXj, lsS/sSn.
В том случае, когда выполнено только условие а), мож-
можно с помощью преобразования х=ц>(х), где ц>(х) —
формальный степенной ряд, привести систему (9) в
окрестности особой точки к системе, к-рая интегрирует-
интегрируется в квадратурах (см. [9], [10]). Однако сходимость этих
рядов доказана при предположениях, близких к а), б).
В случае, когда функция / (х) и преобразование х =
= ц>(х) вещественны при вещественных х, х, доказана
теорема (см. [11]), аналогичная теореме Пуанкаре.
Структура решений автономной системы (9) в целом,
где jj(x) — полиномы и я^З, к 70-м гг. 20 в. не исследо-
исследована.
Лит.: [1] Коддингтон Э. А., Лев и неон Н.,
Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер.
с англ., М., 1958; [2] В а з о в В., Асимптотические разложе-
разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений, пер.
с англ., М., 1968; [3] Birkhoff G. D., «Trans. Amer. Math.
Soc», 1909, v. 10, p. 436—70; 14] T г j i tilnskj W. J., «Ac-
ta math.», 1933, Bd 62, S. 167—226; [5] Л а п п о-Д а н и л е в-
ск ий И. А., Применение функций от матриц к теории ли-
линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений,
[пер. с франц.], М., 1957; [6] Bieberbach L., Theorie
der gewohnlichen Differentialgleichungen auf Funktionentheore-
tischer Grundlage dargestellt, В., 1953; [7] Г о л у б е в В. В.,
Лекции по аналитической теории дифференциальных уравне-
уравнений, 2 изд.. М.— Л., 1950; [8] X у д а й - В е р е н о в М. Г.,
«Матем, сб.», 1962, т. 56, № 3, с. 301—8; [9] Н е м ы ц к и й В. В.,
Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных
уравнений, 2 изд., М.— Л., 1949; L101 Б р ю н о А. Д.,
«Докл. АН СССР», 1964, т. 157, №6, с. 1276 — 79; [11 ] 3 и-
гель К. Л., «Математика», 1961, т. 5, Л» 2, с. 119 — 28;
[12] Пуанкаре А., Избранные труды, пер. с франц., т. 3,
М. 1974; [13] Форд Л. Р., Автоморфные функции, пер. с
англ., М., 1936. М. В. Федорюк.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ — раздел тео-
теории чисел. В А. т. ч. включают вопросы распределения
простых чисел, аддитивные проблемы, исследование
поведения теоретико-числовых функций, теорию алгеб-
алгебраических И трансцендентных чисел.
Распределение простых чисел, а) Одной из интерес-
интереснейших и труднейших задач А. т. ч. является проблема
распределения простых чисел (п. ч.). Первый резуль-
результат в проблеме распределения п. ч.~ теорема Евклида:
п. ч. бесконечно много. Пусть я(х) — число п. ч., не
превосходящих х; тогда теорема Евклида может быть
сформулирована так: п(х)—>-+оо при х—»-эо. Следующий
шаг в этом вопросе был сделан П. Л. Чебышевым A850).
Он доказал, что:
1) Для величины я (х) выполняются неравенства
ах , ч Ьх
Ых<КМ<ъГх>
причем a>V2ln 2, Ь<21п 2.
2) Если существует предел n(i)ln j/j при х—>¦-f-t»,
то этот предел равен 1.
Проблему существования последнего предела ре-
решили в 1896 Ж. Адамар (J. Hadamard) и Ш. Ж. Ла
Балле Пуссен (Ch. J. La Vallee Poussin), установив
тем самым, что
Ш. Ж. Ла Балле Пуссен доказал значительно больше,
а именно: пусть
тогда
Л (х) = 0(х),
где <%>0 — абсолютная постоянная (см. Балле Пуссена
теорема). При решении этой проблемы были исполь-
использованы методы теории функций комплексного перемен-
переменного. С проблемой оценки Л (х) тесно связана проблема
поведения нек-рой функции комплексного переменного,
к-рую впервые A859) изучал Б. Риман (В. Riemann),
и к-рая теперь наз. Римана дзета-функцией. Эта функ-
функция задается равенством
+ + i a > 1.
При действительном s дзета-функцию рассматривал еще
Л. Эйлер (L. Euler; 1737, 1749) и им было доказано тож-
тождество, к-рое указывает на связь t,(s) с п. ч.:
C(s) = (l-2-J)-i(l-3-i)-1...(l-p-;r)-1..., <т> 1,
где произведение берется по всем п. ч. Функцию ?(s),
заданную рядом при о>1, можно аналитически про-
продолжить на всю плоскость комплексного переменного;
тогда получится функция, к-рая будет аналитической
на всей плоскости комплексного переменного за исклю-
исключением точки s= 1, где она имеет простой полюс с выче-
вычетом, равным 1. Проблема оценки остатка Л (ж) в асимп-
тотич. формуле распределения п. ч. тесно связана с
проблемой распределения нулей ? (s) в «критической»
полосе 0-<а<:1. Б. Риманом была высказана гипотеза,
что все нули ?(s) в критич. полосе лежат на прямой сг =
= 1/2. Из этой гипотезы следует, что R(x) = O( У~х1пх).
Наоборот, из соотношения 1{(х) = О(х'/г + Е), где е>0 —
произвольно мало, следует справедливость Римана ги-
гипотезы о нулях ?(s). Ж. Адамар и Ш. Ж. Ла Балле Пус-
Пуссен получили асимптотич. закон распределения п. ч.,
доказав, что ?(.s) не имеет нулей при cr^l.Для величи-
величины Л (х) доказаны так наз. Й-теоремы: существуют такие
две последовательности Х—+—\-<х>, Y—>-f-oo, что
б) Другой проблемой теории распределения п. ч. яв-
является проблема оценки разности соседних п. ч., то есть
числа Дп=р„ + 1 — р„, где рп есть n-е простое число.
Здесь также первый общий результат принадлежит
П. Л. Чебышеву, доказавшему, что между N и 2N,
N^ssi, лежит п. ч. (Бертрана постулат). Оценка Ап тес-
тесно связана с функцией N (а, Т) — числом нулей ?(s) в
прямоугольнике 1/2<а<сг<1, |г| <7\ Функция N(a, T),
в свою очередь, тесно связана с функцией ^A1$-\-Н).
Существуют гипотезы: N (a, T) = O(T4i—a) + e) (плотп-
ностная гипотеза) и ? A/2Jrit) = O (te) (Линделе'фа ги-
потеза), е>0 — произвольно мало. Из гипотезы Рима-
Римана о нулях ?(s) следует гипотеза Линделёфа, из гипотезы
Линделе'фа — плотностная гипотеза, из к-рой сле-
следует, что A,;=O(n1//z + ?). Доказано, что Д„=О(пг), где
<1
в) Вопрос о распределении п. ч. в арифметич.
прогрессиях nk-\-l, (k, l)=i, n=0, 1, 2, ..., приводит
к вопросу о нулях специальных дзета-функций, так
наз. Л-рядов Дирихле, к-рые имеют вид:
avl-s-{-a2-2-s+...+an.n-s+...,
о">1, ап — коэффициенты, зависящие от га и от разнос-
разности прогрессий к (характеры Дирихле по mod к).
Проблемы распределения нулей L-рядов Дирихле
и распределения п. ч. в арифметич. прогрессиях имеют
свои специфич. особенности. Одно из самых крупных
достижений в этом вопросе — следующее (К. Зигель;
К. Siegel, 1935): пусть я(х, к, I) — число п. ч., не пре-
восходящих х в прогрессии пк-\-1, ге=0, 1, ... . Тогда
где ц>(к) — Эйлера функция и l<:fe<:lnsa;, Л и В —
произвольные фиксированные числа. Сведения о рас-
распределении п. ч. в арифметич. прогрессиях существенно
используются при решении аддитивных задач с п. ч.
См. также Распределение простых чисел.
Аддитивные проблемы. К аддитивным задачам А. т. ч.
относятся проблемы, связанные с уравнениями в целых
числах специального вида. Основными вопросами в этой
проблематике являются следующие: доказать разреши-
разрешимость заданного уравнения, найти асимптотич. формулу
для числа решений заданного уравнения. Второй вопрос
значительно труднее, и положительный ответ на него
в нек-ром смысле дает ответ на первый вопрос. Классич.
примерами аддитивных задач являются Варинга про-
проблемы, Гольдбаха проблема, Харди — Литлвуда про-
проблема.
Проблема Варинга A770) формулируется так: пусть
Jk,n{N) — число решений в целых положительных
числах хх, ...,х/1 уравнения
?2 jv, A)
где N~^\ — целое число. Доказать, что существует
такое число ко=ко(п) (кй зависит только от п), что
Jk, n(N)^i при к^к0. Другими словами, доказать, что
любое число jV^I может быть представлено суммой п=х
степеней целых положительных чисел, причем число
слагаемых в этом представлении зависит только от п.
При п— 2 задача была решена Ж. Лагранжем (J. Lag-
range, 1770), к-рый доказал, что каждое целое положи-
положительное число есть сумма четырех квадратов целых чи-
чисел. Первое общее решение проблемы Варинга дано
Д. Гильбертом (D. Hilbert) в 1909. Позднее, в 1924
Г. X. Харди (G. H. Hardy) и Дж. Литлвуд (J . Little-
wood), применив свой круговой метод, доказали, что для
Jk,n(N) при к~^п2"-{-1 имеет место асимптотич. фор-
формула вида:
Jh, n (N) = ANh/n- i + О (Nk/n-l -f), B)
где 7>0 и А =А (Лг)^с>0, с — абсолютная константа.
А поскольку существует бесконечно много таких чисел
Лг, к-рые для к—п не являются суммой га-х степеней,
т. е. /д._ „ (N) = 0, то возникла проблема установления
истинного порядка величины к в зависимости от п,
при к-ром разрешимо уравнение A) и справедлива фор-
формула B). Самые сильные результаты в этой проблеме
принадлежат И. М. Виноградову, к-рый в 1934 доказал,
что
а) Jk, п (ЛОг^! ПРИ Лг^Лго(ге)> если к^Зп In re+lln;
б) формула B) имеет место при fe^:4ra2ln п.
Другая классич. аддитивная проблема — проблема
Гольдбаха — Эйлера A742), состоит в следующем: пусть
/(N) — число решений в простых числах рх, рг, р3,
уравнения Рх+Рг+Рз—-^! доказать, что при нечетном
7V>7 будет /(iV)>l. В 1937 И. М. Виноградов доказал,
что (асимптотич. формула для J (N)):
J (N)=--BN* ln-3iV + O (TV2 l
где 5 = 5 GV)>0,6. Отсюда, в частности, следует, чте
/ GV)^1 при N^N0, т. е. решение проблемы Гольдба-
Гольдбаха — Эйлера для достаточно больших N.
К аддитивным задачам относится проблема Харди —
Литлвуда A923); каждое 7V>2 может быть представле-
представлено в виде N=p-}-x2-\-y2, где р — простое число, х, у —
целые положительные числа. В 1958 Ю. В. Линник до-
доказал, что если W{N) — число решений этого уравне-
уравнения, то имеет место асимптотич. формула
^ In-М"ЛГ),
гдест=сг GV)^C!>0, cy— абсолютная константа. Отсюда
следует, что W(N)^1 при N~^NU, т. е. решение про-
проблемы Харди — Литлвуда для достаточно больших N.
Имеется много аддитивных проблем, к-рые еще не реше-
решены и имеют возраст сотен и даже тысяч лет. К ним,
напр., относятся вопросы о бесконечности числа п. ч.
близнецов, т. е. пар п. ч. р и q таких, что \р — </| = 2,
бинарная проблема Гольбаха — Эйлера, т. е., что каждое
четное число ^4 есть сумма двух п. ч., проблема суще-
существования бесконечного числа п. ч. в последовательно-
последовательности вида геа+1. См. также Аддитивные проблемы.
Поведение теоретико-числовых функций. В теории
чисел имеется ряд классич. функций: ф(п) — число
чисел, не превосходящих га и взаимно простых с п
(функция Эйлера), х(п) — число делителей числа п,
ц(и) — Мёбиуса функция, Л (га) — Мангольдта функ-
функция и др. Несмотря на то, что каждая из указанных
функций ведет себя довольно «неправильно», средние
значения этих функций уже поддаются изучению. Под
средним значением функции /(га) понимают величину
-2п<ж/(ге)- Вопрос об оценке среднего значения функ-
функции )i(n) эквивалентен вопросу о границе нулей дзета-
функции Римана. Вопрос об асимптотике среднего зна-
значения функции Л (га) эквивалентен вопросу об асимпто-
тич. формуле для я (х), т. е. также вопросу о границе ну-
нулей дзета-функции Римана. Во всех этих задачах до-
достигнуты те же результаты, что и в проблеме распределе-
распределения п. ч. Особо стоит вопрос об асимптотике среднего
значения т(п) или, несколько иначе, вопрос об асимпто-
тпч. формуле для суммы значений т(п). Пусть
Ф(Л0=тA)+тB)+. . .
Тогда Ф (N) — число целых точек под гиперболой у=
—N/x. Таким образом, нахождение асимптотики Ф (N) —
это проблема нахождения асимптотики числа целых
точек в расширяющихся областях. К этой проблематике
относится задача о числе целых точек в круге, т. е. за-
задача о числе
2
х, у — целые числа, и обобщения этих задач на произ-
произвольные области как на плоскости, так и в пространстве.
П. Дирихле A849) доказал, что
Ф(ЛТ) = ЛГ In N+By+l)N+R1(N),
де R1(N)=O(VW), а К. Гаусс A863), что
где R2(N)=O( VN). Задачи нахождения наилучших
возможных оценок величин RX(N) и R2(N) стали наз.
соответственно делителей проблемой и круга проблемой.
Г. Ф. Вороной A903) получил
Ях (N) = О
а В. Сершшьский (W. Sierpinski, 1906) —
Кроме того, доказаны Я-теоремы, а именно, что
R1(N)=Q{l\rl/i) и R2(N) = Q(Nlli).
В настоящее время A976) получены оценки Ri(N) и
Л2(Л) несколько лучше, чем у Г. Ф. Вороного и В. Сер-
пиньского.
Родственной рассмотренным задачам является зада-
задача об асимптотике суммы дробных долей различного ви-
вида функций или эквивалентная ей задача — вопрос о
распределении дробных долей различного вида функ-
функций. Обозначим через {а} дробную часть числа а.
Тогда если F(x) — вещественная функция, то возни-
кает вопрос об асимптотике следующих двух функций:
Если для любого
то говорят, что дробные доли функции F (п) распределе-
распределены равномерно. Равномерность распределения дробных
долей функции F(п) может быть выражена и в терминах
асимптотики для T^N). Первые результаты о равномер-
равномерном распределении дробных долей многочленов, кри-
критерии равномерного распределения были найдены
Г. Вейлем (Н. Weyl, 1916). Наиболее точные результаты
в этих вопросах получены И.М.Виноградовым. Им же
найдены асимптотич. формулы для Tt{N) и T2(N) и для
тех случаев, когда п пробегает часть множества целых
чисел, не превосходящих N, в частности множество п. ч.
Относительно мало известно о распределении дробных
долей функций, растущих быстрее многочленов. Напр.,
ничего не известно о распределении дробных долей функ-
функции C/2)*.
Алгебраические и трансцендентные числа. К теории
алгебраических и трансцендентных чисел относятся во-
вопросы, связанные с арифметич. природой тех или иных
чисел или классов чисел. Рассмотрим многочлены с
целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1;
если а является корнем такого многочлена степени п
и не является корнем многочлена меньшей степени, то
оно наз. алгебраическим числом степени
п\ при п=1 число а наз. рациональным. Если
же а не является алгебраическим, то оно наз. транс-
трансцендентным числом. Алгебраич. чисел «много
меньше», чем трансцендентных, «почти любое» число —
трансцендентное, однако вопросы об алгебраичности
или трансцендентности конкретных чисел очень трудны.
Основной «характеристикой» алгебраич. числа является
тот факт, что они «плохо» приближаются рациональны-
рациональными числами. Это утверждение (Лиувилля теорема,
1844) формулируется так: если а — алгебраич. число
степени п, то
где я=п, с=с(а)>0 — константа, зависящая только от
a, a р и q — произвольные целые числа. Следующий
принципиальный шаг в этом вопросе сделал А. Туэ
(A. Thue, 1909), идеи к-рого оказали большое влияние
на всю теорию трансцендентных чисел. Он доказал, что
*=4г-ге, е>0. Далее величина х уменьшалась многими
учеными, и в 1955 К. Ф. Рот (К. F. Roth) доказал, что
х=2+е (известно, что х>2). Недостатком этих теорем
(исключая теорему Лиувилля) является то, что все они
не эффективны, т. е. по а и е нельзя вычислять с.
Задачи о приближениях связаны с определенным клас-
классом задач из теории неопределенных уравнений. Так,
А. Туэ из своей теоремы о приближении получил ко-
конечность числа целочисленных решений уравнения
Fn(xt i/) = a> гДе Fn(xi у) ~ форма с целыми коэффициен-
коэффициентами степени га^З, а — целое число, отличное от нуля
(эта теорема также не эффективна, т. е. нельзя указать
границы для решений уравнения).
Другое направление этой теории — доказательство
трансцендентности чисел. Первые результаты здесь бы-
были получены в конце 19 в. Ш. Эрмит (Ch. Hermite,
1873) доказал трансцендентность числа е\ Ф. Линдеман
(F. Lindemann, 1882) — трансцендентность числа я, и
тем самым была отрицательно решена проблема о квад-
квадратуре круга. А. О. Гельфонд и Т. Шнейдер (Т. Schnei-
Schneider) в 1934 доказали теорему о том, что аЭ является
трансцендентным числом, если а, — алгебраич. чис-
ло а^=0,1 и Р - алгебраич. число степени ^2 (седьмая
проблема Гильберта). А. Бейкером (A. Baker) начиная
с 1967 был получен ряд эффективных теорем об оценке
линейных форм от логарифмов алгебраич. чисел. След-
Следствием этих теорем явилось эффективное доказатель-
доказательство теоремы Туэ о числе представлений целого числа
формой. Существует много вопросов в теории трансцен-
трансцендентных чисел, к-рые еще ждут своего решения. К ним
относятся вопрос о трансцендентности константы Эйлера
Y= lim С In re — 1 \ ... -
п-> оо V z n
вопрос об алгебраич. зависимости чисел е и я и др.
О некоторых методах в аналитической теории чисел.
а) Метод комплексного интегриро-
интегрирования. Он порожден методом производящих функ-
функций Эйлера, к-рым часто решаются задачи элементар-
элементарной математики. Основой служит следующая формула
(разрывный множитель):
{1, если х > 1,
1 .
-тг , если х = 1,
2
О, если 0<х< 1,
где интеграл берется по прямой Re s=cr>0, s=a-\-it.
Так, при Re s>l имеем
/(S)= y Л(ге)ге,
и при x=N-\-xl\ получаем
АЫ !C *'f «О d,
xA[n>~2ni J Re s = 2 s aS-
Слева стоит Чебышева функция, асимптотика для к-рой
эквивалентна проблеме о п. ч. Правая же часть, после
выделения главного члена, будет тем меньше, чем левее
удастся перенести контур интегрирования. См. также
Комплексного интегрирования метод.
б) Круговой метод (Харди — Литлвуда —
Рамануджана). Он применяется в основном в аддитивных
задачах. Рассмотрим схему применения и существо кру-
кругового метода в форме тригонометрия, сумм Виногра-
Виноградова на тернарной проблеме Гольдбаха — Эйлера.
Пусть т — целое число. Тогда имеем (разрывный
множитель):
1 e2nicxmda ( 1, если т = 0,
o | о, если т фО.
Поэтому
^(a)e-2^Nda, S (a) = ? 2ta
I (N) — число решений в п. ч. уравнения Pi+P2~j~P3 =
= N. Далее, интервал интегрирования @, 1) разбивает-
разбивается на две части — основной интервал и дополнитель-
дополнительный: к основному интервалу относят все интервалы вида
«--^ <-*-,
q q%
где (a, <?) = 1, CXasSg, g<ln10JV, T=7V ln~20JV; к допол-
дополнительному интервалу отнесем все остальные. Основные
интервалы не пересекаются. Кроме того, для а из основ-
основного интервала, сумма 5 (а) «близка» к рациональной
сумме 5 (alq). Но при «малых» g, g<:ln N, известен закон
распределения п. ч. в прогрессиях с разностью q (напр.,
теорема Зигеля), т. е. известна асимптотика сумм 5 (alq).
Так выделяется главный член проблемы, и в этом со-
состоит идея кругового метода. Если теперь нетривиаль-
нетривиально оценить |5(ос)| на дополнительных интервалах (см.
Виноградова метод), то получится асимптотич. форму-
формула в проблеме Гольдбаха — Эйлера. См. также Круго-
Круговой метод.
в) Метод тригонометрических сумм.
Большинство задач А. т. ч. может быть сформулировано
в терминах тригонометрич. сумм — конечных сумм вида
5=2Х1 Xne2*iF(x> *п), C)
где F(хх, . . ., хп) — действительная функция, aij, ...,
хп пробегают множество целых чисел в количестве Р.
Таким образом, центр тяжести многих проблем пере-
переносится на задачу изучения таких сумм, в частности на
задачу получения возможно более точной оценки моду-
модуля таких сумм. Тривиальной оценкой суммы C) будет Р.
Ставится задача получить оценку типа
где 0<:Д <:1 наз. понижающим множителем. Первые не-
нетривиальные оценки тригонометрич. сумм, когда F=
= F(x) — многочлен, а х=1, 2, .. ., Р, получил Г. Вейль
A919), к-рый одновременно доказал критерий равно-
равнораспределенности дробных долей функции в терминах
тригонометрич. сумм. Создателем метода тригономет-
тригонометрич. сумм является И. М. Виноградов, к-рый, исполь-
используя глубокие арифметич. свойства рассматриваемых
сумм, получил исключительно сильные оценки модуля
широкого класса таких сумм. Это позволило ему полу-
получить фундаментальные близкие к предельно возможным
результаты в целом ряде вопросов теории чисел (пробле-
(проблема Варинга, Гильберта — Камке проблема, Вейля сум-
суммы). Другим следствием метода Виноградова A937) бы-
было решение ряда аддитивных проблем с п. ч. и, в част-
частности, решение проблемы Гольдбаха — Эйлера. Ос-
Основной идеей метода Виноградова является идея «сгла-
«сглаживания» (возведение в степень тригонометрич. суммы
и сведение оценки к теореме о среднем при оценках
сумм Вейля; введение двойных тригонометрич. сумм
при оценках сумм с п. ч.). См. также Тригонометриче-
Тригонометрических сумм метод.
г) Дисперсионный метод и метод
большого решета. В 1958—60 Ю. В. Линни-
ком был создан дисперсионный метод для решения це-
целого ряда аддитивных задач теории чисел. Им были ре-
решены проблема Харди — Литлвуда, Титчмарша про-
проблема делителей, аддитивная проблема делителей.
Основным понятием метода является дисперсия для
числа решений уравнения при предполагаемой асимпто-
асимптотике для числа решений нек-рого вспомогательного
уравнения, связанного с основным (см. также Диспер-
Дисперсионный метод). В последнее время получены глубокие
результаты при помощи метода большого решета 10. В.
Линника, к-рый был создан им в 1940 при решении про-
проблемы о наименьшем квадратичном невычете.
д) Методы в теории алгебраических
и трансцендентных чисел. При доказа-
доказательстве теоремы о приближении алгебраич. числа ра-
рациональной дробью, А. Туэ (см. Туэ метод) строит мно-
многочлен
с целыми коэффициентами, где jx и /2 — тоже многочле-
многочлены. Допуская, что а «хорошо» приближаются дробями
J и р2/<12 с Достаточно большим qx и </2, полагая тх
(fa/In q2 и доказывая, что f(x, у) при x=p1/ql, y=
pjq2 не обращается в нуль, получают противоречие.
При доказательстве трансцендентности чисел А. О.
Гельфонд строит функцию
В предположении, что а — алгебраич. число, при по-
помощи принципа ящиков Дирихле целые не равные
нулю числа сье выбираются так, что /(z) и «много» ее
производных имеют «много» нулей. «Большое» количе-
количество нулей позволяет получить «хорошие» оценки свер-
сверху для «большого» числа производных и точек, а отсюда,
при помощи оценок снизу, получаемых из теоремы Лиу-
вилля, следует, что /(г) и «много» ее производных имеют
больше нулей, чем вначале. Повторение этого процесса
приводит к тому, что либо X — рациональное число,
либо Cfc г равны нулю, что противоречит их выбору.
См. также Алгебраическое число, Трансцендентное число.
Лит.: [1] Виноградов И. М., Избр. тр., М., 1952;
[2] е г о же, Основы теории чисел, 7 изд., М., 1965; [3] е г о же,
Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [4]
Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа,
М., 1952; [5] Делоне Б. Н., Петербургская школа теории
чисел, М.—Л., 1947; [6] К а р a й у б а А. А., Основы аналити-
аналитической теории чисел, М., 1975; [7] Л и н н и к Ю. В., Диспер-
Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах, Л., 1961; [8]
Чудаков Н. Г., Введение в теорию i-функций Дирихле,
М.—Л., 1947; [9] П р а х а р К., Распределение простых чисел,
пер. с нем., М., 1967; [10] Дэвенпорт Г., Мультиплика-
Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М., 1971; [11] Т и т ч-
марш Е., Теория дзета-функции Римана, пер. с англ., М.,
1953; [12] X у а Л о-г е н, Метод тригонометрических сумм и
его применения в теории чисел, пер. с нем., М., 1964; [13] В а-
ker A., «Mathematika», 1967, v. 14, №1B7), p. 102—07; [14]
Виноградов А. И., «Изв. АН СССР. Серия матем.»,
1965, т. 29, в. 4, с. 903—34; [15] BomHeri E. «Mathema-
«Mathematika», 1965, v. 12, № 24, р. 201—25. А. А. Карацуба.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, края
может быть представлена степенным рядом. Исключит,
важность класса А. ф. определяется следующим. Во-
первых, этот класс достаточно миро к: он охватывает
большинство функций, встречающихся в основных
вопросах математики и ее приложений к естествозна-
естествознанию и технике. Во-вторых, класс А. ф. з а м к н у т
относительно основных операций арифметики, алгебры
и анализа. Наконец, А. ф. обладают важным свойством
единственности: каждая А. ф. образует одно
«органически связанное целое», представляет собой
«единую» функцию во всей своей естественной области
существования. Это свойство, к-рое в 18 в. считалось
неотделимым от самого понятия функции, приобрело
принципиальное значение после установления — в 1-й
пол. 19 в.— общей точки зрения на функцию как на
произвольное соответствие. Теория А. ф. была создана
в 19 в. в первую очередь благодаря работам О. Коши
(A. Gauchy), Б. Римана (В. Riemann) и К. Венершт-
расса (К. Weierstrass). Решающее значение в построе-
построении этой теории сыграл «выход в комплексную область».
Теория А. ф. возникла как теория функций комплекс-
комплексного переменного; и в настоящее время G0-е гг. 20 в.)
теория А. ф. составляет основное содержание общей
теории функций комплексного переменного.
Существуют различные подходы к понятию аналитич-
аналитичности. В основе одного из них, впервые развитого
0. Коши и далеко продвинутого Б. Риманом, лежит
структурное свойство функции — суще-
существование производной по комплексному переменному,
или комплексная дифференцируемость. Этот подход
тесно связан с геометрическими пред-
представлениями. Другой подход, систематич. раз-
развивавшийся К. Вейерштрассом, осповывается на воз-
возможности представления функций степенными рядами;
он связан, тем самым, с а н а л и т и ч е с к и м ап-
аппаратом, к-рым может быть изображена функция.
Основной факт теории А. ф. заключается в тождест-
тождественности соответствующих классов функций, рас-
рассматриваемых в произвольной области комплексной
плоскости.
Перейдем к точным определениям. Пусть D — об-
область в комплексной плоскости С. Если каждой точке
zQD поставлено в соответствие нек-рое комплексное чис-
число ш, то говорят, что в области D определена (однознач-
(однозначная) функция / комплексного переменного z, и пишут:
w=f(z),z?D (или f:D-*-C). Функция w=f(z) = f(x+iy)
может рассматриваться как комплексная функция
двух действительных переменных х и у, определенная
в области DdR2(R2— евклидова плоскость). Задание
такой функции равносильно заданию двух действи-
действительных функций
и=<р(х, у), У=г|>(я, у), (х, y)dD(w=u+iv).
Зафиксировав точку z?D, придадим z приращение
Дг=Ах+гД(/ (так, что z-\-Az?D) и рассмотрим соот-
соответствующее приращение функции /:
Af(z) = f(z+Az)-f(z).
Если
при Дг—>-0, или, что то же, если существует
Дг+0 Az
то функция / наз. дифференцируемой (в
смысле комплексного анализа, или в смысле С) в т о ч-
к е z; A=f (z) — производная функция / в точке z, a
A Az= Г (z)dz=df{z)
— ее дифференциал в этой точке. Функция /, диффе-
дифференцируемая в каждой точке области D, наз. диф-
дифференцируемой в области D.
Сравним понятия дифференцируемости функции /
как функции двух действительных переменных (в
смысле R2) и в смысле С. В первом случае дифферен-
дифференциал df имеет вид
9/ , . df ,
¦^- dx-{- — dy,
dx ' ду "'
где
9/ 9ф , . д\Ь df _ 9ф , . Э-ф
дх ~~ дх > 1 дх ' ~ду~ду'1ду
— частные производные функции /. Переходя от неза-
независимых переменных х, у к переменным z, z, к-рые
формально можно считать новыми независимыми пере-
переменными, связанными со старыми соотношениями
z=x-\-iy, z=x—iy (становясь на эту точку зрения,
функцию / иногда записывают в виде f(z, z)), и, выражая
dx и dy через dz и dz по обычным правилам вычисления
дифференциалов, получают запись df в комплексной
форме:
,, df , , df ,-
df=-zdz+^dz,
где
?L — ±{dL^-2L\ df —
dz~2\dx l dy ) ' эг
— (формальные) производные функции / по z и z,
соответственно. Отсюда видно, что дифференци-
дифференцируем ость функции / в смысле С имеет место
в том и только том случае, когда она дифферен-
дифференцируема в смыслеК2и справедливо равен-
с т в о —==0, к-рое в развернутой форме можно пере~
писать так:
9ф 9i|) 9ф 9ф
дх ду ' ду дх '
Если функция / дифференцируема в смысле С в обла-
области D, то последние соотношения справедливы в каж-
каждой точке этой области; они наз. уравнениями
Кош и— Римана. Эти уравнения встречались уже
в 18 в. в связи с изучением функций комплексного пере-
переменного в трудах Ж. Л. Д'Аламбера и Л. Эйлера
(J. L. D'Alembert, L. Euler). Определение, данное в
начале, уточняется так. Функция /, определенная в об-
области D, наз. голоморфной (аналитиче-
(аналитической) в точке zo?D, если существует окрест-
окрестность этой точки, в к-рой функция / представляется
степенным рядом
Если это свойство имеет место в каждой точке za
области D, то функция / наз. голоморфной
(аналитической) в области D.
Функция /, голоморфная в точке zo?D, дифференци-
дифференцируема в этой точке. Более того, сумма сходящегося
степенного ряда имеет производные всех порядков
(бесконечно дифференцируема) по комплексному пере-
переменному z; коэффициенты ряда могут быть выражены
через производные функции / в точке z0 по формулам
ап— - pi-. Степенной ряд, записанный в форме
наз. рядом Тейлора функции / в точке z0. Тем
самым, голоморфность функции / в области D означает,
что в каждой точке области D функция / бесконечно
дифференцируема и ее ряд Тейлора сходится к ней в
нек-рой окрестности этой точки.
С другой стороны, в теории А. ф. устанавливается
следующий замечательный факт: функция /, диффе-
дифференцируемая в области D, голоморфна в этой области
(в отдельной точке это утверждение неверно: /(z)=|z|2=
= zz дифференцируема в точке zo=O, но нигде не голо-
голоморфна). Следовательно, понятия комплексной диф-
ференцируемости и голоморфности функции в обла-
области тождественны; каждое из следующих свойств
функции / в области D — дифференцируемость в смы-
смысле С, дифференцируемость в смысле R2 вместе с вы-
выполнением уравнений Коши — Римана, голоморф-
голоморфность — может служить определением аналитич-
аналитичности/в этой области.
Еще одна характеристика А. ф. связана с понятием
интеграла. Интеграл от функции /=ф+гф вдоль (ори-
(ориентированной спрямляемой) кривой Г: z=z(t), i? [a, fS],
может быть определен формулой:
или при помощи криволинейного интеграла:
Центральное место в теории А. ф. занимает следую-
следующая интегральная теорема Коши: если
/ — А. ф. в области D, то \ /(z)dz=O для любой замк-
нутой кривой TczD, ограничивающей область, при-
принадлежащую D. Верно и обратное заключение (т е о-
р е м а М о р е р ы): если / непрерывна в области D
и \ f(z)dz=O для любой такой кривой Г, то / — А. ф.
в области D. В частности, в односвязной области ана-
аналитическими являются те и только те непрерывные
функции /, для к-рых интеграл по любой замкнутой
кривой TdD равен нулю (или, что то же самое, ин-
интеграл по любой кривой Г, соединяющей произволь-
произвольные точки zb z2(^D, зависит только от точек zx и z2
и не зависит от формы этой кривой). Эта характери-
характеристика А. ф. лежит в основе многих их приложений.
Интегральная теорема Коши позволяет получить
интегральную формулу Коши, выража-
выражающую значения А. ф. внутри области через ее значе-
значения на границе этой области:
здесь D — область, граница к-рой dD состоит из ко-
конечного числа непересекающихся спрямляемых кривых
(ориентация dD предполагается положительной от-
относительно области D), f — функция, аналитическая
в нек-рой области GzdD — D \JdD. Эта формула позво-
позволяет, в частности, свести изучение многих вопросов,
связанных с А. ф., к соответствующим вопросам для
простейшей функции — ядра Коши —^, ??5?>,
z?D. (Подробнее см. статью Интегральные представ-
представления аналитических функций.)
Важнейшее свойство А. ф. выражается следующей
теоремой единственности: две функции,
аналитические в области D и совпадающие на к.-л.
множестве, имеющем предельную точку в D, совпадают
и во всей области D (тождественны). В частности, А. ф.
/(z), z?D, отличная от тождественного нуля, может
иметь в области D лишь изолированные нули. Если
при этом z0 — нуль функции /, то в некоторой окре-
окрестности U(z0) точки z0 имеем /(z)= (z— zo)vg(z), где
v^l— натуральное число (называемое кратностью
нуля функции f в z0), a g(z) — А. ф. в U(z0), отлич-
отличная от нуля.
Важную роль в изучении А. ф. играют точки, в к-рых
нарушается свойство аналитичности — так наз. осо-
особые точки А. ф. Рассмотрим здесь изолированные
особые точки (однозначных) А. ф. (подробнее см.
Особая точка аналитической функции). Если / — А. ф.
в кольце вида 0<|z— zo| <p, то она разлагается в этой
области вряд Лорана
содержащий, вообще говоря, не только положитель-
положительные, но и отрицательные степени z—z0. Если в этом
разложении члены с отрицательными степенями от-
отсутствуют (ап=0 для п= — 1, —2, ...), то z0 наз. пра-
правильной точкой/ (устранимой особой точкой).
В правильной точке существует и конечен
lim / (z) = a0;
полагая /(zo) = ao, получаем А. ф. во всем круге |z— zo\ <
<р. Если ряд Лорана функции содержит лишь конеч-
конечное число членов с отрицательными степенями z— z0:
/(z)= 2n=n an (z— zo)"i Ц < 0, a^ ф 0,
то точка z0 наз. полюсом функции / (кратности (г);
полюс z0 характеризуется тем, что
lim / (z) = оо.
Функция / имеет в точке z0 полюс кратности |х тогда
и только тогда, когда функция 1// имеет в этой точке
нуль кратности (X. В случае, когда ряд Лорана содер-
содержит бесконечное число отрицательных степеней z— z0
(апф0 для бесконечного множества отрицательных
индексов п), точка z0 наз. существенно осо-
особой точкой; в таких точках не существует ни ко-
конечного, ни бесконечного предела функции /. Коэффи-
Коэффициент а_! разложения функции / в ряд Лорана с цен-
центром в изолированной особой точке z0 наз. выче-
вычетом функции / в точке Zq:
а_1= res/(z).
z=z0
Вычет функции / в точке z0 может быть определен
формулой
res/(z) = sl
z — z0
где у— {z:lz— zo| =p}, p>0 — достаточно мало (так что
круг \z— zj <P не содержит особых точек функции /,
отличных от z0). Важная роль вычетов определяется
следующей теоремой: если / — А. ф. в области G, за
исключением нек-рого множества изолированных осо-
особых точек, TdG — контур, ограничивающий область
DdG и не проходящий через особые точки функции /,
zlt ..., zn — все особые точки /, лежащие в D, то
\ „ 1 \z) az — ^"* ?Jh— 1 lei 7 \z>-
J L ^—к — ± z = Zl
Эта теорема дает эффективное средство для нахожде-
нахождения интегралов (см. также Вычет).
Сумма членов ряда Лорана функции / в точке zq,
соответствующая отрицательным индексам п,
наз. главной частью ряда Лорана (или функ-
функции /) в точке Zg. Именно главная часть определяет
характер особенности функции / в точке z0.
Функции, представимые в виде отношения двух функ-
функций, голоморфных в области ?>, наз. мероморф-
ными в области/). Мероморфная в области
функция голоморфна в этой области за исключением,
быть может, конечного или счетного множества полю-
полюсов; в полюсах значения мероморфной функции счи-
считаются равными бесконечности. Если допустить такие
значения, то мероморфные в области D функции могут
быть определены как функции, к-рые в окрестности
каждой точки zo?D представимы рядом по степеням
z— z0, содержащим конечное (зависящее от z0) число
членов с отрицательными степенями z~z0.
Часто аналитическими в области/)
наз. как голоморфные, так и мероморфные в этой об-
области функции. В этом случае голоморфные функции
наз. также регулярными аналитиче-
аналитическим и, или просто регулярными.
Простейший класс А. ф. составляют функции, голо-
голоморфные во всей плоскости; такие функции наз. ц е-
л ы м и. Целые функции представимы рядами ао-^-а^^-
+ . . . + а„г" + . . ., сходящимися во всей плоскости.
К ним относятся многочлены от z, функции
+...+(!) _
Теорема Веиерштрасса утверждает, что
какова бы ни была последовательность комплексных
чисел ал, и=1, 2, ..., не имеющая предельных точек
в С, существует целая функция /', обращающаяся в
нуль в точках сс„, и только в этих точках (среди точек
ап могут быть совпадающие; им отвечает нуль функции
F соответствующей кратности). При этом функция F
может быть представлена в виде (вообще говоря, бес-
бесконечного) произведения целых функций, каждая из
к-рых имеет только по одному нулю. Напр.,
Функции, мероморфные во всей плоскости (т. е. пред-
представимые в виде отношения целых функций), наз. м е-
роморфными функциями. Таковыми яв-
являются рациональные функции, tgz==sinz/cosz, ctgz=
= cosz/sinz, эллиптич. функции и др.
Согласно теореме Митта г-Л е ф ф л е р а, для
любой последовательности Eл?С, гс=1, 2, ..., не име-
имеющей предельных точек в С, существует мероморфная
функция G с полюсами в точках E„ (и только в этих
точках), главные части к-рой в точках E„ совпадают
с заранее заданными многочленами от ^тгтг- При этом
функция G может быть представлена в виде (вообще
говоря, бесконечной) суммы мероморфных функций,
каждая из к-рых имеет полюс только в одной точке.
Напр.,
ctgz = — + ^Гя + ?Тя + ^2я +
Теоремы о существовании голоморфной функции с
заданными нулями и мероморфных функций с задан-
заданными полюсами и главными частями справедливы и
для произвольной области DaC.
Важное значение для изучения А. ф. имеют связан-
связанные с ними геометрич. представления. Если / : D—>-C —
А. ф., то образ у (D) области D также является областью
(принцип сохранения области). При
/' (zo)^f отображение f сохраняет углы в z0 как по
величине, так и по знаку, т. е. является конформным.
Таким образом, существует тесная связь между ана-
аналитичностью и важным геометрич. понятием кон-
конформного отображения. Если / — А. ф.
в D и f(z')^f(z") при ъ'фт!' (такие функции наз. од-
однолистными), то /' (г)фО в D и f определяет вза-
взаимно однозначное и конформное отображение области
D на область /(?>). Теорема Римана, основная
теорема теории конформных отображений, утверждает,
что в любой односвязной области, граница к-рой со-
содержит более одной точки, существуют однолистные
А. ф., конформно отображающие эту область на кру[
или полуплоскость (см. Конформное отображение,
Однолистная функция).
Действительная и мнимая части функции /=~ф-гй1>,
голоморфной в области D, удовлетворяют в этой об-
области уравнению Лапласа:
_ | _?f=0 п
дх* ' вуг ' дх* ' Эу2 '
т. е. являются гармоническими функциями. Две гар-
монич. функции, связанные между собой уравнениями
Коши — Римана, наз. сопряженными. В од-
односвязной области любая гармонич. функция ф имеет
сопряженную функцию ty и является, тем самым, дей-
действительной частью нек-рой голоморфной в D функ-
функции /.
Связи с конформными отображениями и гармонич.
функциями лежат в основе многих приложений теории
А. ф.
Функция /(z), z?E (EdC — произвольное множе-
множество) наз. аналитической в точке го^?,
если существует окрестность этой точки, на пересече-
пересечении к-рой с множеством Е функция / представляется
сходящимся степенным рядом. Функция / наз. а н а л и-
тической на множестве Е, если она ана-
литична на нек-ром открытом множестве, содержащем
Е (точнее, если существуют открытое множество, со-
содержащее Е, н аналитическая на нем функция F,
совпадающая с / на множестве Е). Для открытых
множеств понятие аналитичности совпадает с понятием
дифференцируемости по множеству. Однако в общем
случае это не так; в частности, на действительной
прямой существуют функции, не только имеющие про-
производную, но и бесконечно дифференцируемые в каж-
каждой точке, к-рые не являются аналитическими ни в
одной точке этой прямой. Для справедливости теоремы
единственности А. ф. существенно свойство связ-
связности множества Е. Именно поэтому А. ф. рассмат-
рассматриваются обычно в областях, т. е. на открытых
и связных множествах.
Все сказанное выше относилось к однознач-
однозначным А. ф. У, рассматриваемым в данной области D
(или на данном множестве Е) комплексной плоско-
плоскости. Задаваясь вопросом о возможности продолже-
продолжения функции У — как А. ф.— в большую область, при-
приходят к понятию А. ф., рассматриваемой в целом —
во всей своей естественной области существования.
При таком продолжении данной функции область
ее аналитичности, расширяясь, может налегать са-
сама на себя, доставляя новые значения функции в точ-
точках плоскости, где она уже была определена. Поэто-
Поэтому А. ф., рассматриваемая в целом, вообще говоря,
оказывается многозначной. К необходимости
изучения многозначных А. ф. приводят многие вопросы
анализа (обращение функций, нахождение первооб-
первообразных и построение А. ф. с заданной действительной
частью в многосвязных областях, решение алгебраич.
уравнений с аналитич. коэффициентами и др.); такими
функциями являются у z , Ln z, Arcsin z, Arctg z, алге-
алгебраические функции и т. д.
Регулярный процесс, приводящий к полной А. ф.,
рассматриваемой в своей естественной области суще-
существования, был указан К. Вейерштрассом; он носит
назв. аналитического продолжения по
Вейерштрассу.
Исходным является понятие элемента А. ф.—
степенного ряда с ненулевым радиусом сходимости.
Такой элемент Wo:
«o + «i (z-zo)+ ...+а„ (z —zo)«+ . ..
определяет нек-рую А. ф. / в своем круге сходимости Ко.
Пусть zx — точка круга АГ0, отличная от z0. Разлагая
функцию / в ряд с центром в точке zlt получаем новый
элемент W-y.
bo + b1 (z-Zl)+ ...+Ъп (z_Zl)»+ .
круг сходимости к-рого обозначим через Кх. В общей
части кругов Ко и А\ ряд W1 сходится к той же функ-
функции, что л ряд Wo. Если круг Кг выходит за пределы
круга Ко, то ряд Wr определяет функцию, заданную
посредством Wo, на пек-ром множестве вне А'о (где
ряд Wo расходится). В этом случае элемент W1 наз.
непосредственным аналитич. продолжением элемента
Wo. Пусть Wo, Wx, ..., Wn — цепочка элементов, в
к-рой Wn + 1 является непосредственным аналитич.
продолжением Wn (н = 0, 1, ..., N— 1); тогда элемент
Wjv наз. аналитич. продолжением элемента Wo (по-
(посредством данной цепочки элементов). Может оказаться
так, что центр круга АГдг принадлежит кругу А'о, но
элемент Wxy не является непосредственным аналитич.
продолжением элемента Wo. В этом случае суммы
рядов Wa и Wn в общей части кругов Ко и Kjy имеют
различные значения; тем самым аналитич. продол-
продолжение может привести к новым значениям функции
в круге Ко.
Совокупность всех элементов, к-рые могут быть
получены аналитич. продолжением элемента Wo, об-
образуют полную А. ф. (в смысле Вейерштрасса),
порожденную элементом Wo\ объединение их кругов
сходимости представляет собой (вейерштрассову) о б-
ласть существования этой функции. Из
теоремы единственности А. ф. следует, что А. ф. в
смысле Вейерштрасса полностью определяется зада-
заданием элемента Wo. При этом в качестве исходного может
быть взят любой другой элемент, принадлежащий
этой функции; полная А. ф. от этого не изменится.
Полная А. ф. /, рассматриваемая как функция точек
плоскости, принадлежащих ее области существования
D, вообще говоря, является многозначной. Чтобы из-
избавиться от многозначности, функцию / рассматривают
не как функцию точек плоской области D, а как
функцию точек нек-рой (лежащей над областью D)
многолистной поверхности R такой, что каждой
точке области D соответствует столько (проектирую-
(проектирующихся в нее) точек поверхности R, сколько различных
элементов с центром в этой точке имеет полная А. ф. /;
на поверхности R функция / становится однозначной
функцией. Идея перехода к таким поверхностям при-
принадлежит Б. Риману, а сами они носят назв. р и м а-
новых поверхностей. Абстрактное опреде-
определение понятия римановой поверхности позволило за-
заменить теорию многозначных А. ф. теорией однознач-
однозначных А. ф. на римановых поверхностях.
Фиксируем область Д, принадлежащую области су-
существования D полной А. ф. /, и к.-л. элемент W функ-
функции / с центром в точке области Д. Совокупность
всех элементов, к-рые могут быть получены аналитич.
продолжением элемента W посредством цепочек с
центрами, принадлежащими Д, наз. в е т в ь ю А. ф. /.
Ветвь многозначной А. ф. может оказаться однознач-
однозначной А. ф. в области Д. Так, напр., произвольные ветви
функций у z и Lnz, соответствующие любой односвяз-
ной области, не содержащей точку 0, являются одно-
однозначными функциями; при этом у z имеет ровно п,
a Lnz — бесконечное множество различных ветвей
в каждой такой области. Выделение однозначных
ветвей (при помощи тех или иных разрезов области
существования) и их изучение средствами теории одно-
однозначных А. ф. является одним из осн. приемов иссле-
исследования КОНКреТНЫХ МНОГОЗНаЧНЫХ А. ф. л- л- Гончар.
Аналитические функции нескольких комплексных пе-
переменных. Комплексное пространство С" (состоящее
из точек z= (zj, ..., zn), zk~xkAriyk) — это векторное
пространство над полем комплексных чисел с евкли-
евклидовой метрикой
От 2 га-мерного евклидова пространства R2" оно отли-
отличается нек-рой асимметрией: при переходе от R2" к С"
(т. е. при введении в R-n комплексной структуры)
координаты разбиваются на пары, к-рые выступают
в комплексе C^ = 3:^4- if/й).
Если комплексная функция /=q>+ii|) задана в об-
области DdC" и дифференцируема в каждой точке z?D
в смысле R2" (т. е. как функция 2га действительных
переменных х^ и у^), то ее дифференциал может быть
представлен в виде
— 1L IL
где dzk^dxfc-^idyk, dz^=^dx^ — idy^, а символы и „ —
определяются так же, как и в плоском случае. Если
при этом df имеет вид
т. е. является комплексно линейной функцией от dzx,
..., dzn, то функция / наз. дифференцируемой
в смысле С", или голоморфной, или анали-
аналитической в области/).
Таким образом, условие голоморфности / в области
ВсС" состоит из условия ее дифференцируемости в
смысле R2" и системы га комплексных равенств <?//<?2^=0
(fc=l, ..., га), к-рая равносильна системе 2га уравнений
с частными производными 1-го порядка
9ф _ _9ф_ _?ф_ __ __ д^_ „ __ ^ .
дхк а«й ' дУк~ дхк
(системаКоши— Римана).
В пространственном случае (га>1), в отличие от пло-
плоского (га=1), эта система переопределена — число
уравнений превышает число неизвестных функций.
Переопределенность остается и при переходе к гео-
геометрически более естественному пространственному
аналогу голоморфной функции одного комплексного
переменного — голоморфному отображе-
отображению/, осуществляемому системой /= (fu ..., /„) из п
голоморфных в области ВсС функций /^. Отображе-
Отображение / : D->-G = f (D) наз. б и г о л о м о р ф ны м, если
оно взаимно однозначно и голоморфно вместе с обрат-
обратным }~г : G->D. Условия голоморфности отображения
/ : D^-C" выражаются системой 2га2 действительных
уравнений относительно 2га действительных функций.
Переопределенность условий голоморфности при п>1
является причиной ряда эффектов, специфичных для
пространственного случая, таких, как отсутствие про-
пространственного аналога Римана теоремы о существо-
существовании конформных отображений. По теореме Римана,
при п=1 всякие две односвязные области, границы ко-
которых не сводятся к точке, изоморфны. Однако при
п>1 неизоморфными оказываются даже такие простые
односвязные области, как шар {|z|<l} н произве-
произведение кругов (п о л и к р у г) {\zv | <1, v=l, ..., п}.
Неизоморфность обнаруживается при сравнении групп
автоморфпзмо в этих областей (т. е. их биголо-
морфных отображений на себя) — группы оказыва-
оказываются алгебраически неизоморфными, а биголоморфное
отображение одной области на другую, если бы оно
существовало, устанавливало бы изоморфизм этих
групп. Отмеченное обстоятельство существенно отли-
отличает теорию биголоморфных отображений областей ком-
комплексного пространства от теории конформных ото-
отображений плоских областей.
Функция / наз. голоморфной в т о ч к е а ? С",
если она голоморфна в нек-рой окрестности этой точки.
По условиям Коши — Римана, голоморфная в точке
а функция нескольких переменных голоморфна по
каждому переменному (при фиксированных значениях
остальных переменных). Справедливо и обратное:
если функция / в окрестности нек-рой точки голоморфна
по каждому переменному в отдельности, то она голо-
голоморфна в этой точке (основная теорема
Г а р т о г с а).
Голоморфность функции / в точке а = (а1, ..., ап),
по аналогии с плоским случаем, эквивалентна ее раз-
разложимости в окрестности этой точки в кратный
степенной ряд
/ (z) = 2ftv > о ck,...kn {4 — 4)hi ¦ •(*,.—ап)Ч
или, в сокращенной записи,
где к= (ки ..., кп) — целочисленный векторный индекс
k0 \k\ = k1-\- ...-\-kn и
Голоморфная функция бесконечно дифференцируема,
и этот ряд — ее ряд Тейлора, т. е.
(производные берутся в точке а).
На голоморфные функции нескольких переменных
распространяются основные факты теории голоморф-
голоморфных функций одного переменного, иногда в измененной
формулировке, напр., Вейерштрасса теорема подгото-
подготовительная, к-рая распространяет на пространственный
случай свойство голоморфных функций одного перемен-
переменного обращаться в нуль как целая степень z— а. Тео-
Теорема формулируется так: если голоморфная в точке
а ? С" функция /^0 равна нулю в этой точке, то в нек-рой
окрестности U (а) ее можно представить (возможно,
после невырожденного линейного преобразования не-
независимых переменных) в виде
где fc^l — целое число, су (v=l, ..., к) — функции от
':= (zb ..., z,,_i), голоморфные в окрестности точки
'а=(а1, ..., а„_1)^С"-1 (штрих перед буквой обозна-
обозначает проекцию в пространство первых (и—1) коорди-
координат) и равные нулю в а, а ф голоморфна и отлична от
пуля в U(а).
Эта теорема имеет принципиальное значение для изу-
изучения аналитических множеств, к-рые локально, в
окрестности каждой своей точки, описываются как
множества общих нулей нек-рого числа голоморфных
в этой точке функции. Согласно теореме Вейерштрасса,
такие множества локально описываются как множества
общих нулей полиномов по одному переменному zn
с коэффициентами из кольца голоморфных функций
от остальных переменных ' z. Это обстоятельство по-
позволяет при локальном изучении аналнтнч. множеств
широко пользоваться алгебраич. методами.
Интегральная теорема Коши также несколько видо-
видоизменяется в пространственном случае и наз. теоре-
теоремой К о ш и — П у а н к а р е: пусть функция /
голоморфна в области DaC", тогда для любой (ге+1)-
мерной поверхности G, компактно принадлежащей D,
с кусочно гладкой границей dG
При этом интеграл, как и в плоском случае, опреде-
определяется параметрич. заданием множества: если dG имеет
уравнение z=z(t), где параметр t= (tr, ..., tn) меняется
в n-мерной клетке /"= {aft<:?-<:f5fc, k=i, ..., «}, то,
по определению
Отличие пространственного случая от плоского состоит
в том, что здесь размерность поверхности G меньше
размерности области D, а в плоском случае эти раз-
размерности совпадают (га+1 = 2п).
Пространственный аналог интегральной формулы
Коши особенно просто выписывается для полнкруго-
вых областей, т. е. произведений плоских областей.
Пусть ?> = ?>1Х ... XDn — такая область, где Dk— об-
область плоскости комплексного переменного с кусочно
гладкой границей <?.Dft(fc=l, ..., га), а функция / голо-
голоморфна в области, компактно содержащей D. Тогда
последовательное применение интегральной формулы
Коши для одного переменного дает для любой точки
где r = <9.D1X... XdDn есть n-мерная поверхность на
границе 0D, С= (Ci, ••¦> ?п) и
dg
Однако поликруговые области составляют лишь весь-
весьма специальный класс, а в областях общего вида по-
подобное разделение переменных невозможно. Роль ин-
интеграла Коши для произвольных областей DaC" с
кусочно гладкой границей играет интеграль-
интегральная формула Мартинелли— Бохне-
р а: для любой функции /, голоморфной в области,
к-рая содержит D, и для любой точки z?D
f(z)=
П ' Bяг)"
где dZ=dZ1 ... dln, a
6 (со) = 2ft=i (—1)* + 1
Это — формула Грина для пары функ-
ц и й, одна из к-рых голоморфна в D, а другая является
фундаментальным решением уравнения Лапласа в
пространстве R2" с особенностью в точке ?=z. При га=1
это обычный интеграл Коши. При ге>1 формула от-
отличается от кратного интеграла Коши для произведе-
произведения плоских областей тем, что: во-первых, интегриро-
интегрирование в ней ведется по Bп— 1)-мерной границе области,
а не по ее га-мерной части; во-вторых, ее ядро (множи-
(множитель при / под знаком интеграла) зависит от параметра
z не аналитически. В ряде задач, однако, аналитич-
аналитичность ядра существенна, и поэтому желательно пост-
построить интегральную формулу с таким ядром для воз-
возможно более широкого класса областей. Обширный
запас интегральных формул, в том числе для многих
областей с аналитич. ядром, содержится в общей Лере
формуле. Эта формула имеет вид
nQ <t-z. «a»" '
где а>= («!, ..., со„) — гладкая вектор-функция, dt, и
б определены выше и <?-z, <o)=2*=i (?й~~2й)шъ
предполагается, что <? — z, со(?)> =?0 при любом фикси-
фиксированном z?Z> и ?, пробегающем <??>. Величина инте-
интеграла в этой формуле не зависит от выбора вектор-
функции «(?) (если только (? —z, «(?))=?0 при всех
z?D, t,?dD), а при со@= ?— z этот интеграл совпадает
с интегралом Мартинелли — Бохнера. Варьирование
выбора со для разных классов областей позволяет
получить из формулы Лере различные интегральные
формулы. В теории А. ф. нескольких переменных рас-
рассматриваются и другие интегральные представления,
справедливые для тех или иных классов областей.
Важный класс составляют так наз. области Вей-
л я, являющиеся обобщением произведения плоских
областей. Для них справедливо Бергмана — Вейля
представление с ядром, также аналитически зависящим
от параметра.
Как и в плоском случае, основной интерес представ-
представляет изучение особенностей А. ф.; при этом принципи-
принципиальное отличие пространственного случая от плоского
выражается теоремой Осгуда — Брауна о стирании
компактных особенностей, согласно к-рой любая функ-
функция/, голоморфная в D\K, где/) —область из С" (п>1),
а А' — компактно принадлежащее D множество, не
разбивающее D, голоморфно продолжается во всю
область D. По этой теореме голоморфные функции не-
нескольких переменных не могут иметь изолированных
особых точек. Место последних в С"(га>1) занимают
особые множества, к-рые являются аналитическими,
если их размерность ниже 2ге—1.
Отмеченное обстоятельство является определяющим
для многомерной теории вычетов. В этой теории изу-
изучается задача о вычислении интеграла от функции /,
голоморфной всюду в области DdC", за исключением
аналитич. множества М, по замкнутой га-мерной по-
поверхности о", не пересекающейся с М. Так как размер-
размерность особого множества М ниже размерности D по
крайней мере на 2, то М не разбивает D. Если поверх-
поверхность о" не зацеплена с М, т. е. ограничивает (п+1)-
мерную поверхность G, компактно принадлежащую
D\M, то (по теореме Коши — Пуанкаре) \ fdz=O.
В общем случае для вычисления этого интеграла нужно
выяснить, как а зацеплена с особым множеством М,
и вычислить интегралы по специальным n-мерным по-
поверхностям, ассоциированным с отдельными порциями
множества М (вычеты).
Решение этой задачи связано со значительными топо-
логич. и аналитич. трудностями. В ряде случаев их
помогают преодолеть методы, предложенные Марти-
Мартинелли и Лере. Метод Мартинелли основан на примене-
применении топологич. принципа двойственности Алексан-
дера — Понтрягина и сводит изучение га-мерных гомо-
гомологии множества D\M к изучению (п— 1)-мерных гомо-
гомологии особого множества М. Метод Лере имеет более
общий характер; он основан на рассмотрении специ-
специальных гомологич. классов и вычислении нек-рых диф-
дифференциальных форм (форм-вычетов). Многомерная
теория вычетов нашла приложения в теоретич. физике
(см. Фейнмана интеграл).
Теорема Осгуда — Брауна выявляет важное прин-
принципиальное отличие пространственной теории от пло-
плоской. На плоскости для любой области D можно по-
построить функцию f, к-рая голоморфна в D и не продол-
жается аналитически за ее пределы, т. е. является
естественной областью существования. В пространстве
это не так: напр., шаровой слой {1/2<|z| <1} не может
быть областью существования никакой голоморфной
функции, ибо по теореме Осгуда — Брауна любая
голоморфная в нем функция непременно аналитически
продолжается на весь шар {|z|<l}.
Возникает задача характеризации естественных об-
областей существования голоморфных функций — так
наз. областей голоморфности. Простой
достаточный признак можно сформулировать при по-
помощи понятия барьера в граничной точке области,
т. е. функции /j-(z), голоморфной в этой области и не-
неограниченно возрастающей при приближении к ?•
Именно DdC" является областью голоморфности, если
для всюду плотного множества точек ее границы можно
построить барьер. Этому условию удовлетворяет, в
частности, любая выпуклая область; для любой точки
??<??> достаточно в Bга— 1)-мерной опорной плоскости
к D в точке ? выбрать Bга—2)-мерную плоскость вида
и тогда барьером будет функция /.= 1/??- Следова-
Следовательно, каждая выпуклая область в СЛ есть область
голоморфности. Однако выпуклость не является не-
необходимым признаком голоморфности: произведение
плоских областей всегда есть область голоморфности,
а такое произведение может и не быть выпуклым. Тем
не менее если надлежащим образом обобщить понятно
выпуклости, то можно прийти к необходимому и до-
достаточному признаку. Одно из таких обобщений ос-
основано на том, что выпуклую оболочку множества
KdRn можно описать как совокупность точек, в к-рых
значение любой линейной функции не превосходит
верхней грани значений этой функции на К. По ана-
аналогии, голоморфно выпуклой оболочкой множества
KdDdCn наз. совокупность
ifo=/z€JD:|/(z)|< sup |/(?)| для всех f ?0 (D)\ ,
I tsK f
где O(D) означает множество всех голоморфных в об-
области D функций. Область DdC'1 наз. голоморф-
голоморфно выпуклой, если из того, что множество ком-
компактно принадлежит D, вытекает, что и К и компактно
принадлежит D. Голоморфная выпуклость является не-
необходимым и достаточным условием области голоморф-
голоморфности. Этот критерий, однако, не очень эффективен,
ибо голоморфная выпуклость трудно проверяется.
Другое обобщение связано с понятием плюрисубгар-
монической функции, к-рая является комплексным
аналогом выпуклой функции. Выпуклую функцию
в нек-рой области из R" можно определить как функ-
функцию, сужения к-рой на принадлежащие области отрезки
прямых х=х°-{-Ш (здесь х°, co?R, a t — действитель-
действительный параметр) являются выпуклыми функциями от t.
Плюрисубгармонической в области DdC" наз. такую
полунепрерывную сверху в этой области действитель-
действительную функцию ф, сужение к-рой на принадлежащие D
части комплексной прямой z=z°+co? (z°, ш?С", t, —
комплексный параметр) является субгармонич. функ-
функцией от ?. Если ф дважды непрерывно дифференци-
дифференцируема, то условие ее плюрисубгармоничности по пра-
правилу дифференцирования сложных функций выра-
выражается условием неотрицательности эрмитовой формы
Я (со, Ш) = Ха*-1-^=-«о^,
' k
к-рая наз. формой Лев и.
Область DdCn наз. псевдовыпуклой, если
для нее функция — In d(z, dD), где d(z, 0D) означает
евклидово расстояние точки z?D до границы dD,
является плюрисубгармонич. в этой области. Псевдо-
Псевдовыпуклость также является необходимым и достаточ-
достаточным условием области голоморфности.
В ряде случаев псевдовыпуклость области удается
проверить эффективно.
Для областей, не являющихся областью голоморф-
голоморфности, возникает задача описания ее оболочки
голоморфности, т. е. наименьшей области го-
голоморфности, в к-рую аналитически продолжается
любая функция, голоморфная в D. Для областей про-
простейших типов оболочку голоморфности удается по-
построить эффективно. Однако в общем случае задача
неразрешима в классе однолистных областей. В процессе
аналитич. продолжения функций за пределы заданной
области D в нек-рых случаях возникает многознач-
многозначность, для избежания к-рой приходится вводить мно-
голистные области наложения над D, ана-
аналогичные римановым поверхностям. В классе областей
наложения задача построения оболочек голоморфности
всегда разрешима. Эта задача также имеет приложения
втеоретич. физике, именно — в квантовой теории поля.
Переход от плоскости к комплексному пространству
существенно расширяет круг геометрич. вопросов,
связанных с голоморфными функциями. В частности,
такие функции естественно рассматривать не только
в областях, но и на комплексных многооб-
многообразиях — гладких многообразиях четной действи-
действительной размерности, соотношения соседства к-рых
биголоМорфны. Среди них особую роль играют Штейна
многообразия — естественные обобщения областей го-
голоморфности.
Ряд вопросов анализа сводится к задаче построения
в данной области голоморфной функции с заданными
нулями или мероморфной функции с заданными по-
полюсами и главными частями лорановских разложений.
В плоском случае, согласно теоремам Вейерштрасса
и Миттаг-Леффлера и их обобщениям, эти задачи ре-
решены для произвольной области. В пространственном
случае это не так — разрешимость аналогичных задач,
к-рые наз. проблемами Кузена, обусловлена
нек-рыми топологич. и аналитич. свойствами рас-
рассматриваемых комплексных многообразий.
Центральным пунктом решения проблем Кузена
является построение из локально заданных функций с
теми или иными свойствами глобальной функции, опре-
определенной на всем рассматриваемом многообразии и об-
обладающей теми же локальными свойствами. Для такого
рода построений оказались очень хорошо приспособ-
приспособленными методы теории пучков, к-рая воз-
возникла в процессе алгебраико-топологич. обработки
понятия аналитич. функции и нашла важные приме-
применения в самых разных отраслях математики. Решение
проблемы Кузена методами теории пучков получено
в работах А. Картана (Н. Cartan) и Ж. Серра (J.Serre).
Б. В. Шабат.
Современная теория аналитических функций и их
обобщений представляет собой одну из важнейших вет-
ветвей анализа, тесно связанную с самыми разнообразны-
разнообразными разделами математики и имеющую многочисленные
приложения к теоретич. физике, механике и технике.
Фундаментальные исследования по теории А. ф.
и их приложениям принадлежат советским математи-
математикам. Широкий интерес к теории функций комплекс-
комплексного переменного в России возник в нач. 20 в. в связи
с замечательными исследованиями рус. ученых по
приложениям теории А. ф. к различным вопросам
механики сплошных сред. Важнейшие задачи гидро-
и аэродинамики были решены на базе методов теории
А. ф. в трудах Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина.
В работах Г. В. Колосова и Н. И. Мусхелишвили эти
методы нашли глубокие приложения к теории упру-
гости. И последующие годы теория функции комплекс-
комплексного переменного получила в нашей стране всесторон-
всестороннее развитие. Фундаментальные исследования В. В. Го-
лубева, Н. Н. Лузина, И. И. Привалова и В. И. Смир-
Смирнова — по граничным свойствам А. ф., М. А. Лавренть-
Лаврентьева — по геометрии, теории функций комплексного
переменного (квазиконформные отображения и их
приложения к газовой динамике), М. В. Келдыша,
М. А. Лаврентьева и Л. И. Седова — по приложениям
методов теории А. ф. к задачам механики сплошных
сред, Д. Е. Меньшова — по теории моногенности,
М. В. Келдыша, М. А. Лаврентьева и С. Н. Мергеля-
на — по теории приближений функций комплексного
переменного, И. Н. Векуа — по теории обобщенных
А. ф. и их приложениям, А. О. Гельфонда — по
теории интерполяции, Н. Н. Боголюбова и В. С. Вла-
Владимирова — по теории А. ф. нескольких переменных
и ее применениям в квантовой теории поля и многие
др. сыграли определяющую роль в развитии соответ-
соответствующих разделов теории А. ф. Теория А. ф. одного
и нескольких комплексных переменных и их обоб-
обобщений продолжает активно развиваться. См. Гранич-
Граничные свойства аналитических функций, Квазиконформ-
Квазиконформное отображение, Граничные задачи теории аналити-
аналитических функций, Приближение функций комплексного
переменного.
Лит.: [1] П р и в а л о в И. И., Введение в теорию функций
комплексного переменного, 11 изд., М., 1967; [2] Смир-
Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М.,
1969; [3]Маркушевич А. И., Теория аналитических
функций, 2 изд., т. 1—2, М., 1967—68; [4] Л а в р е it т ь е в
М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного
переменного, 4 изд., М., 1973; [5] Г о л у з и н Г. М., Геомет-
Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд.,
М., 1966; [6] Евграфов М. А., Аналитические функции,
2 изд., М., 1968; [7]С в е ш н и к о в А. Г., Тихонова.Н.,
Теория функций комплексной переменной, М., 1967; [8]
Фукс Б. А., Теория аналитических функций многих комп-
комплексных переменных, 2 изд., ч. 1—2, М., 1962—63; [9] Вла-
Владимиров В. С, Методы теории функций многих комплекс-
комплексных переменных, М., 1964; [Ю] Маркушевич А. И.,
Очерки по истории теории аналитических функций, М.—Л., 1951:
[11] Математика в СССР за тридцать лет, 1917—1947, М.—Л.
1948, с. 319—414; [12] Математика в СССР за сорок лет. 1917—
1957, т. 1, М., 1959, с. 381—510; [13] Шабат Б. В., Введение
в комплексный анализ, ч. 1—2, 2 изд., М., 1976; [14] Б и ц а д-
зе А. В., Основы теории аналитических функции комплексно-
комплексного переменного, М., 1969. А. А. Гончар, Б. В. Шабат.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ АБСТРАКТНАЯ,
аналитическое отображение бана-
банаховых пространст в,— функция f(x), дейст-
действующая из нек-рой области D банахова пространства Л*
в банахово пространство Y и дифференциру-
дифференцируемая по Фреше всюду в D, т. е. такая, что для
каждой точки a?D существует ограниченный линей-
линейный оператор б/(а, •) из X в Y, для к-рого выпол-
выполняется соотношение:
lim ЦЙ||-1.||/(а + й)-/(а)-б/(а, А)||=0,
IIM-+0
где 11-11 обозначает норму в X или Y; б/(a, h) наз. диф-
дифференциалом Фреше функции / в точке а.
Другой подход к понятию А. ф. а. возникает из диф-
ференцируемости по Гато. Функция f(x) из D в Y наз.
слабо аналитической в D, или диффе-
дифференцируемой по Гато в i), если для каж-
каждого линейного непрерывного функционала у' над
пространством Y и каждого элемента h ? X комплекс-
комплексная функция у'(f (x-i-^h)) является голоморфной функ-
функцией комплексного переменного | в круге |?|<р(х, /i),
где р(х, fe)=sup|||, г+|/г??). Всякая А. ф. а. в обла-
области D непрерывна и слабо аналитична в D. Обратное
также верно, причем условие непрерывности можно
заменить локальной ограниченностью или непрерыв-
непрерывностью по Бэру.
Термин «А. ф. а.» иногда используется в более узком
смысле, когда под ним понимается функция /(z) ком-
комплексного переменного z со значениями в банаховом
или даже линейном локально выпуклом топологич.
пространстве Y. В этом случае всякая слабо аналитич.
функция /(z) в области D плоскости комплексного
переменного С является А. ф. а. Можно также ска-
сказать, что функция /(z) будет А. ф. а. в области DcC
тогда и только тогда, когда /(z) непрерывна в D и для
любого простого замкнутого спрямляемого контура
LczD интеграл \ f(z)dz обращается в нуль. Для
А. ф. a. /(z) комплексного переменного z справедлива
интегральная формула Коши (см. Коши интеграл).
Пусть f(x) — слабо аналитич. функция в области D
банахова пространства X. Тогда /(z-j-|fc), как функ-
функция комплексного переменного ?, имеет производные
всех порядков в области D={?,; x+'gh^D}, h?X,
причем эти производные суть А. ф. а. из D в Y. Если
множество {x+?,h; |g|<l} принадлежит D, то
где ряд сходится по норме и
Функция у = Р(х) из X в Y наз. полиномом
относительно переменного х степени не выше т, если
для всех х, h ? X н для всех комплексных ?
где функции Pv (x, h) не зависят от |. Степень Р (х)
точно равна т, если Рт(х, к)фО. Степенным
рядом наз. ряд вида 2/7=0^''^)' гДе рп{х) - од-
однородные полиномы степени п такие, что Рп(ах)^=
= апРп(х), х?Х, для всех комплексных а. Всякий
слабо сходящийся степенной ряд ~^^=аРп{х) в области
D сходится и по норме к нек-рой слабо аналитической
функции f(x) в D, причем Pn(x) = 6nf @, х)/п\, 0?D.
Функция f (х) является А. ф. а. ъГ> тогда и только тогда,
когда в окрестности каждой точки a^D она разла-
разлагается в степенной ряд
где все Pn{h) непрерывны в X.
На А. ф. а. переносятся с соответственными изме-
изменениями многие основные результаты классич. теории
аналитич. функций такие, как максимума модуля прин-
принцип, теоремы единственности, Витали теорема, Лиу-
еилля теорема и др. Множество всех А. ф. а. в области
D образует линейное пространство.
Понятие А. ф. а. обобщается и на более широкие
классы пространств X и Y, напр, на локально выпук-
выпуклые топологич. пространства, банаховы пространства
над произвольным полным нормированным нолем и т.д.
Лит.: [1] Хилле Э., Филлипс Р., Функциональный
анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд., М., 1962; [2] Э д-
в а р д с Р.-Э., Функциональный анализ. Теория и нриложе-
лия, пер. с англ., М., 1969; [3] Шварц Л., Анализ, пер. с
англ., т. 2, М., 1972. А. А. Дапилевич, Е. Д. Соложенцев.
АНАЛИТИЧЕСКИЙ ВЕКТОР в пространст-
пространстве F представления Г группы JIi б-
вектор \ ? V, для к-рого отображение g-+T (g)% яв-
является вещественно аналитич. вектор-функцией на G
со значениями в V (см. Представлений теория). Если
Т — слабо непрерывное представление групиы Ли G
в банаховом пространстве V, то множество Fm аналитич.
векторов плотно в V (см. [1], [2], [3]). Существует обоб-
обобщение этой теоремы на широкий класс представлений
в локально выпуклых пространствах [5]. Было дока-
доказано [6], что представление связной группы Ли G в
банаховом пространстве V однозначно восстанавли-
вается по соответствующему представлению алгебры
Ли группы G в пространстве F<°.
Аналитический вектор для неог-
неограниченного оператора А в банаховом
пространстве V с областью определения D (А) опре-
определяется как вектор
для к-рого ряд
имеет положительный радиус сходимости. Это понятие,
введенное в [2], является частным случаем общего
понятия А. в.— здесь в качестве группы Ли G высту-
выступает множество точек действительной прямой с опе-
операцией сложения. Оно оказалось полезным в теории
операторов в банаховых пространствах и в теории эл-
липтич. дифференциальных операторов.
Лит.: [1] Cartier P., Dixmier J. «Amer. J.
Math.», 1958, v. 80, p. 131—45; [2] H e л с о н Э., «Математика»,
1962, 6 : 3, с. 89—131; [3] Г ор ди н г Л., «Математика», 1965,
9 : 5, с. 78—94; [4] С а г t i е г P., Vecteurs analytiques. Semi-
naire Bourbaki, Mai 1959; [5] M о о г e R. Т., «Memoirs Amer.
Math. Soc», 1968, v. 78; [6] H а г i s h-C h a n d г a, «Trans.
Amer. Math. Soc», 1953, v. 75, p. 185—243. А. А. Кириллов.
АНАЛИТИЧЕСКИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ — см. Диф-
Дифференциал на римановой поверхности.
АНАЛИТИЧЕСКИЙ ЛАНДШАФТ, аналитиче-
аналитический рельеф, поверхность модуля,—
геометрич. изображение модуля \f(z)\ аналитич. функ-
функции /(z), z=x-\-iy. Аналитическим ланд-
ландшафтом функции /(z) наз. поверхность над пло-
плоскостью (ж, у), имеющая аппликатой значение l/(z)|.
А. л. позволяет иногда составить наглядное представ-
представление о поведении нек-рых конкретных функций. А. л.
основных функций см. в [2].
Лит.: [1] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ,
2 изд., ч. 1, М., 1976; L2] Я н к е Е., Э м д е Ф., Таблицы
функций с формулами и кривыми, пер. с нем., 3 изд., М., 1959.
Е.Д. Соломенцев.
АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБРАЗ — расширение понятия
полной аналитической функции, получающееся при
рассмотрении всех возможных элементов аналитич.
функции в виде обобщенных степенных рядов (рядов
П ю и з ё)
'V°° п I? - \V/n 'У" 7-V/tl / ¦.
где z — комплексное переменное, т — целое, а я —
натуральное числа, сходящихся соответственно в об-
областях |z—zo[<r, |z[>r>0. А. о. можно отождествить
с классом всех элементов вида (*), получающихся друг
из друга посредством аналитического продолжения.
А. о. отличается от полной аналитич. функции присое-
присоединением всех разветвленных элементов вида (*) с
ге>1, получающихся при аналитич. продолжении ее
регулярных элементов с п=1. После введения соот-
соответствующей топологии А. о. превращается в риманову
поверхность данной функции.
Лит.: [1]Маркушевич А. И., Теория аналитических
функций т. 2, М., 1968^_ гл. 8. Е. Д. Соломенцев.
АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР в точке ко-
кооператор А, действующий из одного банахова про-
пространства в другое и допускающий представление вида
А (х0 J- h) — Ах0 = 2Г=1
где Cft — форма порядка к, а ряд сходится равномерно
в нек-ром шаре ||/i||<r. Оператор наз. аналитиче-
аналитическим в о б л а с т и G, если он является А. о. в
каждой точке этой области. А. о. бесконечно диффе-
дифференцируемы; в случае комплексных пространств ана-
аналитичность в области есть следствие дифференциру-
емости (по Гато) в каждой точке этой области. При-
Примерами А. о. могут служить интегро-степенные ряды
Ляпунова, операторы Гаммерштейна и Урысона с глад-
кими ядрами в пространстве С непрерывных функций.
Лит.: [1] X и л л е Э., Ф и л л и п с Р., Функциональный
анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд., М., 1962; [2] Прибли-
Приближенное решение операторных уравнений, М., 1969.
П. П. Забрейпо.
АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОЛИЭДР - область П ком-
комплексного пространства С" ra^l, представимая посред-
посредством неравенств |/,(z)|<l, где функции /,(z), г=1, 2,
..., т, голоморфны в нек-рои области DczC", содержа-
содержащей П, то есть n = \z?D; |/,¦ (z) | < 1, г = 1, 2, ..., т).
Предполагается также, что П компактна в D. В случае,
если /;(z) — полиномы, А. п. наз. полиномиаль-
полиномиальным полиэдром. Если т=ге и fj(z) = aiZ;,
А. п. является поликругом. Гранями А. п. наз.
множества а,- = {z ??>; | /,• (z) | = 1; | /,¦ (z) | < 1, ) Ф i\.
Пересечение любых к различных граней B<gfc<:re)
наз. ребром А. п. Если ni^n и все грани имеют
размерность 2га — 1, а каждое ребро — размерность
не выше 2п—к, то А. п. есть Вейля область. Совокуп-
Совокупность га-мерных ребер аг {—<3\ П •¦• Пст, образует
остов А. п. Понятие А. п. играет существенную
роль в вопросах интегральных представлении аналитич.
функций многих переменных.
Лит.: [1] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ,
2 изд., ч. 2, М., 1976. Е.Д. Соломенцсв.
АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПУЧОК - пучок F на ана-
аналитич. пространстве X такой, что для любой точки
х?Х множество Fx является модулем над кольцом Ох
ростков голоморфных функций в точке х, причем ото-
отображение (/, а)—у fa, определенное на множестве пар
(/, а), где ](zOx, a?Fx, для х?Х является непрерыв-
непрерывным отображением OXF в F. м. и. Войцеховский.
АНАЛИТИЧЕСКИЙ ФУНКЦИОНАЛ — элемент
/ пространства Н' (Q), сопряженного к пространству
Н(Q) аналитич. функций, определенный на открытом
подмножестве Q пространства С", т. е. функционал на
H(Q). Напр., распределение с компактным носителем
является А. ф. Существует компакт ifcQ, наз. носи-
носителем А. ф. /, на к-ром сосредоточен /: для любого
открытого множества со^эЛГ функционал / продол-
продолжается на //(со) так, что для всех u(^H(Q,) имеет место
|/(«) |<Сш sup | и\,
где Со — константа, зависящая от со. При этом суще-
существует мера ji с носителем в К такая, что
Аналогично определяется А. ф. на пространстве
действительнозначных функций. ДГ. И- Войцеховский.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ (формула) —
совокупность действий, к-рые нужно проделать в
определенном порядке над значением аргумента и кон-
константами, чтобы получить значение функции. Каждая
функция одного переменного юне более чем счетным
числом точек разрыва допускает А. в. А (х), построен-
построенное лишь из трех действий (сложение, умножение,
переход к пределу по натуральным числам), употреб-
употребленных не более чем в счетном числе, отправляясь от
аргумента х н констант, напр.,
А. в., изображающих данную функцию, имеется бес-
бесконечно много, если существует хотя бы одно. Так,
функция, тождественно равная нулю, изобразила рядом:
0 у
и из любого А. в. А (х) всегда можно получить другое,
тождественно ему равное:
1
где В {x) — произвольное А. в.
Лит.: [1] Лузин Н. Н., Теория функций действитель-
действительного переменного. Общая часть, 2 изд., М., 1948.
Б. В. Кутузов.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ — устаревший
термин; обозначает множество, дополнительное к
А-множеству (на ЧИСЛОВОЙ прямой). П. С. Александров.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОЛЬЦО — кольцо ростков ана
лптич. функций в точке аналитического пространства.
Более точно: пусть к есть поле с нетривиальным абсо-
абсолютным значением (обычно предполагаемое полным)
и к{{Х,, ..., Хп}} есть fc-алгебра степенных рядов от
Xlt ..., Хп с коэффициентами в к, сходящихся в нек-ром
полицилиндре с центром @, 0, ..., 0) (при этом каж-
каждый ряд сходится в своем полицилиндре). Аналити-
Аналитическим кольцом н а д к, или аналитиче-
аналитической fc-a л г е б р о й, наз. факторкольцо кольца
k{{Xt, ..., Хп}}; обычно к — поле R действительных
или поле С комплексных чисел. Каждое А. к. является
локальным, нётеровым и гензелевым кольцом; его
поле вычетов изоморфно к. А. к. к{{Х1, ..., Хп}} будеи
регулярным (и факториальным) кольцом, а его попол-
пополнение в топологии, определяемой максимальным идеа-
идеалом (Х1,...,Хп), совпадает с кольцом формальных
степенных рядов к[[Х1,...,Х„]]. Для А. к. верна н о р-
мализационная лемма: целостное А. к.
является конечным расширением А. к. к{{Хг, ..., Хп}}.
Вообще, алгебры, конечные над к{{Хъ ..., Хп}},
наз. кваз и аналитическими к-& л г е б р а м и.
Если к — совершенное поле, то А. к. является превос-
превосходным кольцом.
Лит.: [1] Dieudonne J., Grothendieck A
«J. Algebra», 1967, v. 5, Хг 3, p. 305—24; [2] М а л ь г р а н ж Б.'
Идеалы дифференцируемых функций, пер. с англ., М., 1968;
[3] Abhyankar S. S., Local analytic geometry, N. Y
1964. В. И. Данилов.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ — многообра-
многообразие с аналитич. атласом. Структура re-мерного аналитич.
многообразия над полным недискретно нормированным
полем к на топологич. пространстве М определяется
заданием на М аналитич. атласа над к, т. е. набора
карт со значениями в кп, покрывающего М, любые
две карты из к-рого связаны между собой аналитически.
При этом считается, что два атласа определяют одну
и ту же структуру, если их объединение является
аналитич. атласом. На А. м. М определен пучок Q
ростков fc-значных аналитич. функций. Возникающий
таким образом класс окольцованных пространств (М,
Q) совпадает с классом гладких аналитич. пространств
над к.
В случае, если к — поле действительных чисел R,
говорят о вещественных аналитических
многообразиях; если к — поле комплексных
чисел С,— о комплексных аналитиче-
аналитических (или просто комплексных) многооб-
многообразиях; если к — поле р-адических чисел Q^,— о
р-& дичее к их аналитических много-
многообразиях. Примерами А. м. являются: ге-мерное
евклидово пространство кп, re-мерное проективное
пространство над к, аффинные и проективные алге-
браич. многообразия над к без особых точек, группы
Ли и их однородные пространства.
Понятие А. м. восходит к Б. Риману и Ф. Клейну
(В. Hiemann, F. Klein), но впервые было точно сфор-
сформулировано Г. Вейлем в книге [4] для случая римано-
вых поверхностей, т. е. одномерных комплексных
многообразий. В настоящее время G0-е гг.) А. м. ес-
естественно рассматривать как частный случай аналити-
аналитических пространств, к-рые можно грубо описать как
«многообразия с особыми точками». Понятие аналнтич.
пространства возникло в 50-х гг. 20 в. и стало основ-
основным объектом теории аналитич. функций; многие
фундаментальные результаты, полученные для А. м.,
удалось перенести на негладкий случай. Изложение
общих свойств А. м. над произвольным полем можно
найти в [3].
Существует тесная связь между теориями вещест-
вещественных аналитических и дифференцируемых многооб-
многообразий, а также между теориями вещественных и ком-
комплексных аналитич. многообразий. Очевидно, на всяком
вещественном А. м. определена естественная структура
многообразия класса С°°. В 1936 X. Уитни (Н. Whitney)
доказал, что и обратно, на всяком паракомпактном
многообразии класса С°° можно определить аналитич.
структуру над R, индуцирующую исходную гладкую
структуру. Из теоремы Г. Грауэрта (Н. Grayert)
о вложимости паракомпактного аналитич. многооб-
многообразия над R в евклидово пространство следует, что эта
аналитич. структура определена однозначно с точно-
точностью до изоморфизма (не обязательно тождественного)
(см. [2]).
На каждом комплексном многообразии М опреде-
определена естественная структура вещественного А. м. (уд-
(удвоенной размерности). Ответ на обратный вопрос, т. е.
на вопрос о существовании и единственности комплекс-
комплексной структуры на заданном вещественном А. м., полу-
получен только в простейших случаях. Так, если М — связ-
связное двумерное вещественное А. м., то необходимыми
и достаточными условиями существования комплексной
структуры на М являются паракомпактность и ориен-
ориентируемость, а задача классификации этих структур
есть классич. задача о модулях римановых поверхно-
поверхностей. Имеется классификация компактных анали-
аналитических поверхностей (т. е. двумерных компакт-
компактных комплексных многообразий), дающая частичный
ответ на поставленный выше вопрос для 4-мерных
вещественных многообразий. С другой стороны, при
помощи топологич. методов можно указать классы
вещественных многообразий, не допускающих почти
комплексных и тем более комплексных структур. К та-
таким многообразиям относятся сферы 52* при кф1, 3.
Описание комплексных структур, достаточно близких
к заданной, дает теория деформаций аналитических
структур, важную роль в к-рой играют банаховы
А. м.— бесконечномерные аналоги А. м.
Лит.: [1] Бурбаки Н., Дифференцируемые и аналити-
аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. с франц., М.,
1975; [2] Нарасимхан Р., Анализ на действительных
и комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1971; [3] Ссрр
Ж.-П Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ. и франц., М.,
1969; [4] W е у 1 Н., Die Idee der Riemannschen Flache, 3 Aufl.,
Stuttg., 1955. А. Л. Оиищик.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ МНОЖЕСТВО — подмножество
полного сепарабельного метрич. пространства, являю-
являющееся непрерывным образом пространства иррацио-
иррациональных чисел. Понятие А. м. введено Н. Н. Лузиным
[1]. Это кпассич. определение А. м. обобщается на
случай общих метрич. и топологич. пространств.
1) А. м. в произвольном топологич. пространстве X —
подмножество этого пространства, являющееся образом
замкнутого подмножества пространства иррациональ-
иррациональных чисел при полунепрерывном сверху многозначном
отображении с бикомпактными образами точек и замк-
замкнутым графиком [2]. Если X — хаусдорфово, то по-
последнее условие выполняется автоматически. Если X
метризуемо, то это определение эквивалентно класси-
классическому.
2) В полном сепарабельном метрич. пространстве
классич. А. м. тождественны с А-множестеами. Этот
факт кладется в основу второго определения А. м. (как
А -множеств) в общих метрич. и топологич. простран-
пространствах (см. [3], [4], [5]). В классе вполне регулярных
пространств А. м. в смысле 1) суть абсолютные А. м.
в смысле 2). В классе несепарабельных метризуемых
пространств используется определение 2), так как 1)
дает сепарабельные А. м.
3) А. м. в хаусдорфовом пространстве (см. [6], [7]) —
непрерывный образ подмножества бикомпакта типа Fab-
4) А. м.— непрерывный образ множества, принадле-
принадлежащего семейству Ко(,, где К — семейство всех замк-
замкнутых бикомпактных подмножеств нек-рого топологии,
пространства (см. [8]). Множество, аналитическое в
смысле 3), является аналитическим в смысле 4), а это
последнее является аналитическим в смысле 1).
5) В другом направлении дано обобщение в [4]:
fc-аналитич. множества получаются из замкнутых
множеств топологич. пространства с помощью обобщен-
обобщенной А-операции (Бэра пространство счетного веса
заменяется на пространство Бэра веса к) и являются
обобщением А. м. в смысле определения 2).
Лит.: [1] Л у з и н Н. Н., «С. г. Acad. sci.», 1917, v. 164, p.
91—94; [2] Frolik Z., «Mathematika», 1969, v. 16, № 2,
S. 153 — 57; [3] S i e r p i n s k i W., General topology, Toronto,
1952; [4] Stone A., «Gen. Topol. and Appl.», 1972, v. 2, l\i 3,
p. 249 — 70; [5] Куратовский К., Мостовский А.,
Теория множеств, пер. с англ., М., 1970; [6] ШнейдерВ.Е.,
«Уч. зап. МГУ», 1948, в. 135, Математика, т. 2, с. 37—85;
[7] С h о q u e t G., «Ann. Inst. Fourier», 1953, t. 5, p. 131 —
295; [8] Si on M., «Trans. Amer. Math. Sok.», 1960, v. 96,
p. 341 — 54. А. Г. Елькин.
6) А. м. в теории аналитических функций — множе-
множество, определяемое локально как множество общих
нулей конечного числа голоморфных функций. Если
S — А. м. в открытом подмножестве U пространства п
комплексных переменных С", то это означает, что для
каждой точки а ? U найдется окрестность Fc U и ко-
конечный набор голоморфных в V функций /j, ..., /г таких,
что Sf\V—{z^V:f1(z)=... = fr(z)=O}. Если функции
/,- можно выбрать (в к.-л. окрестности V) так, что ранг
якобиевой матрицы (<9/,7<9z,-) в точке а равен г, то а
наз. регулярной точкой А. м. S; число п — г
наз. (комплексной) размерностью S в точке
а и обозначается dima?. Множество S* всех регулярных
точек А. м. S является открытым всюду плотным под-
подмножеством S (в индуцированной топологии S как
подмножества U). Его дополнение S\.S* — множество
особых точек S — есть А. м. в U, нигде не плотное на S.
По определению,
dima S = lim z, ?;
z eS*, z -*a
размерностью А. м. S наз. число
dim S — sup dimaS.
atS
А. м. S наз. однородным /с-м е р н ы м, если
dimaS=k для всех a?S. Для каждого k, O^k^cdijnS,
множество Sfc= {a?S : dimaS = k} является однород-
однородным /с-мерным А. м. в U\\Jj>kSj. Таким образом,
всякое А. м. в U представляется в виде конечного объ-
объединения однородных А. м. S= U^ft- В особых точках
dima(S\S*)<idiraaS, и поэтому размерность А. м.
особых точек однородного fc-мерного А. м. в U строго
меньше к. Связные компоненты S* являются комплекс-
комплексными многообразиями. Так как это справедливо и для
А. м. 5\5*, то получается разложение
S = S*\J(S\S*)*\J...
А. м. на комплексные многообразия. Более удобно раз-
разложение
(размерности слагаемых строго убывают, d=di)
к-рое наз. стратификацией А. м. S; связные
компоненты к-то слагаемого этой суммы наз. fc-мерными
стратами А. м. S.
А. м. S наз. приводимым (в U), если оно яв-
является объединением к.-л. двух отличных от него А. м.
в [/; в противном случае S неприводимо(в U).
Всякое неприводимое А. м. в U связно и однородно.
А. м. S в U неприводимо тогда и только тогда, когда
множество S* его регулярных точек связно. Замы-
Замыкание каждой связной компоненты множества S* —
неприводимое А. м. в U; такие А. м. наз. неприво-
неприводимыми компонентами А. м. S. Всякое
А. м. в U является локально конечным объединением
своих неприводимых компонент. Если А. м. не имеют
общих неприводимых компонент, то размерность их
пересечения строго меньше размерности каждого из
них. Если пересечение двух неприводимых А. м. в U
содержит множество, открытое на каждом из них, то
эти А. м. совпадают (теорема единствен-
единственно с т и).
А. м. S в U наз. неприводимым в точке
a?S, если существует фундаментальная система окре-
стностей F,- точки а в U такая, что все А. м. iS|~|F|
в F,- неприводимы; при этом а наз. точкой н е и р и-
вод и мости А.м. S. В окрестности каждой точки
неприводимости А. м. устроено как аналитиче-
аналитическое накрытие, т. е. для каждой такой точки
a?S, dimaS = k, найдутся связная окрестность VcU,
линейное отображение X: С"—>-С* и А. м. a?X(F)
такие, что сужение X на S f\ V есть собственное ото-
отображение на X(V), а сужение X на (S f\ F)\ Х~1(а) есть
конечнократное локально биголоморфное накрытие
над X(F)\o\ Для неприводимых одномерных А. м. от-
отсюда вытекает (после подходящей линейной замены
координат) локальное параметрич. представление вида
ч = 1т, ** = /*(?), ....*» = /„(?),
где ??С, |?|<г, т — целое положительное число и,
функции /,- голоморфны в круге |?|<г. Таким образом,
в окрестности каждой точки неприводимости одномер-
одномерное А. м. является топологич. многообразием. Для
А. м. большей размерности это в общем неверно.
Объединение конечного числа и пересечение любого
семейства А. м. в U суть снова А. м. в U. Всякое ана-
аналитическое в U множество замкнуто в U. Всякое ком-
компактное А. м. в UdC" состоит из конечного числа точек.
Если U связно и A.m. S=?U, то V"\S открыто, всюду
плотно в U и тоже связно. Множество всех изолиро-
изолированных точек А. м. S в U не имеет в U предельных
точек. Более того, всякое А. м. локально связно. Связ-
Связное А. м. линейно связно.
Всякое А. м. в U размерности d локально в U имеет
конечную 2й-мерную меру Хаусдорфа mes2d. Если
dimaiS=fe, то существуют положительные константы с
и С (зависящие от а и S) такие, что
cr2k <mes2^ E ("I ¦{ I z — a | < r})^Cr2k
для всех достаточно малых г>0.
Семейство А. м. инвариантно относительно биголо-
морфных отображений. Более того, если S — А. м.
в U и / : U—yU' — собственное голоморфное отобра-
отображение, то f(S) — А. м. в U'.
Определение А. м. на комплексных многообразиях
аналогично определению для С"; при этом сохраня-
сохраняются все перечисленные свойства, за исключением
одного: в общем случае существуют компактные, но
не дискретные А. м. В конкретном многообразии А. м.
могут обладать нек-рыми дополнительными свойствами.
Напр., в комплексном и-мерном проективном прост-
пространстве всякое А. м. является алгебраическим, т. е.
совпадает с множеством общих нулей нек-рого конеч-
конечного набора однородных многочленов.
Действительные А. м. в открытых подмножествах
R™ определяются так же, только вместо голоморфных
надо брать действительные аналитич. функции. Каж-
Каждое действительное А. м. является пересечением не-
нек-рого А. м. (в нек-ром открытом подмножестве С")
с действительным подпространством RtC".
Лит.: [1] Г а н н и н г Р., Р о с с и X., Аналитические
функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М.,
1969; [2] Э р в е М., Функции многих комплексных переменных.
Локальная теория, пер. с англ., М., 1965. Е. М. Чирка.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, аналити-
аналитический морфизм,— морфизм аналитических
пространств, рассматриваемых как окольцованные про-
странства. А. о. пространства (X, Qx) в пространство
(У, 6у) есть паРа (/о. к), где
/о : Х^У
— непрерывное отображение, а
— гомоморфизм пучков колец на X. В случае комплекс-
комплексных пространств А. о. наз. также голоморфным
отображением.
В случае, когда (X, Qx) и (У, QY) — приведенные
аналитич. пространства, гомоморфизм jx полностью
определяется отображением /0 и является обратным
отображением ростков функций, отвечающим /0. Таким
образом, в этом случае А. о.— это такое отображение
/ : X-*Y, что для любого х?Х и любого ф?C/и) имеет
место фэ/?0л.
Слоем А. о.
/ = (/„, /х):(Х, 0*) —(У, Qy)
в точке у ?У наз. аналитич. подпространство
f-1(y) = (fo1(y), Gx/h(™yNx\ /о1 B/))
пространства (X, бхК гДе ту?6у~ пучок ростков
функций, обращающихся в 0 в точке у. Если поло-
положить
то имеет место неравенство
Если X и У — приведенные комплексные пространства,
то для всякого 1^0 множество
Xi = {x?X\d(x)^sl}
является аналитическим в X.
А. о. /= (/„, /х) наз. плоским в точке х?Х, если Qy x
является плоским модулем над кольцом Qyt /„(Х)- В этом
случае неравенство (*) превращается в равенство. А. о.
наз. плоским, если оно — плоское в каждой точке
х?Х. Плоское А. о. комплексных пространств является
открытым. Обратно, если /0 открыто, У гладко, а X
и все слои приведены, то / — плоское А. о. Множество
точек комплексного или жесткого аналитич. простран-
пространства X, у к-рых А. о. / не является плоским, будет
аналитическим в X. Если X и У — приведенные ком-
комплексные пространства, причем X имеет счетную базу,
то в У существует открытое всюду плотное множество,
над к-рым f — плоское А. о. Если А. о.
f-(X, 6х)—*(Y, QY)
комплексных пространств плоско, то множества тех
х?Х, в к-рых слой f~1(x) не приведен или ненормален,
являются аналитическими в (X, Qx)-
Пусть / : X—>У — А. о. приведенных комплексных
пространств. Если dimX<oo, то существует стратифи-
стратификация
0 = Х(—1)^Х (fl)g...El(r;c..,,
гдеХ(г) — аналитич. множества и Х(г) = Х для боль-
больших г, со следующим свойством: всякая точка
x?X(r)\X(i—1) обладает такой окрестностью U в X,
что f(U[)X(r)) — локальное аналитич. множество в У,
все неприводимые компоненты ростка к-рого в точке
f(x) имеют размерность г. В частности, если / собст-
собственное, то f(X) — аналитич. множество в X. Этот
факт является частным случаем теорем конечности
для А. о.
Пусть X, У — комплексные пространства, причем X
компактно. Тогда множество Мог(Х, У) всех А. о.
/ : X—>-У можно снабдить такой структурой комплекс-
комплексного пространства, что отображение
Mor(X, Y)xX-+Y,
переводящее пару (/, х) в fo(x), аналитично. В част-
частности, группа автоморфизмов компактного комплекс-
ного пространства X является комплексной группой
Ли, аналитически действующей на X.
Лит.: [1] Remmert R., «Math. Ann.», 1956, Bd 130,
S. 410—41; [2] e г о же, там же, 1957, Bd 133, S. 328—70; [3]
Stein K., Analytischer Abbildungen allgemeiner analyti-
scher Raume. Colloque de topologie, Strasbourg, Avril, 1954;
[4] Frisch J., «Inventiones math.», 1967, Bd 4, S. 118—38.
Д. А. Пономарев.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ, голо
морфное представлени е,— представление
комплексной группы Ли G в топология, векторном
пространстве Е, обладающее тем свойством, что все
матричные элементы (q>(g)|, т)), ???, т)??" (Е' — со-
сопряженное топологическое векторное пространство)
голоморфны на G. Представление ф наз. а н т и а н а-
л и т и ч е с к и м представлением, если его
матричные элементы становятся голоморфными после
комплексного сопряжения. Аналитическое (антианали-
(антианалитическое) представление связной группы Ли G одно-
однозначно определяется соответствующим представлением
алгебры Ли этой группы (см. Представление алгебры
Ли). Если G — полупростая комплексная группа Ли,
то все ее топологически неприводимые аналитические
(антианалитические) представления конечномерны.
Лит.: [1] Н а й м а р к М. А., Теория представления групп,
М., 1976; [2] Ж е л о б е н к о Д. П., Компактные группы Ли
и их представления, М., 1970. Д. П. Желобенпо.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ функ-
функции— доопределение функции /0, определенной на
нек-ром подмножестве Е комплексного многообразия
М, до функции /, голоморфной в нек-рой области DaM,
содержащей Е, такое, что сужение f\E=f0 функции /
на Е совпадает с /0. Отправным в теории А. п. является
понятие (аналитического) элемента, т. е.
пары (D, /), где D — область на М и / — голоморфная
в D функция. Говорят, что элементы (Do, /0) и {Dx, /x)
составляют непосредственное А. п. друг
друга через связную компоненту Д множества ?HП^1,
если /0|Д = /1|Д. Элемент (Do, /0), по определению,
аналитически продолжается в граничную точку
??5DcM, если существует непосредственное А. п.
(Dlt /]) элемента (Do, /0) через Д такое, что ??ДГ)?>1-
Максимальным (в М) А. п. (Do, f0) наз. элемент
(D, /), аналитически продолжающий /0 в область DzdD0,
но не продолжаемый аналитически ни в одну гранич-
граничную точку D. Максимальное А. п. (Do, /0) в М единст-
единственно, но не всегда существует. Для устранения этого
недостатка вводятся области наложения над
М (римановы поверхности в случае М=С), к-рые стро-
строятся из элементов, аналитически продолжающих (Do, /0).
Элемент (D, /) наз. А. п. элемента (DOl /0), если
существует конечный набор элементов (?),-, /,•), ?=0, 1,
..., п, и связных компонент Д,- соответственно в D( fl^i+i
таких, что (Dn, fn)=(D, f) и (?>,-, /,-), (?>,-+i, fi + 1) яв-
являются непосредственными А. п. друг друга через А,-.
Говорят, что голоморфная функция /0, определенная
первоначально в области Do, аналитически продол-
продолжается в точку z?M, если существует А. п. (D, /)
элемента (Do, /0) такое, что z?D. Среди элементов, про-
продолжающих /о в точку z, вводится отношение
эквивалентности: (D', /')~ {D", /"), если
z?D' f\D" и /' = /" в окрестности z. На множестве
классов эквивалентности D j (для всех возможных z)
естественно вводится топология и комплексная струк-
структура области наложения над М. Функция /0 естест-
естественно поднимается в D j (значение на классе эквивалент-
эквивалентности в z, содержащем (Do, /0), полагаем равным /0(z)),
аналитически продолжается на всю D f и в определен-
определенном смысле не продолжается ни в одну граничную
точку D f над М.
В случае, когда М есть комплексная плоскость С
или, более общо, комплексное пространство С", и^1,
этот процесс А. п. описывается проще. К а н о н и-
ческим элементом наз. пара (Da, fa), где
а?С", /а — степенной ряд с центром в точке а с не-
непустой областью сходимости Dа. Канонич. элемент
(Db, }ь) наз. А. п. (Da, fa) в д о л ь пути у: [О, 1]->С»,
если существует семейство канонич. элементов (Df, ft),
0<:?<:1, с центрами af=z(t) таких, что (Do, /0)= (Da, fa),
(D1, fj)— (Db, fb) и для каждого to?y элементы (Df, /,)
являются непосредственными А. п. (Dfa, /^0) для всех t,
достаточно близких к t0. Семейство (Dt, ft) на самом
деле определяется однозначно. Если ^i 0<gx<:l, есть
непрерывное семейство путей в С" с общими концами
а и b и если (Da, fa) аналитически продолжается вдоль
каждого yTj то результат (Db, fb) не зависит от т (мо-
нодромии теорема). Точками Df в случае С" являются
канонич. элементы (Da, fa), получаемые посредством
А. п. вдоль всевозможных путей в С"; /а поднимается
в Df аналитически на всю Dj, до голоморфной функции
/, причем D j есть область голоморфности /.
Описанный общий процесс А. п. практически мало-
малоэффективен, поэтому в анализе используется много
специальных методов А. п. Сюда относятся различные
аналитич. представления: интегралы, зависящие от
параметра [интеграл типа Коши (см. Коши интеграл),
Лапласа интеграл, интеграл Бореля (см. Бореля пре-
преобразование) и др.], замена переменного в степенном
ряде, специальные способы суммирования степенных
рядов [разложение Бореля в ряд многочленов, сходя-
сходящийся в максимальном полигоне (см. Бореля метод
суммирования), ряд Миттаг-Леффлера, сходящийся в
максимальной звезде (см. Звезда элемента функции,
Миттаг-Леффлера метод суммирования) и др.], прин-
принцип симметрии Римана — Шварца (см. Римана ¦—
Шварца принцип), функциональные и дифференци-
дифференциальные уравнения, определяющие функцию (напр.,
уравнение r(z+l)=zF(z) для гамма-функции, условия
периодичности, четности, симметрии и т. п.), аналитич.
выражения через известные функции.
К теме А. п. относятся также исследования о связи
между исходным элементом аналитич. функции (рядом
Тейлора) и свойствами полной аналитической функции,
порождаемой этим элементом (см. [1]); результаты об
особых точках (критерии особых точек, Адамара тео-
теорема мультипликационная, Фабри теорема об отно-
отношении) и особых линиях (теоремы о лакунах и непро-
непродолжаемости за границу круга сходимости, напр.
Адамара теорема о лакунах, Фабри теорема о лакунах
и др.), теоремы о сверхсходимости и о связях А. п.
степенного ряда со свойствами целой функции, опре-
определяющей его коэффициенты, вопросы мероморфного
продолжения, мероморфное продолжение при помощи
Ладе аппроксимаций и др. К А. п. следует отнес-
отнести и теоремы об устранении особенностей (устра-
(устранение изолированной особенности ограниченной го-
голоморфной функции, устранение спрямляемых раз-
разрезов при условии непрерывности и т. п.), а также
большой класс теорем об одновременном продолжении
голоморфных функций многих комплексных перемен-
переменных. В С" при ге>1 имеются области, из к-рых любая
голоморфная функция продолжается в более широкую
область (в одномерном случае такого явления нет).
Поэтому важной задачей А. п. функций многих ком-
комплексных переменных является описание этих более
широких областей — так наз. голоморфных
расширений, напр, известны описания голоморф-
голоморфности оболочек для Гартогса областей, п-круговых
и трубчатых областей, теоремы об устранении ком-
компактных особенностей и особенностей коразмерности
^2, Боголюбова теорема «острие клина» и теорема В. С.
Владимирова о С-выпуклой оболочке (см. [3]). Из-
Известно несколько эффективных методов построения
голоморфного расширения областей (см. [3]).
А. п. функций действительного переменного сводится
к А. п. голоморфных функций, т. к. для любой области
GcR" и любой функции /, аналитической в G, найдутся
область ДсС" и голоморфная в D функция ^ такие,
что Df\Rn=G и f\G=f.
Лит.: [1] Бибербах Л., Аналитическое продолжение,
пер. с нем., М., 1967; [2] М а р к у ш е в и ч А. И., Теория
аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; [3] Владими-
Владимиров B.C., Методы теории функций многих комплексных пе-
переменных, М., 1964. Е. М. Чирка.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — обобщение
понятия аналитического многообразия. Локальной мо-
моделью (и одновременно важнейшим примером) аналитич.
пространства над полным недискретно нормированным
полем к является аналитическое множество X в обла-
области U га-мерного пространства к" над полем к, задан-
заданное уравнениями /1=...=/р=0 (где /,¦ — аналитич.
функции в U), к-рое снабжено пучком Q, получающим-
получающимся при ограничении на X пучка Qy/1, где Qy — пучок
ростков аналитич. функций в U, а / — подпучок идеа-
идеалов, порожденный /ь ..., /р. Аналитическим
пространством над к наз. окольцованное про-
пространство, локально изоморфное окольцованному про-
пространству {X, Q) указанного выше вида. Если к —
поле действительных чисел R, говорят о вещест-
вещественных аналитических пространст-
пространствах; если к — поле комплексных чисел С,— о ком-
комплексных аналитических (просто ком-
комплексных) пространствах; если к — поле
р-адических чисел Qp,— о р-a д и ч е с к и х анали-
аналитических пространствах.
Аналитическим (голоморфным) ото-
отображением одного аналитич. пространства (X, Qx)
в другое (У, Qy) наз. морфизм (X, Qx)—^(Y, Qy) в смы-
смысле теории окольцованных пространств, т. е. пара (ф0,
фх), где ф0 : X—yY — непрерывное отображение, а <рг:
фо6к->-бх' ~ гомоморфизм пучков. Точка х А. п.
(X, Q) наз. простой (или н е о с о б о й), если х
обладает окрестностью, над к-рой (X, Q) изоморфно
пространству вида (U, Qa), где U — область в к".
В противном случае х наз. особой точкой.
Пространство наз. гладким, если все его точки
просты. Гладкое аналитич. пространство — это не что
иное, как аналитич. многообразие.
Размерность dimxX А. п. X в точке х?Х
определяется как размерность соответствующего ана-
аналитич. множества в локальной модели. Глобаль-
Глобальная размерность определяется формулой
dim X = sup dimx X.
Пусть тх — максимальный идеал в локальном кольце
0х(х?Х). Векторное пространство ТХ(Х)= (тх1т%)*
над к наз. касательным пространством
к X в точке х, а Тх(Х)=тх/тх — кокасатель-
ным пространством. Число
em dimx X = dim Tx (X)
наз. касательной размерностью, или
размерностью вложения, в точке х (по-
(последнее наименование связано с тем, что em dim X яв-
является наименьшим из чисел п таких, что (X, Q) в ок-
окрестности точки х изоморфно локальной модели в про-
пространстве кп). Размерность dimxX<:em dimxX, причем
равенство имеет место тогда и только тогда, когда х —
простая точка. Определяется также размерность
em dim X = sup^ g x em dim^ X.
Каждое аналитич. отображение А. п. ф= (ф0, фх) :
(X, Qx)-^>-(Y, Qy) определяет линейное отображение
dtyx '¦ Т'х(Х)—*~Т<i>«(x)(Y), к-рое наз. его диффе-
дифференциалом в точке х?Х.
А. п. (X, Q) наз. приведенным, если его ло-
локальная модель в окрестности любой точки обладает
тем свойством, что / состоит из всех ростков голоморф-
голоморфных функций, обращающихся в 0 на ХсГ. В случае
алгебраически замкнутого поля к это равносильно
тому, что слои Qx(x?X) пучка Q не содержат ниль-
потентных элементов. Всякое гладкое пространство
является приведенным. Если (X, Q) приведено, то
можно считать, что Q состоит из ростков нек-рых не-
непрерывных функций на X. Сечения пучка Q на приве-
приведенном пространстве (X, Q) отождествляются с аналн-
тич. функциями на X, т. е. о аналитическими отобра-
отображениями X—>-fc. Для произвольного А. п. (A', Q) име-
имеется естественный эпиморфизм пучков red •. Q—+Q (где
(X, C —приведенное А. п.), к-рый наз. приведе-
приведением, или редукцией. Если /?Г {X, (]) — сече-
сечение пучка Q, то можно говорить о значении сечения
/в точке х? X (оно совпадает со значением аналитич.,
функции red / в точке х). Поэтому алгебру Т(Х, Q) и
в неприведенном случае часто наз. алгеброй аналити-
аналитических (голоморфных) функций на (X, Q). Пучки 0-мо-
дулей на А. п. (X, Q) наз. также аналити-
аналитическими пучками.
Если (X, Q) — А. п., то каждое открытое UczX
определяет открытое подпространство (U, Q\U). С дру-
другой стороны, можно ввести понятие аналитич. подпро-
подпространства в (X, Q), к-рое обязательно замкнуто. Мно-
Множество YaX наз. аналитическим, если в окрестности
каждой точки х?Х оно определяется конечным числом
аналитич. уравнений. С таким множеством связан пучок
идеалов lycQ, состоящий из ростков всех аналптич.
функций, равных 0 на Y. Обратно, каждый аналити-
аналитический пучок идеалов конечного типа IaQ опреде-
определяет аналитич. множество YczX. Если Qy=Qi\Y, по-
получается А. п. (У, Qr), к-рое наз. аналитиче-
аналитическим подпространством в (X, Q); имеется
естественный морфизм A, (pt) : (Y, @y)->(X, Q). При-
Примером аналитич. подпространства в пространстве (X,
Q) является его редукция.
Понятие А. п. возникло как обобщение понятия ана-
аналитич. многообразия. Такое обобщение подсказывала
прежде всего алгебраич. геометрия, в к-рой уже давно
систематически рассматривались пространства с осо-
особыми точками. Влияние идей алпебраич. геометрии
непосредственно отразилось на окончательной фор-
формулировке понятия А. п. (для комплексных прост-
пространств в приведенном случае она была дана в [9], в
общем случае — в [6]). В частности, каждая схема ко-
конечного типа над полным нормированным полем к
естественным образом определяет А. п. над к. Это
соответствие схем и А. п. над к для приведенных ком-
комплексных пространств изучалось в [9], где теория
А. п. была названа «аналитической геометрией». В
дальнейшем обе геометрии развивались параллельно,
причем обмен идеями между ними существенно спо-
способствовал успехам, достигнутым в обеих этих об-
областях.
В теории функций многих комплексных переменных
пространства с особыми точками возникли первоначаль-
первоначально как римановы области, являющиеся аналогом ри-
мановых поверхностей функций одного переменного.
Используя их в качестве локальных моделей, X. Бенке
и К. Штейн (Н. Behnke, К. Stein, 1951) определили
нек-рый класс окольцованных пространств, к-рый,
как показано в [5], совпадает с классом приведенных
нормальных аналитических пространств. Локальная гео-
геометрия аналитич. множеств в С" была изучена еще В.
Рюккертом (W. Riickert)B 1932. Наконец, негладкие А. п.
естественным образом возникают в теории автоморф-
ных функций, как факторпространства аналитич. мно-
многообразий по собственным дискретным группам авто-
морфизмов. р-адические аналитич. множества появи-
появились впервые в работах Т. Сколема (Т. Scolem, 1935)
в связи с нек-рыми задачами теории чисел.
Теория А. п. имеет два аспекта — локальный и гло-
глобальный. Локальная аналитич. геометрия рассматри-
рассматривает ростки аналитич. множеств в пространстве к",
снабженные пучками указанного выше вида. Основную
роль здесь играет изучение свойств алгебры сходящихся
степенных рядов от я переменных над к и ее факторов —
так наз. аналитич. алгебр, начало к-рому положил
еще К. Вейерштрасс (К. Weierstrass). К локальной
теории относятся теория нормализации, изучение осо-
особых точек, локальных свойств аналитич. функций и
отображений и др. Основные результаты в этой области
получены в случае, когда поле к алгебраически замк-
замкнуто (см. [1], [4], [7]). Здесь появляется важное понятие
когерентного аналитического пучка, играющее далее
ведущую роль в глобальной теории. В частности,
структурный пучок Q А. п. (X, Q) и пучок идеалов 1у
любого аналитич. множества Y<z.X оказываются (в
случае алгебраически замкнутого к) когерентными.
Хорошо изучен также случай fc=R.
Глобальная аналитич. геометрия изучает свойства
аналитич. функций, отображений и других аналитич.
объектов, заданных «в целом» на всем А. п., а также
геометрич. свойства этих пространств. В процессе изу-
изучения комплексных А. п. были выделены их естест-
естественные классы. Это прежде всего класс Штейна про-
пространств, к-рый можно грубо охарактеризовать как
класс пространств, обладающих достаточно большим
запасом глобальных голоморфных функций. Прост-
Пространства Штейна являются наиболее естественным
многомерным обобщением областей комплексной пло-
плоскости, рассматриваемых в классич. теории функций
одного комплексного переменного. Этот класс про-
пространств по существу совпадает с классом аналитич.
подпространств в пространствах С". Его алгебраич.
аналогом является класс аффинных алгебраич. много-
многообразий (см. Аффинное многообразие).
Для области DcC" голоморфная полнота равно-
равносильна тому, что D — голоморфности область, т. е.
что в D существует голоморфная функция, не продол-
продолжающаяся в большую область. Граница области голо-
голоморфности обладает свойством псевдовыпуклости, т. е.
ведет себя по отношению к локальным аналитич. под-
подмногообразиям в С" так же, как выпуклая поверхность
по отношению к линейным вещественным подмногооб-
подмногообразиям. Вопрос о справедливости обратного утвержде-
утверждения (см. Леей проблема) породил ряд исследований и
привел к новой характеризации пространств Штейна.
В известном смысле противоположным является
класс компактных комплексных пространств. Справед-
Справедливо следующее обобщение классич. теоремы Лиу-
вилля: функции, голоморфные на приведенном ком-
компактном пространстве, постоянны на каждой связной
компоненте этого пространства и, следовательно, со-
составляют конечномерное векторное пространство. Обоб-
Обобщением этой теоремы являются конечности теоремы,
утверждающие конечномерность групп когомологий
со значениями в когерентном аналитич. пучке. Рас-
Рассматриваются также голоморфно выпуклые комплексные
пространства, д-полные, g-псевдовыпуклые, д-псевдо-
вогнутые пространства, являющиеся обобщением про-
пространств Штейна и компактных пространств.
Перечисленные классы комплексных пространств
имеют свои аналоги в теории голоморфных отображений.
Напр., компактным пространствам соответствуют соб-
собственные голоморфные отображения, голоморфно пол-
полным — штейновы отображения и т. п. Для многих
теорем найдены «относительные» аналоги, причем «аб-
«абсолютный» вариант теоремы получается из «относитель-
«относительного» в случае, когда все пространство отображается
в точку. Соответствующим обобщением теорем конеч-
конечности являются теоремы о когерентности прямых
образов когерентных аналитич. пучков при голоморф-
голоморфных отображениях, первая и важнейшая из к-рых
(для собственных отображений) была доказана Г. Гра-
уэртом (см. [6]).
Большую роль в теории комплексных пространств
играют голоморфные отображения специального вида—
так наз. модификации, т. е. отображения / : X-+-Y, ин-
индуцирующие изоморфизм открытых подпространств
X\X1—>-Y\Y1, где Хгс:Х, Y1<z.Y — нек-рые анали-
аналитические множества. При этом говорят, что У полу-
получается из X путем «стягивания» подмножества Хг
на У], а I из У - путем «раздувания» подмножества
Yt в Хг. Особый интерес представляют аналитич.
подмножества, к-рые можно стянуть в точку (и с к л ю-
чительные аналитические множе-
множеств а); их характеризация дана Г. Грауэртом (см. [6]).
Естественной проблемой аналитич. геометрии является
следующая проблема разрешения особенностей: можно
ли «раздуть» подпространство А. п. так, чтобы все
пространство стало гладким? Следует отметить, что
модификации в алгебраич. геометрии изучались еще
в 19 в., а в аналитич. геометрии были введены X. Бенке
(Н. Behnke) и К. Штейном (К. Stein) в 1951 в связи
с понятием римановой области.
Другим естественным объектом изучения, также
тесно связанным с идеями алгебраич. геометрии, яв-
являются мероморфные функции на комплексных про-
пространствах и их обобщения — мероморфные отображе-
отображения (примером может служить «отображение», обрат-
обратное к модификации). На приведенном компактном ком-
комплексном пространстве X мероморфные функции об-
образуют поле степени трансцендентности i(X)<:dimX
(в гладком случае это впервые доказал К. Зигель (С.
Siegel) в 1955]. Пространства X, для к-рых t(X)—dimX,
образуют класс, весьма близкий к классу проективных
алгебраич. многообразий (см. Алгебраическое прост-
пространство); они могут быть охарактеризованы тем, что
являются модификациями гладких проективных алге-
алгебраич. многообразий. Другим близким к алгебраич.
многообразиям классом А. п. являются кэлеровы мно-
многообразия. Известен ряд критериев проективности ком-
компактного комплексного пространства (см. [3], [6], [13]).
Большую роль в развитии этого раздела сыграли ра-
работы по автоморфным функциям многих комплексных
переменных.
Теория деформаций аналитических структур изу-
изучает задачу классификации аналитич. объектов задан-
заданного типа (напр., всех комплексных структур на задан-
заданном вещественном аналитич. многообразии, всех ана-
аналитич. подпространств в заданном комплексном про-
пространстве и т. п.), причем цель состоит в том, чтобы
ввести на множестве этих объектов «естественную»
структуру комплексного пространства, а также задачу
описания всех аналитич. объектов, «достаточно близких»
к заданному. В первом случае говорят о проблеме
глобальных модулей, а во втором — о проблеме ло-
локальных модулей. Примером проблемы глобальных
модулей является задача классификации всех ком-
комплексных структур на компактной римановой поверх-
поверхности (см. Модули римановой поверхности).
Основным аппаратом глобальной аналитич. геомет-
геометрии являются когерентные аналитические пучки и их
когомологии.Первым успехом когомологического мето-
метода явилось решение А. Картаном (Н. Cartan) адди-
аддитивной Кузена проблемы, и проблемы продолжения
голоморфной функции с замкнутого подмногообразия
YdX для многообразия Штейна (X, О) [8]; как вы-
выяснилось, препятствия к решению этих задач ле-
лежат в группах когомологии Д1(Х, О) и НХ(Х, JY)
соответственно.
Результаты глобальной теории, как правило, вначале
доказывались для комплексных многообразий, а затем
уже обобщались на случай комплексных пространств.
Возникающие при этом обобщении трудности часто
требовали разработки совершенно новых методов. На
комплексном многообразии когомологии локально
свободного аналитич. пучка можно выразить в тер-
терминах дифференциальных форм (теорема Дольбо —
Серра), что дает возможность применять для их
изучения методы теории эллиптич. дифференциальных
уравнений и другие аналитич. методы. В негладком
случае этот путь связан с большими трудностями, и
часто приходится задавать классы когомологии дру-
другими способами, напр., с помощью коцепей Чеха в
подходящем покрытии. Здесь оказалась полезной тех-
техника банаховых аналитических пространств, развитая
в связи с проблемами модулей.
См. также Вещественное аналитическое простран-
пространство, Жесткое аналитическое пространство.
Лит.: [1] A b h у a n k a r S., Local analytic geometry,
N. Y.—L., 1964; [2] В a n i с a C., S t a n a s i 1 a O., Metode
algebrice In theoria globala a spatiilor complexe, Bucurejti, 1974;
[3] Г а н н и н г Р., Р о с с и X., Аналитические функции
многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969; [4]
Grauert H., Remmert R., Analytische Stellenalgebren,
В., 1971; [5] и х ш е, «Math. Ann.», 1958, Bd 136, S. 245—318;
[6] Комплексные пространства, сб. переводов, Ы., 1965; [7]
Narasimhan R., Introduction to the theory of analytic
spaces, В., 1966; 18] Расслоенные пространства и их приложе-
приложения, сб. переводов, М., 1958, с. 352 — 62; [9] Serre J.-P.,
«Ann. Inst. Fourier», 1956, t. 6, p. 1—42; [10] Фукс Б. А.,
Специальные главы теории аналитических функций многих
комплексных переменных, 2 изд., М., 1963; [11] X ё р м а н-
дер Л., Введение в теорию функций нескольких комплексных
переменных, пер. с англ., М., 1968; [12] Хирцебрух Ф.,
Топологические методы в алгебраической геометрии, пер.
с англ., М., 1973; [13] Ч ж э н ь Щ з н-ш э н ь, Комплексные
многообразия, пер. с англ., М., 1961. А. Л. Онищип.
АНАЛЛАГМАТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — геомет-
геометрия, изучающая свойства фигур, инвариантные отно-
относительно круговых преобразований расширенной пло-
плоскости, т. е. евклидовой плоскости, пополненной бес-
бесконечно удаленной точкой. А. Б. Иванов.
АНГАРМОНИЧЕСКОЕ ОТНОШЕНИЕ — то же, что
двойное отношение, или сложное отношение.
АНГЕРА ФУНКЦИЯ — функция
удовлетворяющая неоднородному уравнению Бесселя:
22i/"J-zi/' + (z2 — v2) у =— (z— v)sin vn.
Для целых v=« Jv (z) = /n(z) — Бесселя функции по-
порядка п. Для нецелых v справедливо разложение
z*
т ,,. sinvnr, z'
B2-v2)D2-v2)
(z2-v2) D2-v2) F2-v2) '
sin vn Г z z3
+ (l*-v*) C2-v2) E2-v2)~ ¦ • ¦ J •
При |z[—>-oo и |argz|<rc имеет место асимптотич.
разложение *
J <z)~J (z) ' sinvjiri 12"v2 I a'-v'HS'-v'O
sin vn Г v vB2-v2) , v B2-v2) D2-v2) "I
jU~ ]_ Z Z3 ' 2s . . . J .
А. ф. наз. по имени К. Т. Ангера [1], к-рый изучал
функцию типа (*), но с верхним пределом интеграла 2я.
Лит.: [llAnger С. Т., Neueste Schriften der Naturf. Ges.
in Danzig, 1855, Bd 5, S. 1—29; [2] В а т с о н Г. Н., Теория
бесселевых функций, пер. с англ., ч. 1, М., 1949, гл. 10.
А. П. Прудников.
АНДРОНОВА — ВИТТА ТЕОРЕМА — модификация
теоремы Ляпунова (об устойчивости периодич. решения
неавтономной системы дифференциальных уравнений)
для автономной системы
dx,
-?=Х1{х1, ...,хп), 4 = 1, ..., п. A)
Пусть
xi = (fi(t) B)
— периодич. решение системы A) и
— соответствующая система уравнений в вариациях,
имеющая в рассматриваемом случае всегда один нуле-
нулевой характеристич. показатель. Тогда справедлива
А.— В. т.: если п— 1 характеристич. показателей си-
системы C) имеют отрицательные действительные части,
то периодич. решение B) системы A) устойчиво по Ля-
Ляпунову (см. Ляпунова характеристический показатель.
Устойчивость по Ляпунову).
А.— В. т. впервые была сформулирована А. А. Анд-
Андроновым и А. А. Виттом в 1930 (см. [1], с. 45) и доказана
ими же в 1933 ([1], с. 140).
Лит.: [1] Андронов А. А., Собрание трудов, М.,
1956; [2] П о н т р я г и и Л. С, Обыкновенные дифференциаль-
дифференциальные уравнения, 2 изд., М., 1965. Е. А. Леонтович-Андронова.
АНИЗОТРОПНАЯ ГРУППА над полем к - линей-
линейная алгебраическая группа G, определенная над полем к
и имеющая нулевой fc-ранг, т. е. не содержащая не-
нетривиальных fc-разложимых торов (см. Разложимая
группа). Классич. примеры А. г.— ортогональные груп-
группы квадратичных форм, не представляющих нуля над
к; алгебраич. группы, определяемые подгруппами эле-
элементов единичной нормы в алгебрах с делением над
полем к. Если группа G полупроста, а характеристика к
равна нулю, то группа G анизотропна над к тогда и
только тогда, когда в Gk нет неединичных уншютентных
элементов (для поля действительных чисел или поля
р-адических чисел это эквивалентно компактности G&).
Классификация произвольных полупростых групп над
полем к в существенной мере сведена к классификации
А. г.
Лит.: [1] Б о р е л ъ А., Линейные алгебраические группы,
пер. с англ., М., 1972; [2] Тите Ж., «Математика», 1968, т. 12,
№ 2, с. 110—43. В. П. Платонов.
АНИЗОТРОПНОЕ ЯДРО - подгруппа D полупро-
полупростой алгебраической группы G, определенной над полем
к, являющаяся коммутантом централизатора макси-
максимального fe-разложимого тора SczG ; D = [Zq(S), Zq{S)].
А. я. D — это определенная над к полупростая анизо-
анизотропная группа; rang D = rang G —rang^G. Понятие
А. я. играет важную роль в исследовании fc-структуры
группы G (см. [1]). Если D = G, т. е. rangftG=0, то
группа G является анизотропной над к; в случае D= (e)
группа G наз. квазиразложимой над к.
Лит.: [1] Тите Ж., «Математика», 1968, т. 12, № 2,
с. 110—43; [2] Б о р е л ь А., Тите Ж., «Математика», 1967,
т. 11, № 1, с. 43—111; JVi 2, с. 3—31. В. П. Платонов.
АННУЛЯТОР левый множества X в
R — множество $i(X) всех таких элементов у из R,
что уХ = 0. Здесь R — кольцо, или полугруппа (или,
вообще, группоид) с нулем. Аналогично определяется
правый А. множества X в R: это есть множество
Двусторонний А. множества X есть множество
В ассоциативном кольце (или полугруппе) R левый А.
любого множества X будет левым идеалом, а если X
является левым идеалом R, то 8;(^) ~ двусторонний
идеал R; в неассоциативном случае эти утверждения,
вообще говоря, не имеют места. -К1- А- Жевлаков.
АНТАГОНИСТИЧЕСКАЯ ИГРА — игра двух участ-
участников с прямо противоположными интересами. Фор-
Формально эта противоположность означает, что при пере-
переходе от одной игровой ситуации к другой увеличение
выигрыша одного из игроков влечет численно равное
уменьшение выигрыша другого, так что во всех ситуа-
ситуациях сумма выигрышей игроков постоянна (можно
считать, что эта сумма равна нулю, т. е. что выигрыш
одного игрока равен проигрышу другого). Поэтому
А. и. наз. также играми двух лиц с нулевой
с у м м о и. Математич. понятие антагонистичности
(равенство по величине и противоположность по знаку
функции выигрыша) является формальным понятием,
отличающимся от содержательного философского по-
понятия. Если в А. и. в результате к.-л. переговоров и
соглашений один из игроков смог бы увеличить свой
выигрыш на нек-рую сумму, то его противник потерял
бы такую же сумму. Следовательно, любые соглашения
оказываются невыгодными для одного из игроков и
потому невозможными. Реальными конфликтными си-
ситуациями, для к-рых А. и. служат достаточно адек-
адекватными моделями, являются нек-рые (но не все)
военные операции, спортивные и салонные игры, а
также ситуации, связанные с принятием деловых
решений в условиях конкуренции. Игры против при-
природы и вообще принятие решений в условиях неопре-
неопределенности (см. Статистическая игра) можно рас-
рассматривать как А. и. в предположении, что истинная
закономерность природы, неизвестная игроку, приведет
к действиям, наименее благоприятным для него.
Задание А. и. в нормальной форме (см. Игр теория)
сводится к заданию множеств стратегий А и В соот-
соответственно игроков I и II и функции выигрыша Н иг-
игрока I, определенной на множестве всех ситуаций
АхВ (функция выигрыша игрока II равна, по опре-
определению А. и., — //). Формально А. и. Г записывается
как тройка Г—(Л, В, II). Процесс разыгрывания
игры Г состоит в выборе игроками нек-рых своих стра-
стратегий а?А, Ь^В, после чего игрок I получает от иг-
игрока II сумму II{а, Ь). Это определение А. и. является
достаточно общим, чтобы при должном описании мно-
множеств стратегий и функции выигрыша охватить все
варианты А. и., включая динамические игры, диффе-
дифференциальные игры и позиционные игры. Разумные дей-
действия игроков в А. и. осуществляются на основании
принципа минимакса: если
max inf H (a, b) =min sup Н (а, Ь), A)
оеЛ Ъ еВ ЬеДабА
илн sup inf Н(а, Ь)= inf sup Я (а, 6), A')
а 6 A b 6 В Ъ ^ В а е А
то в игре Г существуют оптимальные стратегии (е-
оптимальные стратегии) у обоих игроков. Общее зна-
значение обеих частей равенства A') наз. значением
игры Г. Однако равенство A) илн A') уже в самых
простых случаях может не иметь места. Напр., в мат-
матричной игре с матрицей выигрышей
— 1 1
1 —1
имеют место равенства
max min «,-,• =—1, minmax=l.
i j i i
Поэтому множества стратегий игроков расширяются до
множества смешанных стратегий, состоящих в случай-
случайном выборе игроками своих первоначальных стратегий,
наз. чистыми, а функция выигрыша определяется как
математич. ожидание выигрыша в условиях примене-
применения смешанных стратегий. В приведенном примере оп-
оптимальными смешанными стратегиями игроков явля-
являются выборы игроками обеих своих стратегий с вероят-
вероятностями V2, а значение игры в смешанных стратегиях
равно нулю. Если множества А и В конечны, то А. и.
наз. матричной игрой; для нее всегда существуют зна-
значение игры и оптимальные смешанные стратегии у каж-
каждого из игроков. Если оба множества А и В бесконеч-
ны, то оптимальные (и даже е-оптимальные) смешанные
стратегии существуют не всегда (см. Бесконечная игра).
Лит.: [1] К а р л и л С, Математические методы в теории
игр, программировании и экономике, пер. с англ., М., 1964;
[2]Партхасаратхи Т., Рагхаван Т., Некоторые
вопросы теории игр двух лиц, пер. с англ., М., 1974.
Е. П. Яновская.
АНТИГОЛОМОРФНАЯ ФУНКЦИЯ, а н т и а л a
лптпческая функци я,— функция /(z)=u-f
-\-iv одного или нескольких комплексных переменных
г= (zj, z2, . . ., zn), комплексно сопряженная к голоморф-
голоморфной функции f(z)=u—iv (см. Аналитическая функция).
Е. Д. Соломенцев.
АНТИДВИЖЕНИЕ — преобразование псевдоелкли-
дова пространства, переводящее точки, отстоящие друг
от друга на действительном расстоянии а, в точки, на-
находящиеся на чисто мнимом расстоянии а. Движения
и антидвижения псевдоевклидова пространства обра-
образуют группу. А. Б. Иванов.
АНТИДИСКРЕТНАЯ ТОПОЛОГИЯ на множе-
множестве— топология, задаваемая открытой базой, со-
состоящей из пустого множества и всего пространства.
А. А. Мальцев.
АНТИДИСКРЕТНОЕ ПРОСТРАНСТВО — топологи
ческое пространство, в к-ром открыты лишь пустое мно-
множество И все пространство. А- А. Мальцев.
АНТИИЗОМОРФИЗМ колец — отображение tp
кольца А в кольцо В, являющееся изоморфизмом ад-
аддитивной группы кольца А на аддитивную группу коль-
кольца В, ДЛЯ К-р0Г0 (аЬ)ф=6ф-аф(а, Ъ?А). О. А. Иванова
АНТИИЗОМОРФИЗМ частично упорядо-
упорядоченных множеств — биективное антитонное
отображение частично упорядоченного множества А на
частично упорядоченное множество В, т.е. такое вза-
взаимно однозначное отображение ф : А^В, что из а<.Ь
(а, Ь?А) следует аф>6ф в В. о. А. Иванов,,.
АНТИКОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА — линейная
алгебра над нолем, в к-рой выполняется тождество
х* = 0. (*)
Если характеристика поля отлична от 2, то тождество
(*) равносильно тождеству ху== ~ух. Всякая подалгебра
свободной А. а. свободна. Важнейшими многообразия-
многообразиями А. а. являются Ли алгебры, Мальцева алгебры и
бинарно лиевы алгебры.
Лит.: [1] Ширшов А. И., «Матем. сб.», 1954, т. ;I
G6), с. 81—88. А. Т. Г айнов.
АНТИКОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, кои
формное отображение второго ро-
рода,— непрерывное отображение w—f(z) окрестности
точки z0 плоскости комплексного переменного z на ок-
окрестность точки w0 плоскости комплексного перемен
ного и-, сохраняющее углы между кривыми, проходи
щими через z0, но меняющее ориентацию. Функция
f(z), осуществляющая А. о., является антиголоморфной
функцией. См. также Конформное отображение.
Лит.: [1 ] М а р к у ш е в и ч А. И., Теория аналитических
функций 2 изд., т. 1, М., 1967, гл. 2. Е.Д. Соломенцев.
АНТИЛОГАРИФМ числа п— число N (обозна-
(обозначается ant logare), логарифм к-рого при данном осно-
основании а равен числу п. Таким образом,
ant loga n—N = an
или
logajV=rc.
А. наз. также обращенными логарнф-
м а м и.
АНТИНОМИЯ, парадокс,— ситуация, когда в
теории доказываются два взаимно исключающие друг
друга суждения, причем каждое из этих суждений
выведено убедительными с точки зрения данной теории
средствами.
В отличие от с о ф и з м а, умышленно ложного умо-
умозаключения с замаскированной ошибкой, А., как пра-
правило, свидетельствует о более глубоких недостатках
рассматриваемой теории. Часто обнаружение А. при-
приводит к существенной перестройке всей теории в целом,
привлекает внимание к новым явлениям и, в конечном
счете, служит стимулом дальнейших исследований.
Эта особенность А. со времен античности привлекла
к ним внимание философов. Можно отметить, напр.,
существенную роль, к-руго играет исследование А. в
философии Канта. Уже в античной философии обсуж-
обсуждалось несколько А., известных под назв. а п о р и й.
Приведем две знаменитые апории 3 е н о н а из
Плен E в. до н. э.).
«А х и л л е с и черепах а». Апория описывает
противоречивость нек-рых свойств движения и может
быть формулирована следующим образом: пусть в
пункте А находится бегун («Ахиллес»), а в пункте В
на расстоянии 100 м от А — черепаха. В один и тот
же момент Ахиллес отправляется бегом из А в направ-
направлении к В, стремясь догнать черепаху, а черепаха уст-
устремляется из В прочь от А со скоростью, скажем, в
сто раз меньшей скорости бегуна. Опыт свидетельст-
свидетельствует, что в подобной ситуации Ахиллес довольно быстро
догонит черепаху. С другой стороны, можно, как будто,
установить, что Ахиллес никогда не догонит черепаху
(и даже не достигнет пункта В). В самом деле, к моменту,
когда Ахиллес достигнет середины Ct маршрута АВ,
черепаха, пусть на небольшое расстояние, но все же
удалится от В. Далее, Ахиллес добежит до середины
С2 отрезка СгВ, затем до середины С3 отрезка Сф
и т. д. Все это время черепаха будет удаляться от В.
Чтобы достигнуть В, Ахиллесу, таким образом, необ-
необходимо побывать в каждом из бесконечной последова-
последовательности пунктов Сг, С2, С3, ..., Сп, ... Однако
представляется верным, что невозможно за конечное
время побывать в бесконечном количестве различных
пунктов. Следовательно, Ахиллес никогда не достиг-
достигнет пункта В и не догонит черепаху.
Парадоксы приведенного типа легко преодолеваются
в современной математич. модели непрерывного дви-
движения. Как показывает подробный анализ, сущест-
существенную роль в их преодолении играет выполнение в
поле действительных чисел так наз. аксиомы Ар-
Архимеда: для всяких действительных чисел а, &>0
найдется натуральное п такое, что аге>Ь. И все же
ситуация, отраженная в парадоксе, достаточно глу-
глубока. Можно оспаривать удобство или адекватность
реальному движению общеупотребительной математич.
модели. Для исследования концепции физических
бесконечно малых и бесконечно больших величин не-
неоднократно предпринимались попытки построения тео-
теории действительных чисел, в к-рой аксиома Архимеда
не имеет места. Во всяком случае, теория неархимедо-
неархимедовых упорядоченных полей является весьма содержа-
содержательной частью современной алгебры. В нестандартном
анализе решающую роль играет именно неархимедов-
неархимедовское упорядоченное поле — нестандартная действи-
действительная прямая.
«Парадокс кучи» состоит в следующем. Одна
песчинка, очевидно, не образует кучи песка. Если п
песчинок не могут образовать кучи песка, то и после
прибавления еще одной песчинки они по-прежнему не
могут образовать кучи. Следовательно, никакое число
песчинок не образует кучи.
В современной терминологии к этому парадоксу
можно сделать следующий комментарий: метод полной
математич. индукции нельзя применять, как показы-
показывает парадокс, к объемно неопределенным понятиям,
каковым является понятие «куча песчинок». В по-
последнее время B-я пол. 20 в.) объемно неопределенные
понятия используются в основаниях математики для
установления непротиворечивости классич. теорий,
и свойства таких понятий исследуются точными мето-
методами. Методами математич. логики можно реализовать
ситуацию, когда математич. индукция неприменима в
общей форме ко всему натуральному ряду, хотя весьма
многие обычные свойства натуральных чисел при этом
выполняются (так наз. нестандартная модель арифме-
арифметики).
Но наибольший интерес для математики представ-
представляют, несомненно, А., связанные с необычными спосо-
способами образования понятий. Это так наз. логиче-
логические и семантические антиномии
(см. также Сколема парадокс).
Приведем три примера логических А.
Антиномия Рассела (В. Russell, 1902) от-
открыта независимо также Э. Цермело (Е. Zermelo).
Рассмотрим следующее свойство D множеств. Именно,
будем считать, что для множества X выполняется свой-
свойство D тогда и только тогда, когда X не является эле-
элементом самого себя. Для подавляющего большинства
конкретных множеств, употребляемых в математич.
рассуждениях, свойство D выполняется. Так, ни мно-
множество всех натуральных чисел, ни множество всех
действительных чисел не являются элементами самих
себя. Рассмотрим теперь множество Т такое, что его
элементы суть в точности те множества А', для к-рых
выполняется D. Попробуем теперь выяснить, что верно:
Т?Т или Т(?Т. Пусть Т?Т, тогда, по определению,
для Т выполняется свойство ?>, то есть Т(?Т. Таким
образом, необходимо Т(?Т. Но это вновь приводит к
противоречию, т. к. ввиду Т(?Т для Т выполняется D
и, следовательно, Т?Т.
Можно попытаться избежать парадокса, утверждая,
что вышеприведенное рассуждение свидетельствует
лишь о том, что указанного множества Т не сущест-
существует, т. е. что свойство D не определяет никакого
множества. Но такой выход отнюдь не упрощает си-
ситуацию. Действительно, с позиций «наивной» теории
множеств естественно считать, что всякое точно опи-
описанное свойство В объектов определяет множество С
тех объектов, к-рые удовлетворяют свойству В. Пара-
Парадокс Рассела наносит сильный удар ио этой естественной
концепции. Приходится согласиться, что нек-рые на
первый взгляд весьма простые свойства, вроде описан-
описанного выше свойства D, следует считать не точно описан-
описанными или же считать, что имеются точно описанные
свойства, к-рые не определяют множеств. Такая точка
зрения, в свою очередь, выдвигает ряд трудных про-
проблем. Какие свойства считать точно описанными, а
какие нет? Какие свойства определяют множества,
а какие нет? Может быть, и те свойства, к-рые широко
употребляются в практике теоретико-множественной
математики, также ведут к парадоксам и должны быть
забракованы? Можно ли описать по крайней мере
нек-рую надежную область, в к-рой можно считать се-
себя достаточно застрахованным от парадоксов и к-рая
все же достаточно обширна, чтобы включать в себя при-
привычную практику математики?
Проблему точного описания свойств можно считать
удовлетворительно решенной с созданием точных ло-
гико-математич. языков. Что же касается описания
критериев для выделения класса свойств, определяю-
определяющих множества, то эта проблема весьма далека от
своего разрешения. Более того, современные резуль-
результаты аксиоматич. теории множеств свидетельствуют,
по-видимому, в пользу того, что окончательного реше-
решения этой проблемы не существует. Антиномия Рас-
Рассела произвела очень большое впечатление на совре.
менников именно потому, что эта А. возникает на самой
начальной стадии изучения теории множеств. Тем не
менее имеются различные пути избежания парадоксов,
к-рые, хотя их и нельзя признать окончательными или
наиболее естественными, обеспечивают большие нрак-
тич. удобства и проливают свет как на природу пара-
парадоксов, так и на логич. связи других теоретико-множест-
венных принципов. Особенно успешным оказался ак-
сиоматич. подход к основаниям теории множеств (см.
Аксиоматическая теория множеств). Так, формальная
аксиоматич. система Цермело — Френкеля является
в настоящее время G0-е гг. 20 в.) самой употребитель-
употребительной аксиоматич. теорией, наиболее адекватно отража-
отражающей «непарадоксальную» часть клаеенч. теоретико-
множественной практики.
Антиномия «деревенский парик-
махе р». Это — вариант парадокса Рассола, сформули-
сформулированный применительно к житейской ситуации. (Не-
(Несколько иная форма этой А. известна под назв. и а-
радокса Гонсета.) Рассмотрим деревенского
парикмахера, к-рый бреет всех тех и только тех жителей
своей деревни, к-рые не бреются сами. Бреет ли он сам
себя? Рассуждая, как в антиномии Рассела, мы устано-
установим, что он бреет себя и не бреет себя. Можно легко
выйти из затруднения, заметив, что парадокс свиде-
свидетельствует только о том, что такого парикмахера не
может существовать. Рассматриваемая А. показывает,
что условие, к-рому должен удовлетворять деревенский
парикмахер, является внутренне противоречивым и,
следовательно, невыполнимым. Правда, такая точка
зрения естественно вызывает к жизни проблему опи-
описания критериев для внутренне непротиворечивых
свойств, однако, в отличие от ситуации в антиномии
Рассела, здесь эта проблема отнюдь не является столь
актуальной. Она относится к житейской ситуации, а
такого рода ситуации и вообще далеко не всегда бы-
бывают точно сформулированными или надежно уста-
установленными. Кроме того, внутренняя непротиворечи-
непротиворечивость — вовсе не единственный и, по-видимому, не
главный критерий приемлемости житейского суждения.
Иное дело математич. рассуждение, от к-рого мы вправе
ожидать значительно большей окончательности и убе-
убедительности. Внутренняя непротиворечивость — важ-
важнейшая сторона такого рассуждения.
Антиномия Кантора (G. Cantor, 1899).
Пусть М — множество всех множеств и Р (М) — мно-
множество всех его подмножеств. Из определения М оче-
очевидно, что Р (М) включено в М. С другой стороны,
по известной теореме Кантора, Р (М) имеет мощность,
большую, чем М, и поэтому Р (М) не может быть под-
подмножеством М. Из антиномии Кантора можно сделать
примерно те же выводы, что и из антиномии Рассела.
В частности, можно считать, что антиномия Кантора
представляет собой доказательство несуществования
множества М всех множеств. Интересно в связи с этим
отметить, что существуют аксиоматич. системы теории
множеств, напр, известная система New Foundations
У. Куайна (W. v. Quine), в к-рых существование мно-
множества М можно установить. Парадокс Кантора в
New Foundations избегается благодаря тому, что в этой
системе теорему Кантора о мощности удается доказать
лишь в нек-рой специальной форме, недостаточной для
проведения парадокса. Вообще, для проведения анти-
антиномии Кантора нужны существенно более сложные
понятия теории множеств, чем для проведения анти-
антиномии Рассела (такие, как понятие подмножества, идеи
взаимно однозначного соответствия и т. п.).
Сходен с антиномией Кантора так наз. парадокс
Бурали— Форт и, в котором рассматривается
класс всех ординальных чисел. Порядковый тип этого
класса должен быть больше всех ординалов, содержа-
содержащихся в нем.
Значительный интерес представляют также А. не-
несколько иного вида, наз. семантическими.
В отличие от логических, в состав семантич. А. входят
такие семантич. термины, как «истина», «ложь», «обо-
«обозначает», «определяет» и другие. Впрочем, это различие,
предложенное Ф. Рамсеем (F. Ramsey, 1926), является
в значительной степени условным. Многие семантич. А.
могут быть сформулированы в логич. форме, и наоборот.
По наблюдению Ф. Рамсея, семантич. А. не могут быть
проведены в обычных логико-математич. теориях уже
потому, что эти теории не содержат семантич. понятий,
нужных для формулировки семантич. А. В этом смысле
семантич. А. «безопаснее» логических. Но здесь следует
иметь в виду также, что в настоящее время исследуются
и теории, содержащие понятия, нужные для формули-
формулировки нек-рых семантич. парадоксов, в особенности
парадоксов Ришара (но в к-рых парадоксы все же из-
избегаются специальными средствами). Приведем два
известных семантич. парадокса.
Антиномия Ришара (J. Richard) в форме
Берри (G. D. W. Berry, 1906). Рассмотрим множество
натуральных чисел, каждое из к-рых может быть одно-
однозначно определено с помощью осмысленного текста, со-
содержащего не более тысячи слогов. Очевидно, таких чи-
чисел конечное количество, т. к. совокупность всех тек-
текстов с не более чем тысячью слогами конечна. Рассмот-
Рассмотрим наименьшее натуральное число, не входящее в упо-
упомянутое выше множество.
Приведенный выше абзац представляет собой осмыс-
осмысленный текст, объемом не более чем в тысячу слогов, од-
однозначно определяющий нек-рое натуральное число,
к-рое по самому своему определению не может быть оха-
охарактеризовано такого рода текстом. Конечно, парадок-
парадокса можно избежать, если объявить указанный текст
неосмысленным (или не определяющим натурального
числа), но тогда, как и в ранее рассмотренных случа-
случаях, естественно поставить трудные мроблемы, касаю-
касающиеся описания критериев осмысленности текстов,
и т. и.
Антиномия Э в б у л и д а D в. до н. э.).
Допустим, что нек-рый субъект произносит следующую
фразу: «Высказывание, к-рое я сейчас произношу, лож-
ложно». Ложно само это высказывание или нет? Из допуще-
допущения, что оно истинно, и его смысла следует, что оно
должно быть ложно. С другой стороны, из его ложности
немедленно следует, что оно не может быть ложно. Из-
Известно много вариантов этого парадокса — пара-
парадокс лжеца, парадокс Эпименида
и др. Идея этого парадокса лежит в основе доказатель-
доказательства знаменитой Гёделя теоремы о неполноте формаль-
формальных аксиоматич. теорий.
В целом анализ парадоксов способствовал радикаль-
радикальному пересмотру взглядов на проблему обоснования
математики и развитию многих современных идей и
методов математич. логики.
Лит.: [1] Френкель А., Б а р-Х и л л е л И., Осно-
Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966; [2] К л и н и С. К.,
Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957.
А. Г. Драгалин,
АНТИПАРАЛЛЕЛОГРАММ — плоский четырех-
четырехугольник, у к-рого все противоположные стороны
попарно равны и антипараллельны относительно двух
других сторон (см. Антипараллелъные прямые).
А. Б. Иванов.
АНТИПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ относительно
двух заданных прямых т\ и т2 — прямые 1г и 12, пере-
пересекающие ту и т2 так, что
Z1=Z2 (см. рис.). Если
1г и 12 — А. п. относительно
mj и т2, то nil и m2 — А. н.
относительно \х и 12. Во вся-
всяком вписанном в окружность
четырехугольнике противо-
7 V по ложные стороны — А. п.
/ \ относительно двух других
\ сторон. Если прямые тг и т2
пересекаются в точке О, то говорят также, что 1± и 12 —
А. п. относительно угла m-fim.^. Если же
прямые т1 и т2 совпадают, то 1Х и 12 наз. А. п. отно-
относительно одной прямой. А. Б. Иванов.
АНТИПОДЫ — диаметрально противоположные точ-
точки сферы. Имеются следующие теоремы Борсу-
к а [1] об А. 1) При любом отображении сферы S"
в евклидово пространство Е" найдутся А. с общим об-
образом. 2) Каждое отображение сферы S" в себя, при
к-ром образы А. являются А., есть существенное ото-
отображение.
Лит.: [1] Borsuk К., «Fundam. math.», 1933, t. 20,
p. 177—90. А. В Чернавскип.
АНТИПРИЗМА — полупра-
полуправильный многогранник, у ко-
которого две параллельные гра-
грани — равные между собой
правильные n-угольники, а
остальные 2п граней — пра-
правильные треугольники (см.
рис.) А. Б. Иванов.
АНТИСИММЕТРИЧНЫЙ ТЕНЗОР - см. Тензорное
исчисление.
АНТИТОННОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ частично
упорядоченных множеств— отображение
Ф частично упорядоченного множества А в частично
упорядоченное множество В такое, что из а<:6 (а, Ь?А)
следует, аф>6ф. Дуальное понятие к А. о.— изотоп-
изотопное отображение. О. А. Иванова.
АНТЬЕ, целая часть (действитель-
(действительного) числа х,— наибольшее целое число, не
превосходящее х. Обозначение Г.т] или Е(х). Из опреде-
определения А. следует, что [х]<х<[ж]+1. Если х — целое, то
[х]=х. Примеры: [3, 6] = 3, | 4г1 =0, [-4^1=—5. При
L з j | з |
помощи А. получают, напр., разложение на простые
множители числа ге!=1-2 •. . .-га, а именно,
где произведение составлено из всех простых чисел р,
не превосходящих га, а
Функция г/=[ж] переменного х есть кусочно непре-
непрерывная (ступенчатая) функция со скачками в целых
точках. Посредством А. определяется дробная
часть числа х, обозначаемая символом {х} и
равная разности
х — [х]; 0<{.г} < 1.
Функция у= {х} — периодическая кусочно непрерыв-
непрерывная функция.
Лит.: [([Виноградов И. М., Основы теории чисел,
М., 8 изд., 1972. Б. М. Бредихин.
АНЬЕЗИ ЛОКОН, в е р з и е р а,— плоская кривая.
уравнение к-рои в декартовой прямоугольной системе
координат имеет вид
у (а2-\-х") = а3, о>0.
Если а есть диаметр окружности с центром в точке
@, а/2), ОА — секущая, СВ и AM параллельны оси
Ох, а ВМ параллельна оси
Оу (см. рис.), то А. л. есть
геометрич. место точек М.
Если центр образующей ок-
окружности и касательная СВ
смещены по оси О у, то
кривая, получаемая анало-
• гичным построением, наз.
агвинеей Ньюто-
Ньютона и является обобщением
А. л. Названа по имени М.
Аньези (М. Agnesi), изучавшей эту кривую A748).
Лит.: [I] Савелов А. А., Плоские кривые, М., 1960.
А. Б. Иванов.
АПЕРИОДИЧЕСКИЙ АВТОМОРФИЗМ прост-
пространства с мерой— такой автоморфизм Т про-
пространства с мерой, периодич. точки к-рого (т. е. точки
с в
х, для к-рых Ткх=х при нек-ром /с>0) образуют мно-
множество меры нуль. Введение специального названия
для таких преобразований вызвано тем, что в нек-рых
теоремах эргодической теории автоморфизмы, имеющие
«слишком много» периодич. точек, играют роль триви-
тривиальных исключений (см. [1]).
Лит.: [1] Рохлин В. А., «Успехи матем. наук», 1949
т. 4, № 2 C0), с. 57—128. Д.В.Аносов.
АПОЛЛОНИЯ ЗАДАЧА — задача о построении на
плоскости окружности, касающейся трех заданных ок-
окружностей. Решается методом инверсий. Окружность,
являющаяся решением А. з., наи. окружностью
Аполлония. А. з. названа по имени Аполлония
Пергского C в. до н. э.).
Лит.: [11 Энциклопедия элементарной математики, кн. 4,
Геометрия, М., 1963. А. Б. Иванов.
ШОЛЛОНИЯ ТЕОРЕМА — 1) Сумма квадратов
длин сопряженных полудиаметров эллипса есть вели-
величина постоянная, равная сумме квадратов длин его
полуосей. 2) Площадь описанного вокруг эллипса па-
параллелограмма, стороны к-рого имеют сопряженные
направления, постоянна и равна произведению длин
его диаметров. А. Б. Иванов.
АПОЛЯРНЫЕ СЕТИ — две сети, заданные в одной
и той же области G двумерного многообразия и обладаю-
обладающие тем свойством, что в каждой точке x?G касатель-
касательные направления одной из этих сетей гармонически
разделяют касательные направления другой. Например,
на поверхности в евклидовом пространстве асимпто-
асимптотическая сеть аполярна кривизны линий сети.
АПОСТЕРИОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ (в е роя т-
н о с т ь a posteriori) какого-либо собы-
события — условная вероятность события при нек-ром
условии, рассматриваемая в противоположность его
безусловной или априорной вероятности. Никакого
принципиального различия между терминами «услов-
«условная» и «апостериорная» нет. В применениях первый тер-
термин используют, когда самое условие носит предполо-
предположительный характер и в ходе опытов непосредственно
не наблюдается. Второй термин используют, когда же-
желают подчеркнуть, что условие, о к-ром идет речь, фак-
фактически наблюдено. А. в. связана с априорной вероят-
вероятностью Бейеса формулой. Ю. В. Прохоров.
АПОСТЕРИОРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — условное
распределение вероятностей какой-либо случайной ве-
величины при нек-ром условии, рассматриваемое в про-
противоположность ее безусловному или априорному рас-
распределению.
Если в — случайный параметр с априорной плот-
плотностью p(Q), X — случайный результат наблюдений и
р (х\в) — условная плотность X при условии в = 9, то
А. р. в при данном X согласно Бейеса формуле име-
имеет плотность
юР(9) p(x\Q) dQ
Если Т(х) — достаточная статистика для семейства
распределений с плотностями р(х\в), то А. р. зависит
не от самого х, а от Т(х). Асимптотич. поведение при
п^-оо А. р. p(Q\x1,..., хп), где xj суть результаты не-
независимых наблюдений с плотностью р(х\в0), оказы-
оказывается «почти независящим» от априорного распреде-
распределения G.
О роли А. р. в теории статистич. решений см.
Бейесовский подход.
Лит.: [1] Б е р н ш т е й н С. Н., Теория вероятностей,
4 изд., М.—Л., 1946. Ю. В. Прохоров.
АПОФЕМА правильного многоуголь-
многоугольник а — отрезок (а также его длина) перпендикуля-
перпендикуляра, опущенного из центра правильного многоугольника
на любую из его сторон. А. правильного и-угольника
равна радиусу гп вписанной в него окружности и свя-
связана с его стороной ап и площадью Sn соотношениями
А. правильной пирамиды — высота ее бо-
боковой грани.
АППЕЛЯ МНОГОЧЛЕНЫ, Аппеля полино-
полиномы,— класс многочленов над полем комплексных чи-
чисел, содержащий многие классич. системы многочленов.
А. м. введены П. Аппелем [1]. Последователь-
Последовательность А. м. {An(z)}n=o определяется формальным ра-
равенством
A{t)e« = J?^An{z)t», A)
в к-ром А М = 2Г=оа*'* ~~ формальный степенной ряд
с комплексными коэффициентами а^, к —0, 1, 2, ...,
причем а0ф0. В явном виде А. м. An{z) выражаются че-
через числа' «? следующим образом:
Л„B) = У\ Attz, n = 0, 1, 2, ... .
" * ' Jm^k=0 (П-к)\
Условие а0Ф0 равносильно тому, что степень многочле-
многочлена An(z) равна п.
Имеется другое, эквивалентное определение А. м.
Пусть
1 l
J—</г=0
— дифференциальный оператор, вообще говоря, бес-
бесконечного порядка, определенный над алгеброй Р комп-
комплексных многочленов переменного z=x-\-iy. Тогда
« = 0,1,2, ...,
А„(г)
то есть An(z) представляет собой образ функции znln\
при отображении р = А (D)q, p, q^P-
Класс ЛA) А. м. определяется как совокупность все-
всевозможных систем многочленов {.4,r(z)} с производящи-
производящими функциями вида A). Принадлежность системы
{Р„(z)} многочленов (степени п) классу Аа) равносиль-
равносильна выполнению соотношений
Иногда при определении А. м. класса АA> пользуются
соотношениями
An{z)= пАп-1 (г), п- J, 2, . . .,
к-рыо, с точностью до нормировки, эквивалентны при-
приведенным выше.
А. м. класса А A> используются при решении уравне-
уравнений вида
A(D)y(z) = f(z); B)
формальное равенство y(z) = f(z)/A(D) при
позволяет записать решение B) в виде
где {Ak(z)} — А. м. с производящей функцией eztlA (t).
В связи с этим особый интерес представляют разложе-
разложения аналитич. функций в ряды по А. м. Кроме того,
А. м. находят применение в различных задачах, отно-
относящихся к функциональным уравнениям, в том числе
к дифференциальным уравнениям, отличным от B),
в вопросах интерполирования, теории приближения, в
методах суммирования и др. (см., напр., [1]—[6]). С бо-
более общей позиции теория А. м. класса А{1) (и нек-рые
приложения) изложена в [6].
А. м. класса А A> содержат в качестве частных случаев
целый ряд классических последовательностей много-
многочленов. Примерами, с точностью до нормировки, могут
служить Бернулли многочлены
te
zt v^ °° В
= 0 ni
к — 1
Эрмита многочлены
t".
e у
Лагерра многочлены
и т. д. Многочисленные примеры А. м. имеются в [2]
и [3].
Существуют различные обобщения А. м., к-рые
также носят назв. систем А. м. Сюда относятся
А. м. с производящими функциями вида
pn(z)w»,
а также А. м. с производящими функциями более об-
общего характера:
A (w) у (zU И) = 2"=0 Чп (z) »" D)
(см., напр., [2] и [3]). Если ш(и) — функция, обратная
функции u(w), то принадлежность системы многочленов
{Pn(z)}n=o к классу последовательностей А. м. с про-
производящей функцией вида C) равносильна выполнению
соотношений
w(D)Pn(z)=Pn_1(z), n = l,2, ... (D = -^y
Имеется всего пять ортогональных с весом систем
последовательностей А. м. на действительной оси, с
производящими функциями вида C); в том числе среди
А. м. с производящими функциями вида A) лишь одна
система многочленов Эрмита является ортогональной
с весом е~х '2 на действительной оси (см. [7]).
О разложениях в ряды по А. м. с производящими
функциями вида C) и D), а также о связи этих А. м. с
различными функциональными уравнениями см. [2],
[7], [8].
Класс А{Р\ р^\ — целое, А. м. определяется
следующим образом: это есть множество всех систем
многочленов {Л„(г)}, для каждой из к-рых имеет место
(формальное) представление
где ш/)=е2Лг/Р, a Ak(t), fe=0, I, 2, . . ., p— 1 — формаль-
формальные степенные ряды, свободные члены к-рых таковы,
что степень многочлена A „(z) равна п. Принадлежность
последовательности {(?«(z)} многочленов степени п
классу А{1/) равносильна выполнению соотношений
p
Вопросы разложения аналитич. функций в ряды по
А. м. класса Л(л исследованы в [9]. Они тесно примы-
примыкают к задаче о нахождении аналитич. решений функ-
функциональных уравнений вида
A.m. от двух переменных введены П.
Аппелем [10]. Они определяются равенствами
X
дх ду
т, п = 0, 1, 2, . . . ,
в к-рых полагают GH= I, (y)/»=Y(Y+1)- • -(у+n-l) для
п>1; эти А. м. представляют собой аналог Якоби много-
многочленов. А. м. J„,, n ортогональны с весом
любому многочлену от двух переменных, степени,
меньшей m-f-n, по области Т, где Т — треугольник:
хУО, </>0, г+у<1; однако они не образуют системы
функций, ортогональных с весом t(x,y) в области Т
(см., напр., [3]).
Лит.: [11 А р р е 1 1 P., «Ann. sci. Ecole norm, super.»,
1880, v. 9, p. 119 — 44; [2] В о a s R. P., BiitkR. C, Poly-
Polynomial expansions of analytic functions, В., 1958; [3] Бейт-
мен Г., Э р д е й и А., Высшие трансцендентные функции, пер.
с англ., т. 1—3, М., 1965 — 67; [41 W о о d В., «SIAM J. Appl.
Math.», 1969, v. 17, Л» 4, р. 790—801; [5] С е г е Г., Ортогональ-
Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; [6] Б у р б а к и Н.,
Функции действительного переменного, пер. с франц., М., 1965;
[7] М е i х n e r J., «J. London Math. Soc», 1934, v. 9, pt 1, p. 6—
13; is] Anderson Cb. A., «J. Math. Analysis and Appl.»,
1967, v. 19, № 3, p. 475—91; [9] К а з ь м и н Ю. А., «Матем.
заметки», 1969, т. 5, в. 5, с. 509 — 520- 1969 т 6, в 2 с. 161 — 72;
[10] А р р е 1 1 P., «Arch. Math. Phys.», 1881, Bd 66, S. 238—45.
Ю. А. Казьмин.
АППЕЛЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — преобразование
уравнений плоского движения материальной точки,
находящейся под действием силы, зависящей лишь от
координат х, у точки. А. п. состоит из г о м о г р а ф и-
ческого преобразования координат х, у
в координаты х1у у-,:
пх + Ъу+с а'х+Ь'у + с'
1 а"х +Ь"у + с" ' ¦'1 а"х + Ь"у + с"
и введения вместо времени t времени t1 по формуле
dt
Благодаря А. п. движению точки (х, у) под влиянием
силы F(x, у) будет отвечать движение точки (гь уг),
находящейся под действием нек-рой силы F^x^, y±),
зависящей лишь от координат хх, ух. Преобразование
уравнений движения точки х, у с помощью формул об-
общего вида:
хг=(р(х,у), г/1=т|з(г, у), dt1=k(x, y)dt, (*)
приводит к уравнениям движения точки (хх, yt) под дей-
действием силы, зависящей лишь от координат (хи у^},
только в том случае, если преобразование («) — томо-
томографическое. А. п. используется при решении Берт-
Бертрана задачи об определении тех сил, при к-рых
траектории движения материальной точки являются
коническими сечениями. А. п. названо по имени П. Ап-
пеля.
Лит.: [1]А р р е 1 1 P.,«Amer.J. Math.», 1890, v. 12,p.103 —
Ц4; [2] e г о же, там же, 1891, V. 13, р. 153 — 58.
Л. Н. Сретенский.
АППЕЛЯ УРАВНЕНИЯ — обыкновенные дифферен-
дифференциальные уравнения, описывающие движения как голо-
номных, так и не голономных систем, установленные
П. Аппелем [1]. Иногда А. у. наз. уравнениями
Гиббса— Аппеля, т. к. для голономных сис-
систем ранее их установил Дж. У. Гиббс [3]. А. у. в неза-
независимых лагранжевых координатах gs (s=l, ..., n)
имеют вид уравнений 2-го порядка
Здесь
1 yr^N 2
S = —- y mvwv
(mv и wv — массы и ускорения N точек системы)— энер-
энергия ускорений системы, выраженная таким образом,
чтобы она содержала вторые производные только от
координат qi, ?=1, ..-,k, вариации к-рых рассматри-
рассматриваются как независимые, Qi — обобщенные силы, соот-
соответствующие координатам д,-, получаемые как коэффи-
коэффициенты при независимых вариациях 6<7/ в выражении
суммы элементарных работ заданных активных сил
на возможных перемещениях 6rv:
При вычислении S и Qi зависимые g,-Fgy) (/=A-f 1,
. . ., п) выражаются через независимые скорости (ва-
(вариации) разрешением п—к уравнений неголономных
связей (см. Неголономные системы), выраженных в обоб-
обобщенных координатах qs (и уравнений для 6qs, получае-
получаемых из последних). Дифференцированием по времени t
найденных выражений для д/ получаются выражения
q}- через д).
Уравнения A) совместно с п— к. уравнениями неин-
тегрируемых связех! образуют систему (порядка п-\-к)
п дифференциальных уравнений для п неизвестных qs.
В случае голономной системы к=п, все скорости gs
и вариации 6gs независимы, Q?=Qi и уравнения A)
представляют собой иную запись Лагранжа уравнений
2-го рода.
А. у. в квазикоординатах лг, где
лг—2t=i V9'1 r = l, ..., к, B)
имеют вид
4^- = П,, г = 1, ...,к<п. C)
Здесь S — энергия ускорений, выраженная через вто-
вторые производные пг по времени от квазикоординат,
Пг — обобщенные силы, соответствующие квазикоорди-
квазикоординатам. Уравнения C) совместно с п—к уравнениями не-
интегрируемых связей и к уравнениями B) образуют
систему п-\-к дифференциальных уравнений 1-го по-
порядка относительно такого же числа неизвестных qs,
s=l, . . ., п, и пг, г=1, . . ., к.
А. у. являются наиболее общими уравнениями дви-
движения механич. систем.
Лит.: [1] Appell P. E., «Сотр. Rend.», 1899, t. 129;
[2] его же, «J. reine und angew. Math.», 1900, Bd 122,
S. 205 — 08; [3] G i b b s J W., «Amer. J. Math.», 1879, v. 2,
p. 49 — 64. В. В. Румянцев.
АППЛИКАТА — одна из декартовых координат точ-
точки в трехмерном пространстве.
АППРОКСИМАТИВНАЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕ-
МОСТЬ — обобщение понятия дифференцируемости с
заменой обычного предела аппроксимативным пределом.
Действительная функция f(x) действительного неремен-
неременного наз. аппроксимативно дифферен-
дифференцируемой в точке х0, если существует такое число
А, что
lim ap/JfW^Q>-A <*-*»> = 0.
ж->.т0 х~х«
При этом величина А (х~х0) наз. аппроксима-
аппроксимативным дифференциалом функции /(х)
в точке х0. Функция f(x) аппроксимативно дифферен-
дифференцируема в точке х0 в том и только том случае, если она
имеет в этой точке аппроксимативную производную
fap(zo)~A . Аналогично определяется А. д. для действи-
действительных функций п действительных переменных. Напр.,
в случае n=2, f(x, у) наз. аппроксимативно
дифференцируемой в точке (х0, у0), если
lim aD f (х' ll')~f (х°' Vo)~A (х~жо)-д (v-va) _ о
о 7
где А и В — нек-рые числа, р= У^(ж^гоJ+(г/—г/оJ-
Выражение А (х— хо)-\-В (у— у0) наз. аппроксима-
аппроксимативным дифференциалом функции / (х, у)
в точке (х0, г/0).
Теорема Степанова: действительная функ-
функция f(x, у), измеримая на множестве Е, аппроксиматив-
но дифференцируема почти всюду на Е в том и только
том случае, если почти всюду на Е она имеет конечные
аппроксимативные частные производные по г и по у;
эти частные производные почти всюду на Е совпадают
соответственно с коэффициентами А и В аппроксима-
аппроксимативного дифференциала.
Понятие А. д. распространяется также на вектор-
функции одного или нескольких действительных пере-
переменных.
Лит.: [1] Сакс С, Теория интеграла, пер. с англ., М.,
1949. Г. П. Толстое.
АППРОКСИМАТИВНАЯ КОМПАКТНОСТЬ — свой-
свойство множества М в метрич. пространстве X, состоящее
в том, что для любого х ? X любая минимизирую-
минимизирующая последовательность уп?М (т.е.
последовательность, обладающая свойством р (х, уп)—у
->-р(г, М) имеет предельную точку у?М. А. к. дан-
данного множества обеспечивает существование элемента
наилучшего приближения для любого х?Х. Понятие
А. к. введено (см. [1]) в связи с изучением чебышевских
множеств в банаховом пространстве, и это позволило
описать выпуклые чебышевские множества в некото-
некоторых пространствах. Именно, пусть X — равномерно
выпуклое и гладкое банахово пространство. Для того
чтобы чебышевское множество МсХ было выпуклым,
необходимо и достаточно, чтобы оно было аппроксима-
аппроксимативно компактным. Отсюда следует, в частности, что
множество рациональных дробей с фиксированной сте-
степенью числителя и знаменателя не является в простран-
пространстве Lp A<р<оо) чебышовским множеством, если сте-
степень знаменателя не меньше единицы [1].
О последующих исследованиях в этом направлении
см. [2].
Лит.: [1] Е ф и м о в Н. В., С т е ч к и н С. Б., «Докл.
АН СССР», 1961, т. 140, Л& 3, с. 522—4; [2] Итоги науки. Матема-
Математический анализ. 1967, М., 1969, с. 75—132.
Ю. Н. Субботин.
АППРОКСИМАТИВНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ —
обобщение понятия непрерывности с заменой обычного
предела на аппроксимативный предел. Функция f(x)
наз. аппроксимативно непрерывной
в точке хй, если
lim ap/(x)=/(z0).
х->- ,х0
В простейшем случае f(x) — действительная функция
точки n-мерного евклидова пространства (в более общем
случае — вектор-функция). Справедливы следующие
теоремы. 1) Действительная функция / (х) измерима
по Лебегу на множестве Е в том и только том случае,
если она аппроксимативно непрерывна почти всюду на
Е (теорема Дан ж у а —Степанова). 2) Для
любой ограниченной измеримой по Лебегу функции f(x)
в каждой точке х0 ее А. н.
где р есть n-мерная мера Лебега, R — содержащий точ-
точку xQ n-морный невырожденный сегмент, р — его диа-
диаметр.
Лит.: [1] Сакс С, Теория интеграла, пер. с англ.,
М., 1949. Г. П. Толстое.
АППРОКСИМАТИВНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ — обоб
щение понятия производной, в к-ром обычный предел
заменяется аппроксимативным пределом. Если для
функции / (х) действительного переменного х существует
то он наз. аппроксимативной произ-
производной функции f(x) в точке х0 и обозначается
fap(x0). В простейшем случае f(x) есть действительная
функция (в более общем случае — вектор-функция).
А. п. может быть как конечной, так и бесконечной. Для
конечной А. п. справедливы классич. правила диффе-
дифференцирования суммы, разности, произведения и част-
частного функций; теорема о дифференцировании сложной
функции, вообще говоря, не имеет места. Понятие А. п.
введено А. Я. Хинчиным в 1916.
По аналогии с обычными производными числами опре-
определяются аппроксимативные производ-
производные числа: Ad(xa) — верхнее правое, kd(x0) —
нижнее правое, Ag(x0) — верхнее левое, kg(x0) — ниж-
нижнее левое; напр.,
. . . -р f(x)-f(x,)
Ad Ы =ж1пп ар х_Хо .
х> х0
Справедливы следующие теоремы Данжуа—
X и н ч ц н а. Если действительная функция f(x) ко-
конечна н измерима по Лебегу на множестве Е, то почти в
каждой точке этого множества либо f(x) имеет конечную
А. п., либо
Ad (x) = Ag (х) = -\- с/3, kd (х) = kg (х) = — с/3.
Если
dt
— интеграл в смысле Данжуа — Хинчина, то Fap(x) =
= f(x) почти всюду в рассматриваемом промежутке
(при этом обычная производная может не существовать
на множестве положительной меры). Эта теорема объяс-
объясняет роль А. п. в теории интеграла.
Существуют непрерывные функции, не имеющие ни
обычной, ни А. п. во всех точках произвольно заданно-
заданного промежутка.
Для функций нескольких действительных перемен-
переменных рассматриваются аппроксимативные частные про-
производные.
Лит.. [1] Сакс С, Теория интеграла, пер., с англ., М.,
1949. Г. П. Толстое.
АППРОКСИМАТИВНО КОМПАКТНОЕ МНОЖЕСТ-
МНОЖЕСТВО — множество, обладающее свойством аппроксима-
аппроксимативной компактности. Метрич. проекция на любое чебы-
шевское А. к. м. непрерывна. Примерами А. к. м. могут
служить ограниченно компактные множества, в про-
пространствах Lp{Q<ip <oo) — выпуклые замкнутые мно-
множества, а также множество рациональных дробей с фик-
фиксированными степенями числителя и знаменателя. В
теории приближений и теории некорректных задач ча-
часто используются пространства, в к-рых каждое за-
замкнутое множество аппроксимативно компактно.
Лит.: [1] Ефимов Н. В. С т е ч к и и С. Б., «Докл.
АН СССР», 1961, т. 140, № 3, с. 522 — 24; [2] Власов Л. П.,
«Успехи матем. наук», 1973, т. 28, JVs 6, с. 3—66.
Ю. Я. Субботин.
АППРОКСИМАТИВНЫЙ ПРЕДЕЛ — предел функ-
функции f(x) при х—>хй по множеству Е, для к-рого х0 яв-
является плотности точкой. В простейшем случае f(x)
есть действительная функция точки д-мерного евкли-
евклидова пространства (в более общем случае — вектор-
функция). А. п. обозначается
lim ар / (х).
х->х„
Из существования А. п., вообще говоря, не следует су-
существование обычного предела. Для А. п. имеют место
элементарные свойства пределов — единственность,
теоремы о пределе суммы, разности, произведения и
частного двух функций.
Пусть х0 — точка плотности области определения
действительной функции f(x). Если при этом существу-
существует обычный предел lim / (x), то существует и равный ему
А. п. В е р х н и м А. п. функции f(x) в точке х0 наз.
нижняя грань множества чисел у (причем у = -\-оо не
исключается), для к-рых множество {х: f{x)~>y} имеет
х0 своей точкой разряжения. Аналогично, нижним
А. п. функции f(x) в точке х0 наз. верхняя грань множе-
множества тех у (у=— оо не исключается), для к-рых х0 служит
точкой разряжения множества {х: }(х)<.у}. Эти А. п.
обозначаются соответственно
lim ар/(я) и lim ар / (х).
Х ~*х0 X -*¦ Хо
А. п. существует в том и только том случае, если верх-
верхний и нижний А. п. равны; их общее значение совпадает
с А. п.
В случае действительного х употребляются также од-
носторонние (правый и левый) верхние и нижние А. п.
(при этом требуется, чтобы х0 была соответственно пра-
правосторонней или левосторонней точкой плотности об-
области определения функции). Для правого верхнего
А. п. употребляют запись
lim ар f(x),
ж-«-хо,х> х„
аналогично записываются и другие случаи. При сов-
совпадении правых верхнего и нижнего А. п. получается
правый А. п., при совпадении левых — левый
А. п.
А. п. был использован впервые А. Данжуа (A. Den-
joy, 1915) и А. Я. Хинчиным A916—18) при исследова-
исследовании дифференциальных связей неопределенного интеграла
(в смысле Лебега и в смысле Данжуа — Хинчина) и под-
интегральной функции (см. Аппроксимативная непре-
непрерывность, Аппроксимативная производная).
Лит.: [1] С а к с С, Теория интеграла, пер. с англ., М.,
1949. Г. П. Толстое.
АППРОКСИМАЦИЯ — замена одних математич.
объектов другими, в том или ином смысле близкими к
исходным. А. позволяет исследовать числовые характе-
характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу
к изучению более простых или более удобных объектов
(напр., таких, характеристики к-рых легко вычисляют-
вычисляются или свойства к-рых уже известны). В теории чисел
изучаются диофантовы приближения, в частности при-
приближения иррациональных чисел рациональными.
В геометрии и топологии рассматриваются А. кривых,
поверхностей, пространств и отображений. Нек-рые
разделы математики в сущности целиком посвящены А.,
напр, теория приближения функций, численные методы
анализа. бсэ-з.
АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ОПЕРАТОРА РАЗНОСТНЫМ — приближение диф-
дифференциального оператора таким зависящим от пара-
параметра оператором, результат применения к-рого к функ-
функции определяется ее значениями на нек-ром дискретном
множестве точек — сетке, уточняющееся при стремле-
стремлении параметра (шага сетки) к нулю.
Пусть L, Lu=f — дифференциальный оператор, пере-
переводящий каждую функцию и из класса функций U в
функцию / из линейного нормированного пространства
F. Пусть Бц — область определения функций из С/ и в
Du выделено нек-рое дискретное подмножество — сет-
сетка Вьи («сгущающаяся» при k—yO). Рассматривается
множество Uh всех функций [u]h, определенных только
на сетке и совпадающих в точках сетки с и. Разностным
оператором наз. всякий оператор Lh, переводящий се-
сеточные функции из U/, в функции Д из F. Говорят, что
оператор Lh, Ьи[и\н=-)н, аппроксимирует (аппроксими-
(аппроксимирует с порядком hp) дифференциальный оператор L
на классе U, если для любой функции и ? U при Л->-0
\\Lu-Lh[u]h\\P—*0,
\\Lu—Lh[u]h\\p ^chP, с = c(u) ¦= const.
h
Иногда аппроксимацию понимают как равенство
lim Lh[u\h=Lu
в смысле той или иной слабой сходимости. А. д. о. р.
используется для приближенного вычисления функции
Lu no таблице [и]^ значений функции и и для аппрок-
аппроксимации дифференциального уравнения разностным.
Существуют два основных приема построения опера-
оператора Lh, аппроксимирующего L.
Первый состоит в том, что определяют Lh{u\h как
результат применения дифференциального оператора L
к функции из U, полученной с помощью той или иной
интерполяционной формулы из сеточной функции [u\h.
Второй способ состоит в следующем. В области DF
определения функции / из F вводят сетку DhF и рас-
рассматривают линейное пространство Fh сеточных функ-
функций, определенных на Dhp. Оператор Ljl\u\h строят
как произведение двух операторов: оператора, перево-
переводящего функцию [и]н в сеточную функцию fh из FH,
то есть в приближенную таблицу значений функции
f{x), и оператора восполнения //, с сетки DhF на всю
область DF. Напр., для приближения оператора диф-
дифференцирования
строится сетка Ю^ц, состоящая из точек х^, /с=0, 1,
..., Л',
0 = х0 < . . . < xk < xk + 1 < . . . < xN=l,
max {xk + 1 — xk) = h,
h
и сетка DhF, состоящая из точек
Xk — xk+ О {xk+1~xk),
Значения оператора Lh[u]h в точках г* определяются ра-
равенствами
г ,и] I _, (rf)^u(xk )-u(xk)
\x-xk xk
ft + 1 fe
Затем Lh\u}h доопределяется вне DhF кусочно линейно*
с изломами, быть может, только в точках Xk, fc=l, 2>
..., N-2.
Пусть норма в F определяется формулой
|| ф ||/г= SUp | ф (х) |.
X
Тогда на классе функций U, имеющих ограниченную
третью производную, при 0 = 0 и 0=-j оператор Lh ап-
аппроксимирует L= ^ c порядком h и /г2 соответственно.
На классе С/ функций с ограниченными вторыми произ-
производными аппроксимация при любом 0?[0, 1] имеет-
лишь первый порядок.
Иногда задачу А. д. о. р. условно считают решенной,
если указан способ построения сеточной функции
?ft["]ft \DftF=fh^Fh,
определенной только в точках сетки Df,F, оставляя
задачу о восполнении функции //, всюду на DF вне рас-
рассмотрения. В таком случае для определения аппрокси-
аппроксимации пространство Fh считают нормированным и при-
притом относительно сетки и нормы предполагается, что
для всякой функции f?F совпадающая с ней в точках
Df,F функция {f}h(zFh удовлетворяет равенству
h-*0 h
Оператор Lh понимают как оператор из Vh в Fh и гово-
говорят, что оператор Lh аппроксимирует (аппроксимирует о
порядком hs) дифференциальный оператор L на множе-
множестве U, если при h—>-0
Для построения оператора Lh, аппроксимирующего L
на достаточно гладких функциях с заданным поряд-
порядком, часто прибегают к замене каждой производной,
входящей в выражение L, ее разностной аппроксима-
аппроксимацией, опираясь для этого на следующий факт. При лю-
любых натуральных i, j и при любом fc0, 2fco+l>i+/ в ра-
равенстве
используя метод неопределенных коэффициентов и фор-
формулу Тейлора, можно так подобрать числа с^, не зави-
зависящие от А, чтобы для любой функции и(х), имеющей
7 + г {г<И) ограниченных производных, выполнялось
неравенство вида
| е (х, h, c_ft(l,. . ., cko) | < Aij sup | u4 + r) (t) | hr,
где A j; зависит только от i и /. Напр., пусть требуется
построить аппроксимирующий оператор для оператора
Лапласа
если Dи — замкнутый квадрат |г|<1, |г/|<1, a Dp —
его внутренность \х\ <1, |(/|<1. Задается h=l/N, N —
натуральное, и строится сетка, причем к Dhu отно-
относятся точки
(х, y)-=(mh, nh), |mfel-<l, |n/i]<<l,
а к -Dftf — точки
(х, y)==(mh, nh), \mh\<\, \nh\<i,
где man — целые. Так как
-i- [у {x + h)~2y (x) + y(x~h)] =--y" (x)+^j г/»4' A),
то Д на достаточно гладких функциях аппроксими-
аппроксимируется со вторым порядком разностным оператором Lh,
если положить в точках D^p:
т um + i n~2u-
bhum,n =
где um< „ и fm< n — значения функций \u\h и //, в точке
(mh, nh).
Существуют отличные от указанного способы постро-
построения операторов Lh, аппроксимирующих оператор L
на решениях и дифференциального уравнения Lu=Q
и удовлетворяющих дополнительным требованиям.
Лит.: [1] Филиппов А, Ф., «Докл. АН СССР», 1Я55
т. 100, № 6, с. 1045—48; [2] Б е р е з и н И. С, Ж и д к о в Н.П.,
Методы вычислений, 3 изд., т. 1, М., 1966. В. С. Рябенький
АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ РАЗНОСТНЫМ — приближение диф-
дифференциального уравнения системой алгебраич. урав-
уравнений относительно значений искомых функций на
нек-рой сетке, к-рое уточняется при стремлении пара-
параметра (шага сетки) к нулю.
Пусть L, Lu—f нек-рый дифференциальный оператор,
a Lh, Lhuh==fh, uh?Uh, ih^Fh - нек-рый разностный
оператор (см. Аппроксимация дифференциального опе-
оператора разностным). Говорят, что разностное уравне-
уравнение L/luh=^0, O?Ffi аппроксимирует дифференциальное
уравнение Lu=0 на решении и с порядком h>J, если опе-
оператор Lh аппроксимирует оператор L на решении и с
порядком/;, т. е. если
Простейший пример построения разностного уравне-
уравнения LftU,; = 0, аппроксимирующего дифференциальное
уравнение Lu=0 на решениях u, состоит в замене каж-
каждой производной, входящей в выражение Lu, аппрокси-
аппроксимирующим ее разностным аналогом.
Напр., уравнение
т d2u . . . du , / v n
аппроксимируется со 2-м порядком разностным урав-
уравнением
+ Р (ха) "" + \"т -1 + д (х„) ит = О,
где сетки Dftu и />^/г состоят из точек xm=mh, m —
целое, «„, — значение функции uft в точке хт; для
уравнения
г ви Э2и „
/v.. = —^г: ^—г- U,
и dt дхг '
напр., двумя различными разностными аппроксимация-
аппроксимациями на гладких решениях являются:
(явная схема), и
т{2)
(неявная схема), где сетки О^ц и DhF состоят
из точек (хт, tn)—(mh, m), %=rh", r=const, т и п —
целые, а и% — значение функции uh в точке (хт, tn)
сетки. Существуют разностные операторы Lh, аппрокси-
аппроксимирующие дифференциальный оператор L особенно
хорошо только на решениях и уравнения Lu=0 и хуже
на других функциях. Напр., оператор
t
= fh
где u=um-j-k(p(xm) аппроксимирует оператор на
произвольных гладких функциях и (х) с первым по-
порядком относительно h, а на решениях уравнения Lu=0
со вторым [функция и (х) предполагается достаточно
гладкой]. При численном решении краевых задач для
дифференциального уравнения Lu=0 с помощью раз-
разностного уравнения Lhuh = Q существенны свойства ап-
аппроксимации оператора L оператором Lh на решениях
и уравнения Lu = 0, а не на произвольных гладких
функциях. Для широкого класса дифференциальных
уравнений и систем уравнений существуют способы
построения аппроксимирующих их разностных урав-
уравнений, при к-рых выполняются различные дополни-
дополнительные требования: устойчивость решения и^ относи-
относительно ошибок округления, допускаемых при вычисле-
вычислениях; выполнение для и^ тех или иных интегральных
соотношений, имеющих место для решения и дифферен-
дифференциального уравнения; возможность использовать про-
произвольные сетки Dhu и D/jF (важная при расчете дви-
движения сплошной среды); малое число арифметич. дей-
действий, необходимых для вычисления решения, и т. д.
А. д. у. р. является элементом аппроксимации диффе-
дифференциальной краевой задачи разностной с целью при-
приближенного вычисления решения первой.
Лит.: [1] Годунов С. К., Рябенький В. С,
Введение в теорию разностных схем, М., 1962; [2] Самар-
Самарский А. А., Введение в теорию разностных схем, М., 1971;
[3] Г о д у н о в С. К. и др., Численное решение многомер-
многомерных задач газовой динамики, М.,1976;[4]СамарскийА.А.,
Попов Ю. П., Разностные схемы газовой динамики, М., 1975.
АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ КРА-
КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ РАЗНОСТНОЙ — приближение диф-
дифференциального уравнения и краевых условий системой
конечных (обычно алгебраических) уравнений отно-
относительно значений искомой функции на цок-рой сетке,
к-рое уточняется при стремлении параметра разностной
задачи (шага сетки) к нулю.
Пусть требуется вычислить функцию и, принадлежа-
принадлежащую линейному нормированному пространству U функ-
функций, определенных в нек-рой области Dfj с границей
Г, и являющуюся решением дифференциальной краевой
задачи Lu=0, lu\T = 0, где Lu=O—дифференциальное
уравнение, а 1и\-р =0—совокупность граничных условий.
Пусть Dьц — сетка (см. Аппроксимация дифференци-
дифференциального оператора разностным) и t/ft — линейное нор-
нормированное пространство функций и^, определенных
на этой сетке. Норма в ?/Л вводится так, чтобы для лю-
любой функции v ? U выполнялось равенство
где Мл — таблица значений функции v в точках сотки
Dhu- Задачу вычисления решения и заменяют нек-рой
задачей J?huh = 0 приближенного вычисления таблицы
\u\fj значении решения и в точках сетки Dhy. Здесь
Xhuh — нек-рая совокупность конечных (недифферен-
(недифференциальных) уравнений относительно значений сеточной
функции uh?Uh.
Пусть гЛ — произвольная функция из U/, и Jt'flvfl =
= cPfti Ф* ~ линейное нормированное пространство,
к-рому принадлежат <р/, при любом v/,?Uf,- Говорят,
что задача Xhuh=0 является разностной аппроксима-
аппроксимацией порядка р дифференциальной краевой задачи Lu=
= 0, Zu|r=O на решении и последней, если
Фактическое построение системы JS/luh = 0 разбивают на
построение двух ее подсистем Ь^и^ — О и lf,uh\r =0.
В качестве .Lftuft = 0 используют к.-л. разностную ап-
аппроксимацию дифференциального уравнения (см. Ап-
Аппроксимация дифференциального уравнения разност-
разностным). Дополнительные уравнения lhuh\v =0 строят с
использованием граничных условий Zu|r=0.
А. д. к. з. р. в смысле приведенного определения ни
при каком выборе норм в 11% и ФЛ еще не обеспечивают
сходимости (см. [2]) решения uh разностной задачи к
точному решению и, т. е. равенства
lim \\[и]н-ин\\и =0.
h -* 0 Л
Дополнительным условием, обеспечивающим сходи-
сходимость, является свойство устойчивости (см. [3], [5] —
[8]), к-рым должна обладать разностная задача J>?ft«ft =
= 0. Задача ^?Л«Л = 0наз. устойчивой, если существуют
числа 6>0 и h<ih0 такие, что уравнение Xhzh = (Ph имеет
единственное решение z/t?Uh при любом Фл?Фй,
11ф/г11<б, h<.h0, причем это решение удовлетворяет не-
неравенству
I! %к~ин\\и, =^с И Фл Нф '
h h
где С — нок-рая постоянная, не зависящая от h и воз-
возмущения правой части ф/,, а ин — решение невозмущен-
невозмущенной задачи J?huh=Q. Если решение и дифференциальной
задачи существует, а разностная задача d6huh = 0 ап-
аппроксимирует дифференциальную на решении и с по-
порядком р и устойчива, то имеет место сходимость с тем
же порядком, то есть
II На-«л lly =O(hP).
Напр., задача
?(")^!т--^ = 0, t > 0, —
i A)
1и =и @, х) — г|з (х) = 0, — оо < х < оо ,
щег|з(х) — заданная функция, имеющая ограниченную
производную 2-го порядка, при естественном определе-
определении норм аппроксимируется разностной задачей
h7
Г ="т — i|)(mfe) = O
ft
где ujn — значение функции uh в точке (хт, tn) = (mh,
пх) сетки, %=rh, г— const. Если за норму ф„ принять
верхнюю грань модулей правых частей уравнений, со-
составляющих систему %hvh = tyh, Vh^Uh, то аппрокси-
аппроксимация задачи A) задачей B) на решении и имеет первый
порядок. При г>1 сходимости нет ни при какой норме.
При г<1 и норме
II "ft lit/ =S"P l"m
имеет место устойчивость и, следовательно, сходимость:
й
(см. [2], [3]).
Замена дифференциальных задач разностными явля-
является одним из наиболее универсальных средств при-
приближенного вычисления решений дифференциальных
краевых задач на ЭВМ (см. [7]).
Замену дифференциальных задач их разностными
аналогами, начиная с работ [1], [2], [4], иногда удается
использовать для самого доказательства существования
решения дифференциальной задачи по следующей схе-
схеме. Устанавливается компактность зависящего от h
семейства решений uh разностного аналога дифференци-
дифференциальной краевой задачи и доказывается, что пределом
сходящейся при hk-+-0 подпоследовательности uh
является решение и дифференциальной краевой задачи.
Если известно, что оно единственно, то не только подпо-
подпоследовательность, но и все семейство uh сходится к ре-
решению и при h—>-0.
Лит.: [1] Люстерник Л. А., <<Успехи матем. наук»,
1940, в. 8, с. 115—24; [2] Курант Р., Фридрихе К.,
Л е в и Г., «Успехи матем. наук», 1940, в. 8, с. 125—60; [3] Г о-
д у н о в С. К., Рябенький B.C., Разностные схемы.
Введение в теорию, М., 1973; [4] П е т р о в с к и й И. Г.,
«Успехи матем. наук», 1940, в. 8, с. 161 — 70; [5J Рябев ь-
кий В. С, «Докл. АН СССР», 1952, т. 86, Л? 6, с. 1071—3;
[6] Р я б е н ь к и й В. С, Филиппов А. Ф., Об устой-
устойчивости разностных уравнений, М., 195fi; [7] Самарский
А А., Введение в теорию разностных схем, М., 1971; [8] Фи-
Филиппов А. Ф., «Докл. АН СССР», 1955, т. 100, УА 6, с.
1045 — 8. В. С. Рябенький.
АППРОКСИМАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПРЕОБ-
ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ — один из методов в эргодической
теории. Любой автоморфизм Т пространства Лебега X с
мерой [i может быть получен как предел периодич. ав-
автоморфизмов Тп в естественной для пространства Э(
всех автоморфизмов топологии, слабой или равномерной
(см. [1]). При количественной характеристике скорости
аппроксимации наряду с автоморфизмами Т'„ рассмат-
рассматривают инвариантные относительно Тп
конечные измеримые разбиения X,
т. е. разбиения ц пространства X на конечное число не-
непересекающихся измеримых множеств Сп1, .. ., Сп< qn,
которые автоморфизм Тп переводит друг'в друга. Ве-
Величина
d(T, Tn; U = 2,>, И (ТС„, { \TnCtli i)
оценивает близость Тп к Т относительно
разбиения ?„; здесь Д — симметрическая
разность:
ЛДВ^-(Л\В) \J(B\A).
При фиксированном qn можно подобрать такие ^„ и
Тп (с указанными выше свойствами), что d(T, Tn; |„)
будет сколь угодно мало (см. [1]). Содержательные ин-
варианты автоморфизма Т возникают при рассмотрении
такой бесконечной последовательности Тп и |„, что для
любого измеримого множества А имеется последова-
последовательность множеств А п, целиком состоящая из нек-рых
С„_,- и аппроксимирующая А в том смысле, что
lim
(«разбиения \п сходятся к разбиению на точки»). Если
при этомй(Г, Тп; |„)</(д„), где/(д) — заданная моно-
монотонная последовательность, стремящаяся к нулю, то
говорят, что Г допускает А. п. п. I рода со
скоростью f(n); если, сверх того, Тп циклически
переставляет множества С„ ,-, то говорят о цикл и-
ческой А. п. п. Другие варианты см. в [2], [6], [7].
При определенной скорости аппроксимации те или
иные свойства периодич. автоморфизмов Тп влияют на
свойства предельного автоморфизма Т. Напр., если Т
допускает циклич. А. п. п. со скоростью cln, то при
с<4 это гарантирует эргодичность Т, при с<2 — отсут-
отсутствие у Т перемешивания, а при с<1 — простоту спект-
спектра соответствующего унитарного оператора сдвига.
Нек-рые свойства Т могут быть охарактеризованы в
терминах скорости аппроксимации. Напр., его энтро-
энтропия равна нижней грани тех с, для к-рых Т допускает
А. п. п. I рода со скоростью 2c/log2n (см. [2], [7]).
А. п. п. применялась при исследовании ряда простых
конкретных примеров (см. [2]), включая гладкие пото-
потоки на двумерных поверхностях (см., напр., [8]). При ее
помощи был построен ряд динамич. систем с неожидан-
неожиданными метрич. свойствами (см. [2], [6], [7]) или с не-
неожиданным сочетанием метрич. свойств с дифференци-
дифференциальными (см. [3], [4]).
Утверждение о плотности периодич. автоморфизмов
в ?[, снабженном слабой топологией, может быть су-
существенно усилено: для любой монотонной последова-
последовательности /(п)>0 автоморфизмы, допускающие циклич.
А. п. п. со скоростью /(«), образуют в 21 множество
II категории (см. [2]). Поэтому А. п. п. позволяет по-
получать так наз. категорные теоремы, ут-
утверждающие, что в 31 (со слабой топологией) автомор-
автоморфизмы с тем или иным свойством образуют множество I
или II категории (напр., эргодические множества — II
категории, а перемешивающие — I категории, см. [1]).
Пусть X — топологическое или гладкое многообра-
многообразие, а мера |_i согласована с топологией или гладкостью.
В классе гомеоморфизмов или диффеоморфизмов, сохра-
сохраняющих |i, естественными являются не слабая, а другие
топологии. Для гомеоморфизмов справедливы категор-
категорные теоремы, сходные с имеющимися для 21 (историю и
современное состояние проблемы см. в [5]).
Лит.: [1] Халмош П., Лекции по эргодической тео-
теории, пер. с англ., М., 1959; [2] К а т о к А. Б., С т ё п и н А. М.,
«Успехи матем. наук», 1967. т. 22, МЬ 5, с. 81 — 106; [3] А н о-
с о в Д. В. Каток А. Б., «Тр. Моск. матем. об-ва», 1970,
т. 23, с. 3 — 36; [4] К а т о к А. Б., «Изв. АН СССР. Сер. ма-
матем.», 1973, т. 37, Mi 3, с. 539—76; [5] К а т о к А. Б., С т ё-
п и н А. М., «Успехи матем. наук», 1970, т. 25, JM» 2, с. 193—
220; [6J А к с о g 1 и М. A., Chacon R. V., S с h w a r t z-
b а и е г Т., «Proc. Amer. Math. Soc», 1970, v. 24, № 3, p. 637—
642; f7]SchwartzbauerT., «Pacific J. Math.», 1972, v. 43,
Л"» 3, p. 753—64; [81 К о ч е р г и ii А. В., «Матем. сб.», 1975,
т. 96, X. 3, с. 472 — 502. Д.В.Аносов.
АПРИОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ (вероятность
a priori) какого-либо события— вероят-
вероятность события, рассматриваемая в противоположность
условной вероятности этого же события при нек-ром
дополнительном условии. Последнюю называют в таком
случае апостериорной вероятностью. Эту терминоло-
терминологию употребляют обычно в связи с Бейеса формулой.
Ю. В. Прохоров.
АПРИОРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — распределение
вероятностей какой-либо случайной величины, рас-
рассматриваемое в противоположность условному распре-
распределению этой случайной величины при нек-ром допол-
нительном условии. Обычно термин «А. р.» употребля-
употребляют в следующей обстановке. Пусть (8, X) — пара
случайных величин (случайных векторов или более
общих случайных элементов). Случайную величину 6
рассматривают как неизвестный параметр, а X — как
результат наблюдений, предназначенных для оценки 9.
Совместное распределение G и X задают распределе-
распределением G (которое и называют в этом случае Л. р.) и
совокупностью условных распределений Pq случайной
величины X по отношению к в. По Бейеса формуле мо-
можно вычислить условное распределение G относитель-
относительно X (которое в этом случае называют апостериорным
распределением G). В статистич. задачах часто А. р.
неизвестно (и даже само предположение о его суще-
существовании не представляется достаточно обоснован-
обоснованным). Об использовании А. р. см. Вейесовский подход.
Ю. В. Прохоров.
АРАБСКИЕ ЦИФРЫ — традиционное название деся-
десяти математич. знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, с помо-
помощью к-рых по десятичной системе счисления записы-
записываются любые числа. Эти цифры возникли в Индии
(не позднее 5 в.), в Европе стали известны в 10—13 вв.
по араб, сочинениям (отсюда название). БСЭ-з.
АРБИТРАЖНАЯ СХЕМА — правило, по к-рому каж-
каждой игре с дележами (см. Кооперативная игра) ставится
в соответствие единственный дележ этой игры, наз. а р-
битражным решением. Первоначально А. с.
были рассмотрены Дж. Нэшем [1] для случая игры двух
лиц. Пусть R—{u(u1, . . ., и„)} — множество дележей,
d=(d1, .. ., dn) — точка status quo, т. е. точка, соответ-
соответствующая случаю, когда никакой дележ не осуществ-
осуществляется, [R, d] — игра с дележами, и — ее арбитражное
решение. Дележ и* наз. решением Наша,
если
П,- (и,-—d;)= max П,- (щ—п().
ueR
Решение Нэша и только оно удовлетворяет следующим
аксиомам: 1) если / — линейное неубывающее преобра-
преобразование, то fu есть арбитражное решение игры [/Л, fd]
(инвариантность относительно преобразований полез-
полезности); 2) u^d, u?R и нет такого u?R, чтобы и^и (оп-
(оптимальность по Парето); 3) если R'aR, d' = d, u?R',
то и' = ц (независимость несвязанных альтернатив);
4) если d[=dj, i, /=1, . . ., пи R симметрична, то U[=uj,
i, /=1, ..., п (симметрия).
Другую А. с. с характеристич. функцией v(S),
ScN= {I, ..., п} для игр п лиц дал Л. С. Шепли [2].
Решение Шепли <р(г>) —(<Pi(p), • • •, <Рп(р)), где
Ф/ («О =2s с TV Yn («) [" (S)-v {S\{i})],
yn{s)—(s— l)!(ra — s)\/n\, s— число элементов множества
S, также удовлетворяет аксиоме симметрии, кроме того,
'2i(pi(v) = v(N) и для любых двух игр и и v выполняется
ф(ц+1;) = ф(") + ф(г;). Были также рассмотрены А. с.
для случая сравнимых индивидуальных выигрышей
(см. [3]).
Арбитражные схемы Дж. Нэша и Л. С. Шепли обоб-
обобщил Дж. Харшаньи [4]. Решение Харшаньи,
кроме соответствующих четырех аксиом Нэша, удов-
удовлетворяет еще двум аксиомам: 1) решение монотонно
зависит от обоснованных требований игрока, 2) если и*
и и** — решения, то решением будет и и,
_
если только и принадлежит границе множества R.
А. с. непрерывно зависят от параметров игры, если
в R имеются лучшие дележи, чем точка status quo.
Лит.: [1] Nash J., «Econometrica», 1950, т. 18, № 2,
p. 155—62; [2] S h a p 1 e у L. S., в кн.: Contributions to the
theory of games, v. 2, Princeton (N. J.), 1953, p. 307—17; [3]
Railla H., в кн.: Contributions'to the theory of games, v. 2,
Princeton (N. J.), 1953, p. 361—87; [4] Harsanyi J. C,
в кн.: Contributions to the theory of games, v. 4, Princeton (N. J.),
1959, p. 325 — 55. 9. II. Вилкас.
АРГУМЕНТ — 1) А. функции — переменная (го-
(говорят также независимая переменная), от значений
к-рой зависят значения функции. 2) А. комплекс-
комплексного числа z=x+i!/ = r(cos ф+г sin ф), изобра-
изображаемого на плоскости точкой с координатами х и у,—
угол ф радиус-вектора г этой точки с осью абсцисс.
АРГУМЕНТА ПРИНЦИП — геометрический прин-
принцип теории функций комплексного переменного, форму-
формулируемый следующим образом: пусть D — ограничен-
ограниченная область на комплексной плоскости С, причем грани-
граница dD является непрерывной кривой, ориентация к-рой
согласована с D; если функция w=f(z) мероморфна в
окрестности D и на 3D не имеет нулей и полюсов, то
разность между числом ее нулей N и числом полюсов Р
в D (с учетом кратностей) равна деленному на 2я прира-
приращению аргумента /при положительном обходе dD, т. е.
NP=Ad
где arg / обозначает какую-либо непрерывную ветвь
Arg / на кривой 3D. Выражение справа равно индексу
ind0 f(dD) кривой f(dD) относительно точки ге=О.
А. п. используется для доказательства различных
утверждений о нулях голоморфных функций (основная
теорема алгебры многочленов, теорема Гурвица о нулях
и т. п.). Из А. п. следуют такие важные геометрич.
принципы теории функций, как сохранения области
принцип, максимума модуля принцип, теорема о ло-
локальном обращении голоморфной функции. Во многих
вопросах А. п. используется неявно в виде его следст-
следствия — Руше теоремы.
Имеются обобщения А. п. Условие мероморфности /
в окрестности D можно заменить следующим: / имеет в D
конечное число нулей и полюсов и непрерывно продол-
продолжается на dD. Вместо комплексной плоскости можно
рассматривать произвольную риманову поверхность,
при этом ограниченность D заменяется условием, что
D — компакт. Из А. п. для римановых поверхностей
следует, что на компактной римановой поверхности чис-
число нулей любой мероморфной функции, не равной тож-
тождественно нулю, равно числу полюсов. А. п. в областях
на С эквивалентен теореме о сумме логарифмических
вычетов. Поэтому обобщенным А. п. иногда на-
называют следующее утверждение. Если / мероморфна в
окрестности области I), ограниченной конечным числом
непрерывных кривых, и / на dD не имеет нулей и полю-
полюсов, то для любой функции ф, голоморфной в окрестно-
окрестности D, справедливо равенство:
где первая сумма распространяется на все нули, а вто-
вторая — на все полюсы / в D. Имеется топологиче-
топологическое обобщение А. п. (*): А. п. справедлив
для любых открытых локально конечнократных отобра-
отображений / : D—»-С, непрерывно продолжающихся на dD
и таких, что 0, оо§? f(dD).
Аналогом А. п. для многих комплекс-
комплексных переменных является, напр., следующая
теорема: пусть D — ограниченная область в С" с жор-
дановой границей dD и / : D—ь-С" есть отображение,
голоморфное в окрестности D и такое, что O(?f(dD);
тогда число прообразов 0 в D (с учетом кратностей)
равно mdqf(dD).
Лит.: [1] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.,
Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М.,
1965; [2] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ,
2 изд., ч. 2, М., 1976. Е. М. Чирка.
АРЕА-ФУНКЦИЯ — функция, обратная гиперболи-
гиперболической функции, т. е. одна из функций: ареа-синус,
ареа-косинус, ареа-тангенс, ареа-котангенс. См. Обрат-
Обратные гиперболические функции.
АРИФМЕТИЗАЦИЯ — метод, применяемый в ма-
тематич. логике для замены рассуждений о выражениях
к.-л. логпко-математич. языка рассуждениями о нату-
натуральных числах. С целью такой замены устанавливает-
устанавливается к.-л. достаточно простое взаимно однозначное ото-
отображение множества всех слов (в алфавите рассматри-
рассматриваемого языка) в натуральный ряд; образ слова наз. его
номером. Отношения и операции, определенные на
словах, переходят при этом отображении в отношения и
операции, определенные на номерах. Требование «дос-
«достаточной простоты» отображения сводится к тому, что-
чтобы нек-рые основные отношения (такие, как отношение
вхождения одного слова в другое и т. п.) и операции (та-
(такие, как операция соединения слов и т. п.) переходили
в отношения и операции, имеющие простую алгоритмич.
природу (напр., оказывающиеся примитивно рекурсив-
рекурсивными). В частности, если среди выражений рассматри-
рассматриваемого языка содержатся программы для нек-рого се-
семейства вычислимых функций, А. естественно приводит
к нумерации этого семейства (при к-рой номером функ-
функции считается номер всякой ее программы).
Впервые А. была применена К. Гёделем [1] для дока-
доказательства неполноты формальной арифметики (см. Гё-
деля теорема о неполноте). Именно, Гёдель поставил в
соответствие буквам алфавита некоторые попарно раз-
различные натуральные числа и затем занумеровал слово
Tj. . . т„ номером 2fi -З'г.. .р'", где i,-—число, поставленное
в соответствие букве т,-, a pi есть t-e по порядку простое
число. Так описанная нумерация слов наз. гёделевой;
в широком смысле слова гёделевой наз. всякая нумера-
нумерация слов, возникающая при А., при этом номера слов
наз. их г ё д е л е в ы м и номерами.
В 1936 А. Чёрч [2] с помощью А. получил первый при-
пример неразрешимой алгоритмич. проблемы арифметики.
Термин «А.» (в сочетании «А. анализа») употребляется
также в литературе по основаниям математики для обо-
обозначения осуществленного в 19 в. построения теории дей-
действительных чисел с помощью теоретико-множественных
конструкций, отправляющихся от натуральных чисел.
Лит.: [1] G б d e 1 К., «Monatsh. Math, und Physik», 1931,
Bd 38, N5 1, S. 173—98; [2] С h u г с h A., «Amer. J. Math.», 1936,
v. 58, K« 2, p. 345—63; [3] К л и н и С. К., Введение в метама-
метаматематику, пер. с англ., М., 1957. В. А. Успенский.
АРИФМЕТИКА — область знаний о числах и опе-
операциях в числовых множествах. Говоря об А., имеют в
виду рассмотрение вопросов о происхождении и разви-
развитии понятия числа, приемы и средства вычислений, ис-
исследование операций с числами различной природы,
анализ аксиоматич. структуры числовых множеств,
свойства чисел. Когда делается упор на логич. анализе
понятия числа, то иногда употребляют термин т е о-
ретическая арифметика. А. тесно связана
с алгеброй, в к-рой, в частности, изучаются свойства опе-
операций над числами. Свойства же самих целых чисел со-
составляют предмет теории чисел (см. Элементарная тео-
теория чисел, Чисел теория).
Термин «А.» иногда употребляют и тогда, когда имеют
дело с операциями над объектами самой различной при-
природы: «А. матриц», «А. квадратичных форм» и т. д.
Культура счета возникла и развивалась задолго до
создания дошедших до нас письменных памятников.
Наиболее древними письменными математич. памятни-
памятниками являются кахунские папирусы и знаменитый па-
папирус Ринда, относящийся приблизительно к 2000 до
н. э. Аддитивная иероглифич. система счисления позво-
позволяла египтянам сравнительно просто производить толь-
только операции сложения и вычитания натуральных чисел.
Умножение выполнялось с помощью удвоения, т. е.
множитель разбивался на сумму степеней двойки, про-
производилось умножение на отдельные слагаемые, а затем
компоненты складывались. Действия с дробями егип-
египтяне сводили к операциям с ал и квотным и дро-
дробями, т. е. с дробями вида —. Более сложные дроби
разбивались с помощью таблиц на сумму аликвотных
дробей. Деление осуществлялось вычитанием из делимо-
делимого чисел, получаемых в процессе последовательного уд-
удвоения делителя. Громоздкая шестидесятичная система
счисления вавилонян вызывала большие трудности при
выполнении арифметич. операций. До нас дошли много-
многочисленные таблицы, с помощью к-рых вавилоняне вы-
выполняли умножение и деление.
А. у греков — изучение свойств чисел; они не отно-
относили к ней практику вычислений. Вопросы, связанные
с техникой операций над числами, т. е. способы вычис-
вычислений .составляли особую науку, наз. логистикой.
Такое разделение от греков перешло в средневековую
Европу. Только в эпоху Возрождения общим назв. А.
стали объединять как начатки теории чисел, так и прак-
практику вычислений. Греческая математика резко разгра-
разграничивала понятия числа и величины. Греческие мате-
математики называли числами только те числа, к-рые теперь
наз. натуральными числами, и различали такие разно-
разнородные, по их представлениям, понятия,как числа и гео-
метрич. величины. Специальные греческие сочинения
ио логистике до нас не дошли: все же известно, что греки
применяли способ умножения, близкий к современному.
Алфавитная система нумерации сильно усложняла опе-
операции над числами. Греки практиковали вычисления с
обыкновенными дробями, однако дроби не рассматри-
рассматривались как числа, а только как отношения натуральных
чисел.
7 —9-ю книги «Начал» Евклид C в. до н. э.) посвятил
целиком А. в античном смысле этого слова. Это прежде
всего элементы теории чисел: алгоритм отыскания наи-
наибольшего общего делителя (см. Евклида алгоритм), тео-
теоремы о простых числах. Евклид обосновывает коммута-
коммутативность умножения, а также дистрибутивность этой
операции относительно сложения. Рассматривается тео-
теория пропорции, т. е., по существу, теория дробей.
В других книгах в геометрич. форме излагается общая
теория отношений величин, к-рую можно рассматривать
как зачатки теории действительных чисел.
8 дошедших до нас рукописях Диофанта (вероятно,
3 в.) можно найти действия со степенями, показатели
к-рых не превосходят шести, и нек-рые приемы опера-
операций с вычитаемыми. В неявной форме это операции с
отрицательными числами. Сформулированные Диофан-
Диофантом правила применялись им только к рациональным
числам.
Китайские математики во 2 в. оперировали с дробями
и отрицательными числами. Несколько позже ими рас-
рассматривались методы извлечения квадратных и кубич.
корней, приближенные значения к-рых выражались
в виде десятичных дробей. Применявшиеся китайскими
математиками для решения арифметпч. задач правила, в
частности правило двух ложных положений, вошли во
многие руководства по А. сначала у арабов, а затем и в
Европе. О начальном периоде арифметич. культуры в
Индии не имеется достаточно данных. Простейшие дро-
дроби употреблялись в Индии задолго до нашей эры. Ныне
общепринятая десятичная система счисления индийско-
индийского происхождения. Начиная с 5 в. имеются датирован-
датированные письменные источники и они показывают высокую
арифметич. культуру Индии в ту эпоху. Индийские
математики оперировали с целыми и дробными
числами методами, близкими к современным. Решались
многие задачи на пропорции, тройное правило и прово-
проводились процентные вычисления. С 7 в. начали рассмат-
рассматриваться отрицательные числа. В сочинениях Бхаскары
II «Венец науки» A2 в.) приводятся правила умножения
и деления отрицательных чисел.
Индийская математика оказала решающее влияние
на развитие арифметич. знаний у арабов. Написанный в
9 в. Мухаммедом аль-Хорезми трактат по А. способст-
способствовал повсеместному распространению индийской деся-
десятичной системы записи чисел и способов сложения, вы-
вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного
корня.
У многих древних народов первоначальные приемы
счета на пальцах заменяются вычислениями на абаке.
Абак менял свою форму, но принцип оставался один и
тот же — разграфленные колонны или к.-л. другим об-
образом отведенные места для поразрядной отметки чи-
чисел. У греков абак употреблялся задолго до нашей эры.
Абак (суан-пан) у китайцев по форме близок к нашим
русским счетам, представляющим собой также разно-
разновидность абака.
В то время как теоретико-числовые исследования
в Европе возникли на базе греческой математики, в
первую очередь трудов Евклида и Диофанта, совершен-
совершенно иначе обстоит дело с техникой вычислений. Развитие
А. в Европе связано с распространением индийской
десятичной позиционной системы и арабских цифр.
Техника арифметич. операций заимствована из Индии
не непосредственно, а в результате ознакомления с тру-
трудами Мухаммеда аль-Хорезми и других арабских мате-
математиков.
В средние века широко применялся абак. Он стал
даже синонимом слова А., так что Леонардо Ливанский
(Leonardo Pisano, 13 в.) назвал свой трактат по А. «Кни-
«Книга абака». В этой книге изложены заимствованные из
арабских источников приемы вычисления , однако сде-
сделаны и существенные усовершенствования. Напр., при
сложении дробей используется наименьшее общее
кратное знаменателей, а проверка действий производит-
производится не только, как это делали индийцы с помощью девят-
девятки, но и с использованием нек-рых других модулей.
Рассматриваются задачи на тройное правило, правило
товарищества, на смешение величин, задачи, в к-рых
фигурируют рекуррентные последовательности, ариф-
арифметические прогрессии и геометрические прогрессии.
В Европе первые шаги в направлении применения деся-
десятичных дробей были сделаны в 15 в., но широкое рас-
пространение они получили только в 16 в. после выхода
сочинений С. Стевина (S. Stevin).
В 15—16 вв., да и позже, предлагались разные схемы
для умножения и деления многозначных чисел. Эти
схемы отличаются друг от друга, в сущности, только
характером записи промежуточных вычислений. Обще-
Общепринятый в настоящее время способ умножения ввел
А. Ризе (A. Riese, 16 в.).
Отрицательные числа появляются в Европе впервые
у Леонардо, к-рый трактовал их в форме долга. Опера-
Операции с отрицательными числами систематизируются М.
Штифелем (М. Stiefel, 16 в.). Такие числа он наз. «фик-
«фиктивными». В 18 в. еще рассматривались доказательства
правил операций с отрицательными числами и только
критич. мышление 2-й пол. 19 в. положило конец
серьезному восприятию таких работ.
Арифметич. действия над иррациональными числами
до 15—16 вв. в Европе ограничивались квадратными
корнями. Все же Леонардо рассматривал вопрос о при-
приближенном вычислении не только квадратных, но и
кубич. корней. С. Даль Ферро (S. Dal Ferro, конец 15 в.—
начало 16 в.) и Н. Тарталья (N. Tartaglia, 16 в.) при
решении уравнения 3-й степени стали употреблять ку-
кубич. корни. Общая трактовка операций с действитель-
действительными числами отсутствовала. Понятие действительного
числа входило в математич. обиход только постепенно
в связи с развитием аналитич. геометрии и математич.
анализа. Вплоть до 18 в. обоснование операций над
иррациональными числами ограничивалось величинами,
выражаемыми в радикалах.
При рассмотрении квадратных уравпений математики
разных эпох, начиная с индийских математиков, встре-
встречались с комплексными величинами. Однако мнимые ре-
решения отбрасывались как несуществующие. А. комплек-
комплексных чисел начинается с работ Р. Бомбелли (R. Bombel-
li, 16 в.), давшего формальные правила арифметич.
действий над такими числами. Но и в 17 в. операции над
комплексными числами производили по аналогии с
операциями над действительными числами, что часто
приводило к ошибкам. Только в 18 в. формулы Муавра
и Эйлера обеспечили возможность четкого построения
А. комплексных чисел.
Идея введения логарифмов восходит к Архимеду C в.
до и. э.), к-рый сравнивал члены геометрич. и арифметич.
прогрессии. М. Штифель (М. Stiefel, 16 в.) продолжил
сравниваемые прогрессии влево, добавив отрицатель-
отрицательные степени. Он показал связь между операциями над
этими рядами, дав, таким образом, основную идею ло-
логарифмов. Логарифмирование и использование этой
операции для вычислений начали применять в 1-й пол.
17 в. после работ Дж. Ненера (J. Napier) и Й. Бюрги
(J. Burgi).
В 17 в. В. Шиккард (W. Schickard) и Б. Паскаль
(В. Pascal) создали независимо друг от друга вычисли-
вычислительные машины — прототипы современных арифмомет-
арифмометров. Но широкое практич. применение счетные машины
получили только в 19 в. В сер. 20 в. распространяются
быстродействующие электронные вычислительные ма-
машины. В связи с этим актуальными становятся зада-
задачи отыскания алгоритмов, позволяющих выполнять
арифметич. действия с наименьшим числом элементар-
элементарных операций.
Чтобы обосновать какую-нибудь теорию, со времени
Евклида считалось достаточным выделить в ней неболь-
небольшое число ясных простейших первичных начал и убе-
убедиться, что все основные положения данной теории
можно вывести из них чисто логически. Подразумева-
Подразумевалось, что связь этих начал с действительным миром
должна быть доступной непосредственному восприятию.
В 19 в. был открыт метод моделей для обоснования
математич. теорий. Необходимость этого метода была
обусловлена тем, что в математике стали рассматривать-
рассматриваться объекты и теории, для к-рых не удавалось найти
реального истолкования.Ото, прежде всего, комплексные
числа, идеалы, неевклидовы и гс-мерные геометрии. Ме-
Метод моделей позволял свести непротиворечивость одной
математич. теории к непротиворечивости другой. Так, в
предположении, что непротиворечива евклидова гео-
геометрия, была доказана непротиворечивость геометрии
Лобачевского, а непротиворечивость евклидовой гео-
геометрии была сведена к непротиворечивости А. действи-
действительных чисел.
К концу 19 в. обоснование А. казалось завершенным.
Р. Дедекинд (К. Dedekind) и, независимо от него, Дж.
Пеано (G. Реапо) указали систему аксиом А. натураль-
натуральных чисел, из к-рой можно вывести все известные поло-
положения этой науки. К. Вейерштрасс (К. Weierstrass)
предложил в качестве моделей для целых и положитель-
положительных рациональных чисел классы пар натуральных чи-
чисел. Геометрич. истолкование комплексных чисел, от-
открытое Ж. Арганом (J. Argand), К. Весселем (С. Wes-
sel) и К. Ф. Гауссом (К. F. Gauss), по существу являет-
является моделью для теории комплексных чисел в рамках тео-
теории действительных чисел. И, наконец, теоретико-мно-
теоретико-множественный подход позволил Р. Дедекинду, Г. Кантору
(G. Cantor) и К. Вейерштрассу построить теории дейст-
действительных чисел.
Но после того, как стали известны парадоксы в тео-
теории множеств, возник вопрос: как обосновать А. нату-
натуральных чисел и действительных чисел? Есть ли гаран-
гарантия, что парадоксы не будут обнаружены п в этих раз-
разделах математики? Непосредственное восприятие не по-
зволяет сделать заключение ни о бесконечной протя-
протяженности Вселенной, ни о бесконечной делимости веще-
вещества. Поэтому представления о бесконечности множества
натуральных чисел и о непрерывности числовой прямой
нельзя рассматривать как непосредственно связанные
с физическим миром. С другой стороны, для А. нату-
натуральных чисел нет более простой модели, чем сама эта
теория, а при построении моделей для теории действи-
действительных чисел существенным образом используется ап-
аппарат теории множеств, в надежности к-рого появились
основании усомниться.
Какими должны быть способы и средства рассужде-
рассуждений, на основании к-рых, не прибегая к построению мо-
модели, непосредственно можно убедиться, что в данной
теории никогда не возникнет противоречий, что на ос-
основании аксиом данной теории нельзя с помощью це-
цепочки логич. умозаключений получить результаты,
противоречащие друг другу?
Д. Гильберт (D. Hilbert) считал, что парадоксы в
теории множеств возникают вследствие того, что безот-
безотказно работающие в области конечных систем объектов
способы рассуждений без должных оснований приме-
применяются к бесконечным совокупностям. Но этого можно
избежать, если рассматривать употребляемые символы
как объекты нек-рой новой теории, а логич. умозаклю-
умозаключения выражать с помощью формального процесса. В
таком случае любое высказывание теории представляет-
представляется в виде формулы, составленной из конечного множест-
множества символов, а доказательство — в виде конечной
цепочки формул, образованной по определенным
правилам из формул, наз. аксиомами. Тогда, по мысли
Д. Гильберта, появится возможность оперирования с
бесконечным заменить оперированием с конечным и по-
получить надежный способ установления непротиворечи-
непротиворечивости любой теории. Д. Гильберт надеялся, что на этом
пути будет в первую очередь найдено положительное
решение проблемы непротиворечивости А. натураль-
натуральных чисел и, более того, будет показано, что присоеди-
присоединение к формулам А. любой недоказуемой формулы тео-
теории чисел превращает эту систему аксиом в противоре-
противоречивую систему.
Но эти надежды не оправдались. В 1931 К. Гёдель
(К. Godel) доказал неполноту арифметики формальной.
Более того, оказывается, что для всякой непротиворечи-
непротиворечивой формальной системы, содержащей аксиомы А., мож-
можно дать явное описание нек-рой замкнутой формулы и
такой, что ни сама формула и, ни ее отрицание не вы-
выводимы в этой формальной системе.
Воспользовавшись этим результатом, можно доказать
существование неизоморфных моделей формальной А.
Вместе с тем система Пеаио аксиом категорична. Как
объяснить это? Система аксиом Пеано содержит аксио-
аксиому индукции: каждое натуральное число обладает
нек-рым свойством Р, если 1 обладает этим свойством и
вместе с каждым натуральным числом п, обладающим
свойством Р, натуральное число ге+1 также обладает
свойством Р. В этой аксиоме за Р может быть принято
любое мыслимое свойство натуральных чисел. В соот-
соответствующей аксиоме формальной А. за Р может быть
принято лишь такое свойство натуральных чисел, к-рое
выразимо средствами данного формализма. Различие
между этими аксиомами незаметно, пока речь идет о
теоремах элементарной теории чисел, и весьма сущест-
существенно, когда выясняются свойства формальной теории.
К. Гёдель показал также, что в непротиворечивой
формальной системе, включающей формальную А.,
содержится формула, выражающая ее непротиворечи-
непротиворечивость, и что эта формула недоказуема в этой системе.
Следовательно, непротиворечивость такой формальной
системы может быть обоснована только средствами более
сильными, чем те, к-рые формализованы в данной систе-
системе. В 1936 Г. Генцен (G. Gentzen) получил доказательст-
во непротиворечивости формальной А., использующее
трансфинитную индукцию до трансфинитного числа
Ао- Естественно возникает вопрос о непротиворечивости
те.х средств, к-рые при этом были использованы. В свя-
связи с характером используемых средств рассматрива-
рассматривались и другие подходы к проблеме непротиворечиво-
непротиворечивости А. натуральных чисел.
Попытки преодоления трудностей, связанных с обос-
обоснованием теории действительных чисел, послужили од-
одним из источников развития конструктивного направ-
направления в математике.
Лит.: [1] История математики, т. 1—3, М., 1970—72; Г2]
Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер.
с голл., М., 1959; [3] Клин и С. К., Математическая логика,
пер. с англ., М., 1973; [4] Г и л ь б е р т Д., Основания геомет-
геометрии, пер. с нем., М.—Л., 1948, с. 315—99; [5] Энциклопедия
элементарной математики, кн. 1 — Арифметика, М.—Л., 1951;
f6] M о л о д ш и й В. Н., Основы учения о числе в XVIII
и начале XIX века, М., 1963; [7] Нечаев В. И., Число-
Числовые системы, М., 1975. А. А. Бухштаб, В. И. Нечаев.
АРИФМЕТИКА ФОРМАЛЬНАЯ, арифметиче-
арифметическое исчисление,— логико-математич. исчис-
исчисление, формализующее элементарную теорию чисел.
Язык наиболее употребительного варианта А. ф. содер-
содержит константу 0, числовые переменные, символ равен-
равенства, функциональные символы -)-, •, ' (прибавление 1)
и логич. связки. Термы строятся из константы 0 и пере-
переменных с помощью функциональных символов; в част-
частности, натуральные числа изображаются термами вида
О' ••• '. Атомарные формулы — это равенства термов;
остальные формулы строятся из атомарных с помощью
логич. связок &, V, —v, ~~|, V, 3- Формулы в языке
А. ф. наз. арифметическими формул а-
м и. Постулатами А. ф. являются постулаты предика-
предикатов исчисления (классического или интуиционистского
в зависимости от того, какая А. ф. рассматривается),
аксиомы Пеано
а' =Ъ'—уа = Ь, ~~](а'=0), (а = Ъ & а = с)—>-Ъ=с,
а = Ь—*а'=Ъ', а + 0 = а, а + Ь'= (а + Ь)',
а-0 = 0, а-Ъ' =@-6L-0
и схема аксиом индукции
А @) &Vx (А (х) —¦ А {х')) —>- А (х),
где А — произвольная формула, наз. индукцион-
индукционной формулой.
Средства А. ф. оказываются достаточными для вывода
теорем, устанавливаемых в стандартных курсах эле-
элементарной теории чисел. В настоящее время A970-е гг.),
по-видимому, неизвестно ни одной содержательной тео-
теоретико-числовой теоремы, доказанной без привлечения
средств анализа, к-рая не была бы выводима в А. ф.
Запись и доказательство таких теорем в А. ф. требует
выявления ее выразительных возможностей. Особенно
существенна выразимость в А. ф. многих теоретико-
числовых функций. В частности, в А. ф. можно записы-
записывать суждения о примитивно (и даже частично) рекур-
рекурсивных функциях. При этом оказываются выводимыми
формулы, выражающие важные свойства частично ре-
рекурсивных функций, в частности их определяющие ра-
равенства. Так, равенство f(x') = g(x, f{x)) выражается
формулой
MaMb\lc(F (х', a)&F(x, b)&G(x, b, с)—>а = с),
где F и G — формулы, изображающие графики функций
fug, соответственно. В А. ф. можно формулировать
суждения о конечных множествах. Более того, классич.
А. ф. эквивалентна аксиоматической теории множеств
Цермело — Френкеля без аксиомы бесконечности: в
каждой из этих систем может быть построена модель
другой.
Дедуктивная сила системы А. ф. характеризуется
ординалом е0 (наименьшее решение уравнения
со =е): в А. ф. выводима схема трансфинитной индук-
ции до любого ординала а<е0, но не выводима схема
индукции до 80. Класс доказуемо рекур-
рекурсивных функций системы А. ф. (т. е. частично
рекурсивных функций, общерекурсивность к-рых мо-
может быть установлена средствами А. ф.) совпадает с
классом ординально рекурсивных функций с ордина-
ординалами <е0. Это позволяет погружать в А. ф. нек-рые ее
расширения, напр. А. ф. с символами для всех при-
примитивно рекурсивных функций и соответствующими
дополнительными постулатами. А. ф. удовлетворяет ус-
условиям обеих Гёделя теорем о неполноте. В частности,
имеются такие полиномы Р, Q от нескольких перемен-
переменных, что формула \/Х(Р (Х)ф()(Х)) невыводима, хотя
и выражает истинное утверждение, а именно непротиво-
непротиворечивость системы А. ф.
При исследовании структуры А. ф. (в частности, во-
вопросов непротиворечивости) используется ее формули-
формулировка без кванторов, но с гильбертовским е-символом.
При построении формул этой системы не допускается
употребление кванторов, но разрешается использова-
использование термов вида ехА (х) (нек-рое х, удовлетворяющее
условию А, если такие х существуют, и 0 в противном
случае). Постулаты е-системы — это постулаты исчис-
исчисления высказываний, правила для равенства, правило
подстановки вместо свободной числовой переменной,
аксиомы для функций +, •, ', pd (вычитание 1 из поло-
положительных чисел) и следующие е-аксиомы:
А (а)—.А (ехА (*)); А (а) —* ехА (х) ф а';
-\А(ехА(х))-+вхА(х) = 0.
Кванторы вводятся как сокращения:
ЗхА (х)^А(ехА{х)); УхА ^ ~\3х ~] А;
аксиома индукции оказывается выводимой.
Формулы А. ф., содержащие свободные переменные,
задают теоретико-числовые предикаты. Формулы, не
содержащие свободных переменных (замкнутые
формулы), выражают суждения, fc-местный преди-
предикат (J> от натуральных чисел наз. арифметиче-
арифметическим, если найдется такая арифметич. формула Р(х{,
.. ., xk), что для любых натуральных чисел щ, . . ., пц
имеет место
Р(пи ..., пк)&<П1, ...,
Это определяет классификацию арифметич. предика-
предикатов по типу префикса в предваренной форме соответст-
соответствующей формулы. Класс 2„ (класс П„) состоит из пре-
предикатов Р(а), изобразимых формулой вида
Q1x1Q2x2 ... Qnxn(f (xlt ..., хп, а) = 0),
где f — примитивно рекурсивная функция, Ql есть 3
(соответственно V) и (?,¦ — чередующиеся кванторы
(т. е. Qi + 1 есть Qi, где V есть 3, а 3 есть V). Каждый
из этих классов содержит универсальный пре-
предикат, т. е. такой предикат Т(е, а), что для всякого
одноместного предиката Р из того же класса имеется
число еР, для к-рого верно Ух(Т(еР, i)sP(i)). Много-
Многоместные предикаты сводятся к одноместным с помощью
функций, нумерующих системы натуральных чисел.
При каждом п>0 справедливо неравенство 2„=^П„,
и класс с меньшим индексом есть собственная часть лю-
любого класса с большим индексом. Классификация пре-
предикатов порождает классификацию арифметич. функ-
функций на основе классификации соответствующих графи-
графиков. Не все теоретико-числовые предикаты арифмети-
арифметические: примером неарифметич. предиката является та-
такой предикат Т (х), что для любой замкнутой арифметич.
формулы А имеет место Т(^~А~^)^А , где ^~А '— номер
формулы А в нек-рой фиксированной нумерации, удов-
удовлетворяющей естественным условиям. Предикат Т
играет существенную роль в исследованиях структуры
А. ф., в частности вопроса о независимости ее аксиом.
Присоединение к А. ф. символа Т с аксиомами типа
Т( А&В~)==: Т (ГА"^)&7'((~В~1), выражающими его пере-
перестановочность с логич. связками, позволяет доказать
непротиворечивость А. ф. Та же конструкция (но уже
внутри А. ф.) проходит для подсистемы А[п] системы
А. ф., в к-рой схема индукции ограничена условием:
индукционная формула имеет сложность <п, т. е. при-
принадлежит П„и2„. Роль Т здесь успешно исполняет,
напр., универсальный предикат для 2„ + 1, и соответст-
соответствующее доказательство проводится в системе А!п + 1].
В силу второй теоремы Гёделя о неполноте отсюда сле-
следует, что А1п+11 сильнее А[п], так что А. ф. не совпада-
совпадает ни с одной из систем А 1п] и схему индукции нельзя
заменить никаким конечным множеством аксиом. А. ф.
оказывается полной относительно формул из класса
Zj: замкнутая формула из этого класса выводима в
А. ф. тогда и только тогда, когда она истинна. Так как
класс 2j содержит алгорифмпчески неразрешимый пре-
предикат, отсюда следует, что проблема выводимости в
А. ф. алгорифмически неразрешима.
При задании А. ф. в виде Генцена формальной систе-
системы обычного типа сечение оказывается неустранимым.
Устранение сечения становится возможным, если заме-
заменить схему индукции правилом бесконечной индукции
(<в-правил о):
А @) А A). . .A (N). . .
ух А (,х)
На этом пути было получено одно из первых дока-
доказательств непротиворечивости А. ф. При фактическом
построении системы с w-правилом основным оказывает-
оказывается предикат «число е есть номер общерекурсивной функ-
функции, описывающей вывод длины < е0 с со-правилом
(со-в ы в о д)». Этот предикат принадлежит классу П2, и
получающаяся система оказывается не формальной, а
лишь полуформальной. Каждому выводу формулы А в
А. ф. удается сопоставить такое число е, что суждение
«е есть со-вывод формулы А без сечения» истинно (и даже
доказуемо в А. ф.). Так как со-вывод без сечения замк-
замкнутой бескванторной формулы не содержит кванторов,
отсюда следует непротиворечивость А. ф. Применение
второй теоремы Гёделя о неполноте позволяет получить
отсюда, что теорема об устранении сечения из любого
вывода в А. ф. не может быть доказана средствами
А. ф.; том не менее это может быть доказано в А. ф.
при любом фиксированном N для любого вывода с ин-
индукциями сложности <:Л'. Переход к со-выводам позво-
позволяет устанавливать многие метаматематич. теоремы о
системе А. ф., в частности полноту относительно фор-
формул из 2Г и ординальную характеристику доказуемо ре-
рекурсивных функций.
Лит.: [1] К л и н и С. К., Введение в метаматематику, пер.
с англ., М., 1957; [2] Н i I b е г t D., В е г п а у s P., Grundla-
кеп der Mathematik, 2 Aufl., Bd 1—2, В., 1968—70; [31 H о в и-
к о в П. С, Элементы математической логики, 2 изд., М., 1973;
14] Kreisel G., «J. Symbolic Logic», 1968, v. 33, № 3,
p. 321—88; [5] Гёдель К., в сб.: Математическая теория
логического вывода, М. 1967, с. 299—310. Г. Е. Минц.
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ГРУППА - подгруппа // ли-
линейной алгебраической группы G, определенной над по-
полем Q рациональных чисел, удовлетворяющая следую-
следующему условию: существует точное рациональное пред-
представление р : G—>-GLn, определенное над Q (см. Пред-
Представлений теория), такое, что р(Н) соизмерима с
p(G)DGL(;i, 2[), гДе Ж ~ кольцо целых чисел (подгруп-
(подгруппы А и В группы С наз. соизмеримыми, если A f\B имеет
конечный индекс в А и в В). Тогда для любого другого
точного Q-определенного представления это условие
также будет выполнено. Более общо, А. г.— подгруппа
алгебраич. группы G, определенной над глобальным
полем к, соизмеримая с группой G0 О-точек группы G,
где О — кольцо целых элементов поля к. А. г.
является дискретной подгруппой в Gr.
Если <p:G—>-G' есть fc-эшшорфизм алгебраич. групп,
то для всякой А. г. HaG образ ц>(Н) — А. г. в G' (см.
[1]). Иногда называют А. г. абстрактную группу, изо-
изоморфную арифметич. подгруппе нек-рой алгебраич.
группы. Напр., если к — поле алгебраич. чисел, то
группа Gq^bG-p, где группа G' получается из G ограни-
ограничением поля определения с к на Q. В теории групп Ли
арифмегич. подгруппами наз. также образы арифметич.
подгрупп группы вещественных точек Gr ирн факто-
факторизации Gjh по компактным нормальным делителям.
Лит.: [1] Б о р е л ь А., «Математика», 1968, т. 12, .N5 5,
с. 34—90; № 6, с. 3—30; [2] Боре ль А., X а р и ш-
Ч а и д р а, «Математика», 1964, т. 8, Хя 2, с. 19—71; [3] Ариф-
Арифметические группы и автоморфные функции, пер. с англ. и
франц., М., 1969. В. П. Платонов.
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ, арифме-
арифметический ряд 1-го порядка,— последова-
последовательность чисел, в к-рой каждый член получается из
предыдущего путем прибавления к нему одного и того
же числа d, наз. разностью этой А. п. Таким об-
образом, каждая А. п. имеет вид:
a, a+d, a+2d, а+Ы, . . . ¦
общий член
(и — 1) й.
Характеристич. свойство А. п.
Если d>0, то А. п. наз. возрастающей, если d<0,—
убывающей. Простейший пример А. п.— натуральный
ряд чисел 1, 2, 3, . . ., п, . . . . Число членов А. п. может
быть ограниченным или неограниченным. Если А. п.
содержит га членов, то ее сумму можно вычислить по
формуле
(а.+а ) п
° п — ~, •
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОПОРЦИЯ — равенство
вида
a— b=c — d,
где а, Ь, с, d — числа. А. п. иначе наз. разност-
разностной пропорцией.
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, теоретико-
числовая функция,— комплекснозначная
функция, областью определения к-рой может служить
одно из множеств: множество натуральных чисел, мно-
множество целых рациональных чисел, множество целых
идеалов фиксированного алгебраич. числового поля,
решетка в многомерном координатном пространстве и
т. п. Это — А. ф. в широком смысле. Однако часто под
А. ф. понимается функция указанного типа, обладаю-
обладающая нек-рыми специальными арифметич. свойствами.
Наиболее употребительные А. ф. имеют традиционные
символич. обозначения: <р(п) — Эйлера функция, d(n)
или т. (га) — делителей число, ц(п) — Мёбиуса функция,
А(п) — Манголъдта функция, о (га) — сумма делителей
числа п. К А. ф. относят также целую часть числа [х\
и дробную часть числа {х}. Изучаются А. ф., выражаю-
выражающие число решений уравнения; напр., г(п) — число
решений в целых числах х и у уравнения ж2+у2=«
в Гольдбаха проблеме: J (N) — число решений в простых
числах уравнения N=p1-\-p2-\~P3- Другие А. ф. выра-
выражают количество чисел с к.-л. условиями; напр., функ-
функция я (ж) — число простых чисел, не превосходящих х,
характеризует распределение простых чисел; я (х, q,l) —
число не превосходящих х простых чисел в арифметич.
прогрессии p = Z(mod q). Co свойствами простых чисел
связаны также Чебышева функции: 9 (х) — сумма
натуральных логарифмов простых чисел до х и ф(х) =
2А()
2„<хА(га).
В алгебраич. теории чисел рассматриваются обобще-
обобщения названных А. ф. натурального аргумента. Напр., в
алгебраич. поле К степени п для целого идеала Ц вво-
вводится функция Эйлера ф(П) — число классов вычетов
по идеалу 11, взаимно простых с И.
А. ф. возникают и используются при изучении свойств
чисел. Однако теория А. ф. представляет и самостоя-
самостоятельный интерес. Закономерность изменения А.ф. обыч-
обычно не удается охарактеризовать простыми формулами —
ищется асимптотика числовых функций. Так как многие
А. ф. не монотонны, то большое значение имеет изуче-
изучение средних значений функций. Важный класс А. ф.
составляют мультипликативные арифметические функ-
функции н аддитивные арифметические функции. В вероят-
вероятностной теории чисел изучается вопрос о распределении
их значений [5].
Лит.: [1] Виноградов И. М.,Основы теории чисел,
8 изд., М., 1972; [2] е г о же, Метод тригонометрических сумм
в теории чисел, М., 1971; [3] X у а Л о-г е н, Метод тригонометри-
тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, пер. с нем.,
М., 1964; [4] Чандрасекхаран К., Арифметические
функции, пер. с англ., М., 1975; Г5] К у б и л ю с Й., Вероят-
Вероятностные методы в теории чисел, 2 изд., Вильнюс, 1962.
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КОНТИНУУМ —' числовая
прямая.
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КОРЕНЬ, арифметиче-
арифметическое значение корня n-ii степени из
действительного числа а'^0,— неотрица-
неотрицательное число, л-я степень к-рого равна а. Если рас-
рассматриваются два действительных значения корня чет-
четной степени из неотрицательного числа, то говорят об
алгебраическом значении корня в
области действительных чисел; если
же рассматриваются все п значений корня n-ii степени,
то говорят означении корня в области
комплексных чисел.
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ РОД — численный инвариант
алгебраических многообразий. Для произвольного про-
проективного алгебраич. многообразия X (над полем к), все
неприводимые компоненты к-рого имеют размерность п
и к-рое определяется однородным идеалом / в кольце
к [ Т„, . . ., Гдг], арифметический род ра{Х)
выражается через свободный член <р(/, 0) Гильберта
многочлена ф (/, т) идеала / по формуле
Это классич. определение восходит к Ф. Северн (F. Se-
veri, см. [1]). В общем случае оно эквивалентно следую-
следующему:
Ра(Х) = (-1)»(х
где
Х(Х, Qx)-,J^=o(-l
— эйлерова характеристика многообразия X с коэффи-
коэффициентами в структурном пучке Qx- В такой форме оп-
определение А. р. переносится на любые полные алгебра-
ич. многообразия, а также показывает инвариантность
ра(Х) относительно бирегулярных отображений. В слу-
случае, когда X — неособое связное многообразие, а А=С
есть поле комплексных чисел,
где gk(X) — размерность пространства регулярных
дифференциальных /с-форм на X. При п=\, 2 такое
определение было принято в школе итальянских геомет-
геометров. Напр., если ге=1, то ра{Х) есть род кривой X;
если ге=2, то
Pa(X)—-q+pg,
где q — иррегулярность поверхности X, a ps — геоме-
геометрический род поверхности X.
Для любого дивизора D на нормальном многообразии
X О. Зариским (О. Zariski, см. [1]) дано определение
виртуального арифметического ро-
д a pa(D) как свободного члена многочлена Гильберта
когерентного пучка Qx(D), соответствующего дивизору
D. Если дивизоры D та D' алгебраически эквивалентны,
то
А. р. есть бирациональный инвариант в случае поля
к нулевой характеристики; в общем случае этот факт
доказан (к 1977) лишь для размерности гс<3.
Лит.: [1] Бальдассари М., Алгебраические много-
многообразия, пер. с англ., М., 1961; [2] X и р ц е б р у х Ф., Топо-
Топологические методы в алгебраической геометрии, пер. с англ.,
М., 1973. И. В. Долгачеч.
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ РЯД порядка т - но
следовательность значений многочлена степени т:
p(x)=ao-l-aix+ . . .^атхт,
принимаемых им при последовательных целых, неотри-
неотрицательных значениях переменной х(ж=0, 1,2,.. .). Ес-
Если от=1, т.е. p(x) = aQ-\-a1x, получается арифметич.
• 9 О
' J 6 1 4' /о
Рис. 1. Рис. 2.
прогрессия с начальным членом а0 и разностью aj. Прн
р (.г) = .г2 или р(х) = х3 получаются последовательности
квадратов или кубов целых чисел — частные случаи
А. р. 2-го и 3-го порядков. Если составить ряд из раз-
разностей соседних членов А. р., затем для получешшп по-
последовательности разностей также образоватг> их раз-
разности (вторые разности), для вторых разностей образо-
образовать разности (третьи разности) и т. д., то на т-м этапе
окажется, что все (m-ые) разности равны между собой.
Обратно, если для нек-рой последовательности чисел ее
m-ые разности равны между собой, то эта последователь-
последовательность есть А. р. порядка т. Пользуясь этим свойством,
можно строить А. р. различных порядков, отправляясь
от их разностей. Напр., последовательность единиц:
1, 1, 1, .. ., можно рассматривать как первые разности
последовательности натуральных чисел: 1, 2, 3, ...,—
как вторые разности последовательности треуголь-
треугольных чисел: 1, 3, 6, 10, ...,— как третьи разности
последовательности тетраэдр и ческих чисел:
1, 4, 10, 20, .. ., и т. д. Названия этих чисел объясня-
объясняются тем, что треугольные числа выражают числа ша-
шаров, уложенных в виде треугольника (рис. 1), а тетра-
эдрические — в виде тетраэдра (пирамиды) (рис. 2).
Треугольные числа выражаются формулой .7—. а
тетраэдрические — формулой
n(n+l)(n+2) . „ „
6 ' ' "> ' ¦ ' '
Обобщением треугольных чисел являются к-у г о л ь-
14 9 J 5 12
Рис. 3. Рис. 4.
н ы е, или фигурные числа, игравшие важную
роль на разных этапах развития арифметики, fc-уголь-
ные числа имеют вид:
re+(fc-2)n(1>, и=1. 2,3, ... .
Они образуют А. р. 2-го порядка, с первым членом 1,
вторым членом к и вторыми разностями fe—2. При к=3
получаются треугольные числа, при /е=4 — квадрат-
квадратные (п2), при к=5 — Пентагона л ьные (пятиугольные)
' "., " и т. п. Названия эти поясняются на рис. 3 и 4,
где числа шаров, расположенных в виде квадрата или
пятиугольника, выражаются соответствующими квад-
квадратными или пентагональными числами. Относительно
фигурных чисел справедлива следующая теорема, вы-
высказанная П. Ферма (P. Fermat) и доказанная впервые
О. Коши (A. Cauchy): любое натуральное число можно
представить в виде суммы не более, чем к fc-угольных
чисел.
Лит.: [1] В а н-д е р-В а р д е н Б. Л., Современная ал-
алгебра, пер. с нем., 2 изд., ч. 1, М.—Л., 1947; Г2] Арнольд
И. В., Теоретическая арифметика, 2 изд., М., 1939. ВСЭ-2.
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК — то же, что
Паскаля треугольник.
АРИФ31ЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО, число
вое пространство, координатное
пространство,— декартова степень R" множест-
множества действительных чисел R, снабженная структурой
линейного топологич. пространства. При этом операция
сложения определяется формулой
(х15 . . ., xn) — (x[, . . ., х'п) = {х1~- х\, . . ., х„-\-х'п);
операция умножения на числа Я ? R формулой
Х(х1, . .., хп) = (Хх1, ..., Ххп).
Топология в R" есть топология прямого произведения
числовой прямой R; ее базой служат открытые «-мер-
«-мерные параллелепипеды:
I = {(¦?!, ... xn)?Rn:ai < Xi < bh j = l, ..., re},
где а1: . . ., an и b,, .. ., bn — заданные числа.
А. п. R" является также нормированным простран-
пространством относительно нормы
где х=(ж,, xn)?Rn, и евклидовым пространством
относительно скалярного произведения
Где*—(zj, . . ., х„), У = {Ух, ¦ ¦ ., !/n)€Rn- И- В.Долгачев.
АРИФМЕТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — дис-
дискретное распределение вероятностей, сосредоточенное
на множестве точек вида ±nh, где А>0 и ге=1, 2, ... .
А. р. представляет собой частный случай решетчатых
распределений. А- в- Прохоров.
АРИФМЕТИЧЕСКОЕ СРЕДНЕЕ - число а, полу-
получаемое делением суммы нескольких чисел аг, а2, . . ., ап
на их число п:
АРКСИНУСА ЗАКОН — предельная теорема, опи-
описывающая флуктуации случайного блуждания на пря-
прямой, приводящая к арксинуса распределению или обоб-
обобщенному распределению арксинуса. В 1939 П. Леви
(P. Levy) для процесса броуновского движения {?;,
i^O, ?0=0} отметил следующий факт. Пусть %t — мера
Лебега множества {и : ?ц>0, 0<м<г}, другими слова-
словами, время, проведенное броуновской частицей на поло-
положительной полуоси за промежуток времени [О, I]. Тогда
отношение %р t имеет распределение арксинуса:
Р \Tt/t < х) -= Fl/2 (x) =~ arcsin V~x', 0 < х < 1, t > 0.
Позднее было обнаружено (см. [2]), что для случайного
блуждания с дискретным временем имеет место следую-
следующий закон арксинуса: пусть S0=0, Su . . .,
Sn,. . — последовательные положения в случайном
блуждании,
\х, g2, . . ., |„, . . . независимы и одинаково распреде-
распределены, Тп равно числу индексов к среди 0, 1, ..., п,
для к-рых S>0
k:Sk= max Sm},
0 < m < n
тогда соотношения
lim P{Tnln<x)= lim P {Kn/n < x\ = Fa (x),
lim
rt -> CO
выполняются или не выполняются одновременно, где
/г,(х) при 0<а<1 — обобщенное распределение арк-
арксинуса,
Р1(х)=?(х)и F0(x)=E(x-l),
при этом Е(ж) = 0 при *<0 и Е(^) = 1 при ,г>0.
А. з. в теории восстановления утверждает, что при
0<а<1 имеют место равенства:
где T)f определяется соотношением S <?<:.? +1,
limP{j/f/i < x)=Fa (x)
тогда и только тогда, когда
Р {gi > x\=x-<* L(x)
при ж>0, где L(x) — функция, определенная при х>0
и обладающая свойством
lim L(xy)/L (x)--i при 0 < у < оо.
X -*- со
Существует тесная связь между А. з. в теории восста-
восстановления и для случайных блужданий (см. [3]).
Лит.: [1] Феллор В., Введение в теорию вероятностей
и ее приложения, пер. с англ., т. 2, М., 1967; [2] Спиц е р Ф.,
Принципы случайного блуждания, пер. с англ., М.. 1969; [л]
Рогозин Б. А., «Теория вероятн. и ее примен.» 1971
т. 16, X. 4, с. 593—613. Б. А. Рогозин.
АРКСИНУСА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - вероятностная
мера на прямой, плотность к-рой равна нулю вне ин-
интервала @, 1) и равна — ( }ЛгA — х))~г при 0<х<1.
Соответствующая функция распределения равна
— arcsin У~х при 0<х<1.
Наряду с А. р. используется обобщенное
распределение арксинуса. Обобщенно-
Обобщенному А. р. соответствует функция распределения Fa(x),
к-рая имеет плотность
__ \ Щ?±?х-а A_г)а^1 При 0 < х < 1,
а \ 0 при г<0, iSsl,
при 0<а<1, плотность Д (х) совпадает с плотностью
А. р. Обобщенное А. р. есть специальный случай бета-
распределения. Момент 1-го порядка обобщенного А. р.
равен 1 —а, дисперсия этого же распределения равна
4-A —сб)а. А. р. и обобщенное А. р. возникают при изу-
изучении флуктуации случайных блужданий, в теории
восстановления (см. Арксинуса закон), а также исполь-
используются в математич. статистике как специальные случаи
бета-распределения.
Лит.: ШФеллер В., Введение в теорию вероятностей
и ее приложения, пер. с англ., т. 2, М., 1967; [2] К е н д а л л М.
~ ., Стьюарт А., Теория распределений, пер. с англ.,
1966. Б. А. Рогозин.
АРКФУНКЦИЯ, аркус-фупкция,— функ-
функция, обратная тригонометрич. функции, т. е. одна из
функций: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотан-
арккотангенс, арксеканс, арккосеканс. См. Обратные тригоно-
тригонометрические функции.
Д ж.,
М., 19
АРТИНОВ МОДУЛЬ — модуль, удовлетворяющий
условию обрыва убывающих цепей для подмодулей.
Класс А. м. замкнут относительно перехода к подмоду-
подмодулям, фактормодулям, конечным прямым суммам и рас-
расширениям. Последнее означает, что артиновость моду-
модулей В и А/В влечет артиновость модуля А. Каждый
А. м. разлагается в прямую сумму подмодулей, ужо но
разлагающихся в прямую сумму. Модульимеет компо-
композиционный ряд тогда и только тогда, когда он артипов и
нётеров одновременно. См. также Артиново кольцо.
Л. А. Скорняков.
АРТИНОВА ГРУППА, группа с условием
минимальности для подгруп п,— группа, в
к-poft любая убывающая цепочка различных под-
подгрупп обрывается на конечном номере. А. г.— перио-
периодическая н вопрос о ее строении упирается в проблему
Шмидта о бесконечной группе с конечными собствен-
собственными подгруппами [3] и проблему минималь-
минимальности: будет ли А. г. конечным расширением абе-
лоиой группы? Обе эти проблемы решены для локально
разрешимых групп [1] и локально конечных групп
[3]. [4].
Лит.: [1] Черников С. Н., «Матем. сб.>\ 1940, т. 7,
№ 1. с. 35—64; [21 его же, «Успехи матем. наук», 1959,
т. 14, в. 5, с. 45—96; [3]Каргаполов М. И.,«СиГ>. матем. ж.»,
1963, т. 4, Xs 1, с. 232—35; [4] Ш у н к о в В. П., «Алгебра
и логина», 1970, т. 9, Л» 2. В. П. Шунков.
АРТИНОВО КОЛЬЦО, артиново справа
кольцо, — кольцо, удовлетворяющее условию мини-
минимальности для правых идеалов, т. е. кольцо, в к-ром
любое непустое частично упорядоченное по включению
множество М правых идеалов имеет минимальный эле-
элемент (см. [1]) — такой правый идеал из М, к-рый не со-
содержит строго никакого правого идеала из М. Другими
словами, А. к.— это кольцо, являющееся правым арти-
новы.и модулем над самим собой. Кольцо А есть А. к.
тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию
обрыва убывающих цепей правых идеалов, т. е. для
любой убывающей последовательности правых идеалов
5,^В2гЕ- • -Е?^и=Е- • • кольца А существует такое
натуральное число т, что Brn = B m + i = Bm + 2= ¦ ¦ ¦ .
Аналогично определяется артиново слева
кольцо.
Всякое ассоциативное А. к. с единицей нётерово спра-
справа (см. Нётерово кольцо). Всякая конечномерная алгеб-
алгебра над полем является А. к. Наиболее полно изучены
свойства А. к. в классе альтернативных колец и осо-
особенно в классе ассоциативных колец (см. Альтернатив-
Альтернативные кольца и алгебры, Ассоциативные кольца и алгебры).
Джекобсона радикал ассоциативного А. к. нильпотен-
тен и содержит всякий односторонний нпльидеал. Коль-
Кольцо А тогда и только тогда является простым ассоциатив-
ассоциативным А. к., когда оно изоморфно кольцу всех матриц
нек-рого конечного порядка над нек-рым ассоциатив-
ассоциативным телом. В классе альтернативных колец каждое
простое А. к. либо ассоциативно, либо есть Кэли —
Диксона алгебра над своим центром, являющимся в этом
случае полем. Строение ассоциативных А. к. с нулевым
радикалом Джекобсона описано (см. Полупростое коль-
кольцо). Имеется вариант этой теоремы в случае альтерна-
альтернативных колец. Для ассоциативных колец с ненулевым
радикалом Джекобсона развита достаточно далеко иду-
идущая структурная теория (см. [1], [2]). Весьма интенсив-
интенсивно изучается ряд классов А. к.— квазифробениусовы
кольца, однородные кольца, сбалансированные кольца.
Лит.: Ш А г tin E., Nesbitt С, Thrall В.,
Rings with Minimum condition, Michigan, 1944; [2] Д ж е к о б-
с о н II., Строение колец, пер. с англ., М., 1961; [3] Итоги науки.
Алгебра. Топология. Геометрия. 1965, М., 1967, с. 133—80;
[4J Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1968, М., 1970,
с. 9—56. Я. А. Жевлаков.
АРХИМЕДА АКСИОМА — аксиома, первоначально
сформулированная для отрезков, заключающаяся в
том, что, отложив достаточное число раз меньший из
двух заданных отрезков, всегда можно получить отре-
отрезок, превосходящий больший из них. Аналогично А. а.
формулируется для площадей, объемов, положительных
чисел и т. д. Вообще, для данной величины имеет место
А. а., если для любых двух значений А и В этой вели-
величины таких, что А <В, всегда можно найти целое число
т, что Ат^>В; на этом основан процесс последователь-
последовательного деления в арифметике и геометрии (см. Евклида
алгоритм). Значение А. а. выяснилось с полной отчет-
отчетливостью после того, как в 19 в. было обнаружено су-
существование величин, по отношению к к-рьш эта аксио-
аксиома несправедлива,— т. н. неархимедовых величин
(см. Величина, а также Архимедова группа, Архимедово
кольцо, Архимедов класс).
А. а. отчетливо сформулирована Архимедом C в. до
н. э.) в соч. «Шар и цилиндр»; ранее ее применял Евдокс
Книдский, поэтому иногда А. а. наз. аксиомой
Е в д о к с а. БСЭ-з.
АРХИМЕДА ТЕЛА — то же, что полуправильные
многогранники.
АРХИМЕДОВ КЛАСС —• класс разбиения, индуци-
индуцируемого архимедовым отношением эк-
эквивалентности на линейно упорядоченной полу-
полугруппе. Эта эквивалентность определяется следующим
образом: элементы а, Ь полугруппы S наз. архиме-
архимедово эквивалентными, если имеет место од-
одно из следующих четырех соотношений:
это равносильно тому, что а и b порождают одну и ту же
выпуклую подполугруппу в S. Таким образом, разбие-
разбиение на А. к. является разбиением на попарно непересе-
непересекающиеся выпуклые подполугруппы, причем каждое
разбиение S на попарно непересекающиеся выпуклые
подполугруппы может быть продолжено до разбиения
на А. к.
Архимедова эквивалентность на линейно упорядочен-
упорядоченной группе индуцируется архимедовой эквивалент-
эквивалентностью ее положительного конуса: считается, что а~Ъ,
если существуют такие положительные целые числа т
и п, что
Ы<1ЫИ и |6|<|a|m,
где
|г!=тах {х, х~г}.
Положительный конус архимедовой группы состоит из
ОДНОГО А. К. О. А. Иванова.
АРХИМЕДОВА ГРУППА - частично упорядочен-
упорядоченная группа, в к-рой выполняется аксиома Архи-
Архимеда: из того, что а"<СЬ для всех целых п (a, b —
элементы А. г.), следует, что а — единица группы (в
аддитивной записи: из па<Ь для всех целых а следует,
что а = 0). Для линейно упорядоченных А. г. существует
следующее описание (теорема Гёльдера): ли-
линейно упорядоченная группа тогда и только тогда ар-
архимедова, когда она изоморфна нек-рой подгруппе ад-
аддитивной группы действительных чисел с естественным
порядком. Таким образом, аддитивная группа всех
действительных чисел является, в нек-ром смысле, са-
самой большой линейно упорядоченной А. г. Всякая ли-
линейно упорядоченная А. г. коммутативна. Линейно
упорядоченная группа без нетривиальных выпуклых
подгрупп — архимедова.
Лит.: [1] Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ.,
М., 1952; [2] К о к о р и н А. И., К опыт о в В. М., Ли-
Линейно упорядоченные группы, М., 1972; [3] Фукс Л., Частично
упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965.
А. И. Кокорин, В. М. Копытов.
АРХИМЕДОВА ПОЛУГРУППА - 1) Линейно упо-
упорядоченная полугруппа, все строго положительные (стро-
(строго отрицательные) элементы к-рой принадлежат одному
архимедову классу. Всякая естественно упорядоченная
А. п. S (см. Естественно упорядоченный группоид) изо-
морфна нек-рой подполугруппе одной из следующих
полугрупп: аддитивной полугруппе всех неотрицатель-
неотрицательных действительных чисел, полугруппе всех действи-
действительных чисел интервала @,1) с обычной упорядочен-
упорядоченностью и операцией ab=min (а-\-Ъ, 1), полугруппе, со-
состоящей из всех действительных чисел интерпала @, 1)
и символа оо с обычной упорядоченностью и операцией
ab = [
\ со, если a -\- b > 1.
Первый случай имеет место тогда и только тогда, когда
S — полугруппа с сокращением.
Лит.: [1] Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраи-
алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965. О. А. Иванова.
2) Полугруппа S, удовлетворяющая условию: для
любых a, b?S существует такое натуральное число п,
что a"?SbS. При условии an?Sb(an? bS) полугруппа
S наз. архимедовой слева (справа).
Для коммутативных полугрупп все эти понятия экви-
эквивалентны. Любая коммутативная полугруппа S един-
единственным образом разложима в связку А. п. (причем
такое разложение совпадает с наиболее дробным разло-
разложением S в связку полугрупп). Этот результат по-разно-
по-разному обобщался на некоммутативные полугруппы (см. [1]).
Полугруппа S с идемпотентом будет архимедовой
(архимедовой справа) тогда и только тогда, когда она
обладает ядром К, причем А' содержит идемпотент (А
есть правая группа), а факторполугруипа Риса (см. По-
Полугруппа) S/К есть нильполугруппа. А. п. без идем-
потентов труднее поддаются изучению. Лишь в комму-
коммутативном случае здесь дано полное описание в терминах
нек-рых конструкций, особенно прозрачное для полу-
полугрупп с законом сокращения (см. [2], § 4.3; [3]).
Лит.: [1] Р u t с h a M. S., «Semigroup Forum» 1973, v. 6
№ 3, p. 232—39; [2] К л и ф ф о р д А., Престон Г.
Алгебраическая теория полугрупп пер с англ т 1 2 М.
1972; [3] Tamura Т., «Math. Nachr.» 1968, Bd 36 Mi 5/6
S. 255—87. л. Н. Шеврин
АРХИМЕДОВА СПИРАЛЬ - плоская трансцендент-
трансцендентная кривая, уравнение к-рой в полярных координатах
имеет вид:
А.с.описывается точкой М,дви-
М,движущейся равномерно по пря-
прямой d, к-рая вращается вокруг
точки О, принадлежащей этой
прямой. В начальный момент
движения М совпадает с цент-
центром вращения О прямой (см.
рис.). Длина дуги между точ-
точками Мх (pi, фх) и М2 (р2, ф2):
Площадь сектора, ограничиваемого дугой А. с. и двумя
радиус-векторами рх и р2, соответствующими углам
ф1 и ф2:
А. с. относится к так наз. алгебраич. спиралям
(см. Спирали). Обобщение А. с— не о и д а, уравнение
к-рой в полярных координатах
А. с. названа по имени Архимеда C в. до н. э.), изу-
изучавшего ее свойства.
Лит.: [ПСавелов А. А., Плоские кривые. Система-
Систематика, свойства, применения, М. 1960. Д. Д. Соколов.
АРХИМЕДОВО КОЛЬЦО - частично упорядоченное
кольцо, аддитивная группа к-рого относительно задан-
заданного порядка является архимедовой группой. Архимедо-
Архимедово линейно упорядоченное кольцо R есть либо коль-
цо с нулевым умножением (т. е. ху=0
для любых хп у из R) над аддитивной группой, изоморф-
изоморфной нек-рой подгруппе группы действительных чисел,
либо оно изоморфно нек-рому однозначно определен-
определенному подкольцу поля действительных чисел, взятому с
обычной упорядоченностью. Архимедово линейно упо-
упорядоченное кольцо всегда ассоциативно и коммутативно.
Лит.: [1] Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраи-
алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965. О. А. Иванова.
АРЦЕЛА ВАРИАЦИЯ — одна из числовых характе-
характеристик функции нескольких переменных, к-рую можно
рассматривать как многомерный аналог вариации функ-
функции одного переменного. Пусть действительнозначная
функция f(x) = f(x1, .. ., хп) задана на n-мерном парал-
параллелепипеде D,l=[a1, 6j]X .. .X [ап, Ъп], ге=2, 3, . . ., и
Gn — класс всех таких непрерывных вектор-функций
x(t)—(xi(t), ..., х„(?))(О<:г<:1), что каждая функция
xk(t) не убывает на [0, 1], причем zk{0) = ak, xk(l)=bf1,
fc=l, 2, . . ., п. Тогда
def
А (/, Dn) =
def _ _
*~@е Gn п s = 1
где П= {0= <(,<<!<.. .<гш=1} — произвольная сис-
система точек из [0, 1]. Ото определение в случае п = 2 пред-
предложено Ч. Арцела [1] (см. также [2], с. 543). Если А (/,
_D,,)<oo, то говорят, что функция f (х) имеет ограничен-
ограниченную (конечную) А. в. на Dп, а класс всех таких функций
обозначается A (Dn). Для того чтобы функция f(x1, . . .,
хп) принадлежала классу A (Dn), необходимо и доста-
достаточно, чтобы имело место разложение f(xu ...,xn) =
= /](xj, . . ., х„) — f2(xi, ¦ . ., хп), где Д и /2 — конечные
неубывающие на Dn функции. При этом функция f(x)
наз. неубывающей на Dn,
если /(xj, . . ., xn)^?f(x'i, .. ., хп)
при аклСхь^хк^Ьк (&=1, . . ., п). Класс A (Dп) со-
содержит в себе класс функций, имеющих ограниченную
Харди вариацию на D„.
Лит.: [1] А г z e 1 а С, «Rend. Accad. sci Bologna», 1904—
1905, t. 9, pt 2, p. 100—07; [2] H a li n H., Theorie der reellen
Funktionen, Bd 1, В., 1921. Б. И. Голубое.
АРЦЕЛА — АСКОЛИ ТЕОРЕМА — название ряда
теорем, указывающих условия для того, чтобы предел
последовательности непрерывных функций был функ-
функцией непрерывной (одно из таких условий — квазирав-
квазиравномерная сходимость последовательности).
Лит : [1] А г г е 1 й С, «Mem. Accad. sci Bologna», E), 1893,
t. 5, p. 225—44; [2] A s e о 1 i G., «Rend. Accad. dei Lincei.
Mem.», 1883, t. 18, p. 521—86. П. С. Александров.
АСИММЕТРИИ КОЭФФИЦИЕНТ — наиболее упо-
употребительная мера асимметрии распределения, опре-
определяемая отношением
II.о п S г. * j*\ ' \
где щ и |л3— второй
и третий центральные
моменты распределе-
распределения, соответственно.
Для распределений,
симметричных относи-
относительно математич. ожи-
Графики биномиального
распределения Р (к, п, р),
соответствующего п=10
испытаниям Бернулли, с
(а) положительной асим-
асимметрией ( р=-г- ) и (б) от-
рицательной асимметрией
/ 4 "
дания, 7i—0; в зависимости от знака уг говорят о рас-
распределениях с положительной асиммет-
асимметрией (Yi>0) и с отрицательной асим-
асимметрией (Yi^O)- Для биномиального распределе-
распределения, соответствующего п Бернулли испытаниям с веро-
вероятностью успеха р,
^2
у1 , ()
П ГпрA-р)'
при этом в случае р = 1/2 (y, = 0) распределение симме-
симметрично, в случаях р <1/2 и р >1/2 получаются типичные
графики распределения с положительной (рис. а) и от-
отрицательной (рис. б) асимметрией. А. к. Yi стремит-
стремится к нулю при п—>-оо в соответствии с тем, что нор-
нормированное биномиальное распределение сходится к
стандартному нормальному.
А. к. вместе с эксцесса коэффициентом — наиболее
употребительные характеристики точности, с к-рой
функция распределения Уп (х) суммы
где (хл, . . ., хп) — выборка из распределения, имеющего
конечные моменты цх, . . . , \ir, г>2, может быть при-
приближена функцией нормального распределения
Ф(я) = —Li С* e"z1'2 dz,
V 2я J - х
а именно, при довольно общих условиях Эджворта ряе
,",ает
Fa(x) = O(x)-—y±
Лит.: [1] К р а м е р Г., Математические методы статистики,
пер. с англ., М., 1948, с. 253—56; f2] У и л к с С, Математиче-
Математическая статистика, пер. с англ., М., 1967, с. 273 — 77.
А. В. Прохоров.
АСИММЕТРИЧНОЕ МНОГООБРАЗИЕ — ориенти-
ориентируемое многообразие М, для к-рого не существует го-
гомеоморфизма, обращающего ориентацию. Напр., ком-
комплексная проективная плоскость есть А. м., так как
самопересечение комплексной прямой равно +1 или
— 1 в зависимости от ориентации. Отличие нек-рых узлов
от их зеркального образа возможно из-за того, что их
разветвленные накрывающие являются А. м.
А. В. Чернявский.
АСИММЕТРИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ — качественное
свойство кривой распределения, указывающее на от-
отличие от симметричного распределения. А. р. положи-
положительна (отрицательна), если асимметрии коэффициент
положителен (отрицателен). При положительной (отри-
(отрицательной) А. р. более «длинная» часть кривой плот-
плотности распределения лежит правее (левее) моды.
К. П. Латышев.
АСИМПТОТА кривой y = f(x), имеющей
бесконечную ветвь,— прямая, обладающая
тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) кривой
до этой прямой стремится к нулю при движении ее
вдоль ветви к бесконечности. А. может быть вертикаль-
вертикальной или наклонной. Вертикальная А. имеет уравнение
х=а, причем/(я)—»-+оо (—эо) при х—>-а (односторонне).
Для существования наклонной А., имеющей уравне-
уравнение у—кх-{-1, необходимо и достаточно, чтобы существо-
существовали пределы
при ?—>4-°° (или при ж—>— оо).
Аналогичные формулы получаются и при нараметрич.
задании кривой. В полярных координатах А. кривой
г=г(((,), где г>0, с углом наклона а, определяется ус-
условием г—> + оо при ф—>сс. Расстояние р этой А. от на-
начала координат вычисляется по формуле:
p = lim|Z|r(a+i) при (_>.-|-0 (или при ?—>-—0).
Если вдоль бесконечной ветви кривой существует пре-
предельное положение касательной, то оно есть А. Обратное
не всегда верно. Напр., кривая у=— sin х- имеет при
ж—^rtoo асимптоту г/ = 0, хотя предельного положения
касательной не существует. Среди кривых 2-го порядка
х2 и2
А. имеют только гиперболы. А. гиперболы -г— г=-=1
I" ^ а2 ^2
определяются уравнениями — ±-г-=0. Наклонная А.
дает простое — линейное по х — асимптотическое при-
приближение функции
j(x) = kx~l+o(i)
при х—»-+оо (или при х—*-— оо).
Лит.: [1] Рашевский П. К., Курс дифференциальной
геометрии, 4 изд., М., 1956; [2] К у д р я"в ц е в Л. Д., Мате-
Математический анализ, т. 1, 2 изд., М., 1973. Л. П. Купцов.
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ - линия Г на регу-
регулярной поверхности F, нормальная кривизна к-рой
вдоль Г равна нулю; А. л. определяется дифференци-
дифференциальным уравнением:
где II — вторая квадратичная форма поверхности.
Соприкасающаяся плоскость А. л. Г (там, где она
существует) совпадает с касательной плоскостью к /•'
(в точках Г); при этом квадрат кручения А. л. равен
модулю гауссовой кривизны К поверхности F (теоре-
(теорема Бельтрами— Эннепера). Прямолиней-
Прямолинейный отрезок l?F (напр., отрезок образующей линейча-
той поверхности) всегда является А. л. Если Г — па-
раболич. кривая (напр., параллель тора, разделяющая
области с гауссовой кривизной разных знаков), то она
будет А. л. Другим примером является ребро возврата
на псевдосфере. Непараболич. кривая, на к-рой К—-0,
представляет собой ребро возврата семейства А. л.
Через каждую точку параболич. области (где К = 0,
но Пе^О) проходит единственная А. л., совпадающая с
прямолинейной образующей. Через каждую точку ги-
иерболич. области (где К<СО) проходят две и только
две А. л., составляющие так наз. асимптотическую
сеть, играющую важную роль в исследовании прост-
пространственной формы отрицательной кривизны поверх-
поверхностей. Так, напр., на полной поверхности эта сеть
гомеоморфна декартовой сети на плоскости, если
< q, q = const.
grad
У-к
На поверхностях постоянной отрицательной кривизны
асимптотич. сеть является чебышевской сетью, причем
площадь S четырехугольника, образованного А. л., про-
пропорциональна избытку суммы его внутренних углов
а,- над 2я-
S=\K\ (а1+а2-|-а3+а4-2я)
(формула Хаццидакиса).
При проективном преобразовании я пространства
А. л. поверхности /' переходят в А. л. преобразованной
поверхности я (/<').
Аналогично определяются А. л. и на поверхностях
трехмерного риманова пространства. Известны различ-
различные пути обобщений понятия А. л. на многообразиях,
погруженных в многомерное пространство; наиболее
употребительное из них использует понятие второй
квадратичной формы, ассоциированной с определенным
нормальным вектором.
Лит.: [1] Погорелов А. В., Дифференциальная гео-
геометрия, 5 изд., М., 1969; [2] Рашевский П. К., Курс
дифференциальной геометрии, 4 изд., М., 1956.
Ы. II. Войцеховскип.
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ПЛОТНОСТЬ — разновид-
разновидность общего понятия плотности последовательности
натуральных чисел, к-рое является мерой того, какая
часть последовательности всех натуральных чисел при-
принадлежит заданной последовательности А натуральных
чисел со включением нуля. Асимптотическая
плотность последовательности А выражается
действительным числом а, определяемым формулой
сс = lim inf ^-\
где
Число
о 1 • А (х)
р = urn sup ——
лг-> х х
нал. верхней А. п. Если числа аир" совпадают,
то их общее значение наз. натуральной плот-
плотностью. Напр., последовательность чисел, свобод-
свободных от квадратов, имеет натуральную плотность 6=
= 6'л2. Понятие А. п. используется при нахождении кри-
критериев того, чтобы нек-рая последовательность была
асимптотическим базисом. Б.М.Бредихин.
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ —
последовательность таких функций {ф„ (х)}, что
Здесь х0— предельная точка множества М (конечная
или бесконечная). Если ясно, о каком множестве М
идет речь, то пишется просто х —>- х0. Если {(fn(x)} —
А. и., и функция М?(х) определена на М, то Ы>(х)ц>п(х)}
также есть А. п.
Примеры А. п.:
1) \(х — хо)"\, х—+х0;
2) {х-"\, х—>- оо;
3) {ехх~п}, х—> оо;
4) {z-«}, z-^oo, z?D,
и — неограниченная область комплексной плоскости.
А. п. вида 1), 2) и 4) наз. степенными. м. И.шабунин.
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ПРЕНЕБРЕГАЕМОСТЬ —
свойство случайных величин, указывающее на их инди-
индивидуально малый вклад в качестве отдельных компо-
компонент в их сумму. Это понятие существенно, напр., в
так наз. схемах серий. Именно, пусть случайные вели-
величины Хпь (и—1, 2, . . .; А-=1, 2, . . ., кп) взаимно неза-
независимы при каждом », и
sn = xnl+...+xnkn.
Если для любых е>0 и б>0 при достаточно больших
п выполняется неравенство
max P (| Xnk | > е)< б, A)
1 < к < кп
то отдельные слагаемые Sn наз. А. п. (величины Хп^
образуют при этом так наз. нулевую схему
сери й). При условии A) справедлив следующий важ-
важный результат: класс предельных распределений для
Sn~ An (Ап— нек-рые «центрирующие» константы) сов-
совпадает с классом безгранично делимых распределений.
Если распределения Sn сходятся к предельному, кп—>-оо
и слагаемые одинаково распределены, то условие A)
автоматически выполняется. Если усилить требование
А. п., предполагая, что для любых е>0 и б>0 при всех
достаточно больших п
Р / max \Хпк\>г\< б, B)
\Кк< кп )
го будет верно утверждение: при условии B) предель-
предельным распределением для Sn~-An может быть только
нормальное распределение (в частности, с дисперсией,
равной нулю, т. е. вырожденное распреде-
распределен и е). А. В. Прохоров.
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ПРОИЗВОДНАЯ — то же, что
аппроксимативная производная.
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ СЕТЬ — сеть на поверхности,
образованная двумя семействами асимптотических
линий. А. с. существует только на неразвертывающпхся
поверхностях неположительной кривизны. Ортогональ-
Ортогональность А. с. характеризует минимальную поверхность.
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТОЧКА - особая точкГкри-
вой, вокруг к-рой кривая закручивается бесконечное
число раз, неограниченно к ней приближаясь. Напр.,
А. т. логарифмической спирали.
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА — формула, со-
содержащая символы о — малое, О — большое или знак
эквивалентности ~ (асимптотическое равенство функ-
функций).
Примеры А. ф.
sin х = х + о(х-), х—> 0;
cos х = 1 + О(х2), х—+ 0;
xiJrX + 1 ~ х3, х —»-оо;
n(i)~i/ln х, х—>са(л(х) — число простых чисел, не
иревОСХОДЯЩИХ х). Б. М. Бредихин
АСИМПТОТИЧЕСКИ НЕСМЕЩЕННАЯ ОЦЕНКА —
понятие, утверждающее несмещенность оценки в пре-
пределе (см. Несмещенная оценка). Пусть Х1, Х2, . . . —
последовательность случайных величин на вероятност-
вероятностном пространстве (Я, S, Р), где Р есть одна из мер се-
семейства <J>. На семействе^/5 задан функционал g(P) и
имеется последовательность S-измеримых функций
Тп(Х1, . . ., Х„), п=1, 2, . . ., математич. ожидания
к-рых ЕрТ.,,^^ . . ., Х„) существуют. Тогда, если при
п—>-оо
?РТп(Хг, ..., Xn)—»g(P), P?^>,
говорят, что Тп есть функция, асимптоти-
асимптотически несмещенная для функционала g.
Называя Хх, Х2, . . . наблюдениями и Тп оценкой, цо-
лучают определение А. н. о. В простейшем случае не-
неограниченного повторного выбора из совокупности,
распределение к-рой содержит одномерный параметр
6? в, А. н. о. Тп для g(Q), построенная по выборке объе-
объема п, удовлетворяет условию
ВвТ„(Х1, ...,Xa)—*g(Q)
ДЛЯ Каждого 6?6, когда п—>-оо. О. В. Шалаееский.
АСИМПТОТИЧЕСКИ НЕСМЕЩЕННЫЙ КРИТЕ-
КРИТЕРИИ — понятие, утверждающее несмещенность крите-
критерия в пределе. Напр., в случае повторного выбора из
одномерного распределения, содержащего параметр
9^Q, пусть // — нулевая гипотеза: 0?О//И К — аль-
альтернатива:
9?QA-, ан и ак=а, аИ П QK=0-
Критическое множество Rn в n-мерном евклидовом про-
пространстве, п=1, 2, . . ., является А. н. к. гипотезы //
с уровнем а, если
< Iim Р(Д„| 9)
п -> х
Функция
Iim P (Д„ | 9)
п -> со
наз. предельной функцией мощности
Критерия Rn. _ О. В. Шалаееский.
АСИМПТОТИЧЕСКИ УСТОЙЧИВОЕ РЕШЕНИЕ —
решение дифференциальной системы, устойчивое по
Ляпунову (см. Устойчивость по Ляпунову) и притяги-
притягивающее все остальные решения с достаточно близкими
начальными значениями. Таким образом, решение
*(т, So). ¦*(«, U) = U,
системы
с правой частью /(т, |), заданной для всех ?
и обеспечивающей существование и единственность
решений системы (*), будет А. у. р., если оно вместе
со всеми достаточно близкими решениями
х(%, I), \l-U<h h>0,
определен! для всех т^а и если для любого е>0 су-
существует 5, 0<б</г такое, что ||—|0|<б влечет
1Ит, 1)-х(т, ?0)|'<е
для всех г^а и
х (т, I)— х (т, %0) ||—^0 при т—»-+оо.
Понятие А. у. р. введено А. М. Ляпуновым [1]; оно
широко используется в теории устойчивости наряду с
различными специальными типами равномерной асимп-
тотич. устойчивости (см. [2]).
Лит.: [1] Л я п у н о в А. М., Собр. соч., т. 2, М.— Л.,
1956;[2]Красовский Н. Н., Некоторые задачи теории
устойчивости движения, М., 1959. Ю. С. Богданов.
АСИМПТОТИЧЕСКИ ЭФФЕКТИВНАЯ ОЦЕНКА —
понятие, расширяющее идею эффективной оценки на
случай больших выборок. Однозначного определения
А. э. о. не имеет. Напр., в классич. варианте речь идет
об аснмптотич. эффективности оценки в подходящим
образом выделенном классе оценок Й- Именно, пусть
Т„ — состоятельная оценка одномерного параметра со-
совокупности 9, построенная по повторной выборке объе-
объема «.Тогда Т' п ? .Н', если существует дисперсия а2 ( У пТп),
и в пределе при п—>-<х> она ограничена снизу величиной,
обратной Фишера информационному количеству, при-
приходящемуся на одно наблюдение. Асимптотически эф-
эффективной будет оценка T^^SX, на к-рой указанная
нижняя грань достигается. При известных условиях
этим свойством обладает оценка максимального прав-
правдоподобия для Й, что и придает значимость классиче-
классическому определению. Если А. э. о. Т*п существует, то
величина
lim
о2 (Vn т„)
определяет асимптотич. эффективность оценки Т п.
Нек-рые варианты понятия А. э. о. принадлежат Р. Фи-
Фишеру (К. Fisher), С. Рао (С. Rao) и др.
Лит.: [1] Рао С. Р., Линейные статистические методы
и их применение, пер. с англ. М., 1968. О. В. Шалаевский
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ БАЗИС, асимптотиче-
асимптотический базис порядка к,— последовательность
натуральных чисел и нуля, к-рая в результате ее к-
кратного суммирования дает все достаточно большие
натуральные числа. Число к наз. порядком А. б.
Так, последовательность простых чисел есть А. б. по-
порядка 4 (И. М. Виноградов, 1937); последовательность
кубов натуральных чисел есть А. б. порядка 7
(Ю. В. ЛИННИК, 1942). Б. М. Бредихин.
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ — то же, что
аппроксимативный предел.
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД - см. Асимптотиче-
Асимптотическое разложение функции.
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ СТЕПЕННОЙ РЯД — асимп-
асимптотический ряд по последовательности
{х-"} (х^оо)
или по последовательности
{(х-хо)«}(х-+х0)
(см. Асимптотическое разложение функции). А. с. р.
можно складывать, перемножать, делить и интегриро-
интегрировать точно так же, как и сходящиеся степенные ряды.
Пусть функции f(x) и g(x) имеют при х-^-оа асимпто-
асимптотич. разложения:
1огда
__ _ Аа +ВЬ
1) Af(xL-Bg(x)~X^ —- -(А,В—постоянные);
Z^«0 х"
(сп, dn вычисляются по тем же правилам, что и для схи
дящихся степенных рядов);
4) если функция f(x) непрерывна при з:><г>0, то
5) А. с. р. не всегда можно дифференцировать, однако,
если f(x) имеет непрерывную производную, к-рая раз-
разлагается в А. с. р., то
A)
Примеры А. с. р.:
\ —— dt~Y
Jx ' Х-
V
где Но1} (х) — Ганкеля функция нулевого порядка (при-
(приведенные А. с. р. расходятся при всех х).
Аналогичные утверждения имеют место и для функций
комплексного переменного z при z—>-оо в окрестности
бесконечно удаленной точки или внутри угла. В случае
комплексного переменного утверждение 5) имеет сле-
следующий вид: если функция f(z) регулярна в области
D : {\z\ >a, a<[arg z\ <P} и если
n = 0 z"
равномерно по arg z при |z|—>-oo в любом замкнутом угле,
содержащемся в В, то
равномерно по arg z при \z\—>-oo в любом замкнутом угле,
содержащемся в D.
Лит.: A) К о п с о н Э. Т., Асимптотические разложения,
пер. с англ., М., 1966; B) Э р д е й и А., Асимптотические раз-
разложения, пер. с англ., М., 1962; C) У и т т е к е р Э. Т., Ват-
сон Дж. П., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд
т. 1, М., 1962. М. И. Шабунин
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ — то же, что
асимптотическая формула.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ — предельное
значение вдоль нек-рого пути. Точнее, комплексное
число а или а=оо наз. А. з. функции /(z) комплексного
переменного z в точке а замыкания D области опреде-
определения D, если существует путь L : z=z(t), 0<:?<l, LciD,
оканчивающийся в точке а,
lim z(t)=a,
t-+i-o
вдоль к-рого
lim/(z)=cc, z?L.
Напр., функция f(z) = ez в точке <г=оо имеет А. з. ах=0
н а.2=оо соответственно вдоль путей Lx : z= — t,
0<г<+°°, и L2 : z=t, 0<г<+°о- Множества А. з.
играют важную роль в теории предельных множеств.
Если f(z) имеет в а два различных А. з., то а наз.
точкой неопределенности функции /(z).
Для произвольной функции i(z), определенной в пло-
плоской односвязной области, множество ее точек неопре-
неопределенности не более чем счетно.
Данное выше определение А. з. относится к точеч-
точечным А. з. Если кривая L имеет в качестве предельного
множества не одну точку д?сШ, a нек-poe множество
E(zdD, то говорят также об А. з. А (/, Е), связан-
связанном с Е.
Лит.: [1] К о л л и и г в у Д Э., Л о в а т с р А., Теория
предельных множеств, пер. с англ., М., 1971; [2] М а к-Л ейн Г.,
Асимптотические значения голоморфных функций, пер. с англ.,
М., 1966. В. И. Гаврилов, Е. Д. Соломенцев.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ НАПРАВЛЕНИЕ — направ-
направление на регулярной поверхности, в к-ром кривизна
нормального сечения поверхности равна нулю. Для того
чтобы направление du : dv в точке Р было А. н., необ-
необходимо и достаточно выполнение условия:
Ldu--\-2 Mdudv+Ndv2=0,
где и и v — внутренние координаты на поверхности, а
L, М и N — коэффициенты второй квадратичной фор-
формы поверхности, вычисленные в точке Р. В эллипти-
эллиптической точке поверхности А. н.— мнимые, в гиперболи-
гиперболической точке существуют два действительных А. н., в
параболической точке — одно действительное А. н., в
точке уплощения любое направление является А. н.
А. н. являются самосопряженными направлениями
(см. Сопряженные направления).
Лит.: [1] Р а ш е в с к и й П. К., Курс дифференциальной
геометрии, 4 изд., М., 1956. Е. В. Шикин.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ - то же,
что асимптотическая формула.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО функций f(x)
ttg(x) при х—>ха означает, что в нек-рой окрестности точ-
точки х0 (за исключением, быть может, самой точки ха)
f (х) = г(х) g (х), где lime(a;) —1,
А"-»-Хо
т. е. что
i(x) = g(x) [1+оA)]
при x^t-XQ (x0— конечная или бесконечная предельная
точка множества, на к-ром определены рассматривае-
рассматриваемые функции). Если функция g(x) не обращается в
нуль в нек-рой окрестности точки х0, то это условие
равносильно требованию
;
Иначе говоря, А. р. функций f(x) и g(x) при х-*-х0
означает в этом случае, что относительная погрешность
приближенного равенства функций j(x) и g(x), т. е.
величина [f{x) — g{x)]lg(x), g(x)?=O, является беско-
бесконечно малой при х—>хй. А. р. функций содержательно
для бесконечно малых и бесконечно больших функций.
А. р. функций /(х) и g(x) обозначается f(x)~g(x) при
х->-х0 и обладает свойствами рефлексивности, симмет-
симметричности и транзитивности. В силу этого совокупность
бесконечно малых (бесконечно больших) при х—ух0
функций распадается на классы эквивалентности беско-
бесконечно малых (бесконечно больших). Примером асимпто-
асимптотически равных функций (они наз. также эквивалент-
эквивалентными) при х—>-х0 являются функции и(х), sinu(x),
l[l+(z)], euw-i, где lim u(x) = 0.
0
Если f~fx и g~gx при
lim UIL
причем из существования каждого из написанных пре-
пределов следует существование другого. См. также
Асимптотическое разложение функций, Асимптотиче-
Асимптотическая формула. М. И. Шабунип.
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ функции
f(x) — такой ряд
что при любом целом
/ М =2Г-о ^" И + ° (<Р;у(*)). A)
при х—>-х0, где {фп(;г)} — нек-рая заданная асимпто-
асимптотическая последовательность при х—*-:г0. В этом случае
пишется также
fW~Hin-oV"W> №-(*)}, (*—>-*о). B)
Если ясно, о какой последовательности {ц>п(х)} идет
речь, то в B) она не указывается.
Разложение B) наз. асимптотическим раз-
разложением в смысле Эрдейи [3]. Разло-
Разложение вида
f(x)~^=oan(fn(x) (х~^х0), C)
где ап — постоянные, наз. асимптотическим
разложением в смысле Пуанкаре.
При данной асимптотич. последовательности функций
{ц>п(х)} А. р. C), в отличие от ее разложения B), одно-
однозначно определяется самой функцией f(x). Если A)
имеет место для конечного числа значений Л7=0, 1, . . .,
N0<C°°, то говорят об А. р. с точностью до о((р^ (х)).
Ряды
наз. асимптотическими рядами. Как
правило, такие ряды расходятся. Наиболее употреби-
употребительны асимптотические степенные ряды; соответству-
соответствующие им А. р. являются А. р. в смысле Пуанкаре.
Пример А. р. в смысле Эрдейи:
— sin ( x r f
(x—> +00),
где Jv(x) — функция Бесселя,
_ T(v+n+l/2)
пп — ¦
" 2"п! Г (v-n + 1/2)*
Понятия А. р. функции и асимптотический ряд были
введены А. Пуанкаре (см. [1]) в связи с задачами небес-
небесной механики. Частные случаи А. р. были открыты и
применялись еще в 18 в. (см. [2]). Асимптотич. разло-
разложения и ряды играют большую роль в различных зада-
задачах математики, механики и физики. Это вызвано тем,
что многие задачи нельзя решить точно, но удается по-
получить асимитотич. разложения решений. Кроме того,
численные методы часто отказывают именно в тех слу-
случаях, когда А. р. удается сравнительно просто найти.
Лит.: [1] Р о i n с а г 6 Н., «Acta Math.», 1886, v. 8, p. 2.15 —
344; Г2] У и т т е к е р Э. Т., Ват сон Д ж. Н., Курс со-
современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 1, М., 1963; [3] Е г-
d ё ly i A., W у m a n M.t «Arch. Ration. Mech. and Analysis»,
1963, v. 14, p. 217—60. M. В. Федорюк.
АССОЦИАТИВНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — название,
установившееся за исчислениями нек-рого точно оха-
охарактеризованного типа, хорошо приспособленными для
задания конечно определенных ассоциативных систем
(полугрупп). Термин «А. и.» введен А. А. Марковым.
Им же было осуществлено построение развернутой те-
теории А. и. (см. [2], гл. VI).
Всякое А. и. 2t определяется указанием нек-рого
алфавита А и конечного списка а соотношений в
А — пар слов в этом алфавите. Слова, входящие в со-
состав соотношений, обычно наз. их частями — левыми и
правыми. Допустимым относительно а
действием над словами в А наз. любая подста-
подстановка одной из частей к.-л. соотношения, принадлежа-
принадлежащего а, вместо любого вхождения другой части того же
соотношения. А. и. 31 представляет собой разрешение
производить, исходя из любого слова Р в А, любые до-
пустимые относительно а действия. Обо всех словах
Q, к-рые при этом получаются (в том числе и о самом
исходном слове Р), говорят, что они эквивалентны Р
в А. и. Я (в символич. записи 3( : P1LQ). Отношение J_[_
для любого А. и. 21 рефлексивно, симметрично и" тран-
зитивно. Кроме того, из 3( : P1LQ и 31:Л_Ц_Л' следует, что
2Г: PRJl_QS. Это позволяет естественным образом со-
сопоставить всякому А. и. 31 нек-рую конечно определен-
определенную ассоциативную систему А\,(, взяв в качестве ее эле-
элементов классы слов, эквивалентных друг другу в 31,
а в качестве операции умножения в К^ — операцию,
естественно индуцируемую операцией соединения слов
в А . Так построенная ассоциативная система Ая будет
иметь единицу (элемент, представленный пустым сло-
словом); элементы К^, представленные буквами алфавита
Л, будут составлять для А'3[ систему порождающих эле-
элементов, а список соотношений а будет представлять со-
собой полную систему соотношений между упомянутыми
порождающими элементами К ,ч в том смысле, что эле-
элементы А\-,(, представленные словами Р и Q, тождест-
тождественны в Кч тогда и только тогда, когда Р и Q эквива-
эквивалентны в ЗС. Таким образом, распознавание тождества
элементов в А'я сводится к распознаванию эквивалент-
эквивалентности слов в ЗС. Отсюда становится понятной важность
исследования разрешимости алгоритмической пробле-
проблемы распознавания эквивалентности слов в произволь-
произвольном А. и. Эта проблема была впервые сформулирована
А. Туэ [1]; она заключается в том, что для произволь-
произвольного А. и. % требуется построить алгоритм, к-рый для
любой пары слов в алфавите А. и. 31 позволял бы за
конечное число шагов выяснить, эквивалентны ли в 31
слова, составляющие эту пару. В алгебраич. интерпре-
интерпретации эта проблема есть проблема тождества для ассо-
ассоциативной системы А",,(. Самому А. Туэ удалось решить
ее лишь в весьма частных случаях. В современной ин-
интерпретации (после 30-х гг. 20 в.) этой проблемы ал-
алгоритм ищется в к.-л. точном смысле слова, напр, час-
частично рекурсивная функция, Тьюринга машина или нор-
нормальный алгорифм. При такой модернизации этой про-
проблемы уже становится осмысленным вопрос о том, нель-
нельзя ли указать такое конкретное А. и., для к-рого ис-
искомый алгоритм оказался бы невозможным. А. А. Мар-
коиым [3] и Э. Постом [4] одновременно и независимо бы-
были построены неразрешимые А. и., то есть
А. и. с неразрешимой алгоритмич. проблемой распозна-
распознавания эквивалентности слов. Эти результаты дают от-
отрицательное решение модернизированной проблемы А.
Туэ. Однако, принимая Чёрча тезис или к.-л. другое,
эквивалентное ему предложение считать произведен-
произведенное в теории алгоритмов уточнение понятия алгоритма
адекватным, мы с необходимостью приходим к заключе-
заключению, что и в начальной постановке проблема Туэ для
нек-рого конкретного А. п. решается отрицательно.
Первоначальные примеры А. А. Маркова и Э. Поста
были чрезвычайно сложными. В дальнейшем предложены
более простые неразрешимые А. и.; напр., А. и. с семью
весьма простыми соотношениями (см. [5]), с всего
лишь тремя соотношениями (см. [6]); почти полностью
решена проблема Туэ в случае А. и. с одним соотноше-
соотношением (см. [7]).
Естественным образом определяется изомор-
изоморфизм одного А. п. в другое А. и., а также на другое
А. и. (см., напр., [2], с. 331 — 34). С алгебраич. точки
зрения особый интерес представляет рассмотрение та-
таких свойств А. и., к-рые являются инвариантными от-
относительно изоморфизмов: эти свойства суть свойства аб-
абстрактных ассоциативных систем. А. А. Марков (см.
J2], с. 331 — 70), основываясь на своих исследованиях по
проблеме распознавания эквивалентности слов в А. и.,
получил весьма общий результат, дающий отрицатель-
отрицательное- решение практически всех обсуждавшихся в то
время алгоритмич. проблем, связанных с основными
классификациями А. и. В частности, он показал, что
если И — инвариантное свойство А. и. и имеется единич-
единичное А. и. со свойством И, а также — А. и., не вклю-
включаемое ни в какое А. и. со свойством И, то для
всякого алфавита с числом букв более трех алго-
алгоритмич. проблема распознавания А. и. со свойством
И среди прочих А. и. неразрешима. Из этого ре-
результата непосредственно вытекает неразрешимость
(для всякого алфавита, содержащего более трех
букв) алгоритмич. проблем распознавания единично-
единичности А. и., конечности А. и., полугрупповости А. и.,
включаемости в групповое А. и., изоморфии для пар
А. и. Впоследствии было показано (см. [8]), что множе-
множество пар изоморфных А. и. является рекурсивно пе-
перечислимым; использованный при этом метод позволяет
также установить рекурсивную перечислимость ряда
инвариантных свойств А. и.
Лит.: [1] Т h u e A., «Videnskapsselskapets Skrifter. 1. Mat.
Naturv. Kl.», 1914, JNs 10; [2] Марков А. А., Теория алго-
алгорифмов, M., 1954 («Тр. Матем. ин-та АН СССР», т. 42); [3] е г о
ж е, «Докл. АН СССР», 1947, т. 55, Л? 7, с. 587—90; [4] Post
Е. L., «J. Symb. Logic», 1947, v. 12, p. 1 — 11; [5] H e й т и н Г. С,
«Докл. АН СССР», 1956, т. 107, № 3, с. 370 — 7 1; [6] М а т и я с е-
в ич Ю. В., «Докл. АН СССР», 1967, т. 173, М° 6, с. 1264 — 66:
[7] А д я н С. И., «Тр. Матем. ин-та АН СССР» 1966, т. 85
с. 1 — 123; [8] Нагорняй Н. М., «Z. math. Logik und
Grundl. Math.», 1960, Bd 6, S. 319—24. H. M. Нагорный.
АССОЦИАТИВНОСТЬ, сочетательность,
сочетательный зако н,— свойство алгебраи-
алгебраической операции. Для сложения и умножения чисел
А. выражается тождествами
и (ab)c=a(bc).
Бинарная алгебраич. операция * ассоциатпв-
Н а (или, что то же, для * выполняется закон а е-
с оциативнос та), если в данной алгебраич. си-
хтеме справедливо тождество
(x*y)*z = x* (у* z).
Аналогично, тождествами
(х\Х2 ¦ . ¦ хпи>) хп + \ . . . зг2п_1ш =
= Х1Х2 . . . Х[ \Xl+iXi + 2 . . . Х( + п(й) Х( +л + 1 ... 3„_]Ш,
для всех i = \, 2, . . ., п, может быть определена А.
ДЛЯ re-арной операции Ш. О. А. Иванова, Д. М. Смирнов.
АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ — коль-
кольца и алгебры с ассоциативным умножением, т. е. мно-
множества с двумя бинарными операциями — сложением -)-
и умножением •, являющиеся абелевой группой но
сложению и полугруппой по умножению, причем ум-
умножение дистрибутивно (слева и справа) относительно
сложения. Ассоциативная алгебра, кроме того, должна
быть векторным пространством над фиксированным по-
полем F и умножение в ней связано с умножением на эле
менты поля условиями а(аЬ)=(аа) Ь = а(аЬ) для вссл
а?/'\ а, Ь нз алгебры.
Первыми примерами ассоциативных колец (А. к.) и
ассоциативных алгебр (А. а.) были числовые кольца и
поля (поле комплексных чисел и его подкольца), алгеб-
алгебры многочленов, алгебры матриц над полями, кольца
функций. Как самостоятельная область алгебры теория
А. к. и А. а. оформилась к началу 20 в. Эта теория имеет
много точек соприкосновения с многими областями ма-
математики, в особенности с алгебраич. геометрией и ал.
гебраич. теорией чисел (коммутативные кольца), функ-
функциональным анализом (коммутативные нормированньк'
кольца, кольца операторов и кольца функций), тополо-
топологией (кольца непрерывных функций на топологич. про-
пространствах). Из теории А. к. и А. а. выделились в са-
самостоятельные области алгебры теория полей и теория
коммутативных колец (см. также Коммутативная ал-
алгебра), теория представлений ассоциативных алгебр.
Теории топология, колец и тел входит в качестве состав-
составной части в топологическую алгебру.
Классич. часть теории А. к. и А. а.— теория конечно-
конечномерных А. а. (см. [2]). Центральные результаты этой
теории: конечномерная простая (т. е. без собственных
идеалов) А. а. над полем /' является полной матричной
алгеброй над нек-рым телом, конечномерным над F
(теорема Веддерберна); конечномерная А. а.
над полем характеристики нуль (и даже более общо —
сенарабельная конечномерная А. а.) есть прямая сумма
(как линейных пространств) своего радикала I (т. е.
максимального нильпотентного идеала) и нек-рой полу-
полупростой (т. е. с нулевым радикалом) подалгебры S, при-
причем любые две дополнительные полупростые подалгеб-
подалгебры S и Sj сопряжены (см. Веддерберна — Мальцева те-
теорема) .
Одним из важнейших классов А. к. являются тела
(то есть А. к., в к-рых разрешимы уравнения ах=Ь и
уа=Ь для всех а, Ь из кольца, афО). Тела, являющиеся
алгебрами над нек-рым полем, наз. алгебрами с делени-
делением. Теория конечномерных алгебр с делением — клас-
классич. часть теории тел. Описаны все конечномерные А. а.
с делением над полем действительных чисел — это само
поле действительных чисел, поле комплексных чисел и
тело кватернионов (Фробениуса теорема). Всякое ко-
конечное тело коммутативно (теорема Веддер-
Веддерберна о телах). Построена теория Галуа тел [5].
Центральными понятиями структурной теории А. к.
являются понятия Джекобсона радикала, полупростоты
и примитивности. А. к. наз. полупростым (в смысле
Джекобсона), если его радикал Джекобсона равен нулю.
Кольцо наз. примитивным (справа), если оно обладает
правым неприводимым точным модулем. Всякое полу-
полупростое А. к. является подпрямой суммой примитивных
колец. Каждое примитивное А. к. R есть плотное коль-
кольцо линейных преобразований нек-рого векторного про-
пространства V над телом (теорема плотности
Джекобсона); здесь плотность означает, что для
любых линейно независимых элементов vx, . . ., v^ из V
и любых элементов щ, . . ., ид из V существует преобра-
преобразование r?R такое, что v;r=U( при 1 .<:<:?. Важное
место в структурной теории колец занимает общая те-
теория радикалов (см. Радикалы колец).
Классич. частью теории А. к. является теория артино-
вых колец (справа), т. е. колец с условием минимально-
минимальности для правых идеалов. Центральный результат этой
теории: А. к. будет полупростым артиновым кольцом
тогда и только тогда, когда оно является прямой суммой
конечного числа полных матричных колец над телами
(Веддерберна — Артина теорема).
Большое значение в структурной теории А. к. имеет
понятие (классического) кольца частных. Кольцо Q(R)
наз. (правым) кольцом частных своего подкольца R,
если в Q(R) все регулярные элементы (т. е. не делители
нуля) кольца R обратимы и любой элемент из Q (R)
имеет вид ab~x, где a, b?R. А. к. обладает кольцом
частных тогда и только тогда, когда для любых элемен-
элементов a, b?R, где b регулярен, существуют элементы
a,bl ? R такие, что ab, = Ьа1 и 6Х регулярен (теорема
О р е). Кольцо R обладает полупростым артиновым
кольцом частных тогда и только тогда, когда оно полу-
полупервично (т. е. 12ф0 для всякого ненулевого идеала
/:=Л), удовлетворяет условию минимальности для пра-
правых аннуляторных идеалов вида
r(S)={x?R, Sx=0},
где S — подмножество /?, и не содержит бесконечных
прямых сумм правых идеалов (теорема Г о л д и).
Наряду с классич. кольцами частных изучаются и коль-
кольца частных в других смыслах, в первую очередь мак-
максимальные, или полные, кольца частных [81.
Значительное внимание уделяется изучению свобод-
свободных ассоциативных алгебр. Пусть F — поле, X — мно-
множество. Свободная А. а. с единицей F<X> над F с базой
X есть алгебра некоммутативных многочленов со сво-
свободными членами от множества переменных X с коэф-
коэффициентами из F. Алгебра F<X> характеризуется тем,
что порождается как алгебра с единицей множеством X
и любое отображение X в А. а. Л с единицей может быть
и притом единственным способом продолжено до гомо-
гомоморфизма F<X> в R. Свободная А. а. является кольцом
со с в о б о д н ы м и и д е а л а м и, т. е. правые (ле-
(левые) идеалы кольца Р<Х'> суть свободные правые (ле-
(левые) /\.?>-модули, при этом любые базисы свободного
конечно порожденного /<'<Х>-модуля содержат одина-
одинаковое число элементов (теорема Кона). Другие
примеры колец со свободными идеалами — групповые
алгебры свободных групп и свободные произведения
А. а. с делением. Свободная A. a. F<X> является также
областью с однозначным разложением: любой необра-
необратимый элемент a?F<(X> обладает представлением а =
=/>i. . . рп, где р, — неприводимые элементы, и это
представление единственно с точностью до порядка
членов и подобия (два элемента а и Ь кольца R наз.
подобными, если RlaR и R!bR изоморфны как
правые /?-модули). Централизатор каждого нескаляр-
нескалярного элемента алгебры F<X> изоморфен алгебре много-
многочленов F[t] от одного переменного t (теорема
Бергмана).
Важными классами А. а. являются групповые алгебры
и Vl-алгебры. Развивается теория многообразий колец.
Роль теории колец в математике возросла в связи с
развитием гомологической алгебры. Многие известные
классы колец можно охарактеризовать в терминах
свойств модулей категорий над этими кольцами. Напр.,
кольцо Я является полупростым артиновым тогда и
только тогда, когда все правые (левые) модули над 11
проектнвны (инъективны). Кольцо R регулярно (в
смысле фон Неймана) тогда и только тогда, когда все
правые (левые) модули над R являются плоскими;
см. также Регулярное кольцо, Гомологическая классифи-
классификация колец, Квазифробениусово кольцо.
Лит.: [1] В а н-д е р-В а р д е н Б. Л., Современная
алгебра, ч. 1—2 пер. с нем., М.—Л., 1947; [2] Albert А. А.,
Structure of alrebras, N. Y., 1939; [3] A r t i n E., NesbittC.J.,
Thrall R. M., Rings with minimum conditions, Ann Arbor,
1944; [4] Д ж е к о б с о н Н., Теория колец, пер. с англ., М.,
1947; [5] его же, Строение колец, пер. с англ., М., 1961;
[6] К у р о ш А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973;
[7] X е р с т е й н И., Некоммутативные кольца, пер. с англ.,
М., 1972; [8] Л а м б е к И., Кольца и модули, пер. с англ., М.,
1971; [9] К э р т и с Ч., Р а й н е р И., Теория представлений
конечных групп и ассоциативных алгебр, пер. с англ., М., 1969;
[10] Понтрягин Л. С, Непрерывные группы, 3 изд., М.,
1973; [11] Кон П., Свободные кольца и их связи, пер. с англ.,
М., 1975; [12] Зарисский О., Самюэль П., Коммута-
Коммутативная алгебра, т. 1, 2, пер. с англ., М., 1963; [13] К а р т а н А.,
Эйленберг С, Гомологическая алгебра, пер. с англ., М.,
1960; [14] Итоги науки. Алгебра. Топология. 1962, М., 196.4,
с. 59—79; [15] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия.
1965, М., 1967, с. 133 — 180; [16] Итоги науки. Алгебра. Тополо-
Топология. Геометрия, 1968, М., 1970, с. 9—56; [17] Б о к у т ь Л. А.,
Кузьмин Е. Н., Ширшов А. И., Кольца, т. 1—3,
Новосибирск, 1973; [18] D i v i n s k у N. J., Rings and radicals,
L., 1965; [19] Passman D. S., Infinite group rings, N. Y.,
1971: [20] Procese C, Rings with polynomial identities,
N. Y'., 1973. Л. А. Бокуть.
АССОЦИАТОР элементов a, b, с кольца
R — элемент, равный
(ab) с—a (be);
обозначается (а, Ь, с). К. А. Жевлаков.
АССОЦИИРОВАННАЯ ФУНКЦИЯ комплекс-
комплексного переменного — функция, получаемая
каким-либо способом из заданной функции f(z) при
помощи нек-рой фиксированной функции F(z). Напр.,
если
— делая функция, а
— фиксированная целая функция с bk?±0, fe^O, то
есть функция, ассоциированная с f(z) по
функции F(z); при этом предполагается, что ряд схо-
сходится в нек-рой окрестности |г|>Л. Функция /(z)
представляется в этом случае через y(z) формулой:
В частности, если
— целая функция экспоненциального типа и F(z) = ez,
то
есть функция, ассоциированная по Бо-
Боре л ю с /(z) (см. Бореля преобразование).
А. Ф. Леонтьев.
АСТРОИДА — плоская алгебраич. кривая 6-го поряд-
порядка, к-рая описывается точкой М окружности радиуса г,
катящейся по внутренней сто-
стороне окружности радиуса Л =
=4г; гипоциклоида с модулем
т=4. Уравнение в декартовых
прямоугольных координатах:
параметрич. уравнения:
4 ' " 4
Имеются четыре точки возврата
(см. рис.). Длина дуги от точки А:
Длина всей кривой 6Л. Радиус кривизны:
3 г, • '
г*=-2 ЛяпТ-
Площадь, ограниченная кривой:
А. является огибающей семейства отрезков постоян-
постоянной длины, концы к-рых расположены на двух взаимно
перпендикулярных прямых. С этим свойством А. свя-
связано одно из ее обобщений — так наз. косая ас-
астроида— огибающая отрезков постоянной длины,
концы к-рых расположены на двух прямых, пересекаю-
пересекающихся под произвольным углом.
Лит.: [1] Саве лов А. А., Плоские кривые, М., I960.
АСТРОМЕТРИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ~
задачи астрономии, возникающие в связи с созданием
опорной инерциальноц системы координат в пространст-
пространстве и согласованием комплекса фундаментальных астро-
астрономических постоянных на основе определения коорди-
координат небесных объектов и изучения вращения Земли.
Методы астрометрии основываются на теории и практике
геометрич. измерений на небесной сфере и определении
расстояний до светил.
Важным элементом астрометрич. исследований яв-
является возможно более точное определение направле-
направления прямой линии «наблюдатель — светило» в момент
наблюдения. Поскольку изучение взаимного располо-
расположения точек более удобно и наглядно, чем изучение
взаимного расположения направлений, в рассмотрение
вводится вспомогательная сферич. поверхность (так
наз. небесная сфера), а все объекты принимаются на-
находящимися от наблюдателя на равном расстоянии и
расположенными на этой сфере. При этом сферич.
тригонометрия позволяет ввести на небесной сфере раз-
различные системы координат и установить многочисленные
соотношения между углами и дугами конфигураций не-
небесных объектов. Эти соотношения предопределяют
большую часть астронометрич. методов наблюдений и гс-
ометрич. основу астрометрич. телескопов.
Явления, изучаемые астрометрией, связаны с раз-
различного рода нерегулярностями вращения Земли (не-
(неравномерность вращения Земли, движение полюсов,
прецессинно-нутационные изменения оси вращения
и т. д.), с одной стороны, и собственными перемеще-
перемещениями небесных тел — с другой. Эти обстоятельства
задают временную и качественную структуру выполняе-
выполняемых рядов наблюдений и приводят к необходимости ис-
использования специфических математич. методов для их
анализа. Так, весьма актуальной является задача ре-
решения и исследования обширных систем линейных урав-
уравнений, насчитывающих тысячи уравнений с сотнями не-
неизвестными, и осложняемая зачастую их недостаточной
определенностью. Типичным примером возникновения
подобных задач является обработка наблюдений тел
солнечной системы (главным образом малых планет)
для определения нульпунктов фундаментальной систе-
системы координат. Другой пример — вывод составляющих
гравитационного ноля Земли по наблюдениям искусст-
искусственных спутников Земли, осуществляемым всемирными
сетями станций слежения.
Сложность вращения Земли, отличие реальной упру-
упруго-вязкой Земли от модели абсолютно твердого тела
приводят к необходимости применения методов поиска
скрытых закономерностей таких, как корреляционно-
спектральный анализ и различные способы сглажива-
сглаживания. Таковы исследования изменяемости широт и дол-
долгот и связанного с ними блуждания полюса, а также
очень тонких и сложных колебаний скорости вращения
Земли.
Часто специфика явлений не позволяет охватить их
в одном цикле наблюдений, что приводит к перекры-
перекрывающимся отдельным отрезкам наблюдений с пере-
переменными нульпунктами. Такие наблюдения требуют
применения методов решений уравнений в конечных раз-
разностях. Эта тематика характерна для инструменталь-
инструментальных исследований астрометрии, а также тех ее задач,
где измеряется какая-либо линейная комбинация оши-
ошибок координат небесных тел.
Для учета ошибок наблюдений в астрометрии широ-
широко применяются методы математич. статистики (в ос-
основном линейные). В. В. Нестеров, В. В. Подобен.
АСТРОНОМИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ -
математические задачи, возникающие при исследова-
исследованиях небесных объектов. Для решения ряда таких за-
задач разработаны специальные методы, к-рые нашли при-
применение и в других разделах науки. С другой стороны,
в астрономии широко используется математический ап-
аппарат, созданный для решения сугубо «земных» задач,
в необходимых случаях модифицированный должным
образом.
Астрономия — комплексная наука, исследующая не-
небесные тела и их системы с различных, порой чрезвы-
чрезвычайно далеких друг от друга, точек зрения. Это обу-
обусловливает и весьма широкий круг А. м. з.
Важным разделом астрономии является астрометрии,
одна из основных задач которой состоит в определс
нии опорной инерциальной системы координат в про
странстве. Традиционно используемые в астрономии,
геодезии и других разделах науки координатные си-
системы, связанные с плоскостью земного экватора и на-
направлением на точку весеннего равноденствия (т. с.
прямой пересечения плоскости земного экватора с пло-
плоскостью эклиптики), отнюдь не являются инерциаль-
ными и не могут быть строго зафиксированы в простран-
пространство из-за непрерывного сложного движения обеих
упомянутых плоскостей (вследствие прецессии, нута-
нутации, движения земных полюсов). Для сравнимости ко-
координаты небесных светил относят, обычно, к положе-
положению плоскости экватора и точки весеннего равноден-
равноденствия в нек-рую фиксированную дату («эпоху»), при-
причем саму определенную таким образом координатную
систему фиксируют наиболее тщательно измеренны-
измеренными координатами нек-рого количества звезд, занесен-
занесенными в специальные каталоги (фундаментальные звезд-
звездные каталоги). Однако остается существенная труд-
трудность: для восстановления такой координатной системы
в момент, отличный от эпохи каталога, необходимо
знать, как изменятся вследствие собственных движений
положения фундаментальных звезд относительно сис-
системы координат. Для преодоления этой трудности, на-
начиная с середины 20 в., инерциальную систему коорди-
координат стремятся определить относительно далеких галак-
галактик, собственные движения к-рых исчезающе малы.
В связи с этим в астрометрии особенно большое значе-
значение приобретают математические задачи вычисления
наиболее вероятных значений параметров, определяю-
определяющих направления на небесное светило, из много-
многократных наблюдений, а также оценка вероятностных
характеристик этих значений. Решение этой задачи
характерно и для большинства других разделов астро-
астрономии, поскольку астрономия в значительной мере яв-
является наукой наблюдательной.
С разнообразными математич. задачами сталкивается
теоретич. астрофизика, к-рая на основе результатов
наблюдений небесных объектов исследует их строение,
происходящие в них физич. процессы, их эволюцию.
Одной из главных проблем астрофизики является про-
проблема строения и эволюции звезд. Теория внутреннего
строения звезд приводит к дифференциальным уравне-
уравнениям, описывающим условия механич. и энергетич. рав-
равновесия звезды. В частных случаях решения этих урав-
уравнений выражаются через элементарные функции; в
большинстве же случаев уравнения (вследствие их
сложности) решают численными методами.
Исследования звездных атмосфер, так же как и
процессов, происходящих в туманностях и межзвезд-
межзвездной среде, основаны на математич. теории переноса
излучения, получившей существенное развитие в аст-
астрофизике. В некоторых случаях, напр, при исследо-
исследованиях прохождения излучения через плоский слой
вещества, уравнение переноса излучения приводится
к интегральным уравнениям, решение к-рых позволяет
определить характеристики поля излучения внутри
среды, а также излучения, выходящего из среды и
доступного наблюдениям.
При изучении движения газовых масс в звездах и
туманностях, процессов, связанных с расширением га-
газовых облаков, столкновениями их друг с другом и
с межзвездной средой, широко используется математич.
аппарат газодинамики и электродинамики.
В звездной астрономии, предметом к-рой является
изучение закономерностей строения, динамики и эво-
эволюции звездных систем, используются математич. за-
зависимости, связывающие распределение тех или иных
истинных характеристик звездной системы (так наз.
функций распределения) с распределением наблюдае-
наблюдаемых характеристик. Так напр., изучение зависимостей
(при нек-рых дополнительных допущениях) между функ-
функциями распределения звезд по расстоянию в нек-ром
телесном угле и их абсолютными и видимыми величина-
величинами (получаемыми из наблюдений) приводит к интеграль-
интегральному уравнению, решение к-рого позволяет выяснить
закономерности распределения звездной плотности в
этом телесном угле. К таким же уравнениям приводит
сопоставление функций распределения искомых про-
пространственных скоростей звезд и наблюдаемых лучевых
скоростей.
В звездной кинематике задача определения компонент
скорости Солнца и характеристик вращения Галактики
на основе статистич. исследований координат, собст-
собственных движений п лучевых скоростей звезд приводит
к избыточной системе условных уравнений, составляе-
составляемых для отдельных звезд (пли для отдельных площадок
неба). Математич. аппарат механики используется при
решении задач звездной динамики, связанных с иссле-
исследованием звездных скоплений, галактик и скоплений
галактик. При этом отдельные объекты, составляющие
систему, рассматриваются как материальные точки,
взаимодействующие по закону тяготения, но с учетом
специфич. особенностей, характерных для систем не-
небесных тел. Решение задач небесной механики, изучаю-
изучающей движение небесных тел в гравитационном поле,
приводит к системам дифференциальных уравнений дви-
движения. Решение наиболее общей задачи п тел, в к-рой
рассматривается движение п в.чаимнопритягивающихся
тел для произвольных начальных условий, получается
методом численного интегрирования. Однако этот метод
дает удовлетворительное решение только на ограничен-
ограниченных интервалах времени и не позволяет делать заклю-
заключения об эволюции системы тел. Более полно изучена
частная задача трех тел с помощью рядов по степеням
времени; однако эти ряды, крайне медленно сходящиеся,
непригодны для приложения к исследованиям движений
конкретных тел. Исследованы также нек-рые частные
случаи задачи трех тел, десяти тел (Солнце и 9 больших
планет) и др.
Задачи движения конкретных небесных тел решаются
с помощью разложений в ряды по степеням малого па-
параметра и при тех или иных допущениях, упрощающих
решение.
Со специфическими дифференциальными уравнения-
уравнениями движения сталкивается астродинамика, изучающая
движение искусственных небесных тел. В решениях за-
задач движения искусственных спутников Земли прихо-
приходится учитывать возмущающие силы, обусловленные
несферичностью Земли, сопротивлением атмосферы,
световым давлением Солнца (в случае спутников-бал-
спутников-баллонов) и нек-рыми другими факторами.
Подробнее см. в статьях Астрометрии математиче-
математические задачи, Астрофизики математические задачи,
Звездной астрономии математические задачи, Клас-
Классической небесной механики математические задачи.
Н. П. Ерпылев.
АСТРОФИЗИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ —
круг задач теоретич. астрофизики, в к-рых широко ис-
используются математич. методы исследования. Основной
предмет теоретич. астрофизики составляет истолкова-
истолкование результатов наблюдений с целью изучения строения
объектов, наблюдаемых во Вселенной, а также иссле-
исследования происходящих в них физич. процессов. Наряду
с этим в А. м. з. развиваются нек-рые общие математич.
вопросы, имеющие, кроме астрофизики, существенное
значение для ряда других разделов физики и для мате-
математики. Наиболее яркий пример влияния А. м. з. на
развитие математики представляет введенный впервые в
А. м. з. так наз. инвариантности принцип [1], к-рый
получил применение при решении обширного класса
задач математнч. физики, а также нек-рых задач вероят-
вероятностей теории.
Одной из главных проблем астрофизики является
изучение строения и эволюции звезд, поскольку основ-
основная масса вещества во Вселенной сосредоточена в
звездах. Обычно отдельно рассматривают внутреннее
строение звезд и строение звездньх атмосфер. Задачи
теории внутреннего строения формулируются в виде
дифференциальных уравнений, вытекающих из условий
механич. и энергетич. равновесия звезды [2]. Условие
механич. равновесия звезды выражает равенство силы
тяготения, направленной внутрь звезды, и силы газо-
газового и светового давления, направленной наружу. Ус-
Условие энергетич. равновесия отражает равенство коли-
количества энергии, вырабатываемого в нек-ром объеме
звезды, и количества энергии, к-рое из этого объема
выходит. Кроме условий равновесия, считаются извест-
известными уравнения состояния вещества звезды, коэффи-
коэффициент поглощения излучения и закон выделения энер-
энергии в результате термоядерных реакций в зависимости
от плотности вещества и температуры при заданном
химич. составе. Вследствие сложности уравнений для
их решения обычно применяются численные методы.
Иногда в качестве граничных условий используют ре-
результаты теории звездных атмосфер, что приводит к
более надежным выводам. Указанные уравнения рав-
равновесия звезды в ряде частных случаев сводятся к
Эмдена уравнению
с условиями !/=1 и y' = 0 при x=Q. Для значений
n=0, 1, 5 решения уравнения A) выражаются через
элементарные функции. Уравнение A) применимо,
напр., в тех областях звезды, где перенос энергии осу-
осуществляется главным образом конвективными пото-
потоками, а перенос лучистой энергии сравнительно мал.
Трудность развития теории внутреннего строения звезд
состоит еще и в том, что звездные недра ненаблюдаемы.
Обычно сопоставляют с данными наблюдений только
вычисленные интегральные характеристики звезды та-
кие, как масса, радиус и полное количество энергии,
излучаемое звездой в единицу времени. Использова-
Использование статистич. материала, относящегося к указанным
характеристикам, позволяет строить гипотезы о воз-
возможных путях эволюции звезд.
Теория звездных атмосфер основывается на исследо-
исследовании процессов переноса излучения (см. Переноса из-
излучения теория). Энергия, вырабатываемая во внутрен-
внутренних областях звезды, после сложного процесса перено-
переноса через атмосферу, выходит наружу. Решение уравне-
уравнения переноса осуществляется здесь при условии лучис-
лучистого равновесия, выражающем тот факт, что каждый
элемент объема атмосферы излучает столько энергии,
сколько поглощает. Кроме того, обычно делается пред-
предположение о существовании локального термодпнамич.
равновесия. Результаты решения уравнения переноса
при указанных условиях позволяют теоретически по-
построить спектр звезды, а сопоставление с результатами
наблюдений дает возможность судить о строении звезд-
звездной атмосферы и о происходящих в ней процессах.
В частности, на исследовании линейчатых спектров
звезды основаны способы определения химнч. состава
звездных атмосфер.
Процессы переноса излучения происходят также в ту-
туманностях и межзвездной среде. Часто процесс пере-
переноса состоит в многократном рассеянии света при его
прохождении через вещество. Солнечный свет после
рассеяний в планетной атмосфере несет с собой инфор-
информацию о ее строении и физич. свойствах. В атмосферах
планет и в пылевых туманностях происходит анизотроп-
анизотропное рассеяние света.
Теория переноса излучения является одним из важ-
важнейших разделов теоретич. астрофизики. Эта теория
получила большое развитие в А. м. з. (см. [3], [4]) в
связи с решением указанных задач астрофизики. Ее
методы находят также различные применения в других
разделах физики, например в геофизике (см. Геофизики
математические задачи), в теории переноса нейтро-
нейтронов и при расчетах свечения плазмы. Наиболее часто
встречается случай, когда излучение проходит через
плоский слон вещества. Звездные и планетные атмо-
атмосферы представляют пример такого рода, поскольку
их геометрич. толщина в большинстве случаев мала
по сравнению с радиусом. В этом случае для изотроп-
изотропного рассеяния уравнение переноса излучения приво-
приводится к интегральному уравнению
K(\x — x'\)y{x')dx'Arf(x), B)
где i(x) определяет распределение источников излу-
излучения в слое, а у (х) — искомое иоле излучения. Ядро
А' (х) интегрального уравнения и параметр к включают
закон взаимодействия вещества с излучением, а ,г0
есть толщина среды, выраженная в единицах длины
свободного пробега излучения. Исследование интеграль-
интегральных уравнении типа B) составляет одну из основных
математич. задач теории переноса излучения. В А. м. з.
развит общий метод получения точных аналитич. ре-
решений таких уравнений [4]. В частном случае, когда
ж0=оо, к—\ и f(x)i===O, а также К(х) = Е1(х), где Ег (х) —
первая интегральная показательная функция, уравне-
уравнение B) наз. уравнением Милна. Его решение (см.
Милна проблема) при нек-рых дополнительных усло-
условиях дает распределение температуры в атмосфере
звезды. В более сложных задачах (анизотропное рассея-
рассеяние, рассеяние света с учетом поляризации, рассеяние
света в среде произвольной формы и т. п.) вместо иско-
искомой функции у(х) возникают функции, зависящие, кро-
кроме координат, также от направления и от других вели-
величин, характеризующих поле излучения в данной точке.
Для определения этих функций используются соответ-
соответствующие системы интегральных уравнений, обобща-
обобщающие уравнение B).
Указанные методы служат для определения полного
решения задачи, что позволяет найти как поле излу-
излучения внутри среды, так и характеристики выходящего
из среды излучения. Для применений теории часто не-
необходимо знать лишь выходящее излучение. Было по-
показано, что определение характеристик выходящего из
среды излучения можно сделать непосредственно, без
предварительного нахождения полного решения. Это
часто значительно упрощает задачу и осуществляется
либо с использованием интегрального уравнения B),
либо путем применения принципа инвариантности. Дру-
Другой путь заключается в представлении заданного слоя
как суммы двух слоев и в установлении связей между
характеристиками излучения, выходящего из всей сре-
среды, и характеристиками излучения на границе двух
слоев. Рассмотренные возможности используются так-
также в теории переноса нейтронов и составляют алъбедный
метод.
Наряду с теорией излучения видное место в астро-
астрофизике занимает применение методов газодинамики [5]
и электродинамики [6] к исследованию звезд и межзвезд-
межзвездной среды. Эти методы необходимы для изучения дви-
движений газовых масс в звездах и туманностях. Гидроди-
намич. эффекты (см. Гидродинамики математические
задачи) в атмосферах Солнца и других звезд, расшире-
расширение газовых облаков и их столкновения друг с другом
и с более разреженной межзвездной средой, возникаю-
возникающие при этом ударные волны и турбулентные движения
в межзвездной среде — некоторые из рассматривае-
рассматриваемых здесь проблем.
Одной из самых существенных особенностей межзвезд-
межзвездной газодинамики является необходимость учета вза-
взаимодействия ионизированного газа с магнитимый но
лями. Это взаимодействие оказывает влияние как на
движение газа, так и на изменение конфигурации и плот-
плотности энергии магнитного поля. При движении газа
его частицы остаются все время как бы «приклеенными)
к магнитной силовой линии, двигаясь вдоль нее либо
увлекая ее за собой при движении поперек поля. Го-
Говорят также, что силовые линии «вморожены» в ве-
вещество (см. Вмороженности интеграл). Уравнения
движения межзвездной магнитной газодинамики вклю-
включают: уравнение непрерывности (закон сохранения
массы); уравнение индукции магнитного поля, выра-
выражающее принцип вмороженности; уравнение притока
энергии межзвездного излучения (закон сохранения
энергии); уравнение, выражающее закон сохранения
импульса. При составлении системы используются
уравнения электродинамики (Максвелла уравнения)
и гидродинамики. Решение этой системы весьма ослож-
осложняется нелинейностью уравнений. Обычно исслодуют
упрощенные варианты, напр, одномерные и автомодель-
автомодельные движения (см. Магнитной гидродинамики матема-
математические задачи).
Большое значение для развития астрофизики имеют
результаты, получаемые радиоастрономич. методами.
Поскольку излучение радиоволн происходит обычно в
ионизированном газе (плазме), то возникают задачи об
определении свойств плазмы для условий, осуществля-
осуществляющихся в звездах и межзвездной среде [7]. Наиболее
полно поведение плазмы описывается кинетическими
уравнениями. Отличие кинетич. уравнения для плазмы
от кинетического Волъцмана уравнения для обычного
газа состоит в том, что кулоновское взаимодействие за-
заряженных частиц плазмы распространяется на сравни-
сравнительно большие расстояния, тогда как в газе из ней-
нейтральных атомов и молекул силы взаимодействия су-
существенны лишь при непосредственных столкновени-
столкновениях частиц.
Изучение распределения вещества в Галактике за-
затруднено поглощением света, производимым межзвезд-
межзвездными пылевыми частицами. Этот эффект проявляется
главным образом в направлениях, близких к Млечному
Пути, поскольку слой межзвездной пыли сконцентри-
сконцентрирован вблизи плоскости Галактики. Уменьшение числа
наблюдаемых галактик при приближении направления
наблюдения к плоскости Галактики вызвано тем же эф-
эффектом поглощения света. Однако поглощающее вещество
распределено не равномерно, а в основном в виде от-
отдельных облаков различной величины, случайным об-
образом распределенных в пространстве. Поэтому возни-
возникает задача о статистич. изучении видимого распределе-
распределения яркости Млечного Пути и видимого распределения
галактик. Указанные вопросы подробно исследованы [1]
в теории флуктуации яркости Млечного Пути. При
выводе уравнений был использован принцип инвариант-
инвариантности. Математич. вопросы теории флуктуации яркости
близки к теории нек-рых типов случайных процессов.
В простейшем варианте считается, что вся экваториаль-
экваториальная плоскость Галактики с равномерной плотностью
заполнена до бесконечности звездами и поглощающими
свет облаками. Если принять долю пропускаемого света
q одинаковой для всех облаков и ввести g(u)du — ве-
вероятность того, что безразмерная яркость и заключена
в пределах от и до u-j-dw, то для определения функции
g(u) получается уравнение
1
Уравнения аналогичного тина возникают и при рассмот-
рассмотрении более общих моделей. Для анализа результатов
наблюдений часто используют моменты исследуемых
величин; поэтому решение исходных сложных уравне-
уравнений не всегда необходимо. Получаемые из исходных
уравнений соотношения для моментов достаточно прос-
просто и быстро приводят к цели.
Исследование структуры, динамики и эволюции
звездных систем составляет предмет статистич. механи-
механики звездных систем. В ней изучаются системы тел,
рассматриваемых обычно как материальные точки и
взаимодействующих по закону тяготения. Важнейшими
системами являются звездные скопления, галактики
и скопления галактик. Указанные задачи входят в
круг вопросов, исследуемых в физич. кинетике. Однако,
в отличие от изучения свойств обычного газа, при рас-
рассмотрении звездного газа встречаются весьма сущест-
существенные специфнч. особенности. Во-первых, для звезд-
звездного газа нет состояния полного статистич. равновесия.
Во-вторых, важно то, что газ находится в собственном
гравитационном поле, к-рое должно быть определено
наряду с другими искомыми величинами. Наконец,
в-третьих, взаимодействие между звездами отличается
от взаимодействия между молекулами газа тем, что от-
относится к разряду дальнодействия, аналогичного ку-
лоновскому взаимодействию заряженных частиц в плаз-
плазме. Указанные особенности весьма усложняют теоре-
тич. рассмотрение. Правда, при исследовании движе-
движения звезд в Галактике можно в нервом приближении
пренебречь взаимодействием благодаря тому, что время
релаксации оказывается большим по сравнению с ин-
интервалом времени, определяющим сроки эволюции Все-
Вселенной (см. [1], [8]).
Для звездных скоплений время релаксации сравни-
сравнительно невелико, и в этом случае учет взаимодействий
звезд необходим. Здесь обычно используют аналогию
гравитационного и кулоновского взаимодействий и при-
применяют кпнетич. уравнение Ландау. Это уравнение по-
получено для плазмы с использованием приближения
Фоккера — Планка (см. Фоккера — Планка уравнение)
при представлении процесса диффузии в пространстве
скоростей. Уравнение Ландау не может дать достаточно
строгого описания процесса эволюции звездной системы,
связанного с неизбежной потерей звезд. Поэтому при
исследовании эволюции звездных скоплений применяют
более общие кинетич. уравнения.
Одним из важнейших этапов астрофизич. исследова-
исследований является получение наиболее полной и надежной
информации об изучаемых объектах на основе сопостав-
сопоставления результатов наблюдений и теории. Обычно обсуж-
обсуждается рассчитанная теоретич. модель и делается про-
проверка правильности предположений, положенных в ос-
основу ее построения. В нек-рых случаях удается избе-
избежать модельных представлений и непосредственно свя-
связать наблюдаемые характеристики с искомыми, вводя
лишь минимальное количество исходных обоснованных
допущений. Классич. примером такого подхода служит
задача о нахождении распределения пространственной
плотности звезд но распределению звезд в проекции
(см. [8]). Связь между наблюдаемым и пространствен-
пространственным распределением плотности получается в форме
интегрального уравнения Абеля, решение которого
приводит к цели. Это же уравнение получается и в
ряде других задач, например при изучении распреде-
распределения атомов по высоте в хромосфере и электронов
в короне Солнца. Во всех таких случаях делается
лишь одно предположение о сферической симметрии.
Более сложное интегральное уравнение получается
при выводе функции распределения пространствен-
пространственных скоростей звезд из распределения наблюдаемых
лучевых скоростей. Здесь восстанавливается функция
в трехмерном пространстве по значениям интегралов
от нее но всевозможным плоскостям. Рассмотренные
примеры относятся к совокупности вопросов, состав-
составляющих обратные задачи. При решении обратных за-
задач в астрофизике возникают значительные трудности
и неопределенности как математич. характера, так и в
получении необходимых результатов наблюдений. Ма-
Математич. вопросы связаны, в частности, с корректно-
корректностью постановки задач. При решении многих проблем
астрофизики ценным оказывается использование ме-
метода регуляризации решения некорректных задач.
Пример некорректной обратной задачи в А. м. з. пред-
представляет нахождение оптич. свойств атмосфер планет
по измеренным фотометрич. характеристикам. При мно-
многократном рассеянии света в атмосфере и отражении
от поверхности планеты происходит потеря информации
о величинах, определяющих искомые оптич. свойства
атмосферы. Для получения однозначного решения при-
приходится вводить значительные упрощающие допущения,
сильно ограничивающие возможности исследования.
В А. м. з. обратная задача часто связана с решением ин-
интегрального уравнения
^A(x^y)j(V)dy D)
1-го рода, к-рое определяет переход от функции F(x),
представляющей известные результаты наблюдений не-
некоторой величины, к искомой функции f(x), дающей ис-
истинные значения величины. Результаты наблюдений по
различным причинам бывают искажены, что выражается
количественно функцией А (х), входящей в уравнение
D) и обычно известной для данной задачи. Напр.,
функции F (х) и f(x) определяют измеренный и истин-
истинный профили спектральной линии, а функция А (х) со-
соответствует наблюдаемому профилю расширения иде-
идеально монохроматич. спектральной линии, обусловлен-
обусловленному свойствами спектрографа.
Много обратных задач возникает в радиоастрономии
как при обработке результатов наблюдений, так и при
истолковании полученных данных. Переход от наблю-
наблюдаемого распределения температуры к истинному в
одномерном случае осуществляется с использованием
уравнения D), где функция А (х) определяет свойство
антенны радиотелескопа и наз. ее диаграммой. Среди
радиоастрономич. исследований важное место занимает
использование радиолинии с волной 21 см, возникающей
при переходе между подуровнями сверхтонкой структу-
структуры атома водорода. Изучение межзвездного радиоизлу-
радиоизлучения на этой длине волны дает ценные сведения о
структуре Галактики и ее вращении, о распределении
в ней межзвездного газа, а также позволяет судить
о строении центральной части Галактики, недоступной
для оптич. методов. Наблюдаемые в различных направ-
направлениях профили линии имеют сложный вид вследствие
влияния ряда факторов (тепловое движение атомов,
хаотнч. движение межзвездного газа, вращение Галак-
Галактики и т. п.). Поэтому при переходе от измеренных
характеристик к искомым возникает ряд своеобразных
обратных задач. Для освобождения наблюдаемого про-
профиля от замывающего влияния тепловых и хаотических
макроскопич. движений газа применяется уравнение
D), где функция А (х) описывает распределение скоро-
скоростей. После указанной процедуры находятся система-
тнч. скорости газа и другие величины.
Лит.: [1] Амбарцумян В. А., Научные труды, т. 1,
Ер., 1960; [2] Шварцшильд М., Строение и эволюция
звезд, пер. с англ., М., 1961; [3] С о б о л е в В. В., Перенос
лучистой энергии в атмосферах звезд и планет, М., 1956; [4]
его же, Курс теоретической астрофизики, М., 1967; [5] К а п-
л а и С. А., Межзвездная газодинамика, М., 1958; [6] П и-
кельнер С. Б., Основы космической электродинамики,
2 изд., М., 1966; [7] С п и т ц е р Л., Физика полностью иони-
ионизованного газа, пер. с англ., М., 1965; [8]Чандрасекар С,
Принципы звездной динамики, пер. с англ., М., 1948.
И. Н. Минин.
АТОМ — минимальный ненулевой элемент частично
упорядоченного множества с нулем 0, т. е. такой эле-
элемент р, ЧТО 0<xs?;p влечет х = р. Л. А. Скорняков.
АТОМАРНОЕ КОЛЬЦО — область целостности с
единицей, удовлетворяющая условию максимальности
для главных идеалов. Другими словами, любое семей-
семейство главных идеалов А. к. обладает максимальным
элементом. Элемент кольца наз. атомом, или э к-
стремальным элементом, или нераз-
неразложимым элементом, если он не разложим
в произведение необратимых элементов. Область целост-
целостности является А. к. тогда и только тогда, когда каждый
ненулевой необратимый элемент есть произведение ато-
мов. Всякое нётерово кольцо является атомарным.
Факториальные кольца — это А. к., в к-рых каждый
атом является простым элементом (т. е.
элементом, порождающим простой идеал). Атомарное
Везу кольцо будет кольцом главных идеалов.
В. 11. Данилов.
АТОМИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — распределе-
распределение вероятностей на а-алгебре Л подмножеств простран-
пространства Q, сосредоточенное на множестве своих атомов.
При этом множество А ? Л в вероятностном пространстве
(Q, Л, Р) наз. атомом распределения,
если Р (А)>0 и из А^В?Л следует Р (В) = 0 или
Р (А\В) = 0. В частном случае, когда атомы суть от-
отдельные точки, А. р. совпадает с дискретным распреде-
распределением. А. В. Прохоров.
АТОМНАЯ РЕШЕТКА — решетка с нулем, для вся-
всякого ненулевого элемента о к-рой найдется атом р<а.
О. А. Иванова.
АФФИКС комплексного числа z=a-\-bi
при геометрическом его представ-
представлении — точка комплексной плоскости, соответ-
соответствующая этому числу, т. е. точка с декартовыми коор-
координатами (я, Ь). Иногда А. не различают с самим ком-
комплексным числом.
АФФИНИТЕТ — сокращенное название для аф-
аффинного преобразования, определяемого невырожденной
линейной подстановкой
х'= Alsxs + а'.
А. П. Широков.
АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии, и
к-ром изучаются свойства фигур, инвариантные отно-
относительно аффинных преобразований. Напр., простое
отношение трех точек, лежащих на одной прямой, па-
параллельность прямых (плоскостей). Впервые свойства
геометрич. образов, переходящих друг в друга при аф-
аффинных преобразованиях, изучались А. Ф. Мёбиусом
(A. F.Mobius) в 1-й пол. 19 в.; однако понятие «А. г.»
возникло лишь после появления в 1872 эрлангенской
программы, согласно к-рой каждой группе преобразо-
преобразований отвечает своя геометрия, изучающая свойства
фигур, инвариантные относительно преобразований
этой группы. Группа аффинных преобразований содер-
содержит различные подгруппы, в связи с чем наряду с об-
общей А. г. возникли подчиненные ей геометрии, отвеча-
отвечающие этим подгруппам: эквиаффинная геометрия, цен-
троаффинная геометрия и др. В А. г. изучаются также
вопросы дифференциальной геометрии, отвечающие
той или иной аффинной подгруппе преобразований
(см. Аффинная дифференциальная геометрия).
Лит.: [1] Александров П. С, Лекции по аналитиче-
аналитической геометрии..., М., 1968; [2] Ефимов Н. В., Высшая
геометрия, 4 изд., М., 1961. Е.В.Шикин.
АФФИННАЯ ГРУППА — фундаментальная группа
преобразований аффинного пространства. А. г. явля-
является подгруппой проективной группы и представляется
теми проективными преобразованиями, к-рые переводят
в себя фиксированную гиперплоскость проективного
пространства. А. П. Широков.
АФФИННАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТ-
ГЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии, изучающий дифференци-
ально-геометрич. свойства кривых и поверхностей, со-
сохраняющиеся при преобразованиях аффинной группы
или ее подгрупп. Наиболее полно изучена дифференци-
дифференциальная геометрия эквиаффинного пространства.
В экв и аффинной плоскости каждые
два вектора a, b имеют инвариант (а, />) — площадь
параллелограмма, построенного на векторах а и Ь.
С помощью этого понятия для кривой »¦=?¦(?), отлич-
отличной от прямой, строится инвариантный параметр
S
наз. эквиаффинной дугой. Дифференциаль-
Дифференциальный инвариант
г d3rN
i* ' ds3,
наз. эквиаффинной кривизной плоской
кривой. Постоянство эквиаффинной кривизны характе-
характеризует кривые 2-го порядка. Натуральное уравнение
k=f(s) определяет кривую с точностью до эквиаффинно-
го преобразования. Вектор n=d2r/ds2 направлен по
аффинной нормали к плоской кривой; аффинная нор-
нормаль в точке М, к^О, касается геометрич. места сере-
середин хорд кривой, параллельных касательной в точке М
и совпадает с диаметром параболы, имеющей в точке М
соприкосновение 3-го порядка с кривой.
При переходе к общей аффинной группе у кривой рас-
рассматривают два более сложных инварианта: аффинную
дугу 0 и аффинную кривизну х. Они могут быть выраже-
выражены через введенные выше инварианты s и к:
_ 1 dh
' ft3/2 ds~
(в эквиаффинной геометрии сами величины s и к для
краткости наз. аффинной дугой и аффинной кривизной).
Подобным же образом строятся центроаффинная дуга,
центроаффинная кривизна, эквицентроаффинная дуга
и эквицентроаффинная кривизна плоской кривой.
В экв и аффинном пространстве каж-
каждым трем векторам а, Ь, с может быть отнесен инвариант
(а, Ь, с) — объем ориентированного параллелепипеда,
определяемого этими векторами. Натуральный параметр
(эквиаффинная дуга) кривой r=r(t) (r?C3) определя-
определяется формулой
г, r)\l/edt.
Дифференциальные инварианты x=(r', r"', rIV), т=
= — (г", г'", r'v), где штрихи означают дифференциро-
дифференцирование по натуральному параметру, наз. соответственно
эквиаффинной кривизной и экви-
аффинным кручением пространственной
кривой. Изучение кривой сводится к выбору того или
иного сопровождающего репера; особую роль играет ре-
репер, образованный векторами
{г, г, 7 +
и определяемый дифференциальной окрестностью 4-го
порядка рассматриваемой кривой. Разработана также
центроаффинная теория пространственных кривых
(см. [5]).
Для поверхности r=r(u1, и2) в эквиаффинном
пространстве, отличной от развертывающейся поверх-
поверхности, строится тензор
Н1
где о,-у= (/-!, г2, гф, o=det(o,y), ri=dir, гц=дцг. Вектор
4
где \k ~ символ ковариантной производной в связно-
связности с метрич. тензором g,y, задает направление аффин-
аффинной нормали к поверхности. Аффинная нормаль про-
проходит через центр соприкасающейся квадрики Ли. Дери-
Деривационные уравнения
определяют внутреннюю связность 1-го рода Г г/ по-
поверхности. Наряду с ней возникает внутренняя связ-
2.
ность 2-го рода Г;/, определяемая деривационными
уравнениями
где v — ковариантныи вектор, определяющий касатель-
касательную плоскость к поверхности и подчиненный условию
нормировки Nv=l. Связности rfj и Г?/ являются
сопряженными относительно тензора gy в смысле
А. П. Нордена (см. [3]). Тензор
l4 =-24il7 ~~ "'
играющий также основную роль в проективной диффе-
дифференциальной геометрии, позволяет построить симме-
трич. ковариантныи тензор s
^ ijk =?ks* if-
Строятся также две основные формы поверхности:
квадратичная форма
ф =gi/ dul duJ
и кубическая форма Фубини— Пика
ij)=r,-yfc dul du''duk.
Эти формы связаны условием аполярности
Две такие формы, удовлетворяющие дополнительным
дифференциальным условиям, определяют поверхность
с точностью до эквиаффинных преобразований. Все
эти положения обобщаются на многомерный случай.
В аффинном и эквиаффинном пространствах выделя-
выделяется много специфич. классов поверхностей: аффинные
сферы (у к-рых аффинные нормали образуют связку),
аффинные поверхности вращения (аффинные нормали
пересекают одну собственную или несобственную пря-
прямую), аффинные минимальные поверхности и др.
Помимо кривых и поверхностей, изучаются также
иные геометрич. образы эквиаффинного пространства,
напр, конгруэнции и комплексы прямых, векторные
поля и др.
Наряду с эквиаффинной дифференциальной геометри-
геометрией разрабатывается дифференциальная геометрия общей
аффинной группы и других ее подгрупп как в трехмер-
трехмерном, так и в многомерном пространствах (центроаффин-
ном, эквицентроаффинном, аффинно-симплектическом,
биаффинном и т. д.).
Лит.: [1] В 1 a s с h k e W., Affine Differentialgeometrie,
В., 1923; [2] Salkowski E., Affine Differentialgeometrie,
B.-Lpz., 1934; [3] H о р д е н А. П., Пространства аффинной
связности, М.—Л., 1950; [4] Итоги науки. Геометрия. 1963,
М., 1965, с. 3—64; И Широко» П. А., Широков
А. П., Аффинная дифференциальная геометрия, М., 1959.
А. П. Широков.
АФФИННАЯ КРИВИЗНА — дифференциальный ин-
инвариант плоской кривой в геометрии общей аффинной
группы или ее подгруппы. Обычно под А. к. понимают
дифференциальный инвариант кривой в геометрии аф-
аффинной унимодулярной (или эквиаффинной) группы.
В этой геометрии А. к. (точнее, эквиаффинная кривизна)
плоской кривой у=у(х) вычисляется по формуле
к = — -^[(у")-2'3]",
а аффинная (точнее, эквиаффинная) длина дуги кривой
равна
s = \ (у"I/я dx.
Имеется геометрич. истолкование А. к. в точке Мо кри-
кривой: если М — близкая к Мо точка кривой, s — аф-
аффинная длина дуги М0М, а от — аффинная длина дуги
параболы, касающейся данной кривой в точках Мо и
М, то А. к. в точке Мо равна
*„_± lim -/"»«-»
V
В аффинной теории пространственных кривых и поверх-
поверхностей также существуют понятия А. к., напоминаю-
щие аналогичные понятия евклидовой дифференциаль-
дифференциальной геометрии.
Лит. см. при ст. Аффинная дифференциальная геометрия.
А. П. Широков.
АФФИННАЯ МИНИМАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ —
поверхность, средняя аффинная кривизна к-рой равна
нулю. В отличие от обычных минимальных поверхно-
поверхностей, состоящих лишь из седловых точек, А. м. п. может
содержать эллиптич. точки. Так, эллиптич. параболо-
параболоид состоит целиком из эллиптич. точек и является
А. м. п. К. в. Шикии.
АФФИННАЯ НОРМАЛЬ — прямая, аффинно-инва-
риантным способом определенная в каждой точке ги-
гиперповерхности аффинного пространства с помощью
дифференциальной окрестности 3-го порядка этой ги-
гиперповерхности; при этом существенно, чтобы у гипер-
гиперповерхности не вырождалась основная квадратичная
форма. А. н. в точке М плоской кривой совпадает с диа-
диаметром параболы, имеющей с кривой соприкосновение
в М 3-го порядка. Аналогично истолковывается и А. н.
гиперповерхности, если использовать соприкасающиеся
гиперквадрики. В частности, А. н. гиперквадрики сов-
совпадает С ее диаметром. А- П. Широкое.
АФФИННАЯ ОБОЛОЧКА множества Мл
векторном пространстве— множество,
заполненное точками прямых, полученных при продол-
продолжении всех ненулевых отрезков с концами в выпуклой
оболочке множества М. В. А. Залгаллер.
АФФИННАЯ СВЯЗНОСТЬ - дифференциально-гео-
дифференциально-геометрическая структура на гладком многообразии М,
специальный вид связности на многообразии, когда при-
приклеенное к М гладкое расслоенное пространство Е
имеет типовым слоем аффинное пространство Ап раз-
размерности re=dim М. Структурой такого Е к каждой
точке х?М присоединяется экземпляр аффинного про-
пространства {А „) х, к-рый отождествляется с касательным
центроаффинным пространством ТХ(М). А. с. предусма-
предусматривает такое сопоставление каждой гладкой кривой
L?M с началом х0 и каждой ее точке х^ аффинного отоб-
отображения (A n)xt-*-(A „)Хо, что удовлетворяется ниже сфор-
сформулированное условие. Пусть М покрыто координат-
координатными областями, в каждой из к-рых фиксировано глад-
гладкое поле аффинного репера в (А п)х, у к-рого начало сов-
совпадает с х (т. е. фиксированы п гладких векторных по-
полей, линейно независимых в каждой точке х области).
Требуется, чтобы при t—>-0, когда Xf перемещается по L
до х0, отображение (-4 n)xt—у(А п)Хо стремилось к тождест-
тождественному отображению, причем главная часть его откло-
отклонения от последнего определялось относительно некото-
некоторого из реперов системой линейных дифференциальных
форм
oo' = rW*fe, det|li| фО, \
Итак, образом при {A n)xt-+(A п)Хо репера в точке xt яв-
является система из точки в (Ап)Ха с радиус-вектором
et [w'(X) t+el'(t)] и п векторов et [6/+w)(X) t+e'(O],
где X — касательный вектор к L в точке х0, причем
4,
/ -^о г t^ о г
Многообразие М с заданной на ней А. с. наз. прост-
пространством аффинной связности. При
преобразовании репера поля в произвольной точке х ? М
согласно формулам e[r=AJ ej, ej=A'.'e.,, т. е. при пере-
переходе к произвольному элементу главного расслоенного
пространства Р реперов в касательных пространствах
(Ап)х с началами в точке х, формы A) заменяются сле-
следующими 1-формами на Р:
а 2-формы
Q'=d@' -|-(О; Л О7» ]
. ' '. ^ [- C)
преобразуются так:
Q'' = A)'Q'\ Q)', = Ak a\,Ql\,
где Ql и Q/, составлены согласно (З) из форм B). Урав-
Уравнения C) называются структурными урав-
уравнениям и А. с. на М, где левые части — так наз.
кручения формы ?1' и кривизны формы Q) — полубазовы,
т. е. являются линейными комбинациями ш*Л(о':
!¦ D)
Любые \-формы со' и ш/, заданные на Р и удовлетворяю-
удовлетворяющие уравнениям C) с левыми частями вида D), опреде-
определяют нек-рую А. с. на М. Отображение (АГ1)Х(->(Ап)Хо
для кривой L ? М получается следующим образом: нуж-
нужно выбрать нек-рое гладкое поле репера в координат-
координатной окрестности начала х0 кривой L, и образ репера в
точке xt определить как решение {x(t), e,(<)} системы
du = (u>l)x(i)(x(t))u;, 1
I <\ ' I
при начальных условиях и@) = 0, м,@) = е,-, где х' =
= x'(t) — уравнения кривой L. Кривая, описываемая
в (Ап)Ха точкой с радиус-вектором x(t) относительно
х0, наз. разверткой кривой L. Поле репера в
координатной окрестности можно выбрать так, чтобы
ш' — dx1; тогда ш/= T)kdxk. На пересечении координат-
координатных окрестностей dxl'= -.ю', т. е. А'- = г и
F дх' I Вг'
дх'
дх'' дх! dxk „i , в'х1' дх'
,„.
F)
дх1 дх} дхк dxJ дх дх1
Sjk --= Г
дхк дх
Здесь S)k и R)ki составляют, соответственно, кручения
тензор и кривизны тензор А. с. на М. А. с. на М мо-
может быть задана системой функций Г/* на каждой
координатной окрестности, преобразующейся на пере-
пересечении окрестностей по формуле E) — так наз. объ-
объектом А. с. Отображение (A n)xt->(A п)Ха получается
с помощью системы E), в к-рую следует подставить
ш' = dxl, (й) = T)k dxk.
Если в нек-рой окрестности точки х0 дано векторное
поле X=l'ei, то при (An)xt-+(Ап)Хо вектор Xx(f) ото-
отображается в вектор i'(xf) ei(t) (где {ei(t)} — решение
системы E)), дифференциал к-рого в (^4,,)Xoupn (=0:
наз. ковариантным дифференциалом поля X относитель-
относительно данной А. с. Здесь
дх"
образуют тензорное поле, наз. ковариантной произвои-
ной поля Х=?'е/. Если дано второе векторное поле
Y=r\ke/{, то определяется ковариантная производная
поля X в направлении У:
к-рая относительно произвольного поля репера может
быть определена также формулой
Y
А. с. на М может быть задана и как билинейный опе-
оператор v, к-рый двум векторным полям X, Y ставит
в соответствие третье V Y %¦ и обладает свойствами:
f
где / — гладкая функция на М. Связь с вышеуказан-
вышеуказанными способами задания устанавливается формулой:
Xе ej=rljfiei, где {е/} — поле репера; поля тензоров
кручения и кривизны
S (X, У) = 5^?/г1*«,- = Q' (X, Y)eh
R (X, Y)Z = (RJkilW) Уч = Я/ (X, У) mi (Z) e-t
определяются формулами
R (X, y) = x^Fx[, ]
Векторное поле X наз. параллельным вдоль
кривой L, если V X(t % хи = ^ тождественно относитель-
относительно t, т. е. если вдоль L
<ф + БЛв'/ = о.
Параллельными векторными полями осуществляется
параллельное перенесение векторов (и вообще тензоров)
в А. с, представляющее собой линейное отображение
касательных векторных пространств Тх,(М)—уТХо(М),
определяемые отображением (Ап)хг+(Аn)Xo. В этом
смысле каждая А. с. порождает нек-рую линейную связ-
связность на М.
Кривая L наз. геодезической линией
в данной А. с, если ее развертка является прямой ли-
линией; другими словами, если в подходящей параметриза-
параметризации ее касательное векторное поле х (t) параллельно
вдоль ее. Относительно локальной координатной систе-
системы геодезич. линии определяются системой
' ri k
an * at at
Через каждую точку в каждом направлении проходит
одна геодезическая.
Существует взаимно однозначное соответствие между
А. с. на М и связностями в главных расслоенных про-
пространствах свободных аффинных реперов в (Ап)х, х?М,
ими порождаемыми. Замкнутым кривым с началом и
концом в х соответствуют аффинные преобразования
(Ап)х—>(Ап)х, к-рые образуют неоднородную голономии
группу данной А. с. Соответствующие линейные авто-
автоморфизмы Тх(М)-^>-ТХ(М) образуют однородную группу
голономии. Согласно теореме о голономии
алгебры Ли этих групп определяются 2-формами кру-
кручения Q' и кривизны Q). Для последних имеют место
тождества Бианки:
dQ' — Q) A mi — a1/ А &, dQ) = Qlk A mf — mk А й/,
к-рые, в частности, для А. с. без кручения, когда Я''=0,
сводятся к следующим:
Понятие А. с. возникло в 1917 в римановой геометрии
(ввацеЛеви-Чивита связности); самостоятельный смысл
оно обрело в 1918—24 в работах Г. Вейля [1] и Э. Кар-
тана [2].
Лит.: [11 Weyl H., Raum, Zeit, Materie, 5 Avid.. В., 1923; [2]
С a r t a n E., «Ann. scient. Ecole norm, super.», 1923, t. 40,
p. 325—412; 1924, t. 41, p. 1—25; 1925, t. 42, p. 17—88; [3] К a p-
т а н Э., Пространства аффинной, проективной и конформной
связности, пер. с франц., Казань, 1962; [4] Рашевский
П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967;
[5] Постников М. М., Вариационная теория геодези-
геодезических, М., 1965. Ю. Г. Пумисте.
АФФИННАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ — прямоли-
прямолинейная система координат в аффинном пространстве.
А. с. к. на плоскости задастся упорядоченной парой
неколлиноарных векторов е1 и е2 (а ф ф и н н ы й б а-
з и с) и точкой О (начало координат). Пря-
Прямые, проходящие через точку О параллельно векторам
базиса, наз. осями координат. Векторы ег и е2
задают на осях координат положительное направление.
Ось, параллельная вектору е-,, наз. осью абсцисс,
а параллельная вектору е2,— о с ь ю ординат.
Аффинными координатами точки М наз.
упорядоченная пара чисел (х, у), к-рые являются коэф-
коэффициентами разложения вектора ОМ по векторам ба-
базиса:
ОМ = хег-\- уе2.
Первое из этих чисел х наз. абсциссой, а второе
у — ординатой точки М.
А. с. к. в трехмерном пространстве задается упорядо-
упорядоченной тройкой линейно независимых векторов ег, е2,
е3 и нек-рой точкой О. Аналогично случаю плоскости
определяются оси координат: ось абсцисс, ось ординат,
ось аппликат, и координаты точки: абсцисса,
ордината и аппликата. Плоскости, проходящие
через пары осей координат, наз. координатны-
координатными п л о с к о с т я м и. А. С. Пархоменко.
АФФИННАЯ СФЕРА— поверхность, аффинные нор-
нормали к-рой пересекаются в одной точке. А. с. наз. н е-
собственной в случае бесконечно удаленной точ-
точки и собственной— в противном случае. В част-
частности, любая поверхность 2-го порядка является А. с.
Несобственная выпуклая А. с. является эллиптич. па-
параболоидом. Е. В. Шикин.
АФФИННАЯ СХЕМА — обобщение понятия аф-
аффинного многообразия, играющее роль локального объек-
объекта в теории схем. Пусть А — коммутативное кольцо с
единицей. Аффинная схема состоит из топо-
логич. пространства Spec А и пучка колец А на Spec A.
При этом Spec А есть множество всех простых идеалов
кольца А (называемых точками аффинной
схем ы), наделенное Зариского топологией (или, что то-
тоже, спектральной топологией), в к-рой базис открытых
множеств составляют подмножества D (/)= {pG^pec A,
} ? р}, когда / пробегает элементы кольца А. Пучок
локальных колец А определяется условием Г (D (f). A) =
= Af, где Л f— кольцо частных кольца А относительно-
мультипликативной системы {/"}п>0.
А. с. введены А. Гротендиком [1] при построении тео-
теории схем. Схема есть окольцованное пространство,
локально изоморфное А. с.
А. с. Spec А наз. нётеровой А. с. (соответствен-
(соответственно целостной, приведенной, нормаль-
нормальной, регулярной), если кольцо А нёторово
(соответственно целостно, без нильпотентов, целозам-
кнуто, регулярно). А. с. наз. связной (соответ-
(соответственно неприводимой, дискретной,
квазикомпактной), если таковым является
топологич. пространство Spec А. Пространство Spec A
А. с. всегда квазикомпактно.
А. с. образуют категорию, если морфпзмами А. с. счи-
считать морфизмы этих схем как локально окольцованных
пространств. Каждый гомоморфизм колец ср: А—у В оп-
определяет морфизм А. с: (Spec В, В)—>-(Spec А, А), состоя-
состоящий из непрерывного отображения аф: Spec В—>-Speo A
(<2ф(;р)=ф-1(р) для ??.Spec В) и гомоморфизма пучков
колец ф: А->афи. (В), переводящего сечение а/f" пучка А
над множеством D (/) в сечение ф(а)/ф(/"). Морфизмы
произвольной схемы (X, Qx) B А. с. (Spec А, А) (назы-
(называемые также Х-э начными точками схе-
м ы Spec А) взаимно однозначно соответствуют гомомор-
гомоморфизмам колец А-+Г{Х, 0х)', тем самым сопоставление
A\—>(Spec А, А) является контравариантным функто-
функтором из категории коммутативных колец с единицей в
категорию А. с, устанавливающим антиэквивалент-
антиэквивалентность этих категорий. В частности, в категории А. с.
существуют конечные прямые суммы и расслоенные
произведения, двойственные конструкциям прямой
суммы и тензорного произведения колец. Морфизмы
А. с, соответствующие сюръективным гомоморфизмам
колец, наз. замкнутыми вложениями А. с.
Наиболее важными примерами А. с. являются аффин-
аффинные многообразия; другими примерами служат аффин-
аффинные групповые схемы.
Подобно тому, как строится пучок А, для любого
А -модуля М может быть построен пучок А -модулей
М на Spec A, для к-рого
Г (?>(/), М) = Мf=M (g) Af.
Такие пучки являются квазикогерентными пучками. Ка-
Категория А -модулей эквивалентна категории квазикоге-
квазикогерентных пучков А -модулей на Spec A; проективным
модулям соответствуют локально свободные пучки. Ко-
гомологии квазикогерентных пучков на А. с. описыва-
описываются теоремой Серра:
Hi (Spec А, М) = 0 при q > 0.
Обращение этой теоремы — критерий аффин-
аффинности Серра— утверждает, что если (X, Qx) —
квазикомпактная отделимая схема и Н1(Х, F) = 0 для
любого квазикогерентного пучка (Зх-М°дулей F, то X
есть А. с. Существуют и другие критерии аффинности
(см. [1], [4]).
Лит.; [1] Grothendieck A., Elements de geometrie
algebrique, t. 1, P., 1960; [2] Дьедонне Ж., «Математика»,
1965, т. 9, № 1, с. 54—126; [3] М а н и н Ю. И., Лекции по ал-
алгебраической геометрии, ч. 1, М., 1970; [4] Goodman J.,
Hartshorne R., «Amer. J. Math.», 1969, v. 91, № 1,
p. 258—66. В. И. Данилов, И. В. Долгачев.
АФФИННАЯ УНИМОДУЛЯРНАЯ ГРУППА, э к-
виаффинная группа,— подгруппа общей аф-
аффинной группы, состоящая из аффинных преобразова-
преобразований п-мерного аффинного пространства
удовлетворяющих условию det(A/)=i. Если истолко-
истолковать величины х1 и х1 как прямоугольные координаты
точек в п-мерном евклидовом пространстве Еп, то пре-
преобразование (*) сохраняет объемы n-мерных областей
пространства Еп. Это позволяет ввести понятие объема
в эквиаффинном пространстве — пространстве с фунда-
фундаментальной А. у. г. Если в формулах (*) положить
а' = 0, то возникает центроаффинная унимодулярная
группа преобразований, изоморфная группе всех мат-
матриц порядка п с определителем, равным единице. Такая
группа матриц наз. унимодулярной груп-
группой порядка п и обозначается через SL (п).
А. П. Широков.
АФФИННОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ МНОЖЕСТВО,
аффинное алгебраическое & - м н о ж е-
с т в о,— множество решений нек-рой системы алгеб-
раич. уравнений. Пусть к поле и к — его алгебраич.
замыкание. Подмножество X декартова произведения
к" наз. аффинным алгебраическим fc-
множеством, если его точки являются общими
нулями нек-рого семейства S многочленов кольца к [ Т] =
= k[Tlt ..., Тп]. Множество Ж% всех многочленов из
к [7\, ..., Тп], обращающихся в нуль на X, образует
идеал, к-рый наз. идеалом аффинного ал-
алгебраического fc-множества. Идеал Шх
совпадает с радикалом идеала /(?), порожденного се-
семейством 5, т. е. с множеством таких многочленов
? [7\, ..., Тп], что fm^I(S) для нек-рого натураль-
ного та. А. а. м. X и Y совпадают тогда и только тогда,
когда Жх=^Иу- А. а. м. X может быть задано системой
образующих идеала %х- В частности, всякое А. а. м.
может быть задано конечным числом многочленов
(/ь • ••>/*)€* I7"]- Равенства Д=.. .=fk=0 наз. у_р а в-
нениями А. а. м. X. А. а. м. пространства А" об-
образуют решетку относительно операций пересечения и
объединения. При этом идеал пересечения Xf\Y совпа-
совпадает с суммой идеалов 91_у + 91 j^, а идеал объединения
X\JY ~- с пересечением идеалов 91хП^к- Все множе-
множество к" является А. а. м., к-рое наз. аффинным
пространством над полем к и обозна-
обозначается А1^; ему соответствует нулевой идеал. Пустое
подмножество множества к" тоже есть А. а. м. с еди-
единичным идеалом. Факторкольцо к [X]=fc [Т]/Щ.х наз.
координатным кольцом А. а. м. X. Оно
отождествляется с кольцом /с-регулярных функций на X,
т. е. с кольцом Л-значных функций / : Х-у-к, для к-рых
существует такой многочлен F?k[T], что f(x) = F(x)
для всех х?Х. А. а. м. X наз. неприводимым,
если оно не является объединением двух собственных
аффинных алгебраич. подмножеств. Эквивалентное оп-
определение состоит в том, что идеал Жх должен быть
простым. Неприводимые А. а. м. вместе с проективными
алгебраич. множествами являлись объектами классиче-
классической алгебраич. геометрии. Они наз. соответственно
аффинными алгебраическими мно-
многообразиями и проективными алгеб-
алгебраическими многообразиями над по-
полем к (или ^-многообразиями). А. а. м. наделяются
структурой топологич. пространства. Замкнутыми мно-
множествами этой топологии (Зариского топологии) яв-
являются неприводимые аффинные алгебраич. подмноже-
подмножества. А. а. м. неприводимо тогда и только тогда, когда
оно неприводимо как топологич. пространство. Даль-
Дальнейшее развитие понятия А. а. м. приводит к понятиям
аффинного многообразия и аффинной схемы.
Лит.: [1] Зарисский О., Самюэль П., Коммута-
Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 2, М., 1963; [2] Ша ф а р е-
вич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972.
И. В. Долгачев, В. А. Псковских.
АФФИННОЕ КРУЧЕНИЕ — один из дифференци-
дифференциальных инвариантов пространственной кривой в экви-
аффинном пространстве:
т=—(г", г'", WV),
где штрихи означают производные по аффинному пара-
параметру от радиус-вектора кривой. Аналогичные понятия
вводятся для кривых в пространствах с другими фунда-
фундаментальными группами, напр, центроаффинной.
А. П. Широков.
АФФИННОЕ МНОГООБРАЗИЕ, аффинное ал-
алгебраическое многообразие,— обоб-
обобщение понятия аффинного алгебраического множества.
А. м. есть приведенная аффинная схема X конечного
типа над полем к, т. е. X=Spec А, где А — коммутатив-
коммутативная ^-алгебра конечного типа без нильпотентных эле-
элементов. А. м. X=Spec к [Тъ ..., Тп], щек [Тъ ..., Та]
— кольцо многочленов над полем к, наз. аффин-
аффинным пространством над к и обозначается
А%. Аффинная схема является А. м. тогда и только тог-
тогда, когда она изоморфна приведенной замкнутой под-
подсхеме аффинного пространства. Каждая система обра-
образующих хх, ...,хп ^-алгебры А определяет сюръектив-
ный гомоморфизм ср: к[Ти ..., Тп]—уА, определяемый
формулой фG'1-) = а;1-. Пусть к — алгебраич. замыкание
поля к. Подмножество множества к", состоящее из об-
общих нулей всех многочленов идеала ker ф, является аф-
аффинным алгебраич. множеством над полем к. Коорди-
Координатное кольцо такого аффинного алгебраич. множества
изоморфно кольцу А. В свою очередь каждое аффинное
алгебраич. множество X над полем к определяет А. м.
Spec к [X], где к [X] — координатное кольцо X. При
этом множество точек А. м. находится во взаимно одно-
однозначном соответствии с неприводимыми подмногообра-
подмногообразиями соответствующего аффинного алгебраич. множе-
множества.
С каждым А. м. X = Spec А связан функтор на кате-
категории Л-алгебр, определяемый соответствием
B—+X(B) = Homk-aie{A, В).
В случае, когда В = к (соответственно В = к), элементы
множества X (к) (соответственно X (к)) наз. геомет-
геометрическими (соответственно рациональны-
рациональными) т о ч к а м и А. м. X. Множество X (к) находится
в биективном соответствии с множеством максимальных
идеалов Specm (А) кольца А, а также с множеством
точек любого аффинного алгебраич. множества F, коор-
координатное кольцо к-рого изоморфно А . При этом спект-
спектральная топология в пространстве X индуцирует на
всюду плотном подмножестве Specm (А) топологию,
к-рая соответствует топологии Зариского на V.
АФФИННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ е в к ли д оУа
пространства — взаимно однозначное точечное
отображение плоскости или пространства на себя, при
к-ром трем точкам, лежащим на одной прямой, соот-
соответствуют три точки, также лежащие на одной прямой.
Таким образом, при А. п. прямые переходят в прямые.
А. п. плоскости переводит пересекающиеся прямые в
пересекающиеся, параллельные — в параллельные.
При А. п. пространства каждая плоскость аффинно
отображается на нек-рую плоскость; при этом пересе-
пересекающиеся плоскости переходят в пересекающиеся, па-
параллельные — в параллельные. Кроме того, сохраняет-
сохраняется взаимное расположение двух прямых: пересекающие-
пересекающиеся прямые переходят в пересекающиеся, параллель-
параллельные — в параллельные, скрещивающиеся — в скрещи-
скрещивающиеся.
При А. п. отношение направленных отрезков, лежа-
лежащих на одной прямой или на параллельных прямых,
равно отношению их образов. Сохраняется также отно-
отношение площадей двух квадрируемых фигур (на евкли-
евклидовой плоскости) и отношение объемов двух кубируе-
мых тел (в евклидовом пространстве). При А. п. мно-
множество векторов плоскости (пространства) взаимно
однозначно отображается на множество векторов плос-
плоскости (пространства) и это отображение является ли-
линейным. А. п. задается в аффинной системе координат не-
невырожденным (неоднородным) линейным преобразовани-
преобразованием; таким образом, в случае плоскости А. п. аналитиче-
аналитически выражаются при помощи формул
х' = с11х+е12у+с13,
у' = с21х+с
с дополнительным требованием
п с12 _^
Аналогично задаются А. п. в пространстве.
При А. п. алгебраич. линия переходит в алгебраиче-
алгебраическую; при этом порядок линии сохраняется. В частно-
частности, линия 2-го порядка переходит в линию 2-го по-
порядка, причем эллипсы переходят в эллипсы, гипербо-
гиперболы—в гиперболы, параболы — в параболы и т. д.
Примеры А. п.: изометрич. преобразование, пре-
преобразование подобия, равномерное сжатие плоскости
к прямой. Всякое А. п. плоскости является произве-
произведением изометрич. преобразования и двух равномерных
сжатий к двум взаимно перпендикулярным прямым.
Всякое А. п. пространства является произведением изо-
изометрич. преобразования и трех равномерных сжатий
к трем попарно перпендикулярным плоскостям.
А. п. образуют группу; преобразования подобия со-
составляют подгруппу этой группы; множество изомет-
рич. преобразований — подгруппу группы преобразо-
преобразований подобия.
А. п. являются самыми общими взаимно однознач-
однозначными отображениями плоскости (пространства) на се-
себя, сохраняющими прямые линии.
Лит.: [1] Александров П. С, Лекции по аиалитиче.
ской геометрии..., М., 1968; [2] П о с т н и к о в М. М., Анали-
Аналитическая геометрия, М., 1973. А. С. Пархоменко.
АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО над полем к -
множество А (элементы к-рого наз. точками А. п.),
к-рому сопоставлены векторное пространство L над k
(наз. пространством присоединенным к А) и отображение
множества АХ А в пространство L (образ элемента
(а, Ь) ?А ХА обозначается ab и наз. вектором с
началом аи концом Ь), обладающее свойст-
свойствами:
для любой фиксированной точки а отображение а—>-яж,
х?А, является бнекцией А на L,
для любых точек а, Ь, с?А выполняется соотно-
соотношение Шаля:
ab-\-bc-i-ca = 0, где 0 — нулевой вектор.
Размерностью А. п. А наз. размерность L. Точка а?А
и вектор l?L определяют другую точку, обозначаемую
а-\-1, т. е. аддитивная группа векторов пространства L
транзитивно и свободно действует на А. п., соответст-
соответствующем L.
Примеры. 1) Множество векторов пространства
L является А. п. A (L), присоединенное к нему прост-
пространство совпадает с L. В частности, поле скаляров есть
А. п. размерности 1. Если L = k", то А (кп) наз.
n-м ерным координатным А. п. над полем к,
точки его а=(а1, ..., а„) и Ь=(Ь1, ..., Ь„) определяют
вектор ab=(b1-~a1, ..., bn — an).
2) Дополнение к любой гиперплоскости в проектив-
проективном пространстве над полем к является А. п.
3) Множество решений системы линейных (алгебраи-
(алгебраических или дифференциальных) уравнений является
А. п., присоединенным к к-рому является пространство
решений соответствующей однородной системы уравне-
уравнений.
Подмножество А' А. п. А наз. аффинным под-
подпространством (или линейным много-
многообразием) в А, если множество векторов ab,
а, Ь?А образует подпространство пространства L.
Каждое аффинное подпространство А'аА имеет вид
a-\-L'= {a-\-l | l?L'}, где V — нек-рое подпростран-
подпространство в L, а а — произвольный элемент из А'.
Отображение /: А1-+А2 А. п. Аг «.:. наз. а ф ф и н-
н ы м, если существует линейное отображение при-
присоединенных векторных пространств tp: L1-+L2 такое,
что j(a-]-l)=f{a)-\-cp(l) для любых а^Аг, l^L^. Биек-
Биективное аффинное отображение наз. аффинным
изоморфизмом. Все А. п. одинаковой размер-
размерности аффинно изоморфны между собой.
Аффинные изоморфизмы А. п. А в себя
образуют группу, наз. аффинной группой
А. п. А и обозначаемую Aff (А). Аффинная группа А. п.
А (кп) обозначается Aiin(k). Каждый элемент /?Aff(&)
задается формулой
/(К. ..., ап)) = (ьи •••. fc«)-
где
j
(а\) — обратимая матрица. Аффинная группа Aff (Л)
содержит инвариантную подгруппу, наз. подгруп-
подгруппой параллельных переносов, состоя-
щую из отображений /: А-+А, для к-рых отображение <р:
L-+L является тождественным. Эта группа изоморфна
аддитивной группе векторов пространства L. Отображе-
Отображение /—>-ф определяет сюръективный гомоморфизм Aff (А)
в общую линейную группу GL, ядром к-рого является
подгруппа параллельных переносов. Если L — евкли-
евклидово пространство, то прообраз ортогональной группы
наз. подгруппой евклидовых движе-
н и й. Прообраз специальной линейной группы SGL
наз. эквиаффинной подгруппой (см.
Аффинная унимодулярная группа). Подгруппа Gacz
cAifn(A), состоящая из отображений /: А-+А таких,
что f(a-\-l) = a-\-(f(l) для нек-рого а?А и любых l?L,
наз. центроаффинной подгруппой, она
изоморфна общей линейной группе GL пространства L.
В алгебраич. геометрии А. п. также наз. аффинные
алгебраические множества, аффинные многообразия или
аффинные схемы специального вида. Каждое конечно-
конечномерное А. п. можно, в свою очередь, снабдить структу-
структурой аффинного алгебраич. множества, снабженного то-
топологией Зариского.
Аналогично строится А. п., ассоциированное с век-
векторным пространством над телом к.
Лит.: [1]Вурбаки Н., Алгебра. Алгебраические струк-
структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М,,
1962 И. В. Долгачев, А. П. Широков.
АФФИННОЕ ПСЕВДОРАССТОЯНИЕ - число р =
= {ММ*, t), равное модулю векторного произведения
векторов ММ* и t, где М* — произвольная точка в
эквиаффинной плоскости, М — точка на плоской кри-
кривой r=r(s), s— аффинный параметр кривой, a t=dr/ds—
касательный вектор в точке М. Это число р наз. А. п.
от М* до М. Если точку М* зафиксировать, а точку М
перемещать по кривой, то А. п. от М* до М принимает
стационарное значение тогда и только тогда, когда М*
оказывается расположенной на аффинной нормали кри-
кривой в точке М. Аналогично можно определить А. п.
в эквиаффинном пространстве после задания гиперпо-
гиперповерхности. А. П. Широков
АФФИННОЕ РАССТОЯНИЕ — инвариант, опреде-
определяемый двумя линейными элементами в эквиаффинной
плоскости. Линейным элементом (М, т) наз. совокуп-
совокупность точки М и проходящей через нее прямой т. Для
двух линейных элементов (М, т) и (N, п) А. р. равно
2//', где / — площадь треугольника MNP, Р — точка
пересечения прямых гавл.А. р. для двух линейных эле-
элементов, касающихся параболы, равно аффинной длине
дуги этой параболы (см. Аффинный параметр). В трех-
трехмерном эквиаффинном пространстве тоже определяется
А. р., если пользоваться элементами, состоящими из
попарно инцидентных точки, прямой и плоскости.
„ А. П. Широков
АФФИННЫМ МОРФИЗМ - морфизм схем /. X-+S
такой, что прообраз любой открытой аффинной подсхе-
подсхемы в S является аффинной схемой; при этом схема X
наз. аффинной 5-схемой.
Пусть S — схема, А — квазикогерентный пучок Cs-
алгебр и пусть [/,- — открытые аффинные подсхемы в S,
образующие покрытие схемы S. Тогда склейка аффин-
аффинных схем Spec T(Ui, А) определяет аффинную 5-схему,
обозначаемую Spec A . Обратно, любая аффинная 5-схе-
ма, определяемая А. м. /: X—>S, изоморфна (как схема
над S) схеме Spec f#(Qx)- Множество 5-морфизмов S-
схемы /: Z—>S в аффинную 5-схему Spec А находится
в биективном соответствии с гомоморфизмами пучков
<95-алгебр ^-^/*Fz)-
Замкнутые вложения схем или произвольные морфиз-
мы аффинных схем являются А. м.; другие примеры
А. м. доставляют целые морфизмы и конечные морфиз-
мы. Так, морфизм нормализации схемы есть А. м. Свой-
Свойство морфизма быть А. м. сохраняется при композиции
и замене базы.
Лит.: [1] ГротендикА., В сб.: Международный мате-
математический конгресс в Эдинбурге. 1958, М., 1962, с 116—37;
[2]Дьедонне Ж., «Математика», 1965, т. 9, № 1, с. 54—126.
_ В. И. Данилов, И. В. Долгачев.
АФФИННЫЙ ПАРАМЕТР, аффинная длина
дуг и,— параметр на кривой, к-рый сохраняется при
преобразованиях аффинной группы и для определения
к-рого необходимо знать производные от радиус-
вектора кривой наиболее низкого порядка. Больше
всего известен параметр, инвариантный по отношению
к эквиаффинной, т. е. аффинной унимодулярной группе.
Для плоской кривой r=r(t) такой А. п. вычисляется
по формуле
Кг, г) |1/3 dt,
где (г, г) —косое произведение векторов га г. В част-
частности, для аффинной длины дуги М0Мг параболы А. п.
s=2/'^3, где / — площадь треугольника, образованного
хордой MqM± и касательными к параболе в точках Ма
и М1. Аналогично вводится А. п. пространственной кри-
кривой в геометрии общей аффинной группы или какой-
либо ее подгруппы. А. П. Широков.
АФФИННЫЙ РЕПЕР - совокупность п линейно не-
независимых векторов е,- (?=1,2, . . ., га) re-мерного аф-
аффинного пространства Ап и точки О. Точка О наз. на-
начальной точкой, а векторы е,- — масштабными вектора-
векторами. По отношению к А. р. каждая точка М определяет-
определяется га числами — координатами х', входящими в разло-
разложение радиус-вектора ОМ по масштабным векторам:
OM=xses. Задание двух А. р. определяет единственное
аффинное преобразование пространства Ап, переводя-
переводящее первый репер во второй (см. также Аффинная сис-
система координат). А.П.Широков.
АФФИННЫЙ ТЕНЗОР - элемент тензорного про-
произведения р экземпляров га-мерного векторного прост-
пространства Еп и q экземпляров дуального ему векторного
пространства Еп- Такой тензор наз. тензором типа
(р, q), а число р+g определяет валентность тензора. Пос-
После выбора в пространстве Еп базиса {е,-} А. т. типа (р, q)
определяется с помощью пР + ч координат Т)\"\)р,
преобразующихся при замене базиса ei'=Ai-e,s по зако-
закону
где A)' A's =6/'. Принято говорить, что по верхним
индексам координаты тензора преобразуются контрава-
риаНТНО, а ПО НИЖНИМ — КОВарИЭНТНО. А. П. Широков.
АФФИНОР — аффинный тензор типа A,1). Задание
А. с координатами // эквивалентно заданию эндомор-
эндоморфизма векторного пространства по правилу v' — fiv5.
Тождественному эндоморфизму отвечает единичный А.
Соответствие, относящее каждому А. матрицу ||/}||,
осуществляет изоморфизм между алгеброй А. и алгеб-
алгеброй матриц. Иногда в литературе А. определяется как
общий аффинный тензор. д п Широков
АЦИКЛИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ — компонента мно-
множества разделяющих точек и концевых точек конти-
континуума. А. А. Мальцев.
АЦИКЛИЧНЫЙ КОНТИНУУМ — континуум с три-
тривиальными гомологии группами. П. С. Александров.
АЭРОДИНАМИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ —
задачи, связанные с решением основных уравнений
аэродинамики, к-рые точно описывают законы движения
газообразной среды и ее силового взаимодействия с дви-
движущимися в этой среде твердыми телами. Исключение
составляет турбулентность, для к-рой не построена
сколько-нибудь удовлетворительная математич. мо-
модель. Те процессы, при к-рых турбулентность не возни-
кает пли не играет существенной роли, могут быть в
принципе достаточно полно исследованы с помощью
математич. решения соответствующих уравнений. Ре-
Реальные возможности решения отстают от принципиаль-
принципиальных, и на основе оценок порядков различных членов в
уравнениях создаются упрощенные математич. модели
для различных классов аэродинамйч. процессов, в
к-рых отброшены те или другие «малые» члены из пол-
полной системы уравнений аэродинамики. Даже для таких
упрощенных моделей возможность получения аналитич.
решений ограничена простейшими случаями и в реше-
решении практич. задач аэродинамики широко использова-
использовались численные методы. С появлением ЭВМ численные
методы стали главенствующими.
В соответствии с характером уравнений А. м. з.
можно разбить на четыре крупных раздела.
1) Задачи аэродинамики идеальной (невязкой и нете-
нетеплопроводной) жидкости. Слово «жидкость» применяется
здесь в общем смысле: капельная жидкость и газы.
2) Задачи аэродинамики вязкой жидкости.
3) Задачи аэродинамики излучающего газа.
4) Задачи аэродинамики разреженного газа.
Уравнения идеальной жидкости получаются из об-
общих уравнений при неограниченном возрастании числа
Рейнольдса, характеризующего порядок отношения
инерционных сил к силам вязкости.
Для большинства прикладных задач аэродинамики
самолетов и ракет, гидродинамики корабля числа Рей-
Рейнольдса весьма велики A06—108), так что модель иде-
идеальной жидкости весьма точно описывает процессы об-
обтекания тел в этих условиях, за исключением области
пограничного слоя. Система уравнений аэродинамики
идеальной жидкости:
р —гт- = pg—ggrad p (уравнение движения),
—j-+p div F = 0 (уравнение неразрывности),
— div (pV) (уравнение сохранения
энергии)
(где V — вектор скорости, р — плотность, р — давле-
давление, fif — ускорение силы тяжести, U — внутренняя
энергия) является системой уравнений 1-го порядка от-
относительно искомых функций. Это остается в силе и для
смесей химически реагирующих газов: к упомянутым
уравнениям прибавляются уравнения переноса компо-
компонентов смеси и в уравнении энергии добавится выделе-
выделение тепла вследствие химич. реакций.
Из модели идеальной жидкости выделяется ряд более
упрощенных моделей. Важнейшими являются модель
невесомой и модель несжимаемой жидкости. Первая мо-
модель — предельный случай общей модели при неогра-
неограниченном возрастании числа Фруда, характеризующего
порядок отношений сил инерции к силам тяжести. Эта
модель весьма точна в приложении к аэродинамике са-
самолетов и ракет (число Фруда порядка 102— 103). Однако
для гидродинамики корабля и особенно в метеорологич.
применениях аэродинамики сила тяжести играет су-
существенную роль (число Фруда порядка <gl).
Уравнение несжимаемой жидкости получается из об-
общей системы, если в ней положить плотность p=const.
К этой форме уравнений движения можно придти при
стремлении к нулю числа Маха (отношения характерной
скорости звука в жидкой среде). В общем случае такое
утверждение неверно. Оно справедливо лишь при чис-
числах Фруда Jjsl (должно быть Ma^Fr), а также для про-
процессов, близких к стационарным: число Струхаля (Стро-
ухала) — критерий подобия нестационарных движений
жидкости или газа — порядка <:1.
Модель несжимаемой жидкости наиболее проста. Для
нее вся система уравнений сводится к одному уравне-
нию Лапласа для потенциала скорости Ф (grad <D = F).
Однако только в случае плоскопараллольных движений
невесомой жидкости и осесимметричных движений око-
около тел вращения решение аэродинамич. задач сводится
к классич. задачам теории непрерывного потенциала.
Задача обтекания профиля заданной формы решается
классич. методами конформных преобразований. Обтека-
Обтекание тел вращения под нулевым углом атаки определяет-
определяется классич. решением внешней задачи Неймана для
уравнения Лапласа. Ввиду практич. важности этих
задач (определение характеристик крыловых профи-
профилей, фюзеляжей) были разработаны многочисленные
приемы их решения, позволившие относительно просты-
простыми вычислениями получить приемлемую точность ре-
решения. При использовании ЭВМ эти приемы теряют
свой смысл, так как точные численные методы решения
указанных задач относятся к простейшим задачам вы-
вычислительной математики.
В пространственном случае формальное решение за-
задачи Неймана для потенциала скоростей лишь в исклю-
исключительных случаях может соответствовать физически
реальной картине обтекания. В вязкой жидкости за те-
телом следует вихревой след. При увеличении числа Рей-
нольдса этот след утоныпается (при безотрывном обте-
обтекании) и в пределе переходит в бесконечно тонкую вих-
вихревую поверхность, интенсивность вихревого слоя к-рой
лишь в редких случаях обращается в нуль (напр., при
плоскопараллельных движениях). Поэтому реальными
пространственными задачами несжимаемой жидкости
являются задачи с разрывным потенциалом скорости в
области течения. Положение этой поверхности разрыва
неизвестно, поэтому точная задача обтекания простран-
пространственных тел при наличии поверхностей разрыва по-
потенциала в потоке является весьма сложной нелиней-
нелинейной задачей. Лишь в линейном приближении, то есть в
предположении, что обтекаемое тело мало возмущает
основной равномерный поток (тонкое крыло под малым
углом атаки), задача получила решение. В этом случае
вихревую поверхность можно считать горизонтальной,
условием на ней — постоянство разрыва потенциала
вдоль потока. На площади проекции тела заданы нор-
нормальные производные от потенциала скорости. В этой
постановке были получены аналитич. решения (для
круглого и эллиптич. крыла). Для любой же формы кры-
крыла разработаны численные методы решения, к-рые де-
делают задачу достаточно простой (см. Крыла теория).
В задачах для случая тяжелой жидкости основная
трудность состоит в нелинейных граничных условиях
для потенциала на свободной поверхности. В точной
постановке решены лишь плоские задачи теории волн.
Весьма мало продвинута пространственная задача о
волнах конечной амплитуды. В то же время в линеари-
линеаризованной постановке (малые амплитуды волн) задача ис-
исследована достаточно полно, и именно линейная теория
является основой расчета волнового сопротивления
корабля.
Выход летательных аппаратов на большие околозву-
околозвуковые и сверхзвуковые скорости стимулировал быстрое
развитие методов решения задач аэродинамики сжимае-
сжимаемой жидкости. Методы существенно различны в разных
диапазонах скоростей: дозвуковые скорости течений,
трансзвуковые и сверхзвуковые. В дозвуковом диапазо-
диапазоне уравнения аэродинамики остаются эллиптическими
и качественный характер решений сохраняется тем же,
что и для несжимаемой жидкости.
В начальный период исследований по аэродинамике
сжимаемой жидкости были выполнены многочисленные
работы, позволяющие оценивать влияние сжимаемости
на аэродинамич. характеристики обтекаемых тел. Все
эти методы в том или ином виде Использовали линеари-
линеаризацию относительно скорости невозмущенного потока.
Исключением явился метод Христиановича, который
позволял находить точные решения уравнений дозву-
дозвуковой аэродинамики, но для тела неизвестной заранее
формы.
Задачи дозвуковой аэродинамики в практике имеют те
же трудности, что и соответствующие задачи для несжи-
несжимаемой жидкости: решение задач для плоскопараллель-
плоскопараллельных и осесимметричных течений может быть получено
численными методами без значительных трудностей
(интегральных соотношений метод, установления ме-
метод). В случае пространственных течений с разрывным
потенциалом скоростей решение может быть получено
лишь для линеаризированных уравнений. Но эти по-
последние элементарным преобразованием сводятся к
уравнениям для несжимаемой жидкости с условиями на
границе и на поверхности разрыва, аналогичными не-
несжимаемой жидкости.
Наиболее сложной для математич. решений (в том
числе и численных) является область трансзвуковой аэ-
аэродинамики. Наличие местных сверхзвуковых (гипербо-
(гиперболических) зон, заканчивающихся почти всегда ударны-
ударными волнами, не позволяет вводить к.-л. аналитич. ап-
аппроксимации. В то же время эти задачи обладают глав-
главным недостатком уравнений эллиптич. типа — распро-
распространение влияния любого возмущения на все простран-
пространство. Для решения задач трансзвуковой аэродинамики
наиболее подходящим является метод установления, за-
заключающийся в том, что решается нестационарная аэро-
динамич. задача (исходя из произвольного начального
состояния), а решение стационарной задачи обтекания
тела трансзвуковым потоком получается как предел ре-
решения нестационарной задачи при стремлении времени
к бесконечности. Метод этот весьма трудоемкий, но по
мере роста эффективности ЭВМ он становится практиче-
практически вполне осуществимым.
Сверхзвуковая аэродинамика по методам математич.
исследований разделяется на три области.
1) Чисто сверхзвуковые течения.
2) Смешанные течения, с образованием локальных
дозвуковых зон.
3) Высокотемпературные гиперзвуковые течения, при
к-рых в газе возникают химич. реакции.
При более высоких скоростях и, как следствие, темпе-
температурах возникает ионизация и существенными стано-
становятся процессы излучения. Эта часть гиперзвуковой
аэродинамики выделяется в специальный раздел, так
как математич. задачи, связанные с указанными про-
процессами, резко отличаются от задач «прозрачного» газа.
Задачи чисто сверхзвуковых течений наиболее полно
исследованы. Разработанные здесь численные методы ха-
характеристик, конечно разностный методы и полухарак-
полухарактеристические позволяют сравнительно просто рассчи-
рассчитывать не только плоскопараллельные или осесиммет-
ричные течения, но и пространственные. Исчерпываю-
Исчерпывающе разработана также линейная теория сверхзвуковых
течений. Для очень многих практических задач она
позволяет получать решения в аналитической форме.
Некоторую сложность в этих задачах представляют
случаи возникновения слабых ударных волн. Но и
эти трудности вычислительного, а не принципиально-
принципиального характера.
В практическом отношении эти задачи ограничивают-
ограничиваются обтеканием заостренных тел, а также задачами вну-
внутренней аэродинамики (расчет сопел). В то же время
при больших сверхзвуковых скоростях не используются
заостренные тела (обгорание острых кромок), а у затуп-
затупления обязательно образуется местная дозвуковая об-
область. После расчета этой области дальнейший расчет
течения (уже чисто сверхзвукового) проводится мето-
методами сверхзвуковой аэродинамики.
По сравнению с аэродинамикой трансзвуковых тече-
течений задачи сверхзвуковой аэродинамики с местными до-
дозвуковыми зонами, хотя таковые являются смешанными,
имеют то преимущество, что эти зоны ограничены и
не только ограничены, но представляют собой, как
правило, узкие зоны в окрестности затупления. Имен-
Именно это позволило разработать эффективные численные
методы для расчета местных дозвуковых зон (метод ин-
интегральных соотношений, метод обратных задач, а так-
также метод установления). Следует, однако, отметить, что
строгого математич. исследования этих задач пока
A977) не существует. Нет доказательства существова-
существования и единственности решения. Поэтому численные ме-
методы строятся на основании математич. гипотезы, что
условие непрерывности скоростей и ускорений при пере-
переходе из дозвуковой в сверхзвуковую область выделяет
единственное решение, к-рое и является физически ре-
реальным. Все результаты численных расчетов подтверж-
подтверждают эту гипотезу.
Как уже было сказано, после расчета местной дозву-
дозвуковой зоны (включая сверхзвуковую часть области
влияния), дальнейший расчет течения проводится мето-
методами чисто сверхзвуковой аэродинамики.
Существует еще круг задач, связанных с гиперзвуко-
гиперзвуковым обтеканием тонких тел (до возникновения химич.
реакций). Гиперзвуковые течения возле тонких тел
(исключая область затупления), характеризуются ма-
малыми изменениями составляющей скорости вдоль основ-
основного потока. Этот факт позволяет упростить уравнения
так, что задача обтекания тонкого тела заданной формы
(в плоском и осесимметричном случаях) становится
аналогичной одномерной нестационарной задаче. На
этом пути были получены важные качественные характе-
характеристики гиперзвуковых течений и установлены прибли-
приближенные законы подобия, широко используемые также
при анализе результатов численных расчетов, позволяя
сводить их к весьма компактным зависимостям в широ-
широком диапазоне чисел Маха и геометрич. параметров
тела.
Аэродинамич. задачи для химически реагирующего
газа приводят к необходимости совместного решения
уравнений движения и уравнений химич. кинетики. Не-
Несмотря на все усложнение системы уравнений, числен-
численные методы решения этих задач не отличаются принци-
принципиально от задач аэродинамики совершенного газа,
приводя лишь к значительному увеличению трудоемко-
трудоемкости соответствующих расчетов. Такие расчеты широко
внедрены в практику, и поскольку для этого темпера-
температурного диапазона моделирование натурных условий в
аэродинамич. трубах практически неосуществимо, рас-
расчетные методы являются основным средством определе-
определения аэродинамич. характеристик гиперзвуковых аппа-
аппаратов.
Теория вязкой жидкости имеет два главных направ-
направления — теорию полных уравнений вязкой жидкости
(Навъе — Стокса уравнения) и пограничного слоя тео-
теорию. Уравнения пограничного слоя представляют собой
главный член асимптотич. разложения уравнений
Навье — Стокса вблизи твердой границы, на к-рой
происходит полное или частичное прилипание частиц
жидкости к твердой поверхности. Именно это условие
нарушает коренным образом решения, соответствующие
идеальной жидкости вблизи поверхности обтекаемого
тела. Погрешность уравнений пограничного слоя со-
составляет порядок 1/ I^Re, т.е. эта теория справедлива
при больших числах Рейнольдса (при этом лишь в об-
областях плавного безотрывного обтекания). Несмотря на
то, что уравнения пограничного слоя сохраняют все
основные члены вязких напряжений, математическая
их структура значительно проще. Если полные уравне-
уравнения являются уравнениями эллиптич. типа, то уравне-
уравнения пограничного слоя — параболич. типа с характе-
характеристиками, направленными по нормали к поверхности
тела. Поэтому они дают возможность «послойного» рас-
расчета, т. е. перехода от одного сечения пограничного слоя
к другому, независимо от к.-л. условий вне промежутка
между этими сечениями.
Важное практич. значение теории пограничного слоя
(расчет сопротивления, температур поверхности, ско-
скорости разрушения поверхности при гиперзвуковых ско-
скоростях полета) породило многочисленные приближен-
приближенные методы его расчета (метод Польхаузена, однопара-
метрич. метод Кочина — Лойцянского и др.). Однако
при применении ЭВМ все эти упрощенные приемы стано-
становятся ненужными, так как задача точного численного
решения уравнений пограничного слоя, даже в слож-
сложных случаях химически реагирующего высокотемпера-
высокотемпературного газа, не представляет сколько-нибудь большой
трудности. Численные схемы могут быть построены та-
таким образом, что на каждом шаге по переменной х
(вдоль касательной к контуру тела) система уравнений
разбивается на совокупность разделенных дифференци-
дифференциальных уравнений 2-го порядка, что дает весьма боль-
большие вычислительные преимущества.
Сказанное относится к плоскопараллельным и осесим-
метричным течениям. Трехмерный пограничный слой
имеет более сложную структуру. Сами уравнения трех-
трехмерного слоя существенно зависят от геометрии обтекае-
обтекаемого тела. Методы решения трехмерного пограничного
слоя гораздо меньше разработаны, отчасти потому, что
на практике широко используются расчеты по плоским
сечениям, хотя и мало обоснованные, но дающие во мно-
многих случаях достаточную точность. Для точных урав-
уравнений трехмерного слоя нет принципиальных трудно-
трудностей в решении.
Методы решения полной системы уравнений вязкой
жидкости, за исключением немногих частных случаев,
когда удавалось получать аналитич. решение, начали
развиваться с использованием ЭВМ. Основная трудность
в решении этих уравнений состоит в их высоком по-
порядке и неограниченности области влияния. В простей-
простейшем случае стационарных движений вязкой несжимае-
несжимаемой жидкости с постоянным коэффициентом вязкости
уравнения приводятся к системе двух уравнений 2-го
порядка относительно функции тока if и вихря скоро-
скорости со. В безразмерной форме их можно записать в виде:
Граничные условия на твердых границах имеются толь-
только для функции тока i|>=const, dip/dn=O. Решение этой
нелинейной системы 4-го порядка может быть получено
лишь с помощью нек-рого итерационного процесса.
Итерационный процесс строится таким образом, чтобы
на каждом шаге итерации получались раздельные урав-
уравнения для вихря и функции тока. Это разделение нужно
проводить не только в уравнениях, но и в граничных
условиях. Напр., выбирая за первое приближение реше-
ние уравнений идеальной жидкости, можно получить
следующую систему итераций:
Ш0„ + 1—Z—g^-—Z ^_— _-_-_
при граничных условиях на твердых границах:
ф„ + 1 = const, ш„ + 1 = а-
(здесь ф=1|)— у), т. е. получаем раздельную систему
уравнений для вихря и функции тока в (ге+1)-м при-
приближении. Аналогичным образом можно вести решение
методом установления, однако для этой цели не обяза-
обязательно брать реальную систему нестационарных уравне-
уравнений, а можно рассмотреть более удобную для числен-
численных расчетов систему параболич. уравнений:
dt ~ \8у вх дх ду)
Задача обтекания тел вязкой жидкостью требует не
только разработки методов расчета, но и принципиаль-
принципиальных исследований. Не ясен вопрос существования ста-
стационарного решения при больших числах Рейнольдса
(напр., при обтекании цилиндра). Численные методы по-
позволяют найти решение до числа Рейнольдса порядка
нескольких сотен, но при больших значениях этого чис-
числа численные расчеты не дают сходимости.
В аэродинамике излучающего газа и аэродинамике
разряженного газа решены задачи лишь для простейших
случаев движения газа. Однако практическая важ-
важность этих вопросов привела к появлению — как в том,
так и в другом разделе — упрощенных математич. мо-
моделей явлений, к-рые часто вообще не являются к.-л.
предельными случаями полных уравнений (модель серо-
серого излучения, модель диффузного излучения в теории
излучающего газа, модель Крука в теории разряженно-
разряженного газа), а лишь качественно отражают зависимости,
содержащиеся в полных уравнениях. Решение задач
этих разделов не может быть получено малыми объема-
объемами вычислений и успешное их разрешение зависит от
повышения эффективности ЭВМ.
Лит.: [1]К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. А., Р о з е Н. В.,
Теоретическая гидромеханика, ч. 1—2, М., 1963; [2] X р и с т и а-
н о в и ч С. А., Обтекание тел газом при больших дозвуковых
скоростях, М., 1940; [3] С е д о в Л. И., Плоские задачи гидро-
гидродинамики и аэродинамики, 2 изд., М., 1966; [4] Hayes W.,
Probstein R., Hypersonic flow theory, N. Y.—L., 1959;
[5] Черный Г. Г., Течения газа с большой сверхзвуковой
скоростью, М., 1959; [6] Белоцерковский О. М.,
Чушкин П. И., в кн.; Basic developments in fluid dynamics,
v. 1, N. Y.—L., 1965; f7] Ч у ш к и н П. И., Метод характеристик
для пространственных сверхзвуковых течений, М., 1968; [8] Об-
Обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком газа, 2 изд.,
М., 1967; [9]Metody numeryczne w mechanice plynow, Wroclaw,
1969. А.А.Дородницын.
ВАЗА топологического простран-
пространства X {база топологии, базис топо-
топологии, открытая база) — семейство 58 от-
открытых подмножеств X такое, что каждое открытое мно-
множество GdX является объединением элементов t'cS.
Понятие В.— одно из основных в топологии: во многих
вопросах, относящихся к открытым множествам нек-ро-
го пространства, достаточно ограничиться рассмотрением
элементов его Б. Пространство может иметь много В.,
наибольшую из к-рых образует семейство всех открытых
множеств. Минимум мощностей всех Б. наз. весом
топологич. пространства X. В пространстве веса т су-
существует всюду плотное множество мощности <т. Про-
Пространства со счетной Б. наз. также пространст-
пространствами со второй аксиомой с ч е т н о с т и.
Двойственное понятие замкнутой В., образо-
образованной дополнениями к элементам Б., мало употреби-
употребительно.
Локальной Б. пространства X в точке х?Х
{базой точки х) наз. семейство 58 (х) его открытых
множеств, обладающее свойством: для любой окрест-
окрестности Ох точки х найдется элемент V?$8(x) такой, что
x^VaOx. Пространства, имеющие счетную локальную
Б. в каждой точке, наз. также пространствами
с первой аксиомой счетности. Семейст-
Семейство 93 открытых в X множеств является Б. тогда и только
тогда, когда оно является локальной Б. каждой его
точки х?Х.
Пусть m, n — нек-рые кардинальные числа. Б. 58
пространства X наз. m-точечной, если каждая
точка х?Х принадлежит не более чем т элементам
семейства 58; в частности, при т=1 Б. наз. дизъ-
дизъюнктной, при конечном m — точечно ко-
конечной, при nt=ft0 — точечно счетной.
Б. 93 пространства X наз. tn-локальной, если
для каждой точки х?Х существует ее окрестность Ох,
пересекающаяся с не более чем m элементами семейства
93; в частности, при ш=1 Б. наз. дискретной,
при конечном m — локально конечной, при
m=ft0 — локально счетной. Б. 58 наз. п-
-1П -точечной (п-пг -локальной), если
она является объединением множества мощности nm-
точечных (m-локальных) Б.; таковы, напр., при n=ft0
о-дизъюнктные, а-точечно конеч-
конечные, ст-дискретные, О-локально ко-
конечные Б.
Эти понятия находят применение главным образом в
критериях метризуемости пространств. Так, простран-
пространство со счетной Б. или с первой аксиомой счетности и
точечно счетной Б. метризуемо; регулярное простран-
пространство с о-дискретной или с а-локально конечной Б. мет-
рпзуемо (обратное верно, однако, лишь для первого ут-
утверждения) .
Б. 58 пространства X наз. равномерной (к-
равномерной), если для каждой точки х?Х
(каждого бикомпактного подмножества F) и каждой ее
(его) окрестности Ox (OF) лишь конечное число элемен-
элементов Б. содержит х (пересекается с F) и одновременно
пересекается с дополнением X\Ox(X\OF). Простран-
Пространство X метризуемо тогда и только тогда, когда оно яв-
является паракомпактом с равномерной Б. (колмогоров-
ским, или Г0-пространством с ^-равномерной Б.).
В. $В пространства X наз. регулярной, если
для каждой точки х?Х и произвольной ее окрестности
Ох существует такая окрестность О'х, что множество
всех элементов В., пересекающихся одновременно с
О х ж Х\Ох, конечно. Для метризуемости достижимо-
достижимого или ^-пространства необходимо и достаточно нали-
наличие в нем регулярной Б.
Обобщением понятия Б. является так наз. я - б а з а
(решеточная Б.) — семейство 33 открытых в про-
пространстве X множеств такое, что каждое непустое от-
открытое в X множество содержит непустое множество из
33, т. е. УЗ плотно в X по Хаусдорфу. Всякая Б. явля-
является я-базой; обратное неверно, напр., в Стоуна — Чеха
бикомпактном расширении в 2!+" множества натураль-
натуральных чисел множество 2!+ образует лишь я-ба.зу.
Лит.: [1] Александров П. С, Колмогоров
А. Н., Введение в общую теорию множеств и функций, М.—Л.,
1948; [2] У р ы с о н П. С, Труды по топологии и другим обла-
областям математики, т. 1—2, М.—Л., 1951; [3] Александров
П. С., Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности.
Введение в теорию топологических пространств и общую теорию
размерности, М., 1973; [4] Архангельский А. В.,
Пономарев В. И Основы общей топологии в задачах и
упражнениях, М., 1974; 15] Б у р б а к и Н., Общая топология.
Основные структуры, пер. с франц., М., 1968. А. А. Мальцев.
ВАЗИС множества X — минимальное порож-
порождающее его подмножество В. Порождение озна-
означает, что применением операций нек-рого класса Я
к элементам Ь?В получается любой элемент х?Х.
Это понятие связано с понятием зависимости: элементы
X посредством операций из Q ставятся в зависимость от
элементов В. Минимальность означает, что
никакое собственное подмножество В' ?5 не порождает
X. Это свойство обусловливает в нек-ром смысле неза-
независимость его элементов: никакой элемент Ь?В не
порождается остальными его элементами. Напр., мно-
множество всех натуральных чисел 2д> имеет Б. единствен-
единственный элемент 0 и порождается па него операцией ' не-
непосредственного следования и ее итерациями; множест-
множество всех натуральных чисел >1 порождается операцией
умножения нз В., состоящего из всех простых чисел.
Базис алгебры кватернионов состоит
из четырех элементов {1, i,j, к}, если порождающими
операциями являются сложение и умножение на дейст-
действительные числа; если же кроме этих операций исполь-
используется еще и умножение кватернионов, то Б. будет
состоять лишь из трех элементов {1, i, /} (ибо k—tj).
Базис натурального ряда поряд-
порядка к — подпоследовательность Q множества 2!о нату-
натуральных чисел с включением 0, к-рая в результате к-
кратного сложения с собой (операция порождения) дает
все 2о- Это означает, что каждое натуральное число п
представимо в виде
где a,- ?Q. Напр., всякое натуральное число есть сумма
четырех квадратов натуральных чисел (теорема
Л а г р а н ж а), т. е. последовательность квадратов
есть Б. 2!0 порядка 4. Вообще, последовательность т-х
степеней натуральных чисел является Б. 2л (теоре-
(теорема Гильберта), порядок к-рого оценивается
Виноградова методом. Понятие Б. 2о обобщается на
случай произвольных числовых последовательностей,
т. е. функций на 2!0.
Порождающие X множества существуют всегда (три-
(тривиально: X порождает X), однако минимальность мо-
может оказаться принципиально невозможной (подоб-
(подобная ситуация типична для классов Q, содержащих бес-
конечноместные операции, в частности в топологич.
структурах, решетках и т. п.). Поэтому условие мини-
минимальности заменяется более слабым требованием: Б.
есть порождающее множество минимальной мощности.
В связи с этим обычно Б. В определяется как парамет-
параметризованное множество (или семейство), т. е. как
функция bit) на множестве индексов Т со значениями в
X, причем Ъ(Т) = В; мощность Т иногда наз. базис-
базисной размерностью (или рангом) X.
Напр., счетное всюду плотное множество В сепарабель-
ного топологич. пространства Р можно считать его Б.;
Р порождается из В операцией замыкания (к-рая, кста-
кстати, и в более общих случаях родственна порождению,
см. ниже).
Базис топологии топологич. пространства
X (база) — Б. 9? совокупности всех открытых подмно-
подмножеств X; порождение осуществляется объединением эле-
элементов 23.
Базис булевой алгебры 21 (двойствен-
(двойственный базе 21 в смысле Тарского) — плотное множество
(минимальной мощности) S в 2[; порождение 21 из S
(а тем самым и само S) определяется условием s—>-a= V
(что равносильно sera), где s?S, a?21, v — единица
31, «->» — операция импликации. Аналогично вводится
ибазис фильтра V, как множество S такое,
что для любого е? у существует s?S, и sera.
Большинство частных случаев Б. множества X
вводится по следующей схеме. Пусть В (X) — б у л е а н
X, т. е. совокупность всех его подмножеств. Порож-
Порождающим оператором (или оператором
замыкания) / называется отображение В(X) в
себя такое, что: если AczB, то J (A)czJ (В); А с J (А);
SJ(A) = J(A).
Элемент j-?X порождается множеством А,
если x?J(А); в частности, А порождает X, если J(А) =
= Х. Минимальное множество В, обладающее этим
свойством, и наз. базисом X, определенным
оператором /. Порождающий оператор / имеет
конечный тип, если для любых AczX, и х?Х
из z?J(A) следует x?J(A0) для нек-рого конечного
подмножества AoczA; порождающий оператор / обла-
обладает свойством замещения, если для любых
у, z?X и AczX из y(?J (А) и у? J (A (J {z}) следует
z?J(A (J {у}). Порождающий оператор / конечного
типа со свойством замещения определяет на X о т н о-
ш е н и е зависимости, т. е. разбиение В (X) на
два класса — зависимых и независимых множеств; мно-
множество А наз. зависимым, если г/? J(А\у) для
нек-рого у?А,л независимым, если y(?J (А\у)
для любого у?А. При этом А зависимо (независимо)
тогда и только тогда, когда некоторое (любое) не-
непустое конечное подмножество AoczA зависимо (не-
(независимо).
Для того чтобы множество В было Б. множества X,
необходимо и достаточно, чтобы В было независимым
порождающим X множеством или, иначе, максимальным
независимым в X множеством.
Если А — произвольное независимое множество, а
С — порождающее X множество, содержащее А, то
существует Б. В в X такой, что AczBczC. В частно-
частности, X всегда обладает Б., и любые два его Б. равно-
мощны.
В алгебраич. системах X важную роль играет понятие
так наз. свободного базиса В, характери-
характеризующегося следующим свойством: произвольное отобра-
отображение BczX в любую алгебраич. систему У (той же сиг-
сигнатуры) может быть продолжено до (гомо) морфизма X
в У, или, что то же самое, для любого (гомо)морфизма
6: X—>-Y и любого множества АаХ порождающие опе-
операторы Jx и Jy удовлетворяют условию:
Алгебраич. система, имеющая свободный Б., наз. сво-
свободной.
Типичным примером является базис (унитарного)
модуля Af на д кольцом К — свободное се-
семейство элементов из М, порождающее М (см. [3]).
Здесь семейство А = {а^, t? Т} элементов АГ-модуля М
наз. свободным, если из 2|^at=0 (где ?*=0 для
всех, кроме конечного числа индексов t) следует ^—О
для всех t, а порождение осуществляется представлени-
представлением элементов х в виде линейных комбинаций
элементов af. существует (зависящее от х) мно-
множество элементов |f ? К такое, что |^=0 для всех, кроме
конечного числа индексов t, и имеет место разложение
(т. е. X — линейная оболочка А). Б. М в
этом смысле является его свободным Б. в вышеуказанном
смысле; обратное также верно. Так, множество пери-
периодов двоякопериодич. функции / одного комплексного
переменного, являющееся дискретной абелевой группой
(и потому модулем над кольцом^), имеет свободный Б.,
наз. базисом периодов функции /; он состоит
из двух так наз. примитивных периодов. Аналогично
определяется Б. периодов абелевой функции несколь-
нескольких комплексных переменных.
В случае, когда К — тело, всякий Б. (в прежнем
смысле) является свободным. Напротив, существуют
модули, не имеющие свободного Б.; таковы, напр., не-
неглавные идеалы в области целостности К, рассматривае-
рассматриваемой как ^-модуль.
Базис векторного пространства X
над полем К — (свободный) Б. подлежащего X унитар-
унитарного модуля. Аналогично, базис алгебры А
над полем К — Б. подлежащего А векторного простран-
пространства. Все Б. данного векторного пространства X имеют
одинаковую мощность, равную мощности Т, к-рая наз.
его алгебраической размерностью.
Каждый элемент х ? X представим линейной комбинацией
элементов Б. единственным образом. Элементы "?,t{x) ? К,
являющиеся линейными функционалами на X, наз.
компонентами (координатами) х в дан-
данном Б. {at}.
Множество А является Б. в X тогда и только тогда,
когда А — максимальное (относительно включения)
свободное множество в X.
Отображение
E:x^lx(t),
где |А-(г) = |/(ж), если ^ — значение t-й компоненты х в
Б. А и 0 в противном случае, наз. базисным ото-
отображением; оно является линейным инъективным
отображением X в пространство КТ функций на Т со
значениями в К. В данном случае образ S (X) состоит из
функций с конечным числом значений, отличных от нуля
(конечнозначных функций). Эта интерпретация позво-
позволяет определить обобщенный базис вектор-
векторного пространетва X над полем К как биективное ли-
линейное отображение его на нек-рое подпространство
К (Т) пространства Кт функций на Т со значениями в АГ,
где Т — нек-рое надлежащим образом подобранное мно-
множество. Однако без введения дополнительных ограниче-
ограничений на Т (напр., порядка) и структур на Т (напр., топо-
топологии) и согласованных с этим условий на К(Т) понятие
обобщенного Б. практически мало полезно.
Иногда Б. векторного пространства X наз. алгеб-
алгебраическим базисом (чем подчеркивается от-
отсутствие связи с дополнительными структурами на X,
даже если они и согласованы с его векторной структу-
структурой).
Базис Га меля (Хам ел я)— Б. поля дейст-
действительных чисел R, рассматриваемого как векторное
пространство над полем рациональных чисел. Введен
Г. Гамелем [4] для получения разрывного решения фун-
функционального уравнения f(x-\-y) = f(x)Jrf(y)\ график ре-
решения его всюду плотен на плоскости R2. Каждой поч-
почти периодич. функции / соответствует нек-рый счетный
базис Гамеля C такой, что каждый показатель Фурье А„
этой функции принадлежит линейной оболочке р. При
этом элементы р можно выбрать принадлежащими по-
последовательности {Л,}; множество C наз. базисом
почти периодической функции. Ана-
Аналогичный Б. строится в кольце, содержащем тело Р и
имеющем единицу тела Р своей единицей. Алгебраич.
Б. произвольного векторного пространства также наз.
иногда базисом Гамеля.
Базис топологический (Б. топологиче-
топологического векторного пространства X над полем К) — се-
семейство A = {at, t?T}czX, свойства и функции к-рого
аналогичны свойствам и функциям алгебрапч. Б. век-
векторного пространства. Понятие топологич. Б.— одно из
важнейших в функциональном анализе — расширяет и
углубляет понятие алгебраич. Б. с учетом топологич.
структуры X и позволяет получать для каждого элемен-
элемента .г ? X его разложение по Б. {а^и притом
единственное, т. е. представление х в виде предела (в
том или ином смысле) линейных комбинаций элемен-
элементов а;:
где \,х(х) — линейные функционалы на X со значениями
в К, наз. компонентами х в Б. А, или коэф-
коэффициентами разложениям по Б. А. Оче-
Очевидно, для существования разложения любого х необ-
необходимо, чтобы А было полным множеством в X, а для
единственности такого разложения (т. е. для того, чтобы
нулевой элемент X имел все компоненты равными нулю)
необходимо, чтобы А было топологическим свободным
множеством в X.
Смысл и практич. значение топологич. Б. (наз. далее
просто Б.) заключается в установлении биективного ли-
линейного отображения X, наз. базисным ото-
отображением S, на нек-рое, зависящее от X, про-
пространство К(Т) функций со значениями в К, определен-
определенных на (топологическом) пространстве Т, а именно:
где bx(t) = %t{x), так что символически {l,t(X)}= К(Т) и
{\Х(Т)}=Х; при этом строение К(Т) вследствие кон-
конкретности, эффективности своего определения проще и
обозримее, чем строение абстрактно заданного X. Так,
напр., алгебраич. Б. бесконечномерного банахова про-
пространства несчетен, в то время как в ряде случаев при
надлежащем обобщении понятия Б. мощность Т сущест-
существенно уменьшается, одновременно упрощается и К(Т).
Пространство К(Т) содержит все конечнозначные
функции, и множество элементов Б. {я^} является биек-
биективным прообразом множества функций {|/(s)}> имею-
имеющих лишь одно ненулевое значение, равное 1 («одно-
(«однозначных» функций):
ot=S-4Et(«)],
где ?f(s) = l при t=s и ?t(s) = 0 при t=?s. Другими слова-
словами, а^ — образующая одномерного подпространства Ах,
дополнительного в X к гиперплоскости, определяемой
уравнением ?((ж)=0.
Таким образом, роль Б. {at} сводится к организации
из множества компонент %t(x), составляющих образ
х при базисном отображении, суммируемого (в том
или ином смысле) семейства {Ьг(х)щ\, т. е. Б. «разлага-
«разлагает» пространство X в (обобщенную) прямую сумму одно-
одномерных подпространств:
Аналогичным образом определяется Б. в векторных
пространствах, наделенных равномерной, предельной
(псевдотопологической), линейной (L-), близостной и
другими дополнительными структурами.
Мыслимы (и существуют) обобщения понятия Б., иду-
идущие в различных направлениях. Так, введение тополо-
топологии и меры на Т приводит к понятию так наз. непре-
непрерывной суммы элементов из X и соответствую-
соответствующим интегральным представлениям; разложение прост-
пространства X на необязательно одномерные компоненты
находит применение в спектральной теории линейных
операторов; рассмотрение вместо К(Т) произвольных
топологич. алгебр над полем К (напр., алгебры мер на Т
со значениями в К или даже в X, алгебры проекторов
и т. д.) позволяет конкретизировать многие понятия аб-
абстрактной двойственности для топологич. векторных
пространств и, в частности, использовать развитый ап-
аппарат теории характеров.
Базис счетный— наиболее исследованный (и
в то же время практически наиболее важный) пример
В.— последовательность {а;} элементов пространства
X такая, что каждому элементу х однозначно соответст-
соответствует разложение его в ряд по Б. {а,}
сходящийся (в топологии X) к х. Здесь 21=Z> причем
существен естественный порядок в нем. Часто счетный
Б. наз. просто Б. [Аналогично, если подразумевается
слабая сходимость разложения х, определяется с л а-
бый счетный базис] Так, напр., функции е1'*',
&?Ж образуют Б. в пространствах LP, 1<р<оо (абсо-
(абсолютно суммируемых в степени р периодич. функций),
напротив, в пространствах L1, L°° (измеримых функций,
совпадающих почти всюду с ограниченными функциями)
и С (непрерывных периодич. функций) эти функции Б.
не образуют. Необходимым (но далеко не достаточным)
условием существования счетного Б. является сепара-
сепарабельность X (напр., в пространстве измеримых на отрез-
отрезке [а, Ъ] функций со значениями в R счетного Б. быть не
может). Впрочем, пространство 1„ ограниченных по-
последовательностей, не будучи сепарабельным в тополо-
топологии 1^, не обладает счетным Б., однако элементы а,-=
=={6('fc}> гДе 6Vfc=l ПРИ i=k и 6,-fc=0 при 1Фк, образуют
Б. в слабой топологии cr(^0o, Jx). Вопрос о существова-
существовании счетного Б. в сепарабельных банаховых простран-
пространствах (проблема базиса) решен отрицательно
[6]. Аналогичный вопрос для ядерных пространств так-
также решен отрицательно [7].
Счетный Б., однако, не всегда оказывается «достаточ-
«достаточно хорошим» для применений (напр., компоненты |,(ж)
не являются непрерывными, разложение х не сходится
безусловно и т. п.), в связи с чем на Б. накладываются
некоторые условия или вводится надлежащее его обоб-
обобщение.
Базис счетного типа— одно из обобще-
обобщений понятия счетного Б., для к-рого хотя Т и несчетно,
но разложение элемента i^I по нему естественно оп-
определяется: соответствующее пространство К(Т) со-
состоит из счетнозначных функций. Напр., полное орто-
нормированное множество {а^} в гильбертовом прост-
пространстве Н является Б.; если х?Н, то %t(x)={x, щ)
(где (•, •) — скалярное произведение в Н) для всех, за
исключением быть может счетного множества, индексов
t? T, и ряд 2.%tat сходится к х. Базисное отображение
определяется ортогональным проектированием на зам-
замкнутые подпространства, порожденные элементами а(.
Б. пространства АР всех комплекснозначных почти пе-
периодич. функций на R состоит из функций elt^; здесь
T=R, К(Т) — совокупность счетнозначных функций, а
базисное отображение определяется формулой
Базис безусловный— счетный Б. в про-
пространстве X такой, что разложение любого элемента х
сходится безусловно (т. е. сумма ряда не изменяется при
перестановке любого числа его слагаемых). Так, напр.,
в пространствах с0 (последовательностей, сходящихся к
нулю) и 1р (последовательностей, суммируе-
суммируемых в степени р, 1<:р<оо) элементы а, = {6,-&} образуют
безусловный Б.; в пространстве С [а, Ь] непрерывных на
отрезке [а, Ь] функций (любой) Б. не может быть безус-
безусловным. Ортонормированный счетный Б. гильбертова
пространства — безусловный Б. Банахово пространство
с безусловным Б. слабо полно (соответственно обладает
сепарабельным сопряженным пространством) в том и
только в том случае, когда оно не содержит подпро-
подпространства, изоморфного с0 (соответственно lj).
Б. {а,} и {&,} соответствующих банаховых прост-
пространств ХиУ наз. эквивалентными, если суще-
существует биективное линейное отображение Т: а,-—>-&,-,
распространяемое до изоморфизма X в У; эти Б. наз.
кваз и эквивалентным и, если они становят-
становятся эквивалентными после нек-рой перестановки и нор-
нормировки элементов одного из них. Пространства 1Х, 12, с0
обладают тем свойством, что в каждом из них все нор-
нормированные безусловные Б. эквивалентны. В декар-
декартовом произведении 1рХ 1д A<:р<д<оо) квазиэквива-
лентны все безусловные Б. Существуют, однако, норми-
нормированные Б., не эквивалентные ортонормированному.
Базис суммирующий — обобщение поня-
понятия безусловного Б., соответствующее множеству Т
произвольной мощности и совпадающее с ним при Г=
= ~Z.,— семейство А = {ц, t? T} такое, что для любого
элемента х ? X существует семейство линейных комби-
комбинаций (частичных сумм) элементов из А, называемое
обобщенным разложением х, суммируе-
суммируемое к х: для любой окрестности нуля UcX найдется
конечное подмножество Ay(Z.A такое, что для каждого
конечного множества А'^Ац имеет место
т. е. когда частичные суммы образуют систему (фильтр)
Коши. Так, напр., любой ортонормированный Б. гиль-
гильбертова пространства является суммирующим Б. Ана-
Аналогично определяется слабый суммирующий
базис. Вполне суммирующий базис—
такой суммирующий В., что существует ограниченное
множество В такое, что множество полунорм {pnfetat)}
суммируемо. Вполне суммирующий Б. не более чем сче-
тен. В дуально ядерном пространстве каждый слабо сум-
суммирующий Б. вполне суммирующий.
Базис абсолютный (абсолютно сум-
суммирующий базис) — суммирующий Б. локаль-
локально выпуклого пространства над нормированным полем
такой, что для каждой окрестности нуля U и для каж-
каждого t?T суммируемо семейство полунорм {рц (at)}-
Всякий безусловный счетный Б. абсолютен, т. е. ряд
I,\%i(x)\p(ai) сходится для всех х?Х и всех непрерыв-
непрерывных полунорм р(-). Среди банаховых пространств аб-
абсолютным счетным Б. обладают только пространства
/j. Если пространство Фреше имеет абсолютный Б.,
то все его безусловные Б. абсолютны. В ядерных прост-
пространствах Фреше каждый счетный Б. (если он сущест-
существует) абсолютный [13].
Базис Шаудера— Б. {at, t? T} пространст-
пространства X такой, что определенное им базисное отображение
непрерывно [и, следовательно, является изоморфизмом
на нек-рое пространство К(Т)], т. е. В., в к-ром компо-
компоненты If (ж) для любого 1^1и,в частности, коэффициен-
коэффициенты разложения х по этому Б., являются непрерывными
функционалами на X. Определен впервые Ю. Шауде-
ром [5] для случая Т=~%_. Понятие базиса Шаудера
является важнейшим среди всех модификаций поня-
понятия Б.
Базис Шаудера характеризуется тем, что {at} и {?<}
образуют биортогональную систему. Напр., в прост-
пространствах с0 и lp, p^l последовательности а,= {6,&}
образуют счетный базис Шаудера. В пространстве С [а, Ь]
счетный базис Шаудера образует Хаара система.
В полных метрич. векторных (в частности, банаховых)
пространствах всякий счетный Б. является базисом Ша-
Шаудера [10]. В пространствах Фреше понятия слабого Б.
и базиса Шаудера совпадают [11]. В бочечных прост-
пространствах, в к-рых нет вообще линейных непрерывных
функционалов [8], не существует и базиса Шаудера.
Однако, если в них существует слабый базис Шаудера,
то он является (обычным) базисом Шаудера [9]. Рефлек-
Рефлексивность бочечного локально выпуклого пространства
со счетным базисом Шаудера имеет место тогда и только
тогда, когда этот Б. является одновременно натяги-
натягивающим, т. е. если для него {^} будет Б. в сопря-
сопряженном пространстве X*, и ограниченно пол-
полным, т. е. если ограниченность множества частных
сумм ряда 2 %1<ц влечет сходимость этого ряда [12]. Если
базис Шаудера является безусловным Б. в банаховом
пространстве, то он тогда и только тогда является натя-
натягивающим (соответственно ограниченно полным), когда
в X нет подпространств, изоморфных Zx (соответствен-
(соответственно с„).
Базис Шаудера в локально выпуклом пространство
равностепенно непрерывен, если для
каждой окрестности нуля U найдется окрестность ну-
нуля V такая, что
1 It (х) I Ри (at) < Pv (х)
для всех х?Х, t?T. Каждый базис Шаудера бочечного
пространства равностепенно непрерывен, и каждое
полное локально выпуклое пространство со счетным
равностепенно непрерывным Б. отождествимо с неко-
некоторым пространством последовательностей [15]. Равно-
Равностепенно непрерывный Б. ядерного пространства аб-
абсолютен.
Лит.: [1] Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ.,
М., ,1968; [2] Мальцев А. И., Алгебраические системы,
М., 1970; [3] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические струк-
структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М.,
1962; [4] Ham el G., «Math. Ann.», 1905, Bd 60, S. 459—62;
[5] S с h a u d e r J., «Math. Z.», 1927, Bd 26, S. 47—65, 417—31;
[6] Э н ф л о П., «Математика», 1974, т. 18, № 1, с. 146 —
155; [7] 3 о б и н Н. М., Митягин Б. С., «Функциональ-
«Функциональный анализ и его приложения», 1974, т. 8, № 4, с. 35 — 47; [8]
Эдварде Р.Э., функциональный анализ, пер. с англ., М., 1969;
[9]D i e u d о п пё J., «Arch. Math.», 1951, Bd 1, S. 81 — 115; [10]
A r s о v M. G., «Pacific J. Math.», 1960, t. 10, p\ 365—79; [111
Bessaga C, Pelczyriski A., «Studia Math.», 1960,
v. 19, p. 53—62; [12] James R. C, «Ann. Math.», 1950,
v. 52, № 2, p. 518—27; [13] Д ы н и н А. С, М и т я г и н Б. С,
«Bull. Acad. POlon. Sci.», (Ser. Sci math.), 1960, t. 8, p. 535—40;
[14] Д э й М. М., Нормированные линейные пространства, пер.
с англ., М., 1961;[15]Пич А., Ядерные локально выпуклые
пространства, пер. с нем., М., 1967.
М. И. Войцеховский, М. И. Надец.
БАЗИСНОЕ МНОЖЕСТВО линейной систе-
системы — множество точек алгебраич. многообразия (или
схемы) X, принадлежащих всем дивизорам подвижной
части заданной линейной системы i на I.
Пример. Пусть
KFn(x0, xi, хг) + KGn(xo, xt, х2)=0
— пучок кривых степени п на проективной плоскости.
Тогда Б. м. этого пучка состоит из множества общих ну-
нулей форм F' и G', где
F'-H = Fn, G'-H=Gn,
а Н — наибольший общий делитель форм Fn и Gn.
Если ф^: Х-+Р (L) — рациональное отображение, оп-
определяемое линейной системой L, то Б. м. линейной сис-
системы L — множество точек неопределенности отображе-
отображения ф?. Б. м. обладает структурой замкнутой подсхемы
В в X, к-рая задается как пересечение всех дивизоров
из подвижной части линейной системы. Устранение то-
точек неопределенности отображения ф^ сводится к триви-
ализации когерентного пучка идеалов, определяющего
подсхему В (см. Бирационалъная геометрия).
Для любой линейной системы без неподвижных компо-
компонент L на гладкой проективной поверхности F сущест-
существует такое целое число п0, что при ге>п0 Б. м. полной
линейной системы \nL\ пусто (теорема Зариско-
г о). В многомерном случае аналогичный факт неверен.
Лит.: [1] Алгебраические поверхности, М., 1965.
_ В. А. Псковских.
БАЗИСНЫЙ КОММУТАТОР, правильный
коммутатор,— объект, построенный индуктивно
из элементов данного множества Я и из скобок следую-
следующим образом. Элементы из R считаются, по определе-
определению, Б. к. длины 1 и произвольно линейно упорядочи-
упорядочиваются. Пусть Б. к. длин, меньших п, где п>1 — целое
число, определены и упорядочены. Если а, Ъ суть Б. к.
длин, меньших п, то [аЪ\ считается Б. к. длины п тогда
и только тогда, когда выполняются условия: 1) а, Ь
суть Б. к. длины к, I, соответственно, к-\-1=п\ 2) а>6;
3) если a=[cd]% то d<:6. Полученные Б. к. длины, не
превосходящей п, упорядочивают произвольно с вы-
выполнением условия [а6]>Ь, сохраняя порядок Б. к.
длин, меньших п. Любое построенное таким образом
множество Б. к. есть база свободной алгебры Ли [1] с
множеством свободных образующих R.
Лит.: [1] Ширшов А. И. «Алгебра и логика», 1962,
т. 1, № 1, с. 14 —19. Ю. М. Горчаков.
БАНАХА ИНДИКАТРИСА, функция кратно-
кратности, непрерывной-функции y=f(x), a<z<b,— цело-
целочисленная функция N(y,f), — оо <г/<+оо, равная
числу корней уравнения f(x) = y. Если это уравнение
при данном значении у имеет бесконечное множество
корней, то
а если оно не имеет корней, то
N(y, /) = 0.
Функция N(y, /) была определена С. Банахом [1] (см.
также [2], с. 246). Он доказал, что для любой непрерыв-
непрерывной на отрезке [а, Ь] функции / (х) ее индикатриса N (у, /)
есть функция не выше 2-го класса Бэра, причем
XN(y, f)dy, (*)
а ^ -«>
Ь
где V (/) — вариация функции f(x) на отрезке [а, Ь].
а
Таким образом, равенство (*) можно принять за опре-
определение вариации непрерывной функции f(x). Б. и.
определяют [с сохранением равенства (*)] и для функ-
функций, имеющих разрывы 1-го рода (см. [3]). Понятие
Б. и. было использовано для определения вариаций
функции нескольких переменных (см. [4], [5]).
Лит.: [1] Banach S., «Fundam. math.», 1925, t. 7,
p. 225—36; МНатансон И. П., Теория функций вещест-
вещественной переменной, 2 изд., М., 1957; [3] Лозинский С. М.,
«Вестн. Ленингр. ун-та», 1958, т. 7. Сер. Математика, механика,
астрономия, № 2, с. 70—87; [4] Кронрод А. С, «Успехи
матем. наук», 1950, т. 5, в. 1, с. 24—134; [5] В и т у га-
гаки н А. Г., О многомерных вариациях, М., 1955.
Б. И. Голубое.
БАНАХА — МАЗУРА ФУНКЦИОНАЛ, Банаха —
Мазура оператор, — концепция вычислимого
функционала (оператора), предложенная С. Банахом
(S. Banach) и С. Мазуром (см. [1]) и трактующая вычис-
вычислимость функционала (оператора), действующего из
множества Мх в множество М2, как его свойство пере-
переводить всякую вычислимую последовательность эле-
элементов Мг в вычислимую последовательность элементов
М2 (см. Вычислимая функция).
Пусть R — множество всех одноместных общерекур-
общерекурсивных функций. Функционал Ф, определенный на Л и
принимающий натуральные значения, наз. вычис-
вычислимым по Банаху — Мазур у, или Б.—
М. ф., если для всякой двухместной общерекурсивной
функции g существует общерекурсивная функция /
такая, что
f(n)=<D(g(n, m))
(здесь g рассматривается как функция от т при каждом
фиксированном п). Всяких! общерекурсивный функцио-
функционал и всюду определенный эффективный функционал
(см. Конструктивное метрическое пространство) яв-
являются Б.— М. ф. С другой стороны, был построен
пример Б.— М. ф., не совпадающего ни с каким обще-
общерекурсивным, а следовательно, и ни с каким эффектив-
эффективным функционалами (см. [2]). Важнейшим свойством
Б.— М. ф. является их непрерывность (см. [1]): значе-
значения таких функционалов на любой общерекурсивной
функции определяются лишь конечным числом значений
этой функции.
Вышеописанная концепция вычислимости распро-
распространяется на функции действительного переменного.
Пусть С — множество вычислимых последовательностей
вычислимых действительных чисел; каждая последова-
последовательность {а^} ? С задается парой общерекурсивных
функций / и g таких, что при всех п, к
f(h, n)-g(h, п) j _J_
* n+1 | ^ n+1•
Функция действительного переменного ф наз. вычис-
вычислимой по Банаху — Мазуру (множество
таких функций обозначим Ш), если для любой последо-
последовательности {а/с} из С последовательность {ф(а^)} так-
также принадлежит С. Каждая функция ф ? Ш непрерывна
во всех вычислимых точках (см. [1]; таким образом,
напр., sgn xfgi'Si). Вопрос о том, являются ли все функ-
функции из Ш вычислимо непрерывными, остается откры-
открытым A977). Множество SR оказывается замкнутым отно-
относительно ряда используемых в анализе операций, что
позволяет успешно развивать на его базе вычислимый
анализ (см. [1]).
Лит.: [1] М a z u r S., Computable analysis, Warsz., 1963; [2]
Friedberg R. M., «Bull. Acad. polon. sci. Ser. sci. math.,
astron. et phys.», 1958, t. 6, № 1, p. 1—5; [3] M a p к о в А. А.,
«Тр. Матем. ин-та. АН СССР», 1958, т. 52, с. 315—48; [4] Род-
Роджерс X., Теория рекурсивных функции и эффективная вычи-
вычислимость, пер. с англ., М., 1972. Б. А. Кушнер.
БАНАХА — ШТЕИНХАУЗА ТЕОРЕМА — общее на-
название ряда результатов о топологич. свойствах про-
пространства непрерывных линейных отображений одного
линейного топологич. пространства в другое. Пусть Е,
F — локально выпуклые линейные топологич. прост-
пространства, где Е — бочечное пространство, или Е, F —
линейные топологич. пространства, причем Е — Бэра
пространство; тогда: 1) любое ограниченное в тополо-
топологии простой сходимости подмножество пространства
L(E, F) непрерывных линейных отображений прост-
пространства Е в F равностепенно непрерывно (прин-
(принцип равномерной ограниченности),
2) если фильтр F в пространстве L (E, F) содержит мно-
множество, ограниченное в топологии простой сходимости,
и сходится в топологии простой сходимости к нек-рому
отображению v пространства Е в F, то v — непрерывное
линейное отображение Е в F, и фильтр F сходится к v
равномерно на каждом компактном подмножестве про-
пространства Е (см. [2, 3]).
Этот общий результат позволяет уточнить классич.
результаты С. Банаха и X. Штейнхауза (см. [1]): пусть
Е, F — банаховы пространства, М — подмножество
второй категории в Е; тогда: 1) если HcL(E, F) и
sup {||u(a:)||, и?Н} конечен для всех х?М, то sup
{Hull, x?H}<o°, 2) если ип — последовательность не-
непрерывных линейных отображений Е в F и последова-
последовательность ип(х) сходится в F для всех х?М, то ип схо-
сходится к непрерывному линейному отображению i; про-
пространства Е в F равномерно на любом компактном под-
подмножестве пространства Е.
Лит.: [1] Banach S., Steinhaus H., «Fundam.
math.», 1927, t. 9, p. 50—61; [2] Б у р б а к и Н., Топологиче-
Топологические векторные пространства, пер. с франц., М., 1959; [3] Ш е-
ф е р X., Топологические векторные пространства, пер. с англ.
М., 1971. А. И. Штерн.
БАНАХОВ МОДУЛЬ (левый) над банаховой
алгеброй А — банахово пространство X вместе с
непрерывным билинейным оператором т: А ХХ—>-Х, за-
задающим на X структуру левого модуля над А в алгеб-
раич. смысле. Аналогично определяется правый Б. м.
и банахов бимодуль над А. Морфизмом двух Б. м. наз.
их непрерывный гомоморфизм. Примерами Б. м. над А
служат замкнутый идеал в Л и банахова алгебра ЛзЛ.
Б. м. над А, представимый как прямое слагаемое Б. м.
А +(Я)?\ где А + ~ это А с присоединенной единицей,
Е - банахово пространство, а т(а, b(g)x) = ab(%)x, наз.
проективным. См. Топологическое тензорное про-
произведение) .
Лит.: [1] Rieffel M. A., «J. Func. Analysis», 1967,
v. 1, № 4, p. 443—91. А. Я. Хелемский.
БАНАХОВА АЛГЕБРА — топологическая алгебра А
над полем комплексных чисел, топология к-рой опре-
определяется нормой, превращающей А в банахово прост-
пространство, причем умножение элементов непрерывно по
аждому из сомножителей. Б. а. наз. к о м м у т а-
и в н о й, если ху=ух для всех х, у?А (см. Коммута-
Коммутативная банахова алгебра). Б. а. Л наз. алгеброй с
единицей, если А содержит такой элемент е,
что ех=хе=х для любого х?А. Если в Б. а. Л нет еди-
единицы, то ее можно присоединить, т. е. построить Б. а. Л
с единицей такую, что Л содержит исходную алгебру А
в качестве замкнутой подалгебры коразмерности 1.
В любой Б. а. Л с единицей е можно так изменить норму
на эквивалентную, чтобы в новой норме выполнялись
соотношения ||а&||<:||а||||Ь||, 1И|=1. (Последующее изло-
изложение предполагает, как правило, наличие в алгебре
единицы и выполнение приведенных соотношений для
нормы.)
Примеры. 1) Пусть X — компактное топологич.
пространство, С (X) — совокупность всех непрерывных
комплексных функций на X. Тогда С (X) является Б. а.
относительно поточечных операций и нормы
2) Множество всех ограниченных линейных операто-
операторов на банаховом пространстве образует Б. а. относи-
относительно обычных операций сложения и умножения ли-
линейных операторов и нормы оператора.
3) Пусть V — ограниченная область в re-мерном ком-
комплексном пространстве С". Совокупность ограниченных
голоморфных функций на V является Б. а. относитель-
относительно поточечных операций и естественной sup-нормы:
ll/!l=supl/|.
Эта Б. а. содержит замкнутую подалгебру, образован-
образованную ограниченными голоморфными функциями на V,
допускающими непрерывное продолжение на замыкание
области V. Простейшим примером является алгебра
непрерывных в круге ]z|<l функций, аналитических
в круге \z\ <1.
4) Пусть G — локально компактная группа и LX(G) —
пространство (классов эквивалентности) всех изме-
измеримых относительно меры Хаара на G абсолютно интег-
интегрируемых по этой мере функций, снабженное нормой
5
(интеграл по левой мере Хаара).
Если в качестве умножения в ix(G) рассмотреть опе-
операцию свертки
то LX(G) становится Б. а.; если G — абелева локально
компактная группа, то Б. a. LX(G) коммутативна. Б. а.
^(G) наз. групповой алгеброй локально компактной
группы G. Групповая алгебра LX(G) обладает единицей
(относительно свертки) тогда и только тогда, когда G
дискретна.
Если G коммутативна, то можно построить точное
представление Б. a. LX(G), сопоставляя каждой функ-
функции f^L1(G) преобразование Фурье этой функции, т. е.
функцию
на группе характеров G группы G. Совокупность функ-
функций /(х). образует нек-рую алгебру A (G)
непрерывных функций на G (относительно обычных по-
поточечных операций), наз. алгеброй Фурье ло-
локально компактной абелевой группы G. В частности,
если G есть группа целых чисел 2[, то А B!) есть алгебра
непрерывных функций на окружности, разлагающихся
в абсолютно сходящийся тригонометрич. ряд.
5) Пусть G — топологич. группа. Непрерывная
комплексная функция f(g) на G наз. почти пери-
периодической, если совокупность ее сдвигов j(gog),
So € ?> образует компактное семейство относительно
равномерной сходимости на G. Совокупность почти
периодич. функций образует коммутативную Б. а.
относительно поточечных операций и нормы
1Ш1=аир|Ш|.
geG
6) Тело кватернионов не образует Б. а. над полеж
комплексных чисел, так как произведение элементов
Б. а. Л должно быть согласовано с умножением на чис-
числа: для любых \?С их, yQ_A должно выполняться ра-
равенство
к-рое не выполняется в теле кватернионов при "k=ir
x=j, у = к.
Всякая Б. а. с единицей есть топологич. алгебра с
непрерывным обратным. Более того, если е(А) — мно-
множество элементов Б. а. Л, обладающих (двусторонним)
обратным относительно умножения, то е(А) — топо-
топологич. группа в топологии, индуцированной вложением
е(А)сА. Если \\е — а||<1, то а?е(Л), причем
где Ъ=е—а, и ряд сходится абсолютно. Совокупность
элементов, обратимых справа (слева) в А, также обра-
образует открытое множество в А.
Если в Б. а. Л всякий элемент обладает обратным
(или хотя бы левым обратным), то алгебра А изометри-
изометрически изоморфна полю комплексных чисел (теорема
Гельфанда — Мазура).
Поскольку нек-рая окрестность единицы в Б. а. А
состоит из обратимых элементов, то замыкание любого
нетривиального идеала есть снова идеал, не совпадаю-
совпадающий с А. В частности, максимальный (левый, правый,
двусторонний) идеал замкнут.
Одну из важных задач теории Б. а. составляет задача
описания замкнутых идеалов в Б. а. В ряде случаев она
решается просто. В алгебре С (X) (см. пример 1) всякий
замкнутый идеал имеет вид I={f?C(X) : f\y=O}, где
Y — замкнутое множество в X. Если А — алгебра всех
ограниченных линейных операторов в сепарабельном
бесконечномерном гильбертовом пространстве, то един-
единственным замкнутым двусторонним идеалом в А служит
идеал вполне непрерывных операторов.
Элемент а ? А имеет левый (правый) обратный тогда и
только тогда, когда он не содержится ни в каком макси-
максимальном левом (правом) идеале. Пересечение всех
левых максимальных идеалов в А совпадает с пересе-
чением всех правых максимальных идеалов; это пересе-
пересечение наз. радикалом алгебры А и обозна-
обозначается Rad А. Элемент ао?А принадлежит Rad Л тогда
и только тогда, когда е-А~аад(^е,(А) для любого а?А.
Алгебры, для к-рых Rad^ = {0}, наз. п о л у п р о-
с т ы м и. Алгебры С (X) и групповые алгебры ^(G)
полупросты. Полупростыми являются все неприводимые
(т. е. не имеющие нетривиального инвариантного под-
подпространства) замкнутые подалгебры алгебры всех ог-
ограниченных линейных операторов в банаховом про-
пространстве.
Резольвентой элемента а?А наз. функ-
функция
к
определенная на множестве тех Я,?С, для к-рых (дву-
(двусторонний) обратный к а — ке существует. Область су-
существования резольвенты содержит все точки к с |Я|>
>||о||. Максимальная область существования резоль-
резольвенты есть открытое множество; на этом множестве ре-
резольвента непрерывна и даже аналитична, причем
dai 2
—- = ах- Кроме того, имеет место тождество Гильберта
dX
Дополнение к области существования резольвенты наз.
спектром элемента аи обозначается о (а).
Для любого а?А множество о (а) непусто, замкнуто и
ограничено.
Если а, 6?А, то множества о (ab) и а(Ьа) могут не
совпадать, но
Число
| а | =max | к |
Я. 6 а (а)
наз. спектральным радиусом элемента
а ? А ; имеет место формула Гельфанда
\a\ = lim\\a"\\1'",
где предел справа всегда существует. Если a?Rad A,
то |а| = 0; обратное верно, вообще говоря, лишь в ком-
коммутативных Б. а., радикал к-рых совпадает с множест-
множеством обобщенных нильпотентов, т. е. элементов а?А,
для к-рых |а| = 0. В любой Б. а. справедливы соотноше-
соотношения \ak\ = \a\k, \Ха\ = Щ\а\ и |а|<||а||; если Л коммута-
коммутативна, то |а6|<:|а||Ь| и |о+Ь| <:|o|-f-|6|.
Известны примеры некоммутативных алгебр, в к-рых
отсутствуют ненулевые обобщенные нильпотенты. Од-
Однако, если ||а2||= |[а||2 для любого а?А, те Б. а. А ком-
коммутативна. Условие ||а6||= ||6а|| для всех а, Ь?А также
достаточно для коммутативности (алгебры с едини-
единицей) А.
Алгебра А наз. алгеброй с инволюцией,
если на Л определена операция а-+а*, удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям:
Т {а*)*=а, (аЪ)*=Ь*а*
для всех а, Ь?А, к, /J-?C; отображение а—>-я* наз.
инволюцией в А. Линейный функционал г|)
на алгебре А с инволюцией наз. положитель-
н ы м, если т))(аа*)^0 для любого а?А . При положи-
положительном линейном функционале г|э
для всех а?А . Если инволюция в А иземетрична, т. е.
На*||= \\a\\ для всех а?А, то
г|> (а*а) < i|5 (е) \а*а\.
Б. а. с инволюцией А наз. вполне симмет-
симметричной, если e-\-a*a?e(A) для любого а?А ; А наз.
С*-алгеброй (вполне регулярной алгеб-
алгеброй), если ||а*а||= ||а||2 для любого а?А. Всякая С*-
алгебра вполне симметрична. Примерами вполне сим-
метричных алгебр служат групповые алгебры ()
коммутативных, или компактных, групп. Примерами
С*-алгебр служат алгебры С (X) (инволюция в С(X)
определяется как переход к комплексно сопряженной
функции) и замкнутые подалгебры алгебры ограничен-
ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве,
содержащие вместе с данным оператором сопряженный
оператор (инволюция определяется как переход к со-
сопряженному оператору). Любая С*-алгебра изометри-
изометрически изоморфна (с сохранением инволюции) одной из
таких алгебр (теорема Гельфанда— Най-
Найма р к а). В частности, любая коммутативная С*-алгеб-
ра А изометрически изоморфна (с сохранением инво-
инволюции) одной из алгебр С (X) (это утверждение содер-
содержит теорему Стоуна — Вейерштрасса).
Элемент а Б. а. с инволюцией наз. эрмитовым,
если а* = а. Для того чтобы Б. а. с инволюцией была
С*-алгеброй, необходимо и достаточно выполнение ус-
условия ||е'а||=1 для всех эрмитовых элементов а. Если
в Б. а. с инволюцией sup ||е''а||<оо (верхняя грань по
всем эрмитовым элементам), то такая алгебра топологи-
топологически *тизоморфна С*-алгебре. Если в произвольной
Б. a. |k'fa||=l при всех действительных t для нек-рого
элемента а, то ||а|[ совпадает со спектральным радиусом,
т. е. ||а||=|о|.
Теория Б. а. (в особенности коммутативных Б. а.)
имеет многочисленные приложения в различных облас-
областях функционального анализа и ряде других математич.
дисциплин.
Лит.: [1] Бур баки Н., Спектральная теория, пер. с
франц., М., 1972; [2] Г а м е л и н Т. В., Равномерные алгебры,
пер. с англ., М., 1973; [3] Г а н н и н г Р., Р о с с и X., Ана-
Аналитические функции многих комплексных переменных, пер.
с англ., М., 1969; [4] Г е л ь.ф а н д И. М., «Матем. сб.», 1941,
т. 9 E1), с. 3—24; [5] Г лис он А., «Математика»,
1961, т. 5, в. 2, с. 161—6: [6] Гофман К., Банаховы прост-
пространства аналитических функций, пер. с англ., М., 1963; [7]
Горин Е. А., «Матем. заметки», 1967, т. 1, № 2, с. 173—78;
[8] Д а н ф о р д Н., Шварц Дж.-Т., Линейные операторы,
пер. с англ., т. 2, М., 1966; [9] Z е 1 a z k о W., Algebry Banacha,
Warsz., 1968; [10] Капланский И., «Математика»,
1959, т. 3, в. 5, с. 91 —115; [11] Л ю м и с Л. X., Введение
в абстрактный гармонический анализ, пер. с англ., М., 1956; [12]
Наймарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968;
[13] Некоторые вопросы теории приближений, сб. пер. с англ.,
М., 1963; [14] Rickart С. Е., General theory of Banach al-
algebras, N. Y., 1960; [15] Ройден X. Л., «Математика»,
1965, т. 9,в.2, с. 98—114; [16] Фелпс Р., Лекции о теоремах
Шоке, пер. с англ., М., 1968; [17] X и л л е Э., Ф и л л и п с Р.,
Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., М., 1962.
БАНАХОВА РЕШЕТКА, банахова с т р°у к-
т у р а, —векторная решетка (структура), являющаяся
одновременно банаховым пространством с нормой,
удовлетворяющей условию монотонности:
Б. р. наз. также КВ-л инеалом, а произвольную
нормированную, т. е. векторную решетку с монотонной
нормой — KN-n инеалом. При пополнении нормиро-
нормированной решетки по норме порядковые отношения могут
быть распространены на получающееся банахово про-
пространство так, что оно оказывается Б. р. Если в решет-
решетке можно ввести банахову топологию, превращающую ее
в Б. р., то такая топология единственна. Простейший
пример Б. р.— пространство С (<?) непрерывных функций
на произвольном компактном топологич. пространстве
Q с естественным упорядочением и с обычной (равно-
(равномерной) нормой. Другие примеры Б. р.— пространства
Lp, пространства Орлича. В Б. р. сходимость по норме
есть (*)-сходимость для сходимости с регулятором. В
нормированной решетке это не так.
Важный частный случай — Б. р. ограниченных эле-
элементов. Если в решетке X имеется сильная еди-
единица 1, т. е. для каждого х?Х существует такое X,
что \х\ <Л1, то наименьшее Я, для к-рого это неравенство
справедливо, принимается за ||ж||. Полученная нормиро-
нормированная решетка наз. нормированной решет-
коп ограниченных элементов; если же она
полна по норме, то она наз. Б. р. ограниченных
элементов. В Б. р. (и даже в нормированной решет-
решетке) ограниченных элементов сходимость по норме совпа-
совпадает со сходимостью с регулятором, а ограниченность
множества элементов по норме совпадает с ограничен-
ограниченностью по упорядочению. Если нормированная решетка
ограниченных элементов есть условно а-полная решет-
решетка, то она полна по норме.
Пространство C(Q) есть Б. р. ограниченных эле-
элементов, в к-рой за единицу принята функция x(q) = \.
Для всякой Б. р. X ограниченных элементов существу-
существует такое компактное хаусдорфово пространство Q, что
А' алгебраически и структурно изоморфна пространству
C(Q). Это — абстрактная характеристика Б. р. непре-
непрерывных функций на компактном хаусдорфовом про-
пространстве.
В любой нормированной решетке каждый аддитив-
аддитивный и непрерывный по норме функционал регулярен и,
более того, представим в виде разности двух аддитивных
и непрерывных по норме положительных функциона-
функционалов. В Б. р. всякий положительный аддитивный функ-
функционал непрерывен по норме, и значит классы регуляр-
регулярных и аддитивных непрерывных по норме функциона-
функционалов совпадают. Пространство X', сопряженное в бана-
банаховом смысле к нормированной решетке X, есть услов-
условно полная Б. р. В нормированной решетке теорема Ха-
Хана — Банаха допускает следующее уточнение: для лю-
любого zo>O существует такой положительный аддитив-
аддитивный непрерывный по норме функционал /, что f(xo) =
= IWI, 11/11=1.
Лит.: [1] В у л и х Б. 3., Введение в теорию полуупорядо-
полуупорядоченных пространств, М., 1961; [2] Д э й М. М., Нормированные
линейные пространства, пер. с англ., М., 1961. Б. 3. Вулих.
БАНАХОВО АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО —
бесконечномерное обобщение понятия аналитич. про-
пространства, возникшее в связи с изучением деформаций
аналитических структур. Локальной моделью здесь
служит банахово аналитическое мно-
множество, т.е. подмножество \i(U, F, /)=/-1@) от-
открытого множества U в банаховом пространстве Е над
С, где /: U—+-F — аналитическое отображение в банахо-
банахово пространство /'. В отличие от конечномерного случая,
на локальной модели задается не один структурный
пучок, а набор пучков Ф(И^), где W — открытое мно-
множество в произвольном банаховом пространстве G. При
этом Ф (G) определяется как фактор пучка ростков ана-
аналитич. отображений U-*-G no подпучку ростков отобра-
отображений вида х->ф(ж)/(ж), где ср: 17—vHom(F, G) — ло-
локальное аналитич. отображение, а Ф(И7)с:Ф(С) порож-
порождается отображениями, принимающими значения в W.
Пучки Ф (W) определяют функтор из категории К от-
открытых множеств банаховых пространств и их анали-
аналитич. отображений в категорию пучков множеств на
/-Ч0).
Банаховым аналитическим прост-
пространством наз. топологич. пространство X, снаб-
снабженное функтором из категории А' в категорию пучков
множеств на X, каждая точка к-рого имеет окрестность,
изоморфную нек-рой локальной модели.
Комплексные аналитич. пространства образуют пол-
полную подкатегорию в категории банаховых аналитпч.
пространств. Б. а. п. конечномерно, если у каждой его
точки х есть окрестность, изоморфная такой модели
цFг, F, /), что существует отображение g: U—>-U, инду-
индуцирующее автоморфизм модели и имеющее вполне не-
непрерывный дифференциал dgx (см. [1]).
Другой частный случай Б. а. п.— банахово
налитическое многообразие, т. е.
налитич. пространство, локально изоморфное откры-
открытым подмножествам банаховых пространств. Важным
римером является многообразие замкнутых и допу-
екающих замкнутое дополнение линейных подпрост-
подпространств банахова пространства над С.
Конечи о определённые банаховы
аналитические множества, т.е. модели
вида \i(U, Ck,f), обладают локальными свойствами, ана-
аналогичными классическим: для них имеют место пример-
примерное разложение, теорема Гильберта о нулях, теорема
о локальном описании и др. (см. [2]).
Лит.: [1] D о u a d у A., «Ann. Inst. Fourier», 1966, t. 16,
Л» 1, p. 1—95; [2] R am i s J.-P., Sous-ensembles analytiques
d'une variete banaehique complexe, В.—Hdlb.— N.Y., 1970.
Д. А. Пономарев.
БАНАХОВО ПРОСТРАНСТВО, Д-простран
с т в о,— полное нормированное векторное простран-
пространство. Исходными для создания теории Б. п. послужили
введенные (в 1904—18) Д. Гильбертом (D. Hilbert),
М. Фреше (М. Frechet) и Ф. Рисом (F. Riesz) функцио-
функциональные пространства. Именно в этих пространствах
были первоначально исследованы фундаментальные по-
понятия сильной и слабой сходимости, компактности, ли-
линейного функционала, линейного оператора и др. Б. п..
названы по имени С. Банаха, к-рый в 1922 (см. [1])
начал систематич. изучение этих пространств на основе
введенной им аксиоматики и получил глубокие резуль-
результаты.
Теория Б. п. развивалась параллельно с общей тео-
теорией линейных топологических пространств. Эти теории
взаимно обогащались идеями и фактами. Так, идея по-
полунормы, заимствованная из теории нормированных
пространств, стала необходимым инструментом для
построения теории локально выпуклых линейных топо-
логич. пространств. Понятие слабой сходимости эле-
элементов и линейных функционалов в Б. п. обрело закон-
законченную форму в понятии слабой топологии. Теория Б. и.
представляет собой хорошо разработанную область
функционального анализа, имеющую (непосредственно
или через теорию операторов) многочисленные приме-
применения в различных разделах математики.
Проблематика Б. п. складывается из нескольких на-
направлений: геометрия единичной сферы, геометрия под-
подпространств, линейно топологич. классификация, ряды
и последовательности в Б. п., наилучшие приближения
в Б. п., функции со значениями в Б. п. и др. Относитель-
Относительно теории операторов в Б. п. следует отметить, что мно-
многие ее предложения имеют непосредственное отношение
к геометрии и топологии Б. п.
Примеры. Встречающиеся в математич. анализе
Б. п.— это чаще всего множества функций или число-
числовых последовательностей, подчиненные нек-рым усло-
условиям.
1) lp< P~Sz^,~ пространство числовых последователь-
последовательностей х={\п}, для к-рых
с нормой
2) т — пространство ограниченных числовых по-
последовательностей с нормой
|| ж || = sup ||„ |.
п
3) с — пространство сходящихся числовых последо-
последовательностей с нормой
||*ll = sup|gj.
п
4) с0 — пространство сходящихся к нулю числовых
последовательностей с нормой
5) С [а, Ь] — пространство непрерывных на [а, Ь]
функций x=x(t) с нормой
|| ж ||= max j x(t) \.
а< t < b
6) С [К] — пространство непрерывных функций на
компакте К с нормой
||жЦ=тах|ж@|.
1Ш
7) C"[a, b] — пространство функций, имеющих не-
непрерывные производные до порядка п включительно,
с нормой
нж11=2й=о тах \х1к)({)\-
а< t < Ъ
8) С"[1т] — пространство всех непрерывно диффе-
дифференцируемых до порядка п функций, определенных в т-
мерном кубе, с равномерной нормой по всем производ-
производным порядка не выше п.
9) М [а, Ь] — пространство ограниченных измеримых
функций с нормой
|| ж 1| =vrai max \x(t)\.
10) A (D) — пространство функций, аналитических
в открытом единичном круге D и непрерывных в замк-
замкнутом круге D, с нормой
|| а: ||= max \ x (z) \.
геД
11) Lp(S; 2, \i), р>1,— пространство функций x(s)
на множестве S с вполне аддитивной мерой fx и с нормой
12) Lp[a, b], p^l,— частный случай пространства
Lp(S; 2 , ц) — пространство измеримых по Лебегу функ-
функций, суммируемых со степенью р, с нормой
13) АР — пространство Бора почти периодич. функ-
функций с нормой
|| х Ц= sup \x(t)\.
-со <t < +ос
Пространства С [а, 6], Сп[а, Ь], Ь„[а, Ь], с, lp cenapa-
бельны; пространства М [а, 6], т, АР несепарабельны;
С [К] сепарабельно в том и только в том случае, если
К — метрический компакт.
Подпространство У Б. п., рассматриваемое отдельно
от вмещающего пространства X, есть Б. п. Факторо-
пространство X/Y нормированного пространства по под-
подпространству У становится нормированным простран-
пространством, если норму определить так: пусть Y1=x1-\-Y —
класс смежности. Тогда
||y|| = inf H^ + г/Ц.
УйУ
Если X — Б. п., то XlY — тоже Б. п. Множество всех
линейных функционалов, определенных в нормирован-
нормированном пространстве X, с нормой
11/11 ="&•& **°'
наз. пространством, сопряженным с X, и обо-
обозначается X*. Оно является Б. п.
Для Б. п. справедлива Хана — Банаха теорема о
продолжении линейных функционалов: если линейный
функционал определен на подпространстве У нормиро-
нормированного пространства X, то его можно распространить
с сохранением линейности и непрерывности на все про-
пространство X. Более того, при этом можно обеспечить
сохранение нормы расширенного функционала:
Справедливо и более общее утверждение: пусть деист-
вительная функция р (х), определенная в линейном про-
пространстве, удовлетворяет условиям:
х, у?Х,
и пусть f(x) — действительный линейный функционал,
определенный на подпространстве УсХ и такой, что
1(x)<p(z), x?Y.
Тогда существует линейный функционал F(x), опреде-
определенный на всем X и такой, что
F(x) — f(x) для x?Y; F(x)*Cp{x) для x?Y.
Следствием теоремы Хана — Банаха является «об-
«обратная» формула, связывающая нормы X и X*:
причем шах в этой формуле достигается на нек-ром /=
= /х?Х*. Другое важное следствие — наличие доста-
достаточного множества непрерывных линейных функциона-
функционалов. Говорят, что в Б. п. X существует достаточно много
непрерывных линейных функционалов, если для любых
Ху^х2 6 X имеется такой определенный на X линейный
функционал /, что f(x1)^=f(x2).
Для многих конкретных Б. п. известен общий вид
линейного функционала. Так, в Lp[a, b], (р>1) каждый
линейный функционал определяется по формуле:
где y?Lg[a, Ь], у+-^-=1, а каждая функция y(t)?Lq
определяет по этой формуле линейный функционал /,
причем
Таким образом, пространством, сопряженным с Ь„,
является Lg : Lp=Lq. В Lx[a, b] линейные функционалы
задаются той же формулой, но в этом случае у ? М, так
что L\=M.
Пространство X**, сопряженное с X*, наз. вто-
вторым сопряженным. Аналогично определяются
третье, четвертое и т. д. сопряженные пространства.
Каждый элемент из X может быть отождествлен с
нек-рым линейным функционалом, определенным на X*:
При этом || F II = II х ||. Тогда можно считать X подпрост-
подпространством пространства X** и XcX**czXiV..., X*c
CiX***cz... . Если при указанном вложении Б. п.
совпадает со своим вторым сопряженным, то оно наз.
рефлексивным. В этом случае все включения
оказываются равенствами. Если же X не рефлексивно,
то среди включений нет ни одного равенства. Если фак-
торпространство Х**/Х имеет конечную размерность п,
то X наз. квазирефлексивным поряд-
порядка п. Квазирефлексивные пространства существуют
для любого п.
Критерии рефлексивности Б. п. 1)Х
рефлексивно тогда и только тогда, когда для каждого
/?Х* найдется х?Х, на к-ром достигается sup в
формуле
11/11 = ^PyW'^°-
2) В рефлексивных Б. п., и только в них, каждое ог-
ограниченное множество компактно относительно слабой
сходимости: любая его бесконечная часть содержит сла-
слабо сходящуюся подпоследовательность (теорема
Эберлейна— Шмульяна). Пространства Lp
и 1р, р>1, рефлексивны. Пространства Lu Zlf С, М, с,
т, АР нерефлексивны.
Б. п. наз. слабо полным, если в нем каждая
слабо сходящаяся в себе последовательность слабо схо-
сходится к элементу пространства. Каждое рефлексивное
пространство слабо полно. Кроме того, слабо полны
Б. п. Lx и 11. Еще более широкий класс — Б. п., не
содержащие подпространств, изоморфных с0. Эти про-
пространства во многом подобны слабо полным.
Б. ц. наз. строго нормированным, если
его единичная сфера S не содержит отрезков. Для ко-
количественной оценки выпуклости единичного шара ввс-
дятся модули выпуклости: локальный модуль выпук-
выпуклости
||ДГ-{/||>? I. M
и равномерный модуль выпуклости
б (е) = inf б (х, е).
Если б(х, е) > 0 для всех х? X и всех е>0, то Б. п. наз.
локально равномерно выпуклым. Ес-
Если б (е) > 0, то пространство наз. равномерно вы-
выпуклым. Каждое равномерно выпуклое Б. п. ло-
локально равномерно выпукло; каждое локально равно-
равномерно выпуклое Б. п. строго нормировано. В конечно-
конечномерных Б. п. верны и обратные включения. Если Б. п.
равномерно выпукло, то оно рефлексивно.
Б. п. наз. гладким, если для любых линейно не-
независимых элементов х и у функция ijj (?)— )| x-\-ty II диф-
дифференцируема при всех t, Б. п. наз. равномерно
гладким, если для его модуля гладкости
Р(Т)= SUp_ ( »* + Т!/|| + [|я-ПМ| — ll , Т > О,
выполняется условие
lim PJIUO.
В равномерно гладких Б. п., и только в них, норма рав-
равномерно дифференцируема по Фреше. Равномерно глад-
гладкое Б. п. гладко. Обратное верно, если Б. п. конечно-
конечномерно, Б. п. X равномерно выпукло (равномерно глад-
гладко) в том и только в том случае, если X* равномерно
гладко (равномерно выпукло). Между модулем выпук-
выпуклости Б. п. X и модулем гладкости X* существует связь
Если Б. п. равномерно выпукло (равномерно гладко),
то таковы любое его подпространство и факторпростран-
ство. Б. п. Lp и 1р(р^>1) равномерно выпуклы и равно-
равномерно гладки, причем
б(е) МЧКР<2),
( &РBЩр < оо);
2B<р < оо);
(/ (е) X Ф (е) <=> а < / (е)/ф (е) < Ь).
Б. п. М, С, A, Lu АР, т, с, 1г не являются строго нор-
нормированными и не являются гладкими.
В Б. п. справедливы следующие важные теоремы для
линейных операторов:
Теорема Банаха— Штейнхауз а. Если
семейство линейных операторов <^г={Уа} ограничено
в каждой точке:
sup 1| Тах || < оо для всех х? X,
т0г
то оно ограничено по норме:
sup || Га|| < оо.
Теорема Банаха об обратном опе-
операторе. Если линейный непрерывный оператор ото-
бражает взаимно однозначно Б. п. X на Б. п. У, то об-
обратный оператор Т~г тоже непрерывен.
Теорема о замкнутом графике. Ес-
Если замкнутый линейный оператор отображает Б. п. X в
Б. п. У, то он непрерывен.
Изометрия Б. п. сравнительно редкое явление. Клас-
сич. пример — Б. п. L2 и 12. Б. п. С [К^ и С [К2]
изометричны в том и только в том случае, если Кх и Кг
гомеоморфны (теорема Банаха— Стоуна).
Для изоморфных Б. п. мерой близости служит число
d(X, Y) = lninf||r||.||r-i||,
т
где Т пробегает всевозможные операторы, осуществляю-
осуществляющие изоморфизм между X и У. Если X изометрично У,
то d(X, У) = 0. Однако существуют и не изометричные
пространства, для к-рых d(X, У) = 0; их наз. почти
изометричны ми. Свойства Б. п., сохраняющие-
сохраняющиеся при изоморфизме, наз. линейно топологи-
топологическими. К ним относятся сепарабельность, реф-
рефлексивность, слабая полнота. Изоморфная классифика-
классификация Б. п. содержит, в частности, следующие утвержде-
утверждения:
Lr Ф Ls; lr Ф ls, г ф s;
Lr ф lSl г ф s или r = s = 2;
М = m; С [0, 1] ф A(D);
С [К]~С [0, 1], если К — метрич. компакт мощности
континуума;
С [/„] Ф С [О, 1].
Каждое сепарабельное Б. п. изоморфно локально рав-
равномерно выпуклому. Неизвестно A977), каждое ли Б. п.
изоморфно своей гиперплоскости. Существует Б. п.,
не изоморфное строго нормированному.
Отвлекаясь от линейной природы нормированных про-
пространств, можно рассматривать их топологич. класси-
классификацию. Два пространства гомеоморфны, если между
их элементами может быть установлено взаимно одно-
однозначное и взаимно непрерывное (не обязательно линей-
линейное) соответствие. Неполное нормированное простран-
пространство не гомеоморфно никакому Б. п. Все бесконечно-
бесконечномерные сепарабельные Б. п. гомеоморфны.
Универсальными (см. Универсальное пространство) в
классе сенарабельных Б. п. являются С [0, 1] и A (D).
В классе рефлексивных сепарабельных Б. п. нет даже
изоморфно универсального. Б. п. 1г универсально в не-
несколько ином смысле: каждое сепарабельное Б. п. изо-
изометрично нек-рому его факторпространству.
В каждом из перечисленных выше Б. п., кроме L2 и
12, существуют подпространства без дополнения. В ча-
частности, в т и М не дополняемо каждое бесконечно-
бесконечномерное сепарабельное подпространство, в С [0, 1] не до-
дополняемо каждое бесконечномерное рефлексивное под-
подпространство. Если в Б. п. все подпространства до-
дополняемы, то оно изоморфно гильбертову пространству.
Неизвестно A977), каждое ли Б. и. есть прямая сум-
сумма каких-то двух бесконечномерных подпространств.
Подпространство У дополняемо в том и только в том
случае, если существует проектор, отображающий X
на У. Относительной проекционной
константой \ (У, X) подпространства У в X наз.
нижняя грань норм проекторов на У. Каждое п-мер-
ное подпространство Б. и. дополняемо и X (У„, X) <: Y~n.
Абсолютной проекционной констан-
константой Я (У) Б. п. У наз.
I (У) = sup X (У, X),
х
где X пробегает все Б. п., содержащие У в качестве под-
подпространства. Для любого бесконечномерного сепара-
бельного Б. п. У имеем Я(У)=оо. Б. п., для к-рых
Я(У)<Л<оо, образуют классах (^>1). Класс <?/\сов-
падает с классом пространств C(Q), где Q— экстре-
экстремально несвязные компакты (см. Экстремально несвяз-
несвязные пространства).
Основные теоремы о конечномер-
конечномерных Б. п. 1) Конечномерное нормированное простран-
пространство (Минкоеского пространство) полно, т. е. является
Б. п. 2) Каждый линейный оператор в конечномерном
Б. п. непрерывен. 3) Конечномерное Б. п. рефлексивно
(размерность X* равна размерности X). 4) Б. п. ко-
конечномерно в том и только в том случае, если его еди-
единичный шар компактен. 5) Все д-мерные Б. п. попарно
изоморфны; их множество становится компактом, если
ввести расстояние
d(X, r) = lninf||74|.||r-i||.
Ряд
наз. сходящимся, если существует предел S
последовательности частных сумм:
lira || S —2fe=1Zfc I =0-
п —*¦ ^
Если
«.:k=i И ft II '
то ряд (*) сходится; в этом случае он наз. абсолют-
абсолютно сходящимся. Ряд наз. безусловно
сходящимся, если он сходится при любой пере-
перестановке его членов. Сумма безусловно сходящегося
ряда не зависит от порядка его членов. Для рядов в ко-
конечномерном пространстве (и, в частности, для числовых
рядов) безусловная сходимость эквивалентна абсолют-
абсолютной. В бесконечномерных Б. п. из абсолютной сходимо-
сходимости следует безусловная, но обратное неверно ни в од-
одном бесконечномерном Б. п. Последнее есть следствие
теоремы Дворецкого— Роджерса: ка-
каковы бы ни были числа а^^гО, подчиненные условию
2а^<оо, в любом бесконечномерном Б. п. существует
такой безусловно сходящийся ряд 'Zxk, что II х^ || = а&,
/с=1, 2, ... .В пространстве с0 (а значит, и в любом
Б. п., содержащем подпространство, изоморфное с0)
для любой сходящейся к нулю последовательности
aft^0 существует безусловно сходящийся ряд 2,rfe,
\\xk\\=ak- В Lp(S, 2, (г) из безусловной сходимости ряда
~ следует, что
""" s
2Г=1
л хн
где
2 A<р<2),
В равномерно выпуклом Б. п. с. модулем выпуклости
б(е) из безусловной сходимости ряда 2х^ следует, что
Ряд 2л:^ наз. слабо абсолютно сходя-
сходящимся, если для каждого f?X* сходится числовой
ряд 2 I f(xk) I • Каждый слабо абсолютно сходящийся ряд
в X сходится в том н только в том случае, если X не
содержит подпространства, изоморфного с0.
Последовательность элементов {е^}00 Б. п. наз. м и-
н и м а л ь н о й, если любой ее член лежит вне замы-
замыкания X^n) = [ejl]h_/=n линейной оболочки остальных чле-
членов. Последовательность наз. равномерно ми-
минимальной, если
р(еп- Х<">)^у\\еп1\, 0 < у<1, ге = 1, 2
Если у~1, то последовательность наз. системой
Ауэрбаха. В каждом «-мерном Б. п. существует
полная система Ауэрбаха {еп}". Неизвестно A977), в
каждом ли сепарабельном Б. п. существует полная сис-
система Ауэрбаха. Для каждой минимальной системы су-
существует сопряженная система линейных функционалов
{/„}, связанная с {е^} соотношениями биортогонально-
биортогональности: /|(еу) = 6,-у. В этом случае система {е^, f^} наз. б и-
ортогональной. Множество линейных функ-
функционалов наз. тотальным, если оно аннулирует
только нулевой элемент пространства. В каждом сепа-
сепарабельном Б. п. существует полная минимальная сис-
система с тотальной сопряженной. Каждый элемент х?Х
может быть формально разложен в ряд по биортого-
нальной системе:
однако в общем случае этот ряд расходится.
Система элементов {е^}" наз. базисом в X, если
каждый элемент х ? X может быть единственным обра-
образом представлен в виде сходящегося ряда
Каждый базис в Б. п.— полная равномерная минималь-
минимальная система с тотальной сопряженной. Обратное невер-
неверно, как показывает пример системы {eint}Z.oo в С [0, 2я]
и Lx {О, 2л].
Базис наз. безусловным, если каждая его
перестановка — также базис, в противном случае ба-
базис наз. условным. Система {<?''"'}"„ в Lp[0, 2 я],
р>1, рз?2,— условный базис. Безусловным базисом в
Ьр, р>1, является система Хаара. В пространствах С
и Lx нет безусловного базиса. Неизвестно A977), в
каждом ли Б. п. есть бесконечномерное подпространство
с безусловным базисом. Каждое Б. п. с безусловным
базисом либо рефлексивно, либо содержит подпростран-
подпространство, изоморфное 1г или с0.
Нормированные базисы {е^} и {е^} в Б. п. Хг иХ,
наз. эквивалентными, если соответствие e'^i—^e'^ (/с=
= 1, 2, . . . ) может быть продолжено до изоморфизма
между Х± и Х2. В каждом из пространств 12, 1г, с0 каж-
каждый нормированный безусловный базис эквивалентен
естественному базису. Базисы, построенные в важных
для приложений Б. п., не всегда хорошо приспособлены
к решению задач, напр, теории операторов. В связи с
этим введены Т-6 а з и с ы, или базисы суммиро-
суммирования. Пусть {t{j}\ — матрица регулярного метода
суммирования. Система элементов {е„}сХ наз. Т-
базисом, соответствующим данному методу суммирова-
суммирования, если каждый х ? X единственным образом представ-
представляется в виде ряда
суммируемого этим методом к х. Тригонометрич. си-
система {e'nt}Zoo в С [0, 2 я] — базис суммирования для
методов Чезаро и Абеля. Каждый Г-базис — полная
минимальная (не обязательно равномерно) система с
тотальной сопряженной. Обратное неверно. До недав-
недавнего времени G0-е гг.) одной из основных проблем те-
теории Б. п. была восходящая к С. Банаху проблема
б а з и с а: в каждом ли сепарабельном Б. п. существует
базис? Оставались открытыми также вопросы существо-
существования базиса в конкретных Б. п. Первый пример сепа-
рабельного Б. п. без базиса построен в 1972; построе-
построены базисы в пространствах C"(Im) и A (D).
Лит.: [1] В а п а с li S., «Fund, math.», 1922, t. 3, p. 133 — 81;
[2] Б а н a x С. С, Курс функцшнального анал1зу, KniB,
1948; [3] Данфорд Н., Шварц Д ж. Т., Линейные
операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962; [4] Д э й М. М.,
Нормированные линейные пространства, пер. с англ., М., 1961;
[5] Бурбаки Н., Топологические векторные пространства,
пер. с франц., М., 1959. М. И. Кадец, Б. М. Левитан.
ВАРВЬЕ ТЕОРЕМА о кривых постоянной
ширины: если расстояние между любыми двумя па-
раллельнымп опорными прямыми к кривой постоянно
л равно а, то длпна этой кривой равна па. Установлена
С. Барбье (S. Barbier, 1860). А. Б. Леонов.
БАР-ИНДУКЦИЯ — индуктивный способ рассужде-
рассуждения, используемый в интуиционистской математике
(см. Интуиционизм) и состоящий в следующем. Пусть на
конечных кортежах натуральных чисел заданы нек-рые
свойства R и S такие, что: 1) свойство R разрешимо,
т. е. для всякого кортежа (%, . . ., пт) эффективно вы-
выясняется, выполнено R на этом кортеже или нет; 2) для
всякой свободно становящейся последовательности а
найдется кортеж вида (а@), . . . , а (га— 1)), для к-рого
выполнено А. При этом, если выполняется 2), то гово-
говорят, что R «запирает» пустой кортеж ( } (отсюда п
назв. «Б.-и.», «bar» — «запирать», «замок»); 3) для вся-
всякого кортежа л натуральных чисел, если R (я), то S(n) —
так наз. базис Б.-и.; 4) если (nl7 ..., пт) — кортеж
такой, что для всякого натурального к имеет место
?((/?!, . . ., пт, к)), то необходимо 5((nlt . . ., пт))\
это свойство наз. шагом Б.-и.
Если выполняются перечисленные условия 1) —
4), то принцип Б.-и. позволяет заключить, что имеет
место S (( )).
Л. Э. Я. Брауэр (L. E. J. Brouwer) предложил Б.-и.
как интуиционистски приемлемый способ рассуждения,
указывающий на незавершенность, нек-рую эффектив-
эффективную несчетность совокупности всех свободно становя-
становящихся последовательностей. В частности, было пока-
показано [С. К. К лини (S. С. Kleene) и независимо А. А. Мар-
Марковым], что из принципа Б.-и. (фактически даже из
нек-рого следствия Б.-и. теоремы о веере) следует, что
не все свободно становящиеся последовательности ре-
рекурсивны.
С 60-х гг. 20 в. в основаниях математики нашли упо-
употребление формы Б.-и., рассматривающие не кортежи
натуральных чисел, а кортежи более сложных объектов,
напр, кортежи свободно становящихся последователь-
последовательностей.
На языке формального интуиционистского матема-
тнч. анализа Б.-и. может быть записана в виде:
Ух (R (х) v I R (х)) & ValxR (а (х)) &
Vx (R (х) => S (х)) &
(х *у) => S (х)) => S @).
Лит.: [1] К 1 с е n e S. С, yes ley R. E., The founda-
foundations of intuitionistic mathematics, Amst., 1965.
А. Г. Драгалип.
БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ — коорди-
координаты точки n-мерного векторного пространства Еп,
отнесенные к нек-рой фиксированной системе р0, plt
. . ., рп точек, не лежащих в (п— 1)-мерном подпро-
подпространстве. Каждая точка х?Е" может быть единствен-
единственным образом представлена в виде
х = ^оРо — KPi + • ¦ • + кпРп<
где Хо, Я,!, . . . , Я„— действительные числа, удовлетво-
удовлетворяющие условию Я0+Ях+. . .+Я„=1. Точка х, по опре-
определению, есть центр тяжести масс Ко, Хг, . . ., А,„, поме-
помещенных в точках р0, pi, . . ., рп. Числа Хо, Хи . . ., Ап
наз. барицентрическими координа-
координатами точки х; точка с Б. к. 1/ (n+l) наз. б а р и ц е н-
т р о м.
Б. к. введены А. Мёбиусом в 1827 (см. [1]) как ответ
на вопрос о том, какие массы следует поместить в вер-
вершинах заданного треугольника, чтобы данная точка бы-
была центром тяжести этих масс. Б. к. являются частным
случаем общих однородных координат; они аффинно ин-
инвариантны.
Б. к. точек симплекса используются в алгебраич. то-
топологии (см. [2]). Барицентрическими ко-
координатами точек га-мерного симплекса о от-
относительно его вершин Ао, Аи . . ., Ап наз. их (общие)
декартовы координаты в базисе векторов ОА0, ОАХ,
. . . , ОАп, где О — любая точка, не лежащая в га-мер-
га-мерном подпространстве, несущем а (считается, что о
лежит в нек-ром евклидовом пространстве; при этом
определение не зависит от точки О), или проективные
координаты относительно Ао, Аг, . . ., Ап в проективном
пополнении содержащего а подпространства. Б. к. то-
точек симплекса неотрицательны и их сумма равна еди-
единице. Обращение в нуль i-й Б. к. равносильно тому, что
точка лежит на противоположной вершине Л,- грани
симплекса а. Это позволяет рассматривать Б. к. точек
геометрич. комплекса относительно всех его вершин.
При помощи Б. к. производится барицентрическое под-
подразделение комплекса.
По аналогии с этим вводится формальное определение
Б. к. для абстрактных симплексов (см. [3]).
Лит.: [1] Mobius A. F., Der barycentrische Calcul,
в его кн.: Gesammelte Werke, Bd 1, Lpz., 1885; [2] П о н т р я-
г и и Л. С, Основы комбинаторной топологии, 2 изд., М., 1976;
[3] Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ.,
М., 1971. Е. Г. Скляренко.
БАРИЦЕНТРИЧЕСКОЕ ПОДРАЗДЕЛЕНИЕ гео-
геометрического комплекса К — комплекс
А'', получающийся заменой симплексов комплекса К
на более мелкие путем следующего процесса. Каждый
одномерный симплекс (отрезок) делится пополам. В
предположении, что все симплексы размерности <га—1
уже подразделены, разбиение любого га-мерного сим-
симплекса о определяется посредством конусов над сим-
симплексами границы симплекса о, имеющих общую вер-
вершину, являющуюся барицентром симплекса о, т. е.
точкой с барицентрическими координатами И(п-\-\).
Вершины полученного комплекса К' находятся во вза-
взаимно однозначном соответствии с симплексами комплек-
комплекса К, а симплексы комплекса К' — с упорядоченными
по включению конечными наборами симплексов из К.
По аналогии с этим вводится формальное определение
Б. п. и в случае абстрактного комплекса.
_ Е. Г. Скляренко.
БАРТЛЕТТА КРИТЕРИИ — статистический крите-
критерий в Веренса — Фишера проблеме. Относится к случаю,
когда две выборки хх, . . ., xni^N(аг, а\) и уи . . .,
Упг?^(а2, о) имеют одинаковый объем: пх—«2 —га.
Критические области даются неравенством
V ^=п
при любом постоянном с>0, где
— 1 -^я — 1 чглп
П ^—1 = 1 " У П ^1=1и'
Левая часть неравенства имеет Стъюдента распреде-
распределение с га—1 степенями свободы, что связывает уровень
значимости критерия с постоянной с. Б. к. является
частным случаем Шеффе критерия и обладает анало-
аналогичными экстремальными свойствами, однако предло-
предложен М. Бартлеттом [1] ранее этого решения. Дру-
Другой Б. к. относится к сравнению дисперсий многих вы-
выборок.
Лит.: [1] Bar tie tt M. S., «Proc. Cambridge Philos.
Soc», 1936, v. 32, pt 3, p. 560 — 66. О. В. Шалпевский.
БАРЬЕР, барьер Лебега, в теории по-
потенциала— функция, существование к-рой является
необходимым и достаточным условием регулярности гра-
граничной точки в отношении поведения обобщенного ре-
решения задачи Дирихле в этой точке (см. также Перрона
метод, Регулярная точка).
Пусть D — область в евклидовом пространстве IR",
га^г2, и | — точка ее границы Г=дР. Барьером
для точки | наз. всякая функция Wp (x), непре-
непрерывная в пересечении (D\JT)[)B замкнутой области
D U Г и нек-рого шара В = В(Я, |) с центром в точке |,
супергармоническая внутри Df\B и положительная в
(D\JT)(\b, за исключением точки |, в к-рой она обра-
обращается в нуль. Напр., при п^Ъ во всякой граничной
точке |, для к-рой существует замкнутый шар В (Я, у),
имеющий с D (J Г единственную общую точку |, в каче-
качестве В. можно взять гармонич. функцию
где Я — радиус шара В (Л, у), а у -- его центр.
Б. в теории функций комплексного
переменного— функция, из существования к-рой
для всех граничных точек области D следует, что D
является голоморфности областью. Пусть D — область
в комплексном пространстве С", п>1, и g — точка гра-
границы Y = dD. Б. в точке § есть всякая аналитич. функция
/(z) в D, имеющая особенность в g. Так, для граничной
точки | любой плоской области ВсС Б. является
функция l/(z—?). В каждой точке 1= (?i, l2, ¦ ¦ •, е„)
границы шара
2>= {z = <zi, zt, ..., *„); 2"_i I *'¦ |2 < 1
также существует В. — функция 1/ (Sizi~b • • •+S«Z«~^2)-
В. существует в граничной точке \ области D, если в
D определена аналитич. функция /(z), неограниченная
в |, т. е. такая, что для нек-рой последовательности то-
точек {z(*>}c:.D, сходящейся к |, имеем
lim [ / (z<*>) |= -f- oo.
k -> X
Обратное справедливо для областей DcCn в следу-
следующей усиленной форме: для любого множества Е то-
точек границы области D, в к-рых существует В., найдет-
найдется голоморфная в D функция, неограниченная во всех
точках Е. Если Е всюду плотно на границе D, то D —
область голоморфности.
Лит.: [1] Курант Р., Уравнения с частными производ-
производными, пер. с англ., М., f 964, гл. 4; [2] Владимиров В. С,
Методы теории функций многих комплексных переменных,
М., 1964; [3] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ,
ч. 2,2 изд., М., 1976._ Е. Д. Соломенцев, М. Ширинбеков.
БАШНЯ ПОЛЕЙ — последовательность расширений
AciiC...C*;C... (*)
нек-рого поля к. В зависимости от свойств расширений
к; + 1/к,- башни наз. нормальными, абелевыми, сепарабель-
ными и др. Понятие В. п. играет важную роль в Галуа
теории, где вопрос о разрешимости уравнения в ради-
радикалах сводится к возможности погружения поля коэф-
коэффициентов этого уравнения в нормальную и абелеву
Б. п.
В полей классов теории возникает башня
где к — нек-рое поле алгебраич. чисел, а каждое поле
fe/ + 1 является максимальным абелевым неразветвлен-
ным расширением поля к;. Такие башни наз. баш-
башнями полей классов. Группа Галуа каждого
расширения А;,- + 1//с,- изоморфна, в силу закона взаимно-
взаимности, группе классов идеалов поля &,-, а так как послед-
последняя конечна, то конечны и все расширения fc,-+1/A:(-.
Объединение К полей к, является максимальным раз-
разрешимым неразветвленным расширением ноля к. Во-
Вопрос о конечности расширения К/к (проблема
Б. п.) был поставлен К. Фуртвенглером (К. Furtwang-
ler) в 1925 и отрицательно решен в 1964 (см. [2]). При-
Примером поля, Б. п. классов к-рого бесконечна, является
расширение поля рациональных чисел, получаемое при-
присоединением 1^—30030. В частности, такое поле нельзя
вложить ни в какое поле алгебраич. чисел, в к-ром имеет
место однозначность разложения чисел на простые мно-
множители. Решение проблемы имеет применения в теории
алгебраич. чисел, напр, помогает получить точную оцен-
оценку роста дискриминантов полей алгебрапч. чисел.
Лит.: [1] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М.,
1969- [2] Г о л о д Е. С, III а ф а р е в и ч И. Р., «Изв. АН
СССР. Сер. матем.», 1964, т. 28, № 2, с. 261—72.
Л. Н. Паршин.
БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ МЕТОД — один из прямых ме-
методов численного решения задач вариационного исчис-
исчисления. Применяется для решения задач оптимального
управления невысокой размерности, но со сложными
ограничениями на фазовые координаты и управляющие
функции. После дискретизации функционала и системы
дифференциальных уравнений исходная задача сводит-
сводится к минимизации функционала:
— xk = iF (x)n Zfc + 1, uk, tk, tk + 1), B)
k = 0, ..., N — i,
(xk, uk)?Gk, k = 0, ..., N. C)
Здесь x/i, Uk— векторы фазовых координат и управле-
управлений в узле *? (имеющие размерности соответственно
п и т), причем и^ считается постоянным на каждом ин-
интервале (Ik, tk + i), G/f — заданные области (n+m)-MCPH°ro
пространства (Go и Gjy описывают граничные условия),
т=(Г — tQ)l N — шаг разбиения исходного интервала
0
Б. в. м. применяется в случае п^т, характерном
для практич. задач и для к-рого использование других
методов, основанных на варьировании в пространстве
состояний (блуждающей трубки метод, локальных ва-
вариаций метод), осложнено в связи с трудоемкостью
построения функции управления.
Заданное начальное приближение (xl, . ¦ ., xn, "о ,. ¦ .,
u^v-i), удовлетворяющее B) и C), улучшается в
смысле критерия A) на каждом участке от t^ до t/t+p
(х/г, xk + p — фиксируются), и этот участок последова-
последовательно сдвигается на один узел от начала траекто-
траектории до конца, и обратно (отсюда название— «бегущая
волна»).
Для каждой волны получается задача нелинейного
программирования — минимизация
д/* =Й1Г1 F°{x" *'+i'u" *<•ii^ D)
с р связями тина равенства B) и условиями C). При
практич. реализации В. в. м. вместо решения задачи
D) даются приращения +й,- каждому из г свободных па-
параметров и в случае уменьшения A//jD) и удовлетворе-
удовлетворения условий C) получается новая траектория. Если
траектория не меняется при полном проходе волны, то
hj дробятся.
При т = п Б. в. м. переходит в метод локальных ва-
вариации.
Лит.: [1] Моисеев Н. Н., Элементы теории оптималь-
оптимальных систем, М., 1975; [2] В а т е л ь И. А., Кононенко
А. Ф., «Ж. вычисл. матем. и матем, физ.», 1970, т. 10, Л1» 1,
С. 67—73; [3] и х ж е, Алгоритмы и программы (Информаци-
(Информационный бюллетень), М., 1972, Кг 2, с. 7.
И. Б. Вптсярский, И. А. Ватпель.
БЕЕНКЕ — ШТЕЙНА ТЕОРЕМА: объединение об-
областей голоморфности Gk а С", к=\, 2, . . ., таких, что
G)j(zGft + 1 для всех к, тоже является областью голоморф-
голоморфности. В.— Ш. т. справедлива не только в комплексном
евклидовом пространстве С™, но и на любом Штейна
многообразии. Без условия монотонности последователь-
последовательности G/j по вложению эта теорема неверна, напр, объе-
объединение двух областей голоморфности
Gx-{(Zl, z2):|Z]|< 1, |г21<2}
G2={(z1, z2):|Zl|< 2, |22| < 1}
в С2 не является областью голоморфности.
Лит.: [1] В е h n k с Н., Stein К., «Math. Ann.», 1938,
Bd 116, S. 204 — 16; [2] Владимиров В. С, Методы теории
функций многих комплексных переменных, М., 1964.
Е. М. Чирка.
БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ —
распределение вероятностей, к-рое при любом п—2, 3,
4, ... может быть представлено как композиция (сверт-
(свертка) п одинаковых распределений вероятностей. Опре-
Определение В. д. р. в равной степени применимо к распре-
распределениям на прямой, в конечномерных евклидовых про-
пространствах и в нек-рых еще более общих случаях. Ниже
рассматривается одномерный случай.
Характеристич. функции f(i) Б. д. р. наз. безгра-
безгранично делимыми. Каждая такая функция при
любом п может быть представлена как га-я степень не-
некоторой другой характеристич. функции:
fit) =(/„(*))"•
Примерами Б. д. р. могут служить нормальное распре-
распределение, Пуассона распределение, Коши распределение,
чхи-квадрaim) распределение. Проверять свойство без-
безграничной делимости проще всего с помощью характе-
характеристич. функций. Композиция Б. д. р. и предел слабо
сходящейся последовательности Б. д. р. суть снова
Б. д. р.
Случайную величину, определенную на нек-ром ве-
вероятностном пространстве, наз. безгранично
делимо й, если при любом п она может быть пред-
представлена в виде суммы п независимых одинаково рас-
распределенных случайных величин, определенных на
том же пространстве. Распределение каждой такой ве-
величины — Б. д. р. Обратное не всегда верно. Так, если
взять дискретное вероятностное пространство, образо-
образованное неотрицательными целыми числами т = 0, 1, 2,
... с приписанными им пуассоновскими вероятностями
РИ = 4ге •
то случайная величина X(m) = m не будет безгранично
делимой, хотя ее распределение вероятностей (распре-
(распределение Пуассона) есть Б. д.р.
Б. д. р. впервые появились в связи с изучением сто-
стохастически непрерывных однородных случайных про-
процессов с независимыми приращениями (см. [1], [2], [3]).
Так называют процессы X (х), т^О, удовлетворяющие
требованиям: 1) X @) — 0; 2) распределение вероятно-
вероятностей приращения X (т2) — Х(х{), x2l>Xi, зависит только
от т2 —Tj; 3) при TjSgTasS. . . <=tk разности
являются взаимно независимыми случайными величи-
величинами; 4) для любого к>0
Р(|Х(т)| > е)—^0
при т—vO. Для такого процесса значение X (т) при лю-
любом т будет иметь Б. д. р. и соответствующая характери-
характеристич. функция удовлетворяет соотношению:
Общий вид /т (t) для таких процессов в предположении
конечности дисперсий DX (т) был найден А. Н. Кол-
Колмогоровым [2] (частный случай приводимого ниже об-
общего канонич. представления Б. д. р.).
Характеристич. функция Б. д. р. нигде не обращается
в нуль, и ее логарифм (в смысле главного значения)
допускает представление вида:
(так наз. каноническое представление
Л е в и — X и н ч и н а), где
Liu, t)=eita~ 1 — -^г,
у — нек-рая действительная постоянная, G(u) — не-
неубывающая функция ограниченной вариации с
G(— оо)=0. Подинтегральное выражение при и=0 при-
принимают равным —t-,2. При любом выборе постоянной у
и функции G (х) с указанными выше свойствами форму-
формула (*) определяет логарифм характеристич. функции
нек-рого В. д. р. Соответствие между Б. д. р. и парами
(у, G) взаимно однозначно ивзаимно непрерыв-
н о. Последнее означает, что Б. д. р. слабо сходятся
к предельному Б. д. р. тогда и только тогда, когда
уп—>-у и Gn(x) слабо сходятся к G(x) при га—>-оо.
Примеры. Пусть U{x) — 0, г<0, U(x)=i, x>0.
Тогда для нормального распределения с математич.
ожиданием а и дисперсией о2 в формуле (*) следует
положить
Для распределения Пуассона с параметром X имеем
у=\, G(x) = ±U(z-l).
Для распределения Коши с плотностью
Р {Х> - лA+х«)
имеем y=0,
Канонич. представление (*) удобно с чисто «тех-
«технической» точки зрения (благодаря тому, что G имеет
ограниченную вариацию), однако функция G не имеет
прямого вероятностного истолкования. Поэтому ис-
используют и другую форму представления Б. д. р., до-
допускающую непосредственную вероятностную интер-
интерпретацию. Пусть функции М(и) и N (и) определены при
и<0 и м>0, соответственно, формулами:
М (— oo)=iV(oo)=0.
Эти функции неубывающие, М (и)>0 при м<0 и N(u)^c
<:0 при и>0; в окрестности нуля функции могут не-
неограниченно возрастать. Обозначая дополнительно че-
через о2 скачок функции G в нуле, формулу (*) можно
переписать в виде:
In / (t) = iyt — -i-o2i2 -\-\xL(u, t) dM (u) +
^ L (u, t) dN (u)
(каноническое представление Ле-
в и). Функции М и N описывают, грубо говоря, часто-
частоту скачков различного размера в однородном процессе
Х(х) с независимыми приращениями, для к-рого
Важная роль Б. д. р. в предельных теоремах теории ве-
вероятностей связана с тем, что эти и только эти распре-
распределения могут быть предельными для сумм независи-
независимых случайных величин, подчиненных требованию
асимптотической пренебрегаемости. При этом рассма-
рассматривают последовательность серий Хп1, . . ., Xnh
n—i, 2, . . . , взаимно независимых случайных величин
и затем подбирают взаимно независимые случайные ве-
величины Ynl, . . ., Ynkn, имеющие В. д. р. (так наз.
сопровождающие Б. д. р.); характеристич.
функция gnk (t) величины У п^ определяется по харак-
характеристич. функции fnk(t) величины Хпь так, чтобы вы-
выполнялось следующее основное свойство: распределе-
распределения сумм
сходятся к предельному распределению (при нек-ром
выборе констант А п) тогда и только тогда, когда схо-
сходятся к предельному распределения сумм
V*" У и А
Для симметричного распределения Хпь полагают
gnk(t)=exv(fnk(t) — 1).
В других случаях выражение gnk сложнее и содержит
так наз. урезанные математич. ожидания Хп^. Свойства
Б. д. р. описывают в терминах функций, входящих в
канонич. представления. Так, напр., безгранично де-
делимая функция распределения F (х) непрерывна тогда
- ос "п«"
Важным частным случаем Б. д. р. являются так наз.
устойчивые распределения. См. также Безгранично де-
делимых распределений разложение.
Лит.: [i] F inctt i В. d e, «Atti Accad. naz. Lincei. Mem.
Cl. sci. fis.,mat. e natur. Sez. 1», ser. 6, 1929, v. 10, p. 163—68;
[2]КолмогоровА. Н., там ше, 1932, v. 15, p. 866—69; [3]
L ё v у P., «Ann. Scuola Norm, di Pisa», 1934, v. 3, p. 337—66; [4]
Levy P., Theorie de l'addition des variables aleatoires, P., 1937;
[5] X и н ч и н А. Я., Предельные законы для сумм независимых
случайных величин, М.—Л., 1938;[6] Гнеденко Б. В., Кол-
Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм не-
независимых случайных величин, М.—Л., 1949; [7] F i s z M.,
«Ann. Math. Statist.», 1962, v. 33, p. 68—84; [8] П е т р о в В. В.,
Суммы независимых случайных величин, М., 1972; [9] Сазо-
Сазонов В. В., Тутубалин В. Ы., «Теория вероятн. и ее
примен.», 1966, т. "ll, с. 3 — 55. Ю. В. Прохоров.
БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИИ
РАЗЛОЖЕНИЕ — представление безгранично делимых
распределений в виде композиции (свертки) нек-рых
распределений вероятностей. Распределения, участву-
участвующие в Б. д. р. р., наз. компонентами разложения.
Нек-рые Б. д. р. р. могут иметь компоненты, к-рые
не являются безгранично делимыми распределениями
(см. [1]). Важная задача теории Б. д. р. р.—описа-
р.—описание класса /„ безгранично делимых распределений,
имеющих только безгранично делимые компоненты.
Представители класса 10: нормальное распределение,
Пуассона распределение, их композиция (см. Леей —
Крамера теорема).
В исследованиях по проблеме описания класса /0
важную роль играет введенный Ю. В. Линником [2]
класс С безгранично делимых распределений, у к-рых
функция G(x) в каноническом представлении Леви —
Хинчина является функцией скачков с точками роста
среди 0, цт>1, \im>i, m=0, ±1, ±2, . . ., где \im [>0,
V-m,z<Q и числа fim + i,r/>m,r (r=l, 2; то=0; ±1,
±2, . . . ) — натуральные, отличные от 1. Если без-
безгранично делимое распределение таково, что G(-fO) —
— G( — 0)>0, то для его принадлежности к /0 необхо-
необходимо, чтобы оно принадлежало к ?. Достаточным это
условие не является, но известно, что распределение
класса ? принадлежит /0, если
при нек-ром &>0 и при г/—>-<х>.
Если G(-j-O) — G( —0) = 0, то принадлежность к
•8 не является необходимым условием принадлежности
к 10. Так, напр., к 1а принадлежат все безгранично де-
делимые распределения, у к-рых функция G (х) постоянна
при х<а и х>Ъ, где 0<а<Ь<2а.
Простое достаточное условие того, чтобы безгранично
делимое распределение не принадлежало к /0, состоит
в следующем: на интервале а<х<Ь, где 0<а<2а<6,
выполняется неравенство G' (x)^const >0. Из этого
условия вытекает, что все устойчивые распределения,
кроме нормального и единичного, а также гамма-рас-
гамма-распределение и ^-распределение, не принадлежат к /0.
Класс 10 является плотным в классе всех безгранично
делимых распределений в топологии слабой сходимости,
всякое безгранично делимое распределение представля-
представляется в виде композиции конечного или счетного мно-
множества распределений из /0.
Лит.: [1] X и н ч и к А. Я., «Бюлл. МГУ, секц. А», 1937,
т. 1, в. 1, с. 6—17; [2] Л и н н и к Ю. В., «Теория вероятн. и ее
примем.», 1958, т. 3, с. 3—40; [3] иго ж е, Разложения вероят-
вероятностных законов, Л., 1960; [4] Л и н н и к Ю. В., Остров-
Островский И. В., Разложения случайных величин и векторов,
М., 1972; [5] Ramachandran В., Advanced theory of
characteristic functions, Calcutta, 1967; [6] L u k a s E., Chara-
Characteristic functions, L., 1970; [7] Л и в ш и ц Л. 3., Остро в-
с к и й И. В., Чистяков Г. П., в сб.: Итоги науки и тех-
техники. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоре-
Теоретическая кибернетика, [т. 12], М., 1975, с. 5—42.
И. В. Островский.
ВЕЗИКОВИЧА ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНК-
ФУНКЦИИ — класс (Вр-п. п.) почти периодических
функций, в к-ром справедлив аналог теоремы Рисса —
Фишера: любой тригонометрич. ряд
Zjn ane " ,
где
2„ | ап |2 < оо ,
служит рядом Фурье нек-рой В'2-п. п. функции. Оп-
Определение В. п. п. ф. (А. С. Безикович [1], [2]), осно-
основанное на обобщении понятия почти периода, требует
введения нек-рых дополнений. Множество Е действи-
действительных чисел наз. достаточно однородным, если суще-
существует 7^>0 такое, что отношение наибольшего коли-
количества членов Е в интервале длины L к наименьшему ко-
количеству в том же интервале L меньше 2. Достаточно
однородное множество является относительно плотным.
Комплексная функция /(х), — оо<г<оо, суммируемая
со степенью р в каждом конечном интервале действи-
действительной оси, наз. В. п. п. ф., если каждому е>0 соответ-
соответствует достаточно однородное множество чисел [т. н.
(-ВР,е)-почти периодов функции f(x)]:
. . . < Т_2 < Т_! < Т/о < ТХ < . . .
такое, что для каждого I
Mx{\f(x + ii)-f(x)\P}< еЛ
и для каждого с>0
~" т
где
Мх {F (х)\ = Tim -^ \ " F{x) dx,
F (x) — действительная функция, определенная, со-
соответственно, для действительного переменного и на-
натурального аргумента.
Лит.: [1] Besicovitch A. S., «Proe. London Math.
Soc», 1927, v. 27, p. 495—512; [2] e г о же, там же, 1927,
V. 26, р. 25—34; [31 Левитан Б. М., Почти периодические
Функции, М., 1953. Е. А. Бредихина,
ВЕЗУ КОЛЬЦО — область целостности с единицей,
в к-poii любой идеал конечного типа является главным.
Любое кольцо главных идеалов, а также любое кольцо
нормирования суть Б. к. Кольцо Везу целозамкнуто,
и его локализация (т. е. кольцо частных) снова есть Б. к.
Для конечного множества а1, . . . , ап элементов Б. к. Л
существуют их наибольший общий делитель (причем
н. о. д. («1, . . . , ап) имеет вид 2й,-а,-, h^A — так наз.
тождество Везу) и наименьшее общее кратное. Нётерово
(и даже атомарное) Б. к.— кольцо главных идеалов.
Как и для колец главных идеалов, модуль конечного
типа над Б. к. является прямой суммой модуля круче-
кручения И СВОбодНОГО МОДУЛЯ. В. II Данилов
ВЕЗУ ТЕОРЕМА — 1) Б. т. о делении ми о-
гочлена на линейный двучлен: оста-
остаток от деления многочлена
на двучлен х—а равен f(a). Предполагается, что коэф-
коэффициенты многочленов содержатся в нек-ром комму-
коммутативном кольце с единицей (напр., в поле действитель-
действительных или комплексных чисел). Следствие В. т.: число а
является корнем многочлена f(x) тогда и только тогда,
когда f(x) делится без остатка на двучлен х—а.
2) Б. т. для системы однородных
уравнений: если система п однородных уравне-
уравнений от n-'-i неизвестных
/,-(*„, ...,*„)= О, i=l,2,..., га, (*)
обладает лишь конечным числом непропорциональных
ненулевых решений в алгебраически замкнутом поле,
содержащем коэффициенты системы, то число этих ре-
решений с учетом кратности равно произведению степеней
уравнений. Кратность решения есть, по
определению, индекс пересечения гиперповерхностей (*)
(см. Пересечения индекс) в соответствующей точке. Тео-
Теорема носит имя Э. Безу [1], изучавшего системы алгеб-
раич. уравнений высших степеней.
Лит.: [1] Bezout E., Theorie generale des equations
algebriques P , 1779 В. Н. Ремесленников, В. E. Воскресенский.
БЕЗУСЛОВНАЯ СУММИРУЕМОСТЬ — суммируе-
суммируемость ряда при любой перестановке его членов. Ряд
наз. безусловно суммируемым нек-рым
методом суммирования Л (безусловно А -суммируемым),
если он суммируем этим методом к сумме s при любой
перестановке его членов, где s может зависеть от пере-
перестановки (см. Суммирования методы). Начало исследо-
исследований по Б. с. положено В. Орличем [1]; в частности,
он показал, что если lim а„ = 0, то из Б. с. ряда ли-
нейным регулярным методом (см. Регулярные методы
суммирования) следует его безусловная сходимость. Поз-
Позднее было показано, что это условие можно заменить
более слабым: lim ая = 0 (см. [2]). В. с. матричным ме-
тодом не влечет безусловной сходимости, по сущест-
ву, для единственного ряда 2Ln=1 ^ Именно если А —
матричных! регулярный метод суммирования и ряд (*)
безусловно А -суммируем, то все члены ряда имеют вид
а„=с+г|„, где с — постоянная, а ряд с членами ц абсо-
абсолютно сходится: 2°°- I Ля I < °°; ПРИ этом е=0, если
метод А не суммирует ряда 2jn=i * (см- 1ЭД-
В случае функциональных рядов рассматривают Б. с.
по мере, всюду, почти всюду и т. п. Для Б. с. функцио-
функциональных рядов почти всюду справедливо утверждение:
если ряд 2°° in (х) измеримых на множестве Е функ-
функций /„ (х) безусловно А -суммируем почти всюду на Е,
то члены ряда имеют вид /„ (x)=f(x)-\-r\n (x), где f(x) —
конечная измеримая на Е функция, а ряд 2°°_ *)« (х)
безусловно сходится почти всюду на Е; при этом /(х) = 0,
если метод А не суммирует ряда 2°°_ 1 (см- [2])-
Лит.: [1] О г 1 i с z W., «Bull, de l'Acad. polonaise», 1927
X ЗА, р. 117—25; [2] Ульянов П. Л., «Изв. АН СССР
Сер. матем.», 1959, т. 23, № о, с. 781 — 808; [3] Г а п ош к и н В. Ф.,
Олевский А. М., «Науч. докл. высш. школы. Физ.-
матем. науки», 1958, т. 6, с. 81 — 86. И. И. Волков
БЕЗУСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ — свойство ряда схо-
сходиться при любой перестановке его членов. Точнее, ряд
из элементов линейного пространства Е, в к-ром опре-
определено понятие сходящейся последовательности, наз.
безусловно сходящимся, если он сходится
при любой перестановке его членов.
Одно направление исследований относится к изуче-
изучению безусловно сходящихся рядов в векторных метри-
ческих (или топологических) пространствах (см. [1] —
[3]). Так, для Б. с. ряда {*) из элементов банахова
пространства Е необходимо и достаточно, чтобы каждый
частичный ряд V °° ип , п1 < п2 < . . ., был сходя-
сходящимся [4]. Б. с. числового ряда равносильна его абсо-
абсолютной сходимости (см. Римана теорема о перестанов-
перестановке членов ряда). Вообще, если Я—конечномерное век-
векторное нормированное пространство, то Б. с. ряда рав-
равносильна сходимости ряда 2°°_ И "™ Не- В бесконеч-
бесконечномерном банаховом пространстве такое утверждение
неверно.
Другое направление исследований касается свойств
безусловно сходящихся почти всюду функциональных
(или ортогональных) рядов [5]. Эти свойства зачастую
принципиально отличны от свойств Б. с. рядов в банахо-
банаховых пространствах. Так, напр., аналог сформулирован-
сформулированной выше теоремы Орлича не имеет места для Б. с. поч-
почти всюду [6].
Лит.: [1] Банах С, Курс функцшналыюго анализу, К.
1948; [2] Д о й М. М., Нормированные линейные пространства
пер. с англ., М., 1961; [3] Д а н ф о р д Н., Шварц Дж. Т.
Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., [ч. 1], М.
1962; [4] Orlicz W,, «Stud, math.», 1929, t. 1, p. 241—55,
[5] Качмаж С, Штейнгауз Г., Теория ортогональ-
ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958; [6] Ульянов П. Л., «Ус-
«Успехи матем. наук», 1961, т. 16, в. 3, с. 61 —142. Б. И. Голубое.
ВЕЙЕСА ФОРМУЛА — формула, позволяющая вы-
вычислять апостериорные вероятности событий (или ги-
гипотез) через априорные вероятности. Пусть А1, . . .,
Ап— полная группа несовместимых событий: (J Aj = Q,
At П Aj = 0 при i Ф j. Тогда апостериорная вероят-
вероятность Р(А(\В) события А; при условии, что произо-
произошло событие В (сР(В)>0), может быть найдена по
формуле Б е й е с а:
где Р(А() — априорная вероятность события А/,
Р (B\Aj) — условная вероятность события В при ус-
условии, что произошло событие А; (с Р(у1,-)>0). Б. ф.
доказана Т. Бейесом (Т. Bayes, опубликована в 1763).
Формула (*) является частным случаем следующего
абстрактного варианта Б. ф. Пусть 6 и | — случайные
элементы со значениями в измеримых пространствах
F, Be) и (X, Вх) и E|gF)| <°°. Для всякого множества
Л ?/''! =о"{со : |(ш)} положим
где Fe =о"{со : 6 (со)} и Iд (ш) — индикатор множества А .
Тогда мера G абсолютно непрерывна относительно меры
Р (G<^.P) и E[g(9)|/''g] (со) = -~- (со), где jtj(co) —про-
—производная Радона — Никодима меры G по мере Р.
Лит.: [1]Колмогоров А.Н., Основные понятия теории
вероятностей, 2 изд., М., 1974. А. Н. Ширяев.
БЕЙЕСОВСКАЯ ОЦЕНКА — оценка неизвестного
параметра по результатам наблюдений при бейесовском
подходе. При таком подходе к задачам статистпч. оце-
оценивания обычно предполагается, что неизвестный пара-
параметр 6? 8?R* является случайной величиной с за-
заданным (априорным) распределением д=л(й9), прост-
пространство решений D совпадает с множеством в, а потери
L (9, d) отражают расхождение между значением 9 и
его оценкой d. Поэтому, как правило, считается, что
функция L(Q, d) имеет вид L(8, d)=a(9)X(9— d), где
X — некоторая неотрицательная функция от вектора
погрешностей 0—d. В случае А;=1 часто полагают
Х(В—d)=|9 — d\ a, a>0; при этом наиболее употреби-
употребительной и математически более удобной оказывается
квадратичная функция потерь L(Q, d)=\d—d\2. Для
такой функции потерь Б. о. (бейесовская решающая
функция) 6* = 6*(г) определяется как функция, на
к-рой достигаются минимальные полные потери
inf р (я, 6) = inf \ \ 19-б (х) |2 Р (dx) л (dQ),
или, что эквивалентно, минимальные условные потери
inf E U6 — 8(х)]2\х\.
Отсюда следует, что в случае квадратичной функции
потерь Б. о. б* (х) совпадает с апостериорным средним:
б* (х)=Е(в\х), а б е й е с о в с к и й риск
р(л, e*) = E[D(e|*)J,
где D(8|x) — дисперсия апостериорного распределе-
распределения:
Пример. Пусть х== (хх, . .., хп), где хи . . .,
хп — независимые одинаково распределенные случай-
случайные величины, имеющие нормальные распределения
N(%, сг2), о2 известно, а неизвестный параметр 9 имеет
нормальное распределение N (\i, т2). Поскольку апо-
апостериорное распределение для 9 (при заданном х)
является нормальным N (\in, xn) с
где х= (хх -|-. . .-[-л;п)/п, то в случае квадратичной функ-
функции потерь |9 — d|2 бейесовская оценка 6* (x) = \in, а бей-
есовский риск равен т^ = а2т2/ («т24-о2)- А. Н. Ширяев.
БЕЙЕСОВСКАЯ РЕШАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ — пра-
правило (функция) 6— б(х), которое сопоставляет каждому
результату статнстнч. эксперимента х решение б (х)
со значениями в заданном множестве решений и достав-
доставляет минимум полным потерям, определяемым в рамках
бейесовского подхода к статистич. задачам, а Н Ширяев
ВЕЙЕСОВСКИИ ПОДХОД к статистиче-
статистическим задачам — подход, основанный на пред-
предположении, что всякому параметру в статистич. про-
проблеме принятия решения приписано нек-рое распреде-
распределение вероятностей. Всякая общая статнстич. проблема
принятия решения определяется следующими элемен-
элементами: пространством (X, &х) выборок х, пространством
(в, с®е) значений неизвестного параметра В, семейством
распределений вероятностей {Рц, 9?в} на (X, <Вх)>
пространством решений (D, сЗр) и функцией L(Q, d),
характеризующей потери от принятия решения d,
когда истинное значение параметра есть В. Цель же
проблемы принятия решения состоит в отыскании в
определенном смысле наилучшего правила (решающей
функции) 6 = 6 (.г), сопоставляющей каждому результа-
результату наблюдения х?Х решение b(x)?D. При В. п.,
когда считается, что неизвестный параметр 0 является
случайной величиной с заданным (априорным) распре-
распределением л=я(й9) на (9, $}(,), наилучшая решающая
функция {бейесовская решающая функция) б* = б*(х)
определяется как функция, на к-рой достигаются ми-
минимальные полные потери inf р(л, 6), где
б
р(я, &)=-.
а
р(9, 6)=JxL(9, 8(x))PQ(dx).
Таким образом,
р (я, б*) = inf \ \ L (О, б (х)) Рв (dx) я (dQ).
При отыскании бейесовской решающей функции 6* =
— д*(х) полезным оказывается следующее замечание.
Пусть Рц (dx) = p(x\Q)d\i(x), n(dQ)=n(Q)dv(Q), где ц и
v — некоторые о-конечные меры. Тогда, предполагая
возможным смену порядков интегрирования, находим
С [ L(9, 8(x))Pq (dx) n (dQ) =
= 5eSxL (9> 8 (X))P {X ' 9) П (9) ^ (:r) dv F) =
= \x dp(x)[[ L(Q, 6 (x)) p (x | 9) я (9) dv (8)"j .
Отсюда видно, что для данного х ?Х б* (х) есть то
значение d*, на к-ром достигается
inf Г L (9, d) р(х\ 9) я (9) dv (9)
или, что эквивалентно,
где
Но по Бейеса формуле
1 (9, d) Р *,у? *v F) = Е [? (9,
Je
Тем самым для данного г б* (г) есть то значение d*,
на к-ром достигают минимума условные средние потери
Е [L (9, й)|г].
Пример (В. п. в задаче различения двух прос-
простых гипотез). Пусть в={91, 92}, D= {dx, d2}, L/j-=
Отождествляя решение d,- с принятием гипотезы Н,- :
9=9,-, естественно считать, что LX1<L12, Ls
Тогда
Р (я, 6) = [ J^iP (х | 9i) L (9j, б (х)) -f
-f щр (x | 92) L (92, б (х)
откуда следует, что inf р(я, б) достигается на функции
б
1 Л р(х|Вг) ju_ L,2 - I,,
Преимущество Б. п. состоит в том, что полные потери
р(я, 6) оказываются числом (в отличие от потерь рF,б),
зависящих от неизвестного параметра 9), и, следова-
следовательно, заведомо существуют, если и не оптимальные,
то, по крайней мере, е-оптимальные (е>0) решающие
функции б*, для к-рых
р (я, бе) s^ inf p (л, 6) + е.
6
Недостатком В. п. является необходимость постули-
постулировать как существование априорного распределения
для неизвестного параметра, так и знание его формы
(в определенной степени последнее обстоятельство пре-
преодолевается в рамках бейесовского подхода эмпириче-
эмпирического).
Лит.: [1] Вальд А., Статистические решающие функции,
в сб.: Позиционные игры, М., 1967, с. 300 — 522; [2] Д е Гроот
М., Оптимальные статистические решения, пер. с англ., М., 1974.
А. Н. Ширяев.
БЕЙЕСОВСКИЙ ПОДХОД ЭМПИРИЧЕСКИЙ -
статистич. интерпретация бейесовского подхода к пост-
построению выводов о ненаблюдаемых значениях случайных
параметров при неизвестном их априорном распределе-
распределении. Пусть (У, X) — случайный вектор, причем пред-
предполагается, что плотность р(у\х) условного распреде-
распределения У при любом заданном значении случайного
параметра Х — х известна. Если в результате нек-рого
эксперимента наблюдается лишь реализация У, а со-
соответствующая реализация X неизвестна и требуется
оценить значение заданной функции (р(Х) от ненаблю-
ненаблюдаемой реализации, то согласно Б. п. э. в качестве
приближенного значения "ф(У) для ср(А') следует ис-
пользовать условное математич. ожидание Е{ф(Х)|У}7
к-рое в силу Бейеса формулы выражается отношением
4 (У) = [ J ф (*) Р (Y | х) р (х) du. (х) ] [q (У), A)
где , , г , , , , . d ,, B)
jj(.r) — плотность безусловного (априорного) распре-
распределения X, и. (.г) —соответствующая а-конечная мера;
функция q (у) представляет собой плотность безуслов-
безусловного распределения У.
Если априорная плотность р{х) неизвестна, то вы-
вычисление значений \\ и q невозможно. Однако, если
имеется достаточно большое количество реализаций
независимых случайных величин У17 У2, . . ., УА. под-
подчиняющихся распределению с плотностью q(y), то для
q(y) можно построить состоятельную оценку q(y),
зависящую лишь от У17 У2, . . ., Yk. Для оценки зна-
значения г|-(У) С. Н. Бернштейн [1] предложил заменить
в B) q(y) на q(y) и найти решение р (х) этого интеграль-
интегрального уравнения, а затем подставить р и q в правую
часть A). Однако этот путь затруднителен, так как
решение указанного интегрального уравнения принад-
принадлежит к числу некорректно поставленных задач вычис-
вычислительной математики.
В нек-рых исключительных случаях статистич. под-
подход может быть применен не только для оценки q, но
и i(i (см. [3]). Такая возможность возникает тогда, когда
справедливо тождество относительно х и у
(f(x)p(y\x)=X(y)r[z(y)\x], C)
где Х(у) и z (у) — функции, зависящие лишь от у,
a r(z\x) как функция от z является плотностью вероят-
вероятности (т. е. ее можно рассматривать как плотность
условного распределения нек-рои случайной величины
Z при заданном значении Х—-х). Если C) справедливо,
то числитель отношения A) равен произведению
k(Y)s[z(Y)], где s(z) — \ r(z\x)p (x)dfi(x) — плотность бе-
безусловного распределения Z. Т. о., если имеется доста-
достаточно большое количество реализаций независимых
случайных величин Zlt Z2, . . ., Zm, подчиняющихся
распределению с плотностью s(z), то для s (z) можно
построить состоятельную оценку s(z), а значит, и найти
состоятельную оценку if (У) для "ф(У):
Ф(Х)«г|:(У)«1р(У)=Х,(ГJ[2(У)]/5(У). D)
Напр., если требуется оценить ф (X) — Х/г (h целое>0),
причем р (у\х) = хУе~х/у\ (у=0, 1, 2, . . .; г>0), то
<f(x)p(y\x) = X(y)p(y-irh\x), где X(y) = (y-\-h)\/y\^ Так
как здесь r(z\x) — p (z\x), то s (z)=q(z). Поэтому if (У) =
= X(Y)q(Y-i-h)/q(Y), т. е. для отыскания if нужна лишь
последовательность реализаций У1? У2, .... Если же
р(у\х) = Ьп(у\х)=С»хУ A-х)"-У (у-0, 1, ..., и; п це-
целое >0; 0<х<1), то <f(x)p(y\x) = X(y)r(y-\-h\x), где
Jn+hh и r{z\x)--=bn+h (z\x) ^p(z\x). Поэтому
для построения if (У) в этом случае нужно иметь две по-
последовательности эмпирических значений У,- и Zj.
Указанная методика Б. п. э. применима к весьма
узкому классу плотностей р (у\х) и функций ф(х),
удовлетворяющему условию C); и если даже это усло-
условие выполняется, то для построения оценки D) нужно
располагать реализациями случайных величин Zj, рас-
распределение к-рых, как правило, отлично от распреде-
распределения непосредственно наблюдаемых величин У,-. Для
практич. целей предпочтительнее видоизмененная мето-
методика Б. п. э., лишенная указанных недостатков. Суть
этого видоизменения заключается в построении не самой
состоятельной оценки для i() (У) (эта оценка может и
не существовать), а нижней п верхней оценок для этой
функции, отыскание к-рых сводится к решению задачи
линейного программирования следующим образом.
Пусть W1 (Y) и Ч2 (У) — условные минимум и макси-
максимум линейного функционала (относительно неизвестной
априорной плотности р(х)) в числителе A), вычислея-
ные при линейных условиях р (х)^гО, \р (x)d\i(x) = l
и д (У)= f p {Y\x)p (x)d\i (x) = ~q (У) (д (У) — упомянутая
выше оценка для q(Y), построенная по результатам
наблюдений Ух, . . ., Yk). В таком случае можно заклю-
заключить, что W1(Y)/q(Y)^^(Y)^Wi(Y)/q(Y), причем ве-
вероятность справедливости такого заключения в силу
больших чисел закона стремится к единице при неогра-
неограниченном увеличении количества случайных величин
У,-, используемых при построении оценки q(Y). Воз-
Возможны и другие видоизменения Б. п. э., напр., за счет
добавления к последнему условию q(Y)==q(Y) конеч-
конечного числа условий вида q(y;)=q(yi), где ;/,- — заранее
заданные числа; если q заменить соответствующими до-
доверительными пределами для q, то получаются условия
в виде неравенств q1(yi)^q(yi)^q2(yi) и т. д.
В нек-рых практически важных случаях для функций
Wj и W2 удается найти удовлетворительные мажоранты,
вычисляемые без применения трудоемких методов ли-
линейного программирования (см. пример, посвященный
статистич. контролю, в ст. Выборочный метод),
О применении Б. п. э. к решению задач статистич.
проверки гипотез о значениях случайных параметров
см. Дискриминантный анализ.
Лит.: [1] Б е р н ш т е й и С. Н., «Изв. АН СССР. Сер.
матем.», 1941, т. 5, с. 85—94; [2] Б о л ь ш е в Л. Н., в кн.:
Международный конгресс математиков в Ницце, 1970. Доклады
советских математиков, М., 1972, с. 48 — 55; [3J R о b b i n s II.,
в кн.: Proceedings Berkeley Symposium Mathematical Statistics
and Probability, v. 1, Berk.—Los Ang., 1956, p. 157—63.
БЕЙТМЕНА МЕТОД — метод приближения 'инте-
'интегрального оператора одномерного интегрального урав-
уравнения Фредгольма II рода, частный случай вырожден-
вырожденных ядер> метода. В Б. м. вырожденное ядро КN(x, s)
строится по правилу:
KN(x, s) = —
0
К (х„ s)
К (х s)
У Л" '
К (х,
К (xlt
к (х,
К (х1ш
s %
K(x
К
где si, x-t, i=l, 2, ..., Лг,— нек-рые точки отрезка ин-
интегрирования в рассматриваемом интегральном урав-
уравнении. Б. м. предложен Г. Бейтменом [1].
Лит.: [1] Bateman H., «Messeng. Math.» 1908, v. 37,
p. 179—87; [2] К а н т о р о в и ч Л. В., Крылов В. И.,
Приближенные методы высшего анализа, 5 изд., М.—Л., 1962.
_ А. В. Бакушинский.
БЕЙТМЕНА ФУНКЦИЯ, Цункция,- функция
М*)=4 So 2 cos(ztge-v9)de, A)
где х и v—действительные числа; определена Г. Бейтме-
Бейтменом [1]. Б. ф. может быть выражена с помощью вырож-
вырожденной гипергеометрпч. функции 2-го рода "ф(а, Ь, х):
Г(л> + 1) k2v(x) = e-xty(—v, 0; 2х), х > 0. B)
Соотношение B) удобно принять в качестве опреде-
определения Б. ф. в комплексной плоскости с разрезом @, сю).
Справедливы следующие соотношения: для случая A)
^v (—x)-=k-v (x),
для случая B)
*2V(—I ± iO) = fc_2v(l)-e±VJI'.e?<D(—v, 0, -2S),
где |>0, Ф (а, Ь; х) — вырожденная гипергеометрич.
функция 1-го рода.
Лит.: [1] В a t e m a n II., «Trans. Amer. Math. Soc», 1931,
v. 33, p. 817—31; [2] Б е й т м е н Г., Э р д е й и А., Высшие
трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция.
Функции Лежандра, пер. с англ., 2 изд., М., 1973.
Л.Н. Кармазина.
БЕЛЛМАНА УРАВНЕНИЕ — 1) Дифференциальное
уравнение с частными производными специального
типа для решения задачи оптимального управления.
В случаях, когда удается найти решение задачи Копти
для Б. у., нетрудно построить оптимальное решение
исходной задачи. 2) Рекуррентное соотношение для
решения дискретной задачи оптимального управления.
Метод получения оптимального решения с помощью
Б. у. носит назв. динамического программирования.
Лит.: [1] Б е л л м а н Р., Динамическое программирование,
пер. с англ., М., 1960. В. Г. Карманов.
БЕЛЛМАНА — ХАРРИСА ПРОЦЕСС — частный
случай ветвящегося процесса с зависимостью от воз-
возраста, впервые рассмотренный Р. Веллманом и Т. Хар-
рисом [1]. В Б.— X. п. предполагается, что частицы
живут независимо друг от друга случайное время,
а в конце жизни производят случайное число новых
частиц. Если G(t) — функция распределения времени
жизни частиц, h (s) — производящая функция числа
непосредственных потомков одной частицы, и если при
2=0 была одна частица нулевого возраста, то произво-
производящая функция F B; s) = Es^ ( ' числа частиц fiB) удов-
удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению
F(t; s)= Г h(F (t — u; s)) dG (u)-\-s(l —G (t)).
В случае G{t) = l-e-U, t^O,
Б.— X. п. есть марковский ветвящийся процесс с не-
непрерывным временем.
Лит.: [1] Bellman R., Harris Т., «Proc. Nat. Acad.
Sci. USA», 1948, v. 34, Ms 12, p. 601—04. Б. А. Севастьянов.
БЕЛЫЙ ШУМ — обобщенный стационарный слу-
случайный процесс X B) с постоянной спектральной плот-
плотностью. Корреляционная (обобщенная) функция процес-
процесса Б. ш. имеет вид: В B) = о26B), где о2— нек-рая поло-
положительная постоянная, а 6B) —дельта-функция. Про-
Процесс Б. ш. широко используется в приложениях для
описания случайных возмущений с очень малым време-
временем корреляции (напр., «теплового шума» — пульсаций
силы тока в проводнике, вызываемых тепловым движе-
движением электронов). В спектральном разложении Б. ш.
X(t)= P elMdz (к)
«элементарные колебания» ел' dz (к) при всех частотах к
имеют в среднем одинаковую интенсивность, точнее,
их средний квадрат амплитуды есть
Е | dz (к) | 2 = ™ dk, — оо < к < оо .
Указанное выше спектральное разложение означает, что
для любой интегрируемой с квадратом функции фB)
где ф(Я) — преобразование Фурье фB); более явная за-
зависимость обобщенного процесса Х—{Х, ф) от функ-
функции фB) может быть описана с помощью соответствую-
соответствующей стохастич. меры dr\ B) того же типа, что и dz(k)
(dr\ B) — преобразование Фурье стохастич. меры
dz(k)), а именно
Гауссовский белый шумХ B), являю-
являющийся обобщенной производной от броуновского дви-
движения л B) (X B)~т)' B)), служит основой для построе-
построения стохастических диффузионных процессов Y B),
«управляемых» стохастическими дифференциальными
уравнениями вида
Y'{t) = a{t,
эти уравнения обычно записывают в форме дифферен-
дифференциалов:
dY(t) = a(t, Y(t))dt+a(t, Y(t))dr\(t).
Другой важной моделью с использованием Б. ш.
является случайный процесс Y (t), описывающий пове-
поведение устойчивой колебательной системы под воздейст-
воздействием стационарных случайных возмущений X (t), когда
Y (s), s<Ct, не зависят от X (и), u~>t\ простейшим приме-
примером может служить система вида
где Р (z) — многочлен с корнями в левой полуплос-
полуплоскости; после затухания «переходных процессов»
В приложениях, при описании так наз. процессов дро-
дробового эффекта, большую роль играет Б. ш. вида
(к изменяется от — сю до сю и . . ., т_х, т0, Tlt . .. — слу-
случайные моменты, распределенные во времени по пуас-
соновскому закону), точнее, X (t) является обобщенной
производной пуассоновского процесса t](i). Сам процесс
дробового эффекта имеет вид:
Y(t)=\x c(t, s) X (s) ds = [^ c{t, s)dr\(s) =
J — CO J — CO
где c(t, s) — нек-рая весовая функция, удовлетворяю-
удовлетворяющая условию
при этом среднее значение обобщенного процесса
= {X, ф) есть
а (ф)=а \ И ф (t) dt,
где а — параметр упомянутого выше пуассоновского
закона, и стохастич. мера dz (Я) в спектральном представ-
представлении
этого процесса такова, что
E\dz{X)\^----=~dk.
Лит.: [1] Прохоров Ю. В., Розанов Ю, А.,
Теория вероятностей, М., 1967. Ю. А. Розанов.
БЕЛЬТРАМИ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ — реализация час-
части плоскости Лобачевского на псевдосфере — поверх-
поверхности постоянной отрицательной кривизны. В Б. и.
геодезические линии и их отрезки на псевдосфере играют
роль прямых и их отрезков на плоскости Лобачевского.
Изометрич. отображение псевдосферы на себя пред-
представляет собой движения на плоскости Лобачевского,
сохраняющие орикруги. Длины, углы и площади на
псевдосфере соответствуют длинам, углам и площадям
на плоскости Лобачевского. При этих условиях каждо-
каждому утверждению планиметрии Лобачевского, относяще-
относящемуся к куску плоскости Лобачевского, отвечает не-
непосредственный факт внутренней геометрии псевдосфе-
псевдосферы. Б. и. реализует частышоскости Лобачевского,вся же
плоскость Лобачевского не может быть реализована
в трехмерном евклидовом пространстве в виде регу-
регулярной поверхности (теорема Гильберта).
Б. и. была предложена Э. Бельтрами (Е. Beltrami)
в 1868 (см. [1]). В этом мемуаре им впервые была при-
приведена реализация «воображаемой геометрии» Лобачев-
Лобачевского в трехмерном евклидовом пространстве.
О других интерпретациях геометрии Лобачевского
см. Клейна интерпретация, Пуанкаре интерпретация.
Лит.: Г1 ] Бельтрами Э., Опыт интерпретации неевк-
неевклидовой геометрии, в кн.: Об основаниях геометрии, М., 1956;
[2] К а г а н В. Ф., Основания геометрии, ч. 1—2, М.—Л.,
1949 — 56. Е. В. Шикин.
БЕЛЬТРАМИ КООРДИНАТЫ — координаты на по-
поверхности, в к-рых все геодезич. линии выражаются ли-
линейными уравнениями. Поверхности, допускающие
введение Б. к., наз. проективными (проектив-
(проективные преобразования таких поверхностей переводят
геодезические в геодезические). Названы по имени
Э. Бельтрами (Е. Bellrami), к-рый рассмотрел такие
поверхности в 1866. Е- В. Шикин.
БЕЛЬТРАМИ МЕТОД — метод решения волнового
уравнения с тремя пространственными переменными,
предложенный Э. Бельтрами (Е. Beltrami) в 1864.
Б. м. основан на том, что на поверхности характерис-
тич. конуса с помощью внутренних дифференциальных
операторов волновое уравнение преобразуется к спе-
специальному простому виду и для решения и{х, t) ис-
используется формула
где Q — сфера {х; \х — хо\ = х). Б. м. может быть при-
применен в случае неоднородного уравнения и уравне-
уравнения с любым нечетным числом пространственных пере-
переменных.
Лит.: [1] Курант Р., Уравнения с частными производ-
производными, пер. с англ., М., 1964. Ш. А, Алимов, В. А. Ильин.
БЕЛЬТРАМИ УРАВНЕНИЕ — см. Лапласа -
Бельтрами уравнение.
БЕЛЬТРАМИ — ЭННЕПЕРА ТЕОРЕМА о свойстве
асимптотических линий поверхности отрицатель-
отрицательной кривизны [Э. Бельтрами (Е. Beltrami), 1866;
А. Эннепер (А. Епперег), 1870]: если кривизна асимп-
тотич. линии в заданной точке отлична от нуля, то
квадрат кручения этой линии равен абсолютному зна-
значению кривизны поверхности в этой точке. Б.— Э. т.
переносится на случай, когда кривизна асимитотич.
линии в данной точке равна нулю. Квадрат кручения
заменяется квадратом скорости вращения касательной
плоскости к поверхности в этой точке при смещении
по асимптотической. Асимптотич. линии, исходящие
из одной точки, имеют кручения, равные по абсолютной
величине и противоположные по знаку. Е. в. Шикин.
БЕМОЛЬНАЯ НОРМА мерной полиэд-
полиэдральной цепи А в пространстве Еп— норма
\А\Ь, определяемая следующим образом:
\Ар = ml{\A-dD\-\-\D\),
где \С\ — масса цепи С, ОС — ее граница, и нижняя
грань берется по всем (г+1)-мерным полиэдральным це-
цепям. Свойства Б. н.:
| A|b =0« A=0, lA^sSl^l, | о 1^ = | о 1
для любой клетки а, если л — проекция Еп на нек-рую
плоскость, то \пА[" <|А|Р.
Пополнение линейного пространства полиэдральных
цепей С Г(Е") является сепарабельным банаховым про-
пространством С^Г{Е")\ элементы его наз. r-мерными б е-
мольными ц е п я м и, и каждой из них можно
приписать конечную или бесконечную массу:
|A|u=inf) limlA,-|, A-t—у А — полиэдральные цепи\ .
\ i -»- х / /
Граница д бемольной цепи также определяется пре-
предельным переходом, она является непрерывной опера-
операцией, и
Б. н. представляет собой наибольшую из полунорм
|-|' в Сг(Еп), удовлетворяющую для любой клетки о
неравенствам: | а'|'< |ar |, | dar + 1 \' s^ | ar+1 |. г-мерная
бемольная коцепь X — линейная функция
r-мерных бемольных цепей А (обозначается через X-А)
такая, что (] X | — комасса X)
\X-A\<iN\AY для нек-рого N.
Она является элементом сопряженного с С®г(Еп) про-
пространства С*т(Еп), к-рое оказывается несепарабельным.
Бемольная норма \ X 1^-мерной бемольной ко-
коцепи X определяется стандартным образом:
| Х\Ь = sup \X-A\,
I A lt>=l
так что
|А|Ь= sup \Х-А\ и \Х-А |<| Х\Ь\ А ft,
|А'|Ь=1
причем | X К | X р.
Для кограницы dX бемольной коцепи (определяе-
(определяемой условием: dX-A = X-dA): \ dX ft < [ X ^,
так что \xft = aup{[X\,\dX[\.
Аналогичные понятия вводятся для полиэдральных
r-мерных цепей, расположенных в открытых подмно-
подмножествах RdE". См. также Бемольная форма.
Лит.: [l] У и т ii и X., Геометрическая теория интегрирова-
интегрирования, пер. с англ., М., 1960. М. И. Войцеховсгмй.
БЕМОЛЬНАЯ ФОРМА — измеримая r-мерная диф-
дифференциальная форма со на открытом множестве RczE"
такая, что:
комасса \ со lo^jVi для нек-рого N-i,
существует N2 с
для любого симплекса стг + 1, удовлетворяющего усло-
условию: существует измеримое <?czi?, \Ji\Q\n = O такое, что
to измерима на ar + 1 и на любой из его граней аг, со-
составляющих даг + 1, причем
здесь | М \s означает s-мерную меру Лебега пересечения
множества М с нек-рой s-мерной плоскостью.
Если X есть r-мерная бемольная коцепь
в Л, то существует ограниченная r-мерная форма со^
в R, измеримая в любом симплексе аг относительно
плоскости, содержащей аг, и
.@jr, A)
причем | сох |о = I X |, | a>dX \a = \dX \,
где | Х\ — комасса коцепи X. Обратно, любой г-мерной
В. ф. ш в R соответствует по формуле A) единственная
/•-мерная бемольная коцепь Ха для любого симплекса
аг, удовлетворяющего вышеуказанному условию, при-
причем
IXcoKiVi, |dXw|<iV2.
Форма w и коцепь X наз. ассоциирован-
ассоциированным и. Формы, ассоциированные с одной и той же
коцепью, эквивалентны, т. е. равны почти всюду в R,
и среди них есть бемольный представитель.
Между га-мерными бемольными коцепями X и клас-
классами эквивалентных измеримых ограниченных функ-
функций ф(р) существует взаимно однозначное соответствие,
при к-ром a>x=(f(p) dp, а
<р(р)= lim -г-^-,
' -* « I °( I
где аи о2, . . .— последовательность га-мерных симплек-
симплексов, стягивающихся к точке р так, что их диаметры —>О,
Зал
(diamo(.)" '
при нек-ром т| для всех I, \ ст,-| — объем а,-.
Пусть а(р) — измеримая суммируемая функция в R,
значениями к-рой являются r-векторы; она наз. соот-
соответствующей r-м ерной бемольной
цепи А, если
\R^x-a=X-A B)
для всех r-мерных бемольных коцепей X (и тогда А
наз. лебеговой цепью). Отображение a—v.A
является линейным взаимно однозначным отображением
множества классов эквивалентности функций сс(р)
в пространство бемольных цепей C"r(R), причем \А\ =
= \ |а|0, где \А\ — масса цепи А, |а|0 — масса г-
вектора а(р). Кроме того, множество образов не-
непрерывных функций а плотно в &г {R).
Представления A) и B) обобщают аналогичные ре-
результаты для диезных форм и диезных коцепей; напр.,
дифференциал Б. ф. а>х, определяемый формулой
d(j>x=vidXa, является также В. ф., и выполнена тео-
теорема Стокса: \ со= \ dm для любого симплекса о;
r-мерная бемольная коцепь — слабый предел глад-
гладких коцепей, т. е. таких, для к-рых ассоцииро-
ассоциированные формы со являются гладкими, и т. д.
Лит.: [1] У и т н и X., Геометрическая теория интегрирова-
интегрирования, пер. с англ., М., 1960. М. И. Войцеховский.
БЕНДИКСОНА КРИТЕРИИ — теорема, позволяю-
позволяющая установить отсутствие замкнутых траекторий у ди-
намич. систем на плоскости:
х'=Р(х, у), y' = Q(x, у). (*)
Впервые был указан И. Вендиксоном [1] в следующей
формулировке: если в односвязной области G выраже-
выражение P'x+Qy знакопостоянно (т. е. сохраняет знак и об-
обращается в нуль лишь в отдельных точках или на нек-рых
кривых), то система (*) не имеет в области G замкнутых
траекторий. Обобщение Б. к. принадлежит А. Дю-
лаку [2]: если G — односвязная область в плоскости
х, у, функции Р и Q? C1(G) и если найдется такая функ-
функция f(x, y)€CHG), что
для любой односвязной подобласти DcG, то в об-
области G не существует ни одной простой спрямляемой
замкнутой кривой, составленной из траекторий и осо-
особых точек системы (*). В случае кольцеобразной об-
области G аналогичная теорема утверждает единствен-
единственность замкнутой траектории (если она существует)
системы (*). Возможно обобщение на случай системы
(*) с цилиндрич. фазовым пространством (см. [3]).
Лит.: [1] В е n d i х s о n I., «Acta Math.», 1901 Bd 24
№ i, S. 1—88; [2] D u 1 а с Н., «G.r. Acad. sci.», 1937, t. 204
№ 23, p. 1703—06; [3] А н д р о н о в А. А., В и т т А. А.,
X а й к и н С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959.
БЕНДИКСОНА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — отображение
"= х' + у' ' V = х' + у2
«проколотой» в точке @,0) евклидовой плоскости (х, у)
на такую же плоскость (и, и), представляющее собой
координатное выражение биекции ер, порождаемой
Бендиксона сферой. В случае совпадения плоскостей
(и, v) и (х, у) Б. п. есть инверсия плоскости (х, у)
относительно окружности х2-]-у2=4.
Лит.: [1] А н д р о н о в А. А., Леонтович Е. А.,
Гордон И. И., Майер А. Г., Качественная теория дина-
динамических систем второго порядка, М., 1966. А. Ф. Андреев.
БЕНДИКСОНА СФЕРА — сфера в вещественном ана-
анализе, к-рая в теории функций комплексного перемен-
переменного известна как Римана сфера.
Пусть 2: .X-|-Y2+Z2=l есть единичная сфера в
евклидовом пространстве (X, Y, Z), N@, О, 1) и
5@, 0,-1)— ее северный и южный полюсы, соответ-
соответственно; v и о — касательные плоскости к 2 в точках
N и S, соответственно; xSy и uNv — системы коорди-
координат в о и v, оси к-рых параллельны соответствующим
осям системы XOY в плоскости Z—0 и одинаково на-
направлены с ними; наконец, пусть П — стереографиче-
стереографическая проекция 2 на о из центра N, П'— стереографич.
проекция 2 на v из центра .S. Тогда 2 есть Б. с. по от-
отношению к любой из плоскостей о, v. Порождаемая ею
б и е к ц п я ф-^ПТ!-1 плоскости о (с «выколо-
«выколотой» точкой S) на («проколотую» в точке N) плоскость v
применяется при изучении вопроса о поведении траек-
траекторий вещественной алгебраической (правые части
уравнений — многочлены от искомых функций) авто-
автономной системы обыкновенных дифференциальных
уравнений 2-го порядка в окрестности бесконечно уда-
удаленной точки фазовой плоскости. Она сводит этот вопрос
к аналогичному вопросу для окрестности точки @,0).
Названа по имени И. Вендиксона (I. Bendixson).
Лит.: [1] А н д р о и о в А. А., Леонтович Е. А.,
Гордон И. И., Майер А. Г., Качественная теория
динамических систем второго порядка, М., 1966. А. Ф. Андреев.
БЕРГМАНА КЕРНФУНКЦИЯ — функция комплек-
комплексных переменных, обладающая свойством воспроиз-
воспроизводящего ядра и определяемая для любой области
DczC™, в к-рой существуют голоморфные функции
/^0, принадлежащие классу L2(D) по мере Лебега dV.
Введена С. Бергманом [1]. Множество указанных функ-
функций / образует гильбертово пространство ^
с ортонормированным базисом {ц>г, <р2, ...}; ^()
= L2(D)f\O (D), где O(D) — пространство голоморфных
функций. Функция
Z = (zu . .., Zn), l=(li, . .., 1„),
наз. Б. к. (или просто кернфункцией) области/).
Ряд справа равномерно сходится на компактных под-
подмножествах D и принадлежит L%(D) при каждом фик-
фиксированном ?,?D, его сумма не зависит от выбора орто-
нормированного базиса {фу}. В. к. зависит от 2п
комплексных переменных и определена в области
DXD сгС2и; она обладает свойством симмет-
симметрии К(?, z) = K(z,Z), голоморфна по переменным z
и антиголоморфна по ?. Если D — D'XD", D'czCm,
D"cCn-m, то
KD(z, l)=KD.(z', Z')KD,(z', П,
где z' = {z1, ..., zm), z"--=(zm + 1, ..., zn).
Основным свойством Б. к. является ее воспроиз-
воспроизводящее свойство: для любой функции /?
^L^(D) и любой точки z?D справедливо интегральное
представление
Экстремальные свойства Б. к. 1) Для
любой точки z?D
К (г, г) =sup {| / (г) |2:/^Л(, (?*), || / ||j_« (д)< If.
2) Пусть точка Z?D такова, что в классе L%(D) име-
имеются функции с условием /(?)=1. Тогда функция
K(z, Z)/K(Z,, Q удовлетворяет этому условию и имеет
норму К(^, Q~1^, минимальную для всех таких f.
Функция K(z, ?)/^(?i?) наз- экстремальной
функцией области D.
Изменение Б. к. при биголоморфных отображениях
выражается в следующей теореме: если ср — биголоморф-
ное отображение области D на область D*, cp(z) = w,
<p(E)=Tl. то _
g
где j- — якобиан обратного отображения. Благодаря
этому свойству эрмитова квадратичная форма
2 = у п б* 'OS К (z. z) d~
инвариантна относительно биголоморфных отображений.
Функция К(z) = K(z, z), к-рую также наз. кернфунк-
цией, играет значительную роль во внутренней геомет-
геометрии областей. В общем случае она неотрицательная,
а функция log К (z) нлюрисубгармоническая. В облас-
областях D, для к-рых К(z) положительная (напр., в огра-
ограниченных областях), функции К(z) и log K(z) строго
плюрисубгармонические. Последнее эквивалентно тому,
что в таких областях D указанная форма ds2 положи-
положительно определена и, следовательно, задает в D эрми-
эрмитову риманову метрику. Эта метрика не меняется при
биголоморфных отображениях и наз. метрикой
Бергмана. Ее можно рассматривать как частный
случай Кэлера метрики. Из экстремального свойства
1) следует, что коэффициенты метрики Бергмана неогра-
неограниченно возрастают при подходе к нек-рым граничным
точкам. Если DaCn— строго псевдовыпуклая область
илианалитич. полиэдр,то К (г)неограниченно возрастает
при любом подходе z к границе области D. Всякая
область, обладающая этим свойством Б. к., является
областью голоморфности.
Для простейших областей Б. к. вычисляется в явном
виде. Напр., Б. к. для шара В: |г|<Л в С" имеет вид:
для поликруга U: |г^|<Лу, /=1, . . ., п, в С":
В частном случае, когда п= 1 и область U есть круг
|г|<Л на комплексной плоскости z, метрика Бергмана
обращается в классическую гиперболич. метрику
инвариантную относительно конформных отображений
и определяющую в U геометрию Лобачевского.
Лит.: [l]Bergman S., The kernel function and conformal
mapping, N. Y., 1950; [2J Ф у к с Б. А., Специальные
главы теории аналитических функций многих комплексных пере-
переменных, М., 1963; [3] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный
анализ, М., 1969, ч. 2, гл. 4. Е. М. Чирка.
БЕРГМАНА — ВЕЙЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ, Берг-
Бергмана- В ей л я формула, Вейля форму-
формула,— интегральное представление голоморфных функ-
функций, полученное А. Вейлем и С. Бергманом (см.[1], [2]) и
определяемое следующим образом. Пусть D — область
голоморфности в С", функции W\, • . ., Wn голоморф-
голоморфны в D и V = {z?D: \Wk (z)\ < 1, k= 1, ..., N} <g D.
Тогда любую функцию /, голоморфную в V и непрерыв-
непрерывную в V в любой точке z?V, можно представить фор-
формулой
/ (E)det(Pj^)
где суммирование производится по всем /i<... </п,
а интегрирование — по соответствующим образом ори-
ориентированным n-мерным поверхностям а ¦ _ . , обра-
образующим остов области V (см. Аналитический полиэдр),
d^d^ ¦ ¦ ./\dt,n, а функции .Р,у(?, z) голоморфны
в области DXD и определяются в соответствии с X е-
фера теоремой (см. [3], с. 245) из равенств
wv(?)-w,.(Z) = 2"=1 <?.— *«¦) Лу (S, *)•
Интегральное представление (*) наз. представ-
представлением Бергмана— Вейля.
Области V, фигурирующие в В.— В. п., наз. о б-
ластями Вей ля; обычно для них требуется до-
дополнительное условие, чтобы ранги матриц (dWj^ldz^,),
v=l,- . ., к, ц=1, ...,п, к*?п, на соответствующих мно-
множествах
были максимальными (=к) для всех ;'!<.•.</& (та-
(такие области Вейля наз. регулярными). Области
Вейля в В.— В. п. можно заменить аналитическими
полиэдрами
где Dj— ограниченные области с кусочно гладкими
границами dDj на плоскости С. В.— В. п. определяет
значение голоморфной функции / внутри аналитич.
полиэдра U по значениям / на его остове сг; при п>1
размерность а строго меньше размерности dU. При ге=1
аналитич. полиэдры вырождаются в области с кусочно
гладкими границами, остов и граница совпадают, а если
еще N=i и W(z) = z, то Б.— В. п. совпадает с интег-
интегральной формулой Коши.
Важным свойством В.— В. п. является голоморф-
голоморфность (по z) его ядра. Поэтому если вместо голоморф-
голоморфной функции / поставить произвольную интегрируемую
на сг функцию, то правая часть В.— В. п. даст функ-
функцию, голоморфную всюду в U и почти всюду в V\dU;
такие функции наз. интегралами типа Берг-
Бергмана— Вейля. Если / голоморфна в (/и непре-
непрерывна в U, то ее интеграл типа Бергмана — Вейля ра-
равен нулю почти всюду в Д\_?/.
Из В.— В. и. в области Вейля V после замены
W] (г)
(W,¦.(?)— Wf, B))-1 = У°° ^
'k
получается разложение Вейля
/(*) =
в ряд по функциям, голоморфным в области D, и этот
ряд сходится равномерно на компактных подмноже-
подмножествах V.
Лит.: [1]W e i I A., «Math. Ann.», 1935, Bd 111, S. 178—82;
[2] В е г g m a n S., «Матем., сб.», 1936, т. 1, с. 242—57;
[3] Владимиров В. С, Методы теории функций многих
комплексных переменных, М., 1964. Е. М. Чирка.
ВЕРЕНСА — ФИШЕРА ПРОБЛЕМА — аналитиче-
аналитическая проблема, возникшая в связи со статистич. зада-
задачей сравнения по эмпирич. данным математич. ожиданий
в двух нормальных распределениях, дисперсии к-рых
неизвестны (предполагается, что отношение дисперсий
также неизвестно). Эта задача была поставлена В. Бе-
ренсом [1] в связи с вопросом обработки данных об
урожайности. Современная формулировка В.— Ф. п.
принадлежит Р. Фишеру (R. Fisher) и основана на по-
понятии достаточной статистики. Пусть Х11У Х12, •-.,
Х1П и Х2х, Х22, ..., Х2Пг— взаимно независимые слу-
случайные величины, распределенные нормально, причем
EXj^Uj, E(XI,--n1J=ai (j=l, ..., щ) и ЕХз/ =ц2,
E(X2J — ц,2J =а% (j=i, ..., п2). Предполагается, что
значения математич. ожиданий ц1, ц2, дисперсий в\, а\,
а также их отношения а\1а\ неизвестны. Достаточная
статистика в случае п{^2, п2>2 есть четырехмерный
вектор {Хг, X2, Sf, S«), компоненты к-рого выражаются
формулами
Т 4 V"> Y V 4 V"* Y
А. 1 — 7 Л. -I ,', Л. п = 7 , Л. lit.
и представляют собой взаимно независимые случайные
величины, причем |/"«1(Х1— ц^/о"! и Y~n2(X2— [д,2)/а2 под-
подчиняются стандартному нормальному распределению, а
S\la\ и 5а'сг| — распределению хи-квадрат с п1— 1 и гс2—1
степенями свободы соответственно. Поскольку доста-
достаточная статистика несет в себе ту же информацию
2 2
о неизвестных параметрах |.1Х, jx2, о"х, а2, что и исходные
случайные величины Х^ и Х2у в количестве щА-п^,
то при проверке гипотез о значениях этих параметров
разумно рассматривать лишь достаточную статистику.
В частности, это соображение служит основой совре-
современной формулировки задачи о проверке гипотезы,
согласно к-рой |х, — Ц2= А (А ~ заранее заданное число);
при этом Б.— Ф. п. заключается в отыскании такого
множества Ка в пространстве возможных значений слу-
случайных величин Х1— Х2, S\, S%, чтобы при справед-
справедливости проверяемой гипотезы вероятность события
(Х1~ Х2, Si, S%)^Ka, не зависела от всех неизвестных
параметров и в точности равнялась наперед заданному
числу а из интервала 0<а<1.
Вопрос о существовании решения В.— Ф. п. долгое
время дискутировался видными математиками (главным
образом в связи с, предложенным Р. Фишером подхо-
подходом к этой проблеме, но существу выходящим за рамки
теории вероятностей). В 1964 Ю. В. Линник (совместно
с учениками) доказал, что при объемах выборок п1 и
п2 разной четности решение Б.— Ф. п. Ка существует.
Вопрос же о существовании решения для пг и п2 оди-
одинаковой четности остался открытым.
В.— Ф. п. неоднократно подвергалась видоизмене-
видоизменениям и обобщениям. В частности, А. Вальд (A. Wald)
предложил задачу об отыскании множества Ка в про-
пространстве двух переменных (Х1— X2)/Si и Sx/S%. Воп-
Вопрос о существовании такого решения остается открытым.
Однако можно эффективно построить такое множество
Ка-, что в случае справедливости проверяемой гипотезы
fix—цг=Д вероятность события ((Хг — X2)lS\, S\lS\)? Ka
хотя и будет зависеть от неизвестного отношения o\ia\,
но ее отклонение от заданного а будет мало. Ото об-
обстоятельство и служит основой современных рекомен-
рекомендаций для практич. построения критериев сравнения
Hi и ц2.
Простые и удобные в вычислительном отношении кри-
критерии для сравнения \i± и fi2 предложены В. И. Рома-
Романовским, М. Бартлеттом (М. Bartlett), Г. Шеффе
(Н. Scheffe) и др. Однако статистики этих критериев
в терминах достаточной статистики не выражаются
и поэтому имеют, вообще говоря, меньшую мощность,
чем критерии, конструируемые с помощью решения
Б.— Ф. п. и ее обобщений.
Лит.: [1] В ohrens W. U., «Landwirtscli. Jahrb.», 1929, Bd
68, Л». 6, S. 807—37; 12] Линник Ю. В., Статистические
задачи с мешающими параметрами, М., 1966; [3] Линник
Ю. В., Романовский И. В., Судаков В. Н., «Докл.
АН СССР», 1964, т. 155, Кч 6, с. 1262 — 64. Л. Н. Большее.
ВЁРКИЛЯ ИНТЕГРАЛ — понятие, введенное
Дж. Бёркилем [1] для определения площади поверх-
поверхности. В современном виде Б. и. вводится для интегри-
интегрирования неаддитивной функции /•'(/) га-мерного сег-
сегмента (бруса). Пусть R есть множество, нредставимое
в виде суммы (объединения) конечного числа сегментов
(такое множество наз. фигурой). Каждое представ-
представление Л= [jJfc наз. разбиением фигуры R.
Верхним Б. и. и н и ж н и м Б. и. от функции
сегмента F(J) по фигуре R наз. соответственно верхний
и нижний пределы сумм 2 ^1v(J/j) для всевозможных раз-
биений при стремлении к нулю максимума диаметров
сегментов, входящих в разбиение. Если эти интегралы
равны, то их общее значение наз. интегралом
Бёркиля от функции F по R и обозначается JrF.
Если F интегрируема на Я, то f интегрируема на каж-
каждой фигуре R-yCli. Тем самым вводится неопреде-
неопределенный В. и., к-рый является аддитивной функ-
функцией множества. Если F непрерывна, то и неопределен-
неопределенный Б. и. непрерывен.
Понятие Б. и. может быть обобщено на случай функ-
функции множества, определенной на нек-ром классе под-
подмножеств абстрактного пространства с мерой. Этот
класс должен удовлетворять ряду требований; в част-
частности, каждое множество из данного класса должно
допускать разбиение на составляющие множества из
того же класса, имеющие произвольно малые меры.
Тогда для любого множества из класса определяется
Б. и. по аналогии с n-мерным случаем, причем соот-
соответствующие пределы берутся при стремлении к нулю
максимума мер составляющих множеств. Б. п. естест-
естественным образом обобщается на функции множества со
значениями в коммутативной топологич. группе. Б. и.
является менее общим, чем введенный позднее Колмо-
Колмогорова интеграл, наз. также интегралом Бёр-
Бёркиля — Колмогорова. Всякая интегриру-
интегрируемая по Бёркилю функция интегрируема по Колмого-
Колмогорову при соответствующем упорядочении разбиений.
Обратное верно лишь при нек-рых дополнптельных ус-
условиях. Б. и. используется для построения Даижуа ин-
интеграла в различных пространствах.
Интегралом Бёркиля наз. также ряд введенных Дж.
Бёркилем обобщений Перрона интеграла (АР-п нтсг-
р а л СР-и н т е г р а л, SCP-a н т е г р а л), в оп-
определении к-рых вместо обычных производных чисел
используются нек-рые обобщенные производные числа.
Эти Б. и. находят применение в теории тригонометрич.
рядов.
Лит.: [1] Burki П J. С, «Proc. London Math. Soc»,
ser. 2, 1924, v. 22, p. 275—336; [2] С а к с С, Теория интегра-
интеграла пер. с англ., М., 1949; [3] Романовский П. И., «Матем.
сб.», 1941, т. 9, N° 1, с. 67—120; [4] В u r k i 1 1 J. С, «Ргос.
London Math. Soc», ser. Ill, 1951, v. 1, X» 1, p. 46—57.
_ В. А. Скворцов.
ВЁРНСАИДА ПРОБЛЕМА — 1) Б. п. о конеч-
конечных группах: существуют ли неразрешимые
конечные группы нечетного порядка? Другая формули-
формулировка: имеют ли все конечные простые неабелевы группы
четные порядки? Эта Б. п. связана с именем У. Берн-
сайда, отметившего в 1897, что порядки всех известных
к тому времени простых неабелевых групп четны [1].
Решена в 1902 У. Фейтом и Дж. Томпсоном [2], пока-
показавшими, что все конечные группы нечетного порядка
разрешимы.
Лит.: ГЦ Burnside W., The theory of groups of finite
order, 2 ed., Camb., 1911; [2] F e i t W., Thompson J., «Pa-
«Pacific J. Math.», 1963, v. 13, X 3, p. 775—1029. В. Д. Мазуров.
2) Б. п. о периодических группах; по-
поставлена У. Бёрнсайдом в 1902 (см. [1]): всегда ли
конечна конечно порожденная группа, каждый эле-
элемент к-рой имеет конечный порядок (неограни-
(неограниченная Б. п.)? Эта Б. п. может быть сформули-
сформулирована также в виде вопроса: будет ли локально конеч-
конечной группой всякая периодическая группа? У. Берн-
сайд специально выделил важный случай этой проб-
проблемы, когда порядки всех элементов группы ограни-
ограничены в совокупности (ограниченная Б. п.),
т. е. в группе выполняется тождественное соотношение
х"—А при нек-ром натуральном п. Наибольшее внима-
внимание было привлечено именно к ограниченному варианту
Б. п. Другими словами, изучалась факторгрупп;!
В (d,n) = F/Fn свободной группы F с (?>А образующими
по подгруппе F", порожденной и-ми степенями /" всех
элементов f^F. Известны следующие результаты:
B(d, 2) — элементарная абелева группа порядка 2d;
В (d.3) — конечная группа порядка 3md, где md=dJr (о) + (з)
(см. [1], [2]); В (d, 4) — конечная группа (порядка 212 при
d=2n269npiid=3 (см. A), C), D)); В (d, 6) - конечная
группа порядка 2^ 3f, где s=l + (d— lKm<*, t=mr и
r=l + (d—1J^ (см. [5],[6]). В 1959 (см. [7]) было анон-
анонсировано отрицательное решение ограничений Б. п. В [8]
опубликовано отрицательное решение неограниченной
Б. п. В дальнейшем была предложена еще одна конст-
конструкция периодич. группы, не являющейся локально
конечной [9]. В 1968 (см. [10]) было опубликовано
доказательство теоремы о бесконечности группы
В (d, ге), ^5=2, для всех нечетных ге^4381 (отрица-
(отрицательное решение ограниченной Б. п.). Позднее бы-
было доказано, что в В (d, ге) разрешимы проблема
тождества слов и проблема сопряженности; В (d, re) не
может быть задана конечным числом определяющих
соотношений; все конечные подгруппы в В (d, re) абелевы,
а все абелевы подгруппы являются циклическими;
В (d, re), Лзгге, не удовлетворяют ни условию макси-
максимальности, ни условию минимальности для нормаль-
нормальных подгрупп; В (d, re), d>2, изоморфно вкладывается
в группу В B, ге). Изучению свойств бесконечных
групп В (d, re) на основе усовершенствованных ме-
методов из [10] посвящена монография [11], где, в част-
частности, указанная выше граница для нечетных п снижена
до п^665. Трудной задачей является окончательное
разграничение показателей ге, к-рым соответствуют ко-
конечные или бесконечные группы Z?(d, re). Значения ге=5и
п = 2т, пх^Ъ, представляют в этой связи особый интерес.
Остается открытым A977) вопрос о локальной конечно-
конечности групп с условием минимальности для подгрупп;
в классе 2-групп ответ на него положителен (см. [12]).
С сер. 30-х гг. стала постепенно выкристаллизовы-
выкристаллизовываться мысль о том, что для теории конечных групп
важно, собственно, знать ответ па следующий вопрос:
будет ли порядок любой конечной группы с d образую-
образующими и тождественным соотношением хп=1 ограни-
ограничен сверху нек-рым натуральным числом b(d, n), за-
зависящим только от d и га? Это так наз. ослаблен-
ослабленная Б. п. Она решена положительно для любого
простого показателя п=р (см. [13]). Доказано, таким
образом, существование универсальной конечной р-
группы В (d, p) порядка b(d, p), факторгруппам к-рой
изоморфны все другие конечные р-группы с d образую-
образующими и соотношением хР = \. В случае конечности В (d, p)
имеет место совпадение: В (d, p)=B (d, p). Сопоставление
результатов из [10] и из [13] приводит к существованию
при достаточно большом р конечно порожденной бес-
бесконечной простой р-группы показателя р. Было до-
доказано, что 6B,5) = 534. Для b(d, p) при р^7 имеютоя
.шшь нек-рые оценки снизу, связанные с соответствую-
соответствующими оценками для класса нильпотентности c(d, p)
группы B(d,p). По-видимому, сB, р) не может быть ли-
линейной функцией р. Что более существенно, c(d, p)
растет неограниченно вместе с d (см. [14], [15]). Вопрос
о существовании В (d, п) при ге=рт, т>1, начиная с п=8
и 9, открыт A977). В то же время из результатов, полу-
полученных в [6] и [13], а также из теоремы о разреши-
разрешимости групп нечетного порядка (см. Бернсайда проб-
проблема о конечных группах) и нек-рых классификацион-
классификационных фактов о простых группах вытекает существова-
существование b(d, re) для всех ге, свободных от квадратов.
В первоначальном решении [8] неограниченной Б. п.
и ослабленной Б. п. [13] для простого показателя р ис-
использован выход в теорию алгебр, в первом случае — на
основе признака бесконечномерности алгебры, а во
втором — на основе одного тождества в Ли алгебрах,
являющегося аналогом тождества хР=1 в группах
(см. [16], [17]). Проблемы бернсайдовского типа, по-
помимо уже упомянутых, получили весьма широкое рас-
распространение (см. [8], [9]).
Лит.: [1] Burnside W., «Quart. J. Pure and Appl.
Math.», 1902, v. 33, p. 230—38: [2] L ev i F. W., Van der
Waerden B. L., «Abh. Math. Sem. in Univ., Hamburg»,
1932, Bd 9, S. 154—58; [3] С а н о в И. Н., «Уч зап ЛГУ. Сер.
матем.», 1940, в. 10, с. 166—70; [4] Bayes A. J., Ка-
utsky J., Wamsley Т. W., в кн.: Proc. Second internat.
conf. theory of groups, Canberra, 1973, p. 82—89; [5] H a 1 1 M ,
«Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A.», 1957, v. 43, p. 751—53; [6]
Hall Ph., H i g m a n G., «Proc. London Math. Soc», 1956,
v. 6, Mi 21, p. 1—42; [7] H о в и к о в П. С. «Докл. АН СССР»,
1959, т. 127, № 4, с. 749—52; [8] Г о л о д Е. С, в кн.: Труды
Международного конгресса математиков, М., 1968, с. 284—89;
[9] А л ё ш и н С. В., «Матем. заметки», 1972, т. 11, № 3,
с. 319—28; [10] Новиков П. С, Ад ян С. И., «Изв.
АН СССР. Сер. матем.», 1968, т. 32, № 1, с. 212—44, № 3,
с. 709—31; [И] Ад ян С. И., Проблема Бернсайда и тож-
тождества в группах, М., 1975; [12] Шмидт О. Ю., Избранные
труды. Математика, М., 1959, с. 298—300; [13] К о с т р и-
к и н А. И., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1959, т. 23, № 1
с. 3—34; [14] Buchmuth S. M., Muchizuki H. Y.,
WalkupD. W., «Bull. Amer. Math. Soc». 1970, v. 76, № 3,
p. 638—40; [15] Разные л OB Ю. П., «Алгебра и логика»,
1971, т. 10, Ml 1, с. 33—44; [16] Magnus W., «J. reine und
angew. Math.», 1937, Bd 177, №1, S. 105—15; [17] Higman
G., в кн.: Proceedings of the International congress of mathema-
mathematicians, Camb., 1960, p. 307—12; [18] К у р о ш А. Г., «Изв.
АН СССР. Сер. матем.», 1941, т. 5, с. 233—40.
А. И. Кострикин.
БЕРНУЛЛИ АВТОМОРФИЗМ — автоморфизм про-
пространства с мерой, описывающий Бернулли испытания
и их обобщение — последовательность незаписимых ис-
испытаний, имеющих одни и те же исходы и одно и то же
распределение вероятностей.
Пусть А — совокупность всевозможных исходов ис-
испытания, а вероятность события ВаА дается мерой v;
для счетного А обозначим его элементы через а,- и их
вероятности через p/ = v(a,). Фазовым пространством
Б. а. служит прямое произведение счетного числа эк-
экземпляров множества А, т.е. точки фазового прост-
пространства суть бесконечные последовательности й= {Ь^ },
где к пробегает множество целых чисел и каждое
bft?A. Преобразование Т состоит в сдвиге всех членов
каждой последовательности влево на одно место:
Т{Ъь}= {6fc+1}. Мера [г определяется как прямое про-
произведение счетного числа мер v; таким образом, если А
счетно, то
{ }
В последнем случае энтропия Б. п. равна — Sp,-log p,-.
В эргодической теории Б. а. (точнее, получающийся
при его итерировании каскад) играет роль стандартного
примера динамич. системы, в поведении к-рой прояв-
проявляются статистич. свойства. Б. а. является /f-автомор-
физмом, но существуют if-автоморфизмы, метрически
неизоморфные Б. а., хотя многие Х-автоморфизмы
метрически изоморфны Б. а. Два Б. а. метрически изо-
изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют оди-
одинаковую энтропию [1]. Б. а. является факторавтомор-
физмом любого эргодического автоморфизма прост-
пространства Лебега с большей энтропией [2].
Лит.- [1] Орн штейн Д., «Математика», 1971, т. 15,
Кг 1, с. 114—30, 131—50; [2] Синай Я. Г., «Матем. сб.»,
1964, т. 63, № 1, с. 23—42. Д. В. Аносов.
БЕРНУЛЛИ БЛУЖДАНИЕ - случайное блужда-
блуждание, порождаемое Бернулли испытаниями. На примере
Б. б. можно пояснить нек-рые основные черты более
общих случайных блужданий. В частности, уже в этой
простейшей схеме проявляются свойства «случай-
«случайности», парадоксальные с точки зрения интуиции.
Б. б. можно описать, напр., в следующих терминах.
Частица движется по оси х («блуждает») по решетке
точек вида kh (к — целое, /i>0). Движение начинается
в момент i=0, и положение частицы отмечается только
в дискретные моменты времени 0, Ai, 2Ai, 3Af, ....
На каждом шаге координата частица увеличивается
или уменьшается на величину h с вероятностями р и
q=l — p соответственно, независимо от предшествую-
щего движения. Таким образом, перемещения в поло-
положительном и отрицательном направлениях («успехи»
и «неудачи») описываются схемой испытаний Бернулли
с вероятностью успеха, равной р. Обычно Б. б. изоб-
изображают геометрически, беря ось t за ось абсцисс, а
ось х — за ось ординат (см. рис. 1, где показан началь-
начальный участок графика движения частицы, начинающей
блуждание из нуля). Пусть Xj — случайная величина,
равная перемещению частицы на /-м шаге. Тогда Xlt
Х2, ..., Хп, ... образуют последовательность незави-
независимых случайных величин. Координата блуждающей
частицы в момент гаД? равна сумме Sn=X1-\- . . .-\-Хп.
Поэтому график Б. б. дает также наглядное представ-
представление о поведении нарастающих сумм случайных ве-
величин, причем многие харак-
характерные черты флуктуации сох-
4А4- раняются и для сумм значи-
,Л тельно более общих случайных
y*v величин. Этот график показы-
2Л-(- jf N вает также изменения капита-
>^ ла одного из игроков в клас-
' сич. задаче о разорении (имен-
Д( . * | ' [—>¦ но в связи с этой задачей были
~h\ 2Д4 4L 6Д( найдены формулы для веро-
вероятностей многих событий в
Рис. 1. Начальный учас- Б б.)
ток графика движения R Аичикр К б игпотгьтеют
частицы, совершающей ° физике ?>. о. используют
блуждание Бернулли. ДЛЯ грубого описания одномер-
одномерных процессов диффузии (см.
Диффузионный процесс) и броуновского движения ма-
материальных частиц под действием ударов молекул.
Из важнейших фактов, связанных с Б. б., можно от-
отметить следующие (при этом ниже, если не оговорено
противное, принято допущение Д4=1, Л=1).
Вероятности возвращения. Пусть
блуждание начинается из нуля. Тогда вероятность
хотя бы одного возвращения в нуль равна 1— \р — gl,
т. е. равна единице в симметричном случае р = д=54
и меньше единицы при рфд. В симметричном случае
величины тт (время до первого возвращения в нуль)
и т2 (время между первым и вторым возвращениями) и
т. д. суть независимые случайные величины с бесконеч-
бесконечным математич. ожиданием. Время до iV-ro возвраще-
возвращения, т. е. сумма T]+...+tjv растет как N2, а среднее
число N2n возвращений за 2га шагов задается формулой
и растет как
Отсюда вытекает парадоксальное следствие: в симмет-
симметричном Б. б. «волны» на графике между последователь-
последовательными возвращениями в нуль оказываются порази-
поразительно длинными (рис. 2). С этим связано и другое
обстоятельство, а именно, что для Тп/п (доли времени,
когда график находится выше оси абсцисс) наименее
вероятными оказываются значения, близкие к 54 •
Точнее, справедливо следующее утверждение: при
к—>-оо, п — к—>-оо для вероятности P2n,2k равенства
Т2п=2к имеет место формула:
ЯП УХ A -ж)
где х=хпь = к/п. Следствием является так наз. закон
арксинуса: при каждом О<ос<1 вероятность
неравенства Тп1п<.а стремится к
dx 2
: = — arcsin
v*.
I'* A-х)
Опираясь на этот факт, можно показать, что при 10 000
шагов частица остается на положительной стороне бо-
более чем 9930 моментов времени с вероятностью 5г0,1,
т. е., грубо говоря, подобное положение будет наблю-
наблюдаться не реже, чем в одном случае из десяти (хотя
на первый взгляд оно кажется абсурдным).
Максимальное отклонение. При р >д
или р<</ блуждающая частица уходит с вероятностью
единица в -j-oo или — оо. Поэтому, напр., при р <д оп-
определена случайная величина
М+ = max S,,
равна
и вероятность того, что М+ = а
JL
я
Бернулли блуждание с границами.
Часто рассматривают Б. б. при наличии поглощающих
или отражающих экранов. Пусть, напр., блуждание
начинается из нуля. Наличие в точке а поглощающего
экрана проявляется в том, что по достижении этой
точки частица перестает двигаться. При наличии
в точке а=(к~\-1А) (к^О целое) отражающего экрана
частица с вероятностью q переходит из к в (к— 1) и с ве-
вероятностью р остается на месте. Основным средством
вычисления вероятностей поглощения и вероятностей
достижения тех или иных точек служат разностные
уравнения. Пусть, напр., поглощающий экран стоит
800
600
400
200
0
-200
-400
-600
-800
—ZU
Рис. 2. Графики трех блужданий Бернулли; каждое на-
наблюдалось на протяжении 200 000 единиц времени.
в точке —а (а>0). Если zf x есть вероятность того,
что частица, находящаяся в точке х в момент времени t,
поглотится до момента п (включительно), то имеет
место уравнение:
со следующими очевидными граничными условиями:
Zf_a = l, 0 < t < re,
Решение этой задачи при р = <?=1/2 было известно
А. Муавру (A. Moivre) и П. Лапласу (P. Laplace).
Формула Лапласа имеет вид:
Sln Ф
(cos
(*)
где
Переход к процессам диффузии. Пусть,
напр., p — q=1I2, At=i/N, h=M YN. Тогда при iV->oo
многие вероятности, вычисленные для схемы Б. б.,
стремятся к пределам, равным аналогичным вероят-
вероятностям для броуновского движения. Пусть речь идет
о вероятности того, что частица, вышедшая из нуля,
поглотится экраном, стоящим в точке а, до момента Т.
Предельным переходом из формулы (*) при nlN= T,
(=0, х=0, alY~N=a получается величина
1 L- r/V?e-
У2п JO /
равная вероятности того, что координата X (v) час-
частицы, совершающей броуновское движение, удовлетво-
удовлетворяет неравенству:
min X(y)< — а,
0<«<т
т. е. вероятности того, что частица поглотится на ба-
барьере — а. Для более или менее полного описания всех
подобных предельных соотношений уместно встать на
общую точку зрения и рассмотреть переход от дискрет-
дискретного процесса «нарастающих сумм» к непрерывному
случайному процессу (см. Предельные теоремы).
На схеме Б. б. можно весьма наглядно пояснить
такие закономерности поведения сумм случайных ве-
величин, как больших чисел усиленный закон и повторного
логарифма закон.
Лит.: [1]Феллер В., Введение в теорию вероятностей и
ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1—2, М., 1967.
Ю. В. Прохоров.
БЕРНУЛЛИ ИНТЕГРАЛ уравнений гидро-
гидродинамики — интеграл, определяющий давление р
в каждой точке установившегося потока идеальной одно-
однородной жидкости или баротропного газа (p = F(p))
через скорость v потока в соответствующей точке и че-
через силовую функцию и(х, у, z) объемных сил:
= С-Т^12 + "- A)
Постоянная С имеет для каждой линии тока свое зна-
значение, меняющееся при переходе от одной линии тока
к другой. Если движение потенциальное, то постоян-
постоянная С для всего потока одна и та же.
Для неустановившегося движения Б. и. (наз. иногда
интегралом Кош и — Лагранжа) имеет
место при наличии потенциала скоростей:
Sf *l2 + "+/W- B)
причем
v = grad(p(ar, у, z, t)
и f(t) есть произвольная функция времени.
Для несжимаемой жидкости левая часть уравнений
A), B) приводится к виду р/р; для баротропного газа
(р = /'(р)) - к виду:
Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738).
Лит.: [1] М и л н-Т о м с о н Л. М., Теоретическая гидро-
гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.
БЕРНУЛЛИ ИСПЫТАНИЯ — независимые испыта-
испытания с двумя исходами каждое («успехом» и «неудачей»)
и такие, что вероятности исходов не изменяются от ис-
испытания к испытанию. Б. и. служат одной из основных
схем, рассматриваемых в теории вероятностей.
Пусть р — вероятность успеха и д=1 — р — вероят-
вероятность неудачи, и пусть 1 обозначает наступление ус-
успеха, а 0 — наступление неудачи. Тогда вероятность
определенного чередования успехов и неудач, напр.,
1 0 0 1 1 0 1 0 ... 1,
равна
pqqppqpq... p=pmqn~m,
где т — число успехов в рассматриваемом ряду п
спытаний. Со схемой Б. и. связаны многие распростра-
ненные распределения вероятностей. Пусть Sn— слу-
случайная величина, равная числу успехов в п Б. и,
Тогда вероятность события {Sn=k} равна
т. е. Sn имеет биномиальное распределение. Последнее
при я—>-оо аппроксимируется нормальным распределе-
распределением или Пуассона распределением. Пусть Yt— число
испытаний до первого успеха. Тогда вероятность собы-
события {Уг=к} равна
qkp, А = 0, 1, 2, ...,
т. е. Yx имеет геометрическое распределение. Если Yг —
число неудач, предшествующих r-му появлению ус-
успеха, то Yr имеет так наз. отрицательное биномиальное
распределение. Число успехов Sn в Б. и. можно пред-
представить в виде суммы X1JrX2-\- . . .-\-Хп независимых
случайных величин, где Xj равно 1, если /-е испыта-
испытание закончилось успехом, и равно 0 в противном слу-
случае. Поэтому многие важные закономерности теории
вероятностей, относящиеся к суммам независимых
случайных величин, были первоначально установлены
для схемы Б. и. (Бернулли теорема, больших чисел
закон, больших чисел усиленный закон, повторного ло-
логарифма закон, центральная предельная теорема и т. д.).
Строгое изучение бесконечных последовательностей
Б. и. требует введения вероятностной меры в прост-
пространстве бесконечных последовательностей нулей и еди-
единиц. Это можно сделать или непосредственно, или с
помощью приема, к-рый иллюстрируется ниже случа-
случаем р=G=1/2. Пусть со — число, выбираемое наудачуна
отрезке @, 1) с равномерным распределением, и пусть
где Xj((i)) = Q или 1, есть разложение ы в двоичную
дробь. Тогда Xj, /=1, 2, ..., независимы и принимают
значения 0 и 1 с вероятностью V2 каждое, т. е. чередо-
чередование нулей и единиц в двоичном разложении со описы-
описывается схемой Б. и. с р=1/2. Однако меру на @, 1)
можно задать и так, чтобы получить Б. и. с любым р
(при рф 12 получается мера, сингулярная относительно
меры Лебега).
Б. и. часто трактуют геометрически (см. Бернулли
блуждание). Ряд вероятностей, связанных с Б. и., был
вычислен на самой ранней ступени развития теории ве-
вероятностей в связи с задачей о разорении игроков.
Лит.: [1] Г н е д е и к О Б. В., Курс теории вероятностей,
5 изд., М., 1969; [2] Ф е л л е р В., Введение в теорию вероят-
вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1—2, М., 1967;
[3] К ац М., Статистическая независимость в теории вероят-
вероятностей, анализе и теории чисел, пер. с англ., М., 1963.
А. В. Прохоров.
БЕРНУЛЛИ ЛЕМНИСКАТА — плоская алгебраич.
кривая 4-го порядка, уравнение к-рой в декартовых
прямоугольных координатах имеет вид:
в полярных координатах:
р2=2а2 cos 2ф.
Б. л. симметрична относительно начала координат О
(см. рис.), к-рое является узловой точкой с касатель-
касательными у= ±х и точкой
перегиба. Радиус кри-
кривизны: г=2а2/3р. Пло-
Площадь каждой петли:
5 = а2. Произведение
расстояний каждой точ-
точки М Б. л. до двух дан-
данных точек Ft(— a, 0) и F2(a, 0) равно квадрату расстоя-
расстояний между точками Рг и F2- Б. л.— частный случай
Кассини овалов, лемнискат, синусоидальных спиралей.
Б. л. названа по имени Я. Бернулли (J. Bernoulli),
в статье к-рого впервые встречается уравнение этой
кривой A694).
Лит.: [1] С а в е л о в А. А., Плоские кривые, М., 1960.
Д. Д. Соколов.
БЕРНУЛЛИ МЕТОД — метод нахождения наиболь-
наибольшего по абсолютной величине действительного корня
алгебраич. уравнения вида
aoz" + aiz«-i + ... + an = O. (*)
Предложен Д. Бернулли [1]; состоит в следующем.
Пусть !/@), i/(l), ..., у(п—1) — произвольно выбран-
выбранные числа. Значения у(п), у(п-\-1), ... вычисляют,
пользуясь разностным уравнением:
а»У (т + га) + ад (т-~- п— 1)+... + а „у (т) = 0.
Отношение у(т-\-1)/у(т) при т-^-оо стремится, вообще
говоря, к наибольшему по абсолютной величине корню
уравнения (*).
Лит.: [1] Bernoulli D., в кн.: Commentarii Acaclemiae
Scientiarum imperialls Petropolitanae, Petropoli, 1732, t. 3,
p. 62—69; [2] У и т т е к е р Э., Р о б и н с о н Г., Матема-
Математическая обработка результатов наблюдений, пер. с англ.,
Л.—М., 1935. Л. Н.Довбыш.
БЕРНУЛЛИ МНОГОЧЛЕНЫ — многочлены вида
)sxns (n=0, 1,2,...),
где Bs— Бернулли числа. Так, для га=0, 1, 2, 3
В0(х) = 1, В1(х)=х-4г, В2(х)=х*-х^-±
В3(х)=хЗ-1-х + ±х.
Б. м. можно вычислять по рекуррентной формуле
s(x) = nx»-i, « = 2,3,...
Для натурального я=т Б. м. впервые рассматривались
Я. Бернулли (J. Bernoulli, 1713) в связи с вычислением
суммы
При произвольном х Б. м. впервые изучал Л. Эйлер
(L. Euler) (см. [1], с. 300). Термин «Б. м.» ввел И. Л.
Раабе (J. L. Raabe, 1851). Основное свойство: Б. м.
удовлетворяют разностному уравнению
и поэтому играют в исчислении конечных разностей ту
же роль, что и степенные функции в дифференциальном
исчислении.
Б. м. принадлежат к классу Аппеля многочленов,
т. е. удовлетворяют условию:
и тесно связаны с Эйлера многочленами:
Производящая функция Б. м. имеет вид:
Для Б. м. справедливо разложение в Фурье ряд: для
и для ге=2, 3, ...
cos ( 2nsx-—
Б. м. 5'довлетворяют соотношениям:
(теорема умножения),
Вп{\-
(теорема дополнения),
(теорема сложения аргументов).
Б. м. используются для выражения остаточного члена1
Эйлера — Маклорена формулы суммирования и для
разложения функций в ряды. Из свойств Б. м. выво-
выводятся многие важные свойства чисел Бернулли. Б. м.
используются для интегрального представления диф-
дифференцируемых периодич. функций
-V
n играют важную роль в теории приближения таких
функций тригонометрич. полиномами и др. агрегата-
агрегатами, см. Фавара задача.
Известны различного рода обобщения Б. м. Ы. Э. Нёр-
лундом введены обобщенные Б. м. порядка v и сте-
степени п:
(нек-рые частные случаи этих многочленов рассматри-
рассматривались ранее В. Г. Имшенецким, Н. Я. Сониным и
Д. М. Синцовым). Пусть
А/(*) =
тогда /?nV>(a;|«) последовательно определяются как по-
полиномиальные решения степени п разностного уравне-
уравнения
Д В@1 (х\щ, ..., cov)= пВу-Ъ {х\щ, ..., <»v_1),
fflv
v = l,2, ..., с начальными условиями
ВТ @ | щ, ..., a.v) = ^v) [oh, ..., cov],
где fi^'ld)!, . - ., cov] (обобщенные числа Бернулли)
находятся из рекуррентного соотношения
Лит.: [1] Эйлер Л., Дифференциальное исчисление,
пер. с лат., М.—Л., 1949; [2] N б г 1 u n d N. ?., Vorlesungen
uber Differenzenrechnung, В., 1924; [3]Бейтмен Г.,Эрдейи
А., Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая
функция. Функции Лежандра, пер. с англ., М., 1965; [4] Л и-
хин В. В., в сб.: Историко-математические исследования, в.
12, М., 1959, с. 59 — 134. Ю. Я. Субботин.
БЕРНУЛЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - то же, что би-
биномиальное распределение.
БЕРНУЛЛИ СХЕМА — то же, что схема Бернулли
испытаний.
БЕРНУЛЛИ ТЕОРЕМА — исторически первая фор-
форма больших чисел закона. Б. т. приведена в четвертой
части книги Я. Бернулли (J. Bernoulli) «Ars conjec-
tandi» («Искусство предположений»). Эту часть можно
считать первым серьезным трудом по теории вероят-
вероятностей. Книга издана в 1713 Н. Бернулли (племянни-
(племянником Я. Бернулли). Б. т. относится к последователь-
последовательности независимых испытаний (см. Бернулли испыта-
испытания), в каждом из к-рых вероятность появления нек-рого
события (успеха) равна р. Пусть п — число испытаний
и т. — случайная величина, равная числу успехов.
Б. т. утверждает, что каковы бы ни были положитель-
положительные числа е и г| при всех достаточно больших п
вероятность Р неравенства
будет больше 1 — х\. Доказательство этой теоремы, дан-
вое Я. Бернулли (и основанное только на изучении
характера убывания вероятностей в биномиальном рас-
распределении по мере удаления от наивероятнейшего
значения), сопровождалось неравенством, позволяю-
позволяющим указать нек-рую границу для указанного п0 по
данным 8 и г|. Напр., Я. Бернулли находит, что при
р = 2/5 вероятность неравенства
_J-<^_.A<JL
50 *= п 5 ^ 50
будет больше 0,999 при п>25 550. Несколько совер-
совершенствуя первоначальное рассуждение Я. Бернулли,
можно установить, что п достаточно выбирать с ус-
условием
что дает, в свою очередь, для вероятности i — P нера
венства
т
> г
оценку вида
2 ехр ( — 4-'
Для приведенного выше примера получается условие
п^П 665 (более сложные оценки показывают, что до-
достаточно брать п ;э= б 502; для сравнения заметим, что
теорема Муавра — Лапласа в качестве приближенного
значения п0 дает 6 498). Другие оценки для 1—Р можно
получить, используя Бернштейна неравенство п его
аналоги (см. также Биномиальное распределение).
Лит.: [1] Бернулли Я., Часть четвертая сочинения
Якова Бернулли «Ars conjectandi», СПБ, 1913; [2] Марков
А. А., Исчисление вероятностей, 4 изд., М., 1924; [3] Берн-
штейн С. Н., Теория вероятностей, 4 изд., М.—Л., 1946.
Ю. В. Прохоров.
БЕРНУЛЛИ УРАВНЕНИЕ — обыкновенное диффе-
дифференциальное уравнение 1-го порядка
a
где а — действительное число, не равное нулю и еди-
единице. Это уравнение впервые было рассмотрено Я. Бер-
Бернулли [1]. Подстановкой !/1~a = z Б. у. приводится к ли-
линейному неоднородному уравнению 1-го порядка (см.
[2]). Если а>0, то Б. у. имеет решение у=0; при
0<а<1 в точках этого решения нарушается единст-
единственность. Уравнение вида
также есть Б. у., если рассматривать у как независи-
независимую переменную, а х — как неизвестную функцию от у.
Лит.: [1] Bernoulli J., «Acta Erud.», 1695, p. 59—67,
537—57; [2] Камке Э., Справочник по обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976.
Н. X. Розов.
БЕРНУЛЛИ ЧИСЛА — последовательность рацио-
рациональных чисел Во, В1, В2, • • •, найденная Я. Бернулли
[1] в связи с вычислением суммы одинаковых степеней
натуральных чисел:
re = 0, 1, 2, ..., m=l, 2, ...
Значения первых Б.ч.:
Все Б. ч. с нечетными номерами, кроме Вг, равны нулю,
знаки В2п чередуются. Б. ч. являются значениями при
х=0 Бернулли многочленов: В/1 = В,г@); коэффициентами
разложения нек-рых элементарных функций в степен-
степенные ряды часто служат Б. ч. Напр.
х = У° Bv—, x\<2n
ех_1 ^\<=о v!
(т. н. производящая функцию для Б. ч.),
Л. Эйлер (L. Euler, 1740) указал на связь между Б. ч.
и значениями дзета-функции Римана Z, (s) при чет-
четных s=2m:
V°° -am BяJт
Q (Im) = 2jv=1 v = 2 Bn)! I 2тп •
Через Б. ч. выражаются многие несобственные интег-
интегралы, напр.
х n~1dx J_, п I а 2
0 е231*—1~4п ' ~ ' '
Некоторые соотношения для Б. ч.:
(рекуррентная формула):
оценка:
BяJ" ' ' "• 3 Bя)а"
Для Б. ч. имеются обширные таблицы, напр., в [2]
приведены точные значения В2п для ?i<:90 и прибли-
приближенные значения для n<g250.
Б. ч. находят многочисленные применения в мате-
матпч, анализе, теории чисел, приближенных вычисле-
вычислениях.
Лит.: [1] В е г п о u I I i J., Ars conjectandi, Basileae, 1713;
[2] Tables of the higher mathematical functions, y. 2, Bloomington,
1935; [3] Saalschuetz L., Vorlesungen iiber die Bernoul-
lischen Zahlen, В., 1893; [4] Ч и с т я к о в И. И., Бсрнуллиевы
числа, М., 1895; [5] N i е 1 в en N., Traite elementaire de nom-
bres de Bernoulli, P., 1923; [6] К у д р я в ц е в В. А., Сумми-
Суммирование степеней чисел натурального ряда и числа Бернулли,
М.— Л., 1936; [7] Nbrlund N. Е., Vorlesungen uber Dif-
ferenzenrechnung, В., 1924; [8] Гельфонд А. О., Исчисление
конечных разностей, 3 изд., М., 1967; [9] X а р д и Г., Расхо-
Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951. Ю. Н._Субботин.
ВЕРНШТЕЙНА ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ ПРО-
ПРОЦЕСС — последовательность алгебраич. многочленов,
равномерно сходящаяся на отрезке [—1,1] к функции
f(x), непрерывной на том же отрезке. Точнее, Б. и. п.—
последовательность алгебраич. многочленов
У" Артп{х)
Pn(f\x)= \щ —-п», п=1, 2, ....
'п \xk )\x~xk )
где
Тп (х) =cos (n arc cos x)
— Чебышева многочлены;
4"' =cos[B/c~l) n/2n]
— узлы интерполяции;
если кф2и, I — произвольное натуральное число,
n=2lq+r, д>1, 0<r<2Z, s=l, 2, ..., q;
Mis =2ji=0 * ^X'd <S-l) + 2l + lJ — Z-,=l ' \X°l «-1)+2(V.
Отношение степени многочлена Pn(f; х) к числу точек,
в к-рых РпA', х) совпадает с f(x), равно (га — 1)/(ге — q),
которое при га—уоо стремится к 211B1— 1); при I доста-
достаточно большом этот предел сколь угодно близок к
единице. Б. и. п. указан С. Н. Бернштейном в 1931
(см. [1]).
Лит.: [1] Бернштейн С. Н., в кн.: Собр. соч., т. 2,
М. 1954, с. 130_—40. П. П. Норовкин.
БЕРНШТЕИНА МЕТОД, метод вспомога-
вспомогательных функций,— метод, применяемый
в теории линейных и нелинейных дифференциальных
уравнений с частными производными. Б. м. состоит
в введении нек-рых новых (вспомогательных) функций,
зависящих от искомого решения и позволяющих уста-
устанавливать для этого решения априорные оценки мак-
максимума модуля производных требуемого порядка.
Простым примером применения Б. м. является ап-
априорная оценка модуля производных решения задачи
Дирихле для нелинейного (квазилинейного) эллиптич.
уравнения
?ll — t ( EL
—' x У' Z> дх ' "
^ ^ + g в круге D
где а, Ь, с, d, e, g — гладкие функции от х, у, z;
С — окружность, граница круга D с радиусом R
(предположение о том, что D — круг, a z|c=0, не су-
существенно, ибо общий случай произвольной односвяз-
ной области и неоднородного граничного условия лег-
легко приводятся к рассматриваемому случаю с помощью
замены функции и конформного преобразования об-
области) .
Если /г>0, то оценка максимума модуля га
n=max | z (х, у) |
(х, )D C
решения задачи (*) сразу получается из принципа мак-
максимума.
Для доказательства существования регулярного ре-
решения задачи (*) достаточно иметь априорные оценки
максимума модуля производных решения до 3-го по-
порядка (см. Продолжения по параметру метод). Для
I 82
оценки max т-
с
дх
max
с
-~ I достаточно оценить
max ~ (т.к. z|c=0), p, 0 — полярные координаты
С
в круге D. Пусть введена новая (вспомогательная)
функция и по формуле
где а>0 будет выбрано позже. Функция и=и(х, у)
изменяется от е до е<2п + «)/а и в ТОм же направле-
направлении, что и z(x, у) (—ra<:z<:re). Так как
дг а ди
~дх ~п~дх~ '
дх'~~ а дхг и2 \дх
и аналогично для производных по у, то и удовлетво-
удовлетворяет уравнению:
дЧь , вЧ»= 1 Г/duY , / да V
-1- LV +)
ди V , ok ви ди , ( ди
дх ' ду ' a а х
Пусть М — верхняя грань \а\, jbj, \c\ в D, а ос=1/8М.
Если рассматривать — и — как текущие координа-
координаты на плоскости, а х, у, z как параметры, то уравне-
уравнение Q=0 есть уравнение эллипса, т. к. определитель
aici~ Ь?>3/4м2, где
i /, , а \ ь 1
Таким образом, Q при любых ^ и ^- не меньше
нек-рого отрицательного числа —Р, Q~^ — P (число Р
легко указать в явном виде). Если ввести функцию иг
по формуле
и uj достигает максимума на границе С области i), a
так как и1 постоянна на С, то
R — радиус окружности С. Отсюда может быть най-
найдена отрицательная нижняя грань для g~:
dz а ди ^ aPR
Применение тех же рассуждений к другой вспомога-
вспомогательной функции и
z = ф2 (и) = —п — а + а In j—-п
позволяет получить оценку сверху
Таким образом, оценивается max
а значит, и
max
с
и max
С
. Оценка максимума модуля пер-
первых производных внутри области D проводится ана-
аналогично: вводится вспомогательная функция и по фор-
формуле
2=фз(")= ~ га+а In In и.
Функция и изменяется в том же направлении, что и z,
егп/а .
от е до е . Для и из (*) следует
Рассуждения, подобные приведенным, показывают, что
если функция
достигает максимума в области D, то этот максимум
не превосходит некоторого числа, зависящего лишь
от га и М. Это дает требуемую оценку max Ц- и
dz
max
D
By
Б. м. позволяет аналогичным образом оценить и
максимум модуля в области D-\-C всех старших произ-
производных решения (при этом дополнительно надо лишь
дифференцировать исходное уравнение (*)).
Б. м. впервые был применен С. Н. Бернштейном [1].
В дальнейшем Б. м. развивался и систематически упот-
употреблялся при изучении различных задач для эллипти-
ческих и параболических дифференциальных опера-
торов ([3] - [5]).
Лит.: [1] Берн штейн С. Н., «Math. Ann», 1906, Bd
62, S. 253—71; 1910, Bd 69, S. 82—136; [2] e г о ' ж е, Собр.
соч., т. 3, М., 1960; [3] Ладыженская О. А., У р а л ь-
цева Н. Н., Линейные и квазилинейные уравнения эллип-
эллиптического типа, М., 1964; [4] П о г о р е л о в А. в., Изгибание
выпуклых поверхностей, М.— Л., 1951; [5] О л е й н и к О. А.,
Кружков С. Н., «Успехи матем. наук», 1961, т. 16, в. 5,
с. 115—55. Я. А. Шишмарёв.
ВЕРНШТЕЙНА МНОГОЧЛЕНЫ — алгебраические
многочлены, определяемые формулой
Введены С. Н. Бернштейном в 1912 (см. [1], т. 1, с. 13).
Последовательность Б. м. сходится к функции f(x)
равномерно на отрезке 0<:ж<:1, если функция f{x)
на этом отрезке непрерывна. Для функции, ограничен-
ограниченной в точке С, 0<С<1, имеющей разрыв 1-го рода,
имеем
Справедливо равенство:
если в точке с функция f(x) дважды дифференцируема.
Для функции, к-я производная f<-k)(x) к-рой непрерывна
на отрезке 0<;ж<:1,
¦В(Ь (/; х) -+ /<*' (х)
равномерно на этом отрезке. Исследовалась сходи-
сходимость Б. м. в комплексной плоскости, если f(x) —
аналитическая на отрезке 0<:ж<:1 функция (см. [1],
т. 2, с. 310, и [5]).
Лит.: [1] Б е р н ш т е й н С. Н., Собр. соч., т. 1, М., 1952,
с. 105—06; т. 2, М., 1954, с. 310—48; [2] Гончаров В. Л.,
Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд.,
М., 1954, гл. 2; [3] Б а с к а к о в В. А., «Докл. АН СССР»,
1957, т. 113, J* 2, с. 249—51; [4] К о р о в к и н П. П., Линей-
Линейные операторы и теория приближений, М., 1959, с. 117—24;
[5] К а н т о р о в и ч Л. В., «Изв. АН СССР. Сер. матем.»,
1931, N° 8, с. 1103—15. П. П. Коровпин.
БЕРНШТЕЙНА НЕРАВЕНСТВО — 1) Б. н. в тео-
теории вероятностей— уточнение класси-
классического Чебышева неравенства, принадлежащее С. Н.
Бернштейну A911, см. [1]); позволяет заменить степен-
степенную оценку вероятности больших отклонений на экс-
экспоненциально убывающую, см. Больших отклонений
вероятности. Именно, если для независимых случай-
случайных величин X], ..., Хп с
ЕХ;=0, EX)=bj, / = 1, 2 п,
выполняется
(>, Н — постоянная, не зависящая от /), то для
суммы Sn=Xx-\- .. .-\-Хп справедливо Б. н. (г>0):
A)
где Bn=~Zbj. Для одинаково распределенных ограни-
ограниченных случайных величин Xj (E 1^ = 0, ЕХ/2=ст2 и
\Xj\<.L, /=1, 2, ..., га) неравенство A) приобретает
наиболее простой вид:
B)
где a=Ltlyrrw. A. H. Колмогоровым была получена
нижняя оценка вероятности в A). Оценки Бернштейна—
Колмогорова используются, в частности, при доказа-
доказательстве повторного логарифма закона. Нек-рое пред-
ставление о точности B) можно получить из сравнения
с приближенным значением для левой части B), давае-
даваемым Центральной предельной теоремой в виде
2 гсс е-иЧ* du 2
Угя It
где 0<6<1. После 1967 одномерные Б. н. были
распространены на многомерный и бесконечномерный
случаи.
Лит.: [1] Бери штейн С. Н., Теория вероятностей,
4 изд., М.—Л., 1946; [2] Колмогоров А. Н., «Math. Arm.»,
1929, Bd 101, S. 126—35; [3] Hoeflding W., «J. Amer.
Statist. Assoc», 1963, v. 58, № 301, p. 13—30; [4] Прохо-
Прохоров Ю. В., «Теория вероят. и ее примен.», 1968, т. 13, в. 2,
с. 266—74; [5] П р о х о р о в А. В., «Матем. заметки», 1968,
т. 3, в. 6, с. 731—9; [6] Ю р и н с к и й В. В., «Теория вероят.
и ее примен.», 1970, т. 15, в. 1, с. 106—7. А. В. Прохоров.
2) Б. н. для производной от тригонометрич. поли-
полинома или алгебраич. многочлена, дающее оценку этой
производной через наибольшее значение самого поли-
полинома (многочлена). Если Тп(х) — тригонометрич. по-
полином порядка не выше га,
М= max \Tn(x)\,
О < к < 2Я
то для любого х выполняются неравенства (см. [1]):
Оценка неулучшаема; ибо число Af=l для
Т'„ (x)=cosn(x — x0)
и
maxl Т<п (х) \=пг.
X
Б. н. для тригонометрич. полиномов является част-
частным случаем следующей теоремы [1]: если/(ж) — целая
функция степени «So и
М= sup |/(z)|,
— СО < X < 00
ТО
sup | f^r> (x)\ ЩМог (г = 1, 2, ...).
- со <* < со
Б. н. для алгебраич. многочленов имеет следующий
смысл [1]: если многочлен
удовлетворяет условию
\Рп(х)\<:М, а<
то для его производной Рп(х) выполняется соотношение
\Р'п(х)\<,—=Мп а<х<Ъ,
к-рое является неулучшаемым. Как заметил сам
С. Н. Бернштейн (см. [1], с. 20), последнее неравенство
в сущности вытекает из доказательства Маркова не-
неравенства самим А. А. Марковым.
Б. н. существенно используются при получении об-
обратных теорем теории приближения функций. Имеется
ряд обобщений Б. н., в частности для целых функций
многих переменных.
Лит.: [1] Б е р н ш т е й н С. Н., Собр. соч., т. 1, М., 1952,
с. 13—42, 269—70; [2] Н и к о л ь с к и й СМ., Приближение
функций многих переменных и теоремы вложения, М., 1969.
Н. П. Корнейчук, В. П. Моторный.
ВЕРНШТЕЯНА ТЕОРЕМА о минимальных
поверхностях: если минимальная поверхность
задана уравнением .z=/(x, у), где / имеет непрерывные
частные производные 1-го и 2-го порядков при всех
действительных х и у, то F — плоскость. Доказатель-
Доказательство этой теоремы, предложенное самим С. Н. Бернш-
тейном [1], является следствием одной его более общей
теоремы о поведении поверхностей с неположительной
кривизной. Предложены многочисленные обобщения
Б. т., идущие гл. обр. в трех направлениях: 1) Коли-
Количественные уточнения; напр., получение априорных
оценок вида | К @) |«:const/^2, где R — радиус круга,
над к-рым определена минимальная поверхность z =
= f(x, у), К @) — гауссова кривизна поверхности
в центре круга. 2) Поиски других априорно задавае-
задаваемых геометрич. условий, при удовлетворении к-рым
минимальная поверхность необходима была бы какой-
нибудь конкретной поверхностью: плоскостью, кате-
катеноидом и т. д.; напр., если сферич. образ полной мини-
минимальной поверхности не содержит нек-рое открытое
на сфере множество, то такая минимальная поверх-
поверхность есть плоскость. 3) Перенесение Б. т. на мини-
минимальные поверхности Fk размерности к, расположен-
расположенные в евклидовом пространстве Е"; напр., если к=
= ге—1, то при п<:8 всякая минимальная поверхность,
однозначно определенная над всем Еп~х, есть гипер-
гиперплоскость, а при л>8 существуют минимальные по-
поверхности, отличные от плоскости; если же &<га — 1,
то уже при п^4 можно найти нелинейные минимальные
поверхности F&, определенные над всем Еп~1.
Лит.: [1] Бернштейн С. Н., Собр. соч., т. 3, 1960,
с. 251 —58; [2] Ниче И. С. С, «Математика», 1967, т. 11,
№ 3, с. 37—100; [3] Оссерман Р, «Успехи матем. наук»,
1967, т. 22, в. 4, с. 55—136; [4] е г о же, «Математика», 1971,
т. 15, J4B 2, с. 104—25. Я. X. Сабитов.
ВЕРНШТЕЙНА — РОГОЗИНСКОГО МЕТОД СУМ-
СУММИРОВАНИЯ — один из методов суммирования рядов
Фурье; обозначается (БР, ап). Тригонометрич. ряд
~2~ + 2Г- (я* cos ^ + ** s'n кх) ?з 2Г- ^к (х) (*)
суммируется методом
Бернштейна — Рогозинского в точке
х0 к значению S, если выполняется условие
lim ?„(жо;а„)= lim п (хо + ап) + ьп(хо ап) _
= lim 'У" Afr (ar0\cos kan =S,
где {««}, ап>0, а„—>-0,— числовая последователь-
последовательность, a Sn(x) — частичные суламы ряда (*).
В. Рогозинский (см. [1]) сначала рассмотрел A924)
случай а„=;ря/2га (р — нечетное число), потом A925)
общий случай. С. Н. Бернштейн (см. [2]) рассматри-
рассматривал A930) случай а„ = я/Bп+1). (БР, а„)-метод сум-
суммирует ряд Фурье функции f{x)?L[0, 2я) в случаях
ап=рп/2п и а„=п/Bп-\-1) в точках непрерывности
функции к ее значению и является регулярным методом
суммирования.
Суммы Вп(х, ап) Бернштейна — Рогозинского при-
применяются как аппарат приближения. В обоих указан-
указанных выше случаях они осуществляют приближение
того же порядка, что и наилучшее приближение для
функций из классов Lip а и W1 Lip а.
Лит.: [1] Rogosinski W., «Math. Arm.», 1925, Bd 95,
Л"в 1, S. 110—34; [2] Б е р н ш т е й н С. Н., Собр. соч., т. 1,
М., 1952, с. 523—25; [3] С т е ч к и н С. Б., Методы суммирова-
суммирования С. Н. Бернштейна и В. Рогозинского, в кн.: Г. Харди,
Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951. Л. А. Захаров.
БЕРТИНИ ТЕОРЕМЫ — две теоремы о свойствах
линейных систем на алгебраических многообразиях,
принадлежащие Э. Бертини (см. [1]).
Пусть V — алгебраич. многообразие над алгебраи-
алгебраически замкнутым полем к характеристики 0, L — линей-
линейная система без неподвижных компонент на V и W —
образ многообразия V при отображении с помощью
L, Следующие два утверждения известны как 1-я и
2-я Б. т.
1) Если dim Wf>l, то почти все дивизоры из линей-
линейной системы L (т. е. все, кроме замкнутого подмно-
подмножества в пространстве параметров P(L), отличного от
P (L)) являются неприводимыми и приведенными ал-
гебраич. многообразиями.
2) Почти все дивизоры из L не имеют особых точек
вне базисных точек линейной системы L и особых то-
точек многообразия V.
Обе Б. т. неверны, если характеристика поля не
равна 0.
Условия, при к-рых Б. т. верны и для случая конеч-
конечной характеристики поля, изучены в [3] и [6]. В слу-
случае dim W=-i 1-я Б. т. заменяется следующим утверж-
утверждением: почти все слои отображения (fi:V—*-W являются
неприводимыми и приведенными, если поле функций
k(W) алгебраически замкнуто внутри поля k(V) при
вложении ф? : k(W)-yk(V). В случае, когда характе-
характеристика поля к конечна, соответствующая теорема
верна при условии сепарабельности расширения
k(V)lk(W) (см. [3], [6]). Для линейной системы гипер-
гиперплоских сечений Б. т. верны без всяких ограничений
на характеристику поля [5].
Лит.: [1] в е г t i n i E., Intrqduzione alia geometria proiet-
tiva degli iperspazi, 2 ed., Messina, 1923; [2] Алгебраические
поверхности, М., 1965; [3] Б а л ь д а с с а р и М., Алгебраиче-
Алгебраические многообразия, пер. с англ., М., 1961; [4] A k i z u к i Y.,
«J. Math. Soc. Japan», 1951, v. 3, ЛЬ 1, p. 170—80; L5] N а к a i
Y., «Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto A», 1950, v. 26, № 2, p. 185—
8 7; [6] Z a r i s к i O., «Trans. Amer. Math. Soc», 1944, v. 56,
JVi 1, p. 130—40. В. А. Исновских.
БЕРТРАНА КРИВЫЕ, пара Бертрана,— две
пространственные кривые L и V с общими главными
нормалями. Пусть к± и к2— соответственно кривизна
и кручение кривой L. Для того чтобы кривая L' обра-
образовывала с L пару Бертрана, необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось соотношение
a&jsmw+a/ca cos u)=sin ю,
где а — постоянная, aw — угол между касательными
векторами к L и//. Кривой Бертрана наз. также кри-
кривая L, для к-рой существует кривая L', образующая с
ней пару Бертрана. Рассмотрены Ж. Бертраном (J. Вег-
trand) В 1850. Е.В.Шикин.
БЕРТРАНА ПАРАДОКС (в теории вероятностей) —
один из парадоксов, связанных с нечеткой формули-
формулировкой исходных допущений при решении вероятност-
вероятностных задач. Отмечен Ж. Бертраном [1]. В задаче
Бертрана разыскивается вероятность того, что
длина хорды, «наудачу» выбранной в круге радиуса 1,
превзойдет длину стороны вписанного правильного
треугольника. Ж. Бертран указывает три различных
значения искомой вероятности A/2, 1/з, 1Л). в зависи-
зависимости от того, какими параметрами характеризуется
положение хорды (в первом случае — расстоянием р
до центра круга и углом 0 между нормалью к хорде
и осью х; во втором — угловыми координатами а и Р
точек пересечения хорды с окружностью; в третьем —
декартовыми координатами (х, у) основания перпенди-
перпендикуляра, опущенного из центра круга; во всех трех слу-
случаях центр круга расположен в начале координат).
А. Пуанкаре [2] показал, что источник парадокса за-
заключается в следующем: каждый раз соответствующую
пару параметров предполагают равномерно распреде-
распределенной в соответствующей области и таким образом
решают три различные задачи. Если распределе-
распределение к.-л. пары (скажем, а и f>) фиксировано, то распре-
распределение любых других параметров однозначно вычис-
вычисляется (и не обязано быть равномерным, даже если
а и Р распределены равномерно). Наиболее естест-
естественным (с геометрической точки зрения) является
предположение о том, что р и 9 независимы и распределе-
распределены равномерно в интервале 0<р<1, 0<9<2л (см. [3]).
Лит.: [1] Bert rand J., Calcul des probabilites, P.,
1889; [2] P о i n с а г ё H., Calcul des probabilites, 2 ed., P.,
1912; [3] Кендал л М., Моран П., Геометрические ве-
вероятности, пер. с англ., М., 1972. А. В. Прохоров.
БЕРТРАНА ПОСТУЛАТ: при натуральном ге>3 су-
существует простое число, большее п и меньшее 2п—2.
В более слабой формулировке Б. п. утверждает, что
при любом х^>\ имеется простое число, принадлежа-
принадлежащее интервалу (х, 2х). Этот постулат был высказан
Ж. Бертраном (J. Bertrand) в 1845 на основе табличных
данных. Доказательство Б. п. было дано П. Л. Чебыше-
вым (см. Чебышева теорема о распределении простых
чисел).
Лит.: [1] Ч е б ы ш е в П. Л., Поли. собр. соч., т. 1, М.—Л.,
1948. Б. М. Бредихин.
БЕРТРАНА ПРИЗНАК сходимости число-
числовых рядов /, а„ с положительными
Л = 1
членами: если
и существует предел (конечный или бесконечный)
В— lim Bn,
то при В>{ ряд сходится, а при 2?<1 — расходится.
Установлен Ж. Бертраном (J. Bertrand).
Лит.: [1] Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциаль-
дифференциального и интегрального исчисления, т. 2, 7 изд., М., 1970.
Л. Д. Кудрявцев.
БЕСКОАЛИЦИОННАЯ ИГРА — система
Г = </, {St}UJ, {Ht}uj>,
где / — множество игроков, 5,-— множество страте-
стратегий г-го игрока, Н(— функция выигрыша г-го игрока,
определенная на декартовом произведении S=niEjS[.
Б. и. разыгрывается следующим образом: игроки,
действуя изолированно (не вступая в коалиции), вы-
выбирают свои стратегии s,^-?;, в результате чего скла-
складывается ситуация s=nigjs,-, в к-рой игрок i получает
выигрыш Hi(s). Основным принципом оптимальности
в Б. и. является принцип осуществимости цели (см.
[1]), приводящий к ситуациям равновесия по Нэшу.
Ситуация s* наз. ситуацией равновесия,
если для всех i?/, s,?<S; справедливо неравенство
*.Xs;. Таким образом, в одностороннем
нарушении договора между игроками, соответствую-
соответствующего ситуации равновесия, не заинтересован ни один
нз игроков. Было доказано (теорема Нэша),
что конечная Б. и. (множества / и 6',- конечны) обла-
обладает ситуацией равновесия в смешанных стратегиях.
Имеются обобщения этой теоремы на бесконечные Б. и.
с конечным числом игроков (см. [3]) и на Б. и. с беско-
бесконечным числом игроков (см. Неатомическая игра).
Ситуации равновесия s и t наз. взаимозаменяемыми,
если любая ситуация r=nigjr,-, где г,- = я,- или ri = ti,
i?J, также равновесна. Они наз. эквивалентными, если
Hi(s) = Hi(t) для всех г?/. Пусть Q — множество всех
ситуаций равновесия, Q'dQ — множество ситуаций
равновесия, оптимальных по Парето (см. Арбитраж-
пая схема). Игра наз. разрешимой в смысле
Ноша, a Q наз. решением по Нэшу, если
все s?Q эквивалентны и взаимозаменяемы. Игра наз.
строго разрешимой, если Q' не пусто и все
s?Q' эквивалентны и взаимозаменяемы. Антагонисти-
Антагонистические игры, обладающие оптимальными стратегиями,
разрешимы в смысле Нэша и строго разрешимы; однако
в общем случае такая разрешимость возможна далеко
не всегда.
Имеются другие попытки дополнения принципа осу-
осуществимости цели. Так, было предложено (см. [4])
решением Б. и. считать единственную ситуацию равно-
равновесия или максиминную ситуацию (выигрыши в по-
последней ситуации каждый из игроков может себе га-
рантировать независимо от выоора стратегий осталь-
остальными игроками), выбор к-рой основан на введении
нового отношения предпочтения на множестве ситуа-
ситуаций. Иным подходом к определению решения Б. и.
является предположение о субъективном прогнозе
поведения игроков (см. [5]).
Лит.: [1] Воробьев Н. Н., «Успехи матем. наук»
70 25 Л 2 A52) 81 140 [2] II Д б М
Лит.: [1] Воробьев Н Н, у,
1970, т. 25, Л» 2 A52), с. 81 — 140; [2] II э ш Д ж., в сб.: Матрич-
Матричные игры, М., 1961, с. 205—21; [3] Гликсберг И. Л.,
в сб.: Бесконечные антагонистические игры, М., 1963, с. 497—•
503; [4] Н а г s a n у i J. С, в кн.: Advances in game theory,
Princeton (N. Y.), 1964, p. 651—79; [5J В и л к а с Э. Й., «Тео-
«Теория вероят. и ее примен.», 1968, т. 13, в. 3, с. 555—60.
Э. Й. Вилкас, Е. Б. Яновская.
БЕСКОНЕЧНАЯ ДЕСЯТИЧНАЯ ДРОБЬ — запись
числа в виде десятичной дроби, у к-рой ни один знак
не является последним. Напр., jj =0,090909..., 1 —=
= 1,75000..., или 1-|- =1,74999..., ]/= 1,4142...
и т. д. Если число рационально, то Б. д. д. является
периодической; она состоит, начиная с некото-
некоторого места, из неограниченно повторяющихся знаков
или групп знаков — периодов Б. д. д. (в приведенных
примерах периоды таковы: 09 в случае - и 0 или 9
в случае 1-т-. Если число иррационально, то Б. д. д.
не может быть периодической (напр., у 2).
В. И. Битюцпов.
БЕСКОНЕЧНАЯ ИГРА — бескоалиционная игра,
в частности антагонистическая игра, с бесконечными
множествами стратегий игроков. Пусть
Г = <Х1, ..., Х„, Нг, .... #„>
— Б. и. п лиц. К. Берж доказал [см. 1], что если
Х1, ...,Хп— локально выпуклые бикомпактные линей-
линейные топологические пространства, функции выигрыша
Л[ непрерывны на nJLiX,- и квазивогнуты по х(?Х;,
i=i, .. ., ге, то в игре Г существуют ситуации равнове-
равновесия. Показано также [2], что если Х;~ бикомпактные
хаусдорфовы пространства, Н; непрерывны на П^хХ,-,
г=1, . . ., п, то игра Г имеет ситуации равновесия в сме-
смешанных стратегиях. Однако не все Б. п. имеют ситуа-
ситуации равновесия даже в смешанных стратегиях. Напр.,
для антагонистич. игры, в к-рой пространствами стра-
стратегий игроков являются множества целых чисел, а
функция выигрыша имеет вид
( 1, т > ге,
И {т, ге) = . 0, т = ге,
I —1, т < п,
не существует значения. Наиболее исследованным клас-
классом Б. и. в нормальной форме являются бесконечные
антагонистич. игры и, в частности, игра на единичном
квадрате.
Лит.: [1] Берж К., Общая теория игр нескольких лиц,
пер. с франц., М., 1961; [2] Г л и к с б е р г И. Л., в сб.: Бес-
Бесконечные антагонистические игры, М., 1963, с. 497—503.
Е. Б. Яновская.
БЕСКОНЕЧНАЯ ИНДУКЦИЯ, правило Кар-
н а п а, ы-п р а в и л о,— неэлементарное вывода пра-
правило с бесконечным числом посылок. Точнее, пусть
в нек-ром логико-математич. языке переменная х
рассматривается как пробегающая натуральные числа
и (f(x) — формула этого языка. Если доказана выводи-
выводимость каждой из бесконечной совокупности формул
ф@), ФA), ФB), ..., ф(ге), ...,
то правило Б. и. позволяет заключить, что выводима
и формула Ух(((х).
Применение правила Б. и. для вывода формул ведет
обычно к тому, что понятие вывода становится нераз-
неразрешимым. Аксиоматич. системы, содержащие такого
рода правила, наз. полуформальными тео-
теориями (полуформальными а к с и о-
магическими системами). Полуформаль-
Полуформальные теории играют большую роль в доказательств
теории. При этом на выводы посылок в применении пра-
правила Б. и. часто накладывают дополнительные ограни-
ограничения с целью обеспечить эффективность понятия вы-
вывода в теории. Напр., требуют, чтобы выводы посылок
перечислялись нек-рой общерекурсивной функцией
(так наз. конструктивное правило бес-
бесконечной индукции). Известно, что арифме-
арифметика формальная, пополненная конструктивным пра-
правилом Б. и., является полной относительно классич.
истинности. Правило Б. и. нашло применение для
построения семантики конструктивной математики ме-
методом ступенчатой семантич. системы, а. г. Драгалин.
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ФУНКЦИЯ — функ
ция переменного х, к-рая в данном процессе измене-
изменения х становится и остается по абсолютной величине
больше любого наперед заданного числа. Точнее,
функция }(х), определенная в окрестности точки х0,
наз. бесконечно большой функцией
при х, стремящемся к .г0, если для любого числа М >0
найдется такое число 6=6(М)>0, что для всех хфхо и
таких, что \x—xo\<ib, выполняется неравенство \}(х)\~>М.
Этот факт записывается так:
lim / (х) = оо.
х ->¦ х„
Аналогичным образом определяются
lim / (х) = ± оо,
х -*¦ х0 ± о
lim / (х) =-- ± оо.
X -> ± оо
Напр.,
lim / (х) = + оо
а- ->¦- <х
означает, что для любого М >0 найдется такое 6~6(М)>
>0, что для всех х<. — 6 выполняется неравенство
1(х)~>М. Изучение Б. б. ф. может быть сведено к изу-
изучению бесконечно малых функций, т. к. если j(x) есть
Б. б. ф., то функция ty{x)—llf(x) является бесконечно
малой. В. И. Битюцков.
БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ФУНКЦИЯ — функция пе-
переменного х, к-рая при данном процессе изменения х
становится и остается по абсолютной величине меньше
любого заданного числа. Точнее, функция f(x), опре-
определенная в окрестности точки х0, наз. бесконечно
малой функцией при х, стремящемся к х0,
если для любого числа е>0 найдется такое число
б=б(е)>0, что для всех х, удовлетворяющих условию
\х— хо\<8, выполняется |/(г)]<8. Этот факт записы-
записывается так:
lim f(x)=O.
X -* Ха
Символ
lim /(*)=0,
X -*¦+»
напр., означает, что для любого е>0 найдется такое
N=N(e)>0, что для всех x>N выполняется нера-
неравенство )/(з;)|<8. Понятие Б. м. ф. может быть по-
положено в основу общего определения предела функции.
Именно, предел функции f(x) при х—±хй конечен и ра-
равен А тогда и только тогда, когда
lim (f(x) — A) = Q,
Х-* Хо
т. е. функция f(x) — А есть Б. м. ф. См. также ст.
Бесконечно малых исчисление. в. И Битюцков
БЕСКОНЕЧНО МАЛОЕ ИЗГИБАНИЕ — понятие,
первоначально возникшее при описании деформации
поверхности F в трехмерном евклидовом пространстве,
при к-рой изменение длин кривых на F является вели-
чиной порядка малости меньшего, чем изменение
пространственного расстояния между точками этих
кривых. По существу же в теории Б. м. и. исследуются
векторные поля и связанные с ними величины, опреде-
определенные в точках F и удовлетворяющие тем уравнениям,
к-рые являются линеаризацией уравнений изгибания F.
Так, если х (и, v, t) — радиус-вектор деформации Ff
поверхности F=F0, то Б. м. и. F характеризуется (на-
(начальной) скоростью деформации — вектором
, ч дх
2 (ц> у) = "вГ
к-рый удовлетворяет уравнению
или
(xuza) = (xvzv) = (xuzv) -f (xvzu) = О, A)
где x=x(u, v, 0) — радиус-вектор F. Вектор z, наз.
также полем скоростей Б. м. и., или изгибающим по-
полем. Однозначно определяется вектор у такой, что
dz=[ydx\ — множество точек пространства, описывае-
описываемое радиус-вектором у, наз. диаграммой вращения
Б. м. и. См. также Дарбу поверхности.
В более общей ситуации Б. м. и. многообразия Mh,
расположенного в римановом пространстве V", пред-
представляет собой изометрич. вариацию вложения i:
Mk—>-Vn, т. е. такое векторное поле вдоль вложения
где t(F") — касательное расслоение к V", к-рое удов-
удовлетворяет на Мк уравнению
g(VxZ, Y) + g(X, vyZ)=0; (Г)
здесь X, Y?i*t(Mk) — векторные поля, касательные
к вложению, g(-,-) — метрическая форма F", SJx~
ковариантная произвольная относительно Леви-Чи-
вита связности на V", соответствующей g. Поле Z
однозначно определяет поле К% кососимметрических
тензоров типа A,1) вдоль вложения: КгХ=ух%, удов-
удовлетворяющее уравнению
VxKzY~VyKzX + Kz [X, Y] = R (X, Y) Z,
где R — оператор римановой кривизны Vn.
Если Z индуцируется Киллинга вектором |?t(F"),
т. е. Z=\-i, то соответствующее Б. м. и. (а также
и само Z) наз. тривиальным. Если Мк допускает
только тривиальные Б. м. и., то оно наз. жестким.
См. Жесткость.
При геодезическом отображении F : Vn—*-Vn Б. м. и.
Mh(z.Vn с вектором Z однозначно соответствует Б. м. и.
F(Mk)cVn с вектором z=F(Z), причем
g(Z, F*(Y))=yg(Z, У),
где ч|з — потенциал отображения F. В частности, это
соответствие имеет место при проективном преобразо-
преобразовании евклидова пространства (теорема Дарбу—
3 а у э р а) и при геодезич. отображении евклидова
пространства в пространство постоянной кривизны
(преобразование Погорелова).
Изометрич. вариациям высших порядков соответст-
соответствуют Б. м. и. высших порядков: для них, в отличие
от определенных выше Б. м. и. первого порядка, из-
известны лишь отдельные результаты, в основном ка-
касающиеся поверхностей вращения.
Теория Б. м. и. имеет многочисленные приложения
в математике и механике, в частности она применяется
в задачах изометрич. вложения методом продолжения
по параметру, для исследования изометричных поверх-
поверхностей пространств постоянной кривизны (см. Кон-
Фоссена преобразование), в вопросах устойчивости
оболочек и т. д.
Лит.: [1] Ефимов Н. В., «Успехи матем. наук», 1948,
т. 3, в. 2B4); [2] Погорелов А. В., Внешняя геометрия
выпуклых поверхностей, М., 1969; [3] Бляшке В., Введение
в дифференциальную геометрию, пер. с нем., М., 1957; [4] В е-
куа И. Н., Обобщенные аналитические функции, М., 1959.
М. И. Войцеховский.
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ИСЧИСЛЕНИЕ — термин,
ранее объединявший различные разделы математич.
анализа, связанные с понятием бесконечно малой функ-
функции. Хотя «метод бесконечно малых» (в той или иной
форме) с успехом применялся учеными Древней Гре-
Греции и средневековой Европы для решения задач гео-
геометрии и естествознания, точные определения основных
понятий теории бесконечно малых функций сложились
только в 19 в. Для понимания значения этого метода
важно заметить, что практич. интерес представляют
не Б. м. и. сами по себе, а те случаи, в к-рых рассмот-
рассмотрение Б. м. и. приводит к величинам конечным. В ис-
истории математики основное значение имели три типа
такого рода задач.
1) Простейшие задачи древнегреческих математиков
на исчерпывания метод, в к-рых бесконечно малые ис-
используются лишь для доказательства равенства двух
заранее заданных величин (или двух отношений зара-
заранее заданных величин).
2) Более сложные задачи на метод исчерпывания,
в к-рых искомая конечная величина получается в виде
предела суммы
Л О) , д (Л) i , д <Л)
Ai -t-As +...+An
неограниченно возрастающего числа бесконечно малых
величин. Эти задачи впоследствии привели к созданию
интегрального исчисления.
3) Задачи, в к-рых конечная величина получается
в виде предела отношения бесконечно малых величин.
Они послужили материалом для создания дифферен-
дифференциального исчисления.
Изобретение метода исчерпывания приписывается
Евдоксу Книдскому D в. до н. э.). Во всяком случае,
он проходит в качестве основного приема доказатель-
доказательства через всю 12-ю книгу «Начал» Евклида C в. до
н. э.). В современной форме логич. схема рассуждений
Евклида может быть записана так: если все отношения
равны между собой и имеют постоянное значение к
и если при ге—>-°о обе разности а~ап, Ъ—Ьп бесконечно
малы, то
а — к
Напр., для сравнения площадей двух кругов Евклид
вписывает в каждый из них по квадрату и доказывает,
что площадь этого квадрата превосходит половину пло-
Рис. 1.
щади круга: остающиеся четыре сегмента (рис. 1) со-
составляют вместе меньше половины площади круга;
дополнив квадрат до правильного восьмиугольника,
он обнаруживает, что остаток составляет уже меньше
четверти круга, затем восьмиугольник дополняется
до правильного шестнадцатиугольника, причем остав-
оставшиеся шестнадцать сегментов составляют в сумме уже
меньше одной восьмой доли площади круга и т. д.
Таким образом, площадь круга постепенно «исчерпы-
«исчерпывается» при переходе к вписанным многоугольникам со
все большим числом сторон. Так как в двух кругах
площади соответствующих многоугольников относятся
как квадраты радиусов, то Евклид заключает отсюда,
при помощи доказательства от противного, что то же
самое отношение имеют и площади кругов.
Более широкое и свободное употребление бесконечно
малых наблюдается у Архимеда C в. до н. э.). В своих
соч. «О коноидах и сфероидах» и «О спиралях» Архимед
систематически пользуется
при вычислении площадей
и объемов методом, к-рый
по своей идее вполне анало-
Рис. 2.
Рис. 3.
гичен современному определению интеграла. Вот как,
напр., Архимед определяет площадь первого витка
спирали (рис. 2), к-рая наз. теперь «архимедовой»
и к-рая в полярных координатах имеет уравнение
В рассматриваемую фигуру S вписывается фигура, со-
состоящая из п—\ круговых секторов с углом при вер-
вершине 2л/л (эти секторы для случая п=12 изображены
на рис. 3 заштрихованными), а вокруг S описывается
фигура, состоящая из п аналогичных круговых сек-
секторов (на рис. 3 изображены без штриховки). Легко
видеть, что в обоих случаях площадь к-то сектора
Из построения ясно, что площадь S заключена в пре-
пределах
S'n < S < S"n, A)
где
И)
1
л""
(Л)
2
(Л)
п-1
Так как
= 2я3а2 (ге
то при любом п
= 2я3а2 (п — 1) Bп — 1
Sn.
s'n<f
Архимед выражает последнее соотношение в геометрич.
форме: при любом п
;. B)
где К — площадь круга, изображенного на рис. 2.
Из сопоставления A) и B) и того обстоятельства, что
разность
g" g' _Д<">
при ге->-оо является бесконечно малой, Архимед делает
вывод, что
5=—.
Конец изложенного рассуждения показывает, каким
образом Архимедом был развит и усовершенствован ме-
метод исчерпывания Евдокса. Начало же этого рассуж-
рассуждения показывает, что Архимед владел и приемами,
к-рые были отнесены выше ко второй группе и к-рые
по своему идейному замыслу соответствуют современ-
современному интегральному исчислению.
При помощи интегрального исчисления рассматри-
рассматриваемая площадь вычисляется как
d
Входящий в эту формулу интеграл, по определению,
есть предел сумм вида
где
0 = ф0 < фх < ... < <рп = 2л,
rk=av\, <pk-1<vk^(fk.
В частном случае, когда
<Pk=~, C)
при У? = ср?_!получается архимедова сумма Sn, а при
^А="фА: — архимедова сумма Sn. Следует специально от-
отметить, что при выборе C) точек деления ц>^ архимедовы
суммы Sn и Sn совпадают с Дарбу суммами , для к-рых
и в общем случае гарантировано выполнение нера-
неравенства A). Таким образом, Архимед для своей частной
задачи проделывает весь ряд рассуждений, свойственных
интегральному исчислению, и притом в его логически
законченной форме (точные оценки сверху и снизу при
помощи сумм Дарбу), разработанной в качестве общей
теории лишь во 2-й пол. 19 в. Аналогично Архимед
поступает и в ряде других задач на вычисление площа-
площадей и объемов.
Отсюда следует, что к концу своего развития древне-
древнегреческая математика подошла и к решению задач
второй из намеченных выше групп. Следует, однако,
здесь же отметить и принципиальное отличие всего
характера мышления математиков древности от стиля
мышления математиков нового времени. В рассмотрен-
рассмотренной выше в виде примера задаче Архимед не вычисляет
S = lim Sn = 4-,
П-+ со d
а берет, не указывая откуда, величину К/3 а доказы-
доказывает равенство S=K/3 от противного, устанавливая,
что в силу A), B) и бесконечной малости разности
Sn— S'n неравенство 8фКИ привело бы к противо-
противоречию. Греческие математики не только не разрабо-
разработали к.-л. общих правил вычисления пределов, но
и вообще не сформулировали лежащего по существу
в основе их приемов понятия предела (даже общее
назв. «метод исчерпывания» для их приемов возникло
лишь в новое время). Тем более, древняя наука не
создала ничего подобного современному алгоритму
интегрального исчисления, благодаря к-рому теперь
совсем не обращаются при вычислении нового интег-
интеграла к определению интеграла в качестве предела сумм,
а пользуются значительно более простыми в практич.
употреблении правилами интегрирования функций
различных специальных классов. Из соч. Архимеда
(особенно из «Послания Эратосфену») можно усмотреть,
что его логически отточенному методу оценки площадей
и объемов при помощи сумм возрастающего числа не-
неограниченно убывающих (т. е. бесконечно малых в со-
современном смысле слова) слагаемых предшествовал
более примитивный, но более наглядный метод, восхо-
восходящий, по утверждению Архимеда, к Демокриту D в.
до н. э.). Архимед указывает, в частности, что Демокрит
раньше Евдокса определил (хотя и без строгого обос-
обоснования своих результатов) объем пирамиды.
Для Евклида и Евдокса основную трудность при вы-
выводе объема пирамиды представляло доказательство того
факта, что объемы двух пирамид с равными высотами
и равновеликими основаниями равны. Трудность эта
преодолевалась в «Началах» Евклида применением
метода исчерпывания.
Судя по указаниям Архимеда, демокритов «атомисти-
«атомистический» метод доказательства равенства объемов двух
пирамид с равными высотами п равновеликими основа-
основаниями (рис. 4) можно пред-
представить себе так: из сообра-
соображений подобия вытекает,что
площади сечений, прове-
проведенных на равной высоте в
наших пирамидах, равны;
объемы пирамид восприни-
воспринимаются просто как «суммы»
этих площадей, что и поз- Рис. 4.
воляет сразу, исходя из ра-
равенства соответствующих членов двух сумм, заклю-
заключить о равенстве самих сумм. В соч. Архимеда дается
много примеров применения этого метода к решению
более сложных задач. Архимед считал такой метод не-
нестрогим, но очень ценным с эвристической стороны
(т. е. для первоначального получения новых резуль-
результатов, к-рые потом должны быть обоснованы более
строго) и был в этом с современной точки зрения, ко-
конечно, прав, так как метод Демокрита является лишь
не выдерживающей строгой критики попыткой заме-
заменить процесс предельного перехода
S = Urn (дГ' + дГ+.-.+ДГ)
п —*- ее
несостоятельной метафизич. гипотезой о возможности
получения объемов суммированием площадей.
Послание Архимеда к Эратосфену, получившее крат-
краткое назв. «Эфодикон» (руководство), много комментиро-
комментировалось и цитировалось авторами эллинистич. эпохи,
но не дошло до европейских математиков эпохи созда-
создания современной высшей математики, к-рые в отноше-
отношении необычайно простого атомистич.
метода рассуждений Демокрита в
лучшем случае должны были до-
довольствоваться довольно смутными
литературными указаниями других
источников (текст «Эфодикона» был
вновь открыт лишь в 1906). Тем
не менее этот метод получил в 17 в.
блестящее развитие в работах И.
Кеплера (J. Kepler) и Б. Кавалье-
ри (В. Cavalieri). И. Кеплер в своей рис. 5.
«Стереометрии винных бочек» A615)
определяет объем 92 тел вращения. Если бы он следо-
следовал педантично методу изложения Архимеда при каж-
каждом из этих определений, то его труд разросся бы до
необъятных размеров. Метод II. Кеплера можно пояс-
пояснить на простом примере. Определение площади круга
И. Кеплер основывает на следующем рассуждении.
Круг разбивается на секторы с общей вершиной в центре
(рис. 5); чем меньше каждый сектор, тем ближе он под-
подходит к треугольнику, основанием к-рого можно счи-
считать дугу сектора; его площадь, следовательно, равна
длине его дуги, умноженной на половину радиуса;
если суммировать эти площади, то получится, что пло-
площадь круга равна длине его окружности, умноженной
на половину радиуса. С такой же простотой И. Кеплер
вычисляет объем шара и других тел вращения; но эта
простота порождает сомнения (к-рых он не скрывает)
и иногда приводит его к ошибкам. Чтобы устранить
эти сомнения, И. Кеплер подтверждает свое рассужде-
нпе относительно площади круга такого рода сооора-
женпями: составляющие секторы можно сделать на-
настолько малыми, что их основаниями становятся точки,
и число секторов тогда становится бесконечным; каждый
пз этих бесконечно малых секторов уже вовсе не от-
лпчается от такого же треугольника. Конечно, это
рассуждение ничего не спасает, потому что со сведе-
сведением основания к точке исчезает сектор, и треугольник
превращается просто в радиус. Его существенная осо-
особенность заключается в том, что здесь И. Кеплер более
или менее сознательно склоняется к статич. разложению
круга на бесконечно большое число актуально беско-
Рис. 6.
Рис. 7.
нечно малых секторов — радиусов, а не к потенциаль-
потенциальной бесконечности непрерывно возрастающего числа
непрерывно убывающих слагаемых; в этом виде неогра-
неограниченно продолжающийся процесс исчезает. Было бы
неправильно сказать, что И. Кеплер твердо стоял на
точке зрения актуальной бесконечности: он слишком
находился еще под влиянием Архимеда, основные со-
сочинения к-рого ему были хорошо известны; но его по-
позиция не тверда, его воззрения в этой области эклек-
эклектичны. Они представляют собой переходную ступень
к взглядам Б. Кавальери.
В 1635 Б. Кавальери опубликовал трактат «Геомет-
«Геометрия, изложенная новым способом при помощи недели-
неделимых непрерывного». Задача сочинения та же, к-рую
ставил себе Архимед: вычисление площадей и объемов
геометрич. фигур произвольной формы. С этой целью
Б. Кавальери рассматривает плоскую фигуру как сово-
совокупность параллельных прямолинейных отрезков от
одной крайней касательной до другой (рис. 6), тело —
как совокупность его параллельных плоских сечений.
Эти отрезки и плоские сечения суть те «неделимые»,
по к-рым назван метод Б. Кавальери (см. Неделимых
метод). Измерение площадей, объемов совершается
путем сравнения неделимых двух фигур. Напр., пло-
площадь эллипса Б. Кавальери вычисляет с помощью сле-
следующего рассуждения (рис. 7). На малой оси эллипса
B6) описываем окружность и проводим хорды (недели-
(неделимые), параллельные большой оси Bа). Из определения
эллипса нетрудно вывести, что каждый неделимый
элемент эллипса относится к соответствующему неде-
неделимому круга, как а относится к Ь, то есть А А': ВВ' =
=а : Ъ. Следовательно, совокупность всех неделимых
эллипса (т. е. площадь эллипса) относится к совокуп-
совокупности неделимых круга (к площади круга кЬ'2), как
а : Ь; поэтому площадь эллипса равна nab. Те же
приемы Б. Кавальери применяет к сравнению объемов;
доказательство равновелпкости пирамид, имеющих
равновеликие основания и равные высоты, у Б. Ка-
Кавальери заканчивается там, где у Архимеда оно только
начинается. Общность и простота применения приемов
привели Б. Кавальери к результатам, до к-рых не
дошел Архимед. Но упрощенность его методов не да-
давала гарантии правильности всех полученных резуль-
результатов; поэтому он каждое вычисление проводит не-
несколькими различными путями.
Если в отношении строгости логич. обоснования своих
результатов Б. Кавальери стоит несравненно ниже Ар-
Архимеда, то зато он превзошел Архимеда, а с ним и всех
математиков древнего мира не только в отношении чис-
ла решенных им специальных задач на определение
площадей н объемов, но и в отношении понимания даль-
дальнейших перспектив развития учения о бесконечно ма-
малых. Не ограничиваясь решением отдельных задач, он
в геометрической и нестрогой фор-
форме получает, по существу, ряд
общих формул интегрального ис-
исчисления. Например, его утвер-
утверждение, что сумма квадратов
неделимых, на которые разбит
параллелограмм на рис. 8, равна Рис. 8.
утроенной сумме квадратов неде-
неделимых, из к-рых состоит на том же рис. каждый из двух
составляющих параллелограмм треугольников, есть
по существу не что иное, как формула
га
В аналогичной форме Б. Кавальери выражает равен-
равенство
С a nn + l
\r"dx = -?—--
JO n+1
для степеней п до девятой включительно.
В том же 17 в. внимание математиков привлекает и
третья из перечисленных выше групп задач. После со-
создания Р. Декартом (В. Descartes) аналитич. геометрии
естественно возникла задача определения углового ко-
коэффициента касательной к кривой г/=/(г), т. е. опре-
определения производной. Приблизительно одновременно
развитие механики привело к необходимости опреде-
определять мгновенную скорость произвольного движения
точки, т. е. к той же задаче определения производной.
Так как теории пределов и даже отчетливого наглядно-
наглядного понимания предельного перехода еще не было, то
производную
/ (х) = lim ~
Ах ->- оо Дж
пытались получить как отношение
статических актуально бесконечно малых приращений
dy и dx.
Современная концепция бесконечно малых как пере-
переменных величин, стремящихся к нулю, а производной
как предела отношения бесконечно малых приращении
была намечена (хотя и не вполне последовательно)
И. Ньютоном (I. Newton, 17 в.), однако укрепилась
только после О. Коши (A. Cauchy, 19 в.). Современное
понимание дифференциала как главной части прираще-
приращения по существу восходит к Ж. Лагранжу (J. Lagrange,
18 в.) и было окончательно закреплено О. Коши, к-рый
дал и точное определение интеграла как предела суммы.
Для развитого дифференциального или интегрально-
интегрального исчисления характерно, что после строгого обоснова-
обоснования своих основных понятий при помощи предельного
перехода они дают возможность решать разнообразней-
разнообразнейшие задачи при помощи простого алгоритма чисто ал-
гебраич. характера (в том смысле, что сам этот алгоритм
уже не содержит в явном виде предельных переходов).
Благодаря этому современные способы вычисления с
дифференциалами и интегралами успешно соединяют
в себе строгую логич. обоснованность с простотой и на-
наглядностью.
Лит.: [1] Архимед, Сочинения, М., 1962; [2] Кеп-
Кеплер И., Новая стереометрия винных бочек..., пер. о нем., М.—
Л., 1935; [3] Кавальери Б., Геометрия, изложенная но-
новым способом при помощи неделимых непрерывного, [пер. с
итал.], т. 1, М.—Л., 1940. БСЭ-2.
БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ, н е-
собственные элементы,— элементы (точки,
прямые, плоскости и т. д.), возникающие при рас-
расширении пек-рого аффинного пространства до ком-
пактного пространства. В. у. э. являются одной из
форм проявления в различных математич. теориях «ак-
«актуальной» бесконечности. При этом неразрывная связь
бесконечного и конечного проявляется в том, что Б. у. э.
имеют смысл лишь постольку, поскольку они рассмат-
рассматриваются при нек-рой конкретной компактификации
данного «конечного» пространства. Ниже описываются
виды Б. у. э., возникающие при наиболее часто при-
применяемых способах компактификации евклидовых ко-
конечномерных пространств.
1) Введением Б. у. э. (точек — оо и +°°) числовая
прямая R пополняется до компактной расширен-
расширенной числовой прямой R, гомеоморфной
отрезку. Другой способ компактификации состоит в
погружении R в действительную проективную прямую
/I(R) = R, гомеоморфную окружности S1 (см. Проектив-
Проективное пространство); при этом R пополняется одной един-
единственной бесконечно удаленной точ-
точкой оо.
2) Добавлением одной единственной бесконечно
удаленной точки оо конечная комплексная
плоскость С пополняется до компактной расши-
расширенной комплексной плоскости С,
гомеоморфной комплексной проективной прямой или
Римана сфере Sz (единичной сфере в евклидовом прост-
пространстве R3).
3) Добавлением одной единственной бесконечно
удаленной точки оо n-мерное действительное
числовое пространство R", re^l, пополняется до ком-
компактного расширенного числового пространства R",
гомеоморфного сфере Sn\ этот гомеоморфизм наглядно
демонстрируется стереографической проекцией. Другой
способ компактификации состоит в погружении R" в
n-мерное действительное проективное пространство
Pn(R). При ге>1 эти две компактификации не гомео-
морфны.
Например, параллельным прямым в проективной
плоскости -P2(R) соответствует одна и та же бесконечно
удаленная точка, непараллельным прямым — различ-
различные бесконечно удаленные точки. Все бесконечно уда-
удаленные точки плоскости .P2(R) составляют беско-
бесконечно удаленную прямую. Аналогично,
в проективном пространстве Рз(^) каждая плоскость
дополнена бесконечно удаленной прямой. Все бесконеч-
бесконечно удаленные точки и бесконечно удаленные прямые в
/>3(R) составляют бесконечно удаленную
плоскость. Вообще, в Рп(Щ все Б. у. э. размер-
размерности <:(ге— 2) . составляют бесконечно уда-
удаленную (и— 1)-мерную гиперпло-
гиперплоскость.
4) Компактификация комплексного га-мерного чис-
числового пространства С", ге>1, также возможна посред-
посредством погружения С" в комплексное re-мерное проектив-
проективное пространство Рп(С). В Р„(С) также все Б. у. э.
размерности <(л.—2) составляют комплексную (п— 1)-
мерную бесконечно удаленную гипер-
гиперплоскость. Другой способ компактификации со-
состоит в расширении С" до расширенного ком-
комплексного пространства С", представ-
представляющего собой топологич. произведение п пространств
С. При га>1 пространства Рп{С) и С" не гомеоморфны.
Бесконечно удаленными точками
пространства С" являются те наборы z=(zi, ..., zn),
в к-рых хотя бы одна координата zv=oo. Множество
всех бесконечно удаленных точек пространства С" есте-
естественно разбивается на га множеств
k ф v},
причем каждое Mv имеет размерность и—1. Точка
(оо, ..., оо) принадлежит всем Mv , v=l, ..., re. При
рассмотрении действительных функций в С" приме-
применима также одноточечная компактификация С", гомео-
морфная R2" или сфере S2n.
Лит.: [1] Б у р б а к и Н,, Общая топология. Топологиче-
Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства,
пер. с франц., М., 1969; [2] Ефимов Н. В., Высшая геометрия,
5 изд., М., 1971; [3] X артсхорн Р., Основы проективной гео-
геометрии, пер. с англ., М., 1970; [4] Ф у к с Б. А., Введение в
теорию аналитических функции многих комплексных перемен-
переменных, М., 1962; [5] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный
анализ, 2 изд., ч. 1—2, М., 1976. Е. Д. Соломенцев.
БЕСКОНЕЧНОГО ПОРЯДКА УРАВНЕНИЕ в к о м-
плексной области — дифференциальное урав-
уравнение вида
где y(z) — искомая функция комплексного переменно-
переменного z, an(z), f(z) — заданные функции. Наиболее полно
изучены Б. п. у. с постоянными коэффициентами:
Если характеристич. функция
есть целая функция экспоненциального типа а, то ле-
левая часть Ly имеет смысл при z=z0, когда y(z) — функ-
функция, аналитическая в круге |z —zo| <Д, Я>о\ При а=оо
необходимо предположить, что y(z) — целая функция.
Отличие от уравнения конечного порядка состоит уже в
том, что решение y(z) может иметь особенности, даже
когда /(z) — целая функция. Если а=0 и f(z) есть це-
целая функция, то область существования любого реше-
решения выпукла [1]. Общее решение слагается из частного
решения и общего решения соответствующего однород-
однородного уравнения. Пусть Ль Я2, ... — корни характери-
характеристич. уравнения ф(/\,) = 0 и т1, тг, ... — соответственно
их кратности. Однородное уравнение имеет элементар-
элементарные частные решения z*e^"z (fc=0, I, ..., тп— 1; п=1,
2, ...). Решению однородного уравнения можно отнести
по определенному правилу ряд из элементарных реше-
решений. Если характеристич. функция ф(Я) имеет правиль-
правильный рост (в нек-ром определенном смысле), то найдется
подпоследовательность частичных сумм этого ряда,
сходящаяся к у (z) (см. [4]). В общем случае функцию
y(z) можно аппроксимировать с любой точностью ко-
конечными линейными комбинациями из элементарных
решений [5]. В случае а=0 Б. п. у. может иметь неана-
неаналитические решения [2]. При нек-рых условиях эти
решения образуют квазианалитический класс функций
с менее сильными ограничениями на рост производных,
чем в классич. теореме Данжуа — Карлемана.
Б. п. у. имеют различные применения: для изучения
последовательностей полиномов Дирихле, полноты сис-
систем аналитических функций, единственности аналитиче-
аналитических и гармонических функций, разрешимости таких
проблем анализа, как обобщенная проблема квазиана-
квазианалитичности, обобщенная проблема единственности мо-
моментов и т. д.
Лит.: [1] Р о 1 у a G., «Naehr. Ges. Wiss. Gottingen», 1927,
S. 187—95; [2] V a 1 i г о n G., «Ann. scient. Ecole norm, super.»,
1929, t. 46, № l, p. 25—53; [3] Л е о н т ь е в А. Ф., «Тр. чет-
четвертого всесоюзн. матем. съезда», Л., 1964, т. 2, с. 648—60;
[4] его же, «Матем. сб.», 1966, т. 70, № 1, с. 132—44; [5]
Красичко в-Т ерновский И. Ф., «Матем. сб.», 1972,
т. 88, № 3, с. 331 — 52. А. Ф. Леонтьев.
БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ — выражение
содержащее бесконечное множество числовых или функ-
функциональных сомножителей, каждый из к-рых отличеа
от нуля. Б. п. наз. сходящимся, если существует
отличный от нуля предел последовательности частичных
произведений
при п->-°о. Значением Б. п. наз. этот предел
lim рп = Р
п ->• ж
и пишут
Б. п. сходится тогда и только тогда, если сходится ряд
Тем самым исследование сходимости Б. п. сводится к
исследованию сходимости рядов. Б. п. (*) наз. а б-
солютно сходящимся, если сходится Б. п.
J_ J. fe=i
для абсолютной сходимости Б. п. (*) необходимо и до-
достаточно, чтобы абсолютно сходился ряд
2Г=1 "*'
Б. п. обладает переместитсяьным свойством (т. е. его
значение не зависит от порядка сомножителей) в том
и только в том случае, если оно сходится абсолютно.
Б. п. (*) с функциональными сомножителями
определенными, напр., в области D плоскости ком-
комплексного переменного г, сходится равномер-
равномерно в D, если последовательность частичных произведе-
произведений pn(z) сходится в D равномерно к пределу, отлично-
отличному от нуля. В приложениях, однако, весьма важен слу-
случай, когда нек-рые сомножители имеют нули в D такие,
что на любом компакте KcZD их лежит не более конеч-
конечного числа. Понятие сходимости обобщается при этом
следующим образом: Б. п. (*) наз. (абсолютно,
равномерно) сходящимся внутри D,
если для любого компакта KcD существует такой но-
номер N=N{k), что все сомножители 1-{-и^)фО на к
при k^N а последовательность частичных произведе-
произведений
IL
сходится на К (абсолютно, равномерно) к пределу, от-
отличному от нуля. Если все сомножители — аналитич.
функции на В и Б. п. сходится равномерно внутри D,
то оно представляет в D аналитич. функцию.
Б. п. впервые встретилось у Ф. Виета (F. Viete, 1593)
при рассмотрении задачи о квадратуре круга, а именно
он получил аналитич. представление числа л, построив
следующее Б. п.:
1 X
Другое представление числа л восходит к Дж. Валлису
(J. Wallis, 1665):
Б. п. с функциональными сомножителями появились у
Л. Эйлера (L. Euler, 1742), напр.:
Б. п.— основной аппарат для представления анали-
аналитич. функций с явным указанием их нулей; они явля-
ются для целых функций аналогом разложения много-
многочлена на множители. См. также Бляшке произведение,
Вейерштрасса теорема о бесконечном произведении,
Каноническое произведение.
Лит.: [1] И л ь и н В. А., П о з н я к Э. Г., Основы мате-
математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; [2] Ш а б а т Б. В.,
Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1—2, М., 1976; [3]
Вицадзе А. В., Основы теории аналитических функций ком-
комплексного переменного, 2 изд., М., 1972. Е. Д. Соломенцев.
БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ груп-
группы Л и — представление группы Ли в бесконечномер-
бесконечномерном векторном пространстве. Теория представлений
групп Ли есть часть общей теории представлений то-
пологич. групп. Специфика групп Ли позволяет исполь-
использовать в этой теории средства анализа (в частности,
инфинитезимальный метод), а также значительно рас-
расширить класс «естественных» групповых алгебр (функ-
(функциональных алгебр относительно свертки), рассмотре-
рассмотрение к-рых связывает данную теорию с гармоническим
анализом абстрактным, т. е. с частью общей теории то-
топологических алгебр.
Пусть G — группа Ли. Представлением
группы G в широком смысле наз. произвольный го-
гомоморфизм G-^>-GL(E), где GL(E) — группа, всех обрати-
обратимых линейных преобразований векторного пространст-
пространства Е. Если Е — топологич. векторное пространство, то
обычно рассматриваются гомоморфизмы со значениями
в алгебре С (Е) всех непрерывных линейных преобразо-
преобразований пространства Е, либо в алгебре S (Е) всех слабо
непрерывных линейных преобразований пространства
Е. Алгебры С(Е), S(Е) наделяются одной из стандарт-
стандартных топологий (напр., слабой или сильной). Представле-
Представление ф наз. непрерывным (раздельно
непрерывным), если вектор-функция <f(g)i не-
непрерывна (раздельно непрерывна) на GXE. Если Е —
квазиполное бочечное пространство, то всякое раздель-
раздельно непрерывное представление непрерывно. Непрерыв-
Непрерывное представление ф наз. дифференцируемым
(аналитическим), если операторная функция
(f(g) дифференцируема (аналитична) в S(E). Под раз-
размерностью представления ф понимают
размерность пространства Е. Важнейшим примером
представления группы G является ее регулярное пред-
представление q>(g)f(x)=f(xg), х, g?G, определяемое в том
или ином классе функций f{x) на группе G. Если G —
группа Ли, то ее регулярное представление непрерывно
в С (G) и LP(G) {LP(G) определяется относительно Хаара
меры на G) и дифференцируемо в С°° (G) (относительно
стандартной топологии в C°°(G) — топологии компакт-
компактной сходимости). Всякое непрерывное конечномерное
представление группы G аналитично. Если G — ком-
комплексная группа Ли, то естественно рассматривать так-
также ее комплексно аналитические (голоморфные) пред-
представления. Как правило, в теории представлений групп
Ли рассматриваются только непрерывные представле-
представления, и условие непрерывности специально не оговари-
оговаривается. Если группа G компактна, то все ее неприводи-
неприводимые (непрерывные) представления конечномерны. Соот-
Соответственно, если G — полупростая комплексная группа
Ли, то все ее неприводимые голоморфные представления
конечномерны.
Связь с представлениями группо-
групповых алгебр. Для группы Ли важнейшими группо-
групповыми алгебрами являются алгебра LX(G), алгебра
C*(G) — пополнение алгебры L?-{G) по наименьшей ре-
регулярной норме (см. Алгебра функций), Со (G) — алгеб-
алгебра всех финитных бесконечно дифференцируемых функ-
функций на G, M (G) — алгебра всех комплексных мер Радо-
Радона с компактными носителями на G, D (G) — алгебра
всех финитных обобщенных функций (распределений
Шварца) на G, а также, для комплексной группы Ли,
алгебра A(G) всех аналитич. функционалов над G.
Линейные пространства M(G), D(G), A(G) являются
сопряженными, соответственно, к C(G), C°*(G), H(G),
где Н(G) — множество всех голоморфных функций на
G (с топологией компактной сходимости). Все эти ал-
алгебры наделяются естественными топологиями; в част-
частности, ^1(<?) является банаховой алгеброй- Умножение
(свертка) элементов а, Ь? А, где А — одна из указанных
выше групповых алгебр, определяется равенством
относительно правоинвариантной меры на G, с естест-
естественным распространением этой операции на класс обоб-
обобщенных функций. Интегральная формула
ф(а)= ^ a (g)(f(g) dg, a?A
устанавливает естественную связь между представления-
представлениями группы G и представлениями алгебры А (при усло-
условии корректной определенности интеграла): если интег-
интеграл слабо сходится и определяет оператор ср (а)? S (Е)
при каждом а?А, то отображение а—уу(а) является
гомоморфизмом. В этом случае говорят, что представле-
представление <p(g) группы G продолжается до представления
ср(а) алгебры А, или является А-п редставле-
н нем. Обратно, всякое слабо непрерывное невырож-
невырожденное представление алгебры А определяется, по ука-
указанной формуле, нек-рым представлением группы G
(слабо непрерывным при A=M(G), слабо дифференци-
дифференцируемым при A = D(G), слабо аналитическим при А —
=А (G)). Указанное соответствие сохраняет естествен-
естественные соотношения между представлениями, такие, как
топологич. неприводимость или эквивалентность. Если
группа G унимодулярна, то ее унитарным представлени-
представлениям (в гильбертовых пространствах) соответствуют сим-
симметричные представления алгебры Ь1(б) относительно
инволюции в L1(G) (см. Групповая алгебра). Если Е —
секвенциально полное локально выпуклое хаусдорфово
пространство, то всякое непрерывное представление
группы G в пространстве Е является М ^-представле-
^-представлением. Если, кроме того, представление группы G диф-
дифференцируемо, то оно является D (б)-представлением.
В частности, если Е — рефлексивное или квазиполное
бочечное пространство, то всякое раздельно непрерыв-
непрерывное представление <f(g) является М(С)-представлением,
причем (р{а)?С{Е) для всех a?M(G).
Инфинитезимальный метод. Если
представление q>(g) дифференцируемо, то оно бесконеч-
бесконечно дифференцируемо, и пространство Е наделяется
структурой g-модуля, где g— алгебра Ли группы G,
путем рассмотрения инфинитезимальных
операторов Ли:
Операторы ф (а) образуют представление алгебры д,
наз. дифференциалом представления
ф(#). Вектор %(^Е наз. дифференцируемым
(относительно ф(?)), если вектор-функция (p(g)?, диф-
дифференцируема на G. Вектор ?,?Е наз. аналитиче-
аналитически м, если ф (g)| — аналитич. функция в окрестности
единичной точки e?G. Если ф(#) является Co'(G)-
представлением, то пространство V(E) всех бесконечно
дифференцируемых векторов всюду плотно в Е. В част-
частности, это верно для всех непрорывных представлений в
банаховом пространстве; более того, в этом случае [4]
пространство W(E) всех аналитич. векторов всюду плот-
плотно в Е. Дифференциал ф(^) в V(E) может быть приво-
приводимым, даже если ф(#) топологически неприводимо в Е.
Двум эквивалентным представлениям группы G соответ-
соответствуют эквивалентные дифференциалы в V(E)(W(E))\
обратное, вообще говоря, неверно. Для унитарных пред-
представлений в гильбертовых пространствах Е, Н из экви-
валентности дифференциалов в W(E), W(H) следует
эквивалентность представлений [7]. В конечномерном
случае представление группы однозначно восстанавли-
восстанавливается по своему дифференциалу. Представление алгеб-
алгебры g наз. интегрируемым (G-ннтегри-
р у е м ы м), если оно совпадает с дифференциалом
нек-рого представления группы G на подпространстве,
всюду плотном в пространстве представления. Критерии
интегрируемости известны (к 1977) лишь в частных слу-
случаях (см., напр., [4]). Если G односвязна, то всякое ко-
конечномерное представление алгебры g является G-
интегрируемым.
Неприводимые представления. Од-
Одной из основных задач теории представлений является
классификация всех неприводимых представлений дан-
данной группы G, определяемых с точностью до эквива-
эквивалентности, при согласованном определении понятий не-
неприводимости и эквивалентности. Так, представляют ин-
интерес следующие две задачи. 1) Описание множества G
всех классов унитарной эквивалентности неприводимых
унитарных представлений группы G. 2) Описание мно-
множества G всех классов эквивалентности по Феллу [7]
вполне неприводимых представлений группы G. Для
нолупростых групп Ли с конечным центром эквивалент-
эквивалентность по Феллу равносильна эквивалентности по Най-
марку [7], причем имеет место естественное вложение
G-^r-G. Множества G, G естественно топологизируются;
при этом топология в них не обязательно хаусдорфопа
[5]. Если G — компактная группа Ли, то G=G — ди-
дискретное пространство. Описание множества G в этом
случае получено Э. Картаном (Е. Cartan) и Г. Вейлем
(Н. Weyl). Линейная оболочка y(G) матричных элемен-
элементов группы G (т. е. матричных элементов представлений
<f?G) образует в этом случае подалгебру в C°°(G) (алгеб-
(алгебру сферич. функций), всюду плотную в С(G) и в Cm(G).
Матричные элементы образуют базис в C°°(G). Если
матрицы всех представлений <f?G определяются в ба-
базисе, по отношению к к-рому они унитарны, то соответ-
соответствующие матричные элементы образуют ортогональ-
ортогональный базис в L2(G) (теорема Петера— Be й-
л я). Если группа G некомпактна, то ее неприводимые
представления, как правило, бесконечномерны. Метод
построения таких представлений, на примере класси-
классических матричных групп предложенный И. М. Гель-
фандом и М. А. Наймарком [1], явился началом интен-
интенсивного развития теории унитарных бесконечномерных
представлений. Обобщением этого метода для произволь-
произвольных групп Ли является теория индуцированных пред-
представлений Дж. Макки [5]. В 50-х гг. 20 в. начинает разви-
развиваться также общая теория неунитарных представлений
в локально выпуклых векторных пространствах, осно-
основанная в значительной степени на теории топологиче-
топологических векторных пространств и теории обобщенных
функций. Детальное описание G(G) известно (к 1977)
для отдельных классов групп Ли (полупростых ком-
комплексных, нильпотентных и некоторых разрешимых
групп Ли, а также их полупрямых произведений).
Пусть G — полупростая группа Ли с конечным цент-
центром, ф есть М (б)-представление в пространстве Е и
К — компактная подгруппа в G. Вектор %?Е наз. К-
финитным, если его циклич. оболочка относитель-
относительно К конечномерна. Подпространство V всех if-финит-
ных векторов всюду плотно в Е и является прямой (ал-
(алгебраической) суммой подпространств V^, \?К, где
V** — максимальное подпространство в V, представле-
представление К в к-ром кратно X. Представление <р наз. К-
финитным, если dim F^ <oo для всех Я. Подгруп-
Подгруппа К наз. массивной, если всякое вполне непри-
неприводимое представление группы G является /С-финит-
ным. Принципиальное значение в теории представлений
имеет следующий факт: если К — максимальная ком-
компактная подгруппа в G, то К массивна. Если векторы из
V дифференцируемы, то V инвариантно относительно
дифференциала dq> представления ф. Представление <р
наз. нормальным, если оно /С-финитно и векторы
из V слабо аналитичны. Если <р нормально, то сущест-
существует взаимно однозначное отображение (определяемое
сужением на F) замкнутых подмодулей G-модуля ф и
подмодулей g-модуля фо=йф|Т7, где g — алгебра Ли
группы G (см. [7]). Таким образом, изучение нормаль-
нормальных представлений удается алгебраизовать при помо-
помощи инфинитезимального метода. Примером нормального
представления группы G является ее элементарное
представление е(а). Представление е(а) вполне непри-
водимо для точек а общего положения. В общем случае
е(а) допускает разложение в конечный композиционный
ряд, факторы к-рого вполне неприводимы. Всякое ква-
квазипростое неприводимое представление группы G в ба-
банаховом пространстве инфинитезимально эквивалентно
одному из факторов е (а), при нек-ром а. Это верно так-
также для вполне неприводимых представлений группы G
в квазиполных локально выпуклых пространствах.
При этом, если G комплексна, то вместо факторов е(а)
достаточно рассматривать подпредставления е(а) (см.
[7]). В простейшем случае G=SLB, С) представление
е(а) определяется парой комплексных чисел р, q с цело-
целочисленной разностью р — q и действует по формуле пра-
правых сдвигов (f(g)f{x)=f(xg), х = (хЛ, х2), g?G в прост-
пространстве всех функций f(x) ?С°°(С2\{0}), удовлетво-
удовлетворяющих условию однородности: f{kx1, Лг2) =
=kP-1k4-1f(x1, х2). Если р и q — положительные це-
целые числа, то е(а) содержит неприводимое конечномер-
конечномерное подпредставление d (а) (в классе полиномов от хх,
18), фактор по к-рому вполне неприводим. Если р и q —
отрицательные целые числа, то е (а) имеет двойствен-
двойственную структуру. Во всех остальных случаях модуль е (а)
вполне неприводим. Множество G в этом случае находит-
находится во взаимно однозначном соответствии с множеством
пар (р, q) (p — q — целое), факторизованном по отноше-
отношению (р, q)~(—p, -~я)- Подмножество G состоит из пред-
представлений основной серии (р + <? — чисто мнимое)
(см.Серии представлений), дополнительной серии @<р =
=<7<1) и тривиального (единичного) представления б0,
к-рое возникает при p=q=l. Пусть G — полупростая
связная комплексная группа Ли, В — ее максимальная
разрешимая (борелевская) подгруппа, М — максималь-
максимальный тор, Н=МА — картановская подгруппа, а — ха-
характер группы Н (продолженный на В); множество G
находится [7] во взаимно однозначном соответствии с
A/W, где А — множество всех характеров a, W= Wt —
Вейля группа комплексной алгебры ®. Для характеров
«общего положения» представление е(а) вполне непри-
иодимо. Описание множества G сведено к исследованию
положительной определенности нек-рых билинейных
форм, но окончательное описание (к 1977) неизвестно.
Для вещественных групп особый интерес представляет
так наз. дискретная серия представлений (прямые сла-
слагаемые в L'2(G)). Все неприводимые представления
дискретной серии классифицированы [3] путем описа-
описания характеров этих представлений.
Для нилыютентных связных групп Ли [8] множество
G эквивалентно g'/G, где д' — линейное пространство,
дуальное к д, и действие G в д' сопряжено присоеди-
присоединенному представлению в g [9]. Соответствие устанав-
устанавливается орбит методом [8]. Подалгебра ?)CZg наз.
поляризацией элемента /^д', если / аннули-
РУет [Ц, Щ и
diml)=clim g—^-dim Q,
где Q — орбита / относительно G (всякая орбита четно-
мерна). Если Н — соответствующая аналитич. подгруп-
подгруппа в G и а=ехр / — характер группы Н, то представле-
представление и (а), соответствующее /, индуцируется характером
а подгруппы Н. При этом и(а1) эквивалентно и(«2)
тогда и только тогда, когда соответствующие функцио-
функционалы /j, /2 лежат на одной орбите Q. В простейшем слу-
случае группы G=ZC) всех унипотентных матриц по от-
отношению к фиксированному базису в С3 орбиты общего
положения в С3= {(X, ц., v)} являются двумерными пло-
плоскостями A.= const=5tO и точками (ц, v) на плоскости
Я=0. Каждой орбите общего положения соответствует
неприводимое представление и (а) группы G, определяе-
определяемое формулой вида
u(a,g)f(t)=a{t,g)f(t,g), —co<t<oo,
в гильбертовом пространстве Е = Ьг{— оо, оо). Инфини-
тезимальные операторы этого представления совпадают
с операторами d/dt, ikt, tkl, где / — единичный опера-
оператор в пространстве Е. Указанный результат равноси-
равносилен теореме Стоуна — Неймана о самосопряженных
операторах Р, Q с коммутационным соотношением [Р,
Q] = ikl. Каждой точке (ц, v) соответствует одномерное
представление (характер) 2C). Множество G в этом слу-
случае описывается аналогично, с выходом в комплексную
область по параметрам Я, ц, v. Указанный метод орбит
естественно обобщается на разрешимые связные груп-
группы Ли и даже на произвольные группы Ли, причем в
общем случае приходится рассматривать орбиты в g^ ,
где дс — комплексификация ©', удовлетворяющие
нек-рым условиям целочисленности [8].
Исследование общего случая сводится в из-
известной степени к двум рассмотренным случаям по-
посредством теории индуцированных представлений [5],
позволяющей описывать неприводимые унитарные пред
ставления полупрямого произведения G=HN с нор-
нормальным делителем N в терминах неприводимых пред-
представлений N и нек-рых подгрупп группы Н (в силу
теоремы Леви — Мальцева). Практически этот метод
эффективен лишь в том случае, когда радикал коммута-
коммутативен. Другим методом изучения G (и также G) являет-
является описание характеров неприводимых унитарных
представлений группы G; множество таких характеров
находится в естественном взаимно однозначном соот-
соответствии с G. Справедливость общей формулы для ха-
характеров, предложенной А. А. Кирилловым [8], про-
проверена (к 1977) лишь для отдельных классов групп Ли.
Гармонический анализ функций
на G. Для компактной группы Ли гармонич. анализ
сводится к разложению функций f(x), x?G в обобщен-
обобщенные ряды Фурье по матричным элементам группы G
(теорема Петера — Вейля для L2(G) и ее аналоги для
других классов функций). Для некомпактных групп
Ли основы гармонич. анализа были заложены в [1]
введением обобщенного преобразования Фурье
F(a)=[f(x)e(a, x) dx,
где е (а, х) — оператор элементарного представления
е(а), dx — мера Хаара на G, и формулой обращения
(аналог Планшереля формулы) для L2(G), в случае клас-
классических матричных групп над полем G. Этот результат
был обобщен на локально компактные унимодулярные
группы (абстрактная Планшереля теорема). Преобра-
Преобразование Фурье переводит свертку функций на группе и
умножение их (операторных) образов Фурье F (а) и
потому является важнейшим инструментом изучения
групповых алгебр. Если G — полупростая группа Ли,
то операторы F (а) удовлетворяют структурным соот-
соотношениям вида
As(a)F (a) = F (sa) As(a),
s€ W,-> i=l, 2, гдеЛ^ (a) — сплетающие операторы, Wx —
группа Вейля симметрического пространства Gl К (К —
максимальная компактная подгруппа в G), W2 — груп-
группа Вейля алгебры дс (дс — комплексификация алгеб-
алгебры Ли группы G). Если функции f(x) финитны, то опе-
операторные функции F(а) являются целыми функциями
комплексных параметров а. Для групповых алгебр
Co°(G), D(G), где G — лолунростая связная комплекс-
комплексная группа Ли, известны аналоги классических Пэли —
Винера теорем [7], т. е. дано описание образов этих
алгебр относительно преобразования Фурье. Эти
результаты позволяют изучить структуру групповой
алгебры, ее идеалов и представлений; в частности, они
используются при классификации неприводимых пред-
представлений группы G. Аналоги теорем Пэли—Винера из-
известны также для нек-рых нильпотентных (метабеле-
вых) групп Ли и для групп движений евклидова прост-
пространства.
Проблемы спектрального ана-
анализа. Для унитарных представлений групп Ли из-
известна общая процедура разложения представления в
прямой интеграл неприводимых представлений [5].
Проблема состоит в отыскании аналитич. методов,
осуществляющих это разложение для конкретных
классов групп и их представлений, а также в установ-
установлении критериев однозначности такого разложения.
Для нильпотентных групп Ли известен способ сужения
неприводимого представления ф группы G на подгруппу
Go (см. Орбит метод). Для неунитарных представле-
представлений сама постановка задачи требует уточнения, по-
поскольку в классе таких представлений отсутствует свой-
свойство полной приводимости. В ряде случаев рассмотрение
группы G заменяется рассмотрением одной из ее груп-
групповых алгебр А, и задача спектрального анализа
трактуется как задача изучения двусторонних идеалов
алгебры А . Задача спектрального анализа (и спектраль-
спектрального синтеза) тесно связана также с задачей аппрокси-
аппроксимации функций на группе G или однородном простран-
пространстве GIН (Н — подгруппа) линейными комбинациями
матричных элементов группы G.
Приложения к математической
физике. Связь теории представлений групп Ли со
специальными функциями математич. физики была от-
отмечена еще Э. Картаном. В дальнейшем было установ-
установлено, что основные классы этих функций тесно связаны
с представлениями классических матричных групп [10].
Наличие этой связи позволяет с единой точки зрения
осветить важнейшие вопросы теории специальных функ-
функций: свойства полноты и ортогональности, дифферен-
дифференциальные, рекуррентные соотношения, теоремы сложе-
сложения и т. д., а также обнаружить новые соотношения и
новые классы функций. Все эти функции являются мат-
матричными элементами классич. групп или пх модифика-
модификациями (характеры, сферич. функции). Теория разложе-
разложения по этим функциям — часть общего гармонич. ана-
анализа на однородном пространстве GlH. Принципиаль-
Принципиальная роль теории групп Ли в математич. физике, в част-
частности в квантовой механике и квантовой теории поля,
объясняется наличием групповой симметрии (хотя бы
аппроксимативной) в основных уравнениях этой тео-
теории. Классич. примерами такой симметрии являются
принцип относительности Эйнштейна (относительно
группы Лоренца), связь таблицы Менделеева с представ-
представлениями группы вращений, теория изотопич. спина,
унитарная симметрия элементарных частиц и т. д. Связь
с теоретич. физикой оказала стимулирующее влияние
на развитие общей теории представлений групп Ли.
Лит.: [1] Гельфанд И. М., Наймарк М. А.,
«Тр. Матем. ин-та АН СССР», 1950, т. 36; [2] Б у р б а к и Н.,
Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Хаара.
Свёртка и представления, пер.с франц., М., 1970; [3] В о г е 1 А.,
Representations de groupes localement compacts, В., 1972; [4]
Нел сон Э., Аналитические векторы, «Математика», 1962,
т. 6, в. 3, с. 89—131: [5] М а к к и Г., Бесконечномерные пред-
представления групп, там же, с. 57—103; [6] Наймарк М. А.,
Бесконечномерные представления групп и смежные вопро-
вопросы, в кн.: Итоги науки. Сер. матем., [в. 2], М., 1964, с. 38—82;
[7] Ж е л о б е н к о Д. П., Гармонический анализ функций
на полупростых комплексных группах Ли, М., 1974; [8] К и-
р и л л о в А. А., Элементы теории представлений, М., 1972;
[9] Warner G., Harmonic analisis on semi-simple Lie groups,
v. 1, В., 1972; [10] Виленкин Н. Я., Специальные функ-
функции и теория представлений групп, М., 1965,
Д. П. Желобенко, М. А. Наймарк.
БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — нор-
нормальное 7\-пространство X (см. Нормальное простран-
пространство) такое, что ни для какого га= —1,0,1, ... не выпол-
выполняется неравенство dim Х*?.п, т. е. Хф0, и для любого
п=0,1,2, . . . найдется такое конечное открытое покры-
покрытие <в„ пространства X, что любое вписанное в ш„ ко-
конечное открытое покрытие этого пространства будет
иметь кратность >п+1. Примерами Б.п. могут служить
гильбертов кирпич /°° и тихоновский куб I* . Большинст-
Большинство встречающихся в функциональном анализе про-
пространств также бесконечномерно.
Нормальное ^-пространство X наз. бесконеч-
бесконечномерным в смысле большой (соот-
(соответственно, малой) индуктивной раз-
размерности, если неравенство Ind X<gn (соответст-
(соответственно ind X<п) не выполняется ни для какого и=
= — 1,0,1,... . Если X есть Б.п., то оно бесконечномерно
в смысле большой индуктивной размерности. Если, кро-
кроме того, X есть бикомпакт, то он бесконечномерен также
и в смысле малой индуктивной размерности. Бесконечно-
Бесконечномерность метрнч. пространства равносильна его беско-
бесконечномерности в смысле большой индуктивной размер-
размерности. Существуют конечномерные бикомпакты, бес-
конечно.мерные в смысле малой (следовательно и боль-
большой) индуктивной размерности. Существует ли конеч-
конечномерный в смысле малой индуктивной размерности и
бесконечномерный в смысле большой индуктивной раз-
размерности бикомпакт (так же как и метрич. пространст-
пространство),— неизвестно A977).
Одним из наиболее естественных подходов к изуче-
изучению Б.п. является введение малой трансфинитной раз-
размерности ind X и большой трансфинитной размерности
Ind X. Этот подход заключается в распространении оп-
определений малой и большой индуктивных размерностей
на бесконечные порядковые числа. Не для всякого Б.п.
X определены трансфинитные размерности ind X и
Ind X. Напр., обе эти размерности не определены для
гильбертова кирпича. Для пространства (jln, распа-
распадающегося в дискретную сумму re-мерных кубов /",
/г=0,1,2, . . ., малая трансфинитная размерность не
определена.
Если для нормального пространства X определена
трансфинитная размерность ind X (соответственно Ind
X), то она равна порядковому числу, мощность к-рого
не превосходит веса wX (соответственно большого веса
WX) пространства X. В частности, если пространство X
обладает счетной базой, то ind X <Сш1, а если X — ком-
компакт, то н Ind X<co1. Для метрич. пространств также
Ind X<co1. Если a<a>i, то существуют компакты Sa и
La, для к-рых Ind Sa=a, ind La = a.
Если трансфинитная размерность Ind X определена,
то определена трансфинитная размерность ind X и
ind „Y<: Ind X. Построены компакты, для к-рых транс-
трансфинитная размерность Ind X определена и шо<
<ind X<Ind X.
Из определенности трансфинитной размерности ind X
(соответственно Ind X) пространства X вытекает оп-
определенность трансфинитной размерности ind X (соот-
(соответственно Ind A) для любого (соответственно любого
замкнутого) множества А^Х и выполняется неравен-
неравенство ind A <:ind X (соответственно Ind ^<:Ind X).
Для максимального бикомпактного расширения рл
нормального пространства X выполняется равенство
Ind px=Ind X. Нормальное пространство X веса т
и трансфинитной размерности Ind X<:a обладает би-
бикомпактным расширением ЬХ веса т и размерности
Ind ЬХ<:а. Существует пространство L со счетной базой
и размерности ind L= ш0, у к-рого никакое бикомпакт-
бикомпактное со счетной базой расширение ЬХ не имеет размерно-
размерности ind ЬХ=а>0. Метризуемое пространство R транс-
трансфинитной размерности Ind R = a обладает метрикой,
пополнение сЯ по которой имеет размерность Ind
cR=a. Метризуемое со счетной базой пространство R
трансфинитной размерности ind /? = a обладает метри-
метрикой, пополнение сЯ по которой имеет размерность
ind cR — rx..
Класс пространств, для к-рых определена большая
или малая трансфинитная размерность, тесно связан
с классом счетномерных пространств: если полное мет-
рич. пространство счетномерио, то для него определена
малая трансфинитная размерность; если для простран-
пространства со счетной базой определена малая трансфинитная
размерность, то оно счетномерно; если для метрич.
пространства определена большая трансфинитная раз-
размерность (в частности, если оно конечномерно), то оно
счетномерно; для счетномерного компакта определена
большая трансфинитная размерность. Пространство
U/" счетномерно и бесконечномерно. Гильбертов кир-
кирпич не счетномерен.
Счетномерность метрич. пространства R эквива-
эквивалентна любому из следующих свойств: а) существует
конечнократное (но, вообще говоря, не fe-кратное ни
для какого к=1,2, . . .) непрерывное замкнутое отобра-
отображение нульмерного метрич. пространства на простран-
пространство R; б) существует счетнократное непрерывное замк-
замкнутое отображение нульмерного метрич. пространства
на пространство R.
Теоремы о представимости «-мерного метрнч. прост-
пространства в виде суммы ге+1 нульмерных слагаемых и в
виде образа нульмерного метрич. пространства при не-
непрерывном замкнутом и (/г-|-1)-кратном отображении
указывают на естественность рассмотрения класса счет-
счетномерных (метрических) пространств и на его близость
к классу конечномерных пространств. Как и в конеч-
конечномерном случае, в классе счетномерных метрич. про-
пространств веса <т существует универсальное в смысле
гомеоморфного вложения пространство.
Если нормальное пространство представлено в виде
конечной или счетной суммы своих счетномерных под-
подпространств, то оно счетномерно. Подпространство счет-
счетномерного совершенно нормального пространства счет-
счетномерно.
Взаимоотношения между счетномерными и не счетно-
мерными пространствами описывает следующее утверж-
утверждение: если отображение f:R-*-S метрич. пространств
R и 5 непрерывно и замкнуто, пространство R счетно-
счетномерно, а пространство S не счетномерно, то множество
{у? S:\f~1y\^c} также не счетномерно.
Помимо счетномерных пространств, естественным
расширением класса конечномерных пространств явля-
является класс слабо счетномерных пространств. Если рас-
рассматривать только метризуемые пространства, то слабо
счетномерные пространства занимают промежуточное
положение между конечномерными и счетвомерными
пространствами. При этом существуют счетномерные
не слабо счетномерные компакты, а пространство {]1п
слабо счетномерно и бесконечномерно. Замкнутое под-
подпространство слабо счетномерного пространства слабо
счетномерно. Нормальное пространство слабо счетно-
счетномерно, если оно представимо в виде конечной или счет-
счетной суммы своих слабо счетномерных замкнутых под-
подмножеств.
В классах нормальных слабо счетномерных и метри-
метрических слабо счетномерных пространств существуют
универсальные в смысле гомеоморфного вложения ц о-
странства. В случае пространств со счетной базой
таким пространством будет подпространство /ш гиль-
гильбертова кирпича, состоящее из всех тех точек, лишь
конечное число координат к-рых отлично от нуля. Про-
Пространство /ш не имеет слабо счетномерных бикомпактных
расширений.
Все рассмотренные выше классы Б.п. «не очень бес-
бесконечномерны», если их сравнивать, напр., с гильбер-
гильбертовым кирпичом. Задача отделения «не очень бесконеч-
бесконечномерных» пространств от «очень бесконечномерных»
была решена П. С. Александровым и Ю. М. Смирновым
посредством введения классов А- и 5-слабо бесконечно-
бесконечномерных и А- и 5-сильно бесконечномерных нормальных
пространств. Любое конечномерное пространство S-
слабо бесконечномерно, а любое 5-слабо Б. п. также
А -слабо бесконечномерно. Пространство (J I" является
А -слабо бесконечномерным, но 5-сильно бесконечно-
бесконечномерным.
В случае бикомпактов определения А- и 5-слабой
(сильной) бесконечномерности эквивалентны, поэтому
А -слабо (сильно) бесконечномерные бикомпакты наз.
просто слабо (сильно) бесконечномер-
бесконечномерными. Гильбертов кирпич сильно бесконечномерен.
Существуют бесконечномерные и слабо бесконечномер-
бесконечномерные компакты.
Замкнутое подпространство A-(S-) слабо Б. п. яв-
является A-(S-) слабо бесконечномерным. Нормальное
пространство, являющееся суммой конечного числа
своих замкнутых 5-слабо бесконечномерных множеств,
само S-слабо бесконечномерно. Паракомцакт, являю-
являющийся суммой конечной или счетной системы своих
замкнутых А -слабо бесконечномерных множеств, сам
Л-слабо бесконечномерен. Наследственно нормальное
пространство, являющееся суммой конечной или счет-
счетной системы своих А -слабо бесконечномерных мно-
множеств, само Д-слабо бесконечномерно.
Слабо счетномерный паракомпакт является Л-слабо
бесконечномерным. Наследственно нормальное счет-
номерное пространство является А -слабо бесконечно-
бесконечномерным. Любой ли слабо бесконечномерный компакт
счетномерен — неизвестно A977).
Изучение любых 5-слабо бесконечномерных метри-
зуемых пространств следующим образом сводится к
компактному случаю: тогда и только тогда метризуемое
пространство R является 5-слабо бесконечномерным,
когда его можно так представить в виде суммы слабо
бесконечномерного компакта и конечномерных откры-
открытых множеств О„, н=1,2, . . ., что для любой дискрет-
дискретной последовательности точек
X;?R, ? = 1,2, . ..,
существует (зависящее от последовательности) множе-
множество Оп, содержащее все точки я,-, начиная с нек-рой.
Другую возможность изучать бесконечномерные би-
бикомпакты вместо любых 5-слабо Б.п. дают следующие
утверждения: максимальное бикомпактное расширение
5-слабо Б.п.— слабо бесконечномерно; любое нормаль-
нормальное 5-слабо бесконечномерное пространство веса т об-
обладает слабо бесконечномерным бикомпактным расши-
расширением веса т. Все бикомпактные расширения А -слабо
Б.п. /а сильно бесконечномерны.
Бикомпакт сильно бесконечномерен тогда и только
тогда, когда имеется такое непрерывное отображение
/:Х—>-/°°, что для любого множества
i" = {y = (yi)?i°°; з/,- = о, i>n\
(гомеоморфного «-мерному кубу) ограничение отобра-
отображения / на прообраз /-1/" является существенным ото-
отображением.
Существует бесконечномерный компакт, любое не-
непустое замкнутое подпространство к-рого или нульмер-
нульмерно, или бесконечноме но. Более того, любой сильно
бесконечномерный компакт содержит подкомпакт, лю-
любое непустое замкнутое подпространство к-рого или
нульмерно, пли сильно бесконечномерно. В любом силь-
сильно бесконечномерном бикомпакте содержится беско-
бесконечномерное канторово многообразие (в смысле
П. С. Александрова).
Вое сепарабельные банаховы пространства гомео-
моррны между собой, Л-сильно бесконечномерны и го-
меоморфны произведению счетной системы прямых.
JJum.: 11] А л е к с а н д р о в П. С, Пасынков Б. А.,
Введение в теорию размерности..., М., 1973. Б. А. Пасынков.
БЕСКОНЕЧНОСВЯЗНАЯ ОБЛАСТЬ, область
бесконечной связности,— область, у
к-рой фундаментальная группа не является конечнопо-
рожденной. Понятие Б.о. обычно применяется к обла-
областям в расширенной комплексной плоскости, п в этом
случае данное определение равносильно тому, что гра-
граница области состоит из бесконечного числа граничных
компонент. Топологические свойства Б. о. изучались
П. С. Урысоном [1]. Основы теории аналитических и од-
одно, истных функций в Б. о. созданы в основном П. Кёбе
и X. Грётшем (см. [2], [3]).
Лит.: [ЦУрысон П. С, Труды по топологии и другим
областям математики, т. 1, М.—Л., 1951; [2] Koebe Р.,
«N:ichr. Akad. Wiss. Gottingen. Math.-phys. Kl.»>, 1909, S. 324—
361: 1918, S. 60—71; [3] G г б t z s с h H., «Ber. Verhandl. Sach-
sisch. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-naturwiss. Kl.», 1931, Bd 83,
№ 3, S. 185—200; N 4, S. 238—253; № 5, S. 283—97; 1932, Bd 84,
Mb 1, S. 3 — 14. П. М. Тамразов.
БЕСКОНЕЧНОСТИ АКСИОМА — аксиома формаль-
формальной или содержательной теории, обеспечивающая на-
наличие бесконечного количества объектов в рассматри-
рассматриваемой теории. Так, Б.а. в нек-рой системе аксиома-
аксиоматической теории множеств обеспечивает существова-
существование бесконечного множества. Напр., в языке аксиома-
тич. системы Цермело — Френкеля Б.а. обычно запи-
записывают в виде:
ЭХ @?Х &VZ(Z?Xr)Z{j{Z} ? X))
(«существует множество X такое, что я^1и для всякого
Z, принадлежащего X, множество Z\J {Z} также принад-
принадлежит X»).
В простой типов теории, ввиду специфич. ограниче-
ограничений на язык теории, принята другая формулировка
Б. а.: существует отношение, к-рое задает на множестве
индивидов линейный порядок без последнего элемента.
Во многих теориях удобно применять так наз. акси-
аксиому бесконечности Дедекинда: су-
существует множество, взаимно однозначно отобразимое
в сиою собственную часть. С помощью выбора аксиомы,
нетрудно показать эквивалентность аксиомы бесконеч-
бесконечности Дедекинда другим упомянутым формам Б. а.
Известно, однако, что без аксиомы выбора эту эквива-
эквивалентность обычными теоретико-множественными мето-
методами доказать нельзя.
В теории множеств употребляются также так наз.
высшие аксиомы бесконечности,
утверждающие существование множеств весьма высо-
высокой мощности: аксиома существования недостижимого
кардинала, аксиома существования измеримого карди-
кардинала и т. п.
В логике предикатов Б.а. наз. формулы, выполнимые
лишь на бесконечном множестве. С точки зрения доказа-
доказательств теории такие формулы утверждают, вообще
говоря, меньше, чем Б.а. в аксиоматич. теории мно-
множеств: они обеспечивают бесконечность совокупности
объектов исследования, но могут и не обеспечивать су-
существования бесконечного объекта исследования. По-
Показано, что существует бесконечное количество попар-
попарно неэквивалентных Б. а. логики предикатов.
А. Г. Драгалин.
БЕСКОНЕЧНОСТЬ — понятие, возникающее в раз-
различных разделах математики в основном как противо-
противопоставление понятию конечного. Понятие Б. исполь-
зуется в аналитич. и геометрич. теориях для обозна-
обозначения «несобственных» или «бесконечно удаленных»
элементов, в теории множеств и математич. логике при
изучении «бесконечных множеств» и в др. разделах
математики.
1) Представление о бесконечно малых и бесконечно
больших переменных величинах являет-
является одним из основных в математич. анализе. Предшест-
Предшествовавшая современному подходу к понятию бесконеч-
бесконечно малой концепция, по к-рой конечные величины сос-
составлялись из бесконечно большого числа бесконечно
малых «неделимых» (см. «Неделимых» метод), трактовав-
трактовавшихся не как переменные, а как постоянные и меньшие
любой конечной величины, может служить одним из
примеров незаконного отрыва бесконечного от конеч-
конечного: реальный смысл имеет только разложение конеч-
конечных величин на неограниченно возрас-
возрастающее число неограниченно убыва-
убывающих слагаемых.
2) Совсем в другой логич. обстановке Б. появляется
в математике в виде «несобственных» бесконечно удален-
удаленных геометрич. образов (см. Бесконечно удаленные эле-
элементы). Здесь, напр., бесконечно удаленная точка на
прямой а рассматривается как особый постоянный объ-
объект, «присоединенный» к обычным конечным точкам.
Однако неразрывная связь бесконечного с конечным
обнаруживается и здесь, хотя бы при проектировании
из центра, лежащего вне прямой, при к-ром бесконеч-
бесконечно удаленной точке оказывается соответствующей пря-
прямая, проходящая через центр проектирования и парал-
параллельная основной прямой а.
Аналогичный характер имеет пополнение системы
действительных чисел двумя «несобственными» числами
+ оо и — оо, соответствующее многим запросам анализа
и теории функций действительного переменного. Можно
подойти с такой же точки зрения и к пополнению ряда
натуральных чисел 1, 2, 3, . . ., трансфинитными чис-
числами ш, @+1, . . . , 2ш, 2ш+1, .... В связи с разли-
различием между переменными бесконечно малыми и беско-
бесконечно большими величинами, с одной стороны, и «не-
«несобственными» бесконечно большими числами, рассмат-
рассматриваемыми как постоянные, — с другой, возникли тер-
термины «потенциальная» Б. (для первых) и «актуальная»
Б. (для вторых). В этом первоначальном понимании
(о другом, современном понимании, см. ниже) спор меж-
между сторонниками потенциальной и актуальной Б. мож-
можно считать законченным. Бесконечно малые и бесконеч-
бесконечно большие, лежащие в основе определения производ-
производной (как отношения бесконечно малых) и интеграла(как
суммы бесконечно большого числа бесконечно малых)
и примыкающих сюда концепций математич. анализа,
должны восприниматься как «потенциальные». Наряду
с этим в надлежащей логич. обстановке в математику
вполне закономерно входят и «актуальные» бесконечно
большие «несобственные» числа (и даже во многих раз-
различных аспектах: как количественные и порядковые
трансфинитные числа в теории множеств, как несобст-
несобственные элементы + оо и — оо системы действительных
чисел и т. д.).
В математике приходится иметь дело с двумя спосо-
способами присоединения к числовой системе бесконечных
«несобственных» элементов.
а) С проективной точки зрения на прямой находится
одна «бесконечно удаленная точка». В обычной метрич.
системе координат этой точке естественно приписать
абсциссу оо. Такое же присоединение к числовой систе-
системе одной Б. без знака употребляется в теории функций
комплексного переменного. В элементарном анализе
при изучении рациональных функций f(x)= Р (хI
lQ(x), где Р (х) и Q(x)— многочлены, в тех точках, где
Q(x) имеет нуль более высокого порядка, чем Р(х),
естественно положить /(х)=оо.
Для несобственного элемента оо устанавливаются
такие правила действий:
оо+а =оо, если а конечно;
оо + оо не имеет смысла;
оо • а = оо, если а Ф 0;
оо 0 не имеет смысла.
Неравенства с участием оо не рассматриваются:
бессмысленно спрашивать, больше или меньше оо,
чем конечное а.
б) При изучении действительных функций действи-
действительного переменного систему действительных чисел
дополняют двумя несобственными элементами +оо и
— оо. Тогда можно положить, что — оо<а<+оо для
любого конечного а, и сохранить основные свойства
неравенств в расширенной числовой системе. Для+оо
и — оо устанавливаются такие правила действий:
(+ оо) + а = + оо, если а ф — оо;
(— оо) + а = — оо , если а ф + оо;
(+оо) + (—оо) лишено смысла;
(+ оо) ¦ а = + оо , если а > 0;
(+ оо) ¦ а = — оо, если а < 0;
(— оо) ¦ а — — оо , если а > 0;
(— оо) • а = + оо, если а < 0;
(+оо)-0 и (—оо)-0 лишены смысла.
3) Основной интерес, но и основные трудности мате-
матич. учения о Б. сосредоточиваются на вопросе о
природе бесконечных множеств матема-
тич. объектов. Следует, в частности, иметь в виду, что
достигнутая ныне полная отвлеченность и закончен-
законченность теории бесконечно больших и бесконечно малых
переменных величин заключается лишь в сведении
всех трудностей этой теории к вопросу обоснования
учения о числе, в к-рое существенно входит представле-
представление о Б. системы чисел. Утверждение о том, что у бес-
бесконечно мало, имеет смысл только при указании харак-
характера изменения у в зависимости от к.-л. другого пере-
переменного х; напр., говорят, что у бесконечно мало при
х~>-а, если при любом е>0 существует такое 6 >0, что
из \х — а|<6 вытекает \у\<?. В самое это определение
уже входит предположение, что функция y=j(x) опре-
определена для бесконечного множества зна-
значений х (напр., для всех действительных х, достаточно
близких к а).
В теории множеств терминам «актуальная» и «потен-
«потенциальная» Б. придают обычно глубокий смысл, не имею-
имеющий ничего общего с наименованием каждой бесконеч-
бесконечной мощности «актуально бесконечным числом». Дело
в том, что бесконечные системы математич. объектов
(напр., натуральных или действительных чисел) никогда
не задаются простым перечислением, как это возможно
для конечных систем объектов. Было бы очевидным аб-
абсурдом предполагать, что кто-либо «образовал» множе-
множество натуральных чисел, перечислив их фактически
«все» одно за другим. На самом деле множество нату-
натуральных чисел изучают, исходя из процесса образова-
образования его элементов переходом от п к ге+1. В случае кон-
континуума действительных чисел уже рассмотрение одно-
одного его элемента — действительного числа — приводит
к изучению процесса образования его последователь-
последовательных приближенных значений, а рассмотрение всего
множества действительных чисел приводит к изучению
общих свойств такого рода процессов образования его
элементов. В этом именно смысле сама Б. натурального
ряда, или системы всех действительных чисел (конти-
(континуума), может характеризоваться как Б. лишь «по-
«потенциальная». Точке зрения потенциальной Б. проти-
противополагается взгляд на бесконечные множества как
«актуально» заданные, независимо от процесса их обра-
образования. Выяснение вопроса о том, в какой мере и при
каких условиях при изучении бесконечных множеств
законно такое абстрагирование от процесса их образо-
вания, еще нельзя считать законченным. См. также
Абстракция актуальной бесконечности, Абстракция
потенциальной осуществимости. А. Н. Колмогоров.
ВЕССЕЛЕВ ПОТЕНЦИАЛ — потенциал вида
где х=(х1, х2, . . ., хп), у={ух, у2, ¦ • ., У„)- точки
евклидова пространства Еп, «5э2, d[i— борелевская мера
на Еп,
2—и — an a — а
1
Kyi (z) — модифицированная цилиндрическая функция
(или бесселева функция) 2-го рода порядка v, или
функция Макдональда порядка v; Ga(x)
наз. бесселевым ядром.
Основные свойства бесселевых ядер Ga (х) те же, что
ядер Рисса (см. Рисса потенциал): положительность,
непрерывность при хфО, свойство композиции
но, в отличие от потенциалов Рисса, Б.п. применимы при
всех а>0, поскольку
1-я-а 1-я а-п-1
G (х) ~ 2 2 я 2
при \х\—>-оо.
Если а>2т, где т — натуральное число, мера d\i
абсолютно непрерывна с интегрируемой в квадрате
плотностью f{y)(zL2(E2m), то для Б. п. выполняются
тождества
iAP) P
где Л — Лапласа оператор в Е2т. Иначе говоря, функ-
функG() ф
()
Лит.: [1] Н и к о л ь с к и й С. М., Приближение функций
многих переменных и теоремы вложения, М., 1969, гл. 8; [2]
Aronszajn N., Smith К. Т., «Ann. Inst. Fourier», 1961,
v. 11, p. 385—475. E. Д. Соломенцев.
ВЕССЕЛЕВ А СИСТЕМА — понятие теории ортого-
ортогональных систем. Пусть {tyn} и {,?„} — две полные сис-
системы функций из L2(a, b) = L2 (т. е. измеримых функций,
интегрируемых с квадратом на отрезке [а,Ь]), образую-
образующие биортогональную систему функций. Система г|;,,
наз. бесселевой, если для любой функции f?L2
сходится ряд
У™ el,
где сп= (/, gn) — коэффициенты разложения:
Функции / по системе {г|э„}. Для того чтобы система
ф„} была Б. с, необходимо и достаточно, чтобы в про-
пространстве I/2 можно было определить такой ограничен-
ограниченный линейный оператор А, что система {<р„}, опреде-
определенная равенством А\рп = ц>п (ге=1, 2, . . .), является
полной ортонормированной системой. Если система
\рп бесселева, то существует константа М такая, что для
любой f?L2
2Г=1^' SnJ^M\\f\\2L2.
Лит.: [1] К а ч м а ж С, Штейнгауз Г., Теория орто-
ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958, с. 430—40.
П. И. Ливоркин.
БЕССЕЛЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА —
формула, определяемая как полусумма формулы Гаус-
Гаусса (см. Гаусса интерполяционная формула) для интер-
интерполирования вперед по узлам
xv, xo^h, xo — h,...,xo-\-nh, xo — nh, xa-\-(n-\-\)h
в точке х=.
' '1/2 Bn + l)! ' K}
и формулы Гаусса того же порядка для интерполиро-
интерполирования назад по отношению к узлу x1 = x0^h, т. е. по
совокупности узлов
xo-\-h, x0, xo + 2h, xo — h, .. ., xo-}-(n-\-i)h, xo — nh:
(t-n) (t-n-1
+ 'l/2 iBn + l)!
С использованием обозначения
j2fe 1 I ,1k , ,2ft\
/l/2=-2"(/o -f /l )
Б. и. ф. имеет следующий вид (см. [1], [2]):
t '
1 ,2П t (t'-l). . .[t*-(n-lY'] (t-П) i
' '1/2 Bn)!
, ;2n+l * иг-У) ¦ . ¦ [<г-(п-1J] (t-n) (t-1/2) ,n,
"i '1/3 Bn+l)! ' ^ '
Б. и. ф. имеет определенные преимущества по сравнению
с формулами Гаусса A), B); в частности, при интерпо-
интерполировании на середину отрезка, то есть при t=1/2,
все коэффициенты при разностях нечетного порядка
обращаются в нуль. Если в правой части C) отбросить
последнее слагаемое, то полученный многочлен
В<2.п+^(х0-\-Ш), не являясь собственно интерполяционным
многочленом (он совпадает с /(.т) лишь в 2ге узлах
х0 — (га — 1)ге, . . ., хо-|-?г/г), обладает лучшей оценкой
остаточного члена (см. Интерполяционная формула),
чем интерполяционный многочлен той же степени.
Напр., если x=xo-\-th? (x0, хг), то оценка остаточного
члена для наиболее часто используемого многочлена
написанного по узлам xo — h, x0, xo-\-h, xo-\-2h, почти в
8 раз лучше, чем для интерполяционного многочлена,
написанного по узлам xQ — h, x0, xo-\-h или по узлам
х0, xo+h, xo+2h (см. [2]).
Лит.: [1 ] Б е р е з и н И. С, Ж и д к о в Н. П., Мето-
Методы вычислений, 3 изд., т. 1, М., 1966; [2] Бахвалов Н. С,
Численные методы, М., 1973. М. К. Самарин.
БЕССЕЛЯ НЕРАВЕНСТВО — неравенство
/н*=(/,
мае А (Фа, Фа)
j-uae A
где / — элемент (пред)гильбертова пространства Н
со скалярным произведением (/, <р), а {<ра, <х?А }— орто-
ортогональная система ненулевых элементов из Н. Правая
часть Б. н. при любой мощности множества индексов А
содержит не более счетного числа слагаемых, отличных
от нуля. Б. н. вытекает из тождества Бессе-
л я
а. г
х ' ,
справедливого для любой конечной системы элемен-
элементов {фа;}г=1, 2, ... re. В этой формуле ха' — коэффи-
циенты Фурье вектора / по ортогональной системе
{Фа,- Фа!--Фам}. т- е- числа
Геометрически Б. н. означает, что ортогональная про-
проекция элемента / на линейную оболочку элементов фа,
а?Л, имеет норму, не превосходящую нормы / (т. е.
гипотенуза не короче катета). Для того чтобы вектор
/ принадлежал замкнутой линейной оболочке векторов
фа, а?А, необходимо и достаточно, чтобы Б. н. обра-
обращалось в равенство. Если это имеет место при любом
f?H, то говорят, что для системы {ц>а, а?А) в Н вы-
выполняется Парсеваля равенство.
Для системы {<ра, а=1,2, . . .} линейно независи-
независимых (не обязательно ортогональных) элементов из Н
тождество Б ее селя и Б. н. принимают вид
-2«. p=i 6«р (f< ч>е) *
где Ьп — элементы матрицы, обратной к матрице Грама
(см. Грама определитель) первых п векторов исходной
системы.
Б. н. предложено Ф. Бесселем (F. Bessel) в 1828 для
тригонометрич. системы.
Лит.: [1] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ,
2 изд. т 2 М., 1973. Л. П. Купцов.
БЕССЕЛЯ УРАВНЕНИЕ — линейное обыкновенное
дифференциальное уравнение 2-го порядка:
х-у" \~ху'-\-(х2— v2)y = 0, v = const, A)
или в самосопряженной форме:
{ху')'+(х-^) у = 0.
Число v наз. индексом Б. у.; величины х, у, v в
общем случае могут принимать комплексные значения.
После подстановки у=их~ 1г получается приве-
приведенная форма уравнения A):
Б. у. представляет собой частный случай вырожден-
вырожденного гипергеометрического уравнения; уравнение B)
подстановкой x = z/2i приводится к Уиттекера уравне-
уравнению. Точка х=0 является для уравнения A) слабо осо-
особой, а точка х= с» — сильно особой, и поэтому Б. у.
не принадлежит классу Фукса уравнений. Первым сис-
систематическое изучение решений уравнения A) предпри-
предпринял Ф. Бессель [1], но еще раньше они встречались в
работах Д. Бернулли (D. Bernoulli), Л. Эйлера (L. Eu-
1ег), Ж. Лагранжа (J. Lagrange).
Б. у. возникает при разделении переменных во мно-
многих задачах математич. физики (см. [2]), в частности в
краевых задачах теории потенциала для цилиндрич.
области.
Решения Б. у. вал. цилиндрическими функциями
(или бесселевыми функциями). Среди
них выделяют цилиндрич. функции 1-го рода (Бесселя
функции) /v (х), цилиндрич. функции 2-го рода (Вебера
функции, или Неймана функции) Yv (x), цилцндрич.
функции 3-го рода (Ганкеля функции) Н^ (х), Н^ (х).
Если индекс v фиксирован, то все эти функции —
аналитич. функции комплексного аргумента х; для
всех этих функций, за исключением функций Jn(x)
целого индекса, точка х=0 является ветвления точкой.
Если же фиксирован аргумент х, то все эти функции
являются однозначными целыми функциями комплекс-
комплексного индекса v (см. [3]).
Если индекс v не равен целому числу, то общее реше-
решение уравнения A) можно записать в виде
у = Cx/V (х) + C2/_v (x),
где Cj, С2 — произвольные постоянные. При произволь-
произвольном индексе любые две из функций /v (х), Yv (x),
Ну'{х), Н{^ (х) линейно независимы и могут служить
фундаментальной системой решений уравнения A). По-
Поэтому общее решение уравнения A) представляется,
в частности, в следующих формах:
y = CxJv (x) + CaYv (x), y = ClH™ (x) + C2H(v2) (x).
С уравнением A) тесно связаны: уравнение
z V + zy' — (z2 + v2) у = О,
переходящее в A) при подстановке z=ix и имеющее
своей фундаментальной системой решений модифи-
модифицированные цилиндрические функ-
функции (бесселевы функции мнимого
аргумент а), и уравнение
2V+Z!/' — ((Z2 + V2) У=0,
переходящее в A) при подстановке z= У~1х и имеющее
своей фундаментальной системой решений Кельвина
функции. Многие другие линейные обыкновенные диф-
дифференциальные уравнения 2-го порядка (напр., Эйр и
уравнение) преобразованием неизвестной функции и не-
независимой переменной также приводятся к уравнению
A); решение ряда линейных уравнений высших поряд-
порядков удается записать через бесселевы функции (см. [4]).
Подстановка y = xv w приводит уравнение A) к Лап-
Лапласа уравнению:
xw"+ Bv+{)w'+xw=0\
это позволяет представлять решения уравнения A) че-
через контурные интегралы на комплексной плоскости.
В приложениях часто возникают задачи на собствен-
собственные значения для уравнения
xhf+xy'+ (Xx2-v2)y=0, C)
где v фиксировано, а X ~ параметр. Уравнение C)
на отрезке 0<х<а с краевыми условиями:
у (х) ограничена при х-+0, у(а) = О
дает пример задачи с дискретным спектром (собствен-
(собственные значения определяются из условия /v (а ]^Х) = 0
через нули функции Бесселя). Уравнение C) с краевым
условием:
у (х) ограничена на полуоси 0<х<оо
представляет собой задачу с непрерывным спектром
(собственные значения Х^О).
Неоднородное уравнение Бесселя
A/"+^'+(^-v2)y=/(*) D)
имеет частное решение
-^-Jv(x) [xYv(x)f(x)dx.
Для правой части специальных видов решения уравне-
уравнения D) изучены более детально. Напр., при /(х) = гР
уравнению D) удовлетворяет Ломмеля функция, при
f (х) = ——;
— Струве функция, при
f (х) — — (х — v) sin хл
Ангера функция, при
4 (^ —v) cosvji]
— Вебера функция.
Имеются линейные уравнения высших порядков,
свойства решений к-рых аналогичны свойствам бессе-
бесселевых функций. Общее уравнение типа Бес-
Бесселя ге-г о порядка имеет вид
с,- = const, 2"=ic'' = 0>
а его решение зависит от ге— 1 индексов. В частности,
уравнение типа Бесселя 3-го порядка (имеющее решение
с двумя индексами а, E) можно представить в форме:
a, P = const.
Лит.: [1] Bessel F., «Abhandl. der Koniglichen Akad.
Wiss. Berlin», 1824, S. 1—52; [2] Грей Э., Мэтьюз Г.,
Функции Бесселя и их приложения к физике и механике, пер.
с англ., 2 изд., М., 1953; [3] В а т с о н Г., Теория бесселевых
функций, пер. с англ., ч. 1—2, М., 1949; [4] Камке Э., Спра-
Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер.
с нем., 5 изд., М., 1976. Н. X. Розов
БЕССЕЛЯ ФУНКЦИИ - цилиндрические функции
1-го рода. Б. ф. индекса р может быть определена рядом
(
(h + p+i) \ 2 /
сходящемся на всей плоскости. Б. ф. индекса р явля-
является решением соответствующего Бесселя уравнения.
У,
I
0,5
0
/Хх
Графики функций у = Jo (х) и j/ = J4 (х).
При действительных положительных значениях аргу-
аргумента и индекса (p = v— действительное число) Б. ф.
действительна, график ее имеет вид затухающего коле-
колебания (см. рис.); при четном индексе Б. ф. четна, при
нечетном — нечетна. Поведение Б. ф. в окрестности
нуля дается первыми слагаемыми ряда (*); при боль-
больших х справедливо асимптотич. представление
Jy(x) ~ у ~ cos (^x — -^v — -j-
Нули Б. ф. [корни уравнения /v (ж) = 0]— простые, при
этом нули Jv (х) лежат между нулями /v+1(x). Б. ф.
«полуцелого» порядка v = n-j-V2 выражаются через
тригонометрич. функции; в частности,
/ W = i/"A"sina: / {х) = л/~^
1/2 \ ПХ ' -1/2 ' У ЯХ
( VV \
Б. ф. /v \ ~ух )V4i~ положительные нули Jv(x), v> — V2)
образуют ортогональную с весом х в промежутке (О, I)
систему. При определенных условиях имеет место раз-
разложение
'v+i К)
В бесконечном промежутке его заменяет интеграл
Фурье—Бесселя
v x dx'
0 < X < 00.
Важную роль в теории Б. ф. и их применений играют:
1) интегральное представление
1 Ся
Jn(z) = — \ cos (z sin ф — пф) dw,
"Jo
2) производящая функция
3) теорема сложения для В. ф. нулевого индекса
/„ ( У~а*-^Ь*~2аЬ cosy) =
= /„ (в) /0 F) + 2 2"=1 A (a) A (b) cos /яр,
4) рекуррентные формулы
Лит. см. при статье Цилиндрические функции.
П. И. Лизорпин.
БЕТА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — непрерывное сосредо-
сосредоточенное на (О, 1) распределение вероятностей с плот-
плотностью
где параметры т, п неотрицательны и нормирующий
множитель В (т, п) есть бета-функция Эйлера
(Г (re)—гамма-функция). Функция распределения
ражается через неполную бета-функцию
J'"-1(l-JOB-1dy, 0 < х <
(эта функция табулирована, см. [1], [2] ). Моменты
Б.-р. выражаются формулой
В (m + ft, n)
гп =
В (т, п)
к = 1, 2,
в частности, математич. ожидание и дисперсия равны
m/(m~\-n) и mre/(/n+reJ(ni + re+l), соответственно.
Если т>1 и ге>1, то кривая плотности рт_ „ (х) имеет
единственную точку максимума х= (пг— i)/(m-j-re — 2)
и обращается в нуль на концах интервала. Если т<1
или ге<1, то одна из крайних ординат графика беско-
бесконечна, а если и т<1, и «<1, то обе ординаты на концах
интервала бесконечны и кривая имеет U-образную
форму. При т=\ и ге=1 Б.-р. превращается в равно-
равномерное распределение в интервале @,1). Другим частным
случаем Б.-р. является так наз. арксинуса распреде-
распределение
При замене в A) я= 1/A + 0 получается распределение
с плотностью
Ь /в-а, 0<i<co. B)
Это распределение наз. Б.-р. второго рода,
в отличие от Б.-р. A). Распределения A) и B) соответ-
соответствуют распределениям «типа I» и «типа VI» в системе
Пирсона кривых. Один из важных случаев возникнове-
возникновения Б.-р. таков: если Хх и Х2 независимы и имеют
гамма-распределения с параметрами т и п соответствен-
соответственно, то случайная величина Х1/(Х1+Х2) имеет Б.-р. с
плотностью §т<п(х). Этот факт в большой степени объ-
объясняет ту роль, к-рую Б.-р. играет в приложениях, в
частности в математич. статистике: распределения мно-
многих важнейших статистик сводятся к Б.-р. Напр.,
функция распределения ^-отношения
пх2
г т, п ~ |т~
тГп
(случайная величина %к имеет ^-распределение с к
степенями свободы) выражается формулой
(обычно значения ^-распределения вычисляются с по-
помощью таблиц Б.-р.). Функция Б.-р. позволяет также
вычислять значения функций биномиального распреде-
распределения, ввиду соотношения
Б.-р. находит применение не только в математич.
статистике, так, напр., плотность Б.-р. является весо-
весовой функцией для системы ортогональных Якоби мно-
многочленов.
Лит.: [1] Б о л ь ш е в Л. Н., Смирнов Н. В., Таб-
Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968; [2] Пир-
Пирсон К., Таблицы неполной бета-функции, пер. с англ.,
М., 1974. А. В. Прохоров.
БЕТА-ФУНКЦИЯ, В-функция, В-функ-
ция Эйлера, эйлеров интеграл 1-го
род а,— функция двух переменных р и q, определяе-
определяемая при р>0, д>0 равенством
Значения Б.-ф. при различных значениях параметров
рис/ связаны между собой следующими соотноше-
соотношениями
В(р, q) = B(q,p),
B(p,q)=-^-[B(p,q — l), q>\.
Справедлива формула
В случае комплексных р и q интеграл (*) сходится, ког-
когда Rep>0 и Re g>0. Б.-ф. выражается через гамма-
функцию:
ш п\ г <р> г '?>
В. И, Битюцпов,
БЕТТИ ГРУППА — в широком смысле то же, что
и гомологии группа; в узком смысле Б. г. является сво-
свободной частью группы гомологии с областью коэффици-
коэффициентов — группой ~%_ целых чисел в случае, если эта груп-
группа конечно порождена. Названа по имени Э. Бетти
(Е. Betti).
Лит.: [1] 3 е й ф е р т Г., Т р е л ь ф а л л ь В., Тополо-
Топология, пер. с нем., М.— Л., 1938; [2] Александров П. С,
Введение в гомологическую теорию размерности и общую ком-
комбинаторную топологию, М., 1975. М. Л. Войцеховский.
БЕТТИ ЧИСЛО, г-м ерное число Бетти
рг комплекса К,— ранг r-мерной Бетти группы
с целыми коэффициентами. Для каждого г Б. ч. рг —
топологич. инвариант полиэдра, реализующего ком-
комплекс К, указывающий число попарно негомологич-
негомологичных (над рациональными числами) циклов в нем.На-
нем.Например, для сферы S":
ро = \, pi= ... —рп-г=О, pn = i;
для проективной плоскости .P2(R):
Р°=1, р^р^О;
для тора Т2:
ро=р2=1) р1=1.
Для re-мерного комплекса Л" сумма
равна его эйлеровой характеристике. Б. ч. введены
'.). Бетти [1].
Лит.: [1] В е t t i E., «Ann. mat. pura ed appl.», 1871, v. 4B),
p. 140—58. M. II. Войцеховский.
ВИАНКИ КОНГРУЭНЦИЯ, конгруэнцияВ,
— конгруэнция прямых, у к-рой кривизны фокальных
поверхностей в точках, лежащих на одной прямой кон-
конгруэнции, равны и отрицательны. Главные поверхности
конгруэнции В высекают на ее фокальных поверхнос-
поверхностях сопряженные системы линий. Асимптотич. сетям
фокальных поверхностей в сферич. отображении Б. к.
соответствует ортогональная сеть. Кривизна фокальной
поверхности Б. к. в параметрах асимптотич. линий и
и v выражается формулой:
К=———±—-.
Поверхности, кривизны к-рых удовлетворяют этому ус-
условию, наз. Бианки поверхностями (поверхнос-
(поверхности В).
Б. к. рассмотрены Л. Бианки [1].
Лит.: [1] В ianchi L., «Ann. mat. pura ed appl.», 1890,
v. 18, S. 301 — 58; [2] Ф и н и к о в С. П., Теория конгруэн-
конгруэнции, М.— Л., 1950; [3] его же, Изгибание на главном осно-
основании и связанные с ним геометрические задачи, М.— Л., 1937;
[4]Шуликовский В. И., Классическая дифференциаль-
дифференциальная геометрия в тензорном изложении, М., 1963. В. Т. Базылев.
ВИАНКИ ПОВЕРХНОСТЬ — поверхность отрица-
отрицательной гауссовой кривизны К, к-рая в асимптотич. па-
параметрах (и, v) имеет вид:
[U (u) + V (в)]г '
где U(и), V(v) — произвольные функции; таким обра-
образом, инвариантный признак Б. п. состоит в том, что
функция (— К)~ '- диагональна относительно ее асимп-
асимптотич. сети, т. е.
ди dv
Напр., линейчатая Б. п. есть коноид — поверхность,
присоединенная к Петерсона поверхности. Знание
Б. п. позволяет определить классы поверхностей, до-
допускающих изгибание на главном основании, и класси-
классифицировать их. Так, если главное основание содержит
два семейства геодезич. линий, то функции U, V по-
постоянны и изгибаемая поверхность есть Фосса поверх-
поверхность (класс Во).
Класс Вг характеризуется тем, что только одно се-
семейство линий главного основания состоит из геоде-
геодезических (одна из функций U, V постоянна), таковы,
напр., коноиды. Класс Вг соответствует функциям U,
V, существенно зависящим от своих аргументов. См.
также Бианки конгруэнция. и. X. Сабитов.
ВИАНКИ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — переход от одной
фокальной поверхности 5 конгруэнции Бианки к дру-
другой фокальной поверхности S' той же конгруэнции
(см. Бианки конгруэнция). Если S — псевдосфера, то
и все поверхности S' — псевдосферы. Точки псевдосфер
S', соответствующие точке x?S, лежат на окружности
с центром в точке х и с радиусом, равным радиусу
псевдосферы S. Псевдосферы S' секут ортогонально
полученную таким образом цнклнч. систему окружно-
окружностей. Н• Т. Впзылев.
ВИАНКИ ТОЖДЕСТВО — соотношение, связываю-
связывающее компоненты ковариаптп^::: прсп^содных кривизны
тензора Rijk риманова пространства:
где h, i, /, к, 1=1, .. ., re. Впервые установлено в 1902
Л. Бианки (см. [1]).
Лит.: [1] В i a n с h i L., Lezioni di geometria differenziale,
3 ed., v. 1—2, Bologna, 1923 —1927. M. И. Войцеховский.
БИВЕРВАХА ГИПОТЕЗА — предположение, вы-
высказанное в 1916 Л. Бибербахом [1]: для всех функ-
функций /(г) к л а с с a S, т. е. для функций /(z), регуляр-
регулярных и однолистных в круге Ы<1 и имеющих в нем
разложение
справедлива оценка | с„ | < ге, п ^ 2, причем
только для функций Кёбе
где 6 — действительное число. Л. Бибербах доказал
справедливость гипотезы только для ге=2. Задача на-
нахождения точной оценки коэффициентов в классе
S — частный случай коэффициентов проблемы.
Б. г. простой формулировкой и глубиной привлек-
привлекла внимание многих математиков и способствовала
развитию различных методов геометрич. теории функ-
функций комплексного переменного. К настоящему времени
A977) справедливость Б. г. установлена для п<:6.
Для п=3 она была впервые доказана К. Лёвнером
(К. Lowner) в 1923 параметрич. методом (см. Парамет-
Параметрических представлений метод); в дальнейшем появи-
появились и другие доказательства оценки |с3|<3, при к-рых
использовались вариационный метод, параметрич. ме-
метод, метод экстремальных метрик. Для п=4 справед-
справедливость Б. г. была установлена впервые в 1955 посред-
посредством одновременного использования вариационного
и параметрич. методов. В 1960 с помощью условий од-
однолистности Грунского оценка |с4|<4 была получена
значительно проще. Эта оценка была получена также ме-
методом вариаций и геометрич. рассуждениями; в другом
случае — с использованием неравенств Грунского в мат-
матричной форме. Для п=6 справедливость Б. г. доказана
в 1968 с помощью неравенств Грунского, для п=5 — в
1972 вариационным методом.
Среди других результатов, направленных на доказа-
доказательства справедливости Б. г., интересны следующие.
У. Хейман [4] получил ряд результатов по асимптотич.
поведению коэффициентов при ?г—voo функций, р-лист-
ных в среднем в |z|<l, в частности для класса S. Он
доказал, что существует предел
и что a^«:l со знаком равенства только для функций
Кёбе.
Ряд работ посвящен локальной гипотезе
Б и б е р б а х а, т. е. доказательству того, что функ-
функция Кёбе даеттах|с„|, по крайней мере для тех функций
класса S, к-рые близки к ней в соответствующей топо-
топологии (см. Однолистная функция). Установлено, что
для каждого «=3,4, . . . существует достаточно малое
е„ >0 такое, что для функции f(z)?S, удовлетворяющей
условию |с2--2|<еп, справедлива оценка Р.ес„«:л,
причем Be cn--n только для fn(z). Оценка коэффициен-
коэффициентов для всех га, точная относительно порядка зави-
зависимости от ге, была впервые получена в 1925 Дж.
Литлвудом (J. Littlewood) сведением оценки коэффи-
коэффициентов к оценке среднеинтегрального модуля. Более
точные оценки были получены И. Е. Базилевичем
Aсл1 < ~тг re+const; 1951), И. М. Милиным (|с„| <
<1,243 п, ге>2; 1965).
Лучшая к настоящему времени A977) оценка полу-
получена в 1972 (см. [7]):
\сп\ < у -g-re < 1,081 re,
Обзор работ по Б. г. см. в [2], с. 50, 187—90, 571-79,
[3], с. 67-121; [9].
Лит.: [(] Bieberbach L., «Sitzungsber. Preufi. Akad.
Wiss., Phys.-math. Kl.», 1916, S. 940 — 55; [2] Г о л у з и н Г. М.,
Геометрическая теория функций комплексного переменного,
2 изд., М., 1966; [3] Милин И. М., Однолистные функции
и ортонормнрованные системы, М. 1971; [4] Н а у m a n W. К.,
«J. London Math. Soc», 1965, v. 40, № 159, p. 385—406; [51
О z a w a M «Kodai Math. Semin. Repts», 1969, v. 21, Л15 1—2
p. 97—132; [6] Pederson R. N., Schiffer M. M.,
«Arch. Ration. Mech. and Analysis», 1972, v. 4,5, № 3, p. 161—93;
[7] Fitzgerald C. II., «Arch. Ration. Mech. and Analysis»,
1972, v. 46, .M. 5, p. 356—68; [8] Ш и р о к о в Н. А., «Зап.
науч. семинаров ЛОМИ АН СССР», 1972, т. 24, с. 182—200;
[9] Б а з и л е в и ч И. Е., в кн.: Математика в СССР за 40 лет.
1917—1957, т. 1, М., 1959, с. 444 — 72. Е. Г. Голузина.
ВИБЕРБАХА МНОГОЧЛЕНЫ — экстремальные мно-
многочлены, приближающие функцию, к-рая отображает
конформно данную односвязную область на круг.
Впервые были рассмотрены Л. Бнбербахом [1] в связи
с задачей о приближенном вычислении конформно ото-
отображающей функции.
Пусть односвязная область G расположена в конеч-
конечной части плоскости и ограничена кривой Г, а функ-
функция w=(f(z) отображает эту область конформно и одно-
однолистно накруг|ш[<г0 при условиях ф (го) = 0 и <р' (zo) =
= 1, где z0 — произвольная фиксированная точка обла-
области G и г0 зависит от z0. Многочлен nn(z), минимизи-
минимизирующий интеграл
J(Fn)=[[jG\F'n(z)\2dxdy
в классе всех многочленов Fn (z) степени п при усло-
условиях Fn(z0) = 0 и F„(zo)=l, наз. многочленом
Бибербаха. В классе всех функций, аналитичес-
аналитических в области G и удовлетворяющих тем же условиям,
этот интеграл минимизируется отображающей функ-
функцией ш=ф (z). Если контур Г — жорданова кривая,
то последовательность {яп(г)} сходится к функции
<p(z) равномерно внутри области G. В замкнутой обла-
области G сходимости может и не быть (см. [2]). Если же
контур Г удовлетворяет нек-рым дополнительным усло-
условиям гладкости, то последовательность {пп (z)} сходит-
сходится равномерно в замкнутой области, причем скорость
сходимости зависит от степени гладкости кривой Г.
Лит.: [1] Bieberbach L., Circolo mat. Palermo», v.
38, 1914, p. 98 — 112; [2] К с л д ы ш М. В., «Матем. сб.», 1939,
т. 5D7), в. 2, с. 391—401; [3] М е р г е л я н С. Н., Некоторые
вопросы конструктивной теории функций, М., 1951; [4] С у е-
т и н П. К., «Тр. матем. ии-та АН СССР», 1971, т. 100.
П. К. Суетин.
БИБЕРБАХА — ЭИЛЕНБЕРГА ФУНКЦИИ в к р у-
г е |z]<l — класс R функций/(z), регулярных в круге
Ы<1, имеющих в нем разложение вида
f (Z) - ClZ -; C2Z2 + . .-;-C,,Z"+,.. A)
и удовлетворяющих условию
Этот класс функций является естественным расшире-
расширением класса В функций /(г), регулярных в круге
z|<l, имеющих разложение A) и таких, что |/(z)|<l
в круге |г|<1. Класс однолистных функций из R обо-
обозначают R. Функции класса R были названы по имени
Л. Бибербаха [1], показавшего, что для f(z)?R имеет
место неравенство
М«г1, B)
причем равенство в B) достигается только для функции
/(z) = e'e z, где 6 действительное, и С. Эйленберга [2],
установившего справедливость неравенства B) во всем
классе R. В. Рогозинский [3] показал, что каждая функ-
функция класса R подчинена (см. Подчинения принцип)
нек-рой функции из класса /?. Из B) для /(г)?Я по-
получается точное неравенство
В классе R получена следующая оценка модуля
функции: если f(z)?R, то
|f (z) |<r(l-г2)-'/!, \z\=r, 0<r<l, D)
и равенство в D) реализуется только функциями
i/(ze'^; r), где 6 действительное, а
' V' ''— 1+ггг •
Экстремальных метрик методом была решена задача о
максимуме и минимуме |/(z)| в классе Я (с) функций
из Я с фиксированным значением |сх| = с, 0<е«:1,
в разложении A): для /(г)?Я(с), 0<е<1, справедливы
точные неравенства
Im H (ir; г, с)< | / (ге'в) | < Im F (ir; r, с), E)
где функции w=H(z; r, с) и w=F(z; r, с) отображают
круг |z| <1 на области, симметричные относительно
мнимой оси плоскости w, границы к-рых принадлежат
объединению замыканий нек-рых траекторий или ор-
ортогональных траекторий квадратичного дифференциала
на плоскости ш, в расположении нулей и полюсов к-рого
имеется определенная симметрия (см. [4], [5]). Нок-рые
окончательные результаты для функций класса Я (с)
были получены одновременным использованием метода
экстремальных метрик и метода симметризации (см.
[4]).
Большое число результатов для функций классов
Я и R является следствием соответствующих результа-
результатов для систем функций, отображающих круг |z|<l
на взаимно неналегающие области (см. [6]). Аналогом
класса R для конечно связной области G, не имеющей
изолированных граничных точек и не содержащей точ-
точки z^=oo, является класс Ra(G), a?G, функций /(z),
регулярных в G и удовлетворяющих условиям /(а) = 0,
/(Z])/(z2)=^l, где zj, z2— любые точки области G. Класс
Ra(G) расширяет класс Ba(G) функций /(г), регуляр-
регулярных в G и таких, что f(a) — 0, \f(z)\ <1 в области G. Рас-
Распространением результата Бибербаха — Эйленберга и
неравенства C) на функции класса Ra(G) является сле-
следующая точная оценка: если f(z)?Ra(G), то
где F(z, b), b?G,— та из функций класса Bb(G), для
к-рой F'(Ь, 6) = тах|/' F)| в этом классе.
Лит.: [1] В i e b e r b а с h L., «Math. Ann.», 1U16, Bd 77,
S. 153—72; [2] Eilenberg S., «Pundam. math.», 1935,
v. 25, p. 267—72; [3] Rogosinski W., «J. London Math.
Soc», 1939, v. 14, № 1, p. 4 — 11; [41 Д ж е н к и н с Д ж., Од-
Однолистные функции и конформные отображения, пер. с англ.,
М., 1962; [5] J e n k i n s J. A., «Trans. Amer. Math. Soc», 1965,
v. 119, K2, p. 195—215; [6] Лебедев Н. А., Принцип
площадей в теории однолистных функций, М., 1975.
Г. В. Кузьмина.
БИВЕКТОР — упорядоченная пара и, v векторов
аффинного пространства А, отложенных от общего на-
начала. Б. полагается равным нулю, если составляющие
его векторы и и v коллинеарны. Ненулевой Б. опреде-
определяет в А несущую его двумерную плоскость. Два Б.
наз. параллельными, если параллельны несущие нх
плоскости. Если пространство имеет конечную размер-
размерность п и (г/, ц2, . . ., ип) — контравариантные коор-
координаты вектора и, (и1, у2, . . ., у") —контравариантные
координаты вектора v, вычисленные в нек-ром базисе
е— (е1, е2, . . ., еп) пространства А, то величины
аЧ= u, \ =2!«f'VJ, Кг, /<«,
наз. координатами бивектора [и, v]
в базисе е. Эти координаты кососимметричны по своим
индексам; среди них С\ существенных координат. При
переходе в А к другому базису координаты Б. ведут
себя как координаты дважды контравариантного тен-
тензора. Два Б. наз. равными, если в к.-л. базисе равны
их координаты (они будут равны и в любом другом ба-
базисе). Класс равных Б. наз. свободным би-
бивектором. При наличии в А скалярного произве-
произведения на Б. распространяется ряд метрич. понятий век-
векторной алгебры. Мерой Б. наз. площадь параллело-
параллелограмма, образованного векторами и, v, — u,— v, начало
каждого из к-рых помещено в конец предыдущего. Рав-
Равные Б. имеют равную меру. Скалярным произведением
двух Б. наз. число, равное произведению мер сомножи-
сомножителей на косинус угла между несущими их плоскостя-
плоскостями. Скалярное произведение является билинейной
формой от координат сомножителей, коэффициенты
к-рой определяются только метрич. тензором простран-
пространства А .
Если размерность А равна 3, то Б. [u,v] может быть
отождествлен с вектором пространства А, наз. вектор-
векторным произведением векторов и, v.
В тензорном исчислении Б. наз. любой
контравариантный кососимметрический тензор валент-
валентности 2 [т. е. тензор типа B,0)]. Каждый такой тензор
может быть представлен в виде суммы тензоров, к-рым
соответствуют ненулевые Б. с различными несущими
плоскостями. Они определяют листы бивек-
бивектора. Ранг кососимметрической матрицы размера
пХп, составленной из координат Б., есть четное число
2р, где р — число листов Б. В пространстве А над
полем действительных чисел эта матрица подобна мат-
матрице
J, 0
¦U
с илоками
О 1
-1 О
См. также Внешнее произведение, Поливектор,
Плюккеровы координаты.
Лит.: [1] С х о у т е н Я.-А.. Тензорный анализ для физи-
физиков, пер. с англ., М., 1965. Л. П. Купцов.
ВИВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО - центроаф-
финное пространство Ejy (где N=n(n~ l)/2), к-рое
может быть отнесено каждой точке пространства аф-
аффинной связности Ап (в частности, риманова простран-
пространства Vn). Пусть в точке пространства Ап (или Vn)
рассматриваются все тензоры, у к-рых ковариантная
и контравариантная валентности четные; ковариант-
ные и контравариантные индексы разбиваются на от-
отдельные пары, для каждой из к-рых тензор кососим-
метричен. Тензоры, обладающие этими двумя свойст-
свойствами, наз. б и т е н з о р а м и. Если принять каждую
кососимметрическую пару индексов за один собира-
собирательный индекс, то число новых индексов будет равно
N=n(n—i)/2. Простейшим битензором является
бивектор
a, p =
п; а =
N.
Если в точке Р пространства Ап
а, def
то va =А% vb, п совокупность бивекторов мзАп (или из
Vn) в данной точке определяет совокупность векторов с
N компонентами, удовлетворяющими условиям
Aa \фО, Ab>Ac —be,
т. е. эта совокупность определяет центроаффинное про-
пространство Ejy, наз. бивекторным прост-
пространством. В Fn Б. п. может быть метризовано при
помощи метрич. тензора
def
gab "
после чего En становится метрич. пространством Лдл
Б.п. имеют применение в римановой геометрии и об-
общей теории относительности. В данной точке прост-
пространства Vn строится Б. п. /?tv, а тензору кривизны с
компонентами Ra$y6, Ra^-/6, #a6V сопоставляется тен-
тензор второй валентности с компонентами 7?a6, Raf,, Rba,
соответственно. Тогда задача изучения алгебраич.
структуры тензора кривизны пространства V'„ может
быть сведена к изучению пучка квадратичных форм
Каь~-^8аь-> вторая из к-рых невырожденная Hgab\?=O).
Исследование элементарных делителей этой пары при-
приводит к классификации пространств Vп. При ге = 4
(N=6) и сигнатуре (— — —Ь) формы ga$ доказыва-
доказывается, что существует всего три различных типа прост-
пространств Эйнштейна.
Каждому вращению в Vn может быть отнесен бивек-
бивектор; значит, в /?дгему соответствует вектор, что оказы-
оказывается удобным при исследовании бесконечно малых
преобразований. Б. п. по существу совпадают с бипла-
нарными пространствами [2].
Лит.: ГЦ Петров А. 3., Новые методы в общей теории
относительности, М., 1966; [2] Н о р д с и А. П., «Уч. зап. Кат!,
ун-та», 1954, в. 114, кн. 8. А. 3. Петрив.
БИГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция
и(х) = и(х1, . . ., хп) действительных переменных, оп-
определенная в области D евклидова пространства R",
;г^2, имеющая непрерывные частные производные до
4-го порядка включительно и удовлетворяющая в D
уравнению
А2и=Д(Дц)--=0,
где Д —оператор Лапласа. Это уравнение наз. б и г а р-
ионическим уравнением. Класс Б. ф.
включает класс гармонических" функций и является
подклассом класса полигармонических функций. Каж-
Каждая Б. ф. есть аналитич. функция от координат х,-.
Наибольшее значение с точки зрения приложений
имеют Б. ф. и(х1, х2) двух переменных. Такие Б. ф.
представимы при помощи гармонич. функций иъ ма
или v1, v2 в виде
и(х1, х2) = х1и1(х1, х2)-\-и2(хъ х2)
или
и(хх, x2)=(r2 — rl)v1(x1, x2) + v2(x1, х2),
где r2=xi~\-x2, а го — постоянная. Основная краевая
задача для Б.ф. состоит в следующем: найти Б. ф. в об-
области D, непрерывную вместе с производными 1-го
порядка в замкнутой области D = D{]C и удовлетво-
удовлетворяющую на границе С условиям
где ди/дп — производная по нормали к С, a/r(s), /2(s) —
заданные непрерывные функции дуги s на контуре С.
Указанные выше представления Б. ф. позволяют полу-
получить решение задачи (*) в явном виде в случае круга D,
исходя из интеграла Пуассона для гармонич. функций
(см. [1]).
Б.ф. двух переменных допускают также представле-
представление
= тг{
при помощи двух аналитич. функций (f(z), %(z) комп-
комплексного переменного z=x1~\-ix2. Это представление
позволяет свести краевую задачу (*) для произвольной
области D к системе краевых задач для аналитич.
функций, метод решения к-рой подробно разработан
Г. В. Колосовым и Н. И. Мусхелишвили. Эта методика
получила развитие при решении различных плоских за-
задач теории упругости, в к-рых основной Б. ф. является
функция напряжений, или Эйри функция (см. [2], [3]).
Лит.: [1] Тихонов А. Н., Самарский А. А.,
Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966, гл. 4;
[2] Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи
математической теории упругости, 5 изд., М., 1966, гл. 2; [3]
Лаврентьев М. А., Ш а б а т Б. В., Методы теории
функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965.
Е. Д. Соломенцев.
ВИГОЛОМОРФНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, голоморф
ный изоморфизм, голоморфизм,
псевдоконформное отображение,—
обобщение однолистного конформного отображения
на случай нескольких комплексных переменных.
Голоморфное отображение области DcCn на область
D'czC" наз. биголоморфным отображе-
отображением, если оно взаимно однозначно. Б. о. всегда не-
невырождено в D; обратное к нему отображение тоже
является Б.о.
Голоморфности область при Б. о. переходит в об-
область голоморфности; голоморфные, плюригармонич. и
плюрисубгармонич. функции также инвариантны от-
относительно Б. о. При ге>1 Б. о. не являются конформ-
конформными (за исключением нек-рых линейных отображений),
Римана теорема для Б. о. неверна (напр., шар и би-
круг в С2 нельзя биголоморфно отобразить друг на
друга). Б. о. области D на себя наз. (голоморф-
(голоморфным) автоморфизмом; при ге>1 существуют
односвязные области, у к-рых нет автоморфизмов,
отличных от тождественного отображения.
Лит.: [1] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ,
ч. 1—2, 2 изд., М., 1976. Е. Д. Соломенцев.
ВИЕКЦ1Ш, биективное отображение,
множества А в множество В — отображение j:A-*-B,
при к-ром различные элементы из А имеют различные
образы и f(A)~B. Другими словами, /— взаимно од-
однозначное отображение А на В, или отображение,
являющееся одновременно инъекцией и сюръекцией. Б.
устанавливает взаимно' однозначное соответствие меж-
между элементами множеств А а В. Б. множества А на
А наз. также перестановкой множества А.
О. А. Иванова.
БИКАТЕГОРНЯ — категория jf, в к-рой выделены
подкатегория эпиморфизмов (? и подкатегория моно-
мономорфизмов ЗЛ таким образом, что выполняются следую-
следующие условия:
1) всякий морфизм а из категории Я' разлагается в
произведение a=vn, где v?(?, Ц-62Л;
2) если vn=pT, где v, p?(J, ц, т?2Л, то существует
такой изоморфизм 6, что p=v6, и т=6~1ц;
3) Ь'ПЗЛ совпадает с классом изоморфизмов кате-
категории ,ff.
Эпиморфизмы из t? (мономорфизмы из ЯЛ) наз. д о-
п у с т и м ы м и эпиморфизмами (моно-
(мономорфизмам и) бикатегорпи.
Понятие Б. аксиоматизирует возможность разло-
разложения произвольного отображения в произведение
сюръективного и инъектнвного отображений. Катего-
Категория множеств, категория множеств с отмеченной точкой,
категория групп являются бикатегориями с единствен-
единственной бикатегорной структурой. В категории всех топо-
логич. пространств, а также в категории всех ассоциа-
ассоциативных колец имеется целый класс различных бикате-
горных структур.
Лит.: [1] Ц а л е н к о М. Ш., Шульгейфер Е. Г.,
Основы теории категорий, М., 1974. М. Ш. Цаленко.
БИКВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение вида
где а, Ь, с — заданные комплексные числа, причем
а=^=0. Подстановкой !/=х2 сводится к квадратному урав-
уравнению.
БИКОМПАКТ — бикомпактное хаусдорфово прост-
пространство. См. Бикомпактное пространство.
ВИКОМПАКТИФИКАЦИЯ — то же, что и биком-
бикомпактное расширение.
БИКОМПАКТНО ОТКРЫТАЯ ТОПОЛОГИЯ — одна
из топологий на множестве отображений одного топо-
логич. пространства в другое. Если F — некоторое мно-
множество отображений топологич. пространства X в то-
пологич. пространство Y, то каждый конечный набор
пар (Хг, Uj), . . ., (Хп, Un), где X,— бикомпактное
подмножество пространства ли С/— открытое подмно-
подмножество пространства Y, i=l, . . ., п, определяет под-
подмножество тех отображений f?F, для к-рых одновре-
одновременно f{Xi)cz U,-; совокупность всех таких подмножеств
объявляется базой Б.о.т. на множестве F. Важность
Б.о.т. следует из того, что она входит существенным
элементом в принадлежащую Л. С. Понтрягину теорию
двойственности локально бикомпактных коммутатив-
коммутативных групп и участвует в построении косых произведе-
произведений. Если Y — хаусдорфово пространство, то и Б.о.т.
также удовлетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа.
Если все отображения f?F непрерывны, a Y— вполне
регулярное пространство, то и множество F, наделенное
Б.о.т., вполне регулярно. В предположении, что все
отображения / непрерывны, а пространство X локаль-
локально бикомпактно, Б.о.т. на F является допустимой или
совместно непрерывной, т. е. отображение y.FxX-+Y,
определяемое формулой <р(/, x) = f(x), непрерывно и
при этом Б.о.т. является наименьшей (самой слабой)
из всех топологий на F, для которых отображение <р
непрерывно. В этом преимущество Б.о.т. перед то-
топологией поточечной сходимости, к-рая обычно слабее
Б.о.т. и тогда она не является допустимой. Фундамен-
Фундаментальное значение имеет п тот факт, что группа гомео-
гомеоморфизмов бикомпакта X на себя, наделенная Б.о.т.,
является топологич. группой, непрерывно действую-
действующей (в смысле скагзанного выше) на X. Группа гомео-
гомеоморфизмов произвольного локально бикомпактного
пространства на себя уже может не быть топологич.
группой относительно Б.о.т. (переход к обратному эле-
элементу может оказаться разрывным отображением от-
относительно этой топологии), но если локально биком-
бикомпактное пространство X локально связно, то снова
Б.о.т. превращает группу всех гомеоморфизмов X на
себя в топологич. группу, непрерывно действующую
на X. Этот результат важен, ибо все многообразия ло-
локально бикомпактны и локально связны.
Лит.: [1] К е я л и Д ж. Л., Общая топология, пер. о англ.,
М., 1968; [2] Понтрягин Л. С, Непрерывные группы,
2 изд., М., 1954; [3] С т и н р о д Н., Топология косых произ-
произведений, пер. с англ., М., 1953; [ilArens R., «Amer. J. Math.»,
1946, v. 68, .№ 4, p. 593 — 610.
А. В. Архангельский, С. И. Сирота.
БИКОМПАКТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — отображение
одного пространства в другое, при к-ром прообраз каж-
каждой точки есть бикомпакт (см. Бикомпактное прост-
пространство). Требование бикомпактности отображения
особенно полезно в соединении с другими ограничени-
ограничениями на отображение. Прежде всего выделяются откры-
открытые Б.о. (см. Открытое отображение), совершенное
отображение и факторные Б. о. (см. Факторное отоб-
отображение). Важный частный случай Б.о.— конечнократ-
ное отображение. Топологич. свойства более всего ус-
устойчивы по отношению к совершенным отображениям,
к-рые служат наиболее естественным аналогом непре-
непрерывных отображений бикомпактов в классе всех ха-
усдорфовых пространств. Произведение Б.о. есть Б.о.
Лит.: [1]АлександровП. С, «Успехи матем. наук»,
1964, т. 19, в. 6A20), с. 3—46; [2] Архангельский А. В.,
«Успехи матем. наук», 1966, т. 21, в. 4A30), с. 133—84.
А. В. Архангельски)'*
БИКОМПАКТНОЕ ПРОСТРАНСТВО — топологиче-
топологическое пространство, в каждом открытом покрытии к-рого
содержится конечное подпокрытие того же простран-
пространства. Следующие утверждения равносильны: 1) прост-
пространство X бикомпактно; 2) пересечение любой центри-
центрированной системы замкнутых в X множеств не пусто;
3) пересечение любой максимальной центрированной
системы замкнутых в X множеств не пусто; 4) пересе-
пересечение произвольной убывающей вполне упорядоченной
последовательности любой мощности непустых замкну-
замкнутых в X множеств не пусто; 5) каждая центрирован-
центрированная система подмножеств множества X имеет точку
прикосновения в X; 6) каждый ультрафильтр на X
сходится в X; 7) для каждого бесконечного подмноже-
подмножества М множества X в X существует точка полного
накопления. Подпространство га-мерного евклидова
пространства бикомпактно тогда и только тогда, когда
оно замкнуто и ограничено. Понятие бикомпактного
топологического пространства занимает фундаменталь-
фундаментальное положение в топологии и современном функцио-
функциональном анализе; при этом нек-рые принципиальные
свойства Б.п. (с многочисленными приложениями)
рассматриваются уже в математическом анализе, на-
например всякая непрерывная функция, определенная
на Б.п., ограничена и принимает наибольшее и наи-
наименьшее значения.
Термин «Б.п.» принадлежит П. С. Александрову,
внесшему огромный вклад в создание и развитие тео-
теории Б.п., начало к-рой положено «Мемуаром о ком-
компактных топологических пространствах» П. С. Алек-
Александрова и П. С. Урысона.
Понятие бикомпактного пространства явилось пер-
первоначально усилением введенного М. Фреше (М.
Frechet) понятия компактного простран-
пространства: топологич. пространство компактно —
в первоначальном смысле слова, или счетно ком-
компактно, как говорят теперь) если в нем имеет место
к.-л. из следующих эквивалентных между собою пред-
предложений: 1) в каждом счетном открытом покрытии этого
пространства содержится его конечное подпокрытие;
2) пересечение любой счетной центрированной сис-
системы непустых замкнутых его подмножеств не пусто; 3)
пересечение любой счетной убывающей последователь-
последовательности непустых замкнутых множеств не пусто; 4) каж-
каждая счетная централизованная подмножеств множества
система его подмножеств имеет точку прикосновения;
5) для каждого счетного подмножества в нем суще-
существует точка полного накопления.
Однако дальнейшее развитие математики и ее прило-
приложений показало, что понятие бикомпактности
настолько важнее первоначального понятия компакт-
компактности, что сейчас часто под компактностью понимают
именно бикомпактность, а компактные в старом смы-
смысле пространства называют счетно компактными. Оба
понятия равносильны в применении к метрическим
пространствам.
Замкнутое подпространство Б.п. бикомпактно. Топо-
Топологич. произведение любого множества Б .п. бикомпактно
(теорема Тихонова, см. Тихоновское произведе-
произведение). Топологич. пространство, являющееся образом
Б.п. при непрерывном отображении, бикомпактно. Эти
свойства Б.п. показывают устойчивость класса Б.п.
по отношению к основным для общей топологии опера-
операциям, и на них в первую очередь базируются приложе-
приложения понятия бикомпактности. Особое значение имеют
Б. п., удовлетворяющие аксиоме отделимости Хаусдор-
фа и наз. бикомпактами. При этом топологич.
произведение любого множества бикомпактов есть би-
бикомпакт; замкнутое подпространство бикомпакта яв-
является бикомпактом; образ бикомпакта при непрерыв-
непрерывном отображении в хаусдорфово пространство есть би-
бикомпакт. Далее перечисляются свойства бикомпактов,
не имеющие места для произвольных Б. п. Каждый
бикомпакт является нормальным и, тем более, вполне
регулярным пространством. Пересечение любого счет-
счетного семейства открытых всюду плотных в бикомпакте
множеств всюду плотно в нем. Равносильное утвержде-
утверждение: никакой бикомпакт нельзя представить в виде объ-
объединения счетного семейства нигде не плотных мно-
множеств. Бикомпакты характеризуются как регулярные
пространства, замкнутые в любом объемлющем их ха-
усдорфовом пространстве. На этом основана теорема о
том, что каждое непрерывное отображение Б.п. в ха-
усдорфово пространство замкнуто. Эта теорема имеет
важное следствие: любое взаимно однозначное непре-
непрерывное отображение Б. п. на хаусдорфово пространст-
пространство есть гомеоморфизм.
Класс Б. п., равно как и класс бикомпактов, устой-
устойчив относительно перехода к пространству замкнутых
подмножеств (взятому с топологией Вьеториса); при
этом вес пространства не повышается. Пространство
непустых замкнутых подмножеств канторова совершен-
совершенного множества С гомеоморфно С. Особую роль в тео-
теории Б. п. играют тихоновские кубы /т и обобщенные
канторовы дисконтинуумы DT , определяемые соответ-
соответственно как топологич. произведения отрезков [0,1]
я как произведения простых двоеточий,, где т — произ-
произвольное кардинальное число. При т=#0 получаем
гильбертов кирпич. Все /т являются бикомпактами и
каждый бикомпакт веса, не превосходящего т, гомео-
гомеоморфен нек-рому замкнутому подпространству куба /т .
Таким образом, каждый бикомпакт может быть получен
из отрезков применением всего лишь двух операций: то-
топологического произведения и перехода к замкнутому
подпространству. Класс всех подпространств биком-
бикомпактов также допускает теперь точное описание — как
класс всех подпространств кубов /* . С другой сторо-
стороны, это в точности класс всех вполне регулярных про-
пространств.
Вес пространства — один из самых общих топологич.
инвариантов — в случае бикомпактов становится
особенно существенной характеристикой. Бикомпакт
метризуем в том и только в том случае, если он об-
обладает счетной базой. В то же время, если бикомпакт
Y является образом пространства X при непрерыв-
непрерывном отображении, то вес Y пе превышает веса X,
т. е. среди непрерывных образов пространств со счет-
счетной базой нет неметризуемых бикомпактов. Вес би-
бикомпакта Y=YXUY2 не превосходит наибольшего из
весов Yt и У2, т. е. никакой неметризуемый биком-
бикомпакт нельзя представить в виде суммы двух прост-
пространств со счетной базой. В основе последних двух
фактов лежит понятие сети. Если бикомпакт обладает
сетью мощности <:т, то он имеет и базу мощности
¦<т. В частности, всякий счетный бикомпакт имеет
счетную базу, метризуем и даже гомеоморфен замк-
замкнутому подмножеству отрезка. Обычно метризуемые
бикомпакты наз. компактами. Всякая метрика
на компакте полна и вполне ограничена, и каждое
метризуемое пространство с этим свойством есть ком-
компакт (Ф. Хаусдорф, F. Hausdorff).
Топологич. произведение счетного еемейства компак-
компактов и замкнутые подмножества компактов суть компак-
компакты. Каждый нульмерный компакт гомеоморфен нек-ро-
нек-рому компакту, лежащему в канторовом совершенном мно-
множестве (в качестве замкнутого подмножества). Всякий
компакт есть непрерывный образ канторова совершен-
совершенного множества (П.С. Александров). Каждый биком-
бикомпакт есть непрерывный образ нек-рого нульмерного
бикомпакта.
В связи с важной ролью кубов Iх в топологии был изу-
изучен класс бикомпактов, разлагающихся в произведе-
произведение компактов, а также класс их непрерывных образов.
Бикомпакты, являющиеся непрерывными образами
дисконтинуумов Dx, наз. диадическими.
Класс диадич. бикомпактов достаточно широк: все
компакты, все кубы Iх, пространства всех бикомпакт-
бикомпактных топология, групп суть диадич. бикомпакты.
Класс диадич. бикомпактов есть наименьший класс
топологич. пространств, замкнутый относительно топо-
логич. произведений и непрерывных отображений и
содержащий все бикомпакты, состоящие из конечного
числа точек.
Простейшим примером недиаднч. бикомпакта явля-
является несчетный бикомпакт с единственной неизолиро-
неизолированной точкой. Диадич. бикомпакты обладают рядом
замечательных свойств, напр.: всякая дизъюнктная
система непустых открытых множеств диадич. биком-
бикомпакта конечна или счетна (свойство Суслина);
всякий диадич. бикомпакт с первой аксиомой счетности
метризуем, т. е. имеет счетную базу; произведение диа-
диадич. бикомпактов есть диадич. бикомпакт; бикомпакт,
являющийся непрерывным образом диадич. бикомпакта,
диадичен.
Специфич. свойствами обладают и упорядочен-
упорядоченные бикомпакты. Связный сепарабелышй
упорядоченный бикомпакт обладает счетной базой.
Примером связного сепарабельного (диадического) би-
бикомпакта без счетной базы служит куб Iх при т=с
(мощность континуума). Каждый бикомпакт, являющий-
являющийся непрерывным образом упорядоченного бикомпакта,
имеет базу, границы элементов к-рой компакты. Пере-
Пересечение класса диадич. бикомпактов с классом всех
бикомпактов, являющихся непрерывными образами
упорядоченных бикомпактов, состоит в точности из
всех компактов.
Среди Б.п. важное место занимают совершен-
совершенно нормальные бикомпакты. Нормаль-
Нормальное пространство наз. совершенно нормаль-
н ы м, если каждое замкнутое в нем множество есть
пересечение счетного семейства открытых множеств.
Каждый совершенно нормальный бикомпакт обладает
свойством Суслина. Любое пространство со счетной
сетью, лежащее в совершенно нормальном бикомпакте,
обладает счетной базой. Произведение даже двух со-
совершенно нормальных бикомпактов может не быть
совершенно нормальным бикомпактом: пространство
XXX будет совершенно нормальным бикомпактом в
том и только в том случае, если X — компакт. Но об-
образ совершенно нормального бикомпакта и произведе-
произведение совершенно нормального бикомпакта на компакт
совершенно нормальны. Бикомпакт совершенно норма-
нормален в том и только в том случае, если каждое его под-
подпространство финально компактно. Проблема сущест-
существования несепарабельного упорядоченного совершен-
совершенно нормального бикомпакта эквивалентна Суслина про-
проблеме.
Многие исследования посвящены выяснению связи
между кардинальнозначными топологич. инварианта-
инвариантами для случая бикомпактов. Если база бикомпакта
точечно счетиа, то она счетна. Мощность любого несчет-
несчетного бикомпакта с первой аксиомой счетности равна
мощности континуума. Если бикомпакт секвенциален
и удовлетворк-ет условию Суслина, то его мощность не
превышает мощности континуума. Если однородный
бикомпакт X секвенциален, то |Х|<(?. В специальном
предположении построен наследственно сепарабельный
бикомпакт мощности, большей, чем (?.
Имеется цикл теорем о бикомпактах, связанный с
понятием универсальности (см. Универсальное прост-
пространство). Для каждого кардинального числа т сущест-
существует такой бикомпакт веса т, что каждый бикомпакт
веса, не большего, чем т, вкладывается в него посред-
посредством гомеоморфизма. Этим свойством обладает, напр.,
/ч . Аналогичный результат имеет место для случая,
когда фиксированы вес и размерность dim или Ind:
каковы бы ни были кардинальное число т и натураль-
натуральное число п, существуют такие бикомпакты, Ппх
и WnT веса г и размерности п (dim П"^ и Ind Ч*), что
каждый бикомпакт, вес к-рого не превосходит т, а
размерность не превосходит п, вкладывается в П"т
(соответственно Ч*) посредством гомеоморфизма. В
качестве Пот и Ч11 можно взять DT . В предположении
справедливости обобщенной континуум-гипотезы полу-
получен двойственный результат: для каждого кардиналь-
кардинального числа т существует нульмерный бикомпакт X веса
т, к-рый можно непрерывно отобразить на произволь-
произвольный бикомпакт веса, не большего, чем т.
Раздел общей топологии, посвященный непрерывным
отображениям бикомпактов, является одним из самых
разработанных и богатых результатами. Так, если X
и У бикомпакты, а (р: X—>-У непрерывное отображение
и (p(X) = Y, то существует замкнутое в X подпростран-
подпространство Х1, для к-рого <р(Х1) = У и сужение tf\xx'X1-^-Y
является неприводимым отображением. Это выясняет
фундаментальную роль неприводимых отображений.
Для произвольного фиксированного бикомпакта X во
множестве N (X) всех бикомпактов Z, допускающих
неприводимое отображение на X, существует биком-
бикомпакт X, к-рый можно неприводимо отобразить на любой
бикомпакт из N(X). Этот бикомпакт X наз. абсолютом
бикомпакта X (см. Абсолют регулярного топологи-
топологического пространства); он определен с точностью до
гомеоморфизма. Бикомпакт тогда и только тогда гомео-
морфен своему абсолюту, когда он экстремально не-
несвязен (см. Экстремально несвязное пространство).
Экстремально несвязных бикомпактов очень много:
по каждому бикомпакту определяется его абсолют, яв-
являющийся экстремально несвязным бикомпактом. При
этом неприводимые отображения бикомпактов опреде-
определяются гомеоморфизмами их абсолютов. Они имеют
весьма своеобразную структуру, в частности беско-
бесконечный экстремально несвязный бикомпакт всегда не-
неоднороден. Два бикомпакта называются соабеолютны-
ми, если их абсолюты гомеоморфны. Одной из об-
общих задач здесь является отыскание эффективных вну-
внутренних критериев соабсолютности топологических
пространств. Следует отметить, что естественная об-
область действия теории абсолютов гораздо шире класса
бикомпактов.
Неприводимые отображения важны не только в
связи с понятием абсолюта. Известно (А.Н. Колмого-
Колмогоров), что каждое неприводимое отображение компакта
на компакт имеет всюду плотное множество точек вза-
взаимной однозначности. Если диадич. бикомпакт X не-
неприводимо отображается на бикомпакт У веса т, то
вес X равен т.
Важны также открытые отображения бикомпактов.
Если два бесконечных бикомпакта связаны открытым
конечнократным отображением, то их веса равны. Но
существует открытое счетнократное отображение не-
метризуемого совершенно нормального бикомпакта
на компакт. При этом каждое открытое счетнократное
отображение бикомпакта на бикомпакт имеет всюду
плотное множество точек локальной топологичности.
Бикомпакты много изучались в рамках теории раз-
размерности. Для любого бикомпакта X имеет место
dim X<gind X (П. С. Александров). Существует биком-
бикомпакт X с первой аксиомой счетности (а, следовательно,
мощности, не превосходящей мощность континуума),
для к-рого dim ХФ ind ХфЫA X, но ind X=Ind X
для всех совершенно нормальных бикомпактов. Пред-
Представляет интерес сопоставление теоремы о том, что от-
открытые счетнократные отображения не повышают раз-
размерности бикомпактов, с теоремой о представлении:
каждый бикомпакт положительной размерности есть
образ нек-рого одномерного бикомпакта при открыто-
замкнутом непрерывном отображении, в к-ром прооб-
прообраз каждой точки нульмерен. Важное значение име-
имеет факторизационная теорема: пусть f:X—yY— непрерыв-
непрерывное отображение, X и У — бикомпакты, f(X) = Y,
dim X <га и вес У меньше или равен т; тогда сущест-
существуют бикомпакт Z и непрерывные отображения ср:
A->-Zh i|):Z—>-У, для к-рых /=i|xp, dim Z«ra, вес Z мень-
меньше или равен т.
Соотношениями между Б. п. и произвольными топо-
логич. пространствами занимается теория бикомпакт-
бикомпактных расширений.
Лит.: [1] Александров П. С, Введение в общую
теорию множеств и функций, М., 1948; [2] Александров
П. С, Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности,
М., 1973; [3] Е n g e I k I n g R., Outline of General Topology,
Amst., 1968; [4] Александров П. С, У р ы с о н П, С,
«Тр. Матем. ин-та АН СССР», 1950, т. 31, с. 1—96; [5] А л е к-
сандровП. С, «Матем. сб.», 1939, т. 5, в. 2, с. 403—24; [6]
Архангельский А. В., «Докл. АН СССР», 1959, т. 126,
№2, с. 239—41; [7] е г о же, «Труды Моск. матем. об-ва»,
1965, т. 13, с. 3—55; [8] е г о же, «Докл. АН СССР», 1969,
т. 184, № 4, с. 767—71; [9] М и щ е н к о А. С, там же, 1962,
т. 144, № 5, с. 985—8; [10] G 1 е a s о n A. M., «Illinois Math.
J.», 1958, v. 2, № 4А, p. 482—9; [11] Архангельский
А. В., «Докл. АН СССР», 1969, т. 187, № 5, с. 967 — 70; [12]
М а г d e 5 i с S., «Pacific J. Math.», 1967, v. 23, „V. 3, p. 557—
568; [13] Колмогоров А. Н., «Докл. АН СССР», 1941,
т. 30, №6, с. 477—79; [14] Архангельский А. В.,
там же, 1967, т. 174, № 6, с. 1243 — 46; [15] Н a n f W., «Math.
Scand.», 1957, v. 5, № 2, p. 205—17. А. В. Архангельский.
БИКОМПАКТНОЕ РАСШИРЕНИЕ, (б и)к о м п а к-
т и ф и к а ц и я, — расширение топологического про-
пространства, являющееся бикомпактным пространством.
Б. р. существуют у любого топологич. пространства, у
любого ^-пространства есть Б. р., являющиеся ^-про-
^-пространствами, но наибольший интерес представляют ха-
усдорфовы Б. р., имеющиеся лишь у вполне регулярных
пространств. Обычно под Б. р. понимают хаусдорфово
Б. р., но иногда полезно рассматривать и произволь-
произвольные Б. р. П. С. Александров [1] доказал, что всякое
локально бикомпактное хаусдорфово пространство од-
одной точкой можно дополнить до бикомпакта (см. Алек-
Александрова бикомпактное расширение). П. С. Урысон [2],
доказав, что всякое нормальное пространство со счетной
базой вкладывается в гильбертов кирпич, установил
тем самым, что оно обладает Б. р. счетного веса [2].
Термин «Б. р.» впервые ввел А. Н. Тихонов [3], к-рый
определил класс вполне регулярных пространств и
доказал, что вполне регулярные пространства и только
они обладают хаусдорфовыми Б. р., при этом вполне
регулярное пространство веса т имеет хаусдорфово
Б. р. веса т.
Два Б. р. ЬХХ и Ь2Х пространства X наз. эквива-
эквивалентными (Ь1Х=Ь2Х), если существует гомео-
гомеоморфизм / : Ь1Х—уЬ2Х, тождественный на X. Часто Б. р.
ыаз. само отображение вложения: i:X—>-bX. При таком
определении два расширения i^.X—ь-Ъ^Х и i2.X—+-b2X
будут эквивалентны, если существует такой гомеомор-
гомеоморфизм f:blX-+b2X, что foh=4- Обычно не различают эк-
эквивалентные Б. р. и наз. Б. р. пространства X класс
эквивалентных между собой Б. р. этого пространства.
В таком случае можно говорить о множестве В (X)
хаусдорфовых Б.р. данного (вполне регулярного) про-
пространства X, поскольку мощность любого хаусдорфова
2(Х|
расширения пространства X не больше, чем 2 , а
топологии на данном множестве У также образуют мно-
жество мощности <2 • .'.
Б. р. Ь2Х следует за Б. р. ЬгХ (bj^X^b^), если су-
существует непрерывное отображение f:b2X—>-Ь1Х, тож-
тождественное на X. Отношение следования превращает
В(Х) в частично упорядоченное множество. Э. Чех
'i] и М. Стоун [5] доказали, что во множестве В (X)
уществует наибольший элемент EХ —Стоуна — Чеха
бикомпактное расширение (или максимальное
Б. р.).
Задача внутреннего описания всех хаусдорфовых
Б.р. данного вполне регулярного пространства X реше-
решена [6] построением Б.р. произвольного близости прост-
пространства, тем самым показано, что всякой близости 8
на X, совместимой с топологией, соответствует един-
единственное Б. p. be X, к-рое индуцирует на X исходную
близость 6, т. е.
а5в <=$ [А)Ьох г\
Максимальное Б. р. $Х порождается следующей бли-
близостью б:
АЬВ *' у множества А и В функционально отделимы.
Б. р. Александрова аХ локально бикомпактного ха-
усдорфова пространства X порождается близостью 6:
АЬВ <^ у множества А и В имеют непересекающиеся
замыкания, по крайней мере одно из к-рых бикомпактно.
Соответствие 8—»-fcg является изоморфизмом между
частично упорядоченным множеством близостей на X,
совместимых с топологией, и множеством В(Х). При
этом соответствие б—vfcfi продолжается до функтора из
категории пространств близости, совместимых с топо-
топологическими, и близостно непрерывных отображений в
категорию бикомпактов и непрерывных отображений.
Значительная часть теории Б. р. посвящена методам
построения Б.р. А. Н. Тихонов доказал, что во всяком
вполне регулярном пространстве X веса т существует
такое семейство функций /а:Х—э-/а мощности т, что их
диагональное произведение осуществляет вложение про-
пространства X в куб /т =Па/а (см. Тихоновский куб), по-
после чего Б. р. в X веса т получается как замыкание jX в
Iх. Э. Чех посредством диагонального произведения
всех непрерывных функций fa,'-X—*-[0,1] построил мак-
максимальное Б.р. пространства X. М. Стоун построил
максимальное Б. р. с применением булевых алгебр и
колец непрерывных функций..
Одним из основных методов в теории Б.р. является
созданный П. С. Александровым метод центрированных
систем открытых множеств [7], вначале использован-
использованный для построения максимального Б. р. и впоследст-
впоследствии широко применявшийся многими математиками.
Так, было установлено, что всякое хаусдорфово рас-
расширение произвольного хаусдорфова пространства X
можно реализовать как пространство центрированных
систем открытых в X множеств. Метод центрированных
систем был применен при построении изоморфизма
между множеством близостей на вполне регулярном
пространстве и множеством всех его хаусдорфовых
Б. р. Этот метод был применен для построения хаус-
хаусдорфова Б. р. пространств X по заданному на нем под-
подчинению.
Г. Уолмен [9] построил максимальное Б.р. нормаль-
нормального пространства X как пространство максимальных
центрированных систем замкнутых множеств этого про-
пространства. Пространство а>Х максимальных центри-
центрированных систем замкнутых множеств 7\-пространства
X является его бикомпактным ^-расширением и наз.
Уолмена бикомпактным расширением. Это расширение,
как и расширение Стоуна — Чеха, выделяется среди
прочих сходством комбинаторного строения с расши-
расширяемым пространством, максимальностью (в определен-
определенном смысле), возможностью продолжения непрерывных
отображений.
Метод центрированных систем замкнутых множеств
позволяет дать обобщение расширения Уолмэна.
Пусть во вполне регулярном пространстве А" дана
база замкнутых множеств 58, являющаяся кольцом
множеств, т. е. вместе с любыми двумя элементами со-
содержащая их пересечение и объединение. База 58 наз.
нормальной, если: 1) для любой точки х?Х и всякого
не содержащего ее элемента В ? 93 существуют такие
элементы базы В1 и В2, что В1[]В2=Х, х?Х\Ви
BczX\B2', 2) для любых двух элементов Blt В2?$д су-
существуют такие элементы В\, #2^93, что X = Z?i(Jfi2i
BrdX\B'i, B2czX\B'2. Пространство максимальных
центрированных систем нормальной базы-кольца со
стандартным заданием на нем базы замкнутых мно-
множеств будет хаусдорфовым Б. р. пространства X, наз.
расширением уолменовского типа;
неизвестно A977), всякое ли хаусдорфово Б. р. являет-
является расширением уолменовского типа.
Другие способы построения Б.р.: метод макси-
максимальных идеалов колец непрерывных функций (см.
[11]); метод пополнения предкомпактных равномерных
структур (см. [12] и Пополнение равномерного прост-
пространства); метод проекционных спектров (см. [10]); при
этом было доказано, что верхним пределом максималь-
максимального конечного спектра любого ^-пространства X
является егоуолменовское расширение а>Х и этот предел
совпадает с максимальным Б. р. $Х тогда и только
тогда, когда А'—квазинормальное пространство.
Важность теории Б. р. объясняется фундаменталь-
фундаментальным положением бикомпактных пространств в тополо-
топологии и функциональном анализе. Возможность вложить
топологич. пространство в бикомпакт позволяет опи-
описать многие свойства вполне регулярных пространств
посредством (как правило, более простых) свойств би-
бикомпактов. Так, нормальные пространства с первой
аксиомой счетности гомеоморфны тогда и только тогда,
когда гомеоморфны их максимальные Б. р. Это позво-
позволяет в принципе свести изучение нормальных прост-
пространств с первой аксиомой счетности к изучению би-
бикомпактов. Довольно часто топологич. инварианты рас-
расширяемого пространства удается просто выразить в
терминах расположения пространства в его Б.р. (см.
Перистое пространство, Полнота, Нормально распо-
расположенное подпространство). Так, напр., для того что-
чтобы пространство X было пространством счетного типа,
т. е. пространством, в к-ром всякий бикомпакт содер-
содержится в бикомпакте счетного характера, необходимо и
достаточно, чтобы для нек-рого (и, следовательно, для
всякого) Б. р. ЬХ нарост ЬХ\Х был финально компак-
компактен. Пространство X счетного типа интересно также
тем, что оно нормально прилегает к наросту всякого
своего Б. р. ЬХ, т. е. тем, что любые два непересекаю-
непересекающиеся замкнутые в наросте множества имеют непере-
непересекающиеся в ЬХ окрестности. С точки зрения рас-
расположенности в Б.р. двойственными к пространствам
счетного типа являются финально компактные про-
пространства. Пространство X финально компактно
тогда и только тогда, когда нек-рое, а значит и вся-
всякое, его Б. р. ЬХ обладает следующим свойством: для
всякого бикомпакта ФсЬХ\Х в наросте существует
содержащий его бикомпакт F, шгеющий счетный ха-
характер в ЬХ.
Особенно важна роль Б. р. в теории размерности.
Ото, в частности, объясняется равенствами
dim|3X=dimX, IndpX = IndX
для произвольного нормального пространства X и
равенством
ind $X = indX
для совершенно нормального пространства X. Одним
из первых утверждений о размерностных свойствах
Б. р. явилась теорема о существовании у всякого п-
мерного нормального пространства со счетной базой
хаусдорфова Б. р. того же (счетного) веса и той же
размерности (см. [16]). Доказано [20], что среди нор-
нормальных пространств X со счетной базой периферически
бикомпактное пространство и только оно имеет Б.р.
ЬХ с нульмерным (в смысле размерности ind) наростом
ЬХ\Х (см. Фрейденталя бикомпактное расширение).
При этом среди таких Б.р. данного пространства суще-
ствует наибольшее. Эти два результата явились отп-
отправной точкой для целого ряда исследований. Так, до-
доказано [8], что для всякого вполне регулярного прост-
пространства X веса т с dimf?.X<:ra, в частности для всякого
нормального пространства X веса т с dimX<:n, су-
существует Б.р. ЬХ веса т и размерности dim ЬХ^п.
С другой стороны, вполне регулярное пространство
X периферически бикомпактно тогда и только тогда,
когда X имеет Б. р. с нульмерно лежащим в нем на-
наростом [8]. При этом нарост ЬХ\Х нульмерно располо-
расположен в расширении ЬХ, если существует такая база 93 =
= {Г} бикомпакта ЬХ, что
(ЪХ\Х)П ТрьхТ=0
для всех Г ?58.
Видную роль в теории Б. р. играют совершенно би-
бикомпактные расширения (см. [15]). Всякое совершен-
совершенное Б.р. ЬХ пространства X является монотонным об-
образом максимального Б. р. $Х (в частности, совершен-
совершенно и само РХ), как и $Х, близко к X по комбинаторно-
комбинаторному строению, но, в отличие от §Х, не всегда dimX=
=dim ЬХ даже для метрич. пространства X. В то время,
как РХ есть наибольшее совершенное Б.р., минималь-
минимальное совершенное Б.р. существует лишь тогда, когда
пространство X имеет Б.р. с пунктиформным наростом
(в частности, когда пространство X периферически би-
бикомпактно). При этом минимальное совершенное Б.р.
единственно, обладает пунктиформным наростом и яв-
является наибольшим среди всех расширений с пункти-
пунктиформным наростом.
Понятие совершенного Б. р. оказывается полезным
при изучении размерности нароста. Если метрич. про-
пространство X со счетной базой вкладывается в компакт
ЬХ с наростом ЬХ\Х размерности<:га,то в X существует
такая (открытая) база, что пересечение границ любых
ее ra-f-1 элементов компактно [15]. Это условие не явля-
является достаточным для существования у пространства
X Б.р. ЬХ с dim bX^dim X и dim (ЬХ\Х)*?п. Более
того, если ЬХ совершенное Б.р. пространства X, dim
ЬХ = п, dim Ф<га—1 для всякого бикомпакта Фс
CZbX\X, то dim vX^n для всякого Б. p. vX с пункти-
пунктиформным наростом [15]. Совершенное Б. р., как и мак-
максимальное, интересно возможностью продолжения ото-
отображений. Так, в частности, если пространства X и Y
обладают минимальными совершенными расширения-
расширениями |хХ и (хУ, то всякое совершенное отображение /:
X—>Y продолжается в отображение. /:|хХ—>-|хУ.
Тонологич. пространство X веса т индуктивно нуль-
нульмерно (т. е. ind X = 0) тогда и только тогда (см. [16]),
когда оно имеет индуктивно нульмерное Б.р. ЬХ веса
т, так что пространство X веса т с Ind Х = 0 имеет Б.р.
того же веса и той же размерности. У вполне регуляр-
регулярного пространства X с Ind px<;ra существует Б. р.
ЬХ с nbX=wX и Ind ЬХ<сп, причем вто верно и для
трансфинитных значений Ind $X. Поэтому у сильно
наракомпактного метрич. пространства X существует
такое Б. р. ЬХ, что wbX=wX, dimbX = indbX—
= ind bX = dim X, вто же время существует такое про-
пространство X, что ind ЬХ >indX для всякого его Б. р. в X
(см. [21]).
Имеется ряд утверждений о Б.р. бесконечномерных
пространств. Так, максимальное Б.р. РХ нормального
S-слабо бесконечномерного пространства X слабо бес-
бесконечномерно [16]. Далее, любое вполне регулярное
пространство X веса г, максимальное Б. р. к-poro слабо
бесконечномерно (в частности, любое нормальное S-
слабо бесконечномерное пространство X веса <:т),
обладает слабо бесконечномерным Б. р. веса <:т. В этих
утверждениях 5-слабую бесконечномерность нельзя
заменить на А -слабую бесконечномерность (см. Слабо
бесконечномерное пространство): так, все Б. р. расту-
растущей суммы кубов Qa (подмножества гильбертова кир-
пича Q°°, состоящего из точек, у к-рых лишь конечное
число координат отлично от нуля) суть сильно беско-
бесконечномерные пространства [15].
Исследованы [17] вопросы, касающиеся размерности
dim наростов В. р. пространств близости и вполне ре-
регулярных пространств. Если пространство близости
нормально прилегает к сР\Р, где сР (единственное)
Б. р. пространства Р, то dim (с.Р\Р) равна наименьшему
из тех чисел к, что в каждое продолжаемое окаймление
можно вписать окаймление кратности <:&+1 (см.
Окаймление пространства в расширении). Пространство
X счетного типа обладает Б.р. ЬХ с наростом размер-
размерности <га тогда и только тогда, когда в X существует
структура окаймлений кратности <гге+1, обладающая
базисным свойством. Кроме того, из существования у
данного пространства X Б.р. с наростом размерности
<гг вытекает существование Б.р. ЬХ веса wbX — wX
с наростом размерности <:п.
Частично упорядоченное множество В {X) всех ха-
усдорфовых Б. р. пространства X является полной
полурешеткой (относительно операции взятия верхней
грани). Множество В (X) есть (полная) решетка тогда
и только тогда, когда пространство X локально биком-
бикомпактно. Если пространства X и У локально бикомпакт-
бикомпактны, то решетки В (X) и B(Y) изоморфны тогда и только
тогда, когда гомеоморфны наросты (ЗХ\Х и pY\Y (см.
[18]). Неизвестны условия, к-рым должно удовле-
удовлетворять (совершенное) отображение f:X—*-Y, чтобы
полурешетки В (X) ж В (У) были изоморфны. В то
же время Б. р. совершенных неприводимых прообра-
прообразов пространства X описываются ^-близостями на
пространстве X и образуют полную полурешетку
относительно естественно определяемого порядка
[19]. Б. р. совершенных неприводимых прообразов
пространства X связаны также с //-замкнутыми рас-
расширениями пространства X.
Лит..-[1] Александров П. С., Урысон П. С,
Мемуар о компактных топологических пространствах, 3 изд.,
М., 1971; [2] У р ы с о н П. С, Труды по топологии и другим
областям математики, т. 1—2, М.— Л., 1951;[3]ТихоновА.Н.,
«Math. Ann.», 1929, Bd 102, S. 544 — 61; [4] Cecti E., «Ann.
Math.», 1937, v. 38, p. 823 — 44; [5] S t о n e M., «Trans. Amer.
Math. Soc», 1937, v. 41, p. 375—481; [6] С м и р н о в Ю. М.,
«Матем. сб.», 1952, т. 31, с. 543—74; f7j А л е к с а н д р о в П. С,
«Матем. сб.», 1939, т. 5 [47], с. 403—23; [8] его же, «Успехи
матем. науки», 1960, т. 15, в. 2, с. 25—95; [9l Wallman H.,
«Ann. Math.», 1941, v. 42 [2], p. 687—97; [10] Зайцев В. И.,
«Труды Моск. матем. об-ва», 1972, т. 27, с. 129—93; [11] Г е л ь-
ф а н д И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е., «Успехи
матем. наук», 1946, т. 1 в. 2, с. 48—146; [12]Samuel P., «Trans.
Amer. Math. Soc», 1948, v. 64, p. 100—32; [13] Архангель-
Архангельский А. В., «Матем. сб.», 1973, т. 91, № 1, С. 78—87; [14]
М а л ы х и н В., «Докл. АН СССР», 1972; т. 206, N° 6, с. 1293 —
1296; [15] Александров П. С. «Успехи матем. наук», 1964,
т. 19 : 6, с. 3—46; 1965, т. 20, в. 1, с. 253—4; [16] Александ-
Александров П. С, Пасынков Б. А., Введение в теорию размер-
размерности, М., 1973; [17] Смирнов Ю. М., «Матем. сб.», 1966,
т. 69, № 1, с. 141—60; 1966, т. 71 : 4, с. 454—82; [18] М a g i 1 1
К. D., «Proc. London Math. Soc», 1968. Ser. 3, v. 18, pt 2, p. 231 —
44; [19] Ф е д о р ч у к В. В., «Матем. сб.», 1968, т. 76 : 4, с.
513—36; [20] Freudenthal H., «Ann. Math.», 1942, v. 43,
№ 2, p. 261 —79; [21] С ми р н о в Ю. М., «Докл. АН СССР»,
1957, т. 117, № 6, с. 939—42. В. В. Федорчук.
БИКОМПАКТНО СТЬ — свойство, характеризующее
широкий класс топология, пространств и состоящее в
том, что из любого покрытия пространства открытыми
множествами можно выделить конечное покрытие. На-
Наряду с термином «Б.» употребляется термин «компакт-
«компактность». Топологич. пространства, обладающие свойст-
свойством Б., наз. бикомпактными пространствами.
А. В. Архангельский.
БИКОМПЛЕКС, двойной комплекс,— дваж-
дважды градуированный модуль, т. е. представимый как
прямая сумма ~ZAm'n своих подмодулей Ат'п, рас-
рассматриваемый вместе с парой дифференциальных опе-
операторов
й1= Ат< "—>-Ат + х>п,
d2: Ат,п—1-А'л'« + 11
удовлетворяющих условиям
d1-d2=0, d2-d2=0, d2d1+rf1d8=0.
Иногда вместо прямой суммы рассматривается просто
множество {Ат'п}, а также дифференциалы
удовлетворяющие тем же условиям. в. Е. говоров.
БИЛИНЕЙНАЯ ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА — двой-
двойной интеграл
^ 1 I ! К (х' s) ф (ж) ^(s) dx
где К(х, s) — заданная (вообще говоря, комплексно-
значная) функция действительных переменных, интег-
интегрируемая с квадратом, ф(.т), i|)(s) — произвольные (тоже
комплекснозначные) функции, интегрируемые с квад-
квадратом, a ij5 (s) — комплексно сопряженная функция с
г|з (s). Если i|)(s) = (p (s), то /(ф, ф) наз. квадратич-
квадратичной интегральной формой.
Б. В. Хведслидзе.
БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА на произведении
модулей VX W — билинейное отображение /: FX
XW—^-A, где V — левый унитарный А -модуль, W —
правый унитарный А -модуль, А — кольцо с единицей,
рассматриваемое также как (А, Л)-бимодуль. Если
F= W, то говорят, что / есть Б. ф. на модуле V, а также,
что V наделен метрич. структурой с помощью /. Опреде-
Определения, касающиеся билинейных отображений, имеют
смысл, в частности, для Б. ф. Так, говорят о матрице
Б. ф. относительно выбранных базисов в У a IF, об
ортогональности элементов и подмодулей относительно
Б. ф., об ортогональных прямых суммах, невырожден-
невырожденности и т. д. Напр., если А — поле и У= W — конечно-
конечномерное векторное пространство над А с базисом ех, .. .,
еп, то для векторов
i1. . .-\rwnen
значение формы
где а,у=/(е,-, ej). Иногда полином 2ji \=\aijviwj 0T
переменных vx, ..., vn, wlf ..., wn отождествляют с /
и называют билинейной формой на V. Если кольцо А
коммутативно, то Б. ф. есть частный случай полутора-
линейной формы (с тождественным антиавтоморфиз-
антиавтоморфизмом).
Пусть кольцо А коммутативно. Б. ф. / на А -модуле V
наз. симметрической (соответственно анти-
антисимметрической, или кососимметри-
ческой), если для всех vlt v2? V будет f(vu i>2)=
— f(vz, vt) (соответственно j(vu v^)=—f(vz, v^)) и наз,
знакопеременной, если f(v, v) = 0. Знакопере-
Знакопеременная Б. ф. антисимметрична, обратное верно только,
если для любого а?А из 2а=0 следует а = 0. Если V
имеет конечный базис, то симметрические (соответст-
(соответственно антисимметрические, знакопеременные) формы на
V и только они имеют в этом базисе симметрическую
(соответственно антисимметрическую, .знакоперемен-
.знакопеременную) матрицу. Отношение ортогональности относитель-
относительно симметрич. или антисимметрич. формы на V симмет-
симметрично .
Б. ф. / на V наз. изометричной Б. ф. g na W,
если существует такой изоморфизм А -модулей ф: F—vW,
что
для любых v? V. Этот изоморфизм наз. изометрией
форм, а если F= W и /=g — метрическим
автоморфизмом модуля F (или авто-
морфизмом формы /). Метрич. автоморфизмы
модуля образуют группу (группу автомор-
автоморфизмов формы /), примеры таких групп — орто-
ортогональная группа, симплектич. группа.
Пусть А — тело, / — Б. ф. на Vx W, пространства
WiV^- конечномерны над А, тогда
dim Г/W-1 = dim 1
и это число наз. рангом /. Если V конечномерно, а /
невырождена, то
dim F=dim W
и для каждого базиса ult . ¦., vn в V существует дуаль-
дуальный относительно /базис w1, ..., wn в
W, определяемый условиями f(i'i, и.у) = 6,у F,у — сим-
символы Кронекера). Пусть, кроме того, V=W, тогда под-
подмодули F-"- и И7-1- наз. соответственно правым и
левым ядрами/; для симметрич. и антисимметрич.
форм правое и левое ядра совпадают и наз. просто я д-
р о м формы.
Пусть / симметрия, или антисимметрич. Б. ф. на V.
Элемент v? V, для к-рого f(v, i>) = 0, наз. и з о т р о п-
н ы м; подмодуль Md V наз. изотропным, если
М[\М^-ф{0}, и вполне изотропным, если
McM-L. Вполне изотропные подмодули играют важ-
важную роль в изучении структуры Б. ф. (см. Витта разло-
разложение, Витта теорема, Витта кольцо), О строении
Б. ф. см. также Квадратичная форма.
Пусть А коммутативно и пусть Hom^ (V, W) есть
.4-модуль всех А -линейных отображений V в W, а
L'2(V, W, А) - 4-модуль всех Б. ф. на VXW. Для
всякой Б. ф. / на VX W и всякого vo? V формула
lf. №>И=/ ("О. «'). W?W,
определяет Л-линейную форму на W. Соответственно,
для wa ? W формула
г/, «'„ (v)=--1 (v, и>о)> v € v>
определяет А -линейную форму на V. Отображение If.
vg\—>l, v есть элемент из
НотлG, Нотл(Г, А)).
Аналогично определяется отображение гj из
Hom4(^, НотлG, А)).
Отображения /i—>lf и /i—>r^ осуществляют изомор-
изоморфизмы А-модулей
V2(V, W, A)—+KomA(V, Нотл(^, А))
и
L2(V, W, A)—+\{oi&A(W, НотлG, А)).
Б. ф. / наз. неособой слева (справа), если
1ЛгА — изоморфизм; если / неособая и слева и справа,
то она наз. неособой, в противном случае / наз.
особой. Невырожденная Б. ф. может быть особой.
Для свободных модулей V и W одинаковой конечной
размерности Б. ф. /на VX W является неособой тогда
и только тогда, когда определитель матрицы / относи-
относительно любых базисов в Уж W — обратимый элемент
кольца А . Следующие изоморфизмы
Hom^(F, F)-^L2(F, W, А)
и
B.omA{W, W)-^L*{V, W, A),
задаваемые неособой Б. ф. /, определяются формулами
l(y){v, w)=f(<p(v), w)
Эндоморфизмы (p^Hom^F, F) и i|)? HomA(W, W)
наз. сопряженными относительно /,
если ¦ф=(с'1 ol) (ф).
Лит.: ГП Б у р б а к и Н., Алгебра. Модули, кольца, формы,
пер. с франц., М., 1966; [2]Ленг С, Алгебра, пер. с англ.,
М., 1968; [3] А р т и н Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ.,
М., 1969. В. Л. Попов.
БИЛИНЕЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, билинейная
функция,— отображение / произведения FX W ле-
левого унитарного А -модуля F и правого унитарного В-
модуля W в (А, В)-бимодулъ Н, удовлетворяющее сле-
следующим условиям:
f{v+v', w) = f(v, w)+f(v', w);
f(v, w+w') = f(v, w)+f(v, w')\
f(av, w) = af(v, w);
f(v, wb) = f(v, w)b;
здесь v, v' ? V, w, w' ? W, a ? A, b?B — произвольно
выбранные элементы, А и В — кольца с единицей. Тен-
Тензорное произведение V(?)W над ^ имеет естественную
структуру (А, .й)-бимодуля. Пусть ц>: VX W-+V(/)W —
канонич. отображение, тогда любое Б. о. / индуцирует
гомоморфизм (А, В)-бимодулей /: V(j?)W—>H, для к-рого
/=/°ф- Если А=В и коммутативно, то множество L2(V,
W, Н) всех Б. о. VX W-^-H является Л-модулем отно-
относительно обычным образом определяемых операций
сложения и умножения на элементы из А, а соответст-
соответствие/—»-/ устанавливает канонич. изоморфизм Л-модуля
L2(V, W, Н) и А -модуля L(V®W, H) всех А -линейных
отображений F@W в //.
Пусть V и W— свободные модули с базисами vj, i^I
и W.-, j ^ /, соответственно. Б. о. / полностью определяет-
определяется заданием /(у,-, wj), для всех ifl, i?J, поскольку для
любых конечных подмножеств / сг/, J'dJ имеет место
формула
И обратно, при произвольном выборе элементов j^
i?I, j?J, формула (*), где f(vi, wj) — hij, определяет
Б. о. VX Wb Н. Если /и/ конечны, матрица \\f(vj, Wj)\\
называется матрицей Б. о. / относительно дан-
данных базисов.
Пусть задано Б. о. /: VX W—*-H. Элементы v? V, w?
? И^наз. ортогональными относительно /, если f(v, u>)=
=0. Подмножества XczV и Ус W наз. ортогональными
относительно /, если всякий х?Х ортогонален всякому
y?Y. Если X — подмодуль в V, то
Xx = {w ?W{f(x, w)=0 для всех х ? X}
— подмодуль в W, наз. ортогональным под-
подмодулем, или ортогональным допол-
дополнением, к X. Аналогично определяется ортогональ-
ортогональное дополнение Y1- к подмодулю У в W. Отображение /
наз. вырожденным справа (соответственно
слева), если у—ф{0} (соответственно VFi-^{0}).
Подмодули V^- и W^- наз. соответственно левым
и правым ядром Б. о./.Если V^-^= {0} и WJ- =
= {0}, то / наз. невырожденным, ав противном
случае — вырожденным. Отображение / наз.
нулевым, если У^=\? и W^=V.
Пусть V(, i?I,— семейство левых А -модулей, Wi,
i?I,— семейство правых В -модулей, /,- — Б. о. F;X W;
в Н, V — прямая сумма А -модулей F,, a W — прямая
сумма В-модулей IF,-. Отображение /: FX W-^>-H, опре-
определяемое правилом
является Б. о. и наз. прямой суммой отобра-
отображений /,-. Эта сумма ортогональна, т. е.
подмодуль V{ ортогонален подмодулю Wj относительно
/ при 1ф].
Б. о. / невырождено тогда и только тогда, когда /,-
невырождено для всех г?/; при этом
В случае А=В = Н Б. о. наз. билинейной формой.
Лит.: [1]Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы,
пер. с франц., М., 1966; [2] Л е н г С, Алгебра, пер. с англ.,
Ы., 1968. _ В. Л. Попов.
БИЛИНЕЙНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ — аналитиче-
аналитический дифференциал на римановой поверхности, завися-
зависящий от двух точек Р и Q и имеющий вид
/(*, QdzdZ,
где z и ? — локальные униформизирующие параметры
в окрестностях Р и Q соответственно, /(z, ?) — анали-
тич. функция от z и ?. При помощи Б. д. выражаются
многие функционалы конечных римановых поверхно-
поверхностей .
Лит.: [1] Шиффер М., Спенсер Д. К., Функцио-
Функционалы на конечных римановых поверхностях, пер. с англ., М.,
1957. _ Е. Д. Соломенцев.
БИЛИНЕЙНЫЙ ФУНКЦИОНАЛ - билинейное
отображение модуля над коммутативным кольцом К
(Х-модуля) в само это кольцо (рассматриваемое как К-
МОДуЛЬ). М. И. Войцеховский.
БИМАТРИЧНАЯ ИГРА - конечная бескоалицион-
бескоалиционная игра двух лиц. Б. и. задается двумя матрицами А =
= !|а,у|] и В=||Ь,-/-|| одинакового размера тХп, являю-
являющимися матрицами выигрышей соответственно игроков
I и II. Стратегией игрока I является выбор строки мат-
матриц, стратегией игрока II — выбор столбца. Если игрок
I выбирает i (l<i<m), а игрок II выбирает / A</<п),
то они получают соответственно выигрыши а,у и Ь,у,
Если ajj~-bij=O для всех г, /, то Б. и. является матрич-
матричной игрой. Теория Б. и.— наиболее простой раздел
общей теории бескоалиционных игр, однако и Б. и. не
всегда разрешимы по Нэшу или строго разрешимы. Для
Б. и. имеются различные алгоритмы, посредством к-рых
находят ситуации равновесия: метод описания подмат-
подматриц А, В, доставляющих все крайние точки множества
ситуаций равновесия [1], [2]; методы, сводящие задачу
отыскания ситуаций равновесия в Б. и. к задачам квад-
квадратичного программирования (см. [3], [4], [5]).
Лит.: [1] Воробьев Н. Н., ((Теория вероятностей и
её применения». 1958, т. 3, в. 3, с. 318—31; [2] К u h n H. W.,
«Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.», 1961, v. 47, Mi 10, p, 1657—62;
[3] M i 1 1 s H., «J. Soc. Industr. Appl. Math.», 1960, v. 8, № 2,
p. 397—402; [4] M a n к a s a r i a n O. L., «J. Soc. Industr.
Appl. Math.», 1964, v. 12, X° 4, p. 778—80; [5] L e m k e С. Е.,
H о w s о n J. Т., ((J. Soc. Industr. Appl. Math.», 1964, v. 12,
M 2, p. 413—23. E. В. Яновская.
БИМОДАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, д в у в е р-
шинное распределение,— распределение
вероятностей, характеризуемое существованием у кри-
кривой плотности двух максимумов, к-рые определяются
двумя значениями моды. Б. р. часто возникает как
«смесь» двух нормальных распределений. См. также
М'ультимодальнее распределение, Унимодальное распре-
распределение. А. В. Прохоров.
ВИМОДУЛЬ, двойной модуль,— абелева
группа В, являющаяся левым модулем над кольцом R
и правым модулем над кольцом S, причем (rb)s=r(bs)
для любых r?R, b?B и s?S. В этом случае говорят,
что имеет место ситуация #В$ или что В является (R,
5)-бимодулем. Б. В можно рассматривать как левый
Л(хM'*-модуль, где S* — кольцо, дуально изоморфное
(антиизоморфное) S, a (g) означает тензорное произве-
произведение над кольцом целых чисел, причем (r(?)s)b=rbs.
Для всякого левого Я-модуля М имеет место ситуация
%МЕ, где Е — кольцо эндоморфизмов модуля М.
Всякое кольцо А может быть наделено естественной
Структурой (А ,Л)-6ИМОДУЛЯ. Л. А. Скорняков.
ВИМОРФИЗМ, биективный морфизм в
категории,— одно из теоретико-категорных обоб-
щений понятия биективного отображения множеств.
Морфизм и в категории С наз. Б., если он одновремен-
одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом в С. Про-
Произведение Б. есть Б., то есть Б. образуют подкатего-
подкатегорию, содержащую все изоморфизмы. В категориях мно-
множеств, групп всякий Б. является изоморфизмом. Одна-
Однако уже в категориях колец, топологических прост-
пространств или абелевых групп без кручения существуют
В., не являющиеся изоморфизмами.
И. В. Долгачев, М. Ш. Цаленко.
БИНАРНАЯ /7-АДИЧЕСКАЯ ГРУППА - бесконеч-
бесконечная группа G квадратных матриц 2-го порядка
где а, Ь, с, d — элементы кольца целых р-адических
чисел, подчиненные следующим условиям:
ad— Ьс=\, c=0(mod p), d=l(mod/>).
Факторгруппы таких групп вида G/N, где N — п-а
член нижнего центрального ряда группы G или я-й
член производного ряда (ряда высших коммутантов
группы G),— примеры конечных jo-групп, обладаю-
обладающих заданными экстремальными свойствами.
А. И. Кострикин.
БИНАРНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА — квадра-
квадратичная форма от двух переменных, т. е. форма вида
если а, Ь, с — целые числа, Б. к. ф. наз. целочис-
целочисленной. Выражение d=ac— 62/4 наз. определи-
определителем, или дискриминантом, Б. к. ф.
Иногда под дискриминантом понимается также величи-
величина б2 —4ас. Арифмстич. теория Б. к. ф. начата П. Ферма
(P. Fermat), утверждавшим, что всякое простое число
вида 4/с-(-1 представимо суммой двух квадратов целых
чисел. Законченная теория Б. к. ф. построена Ж. Ла-
гранжем (J. Lagrange) и К. Гауссом (С. Gauss). Теория
Б. к. ф.— частный случай теории квадратичных форм
от га переменных; арифметич. теория Б. к. ф. равносиль-
равносильна теории идеалов квадратичных полей. Теория Б. к. ф.
является одним из истоков теории алгебраических
чисел.
Число родов Б. к. ф. с определителем d равно 2s~l,
где s — число различных простых делителей числителя
d, кроме случаев d=l (mod 4), d=0 (mod 8), когда s
увеличивается на 1; при этом, если — d есть квадрат,
число родов удваивается. Количество r(d, m) сущест-
существенно различных примитивных представлений числа т
полной системой Б. к. ф. определителя d равно числу
решений сравнения
m).
Как и в общем случае, имеется алгоритм, сводящий во-
вопрос о решении данного диофантова уравнения 2-й
степени с двумя неизвестными (в частности, уравнения
f(x, у) = т)к проблеме арифметич. эквивалентности двух
Б. к. ф.
Все целочисленные автоморфизмы примитивной фор-
формы / с афО представимы в виде
t — Ьи/2 —си
аи t + bu/2 [
где ?2-|-<2к2=1, причем 2t и и — целые числа (см. Пелля
уравнение). Поэтому проблема эквивалентности двух
форм решается теорией приведения Б. к. ф. Теория
приведения положительных Б. к. ф. есть частный слу-
случай теории приведения положительных квадратичных
форм по Минковскому. Теория приведения целочис-
целочисленных неопределенных Б. к. ф. сводится к теории
приведения квадратичных иррациональностей (см.
[2], с. 97-103, [3], с. 170-80).
Важную роль в теории чисел играет арифметич.
функция k (d) — число классов целочисленных прими-
примитивных Б. к. ф. определителя d. Известно, что h(d)<^
<+оо. Нек-рое представление о характере роста функ-
функции h (d) дает теорема Зигеля: для d>0 по
8>0 найдутся постоянные сЕ и с'г>0, для к-рых
(подобная формула имеет место и для d<0).
Пусть Д — целое число, Д=1 или 0 (mod 4), причем
если s2\A, то s=l или s=2, и пусть F=Q(YА) есть
квадратичное поле, получающееся присоединением У &
к полю рациональных чисел. Целым идеалам [аг, а2]
ноля F ставятся в соответствие целочисленные квадра-
квадратичные формы
I (х' у)~ JV[a,, a2)
с определителем — А/4. Это приводит к взаимно одно-
однозначному соответствию (с точностью до перехода к со-
сопряженным классам идеалов) между классами идеалов
поля F и классами Б. к. ф. При этом соответствии умно-
умножение классов идеалов определяет композицию классов
Б. к. ф.
Как и для формы от п переменных, теория Б. к. ф.
может быть обобщена на формы вида (*) с коэффициен-
коэффициентами а, Ь, с из заданного алгебраич. числового поля.
Имеются разночтения в определении целочисленной
формы, определителя (дискриминанта) формы, эквива-
эквивалентности форм, класса и рода форм. Приведенное вы-
выше определение целочисленной формы принадлежит
Л. Кронекеру (L. Kronecker). К. Гаусс требовал (см.
[1]), чтобы Ь было четным. При определении эквивалент-
эквивалентности (и класса форм) иногда рассматривают только под-
подстановки определителя +1; иногда же ±1. В [6] дается
более широкое, чем по Гауссу, определение рода.
Лит.: [1] Гаусс К. Ф., Труды по теории чисел, [пер. с
нем. и латин.], М., 1959; [2] В е н к о в Б. А., Элементарная
теория чисел, М,—Л., 1937; [3] Jones В. W., The arithmetic
theory of quadratic forms, N. Y., 1950; [4] Гельфонд A. O.,
Линник Ю. В., Элементарные методы в аналитической
теории чисел, М., 1962; [5]Landau E., Vorlesungen iiber Zah-
lentheorie, Bd 1, Lpz., 1927; [6] Б о р е в и ч 3. И., III а ф а-
р е в и ч И. Р., Теория чисел, 2 изд., Ж., 1972; [7] О'Меага
О. Т., Introduction to quadratic forms, В., 1963. А. В. Малышев.
БИНАРНАЯ ФОРМА — форма от двух переменных,
т. е. однородный многочлен
где коэффициенты а^, fc=0, 1, ..., п, принадлежат за-
заданному коммутативному кольцу с единицей. В качест-
качестве такого кольца часто выбирается кольцо 2 целых ра-
рациональных чисел, кольцо целых элементов нек-рого
алгебраического числового поля, поле R действитель-
действительных чисел или поле С комплексных чисел. Число п наз.
степенью формы. Если га=2, то / наз. бинар-
бинарной квадратичной формой.
В теории форм можно выделить алгебраическое (тео-
(теория инвариантов), арифметическое (представление чи-
чисел формами) и геометрическое (теория арифметич. ми-
минимумов форм) направления. Задачей алгебраич. тео-
теории Б. ф. (в R или С) является построение полной сис-
системы инвариантов таких форм при линейных преобра-
преобразованиях неременных с коэффициентами из того же поля
(см. Инвариантов теория, а также [2], гл. 5). В арифме-
арифметической теории Б. ф. изучаются диофантовы уравне-
уравнения вида
f(x,y)=b,
где а0, аъ ..., ап, fc?^~~ их разрешимость и решения
в кольце 2- Важнейший результат здесь — теорема
Туэ, а также ее обобщения и уточнения (см. Туэ —
Зигеля — Рота теорема). О разрешимости таких урав-
уравнений в поле Q и возможном числе решений см. [5],
гл. 9—17, а также Морделла гипотеза. Теория арифме-
тич. минимумов Б. ф. изучается в геометрии чисел.
Арифметическим минимумом формы /
наз. величина
m(/)= inf [f(x, y)\.
(*, j/NZ2mo, 0)
В случае га=3 доказано, что
( |Л/49| 1/4, если D > 0,
( |Х»/23| 1/4, если ?> < 0.
Здесь /> — дискриминант формы /, в данном случае
равный
i8a0a1aia3 -\- afat — 4aoat — ia3al — 27ajja|.
Эти оценки неулучшаемы.
Лит.: [1] Б о р е в и ч 3. И., III а ф а р е в и ч И. Р.,
Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [2] Г у р е в и ч Г. Б., Основы
теории алгебраических инвариантов, М.—Л., 1948; [3] Lan-
Landau Е., Waif isz A., Diophantische Gleichungen mit end-
Hch vielen Lbsungen, В., 1959; [4] Lekkerkerker C. G.,
Geometry of numbers, Groningen [a.o.], 1969; [5]Mord e 1 1 L. J.,
Diophantine equations, L.— N. Y., 1969. А. В. Малышев.
БИНАРНО ЛИЕВА АЛГЕБРА, BL-алгебр а, -
линейная алгебра А над полем F, любые два элемента
к-рой порождают подалгебру Ли. Класс всех Б. л. а.
над данным полем F порождает многообразие, к-рое i
случае характеристики поля F, отличной от 2, задается
системой тождеств
x*=J(xy, х, у) = 0, (я
где
J(x, у, z) = (xy)zJr{yz)x-Jr{zx)y.
Если характеристика поля F равна 2, а кардинальное
число его не меньше 4, то класс Б. л. а., кроме системы
тождеств (*), задается еще тождеством
J([(xy)y]x, х, у) = 0.
Касательная алгебра аналитической локальной альтер-
альтернативной лупы является Б. л. а., и обратно.
Лит.: [1] М а л ь ц е в А. И., «Матем. сб.», 1955, т. 36 G8),
с. 569—75; [2] Г а й н о в А. Т., «Алгебра и логика», 1969, т. 8,
Mi 5, с. 505—22. А. Т. Тайное.
БИНАРНОЕ ОТНОШЕНИЕ — двуместный предикат
на заданном множестве. Под Б. о. иногда понимают под-
подмножество множества АХ А упорядоченных пар (а, Ъ)
элементов заданного множества А. Б. о,— частный
случай отношения. Пусть ЯЯ^АХА. Если (a, b)?R,
то говорят, что элемент анаходится в бинар-
бинарном отношении R к элементу Ь. Вместо
(а, Ь)?Л пишут также аЯЬ.
Пустое подмножество 0 в А X А и само множество
АХ А наз., соответственно, нуль-отношением
и универсальным отношением в мно-
множестве А. Диагональ множества АХ А, т. е. множество
Д= {(а, а)/а?А }, есть отношение равенст-
в а, или единичное бинарное отноше-
отношение в А.
Пусть Л, Л1} Л2 — Б. о. в множестве А. Наряду с
теоретико-множественными операциями объединения
RiVRz, пересечения jRiD#2 и дополнения R' = (AX
ХА)\Я для Б. о. рассматривают также операцию о б-
ращения:
Л-1 = {(а, Ь)\(Ъ, а) 6 R}
и операцию умножения:
RX°R2 = {(а, Ь) | (ас g A) (aR.c и cR2b)}.
Б. о. Л наз. обратным для R. Умножение Б. о.
ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно.
Б. о. R в А называется: а) рефлексивным,
если Д?=Л; б) транзитивным, если RoR^R;
в) симметричным, если Д-1^/?; г) а н т и с и м-
метричным, если ДГ|Л~15=Л- Если Б. о. R
обладает нек-рым из свойств а), б), в), г), то обратное
отношение R обладает этим же свойством. Б. о. R<^
сЛ хА наз. функциональным, если B~1oBcz
ЕЛ.
Наиболее важными типами Б. о. являются эквива-
эквивалентности, порядки (линейные и частичные) и функцио-
функциональные отношения. д, м. Смирнов.
БИНОМ — двучлен, сумма или разность двух алгеб-
раич. выражений, называемых членами Б., напр. а-\-Ь,
Ьх—L и т. д. О степенях Б., то есть выражениях
вида (х-\-у)п, см. Ньютона бином.
БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, распре-
распределение Бернулли,— распределение вероят-
вероятностей случайной величины X, принимающей целочис-
целочисленные значения г=0, 1, ..., п с вероятностями соот-
соответственно
(Сп — биномиальный коэффициент; р — параметр Б.
р., наз. вероятностью положительного исхода, прини-
принимающей значения на отрезке 0<р«1). Б. р.— одно из
основных распределений вероятностей, связанных с
последовательностью независимых испытаний. Пусть
Уь У2, ... — последовательность независимых случай-
случайных величин, каждая из к-рых может принимать лишь
два значения 1 или 0 с вероятностями р ж 1 — р соответ-
соответственно (т. е. каждая из У,- подчиняется Б. р. при га=1).
Величины У,- можно трактовать как результаты неза-
независимых испытаний, причем У,-=1 в случав «положи-
«положительного исхода» и У, = 0 в случае «отрицательного ис-
исхода» испытания с номером i. Если общее количество
независимых испытаний п фиксированно, то такая схе-
схема наз. Бернулли испытаниями, причем суммарное ко-
количество положительных исходов
в этом случае подчиняется Б. р. с параметром р.
Математич. ожиданиеEzx (производящая функция Б.р.)
при любом значении z есть многочлен [pz-\-(i—p)]n,
представление к-рого по формуле бинома Ньютона
имеет вид
(отсюда и произошло само назв. «Б. р.»). Моменты
Б. р. выражаются формулами
ЕХ=пр,
DX =Е (X-пр)* = пр A-р),
Е (X — пр)* = пр A -р) A -2/>).
Функция Б. р. определяется при любом действитель-
действительном значении 0 < у < п формулой
где [у] — целая часть у, причем
В (а, Ь) — бета-функция Эйлера, интеграл в правой
части наз. неполной бет а-ф у н к ц и е и).
При п—>-оо функция Б. р. выражается в терминах
функции Ф стандартного нормального распределения
асимптотич. формулой (теорема Муавра —
Лапласа)
щ
np (l-
где
равномерно для всех действительных у. Существуют
и другие нормальные приближения Б. р. с остатками
иолее высокого порядка малости.
Если количество независимых испытаний п велико, а
¦ероятность р мала, то индивидуальные вероятности
I bx(n, p) приближенно выражаются в терминах Пуассона
распределения:
При этом, если га—>-оо и 0<е«Г(/«:С (с и С — постоянные),
то равномерно относительно всех р из интервала Г
<1 имеет место асимптотич. формула
где к=—^
Многомерным обобщением Б. р. является полиноми-
полиномиальное распределение.
Лит,: [1] Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей,
5 изд., М., 1969; Г2] Ф е л л е р В., Введение в теорию вероят-
вероятностей и её приложения, пер. с англ., 2 изд., М., 1967; [3] Про-
Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей,
2 изд., М., 1973; [4] Прохоров Ю. В., «Успехи математи-
математических наук», 1953, т. 8, № 3, с. 135—42; [5] Больше в
Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической стати-
статистики, 2 изд., М., 1968. Л. Н. Большее.
БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ — коэффи-
коэффициенты при степенях z в разложении Ньютона бинома
(\-\-z)N. Б. к. обозначается (п) или С% и равен
n)~LN~n\(N-n)\-
Обозначение (п) восходит к Л. Эйлеру (L. Euler);
второе обозначение С% появилось в 19 в. и связано,
по-видимому, с интерпретацией Б. к. С% как числа
различимых неупорядоченных сочетаний из N различ-
различных объектов по га в каждом сочетании. Б. к. наиболее
удобно выписываются в виде арифметического тре-
треугольника, или Паскаля треугольника, построение
к-рого основано на свойстве Б. к.
CNArCN =Cn+i- B)
Как понятие Б. к., так и арифметич. треугольник в бо-
более или менее развитой форме были известны еще мате-
математикам древности, Б. Паскаль (В. Pascal) составил по-
подробное исследование A665) свойств Б. к. Кроме соот-
соотношения B), имеется много других полезных соотноше-
соотношений между Б. к., напр.:
CN=2jk=n0CmCN-m, n<m<W— n;
]f_n (—l)ft k»>C% =0, m = 0, 1,2,..., N — 1;
C)
2ДГ .
(—*~1) Cllfftlft 1 ) ... (ft
В частности, отсюда получается
Использование Стирлинга формулы позволяет полу-
получать приближенные выражения для Б. к. Напр., если N
много больше га:
L м ¦— —г .
На случай любого комплексного числа а Б. к. обоб-
обобщаются по формуле
При этом нек-рые из соотношений B) — D) сохраняют-
сохраняются, но, вообще говоря, в измененном виде. Напр.,
Таблицы Б. к. см. [2], [3].
Лит.: [1] Корн Г., Корн Т., Справочник по матема-
математике, пер. с англ., 2 изд., М., 1973; И Больше! Л. Н.,
Смирнов Н.В., Таблицы математической статистики, 2 изд.,
М., 1968; [3] Table of binomial coefficients, Cambridge, 1954.
E. Д. Соломепцев.
БИНОМИАЛЬНЫЙ РЯД — степенной ряд вида
где п — целое, а а — произвольное фиксированное
число (вообще говоря, комплексное), z=x-\-iy — комп-
комплексное переменное, («) — биномиальные коэффициен-
коэффициенты. Для целых а=7«^0 Б. р. сводится к конечной сум-
сумме m-j-1 слагаемых
называемой Ньютона биномом. Для остальных значе-
значений а Б. р. абсолютно сходится при \z\ <1 и расходится
при |z|>l. В граничных точках единичной окружности
|z| = l Б. р. ведет себя следующим образом: 1) если
Re a>0, то он абсолютно сходится во всех точках ок-
окружности |z| = l; 2) если Re ск — 1, то он расходится во
всех точках окружности |z| = l; 3) если — l<Re я<:0,
то Б. р. расходится в точке z= — 1 и условно сходит-
сходится во всех остальных точках окружности |z| = l. Во
всех точках, в к-рых Б. р. сходится, он представляет
главное значение функции (l+z)a, равное 1 при z=0.
Б. р. является частным случаем гипергеометрическо-
гипергеометрического ряда.
Если г=г и а — действительные числа, причем а
не есть целое неотрицательное число, то Б. р. ведет себя
следующим образом: 1) если а>0, то он абсолютно схо-
сходится при — 1<:ж<:1; 2) если а<:—1, то Б. р. абсолютно
сходится при — 1<а;<1 и расходится при всех иных
значениях х; 3) если — 1<а<:0, то Б. р. абсолютно
сходится при — 1<х<1, условно сходится при x-=i
и расходится при я= —1; при |я|>1 Б. р. всегда рас-
расходится.
Б. р. появляется впервые, по-видимому, у И. Нью-
Ньютона (I. Newton) в 1664 — 65. Исчерпывающее исследова-
исследование Б. р. было проделано Н. Абелем [1]. Оно послужило
началом теории степенных рядов в комплексной области.
Лит.: [1] Abel N., «J. reine und angew. Math.», 1826,
Bd l, JMi 4, S. 311—39; [2] К n о p p K., Theorie und Anwen-
dunR der unendlichen Reihen, 5 Aufl., В., 1947; [3] M a p к у ш е-
в и ч А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М.
1967. Е. Д. Соломенцев
БИНОРМАЛЬ — прямая, проходящая через точку
Мо кривой L перпендикулярно соприкасающейся пло-
плоскости к L в точке Мо. Если r=r(t) — параметрич.
уравнение кривой L, то векторное уравнение Б. в точке
Мо, отвечающей значению t0 параметра t, имеет вид
r(k)=r(to) + k[r'(to), r"(t0)].
Е. В. Шикин.
БИОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА — пара множеств
{at\ и {l,t\, t?T, элементов (топологического) вектор-
векторного пространства X и (топологического) сопряженного
пространства X* соответственно, удовлетворяющая ус-
условиям:
если t=jt=s, и отлично от нуля при t=s (здесь <•, •> —
каноническая билинейная форма, спаривающая X и
X*). Напр., Б. с. является базис Шаудера и
множество, образованное коэффициентами разложения
х по нему. В гильбертовом пространстве Я со скалярным
произведением <•, ¦> и базисом {at\ множество {bs\,
удовлетворяющее условиям:
<at, bs> =8rf,
где 6^=1 при i=s и 8.^=0 при гфь, также является ба-
базисом; он наз. базисом, дуальным к {it\, и! по-
поскольку 11=11*, множества {atj и {btj образуют Б. с.
В частности, базис в И наз. ортонормирован-
н ы м, если он дуален самому себе.
Существуют, однако, Б. с, не образующие даже сла-
слабого базиса,— таково, напр., множество функций е'кх,
к?Ж, х?Л, в пространстве непрерывных периодич.
функций, наделенном нормой ||/||=sup \f(x)\.
М. И. Войцеховспий.
ВИПЛАНАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — действительное
Bга-|-1)-мерное проективное пространство, в к-ром вы-
выделены две непересекающиеся га-мерные плоскости, дей-
действительные (Б. п. гиперболич. типа) или комплексно
сопряженные (Б. п. эллиптич. типа), а фундаменталь-
фундаментальная группа состоит из проективных преобразований,
переводящих каждую из этих плоскостей в себя. Ука-
Указанные две га-мерные плоскости наз. абсолютными
плоскостями. Линейная конгруэнция действи-
действительных прямых, пересекающих каждую из абсолютных
плоскостей, наз. абсолютной конгруэн-
конгруэнцией. Эта конгруэнция служит действительной мо-
моделью га-мерного проективного пространства над алгеб-
алгеброй двойных или комплексных чисел. При п=1 Б. п.
наз. биаксиальным пространством. Со-
Совокупность свойств геометрич. образов Б. п., сохраняю-
сохраняющихся при преобразованиях фундаментальной группы,
составляет содержание биплан арной геомет-
геометрии. Наиболее подробно изучена биаксиальная гео-
геометрия (га=1), в к-рой развита теория кривых, поверх-
поверхностей И КОМПЛеКСОВ ПРЯМЫХ. А. П. Широков.
БИПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ — числа т и а,
связанные с декартовыми прямоугольными координата-
координатами х и у формулами
a sh х
ch х-cos а '
а s in а
" ch x-cos о '
где 0<а<я, — сю <
<т<оо. Координатные
линии: два семейства
окружностей (т= const)
с полюсами А и В и
семейство окружнос-
окружностей, ортогональных к
ним @= const).
Коэффициенты Ламе:
const
Оператор Лапласа:
Б. к. в пространстве (бисферические коор-
координаты) наз. числа а, т и ф, связанные с декартовы-
декартовыми прямоугольными координатами х, у и z формулами:
a sin о cos ф
ch т-cos a
У =
a sin о sin ф
ch т-cos а
a sh x
ch т-cos о '
где — оо<о"<оо, 0<:т<я, 0<:cp<2n. Координатные по-
поверхности: сферы (o"=const), поверхности, полученные
при вращении дуг окружностей (т= const), и полупло-
полуплоскости, проходящие через ось Ог. Система Б. к. в про-
пространстве образуется при вращении системы Б. к. на
плоскости Ozy вокруг оси Oz.
Коэффициенты Ламе:
- . аг
а т (ch т-cosaJ '
j о2 sin2 a
ф (cht-cos crJ "
Оператор Лапласа:
л ,_(cht-chaK Г 9 / sin a 9/
a2 sin a
Г 9 / sin a Of \ ,
[_ dx ^cht-cosa dx J '
, 9 / sin a df \ , 1 d'f
' da ^cht-cosa da J ""sin a (ch т-cos a) 9<p2 J
Д. Д. Соколов.
ВИРАЦИОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел ал-
гебраич. геометрии, основной задачей к-рого является
классификация алгебраич. многообразий с точностью до
бирациональной эквивалентности (см. Бирационалъное
отображение). Над фиксированным полем констант к
каждый класс бирационально эквивалентных многооб-
многообразий определяет конечно порожденное над к поле, изо-
изоморфное полю рациональных функций любого многооб-
многообразия из этого класса. Обратно, каждому такому полю
соответствует класс бирационально эквивалентных мно-
многообразий — моделей этого поля. Таким образом, би-
рациональная классификация алгебраич. многообразий
эквивалентна классификации с точностью до ft-изомор-
физма конечно порожденных полей над к.
Наиболее общим бирациональным инва-
инвариантом является размерность алгебраич. много-
многообразий. Для одномерных алгебраич. многообразий —
неприводимых алгебраич. кривых — в каждом классе
бирациональной эквивалентности существует единствен-
единственная с точностью до Л>изоморфизма гладкая проективная
кривая — неособая модель. Тем самым бирациональная
классификация алгебраич. кривых сводится к класси-
классификации с точностью до А-изоморфизма гладких проек-
проективных кривых, что приводит к модулей проблеме. В раз-
размерности Гз=2 задача сильно усложняется. Уже сущест-
существование гладкой модели есть проблема разрешения осо-
особенностей алгебраич. многообразий, решенная положи-
положительно (к 1977) только для поверхностей и для многооб-
многообразий произвольной размерности над полем характери-
характеристики нуль. В том случае, когда такие модели сущест-
существуют, в классе бирационально эквивалентных многооб-
многообразий их бесконечно много. Особое место среди них за-
занимают минимальные модели. Их бирациональная клас-
классификация во многих случаях совпадает с классифика-
классификацией с точностью до ^-изоморфизма, как и для кривых.
Однако даже для поверхностей (а именно, рациональ-
рациональных и линейчатых) это, вообще говоря, не так.
Основные результаты в классификации алгебраиче-
алгебраических поверхностей были получены геометрами италь-
итальянской школы (см. [1]). Для многообразий размерно-
размерности >3 имеются (к 1977) лишь отдельные результаты
(см. [3]).
Основными дискретными бирациональными инвари-
инвариантами гладких полных алгебраич. многообразий над
полем к характеристики нуль являются следующие:
арифметич. род, геометрич. род, кратный род, размер-
размерность пространства регулярных дифференциальных
форм, кручения Севери, фундаментальная группа, груп-
группа Брауэра.
Одна из важнейших задач Б. г.— проблема рацио-
рациональности алгебраич. многообразий, т. е. проблема опи-
описания рациональных многообразий — многообразий,
бирационально эквивалентных проективному простран-
пространству.
Если поле констант не является алгебраически зам-
замкнутым, то задачи Б. г. тесно связаны с алгебраических
многообразий арифметикой. В этом случае важной являет-
является проблема описания бирациональных /с-форм данного
многообразия V над полем ft, в частности, напр., когда
V=P% — проективное пространство над k (см. [2]).
Существенным в заданной задаче является описание
группы бирациональных преобразований многообра-
многообразия V.
Лит.: [1] Алгебраические поверхности, Ы 1965; [2] М а-
нин Ю. И., Кубические формы, М., 1972; [3] Roth L.,
Algebraic threefolds, В., [u.a.], 1955; [4] Ш а ф а р е в и ч И. Р.,
Основы алгебраической геометрии, М., 1972; Г5] Бапьдас-
сарри М., Алгебраические многообразия, пер. с англ., М.,
1961; [6] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Гео-
Геометрия, т. 12, М., 1974. И. В. Долгачев, В. А. Псковских
ВИРАНИОНАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, б и р а п и-
ональный изоморфизм, — рациональное ото-
отображение алгебраич. многообразий, индуцирующее изо-
изоморфизм их полей рациональных функций. В более об-
общем смысле, рациональное отображение схем /: X-+Y
наз. бирациональным отображением,
если оно удовлетворяет одному из следующих эквива-
эквивалентных условий: а) существуют такие плотные откры-
открытые множества UaX и VczY, что / определено на U
и осуществляет изоморфизм подсхем /| U: U^zV; б) если
fo'Ks/' {У/ijeJ ~ множества общих точек неприводи-
неприводимых компонент соответственно схем X и Y, то / индуци-
индуцирует биективное соответствие множеств а : I-+J и изо-
изоморфизм локальных колец Ох xp*®Y иа(-) Для каж~
дого i?I.
Если схемы X и Y неприводимы и приведены, то ло-
локальные кольца их общих точек отождествляются с по-
полями рациональных функций соответственно на X и Y.
В этом случае Б. о. /: X—*-Y индуцирует, согласно усло-
условию б), изоморфизм полей рациональных функций:
R(Y)R(X)
Схемы X и Y наз. б и рационально эквива-
эквивалентными, или б и рационально изо-
изоморфными, если существует Б. о. /: X—+-Y. Част-
Частный случай Б. о.— бирационалъный морфием.
Простейшим Б. о. является моноидалъное преобразова-
преобразование с неособым центром. Для гладких полных многооб-
многообразий размерности <:2 всякое Б. о. может быть пред-
представлено в виде композиции таких преобразований и об-
обратных к ним. В общем случае вопрос остается (к 1977)
открытым.
Лит.: [1]Шафаревич И. Р., Основы алгебраической
геометрии, М., 1972. II. В. Долгачев, В. А. Исковских.
ВИР АНИОН АЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — б и-
рациональное отображение алгебраич. многообразия
(или схемы) в себя. Б. п. иногда наз. также бирацл о-
нальными автоморфизмами. Группа всех
Б. п. алгебраич. многообразия канонически изоморфна
группе автоморфизмов его поля рациональных функций
над полем констант. Примерами Б. п. могут служить
кремоновы преобразования, в частности стандартное
квадратичное преобразование проективной плоскости,
задаваемое формулой
(xg, Xi, Х2)—*-\Х1Х2, Х0Х2, Х0Х]),
где (х0, хи х2) — однородные координаты проективной
ПЛОСКОСТИ. И. В. Долгачев, В. А. Исковских.
БИРАЦИОНАЛЬНЫЙ МОРФИЗМ — морфизм схем,
являющийся бирациональным отображением. К наибо-
наиболее важным примерам Б. м. относятся: нормализация,
раздутие, моноидальное преобразование. Любой собст-
собственный Б. м. регулярных двумерных схем разлагается
в композицию моноидалъных преобразований с неосо-
неособыми центрами (см. [2]). Для размерности, большей
двух, это уже не так.
Лит.: [1] Grothendieck A., Elements de goometrie
algebrique, ch. 2, № 8, P., 1961; [2] S a t а г e v i i I. R., Lee-
tures on minimal models, Bombay, 1966; [3] Шафаревич
И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972.
И. В. Долгачев, В. А. Исповских.
ВИРКГОФА ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА — одна из
важнейших теорем эргодической теории. Для эндомор-
эндоморфизма Т пространства X с а-конечной мерой ц Б. э. т.
утверждает, что для любой функции 1?ЬХ(Х, \и) почти
всюду (при почти всех х?Х) существует предел
Ит т2Г1о'<г*:г)=7(л:)
П-voo J—l/l = O
(временное среднее, или среднее вдоль
траектории), причем/ ?ЬХ(Х, и.), аеслии.(Х)<
<°°, то
Для измеримого потока {Tf} пространства X с инвари-
инвариантной а-конечной мерой ц Б. э. т. утверждает, что для
любой функции 1?Ьг(Х, и.) почти всюду существует
предел
T
lim -y-\Tq 1(Ttx)dt=f(x)
с теми же свойствами /.
Б. э. т. была высказана и доказана Дж. Биркгофом [1].
Она подверглась модификациям и обобщениям в раз-
различных направлениях (имеются теоремы, к-рые, поми-
помимо Б. э. т., охватывают также многие из утверждений
несколько иного рода, известные в теории вероятностей
как зргодические теоремы; имеются также эргодические
теоремы для более общих полугрупп преобразований,
см. [2]). Б. э. т. и ее обобщения наз. индивиду-
индивидуальными эргодическими теорема-
м и, т. к. в них речь идет о существовании средних
вдоль (почти каждой) отдельной траектории, в отличие
от статистических эргодических теорем —
эргодической Неймана теоремы и ее обобщений. (В за-
зарубежной литературе сходимость средних почти всюду
часто подчеркивают термином pointwise ergodic theo-
theorem.)
Лит.: [1] В i r k h о f f G. D., «Proc. Nat. Acad. Sci., U.S.A.»,
1931, v. 17; [2] К а т о к А. Б., Синай Я. Г., С т ё п и и
А. М., в сб.: Итоги науки и техники. Математический анализ,
т. 13, М., 1975. Д. В. Аносов.
ВИРКГОФА — ВИТТА ТЕОРЕМА, Пуанкаре—
Биркгофа— Витта теорема,— теорема о
представимости алгебр Ли в ассоциативных алгебрах.
Пусть G — алгебра Ли над полем k, U(G) — ее универ-
универсальная обертывающая алгебра, В — {b,-, i^I} — базис
алгебры G, линейно упорядоченный нек-рым образом.
Тогда всевозможные конечные произведения Ьа Ьа ...
Ьа , где а!<а2<:.. .<аг, образуют базис алгебры U(G)
и, таким образом, канонич. гомоморфизм: G-*-U(G)
является мономорфизмом.
Из всякой ассоциативной алгебры R может быть по-
построена алгебра Ли L(R) заменой операции умножения
в Л на операцию коммутирования
] — ху~ух.
В.— В. т. иногда формулируют следующим образом:
для всякой алгебры Ли G над любым полем к существу-
существует такая ассоциативная алгебра R над этим же полем,
что G изоморфно вкладывается в L(R).
Первый вариант этой теоремы был получен А. Пуанка-
Пуанкаре [1]. Более полное доказательство позднее дано Э.
Виттом [2] и Г. Биркгофом [3]. Утверждение теоремы
остается верным, если к — область главных идеалов [4],
в частности для колец Ли без операторов, но в общем
случае — для алгебр Ли с произвольной областью опе-
операторов — утверждение теоремы не верно [5].
Лит.: [1] Р о i n с а г ё Н., «Cambrige Phil. Trans.», 1900,
v. 18, p. 220—5; [2] W i t t E., «J. reine und angew. Math.»,
1937, Bdl77, № 3, S. 152—60; И Birklioft G., «Ann.
Math.», 1937, v. 38, № 2, p. 526—32; [4] L a z a r d M., «Compt.
rend. Acad. Sci.», 1952, v. 234, № 8, p. 788—91; [5] Ш и р ш о в
А, И., «Успехи матем. наук», 1953, т. 8, в. 5, с. 173—5; [6]
К он П., Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968; [7] К у-
р о ш А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973; [8]
С е р р Ж.-ГГ., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ. и франц.,
М., 196Я; [9] К а р т а н А., Э й л е н б е р г С, Гомологиче-
Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960. Т. С. Фофанова.
ВИСВЯЗНОЕ ПРОСТРАНСТВО — пространство, не
допускающее никакого разложения в сумму двух связ-
связных непересекающихся собственных подмножеств, со-
содержащих более ОДНОЙ ТОЧКИ. А. А. Мальцев.
ВИССЕКТОРНАЯ ПЛОСКОСТЬ двугранного
угла, биссектор, — плоскость, проходящая че-
через ребро двугранного угла и делящая этот угол попо-
пополам.
БИССЕКТРИСА у г л а — полупрямая (луч), исхо-
исходящая из вершины угла и делящая его пополам. Иначе
говоря, Б. угла — множество точек, расположенных
внутри угла и равноудаленных от его сторон. Б. тре-
треугольника — отрезок (а также его длина) Б.
внутреннего угла треугольника от вершины угла до пе-
пересечения с противоположной стороной. Б. треуголь-
треугольника делит сторону треугольника на отрезки, пропорци-
пропорциональные прилежащим сторонам. Б. треугольника пере-
пересекаются в одной точке — центре вписанной в тре-
треугольник окружности. Четверка точек (А, В, К, L),
две из к-рых А, В — вершины треугольника А ВС, К —
точка пересечения Б. угла С с отрезком АВ, L — точка
пересечения Б. внешнего угла С с прямой А В, образует
гармоническую четверку точек. А. Б. Иванов.
ВИТ — двоичная единица информации, численно
равная количеству информации в испытании с двумя
взаимно исключающими равновероятными альтернати-
альтернативами (pi=p2=V2):
log22=l «бит»
в случае, если логарифмы берутся по основанию 2. Б.
является самой распространенной единицей, но при-
приняты и другие единицы информации — «хартли» или
«нит», в определении к-рых используются, соответствен-
соответственно, десятичные или натуральные логарифмы.
А. В. Прохоров.
БИФАКТОРНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — отображение
/ топологич. пространства X в топологич. пространство
У, при к-ром из любого покрытия открытыми в X мно-
множествами прообраза f~1(y) любой точки y^f(X) можно
выбрать конечное число множеств так, чтобы у лежала
внутри образа их объединения. Особенно важно, что
произведение любого множества Б. о. является бифак-
бифакторным отображением. Б. о. составляют обширный
класс факторных отображений и тем не менее сохра-
сохраняют тонкие топологич. свойства пространств. Так,
непрерывные бифакторные «-отображения сохраняют
точечно счетную базу, факторное s-отображение прост-
пространства с точечно счетной базой на пространство точеч-
точечно счетного типа является бифакторным, в. в. Филиппов.
БИФУНКТОР — отображение Т: 21Х23->-33, опре-
определенное на декартовом произведении категорий 31 и 5В
со значениями в (?, сопоставляющее каждой паре объ-
объектов А ?3(, B^SS нек-рый объект С?($ и каждой па-
паре морфизмов
а: А-+А', p.- B-+B'
морфизм
Г (а, Р): Т(А',В)-+Т(А,В').
Как правило, требуется также выполнение условий
Г (а'о а, р" о Р) = Г (а, fi')°T(a.', P).
В этом случае говорят, что Б. Т контравариантен по
первому аргументу и ковариантен по второму.
В. Е. Говоров.
БИФУРКАЦИЯ — термин, употребляемый в нек-рых
разделах математики применительно к ситуации, когда
нек-рый объект ?)=?)(к) зависит от параметра к (не
обязательно скалярного) и в любой окрестности нек-ро-
го значения к0 последнего (бифуркационное
значение, или точка Б.) исследуемые качест-
качественные свойства объекта О(Я) не являются одинаковы-
одинаковыми для всех к. Соответствующие точные определения
различны в различных случаях, но в общем они следуют
(с теми или иными модификациями) двум вариантам:
а) Изучаемые качественные свойства объекта О
состоят в существовании других объектов О, определен-
определенным образом связанных с ним. Б. состоит в том, что при
изменении к объекты О возникают или исчезают (в ча-
частности, они могут сливаться друг с другом, или из од-
одного объекта может «рождаться» несколько). См. ни-
ниже — п. 1).
б) Сначала для объектов ?)(к) определяется, когда
два таких объекта считаются эквивалентными. (Опреде-
(Определение должно быть таким, чтобы у эквивалентных объек-
объектов все интересующие нас качественные свойства были
одинаковыми.) Изменение качественных свойств ??(к)
в окрестности точки Б. Яо, по определению, понимается
в том смысле, что там имеются значения к с неэквива-
неэквивалентными О(Я). См. ниже — п. 2).
1) В теории операторов исходный объект ?)(Я) — это
нелинейный оператор Ф (х, к) в действительном банахо-
банаховом пространстве, с действительным параметром к,
определенный в окрестности точки х=0 и такой, что
Ф@, Я)=0. Ему при каждом фиксированном к сопостав-
сопоставляются другие объекты О — решения х нелинейного опе-
операторного уравнения Ф (х, Л) = 0. Точка Б.— это точка,
в к-рой происходит рождение нового, нетривиального
решения этого уравнения. Именно, это такая точка
%0, что для любого е>0 существует к, \к— Хо| <е, при
к-ром уравнение х=Ф (х, к) имеет решение х(к), удов-
удовлетворяющее условиям 0<||г(Я)||<е. Если Ф (х, Л)=
=ЯЛх, где Л — линейный вполне непрерывный оператор,
то понятие точки Б. совпадает с понятием характери-
стич. значения оператора А.
Если Ф (х, к) — нелинейный вполне непрерывный
оператор, непрерывно дифференцируемый в смысле
Фреше и такой, что ФЛ@, Я)=Ы, то точками Б. опера-
оператора Ф могут служить лишь характеристич. значения
оператора А. Топологич. методом (см. [1], [2]) установ-
установлено, что каждое нечетнократное (в частности, простое)
характеристич. значение оператора А является точкой
Б. оператора Ф. Аналогичное достаточное условие для
случая четнократных характеристических значений
формулируется с помощью понятия вращения вектор-
векторного поля.
Если х=0 — неизолированное решение уравнения
х=Ф (х, к), то к0 есть точка Б. оператора Ф. Вариацион-
Вариационным методом доказано (см. [1], [2]), что если Ф (х) —
нелинейный вполне непрерывный оператор в гильберто-
гильбертовом пространстве, являющийся градиентом слабо непре-
непрерывного функционала, а Л=Ф'@) — вполне непрерыв-
непрерывный самосопряженный оператор, то каждое характери-
характеристич. значение оператора А является точкой Б. опера-
оператора Ф. Понятие точки Б. видоизменяется также на слу-
случай больших решений х(к)—>-оо при к—*-к0. Важное зна-
значение этих понятий и результатов состоит в том, что при
сравнительно слабых ограничениях удается установить
ветвление решения х=0, в частности доказать не-
неединственность решения нелинейной задачи. В ряде слу-
случаев более точную информацию дают аналитич. методы
теории ветвления решений нелинейных уравнений
(см. [5]).
2) В теории гладких динамич. систем рассматривают-
рассматриваются однопараметрические (и отчасти двупараметрические
[6]) семейства потоков (и каскадов; здесь рассматривают-
рассматриваются лишь первые), причем выясняется, когда Б. «типич-
«типичная», т. е. сохраняет свой характер при малом измене-
изменении рассматриваемого семейства [9]; употребительны оба
варианта а) и б). При втором два потока считаются эк-
эквивалентными, если существует гомеоморфизм фазового
пространства, переводящий траектории одного из них в
траектории другого с сохранением направления движе-
движения. Имеется вполне удовлетворительная теория Б. од-
нойараметрич. семейств потоков с двумерным фазовым
многообразием [7], [9], а также локальный вариант, от-
относящийся к окрестности положения равновесия или
периодич. решения в «-мерном случае [6].
В варианте а) изучаемые объекты О, к-рые сопостав-
сопоставляются данной динамич. системе,— это положения рав-
равновесия и периодич. решения, а иногда также нек-рые
инвариантные многообразия (преимущественно торы)
и гиперболич. инвариантные множества. Рассматривает-
Рассматривается «рождение» этих объектов, происходящее как «ло-
«локально», возле нек-рого положения равновесия или пе-
периодич. решения, так и «полулокально», в окрестности
«замкнутого контура», образованного несколькими тра-
траекториями, к-рые при t—v±oo стремятся к положению
равновесия или к периодич. решениям. Возможен слу-
случай В., к-рая в определенном смысле связана с подоб-
подобным контуром, но к-рая происходит (с изменением па-
параметра к) еще до его возникновения [8]. Часто рождение
периодич. решений бывает удобно рассматривать, пере-
переписывая дифференциальное уравнение и условие перио-
периодичности в виде интегрального уравнения и применяя
к нему соответствующие методы [5].
3) В теории особенностей отображений встречаются
разнообразные Б. различных объектов (как исходных,
так и сопоставленных им), в связи с чем имеются различ-
различные случаи использования этого термина (вернее, про-
производных от него) (см. [10], [6], [11]), но еще чаще соот-
соответствующие понятия получают самостоятельные на-
названия. Таковы, напр., версальные семей-
семейства (или деформации) (см. [6], [11], [12]), к-рые (в
нек-ром смысле) описывают все возможные Б., могущие
произойти при малой деформации рассматриваемого
объекта, в частности сюда относятся семь элемен-
элементарных катастроф [12], к-рые представляют
собой «типичные» ^-параметрические (&<4) семейства
функций, включающие функцию с вырожденной крити-
критической точкой и определенные в окрестности последней;
тем самым они описывают соответствующую Б. (Вообще,
в иностранной литературе по теории особенностей вме-
вместо Б. часто говорят о «катастрофах».)
Лит.: [1] Красносельский М. А., Топологические
методы в теории нелинейных интегральных уравнений, М., 1956;
[2] Функциональный анализ, М., 1964; [3] Красносель-
Красносельский М. А., Положительные решения операторных уравне-
уравнений, М., 1962; [4] В а й н б е р г М. М., Вариационные методы
исследования нелинейных операторов, М., 1956; [5] В а й н-
берг М. М.,Треногий В. А., Теория ветвления решений
нелинейных уравнений, М., 1969; [6] Арнольд В. И.,
«Успехи матем. наук», 1972, т. 27, в. 5, 119—84; [7] Андро-
Андронов А. АЛ еонтович Е. А., Гордон И. И., Май-
ер А. Г., Теория бифуркаций динамических систем на пло-
плоскости, М., 1967; [8] Гаврилов Н. К., Шильников
Л. П., «Матем. сб.», 1972, т. 88, № 4, 475—92; 1973, т. 90, № I,
139—56; [9] Р е i х о t о М. М., в кн.: Proceedings of the Inter-
International Congress of Mathematics, Vancouver, 1974, v. 2, p.
315—19; [10] Том Р., «Успехи матем. наук», 1972, т. 27, в.
5, 51—7; [11] Арнольд В. И., «Успехи матем. наук», 19 75,
т. 30, в. 5, 3—65; [12] В rocker P., Lander L., Dif-
ferentiable germs and catastrophes, Cambrige, 1975.
Д. В. Аносов, В. А. Треногий.
БИХАРАКТЕРИСТИКА, луч, дифференциального
оператора — линия, по к-рой происходит касание лю-
любых двух характеристик
ф(*1. •¦•,я«) = 0 и ipfo, ...,xn)=0
этого дифференциального оператора. Если на Б. ввести
параметр s, то ее уравнения x, = x,(s), i=l, .. ., re, опре-
определяются из решения системы 2ге обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений
xi(s) = Qli, i,. = _Qx_, i = l, ..., re, (*)
где <?(?!, ..-, ln, xu ..., xn) — характеристич. форма
дифференциального оператора, точка означает диффе-
дифференцирование по параметру s, а уравнение Q=0 при
!( —ФЖ1~ характеристич. уравнение дифференциаль-
дифференциального оператора. Таким образом, решение x, = x,(s); ?,-=
= li(s), i=l, ..., п, системы (*) задает характеристич.
полосу уравнения Q=0. Эта характеристич. полоса при-
принадлежит характеристике <f(x1,...,xn) = 0, то есть
ф(ж1(.?), ..., xn(s))==0, если хотя бы при одном зна-
значении s справедливы равенства
<p(x1(s), ..., xn(s))=0
И
Si (*) = ф*,- (*i(«). •••> *л («)), i = l, ..., re;
тогда эти равенства выполнены при всех значениях s.
Лит.: [1] Курант Р., Уравнения с частными производ-
производными, пер. с англ., М., 1964. Б. Л. Рождественский.
ВИЦАДЗЕ УРАВНЕНИЕ — дифференциальное урав-
уравнение с частными производными, к-рое в комплексной
записи имеет вид
4w-- ss wxx + 2iwxy — wVy = О,
где w(z) — u-\-iv, z=xJriy, и к-рое сводится к эллиптич.
системе
ихх Uyy ?vxy =¦¦ v,
vxX—vyy + 2uXy = 0
с действительными независимыми переменными х и у.
Для Б. у. (и сопряженного с ним уравнения) однород-
однородная задача Дирихле в круге С: \z— zo|<e, любого, пусть
даже сколь угодно малого, радиуса е имеет бесконечное
множество линейно независимых регулярных решений
(см. [1]). Задача Дирихле для неоднородного уравнения
w--=f в круге С, не будучи ни фредгольмовой, ни не-
22
теровой — нормально разрешима по Хаусдорфу; эта же
задача в области с границей, содержащей отрезок пря-
прямой у = 0, не является даже хаусдорфовой, хотя одно-
однородная задача имеет только нулевое решение (см. [2]).
Лит.: [1] Бицадзе А. В., «Успехи матем. наук», 1948,
т. 3, в. 6 B8), с. 211 —12; [2] его же, Краевые задачи для
эллиптических уравнений второго порядка, М., 1966; [3] М и-
ранда К., Уравнения с частными производными эллипти-
эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [4] Б е р с Л., Джон Ф.,
Шехтер М., Уравнения с частными производными, пер. с
англ., М., 1966. А. М. Нахушев.
БИЦИКЛИЧЕСКАЯ ПОЛУГРУППА — полугруппа
с единицей и с двумя образующими а, Ь, заданная опре-
определяющим соотношением ab=l. Одна из реализаций
Б. п.— декартов квадрат NXN, где Л' — множество
неотрицательных целых чисел относительно операции
(к, 1)-*(т, re) = (fc + m— min (I, m), Z + и — min(I, m))_
Б. п. является инверсной полугруппой и как инверсная
полугруппа м о н о г е н н а, т. е. порождена одним
элементом. Идемпотенты Б. п. образуют цепь, упоря-
упорядоченную по типу неотрицательных чисел. Б. п. бипро-
ста (см. Простая полугруппа).
Б. и. нередко возникают в теоретико-полугруп-
теоретико-полугрупповых исследованиях, не только как один из предста-
представителей нек-рых важных классов полугрупп, но и
в качестве «блоков», определяющих строение тех или
иных полугрупп. Напр., для всякого идемцотента е
0-простой, но не вполне О-простой полугруппы S суще-
существует бициклическая подполугруппа в S, содержащая
е в качестве единицы (см. [1], § 2. 7). Указанные в опре-
определении элементы а и Ь Б. п. В будут соответственно ее
левым и правым увеличительными элемен-
элементами (т. е. существуют такие собственные подмно-
подмножества ХиГвВ, что aZ = l?, Yb = B). Более того, в по-
полугруппе S с единицей е элемент с будет левым увеличи-
увеличительным тогда и только тогда, когда S содержит бици-
клическую полугруппу, единица к-рой совпадает с е, а
роль элемента а играет с; аналогичное утверждение
верно для правых увеличительных элементов, так что
S обладает левыми увеличительными элементами тогда
и только тогда, когда она обладает правыми увеличи-
увеличительными элементами.
Лит.: [1] Клиффорд А., Престон Г., Алгебраи-
Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1—2, М., 1972; [2]
Ляпин Е. С, Полугруппы, М., 1960. Л. Н. Шеврин.
БИЦИЛИНДР — см. Вицилиндрическая область.
ВИЦИЛИНДРИКА — две замкнутые линии, полу-
получающиеся в пересечении двух цилиндров, оси к-рых
пересекаются под прямым углом. Параметрич. уравне-
уравнения Б.
y=± Yb2 — a2 sin2 t, z=asini,
где а и Ь — радиусы цилиндров, t — параметр. При
а=Ъ Б. представляет собой пару равных эллипсов.
Е. В. Шикин.
БИЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБЛАСТЬ — область D
в комплексном пространстве С2, представимая в виде
декартова произведения двух плоских областей D1 и
Z>2i т°
Частным случаем Б. о. является бикруг (бици-
(бицилиндр) В (a, r)= {(zj, z2) : \zt — a^Kr-^, |z2 — a2l<r2}
радиуса г=(г1, r2) с центром в точке а=^(а1, аг). Декарто-
Декартово произведение п (для тг^З) плоских областей наз.
пол и цилиндрической областью. Ана-
Аналогично определяется и поликруг (полицилиндр).
М. Ширинбеков.
БИЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ - числа
т, о" и z, связанные с декартовыми прямоугольными ко-
координатами х, у и z формулами
a sh т a sin a
x = —г , у = -г , z = z,
clix-cosa " cnx-cosCT ' '
где 0<:o"<jx, — оо<т<оо. Координатные поверхности:
семейство пар круговых цилиндров с параллельными
осями (x=const), семейство круговых цилиндров, орто-
ортогональных к ним (a= const), и плоскости (z=const).
Система Б. к. образуется в результате параллельного
переноса вдоль оси Oz системы биполярных координат
на плоскости Оху.
Коэффициенты Ламе:
Т Г
ьа -ьх — (с,1Т_С080)г
Оператор Лапласа:
Д. Д. Соколов.
БЛИЗНЕЦЫ, простые близнецы,— два
простых числа с разностью, равной 2. Обобщенные
близнецы — пары соседних простых чисел с раз-
разностью 2т, где т ~ фиксированное натуральное число.
Пользуясь таблицей простых чисел, легко указать при-
примеры Б. Это 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19. Обобщенными
Б. будут для т = 2, напр., 13 и 17, 19 и 23, 43 и 47. До
сих пор A977) неизвестно, бесконечно ли множество Б.
и даже обобщенных Б. для к.-л. фиксированного т.
В этом заключается проблема близнецов.
Лит.: [1] X у а Л о-г е н, Метод тригонометрических сумм
и его применения в теории чисел, пер. с нем., М., 1964; [2]
Т р о с т Э., Простые числа, пер. с нем., М., 1959. Н. И. Климов.
БЛИЗОСТИ ПРОСТРАНСТВО — множество Р с би-
бинарным отношением б на множестве всех его подмно-
подмножеств, удовлетворяющее следующим аксиомам:
1) АЬВ равносильно ВЬА (симметричность);
2) А б (В U С) равносильно А ЬВ или АЬС (аддитив-
(аддитивность);
3) АЬА равносильно Аф0 (рефлексивность). Отно-
Отношение б определяет близостную структуру, или просто
близость, на Р; при этом, если АЬВ, то А ж В наз.
близким и множествами, а если А 8В (б означает
отрицание б),— то д а л е к и м и. Б. п. введены в 1936
(опубликовано в 1951, см [1]). Свойства Б. п. являются
обобщением равномерных свойств метрич. пространства
аналогично тому, как в топологпч. пространстве обоб-
обобщаются его непрерывные свойства. Попытка введения
структуры, до нек-рой степени аналогичной близостной,
была предпринята в [3], когда еще не вполне оформилось
понятие топологич. пространства, и вместо замыкания
рассматривалось производное множество: введенное там
отношение между множествами соответствовало у них
общей (быть может, «идеальной») точки прикосновения.
Более содержательны понятия близости, удовлетво-
удовлетворяющие, кроме 1) — 3), дополнительным аксиомам,
аналогичным аксиомам отделимости; такова, напр.,
хаусдорфова близость, к-рая удовлетво-
удовлетворяет аксиоме: {х}8{у} равносильно х=у (при этом вме-
вместо 3) достаточно принять ее следствие: 060); нор-
нормальная близость, характеризующаяся ак-
аксиомой: если А 8В, то существуют непересекающиеся
подмножества U и V такие, что A8(P*\U) и B8(P\V).
Появление аксиом Б. п., естественно симметризую-
щих аксиомы топологич. пространства, сформулирован-
сформулированные в терминах замыкания (т. е. близости множества и
точки), стало возможным после того, как было установ-
установлено, что свойство отображений /: Му-*-М2 метрич. про-
пространств, состоящее в том, что любые множества, лежа-
лежащие в Mi на нулевом расстоянии, имеют в М2 образы,
также расположенные бесконечно близко, в точности
эквивалентно равномерной непрерывности. (Аналогич-
(Аналогичное топологич. свойство / [K]<z:[fK], где [А'] — замыка-
замыкание К, иногда принимается за определение непрерыв-
непрерывности.) Таким образом, всякая метрика dist на множест-
множестве Р порождает близость на нем: АёВ эквивалентно
dist (A, 1?) = 0, причем 8-непрерывность в смысле послед-
последней эквивалентна равномерной непрерывности [2];
Б. п., для к-рых такая метрика возможна, наз. метр п-
зуемыми. Близостная структура порождает топо-
топологич. структуру, замыкание множества К определяет-
определяется следующим образом: х?[К] тогда и только тогда,
когда {х\8К; при этом из б-непрерывности отображения
вытекает его непрерывность в этой топологии. Б. п.,
порождающие одну и ту же топологию, не обязательно
6-изоморфны: так, плоскости Евклида и Лобачевского
не б-изоморфны, хотя и гомеоморфны [2]. Топология
хаусдорфовых близостей хаусдорфова; напротив, из
близостной нормальности следует лишь полная регу-
регулярность: замкнутые непересекающиеся множества не
обязательно далеки. Более того, всякая вполне регу-
регулярная топология порождается нормальной близостью,
причем бикомпактная — единственной. Поскольку про-
произвольные далекие множества в Б. п. можно отделить
6-непрерывной функцией [2], они функционально отде-
отделимы в смысле его топологии; те Б. п., для к-рых верно
обратное, наз. пространствами близо-
близости Стоуна — Чеха.
С наличием топологии в Б. п. связаны нек-рые обоб-
обобщения близостной структуры, к-рые обычно сводятся
к замене аксиомы нормальности какой-либо более
слабой.^ Таковы, напр., близость Лодато:
если А6В, то АЬ[В]; близость Федорчука
F-близость): АЬВ равносильно существованию откры-
открытого C^dA, для к-рого внутренность замыкания
Int [С] совпадает с А и притом Л6(Х\[С]); и т. д.
Естественность понятия Б. п. проявляется еще и в
том, что всякое Б. п. имеет бикомпактное расширение
и притом единственное; таким образом, гомеоморфные
Б. п. взаимно однозначно соответствуют бикомпактным
расширениям порождаемого ими топологич. пространст-
пространства, б-непрерывное отображение, т. е.
такое отображение /: P^Q, что для любых А, BczP из
АЬВ следует fAefB, и только оно продолжается в непре-
непрерывное отображение P—>-Q бикомпактных расширений.
Высказанные утверждения, впервые сформулированные
в терминах Б. п. в [41, были доказаны, по существу,
еще в 1948 П. Самюэлем (P. Samuel). При изучении
компактификаци» равномерных пространств им было
установлено [10], что не всякие, а только нек-рые равно-
равномерные пространства (так наз. прекомпакт-
н ы е — пространства с бикомпактными пополнениями)
можно равномерно непрерывно вложить в бикомпакт,
однако для каждого равномерного пространства суще-
существует единственное бикомпактное расширение E-реф-
лексия) г : P-+SP (обратное отображение г-1 лишь не-
непрерывно, но не равномерно непрерывно), причем на
это расширение можно продолжить все окружения
нек-рого типа, напр., все окружения вида РХР\АХВ.
Таким образом, равномерные структуры разбиваются
на классы эквивалентности,— две равномерности экви-
эквивалентны, если они имеют одну и ту же 5-рефлексию.
Близость в равномерном пространстве вводится усло-
условием: А ёВ, если для любого окружения Q имеет месте
(A XB)(~\Q^=0; построенное вложение, равно как и
указанная эквивалентность, есть б - и з о м о р ф и з м.
т. е. взаимно однозначное и б-непрерывное отображение.
Взаимно однозначное соответствие между близостями
и компактификация.ии привело к тому, что в течение
довольно длительного времени после обнаружения фак-
факта старались исследовать главным образом те свойства
этих пространств, к-рые формулируются непосредствен-
непосредственно в терминах бикомпактных расширений. Таковы,
напр., размерности ed (но не Ad) [6], близостный вес,
близостная связность и т. п. На простое свойство бли-
зостной связности, т.е. свойство: из АХ(Р\А)Ф0
следует АёР\А, обратил внимание еще Г. Кантор
(G. Cantor), к-рый определил континуум (не путать с вве-
введенным позже канторовым континуумом!) как близостно
связное полное подпространство в Е". Хотя, в принци-
принципе, все свойства Б. п. Р заключены в свойствах инъек-
цни Р—»-Р, все они, во-первых, отнюдь не обязательно
заключены в свойствах самого Р, во-вторых, не извест-
известно, каким именно особенностям инъекции Р-^-Р соот-
соответствуют такие свойства Р, как, напр., метризуемость,
полнота, правильность. Б. п. ценны именно тем, что с
их помощью можно изучать компактифпкации, но не
наоборот. Свойства Б. п., не описываемые непосредст-
непосредственно в топологич. терминах, наз. равномерны-
м и. Первым систематически изученным равномерным
свойством Б. п. явилась полнота: попытки ввести филь-
фильтры Коши или фундаментальные последовательности
в терминах бикомпактных расширений не увенчались
успехом.
Покрытие со наз. равномерным покрыти-
покрытием Б. и. Р, если с него начинается измельчающаяся
последовательность coi^coj^xj^^. • • звездно вписанных
покрытий (т. е. St (x, 4>n + 1)CZ?/?со„), причем ни одно
из них не разрывает близких множеств, т. е. всегда
L6P\St(L, ш„).
Множество равномерных покрытии Б. п. совпадает с
объединением всех равномерных структур, совместимых
с этим пространством [4]. Можно также определить рав-
равномерные покрытия как прообразы при всевозможных
6-непрерывных отображениях в метрич. пространства
покрытий, имеющих положительное лебегово число.
Полнота, определенная с помощью фильтров
Коши — таких фильтров Ф, что Ф(~) &Ф0 для любо-
любого равномерного покрытия со,— соответствует интуи-
интуитивным представлениям и совпадает с метрической для
метризуемых пространств. Для полноты Б. п. достаточ-
достаточно, чтобы какое-либо из совместимых с ним равномер-
равномерных пространств было полным. Неизвестно A977), не-
необходимо ли это условие; во всяком случае, контр-
контрпримеры могут доставляться только неправильными
(см. ниже) Б. п. Построены [5] пополнения Б. п. как
наименьшие (уже не единственные) полные расширения;
одновременно пополнения суть наибольшие расшире-
расширения, на к-рые продолжаются все равномерные покрытия
в виде равномерных же покрытий, а также все б-непре-
рывные отображения в полные Б. п. (другими словами,
подкатегория полных Б. п.— наряду с подкатегорией
бикомпактных пространств — рефлексивная катего-
категория). Пространства с бикомпактными пополнениями
(т. е. прекомпактные пространства) характеризуются
тем, что из каждого их равномерного покрытия можно
выбрать конечное равномерное подпокрытие.
Произведение Б. п. Р и Q первоначально вводили,
индуцируя на теоретико-множественное произведение
близость из топологич. произведения PXQ их биком-
бикомпактных расширений. Такое произведение, несмотря на
то, что оно идентично с произведением в смысле катего-
категории Б. п., все же неудовлетворительно геометрически и
пригодно главным образом для построения экзотиче-
экзотических примеров: так, это произведение (обозначаемое
обычно Р -Q) двух бесконечных дискретных пространств
недискретно и даже неметризуемо, двух прямых ли-
линий — неметризуемо и анизотропно: поворот получив-
получившейся «плоскости» на острый угол не будет б-изоморфиз-
мом, и т. п.
Близостным произведением двух (и ана-
аналогично любого числа) Б. п. Р и Q наз. произведе-
произведение, наделенное грубейшей близостью [7], в к-рой рав-
равномерны все декартовы произведения равномерных по-
покрытий факторов, т. е. все покрытия вида co(X)i|)=
= {UXV, U?(?>, F?i|)}. Требование б-непрерывности
обеих проекций PXQ-^>-P и PxQ^r-Q эквивалентно ана-
аналогичному условию лишь для конечных равномерных
покрытий. Для равномерных пространств, в отличие от
Б. п., оба определения эквивалентны, так как подкате-
подкатегория метрич. пространств не замкнута относительно
декартова произведения в категории Б. п., хотя замк-
замкнута в категориях топологических и равномерных про-
пространств. Близостное произведение можно понимать
как естественное распространение функтора произведе-
произведения с подкатегории метризуемых Б. п. на все Б. п., т. е.
близость произведения Q1X Q2 представляет собой гру-
грубейшую близость, в к-рой б-непрерывность любого ото-
отображения f±Xf2' Q1XQ2-^>-M1XM2, где Af/ — метрич.
пространства, следует из б-непрерывности обоих ото-
отображений /,-: Qi—>-Mi, если под М1X М2 понимать обыч-
обычное произведение метрич. пространств [7].
Незамкнутость подкатегории метрич. пространств
приводит к непривычному, но неизбежному следствию:
«вектор-функция» Р—>-А ХВ, у к-рой обе «координатные»
функции Р—>-А и Р^г-В б-непрерывны, не обязательно б-
непрерывна (причем безразлично, что понимается под А
и В: произвольные Б. п. или только метризуемые),
лишь бы произведение метрич. пространств понималось
в обычном смысле. Те Б. п., для к-рых указанного яв-
явления не происходит, наз. правильными. Пра-
Правильные Б. п. можно определять также, как такие, у
к-рых проекция диагонали в РхР является б-изомор-
физмом. В правильных Б. п. и только в них пересече-
пересечение о)(П)'Ф= {&ГП V, U?w, V ?^} двух равномерных по-
покрытий снова есть равномерное покрытие, и совокуп-
совокупность всех таких пересечений является равномерно-
равномерностью [7].
Для произвольного Б. п. Р имеется грубейшее пра-
правильное пространство Р\, мажорирующее Р,— так наз.
поправление. Поправление Р\ является в то же
время тончайшим Б. п., на к-рое продолжаются любые
отображения вида М-+Р, где М — метризуемо (т. е.
отображение М-+Р\ б-непрерывно, если отображение
М—>-Р б-непрерывно). Утверждение остается верным,
если М заменить на произвольное правильное Б. п. Q;
таким образом, множества б-непрерывных отображений
Q—>-Р и Q-^>-P\ находятся в естественном взаимно одно-
значном соответствии, т. е. подкатегория правильных
Б. п. корефлективна, а функтор «!» является кореф-
лектором. Метризуемые Б. п. правильны (и проекция
Р\—>-Р — гомеоморфизм), подкатегория метрич. прост-
пространств замкнута относительно декартова произведения в
категории правильных пространств. Кроме метриче-
метрических, правильны прекомпактные пространства, более
того, утверждение: если для всех Q из Q\ = P следует
Q=P,— эквивалентно прекомпактности Р.
Поправления произведений «¦» и «X» совпадают:
(Р-Q)\ = (PXQ)\ = (P\XQ\)\. Таким образом, произведе-
произведение Р-Q почти всегда неправильно, поскольку совпаде-
совпадение Р -Q=PxQ имеет место тогда и только тогда, когда
один из факторов прекомпактен; неизвестно A977),
правильно ли произведение правильных Б. п.
Теория размерности Б. п. имеет нек-рые особенности.
Прежде всего, для Б. п. рассматриваются две размер-
размерности «по покрытиям» 8d и Ad (определенные аналогич-
аналогично топологич. размерности dim, но с использованием
конечных или, соответственно, произвольных равномер-
равномерных покрытий), и только одна индуктивная размерность
б Ind, аналогичная размерности Ind, с заменой непере-
непересекающихся множеств на далекие [И]. Однако близост-
ный аналог перегородки нетривиален: множество Н
«освобождает» далекие множества А и В, если НЬА [JB
hk3H6UzdA исследует U=VX W, причем A czVbW^B.
Нет примера A977) несовпадения хотя бы каких-нибудь
двух из этих трех размерностей. Размерность bd конеч-
конечно аддитивна, и 6dP = dim Р; если Р плотно в Q, то
6dP = 6dQ. Размерность 6Ind не меньше размерности 6d
и тоже не может уменьшаться при переходе к плотному
подпространству, хотя неизвестно A977), может ли она
при этом увеличиваться; при переходе к пополнению она
сохраняется. Для метризуемых пространств 6Ind Л/<:
¦z^AdM, в произвольном пространстве выполнено либо
AdP = 6dP, либо AdP=oo. Построено несколько приме-
примеров равномерных пространств с несовпадающими раз-
размерностями, но ни одна из этих конструкций не верна
для Б. п. В близостном произведении NXN, где iV ди-
дискретно и счетно, совпадение размерностей Ad и 6d
происходит в том и только в том случае, когда это Б. п.
правильно [8]. Одновременно из неправильности NXN
следует нарушение, монотонности для Ad (так как
Ad (NXN) = 0).
Лит.: [1] Ефремович В. А., «Докл. АН СССР», 1951,
т. 76, с. 341—3; [2] е г о же, «Матем. сб.», 1952, т. 31, JV» 1,
с. 189—200; [3] R i e s z F., «Atti del IV Congresso Jntern. dei
Matem. Roma, 1908», v. 2, Roma, 1909, p. 18—24; [4] Смир-
Смирнов Ю. М., «Матем. сб.», 1952, т. 31, № 3, с. 543—74; [5] его
ж е, «Тр. Моск. матем. об-ва», 1954, т. 3, с. 271—306; 1955, т.
4, с. 421—438; [6] е г о же, «Матем. сб.» 1956, т. 38, № 3, с.
283—302; [7] П о л я к о в В. 3., «Матем. сб.», 1965, т. 67,
N° 3, с. 428—39; [8] е г о же, там же, 1965, т. 68, № 2, с.
242—50; [9] е г о же, там же, 1968, т. 76, JVi 4, с. 593—604;
[10] Samuel P., «Trans. Amer. Math. Soc.» 1948, v. 64, p.
100—32; [11] Isbell J., «Pacif. J. Math.», 1959, v. 9, p.
107 — 21. В.З.Поляков.
БЛИЗОСТЬ — см. Близости пространство.
БЛОК-СХЕМА — система подмножеств конечного
множества, удовлетворяющая нек-рым условиям, свя-
связанным с частотой появления пар элементов множества
в подмножествах системы. Понятие Б.-с. возникло в тео-
теории планирования эксперимента в 20—30-х гг. 20 в.,
однако под названием тактических конфигураций Б.-с.
изучались уже в сер. 19 в. Понятие Б.-с. является ва-
вариантом понятий гиперграфа, сети, комплекса. Обычно
в Б.-с. на семейства подмножеств накладывается целый
ряд дополнительных ограничений. Б.-с. можно задать
парой множеств (V, В), где
V = {alt а2 av}, В = {В1, В2, ..., Вь},
B;<=V, i = l, ..., Ъ.
Элементы множества V наз. элементами Б.-с, а
элементы множества В — ее блоками. Элемент а,-
и блок Bj инцидентны, если a^Bj. Число \Bj\
элементов, инцидентных блоку Bj, обозначается обычно
через к.-, а число блоков, инцидентных элементу а,-,—
через г,-. Через Хц обозначается число
\{B/:ai?BJ, сц g Bf\ | .
Числа v, b, г,-, Ay, Я,,-г (i, Z=l, ..., v, /=1, .--, 6) наз.
параметрами Б.-с. Если r, = r для всех г=1, .. ., v,
к~к для всех /=1, • ••,?>, а кц=к, то (F, .5) есть
уравновешенная неполная Б.-с, или
BIB -схема (от английского balanced incomplete
block design) с параметрами v, b, г, /с, X. Слово «уравно-
«уравновешенный» характеризует одинаковую частоту появле-
появлений элементов и пар элементов в блоках, а слово «не-
«неполный» служит для указания того, что, вообще говоря,
не все ^-элементные подмножества входят в В.
Пусть среди чисел Кц, i, 2=1, . . ., v, встречается ров-
ровно т различных: Хг, Х2, •••, Ят, и пусть на элементах
множества V введено т симметричных отношений
связанности так, что выполнены следующие
условия:
а) множество F2 всех пар элементов множества V
разбивается на т непересекающихся подмножеств \'\,
VI, ..., V%i, причем если (а, а') 2
элементы а и а' /-связаны;
V2/, то говорят, что
б)
B
y,
в) | |а:Эа' (а, а')
г) | \а":(а", a) g F,2, (а", а')
' ? Bj, (а, а') ? V2}
т, 7=1, ..., Ь;
? FJj [ =n,-, i = 1, .
j, (а, а') ?
m;
p\
k=l,
m.
причем в силу симметричности pl-k=p\-, i,j,
Б.-с. со свойствами а) — г) наз. частично урав-
уравновешенной Б.-с. cm типами связей,
или PBIB(m)-c х е м о й (от английского partially ba-
balanced incomplete block design). Правило, задающее от-
отношение связанности, наз. схемой связанно-
связанности. BIB-схема является PBIB A)-схемой. Примером
РВ1ВB)-схемы является Б.-с, к-рую можно предста-
представить в виде таблицы
1112 2 2 3 3 3
456456456
789978897,
10 11 12 11 12 10 12 10 11
где любые два числа из одного столбца 1-связаны, а лю-
любые два числа, не принадлежащие одному столбцу,—
2-связаны. Здесь у=12, 6=9, г=3, к=А, Хх-=1, Х2=0,
71^=9, Я2=2,
= 1! Pjk l| —
0 2
I 2 II
\P/k\\ =
1 0
0 9
Всякой Б.-с. с v элементами и Ъ блоками соответствует
матрица инцидентности А=^ \\с,-А\, где
с,-у-= 1, если а;?В;-, и с,у = 0 в противном случае, г=1,
..., v, /=1, ..., Ъ. В теории Б.-с. рассматриваются во-
вопросы существования, классификации и вопросы, свя-
связанные с построением Б.-с. с заданными параметрами.
Параметры Б.-с. связаны определенными соотношения-
соотношениями. Для BIB-схем справедливы равенства:
vr=kb, A)
Uv-i)=r(k—1).
Для параметров PBIB (то)-схем справедливы равенство
A) и следующие соотношения:
njP'ik
rij, если i Ф j,
rij—1, если i = /, i, y=l,
m,
Матрица инцидентности В IB-схемы удовлетворяет о с-
новному матричному соотношению
AAT = (r — K)E + U, B)
где Е — единичная матрица порядка v, a / — матрица
порядка v, составленная сплошь из единиц. Существова-
Существование @,1)-матрицы, удовлетворяющей условию B), яв-
является достаточным условием существования В IB-схемы
с заданными параметрами. Из B) вытекает неравенство
b^v. BIB-схема, для к-рой Ь=и (и значит г=к), наз.
симметричной Б.-с, или (v, к, Я)-к о н ф и-
г у р а ц н е й. Для симметричных BIB-схем справед-
справедлива теорема: если существует симметричная BIB-схема
с параметрами v, к, X, то: а) при v четном к — К есть
квадрат, б) при v нечетном уравнение
имеет решение в целых числах х, у, z, не равных одно-
одновременно нулю. Условия этой теоремы достаточны для
существования рациональной матрицы А, удовлетворя-
удовлетворяющей B).
Специальный круг вопросов, относящихся к сущест-
существованию В IB-схем, возникает в связи с задачей: даны Ъ
блоков; каковы условия того, чтобы эти блоки можно
было дополнить до BIB-схемы? В наиболее общем виде
эти условия выражаются как требования положитель-
положительной определенности нек-рой квадратичной формы Q, а
также возможности представить Q в виде суммы квад-
квадратов линейных форм с неотрицательными коэффициен-
коэффициентами .
Среди BIB-схем различают как наиболее изученные
следующие подклассы: системы Штейнера
(BIB-схемы с Я=1), в частности системы троек
Штейнера (к=3); адамаровы конфигу-
конфигурации (v=b=it—i, r=k=2t—l, K=t—i, *>2), матри-
матрица инцидентности к-рых получается из Адамара мат-
матрицы; аффинные конечные геометрии и проективные ко-
конечные геометрии (см. [1]). В классе PBIB-схем наибо-
наиболее изучены PBIB B)-схемы, среди к-рых по виду схемы
связанности выделяют так наз. Б.-с. с делимостью
на группы, треугольные Б.-с, Б.-с. т и-
па латинского квадрата, цикличе-
циклические Б.-с. и т. д. (см. [3]).
Методы построения Б.-с. принято разделять на п р я-
мые и рекурсивные. Рекурсивные методы
позволяют строить с помощью схем с меньшими значе-
значениями параметров схемы с большими значениями пара-
параметров. В прямых методах обычно используются свой-
свойства конечных полей или какие-либо геометрические
свойства.
Помимо планирования экспериментов, Б.-с. применя-
применяются также в теории игр, теории графов и при построе-
построении кодов, исправляющих ошибки.
Лит.: [1] Райзер Г. Дж., Комбинаторная математика,
пер. с англ., М., 1966; 12] Холл М., Комбинаторика, пер.
с англ., М., 1970; 13] Ш и р о к о в а С. А., «Успехи матем.
наук», 1968, т. 23, № 5, с. 51—98. В. Е. Тараканов.
ВЛОТТО ИГРЫ — класс антагонистических игр
в нормальной форме, в к-рых чистыми стратегиями
игроков являются распределения ограниченных ресур-
ресурсов (неделимых или делимых) по нескольким объектам,
а выигрыш равен сумме выигрышей на отдельных объ-
объектах. Название получили по имени вымышленного
лица — полковника Блотто — участника одной из
первых игр такого типа.
Лит.: [1] Кар лин С, Математические методы в теории
игр, программировании и экономике, пер. с англ., М., 1964.
И. Н. Врублевская.
БЛОХА КОНСТАНТА — абсолютная константа, су-
существование к-рой устанавливается следующей тео-
теоремой Блоха. Пусть Н — класс всех голоморф-
голоморфных функций f(z) в круге |z|<l таких, что /'@) = 1.
Риманова поверхность функции f(z) содержит на одном
из своих листов наибольший открытый круг радиуса
В/>0. А. Блох доказал [1], что
inf {В,; fCH}=B > 0.
Более точной является оценка [2]: ]Аз/4<5^0,472.
Для целых функций из теоремы Блоха вытекает, что
их римановы поверхности содержат однолистные
круги сколь угодно большого радиуса, а это утверж-
утверждение равносильно Пикара теореме.
Лит.: [1] В 1 о с h A., «Ann. Fac. sci. Univ. Toulouse, sci.
math, et sci. phys.», p. 3, 1925, t. 17, p. 1—22; [2] Atilfors
L. V., Grunsky H., «Math. Z.», 1937, Bd 42, Л5 5, S. 671 — 3:
[3] Г о лузин Г. П., Геометрическая теория функций ком-
комплексного переменного, 2 изд., М., 1966, гл. 8.
Е. Д. Соломенцев.
БЛУЖДАЮЩАЯ ТОЧКА — точка q фазового про-
пространства Л динамической системы f(p, t), обладающая
окрестностью U(q), для к-рой существует такой момент
времени Т, что f(U(q),t) не имеет общих точек с U(q)
при всяких t^T (все точки из U(q), начиная с нек-рого
момента, покидают навсегда окрестность U(q)). Точка
q, не обладающая такой окрестностью, наз. н е б л у ж-
дающей. Свойство точки быть блуждающей или
неблуждающей является двусторонним: если f(U{q),
t) не имеет общих точек с U(q), то U(q) не имеет общих
точек с i(U(q), — t). Б. т. может стать неблуждающей
при расширении пространства R. Так, напр., если R —
окружность с одной точкой покоя г, то все точки
Л\/- блуждающие. Они становятся неблуждающими,
если к R присоединить точки нек-рой спирали без то-
точек покоя, навивающейся на эту окружность изнутри
ИЛИ снаружи. Л'. С. Сибирский.
БЛУЖДАЮЩЕЕ МНОЖЕСТВО — множество W
всех блуждающих точек нек-рой динамич. системы
/ (р, t). Так как вместе с каждой точкой q множество W
содержит все точки окрестности U(q), оно открыто в
пространстве R. В связи с этим множество At=R \W
всех пеблуждающих точек замкнуто. Множества W и
М и н в а р и а н т н ы, т. е. вместе с каждой своей
точкой g они содержат точку f(q, t) при любом t. В ком-
компактном пространстве R всякая блуждающая точка
/ (q, t) стремится к М, как при t—>-+оо, так и при /—>-— оо.
Лит.: [1] Биркгоф Д ж. Д., Динамические системы,
пер. с англ., М.— Л., 194Г, [2] Н е м ы ц к и й В. В., Сте-
Степанов В. В.. Качественная теория дифференциальных урав-
уравнений, 2 изд., М.— Л., 1949; [3] С и б и р с к и й К. С, Вве-
Введение в топологическую динамику, Кишинев, 1970.
К. С. Сибирский.
БЛУЖДАЮЩЕЙ ТРУБКИ МЕТОД — один из пря-
прямых методов численного решения задач оптимального
управления с ограничениями на фазовые координаты
и управляющие функции. В Б. т. м. исходная задача
оптимального управления в результате дискретизации
(по времени Т и фазовому вектору х) и при помощи
операции, исключающей управление, сводится к мини-
минимизации функции вида
I (х0, ..., *лО=2;=о Ч"' to'^' + i)'
где х— значение вектора х в узловых точках гипер-
гиперплоскостей, заданных в пространстве (t, x) уравнения-
уравнениями i=i,-. Дискретизация по t и х производится с задан-
заданными шагами At и Дх. Каждой совокупности векторов
{х0, xi, . ¦ ., xjy) соответствует ломаная, проходящая
через узлы и приближенно представляющая траекто-
траекторию x(t) исходной задачи оптимального управления.
Длина I (х0, . . ., xjy) этой ломаной складывается из
длин ф; (z/, х[ + 1) отдельных звеньев. Ломаная наимень-
наименьшей длины находится с помощью рекуррентного соот-
соотношения
(см. Вариационное исчисление; численные методы).
Поиск глобального минимума на всем полученном
графе требует большой оперативной памяти и значи-
тельных затрат машинного времени ЭВМ (особенно при
дроблении Ах и At для получения заданной точности
решения).
В Б. т. м. ценой отказа от решения задачи отыска-
отыскания глобального минимума удается резко сократить
требуемую память и число операций. В этом алгорит-
алгоритме (имеющем характер последовательных приближений)
поиск наилучшей траектории производится не на всем
графе, а на подграфе, задаваемом «трубкой», содержа-
содержащей исходную ломаную — начальное приближение.
В каждом сечении трубки содержится заданное коли-
количество узлов. Найденная ломаная выбирается за оче-
очередное приближение, после чего процесс вычислений
повторяется на новом подграфе.
Оценки показывают, что в Б. т. м. число операций
растет линейно с увеличением числа узлов сетки по
х (с уменьшением шага Лх), тогда как в методе глобаль-
глобального перебора этот рост квадратичен.
Частным случаем Б.т.м. является локальных вариа-
вариаций метод, в к-ром число узлов в каждом сечении труб-
трубки минимально и равно двум.
Лит.: [1] Моисеев Н. Н,, Элементы теории оптималь-
оптимальных систем, М., 1975. И. Б. Вапнярский, И. А. Ватель.
БЛЯШКЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ, Бляшке функ-
функция,— регулярная аналитич. функция комплексного
переменного z, определенная в единичном круге К=
= {z; |z|<l} в виде конечного или бесконечного про-
произведения
где n — целое неотрицательное число,
последовательность точек а^^Л"\{0} такая, что про-
произведение в правой части (*) сходится (условие схо-
сходимости необходимо лишь в случае бесконечного про-
произведения). Б. п. было введено В. Бляшке [1], уста-
установившим следующее утверждение: последователь-
последовательность {a/j} точек а^^>?\{0} определяет функцию ви-
вида (*) тогда и только тогда, когда сходится ряд 2A
— \ак\). Каждый множитель вида
наз. множителем Бляшке для аи, осуществ-
осуществляет однолистное конформное отображение круга К
на себя, переводящее точку z=au в нуль, с нормиров-
нормировкой Ьи(—«fe/S^fe 1)= 1 - Множители вида bo(z) = z можно
интерпретировать как множители Бляшке, соответст-
соответствующие нулю z=0 и нормировке ЬоA)=1. Определе-
Определение множителей Бляшке и Б.п. легко переносится на
круг произвольного радиуса, а также на любую одно-
связную область, конформно эквивалентную кругу.
Последовательность 0, . . . , 0, а1т а2, ... (здесь
п нулей), обычно выписываемая в порядке неубывания
\аи\, является последовательностью всех нулей Б. п.
(*) (каждый нуль выписывается столько раз, какова
его кратность). Таким образом, сформулированное вы-
выше утверждение Бляшке описывает те последователь-
последовательности, к-рые являются последовательностями нулей
всевозможных Б. п. Произведение (*) можно рассмат-
рассматривать как простейшую ограниченную голоморфную
в круге К функцию, имеющую заданную последователь-
последовательность нулей. Оно сходится абсолютно и равномерно
внутри К, представляет в круге К ограниченную го-
голоморфную функцию, |jB(z)|<1, а на дК почти всюду
имеет угловые граничные значения, по модулю равные
1. Для того чтобы ограниченная голоморфная функция
/(z) в К, |/(z)| <1, была Б. п., необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось условие
lim
Г-+ 1
С помощью Б.п. удается дать факторизационное
описание важных классов голоморфных функций в
единичном круге К. Так, доказана следующая тео-
теорема Бляшке: последовательность {а^} точек
круга К является последовательностью всех нулей
некоторой ограниченной голоморфной в К функции
/(г), |/(z)| <1, тогда и только тогда, когда ряд
2j (I— la/jl) сходится. При этом /(z) представима в виде
произведения
f(z)=Bf(z)g(z),
где Вf(z) — Б.п., построенное по нулям {а^} функции
/(z), a g(z) — отличная от нуля голоморфная в К
функция, |^(z)|<l, допускающая сравнительно про-
простое интегральное представление. Кроме ограниченных
функций, аналогичное факторизационное описание
строится для ограниченного вида функций, Харди
классов (см. [2] —[4]).
Изложенная теория получила существенное обоб-
обобщение в работах М. М. Джрбашяна (см. [5], [6]), по-
построившего бесконечные произведения более общей при-
природы, пригодные для факторизации гораздо более широ-
широких классов мероморфных функций. Решена также за-
задача построения аналогов Б. п. и теоремы Бляшке для
двусвязных [7] и, вообще, конечносвязных [8] областей.
Решение проблемы построения удобных аналогов Б.п.
для голоморфных функций многих комплексных пере-
переменных чрезвычайно затруднено тем обстоятельством,
что нули таких функций не могут быть изолирован-
изолированными.
Лит.: [1] В 1 a s с h k e W., «Ber. Verhandl Sachsisch. Akad*'
Wiss. Leipzig. Math.-naturwiss. Kl». 1915, Bd 67, S. 194—200;
[2] Привалов И. И., Граничные свойства аналитических
функций, 2 изд., Ы.— Л., 1950; [3] Неванлинна Р., Од-
Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.— Л., 1941;
[4] К о л л и и г в у д Э., Л о в а т е р Д ж.. Теория предель-
предельных множеств, пер. с англ., М., 1971; [5] Д ж р б а ш я н Ы. М.,
Интегральные преобразования и представления функций в
комплексной области, М., 1966; [6] его же, «Успехи матем.
наук», 1973, т. 28, в. 4 A72), с. 3—14; [7] К а с ь я н ю к С. А.,
«Матем. сб.», 1957, т. 42 (84), Х° 3, с. 301—26; [8] Там р а-
3 о в П. М., «Докл. АН СССР», 1965, т. 161, N° 2, с. 308 — 11.
П. М. Тамразов.
БЛЯШКЕ ТЕОРЕМА ВЫБОРА, принцип ком-
компактности Бляшке: метрическое простран-
пространство выпуклых тел является локально компактным,
т. е. из бесконечного множества выпуклых тел, принад-
принадлежащих фиксированному кубу, можно выбрать по-
последовательность, сходящуюся к нек-рому выпуклому
телу, принадлежащему этому кубу.
Теорема доказана В. Бл-яшке (W. Blaschke, 1916)
(см. [1])
Лит.: [1] Б л я ш к е В., Круг и шар, пер. с нем., М., 1967.
_ А. Б. Иванов.
БЛЯШКЕ — ВЕИЛЯ ФОРМУЛА — вариант Грина
формула для поля вращений у бесконечно малого из-
изгибания поверхности с радиус-вектором ж:
Вывод и идея применения Б. —В.ф. для доказательства
жесткости овалоидов принадлежит В. Бляшке [1] и Г.
Вейлю [2], о дальнейших приложениях см. [3]; ана-
аналогом Б. —В.ф. является Герглотца формула. Б.—
В.ф. обобщается на случай бесконечно малых изгиба-
изгибаний поверхностей в пространствах постоянной кри-
кривизны.
Лит.: [1] Blaschke W., «Nachr. Akad. Wiss. Gottingen»,
1912, S. 44—55; [2] W e у 1 H., «Sitzungsber. Akad. Wiss. Ber-
Berlin», 1917, S. 250—66; [3] E ф и м о в Н. В., «Успехи матем.
наук», 1948, т. 3, в. 2B4), с. 47—158; [4] Б л я ш к е В., "Вве-
"Введение в дифференциальную геометрию, пер. с нем., М., 1957.
М. И. Войцеховский.
БОГОЛЮБОВА НЕРАВЕНСТВО в статисти-
статистической механик е,— 1) Б. н. для функци-
функционала свободной энергии— неравенст-
неравенство, реализующее вариационный принцип статистич.
механики. Для любых эрмитовых операторов U1 и
справедливо неравенство:
и имеет смысл плотности свободной энергии для систе-
системы с гамильтонианом U, аддитивный параметр N —
число частиц или объем в зависимости от системы, в —
абсолютная температура в энергетич. единицах, а
^¦¦¦/U — Тг е - и/в
и обозначает термодинамические средние по гамильто-
гамильтониану U.
Б. н. (*) находит применение при получении точных
в термодинамич. пределе решений для модельных за-
задач квантовой статистич. физики [1], [2], в исследова-
исследованиях методом молекулярного поля [3], при доказа-
доказательстве существования термодинамич. предела,
а также для получения физически важных оценок для
свободной энергии различных многочастичных систем
[4]. Существуют обобщения Б. н. (*) на случай ал-
алгебры Неймана со «следом» [5] и общей алгебры Ней-
Неймана [6].
Лит.: [1] Боголюбов Н. Н., «J. Phisica», 1906, v. 32,
p. 933—944; [2] Б о г о л ю б о в Н. Н. (мл.), Метод исследо-
исследования модельных гамильтонианов, М., 1974; [3] Тябликов
С. В., Методы квантовой теории магнетизма, 2 изд., М., 1975; Г4}
Кудрин Л. П., Статистическая физика плазмы, М., 1974;
[5] Ruskai M. В., «Commun. Math. Phys.», 1972, v 26,
p. 280—289; [6] Araki H., «Commun. Math. Phys.», 1973,
v. 34, p. 167—178.
2) Б.н. д л я функций Грина и корре-
корреляционных функций. Для двумерных вре-
временных температурных коммутаторных функций Гри-
Грина в энергетич. представлении справедливо неравенство
|.|«в+;в»?=о|, A)
где <^. . .уЕ обозначает фурье-образ фупкции Грина (в
энергетич. представлении) от соответствующих опера-
операторов в представлении Гейзенберга. Через спектраль-
спектральные представления функции Грина (полагая А —
— iQ=[Q, Я]) Б. н. A) можно представить в виде:
; вууЕ=01
n|<iQ;[Q+, „]_>„,, B>
где <. . .>я обозначает термодинамич. средние по га-
гамильтониану системы Я, [,] — знак коммутатора; а так-
также можно получить неравенство, мажорирующее B):
<^+B-B>^2Q^\^->^_y . C)
Общность неравенств B) и C) определяет их широкое
применение при изучении различных физич. систем.
Улучшение оценок для корреляционной функции
достигается в C) выбором в качестве оператора Qk —
= Q{k) нек-рого «квазиинтеграла» движения, коммути-
коммутирующего при к=0 с гамильтонианом системы Н. При
этом коммутатор в числителе правой части в C)
отражает трансформационные свойства операторов В^
при инфинитезимальных преобразованиях непрерыв-
непрерывной группы симметрии, генератором к-рой является
оператор <?&_0- Неравенства B), C) эффективно исполь-
используются при рассмотрении систем со спонтанным нару-
нарушением симметрии: термодинамич. средние тогда сле-
следует рассматривать в рамках квазисредних метода.
Для функций Грина в классической статистич.
механике справедливы аналогичные неравенства, при-
причем соответствующие коммутаторы «переходят» в Пу-
Пуассона скобки.
Б. н. позволили установить ряд соотношений для
модельных систем статистич. физики, исследовать
проблему упорядочения в конечных системах и др.
Лит. см. при статье Боголюбова теорема. А. М. Курбатов.
БОГОЛЮБОВА ТЕОРЕМА— 1) Б. т. «острие
клин а» —обобщение принципа аналитического про-
продолжения, особенно для случая многих комплексных
переменных; получена Н. Н. Боголюбовым в 1956 при
обосновании дисперсионных соотношений в квантовой
теории поля (см. [1], Дополнение А). Современная фор-
формулировка: пусть функция /(z), z= (гг, . . ., zn) = x+
-\-iy, голоморфна в открытом множестве Т-ц = [г : ]z|<
<Сг), у?С], где С — такой открытый конус в R" с вер-
вершиной в нуле, что С'П (~С)Ф0, открытое множество
0c:Rn содержится в шаре Ы<т| и для любой основной
функции ф (х) из 6/J @) существует
(x + iy)<p(x)dx, у—> 0, у?С,
не зависящий от способа стремления у—>-0, у?С; тогда
/(z) допускает аналитич. продолжение в область
где C — комплексная окрестность множества Q, при-
причем 0<6<1 — постоянная, зависящая только от ко-
конуса С, а Д^ (g) — расстояние от точки | до границы мно-
множества 0. Б. т. «острие клина» остается верной и при
т|=оо. В этом случае и при нек-рых предположениях
о росте функции/(z) получается первоначальная форму-
формулировка Н. Н. Боголюбова (см. [1]; роль конуса играл
световой конус в Л4). Существуют различные доказа-
доказательства и обобщения этой теоремы (см. [2]). Особо
следует отметить обобщения на гиперфункции (см. [4])
и голоморфные коциклы (см. [3]).
Б. т. «острие клина» находит широкие применения в
аксиоматич. квантовой теории поля, в теории дифферен-
дифференциальных уравнений с частными производными, в те-
теории граничных значений голоморфных функций (осо-
(особенно функций многих комплексных переменных). При
этом полезным дополнением к теореме является тео-
теорема о С-в ыпуклой оболочке [2];
пусть, в условиях Б. т. «острие клина», С=С+ [}С~,
С~= — С + , где С+— выпуклый острый конус; тогда
?cF)c:Retf (Г^иб),
где Н (Gfii) — голоморфности оболочка области @), Re ?5 —
действительное сечение области ?5, Bc(Q) есть С-выпук-
пая оболочка множества 0, т. е. наименьшее открытое
множество, содержащее Q и обладающее тем свойством,
что если точки х' и х" из В с {6) могут быть соединены
С-подобной кривой, целиком лежащей в ВсF), то и все
гомотонные ей кривые лежат в Вс@)-
Лит.: [1] Боголюбов Н. Н., Медведев Б. В.,
Поливанов М. К., Вопросы теории дисперсионных соот-
соотношений, М., 1958;[2]Владимиров В. С, Методы теории
функций многих комплексных переменных, М., 1964; [3] М а г-
tineau A., Distributions et valeurs au bord des fonctions ho-
lomorphes — «Theory of Distributions. Proc. of an intern.
Summer Institute Held», Lisboa, 1964, p. 193—326; [4] Hyper-
functions and Pseudo-Differential Equations, Lectures Notes in
Mathematics, 287, B. — Hdlb.— N. Y., 1973. В. С. Владимиров.
2) Б. т. об особенностях типа 1/д2:
теорема статистич. механики об асимптотич. поведении
Грина функций в пределе малых импульсов (q—»-0)
для бозе- и ферми-систем с градиентно-инвариантным
потенциалом взаимодействия. Установлена Н. Н. Бо-
Боголюбовым в 1961 (см. [1]).
Для систем многих взаимодействующих частиц в
случае вырождения состояния статистич. равновесия
для двувременных температурных коммутаторных функ-
функций Грина в энергетич. представлении справедливо не-
неравенство:
Кв?. 4У е = о l^const-?-2, A)
где пд, uq— операторы уничтожения и рождения ча-
частицы с импульсом q.
Возникающие (при q—»-0), в соответствии с Б. т., у
функций Грина особенности отвечают элементарным
возбуждениям в исследуемой физич. системе. Б. т. пред-
предсказывает также асимптотич. поведение при малых им-
импульсах макроскопич. характеристик системы, связан-
связанных с функциями Грина известными формулами.
Согласно A), напр., для сверхтекучих бозе- (или фер-
ми-) систем плотность непрерывного распределения
частиц по импульсам со (q) при q—»-0 стремится к беско-
бесконечности не медленнее, чем 1/q2. В этом случае вырожде-
вырождение состояния статистич. равновесия связано с законом
сохранения полного числа частиц, т. е. с инвариант-
инвариантностью гамильтониана системы относительно градиент-
градиентных преобразований. Но аналогичные особенности по-
появляются у соответствующих функций Грина и, следо-
следовательно, у корреляционных функций, характеризую-
характеризующих системы с другими видами вырождения, обуслов-
обусловленными наличием нек-рых аддитивных законов со-
сохранения, т. е. инвариантностью гамильтониана систе-
системы относительно нек-рых групп преобразований. Б. т.
приводит к целому ряду нетривиальных физич. следст-
следствий, связанных, напр., с вопросами специфич. упоря-
упорядочения в системах многих взаимодействующих частиц,
спонтанное нарушение симметрии в к-рых проявляется
совершенно различным образом: модель Гейзенберга с
ферро-, антиферро- и ферримагнитным упорядочива-
упорядочиванием, системы сверхтекучего и сверхпроводящего типа,
системы с кристаллич. упорядочением.
Возникновение у функций Грина особенностей при
q—>-0 связывается с наличием в энергетич. спектре сис-
системы ветви коллективных возбуждений «бесщелевого»
типа, что отвечает при определенном ограничении на
потенциал взаимодействия спонтанному нарушению
симметрии.
Характер энергетич. спектра элементарных возбуж-
возбуждений может быть исследован с помощью неравенства
для построенного на функциях Грина типа A) массово-
массового оператора. Для бозе-систем при конечной темпера-
температуре F=&вГ>0) это неравенство имеет вид:
|2п@, Ч)-212@, q) |< const q\ B)
При q=0 формула B) дает обобщение (на конечные
температуры) так наз. формулы Гугенгольца — Пайнса.
В предположении регулярности массового оператора в
окрестности точки (?=0, </=0) из B) можно получить
«бесщелевой» характер (акустич. типа) энергетич.
спектра возбужденных состояний.
В случае же нулевых температур F=0) неравенство
A) позволяет установить связь между плотностью не-
непрерывного распределения частиц по импульсам и ми-
минимальной энергией возбужденного состояния.
Соотношения типа A) должны быть справедливы и в
квантовой теории поля, где в случае спонтанного нару-
нарушения симметрии (при переходе от одного основного
состояния к другому) возникает [4], [5] бесконечное чи-
число частиц нулевой массы (Голдстоуна теоре-
м а), интерпретируемых как особенности при малых им-
импульсах в квантово-полевых функциях Грина. Б. т. пе-
перенесена на релятивистскую квантово-полевую модель
со спонтанным нарушением симметрии в [6].
Лит.: [1] Боголюбов Н. Н., Избранные труды, т. 3,
Киев, 1971; [2] Садовников Б. И., Ф е д я н и н В. К.,
«Теор. и матем. физ.», 1973, т. 16, в. 3, с. 368—93; [3] Б о г о-
любов Н. Н. (мл.), Садовников Б. И., Некоторые во-
вопросы статистической механики, М., 1975; [4] GoldstoneJ.,
«Nuovo Cim.», 1961, v. 19, p. 154—64; [5] С о 1 d s t о n e J.,
Salam A., WeinbergS., «Phis. Rev.», 1962, v. 127, p.
965—70; [6] К а з а н с к и й А. К., «Теор. и матем. физ.», 1975,
т. 22, в. 3, с. 418—21. А. М. Курбатов.
БОГОЛЮБОВА ЦЕПОЧКА УРАВНЕНИЙ (ББГКИ-
уравнения — Н. Н. Боголюбов, М. Борн (М.
Born), Дж. Грин(О. Green), Дж. Кирквуд (J. G. Kirk-
wood), Дж. Ивон (J. Yvon) — цепочка уравнений
(иерархия) для одночастичных, двухчастичных и т. д.
функций распределения классической статистич. си-
системы. Эти функции определяются как
Fs(t, rlt ..., rs, px, . .., ps) =
wNdrs + 1 drNdps + l. . .dpN, (i)
где s=l,2, . . ., V — объем системы, a wjq есть iV-час-
тнчная нормированная на единицу функция распреде-
распределения, удовлетворяющая Лиувилля уравнению
-?-={H,wN}, B)
где фигурные скобки — Пуассона скобки, а Н есть
гамильтониан системы. Б. ц. у. в предельном стати-
статистич. случае V—>-оо, vlN=v= const имеет вид уравнения
для Fs со специфич. «зацеплением» с функцией Fs + 1
более высокого ранга:
C)
где Ф(|г/ —rJ + 1l)— потенциал взаимодействия г-й и
(s+l)-ii частиц, a Hs — гамильтониан s частиц системы.
В термодинамически равновесном случае, когда рас-
распределение по импульсам каждой частицы является
Максвелла распределением, рассматриваются s-частич-
ные функции распределения по координатам частиц,
к-рые определяются соотношениями типа A) через
Л-частичную функцию
wN (rx, ..., rN) = -^- ехр ^ —^Л , D)
где Н1=Н — Но, причем Но есть сумма кинетич.
энергий частиц системы, а конфигурационный интег-
интеграл Q определяется из условия нормировки D). Б. ц. у.
для этих функций имеет вид:
of , dU
Эх, ^ 6 Эж, «Т
где Us — потенциальная энергия взаимодействия s
частиц системы.
При помощи функций распределения, гл. обр. Ft и
f2, могут быть выражены все специфические характе-
характеристики статистич. систем. Основные трудности ис-
исследования Б. ц. у. C) или E) связаны с проблемами
замыкания системы (расцепление Б. ц. у.) и решения
замкнутой системы со специальными предельными ус-
условиями для функций Fs. Это исследование специфично
для физич. систем различного типа и наиболее разрабо-
разработано для случаев короткодействия, когда rl/v^.1, где
г0 — эффективный радиус взаимодействия частиц друг
с другом, и для случаев дальнодействия, когда rl/v^l,
в частности для системы с кулоновским взаимодей-
взаимодействием. Во временной теории это приводит непосред-
непосредственно к кинетич. Болъцмана уравнению для одночас-
тичной функции Fx или к Власова кинетическому урав-
уравнению, а в равновесной теории — к вириалъному раз-
разложению для термодинамич. потенциала или к специ-
специфическим кулоновским поправкам.
При рассмотрении квантовых статистич. систем
Б. ц. у. составляется для s-частичных статистич. кван-
квантовых операторов Oj, . . ., xs\Fs\ xi, . . ., xs>, яв-
являющихся следами по переменным s+1, . . ., N частиц
общего Лг-частичного оператора — матрицы плотности.
Эти уравнения имеют вид, аналогичный уравнениям
C), в к-рых классич. скобки Пуассона заменены кван-
квантовыми скобками.
Лит.: [1] Б о г о л ю б о в Н. Н., Избр. тр., т. 2, К., 1970
с. 99 — 196; [2] его же, там же, с. 227—493; [3] У л е н б е к
Д ж., Форд Д ж., Лекции по статистической механике, пер.
с англ., М., 1965. И. А. Квасников.
ВОЗЕ — ЭЙНШТЕЙНА СТАТИСТИКА, Б о з е ста-
статистика,— квантовая статистика, применяемая к
системам тождественных частиц с целым спином @,1, 2,
... в единицах й=1,05-10~27 эрг-сек). Предложена
Ш. Бозе (S. Bose) и А. Эйнштейном (A. Einstein) в 1924.
Согласно этой статистике, в каждом квантовом состоя-
состоянии может находиться произвольное число частиц.
В. Паули (W. Pauli) доказал, что тип квантовой стати-
статистики однозначно связан со спином частиц, так как
совокупности частиц с целым спином подчиняются
Б. — Э. с, а с полуцелым спином — Ферми — Дирака
статистике.
Состояние системы многих частиц в квантовой меха-
механике определяется волновой функцией, к-рая в случае
тождественных частиц может быть либо симметричной
по отношению к перестановкам любой пары частиц
(для частиц с целым спином), либо антисимметричной
(для частиц с полуцелым спином). Для системы час-
частиц, подчиняющихся В. —Э. с, состояния описывают-
описываются симметричными волновыми функциями, что являет-
является другой, эквивалентной формулировкой В. —Э. с.
Системы из большого числа частиц, подчиняющихся
В. —Э. с, наз. системами Бозе, например
газом Бозе.
Для идеального квантового газа, т. е. для системы
тождественных частиц с массой т без взаимодействия,
находящихся в кубе объема V=L3, квантовые одно-
частичные уровни энергии равны
гр=р2/2т,
где р — собственные значения импульса отдельной ча-
частицы: p~2nh.nlL, п — вектор с целочисленными (по-
(положительными, отрицательными или равными нулю)
компонентами.
Квантовое состояние идеального газа определяется
заданием совокупности чисел заполнения уровней
{''/)}> гДе каждое пр указывает число частиц в одночас-
тичном состоянии р. Для систем Бозе ге^—0,1,2,. . . .
Для больших систем уровни энергии расположены
очень плотно и стремятся к непрерывному спектру при
V—>оо. Пусть уровни сгруппированы по малым ячей-
ячейкам, содержащим G,- уровней в ячейке. Каждой ячейке
соответствует средняя энергия б/, число G,- предпо-
предполагается очень большим. Состояние системы опреде-
определяется набором {N;}, где N; есть сумма пр по уровням
ячейки. Статистический в е с, т. е. число раз-
различных распределений частиц по ячейкам, равен
<g'+JV'>1 ж
JV,.|
и определяет вероятность распределения частиц по
ячейкам, характеризуемым числами заполнения
П\, «2-
Наиболее вероятное распределение, соответствую-
соответствующее заданной энергии Е и числу частиц N:
E-X.eiNh N~J^.Nlt B)
находится из экстремума A) при дополнительных усло-
условиях B). Соответствующие средние числа заполнения
равны _
" C)
где и. — химич. потенциал $—\/кТ, к — постоянная
Больцмана (универсальная постоянная &= 1,38-10—1в
эрг/град), Т — абсолютная температура. Величины Р
и и. находятся из условий B).
Энтропия системы определяется логарифмом статис-
статистич. веса A) для наиболее вероятного распределения C):
D)
По энтропии и средней энергии можно найти и другие
термодинамич. функции.
Общий подход к Б. —Э.с. состоит в применении боль-
большого канонич. Гиббса распределения для вероятно-
вероятности wn заполнения квантового уровня п всей системы
wn = Q~1ex$ | 'п-~у \ , E)
где
<?=2 ехр "к^ > F)
— статистич. сумма, Еп— уровни энергии всей системы.
Напр., для идеального газа Бозе
и из E), F) может быть получена для чисел заполне-
заполнения формула C), а для энтропии — формула D) без
использования комбинаторики. Такой подход особен-
особенно важен для неидеальных систем Бозе, когда приме-
применение Б.—Э. с. не сводится к простой комбинаторной
задаче. В этом случае требования В. —Э.с. могут быть
удовлетворены, если для оператора Гамильтона Н ис-
использовать представление вторичного квантования, в
к-ром его действие определено в пространстве симмет-
симметрических волновых функций, или в пространстве чисел
заполнения. Тогда статистич. сумма равна
где N — оператор числа частиц, и с ее помощью можно
найти все термодинамич. функции системы Бозе.
Лит.: [1] Хуанг К., Статистическая механика, пер. с
англ., М,, 1966; [2] К у б о Р., Статистическая механика, пер.
с англ., М'., 1967; [3] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.,
Статистическая физика, 2 изд., М., 1964; [4] Шредингер Э.,
Статистическая термодинамика, пер. с англ., М., 1948;
[5] Боголюбов Н. Н., Лекции по квантовой статистике,
в кн.: Избр. тр., т. 2, К., 1970. Д. Я. Зубарев.
БОКСА ИНТЕГРАЛ — одно из обобщений интеграла
Лебега, предложенных А. Данжуа (A. Denjoy, 1919),
подробно изученное Т. Дж. Боксом (Т. J. Boks, 1921).
Действительная функция f(x) на отрезке [в, Ь] перио-
периодически (с периодом Ъ— а) продолжается на всю прямую.
Для произвольного разбиения a=xa<.x1<i . . :_<хп=Ь
отрезка [а, Ь], произвольного набора точек i={?"f}">
ё;€[ж1-1> xi\ и произвольного t строится сумма
1 {t)=1Lif й'+° [*•—*«-ii-
Если /(t) при р = max (г,- — i,-i) —>¦ 0сходится по мере
г
к определенному пределу /, то число / наз. интег-
интегралом Бокса (В-и н т е г р а л о м) от / (х) по
[а, Ь]. Таким образом, Б. и. есть интеграл риманова
типа и является также обобщением интеграла Римана.
Б.и. существенно расширяет интеграл Лебега: вся-
всякая суммируемая функция В-интегрируема и эти
интегралы совпадают, в то время как существуют не-
суммируемые ^-интегрируемые функции; в частности,
если g — сопряженная функция к суммируемой функ-
функции /, то она ^-интегрируема и коэффициенты ряда,
сопряженного к ряду Фурье от /, есть коэффициенты
соответствующего ряда Фурье (в смысле Д-интегри-
рования) от g (А, Н. Колмогоров). Дальнейшего разви.
тия теория Б. и. не получила, т. к. для интегрирования
функций, сопряженных к суммируемым, более удоб-
удобным оказался А-интеграл.
Лит.: [1] В о к s Т. J., «Rend. Circolo mat. Palermo», (92(,
v. 45, p. 211—264; [2] Зигмунд А., Тригонометрические
ряды, пер. с англ., т. 1—2, М., 1965. И. А. Виноградова.
БОЛЬЦА ЗАДАЧА — одна из основных задач клас
сического вариационного исчисления на условный экс-
экстремум при наличии ограничений типа равенств; сфор-
сформулирована О. Больца (О. Bolza) в 1913. Б. з. состоит
в том, чтобы минимизировать функционал
f:RxRnxRn—>-R, g:RxRnXRxR"—>¦ R,
при наличии дифференциальных ограничении типа
равенства:
<p(t, х, х) = 0, <p:RxR"XRn—»Rm, m < n,
и граничных условий:
¦Ф(«1. x(h), tiyx(t2)) = Q, ^:RxRnxRxRn-^Rf,
p s? 2re + 2.
При g=0 Б.з. наз. Лагранжа задачей, при /=0 и р<
<2и-(-2 — Майера задачей. Особенностью Б.з. явля-
является смешанный характер функционала, к-рый пред-
представляет собой сумму интегрального функционала и
функции от концов. С принципиальной точки зрения
Б.з. равносильна задаче Лагранжа и приводится к
ней, если положить
l) at,
а также — задаче Майера, если положить
J2 = zo(h) + g(h, *(*i), h,z(t2)),
где xo = f(t,x,x), xo(tj)=O.
Выбор той или иной формы задачи, а также той топо-
топологии, в к-рой затем рассматривается эта задача, дик-
диктуется соображениями удобства или конкретной целе-
целесообразности. В теории оптимального управления чаще
рассматриваются задачи в форме Майера, в классиче-
классическом вариационном исчислении — в форме Лагранжа.
Наиболее употребительна топология пространства С1
непрерывно дифференцируемых функций. Для получе-
получения необходимых или достаточных условий экстремума
надо накладывать требования гладкости на входящие
в определения задачи функции / и g и отображения
Ф и 1)з, а также требования о регулярности отображений
Ф и 1)з, заключающиеся в том, что матрицы (^,
в-ф dib втЬ \ (От \
^- > -?- i -=г- I и ( —— ) должны иметь максимальный
Эзс, dt2 ' дхг) \д'х )
ранг р и т соответственно. Для того чтобы вектор-
функция х(t) доставляла экстремум в Б.з. (аналогично
в задачах Лагранжа и Майера), необходимо, чтобы
вдоль нее удовлетворялись Эйлера уравнения и Вейер-
штрасса условие относительно Лагранжа функции, со-
составленной по входящим в задачу данным с Лагран-
Лагранжа множителями, а также Якоби условие и трансве^
сальности условия.
В приведенной формулировке Б. з. использованы
обозначения, характерные для теории оптимального
управления. В классическом вариационном исчислении
Б. з. формулируют, используя другие обозначения:
J (у) = [Хг f (х, г/, у') dx + е (*i, у (*i), хъ у Ы),
ф (х,у,у')=0, г|> (xlt у (хх), х2, у(х2))=0.
Лит.: [1] Блисс Г.А., Лекции по вариационному ис-
исчислению, пер. с англ., М., 1950. И. Б. Вапнярстй.
ВОЛЬЦАИО — ВЕЙЕРШТРАССА ПРИНЦИП ВЫ-
ВЫБОРА —¦ метод доказательства, часто применяемый в
математич. анализе и основанный на последовательном
делении отрезка пополам и выборе из двух получивших-
получившихся отрезков отрезка, обладающего нек-рым свойством.
Этот метод может быть применен, если свойство отрез-
отрезков таково, что из наличия свойства у нек-рого отрез-
отрезка вытекает его наличие по крайней мере у одного из
отрезков, получающихся делением пополам исходного.
Напр., если на отрезке находится бесконечно много
точек к.-л. множества, или если нек-рая функция неог-
раничена на отрезке, или если не обращающаяся в нуль
функция принимает на концах отрезка значения раз-
разного знака, то все это — свойства указанного типа.
Применяя Б.— В. п. в., можно доказать Больцано —
Вейерштрасса теорему и ряд других теорем анализа.
В зависимости от признака, по к-рому производится
выбор отрезков при применении Б.—В. п. в., получается
либо эффективный процесс, либо неэффективный. При-
Примером первого случая является применение Б.—В.п.
в. к доказательству существования у непрерывной дей-
действительной функции, принимающей на концах нек-ро-
нек-рого отрезка значения разного знака, точки на этом от-
отрезке, в к-рой она обращается в нуль (см. Коши теорема
о промежуточных значениях непрерывной функции).
В этом случа» признаком, по к-рому производится по-
последовательный выбор отрезков, является наличие у
функции значений разных знаков на концах выбираемых
отрезков. Если имеется способ вычисления функции в
каждой точке, то в результате достаточно большого чис-
числа шагов можно получить координату точки, в к-рой
функция на рассматриваемом отрезке обращается в
нуль, с любой наперед заданной точностью. Таким об-
образом, в этом случае одновременно с доказательством
существования корня уравнения f(x) = O на отрезке, на
концах к-рого функция / принимает значения разных
знаков, дается и метод приближенного решения этого
уравнения. Примером второго случая является доказа-
доказательство с помощью Б.—В. п. в. теоремы о достижимости
действительной непрерывной на отрезке функцией ее
верхней грани. Здесь при последовательном делении
отрезков пополам выбирается тот отрезок, на к-ром
верхняя грань значений функции не меньше, чем на
втором. Если, как и в первом случае, известен способ
вычисления функции в каждой точке, то этого недоста-
недостаточно для эффективного выбора нужного отрезка. По-
Поэтому в этом случае с помощью Б.— В. п. в. можно
лишь доказать теорему существования, утверждающую,
что рассматриваемая функция принимает в нек-рой точ-
точке свое наибольшее значение, а не получить метод для
приближенного отыскания с наперед заданной точно-
точностью этой точки.
Имеются различные обобщения Б.—В.п.в., напр, на
случай re-мерного евклидова пространства (ге=2,3, . . .)
применительно к и-мерным кубам при последовательном
их делении на конгруэнтные кубы с ребрами, вдвое
меньшими ребер исходного куба. л. Д. Кудрявцев.
БОЛЬЦАНО — ВЕЙЕРШТРАССА ТЕОРЕМА: каж-
каждая ограниченная числовая последовательность содер-
содержит сходящуюся подпоследовательность. Теорема
справедлива как для действительных, так и для комп-
комплексных чисел. Она обобщается на более общие объекты,
напр.: всякое ограниченное бесконечное множество п-
мерного евклидова пространства имеет в этом прост-
пространстве хотя бы одну предельную точку. Аналоги этого
утверждения имеются и для еще более общих прост-
пространств.
Эта теорема доказана Б. Больцано [1]; позже она
была независимо получена К. Вейерштрассом
(К. Weierstrass).
Лит.: [1] Bolzano В., «Abhandl. Bochemische Ges. Wiss.»,
1817. Л. Д. Кудрявцев.
БОЛЫЩАНА ЛИНЕАРИЗОВАННОЕ УРАВНЕНИЕ
в кинетической теории газов — ли-
линейное интегро-дифференциальное уравнение, прибли-
женно описывающее эволюцию одночастичнои функции
распределения достаточно разреженного газа без внут-
внутренних степеней свободы при малых отклонениях от
равновесия.
Это уравнение
получается из Болъцмана уравнения
% + <c,Vxfy=±L(f,f)
с помощью замены
/ = л-з 9- ехр ( — 6-2) -|- ц ехр ( —-^Л ср
и приравнивания членов, содержащих 1-ю степень па-
параметра ц. Оператор Lo наз. линеаризован-
линеаризованным оператором столкновений.
Б. л. у. хорошо описывает эволюцию функция распреде-
распределения только в том случае, если
sup j / (х, с, t) — л~3'2 ехр ( — с2) | <^1.
X, С, t
При весьма общих предположениях оператор Lo не-
неположителен: <ф, //0ф><0, п его можно записать в
виде
Lo (ф) = — v(c) cp + Gcp,
где v (с) — оператор умножения на нек-рую функцию
Ф (к-рую иногда наз. частотой столкновений), a G —
вполне непрерывный интегральный оператор. Для мо-
модели твердых шариков [1] функция v (с) и ядро опера-
оператора G имеют следующий вид
G (с, с') = 4я | с — с' |-1 ехр J — "л~
Для Б. л. у. доказана теорема существования реше-
решения задачи Коши при t-+oo и ё—>-0, исследовано дис-
дисперсионное уравнение. Основная область приложений
Б. л. у.— молекулярная акустика идеальных газов.
Б. л. у. позволяет получить правильные значения
коэффициентов переноса (вязкости, теплопроводности,
скорости звука) и закон Стокса — Кирхгофа поглоще-
поглощения ультразвука.
Лит.: ШКарлеман Т., Математические задачи кине-
кинетической теории газов, пер. с франц., 1960; [2] Арсеньев
А. А., «Ж. вычисл. матем. и матем. физ.», 1965, т. 5, Jsft 5, с.
864—82. А. А. Арсенъев.
БОЛЫЩАНА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — статистически
равновесная функция f(p, r) распределения по импуль-
импульсам р и координатам г частиц идеального газа, молеку-
молекулы к-рого подчиняются классич. механике, во внешнем
потенциальном поле:
г) = 4 ехр <-?"__ 1. A)
Здесь к — постоянная Больцмана (универсальная по-
постоянная /с=1,38 -10~16 эрг/град), Т — абсолютная тем-
температура, р2/2т — кинетич. энергия частицы, U(г) —
потенциальная энергия частицы в поле, константа А
определяется из условия нормировки по безразмерному
фазовому объекту:
f(P,
где N — полное число частиц, h — постоянная Планка
(универсальная постоянная Л=6,62-10~27 эрг-сек),
d3p = dpx dpy dpz, d3r = dx dy dz,
или из более обычного в кинетич. теории газов условия
нормировки в пространстве скоростей и координат:
/ (р, г) d3v d3r = N,
v = p/m, d3v = dvx dvydvz.
Б.р. есть следствие Вольцмана статистики идеаль-
идеального газа; представляет собой частный случай Гибб-
са распределения
р(ри г\, ..., pN, rN)=-
для идеального газа, когда
и канонич. распределение Гиббса распадается на про-
произведение Б. р. для отдельных частиц. Б. р.— предель-
предельный случай квантовых статистик идеального газа при
достаточно высоких температурах, когда можно пре-
пренебречь квантовыми эффектами. При этом среднее чис-
число заполнения t-ro квантового состояния частицы равно
Щ = екТ , B)
где е,- — энергия, соответствующая i-му квантовому
состоянию частицы, (х — химич. потенциал, опреде-
определяемый из условия Zuin; = N. Формула B) справедлива
при таких температурах и плотностях, когда среднее
расстояние между частицами больше отношения посто-
постоянной Планка h к модулю средней тепловой скорости
Частным случаем Б.р. A) при U=0 является Макс-
ила иаспледеление
Частным случаем
велла распределение
Функцию распределения A) иногда наз. распре-
распределением Максвелла — Больцмана, а
распределением Больцмана наз. функцию
распределения A), проинтегрированную по всем им-
импульсам частиц, представляющую плотность числа
частиц в точке г:
J-^-Ш, D)
ге0— плотность числа частиц, соответствующая точке,
где U=0. Отношение плотностей числа частиц в раз-
различных точках зависит от разности потенциальных
энергий, соответствующей этим точкам:
где Д?/= ?/(?•;[)— U(r2). В частном случае из D) следует
барометрическая формула, опреде-
определяющая распределение плотности числа частиц в поле
тяжести над земной поверхностью
_mgz
hT
п (z) = пое , E)
где g — ускорение силы тяжести, m — масса частицы,
h— высота над земной поверхностью, п0— плотность
при z=0.
Для смеси газов с различной массой Б. р. показывает,
что распределение парциональных плотностей частиц
для каждой из компонент независимо от других компо-
компонент. Для газа во вращающемся сосуде U (г) есть
поле центробежных сил:
где ш — угловая скорость вращения.
Лит. см. при ст. Больцмана статистика. Д. Н. Зубарев.
ВОЛЬЦМАНА СТАТИСТИКА — статистика, при-
применяемая к системе невзаимодействующих частиц, под-
подчиняющихся классич. механике (классический идеаль-
идеальный газ). Распределение частиц идеального газа (по-
(поскольку они не взаимодействуют между собой) рас-
рассматривается не в фазовом пространстве всех частиц
(Г-пространстве) как в статистич. механике Гиббса
(см. Гиббса распределение), а в фазовом пространстве —
пространстве координат и импульсов одной частицы
((х-пространстве). Это связано с тем, что для идеаль-
идеального газа фазовый объем в ji-пространстве сохраняется
(частный случай Лиувилля теоремы).
Согласно Б. с, это фазовое пространство разбивается
на большое число малых ячеек с таким фазовым объе-
объемом, чтобы в каждой из них содержалось еще боль-
большое число частиц Лг,, и рассматриваются все возмож-
возможные распределения частиц по этим ячейкам. Фазовый
объем i-й ячейки G,— ее объем в ^-пространстве в еди-
единицах h, где h— постоянная Планка (универсальная
постоянная Л=6,62-К)-27 эрг-сек). Такое безразмер-
безразмерное G; имеет смысл максимально возможного числа
микросостояний в ячейке г, так как наименьшая вели-
величина произведения каждой пары координат и импуль-
импульсов, согласно квантовой механике, равна h, а частица
имеет три степени свободы.
В основу статистич. механики положено предполо-
предположение, что все микроскопич. состояния, соответствую-
соответствующие заданной полной энергии и заданному числу час-
частиц, равновероятны. Число различных способов,
к-рыми можно распределить N частиц по М ячейкам
размера G,- по Л',- частиц в каждой, равно
Wr
где учитывается, что частицы полностью независимы,
различимы и перестановки частиц в пределах каждой
ячейки не меняют состояния. В Б. с. эта величина оп-
определяет статистич. вес или тормодинамич. вероят-
вероятность состояния (в отличие от обычной вероятности она
не нормированна на единицу). При подсчете статистич.
веса учитывается, что перестановка тождественных
частиц не меняет состояния, и поэтому фазовый объем
И7б следует уменьшить в ЛП раз:
Фазы с таким уменьшенным объемом наз. родо-
родовыми фазами (в отличие от исходных видо-
видовых фаз).
Все микроскопич. состояния с различными распреде-
распределениями частиц по фазовым ячейкам при заданном чис-
числе частиц
М
и полной энергии
(е,-— энергия частиц в г'-й ячейке) соответствуют одно-
одному и тому же макроскопич. состоянию.
Предполагается, что распределение частиц в состоя-
состоянии статистич. равновесия соответствует наиболее ве-
вероятному распределению, т. е. максимуму W(. . .iV,-...)
при заданном числе частиц N и энергии Е. Задача на
условный экстремум W{...N( ...) при фиксированных
N и Е дает для среднего числа частиц в ячейке Волъц-
мана распределение
где к — постоянная Больцмана (универсальная по-
постоянная fe=l,38-10~16 эрг/град), Т — абсолютная
температура, jj, — химич. потенциал, определяемый
из условия iV=2;JV,-. В частном случае потенциального
поля U(г):
Б. с. есть частный случай статистики Гиббса — кано-
нич. ансамбля для газа из невзаимодействующих час-
частиц. Б. с— предельный случай квантовых Ферми —
Дирака статистики к Возе — Эйнштейна статистики
при достаточно высоких температурах, когда можно
пренебречь квантовыми эффектами.
Б. с. предложена Л. Больцманом (L. Boltzmann) в
1868-71.
Лит.: [1] М а й е р Д ж., Г е п п е р т-М а й е р М., Ста-
Статистическая механика, пер. с англ., М., 1952; [2] 3 о м м е р-
фельд А., Термодинамика и статистическая физика, пер. с
нем., М., 1955; [3] III р е д и н г е р Э., Статистическая термо-
термодинамика, пер. с англ., М., 1948; [4] Ф а у л е р Р., Г у г г е н-
гей м Э., Статистическая термодинамика, пер. сангл., М., 1949.
Д. Н. Зубарев.
БОЛЬЦМАНА .ЙГ-ТЕОРЕМА — одно из следствий
кинетического Больцмана уравнения, согласно к-рому
величина
Н (t) ~ С h (t, r) dr=[f\nf dp dr,
где /=/(?, r, jo) —безразмерная удовлетворяющая урав-
уравнению Больцмана классическая одночастичная функция
распределения в пространстве координат г и импульсов
р, является новозрастающей функцией времени t. Вре-
Временное поведение плотности h(t, r) определяется ре-
релаксационным характером эволюции функции / к ло-
локальному Максвелла распределению, предельное же зна-
значение //-функции при ?—>-оо равно вычисленной по мето-
методу Гиббса энтропии идеального газа с обратным знаком.
Если рассматриваемые приращения t значительно
больше времени установления локального распределе-
распределения Максвелла, то величину ( — h(t, r)) можно отожде-
отождествить с плотностью энтропии, а (— Н(t) )— с энтропи-
энтропией неравновесного идеального газа.
Принципиальное значение Б. //-т. с точки зрения ста-
тистич. механики состоит в математическом выраже-
выражении основных положений макроскопич. термодинами-
термодинамики, согласно к-рым, напр., изолированная система само-
самопроизвольно стремится к состоянию термодинамич.
равновесия, причем этот процесс сопровождается уве-
увеличением энтропии.
7/-т е о р е м о й наз. утверждения, аналогичные
первоначальной Б.//-т., но сформулированные для ста-
тистич. систем иного или более общего типа, включая
случай неидеальных и квантовых систем.
Б. Н-1. получена Л. Больцманом (L. Boltzmann, 1872).
Лит.: [1] Зоммерфельд А., Термодинамика и статис-
статистическая физика, пер. с нем., М., 1955; [2] У л е н б е к Д ж.,
Ф о р д Д т.. Лекции по статистической механике, пер. с англ.,
М., 1965. И. А. Квасников.
БОЛЬЦМАНА УРАВНЕНИЕ — уравнение кинетич.
теории газов, предложенное Л. Больцманом (L. Boltz-
Boltzmann) для определения одночастичной функции распре-
распределения идеального одноатомного газа (см. [1]). В без-
безразмерных переменных Б. у. имеет вид:
Здесь f(x, v, t) — плотность функции распределения
числа частиц в фазовом пространстве x^)v, x — трех-
трехмерная пространственная координата, v — скорость,
t — время, F — плотность внешних массовых сил, е —
безразмерный параметр (пропорциональный отноше-
отношению среднего расстояния, к-рое частицы пролетают
без столкновений, к характерному масштабу рассмат-
рассматриваемых явлений). Оператор столкновений L в про-
простейшем случае имеет следующий вид:
где vx та. v — скорости молекул до столкновения, vx и
v — скорости молекул после столкновения, d<a — эле-
элемент площади в плоскости, перпендикулярной вектору
vx-v.
При выводе Б.у. предполагается, что эволюция функ-
функции f(x, v, t) определяется ее значением в данный мо-
момент времени t и парными столкновениями между мо-
молекулами газа, причем время взаимодействия двух мо-
молекул газа при столкновении много меньше того време-
времени, в течение к-рого они двигаются как свободные час-
частицы. С математич. точки зрения вывод Б. у. заключа-
заключается в определенном алгоритме построения оператора
L на основе известного закона движения двух сталки-
сталкивающихся друг с другом молекул газа.
В уравнении (*) область изменения переменной t —
полупрямая <5&0, область изменения v — все простран-
пространство Jis, область изменения х — подобласть Q в R3
(Q может и совпадать с R3). По физич. смыслу функция
f(x, v, t) должна быть неотрицательной и такой, что
\ / (х, v, t) v2 dv < оо.
Простейшее граничное условие на dQ имеет следующий
вид:
f(v — 2n(n, v); x; t)=f(v, x, t), x?dQ, v?R3,
где п — нормаль к dQ. Имеется несколько различных
точных постановок задачи Коши для уравнения (*),
однако ни для одной из них не доказано существова-
существование в целом решения уравнения (*) при естественных с
физич. точки зрения предположениях об операторе L.
Лит.: [1] Больцман Л., Лекции по теории газов, пер.
с нем., М., 1956; [2] Б о г о л ю б о в Н. Н., Избр. труды, т. 2,
К., 1970; [3] Ч е п м е н С. и К а у л и н г Т. Д., Математиче-
Математическая теория неоднородных газов, пер. с англ., М., 1960.
А. А. Арсенъев.
БОЛЬШАЯ СИСТЕМА — см. Сложная система.
БОЛЬШИХ ОТКЛОНЕНИИ ВЕРОЯТНОСТИ — веро-
вероятности вида
P(Sn-bn>an), ?(Sn~bn <—ап) и ?(\Sn — bn\ > ап),
где Sn = I,UX/>
{ Xj\— последовательность независимых случайных ве-
величин, а {ап} и {Ьп} — две последовательности чисел
S-bn
такие, что ап > 0, — ^ 0 по вероятности.
п
Если случайные величины Хх, Х2 ¦ ¦ ¦ имеют одина-
одинаковое распределение с математич. ожиданием, равным
нулю, и конечной дисперсией а2, то можно положить
Ьп—0 и ап=хпа\/Гп, где хп—»—f-°° прии—>-оо. Особенно
большое значение имеют Крамера теорема и ее уси-
усиления.
В случаях, когда необходимо иметь гарантирован-
гарантированные оценки для Б. о. в., пользуются неравенствами
типа Чебашева неравенств — это так наз. показа-
показательные оценки для Б. о. в. Напр., если
случайные величины Xj независимы, ЕХу=О, ?Xj=oj,
\Xj\<?.L с вероятностью 1, В2п=а24- ¦ ¦ ¦ +°"^i и а=
LlB 0
j
= xLlBn, то ири всех х^0 верна оценка
?{\Sn\>xBn) {f(
правая часть к-рой экспоненциально убывает с ростом х.
Лит.: [1] Лоэв М., Теория вероятностей, пер. с англ.,
М., 1962; [2] П е т р о в В. В., Суммы независимых случайных
величин, М., 1972; [3] Ибрагимов И. А., Л и н н и к Ю. В..
Независимые и стационарно связанные величины, М., 1965;
[4] Прохоров Ю. В., в кн.: Итоги науки и техники, т. 10,
М., 1972, с. 5—24; [5] Ю р и н с к и й В. В., «Теория вероят-
вероятностей и её применения», 1974, т. 19, в. 1, с. 152 —153.
В. В. Петров, В. В. Юринский.
БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ЗАКОН — общий принцип, в
силу к-раго совместное действие случайных факторов
приводит при нек-рых весьма общих условиях к резуль-
результату, почти не зависящему от случая. Сближение
частоты наступления случайного события с его вероят-
вероятностью при возрастании числа испытаний (подмеченное
сначала, по-видимому, на азартных играх) может слу-
служить первым примером действия этого принципа.
На рубеже 17 п 18 вв. Я. Бернулли [1] доказал теоре-
теорему, утверждающую, что в последовательности незави-
независимых испытаний, в каждом из к-рых вероятность на-
наступления нек-poro события А имеет одно и то же зна-
значение р, 0<р<1, верно соотношение:
е}—>0 A)
при любом е>0 и п—»-оо; здесь цп— число появлений
события в первых п испытаниях, ц.„/ га — частота по-
появлений. Эта Бернулли теорема была распространена
С. Пуассоном [2] на случай последовательности неза-
независимых испытаний, где вероятность появления собы-
события А может зависеть от номера испытания. Пусть эта
вероятность для А-го испытания равна р^, к= 1, 2, 3,
. . ., и пусть
г п
Тогда Пуассона теорема утверждает, что
¦ е | —у 0 B)
при любом е>0 и П-+ОО. Первое строгое доказательство
этой теоремы было дано П. Л. Чебышевым A846),
метод к-рого полностью отличен от метода Пуассона и
основан на нек-рых экстремальных соображениях;
С. Пуассон выводил B) из приближенной формулы для
указанной вероятности, основанной на использовании
закона Гаусса и в то время еще строго не обоснован-
обоснованной. У С. Пуассона впервые встречается и термин
«закон больших чисел», к-рым он назвал свое обобще-
обобщение теоремы Бернулли.
Естественное дальнейшее обобщение теорем Бернул-
Бернулли и Пуассона возникает, если заметить, что случайные
величины цп можно представить в виде суммы
независимых случайных величин, где Х^ —1, если А
появляется в А-м испытании, и Х^ = 0 — в противном
случае. При этом математич. ожидание Е(цп/п) (сов-
(совпадающее со средним арифметическим математич. ожи-
ожиданий EA'fc) равно р для случая Бернулли и р для слу-
случая Пуассона. Другими словами, в обоих случаях рас-
рассматривается отклонение среднего арифметического
величин Хь от среднего арифметического нх математич.
ожиданий.
В работе П. Л. Чебышева «О средних величинах»
A867) было установлено, что для независимых случай-
случайных величин Xi, Хг, . . ., Х„, . . . соотношение
'{
ЕХ,+...+ЕХ
> е ) — О C)
п п
(при любом е>0 и п—>-оо) верно при весьма общих пред-
предположениях. П. Л. Чебышев предполагал, что мате-
математич. ожидания вХ^ все ограничены одной и той же
постоянной, хотя из его доказательства видно, что
достаточно требования ограниченности дисперсий
Xk, DXfc = EXj— (EXfcJ, или даже требования
В\ = DXX -f . . . + DXn = о (га2) при п —>- со.
Таким образом, П. Л. Чебышев показал возможность
широкого обобщения теоремы Бернулли. А. А. Марков
отметил возможность дальнейших обобщений и пред-
предложил применять название Б. ч. з. ко всей совокуп-
совокупности обобщений теоремы Бернулли [и в частности,
к C)]. Метод Чебышева основан на точном установлении
общих свойств математич. ожиданий и на использова-
использовании так наз. Чебышева неравенства [для вероятности
C) оно дает оценку вида
эту границу можно заменить более точной, разумеет-
разумеется при более значительных ограничениях, см. Берн-
штейна неравенство]. Последующие доказательства
различных форм Б. ч. з. в той или иной степени явля-
являются развитием метода Чебышева. Применяя надлежа-
надлежащее «урезание» случайных величин Х^ (замену их вспо-
вспомогательными величинами Хп, и; именно: Хп, А=Х^,если
\Xk - BXk\ <cLn, и X'n,k=0, если \Xk- EXk\>Ln,
где Ln— нек-рые постоянные), А. А. Марков распростра-
распространил Б. ч. з. на случаи, когда дисперсии слагаемых не
существуют. Напр., он показал, что C) имеет место, ес-
если при нек-рых постоянных б >0 и L>0 и всех п
Аналогично доказывается теорема Хинчина
A929): если Хп имеют одинаковые законы распределе-
распределения и ЕХп существует, то Б. ч. з. C) выполняется.
Для сумм независимых случайных величин можно
сформулировать более или менее окончательный ва-
вариант Б. ч. з. Для этого целесообразно перейти на бо-
более общую точку зрения, связанную с понятием предель-
предельного постоянства последовательности случайных ве-
величин. Случайные величины последовательности Yj,
Y 2, . . ., Yn, . . . наз. предельно постоян-
постоянными, если существует такая последовательность по-
постоянных Сь С2, . . . , Сп, . . ., что при любом е>0
И П—>-оо
P{\Yn-Cn\ >e}-^0 D)
(т. е. Yn—Cn сходится к нулю «по вероятности»; если
D) выполняется с к.-л. Сп, то оно выполняется и с Сп=
= mYn, где тУ — медиана случайной величины У).
Далее, вместо последовательности Хг, Х2, ¦ . ., Хп,
. . . независимых случайных величин можно взять
так наз. схему серий (см. Серий схема):
случайных величин (первый индекс — номер серии,
второй — номер величины внутри серии). Случайные
величины каждой отдельной серии предполагаются
взаимно независимыми. Схему последовательности лег-
легко свести к схеме серий, полагая ^=1, к%=2, . . .,
ХПук=Хк/п.
Пусть
Yп = Х"„д+ . .. -\-Хп^п,
Тогда общая форма вопроса о применимости Б.ч.з.
для сумм независимых случайных величин такова: при
каких условиях суммы У„ предельно постоянны?
Ответ на этот вопрос дал А. Н. Колмогоров A928).
Допустим, не ограничивая общности, что медианы ве-
величин Xnk равны нулю. Пусть Хп k = Xn ъ при \Хп k\ <-^
и ^Т/г,й=0 ПРИ l^/j,fcl>l- Тогда одновременное выпол-
выполнение двух условий:
'El'LlP{lX'',k\>i}-^0 при п-^со
необходимо и достаточно для предельного постоянства
сумм Y п. В качестве Сп можно взять /n,*Lj РХ„ ь. До-
статочность этих условий легко доказывается методом
Чебышева. Если математич. ожидания ЕХ„ ^ суще-
существуют, то легко указать дополнительные условия, при
к-рых можно выбрать Cn=EYn, что приводит к необ-
необходимым и достаточным условиям Б.ч.з. в классич.
формулировке C). Для последовательности независи-
независимых одинаково распределенных величин {Х„} эти ус-
условия сводятся, в соответствии с указанной теоремой
Хинчина, к существованию математич. ожидания.
В то же время для предельного постоянства средних
арифметических Y п в этом случае необходимо и доста-
достаточно условие
пР { I Хг | > п) —>- 0 при п —*- оо. E)
Легко привести примеры, когда условие E) не выпол-
выполняется. Так, оно не выполняется, если все Х„ имеют
распределение Коши с плотностью 1/яA+г2) (к-рой
соответствует характеристич. функция е~\ I). Здесь
средние арифметические Y'„=—1+ ' ' ' " имеют ха-
характеристич. функцию e~nl'/n'=e-ifl, и следовательно,
имеют при любом п то же самое распределение, что и
отдельные слагаемые.
В числе наиболее важных примеров, где Б. ч. з. не
имеет места, следует отметить примеры, связанные с
временами возвращения в случайных блужданиях.
Напр., в симметричном Бернулли блуждании время
Тп до re-го возвращения в исходную точку есть сумма п
независимых случайных величин Х1? Х2, . . ., Хп, где
Xj— время до 1-го возвращения, Х2— время между 1-м
и 2-м возвращениями и т. д. Распределение величины
2Тп/лп2 сходится при п—>-оо к невырожденному предель-
предельному закону с плотностью
p(x)=-7L-e~1/2Xx~3/2 при х > О
У 2л
и равной нулю при г<:0. Таким образом, в этом случае
распределение среднего арифметического величин X/,
т. е. Тп1п, размещается, грубо говоря, на отрезке длины
порядка п (в то время как в случае применимости Б. ч. з.
оно сосредоточивается на отрезках длины оA) ).
Применимость Б.ч. з. к суммам зависимых величин
(и в его классич. формулировке, и в более общих)
связана в первую очередь с неограниченным убыванием
зависимости между случайными величинами X,- и Xj
при увеличении разности их номеров, т. е. \1 — /|.
Впервые соответствующие теоремы были доказаны
А. А. Марковым для величин, связанных в цепь Маркова
A907). Именно, пусть Хх, Х2, . . ., Хп, ... принимают
конечное число значений и связаны в однородную цепь
Маркова, причем все вероятности перехода за один
шаг положительны. Здесь неограниченное убывание
зависимости между Xj и X,- при ; — ;->- оо проявляется
в том, что условное распределение Xj при фиксирован-
фиксированном значении X; стремится при п—>-оо к пределу, не за-
зависящему от выбранного значения X/ (э р г о д и ч е-
ская теорема Маркова). Как следствие это-
этого утверждения выводится Б. ч. з.: сначала устанавли-
устанавливается, что при п—>-оо
где a = lim Е-Х^; отсюда же вытекает, что при п—>-оо
р
х1+.
> е
|
Более общий случай охватывается условиями
С. Н. Бернштейна: если DXy<L, Л(Х,-, Xy)<s<p(|i — /|),
где L — нек-рая постоянная, R — коэффициент кор-
корреляции, (f(re) — функция, стремящаяся к нулю при
re—>-oo, то к величинам {Xn} применим Б. ч. з. C). Для
стационарных в широком смысле последовательно-
последовательностей {Хп} условие на корреляцию можно несколько
ослабить, заменив его условием
где Kj ,,
Предыдущие результаты можно обобщить в различ-
различных направлениях. Во-первых, всюду выше рассматри-
рассматривалась сходимость «по вероятности». Рассматривают и
другие типы сходимости: с вероятностью единица, в
среднем квадратичном и т. п. (в действительности мно-
многие из указанных выше условий обеспечивают сходи-
сходимость в среднем квадратичном, из к-рой вытекает схо-
сходимость по вероятности). Случай сходимости с вероят-
вероятностью единица, ввиду его важности, выделяется осо-
особым названием «усиленного закона больших чисел» (см.
Больших чисел усиленный закон).
Далее, многие теоремы переносятся с соответствую-
соответствующими изменениями на случайные векторы со значени-
значениями из евклидовых пространств любой размерности,
из гильбертова пространства, из нек-рых банаховых
пространств. Так, напр., если {Хп} — последователь-
последовательность независимых одинаково распределенных случай-
случайных векторов со значениями из сепарабельного банахо-
банахова пространства и если Е||Х„|| (||ж|| — норма х)
существует, то
Хх + . . . + X 1
— "-^г >s}— О
при любом е>0 и ге^оо.
Рассматриваемый в наиболее общей форме Б.ч.з. ока-
оказывается тесно связанным с эргодическими теоремами.
Разумеется, многие теоремы переносятся и на случай
средних — С X(t)dt, где X (t) — случайный процесс,
1 Jo
зависящий от непрерывного параметра (см., напри-
например, [10]).
Наконец, вместо сумм случайных величин можно рас-
рассмотреть другие симметрические функции от них. Это
было сделано А. Я. Хпнчиным A951 — 55) в связи с
обоснованием нек-рых выводов статпстич. механики
[9]. Результат А. Я. Хннчина можно пояснить следую-
следующим частным примером. Пусть Хп1, . . ., Хпп— коор-
координаты точки, равномерно распределенной на поверхно-
поверхности сферы
Тогда для широкого класса симметрических функций
f(Xnti, ¦ . ., Хпп) имеет место Б.ч.з. в том смысле,
что их значения при п—>-оо оказываются предельно по-
постоянными [это близко к замечанию П. Леви (P. Levy,
1925) о том, что достаточно регулярные функции очень
большого числа переменных почти постоянны в боль-
большей части области определения].
В большинстве старых руководств приводились об-
обширные статистич. данные, иллюстрирующие Б.ч.з.
(см., напр. [4], [11]).
Лит.: [1] Bernoulli J-. Ars conjectandi, opus posthu-
mum, Basileae, 1713 (в рус. пер.— Часть четвертая сочинения
Я. Бернулли..., СПБ, 1913); [2] Poisson S.-D., Recherches
sur la probabilite des jugements en matiere criminelle et en matiere
civile, precedees des regies generates du calcul des probability,
P., 1837-[3] Ч е б ы ш е в П. Л., Поли. собр. соч., т. 2, M. — Л.,
1947; [4] Марков А. А., Исчисление вероятностей, 4 изд.,
М., 1924; [5] Бернштейн С. Н., Теория вероятностей,
4 изд., М.— Л., 1946; [6] Г н е д е н к о Б. В., Колмого-
Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых
случайных величин, М.— Л., 1949; [7] Д у б Д ж., Вероятност-
Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; [8] Гренандер У.,
Вероятности на алгебраических структурах, пер. с англ., Ж.,
1965;[9]Хинчин А. Я., Симметрические функции на много-
многомерных поверхностях, в кн.: Памяти А. А. Андронова, М., 1955,
с. 541 — 74; [10] Л о э в М., Теория вероятностей, пер. с англ.,
М., 1962; [11] Uspensky J. V., Introduction to mathema-
mathematical probability, N. Y.— L., 1937. Ю. В. Прохоров.
БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН — одна
из форм больших чисел закона (в его общем понимании),
утверждающая, что при определенных условиях с ве-
вероятностью единица происходит неограниченное сбли-
сближение средних арифметических последовательности
случайных величин с нек-рыми постоянными величи-
величинами. Точнее, пусть
*и л2, ..., Хп, ... (j)
— последовательность случайных величин и ?„=
= X1-j-X2+- • -~\-Хп- Говорят, что последовательность
A) удовлетворяет Б.ч.у.з., если существует такая по-
последовательность постоянных А „, что вероятность
соотношения
^-Л„ — 0 B)
(при п—>-оо) равна 1. Другая формулировка, равносиль-
равносильная предыдущей, такова: последовательность A)
удовлетворяет Б.ч.у.з., если при любом е>0 вероят-
вероятность одновременного выполнения всех неравенств
sn sn+1
— ~Ап <ё, ~т —Л„ + 1 <е, ... C)
стремится к 1 при ге^оо. Таким образом, здесь рас-
рассматривается поведение всей последовательности сумм в
целом, в то время как в обычном законе больших чи-
чисел речь идет лишь об отдельных суммах. Если после-
последовательность A) удовлетворяет Б.ч.у.з., то она удо-
удовлетворяет и обычному закону больших чисел с теми
же самыми Ап, т. е.
— 1 D)
(при любом е>0 и п—>-оо). Обратное может быть невер-
неверно. Напр., если случайные величины A) независимы и
принимают при ге^16 два значения ± J^n/ln In In п
с вероятностью 1/2 каждое, то для них выполняется за-
закон больших чисел D) с Л„ = 0, но ни при каких Ап не
выполняется Б.ч.у.з. B). Заранее существование та-
таких примеров совсем не очевидно, т. к. хотя вообще
сходимость по вероятности слабее сходимости с вероят-
вероятностью 1, тем не менее, напр., для рядов из независи-
независимых случайных величин оба вида сходимости равно-
равносильны.
Б.ч.у.з. был впервые сформулирован и доказан
Э. Борелем [1] для схемы Бернулли (в теоретико-чис-
теоретико-числовой интерпретации; см. Бореля усиленный закон
больших чисел). Частные случаи схемы Бернулли воз-
возникают при разложении взятого наудачу (с равномер-
равномерным распределением) действительного числа со из от-
отрезка @,1) в бесконечную дробь по к.-л. основанию (см.
Бернулли испытания). Так, в двоичном разложении
J-^n = i 2"
последовательные знаки Хп(а>) принимают два значе-
значения 0 и 1 с вероятностью 1/2 каждое и являются неза-
независимыми случайными величинами. Сумма Sn(u>) =
=^Д=1-Х^(М) равна числу единиц среди первых п знаков
двоичного разложения, a Sn(w)!n — их доле. В то же
время Sn может рассматриваться как число «успехов» в
схеме Бернулли с вероятностью «успеха» (появление 1),
равной 1/2. Э. Борель доказал, что доля единиц Sn(a>)/n
стремится к 1/2 для почти всех со из отрезка @,1). Ана-
Аналогично, при разложении со по основанию 10 можно на-
назвать «успехом» появление к.-л. одной из цифр 0, 1,
2, . . .,9 (напр., цифры 3). При этом получается схема
Бернулли с вероятностью успеха 1/10, и частота появ-
появления выбранной цифры среди первых п знаков деся-
десятичного разложения стремится к 1/10 для почти всех
шиз отрезка @,1). Э. Борель отметил также, что частота
появления любой фиксированной группы г цифр стре-
стремится для почти всех ю к 1/1СК (см. Нормальное число).
Ф. Кантелли [2] дал достаточные условия Б.ч.у.з.
для независимых случайных величин Хп в терминах
вторых и четвертых центральных моментов слагаемых
(схема Бернулли охватывается этими условиями). Вво-
Вводя обозначение
условию Кантелли можно придать вид
Z°° впл +вп,г
< 00
Л = 1 П2
Доказательства Э. Бореля и Ф. Кантелли основаны на
следующем соображении. Пусть для нек-рой последо-
последовательности положительных чисел гп—>-0 (при п—>-оо)
-~А„
> е„| < оо. E)
Тогда по Бореля — Кантелли лемме с вероятностью 1
осуществляется лишь конечное число событий, стоящих
под знаком вероятности в E). Поэтому с вероятностью
1 для всех достаточно больших п
s
" Л
т. е. имеет место C). Э. Борель оценивал члены ряда
E) по теореме Муавра — Лапласа, а Ф. Кантелли —по
неравенству Чебышева с четвертыми моментами.
Дальнейшее расширение условий приложимости Б.ч.
у.з. было осуществлено А. Я. Хинчиным и А. Н. Колмо-
Колмогоровым. А. Я. Хинчин [3], [4] ввел самый термин «уси-
«усиленный закон больших чисел» и дал достаточное условие
Б.ч.у.з. с An=E(Sn/n) (применимое и к зависимым вели-
величинам). Обозначая через г; ь коэффициент корреляции
между X; и Xk и полагая '
n p|, ft, „ 2=оь
It—h\=n
можно записать условие X начинав форме:
Вп<2С,1 = О(п2—^) для нек-рого 6>0. В действительности
из доказательства А. Я. Хинчина вытекает значительно
более сильное утверждение.
В случае независимых слагаемых наиболее извест-
известными являются условия приложимости Б.ч.у.з., уста-
установленные А. Н. Колмогоровым: достаточное A930) —
для величин с конечными дисперсиями и необходи-
необходимое и достаточное A933) — для одинаково распреде-
распределенных величин (заключающееся в существовании ма-
тематич. ожидания величин X;). Теорема Кол-
Колмогорова для случайных величин A) с конечными
дисперсиями утверждает, что из условия
вытекает приложимость к последовательности A) Б. ч.
у. з. с An=B(Sn/n). В терминах дисперсий условие F)
оказывается наилучшим в том смысле, что для любой
последовательности положительных чисел Ъп с расхо-
расходящимся рядом VJ Ъп1п2 можно построить последова-
последовательность независимых случайных величин Хп с 0Хп~
= Ьп, не удовлетворяющую Б. ч. у. з. Область примене-
применения условия F) (как, впрочем, и ряда других условий
Б. ч. у. з. для независимых величин) может быть рас-
расширена на основе следующего замечания. Пусть тп —
медиана Хп. Сходимость ряда
^?{\Хп~тп\>п}
необходима для Б. ч. у. з. Из леммы Бореля — Кантел-
Кантелли вытекает, что с вероятностью 1, начиная с нек-рого
номера, \Хп— т„| <и. Поэтому при изучении условий
приложимости Б. ч. у. з. можно сразу ограничиться
случайными величинами, удовлетворяющими послед-
последнему условию.
В доказательствах А. Я. Хинчина и А. Н. Колмого-
Колмогорова вместо сходимости ряда E) устанавливается схо-
сходимость ряда
Р
s
-f- — А
n
>е
\
f
где П?=2*. При этом А. Я. Хинчин привлекал, по су-
существу, нек-рые идеи из теории рядов по ортогональ-
ортогональным системам функций, а А. Н. Колмогоров использо-
использовал носящее его имя неравенство для максимумов
сумм случайных величин.
Для независимых случайных величин можно дать не-
необходимое и достаточное условие Б.ч. у. з. Полагая
где сумма ^ш распространена на те п, для к-рых
2*<re<2* + 1, это условие можно записать в виде: при
любом е>0
2{ >е}< оо, G)
где mZk— медиана Zk (см. [6]). Из G) при дополнитель-
дополнительных ограничениях можно получить условия, выражен-
выраженные через характеристики отдельных слагаемых. Если,
напр., Xn=o(ln™nn j или если все Хп распределены
по нормальному закону, то условие G) равносильно
следующему: при любом е>0
Здесь, в силу независимости X/,
Известны условия применимости Б. ч. у. з. к марков-
марковским цепям и процессам и стационарным процессам
(см. [7]). Напр., метод Хинчина, примененный к ста-
стационарным в широком смысле последовательностям
Хп с корреляционной функцией R(n), приводит к сле-
следующему утверждению: если ряд У „ \R(n)\ cxo-
дится, то — n'^ t -—>ЕХ0 с вероятностью 1. Для
стационарных в узком смысле процессов Б.ч. у. з.
иногда толкуют, понимая под этим утверждение, что
с вероятностью 1 существует предел
y=lim
(случайная величина Y равна условному математич.
ожиданию Хо по отношению к а-алгебре множеств, ин-
инвариантных относительно сдвига; с вероятностью 1 ве-
величина Y постоянна и равна Е-Х^ только для метриче-
метрически транзитивных процессов). В указанной форме
Б. ч. у. з. есть не что иное, как Биркгофа эргадическая
теорема.
Существуют варианты Б. ч. у. з. для случайных век-
векторов в нормированных линейных пространствах [9].
В качестве исторически первого примера можно приве-
привести теорему Гливснко — Кантелли о сходимости эм-
эмпирической функции распределения к теоретической.
Представление об отклонениях Sjn от Ап дает пов-
повторного логарифма закон.
Лит.: [1] В о г е I E., «Rend. Circolo mat. Palermo», 1909,
v. 27, p. 247—71; [2] С a n t e 1 1 i F. P., «Atti Accad. naz.
Lincei», 1917, v. 26, p. 39—45; [3] X и н ч и н А. Я., Основные
законы теории вероятностей, М., 1927; [4] е г о ж е, «С. г. Acad.
sci.», 1928, t. 186, p. 285—7; [5] Колмогоров А. Н.,
«С. г. Acad. sci.», 1930, t. 191, p. 910—2; [6] П р о х о р о в Ю. В.,
«Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1950, т. 14, с. 523—36; [7] Д у б
Д ж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; [8] П е т-
fi о в В. В., Суммы независимых случайных величин, М., 1972;
9]Гренандер У., Вероятности на алгебраических струк-
структурах, пер. с англ., М., 1965. Ю. В. Прохоров.
БОЛЬШОЕ РЕШЕТО— метод, разработанный Ю. В.
Линником в 1941 и позволяющий высеивать последо-
последовательности с возрастающим числом выбрасываемых
вычетов. Сущность Б. р. заключается в следующем.
Пусть задана последовательность целых положитель-
положительных чисел гех, ге2, . . ., nz, не превосходящих Л', про-
простое число /)<: У~Ы и вычет I, 0<?<р— 1. Пусть
Q (р, Ц = 2лП[ = 1 fmodp), л,-< N 1-
Из статистич. соображений, к-рые могут быть строго
обоснованы с помощью основной идеи кругового метода,
следует, что Q(p, l)>0 для почти всех р и, соответст-
соответственно, для почти всех I. Пусть А — количество таких р,
а В = В(р) — количество соответствующих I.
Ю. В. Линник доказал, что
И
где С>0 — константа, а т? @, 1), и вывел теорему о том,
что количество простых чисел из сегмента [Л'е, N],
для к-рых нарушается гипотеза И. М. Виноградова о
наименьшем квадратичном невычете (см. Виноградо-
Виноградова гипотеза), может быть только конечным (зависящим
от е).
Имеются усовершенствования метода Б. р., при этом
рассматриваются оценки величины Q(p, l) в среднем.
Лучший результат принадлежит Э. Бомбьери (Е. Вош-
bieri, 1965):
Наиболее значительный вклад в современную анали-
тич. теорию чисел метод Б. р. дал в сочетании с плот-
ностным методом, что привело к доказательству тео-
теоремы Виноградова — Бомбьери A965) — усредненного
асимптотич. закона простых чисел в прогрессиях. Эта
и другие аналогичные теоремы о среднем нашли ши-
широкое применение при решении ряда известных за-
задач теории чисел, заменяя во многих случаях Римана
обобщенную гипотезу.
Лит.: П] Прахар К., Распределение простых чисел,
пер. с нем., М., 1967; [2] Д э в е н п о р т Г., Мультипликатив-
Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М., 1971; [3] М о н т г о м е р и Г.,
Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М., 1974.
В. М. Бредихин.
ВОЛЯ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ —
класс функций, определяемый тем свойством, что они
могут быть равномерно приближены на всей действи-
действительной оси посредством обобщенных тригонометрия,
полиномов вида:
V. J (л1а1 + п2а2+ . . . +nkak)x
Zjan,n2. ..nke * * ,
где Пх, п2, . . ., пь~~ любые целые, а а1; а2, . . ., а.п —
заданные действительные числа. Этот класс функций
был впервые рассмотрен и подробно исследован П. Бо-
лем [1]. Класс Б. п. п. ф. содержит в себе класс непре-
непрерывных 2я-периодических функций, и содержится
в классе Бора почти периодических функций. П. Боль
указал ряд необходимых и достаточных условий почти
периодичности функции. В частности, всякая функция
вида:
где каждая из функций fx(x), f2(x), . . ., fk (x) непре-
непрерывна и периодична (периоды их могут быть различны),
является Б. п. п. ф.
Лит.: [1] В о h I P., Ueber die Darstellung von Functionen
einer Variabeln durch trigonometrische Reihen mit mehreren
einer Variabeln proportionalen Argumenten, Dorpat, 1893; [21
В о h 1 P., «J. reine und angew. Math.», 1906, Bd 131, S. 268—
321; [3] Левитан Б. М., Почти-периодические функции,
М., 1953. Е. А. Бредихина.
БОННЕ СЕТЬ — изотермическая сеть, линии к-рой
имеют постоянную геодезич. кривизну. Квадрат
линейного элемента в параметрах этой сети:
flS ~ (U + V)*'
где U=U(u), V=V(i>). Б. с. рассмотрена О. Бонне
(О. Bonnet) В 1848. А. Б. Иванов.
БОННЕ ТЕОРЕМА — 1) Б. т. о существова-
существовании и единственности поверхно-
поверхности с заданными первой и второй квадратичными фор-
формами [1]: пусть заданы две квадратичные формы:
Е du2+2F dudv+G dv*,
L du-+2 M dudv+N dv*-,
первая из к-рых положительно определенная и коэф-
коэффициенты этих форм удовлетворяют уравнениям Гаус-
Гаусса (см. Гаусса теорема) и Петерсона — Кодацци урав-
уравнениям; тогда существует, и притом единственная с
точностью до положения в пространстве поверхность,
для к-рой эти формы являются соответственно первой
и второй квадратичными формами.
2) Б. т. о диаметре овальной поверх-
поверхности: если кривизна овальной поверхности во всех
ее точках больше или равна 1/Л2, то внешний диаметр
этой поверхности меньше лА; эта оценка не может
быть улучшена. Установлена О. Бонне (О. Bonnet,
1855). А- Б. Иванов.
3) Б. т. о среднем значении, вторая
теорема о среднем значении [2]: пусть
f(x), ф(ж) интегрируемые функции на отрезке [а, Ь]
и пусть ф (х) — положительная убывающая функция
от х; тогда найдется такое число \ на отрезке [а,Ь],
для к-рого имеет место равенство
<\jbJ(x)<f(x)dx = <p(
Если от ф (х) требовать только монотонности, то Б. т.
утверждает, что на [а, Ь] найдется такая точка \, что
выполняется
Лит.: [1] В о n n e t О., «J. Ecole polyt.», 1865, t. 24, p. 204 —
230; 1867, t. 25, p. 1 — 151; [2] его же, «J. math.», 1849, t.
14, p. 249 — 56. Г. Ю. Попова.
БОННЕЗЕНА НЕРАВЕНСТВО — одно из уточнений
изопериметрического неравенства для выпуклых обла-
областей на плоскости. Пусть К — выпуклая область на пло-
плоскости, г — радиус наибольшего круга, к-рый можно по-
поместить в К, R — радиус наименьшего круга, содержа-
содержащего К, L — периметр, a F — площадь области К. Тог-
Тогда справедливо неравенство Боннезена [1 ]:
А = L2 — A^F Sa Я3(Л — гJ.
Равенство Д = 0 достигается только при R = r, r. е. в
том случае, когда К есть круг. Обобщения Б. н. см. [2].
Лит.: [1] Bonnes en Т., «Math. Ann.», 1921, Bd 84
S. 216; [2] Д и с к а н т В. И., «Докл. АН СССР», 1973, т. 213,
№ 3, с. 51У—21. А. Б. Иванов.
БОРА КОМПАКТ — пространство X максимальных
идеалов алгебры почти периодических по Бору функций
(см. Банахова алгебра, Бора почти периодические
функции). Почти периодические по Бору функции на
действительной оси R образуют коммутативную С*-ал-
гебру А. Алгебра А изометрически изоморфна алгебре
С(Х) всех непрерывных функций на компакте X. Дей-
Действительная ось R естественно вкладывается в X в ка-
качестве всюду плотного подмножества (это вложение, од-
однако, не есть гомеоморфизм). Компакт X обладает
структурой связной компактной группы, к-рая отож-
отождествляется с группой характеров действительной оси,
если последнюю рассмотреть в дискретной топологии.
Наличие указанного изоморфизма между алгеброй поч-
ти периодич. функций и алгеброй всех непрерывных
функций на Б. к. позволяет упростить доказательства
целого ряда классич. теорем. Понятие Б. к. имеет
смысл и для алгебр почти периодич. функций на дру-
других группах. Для множества условно-периодич. функ-
функций с га независимыми фиксированными периодами роль
Б. к. играет n-мерный тор с этими периодами.
Лит.: Л ю м и с Л., Введение в абстрактный гармонический
анализ, пер. с англ., М., 1956. Е. А. Горин.
БОРА ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ,
равномерные почти периодичес-
периодические функции,— класс (U-n. п.) почти перио-
периодических функций. Первое определение, данное X. Бо-
Бором [1], основано на обобщении понятия периода: функ-
функция f(x), непрерывная в интервале (— оо, оо), наз.
Б. п. п. ф., если для любого е>0 существует относи-
относительно плотное множество е-почти периодов этой функ-
функции (см. Почти период). Иначе: f{x)? U-n. п., если для
каждого е>0 существует L=L(s) такое, что в каждом
интервале длины L найдется хотя бы одно число т,
для к-рого
\f(x+T)-f(x)l<n, -ооО<оо.
В случае ограниченности L(e), е—>-0, Б. п. п. ф. / (х)
оказывается непрерывной периодич. функцией. В тео-
теории почти периодич. функций применяется также оп-
определение Бохнера (см. Вохнера почти периодические
функции), эквивалентное определению Бора. Функции
класса U-n. п. ограничены, равномерно непрерывны
на всей действительной оси. Предел f(x) равномерно
сходящейся последовательности Б. п. п. ф. (fn(x)\ при-
принадлежит классу U-n. п.; этот класс инвариантен по
отношению к арифметич. операциям (частное Б. п. п. ф.
f(x)lg(x)?U-u. п. при условии inf \g(x)\>y~>0).
00 <Х<05
Если f(x)?U-n. п. и /' (х) равномерно непрерывна
на (— оо, оо), то /' (х)? U-n. п.; неопределенный ин-
теграл F(x)=\ f(t)dt ?U-n. п., если F(x) ограничен-
х) О
ная функция.
Лит.: [1] Bohr H., «Acta math.», 1925, t. 45, p. 29 — 127;
[2] Левитан Б. М., Почти-периодические функции, М.,
1953. Е. А. Бредихина.
ВОРА — ФАВАРА НЕРАВЕНСТВО — неравенство,
возникшее в связи с задачей X. Бора [1] об ограни-
ограниченности на всей действительной оси первообразной
почти периодич. функции. Окончательный вид этому
неравенству дал Ж. Фавар [2], существенно допол-
дополнивший исследования X. Бора и рассмотревший для
фиксированных натуральных чисел ;• и п произвольную
периодич. функцию
/ (х) = 2Г=« (ak cos kx + bk sin kx)
с непрерывной производной f">{x). В.— ф. н. при-
принято паз. неравенство
|!/||с= max \f(x)\,
х = [0, 2л]
с наилучшей константой К=К{п, г):
К= sup \\f\\c-
\\i{r)\\c< l
Б.— Ф. н. тесно связано с неравенством для наилуч-
наилучших приближений функции и ее r-Ш производной три-
гонометрич. полиномами порядка не выше га и с попереч-
поперечниками Колмогорова класса дифференцируемых функ-
функций.
Лит.: [1] Bohr Н., «С. г. Acad. sci.», 1935, t. 200, JSTs 15,
p. 1276—7; [2] F a v a r d J., «Bull. sci. math.», 1937, t. 61,
p. 243—56; [3] Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппро-
аппроксимации, 2 изд., М., 1965. Л. В. Тай-кое.
БОРДИЗМ, бордантность,— термин, употреб-
употребляющийся самостоятельно или в составе стандартных
словосочетаний в нескольких родственных смыслах
(почти во всех из них вместо Б. раньше говорили о
кобордизмах; старая терминология тоже сохра-
сохранилась).
Простейший вариант: два гладких замкнутых п-
мерных многообразия Мо и Мбордантны (с о-
ограничивают, или внутренне гомо-
гомологичны), если существует гладкое компактное
(п+1)-мерное Л1ногообразие W («пленка»), край к-рого
состоит из двух многообразий Л*о и Л7, диффеоморфных,
соответственно, Мо и М посредством нек-рых диффео-
диффеоморфизмов
Совокупность многообразий, бордантных Друг дру-
другу, наз. классами бордизмов, а тройку
(W, М„, М) иногда наз. бордизмом [точнее было
бы говорить о пятерке (W, Mo, M, g0, g)]. Множество
классов В. и-мерных многообразий образует абелеву
группу 9?„ относительно несвязного объединения. Нулем
в ней служит класс В., состоящих из многообразий М,
к-рые являются границей нек-рого многообразия W
[формально говорят о тройке (W, Мо, М) с пустым Мо;
другие названия: М — ограничивающее многообра-
многообразие, М — внутренне гомологично, или бордантно
нулю]. Элементом 91„, обратным данному классу В.,
является сам этот класс (т. к. М [}М диффеоморфно гра-
границе прямого произведения Мх[0,1]). Прямая сумма Щ.^
групп 91„ является коммутативным градуированным
кольцом, умножение в к-ром индуцировано прямым
произведением многообразий, с единицей, заданной
классом В. точки.
Более сложные варианты — В. гладких замкнутых
многообразий с дополнительной структурой. Напр.,
два ориентированных многообразия Мо и М о р и е н-
тпрованно бордантны, если они бордантны
в прежнем смысле, причем «пленка» W ориентирована,
и (в прежних обозначениях) ориентация, индуцирован-
индуцированная ориентацией W на iVn и Л' (как на частях края),
переходит при диффеоморфизмах g0 и g, соответственно,
в исходную ориентацию Ми в ориентацию, противопо-
противоположную исходной ориентации Мо. В этом случае го-
говорят об ориентированных бордизм ах,
а если надо подчеркнуть отличие от них В. в преды-
предыдущем смысле, последние наз. неориентиро-
неориентированными. Аналогично 5)fH и 9J* вводятся группы
ориентированных Б. Qn и кольцо Q;|! = 2Qn.
Исторически первый пример — В. оснащенных
многообразий, введенный в 1938 Л. С. Понтрягиным,
к-рый показал, что классификация этих Б. эквива-
эквивалентна вычислению гомотогшч. групп сфер я,- (S"), и
таким путем смог найти яп + 1 (Sn) и nn + 2(Sn) (подробное
изложение его исследований см. в более поздней пуб-
публикации [2], элементарное введение — в [4]). Не-
Неориентированные и ориентированные В. были введены
в 1951 — 53 В. А. Рохлиным (см. [3]), вычислившим $1п
и пп для ;г<:4. Ранее Л. С. Понтрягин [1] доказал, что
если два многообразия бордантны, то у них сов-
совпадают характеристич. числа (числа Штифеля —
Уитни в неориентируемом случае, числа Штифеля —
Уитни и числа Понтряпша — в ориентируемом).
(Впоследствии оказалось, что обратное тоже верно.)
Использование в теории Б. современных методов
алгебраич. топологии началось с вышедшей в 1954 ра-
работы Р. Тома (см. [5], [6]), нереоткрывшего примени-
применительно к неориентированным и ориентированным В.
связь между Б. п нек-рыми гомотопич. задачами. Так,
группа ЭДл изоморфна группе лят,(Т?О(г)) с достаточ-
достаточно большим г; здесь ТВО (г) — Тома пространство
универсального векторного расслоения со структур-
структурной группой О (г). Эта связь позволила Р. Тому полно-
полностью вычислить кольцо Эс* и существенно продвинуть
изучение Q,., впоследствии завершенное другими учены-
учеными. Напр., 9f* оказалось кольцом многочленов над по-
полем вычетов mod 2 от образующих ж,- размерности i,
где i пробегает все положительные числа, не равные
2*—1, s>l; известна геометрич. реализация этих обра-
образующих (т. е. указаны конкретные многообразия,
классы В. к-рых суть ж,- (см. [7]).
Другие варианты В. многообразия с дополнитель-
дополнительной структурой — очень важные В. квазикомплексных
многообразий (наз. также унитарными В.)
(см. [8], [9]), В. многообразий, на к-рых действует груп-
группа преобразований (см. [10]); имеются также варианты
несколько иного рода (для кусочно линейных или топо-
логич. многообразий, для комплексов Пуанкаре) и т. д.
(см. 111]). Особое положение занимают б о р д и з-
м ы слоений и /г-бордизмы (ранее наз.
/-э к в и в алентностями); последние служат для
связи дифференциальной и гомотопич. топологии [121.
Дальнейшее развитие теории В. связано с груп-
группами бордизм ов топологич. пространства X
(короче, В. пространства X, см. [13]). Они определяются
для различных вариантов Б. (ниже приводится простей-
простейший случай). Сингулярным и-мерным
(под) многообразием пространства X наз.
пара (Мп, /), где Мп — замкнутое гладкое многообра-
многообразие, /: Мп—уХ — непрерывное отображение. Две такие
пары (Мо, /0), (Мп, /) бордантны, если Мо и М
бордантны в обычном смысле и (в прежних обозначе-
обозначениях) существует такое непрерывное отображение
h: W—*-X, что hga~1=f0, hg-1—f0. (Если отождествить
Мо и М с Л*о и N, то можно просто сказать, что ото-
отображение h индуцирует заданные отображения Мо и
М в X). Классы Б. сингулярных многообразий прост-
пространства X образуют и-мерную группу Б. ЭД„ (X) этого
пространства (групповая операция порождена объеди-
объединением многообразий).
Если X — многообразие размерности >2тг, то эле-
элементы Щп(Х) наглядно представляются подмногооб-
подмногообразиями, как и соответствующие «пленки», в этом
отношении Б. пространства X близки к первоначаль-
первоначальным попыткам введения гомологии. Если X — точка,
то Щп(Х) сводится к прежнему ЭДЯ. Отображению
ф : X-+-Y соответствуют гомоморфизмы срп'-$1п(Х)-+-
-*- 3?п (Y), порожденные переходом от сингулярных мно-
многообразий (М, /) к (М, ф/). Функтор, сопоставляющий
каждому пространству X группы 9?я (X) и отображению
ф — отображения ф„, является обобщенной теорией го-
мологий. В данном случае она сводится к обычным го-
мологиям, а именно, для любого клеточного полиэдра X
2
(справа стоит тензорное произведение градуированных
модулей над 222)' н0 Для Других В. (ориентированных
и т. д.) это, вообще говоря, не так. Многие обобщенные
теории гомологии могут быть получены посредством
так наз. Б. с особенностями (см. [14]).
Наряду с Б. пространства X существуют двойствен-
двойственные им обобщенные когомологии. Введение этих функ-
функторов обобщенных гомологии и когомологии сделало
желательным то изменение терминологии, о к-ром го-
говорилось в начале статьи: термин «кобордизм» резер-
резервируется для обобщенных когомологии, двойствен-
двойственных Б.
Лит.: [1] ПонтрягинЛ.С, «Матем. сб.», 1947, т. 21, № 2,
с. 233 — 84; [2] его же, Гладкие многообразия и их примене-
применение в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976; [3] Р о х л и н В. А.,
«Успехи матем. наук», 1959, т. 14, Л15 4, с. 3—20; [4] Мил-
нор Д ж., Уоллес А., Дифференциальная топология,
пер. с англ., М., 1972; [5] Том Р., в кн.: «Расслоенные про-
пространства и их приложения» (сб. переводов), М., 1958, с. 293—
351; [6] Милнор Д ж., «Математика» 1964, т. 9 № 4,
с. 3—40; [7] D о 1 d A., «Math. Z.», 1956, Bd 65, S. 25—35;
[8] Mi In or J., «Amer. J. raath.», 1960 v. 82, p. 505—21;
19] Новиков С. П., «Матем. сб.», 1962, т. 57 [99], с. 406—
42;[10] К о н н е р П., ф л о й д Э., Гладкие периодические
отображения, пер. с англ., М., 1969; [11 I С т о н г Р., Замет-
Заметки по теории кобордизмов, пер. с англ., ЬГ., 1973; [12] М и л-
н о р Д ж., Теорема об h-кобордизме, пер. с англ., М., 1969'
[13] A t i у a h M., «Proc. Camb. Phil. Soc», 1961, v. 57, pt 2,
p. 200—8; [14] Baas N.. «Math. Scand.», 1973, v. 33, №2,
p. 279—302, 302 — 13. Д. В. Аносов, М. И. Войцсховский.
БОРЕЛЕВСКАЯ СИСТЕМА МНОЖЕСТВ (В-си с-
т е м а), порожденная системой множеств М,— наи-
наименьшая (а.б)-система множеств В(М), содержащая М.
Множества Б. с. м. В (М) наз. борелевскими множества-
множествами (пли 5-м н о ж е с т в а м и), порожденными сис-
системой М., Для каждого порядкового числа а<ш1(ш1 —
начальное порядковое число мощности Цх) следующим
образом определяются борелевские классы Ма: М0=М,
М при нечетном а состоит из объединений, а при чет-
четном а —из пересечений последовательностей множеств,
принадлежащих Л/р, Р<а. Тогда В (М)= U а<@|Л/"а .
Видоизмененное построение Б. с. м. В (М) получится,
если поменять ролями операции пересечения и объеди-
объединения. Борелевское множество принадлежит в точ-
точности классу Ма, если оно принадлежит М , но не
принадлежит М„ при Р <а (иногда считают классы не-
непересекающимися, т. е. наз. классом систему
Л/а\ир<яЛ/р)- А.Г.Елъпин.
ВОРЕЛЕВСКАЯ ФУНКЦИЯ, В-ф у н к ц и я,—
функция, для к-рой все подмножества вида Е(х; f(x)^
j^a) из области ее определения являются борелевскими
множествами. Другие назв. Б. ф.: функции,
измеримые по Б о р е л ю, В-и з м е р и-
м ы е функции. Операции сложения, умножения
и предельного перехода, как и в общем случае измери-
измеримых функций, не выводят из класса Б. ф., но из класса
Б. ф., в отличие от общего случая, не выводит и взятие
суперпозиции 'двух Б. ф. Более того (см. [1]), если
j\x) — измеримая функция на любом пространстве Q,
a g есть Б. ф. на пространстве действительных чисел,
то функция h(x) = g[f(x)\ измерима на пространстве Q.
Всякая Б. ф. измерима по Лебегу (см. Измеримая
функция). Обратное неверно. Однако для любой изме-
измеримой по Лебегу функции / найдется такая Б. ф. g, что
f(x)—g(x) почти всюду (см. [1]). Б. ф. наз. также иногда
б э р о в с к и м и функциями, ибо множество
всех Б. ф. совпадает с множеством функций, принадле-
принадлежащих Бэра классам (теорема Лебега, см. [2]).
Б. ф. могут быть классифицированы по порядкам боре-
левских множеств Е(.г; ]{х)~^а)\ полученные классы
будут соответствовать классам Бэра.
Понятие Б. ф. обобщается на функции со значения-
значениями в любом метрич. пространстве (см. [3]). В этом слу-
случае говорят также о В -ж з меримых отобра-
отображениях. Б. ф., помимо теории множеств и тео-
теории функций, находят применение в теории вероят-
вероятностей (см. [1], [4]).
Лит.: [1] X алмош П., Теория меры, пер. с англ., М.,
1953; [2]Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М,—
Л., 1937; [3] К у р а т о в с к и й К., Топология, т. 1, М.,
1966; [4] Колмогоров А. Н., Основные понятия теории
вероятностей, 2 изд., М., 1974. В. А. Скворцов.
ВОРЕЛЕВСКИЙ ИЗОМОРФИЗМ, В-изомор-
ф и з м, — взаимно однозначное отображение / прост-
пространства X на пространство Y такое, что / и /-1 перево-
переводят борелевские множества в борелевские. В классе
борелевских подмножеств полных сепарабельных мет-
метрич. пространств равномощные множества борелевски
изоморфны. А. Г. Елъкин.
БОРЕЛЕВСКИХ МНОЖЕСТВ КРИТЕРИИ — необ-
необходимое и достаточное условие того, чтобы А-множество
в полном сепарабельном метрич. пространстве было бо-
релевским, заключается в том, что: 1) его дополнение
также является А -множеством (к ритор и й Суслпна),
2) оно представляется в виде объединения непересекаю-
непересекающихся слагаемых (критерий Лузина), а. г. Елъгмн.
БОРЕЛЕВСКОЕ МНОЖЕСТВО, б-множество,-
множество, к-рое может быть получено в результате
не более чем счетной совокупности операций объеди-
объединения и пересечения открытых и замкнутых множеств
топологич. пространства. Более точно, б о р е л е в-
с к и м множеством паз. элемент наименьшего зам-
замкнутого относительно дополнений счетно аддитивного
класса множеств, содержащего замкнутые множества.
Другие названия В. м.: множества, и з м е р и-
м ы о ц о Б о р е л ю, 5-и з м е р и м ы е мно-
множества. Открытые и замкнутые множества паз. В. м.
нулевого порядка. Б. м. первого по-
порядка наз. множества типа Fa и G$ , являющиеся, со-
соответственно, счетными суммами замкнутых и счетными
пересечениями открытых множеств. В. м. в т о р о г о
порядка наз. множества типа Fa(, (пересечение счет-
счетного числа множеств типа Fa) и множества типа <?ба
(сумма счетного числа множеств типа G&). Так, по ин-
индукции, определяются Б. м. любого конеч-
конечного порядка. Эта классификация может быть
продолжена при помощи трансфинитных чисел
второго класса, и ею исчерпываются все Б. м. Если а—
какое-нибудь трансфинитное число второго класса, то
В. м. к л а с с а а наз. все В. м. порядка а, не являю-
являющиеся Б. м. порядка а' ни при каком а'<а. Непустота
классов Б. м. зависит от основного пространства, в
к-ром ведется рассмотрение. В евклидовом, гильберто-
гильбертовом н бэровском пространствах существуют В. м. лю-
любого класса.
Б. м. представляет собой частный случай А-мно-
жеств. Для того чтобы Л-множество Е было Б. м.,
необходимо и достаточно, чтобы дополнение к Е также
было Л-множеством (М. Я. Суслин). В пространствах,
где введена Лебега мера, всякое Б. м. является изме-
измеримым по Лебегу. Обратное неверно. В любом сепара-
бельном пространстве мощности континуум существуют
множества, не являющиеся В. м.
В. м. введены Э. Ворелем [1]; они играют важную
роль при изучении борелевских функций.
В более общем понимании Б. м.— множество любой
борелевской системы множеств, порожденной нек-рой
системой множеств. Б. м. топологич. пространства по-
порождаются системой замкнутых подмножеств этого про-
пространства.
Лит.: [1] В о г е 1 Е., Leijons sur les fractions discontinues,
P., 1898; [2]Куратовский К., Топология, т. 1, М., 1966;
[3] Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М.— Л.,
1937; [4] Александров П. С, Введение в общую тео-
теорию множеств и функций, М.— Л., 1948. В. А. Спеорцов.
БОРЕЛЕВСКОЕ ПОЛЕ МНОЖЕСТВ, б о р е л е в-
ское тело множеств, порожденное системой
множеств М, — наименьшая система множеств, содер-
содержащая М и замкнутая относительно операций счетного
объединения и перехода к дополнению. а. г. Елькин.
БОРЕЛЕВСКОЕ ПОЛЕ СОБЫТИИ, а-п о л е, б о-
релевская алгебра, о"-а л гебра с о б ы-
ти й,— нек-рый фиксированный класс А подмножеств
(событий) непустого множества Q (пространства эле-
элементарных событий), образующий борелевское поле
множеств. В. В. Сазонов.
БОРЕЛЯ МЕРА множеств — неотрицательная
функция (-1 подмножеств топологич. пространства X,
обладающая следующими свойствами: 1) область ее
определения есть а-алгебра Si борелевских множеств
из X, т. е. наименьший класс подмножеств из X, содер-
содержащий открытые множества и замкнутый относительно
теоретико-множественных операции, производимых в
счетном числе; 2) ndJiix^i^SLi^i). если EiuEj=0
при 1ф\, то есть )х счетно аддитивна. Б. м. р, наз.
регулярной, если
(?)
где F принадлежит классу JF замкнутых подмножеств
пз X. Нередко изучение Б. м. связывают с изучением
мер Бэра, к-рые отличаются от Б. м. лишь областью
их определения: они определены на наименьшей а-ал-
гсбре дц0, относительно к-рой измеримы все непрерыв-
непрерывные функции на X. Б. м. д. (соответственно мера Бэра v)
наз. т-гладкой, если |^(^a)j0 для любой сети {^а}
замкнутых множеств, удовлетворяющей условию Fal0
(соответственно v{Za)\0 для любой сети {Z^} множеств,
являющихся нулями непрерывных функций, при усло-
условии, что Za\0. Б. м. jx (соответственно мера Бэра v)
наз. плотной, если ц, (Е)= sup ц (К), где Ж — класс
Е=,к s <5Г
компактных подмножеств из X (соответственно v(?) =
— sup v* {К), где v*(A') = inf v (?„)). Плотность и
Е=>А'€ЙГ К<=ЕоеДв
т-гладкость являются ограничениями, обеспечивающи-
обеспечивающими дополнительную гладкость мер, и часто выполняются
в конкретных ситуациях. При определенных условиях
меры Бэра могут быть продолжены до Б. м. Напр., если
А" вполне регулярно и хаусдорфово, то всякая т-
гладкая (плотная) конечная мера Бэра может быть про-
продолжена до регулярной т-гладкой (плотной) конечной
Б. м. При изучении мер на локально компактных про-
пространствах Б. м. (соответственно мерами Бэра) наз.
иногда меры, определенные на а-кольце множеств, по-
порожденном компактными (соответственно компактны-
компактными Gg) множествами, и конечные на компактных мно-
множествах. М е р о й Б о р е л я на прямо й часто наз.
меру, определенную на борелевских множествах и та-
такую, что ее значение на произвольном отрезке равно
длине этого отрезка.
Лит.: [1] Варадарайн В. С, «Матем. сб.», 1961,
т. 55, № 1, с. 35—100; [2] X а л м о ш П., Теория меры, пер.
с англ., М., 1953; [3] Неве Ж., Математические основы тео-
теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969. В. В. Сазонов.
БОРЕЛЯ МЕТОД СУММИРОВАНИЯ—один из мето-
методов суммирования функциональных рядов, предложен-
предложенный Э. Борелем [1]. Пусть дан числовой ряд
5„— его частные суммы и S — действительное число.
Ряд (*) суммируется методом Боре-
л я E-методом) к числу S, если
lime-* У" ~Sk=S.
Существует интегральный метод суммирования Бореля,
В'-метод: если
k=o ft!
то говорят, что ряд (*) суммируется В'-методом к числу
s. Условия, при к-рых 5-метод и Л'-метод равносиль-
равносильны, см. [2], с. 229. В-метод возник в связи с аналитич.
продолжением функции, регулярной в точке. Пусть
регулярна в точке О и С — совокупность всех ее осо-
особых точек. Через каждую точку Р?С проведем отре-
отрезок ОР и прямую Lp, проходящую через точку Р пер-
перпендикулярно к ОР. Совокупность точек, лежащих по
одну сторону с О от каждой из прямых Lp, обозначим П.
Тогда граница Г области П наз. многоугольником
Бореля функции f(z), а область П —его внутренней об-
областью. Имеет место теорема: ряд
Zln=0 a"z
суммируется ^'-методом в области П и не суммируется
в области П* — дополнении к П (см. [2]).
Лит.: [1] В о г е 1 Е., «Ann. scient. Ecole norm, super.»,
1899, ser. 3, t. 16, p. 9—136; [2] X арди Г., Расходящиеся
ряды, пер. с англ., М., 1951. А. А. Захаров.
ВОРЕЛЯ ПОДГРУППА, борелевская под-
подгруппа,— максимальная связная разрешимая ал-
гебраич. подгруппа линейной алгебраической группы G.
Напр., подгруппа всех невырожденных верхних тре-
треугольных матриц является В. п. в полной линейной
группе GL(rc). Систематич. исследование максималь-
максимальных связных разрешимых подгрупп алгебраич. групп
впервые проведено А. Борелем [1]. Б. п. может быть
эквивалентным образом определена как минимальный
элемент множества параболических под-
подгрупп, т. е. таких алгобраич. подгрупп Н группы G,
для к-рых фактормногообразие G/H проективно. Все
Б. п. группы G сопряжены, причем, если Б. п. Вг, В2 и
группа G определены над полем к, то ВЛ и В2 сопряжены
посредством элемента из G^. Пересечение любых двух
Б. и. группы G содержит максимальный тор группы G;
если это пересечение есть в точности максимальный тор,
то такие Б. п. наз. противоположными.
Противоположные Б. п. существуют в G тогда и только
тогда, когда G редуктивная группа. Если G связна,
то объединение всех ее Б. п. совпадает с ней самой и'
всякая параболич. подгруппа совпадает со своим нор-
нормализатором в С В этом случае Б. п. является макси-
максимальной среди всех (а не только алгебраических и связ-
связных) разрешимых подгрупп группы G. Однако, вообще
говоря, могут существовать максимальные разрешимые
подгруппы в G, не являющиеся Б. п. Коммутант Б. п.
В совпадает с ее унипотентной частью Ви, а нормализа-
нормализатор Ви в G совпадает с В. Если характеристика основ-
основного поля равна 0, а (Ч есть алгебра Ли группы G, то под-
подалгебра 6 алгебры E5, являющаяся алгеброй Ли Б. п.
В группы G часто наз. Бореля подалгеброй
(иди борелевской подалгеброй) в®. По-
Подалгебры Бореля в алгебре @— это в точности ее мак-
максимальные разрешимые подалгебры. Для ^-определен-
ной алгебраич. группы G над произвольным полем к
обобщением Б. п. над к являются минимальные пара-
параболич. ^-определенные подгруппы, к-рые сопряжены
посредством элементов из Gk (см. [2]).
Лит.: [1] В о г е 1 A., «Ann. Math.», 1956, v. 64, .№ 1, p. 20^
82; [2] Б о р е л ь А., Т и т с Ж., «Математика», 1967, т. 11,
№ 1, с. 4.4 —111. В. П. Платонов,
БОРЕЛЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — интегральное пре-
преобразование вида
Y(O=JO" f(z)e-*tuz,
где f(z)— целая функция экспоненциального типа. Б. п,
есть частный случай Лапласа преобразования. Функ-
Функция у(t) наз. ассоциированной функци-
е й (по Борелю) с /(z). Если
ряд сходится при |?|>а, где а — тип функции /(z).
Пусть D— наименьшее выпуклое замкнутое множество,
содержащее все особенности функции y(t),
К (ф)= max Re (ze~itp)
Z?~D
— опорная функция множества D и h (ф) — индикатри-
индикатриса роста функции /(z). Тогда К(ц>) = к( — ф). Если ин-
интегрирование в Б. п. происходит по лучу arg г=ф,
то соответствующий интеграл сходится в полуплоско-
полуплоскости х cos ф + у sin <f>K( — ф). Пусть С — замкнутый
контур, охватывающий D. Тогда
При дополнительных условиях из этой формулы могут
быть выведены и другие представления. Так, пусть
имеется класс целых функций /(z) экспоненциального
типа <:ст, для к-рых
\f(x)\*dx< оо.
Этот класс совпадает с классом функций /(z), допускаю-
допускающих представление
где <p(f) g ?2(- о, 0).
Лит.: [1] В о г е 1 Е., Lecons sur les series divergentes, 2 ed.,
P., 1928; [2] ДжрбашянМ. М., Интегральные преобразова-
преобразования и представления функций в комплексной области, М.,
1966. А. Ф. Леонтьев.
БОРЕЛЯ ТЕОРЕМА о неподвижной точке:
связная разрешимая алгебраич. группа G, действующая
регулярно (см. Алгебраическая группа преобразований)
на непустом полном алгебраич. многообразии V над
алгебраически замкнутым полем к имеет в V неподвиж-
неподвижную точку. Из В. т. следует сопряженность Бореля под-
подгрупп алгебраич. групп (теорема Бореля—
Морозова). В. т. доказана А. Ворелем [1]. В. т.
обобщается на случай произвольного (не обязательно
алгебраически замкнутого) поля к: пусть V — полное
многообразие, определенное над полем к, на к-ром &-ре-
гулярно действует связная разрешимая к-разложимая
группа G, тогда множество рациональных fc-точек V (к)
либо пусто, либо содержит точку, неподвижную отно-
относительно группы G. Отсюда получается обобщение теоре-
теоремы о сопряженности подгрупп Бореля: если поле к
совершенно, то максимальные связные разрешимые к-
разложимые подгруппы связной ^-определенной алгеб-
алгебраич. группы Н сопряжены друг с другом при помощи
элементов группы &-точек группы Н (см. [2]).
Лит.: [1] В о г е I A., «Ann. Math.», 1956, v. 64, J\ft 1, p. 20—
82; [2] Б op ель А., Линейные алгебраические группы, пер.
с англ., М., 1972; [3] М о р о з о в В. В., «Докл. АН СССР»,
1942, т. 36, № 3, с. 91—4. В.П.Платонов.
БОРЕЛЯ УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИ-
ЧИСЕЛ — исторически первый вариант больших чисел
усиленного закона, сформулированный и доказанный
Э. Борелем [1] применительно к схеме Бернулли (см.
Бернулли испытания). Пусть независимые случайные
величины Хи . . ., Хп, . . . одинаково распределены и
принимают два значения 0 и 1 с вероятностью 1/2
каждое, тогда ?п=2/г=1 %-k есть число успехов в схеме
Бернулли с вероятностью успеха 1/2. Э. Борель [1] до-
доказал, что с вероятностью 1
при и—>-оо. Впоследствии A914) Г. Харди и Дж. Литл-
вуд (G. Hardy, J. Littlewood) показали, что почти на-
наверное
п
lim
1
Уп)пп V~2
а затем А. Я. Хинчин A922) доказал более сильный
результат:
Lni~ Vnin inn У г J
См. также Повторного логарифма закон.
Лит.: [1] В о г е 1 Е., «Rend. Clrcolo mat. Palermo», 1909,
v. 27, p. 247—71; [2] К а ц М., Статистическая независимость в
теории вероятностей, анализе и теории чисел, пер. с англ., М.,
1963. . А. В. Прохоров.
БОРЕЛЯ — КАНТЕЛЛИ ЛЕММА — одно из часто
используемых утверждений о бесконечных последова-
последовательностях случайных событий. Пусть Аг, А2, ¦ ¦ .,
Ап, . . .— последовательность нек-рых событий ж А —
событие, состоящее в наступлении конечного числа из
событий Ап, га=1, 2, ... Б.— К. л. утверждает, что при
условии
2Г-1р {Лп) < °° w
справедливо равенство
р(А)=1.
Если события Л „ взаимно независимы, то р (А ) = 1 или О
в зависимости от того, сходится или расходится ряд
zJ2=lP (Ав)> т- е- в этом случае для p(A)=i условие (*)
является необходимым и достаточным (так наз. кри-
критерий Вореля «нуль или единица», см. Нуль-
единица закон). Известны распространения последнего
критерия на нек-рые классы зависимых событий. В.—
К. л. используется, напр., при доказательстве боль-
больших чисел усиленного закона.
Лит.: [1] В о г е 1 Е., «Rend. Circolo mat. Palermo», 1909,
v. 27, p. 247—71; [2] G a n t e 1 1 i P. P., «Atti Accad. naz.
Lincei», 1917, v. 26; [3] Л о э в М., Теория вероятностей, пер.
С англ., М., 1962, с. 242—43. А. В. Прохоров.
БОРЕЛЯ — ЛЕБЕГА ТЕОРЕМА о покрытии:
пусть А — ограниченное замкнутое множество в R" и
G его открытое покрытие, т. е. система открытых мно-
множеств, объединение к-рых включает А; тогда существу-
существует конечная подсистема множеств {<3,}, ?=1, 2, . . ., N,
из G (подпокрытие), также являющаяся покрытием
А , т. е.
В. —Л. т. обратима: если AczR" и из любого открытого
покрытия А можно выделить конечное подпокрытие,
то А замкнуто и ограничено. Возможность выделения
конечного подпокрытия из любого открытого покрытия
множества А часто принимается за определение множе-
множества А как компакта. В такой терминологии В. —Л. т.
вместе с обратной принимает вид: чтобы множество
AczR" было компактом, необходимо и достаточно, чтобы
А было ограниченным и замкнутым. В.— Л. т. была в
1898 доказана Э. Ворелем (см. [1]) в случае, когда А
есть отрезок [a, bjc/?1 и G есть система интервалов,
окончательную форму получила в 1900—10 в работах
A. Лебега (см. [2]). В.— Л. т. называют иногда также
леммой Бореля, леммой Гейне —
Бореля, теоремой Гейне—Вореля.
Лит.: [1] В orel E., Lecons sur la theorie des fonctions,
3 6d.y P., 1928; [2] Рудин У., Основы математического ана-
анализа, пер. с англ., М., 1966. И. А. Виноградова.
БОРСУКА ПРОБЛЕМА - одна из основных задач
комбинаторной геометрии: существует ли для каждого
ограниченного множества разбиение диаметра d>0
евклидова и-мерного пространства на не более чем га+1
подмножеств, диаметр каждого из к-рых меньше d?
B. п. была сформулирована К. Ворсуком [1] в связи с
невозможностью разбиения n-мерного симплекса и п-
мерного шара из R" на п частей меньшего диаметра.
В. п. положительно решается для случаев га = 2, п=3
для случаев и>3 имеются частичные результаты.
Напр., В. п. положительно решается для каждого огра-
ничейного гладкого выпуклого тела из Rn [2]. Доказа-
Доказано, что решение Б. п. сводится к случаю тел постоянно]|
ширины. Если a(F) — наименьшее число частей диа-
диаметра, меньшего d, на к-рое разбивается множество
FcRn, то для фигуры FczR2 диаметра d равенстве
a(F) = 3 верно в том и только том случае, когда в Л-
существует единственная фигура постоянной ширины
d, содержащая F (см. [3]). Для п>2 этот факт непосред-
непосредственно не обобщается. Б. п. тесно примыкает к освеще-
освещения задачам и к Хадвигера гипотезе, представляющей
обобщение Б. п. на случай, когда R" заменяется ко-
конечномерным нормированным пространством.
Лит.: [1] Borsuk К., «Fundam. math.», 1933, t. 20, p.
177—go; [2] Грюнбаум Б., Этюды по комбинаторной гео-
геометрии и теории выпуклых тел, пер. с англ., М., 1971; [3] Б о л-
т я н с к и й В. Г., «Colloq. math.», 1970, v. 21, № 2, 253—63.
П. С. Солтан.
БОТТА ТЕОРЕМА ПЕРИОДИЧНОСТИ— основная
теорема К-теории, в простейшем виде утверждающая,
что для любого (компактного) пространства X сущест-
существует изоморфизм между кольцами К(Х) (g) К (S2) и
K(XxS2). Более общо, если L — линейное комплексное
расслоение над X, Р(Ьф1) — проективизация расслое-
расслоения ?@1, то кольцо K(P(L(?I)) представляет собой
К(Х)-алгебру с одной образующей [Н\ и единственным
соотношением ([#]-[1]) ([L] [Н] - [1])=0; здесь [Е\-
образ расслоения Е в кольце К(Х), Н~1—расслоение
Хопфа над P(LQ)l). Этот факт равносилен существо-
существованию изоморфизма Тома в ЛГ-теории для комплексных
векторных расслоений. В частности, Р (iQ)l)=XxS2.
Б. т. п. впервые доказана P. Bottom [1] с использова-
использованием теории Морса и получила переформулировку
в терминах ЛГ-теории [6]; также доказано утверждение,
аналогичное В.т.п., для вещественных расслоений.
Б. т. п. устанавливает закономерность свойства ста-
стабильного гомотопич. типа унитарной группы Un,
состоящую в том, что Q2[/n ~ Uп, где QX — простран-
пространство петель на X, ~ —слабая гомотопич. эквивалент-
эквивалентность, в частности зт,-(?/) = я,- + 2 (U) для ?=0, 1, . . .,
я,- есть i-я гомотопич. группа; аналогично, для орто-
ортогональной группы Оп:
Лит.: [1] В О 11 R., «Ann. math.», 1959, v. 70, p. 313—37;
[2] Мил нор Д ж., Теория Морса, пер. с англ., М., 1965;
[3] Атья М., Лекция по К -теории, пер. с англ., М., 1967;
[4]Хьюзмоллер Д., Расслоенные пространства, пер. с
англ., М., 1970; [5] М о о г е I. С, On the periodicity theorem
for complex vector bundles, Seminaire H. Cartan, 1959—60;
[6] A t i у a h M., В о t t R., «Acta math.», 1964, v. 112, p.
229—47. А. Ф. Щекутьев.
БОХНЕРА ИНТЕГРАЛ — интеграл от функции со
значениями в банаховом пространстве по скалярной ме-
мере. Б. и. принадлежит к так наз. сильным интегралам.
Пусть F (X; Е, 58, (х) — векторное пространство
функций x(t), t ? Е, со значениями и банаховом про-
пространстве X, заданных на пространстве (Е, 58, ц)
со счетно аддитивной скалярной мерой ft на сг-алгеб-
ре 28 подмножеств множества Е. Функция ()F
наз. простой, если
Функция х(t) ? F наз. сильно измеримой,
если существует последовательность {¦?„(?)} простых
функций и | \x(t) — xn(t)\\—>- 0 почти всюду относительно
меры ц на Е. В этом случае скалярная функция ||a;(t)||
является 58-измеримой. Для простой функции xQ(t)
Функция х (t) наз. интегрируемой по Бох-
Бохнеру, если она сильно измерима и если для любой
аппроксимирующей последовательности {xn(t)} про-
простых функций
Km
п-усс
Для такой функции интегралом Бохнера
по множеству .В ?33 наз.
(* dpf г*
\ x(t)dli= lim \ xB(t)xn(t)dVL,
где хв(<) — характеристич. функция множества В, а
предел понимается в смысле сильной сходимости в ба-
банаховом пространстве X. Этот предел существует и не
зависит от выбора аппроксимирующей последователь-
последовательности простых функций.
Критерий интегрируемости по
Бохнеру: для того чтобы сильно измеримая функ-
функция x(t)?F была интегрируема по Бохнеру, необходи-
мо и достаточно, чтобы норма этой функции была ин-
интегрируема, т. е.
Множество функций, интегрируемых по Вохнеру,
образует векторное подиространство J? пространства F,
а В. и. есть аддитивный и однородный оператор на этом
подпространстве.
Свойства В. и.:
1)
2) Б. и. есть счетно аддитивная и абсолютно непре-
непрерывная функция множеств сг-алгебры SB, т. е.
а) 5 ",-!*/х (°rf^=2r=i 5«.ж
f < oo;
б) \ x(t)d[x —>-0прнц(Д)—5-0 равномерно по
3) если xn(t)?F, xn(t)=X(t) почти всюду относи-
относительно меры (х на В ? 33 и ||zn(t)||<:/(i) почти всюду-
относительно ц я& В, причем
f{t)
В
\ х„ (t) dn—>-\ x(t)du:
j в j в
4) пространство X полно относительно сходимости по
норме
5) если Г—замкнутый линейный оператор из банахова
пространства х в банахово пространство у и
x(t)?je(x; E, SB, и), Tx(t)?X(y; E, SB, ц),
то
\ Tx(t)dy,= T \ x(t)dn;
J В •) В
в случае ограниченности Т условие
Tx(t)^X(y- E, SB, (х)
выполняется автоматически ([3] —[5]).
Б.и. введен С. Бохнером [1]. Эквивалентные опреде-
определения даны Т. Гильденбрандтом [2] и Н. Данфордом
(интеграл Do).
Лит.: [1] Во chner S., «Fundam. math.», 1933, t. 20, p. 262—
76; L2] H i 1 d e b r a n d t Т., «Bull. Amer. Math. Soc», 1953,
v. 59; p. Ill—39; [3] И о си д а К., Функциональный анализ,
пер. с англ., М., 1967; [4] X и л л е Э., ф и л л и п с Р., Функ-
Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., [2 изд.], М.,
1962; [5] Д а н ф о р д Н., Шварц Д ж. Т., Линейные опе-
операторы пер. с англ., т. 1 — Общая теория, Ы., 1962.
В. И. Соболев.
БОХНЕРА ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНК-
ФУНКЦИИ — функции, эквивалентные Бора почти периоди-
периодическим функциям; определение дано С. Бохнером [1].
Непрерывная на интервале (—оо, со) функция f(x)
наз. В. п. п. ф., если семейство функций {/(ж+Л)},
— со<Д<оо компактно в смысле равномерной сходи-
сходимости на (—оо, со), т. е. если из каждой бесконечной
последовательности f(x-\-hk), k~i,2, . . . можно выде-
выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся
на (— оо, оо) к f(x). Определение С. Бохнера широко
применяется в теории почти периодпч. функций; в част-
частности, оно служит отправным пунктом б абстрактных
обобщениях понятия почти периодичности.
Лит.: [1] Bochner S., «Math. Ann.», 1926, Bd 96, S.
119—47; S. 383—409; [2] Левитан Б. М., Почти-пе-
Почти-периодические функции, М., 1953. Е. А. Бредихина.
БОХНЕРА — МАРТИНЕЛЛИ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ,
Мартинелли— Бохнеюа представ-
X
лен не, Мартинелли— Бохнера фор-
формула, — интегральное представление голоморфных
функций, определяемое следующим образом (см. [1],
[2]). Пусть функция / голоморфна в области ДсС" с
кусочно гладкой границей 0D и непрерывна в ее за-
замыкании D. Тогда выражение
(п-1)! Г / (?)
Bлг)" )dD | 1-х г
х 2/=i (I/ —z/) C~i л <г?! л ... л [d?/l л^-л...
(г), если zfD,
0, если z^D,
где [йьу] означает, что член dt,j следует опустить, наз.
Б. —М. п. При и=1 Б.—М. п. совпадает с интегральной
формулой Коши (см. Коши интеграл), однако при п>1
его ядро не является голоморфным по z, и этим объяс-
объясняется ограниченность применения Б. —М. п. в теории
функций многих комплексных переменных. Ядром
Б.—М. п. является дифференциальная форма по ? бисте-
пени (п, п— 1):
X
определенная в С", с особенностью в точке ?=z,
d-замкнутая (т. е. дсо=0) вне особенности. При
форма ш равна с*ш' (?, z), где
— форма бистепени (п—1, п— 1), коэффициент к-рой
является фундаментальным решением уравнения Ла-
Лапласа; здесь
d(f = 2^ dzk A ~ и 5Ф = ^ dzk A -=¦ .
Следующее интегральное представление, обобщаю-
обобщающее формулу (*), является аналогом формулы
Коши—Гр и на (см. Коши интеграл): если функция
/ непрерывно дифференцируема в замыкании области
DcC" с кусочно гладкой границей 0D, то для всякой
точки z?D
$aD JD^(g)A«o(C, z).
Функция
где Г — гладкая гиперповерхность в R.2" = C" и / —
функция на Г, интегрируемая по мере Лебега, наз.
интегралом типа Бохнера-Мар-
т и н е л л и. Как и для интегралов типа Коши, для
интегралов типа Бохнера — Мартинелли справедли-
справедлива формула Сохоцкого при обычных ограничениях на
Г и /. Интеграл типа Бохнера — Мартинелли является
комплексной функцией, гармонической всюду вне Г;
в общем случае эта функция голоморфна лишь при ге=1.
Если T=dD, то при п^1 условие /(z)=0 вне D эквива-
эквивалентно голоморфности / в D.
Б.—М. п. используется для вывода других интеграль-
интегральных представлений (напр., Бергмана — Вейля представ-
представления), для голоморфного продолжения с границы, а
также в теории граничных значений голоморфных функ-
функций нескольких комплексных переменных. Б.— М. п.
получено С. Бохнером и Э. Мартинелли (см. [1], [2]).
Лит.: [1] В о с Ь п е г S., «Ann. Math.», 1943, v. 44, №4, p.
052—673; [2] Martinelli E., «Rend. Accad. Italia», 1938,
v. 9, p. 269—83; [3] Владимиров В. С, Методы теории
функций многих комплексных переменных, М., 1964.
Е. М. Чирка.
БОЧЕЧНОЕ ПРОСТРАНСТВО — локально выпук-
выпуклое линейное топология, пространство, обладающее
рядом свойств банаховых пространств и Фреше про-
пространств без предположения о метризуемости; это
один из наиболее широких классов пространств, в
к-рых снраведлива Банаха — Штейнхауза теорема.
В. п. были впервые введены Н. Вурбаки (см. [1]).
Множество А векторного пространства Е наз. урав-
уравновешенным множеством, если ах ? А для
всех х ? А и а, для к-рого |а|<:1. Множество AczE
наз. поглощающим множеством, если оно
поглощает каждую точку из Е, т. е. если для каждого
х?Е существует такое сс>0, что ах?А.
Бочкой в линейном топология, пространстве наз.
замкнутое,уравновешенное поглощающее выпуклое мно-
множество. Бочечным пространством наз.
линейное топологич. пространство, наделенное локаль-
локально выпуклой топологией, в к-рой всякая бочка являет-
является окрестностью нуля. Пространства Фреше и, в част-
частности, банаховы пространства служат примерами Б.и.
Важный класс Б. п., наделенных особенно замечатель-
замечательными свойствами, составляют Монтеля пространства.
Свойства Б. п. Фактор пространство, прямая
сумма и индуктивный предел Б. п. являются Б. п.
Всякое поточечно ограниченное множество линейных
непрерывных изображений Б. п. в локально выпуклое
линейное топологич. пространство равностепенно не-
непрерывно. В пространстве, сопряженном к Б. п., огра-
ограниченное множество в слабой топологии будет ограни-
ограниченным в сильной топологии и компактным в слабой
топологии. Замкнутая выпуклая оболочка компактно-
компактного множества, лежащего в пространстве, сопряженном
к Б. п., компактна.
Лит.: [1] Б у р б а к и Н., Топологические векторные про-
пространства, пер. с франц., М., 1959; [2] Эдварде Р., Функ-
Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1969. В. М. Тихомиров.
БРАНДТА ПОЛУГРУППА-полугруппа S снулом, в
к-рой каждому ненулевому элементу а соответствуют
такие однозначно определенные элементы е, /, а' ?5,
что ea=af=a и a'a=f, и для любых двух ненулевых
идемпотентов glt g2?S имеет место g1Sg2^0. Элемен-
Элементы е и /, указанные в определении, на самом деле бу-
будут идемпотентами, причем fa' = a'e=a' и аа' = е. Кроме
того, в Б. п. каждое из условий ас=ЪсфО, са=сЬфО
влечет а=Ь, а условия аЪфО и ЪсфО влекут аЪсфО.
Частичный группоид, получающийся выкидыва-
выкидыванием нуля из Б. п., наз. группоидом Бранд-
т а. Это понятие было введено Г. Брандтом в [1], фак-
фактически там же было введено понятие Б. п. Понятие
группоида Брандта является абстракцией системы нор-
нормальных идеалов полупростых линейных алгебр отно-
относительно так наз. собственного умножения (см. [2],
гл. 6, а также [3], гл. 6). Роль Б. п. для теории полу-
полугрупп определяется тем, что Б. п.— это в точности
вполне 0-простые инверсные полугруппы (см. Вполне
простая полугруппа). Полугруппа будет Б. п. тогда
и только тогда, когда она изоморфна рисовской полу-
полугруппе матричного типа с единичной сэндвич-матрицей
над группой с присоединенным нулем.
Лит.: ГЦ Brandt H., «Math. Ann.», 1927, Bd 96, S.
360—6fi; [2] D e u г i n g M., Algebren, В., 1935; [3] Д ж е к о 6-
c о н Н., Теория колец, пер. с англ., М., 1947; [4] Сушкевич
А. К., Теория обобщенных групп, Хар.—К., 1937; [5] Клиф-
Клиффорд А., Престон Г., Алгебраическая теория полугрупп,
пер. с англ., т. 1—2, М., 1972. Л. Н. Шеврин.
БРАУЭРА ГРУППА п о л я к — группа классов ко-
конечномерных центральных простых алгебр над полем к,
относительно эквивалентности, определенной следую-
следующим образом. Две центральные простые /с-алгебры А и В
конечного ранга эквивалентны, если существуют такие
целые положительные числа тип, что тензорные про-
произведения Аф/гМт(к) и B(g)kMn (к) являются изоморф-
изоморфными fe-алгебрами (здесь Мг(к) алгебра квадратных
матриц порядка г над к). Тензорное умножение алгебр
индуцирует на множестве классов эквивалентных цент-
центральных простых конечномерных алгебр структуру абе-
левой группы, к-рая и наз. Б. г. поля к и обозначается
Ътк. Нулевым элементом этой группы служит класс
полных матричных алгебр, а обратным элементом к
классу алгебры А — класс ее инверсной алгебры.
Каждый ненулевой класс содержит ровно одну, с точ-
точностью до изоморфизма, /с-алгебру с делением (т. е.
тело над к).
Б. г. была определена и изучалась в серии работ
Р. Брауэра (R. Вгаиег), Э. Нётер (Е. Noether), A.
Алберта (A. Albert), X. Хассе (Н. Hasse) и др. начиная
с 20-х гг. 20 в. (см., напр., [6]). Наиболее законченные
результаты, вплоть до полного вычисления Б. г., были
получены для числовых полей в связи с развитием
полей классов теории. В терминах Б. г. формулируется
общая форма закона взаимности.
Б. г. равна 0 для любого сепарабельно замкнутого
поля и любого конечного поля. Для поля действитель-
действительных чисел Б. г. есть циклич. группа 2-го порядка и ее
ненулевой элемент — класс алгебры кватернионов. Ес-
Если к — поле р-адических чисел или любое полное дискрет-
дискретно нормированное локально компактное поле, то его
Б. г. изоморфна Q/Z (здесь Q — аддитивная группа ра-
рациональных чисел, Z — аддитивная группа целых чи-
чисел). Этот факт занимает важное место в локальной
теории полей классов.
Пусть к — поле алгебраич. чисел конечной степени
или поле алгебраич. функций от одной переменной с
конечным нолем констант. Тогда имеет место точная
последовательность групп:
О —>- Вг к ^- ^v Вг Ад, Д- Q/Z —+ О,
где v пробегает всевозможные нормирования поля к,
/cv— соответствующие пополнения поля к, гомоморфизм
inv индуцируется естественными вложениями k-*-kv.
Образ элемента из Вг А: в Вг kv наз. локальным
инвариантом, гомоморфизм 5 является сумми-
суммированием локальных инвариантов. Этот факт устанав-
устанавливается в глобальной теории полей классов. Если к —
поле алгебраич. функций от одной переменной над ал-
алгебраически замкнутым полем констант, то его Б. г.
нулевая (теорема Тзена). Случай произвольного
поля констант разобран в [4] и [7].
Б. г. функториально зависит от к, т. е. если К — рас-
расширение поля к, то определен гомоморфизм Вг к —>-
->-ВгА. Его ядро, обозначаемое Br(AVA-), состоит из
классов алгебр, распадающихся над А'.
Конструкции скрещенных произведений с помощью
систем факторов (см. [5]) приводят к когомологич. ин-
интерпретации Б. г. Для любого нормального расшире-
расширения К/к имеет место изоморфизм
Ъг(К/к)ё=Н2(К, А'*),
где Н2(К, К*)— группа двумерных когомологий Га-
луа с коэффициентами в мультипликативной группе
А'* поля К. Более того, группа ВгА- изоморфна
Я2 {к, к*), где к — сепарабельное замыкание поля к. Со-
Сопоставление центральной простой алгебре ее класса в
Б. г. осуществляется при помощи кограничного опера-
оператора
&-.НЦК, PGL(n, K))-+H2(K, К*)
в когомологич. последовательности, соответствующей
точной последовательности групп
l_>A-*-»-GL(n, A')-» PGL(re, A')->1,
где GL(n, К) и PGL(ft, A) — линейная и проективная
группы матриц порядка пХп. Здесь группа Н1(К,
PGL(n, А)) интерпретируется как множество классов
с точностью до А;-изоморфизма центральных простых
алгебр ранга п2 над полем /с, распадающихся над к,
или как множество классов ^-изоморфных Брауэра —
Севери многообразий размерности п— 1, имеющих К-
точку.
В. г. всегда является периодической группой. Поря-
Порядок любого ее элемента делит число п, где и2— ранг
тела, представляющего этот элемент.
Когомологич. интерпретация Б. г. позволяет рас-
рассматривать ее как группу классов центральных рас-
расширений группы Галуа сепарабельного замыкания
к/к при помощи группы к*.
Обобщением понятия В. г. является группа Бра-
уэра— Гротендика, определяемая анало-
аналогично В. г. с заменой центральных простых алгебр на
алгебры Адзумая (см. [7]).
Лит.: [1] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969;
[2] Б у р б а к и Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер.
с франц., М., 1966; 13] Серр Ж.-П., Когомологии Галуа,
пер. с франц., М., 1968; [4] Фаддеев Д. К., «Вестник Ле-
нингр. ун-та», 1957, № 7, в. 2, с. 45—51; [5] Чеботарев
Н. Г., Введение в теорию алгебр. М.— Л., 1949; [6] D е и г i n g
М., «Algebren», 2 Aufl., В., 1968, Bd 4; [7] Gr о t h e n d ie с k A.",
в кн.: Dix exposes sur la cohomologie des schemax, Amst. 1968
p. 46—188. В. А. Псковских.
БРАУЭРА РЕШЕТКА, Врауэра структура,
Брауэра алгебра, — дистрибутивная решет-
решетка, в к-рой для каждой пары элементов а, Ь существует
элемент, наз. псевдоразностью (часто обоз-
обозначаемый через aJLb), являющийся наименьшим среди
элементов с со свойством Ь-\-с^а. Возможно эквива-
эквивалентное описание В. р. как многообразия универсаль-
универсальных алгебр с тремя бинарными операциями [J, f| и .*_,
удовлетворяющими нек-рым аксиомам. Термин «Врау-
«Врауэра алгебра» был введен ввиду наличия связи В. р. с
интуиционистской логикой Брауэра (L. E. J. Brouwer).
Чаще вместо Б. р. используются так наз. псевдо-
псевдобулевы алгебры, теория к-рых двойственна
теории В. р. Любая Б. р. превращается в псевдобу-
псевдобулеву алгебру при введении нового порядка
(«<: 'b)zl(b<.a), новых объединений и пересечений по
формулам
и операции относительного псевдо-
псевдодополнения а=>Ь, совпадающей с псевдораз-
псевдоразностью aJtb. Обратно, любая псевдобулева алгебра
может быть рассматриваема как Б. р. Иногда термин
«В. р.» используется для псевдобулевых алгебр (см.,
напр., [2]).
Лит.: [1] Mac Kinsey J. С. С, Tarski A., «Arm.
Math.», 1944, v. 45, p. 141—91; [2] Биркгоф Г., Теория
структур, пер. с англ., М., 1952. В. А. Янпов.
БРАУЭРА ТЕОРЕМА — 1) Б. т. неподвиж-
неподвижной точке: при непрерывном отображении / : S—+-
—>-5 и-мерного симплекса 5 в себя существует по крайней
мере одна точка x?S такая, что f{x)=x; доказана
Л. Брауэром [1]. Эквивалентное утверждение было не-
несколько ранее доказано П. Г. Волем [2]. Б. т. распро-
распространяется на непрерывные отображения замкнутых
выпуклых тел и-мерного топологического векторного
пространства и имеет широкие применения в доказа-
доказательствах теорем существования решений различных
уравнений. Б. т. обобщается на бесконечномерные то-
пологич. векторные пространства.
Лит.: [1] В г о u w e r L. E. J., «Math. Ann.», 1910, Bd 69,
S. 176—80; [2] В oh 1 P. G., «J. reine u. angew. Math.», 1904,
Bd 127, S. 88. В. И. Соболев.
2) Б. т. об инвариантности области;
при всяком гомеоморфном отображении подмножества
А евклидова пространства Е" на подмножество В того
же пространства любая внутренняя точка А (относи-
(относительно Е") переходит во внутреннюю точку В (относи-
(относительно Е"), а любая невнутренняя точка переходит в
невнутреннюю. Доказана Л. Брауэром [1].
Лит.: [1] Brouwer L. Б. J., «Math. Ann.», 1912, Bd 71,
S 97—115 M. И. Войцеховспий.
БРАУЭРА — СЕВЕРИ МНОГООБРАЗИЕ - алгебра-
алгебраическое многообразие над полем к, которое, если его
рассматривать над алгебраич. замыканием к поля к,
изоморфно проективному пространству.
Арифметич. свойства таких многообразий изучал
Ф. Севери (F. Severi, 1932), позднее Ф. Шатле [1] вскрыл
связь В. —С. м. с центральными простыми алгебрами
над полем inc Брауэра группой.
Простейшим нетривиальным примером одномерного
В.— С. м. является проективная коника Q:
х%-\-х\-\-х\ = О
на действительной проективной плоскости Р|. Над
полем комплексных чисел С это многообразие изоморф-
изоморфно проективной прямой Pi. Множество всех одномер-
одномерных В.— С. м. (рассматриваемых с точностью до изо-
изоморфизма) находится во взаимно однозначном соответ-
соответствии с множеством проективных невырожденных коник
(рассматриваемых с точностью до проективной эквива-
эквивалентности над к), к-рое, в свою очередь, находится во
взаимно однозначном соответствии с множеством (не-
(неизоморфных) алгебр обобщенных кватернионов над к.
В приведенном выше примере конике Q соответствует
алгебра обычных кватернионов.
В многомерном случае множество классов и-мерных
Б. —С. м. (т. е. множество В. —С. м., различаемых с
точностью до ^-изоморфизма) может быть отождествле-
отождествлено с множеством Галуа когомологий Нг(к, PGL(n-j-l, k)),
где PGL(n-f-l, к) — проективная группа автоморфиз-
автоморфизмов проективного пространства Р? (см. [3], [4]). Этим
же множеством когомологий описываются классы
^-изоморфных центральных простых й-алгебр ранга
(ге-f-lJ (т. е. форм матричной алгебры М„ + 1(к)). Более
явно связь В.— С. м. с центральными простыми алгеб-
алгебрами устанавливается следующим образом, /с-алгебре
А ранга г2 сопоставляется многообразие X ее левых
идеалов ранга г, к-рое задается как замкнутое подмно-
подмногообразие в Грассмана многообразии всех fc-линейных
подпространств размерности г в А. В нек-рых случаях
многообразие X можно задать с помощью норменных
уравнений, как, например, в случае алгебр кватер-
кватернионов. Взаимосвязь В.— С. м. и алгебр существенно
используется при изучении как тех, так и других
(см. [1], [4]).
Наиболее существенными свойствами Б.— С. м.
являются следующие. В. —С. м. X тогда и только тогда
fc-изоморфно проективному пространству Р&, когда
оно имеет точку в поле к. Любое Б.— С. м. имеет точ-
точку в нек-ром конечном сепарабельном расширении К
поля к (см. [1]).
Для В.— С. м., определенных над полем алгебраич.
чисел, справедлив Хассе принцип.
Поле рациональных функций к(Х) на Б. —С. м. X
является полем разложения соответствующей алгебры
А; более того, произвольное расширение К поля к
тогда и только тогда является полем разложения для
А, когда X имеет Х-точку (см. [4]).
В связи с обобщением на схемы понятий центральной
простой алгебры и группы Врауэра было введено поня-
понятие схем Брауэра — Севери, обобщающее понятие Б.—
С. м. (см. [2]). Пусть / : Р-+Х — морфизм схем. Схема
Р наз. схемой Врауэра — Севери, если
локально, в эталъной топологии схемы X, схема Р
изоморфна проективному пространству Р_? над X.
Схема Р над схемой X тогда и только тогда является
схемой Брауэра — Севери, когда / : Р-+Х — конечно
представленный собственный плоский морфизм и все
геометрич. слои его изоморфны проективным простран-
пространствам [2].
Лит.: [1] Chfitelet F., «Ann. Ecole Normal supcrcur»,
1044, t. 61, p. 249—300; [2] G г о t h e n d i e с k A., Le groupe
de Brauer, в кн.: Seminaire Bourbaki, annee 17, 1964/65, N. Y.—
Amst., exposes 290, p. 1—21; [3] С ерр Ж.-П., Когомологий
Галуа, пер. с франц., М., 1968; [4] Рокетт П., «Мате-
«Математика», 1967, т. 11, в. 5, с. 88 —116. В. А. Исковспих.
БРАХИСТОХРОНА — кривая скорейшего спуска.
Задача о ее нахождении, поставленная Г. Галилеем
(G. Galilei) в [1], заключается в следующем: среди пло-
плоских кривых, соединяющих две данные точки А и В,
лежащие в одной вертикальной плоскости (В ниже Л),
найти ту, двигаясь по к-рой под действием только си-
силы тяжести материальная точка достигнет В за крат-
кратчайшее время. Задача сводится к нахождению функции
у(х), доставляющей минимум функционалу:
где а и Ь — абсциссы точек А и В. В. является циклои-
циклоидой с горизонтальным основанием, точка возврата
к-рой находится в точке А.
Лит.: [l] Галилей Г., Беседы и математические дока-
доказательства, пер. с лат., М.— Л., 1934; [2] Лаврентьев
М. А., Люстерник Л. А., Курс вариационного исчисле-
исчисления, 2 изд., М.— Л., 1950. Л. П. Купцов.
БРИАНШОНА ТЕОРЕМА: во всяком шестисто-
роннике (см. рис. ), описанном вокруг кривой 2-го
порядка (шестистороннике
Брианшона), прямые, соеди-
соединяющие пары противоположных вор-
шин, проходят через одну точку
(точку Брианшона). Б. т.
двойственна Паскаля теореме. Б. т.
доказана Ш. Ж. Брианшоном (СЬ.
J. Brianchon) В 1806. А. Б. Иванов.
ВРИО — БУКЕ УРАВНЕНИЕ — обыкновенное диф-
дифференциальное уравнение
xmy'=f(x, у), (i)
где т — целое положительное число, функция / ана-
литична при z= у=0, f'y @,0)^0, /@, 0) = 0. Ш. Врио
и Т. Буке показали [1], что всякое уравнение вида
a (z, w) u/ = fS(z, w),
где а @, 0)=р@, 0)=0 и а и р аналитичны в начале,
с помощью специальных локальных замен переменных
может быть сведено к нек-рому числу уравнений вида
A). Уравнение A) всегда (кроме случая т=1, /у@, 0)
есть натуральное число) имеет единственное решение в
виде формального степенного ряда
y=t(x) = t1x+t2xt+. . ., B)
к-рый сходится для достаточно малых \х\, если то=1,
и может расходиться для всех хфО, если т>1. Пусть
в A)
//
тогда для сходимости ряда B) необходимо и достаточ-
достаточно выполнения т—1 условий на коэффициенты рядов
Тейлора функции /0 и /1; причем в эти условия входят
все коэффициенты, так что наличие или отсутствие
аналитич. решения y='!j>(x) уравнения A) не может
быть определено ни по какому конечному отрезку
ряда Тейлора функции /. Поэтому иногда Б. —Б. у.
наз. уравнение A) с т>1.
Лит.- [1] В г i о t С, Bouquet Т., «J. de l'Ecole poly-
technique», 1856, v. 21, p. 85—132, 133—98; [2]Bieberbach
L., Theorie der gewohnlichen Differentialgleichungen auf funk-
tionentheoretischer Grundlage dargestellt, 2 AuH., В., 1965; [3]
Б р ю н о А. Д.,«Тр. Моск. матем. об-ва», 1971, т. 25, с. 120—
138 (Введение). А. Д. Брюно.
БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ ПРОЦЕСС — про-
процесс, описывающий хаотическое перемещение взве-
взвешенных в жидкости или газе мелких частиц, являюще-
являющееся следствием соударений с молекулами среды. Су-
Существует несколько математич. моделей такого дви-
движения (см. [1]). Наиболее важная для теории случай-
случайных процессов — модель Б. д. п., известная под назв.
винероеского процесса (более того, часто ставится знак
равенства между этими понятиями).
Лит.: [1] П а в л о в В. П., Броуновское движение, в кн.:
БСЭ, 3 изд., т. 4.
Г.РУНА РЕШЕТО — один из решета методов в
элементарной теории чисел, созданный В. Бруном [1];
является развитием Эратосфена решета. Метод Б. р.
заключается в следующем: из последовательности на-
натуральных чисел an-*g.x высеиваются (выбрасываются)
числа с малыми простыми делителями, после этого ос-
остаются простые и почти простые числа, содержащие
только большие простые делители. Пусть Р (х) — их
количество. Доказывается, что Р (х) заключено между
двумя суммами со сравнительно небольшим числом
слагаемых, к-рые можно оценить сверху и снизу. Так,
напр., оценивается сверху число близнецов на заданном
интервале. Б. р. применяется в аддитивной теории
чисел. В. Врун доказал с помощью Б. р., что каждое
большое четное число N представимо в виде ./V=-P] + P27
где Рг и Р2 содержат не более чем по 9 простых мно-
множителей.
Лит.: [1] В run V., «С. г. Acad. sci.», 1919, t. 168, X» 11,
p. 544—46; [2] Гельфонд А. О., Лин ник Ю. В.,
Элементарные методы в аналитической теории чисел, М., 1962;
[3] Т р о с т Э., Простые числа, пер. с нем., М., 1959.
Н. И. Климов.
БРУНА ТЕОРЕМА о простых близнецах:
ряд V—сходится, если р пробегает все простые близ-
близнеца. Это означает, что если простых близнецов и бес-
бесконечно много, то они все же расположены в нату-
натуральном ряду довольно редко. Теорема доказана
В. Бруном [1]. Впоследствии была доказана сходи-
сходимость аналогичного ряда для обобщенных близнецов.
Лит.: [1] В ru n V., «Bull. sci. math.», 1919, ser. 2, t. 43,
p. 100—04, 124—28; [2] Tpcci Э., Простые числа, пер. с
нем., М., 1959. Н. И. Климов.
ВРУННА—МИНКОВСКОГО ТЕОРЕМА: пусть Ко и
К} — выпуклые множества, и-мерного евклидова про-
пространства, Ki, \?[0, 1] (линейная комбинация А'о и
A'j) — множество точек, делящих отрезки с концами в
любых точках множеств Ко и К1 в отношении XIA-Х),
V (X) — корень п-й степени из объема множества Кх ',
тогда V(X) — вогнутая функция от X, т. е. для любых
^i> ^2> Р(;[0,1] выполняется неравенство
V (Х1 A - р)+А2р)>A" Р) V (h)+pV (Х2).
Функция V (X) линейна (и тогда неравенство обращается
в равенство) в том и только в том случае, когда А'о и К1
гомотетичны. Б.— М. т. обобщается на линейные ком-
комбинации нескольких выпуклых множеств. Б.— М. т. ис-
используется для решения эктремальных задач и задач
единственности. В.— М. т. установлена Г. Брунном
(Н. Brunn) в 1887, уточнена и дополнена Г. Минков-
ским (Н. Minkowski) в 1897.
Лит.: [1] Б у з е м а н Г., Выпуклые поверхности, пер. с
англ., М., 1964; [2]Хадвигер Г., Лекции об объеме, пло-
площади поверхности и изопериметрии, пер. с нем., М., 1966.
М. И. Войцеховспий.
БРЮА РАЗЛОЖЕНИЕ — представление связной ал-
гебраич. редуктивной группы G в виде объединения
двойных классов смежности по Бореля подгруппе, па-
параметризуемых Вейля группой группы G. Точнее,
пусть В, В~~ — противоположные подгруппы Вореля
редуктивной группы G, U, U~ — соответственно уни-
потентные части В, В~ (см. Линейная алгебраическая
группа), W — группа Вейля группы G. Через w ниже
обозначается как элемент группы W, так и его предста-
представитель в нормализаторе тора Bf\B~, поскольку при-
приводимая конструкция не зависит от выбора представи-
представителя. Для каждого w?W рассматривается группа
Vw— Uf\wU~w~1. Тогда группа G представима в виде
объединения непересекающихся двойных смежных клас-
классов BwB (w? W), причем морфизм Uw X B-+BWB ((x, y)->~
-+xwy) является изоморфизмом алгебраич. многообра-
многообразий. Дальнейшее уточнение Б. р. позволяет получить
клеточное разбиение проективного многообразия GlB,
а именно: если хо~ неподвижная относительно левых
сдвигов на элементы из В точка многообразия G/B
(такая точка всегда существует, см. Бореля теорема
о неподвижной точке), то G/B является объединением
непересекающихся {/-орбит вида U(w(x0)), w?W (см.
Алгебраическая группа преобразований), причем мор-
физм Uw^>-Uw^x^{u~^-u(w{x<>)) есть изоморфизм алгебра-
алгебраич. многообразий. Каждая из групп U^,, как многооб-
многообразие, изоморфна аффинному пространству; в случае,
когда основное поле есть поле комплексных чисел,
каждая из указанных tZ-орбит является клеткой в
смысле алгебраич. топологии и это позволяет вычислить
гомологии G/B. Существование Б. р. для ряда классич.
групп было установлено Ф. Брюа (F. Bruhat, 1956),
в общем случае это доказал К. Шевалле [3]. А. Борель
(A. Borel) и Ж. Тите (J. Tits) обобщили конструкцию
Б. р. на группы Gk й-точек ^-определенной алгебраич.
группы [2]. При этом роль борелевских подгрупп игра-
играют минимальные параболич. /с-подгруппы, роль групп
U — их унипотентные радикалы, а вместо W рассма-
рассматривается относительная, или /е-группа Вейля W^.
Лит.: [1] Борель А., Линейные алгебраические группы,
пер. с англ., М., 1972; [2] Борель А., Т и т с Ж.. «Мате-
«Математика», 1967, т. 11, № 1, с. 43—111; [3] С h e v а 1 1 е у С., Clas-
Classification des groupes de Lie algebriques, v. 2, P., 1958.
В. П. Платонов.
БУБНОВА — ГАЛЕРКИНА МЕТОД — см. Галеркина
метод.
БУКВА — элементарный знак к.-л. символики,
рассматриваемый вне зависимости от выражаемого им
смысла. Обычно Б. вводятся в рассмотрение путем
соглашения и используются в качестве элементарных
«кирпичиков», из к-рых по определенным правилам
строятся выражения данной символики. Правила
построения выражений составляют синтаксис
символики. Разработка способов понимания по-
полученных выражений составляет предмет ее семан-
семантики. Н. М. Нагорный.
БУЛЕВА АЛГЕБРА, булева решетк а,—
частично упорядоченное множество специального вида.
Б. а. наз. дистрибутивная решетка (дистрибутивная
структура), имеющая наибольший элемент 1 — еди-
единицу Б. а., наименьший элемент 0 — нуль Б. а. и содер-
содержащая вместе с каждым своим элементом х его допол-
дополнение — элемент Сх, удовлетворяющий соотношениям
sup {х, Cx}=\, inf {x, Сх} = 0.
Операции sup и inf обозначаются обычно знаками v
и л, а иногда (J и f|, чем подчеркивается их сходство
с теоретико-множественными операциями объединения
и пересечения. Вместо Сх иногда пишут х, х', —х.
Дополнение всякого элемента в Б. а. единственно.
Б. а. может определяться и иначе, а именно, как не-
непустое множество с операциями С, V, Л, удовлетворя-
удовлетворяющими аксиомам:
1) х V у~ у V х, х А у = у Л х\
2) х V (у V z) = {x v у) V z, х л (у Л z) = (x Л у) Л г;
3) (х л у) v у = у, (iVj)as = s;
4) х Л (у V z) = (х Л У) V (х Л z),
х V (у Л z) = (x V у) Л (х V z);
5) (х л Сх) v У = у, (х V Сх) Л у = у.
При таком подходе упорядочение не предполагает-
предполагается заранее заданным, а вводится условием: х^у тогда
и только тогда, когда i=iAj.
Возможны и другие аксиоматики. В аксиомах Б. а.
отражена аналогия между понятиями «множества»,
«события», «высказывания». Отношение порядка в Б. а.
может быть (в зависимости от выбора интерпретации)
истолковано как теоретико-множественное включение,
как причинное следование для событий, как логич.
следование для высказываний и т. д.
Кроме основных операций С, v, Л , в Б. а. могут быть
определены и другие, среди к-рых особенно важна опе-
операция симметрической разности:
х + 2у = (х Л Су) V (у Л Сх)
(пишут также х&у, \х — у\).
Всякая В. а. есть булево кольцо с единицей относитель-
относительно операций +2 («сложение») и Л («умножение»);
любое булево кольцо с единицей можно рассматривать
как В. а.
В. а. возникли в трудах Дж. Буля [1], [2] как аппа-
аппарат символич. логики. В последующем они нашли ши-
широкое применение в различных разделах математики —
в теории вероятностей, топологии, функциональном
анализе и др. В основе приложений В. а. к логике ле-
лежит интерпретация элементов Б. а. как высказываний
(см. Алгебра логики); при этом дополнение Сх истол-
истолковывается как отрицание высказывания х, а операции
Л и v — как конъюнкция и дизъюнкция. К логике
близка и другая область применения Б. а.— теория
контактных схем. В. а. используются при обосновании
теории вероятностей. Поле событий, изучаемое в тео-
теории вероятностей, есть Б. а.; при этом неравенство
х<у означает, что событие х влечет событие у; соответ-
соответственно с этим истолковываются нуль Б. а., единица
Б. а. и булевы операции v, Л. С.
Пример В. а.— упорядоченная по включению
система всех подмножеств к.-л. фиксированного мно-
множества Q. Такая Б. а. обозначается 2Q; ее нулем слу-
служит пустое множество, единицей — само множество Q.
Дополнение элемента х есть множество Q\x; булевы
операции v и л совпадают соответственно с объеди-
объединением и пересечением.
Вместо подмножеств множества Q удобно рассма-
рассматривать их характеристич. функции. Система Xq всех
таких функций при естественном упорядочении оказы-
оказывается Б. а., изоморфной В. а. 2<Э. Операции v, Л, С,
+ 2 истолковываются в такой Б. а. следующим образом:
(х V y)(q) = max {х (q), у (q)},
(х Л y)(q)=min{x(q), y(q)) = x(q)-y(q),
(Cx)(q) = l — x(q),
(х + 2у) (q) = \x (q) — y(q)\=x(q) + y (q) (mod 2),
(«€<?)•
Особенно важны случаи:
1) <? = <?„ = {1. 2, ..., n\.
Характеристич. функции подмножеств в данном слу-
случае суть «двоичные символы» вида
х = (х1, х2, ..., хп), xi = I v
Их число равно 2". При ге=1 получается двухэлемент-
двухэлементная В. а., состоящая только из нуля и единицы.
2) Q=XQn.
В этом случае элементами Xq будут всевозможные
функции, заданные на системе всех двоичных симво-
символов длины п и принимающие только значения 0 и 1.
Их наз. булевыми функциями от п переменных.
Всякая правильно построенная формула логики выска-
высказываний определяет нек-рую булеву функцию, при-
причем совпадение функций означает эквивалентность
формул.
При нек-рых условиях множество Е элементов Б. а. X
само оказывается Б. а. относительно индуцированного
из X порядка. Так будет, в частности, в следующих
случаях:
а) Е — главный идеал, т. е. множество вида
{x?X\x*g.u}; роль единицы здесь играет элемент и;
б) Е — подалгебра Б. а. X. Это означает, что из х, у?
?Е следуете v;/, х л У, Сх?Е. Нулем и единицей новой
Б. а. служат нуль и единица исходной Б. а. Особенно
важны подалгебры Б. a. 2Q; их наз. алгебрами
множеств. Всякое множество EczX порождает
нек-рую подалгебру — наименьшую подалгебру, со-
содержащую Е.
Среди отображений В. а. особую роль играют
гомоморфизмы Б. а., то есть отображения, пе-
перестановочные с булевыми операциями. Биективный
гомоморфизм Б. а. является изоморфизмом Б. а. Если
Б. а. X порождена множеством Е, то для того чтобы
всякое отображение множества Е в произвольную Б.а.
допускало продолжение до гомоморфизма, необходи-
необходимо и достаточно, чтобы Е было независимым
множеством, т. е. чтобы все элементы вида
были отличны от нуля. Б. а., порожденная независи-
независимой системой, наз. свободной Б. а.
Пример свободной Б. а. — рассмотренная выше ал-
алгебра булевых функций от п переменных. Ее незави-
независимыми образующими являются функции
Теорема Стоуна: всякая Б. а. А' изоморфна
нек-рой алгебре множеств, а именно, алгебре всех от-
открыто-замкнутых множеств вполне несвязного биком-
бикомпакта ?Г(Х), определяемого с точностью до гомеомор-
гомеоморфизма. Этот бикомпакт наз. стоуновским би-
бикомпактом. Гомоморфизму Б. а. X в Б. a. Y
соответствует топологич. вложение ?" (Y) в С (X);
подалгебре Б. а. X соответствует непрерывный образ
бикомпакта С (X). Стоуновский бикомпакт свободной
Б. а. есть двоичный дисконтинуум.
Б. а. X наз. полной, если всякое множество EczX
имеет верхнюю грань sup E и нижнюю грань inf E.
Это равносильно экстремальности бикомпакта С (X)
(см. Экстремально несвязные пространства). Подал-
Подалгебры полной Б. а., содержащие вычисленные в X
грани всех своих подмножеств, наз. правильны-
правильными п о д а л г е б р а м и. В е с Б. а. X есть наимень-
наименьшая мощность вполне порождающего
множества, т. е. множества, не содержащегося
ни в какой правильной подалгебре, отличной от X.
Если веса всех ненулевых главных идеалов совпадают,
то Б. а. наз. о днородной; такая Б. а. всегда содер-
содержит вполне порождающее независимое множество.
Другими словами, полная однородная Б. а. «натяну-
«натянута» на свободную Б. а. Изучение произвольной Б. а.
легко сводится к изучению однородных Б. а. Непол-
Неполная Б. а. может быть многими способами пополнена,
т. е. вложена в качестве подалгебры в нек-рую пол-
полную Б. а.
Полная Б. а. наз. нормированной , если на
ней определена действительная функция (х (мера), об-
обладающая свойствами: 1) ц,(х)>0 при х^О; 2) если
EczX и хау=0 при х, у?Е, хфу, то
В теории вероятностей, где нормированные Б. а. осо-
особенно важны, обычно предполагают, что цA) = 1. При
этом значение \i (x) интерпретируется как вероятность
события х. На нормированные Б. а. в основном пере-
переносится классическая теория меры и интеграла. Для
нормированных Б. а. имеется полная классификация
(см. [4], [5], [7]). В частности, для однородных нор-
нормированных Б. а. единственным инвариантом явля-
является вес. Не всякая Б. а. может быть нормирована.
Известны различные условия существования меры, од-
однако они далеко не исчерпывают проблемы нормируе-
нормируемости.
Б. а. может быть наделена различными топология-
топологиями. Особенно важна так наз. (о)-тоиология, к-рая в
случае нормированной Б. а. метризуема и соответству-
соответствует метрике
р(х, у) = ц[(х А Су) V (Сх А у)],
а для Б. а. вида 2Q совпадает с тихоновской топологией.
В самом общем случае может не существовать никакой
топологии, хорошо согласованной с порядком в Б. а.
Лит.: [1] В о о 1 е G., The mathematical analysis of logic,
Camb.—L., 1847; [2] его же, An investigation of the laws of
thought, L., 1854; [3] Сикорский Р., Булевы алгебры,
пер. с англ., М., 1969; [4] Владимиров Д. А., Булевы
алгебры, М., 1969; [5] Н а 1 m о s P., Lectures on Boolean al-
algebras, Toronto — N. Y.— L., [1963]; [6] P а с ё в а E., С и-
к о р с к и й Р., Математика метаматематики, пер. с англ.,
М., 1972; [7] S t о п е М. Н., «Trans. Amer. Math. Soc», 1936,
v. 40, Л« 1, p. 37—111; [8] Б н р к г о ф Г., Теория структур,
пер. с англ., М., 1952; [9] Hermes H. Einfiihrung in die
Verbandstheorie, В.— Gott.— Hdlb., 1955; [10] Колмого-
Колмогоров A. II., Algebresde Boole mfetiiques completes, в кн.: VI Zjazd,
Mathematykow Polskich, Krakow, 1950; [11] Данфорд Н.,
Шварц Д ж., Линейные операторы, [ч. 3] — Спектральные
операторы, пер. с англ., М., 1974; [12] Kakutani S., «Ann.
Math.», 1941, v. 42, ser. 2, p. 523—37, 994—1024; [13] M a h a-
ram D., «Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.», 1942, v. 28, p. 108—11;
[14] M а к к и Д ж., Лекции по математическим основам кван-
квантовой механики, пер. с англ., М., 1965; [15] Иосида К.,
Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967; [161 К у р а-
товский К., Топология, т. 2, пер. с англ., М., 1969.
Д. А. Владимиров.
БУЛЕВА ФУНКЦИЯ, функция алгебры
логики,— функция, аргументы к-рой, равно как и
сама функция, принимают значения из двухэлементно-
двухэлементного множества (обычно {0,1}). Б. ф. являются одним из
основных объектов дискретной математики, в особен-
особенности тех ее разделов, к-рые входят в математич. ло-
логику и математич. кибернетику. Б. ф. возникли при
математич. постановке задач логики и были названы
по имени Дж. Буля (G. Boole), положившего начало
применению математики в логике (сер. 19 в.; см. Ал-
Алгебра логики).
Одной из таких задач является построение алгебры
высказываний. Для этого каждому высказыванию
приписывается одно из двух значений 0 или 1 (играю-
(играющие, соответственно, роль «лжи» и «истины»), и тогда
основные логич. связки «и», «или», «не», «если..., то»
и др. можно рассматривать, соответственно, как «эле-
«элементарные» Б. ф.: х&у, х\/у, х, х—*у и т. д. Тем самым
значение любого сложного высказывания, построен-
построенного с помощью основных логич. связок из заданных
высказываний, является Б. ф. от значений этих выска-
высказываний. Такая Б. ф. представляет собой суперпози-
суперпозицию элементарных Б.ф., соответствующих логич. связ-
связкам, входящим в сложное высказывание. Позднее вы-
выяснилось, что язык Б. ф. удобен для описания функци-
функционирования дискретных управляющих систем таких,
как контактные схемы, схемы из функциональных эле-
элементов, логич. сети и др. Эти управляющие системы
строятся по определенным правилам из нек-рых ис-
исходных элементов подобно тому, как сложные выска-
высказывания строятся из элементарных. Правила построе-
построения указанных управляющих систем, а также функци-
функционирование исходных элементов таковы, что функцио-
функционирование сложных управляющих систем может быть
описано с помощью Б. ф. Б. ф. используются также в
нек-рых задачах целочисленного программирования,
к-рые сводятся к решению систем булевых урав-
уравнен и й вида
/i (*i, .. ., я„)= ... = /„ {хг, ...,ж„) = 0,
где /,¦ — Б. ф., i=l, 2, . . ., т. Существуют и другие
возможности применения Б. ф. в дискретной математи-
математике, благодаря чему изучение Б. ф. представляет само-
самостоятельный интерес.
При решении различных задач, связанных с Б. ф.,
существенным моментом является способ зада-
задания Б. ф. Имеется целый ряд таких способов: табли-
таблицы, формулы, специальные классы формул, наз. нор-
нормальными формами (см. Булевых функций нормальные
формы), подмножества вершин n-мерного единичного ку-
куба и др. В последнем случае каждый набор длины п
значений аргументов @ или 1) рассматривается как
вершина n-мерного единичного куба, и тогда Б. ф. от п
аргументов может быть задана с помощью подмножест-
подмножества вершин, в к-рых эта функция принимает значение 1.
Это подмножество, выписанное в виде матрицы, стро-
строками к-рой являются наборы значений аргументов Б. ф.,
наз. булевой матрицей. В том случае, когда
Б. ф. описывает функционирование управляющих сис-
систем, последнюю также можно рассматривать как сред-
средство задания Б. ф. Обычно говорят, что эта управляю-
управляющая система реализует данную Б. ф. С реализацией
Б. ф. теми или иными видами управляющих систем
связан большой круг задач таких, как задачи синтеза,
минимизации, задачи контроля и надежности и др.
Другой круг задач возникает при изучении свойств и
классов Б. ф. в связи с различными способами задания;
это — изучение метрич. характеристик различных
классов нормальных форм Б. ф. и связанных с ними
геометрич. свойств n-мерного единичного куба
(см. Булевых функций метрическая теория), а также раз-
различных алгебр Б. ф. (см. Многозначная логика, Экви-
Эквивалентные преобразования). Система всех классов Б. ф.,
замкнутых относительно суперпозиций, была описана
Э. Постом (Е. Post). Она образует счетно бесконечную
структуру с пятью максимальными (предполными)
классами.
В нек-рых случаях возникает необходимость рас-
рассматривать частичные, т. е. не всюду определенные,
Б. ф., для к-рых перечисленные задачи имеют харак-
характерную специфику.
Лит.: [1] Новиков П. С, Элементы математической
логики, 2 изд., М., 1973; [2] Я б л о н с к и й С. В., Г а в р и-
л о в Г. П., Кудрявцев В. Б., Функции алгебры логики
и классы Поста, М., 1966. В. Б. Кудрявцев.
БУЛЕВО КОЛЬЦО — ассоциативное кольцо К, все
элементы к-рого идемпотентны, т. е. х2=х для любого
х?К. Любое Б. к. КфО коммутативно и является под-
прямой суммой полей Z2 из двух элементов. При этом
ж+х=0 для всех х?К. Конечное Б. к. КфО явля-
является прямой суммой полей Z2 и потому имеет единицу.
Б. к.— это кольцевой вариант булевых алгебр, а
именно: любая булева алгебра является Б. к. с едини-
единицей относительно операций сложения и умножения, оп-
определяемых правилами
(x + y) = (x + Cy)(J(y + Cx), x-y = xf]y,
где Сх — дополнение элемента х. Нуль и единица коль-
кольца совпадают с нулем и единицей алгебры. Обратно,
любое Б. к. с единицей есть булева алгебра относи-
относительно операций х[]у=х-\-у-\-ху, х[)у=х-у, Cx=i-\-x.
Лит.: [lJStone M. H., «Trans. Amer. Math. Soc», 1936,
v. 40, JS6 1, p. 37—111; [2] Ж е г а л к и н И. И., «Матем. сб.»,
1927, т. 34, в. 1, с. 9—28; [3] В л а д и м и р о в Д. А., Булевы
алгебры, М., 1969; [4] G и к о р с к и й Р., Булевы алгебры,
пер. с англ., М., 1969. Ю. М. Рябухин.
БУЛЕВО УРАВНЕНИЕ — уравнение вида
/(*!, Х2, ..., Х„)=0, (*)
гДе / ~ булева функция п переменных. Множество всех
решений уравнения вида (*) может быть описано сис-
системой булевых функций, зависящих от п произволь-
произвольных параметров.
Лит.: [1] Б и р к г о ф Г., Теория структур, пер. с англ.,
М., 1952. Т. С. Фофанова.
БУЛЕВОЗНАЧНАЯ МОДЕЛЬ — модель, определяе-
определяемая следующим образом. Пусть Q — сигнатура
нек-рого языка L 1-й ступени с одним сортом перемен-
переменных, т. е. Q — множество символов функций и предика-
предикатов. Б. м. наз. тройка М=(ВМ, VM, Q/n), где Вм —
невырожденная булева алгебра, Ум — непустое множе-
множество и Q^j — функция, определенная на Q и такая, что
если р есть «-местный функциональный символ, и
если р есть re-местный предикатный символ. Запись Ху
обозначает множество всех функций, определенных на
Y со значениями в X и хп = Х{т[т<п), где /г>0 - на-
натуральное число. Булева алгебра В к наз. множе-
множеством истинностных значений мо-
модели М. Множество V^ наз. универсумом мо-
модели М. Б. м. М наз. также В-ж о д е л ь ю, если мно-
множество истинностных значений есть булева алгебра В,
В^ = В. Если булева алгебра В двухэлементна (т. е.
В={0,1}), то В-модель М есть классическая двузнач-
двузначная модель.
Пусть Lyi — язык, пополненный новыми индивидны-
индивидными константами: для каждого I'^F^jcboh индивидная
константа v. Пусть М есть Д-модель и В = (В; 0, 1, —,
U> П 0 ~~ полная булева алгебра. Тогда нижесле-
нижеследующие равенства 1) — 8) определяют значение
1И!/ц каждого замкнутого выражения е (т. е. формулы
или терма без свободных переменных) языка Lj^:
!) II v\Im = v' гДе v?vM',
2) IJpfo, ..., тя)||Д1 = (Ол,(р))(||т1||Л1, ..., \\тп\\м),
где xlt ..., тп — замкнутые термы и р есть и-местный
функциональный или предикатный символ;
3) || qoip \\м = - |[ Ф Им U If i|'/Iai;
4)
5)
6)
7)
8) «6уЛ1
Соотношения 1) — 8) определяют значение 1И1лг н Для
некоторых неполных булевых алгебр; надо только, что-
чтобы существовали бесконечные объединения и пересече-
пересечения в 7) и 8). Понятие Б. м. можно ввести и для язы-
языков со многими сортами переменных. В этом случае
для каждого сорта переменных будет своя область изме-
изменения Ущ.
Замкнутая формула ф наз. истинной в В-моде-
ли М (М\=ц>), если
Цф[1л = 1-
В-модель М наз. моделью теории Т, если М (= ф
для каждой аксиомы ф теории Т. Если h есть гомомор-
гомоморфизм булевой алгебры В на булспу алгебру В', сохра-
сохраняющий бесконечные объединения и пересечения, то
существует В'-модель М' такая, что
для каждой замкнутой формулы ф языка LM. В случае,
если универсум модели М счетен, то существует гомо-
гомоморфизм h в булеву алгебру {0,1}, позволяющий пере-
переделать модель М в классическую двузпачную модель
М' такую, что
М [= ф —> М' (
Доказано, что теория Т непротиворечива тогда и только
тогда, когда она имеет Б. м. На этой теореме основано
применение теории Б. м. к вопросам непротиворечиво-
непротиворечивости аксиоматич. теорий.
Если Б. м. теории Т строится средствами другой ак-
аксиоматич. теории S, то получается результат о непроти-
непротиворечивости теории Т относительно S. Так, напр.,
результат П. Коэна (P. Cohen) о непротиворечивости
теории ZF+ BХо >#г) относительно ZF можно полу-
получить построением соответствующей Б. м. средствами
системы ZF (см. Вынуждения метод). Построение ко-
эновского отношения вынуждония р\\ — ф равносильно
построению такой Б. м. М, что
\\<Р\\М = {Р--Р\\-11Ч<}-
Лит.: [1] Р а с ё в а Е., С и к о р с к и й Р., Математика
метаматематики, пер. с англ., М., 1972; [2] Йех Т., Теория
множеств и метод форсинга, пер. с англ., М., 1973; [3] Taken-
t i G., Z a r i n g W. M., Axiomatic set theory, N. Y. [a. o.],
A973); [4] Манин Ю. И., в сб.: Итоги науки и техники.
Современные проблемы математики, т. 5, М., 1975, с. 5—72.
В. Н. Гришик.
БУЛЕВЫХ ФУНКЦИИ МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ-
направление, связанное с изучением числовых харак-
характеристик и метрич. свойств булевых функции. Основ-
Основные разделы этой теории посвящены исследованию
свойств «почти всех» булевых функций (см. Булевых
функций минимизация), свойств совокупности всех
булевых функций данного числа переменных и специ-
специальных подклассов булевых функций. Кроме того, изу-
изучается строение областей истинности булевых функций
с помощью числовых характеристик, появившихся в ос-
основном в задачах, связанных с минимизацией булевых
функций и теорией локальных алгоритмов. Этими ха-
характеристиками являются размерность и протяженность
функции.
Пусть Nf(x< х ) — множество вершин единичного
?г-мерного куба, на к-рых функция f(xlt . . ., хп) равна
единице. Рассмотрим все максимальные интервалы
функции f(xt, . . ., хп) и выделим среди них интервал
наибольшей размерности г. Величина г наз. размер-
размерностью функции f(xx, . . ., хп) и обозначается через
Dim f(x1, . . ., хп). С помощью размерности оценива-
оцениваются отношения сложностей самой сложной тупиковой и
кратчайшей дизъюнктивных нормальных форм (д. н. ф.)
функции / (см. Булевых функций нормальные формы).
Сверху это отношение оценивается величиной 2Dim^ .
В то же время для «почти всех» булевых функций имеет
место неравенство
Dim/fo iB)<[log2re] + l.
При решении задачи минимизации булевых функций
представляет интерес вычисление размерности «типич-
«типичных» максимальных интервалов. Доказано, что «почти
все» максимальные интервалы «почти всех» булевых
функций f(x1, . . ., хп) имеют размерность, близкую к
log2 log2 п.
Пусть •S;JCf, /) — главная окрестность k-то поряд-
порядка (см. Алгоритм локальный) элементарной конъюнк-
конъюнкции 3[, входящей в сокращенную д. н. ф. 9J f функции /,
и к B1, /) — минимальное значение порядка окрестнос-
окрестности, при к-ром S/, Си, /) включает в себя все элементар-
элементарные конъюнкции, входящие в сокращенную д. н. ф.
9J»-. Величина
р(/) = max/,-(«, /)
?l € Si .
наз. протяженностью функции /. Для «почти
всех» булевых функций
p(f(xu ..., xn))~loe^OBin.
Пусть
р(п)= max p (/(*!, .. ., хп)).
Пх> *„)
Известно, что величина р (и) реализуется на булевой
функции специального вида, называемой цепью. Функ-
Функция г|з{хг, . . ., хп) наз. цепью, если множество N$
единиц этой функции можно представить в виде после-
последовательности a-i, а2, . . ., aq такой, что р(а,-, сс,- + 1) = 1,
где р — расстояние Хемминга (см. Код); расстояние
между другими парами ar, as (может быть, за исключе-
исключением пары (ах, а?)) больше единицы, и в множестве еди-
единиц функции 1]) не содержится целиком ни один интер-
интервал размерности 2. Протяженность цепи ty равна q—i.
Поэтому задача вычисления р {п) сводится к построению
в n-мерном единичном кубе цепи с максимальным q.
Прямым построением таких цепей доказано, что
Cj-2" < р(п) < с2-2",
где сг, с2 — константы. Построение замкнутых
цепей (ц и к л о в), т. е. цепей, у к-рых р^, а?)=1, с
максимальной мощностью множества N$ является
важной составной частью доказательства теоремы о не-
невычислимости свойств конъюнкций «входить в мини-
минимальные или кратчайшие д. н. ф.» в классе локальных
алгоритмов.
Следующий результат выясняет строение областей
истинности «почти всех» булевых функций. Множество
М вершин re-мерного единичного куба наз. связ-
связным, если для всякой точки а?М существует точка Р
из М такая, что р (а, Р)=1 Точка а в множестве М наз.
изолированной, если для всех E таких, что
р(а, Р) = 1, выполнено условие: fi0M. Имеет место сле-
следующее утверждение: у «почти всех» булевых функций
/(a-j, ..., хп) множество единиц ЛГ/(Ж] ^ разбивается
на сумму одного связного множества и нек-рого мно-
множества изолированных точек. При этом мощность связ-
связного множества не меньше 2"-1 — Уп-2п12 —
— const-iog2n, а число изолированных точек не прево-
превосходит const ¦ log2re.
С результатами по вычислению протяженности «поч-
«почти всех» булевых функций тесно связаны результаты
по вычислению радиусов и диаметров графов, порож-
порождаемых булевыми функциями. Графом G(f), по-
порожденным булевой функцией /, наз.
граф, вершинами к-рого являются точки множества
N;, а ребрами — пары точек множества N у, расстояние
Хэмминга между к-рыми равно единице. Расстояние
r(j(a, P) между вершинами аир графа G(f) определя-
определяется как длина минимальной цепи, связывающей ос и
Р (предполагается, что вершины аир принадлежат од-
одной компоненте связности графа G(f)). Отклонен-
н о с т ь ю вершины а в графе G (/) наз. величина
/ (a)=max rG(a, f>), где максимум берется по всем вер-
вершинам G, принадлежащим вместе сак одной компоненте
связности. Радиусом компоненты связности К
графа G наз. число Л (A?)=mm l(a). Величина
=max R{K), где максимум берется по всем компонен-
компонентам связности графа G, наз. радиусом графа G.
Диаметром графа G наз. число D (<?) =
= max r (a, P), где максимум берется по всем парам
вершин а, Р, принадлежащим одной компоненте связ-
связности. Для «почти всех» булевых функций /(xl7 . . ., х„)
величины R(G) и D (G) таковы, что п — 2<Л(С(/))<:
<п-1 и D(G(/)) = re-l.
Из результатов, относящихся к вычислению число-
числовых характеристик отдельных классов булевых функ-
функций, выделяются результаты, относящиеся к монотон-
монотонным булевым функциям. Пусть а=(а1а2. . .а„),
Р= (PiP2 • • • Ри) — бинарные наборы. Говорят, что
а<Р, если а,<Р,-, г=1, 2, . . ., п. Булева функция наз.
и о н о т о н н о и, если из соотношения а<Р~ следует,
что /(а)</(Р). Представляет интерес определение точ-
точного числа г|з(ге) различных монотонных булевых функ-
функций от переменных хг, . . ., хп. Это число известно лишь
для небольших значений п. Известно также асимпто-
тич. равенство
log2 Ц (п) ~ С^.
Большое число приложений при решении дискретных
экстремальных задач имеет задача оптимальной рас-
шифровки монотонной булевой функции. Пусть задан
алгоритм Д, позволяющий вычислять монотонную бу-
булеву функцию /(#!, . . ., хп) в каждой точке а. Если в про-
процессе вычислений установлено, что /(а) = 1 для нек-рой
точки а, то /(Р) = 1 для всех р^а. При /(а) = 0 функция
/ известна (равна нулю) во всех точках E<:а. Поэтому
для расшифровки, т. е. полного восстановления
функции /, алгоритм А должен вычислить ее значения
лишь в нек-ром множестве точек. Пусть m(f) обозна-
обозначает минимальное число точек, в к-рых достаточно вы-
вычислить f(xi, . . ., хп) для полного восстановления f.
Пусть
m(re)= max m (/).
П* хп)
Величина т{п) удовлетворяет асимптотич. равенству:
т. (п) ~ 2С[п/2\
Оценка для т (/) может быть понижена, если известна
дополнительная информация о монотонной булеоой
функции.
С задачей расшифровки монотонных булевых функ-
функций связана задача вычисления числовых характери-
характеристик совокупностей существенных переменных не всюду
определенных булевых функций, т. е. функций, задан-
заданных на пек-ром подмножестве множества вершин еди-
единичного n-мерного куба. Совокупность переменных
х,\, . . ., xik. наз. существенной для не всюду
определенной булевой функции F(x^, . . ., хп), если
{х,„ . . ., M,.}^{xi, . . ., х„} и существует не всюду
определенная булева функция ф (#,-,, . . ., хги) такая,
что ^"(.^1, . . ., аг„)=<р(л:,-„ . . ., хц) на всей области опре-
определения F. Существенная совокупность наз. тупи-
тупиковой для F, если никакая истинная часть этой со-
совокупности не является существенной для F.
У каждой всюду определенной булевой функции име-
имеется единственная тупиковая совокупность переменных.
Для не всюду определенных булевых функций строение
совокупностей существенных переменных отличается
большим разнообразием. Пусть 2 — система подмно-
подмножеств множества {хг, х2, . . ., хп), удовлетворяющая
условию: если S?2 и S' — произвольное подмножество
множества {хи х2, ..., хп}, то SU-S'S^- Тогда существу-
существует не всюду определенная булева функция F% {хг, ..., хп)
такая, что система существенных для Fz наборов пе-
переменных есть 2 . Пусть tp{n) — число различных тупи-
тупиковых наборов для F fa,..., хп) и
t(n)= max tF(n).
F(x> *„)
Известно, что
Алгоритм построения всех тупиковых совокупно-
совокупностей переменных для F(xt, . . ., хп) имеет максималь-
максимальную трудоемкость 2С^™'2 , причем этот максимум дости-
достигается (здесь единицей трудоемкости считается трудо-
трудоемкость проверки, является ли данная совокупность
переменных существенной для F).
К Б. ф. м. т. относят также задачи вычисления харак-
характеристик, связанных с задачей минимизации булевых
функций.
Лит.: [13 Глаголев В. Б., «Проблемы кибернетики»,
1967, в. 19, с. 75—94; [2] Ж у р а в л е в Ю. И., «Проблемы
кибернетики», 1964, в. 11, с. 271—75; [3) Коробков В. К.,
«Проблемы кибернетики», 1965, в. 13, с. 5—28; [4] С а п о ж е н-
к о А. А., сб. «Дискретный анализ», 1967, в. 10, с. 91 —119; [5]
его же, «Докл. АН СССР», 1968, т. 180, № 1, с. 32—35; [6]
К lei tm an D., «Proc. Amer. Math. Soc», 1969, v. 21,
№ 3, p. 677 — 82. _ Ю. И. Журавлев.
БУЛЕВЫХ ФУНКЦИИ МИНИМИЗАЦИЯ — пред-
представление булевых функций нормальными формами
(см. Булевых функций нормальные формы), простейши-
ми относительно нек-рой меры сложности. Обычно под
сложностью нормальной формы по-
понимается число букв в ней. В этом случае простейшая
форма наз. минимальной. Иногда в качестве ме-
меры сложности рассматривается число элементарных
конъюнкций в дизъюнктивной нормальной форме или
число сомножителей в конъюнктивной нормальной фор-
форме. В этом случае простейшая форма наз. к р а т ч а й-
ш е й. В силу двойственности дизъюнктивных и конъ-
конъюнктивных нормальных форм достаточно рассматривать
только дизъюнктивные нормальные формы (д. н. ф.).
Построение кратчайших и минимальных д. н. ф.
имеет каждое свою специфику. Множества минималь-
минимальных и кратчайших д. н. ф. одной и той же функции мо-
могут находиться в любых теоретико-множественных соот-
соотношениях: содержаться одно в другом, иметь пустое
пересечение или непустую симметрическую разность.
Если для функции / обозначить через ту сложность ми-
минимальной д. н.ф., через fey — минимальную сложность
кратчайшей д. н. ф., а через 1(п) — наибольшее из от-
отношений fey/my по всем функциям от п переменных, то
справедливо асимптотич. соотношение:
Обычно под задачей Б. ф. м. понимается задача по-
построения их минимальных д. н. ф. Существует тривиаль-
тривиальный алгоритм построения всех минимальных д. н. ф.
для произвольной булевой функции /(я,, х2, . . ., хп).
Он состоит в просмотре всех д. н. ф. с переменными
хг, . . ., хп и выделении тех из них, к-рые реализуют
функцию / и имеют минимальную сложность. Этот ал-
алгоритм фактически неприменим уже при небольших п
ввиду быстрого роста числа операций. Поэтому было
построено большое число других алгоритмов, к-рые,
однако, эффективно применимы не ко всем функциям.
Исходным заданием функции в задаче минимизации
обычно считают таблицу, совершенную д. н. ф.
(см. Булевых функций нормальные формы) или произволь-
произвольную д. н. ф. На первом этапе от исходного задания осу-
осуществляется переход к так наз. сокращенной д. н. ф.,
к-рая определена для каждой функции однозначно.
Существует большое число методов реализации этого
перехода. Наиболее универсальный метод состоит в
выполнении над д. н. ф. преобразований вида
Av А-В =Ф А (поглощение),
xA\jхВ =ф хА vжВv AB.
Сокращенная д. н. ф. обладает тем свойством, что
любая минимальная д. н. ф. получается из нее удалени-
удалением нек-рых элементарных конъюнкций. Второй, наи-
наиболее трудоемкий, этап состоит в получении из сокра-
сокращенной д. н. ф. всех тупиковых д. н. ф., среди к-рых со-
содержатся и все минимальные. На этом этапе обычно ис-
используется геометрич. представление булевых функций.
Пусть Еп обозначает множество всех вершин п-мерного
единичного куба. Каждой булевой функции /(ж17 .. ., хп)
взаимно однозначно соответствует подмножество Nf,
Nf^En, таких вершин а, где /(а) = 1. Пусть 91 — эле-
элементарная конъюнкция ранга г, тогда множество N%
наз. интервалом ранга г, соответствующим
элементарной конъюнкции 91. Говорят, что система
интервалов JVa , . . ., JVslm образует покрытие
множества NgzEn, если
Так как равенства
/ = 9I,v...v9U и л-/=лга1и.(я
эквивалентны, то задача Б. ф. м. равносильна отыска-
отысканию покрытий, сумма рангов интервалов к-рых мини-
мальна. Такие покрытия наз. минимальными.
Интервал N^ наз. максимальным для функции
/, если JVjjSJV^ и не существует интервала N9 такого,
что N%cNmg^Nf. Построение тупиковых д. н. ф.
функции / сводится к отысканию таких покрытий мно-
множества Nj максимальными интервалами, никакое соб-
собственное подмножество к-рых не является покрытием
множества Nf. Эти покрытия соответствуют тупиковым
д. н. ф. и паз. неприводимыми. Они получа-
получаются из покрытий, соответствующих сокращенным д. н.
ф., путем удаления нек-рых интервалов.
Выбор минимальных д. н. ф. из всех тупиковых также
оказывается весьма трудоемким процессом, поскольку
для «почти всех» булевых функций от п аргументов раз-
различных тупиковых д. н. ф. не меньше, чем 22". При
этом разброс сложностей тупиковых д. н. ф. может
быть очень велик, так что выбор случайной тупико-
тупиковой д. н. ф. вместо минимальной может привести к
большой погрешности.
Оценки числа тупиковых д. н. ф. и разброса сложно-
сложностей показывают, что естественным путем улучшения
эффективности алгоритмов минимизации является путь
более тонких рассмотрений при удалении элементарной
конъюнкции из д. н. ф. Удалять (или, наоборот, закреп-
закреплять до конца процесса) конъюнкцию следует лишь в
том случае, если для нее посредством нек-рой процеду-
процедуры удается установить, что она не входит ни в одну
минимальную д. н. ф. для / (входит во все минимальные
д. н. ф. для /). Последний факт устанавливается обычно
при помощи анализа конъюнкций, близких к рассма-
рассматриваемой, т. е. входящих в окрестность этой конъюнк-
конъюнкции (см. Алгоритм локальный). При этом разрешается
накапливать информацию об элементарных конъюнкци-
конъюнкциях и использовать ее в дальнейшем анализе. Процедуры
указанного вида получили назв. локальных
алгоритмов упрощения. Ниже приводят-
приводятся нек-рые из них. В их описании используется понятие
окрестности k-т о порядка Sk (91, Щ
элементарной конъюнкции Щ в д. н. ф.
§Я, 31 ?91.
Окрестность нулевого порядка Sg(9l, 91) состоит из
одной конъюнкции 91. Если Sfc-jfSl, Щ) есть окрест-
окрестность (к— 1)-го порядка, то окрестность k-то порядка
Sk B1, 91) состоит из всех конъюнкций 91у д. н. ф. 9J,
удовлетворяющих одному из следующих условий:
1) Nft. имеет непустое пересечение хотя бы с одним ин-
интервалом, соответствующим конъюнкции из Sfc_j(9l, 9J);
2) JVjCU^^j., где JVSj, i=l, 2, . . ., г, удовлетворя-
удовлетворяj
j
ют условию 1).
Алгоритм Куайна. На каждом шаге рас-
рассматривается окрестность Sj C1, 9J) одной из конъюнк-
конъюнкций в д. н. ф. 9Z- В процессе работы алгоритма для каж-
каждой из конъюнкций делается попытка вычислить одно
из свойств: Р1 (91, 91) —
«ЭД входит во все минимальные д. н. ф.», />2(Э1, 9f) —
«31 — не входит ни в одну минимальную д. н. ф.».
Алгоритм работает следующим образом. 1) По очере-
очереди для каждой конъюнкции 31 из 9? строится окрест-
окрестность •?! C1, 9i)= {91, 91b . . ., 3im}. Проверяется вклю-
включение: JVj^UJii^i.' Если оно не имеет места, то 91
отмечается нек-рым способом как входящая во все ми-
минимальные д. н. ф. В этом случае говорят, что 31 входит
в ядро д. н. ф. 9J (является ядровой конъюнк-
конъюнкцией). 2) Пусть на первом этапе в 91 отмечены конъюнк-
конъюнкции 5R], . . ., 93?. Остальные конъюнкции из 9J упо-
упорядочиваются, и для каждой такой конъюнкции 33
проверяется включение NsgC^\J4=1Nsg.. Конъюнкции,
для к-рых это соотношение выполнено, не входят
ни в одну минимальную д. н. ф.; они удаляются
из SR.
Алгоритм регулярных точек. Этот
алгоритм на каждом шаге осматривает окрестность
Л'г (91, 9J) конъюнкции 91 в д. н. ф. 5R и удаляет конъюнк-
конъюнкции, не входящие ни в одну тупиковую и, следователь-
следовательно, ни в одну минимальную д. н. ф. В описании алго-
алгоритма используется понятие а-п у ч к а в д. н. ф. Щ,
представляющего собой для рассматриваемой точки а
из TV,; множество М (а, 3t) интервалов N%. таких, что
3I/69J, а6-^я-- Для конъюнкции 2С из д. н. ф. 9J точка
а из JVa наз. регулярной относительно
C1, 5Ю, если существует точка а'такая, что а'?Л\ЯХЧЛГ9(
и М(а', W)ciM(а, 5JJ). Множество AfcrJV9( наз. р е-
гулярным относительно C1, ЭД), если все
его точки регулярны относительно (91, 9J). Описывае-
Описываемый алгоритм основывается на том, что конъюнкция 21
из сокращенной д. н. ф. функции / не входит ни в одну
тупиковую д. н. ф. функции / тогда и только тогда,
когда N% есть множество, регулярное относительно
(91, 9J). Алгоритм проверяет в нек-ром порядке, яв-
являются ли интервалы конъюнкций, входящих в д. н. ф.,
регулярными множествами, и удаляет те из них, интер-
интервалы к-рых регулярны. Свойство интервала JVS( быть
регулярным относительно C1, Ш) полностью опреде-
определяется окрестностью S2 C1, 9J) и, вообще говоря, не
определяется окрестностью 5xBt, 411).
А-а л г о р и т м. Здесь используется понятие д. н. ф.,
минимальной относительно д. н. ф. Щ,
т. е. такой д. н. ф., к-рая минимальна среди всех д. н. ф.,
эквивалентных 9J и получающихся из 9J опусканием
нек-рых элементарных конъюнкций. Рассматриваются
два свойства элементарной конъюнкции в д. н. ф.:
PiCU, 9J) — «21 входит во все д. н. ф., минимальные
относительно 9J», и
^2C1, 9J) — «91 не входит ни в одну д. н. ф., мини-
минимальную относительно 451».
Считается, что Р{=1, если свойство Р; имеет место,
и /*, = 0 в противном случае. Предполагается, что
д. н. ф. составлены из конъюнкций с информационными
отметками (а>ь со2), где а>,? {0, 1, Д}. При этом равенство
(о, = Д означает, что свойство /*,- не вычислено (г=1, 2),
а равенства а>,= 1 означают, что i°1-=co:(s=l1 2). Конъ-
Конъюнкция 31 с информационными отметками (<о1, <в2) обо-
обозначается через ЭД'0!'0* А -алгоритм вычисляет значения
свойств Р1 и Р2 для конъюнкций 31 из д. н. ф. 9!, ис-
используя для этого лишь конъюнкции из окрестности
52 (91, 9{) и их информационные отметки. Для конъюнк-
конъюнкции 21 ранга г из д. н. ф. ЧЯ множество M~^N4 наз. м н о-
жеством первого типа относитель-
н о C1, 9J), если в д. н. ф. 91 существуют конъюнкции
9Ii, . . ., 9lm рангов rlt . . ., гт такие, что Мсу™ JV,i(.
Разностью 9Ji\9J2 Д- н- Ф- 9Ji и ЭД2 наз. д. н. ф.,
состоящая из элементарных конъюнкций, входящих в
9fj и не входящих в 5JJ2-
До применения А -алгоритма все конъюнкции из рас-
рассматриваемой д. н. ф. 9? имеют отметку (Д, Д). Если
выполнены г шагов и отметку A, Д) получили конъюнк-
конъюнкции 2li, . . ., 3ls, а отметку (Д, 1) — конъюнкции 2ti,
. . ., 21/, то (t-f- 1)-й шаг состоит в следующем. Упоря-
Упорядочивают нек-рым способом конъюнкции из д. н. ф.
Если д. н. ф. 9?4(vf=i9l/vv)=i9l/) пустая, то Л-ал-
горитм заканчивает свою работу. В противном случае
после упорядочивания к.-л. способом конъюнкций из
этой д. н. ф. выделяются первая по порядку конъюнк-
конъюнкция 91 и ее окрестности St и S2 в д. н. ф.
/=i3ty) и проверяется соотношение
Если оно выполнено, то отметка (Д, Д) над 21 заменяется
на A, Д) и (г+1)-й шаг А -алгоритма заканчивается.
Если оно не выполнено, то проверяется, можно ли 7VS(
представить в виде Мх[]Мг, где Мх — множество, ре-
регулярное относительно B1, SR), а М2 — множество пер-
первого типа относительно B1, 9f). Если JV?( можно пред-
представить в таком виде, то отметка (Д, Д) над 21 заменяется
на отметку (Д, 1), и (i-j-l)-ii шаг Л-алгоритма заканчива-
заканчивается; если — нельзя, то описанная процедура приме-
применяется ко второй по порядку конъюнкции, и т. д. Если
при этом ни у одной из конъюнкций отметка не изме-
изменится, то после просмотра всех конъюнкций работа
Л-алгоритма закапчивается.
Если за д. н. ф. ЧЛ принять сокращенную д. н. ф.
5J^ функции /, то все конъюнкции, получившие в алго-
алгоритме отметку (Д, 1), не входят ни в одну минимальную
д. н. ф. функции /; они удаляются из Щ,. Конъюнкции,
получившие отметку A, Д), входят во все минималь-
минимальные д. н. ф. функции /. Рассматривались также различ-
различные частные случаи Л-алгоритма.
Кольцевой алгоритм расставляет над
конъюнкциями информационные отметки (а>х, а>2),
значение к-рых то же, что и в Л-алгоритме. На каждом
шаге кольцевой алгоритм использует конъюнкции, вхо-
входящие в окрестность к-то порядка нек-рой конъюнкции,
и их информационные отметки. Ниже излагается упро-
упрощенный вариант этого алгоритма. В полном виде коль-
кольцевой алгоритм — наилучший в классе локальных ал-
алгоритмов со специальной памятью по окрестностям
^(ЗГ, Ш)- Описанные выше алгоритмы являются част-
частными случаями общего кольцевого алго-
алгоритма. Если
— JvsiU U/=1Jvj(.. JVS — iv5[ и U/ = l
то каждому подмножеству Ng^QiS^) сопоставляется
не всюду определенная булева функция /(ж1? . . ., хп),
множество МJ единиц к-рой есть NSk\N, а множество
М? нулей есть En\Ns ; на множестве N функция /
не определена. Множество таких функций обозначает-
обозначается через Рь(Щ. До начала работы алгоритма все конъ-
конъюнкции из рассматриваемой д. н. ф. SJJ имеют отметку
(Д, Д). Если выполнены i шагов и отметку A, Д) полу-
получили конъюнкции Щ, . . ., Ws, а отметку (Д, 1) —
конъюнкции 2Tj, . . ., 21',', то (;+1)-й шаг состоит в
следующем. Упорядочивают нек-рым способом конъ-
конъюнкции изд. н. ф. Если д. н. ф. 5JJ\(V/=i3l/V V/=i2l'/)
пустая, то алгоритм заканчивает свою работу. В про-
противном случае после упорядочения к.-л. способом всех
конъюнкций этой д. н. ф. для конъюнкции 21, являю-
являющейся первой из них, и для каждой функции / из мно-
множества FfcDL) находятся все д. н. ф., реализующие /
на ее области определения, к-рые составлены из конъ-
конъюнкций окрестности 5^B1, 3J) и содержат по сравне-
сравнению с другими такими д. н. ф. наименьшее число симво-
символов переменных. Среди них выделяются все те д. н. ф.,
к-рые, во-первых, не содержат конъюнкций 2li, . . .,
21^ и, во-вторых, содержат все конъюнкции 21/, /=1, 2Г
. . ., s, удовлетворяющие условию N -f\(Ns \N) = 0.
Если для всех / из F^ C1) конъюнкция 31 входит во все
выделенные д. н. ф., то отметка (Д, Д) над 31 заменя-
заменяется на отметку A, Д) и (г+1)-й шаг алгоритма закан-
заканчивается. Если 31 не входит ни в одну из выделенных
д. н. ф., то отметка (Д, Д) заменяется на отметку (Д, 1)
и (г-)-1)-й шаг алгоритма заканчивается. В остальных
случаях описанная процедура применяется ко второй
по порядку конъюнкции и т. д. Если ни у одной из конъ-
конъюнкций не удается изменить отметку, то на (г-}-1)-м
шаге работа алгоритма заканчивается. Все конъюнк-
конъюнкции, получившие в кольцевом алгоритме над сокращен-
сокращенной д. н. ф. 9J/ функции / отметки A, Д) (соответствен-
(соответственно (Д, 1)), входят во все минимальные д. н. ф. (соответ-
(соответственно не входят ни в одну минимальную д. н. ф.)
функции /. Результат применения описанных выше ал-
алгоритмов не зависит от способа упорядочения конъюнк-
конъюнкций в д. н. ф.
Задача выделения всех конъюнкций, входящих хотя
бы в одну и не входящих ни в одну минимальную д. н. ф.,
не может быть решена алгоритмами, работающими с
SfcCl, ЧТ) при к, ограниченных или недостаточно быстро
растущих с ростом п числа переменных. Ситуация не
изменится, если к запоминаемым в алгоритме свойствам
^°i? ^2 добавить ограниченное пли недостаточно быстро
растущее с ростом п множество свойств.
Лит.: [1]Яблонский С. В., Функциональные построе-
построения в /?-значной логике, 1958 (<*Тр. Матем. ин-та АН СССР»,
т. 51); [2] Журавлев Ю. И., «Проблемы кибернетики»,
1962, в. 8, с. 5—44; [3] Q u i n e W. V., «Amer. Math. Monthly»,
1959, v. 66, J\fi 9, p. 755 — 60. Ю. И. Журавлев.
БУЛЕВЫХ ФУНКЦИИ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ —
формулы специального вида, реализующие булевы функ-
функции. Различают дизъюнктивные нормаль-
нормальные формы (д. н. ф.; см. Булевых функций миними-
минимизация) и конъюнктивные нормальные
формы (к. н. ф.). Произведение х?1 ж?2. . . ж?* ,
где ха = х при а= 1 и ха = х при сг=О, наз. элемен-
элементарной конъюнкцией ранга к, если все пе-
переменные в нем различны; 1 считается элементарной
конъюнкцией нулевого ранга. Логическая сумма
ха-1 vi?! v • • • Vijr наз. элементарной дизъ-
дизъюнкцией ранга г, если все переменные в ней раз-
различны; 0 считается элементарной дизъюнкцией нуле-
нулевого ранга.
Формула 3TiV. . . v9l;, где 3li, . . ., Э1г — различ-
различные элементарные конъюнкции рангов гх, . . ., rt соот-
соответственно, наз. д. н. ф., а число ^(=1,(. — слож-
сложностью этой д. н. ф.; формула 33]332 • • • 93ь где
$Pi, . . . , 33f — различные элементарные дизъюнкции
рангов рх, . . ., pt соответственно, наз. к. н. ф., а число
2(=1Pi — сложностью этой к. н. ф. Всякая буле-
булева функция, отличная от тождественного нуля, может
быть задана д. н. ф. и, вообще говоря, неоднозначно.
Аналогичный факт имеет место для к. н. ф. и функций,
не равных тождественно единице.
По таблице, задающей булеву функцию /(хх, х2, . . .,
хп), легко строится совершенная д. н. ф.
SdvS^V . . . v%s, где 3[,= /ii/i!. . . а?™, i=i, 2,
. . . , s, и наборы сг;1, сг,-2, . . . , сг,„ таковы, что
/(°7i> ст/2> • • • > сг(п) = :'- Совершенная д. н. ф., реали-
реализующая булеву функцию /, строится однозначно.
Аналогично определяется совершенная к. н. ф.
Так как «почти все» булевы функции имеют число
единичных наборов в пределах от 2"-1— Y^n-2"'2 до
2"-1-}- у п •2"'2, то асимптотич. сложность совершенной
д. н. ф. для «почти всех» булевых функций равна п -2".
Максимальная сложность совершенной д. н. ф. для
функций от п переменных достигается для функций,
равных 0, в одной точке. Она равна п-Bп— 1).
Основной задачей в теории Б. ф. н. ф. является за-
задача минимизации булевых функций, т. е. построение
для произвольной булевой функции к. н. ф. или д. н. ф.
минимальной сложности— минимальной к.н. ф.
или д. н. ф. (см. Булевых функций минимизация, Ал-
Алгоритм локальный). При этом, в силу принципа двой-
двойственности, достаточно рассматривать только д. н. ф.
В связи с задачей минимизации булевых функций рас-
рассматриваются также д. н. ф. сокращенная, тупиковые,
кратчайшие и минимальные. Важной задачей теории
д. п. ф. является отыскание их числовых характеристик,
а также характеристик, связывающих различные типы
д. н. ф. одной функции.
Сокращенная д. н. ф. строится по булевой функции
однозначно с помощью достаточно простых алгоритмов.
Ее важнейшим свойством является то, что всякая ми-
минимальная д. н. ф. функции и хотя бы одна кратчайшая
получаются из сокращенной д. н. ф. удалением нек-рых
элементарных конъюнкций. Поэтому многие алгорит-
алгоритмы минимизации используют сокращенные д. н. ф. в
качестве исходного задания булевой функции. В связи
с этим большой интерес представляет определение слож-
сложности сокращенных д. н. ф. для «почти всех» функций и
выяснение абсолютного максимума этой сложности.
Если Sf(n) — число элементарных конъюнкций в со-
сокращенной д. н. ф. булевой функции f(x±, x2, . . ., хп) и
S (n)= max Sf(n),
/(*..-.*„)
то имеют место следующие оценки:
1 n -S. W\. 2 у- .
и для «почти всех» булевых функций
n(i-8) log2 log2 «2" < S f(ri) < reA + E) Iog2 log2 n-2n,
e—>-0 при п—*-oo.
Из этих результатов и оценок сложности совершенной
д. н. ф. видно, что сложность сокращенной д. н. ф. су-
существенно больше сложности совершенной д. и. ф. как
в «типичном», так и в «рекордном» случаях. В отличие
от совершенной и сокращенной д. н. ф., у одной булевой
функции может быть много тупиковых и минимальных
д. н. ф. Пусть tj(n) — число тупиковых д. н. ф., т^(ге) —
число минимальных д. н. ф. булевой функции f(xi,
#2» • • ч Хп),
t(n)= max tf(n), m(n)= max то Ля).
'(*« хп) /(*„...,*„)
Имеют место следующие оценки:
B2")r"<?(n)<B2")n/2, m(n)> Bап) const .К«
и для «почти всех» булевых функций
B2"-1)(i-e) log2n log2log2n < tf(n)<
е —у 0 при п —»- оо.
Верхняя оценка для т(п) и оценка т^(п) для «почти
всех» функций, отличных от тривиальных, пока A977)
не найдены. Большой интерес в задачах минимизации
булевых функций представляют оценки сложности ту-
тупиковых д. н. ф. и минимальных д.н. ф. Пусть "kj (re) —
число элементарных конъюнкций в тупиковой д. н. ф.
Т функции /(.гь . . ., х„); 1/(п) — число элементарных
конъюнкций в кратчайших д.н.ф. функции f (xt, ..., хп),
X (п) — max XT (и), I (в) = max lf (n).
1, т f
Имеют место следующие оценки:
Х{п) - 2", Z(re)=2"-1.
У «почти всех» булевых функций f(xu . . ., хп) для
почти всех тупиковых д. н. ф. Т:
Для «почти всех» булевых функций f(xu . . . , хп)
2п 2п
log2nlog2log2n < 1/ ^ < пжТп "
Эти оценки показывают, что кратчайшие (а также ми-
минимальные) д. н. ф. составляют у «почти всех» булевых
функций малую долю от числа тупиковых д. н. ф. Су-
Существуют также оценки относительной слож-
сложности тупиковых д. н. ф. и кратчайших д. н. ф. бу-
булевых функций. Пусть Яу(я) — максимальное число эле-
элементарных конъюнкций в тупиковой д. н. ф. функции
f(xi, . . ., хп). Для «почти всех» булевых функций
>.,<п)
log2 п < l (n) <log2 ra-log2log2re.
Максимальное значение отношения X/(n)/lf{n) оцени-
оценивается снизу величиной 2n<-1~s"\ t—>-0при п—»-». Получе-
Получены также оценки для величины y(f), наз. разбро-
разбросом булевой функции f(xu . . ., хп). Здесь
... Ь(Т')
где Т' и Т" — произвольные тупиковые д. н. ф., реали-
реализующие f(x1, . . ., хп), a L(T) — число букв в тупиковой
д. н. ф. Т. Построены примеры булевых функций, у
к-рых г/(/)^2"A-°A|); установлено, однако, что для «поч-
«почти всех» булевых функций
!/(/)<log2tt-log2log2 п.
Приведенные выше оценки позволяют получить полное
представление о тех трудностях, к-рые возникают при
минимизации булевых функций по схеме: совершенная
д. н. ф.— сокращенная д. н. ф.— тупиковая д. н. ф.—
минимальная д. н. ф.
Лит.: [1] Васильев Ю. Л., «Проблемы кибернетики»,
1963, в. 10, с. 5—61; [2] Глаголев В. В., «Проблемы ки-
кибернетики», 1967, в. 19, с. 75—94; ГЗ] К о р ш у н о в А. Д.,
«Кибернетика», 1969, т. 6, с. 1—8; [4] С а п о ж е н к о А. А.,
«Матем. заметки», 1968, т. 4, № 6, с. 649—58. Ю. И. Журавлев.
БУНЯКОВСКОГО НЕРАВЕНСТВО — неравенство
математнч. анализа; для функций f(x) и g(x), интегри-
интегрируемых с квадратом,
*/(*)«? И dxj<i ^"а Г- (х) dx^g* (x) dx;
[$*
установлено В. Я. Буняковским [1]. Это неравенство
аналогично алгебраич. неравенству Коши:
+b%+.. .+Ъгп).
Иногда Б. н. наз. неравенством Шварца (по имени
Г. А. Шварца; Н. A. Schwarz). Однако В. Я. Буняков-
ский опубликовал свою работу о неравенствах еще в
1859, тогда как в работах Г. А. Шварца то же неравен-
неравенство появилось не ранее 1884 (без ссылок на Буняков-
ского).
Лит.: Bounjakowsky W., «Memoires de l'Academie
des sciences de St-Petersbourg. 7 serie», 1859, t. 1, JMa 9.
В. Н. Битюцков.
БУР/КЕ ФУНКЦИЯ — функция Jn,k (z)> определя-
определяемая как обобщение интегрального представления бес-
селевых функций:
где п — целое, а к — положительное целое. Контур
интегрирования обходит один раз начало координат
против часовой стрелки. Иначе,
/„_ k (г) =-1 ^* B cos 9)* cos (n9 —г sin 6) dQ,
/n0(z) = /n B) — цилиндрич. функция 1-го рода. Б. ф.
наз. по имени Ж. Бурже [1], к-рый изучал ее, имея в
виду различные астрономич. приложения.
Лит.: [1] Bourget J., «J. math, pures et appl.», 1861,
t. B. p. 32—54; [2] В а т с о н Г. Н., Теория бесселевых функ-
функций, пер. с англ., 1949, ч. 1, гл. 10. В. И. Пагурова.
БУТА ЛЕМНИСКАТА — плоская алгебраич. кривая
4-го порядка, уравнение к-рой в декартовых прямо-
прямоугольных координатах имеет вид:
(х2-Ьу2J+Bш2+!г)х2+B(?12-п) у2 = 0.
Если | п | <2 т2, то Б. л. наз. эллиптической
Б. л. (имеет изолированную особую точку О, см. рис. 1,
где 0 < п < 2т2). Если
у | п | > 2т2, то Б. л. наз.
гиперболиче-
гиперболической Б. л. (имеет в
начале координат узло-
, у
Рис. 1.
Рис. 2.
вую точку, см. рис. 2, где п > 2 то3). В полярных ко-
координатах уравнение эллиптич. Б. л. имеет вид:
Р2=а2 cos2 ф-(-Ь2 sin2 ф или р=0;
если я>2т2, то уравнение гиперболической Б. л. имеет
вид:
2
р COS фг sin ф)
если п< — 2??г2:
р2= — о2 cos2 ф+Ь2 sin2 ф
(а2=|2то2+п|, Ь2=\2т2-п\).
Длина дуги Б. л. выражается через эллиптич. интегра-
интегралы. Площадь, ограничиваемая эллиптич. Б. л.:
гиперболич. Б. л.:
Б. л.— частный случай Персея кривой.
Б. л. названа по имени Дж. Бута [1].
Лит.: [1] Booth J., A treatise on some new geometrical
methods, v. 1—2, L., 1873—77; Г2] С а в е л о в А. А., Плоские
кривые, М., 1960, с. 144—46. Д. Д. Соколов.
БУШУЮЩАЯ СИСТЕМА - динамическая система
с пространством состояний, содержащим многооб-
многообразия бушевания, т. е. многообразия, при
прохождении к-рых изменяется закон, управляющий
движением системы. Б. с. S в R" описывается несколь-
несколькими системами дифференциальных уравнений
и поверхностями
При попадании траектории S на участке действия (?,-)
к поверхности М,- происходит бушевание, т. е.
замена системы E,-) системой E,- + 1), причем Eтт1)
совпадает с Ej) (подробнее см. [3]). Участие в задании
Б. с. нескольких дифференциальных систем (S,-) при-
приводит к большому разнообразию качественных картин
семейств траекторий Б. с. Напр., Б. с, описываемая
двумя стационарными системами линейных дифферен-
дифференциальных уравнений
= i' 2.
и имеющая в качестве многообразий бушевания М] = Мг
прямую х2=0, может, в частности, иметь предельный
цикл (см. [3]). Б. с. доставляют специфич. модели не-
линейных колебаний, позволяя описывать явления типа
«гистерезиса».
Лит.: [llVogel Т., «Bull. Soc. Math. France», 1953, t. 81,
Nil, 63—75; [2] В о г е л ь Т., Бушующие системы, наслед-
наследственные системы, динамические системы, пер. с франц., К.,
1961; [3] М ы ш к и с А. Д., Хохряков А. Я., «Матем.
сб.», 1.958, т. 45, М 3, с. 401 —14. Ю. С. Богданов.
БЬЁРЛИНГА ЗАДАЧА — задача теории минималь-
минимальных поверхностей, состоящая в нахождении минималь-
минимальной поверхности, проходящей через заданную незамк-
незамкнутую аналитич. кривую L и имеющей вдоль L задан-
заданные касательные плоскости. Б. з. является для мини-
минимальных поверхностей аналогом задачи Коши для диф-
дифференциальных уравнений. Эта задача поставлена и
решена Э. Бьёрлингом [1]. Решение ее всегда существу-
существует, единственно и в явном виде выражается формулой
Шварца для минимальных поверхностей. Решение Б. з.
позволяет найти минимальную поверхность всякий раз,
когда известна или ее геодезическая линия, или асим-
асимптотическая линия, или линия тени. В случае, когда
заданная кривая L плоская и является на искомой ми-
минимальной поверхности геодезической, плоскость кри-
кривой L будет для минимальной поверхности плоскостью
симметрии.
Лит.: [1] В j о г 1 1 n g E.G., Archikes Grunert, t. IV, 1844,
p. 290; [2]Darboux G., Lecons sur la theorie generale des
surfaces, P., 1914, pt 1; [3] Б л я ш к е В., Дифференциальная
геометрия и геометрические основы теории относительности
Эйнштейна, пер. с нем., т. 1, М,— Л., 1935, с. 264—65; [4]
Ниче С. С, «Математика», 1967, т. 11, №3, с. 37—100.
Л. X. Сабитов.
БЭРА КЛАССЫ — семейства действительных функ-
функций, определяемые индуктивно по порядковому числу
знаков предела, входящих в определение функции, и
составляющие классификацию функций, предложенную
Р. Бэром (R. Baire, 1899; см. [1]) и называемую клас-
классификацией Бэра. Нулевым классом
Бэра Но наз. множество всех непрерывных функций
/ : A—>JR, где А — метрич. пространство. Первый
класс Bapa/fj есть множество разрывных функ-
функций / : A—>-R, являющихся пределом сходящейся в
каждой точке последовательности непрерывных функ-
функций. Класс Бэра На, где а — трансфинитное число
первого или второго класса, определяется как множест-
множество функций / : Л—>-R, не входящих ни в один из пред-
предшествующих классов, но представимых в виде /=
= lim/„, где/„?./7» , E„<а. Объединение Б. к. Н по
п>оо
всем трансфинитам первого и второго классов составля-
составляет множество функций Бэра (или бэров-
ских функций). Это есть минимальный, замкну-
замкнутый в смысле поточечной сходимости, класс функций
f ; A—»-R, содержащий все непрерывные функции. Ли-
Линейная комбинация, произведение и частное (если зна-
знаменатель не обращается в нуль) функции Б. к. не выше
а является функцией Б. к. не выше а. Равномерно схо-
сходящаяся последовательность функций Б. к. не выше а
имеет пределом функцию Б. к. не выше а. Установлены
[4] необходимые и достаточные условия для того, чтобы
последовательность функций Б. к. не выше а сходи-
сходилась к функции Б. к. не выше а. Открытым ядром
множества А топологического про-
пространства наз. объединение всех открытых мно-
множеств М С А . Если А — полное пространство с непустым
плотным в себе ядром, то ни один Б. к. непуст (см. [2]).
Множество функций Бэра совпадает с множеством
функций, измеримых по Борелю (см. Бвреля мера);
поэтому все они измеримы по Лебегу (см. Лебега
мера). Функция g : .4—>-R, измеримая по Лебегу, эк-
эквивалентна нек-рой функции Бэра не выше второго Б. к.
(см. [3]). Р. Бэр, рассматривая функции, определенные
в R" (в основном в R), наиболее подробно исследовал
функции первого класса. Он показал, что для принад-
принадлежности разрывной функции первому классу необхо-
необходимо и достаточно существование точки непрерывности
индуцированной функции на каждом совершенном мно-
множестве (теорема Бэра). Это утверждение перено-
переносится на функции / : A-+R, если А обладает Бэра свой-
свойством (см. [2]). Понятие функций Бэра естественным
образом обобщается на функции ф : A-+Y, где Y —
произвольное метрич. пространство.
Лит.: [1] Бэр Р., Теория разрывных функций, пер. с
франц., М.— Л., 1932; [2]Хаусдорф Ф., Теория множеств,
пер. с нем., М.— Л., 1937; [3] Натансон И. П., Теория
функций вещественной переменной, 2 изд., М., 1957; [4] Га-
гаев Б. М., «Fundam. math.», 1932, t. 18, p. 182—88.
И. А. Виноградова.
БЭРА МНОЖЕСТВО в локально компакт-
компактном хаусдорфовом пространстве X —
множество, принадлежащее cr-кольцу, порожденному
классом всех компактных множеств в X, являющих-
являющихся Ga-множествами. С помощью Б. м. определяется по-
понятие функции, измеримой в смысле Бэра. Во всех
классич. частных случаях, когда теория меры строится
в топологич. пространствах, напр, в евклидовых про-
пространствах, понятие Б. м. совпадает с понятием бо-
релевского множества.
Лит.: [1] Халмош П., Теория меры, пер. с англ., М.,
1953, с. 214—18. В. А. Скворцов.
БЭРА ПРОСТРАНСТВО — 1) Всякое пространство,
в к-ром верна Бэра теорема (о полных пространствах).
2) Метрич. пространство, точками к-рого являются ко-
конечные последовательности {п/}={п1, ¦ • ., п-ъ, . . .}
натуральных чисел, а расстояние задается формулой:
где к0 — первое натуральное к, для к-рого ^^
Это — полное метрическое сепарабельное нульмерное
пространство, содержащее топологич. образ всякого
нульмерного метрического сепарабельного простран-
пространства. _ Л. С. Александров.
БЭРА СВОЙСТВО множества А в тополо-
топологическом пространстве— свойство, ана-
аналогичное свойству измеримости множества. Множество
А обладает свойством Бэра, если существует
такое открытое множество G, что разности A\G и G\A
являются множествами 1-й категории по Бэру (см.
Категория множества) (термин «открытое» можно за-
заменить на «замкнутое»). Существуют другие эквива-
эквивалентные определения, напр, множество обладает Б. с,
если оно является объединением множества типа G(, и
множества 1-й категории. Операция взятия дополнения,
счетного объединения и счетного пересечения не выво-
выводит из класса множеств, обладающих Б. с. Пример мно-
множества, не обладающего Б. с, см. [1].
Лит.: [ПКуратовский К., Топология, пер. с англ.,
т. 1, М., 1966, с. 96. В. А. Скворцов.
БЭРА ТЕОРЕМА — 1)Б. т. ополных прост-
пространствах: любая счетная система открытых и всюду
плотных в данном полном метрическом пространстве
множеств имеет непустое, и даже всюду плотное в этом
пространстве пересечение. Эквивалентная формулиров-
формулировка: полное метрич. пространство не может быть пред-
представлено в виде счетной суммы своих нигде не плотных
подмножеств. Установлена Р. Бэром [1].
Лит.: [1] В a i г е R., «Ann. di mat.», 1899, C), t. 3, p. 67.
TJ. С. Александров.
2) Б. т. о полунепрерывных функциях:
пусть А — подмножество метрич. пространства М и/:
М—*-R; тогда условие: для любого числа а множество
Е{х, х?А , f(x)^a} (соответственно Е{х, х?А , /(х)<:а})
замкнуто в А,— необходимо и достаточно для того,
чтобы f(x) была полунепрерывна сверху (соответствен-
(соответственно снизу) на А. Доказана Р. Бэром для / : (R—>-R
(см. [1]). Из Б. т. следует, что полунепрерывные
функции входят в первый Бэра класс. Имеет место более
сильное утверждение: полунепрерывная сверху (сни-
(снизу) функция, не принимающая значение -f-oo (—оо),
есть предел монотонно невозрастающей (неубывающей)
последовательности непрерывных функций.
Лит.: [1] Бэр Р., Теория разрывных функций, пер. с
франц., М.— Л., 1932; Г2] Н а т а н с о н И. П., Теория функ-
функций вещественной переменной, 2 изд., М., 1957.
И. А. Виноградова.
БЭРА УМНОЖЕНИЕ — бинарная операция на мно-
множестве классов эквивалентных расширений модулей;
предложена Р. Бэром [1]. Пусть А и В —произвольные
модули. Расширением А с ядром В наз. точная
последовательность:
О-уВ^Х-+А^О. A)
Расширение A) наз. эквивалентным расширению
О^-В-^Х1-^А^.О,
если существует гомоморфизм а : X—vXj, включаемый
в коммутативную диаграмму:
X
Множество классов эквивалентных расширений обозна-
обозначается Ext (А, В). Б. у. на Ext (А, В) индуцируется
следующим образом определенной операцией произве-
произведения расширений. Пусть
0
0
два расширения.
подмодули
с
п
—>
>
В
= {
В —»Х-
¦ bKy-
прямой
(х, у) | а
—>¦ А —
я' л
—>• А —
сумме
(х) = а
-0,
-0
XQY
(у)}
B)
C)
выбираются
Ясно, что DczC, так что определен фактормодуль Z=
= C/D. Произведением Бэра расширений
B) и C) наз. расширение
где
а
Лит.: [1] В а е г R., «Math. Z.», 1934, Bd 38, S. 374—416;
[2]Картан А., Эйленберг С., Гомологическая алгебра,
пер. с англ., М., 1960. В. Е. Говоров.
БЭРРИ — ЭССЕЕНА НЕРАВЕНСТВО — неравенство,
дающее оценку отклонения функции распределения
суммы независимых случайных величин от нормальной
функции распределения. Пусть Хг, . . ., Хп— незави-
независимые одинаково распределенные случайные величины
такие, что
Пусть
Р=^
~t4i rlf
ф(*L=Г
V 2п J - х
тогда для любого п
sup
Vn
e~l '2dt;
-ФМ
:А
где А — абсолютная положительная постоянная. Этот
результат был получен А. Бэрри [1] и независимо от
него К.-Г. Эссееном [2].
Лит.: [1] Berry А. С, «Trans. Amer. Math. Soc», 194),
v. 49, № 1, p. 122—36; [2] E s s e e n C.-G., «Ark. Mat., Astr.
ocli Fysik», 1942, Bd 28A, № 9, p. 1 —19; [3] П е т р о в В. В.,
Суммы независимых случайных величин, М., 1972.
В. В. Петров.
ВЮДАНА — ФУРЬЕ ТЕОРЕМА: число корней алгеб-
раич. уравнения
fix =0,
заключенных в интервале (а, Ь), а<^Ь, равно или на
четное число меньше, чем T=f1 —12, где t1 — число пере-
перемен знака в ряду производных многочлена f(x) в точке
а, т. е. в ряду
/(а), Г (a), f" (а), ..., /<«> (а),
a t2— число перемен знака в этом ряду в точке Ъ. При
этом каждый кратный корень считается за столько кор-
корней, какова его кратность. Установлена Ф. Бюданом
(F. Budan, 1822) и Ж. Фурье (J. Fourier, 1820).
Лит.: [1] Энциклопедия элементарной математики, кн.
2 — Алгебра, М,— Л., 1951, с. 331. О. А. Иванова.
БЮРМАНА — ЛАГРАНЖА РЯД, ряд Лагран
ж а,— степенной ряд, полностью решающий задачу
локального обращения голоморфных функций. Именно,
пусть функция w=g(z) комплексного переменного z
регулярна в окрестности точки z=a, причем g(a) = b
и g' (а)фО. Тогда в нек-рой окрестности точки w=6
плоскости ш определена регулярная функция z=ft(w),
обратная по отношению к g(z) и такая, что h(b) = a;
при этом, если f(z) — любая регулярная в окрестности
точки z—а функция, то сложная функция F(w)=f [h (w)]
разлагается в окрестности точки w= бвряд Бюрма-
на— Лагранжа
•) — b)n. (*)
Случай непосредственного обращения функции w=g(z)
получается при /(z)=z.
Разложение (*) вытекает из т е о р е м ы Б ю р м а-
н а [1]: при указанных выше предположениях отно-
относительно голоморфных функций g(z) и /(z) последняя в
нек-рой области на плоскости z, содержащей точку а,
может быть представлена в виде:
где
_ 1 Гг С Ге(г)-ь"
2яг )а iylgW-b J
Г-1 f(t)g'(z)dtriz
Y — контур на плоскости t, содержащий внутри точки
а и z и такой, что если ? — какая-либо точка внутри у,
то уравнение g(t) = g(t,) не имеет ни на у, ни внутри у
иных корней, кроме простого корня <=?•
Разложение (*) для случая Ь=0 было получено
Ж. Лагранжем [2].
В случае, когда производная g' (t) имеет в точке z=a
нуль порядка г— 1, Б. —Л. р. для многозначной
обратной функции допускает следующее обобщение
(см.[3]):
F(w)=f(a) +
Другое обобщение (см., напр., [4]) относится к функци-
функциям g(z), регулярным в кольце; оно приводит вместо ря-
ряда (*) к ряду по положительным и отрицательным сте-
степеням разности w—b.
Лит.: [1] BurmannH., «Mem. de l'lnst. national des sci.
et arts. Sci. Math, et Phys.», P., 1799, t. 2, p. 13—17; [21 Lag-
range J. L., «Mem. de l'Academie royale des sci, et belles-
lettres de Berlin», 1770, t. 24; ffiuvres, t. 2, P., 1868, p. 581 —
652; [3] Г у р в и ц А., К у р а и т Р., Теория функций, пер. с
нем., М., 1968, ч. 1, гл. 8; [4] Уиттекер Э. Т., В а т с о н
Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., т. 1,
М., 1962; [5] Маркушевич А. И., Теория аналитических
функций, 2 изд., т. 1, М., 1967. Е. Д. Соломенцев.
БЮФФОНА ЗАДАЧА об игле — классическая
задача теории геометрических вероятностей, по праву
считающаяся исходным пунктом развития этой теории.
Впервые была отмечена Ж. Бюффоном в 1733 и воспро-
воспроизведена вместе с решением в [1]. Ж. Бюффон рассма-
рассматривал следующую ситуацию: на плоскость, разграф-
разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от
друга на расстоянии а, наудачу бросается игла длиною
2гBг<а). Какова вероятность того, что игла пересечет
одну из проведенных параллелей? Очевидно, что поло-
положение иглы определяется расстоянием х от ее центра
до ближайшей прямой линии и острым углом 9, состав-
составленным иглой с перпендикуляром к этой линии. Ве-
Величина х лежит между нулем и а/2, а 9 — между ну-
нулем и я/2. Предполагается, что точка (х, 9 ) распределе-
распределена равномерно в соответствующем прямоугольнике
(это равносильно тому, что случайные величины х и
в независимы и равномерно распределены на @, а/2)
и @, я/2)). Тогда искомая вероятность определяет-
определяется как отношение площадей, соответствующих благо-
приятствующим и всем возможным исходам, и равна
1
' а я
тт
В свое время Б. з. послужила основой для экспе-
экспериментальной проверки Бернулли теоремы. Действи-
Действительно, если игла бросается п раз и в т случаях игла
пересекает одну из линий, то частота т/п при больших
п по теореме Бернулли должна быть близка к вероят-
вероятности (*). Это соображение было использовано многи-
многими исследователями для определения числа я методом
случайных испытаний (см. [1], [2]). Ж. Бюффон рассма-
рассматривал и другие сходные задачи, в частности задачу о
вероятности пересечения иглой линий, принадлежащих
двум взаимно перпендикулярным системам, к-рые раз-
разбивают плоскость на прямоугольники со сторонами а и
Ь, соответственно. Ответ Ж. Бюффона к этой задаче не-
неверен. Правильный ответ:
4г(а + Ь) — 4г2
lement u«l'HistoireNature]le», v. 4, 1777; [2]U s p e n s k у J. V.,
Introduction to mathematical Probability, N. Y.— L., 1937;
[3] К е и д a л л М., М о р a н П., Геометрические вероят-
вероятности, пер. с англ., М., 1972. А. В. Прохоров.
БАЛЛЕ ПУССЕНА МЕТОД СУММИРОВАНИЯ —
один из методов суммирования числовых рядов; обо-
обозначается символом (VP). Числовой ряд
2
суммируется методом Балле Пус-
Пуссена к числу S, если выполняется соотношение
atl\=S.
Метод предложен Ш. Балле Пуссеном [1]. Для ряда
Фурье функции f(x)?L[Q, 2 л] средние Балле Пуссена
(см. также Балле Пуссена сингулярный интеграл)
имеют вид
где
— так наз. ядро Балле Пуссена. В. П. м. с.
является регулярным методом суммирования. Этот ме-
метод сильнее всей совокупности Чезаро методов суммиро-
суммирования (см. Включение методов суммирования). Ввиду
слабых аппроксимативных свойств В. П. м. с. практиче-
практически не имеет применения в теории приближения функ-
функций.
Лит.: [1] La ValleePoussin С h. J., «Bull. Acad.
de Belgique», 1908, t. 3; [2] X a p д и Г., Расходящиеся ряды,
пер. с англ., М., 1951:[3]Gronwall T.,«J. reine und angew.
Math.», 1917, Bd 147, S. 16—35. А.А.Захаров.
БАЛЛЕ ПУССЕНА МНОГОТОЧЕЧНАЯ ЗАДАЧА —
задача отыскания решения обыкновенного нелинейного
дифференциального уравнения и-го порядка
y<»>=f(x, у, у', ..., y^-V) A)
или линейного уравнения
у^> + Рг(х) у"-»+ ... +рп (х) у = 0, B)
где х?[а, b], \yis4<.-{-°°, s=0, I, . . ., re—1, при усло-
условиях
у(х{) = с{, i = l,2, ..., п; Xi?[a, Ь]. C)
Ш. Балле Пуссен [1] доказал, что если pk (х) ? C[abl,
fc=l, 2, . . ., п, и выполняется неравенство
где lk^\Pk(x)\i k—1, 2, . . ., п, х? [a, b], h=b— а, то су-
существует единственное решение задачи B), C). Им же
было доказано, что если f(x, щ, . . ., ип) непрерывна
по всем своим аргументам и удовлетворяет условиям
Липшица с константами 1^ по переменным ип + 1_/г,
&=1, 2, . . ., /г, то при выполнении неравенства D)
может существовать лишь одно решение задачи A), C).
Исследования по В. 1Г. м. з. проводятся в следующих
направлениях: улучшение оценки числа h с помощью из-
изменения коэффициентов в D); расширение класса
функций pk(x), k=l, 2, . . ., п, или }{х, их, . . ., ип)\
обобщение условий C). Основная проблема A977) —
доказательство существования и единственности реше-
решения. Для задачи B), C) это свойство равносильно сле-
следующему: любое нетривиальное решение уравнения
B) имеет не более п— 1 нулей на [а, Ь] [н е о с ц и л-
л я ц и я (или неколеблемость) решений,
или разъединенность нулей].
Лит.: [l]La V а 1 1 ё е Poussin Ch. J., «J. math, pures
et appl.», 1929, сер. 9, t. 8, № 1, p. 125—44; [2] С а н с о н е
Д т., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с итал.,
т. 1, М., 1953. Л. Н. Ешуков.
БАЛЛЕ ПУССЕНА ПРИЗНАК точечной схо-
сходимости ряда Фурье: если 2п-периодическая
интегрируемая на отрезке [0, 2л] функция f(x) такова,
что функция
F@)=0, имеет ограниченную вариацию на нек-ром от-
отрезке [0, б], то ряд Фурье функции f(x) сходится в точ-
точке х0 к числу
F(+0) lim F(x).
0
ж+0
В. П. п. сильнее Дини признака, Дирихле признака,
Жордана признака. В. П. п. доказан Ш. Балле Пуссеном
Лит.: [l] La V а 1 1 ё е Poussin Ch. J., «Rend, cir-
colo mat. Palermo», 1911, t. 31, p. 296—99; [2] Бар и Н. К.,
Тригонометрические ряды, М., 1961, с. 247—48. Б. И. Голубое.
БАЛЛЕ ПУССЕНА ПРОИЗВОДНАЯ, обобщен-
обобщенная симметрическая производная;
определена Ш. Балле Пуссеном [1]. Пусть г — четное
и пусть существует 6>0 такое, что для всех t с |?|<6
Po + y++7r + Y(O. ()
где р0, . . ., Рг— постоянные, y(t)-+O при Z—>-0 и y@)=0.
Тогда число Pr = fir){x0) наз. производной
Балле Пуссена порядка г, иначе — симметри-
симметрической производной порядка г функции / в точке х0.
Аналогично определяется В. П. п. нечетного порядка
г с заменой равенства (*) на
В. П. п. /B) (х0) совпадает со второй производной Рима-
на, к-рую часто наз. производной Шварца. Если су-
существует f{r)(x0), то существует и /<г_2) (т0), г>2; при
этом /(г_1)(а-0) может не существовать. Если существу-
существует конечная обычная двусторонняя производная jir)(x0),
то /(г1B-о)=/('')B-о)- Для функции f(x) = sgn х, напр.,
/Bft)@)=0, fe=l, 2, ..., и не существуют конечные
/<2ft + i)@), /t=0,l, ... Если существует В. П. п. /,г)(а;о),
то ряд S(r>(f), полученный из ряда Фурье функции /
почленным дифференцированием 7- раз, суммируем в
точке ха к f(r)(x0) методом (С, а) при а>г [2] (см. Че-
заро методы суммирования).
Лит.: [llLa V a 1 1 ё е Poussin Ch. J., «Bull. Acad.
de Belgique», 1908, t. 3, p. 193—254; [2] Зигмунд А.,
Тригонометрические ряды, пер. с англ., М., 1965, гл. 11.
А. А. Конюшков.
БАЛЛЕ ПУССЕНА СИНГУЛЯРНЫЙ ИНТЕГРАЛ—
интеграл вида
{см. также Балле Пуссена метод суммирования). После-
Последовательность Vn{f\ х) равномерно сходится к f(x) для
функций j(x), непрерывных и 2л-периодических на
{—оо; оо) (см. [1]). Если
„f(t)dt)x=m
в точке х, то Vn(f; x)-*-f(x) при п-*-оо. Справедливо ра-
равенство [2]:
Лит.: [1] Хард и Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ.,
М., 1951; [2] Натансон И. П., Конструктивная теория
функций, М.— Л., 1949, с. 263. П. П. Норовкин.
БАЛЛЕ ПУССЕНА СУММА — выражение
р = 0, 1, ..., п; п = 0, 1, ...,
где Sk(f,x), k=0, I, ... — частные суммы Фурье ряда
функции f(x) периода 2п.Прир = 0 В. П. с. Vn<a(f, x)
совпадают с частными суммами Фурье, а при р = п —
с Фейера суммами. Метод приближения периодич.
функций полиномами вида (*) впервые рассмотрел
Ш. Балле Пуссен (см. [1], [2]); он же установил нера-
неравенство
Р=0, 1, ..., п,
где Ет (/) — наилучшее равномерное приближение
функции {{х)?С2л при помощи тригонометрич. поли-
полиномов порядка не выше т. Если р = [сп], 0<с<1,
[а] — целая часть числа а, то полиномы Vnjcn](f, x)
осуществляют приближение, имеющее порядок
О (-?¦[(!_?.)„](/)). К непрерывным функциям периода 2я,
для к-рых при некоторых 6, 0<:6<1, имеет место оценка
Et&ni(f) = O(En(f)), полиномы Vnjcn](f, x) дают наилуч-
наилучшее по порядку приближение. В. П. с. обладают рядом
свойств, представляющих интерес для теории сумми-
суммирования рядов Фурье. Напр., если p = [c?i], 0<с<1, то
\Vn,p(f, т)|<А'(с) max \f(x)\, а если f(x) — тригоно-
тригонометрич. полином порядка не выше п — р, то Vn^p(f, x) =
=f(x). В. П. с. можно записать в виде
где выражения
. 2п+1, . р+1,
Sin ( Sin 5-7— t
кп, р @ = 1— »
2 (р+1) sin2 —
р = 0, 1, ..., п; п = 0, 1, ...
наз. ядрами Балле Пуссена.
Лит.: [1] La Vallee Poussin С h. J., «С. г. Acad.
sci.», 1918, t. 166, p. 799—802; [2] e г о же, Lecons sur
1'approximation des fonctions d'une variable reele, P., 1919;
[3] Натансон И. П. Конструктив[1ая теория функций,
М.— Л., 1949, с. 211 — 13; [4] К о р о в к и н П. П., Линейные
операторы и теория приближений, М., 1959, с. 150—59; [5]
Никольский С. М., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1940,
т. 4, № 6, с. 509—20; [6] С т е ч к и н С. Б., «Докл. АН СССР»,
1951, т. 80, № 4, с. 545—48; [7] Щ,е р б и н а А. Д., «Матем.
сб.», 1950 т. 27, в. 2, с. 157—70; [8] Т и м а н А. Ф., «Изв.
АН СССР. Сер. матем.», 1953, 17, Ki 1, с. 99—134; [9] его же,
Теория приближения функций действительного переменного,
М., 1960; [10] Ефимов А. В., «Изв. АН СССР. Сер. матем.,»
1959, 23, №5, с. 737—70; [И] его ж е, там же, 1960,24,
ЛГ» 3, с. 431—68; [12] Теляковский С. А., «Докл. АН
СССР», 1958, т. 121, К» 3, с. 426—29; [13] его же, там же,
1960, т. 131, № 2, с. 259—62. А. В. Ефимов
БАЛЛЕ ПУССЕНА ТЕОРЕМА — 1) В. П. т. о р а с-
пределении простых чисел: пусть л (х) ~
число простых чисел, меньших х; тогда при х^1 выпол-
выполняется равенство
n(x) = \ix + 0{xe-cY^),
где С — нек-рая положительная постоянная, а П х —
интегральный логарифм х. Из В. П. т. следует справед-
справедливость гипотезы Гаусса о распределении простых чи-
чисел, т. е. при х—>--|-оо
~ In х '
Установлена Ш. Балле Пуссеном [1]. См. Распределе-
Распределение простых чисел.
Лит.: [llLa V а 1 1 ё е Poussin С h. J., «Ann. Soc. sci.
Bruxelles», 1899, t. 20, p. 183—256; [2] e г о же, «Mem. couron-
nes Acad. sci. de Belgique», 1899—1900, t. 59, N° 1; [3] П р a-
x a p К., Распределение простых чисел, пер. с англ., М., 1967.
С. М. Воронин.
2) В. П. т. об альтернансе: если последова-
последовательность точек {х;}, г = 0, 1, . . ., л-f-l из замкнутого
множества Q?[a, Ь] образует альтернанс, то для наи-
наилучшего приближения функции f(x) полиномами вида
п \х) 2jk = o CftS* ^X''
гДе {sk(x)}o — система Чебышева, верна оценка:
?n(/)=infsup | / (х)—2ft = 0 C*Sfc (Ж)
5а min | / (х[) — Рп (х,-) |.
0 < i < п + 1
Установлена Ш. Балле Пуссеном [1].
По Чебышева теореме равенство достигается тогда и
только тогда, когда Р„(х) — полином наилучшего при-
приближения. Имеются аналоги этой теоремы для произ-
произвольных банаховых пространств [2]. Применяется в
численных методах построения полиномов наилучшего
приближения.
Лит.: [1] L а V а 1 1 6 е Poussin С h. J., Sur les polyno-
mes d'approximation et la representation approchee d'un angle,
«Bull. Acad. de Belgique», 1910, t. 12, p. 808—45; [2] Гарна-
в и А. Л., в сб.: Итоги науки. Математический анализ. 1967,
М. 1969, с. 75 — 132. Ю. Н. Субботин.
ВАЛЛИСА ФОРМУЛА — формула, выражающая чис-
число я/2 в виде бесконечного произведения:
il— -L A A A 2ft 2ft , .
2 ~ 1 ' 3 ' 3 ' 5 '¦¦ 2fc-l'2fc + l ¦"¦ ' (*'
Существуют другие варианты этой формулы, напр.
У л= lim
m_>oo Bm)I I'm
Формула (*) вперзые встречается, у Дж. Валлиса [1]
в его вычислениях площади круга; В. ф.— один из
первых примеров бесконечного произведения.
Лит.: [1] W а 1 1 i s J., ... Arithmetica infinitorum, [Oxf.],
1655. Т. Ю. Попова.
ВАЛЬДА ТОЖДЕСТВО — тождество в последова-
последовательном анализе, утверждающее, что математич. ожида-
ожидание суммы 5Т=Х1+- . . -\-Х^ случайного числа т неза-
независимых одинаково распределенных случайных вели-
величин Хг, Х2, . . . равно произведению математич. ожи-
ожиданий ЕХХ и Ет:
Для справедливости В. т. достаточно, чтобы существо-
существовали математич. ожидания Е|Ха| и Е т и чтобы случай-
случайная величина т была марковским моментом (т. е. чтобы
при каждом п=1, 2, ... событие {т=ге} определялось
по значениям случайных величин Хх, . . ., Х„или, что
то же, событие {т=п} принадлежало сг-алгебре,
порожденной случайными величинами Хг, . . ., Хп).
В. т. является частным случаем основной теоремы по-
последовательного анализа, утверждающей, что
для всех комплексных X, для к-рых ц>(Х)~?е^х* сущест-
существует и |<р(Х)|з»1. Установлено А. Вальдом (A. Wald,
см. [1]).
Лит.: [1] Вальд А., Последовательный анализ, пер. с
англ., М., 1960; [2] Ф е л л е р В., Введение в теорию вероят-
вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., М., т. 1, 1967,
гл. 14. А. Н. Ширяев.
ВАН ДЕР ВАРДЕНА КРИТЕРИЯ - непараметри-
непараметрический критерий однородности двух выборок Y1, . . .,
Yn и Zj, . . ., Zm, основанный на ранговой статистике
X =
У ^
л—11=1
С1,-)
где г,— ранги (порядковые номера) случайных величин
Z,- в общем вариационном ряду из Yj и Z/, функция
s(r) определяется заранее выбранной подстановкой
1 ... (т-\-п)
,s A) ... s{m-\-n)
Y(p) — обратная функция нормального распределения
с параметрами @, 1). Выбор подстановки определяется
тем, что для заданной альтернативной гипотезы мощ-
мощность критерия должна быть наибольшей. При т-\-п—+-
->-оо, независимо от поведения т и п по отдельности,
величина У распределена асимптотически нормально.
В предположении, что У и Z независимы и распределе-
распределены нормально с одинаковыми дисперсиями, В. д. В. к.
для альтернативы Р(У<T)<?(Z< T) или Р(У<Г)>
>P(Z< T) (в этом случае s(r)^r) имеет асимптотически
ту же мощность, что и Стьюдента критерий. Введен
Б. Л. Ван дер Варденом [1].
Лит.: [1] Van der Waerden В. L., «Proc. Kon. Ned.
Akad. Wetensch.», A., 1955, v. 55, p. 453; [2] В а н д е р В a p-
ден Б. Л., Математическая статистика, пер. с нем., М., 1960;
[3J Б о л ь ш е в Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы мате-
математической статистики, 2 изд., М., 19С8. А. В. Прохоров.
ВАН ДЕР ПОЛЯ УРАВНЕНИЕ — нелинейное обык-
обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка
X—[X A—х")х-{-Х = 0, Jl = COnst>0, X (t)= -jj . A)
Является важным частным случаем Лъенара уравнения.
В. д. П. у. описывает свободные автоколебания одной
из простейших нелинейных колебательных систем
(осциллятора Ван дер Поля). В частно-
частности, уравнение A) служит математич. моделью (при ряде
упрощающих предположений) лампового генератора на
триоде в случае кубич. характеристики лампы. Харак-
Характер решений уравнения A) был впервые подробно изу-
изучен Б. Ван дер Полем (см. [1]).
Уравнение A) эквивалентно системе двух уравнений
относительно фазовых переменных х, v:
x=v, v = —х + [хA—х2) v. B)
Иногда вместо х удобнее ввести переменную z (<) =
= f' х (х) dx; тогда уравнение A) приведется к урав-
нению
являющемуся частным случаем Рэлея уравнения. Ес-
Если вместе с переменной х рассмотреть переменную
у= — х-{-— -f- — , ввести новое время т=*/[х и положить
s=[x~2, то вместо уравнения A) получим систему
f I х3 Г I & /О\
е.х =у —x-f—, у =—х, =й7- C)
При любом ц>0 в фазовой плоскости системы B) су-
существует единственный устойчивый предельный цикл,
к к-рому при i->oo приближаются все остальные тра-
траектории (кроме положения равновесия в начале коор-
координат); этот предельный цикл адекватен автоколеба-
автоколебаниям осциллятора Ван дер Поля (см. [2] — [4]).
При малых ji автоколебания осциллятора A) близ-
близки к простым гармоническим колебаниям (см. Нелиней-
Нелинейные колебания) с периодом 2я и с определенной ампли-
амплитудой. Для вычисления колебательного процесса с
большей точностью применяются асимптотич. методы.
При возрастании ц автоколебания осциллятора A) все
более отклоняются от гармонич. колебаний. При боль-
больших (L*. уравнение A) описывает релаксационные колеба-
колебания с периодом (в первом приближении) 1,614 ц. Из-
Известны более точные асимптотич. разложения величин,
характеризующих релаксационные колебания (см. [5]);
изучение этих колебаний равносильно исследованию ре-
решений системы C) с малым параметром е при производ-
производной (см. [6]).
Уравнение
х— ji A—х") х + х = Ео -f- E sin со*
описывает поведение осциллятора Ван дер Поля под
воздействием внешнего периодич. возмущения. Здесь
наиболее важны изучение явления захватыва-
захватывания частоты (существования периодич. колеба-
колебаний) и исследование биений (возможности почти
периодич. колебаний; см. [2], [4]).
Лит.: [1] Van dor Р о 1 В., «Phil. Mag.», 1922, ser. 6,
v. 4a, p. 700 —19; 1926, ser. 7, v. 2, p. 978—92; [2] Андро-
Андронов А. А., В и т т A. A., X а й к и н С. Э., Теория коле-
колебаний, 2 изд., М., 1959; [3] Л е ф ш е ц С, Геометрическая
теория дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1961;
[41 Стокер Д ж., Нелинейные колебания в механических
и электрических системах, пер. с англ., 2 изд., М., 1953; [5]
Дородницын А. А., «Прикл. матем. и механика», 1947,
т. 11, с. 313—28; [6] Мищенко Е. Ф., Розов Н. X.,
Дифференциальные уравнения с малым параметром и релак-
релаксационные колебания, М., 1975. Н. X. Розов.
ВАНДЕРМОНДА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ — определитель
порядка п вида:
1 1 ... 1
В (аи . .., ап)
ах а3 ... а„
а\ at ... а\
л-1
ах
где аг, . . ., ап — элементы нек-рого коммутативного
кольца. При любом
Для колец без делителей нуля имеет место основ-
основное свойство В. о.: В(аь . . ., я„) = 0 тогда и
только тогда, когда среди элементов аи . . ., ап не все
элементы различны. В. о. был рассмотрен впервые
А. Т. Вандермондом для случая и=3 (см. [1]), затем
О. Коши A815, см. [2]).
Лит.: [1] Vandermondt А. Т., в кн.: Histoire de
1'Academie royale des sciences, annee 1771, P., 1774, p. 365—416;
anneel772,pt 2, P., 1776, p. 516—32; [2]C a u с h у A.,Oeuvrcs,
ser. 2 t. 1 P. 1905, p. 91 —169. В. H. Ремесленников.
ВАРДА ТЕОРЕМА о дифференцирова-
дифференцировании аддитивной функции сегмента:
пусть F — аддитивная функция сегмента, а
F(x)(F~(x)) — нижняя (верхняя) грань пределов отно-
отношений F(Gn) к мере Лебега Gn, где {Gn} — регулярная
последовательность сегментов, стягивающихся к точке х.
Тогда равенство F(x) = F(x) выполняется почти везде
(в смысле меры Лебега) на множестве {х : ?(х)>— оо
или F~{x)<.oo}. Регулярность последовательности сег-
сегментов Gn означает, что существует число а>0 и после-
последовательность шаров S'n, S'n таких, что для всех п
diam S'n > a diam S'n
s'nczGncz s;.
Если в приведенной выше формулировке отбросить
условие регулярности, то получится вторая В. т. Эти
теоремы обобщают Данжуа теорему о производных чис-
числах функции одной переменной. В. т. установлены
А. Вардом [1].
Лит.: [1] W a r d A. J., «Fundam. math.», 1936, t. 28, p.
167—182: 1937, t. 28, p. 265—79. Л.Д.Иванов.
ВАРИАЦИИ КОЭФФИЦИЕНТ — безразмерная мера
рассеяния распределения случайной величины. Суще-
Существует несколько способов определения В. к. Наиболее
часто в практике В. к. определяется по формуле
где а2— дисперсия, и. — математич. ожидание (при
этом ц, должно быть положительным). Иногда это вы-
выражение приводится к процентам, т. е. F=100 o7u.%.
Такое определение В. к. было предложено К. Пирсоном
(К. Pearson, 1895). т. с. Лелъчуп.
ВАРИАЦИИ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ ТЕОРЕМА
в статистической механике— утверждение
об изменении (вариации) среднего значения динамич.
величины по Гиббса статистическому ансамблю вследст-
вследствие бесконечно малого изменения гамильтониана. Из-
Изменение среднего зависит, вообще говоря, от способа
«включения» изменения гамильтониана и от начальных
условий. Пусть в начальный момент времени t—>-— oo
система многих взаимодействующих частиц (квантовая
или классическая), описываемая не зависящим от вре-
времени явно гамильтонианом Н, находилась в состоянии
термодинамич. равновесия. При адиабатич. включении
бесконечно малого зависящего от времени возмущения
гамильтониана
H-+H+6V(t),
где
6F@ ='SiiE)eei-iEi6VE, е>0, е—> + 0,
равновесное гиббсовское среднее {А ) не зависящей от
времени явно динамич. величины А изменяется на ве-
величину (в линейном приближении по возмущению)
где <^A\dVс^>?в1) — фурье-образ запаздывающей ком-
коммутаторной функции Грина.
Основное применение теорема находит в теории не-
неравновесных и необратимых процессов (где одна из
формулировок этой теоремы известна также под
назв. флюктуационно-диссипационной
теоремы), а также при выводе цепочек и систем
уравнений для функций Грина из цепочек и систем
уравнений для корреляционных функций.
Лит.: [1] К u b О R., «J. Phys. Soc. Japan», 1957, t. 12,
p. 570; [2] Боголюбов Н. Н. [мл.], Садовников
Б. И., «Ж. экспер. и теор. физики», 1962, № 43, с. 677; [3] и х
ж е. Некоторые вопросы статистической механики, М., 1975;
[4]Тябликов С. В., Методы квантовой теории магнетизма,
2 изд., М., 1975. В. Н. Плечко.
ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА — 1) В. з. с закреп-
закрепленными концами— задача вариационного
исчисления, в к-рой концы кривой, доставляющей эк-
экстремум, зафиксированы. Напр., в простейшей задаче
вариационного исчисления inf \ " ' F (t, x, x) dt
с закрепленными концами заданы начальная и конечная
точки x(to) = x6, x(t1) = x1, через к-рые должна прохо-
проходить искомая кривая x(t). Учитывая, что общее реше-
решение Эйлера уравнения простейшей задачи зависит от
двух произвольных постоянных x=x(t, cj, c2), кривая,
доставляющая экстремум, ищется среди решений соот-
соответствующей краевой задачи. При этом может оказать-
оказаться, что краевая задача имеет единственное решение,
неединственное или не имеет решения.
2) В. з. со свободными (подвижны-
(подвижными) концами — задача вариационного исчисле-
исчисления, в к-рой концы кривой, доставляющей экстремум,
могут перемещаться вдоль заданных многообразий.
Напр., если в Болъца задаче число граничных условий,
к-рым должна удовлетворять искомая кривая х=
= (xx(t), . . ., xn(t)) строго меньше 2п+2:
¦фц (*1, *(*!), t2, x(t2))=0, ц=1, ..., р< 2п-^2, (*)
то концы кривой могут смещаться вдоль Bя + 2 — р)-
мерного многообразия (*). В случае, когда граничные
условия (*) заданы в виде
р = 1, .. .,г, а = 1,. ..,<?,
и п+1 — г>0 или п+1 — 7>0, концы кривой x(t)
могут смещаться по соответствующим многообразиям
размерностей п+1 — г и п+1 —д. На концах кривой, до-
доставляющей экстремум, должны выполняться транс-
трансверсальности условия, к-рые в совокупности с условия-
условиями (*) позволяют получить замкнутую систему соот-
соотношения, приводящую к нек-рой краевой задаче. Из ре-
решения этой краевой задачи определяются произвольные
постоянные, входящие в общий интеграл уравнения
Эйлера.
Качественным отличием В. з. от задачи на экстре-
экстремум функции многих переменных является то, что
объектом поиска в В. з. является не точка в конеч-
конечномерном пространстве, а функция (или точка в беско-
бесконечномерном пространстве). И. Б. Вапнярскип.
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел мате-
математики, посвященный исследованию методов отыска-
отыскания экстремумов функционалов, зависящих от выбора
одной или нескольких функций при разного рода огра-
ограничениях (фазовых, дифференциальных, интегральных
и т. п.), накладываемых на эти функции. Этими рамка-
рамками обозначен класс задач, наз. еще задачами клас-
классического В. и. Иногда в термин «В. и.» вклады-
вкладывают более широкий смысл, понимая под ним тот раз-
раздел теории экстремальных задач, где исследование эк-
экстремумов проводят «методом вариаций» (см. Вариа-
Вариация), т. е. методом малого возмущения аргументов и
функционалов; задачи, относящиеся к В. и. в этом ши-
широком смысле, противопоставляются дискретным
задачам оптимизации.
Весьма широкий круг задач классич. В. и. описывает
следующая схема. Требуется минимизировать
функционал
\(t, x(t), x(t))dt, A)
где TdRm, *=(*!, . . ., tm), x={x', . . ., x»),
при ограничениях типа равенств:
<p(t,x(t), i(t)) = 0, ) -2
ф :RmxR"xRm" —> Rs )
и некоторых краевых условиях: х|йг^Г. Задачи тако-
такого типа наз. Лагранжа задачами. Кроме задач Лагран-
жа, рассматривают еще Майера задачи, Болъца задачи
и ряд других.
Наиболее элементарной среди задач классич. В. и.
является простейшая задача В. и., когда в
A) t и х одномерны, ограничения B) отсутствуют,
а граничные условия закрепленные:
J (х)= С ' L (t, х, x)dt —Hnf; x (to)=xo, x(tl)=x1. C)
К этому типу относится задача о брахистохроне ила
о кривой наикратчайшего спуска. С задачей о брахи-
стохроне обычно связывают начало истории классич.
В. и.
Теоретич. основы классич. В. и. были заложены
Л. Эйлером (L. Euler) и Ж. Лагранжем (J. Lagrange)
в 18 в. Ими же были вскрыты важнейшие связи этой
дисциплины с механикой и физикой. На первом же эта-
этапе развития В. и. усилиями в основном Г. Лейбница
(G. Leibniz), Я. и И. Бернулли (Jacob et Johann Ber-
Bernoulli), Л. Эйлера и Ж. Лагранжа получили решение
многие конкретные задачи (о геодезических, о поверх-
поверхности вращения, ряд изопериметрич. задач и т. п.).
В В. и. изучаются алгоритмич. методы отыскания
экстремумов, методы получения необходимых и доста-
достаточных условий, условия, гарантирующие существо-
существование экстремума, качественные вопросы и т. и. Среди
алгоритмич. методов нахождения экстремумов важней-
важнейшее место занимают прямые методы.
Прямые методы. Л. Эйлер A768) создал метод при-
приближенного (численного) решения задач В. и., к-рый
получил назв. метода ломаных Эйлера. С этого момента
начались исследовании путей численного решения эк-
экстремальных задач. Метод Эйлера был первым пред-
представителем большого класса методов, наз. прямыми
методами В. и. Эти методы основаны на редукции за-
задачи отыскания экстремума функционала к задаче ма-
тематич. анализа об отыскании экстремума функции
многих переменных.
Метод ломаных Эйлера в применении к задаче C)
состоит в следующем. Интервал [?0, (J разбивается на
N равных частей точками то=?о, т1=*0+т, . . ., tjv-=
= to-\-NT~t1. Значения функции в этих точках обозна-
обозначены х0, x-i, . . ., хм соответственно. Каждая совокуп-
совокупность точек (т0, х0), (tj, xj), . . ., (TjV, xn) определяет
нек-рую ломаную. Ставится задача: среди всех возмож-
возможных ломаных, соединяющих точки (т0, х0) и (x.v, xp/),
найти ту, к-рая доставляет функционалу A) экстре-
экстремальное значение. Значение производной х на отрезке
Ь/, т,- + 1] будет: х, = (х,- + 1-а-,)/т. Функционал J (х) пре-
превращается в функцию конечного числа переменных ц:
J (х) ~ / (х0, х1, . . ., х„),
и задача C) сводится к задаче отыскания экстремума
функции J(ха, хх, . . ., хп). Для того чтобы ломаная
Эйлера, реализующая экстремум этой функции, аппро-
аппроксимировала решение задачи C) с высокой точностью,
число N должно быть, вообще говоря, достаточно ве-
велико. При этом объем вычислений для отыскания экс-
экстремума функции C) столь велик, что проведение вы-
вычислений «вручную» весьма сложно. Поэтому долгое
время прямые методы были в стороне от основных
исследований по В. и.
В 20 в. интерес к прямым методам значительно возрос.
Прежде всего были предложены новые способы редук-
редукции к задаче об экстремуме функции конечного числа
переменных. Эти идеи могут быть пояснены на примере
минимизации функционала C) при условии
x(to) = x(t1) = O.
Пусть разыскивается решение задачи в форме
где ф„@ — некоторая система функций, удовлетворя-
удовлетворяющих условиям ф((<о)—ф/ (*i) = 0, i=l, ¦ • •, N. Тогда
функционал J (х) становится функцией коэффициентов
/ (х) ~ / («!, .. ., ап), и задача сводится к отысканию
экстремума этой функции N переменных. При нек-рых
условиях, наложенных на систему функций {ф„}, ре-
решение задачи стремится при jV->oo к решению задачи
C) (см. Галеркина метод).
Метод вариаций. Второе направление исследований—
зучение необходимых и достаточных условий, к-рым
должна удовлетворять функция x(t), реализующая
экстремум функционала J(x). Основным методом полу-
получения необходимых условий является метод вариа-
вариаций. Пусть тем или иным способом построена нек-рая
функция х (t). Как проверить, является ли эта функ-
функция решением вариационной задачи C)? Первый ва-
вариант ответа на этот вопрос был дан Л. Эйлером
A744). В приведенной ниже формулировке ответа упо-
употребляется введенное Ж. Лагранжем A762) понятие
вариации (отсюда назв. «В. и.») 8J функционала /
(см. Вариация, Вариация функционала).
Для простейшей задачи В. и.:
о/ (х, h)=\ г- hit) dt,
V ' )to\Ox dt Ox ) \x(V) V ' '
где h(t) — произвольная гладкая функция, удовлетво-
удовлетворяющая условиям h(to) = h(t1) = O. Условие б/=0 яв-
является необходимым, для того чтобы функция x(t) ре-
реализовала экстремум функционала C). Отсюда и из
выражения для вариации б/ следует: для того чтобы
функция x(t) доставляла экстремум функционалу C),
необходимо, чтобы она удовлетворяла следующему
дифференциальному уравнению 2-го порядка относи-
относительно функции x(t):
^_Л^_ = 0. D)
дх dt дх
Это уравнение наз. Эйлера уравнением, а интеграль-
интегральные кривые этого семейства — экстремалями
рассматриваемой вариационной задачи. Функция x(t),
на к-рой J (х) достигает экстремума, необходимо долж-
должна быть решением краевой задачи x(to)=xo, x(t1)=xi
для уравнения D). Таким образом, возникает второй
путь решения экстремальной задачи: надо решить кра-
краевую задачу для уравнения Эйлера (в регулярных слу-
случаях при этом получится лишь конечное число реше-
решений), и далее надо каждую из полученных экстремалей
подвергнуть дополнительному исследованию, чтобы
определить, имеется ли среди них кривая, дающая реше-
решения задачи. Однако указанный метод обладает тем суще-
существенным недостатком, что не имеется универсальных
способов решения краевых задач для обыкновенных
(нелинейных) дифференциальных уравнений.
Весьма часто встречаются вариационные задачи с
подвижными концами. Напр., в простейшей
задаче точки x(t0) и x(tj) могут перемещаться вдоль за-
заданных кривых. Для задач с подвижными концами из
условия б/=0 выводятся дополнительные условия,
к-рым должны удовлетворять подвижные концы,—
так наз. трансверсальности условия, к-рые в совокуп-
совокупности с граничными условиями приводят к замкнутой
системе условий для краевой задачи.
Основные результаты, относящиеся к простейшей
задаче В. и., переносятся на общий случай функциона-
функционалов вида
f' / ... dx d2x ds\
(t), -, -, ...,
где x(t) — вектор-функция произвольной размерности
(см. [3]).
Задача Лаграюка. Л. Эйлер и Ж. Лагранж изучали
и задачи на условный экстремум. Простейшим классом
задач подобного рода является класс так наз. изопери-
метрических задач. Ж. Лагранж выделил (в случае,
когда t одномерно) класс задач A), B) и получил для
них аналог уравнения Эйлера с привлечением так наз.
множителей Лагранжа. Такой аналог получается и для
самого общего случая — задачи A), B). Особое значение
задача Лагранжа приобрела в середине 20 в. в связи
с созданием оптимального управления математической
теории. Далее основные результаты, касающиеся зада-
задачи Лагранжа, даются на языке этой теории, возникшем
после работ Л. С. Понтрягина и его учеников.
Рассмотрим тот случай, когда в задаче A), B) t од-
одномерно и система <p(t, х, х) может быть частично разре-
разрешена относительно последних переменных. Тогда полу-
получается задача о минимизации функционала
/ (х, н) = \'lF (t, x, и) dt E)
при дифференциальной связи
.r=/(i, х, и) F)
и граничных условиях:
(х (*0), х («!)) ? E. G)
В E) — G) х=(хх, . . ., х") — вектор-функция, наз.
фазовым вектором, и—(и1, . . ., ит) — вектор-функ-
вектор-функция, наа. управлением, F : RxR"X R ->-/?, f : RxR"X
RIR ER2"
Примером граничных условий типа G) могут служить
закрепленные условия как в задаче C). В задачах оп-
оптимального управления помимо условий F) и G) на-
накладывают еще и «неклассические» условия, напр.
u(t)?UczRm. (8)
Слабый и сильный экстремумы. В В. и. обычно раз-
различают две топологии — сильную и слабую, и в соот-
соответствии с этим оперируют понятиями сильного и сла-
слабого экстремумов. Напр., в применении к задаче C)
говорят, что кривая xo(t) реализует слабый ми-
минимум, если можно указать такое е>0, что J(х)~^
J>/ (x0) для всех непрерывно дифференцируемых функ-
функций x(t), удовлетворяющих условиям: x(to) — xo(to),
(Н() и
x(t) — xo(t)\+ max | x (t)— x0 (t) | < е.
Иными словами, здесь фиксируется близость не только
фазовых переменных, но и скоростей (управлений).
Говорят, что функция доставляет сильный эк-
экстремум, если можно указать такое е>0, что
J{x)^J {x0) для всех допустимых абсолютно непрерыв-
непрерывных функций x{t) (для к-рых J(х) существует), удовлет-
удовлетворяющих условиям x(t0) = x0(t0), x(t1) = x0(t1) и
max \x(t) — жо(г)|<е.
teUo.ii]
Здесь фиксируется лишь близость фазовых переменных.
Если xo(t) реализует сильный экстремум, то эта функ-
функция реализует тем более и слабый экстремум, поэтому
достаточные условия сильного экстремума являются
достаточными условиями и слабого. С другой стороны,
из отсутствия слабого экстремума следует отсутствие
сильного экстремума, т. е. необходимые условия слабого
экстремума являются необходимыми условиями силь-
сильно го экстремума.
Необходимые и достаточные условия экстремума.
Уравнение Эйлера, о к-ром рассказывалось выше,
представляет собой необходимое условие слабого эк-
экстремума. В конце 50-х гг. 20 в. Л. С. Понтрягиным
был выдвинут принцип максимума для задач E) —
(8), являющийся необходимым условием сильного эк-
экстремума. Принцип максимума гласит: если пара
(х, и) доставляет сильный экстремум в задаче E) —
(8), то найдутся вектор-функция^ и число к0 такие, что
для функции Гамильтона H(t, x, ij1, и, Х0) = (г|>, /) — XaF
выполняются следующие соотношения:
он ¦ дн
max Я (i, x(t), i[i (t), мД„)= S (9)
ueU
= H(t, x(t), i|3(t), u{t), Xo). J
Если приложить принцип максимума Понтрягина к
задаче C), то получится, что для того чтобы кривая
x(t) доставляла сильный минимум в задаче C), необ-
необходимо, чтобы она была экстремалью (т. е. удовлетво-
удовлетворяла уравнению Эйлера D)) и, кроме того, чтобы выпол-
выполнялось необходимое условие Вейерштрасса:
S(t, x(t), x(t), iMsO, v*€['o, *i], l?R, A0)
где
(§ (t, x, x, I) =?, (г, х, l) — L (t, x, x) — (% — x)L^ (t, x, i)
— так наз. ^-функция Вейерштрасса.
Помимо условий типа D) и A0), носящих л о к а л ь-
н ы й характер (т. е. проверяемых в каждой точке эк-
экстремали), имеется необходимое условие глобаль-
глобального характера, связанное с поведением множества
экстремалей, близких к заданной экстремали (см.
Якоби условие). Для задачи C) условие Якоби состоит
в следующем. Для того чтобы экстремаль x(t) доставля-
доставляла минимум в задаче C), необходимо, чтобы решение
уравнения {Якоби уравнения)
d f d'L d , ,., \ , / S!L d d2L \ ] , (t)~0
dt V дх* x (О dt w J ' V дх* dt дх дх ) \х (t)
A1)
с краевыми условиями /г(?0) = 0, h A0)ф0 не имело бы
нулей в интервале (t0, tj). Нули решения h{i) уравне-
уравнения (И) наз. точками, сопряженными с
точкой t0. Таким образом, условие Якоби заклю-
заключается в том, что интервал {t0, tt) не должен содержать
точек, сопряженных с t0.
Необходимые условия слабого минимума б/=0,
82/Js0 являются точными аналогами условий миниму-
минимума /' (,г) = 0, /"(.r)JsO для функций одного переменного.
Условие Якоби при выполнении Лежандра условия
(усиленного) является необходимым условием неотри-
неотрицательности второй вариации. Это приводит к следую-
следующему результату: для того чтобы функция x(t) реализо-
вывала слабый минимум функционала C), необходимо,
чтобы: а) функция x{t) удовлетворяла уравнению Эйле-
Эйлера, б) выполнялось условие Лежандра —^- >0,
в) интервал (t0, гх) не содержал точек, сопряженных с
точкой ta (при условии, что выполняется усиленное
условие Лежандра).
Достаточные условия слабого минимума таковы:
функция x(t) должна быть экстремалью, на ней выпол-
выполняется усиленное условие Лежандра и полуинтервал
(t0, tx] не содержит точек, сопряженных с точкой *0.
Для того чтобы кривая x(t) доставляла сильный мини-
минимум, достаточно, чтобы, помимо сформулированных
достаточных условий слабого минимума, выполнялось
Вейерштрасса условие достаточное.
Задачи оптимального управления. Одним из основных
направлений развития В. и. являются неклассич. зада-
задачи В. и., подобные сформулированной выше задаче
E) — (8). Задачи, укладывающиеся в эту схему, имеют
огромное прикладное значение. Пусть, напр., уравне-
уравнение F) описывает движение нек-рого динамич. объек-
объекта, напр. космич. корабля. Управление — вектор и ~
тяга его двигателя. Начальное положение корабля —
это нек-рая орбита, конечное положение — это орбита
другого радиуса. Функционал / описывает расход го-
горючего на выполнение маневра. Тогда задачу E) — G)
можно применительно к данной ситуации сформулиро-
сформулировать следующим образом: определить закон изменения
тяги двигателя космич. аппарата, совершающего пере-
переход с одной орбиты на другую за фиксированное время
так, чтобы расход топлива был минимальным. При
этом необходимо учитывать ограничения на управле-
управления: тяга двигателя не может превосходить нек-рой
величины и угол поворота тяги также ограничен. Та-
Таким образом, в данном примере получается, что компо
ненты и', i=i, 2, 3, вектора тяги подчинены ограни-
ограничениям
af sS ul s? af,
где af и aj — нек-рые заданные числа.
Имеется большое число задач, к-рые сводятся к зада-
задаче Лагранжа, но при дополнительном ограничении
типа (8). Такие задачи получили назв. задач опти-
оптимального управления. Для теории опти-
оптимального управления должен был быть разработан спе-
специальный аппарат. Им и явился принцип максимума
Понтрягина.
Возможен и другой подход к тем же проблемам тео-
теории оптимального управления. Пусть S (t, х) — зна-
значение функционала E) вдоль оптимального решения
от точки (t0, х0) до точки (t, х). Тогда для того чтобы
функция u(t) была оптимальным управлением, необхо-
необходимо (а в нек-рых случаях и достаточно), чтобы удовлет-
удовлетворялось следующее дифференциальное уравнение с
частными производными
(f(t, x(t), и, y(t))-F(t, x(t), и))
1
^т + min (
и ни \
наз. уравнением Беллмана (см. Динами-
Динамическое программирование"). Для задач классич. В. и.
S-функция S (t, x) (или функция действия) должна удо-
удовлетворять уравнению Гамильтон а—Я к о б и:
as
где Н — Гамильтона функция. Для задачи C) функция
есть Лежандра преобразование по х интегранта L(t, x, х).
Теория Гамильтона — Якоби является мощным ин-
инструментом исследования многих важнейших задач
вариационного типа, связанных с классич. механикой.
Связь В. и. с задачами теории уравнений с част-
частными производными была обнаружена уже в 19 в. П. Ди-
Дирихле (P. Dirichlet) показал, что решение краевых за-
задач для уравнения Лапласа эквивалентно решению
нек-рой вариационной задачи. Пусть, напр., имеется
нек-рое линейное операторное уравнение
Ax = U A2)
где х(%, т]) — нек-рая функция двух независимых пе-
переменных, обращающаяся в нуль на замкнутой кривой
Г. В предположениях, естественных для нек-рого клас-
класса задач физики, задача отыскания решения уравнения
(8) эквивалентна отысканию минимума функционала
xdld4, A3)
где Q — область, ограниченная кривой Г. Уравнение
A2) в этом случае является уравнением Эйлера для
функционала A3).
Редукция задачи A2) к A3) возможна, напр., если
А — самосопряженный и положительно определенный
оператор. Связь между проблемами для уравнений с
частными производными и вариационными задачами поз-
позволяет, в частности, устанавливать справедливость
различных теорем существования и единственности; она
сыграла важную роль в кристаллизации понятия обоб-
обобщенного решения. Эта редукция очень важна и для вы-
вычислительной математики, поскольку она позволяет
использовать прямые методы В. и. для решения крае-
краевых задач теории уравнений с частными производными.
Качественные методы исследования задач В. и. дают
возможность ответить на вопросы о существовании ре-
решений, об их числе, о качественных особенностях эк-
экстремалей и их семейств. В 20 в. была установлена за-
зависимость числа решений вариационных задач от
свойств пространства, на к-ром определен функционал.
Так, напр., если функционал / задан на всевозможных
гладких кривых тора (на торе), соединяющих две фик-
фиксированные точки, или если функционал / задан на
всевозможных замкнутых кривых поверхности, топо-
топологически эквивалентной тору, то в обоих случаях
число критич. элементов — линий, на к-рых вариация
б/=0, бесконечно. Л. А. Люстерник и Л. Г. Шнирель-
ман G) доказали, что на каждой поверхности, тополо-
топологически эквивалентной сфере, существует по крайней
мере три самопересекающиеся замкнутые геодезиче-
геодезические различной длины; если же длины хотя бы двух из
этих геодезических совпадают, то существует бесконеч-
бесконечное множество замкнутых геодезических равной длины.
Проблемы подобного рода указывают на тесную связь
В. и. с качественной теорией дифференциальных урав-
уравнений и топологией. При исследовании качественных
методов сыграло большую роль развитие функциональ-
функционального анализа. См. также Вариационное исчисление в
целом.
Связь В. и. с теорией конусов. Круг вопросов, к-рыми
занимается В. и., непрерывно расширяется. В частно-
частности, все большее и большее внимание уделяется изуче-
изучению функционалов J(х) весьма общего вида, задавае-
задаваемых на множествах G^ элементов нормированных про-
пространств. Для задач такого рода уже трудно ввести по-
понятие вариации. Потребовалось привлечение нового
аппарата исследования. Таким аппаратом оказалась
теория конусов в банаховых пространствах. Напр.,
пусть поставлена задача о минимуме f(x), где х — эле-
элемент замкнутого множества G. Конусом Та (х0)
наз. множество ненулевых векторов е, каждому из
к-рых можно поставить в соответствие положительное
число %е таким образом, чтобы вектор x = xQ-^r'ke^G
для любого Я ? @, К*е). Конусом Г f(x0) наз, множество
ненулевых векторов е, каждому из к-рых можно поста-
поставить в соответствие положительное Хе таким образом,
чтобы
>/(*о)
для любого Х? [0, Хе]. Для того чтобы х0 реализовал ми-
минимум функции f(x), необходимо, чтобы пересечение
конусов Го(ж0) и Г^(ж0) было пустым. Это условие
столь же элементарно, как и условие обращения в
нуль вариации, однако из него вытекают не только те
результаты, к-рые можно получить классич. метода-
методами В. п.; оно позволяет подойти к проблемам гораздо
более сложным, напр, к исследованию экстремальных
значений недифференцируемых функционалов (см. [6]).
Лит.: [1] Смирнов В. И., Курс высшей математики,
5 изд., т. 4, М., 1958; [2] Лаврентьев М. А., Л ю с т е р-
л и к Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.— Л.,
1350; [3] Б л и с с Г. А., Лекции по вариационному исчисле-
исчислению, пер. с англ., М., 1950; [4] М и X л и н С. Г., Вариацион-
Вариационные методы в математической физике, М., 1957; [5] П о н т р я-
гин Л. С. (и др.), Математическая теория оптимальных про-
процессов, 2 изд., М., 1969; [6] П ш е и и ч н ы й Б. Н., Необхо-
Необходимые условия экстремума, М., 1969; [7] Л ю с т е р н и к Л. А.,
Шнирельмап Л. Г., Топологические методы в вариа-
вариационных задачах, М., 1930. Н. Н. Моисеев.
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ; численные
методы — раздел вычислительной математики, по-
посвященный методам отыскания экстремальных значе-
значений функционалов.
Численные методы В. и. принято разделять на два
больших класса: непрямые и прямые методы. Непря-
Непрямые методы основаны на использовании необходимых
условий оптимальности (см. Вариационное исчисление,
Эйлера уравнение, Вейерштрасса условия, Трансвер-
Трансверсальности условие, Понтрягина принцип максимума),
с помощью к-рых исходная вариационная задача сво-
сводится к краевой задаче. Поэтому вычислительные до-
достоинства и недостатки непрямых методов полностью
определяются свойствами соответствующей краевой за-
задачи. Прямые методы ориентированы на непосредствен-
непосредственное отыскание экстремума функционала. Используе-
Используемые при этом методы оптимизации являются развитием
идей математич. программирования.
Разделение численных методов В. и. на прямые и
непрямые весьма условно. Пек-рые алгоритмы исполь-
используют элементы обоих подходов. Кроме того, существу-
существуют методы, к-рые непосредственно не относятся к двум
выделенным классам. Например, методы, основанные
на достаточных условиях оптимальности, образуют
самостоятельную группу.
Первые численные методы В. и. появились в работах
Л. Эйлера (L. Euler). Однако наибольшее развитие
они получили с 50-х гг. 20 в. в результате распростра-
распространения вычислительной техники и открывшейся в связи
с этим возможностью решения сложных технич. задач.
При этом разработка численных методов В. и. шла в
основном применительно к задачам теории оптималь-
оптимального управления — наиболее важного для практич.
приложений раздела В. и. (см. Оптимального управ-
управления математическая теория).
Непрямые методы. С появлением принципа максиму-
максимума Понтрягина A956) сведение вариационных задач к
краевым стало особенно популярным.
Пусть в задаче оптимального управления требуется
найти траекторию ,т@ и управление u(t), доставляющие
минимум функционалу
/= [Т f°(t, х, u)dt A)
при дифференциальных связях:
x=/(f, х, и), B)
граничных условиях:
x(to) = xo, C)
х(Т)=хт D)
и ограничениях на управление:
u?U, E)
где х= (х1, . . ., х"), и= (и1, . . ., ит) — векторы фазо-
фазовых координат и управлений, /= (/1, . . ., /"), U —
замкнутое множество m-мерного пространства, t —
независимое переменное (время).
Согласно принципу максимума Понтрягина, опти-
оптимальное управление u(t) должно при каждом t достав-
доставлять абсолютный максимум Гамильтона функции
Н (u)=maxff («) =
uuU
= max Г 2"_ !*/'(*, *- u)-f°(t, x,u)l , F)
где i|3=(i|31, . . ., г|)„) определяется системой уравнений
^Ч = — Ш.' '=1. •••. и. G)
Из условия F) находится управление u(t, x, i[j) и под-
подставляется в B) и G). В результате получается замкну-
замкнутая краевая задача для системы 2п дифференциаль-
дифференциальных уравнений B) и G) с 2и граничными условиями C)
и D).
Наиболее распространенной схемой численного ре-
решения этой краевой задачи является схема, использу-
использующая метод Ньютона с дроблением шага (см. [3]). При
этом вводится вектор невязки
q>i = xi(T) — хСТ , i = l, ..., п, (8)
где значение х' (Т) получается из решения задачи
Коши для системы B), G) с начальными условиями
C) и г[1/-(<'о)=^7о' /=1, • ¦ •, п. Невязки (8) рассматри-
рассматриваются как функции от неизвестных г|)!0, . . ., i[i,i0,
к-рые определяются из системы уравнений
Ф,№о, ••¦, -4'no) = O, г = 1, ..., п. (9)
Решение системы (9) проводится Ньютона методом;
используемые при этом частные производные
определяются численно но формуле
а«г/ _Ф,- (Ч'.о. ¦ ¦ ¦. %-0+ АФ/(|, . . ., Ч'„о)-ф/(Ф,о, ¦ ¦-,%„)
эч>у.о" дчг; '
где значения <р,(г|110, . . ., \p/n+A\pJ(l, . . ., i|in0) получа-
получаются путем решения задачи Коши для системы B), G)
с начальными условиями C) п условиями
4*1 (h) = ^„> Ч1/ Со) = Ч'
Аг|)у0 — малое приращение величины г|>у0.
Для определения частных производных известен бо-
более точный, но громоздкий метод (см. [4]), в к-ром ис-
используется интегрирование системы In уравнений в
вариациях для системы B), G).
Трудности в использовании метода Ньютона связа-
связаны, во-первых, с проблемой выбора удачного начального
приближения для i|iy0 и, во-вторых, с неустойчивостью
задачи Коши, к-рая особенно сильно проявляется на
больших интервалах [г0, tj. Для преодоления первой
трудности не существует универсального подхода.
Для преодоления неустойчивости задачи Коши имеется
ряд приемов (Коши задача; численные методы).
В тех случаях, когда граничные условия и функцио-
функционал заданы в более общем виде, чем в C), D) и A)
[напр., Болъца задача с подвижными концами, вариа-
вариационная задача со свободными (подвижными) концами],
к необходимым условиям оптимальности F), G) доба-
добавляются трансверсальности условия. После исключения
входящих в эти условия произвольных постоянных по-
получаются замкнутая краевая задача и отвечающая ей
система уравнений тина (9).
Решение системы (9) может отыскиваться любым дру-
другим методом, применяемым для решения нелинейных си-
систем.
Специфич. методы разработаны для решения крае-
краевых задач частного вида. Так, линейные краевые зада-
задачи решаются методом переноса граничных условий
(прогонки метод). Этот метод также используется в
качестве составного элемента для итеративного решения
нелинейных краевых задач (см. [1]).
Эффективность и относительная простота реализации
непрямых методов на ЭВМ сделали их весьма рас-
распространенным средством для решения задач вариаци-
вариационного исчисления. Однако эти методы не стали универ-
универсальными: для некоторых важных классов задач В. и.,
например, содержащих фазовые ограничения, выпи-
выписывание необходимых условий оптимальности за-
затруднено и приводит к краевым задачам со сложной
структурой. Кроме того, необходимые условия не га-
гарантируют, что найденное решение доставляет отно-
относительный экстремум функционалу. Для проверки при-
приходится привлекать достаточные условия оптималь-
оптимальности. Все это ограничивает сферу применения непря-
непрямых методов.
Прямые методы. Первый прямой метод был пред-
предложен Л. Эйлером для решения простейшей задачи
В. и. Этот метод известен под названием метода лома-
ломаных Эйлера (или конечно разностного метода Эйлера)
и заключается в том, что функционал
J(x)=\\lF(t,x, x)dt A0)
рассматривается на непрерывных ломаных x(t), удов-
удовлетворяющих заданным граничным условиям
x(to)=xo, x(t1) = x1 A1)
и состоящих из N прямолинейных отрезков с заданны-
заданными абсциссами концов. Таким образом, функционал
превращается в функцию от ординат вершин этих ло-
ломаных, а исходная задача — в задачу минимизации
функции многих переменных (см. Эйлера метод).
Из-за сложности подобных задач для ручного счета
прямые методы долгое время оставались в стороне от
традиционных исследований по В. и. Интерес к ним
вновь возрос в нач. 20 в. Были предложены новые спо-
способы редукции к задаче об отыскании экстремума
функции многих переменных. Наиболее важным из
них является Ритца метод, согласно к-рому решение
задачи о минимуме A0) при условии A1) разыскивает-
разыскивается на классе функций вида
где <р/(?)> г=0, 1, . . ., N — элементы бесконечной пол-
полной системы линейно независимых функций, удовлет-
удовлетворяющих граничным условиям
Фо(*о)=*о> <Fo(«i) = *i> <P/(*o) = <Fi(*i)=O, (=1, 2, ....
Задача сводится к отысканию минимума функции N
переменных
J=J (я1? . . ., аЛг).
Метод Ритца является достаточно общим. Он приме-
применяется для решения вариационных задач математич.
физики, заключающихся в минимизации функционала,
зависящего от функции многих переменных. Его даль-
дальнейшим обобщением для данного класса задач является
метод (см. [2]), в к-ром коэффициенты считаются неиз-
неизвестными функциями одного из независимых перемен-
переменных (напр., если в задаче две независимые перемен-
переменные t и т, то я,- могут задаваться в виде а,-(т)). Исход-
Исходный функционал становится зависящим от N функ-
функций я,- (т), к-рые могут определяться с помощью необхо-
необходимых условий, т. е., в конечном счете, из решения
краевой задачи для системы N уравнений Эйлера.
Потребности практики увеличили интерес к неклас-
сич. задачам оптимального управления. Наличие в
технич. задачах сложных ограничений на фазовые ко-
координаты н управляющие функции, разрывность пра-
правых частей дифференциальных уравнений, возможность
существования особых и скользящих оптимальных ре-
режимов и т. д.— все это потребовало разработки новых
разновидностей прямых методов. Наибольшее распро-
распространение получили методы, использующие идеи спус-
спуска в пространстве управлений и идеи последователь-
последовательного анализа вариантов (типа динамического программи-
программирования) .
Методы спуска в пространстве управлений основаны
на получении последовательности управлений u^^U
вида
"k + i(t) = uk(t) + 6uk(t), A2)
к-рой соответствует монотонно убывающая последова-
последовательность значений функционала. Пусть, напр., ищет-
ищется минимум функционала
J=F(x(T)) A3)
при условиях B), C) и E) (U — выпуклое и односвяз-
ное множество). Отыскание 6«? (t) производится сле-
следующим образом. С помощью уравнений в вариациях
для B) и сопряженной системы G) с условиями на
правом конце
/т. 9F (х (Г)) , ,
Ч>/(') =г = 1 «
линейная часть приращения функционала A3) от ва-
вариации б it представляется в виде
?»6udt.
0 ди
Для уменьшения функционала A3) следует на каждой
итерации выбирать приращение
вм*@=х^[, х>0,
где величина дН/ди вычисляется на управлении
Mfc(i) и соответствующей ему траектории ^^(t). Закон-
ность линеаризации, а следовательно, и уменьшение
функционала A3) обеспечиваются выбором достаточно
малой величины х. Процесс спуска A2) начинается с
нек-рого uo(t) и заканчивается, когда на нек-рои ите-
итерации | б/ | становится меньше нек-рого заданного е.
Для описанного случая свободного правого конца ал-
алгоритм получается наиболее простым (см. [5], [6].
[7]). Весьма эффективным для решения задач со сво-
свободным концом является метод (см. [8]), к-рый не ис-
использует линеаризации исходной задачи. В случае, ко-
когда граничные условия заданы и на правом конце, все
эти алгоритмы существенно усложняются. Для учета
граничных условий в [5] привлекается процедура про-
проектирования градиента, а в [6] вводится штраф за не-
невыполнение граничных условий, т. е. вместо A3) рас-
рассматривается функционал
A,,.
A4)
К градиентным методам примыкает метод [9], в к-ром
приращение управления определяется из решения
вспомогательной задачи линейного программирования.
Большая группа прямых методов численного решения
задач оптимального управления основана на идеях
последовательного анализа вариантов (см. [10], [11],
[12]). Важным достоинством этих методов является то,
что с их помощью удается решать задачи с фазовыми
ограничениями вида
x?G, A5)
где G — замкнутое множество n-мерного пространства.
Их основной недостаток — существенное возрастание
трудностей с увеличением размерности пространства.
Эти методы используют редукцию исходной задачи к
задаче нелинейного программирования специального
вида. Распространены два способа такой редукции.
Согласно первому способу в конечном итоге получает-
получается задача минимизации функции, зависящей только от
управлений, заданных в точках дискретной сетки на
оси (см. [13]). Во втором способе (см. [12]) управление
исключается и задача сводится к минимизации функции
вида
т iv ~ л "V^;. tr. -у. \ н&\
J (х0, . . ., Xfj) — ?j-_ Q и vxi* Xi + Vi \10)
гдех,—- значение вектора х в точке ?,-, г=0, 1, . . ., N,
при ограничениях
xi?Gh A7)
к-рые получаются из ограничений C), D), A5). Для
пояснения схемы решения задачи минимизации A6) при
условиях A7) удобно использовать следующую геомет-
рич. интерпретацию. Каждой совокупности векторов
{х0, x-l, . . ., хдг} ставится
в соответствие ломаная
(см. рис.), к-рая проходит
через точки х0, . . ., хдг,
лежащие в гиперплоско-
гиперплоскостях 2/, задаваемых урав-
уравнениями t=tj. Длина этой
ломаной / (х0, . . ., xjy)
складывается из длин
fi(xi, Х{ + \) отдельных
звеньев. Область допусти-
допустимых значений х; задается A7) и эта область отделяет-
отделяется от запретной нек-рой ломаной (на рис. запретная
область заштрихована). Задача состоит в отыскании ло-
ломаной наименьшей длины, лежащей в допустимой об-
области и соединяющей гиперплоскости 20 и 2дг. Алгоритм
решения задачи представляет собой многошаговый про-
процесс, на каждом шаге i к-рого отметается нек-рое мно-
множество вариантов Q,-, заведомо не содержащее опти-
оптимальной ломаной. На нулевом шаге определяется функ-
ЦИЯ Hxi)= min /о (х0, хх),
т. е. длина кратчайшего звена, соединяющего каждую
точку ^!^2Х с гиперплоскостью 20. Так как
mill J (х0, хг, ..., XN) = l(x1)+y.~*ji(xi, xl + 1),
то множество ломаных Qo, не содержащих отрезка l(x^),
может быть отброшено. На первом шаге строится крат-
кратчайшая ломаная
Цх2) = min (JtoJ + M*!, х2)),
соединяющая каждую точку л-.2^22с 20, и множество
ломаных Q1, не содержащих ломаной 1(х2), также от-
отбрасывается, и т. д. На г-м шаге строится кратчайшая
ломаная
I (xi + 1)= min (I (x,) + /,- (*,-, xi + l)), A8)
соединяющая каждую точку х,- + 1?2,- + 1 с 20, и отбрасы-
отбрасывается множество ломаных Q,-, не содержащих ломаной
1(xj + 1). На последнем шаге находится решение исход-
исходной задачи — кратчайшая ломаная, соединяющая ги-
гиперповерхности 2дг и "о:
I = min I (zjv).
xNiGN
Формула A8) — рекуррентное соотношение, описываю-
описывающее многошаговый процесс отыскания решения. На
этом соотношении основаны динамич. программиро-
программирование и принцип оптимальности Боллмана.
В соответствии с A8) необходимо отыскивать мини-
минимум на множествах G;, имеющих, вообще говоря, мощ-
мощность континуума. При численной реализации ис-
используется их конечномерная аппроксимация. Для это-
этого, кроме сетки, по t (напр., с постоянным шагом т)
строится сетка по xi с шагом hJ(j=i, . . ., и). Тогда за-
задача сводится к отысканию кратчайшего пути на спе-
специальном графе с вершинами — узлами сетки. Пусть
Pk(') — Узел fei лежащий в гиперплоскости 2,-;
hs(i)=fi(Pk(i), Ps(i+V)
—длина отрезка, соединяющего два узла к и s в соседних
гиперплоскостях, lk(i) — длина наикратчайшего пути,
соединяющего узел Pk(i) с гиперплоскостью 20. Тогда
рекуррентное соотношение A8) имеет вид
к
где минимум берется по номерам к всех узлов, к-рые
лежат в допустимой области G,- гиперплоскости 2,-.
В общем случае этот минимум отыскивается перебором
но всем узлам. Изложенный метод позволяет отыски-
отыскивать глобальный экстремум функции A6) при ограни-
ограничениях C), D), A5) с точностью, определяемой ша-
шагами сетки х и hi. Для сходимости метода к решению
исходной задачи необходимо наличие определенных
соотношений между этими шагами [напр., вида Ш =
= о(т)]. Метод предъявляет большие требования к бы-
быстродействию и памяти ЭВМ. Поэтому при практич.
реализации сначала находят экстремум на грубой сет-
сетке, а затем в окрестности полученного решения его уточ-
уточняют на более мелкой сетке. Это делается с помощью
одного из методов, позволяющих отыскивать локаль-
локальный экстремум (см. Блуждающей трубки метод, Ло-
Локальных вариаций метод. Бегущей волны метод).
Лит.: [1] Моисеев Н. Н., Численные методы в теории
оптимальных систем, М., 1971; [2] К а н т о р о в и ч Л. В.,
Крылов В, И., Приближенные методы высшего анализа,
5 изд., М.— Л., 1962: [3] Исаев В. К., С о н и н В. В.,
«Ж. вычисл. матем. и матем. физ.», 1965, т. 5, JMs 2, с. 252—61;
[4] Дшурович С, Макинтайр Д., «Ракетная тех-
техника», 1962, № 9, с. 47—53; [5] Д е н х э м В., Б р а й с о н В.,
«Ракетная техника и космонавтика», 1964, № 1, с. 34—47; [6]
Шатровский Л. И., «Ж. вычисл. матем. и матем. физ.»,
1962, т. 2, № 3, с. 488—91; [7] Э н е е в Т. М «Космические
исследования», 1966, т. 4, вып. 5, с. 651—69; 18] Крылов
II. А., Черноусько Ф. Л., «Ж. вычисл. матем. и матем.
физ.», 1962, т. 2, № 6, с. 1132—9; [9] Ф е д о р е н к о Р. П.,
там же, 1964, т. 4, № 6, с. 1045 — 64; [10] В е л л м а н Р.,
Динамическое программирование, пер. с англ., М., 1960; [11]
М и х а л е в и ч В. С, «Кибернетика», 1965, № 1, с. 45—46;
[12] Моисеев Н. Н., там же, 19В6, № 3, с. 1 — 29; [13]
Ермольев Ю. М., Г у л е н к о В. П., там же, 1967, № 3,
с. 1—20. И. Б. Ваплярский, И. А. Вателъ.
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЦЕЛОМ —
раздел математики, в к-ром применяются топологич.
понятия и методы для качественного исследования ва-
вариационных задач — существование и оценка числа эк-
экстремалей, выяснение нек-рых качественных свойств
последних и соотношений между числом экстремалей
различных типов. Часто в состав В. и. в ц. включают
также теорию «в целом» стационарных (критических)
точек функций на многообразиях, где для этих точек
рассматриваются такие же задачи. (Во всяком случае,
эта последняя теория тесно связана с В. и. в ц. и воз-
возникла вместе с ним, а относящиеся к ней задачи часто
служат упрощенной моделью собственно вариационных
задач. Иногда последние даже изучают с помощью нек-
некрой аппроксимации их первыми.) При этом интересу-
интересуются всеми экстремалями (стационарными точками),
существующими для данной задачи, независимо от то-
того, отвечает ли им действительно экстремальное (т. е.
минимальное или максимальное) значение рассматрива-
рассматриваемого функционала (функции) или же это последнее
является только стационарным. В этом одно из отличий
В. и. в ц. от возникших ранее «классических» разделов
вариационного исчисления, где после сравнительно про-
простого вывода условий стационарности, общих для всех
экстремалей, основное внимание уделялось экстрему-
экстремуму (хотя бы локальному), обычно минимуму. Кроме
того, значительная часть «классических» разделов свя-
связана с исследованием малой окрестности экстремали,
тогда как в В. и. в ц. используются топологич. свойства
всего функционального пространства вариационной за-
задачи, т. е. всего пространства кривых (функций, по-
поверхностей и т. п.), где задан рассматриваемый функцио-
функционал (или всего многообразия, где задана рассматривае-
рассматриваемая функция).Эти свойства, в свою очередь, связываются
с топологией того пространства (области, многообразия
и т. д.), где должны лежать эти кривые (поверхности)
или где должны быть определены и (или) принимать
значение эти функции (а также с характером краевых
или еще каких-либо дополнительных условий). Такой
«глобальный» характер свойственного В. и. в ц. подхо-
подхода и подчеркивается в его названии определением «в це-
целом». (В ходе развития В. и. в ц. оказалось необходи-
необходимым подробнее исследовать свойства второй вариации
[1], имеющей чисто локальный характер. Раньше эти
свойства исследовались лишь в той мере, в какой это
было нужно для применений к условиям минимума
функционала.)
В. и. в ц. сложилось в 20—30-х гг. 20 в. в работах,
посвященных решению задачи об оценке числа замкну-
замкнутых геодезических на замкнутом римановом (более общо,
финслеровом) многообразии (называемой также н е-
периодической задачей В. и. в ц.) (см.
[1], f2], [4]).
Общий прием исследования, свойственный для В. и. в
ц., состоит в том, что для функции (в том числе и для
функционала, рассматриваемого как функция на соот-
соответствующем бесконечномерном функциональном про-
пространстве) следят за изменением тех или иных тополо-
топологич. свойств области меньших значений
/-!(-оо, С] ={*:/(*)< С}
с изменением уровня функции С. Стремятся
доказать, что эти свойства изменяются только при про-
прохождении С через стационарные значения (отвечающие
стационарным точкам функции), и описать, как связа-
связаны изменения, происходящие при таких прохождениях,
со свойствами соответствующих стационарных точек.
Получаются нек-рые связи между стационарными точ-
ками/, с одной стороны, и топология.свойствами области
меньших значений f~1(— оо, С] с достаточно большими
С или даже всего пространства, где задана /,— с дру-
другой. Если эти последние свойства известны, то из уста-
установленных связей делают определенные заключения о
стационарных точках. Для собственно вариационных
задач остается еще один шаг (иногда тривиальный,иног-
тривиальный,иногда очень трудный): полученные результаты, относящие-
относящиеся к вспомогательным объектам (точки нек-рого функ-
функционального пространства), нужно интерпретировать
в терминах первоначальной постановки задачи. (В за-
задаче о замкнутых геодезических именно этот последний
шаг вызывает основные затруднения.)
Описанную программу сравнительно легко удается
осуществить для гладкой функции / на замкнутом мно-
многообразии М. При сравнении областей меньших значе-
значений /-1(—оо, С] с различными С обычно используется
градиентный спуск, т. е. движение точек
согласно градиентной динамической системе, опреде-
определяемой / и какой-нибудь вспомогательной римановой
метрикой на М. Отдельно рассматривается ситуация
возле стационарных точек. Если все они невырожденные,
то изменение области меньших значений /~1(—оо,С]
при прохождении С через стационарный уровень можно
описать очень подробно — с точностью до диффеомор-
диффеоморфизма. Такое описание, как и аналогичное описание из-
изменений многообразий уровня f~1(C), ока-
оказалось важным для топологии (см. [5], [6]), тогда как
для В. и. в ц. пока оказывается достаточной менее пол-
пая информация в терминах нек-рого числового инва-
инварианта — категории Люстерника — Шнирельмана cat M
и в терминах гомологии. Последняя приводит к Морса
неравенствам, дающим обычно значительно лучшую
оценку числа невырожденных критич. точек, чем кате-
категория. В то же время и оценка через категорию, и не-
неравенства Морса годятся также без предположения о
невырожденности стационарных точек, хотя из нера-
неравенств Морса при этом следует оценка, в к-рой выро-
вырожденные стационарные точки считаются со специально
приписываемыми им кратностями (в связи с чем говорят
об оценке числа аналитически различных
стационарных точек или алгебраического числа
этих точек). Категория же дает оценку числа стацио-
стационарных точек в обычном смысле (подчеркивая это об-
обстоятельство, говорят об оценке числа геометри-
геометрически различных стационарных точек) и даже с
нек-рой дополнительной информацией: либо число ста-
стационарных уровней не меньше cat M, либо имеется кон-
континуум стационарных точек.
Чтобы получить аналогичные результаты для функ-
функций на бесконечномерных многообразиях, необходимы
определенные дополнительные предположения об ана-
литич. свойствах этих функций (кроме гладкости).
Наиболее полная аналогия с конечномерным случаем
достигается при использовании так наз. условия
(С)Пале — Смейла (R. Palais — S. Smale, см.
[7]), но оно не выполняется в нек-рых интересных слу-
случаях, а при выполнении более слабых условий соответ-
соответствующие результаты тоже могут быть слабее. Затруд-
Затруднения может вызвать исследование траекторий градиент-
градиентного спуска или какого-нибудь его аналога. Напр.,
для нек-рых задач геометрич. происхождения — мини- .
малыше замкнутые подмногообразия риманова мно-
многообразия, гармонические отображения — этот вопрос
сводится к поведению решений параболич. систем не-
нелинейных дифференциальных уравнений с частными
производными (см. [8]). Иногда удовлетворительные ре-
результаты удается получить только для точек минимума.
Основные применения — собственные значения нели-
нелинейных операторов (см. [7], [8], [9]) и многомер-
многомерные задачи вариационного исчисления (т. е.
такие, в к-рых рассматриваемый функционал выража-
ется в виде некоторого кратного интеграла), в том числе
упомянутые выше задачи геомотрич. происхождения.
Для одномерных задач (т. е. тех, в к-рых
рассматриваемый функционал выражается в виде ин-
интеграла по одной независимой переменной) вместо гра-
градиентного спуска можно использовать специфические
для них более элементарные приемы [фактически с их
помощью и были получены многие имеющиеся здесь ре-
результаты (см. [1], [2], [3])]. Одномерными являются
задача о замкнутых геодезических ц задача об оценке
числа геодезич. дуг, соединяющих две точки на связном
полном римановом многообразии М. Последняя пол-
полностью решена: если М не стягивается по себе в точку,
то таких дуг бесконечное число (см. [10]). (На примере
обычной сферы видно, что одни из этих дуг могут вклю-
включать в себя многократно проходимые другие дуги.)
По-видимому, первым применением В. и. в ц. в дру-
других областях математики было вычисление гомологии
классич. групп Ли (см. [11]). Важнейшим из современ-
современных применений, наряду с упомянутым выше исполь-
использованием теории стационарных точек функций в топо-
топологии, является вычисление стационарных гомотопич.
групп Ли (так наз. теория Ботта; см. [12]). В. и. в ц.
используется также в глобальной дифференциальной
геометрии (см. [13]).
Лит.: [1] М о г s e M., The calculus of variations in the large,
N. Y., 1ЯН4; [2]Люстерник Л. А., Шнирельман
Л. Г., «Успехи матем. наук», 1947, т. 2, в. 1, с. 166—217;
[3] 3 е й ф е р т Г., Трельфалль В., Вариационное ис-
исчисление в целом, пер. с нем., М., 1947; [4] В i r k h о f f G. D.,
«.Trans. Amer. Math. Soc», 1917, v. 18, p. 199—300; [5] M и Л-
н о р Д т., Уоллес А., Дифференциальная топология. На-
Начальный курс, пер. с англ., М., 1972; [6] М и л н о р Д т., Тео-
Теорема об h-кобордизме, пер. с англ., М., 1969; [7] И л л с Д ж.,
«Успехи матем. наук», 1969, т. 24, ЛГ« 3, с. 157—210; [81 А л ь-
б е р С. И., «Успехи матем. наук», 1970, т. 25, в. 4, с. 57—122;
Г9] Бергер М. С, Теория бифуркаций в случае нелинейных
эллиптических дифференциальных уравнений и систем, в сб.:
Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные зна-
значения, М., 1974; [10] С е р р Ж. П., Сингулярные гомологии
расслоенных пространств, пер. с франц., в сб.: Расслоенные
пространства и их приложения, М., 1958; [11] И о н т р й-
г и н Л. С, «Матем. сб.», 1939, т. 6, № 3, с. 389—422; «Успехи
матем. наук», 1Я68, т. 23, в. 6, с. 151—85; [12] Минор Д ж.,
Теория Морса, пер. с англ., М., 1965; [13] Г р о м о л Д., К л и н-
г е н б е р г В., М е й е р В., Риманова геометрия в целом,
пер. с нем., М., 1971. Д. В. Аносов.
ВАРИАЦИОННО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЯ МЕТОД —
метод, объединяющий вариационный метод Г. М. Го-
лузина (см. Внутренних вариаций метод) и параме-
параметрических представлений метод К. Лёвнера (К. Lowner)
для важного подкласса однолистных функций класса S,
отображающих круг Е= {z : |z|<l} на области, полу-
получающиеся из плоскости Cw проведением разрезов но
кусочно непрерывным дугам. Это объединение дости-
достигается посредством специальной вариации, определяе-
определяемой в простейшем случае одного жорданова разреза
следующей теоремой. Пусть функция w=/(z) ? S отоб-
отображает Е на область В @), полученную из Cw проведе-
проведением разреза
L= {w : w=q>(t), 0<:Z«:oo}, ф(оо)=оо,
где ф(?) непрерывна, а область В (t)=Cw\L (t), где
L(t)={w: w=q>(t), 0<т<:г<:оо}, односвязна. Можно
считать параметризацию разреза L такой, что присоеди-
присоединенная к f(z) функция z=F(w, т), F@, т) = 0, однолист-
однолистно и конформно отображающая В (т) на Е, нормирована
условием F'W(Q, i) = e—x. Пусть Ч (z, т) обозначает
функцию, обратную к F(w, т) при фиксированном т.
Тогда, каковы бы ни были точки zk ?E (fc=l, . . ., re;
ге=1, 2, . . .) и постоянные А^, в классе S существует
функция /„, (z), представпмая в виде
Здесь
K(z,
WU B), T) ?-F(/(z), t)
г?' (г, т)
и у (Я, ?) — голоморфная в Е функция, предел отно-
отношения к-рой к Я при Я—>-0 (Я>0) равномерно стремится к
нулю внутри Е.
Использование в процессе исследования экстремаль-
экстремальных задач на классе S специальной (упомянутой выше)
вариации и уравнения Лёвнера
ц(т) = Чг(ф(т), т),
к-рому удовлетворяет функция F(w, т) при условии
F(f(z), 0) = z, обычно позволяет получать для функции,
присоединенной к экстремальной, два уравнения. Не-
Несмотря на содержащиеся в них постоянные, выражаемые
через значения экстремальной функции, дальнейшее ис-
исследование этих уравнений в большом числе случаев
привело к полному решению рассмотренных задач, в
частности к решению задачи об области значений функ-
функционала, аналитически зависящего от функции, ее про-
производной и сопряженных им значений на классе S.
Метод был предложен П. П. Куфаревым [1] (о дальней-
дальнейшем его развитии и применениях см. [2] — [5]).
Лит.: [1] К у фа рев П. П., «Докл. АН СССР», 1954,
т. 97, №3, с. 391—93; [2J Александров И. А., «Уч.
зап. Томск, ун-та», 1958, т. 32, с. 41—57; [3] его же, «Сиб.
матем. ж.», 1963, т. 4, № 1, с. 17—31; [41 Р е д ь к о в М. И.,
«Докл. АН СССР», 1960, т. 133, № 2, с. 284—87; [5] е г о же,
«Изв. вузов. Математика», 1962, т. 29, с. 134—42.
И. А. Александров.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ в теории
функций комплексного перемен-
переменно г о — положения, выявляющие закономерности из-
изменения отображающих функций при определенных
деформациях плоских областей.
Основным качественным В. п. является Линделёфа
принцип, к-рый состоит в следующем. Пусть В^, О?Вд.
(к=\,2),—односвязная конечная область в z/г-плоскости,
имеющая более одной граничной точки, и пусть L(r, В^),
0<г<1,—линия уровня функции Грина для Bk, т. е.
образ окружности C(r)={t, : |?| = г} при однолистном
конформном отображении круга {? : |?|<1} на область
В/,, оставляющем неподвижным начало. Пусть далее
функция /(zj), /@) = 0, осуществляет однолистное кон-
конформное отображение области В1 в область В2. Тогда:
1) любой точке zj, лежащей на L(r, fij), соответствует
точка, находящаяся либо на линии уровня L(r, B2)
(это возможно лишь, если /(БХ)=Б2), либо внутри нее;
2) |/'@)|<|g'@)|, где g(z1), g@) = 0, однолистное конфор-
конформное отображение В1 на В2 (равенство имеет место толь-
только в случае f(B1)=^B2). Принцип Линделёфа выводится
из теоремы Римана о конформном изоморфизме обла-
областей и из леммы Шварца. Более тонкие построения поз-
позволяют находить поточечные отклонения отображаю-
отображающих функций, вызванные заданной деформацией отоб-
отображаемых областей.
Основной количественный В. п., полученный М. А.
Лаврентьевым [1] (см. также [2]), состоит в следующем.
Пусть Б], 0 ^Bt, —односвязная конечная область с ана-
литич. границей. Пусть имеется семейство областей
Bx{t), 0gfi,(«),0<i<7T, Т>0,В1@)=В1, с жордановы-
ми границами T1(t)= {zt : z1 = Q(X, t)}, 0<Я<2я,
Щ0, t)=QBn, t), где Q (Я, t) равномерно относительно X
дифференцируема по t при t=0, и пусть F (zu t), F@, t) =
= 0, F'Zx @, t) >0,—функция, однолистно и конформно ото-
отображающая Sj (t) на круг В2= {z2 : |z2l <1}, а Ф (z2, t) —
обратная к F (zl7 t) функция при фиксированном t.
д In I F (Q (X, Q. 0) I
)C(r) 01
dj
Тогда
F(zlt t) = F(z1,0)-tK(F(z1, 0))+7i(zi, t),
Ф B2, t) = Ф B2, 0) + <©;2(z2, 0) К B2) + y2 (z2, <),
где
Л' (z) = lim С
r-* l -0 J<
и -t-Ya:(z/i> *) равномерно внутри Bft(fc=l, 2) стремится
к нулю при t—»-0. В [3] дано распространение этого ре-
результата на двусвязные области. При дальнейших огра-
ограничениях на области Вг (() удается получить равномер-
равномерные в замкнутой области оценки остаточных членов в
разложении отображающей функции по параметрам,
характеризующим деформацию границ рассматривае-
рассматриваемых областей (см. [4]).
Лит : [1] Лаврентьев М. А., «Тр. Физ. -матем. ин-та
АН СССР», 1934, т. 5, с. 159—24G; [2] К у ф а р е в П. П.,
«Матем. сб.», 1943, т. 13E5), .№ 1, с. 87—118; [3] А л е к с а н д-
р о в И. А., «Сиб. матем. ж.», 1963, т. 4, № 5, с. 961—76; [4]
Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории
функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965.
И. А. Александров.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КЛАССИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ — основные, исходные положения ана-
литич. механики, математически выраженные в форме
вариационных соотношений, из к-рых как логич. след-
следствия вытекают дифференциальные уравнения движе-
движения, а также все положения и законы механики. В
В. п. к. м. действительные движения материальной сис-
системы, происходящие под действием заданных сил, срав-
сравниваются с кинематически возможными движениями,
допускаемыми наложенными на систему связями и удов-
удовлетворяющими определенным условиям. В большинстве
случаев признаком, по к-рому действительное движе-
движение выделяется из рассматриваемого класса кинемати-
кинематически возможных движений, служит условие экстре-
экстремальности (стационарности) нек-рой скалярной функ-
функции или функционала, обеспечивающее инвариант-
инвариантность описания.
В. п. к. м. отличаются один от другого как по форме
и способам варьирования, так и по общности, но каж-
каждый из них, в рамках его приложимости, образует еди-
единую основу и как бы синтезирует всю механику соответ-
соответствующих материальных систем. Иными словами, тот
или иной из В. п. к. м. потенциально заключает в себе
все содержание этой области науки и объединяет все
ее положения в единой формулировке.
Классич. механика основывается на законах Ньюто-
Ньютона, установленных для свободных материальных точек,
и аксиомах связей. Справедливость В. п. к. м. доказы-
доказывается, исходя из этих законов и аксиом. В свою оче-
очередь, любой из В. п. к. м. можно принять за аксиому
и из нее логически вывести законы механики.
В. п. к. м. по форме подразделяются на дифференци-
дифференциальные и интегральные принципы. К дифференциаль-
дифференциальным принципам, характеризующим свойства движения
для любого данного момента времени, относятся: прин-
принцип возможных перемещений, принцип Д'Аламбера —
Лагранжа, принципы Гаусса, Герца, Четаева и Жур-
дена. Интегральными принципами, характеризующими
свойства движения на любых конечных промежутках
времени, являются принципы наименьшего действия в
формах Гамильтона — Остроградского, Лагранжа, Яко-
би и нек-рые др.
Первый из В. п. к. м.— принцип возможных (вирту-
(виртуальных) перемещений, применялся еще Г. Галилеем
(G. Galilei, 1665). Первым, кто понял общность этого
принципа и его полезность для решения задач статики,
был И. Бернулли (J. Bernoulli, 1717). Принцип получил
обоснование, существенное развитие и применение в
«Аналитической механике» Ж. Лагранжа (J. Lagrange,
1788), считавшего его основным для всей механики.
Этот принцип позволяет находить положения равнове-
равновесия системы материальных точек, т. е. такие поло-
положения г , = г (i0), в к-рых система будет оставаться все
время, если она помещена в эти положения с нулевыми
начальными скоростями vv (?0) = 0 при условии, что
rv Uo) ~~ возможные положения и vv = 0 — кинематиче-
кинематически возможные скорости при любом t. Здесь rv — ра-
радиус-векторы точек системы относительно начала О
инерциальной системы координат Oxyz, причем i\> =
= rv ; 6rv — возможные перемещения, допускаемые в
данный момент времени наложенными на систему свя-
связями, Fv (t, Гц, rii)?C1 — заданные активные силы,
Rv — реакции связей. Связи далее предполагаются иде-
идеальными и удерживающими, т. е.
Принцип возможных перемеще-
ни й: механич.система находится в равновесии в нек-ром
положении тогда и только тогда, когда сумма эле-
элементарных (бесконечно малых) работ активных сил на
всяком возможном перемещении, выводящем систему
из рассматриваемого положения, равна нулю
2vFv-Srv=O A)
в любой момент времени.
Уравнение A) является общим уравнением статики,
сводящим любую задачу статики к математич. задаче
исследования этого уравнения. Для частного случая
потенциальных сил
Fv = gr&arvU (t, n, ....гд,); U(t,rv)?C*,
где N — число точек системы, равенство A) принимает
вид
6 ?7=0 B)
при любом t, т. е. механич. система, подверженная дей-
действию потенциальных сил, находится в равновесии тогда
и только тогда, когда силовая функция имеет стацио-
стационарное значение.
Для вывода уравнений динамики методами статики
применяется так наз. принцип Д'А л а м б е р а:
если к действующим на точки материальной системы
заданным (активным) силам и силам реакций связей
присоединить силы инерции — ту wv , то такая система
сил будет находиться в равновесии. Здесь mv — мас-
масса v-й точки, wv =rv — ее ускорение. Обобщение прин-
принципа Д'Аламбера и принципа возможных перемещений
было получено Ж. Лагранжем A788).
Принцип Д'А ламбера— Лагранжа:
для действительного движения системы сумма элемен-
элементарных работ активных сил и сил инерции на любых
возможных перемещениях равна нулю:
2v(^v-'"v"'v)-4 = 0 C)
в любой момент времени.
В принципе Д'Аламбера — Лагранжа сравниваются
положения системы в ее действительном движении с
бесконечно близкими положениями, допускаемыми свя-
связями в рассматриваемый момент времени. Соотношение
C) определяет зависимость между активными силами,
вызываемыми ими при наложенных связях ускорениями
и возможными перемещениями. Выражая необходимое
и достаточное условие соответствия действительного
движения, являющегося одним из кинематически воз-
возможных движений, заданным активным силам, урав-
уравнение C) является общим уравнением ди-
динамики. Когда все ускорения и\=0, уравнение
C) принимает вид A) общего уравнения статики.
Уравнения движений содержатся в уравнении C).
Для получения полной системы независимых дифферен-
дифференциальных уравнений динамики достаточно выразить
возможные перемещения brv через систему независимых
перемещений и подставить в уравнение C). Таким пу-
путем могут быть получены, напр., уравнения Лаграи-
жа, Аппеля и любая другая система независимых диф-
дифференциальных уравнений движения. Если же из се-
семейства возможных перемещений выделить к.-л. одно
перемещение и подставить его в уравнение C), то полу-
полученное соотношение будет являться или одним из диф-
дифференциальных уравнений движения системы или след-
следствием из них. Таким способом можно получить, на-
например, общие теоремы (законы) динамики: о количе-
количестве движения, моменте количеств движения, кинети-
кинетической энергии.
Общие теоремы динамики системы характеризуют
нек-рые свойства движения, но, в отличие от В. п. к. м.,
ни одна из них в общем случае не в состоянии заме-
заменить всю систему дифференциальных уравнений движе-
движения и вполне охарактеризовать движение системы.
Принцип Д'Аламбера — Лагранжа является одним
из наиболее общих В. п. к. м., справедливым как для
голономных, так и для неголономных систем. Все дру-
другие В. п. к. м. представляют собой или иные формули-
формулировки этого принципа или следствия из него. Принцип
Д'Аламбера — Лагранжа не связан, однако, с поня-
понятием экстремума к.-л. функции. В нем фигурирует бе-
бесконечно малая величина — сумма элементарных ра-
работ заданных сил и сил инерции на бесконечно малом
возможном перемещении из заданной конфигурации,
не представляющая собой вариации к.-л. функции, по-
подобно равенству B).
К. Гаусс (С. Gauss, 1829) предложил новый вариа-
вариационный принцип, представляющий собой модифика-
модификацию принципа Д'Аламбера—Лагранжа. Среди всех ки-
кинематически возможных движений рассматриваются
мыслимые по Гауссу движения, удовлетворяющие ус-
условиям, наложенным на систему связей, и условиям по-
постоянства rv и vv для рассматриваемого момента вре-
времени t. В момент t-j-dt:
где dvv и 6cv обозначают изменения скоростей за проме-
промежуток времени dt для действительного и к.-л. мыслимо-
мыслимого движений; при этом уравнение C) приводится к виду
причем A2Z>0.
Принцип наименьшего принужде-
принуждения (Гаусса принцип): движение системы
материальных точек, связанных между собой произ-
произвольным образом и подверженных любым влияниям, в
каждое мгновение происходит в наиболее совершенном,
какое только возможно, согласии с тем движением, ка-
каким обладали бы эти точки, если бы они стали свобод-
свободными, т. е. движение происходит с наименьшим возмож-
возможным принуждением, если в качестве меры принужде-
принуждения за время dt принять величину Z, равную сумме
произведений массы каждой точки на квадрат вели-
величины ее отклонения от того положения, которое она
заняла бы, если бы была свободной. Иначе говоря, в
каждый момент времени t среди всех ускорений, обус-
обусловленных связями, действительными ускорениями и\
различных точек системы будут те, которые обращают
в минимум функцию Z второй степени относительно ус-
ускорений.
Равновесие является частным случаем общего зако-
закона: оно имеет место в том случае, когда точки не имеют
скорости и когда сохранение системы в состоянии покоя
более близко к свободному движению в случае упразд-
упразднения связей, чем к возможным движениям, допу-
допускаемым связями.
Из принципа Гаусса при выражении Z через неза-
независимые ускорения системы получаются уравнения
Аппеля. Принцип Гаусса представляет собой физич.
аналогию предложенному К. Гауссом наименьших
квадратов методу теории ошибок. Принцип Гаусса
эквивалентен принципу Д'Аламбера — Лагранжа, од-
однако при рассмотрении нелинейных дифференциальных
связей вида <ps(t, rv , rv) = 0 эти принципы по П. Аппелю
(P. Appell) и Э. Делассю (Е. Delassus, 1911—13) ока-
оказались несовместимыми. Этот вопрос был разрешен
Н. Г. Четаевым A932 — 33), предложившим определять
возможные перемещения для нелинейных связей ус-
условиями вида
v.grad,.v(jv6rv=O.
Из принципа Гаусса следует принцип наи-
наименьших реакций: для действительного дви-
движения величина
есть минимум. Принцип Гаусса обобщен на случай
освобождения системы от части связей. Так как воз-
возможные перемещения исходной системы находятся сре-
среди возможных перемещений освобожденной системы,
то справедливо соотношение:
(dty
где dvv — изменение скорости за время dt в освобожден-
освобожденном движении. Это уравнение с учетом D) можно при-
привести к виду
Ad6+Add~Ad6=0' E)
где
d 6
характеризует меру отклонения движения (д) от дви-
движения (б) за время dt. Аналогично записываются А <гв и
Add. Из уравнения E) следуют неравенства
Ad6 < Л56' Add < Адд> F)
выражающие теорему: отклонение действительного дви-
движения (d) системы от мыслимого F) [освобожденного
действительного (д)] движения меньше отклонения дви-
движения (б) от движения (д). Эта теорема доказана
Н. Г. Четаевым A932 — 33). Теорема, выражаемая вторым
из неравенств F), для случая линейных неголономных
связей высказана Э. Махом (Е. Mach, 1883) и доказана
Е. А. Болотовым A916).
К принципу Гаусса тесно примыкает принцип пря-
прямейшего пути, постулированный Г. Герцем (Н. Hertz,
1894) в качестве основного закона разработанной им
механики, в которой, в отличие от механики Нью-
Ньютона, вместо понятия силы введены представления о
скрытых связях, скрытых массах и скрытых движе-
движениях.
Принцип прямейшего пути (наи-
(наименьшей кривизны принцип, Герца
и р и н ц и п): всякая свободная система пребывает в
своем состоянии покоя или равномерного движения
вдольирямейшего пути. Под свободной системой Г. Герц
понимает систему, не подверженную действию актив-
активных сил и стесненную только внутренними связями,
накладывающими условия лишь на взаимное располо-
расположение точек системы. Прямейший путь определяется
как такая траектория, элементарные дуги к-рой обла-
обладают наименьшей кривизной по сравнению с любыми
другими дугами, допускаемыми связями и имеющими
с рассматриваемой элементарной дугой общие началь-
начальную точку и касательную в ней, причем величина Z
интерпретируется как кривизна траектории точки, изо-
бражающей положение системы в ЗЛ^-мерном евклидо-
евклидовом пространстве с прямоугольными координатами
}^mvxv, У~тхуу/, Ут^г^. Иными словами, принцип
Герца утверждает, что среди всех совместимых со свя-
связями траекторий действительная траектория обладает
наименьшей кривизной.
Принцип Герца эквивалентен принципу Гаусса для
систем, стесненных стационарными связями и не под-
подверженных действию активных сил. Н. Г. Четаев A941)
предложил следующее видоизменение принципа Гаусса.
Принцип максимума работы (прин-
(принцип Ч е т а е в а): работа
6 Zuv V v v v)
dt 2
на элементарном цикле, состоящем из прямого движе-
движения в поле заданных сил и движения обратного в поле
сил, к-рых было бы достаточно для создания действи-
действительного движения, если бы механич. система была со-
совершенно свободной; для действительного движения
имеет (относительный) максимум в классе мыслимых цо
Гауссу движений. Принцип Четаева позволяет расши-
расширить характер обычно рассматриваемых механич. сис-
систем путем привлечения принципа Карно из термоди-
термодинамики.
Изложенные принципы по способам варьирования
подразделяются на две группы: в принципах возможных
перемещений и Д'Аламбера — Лагранжа варьируется
в нек-рый момент времени положение т\. системы, а в
принципах Гаусса, Герца и Четаева варьируются уско-
ускорения rv системы при постоянных rv n гу ¦ Промежуточ-
Промежуточное место между этими двумя группами занимает прин-
принцип Журдена, в к-ром в момент t варьируются
скорости rvnpn постоянных rv . В момент t-fdf возмож-
возможные перемещения f>rv = brvdt, и уравнение C) принимает
вид:
2
В интегральных В. п. к. м. сравнение действительного
и кинематически возможных движений производится
для конечных промежутков времени. Именно, сравни-
сравниваются значения нек-рых определенных интегралов
(наз. действие м), вычисляемых для действитель-
действительного и кинематически возможных движений, удовлетво-
удовлетворяющих определенным условиям, между нек-рыми дву-
двумя конечными положениями системы. Интегральные
В. п. к. м. менее общи по сравнению с дифференциаль-
дифференциальными принципами и применимы гл. обр. к голоном-
ным системам, находящимся под действием потенциаль-
потенциальных сил. Наиболее общим из них является принцип,
установленный У. Гамильтоном (W. Hamilton, 1834 — 35)
для случая стационарных голономных связей и обоб-
обобщенный М. В. Остроградским A848) на нестационарные
геометрич. связи. Пусть известны положения Ро и Pi
голономной системы в моменты времени t0 и tx в нек-ром
ее действительном движении под действием заданных
сил и сил реакций. В этом движении rv будут функциями
времени, к-рые удовлетворяют связям и принимают для
t=t0 и t=tt значения, отвечающие положениям Ро и
Рг. Пусть rv+6rv— нек-рые функции времени класса
С2, достаточно близкие к rv (?), удовлетворяющие свя-
связям и принимающие для i=i0 и t=tx те же значения, что
и rv (t). При этом 6rv уничтожаются при i=t0 и t=t1 и
имеют смысл возможных перемещений. Если считать
Fv =grad rv U, то
65=0, 5= V1 (T + U)dt, A)
где функционал S наз. действием по Гамиль-
Гамильтону за промежуток времени t1—t0.
Принцип стационарного действия
(принцип Гамильтона — Остро град-
с к о г о): в действительном движении системы действи
по Гамильтону имеет стационарное значение по срав-
сравнению с любыми бесконечно близкими кинематическг
возможными движениями, для к-рых начальное и ко-
конечное положения системы одинаковы с соответствую-
соответствующими положениями для действительного движения i
время движения одинаково. В случае непотенцнальных
сил принцип Гамильтона — Остроградского выражается
уравнением
J J4er+2v^v-8^)^=0, (8)
т. е., если rv (t) — функции времени, соответствующие
действительному движению системы, то интеграл в
(8) равен нулю для всех вариаций функций rv (t), сов-
совместимых со связями и уничтожающихся на обоих пре-
пределах интеграла.
Равенства G) и (8) представляют собой необходимые
и достаточные условия для действительности движения
системы под действием заданных сил. Уравнение (8)
справедливо и для неголономных систем, однако для
последних движение rv+6rv не является, вообще го-
говоря, кинематически возможным; уравнение G) неспра-
несправедливо для неголономных систем.
Если уравнения геометрич. связей представить в виде
rv=rv (t, qu . . ., qn), n=3N-k,
где к — число связей, и ввести функцию Лагранжа
L(t, qi, qi)=T+U,
S= \ 'Ldt.
ТО
При этом в расширенном (ге+1)-мерном координат-
координатном пространстве (t, </j, . . ., qn) равенство G) соответ-
соответствует обычной (непараметрической) задаче вариацион-
вариационного исчисления при закрепленных концах. В Bя+1)-
ыерном расширенном фазовом пространстве с коорди-
координатами t, q;, pi = dLldq[ равенство G) соответствует
вариационной задаче со свободными концами (t и за-
зафиксированы, р,-— свободны), причем
S =
где H(t, qt, р/) — функция Гамильтона.
Из уравнения G) выводятся уравнения Лагранжа:
d dh дь ___в г = 1 . п, (9)
dt dq- dq-
и канонич. уравнения Гамильтона:
dqi _ он dPi аи t_. „ ,.m
Для решения основной задачи динамики достаточно
знания функции действия
v(t, q q) = \'Ldt. A1)
Однако для определения функции действия по формуле
A1) необходимо знание закона движения. Чтобы обойти
эту трудность, У. Гамильтон нашел дифференциальное
уравнение
d ^
к-рому удовлетворяет функция действия. К. Якоби
(С. Jacobi, 1837) показал, что если известен полный ин-
геграл v(t, g,-, а,) уравнения A2), зависящий от п про-
произвольных постоянных а;, из к-рых ни одна не явля-
является аддитивной, то общее решение уравнений A0) да-
дается равенствами:
до а до л
где Р,-— произвольные постоянные.
Для систем, стесненных стационарными связями и
находящихся под действием потенциальных сил, не
зависящих явно от времени, существует интеграл энер-
энергии
E=T-U=h. A3)
Его существование позволяет ограничить множество
сравниваемых кинематически возможных движений,
переводящих систему из положения Ро в положение Ри
движениями, при к-рых полная механич. энергия Е
имеет одно и то же фиксированное значение h. В этом
случае интеграл A3) можно рассматривать как неголо-
номное условие и искать принцип механики в виде ус-
условного вариационного принципа. Эту задачу разрешил
Ж. Лагранж A760).
Принцип стационарного действия
Лагранжа: если заданы начальный момент времени
t0 и начальное и конечное положения голономнои сис-
системы, для к-рой существует интеграл энергии, то для
действительного движения
в$;§2Г* = 0 (,4,
по сравнению с варьированными движениями между те-
теми же начальным и конечным положениями и с той же
энергией h, что и в действительном движении. Символ
б — вариация при условии A3).
Выполнение соотношения A3) при постоянном h
для всех сравниваемых в принципе Лагранжа движений
налагает определенные ограничения на скорости этих
движений и время движения из положения Ро в поло-
положение Р1 зависит от кривой, по к-рой совершается дви-
движение. Таким образом, принцип Лагранжа A4) [с уче-
учетом A3)] представляет собой условную вариационную
задачу с верхним свободным концом.
Для рассматриваемых систем исключением времени
t из A4) с помощью интеграла энергии A3) К. Якоби
A837) получил новый В. п. к. м.
В обобщенных координатах д/ кинетич. энергия сис-
системы
Пусть заданы метрика координатного пространства фор-
формулой
ds2 = 2" j = 1 aij d4i d(lj' A5)
а также конечные положения системы Ро и Р1 в нек-ром
действительном движении системы.
Принцип стационарного действия
Якоби: если заданы начальное и конечное положе-
положения голономнои консервативной системы, то для дей-
действительного движения
б [^ Y2(U+h)ds=0 A6)
при сравнении со всякими другими бесконечно близки-
близкими движениями между теми же самыми начальным и ко-
конечным положениями и с тем же самым постоянным зна-
значением энергии А, что и в действительном движении.
Принцип Якоби приводит задачу изучения движения
голономнои консервативной системы к геометрич. за-
задаче отыскания в римановом пространстве с метрикой
A5) экстремалей вариационной задачи A6), к-рые
представляют собой действительные траектории систе-
системы. Принцип Якоби выявляет тесную связь, существую-
существующую между движениями голономнои консервативной си-
системы и римановой геометрией пространства. Если дви-
движение системы происходит в отсутствие заданных сил,
когда {7=0 , то система движется вдоль геодезич. линии
координатного пространства (</j, . . ., qn) с постоянной
скоростью. Этот факт является обобщением закона инер-
инерции Галилея. Когда {7^0, разыскание движения голо-
номной консервативной системы также сводится к за-
задаче определения геодезических в римановом простран-
пространстве с метрикой
Для случая одной материальной точки, когда линей-
линейный элемент ds — элемент евклидова 3-мерного про-
пространства, принцип Якоби представляет собой механич.
аналог принципа Ферма в оптике.
Уравнения Лагранжа (9) или уравнения экстремалей
вариационных принципов Гамильтона — Остроград-
Остроградского, Лагранжа и Якоби являются необходимыми ус-
условиями экстремума соответствующего интеграла, или
действия по Гамильтону, Лагранжу, Якоби. В случаях,
когда выполняются достаточные условия минимума,
эти интегралы в действительных движениях принима-
принимают минимальные значения. Вследствие этого интеграль-
интегральные В. п. к. м. наз. также принципами наи-
наименьшего действия.
Использование интегральных В. п. к. м. естественным
образом приводит к понятию обобщенных решений и
расширению классов функциональных пространств, в
к-рых разыскиваются решения задач математич. физики.
В. п. к. м. оказались применимыми не только к ди-
дискретным материальным системам, но и к системам с
распределенными параметрами, к сплошным средам;
они играют важную роль в теории поля и в математич.
физике. С В. п. к. м. тесно связаны оптико-механич.
аналогия, теория канонич. преобразований, теория
групп Ли и законы сохранения. В. п. к. м. обладают
большой эвристической ценностью, они распространены
и на другие области физики, в частности на теорию от-
относительности и на квантовую и волновую механику,
где важную роль играют принципы наименьшего дейст-
действия и связанный с ними лагранжев и гамильтонов ма-
математич. формализм.
Лит.: [1] А п п е л ь П., Теоретическая механика, 6 изд.,т. 2,
пер. с франц., М., 1960; [2J Болотов Е. А., О принципе
Гаусса, «Изв. физ.-матем. об-ва при Казан, ун-те. Сер. 2», 1916,
т. 21, № 3, с. 99—152; [3] Вариационные принципы механики,
сб. статей, М., 1959; [4] Л а н и о ш К Вариационные прин-
принципы механики, пер. с англ., М., 1965; Г5] П а р с Л. А., Ана-
Аналитическая динамика, пер. с англ., М., 1971; [6] Р о з е Н. В.,
Лекции по аналитической механике, ч. 1, Л., 1938; [7] Ч е т а-
е в Н. Г., Устойчивость движения. Работы по аналитической
механике, М.. 1962. __ В. В. Румянцев.
ВАРИА.ЦИОННЫИ РЯД — расположение значений
случайной выборки (xll ,т2, . . ., .zn) c функцией распре-
распределения /'{х) в порядке их возрастания: жш<.гB) <:. . .
<х{пУ В. р. служит для построения эмпирич. функции
распределения Fn(x)= тхЫ, где тх — число членов ряда,
меньших х. Важными характеристиками В. р. являются
его крайние члены (хщ=тт x[, i(,1)=max x{) и размах
Rn = xin) — хП). Плотности распределения минимального
и максимального членов В. р. в случае
F (х) = \ _ ^ р (у) dy
задаются соответственно выражениями
Для повторной выборки В. р. образует неоднородную
цепь Маркова.
Лит.: [1] Уилкс С, Математическая статистика, пер.
2 англ., М., 1967, гл. 8. А. И. Шалыт.
ВАРИАЦИЯ — термин, введенный в математику
Ж. Лагранжем [1] для обозначения малого смещения не-
независимого переменного или функционала. Метод В.—
метод исследования экстремальной задачи, основанный
на малых смещениях аргумента и изучении того, как в
зависимости от них изменяются функционалы. Этот
метод является одним из основных методов при решении
задач на экстремум (отсюда и назв. Вариационное ис-
исчисление).
Пусть X — нек-рое пространство, на к-ром задан
функционал f(x), a V — пространство нек-рых пара-
параметров. Под вариацией аргумента хо?Х,
понимают обычно кривую x(t, v), a«:i<:P, a<:0, Р;=зО,
v? V в пространстве X, проходящую через х0 в опреде-
определенной близости от ограничений, причем х0 соответ-
соответствует значение t=0. Когда v пробегает множество всех
параметров, вариации пробегают определенное семей-
семейство кривых, исходящих из точки ха. В конечномерном
и бесконечномерном анализе, начиная с первой работы
Ж. Лагранжа, обычно применяют вариации по
направлениям, когда F=X и x(t, v) — xa-\-tv.
В этом случае В. наз. вектор v. Однако в геометрии, в
вариационном исчислении и в особенности в теории оп-
оптимального управления применяют и др. классы В.,
напр. ломаные В., игольчатые В., В.,
связанные со скользящими режимами (см.
[2], [3]). Выбор пространства В. и построение самих В.—
важнейший элемент при получении необходимых усло-
условий экстремума. См. также Вариация функционала,
Гато производная, Фреше производная, Функциональ-
Функциональная производная.
Лит.: [1] Lagrange J., Essai d'une nouvelle mfithode
pour determiner les maxima et les minima des formules int&-
grales indefinies, Turin, 1762; [2] Б л и с с Г. А., Лекции по
вариационному исчислению, пер. с англ., М., 1950; [3] П о н т-
р я г и н Л. С. [и др.], Математическая теория оптимальных
процессов, 2 изд., М., 1969. В. М. Тихомиров.
ВАРИАЦИЯ МНОЖЕСТВА — число, характеризую-
характеризующее fc-мерную протяженность множества в га-мерном
евклидовом пространстве. Нулевая вариация V0(E)
замкнутого ограниченного множества Е есть число ком-
компонент этого множества.
Для простейшего случая плоскости линейная
вариация множества (то есть В. м. порядка
1) Vi (E) есть интеграл
\\(Е)=с ^Яф(а, E)da
от функции
Ф(а, E)
где интегрирование ведется но прямой Па, проходящей
через начало координат, а — угол наклона Па к фик-
фиксированной оси и П^ z — прямая, перпендикулярная к
Па и пересекающая ее в точке z. Нормирующая кон-
константа с выбирается так, чтобы вариация V1 (E) отрезка
Е совпадала с его длиной. Для достаточно простых мно-
множеств, напр, спрямляемых кривых, В. м. равна длине
кривой. Для замкнутой области Е со спрямляемой гра-
границей Г линейная В. м. V1 (E) равна половине длины Г.
Вторая В. м. (то есть В. м. порядка 2) есть двумерная
мера множества Е и Ffe(?) = 0 при fc>2.
Для га-мерного евклидова пространства в а р и а-
ц и е й Vf(E) порядка г=0, 1, . . ., п ограничен-
ограниченного замкнутого множества Е наз. интеграл
•'k
от нулевой вариации пересечения Е с (п— /с)-мерной
плоскостью Р по пространству 0.1 всех (п— /с)-мерных
плоскостей из /?„, с Хаара мерой d[ia, нормированной
так, чтобы единичный /с-мерный куб J^ имел В. м.
В. м. Vn(E) совпадает с n-мерной мерой Лебега мно-
множества Е. Для выпуклых тел В. м. при надлежащей
нормировке совпадает со смешанными объемами Мин-
ковского (см. [4]).
Свойства В. м. 1) Для ЕаН„аЯП' В. м.
Vk(E) не зависит от того, вычисляется она для ЕаЯп
или для
2) В. м. выражаются индуктивно по формуле
rfHp =c(n, к, i) Vk + i(E), k
p
гдес(п, к, i) — нормирующая константа.
3) Условие Vi(E) = 0 влечет Vi + 1(E) = 0.
4) В. м. (в известном смысле) не зависят друг от
друга, т. е. для любой последовательности чисел
я0, й], . . ., ап, где ао>О — целое, 0<а,-<:оо, г=1, . . .,
п— 1; я„ = 0, можно построить множество EczRn, для
к-рого F,-(?) = a,-, г=0,1, . . ., га.
5) F,(?1U^2)=l/,-(^1i)+l7/(?2),ecnn Ег и ?2 не пере-
пересекаются. В общем случае
Vi(E1UE2)<szVi(E1) + Vi(E2).
Для г=0, J, ..., га—1 В. м. Vj не монотонны, т. е.
может оказаться, что Vi(E1)'CVi(E2) для E-^dE2.
6) В. м. полунепрерывны, т. е. если последователь-
последовательность замкнутых ограниченных множеств Е^ сходится
(в смысле метрики уклонений) к множеству Е, то
F0(?)<lim V0(En),
а если, к тому же, равномерно ограничены суммы
V0(Ek)+. . .+ Vi_l(Ek), то
lim Vi(Ek), i = l, ..., га.
7) В. м. F/; (Е) совпадает с /с-мерной Хаусдорфа мерой
множества Е, если F^ + 1 (E) = 0, a
Эти условия выполняются, напр., для дважды глад-
гладких многообразий.
Понятие В. м. возникло в связи с исследованием ре-
решений системы Коши —- Римана и в окончательной фор-
формулировке принадлежит А. Г. Витушкину. В. м. ока-
оказалась полезным аппаратом при решении нек-рых задач
анализа, в частности при изучении суперпозиций функ-
функций многих переменных (см. [1]), а также в вопросах
аппроксимации (см. [2]).
Лит.: It] Витушкин А. Г., О многомерных вариациях,
М., 1955; [2] его же, Оценка сложности задачи табулирова-
табулирования, М., 1959; [31 его же, «Докл. АН СССР», 1966, т. 166,
Mi 5, с. 1022—25; [4] Леонтович А. М., Мельников
М. С, «Тр. Моск. матем. об-ва», 1965, т. 14, с. 306—37; [5] II в а-
нов Л. Д., «Матем. сб.», 1967, т. 72 A14), № 3, с. 445—70;
[6] его же, там же, 1969, т. 78A20), Ml, с. 85—100.
А. Г. Витушпин, Л. Д. Иванов.
ВАРИАЦИЯ ОДНОЛИСТНОЙ ФУНКЦИИ — поня-
понятие теории однолистных функций. Пусть в нек-рой об-
области D плоскости комплексного переменного z заданы
однолистная функция /(z) и зависящее от вещественного
параметра X, 0<Я<Л, Л>0, семейство F(z, X) функций,
однолистных в D при каждом фиксированном Я? [0, Л].
Считая, что F (z, 0) = /(z), образуем разность F (z, X) —
—f(z)s=d) (z, Я). Вариацией re-го порядка, или ге-й
в а р и а ц и е й, и=1, 2, . . ., функции f(z) (по семей-
семейству F(z, К)) наз. коэффициент qn(z) при X" в разложении
Ф (z, Я) по параметру при условии, что остаточный член
имеет порядок малости более высокий, чем X", равно-
равномерно относительно z или в области D, или внутри D,
или в замыкании D. Выбор одного из указанных до-
дополнительных условий обычно предопределяется зада-
задачей, в исследовании к-рой используются вариационные
методы, связанные с В. о. ф.
Впервые вычисления и применения вариаций 1-го
порядка однолистных функций были проведены Ж. Ада-
маром [1], а позднее М. А. Лаврентьевым [2]. Получе-
Получение вариаций в нек-ром классе однолистных функций
нередко (из-за нелинейности семейств таких функций)
представляет сложную самостоятельную задачу. Она
решена для нек-рых классов функций в односвязных
и многосвязных областях.
Лит.: [1] Н а A a m a r d J., Legons sur le calcul des varia-
variations, t. 1, P., 1910; [2] Лаврентьев М. А., «Матем. сб.»,
1938, т. 4D0), № 3, с. 301—458; [3] Г о л у з и н Г. М., Гео-
Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд.,
1966; [4] Б а б е н к о К. И., «Тр. матем. ин-та АН СССР»,
М., 1972, т. 101. И. А. Александров.
ВАРИАЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЯ — числовая характе-
характеристика отображения, связанная с его дифференциаль-
дифференциальными свойствами. Определена С. Банахом [1]. Ниже
дается определение лишь для двумерного случая. Рас-
Рассмотрим отображение
а : a=/(u, v), y=(f(u, v),
где f(u,u) и ф(и, v)—непрерывные на квадрате D0=[0,l] X
Х[0,1] функции. Говорят, что отображение а имеет
ограниченную вариацию, если существует число М>О
такое, что для любой последовательности неперекры,
вающихся квадратов D'czD0 B=1, 2, . . .) со сторонами,
параллельными осям координат и, v, справедливо не-
неравенство
2i'mes-D*</sS M,
где Ехи обозначает образ множества EczDa при отобра-
отображении'а, a mes E ~ плоскую меру Лебега множества
Е. При этом численное значение V(а) В. о. а может быть
определено различными способами. Напр., пусть отоб-
отображение а имеет ограниченную вариацию. Тогда ва-
вариация V (а) может быть определена по формуле
V(a)=
(a)=[ + С° [ + XN (s, t)dsdt,
J -co J - со
где AT(s, t) — число решений системы/(ы, v) = s, ср(ы, v)=~
=-t (индикатриса Банаха отобр жения а).
Если отображение а имеет ограниченную вариацию,
то почти всюду на Do существует обобщенный якобиан
J{Р) (PczDq), к-рый интегрируем на Do. При этом
def mcsKxy
J(P)— lim mesK ,
mes K-+0
где KczD0~ квадрат, содержащий точку PaD0, сто-
стороны к-рого параллельны осям и, v (см. [2]).
Лит.: [1] В а п а с h S., «Fundam. math.», 1925, t.7, p. 225—
36; [2] Кудрявцев Л. Д., в сб.; Метрические вопросы тео-
теории функций и отображений, в. 1, К., 1969, с. 34—108.
Б. И. Голубое.
ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИИ — числовая характеристика
функции одного действительного неременного, связан-
связанная с ее дифференциальными свойствами.
1) Пусть f (х) — функция действительного перемен-
переменного х, заданная на отрезке [а, Ь]\ ее вариация Fq(/).
есть точная верхняя грань сумм вида
где a=xo<ix1<L- ¦ .<х„=Ь — произвольная система то-
точек из [а, Ь]. Это определение предложено К. Жорда-
ном [1]. Если Fq(/)<oo, to говорят, что функция?
/(х) имеет ограниченную (конечную) ва-
вариацию на отрезке [a, b], a класс всех таких функ-
функций обозначают через V [а, Ь] или просто через V. Функ-
Функция f(x) принадлежит классу V [а, Ь] тогда и только тог-
тогда, когда она может быть представлена в виде / (х) =
=fi(x)—f2(x), гДе /i и/2 — возрастающие (убывающие)
на [а, Ь] функции (Жордана разложение функции огра-
ограниченной вариации). Сумма, разность и произведение
двух функций класса V [а, Ь] также есть функция класса
V [а, Ъ]. Это справедливо и для частного двух функций
класса V [а, Ъ], если модуль знаменателя превосходит
положительную постоянную на отрезке [а, Ь]. Каждая
функция класса V [а, Ь] ограничена и может иметь не
более чем счетное множество точек разрыва, причем
все они 1-го рода. Все эти свойства функций класса
V [a, b] установлены К. Жорданом [1] (см. также [2].
с. 234-38).
Функции f(x) класса V [я, Ь] почти всюду дифферен-
дифференцируемы на [а, Ь] и для них имеет место разложение
f{x)=A{x)+S{x) + D(x),
где А (х) — абсолютно непрерывная, S (х) — сингуляр-
сингулярная функция, a D (х) — функция скачков (Лебега раз-
разложение функции ограниченной вариации). Это раз-
разложение единственно, если /(а) = Л (я) (см. [3] и [2],
с. 290).
Первоначально класс V [а, Ъ] был введен К. Жорда-
Жорданом в связи с обобщением Дирихле признака сходимо-
сходимости рядов Фурье кусочно монотонных функций. К. Жор-
дан доказал, что ряды Фурье 2я-периодич. функций
класса V [0, 2я] сходятся в каждой точке действительной
оси. Однако в дальнейшем функции ограниченной ва-
вариации нашли широкое применение в различных обла-
областях математики, особенно в теории интеграла Стилть-
еса.
Иногда рассматриваются классы Уф [а, Ь], к-рые
определяются следующим образом. Пусть Ф (и) (и^.0,
Ф@) = 0) положительная при м>0 монотонно возра-
возрастающая непрерывная функция. Обозначим через
УЬфа (/) точную верхнюю грань сумм вида
где а = хо<л-1<. . .<л-„ = Ь — произвольное разбиение
отрезка [а, Ъ]. Величина УФаA) наз. Ф-в арнацией
функции f(x) на отрезке [а, 6]. Если F0a(/)<oo,
то говорят, что функция f(x) имеет ограниченную Ф-
вариацию на отрезке [я, Ъ], а класс всех таких функций
обозначается через Уф[а, Ь] или просто через F<j> (см.
14], с. 287). При Ф(и) = и получается класс V [а, Ь]
К. Жордана, а при Ф (м) = «..'¦'( 1</><сю) — классы Vp
Н. Винера [5]. Определение класса \тф[а, Ь] предложено
Л. Юнг [6].
Если
то
Уф, [а, Ъ] С 7ф1 [я, Ь].
В частности,
и? и^ ехр( —н~а) ехр( —и~Р)
при l<Sp<<7<°°, 0<а<Р<оо, причем эти вложения
строгие.
Лит.: [1] Jordan С, «С. г. Acad. sci.», 1881, t. 92, № 5,
p. 228—30; [2] H a т a н с о н И. П., Теория функций вещест-
вещественной переменной, 2 изд., М., 1957; ГЗ] Л е б е г А., Интегри-
Интегрирование и отыскание примитивных функций, (пер. с франц.),
М.— Л., 1934; [4] Бари Н. К., Тригонометрические ряды,
М., 1961; [5] Wiener N., «Massachusetts J. Math, and Phys.»,
1924, v. 3, p. 72—94; Г6] Y о u n g L. С, «С. r. Acad. sci.», 1937,
t. 204, JV> 7, p. 470—72. Б. И. Голубое.
2) Для функции нескольких переменных имеются
различные определения вариаций (Арцела вариация,
Витали вариация, Пьерпонта вариация, Тонелли пло-
плоская вариация, Фреше вариация, Харди вариация).
Очень плодотворным оказалось также следующее опре-
определение (см. [1]), основанное на использовании Банаха
индикатрисы. Пусть действительнозначная функция
/(x)=f(xi, . . ., хп) задана и измерима по Лебегу на
n-мерном кубе Qn. Вариацией V^ (/) порядка k(k=l,
2, . . ., п) функции f(x) на кубе Qn наз. число
где vk-i(lt) обозначает (к— 1)-ю вариацию множества
lt= {x : x?Qn, f(x) = t}, а интеграл понимается в смысле
Лебега. Это определение позволяет перенести на функ-
ции нескольких переменных многие свойства функций
ограниченной вариации одного переменного. Напр.:
а) Vn(f + g)*zVn(f) + Vn (g);
Vk(cf)=\c\Vk(f), k = i, 2, ..., п.
б) Если последовательность функций fs(x) (s=l, 2,
. . .) сходится к /(х) равномерно на Qn, то
Fft(/Xlira Vk(fs), к = 1, ..., п.
в) Если функция /(.г) непрерывна на Qn и все ее ва-
вариации конечны, то f(x) почти всюду имеет полный диф-
дифференциал.
г) Если функция/(.г) абсолютно непрерывна иа Qn, то
[ dx.
д) Если функция f(x) непрерывна на кубе Qn со сто-
стороной 2я, имеет конечные вариации всех порядков на
кубе Qn и может быть периодически продолжена с пе-
периодом 2я по каждому аргументу х^, k=i, . . ., п на
все n-мерное пространство, то ее ряд Фурье равномерно
сходится к ней на Qn по Прингсхейму.
Достаточные условия конечности вариаций: если
функция ](х) имеет на кубе Qn непрерывные производ-
производные всех порядков до (п — /с+1)-го включительно, то
ее вариация порядка к конечна. Эта теорема является
окончательной в том смысле, что условия на гладкость
не улучшаемы ни при одном к.
Лит.: [1]Витушкин А. Г., О многомерных вариациях,
М., 1955. А. Г. Витушкин.
ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА, первая вариа-
вариация,— обобщение понятия дифференциала функции
одного переменного, главная линейная часть прираще-
приращения функционала вдоль определенного направления;
используется в теории экстремальных задач для полу-
получения необходимых и достаточных условий экстремума.
Именно такой смысл вкладывается в термин «В. ф.»,
начиная с работы Ж. Лагранжа [1] A760). Ж, Лагранж
рассматривал ио преимуществу функционалы классиче-
классического вариационного исчисления вида:
J (x)= VlL (t, x(t),x(t)) td. A)
J ' О
Если заданную функцию xo(t) заменить на xo(t)-\-
-\-ah(t) и подставить в выражение для J(х), то при до-
допущении о непрерывной дифференцируемости интеграв-
та L имеет место следующее равенство:
/(.го-|-а/г) = /(.г'о)-Ьа/1 (х0) (h)-\-r(a), B)
где |г(а)|—>-0 при а—»-0. Функцию h(t) часто наз. ва-
вариацией функции xa(t) w иногда обозначают
через bx{t). Выражение /, (х0) (к), представляющее со-
собой функционал относительно вариаций h, наз. пер-
первой вариацией функционала J(x) и
обозначают через б/(х0, К). В применении к функциона-
функционалу A) выражение для первой вариации имеет вид:
^ )h(t))dt, C)
где
p(t)=L-x(t, xo(t), xo(t)), q(t)=Lx(t, xB(t), *„(*)).
Равенство нулю первой вариации для всех h является
необходимым условием экстремума функционала J (х).
Для функционала A) из этого необходимого условия и
основной леммы вариационного исчисления (см. Дю-
буа-Реймона лемма) следует уравнение Эйлера:
—jtLk(t, xo(t), xo(t))±Lx(t, xo(t), xo(t)) = 0.
Путем, аналогичным B), оиределяются и вариации
более высоких порядков (см., напр., в ст. Вторая ва-
вариация функционала).
Общее определение первой вариации в бесконечно-
бесконечномерном анализе было дано Р. Гато (R. Gateaux) в 1913
(см. Гато вариация). По сути своей определение Гато
тождественно с определением Лагранжа. Первая вариа-
вариация функционала является однородным, но не обяза-
обязательно линейным функционалом, В. ф. при дополни-
дополнительном предположении о линейности и непрерывности
(по h) выражения 6/ {х0, h) наз. обычно Гато производ-
производной. Термины «вариация Гато», «производная Гато»,
«дифференциал Гато» более употребимы, чем В. ф.;
термин «В. ф.» сохранился лишь для функционалов
классического вариационного исчисления (см. [3]).
Лит.: [1] Lagrange J., Essai d'une nouvelle methode
pour determiner les maxima et les minima des formules integ-
rales indefinies, Turin, 1762; [2] Gateaux R., «Bull. Soc.
Math. France», 1919, т. 47, с. 70—96; [3] Л а в р е н т ь е в М. А.,
Люстерник Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд.,
М,— Л., 1950. В. М. Тихомиров.
ВАРИНГА ПРОБЛЕМА — проблема теории чисел,
сформулированная Э. Варингом (Е. Waring) в 1770 в
следующем виде: всякое натуральное число есть сумма
четырех квадратов, девяти кубов, девятнадцати четвер-
четвертых степеней. Другими словами: для любого п~^2
существует такое к=к(п), зависящее только от п, что
любое натуральное число есть сумма к п-х степеней
неотрицательных целых чисел. Первое общее решение
В. п. с очень грубой оценкой величины к в зависимости
от п дано в 1909 Д. Гильбертом (D. Hilbert), в связи с
чем В. п. иногда наз. проблемой Гильбер-
Гильберта— Варинга. Если через /fe>n(iV) обозначить чис-
число решений в целых неотрицательных числах уравнения
x1+...+x% = N, A)
то теорема Гильберта утверждает, что существует
К=к(п), для к-рого /jt n(N)^si при любом TV^l. В
1928 Г. X. Харди и Дж. И. Лптлвуд (G. H. Hardy, J . Е.
Littlewood), применив к В. п. круговой метод, дока-
доказали, что при к^(п— 2) 2"-х+5 для Jk,n(N) имеет ме-
место асимптотич. формула вида
Jk,n(N) = ANk<n-x+O{Nkln-x-t), B)
где A—A (iV)>co>O, а с0 и у>0 некоторые постоянные.
Следовательно, при N^N0(n) уравнение A) имеет ре-
решение. В связи с этим результатом возникли три про-
проблемы: установить порядок трех величин G(n), g(n),
ко(п) — наименьших целых чисел, для к-рых: а) урав-
уравнение A) разрешимо при k^G(n) и N^N0(n); б) урав-
уравнение A) разрешимо при k^g(n) и Лг^1; в) для величи-
величины Jfr n{N) при k~^sko(n) имеет место асимптотич. фор-
формула B).
а) Известно, что G(ri)^n-~\. В 1934 И. М. Виноградов
при помощи созданного им метода доказал, что
Кроме того, имеется много результатов относительно
G(n) для небольших значений п: GD)=16 (X. Давен-
порт, Н. Davenport, 1939), G C) = 7 (Ю. В. Линник,
1942).
б) В 1936 Л. Диксон и С. Пиллаи (L. Dickson, S. Pil-
lai), применив Виноградова метод, доказали, что
для всех ге>6, для к-рых
4)"-[(*Л--(т)" {[(*)"
Последнее же условие доказано К. Малером (К. Mahler)
в 1957 для всех достаточно больших п.
в) Наилучший результат принадлежит И. М. Вино-
Виноградову, к-рый доказал, что
4 п.
Элементарное доказательство В. п. дано 10. В. Лин-
ником в 1942. Существует много различных обобщений
В. п. (переменные пробегают нек-рое подмножество мно-
множества натуральных чисел; вместо одночленов х'{, х\,...,
х\ в представлении числа N рассматриваются много-
многочлены /х^), /2(^2)» • • •! fk(xk)' вместо уравнения A)
рассматривается сравнение и т. д.).
Особое значение В. п. состоит в том, что при ее реше-
решении созданы мощные методы аналитической теории
чисел.
Лит.: [1] Виноградов И. М., Избранные труды, М.,
1952: [2] его же, Метод тригонометрических сумм в теории
чисел, М., 1971; L3] X у а Л о-г е н, Метод тригонометрических
сумм и его применение в теории чисел, пер, с нем., М., 1964;
[4] Д е л о н е Б. Н., Петербургская школа теории чисел, М.—
Л., 1947; [5] X и н ч и н А. Я., Три жемчужины теории чисел,
2 изд., М.—Л., 1948. А. А, Иарацуба.
ВАРИНЬОНА ТЕОРЕМА — одна из основных теорем
теории скользящих векторов. Согласно В. т., если систе-
система скользящих векторов Fv приводится к одной равно-
равнодействующей F, то момент равнодействующей относи-
относительно нек-рой точки 0 (или оси I) равен сумме моментов
векторов системы относительно той же точки (или оси):
mom0 P = 2v ^v
В. т. установлена П. Вариньоном (P. Varignon,
1687) для случая сходящейся системы сил. Эта теорема
широко используется в геометрич. статике, кинематике
твердого тела, сопротивлении материалов.
В. В. Румянцев.
ВАТСОНА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — интегральное пре-
преобразование g{x) функции /?L2@, 00), определяемое
следующим образом:
^[1d, A)
где х — действительное переменное, ядро а>(х) пред-
представляется в виде
( 4 ) ! it
2 dt B)
г*т я ( 4-+i
(*) = ?l.i.m. \ r-Y
An T -> 00 J — ' J. Ц
A. i. m. означает предел в среднем в L"); причем функция
-2*+гМ удовлетворяет условию
Q(s)Q(l-s)=l.
Достаточными условиями существования ядра t>i(x)
и включения ы<(ж> f L2@, 00) являются
х
— -it
Для функции f?L2@, 00) формула A) определяет поч-
почти всюду функцию g?L2(Q, 00). Формула обращения
для В. п. A) имеет вид
dx j О
В. п. названо по имени Дж. Ватсона [1], впервые рас-
рассмотревшего это преобразование.
Лит.: [1] Watson G. N., «Proc. London Math. Soc»,
Ser. 2, 1933, v. 35, p. 156—99. А.П.Прудников.
ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА МЕТОД — метод пред-
представления правой части системы дифференциальных
уравнений
? = f(t,x) A)
в виде
/С, *) = /о(*. X) + Sg(t, x), 8=1, g=f-f0,
где /0 означает главную (в том или ином смысле) часть
вектор-функции /, a g — совокупность членов второсте-
второстепенного значения. Разбиение / на /0 и g обычно дикту-
диктуется физич. или аналитич. смыслом задачи, описывае-
описываемой системой A). Наряду с A) рассматривают систему
с параметром
^f t, хе), B)
к-рая при е=0 обращается в вырожденную систему
^=/о(',*о). C)
Если /((, х) и g(t, х) голоморфны в окрестности точки
(т, ?), то система B) при достаточно малых по модулю
значениях е имеет решение xe(t; т, |), хе(т> Ti ь)~ ?>
к-рое в окрестности начальных значений (т, |) предста-
вимо в виде ряда по степеням е:
xE(f, т, l)=xa(t; х, D + еф^^т, &)+...
...+е»Фп(г; т, ?)+..., <fk(x;%, ?)=0 D)
(в нек-рых случаях для ф^ задают и ненулевые началь-
начальные значения). Если ряд D) сходится при е=1, то он
доставляет решение системы A) с начальными значе-
значениями (т, ?). Для фактического построения коэффициен-
коэффициентов ф„ достаточно располагать общим решением системы
C) и частным решением z(t; т, 0) любой системы
где h(t) голоморфна в окрестности t=%.
В частности, все ф„ последовательно определяются с
помощью квадратур, если fo(t, х)=Ах, где А — посто-
постоянная матрица.
Особенно широко В. п. м. используется в теории не-
нелинейных колебаний [3] при построении периодич. ре-
решений системы A). См. также Малого параметра метод.
В. п. м. был использован П. Пенлеве (P. Painleve)
для выделения дифференциальных уравнений 2-го по-
порядка, решения к-рых не имеют подвижных критиче-
критических особых точек (см. Пенлеве уравнение). Справедли-
Справедливо утверждение: системами с неподвижными критич.
точками могут быть лишь такие системы A), к-рые после
введения подходящего параметра е имеют в качестве
вырожденных систем C) системы без подвижных кри-
критич. особенностей. В. п. м. широко применяется для по-
построения новых классов существенно нелинейных диф-
дифференциальных систем A) без подвижных критических
особых точек и для исследования систем указанных
классов (см. Особая точка дифференциального урав-
уравнения).
Лит.: [1] Пуанкаре А., Избр. труды, пер. с франц.,
М., 1971, т. 1, с. У—456; [2] Л я п у н о в A.M., Собр. соч.,
М,—Л., 1956, т. II, с. 7—263; [3] Боголюбов Н. II.,
Митропольский Ю. А., Асимптотические методы в
теории нелинейных колебаний, 4 изд., М., 1974; [4] Голу-
Голубев В. В., Лекции по аналитической теории дифференциаль-
дифференциальных уравнений, 2 изд., М.— Л., 1950; [5] Е р у г и н Н. П.,
«Дифференц. уравнения», 1967, т. 3, № 11, с. 1821—63.
Ю, С. Богданов.
ВЕБЕРА УРАВНЕНИЕ — линейное обыкновенное
дифференциальное уравнение 2-го порядка
+-2 х) У = 0> v = const; (*)
точка х= оо является для него сильно особой точкой.
Уравнение этого вида впервые было рассмотрено Г. Ве-
бером в теории потенциала в связи с параболич. цилинд-
цилиндром (см. [1]); оно возникает при разделении перемен-
переменных в уравнении Лапласа в параболич. координатах.
В. у. заменой у=^х~~ ^ш, z=.z2/2 приводится к Уитте-
кера уравнению и представляет собой частный случай
вырожденного гипергеометрического уравнения. Замена
у=и ехр( — х2/&) приводит В. у. к виду
и" — хи'-\-\и=0.
Решения уравнения (*) наз. функциями па-
параболического ци л.и н д р а, или функ-
функциями Вебера— Эрмита. В частности, если
v — целое неотрицательное число, то уравнению (*)
удовлетворяет функция
г/ = ехр (—ж2/4)Яv (х),
где IIv (х) — Эрмита многочлен (см. [2] — [4]).
Лит.: [1] Weber H., «Math. Ann.», 1869, Bd 1, S. 1—36;
[2] У и т т е к е р Э. Т., В а т с о н Д ж. Н., Курс совре-
современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; [3] Бейт-
мен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции.
Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортого-
ортогональные многочлены, пер. с англ., 2 изд., М.. 1У74; [4] Я н-
к с Е., Э м де Ф., Леш Ф., Специальные функции. Формулы,
графики, таблицы пер. с нем. 2 изд., М., 1968. Н. X. Розов.
ВЕБЕРА ФУНКЦИЯ — функция
^v 00 = -М " sin (\в — z sin 9) d0,
где z — комплексное, v — действительное, удовлетво-
удовлетворяющая неоднородному Бесселя уравнению:
Z2(/"+Zi/'+(z2-V2)y=~n-1[B+vL- (z—v)COSVJl].
Для нецелых v справедливо разложение
1 +cos vn г z z3
-v2 A2-v2) C2-v2)
+ A2-V2) C2-v2) E2-v2) ~~ ¦ • ¦ J •
При |z|—>-oo и |argz|<n/2 имеет место асимптотич
разложение
Ev(z)fb— Nv(z) — I 1 -2 r-
(l«-v2) C2-v2) "I l-cosvnTjv vB2-v2) ,
~> 7* ¦¦¦J яг \_T 7' i~
i v B2-v2) D2-v2) -|
+ 2i ¦ ¦ ¦ j ,
где Nv — Неймана функция. Если v не целое, то В. ф.
связана с Ангера функцией Jv (z) следующими соотно-
шениями:
sin \л- Jv (z) =cos уп Еу (z) — E~v (z),
sin vk-Ev (z) — J_v (z) —cos vn- Jv (z).
В. ф. впервые изучалась Г. Вебером [1].
Лит.: [1] Weber H. F., «Zurich Vierteljahresschrift»,
1879, Bd 24, S. 33 — 76; [2] В а т с о и Г. Н., Теория бесселевых
функций, пер. с англ. ч. 1, М., 1949. А. П. Прудников.
ВЕДДЕРБЕРНА — АРТИНА ТЕОРЕМА — теорема,
полностью описывающая строение ассоциативных ар-
типовых колец без нильпотентных идеалов; ассоциатив-
ассоциативное кольцо Я удовлетворяет условию минимальности
для правых идеалов и не имеет нилыютентных идеалов
в том и только том случае, если R есть прямая сумма
конечного числа идеалов, каждый из к-рых изоморфен
полному кольцу матриц конечного порядка над подхо-
подходящим телом, причем это разложение в прямую сумму
единственно с точностью до порядка следования слага-
слагаемых. Эта теорема получена первоначально Дж. Вед-
дерберном (J . Wedderburn) и доказана в окончательной
формулировке Э. Артином [1].
Лит.: [1] Artin E., «Bull. Amer. Math. Soc», 1950,
v. 56, № 1, p. 65—72. К. А. Жевлаков.
ВЕДДЕРБЕРНА — МАЛЬЦЕВА ТЕОРЕМА: пусть
А — конечномерная ассоциативная алгебра над полем
F с радикалом N и пусть факторалгебра A/N — сепа-
рабелъная алгебра (для алгебр над полем характери-
характеристики 0 это всегда выполнено); тогда алгебра А раз-
разлагается (как линейное пространство) в прямую сумму
радикала N и нек-рой полупростой подалгебры S
причем, если имеется другое разложение A=NQ)S1,
где St — полупростая подалгебра, то существует ав-
автоморфизм ф алгебры А, отображающий S на S1 (авто-
(автоморфизм ф является внутренним, т. е. сущест-
существуют элементы а, а'?А такие, что а-а' = а' -а^=0 и
х(р=а-х-а' для всех х?А, где х-у=х-\-у-^ху). Су-
Существование указанного разложения получено Дж.
Веддерберном [1], а единственность (с точностью до
автоморфизма) полупростого слагаемого доказана
A. И. Мальцевым [2]. Эта теорема вместе с теоремой
Веддерберна (см. Ассоциативные кольца и алгебры) о
строении полупростых алгебр составляет центральную
часть классич. теории конечномерных алгебр.
Лит.: [11 Wedderburn J. H. M., «Proc. London
Math. Soc», ser. 2, 1908, v. 6, p. 77—118; [2] Мальцев А. И.,
«Докл. АН СССР», 1042, т. 36, Я« 1, с. 42 — 5; [3] Albert A. A.,
Structure of algebras, N. Y., 1939; [4J Кэртис Ч., P a fl-
flue p И., Теория представлений конечных групп и ассоциатив-
ассоциативных алгебр, пер. с англ., М., 1969. Л. Л. Бопутъ.
ВЕЕР, финитарный п о т о к, — поток л та-
такой, что для всякого узла (nlf ..., пт) из л сущест-
существует лишь конечное число натуральных к, для к-рых
(я], ..., пт, к) является узлом я.
На языке формального интуиционистского матема-
тич. анализа формула Fan (я), выражающая понятие
«функция а задает В.», записывается в виде
Spr(a)& Ух (a (i)=0d Зу Vz (а (ar*z)=OZ3 z < у)),
где Spr(a) означает «функция а задает поток».
Теорема Брауэра о веере: если имеется
правило, согласно к-рому каждому элементу В. сопо-
сопоставлен нек-рый объект, напр, натуральное число, то
вайдется натуральное z такое, что для всякого элемента
B. этот объект определяется уже первыми z значениями
элемента. Теорема Брауэра используется в доказа-
доказательстве многих специфически интуиционистских фак-
фактов, таких, как равномерная непрерывность всякой
действительнозначной функции, заданной на отрезке.
В формальном интуиционистском математич. анализе
теорема Брауэра о В. выводится обычно с помощью
бар-индукции и принципа непрерывности Брауэра (см.
Интуиционизм). На языке этой формальной теории
теорема о В. может быть записана следующим образом:
Fan (а) & (Va ? а) З^ф (а, х) =)
Лит.: Ш Kleene S. С, Vesley Б. Е., The foun-
lations of intuitionistic mathematics, Amst., 1965.
А .Г. Дра?алин.
ВЕЕРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ системы топо-
топологических пространств Ха относи-
относительно системы непрерывных отоб-
отображений /а : Ха—уХ0, а?ЗГ,— подмножество Х%
тихоновского произведения Па,сцХа, рассматриваемое
в индуцированной топологии и состоящее из таких
точек х--={ха }^Па€9(А'а, для к-рых faxa =ja'Xa> при
любом выборе индексов а и а' из Э(. Отображение,
ставящее в соответствие точке я= {ха } ? Л\л точку
ха €^а (соответственно точку faxa^X0), наз. проек-
проекцией В. п. А%, в Ха, «631 (соответственно в Хо).
Если пространство Хо одноточечно, то X„(=!!„ €Ч1Ха.
Если Ха, а?21,— вполне регулярные пространства,
то В. п. Xjj вполне регулярно. В. п., и особенно их
частный случай — частичное произведение, хорошо
приспособлено к построению универсальных (в смысле
гомеоморфного вложения) топологич. пространств дан-
данного веса и данной размерности (см. Универсальное
пространство). Б. А. Пасынков.
ВЕЙВУЛЛА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — специальный вид
распределения вероятностей случайных величин Xw;
характеризуется функцией распределения
„ ., . /l— ехр { — (Lz»Y \ при t > а, . .
v 0 при t < |х,
где р — параметр формы кривой распределения, а —
параметр масштаба, (i — параметр сдвига. Семейство
распределений (*) названо по имени В. Вейбулла [1],
впервые использовавшего его для аппроксимации экс-
экспериментальных данных о прочности стали на разрыв
при усталостных испытаниях и предложившего методы
оценки параметров распределения (*). В. р. принад-
принадлежит к асимитотич. распределению третьего типа
крайних членов вариационного ряда. Оно широко ис-
используется для описания закономерностей отказов ша-
шарикоподшипников, вакуумных приборов, элементов элект-
электроники. Частными случаями В. р. являются экспонен-
экспоненциальное (р=1) и рэлеевское (р = 2) распределения.
Кривые функции распределения (*) не принадлежат
семейству распределений Пирсона. Имеются вспомо-
вспомогательные таблицы для вычислений функции распреде-
распределения Вейбулла (см. [2]). При [х=0 квантиль уровня q
равна а[ — 1пA — д)]1^,
где Г (х) — гамма-функция; коэффициент вариации,
асимметрия и эксцесс не зависят от а, что облегчает
их табулирование и создание вспомогательных таблиц
для получения оценок параметров. При р>1 В. р.
унимодально, мода равна а(р — 1)'^, а функция опас-
опасности отказов X(t)=ptP~1/aP не убывает. При р<1
функция k(t) монотонно убывает. Можно построить
так. наз. вероятностную бумагу Вей-
Вейбулла (см. [3]). На ней Fw(t, p, а, 0) трансформи-
трансформируется в прямую, при |х>0 образ Fw(t, p, а, ц.) имеет во-
вогнутость, а при (х <0 — выпуклость. Оценки параметров
В. р. по методу квантилей приводят к уравнениям сущест-
существенно более простым, чем по методу максимального
правдоподобия. Совместная асимптотич. эффективность
оценок параметров р и а (при |х=0) по методу кван-
квантилей максимальна (и равна 0,64) при использовании
квантилей уровня 0,24 и 0,93. Функция распределения
(*) хорошо аппроксимируется функцией распределе-
распределения логнормального распределения
с
(Ф (х) — функция распределения нормированного нор-
нормального распределения, — оо<6<оо, — оо<а<со, с>0):
inf sup
Fw(t, p, a, 0)—Ф
/In t- a\
¦
р, о а, с t
'Inl- a\
= inf sup
а, с t
Fw(t, 1, 1, 0)-Ф
= 0,038.
Лит.: [1] W с i b u 1 1 W., A statistical theory of the
strength of materials, Stockh., 1939; [2J Г н е д е и к о Б. В.,
Беляен Ю. К., Соловьев А. Д., Математические методы
в теории надежности, М., 1965; [3] J о h n s о n L., The statistical
treatment of fatigue experiments, Amst., 1964; [4] Крамер
Г , Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд.,
М , 1975. Ю. И. Беляев, Е. В. Чепурин.
ВЕЙЕРШТРАССА КОЛЬЦО — локальное гензелево
псевдогеометрическое (см. Геометрическое кольцо) коль-
кольцо, каждое факторкольцо к-рого по простому идеалу
является конечным расширением регулярного локаль-
локального кольца. В. к. аналитически неприводимо. Любое
конечное расширение В. к. есть В. к. Примерами В. к.
являются аналитические кольца (кольца сходящихся
степенных рядов) над совершенным полем, для к-рых
имеет место подготовительная Вейерштрасса теорема.
Лит.: [1] N a gat a M., Lokal rings, N. Y., 1962; [21
Seydi H., «Bull. Soc. Math. France», 1971, t. 95, p. 227—35.
ВЕЙЕРШТРАССА КООРДИНАТЫ — один из "видов
координат в эллиптическом пространстве. Пусть М" —
эллиптическое пространство, a S — изометричное ему
пространство, полученное отождествлением диаметраль-
диаметрально противоположных точек единичной сферы 5" (п-\-1)-
мерного евклидова пространства. В. к. (х0, хх, .. ., хп)
точки пространства Мп есть декартовы прямоугольные
координаты соответствующей ей по пзометрик точки
сферы S". Вследствие неоднозначности изометрич.
отображения Мп на S" В. к. определены с точностью
до знака. Гиперплоскость в Мп задается линейным
однородным уравнением
где a,=const^=0. В. к. названы по имени К. Вейерштрас-
Вейерштрасса (К. Weierstrass), к-рый пользовался ими в своих лек-
лекциях по геометрии Лобачевского в 1872. Е- В. Шикин.
ВЕЙЕРШТРАССА КРИТЕРИЙ минимально-
минимальности поверхности: для того чтобы двумерная
поверхность в гс-мерном евклидовом пространстве
Еп, п^З, принадлежащая в изотермич. координа-
координатах и и v классу С'2, была минимальной, необходимо
и достаточно, чтобы компоненты ее радиус-вектора
были ГЭрМОНИЧ. ФУНКЦИЯМИ ОТ (и, V). Ц. X. Сабитов.
ВЕЙЕРШТРАССА ПРИЗНАК равномерной
сходимости — утверждение, дающее достаточ-
достаточные условия равномерной сходимости ряда или по-
последовательности функций посредством сравнения их
с соответствующими числовыми рядами и последова-
последовательностями; установлен К. Вейерштрассом [1]. Если
для ряда
составленного из действительных или комплексных
функций, определенных на нек-ром множестве Е,
существует числовой сходящийся ряд
такой, что
\ип(х)\^,ап, ге = 1, 2, . . .,
го исходный ряд сходится равномерно и абсолютно
на множестве Е. Напр., ряд
sin nx
XL
абсолютно сходится на всей действительной оси, по-
зкольку
sin пх
и ряд
зходится.
Если для последовательности действительных или
комплексных функций fn(x), n=l, 2, ..., сходящейся
на множестве Е к функции /(х), существует бесконечно
малая числовая последовательность а„ такая, что
\f(x)~1n {x)\ <«„, х?Е, п—1, 2, ..., то данная гю-
зледовательность сходится на множестве Е равномер-
яо. Напр., последовательность
равномерно на всей действительной оси сходится к
функции f(x) = l, так как
|1-/в(*I<7Г и ЛШ» ^=°*
В. п. равномерной сходимости переносится на функ-
функции, значения к-рых лежат в нормированных линей-
линейных пространствах.
Лит.: [1] Weierstrass К., Abhandlunsren aus der
Funktionenlehre, В., 1886; Math. Werke, Bd 2, В., 1895.
Л. Д. Кудрявцев.
ВЕЙЕРШТРАССА ТЕОРЕМА — 1) В. т. о беско-
бесконечном произведении [1]: для любой наперед
заданной последовательности точек плоскости С ком-
комплексного переменного z
О, .. ., О, «J, а2, . . .,
0< |аА|<|а*+1|, к = 1,2,...; lim |аА| = оо, W
существует целая функция, имеющая нулями точки а*
этой последовательности и только их. Эта функция
может быть построена в виде канонического произведения
где К — кратность нуля в последовательности A), а
— . . 7 . 22 2 «
k
Множители
наз. первичными, или примерными, мно-
множителями Вейерштрасса. Показатели ть
в них выбираются так, чтобы обеспечить сходимость
произведения B), напр., выбор т^ = А: обеспечивает
сходимость B) для любой последовательности вида A).
Из этой теоремы вытекает также, что любая целая
функция f(z) с нулями A) имеет вид
f(z) = ee(z)W(z),
где W(z) — канонич. произведение B), ag(z) — нек-рая
целая функция (см. также Адамара теорема о целых
функциях).
В. т. о бесконечном произведении обобщается на
случай произвольной области DczC: какова бы ни была
последовательность точек {«д}сО, не имеющая пре-
предельных точек в D, существует голоморфная в D функ-
функция /, имеющая нули в точках а^ и только в них.
Утверждение теоремы в части, касающейся сущест-
существования целой функции с произвольно заданными ну-
нулями, обобщается следующим образом на функции
многих комплексных переменных: пусть каждой точке
а комплексного пространства С", и>1, поставлена в
соответствие нек-рая ее окрестность L'a и голоморфная
в Uа функция fa- При этом, если пересечение Ua П ?.'|3
окрестностей точек а, Р?С" не пусто, то отношение
/а'/р 7=0 в Ua П ? Р есть голоморфная функция. При
этих условиях существует целая функция / в С" такая,
что отношение f,'fa есть голоморфная функция в любой
точке сс?С". Это утгерждение известно как вторая
теорема Кузена (см. также Кузена проблемы).
Лит.: [1] Weierstrass К., Math. Werke, Bd 2, В.,
1895; Г2] М а р к у ш е в и ч А. И., Теория аналитических
функций, т. 2, 2 изд., М., 1968; [3] Ш a G а т Б. В., Введе-
Введение в комплексный анализ, ч. 1—2, 2 изд., М., 1976.
Е. Д. Соломенцев.
2) В. т. о приближении функций: для
любой действительной непрерывной на отрезке [а, Ь]
функции f(x) существует последовательность алгебра-
ич. многочленов Р0{х), Рх(х), ..., Р„{х), ..., равно-
равномерно сходящаяся на [а, Ь] к функции /(х); установлена
К. Вейерштрассом [1].
Аналогичные результаты имеют место во всех про-
пространствах Ь„[а, Ъ]. Усилением этой В. т. является
Джексона теорема.
Эта теорема справедлива также для действительных
непрерывных 2я-периодпч. функций и тригонометрия,
полиномов или, напр., для действительных функций,
непрерывных на ограниченной замкнутой области т-
мерного пространства, и многочленов от т переменных.
Об обобщениях см. Вейерштрасса — Стоуна теорема.
О приближении функций комплексного переменного
многочленами см. [3].
Лит.: 11] Wei erst ra ss К., «Sitzungsber. Acad.
Berlin», 1885, S. 633—9, 789—805; 12] A x и е з е р Н. И.,
Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965; [3] Ш а-
бат Б. В., Введение в комплексный анализ, ч. 1—2, 2 изд.,
М., 1976. Ю. Я. Субботин.
3) В. т. о равномерно сходящихся ря-
рядах аналитических функций [1 ]: если
члены ряда
равномерно сходящегося внутри области D комплекс-
нон плоскости С, являются аналитнч. функциями в D,
то его сумма s(z) также является аналитич. функцией
в D. Кроме того, ряды
2™ uAm) (z)i
полученные m-кратным почленным дифференцировани-
дифференцированием ряда (*) при любом т, также равномерно сходятся
внутри D к производным s(m)(z) от суммы ряда (*).
•'(та теорема обобщается на ряды аналитич. функций
многих комплексных переменных, равномерно сходя-
сходящиеся внутри области D комплексного пространства
С", и>1, причем ряды, составленные из частных про-
производных любого порядка от членов ряда (*), схо-
сходятся равномерно к соответствующим частным про-
производным от суммы ряда:
dms(z) V" dmuk(z)
z = (z-l, z2, ...,zn), m=m1-)-m2-|- . . . -\-mn.
E. Д. Соломснцев.
4) В. т. о равномерной сходимости на
р а н н ц е о б л а с т и [1]: если члены ряда
непрерывны в замкнутой ограниченной области D
комплексной плоскости С и аналитичны в J), то из
равномерной сходимости этого ряда на границе области
D вытекает его равномерная сходимость в замкнутой
области D.
Это свойство рядов, составленных из аналитич.
функций, остается справедливым и для аналитич. или
гармония, функций, заданных соответственно в обла-
областях комплексного пространства С", ra^l, или евкли-
евклидова пространства Е", п^2. Вообще, оно остается
справедливым в любой ситуации, где применим мак-
максимума модуля принцип.
Лит.: [1] Weierstrass К., Abhandlungen aus der
Punktionenlehre, В., I860; Math. Werke, Bd 2, В., 1895; [2]
Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного
анализа, 2 изд., пер. с англ., ч. 1, М., 1963, гл. 3; [3] М а р к у-
шевич А. И., Теория аналитических функций, 2 ияд".,
т. 1, М., 1967, гл. 3, т. 2, М., 1968, гл. 7. Е. Д. Соломенцев.
5) В. т. подготовительная — теорема, по-
полученная К. Вейерштрассом [1] и сформулированная им
первоначально в 1860 как подготовительная лемма
при доказательстве существования и аналитичности
неявной функции комплексного переменного, опреде-
определяемой уравнением f(z, w) = 0, левая часть к-рого есть
голоморфная функция двух комплексных переменных.
Эта теорема обобщает на функции многих комплексных
переменных следующее важное свойство голоморфных
функций одного комплексного переменного: если f(z) —
голоморфная функция от z в окрестности начала коор-
координат и /@) = 0, f(z)=?O, то она представима в виде
f(z) = zsg(z), где s — кратность нуля /(z) в начале коор-
координат, s^l, а голоморфная функция g(z) отлична от
нуля в нек-рой окрестности начала.
Формулировка подготовительной
теоремы Вейерштрасса для функ-
функций п комплексных переменных, п^1.
Пусть
/ (z)=/(zl, Z2, ¦•¦; zn)
— голоморфная функция от z= (zlt z2, . .., z,,) в поли-
поликруге
U = {z; \zi\< ah i = l, 2, ..., n},
причем
/@)=0, /@,0, ..., 0, zJ^O.
Тогда в некотором поликруге
V = {z; \zt\ < b;<ai, t = l,2, . . ., n)
функция f(z) представима в виде
где s — кратность нуля функции
f(zn)=/(O, 0, ..., 0, zn)
вначале координат, s>l; функции /у (z1; z2, ..., zn_!)
голоморфны в поликруге
V'={D, 22, ..., zn_!); lz/КЬ,-, i = l, 2, ..., » —1},
/у @,0, ...,0)=0, / = 1, 2, ..., ,;
функция g(z) голоморфна п не обращается в нуль в
полпкруге F. Функции/у (zlf z2, . .., z,,_i), /=1, 2, ...,s,
и g(z) определяются условиями теоремы однозначно.
Вместо начала координат можно принять, изменив
соответственно формулировку, любую точку а= (а1?
а2, .. ., ап) комплексного пространства С". Из подгото-
подготовительной В. т. вытекает, что при ге>1, в отличие от
случая одного комплексного переменного, во всякой
окрестности любого нуля голоморфной функции на-
находится бесконечное множество других ее нулей.
Подготовительная В. т. имеет чисто алгебраич. при-
природу и может быть сформулирована для формаль-
формальных степенных рядов. Пусть C[[zj, z2, .. .,
zr?]] — кольцо формальных степенных рядов от пере-
переменных zb z2, .. ., zn с коэффициентами из поля ком-
комплексных чисел С; / — такой ряд из этого кольца,
члены к-рого имеют низшую степень s^l, причем су-
существует член вида czn, сфО. Тогда / можно предста-
представить в виде
где /ь /2, ...,fs- ряды из кольца СЦг^ z2, ..., zn_,]],
свободные члены к-рых равны нулю, a g — ряд из
C[[z!, z2, ..., zn]\ со свободным членом, отличным от
нуля. Формальные степенные ряды /1; /2, ..., fs и g
определяются по / однозначно.
Иногда подготовительной В. т. наз. следующее у т-
в е р ж д е н и е о делении: пусть ряд
/€ C[[zj, z2, ..., z,,]]
удовлетворяет только что указанным условиям, g —
любой ряд из C[[zj, z2, ..., zn]\. Тогда существуют
такой ряд
h^ C[[*i, Z2, ••¦, zn]]
п такие ряды
ajGC[[zlt z2, ..., «„_!]], aj @,0, .... 0)==0,
/=0, 1, 2, ..., s — 1,
для к-рых выполняется равенство
g = hf + aa + aizn+ ...+as_1zsn-1.
Подготовительная В. т. верна также для колец фор-
формальных ограниченных рядов. Она
дает способ индуктивного перехода, напр., от С[[г1?
z2, . .., zn_i]] к C[[z!, z2, .. ., zn]]. Таким образом уда-
удается установить нек-рые свойства колец С[гх, г2, ...,
zn] и C[[zj, z2, .. ., z,,]], напр., нётеровость и фактори-
альность. Имеется обобщение этой теоремы для диффе-
дифференцируемых функций (см. [6]).
Лит.: [1] Weierstrass К., Abhandlungen aus der
Funktionenlehre, В., 1860; Math. Werke, Bd 2, В., 1895; [2]
Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, ч. 1—2, 2 изд.,
М., 1976; [3] Б о х н е р С, Мартин У., Функции мно-
многих комплексных неременных, пер. с англ., М., 1951, гл. 9; [4]
Ганнинг Р., Росси X., Аналитические функции многих
комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969, гл. 2; [5]
Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии,
М., 1972, гл. 2; [6] М а л ь г р а и ж Б., Идеалы дифференци-
дифференцируемых функций, пер. с англ., М., 1968. Е. Д. Соломенцев.
ВЕЙЕРШТРАССА ТОЧКА — точка на алгебраич.
кривой (или римановой поверхности) X рода g, удов-
удовлетворяющая следующему условию: существует рацио-
рациональная непостоянная функция на X, имеющая в этой
точке полюс порядка не больше g и не имеющая особен-
особенностей в остальных точках X. На X может существо-
существовать только конечное число В. т., причем для g, равного
0 и 1, их нет совсем, а для g^2 В. т. всегда сущест-
существуют. Для римановых поверхностей эти результаты
были получены К. Вейерштрассом (К. Weierstrass).
Для алгебраич. кривых рода g^2 всегда существует
не менее 2g-\-2 В. т., причем точно 2g+2 их имеется
только для гиперэллиптич. кривых. Верхняя граница
для числа В. т. равна (g—l)g(g-\-l). Наличие В. т.
на алгебрапч. кривой X рода g^2 гарантирует сущест-
существование морфизма степени не выше g кривой X на пря-
прямую Р1.
JIuvi.: [ll Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических
функций, М.—Л., 1948; L2] Спрингер Д ж., Введение
в теорию римановых поверхностей, пер. с англ., М., 1960.
В. Е. Воскресенский.
ВЕЙЕРШТРАССА УСЛОВИЯ экстремума —
необходимое и (отдельно) достаточное условия сильного
экстремума в классическом вариационном исчислении.
Предложены К. Вейерштрассом (К. Weierstrass, 1879).
Необходимое условие Вейерштрас-
с а: для того чтобы функционал
= VlL(t, x(t), x(t))dt,
достигал локального сильного минимума на экстремали
xo(t). необходимо, чтобы для всех t, ?(,<:?<:<!, и всех
|^R" выполнялось неравенство
<?>(«, *„(*), xo{t), |)э>0,
где $ — Вейерштрасса (^-функция. Это условие может
быть выражено через функцию
Д(«, х, р, м)=(р, и)-L{t, х, и)
(см. Понтрягина принцип максимума). В. у. (<^^0
на экстремали xo(t)) эквивалентно тому, что функция
\\(t, -го (*). Ро С), «), где р0 (t) =L± (t, x0 (t), xa (t)),
достигает максимума по и при u=xo{t). Тем самым
необходимое В. у. оказывается частным случаем прин-
принципа максимума Понтрягина.
Достаточное условие Вейерштрас-
с а: для того чтобы функционал
J(x)=\tlL(t,x{t), x(t))dt,
достигал локального сильного минимума на вектор-
функции xo(t) достаточно, чтобы в окрестности G кри-
кривой xo(t) нашлась вектор-функция U(t, x) наклона
поля (геодезич. наклона) (см. Гильберта инвариантный
интеграл), для к-рой
xB(t) = U(t, xo{t))
и
для всех (t, x)?G и любого вектора §?R".
Лит.: [1] Лаврентьев М. А., Люстериик
Л. А., Курс вариационного исчисления, 2 изд., М.—Л., 1950; [2]
Б л и с с Г. А., Лекции по вариационному исчислению, пер.
с англ., М., 1950; [3] Понтрягин Л. С. [и др.]. Матема-
Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969.
J9. М. Тихомиров.
ВЕЙЕРШТРАССА ФОРМУЛА для прираще-
приращения функционала — формула классич. ва-
вариационного исчисления, задающая значения функцио-
функционала
J (х)= V1 L (t, х, х) dt, L:RxRnxRn —> R,
в виде криволинейного интеграла от Вейерштрасса
(^-функции. Пусть вектор-функция xo(t) является экст-
экстремалью функционала J (х) и при этом она включена в
поле экстремалей с вектор-функцией наклона поля
U(t, x) и действием S(t,x), соответствующим этому полю
(см. Гильберта инвариантный интеграл). Для любой
кривой y — x(t), лежащей в области, покрытой полем,
имеет место В. ф.:
J(x)=S(t1,x(t1))-S(t0, x(to)
+ <j>y?(t,x,U(t,x),x)dt. A)
В частности, если граничные условия кривых \=x(t)
и Yo=;i;o@ совпадают, т. е. если x(tj)=xo{ti), i=0, I,
то получается В. ф. для приращения функционала:
('). U(t,x(t)), x(t))dt. B)
Иногда формулы A) и B) наз. основной теоре-
теоремой Вейерштрасса.
Лит.: [1] Caratheodory С, Variatiorisrechnimg
und partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, B.—Lpz,,
1935: [2] Я и г Л., Лекции по вариационному исчислению и
теории оптимального управления, пер. с англ., М., 1974; [31
Ахиезер Н. И., Лекции по вариационному исчислению,
М., 1955. В. М. Тихомиров.
ВЕЙЕРШТРАССА ^-ФУНКЦИЯ в классиче-
классическом вариационном исчислении—
функция, выделяющая главную часть приращения
функционала при варьировании экстремали при по-
помощи локальной (игольчатой) вариации с заданным
значегогем ее производной в фиксированной точке
экстремали. Для функционала
J (х)= V1 L (t, x,x)dt, L:RxR"XR" —> R,
J to
^"-функция имеет вид
<g(t, x, x, x') =
= L(t, x, x')—L{t, x, x) — {x'—x, Lk{t, x, x)). A)
Если ввести функцию
П(г, х, р, х')=(р, x')-L(t, х, х')
(см. Лежандра преобразование, Понтрягина принцип
максимума), то ^-функция принимает вид
g(t, х, х, ж') = П(«, х, р, x) — n(t, х, р, х'),
где Р = ^х (', х, х). Общая конструкция, приводящая
к функциям, аналогичным ^-функции A), состоит в
следующем. Пусть f(x) — дифференцируемая или вы-
выпуклая функция, заданная в банаховом пространстве
X, и X* — сопряженное пространство. Если функция
П : X* X Х->-Я определяется равенством
П(х*, х')={х*, x')-f'(x'),
где х* — производная /' (х) функции / в точке х (или
элемент субдифференциала, если / выпукла), то функция
$ (х, х', х*)--=11{х*, х) — П (х*, х')
есть ^-функция, построенная по /. В случае, если /
дифференцируема,
?(х, x') = f(x')-f{x)-<x'-x, /'(*)>, B)
т. е. (^-функция есть разность в точке х' между функ-
функцией / и линейной функцией, касательной к / в х. Срав-
Сравнение формул A) и B) показывает, что ^-функция в
классич. вариационном исчислении получается из кон-
конструкции B) относительно переменных, связанных с
производными, а переменные t, x играют роль пара-
параметров.
Для случая функционала
\ L(t,x,x)dt, t = (tt, ..., tm),
R'
многомерной вариационной задачи ^-функция имеет вид
S (t, х, z, z') = L (t, x, z')-L (t. x, z) —
— (z'—z, Lz(t, x, z)).
Для Лагранжа задачи с ограничениями ф/ (t, x, x) = Q
и множителями Лагранжа Х,-(?), г = 1, ..., s, ^-функция
имеет вид A), где L заменяется на
^"-функция была впервые введена К. Вейерштрассом
в 1879 (см. [1]) и лежит в основе теории вариационного
исчисления. В терминах ^-функции формулируются
необходимое и (отдельно) достаточное условия экстре-
экстремума (см. Вейерштрасса условия), через ^-функции
выражается в виде конечного интеграла приращение
функционала / на экстремали (см. Вейерштрасса фор-
формула для приращения функционала).
Особенно важную роль в вариационном исчислении
играют гладкие функционалы, у к-рых в нек-рой области
параметров <§(¦, х, х')^0 для всех х, х', или, силь-
сильнее, если (§(¦, х, ж')>0 для всех хфх'. Они наз. к в а-
зирегулярными (соответственно р е г у л я р-
н ы м и, или эллиптическими). Для них
всегда выполнены Лежандра условие и необходимое
Вейерштрасса условие, а также справедливы теоремы
существования и регулярности [7].
Лит.: [lj Weierstrass К., Vorlesungen tiber Varia-
tionsrechnung (Math. Werke, Bd 7), Lpz., 1927; [2| С а г a-
thcodory C, Variationsrechnung und partielle Dlffe-
rentialgleichungen erster Ordnung, B.—Lpz., 1935; [3J
В о 1 z a O., Vorlesungen fiber Variationsrechnung, Lpz., 1949;
[4] Ахиезер Н. И., Лекции по вариационному исчисле-
исчислению, M., 1955; [5] Поитрягин Л. С. [и др.], Математи-
Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969; [6J
Hestenes M. R., Calculus of variations and optimal control
theory, N. Y.— L., 1966; [7] Проблемы Гильберта, М., 1969;
[8] Б л и с с Г., Лекции по вариационному исчислению, пер.
с англ., М., 1950. В. М. Тихомиров.
ВЕПЕРШТРАССА ^-ФУНКЦИЯ — см. Вейерштрас-
Вейерштрасса эллиптические функции.
ВЕЙЕРШТРАССА ^-ФУНКЦИЯ — см. Вейерштрас-
Вейерштрасса эллиптические функции.
ВЕЙЕРШТРАССА а-ФУНКЦИЯ — см. Вейерштрас-
Вейерштрасса эллиптические функции.
ВЕЙЕРШТРАССА ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ—
функции, положенные К. Вейерштрассом в основу его
общей теории эллиптических функций, излагавшейся
им с 1862 на лекциях в Берлинском университете (см.
[1], [2]). В отличие от более раннего построения теории
эллиптич. функций, связанного с именами А. Лежандра
(A. Legendre), H. Абеля (N. Abel) и К. Якоби (С.
Jacobi), в основу к-рого были положены эллиптич. функ-
функции 2-го порядка, имеющие в параллелограмме периодов
два простых полюса, основная В. э. ф. имеет в па-
параллелограмме периодов один полюс 2-го порядка.
В теоретич. отношении теория Вейерштрасса более
проста, так как исходная в этой теории функция %> (z)
и ее производная служат образующими алгебраич.
поля эллиптич. функций с заданными примитивными
периодами.
Пэ-функция (^*-ф ункция) Вейерштрас-
Вейерштрасса ^(г) f-знак Вейерштрасса, стилизо-
стилизованная буква «пэ») для заданных примитивных периодов
2со!, 2со3, Im (со3/со1)>О, определяется рядом
fp(z) = 8»(z; 2Ш1, 2ш,) =
= ^Г + с^ + с^+..., A)
где 2Qmu тз=2т1ш1-\-2т3ш3 и целые числа т1, т3 про-
пробегают все значения, кроме пары т1=т3=0. Функция
^>(z) есть четная эллиптич. функция порядка 2, имею-
имеющая в каждом параллелограмме периодов единственный
полюс 2-го порядка с нулевым вычетом. Ее произ-
производная $р' (z) есть нечетная эллиптич. функция по-
порядка 3 с теми же примитивными периодами; $>' (z)
имеет простые нули в точках, конгруэнтных 2соь
2со2=2со1+2<в3, 2со3. Наиболее важное свойство функ-
функции °$> (z) состоит в том, что любая эллиптич. функция
с данными примитивными периодами 2<0i, 2<в3 может
быть представлена в виде рациональной функции от
S?(z) и $>' (z), т. е. J?(z) и $>' (z) являются образую-
образующими алгебраич. поля эллиптич. функций с данными
периодами. Среди однопериодических тригонометрич.
функций аналогом функции jjp (z) служит l/sin2z.
Функция %> (z) удовлетворяет дифференциальному
уравнению
= 0, B)
в к-ром модулярные форма
g2 = 20с2 = 60 V °° т?о \1 ,
g3-=28c4 = 140 V +С° ,р ТГ
наз. относительными инвариантами,
а величины е1=^> BcOi), e2=^Bco2), es=jf>Bco3) -
иррациональными инвариантами
функции ^(z). Абсолютным инвариантом
функции $э (z) наз. всякая рациональная функция от
J = eVg3 или от ^=^1 /Д, где A = gl-21gs есть дис-
дискриминант. Имеется в виду инвариантность отно-
относительно модулярных преобразований (см. Модуляр-
Модулярная функция). В приложениях обычно g2 и g3 — дейст-
действительные; если при этом Д>0, то elt <?2, е3—также псе
действительные. Уравнение B) показывает, что ^ (z)
может быть определена как обращение эллиптического
интеграла I рода в нормальной форме Вейерштрасса:
(г, w) w
Функция ^ (z) отображает взаимно однозначно и кон-
конформно параллелограмм периодов на канонически раз-
разрезанную двулистную компактную риманову поверх-
поверхность F с точками ветвления еи е2, е3, оо рода 1; поверх-
поверхность F иногда наз. эллиптическим обра-
з о м. На главной накрывающей поверхности F указан-
указанный интеграл I рода однозначен и является униформи-
зирующей переменной для F.
Эллиптич. интеграл II рода поля эллиптич. функций
с данными периодами 2%, 2со3 при этой униформизацин
переходит в дзет а-ф у н к ц и ю (?-ф у н к ц и ю)
Вейерштрасса t,(z), определяемую рядом
+ Г2П
Функция ? (г) — нечетная мероморфная функция, свя-
связанная с ^(z) соотношением ?'(z)= —j^(z); она не
является периодической и при добавлении периодов
преобразуется по закону ?(z±2co,)=?(z)±2r),-, где
Т],- = ?((й/). При этом между со17 w3, ^li ^Тз имеет место
соотношение Лсжандра
равносильное соотношению между полными эллиптич.
интегралами:
Произвольная эллиптич. функция /(z) с данными
риодами 2соь 2w3 ?() ф
муле Э р м и т а:
+ (-DV*(^T)jS(v*-1)(—bft)], D)
где С — постоянная, &!, Ь2, ..., bs — полная система
полюсов функции f(z), числа В\, В«, ..., В^. — коэф-
коэффициенты главной части разложения Лорана функции
f(z) в окрестности полюса Ь^. Разложение D) есть ана-
аналог разложения произвольной рациональной функции
на простейшие дроби. Среди тригонометрич. функций
аналогом функции ?(z) является ctg z.
Сигм а-ф у н к ц и я (а-ф у н к ц и я) В е и е р-
штрасса a(z) определяется как бесконечное произ-
произведение
a (z) -
П
* 4- по / у \ 'HI
( 1-50-^ ) е
Функция a(z) есть почетная целая функция с нулями
2Qmu „.,, связанная с функциями ^(z) и ?(z) соотно-
соотношениями:
d2 In g (z) jg , , d In а (г) ,. . ,
она не является двоякопериодическои; имеют место
тождества:
п (z + а 1
а (г-|-2йтл) = (—l)m + n + mn a (z) е mn v ил',
где
Произвольная эллиптич. функция /(г) с периодами
2со!, 2со3 выражается через а (г) в виде:
4 17\ Г ' 1/ а V 2/ ¦ ¦ ¦ \ S)
1 \^* I — ^^ _ 1. ч./_ 1. , _#_ l\J
где С — постоянная; «j, a2, ..., as, bx, b2, ¦ ¦ ¦, bs —
нулевая полная система нулей и полюсов функции
/(г). Среди тригонометрия, функций аналогом функции
a(z) является sin z.
В теории Вейерштрасса имеют также значение с и г-
м а-ф ункции с индексами:
~ ,
е
Функции o(z), o1(z), ct2(z), o3(z) выражаются через
тета-функции д0 (!<•), д1(г), &%(v), Ф3(г) (см. Якоби
эллиптические функции), а функция $ (г) просто вы-
выражается через o(z), o^fz), ct2(z), ag(z), что составляет
вычислительный базис функций Вейерштрасса. Можно
получить и непосредственное выражение В. э. ф. через
эллиптич. функции Якоби, напр. в виде:
g» (z + (о3) - Ч = («з — Ч) el (г У~Ч^з)»
^ (гтш3)- е2 = (е3 — е2) сп2 (г J^ — <?3).
^(г + и3)— <>3 = (е2 — ез) sn2 (z К^ —р3).
В прикладных вопросах обычно заданы относитель-
относительные инварианты g2, #3. При этом для вычисления при-
примитивных периодов 2а»!, 2со3 используется абсолютный
инвариант /=g|/A, к-рый является модулярной функ-
функцией от отношения периодов т=со3/ш1 (см. также Мо-
Модулярная функция).
Лит.: [1] WeierstrassK., Mathematische Werkc. Bd
1—2, В., 1894—95; [21 Schwarz H. A., Formeln und Lehr-
satze zum Gebrauche der elliptischen Funktionen, 2 Aufl.,
В., 1893; [3] Г у р в и ц А., Курант Р., Теория функций,
М., 1968, ч. 2: [4] Уиттекер Э. Т., Ват сон Д ж. Н.,
Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963,
гл. 20; T5J А х и е з е р Н. И., Элементы теории эллиптических
функций, 2 изд., М., 1970. Е. Д. Соломенцев.
ВЕЙЕРШТРАССА — СТОУНА ТЕОРЕМА — широ-
широкое обобщение классической Вейерштрасса теоремы
о приближении функций, принадлежащее М. Стоуну
(М. Stone, 1935). Пусть С(X) — кольцо непрерывных
функций на бикомпакте X с топологией равномерной
сходимости, порожденной нормой
||/Ц=тах|/(х)|, f?C(X),
хеХ
и пусть С0~^С(Х) есть подкольцо, содержащее все
константы и разделяющее все точки из X, т. е. для
любых двух различных точек х±?Х, х2?Х существует
функция /ССо, для к-рой / Ы^/ (.г2). Тогда [С0]=С(Х),
т. е. всякая непрерывная функция на X есть предел
равномерно сходящейся последовательности функций
ИЗ Сп В. II. Пономарев.
ВЕЙЕРШТРАССА — ЭРДМАНА УГЛОВЫЕ УСЛО-
УСЛОВИЯ — дополнительные к Эйлера уравнению необхо-
необходимые условия экстремума, задаваемые в точках, где
экстремаль имеет излом. Пусть
J {х)= [ L (t, х, x)dt
%}
— функционал классического вариационного исчисле-
исчисления, а экстремаль xo(t) непрерывно дифференцируема
в окрестности точки т за исключением самой точки т,
где х0 (t) имеет разрыв. Тогда для того чтобы х0 (t)
давала хотя бы слабый локальный экстремум функ-
функционалу J(х) необходимо, чтобы в угловой точке т
выполнялись равенства
Я(т-0)=Я (т + 0),
где
_ /п = 9?(f, ж0 (t), х„ (i))
дх
а
Н (t)-=(xo(t), p(t))—L(t, xo(t), xo(t)).
Эти равенства и наз. угловыми условиями
Вейерштрасса — Эрдмана (К. Вейер-
штрасс, К. Weierstrass, 1865; Г. Эрдман, 1877, см. [1]).
В. —Э. у. у. означают непрерывность в угловой точке
экстремали канонич. переменных и гамильтониана;
в классич. механике они означают непрерывность в
угловой точке импульсов и энергии.
В регулярных задачах, когда L — строго выпуклая
по х функция, экстремали не могут иметь угловых
точек. Угловые точки появляются, когда Lit, x, х),
а следовательно, и Вейерштрасса ^-функция содержат
отрезки по х. В случае, когда рассматривается Лаг-
ранжа задача с ограничениями ф/(?, х, х)---0 и Лагран-
жа множителями Я/(?), I в В.-Э. у. у. заменяется на
Лит.: [1] Е г d m a n n G., «J. fur Math.», 1877, Bd 82,
S. 21—30: [ 2J В о 1 z а О., Vorlesungen iiber Variationsrechmmg,
Lpz., 1949, S. 367; [3] A x и е з е р Н. II., Лекции по вариа-
вариационному исчислению, М., 1955, с. 17—18. В. М. Тихомиров.
ВЕЙЛЯ ГРУППА—1) В. г. С11мметрнйко/).7евой
система. В зависимости от конкретной реализации
корневой системы рассматривают и различные В. г.;
так возникают В. г. полупростой расщепляемой алгеб-
алгебры Ли, В. г. симметрии, пространства, В. г. алгебраич.
группы.
Пусть G — связная аффинная алгебраич. группа,
определенная над алгебраически замкнутым нолем к.
В. г. группы G относительно тора TcG наз. фактор-
факторгруппа
W(T, G)=Na(T)/Za(T),
рассматриваемая как группа автоморфизмов тора Т,
индуцированных сопряжениями Т с помощью Na(T).
Здесь Nq(T) — нормализатор, a Zq(T) — централиза-
централизатор подгруппы Т в G. Группа W(T, G) конечна. Если
То — максимальный тор, то W(TtG) наз. группой
В е й л я W(G) алгебраической группы
G. Это определение (с точностью до изоморфизма) не
зависит от выбора максимального тора То. Действие
с помощью сопряжений группы Nq(T0) на множестве
Вта Бореля подгрупп в G, содержащих То, индуцирует
просто транзитивное действие W(T0, G) на Вто. Дейст-
Действие Т на G сопряжениями индуцирует присоединенное
действие Т на алгебре Ли (S) группы G. Пусть Ф (Т,
G) — множество ненулевых весов весового разложения
№ относительно этого действия, т.е. ФG\ G) — кор-
корневая система (S) относительно Т (см. Вес представ-
представления). ФG\ G) является подмножеством в группе
Х(Т) рациональных характеров тора Т, причем Ф(Т,
G) инвариантно относительно действия W(T, G) на
Х(Т).
Пусть G — редуктивная группа, Z(G)" — связная
компонента единицы ее центра и То — максимальный
тор. Векторное пространство
X (To/Z (GH)Q = X (To/Z (G)°)®ZQ
канонически отождествляется с подпространством в
векторном пространстве
X (TO)Q = X(TO)®XQ.
Множество Ф(^0! G) (как подмножество в )
является приведенной системой корней в X (T0IZ(G)°)q,
причем естественное действие W(T0, G) на X (T0)q
определяет изоморфизм W(T0, G) с В. г. корневой си-
системы ФG'о, G). Таким образом, W(T0, G) обладает
всеми свойствами В. г. приведенной корневой системы,
напр, она порождается отражениями.
Как обобщение этой ситуации возникает В. г. си-
системы Титса (ее точное определение см. Титса система).
Группа Be и ля W конечномерной
редуктивной алгебры Ли (Й над алгебра-
ически замкнутым полем нулевой характеристики оп-
определяется как В. г. ее присоединенной группы. При-
Присоединенное действие W в подалгебре Картана Ч> ал-
алгебры % является точным представлением W; группу W
часто отождествляют с образом этого представления,
рассматривая ее как соответствующую линейную группу
в *Ц>, порожденную отражениями. Понятие «В. г.» впер-
впервые появилось в работе Г. Вейля [1] для частного случая
рассматриваемых здесь алгебр — для конечномерной
полупростой алгебры Ли над полем комплексных
чисел. В. г. может быть определена и для любой рас-
расщепляемой полупростой конечномерной алгебры Ли
как В. г. ее корневой системы.
Для аффинной алгебраич. группы G, определенной
над алгебраически незамкнутым полем, может быть
определена относительная В. г. А именно, если Т — мак-
максимальный разложимый над к тор группы G, то фактор-
факторгруппа Nq{T)IZq(T) (нормализатора тора Т по его
централизатору в G), рассматриваемая как группа
автоморфизмов Т, индуцированных сопряжениями Т
с помощью элементов из Л(Г), наз. относитель-
относительно й группой Вейля группы G.
О В. г. симметрического пространства см. Симмет-
Симметрическое пространство. В. г. действительной связной
некомпактной полупростой алгебраич. группы совпа-
совпадает с В. г. соответствующего симметрического про-
пространства. Об аффинной В. г. см. Корневая система.
Лит.: [lj W е у 1 Н., «Math. Z.», 1925 Bd 23, S. 271 —
309; 1925, Bd 24, S. 328—95; [2] Б о р е л ь А., Линейные ал-
алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [3J Джекоб-
сон Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М,, 1964; [41 Б у р б а-
к и Н., Группы и алгебры Ли, пер. с франц., М., 1972; [5]
Бор ель А., Тите Ж., «Математика», 1967, т. 11, № 1, с.
43 —111, Л» 2, с. 3 — 31; [6] Брюа Ф., Т и т с Ж., «Матема-
«Математика», 1968, т. 12, Л1 5, с. 19—33; [7] X е л г а с о н С, Диффе-
Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с
англ., М., 1964. В. Л. Попов.
2) В. г. компактной связной группы
Ли G — факторгруппа W~NlT, где N — нормализа-
нормализатор в G нек-рого максимального тора Т группы G.
В. г. изоморфна нек-рой конечной группе линейных
преобразований алгебры Ли t группы Т (изоморфизм
осуществляется с помощью присоединенного представ-
представления N в t) и может быть охарактеризована с помощью
корневой системы Д алгебры Ли g группы G (относи-
(относительно t), а именно: если <Z], ...,аг — система простых
корней алгебры, являющихся линейными формами
на действительном векторном пространстве t, то В. г.
порождается отражениями в гиперплоскостях а,-(х) = 0.
Таким образом, W является группой Вейля системы
Д (как линейная группа в t). W просто транзитпвно
действует на множестве всех камер системы Д (назы-
(называемых в данном случае камерами Вейля).
Следует отметить, что jV не является, вообще говоря,
полупрямым произведением W и Т; все случаи, когда
это так, изучены. В. г. группы G изоморфна В. г.
соответствующей комплексной полуиростой алгебраич.
группы Gp (см. Номплексификация группы JIuj.
А. С. Феденко.
ВЕПЛЯ КОГОМОЛОГИИ — когомологии алгебраич.
многообразий с коэффициентами в поле нулевой ха-
характеристики, обладающие формальными свойствами,
необходимыми для получения Лефшеца формулы для
числа неподвижных точек. Необходимость такой тео-
теории была высказана А. Вейлем [1], показавшим, что
рациональность дзета-функций многообразия и L-
функций многообразия над конечным полем следует из
формулы Лефшеца, а остальные гипотезы о ^-функции
естественно формулируются в когомологических тер-
терминах. Пусть многообразие X есть связная гладкая
проективная схема над фиксированным алгебраически
замкнутым полем к и пусть К — некоторое поле ха-
характеристики 0. Тогда к о г о м о л о г и я м и В е й-
л я с полем коэффициентов К называется контра вари-
антный функтор Х-^-И* (X) из категории много-
многообразий в категорию конечномерных градуированных
антикоммутативных А-алгебр, удовлетворяющий сле-
следующим условиям:
1) Если re=dimX, то Н2п(Х) изоморфно К, и ото-
отображение
Н' (Х)ХЮ"-' (Х)-^#2« (X),
определенное умножением в II* (X), новырождыго при
всех г;
2) Н* (X)(g)KH* (Y) Z.H*(XXY) (формула К ю н-
не т а);
3) Отображение циклов. Существует функторнальный
гомоморфизм ух группы СР(Х) алгебраич. циклов X
коразмерности р в 7/2Р(Х), переводящий прямое про-
произведение циклов в тензорное произведение, и нетри-
нетривиальный в том смысле, что (для точки Р) ур превра-
превращается в канонич. вложение ^ в К.
наз. г-м числом Бетти многообразия X.
Примеры. Если ?=С, то классические когомоло-
гии комплексных многообразий с коэффициентами в С
являются В. к. Если / — простое число, отличное от
характеристики поля к, то этальные i-адические кого-
мологии
являются В. к. с коэффициентами в поле Qi- Для
В.к. верна формула Лефшеца
где (и-А) — индекс пересечения в XXX графика Г
морфизма и с диагональю ДсXX X, интерпретируемый
также как число неподвижных точек эндоморфизма и,
a Tt(ui) — след эндоморфизма к,-, являющегося ог-
ограничением и на II'(X). Более того, эта формула
верна также для соответствий, т. е. элементов
и?Н2п {XXX).
Лит.: [1] Weil A., «Bull. Amer. Math. Soc», 1949, v. 55,
p. 497—508; 12} Dix exposes sur la cohomologie des schemas,
P., 1968, p. 359—86. В. И. Данилов.
ВЕЙЛЯ КРИТЕРИЙ — основной критерий, с по-
помощью к-рого для бесконечной последовательности
(хп) любых действительных чисел хп решается вопрос
о ее равномерном распределении по mod 1, т. е. уста-
устанавливается существование предела:
i*m (У ,
где 0<:а<Р-<1, {хп} ~ дробная часть хп. По В. к.
последовательность \хп} тогда и только тогда равно-
равномерно распределена по mod 1, когда
Mm -|У" exp Bnimxn)=0
N " **п \
для всех целых тфО. В. к. доказан Г. Вейлем (Н. Weyl,
1916). См. Вейля метод.
Лит.: [1] Кассе л с Д ж. В. С, Введение в теорию
диофантовых приближений, пер. с англ., М., 1961.
Б. М. Бредихин.
ВЕЙЛЯ МЕТОД в теории чисел — метод для
получения нетривиальных оценок трнгонометрич. сумм
вида
где
/ (х) = апх" 4- . . . + а1ж,
а ап, ..., dj — любые действительные числа. В. м.
был разработан Г. Вейлем [1] для установления кри-
критериев равномерного распределения (см. Вейля кри-
критерий).
Сущность В. м. заключается в следующем. Сумма
A) возвышается в степень ро=2"-1 путем последова-
тельных возвышений в квадрат с целью понижения
степени многочлена i{x). Напр., на первом шаге
где суммирования производятся по интервалам длины
f (x + K^ — f (x) = nan'klx"-^-\- . . .
является многочленом степени ге—1 относительно х
(символы О(Р), <^Р обозначают величины порядка Р).
На (и— 1)-м шаге приходят к внутренней сумме
где Рг<Р, а=и! ^2---^n-ian. ^/?=0. Суммы вида
B) оцениваются с помощью неравенства:
\S(a)\<rmn(plf __±_
В результате получается оценка:
Из неравенства C) выводятся различные оценки суммы
A) в случае, когда :—: г будет величиной малой
по сравнению с Р. Эти оценки зависят от точности, с
к-рой коэффициент ап многочлена f(x) аппроксими-
аппроксимируется рациональными дробями.
Пример. Пусть
!¦?¦• {а<q)=l-
Тогда имеет место неравенство
г q [ р > q ' рп j
В частности, если
В. м. позволил решить в первом приближении ряд
важных проблем теории чисел. С помощью оценки C)
и ее следствий было исследовано распределение дробных
долей многочлена f(x). Решение Варинга проблемы,
данное в 1919 Г. X. Харди (G. H. Hardy) и Дж. И. Литл-
вудом (J. E. Littlewood), опиралось на оценки сумм
A) с помощью В. м. При этом им удалось оценить
значения г-=г(к), для к-рых уравнение
(iV>0 — целое, х; — целые) разрешимо или даже
имеет асимптотику для числа решении. Обобщение
оценки C) на случай функций f(x), не являющихся
многочленами, но в известном смысле близких к ним,
привело к улучшению нек-рых теорем в теории распре-
распределения простых чисел (оценка разности соседних про-
простых чисел, оценка остаточного члена в асимптотич.
формуле для числа n(N) простых чисел, не превосхо-
превосходящих Лг).
Недостаточная сила оценок, получаемых с помощью
В. м., объясняется высокой степенью р0, в к-рую воз-
возвышается сумма S(f). Нек-рое усовершенствование
оценок сумм A) дал И. ван дер Корлют (J. van der
Corput). С помощью Виноградова метода получается
весьма точная оценка сверху для интеграла
уже при Ь^сп2 (с>0 — константа, п^2). Из этой
оценки (см. Виноградова теорема о среднем) выводятся
принципиально новые оценки сумм Вейля A) (с пони-
понижающим множителем Р—Р, р=с1п21шг, сх>0 — кон-
константа), недосягаемые для В. м.
Лит.: [1] W е у 1 Н., «Math. Ann.», 1916, Bd 77, S. 313 —
52; [2] Виноградов И. М., Метод тригонометрических
сумм в теории чисел, М., 1971. Б. М. Бредихин.
ВЕЙЛЯ ОБЛАСТЬ — частный случай аналитиче-
аналитического полиэдра. Ограниченная область D ге-мерного
комплексного пространства С" наз. областью
Вейля, если существует N^n таких функций /,-(z),
i=l, 2, . .., N, голоморфных в фиксированной окрест-
окрестности U(D) замыкания D, что:
1) D = [z:\fi(z)\ < 1, 1 = 1, 2, ..., JV; z^U (D)];
2) грани В. о. D, т. е. множества
<Ji = {z?D; |/,-(z)| = l, \fj(z)\^l, ]ф1],
имеют размерность 2п— 1;
3) ребра В. о. D, т. е. пересечения любых к
B<fc<rc) различных граней, имеют размерность <:2п — к.
Совокупность всех re-мерных ребер В. о. наз. осто-
остовом В. о. Для В. о. справедливо интегральное Берг-
Бергмана — Вейля представление. Названа по имени А. Вей-
Вейля, к-рому принадлежат первые важные результаты
для этой области [1].
Лит.: [1] Weil A., «Math. Ann.», 1935, Bd 111, S. 178—
82; [2] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ,
ч. 1—2, 2 изд., М., liO6; [3J Владимиров В. С, Методы
теории функций многих комплексных переменных, М., 1964.
М. Ширинбеков.
ВЕЙЛЯ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ —
класс WP-rni комплекснозначных почти периодических
функций f(x), — ooO<oo, суммируемых со степенью
р в каждом конечном интервале действительной оси
и обладающих, при нек-ром 1=1 (е, /), относительно
плотным множеством S1}, г-почти периодов; определены
Г. Вейлем [1]. Класс WP-nn является расширением
класса Степанова почти периодических функций.
В. п. п. ф. связаны с метрикой
WP(f,g)={ Hm sup ^LCx+l\f{t)-g(t)\Pdt\1/p.
Если <р(ж) нулевая функция в метрике WP, т. е.
lim sup ~ Гх + ' | ф (t) \P dt=O,
a f(x) — почти периодическая функция Степанова, то
есть В. п. п. ф. Существуют (см. [3]) В. п. п. ф., не
представимые в виде (*).
Лит.: Ш W с у 1 Н., «Math. Ann.», 1926, Bd 97, S. 338 — 56;
[2] Левитан Б. М., Почти периодические функции,
М. 1953; [3J Левитан Б. М., Степанов В. В., «Докл.
АН СССР», 1939, т. 22, Л» 5, с. 229—32. Е. А. Бредихина.
ВЕЙЛЯ ПРОБЛЕМА — проблема реализации в трех-
трехмерном евклидовом пространстве регулярной метрики
положительной кривизны, заданной на сфере; т. е.
вопрос о существовании регулярного овалоида, мет-
метрика к-рого совпадала бы с заданной. В. п. была по-
поставлена Г. Вейлем (Н. Weyl, 1915; см. [1]). X. Левн
(Н. Lewy, 1937; см. [2]) дано решение В. п. в случае
аналитич. метрики: заданная на сфере аналитич.
метрика положительной кривизны всегда реализуется
на нек-рой аналитич. поверхности трехмерного евкли-
евклидова пространства. Теорема А. Д. Александрова о
реализации метрики положительной кривизны выпук-
выпуклой поверхностью в соединении с теоремой А. В. Пого-
релова о регулярности выпуклой поверхности с регу-
регулярной метрикой дают полное решение В. п. (см. [3],
с. 121). А именно, регулярная метрика класса С, п>2
с положительной гауссовой кривизной, заданная на
многообразии, гомеоморфном сфере, реализуется замк-
замкнутой регулярной выпуклой поверхностью по крайней
мере класса Cn~1+a, 0<:а<:1. Если метрика анали-
аналитическая, то поверхность аналитическая. В. п. для
случая общего трехмерного риманова пространства
поставлена и решена А. В. Погореловым ([3], гл. 6).
Лит.: [l] В о й л ь Г., Успехи матсм. наук, 1948, т. 3,
в. 2, с. 159—90: [2] Лев и Г., там же, с. 191—219; [3] П о-
горелов А. В., Внешняя геометрия выпуклых поверхнос-
поверхностей, М., 1969, гл. 5 — 7. Е. В. Шикин.
ВЕЙЛЯ СВЯЗНОСТЬ — аффинная связность без
кручения на рнмановом пространстве М, обобщающая
Леои-Чивита связность в том смысле, что ковариант-
ный дифференциал метрич. тензора g;j пространства М
относительно нее необязательно равен нулю, но яв-
является пропорциональным самому тензору g,y. Если
аффинная связность на М задана с помощью матрицы
локальных форм связности
\
и ds2=g,-j<i>'(i)J, то она является В. с.тогда и только тог-
тогда, когда
dgij =gk/to'' + gik <B* -Г Qgij . B)
Другая, эквивалентная форма этого условия:
Z<X, y> = <VzA', У> + <Х, VzY> + Q(Z)<.X, Y>,
гДе Vz^ ~ ковариантная производная X по Z — оп-
определяется формулой
<»'¦ (VzX) = 2@' (X) +(й\ (Z) (о* (X).
Относительно локального поля ортонормированных
реперов, где ?,у=6/у, имеет место
to[+(oj+ 6J6=0,
то есть В. с. для нек-рой римановой метрики на М яв-
является каждая аффинная связность без кручения,
голономии группа к-рой является группой подобий
или нек-рой ее подгруппой.
Если в A) u>' = dx', то в случае В. с.
где в = 9дЛгй. Так как
то тензор
наз. (сю Вейлю) тензором кривизны на-
напр а в л е н и й, антисимметричен по обеим парам
индексов:
В. с. введена Г. Вейлем [1].
Лит.: [llWeyl H., «Math. Z.», 1918, Bd 2, S. 384—411;
[2] Н о р д е н А. П., Пространства аффинной связности,
М.—Л. 1950; [3] Folland G. В., «J. Different. Geom.»,
1970, v. 4, p. 145 — 53. Ю. Г. Лумисте.
ВЕЙЛЯ СУММА — тригонометрическая сумма вида
^(i)=SUl</w'w о
где
/( +
а а„, ... , ссх — любые действительные числа. В. с.
применяются при решении многих известных проблем
теории чисел. Первый метод нетривиальных оценок
сумм (*) был разработан в 1916 Г. Вейлем (см. Вейля
метод). Принципиально лучшие оценки В. с. были по-
получены в 1934 И. М. Виноградовым с помощью создан-
созданного им нового метода оценок тригонометрич. сумм (см.
Виноградова метод). ?• М. Бредихин.
ВЕЙЛЯ — ШАТЛЕ ГРУППА — группа главных од-
породных пространств над абелевым многообразием.
То, что для любого абелева многообразия А над полем
к множество \ХС(А, к) главных однородных прост-
пространств над А, определенных над к, обладает групповой
структурой, было доказано А. Вейлем [1], а в одном
частном случае — Ф. Шатле (F. Chatelet). Группа
WC (А, к) изоморфна одномерной группе Галуа кого-
тологий Нх(к, А). Группа WC(А, к) всегда периодична,
кроме того, в случае k=Q в ней имеются элементы
произвольного порядка (см. [4], [5]). Согласно теореме
Ленга WC(A, к)=0, если к — конечное поле. Для
любого элемента D ?\\С(А, к) определен показатель
/=тс1д, (D), равный наименьшей степени расширения
К!к, для к-рого существует ^-рациональная точка D.
В случае, когда сПтЛ = 1 и к — поле алгебраич. функ-
функций над алгебраически замкнутым полем констант или
локальное поле, / совпадает с порядком D в группе
\\"С(Л, к) (см. [6], [10]). В общем случае эти числа
различны, однако всегда ord (D) делит / (см. [7]). Для
локальных полей к группа WC{A, к) вычисляется (см.,
напр., [6], [8], [9]).
Если к — глобальное поле, то основой для вычис-
вычисления группы \\'С(Л, к) являются гомоморфиз-
гомоморфизмы редукции
yv-.W'CiA, k)—> WCD, kv),
где v — произвольное нормирование поля к, a kv —
пополнение к относительно v. Ядро Ш (А) гомоморфизма
наз. группой Тейта — Шафаревнча абелевого много-
многообразия А, вычислено только в случае, когда к — ноле
алгебраич. функций от одного переменного над алге-
алгебраически замкнутым полем констант (см. [5], [8],
[11]). В этом же случае описано и коядро ф (все
с точностью до р-компоненты, где р — характеристика А-).
Результаты этих вычислений применяются в теории
эллиптнч. поверхностей. В случае, когда к — поле алгеб-
алгебраич. чисел, структура группы Ш(Л) мало изучена.
Лит.: [1] W e i I A., «Amer. J. Math.», 1955, v. 77, Xb 3,
p. 493—512; [2] Башмаков М. И., «Успехи матем. наук»,
1972, т. 27, в. 6, с. 25—66; 13] К а с с е л с Д ж., «Математика»,
(CG. переводов), 1968, т. 12, № 1, с. 113 — 60; ЛЬ 2, с. 3—49;
[4] Шафаревич И. Р., «Докл. АН СССР», 1957, т. 114,
№ 2, с. 267—70; [5] его же, там же, 1957, № 4, с. 714—
6; [6 ] е г о же, «Труды Матем. ин-та АН СССР», 1961, т. 64,
с. 316—46; [7] Lang S., Tate J., «Amer. J. Math.», 1958,
v. 80, Л» 3, p. G59—84; [8] О fif g A. P., «Ann. Math.»,
1962, v. 76, №2, p. 185—212; [9] Tate J., в кн.: Semin.
Bourbaki, 2 6d., P., 1958, t. 10, exposes 156, p. 1 — 13; [101 L i с h-
t e n b a u m S., «Amer. J. Math.», 1968, v. 90, № 4, p. 1209—23;
[11] R о у n a u d M., в кн.: Semin. Bourbaki, 2 ed., P., 1964/65,
exposes 286. И. В. Долгачев.
ВЕЙНГАРТЕНА ДЕРИВАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ —
формулы, дающие разложение производной единич-
единичного вектора нормали к поверхности по первым произ-
производным радиус-вектора этой поверхности. Если »•=
= »-(м, v) — радиус-вектор поверхности, п — единич-
единичный вектор нормали н Е, F, G, L, М, N — коэффици-
коэффициенты соответственно первой и второй квадратичных
форм поверхности, то В. д. ф. имеют вид
FM-GL FL-EM
Пи~~ KG-F* Г" + EG-F* Гг"
__ FN-GM | FM -EN
"v ~ EG-F' Ги ' EG-F* rv
В. д. ф. установлены Ю. Вейнгартеном (J. Weingar-
ten, 1861).
Лит.: [1] Р а ш е в с к и й П. К., Курс дифференциальной
геометрии, 4 изд., М., 1956. А. Б. Иванов.
ВЕЙНГАРТЕНА ПОВЕРХНОСТЬ — поверхность,
средняя кривизна к-рой связана с ее гауссовой кривиз-
кривизной функциональной зависимостью. Для того чтобы
поверхность S была В. п., необходимо и достаточно,
чтобы обе полости ее эволюты были наложимы на
поверхности вращения, п ребра возврата нормалей
линии кривизны поверхности S налагались на мери-
меридианы. Примеры В. п.: поверхности вращения, по-
поверхности постоянной средней или гауссовой кри-
кривизны. В. п. введены 10. Вейнгартеном ([1], [2]) в связи
с задаче]! отыскания всех поверхностей, изометриче-
изометрических с данной поверхностью вращения. Эта задача
сводится к задаче отыскания всех В. п. того же класса.
Лит.; [1] Weingarton J , «J. reine und angew.
Math.», 1861, Bd 5B, S. 382; [2] e г о ж е, там же, 1861, Bd 62,
S. 164; [3] Ш у л и к о в с к и й В. И., Классическая диффе-
дифференциальная геометрия в тензорном изложении, М., 196:).
А. Б. Иванов.
ВЕКОВОЕ УРАВНЕНИЕ— см. Характеристиче-
Характеристическое уравнение.
ВЕКТОР геометрический — направленный
отрезок прямой евклидова пространства, у к-рого
один конец (точка А) называется началом В., другой
конец (точка В) концом В. Обозначения В.: а, а,
а или АВ. В., начало и конец к-рого совпадают, наз.
нулевым В. и обычно обозначается 0. В. харак-
характеризуется модулем (или длиной), к-рый равен
длине отрезка А В, п обозначается |я|, и направлением:
от А к В. Вектор В А наз. В., противоположным век-
вектору АВ. В. длины, равной единице, наз. единич-
единичным вектором, или ортом. Нулевому В.
приписывают любое направление. Два В. наз. к о л-
линеарными, если они лежат на одной прямой
или на параллельных прямых. В. наз. компла-
компланарными, если они лежат в одной плоскости пли
в параллельных плоскостях. Два коллинеарных В.
наз. одинаково (противоположно) на-
направленными, если их концы лежат по одну
сторону (по разные стороны) от прямой, соединяющей
их начала, пли от общего начала. Два вектора А В и
А'В', лежащие на одной прямой, наз. одинаково (про-
(противоположно) направленными, если один из лучей АВ,
А'В' целиком содержится (не содержится целиком)
в другом. Два В. наз. равным и, если они имеют
равные модули и одинаково направлены (такие В.
наз. также свободными векторам и). Все
нулевые В. считаются равными.
Кроме свободных В., то есть В., начальная точка
к-рых может быть выбрана свободно, в механике и фи-
физике часто рассматриваются В., к-рые характеризу-
характеризуются модулем, направлением и положением начальной
точки —точки приложения. Класс равных
между собой В., расположенных на одной прямой,
наз. скользящим вектором. Рассматри-
Рассматриваются связанные векторы, к-рые считаются
равными, если они имеют не только равные модули
и одинаковые направления, но и общую точку прило-
приложения. В основу векторного исчисления, занимающегося
изучением операций над В., положено понятие свобод-
свободного В., так как задание скользящего или связанного
В. может быть заменено заданием двух свободных В.
Понятие В. возникло как математич. абстракция
объектов, характеризующихся величиной и направле-
направлением, напр.: перемещение, скорость, напряженность
электрического или магнитного поля.
Понятие В. может быть введено аксиоматически (см.
Векторное пространство). А Б Иванов
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА — раздел векторного ис-
исчисления, в к-ром изучаются простейшие операции над
(свободными) векторами. К числу этих операций от-
относятся линейные операции над векторами:
операция сложения векторов и умножения вектора
на число.
С у м м о й а-\-Ь векторов а и Ь наз. вектор, прове-
проведенный из начала а к концу Ь, если конец а и начало
Ь совмещены. Операция сложения векторов обладает
свойствами:
а + Ь = Ь + а (коммутативность),
(а + V) + с = а -\- (Ь -i- с) (ассоциативность),
«+0 = а (наличие нулевого элемента),
а-\-( — я) = 0 (наличие противоположного элемента),
где 0 — нулевой вектор, —а есть вектор, противо-
противоположный вектору а. Разностью а—Ь век-
векторов а и Ь наз. вектор ж такой, что яг,-\-Ь=а.
Произведением Ха вектора а на число X
в случае ХфО, афО наз. вектор, модуль к-рого равен
|Я||я| и к-рый направлен в ту же сторону, что и вектор
«, если Х>0, и в противоположную, если \<0. Если
^,= 0 или (и) « = 0, то ка=0. Операция умножения
вектора на число обладает свойствами:
k((t-\-O)=Xa-\-\b (дистрибутивность относительно сло-
сложения векторов),
(k~r\ji)a=%.a-\-\ia (дистрибутивность относительно сло-
сложения чисел),
\{ца) = (X\i)a (ассоциативность),
\-а=а (умножение на единицу).
Множество всех векторов пространства с введенными в
нем операциями сложения и умножения на число обра-
образует векторное пространство (линейное пространство).
В В. а. важное значение имеет понятие линейной
зависимости векторов. Векторы а, 0, .. ., с наз. ли-
линейно зависимыми векторами, если
существуют числа а, Р, ..., у, из к-рых хотя бы одно
отлично от нуля, такие, что справедливо равенство
а«+РМ- . ..+vc=0. A)
Для линейной зависимости двух векторов необходима
и достаточна их коллинеарность, для линейной зави-
зависимости трех векторов необходима и достаточна их
компланарность. Если один из векторов а, Ь, ..., с
нулевой, то они линейно зависимы. Векторы а, Ь, .. ., с
наз. линейно независимыми, если из ра-
равенства A) следует, что числа а, Р, .. ., у равны нулю.
На плоскости существует не более двух, а в трехмерном
пространстве не более трех линейно независимых
векторов.
Совокупность трех (двух) линейно независимых
векторов ег, е2, Рз трехмерного пространства (плоско-
(плоскости), взятых в определенном порядке, образует б а-
зис. Любой вектор а единственным образом пред-
представляется в виде суммы:
а- = а1е1^г а2е2-'га3е3.
Числа вь а2, а3 наз. координатами (компо-
(компонентами) вектора а в данном базисе
и пишут «={«!, а2, а3}-
Два вектора ft={aj, а2, а3) и b= {bt, b2, bs} равны
тогда и только тогда, когда равны их соответствующие
координаты в одном и том же базисе. Необходимым
и достаточным условием коллинеарности векторов
«={«!, а2, а3} и &—{&!, Ъ.2, Ь3}, 6=^0, является пропор-
пропорциональность их соответствующих координат: а1=ХЬ1,
a2=Xb2, a3 = kbs. Необходимым и достаточным условием
компланарности трех векторов а={а1, а2, а3), Ь= {Ьъ
Ь2, Ь3} и с={с1, с2, с3) является равенство
= 0.
сз
Линейные операции над векторами сводятся к линей-
линейным операциям над координатами. Координаты суммы
векторов а={а1, а2, а3) и Ь= {Ьг, 62, Ь3} равны суммам
соответствующих координат: я + &~ {«i+^и Я2~Ь&2>
а3+*3}. Координаты произведения вектора я на число
X равны произведениям координат а на X: Х«<= {Ках,
"Ка2, "ка3}.
Скалярным произведением (я, ft) не-
ненулевых векторов я и 6 наз. произведение их модулей
на косинус угла ср между ними:
(я, ft) = | а || Ь | cos ср.
За ф принимается угол между векторами, не превосхо-
превосходящий я. Если я=0 или &=0, то скалярное произве-
произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение
обладает свойствами:
(я, &) = F, а) (коммутативность),
(я, Ь-\-е)= (я, &)+ (я, с) (дистрибутивностьотноситель-
(дистрибутивностьотносительно сложения векторов),
Я,(я, b)=(ka, 6)= (я, ХЬ) (сочетательность относи-
относительно умножения на число),
(я, &) = 0, лишь если г/=0 или (и) 6=0 или «_]_&.
Для вычисления скалярных произведений векторов
часто пользуются декартовыми прямоуголь-
прямоугольными координатами, т. е. координатами век-
векторов в базисе, состоящем из единичных взаимно пер-
перпендикулярных векторов (ортов) /,./, /с (о р т о н о р-
мированный базис). Скалярное произведе-
произведение векторов
а={аи а2, а3} и b={blf b2, &3}>
заданных в ортонормированием базисе, вычисляется по
формуле:
(я, Ь) = а161 + а2Ь2 + а8*8'
Косинус угла ср между ненулевыми векторами я = {аг,
аг, as} и &={&!, b2, bs} может быть вычислен по формуле
(а, Ь)
COS(P-
где \a\ = V al+al+at и \b\ = V\+\+
Косинусы углов вектора а={а1, а2, а3} с векторами
базиса /, j, к наз. направляющими коси-
косинусами вектора а:
cos а =
¦cos у =
1
Направляющие косинусы обладают следующим свой-
свойством:
cos2a-(-cos'-|5-l-cos2Y=l.
Осью наз. прямая с лежащим на ней единичным
вектором е — о р т о м, задающим положительное на-
направление на прямой. Проекцией Пр.р а вектора
я на ось наз. направленный отрезок на оси, алгебраич.
значение к-рого равно скалярному произведению век-
вектора а на вектор е. Проекции обладают свойствами:
Пр.е (я + Ь) = Пр.е a -j- Пр.е Ь (аддитивность),
ЯПр.р я =Пр.р ко (однородность).
Каждая координата вектора в ортэнормированном
базисе равна проекции этого вектора на ось, опреде-
определяемую соответствующим век-
вектором базиса. ь! п (Л с!*
В пространстве различают a J-?y| I \*X
правые и левые тройки век-
торов. Тройка некомпланар-
некомпланарных векторов я, ft, с наз.
правой, если наблюдателю
из их общего начала обход
концов векторов а, Ь, с в указанном порядке ка-
кажется совершающимся по часовой стрелке. В про-
противном случае а, />, с — л е в а я тройка. Правая
(левая) тройка векторов располагается так, как могут
быть расположены соответственно большой, несогнутый
указательный и средний пальцы правой (левой) руки
(см. рис.). Все правые (или левые) тройки векторов
наз. одинаково ориентированными. Ниже тройка век-
векторов базиса г, ,?, /г считается правой.
Пусть на плоскости задано направление положи-
положительного вращения (от I к ;)). Псевдоскаляр-
Псевдоскалярным произведениемrevft ненулевых векторов
а и 6 наз. произведение их модулей на синус угла <р
положительного вращения от а к 6:
о v 6 = | я || ft | sin tp.
Псевдоскалярное произведение нулевых векторов по-
полагают равным нулю. Псевдоскалярное произведение
обладает свойствами:
«V 6= — ft V а (антикоммутативность),
rtV F-f-c) = «vft+«Vc (дистрибутивностьотноситель-
(дистрибутивностьотносительно сложения векторов),
Х{а vft)=Xr*vft (сочетательность относительно умно-
умножения на число),
OVй=0, лишь если а=0 или (и) Ь=0 или а и 6 кол-
линеарны.
Если в ортонормированном базисе векторы я и Ь
имеют координаты {ах, я2} и {б1? 62}, то
(IV 0 - агЬ2 — usb1.
Векторным произведением [а, 6] не-
ненулевых и неколлинеарных векторов а и Ь наз. вектор,
модуль к-рого равен произведению их модулей на синус
угла ф между ними, перпендикулярный я и Ь и на-
направленный так, что тройка векторов а, Ь, [а, Ь] —
правая:
[я, &] = | « || 6 | sin ф.
Векторное произведение полагают равным нулю, если
A = 0 или (и) Л^О или они коллинеарны. Векторное
произведение обладает свойствами:
[a, b]= — [b, а] (антикоммутативность),
[a, b-{-c] = [(i, &] + [«, с] (дистрибутивность относи-
относительно сложения векторов),
Х[а, Ь] = [Ха, Ь] = [а, ХЬ] (сочетательность относительно
умножения на число),
[а, Ь] = 0, лишь если а=0 или(и) &=0 или а и Ь кол-
коллинеарны.
Если в ортонормированном базисе векторы а и Ъ
имеют координаты {аг, а2, а3] и {61? 62, 6:,}, то
Смешанным произведением (а, 6, с)
векторов <у, ft, с наз. скалярное произведение вектора
а на векторное произведение векторов 6 и с:
(«, Ь, с) = (а, [Ь, с]).
Смешанное произведение обладает свойствами:
(a, b, c) = (ft, с, а) = (с, и, 6)=—F, «, с) =
= —(с, 6, «)=—(«, с, 6).
(«, 6, с) = 0, лишь если «-=0 или (и) 6=0 или (и)
с—0, или векторы a, ft, с компланарны.
(«, 6, с)>0, если тройка векторов а, 6, с — правая,
(я, ft, c)<0, если а, Ь, с — тройка левая.
Модуль смешанного произведения равен объему па-
параллелепипеда, построенного на векторах а, 6, с. Если
в ортонормированном базисе векторы я, ft и с имеют
координаты {а1( а2, a3}, {6lf 62, Ь3} и К. С2: сз}, то
(а, Ь, с) =
Двойным векторным произведен и-
е м [а, Ь, с] векторов а, 6, с наз. векторное произведение
[а, [6, с]].
При вычислении двойного векторного произведения
имеют место формулы:
[а, Ь, с] = [6, (а, е)] — [с, (я, &)],
([«, 6], [с, п]) = (а, с)(Ь, il) —{a, il) (Ь, с),
[[«, 6], [с, «"]] = («,, с, il)b—(b, с, d)a =
= («, 6, rf) с — (re, 6, с) й.
Лит.: [1] Александров П. С, Лекции по аналити-
аналитической геометрии..., М., 1068; [2] Е ф и м о в Н. В., Краткий
курс аналитической геометрии, 9 изд., М., 1967; [3] Ильин
В. А., П о з н я к Э. Г., Аналитическая геометрия, М., 1968;
[4] П о г о р е л о в А. В., Аналитическая геометрия 3 изд.,
М., 1968. Ю. П. Пытъев.
ВЕКТОРНАЯ ГРУППА — частично упорядоченная
группа, вложимая в полное прямое произведение ли-
линейно упорядоченных групп. Группа G тогда и только
тогда есть В. г., когда ее частичный порядок есть пере-
пересечение линейных порядков G. Частично упорядочен-
упорядоченная группа тогда и только тогда является В. г., когда
ее полугруппа Р положительных элементов удовлетво-
удовлетворяет условию: для любого конечного набора элементов
я1? я2, .. ., ап из G пересечение
uPS(a\\ .., аЕ", е) = Р.
Здесь пересечение берется по всем наборам знаков
е,-=±1, a S(x, у, ..., z) обозначает наименьшую инва-
инвариантную подполугруппу группы G, содержащую х,
у, ..., z. Доупорядочиваемая группа G есть В. г. тогда
и только тогда, когда для любых g, gx, . .., gn(zG из
следует g?
Лит.: [1] Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраи-
алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965.
А. И. Иокорин, В. М. Копытов.
ВЕКТОРНАЯ РЕШЕТКА, векторная струк-
структура, К-л и н е а л,— частично упорядоченное действи-
действительное векторное пространство с отношением поряд-
порядка, определяющим решетку. См. Полуупорядоченное
пространство.
ВЕКТОРНАЯ ТРУБКА — замкнутое множество Ф
точек области Q пространства, в к-рой задано векторное
поле а(М), такое, что всюду на его граничной поверх-
поверхности S вектор нормали п ортогонален а. В. т. Ф со-
состоит из векторных линий Г поля а, т. е.
кривых в Q, в каждой точке к-рых направление каса-
касательной совпадает с направлением а. Линия Г целиком
содержится в Ф, если одна точка Г содержится в Ф.
Если а — поле скоростей стационарного потока жид-
жидкости, то Г — траектория частицы жидкости, а Ф —
часть Q, к-рую при движении «заметает» фиксирован-
фиксированное множество частиц жидкости.
Интенсивностью / трубки Ф в сечении S
наз. поток (см. Векторный анализ) поля а через S':
I (S')= \\ S' (a, n) da,
где п — единичный вектор нормали к S'. Если поле
ге — соленоидально (div re=0), то выполняется закон
сохранения интенсивности В. т.:
Пусть аг(х, у, z), a2(x, у, z), a3(x, у, z) - декартовы
прямоугольные координаты вектора ге=я (Л/); х, у, z —
координаты точки М. Тогда локально граница Ф за-
задается уравнением F(x, у, z)=^const, где F(x, у, z)
удовлетворяет уравнению с частными производными:
(a,yF)=a1 (x, y,z)^ + a2 (x, у, z) ~g^--\-a3(x, у, z) ^ =0.
Ю. П. Пытъев.
ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ — то же, что вектор-
функция.
ВЕКТОРНОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РАССЛОЕНИЕ —
морфизм многообразий Е-^-Х, локально (в Зариского
топологии) устроенный как проекция прямого произ-
произведения к" XX на X, причем склейка сохраняет по-
послойно структуру векторного пространства. При этом
Е наз. пространством расслоения, X —
базой, а и — рангом (или размерностью)
расслоения. Морфизмы В. а. р. определяются
так же, как и в топологии. Более общее определение,
пригодное для произвольной схемы, использует понятие
пучка. Пусть <§ — локально свободный пучок Qx~
модулей конечного (постоянного) ранга, тогда аффин-
аффинный морфизм V((gy. Spec (Sym ?)-+Х, где Sym <§ —
пучок симметрических алгебр <§, наз. векторным
расслоением, ассоциированным с <§.
Эту терминологию сохраняют иногда и в случае, когда
$ — произвольный квазикогерентный пучок. Пучок
$ однозначно восстанавливается по В. а. р. V((§),
и категория В. а. р. на X оказывается двойственной
к категории локально свободных пучков (9х-м°ДУлеи-
При этом для Х-схемы У множество Х-морфизмов
Y-*-V($) биективно соответствует множеству гомомор-
гомоморфизмов (Зд-модулей (§-+U (Qy), где / — структурный
морфизм Х-схемы Y. В частности, пучок ростков се-
сечений В. а. р. У(<§) отождествляется с двойственным
к <§ пучком <§". В. а. р. V(Qx) наз. тривиаль-
тривиальным векторным расслоением ранга п.
Множество всех В. а. р. ранга п на схеме находится во
взаимно однозначном соответствии с множеством кого-
мологий ^(Х, GL(n, Qx))i гДе GL(re, Qx) ~~ пучок
автоморфизмов тривиального векторного расслоения
ранга п. В. а. р. ранга 1 наз. линейными век-
векторными расслоениями, они соответствуют
обратимым пучкам (Зх-модулей и тесно связаны с
дивизорами на X; множество линейных векторных рас-
расслоений с операцией тензорного произведения образует
группу Pic(X)xH1(X, Qx) (CM- Пикара группа).
Для В. а. р., как и в топологии, определены опера-
операции прямой суммы, тензорного произведения, двой-
двойственного расслоения, симметрической и внешней сте-
степени, индуцированного В. а. р. и др. Для В. а. р. Е
ранга п линейное векторное расслоение Х"Е наз. о п-
р е д е л и т е л е м. С В. а. р. Е можно связать про-
проективное расслоение Р(Е) аналогично то-
тому, как с векторным пространством связано проектив-
проективное пространство (см. Проективная схема).
Примеры нетривиальных В. а. р. дают канонические
В. а. р. на Грассмана многообразиях; в частности, на
проективном пространстве Рп имеется каноническое
линейное расслоение, соответствующее пучку 0A).
Если В. а. р. Е на схеме X является подрасслоением
тривиального В. а. р., то такое вложение определяет
морфизм X в соответствующее многообразие Грассмана,
причем относительно этого морфизма индуцируется
каноническим В. а. р. на многообразии Грассмана.
Линейные расслоения, определяющие вложение X в
Р", наз. очень обильными (см. Обильное
векторное расслоение).
Другими примерами В. а. р. являются касательное
расслоение Т (X) на гладком многообразии X и рас-
расслоения, построенные из него при помощи различных
операций (см. Касательный пучок, Канонический класс,
Нормальный пучок).
В. а. р. на многообразии, определенном над полем
комплексных чисел С, можно рассматривать как анали-
аналитическое или как топологическое (в топологии комплекс-
комплексного пространства) В. а. р. На полном алгебраич. много-
эбразии категории аналитич. и алгебраич. В. а. р. эк-
эквивалентны (см. Сравнения теоремы в алгебраич. гео-
иетрии). Топологич. векторное расслоение не всегда
юпускает алгебраич. структуру, а если и допускает
(как, например, расслоения на Р2), то, вообще говоря,
не единственную. Рассмотрение В. а. р. как топологи-
топологического позволяет использовать топологические мето-
методы, в частности, вводить Чжэня классы В. а. р. Име-
Имеется и абстрактное определение классов Чжяня, исполь-
использующее К-функтир или один из вариантов Вейля кого-
мологий.
Свойства В. а. р. зависят от того, является ли его
база полной пли аффинной схемой. В случае аффинной
базы X=Spec А, В. а. р. соответствуют проективным
модулям конечного типа над кольцом А. Если ранг
В. а. р. Е больше размерности базы X, то Е можно
представить в виде E=E'Q1, где 1 — одномерное три-
тривиальное расслоение. Е' определяется, вообще говоря,
не однозначно. Все же, если ранг Е больше размерности
базы и ?01^=7^01, то Ec^F (см. [4]). Если X неособая
одномерная схема (т. е. А — дедекиндово кольцо), то
любое В. а. р. есть прямая сумма тривиального и ли-
линейного векторного расслоений. Это же верно для В. а. р.
на неособой аффинной поверхности над алгебраически
замкнутым полем, бирациовально эквивалентной ли-
линейчатой поверхности.
Случай проективной базы. Изучение
линейных расслоений на проективных многообрази-
многообразиях — классич. задача алгебраич. геометрии (см. Пикара
группа, Пикара схема). Исследование В. а. р. большего
ранга началось в 1957, когда А. Гротендик (A. Gro-
thendieck) показал, что В. а. р. на проективной прямой
является прямой суммой линейных расслоений. М. Атья
(М. Atiyah) классифицировал В. а. р. на эллиитич.
кривой X: если через (§{r, d) обозначить множество не-
неразложимых (в прямую сумму) В. а. р. ранга г и сте-
степени d (под степенью понимается степень определителя
расслоения), то (§(r, d) отождествляется с точками
самой кривой X ([3]).
При изучении В. а. р. на кривых полезным оказалось
понятие стабильного В. а. р. Положим для В. а. р. Е,
что \*.(Е) есть степень Е. деленная на ранг Е; тогда
В. а. р. Е наз. стабильным (соответственно
п о л у с т а б и л ь н ы м), если для любого подрас-
слоения E'czE имеет место ц.(.Е")<ц.(,Е') (соответственно
(х (?")<;(! (Е)). Стабильное расслоение просто (т.е.
End {E)-^k) и, в частности, неразложимо. В. а. р. сте-
степени 0 на алгебраич. кривой X рода g>2 стабильно
в том и только том случае, когда оно ассоциировано с
неприводимым унитарным представлением фундамен-
фундаментальной группы щ{Х) (см. [1]). Пусть U(r, d) — мно-
множество всех полустабильных В. а. р. ранга г и степени
d, являющихся прямой суммой стабильных В. а. р.,
US (r, d) — подмножество стабильных В. а. р. Если
род g гладкой кривой X больше 1, то U(r, d) обладает
естественной структурой нормального проективного
многообразия размерности г2 (^— 1)+1, a US (r, d) —
открытое гладкое подмногообразие U(r, d) (см. [1]).
Если г и d взаимно простые, то U(r, d)=US(r, d) и
поэтому гладкое. Пространство модулей полустабиль-
полустабильных В. а. р. достаточно изучено, а именно, известно,
что U(\, d) — компонента схемы Пикара для X, слои
отображения определителя det : U(r, d)—>-U(i, d) яв-
являются унирациональными многообразиями; если ;¦ и d
взаимно просты, то U (r, d) однозначно определяет ис-
исходную кривую X. Поскольку над U(r, d) не всегда
существует универсальное семейство В. а. р., то U(r, d)
не является представляющим объектом подходящего
функтора [1]. Большинство указанных результатов
получены для случая ноля С, хотя многие остаются
верны и для произвольного алгебраически замкнутого
поля. Некоторые специальные факты известны для
В. а. р. на алгебраич. поверхностях и проективных
пространствах (см. [5]).
Лит.: [1] Нарасимхан М., Шешадри К., «Ма-
«Математика», 1969, т. 13, вып. 1, с. 27 — 52; [2] Т ю р и н А. Н.,
«Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1966, т. 30, в. 6, с. 1353—66
[3] A t i у a h M., «Proc. London Math. Soc», 1957, v. 7, p. 414—
52; [4] Басе Х., Алгебраическая К-теория, пер. с англ.,
М., 1973; [5] Долгачев И. В., Псковских В. А.,
в кн.: Итоги науки и техники. Алгебра. Топология Геомет-
Геометрия, т. 12, М., 1974, с. 77 — 170. В. И. Данилов.
ВЕКТОРНОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РАССЛОЕНИЕ —
локально тривиальное аналитнч. расслоение над ана-
литич. пространством, слои к-рого обладают структурой
л-мерного векторного пространства над основным по-
полем к (если &=С — поле комплексных чисел, то ана-
литич. расслоение наз. также голоморфны м).
Число п наз. рангом, или размерностью,
расслоения. Так же, как в топологич. случае
(см. Векторное расслоение), определяются категория
векторных аналитич. расслоений, понятия подрасслое-
ния, факторрасслоения, прямой суммы, тензорного
произведения, внешней степени В. а. р. и т. д.
Аналитич. сечения В. а. р. Е-^-Х с базой X образуют
модуль Г (Е) над алгеброй А (X) аналитич. функций
на базе. В случае, когда к=С и X компактно, Т (Е) —
конечномерное векторное пространство над С (см. Ко-
Конечности теоремы). Если же X — конечномерное ком-
комплексное пространство Штейна, то Г (Е) — проектив-
проективный модуль конечного типа над А (X), причем соот-
соответствие Ен>Г(Е) определяет эквивалентность кате-
категории В. а. р. над X и категории проективных А (X)-
модулей конечного типа [4].
Примерами В. а. р. являются касательное расслоение
на аналитич. многообразии А' (его аналитич. сече-
сечения — аналитич. векторные поля на X), нормальное
расслоение на подмногообразии YaX.
Классификация В. а. р. ранга п на заданном анали-
аналитич. пространстве X равносильна классификации глав-
главных аналитических расслоений с базой X и структурной
группой GL(n, k) и при п>1 проведена полностью
только в некоторых специальных случаях. Для проек-
проективных комплексных алгебраич. многообразий X она
совпадает с классификацией алгебраич. векторных рас-
расслоений (см. Сравнения теоремы в алгебраической гео-
геометрии).
В. а. р. ранга 1 на комплексном пространстве X
(иначе, расслоения на комплексные прямые или линей-
линейные расслоения) играют важную роль в комплексной
аналитич. геометрии. Каждый дивизор на пространстве
X естественным образом определяет аналитич. рас-
расслоение ранга 1, причем два дивизора определяют изо-
изоморфные расслоения тогда и только тогда, когда они
линейно эквивалентны. На проективном алгебраич.
многообразии всякое линейное аналнтнч. расслоение
определяется дивизором. Вложимость комплексного
пространства X в проективное пространство тесно свя-
связана с существованием на X обильных линейных рас-
расслоений (см. Обильное векторное расслоение). Если на
комплексном пространстве X задана дискретная группа
Г его автоморфизмов, то каждый фактор автоморфности
группы Г определяет линейное расслоение над А7Г,
аналитич. сечения к-рого суть соответствующие авто-
морфные формы. В. а. р. ранга 1 составляют группу
Hl(X, Q'x), где (fx — пучок обратимых элементов
структурного пучка. Сопоставление каждому рас-
расслоению его 1-го класса Чжэня дает гомоморфизм
г.т{х, q'x)-~h°-(x, z),
ядро к-рого есть множество топологически тривиальных
линейных расслоений. В случае, когда X — комплекс-
комплексное многообразие, Im у можно описать как множество
классов когомологий, представимых замкнутыми диф-
дифференциальными формами типа A,1). Если А", кроме
того, компактно н кэлерово, то Кегу изоморфно Пикара
многообразию многообразия X и тем самым является
комплексным тором [2].
Каждому В. а. р. V ранга п на аналитич. простран-
пространстве X соответствует пучок ростков аналитич. сечений
расслоения V, к-рый является локально свободным
аналитическим пучком ранга п на X. Это соответствие
определяет эквивалентность между категориями В.а.р.
и локально свободных аналитич. пучков на X. Попытка
обобщить этот результат на произвольные когерентные
аналитич. пучки привела к следующему обобщению
понятия В. а. р. [3]. Сюръективный морфизм я: 7-.-Х
наз. аналитическим семейством век-
векторных пространств над X (или лине й-
ным пространством над X), если его слои
обладают структурой конечномерных векторных про-
пространств над к, причем операции сложения, умножения
на скаляр и нулевое сечение удовлетворяют естествен-
естественным требованиям аналитичности. Если к=С (или
k=R и X когерентно), то аналитич. семейство вектор-
векторных пространств я: V—*-Х определяет когерентный ана-
аналитич. пучок F на X: дяя UczX группа F(U) есть про-
пространство аналитич. функций на n~r{U), линейных на
слоях. Тем самым определяется двойственность между
категориями аналитич. семейств векторных пространств
и когерентных аналитич. пучков на X.
Лит.: [1J Ганнинг Р., Росс и X., Аналитические
Функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М.,
1969; [2] Ч ж э н ь Ш э н-ш э н ь, Комплексные многообразия,
пер. с англ., М., 1961; [3] Fischer G., «Arch. Math.», 1967,
Bd 18, s. 609 —17; [4] Forster O., Ramspott K. J.,
там же, 1968, Bd 19, s. 417 — 22. А. Л. Онищик.
ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — устаревшее назва-
название раздела математики, в к-ром изучаются свойства
операций над векторами. В. и. подразделяют на век-
векторную алгебру и векторный анализ. В векторной
алгебре изучают линейные операции (сложение векторов
и умножение векторов на число) и различные произве-
произведения векторов (скалярное, псевдоскалярное, вектор-
векторное, смешанное, двойное векторное). В векторном
анализе изучают векторы, являющиеся функциями от
одного или нескольких скалярных аргументов.
Возникло В. и. в 19 в. в связи с потребностями ме-
механики и физики, когда операции над векторами стали
проводиться непосредственно над ними, без обращения
к координатному способу их задания (см. [1], [2], [3]).
Дальнейшее изучение тех свойств математич. и физич.
объектов, к-рые инвариантны относительно выбора
системы координат, привело к одному из обобщений
В. и.— тензорному исчислению.
Лит.: [1] Wcsscl С, От directionens analytiske Bete-
griing-, «Danske Selsk. Skr.», N. Samml., 1799 («Arch, for Math,
og Naturvid.» 1896, Bd 18); [2] H a m i 1 t о n W. R., Lectures
on quaternions..., Dublin, 1853; [3] Gibbs J. W., Wil-
Wilson E. В., Vector Analysis, New Haven, 1901; [4] К о чин
H. Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления,
9 изд., М., 1965; [5] Дубнов Я. С, Основы векторного
исчисления, 4 изд., ч. 1—2, М.—П., 1950 — 52. А. В. Иванов.
ВЕКТОРНОЕ КОЛЬЦО — частично упорядоченное
кольцо /?, являющееся подпрямой суммой линейно упо-
упорядоченных колец Rk . Каждый элемент В. к. есть
вектор
«={. .., ai, ...}
с координатами из Ri и а^О тогда и только тогда,
когда каждое а?„ ^0. Если частичный порядок коль-
кольца R является пересечением линейных порядков, то
R будет В. к., причем за R\ можно принять само R,
снабженное различными линейными продолжениями
его частичного порядка.
Лит.: [1] Фукс П., Частично упорядоченные алгебраи-
алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965. О. А. Иванова.
ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ — термин, под к-рым обычно
понимается функция точки нек-рого пространства X,
значениями к-рой являются векторы, в том или ином
смысле определенные для этого пространства.
В классическом векторном исчислении роль X иг-
играет подмножество евклидова пространства, а В. п.
представляет собой направленные отрезки, приложен-
приложенные в точках этого подмножества. Напр., совокупность
касательных или нормальных векторов к гладкой
Кривой (поверхности) — В. п. на ней.
Если X — абстрактно заданное дифференцируемое
многообразие, то под В. п. понимается касательное
В. п., т. е. функция, относящая каждой точке X ин-
инвариантно сконструированный касательный вектор к
X. В случае конечномерности X В. п. равносильно
определяется как совокупность одновалентных контра-
вариантных тензоров, зависящих от точек.
В общем случае В. п. интерпретируется как опреде-
определенная на X функция со значениями в векторном про-
пространстве Р, тем или иным способом ассоциированного
с X; ее отличие от произвольной вектор-функции со-
состоит в том, что Р определяется по отношению к X
«внутренним образом», а не «надстройкой» над X. Впро-
Впрочем, напр., иногда и сечение векторного расслоения с
базой X считается В. п. м. и. Войцеховский.
ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ на многообразии Л/—
сечение касательного расслоения т(М). Множество В. п.
образует модуль над кольцом F дифференцируемых
функций на М.
Пример 1. Для карты хц многообразия М опре-
определяется г-е базисное В. п. —-{ по формуле
„, „.. .,
есть i-и базисный касательный вектор к М в
p
точке р, и любое В. п. однозначно представляется в виде
%'(р) наз. компонентами В. п. X в карте хц. В. п. яв-
является дифференцированием кольца F, вследствие
чего множество В. п. образует относительно операции
коммутирования (скобки Ли) алгебру Ли.
Пример 2. Для карты хц и / ? F функция Xf
определяется формулой
p
где D[— частная производная по х1', |'(р) = Хх1'(р);
Xf наз. производной от / по направлению X.
Пример 3. Для карты хцж f?F коммутатор (скоб-
(скобка Ли) [X, У] В. п.
определяется формулой
([X, Y]f)(p) =5
,(/) =
dxk dxk j dxi
он удовлетворяет соотношениям:
[X, Y)=-IY, X],
[[X, У], Zl+llY, Z], X]+l[Z, X], У]=0,
в частности
[JL -1-1=0.
L dxl ' dxJ\
Каждое В. п. X индуцирует на М локальный поток —
семейство диффеоморфизмов окрестности U
такое, что Ф @, р)=р для р g U и
O(t, р) = Фя@: (-е, е)
— интегральный путь В. п. X, т. е.
Ф*±- = ХФЦ, р),
где Ф* gj- — В. п., касательное к отображению ФрA).
И наоборот, В. п. X ассоциировано с локальным пото-
потоком Ф(?, р)=ФНр) — вариацией отображения Ф0(р);
при этом
Каждое В. п. определяет дифференцирование Ли LX
тензорного поля типа А. со значениями в векторном
пространстве (инфинитеаимальное преобразование X),
соответствующее локальному потоку Ф(?, р), частными
случаями к-рого являются действие В. п. на ?F
и скобка Ли
= [XYJ = lim *- ^
to '
В. п. без особенностей порождает на М интегрируемую
одномерную дифференциальную систему и ассоцииро-
ассоциированную с ней Пфаффа систему.
Обобщением понятия В. п. на многообразии является
B. ц. вдоль отображения ср: Лт—*-М — сече-
сечение расслоения т:<р(Щ, индуцированного <р, а также
тензорное поле типа X — сечение ассоциированного
с х(М) при помощи функтора X расслоения Цт].
Лит.: [1] Г о д б и й о н К., Дифференциальная геометрия
и аналитическая механика, пер. с франц., М., 1973; [2] Г р о-
мол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова
геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971; [3] Л е н г С, Вве-
Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ.,
М., 1967; [4] Н о м и д з у К., Группы Ли и дифференциаль-
дифференциальная геометрия, п.ер. с англ., М., 1960; [5] Постников
М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971; [6] Хелгасон
C, Дифференциальная геометрия и симметрические простран-
пространства, пер. с англ., М., 1964. А. Ф. Щекутьев.
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ вектора а на
вектор Ь — вектор с, обозначаемый символом [а, 6]
или аХЬ и удовлетворяющий условиям:
длина вектора с равна произведению длин векторов
я и & на синус угла ф между ними, т. е.
вектор с ортогонален каждому из векторов а и Ь.
Ориентация тройки векторов а, Ь, с совпадает с ори-
ориентацией тройки базисных векторов. См. Векторная
алгебра. А. В. Иванов.
ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО, линейное про-
пространство, над полем К, — аддитивно записан-
записанная абелева группа Е, в которой определено умножение
элементов на скаляры, т. е. отображение
удовлетворяющее следующим аксиомам (х, у?Е, X, и.,
) )
2) (к+\1)х
3) (к1х)х=Х(цх),
4) i-x=x.
Из аксиом 1) — 4) вытекают следующие важные свой-
свойства векторного пространства @??):
5) X -0=0,
6) 0-ж=0,
7) (-1)*=-*.
Элементы В. п. наз. точками В. п., или векто-
векторами, а элементы поля К — скалярами.
Наибольшее применение в математике и приложениях
имеют В. п. над полем С комплексных чисел или над
полем R действительных чисел; они наз. соответст-
соответственно комплексными В. п. или действи-
действительными В. п.
Аксиомы В. п. выявляют нек-рые алгебраич. свой-
свойства многих классов функций, часто встречающихся
в анализе. Из примеров В. п. самыми фундаменталь-
фундаментальными и наиболее ранними являются re-мерные евкли-
довы пространства. Почти столь же важными приме-
примерами являются многие функциональные пространства:
пространство непрерывных функций, пространство из-
измеримых функций, пространство суммируемых функ-
функций, пространство аналитич. функций, пространство
функций ограниченной вариации.
Понятие В. п. есть частный случай понятия модуля
над кольцом, а именно, В. п. есть унитарный модуль
над полем. Унитарный модуль над некоммутативным
телом также наз. векторным простран-
пространством над телом; теория таких В. п. во многом
сложнее теории В. п. над полем.
Одной из важных задач, связанных с В. п., является
изучение геометрии В. п., т. е. изучение прямых в
В. п., плоских и выпуклых множеств в В. п., подпрост-
подпространств В. п. и базисов в В. п.
Векторным подпространством, или
просто подпространством, В. п. Е над полем
К наз. подмножество FczE, замкнутое относительно
действий сложения и умножения на скаляр. Подпро-
Подпространство, рассматриваемое отдельно от вмещающего
его пространства, есть В. п. над тем же полем.
Прямой линией, проходящей через две точки
х и у В. п. Е, наз. множество элементов z^E вида
z=Xx+(l — X)y, Х?К. Множество G?E наз. пло-
плоским множеством, если вместе с любыми
двумя точками оно содержит прямую, проходящую
через эти точки. Каждое плоское множество получается
из нек-рого подпространства с помощью сдвига (парал-
(параллельного переноса): G=x-j-F; это означает, что каждый
элемент z?G представим единственным образом в виде
z—x-\-y, y?F, причем это равенство осуществляет
взаимно однозначное соответствие между F и G.
Совокупность всех сдвигов Fx=x-\-F данного под-
подпространства F образует В. п. над К, наз. фактор-
пространством E/F, если определить операции
следующим образом:
Пусть М={ха}а1-А~- произвольное множество век-
векторов из Е; линейной комбинацией век-
1 о р о в ха?Е наз. вектор х, определенный формулой
x — ?jaXaXa, Ха ? К,
в к-рой лишь конечное число коэффициентов отлично
от нуля. Совокупность всех линейных комбинаций
векторов данного множества М является наименьшим
подпространством, содержащим М, и наз. линей-
линейной оболочкой множества М. Линейная
комбинация наз. тривиальной, если все коэф-
коэффициенты Ха равны нулю. Множество М наз. линей-
линейно независимым множеством, если все
нетривиальные линейные комбинации векторов из М
отличны от нуля.
Любое линейно независимое множество содержится
в нек-ром максимальном линейно независимом множе-
множестве Мо, т. е. в таком множестве, к-рое перестает быть
линейно независимым после присоединения к нему
любого элемента из Е.
Каждый элемент х?Е может быть единственным
образом представлен в виде линейной комбинации эле-
элементов максимального линейно независимого множества:
х = ^аХаха. ха ? Мо.
В связи с этим максимальное линейно независимое
множество наз. базисом В. п. (алгебраическим
базисом). Все базисы данного В. п. имеют одина-
одинаковую мощность, к-рая наз. размерностью В. п.
Если эта мощность конечна, пространство наз. к о-
нечномерным В. п.; в противном случае оно
наз. бесконечномерным В. п.
Поле К можно рассматривать как одномерное В. п.
над полем К; базис этого В. п. состоит из одного эле-
элемента; им может быть любой элемент, отличный от
нуля. Конечномерное В. п. с базисом из п элементов
наз. ге-м ерным пространством.
В теории действительных и комплексных В. п. важ-
важную роль играет теория выпуклых множеств. Множе-
Множество М в действительном В. п. наз. выпуклым
множеством, если вместе с любыми двумя его
точками х, у отрезок tx-\-(l— t)y, t?[0, 1], также при-
принадлежит М.
Большое место в теории В. п. занимает теория ли-
линейных функционалов на В. п. и связанная с этим тео-
теория двойственности. Пусть Е есть В. п. над полем К.
Линейным функционалом на Е наз.
аддитивное и однородное отображение / : Е—*-К:
f(x+y)=f(x)+f(y), iQ,x)=Xf{x).
Множество Е* всех линейных функционалов на Е
образует В. п. над полем К относительно операций
х?Е, \?К, 1Ъ U, f С Е*.
Это В. п. наз. сопряженным (или двойст-
двойственным) пространством (к Е). С понятием
сопряженного пространства связан ряд геометрич.
терминов. Пусть DczE (соответственно ГсГ-Е1*); а н-
нулятором множества D, или ортого-
ортогональным дополнением множества D
(соответственно множества Г) наз. множество
D-L = {/ ? Е*: /(ж) = 0 для всех х ? D}
(соответственно Г , = {х?Е : f(x)=O для всех /?Г});
здесь D L и Г ^ — подпространства соответственно
пространств Е* и Е. Если / — ненулевой элемент из
Е*, то {/} есть максимальное собственное линейное
подпространство в Е, наз. иногда гиперподпро-
гиперподпространством; сдвиг такого подпространства наз.
гиперплоскостью! Е\ всякая гиперплоскость
имеет вид
{*:/(*) = *}, где /*0, f€E», K?K.
Если F — подпространство В. п. Е, то существуют
естественные изоморфизмы между F* и
E*/F± и между (E/F)* и/1.
Подмножество ТсЕ* наз. тотальным под-
подмножеством над Е, если его аннулятор содержит
лишь нулевой элемент: Г , ={0}.
Каждому линейно независимому множеству
{^а}а€^С1Е можно сопоставить сопряженное
множество {/a}as Ac?*, т. е. такое множество,
что /а (#к) = йа|3 (Кронекера символ) для всех а, C?Л.
Множество nap {xa, fa} наз. при этом биортого-
нальной системой. Если множество {ха} есть
базис в Е, то {fa} тотально над Е.
Значительное место в теории В. п. занимает теория
линейных преобразований В. п. Пусть
Ег, Ег — два В. п. над одним и тем же полем К. Л и-
нейным отображением, или линейным
оператором, Т, отображающим В. п. Е\ в В. п.
Е2 (или линейным оператором из Ei в ?2), наз. адди-
аддитивное и однородное отображение пространства Ех
Е
у; Т {\х) = \Т (х); х, у ? Ev
Частным случаем этого понятия является линей-
линейный функционал, или линейный оператор из
Е1 в К. Линейным отображением является, напр.,
естественное отображение В. п. Е на факторпростран-
ство ElF, сопоставляющее каждому элементу х?Е
плоское множество FX?E/F. Совокупность X(Еъ Е2)
всех линейных операторов Т: Е1-^-Е2 образует В. п.
относительно операций
(Т1+Т2)х=Т1х+Т2х; (ХТ)х=кТх;
x^Ei, Х^К; Тг, Т2, Т qiX(E1, Е2).
Два В. п. Et и Е2 наз. изоморфными В. п., если
существует линейный оператор («изоморфизм»), осущест-
осуществляющий взаимно однозначное соответствие между их
элементами. Ег и Е2 изоморфны тогда и только тогда,
когда их базисы имеют одинаковую мощность.
Пусть Т — линейный оператор, отображающий Ех
в Е2- Сопряженным линейным опера-
оператором, пли двойственным линейным
оператором, по отношению к Т, наз. линейный
оператор Т* из Е2 в Е\, определенный равенством
(Г*ф) я = ср (Тх) для всех х ? Ег, ср ? Е*2.
Имеют место соотношения Т*~^ @) =[Т(Е1)]1->
Т* (Е2)=[Т-^@)]^-, откуда следует, что Т* является
изоморфизмом тогда и только тогда, когда Т является
изоморфизмом.
С теорией линейных отображений В. п. тесно связана
теория билинейных отображений и полилинейных ото-
отображений В. п.
Важную группу задач теории В. п. образуют задачи
продолжения линейных отображений. Пусть F — под-
подпространство В. п. Ex, E2 — линейное пространство
над тем же полем, что и Ег, и пусть То — линейное
отображение F в Е2; требуется найти продолжение Т
отображения То, определенное на всем Е± и являющееся
линейным отображением Ех в Е2. Такое продолжение
всегда существует, но дополнительные ограничения на
функции (связанные с дополнительными структурами
в В. п., напр., топологией или отношением порядка)
могут сделать задачу неразрешимой. Примерами реше-
решения задачи продолжения являются Хана — Банаха
теорема и теоремы о продолжении положительных
функционалов в пространствах с конусом.
Важным разделом теории В. п. является теория опе-
операций над В. п., т. е. способов построения новых В. п.
по известным. Примеры таких операций — известные
операции взятия подпространства и образования фак-
торпространства по подпространству. Другие важные
операции — построение прямой суммы, прямого про-
произведения и тензорного произведения В. п.
Пусть {^а}а6/~ семейство В. п. над полем К.
Множество Е — произведение множеств Еа — можно
превратить в В. п. над полем К, введя операции
полученное В. п. Е наз. прямым произведе-
произведением В. п. Еа и обозначается Пае1Еа- Подпрост-
Подпространство В. п. Е, состоящее из всех тех наборов (ха),
для каждого из к-рых множество {а : хаф0} конечно,
наз. прямой суммой В. п. Еа и обозначается
2аЕа или 2а-(-?а; для конечного числа слагаемых
эти определения совпадают; в этом случае использу-
используются обозначения:
#! + .. . + Еп или ЕХХ...ХЕП.
Пусть Еъ Е2 — два В. п. над полем К; Е[, Е'2 —
тотальные подпространства В. п. Ei, E2, и Е1\^}Е2 —
В. п., имеющее своим базисом совокупность всех эле-
элементов пространства ЕгХЕ2. Каждому элементу
x[Jy?E1\^\E2 сопоставляется билинейная функция
Ъ=Т(х, у) на Е[ХЕ2 по формуле b(f, g)=f(x)g(y),
Это отображение базисных векторов
\^Jy^1^j2 можно продолжить до линейного ото-
отображения Т В. п. ?i[71^2 B В. п. всех билинейных
функционалов на E'iXE'z. Пусть Ео=Т~1@). Тен-
Тензорным произведением В. п. Ех и Е2
наз. факторпространство ЕхОЕ2= (E1^jE2)/E0; образ
элемента х\^\у обозначается хоу. В. п. ?11о?'2 изо-
изоморфно В. п. билинейных функционалов на Е[хЕг
(см. Тензорное произведение векторных пространств).
Наиболее содержательной частью теории В. п. яв-
является теория конечномерных В. п. Но и понятие бес-
бесконечномерного В. п. часто оказывается плодотворным
и имеет интересные приложения, особенно в теории
топологических векторных прост-
пространств, т. е. В. п., наделенных топологией, опреде-
определенным образом согласованной с его алгебраич. струк-
структурой.
Лит.: [1] Б у р б а к и Н., Алгебра. Алгебраические
структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц.,
М., 1962; [2] Райков Д. А., Векторные пространства, М.,
1962; [3] Д э й М. М., Нормированные линейные пространства,
пер. с англ., М., 1961;- [41 Эдварде Р., Функциональный
анализ, пер. с англ., М., 1969; [5] Халмош П., Конечно-
Конечномерные векторные пространства, пер. с англ., М., 19fiH; [6]
Глазман И. М., Любич Ю. И., Конечномерный ли-
линейный анализ в задачах, М., 1969. ,, „ „ _
М. И. Навец.
ВЕКТОРНОЕ РАССЛОЕНИЕ — локально триви-
тривиальное расслоение я : X—>-В, каждый слой к-рого л~1F)
наделен структурой (конечномерного) векторного про-
пространства V над телом <J>\ dimF наз. размерно-
размерностью В. р. Сечения В. р. я образуют локально сво-
свободный модуль Г (я) над кольцом непрерывных функ-
функций на В со значениями в <J>. Морфизмом В. р. наз.
морфизм расслоений / : я->-я', для к-рого каждое
отображение является линейным отображением. Сово-
Совокупность В. р. и их морфизмов образует категорию
Bund. Понятие В. р. возникло как обобщение каса-
касательного расслоения и нормального рассло-
расслоен и я в дифференциальной геометрии; в настоящее
время оно является базой и орудием исследования в
различных областях математики — в дифференциаль-
дифференциальной и алгебраич. топологии, теории линейных связно-
стей, алгебраич. геометрии, теории (псевдоДифферен-
(псевдоДифференциальных операторов и т. д.
Подмножество Х'аХ такое, что п]х, : X'—*-В есть
В. р. и X' Пя-1(Ь) — векторное подпространство я-1F),
наз. подрасслоением В. р. я. Пусть, напр.,
V — векторное пространство и G^(F) — Грассмана
многообразие подпространства V размерности к; тогда
подпространство произведения Gk (V) X V, состоящее
из пар (р, v) таких, что v?p, есть подрасслоение Y*
тривиального В. p. Gk(V)XV; объединение всех век-
векторных пространств л~1(Ь)/л'21(Ь), где я2 — подрассло-
подрасслоение я, снабженное фактортопологией, наз. фактор-
расслоением В. р. я. Пусть, далее, V — вектор-
векторное пространство и Gk(V) — комногообразие Грассмана
подпространств V коразмерности к; тогда факторпро-
факторпространство произведения G" (V) X V по подрасслоению,
состоящему из пар (р, у) с v?p, есть факторрасслоение
7* тривиального В. p. Gk(V)XV. Понятия подрасслое-
ния и факторрасслоения используются в конструкциях
стягивания и склеивания, применяющихся для по-
построения В. р. над факторпространствами.
.В-морфизм В. р. /: я—»-я' наз. точным, если
dim ker/^-1(b) локально постоянна на В. Инъектив-
ный и сюръективныи морфизмы являются точными и наз.
соответственно мономорфизмом и эпимор-
эпиморфизмом В. р. Для точного морфизма / однозначно
определены следующие В. р.: Кег /(ядро/) — под-
подрасслоение я, Im / (образ /) — подрасслоение я',
Coker / (коядро /) — факторрасслоение я, Coim /
(кообраз /) — факторрасслоение я'; каждое под-
расслоение щ является образом нек-рого мономорфизма
i : щ—wi, а факторрасслоение я2 — коядром нек-рого
эпиморфизма jf : я—кгс2. Последовательность 2?-мор-
физмов В. р.
... —>- я'—»- я—* я"—v ...
наз. точной, если для всех Ь?В является точной
последовательность
...-» (я')-1^)-^-1^) _* (я")-1 (Ъ) -v...
В частности, последовательность
' i
0-»я1-»я-»я2-*0
(где 0 — нулевое В. р.: Х = В, л—id) точна, если i —
мономорфизм, / — эпиморфизм и Im i=Ker/. Совокуп-
Совокупность В. р. над В и их точных 5-морфизмов образует
точную подкатегорию BundB категории Bund.
Для любого В. р. я : Х-+В и отображения и : В1-уВ —
индуцированное расслоение и* (я) снабжается такой
структурой В. р., что морфизм U : и* (я)—>-ji является
морфизмом В. р. Эта структура единственна и обладает
тем свойством, что каждое отображение (и* (я))-1 F)—у
—>-л~х(и(Ь)) является изоморфизмом векторных про-
пространств. Напр., каждое В. р. размерности к над пара-
компактным пространством В изоморфно В. р. и* (у^)
и u*(yk), индуцированным нек-рыми отображениями
и : B-+Gk(V) и u:B—>-Gk(V) соответственно, причем
гомотопные отображения индуцируют изоморфные В. р.,
и, если dimV^oo,— наоборот: изоморфным В. р.
соответствуют гомотопные отображения и и и. Это —
одна из основных теорем гомотопической классифика-
классификации В. р., выражающая универсальность В. р. ук и
¦у* по отношению к классифицирующим отображениям
и и и.
Любой непрерывной операции (функтору) Т на
категории векторных пространств однозначно соответ-
соответствует непрерывный функтор на категории В. р. над В;
таким образом строятся расслоения, ассоциированные
с данным В. р.: тензорные расслоения, В. р. морфизмов
Ношд (я, я') и, в частности, сопряженное В. р. я*,
внешние степени В. р. и т. д., сечения к-рых наделяют
В. р. дополнительными структурами, широко исполь-
используемыми в приложениях.
Для В. р. я и я' определяются прямая сумма (сумма
У и т н и) я@я' и тензорное произведение я(^)л',—
относительно этих операций множество классов VektB,
изоморфных над В, В. р. образуют полукольцо, играю-
играющее важную роль в построении К-функтора; так, если
для В. р. я и я' существуют тривиальные В. р. 8 и 9'
такие, что В. р. яфЭ и я'фЭ' изоморфны (т. е. я и
я' стабильно эквивалентны), то их образы в попол-
пополнении К (В) полукольца Vekt B совпадают, при этом
существование обратного В. р. для любого В. р. над
паракомпактным пространством влечет совпадение коль-
кольца К (В) и множества классов стабильной эквивалент-
эквивалентности В. р.
Для каждого В. р. я : Х—*-В над паракомпактным
пространством В существует сечение Р В. р.
я* ф я* = Нот (я® я, Р),
где Р — тривиальное одномерное В. р., являющееся
на каждом слое я~1(Ь) положительно определенной
формой, т. е. я — метризуемое; это позволяет уста-
установить, в частности, расщепляемость любой точной по-
U V
следовательности В. р. О—>-|—»-я—>?—э-0, в которой я
метризовано,— существование такого морфизма w :
|ф?—уя, что wi=u, vw=j, причем i — вложение в
первое слагаемое, / — проекция на второе слагаемое.
Отождествлением в каждом слое п~г(Ь) В. р. я : X—*-В
точек, лежащих на одной прямой, проходящей через
О, получается расслоение я0 : П(я)—уВ, ассоциированное
с В. р. я и наз. его проективизацией; слоем
я0 является проективное пространство П (F), ассоцииро-
ассоциированное с V. С помощью этого расслоения изучаются
Тома пространства Г(я)=П (яфЭ)/П (я), использу-
используемые для гомотопической интерпретации классов бор-
дантных многообразий, характеристических классов
В. р., описывающих гомологические свойства много-
многообразий, и т. д.
Понятие В. р. обобщается на случай, когда слой яв-
является бесконечномерным векторным пространством;
при этом следует различать разные топологии про-
пространства морфизмов Нот (я, я'), вносить соответст-
соответствующие изменения в определение точности морфиз-
морфизмов и их последовательностей, а также в построение
В. р., ассоциированных с непрерывными функторами
на категории бесконечномерных векторных прост-
пространств.
Лит.: [1] Годбийон К., Дифференциальная геометрия
и аналитическая механика, пер. с франц., М., 1973' [2] А т ья
М., Лекции по -К-теории, пер. с англ., М., 1967; [3] Л е н г С,
Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. о
англ., М., 1967; [4] Хьюзмоллер Д., Расслоенные про-
пространства, пер. с англ., М., 1970; [5] Ч ж э н ь Ш э н - ш э н ь,
Комплексные многообразия, пер. с англ., М., 1961; [6] X и р-
ц е б р у х Ф., Топологические методы в алгебраической гео-
геометрии, пер. с англ., М., 1973. А. Ф. Щекутьев.
ВЕКТОРНО-ТОЧЕЧНАЯ АКСИОМАТИКА — аксио-
аксиоматика n-мерного аффинного пространства R", пер-
первичными понятиями к-рой являются «точка» и «век-
«вектор»; связь между ними реализуется с помощью со-
сопоставления парам точек однозначно определенного
вектора. Выполняются следующие аксиомы.
I. Множество всех лекторов пространства Rn есть
n-мерное векторное пространство V".
II. Каждые две точки А и В (данные в определен-
определенном порядке) определяют единственный вектор и.
III. Если даны произвольный вектор и и произволь-
произвольная точка А, то существует единственная точка В
такая, что и = АВ.
IV. Если ux = AB и и2 = ВС, то и1-\-и2= АС.
Пара «точка А и вектор и» наз. «вектором и, при-
приложенным к точке А» (или «закрепленным в этой
точке»); сама точка А наз. начальной точкой прило-
приложенного к ней вектора и, а точка В (однозначно
определенная парой А, и) наз. концом вектора и
(приложенного к точке А).
Произвольно данный вектор и порождает вполне
определенное взаимно однозначное отображение мно-
множества всех точек пространства R" на себя. Это ото-
отображение, называемое сдвигом пространства Л"
на вектор и, состоит в том, что каждой точке А?Я"
ставится в соответствие конец В приложенного к
точке А вектора и = АВ.
Лит.: [1] Александров П. С, Лекции по аналитичес-
аналитической геометрии..., М., 1968; [2] Энциклопедия элементарной
математики, кн. 4, Геометрия, М., 1963. А. Б. Иванов.
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ — раздел векторного ис-
исчисления, в к-ром изучаются векторные поля и скаляр-
скалярные поля.
Одним из основных понятий В. а. для изучения ска-
скалярных полей является градиент. Скалярное поле и(М)
наз. дифференцируемым в точке М области D, если
приращение поля Дм в точке М может быть представ-
представлено в виде:
Ди = /(Дг) + о (р),
где Дг — вектор, соединяющий точку М с М',
р=р (М, М') — расстояние между точками М и М',
а/ (Дг)—линейная форма относительно вектора Дг. Ли-
Линейная форма /(Дт) единственным образом может быть
представлена в следующем виде:
1(Ьг) = (д, Дг),
где д — не зависящий от Дг (т. е. выбора точки М')
вектор. Вектор д наз. градиентом скалярного
поля и обозначается символом grad и. В случае, когда
скалярное поле дифференцируемо в каждой точке
нек-рой области, grad и является векторным полем.
Градиент всегда направлен ортогонально линии (по-
(поверхности) уровня u(M) = ccmst скалярного поля и
с производной по направлению е связан соотношением:
ди . , .
¦^ = (grad u, е).
Для изучения векторных полей используется поня-
понятие дивергенции и ротора. Пусть векторное поле а(М)
наз. дифференцируемым в точке М нек-рой области D,
т. е. приращение поля Да в точке М единственным
образом может быть представлено в виде:
о(\ Аг |),
где Ar=\MM'\, А — линейный оператор, не зависящий
от Аг (от выбора точки М'). Дивергенцией
diva векторного поля а(М) наз. следующий скалярный
инвариант линейного оператора А:
div a = (rl, Ari), (*)
где г1, г/ — взаимные базисы (*•,-, rfe)=8j (8(- — символ
Кронекера). Если а(М)—поле скоростей в устано-
установившемся потоке несжимаемой жидкости, то div a
в точке М означает интенсивность источника (div a>0)
или стока (diva<0), находящихся в точке Л/, или
отсутствие их (div я=0).
Вихрем (ротором) rot а векторного поля
а(М) наз. следующий векторный инвариант линейного
оператора А из (*):
rot a= [r,-, Ar1'],
где г', Г( — взаимные базисы. Вихрь векторного поля
может быть интерпретирован как векторная «враща-
«вращательная составляющая» этого поля.
Для векторных и скалярных полей класса С2 воз-
возможны повторные операции, напр.:
rot grad и = О,
div rot «, = 0,
rot rot a = grad div a—Да,
div grad м = Дв,
где Д — оператор Лапласа.
Градиент, дивергенция и вихрь обычно наз. основ-
основными дифференциальными операци-
операциями В. а. О свойствах основных дифференциальных
операций В. а. и записи в специальных системах коор-
координат см. Вихрь, Градиент, Дивергенция.
В терминах основных операций В. а. могут быть
записаны основные интегральные формулы, связываю-
связывающие объемные, поверхностные и контурные интегралы.
Пусть векторное поле непрерывно дифференцируемо
в конечной связной области V, граница L — кусочно
гладкая.
Пусть S — ограниченная, полная, кусочно гладкая
двусторонняя поверхность с кусочно гладкой границей
dS. Тогда справедлива Стокса формула:
> iota)ds=(j)ds{a,t)dl,
причем нормальный к S вектор п и касательный к OS
вектор t должны определять согласованные ориен-
ориентации поверхности S и края dS. Интеграл ф (a, t)dl
и до
наз. циркуляцией векторного поля а, по кривой
dS. Если циркуляция векторного поля по любой замк-
замкнутой кусочно гладкой кривой, расположенной в нек-рой
области, равна нулю, то векторное поле наз. потен-
циальнымв этой области. В односвязной области
векторное поле потенциальное, если rot а=0. Для
потенциального векторного поля существует так наз.
скалярный потенциал — функция v(M) та-
такая, что «=grad v; при этом
¦^,(а, t)dl=v(B) — v(A),
AB
где точки A, B?D, AB—кусочно гладкая кривая,
t — единичный вектор касательной к А В, dl — диф-
дифференциал дуги.
Пусть векторное поле о,(М) непрерывно и диффе-
дифференцируемо в конечной связной области V с кусочно
гладкой границей 0V, тогда справедлива Остроград-
Остроградского формула:
где п — вектор внешней нормали к 6V.
Интеграл \ \ (п, a)ds иа.з. потоком векторного по-
поля а(М) через поверхность 0V. Если поток векторного
поля через любую замкнутую кусочно гладкую несамо-
пересекающуюся ориентированную поверхность, распо-
расположенную в V и представляющую собой границу яек-рой
ограниченной подобласти области V, равен нулю, то
векторное поле а(М) наз. соленоидальным
в области V. Для того чтобы непрерывно дифферен-
дифференцируемое векторное поле было соленоидальным, не-
необходимо и достаточно, чтобы div a=0 во всех точках
V. Для соленоидального векторного поля а(М) сущест-
существует так наз. векторный потенциал —
функция А (М) такая, что
a=rot A (M).
Если дивергенция и вихрь векторного поля опреде-
определены в каждой точке М области D, то всюду в D век-
векторное поле может быть представлено в виде суммы
потенциального а,х(М) и соленоидального а2(М) полей
(теорема Гельмгольца):
Векторные поля, для к-рых div a=0, rotrr = 0, наз.
гармоническими. Потенциал v гармопич. поля
удовлетворяет уравнению Лапласа. Скалярное поле о
также наз. гармоническим.
Лит. см. при статье Векторное исчисление. А. Б. Иванов,
ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ АЛГЕБРА — произвольное се-
семейство А функций x={x(t)} на топологич. простран-
пространстве Т, принимающих в каждой точке t ? Т значения
в нек-рой алгебре A (t) (вообще говоря, зависящей
от t), образующее алгебру относительно поточечных
операций. Если каждая из алгебр A (t) является бана-
банаховой алгеброй, то А наз. В.-ф. а. при условии, что для
любой функции х= {z(t)}?A функция t—*-\\x(t) || непре-
непрерывна на Т. Важнейшие общие вопросы теории В.-ф. а.:
описание идеалов в А в терминах идеалов в алгебрах
A (t) и установление критерия принадлежности функ-
функции x—\x(t)} алгебре А; чаще всего рассматривается
случай, когда А — банахова алгебра относительно
нормы
||* [| = 8^11* (I) \\Mt),
а Г — локально компактное или паракомпактное про-
пространство. Особый интерес представляет В.-ф. а.,
связанная с семейством С*-алгебр А (?); в этом частном
случае известны некоммутативные аналоги Вейершт-
расса — Стоуна теоремы и нек-рые теоремы о реали-
реализации С*-алгебр (в частности, С*-алгебр с непрерыв-
непрерывным следом) в виде В.-ф. а. В свою очередь, эти тео-
теоремы позволяют в нек-рых случаях доказать комму-
коммутативность совокупности операторов, перестановочных
с операторами симметричных представлений алгебр с
инволюцией (континуальный аналог леммы Шура).
А. И. Штерн.
ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ, векторная функ-
ц и я,— функция r(t) аргумента t, значения к-рой при-
принадлежат нек-рому векторному пространству V.
В конечномерном (размерности т) векторном про-
пространстве V задание В.-ф. эквивалентно заданию ее
координат rj(t), 1<:;<;пг, в нек-ром базисе elt ..., ет
пространства V:
Г
В.-ф. наз. непрерывной, дифференцируемой и т. п. (в
точке пли в области), если такими являются все функ-
функции i'j(t). Для функции r(t) одного переменного спра-
справедливы формулы:
± г @ =
C)
(формула Тейлора).
Множество концов векторов r(t), отложенных от
нулевой точки пространства V, наз. годографом
В.-ф. Первая производная r(t) В.-ф. одного действитель-
действительного переменного представляет собой вектор простран-
пространства V, касательный к годографу В.-ф. r(t) в точке
r(t). Если r(t) есть закон движения материальной точки
(t — время), то r(t) является вектором мгновенной ско-
скорости точки в момент t. Вторая производная r(t) —
вектор ускорения точки.
Аналогично формулам B), C) определяются частные
производные и кратные интегралы В.-ф. нескольких пе-
переменных. О понятиях векторного анализа для В.-ф.
см. Векторный анализ, Градиент, Дивергенция, Вихрь.
В бесконечномерном векторном пространстве, имею-
имеющем базис, представление В.-ф. вида A) является бес-
бесконечным рядом и покоординатное определение опе-
операций математического анализа встречает трудности,
связанные с понятиями сходимости рядов, возможно-
возможности почленного дифференцирования и интегрирования
и т. п.
Лит.: [1] Кочин Н.Е., Векторное исчисление и начала
тензорного исчисления, 9 изд., М., 1965; [2] Рашевский
П. К., Курс дифференциальной геометрии, 4 изд., М., 1956.
Л. П. Купцов.
ВБКУА МЕТОД в теории бесконечно малых изгиба-
изгибаний—метод, заключающийся в том, что нек-рые величины,
характеризующие изгибание поверхностей положи-
положительной гауссовой кривизны К, в сопряженно-изотерми-
сопряженно-изотермической параметризации являются обобщенными анали-
аналитическими функциями. Это обстоятельство позволяет
свести задачу исследования изгибания поверхностей
переменной Х>0 к определенной задаче для поверх-
поверхностей с К= const >0, бесконечно малые изгибания
к-рых описываются обычными аналитич. функциями,
и тем самым установить далеко идущую аналогию в
свойствах изгибаний поверхностей с переменной и по-
постоянной положительной гауссовой кривизной.
Лит.: [1] Векуа И. Н., Обобщенные аналитические
функции, М., 1959. М. И. Войцеховский.
ВЕЛИЧИНА — одно из основных математич. поня-
понятий, смысл к-рого с развитием математики подвергался
ряду обобщений.
I. Еще в «Началах» Евклида C в. до н. э.) были от-
отчетливо сформулированы свойства В., наз. теперь, для
отличия от дальнейших обобщений, положитель-
положительными скалярными величинами. Это
первоначальное понятие В. является непосредственным
обобщением более конкретных понятий: длины, площа-
ди, объема, массы и т. п. Каждый конкретный род В.
связан с определенным способом сравнения физич. тел
или др. объектов. Напр., в геометрии отрезки сравни-
сравниваются при помощи наложения, и это сравнение при-
приводит к понятию длины: два отрезка имеют одну и ту
же длину, если при наложении они совпадают; если же
один отрезок накладывается на часть другого, не покры-
покрывая его целиком, то длина первого меньше длины вто-
второго. Общеизвестны более сложные приемы, необходи-
необходимые для сравнения плоских фигур но площади или про-
пространственных тел по объему.
В соответствии со сказанным, в пределах системы
всех однородных В. (т. е. в пределах системы всех длин
или всех площадей, всех объемов) устанавливается от-
отношение неравенства: две В. а и Ъ одного и того же рода
или совпадают (а =6), или первая меньше второй
(а<_Ь), или вторая меньше первой (Ъ<а). Общеизвестно
также в случае длин, площадей, объемов и то, каким
образом устанавливается для каждого рода В. смысл
операции сложения. В пределах каждой из рассматри-
рассматриваемых систем однородных В. отношение а<6 и опе-
операция а-\-Ь=с обладают следующими свойствами:
1) каковы бы ни были а и Ъ, имеет место одно и толь-
только одно из трех соотношений: или а=Ь, или а<Ъ,
или 6<а;
2) если а<Ь и Ь<с, то a<s (транзитивность отноше-
отношений «меньше», «больше»);
3) для любых двух В. аи Ь существует однозначно
определенная В. с=а-\-Ь;
4) a-{-b=b~\-a (коммутативность сложения);
5) а+ F+с)= (а+6)+с (ассоциативность сложения);
6) а-\-Ь~>а (монотонность сложения);
7) если а>6, то существует одна и только одна В. с,
для к-рой 6-|-с=а (возможность вычитания);
8) каковы бы ни были В. а и натуральное число п,
существует такая В. Ъ, что пЪ=а (возможность деления);
9) каковы бы ни были В.а и Ь, существует такое на-
натуральное число п, что а<С.пЪ. Это свойство наз. а к-
сиомой Евдокса, или аксиомой Архи-
Архимеда. В нем вместе с более элементарными свойствами
1) — 8) основана теория измерения В., развитая древ-
древнегреческими математиками.
Если взять к.-л. длину I за единичную, то система
s' всех длин, находящихся в рациональном отношении
к I, удовлетворяет требованиям 1) — 9). Существование
несоизмеримых отрезков (открытие к-рых приписыва-
приписывается Пифагору, 6 в. до н. э.) показывает, что система
s' еще не охватывает системы s всех вообще длин.
Чтобы получить вполне законченную теорию В., к
требованиям 1) — 9) надо присоединить еще ту или
иную дополнительную аксиому непрерывности, напр.:
10) если последовательности величин ar<ia2<i. . .<
<. . ¦<Ь2<Ь1 обладают тем свойством, что Ьп—ап<с
для любой В. с при достаточно большом номере п, то
существует единственная В. х, к-рая больше всех ап и
меньше всех Ъп.
Свойства 1) — 10) и определяют полностью совре-
современное понятие системы положительных скалярных В.
Если в такой системе выбрать к.-л. В. I за единицу
измерения, то все остальные В. системы однозначно
представляются в виде a=aZ, где а — положительное
действительное число.
II. Рассмотрение направленных отрезков на прямой,
скоростей, могущих иметь два противоположных на-
направления, и т. п. В. естественно приводит к тому
обобщению понятия скалярной В., к-рое является ос-
основным в механике и физике. Система скалярных В. в
этом понимании включает в себя, кроме положительной,
В., нуль и отрицательную В. Выбирая в такой системе
к.-л. положительную величину I за единицу измерения,
выражают все остальные В. системы в виде a=aZ, где
ос — действительное число, положительное, отрица-
тельное или равно нулю. Конечно, систему скалярных
В. в этом понимании можно охарактеризовать и акси-
аксиоматически, не опираясь на понятие числа. Для этого
пришлось бы несколько изменить требования 1) —
10), к-рыми выше охарактеризовано понятие положи-
положительной скалярной В.
III. В более общем смысле слова величинами называ-
называются векторы, тензоры и др. «нескалярные величины».
Такие В. можно складывать, но отношение неравенст-
неравенства (а<6) для них теряет смысл.
IV. В нек-рых более отвлеченных математнч. ис-
исследованиях играют известную роль «неархимедовы»
В., к-рые имеют с обычными скалярными В. то общее,
что для них сохраняются обычные свойства неравенств,
но аксиома 9) не выполняется (для скалярных В. в
смысле пункта II она сохраняется с оговоркой, что
6>0).
V. Так как система действительных положительных
чисел удовлетворяет перечисленным выше свойствам
1) — 10), а система всех действительных чисел обла-
обладает всеми свойствами скалярных В., то вполне за-
законно сами действительные числа называть величинами.
Это особенно принято при рассмотрении перемен-
переменных В. Если какая-либо конкретная В., напр, дли-
длина I нагреваемого металлич. стержня, изменяется во
времени, то меняется и измеряющее ее число х=1/10
(при постоянной единице измерения 10). Само это ме-
меняющееся во времени число х принято называть пере-
переменной В. и говорить, что х принимает в какие-либо
последовательные моменты времени tt, t2, . . . «числовые
значения» xlt x2, .... В традиционной математич. тер-
терминологии говорить о «переменных числах» не принято.
Однако логичнее такая точка зрения: числа, как и дли-
длины, объемы и т. п., являются частными случаями В. и,
как всякие В., могут быть п переменными, и постоян-
постоянными. Столь же законно и рассмотрение переменных
векторов, тензоров И Т. П. А. Н. Колмогоров.
ВЕННА ДИАГРАММА — графический способ изо-
изображения формул математич. логики, прежде всего
формул исчисления высказываний. В. д. га переменных
«1, . . ., ап классич. логики высказываний представляет
собой такой набор замкнутых контуров Сг, . . ., Сп (го-
меоморфных окружностям), к-рый разбивает плоскость
на 2" областей, причем нек-рые из этих областей (на-
(например, ь\, . . ., Vfr, 0<:/с<2") отмечены. Каждой отмечен-
отмеченной области F,-, 0<г<:/с, ставится в соответствие фор-
формула Bi = b1Scb2&. . .&bn, где bj, 0<;<re, есть aj, если
и,- лежит внутри контура С/, и Ь,-есть"] а,- в противном
случае. Диаграмме в целом соответствует формула Вг\/
Вг V . . . V Вп. Напр., В. д., изображенной на рис.,
соответствует формула
(-)аг& 1 а2& -]а3) v К & >, & а3) V (>1 & «2 & >3).
Если отмеченных областей нет (к=0), то диаграмме
сопоставляется тождественно ложная формула, напр.
<!!&"] ах. В логике высказыва-
высказываний В. д. используются для
решения проблемы разреше-
разрешения, проблемы вывода всех
возможных попарно неэквива-
неэквивалентных логич. следствий из
данных посылок и др. Логика
высказываний может быть по-
построена в виде операции над
В. д., сопоставленных логич.
операциям.
Аппарат диаграмм был предложен Дж. Венном [1]
для решения задач логики классов. Метод В. д. распро-
распространен на классич. исчисление многоместных предика-
предикатов. В. д. находят применение в приложениях матема-
математич. логики и теории автоматов, в частности для решения
задач теории нейронных сетей.
Лит.: [ll Venn J., Symbolic logic, 2 ed., L., 1894;
[2] К у з и ч е в А. С, Диаграммы Бонна, М., 1968.
А. С. Нузичев.
ВЕРБАЛЬНАЯ КОНГРУЭНЦИЯ — пересечение всех
конгруэнции 9 алгебры А, факторалгебры AIQ по
к-рьш принадлежат нек-рому фиксированному много-
многообразию Q-алгебр. Конгруэнция 9 произвольной ал-
гебраич. системы А={А, Q) наз. вербальной,
если существует многообразие Ш1 Q-систем, для к-рого
каноническое отображение А -»- A/Q является ЯЛ-мор-
физмом. В. к. является вполне характеристической
конгруэнцией. Если F — свободная Q-система в нек-ром
многообразии SB, то и, обратно, всякая вполне харак-
характеристическая конгруэнция т) в F является В. к. от-
относительно многообразия Щ}, порожденного фактор-
системой F/r\.
Лит.: [1] Мальцев А. И., Алгебраические системы,
М., 1970. Д. М. Смирнов.
ВЕРБАЛЬНАЯ ПОДГРУППА — подгруппа V (G)
группы G, порожденная всевозможными значениями
всех слов из нек-рого множества F= {/v (xl, ...,
^nv)|v?/}, когда хъ х2, ... независимо друг от друга
пробегают всю группу G. В. п. нормальна; конгруэн-
конгруэнция, определяемая с помощью В. п. на группе, явля-
является вербальной конгруэнцией (см. также Алгебраических
систем многообразие).
Примеры В. п.: 1) коммутант G' группы G,
определяемый коммутатором [х, у\ = х-ху-гху; 2) и-й
коммутант G(n) = (G<'!~1))'; 3) члены нижнего централь-
центрального ряда
I\ (G) = G^ Г2 (G) з ... Э Тп (G) =...,
где Tn(G) — В. п., определяемая коммутатором
[хи . . ., xn] = [lxu . . ., х„_х], хп];
4) степень G" группы G, определяемая словом х".
При любом гомоморфизме ф справедливо равенство
V(G) ф=У(Сф). В частности, V(G) — вполне характерис-
характеристическая подгруппа в G. Обратное верно для свободных
групп, но не в общем случае: пересечение двух В. и.
может и не быть В. п. Для прямого произведения групп
что, однако, уже неверно при переходе к декартову
произведению.
Особо важную роль играют В. п. свободной группы X
счетного ранга. Они составляют (дедекиндову) подре-
шетку решетки всех ее подгрупп. В. п. обладает свойст-
свойством «монотонности»: если V (Х)фЕ и V(R)^V{S),
где R<\X, S<\X (R<\X означает, что R является нор-
нормальным делителем группы X), то и R=dS. В частности,
V(R)=V(S) влечет R=S.
Лит.: [1] Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М.,
1967; [2] Нейман X., Многообразия групп, пер. с англ.,
М., 1969. О. Н. Головин.
ВЕРБАЛЬНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ групп G,,
ig/,— факторгруппа F/(V(F)f]C), где F — свободное
произведение групп G,-, i?/, V — нек-рое множество
слов, V(F) — вербальная F-подгруппа (см. Вербальная
подгруппа) группы F, а С — декартова под-
подгруппа (т. е. ядро естественного эпиморфизма F
на прямое произведение тех же групп). Как операция
на классе групп В. п. ассоциативно, а в пределах соот-
соответствующего многообразия групп и свободно.
О. Н. Головин.
ВЕРЗОР, в е р с о р,— аффинор, производящий пово-
поворот вектора на прямой угол.
ВЕРИФИКАЦИЯ — процесс проверки истинности
суждений. В более узком смысле — процесс проверки
истинности формул специального вида нек-рого логико-
математич. ЯЗЫКа. А. Г. Драгалин.
ВЕРОНЕЗЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — специальное регу-
регулярное отображение проективного пространства; наз-
вано в честь Дж. Веронезе (G. Veronese). Пусть п,
т— целые положительные числа, vnm~Cn+m— 1.
а Р" PVnm — проективные пространства над произ-
произвольным полем (или над кольцом целых чисел), рас-
рассматриваемые как схемы, и0, . . ., ип— проективные
координаты в Рп, ^ { , jo-j- .. .-\-in = m,— проектив-
проективные координаты в Рх'пт. Отображение Ве-
Веронезе есть морфизм
задаваемый формулами vi { =гго° • • ¦")"' г'о~Ь • • -~Ь
+ г„=т. В инвариантных терминах В. о. может быть
определено как регулярное отображение, задаваемое
полной линейной системой \тН\, где Я — гиперплоское
сечение в Рп. В. о. является замкнутым вложением,
его образ ит(Р") наз. многообразием Веро-
Веронезе и задается уравнениями
V'o ¦ ¦ ¦ '//о • ¦ • /„ ~ Vk0 ... knvr0 ... rny
где io-jrjo=h+ro, •¦-, in+in=kn+rn. Напр., v^P1)
есть кривая с уравнением х0ж1=х2 вР2. Степень много-
многообразия Веронезе равна тп. Для любой гиперповерх-
гиперповерхности
в Рп ее образ относительно В. о. vm является сечением
многообразия Веронезе vm(P") гиперплоскостью
Этот факт позволяет использовать В. о. для сведения
нек-рых задач о гиперповерхностях к случаю гиперплос-
гиперплоских сечений.
Лит.: [1] Ш а ф а р е в и ч И. Р., Основы алгебраической
геометрии, М., 1972. И. В. Долгачев.
ВЕРОЯТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ, срединное от-
отклонение,— характеристика рассеяния распре-
распределения вероятностей. Для непрерывно распределенной
симметричной случайной величины X В. о. В определя-
определяется условием:
где т — медиана X (совпадающая в этом случае с ма-
тематич. ожиданием, если оно существует). Для нор-
нормального распределения существует простая связь
В. о. со стандартной мерой рассеяния — квадратичным
отклонением а:
•D)-*
где Ф(х) — функция нормального @,1) распределения.
Приближенно 5 = 0,6745сг. А. в. Прохоров.
ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ — математическая наука,
позволяющая по вероятностям одних случайных со-
событий находить вероятности других случайных собы-
событий, связанных к.-л. образом с первыми.
Утверждение о том, что к.-л. событие наступает с ве-
вероятностью, равной, напр., 1/2, еще не представляет
само по себе окончательной ценности, т. к. мы стре-
стремимся к достоверному знанию. Оконча-
Окончательную познавательную ценность имеют те резуль-
результаты В. т., к-рые позволяют утверждать, что вероят-
вероятность наступления к.-л. события А весьма близка
к единице или (что то же самое) вероятность ненаступ-
ненаступления события А весьма мала. В соответствии с прин-
принципом «пренебрежения достаточно малыми вероят-
вероятностями» такое событие справедливо считают прак-
практически достоверным. Ниже (в разделе
Предельные теоремы) показано, что имеющие научный
и практич. интерес выводы такого рода обычно осно-
основаны на допущении, что наступление или ненаступле-
ние события А зависит от большого числа случайных,
мало связанных друг с другом факторов (см. по этому
поводу ст. Больших чисел закон). Поэтому можно также
сказать, что В. т. есть математич. наука, выясняющая
закономерности, к-рые возникают при взаимодействии
большого числа случайных факторов.
Предмет теории вероятностей. Для описания законо-
закономерной связи между нек-рыми условиями S и событием
А, наступление или ненаступление к-рого при данных
условиях может быть точно установлено, естествозна-
естествознание использует обычно одну из следующих двух схем.
а) При каждом осуществлении условий S наступает
событие А. Такой вид, напр., имеют все законы классич.
механики, к-рые утверждают, что при заданных на-
начальных условиях и силах, действующих на тело или
систему тел, движение будет происходить однозначно
определенным образом.
б) При условиях S событие А имеет определенную
вероятность P(A\S), равную р. Так, напр., законы ра-
радиоактивного излучения утверждают, что для каждого
радиоактивного вещества существует определенная
вероятность того, что из данного количества вещества
за данный промежуток времени распадается к.-л.
число N атомов.
Назовем частотой события А в данной серии
из га испытаний (т. е. из п повторных осуществлений
условий S) отношение р = т/п числа т тех испытаний,
в к-рых А наступило, к общему их числу п. Наличие
у события А при условиях S определенной вероят-
вероятности, равной р, проявляется в том, что в почти каж-
каждой достаточно длинной серии испытаний частота со-
события А приблизительно равна р. Всякая математич.
модель, предназначенная для схематич. описания
связи между условиями S и случайным событием А,
обычно включает также определенные допущения о ха-
характере и степени зависимости испытаний. После того
как такие дополнительные допущения (из к-рых наибо-
наиболее часто встречающимся является независи-
независимость испытаний, см. раздел Основные понятия
теории вероятностей) сделаны, вышеприведенное рас-
расплывчатое утверждение о близости частоты к вероят-
вероятности может быть количественно уточнено.
Статистич. закономерности, т. е. закономерности,
описываемые схемой типа б), были впервые обнару-
обнаружены на примере азартных игр, подобных игре в кости.
Очень давно известны также статистич. закономерности
рождения, смерти (напр., вероятность новорожден-
новорожденному быть мальчиком равна 0,515). Конец 19 в. и 1-я
пол. 20 в. отмечены открытием большого числа ста-
статистич. закономерностей в физике, химии, биологии
и др. науках. Следует отметить, что статистич. законо-
закономерности возникают и в схемах, не связанных непо-
непосредственно с понятием случая, напр., в распределении
цифр в таблицах функций и т. п., см. Случайные и
псевдослучайные числа; это обстоятельство используют,
в частности, при «моделировании» случайных явлений,
см. Статистических испытаний метод.
Возможность применения методов В. т. к изучению
статистич. закономерностей, относящихся к весьма
далеким друг от друга областям науки, основана на
том, что вероятности событий всегда удовлетворяют
нек-рым простым соотношениям, о к-рых сказано ниже
(см. раздел Основные понятия теории вероятностей).
Изучение свойств вероятностей событий на основе этих
простых соотношений и составляет предмет В. т.
Основные понятия теории вероятностей. Наиболее
просто определяются основные понятия В. т. как ма-
математич. дисциплины в рамках так наз. элемен-
элементарной теории вероятностей. Каждое
испытание Т, рассматриваемое в элементарной В. т.,
таково, что оно заканчивается одним и только одним
из исходов, или, как говорят, одним из элемента р-
ных событий щ, в,, ..., (j)s. С каждым исходом
ш/; связывается неотрицательное число ри~ вероят-
вероятность этого исхода. Числа р^ должны при этом
в сумме давать единицу. Рассматриваются затем собы-
события А, заключающиеся в том, что
«наступает или со,-, или ау, ..., или со&».
Исходы со/, <Вр . . ., со/; наз. благоприятст-
благоприятствующими А, и, по определению, полагают вероят-
вероятность Р (А) события Л, равной сумме вероятностей
благоприятствующих ему исходов:
P(A)=Pi + pj+...+pk. A)
Частный случай Pi=p2= • • •==P.s==l/s приводит к фор-
формуле
Р(А) = ~. B)
Формула B) выражает так наз. классическое
определение вероятности, в соответствии с к-рым ве-
вероятность к.-л. события А равна отношению числа г
исходов, благоприятствующих А, к числу s всех «равно-
возможных» исходов. Вычисление вероятностей сво-
сводится при этом к подсчету числа благоприятствующих
событию А исходов и часто оказывается трудной ком-
комбинаторной задачей (см. Комбинаторные задачи в тео-
теории вероятностей).
Пример. При бросании двух игральных костей
каждый из 36 возможных исходов может быть обозначен
(i, j), где i — число очков, выпадающее на первой
кости, j — на второй. Исходы предполагаются равно-
равновероятными. Событию А — «сумма очков равна 4»,
благоприятствуют три исхода A; 3), B; 2), C; 1). Сле-
Следовательно, />(Л) = 3/36=1/12.
Вопрос о том, как определяются численные значения
вероятностей р^ в данной конкретной задаче, лежит по
существу за пределами В. т. как чисто математич. дис-
дисциплины. В одних случаях выбор этих значений произ-
производится на основе обработки результатов большого числа
наблюдений. В других случаях возможно теоретич.
предсказание вероятностей, с к-рыми те или иные собы-
события будут встречаться в данном испытании. Такое пред-
предсказание часто основывается на объективной симметрии
связи между условиями, в к-рых производится испы-
испытание, и исходами этих испытаний, и приводит тогда
к формуле B). Пусть, напр., испытание состоит в под-
подбрасывании игральной кости, представляющей собой
кубик из однородного материала. Тогда можно пред-
предполагать, что с вероятностью 1/6 кость может упасть
на каждую из своих граней. В этом примере предполо-
предположение о равновероятности исходов находится в со-
согласии с опытом. Такого рода примеры и послужили
основой для классич. определения вероятности.
Более тонкое и глубокое объяснение причин равнове-
равновероятности исходов в нек-рых специальных случаях
дается так наз. методом произвольных
функций. Суть этого метода можно пояснить сле-
следующим образом на примере бросания кости. Пусть
опыт поставлен так, что случайные воздействия на
кость со стороны воздуха можно считать пренебрежимо
малыми. Тогда, если точно даны начальное положение,
начальная скорость кости и ее механич. характерис-
характеристики, движение может быть рассчитано по законам
классич. механики, и результат опыта можно предска-
предсказать достоверно. Практически начальные условия не
могут никогда быть фиксированы с абсолютной точ-
точностью н, напр., даже очень малые изменения началь-
начальной скорости приводят к другому результату, если
только время t от момента подбрасывания до момента
падения достаточно велико. Оказывается, что при очень
широких допущениях относительно распределения ве-
вероятностей начальных значений (отсюда и название
метода) вероятность каждого из шести возможных
исходов стремится к 1/6 при ?—>-оо.
Другой приме р — тасование колоды карт с целью
достижения равновероятности всех возможных рас-
расположений. Здесь переход от одного расположения
карт к другому при очередном тасовании обычно носит
вероятностный характер. Факт стремления к равнове-
равновероятности устанавливается методами теории Маркова
цепей.
Оба случая могут быть включены в общую эрго-
дическую теорию.
Исходя из к.-л. данных событий, можно определить
два новых события: их объединение (сумму) и совмеще-
совмещение (произведение). Событие В наз. объединением
событий Alt А2, .. ., А г, если оно имеет вид:
«наступает или Ах, пли А2, ..., или Аг».
Событие С наз. совмещением событий Alt
А2, ..., Аг, если оно имеет вид:
«наступает и А1, п А2, . . ., и Аг».
Объединение событий обозначают знаком (J, а сов-
совмещение — знаком П • Таким образом, пишут:
5 = Ли^и.-.и^л С=А1Г\А2[)...Г\ЛГ.
События А и В наз. несовместными, если их
одновременное осуществление невозможно, т. е. если
не существует среди исходов испытания ни одного
благоприятствующего и А, и В. Если события Л,-
отождествить со множествами благоприятствующих им
исходов, то события В ж С будут отождествляться
с объединением и пересечением соответствующих мно-
множеств.
С введенными операциями связаны две основные тео-
теоремы В. т.— теоремы сложения и умножения вероят-
вероятностей.
Теорема сложения вероятностей.
Если события Аг, А%, . . ., Аг таковы, что каждые два
из них несовместны, то вероятность их объединения
равна сумме их вероятностей.
Так, в приведенном выше примере с бросанием двух
костей событие В — «сумма очков не превосходит 4»,
есть объединение трех несовместных событий А 2, А3, Л4,
заключающихся в том, что сумма очков равна соответст-
соответственно 2, 3, 4. Вероятности этих событий 1/36; 2/36;
3/36. По теореме сложения вероятность Р (В) равна
1/36+2/36+3/36=6/36=1/6.
Условную вероятность события В при
условии А определяют формулой
что, как можно показать, находится в полном соответст-
соответствии со свойствами частот. События Alt А2, . . ., Аг
наз. независимыми, если условная вероят-
вероятность каждого из них при условии, что какие-либо из
остальных наступили, равна его «безусловной» вероят-
вероятности (см. также Независимость в теории вероят-
вероятностей).
Теорема умножения вероятностей.
Вероятность совмещения событий Аг, А2, ¦ ¦., Аг равна
вероятности события Ах, умноженной на вероятность
события А2, взятую при условии, что Ах наступило,
.. ., умноженной на вероятность события Аг при
условии, что Alt A2, • ¦ -, Аг-1 наступили. Для незави-
независимых событий теорема умножения приводит к фор-
формуле:
^(^1 Л А2П.--ПАГ) = Р(А1)Р(А2) ... Р{АГ), C)
т. е. вероятность совмещения независимых событий
равна произведению вероятностей этих событий. Фор-
Формула C) остается справедливой, если в обеих ее частях
нек-рые из событий заменить на противоположные им.
Пример. Производится 4 выстрела по цели с ве-
вероятностью попадания 0,2 при отдельном выстреле.
Попадания в цель при различных выстрелах предпола- i
гаются независимыми событиями. Какова вероятность
попадания в цель ровно три раза?
Каждый исход испытания может быть обозначен
последовательностью из четырех букв [напр., (у, н,
н, у) означает, что при первом и четвертом выстрелах
были попадания (успех), а при втором и третьем —
попаданий не было (неудача)]. Всего будет 2-2-2-2=16
исходов. В соответствии с предположением о незави-
независимости результатов отдельных выстрелов следует для
определения вероятностей этих исходов использовать
формулу C) и примечание к ней. Так, вероятность ис-
исхода (У> н> н> н) следует положить равной
0,2 -0,8 -0,8 -0,8=0,1024;
здесь 0,8=1 — 0,2— вероятность промаха при отдель-
отдельном выстреле. Событию «в цель попадают три раза»
благоприятствуют исходы (у, у, у, н), (у, у, н, у),
(У! н, У, У). (н, У, У. У), вероятность каждого одна
и та же:
0,2 -0,2 -0,2 -0,8= .. . = 0,8 -0,2 -0,2 -0,2=0,0064;
следовательно, искомая вероятность равна
4-0,0064=0,0256.
Обобщая рассуждения разобранного примера, можно
вывести одну из основных формул В. т.: если события
Аг, А2, ..., Ап независимы и имеют каждое вероят-
вероятность р, то вероятность наступления ровно т из них
равна
i>n(«)=C?p«(l-p)»-'«; D)
здесь С™ обозначает число сочетаний из п элементов
по т (см. Биномиальное распределение). При больших п
вычисления по формуле D) становятся затруднитель-
затруднительными. Пусть в предыдущем примере число выстрелов
равно 100, и ставится вопрос об отыскании вероятности
х того, что число попаданий лежит в пределах от 8
до 32. Применение формулы D) и теоремы сложения
дает точное, но практически мало пригодное выраже-
выражение искомой вероятности
х=У,32 C"'nn@,2)"'@,8I00-m.
Приближенное значение вероятности х можно найти
по Лапласа теореме
xx-L=r3e-*2/*dz = 0,9973,
У 2я J -з
причем ошибка не превосходит 0,0009. Найденный ре-
результат показывает, что событие 8<:т<:32 практически
достоверно. Это самый простой, но типичный пример
использования предельных теорем В. т.
К числу основных формул элементарной В. т. от-
относится также так наз. формула полной ве-
вероятности: если события А-у, А2, ¦ ¦ ., Аг попарно
несовместны и их объединение есть достоверное собы-
событие, то для любого события В его вероятность равна
сумме
Р (В) = ^[=1Р (B\Ak) P (Ak).
Теорема умножения вероятностей оказывается осо-
особенно полезной при рассмотрении составных
испытаний. Говорят, что испытание Т составлено
из испытаний Тг, Т2, .. ., Тп-и Тп, если каждый исход
испытания Т есть совмещение нек-рых исходов Л,-,
Bj, . . ., X/t, Y[ соответствующих испытаний 7\, Т2,
..., Гл-i, Тп. Из тех или иных соображений часто
бывают известны вероятности
Р (А[), Р (Bj\At), ..., Р (Xi\At ПВ/П-..П Хк). E)
По вероятностям E) с помощью теоремы умножения
могут быть определены вероятности Р (Е) для всех
исходов Е составного испытания, а вместе с тем и ве-
роятности всех событий, связанных с этим испытанием
(подобно тому, как это было сделано в разобранном
выше примере). Наиболее значительными с практич.
точки зрения представляются два типа составных испы-
испытаний: а) составляющие испытания независимы,
т. е. вероятности E) равны безусловным вероятностям
P(Ai), P(Bj), ..., P(Xk), P{Yi); б) на вероятности
исходов к.-л. испытания влияют результаты лишь
непосредственно предшествующего испытания, т. е. ве-
вероятности E) равны соответственно: Р (Л,-), Р (Bj\A{),...
.. ., P(Yi\Xk). В этом случае говорят об испытаниях,
связанных в цепь Маркова. Вероятности
всех событий, связанных с составным испытанием,
вполне определяются здесь начальными вероятностями
Р(А{) и переходными вероятностями P(Bj\Ai), ...,
P(Yi\Xjt) (см. Марковские процессы).
Случайные величины. Если каждому ис-
исходу испытания Т поставлено в соответствие число хг,
говорят, что задана случайная величинах.
Среди чисел хъ х2, ¦ ¦ ., х3 могут быть и равные; сово-
совокупность различных значений хг при г=1,
2, . . ., s называют совокупностью возможных
значений случайной величины. Набор возможных зна-
значений случайной величины и соответствующих им веро-
вероятностей наз. распределением вероятностей
случайной величины. Так, в примере с бросанием двух
костей с каждым исходом испытания (г, /) связывается
случайная величина X~i-\-j — сумма очков на обеих
костях. Возможные значения суть 2, 3, 4, . . ., 11, 12;
соответствующие вероятности равны 1/36, 2/36, 3/36,
..., 2/36, 1/36.
При одновременном изучении нескольких случай-
случайных величин вводится понятие их совместного распре-
распределения, к-рое задается указыванием возможных зна-
значений каждой из них и вероятностей совмещения со-
событий
{*! = *!}, {Х2 = Х.2\, ..., {Хп = Хп}, F)
где х?— какое-либо из возможных значении величины
Xfr. Случайные величины наз. независимыми,
если при любом выборе х^ события F) независимы.
С помощью совместного распределения случайных ве-
величин можно вычислить вероятность любого события,
определяемого этими величинами, напр., события
и т. п.
Часто вместо полного задания распределения ве-
вероятностей случайной величины предпочитают поль-
пользоваться небольшим количеством числовых характе-
характеристик. Из них наиболее употребительны математи-
математическое ожидание и дисперсия (см. также Момент, Семи-
Семиинвариант).
В число основных характеристик совместного распре-
распределения нескольких случайных величин, наряду с ма-
тематич. ожиданиями и дисперсиями этих величин,
включаются коэффициенты корреляции и т. п. Смысл
перечисленных характеристик в значительной степени
разъясняется предельными теоремами (см. раздел Пре-
Предельные теоремы).
Схема испытаний с конечным числом исходов
недостаточна уже для самых простых применений В. т.
Так, при изучении случайного разброса точек попада-
попаданий снарядов вокруг центра цели, при изучении слу-
случайных ошибок, возникающих при измерении к.-л.
величины, и т. д. уже невозможно ограничиться испы-
испытаниями с конечным числом исходов. При этом в одних
случаях результат испытания может быть выражен
числом или системой чисел, в других — результатом
испытания может быть функция (напр., запись изме-
изменения давления в данной точке атмосферы за данный
промежуток времени), системы функций и т. п. Следует
отметить, что многие данные выше определения и тео-
ремы с соответствующими изменениями приложимы
и в этих более общих обстоятельствах, хотя способы
задания распределения вероятностей изменяются (см.
Распределение вероятностей, Плотность вероятности).
Аналогом классич. «равновероятности исходов» здесь
служит равномерное распределение рассматриваемых
объектов в к.-л. области (именно его имеют в виду,
говоря о наудачу взятой из данной области точке,
о наудачу взятой секущей данной фигуры и т. п.).
Наиболее серьезное изменение претерпевает опреде-
определение вероятности, к-рое в элементарном случае да-
давалось формулой B). В более общих схемах, о к-рых
идет речь, события являются объединениями беско-
бесконечного числа элементарных событий, вероятность
каждого из к-рого может быть равна нулю. В соответст-
соответствии с этим свойство, выраженное теоремой сложения,
не выводится из определения вероятности, а вклю-
включается в него.
Наиболее распространенная в настоящее время
логич. схема построения основ В. т. разработана
в 1933 А. Н. Колмогоровым. Основные черты этой
схемы следующие. При изучении к.-л. реальной за-
задачи методами В. т. прежде всего выделяется мно-
множество U элементов и, называемых элементар-
элементарными событиями. Всякое событие вполне опи-
описывается множеством благоприятствующих ему эле-
элементарных событий и потому рассматривается как
нек-рое множество элементарных событий. С нек-рыми
из событий А связываются определенные числа Р(А),
называемые их вероятностями и удовлетворяющие ус-
условиям
2)
3) если события Аг, ..., Ап попарно несовместный
А — их сумма, то
Р (А) = Р(А1) + Р (At)+ ...+P (Ап)
(аддитивность вероятности).
Для создания полноценной математич. теории тре-
требуют, чтобы область определения Р (А) была сг-алгеброй
и чтобы условие 3) выполнялось и для бесконеч-
бесконечных последовательностей попарно несовместных собы-
событий (счетная аддитивность вероятности). Свойства не-
неотрицательности и счетной аддитивности есть основные
свойства меры множества. В. т. может, таким образом,
с формальной точки зрения рассматриваться как часть
теории меры. Основные понятия В. т. получают при
таком подходе новое освещение. Случайные величины
превращаются в измеримые функции, их математич.
ожидания — в абстрактные интегралы Лебега и т. п.
Однако основные проблемы В. т. и теории меры раз-
различны. Основным, специфическим для
В. т. является понятие независимости собы-
событий, испытаний, случайных величин. Наряду с этим
В. т. тщательно изучает и такие объекты, как услов-
условные распределения, условные математические ожида-
ожидания и т. п.
В отношении указанной выше схемы можно сделать
следующие замечания. В соответствии с ней в основе
каждой вероятностной модели лежит вероятностное
пространство, рассматриваемое как тройка (Q, S, Р),
где Q — множество элементарных событий, S — выде-
выделенная в X сг-алгебра подмножеств, Р — распределе-
распределение вероятностей (счетно аддитивная нормированная
мера) на S. Два достижения, связанных с этой схе-
схемой,— определение вероятностей в бесконечномерных
пространствах (в частности, вероятностей, связанных
с бесконечными последовательностями испытаний и слу-
случайными процессами) и общее определение условных
вероятностей и условных математич. ожиданий (по
отношению к данной случайной величине и т. п.).
При последующем развитии В. т. выяснилось, что
указанное общее определение вероятностного прост-
пространства целесообразно ограничить. Так появились
понятия совершенных распределений, плотных рас-
распределений и т. п. (см. Распределение вероятностей).
Известны и другие подходы к основным понятиям
В. т., напр. аксиоматизация, при к-рой основным
объектом становятся нормированные булевы алгебры
событий. Основное преимущество (в предположении,
что рассматриваемая алгебра полна в метрич. смысле)
здесь состоит в том, что для любых направленных
систем событий выполняются соотношения
Р {[)Aa\=savP(Aa), Aa\,
) а
Аа\=ШР(Аа), Аа\.
Возможна аксиоматизация понятия случайной вели-
величины как элемента нек-рой коммутативной алгебры,
на к-рой определен линейный функционал (аналог
математич. ожидания).
Предельные теоремы. При формальном изложении
В. т. предельные теоремы появляются в виде
своего рода надстройки над ее элементарными раз-
разделами, в к-рых все задачи имеют конечный, чисто
арифметич. характер. Однако познавательная цен-
ценность В. т. раскрывается только предельными теоре-
теоремами. Так, Бернулли теорема показывает, что при не-
независимых испытаниях частота появления к.-л. собы-
события, как правило, мало отклоняется от его вероят-
вероятности, а Лапласа теорема указывает вероятности тех
или иных отклонений. Аналогично смысл таких харак-
характеристик случайной величины, как ее математич.
ожидание и дисперсия, разъясняется законом больших
чисел и центральной предельной теоремой (см. Больших
чисел закон, Больших чисел усиленный закон, Предель-
Предельные теоремы теории вероятностей).
Пусть
¦^H -*2> •••» -*п> ••• О)
— независимые случайные величины, имеющие одно
и то же распределение вероятностей с ЕХ^ = а, DXfc = a2
и У'п— среднее арифметическое первых п величин из
последовательности G):
В соответствии с законом больших чисел, каково бы
ни было е>0, вероятность неравенства \Yn — a| <:e
имеет при ге—>-оо пределом 1 и, таким образом, У„, как
правило, мало отличается от а. Центральная предель-
предельная теорема уточняет этот результат, показывая, что
отклонения Y п от а приближенно подчинены нормаль-
нормальному распределению со средним 0 и дисперсией а2/п.
Таким образом, для вычисления (в первом приближе-
приближении) вероятностей тех или иных отклонений Yn от а
при больших п нет надобности знать во всех деталях
распределение величин Хп; достаточно знать лишь их
дисперсию. При необходимости увеличить точность
приближения необходимо привлекать моменты более
высокого порядка.
Эти утверждения могут быть с надлежащими изме-
изменениями распространены на случайные векторы (из
конечномерных и нек-рых бесконечномерных векторных
пространств). Условия независимости могут быть за-
заменены условиями «слабой» (в том или ином смысле)
зависимости Х„. Известны также предельные теоремы
для распределений на группах, для распределений
значений арифметич. функций и т. д.
В приложениях (в частности, в математич. статистике
и статистич. физике) возникает необходимость аппрок-
аппроксимировать малые вероятности (событий типа \Yn — a\ >
I >е) с большой относительной точностью.
Это приводит к значительным поправкам в аппрокси-
аппроксимации нормальным законом (см. Больших отклонений
вероятности).
В 20-х гг. 20 в. было обнаружено, что даже в схеме
последовательности одинаково распределенных и не-
независимых случайных величин могут вполне естествен-
естественным образом возникать предельные распределения,
отличные от нормального. Так, напр., если Хх — время
до первого возвращения нек-рой случайно меняющейся
системы в исходное положение, Х2 — время между
первым и вторым возвращениями и т. д., то при очень
общих условиях распределение суммы Xi~\- . . ¦ JrXn
(т. е. времени до n-го возвращения) после умножения
на ге—1'а (а — постоянная, меньшая 1) сходится к не-
некоторому предельному распределению. Таким образом,
время до га-го возвращения растет, грубо говоря, как
га1//а, т. е. быстрее га (в случае приложимости закона
больших чисел оно было бы порядка п). Это обстоя-
обстоятельство видно уже в примере Бернулли блуждания
(где проявляется и другой парадоксальный закон —
арксинуса закон).
Основным методом доказательства предельных тео-
теорем является метод характеристических функций
(и близкие к нему методы преобразований Лапласа
и производящих функций). В ряде случаев необходимо
обращение к методам теории функций комплексного
переменного.
Механизм возникновения большинства предельных
закономерностей может быть до конца понят лишь
в связи с теорией случайных процессов.
Случайные процессы. В ряде физич. и химич. иссле-
исследований последних десятилетий возникла потребность,
наряду с одномерными и многомерными случайными
величинами, рассматривать случайные процессы, т. е.
процессы, для к-рых определена вероятность того или
иного их течения. Примером случайного процесса мо-
может служить координата частицы, совершающей броу-
броуновское движение. В В. т. случайный процесс рассмат-
рассматривают обычно как однопараметрич. семейство случай-
случайных величин X(t). В подавляющем числе приложений
параметр t является временем, но этим параметром
может быть, напр., произвольное независимое пере-
переменное и тогда обычно говорят о случайной функции
(если t точка пространства, то — о случайном поле).
В том случае, когда параметр t пробегает целочислен-
целочисленные значения, случайная функция наз. случай-
случайной последовательностью (или вре-
временным рядом). Подобно тому, как случайная
величина характеризуется законом распределения,
случайный процесс может быть охарактеризован сово-
совокупностью совместных законов распределения для
ХAХ), X(t2), ..., X (tn) для всевозможных моментов
времени tlt t2, . . ., tn при любом га>0 (так наз. к о-
нечномерными распределениями).
Наиболее интересные конкретные результаты теории
случайных процессов получены в двух специальных
направлениях — марковские процессы и стационарные
случайные процессы; наряду с ними сильно повысился
интерес к мартингалам.
Исторически первыми изучались марковские про-
процессы. Случайный процесс X {t) наз. марковским,
зсли для любых двух моментов времени t0 и t± (где
to<*i) условное распределение вероятностей X (tj) при
условии, что заданы все значения X (t) при ?«:?0, за-
зависит только от X (t0) (в силу этого марковские случай-
случайные процессы иногда наз. процессами без
последействия). Марковские процессы яв-
являются естественным обобщением детерминированпых
процессов, рассматриваемых в классич. физике. В де-
герминированных процессах состояние системы в мо-
момент времени t0 однозначно определяет ход процесса
в будущем; в марковских процессах состояние системы
в момент времени t0 однозначно определяет распределе-
распределение вероятностей хода процесса при t>t0, причем ни-
никакие сведения о ходе процесса до момента времени t0
не изменяют это распределение.
Подобно тому, как изучение непрерывных детерми-
детерминированных процессов сводится к дифференциальным
уравнениям относительно функций, описывающих со-
состояние системы, изучение непрерывных марковских
процессов сводится к дифференциальным или интегро-
дифференциальным уравнениям относительно распре-
распределения вероятностей процесса.
Вторым крупным направлением случайных процес-
процессов является теория стационарных случайных процес-
процессов. Стационарность процесса, т. е. неизменность во
времени его вероятностных закономерностей, налагает
сильное ограничение на процесс и позволяет из одного
этого допущения извлечь ряд важных следствий.
Для большей части теории достаточно предположения
о стационарности в широком смысле, т. е. требования
независимости от t математпч. ожиданий EX(t) и
BX(t) X(t-{-T). Из этого предположения вытекает
возможность так наз. «спектрального разложения»
X(t) =
@=Г" eitKdz(X),
J — оо
где z(X) — случайная функция с некоррелированными
приращениями. Для стационарных процессов развиты
способы наилучшей (в среднем квадратичном) линейной
интерполяции, экстраполяции и фильтрации.
В последнее время выделен довольно широкий класс
процессов, для к-рых эффективно решаются задачи
наилучшей нелинейной фильтрации, интерполяции
и экстраполяции (см. Случайных процессов прогнозиро-
прогнозирование, Случайных процессов фильтрация). Существен-
Существенную часть соответствующего аналитич. аппарата
составляют стохастические дифференциальные уравне-
уравнения, стохастич. интегралы и мартингалы. Отличитель-
Отличительное свойство мартингала X(t) состоит в том, что услов-
условное математич. ожидание X (t) при условии, что из-
известно поведение процесса до момента s<?, равно X(s).
Теория случайных процессов тесно связана с классич.
проблематикой предельных теорем для сумм случай-
случайных величин. Те законы распределения, к-рые высту-
выступают при изучении сумм случайных величин как пре-
предельные, в теории случайных нроцессов являются
точными законами распределения соответствующих
характеристик. Этот факт позволяет доказывать многие
предельные теоремы с помощью соответствующих слу-
случайных процессов.
В заключение следует добавить, что логически без-
безупречное определение понятий, связанных со случай-
случайными процессами в рамках указанной выше аксиома-
аксиоматики создавало и создает много трудностей теоретико-
множественного характера (связанных, напр., с опре-
определением вероятности, непрерывности или дифферен-
цируемости и т. п. свойств случайных процессов, см.
Сепарабелъный процесс). Поэтому, в частности, в моно-
монографиях по теории случайных процессов около поло-
половины объема отводится анализу развития теоретико-
множественных конструкций.
Лит.: [1] Bernoulli J., Ars conjectandi, opus pos-
thuraum, Basileae, 1713 (в рус. пер.— Четвертая часть сочинения
Я. Бернулли, СПБ, 1913); [2] Moivre A. d e, Doctrine
of Chances, 3 ed., .. 1756; [3] Laplace [P. S.], Theorie
analityque des probabilites, 3 ed., P., 1886; [4] Ч е б ы ш е в
П. Л., Поли. собр. соч., т. 2—3, Ы.—Л., 1947—48; [5] L i a-
pounoff A., Nouvelle forme du theoreme sur la limite de
probability, СПБ, 1901; [6] Марков А. А., Исследование
замечательного случая зависимых испытаний, «Изв. АН, 6 се-
серия», 1907, т. 1, № 3; [7] его ж е, Исчисление вероятностей,
4 изд., М., 1924; [8] Б е р н ш т е й н С. Н., Теория вероят-
вероятностей, 4 изд., М.—Л., 1946; [9] Г н е д е н к о Б. В., Курс
теории вероятностей, 5 изд., М., 19G9; [10] Боровкоз
А. А., Теория вероятностей, М., 1976; [11] Феллер
В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, 2 изд.,
пер. с англ., т. 1—2, Ы., 1967; [12] Р о i п с а г 6, Н., Calcul
des probabilites, P., 1912; [13] Mises R., Wahrscheinlich-
tkeitsrechnung..., W., 1931; [14]Гнеденко Б. В., Кол-
Колмогоров А. Н., Теория вероятностей, в кн.: Математика
в СССР за тридцать лет. 1917—47», М.—Л., 1948; [15] Кол-
Колмогоров А. Н., Теория вероятностей, в кн.: Математика
в СССР за сорок лет. 1917—57, т. 1, М., 1959; [16] его же,
Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974; [17]
Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероят-
вероятностей, 2 изд., М., 1973.
См. также лит. при статьях о разделах В. т.
Ю. В. Прохоров, Б. А. Севастьянов.
ВЕРОЯТНОСТНАЯ БУМАГА нормальная — специ-
специальным образом разграфленная бумага, построенная
так, что график функции
нормального распределе-
распределения изображается на ней
прямой линией. Это дос-
достигается изменением
шкалы на вертикальной
оси (см. рис.). На свой-
свойстве «выпрямления» ос-
основан простой способ
проверки гипотезы о при-
принадлежности данной вы-
выборки к нормальной со-
совокупности: если пост-
построенная на В. б. эмпи-
рич. функция распреде-
распределения хорошо прибли-
приближается прямой линией,
то можно с основанием
полагать, что совокуп-
совокупность, из к-рой взята вы-
выборка, является прибли-
приближенно нормальной. До-
состоит в том, что вывод о
совокупности можно
значений параметров
92
100 108
116
Проведенная линия — график
функции нормального распреде-
распределения со средним 100 и стан-
стандартным отклонением 8.
стоинство этого метода
принадлежности к нормальной
сделать без знания численных
гипотетич. распределения.
Лит.: [1] Ар лей Н., Бух К. Р., Введение в теорию
вероятностей и математическую статистику, пер. с англ., М.,
1951; [2] Dixon W. J., Massey F. J., Introduction
to statistical analysis, N. Y.— Toronto—L., 1951.
А. В. Прохоров.
ВЕРОЯТНОСТНАЯ МЕРА, вероятностное
распределение, распределение ве-
вероятностей, распределение, вероят-
вероятность,— действительная неотрицательная функция Р
на классе Л подмножеств (событий) непустого множества
Q (пространства элементарных событий), образующем
борелевское поле (т. е. замкнутом относительно тео-
теоретико-множественных операций, производимых в счет-
счетном числе), такая, что
если Ai[\Aj=<f> при 1Ф) (счетная аддитивность).
Примеры В. м.: 1) Q= {1, 2}, Л — класс всех
подмножеств Q, Р({1})=Р({2})=1/2 (эта В. м. отвечает
случайному эксперименту с подбрасыванием симмет-
симметричной монеты; гербу ставится в соответствие 1, ре-
решетке— 2; вероятность выпадения герба (решетки)
;
равна Va);
2) Q={0, 1,2, ...}, Л
класс всех подмножеств Q,
где Х>0 (Пуассона распределение);
3) Q=i?1, Л— класс борелевских подмножеств R1,
(нормальное распределение);
4) Q = Co[0, 1] — пространство обращающихся в
нуле в нуль непрерывных действительных функций
x{t) на [О, 1], Л ¦— класс борелевских подмножеств Q
относительно топологии равномерной сходимости, Р —
мера, однозначно определяемая формулой
Р (х: а,- < х (tt) <bh i= 1, . .., п) =
= Bя)-«/2П?=1(<<— U-г))'
X
где га — произвольное натуральное число и 0=?0<
<*i<... <in<sl (мера Винера).
Лит.: [1] Колмогоров А. Н., Основные понятия
теории вероятностей, 2 изд., М., 1974; [2] Гнеденко Б. В.,
Курс теории вероятностей, 5 изд., М., 1969. В. В. Сазонов,
ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО, поле ве-
вероятностей,— совокупность (Q, Л, Р) непустого
множества Q, класса Л подмножеств множества Я,
являющегося борелевским полем (т. е. замкнутым от-
относительно теоретико-множественных операций, про-
производимых в счетном число) и распределения (вероят-
(вероятностной меры) Р на Л- Понятие В. и. принадлежит
А. Н. Колмогорову [1]. Точки множества Q наз. эле-
элементарными событиями, а само множеств! >
Q — пространством элементарных
событий. Принадлежащие Л подмножества мно-
множества Q наз. (случайными) событиями. Нередко
ограничиваются рассмотрением лишь полных В. п.,
то есть пространств, удовлетворяющих требованию
В?Л, ЛсВ, Р(В) = 0=фА ?Л- Если (й, Л, Р) - произ-
произвольное В. п., то класс множеств вида A \JN, где А ?Л
и NaM, Р(Д/) = 0, образует борелевское поле Л-, а функ-
функция Р на Л, определяемая формулой Р (A (JAr) = P (A),
есть распределение на Л- Пространство (Q, Л, Р) полно
и наз. пополнением (Q, Л, Р)- Иногда также
ограничиваются рассмотрением лишь совершен-
совершенных В. п., то есть таких, что для любой действитель-
действительной ^-измеримой функции / и любого множества Е
на прямой, для к-рого 1~1(Е)(^Л, существует борелев-
борелевское множество В такое, что ВаЕ и Р(/~1(?')) =
= Р (f~1(B)). В рамках совершенных В. п. невозможны
нек-рые «патологические» явления (связанные с суще-
существованием условных вероятностей, определением неза-
независимых случайных величин и т. д.), возникающие в об-
общей схеме. Не всегда тривиален вопрос о существова-
существовании В. п., удовлетворяющего тем или иным специаль-
специальным требованиям. Одним из результатов такого рода
является фундаментальная теорема Колмого-
Колмогорова о согласованных распределе-
распределениях: пусть каждому упорядоченному конечному
набору ij, .. ., tn элементов множества Т отвечает рас-
распределение Pt t на борелевских множествах ев-
евклидова пространства R" и пусть выполнены следую-
следующие условия согласованности:
!) Р/ t {!„ ,/ ) —Р* * {hi i/ ) при
всех (ylt ..., yn)?Rn, где
и аи ..., an — произвольная перестановка чисел
1, .... n;
2) pt, tndVl „„_,. ~)=P«, U-Sjvu -. vn->
Тогда на наименьшем борелевском поле Л подмножеств
произведения Rr = {a: = \xt\, t ? Т, xt g R1},
относительно к-рого измеримы все координатные функ-
функции t(x) = xf, существует распределение Р такое, что
для любого конечного подмножества <ь ..., tn множества
Т и любого re-мерного борелевского множества В спра-
справедливо равенство:
ри .... « {B) = P{h(x), ..., tn(x) ?B}.
Лит.: [l] Колмогоров А. Н., Основные понятия
теории вероятностей, 2 изд., М., 1974; [2] Г н е д е н к о Б. В.,
Колмогоров А. Н., Предельные распределения для
сумм независимых случайных величин, М.—Л., 1949; [3] Неве
Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц.,
М., 1969. В. В. Сазонов.
ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ПРОЦЕСС — то же, что слу-
случайный процесс.
ВЕРОЯТНОСТЬ математическая— число-
числовая характеристика степени возможности появления
к.-л. определенного события в тех или иных определен-
определенных, могущих повторяться неограниченное число раз
условиях. Как категория научного познания понятие
«В.» отражает особый тип связей между явлениями, ха-
характерных для массовых процессов. Категория В.
лежит в основе особого класса закономерностей —
вероятностных или статистических.
Численное значение В. в нек-рых случаях получается
из «классического» определения В.: В. равна отноше-
отношению числа случаев, «благоприятствующих» данному
событию, к общему числу «равновозможных» случаев.
Напр., если из 10 млн. облигаций гос. выигрышного
займа, на к-рые в одном тираже должен выпасть один
выигрыш максимального размера, в данном городе раз-
размещено 500 тыс. облигаций, то В. того, что максималь-
максимальный выигрыш достанется жителю данного города, равна
500 000/10 000 000=1/20.
В других, более сложных случаях определение чис-
численного значения В. требует статистического
подхода. Напр., если при 100 попытках стрелок попал
в цель 39 раз, то можно думать, что для него В. попа-
попадания в цель при данных условиях приблизительно
равна 4/10. По В., определенной классич. или статис-
тич. способом, могут быть вычислены в соответствии
с правилами теории вероятностей новые В. Напр.,
если для нашего стрелка В. попадания при отдельном
выстреле равна 4/10, то В. того, что он будет иметь
хотя бы одно попадание при четырех выстрелах, равна
1 — A —4/10L«0,87. Этот вывод может быть проверен
статистически: если попытки поразить цель хотя бы
одним выстрелом из четырех будут повторяться много
раз, то они будут иметь успех приблизительно в 87%
случаев (в предположении, что за это время искусство
стрелка не изменится заметным образом).
Математич. В. является выражением качественно
своеобразной связи между случайным и необходимым.
При изложении теории В. формулируются в виде ак-
аксиом те свойства В., к-рые на данном этапе развития
науки необходимы для ее развития. Однако ни эти ак-
аксиомы, ни классич. подход к В., ни статистич. подход
не дают исчерпывающего определения реального содер-
содержания понятия «В.»; они являются лишь известными
приближениями ко все более полному его раскрытию.
Далеко не всякое событие, наступление к-рого при за-
заданных условиях не является однозначно определен-
определенным, имеет при этом комплексе условий определенную
В. Предположение, что при данных условиях для дан-
данного события В. (т. е. вполне определенная нор-
нормальная доля числа появлений данного события
при большом числе повторений данных условий) с у-
ществует, является гипотезой, к-рая в каж-
каждом отдельном вопросе требует специальной проверки
или обоснования. Напр., имеет смысл говорить о В.
попадания в цель заданных размеров, с заданного рас-
расстояния из винтовки известного образца стрелком, вы-
вызванным наудачу из определенного воинского подраз-
подразделения. Однако было бы бессмысленно говорить о В.
попадания в цель, если об условиях стрельбы ничего
не известно.
По поводу связи В. с частотой надо иметь в виду
следующее: при конечном числе п повторений задан-
заданных условий доля числа случаев т, в к-рых данное
событие появится, т. е. так наз. частота mln, как
правило, мало отличается от вероятности р. Чем больше
число повторений п, тем реже встречаются сколько-
либо значительные отклонения частоты т/п от вероят-
вероятности р. Для пояснения этого обстоятельства рассмот-
рассмотрим пример бросания монеты, в к-ром В. появления
«герба» и «надписи» одинаковы и равны 1/2. При десяти
бросаниях (ге=10) появление десяти «гербов» или де-
десяти «надписей» очень мало вероятно. Но и утверждать,
что «герб» выпадет ровно пять раз, нет достаточных
оснований; более того, утверждая, что «герб» выпадет
4 или 5, или 6 раз, мы еще довольно сильно рисковали
бы ошибиться. Но при ста бросаниях монеты можно
уже без практически ощутимого риска заранее утверж-
утверждать, что число выпавших «гербов» будет лежать между
40—60 (см. Больших чисел закон).
Математическая В. может служить для оценки В.
события в обычном, житейском смысле, т. е. для уточ-
уточнения так наз. «проблематических» суждений, выра-
выражающихся обычно словами «возможно», «вероятно»,
«очень вероятно» и т. п. По поводу этих оценок следует
иметь в виду, что в применении к любому определен-
определенному суждению, к-рое на самом деле может быть только
истинным или ложным, оценка его В. имеет лишь вре-
временный или же субъективный смысл, т. е. выражает
лишь наше отношение к делу. Напр., если кто-либо,
не имея по этому поводу специальных сведений, за-
захочет представить себе вид окрестностей Москвы 23 мар-
марта 1930, то он скажет: «вероятно, в этот день на полях
лежал снег». Однако на самом деле в 1930 снег под
Москвой к 22 марта уже сошел с полей. Выяснив это
обстоятельство, мы должны будем отменить первона-
первоначальную оценку, выраженную заключенным в кавычки
проблематич. суждением. Тем не менее эта оценка,
оказавшаяся в применении к данному индивидуальному
случаю ошибочной, основана на верном общем правиле:
«в начале двадцатых чисел марта на полях под Москвой
по большей части лежит снег». Это правило отражает
объективные свойства климата Подмосковья. Такого
рода правила можно выражать, указывая уровень В.
интересующего нас события, при тех или иных общих,
осуществимых неограниченное число раз условиях.
Эти оценки уже имеют объективный смысл. Поэтому
употребление расчета В. для подтверждения наших
оценок степени надежности тех или иных утверждений,
относящихся к отдельным индивидуальным событиям,
не должно давать повода к мнению, что математич. В.
является только числовым выражением нашей субъек-
субъективной уверенности в наступлении нек-рого события.
Такое идеалистическое, субъективное понимание смыс-
смысла математич. В. является ошибочным. При последова-
последовательном развитии оно приводит к абсурдному утверж-
утверждению, что из чистого незнания, анализируя одни
лишь субъективные состояния нашей большей или мень-
меньшей уверенности, мы можем сделать к.-л. определенные
заключения относительно внешнего мира.
Описанное выше употребление расчета В. для оценки
положения в отдельных индивидуальных случаях не-
неизбежно приводит к вопросу о том, какими В. можно
пренебрегать на практике. Этот вопрос решается по-
разному, в зависимости от того, насколько велика не-
необходимость быстрого перехода от накопления надеж-
надежных данных к их действенному употреблению. Напр.,
если при данных условиях стрельбы теоретич. расчет
приводит к тому, что поставленная боевая задача будет
решена данным числом выстрелов с В. 0,95 (т. е. В.
того, что назначенного числа снарядов не хватит, равна
0,05), то обычно считают возможным исходить при ру-
руководстве боевыми операциями из предположения, что
назначенное число снарядов окажется достаточным.
В более спокойной обстановке научных исследований
принято пренебрегать лишь В. в 0,003 (эта норма свя-
связана с так наз. правилом трех сигма), а иногда требо-
вать и еще большего приближения В. отсутствия ошиб-
ошибки к единице. В математич. статистике В., к-рой решено
пренебрегать в данном исследовании, наз. значимости
уровнем. Хотя в статистике обычно рекомендуют поль-
пользоваться уровнями значимости от 0,05 при предвари-
предварительных ориентировочных исследованиях до 0,001 при
окончательных серьезных выводах, часто достижима
значительно большая достоверность вероятностных вы-
выводов. Напр., основные выводы статистич. физики осно-
основаны на пренебрежении лишь В. порядка меньшего
0,000 000 000 1.
В основе математич. моделей, используемых в веро-
вероятностей теории лежат три понятия: пространство
Q так наз. элементарных событий, класс подмножеств
Q (событий) и определенная на этом классе функция
множеств Р — распределение вероятностей. Значение
Р(А) функции Р для события А наз. в этом случае
вероятностью события А.
Лит.: [1] Колмогоров А. Н., Основные понятия
теории вероятностей, 2 изд., М., 1974. А. Н. Колмогоров.
ВЕРТОР — тензор, при помощи к-рого осуществля-
осуществляется перебрасывание индексов.
ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ — 1) В. и н. п.
последовательности — наибольший, и со-
соответственно, наименьший, предел среди всех частичных
пределов (конечных и бесконечных) данной последова-
последовательности действительных чисел. Для любой последо-
последовательности действительных чисел хп, ге=1, 2, .. .,
множество всех ее частичных пределов (конечных и бес-
бесконечных) на расширенной числовой прямой (т. е.
в множестве действительных чисел, пополненном сим-
символами — оо и + °°) не пусто и имеет как наибольший,
так и наименьший элементы (конечный или бесконеч-
бесконечный). Наибольший элемент множества частичных пре-
пределов наз. верхним пределом (в. п.) п о-
следовательности и обозначается
lim хп, или lim sup хп;
п ->¦ х п —* ее
наименьший элемент — нижним пределом
(н. п.) и обозначается
lim хп, или liminfin.
П —*- X П —*¦ ее
Напр., если
lim хп = —1, lim 1,2 = 1;
П ->¦ оо п-> оо
если
*„ = (—1)"га,
то
lim хп = — со, lim хп = -f- «;
„TTi n->- со
если
хп = п+(-1)"п,
Т0 lim х„ = 0, lim х„ = -\-оо.
П-> ее п-*- ао
У всякой последовательности существует в. п. (н. п.),
при этом, если последовательность ограничена сверху
(снизу), то ее в. п. (н. п.) конечен. Для того чтобы
число а было в. п. (соответственно н. п.) последова-
последовательности хп, ге=1, 2, . . ., необходимо и достаточно,
чтобы для любого е>0 выполнялись условия: а) су-
существует такой номер пе, что для всех номеров п^пе
справедливо неравенство ж„<а+е (жп>а—е); б) для
любого номера п0 существует такой номер п' = п' (е, ге0),
что ге'>ге0 и хп,^>а — е (жп,<а+е). Условие а) означает
существование при любом фиксированном е> 0 в по-
последовательности {хп} лишь конечного числа таких
членов хп, что хп~>а-\~е(хп-Са— е). Условие б) означает
существование бесконечного множества таких членов
хп, что хп~>а — е(х„<а+е). Понятие н. п. сводится
к понятию в. п. с помощью изменения знака у членов
последовательности:
lim хп = —lim (— хп).
Для того чтобы последовательность х„, га=1, 2, . . .,
имела предел (конечный или бесконечный, равный од-
одному из символов — оо или +оо), необходимо и доста-
достаточно, чтобы
lim хп = lim xn.
п ->¦ со и -»¦ м
2) В. п. (н. п.) ф у н к ц и и /(х) в точке х0 —
предел верхних (нижних) граней множеств значений
функции f(x) в окрестности точки х0, когда эти окрест-
окрестности стягиваются к точке х0. Он обозначается
Пт /(ж) / lim /(
Пусть функция f(x) определена на метрич. простран-
пространстве R и принимает действительные значения на R.
Если xo?R и О(х0; е) есть е-окрестность точки х0, е>0,
то
lim f(x)— lim Г sup /(
х-ух0 г -»¦ 0\_хеО (ас0; е)
соответственно
lim /(i)=lim[ inf f (x)"I.
*—Xo Е^0|_.тёО(х„; е) J
В каждой точке x?R у функции /(ж) существуют как
в. п. }(х), так и н. и. f(x) (конечные или бесконечные).
Функция f(x) полунепрерывна сверху, а функция f(x)
полунепрерывна снизу на пространстве R (в смысле
понятия полунепрерывности функций, принимающих
значения из расширенной числовой прямой).
Для того чтобы функция f(x) в точке х0 имела предел
(конечный или бесконечный, равный одному из сим-
символов + оо или — оо), необходимо и достаточно, чтобы
lim /(ж)= lim f (x).
Х-ГХц Х -*ж0
Естественным образом понятие в. п. (н. п.) функции
в точке переносится на действительные функции, опре-
определенные на топологич. пространствах.
3) В. п. (н. п.) последовательности мно-
множеств Ап, ге=1, 2, ... , множество
А = lim An,
П -у со
состоящее из таких элементов х, к-рые принадлежат
бесконечному числу множеств Ап; соответственно,
множество
А = lim А„
таких элементов х, к-рые принадлежат всем множествам
Ап, начиная с нек-рого номера п=п(х). Очевидно,
АсАГ.
Лит.: [1] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы
математического анализа, 3 изд., т. 1, М., 1971; [2] Колмо-
Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций
и функционального анализа, 4 изд., М., 1976; [3] Кудряв-
Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1, М., 1973:
[4] Никольский С. М., Курс математического анализа,
т. 1, М., 1973; [5] Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер.
с нем., М.. 1937. Л. Д. Кудрявцев.
ВЕРХНИХ И НИЖНИХ ФУНКЦИИ МЕТОД — ме-
метод доказательства существования решения краевых
задач для дифференциальных уравнений. Идея В. и
н. ф. м. для случая обыкновенных дифференциальных
уравнений усматривается в работах Дж. Пеано (G. Pea-
no, 1880), для случая Дирихле задачи и Для Лапласа
уравнения — в выметании методе А. Пуанкаре
(Н. Poincare); первое полное изложение В. и н. ф. м.
для этого последнего случая дано О. Перроном [1].
Пусть поставлена задача Дирихле в области G про-
пространства R", п~^2, для линейного однородного эллип-
тич. уравнения 2-го порядка с непрерывными коэф-
коэффициентами вида
с<0, i^G,
с краевым условием
u(x)=f(x), x?dG. B)
В. и н. ф. м. состоит в том, что, в предположении разре-
разрешимости задачи A), B) в малом, вводятся обобщенные
супергармонич. функции (соответственно субгармониче-
субгармонические). Непрерывная на области G функция и наз. обоб-
обобщенной супергармонической функ-
функцией (соответственно субгармонической)
в области G, если для любого достаточно малого шара
К, KdG, справедливо неравенство (у)^<у (соответ-
(соответственно (v)k^v), где (v)^— непрерывная на G функция,
равная v вне К и на его границе и удовлетворяющая
внутри К уравнению A). Для непрерывной на границе
dG функции / обобщенная супергармонич. (соответ-
(соответственно субгармоническая) функция v наз. верхней
(соответственно н и ж н е и), если для x?dG справед-
справедливо неравенство v(x)^f(x) (соответственно у(х)<:/(х)).
Классы Ф (G, /) и Ф (G, /) всех, соответственно, верх-
верхних и нижних функций не пусты, причем если и?Ф (G, f)
и i»f У (G, /), то v^w (см. [3]). Обобщенное ре-
решение задачи Дирихле определяется как
нижняя огибающая класса Ф(в, /) или как верхняя
огибающая класса VF(G, /):
и(*) = inf {*(*); ^Ф(С, /)} =
= sup{wB); w ? ^(G, /)}, x?G. K>
Если граница dG допускает существование барьера
в каждой своей точке, то u(x) = f(x) всюду на dG, т. е.
и — классич. решение задачи Дирихле. В общем случае
поведение обобщенного решения C) эллиптич. урав-
уравнения A) в точках границы совершенно аналогично по-
поведению обобщенного решения уравнения Лапласа; см.
Перрона метод.
В. и н. ф. м. применяется также при исследовании
первой краевой задачи для линейного однородного па-
раболич. уравнения 2-го порядка вида
Lu—?± = 0, {х, t) б бх[0, Т],
с начальным условием
и(х, O) = f(x, 0), х ?G,
и краевым условием
и(х, t)=f(x, t), (x, t)?dGx[O, T],
если ввести суперпараболические (субпараболические)
функции, аналогичные по своим свойствам обобщенным
супергармоническим (субгармоническим) функциям (см.
[4]).
Лит.: [i] Perron О., «Math. Z.», 1923, Bd 18, № 1/2,
S. 42—54; [2] Петровский И. Г., Лекции об уравне-
уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; [3] Курант
Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М.,
19 64; [4J Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 4,
3 изд., М., 1957. Л. И. Камынин, Е. Д. Соломенцее.
ВЕРХНЯЯ ГРАНЬ СЕМЕЙСТВА ТОПОЛОГИИ,
точная верхняя грань, на множестве S —
топология |, наименьшая из всех топологий на множе-
множестве S, содержащих каждую топологию заданного се-
семейства (см. Сравнение топологий). Предбазу топо-
топологии | образует семейство всех подмножеств множе-
ства S, открытых хотя бы в одной топологии семей-
семейства 2Л.
Семейство всех возможных топологий на множестве S
с определенной выше операцией взятия верхней грани
любого подсемейства и минимальным элементом — три-
тривиальной топологией — есть полная решетка.
В. г. с. т. наз. также индуктивным преде-
пределом семейства топологий.
Полезна следующая интерпретация В. г. с. т. Пусть
Г = П{E, ,#"]:#"? ЯЛ}
— тихоновское произведение всех топологич. про-
пространств, возникающих от наделения множества S раз-
различными топологиями из семейства ЯЛ. Через S* обо-
обозначим диагональ этого произведения, т. е.
множество всех постоянных отображений ЯЛ в S (или,
что то же самое, множество всех нитей {S : eF~?ffli},
для к-рых Ssr=Sg.,t при всех ?Г, ^Г'?2Л). Мно-
Множество S* находится в естественном взаимно одно-
однозначном соответствии с множеством S, к-рое осущест-
осуществляется при проектировании множества Т на любой
сомножитель. Если наделить S* топологией, индуци-
индуцированной из пространства Т, и перенести эту тополо-
топологию посредством указанного естественного соответ-
соответствия на S, то получим верхнюю грань семейства — Щ].
Эта интерпретация В. г. с. т. позволяет понять, что
верхняя грань любого семейства хаусдорфовых топо-
топологий есть хаусдорфова топология, верхняя грань лю-
любого семейства вполне регулярных топологий есть
вполне регулярная топология. Аналогичные утверж-
утверждения для семейств регулярных, нормальных и пара-
компактных топологий неверны. Но верхняя грань
счетного семейства метризуемых топологий (со счетной
базой) есть метризуемая топология (со счетной базой).
Диагональ S* не замкнута, как правило, в Г, и потому
верхняя грань двух бикомпактных топологий обычно
не является бикомпактной.
Лит.: [1] Келли Дж. Л., Общая топология, пер. с
англ., М., 1968; [2] Бур бак и Н., Общая топология. Ос-
Основные структуры, пер. с франц., М., 1968.
А. В. Архангельский.
ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ ГРАНИ — характеристики
множеств на прямой. Верхняя грань нек-рого множе-
множества действительных чисел — наименьшее число, огра-
ограничивающее сверху это множество. Нижняя грань дан-
данного множества — наибольшее число, ограничивающее
его снизу. Более подробно: пусть задано нек-рое под-
подмножество X действительных чисел. Число Р наз. его
верхней гранью (в. г.) и обозначается sup X
(от латинского слова supremum — наивысшее), если
для каждого числа х?Х выполняется неравенство
х<Р, и каково бы ни было Р' <Р существует такое х' ?Х,
что я'>Р'. Число а наз. нижней гранью (н. г.)
множества X и обозначается inf X (от латинского слова
infimum — наинизшее), если для каждого х?Х вы-
выполняется неравенство х^а., и каково бы ни было
а'>а существует такое х'?Х, что х'<а'.
Примеры:
inf[a, b) — a, sup[a, ft]=ft,
inf (а, Ъ) = а, sup (a, ft)=ft;
если множество Х состоит из двух точек а и ft, a<ft, то
inf X~a, sup X=b.
Эти примеры показывают, в частности, что в. г. (н. г.)
может как принадлежать этому множеству (напр., в
случае отрезка [а, &]), так и не принадлежать ему (напр.,
в случае интервала (а, Ь)). Если в нек-ром множестве
существует наибольшее (наименьшее) число, то оно,
очевидно, и является в. г. (н. г.) этого множества.
В. г. (н. г.) не ограниченного сверху (снизу) мно-
множества наз. символ +оо (соответственно символ — оо).
Если N — множество натуральных чисел: N={1, 2,
3, ...}, то
inf Лг=1, sup jV= + °°-
Если 92 множество всех целых чисел, положительных
и отрицательных, то
inf Ш = — оо, sup Щ = + оэ.
Всякое непустое множество действительных чисел
имеет и притом единственную в. г. (н. г.) конечную
или бесконечную. При этом всякое ограниченное сверху
непустое множество имеет конечную в. г., а всякое
ограниченное снизу — конечную н. г.
Иногда в. г. (н. г.) множества наз. его точной
верхней (нижней) гранью, понимая в этом
случае под термином в. г. (н. г.) множества любое чис-
число, ограничивающее его сверху (снизу). Реже, вместо
термина в. г. (н. г.) множества, в том или ином из вы-
вышеуказанных смыслов, употребляется термин верх-
верхняя (нижняя) граница множества.
В. г. (н. г.) функции, принимающей действительные
значения, в частности последовательности действи-
действительных чисел, называют в. г. (н. г.) множества ее
значений.
Лит.: [1] И л ь и н В. А., П о з н я к Э. Г., Основы матема-
математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; [2] Кудряв-
Кудрявцев Л. Д., Математический анализ. 2 изд., т. 1, М., 1973;
|3] Никольский С. М., Курс математического анализа,
т. 1, М., 1973. " Л. Д. Кудрявцев.
ВЕС — то же, что весовая функция.
ВЕС топологического пространст-
пространства — наименьшее кардинальное число, являющееся
мощностью открытой база топологич. пространства.
В., наряду с мощностью,— важнейший инвариант то-
топологич. пространства. П. С. Александров.
ВЕС представления р алгебры Ли
в векторном пространстве — отображе-
отображение а алгебры Ли L в ее поле определения к, для к-рого
существует такой ненулевой вектор х пространства V,
что
(p(h) — a(h)l)nx-h(x) = 0
для всех h ? L и некоторого целого пх% д >0 (вообще го-
говоря, зависящего от х и h), где 1 обозначает тождест-
тождественное преобразование V. В этом случае говорят так-
также, что а — вес L - модуля V, определяемого
представлением р. Множество всех векторов x?V,
удовлетворяющих указанному условию, вместе с ну-
нулем образует подпространство Va, наз. весовым
подпространством веса а (или, соответ-
соответствующим весу а). Если V= Va, то V наз. в е-
совым пространством, или весовым
модулем над L, веса а.
Если У — конечномерный весовой модуль над L
веса а, то контрагредиентный модуль (см. Контрагре-
диентное представление) V* является весовым веса —а;
если V и W — весовые модули над L весов а и Р соот-
соответственно, то их тензорное произведение F(x)VF яв-
является весовым модулем веса а+р. Если L — ниль-
потентная алгебра Ли, то весовое подпространство Va
веса а в V является подмодулем /^-модуля V. Если,
кроме того,
dimjF < с»,
а р (L) — расщепляемая алгебра Ли линейных преоб-
преобразований модуля Г, то V разлагается в прямую сумму
конечного числа весовых Л-подмодулей разных весов:
(весовое разложение V относительно L).
Если L — нильпотентная подалгебра конечномерной
алгебры Ли М, рассматриваемой как L-модуль относи-
относительно присоединенного представления ad^ алгебры М,
и adj^L является расщепляемой алгеброй Ли линейных
преобразований М, то соответствующее весовое раз-
разложение М относительно L:
наз. разложением Фиттинга М относи-
относительно L, веса а, р, . . ., у наз. корнями, а про-
пространства М а, М$ , . . ., My — корневыми под-
подпространствами М относительно L. Если,
кроме того, задано представление р алгебры М в ко-
конечномерном векторном пространстве V, для которого
р (L) — расщепляемая алгебра Ли линейных преобра-
преобразований V, и
— соответствующее весовое разложение V относительно
L, то р (Ма) (Т/а)?=Т/'а+а, когда а+ет есть вес V отно-
относительно L, и р(Ма) (Fa) = 0 в противном случае. В част-
частности, если а+Р — корень, то [Ма, Afp]SAfa+p,
в остальных случаях [Ма, Afp] = O. Если характеристи-
характеристика поля к равна нулю, то веса а, б, ..., т и корни а,
р, . . ., у являются линейными функциями на L, обра-
обращающимися в нуль на коммутанте алгебры L.
Лит.: [1] Джекобсон Н., Алгебры Ли, пер. с англ.,
М., 1964; [2] Желобенко Д. П., Компактные группы
Ли и их представления, М., 1970. В. Л. Попов.
ВЕСОВАЯ ФУНКЦИЯ, в е с,— функциональный
множитель, позволяющий получить конечность нормы
заданного типа для функции, у к-рой указанная норма
(или полунорма) без этого множителя бесконечна. По-
Понятие В. ф. играет большую роль в вопросах прибли-
приближения функции (в частности, на бесконечных проме-
промежутках), в проблеме моментов, в теории вложения
функциональных пространств (см. Весовое пространст-
пространство), в задачах о продолжении функций и в теории диф-
дифференциальных уравнений. Л. Д. Кудрявцев.
ВЕСОВОЕ ПРОСТРАНСТВО, весовой класс,
пространство с весом,— пространство
функций, имеющих конечную норму (или полунорму)
с нек-рым функциональным множителем — весом.
При этом норма (полунорма) функции наз. в этом слу-
случае весовой нормой (полунормой), а
вес наз. также весовой функцией нормы
(полунормы). Введение веса позволяет расши-
расширять и сужать обычные невесовые функциональные нор-
нормированные и полунормированные пространства, со-
состоящие из функций, имеющих бесконечную обычную
безвесовую норму (полунорму). Напр., В. п. С^(Е)
(где ф — весовая функция), норма в к-ром определя-
определяется формулой
I! / IfCq, = sup | ф (ж) / (а:) ),
X € Е
при соответствующем выборе функции ф может быть
как шире, так и уже пространства С(Е) с обычной
нормой
\\f\\c= sup|/(;r)|.
X € Е
Так, в пространство Сх@, 1) с нормой
|| / (|с = sup | xf (х) |
* 0 < х < 1
входят нек-рые неограниченные функции, и оно содер-
содержит в себе пространство С @, 1) ограниченных на интер-
интервале @, 1) функций в качестве собственного подпро-
подпространства. Наоборот пространство С @, 1) с нормой
H/llci/*= SUP Нг/(ж)|
О <х< 1 I I
содержится в пространстве С @, 1) как собственное
подпространство. Другой пример: полунормированное
пространство с весовой полунормой Y^Dai"), где и=
= и(х, у) и
r= V~x2-{-y2, приа>0 содержит в себе как собственное
подпространство пространство функций с безвесовой
полунормой УD0(u), а при а<0 содержится в нем как
собственное подпространство.
Наиболее часто рассматривается случай, когда весо-
весовая функция стремится к нулю или к бесконечности
при приближении к заданному многообразию, к-рое
может вырождаться в точку, в частности в бесконечно
удаленную. В. п. естественным образом возникают
как в теории функций при изучении обычных (невесо-
(невесовых) функциональных пространств, так и в приложе-
приложениях теории функций, напр, к теории краевых задач
для уравнений с частными производными.
Основным вопросом при изучении В. п. является
получение для них вложения теорем. В теоремах вло-
вложения одного типа устанавливается оценка нормы
функции через ее норму в другом В. п., причем в обеих
нормах фигурирует одна и та же область задания функ-
функции. К теоремам такого типа относятся теоремы об
эквивалентности норм в В. п., в частности теоремы о
нормах, определяемых с помощью преобразования
Фурье — Бесселя. Сюда же относятся оценки в соответ-
соответствующих пространствах весовых норм младших про-
производных, в частности самой функции через (весовые)
нормы старших производных. С помощью этих теорем
можно, напр., определить с каким весом суммируема
функция в данной области, если все ее старшие произ-
производные принадлежат данному В. п. В теоремах вложе-
вложения другого типа даются оценки тех или иных норм
следов функций на многообразиях меньшего числа из-
измерений через их весовые нормы.
Важный класс В. п. составляют пространства
функций, у к-рых абсолютные величины всех их произ-
производных до какого-то порядка суммируемы в определен-
определенной степени с весом степенного характера. В этом случае
вложения В. п. изучены наиболее полно. Напр., пусть
В. п. Wlp, a(En\oo) состоит из функций /, имеющих на
га-мерном евклидовом пространстве Еп все обобщенные
производные Do/, fc=(fex, .. ., кп), до порядка I вклю-
включительно, такие, что для них конечна величина (яв-
(являющаяся нормой):
1/, и^в(Я»|оо)| =
Lp(E«)\ + \f, Lp(Q»)\,
где s=(*i. ••- ^1
ный га-мерный шар в Еп, l^p^oo, a — действительное
число, |*] = *х+. ..+*„. Тогда справедлива теорема
вложения: если a>(ra/p)—I, 0<fc<:Z, то
Wp, а (Еп [оо) —* Wp-\ + k (E" |оо).
При малых а>0 (т. е. при так наз. слабом вырождении)
В. п. Wp, a(En\oo) имеют свойства, близкие к свойствам
безвесовых пространств: если 0<:а<:(п/р)—1, то при
любом е>0 справедливо вложение
W\, а (Е" | оо) — W0 пЛг(Еп |со).
Р
Из этого вложения при ос=0 следует, напр., что Ди-
Дирихле интеграл
(где Еп={х : хп>0} — полупространство), не будучи
полуограниченным снизу как функционал над простран-
+
ством функций, принадлежащих L2(En) и обращаю-
обращающихся в нуль на гиперплоскости ?"-1= {х : ж„ = 0},
будет полуограничен снизу над соответствующим В. п.
Если 0<а<(ге/р)—1, то для всякой функции из
В. п. WPla(En\oo) существует такой многочлен сте-
пени не выше 1—1, что разность между ним и самой
функцией стремится к нулю, когда точка стремится
к бесконечности по радиусам.
Теоремы вложения о следах для В. п. являются обоб-
обобщением прямых и обратных теорем вложения для обыч-
обычных функциональных пространств и изучены доста-
достаточно полно для весов, имеющих порядок степени рас-
расстояния от точки области до границы области.
Теоремы вложения для В. п. применяются прежде
всего в теории вырождающихся эллиптич. уравнений;
они дают возможность точно сформулировать гранич-
граничные задачи, указать, в зависимости от степени вырож-
вырождения, какие части границы освобождаются от задания
граничных условий, позволяют получить необходимые
и достаточные условия (в терминах свойств граничных
значений) для разрешимости ряда краевых задач; они
играют важную роль при доказательстве существования
и единственности решения краевых задач в соответ-
соответствующем В. п. и устойчивости этого решения в смысле
интеграла энергии при вариации граничных значений.
В случае же неограниченных областей В. п. исполь-
используются и для теории равномерно эллиптич. уравнений.
Теоремы вложения для В. п. нашли свое непосред-
непосредственное применение при решении задач о наилучшем
продолжении функции (или систем функций) с многооб-
многообразия на все пространство таким образом, что продол-
продолженная функция бесконечно дифференцируема на до-
дополнении к многообразию. Наилучшее продолжение
здесь понимается в смысле минимального порядка роста
производных при приближении точки к данному мно-
многообразию. Глобальная гладкость заданной на много-
многообразии продолжаемой функции определяет (при доста-
достаточно гладком многообразии) максимально возможную
глобальную гладкость продолжаемой функции; по-
поэтому, начиная с нек-рого порядка, производные про-
продолженной функции будут иметь конечную норму лишь
с нек-рым весом, т. е. принадлежать соответствую-
соответствующему В. п.
Лит.: [1] Никольский С. М., «Успехи матем. наук»,
1961, т. 16, в. 5, с. 63—114; [2] Кудрявцев Л. Д., Ни-
Никольский С. М., в сб.: Некоторые проблемы математики
и механики, Новосибирск, 1961, с. 87—109; [3] Кудряв-
Кудрявцев Л. Д., «Тр. Матем. ин-та АН СССР», 1959, т. 55, с. 1—181;
[41 Теория вложений классов дифференцируемых функций мно-
многих переменных, в сб.: Дифференциальные уравнения с част-
частными производными, М., 1970, с. 38—63. Л. Д. Кудрявцев.
ВЕСОВОЕ ПРОСТРАНСТВО — конечномерное прост-
пространство V, удовлетворяющее условию: если L — Ли
алгебра над полем F, а р — ее представление в V,
то существует такая функция a: L —*¦ F, что для любых
при нек-ром целом &>0. Функция а наз. весом.
Тензорное произведение Pi(X)P2 представлений рь р2
алгебры L в В. п. Ух, У2, принадлежащих весам ах, а2,
соответственно, является представлением L в простран-
пространстве V1@V2, к-рое также оказывается В. п. и принад-
принадлежит весу aj+cSj- При переходе от представления р к
*
д
контраградиентному представлению р* пространство
V заменяется на сопряженное пространство У*, а вес а
переходит В вес —а. Е- Н. Кузьмин.
ВЕТВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ нелинейных
уравнений— явление перехода нек-рого реше-
решения нелинейного уравнения в несколько решений (или
полное его исчезновение) при малых изменениях пара-
параметров. Более точно, пусть нелинейное уравнение
F(x, Я) = 0 (*)
с (не обязательно числовым) параметром X имеет при
фиксированном значении Яо решение х0. Тогда при зна-
значениях к, близких к Я,о, уравнение (*) может иметь не-
несколько (более одного) решений х(Х), близких к i0.
В этих случаях говорят, что происходит в е т в л е-
'¦}
ние решения х0, а пара (х0, к0) наз. точкой
ветвления уравнения (*).
Пример: Уравнение х2 — к=0, где х и к — комп-
комплексные переменные, имеет точку ветвления (ж„, Ко) =
= @, 0), ибо существует двузначное решение х— У к,
т. е. решение х=0 (при Я=0) разветвляется при малых
"кфО на два малых нетривиальных решения.
Современная теория В. р. основывается на идеях
А. М. Ляпунова [1] и Э. Шмидта [2] и наиболее разви-
развита для нелинейных уравнений в банаховых простран-
пространствах.
Пусть ?х и Е2 — комплексные банаховы простран-
пространства, х?Е17 к — комплексное переменное, a F(x, к) —
нелинейный оператор, непрерывный вместе с Фреше
производной Fx{x, к) в окрестности Q точки (х0, к0),
отображающий Q в окрестность нуля пространства Е2
и такой, что F(х0, А0) = 0, a Fx(x0, Х0)=В — Фред-
гольма оператор.
Задача состоит в том, чтобы найти в шаре \}х — го||<г
достаточно малого радиуса г все решения уравнения
(*), непрерывные при \К— Я0|<р, где р также достаточ-
достаточно мало. Иными словами, это есть задача локального
продолжения решения х0 по параметру к. Если суще-
существует обратный оператор В-1, то задача имеет един-
единственное решение х(к), причем х(ко)=хо. Если же fi-1
не существует, то нуль-пространство N (В) оператора
В имеет размерность rajsl. В этом случае задача может
быть сведена к аналогичной конечномерной задаче.
Пусть через Р обозначен проектор Е1 на N (В), а через
I—Q— проектор Ег на область значений оператора В,
где / — тождественный оператор. Уравнение (*) может
быть записано в виде системы
(/ — Q)F(xo + u+v, k)=0,
QF(xo + u + v, k) = 0,
где u=(/— Р) (х — х0), v=P(x — xQ). Из первого урав-
уравнения системы определяется неявный оператор и=
=f(v, k). В результате его подстановки во второе урав-
уравнение системы получается уравнение
QF(xa+f(v, k) + v, X) = 0
для определения v; оно наз. уравнением раз-
разветвления. Полное решение задачи о нахождении
в шаре ||у||<г достаточно малого радиуса г всех решений
v{X) уравнения разветвления, непрерывных при
\к— AJ <р (где р достаточно мало), приводит к полному
решению исходной задачи, ибо всякое ее решение пред-
ставимо в виде
x(k) = Xf+»(k)+f[v(k), к],
где v — нек-рое решение уравнения разветвления.
Пусть F(x, к) — аналитический оператор в Q. Выбор
базисов в га-мерных подпространствах PEt=N (В) и
QE2 позволяет записать уравнение разветвления в виде
системдл
j?,-(?i, ..., ln, Я,) = 0, 1 = 1, ..., п,
?j,i={, ..., п~ аналитич. функции в точке @, ..., 0Д0),
причем все частные производные дХAд^ обращают-
обращаются в нуль в этой точке. Исследование этой системы мо-
может осуществляться при помощи теории исключения,
метода Ньютона диаграммы и др. методов (см. [3] —
[5]). При и=1 полный анализ осуществляется методом
диаграммы Ньютона. Применительно к исследованию
уравнения разветвления, а значит и исходной задачи,
возможны лишь следующие три случая: а) задача не
имеет решений; б) задача имеет конечное число реше-
решений и все они представимы сходящимися рядами по
целым или дробным степеням разности k—k0; в) задача
имеет конечное число семейств решений, каждое из
к-рых зависит от конечного числа свободных малых
параметров, и, быть может, конечное число решений,
указанных в б).
Для того чтобы имел место случай б), достаточно,
чтобы х0 было изолированным решением уравнения
F(x, Л0)=0. В случае б) решения удобно искать мето-
методом неопределенных коэффициентов в виде
х (Я) = ^o + 2J=1 xk(k-X0)k/p,
где xk — коэффициенты, подлежащие определению,
а возможные значения р могут быть предварительно
найдены с помощью уравнения разветвления. Подста-
Подстановка такого ряда в (*) приводит к рекуррентной
системе для нахождения хх, х2, ... . При этом полу-
получаются задачи вида Bxk = H (х1, . . ., ж^_:) и каждое х^
определяется с точностью до п произвольных постоян-
постоянных, к-рые определяются из требований разрешимости
последующих уравнений. Все полученные ряды схо-
сходятся в нек-рой окрестности точки Яо. Оценка снизу
радиуса окрестности может быть получена с помощью
построения мажорант (см. [6]).
Для того чтобы имел место случай в), необходимо,
чтобы х0 было неизолированным решением уравнения
F (х, Яо) = 0. Здесь применение метода неопределенных
коэффициентов может привести к расходящимся рядам
(формальным решениям). Если задача инвариантна
относительно непрерывной группы линейных операто-
операторов в Е±, то в ряде случаев использование групповых
соображений позволяет уменьшить число уравнений и
неизвестных в уравнении разветвления и тем самым
упростить задачу или даже свести ее к случаю б) (см.
[7], [8]).
Уравнение (*) может иметь также решения, опреде-
определенные лишь при К=кд. Эти решения возможны только
тогда, когда х0 — неизолированное решение уравнения
F(x, Я0)=0; они находятся при помощи уравнения раз-
разветвления при Х=Х1). Определение всех его многопара-
метрич. семейств решений приводит к определению всех
решений уравнения (*) с Я=Х0.
В случае вещественных пространств Ej и Е2 урав-
уравнение разветвления изучается в комплексной области,
а затем отбираются вещественные решения. Нек-рые
из них могут оказаться определенными в полуокрест-
полуокрестностях точки к0.
Изложенная методика частично применима также
в случаях, когда F(x, К) — достаточно гладкий опера-
оператор, В — нётеров оператор, а параметр К — элемент
еще одного банахова пространства Е (точки ветвления
могут заполнять в Е линии и поверхности). Этим же спо-
способом исследуются нек-рые близкие задачи: задача
отыскания больших решений (уравнение (*) может
иметь решения ж (Я,) —>- оо при Я—>-Я0), задача ветвле-
ветвления собственных значений и собственных элементов
линейных операторов и др. (см. [3]). Частный случай,
когда
Ег=Е2, F(x, Х)=х-Ф(х, к), Ф@, Я)=0
исследовался также топологическими, вариационными
методами и методами, использующими конусы в бана-
банаховом пространстве. В этом круге вопросов значитель-
значительную роль играет понятие точки бифуркации. Встреча-
Встречаются также задачи о ветвлении решений, не укладыва-
укладывающиеся в описанную выше схему. Это, напр., зада-
задачи для дифференциальных уравнений с вырождением
(см. [9], [10]) и задачи о длинных и уединенных вол-
волнах (см. [11]).
Лит.: [1] Ляпунов А. М., О фигурах равновесия, мало
отличающихся от эллипсоидов, вращающейся однородной массы
жидкости, Собр. соч., т. 4, М., 1959; [2] Schmidt E., «Math.
Ann.», 1908, Bd 65, S. 370—99; [3] В а и н б е р г М. М..
Треногий В. А., Теория ветвления решений нелинейных
уравнений, М., 196У; 4 Вайнберг М. М., Трено-
Треногий В. А., «Успехи матем. наук», 1962, т. 17, в. 2; [5]
Красносельский М. А. [и д р.], Приближенное
решение операторных уравнений, М., 1969; [6] Ахмедов
К. Т., «Успехи матем. наук», 1957, т. 12, в. 4, с. 135—53; [7].
Ю до в и ч В. И., «Прикл. матем. и механ.», 1967, т. 31,
в. 1, с. 101—11; [8] Логинов Б. В., Треногий В. А.,
«Докл. АН СССР», 1971, т. 197, №1; [9] А х м е д о в К. Т.,
там же, 1957, т. 115, Л5 1; [10] Сидоров Н. А., «Диф-
ференц. уравнения», 1967, т. 3, № 9; [11] Тер-Крико-
р о в А. М., Т р е н о г и н В. А., там же, т. 3, J* 3.
В. А. Треногий.
ВЕТВЛЕНИЯ ИНДЕКС — сумма V=^{k— 1) поряд-
порядков ветвления точек компактной римановой поверхно-
поверхности S, рассматриваемой как n-листная поверхность
наложения над римановой сферой, распространенная
на все конечные и бесконечно удаленные точки ветвле-
ветвления S. В. и. связан с родом g и числом листов п по-
поверхности S:
Г=2(в+*-1).
См. также Риманова поверхность.
Лит.: [1] Спрингер Д ж., Введение в теорию рима-
новых поверхностей, пер. с англ., М., 1960, гл. 10.
Е. Д. Соломенцее.
ВЕТВЛЕНИЯ ТОЧКА, особая точка мно-
многозначного характера,— изолированная
особая точка а аналнтич. функции /(z) одного комплекс-
комплексного переменного z такая, что аналитическое продол-
продолжение к.-л. элемента функции /(z) вдоль замкнутого
пути, охватывающего а, приводит к новым элементам
/(z). Точнее, а наз. Е. т., если существуют: 1) коль-
кольцо V={z; 0<|z— ci<p}, в к-ром /(z) аналитически
продолжается по любому пути; 2) точка гх?У и к.-л.
элемент функции /(z), представленный степенным
рядом
с центром z1 и радиусом сходимости г>0, аналитич.
продолжение к-рого вдоль окружности \z—a\ = \z1—a\,
проходимой один раз, напр, в положительном направ-
направлении, приводит к новому элементу П' (zx; г'), отли-
отличающемуся от П (zx; r). Если после нек-рого минималь-
минимального числа А>1 таких обходов снова получается исход-
исходный элемент П (zjj r), то это же самое будет иметь место
для всех элементов ветви аналитической функции
f(z), определяемой в V элементом П (zx; r). В таком
случае а является В. т. конечного порядка
fc—1 для указанной ветви. В проколотой окрестности
V В. т. а конечного порядка эта ветвь представима
в виде обобщенного ряда Лорана, или
ряда Пюизё:
Если a=oo — бесконечно удаленная В. т. конечного
порядка, то в нек-рой окрестности V'={z; |z|>p} дан-
данная ветвь /(z) представима в виде аналога ряда A):
Поведение римановой поверхности R функции /(z)
над В. т. конечного порядка а характеризуется тем,
что над а соединяются вместе к листов той ветви /(z),
к-рая определяется элементом П (гг; г). При этом по-
поведение других ветвей Л над а может быть совершенно
иным.
Если в ряде A) или B) среди коэффициентов bv с от-
отрицательными индексами v имеется лишь конечное
число отличных от нуля, то a — алгебраическая точка
ветвления, или алгебраическая особая
точка. Такая В. т. конечного порядка характери-
характеризуется также тем, что при любом стремлении z —>- а
в V или V значения всех элементов ветви, определяе-
определяемой П (z-i, r), стремятся к определенному конечному или
бесконечному пределу.
Пример: f(z)=i/z, А:>1 —натуральное число,
а =0, оо.
Если в ряде A) или B) имеется бесконечно много
ненулевых коэффициентов bv с отрицательными ин-
индексами v, то В. т. конечного порядка а относится
к классу трансцендентных В. т. Пример:
/(z)=exp(l/^/z), fe>l — натуральное число, в=0.
Наконец, если ни при каком числе последовательных
обходов нельзя возвратиться к исходному элементу, то
а наз. логарифмической точкой ветвления, или В. т.
бесконечного порядка, и также относится
к трансцендентным В. т. Пример: /(z) = Ln z, а=0, оо.
Над логарифмич. В. т. соединяются бесконечно много
листов той ветви /(z), к-рая определяется элементом
П(*1; г).
В случае аналитич. функции многих комплексных
переменных /(г), z— (z1, z2, . . ., г„), и^2, точка а прост-
пространства С" или СРп наз. В. т. порядка т, 1 <;тп<: оо,
если она является В. т. порядка т, вообще говоря, мно-
голистной голоморфности области функции /(z). В от-
отличие от случая ге=1, при n'^s'l В. т., как и другие
особые точки аналитических функций многих комплекс-
комплексных переменных, не могут быть изолированными.
Лит.: [1] МаркушевичА. И., Теория аналитических
функций, 2 изд., т. 2, М., 1968, гл. 8; [2] Ф у к с Б. А., Теория
аналитических функций многих комплексных переменных,
2 изд., М., 1962, ч. 1, гл. 2. Е. Д. Соломенцев.
ВЕТВЛЕНИЯ ТОЧКА минимальной по-
поверхности — особая точка минимальной поверх-
поверхности, в к-рой первая квадратичная форма поверхно-
поверхности обращается в нуль; тем самым фактически В. т.
возможна лишь на обобщенной минимальной поверх-
поверхности. Своим названием эта особая точка обязана тому
факту, что в ее окрестности строение обобщенной мини-
минимальной поверхности подобно строению римановой по-
поверхности функции wz=zn, n^2, над точкой г=0, т. е.
там обобщенная минимальная поверхность имеет мно-
голистную ортогональную проекцию на нек-рую плос-
плоскую область, в к-рой проекция самой В. т. является
внутренней точкой с единственным прообразом. В ок-
окрестности В. т. (и=0, у=0) координаты (х, у, z) ми-
минимальной поверхности представимы в виде
где я=^0 и ЬфО — две комплексные постоянные,
и п^1 — целые числа, соответственно называемые по-
порядком и индексом В. т., и и v — внутренние изотер-
мич. координаты.
На основании этого представления получена теорема:
если числа то+п и т — взаимно простые, то минималь-
минимальная поверхность имеет (т— \)(т-\-п) различных линий
самопересечения, исходящих из В. т. с определенными
направлениями, причем все соседние направления об-
образуют между собой равные углы.
Различают два вида В. т.— фальшивые В. т. и ис-
истинные (-нефальшивые). Фальшивые В. т. представ-
представляют собой особенность отображения, определяющего
поверхность, и от нее можно избавиться перепарамет-
перепараметризацией (напр., если г=г(и>) — регулярная минималь-
минимальная поверхность, то обобщенная минимальная поверх-
поверхность r=r(w2) будет иметь в точке ш=0 фальшивую
В. т.). Истинная В. т. представляет собой реальную
особенность самой поверхности, и у нее есть следующее
важное свойство: в окрестности истинной В. т. поверх-
поверхность можно изменить так, что новая поверхность, сов-
совпадая с исходной вне деформированной окрестности,
будет иметь меньшую площадь по сравнению с исходной
поверхностью. Теория обобщенных минимальных по-
поверхностей с В. т. послужила основой для общей теории
вложений с ветвлениями, развитой для широкого клас-
класса двумерных поверхностей в Л", и>3. и. х. Сабитов
ВЕТВЬ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ — резуль-
результат аналитического продолжения данного элемента
аналитич. функции, представленного степенным рядом
с центром а и радиусом сходимости г>0, вдоль всевоз-
всевозможных путей, принадлежащих данной области D
комплексной плоскости С, a^D. Таким образом,
В. а. ф. определяется элементом П(в; г) и областью D.
Для вычисления применяются только однознач-
однозначные, или регулярные, В. а. ф.: которые су-
существуют не для всех областей D, принадлежащих
области существования полной аналитической функ-
функции. Напр., в разрезанной комплексной плоскости
D=C\{z=x;~ с»<:г<:0} многозначная аналитич. фун-
функция w=Ln z допускает регулярную В. а. ф.
w=ln z=ln |z|-H arg z, |arg z| <зх,
— главное значение логарифма, а в кольце D={z;
КЫ<2} выделение регулярной 3. а. ф. w=Ln z не-
невозможно.
Лит.: [1] Г у р в и ц А., Курант Р., Теория функций,
пер. с нем., М., 1968, ч. 1, гл. 3, ч. 3, гл. 4; [2J М а р к у ш е-
вич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М.,
1968, гл. 8. -Е. Д. Соломенцев.
ВЕТВЯЩИЙСЯ ПРОЦЕСС — случайный процесс,
описывающий широкий круг явлений, связанных с раз-
размножением и превращением к.-л. объектов (напр.,
частиц в физике, молекул в химии, особей к.-л. попу-
популяции в биологии и т. п.). Основным математич. пред-
предположением, выделяющим класс В. п., является пред-
предположение независимости размножения частиц друг
от друга.
Однородный во времени В. п. ц(*) с однотипными
частицами определяется как марковский процесс со
счетным числом состояний 0, 1, 2, ..., переходные
вероятности P,y(i) к-рого удовлетворяют дополнитель-
дополнительному условию ветвления:
Состояния 0, 1, 2, ... в В. п. интерпретируются как
числа частиц. Вероятность Р,у (t) равна вероятности
{ | }
{ }
того, что i частиц за время t превращаются в / частиц.
Основным аналитич. аппаратом В. п. являются про-
производящие функции
F(f, *) = 2;=оР{ц(П = п]ц(О) = 1}*". B)
Из условия ветЕления A) вытекает равенство
F(t+x; s) = F(t; F (x; s)). C)
В В. п. с дискретным временем (в. п.
е д. в.) 4 принимает целые неотрицательные значения,
и из C) следует, что F (t; s) есть f-кратная итерация
функции F(s) = F(l; s). Такой процесс иногда наз.
процессом Гальтона — Ватсона. ВВ. п.
с непрерывным временем (в. п. с н. в.) предполагается,
что ?^[0, оо), и существует правая производная
dt
Из C) следует, что F (t; s) удовлетворяет дифференци-
дифференциальному уравнению
dF(t;
dt
f(F(t;s)) D)
и начальному условию ^@, s) = s.
Если A=F'{l) и а=/'A) конечны, то математич.
ожидание Е]д. (t) числа частиц [x(t) (при условии ц@) = 1)
павно А* для в. п. с д. в. и равно eat для в. п. с н. в.
IS зависимости от значения параметров А или а В. п.
подразделяются на докритические (А <1,
а<0), критические (А = 1, а = 0) и надкри-
надкритические (А >1, а>0). Основным свойством,
определяющим эту классификацию, является поведе-
поведение Ejx(f) при ? —>- с».
Ниже исключаются 1±з рассмотрения тривиальные
случаи F{s)=s и /(s)=0, когда
Вероятность вырождения равна 1 в докритич. и
критич. В. п. и меньше 1 в надкритич. В. п. Если
сц(?) In jx(i)<oo, то в докритич. В. п. вероятность
продолжения процесса Р{и.(?)>0} при t —*- оо асимпто-
асимптотически ведет себя как KB[i(t), где К — положитель-
положительная константа. В критич. В. п. с конечным Eu.2(t) при
t —>¦ оо имеет место асимптотика
где D\i(t) = Bt в в. п. с д. в. и D\i(t)=bt в в. п. с н. в.,
B-—F"(\), b=/"(l). Более детальное изучение асимпто-
тич. поведения распределения \i(t) при t —> оо показы-
показывает, что условный закон распределения
E)
при t —>- оо слабо сходится к предельному распределе-
распределению S(x), если конечны нек-рые моменты \i(t). В до-
докритич. В. п. предельный закон S (х) дискретен, а в
остальных случаях абсолютно непрерывен. Особенно
интересен случай критич. В. п., для к-рого предельный
закон S (х) показательный
S (x) = l — e-x, iS&O. F)
Распределение F) является предельным также и для
В. п., близких к критическим. Точнее, если рассмат-
рассматривать класс производящих функций F(s) или /(s)
с ограниченной 3-й производной F"'(l), /'"A) и с
ГA)>Д0>0, ГA)>Ъ0>0, то
lim St(x) = l— e~x, iSsO,
t -> се
А -> 1
где Sf(x) определяется формулой E). Явления, возни-
возникающие при t —>. оо в В. п., близких к критическим,
наз. переходными.
Другой моделью В. п. является Веллмана — Хар-
риса процесс, в к-ром каждая частица имеет случайное
время жизни с функцией распределения G(t). В конце
жизни частица оставляет потомство численности п
с вероятностью qn,
Времена жизни и численности потомства разных частиц
независимы. Пусть в начальный момент ?=0 была одна
частица нулевого возраста. Тогда производящая функ-
функция F(t; s) числа частиц \i(t) в момент t, определяемая
формулой B), удовлетворяет нелинейному интеграль-
интегральному уравнению
F(t; s)=V h(F(t-u; s)) dG (и) -j- s A - G (t)), G)
J о
где
\ / — /1 in *
В частном случае, когда G(t) — вырожденная функция
распределения, процесс Беллмана — Харриса есть в. п.
с Д. в.; когда же G(t) — показательная функция рас-
распределения, получается в. п. с н. в. В общем случае
процесс Беллмана — Харриса — это немарковский
В. п.
Другое усложнение В. п. связано с зависимостью
частиц от положения в пространстве. Пусть, напр.,
частицы независимо друг от друга совершают броунов-
броуновское движение в r-мерной области G с поглощающей
границей dG. Частица, находящаяся внутри области G,
за время Д* —>- 0 с вероятностью
о (А*), п ф. 1,
превращается в п частиц, к-рые начинают независимо
друг от друга блуждать по броуновским траекториям
из точки их рождения. Пусть цх^ (А) равно числу частиц
в множестве А в момент t, если в начальный момент О
была одна частица в точке x?G. Производящий функ-
функционал
Н (t, х, s (•)) = Е ехр [ $G In s (у) ]ixt №/)]
удовлетворяет квазилинейному параболич. уравнению
Д#+/(#)=0 (8)
с начальным условием Н@, х, s(-)) = s(x) и граничным
условием H(t, х, s(-))|x^aG=0, где А=У.[ ~~
*™г=1 ох.
оператор Лапласа, a /(s)=2nP«s"> Pi= — 2n^i Pn-
В общем случае В. п. предполагается, что размно-
размножающиеся частицы характеризуются к.-л. парамет-
параметрами, к-рые можно интерпретировать как возраст, по-
положение частицы в пространстве, тип, размер или энер-
энергию частицы и т. п. Изучение таких процессов ведется
с помощью производящих функций или функционалов,
для к-рых выводятся нелинейные дифференциальные
или интегральные уравнения, обобщающие уравнения
D), G), (8). Можно дать следующее общее описание
таких моделей В. п. Пусть в нек-ром фазовом прост-
пространстве X независимо друг от друга по закону марков-
марковского процесса блуждают частицы. Предполагается,
что случайное время жизни частицы есть марковский
момент, зависящий от ее траектории. В конце своей
жизни частица производит новые частицы, к-рые по
к.-л. вероятностному закону распределяются по фа-
фазовому пространству X. Новые частицы эволюциони-
эволюционируют независимо друг от друга аналогичным образом.
В пространстве целочисленных мер, определяемых чис-
ленностями частиц в подмножествах X, так построен-
построенный В. п. является марковским. Однако В. п. часто
рассматриваются в более простых редуцированных
пространствах. В этом случае многие из них становятся
немарковскими.
В большей части приведенных выше моделей сохра-
сохраняет смысл подразделение процессов на докритические,
критические и надкритические В. п. При этом в более
сложной обстановке сохраняются многие свойства,
установленные для простых В. п., описываемых урав-
уравнением D). В частности, в критич. процессах, как
правило, в качестве предельного распределения для
E) (при соответствующей нормировке) возникает пока-
показательное распределение F).
В. п. находят применение при расчетах различных
реальных биологич., генетич., физич., химич. ил»
технич. процессов. В реальных процессах часто нару-
нарушается условие независимости размножения различных
частиц и, наоборот, при размножении имеется взаимо-
взаимодействие частиц. Так обстоит дело во многих биологич.
процессах размножения, в процессах распространения
эпидемий (см. Эпидемии процессы), в бимолекулярных
химич. реакциях и т. п. Однако начальные стадии раз-
развития таких процессов можно рассчитывать с помощью
соответственно подобранных моделей В. п. Это делается
в тех случаях, когда в среде имеется не очень много
активных частиц, к-рые при малых концентрациях
почти не встречаются друг с другом, а изменения со-
состояния системы происходят при встречах этих актив-
активных частиц с частицами среды. В процессах эпидемии,
напр., такими «активными частицами» можно считать
больных индивидуумов. В генетике с помощью В. п.
можно рассчитывать, напр., явления, связанные с му-
тациями. Ветвящийся процесс с конечным числом типов
частиц может служить моделью при расчетах цепных
реакций; ветвящийся процесс с диффузией частиц —
моделью нейтронных процессов в ядерных реакторах.
Явления, возникающие в ливнях космич. лучей, также
могут изучаться с помощью В. п. В телефонии расчет
нек-рых систем с ожиданием сводится к моделям В. п.
См. также Ветвящийся процесс со случайной средой,
Ветвящийся процесс с иммиграцией, Ветвящихся про-
процессов регулярность.
Лит.: [1] Севастьянов Б. А., Ветвящиеся процес-
процессы, М., 1971; [2] Athreya К. В., Ney P. E., Branching
Processes, В.—Hdlb., N. Y., 1972. Б. А. Севастьянов.
ВЕТВЯЩИЙСЯ ПРОЦЕСС С ДИФФУЗИЕЙ — модель
ветвящегося процесса, в к-ром размножающиеся час-
частицы диффундируют в к.-л. области G. Пусть область G
r-мерна, ее граница dG — поглощающая, и в самой
области частицы независимо друг от друга совершают
броуновское движение. Каждая частица в области G за
время At —>- 0 независимо от других частиц с вероят-
вероятностью p,,A/+o(Ai), пф\, превращается в п частиц,
к-рые независимо друг от друга начинают свою эво-
эволюцию из точки их рождения. Пусть
— производящая функция {pn},Pi= —/i*.
число частиц в множестве Л?Св момент t, если в на-
начальный момент была одна частица в точке x?G. Про-
Производящий функционал
Н (t; х, s (¦)) = Е exp \ In * (у) \ixt (dy)
L J G j
удовлетворяет квазилинейному параболич. уравненшо
i—11=1 дх.
i
с начальным условием
Я@, х, «(•)) = «(*)
и граничным условием
Обозначим 0<Я,1<Я,2;<Я,з;<-• • собственные значения,
ф1 (х) >0 — соответствующую Хх собственную функцию
задачи
^-^1=1 дл
При t —>- с» имеет место асимптотика
в соответствии с к-рой процесс наз. докритиче-
с к и м при а~СК\, критическим при а=Х1 и
надкритическим при a>^,j. При а^.^ В. п. с д.
вырождается с вероятностью 1, а при а>Хг с положи-
положительной вероятностью nxf{G)—>-оо при t—>-оо. В за-
зависимости от критичности В. п. с д. имеют место пре-
предельные теоремы, аналогичные теоремам для ветвя-
ветвящихся процессов без диффузии.
Лит.: [1] Севастьянов Б. А., Ветвящиеся процес-
процессы, М. 1971. Б. А. Севастьянов.
ВЕТВЯЩИЙСЯ ПРОЦЕСС С ЗАВИСИМОСТЬЮ ОТ
ВОЗРАСТА — модель ветвящегося процесса, в к-ром
время жизни частицы является произвольной неотри-
неотрицательной случайной величиной, а число потомков
частицы зависит от ее возраста в момент превращения.
В модели с однотипными частицами каждая частица
имеет случайную продолжительность жизни т с функ-
функцией распределения
}
В конце жизни частица превращается в к частиц ну-
нулевого возраста с вероятностью рь(и), если превраще-
ние произошло, когда частица достигла возраста и.
Пусть ц (г) — число частиц в момент времени t. Произ-
Производящая функция F(t, х) распределения вероятностей
|х(() для процесса, начавшегося с одной частицы нуле-
нулевого возраста, удовлетворяет уравнению
F (t, x)= \ h(u, F {t—u, x)) dG (u) + x(\ — G (t)),
где
h (u, x) = 2Г-о Pk iu)xk-
Положим
, . dh
В. п. с з. от в. наз. д о к р и т и ч е с к и м, критиче-
критическим или надкритическим, если соответ-
соответственно Л<1, А = \ и 5>0, Л>1. Поведение процесса
при t —>- оо существенно зависит от критичности про-
процесса. Докритич. и критич. процессы вырождаются
с вероятностью 1, т. е.
Iim
Для рассматриваемых процессов получены [1] асимпто-
тич. формулы моментов fx (г), необходимые и достаточ-
достаточные условия вырождения, условия существования и
единственности решения уравнения (*), асимптотич.
формулы при t —>¦ оо для
и найдены предельные распределения. В критич. слу-
случае при / —>. оо:
I t ^ (() | ц (О > 0)
< x
М(') >°) —>-1—е-*, х>0.
В случае, когда h (и, х) не зависит от и, В. п. с з. от в.
— Беллмана — Харриса процесс. Имеются обобщения
описанной модели на процессы с несколькими типами
частиц, а также на процессы с предположением, что
частица может в течение жизни порождать новые час-
частицы несколько раз (см. [2], [3]).
Лит.: [1] Севастьянов Б. А., Ветвящиеся процессы,
М., 1971; [2] его же. «Теория вероят. и ее примен.», 1964,
т. !), Л« 4, с. 5 77—94; [3] Mode С. J., Multitype Branching
Processes, N. Y., 1971. В. П. Чистяков.
ВЕТВЯЩИЙСЯ ПРОЦЕСС С ИММИГРАЦИЕЙ —
модель ветвящегося процесса (с дискретным или непре-
непрерывным временем, с одним или несколькими типами
частиц и т. д.), в к-рой новые частицы могут появляться
не только при делении частиц, но и в результате имми-
иммиграции из какого-то «внешнего источника». Напр.,
пусть
**,.-, Yt, t=0, I, ...; f=l, 2, ...,
— независимые случайные величины с производящими
функциями
соответственно; тогда ветвящийся Гальтона—Ватсона
процесс с иммиграцией можно задать соотношениями
([i(() — число частиц): ц@)=0 и
i«,+У,, f=0, 1, ...
(величина Xf_ ,• интерпретируется как размер потом-
;тва г'-й частицы t-то поколения, величина Уг—как число
частиц, иммигрирующих в t-e поколение). Производя-
Производящие функции
определяются рекуррентными соотношениями
Я„(*) = 1, Ht + 1(s) = G(s)Ht(F(s)).
Соответствующая ветвящемуся процессу Гальтона—Ват-
сона с иммиграцией цепь Маркова n(t) возвратна, если
EXt ,<1 и Е ln(l + yt)<oo или EXt , = 1 и B = DXui>
>2С=2ЕУ}, и невозвратна, если ЕХ^_ ,• =1 и В<2С
или EXfF/>l. Для эргодичности цепи' Маркова \i(t),
т. е. для того чтобы существовали пределы
lim } 2Г
пеобходимо и достаточно (см. [3]), чтобы
(это условие выполняется, в частности, если EX-t ;<1
и Е 1пA + Уг)<оо). Если EXt , = 1, В>0, C<°i, то
(см. [4]):
lim P {**
Если у4=ЕХ(,,->1 и Ern(l+Yt)<oo, то (см. [5]) су-
существует такая последовательность чисел Cf\Q, Cf/cf+1—>-
—>• 4, что
Р (glim n(f)c(€(O, oo)l =1.
I '-» J
Для В. п. с и., в к-рых иммиграция происходит только
при ц(<) = 0, т. е.
где б/у — символ Кронекера, при EXf, = l,
<оо и 0<ЕУ^<оо справедливо соотношение
Лит.: [1] Зубков А. М., «Теория вероят. и ее примен.»,
1972, т. 17, в. 1, с. 179—88; [2] Pakes A. G., «J. Austral.
Math. Soc», 1972, v. 13, N, 3, p. 277—90; [3] Foster J. H.,
Williamson J. A., «Z. Wahrschelnllchkeitstheor. und
verw. Geb.», 1971, Bd 20, №3, S. 227—35; [4] Seneta E.,
«J. Roy. Statist. Soc», 1970, v. 32, № 1, p. 149—52; [5] e г о же,
«Math. Biosci.», 1970, v. 7, № 1, p. 9—14; [6] Foster J. H.,
«Ann. Math. Statistics», 1971, v. 42, № 5, p. 1773—6.
A. M. Зубков.
ВЕТВЯЩИЙСЯ ПРОЦЕСС С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ
ТИПОВ ЧАСТИЦ — модель ветвящегося процесса,
являющаяся частным случаем марковского процесса
со счетным множеством состояний. Состояние ветвя-
ветвящегося процесса описывается случайным вектором
к-я компонента к-рого jx# (t) показывает, что в момент t
имеется (.i^ (t) частиц типа ГА. Основное свойство, выде-
выделяющее ветвящиеся процессы из марковских, состоит
в том, что частицы, существующие в момент t1( в любой
следующий момент Ц-\-г, ?>0, дают потомство незави-
независимо друг от друга. При этом производящие функции
Fk{t, xu ..., хп) =
удовлетворяют системе уравнений
Fk (i + т, хи ..., х„) =
= Fk(t, F1(t, Xl, ..., аг„), ..., Fn(x, xu ..., хп)) (*)
и начальным условиям
Fk@, xlt ..., хп)=хк, к = 1, 2, ..., п.
Уравнениям (*) удовлетворяют процессы с дискретным
и с непрерывным временем.
В случае дискретного времени матрица математич.
ожиданий
A(t) = \\Aij(t)\\,
OF;
является ?-й степенью матрицы A=A(l): A (t)=At.
Если матрица А неразложима и непериодична, то она
имеет простое положительное характеристич. число Я,
к-рое больше модулей остальных характеристич. чи-
чисел. В этом случае при t —>- оо
где (ult ..., ип), (vx, . . ., vn) — правый и левый собствен-
собственные векторы матрицы А, соответствующие Я. Ветвя-
Ветвящиеся процессы с неразложимой матрицей А наз. д о-
критическими, если Я<1, надкритиче-
надкритическим и, если Я>1, и критическими, если
Х=1 и хотя бы одна из функций F*(l, хг, . . ., хп) не-
нелинейна. Для процессов с непрерывным временем по-
понятие критичности вводится аналогично.
Асимптотич. свойства ветвящегося процесса сущест-
существенно зависят от критичности. Докритич. и критич.
процессы вырождаются с вероятностью 1. Асимптоти-
Асимптотические при t —>. оо формулы для вероятности
и теоремы о предельных распределениях числа частиц
[2] аналогичны соответствующим результатам для
процессов с одним типом частиц (см. Ветвящийся про-
процесс). Изучены асимптотич. свойства процессов, близ-
близких к критическим (t -*¦ оо, К —>• 1) (см. [3]). Изучаются
также процессы с разложимой матрицей математич.
ожиданий (см. [4]).
Лит.: [1] Колмогоров А. Н., Дмитриев Н. А.,
«Докл. АН СССР», 1947, т. 56, Mi 1, с. 7—10; [2] Севастья-
Севастьянов Б. А., Ветвящиеся процессы, М., 1971; [3] Чистя-
Чистяков В. П., «Теории вероят. и ее примен.», 1972, т. 17, Mi 4,
с. 669—78; [4] Ogura J., «J. Math. Kyoto Univ.», ser. A, 1975,
v. 15 Mi 2, p. 251—302. В. П. Чистяков.
ВЕТВЯЩИЙСЯ ПРОЦЕСС СО СЛУЧАЙНОЙ СРЕ-
СРЕДОЙ — неоднородный по времени ветвящийся про-
процесс, в к-ром неоднородность имеет случайный характер.
Пусть §= {5о> ?ii •••} ~ стационарная последователь-
последовательность случайных величин (значение ?t интерпретирует-
интерпретируется как состояние «среды» в момент времени t) и каждому
возможному состоянию среды § сопоставлено распреде-
распределение вероятностей {pk(t)} числа потомков одной
частицы:
Для построения траектории {ц@), цA), ...} В. п. со
с. с. фиксируют значение ^i@) = m и траекторию %
состояний среды и при каждом ?=0, 1, ... определяют
ц(Н-1) как сумму i-i (t) независимых случайных вели-
величин, имеющих распределение {pkiit)}- Такое услож-
усложнение ветвящегося Гальтона—Ватсона процесса до-
довольно естественно, если, напр., рассматривать В. п.
со с. с. как модель биологич. популяции.
Свойства В. п. со с. с. аналогичны свойствам обыч-
обычных ветвящихся процессов. Напр., производящая
функция распределения \x(t) при условии, что |х@)=1,
имеет вид
(для ветвящегося процесса Гальтона — Ватсона, т. е.
при P{?t=O}=l, в правой части (*) стоит i-кратная
итерация F0(s)). В. п. со с. с. делятся на докритиче-
ские, критические и надкритические; «критич. па-
параметром» является (см. [1]) величина
(для обычных ветвящихся процессов «критич. парамет-
параметром» является математич. ожидание числа потомков
одной частицы). Если р<0, то В. п. со с. с. наз. до-
критическим, и для случайной величины
— вероятности вырождения В. п. со с. с. при фикси-
фиксированной траектории | — справедливо соотношение
Имеет место аналог предельной теоремы для докритиче-
ского ветвящегося процесса Гальтона — Ватсона: для
почти всех реализаций последовательности | существу-
существуют пределы
lim P{ix(t) = A||*(O) = l
Если р=0, то В. п. со с. с. наз. критическим,
тогда
P{q (!) = !_}=!
и для почти всех реализаций |
lim Р{ц(О = А|ц(О) = 1, ц(«) >0, 1}=0.
t—>-GO
При р>0 В. п. со с. с. наз. надкритическим;
в этом случае
Р{9A)<1} = 1
и при нек-рых дополнительных условиях для почти
всех § существует неотрицательная случайная величина
W = lim — ^Ш ew = l.
i-ю, Ft A). ..Ft A)
0 4-1
Лит.: [1] A t h г е у а К. В., N e у Р., Branching proces-
processes В.—Hdlb.—N.Y., 1972. A. M. Зубков.
ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ РЕГУЛЯРНОСТЬ —
свойство ветвящегося процесса, обеспечивающее конеч-
конечность числа частиц в любой момент времени. Вопрос
о В. п. р. сводится, как правило, к вопросу о един-
единственности решения нек-рого дифференциального или
интегрального уравнения. Напр., в ветвящемся про-
процессе с непрерывным временем дифференциальное урав-
уравнение
с начальным условием F@,s)—s имеет единственное
решение F (t, s) тогда и только тогда, когда при любом
е>0 расходится интеграл
r-l dx
В ветвящемся Беллмана—X ар риса процессе производя-
производящая функция F (t; s) числа частиц есть решение нели-
нелинейного интегрального уравнения
F(t; s)=V h(F(t-u; s)) dG (u)^s A-G (t)), (*)
J о
где G(t) — функция распределения времени жизни
частиц, h (t) — производящая функция числа непо-
непосредственных потомков одной частицы. Если при не-
некоторых t0, съ с2>0 и целом /г^1 для всех 0
выполняются неравенства
то единственность решения ^уравнения (*) имеет место
тогда и только тогда, когда уравнение
с начальными условиями
Ф(О) = 1, Фс-)(О) = О,
имеет единственное решение
Для регулярности ветвящегося процесса, описываемого
уравнением (*), необходимо и достаточно, чт< бы при
любом е>0 интеграл
Jo
расходился.
Лит,: [1] Севастьянов Б. А., Ветвящиеся процес-
процессы, М., 19 71. Б. А. Севастьянов.
ВЕЩЕСТВЕННОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАН-
ПРОСТРАНСТВО — аналитическое пространство над полем R
действительных чисел. В отличие от комплексных ана-
литич. пространств, структурные пучки В. а. п. могут
не быть когерентными пучками. В. а. п. наз. коге-
когерентным, если его структурный пучок когерентен.
Все вещественные аналитич. многообразия (т. е. глад-
юте В. а. п.) являются когерентными В. а. п.
Пусть Va — росток в точке а вещественного анали-
тич. подмножества пространства R". Тогда определен
росток в точке а комплексного аналитич. подмножества
Va пространства С", обладающий следующими эквива-
эквивалентными свойствами: а) Vа есть пересечение всех рост-
ростков комплексных аналитич. множеств, содержащих Уд;
б) если Qv — аналитич. алгебра ростка Va, то Qv (x)C
есть аналитич. алгебра ростка Vа. Росток Va наз.
комп леке и ф п нацией ростка Va, а V' а —
вещественной частью ростка Va. Аналогично для вся-
всякого когерентного В. а. п. X можно построить комплек-
енфикацию X, являющуюся комплексным аналитич.
пространством. При этом X будет обладать в X фунда-
фундаментальной системой окрестностей, являющихся Штей-
Штейна пространствами.
Теория когерентных В. а. п. аналогична теории комп-
комплексных ¦ пространств Штейна. Глобальные сечения
всякого когерентного аналитического пучка модулей F
на когерентном В. а. п. X порождают модули ростков
его сечений в любой точке пространства X, и все груп-
группы НЧ(Х, F) равны нулю при q^s\.
Для всякого конечномерного когерентного В. а. п.
(х, Qx) существует морфизм
/ = (/о. /i):(*,6*) —(R", 6r»)
ткой, что /о — собственное взаимно однозначное ото-
отображение пространства X на когерентное подпростран-
подпространство в R", причем / — вложение в гладких точках
пространства X. В частности, всякое (хаусдорфово и
счетное в бесконечности) вещественное аналитич. мно-
многообразие изоморфно вещественному аналитнч. под-
подмногообразию в R". Для приведенного когерентного
В. а. п. X множество классов изоморфных вещественно
аналитич. главных расслоений со структурной веще-
вещественной группой Ли G, допускающей комплексифика-
цпю, н базой X находится во взаимно однозначном соот-
соответствии с множеством классов изоморфных топологич.
главных расслоений с той же структурной группой G.
Лит.: [1] Espaces analytiques, Buc, 1971, р. 149 — 57.
Д. А. Пономарев.
ВЕЩЕСТВЕННОЕ НОРМИРОВАНИЕ — мультипли-
мультипликативное нормирование поля (или кольца) со значения-
ми нормы в поле действительных чисел (см. также Абсо-
Абсолютное значение).
ВЕЩЕСТВЕННОЕ ЧИСЛО — то же, что действи-
действительное число.
ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ СООТВЕТСТВИЕ —со-
—соответствие между элементами двух множеств, при к-ром
каждому элементу первого множества соответствует
единственный элемент второго множества, причем раз-
разным элементам первого множества соответствуют разные
элементы второго и каждый элемент второго множества
поставлен в соответствие некоторому элементу первого.
В. о. с. обладает свойством симметричности (отобра-
(отображение, обратное В. о. с, является В. о. с.) и транзи-
транзитивности (произведение В. о. с. является В. о. С).
Если каждой точке х ориентированной прямой поста-
поставить в соответствие ее расстояние до нек-рой фиксиро-
фиксированной точки О (взятое со знаком плюс, если точка ле-
лежит в положительном направлении от точки О, и со
знаком минус — в противоположном случае), то полу-
получится В. о. с. между точками прямой и действительны-
действительными числами. Л. Д. Кудрявцев.
ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА — целые числа, но
имеющие общих (простых) делителей. Наибольший об-
общий делитель В. п. ч. а и Ь равен единице, это принято
обозначать (a, J)=l. Если а и b взаимно просты, то
существуют такие числа и и v, \и\<]Ъ\, М <а, 'что
au-\-bv=\..
Понятие взаимной простоты может быть введено так-
также для многочленов и вообще для элементов любого
евклидова кольца.
ВЗАИМНОСТИ ЗАКОНЫ — ряд утверждений, ка-
касающихся связи между символами степенных или нор-
менных вычетов.
Простейшим проявлением В. з. является следующий
факт, известный еще П. Ферма (P. Fermat). Простыми
делителями чисел х%-\-1 могут быть лишь число 2 и
простые числа, лежащие в арифметич. прогрессии
1+4/с. Другими словами, сравнение
ж2+1=0 (mod p)
по простому модулю р >2 разрешимо в том и только В том
случае, когда р=1 (mod 4). С помощью символа квад-
квадратичного вычета ( —) (Лежандра символа) последнее
утверждение может быть выражено следующим об-
образом:
р-\
В более общем случае вопрос о разрешимости сравнения
х2=а (mod p) (*)
решается с помощью Гаусса закона взаимности:
Р-1 _ Я-1
8Q
2,
где р и q — различные нечетные простые числа, а так-
также двух дополнений к этому закону
Из этих соотношений для символов Лежандра следует,
что простые числа р, для к-рых сравнение (*) при фик-
фиксированном а разрешимо, укладываются ровно в по-
половину приведенных классов вычетов по модулю 4|а[.
К. Гаусс (С. Gauss) справедливо придавал большое
значение указанному В. з. и дал несколько его
доказательств, основанных на совершенно различных
идеях [1]. Из закона взаимности Гаусса и его дальней-
дальнейшего обобщения — В. з. для Якоби символа — следует,
в частности, что тин разложения простого числа р
в квадратичном расширении ?3 ( }^d) поля рациональных
чисел Q определяется вычетом р по модулю 4\d\.
Закон взаимности Гаусса обобщается на сравнения
вида
х" = <z (mod p), n > 2.
Однако при этом происходит перг?:од от арифметики
целых рациональных чисел к арт.Лметике целых чисел
расширения К конечной степени тополя рациональных
чисел. Кроме того, для обобщения В. з. на вычеты п-й
степени нужно предполагать, что рассматриваемое
расширение содержит примитивный корень ? степени п
из 1. При таком предположении для простых дивизо-
дивизоров *>Р поля К, не делящих п, имеет место сравнение
jV,j, = I (mod re),
где Ny — норма дивизора §р, равная числу классов вы-
вычетов максимального порядка этого поля по модулю §р.
Аналог символа Лежандра определяется при помощи
сравнения
Символ степенного вычета (-т-Л для пары целых чисел
а и Ь, аналогичный символу Якоби, определяется по
формуле
если (Ь) = ПЦ5™' — разложение главного дивизора (Ь) на
простые сомножители и если b взаимно просто с an.
В. з. для ге=4 в поле ?3 (i) был установлен К. Гауссом
2Яг
[2], для ге=3 в поле ?3 (е 3 ) — Г. Эйзенштейном [3].
Общий В. з. для символа степенного вычета в поле
2 яг
Q (е п ) простой степени п был установлен Э. Кумме-
ром [4]. Формула Куммера для регулярного простого
числа п имеет вид
L\ ( *L\ — !-1ЧаI"-1(Ь)-!^(аIп-ЦЬ)+...-1п-Ца)П (ft)
Ь J \ a J fe
2 яг
•где a, b — целые числа поля Q(e n ),
a = i = l (mod(? —1)),
du' Ju=0
и /(t) — многочлен степени re—1 такой, что
Следующий этап в изучении общих В. з. связан с ра-
работами Д. Гильберта [5], [6], выяснившего их локаль-
локальный аспект. Д. Гильберт для нек-рых случаев устано-
установил В. з. в виде формулы произведения для его символа
норменного вычета
IL(oir)=1-
Он подметил также аналогию этой формулы с теоремой
о вычетах алгебраич. функций — простые точки ty
с символом норменного вычета ф\ соответствуют точкам
ветвления на римановой поверхности.
Дальнейший прогресс в изучении В. з. связан с име-
именами Ф. Фуртвенглера [7], Т. Такаги [8], Э. Артина
[9], X. Хассе [10]. Наиболее общая форма В. з. была
получена И. Р. Шафаревичем [11].
Как и закон взаимности Гаусса, общие В. з. тесно
связаны с задачей изучения законов разложения простых
дивизоров §р заданного поля алгебраич. чисел k в его
алгебраич. расширениях Klk с абелевой Галуа группой.
В частности, теория полей классов, решающая эту
задачу, может быть обоснована (см. [12]), исходя из за-
закона взаимности Шафаревича.
Лит.: [1] Gauss С. F., Werke, Bd I — Disquisitiones
arithmeticae, Gott., 1870; [2] его же, Theoria residuorum
biquadraticorum. Gommentatio prima et secunda, в кн.: Werke,
Bd 2, Gott., 1863, S. 65, 93; [3] E i s e n s t e i n G., «J. Math.»,
1844, Bd 27; [4] Kummer E., «Ber. K. Akad. Wiss,
Berlin», 1850; [5] H i 1 b e г t D., «Jahresber. Dtsch. Math.—
Ver.», 1897, Bd 4, S. 175—546; [6] его же, там же, 1899,
Bd 6, Nil, S. 88—94; [7] Furtw angler Ph., «Math.
Ann.», 1909, Bd 67, S. 1—31; 1912, Bd 72, S. 346—86; 1913,
Bd 74, S. 413—29; [8] Takagi Т., «J. Colloid Science»,
1920, v. 41, t. 9; [9] A r t i n E., «Abh. Math. Semin. Hamburg
Univ.», 1928, Bd 5; [10] H a s s e H., «Math. Ann.», 1933,
Bd 107, № 5, S. 731—60; [11] Шафаревич И. Р., «Успехи
матем. наук», 1948, т. 3, в. 3 B5), с. 165; [12] Лапин А. И.,
«Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1954, т. 18, № 4, с. 335—78:
[13] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969; [14]
Фаддеев Д. К., в кн.: Проблемы Гильберта, М., 1969,
С. 131—40. С. А. Степанов.
ВЗАИМНЫЕ ЯДРА — две функции К {х, s) и Кх (х, s)
действительных переменных х, s (или, вообще, точек
Р, Q евклидова пространства), определенные на квад-
квадрате [а, Ъ\ X [а. Ь] и удовлетворяющие условию:
Кг[х, s)-\-K(x, s) =
= [ЬК{х, t)Kx(t, s)di = [ЬК1(х, t)K(t, s)dt.
Ja Ja
Взаимное с К (х, s) ядро K1(x, s), когда оно существует,
является ядром резольвенты интегрального Фредголь-
ма уравнения:
J^fi, s)<p(s)ds = f(x).
А. Б. Бакушинский.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — одно из
основных возможных (наряду с Шрёдингера представ-
представлением и с Гейзенберга представлением) эквивалентных
представлений зависимости от времени t операторов А
и волновых функций г|з в квантовой механике и кванто-
квантовой теории поля. Квантовую систему с учетом взаимо-
взаимодействия между ее частями (в квантовой механике)
или составляющими ее различными полями (в кванто-
квантовой теории поля) можно описать в представлении Шрё-
Шрёдингера с помощью Шрёдингера уравнения:
jr . A)
Предполагается, что полный гамильтониан Н разде-
разделяется на гамильтониан свободных (невзаимодействую-
(невзаимодействующих) частей или полей Но и гамильтониан взаимодей-
взаимодействия Я1# Гамильтонианы Но и Н1 являются некомму-
тирующими (иначе задача становится тривиальной, так
как разбиение гамильтониана Н на Но и Н1 теряет
смысл) функциями операторов, соответствующих раз-
различным свободным полям и не зависящих от времени t
в представлении Шрёдингера. Унитарное преобразова-
преобразование
e h Ф7(() B)
осуществляет переход к В. п., где волновая функция
удовлетворяет уравнению:
, ЭФ, (()
т. е. зависимость Ф/(<) от t определяется гамильтониа-
гамильтонианом взаимодействия в представлении
Я!@ = е h Hie h . D)
При этом среднее значение оператора А в представле-
представлении Шрёдингера
Ase h Ф, (t) E)
можно также понимать как среднее значение по волно-
волновым функциям Ф/(<) от оператора А/ в В. п.
Ai(t) = e й Ase n . F)
В В. п. операторы, соответствующие физическим ди-
намич. величинам, зависят от времени согласно F)
как операторы в представлении Гейзенберга для сво-
свободных полей, а изменение волновых функций с тече-
течением времени t определяется эффектами взаимодей-
взаимодействия между полями. При описании поведения кванто-
квантовой системы с течением времени / В. п. позволяет выде-
выделить зависимость от гамильтониана свободных полей
Но, к-рую обычно легко определить, и сосредоточить
внимание на исследовании уравнений C) и D), содержа-
содержащих всю информацию о взаимодействии между полями.
Особенно удобно использовать В. п. в случае, когда Н1
содержит нек-рый малый параметр и соответствующие
решения можно искать по теории возмущений в виде
рядов по степеням этого малого параметра.
Свойство инвариантности средних значений E), к-рые
должны быть наблюдаемыми и иметь тем самым физич.
смысл относительно унитарных преобразований B) и
F), означает эквивалентность В. п. и представлений
Шрёдингера и Гейзенберга. в. д. Кукин.
ВЗВЕШЕННОЕ СРЕДНЕЕ — величина
где хг, ..., хп суть п величин, взятых с весами ри ...,
рп соответственно.
ВИВИ АНИ КРИВАЯ, окно В и в и а н и, — ли-
линия пересечения сферы радиуса Л и кругового цилиндра
радиуса Л/2, образующая к-рого проходит через центр
сферы. Часть шара, находящаяся внутри цилиндра,
наз. телом В и в и а н и. В. к. названа по имени
В. Вивиани (V. Viviani, 17 в.). Е. в. Шипин.
ВИД в логике — интуиционистский аналог поня-
понятия множества, точно сформулированное условие, вы-
выделяющее часть объектов из уже определенной совокуп-
совокупности объектов исследования. Существенно, что усло-
условие, задающее В., понимается при этом интуицио-
интуиционистски, так что, напр., двойное отрицание условия
не обязательно эквивалентно самому этому условию.
Над В. естественным образом определяются операции,
аналогичные нек-рым операциям над множествами,
такие, как объединение, пересечение и другие, однако
в силу интуиционистской специфики понимания (см.
Интуиционизм) свойства этих интуиционистских опе-
операций отнюдь не всегда совпадают со свойствами соот-
соответствующих классич. операций. Напр., в интуицио-
интуиционистской теории В. неверно, что для всякого В. допол-
дополнение к его дополнению совпадает с самим В.
При построении теории В. обычные парадоксы избе-
избегаются с помощью требования, чтобы члены В. были
определены независимо от определения самого В. Такие
интуиционистские теории, как интуиционистская ариф-
арифметика, интуиционистский математич. анализ, могут
быть построены вообще без употребления понятия «В.»,
но в более абстрактных областях интуиционистской
математики (теория доказательств, семантика, интуи-
интуиционистский функциональный анализ) разработка тео-
теории В. является актуальной задачей.
Лит.: [1] Гейтинг А., Интуиционизм, пер. с англ.,
М., 1965. А. Г. Драгалин.
ВИЕТА ТЕОРЕМА о корнях — теорема, уста-
устанавливающая соотношения между корнями и коэффи-
коэффициентами многочлена. Пусть f(x) — многочлен степени
п с коэффициентами из нек-рого поля и старшим коэф-
коэффициентом 1. Над полем, содержащим все корни f{x)
(напр., над полем разложения для f(x)), многочлен f(x)
разлагается на линейные множители:
= хп --гап_1х
"-1
где а,- — корни f(x), г=1, 2, . . ., п. В. т. устанавливает
справедливость соотношений (формулы В и е т а):
n,
.сс„_1+а1. . .а„_2а„-)-...+а2а3.. .a»),
. -\-an-xan,
a2— ...-fa,,).
Ф. Виет нашел эту зависимость для всех п, однако
с оговоркой на положительность корней (см. [1]); в об-
общем виде В. т. установлена А. Жираром [2].
Лит.: [1] Viete F., Opera mathematica..., Lugduni Ба-
tavorum, 1646, p. 123, 158; [2] GirardA., Invention nou-
velle en Algebre.... Amst., 1629. В. Н. Ремесленников.
ВИЛКОКСОНА КРИТЕРИЙ — непараметрический
критерий однородности двух выборок Хх, . . ., Хп и
У1? . .., Yт. Элементы выборок предполагают взаимно
независимыми с непрерывными функциями распределе-
распределения F(х) и G(x) соответственно; проверяемая гипотеза
F(x) = G(x). В. к. основан на ранговой статистике
W=--s(ri)+...+s(rm), (*)
где tj — ранги случайных величин Yj в общем вариа-
вариационном ряду Х[ и Yj, а функция s{r), г=1, . . ., п-\-т,
определяется заранее фиксированной подстановкой
1 2 ... п + т \
(l) ,B) ... * )
где s(l), ..., s(n-{-m) — одна из возможных переста-
перестановок чисел 1, 2, ..., п-\-т. Выбор подстановки осу-
осуществляется так, чтобы мощность В. к. для заданной
альтернативы была наибольшей. Распределение ста-
статистики W зависит лишь от объемов выборок и не за-
зависит от выбора подстановки (если справедлива гипо-
гипотеза однородности). При п —»- оо и т —*¦ оо случайная
величина W распределена асимптотически нормально.
Вариант В. к. этого типа предложен впервые Ф. Вил-
коксоном (F. Wilcoxon, 1945) для выборок равного
объема и был основан на статистике (*) специального
вида при s(r)=r (см. Суммы рангов критерий. Манна —
Уитни критерий). См. также Ван дер Вардена крите-
критерий, Ранговый критерий.
Лит.: [1] Wilcoxon F., «Biometrics», 1945. v. 1, p. 80—
83; [2] Б о л ь ш е в Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы
математической статистики, М., 1965; [3] Ван дер В а р-
ден Б. Л., Математическая статистика, пер. с нем., М.,
1960. А. В. Прохоров.
ВИЛЬСОНА ТЕОРЕМА: для каждого простого числа
р число (р— 1)! + 1 делится на р. Теорема впервые сфор-
сформулирована Э. Варингом (Е. Waring, 1770) и принад-
принадлежала, ио его словам. Дж. Вильсону (J. Wilson), до-
доказал ее Ж. Лагранж (J. Lagrange, 1771). Из В. т.
следует критерий простоты числа: натуральное число
п>1 тогда и только тогда является простым, когда
(п —1)! + 1 =0 (mod n).
Практическое использование В. т. для определения
простоты числа нецелесообразно из-за быстрого роста
факториала.
Лит.: [1] Б у х ш т а б А. А., Теория чисел, 2 изд., М-,
1966; [2] Т р о с т Э., Простые числа, пер. с нем., М., 1959;
[3] Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд.,
М., 1972. Н. И. Климов.
ВИНЕРА ИНТЕГРАЛ — абстрактный интеграл лебе-
говского типа по множествам бесконечномерного функ-
функционального пространства от функционалов, определен-
определенных на этих множествах. В. и. введен Н. Винером
(N. Wiener) в 20-х гг. 20 в. в связи с вопросами броу-
броуновского движения (см. [1], [2]).
Пусть Со — векторное пространство непрерывных
функций x{t), определенных на [0, 1] и таких, что
г@) = 0, с нормой
Кваз и интервалом этого пространства наз.
множество
<?={*(')€Со, ai<x(ti)<bi, 0-10<h<...<tn=l}
(а,- и bi могут равняться, соответственно, — сю и +°°,
но тогда знак <: заменяется на <). Примером квази-
квазиинтервала может служить все пространство
Мерой Винера квазиинтервала Q наз. число
liw (Q) = * = f *' ¦ . . \Ь" e-LndXl...dxn,
/•ncwJ" Je"
где
и Xj=x(tj). Эта мера распространяется до ст-аддитивной
меры, определенной на борелевском теле множеств,
порожденном квазиинтервалами (по-прежнему наз. ме-
мерой Винера). Пространство Со измеримо в смысле меры
Винера и и,^(С0)=1.
Пусть F (х) — функционал, определенный на Со
и измеримый относительно меры \iw. Интеграл
лебеговского типа наз. интегралом Винера,
или интегралом по мере Винера от
функционала F(x). Если ЕаС0 измеримо, то
F (x)d [A\y^ \ F (х) у^Е (х) d\iyy*
где %е(х) — характеристич. функция множества Е.
В. и. обладает рядом свойств обычного интеграла
Лебега. В частности, ограниченный и измеримый на
множестве Е функционал интегрируем по мере Винера
на этом множестве и если, кроме того, функционал
F (х) непрерывен и неотрицателен, то
F (x) dyLyy —
где Fn(xu . . ., xn) — значение функционала F на лома-
ломаной с вершинами в (г,-, xi=x(/,•)).
Вычисление В. и. даже для сравнительно простых
функционалов представляет значительную трудность.
Иногда эту задачу удается свести к нахождению
решения некоторого дифференциального уравнения
(см. [1]).
Существует метод приближенного вычисления В. и.
путем аппроксимации его конечномерными Стилтьеса
интегралами высокой кратности.
Лит.: [1] Ковальчик И. М., «Успехи матем. наук»,
1963, т. 18, в. 1, с. 97—134; [2] Шилов Г. Е., там же,
в. 2, с. 99—120. В. И. Соболев.
ВИНЕРА МЕРА, в и н е р о в с к а я мер а,- ве-
роятностная мера ц,^, определенная на пространстве
С[0, 1] непрерывных числовых функций x(t), заданных
на отрезке [0, 1], следующим образом. Пусть 0<гх<. . .
...<г„<:1 — произвольный набор точек из [0, 1], Аъ
..., Ап — борелевские множества на прямой. Пусть
С (tx, . . ., tn, Аг, . . ., Ап) обозначает множество функ-
функций x(t) из С[0, 1], для к-рых xitf^^Af,. k=l, ..., п.
Тогда
, ••¦, *п; Au ..., An)) =
p(t2 — t1, x2 — x1)dx2...
где
С помощью теоремы о продолжении меры можно, исходя
из равенства (*), определить значение меры \iyy яа
всех борелевских множествах пространства С[0, 1].
А. В. Скороход.
ВИНЕРА ТАУБЕРОВА ТЕОРЕМА: еслих? L1 (-ею,оо)
и преобразование Фурье функции х не обращается
в нуль, а у — функция из L°° (— ею, сю) такая, что сверт-
свертка (х*у) стремится к нулю при t—>- сю, то для любой
z?L1(~ сю, сю) свертка (z*y) стремится к нулю при
t—>¦ сю. Установлена Н. Винером [1]. Эта теорема обоб-
обобщена на случай любой коммутативной локально ком-
компактной некомпактной группы G: если х — суммируе-
суммируемая относительно Хаара меры функция на G и преоб-
преобразование Фурье функции х не обращается в нуль яа
группе характеров G группы G, а функция у принадле-
принадлежит пространству L°° (G) и свертка (хч-у) стремится
к нулю на бесконечности на G, то свертка (z*j/) стре-
стремится к нулю на бесконечности на G для всех сумми-
суммируемых функций на G.
Эта теорема основана на регулярности групповой ал-
алгебры коммутативной локально компактной группы и
на возможности спектрального синтеза в групповых
алгебрах для замкнутых идеалов, принадлежащих
лишь конечному числу регулярных максимальных
идеалов [3].
Лит.: [1] Wiener N., «Ann. Math.», 1932, v. 33, p. 1 —
100; [2] H а й м а р к М. А., Нормированные кольца, 2 изд.,
M., 1968; [3] Б у р б а к и Н., Спектральная теория, пер.
с франц., М., 1972. А. И. Штерн.
ВИНЕРА — ХОПФА МЕТОД — метод решения функ-
функционального уравнения вида:
А (Я) Ф + (Я) + В (Я) Ф_ (Я) -f- С (к) = 0, A)
где А (Я), В (Я), С (Я) — заданные функции комплексного
переменного Я, аналитические в полосе т_ <Im Я<т+,
причем А (Я) и В (Я) отличны от нуля в этой полосе;
функции Ф+ (Я) и Ф_ (Я) — неизвестные функции комп-
комплексного переменного Я, стремящиеся к нулю при
|Я| —*¦ сю и подлежащие определению, причем Ф+(Я)
аналитична при 1тЯ>т_, а Ф_(Я) аналитична при
Im Я<т+. Уравнение A) выполняется в общей полосе
аналитичности т_<1тЯ<т+.
Основой В.—X. м. являются следующие две теоремы.
1) Функция F(к), аналитическая в полосе т_ <Im Я<т+
и равномерно стремящаяся к нулю при |Я| —*¦ оо, пред-
ставима в этой полосе в виде суммы:
где F+(X) аналитична в полуплоскости Im Я>т_, a F-(k)
аналитична в полуплоскости Im Я<т+.
2) Функция F(X), аналитическая и отличная от нуля
в полосе т_<1тЯ<т+ и равномерно стремящаяся
в этой полосе к единице при |Я| —>- сю, представила
в данной полосе в виде произведения:
F(k)=F+(k)-F_(k), B)
где F+ (к) и F_ (Я) аналнтичны и отличны от нуля, со-
соответственно, в полуплоскостях Im Я>т_ и 1тЯ<т + .
Представление B) часто наз. факторизацией
функции F (к).
Основная идея В.—X. м. заключается в возможности
факторизации функции L(k)=A (к)/В (X), т.е. в воз-
возможности представления
в а)~ь- (X) ¦ C)
Используя C), уравнение A) можно переписать в виде:
?+ (Я)Ф+ (*,)+?_ (Х)Ф- (k)+L. (к)^Щ = О.
Поскольку L- (к)С(к)!В (к) аналитична в полосе, то
?_(*)§§¦> = ?>+(Ь)+Л_(Ь)- D)
Используя D), получают окончательно уравнение A)
в виде:
? + <?++ -D+ = — D-— 1_Ф_. E)
Левая часть выражения E) представляет собой функ-
функцию, аналитическую в 1тЯ>т_, а правая — функцию,
аналитическую в 1тл<т+. Так как они имеют общую
полосу аналитичности, где выполняется условие E),
то существует единственная целая функция Р (к), сов-
совпадающая, соответственно, с левой и правой частями E)
в областях их аналитичности. Отсюда
т. е. решение уравнения A) определено с точностью до
целой функции. Если степень роста функции L (к)
и D (к) ограничена на бесконечности, то Р (к) будет
многочленом. Тогда искомые функции определяются
с точностью до постоянных, к-рые вычисляются из
дополнительных условий.
В. —X. м. был разработан в [1] для решения интег-
интегральных уравнений специального вида (см. Винера —
Хопфа уравнение). В дальнейшем он нашел широкое
применение в различных задачах математич. физики
(см. также [2]).
Лит.: []] Wiener N., Hopf E., Uber eine Klasse
singularer Integralgleichungen, «Sitz. Akad. Wiss.», В., 1931;
[2] H о б л Б., Применение метода Винера — Хопфа для ре-
решения дифференциальных уравнений в частных производных,
пер. с англ., М., 1962. В. И. Дмитриев.
ВИНЕРА — ХОПФА УРАВНЕНИЕ — интегральное
уравнение на полупрямой с ядром, зависящим от раз-
разности аргументов:
k(x — s)u(s)ds = f{x),OsZx<<x>. A)
Уравнения такого типа часто возникают в задачах ма-
математич. физики, напр, в теории переноса излучения
(проблема Милна), в теории дифракции (дифракция на
полуплоскости, задача береговой рефракции).
Впервые исследования уравнения A) были проведены
в работах [1] и [2], где был развит метод факторизации
(см. Винера—Хопфа метод). Именно идея факторизации
явилась решающей для построения теории интеграль-
интегральных уравнений вида A). В. —X. у. в предположении
четности и экспоненциального убывания ядра к (х) рас-
рассматривались в [3].
Формальная схема решения В. —X. у. состоит в
следующем. Пусть
„rrN — i"^) ПРИ х > °>
v(x)-\0 при х < О,
О при х < О,
- \ к (х — s) и (s) ds при х < О,
тогда уравнение A) можно записать на всей бесконеч-
бесконечной прямой:
v(x) — \ к (х — s) v (x) ds = / (х) -\- п (х), — оо < х < оо. B)
J - оо
Если выполнены условия, при к-рых существует пре-
образование Фурьо всех функций, входящих в уравпе-
ние B):
V(k)=\j\(x)e^xdx,
К (к) = \ к (х) е^х dx,
J - со
F (к) = С mf (x)e^x dx,
jV (Л.) = С ° п (х) е1^ dx,
то с помощью преобразования Фурье уравнение B)
сводится к функциональному уравнению
C)
где V(k) и N (к) — неизвестные функции. Метод Ви-
Винера— Хопфа позволяет решить уравнение C) для оп-
определенного класса функций. При этом обязательно
должно выполняться условие: 1 — К (к)фО. Для несим-
несимметричного ядра в теории уравнения A) особую роль
играет индекс уравнения:
^^K(k)]. D)
Если K(x)?L1(— оо, сю) и 1 — К{к)фО, то: при v = 0
неоднородное уравнение A) имеет единственное реше-
решение; при v>0 однородное уравнение A) имеет v линейно
независимых решений; при v <0 неоднородное уравне-
уравнение A) либо не имеет решения, либо имеет единственной
решение при условии:
f(x)xpk(x)dx = O, к = 0,1, ..., М —1,
где л|)? (х) — линейно независимые решения транспо-
транспонированного однородного уравнения A)
¦ф (х) — \ к (х — s) ib (si ds = 0.
Jo
Лит.: [1] Wiener N., Hopf E., tlber eine Klasse
singularer Integralgleichungen, «Sitz. Akad. Wiss.», В., 1931;
[2] Hopf E., Mathematical problems of radiative equilibrium,
Qamb., 1934; [3] Фок В. А., «Матем. сб.», 1944, т. 14,
№ 1—2, с. 3—50; [4] Н о б л Б., Применение метода Винера—
Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных
производных, пер. с англ., М., 1962. В. И. Дмитриев.
ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС — однородный гауссое-
ский процесс-X (t) с независимыми приращениями. В. п.
служит одной из математич. моделей для процесса бро-
броуновского движения. Простым преобразованием В. п.
может быть превращен в «стандартный» В. п. X (t),
t^O, для к-рого
Х@)=0, Е(Х (О — X (s)) = 0,
при таких средних значениях и дисперсиях приращений
это единственный непрерывный с вероятностью 1 процесс
с независимыми приращениями. Ниже под В. п. будет
пониматься именно этот процесс.
В. п. X(t), 0<?<l, определяется также как гаус-
совский случайный процесс с нулевым математич. ожи-
ожиданием и корреляционной функцией
B(s, i) = min (s, t).
В. п. X=X(t), t^sO, может быть определен как одно-
однородный марковский процесс с переходной функцией
Р (t, х, Г)= [rp(t, х, y)dy,
где переходная плотность р (t, x, у) есть
фундаментальное решение параболического дифферен-
дифференциального уравнения
йр_ 1 Э'р
~т 2 эх2
и описывается формулой
Переходная функция Р (t, x, Г) инвариантна относи-
относительно преобразований сдвига в фазовом пространстве:
где Г — у обозначает множество {z : z-Ьг/^Г}.
В. п. является непрерывным аналогом случайного блу-
блуждания частицы, к-рая в дискретные моменты времени
t=kAt (кратные At) в результате случайного воздейст-
воздействия каждый раз независимо от предшествующих обсто-
обстоятельств смещается на величину АХ (t) (ЕДХ (i) = 0,
DAX (t)= At); точнее, если при At=l/n
— случайная траектория движения такой частицы на
отрезке [0, 1] (здесь At=l/n, m=[nt] — целая часть nt,
X(t) = ntAX@) при 0<г<1/и), а Рп — соответствую-
соответствующее распределение вероятностей в пространстве не-
непрерывных функций x=x(t), 0<г<:1, то распределение
вероятностей Р траектории В. п. X(t), 0<:<<:l, явля-
является предельным (в смысле слабой сходимости) для
распределений Р„ при п—>-оо: Р„=фР.
Как функция со значениями в гильбертовом простран-
пространстве L2(Q) всех случайных величин X, ЕДС2<оо, в к-ром
скалярное произведение определено формулой
<Xi, Л2> = Ел^Х2,
В. п. X=X{t), 0<:i<:l, допускает следующее кано-
каноническое представление:
где zft — независимые гауссовские величины:
Егь=0, Dzb = -
к — U, 1, ...,
— собственные функции оператора В, определенного
формулой:
Вф @= [* В (s, t)a> (s)ds
Jo /TV/
в гильбертовом пространстве Ьг [0, 1] всех интегрируе-
интегрируемых с квадратом (относительно лебеговской меры)
функций ф=ф(<) на отрезке [0, 1].
Для почти всех траекторий В. п. имеют место сле-
следующие соотношения:
и™ *<") -_ = !, X@) = 0,
— закон повторного логарифма;
.. | X (t + h)-X (t) | .
hm sup -1 -=1,
h->- + 0 0<t<6-ft
что характеризует модуль непрерывности на отрезке
[0, h];
lim V" | АХ(Щ\2=8.
h ^Jk=o
X (t).
В применении к В. п. вида Хг (t) = tx(-j- J,
закон повторного логарифма записывается в форме:
Характер смещения броуновской частицы за конечное
время t может быть описан с помощью распределения
вероятностей максимума max X (s):
P{ max X(s)^x} = -±= [' е~чЧПdu,
0<:г<оо, г фиксировано, 0<?<oo, а также с помощью
распределения времени т первого достижения броунов-
броуновской частицей фиксированной точки г>0:
"•N^ «}=/¦!-С
'du,
0<i<co, x фиксировано, 0<ж<оо (закономерности
В. п. остаются без изменения при преобразовании
фазового пространства г—»-—ж). Совместное распределе-
распределение точки максимума т, 0<:т<:<, и самого максимума
max X (s) имеет плотность вероятности
<<(
p(s.x)— ^=- — е ,
' nVs(t-s) s
< t, Os^x <oo,
а отдельно взятая точка т (с вероятностью 1 имеется
лишь один максимум на отрезке 0<s<:i) распределена
по арксинуса закону:
с плотностью вероятности
p() <<
л Ks (t-s)
Из приведенных выше формул легко выводятся сле-
следующие характерные свойства В. п. Броуновская тра-
траектория является нигде не дифференцируемой, причем
при выходе из к.-л. точки х эта траектория за сколь
угодно малое время б с вероятностью 1 бесконечно
много раз пересекает «уровень» х (возвращаясь в ис-
исходную точку); с течением времени t броуновская тра-
траектория обходит все точки х, точнее тх<оо, с вероят-
вероятностью 1 (при этом вероятное значение хх для боль-
больших х имеет порядок х2); рассматриваемая на фиксиро-
фиксированном отрезке [0, (], эта траектория имеет тенденцию
достигать экстремальных значений вблизи концевых
точек s=0 и s—t.
Для В. п. как марковского однородного процесса
существует инвариантная мера Q (dx):
к-рая в силу упомянутого выше свойства инвариант-
инвариантности переходной функции Р (t, x, А) совпадает с
лебеговской мерой на прямой: Q(dx) = dx. Время Т(А),
проведенное броуновской частицей в множестве А
за промежуток от 0 до Т, таково, что с вероятностью 1
для любых ограниченных борелевских множеств Агн Аг.
Аналогом В. п. X=X(t) для векторного параметра
t=(tu. . ., tn) являются случайные поля, введенные
П. Леви (P. Levy, см. [3]).
Лит.: [1] И т о К., М а к к и н Г., Диффузионные про-
процессы и их траектории, пер. с англ., М., 1968; [2] Прохо-
Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей,
2 изд., М., 1973; [3J Levy P., Prossesus stochastiques et
mouvement brownien, 2 ed., P., 1965; [4] Павлов В. П.,
Броуновское движение, в кн.: БСЭ, 3 изд., т. 4.
Ю. А. Розанов.
ВИНОГРАДОВА ГИПОТЕЗЫ — ряд гипотез отно-
относительно центральных проблем аналитической теории
чисел, высказанных в разное время И. М. Виноградо-
Виноградовым [1] — [3].
Гипотезы о распределении степен-
степенных вычетов и невычетов. Одной из самых
старых и знамени-тых из них является гипотеза о том,
701
ВИНОГРАДОВА
702
что расстояние между соседними квадратичными невы-
невычетами mod p есть величина порядка ре .
Гипотезы об оценках тригонометри-
тригонометрических сумм. Одной из них является гипотеза о
том, что
IV
1 2
(x)
\<РХ-
Р(л)
где
|8|<1,
ar=Y+?' {a' «)=1-
o,25f r _. одно из чисел 2,. . ., n
и p(n) имеет порядок п~1~?.
Гипотезы о количестве решений
диофантовых уравнений. Одной из них
является гипотеза о том, что число решений системы
уравнений
при по-
•"j"* | • • • I ^г"» У^1" | • • • \ У г
стоянном п будет величиною порядка
P2r~k, к=п1+...-\-пт,
при всех г^гд, где г0 имеет порядок к1+Е.
Гипотезы о количестве целых то-
точек в областях на плоскости и про-
пространстве. Одной из них является гипотеза о том,
что число целых точек в шаре x2-\-y2-\-z2<.R2 выража-
выражается формулой
Лит.: [1] Виноградов И. М., Некоторые проблемы
аналитической теории чисел, в кн.: Тр. третьего Всесоюзного
математического съезда, т. 3, М., 1958, с. 3—13; [21 е г о ж е,
Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [3]
его же, Избранные труды, М., 1952. А. А. Карацуба^
W |
Jib issl ""Ji
-i G
ВИНОГРАДОВА ИНТЕГРАЛ — кратный интеграл
вида
О JO JO
где
являющийся средним значением степени 2k модуля три-
гонометрич. суммы. Теорема Виноградова о величине
этого интеграла — теорема о среднем — лежит в ос-
основе оценок сумм Вейля (см. Виноградова метод, Ви-
Виноградова теорема о среднем). А. А. Карацуба.
ВИНОГРАДОВА МЕТОД — новый метод оценок три-
гонометрич. сумм (см. Тригонометрических сумм метод).
В. м. позволяет получить очень точные оценки для
широкого класса тригонометрич. сумм, в к-рых пере-
переменная суммирования пробегает значения последова-
последовательных целых чисел, последовательных простых чисел
и т. д., что, в свою очередь, дает возможность решить
целый ряд классич. проблем аналитич. теории чисел
(распределение дробных долей широкого класса функ-
функций, распределение простых чисел в натуральном ряде,
аддитивные проблемы, частными случаями к-рых
являются проблемы Варинга и Гольдбаха, и др.).
Различают две части В. м.: метод оценок Вейля сумм
и метод оценок тригонометрич. сумм с простыми числа-
числами. Обе части метода используют основную идею
И. М. Виноградова — идею сглаживания двойной три-
гонометрич. суммы, к-рая состоит в следующем. Пусть
дана сумма
w=ZjaZvi\ (")^2 Wе2т'а™,
где переменные суммирования и и v пробегают зна-
значения целых чисел (не обязательно последовательные)
в количестве, соответственно, U и V, А<и<2А, а
\J3i (и) иф2 (и) ~ произвольные комплекснозначные функ-
функции. Тогда
I W\*<B2A<u<iA | 2> (v) e^aav |2>
где и пробегает последовательные целые числа интерва-
интервала (А, 2А] (сглаживание),
В. м. оценок сумм Вейля. Оцениваются
суммы
где f(x)=an + 1xn + 1+...-\-a1x, причем аи + 1,...,
действительные числа. При Y=[PX~'А] будет
S=Y~1 2i^</>Si^.^v e2m7«+jo + 2ey =
где Ш=ап + 1хп + 1+Ап(у)х»+...+А1(у)+А0(у), а бук-
буквой W обозначена двойная сумма пол: и у, и |0|<1.
Далее, обозначив 53 выражение
х"+...+ (A 1
при любых Вп,. . ., Bl из области
При любом целом
V *2лйв dBn...dB1
где &=ап+1хп + 1-\-упхг'+...-\-у1х, а G(Y) — максималь-
максимальное число совпадений точек с координатами
{Ап(у) + Вп}, {Ап(у)+Вп_1}, ..., {А1(у) + В1},
причем фигурные скобки обозначают дробную часть
числа, а у меняется в пределах от 1 до У, и
При определенных арифметич. свойствах коэффици-
коэффициентов ап +!,..., а2 многочлена f(x) для величины G(Y)
можно получить" оценку G (У)<У^9. Кроме того, по-
последний интеграл не превосходит числа решений систе-
системы уравнений:
гп-i + i
¦ + УГ
Для оценки числа решений этой системы используется
Виноградова теорема о среднем, к-рая является основ-
основной в В. м. оценок сумм Вейля (см. Виноградова оценки).
В. м. оценок тригонометрических
сумм спростыми числами. Оцениваются
суммы
701
ВИНОГРАДОВА
702
что расстояние между соседними квадратичными невы-
невычетами mod p есть величина порядка ре .
Гипотезы об оценках тригонометри-
тригонометрических сумм. Одной из них является гипотеза о
том, что
IV
1 2
(x)
\<РХ-
Р(л)
где
ar=——r, (a,
' q q2 v
r — одно
q)=l,
чисел 2,. . ,
f(x)=anx»+. . .+a
|8|<1, P0,25<g<pr-0,2
и р(п) имеет порядок п
Гипотезы о количестве решений
диофантовых уравнений. Одной из них
является гипотеза о том, что число решений системы
уравнений
при по-
Zjm-j- . . . +2?m= J/nm + . . . +J/"m,
1<ж,-, yi<.P, i=l,. . ., г, 1 «:«!<. . . <n/B = j
стоянном п будет величиною порядка
Р2г~к, к=п1-\-...-\-пт,
при всех г^г0, где г0 имеет порядок fex+E.
Гипотезы о количестве целых то-
точек в областях на плоскости и про-
пространстве. Одной из них является гипотеза о том,
что число целых точек в шаре x2-\-y2-\-z2<.R2 выража-
выражается формулой
Лит.: [1] Виноградов И. М., Некоторые проблемы
аналитической теории чисел, в кн.: Тр. третьего Всесоюзного
математического съезда, т. 3, М., 1958, с. 3—13; [21 е г о ж е,
Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [3]
его же, Избранные труды, М., 1952. А. А. Карацуба^
«.-$,
-i G
ВИНОГРАДОВА ИНТЕГРАЛ — кратный интеграл
вида
о J о ' J о
где
5 = 1"
являющийся средним значением степени 2k модуля три-
гонометрич. суммы. Теорема Виноградова о величине
этого интеграла — теорема о среднем — лежит в ос-
основе оценок сумм Вейля (см. Виноградова метод, Ви-
Виноградова теорема о среднем). А. А. Карацуба.
ВИНОГРАДОВА МЕТОД — новый метод оценок три-
гонометрич. сумм (см. Тригонометрических сумм метод).
В. м. позволяет получить очень точные оценки для
широкого класса тригонометрич. сумм, в к-рых пере-
переменная суммирования пробегает значения последова-
последовательных целых чисел, последовательных простых чисел
и т. д., что, в свою очередь, дает возможность решить
целый ряд классич. проблем аналитич. теории чисел
(распределение дробных долей широкого класса функ-
функций, распределение простых чисел в натуральном ряде,
аддитивные проблемы, частными случаями к-рых
являются проблемы Варинга и Гольдбаха, и др.).
Различают две части В. м.: метод оценок Вейля сумм
и метод оценок тригонометрич. сумм с простыми числа-
числами. Обе части метода используют основную идею
И. М. Виноградова — идею сглаживания двойной три-
гонометрич. суммы, к-рая состоит в следующем. Пусть
дана сумма
w=ZjaZvi\ (")^2 Wе2т'а™,
где переменные суммирования и и v пробегают зна-
значения целых чисел (не обязательно последовательные)
в количестве, соответственно, U и V, А<и<2А, а
\J3i (и) иф2 (и) ~ произвольные комплекснозначные функ-
функции. Тогда
I W\*<B2A<u<iA | 2> (v) e^aav |2>
где и пробегает последовательные целые числа интерва-
интервала (А, 2А] (сглаживание),
оценок сумм Вейля. Оцениваются
В. м.
суммы
где /(x)=an + 1i" + 1-|-...+0?i2, причем аи + 1,...,
действительные числа. При Y=[PX~'А] будет
'.nifoc+ю i 29У =
где Ш=ап + 1х'ч-1+АГ1(у)х"+...+А1(у)+А0(у), а бук-
буквой W обозначена двойная сумма пол: и у, и |0|<1.
Далее, обозначив 53 выражение
(у) + Вп)х"+...+ (A 1
при любых Вп,. . ., В1 из области
При любом целом
V *2лйв dBn...dB1
где &=ап+1хп + 1-\-упхг'+...-\-у1х, а G(Y) — максималь-
максимальное число совпадений точек с координатами
{Ап(у) + Вп}, {Ап(у)+Вп_1}, ..., {А1(у) + В1},
причем фигурные скобки обозначают дробную часть
числа, а у меняется в пределах от 1 до У, и
При определенных арифметич. свойствах коэффици-
коэффициентов ап +!,..., а2 многочлена f(x) для величины G(Y)
можно получить" оценку G (У)<У^9. Кроме того, по-
последний интеграл не превосходит числа решений систе-
системы уравнений:
¦ + УГ
+ ¦¦¦+Ук<
Для оценки числа решений этой системы используется
Виноградова теорема о среднем, к-рая является основ-
основной в В. м. оценок сумм Вейля (см. Виноградова оценки).
В. м. оценок тригонометрических
сумм спростыми числами. Оцениваются
суммы
где /(p) = anp"+... + °?iP, «л,--., ax —действительные чис-
числа. Пусть ?) = П5<Н, где 7У«:р0'25. С помощью изве-
известного свойства функции Мебиуса S' сводится к неболь-
небольшому числу сумм (это число не превосходит ^—s) вида
у e2nif(ml...msd1...ds)
где ;%. . .msd1. . ,ds<:P. В кратной сумме W^ перемен-
переменные тъ. . ., ms пробегают сплошные интервалы сум-
суммирования. Те суммы Ws, в к-рых интервал суммирова-
суммирования хотя бы по одной переменной т длинный, оцени-
оцениваются с помощью В. м. оценок сумм Вейля. В против-
противном случае длинным будет интервал суммирования по
одной из переменных суммирования d, d\D. Тогда при-
применяется следующая лемма И. М. Виноградова, к-рая
вместе с идеей сглаживания двойных сумм является
основной в В. м. оценок тригонометрич. сумм с про-
простыми числами.
Лемма. Пусть O-sga^Vg ж D — произведение
всех простых чисел, не превосходящих ха, тогда все
делители d числа D, не превосходящие х, можно рас-
распределить среди менее чем хе совокупностей со следую-
следующими свойствами:
а) числа d, принадлежащие одной совокупности,
обладают одним и тем же числом р простых сомножи-
сомножителей и, следовательно, одним и тем же значением ц (d) =
= (-1)Р;
б) одна из совокупностей, к-рая наз. простейшей,
состоит из одного числа d=\. Для каждой из осталь-
остальных совокупностей имеется свое ср такое, что все числа
этой совокупности удовлетворяют условию
Ф <
в) для всякой совокупности, отличной от простейшей,
при любом U с условием 0<:?/-<ф существуют две сово-
совокупности чисел d: числа d' и d" с отвечающими им чис-
числами ф' и ф", к-рые удовлетворяют условиям
такие, что при нек-ром натуральном В все числа вы-
выбранной совокупности, каждое В раз получим, если из
всех произведений d' d" выберем лишь удовлетворяю-
удовлетворяющие условию (d', d") = l.
Применяя пункт в) этой леммы с надлежащим зна-
значением U, получают
где переменные и и и пробегают длинные интервалы
суммирования. Из этой леммы может быть выведена
оценка И. М. Виноградова тригонометрич. суммы с
простыми числами (см. Виноградова оценки).
Если F(x) в определенном смысле хорошо прибли-
приближается многочленом, то В. м. позволяет оценивать
суммы вида
5 = V e?niF{x) 5' = У ezniF{p)
(см. [2], [4]). Кроме того, В. м. позволяет оценивать
суммы вида
и т. п. Это дает возможность решать проблемы распре-
распределения степенных вычетов, первообразных корней и
др. в последовательностях вида р-\-а, где а>0 — фик-
фиксированное целое число, а р принимает значения после-
последовательных простых чисел (см. [3], [5]). О применениях
В. м. в аналитич. теории чисел см. [1], [2], [4], [5], [6].
Лит.: [1] Виноградов И. М., Метод тригонометри-
тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [2] е г о же, Избран-
Избранные труды М. 1952; ГЗ] его же, «Изв. АН СССР, Сер. ма-
тем.», т. 30, № 3, 1966, с. 481—96; [4] К а р а ц у б а А. А.,
«Труды Матем. ин-та АН СССР», 1971, т. 112, с. 241—55; 1973,
т. 122, с. 257—61; [5] X у а Л о -г е н, Метод тригонометри-
тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, пер. с нем., М.,
1964; [6] Чандрасекхаран К., Арифметические функ-
функции, пер. с англ., М., 1974. А. А. Нарацуба.
ВИНОГРАДОВА ОЦЕНКИ — название нескольких
теорем И. М. Виноградова. Наиболее известными из
них являются следующие.
а) В. о. сумм характеров (см. Дирихле
характер). Если % — неглавный характер mod D, то
при Лг>0, Л/>1,
б) В. о. с у м м В е й л я (см. Вейля сумма). Пусть
п — постоянное число с условием га^12 и пусть v=l/re.
Пусть далее точки ?г-мерного пространства разбиты
на два класса — точки класса 1 и точки класса ^.Точ-
^.Точкой класса 1 наз. точка
где первые слагаемые — рациональные несократимые
дроби с положительными знаменателями, имеющими
общим наименьшим кратным число Q, не превосходя-
превосходящее pv) а вторые слагаемые удовлетворяют условию
К[ <p-s+v.
Точкой класса 2 наз. точка, не являющаяся
точкой класса 1. Тогда, если положить
0,51oglogn+l,3) '
то для точек класса 2 при т^сР-Р будет выполняться
Если же положить
8s = zsps, 80 = max(| 6„ |, ..., \811),
то для точек класса 1 при m-^.Piv будет выполняться
]Tm\<P(»',Q)vQ-v+e
или также
I Тт |< PQ-v+ебо\ если 60S3l.
в) В. о. тригонометрических сумм с
простыми числами. Пусть е<:0,001. И пусть,
в обозначениях теоремы б), точки га-мерного простран-
пространства разбиты на классы следующим образом.
К классу \а отнесены точки, удовлетворяющие ус-
условиям
Q<e«e, 60<e«e, где i/^log^.
К классу lfe отнесены точки, не являющиеся точками
класса \а и удовлетворяющие условиям
Наконец, к классу 2 отнесены все остальные точки.
Если положить для точек класса la
A = u9E,2-o,5v+e'; ц = (т, ()H'5v,
или также
Д = и9е5;Г°.5\ }i = m-o.5v! если 60Эз1;
для точек класса 16, взяв е=2е', положить
A = Q-°'5 + e3, ц = (т, ?))°'5V, если Q > е«е,
(при <2>е"е> бп>е"Е можно брать любую из указанных
пар значений Л и ц,); и, наконец, для точек класса 2
положить
а p~Pi п \ .. 4
* — г . 14— i7n2B1ogn + loglogn+29) ' F '
то при т<Л~2 всегда будет выполняться
Лит.: [1] Виноградов И. М., Метод тригонометри-
тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [2] X у а Л о-г е н,
Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чи-
чисел, пер. с нем., М., 1964. А. А. Карацуба.
ВИНОГРАДОВА ТЕОРЕМА о среднем — теоре-
теорема об оценке сверху величины Виноградова интеграла:
у... г
Jo Jo
2
am" (а
*¦=!
dan ... dax.
Jb - среднее значение тригонометрич. суммы. Форму-
Формулируется следующим образом. Если при целом неотри-
неотрицательном t положить
будет выполняться
то при Z>0 и целом
Оценка Jb, даваемая В. т., предельно точна. В. т.
является основной в Виноградова методе оценок Вейля
сумм. Кроме того, из нее был получен целый ряд ре-
результатов, близких к наилучшим, в классич. проблемах
теории чисел (см. Варинга проблема, Гильберта—Камке
проблема, Распределение дробных долей многочлена).
Лит.: [1] Виноградов И. М., Метод тригонометри-
тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [2] X у а Л о - г е н,
Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чи-
чисел, пер. с нем., М., 1964. А. А. Нарацуба.
ВИНОГРАДОВА — ГОЛЬДБАХА ТЕОРЕМА — тео-
теорема о представлении всех достаточно больших нечет-
нечетных чисел суммой трех простых. Эта теорема является
следствием асимптотич. формулы для числа / (N) реше-
решений уравнения
в простых числах, доказанной И. М. Виноградовым в
1937:
S(
з,5 -е
где N—нечетное, r = logiV,
lp\JV
> 0,6.
См. Виноградова метод, Гольдбаха проблема.
Лит.: [1] Виноградов И. М., Избранные труды,
М., 1952; [2] X у а Потен, Метод тригонометрических
сумм и его применения в теории чисел, пер. с нем., М., 1964.
А. А. Нарацуба.
ВИНТОВАЯ ЛИНИЯ — пространственная кривая,
расположенная на поверхности круглого цилиндра
(цилиндрическая В. л.; рис. 1) или круглого
JS&
-г.
Рис. 1.
Рис. 2.
конуса (коническая В. л.; рис. 2), пересекающая
все образующие под одинаковым углом. Параметрич.
уравнения цилиндрич. В. л.:
г=а cos t, y=a sin t, z=ht,
где t — длина дуги кривой, а — радиус цилиндра. При
параллельном проектировании цилиндрич. В. л. на
плоскость, параллельную образующим цилиндра, по-
лучается синусоида. Во всех точках цилиндрич. В. л.
кривизна и кручение имеют постоянную величину.
Главные нормали цилиндрич. В. л. пересекают ось
цилиндра под прямым углом. Длина отрезка В. л. меж-
между двумя последовательными точками ее встречи с
какой-либо образующей паз. витком В. л., а длина
соответствующего отрезка образующей — шагом
В. л. Параметрич. уравнения конич. В. л.:
x — cemtcost, y = cemt sin t, s = cem'ctga,
где t — длина дуги кривой, а — угол между осью ко-
конуса и его образующей, m = sin a/tg ср, <р — угол между
касательной к В. л. и образующей конуса. Параллель-
Параллельная оси конуса проекция конич. В. л. на плоскость,
перпендикулярную оси конуса, есть логарифмич. спи-
спираль с полюсом в проекции вершины конуса. Кривизна
и кручение конич. В. л. сохраняют постоянное отноше-
отношение во всех точках.
Различают право- или левозакрученные
В. л., т. е. прп возрастании координаты z В. л. идет по
направлению или против направления движения часо-
часовой стрелки. Обобщенная В. л.— линия на ци-
цилиндре (произвольном), к-рая каждую из образующих
цилиндра пересекает под постоянным углом. В. л. яв-
являются частным случаем откоса линии.
Лит.: [1] Б ю ш г е н с С. С, Дифференциальная гео-
геометрия, М.—Л., 1940; [2] Бляшке В., Введение в диф-
дифференциальную геометрию, пер. с нем., М., 1957.
Е. В. Шипии.
ВИНТОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — поверхность, описы-
описываемая плоской кривой L, к-рая, равномерно вращаясь
вокруг оси, одновременно совершает равномерное по-
поступательное перемещение вдоль этой же оси. Если L
лежит в плоскости оси вращения z и определяется урав-
уравнением z=/(u), то радиус-вектор В. п. есть
r={«cosi;, usinv, f(u)-\-hv}, fe=const,
ее линейный элемент
ds2 = A +/'2) du,2 + 2hf du dv + (u2-f h2) dv2.
В. п. изгибается в поверхность вращения так, что вин-
винтовые линии, образующие поверхность, накладывают-
накладываются на параллели (теорема Бура). Если /= const,
то В. п. есть геликоид. Если /г=0, то В. п. есть вращения
поверхность. И- х- Сабитов.
ВИНТОВОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел векторного
исчисления, в к-ром изучаются операции над винта-
м и — упорядоченными парами коллинеарных векторов
(г, г°), приложенных началами к одной точке. Вектор г
наз. вектором винта; ось, определенная этим
вектором, — осью винта, г° — м о м е н т о м
винта, а число р в равенстве т°=рг наз. пара-
параметром винта.
В В. и. рассматриваются операции сложения винтов,
умножения на число, скалярного и винтового умноже-
умножения и др. При этом операции В. и. сводятся к операциям
над комплексными векторами вида
¦г+шг0,
где ш2=0; комплексное число |г|еаР наз. комплекс-
комплексным модулем винта; число a-f- wa° наз. к о м н-
лексным углом между винтами (а — угол меж-
между осями, а а0 — расстояние между ними). Все форму-
формулы В. и. идентичны формулам векторного исчисления,
если модуль вектора заменить комплексным модулем
винта, а обыкновенный угол между прямыми — комп-
комплексным углом.
Например, скалярное произведение двух винтов рав-
равно произведению их комплексных модулей на коси-
косинус комплексного угла между ними (cos (а+ша°)=
=cosa— wa°sin а); винтовое произведение двух винтов
есть винт, ось которого перпендикулярна осям сом-
сомножителей, вектор имеет направление векторного
произведения векторов сомножителей, а комплексный
модуль равен произведению комплексных модулей этих
винтов на синус комплексного угла между осями сом-
сомножителей (sin(a+coao)=sin a+wa°cos a). Аналогично
устанавливается соответствие между формулами век-
векторного анализа и формулами винтового анализа, в
к-ром фигурируют комплексные скалярные функции и
винт-функции винтового аргумента.
В. и. применяется в механике, где произвольные пе-
перемещения твердого тела или произвольная система
сил, действующих на тело, могут быть выражены вин-
винтами (см. [4]), в геометрии в теории линейчатых поверх-
поверхностей (см. [3], [5]).
Теория винтов возникла в начале 19 в. после появле-
появления работ Л. Пуансо (L. Poinsot), М. Шаля (М. Chas-
les), А. Мёбиуса (A. Mobius), Ю. Плюккера (J. Plii-
cker), первый капитальный труд по теории винтов при-
принадлежит Р. Боллу [1]. Собственно В. и. было построе-
построено А. П. Котельниковым [2].
Лит.: [1] Ball R., A Treatise on the Theory of the Screws,
Dublin, 1876; [2] Котельников А. П., Винтовое счис-
счисление и некоторые приложения его к геометрии и механике,
Казань, 1895; [3] Бляшке В., Дифференциальная геомет-
геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштей-
Эйнштейна, пер. с нем., М.—Л., 1935; [4] Диментберг Ф. М.,
Винтовое исчисление и его приложения к механике, М., 1965;
[5] Зсйлигер Д. Н., Комплексная линейчатая геомет-
геометрия, Л.—М., 1934. А. Б. Иванов.
ВИРИАЛА ТЕОРЕМА — теорема, согласно к-рой
усредненная по бесконечному интервалу времени кине-
тич. энергия Т механич. системы равна усредненному по
тому же интервалу вириалу сил, т. е.
где Лг—число материальных точек системы, -Р7/ — сила,
действующая на г'-ю точку системы, а г,- — радиус-век-
радиус-вектор этой точки. Черта над соответствующей функцией
означает усреднение этой функции по бесконечному
интервалу времени.
В. т. была установлена Р. Клаузиусом (R. Clausius)
в 1870 и является следствием уравнений движения ме-
механич. системы при условии, что движение системы
происходит в ограниченной области пространства с ог-
ограниченными по модулю скоростями точек. В случае
потенциальности сил, действующих на точки системы,
соотношение A) принимает вид
Г=Т Xf=l(^W)tf. B)
При дополнительном требовании об однородности v-й
степени потенциальной энергии относительно коорди-
координат точек из B) следует практически важное соотноше-
соотношение между средними значениями кинетической и потен-
потенциальной энергиями системы:
т=±п. C)
Напр., для линейного гармонического осциллятора
(i/~r2, v = 2) T=U; а для точки, движущейся в поле
тяготения Ньютона (U~l/r, v =—1), Т= — tf/2.
В. т. используется в механике, статистич. механике
и атомной физике (напр., для вывода уравнений сос-
состояния и определения постоянных межмолекулярных
взаимодействий). В. т. в виде B) и C) имеет место и в
квантовой механике (с соответствующими обобщениями
операции усреднения и др. понятий, используемых в
B) и C)).
Лит.: [1] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Меха-
Механика, 3 изд., М., 1973; L2] Давыдов А. С, Квантовая
механика, М., 1963; [3] Гиршфельдер Д ж., К е р т и с с
Ч., Б е р д Р., Молекулярная теория газов и жидкостей, пер.
с англ., М., 1961; [4] Ольховский И. И., Курс теорети-
теоретической механики для физиков, 2 изд., М., 1974.
И. И. Ольховский.
ВИРИАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ, вириальный
р я д,— ряд в правой части уравнения состояния газа:
где P —• давление, T — температура, v — удельный
объем, к — постоянная Больцмана. Член ряда, со-
содержащий к-й вириальный коэффициент Вь, характе-
характеризует отклонение газа от идеальности, связанное с
взаимодействием групп из к молекул. В^ выражаются
через неприводимые групповые интегралы Ъ^:
к Z* D-1I * 1>
11/
суммирование идет по всем натуральным nj, ]"^2, удов-
удовлетворяющим условию
В частности,
В2 = -Ъ2, В3 = АЪ\-2Ъ3; Ъ2 =^ JJ f12d3Qld3q2,
^3 = ~зТу j J J ^si/ai + /32/3
+
где
/32/31 +
+ /32/21+ /21/32/31) dZ4id3q2d3q3,
F — объем газа; интегрирование распространяется
на весь объем, занятый газом. Существует правило,
позволяющее с помощью /,-,- записывать 6у для любого
/. После упрощений оказывается:
Фактически удается вычислить лишь первые вириальные
коэффициенты.
Рядом по степеням v~x с коэффициентами, выражен-
выраженными через Ь/, могут быть представлены s-частичные
равновесные корреляционные функции, что приводит,
в частности, к простому способу получения уравнения
состояния (см. [3]).
Существует квантовомеханический аналог В. р.
Лит.: [1] М а й е р Д ж., Гепперт -М а й е р М.,
Статистическая механика, пер. с англ., М., 1952; [2] X и л л
Т., Статистическая механика, пер. сангл., М., 1960; [3] Бого-
Боголюбов Н. Н., Избранные труды, т. 2, Киев, 1970; [4] У л е н-
бек Дж., Форд Дж., Лекции по статистической механи-
механике, пер. с англ., М., 1965. И. П. Павлоцпий.
ВИРТУАЛЬНО-АСИМПТОТИЧЕСКАЯ СЕТЬ —
сеть на поверхности F2 евклидова пространства, к-рая
при нек-ром изгибании /: V2-^>-V2 переходит в асимпто-
асимптотическую сеть поверхности V2. Существование сопря-
сопряженной В.-а. с. характеризует Фосса поверхность.
Лит..- [1] Шуликовский В. И., Классическая диф-
дифференциальная геометрия в тензорном изложении, М., 1963.
В. Т. Базылсв.
ВИТАЛИ ВАРИАЦИЯ — одна из числовых характе-
характеристик функции нескольких переменных, к-рую можно
рассматривать как многомерный аналог вариации функ-
функции одного переменного. Пусть функция/(г)=/(ж1, ...,хп)
(п=2, 3, ...) задана на и-мерном параллелепипеде
Dn=[at, b!]X...X[an, bn]. Введем обозначения
Ahk V' г)=/(г1' ¦¦¦>xk + hk> ¦ ¦ •. хп) —
— f(xu ..., xk, ..., xn), /c = l, . . ., n,
\l...hk(f;x) = \(\...hk_1-'*)' k=2—»•
Пусть П — произвольное разбиение параллелепипеда ги-
гиперплоскостями xs=x(rl\ a;G)<^A> A)()
h(rs) (о)— (is)—1 _r.
—й s ' x s —a-s> x s —°s< rs — u>
п на re-мерные параллелепипеды. Обозначим через
V (/) точную верхнюю грань сумм вида
(г.) (О
Л, ... h
(*)
взятую по всевозможным разбиениям П. Если V (/)<<»,
то говорят, что функция /(г)имеет ограниченную
(конечную) вариацию Витали на Dn, а класс
всех таких функций обозначается через V(Dn) или про-
просто через V. Этот класс был определен Дж. Витали
[1]. Позже это же определение вариации было предло-
предложено А. Лебегом [2] и М. Фреше [3]. Действительно-
Действительнозначная функция f(x), заданная на Dn, принадлежит
классу V(Dn) тогда и только тогда, когда она может
быть представлена в виде f(x)=f1(x)—f2(x), где функ-
функции /а и /2 таковы, что для каждой из них суммы вида
(*), взятые без знака модуля, неотрицательны [4] (ана-
(аналог Жордана разложения функции ограниченной ва-
вариации одного переменного). С помощью функций клас-
класса V(Dn) вводится многомерный интеграл Стилтьеса.
В частности, для любой непрерывной на С„ функции
g(x) и любой функции f(x) из класса V{Dn) существует
интеграл С g{x)df(x) (см. [3], с. 143).
Лит.: [I] Vitali G., «Atti Accad. sci. Torino», 1908,
v. 43, p. 75—92; [2] lebesgue A., «Ann. Ecol. Norm,
super.», 1910, ser. 3, v. 27, p. 361—450; [3] Frechet M.,
«Nouv. anniv.», 1910, ser. 4, t. 10, p. 241—56; [4] Hahn
H., Theorie der reellen Funktionen, Bd 1, В., 1921; [5] P и с с Ф.,
Секефальви-Надь В., Лекции по функциональному
анализу, пер. с франц., М., 1954. Б. И Голубое.
ВИТАЛИ ТЕОРЕМА — 1) В. т. о покрытии.
Если система замкнутых множеств {F} является покры-
покрытием Витали (см. ниже) множества AcR", то из {F}
можно выделить не более чем счетную последователь-
последовательность попарно непересекающихся множеств {F,}, ?=
= 1, 2, 3, . . . , такую, что
где те — внешняя мера Лебега в R".
Покрытием Витали множества AcrR" наз.
система {Е} подмножеств R" такая, что для любого
х?Л существует последовательность {Еп} из {?"},
удовлетворяющая условиям:
2) 6„ = 6 (Е„) —^0 при п
где 6 (?„) — диаметр Е„;
3) Ы ГячртА
п L ml
где sup берется по всем / — кубам с гранями, парал-
параллельными координатным плоскостям, содержащим Еп,
и те — внешняя мера Лебега в R" (этот sup наз. пара-
параметром регулярности Еп).
Теорема была доказана Дж. Витали [1] в случае,
когда {F} состоит из кубов с гранями, параллельными
координатным плоскостям. Условие, что {F} есть по-
покрытие Витали множества А, а не покрытие в обычном
смысле, существенно для справедливости В. т. Это
условие не может быть опущено, даже если {F} есть си-
гтема сегментов и каждому х?А соответствует после-
последовательность {Fn} из {F) с центром в г и диаметра-
диаметрами, стремящимися к нулю.
Лит.: [1] Vitali G., «Atti Accad. sci. Torino», 1908,
v. 43, p. 75—92; [2] Сакс С, Теория интеграла, пер. с англ.,
М., 1949. И. А. Виноградова.
2) В. т. о равномерной сходимости
последовательности голоморфных
функций: пусть последовательность ¦{/„ (z)} го-
голоморфных функций в области D комплексной плос-
плоскости z равномерно ограничена и сходится на множестве
Е, обладающем предельной точкой в D; тогда последо-
последовательность {/„ (z)} равномерно сходится внутри D
к регулярной функции, т. е. равномерно сходится на
любом компактном множестве KaD. Получена Дж.
Витали [1].
Компактности принцип позволяет усилить В. т.,
заменив в ее условии требование равномерной ограни-
ограниченности в D требованием равномерной ограниченности
внутри D, т. е. на любом компактном множестве KaD.
Имеются также обобщения В. т. для нормальных се-
семейств мероморфных функций, для семейств квазиана-
литич. функций и для семейств голоморфных функций
многих комплексных переменных; в последнем случае,
однако, на множество EdDaC" необходимо наложить
дополнительные ограничения, напр., что Е содержит
внутренние точки в С (см. [3], [4]).
Лит.: [ll Vitali G., «Rend, del R. 1st. Lombardo»,
2 ser., 1903, v. 36, p. 772; «Ann. mat. pura ed appl.», 3 ser., 1904,
v. 10, p. 73; [21 Маркушевич А. И., Теория аналити-
аналитических функций, т. 1, 2 изд., М., 1967, гл. 4; [31 М о н т е л ь П.,
Нормальные семейства аналитических функций, нор. с франц.,
М.—Л., 1936; [4] Ганнинг Р., Росси X., Аналити-
Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ.,
М., 1969. В. Д. Соломенцев.
ВИТТА ВЕКТОР — элемент алгебраич. конструкции,
впервые предложенной Э. Виттом в 1936 [1] в связи
с описанием неразветвленных расширений полей р-ади-
ческих чисел. Позже В. в. были применены при изу-
изучении алгебраических многообразий над полем поло-
положительной характеристики (см. [3]), а также в теории
коммутативных алгебраических групп (см. [4], [5]) и в
теории формальных групп (см. [6]). Пусть А — ассо-
ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. В е к т о-
рамиВиттас компонентами в А наз. бесконечные
последовательности а=(а0, аь . . .), а,?Л, к-рые скла-
складываются и перемножаются по следующим правилам:
(«о. <*i,- ¦ -)+Фо, b1,...) = (S0(a0, b0), S1(a0, ax; b0, bj),...),
(ao>«i, •••)XF0. h,...) = (M0 (a0, b0), Mx (a0, ax\ b0, bx),...),
где Sn, Mn — многочлены от переменных Xo, . . ., Xn,
Yo, . . ., Yn с целыми коэффициентами, однозначно
определяемые условиями
Ф„Eо, ••¦> 5Я)=ФП(Л-О, ..., Хп) + Фп(У0, ..., У„),
Ф„(М0, ..., Мп)=Фп(Х0, ..., Х„)-Фп(?0, ..., У„);
здесь
— многочлены, n?N, p — простое число. В частности,
В. в. с введенными выше операциями образуют
кольцо, наз. кольцом векторов Витта и
обозначаемое W(A). Для любого натурального п опре-
определено также кольцо Wn (А) усеченных векто-
векторов Витта длины п. Элементы этого кольца яв-
являются конечными наборами а=(аа, . . ., а,,-!), а^А,
с операциями сложения и умножения, приведенными
выше. Канонич. отображения:
R:Wn + 1(A)—+Wn(A), R((a0, ..., ап))={а0, ...,an_!),
T:Wn(A)—*Wn + l(A),T((a9t...,an-1)) = @,a0 an_x)
являются гомоморфизмами. Сопоставление A-*-W(A)
(соответственно A—*Wn(A)) определяет ковариантный
функтор из категории коммутативных колец с единицей
в категорию колец. Этот функтор представим кольцом
многочленов Z[X0, . . ., Х„, . . .] (соответственно Z[X0, . . .,
Xn-i\), на к-ром определена структура кольцевого
объекта. Спектр Spec Z [Хо, . . ., Хп, . . .] (соответ-
(соответственно Spec Z [Хо,. . ., Xn-J) наз. схемойВитта
(соответственно усеченной схемой Витта) и
является кольцевой схемой [3].
Каждый элемент а?А определяет В. в.
ах = (а, 0, 0, ...)r?W(A),
наз. представлением Тейхмюллера эле-
элемента а. Если А=к — совершенное поле характери-
характеристики р>0, то W(k) является полным кольцом дис-
дискретного нормирования характеристики нуль с полем
вычетов к и максимальным идеалом pW(k). При этом
каждый элемент ш? W(k) однозначно записывается в
виде
где w,-?jfc. Наоборот, каждое такое кольцо А с полем
вычетов к=А1р канонически изоморфно кольцу W(k).
Представление Тейхмюллера позволяет построить ка-
канонический мультипликативный гомоморфизм k->-W(k),
расщепляющий отображение
W (к) —>-W (к)/р=* к.
Если k=Fp — простое поле из р элементов, то W(Fp)
есть кольцо целых р-адических чисел Zp.
Лит.: [ll Witt E., «J. reine imd angew. Math.», 1936,
Bd 176, S. 176—240; [2] Ленг С, Алгебра, пер. с англ.,
М., 1Р68; [;)] Мамфорд Д., Лекции о кривых на алгебраи-
алгебраической поверхности, пер. с англ., М., 1968; [4] С е р р Ж. II.,
Алгебраические группы и поля классов, пер. с франц., М.,
1968; [5] Demazure M., Gabriel P., Groupes algebri-
ques, t. I.P.—Amst., 1970; [6] Dieudonne J., «Math.
Ann.», 1957, Bd 134, S. 114 — 33. И. В. Долгачев.
¦ ВИТТА КОЛЬЦО поля к, кольцо типов
квадратичных форм над к,— кольцо
W{k) классов невырожденных квадратичных форм на
конечномерных векторных пространствах над к по
следующему отношению эквивалентности: форма /х эк-
эквивалентна форме /2 (Д~/2) тогда и только тогда, когда
для некоторых нейтральных квадратичных форм g1 и g2
ортогональная прямая сумма форм /j и g1 изометрична
ортогональной прямой сумме /2 и g2. Операции сложе-
сложения и умножения в W(k) индуцируются взятием орто-
ортогональной прямой суммы и тензорного произведения
форм.
Пусть характеристика поля к отлична от 2. Тогда
определение эквивалентности форм равносильно сле-
следующему: fi~f2 тогда и только тогда, когда анизотроп-
анизотропные формы /i и /f, соответствующие /х и /2 (см. Витта
разложение), изометричны. Класс эквивалентности
формы / наз. ее т и п о м и обозначается [/]. В. к.,
или кольцо типов квадратичных форм, есть ассоциа-
ассоциативно коммутативное кольцо с единицей. Единицей
кольца W(k) является тип формы A). [Здесь через {аи
ап) обозначается квадратичная форма f(x1,. . ., хп)=
21ж?-] Нулем служит тип нулевой формы ранга
нуль, содержащий также все нейтральные формы. Про-
Противоположным к типу [/] является тип [ —/].
Аддитивная группа кольца W(k) наз. группой
Витта поля к, или группой типов квад-
квадратичных форм над к. Типы квадратичных
форм вида (а), где а — элемент мультипликативной
группы fex поля к, порождают кольцо W(k). Причем
W(k) полностью определяется в этих образующих соот-
соотношениями:
(а)(Ъ)=(аЬ),
(о)+ (Ь)= (а+Ъ)+ ((а+Ь)аЬ),
(в)»=1,
(а)+(-а) = 0.
В. к. можно описать как кольцо, изоморфное фактор-
кольцу целочисленного группового кольца
группы k'xf (&хJ по идеалу, порожденному элементами
7+(—7) и 7 4- ~а — \^~а — A + а) а, (а?кх),
где х — смежный класс элемента х по подгруппе (ftxJ.
В ряде случаев В. к. вычисляется явно: напр., если
к — квадратично (в частности, алгебраически) замкну-
замкнутое поле, то W(к)^^,/2^\ если к — вещественно замк-
замкнутое поле, то W'(/?)—Ж (изоморфизм осуществляется
сопоставлением типу [/] сигнатуры формы /); если к —
пифагорово поле (т. е. сумма любых двух
квадратов в к является квадратом) и не вещественно,
то W(k)o^r^JZ^_; если к — конечное поле, то кольцо
W(k) изоморфно либо кольцу вычетов Z'^Z. либо
(Ж/22)[^]/(*2~ 1); если к — полное локальное поле и
его поле классов к имеет характеристику, отличную
от 2, то
Расширение к'\к поля к определяет гомоморфизм
колец Витта ср: W(k)—>-W(k'), при котором [(а1,. . .,
ап)]—*-[(аъ. . ., ап)]. Если расширение конечно и имеет
нечетную степень, то ср — мономорфизм, а если, кроме
того, оно является Галуа расширением с группой G,
то действие группы G продолжается на W{k) и
<f(W(k))=W(k')°.
Общие свойства В. к. описываются теоремой
Пфистера:
1) для любого поля к периодическая подгруппа
Wf(k) группы W(k) 2-примарна;
2) если к — вещественное иоле, а кр — его п и ф а-
горово замыкание (т. е. наименьшее пифаго-
пифагорово поле, содержащее к), то точна последовательность
О —> Wt (к) -+ W (к) —> W (кр)
(при этом, если Wt(k)~Q, то поле к — пифагорово);
3) если {ка} — семейство всех вещественных замы-
замыканий поля к, то точна последовательность
О —* Wt(k) —* W (к) -^ Д W (ка)
в частности,
4) если к — не вещественное поле, то группа W(k)
периодическая.
Ряд других результатов относится к мультипликатив-
мультипликативной теории форм. В частности, пусть т — множество
типов квадратичных форм на четномерных пространст-
пространствах. Тогда т является двусторонним идеалом в W(k) и
W'(k)l'mc^Z/2]Z, идеал т содержит все делители нуля
кольца W(k), множество нилыютентных элементов
кольца W(k) совпадает с множеством элементов конеч-
конечного порядка идеала т и является радикалом Джекоб-
сона и первичным радикалом кольца W(k). Кольцо W(k)
конечно тогда и только тогда, когда поле к не вещест-
вещественно, а группа кх/ (к*J конечна; кольцо W(к) нетерово
тогда и только тогда, когда группа Ах/(АхJ конечна.
Если к — не вещественное поле, то т является един-
единственным простым идеалом кольца W(k). Если же к —
вещественное поле, то множество простых идеалов коль-
кольца W (к) является дизъюнктным объединением идеала т
и семейств простых идеалов, соответствующих упоря-
упорядочениям р поля к:
Pi = {[(«!, • • ¦, ап)\ | 2 sgn^ Щ ^ 0 mod l\,
где I пробегает множество простых чисел, a
означает знак элемента щ при упорядочении р.
Если к — кольцо с инволюцией, то конструкция,
аналогичная конструкции В. к., приводит к понятию
группы Витта кольца с инволюцией.
С более широкой точки зрения кольцо (группа) Витта
является одним из первых примеров .ff-функторов (см.
Алгебраическая К-теория), которые играют важную
роль в унитарной алгебраической Я-теории.
Лит.: Ш Witt Е., « J. reine u. angew. Math.», 1936,
Bd 176, S. 31—44; [2] Б у р б а к и Н., Алгебра. Модули, коль-
кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [и] Лен г С, Алгебра, пер.
с англ., М., 1968; [4] L о г е n z F., Quadratische Formen tiber
Кбгрегп, В. [и. а.], 1970; [5] О'М е а г а О. Т., Introduction
to quadratic forms, В.—Gott.—Hdlb., 1963; [6] Lam T. Y.,
The algebraic theory of quadratic forms, Massachusets, 1973;
[7] M i 1 n о r J., H u s e m о 1 1 e r D., Symmetric bilinear
forms, B. [u. a.], 1973. А. В. Михалев, А. И. Немытое,
В. Л. Попов.
ВИТТА РАЗЛОЖЕНИЕ векторного прост-
пространства — разложение пространства в прямую
сумму трех подпространств, обладающих определенны-
определенными свойствами. Точнее, пусть V — векторное простран-
пространство над полем к характеристики, отличной от двух,
наделенное метрич. структурой с помощью симметри-
симметрической или знакопеременной билинейной формы, /.
Прямое разложение
наз. В. р. пространства V, если Ыг и N2 вполне изот-
изотропны, a D неизотропно и ортогонально Л^+Л^ отно-
относительно /.В. р. играет важную роль в изучении струк-
структуры формы /ив вопросах классификации билинейных
форм.
Пусть / — невырожденная билинейная форма и V —
конечномерно. Тогда любое максимальное вполне изот-
изотропное подпространство в V может быть включено
в В. р. пространства V в качестве N1 (или N2). Для
всякого В. p. dim JV1=dim N2 и для любого базиса
Pi",. . ., Уд1' в Ni существует такой базис v'^\. . ., %2)
в jV2, что f(v^\ г/2)) = б,у F,-у — символы Кронекера).
Для любых двух В. р.
условие dim 7V, = dim Л';, i=i, 2, необходимо и доста-
достаточно для того, чтобы существовал такой метрич.
автоморфизм ср пространства V, что
Невырожденная билинейная симметрическая или
знакопеременная форма / на V наз. нейтрал ь-
н о й, если V конечномерно и обладает В. р. с D = 0.
Симметрическая форма в этом случае наз. гипербо-
гиперболической формой, а V — г и п е р б о л и-
ческим пространством. Ортогональная
прямая сумма нейтральных форм нейтральна. Матрица
нейтральной формы (в описанном выше базисе v"\. . .,
viln , v<l\. . ., v'n} пространства F=7V1+N2) имеет вид
JL Ел
iEn 0
где En — единичная матрица порядка п, а е—1 для
симметрической формы и — 1 для знакопеременной.
Нейтральные формы изометричны тогда и только тогда,
когда они имеют одинаковый ранг. Класс нейтральных
симметрических билинейных форм является нулем
(т. е. нейтральным элементом по сложению) в Витта
кольце поля к. Нейтральные формы и только они имеют
индекс Витта, равный -rpdim V. Знакопеременная форма
на конечномерном пространстве нейтральна.
Если / — невырожденная симметрическая билинейная
форма на конечномерном пространстве V и Vz=Nl-\-
+7^2+^ —В. р., в котором dim iV1=dim N2 и равно
индексу Витта формы /, то сужение / на С является
определенной, или ап изотропной, би-
билинейной формой, т. е. такой, что f(v, v)?=0
для любого ненулевого v?D. Эта форма не зависит (с
точностью до изометрии) от выбора В. р. на V. В мно-
множестве определенных билинейных форм можно ввести
операцию сложения, превращающую его в абелеву
группу — группу Витта поля к (см. Витта
кольцо).
Пусть vi\. . ., vn' — такие базисы в 7V/, г=1, 2, что
Hvi \ v<i >) = Siy, объединяя эти базисы с произвольным
базисом в D, получают базис в V, в к-ром матрица
формы / имеет вид
О Е„ О
Еп О О
OOP
Для симметрических билинейных форм существует
ортогональный базис в V, т. е. такой, в
к-ром матрица формы диагональна. Если поле к алгеб-
алгебраически замкнуто, то найдется даже о р т о н ор м и р о-
ванный базис (базис, в к-ром матрица формы
является единичной), поэтому невырожденные симмет-
симметрические билинейные формы конечного ранга над к изо-
метричны тогда и только тогда, когда они имеют оди-
одинаковый ранг. В общем случае классификация таких
форм существенно зависит от арифметич. свойств по-
поля к.
Изучение и классификация вырожденных симметри-
симметрических и знакопеременных билинейных форм сводится к
изучению невырожденных форм (сужение формы на
подпространство, дополнительное к ядру формы).
Все изложенное допускает обобщение на случай е-
эрмитовых форм над телом, обладающих свойством (Т)
(см. Bumma теорема), а также на случай симметриче-
симметрических билинейных форм, ассоциированных с квадратич-
квадратичной формой, без ограничений на характеристику поля.
Лит.: [1] Бур баки Н., Алгебра. Модули, кольца,
формы, пер. с франц., М., 1966; [2] Л е и г С, Алгебра, пер.
с англ., М., 1968; [3] Ар тин Э., Геометрическая алгебра,
пер. с англ., М., 1969; [4] Д ь е д о н и е Ж., Геометрия клас-
классических групп пер. с франц., М., 1974. В. Л. Попов.
ВИТТА ТЕОРЕМА: всякая изометрия между двумя
подпространствами F1 и F2 конечномерного векторного
пространства V, определенного над нолем к характе-
характеристики, отличной от двух, и наделенного метрич.
структурой с помощью невырожденной симметриче-
симметрической или кососимметрической билинейной формы /,
может быть продолжена до метрич. автоморфизма всего
пространства V. Впервые эта теорема получена Э. Вит-
том [1].
В. т. может быть доказана и в более широких предпо-
предположениях на к и / (см. [2], [3]). А именно, утверждение
теоремы остается в силе, если к — тело, V — левый
конечномерный /с-модуль, а / — невырожденная г-эр-
митова форма (относительно нек-рого фиксированного
инволютивного антиавтоморфизма 0 тела к), удовлет-
удовлетворяющая условию: для всякого v? V найдется такой
элемент а?к, что
/ (v, v) = a +ea°
(свойство (Т)). Свойство (Т) выполняется, напр.,
когда / — эрмитова форма и характеристика к отлична
от двух, или когда / — знакопеременная форма. В. т.
справедлива также, если к — поле, а / — симметриче-
симметрическая билинейная форма, ассоциированная с невырож-
невырожденной квадратичной формой Q на V. Из В. т. следует,
что группа метрич. автоморфизмов пространства V
транзитивно переставляет вполне изотропные подпро-
подпространства одинаковой размерности и что все максималь-
максимальные вполне изотропные подпространства в V имеют
одну и ту же размерность (индекс Витта
формы /). Другое следствие В. т.: классы изометрии
невырожденных симметрических билинейных форм ко-
конечного ранга над к относительно взятия ортогональ-
ортогональной прямой суммы образуют моноид с сокращением;
каноническое отображение этого моноида в его Гротен-
дика группу инъективно. Группа WG(/t) нал. г р у и-
пой Витта — Гротендика WG(к) поля к;
тензорное произведение форм индуцирует на ней струк-
структуру кольца, к-рое наз. кольцом Витта — Гро-
Гротендика поля к (см. [7]).
О других приложениях В. т. см. Витта разложение,
Витта кольцо.
Лит.: [1] Witt Е., «J. reine angew. Math.», 1936, Bd
176, S. 31—44; [2] Бур баки Н., Алгебра. Модули, кольца,
формы, пер. с франц., М., 1966; [31 Дьедонне Ж.. Гео-
Геометрия классических групп, пер. с франц., М., 1974; [4]
Л е н г С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [5] А р т и н Э.,
Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969; [6]
Серр Ж.-П., Курс арифметики, пер. с франц., М., 1972;
[7] М и л н о р Д т., «Математика», 1974, т. 15, в. 4, с. 3—27.
В. Д. Попов.
ВИХРЕВОЕ КОЛЬЦО — вихревая нить, имеющая
вид тора малого поперечного сечения. Общие формулы,
определяющие скорости частиц жидкости по вихрям,
дают возможность представить потенциал скоростей
ф (г, г) и функцию Стокса тока ip (z, r) течения, воз-
возникающего в неограниченной жидкости от вихревого
кольца, в виде интегралов, содержащих функции Бес-
Бесселя нулевого и 1-го порядка:
ф (z, r) = ±-ax \ e~bzJ0 {kr)J1 (ka) dk,
<у О
¦ф(г, r)=-{sxr [°°е~ b*J1(kr) J1{ka) dk.
В этих формулах, пригодных для г>0, а — радиус
кольца, х — напряженность вихревого кольца. Коор-
Координата z отсчитывается от плоскости кольца, находя-
находящегося в движении. Под влиянием скоростей, им же
самим создаваемых в жидкости, кольцо перемещается
в направлении оси Oz с постоянной скоростью с, опре-
определяемой следующей приближенной формулой:
где е — радиус поперечного сечения В. к. Для несколь-
нескольких В. к. функции ср и г|) представляются в виде суммы
соответствующих функций каждого кольца.
Лит.: [1] Милн-Томсон Л. М., Теоретическая гид-
гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.
ВИХРЬ, ротор, векторного поля п(М) — вектор-
векторная «вращательная составляющая» этого поля. Если
а (М) — поле скоростей частиц движущейся непрерыв-
непрерывной среды, то В. равен половине угловой скорости ча-
частицы. В. обозначается rota (иногда — curia). В де-
декартовых прямоугольных координатах х, у, г В. опре-
определяется выражением:
(_1_ / dw ву \ _ J_ / ди_ 3w\ , J_ / dv ди \\
Т уНу' ЪГ) ¦ Т\~д1 ЮГ)' Т \~дх эу~))'
где и(М), v(M), w (M) — компоненты а{М).
Линия в пространстве, в каждой точке к-рой в данный
момент времени В. лежит на касательной прямой, наз.
вихревой линией. Всякая поверхность, на к-рой
расположено семейство вихревых линий, зависящее от
одного параметра, наз. вихревой поверхно-
поверхностью. Частным, но весьма важным примером вихре-
вихревых поверхностей являются вихревые трубки,
к-рые образуются вихревыми линиями, выходящими из
всех точек какой-нибудь замкнутой кривой. Если эта
кривая бесконечно мала, то образующаяся вихревая
поверхность наз. вихревой нитью. Вихревые
поверхности наз. также вихревыми слоями,
считая слой как бы состоящим из геометрич. поверх-
поверхности с нанесенной на ней обкладкой из вихревых
линий. При пересечении вихревого слоя скорости ча-
частиц жидкости испытывают тангенциальный разрыв,
пропорциональный В. в соответствующей точке.
Основная теорема Гельмгольца в гидродинамике за-
заключается в том, что если объемные силы имеют потен-
потенциал, то при течении однородной, идеальной несжимае-
мой жидкости или баротропного газа частицы среды,
расположенные в нек-рый момент времени на вихревой
линии, будут и во все последующее время располагаться
на вихревой линии. Таким образом, с течением времени
сохраняются вихревые поверхности и, в частности,
вихревые трубки и нити. Каждая вихревая трубка мо-
может быть охарактеризована нек-рым числом, наз.
напряженностью трубки, и равным потоку
вектора В. через произвольным образом проведенное
сечение трубки. Это число не зависит от формы попереч-
поперечного сечения, так как divrot a=0. Оно означает, что
вихревая трубка может быть либо замкнутой (вихре-
(вихревое кольцо), либо иметь начало и конец на границах
жидкости. С течением времени напряженность вихре-
вихревой трубки в идеальной жидкости не меняется.
Перечисленные свойства вихревых трубок, найден-
найденные Г. Гельмгольцем (Н. Helmholtz), получают исклю-
исключительно простое доказательство с помощью введенного
У. Томсоном (W. Thomson) понятия о циркуляции
Г скорости v по замкнутому контуру (L):
Г = ф | v\ cos (v ds) ds,
где ds — элемент дуги контура L. Изучение свойств
циркуляции скорости приводит к теореме Лагранжа о
сохранении с течением времени безвихревого движения.
Основной задачей теории В. является определение
поля скоростей движения жидкости по заданному полю
векторов В. Если область, занятая жидкостью, безгра-
безгранична во всех направлениях и если область (D), заня-
занятая В., ограничена замкнутой вихревой поверхностью,
то поле скоростей находится с помощью вектор-потен-
вектор-потенциала
по формуле:
v = rot П.
Если же задача состоит в определении скоростей по
вихрям в ограниченном пространстве, то решение весьма
сложно вследствие необходимости рассматривать ин-
интегральные уравнения с особыми ядрами. Полное реше-
решение этой задачи в [6], [7].
Для важного частного случая плоскопараллельных
движений:
и=и(х, у), v=v(x, у), w=w{x, у)
две компоненты а, Р В. равны нулю, а третья компо-
компонента у представляет собой весь В., к-рый в данном
случае перпендикулярен к плоскости XOY. В пересе-
пересечении вихревой нити с плоскостью XOY образуется
маленькая площадка, наз. вихревой точкой.
При наличии в жидкости нескольких вихревых точек
возникает движение самих точек благодаря тем скоро-
скоростям, какие возбуждают в жидкости эти точки. Урав-
Уравнения движения вихревых точек имеют вид канонич.
уравнений механики.
Лит.: Ц] Ann ель П., Руководство теоретической (ра-
(рациональной) механики, пер. с франц., т. 3, М., 1911; [2] В и л-
л я Г., Теория вихрей, пер. с франц., Л.—М., 1936; [3] Lie h-
tenstein L., Grundlagen der Hydromechanik, В., 1929;
[4] Милн-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика,
пер. с англ., М., 1964; [5] Л а м б Г., Гидродинамика, пер.
с англ., М.— Л., 1947; [6] Гюнтер Н. М.. «Изв. АН СССР»,
6 сер., 1926, т. 20, Кг 13—14, с. 1323—48; № 15—17, с. 1503—
1532; [7] е г о же, «Ж. Ленингр. Физ.-матем. об-ва», 1926, т.
1, в. 1, с. 12—36. Л. Н. Сретенский.
ВКБ-МЕТОД — асимптотический метод Вентцеля —
Крамерса — Бриллюэна (и Джефриса) решения обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений вида
е2 4?--g(t)* = 0, A)
с малым параметром е>0 при старшей производной.
Для построения приближенных решений волнового
уравнения Шредингера в квантовой механике этот метод
был введен в 1926 Л. Бриллюэном (L. Brillouin),
Г. Вентцелем (G. Wentzel) и X. Крамерсом (Н. Kra-
Kramers), а также X. Джефрисом (Н. Jeffreys) (подробный
историч. очерк и библиографию см. в [5], [6]). Для ВКБ-
м. используются и другие названия: «п р и б л и-
ж е я и е Л и у в и л л я — Грина», «метод фа-
фазового интеграла», «квазиклассичес-
«квазиклассическое приближение», а также любые комбина-
комбинации из букв W, К, В (и /).
Пусть /=[о, 6], <?(*)? С °°(/) и ReVqJJ^O при t?I
или q(t)<0 при t?I. Тогда существуют решения урав-
уравнения A) такие, что при е->--f-0 равномерно по ?I
xj(t, е) и wf(t, е) A +2Г-1 skakjW), / = 1,2,
причем
ifi(\i VTW ) B)
Главный член асимптотич. разложения B) обычно
наз. ВКВ-п риближением.
Пусть /=[0, +оо), предыдущие условия на q(t)
выполнены и
Г5/2Г 3/2) dt< оо.
Тогда существуют решения уравнения A) такие, что
x/(t, E)=wj(t, е)A+еф/(*, е)), /=1, 2, где |фу-(<, е)|<
<С при i?/, 0<e<80, если ео>О достаточно мало, и
<Pj(t, е)->-0 при <-^-+оо, е>0.
Точка t0 наз. точкой поворота уравнения
A), если q(to)=O. ВКБ-приближение непригодно в
точках поворота. Были получены асимптотич. формулы,
справедливые в окрестностях точек поворота (см. [1],
[4]). Главный член асимптотики выражается через
бесселевы функции.
В ряде задач (задача на собственные значения, за-
задача о рассеянии) для уравнения A) требуется знать
асимптотику решений только на концах интервала,
т. е. не нужно находить асимптотику в точках поворо-
поворота. Если q(t) — аналитич. функция, то можно, вообще
говоря, продолжить ВКБ-формулы с одного конца
интервала / на другой через комплексную пло-
плоскость С (t) (строгое обоснование дано в [2]). Для целых
функций q(t) оказывается, что ВКБ-приближение B)
пригодно в нек-рых областях комплексной плоскости
С (t), ограниченных линиями Стокса (т. е.
линиями уровня Re\ V~q(t) di=const, проходящими
через точки поворота). Получены асимптотич. формулы
для фундаментальной системы решений уравнения A),
пригодные во всей комплексной плоскости, за исключе-
исключением окрестностей точек поворота (см. [2]).
О ВКБ-приближении для уравнений с частными про-
производными см. [5], [6], [8] — [10].
Лит.: [1] В а з о в В., Асимптотические разложения ре-
решений обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с
англ., М., 1968; [2] Евграфов М. А., Федорюк
М. В., «Успехи матем. наук», 1966, т. 21, .4» 1, с. 3—50; [3]
Федорюк М. В., Добавление к книге В. Вазова [1], с.
406—33; [4] Д о р о д н и ц ы н А. А., «Успехи матем. наук»,
1952, т. 7, № 6, с. 3—96; [5] X е д и н г Д ж., Введение в ме-
метод фазовых интегралов (Метод ВКБ), пер. с англ., М., 1965;
[6] Ф р ё и а и II., Ф р ё м а н П. У., ВКБ-приближение,
пер. с англ., М., 1967; [7] Ландау Л. Д., Лифшиц
В. М., Квантовая механика, 2 изд., М., 1963; Г8] Мае лов
В. П., Теория возмущений и асимптотические методы, М.,
1965; [9] его же, Операторные методы, М., 1973; [10] М а-
с л о в В. П., Федорюк М. В., Квазиклассическое при-
приближение для уравнений квантовой механики, М., 1976.
М. В. Федорюк.
ВКЛЮЧЕНИЕ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ —
включение суммируемости полей, соответствующих этим
методам. Если А и В — два метода суммирования,
определенные на множестве М рядов (или последова-
тельностей), А* и В* — их поля суммируемости и
А*сВ*, то говорят, что метод Ввключает метод
А и обозначают символом АсВ. Методы А и В наз.
равносильными и обозначают А = В, если
каждый из них включает другой. Равносильные методы
имеют одно и то же поле суммируемости. Метод В
сильнее метода А, если В включает А, но не
равносилен ему. Если поле суммируемости метода сов-
совпадает с множеством всех сходящихся рядов, то метод
наз. равносильным сходимости. Иногда
рассматривают В. м. с. не на всем множестве их опре-
определения, а лишь на некотором его подмножестве.
Для Чезаро методов суммирования (С, к) имеет место
включение (С, ^^(С, к%) при /c2^fc1>— 1, Абеля
метод суммирования сильнее всей совокупности мето-
методов Чезаро (С, к) при к~>— 1, Рисса метод суммирова-
суммирования (R, га, к) равносилен Чезаро методу суммирования
(С, к) (fc^O), Абеля метод суммирования равносилен
сходимости на множестве рядов, члены к-рых ап удов-
удовлетворяют условию ап = О(—). В приведенных приме-
примерах методы суммирования являются одновременно и
совместными (см. Совместность методов суммирования),
хотя в общем в случае В. м. с. не предполагает их
совместности. Однако, если А и В — регулярные мат-
матричные методы и АаВ на множестве ограниченных
последовательностей, то Л и ? совместны на этом мно-
множестве (теорема Мазура — Орлича — Бруд-
н о). В литературных источниках иногда требование
совместности методов налагают при самом определении
включения.
В. м. с, определенных на множестве рядов с действи-
действительными членами, наз. полным, если включение
полей суммируемости сохраняется и при пополнении их
рядами, суммируемыми к +оо и — оо. Напр., Гёлъдера
метод суммирования {Н, к) вполне включает метод
Чезаро (С, к).
В. м. с. для специальных видов суммируемости (напр.,
для абсолютной суммируемости, сильной суммируе-
суммируемости и др.) определяется аналогичным образом.
Лит.: [11 X арди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ.,
М., 1951; [2] Кук Р., Бесконечные матрицы и пространства
последовательностей, пер. с англ., М., 1960; [3] Кан Г. Ф.,
Математический анализ, т. 12, М., 1974, с. 5—70; [4] Maiur
S., Orlicz W., «С. г. Acad. scl.», 1933, t. 196, p. 32—4;
[5] Брудно А. Л., «Матем. сб.», 1945, т. 16, с. 191—247;
[6] Барон С, Введение в теорию суммируемости рядов,
Тарту, 1966. И. И. Волков.
ВКЛЮЧЕНИЯ И ИСКЛЮЧЕНИЯ ПРИНЦИП —
метод подсчета числа N (а\ач. . . а'г) объектов, не обла-
обладающих ни одним из данных свойств Oj, а2,..., аг,
по следующей формуле:
N (aWs ¦ ¦ ¦ »'r)=N~^r.=1 N (а,-) +
где а{ означает отсутствие свойства я,-, N — число всех
объектов, N (а;) — число объектов, обладающих свой-
свойством а/, N(aiaj) — число объектов, обладающих
одновременно свойствами а,- и яу, и т. д. (см., напр.,
[3]). Из В. и и. п. вытекает формула для подсчета
числа объектов, обладающих точно т свойствами из
ах, а2, ¦ ¦ ., аг, т=0, 1, . . ., г:
где so=N, ?л=2^(яг ai ¦ ¦ • ai/j)> причем здесь суммиро-
суммирование производится по всем fc-наборам (гь г2,..., г^)
таким, что 1хф12ф.. .фъи, fc=l,..., r, т. е.
si=2; N (a<')' s2=2,\;,f=#=/jV'(a'a/)> ¦¦¦ysr=N (a1a2...ar).
Иногда метод подсчета ет по формуле B) также наз.
В. и и. п. Этот принцип находит применение при
решении комбинаторных и теоретико-числовых задач
(см., напр., [1]). Так, если дано натуральное число а и
натуральные числа а1,а,,..., aN такие, что (а,-, а/) = 1
при i=?j, то число целых чисел к таких, что 0<fe<;re и
не делящихся на я,-, i=l, 2,..., N, равно по A):
— ... + (—¦
При помощи В. и и. п. решается также задача о бес-
беспорядках (см. [2], [3]).
Лит.: [1] Холл М., Комбинаторика, пер. с англ., М.,
1970; 12] Ра из ер Г. Дж., Комбинаторная математика,
пер. с англ., М., 1966; [3] Р и о р д а н Д ж., Введение в ком-
комбинаторный анализ, пер. с англ., М., 1063. С. А. Рукова.
ВЛАДИМИРОВА ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП —
вариационный принцип для стационарного односко-
ростного однородного уравнения переноса
о<,- 6(о;, no)i|)(Q', z)dQ'; no = (Q',Q), A)
с граничным условием
¦Ф1х6Г = 0, (Q, п) <0, B)
где Г — граница выпуклой ограниченной области G.
При условии, что индикатриса рассеяния Э (х, ц0)
есть четная функция от jx0, переход к новой неизвестной
функции
и=Щ(й, x) + y(—Q,x)]/2
приводит задачу A), B) к самосопряженной форме.
В полученной задаче В. в. п. для наименьшего собст-
собственного значения Х1 состоит в том, что Xj есть минимум
функционала
I а | = Л
' х)
на множестве функций u(Q, x), удовлетворяющих
условию
|й|=1 \ \а- | = i
Соответствующая (неотрицательная) собственная функ-
функция реализует минимум функционала [3]. В этом вариа-
вариационном принципе соответствующие граничные условия
являются естественными. Аналогично формулируются
вариационные принципы для высших собственных зна-
значений и для неоднородной задачи.
В. в. п. впервые получен В. С. Владимировым [1].
Из В.в.п. были выведены наилучшие граничные усло-
условия в методе сферических гармоник. В. в. п., в ком-
комбинации с конечно разностными методами, широко ис-
используется в численных расчетах задач нейтронной
физики.
Лит.: [1] Владимиров В. С, Математические зада-
задачи односкоростной теории переноса частиц, М., 1961; [2] М а р-
ч у к Г. И., Методы расчета ядерных реакторов, М., 1961;
[3J Д э в и с о н Б., Теория переноса нейтронов, пер. с англ.,
М., 1960. Ю. II. Дрожжинов.
ВЛАДИМИРОВА МЕТОД — один из наиболее точных
численных методов решения кинетич. уравнения пере-
переноса нейтронов в ядерных реакторах, основанный на
интегрировании вдоль характеристик. Предложен в
1952 В. С. Владимировым для решения интегродиффе-
ренциальных кинетич. уравнений в случае сферически
симметричных реакторов. Идея В. м. может быть изло-
изложена на примере задачи о расчете подкритического ре-
реактора с источником нейтронов. Для одномерной сфе-
рически симметричной геометрии в односкоростном
случае кинетич. уравнение для потока нейтронов
Ф (г, и.) (где г — радиус, 0«:г-<Л, ц — косинус угла
между вектором скорости нейтрона и радиусом) имеет
вид
Е (г) Г + 1
с граничным условием
ф {R, |Л) = О для ц<0, B)
означающим, что на внешнюю границу r=R системы
снаружи ([х<0) нейтроны не падают, причем 2 (г),
2-s (г), /(г) — заданные кусочно непрерывные функ-
функции от г. Замена
х = гц; y = rVi— ц2 C)
приводит к уравнению
^^^ D)
где г|з(х, у)=ф( iKx2+^2; cos arc tg ylx). Это уравнение
легко решается как обыкновенное дифференциальное
уравнение 1-го порядка и
E;
Для каждой характеристики ;/=!/,¦ дифференциальной
части кинетич. уравнения A) выбирается своя система
узлов хы=\/ г\ — у\, где гь — выбранная сетка по
радиусу. Решение уравнения E) проводится методом
последовательных приближений, начиная с заданного
начального приближения функции:
?^$!|фЦ F)
При этом
i. Vi)
(где \y.ki=xki^k) легко найти при помощи E) во всех
узлах сетки после того, как интегралы в E) будут за-
заменены суммами и будет получено выражение, связы-
связывающее значения ф и Q в двух соседних точках на ха-
характеристике. Чтобы получить значение Q{r) в следу-
фй|Х,
что делается с помощью квадратурной формулы, ис-
использующей точки окружности х2+г/2=г|- Скорость
сходимости последовательных приближений определяет-
определяется размерами и физич. характеристиками реактора.
Задача на собственные значения (определение кри-
тич. параметров реактора) решается аналогично.
В. м. обобщается на многоскоростные и многомерные
задачи и легко программируется для ЭВМ. В отличие
от Карлсона метода, В. м. использует переменную
сетку по |А для разных г, что позволяет увеличивать
точность расчета на границе реактора с вакуумом (вбли-
(вблизи r=R) по сравнению с областями вблизи г=0, где
поток нейтронов близок к изотропному.
Лит.: [1] Map чу к Г. И., Методы расчета ядерных реак-
реакторов М., 1961. В. А. Чуянов.
ВЛАСОВА КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ —кине-
—кинетическое уравнение для заряженных частиц, в к-ром
взаимодействие между частицами описывается через
самосогласованное электромагнитное поле. В. к. у.
имеет вид
J^ L)l,/a=O, A)
где fa (t, r, v) — функция распределения, а индекс а
означает сорт частиц. Самосогласованное электро-
электромагнитное поле Е, Н определяется из уравнений Макс-
Максвелла:
в к-рых плотности зарядов и токов вычисляются через
функции распределения:
р (t, г) =2ja еа \ fa (t, Г, V) d3v,
„ Г ^ C)
J С **)=^а«а \ /а (*, *•, «)»Л.
В. к. у. может быть получено из Лиувилля уравнения
для функции распределения всех частиц данного сорта
а, если пренебречь корреляциями частиц и предполо-
предположить, что многочастичная функция распределения
(ч п. произведение одночастичных функций распределе-
распределения.
Система уравнений A) — C), предложенная
А. А. Власовым [1], широко используется в физике
плазмы. Наиболее разработана линейная теория, ос-
основанная на линеаризации уравнений A) — C). Она
применяется для исследования малых колебаний и
устойчивости плазмы [5]. Интенсивно развивается
квазилинейная теория, позволяющая рассматривать
нелинейные эффекты.
Лит.: [1] Власов А. А., «Ж. экспер. и теор. физики»,
1938, т. 8, вып. 3, с. 291; [2] его же, Теория многих частиц,
1Г.—Л., 1950; ГЗ] Боголюбов Н. Н., Проблемы динами-
динамической теории в статистической физике, М.—Л., 1946; [41 С и-
лин В. П., Введение в кинетическую теорию газов, М.,
1971; [5] Сил и н В. П., Рухадзе А. А., Электромаг-
Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред, М., 1961.
Д. П. Костомаров.
ВЛИЯНИЯ ОБЛАСТЬ точки М (множества А
точек М) — множество В (М) (соответственно В (А))
всех тех точек, в к-рых решение дифференциального
уравнения или системы дифференциальных уравнений
изменяется при изменении его в точке М (соответст-
(соответственно А). В простейших случаях линейных дифферен-
дифференциальных уравнений с частными производными В. о.
по зависит от решения; для большинства нелинейных
задач Н. о. зависит как от самого решения, так и от
характера возмущений. В этом случае рассматриваются
бесконечно малые возмущения. Для гиперболических
уравнений В. о. точки М есть внутренность характери-
ni'ioCKoro коноида (см. Характеристическое многооб-
многообразие), проведенного через точку М; для уравнений па-
параболических и эллиптических типов В. о. точки М,
как правило, есть область определения решения.
Б Л. Рождественский.
ВЛОЖЕНИЕ КАТЕГОРИЙ — ковариаптный функ-
функтор F из категории С в категорию С, инъективный
па классе морфизмов категории С.
ВЛОЖЕНИЕ КОЛЬЦА — мономорфизм кольца в не-
некоторое другое кольцо; кольцо R вкладывается в кольцо
/., если R изоморфно подкольцу кольца L. Наиболее
подробно изучались условия вложения ассоциативного
кольца в (ассоциативное) тело и произвольного кольца
н кольцо с делением. Начало этим исследованиям по-
положила работа А. И. Мальцева [1], в которой был
построен пример ассоциативного кольца без делите-
делителей нуля, не вложимого в тело. Долгое время оста-
оставалась открытой следующая проблема Маль-
Мальцева: будет ли вложимо в тело каждое ассоциативное
кольцо без делителей нуля, полугруппа ненулевых
элементов к-рого вложима в группу? Эта проблема
пыла решена отрицательно в 1966 (см. [2], с. 354).
Квадратная матрица А порядка пХп над ассоциатнв-
ным кольцом R наз. неполной, если она предста-
вима в виде А = ВС, где В, С — матрицы порядков
пХг и гХп соответственно и г<га. Пусть
А=(а,а2, . . ., а„), В = F, о2, . . ., о„)
— квадратные матрицы порядка геХга над Я, у к-рых
совпадают все столбцы, кроме, возможно, первого.
Тогда матрица
С = (а + 6, я2. • • •> «л)
наз. детерминантной суммой матриц А и В
относительно первого столбца. Аналогично определяется
детерминантная сумма квадратных матриц одинаковых
порядков относительно произвольного столбца (строки).
Ассоциативное кольцо Л с 1 вложимо в тело тогда и
только тогда, когда оно не имеет делителей нуля и
никакая скалярная матрица аЕ с ненулевым элементом
а по диагонали не может быть представлена в виде
детерминантной суммы конечного числа неполных мат-
матриц ([2], с. 349). Класс ассоциативных колец, вложимых
в тела, не является конечно аксиоматизируемым (т. е.
его нельзя задать конечным числом аксиом) [3]. Изве-
Известен ряд достаточных условий вложения ассоциатив-
ассоциативного кольца в тело. Наиболее важными из них являются
следующие. Пусть R — ассоциативное кольцо без
делителей нуля, полугруппа ненулевых элементов
к-рого удовлетворяет условию Оре (см. Вложение полу-
полугруппы). Тогда кольцо R вложимо в тело ([4], с. 293).
Групповая алгебра упорядоченной группы вложима в
тело (теорема Мальцева— Неймана,
см. [4], с. 294). Произвольная область свободных пра-
правых (левых) идеалов (см. Ассоциативные кольца и алгеб-
алгебры) вложима в тело ([2], с. 351).
Кольцо R вложимо в кольцо с делением тогда и только
тогда, когда оно не содержит делителей нуля. Пусть
R, L — кольца, оо — символ, oo(?L. Отображение
ср: R—*-{L, оо} наз. Т-т омоморфизм ом; если:
1) множество cp-1(L) есть кольцо и отображение <р на
этом множестве есть кольцевой гомоморфизм; 2) из
ф(а6)^=оо, ср(а)=оо следует ср(Ь) = О; 3) из ср (а&)=^оо,
срF)=оо следует ср(а) = О. Г-гомоморфизм поля есть не
что иное, как специализация (или точка) поля. Кольцо
с делением L наз. свободным Г-р а с ш и р е-
н и е м кольца R, если: L содержит R и порождается
(как кольцо с делением) кольцом R, а любой /-гомомор-
/-гомоморфизм кольца R в некоторое кольцо с делением S можно
продолжить до Г-гомоморфизма L ъ S. Каждое кольцо
без делителей нуля обладает свободным Г-расшире-
нием ([4], с. 301).
Лит..- [1] Мальцев А. И.. «Math. Ann.», 1937, Bd 113,
S. 686—691; [2] Кон П. М., Свободные кольца и их связи,
пер. с англ. М., 1975; [3] С о h n P. M., «Bull. Lond. Math.
Soc», 1974, v. 6, p. 147 —148; [4] Кон П. М., Универсаль-
Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968. Л. А. Бокугпъ.
ВЛОЖЕНИЕ ПОЛУГРУППЫ в группу — мо-
мономорфизм полугруппы в группу. Полугруппа S вкла-
вкладывается в группу G, если S изоморфна подполугруппе
группы G. Необходимые и достаточные условия В. и.
в группу были найдены А. И. Мальцевым [1] (см. также
[3], с. 286). Эти условия представляют собой бесконеч-
бесконечную систему условных тождеств (квазитождеств),
среди к-рых, в частности, имеются следующие:
ap = aq->-p = q, pa=qa-^>-p = q
(законы сокращен и я);
ap=bq, ar=bs, cp = dq—>-cr=ds,
где а, Ъ, с, d, p, q, r, s — элементы полугруппы.
Класс полугрупп, вложимых в группы, нельзя охарак-
охарактеризовать конечным числом условных тождеств [2].
Известен ряд достаточных условий В. п. в группу.
Наиболее важными из них являются следующие. Если
S — полугруппа с сокращением и для любых элементов
a, b полугруппы S найдутся элементы х, у ?S та-
кие, что ах=Ъу (условие О р е), то полугруппа 5
вложима в группу. Если S — полугруппа с сокраще-
сокращением, в к-рой из равенства аЪ—cd всегда следует, что
либо а=сх, либо с=ах для нек-рого элемента x?S,
то полугруппа S вложима в группу [4]. Известны доста-
достаточные условия В. п., сформулированные на языке тео-
теории графов (см., напр., [5]).
Лит.: [1] Мальцев А. И., «Матем. сб.», 1939, т. 6
<48), с. 331—36; [2] его же, там же, 1940, т. 8E0), с. 251—64;
[3] Кон П. М., Универсальная алгебра, пер. с англ.,
М., 1968; [4] Doss R., «Bull. Sci. Math.», 1948, v. 72, p. 139—
150; [5] А дян С. И., Труды матем. ин-та АН СССР, 1966,
т. 85, с. 1 —123. Л. А. Бокуть.
ВЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРО-
ПРОСТРАНСТВ •—теоретико-множественное включение VczW
линейного нормированного пространства V в линейное
нормированное (полунормированное) пространство W,
при к-ром для любого x?V справедливо неравенство
\\x\\w<C\\x\\v
с постоянной С, не зависящей от х? V. При этом ||х|| —
есть норма (полунорма) элемента х в пространстве W,
а \\x\\y — норма (полунорма) элемента х в V.
Тождественный оператор, действующий из простран-
пространства V в пространство W и ставящий в соответствие
элементу х? V тот же элемент как элемент пространства
W, наз. оператором вложения пространства
V в пространство W. Оператор вложения всегда огра-
ограничен. Если оператор вложения есть вполне непрерыв-
непрерывный оператор, то В. ф. п. наз. компактным.
Факт В. ф. п. устанавливается вложения теоремами.
Пример. Пусть Е — измеримое по Лебегу мно-
множество в га-мерном евклидовом пространстве с конечной
мерой mes Е и пусть Lp(E), 1 ¦</><:оо, есть простран-
пространство Лебега измеримых функций, суммируемых по Е
в степени р, с нормой
Тогда при p^q справедливо В. ф. п. Ь„(Е)^>-Ь„(Е)
и
q р
Л. П. Купцов.
ВЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ — теоремы, относящиеся к
циклу вопросов, посвященных изучению неравенств
между нормами одной и той же функции, принадлежа-
принадлежащей к разным классам (нормированным пространствам).
Обычно речь идет о двух классах SCRhSCRj, где Ш есть
часть Ш11(ПЛсШ}1), и при этом выполняется неравенство
11/Н С||/||
для всех /?!№, где С — константа, не зависящая от
/, а Н'Идд, II1 Hat ~ нормы соответственно в Щ}, Щ},. При
указанных условиях говорят, что имеет место вло-
вложение 0Л в Щ7Х или, что Ш! вкладывается
в ПЛ1; и пишут 9Л—йШх. Исследования, связанные с
В. т., составляют раздел теории функций, но главные
направления в них развиваются под влиянием крае-
краевых задач математической физики, в частности прямых
вариационных методов. В связи с этим в течение послед-
последних трех десятилетий создана стройная теория вложе-
вложений классов дифференцируемых функций многих пере-
переменных.
К числу задач, решаемых В. т., относятся, напр.,
следующие. Пусть известно, что функция / имеет част-
частные производные порядка I, вообще говоря, обобщенные
(см. Обобщенная производная), интегрируемые в р-й
степени на данной области Q га-мерного пространства
Rn. Спрашивается: 1) какое гарантированное число
непрерывных производных имеет эта функция на Q?
2) если область Q имеет достаточно гладкую границу Г,
то можно ли в том или ином смысле определить след
ф(ж) функции / в точках х?Г, т. е. предельные зна-
значения }(и), когда и приближается к ас, и какими га-
рантированными дифференциальными свойствами обла-
обладает этот след? При этом часто надо знать эти свойства
настолько точно, чтобы наличие таковых у функции <р,
заданной на Г, влекло возможность продолжения <р
с Г на Q так, чтобы продолженная функция имела
на Q обобщенные производные порядка I, интегрируемые
в р-й степени. Из фактов, приводимых ниже, будет
видно, что указанные пределы (понимаемые в смысле
сходимости почти всюду) определения следа ср функции
/ и продолжения ф могут сопровождаться неравенст-
неравенствами между нормами / на Q и Г, к-рые и применяются
в теории краевых задач.
Многомерная теория вложений классов дифференци-
дифференцируемых функций возникла в 30-х гг. 20 в. в работах
С. Л. Соболева в связи с решением задач математич.
физики. Ему принадлежат основные В. т. для классов
Wp (Q) (Соболева пространств), играющих важную
роль в анализе. Функция f(x) = f(x1,..., xn) при-
принадлежит Wlp (Q), 1<р<оо, 1=0, 1,..., если
она определена на Q и для нее конечна норма
1<р<оо, I = 0, 1, ... ,
где
и сумма распространена на всевозможные (обобщенные
по Соболеву) частные производные
порядка \к\ = 1.
Основная теорема С. Л. Соболева
(с дополнениями В. И. Кондрашова и
В. П. Ильина) для случая Q = Rn:
при условиях 1«:т<:га, 1<
Q<ik=l—nlp-\-mlq справедливо вложение
Wlp (Л„) — W 1*](Лв), D)
где [к] — целая часть к.
При т<га это означает, что функция f?Wp(Rn)
имеет след (см. ниже) на любо11 координатной гипер-
гиперплоскости Rm размерности т,
11/11^ ^
где С не зависит от / (см. [6], [7]).
Функция /, заданная на Rn, имеет след на Rm,
где Rm есть m-мерное (координатное) подпространство
точек ж= (хъ. . ., хт, xm+i,- ¦ ., Хп) с фиксированными
0 если / можно видоизменить на нек-ром
множестве га-мерной меры нуль так, чтобы для видоиз-
видоизмененной функции, к-рая снова обозначается через /,
имело место
хт,хт + 1, ...,х„) Ц ' 0 E)
Lp(Hm)
—*x°i 0' = m+l. • ¦ -1 га).
Если ЗЛ есть множество функций /, заданных на Rn,
то задача описания свойств следов этих функций на
подпространство /?тA«?т<и) наз. проблемой
следов для класса Щ}.
Теорема D) является окончательной в терминах клас-
классов WP{?1). Дальнейшее ее улучшение возможно лишь
путем введения новых классов.
В одномерном случае п=т=\, где проблема следов
не возникает, теорема D) принадлежит Г. Харди и
Дж. Литлвуду (G. Hardy, J. Littlewood).
Следующим этапом в развитии этой теории являются
теоремы вложения С. М. Никольского для обобщенных
гёльдеровых классов (см. Гёлъдерово пространство)
(//-классов). Эти классы образуют шкалу с непре-
непрерывно меняющимися параметрами, характеризующими
гладкость функций. Они анизотропны в том смысле, что
принадлежащие к ним функции обладают, вообще гово-
говоря, разными дифференциальными свойствами по раз-
разным направлениям. Пусть О,х\ есть множество точек
a>?Q, удаленных от границы Q больше чем на т)>0, и
пусть г=(г1,..., гп) — положительный вектор (гу>0;
/=1,..., и), г/ = г/+а/-, г} — целое и 0<а;-<1.
Функция принадлежит классу /? Я?(Я),
1<р<:оо, если f?Lp(Q) и для любого 7=1,..., m су-
существует обобщенная частная производная
о/, _Л.
Эх
удовлетворяющая неравенству
Эх/
где Дуй — вторая разность функции по переменной
xi с шагом h и М — константа, не зависящая от h.
Класс Hr (Q) образует банахово пространство, если
ввести норму
где Мf — наименьшая константа М, при к-рой выпол-
выполняются неравенства G). Для п =. . . = гп = г соответст-
соответствующий (изотропный) класс обозначается через Нгр .
При целом I класс Нр близок к классу Соболева Wlp с
точностью до е>0 в том смысле, что
Яр+е (/?„)—*Wp(Rn)—>-Hp~e(Rn). (8)
Справедливы теоремы вложения (С. М. Никольский)
Я; (/?„)—> ЯР (Rm), (9)
где 1<р<д<оо, 1<т<ге, р= (рь. . ., рт),
Р] = Y.rj (j = 1, . . ., т),
m+iJ->0;
где 1<р<оо, 1<т<га, Ру= игу, / = 1, . . ., т,
x = l-iy" -L>0
. j
(см. [5]).
Теорема (9) является анизотропным аналогом теоре-
теоремы D), но имеет то преимущество, что верхние (вектор-
(векторные) индексы г, р фигурирующих в ней классов могут
изменяться непрерывно. Кроме того, она полностью
охватывает случаи р=1, оо. Однако при х = 0 она, в
отличие от D), неверна. В одном случае (п=т=1)
при г и р не целых она доказана Г. Харди и Дж. Литлву-
дом.
Частный случай теоремы (9) при р=д записан еще
раз в виде вложения A0) с верхней стрелкой. Оно гла-
гласит: функция f?Hp(Rn) имеет след /|дт=ф на Rm и
при этом
|"Ч
где С не зависит от /. Но справедливо и обратное утвер-
утверждение, выражаемое нижней стрелкой, к-рое надо
понимать в следующем смысле: каждая определенная
на R т функция ^f^,H^(Rm) может быть продолжена на
все пространство Rn так, что полученная функция / (х)
(со следом на Rm, равным ср) принадлежит к Hrp(Rn) и
выполняется неравенство (обратное к A1)):
где Cj не зависит от ср.
Взаимно обратные вложения A0) полностью решают
проблему следов для /7-классов и при этом в терминах
Я-классов.
Теорема (9) носит транзитивный характер,
заключающийся в том, что переход
H;(Rn)^Hpp'.(Rm)^Hf(Rm..) A2)
от первого класса в цепи A2) ко второму, а затем от
второго к третьему, где параметры р', р" вычисляются
по указанным в (9) формулам, может быть заменен
одним переходом от первого класса к третьему при не-
непосредственном вычислении р" по тем же формулам.
В дальнейшем (см. далее [14]) была решена проблема
следов для И^-классов, вообще анизотропных. Это
привело к введению нового семейства классов диффе-
дифференцируемых функций многих переменных BrpQ(Rn),
зависящих от векторного параметра г и двух скалярных
параметров р, 6, удовлетворяющих неравенствам 1<;
¦<р, 6<oo. Во всей полноте это семейство определил
О. В. Бесов, изучивший также его основные свойства.
Функция /принадлежит классу Wp (Q),
где 1=A1,.. .,1п) — целый вектор, если для нее имеет
смысл конечная норма
Функция /принадлежит классу BTpQ(Q),
гдег= (гх, . . ., гп) — произвольный, не обязательно це-
целый вектор, 1<:р<<оо, 1<:9<оо, гу>0, если для нее ко-
конечна норма
|1Л1 Ш + Ш
Ьр(П)
где числа г/ и а,- определены выше.
Естественно считать, что класс Вг§ при 6=оо со-
совпадает с классом НГ(БГ=НГ^. Обычно пишут еще
Вр9 вместо BrpQ, когда гг=. . . = гп = г и Вгр=В*р ,
В11)=ВГ . Для любых указанных р, 6, г классы Вг%
суть банаховы пространства.
Теоремы вложения (9), A0) верны, если в них заменить
Н на В. Имеют место также взаимно обратные вложе-
вложения
W'p(Rn)^B*>-m(Rm), A4)
где г — целое, 1<р<оо, гт = (г1, ..., гт, 0,..., 0),
х=1 — —"У" —>0, полностью решающие пробле-
р ^—ij=m+irj
му следов для ^-классов, что не мешает выполняться
взаимно обратным вложениям, выраженным полностью
на языке В-классов:
B'pe(Rn)^BKpf(Rm). A5)
Классы В'2, соответствующие значениям параметров
р = 9 = 2, принято еще обозначать через W^(B^^W^).
При р = 2 вложения A4) записываются еще и так
Wl(Rn)^lW2w-m(Rm). A6)
Естественными продолжениями VF-классов являются
классы, в определении к-рых фигурирует понятие
дробной производной по Лиувиллю (см. Дробное ин-
интегрирование и дифференцирование).
Употребляя терминологию обобщенных функций,
можно задать основной класс Л функций так, что по-
построенный над ним класс Л' обобщенных функций будет
обладать следующими свойствами: 1) Lp(Rn)czA' при
любом конечном р^О; 2) при любом Z>0, не обязатель-
обязательно целом, имеет смысл операция
где ij), -ф означают соответственно прямое и обратное
Фурье преобразование г|;?Л'; 3) если I — целое и
функция t^Lp(Rn) имеет обобщенную по Соболеву
производную Djf?Lp(Rn), то для нее имеет место
равенство A7).
При дробных I на бесконечно дифференцируемых
финитных функциях операция A7) совпадает с опера-
операцией дробного дифференцирования по Лиувиллю. Есте-
Естественно называть Djf при нецелом /дробной про-
производной от / порядка I no xj.
Если теперь задан произвольный вектор 1=AЪ . . ., 1п),
то можно ввести пространство Ll (Rn), 1<:р<оо,
совпадающее с W1 (Rn) при целых I, заменив в A3) W
на L.
Если Z=Zj=... = Zn, то положим Lp = Ll. Семейство
классов Lp(Rn), l>0, 1<р<оо, может рассматриваться
как естественное расширение семейства W' (R,,) на
дробное I, «естественное» потому, что с точки зрения
интересующего нас круга идей классы L1 обладают
«всеми достоинствами и недостатками классов Wi>>.
Если в формуле D) (где [к] можно заменить на к), или
(8) (где I может быть дробным), или в A4), A6) (где г
может быть дробным) заменить W на L, то они останутся
верными. Верной также останется формула (9), если в
ней заменить Я на i даже при более широком условии
х^О, однако в предположении, что 1<р<</<оо.
В дальнейшем продолжается применение аппарата
обобщенных функций, но теперь уже составляющих
пространство S'. Для любого действительного числа р
имеет смысл операция (Бесселя — Макдональда):
обладающая свойствами: /0/=/, Jr+p = JrJp, /_2;=
= A-Д/, 1=0, 1,..., где Д = у" —-оператор
Лапласа.
Изотропный класс Lp=Lp'(Rn), 1<р<оо, может
быть определен еще как совокупность функций /, пред-
ставиных в виде /=/рф, где функции ф пробегают
пространство Lp=Lp(Rn) (L^=Jp(Lp)), при этом, с
точностью до эквивалентности,
11/11 Р = 1|Ф к-
lp F
Это определение класса Lp годится н для отрицатель-
отрицательных р, но в этом случае Lp есть совокупность, вообще
говоря, обобщенных функций (L^czS'). В частности,
Операция /р может служить средством и для опреде-
определения классов Врв(Врос^Нр). Именно, будем назы-
называть обобщенную функцию / регулярной в смыс-
смысле Lp или принадлежащей к Sp, если найдется такое
Р>0, что /р/? Lp. Всякую функцию f?Bpe = Bpe(Rn),
1<р, 9<с°°, Врх, = Нр, можно определить как регу-
регулярную в смысле Lp функцию, представимую рядом
слабо сходящимся к / (в смысле S'), где q0 имеет
спектр (носитель д0) в До, a qs при s^l имеет спектр в
и
В
при этом
11/11
частности,
11/11
вгр
НР
= WfWBr
=
sup Bs
s
r H 4s II
<oo.
Это определение класса Bpq автоматически распро-
распространяется на случай г«:0, и тогда функции /, входящие
в эти классы, будут, вообще говоря, обобщенными
(/??'). При этом Jr{Bp) = Bp, -oo<r<oo.
Существуют и другие эквивалентные определения
отрицательных классов Врв, основанные на принципе
интерполяции функциональных пространств. Приве-
Приведенное определение носит конструктивный характер —
каждый заданный параметрами г, р, 6 класс опреде-
определяется независимо, при этом можно конструктивно
определить линейные операции, при помощи к-рых
по данной функции f?Sp определяется функция gs
(экспоненциального типа 2s+ 1 при s^l и типа 1 при
s=0).
Справедлива теорема вложения:
типа теоремы D), но с п=т, верная при любом действи-
действительном г для Л=?, 1<р<<?<оо или для Л—В, 1<
<Р<<7<°°, 1<:6<оо или для Л=Л, 1 <:/><<?<:ос.
С другой стороны, при г— (га— т)/р = 0 произвольная
функция /?Лр(Я„), вообще говоря, не имеет следа на
Rm(m<iii), если не налагать на нее дополнительных
условий.
Выше были сформулированы В. т. для классов функ-
функций, определенных на всем «-мерном пространстве Дп
(см. [5]). Но для приложений важно иметь подобные
теоремы для возможно общих областей QdRn. В на-
настоящее время выяснена геометрич. структура областей
Q, для к-рых верны указанные теоремы вложения для
W-, В- и //-классов, где надо заменить Rn, Rm соответст-
соответственно на Q, Rmf\Q. Для изотропных классов Wrp(Q),
Врв (Q) область Q должна удовлетворять условию кону-
конуса или, что равносильно, граница ее должна удовлет-
удовлетворять локально условию Липшица. Для анизотропных
же классов PF^(Q), B'pB(Q) область Q должна удовлет-
удовлетворять условию ?--рога или изогнутого конуса (конуса
условие) и это условие является в известном смысле
необходимым (см. [2]).
Для приложений важна еще проблема о следах на
m-мерных многообразиях Sm.
Для изотропных классов W, Н, В эта проблема реше-
решена полностью (см. [2], [16]), если Sm достаточно много
раз дифференцируемо при г=г1=. .. = ?¦„, в A4), A5)
и A6) можно заменить Rm на Sm, а в A9), кроме того,
можно заменить Н па. В. В случае кусочно гладких
Sm этот вопрос тоже в ряде случаев решен до конца
([16], [22]), условия, решающие проблему, выражаются,
с одной стороны, указанными выше взаимно обратными
вложениями на отдельных гладких кусках Sm, а с дру-
другой— специальными дополнительными условиями на
поведение функций соответствующих классов на стыках
этих гладких кусков. Существенно продвинута также
проблема следов для анизотропных классов ([9], [21]).
Здесь возникают особые затруднения характеристики
следа в точках Sm, касательные плоскости к к-рым па-
параллельны осям координат.
Остановимся еще на одной задаче. Пусть функция
где Лр означает один из рассмотренных выше классов.
Спрашивается, какие она имеет частные смешанные
производные D}'f и каковы их свойства? Положитель-
Положительный ответ на этот вопрос зависит от величины
V т h;
у, \ \ Л.
Х Z-l/=lr;. ¦
Именно, если /?Лр, то существует частная производ-
производная Dkf, принадлежащая к пространству A*v при ус-
условии, что х>0. В случае же пространств L'_ это усло-
условие можно расширить, считая х^О (см. [5]).
Приведем еще характерную теорему, к-рую естест-
естественно назвать теоремой об ослабленной компактности
и к-рая имеет применение в теории прямых методов
вариационного исчисления.
Из бесконечного множества QJ} функций /, удовлет-
удовлетворяющих неравенству
где К — заданная константа, а Л — один из рассмот-
рассмотренных выше классов, можно выделить последователь-
последовательность {fm} функций и указать такую функцию /0 с
нормой
что какова бы ни была ограниченная область GczRn
и вектор е >0
1|/»-/оН ,_е@)^0, т—со,
(см. [5]). В этой формулировке Rn может быть заменено
на область Q, если она имеет достаточно хорошую
границу. Выше были рассмотрены только характерные
классы функций и связанные с ними теоремы вложения,
наиболее часто встречающиеся в приложениях. В совре-
современных исследованиях большое внимание [2] уделяется
классам более общим, где роль исходных частных
производных Dkf, DPjf играют более или менее произ-
произвольные дифференциальные операторы.
Изучаются еще так наз. весовые классы, характерным
примером к-рых является класс Wpa(Q), определяемый
следующим образом. Пусть р (ж) есть расстояние от
точки ос до границы Г области QczRn. Функция /
принадлежит к Wrpa(Q), r>0, 1<р<°°, если для
нее конечна норма (см. [4], [12])
где
[/н , =У
DKf
Приведем только один результат. Пусть Гт — до-
достаточно гладкая граница т измерений; тогда
если г+сх — (га — т)/р>0, а<(гс—т)/р, 1<р<оо.
Пример. Использование В. т. полностью решает
вопрос об условиях на граничную функцию, при к-рых
применим Дирихле принцип. Именно, понимая частные
производные в обобщенном смысле и считая для про-
простоты, что поверхность Г (граница трехмерной области)
ограничена и дважды дифференцируема, задаем на Q
функцию /0? w\ (Q). Для нее Дирихле интеграл D (/„) <
<оо и, кроме того, по В. т.
W\(Q)^±W\l:i (Т)=В\>* (Г)
/0 имеет след на Г (факт существования следа у /0
устанавливался при помощи более грубых В. т.).
Обозначив через 9J} класс функций f^Wl(Q), имею-
имеющих тот же след на Г, что и /0, /|г=/01г=ф. можно
сформулировать принцип Дирихле следующим образом:
минимум D (/) среди функций /??Ш достигается для
единственной функции и к тому же гармонической
на Q. Из приведенной В. т. следует, что принцип Ди-
Дирихле применим тогда и только тогда, когда класс Щ1
не пуст, т. е. когда граничная функция Ф^й'/ЧГ)-
При обосновании принципа Дирихле сначала доказы-
доказывается существование и единственность функции «?Щ1,
а также тот факт, что и есть обобщенное решение за-
задачи Дирихле, а затем при помощи специального метода
последовательно устанавливается, что обобщенное ре-
решение принадлежит классам wl((?>), где 2=2, 3,...,
a ioczQ — произвольный замкнутый шар. В частности,
из того факта, что u?Wt(<a), на основании В. т.
(см. [2] и [5]) при ra = m=3, р = 2, <j=°o, r1 = r2 = r3 = 4)
заключаем, что функцию и можно видоизменить на
множестве трехмерной меры нуль так, чтобы получен-
полученная функция была дважды непрерывно дифференцируе-
дифференцируема на Q. После этого легко доказывается, что и — гармо-
гармоническая.
Приведенный пример может быть значительно обоб-
обобщен на нек-рые функционалы, в к-рые входят частные
производные разных порядков, возведенные в степень,
вообще не равную 2 (рф2), и тогда появляется необ-
необходимость применения В. т. для более общих классов,
вообще говоря, анизотропных.
Лит.: [1] Сб. дифференциальные уравнения с частными про-
производными, М., 1970, с. 38—63; [2] Бесов О. В., Ильин
В. П., Никольский С. М., Интегральные представле-
представления функций и теоремы вложения, М., 1974; [3] Бурен-
к о в В. И., Теоремы вложения и продолжения для классов
дифференцируемых функций многих переменных во всем прост-
пространстве, в кн.: Итоги науки. Математический анализ. 1965, М.,
1966; [41 Никольский С. М., «Успехи матем. наук», 1961,
т. 16, в. 5,с. 63—114; [5] е г о же, Приближение функций
многих переменных и теоремы вложения, М., 1969; [6] С о-
болев С. Л., Некоторые применения функционального ана-
анализа в математической физике, Л., 195П- [7] его же. Введение
в теорию кубатурных формул, М., 1974; [8] Б е с о в О. В.,
«Труды Матем. ин-та АН СССР», 1961, т. 60, с. 42—81; [9] Буг-
Бугров Я. С, «Сиб. матем. ж.», 1964, т. 5, № 5, с. 1007—26; [10]
Ильин В. П., «Докл. АН СССР», 1954, т. 96, №5, с.
905—8; [11] Кондратов В. И., там же, 1945, т. 48, с. 563—6;
[12] Кудрявцев Л. Д., «Труды Матем. ин-та АН СССР».
1959, т. 55, с. 1 —182; [13] Лизоркин П. И., «Докл. АН
СССР», 1960, т. 132, Ai 3, с. 514—17; [141 е г о ж е, «Матем. сб.»,
1963, т. 60, в. 3, с. 325—53; [15] Никольский С. М.,
«Труды Матем. ин-та АН СССР», 1951, т. 38, с. 244 — 78; [16]
его же, «Матем. сб.», 1953, т. 33, в. 2, с. 261—326; 1957
т. 43, в. 7, с. 127—44; [17] Соболев С. Л., «Докл. АН СССР»,
1935, т. 3, № 7, с. 291—4; [18] его же, «Матем. сб.», 1936,
т. 1, в. 1, с. 39—72; 1938, т. 4, в. 3, с. 471—97" [19] С л о-
бодецкий Л. Н., «Докл. АН СССР», 1958, т. 118, в. 2,
с. 243—6; [20] Успенский С. В., «Труды Матем. ип-та
АН СССР», 1961, т. 60, с. 282—303; [21] его же, «Докл
АН СССР», 1965, т. 16S, № 4, с. 750—2: [22] Я к о в л е в Г. Н.,
«Труды Матем. ин-та АН СССР», 1961, т. 60, с. 325—49; [23]
Gagliardo E., «Rend Semin. matem. in-ta di Padova»,
1957, t. 27, p. 284—305; 124] Har.dy G. H., Lilttlewood
J. E., «Math. Z.», 1928, Bd 28, Ml 4, S. 612—34; [251 Lions
J. L., Magehes E., Problemes aux limites non homogtaes et
applications, P., 1968, v. 1—2. С. M. Никольский.
ВМОРОЖЕННОСТИ ИНТЕГРАЛ — интеграл урав-
уравнения индукции магнитного поля в предельном случае
идеально проводящей среды. Физический смысл В. и.
заключается в том, что при перемещении жидкости
силовые линии магнитного поля перемещаются вместе с
ее частицами.
При движении идеально проводящей среды напряжен-
напряженность магнитного поля Н описывается уравнением
где р — плотность, v — скорость среды, а изменение
элемента длины dl силовой линии магнитного поля
уравнением
~dl = (dl, V)v.
Векторы Н и dl — коллинеарны:
— = const -dl.
р
Справедливо равенство, наз. интегралом вмо-
роженности,
=п±
Р
Р Ро
где индекс «0» относится к величинам в начальный
момент времени.
Следствием В. и. является независимость от времени
потока магнитного поля через любую поверхность,
охватываемую контуром из жидких частиц.
Лит.: [1] К а у л и н г Т., Магнитная гидродинамика,
пер. с англ., М., 1959; [2] Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е.
М., Электродинамика сплошных сред, М., 1959; [3] Кули-
Куликовский А. Г., Любимов Г. А., Магнитная гидро-
гидродинамика, М., 1962. А. П. Фаворский.
ВНЕШНЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ — основная операция
внешней алгебры тензоров, определенных в га-мерном
векторном пространстве V над полем К.
Пусть е1,..., еп—базис V, а и Ъ — р- и д-формы:
Внешнее произведение форм а и b есть
(р+^-форма Cj получающаяся альтернацией тензор-
тензорного произведения с®6. Форма с обозначается паЬ;
она имеет кососимметоические координаты
K...kp+q=i(kl..kp+qil...ipbj1...j
где b^'''^v+ч — компоненты обобщенного Кронекера
символа. Аналогично определяется В. п. ковариант-
ных тензоров.
Основные свойства В. п.:
1) (ка)л6=ял (кЬ) = к(а/\Ь), к?К, — однородность,
2) (а-\-Ъ) Ле=аЛ<Н-6 Л с — дистрибутивность,
3) (а/\Ъ)/\с= а/\ {Ъ/\с) — ассоциативность.
4) ал Ь=(— \)РЧЪ/\а; если характеристика поля К
отлична от двух, то для формы а нечетной валентности
ала=0.
В. п. s векторов наз. разложимым s-в е к т о-
р о м. Каждый поливектор размерности s есть линейная
комбинация разложимых s-векторов. Компоненты раз-
разложения являются sXs-минорами raXs-матрицы (а)),
1«:г<га, l^/<:s, коэффициентов векторов а1,...., as.
При s—п их В. п. имеет вид:
Над полями характеристики, отличной от двух, равен-
равенство агА--- Aas = 0 необходимо и достаточно для ли-
линейной зависимости векторов alt. . ., as. Ненулевой раз-
разложимый s-вектор as определяет в V s-мерное ориенти-
ориентированное подпространство А, параллельное векторам
%,..., as, и параллелотоп, лежащий в А и образован-
образованный векторами olt. .., as, выходящими из одной точки
(этот параллелотоп обозначается через [alt..., as]).
Условия а?А и а5Ла=0 эквивалентны.
Лит. см. при статье Внешняя алгебра. Л. П. Купцов.
ВНЕШНИХ ФОРМ МЕТОД — см. Картина метод
внешних форм.
ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА, алгебра Грассма-
н а, векторного пространства V над полем к — ассоциа-
ассоциативная алгебра над к, операция в к-рой обозначается
знаком л, порождающими элементами к-рой являются
1, е1, , еп, где еи. . . ., еп — базис пространства V,
а определяющие соотношения имеют вид
е,-Де,=— ej/\et (г, / = 1, ..., га), е,-Де,- = 0,
1ле,- = е1-л1=е,- (i=l, ..., п), 1л1=1.
В. а. не зависит от выбора базиса и обозначается /\V.
Подпространство /\rV (г=0, 1,. . .) в л V, порожденное
элементами вида е^ д. . . д^ , наз. r-ii внешней
степенью пространства V. Имеют место
равенства: dim ArF=C^, г=0,..., га, дГ7=0, г>п.
Кроме того, слк=(-1)"кЛ''1 если м^дГУ, у^ ASV.
Элементы пространства ArV наз. r-в екторами;
их можно понимать также как кососимметрические г
раз контравариантные тензоры в V (см. Внешнее произ-
произведение).
r-векторы тесно связаны с r-мерными подпростран-
подпространствами в V: линейно независимые системы векторов
хг, , хг та у1, , уг из V порождают одно и то
же подпространство тогда и только тогда, когда г-век-
торы 1[Л...Л1Г и Ух А- ¦ ¦ Ауг пропорциональны. Этот
факт был одним из отправных пунктов в исследованиях
Г. Грассмана [1], к-рый ввел В. а. как алгебраич. аппа-
аппарат для описания порождения многомерных подпро-
подпространств одномерными. С помощью В. а. легко строится
теория определителей. В. а. может быть определена
и для более общих объектов, а именно, для унитарных
модулей М над коммутативным кольцом А с единицей
(см. [4]). г-я внешняя степень АГМ, г>0, модуля М
определяется как фактормодуль r-й тензорной степени
этого модуля по подмодулю, порожденному элементами
вида Xj(g). . -®хг, где х^М и xj=Xfi для нек-рых j=?=k.
В. а. для М определяется как прямая сумма Ail/=
= фг^.0Л ГМ, где А°М=А, с естественно введенным
умножением. В случае конечномерного векторного про-
пространства это определение совпадает с первоначальным.
В. а. модуля находит применение в теории модулей над
кольцом главных идеалов (см. [5]).
Грасс меновым и (или плюккеровы-
м и) координатами r-мерного подпространства L
в и-мерном пространстве V над к наз. координаты
r-вектора в V, соответствующего L, к-рый определен с
точностью до пропорциональности. С помощью грасс-
мановых координат множество всех r-мерных подпро-
подпространств в V естественным образом вкладывается в
проективное пространство размерности Сгп— 1 и оказы-
оказывается там алгебраич. многообразием (наз. Грассмана
многообразием). Этот метод позволяет построить целый
ряд важных примеров проективных алгебраич. многооб-
многообразий [6].
В форме исчисления внешних дифференциальных
форм В. а. используется в качестве одного из основных
формализмов в дифференциальной геометрии (см. [8],
[7]). В терминах В. а. формулируются многие важные
результаты алгебраич. топологии.
Например, если G — конечномерное ^-пространств
во (например, группа Ли), то алгебра Н* (G, к) ко-
гомологий пространства G с коэффициентами в поле
к характеристики нуль является В. а. с образующи-
образующими нечетных степеней. Если G — односвязная компакт-
компактная группа Ли, то В. а. (над кольцом целых чисел)
является также кольцо К* (G), изучаемое в К-те~
ории.
Лит.: [1] Grassmann H., Gesammelte mathematische
und physikalische Werke, Bd 1, Tl. 1—2, Lpz., 1894—96; [2]
Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 2 изд., М.,
1956; [3] К а л у ж н и н Л. А., Введение в общую алгебру,
М., 1973; [4] Б у р б а к и Н., Алгебра. Алгебраические струк-
структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М.,
1962; [5] его же. Алгебра. Модули, кольца, формы, пер.
с франц., М., 1968; [6] Ходж В., Пи до Д., Методы ал-
алгебраической геометрии, пер. с англ., т. 1—3, М., 1954; [7]
Фиников СП., Метод внешних форм Картана в дифферен-
дифференциальной геометрии, М.—Л., 1948; [81 Стернберг С,
Лекции по дифференциальной геометрии, пер. с англ., М.,
1970. А. Л. Онищик.
ВНЕШНЯЯ И ВНУТРЕННЯЯ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ—
краевые задачи (к. з.) для эллиптич. уравнений с част-
частными производными соответственно в конечной (внут-
(внутренней) D+ и бесконечной (внешней) D~ областях,
на к-рые данная замкнутая гладкая поверхность S,
гомеоморфная сфере, разделяет евклидово пространство
Основное отличие внешней к. з. от внутренней со-
состоит в том, что в ней необходимо дополнительно к
краевому условию потребовать от решения определен-
определенного поведения на бесконечности, обеспечивающего
единственность решения и являющегося естественным
с точки зрения физического происхождения данной
задачи.
Напр., в случае внешней к. з. для уравнения Пуас-
Пуассона Ак=/ (функция/ предполагается достаточно глад-
гладкой и финитной) достаточно потребовать, чтобы решение
и(М) было регулярным на бесконечно-
бесконечности, т. е. чтобы
lim и(М) = 0, г = \ОМ\. A)
В случае внешней к. з. для уравнения Пуассона Ам=/
в бесконечной плоской области D~dR2 условие регу-
регулярности на бесконечности сводится к требованию,
чтобы решение и(М) было ограниченным на бесконеч-
бесконечности:
г-+оо. B)
В случае внешней к. з. для уравнения Гельмгольца
hu-\-k2u=f, й:2>0, требование регулярности на беско-
бесконечности оказывается недостаточным для выделения
единственного решения и применяется так наз. излу-
излучения условие. Для области D~ в R3:
u(M) = 0(r-i),
^r± iku = O(r-i), г-> оо, C)
и для D-cR2:
и(М)=0 (г-1/2),
~ ± iku = O (г-Чг), г->оо, D)
причем знаки здесь выбираются в зависимости от усло-
условий задачи и выбора главного фундаментального реше-
решения. О других условиях на бесконечности см. Предель-
Предельного поглощения принцип, Предельной амплитуды
принцип.
Пусть теперь рассматриваются к. з. для линейного
эллиптич. уравнения общего вида
д2и , v^« ди , , ....
a+ b + CU f E)
в областях ?>+ и ?>- евклидова пространства R", ^,
выделяемых замкнутой гладкой гиперповерхностью S,
гомеоморфной сфере в R", причем функции я/?,&,-, си/
предполагаются достаточно гладкими, / — финитная.
Условия регулярности на бесконечности типа A) или B)
будут достаточны во внешних к. з. соответственно при
п^З или п=2 в тех случаях, когда для оператора L
выполняется принцип максимума и существует одно
единственное главное фундаментальное решение; в
частности, для этого необходимо с«:0; см. [1], [2], [3].
Вопрос о применимости условия излучения, принципа
предельного поглощения и принципа предельной ам-
амплитуды в общем виде нельзя считать полностью изу-
изученным A977).
Кроме условий на бесконечности, внешняя и внутрен-
внутренняя к. з. могут отличаться условиями существования
решения. Напр., в случае внутренней Неймана задачи
для уравнения Лапласа Ам=0 в конечной области
D + dR3 необходимое условие существования решения
имеет вид
где ty(M) — заданная граничная функция в условии
Неймана duldn=ty(M). Однако для внешней задачи
Неймана в бесконечной области ?>~c:R3 это условие
уже не является необходимым.
Лит.: [1] Смирнов В. И., Курс высшей математики,
т. 4, 5 изд., М., 1958; [2] Владимиров В. С, Уравне-
Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; [3] Купрадзе
В. Д., Граничные задачи теории колебаний и интегральные
уравнения, М.—Л., 1950; [4] его же, Методы потенциала
в теории, упругости, М., 1963; [5] Миранда К., Уравне-
Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с
итал., М., 1957. Е. Д. Соломенцея.
ВНЕШНЯЯ МЕРА — неотрицательная функция мно-
множества, обозначаемая и.*, заданная на счетно аддитив-
аддитивном классе множеств, содержащем вместе с множеством
любое его подмножество и обладающая свойствами:
монотонности, т. е.
ц* (X) < u* (Y), если X dY;
счетной полуаддитивности, т. е.
и.* @) = О, где ф — пустое множество.
В. м., заданная на всех подмножествах метрич. про-
пространства, наз. В. м. в смысле Каратеодо-
р и, или метрической В. м., если
как только р(Х, i^)>0, где р(Х, Y) — расстояние
между множествами X и Y. По данной В. м. может быть
выделен класс измеримых множеств, на к-рых ц,* ста-
становится мерой.
В. м., в частности, возникают при построении
продолжения меры с кольца R на порожденное им
а-кольцо.
В классич. теории Лебега меры (см. [1]) внешняя
мера множества определяется как нижняя
грань мер открытых множеств, содержащих данное
множество, а внутренняя мера множест-
множества — как верхняя грань мер замкнутых множеств,
содержащихся в заданном множестве.
Лит.: [1] Натансон И. ГГ., Теория функций вещест-
вещественной переменной, 2 изд., М., 1957; [2] Сакс С, Теория
интеграла, пер. с англ., М., 1949; [3] X а л м о ш П., Теория
меры, пер. с англ., М., 1953. В. А. Скворцов.
ВНЕШНЯЯ НОРМАЛЬ выпуклой поверх-
поверхности — вектор, перпендикулярный опорной пло-
скости и направленный в то полупространство, опре-
определяемое опорной плоскостью, к-рое не содержит точек
поверхности. е в. Шикин.
ВНЕШНЯЯ ФОРМА степени г, внешняя
r-ф о р м а, — однородный элемент степени г внешней
алгебры Л V векторного пространства V, т. е. элемент
г-ж внешней степени ArV. Выражение «внешняя форма
степени г на пространстве V» обычно обозначает косо-
симметрическую r-линейную функцию (или кососиммот-
рическип г раз ковариантный тензор) на V. Прямая
сумма пространств кососимметрических г-линейных
функций на V, г=0, 1, ..., снабженная внешним
произведением, есть алгебра, изоморфная внешней ал-
алгебре Л V*.
Под В. ф. иногда понимают также внешнюю диффе-
дифференциальную форму, см. Дифференциальная форма.
А. Л. Онищик.
ВНУТРЕННЕЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — отображение
/ : X—>-У тоиологич. пространства X в топология, про-
пространство Y такое, что образ любого открытого в X
множества U открыт в У, а прообраз f~x(y) любой точки
y?Y вполне несвязен (т. е. не содержит связных ком-
компонент, отличных от точки).
Пусть F отображает нек-рую риманову поверхность
R на сферу S2, тогда гомеоморфизм Т : M-+R ориентиро-
ориентированной поверхности М индуцирует отображение
F = FoT: Af->S2,
топологически эквивалентное F. Для
топология, эквивалентности аналитич. функции F и
нек-рого отображения F необходимо и достаточно,
чтобы F было внутренним отображением (тогда суще-
существует гомеоморфизм Т такой,что F=FoT) (теорема
С т о и л о в а).
Локальная структура В. о. F : М—>-R2 описывается
следующим образом: для любой точки а ? М существуют
окрестность U(а) и гомеоморфизмы Т1 : B-+U(a)
единичного круга B={z?R2, |z|<l} на U (а) и
Т2 : F(U(a))-*-B такие, что T2oFoT1 = zn.
Лит.: [1] С т о и л о в С, Лекции о топологических прин-
принципах теории аналитических функций, пер. с франц., М., 1964.
В. А. Зорин.
ВНУТРЕННИЕ ВОЛНЫ — колебания поверхности
раздела двух или нескольких тяжелых жидкостей раз-
разных плотностей. При непрерывном распределении плот-
плотности жидкости под В. в. понимают колебания поверх-
поверхностей равной плотности.
Пусть на поверхности бесконечно глубокой тяжелой
жидкости плотности р2 покоится слой жидкости плот-
плотности Pi<p2 и глубины h. На открытой поверхности
жидкости и на поверхности раздела двух жидкостей
могут возникнуть потенциальные стоячие волны длины
Я=2 л/k двух видов. Частота а колебаний волн первого
вида определяется формулой:
частота колебаний волн второго вида определяется фор-
формулой:
При данной длине волн второго вида частота их коле-
колебаний мала для небольшой разности плотностей. Ам-
Амплитуда колебаний поверхности раздела во много раз
превосходит амплитуду колебаний открытой поверхно-
поверхности, будучи равной
Р2-Р1
Прогрессивные волны, возникающие от колебаний
первого вида, имеют скорость распространения
Скорость распространения прогрессивных волн, возни-
возникающих из стоячих волн второго вида, значительно
меньше: „. „
С2 = ?Л Рг-Pi
2Я ., 2ЯЛ '
p! + p2cth -j—
Амплитуда прогрессивных волн второго вида для
поверхности раздела значительно превосходит амплиту-
амплитуду волн, распространяющихся по открытой поверхно-
поверхности. Отношение этих амплитуд дается формулой (*).
Лит.: [I] К р а у с с В., Внутренние волны, пер. с нем.,
Л., 1968. Л. Н. Сретенский.
ВНУТРЕННИЙ АВТОМОРФИЗМ группы G-
автоморфизм ф такой, что
для некоторого фиксированного элемента g?G. Сово-
Совокупность всех В. а. группы G образует нормальную
подгруппу в группе всех автоморфизмов G, эта подгруп-
подгруппа изоморфна G/Z(G), где Z(G) — центр группы G.
Автоморфизмы, не являющиеся внутренними, наз.
внешними.
Употребляются также понятия внутренний
автоморфизм моноида (полугруппы с еди-
единицей) и внутренний автоморфизм
кольца (ассоциативного с единицей), вводимые
аналогично с помощью обратимых элементов.
В. Н. Ремесленников.
ВНУТРЕННИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРА-
ОПЕРАТОР относительно поверхности Ът —
дифференциальный оператор L(u), обладающий тем
свойством, что для любой функции, для к-рой он опре-
определен, его значение в точке М ? 2 т может быть вычисле-
вычислено лишь по значениям этой функции на гладкой по-
поверхности 2т, заданной в пространстве Еп, т-Сп.
В. д. о. может быть вычислен с помощью производных
в направлениях Z, к-рые лежат в касательном к поверх-
поверхности 2т многообразии. Если ввести такие коорди-
координаты, что на 2т:
то оператор L(u), если он внутренний относительно Ит,
после надлежащих преобразований не будет содержать
производных по переменным хт+1,..., хп (так наз.
выводящих производных). Напр., опера-
оператор
, . , ди . ди , ди
есть В. д. о. относительно любой гладкой поверхности,
составленной из прямых х — хо=у— yo=z — zg, а также
относительно любой из этих прямых. Если оператор
L (и) является В. д. о. относительно поверхности 2„-1,
то 2и-1 наз- характеристикой дифференциального
уравнения L(u) = 0.
Иногда оператор наз. внутренним по от-
отношению кповерхности 2т, если в точках
этой поверхности старший порядок выводящих произ-
производных ниже порядка оператора. Б. Л. Рождестпвепский.
ВНУТРЕННИХ ВАРИАЦИЙ МЕТОД — метод в тео-
теории функций комплексного переменного, используемый
при решении экстремальных задач на классах одноли-
однолистных и многолистных аналитич. функций. Преимуще-
Преимущества В. в. м. связаны с тем, что при выводе лежащих
в его основе вариационных формул не делается пред-
предположений о поведении варьируемых функций на гра-
границе области D их задания, а сами вариационные фор-
формулы являются следствием единообразного изменения
функций класса на внутренних подмножествах из D.
Для однолистных функций в круге E={z: |г|<1},
В. в. м. был предложен М. Шиффером [1] и, в более
усовершенствованной и развитой форме, Г. М. Голу-
зиным [2]. В применении к классу S функций /(z) = z-(-
+c2z2-l-..., голоморфных и однолистных в Е, ими была
установлена основная вариационная фор-
формула:
/,(f; X) = f (z) + Xf (z) ?" = i \2Ak№ (zk) f J_if(z>) +
где
Zk (fe=l, 2, . . ., re; re=l, 2, . . .) — фиксированные точки
в круге Е, A/t — произвольные комплексные постоян-
постоянные, а у (z; X)lX при X—>-0, Х>0, стремится к нулю равно-
равномерно относительно z внутри Е. Иными словами, в
классе S, не образующем к.-л. линейного пространства,
для каждой функции /(z) указывается однопараметри-
ческое семейство /* (г; Я), А>0, функций этого же класса
такое, что на любом замкнутом множестве в Е разло-
разложение /з (z; л) по степеням X дается записанной выше
формулой. Аналогичные формулы (с оценкой порядка
малости остаточного члена внутри соответствующей
области) имеют место и для других классов аналитич.
функций.
Характерной чертой В. в. м. является возможность,
исходя из вариационных формул, получить для гранич-
граничных пли экстремальных функций дифференциальное
уравнение. Его исследование с использованием ана-
аналитич. теории дифференциальных уравнений приводит
к важным качественным результатам, а в ряде случаев —
к полному решению экстремальной проблемы.
В. в. м. нашел успешное применение в задачах о не-
налегающих областях; он стал составной частью так
наз. вариационно-параметрического метода (см. [3]).
Лит.: [1] Schiffer M., «Amer J. Math.», 194а, V. 65,
№2, р. 341—60; [2] Голузии Г. М., «Матем. сб.», 1946,
т. 19 F1), в. 2, с. 203—36; [3] его же, Геометрическая теория
функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966.
И. А. Ал?ксш1дров.
ВНУТРЕННОСТЬ МНОЖЕСТВА в топологи-
топологическом пространстве Y — совокупность
внутренних точек множества X. Обозначается обычно
IntX. Всегда Int X = X\[Y\X\=X\FvX, где Fr.Y -
граница множества X. В. м. равна также объединению
всех подмножеств множества X, открытых во всем
пространстве. В. м. наз. иногда ядром.
С. М. Сирота.
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии,
изучающий те свойства поверхности и фигур на ней,
к-рые зависят лишь от длин кривых, лежащих на по-
поверхности, и тем самым могут быть определены без об-
обращения к объемлющему пространству. К В. г. регуляр-
регулярных поверхностей относятся такие понятия, как, напр.,
угол между кривыми, площадь области, полная (или
гауссова) кривизна поверхности, геодезическая кривизна
кривой, Леви-Чивита связность. Термин «В. г.» употреб-
употребляется и в более общей ситуации для обозначения
структуры (обычно метрики или связности), индуци-
индуцированной в топологич. пространстве его отображением
в другое пространство, априори наделенное аналогич-
аналогичной структурой.
Возможность рассматривать объекты В. г. как свой-
свойства самой поверхности, безотносительно к погружению
ее в пространство, привела к исследованию абстракт-
абстрактных пространств с внутренней метрикой, свойства к-рых
сходны с В. г. поверхностей (см. Риманово простран-
пространство, Выпуклая поверхность, Двумерное многообразие
ограниченной кривизны). Наряду с внутренним подхо-
подходом возможно выделение классов погруженных поверх-
поверхностей и подмногообразий по их внешнегеометрич.
свойствам. Сравнение этих двух подходов составляет
проблему изометрических погружений и вложений.
В ряде важных случаев оба подхода приводят к одним
и тем жо классам метрик. Напр., любая риманова мет-
метрика (класса С, г>3) может рассматриваться как
В. г. нек-рого подмногообразия евклидова простран-
пространства достаточно большой размерности, любая полная
двумерная внутренняя метрика неотрицательной кри-
кривизны — как В. г. выпуклой поверхности в Е3. Клас-
сич. пример противоположной ситуации представляет
Гильберта теорема о несуществовании регулярного
изометрич. погружения плоскости Лобачевского в E'J.
Термин «В. г.», отнесенный к подобного рода абстракт-
абстрактным пространствам, обретает смысл только в противо-
противопоставлении внешней геометрии в рамках к.-л. опреде-
определенной теории. Выяснение связей между В. г. поверх-
поверхностей и ее внешней геометрии составляет одну из
наиболее трудных и содержательных задач геометрии.
Сюда наряду с проблемой изометрич. погружений от-
относятся, напр., следующие вопросы: изгибание поверх-
поверхностей, бесконечно малые изгибания, однозначная опре-
определенность поверхности ее метрикой, влияние глад-
гладкости метрики на гладкость поверхности. Рассматрива-
Рассматривались также соотношения между внешней и В. г. при
суперпозиции погружений (кривые на поверхности,
минимальные подмногообразия сфер).
Основы В. г. созданы К. Гауссом (С. Gauss) (см.
[1]). Они развиты в многомерном случае Б. Риманом
(В. Riemann) (см. [2]), а в нерегулярном случае
А. Д. Александровым (см. [3]).
Лит.: [1] Гаусс К., Общие исследования о кривых
поверхностях, пер. с лат., в сб.: Об основаниях геометрии, М.(
1956; [2] Р и м а н Б., О гипотезах, лежащих в основании
геометрии, пер. с нем., там же, с. 309—11; [3] Александ-
Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей,
М.—Л., 1948. Ю. Д. Бураго.
ВНУТРЕННЯЯ ГРАНИЦА области D в ев-
евклидовом пространстве R" — множество
dD\d(CD), где dD — граница D, d(CD) - граница
дополнения замкнутой области D. е. д. Соломенцев.
ВНУТРЕННЯЯ МЕТРИКА — метрика р, при крой
любые две точки х, у метрич. пространства соединимы
спрямляемой кривой у(х, у) и
р(х, jO = inf sр(у(х, у)),
У
где sp — длина кривой в метрике р. Риманова метрика
всегда В. м. Если в пространстве с метрикой р любые
две точки соединимы спрямляемой кривой, то равенство
р*(х, y) = inis (у(х, у))
V
определяет В. м.; это равенство служит определением
индуцированной В. м. р* на многообразии, погружен-
погруженном в метрич. пространство.
Лит.: [1] Александров А. Д., Внутренняя гео-
геометрия выпуклых поверхностей, М.—Л., 1948. Ю. Д. Бураго.
ВНУТРЕННЯЯ ТОЧКА множества в то-
топологическом пространстве — точка,
входящая в данное множество вместе с нек-рым откры-
открытым множеством, ее содержащим. Если х — В. т. мно-
множества А, то А наз. окрестностью точкия
В широком Смысле. С. М. Сирота.
ВОГНУТАЯ ФУНКЦИЯ — функция, противополож-
противоположная по знаку выпуклой функции.
ВОГНУТЫЙ И ВЫПУКЛЫЙ ОПЕРАТОРЫ — не-
нелинейные операторы в полуупорядоченных пространст-
пространствах, являющиеся аналогами вогнутых и выпуклых
функций действительного переменного.
Нелинейный оператор А, положительный на конусе К
в банаховом пространстве, наз. вогнутым (точнее,
и„-вогнутым на К), если:
1) для каждого ненулевого х?К выполнены нера-
неравенства
(x)u0,
где и0 — нек-рый фиксированный ненулевой элемент из
К, а(х) и р (х) — положительные скалярные функции;
2) для каждого такого х?К, что
справедливы соотношения
где г\(х, )
Аналогично, оператор А наз. выпуклым (точ-
(точнее, «„-выпуклым на К), если выполнены условия 1)
и 2), но неравенство (*) заменено противоположным,
и функция г| (х, t) <0.
Типичным примером является интегральный опера-
оператор Урысона
A[x(t)] = ^G k(t, s, x(s))ds,
вогнутость и выпуклость к-рого обеспечивается соот-
соответственно вогнутостью и выпуклостью скалярной
функции k (t, s, и) по переменному и. Вогнутость опе-
оператора означает, что он содержит лишь «слабые» не-
нелинейности — значения оператора на элементах кону-
конуса растут «медленно» при росте норм элементов. Выпук-
Выпуклость же оператора означает, как правило, что он со-
содержит «сильные» нелинейности. В соответствии с этим
уравнения с вогнутыми операторами и уравнения с
выпуклыми операторами обладают рядом различий;
так, первые близки по своим свойствам к соответствую-
соответствующим скалярным уравнениям, для вторых же такой
близости нет: напр., для них, как правило, неверна
теорема о единственности положительного решения.
Лит.: [1] Красносельский М. А., Геометриче-
Геометрические методы нелинейного анализа, М., 1975.
М. 11. Войцеховский.
ВОДОРОДОПОДОБНЫИ АТОМ — квантовомехапи-
ческая система, состоящая из ядра массы М с зарядом
¦\-Ze и одного электрона массы т с зарядом —е, взаимо-
взаимодействующих по закону Кулона, т. е. притягивающих-
притягивающихся друг к другу с силой, обратно пропорциональной
квадрату расстояния между ядром и электроном.
В частном случае при 2=1, когда ядром является про-
протон, В. а. — обычный атом водорода. К В. а. можно
отнести мезоатом (ц-мезон в кулоновском поле ядра)
и позитроний (система, состоящая из электрона и пози-
позитрона). Задача о В. а.— точно решаемый пример общей
задачи двух тел в механике (как в классической, так и в
квантовой) и является квантовомеханич. аналогом клас-
сич. проблемы Кеплера в теории движения двух масс
под действием сил всемирного тяготения. После выде-
выделения движения центра инерции квантовомеханич. за-
задача о В. а. сводится в нерелятивистском приближении
к решению Шрёдипгера уравнения для частицы с приве-
приведенной массой то=тМ1(т-\-М), движущейся в иоле
центральных сил с кулоновским потенциалом:
Удовлетворяющие физич. условиям ограниченности
волновых функций г|э (»•) решения (*) существуют:
а) при ?„= — ZVm/2^2«2 и целом гС^\ (дискретный
спектр энергий Е); б) при любом ?>0 (непрерывный
спектр энергий). Решения, принадлежащие дискретному
спектру, соответствуют стационарным связанным со-
состояниям электрона в В. а. и обладают так наз. «слу-
«случайным вырождением», т. е. состояния с различными
квантованными значениями орбитального момента I- О,
1,2, . . ., п— 1, а не только его проекции тг( —/<тг<:/;
mi — целое) на нек-рую ось (обычное вырождение),
обладают одинаковой энергией Еп. «Случайное вырож-
вырождение» является следствием того, что в частном случае
кулоновского потенциала уравнение Шрёдингера (*)
инвариантно не только относительно группы ортого-
ортогональных преобразований О C), что справедливо для
любого потенциала центральных сил, но и относительно
преобразований более широкой группы О D). Решения
непрерывного спектра соответствуют ионизованным со-
состояниям В. а., т. е. несвязанным состояниям электро-
электрона, и вырождены с бесконечной кратностью —возможны
состояния со всеми целыми значениями 1^0 и всеми
целыми значениями т( при данном I, — Z<m;<:Z.
Релятивистские эффекты в В. а.: зависимость массы
от скорости и спиновые свойства электрона и ядра, мож-
можно учесть при использовании вместо уравнения Шрёдин-
гера (*) релятивистского Дирака уравнения для элек-
электрона в ноле кулоновского потенциала ядра.
Учет релятивистских эффектов и спина электрона дает
поправки к Еп, к-рые зависят от I и полного момента /
электрона, определяемого через I и спин электрона, и
тем самым снимает случайное вырождение уровней энер-
энергии В. а. и определяет так наз. тонкую структуру дис-
дискретного спектра уровней энергии В. а. Учет спина ядра
и связанного с ним магнитного момента, взаимодейст-
взаимодействующего с движущимся вокруг ядра электроном, а так-
также учет конечных размеров ядра и возможного квадру-
польного момента и других высших мультипольных мо-
моментов ядра дает дополнительные поправки к Еп, опре-
определяющие так наз. сверхтонкую структуру уровней
энергии В. а.
Лит.: [1] Соколов А. А., Лоскутов Ю. М.,
Тернов И. М., Квантовая механика, 2 изд., М., 1965.
В. Д. Нукин.
ВОЗВРАТА РЕБРО — один из типов особенностей
дифференцируемых отображений многообразия в евкли-
евклидово пространство. В простейшем случае отображения /
поверхности М в трехмерное евклидово пространство
Es В. р. характеризуется тем, что представляет собой
гладкую кривую L, пересечение некоторой окрестности
к-рой f(L)czE3 с любой плоскостью я, перпендикуляр-
перпендикулярной касательной к L, является кривой с возврата точкой
/>€/(?)Г)л; таково, напр., В. р. на псевдосфере.
М. 11. Войцсховский.
ВОЗВРАТА ТОЧКА, точка заострен и я,—
особая точка кривой, в к-рой две ее ветви имеют общую
нолукасательную. Для плоской кривой различают В. т.
1-го и 2-го рода. В первом случае обе ветви лежат по
одну сторону от полукасательной (рис., я), а во вто-
втором случае — по разные стороны (рис., б).
Л. Б. Иванов.
ВОЗВРАТНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ рекур-
рекуррентная последовательность, — после-
последовательность а0, аи а2, . . ., удовлетворяющая соотно-
соотношению вида
р
где с1; . . ., ср — постоянные. Это соотношение поз-
позволяет вычислить один за другим члены последова-
последовательности, если известны первые р членов.Класснч. при-
примером В. п. является последовательность Фибоначчи
1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .(а„ + 2=ал + 1 + а„). Возвратный
ряд — степенной ряд ао-\-ахх-\-a2x2Jr ¦ . ¦ с коэффици-
коэффициентами, образующими В. и. Такой ряд изображает
всегда рациональную функцию. бсэ-з
ВОЗВРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение вида
ao*"-L«i«"~1+ • ¦ • -\-an-iX + an = 0,
в к-ром коэффициенты, равноудаленные от начала и
конца, равны между собой: а,- = а„_/. В. у. степени 2»
можно привести к уравнению n-ii степени, положив z=
= х± — . БСЭ-3
ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИНЦИП, вир-
виртуальных скоростей принцип,— диффе-
дифференциальный вариационный принцип классической меха-
механики, выражающий наиболее общие условия равновесия
механических систем, стесненных идеальными связями.
Согласно В. п. п. механич. система находится в рав-
равновесии в нек-ром положении тогда и только тогда, когда
сумма элементарных работ заданных активных сил на
всяком возможном перемещении, выводящем систему из
рассматриваемого положения, равна нулю или меньше
нуля:
2
к любой момент времени.
Возможными (виртуальными) перемещениями системы
наз. элементарные (бесконечно малые) перемещения
6>v точек системы, допускаемые в данный момент време-
времени наложенными на систему связями. Если связи яв-
являются удерживающими (двусторонними), то возможные
перемещения обратимы, и в условии («) следует брать
знак равенства; если же связи— не удерживающие (од-
(односторонние), то среди возможных перемещений имеют-
имеются необратимые. При движении системы под действием
активных сил связи действуют на точки системы с
нгк-рыми силами реакций Mv (пассивные силы), в опре-
определении к-рых предполагается полностью учтенным ме-
механич. действие связей на систему (в том смысле, что
связи возможно заменять вызванными ими реакциями)
(аксиома освобождаемости). Связи наз. идеальными, если
сумма элементарных работ их реакций 2V.RV-6rv:^0,
причем знак равенства имеет место для обратимых воз-
возможных перемещений, а знаки равенства или больше
нуля — для необратимых перемещений. Положения
равновесия системы — такие положения rv=rv(t0), в
к-рых система будет оставаться все время, если она по-
помещена в эти положения с нулевыми начальными ско-
скоростями г\ (?0) = 0; при этом предполагается, что урав-
уравнения связей удовлетворяются при любом t значениями
»'v =*"v ('о) и vv =0. Активные силы в общем случае пред-
предполагаются заданными функциями ¦/"%•(?, ?'ц, «'ц^С1,
а в условии (ч:) следует считать 2<'V=/<TV(?, Гц.(г0), 0).
В условии (*) содержатся все уравнения и законы
равновесия систем с идеальными связями, благодаря
чему можно сказать, что вся статика сводится к одной
общей формуле (*).
Закон равновесия, выражаемый В. п. п., впервые был
установлен Гвпдо Убальди (Guido Ubaldi) на рычаге и
на движущихся блоках или полиспастах. Г. Галилей
(G. Galilei) установил его для наклонных плоскостей и
рассматривал этот закон как общее свойство равновесия
простых машин. Дж. Валлис (J. Wallis) положил его в
основание статики и из него вывел теорию равновесия
машин. Р. Декарт (К. Descartes) свел всю статику к еди-
единому принципу, к-рый, по существу, совпадает с прин-
принципом Галилея. И. Бернулли (J. Bernoulli) первый по-
понял большую общность В. п. п. и его полезность при ре-
решении задач статики. Ж. Лаграюк [1] выразил В. п. п.
в общей форме и тем самым свел всю статику к единой
общей формуле; он дал доказательство (не вполне стро-
строгое) В. п. п. для систем, стесненных двусторонними
(удерживающими) связями. Общая формула статики
для равновесия любой системы сил и разработанный
Ж. Лагранжем метод применения этой формулы были
систематически им использованы для вывода общих
свойств равновесия системы тел и решения различных
проблем статики, включая задачи равновесия несжимае-
несжимаемых, а также сжимаемых и упругих жидкостей. Ж. Лаг-
ранж счптал В. п. п. основным принципом для всей
механики. Строгое доказательство В. п. п., а также
распространение его на односторонние (неудерживаю-
щие) связи было дано Ж. Фурье [2], М. В. Остроград-
Остроградским [3].
Лит.: [1] Lagraiige J., Mecanique analytique, P.,
1788 (p_yc. пер.: Лагранж Ж., Аналитическая механика, М.—Л.,
1950); [2] Fourier J., «J. de l'Ecole Polytechnlque», 17У8,
t. II, p. 20; [3] Остроградский М. В., Лекции по
аналитической механике, Собр. соч., т. 1, ч. 2, М.—Л., 1946.
ВОЗМУЩЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕ>ШВ—Отобра-
СИСТЕ>ШВ—Отображение / в системе обыкновенных дифференциальных
уравнений
x---=A(t)x-]-f(x, t). A)
Обычно возмущение предполагается малым в к.-л. смыс-
смысле, напр.,
1 ' {*,'," ' -0 при |*|-н-0. B)
Решение ф(?) линейной системы с возмущением A) и
решение W (t)y0 линейной системы
y = A(t)y C)
с одним и тем же начальным значением г/0 при t=tu свя-
связаны соотношением
наз. формулой вариации постоянных,
где V (t) — фундаментальная матрица линейной систе-
системы C).
A. М. Ляпунов (см. [1]) доказал асимптотическую
устойчивость тривиального решения системы A) (см.
Асимптотически устойчивое решение), если соотноше-
соотношение B) справедливо равномерно по t, а матрица A (t) по-
постоянна и все действительные части ее собственных зна-
значений отрицательны; если же хоть одна из них положи-
положительна, то тривиальное решение неустойчиво.
Исследование периодического решения ф системы
х=Р (х, t), описывающей колебательный процесс, преоб-
преобразованием х=ц> @+У приводится в общем случае к ис-
исследованию линейной системы с возмущениями, правая
часть к-рой периодична по t (см. [3]).
Лит.: [1] Ляпунов А. М., Общая задача об устойчи-
устойчивости движения, М.—Л., 1950; [2] Б ы л о в Б. Ф. 1и др.],
Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам ус-
устойчивости. М., 1966; [3] Понтрягин Л. С, Обыкно-
Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974.
Л. Э. Рейзинъ.
ВОЗМУЩЕНИЙ ТЕОРИЯ — комплекс методов ис-
исследования различных задач, используемый во многих
разделах математики, механики, физики и техники.
Здесь с общей точки зрения излагаются основные идеи
В. т.
B. т. основана на возможности приближенного опи-
описания исследуемой системы с помощью нек-рой специ-
специальным образом выбираемой «идеальной» системы, допу-
допускающей корректное и полное изучение. Одним из при-
признаков применимости В. т. в одной из ее форм, опреде-
определяемой спецификой конкретной задачи, для к-рой В. т.
разрабатывается, является условие того, что уравнения,
описывающие исследуемый процесс, содержат в явной
или неявной форме малый параметр (или несколько та-
таких параметров). При этом требуется, чтобы при нуле-
нулевом значении малого параметра уравнения допускали
точное решение, и таким образом проблема сводится к
нахождению асимптотики наилучшего приближения к
истинному решению с точностью до е, е2, ....
1) В. т. впервые была предложена для решения проб-
проблем небесной механики, связанных с изучением движе-
движения планет в солнечной системе. Удаленность планет
друг от друга и малая величина их массы в сравнении
с массой Солнца позволяют пренебрегать гравитацион-
гравитационным взаимодействием планет между собой и рассмат-
рассматривать их движение (в первом приближении) по орби-
орбитам Кеплера, определяемым из уравнений двух тел зада-
задачи — планеты и Солнца.
Существенное уточнение астрономия, данных сфор-
сформулировало проблему учета влияния других планет
на движение одной из них вокруг Солнца. Так возникла
классическая трех тел задача, причем, напр., при изу-
изучении системы Луна — Земля — Солнце в качестве ма-
малого параметра выбиралось отношение масс Луны и Зем-
Земли. Начиная с трудов Ж. Лагранжа (J. Lagrange),
П. Лапласа (P. Laplace) было выдвинуто представление
о том, что постоянные величины, характеризующие дви-
движение планеты вокруг Солнца, ввиду влияния движе-
движения других планет как бы «возмущаются» и претерпева-
претерпевают изменения, зависящие от времени; отсюда идет и наи-
наименование «теория возмущений».
В. т. занимала внимание классиков Ж. Лагранжа,
П. Лапласа, С. Пуассона (S. Poisson), К. Гаусса (С. Ga-
Gauss) и в результате их работ оказалось возможным про-
проводить вычисления с чрезвычайно большой точностью.
Триумфом В. т. явилось открытие планеты Нептун
A848) Дж. Адамсом (J. Adams) и У. Леверье (U. Le
Verrier) из анализа отклонений в движении планеты
Уран.
Трудности первоначально разработанных методов
В. т. были обусловлены наличием в получающихся раз-
разложениях членов, содержащих время t вне знака сину-
синуса или косинуса. Вклад таких членов в ряд В. т. су-
существен лишь за длительные промежутки времени (по-
(порядка столетий), но и в этом случае невозможно строгое
описание планетных движений в схеме В. т.— приемле-
приемлемым является только первое приближение. Появление
так наз. секулярных членов обусловлено зависимостью
частоты движения (обращения) исследуемой планеты от
соответствующих частот других планет. Учет такого
рода зависимости и приводит к возникновению в реше-
решениях как секулярных (вида A tn), так и смешанных (вида
Bt cos(co?+cp)) членов. Напр., соотношение
0) =0H+80)! A)
в схеме В. т. допускает следующее разложение по
е(е<1):
sin co<=sin (Oot+ewxt cos o)ot+. •., B)
смешанный член в к-ром появляется в результате раз-
разложения колебания с частотой A) по колебаниям с час-
частотой @0.
Создание специальных методов В. т., устраняющих
секулярные члены, т. е. позволяющих представить ре-
решение в чисто тригонометрич. виде, связано с работами
Линдштедта (Lindstedt), П. Гульдина (P. Guldin), Ш.Де-
Ш.Делоне (Ch. Delaunay), Б. Волина (В. Bohlin), С. Ньюкома
(S. Newcomb). В предложенном ими подходе частоты уже
не разлагаются по малым параметрам, т. е. в соответст-
соответствующие разложения входят не частоты нулевого прибли-
приближения, а нек-рым образом переопределенные (в терминах
современной теоретич. физики — ренормированные) ча-
частоты. В результате каждый отдельный член ряда В. т.
по степеням малого параметра представляет собой схо-
сходящееся выражение. Вопрос о сходимости ряда В. т. в
целом остается открытым из-за появления так наз. ма-
малых .знаменателей (малых делителей), образующихся
при интегрировании в каждом приближении В. т. выра-
выражений вида exp{i2y@yre/?+<p}, где {шу} — набор частот,
отвечающих различным движениям. В случае почти со-
соизмеримых частот сумма в показателе экспоненты может
быть малой и тогда после соответствующего интегриро-
интегрирования возникают члены ряда В. т., знаменатели к-рых
малы, что и приводит к расходящимся выражениям ряда
В. т. В частности, для двух частот ю1 и (о2, отношение
к-рых является иррациональным числом, (rejd^+WjCOa)
можно подобрать так, чтобы соответствующий ряд В. т.
расходился.
При изучении с общей математич. точки зрения про-
проблемы малых знаменателей А. Пуанкаре (Н. Poincare)
и А. М. Ляпуновым была предложена методика построе-
построения специального вида периодич. решений, эффективная
не только в задачах небесной механики, но и в теории
дифференциальных уравнений в целом.
Существенный вклад в решение проблемы малых дели-
делителей был сделан в работах [4], [5], [6]. Метод последова-
последовательных канонич. замен переменных позволяет «пони-
«понизить» порядок возмущения и с помощью достигаемой
усиленной сходимости (так наз. сверхсходимости) «пре-
«преодолеть» расходимость ряда В. т. из-за малых знамена-
знаменателей, возникающих в каждом порядке В. т., надлежа-
надлежащим выбором канонич. преобразования.
2) В В. т. для задач небесной механики развито асимп-
тотич. интегрирование дифференциальных уравнений
только в случае консервативных систем. Дальнейший
прогресс В. т. связан с развитием теории колебаний,
в особенности с созданием теории нелинейных колеба-
колебаний.
Важную роль сыграли (выполненные в развитие работ
Ж.Лагранжа) исследования Б. Ван дер Поля (В. Van der
Pol) по уравнениям типа Рэлея с малым параметром е:
Частным случаем уравнения C) является Ван дер Поля
уравнение.
Для решения уравнения
х — еA— i2)i + <o2:r = 0 D)
в первом приближении Б. Ван дер Поль предложил без
должного математич. обоснования метод «медленно ме-
меняющихся коэффициентов», аналогичный одному из ме-
методов, применявшихся еще Ж. Лагранжем в небесной
механике. Этот метод основан на представлении решения
уравнения D) в виде функции гармонич. колебаний,
амплитуда и фа-за к-рых — медленно меняющиеся функ-
функции параметра t.
Общая теория нелинейных колебаний была разрабо-
разработана в работах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова.
При этом были преодолены принципиальные математич.
трудности и дано распространение В. т. на общие не-
неконсервативные системы. Развитые в этих работах новые
асимптотич. методы нелинейной механики позволяют
получать решения в высших приближениях В. т. в мате-
математически обоснованной схеме, причем наряду с перио-
периодич. решениями допускали строгое рассмотрение квази-
периодич. режима.
Идея асимптотич. методов теории возмущений Крыло-
Крылова — Боголюбова становится наглядной при рассмотре-
рассмотрении уравнения
описывающего нелинейные колебания системы с одной
степенью свободы.
К правильной формулировке асимптотич. метода мож-
можно прийти, исходя из физич. соображений о характере
колебательного процесса. Так, при полном отсутствии
нелинейности, т. е. при е=0, колебания, описываемые
уравнением E), будут чисто гармоническими с постоян-
постоянной амплитудой и равномерно вращающейся фазой.
В случае, если ефО, т. е. в случае наличия нелинейного
возмущения, естественно ожидать появления в решении
уравнения E) обертонов, зависимости мгновенной час-
частоты от амплитуды и, наконец, систематич. увеличения
или уменьшения амплитуды колебания в связи с прито-
притоком или поглощением энергии возмущающими силами.
Принимая во внимание все эти физич. соображения,
естественно решение уравнения E) искать в виде ряда
х=а cos ф+ец1(а, ф) + е2и2(я, \|))+. . ., F)
в к-ром и;(а, ч|з), г=1, 2, .. ., — периодич. функции угла
>j: с периодом 2л, а величины ат|) как функции времени
определяются дифференциальными уравнениями
G)
Таким образом, задача сводится к подбору соответст-
соответствующих выражений для функций и,-(я, г|)), А;(а), В,(а),
г=1, 2, . . ., так, чтобы выражение F), в к-рое вместо а
п г|) будут подставлены функции времени, определенные
из системы G), являлось решением исходного уравнения
E). Причем накладываются нек-рые дополнительные ус-
условия, обеспечивающие отсутствие в решении F) секу-
лярных членов.
Ограничиваясь в формальном ряде F) первыми чле-
членами, приходят к m-му приближению, обладающему
свойством асимптотичности в том смысле, что при фикси-
фиксированном т и е—>-0 выражение F) стремится к точному
решению уравнения E); уравнения первого приближе-
приближения совпадают с уравнениями Ван дер Поля. Проблема
оценки погрешности m-го приближения не вызывает
особенных трудностей. Аналогичным образом решается
задача в случае N степеней свободы.
Если интерпретировать формулу F) не как решение
уравнения E), а как формулу замены неременных, то
можно получить точные выражения для производных
по времени от амплитуды а и фазы г|).
Как известно (см. [8], [9]) во многих случаях диффе-
дифференциальные уравнения, описывающие колебательные
процессы и содержащие «малый» параметр, могут быть
приведены к так наз. стандартной форме:
-nS- = eXs(t, хи .... хп); s = i, 2, ..., п, (8)
где е — малый положительный параметр. Большое чис-
число задач физики и техники приводится к этому виду.
Для системы дифференциальных уравнений вида (8)
разработан особый метод аппроксимации, названный
методом усреднения. Согласно методу ус-
усреднений, эти уравнения для достаточно малых значений
8 на конечном интервале посредством замены перемен-
переменных
приводятся к усредненным уравнениям:
-^- = еХ,,0(|1, ..., |я), « = 1, 2, ..., п,
где XSt0(tu .... Бп) =\im^^r^TQ Xs (t, |ь ...,&„).
Применяя метод усреднения, можно получить, напр.,
ряд критериев о существовании и устойчивости авто-
автоколебательных режимов.
Были установлены [13] при весьма общих условиях
оценки разности |Х,-—е,-| на временном интервале дли-
длины L/e. Кроме того, можно установить соответствие и
в таких свойствах решений общих систем, к-рые зави-
зависят от их поведения на бесконечном интервале. Та-
Таким образом были доказаны теоремы о существовании
и устойчивости квазипериодич. решений.
3) При изучении нелинейных колебательных систем
можно не приводить соответствующую систему уравне-
уравнении к «стандартной форме», а работать непосредствен-
непосредственно с исходными дифференциальными уравнениями для
системы гармонич. вибраторов, подверженных слабому
нелинейному воздействию. При этом наряду с общими
решениями для такой системы можно получить и част-
частные решения с помощью замены переменных специаль-
специального вида.
Такой подход был использован Н. Н. Боголюбовым
для нек-рых задач статистич. механики, связанных с
вычислением функций распределения s частиц (s=l,
2, ..., JV) для систем многих взаимодействующих ча-
частиц. Малым параметром в задачах статистич. механики
может служить как малая константа взаимодействия,
так и малая плотность частиц в системе. В одном из
этих приближений можно выразить высшие «-частичные
функции распределения через функции распределения
одной частицы. При этом уже в первом приближении
В. т. можно получить из системы кинетич. уравне-
уравнений известные уравнения Больцмана, а также уравне-
уравнения Ландау, Власова и Боголюбова — Ленарда — Ба-
леску, широко применяемые в теории плазмы.
Следует отметить, что перечисленные методы развиты
в применении к уравнениям с малым параметром, входя-
входящим в них регулярным образом (не при старшей про-
производной). В то же время, напр., уравнение Ван дер
Поля в форме Рэлея в случае больших е автоматически
сводится к уравнению, в к-ром малый параметр стоит
перед старшей производной. Для задач такого типа,
требующих особого подхода, развиты мощные методы
исследования (см. [14], [15], [16], 117]).
Именно задачи с малым параметром при старшей про-
производной типичны для проблем статистич. механики и
гидродинамики. Примером может служить Навье —
Стокса уравнение в предположении малых коэффициен-
коэффициентов вязкости и теплопроводности, имеющее в качестве
нулевого приближения уравнения идеальной жидкости
Эйлера. Поиск наилучшего приближения в данной за-
задаче усложнен указанным условием.
4) Большое значение методы В. т. имеют в области
квантовой механики, где, такие как и в классической,
точные решения получены лишь в задаче двух тел,
формально сводимой к задаче одного тела во внешнем
j потенциальном поле. Здесь используются две формы
В. т.: одна для стационарных состояний, другая для
расчета вероятностей переходов из одного стационарно-
стационарного состояния в другое в схеме метода матрицы рассея-
рассеяния. В. т. формулируется в квантовой механике как за-
задача на собственные значения для линейного самосопря-
самосопряженного оператора вида:
Н=Н0+е111,
где е — малый параметр, причем известно решение за-
задачи на собственные значения для «невозмущенного»
оператора Яо, т. е. задана полная система собственных
функций {t|)n0>} и собственных значений Еп и требуется
найти спектр оператора Н.
В предположении малости е волновые функции
и собственные значения энергии Еп могут быть найдены
в виде рядов
С т ~ Сщ -\г Ст ~Ь Ст + ¦ • • i
по степеням возмущения б. Тогда для возмущения w-co-
стояния В. т. дает следующий результат:
<1)_ Vmn m -л и- ГA>—О-
v v
"" т±- , ,п ф п;
лп лт )
I V 1°
1 тп Г
\Vmn\- .
П ТП
Здесь Vmn — матричный элемент оператора возмуще-
возмущения, определяемый согласно правилу G=еЯ1):
где dq — элемент объема.
Условие применимости В. т. к таким задачам:
нарушается в случае вырождения уровня энергии невоз-
невозмущенной системы: вырожденному уровню энергии
Еп> отвечает s состояний {i'nf}, j=i, 2, ..., s(s — крат-
кратность вырождения). В этом случае применяется нек-рая
модификация В. т.: вначале учитывают влияние возму-
возмущения на вырожденные состояния, а влияние других
уровней рассматривается как малое возмущение; строят-
строятся линейные комбинации s функции вырожденного со-
состояния, причем для коэффициентов ci-0> построенной
комбинации получены уравнения вида
Fa)r (о) _VS v Г<0) cq\
Сл °л —?jr'=\ rr r' ' * '
где
Поправка к энергии Е^ находится из секулярного
уравнения системы (9). Решения {/?л,'р}> Р = 1, •••,•«
этого уравнения s-й степени представляют в (9) и нахо-
находят {Сл°р} и волновую функцию:
соответствующую энергии
Л п — ? « ~г & п
после снятия вырождения. Поправки следующего по-
порядка находят методами обычной В. т.
В нестационарном случае задача В. т. ставится в тер-
терминах вероятностей перехода из состояния%рп' в состоя-
состояние тр'т . В. т. может применяться в гейзенберговском,
шрёдингеровском представлениях или же в представле-
представлении взаимодействия.
В квантовой механике есть также принципиально дру-
другого типа задачи о нахождении так наз. рассеяния мат-
матрицы двух или нескольких частиц. В особенности такие
задачи важны для квантовой электродинамики, где име-
имеется малый параметр — постоянная тонкой структуры.
Проблема вычисления вероятностей перехода сводит-
сводится к исследованию гамильтониана вида:
Н=Н0+Н1,
где //„ — свободный гамильтониан, а Д1 — гамильто-
гамильтониан взаимодействия, к-рый по предположению вклю-
включается в «отдаленном прошлом» (?= — оо) и выключается
в «отдаленном будущем» ((= + °°).
В представлении взаимодействия Шрёдингера урав-
уравнение имеет вид:
Посредством замены переменных
можно получить для состояния ф уравнение
где
Hi (t) = eiH°tH1 @) е~ш°1.
Связь между начальными состояниями ф1п, описываю-
описывающими «входящие» частицы, и конечными состояниями
фоиь описывающими «выходящие» частицы, формули-
руется в терминах так наз. оператора рассеяния S,
определяемого соотношением вида:
<Pout = 5cPin-
Формально решение уравнения A0) можно построить
методом последовательных приближений в виде разло-
разложения по степеням малости взаимодействия:
В квантовой теории поля справедлива аналогичная
формула, в к-рую вместо //j(i) входит соответствующая
плотность лагранжиана, причем используется представ-
представление 5-оператора через Г-произведение:
S(t) = T\e
Действие оператора хронологического упорядочения Т
определяется правилами:
1 '" ( ff (t2) Я («х); t2 > ib
причем это Г-нроизведение формально не определено
для совпадающих аргументов. Для преодоления такого
рода трудностей, возникающих в методе В. т. в кванто-
квантовой теории поля, созданы специальные методы регуля-
регуляризации. Релятивистски инвариантная В. т. исполь-
используется для вычисления так наз. 5-матрицы, элементы
к-рой определяют вероятности переходов между кван-
квантовыми состояниями различных полей под влиянием
взаимодействия между ними.
Лит.: [1] Р о i n с а г ё Н., Les methodes nouvelles de la
mecanique celeste, P., t. 1—3, 1892—97; Пуанкаре А.,
Избр. труды, т. 1—3, M., 1971—74; [21 III а р л ь е К., Небесная
механика, пер. с нем., М., 1966; [3] Б и р к г о ф Д ж. Д.,
Динамические системы, пер. с англ., М.—Л., 1941; [4]
Колмогоров А. Н., О динамических системах с инте-
интегральным инвариантом на торе, «Докл. АН СССР», 1953, т. 93,
№5; [5] Арнольд В. И., Математические методы класси-
классической механики, М., 1974; [6] М о з е р Ю., Лекции о га-
мильтоновых системах, пер. с англ., М., 1973; [7] Б о г о л ю-
б о в Н. Н., Крылов Н. М., в кн.: Зб^рник праць з
нелшШно! механики, К., 1937, с. 55—112; [8] и х ж е, Введение в
нелинейную механику, К., 1937; [9] Б о г о л ю б о в Н. Н., М и-
тропольский Ю. А., Асимптотические методы в теории не-
нелинейных колебаний, 5 изд., М., 1974; [10] Моисеев Н. Н.,
Асимптотические методы нелинейной механики, М., 1969; [11]
Челом ей В. Н., «Докл. АН СССР», 1956, т. 110, ЛЬ 3; [12]
Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А.,
Самойленко А. М., Метод ускоренной сходимости в
нелинейной механике, К., 1969; [13] Б о г о л ю б о в Н. Н.,
О некоторых статистических методах в математической физике,
К., 1945; [14] Дородницын А. А. «Прикл. матем. и
мех.», 1947, т. 11; [15] Тихонов А. Н., «Матем. сб.»,
1948, т. 22, с. 193—204; [16] П о н т р я г и н Л. С, «Изв.
АН СССР. Сер. матем.», 1957, т. 21, с. 607; [17J Мищен-
Мищенко Е. Ф., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1957, т. 21, с. 607;
«Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1957, т. 21, с. 627; [18] Б л о х и н-
ц е в Д. И., Основы квантовой механики, 5 изд., М., 1976; [19]
Боголюбов Н. Н., Лекцп1 з квантово! статистики, К.,
1949; [20] его же, Избранные труды, т. 2, К., 1970; [21]
Боголюбов Н. Н., Ш и р к о в Д. В., Введение в теорию
квантованных полей, 3 изд., М., 1976; [22] Боголю-
Боголюбов Н.Н., Логунова. А., Тодоров И. Т., Основы
аксиоматического подхода в квантовой теории поля, М., 1969;
[23] Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б., Квантовая
электродинамика, 3 изд., М., 1969; [24] М а с л о в В. П., Тео-
Теория возмущений и асимптотические методы, М., 1965.
Н. Н. Боголюбов (мл.).
ВОЗРАСТА ТЕОРИЯ — приближенное описание за-
замедления нейтронов при упругом рассеянии их на яд-
ядрах среды. В. т. применима к определению пространст-
пространственного распределения нейтронов различных энергий
лишь в средах, не содержащих легких ядер (допустимы
массовые числа М^>2, т. е. исключаются, напр., водород
и дейтерий). В. т. предполагает, что в течение замедле-
замедления нейтроны теряют энергию не дискретно, а непре-
рывно, и заменяет реальное поведение большого числа
отдельных нейтронов нек-рыми средними, что верно
лишь при малом разбросе энергий нейтронов в любой
заданный момент после выхода их из источника. Это
предположение позволяет ввести в качестве независимо-
независимого переменного возрастную функцию и, используя воз-
возрастное приближение, получить возрастное
уравнение
в диффузионном приближении, совпадающее по форме с
уравнением теплопроводности. Возрастное уравнение
есть параболического типа уравнение, описывающее за-
замедление нейтронов. При этом неизвестная функция g
есть плотность замедления, т. е. число нейтронов в еди-
единице объема, пересекающих в единицу времени (при
замедлении) данное значение энергии. Под возраст-
возрастной функцией, играющей роль независимого
переменного т, понимается символический возраст
нейтронов, равный времени замедления нейтро-
нейтронов (хронологнч. возрасту), умноженному на средний за
время замедления коэффициент диффузии. Корень квад-
квадратный из возраста тепловых нейтронов наз. длиной
замедления теплового нейтрона. Физич. смысл
возраста — это есть 1/6 среднего квадрата расстояния, на
к-рое смещается нейтрон за время от момента его вы-
выхода из точечного источника (возраст т=0) до рассмат-
рассматриваемого момента (соответствующего возрасту т).
Возрастное приближение, к-рое вместе
с диффузионным приближением приводит к возрастно-
возрастному уравнению В. т., представляет собой переход от точ-
точных энергетич. операторов, описывающих замедление
нейтронов, к приближенным.
Пространственное распределение нейтронов, обуслов-
обусловленное их диффузией в процессе замедления, определяет
вероятность потери нейтронов для ядерного реактора
и влияет на его критич. размеры.
Лит.: [1] Глесстон С. и Эдлунд М., Основы
теории ядерных реакторов, пер. с англ., М., 1954.
В. А. Чуянов.
ВОЗРАСТАЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — та-
такая последовательность х„, что для всех н=1, 2, ...
выполняется неравенство хп<хп + 1. Иногда такие по-
последовательности наз. строго возрастают, и-
м и, а термин «В. п.» применяется к последовательно-
последовательностям, удовлетворяющим для всех п лишь условию
г„ <:.г„ г1. Такие последовательности наз. также не-
неубывающими. Всякая ограниченная сверху не-
неубывающая последовательность имеет конечный предел,
а всякая не ограниченная сверху имеет бесконечный
предел, равный +00- Л. Д. Кудрявцев.
ВОЗРАСТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ — такая функция
/(.г), определенная на нек-ром числовом множестве Е,
что из условия
х'<х", х'?Е, х"?Е
следует:
f(
Иногда такие функции наз. строго возра-
возрастающими, а термин «В. ф.» применяется к функ-
функциям, удовлетворяющим для указанных х' и х" лишь ус-
условию
/ (х') </ (х") (неубывающие функции).
У всякой строго В. ф. обратная функция является одно-
однозначной и также строго возрастающей. Если х0 — пра-
правосторонняя (соответственно, левосторонняя) предельная
точка множества Е, f(x) — неубывающая функция и
множество {у :y = f(x), x>x0, х?Е} ограничено снизу
(соответственно {у : y=f(x), х<Сх0, х?Е} ограничено
сверху), то при а-—>-.г0+0 (соответственно, при х—>-.г0 — 0),
х?Е, у функции i(х) существует конечный предел;
если же указанное множество не ограничено снизу (со-
ответственно, сверху), то / (i) имеет бесконечный
предел, равный — оо (соответственно, +<»).
Л. Д. Кудрявцев.
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение с частными
производными вида
описывающее различные колебательные процессы и
процессы распространения волн. Для В. у., являющего-
являющегося уравнением пшерболпч. типа, обычно ставятся две
задачи: Коши задача и смешанная задача.
Классич. решением задачи Коши, описывающей рас-
распространение волн в re-мерном евклидовом пространстве
Е", наз. функцию и(х, t), к-рая: непрерывно дифферен-
дифференцируема в (п-|-1)-мерном полупространстве (х?Еп,
t^O); дважды непрерывно дифференцируема и удовле-
удовлетворяет В. у. в полупространстве (х?Еп, i>0); удов-
удовлетворяет начальным условиям
и(х,+0) = (р(х), ~(г,+0) = ф(г),
где (р(х) и тр(х) — заданные функции.
Классич. решением смешанной задачи, описывающей
колебания ограниченного объема GczE", наз. функцию
и(х, t), к-рая: непрерывно дифференцируема в замкну-
замкнутом цилиндре (x?G, ?>0); дважды непрерывно диффе-
дифференцируема и удовлетворяет В. у. в открытом цилиндре
(x?G, ?>0); удовлетворяет для x?G начальным усло-
условиям
и удовлетворяет к.-л. краевому условию на «боковой»
поверхности указанного цилиндра.
Классич. решение задачи Коши для достаточно глад-
гладких ц>(х) и ч|5 (ж) дается так наз. Пуассона формулой,
к-рая при и=1 переходит в Д'Аламбера формулу. В слу-
случае, когда в правой части В. у. вместо нуля стоит задан-
заданная функция f(x, t), это уравнение наз. неоднородным
В. у. и решение его дается так наз. Кирхгофа формулой.
Смешанная задача для В. у. решается методом Фурье,
методом конечных разностей и методом преобразования
Лапласа.
Наряду с изучением указанных задач в приведенной
выше классич. постановке рассматриваются вопросы су-
существования и единственности классич. решений, по-
понимаемых в более слабом смысле (см. [4]), а также обоб-
обобщенных решений как задачи Коши, так и смешанной
задачи (см. [2], [3]).
Лит.: [1] Тихонов А. Н., Самарский А. А.,
Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966; [2] С о-
болев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд.,
М., 1966; [3] Ладыженская О. А., Смешанная задача
для гиперболического уравнения, М., 1953; [4] Ильин В. А.,
«Успехи матем. наук», 1960, т. 15, в. 2 (92), с. 97 —154; [5]
Соболев С. Л., Некоторые применения функционального
анализа в математической физике, Новосиб., 1962. Ш. А. Алимов.
ВОЛНОВОЙ ВЕКТОР — вектор к=(ки ..., кт),
входящий в выражение
aexpft^-. kjXj—itsst ) , (*)
где а и со — постоянные, t — время.
Физически (*) обычно интерпретируется как плоская
волна частоты со, распространяющаяся в направлении
вектора к с длиной волны к=2л/[к[. Многие линейные
однородные уравнения и системы уравнений с частными
производными (в число к-рых входят важнейшие урав-
уравнения математич. физики, напр. Максвелла уравнения,
Волновое уравнение) допускают решения в виде (*).
В. М. Бабич.
ВОЛНЫ на поверхности жидкости —
отклонения поверхности жидкости от равновесного со-
состояния, распространяющиеся под действием сил, стре-
стремящихся восстановить это состояние. В зависимости от
природы восстанавливающих равновесие сил: поверх-
поверхностного натяжения или тяжести, В. на поверхности
жидкости подразделяются соответственно на капилляр-
капиллярные и гравитационные В.
Теория гравитационных В. наиболее полно развита
для потенциальных движений жидкости и особенно для
плоскопараллельных движений; объемные силы, прило-
приложенные к частицам жидкости, суть силы тяжести. Опре-
Определение потенциала скорости волнового движения тре-
требует интегрирования уравнения Лапласа: Лср^=О при
граничных условиях особого вида. Вдоль всей поверх-
поверхности жидкости, уравнение к-рой g=/(x, у; t) может
быть найдено после решения задачи, давление постоян-
постоянно. Это приводит на основании известного интеграла
уравнений гидродинамики к первому граничному усло-
условию
¦||- — -^Igradtp |2 —g-z = const, A)
к-рое должно соблюдаться при z=|. Второе граничное
условие следует из того, что во все время движения по-
поверхность жидкости состоит из одних и тех же частиц.
Именно, при z=g:
dz дх дх ^~ 9у ду dt ' * '
Кроме этих условий, должно быть удовлетворено требо-
требование обтекания поверхности твердых тел, находящихся
в потоке. Одновременно с граничными условиями долж-
должны удовлетворяться начальные условия, к-рые состоят
в том, что при t=0 частицы жидкости должны иметь
предписываемые им начальные скорости, а поверхность
жидкости — выбранную для нее начальную форму. Это
равноценно заданию потенциала скоростей при /=0
как функции х, у, z и заданию функции f(x, у; i) при
t=0.
Главная трудность задачи состоит в том, что все пере-
перечисленные условия необходимо должны выполняться на
поверхности |=/(ж, у; t), уравнение к-рой может быть
найдено лишь после решения самой задачи. В этом отно-
отношении задачи теории В. имеют много общего с задачами
теории струй и фигур равновесия вращающейся жид-
жидкости.
Почти полная невозможность решения задач теории В.
с точным соблюдением указанных граничных условий
привела к возникновению теории бесконечно малых В.
В этой теории предполагается, что скорости частиц
жидкости и отклонения поверхности жидкости от равно-
равновесного горизонтального уровня есть величины малые.
В этом предположении граничные условия A) и B)
принимают следующий вид:
?-й=с«ш*, ¦& + ?¦=<>.
Вместе с тем допускается возможность заменить в част-
частных производных потенциала скоростей переменное
z=? нулем. При таком допущении граничное условие
для функции ф получает вид:
t* ' s dz
уравнение волновой поверхности — вид:
? = ' ( Оч> \
b g \ dt 7z = 0.
Основные результаты, полученные в теории беско-
бесконечно малых В., дали возможность разобрать многие
важные задачи геофизики и выяснить, напр., законы
распространения приливных В. на поверхности Миро-
Мирового океана. Теория бесконечно малых В. нашла прило-
приложение к решению задач об образовании В. движущимися
судами и дала возможность построить гидродинамич.
теорию качки судов на волнении. Широкое применение
методов теории функций комплексного переменного но-
зволило решить ряд весьма сложных задач о распро-
распространении В. в бассейнах неременной глубины и рас-
рассмотреть вопросы, связанные с дифракцией и отраже-
отражением В. от плавающих тел.
Теория В. конечной амплитуды развита в работах
А. И. Некрасова (см. [3]), к-рые дали возможность найти
вид периодических В. в предположениях плоской задачи
с точным удовлетворением граничных условий A) и B).
Определение соответствующего потенциала скоростей
было сведено к отысканию функции, устанавливающей
конформное отображение области, занятой одной В.,
на круг или на область, ограниченную двумя концент-
рич. окружностями. Эта функция находится из решения
нек-рого нелинейного интегрального уравнения.
С развитием теории нелинейных граничных задач и
интегральных уравнений теория В. конечной амплитуды
обогатилась новыми результатами. В частности, было
дано доказательство существования одиночной В. и
предельной волны Стокса с угловой точкой на ее про-
профиле. В теории стоячих В. конечной амплитуды, то
есть периодических собственных колебаний поверхно-
поверхности жидкости, существуют лишь приближенные реше-
решения, основанные на применении переменных Лагранжа.
Определение стоячих и установившихся В. на по-
поверхности трехмерного потока представляет трудную
задачу даже при отыскании ее приближенного решения.
Лит.: [1] Л а м б Г., Гидродинамика, пер. с англ., М.—Л.,
194 7; [21 Милн-Томсон Л. М., Теоретическая гидроди-
гидродинамика, пер. с англ., М., 1964; [31 Некрасов А. И., Собр.
соч., т. 1, М., 1961, с. 358—43Э; [4] Стокер Д ж. Д ж.,
Волны на воде, пер. с англ., М., 1959; [51 Теория поверхност-
поверхностных волн, сб. переводов, М., 1959. Л. Н. Сретенский.
ВОЛЬТЕРРА ОПЕРАТОР — линейный вполне не-
непрерывный оператор V, действующий в банаховом про-
пространстве, спектр к-рого состоит из нулевой точки.
Напр., линейный интегральный опера-
оператор Вольтерра в пространстве функций, сумми-
суммируемых с квадратом на [а, Ь], имеет вид
с х
Vy = \ К (х, s) ф (s) ds.
Нелинейным интегральным опера-
оператором Вольтерра наз. оператор вида
Vy = \ К (х, s, ф (s)) ds.
Название по имени В. Вольтерра (V. Volterra), изучав-
изучавшего соответствующие такому оператору интегральные
Волътерра уравнения. А. Б. Вакушинспий.
ВОЛЬТЕРРА УРАВНЕНИЕ — интегральное уравне-
уравнение вида
J* К (х, s)<p(*)ds = f{x) A)
(линейное интегральное В. у. I рода)
или вида
ф (х)-Х Уа К (х, s) ф (s) ds = f (x) B)
(линейное интегральное В. у. II рода).
Здесь х, s, a — действительные числа, Я (вообще гово-
говоря) — комплексный параметр, ф(х) — неизвестная
функция, f(x), K(x, s) — заданные функции, суммиру-
суммируемые с квадратом соответственно на отрезке [а, Ь] и в
области а<:ж<:Ь, a«:s<x. При этом функция f(x) наз.
свободным членом В. у.,а функция К (х, s) -
ядром В. у.
В. у. могут рассматриваться как частный вид Фред-
голъма уравнений, когда ядро К(х, s), задаваемое на
квадрате ал?.х^Ь, a^.s*g.b, обращается в нуль в тре-
треугольнике a<x<s<b. В. у. II рода без свободного чле-
члена наз. однородным В. у. Выражение
Г* х
\ К (х, s) ф (s) ds
определяет интегральный оператор, действующий в L2;
он наз. Волътперра оператором.
Впервые уравнения вида B) были систематически рас-
рассмотрены В. Вольтерра [1], [2]. Частный вид В. у. A) —
Абеля интегральное уравнение, был впервые рассмотрен
Н. X. Абелем (N. H. Abel). Основной результат тео-
теории В. у. II рода состоит в следующем. При любом
комплексном \фоо существует, и притом единствен-
единственное, суммируемое с квадратом решение В. у. II рода.
Это решение может быть получено методом последова-
последовательных приближений, т. е. как предел сходящейся в
среднем квадратическом последовательности:
Фп + 1 (х) = Х \ К (х, s)(fn(s)ds^rf (х), C)
фо— производная, суммируемая с квадратом. В случае
непрерывного ядра К (х, s) и /?С([а, Ь]) эта последо-
последовательность сходится равномерно на [а, Ь] к единст-
единственному непрерывному решению.
Относительно В. у. I рода справедливы следующие
утверждения. Если f(s) и К(х, s) дифференцируемы,
К(х, х)фО, ж?[а, Ь], и если К(х, х) и Кх(х, s) сумми-
суммируемы с квадратом соответственно на [а, Ь\ и на а<:ж<:Ь,
a*cs*?.b, то В. у. I рода эквивалентно В. у. II рода, по-
полученному дифференцированием из В. у. I рода и имею-
имеющему вид
Если К (х, х)=0 по крайней мере в одной точке, реше-
решение В. у. I рода требует более сложного исследования.
Если же К(х, х)=0, то (при нек-рых условиях) опера-
операцию дифференцирования можно повторить. В случае,
когда дифференцирование невозможно или не приводит
к В. у. II рода, можно, вообще говоря, указать только
тривиальный критерий разрешимости. Именно, В. у.
A) разрешимо тогда и только тогда, когда /принадлежит
области значений интегрального оператора Вольтерра
левой части. Решение В. у. A) в этом случае может быть
получено, напр., при помощи регуляризующего алго-
алгоритма (см. Регуляризация).
Для практич. приложений В. у. II рода весьма важно
уметь хотя бы приближенно вычислить его решение,
напр., при помощи последовательных приближений.
Однако обычно более удобны методы другого типа, один
из к-рых заключается в следующем. Пусть / и К —
непрерывные функции. Отрезок [а, Ь] разбивается точ-
точками деления х[ на N равных частей, причем xQ=a, х^=
= 6. Для того чтобы найти приближенно ф(.г,), интеграл
по отрезку заменяется квадратурной суммой, напр,
при помощи формулы прямоугольников с узлами х0, .. .,
К {Xh S) Ф (S) ^ ~ T!ill K (Xi' X'] Ф (Х1] "^ •
Для получения ff(xi) используется рекуррентное соот-
соотношение:
Ф (хо) = Н^-
Значения приближенного решения в точках из [а, Ь],
лежащих между точками деления, могут быть найдены,
напр., при помощи соотношения:
, х,) Ф (xj) + f(x), E)
Это приближенное решение при jV—>-oo сходится равно-
равномерно к точному решению В. у. II рода.
Возможны многочисленные модификации приведен-
приведенного метода.
Все сказанное выше справедливо также для В. у.,
у к-рых ядро К(х, s) есть матрица размера гХг, а ф и /
суть r-мерные вектор-функции.
Уравнением Вольтерра, или обоб-
обобщенным уравнением Вольтерра, наз.
также более общее интегральное уравнение вида:
(р)Л'(Р, QL>(Q)dQ=f(P), F)
если последовательные приближения вида C) сходятся
в том или ином смысле (напр., равномерно или в сред-
среднем) на области определения функций ф и / при Хфоо.
Здесь Р и Q — точки n-мерного евклидова пространства,
D (Р) — область интегрирования, вообще говоря, зави-
зависящая от точки Р, и D (P)<^D при любом Р. Примером
может служить уравнение:
ip(x, у) — Х^Ха \аК(х> У' ?> 11) ф(Е, f])a%dr\ = f(x, у).
Если функция К(х, у, \, х\) суммируема с квадратом
при a<s.r<:b, а«:г/<:6, а<:?<:6, а<т]<:6, a /(.г, у) сум-
суммируема с квадратом при а<:г<:&, а<г/<:6, то последо-
последовательность C) сходится в среднем квадратическом при
Хфоо. Обобщенное В. у. I рода обычно не удается све-
свести к В. у. II рода, хотя такие случаи возможны.
Дальнейшим обобщением В. у. вида B) и F) служит
линейное операторное уравнение:
/, G)
где ф и / — элементы банахова пространства Е, X ~
комплексный параметр, А — линейный вполне непре-
непрерывный оператор. Это уравнение наз. оператор-
операторным уравнением Вольтерра, а оператор
А — оператором Вольтерра, или абст-
абстрактным оператором Вольтерра, если
оператор (/— ХА) обратим в Е при любом Хфоо. В этом
случае последовательность вида: ф0 ? Е — произволь-
произвольное, фи + 1=^'4фп+/> сходится по норме пространства Е
к решению уравнения G). В современной теории опера-
операторов Вольтерра п В. у. установлены глубокие связи
между абстрактным и обычным интегральным операто-
операторами Вольтерра.
Нелинейными уравнениями Воль-
Вольтерра наз. иногда В. у., в к-рых произведение
К (х, s)(f(s) заменено нек-рой нелинейной (относительно
ф(«)) функцией К{х, s, ff{s)). Уравнения такого типа часто
встречаются в теоретических и прикладных исследова-
исследованиях. Так, задача Коши для обыкновенного дифферен-
дифференциального уравнения может быть легко сведена к задаче
решения нелинейного В. у. Применение теории потен-
потенциала к краевым задачам для уравнений параболич.
типа сводит эти краевые задачи к обобщенному В. у.
Для нелинейных В. у. при тех или иных предположе-
предположениях относительно К(х, s, <((s)) может быть доказана
сходимость последовательных приближений вида C) на
отрезке [а, а+Аа], где Да достаточно мало. Для при-
приближенного решения нелинейных В. у. применяется
рекуррентное соотношение D); нужно только заменить
K(xi, Xj)y(xj) на К(х;, xj, q>(xj)). В случае, когда
К(х, s, ф(«)) не зависит от х, этот метод совпадает с ме-
методом Эйлера.
Лит.: Г)] Volterra V., «Rend. Accad. Lincei», 1896,
t. 5, p. 177—185, 289—300; [2] e г о же, «Ann. di math.»,
1897, B), t. 25, p. 139—187; [3l Смирнов В. И., Курс
высшей математики, т. 4, 5 изд., М., 1958; [4] Владимиров
В. С, Уравнения математической физики, М., 1967; [5] Пе-
Петровский И. Г., Лекции по теории интегральных уравне-
уравнений, 3 изд., М., 1965; [61 Тихонов А. Н., «Бюллетень
Моск. ун-та» (А), 1938, т. 1, в. 8, с. 1—25. Л. Б. Бакушинский.
ВОЛЬТЕРРА ЯДРО — функция (матрица-функция)
К (s, t) двух действительных переменных s, t такая, что
или К(s, ?}э=0 при a<:s<?<:6 или K{s, i)=0 при a<:i<
<Cs<.b. Если такая функция является ядром линейного
интегрального оператора, действующего в пространстве
L2(a, b) и сама квадратично суммируема в треугольнике,
в к-ром она отлична от нуля, то порожденный ею опера-
оператор является интегральным Вольтерра оператором.
А. Б. Бакушииский.
ВОЛЬФОВИЦА НЕРАВЕНСТВО — неравенство, оп-
определяющее нижнюю границу для математич. ожидания
квадрата отклонения статистич. оценки от истинного
значения параметра, полученного методом последова-
последовательного анализа. В. н. является аналогом Рао — Кра-
Крамера неравенства для выборок постоянного объема. По-
Получено Дж. Вольфовицем (J. Wolfowitz).
И. В. Романовский.
ВОРОНОГО МЕТОД СУММИРОВАНИЯ - матрич-
матричный метод суммирования последовательности; опреде-
определяется числовой последовательностью {рп} и обозна-
обозначается символом (W, Рп). Последовательность {sn}
суммируется методом (W, рп) к числу S,
если
s»Pn + s1Pn_l+...+s,1p0
Ро + Pi + ¦ • ¦ + Р„
В частности, при ро=1, р& = 0, А^1, суммируемость
последовательности методом (W, рп) к числу S означает,
что эта последовательность сходится к S. При р& = 1,
fo^O получается Чезаро метод суммирования. Если ро^>
>0, p^^sl, k^l, то метод (W, рп) является регулярным
методом суммирования тогда и только тогда, когда
р„/(ро-гР1+- • -+Рл)->0. Два любых регулярных метода
(W, рп) и (W, р"п) совместны (см. Совместность методов
суммирования).
В. м. с. был впервые введен Г. Ф. Вороным [1] и был
переоткрыт в 1919 Н. Э. Нёрлундом (N. E. Norlund).
Поэтому иногда в зарубежных источниках методы
(W, рп) наз. методами Нёрлунда и обознача-
обозначаются (.V, р„) или N(pn).
Лит.: [11 Вороной Г. Ф., в кн.: Дневник одиннадца-
одиннадцатого съезда русских естествоиспытателей и врачей, СПБ, 1902,
с. 60—61" [2] X а р д и Г. Расходящиеся ряды, пер. с англ.,
1Г., 1951, с. 88—121. Ф. И. Харшиладзе.
ВОРОНОГО ТИПЫ РЕШЕТОК - типы точечных
решеток «-мерного евклидова пространства Е", введен-
введенные Г. Ф. Вороным в 1908 (см. [1]) в связи с задачей о
параллелоэдрах.
Множество точек е в Еп наз. (г, R)-c и с т е м о й,
если в нем нет точек ближе чем на фиксированном рас-
расстоянии г>0 друг от друга, и всякий шар радиуса,
большего чем фиксированное R, содержит хотя бы одну
точку из е. Пусть/? — выпуклый многогранник о б л а-
с т и Дирихле точки из системы е, т. е. области
точек пространства, к-рые отстоят от какой-либо точки
системы не дальше, чем от всех других ее точек. Области
Дирихле точек (г, Я)-системы е попарно не имеют общих
внутренних точек, покрывают все пространство (т. е.
образуют разбиение) и смежны целыми гранями
(т. е, составляют нормальное разбиение).
С той же системой е можно связать дуальное к {D } тоже
нормальное разбиение {L} на многогранники L (впи-
(вписанные в сферы), каждый из к-рых есть выпуклая обо-
оболочка точек системы е, соответствующих всем D, сходя-
сходящимся в вершине разбиения {D}.
Две n-мерные точечные решетки относятся к одному
типу Вороного, когда их разбиения {L} аффин-
ны друг другу. Если репер таков, что при любых доста-
достаточно малых изменениях его метрич. параметров (ска-
(скалярных квадратов ац и скалярных произведений а,?
Aфк) его векторов) разбиение решетки, построенной
на измененном репере, получается из разбиения {/,}
решетки, построенной на исходном репере тем же аф-
аффинным преобразованием, к-рое переводит исходный ре-
репер в измененный репер, то репер наз. примитив-
примитивным или общи м. Для этого необходимо и доста-
достаточно, чтобы разбиение {L} для исходного репера было
симплициальным. Точка М пространства Е^ параметров
aik (гДе Лг=«(п+1)/2), соответствующая такому реперу
тоже наз. общей. Полная линейно связная область
Д, содержащая общую точку, в к-рой разбиения {L}
для всех ее точек получаются из разбиения {L} для
решетки, построенной на репере, соответствующем точке
М, теми же аффинными преобразованиями, при помощи
к-рых реперы, соответствующие этим точкам, получают-
получаются из репера, соответствующего точке М, наз.
областью типа точки М. Г. Ф. Вороной до-
доказал, что в EN область Д имеет вид выпуклого много-
многогранного угла (гоноэдра) с вершиной в начале коорди-
координат и с конечным числом граней и что для любого
заданного п существует лишь конечное число \р неэкви-
неэквивалентных областей Д. Он дал также алгорифм для их
нахождения (см. [1]). Для га=1, 2, 3, 4 число ty равно
соответственно 1, 1, 1, 3. Г. Ф. Вороной доказал также,
что самое общее (т. е. не обязательно разбиение Дирих-
Дирихле) нормальное разбиение Еп на одинаковые выпуклые и
параллельно расположенные многогранники, сходящи-
сходящиеся по га+1 в вершинах (примитивные параллелоэдры),
есть аффинный образ разбиения {D} для решетки, и
свел, таким образом, изучение этих параллелоэдров к
теории квадратичных форм. Для ненримитивных парал-
параллелоэдров (т. е. в случае, когда в нек-рых вершинах
сходится больше чем re-f-1 параллелоэдр) вопрос о воз-
возможности их аффинно преобразовать в область D решет-
решетки для произвольного п пока A977) открыт. Известно
только его положительное решение для «=2, 3, 4
(см. [21).
Примитивная область D для двумерной решетки есть
выпуклый шестиугольник с центром симметрии, впи-
вписанный в круг, и обратно. В случае трехмерной решетки
это нек-рый 14-гранник, комбинаторно такой же, как
кубооктаэдр с восмью шестиугольными и шестью четы-
четырехугольными гранями, грани к-рого имеют центры сим-
симметрии, и такой, что отрезки, идущие из его центра в
центры граней, перпендикулярны к граням, и обратно.
Непримитивная область D при п= 2 — прямоугольник, а
при ге=3— или додекаэдр с четырьмя шестиугольными и
восмью параллелограмматич. гранями, или параллоло-
грамматич. додекаэдр, или прямая шестиугольная приз-
призма с основанием—примитивным двумерным D, или пря-
прямоугольный параллелепипед. Для п = 4 имеется 3 прими-
примитивных D разных В. т. р. и 49 неиримитивных. При пе-
переходе к «=5 происходит скачок — для «=5 уже 221
различных примитивных D (см. [4]). Этот результат был
получен введением нового понятия С-т и и а решет-
к и: в один С-тип относят те решетки, у к-рых аффшгаы
друг другу не сами разбиения {L}, а лишь их одно-
одномерные остовы.
Лит.: [1] В о р о н о й Г. Ф., Собр. соч., т. 2, К., 1952,
с. 239—368; [2] Д е л о н е Б. Н., «Изв. АН СССР, 7 сер., Отд.
фиа.-матем. наук», 1929, J4s 1, с. 79 — 110; № 2, с. 147—64;
[3] его же, «Успехи матем. наук», 1937, в. .4, с. 16—62;
1938, в. 4, с. 102—64; [4] Рышков С. С, Баранов-
Барановский Е. П., «Тр. матем. ин-та АН СССР», 1975, т. 137, с. 1 —
133. В. Н. Делоне.
ВОССТАНОВЛЕНИЯ ТЕОРИЯ — раздел теории ве-
вероятностей, описывающий широкий круг явлений, свя-
связанных с отказом и восстановлением элементов какой-
либо системы. Основные понятия в В. т.— понятия про-
процесса восстановления и уравнения восстановления.
Процесс восстановления описывается с
помощью классич. схемы сумм независимых случайных
величин следующим образом. Пусть ?ь ?2. • •• — после-
последовательность независимых, неотрицательных, одинако-
одинаково распределенных случайных величин с функцией рас-
распределения F(x). Пусть ?0=0, Sn=§i+52+- • - + 1п,
ri^i. Процесс восстановления Nf определяется следую-
следующим образом
Nt = max{n:^n^t\. A)
Если !,¦ интерпретировать как длительности работы
к.-л. последовательно заменяемых элементов, то слу-
чайная величина N-t равна числу замен (или восстанов-
восстановлений) этих элементов за время t. При исследовании Nf
большую роль играет функция восстановле-
восстановления Н(?) = ЕЛ*. Эта функция удовлетворяет урав-
уравнению восстановления:
H(t) = F(t)+['H(t-u)dF(u). B)
В случае, когда F(t) = l — е~Р*, t^O, имеет место важ-
важный частный случай процесса восстановления — пуас-
соновский процесс, в К-ром
и () p
Процесс восстановления ATt и уравнение восстановле-
восстановления B) имеют большое значение при исследовании
различных задач как прикладного, так и теоретич. ха-
характера в теории массового обслуживания, в теории на-
надежности, в теории запасов, в теории ветвящихся процес-
процессов и т. п. Значительное количество результатов в В. т.
связано с изучением асимптотических при t—>-oo свойств
функции восстановления H(t). В элементарной теореме
восстановления утверждается, что
где т=Е§,-. Д. Блэкуэлл (D. Blackwell, 1948) доказал
(см. [1]), что в случае, если распределение |,- не сосредо-
сосредоточено на к.-л. арифметич. решетке вида {0, d, 2d, ....},
d>0, то при любом А>0
lim [II(t + h)-H(t)] = -±-. D)
t —*- х
Имеются многочисленные результаты, обобщающие и
уточняющие C) и D) в различных направлениях. С по-
помощью результатов тина C) и D) изучаются асимптотич.
свойства решения X (t) уравнения типа вос-
восстановления
X(t)=K(t)+\i'oX(t-u)dF(u),
в к-ром свободный член К (t) есть нек-рая функция, от-
отличная от F (t) и удовлетворяющая тем или иным усло-
условиям.
Из определения A) вытекает соотношение
Р{ЛГ,Згя} = Р{5„<*}. E)
Поскольку предельные теоремы для сумм ?„ независи-
независимых слагаемых хорошо изучены, то соотношение E)
позволяет получать предельные теоремы для числа вос-
восстановлений Nf.
Имеется большое количество обобщений изложенной
выше схемы. Одно из таких обобщений, связанное с
полумарковскими процессами, дает так наз. марков-
марковский процесс восстановления, в к-ром
система имеет какое-то количество состояний и времена
работы отдельных элементов являются случайными ве-
величинами, зависящими от состояний системы до п после
момента восстановления.
Лит.: [1] Кокс Д. Р., Смит В. Л., Теория восста-
восстановления, пер. с англ., М., 1967. Б. А. Севастьянов.
ВПИСАННАЯ ЛОМАНАЯ — линия L, состоящая
из конечного числа п прямолинейных отрезков A0Ai,
АхАг, ..., Ап-^Ап, концы к-рых А,-, г=0, 1, . . ., п
расположены на данной плоской или пространственной
линии Г, причем точки А; берутся в порядке возраста-
возрастания параметра на кривой. Напр., частным случаем В. л.
при п=2 является вписанный угол. См. также Вписан-
Вписанные и описанные фигуры. М. И. Войцеховский.
ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ФИГУРЫ. Много-
Многоугольник наз. вписанным в выпуклую кривую, а
кривая — описанной около многоугольника, если
все вершины многоугольника лежат на кривой (рис. 1).
Многоугольник наз. описанным вокруг выпуклой
кривой, а кривая — вписанной (вневписан-
н о й) в многоугольник, если каждая сторона много-
многоугольника (или ее продолжение) касается кривой. В ка-
Рис. 1.
честве кривой чаще всего рассматривается окружность.
Так, напр., всякий треугольник имеет одну описанную
окружность и четыре вписанных, из к-рых три являются
вневписанными (рис. 2).
Рис. 2.
Рис. 3.
В. и о. ф. рассматриваются и в пространстве. В этом
случае вместо многоугольника рассматривается много-
многогранник, а вместо выпуклой линии — выпуклая поверх-
поверхность, чаще всего сфера. Иногда говорят также о кону-
конусе, вписанном в сферу, о сфере, вписанной в конус
(рис. 3) и т. ц.
Лит.: [1] Перепелкин Д. И., Курс элементарной
геометрии, ч. 1—2, М.—Л., 1948—49. А. Б. Иванов.
ВПИСАННЫЙ УГОЛ — угол, вершина к-рого лежит
на плоской кривой, а стороны являются хордами этой
кривой. Если кривая есть окружность, В. у. равен
половине соответствующего центрального угла.
ВПОЛНЕ АДДИТИВНАЯ ФУНКЦИЯ м н о ж е с т-
в а (в анализе) — обычно счетно аддитивная функция.
ВПОЛНЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ —
подмногообразие Мп риманова пространства VN такое,
что геодезические линии М" являются одновременно гео-
геодезическими в VN. В. г. м. характеризуется тем, что
вторая квадратичная форма, соответствующая любому
нормальному к Мп вектору, обращается в нуль (что
равносильно равенству нулю всех нормальных кривизн
Мп}. №¦ И. Войцеховский.
ВПОЛНЕ ДЕДЕКИНДОВА РЕШЕТКА — полная ре-
решетка, в к-рой для любых ее элементов а;, Ь;, г?/, та-
таких, что aj^zbj, при 1ф] имеет место равенство
(П,е/«/) П (и1(=/Ь,) = иге/КПЬ,)-
Всякая В. д. р. является дедекиндовой. Если в универ-
универсальной алгебре конгруэнции перестановочны, то решет-
решетка конгруэнции этой алгебры вполне дедекиндова [1].
Лит.: П] D winger Ph., «Proc. Neder. Ac», 1958,
ser. A, v. 61, p. 70 — 76. О. А. Иванова.
ВПОЛНЕ ЗАМКНУТОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — непре-
непрерывное отображение / : X—yY, обладающее следующим
свойством: для любой точки y?Y и всякого такого
конечного семейства {Olt ..., Os} открытых подмно-
подмножеств пространства X, что f~1y[)Si=i0i, множество
{у}U (Ui=if*Oi) открыто. При этом через /*<9,- обозна-
обозначается малый образ множества О, относительно отобра-
отображения /. Всякое В. з. о. замкнуто. Для всякого В. з. о.
/ : X—>-У нормального пространства X справедливо не-
неравенство dim X«:max{dim У, dim /}. Поэтому с помо-
помощью В. з. о. удается выделить достаточно широкие клас-
классы бикомпактов с несовпадающими размерностями dim и
ind. Кроме того, dim y<:dim X-\-\ независимо от крат-
кратности отображения /. Пусть г/?У, / : X—*-Y — В. з. о. и
^ (/. у) ~ разбиение пространства X, элементами к-ро-
го являются все прообразы f~ly' точек и все точки из
f~'y. Тогда для регулярного пространства X фактор-
пространство Xf пространства X относительно разбие-
разбиения R (/, у) также является регулярным, это свойство —
характеристическое для В. з. о. в классе замкнутых ото-
отображений. В. В. Феворчук
ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬ-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение вида
для к-рого через каждую точку нек-рой области в про-
пространстве R" проходит (ге— 1)-мерное интегральное
многообразие. Необходимым и достаточным условием
полной интегрируемости дифференциального уравнения
(*) является условие Фробениуса <мл^со=О
(Л — знак внешнего произведения, см. [1]). Для п=3
это условие принимает вид:
-г—^-± 1 = 0.
дх* ) ' 2V дх
Иногда вместо уравнения (*) рассматривают систему
уравнений (см. [2]):
dx
l = ^"I1 a) (x, t)dU, i =
Условия полной интегрируемости в этом случае прини-
принимают вид:
да) , да)
а) да)
Т (*, t)alk(x, t)+—L(x, t) =
1 k
dx' dtk
1 0а1ь г да{,
l=l—±(x, t)a)(x, ОН j{?, t),
i, j, Л = 1, . . ., п.
Семейство интегральных многообразий В. и. д. у. пред-
представляет собой слоение (см. [3]).
Лит.: [1] Frobenius G., «J. reine und angew.
Math.», 1877, Bd 82, S. 230—315; [2] Немыцкий В. В.,
«Матем. сб.», 1948, т. 23 F5), с. 161—86; [3] Новиков С. П.,
«Тр. Моск. матем. об-ва», 1965, т. 14, с. 248—78. Л. Э. Рейзинъ,
ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЙ ОПЕРАТОР, вполне
непрерывное отображение,— непрерыв-
непрерывный оператор /, действующий из одного банахова про-
пространства X в другое пространство У и переводящий
слабо сходящуюся в X последовательность в последова-
последовательность, сходящуюся по норме в У. При этом пред-
предполагается сепарабельность пространства X (для Y
это требование необязательно; впрочем, область значе-
значений В. н. о. всегда сепарабельна). Другими словами,
оператор / вполне непрерывен, если он отображает про-
произвольное ограниченное подмножество X в компактное
подмножество У. Класс В. н. о. является важнейшим
подклассом совокупности компактных операторов, со-
содержащим, в частности, все компактные аддитивные опе-
операторы.
Определение (линейных) В. н. о. и простейшие их
свойства были в 1904—06 высказаны Д. Гильбертом (см.
[1]) для пространств 1г и L2 (см. Гильбертово простран-
пространство) и Ф. Риссом [2] (определение через компактность),
а в общем случае — С. Банахом [3] (определение через
последовательности). Термин «компактный оператор»
становится более употребительным в связи с использова-
нием более общих, чем банаховы, топологических век-
векторных пространств.
Лит.: [1] II i 1 Ь е г t D., Grimdziigc einer allgemeinen: Theorie
der linearen Integralgleiehunsen, Lpz.—В., 1912; [2] Riesi F.,
«C. r. Acad. sci.», 1907, t. 149, p. 974—77; [3] В a n а с h S.,
Theorie des operations lineaires, Warsz., 1932.
M. И. Воьцеховский.
ВПОЛНЕ НЕПРИВОДИМОЕ МНОЖЕСТВО — мно-
множество М линейных операторов в локально выпуклом
топологическом векторном пространстве Е, всюду
плотное в алгебре S (Е) всех слабо непрерывных линей-
линейных операторов в Е; при этом S (Е) рассматривается в
слабой операторной топологии. Понятие В. н. м., вве-
введенное первоначально для случая банахова простран-
пространства, оказалось полезным в теории представлений групп,
главным образом для полупростых групп Ли. Если М
есть В. н. м., то оно также топологически неприводимо.
т. е. всякое замкнутое подпространство в Е, инвариант-
инвариантное относительно М, совпадает с нулем или со всем Е.
Если М есть В. н. м., то его коммутант в S (Е) состоит
из операторов, кратных единице. Свойство полной не-
неприводимости равносильно свойству тоцологич. непри-
неприводимости в следующих случаях: 1) dim ?<оо, 2) М —
полугруппа унитарных операторов в гильбертовом
пространстве.
Лит.: [1] Ж е л о б е н к о Д. П., Гармонический ана-
анализ на полупростых комплексных группах Ли, М., 19 74.
Д. П. Желобенко.
ВПОЛНЕ НЕСВЯЗНОЕ ПРОСТРАНСТВО — прост-
пространство, в к-ром всякое подмножество, содержащее бо-
более одной точки, несвязно. Равносильное условие: ком-
компонента связности любой точки пространства состоит из
одной этой точки. Топологич. произведение и топологич.
сумма В. н. п., равно как и любое подпространство
В. н. п., вполне несвязны. Любой вполне несвязный
бикомпакт нульмерен (во всех смыслах). Такие биком-
бикомпакты важны, в частности, потому, что они являются
стоуновскими пространствами булевых алгебр. Построе-
Построено В. н. п. (веер Кнастера — Куратов-
с к о г о), лежащее на плоскости и превращающееся в
связное пространство после присоединения к нему
всего лишь одной точки. Это пространство не нульмер-
нульмерно. Подпространство гильбертова пространства, обра-
образованное точками, все координаты к-рых рациональны,
вполне несвязно и одномерно. Если в пространстве
каждая точка является пересечением всех открыто замк-
замкнутых множеств, его содержащих, то это В. н. п. (в
частности, вполне несвязны все нульмерные простран-
пространства). Однако существует вполне несвязное метрич.
пространство со счетной базой, в к-ром не всякая точка
является пересечением содержащих ее открыто замкну-
замкнутых множеств.
Лит.: [1] Г у р е в и ч В., В о л м э н Г., Теория раз-
размерности, пер. с англ., М., 1948; [2] Engelking R., Out-
Outline of General Topology, Amst., 19B8; [3] Келли Д ж. Л.,
Общая топология, пер. с англ., М., 1968; [4] Б у р б а к и Н.,
Общая топология. Основные структуры, пер. с франц., М.,
1968. А. В. Архангельский, Б. А. Ефимов.
ВПОЛНЕ НЕСОВЕРШЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО —то-
нологич. пространство, не содержащее никакого под-
подмножества, гомеоморфного канторову множеству.
Напр., всякое полное сепарабельное несчетное простран-
пространство содержит несчетное подпространство, являющееся
(вместе С его дополнением) В. Н. П. А А Мальцев
ВПОЛНЕ НОРМАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО — прост-
пространство, в к-ром для любых двух подмножеств А, В,
удовлетворяющих условиям [А][)В = 0, A f][B]~0,
имеются дизъюнктные окрестности; здесь [А] и [В] —
замыкания множеств А и В, а 0 — пустое множество.
В. н. п. и только они наследственно нормальны. Совер-
Совершенно нормальные пространства являются В. н. п.
Обратное неверно. Существуют также нормальные про-
пространства, не являющиеся В. Н. п. в И. Пономарев.
ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО в мет-
метрическом пространстве — то же, что впол-
не ограниченное подпространство данного метркч. про-
пространства. См. Вполне ограниченное пространство.
А. В. Архангельский.
ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО —мет-
—метрическое пространство X, к-рое при любом е>0 может
быть представлено как объединение конечного числа
множеств диаметра меньше е. Равносильное условие:
для каждого е>0 в пространстве X существует конеч-
конечная е-с е т ь, т. е. такое конечное множество А, что
каждая точка множества X отстоит от нек-рой точки
множества А на расстоянии, меньшем е. В. о. п. яв-
являются те и только те метрич. пространства, к-рые могут
быть представлены как подпространства метрич. биком-
бикомпактных пространств. Метрич. В. о. п., рассматривае-
рассматриваемые как топологические, в точности исчерпывают все
регулярные пространства со счетной базой. Подпро-
Подпространство евклидова пространства является В. о. п.
в том и только в том случае, если оно ограничено. Обрат-
Обратное неверно: бесконечное множество, в к-ром расстояние
между любыми двумя различными точками равно 1,
а также сфера и шар гильбертова пространства являются
ограниченными, но не вполне ограниченными метрич.
пространствами. О значении понятия В. о. п. свидетель-
свидетельствует теорема: метрич. пространство является компак-
компактом в том и только в том случае, если оно вполне огра-
ограничено и полно. Метрич. пополнение метрич. В. о. и.
есть компакт. Образ метрич. В. о. п. при равномерно
непрерывном отображении есть В. о. п.
Лит.: [1] Келли Д ж. Л., Общая топология, пер. с
англ., М., 1968; [2] Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер.
с нем., М.—Л., 1937; [3] Александров П. С. Введе-
Введение в общую теорию множеств и функций, М.—Л., 1948; [4]
Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы функ-
функционального анализа, 4 изд., М., 1976. А. В. Архангельский.
ВПОЛНЕ ПРИВОДИМАЯ МАТРИЧНАЯ ГРУППА —
матричная группа G над произвольным фиксированным
полем Р, все матрицы к-рой одновременным сопряже-
сопряжением посредством нек-рой матрицы над Р можно приве-
привести кклеточно-диагональному виду,
т. е. к виду
где dj(x), i=l, . . ., т,— квадратные матрицы, а на ос-
остальных местах стоят нули, причем каждая матричная
группа di(G) неприводима (см. Неприводимая матричная
группа). На языке преобразований: группа G линейных
преобразований конечномерного векторного простран-
пространства V над полем наз. вполне приводимой, если выпол-
выполнено любое из трех следующих равносильных условий:
1) любое подпространство из V, инвариантное относи-
относительно G, имеет прямое дополнение, инвариантное отно-
относительно G (см. Инвариантное подпространство); 2) V
разлагается в прямую сумму минимальных инвариант-
инвариантных относительно G подпространств; 3) V порождается
минимальными инвариантными относительно G подпро-
подпространствами. Всякая конечная матричная группа бнад
полем, характеристика к-рого не делит порядок G, впол-
вполне приводима. Всякая нормальная подгруппа вполне
приводимой матричной группы сама вполне приводима.
Лит.: [1] Мерзляков Ю. И., Рациональные группы,
Новосибирск, 1967; [2] Холл М., Теория групп, пер.
с англ., М., 1962. Ю. И. Мерзляков.
ВПОЛНЕ ПРИВОДИМОЕ МНОЖЕСТВО — множест-
множество М линейных операторов в топологическом векторном
пространстве Е, обладающее тем свойством, что всякое
замкнутое подпространство в Е, инвариантное относи-
относительно М, имеет в Е инвариантное дополнение. В гиль-
гильбертовом пространстве Е всякое множество М, симмет-
симметричное относительно эрмитова сопряжения, есть В. п. м.
(в частности, всякая группа унитарных операторов есть
В. и. м.). Представление <р алгебры А (группы, кольца
и т. д.) наз. вполне приводимым, если множе-
ство М={ф(а), а?А} вполне приводимо. Если А —
компактная группа или полупростая связная группа
(алгебра) Ли, то всякое представление А в конечномер-
конечномерном векторном пространстве вполне приводимо (п р и-
н ц и и полной приводимости).
Лит.: [1| Желобенко Д. П., Компактные группы
Ли и их представления, М., 1970. Д. П. Желобенко.
ВПОЛНЕ ПРИВОДИМЫЙ МОДУЛЬ — модуль А
над ассоциативным кольцом R, представимый в виде
суммы своих неприводимых й-подмодулей (см. Не-
Неприводимый модуль). Эквивалентные определения: А
является суммой минимальных подмодулей; А изомор-
изоморфен прямой сумме неприводимых модулей; А совпадает
со своим цоколем. Подмодуль и фактормодуль В. п. м.
таюке вполне приводимы. Решетка подмодулей модуля
М является решеткой с дополнениями тогда и только
тогда, когда модуль М вполне приводим.
Если всякий правый Я-модуль над кольцом R вполне
приводим, то и всякий левый 7?-модуль вполне приво-
приводим, и обратно; в этом случае R наз. вполне при-
приводимым кольцом, или классически полу простым
кольцом. Для того чтобы кольцо R было вполне приво-
приводимо, достаточно, чтобы оно, рассматриваемое как левый
(правый) модуль над собой, было вполне приводимо.
Лит.: [1] Л а м б е к И., Кольца и модули, пер. с англ.,
М., 1971; [21 Джекобсон Н., Строение колец, пер. с
англ., М., 1961. О. А. Иванова.
ВПОЛНЕ ПРОСТАЯ ПОЛУГРУППА — один из важ-
важнейших типов простых полугрупп. Полугруппа S наз.
вполне простой (вполне 0-простой — в. 0-п. п), если
она идеально проста @-проста) и содержит прими-
примитивный идемпотент, т.е. ненулевой идем-
потент, не являющийся единицей ни для какого нену-
ненулевого идемпотента из S. Присоединение нуля к В. п. п.
дает в. 0-п. п., поэтому многие свойства В. п. п. можно
непосредственно вывести из соответствующих свойств
в. 0-п. п.
Полугруппа S будет в. 0-п. п. тогда и только тогда,
когда она 0-проста и удовлетворяет одному из следую-
следующих условий: S обладает минимальными ненулевыми
левыми и правыми идеалами; нек-рая степень любого
элемента из S принадлежит подгруппе полугруппы S.
В частности, любая периодическая (и, тем более, конеч-
конечная) 0-простая полугруппа будет в. 0-п. п. Всякая в.
0-п. п. есть О-бипростая регулярная полугруппа и явля-
является объединением своих минимальных ненулевых ле-
вых(правых) идеалов. Полугруппа S будет В. п. п. то-
тогда и только тогда, когда она удовлетворяет одному из
следующих условий: S есть прямоугольная связка (см.
Связка полугрупп) групп (которые необходимо изоморф-
изоморфны); S регулярная и все ее идемпотенты примитивны.
Специальный тип В. п. п.— прямоугольная
группа — прямое произведение группы на прямоу-
прямоугольную полугруппу (см. Идемпотентов полугруппа).
В свою очередь, частным случаем последней является
правая группа (левая группа). Важное представление
в. 0-п. п. дает теорема Риса: полугруппа будет
в. 0-п. п. тогда и только тогда, когда она изоморфна ре-
регулярной рисовской полугруппе матричного типа над
группой с присоединенным нулем.
С рассмотрения конечных В. п. п. фактически нача-
началось развитие теории полугрупп (см. Полугруппа).
В. 0-п. п. и В. п. п. часто возникают в различных тео-
теоретико-полугрупповых исследованиях и составляют
один из наиболее изученных типов полугрупп.
Лит.: [1] Клиффорд А., Престон Г., Алгебраи-
Алгебраическая теория полугрупп, т. 1, 2, пер. с англ., М., 1972; И
Л япин Е. С, Полугруппы, М., 1960; [3]Карр К., Schnei-
Schneider Н., Completely O-simple semigroups, N. Y.—Amst., 1969.
Л. H. Шеврип.
ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНАЯ ПОЛУГРУППА — то же,
что клиффордова полугруппа.
ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — топо-
топологическое пространство, в к-ром всякие два множест-
ва, из к-рых одно замкнуто, а другое состоит лишь из
одной точки, функционально отделимы (см. Отделимо-
Отделимости аксиомы). В. р. п., в к-рых все одноточечные мно-
множества замкнуты (т. е. вполне регулярные ^-простран-
^-пространства), часто наз. тихоновскими простран-
пространствами. Они образуют один из важнейших классов
топологич. пространств, выделяющийся многими заме-
замечательными свойствами и особенно часто встречающийся
в приложениях топологии к другим областям математи-
математики. Так, напр., пространство всякой топологич. группы
является В. р. п., но может не быть нормальным про-
пространством. Все тихоновские пространства являются ха-
усдорфовыми н могут быть определены как пространст-
пространства, имеющие (хаусдорфовы) бикомпактные расширения,
т. е. как (даже всюду плотные) подпространства биком-
бикомпактов. Среди этих расширений данного пространства
имеется единственное с точностью до гомеоморфизма
максимальное или Стоуна — Чеха бикомпактное расши-
расширение, к-рое может быть непрерывно отображено на вся-
всякое (хаусдорфово) бикомпактное расширение данного
пространства так, что каждая его точка отображается
в себя.
Прямое определение тихоновских пространств без
привлечения действительных чисел и функций основано
(см. [3]) на рассмотрении двух сопряженных баз про-
пространства — открытой 58 и замкнутой 91, причем со-
сопряженность этих баз означает, что каждая база состо-
состоит из множества, дополнительных к множествам, соста-
составляющим другую базу. Такая пара {58, 91} сопряжен-
сопряженных баз наз. регулярной, если она удовлетворяет
следующим условиям: 1) всякие два дизъюнктные замк-
замкнутые множества базы 571 имеют дизъюнктные окрест-
окрестности, принадлежащие 58; 2) база 21 является сетью,
т. е. для произвольной точки х?_Х и ее произвольной
окрестности Ох в базе 58 найдется такой элемент В,
что X\xz^Bz^X\O (х). Для того чтобы ^-пространство
было вполне регулярным, необходимо и достаточно,
чтобы оно обладало хотя бы одной регулярной парой
сопряженных баз (теорема Зайцева).
Лит.: [1] Александров П. С, Введение в общую
теорию множеств и функций, М.—Л., 1948; [2] П о н т р я-
г и н Л. С, Непрерывные группы, 3 изд., М., 1970; [31 К е л-
л и Д ж. Л., Общая топология, пер. с англ., М., 1968: [4]
Александров П. С, Пасынков Б. А., Введение в
теорию размерности. Введение в теорию топологических про-
пространств и общую теорию размерности, М., 1973; [5] Зай-
Зайцев В. И., «Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем.», 1967, Л» 3, с.
48—57. П. С. Александров.
ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО — мно-
множество Р с заданным на нем бинарным отношением <:,
удовлетворяющим условиям:
1) для любых х, у?Р либо x^iy, либо у<ё.х;
2) если х-^у и у<.х, то х=г/;
3) если x^iy и y<.z, то z^iz;
4) в любом непустом подмножестве ХсР существует
такой элемент а, что а<;х для всех х?Х; таким обра-
образом В. у. м.—линейно упорядоченное множество, удов-
удовлетворяющее условию минимальности.
Понятие В. у. м. было введено Г. Кантором [1]. При-
Примером В. у. м. служит естественным образом упорядо-
упорядоченное множество натуральных чисел. С другой сторо-
стороны, отрезок действительных чисел [0, 1] с естественным
порядком не является В. у. м. Любое подмножество
В. у. м. само вполне упорядоченное. Декартово произ-
произведение конечного числа В. у. м. вполне упорядочено
отношенном лексикографического порядка. Линейно упо-
упорядоченное множество является вполне упорядоченным
тогда и только тогда, когда оно не содержит подмно-
подмножества, антипзоморфного (см. Антиизоморфизм час-
частично упорядоченных множеств) множеству натураль-
натуральных чисел.
Наименьший элемент В. у. м. Р наз. нулем (и обо-
обозначается 0). Для любого элемента а?Р множество
[0, а) = \х \х?Р, х < а)
наз. начальным отрезком множества Р. Для
всякого элемента а, не являющегося наибольшим в Р,
существует элемент, непосредственно следующий за
ним; его принято обозначать о+1. Элемент В. у. м.,
не имеющий непосредственно предшествующего, на-
называется предельным.
Теорема о сравнении. Для любых двух
В. у. м. Р1 и Р2 имеет место одна и только одна из сле-
следующих ситуаций: 1) Рх изоморфно Р2, 2) Рх изоморфно
некоторому начальному отрезку множества Р2, 3) Р2
изоморфно начальному отрезку множества Р1.
Принимая в числе аксиом теории множеств выбора
аксиому, можно доказать, что на всяком непустом мно-
множестве можно ввести отношение порядка, превращаю-
превращающее его во В. у. м. (т. е. всякое непустое множество
можно вполне упорядочить). Эта теорема, называемая
теоремой Цер мел о, на самом деле эквивалент-
эквивалентна аксиоме выбора. Теорема Цермело и теорема о срав-
сравнении служат основанием для сравнения множеств по
их мощности. Порядковые типы В. у. м. наз. транс-
ф и н и т а м и, или трансфинитными числами.
Лит.: [1] Cantor G., «Math. Ann.», 1883, Bd 21, S.
51—8; [2] Александров П. С., Введение в общую тео-
теорию множеств и функций, М.—Л., 1948; [3] Хаусдорф Ф,,
Теория множеств, пер. с нем., М.—Л., 1937; Г4] Бур-
баки Н., Теория множеств, пер. с франц., М., 1965; [5]
Куратовский К., Мостовский А., Теория мно-
множеств, пер с англ., М., 1970. Б. А. Ефимов, Т. С. Фофанова.
ВПОЛНЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ КОНГРУЭН-
КОНГРУЭНЦИЯ — конгруэнция 9 алгебраической системы А =
= {A,Q), к-рая выдерживает любой эндоморфизм и
этой системы, т. е. из xQy следует a (x)Qa (у) (х, у?А).
В. х. к. алгебраич. системы А образуют по включению
полную подрешетку CV(A) решетки С (А) всех йопгру-
энций системы А. Если Ш"[ — многообразие Q-систем и
F — свободная в Ш\ система счетного ранга, то решетка
CV(F) В. х. к. системы F инверсно изоморфна решетке
LV(W) всех подмногообразий многообразия 5J}. Всякая
конгруэнция х Q-алгебры А с конечным числом порож-
порождающих, имеющая конечный индекс в А (т. е. конечное
число смежных классов а/х, а?А), содержит В. х. к. 9
алгебры А, также имеющую конечный индекс в А.
Лит.: [1] Мальцев А. И., Алгебраические системы,
М., 1970. Д. М. Смирнов.
ВПОЛНЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ПОДГРУППА—
подгруппа группы G, инвариантная относительно всех
эндоморфизмов группы G. Совокупность всех В. х. п.
образует подрешетку в решетке всех подгрупп группы.
Коммутант и члены нижнего центрального ряда явля-
являются В. х. п. в произвольной группе. Более того, любая
вербальная подгруппа группы есть В. х. п. Для свобод-
свободных групп верно и обратное: любая В. х. п. является
вербальной.
Лит.: [11 Магнус В., К а р р а с А., С о л и т э р Д.,
Комбинаторная теория групп, пер. с англ.. М., 1974.
В. Н. Ремесле}тиков.
ВРАЩЕНИЕ — частный случай движения, при к-ром
по крайней мере одна точка пространства остается не-
неподвижной. При В. плоскости неподвижная точка наз.
центром вращения, при В. пространства не-
неподвижная прямая — осью вращения. В. евк-
евклидова пространства наз. с о.б ственным (В. 1-го
рода), или несобственным (В. 2-го рода) в за-
зависимости от того, сохраняет оно или не сохраняет ори-
ориентацию пространства.
На плоскости собственное В. выражается аналитиче-
аналитически в декартовых прямоугольных координатах (х, у)
при помощи формул (начало координат в центре В.)
х=х cos ф— у sin ф, у=х sin ф+г/ cos ф,
где ф — угол поворота. Собственное В. на угол ф может
быть представлено как произведение двух осевых сим-
симметрии с осями, пересекающимися под углом ф/2.
Несобственное В. на плоскости выражается аналитиче-
ски в декартовых прямоугольных координатах (х, у) при
помощи формул (начало координат в центре В.):
х=х cos ф+г/ sin ф,
у=х sin ф — у cos ф,
где ф — угол поворота. Несобственное В. на плоскости
может быть представлено как произведение собственного
В. на осевую симметрию.
В случае «-мерного евклидова пространства В. ана-
аналитически выражается с помощью ортогональной мат-
матрицы, к-рая приводится к канонич. виду:
О
М =
О
где I совф,- sm ф,-
' || —sin ср,- cos ф,-1|'
es— единичная матрица порядка s(s=p, q). Возможны
следующие случаи:
1) р=п — тождественное преобразование;
2) д=п — В. является центральной симметрией;
3) p-\-q=n — В. является симметрией относительно
/^-плоскости (отражением от р-плоскости);
4) М не содержит подматриц гр и — е? — В. наз,
поворотом вокруг единственной неподвиж-
неподвижной точки;
5) М содержит подматрицы и,- и е^,, но не содержит
подматрицу — Bq — В. наз. поворотом вокруг
р-п л о с к о с т и;
6) М содержит подматрицы щ и — е?, но не содержит
подматрицы Ир — В. наз. поворотным отра-
отражением от (п— д)-а л о с к о с т и.
В. евклидова пространства Еп вокруг данной точки
образует группу относительно операции умножения
В., изоморфную группе ортогональных преобразований
векторного пространства Я" или группе ортогональных
матриц порядка п над полем R. Группа В. пространства
Еп является п(п— 1)/2-мерной группой Ли и действует
в Еп интранзитивно.
Лит.: [1] Розенфельд Б. А., Многомерные прост-
пространства, М., 1Я66; [2] его же, Неевклидовы пространства,
М., 1969; L3] Широков П. А., Тензорное исчисление. Ал-
Алгебра тензоров, 2 изд., Казань, 1961. в. Т Базылев
ВРАЩЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ на плоек о:
с т и — одна из его гомотопически инвариантных харак-
характеристик. Пусть X — векторное поле в области G евкли-
евклидовой плоскости ?2, 0 — угол между X и нек-рым фикси-
фиксированным направлением; тогда вращением век-
векторного поля X наз. деленное на 2я приращение
угла 0 при обходе замкнутой ориентированной кривой
Ь?Ег, вдоль к-рой ХфО. Так, напр., если L ~ глад-
гладкая класса С" кривая, то вращение касательного к L
(или нормального к L) поля т (или v) вдоль L равно де-
деленной на 2л полной кривизне L; если X — векторное
поле (с возможными изолированными особыми точками)
в G с жордановой границей dG то В. в. и. на 0G равно
сумме индексов особых точек X в замыкании G. (см. Осо-
Особой точки индекс). При гомотопной деформации L. не
проходящей через особые точки X, В. в. п. не изме-
изменяется.
Обобщением понятия В. в. и., заданного на га-мерном
многообразии М, расположенном в EN, является сте-
степень отображения его в (N— п)-мерную сферу; она свя-
связана с эйлеровой характеристикой. См. также Пуанкаре
теорема, Н'ронекера формула. м- И- Войцеховский.
ВРАЩЕНИИ ИНДИКАТРИСА, диаграмма
в р а щ е н и й,— одна из 12 Дарбу поверхностей, ассо-
ассоциированная с бесконечно малым изгибанием поверхно-
поверхности,— множество точек пространства, описываемое ра-
диус-вектором.у, параллельным вектору враще-
вращения (мгновенной угловой скорости), определяемому
уравнением dz=[ydx], где « — вектор скорости
бесконечно малого изгибания поверхности с радиус-
вектором ж. Аналогично вектором перемещений s=
= я—[уяв] определяется индикатриса (диа-
(диаграмма) перемещений.
Лит.: [1] Ефимов Н. В., «Успехи матем. наук», 1948,
т. 3, в. 2B4), с. 47—158; [2J К о н -Ф о с с е н С. Э., Некото-
Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М., 1959.
М. И. Войцеховский.
ВРАЩЕНИЙ МЕТОД, метод Я к о б и,—метод
решения полной проблемы собственных значений эрми-
эрмитовой матрицы, основанный на подобном преобразова-
преобразовании эрмитовой матрицы к диагональному виду с по-
помощью последовательности плоских вращении. В. м.—
итерационный метод, он имеет простую вычислительную
схему и всегда сходится, причем скорость сходимости
асимптотически квадратичная. Наличие кратных и
близких собственных значений у матрицы не вызывает
осложнений. В. м. позволяет вычислить собственные
значения как с нахождением собственных векторов, так
и без них. Система собственных векторов, вычисленная
по В. м., ортонормирована.
Идеи В. м. предложены в [1]. В современном виде это
один из наиболее развитых и эффективных по реализа-
реализации на ЭВМ методов решения полной проблемы собст-
собственных значений матрицы.
Классический В. м. состоит в построении последова-
последовательности матриц А0, Аг, А 2, , где Ап=А — исход-
исходная матрица, А^ = UkA^_ 1U^, U^ — матрица плоского
вращения, аннулирующего максимальный по модулю
внедиагональный элемент матрицы А^-х- При этом,
если Ah = \\aif\\, \a%~1)\=max\a'lf~1'\, то матрица
С//г = |[цG>11 отличается от единичной лишь элементами
ир%, uqq, ufy, Uqp. В действительном случае, когда
А — симметрическая матрица,
и'рр = "w =" cos Ф; и% = - «$ = sin ср,
(.н\
РР 41
В комплексном случае соотношения (*) незначительно
усложняются.
Последовательность матриц А^ сходится к диаго-
диагональной матрице Л, скорость сходимости асимптотиче-
асимптотически квадратичная. Диагональные элементы матрицы Л
являются приближенными собственными значениями А,
а столбцы матрицы Lnk>= UtU2. . . U^ — приближенны-
приближенными собственными векторами.
Реализация описанного варианта В, м. требует выбо-
выбора максимального по модулю внедиагонального эле-
элемента матрицы на каждом шаге. Для выполнения этой
операции на ЭВМ требуется значительный объем вычис-
вычислительной работы.
Существуют другие варианты В. м., более эффектив-
эффективные в этом отношении: цнклич. В. м., В. м. с барьером,
В. м. с выбором оптимального элемента.
В циклическом В.м. пары индексов (р, д) анну-
аннулирующего элемента пробегают циклически все над-
диагональные позиции. Недостатком этого процесса
является возможность выполнения большого числа не-
неэффективных вращений, аннулирующих малые виедиа-
гональные элементы.
Этот недостаток частично устраняется в барьер-
барьерном В. м., в к-ром вводится монотонно убывающая к
нулю последовательность чисел а1; сс2, . . . . , называе-
называемых барьерами, и при циклич. просмотре индексов
(р, д) аннулируются лишь те внеднагональные элемен-
элементы, к-рые по модулю меньше ах. После того, как все
внеднагональные элементы стали меньше ах, барьер ах
заменяется на барьер а2 и процесс продолжается. Прак-
тич. использование этого варианта В. м. встречает ряд
трудностей, связанных с выбором оптимального барьера.
Наиболее эффективным для использования в вычис-
вычислительной практике является В. м. с в ы б о р о м оп-
оптимального элемента [4]. В этом методе
пары индексов (р, д) соответствуют почти максимально-
максимальному элементу и выбираются так, что р — номер строки
с максимальной евклидовой длиной, д — номер столбца
максимального по модулю внедиагонального элемента
р-й строки. Поскольку на каждом таге процесса строки
матрицы, за исключением р-й и q-й, не меняют длины,
то выбор индексов (р, д) существенно не увеличивает
общего объема вычислений. Вся теория классич. В. м.
полностью переносится на описанную модификацию [2].
Расчетные формулы В. м., реализующие вычисление
(*), обеспечивают сходимость процесса В. м. в реаль-
реальных условиях машинной арифметики и высокую точ-
точность как собственных значений, так и собственных
векторов [5].
Лит.: [1] J а с о b i С. G. J., «J. reine und ang:ew. Math.»,
1846, Bd 30, S. 51—94; [2J Воеводин В. В., Численные
методы алгебры, М., 1966; [3] Уилкинсон Дж. X.,
Алгебраическая проблема собственных значений, пер. с англ.,
М., 1970; [4] Воеводин В. В., К и м Г. Д., Программа
для нахождения собственных значений и собственных векторов
симметрической матрицы методом вращений, в сб.: Вычисли-
Вычислительные методы и программирование, М., 1962, с. 269—77;
[5] Ким Г. Д., в сб.: Численный анализ на ФОРТРАН'е,
в. 3, М., 1973, с. 97—113. Г. Д. Ним.
ВРАЩЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЬ — поверхность, опи-
описываемая вращением плоской кривой L вокруг оси, ле-
лежащей в ее плоскости. Если L определяется уравне-
уравнениями p=p(u), z=z(m), to радиус-вектор В. п. есть
r={p(u) cos v, р(и) sin v, z(u)}, где и — параметр
кривой L, р — расстояние точки поверхности от оси
вращения, v — угол поворота. Линейный элемент
В. п.:
ds2 = (р" 4- z'2) du2 + р2 dv2.
Гауссова кривизна Х= — z'M/pN*, средняя кривизна
H=(z'X--pM)/2pN3, где M=z'p"-z"p', N= Vp'2+z'2.
Линии «=const наз. параллелями В. п. и пред-
представляют собой окружности, расположенные в плоско-
плоскости, перпендикулярной оси вращения, с центрами на
этой оси. Линии y=const наз. меридианами; все
они конгруэнтны вращаемой кривой и лежат в плоско-
плоскостях, проходящих через ось вращения. Меридианы и
параллели В. п. являются линиями кривизны и обра-
образуют изотермическую сеть.
В. п. допускает изгибание также в В. п., при к-ром
сеть линий кривизны сохраняется и является потому
главным основанием изгибания. Омбилические точки
В. п. расположены на тех широтах, на к-рых центр кри-
кривизны меридиана лежит на оси вращения. Произведе-
Произведение радиуса параллели на косинус угла, под к-рым
геодезич. линия В. п. пересекает параллель, постоян-
постоянно вдоль геодезической (теорема Клер о).
Единственная минимальная В. п.— катеноид. Линей-
Линейчатая В. п. есть однополостный гиперболоид или его
вырождения: цилиндр, конус или плоскость. В. п.,
имеющая более одной оси вращения, есть сфера или
ПЛОСКОСТЬ. И. X. Сабитов.
ВРАЩЕНИЯ ТЕОРЕМЫ — теоремы, характеризую-
характеризующие изменение аргумента при конформном отображе-
отображении. В. т. в классе S функций /(z) = z4rc2z2+. . ., регу-
регулярных и однолистных в круге \z\ <1, дает точные оцен-
оценки аргумента производной для функций этого класса:
Здесь рассматривается та ветвь arg /'(z), к-рая равна ну-
нулю при z=0. Верхние и нижние границы для arg /'(z),
устанавливаемые неравенствами (*), являются точными
при любом z из круга \z\ <1. Эта В. т. получена Г. М. Го-
лузиным (см. [1], [5]; точность неравенств (*) при 2~ /2<
< |z| <1 впервые доказана в [2]; полный анализ случаев
равенства в этих оценках дается в [3]).
Теоремами вращения в классе S наз. так-
также оценки arg (/(z)/z) и оценки выражений вида
A.arg/'(z) — (I— A.)arg^-\ 0 < к < 1.
Простейшими оценками такого рода в классе S являют-
являются точные неравенства (рассматриваются соответствую-
соответствующие ветви аргументов):
В. т. имеются и в других классах функций, реализую-
реализующих однолистное конформное отображение круга или
его внешности, и в классах функций, однолистных в
многосвязной области (см. [5], [3], Искажения теоремы,
Однолистная функция). В. т. распространены также на
случай р-листных функций (см. Добавления в [5], а
также Многолистная функция).
Лит.: [1] Г о л у з и н Г. М., «Матем. сб.», 1936, т. 1 D3),
в. 1, с. 127—35; [21 Базилевич И. Е., «Матем. сб.»,
1936, т. 1 D3), в. з, с. 283—92; [3] Д ж е н к и н с Д ж.. Од-
Однолистные функции и конформные отображения, пер. с англ.,
М., 1962; [4] Grunsky H., «Schr. Math. Sem. und Inst.
fur angew. Math. Univ. Berlin», 1932, Bd 1, S. 95—140; [5] Г o-
лузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексно-
комплексного переменного, 2 изд., М., 1966. Г. В. Кузьмина.
ВРЕМЕННОЙ РЯД — первоначально в статистич. ли-
литературе ряд наблюдений в различные моменты времени
(напр., экономические В. р., метеорологические В. р.).
В советской экономич. литературе наряду с термином
В. р. употребляется термин ряд динамики. С се-
середины 20-х гг. 20 в. В. р. часто означает наблюденную
реализацию анализируемого случайного процесса; ана-
анализ В. р. —статистич. анализ случайных процессов (см.
Статистические задачи теории случайных процессов).
И. А. Ибрагимов.
ВРОНСКИАН, определитель Вроньско-
г о,— определитель системы п вектор-функций размер-
размерности п
имеющий вид:
В. системы п скалярных функций
h(t), ••-, /«(')- B)
имеющих производные до (и— 1)-го порядка включитель-
включительно, есть определитель
h(t) ... fn(t)
/<"-X) @ •¦¦ /«-» (*)
Это понятие было введено Ю. Вроньским [1].
Если вектор-функции A) линейно зависимы на мни-
жестве Е, то
W(^{t), ..., Фп (())== 0, t ?E;
если скалярные функции B) линейно зависимы на мно-
множестве Е, то
w(h(t), ..., /.((«эо, t e е.
Обратные утверждения, вообще говоря, неверны: тож-
тождественное обращение В. в нуль на нек-ром множестве
не является достаточным условием линейной зависимо-
зависимости п функций на этом множестве.
Пусть вектор-функции A) суть решения линейной
однородной системы n-го порядка х' = Л (t)x с непрерыв-
непрерывной на интервале / (вХ «)-матрицеи А (?). Если эти ре-
решения составляют фундаментальную систему, то
WD>l(t), ..., Фп(*)) ^0, t ?1.
Если В. этих решений равен нулю хотя бы в одной точ-
точке /, то он тождественно равен нулю на /, а функции A)
линейно зависимы. Имеет место формула Л и у-
вилля:
1 (т), . .., Фп (т)) exp ^ Sp A (s) ds, т, t ? I,
где Sp A (t) — след матрицы A (t).
Пусть функции B) суть решения линейного однород-
однородного уравнения n-го порядка
y{n)-rPi (t) у'"-1>+ ¦ ¦ ¦ -тРп-i (*) У' +Рп (t)y = O
с непрерывными на интервале / коэффициентами. Если
эти решения составляют фундаментальную систему, то
WUlW, ¦-., fn(t)) 5^0, i ?/.
Если В. этих решений равен нулю хотя бы в одной точ-
точке /, то он тождественно равен нулю на /, а функции B)
линейно зависимы. Имеет место формула Л и у-
вилля:
WUiV), ..., /„(/)) =
= TF(/1(t), ..., /п(т))ехр[—^Pl(s)
Лит.: [l] H о ё n c-~W ronski J., Refutation de la
tlicorie des fonctions analitiques de Lagrange, P., 1812; [2]Понт-
рягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения,
4 изд., М., 1974. Н. X. Розов.
ВСЕОБЩНОСТИ КВАНТОР — логическая операция,
служащая для образования высказываний с помощью
оборота «для всех х». В формализованных языках В. к.
чаще всего обозначается уж, (уя), {х). Применяются
также обозначения (Ах), л, Г\х, Пл.. в. Е. Плиско.
ВСЮДУ ПЛОТНОЕ МНОЖЕСТВО А топологи-
топологического пространства X — множество, оп-
определяемое свойством: [Л]=Х, где [А\ — замыкание
множества А . Другими словами, в любом открытом в А'
множестве имеется хотя бы одна точка из множества А.
Употребляется также термин «плотное множе-
множество». А. А. Мальцев.
ВТОРАЯ АКСИОМА СЧЕТНОСТИ — понятие теоре-
теоретико-множественной топологии. Топологич. простран-
пространство удовлетворяет второй аксиоме счет-
н о с т и, если оно обладает счетной базой. Класс про-
пространств, удовлетворяющих В. а. с, выделен Ф. Хаус-
дорфом (F. Hausdorff); к этому классу принадлежат все
сепарабельные метрич. пространства. Всякое удовлет-
удовлетворяющее В. а. с. регулярное пространство со счет-
счетной бакой топологически содержится в гильберто-
гильбертовом кирпиче п, следовательно, метрпзуемо и сепара-
бельно (П. С. Урысон). Исследование регулярных про-
пространств, удовлетворяющих В. а.с., сводится к рассмот-
рассмотрению более конкретных объектов — подпространств
гильбертова кирпича, к-рые тем самым получают про-
прозрачную топологич. характеристику. Еще большую кон-
конкретизацию допускают конечномерные пространства со
Счетной базой. Б. Э. Шапировский.
ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ — частный случай «той
вариации функционала (см. также Гато вариация),
обобщающий понятие второй производной функции не-
нескольких переменных; используется в вариационном
исчислении. Согласно общему определению В. в. в точ-
точке х0 функционала f(x), определенного в нормированном
пространстве X, есть
При равенстве нулю первой вариации неотрицатель-
неотрицательность В. в. является необходимым, а строгая положи-
положительность
б2/ (х0, Л) 5г а || h ||2, а > О
при пск-рых допущениях — достаточным условием
локального минимума /(.г) в точке х0.
В простейшей (векторной) задаче классического ва-
вариационного исчисления В. в. функционала
/(*)= V*L (t, х, x)dt; L:[t0, t1]xRnXRn —> R
(рассматриваемого на векторных функциях класса С1
с закрепленными краевыми значениями x(to)=xo,
x(ti) = x1) имеет вид:
б2/ (xOl h) = С'; «A (t) h(t), fe (<)> +
+ 2<B (t) h (t), h (t)> + <C (t) h (t)oh (<)>) dt,
где (•, ¦) означает стандартное скалярное произведе-
произведение в R™, a A (t), В (t), С (t) — матрицы с коэффицнента-
дгь д*ь &-L ,
ми —:—т , соответственно (производные вы-
дхдх дхдх йхдх
числяются в точках кривой zo{t)). Целесообразно рас-
рассматривать функционал от h, определяемый формулой
(*), не только в пространстве С1, но и на более широком
пространстве W\ абсолютно непрерывных векторных
функций с интегрируемым квадратом модуля производ-
производной. В этом случае неотрицательность и строгая положи-
положительность В. в. формулируются в терминах неотрица^
тельности и строгой положительности матрицы A (t)
(Лежандра условие) и отсутствия сопряженных точек
(Якоби условие), что дает условия слабого минимума в.
вариационном исчислении.
Для вариационного исчисления в целом было прове-
проведено исследование В. в. для экстремалей, не обязатель-
обязательно доставляющих минимум (однако, по-прежнему,—
при выполнении условия Лежандра, см. [1]). Важней-
Важнейший результат — совпадение Морса индекса В. в. и
числа точек, сопряженных с ?0, на интервале (i0, t-j)
(см. [2]).
Лит.: [1] Morse M., The calculus of variations in the
large, N. Y., 1934; [2] Ми л нор Д ж., Теория Морса, пер.
с англ М. 1965. В. М. Тихомиров.
ВТОРАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА поверхно-
поверхности— квадратичная форма от дифференциалов коор-
координат на поверхности, к-рая характеризует локальную
структуру поверхности в окрестности обыкновенной
точки. Пусть поверхность
задана уравнением
Г = г (и, v),
где ми v — внутренние
координаты на поверх-
поверхности;
dr = Ги du + rv dv
— дифференциал радиус-вектора г вдоль выбранного
направления du/du смещения из точки М в точку М'
(см. рис.);
К ]
— единичный вектор нормали к поверхности в точке М
(здесь е= + 1, если тройка векторов {i'u, rv, п} правой
ориентации, и е= — 1 в противоположном случае). Удво-
Удвоенная главная линейная часть 26 отклонения РМ' точ-
точки М' поверхности от касательной плоскости в ее точ-
точке М равна
П = 2б = ( — dr, dn)=-
= (»•„„, н) du2 + 2 {rav, n) du dv l-b'vv, n) dv2;
она и наз. второй основной квадратич-
квадратичной формой поверхности.
Коэффициенты В. к. ф. обычно обозначают через
L = (fuu, п), M = (ruv, n), N = (rvv, n)
или в тензорных символах
( — dr, dn) = bllduis-tr2b12du dv + b22dv2.
Тензор bj,- наз. вторым основным тензо-
тензором поверхности.
О связи В. к. ф. с другими квадратичными формами
поверхности и лит. см. Квадратичные формы поверх-
поверхности. А. Б. Иванов.
ВТОРАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА - одна из краевых
задач для дифференциальных уравнений с частными
производными. Пусть, напр., в ограниченной области
й, в каждой точке границы Г к-рой существует нормаль,
задано эллиптич. уравнение 2-го порядка
/ \ д2и (х) . х~* п l / \ ди (х) , , ч
/=а ' OXjdx. /ш^1 =1 Ох;
+ c(z)u(z) = f(x),
где х=(хи z2, ¦ ¦ •, хп), гс>2. В. к. з. для уравнения (*)
в области Q наз. следующая задача: из множества всех
решений уравнения (*) требуется выделить те, к-рые в
каждой граничной точке имеют производные по внут-
внутренней конормали N и удовлетворяют условию
ди (х, t)
dN (ж)
где (f(x) — заданная функция. В. к. з. наз. также з а-
дачей Неймана.
Лит.: [1] Бицадзе А. В., Краевые задачи для эллип-
эллиптических уравнений второго порядка, М., 1966; [2] Влади-
м и р о в В. С, Уравнения математической физики, 2 изд., М.,
1971; [3] Миранда К., Уравнения с частными производ-
производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [4] Пет-
Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными произ-
производными, 3 изд., М., 1961. А. К. Гущин.
ВТОРОЕ СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО —про-
—пространство X", сопряженное к пространству X', сопря-
сопряженному к отделимому локально выпуклому пространст-
пространству X, наделенному сильной топологией. Каждый эле-
элемент х?Х порождает элемент F?X" по формуле F(f)=
= f(x) (f?X')- Если Х"=Х, то пространство X наз.
рефлексивным. Если X — бочечное пространство,
то линейное отображение я : x-^>-F является изоморф-
изоморфным вложением пространства X в пространство X",
наделенное сильной топологией. Вложение я наз. к а-
ноническим. Для нормированных пространств я
есть изометрическое вложение. м. И. Навец.
ВУРФ — упорядоченная совокупность п+2 точек
«-мерного проективного пространства при в>1 и четы-
четырех точек при п=1. В случае п>1 никакие п-\-1 точек
В. не принадлежат (п— 1)-мерному проективному про-
пространству. Два В. на прямой или на коническом сече-
сечении равны, если образующие их четверки точек цроек-
тивны. Над В. производятся операции сложения и ум-
умножения. При этом удобно пользоваться В. с тремя оди-
одинаковыми точками Ро, Pj, PTO— так наз. приве-
приведенными В. Таким образом операции над В. сводят-
сводятся к операциям над точками.
Суммой точек А и В (отличных от Р^) наз. точка
А-\-В, к-рая соответствует Ро в гиперболич. инволюции.
Операция сложения коммутативна и ассоциативна. Точ-
Точка Рв является нулевым элементом и для каждой точки
А имеется противоположная ~А: А-^( — А) = Ро-
Произведением точек А и В (отличных от
Ро, Рте) наз. точка АХ В, составляющая с Р1 пару в эл-
эллиптич. или гиперболич. инволюции. Операция умно-
умножения коммутативна и ассоциативна. Точка Р1 является
единичным элементом и для каждой точки А имеется
обратная ей А-1: АХА~1==Р1.
Лит.: [1] Von Staudt К., Beitrage zur Geometrie
der Lage, Nurnberg, 1856, № 2, S. 132—283; [2] К ок стер
X. С. Недействительная проективная плоскость, пер. с англ.,
М., 1959. А. Б. Иванов.
ВХОЖДЕНИЕ — слово специального вида, несущее в
себе полную информацию о расположении одного слова
внутри другого. Точнее, В. в алфавите А наз. слово
вида P*Q*R, где Р, Q, R — слова в нек-ром алфавите
А, а * не является буквой этого алфавита. В. P*Q*R
наз. В. слова Q в слово PQR. Слово Q наз. осно-
основой этого В., слова Р и R наз. его левым и пра-
правым крылом, соответственно. Понятие В. может
быть положено в основу системы понятий, удобной для
изучения синтаксической структуры слов того или
иного типа.
Лит.: [1] Марков А. А., Теория алгорифмов, «Тр. ма-
тем. ин-та АН СССР», 1954, т. 42, с. 25 — 34. Н. М. Нагорный.
ВЫБОРА АКСИОМА — одна из аксиом теории мно-
множеств, гласящая: для всякого семейства F непустых мно-
множеств существует функция / такая, что для всякого мно-
множества S из F имеет место f(S)?S (при этом / паз.
функцией выбора на F). Для конечных се-
семейств F В. а. выводима из остальных аксиом теории
множеств (напр., в системе ZF).
В. а. была явно сформулирована Э. Цермело (Б. Zer-
melo, 1904) и встретила отрицательное отношение со
стороны многих математиков. Это объяснялось, во-
первых, ее чисто экзистенциальным характером, отли-
отличающим ее от остальных аксиом теории множеств, а во-
вторых, нек-рыми «неприятными» или даже противоре-
противоречащими интуиции «здравого смысла» следствиями.
Напр., из В. а. вытекает: существование неизмеримого
по Лебегу множества действительных чисел; существова-
существование трех разбиений шара В:
B=X1[)...\JXn+
таких, что Ui конгруэнтно X,-, l<:i«:rc, Vj конгруэнтно
Xn+j, l<:;«:m. Таким образом, шар В разбивается на
конечное число частей Хг, ..., Хп+т, из к-рых движе-
движениями в пространстве можно составить два таких же
шара.
Впоследствии обнаружилось много содержательных
утверждений, эквивалентных В. а. Таковы, напр., сле-
следующие. 1. Принцип вполне упорядоче-
упорядочения: на всяком множестве X существует отношение
линейного порядка R^XXX такое, что любое непустое
подмножество U^X содержит наименьший в смысле
отношения R элемент. 2. П р и н ц и п максималь-
максимальности (лемма Цорна): если всякое линейно
упорядоченное подмножество ?/ частично упорядочен-
упорядоченного множества X ограничено сверху, то X содержит
максимальный элемент. 3. Всякая нетривиальная ре-
щетка с единицей имеет максимальный идеал. 4. Произ-
Произведение компактных топологич. пространств компактно.
5. Всякое множество X равномощно XXX.
В. а. не вступает в противоречие с остальными акси-
аксиомами теории множеств (напр., системы ZF) и логиче-
логически не выводима из последних при условии их непро-
непротиворечивости. В. а. широко используется в классич.
математике. Так, В. а. используют следующие утверж-
утверждения. 1) Каждая подгруппа свободной группы свобод-
свободна. 2) Существует, и притом единственное с точностью
до изоморфизма, алгебраич. замыкание произвольного
юля. 3) Каждое векторное пространство имеет базис.
4) Эквивалентность двух определений непрерывности
функции в точке (е —б-определение и определение через
феделы последовательностей). 5) Счетная аддитивность
иеры Лебега. Причем последние два утверждения выте-
вытекают из счетной В. а. (в формулировке аксиомы добав-
добавляется условие счетности семейства F). Доказано, что
без В. а. утверждения 1) — 5) не выводимы в системе
ZF, если ZF непротиворечива.
Была построена модель теории множеств, в к-рой вы-
выполняется счетная В. а. и каждое множество чисел из-
измеримо по Лебегу. Эта модель была построена в пред-
положении непротиворечивости системы ZF с аксиомой
существования недостижимого кардинала.
Лит.: [1] Френкель А., Бар-Хиллел И.,
Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966; Г2] Йех Т.,
Теория множеств и метод форсинга, пер. с англ., М., 1973;
[3] Jech Т. J., The axiom of choise, Amst.—L., 1973.
В. Н. Гришин.
ВЫБОРА ТЕОРЕМЫ — группа теорем комбинато-
комбинаторики, связанных с выбором элементов из множества,
тем или иным способом соответствующих семейству под-
подмножеств этого множества. В. т. обычно используются
в качестве теорем существования при решении различ-
различных комбинаторных задач. Ниже формулируются
нек-рые наиболее важные из В. т. и указываются при-
примеры их применения.
1) Пусть 5={5!, S2, ..., Sn} — некоторое семейство
подмножеств данного множества Т= {гх, t2, ..., tm).
Набор Д= {t( ,t{2, . . ., tj } различных элементов мно-
множества Т наз. системой различных пред-
представителей (с. р. п.) семейства S, если ??
/=1, 2, ..., ге; элемент <,-. наз. представителем множест-
множества S/. Напр., если Т={\, 2, 3, 4, 5} и S состоит из
S1={2, 4, 5}, S2={2, 5}, 53={3, 4}, 54={1, 3, 4}, то
Д= {5, 2, 3, 4} есть с. р. п. для S, где элемент 5 пред-
представляет множество S1, элемент 2 — множество S2
и т. д. Если же S составить из множеств 5Х= {2, 4, 5},
52={2, 5}, S3={4, 5}, 54={2, 4}, то для S не сущест-
существует с. р. п., так как Slt S2, S3, ?4 вместе содержат толь-
только три элемента.
Теорема о системе различных пред-
представителей. Семейство S= {5l7 S2, . . ., Sn} тогда
и только тогда имеет с. р. п., когда объединение каждых
к множеств из S содержит по крайней мере к различных
элементов, fe=l, 2, ..., п.
Эта теорема доказана Ф. Холлом [3] (см. также [1],
[2]). С ее помощью доказывается теорема о системе об-
общих представителей, также относящаяся к В. т. Пусть
г = л1и^2и..и^г, A)
T=B1\JB2\J...\JBl B)
суть два разбиения множества Т, в к-рых ни одно из со-
составляющих не пусто. Множество Л= {*,-„ г,-2, ..., t,- }
наз. системой общих представителей
(с. о. п.) разбиений A) и B), если Л является с. р. п.
как для семейства А = {Аг, А2, . . ., At}, так и для се-
семейства В={Вл, В2, ..., Bt). Напр., если Т= {0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и
— два разбиения множества Т, где Л,= {0, 1, 2, 3},
Л2={4, 5, 6}, А3={7}, Л4={8, 9}, Дх={4, 7, 8}, В2=
-{0,5}, Я3={2,3, 6}, Д4={1,9}, то Я={0, 6, 7, 9}
есть с. о. п. семейств А = {Аг, А2, А3, Л4} и jB= {B^ В2,
В3, В4}, так как является с. р. п. и для Л, и для .6;
здесь олемент 0 представляет множества Ах и /?2, эле-
элемент 6 — Л2 и Б31 элемент 7 — Л3 и Дь элемент 9 —
Л4 и Я4.
Теорема о системе общих предста-
представителей. Разбиения A) и B) имеют с. о. п. тогда
и только тогда, когда объединение каждых к множеств из
семейства А содержит не более к множеств из семейства
В, fc=l, 2, ..., I (см. [1], [2]).
2) Пусть задана прямоугольная матрица. Линией
в матрице наз. как строку, так и столбец этой матрицы.
Теорема Кёнпга. Если элементы прямо-
прямоугольной матрицы — нули и единицы, то минимальное
число линий, содержащих все единицы, равно макси-
максимальному числу единиц, к-рые могут быть выбраны та-
таким образом, чтобы среди них не нашлось двух, распо-
расположенных на одной и той же линии.
Эта теорема сформулирована и доказана Д. Кёнигом
([4], с. 240; см. также [1], [2]). Она эквивалентна теореме
Холла о с. р. п. Используется, напр., при доказатель-
доказательстве того, что нек-рые матрицы являются линейными
комбинациями перестановочных матриц (перестановоч-
(перестановочная матрица — такая прямоугольная матрица Р разме-
размера тХп, состоящая из нулей и единиц, что РР' — I, где
Р' — транспонированная матрица Р, а. I — единичная
матрица порядка т; напр., перестановочная квадратная
матрица порядка т состоит из т единиц, расположенных
так, что никакие две из них не лежат на одной линии).
Иными словами, если дана матрица А размера тХп,
та<:п, элементами к-рой являются неотрицательные
действительные числа, причем сумма элементов каждой
строки в А равна т', а сумма элементов каждого столбца
равна га', то
AP + P++P
где каждое Р,- есть перестановочная матрица, а коэффи-
коэффициенты с[ — неотрицательные действительные числа
(см. [1], [2]). В частности, если квадратная матрица А
порядка п, состоящая из нулей и единиц, такова, что
суммы элементов по любой строке или любому столбцу
равны целому положительному числу к, то
где все Р{ — перестановочные матрицы порядка п.
3) Пусть Т — конечное множество и РГ(Т) — множе-
множество всех его подмножеств, содержащих точно г эле-
элементов. Пусть
Pr(T) = A1UA2U...l}Al C)
— произвольное упорядоченное разбиение РГ(Т) (на I
составляющих А1, А2, . . ., At). Пусть у]7 q2, . . ., qL —
такие целые числа, что
1<г<?1, q2, . . ., qt. D)
Если существует такое подмножество, содержащее q;
элементов множества Т, что все его подмножества, со-
содержащие точно г элементов, содержатся именно в Л/,
то оно наз. (qi, Л,)-подмножеством множества Т.
Теорема Рамсе я. Пусть заданы целые числа
</ь ?2> ¦••! й и г, удовлетворяющие условию D). Тогда
существует натуральное число N(q1, q2, ¦ ¦ •, qi, r), обла-
обладающее тем свойством, что для любого целого числа ге^
^N(q-y, q2, . . ., qh r) справедливо следующее: если даны
множество Т, состоящее из п элементов, и произвольное
упорядоченное разбиение C) множества РГ(Т) на I со-
составляющих Аи А», . . ., Ai, то Т содержит (qi, Л,)-под-
множество для некоторого i—1, 2, ..., I.
Эта теорема доказана Ф. Рамсеем ([5]; см. также [1],
[2]). Примером приложения теоремы Рамсея служит
следующий результат (см. [6], [1], [2]): для любого за-
заданного целого числа т^З существует такое целое число
Nm, что среди rC^Nm точек плоскости, расположенных
так, что никакие три из них не лежат на одной прямой,
найдутся m точек, образующих выпуклый т-угольник.
Лит.: [1] Холл М., Комбинаторный анализ, пер. с
англ., М., 1963; [2] Р а й з е р Г. Д ж., Комбинаторная мате-
математика, пер. с англ., М., 1966; [3] II а 1 1 Ph., «J. London
Math. Soc», 1935, v. 10, p. 26—30; [4] Konig D., Theorie
der Endlichen und Unendlichen Graphen, Leipzig, 1936; [5]
Ramsey F. P., «Proc. London Math. Soc», B), 1930, v. 30,
p. 264—286; [61 Erdos P., Sxekercs G., «Compositio
Mathematical), 1935, v. 2, № 3, p. 463 — 70. M. П. Мипеев.
ВЫБОРКА в математической статисти-
статистике — см. Выборочный метод, Генеральная совокупность.
ВЫБОРОЧНАЯ ГРОЗДЬ - совокупность выбороч-
выборочных точек, изображающих в выборочном пространстве
все конкретные неразложимые исходы, наблюденные
при реализации серии экспериментов.
ВЫБОРОЧНАЯ ДИСПЕРСИЯ — дисперсия эмпири-
эмпирического распределения.
ВЫБОРОЧНАЯ КВАНТИЛЬ — квантиль функции
эмпирического распределения.
ВЫБОРОЧНАЯ МЕДИАНА - медиана эмпирическо-
эмпирического распределения.
ВЫБОРОЧНАЯ ТОЧКА — точка выборочного про-
пространства, изображающая тот или иной конкретный
неразложимый исход отдельного эксперимента.
ВЫБОРОЧНАЯ ФУНКЦИЯ - функция Xf=Xt(w)
аргумента t, однозначно соответствующая каждому на-
наблюдению случайного процесса Xf^E, t?T; здесь
{со}=?2 — множество элементарных событий. Часто
используются эквивалентные В. ф. термины «реализа-
«реализация», «траектория». Случайный процесс Xt характери-
характеризуется вероятностной мерой в пространстве В. ф. При
изучении локальных свойств В. ф. Xf (где E=R1, T=
= R« — евклидово пространство размерности т=1,
2, ...) предполагается, что Xt является сепарабельным
или находится эквивалентный случайный процесс с за-
заданными локальными свойствами В. ф. Наиболее полно
исследованы локальные свойства В. ф. гауссовских про-
процессов.
Для стационарных гауссовских случайных процес-
процессов (нолей) Xf имеет место альтернатива: почти все
В. ф. Xt либо непрерывны, либо неогранпчены на лю-
любом интервале. Для t, s?T определено «расстояние»
d(t, s)=[E!X,—Xji2]v'. B(t, S) = {s:rf(s, f)<6} —
«сфера», N (S) — минимальное число таких «сфер», по-
покрывающих Т cz R", sup d (s, t) <oo. Необходимое и
s, tsT
достаточное условие непрерывности В. ф. однородно-
однородного гауссовского процесса имеет вид
Если R(t)=?XsXt + s=[°° eitldF (k), EX, = 0,
выпукла вниз в нек-рой окрестности точки +0, то для
непрерывности В. ф. Xt необходимо и достаточно, чтобы
2^г=<оо, где Sn=FBn + 1)-FB"). Если R(t) вы-
выпукла вниз в окрестности +0 и
для |f —s|<6, то почти все В. ф. гауссовского случай-
случайного процесса Xt неогранпчены. Если
Е|Х,-Х^|2<<:/|1п|*-г||1+в, е > 0,
то почти все В. ф. гауссовского случайного процесса
(поля) Xf непрерывны. Для непрерывности В. ф. гаус-
гауссовского случайного процесса достаточно, чтобы
r {e~x') dx < оо,
где Л (f, s) = EXtXs
здесь sup берется по |Л,-| <б, |f|<:C, |s|<:C В. ф. Xf,
t?Rn относят к классу Н (С, аи . . ., а„), если для всех
достаточно малых Л,-
С > 0, 0 < а,-<1, h = (hu ..., hn).
Если \t — гауссовское случайное иоле на единичном
кубе \'п в R" такое, что для достаточно малых h и t? Уп
то с вероятностью, равной 1, равномерно по f?I"°
Xt?H(C, рх р„)
для любого С>0 и р,-<7''2.
Неубывающая непрерывная функция ц>(х), x^R1,
наз. верхней, если для почти всех о) существует е = е(ш)
такое, что
| Xt- Xs\<(*[Xt-Xs |«I/3 ф A/| t-s |)
при U-s|«e; t,s?R»; Ul = B"_l '<?)'/a. Если xt -
гауссовское случайное поле,
ЕХ, = 0, ZXtXs = -r(\t\a+\s\a-\t-s\a), 0<се<1,
то q; (.r) является верхней тогда и только тогда, когда
Р «"-JA' [cp (/)] dj < со,
J е
где #|>] = *Dn/a>-1exp( — х*/2).
Для того чтобы почти все В. ф. гауссовского случай-
случайного процесса были аналитическими в окрестности точ-
точки t0, необходимо и достаточно, чтобы ковариационная
функция Я (t, s) была аналитической но t и s в окрест-
окрестности \t-ta\<5, |s-io|<6, 6>0.
Лит.: [l] Д У О Д ж., Вероятностные процессы, пер. с
англ., М., 1956; [2] Крамер Г., Л и д 0 е т т е р М., Ста-
Стационарные случайные процессы, пер. с англ., М., 11N0; [3]
Беляев Ю. К., в кн.: Proceeding of the 4 Berkeley Sympo-
Symposium on Mathematical Statistics and Probability, v. 2,
Berk.—Los Ani?., 1961, p. 23—33; [4] Островский Е. И,.
«Докл. АН СССР», 1970, т. 195, Xi 1, с. 40—42; [5] Nisio
M a k i k o, «Nogoya Math. J.», 1969, v. 34, p. 89—104; [6J
Dudley R. M., «Ann. Math. Statistics», 1965, v. 36, Mi 3,
p. 771—88; [7] F e r n i q u e X., «C. r. Acad. sci.», 1964, t. 258,
p. 6058—60; [8] Я дрен к о М. Й., «В1сник Кшвського ун-ту.
Сер. матем. та механ.», 1967, т. 9, с. 103—12; [9] Kawada
Takayuki, «Nagoya Math. J.», 1969, v. 35, p. 109—32; [10]
Беляев Ю. К., «Теория вероят. и ее примен.», 1959, т. 4,
№4, с. 437—44; [11] Слуцкий Е. Е., «Giorn. Inst. Ital.
Attuari», 1937, v. 8, M» 2, p. 3 —19; [12] Fernique Х.,в кн.:
Ecole d'Ete de Probabilites de Saint-Flour IV—1974, В.—Hdlb.—
N. Y., 1975, p. 1—96 («Lecture Notes in Mathematics»,
№ 480). Ю. Я. Беляев.
ВЫБОРОЧНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА — функционал
от эмпирического распределения. В. х. используется в
качестве статистич. оценок для аналогичных функцио-
функционалов от теоретич. распределений.
ВЫБОРОЧНОЕ ПРОСТРАНСТВО — множество всех
элементарных событии, связанных с нек-рым экспери-
экспериментом, причем любой неразложимый исход экспери-
эксперимента представляется одной и только одной точкой В. п.
(выборочной точкой). В. п. является абст-
абстрактным множеством, на а-алгебре подмножеств к-рого
задается вероятностная мера (см. Вероятностное прост-
пространство). В русской литературе более распространен
термин «пространство элементарных
С О б Ы Т И Й». А. В. Прохоров.
ВЫБОРОЧНОЕ СРЕДНЕЕ — математическое ожи-
ожидание эмпирического распределения.
ВЫБОРОЧНЫЙ БЛОК, выборочный про-
промежуток,— интервал, образованный двумя после-
последовательными членами вариационного ряда.
ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД — статистический метод ис-
исследования общих свойств совокупности к.-л. объектов
на основе изучения свойств лишь части этих объектов,
взятых на выборку. Математич. теория В. м. опи-
опирается на два важных раздела математич. статистики —
теорию выбора из конечной совокупности и теорию вы-
выбора из бесконечной совокупности. Основное отличие
В. м. для конечной и бесконечной совокупностей заклю-
заключается в том, что в первом случае В. м. применяется,
как правило, к объектам неслучайной, детерминиро-
детерминированной природы (напр., число дефектных изделий в дан-
данной партии готовой продукции не является случайной
величиной: это число — неизвестная постоянная, к-рую
и надлежит оценить по выборочным данным). Во втором
случае В. м. обычно применяется для изучения свойств
случайных объектов (напр., для исследования свойств
непрерывно распределенных случайных ошибок изме-
измерений, каждое из к-рых теоретически может быть ис-
истолковано как реализация одного из бесконечного мно-
множества возможных результатов).
Выбор из конечной совокупности и его теория яв-
являются основой статистич. методов контроля качества
и часто применяются в социологич. исследованиях.
Согласно теории вероятностей выборка будет правильно
отражать свойства всей совокупности, если выбор про-
производится случайно, т. е. так, что любая из возможных
выборок заданного объема п из совокупности объема N
(число таких выборок равно Л'!/га! (N — re)!) имеет оди-
одинаковую вероятность быть фактически выбранной.
На практике наиболее часто используется выбор без
возвращения (бесповторная выборка), когда каждый
отобранный объект перед выбором следующих объектов
в исследуемую совокупность не возвращается (такой
выбор применяется, напр., для определения выигрыш-
выигрышных лотерейных билетов, при статистич. контроле каче-
качества, а также при демографич. исследованиях). Выбор
с возвращением (выборка с повторением) рассматри-
рассматривается обычно лишь в теоретических исследованиях (при-
(примером выбора с возвращением нх является регистра-
регистрация числа частиц, коснувшихся в течение данного вре-
времени стенок сосуда, внутри которого совершается бро-
броуновское движение). Если n<^,V, то повторный и бес-
повторный выборы дают практически эквивалентные
результаты.
Свойства совокупности, исследуемые В. м., могут
быть качественными и количественными. В первом слу-
случае задача выборочного обследования заключается в
определении количества М объектов совокупности, об-
обладающих к.-л. признаками (напр., при статистнч.
контроле часто интересуются количеством М дефектных
изделий в партии объема Лт). Оценкой для М служит от-
отношение mNln, где т — число объектов с данным при-
признаком в выборке объема п. В случае количественного
признака имеют дело с определением среднего значения
совокупности ж=(х1+ж3+. . .-\-хv)/iV. Оценкой для х
является выборочное среднее
где Xlt Х2, . .., Хп — те значения из исследуемой сово-
совокупности яц, х2, ¦ ¦ •, xfji к-рые принадлежат выборке.
С математич. точки зрения первый случай — частная
разновидность второго, к-рая имеет место, когда М ве-
величин х; равны 1, а остальные (N—M) равны 0; в этой
ситуации x=MlN и Х=т/п.
В математич. теории В. м. оценка среднего значения
занимает центральное место потому, что она служит ос-
основой количественного описания изменчивости призна-
признака внутри совокупности, т. к. за характеристику из-
изменчивости обычно принимают дисперсию
СТ
'=
N'
представляющую собой среднее значение квадратов от-
отклонений Xi от их среднего значения х. В случае изуче-
изучения качественного признака
О точности оценок т/п и X судят по их дисперсиям
2 _ Г т М\2 2 _ гг, —,
ат/п = ? (~„Г~~W ) п <J-= Е (л—ж)-,
к-рые в терминах дисперсии конечной совокупности а2
выражаются в виде отношений а-/п (в случае выборок
с повторением) и a'2(N — n)/n(N— 1) (в случае бесповтор-
бесповторных выборок). Т. к. во многих практически интересных
задачах случайные величины т.'п и X при п^ЗО при-
приближенно подчиняются нормальному распределению, то
отклонения т/п от Л/ЛУ и X от ж, превышающие по аб-
абсолютной величине 2ат1п и 2а— соответственно, могут
при ге^ЗО осуществиться в среднем приблизительно в
одном случае из двадцати.
Более полную информацию о распределении количе-
количественного признака в данной совокупности можно по-
получить с помощью эмпирического распределения этого
признака в выборке.
Выбор из бесконечной совокупно-
совокупности. В математич. статистике результаты к.-л. одно-
однородных наблюдений (чаще всего независимых) принято
наз. выборкой даже в том случае, когда эти ре-
результаты не соответствуют понятию выборки с повторе-
повторениями или без повторений из конечной совокупности.
Напр., результаты измерений углов на местности, под-
подверженные независимым непрерывно распределенным
случайным ошибкам, часто наз. выборкой из бесконеч-
бесконечной совокупности. Предполагается, что принципиально
можно осуществить любое число таких наблюдений. По-
Полученные фактически результаты считают выборкой из
бесконечного множества возможных результатов, наз.
генеральной совокупностью. Понятие генеральной сово-
совокупности не является логически безупречным и необ-
необходимым. Для решения практич. задач нужна не сама
бесконечная генеральная совокупность, а лишь те или
иные характеристики, к-рые ей ставятся в соответствие.
Эти характеристики с точки зрения теории вероятностей
являются числовыми или функциональными характери-
характеристиками нек-рого распределения вероятностей, а эле-
элементы выборки — случайными величинами, подчиняю-
подчиняющимися этому распределению. Такое истолкование поз-
позволяет распространить на выборочные оценки общую
теорию статистич. оценок (см. Оценка статистическая).
По этой причине, напр., в вероятностной теории обра-
обработки наблюдений понятие бесконечной генеральной
совокупности заменяется понятием распределения ве-
вероятностей, содержащего неизвестные параметры. Ре-
Результаты наблюдений трактуются как эксперименталь-
экспериментально наблюдаемые значения случайных величин, подчи-
подчиняющихся этому распределению. Цель обработки —
вычисление по результатам наблюдений в том или ином
смысле оптимальных статистич. оценок для неизвест-
неизвестных параметров распределения.
Выше речь шла о выборочном обследовании одной со-
совокупности к.-л. объектов. Однако практическое при-
применение В. м. часто осуществляется во многих одно-
однородных совокупностях (напр., при оценке доли брако-
бракованных изделий в нескольких партиях готовой продук-
продукции). В этой ситуации объектом изучения является не
одно число М, а несколько неизвестных чисел Мх,
М2, .... Пусть, напр., все обследуемые партии готовой
продукции содержат JV изделий, причем Мх, М„, . . .—
количества дефектных изделий в этих партиях, а т1,
т2, . ..— соответствующие количества дефектных изде-
изделий, обнаруженные в выборках объема га. Согласно ус-
условию так наз. бездефектной приемки партия с номером
г передается потребителю, если т, = 0, в противном слу-
случае она бракуется. Предположим, что контроль изде-
изделий сопряжен с их уничтожением, и поэтому потреби-
потребитель либо получает партию объема Д, = 0 (при ш,->0),
либо партию объема R; = N~ n с количеством дефектных
изделий Di=M[ (при т,- = 0), причем значения Rx,
Л2, ... (а, значит, н их сумма) известны, а значение
Di+D2+. . . неизвестно. Отношение (Z>1+Z>2+. . .)/(/?!+
+ i?2-j-. ¦ •) называют долей пропущенного брака, а его
математич. ожидание q — средней долей пропущенного
брака. Задача математич. статистики заключается в
оценке q по значениям Дь R2, . .., зафиксированным в
результате применения В. м. Если значения М\, Мг, ¦ ¦ ¦
можно трактовать как реализации независимых одина-
одинаково распределенных случайных величин с известным
законом распределения Р{Л/;=г}=рг, то согласно
Бейеса формуле статистич. оценка среднего числа про-
пропущенных дефектных изделий в принятых партиях вы-
выражается формулой
(
причем б <[(ЛГ-га) Р \m=i}]/[nP {m=0}],
где
P im=k\ = > p,, fc=O,l, .... ra.
Поэтому оценка
q=D/(N— n)
сродней доли пропущенного брака в принятых пар-
партиях удовлетворяет неравенству
4<Р {т = 1}/(пР {т=0}) к Sl/ns0),
где s0 — число принятых партий, a sx — количество
тех забракованных партий, в выборках из к-рых обна-
обнаружено ровно одно дефектное изделие.
Лит.: [1] Дунин-Барковский И. В., Смир-
Смирнов Н. В., Теория вероятностей и математическая статистика
в технике (Общая часть), М., 1955, гл. 5; [2] Б е л я е в Ю. К.,
Вероятностные методы выборочного контроля, М., 1975; [3]
Кендал л М., С т ь ю а р т А., Теория распределений, пер.
с англ., М., 1966. Л. Н. Большее.
ВЫБОРОЧНЫЙ МОМЕНТ - момент эмпирического
рнепределения.
ВЫВОД логический — формальный вывод в
исчислении, содержащем логические правила и имеющем
в качестве основных выводимых объектов формулы (ин-
(интерпретацией к-рых являются суждения; см. Логические
исчисления, Логико-математические исчисления). По-
Поскольку обычно такие исчисления снабжаются семанти-
семантикой, то в некоторых случаях под логическим В. по-
понимают содержательное рассуждение, позволяющее от
сформулированных аксиом и гипотез (допущений) пере-
переходить к новым утверждениям, логически вытекающим
из исходных.
При зафиксированных аксиомах и правилах логиче-
логических переходов (см. Вывода правило) говорят, что по-
последовательность формул является выводом (своего
последнего члена А) и з гипотез Аг, .. ., А„ (ге>
^0), если каждый член последовательности либо яв-
является аксиомой или одной из гипотез, либо получается
из предыдущих формул последовательности по одному
из правил. Это записывается в виде А1, ..., А„\— А;
при этом формула А наз. выводимой из Аг, .. .,
Ап. В случае я=0 запись |—А означает, что А выводимо
в рассматриваемом исчислении без к.-л. допущений;
применяется также запись Ах, ..., А„\—, означающая,
что «допущения А1л . . ., А„ ведут к противоречию» (в
большинстве изучавшихся систем Л1? . . ., Ап\— влечет
выводимость из этих гипотез любой формулы). Напр.,
в исчислении, содержащем аксиому Ai2(Bi2A) и пра-
правило модус поненс, последовательность A, Azs{Bi2A),
B^iA является выводом BZ2A из А (т. е. А\—BzdA).
Свойствами логической выводимости являются: А\—А;
если Г|—Д, то А, Г|—Д; если А, А, Г|—Д, то А, Г|—Д;
если Г, А, В, Т'\— Д, то Г, В, А, Г'}—А; если Г(—А и
А, Г'|—Д, то Г, Г'|—Д (здесь А и В — формулы, Г и
Г'— списки формул, Д — формула или пустое слово).
Эти свойства позволяют существенно преобразовывать
списки гипотез и, наряду с правилами введения и уда-
удаления логических символов (см. Выводимое правило),
сближают системы со знаком (— с Генцепа формальными
системами. Для исчислений, основанных на классич.
логике, характерно свойство ~| ~\А\—А. Для интуицио-
интуиционистской логики (конструктивной логики) в широких
предположениях удается доказывать принципы
брауэровского понимания выводи-
выводимости: 1) если Г|—А VВ, то имеет место одна из вы-
водимостей Г|—А или Г|—В; 2) если Г|—ал;Л (х), то, для
некоторого терма t, Г|—A (t) (упомянутые предположе-
предположения во всяком случае выполнены при пустом Г). Воз-
Возможности избавления от допущений, включая пере-
переход к выводам без гипотез, регулируются дедукции
теоремой.
Формирование понятия В. (и систем, в терминах к-рых
ято понятие получает смысл) знаменовало собой возник-
новение современной математич. логики. Новое, более
строгое понимание аксиоматич. метода, при к-ром фор-
формализации подлежат не только аксиомы, но и логиче-
логические средства, открыло возможность математич. опреде-
определения понятия доказательства и изучения доказательств
математич. методами (см. Доказательств теория). Поня-
Понятие формального В. оказалось хорошим приближением
к понятию математич. истины (см. Гёделя теорема о пол-
полноте, Гёделя теорема о неполноте). Искусственная фор-
формализация понятия логической выводимости в дальней-
дальнейшем существенно сблизилась с реальными способами
содержательного математич. рассуждения (см. Естест-
Естественный логический вывод).
Лит.: [1] К ли ни С. К., Введение в метаматематику,
пер. с англ., М., 1957; [2] Математическая теория логического
вывода, сб. переводов, М., 1967. С. Ю. Маслов.
ВЫВОДА ДЕРЕВО — способ записи выводов в ис-
исчислении, при к-ром над каждым элементом Р пишутся
те элементы вывода, из к-рых Р получен за одно приме-
применение вывода правила. Напр., имея вывод Р1, . . ., Р6,
в к-ром Plt Рг и Р4 — аксиомы, Р3 получается за одно
применение правила из Рх и Р2, Ръ — из Р4 и Р3, Рв —
из Р, и Ръ, можно записать его в виде следующего В. д.:
I',, Рг
Р,, Рг Р., Р*
Ре
Несмотря на большую громоздкость но сравнению с ли-
линейной записью, В. д. оказываются во многих случаях
удобным аппаратом исследования выводов: но В. д.
легко прослеживать зависимости элементов друг от
друга; заключенная в В. д. информация полнее описы-
описывает ситуацию, чем при линейном упорядочении (и при-
приближается по полноте к информации, заключенной в вы-
выводах с анализом). В случае необходимости В. д. тоже
снабжается анализом, т. е. рядом с каждой чер-
чертой пишется номер соответствующего правила (и рядом
С аКСИОМОЙ пишется ее Номер). с- Ю. Маслов,
ВЫВОДА ПРАВИЛО — способ порождения объектов,
называемых заключением В. п., по множеству
объектов, называемых посылками правила; фор-
формулирование В. п. играет решающую роль при описа-
описании исчислений (часто данное В. п. имеет смысл лишь в
контексте данного исчисления). Для исчислений, снаб-
снабженных семантикой (в частности, большинства логико-
математических исчислений), В. п. сохраняет истин-
истинность, т. е. по истинным посылкам позволяет породить
лишь истинное заключение; наиболее знаменитый при-
пример такого В. п.— правило модус поненс. В большинст-
большинстве изучавшихся исчислений всякое применение В. п.
имеет лишь конечное число посылок (важнейшее ис-
исключение — Карнапа правило), обычно число посылок
данного В. п. остается неизменным для всех его приме-
применений. Количество возможных применений данного В. п.
бывает, как правило, неограниченным.
Способы формулирования В. п. весьма разнообразны,
они зависят от языка исчисления и включают перемен-
переменные различных типов. Подавляющее большинство ис-
используемых В. п. может быть порождено по следующей
общей схеме: выбирая алфавит А, не содержащий буквы
QJ, и натуральное число I, называют /-посылоч-
/-посылочным В. п. нек-рый алгоритм 5( над алфавитом
^L){n}; если % применимо к слову PoO-PiD-•-П-Р/
(Ро, Pi, . . ., Pi — слова в Л, а символ \~J играет роль
запятой), то Р1, . . ., Pi считаются посылками, а Ро —
заключением нек-рого применения этого В. п. Частным
случаем таких В. п. являются нуль-посылочные В. п.
(или аксиом схемы). В любом исчислении, содержащем
лишь правила описанного типа, множество выводимых
слов перечислимо. Обычно для В. п. выполнено и более
жесткое требование: можно алгоритмически распознать,
выводимо ли Ро из Pt, .. ., Pi за одно применение пра-
правила. С. Ю. Маслов.
ВЫВОДИМОЕ ПРАВИЛО — метаматематическая тео-
теорема (см. Метатеорема), позволяющая по конечному
числу выводов из гипотез Г,|—Д,- A<г<я, п>0) утверж-
утверждать выводимость формулы Д из гипотез Г; выводы
Г||—Д[- наз. вспомогательными выводами
В. п., заключение Г(—Д наз. результирующим
выводом. В. п. является частным случаем допусти-
допустимого правила. Важнейшие примеры В. п. доставляются
дедукции теоремой, правилом приведения к абсурду й
другими правилами введения и удаления логических
символов, такими, как правила введения
дизъюнкции: А\—А\/В и В\—А\/В (для этих
В. п. число вспомогательных выводов равно нулю) и
удаления дизъюнкции: из Г, А\—С и Г,
В\— С следует Г, Aw В]—С. В ряде случаев В. п. имеют
такую структуру: исчисление расширяется и усили-
усиливается, и из выводимости в новом исчислении извлека-
извлекаются следствия о выводимости в исходном. Такие В. п.
возникают, в частности, при устранении описа-
описательных определений (определений, к-рые
моделируют происходящее при построении математич.
теорий расширение понятий и обозначений). Разрабо-
Разработанный аппарат В. п. служит существенному приближе-
приближению методов обращения с формальными выводами к со-
содержательным математич. рассуждениям. С. Ю. Маслов,
ВЫВОДИМОСТЬ —см. Вывод логический, Исчисление.
ВЫДЕЛЕНИЕ СИГНАЛА на фоне помех —
один из разделов статистической теории связи. Матема-
Математически задачи В. с. суть статистич. задачи теории слу-
случайных процессов (см. также Информации теория).
Ниже приведены нек-рые типичные задачи теории В. с.
Переданный сигнал s(i), случайная или неслучайная
функция известной структуры, превращается в приня-
принятый сигнал x(t)=V(s, n), где n{t) — случайный процесс
(шум), а V (канал связи) — нек-рый оператор, преоб-
преобразующий пару («, п) в принятый сигнал х. Чаще всего
предполагается, что шум действует на сигнал аддитив-
аддитивно: x(t) = s(t)-\-n(t). В последней ситуации задачи В. с.
следующие.
1) Обнаружение сигнала — проверка гипотезы х (<) =
= s(i) + re(i) (наличие сигнала) против альтернативы
x(t)=n(t) (отсутствие сигнала). Рассматриваются также
более сложные варианты исходной гипотезы: x(t) =
= s(t)-\-n(t), начиная с нек-рого момента т —момента по-
появления сигнала. При этом возникает задача оценки т.
2) Различение сигналов — проверка гипотезы .г(?) =
= s(t)-\-n(t), s?Sx, против гипотезы x(t) = s(t)-{-n(t),
s? S2, где Sx и S2 — два различных множества сигналов.
3) Фильтрация (восстановление сигнала) —отыскание
статистических оценок для значений сигнала & (t) в точ-
точке t по реализации х (t), t? T.
См. также Статистическая гипотеза, Случайных про-
процессов фильтрация.
Лит.: [1] Давен порт В., Рут В., Введение в тео-
теорию случайных сигналов и шумов, пер. с англ., М., 1960; [2]
Харкевич А. А., Борьба с помехами, 2 изд., М., 1965.
И. А. Ибрагимов.
ВЫИГРЫША ФУНКЦИЯ — функция, к-рая опре-
определена на множестве ситуаций в игре (см. Игр теория) и
значения к-рой численно характеризуют полезности
ситуаций для игрока или коалиции. я. я. Воробьев.
ВЫМЕТАНИЯ МЕТОД - метод решения Дирихле
задачи для Лапласа уравнения, развитый А. Пуанкаре
(см. [1], [2], а также [4]) и состоящий в следующем.
Пусть D — ограниченная область евклидова простран-
пространства R™, м^2, Г = <??) — граница D. Пусть 8у — мера
Дирака, сосредоточенная в точке y?D; U(х; бу) —
ньютонов потенциал меры 6;/ при щ^Ъ или логарифми-
логарифмический потенциал меры 6у при rc = 2. Выметанием
меры бу ил области D на границу Г наз. такая мера
Ру на Г, потенциал к-рой U (х; Ру) совпадает вне D с
U(х; 6У), а внутри D не превосходит U(х; бу); эта мера
Р,, единственна и совпадает с гармонической мерой на Г
для точки y?D. Аналогичпо определяется выметание
произвольной положительной меры, сосредоточенной на
D. Если D ~ шар, то плотность распределения масс $у,
т. е. производная меры ру, есть не что иное, как ядро Пу-
Пуассона (см. Пуассона интеграл). Вообще, если граница Г
достаточно гладкая, то мера §у абсолютно непрерывна и
плотность распределения масс §у совпадает с нормаль-
нормальной производной Грина функции для D. При помощи
моры ру решение задачи Дирихле записывается в виде
так наз. формулы Балле Пуссена:
где f(x) — заданная на Г функция.
А. Пуанкаре в первоначальном изложении В. м. ука-
указывал сначала геометрич. конструкцию процесса выме-
выметания для шара; затем, опираясь на Гарнака теоремы
и на возможность исчерпания области D последователь-
последовательностью шаров {Bk}k=i, 0H строил бесконечную после-
последовательность потенциалов { Un}n=i, в к-рой каждый
потенциал Un + 1 получается из предыдущего Un выме-
выметанием масс из области (J*=i^fe на ее границу и к-рая
сходится к решению задачи Дирихле для достаточно
гладкой области D (подробное исследование условий
применимости В. м. см. в [3]).
В современной теории потенциала (см. [5], [6]) про-
проблема выметания трактуется как самостоятель-
самостоятельная задача, близкая к задаче Дирихле, причем оказыва-
оказывается возможным рассматривать выметания мер на множе-
множества довольно общей природы. Таким образом, в простей-
простейшей постановке проблема выметания состоит в нахожде-
нахождении по заданному распределению масс ц внутри замкну-
замкнутой области D такого распределения масс v на Y=dD,
чтобы вне D потенциалы обоих распределений совпадали.
Решением этой проблемы выметания меры ц в случае
гладкой границы Г будет абсолютно непрерывная мера
v. Ее плотность, или производная \'(у), г/?Г, записы-
записывается при помощи функции Грина G(x, у) области D
в виде
V
где dG/diiy — производная от G(x, у) по направлению
внутренней нормали к Г в точке у? Г. Внутри области
D для потенциалов имеет место неравенство U(x; v)<:
*iU(x; (г), т. е. при выметании внутри области потенци-
потенциал может только убывать. Если (х=6Л — мера Дирака,
сосредоточенная в точке x?D, то формула (*) дает
v'(y) = dG(x, уIдпу, т. е. нормальная производная функ-
функции Грина есть плотность меры, полученной выметанием
единичной массы, сосредоточенной в точке x?D. Обоб-
Обобщая формулу (*), получают выражение выметенной меры
v (E) любого борелевского множества ?сГ в случае
произвольной области D:
v(E)={ ш(х\ Е, 1
где и (х; Е, D) — гармоническая мера множества Е от-
относительно области D в точке х.
Если К — произвольный компакт в R", а |х — ограни-
ограниченная положительная борелевская мера, то вымета-
выметанием меры |х на компакт К наз. такая мера
V, сосредоточенная на К, что всюду U (x; v)<L U(x; ц)
и квазивсюду на К, т. е. за возможным иск-
исключением множества точек внешней емкости нуль,
U(x; v)= U(х; (г). Эта постановка проблемы выметания,
более общая по сравнению с выметанием из области,
распространяется п на потенциалы других видов, напр.
на бесселевы потенциалы, Рисса потенциалы. Рассмат-
Рассматриваются также выметания мер на произвольные боре-
левскпе множества К.
Близкой к этой постановке является проблема вы-
выметания для супергармонических функций. Пусть ;; —
неотрицательная супоргармонич. функция в области
DczR". Выметанием для функции г; на
компакт K<z.D наз. наибольшая супергармонич.
функция В$ такая, что: 1) ее ассоциированная мера со-
сосредоточена на К; 2) всюду Bv <cv; 3) Bv =v квазивсюду
на К.
В потенциала теории абстрактной проблема вымета-
выметания в обеих постановках получает решение для мно-
множеств К в произвольных гармонических пространствах
X, т. е. в таких локально компактных топология, про-
пространствах X, к-рые допускают выделение аксиомати-
аксиоматически определенного пучка гармонич. функций. Этот
аксиоматич. подход позволяет рассматривать проблему
выметания для потенциалов, связанных с дифференци-
дифференциальными уравнениями с частными производными бо-
более общей природы (см. [7]).
Лит.: [1] Poincare H., «Amer. J. Math.», 1890, v. 12,
Nj 3, p. 211—94; [2] его же, TMorie du potentiel Newtonien,
P., 1899; [3] La Vallee-Poussin Ch. J. de, Le poten-
potentiel logarithmique, balayage et representation conforme, Louvain—
P-, 1949j U] Сретенский Л. Н., Теория ньютоновского
потенциала, М.—Л., 1946; [5J Ландкоф Н. С, Основы
современной теории потенциала, М., 1966; [6] Брело М.,
Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М.,
1964; [7] Gonstantinescu С, Cornea A., Potential
theory on harmonic spaces, В., 1972. E. Д. Соломенцев.
ВЫНУЖДЕНИЯ МЕТОД, фор си нг-метод,— осо-
особый способ доказательства существования моделей акси-
аксиоматич. теорий, предложенный П. Коэном в 1963 для до-
доказательства совместимости отрицания континуум-ги-
континуум-гипотезы ~)СН и других теоретико-множественных пред-
предложений с аксиомами системы Цермело — Френкеля ZF
(-см. [1]). В дальнейшем В. м. был упрощен и модернизи-
модернизирован (см. B] —[6]); выявилась, в частности, связь этого
метода с теорией булевозначных моделей (см. [2], [3]) и
моделями Крипке (см. [6]).
Центральным понятием В. м. является отноше-
отношение вынужден и я
р\\-Ц>
(«условие р вынуждает формулу ф»).
Определению отношения вынуждения предшествует
фиксирование нек-рого языка L и частично упорядочен-
упорядоченного множества Р вынуждающих условий р с отноше-
отношением порядка <:. Язык L может содержать переменные
и константы разных сортов (или типов).
Построение модели ZF, предложенное П. Коэном, в
к-рой нарушается континуум-гипотеза, выглядит сле-
следующим образом. Множество М наз. т р а н з и т и в-
н ы м, если
Пусть М — счетное транзитивное множество, являю-
являющееся моделью ZF, и Х?М — ординальное
(по Нейману) число, т. е. Я= {а : а<Х}.
Пусть А^кХ (ов — произвольное множество (возможно,
что А0М), где юо — первое бесконечное ординальное
число. Если X — транзитивное множество, то пусть
Def (X) обозначает множество всех Х-определимых под-
подмножеств (см. Конструктивное по Гёделю множество),
т. е. Def (X) = Def (X, ?|Х). С помощью процесса, ана-
аналогичного построению конструктивных по Гёделю мно-
множеств, для каждого ординального числа а индуктивно
определяется множество Ма[Л]:
Пусть М [А] = Ма [А], где ao=suP {a?M:a — орди-
ординал}. Модель ZF, в к-рой нарушается континуум-гипо-
континуум-гипотеза, ищется среди моделей вида М [А]. Пусть Я —
ординал такой, что в М истинно утверждение: Я есть
второй несчетный ординал.
Множество вынуждающих условий Р и отношение <:
определяются уквивалентностями: а) р gР<$. ^>р — функ-
ция, определенная на нек-ром конечном подмножестве
множества XX а0, со значениями в множестве {0, 1}, Ь)
р<(/<^ ^>д есть продолжение р. В качестве языка L
берется так наз. разветвленный язык, имею-
имеющий много типов переменных (для каждого а<а0 свой
тип переменных, пробегающих множество Ма[Л]) и со-
содержащий имена (т. о. индивидные константы) для каж-
каждого множества из М [А]. Если х?М, то имя х обо-
обозначается через х" . Пусть а — имя множества А. От-
Отношение вынуждения р\\—ф вводится индуктивным
определением, имеющим, в частности, следующие харак-
характерные пункты:
A)
B)
C)
D)
Если а — тип переменной х, то
E) р\\-ЭЩ(х)€=>эс
где Со,~ множество всех констант типа а.
Последовательность вынуждающих условий
Ро < Pi < Pi < • • • < Рп < ¦ • •
наз. полной, если для всякой замкнутой формулы <р
языка L имеет место
зп(р„]|--ф v р„||-1ф)-
Счетность множества всех замкнутых формул языка L
и пункт B) определения отношения вынуждения позво-
позволяют доказать существование полной последовательно-
последовательности, начиная с любого р0.
Множество Л, содержащееся в ЯХ <»о, наз. г е н е р и-
ческим относительно модели М, если
существует такая полная последовательность, что
ип<-ы Рп есть характеристпч. функция у^ множества
А. Фундаментальное значение имеют следующие два
факта о генерических множествах и отношении вынуэд-
дения.
I. Если А — генерическое множество, то
где М [/1];=ф означает, что формула ф истинна в М [А].
П. Отношение
Р II— ф (С1, • • ¦. сп),
где сх, . . ., сп — константы L, рассматриваемое как от-
отношение между р, ct, . . ., сп, выразимо в модели М.
В силу этих фактов, для доказательства того, что
М [Л]]=ф, достаточно показать истинность в модели М
утверждения
Vp (р \\-11 Ф), т. е. VP 39 Зг р (q |Ь Ф)-
На этом основана проверка справедливости в модели
М [А] аксиом ZF и "^СН. При проверке ~]СН в М [А]
используется также специфика множества вынуждаю-
вынуждающих условий, позволяющая доказать, что:
1) если ординалы 6lt 62^к различны, то
Vp 3q Ss pjn < C00 (q (<6xre>) ф q «S27l»),
т. e.
лб, ^ Л62> где Ас = {п ! ^n> 6 A}'-,
2) M [A]\=(X есть второй несчетный ординал).
Укажем, как отношение вынуждения связано с буле-
возначными моделями.
Если ввести обозначения
то (В, <=) есть полная булева алгебра и ||ф||?В есть бу-
булево значение формулы ф. Таким образом, задание час-
частично упорядоченного множества (Р, <) и определение
отношения р\\— 3 ] ср оказываются равносильными по-
строению нек-рой булевозначной модели 2I. Анализ до-
доказательства утверждений вида:
М[А]\=<р0,
где ф0 — аксиома ZF или ~|СН, позволяет заключить,
что формулы ZF, выражающие утверждение:
vp (р и—m Фо),
т. е. ]]ф||=1д, выводимы из аксиом ZF. Таким образом,
ЗЛ есть jB-модель для ZF+~]CH, построенная средства-
средствами ZF. Предположение о существовании счетного тран-
транзитивного множества, являющегося моделью ZF, равно
как и понятие генерического множества, оказываются
несущественными для целей доказательства относитель-
относительной непротиворечивости.
Выяснилось, что построение булевозначной модели
можно упростить (см. [2], [3], [5]). В частности, введе-
введение разветвленного языка L не является обязательным.
Возможен следующий способ построения генерической
модели М [А] (см. [4]).
Подмножество X частично упорядоченного множества
(Р, <) наз. плотны м, если
VP3<?S3P(<? 6 X).
Пусть Р и отношение < суть элементы нек-рого счетного
транзитивного множества М, являющегося моделью ZF.
Подмножество вЯ^Р наз. Af-генерическим
ф и л ь т р о м, если:
1) ?G?G
) p?
2) p?Gq??)
3) (Х?МлХ плотно на P)->-XC\G=?0.
Пусть G есть Л/-генерическпп фильтр на Р. Так как
М счетно, то G существует. Вообще говоря, G(?M. Отно-
Отношение ? о определяется эквивалентностью
х € G'J ¦*-»¦ ЭР ? G (<XP> G У),
где х и у — произвольные элементы модели М.
Пусть функция Fq определена на М равенством
N0 = {FG{x):x б М).
Если ф — замкнутая формула языка ZF, пополненного
константами для обозначения каждого множества из М,
то положим
р ||—ф ¦«—*¦ VG 3 Р (G есть М-генерпческий фильтр -*-
Можно показать, что
| 6
0 фэр6(р!|Ф)
II. Отношение />||—ф(сь .. ., сп) определимо в модели
М для каждой формулы ф.
Используя только I, II и тот факт, что М — модель
ZF, можно установить, что NG — модель ZF. Если Р
определено эквивалентностями (а) и (ft), то jV(j|=~)CH
и U G есть характеристич. функция нек-рого множества
Л?=ЯХю0 п М [Л] = Л*(у. Определимое в М отношение
р\\ — ф не удовлетворяет пунктам C) и E) определения
П. Коэна отношения вынуждения. Имеет место
Р II— Э«Р (х) -е-> Vp' Ss рэр" Зг Р'эа 6 М (р" ||— ф (а)).
Полагая
получим определимую в М булевозначную модель для
ZF+~]CH с той же булевой алгеброй В, что и в случае
П. Коэна.
Таким образом, В. м. состоит фактически в построе-
яии В-модели и гомоморфизма, сохраняющего нек-рые
бесконечные объединения и пересечения алгебры В,
в двухэлементную алгебру {0, 1 } (о применениях В. м.
в теории множеств см., напр., [2]).
Лит.: tlj Коза П. Д ж., Теория множеств и континуум-
гипотеза, пер. с англ., М., 1969; [2] Й е х Т., Теория множеств
i метод форсинга, пер. с англ., М., 1973; [3] Так euti G.,
I а г i n g W. M., Axiomatic set theory, N. Y. — Hdlb. — В.,
1973; [4] HI e н ф и л д Д т., Математическая логика, пер.
с англ., М., 1975: [5] Панин Ю. И., в кн.: «Итоги науки и
техники. Современные проблемы математики, т. 5, М., 1975,
с. 5—72; [6] Pitting M. С, Intuitionistic lo<*ie, model
theory and forcing, Amst.— L., 1969. В. Н. Гришин.
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ — незатухающие
колебания в к.-л. материальной системе, возникающие
под действием внешней переменной во времени силы.
В линейной диссипативной системе при действии на нее
внешней силы, изменяющейся по гармоническому за-
закону, В. к. имеют частоту внешней силы. Амплитуда
В. к. определяется параметрами внешнего воздействия
(амплитудой, частотой) и коэффициентами сопротивле-
сопротивления среды, в к-рой происходят колебания материальной
системы. Если частота внешней силы близка к одной из
частот собственных колебаний системы, то амплитуда
В. к. может иметь достаточно большую величину, тем
большую, чем меньше сопротивление среды. В случае
отсутствия сопротивления среды при совпадении частоты
внешней силы с одной из частот собственных колебаний
системы амплитуда В. к. неограниченно возрастает
пропорционально времени. Это явление носит название
резонанса.
При включении внешней силы в материальной системе
возникают как В. к., так и собственные колебания. В
диссипативной системе собственные колебания затуха-
затухают, н в системе остаются только В. к. (установив-
(установившийся режим). Режим перехода к установившим-
установившимся колебаниям наз. переходным режимом.
Время переходного режима тем меньше, чем больше
сопротивление среды. Если внешняя сила является
пернодич. функцией времени с периодом Т=2л/р,
к-рая может быть представлена рядом Фурье, то в ли-
линейной системе возникают В. к., представляющие собой
сумму гармоник с частотами пр (п=1, 2, 3, . . .). Ампли-
Амплитуды этих гармоник убывают с возрастанием п, но не
равномерно. На практике часто ограничиваются конеч-
конечным числом гармоник.
Если при к.-л. значении п частота пр близка к одной
из собственных частот системы, то амплитуда гармони-
гармоники В. к. с частотой пр может быть достаточно большой,
а при отсутствии сопротивления среды будет расти про-
пропорционально времени. Напр., для диссипативной сис-
системы с одной степенью свободы, уравнение движения
к-рой имеет вид
'i + 2hx + k2x -¦= 2J=] IIп sin (npt + б„)
(h, F, Н„, р, &„ — постоянные коэффициенты), В. к.
будут происходить по закону
тг
где 7n=arctg [2hnp/(k2— п2р-)\. Если же h=Q (среда без
сопротивления) и sp~k, то
X<s) Н Н t
-Г7, тт sin (npt -!-0„) тг~ COS (spt +0,),
где значок (s) у суммы означает, что член при n=s в
сумму не входит.
При непериодическом внешнем возмущении возни-
возникающие в системе В. к. будут также непериодическими.
При воздействии внешней гармонической силы на нели-
нелинейную диссипатпвную систему возможно возникнове-
возникновение В. к. не только с частотой внешней силы, но и с ча-
частотой, в целое число раз большей частоты внешней
силы (субгармонические колебания).
В автоколебательной системе (см. Автоколебания)
при действии на нее внешней гармонической силы воз-
возникает кваз и пер и одический р е ж и м (р е-
ж и м б и е н и й), характеризующийся наличием ие-
риодич. колебания с частотой, близкой к частоте авто-
автоколебаний, и В. к. с частотой внешнего возмущения.
При частоте внешнего возмущения, близкой к частоте
автоколебаний, система совершает колебания только с
частотой внешней силы. Это явление носит назв. п р и-
нудительной синхронизации (захва-
(захватывание).
Лит.: [1] Андронов А. А., Собрание трудов, [М.],
1056; [2] Б а 0 а к о в И. М., Теория колебаний, 2 изд., М.,
(965; [3] Бутенин Н. В., Теория колебаний, 2 изд.,
М., 1963; [4] К о л о в с к и й М. 3., Нелинейная теория вибро-
виброзащитных систем, М., 1966; [5] Стокер Д ж., Нелинейные
колебания в механических и электрических системах, пер. с
англ., 2 изд., М., 1953; [6] Стрелков С. П., Введение в
теорию колебаний, 2 изд., М., 1964; [7] Цзе Ф. С, М о р-
з е И. Е., X и н к л Р. Т., Механические колебания, пер. с
англ., М., 1966. Я. В. Бутенин.
ВЫПУКЛАЯ ИГРА — бескоалиционная игра п лиц,
в к-рой существует такое непустое множество игроков
А, что для каждого игрока i?A множество его чистых
стратегий Х( выпукло, а функция выигрыша Ki{xly . . .,
х„) вогнута по х/ ? X; при всех значениях х^, кфг. Если
функции выигрыша всех игроков в В. и. непрерывны,
а множества чистых ртратегий компактны, то существу-
существует ситуация равновесия, в к-рой игроки множества А
используют чистые стратегии. В. п. наз. конечной,
если каждое X,- компактно и содержится в нек-ром евк-
евклидовом пространстве Ещ, а функции выигрыша К;
полилинейны. В частности, конечная антагонистиче-
антагонистическая В. и. задается тройкой (Я, S, К), где RczEm,
SczE", а функция К имеет вид
K(r> *)=2e'/r's/' г< ? л-s/ ? s-
Если |А и v — размерности множеств оптимальных стра-
стратегий игроков I и II соответственно, ар — ранг матри-
матрицы ||а,у||, то u.+v<m+rc — p. Поэтому если матрица ||а,у||
невырожденна, то |x+v<:max(m, га). Конечные В. и.
тесно связаны с вырожденными играми.
Пусть Г= (X, У, К) — антагонистическая игра на
единичном квадрате, функция выигрыша к-рой вогнута
по if X при каждом y?Y и непрерывна на квадрате
ХХУ. Тогда игрок I имеет оптимальную чистую стра-
стратегию хо?X, а игрок II — оптимальную меру (смешан-
(смешанную стратегию), носитель к-рой состоит не более чем из
двух точек. Таким образом, можно получить нек-рую
информацию о свойствах стратегий игроков в В. и.,
не принадлежащих множеству А. Естественным обоб-
обобщением В. и. на единичном квадрате являются обоб-
обобщенно-выпуклые игры, к-рые определя-
определяются тем, что для нек-рого п выполняется неравенство
дпК(х, у)/дх"*?.О при х? X, г/?У. В этом случае, если
условиться, что концевой точке отрезка приписывается
вес V2, игрок I имеет оптимальную меру, носитель к-рой
состоит не более чем из п/2 точек, а игрок II — опти-
оптимальную меру, носитель к-рой состоит не более чем из га
точек.
Лит.: [1] Никайдо X., И сода К., в кн.: Беско-
Бесконечные антагонистические игры, М., 1963, с. 449—58; [2] Д р е-
ш е р М., К а р л и н С, там же, с. 180—94; [3J Б о н е н-
бласт X. Ф., К а р л и н С, III е и л и Л. С, там же
с. 337—52. Г. Н. Дюбин.
ВЫПУКЛАЯ МЕТРИКА - внутренняя метрика на
двумерном многообразии М, удовлетворяющая нек-ро-
му условию выпуклости. Точнее, пусть I и т две крат-
кратчайшие, исходящие из нек-рой точки О ? М, X и Y —
точки на них, х, у — расстояние от О до X, Y, z — рас-
расстояние между X, У, у(х, у) — угол в плоском тре-
треугольнике со сторонами, равными х, у, г, лежащий про-
против стороны, равной z. Условие выпуклости метрики
(в точке О) состоит в том, что у (х, у) является невозрас-
тающей функцией (т. е. у(хи Ух)^у(х2, у2) при x,*g:x2,
2/i<Уг) на всякой паре промежутков 0<.х^х0, 0<г/<:г/0
такой, что точки X и У, соответствующие любым двум
значениям из этих промежутков, можно соединить крат-
кратчайшей. Внутренняя метрика является В. м. тогда и
только тогда, когда она есть метрика неотрицательной
кривизны. Метрика выпуклой поверхности является
R. м. Обратно, любое двумерное многообразие с В. м.
реализуется в виде выпуклой поверхности (теорема
A. Д. Александрова).
Лит.: [1] Александров А. Д., Внутренняя гео-
геометрия выпуклых поверхностей, М.—Л., 1948.
М. И. Войцехоаский.
ВЫПУКЛАЯ ОБЛАСТЬ - выпуклое множество,
имеющее внутренние точки.
ВЫПУКЛАЯ ОБОЛОЧКА множества М —
минимальное выпуклое множество, содержащее М; то
есть пересечение всех содержащих М выпуклых мно-
множеств. В. о. множества М обозначается convM. В ев-
евклидовом пространстве Е" В. о. есть множество воз-
возможных положений центра тяжести массы, различным
образом распределяемой в М. Каждая точка В. о. есть
центр тяжести массы, сосредоточенной не более чем в
ге-f-l точках (теорема Каратеодори).
Замыкание В. о. наз. замкнутой В. о. Она
представляет собой пересечение всех содержащих М
замкнутых полупространств или совпадает со всем Е".
Часть границы В. о., не прилегающая к М, имеет ло-
локально строение развертывающейся гиперповерхности.
В Е" В. о. ограниченного замкнутого множества М
есть В. о. крайних точек М (крайней наз. точку мно-
множества М, не являющуюся внутренней ни для какого
отрезка, принадлежащего М).
Кроме евклидова пространства, В. о. обычно рассмат-
рассматривают в локально выпуклых линейных топологич.
пространствах L. В L В. о. компактного множества М
есть замкнутая В. о. его крайних точек (теорема
Крейна — Мильмана).
Лит.: [1] Эдварде Р., Функциональный анализ. Тео-
Теория и приложения, пер. с англ., М., 1969; [2] Фелпс Р.,
Лекции о теоремах Шоке, пер. с англ., М., 1968.
В. А. Залгаллер.
ВЫПУКЛАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — область (связное
открытое множество) на границе выпуклого тела в евкли-
евклидовом пространстве Е3. Вся граница выпуклого тела
наз. полной В. п. Если тело конечно, то полная
B. п. наз. замкнутой. Если тело бесконечно, то
полная В. п. наз. бесконечной. Бесконочная
В. п. гомеоморфна либо плоскости, либо круговому ци-
цилиндру. В последнем случае она сама является цилинд-
цилиндром. Простейшее выпуклое тело — выпуклый много-
многогранник, т. е. пересечение конечного числа полупро-
полупространств. Поверхность выпуклого многогранника со-
составлена из выпуклых многоугольников и также наз.
выпуклым многогранником.
Современная теория В. п. построена главным обра-
образом советскими геометрами — А. Д. Александровым и
его школой. Однако отдельные результаты теории В. п.
были известны значительно раньше. Так, еще О. Коши
(A. Cauchy) доказал неизгибаемость замкнутого выпук-
выпуклого многогранника. Г. Либман (Н. Liebmann) и
В. Бляшке (W. Blaschke) доказали жесткость замкнутых
выпуклых поверхностей. Г. Минковский (Н. Minkow-
ski) — существование замкнутой В. п. с данной гауссо-
гауссовой кривизной. Г. Вейль (Й. Weyl) наметил решение
проблемы существования замкнутой В. п. с данной
метрикой. Это решение было завершено Г. Леви
(Н. Lewy). С. Кон-Фоссен (S. Cohn-Vossen) доказал од-
однозначную определенность регулярных замкнутых В. и.
С каждой точкой X В. п. F естественным образом
связан конус V (X) — предел поверхностей Fn при
п—»-оо, получаемых преобразованием гомотетии из F от-
относительно точки X с коэффициентом гомотетии п. Этот
конус наз. касательным конусом. В зависи-
зависимости от вида касательного конуса, точки В. п. подраз-
подразделяются на конические, ребристые и гладкие. Точка
В. п. наз. конической, если касательный конус
в этой точке не вырождается. Если же касательный ко-
конус вырождается в двугранный угол пли плоскость,
точка наз. ребристой или, соответственно, г л а д-
к о й. Негладкие точки на В. п. представляют собой в
нек-ром смысле исключение. Именно, множество реб-
ристых точек имеет меру нуль, а множество конических
точек не более чем счетно.
Для последовательности В. п. определяется понятие
сходимости: последовательность В. п. Fn сходится к
И. п. F, если любое открытое множество D одновременно
пересекает или не пересекает F и все Fn при n>N{D).
Любую В. п. можно представить как предел выпуклых
многогранников. Бесконечные совокупности В. п. об-
обладают важным свойством компактности, состоящим в
том, что нз любой последовательности полных В. п.,
не удаляющихся в бесконечность, всегда можно выде-
выделить сходящуюся подпоследовательность с пределом
в виде В. п., к-рая может быть вырожденной (в дважды
покрытую плоскую область, прямую, полупрямую или
отрезок).
Любые две точки В. п. можно соединить спрямляемой
кривой на поверхности. Точная нижняя грань длин кри-
кривых, соединяющих две данные точки на В. и., наз. рас-
расстоянием между этими точками на
поверхности. Кривая на В. п. наз. к р а т ч а й-
ш е й, если она имеет наименьшую длину среди всех
кривых на поверхности, соединяющих ее концы. У каж-
каждой точки В. п. есть окрестность, любые две точки к-рой
можно соединить кратчайшей на поверхности. На пол-
полной В. п. любые две точки соединяются кратчайшей.
Кратчайшая на В. п. имеет в каждой точке правую и ле-
левую полукасательные. Важнейшим свойством кратчай-
кратчайших на В. и. является свойство неналег а-
н и я. Оно состоит в том, что для взаимного расположе-
расположения двух кратчайших могут быть только следующие
возможности: кратчайшие не имеют общих точек; крат-
кратчайшие имеют одну общую точку; кратчайшие имеют две
общие точки, являющиеся их концами; одна кратчай-
кратчайшая есть часть другой; кратчайшие совпадают на
нек-ром отрезке, причем один конец этого отрезка явля-
является концом одной кратчайшей, а второй конец служит
концом другой кратчайшей. Метрика В. п. обладает
свойством выпуклости (см. Выпуклая мет-
метрика). Углом между кратчайшими у и у' в точке О
наз. предел угла а(Х, X') при X, X'—*-О. Определяемый
так угол существует для любых двух кратчайших, ис-
исходящих из общей точки. По свойству неналегания крат-
кратчайших, кратчайшие учу', исходящие из точки О, раз-
разбивают окрестность этой точки на два сектора. Пусть
V — один из этих секторов, ограниченный кратчайши-
кратчайшими у и у'. Проведем в этом секторе кратчайшие уи
У2i • • -1 7п> занумеровав их в порядке следования от у
к у'. Пусть а0, аи .. ., ап — углы между соседними
кратчайшими у и уг, уг и у2, ... .Углом сектора
V наз. точная верхняя грань суммы углов ao+«i+. • ¦ +
-\-ап по всем кратчайшим у; внутри сектора. Угол сек-
сектора равен углу между полукасательными к кратчай-
кратчайшим в точке О на развертке касательного конуса. Сумма
углов взаимно дополняющих секторов с вершиной в точ-
точке О не зависит от взятых кратчайших и наз. полным
углом поверхности в точк е О. Полный
угол в любой точке В. п. не превышает 2я.
Для В. п. вводится понятие внутренней и
внешней кривизны. Внутренняя кривизна со
определяется сначала для основных множеств — точек,
открытых кратчайших и треугольников. Треуголь-
Треугольником наз. гомеоморфная кругу область, ограничен-
ограниченная тремя кратчайшими. Если М — точка и 6 — пол-
полный угол вокруг нее на поверхности, то ео(М) = 2я —6.
Если М — открытая кратчайшая, т. е. кратчайшая с
исключенными концами, то со(Л/) = 0. Если М — от-
открытый треугольник, т. е. треугольник с исключенны-
исключенными сторонами и вершинами, то cu(M) = a-f~|3+Y~ я, где
а, E, у — углы треугольника. Далее кривизна опреде-
определяется для элементарных множеств, представляемых в
виде теоретико-множественной суммы попарно не пере-
пересекающихся основных: M=2ft=i^*- Для таких мно-
жеств ю(М) = 2 co(Z?fc). Внутренняя кривизна любого
замкнутого множества определяется как точная ниж-
нижняя грань внутренней кривизны элементарных мно-
множеств, содержащих данное замкнутое множество. На-
Наконец, для любого множества внутренняя кривизна
определяется как верхняя грань внутренней кривизны
содержащихся в нем замкнутых множеств. Определяе-
Определяемая таким образом внутренняя кривизна на В. п. яв-
является вполне аддитивной функцией на кольцо борелев-
ских множеств. Внешняя кривизна множества на В. и.
определяется как площадь (мера Лебега) сферического
изображения этого множества. Она определена для всех
борелевских множеств на В. п. и совпадает с внутренней
кривизной.
Метрика р двумерного многообразия наз. внут-
внутренней, если расстояние р(Хх, Х2) между любыми
двумя точками Х1 и Х2 многообразия равно точной ниж-
нижней грани длин кривых в этом многообразии, соединяю-
соединяющих точки Хг и Х2. При этом длина кривой X (t),
0<г<:1, соединяющей точки Хх и Х2, определяется как
точная верхняя грань сумм
Пусть у и у' — две кривые, исходящие из точки О в мно-
многообразии с внутренней метрикой. Возьмем на них
точки X и X' и построим плоский треугольник со сто-
сторонами р (О, X), р(О, X'), р(Х, X'). Нижний предел
угла а(Х, X') этого треугольника, противолежащего
стороне р(Х, X'), наз. углом между кривыми у
и у' в точке О. Очевидно, этот угол всегда существует.
Метрика многообразия наз. выпуклой, если для
любого треугольника, стороны к-рого являются крат-
кратчайшими, сумма его углов не меньше п. Метрика В. п.—
в этом смысле выпуклая. Одним из основных результа-
результатов теории В. п. является теорема о реализуемости вну-
внутренней выпуклой метрики на нек-рой В. п. Именно,
полное многообразие с внутренней выпуклой метрикой
реализуется полной В. п.
Для кривых на В. п. вводится понятие правого
и левого поворотов, обобщающее понятие
интегральной геодезической кривизны. Пусть у — произ-
произвольная кривая без самопересечений на В. п. с концами
А и В. Задается направление на кривой у и строится
последовательность простых геодезических ломаных с
концами А, В, сходящихся к 7 и расположенных в пра-
правой полуокрестности кривой. Пусть ос„ — углы секто-
секторов, образуемые звеньями ломаной со стороны области,
ограниченной ломаной уп и кривой у\ а и C — углы сек-
секторов, образуемых ломаной уп и кривой у в концевых
точках. Правым поворотом наз. предел ос+
-f-P + 2 (я —а„) при 7ri~*"Y- Этот предел всегда сущест-
существует, если кривая у имеет определенные направления
на концах, т. е. полукасательные, и не зависит от взятой
последовательности ломаных. Левый поворот
определяется аналогично. Поворот замкнутой кривой
определяется путем приближения к ней замкнутой ло-
ломаной с соответствующей стороны. Для В. п. имеет
место теорема, обобщающая Гаусса — Бонне теорему
для регулярных поверхностей. Именно, если замкнутая
кривая на В. п. ограничивает гомеоморфную кругу об-
область, то сумма кривизны области и поворота кривой,
ограничивающей область со стороны этой области, рав-
равна 2гс.
Изометрическим преобразован и-
е м наз. такая деформация В. п., при к-рой поверх-
поверхность остается выпуклой и ее метрика не меняется, т. е.
не изменяются расстояния между точками на поверх-
поверхности. Изометрич. преобразование наз. тривиаль-
тривиальным, если оно сводится к перемещению поверхности
как целого или к перемещению и зеркальному отраже-
отражению. Поверхность, не допускающая нетривиальных
изометрич. преобразований, паз. однозначно-
определенной. Замкнутые В. п. и бесконечные
В. п. с полной кривизной 2я являются однозначно-
определенными. Бесконечные В. п. с полной кривизной,
меньшей 2я, допускают нетривиальные пзометрич.
преобразования и притом с большим произволом. Вся-
Всякая В. п. локально допускает нетривиальные изомет-
рич. преобразования, т. е. каждая точка В. п. имеет
окрестность, допускающую такие преобразования.
Важнейшим средством исследования пзометрпч. пре-
преобразований В. п. является теорема о склеи-
склеивании. Согласно этой теореме, полное многообразие
I), составленное из областей D^, изометричных В. п.,
само изометрично В. п., если выполняются следующие
условия: границы областей Dk имеют повороты ограни-
ограниченной вариации, отождествляемые участки границ оди-
одинаковой длины, сумма поворотов на любом отрезке
отождествляемых границ неотрицательна, а сумма углов
секторов в любой общей точке границ областей D^ не
превышает 2я. Теоремы о возможности нетривиальных
изометрич. преобразований В. п. обычно получают «под-
клеиванием» к данной В. п. плоской области с соблю-
соблюдением указанных выше условий.
Для общих В. и. вводится понятие площади для
любого борелевского множества; сначала оно вводится
для простейших множеств, ограниченных кратчайши-
кратчайшими,— геодезич. многоугольников. Многоугольник под-
подвергается мелкой триангуляции Тп так, чтобы стороны
треугольников были меньше 1/ге. Для каждого треуголь-
треугольника этой триангуляции строится плоский треугольник
со сторонами той же длины и берется сумма площадей
Sn таких треугольников. Оказывается, независимо от
выбора триангуляции многоугольника, сумма Sn при
п—voo стремится к определенному пределу. Этот предел
и принимается за площадь многоугольника. Затем обыч-
обычными приемами теории меры определяются площади
замкнутых, открытых и вообще борелевскпх множеств.
Площадь В. п. есть вполне аддитивная функция на коль-
кольце борелевских множеств.
Удельной кривизной В. п. в области D
наз. отношение кривизны области к ее площади. Если
удельная кривизна В. п. во всех областях заключена в
положительных пределах, то поверхность является
гладкой и строго выпуклой. Гауссовой кри-
кривизной В. п. в данной точке X наз. предел удель-
удельной кривизны области D при стягивании ее к точке X.
Гауссова кривизна, если она существует, является не-
непрерывной функцией точки на поверхности. Если на
В. н. существует определенная гауссова кривизна, то
на этой поверхности можно ввести полярные геодезич.
координаты и представить линейный элемент поверх-
поверхности в виде
Q)dQ2.
При этом гауссова кривизна с помощью коэффициента G
определяется но формуле
л. ,
V6
В. п. наз. регулярной, если в окрестности лю-
любой ее точки она допускает аналитич. задание r = r(u, v),
где r(u, v) — регулярная (достаточное число раз диф-
дифференцируемая) вектор-функция, удовлетворяющая ус-
условию гиХгх)ф0. Метрика В. п. наз. регулярной,
если она допускает задание с помощью линейного эле-
элемента
ds2 = Edu2 + 2Fdudv+Gdv2,
причем коэффициенты формы ds2 — регулярные функ-
функции. Регулярная В. п. имеет, очевидно, регулярную
метрику, так как
E = rl, F = rarv, G—rl.
Обратное, вообще говоря, неверно. Напр., двугранный
угол имеет регулярную, даже аналитнч. метрику, так
как он пзометрнчен плоскости, но не является регуляр-
регулярной поверхностью. Однако, если метрика В. п. регуляр-
регулярна, а гауссова кривизна положительна, то поверхность
регулярна. Именно, если коэффициенты линейного эле-
элемента дифференцируемы п раз (гс^2), то поверхность
дифференцируема по крайней мере га—1 раз.
Теория В. и. строится также и в пространствах посто-
постоянной кривизны. При этом, как и в евклидовом прост-
пространстве, В. п. наз. область на границе выпуклого тела.
Многие результаты теории В. п. в пространствах по-
постоянной кривизны формулируются и доказываются так
же, как и для В. п. евклидова пространства. Однако
нек-рые результаты существенно отличаются. Напр.,
в пространстве Лобачевского полная В. п. может быть
гомеоморфна любому связному открытому множеству на
сфере.
Лит.: [1] Minkowski H., «Math. Ann.», 1903, Bd 57,
S. 447—95; [2] В е й л ь Г., «Успехи матем. наук», 1948, т. 3,
в. 2, с. 159—90; [3] Кон-Фрссен С. Э., «Успехи матем.
наук», 1936, в. 1, с. 33—76; [4] Александров А. Д.,
Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.—Л., 1!>48;
[5] Погорелов А. В., Внешняя геометрия выпуклых
поверхностей, Ы., 1969. А. В. Погорелое.
ВЫПУКЛАЯ ПОДГРУППА — подгруппа // (час-
(частично) упорядоченной группы G, являющаяся выпуклым
подмножеством G относительно заданного отношения
порядка. Инвариантные выпуклые подгруппы и только
они являются ядрами гомоморфизмов частично упоря-
упорядоченных групп, сохраняющих порядок. Подгруппа
упорядочиваемой группы, выпуклая при всяком линей-
линейном упорядочении, наз. абсолютно выпуклой
подгруппой, а выпуклая при нек-ром ее линей-
линейном порядке — относительно выпуклой
подгруппой. Пересечение всех нееднничных от-
относительно выпуклых подгрупп упорядочиваемой груп-
группы есть абсолютно выпуклая подгруппа, объединение
всех собственных относительно выпуклых подгрупп
также есть абсолютно выпуклая подгруппа. Абелевы
группы без кручения не имеют нетривиальных абсолют-
абсолютно выпуклых подгрупп. Подгруппа Н доупорядочивае-
мой группы G абсолютно выпукла тогда и только тогда,
когда для любых элементов g{?H, a^H пересечение
S (g) П S (ga) не пусто, где S (х) — минимальная инва-
инвариантная подполугруппа G, содержащая х. Выпуклая
Z-подгруппа Н структурно упорядоченной группы изо-
изолирована, т. е. для любого натурального п из
х" ^ // следует х?Н.
Лит.: [1] К о к о р и н А. И., К о л ы т о в В. М., Ли-
Линейно упорядоченные группы, М., 1972; [2) Фукс Л., Час-
Частично упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ.,
М., 1965. А. II. Konopufi, В. М. Копытов.
ВЫПУКЛАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — после-
последовательность действительных чисел {&„}, ге=0, 1, ...,
удовлетворяющих условию
2а„<ап_1-}-а„ + 1) n = l,2, ... . (*)
Если положить
то условие (*) запишется в виде
Д2а„5г=0, га = 0, 1, ... .
Геометрически условие (*) означает, что ломаная на
плоскости х, у с вершинами в точках ж--?г, у~ап яв-
является выпуклой. Если последовательность {ап} вы-
выпукла п ограничена, то:
1) она не возрастает и, следовательно, сходится к
конечному пределу;
2) lim
« = йо— lim а„.
Если / (х) — выпуклая функция при х^О, то последо-
последовательность an = f(n), га=0, 1, . . ., выпукла.
Л. Д. Кудрявцев.
ВЫПУКЛАЯ ФУНКЦИЯ действительно-
действительного переменного — функция f(x), определенная
на нок-ром интервале, для любых двух точек хг и х2
к-рого выполняется условие
;И*'>+ '<*»> . A)
Геометрически это означает, что середина любой хорды
графика функции / лежит либо над графиком, либо на
нем. Если для любых х1 и х2 неравенство A) является
строгим неравенством, то функция / называется стро-
строго выпуклой. Примеры В. ф.: хР, р>1, х In x
для х~>0 и |ж| для всех х. При обратном знаке неравен-
неравенства A) функцию / наз. вогнутой. Всякая изме-
измеримая В. ф. непрерывна. Существуют В. ф., не явля-
являющиеся непрерывными, но они очень нерегулярны: ес-
если функция / выпукла на интервале (а, Ь) и ограниче-
ограничена сверху в некотором интервале, лежащем внутри
(а, 6), то она непрерывна на (а, Ь). Таким образом раз-
разрывная В. ф. неограничена на каждом внутреннем ин-
интервале и неизмерима.
Если функция / непрерывна на интервале и на каждой
хорде се графика имеется по крайней мере одна точка,
отличная от концов хорды и лежащая над графиком
или на нем, то функция / выпукла. Из условия A) для
непрорывной функции / вытекает, что центр тяжести
любого конечного числа материальных точек, лежащих
на графике функции, находится либо над ее графиком,
либо на нем: для любых чисел р^ >0, к=1, 2, ..., п
(п — произвольно) справедливо неравенство
B)
называемое Иенсена неравенством.
Если для нек-рой функции / неравенство B) выпол-
выполняется для любых двух точек хх и х2 нек-рого интервала
и любых р!>0 и р2~>0, то функция / непрерывна и, ко-
конечно, выпукла на этом интервале. Любая хорда графи-
графика непрерывной В. ф. либо совпадает с соответствующей
его частью, либо, за исключением его концов, целиком
лежит над графиком. Это означает, что если непрерыв-
непрерывная В. ф. не является линейной ни на каком интервале,
то в неравенствах A) и B) для любых попарно различных
значений аргумента выполняется строгое неравенство,
и значит / является строго В. ф.
Непрерывная функция выпукла тогда и только тогда,
когда множество точек плоскости, лежащих над ее гра-
графиком, т. е. ее надграфик является выпуклым множе-
множеством. Для того чтобы непрерывная функция /, опреде-
определенная на интервале (а, Ъ), была выпукла, необходимо и
достаточно, чтобы через каждую точку ее графика прохо-
проходила по крайней мере одна прямая (наз. опорной
прямой), лежащая либо под графиком [над интерва-
интервалом (а, 6)], либо частично на графике, т. е. чтобы для
любой точки хо?(а, Ь) существовало такое k = k(x0), что
/(*„) +Л (*-*„)</(*) C)
для всех х? (а, Ь).
Непрерывная выпуклая на интервале функция не
имеет строгого локального максимума. Если функция /
непрерывна и выпукла на интервале (а, Ь), то в каждой
его точке х0 она имеет левую D-f(x0) и правую D+f(x0)
конечные производные, причем ?>_/(жо)<?) + /(^о) и.
более того, если число k = k(x0) удовлетворяет условию
C), то fl_/(i)<i(io)<Z)+/(io). Функции D-f(x) и
D + f(x) не убывают и во всех точках, за исключением,
быть может, счетного числа их, совпадают D^f(x) =
= D +f (x)=f (x), и тем самым функция / является диф-
дифференцируемой в этих точках. На каждом отрезке, ле-
лежащем внутри (а, 6), функция / удовлетворяет условию
Липшица и, следовательно, является абсолютно непре-
рывной. Это позволяет установить следующий критерий
выпуклости: непрерывная функция выпукла тогда и
только тогда, когда она является неопределенным инте-
интегралом от неубывающей функции.
Если функция / дифференцируема на интервале, то
для того чтобы она была (строго) выпуклой на нем, не-
необходимо и достаточно, чтобы ее производная (возрас-
(возрастала) не убывала. В точке графика непрерывной В. ф.,
соответствующей точке, в к-рой функция дифференци-
дифференцируема, существует единственная опорная прямая — ка-
касательная в этой точке. С другой стороны, если у диф-
дифференцируемой на интервале функции для каждой точки
ее графика касательная к графику в этой точке в нек-рой
окрестности точки касания лежит (за исключением точки
касания) под графиком, то функция строго выпукла,
если же она лежит либо под графиком функции, либо
частично на нем, то — просто выпукла.
Если функция / дважды дифференцируема на интер-
интервале, то для того чтобы она была выпукла на нем, необ-
необходимо н достаточно, чтобы ее вторая производная была
неотрицательна на этом интервале (утверждение ос-
остается справедливым, если под второй производной
понимать не обычную производную, а симметрическую
производную). Если функция в каждой точке нек-рого
интервала имеет положительную вторую производную,
то функция строго выпукла на этом интервале.
Если функции /,- выпуклы на интервале (а, Ь) и р,->0,
i=l, 2, ..., гс, то функция
также выпукла на том же интервале, причем если хотя
бы одна из функций /,• строго выпукла, то и функция /
строго выпукла. Определение и свойства В. ф. на ин-
интервале переносятся и на промежутки других видов:
отрезки и полуинтервалы.
Имеются различные обобщения понятия выпуклости
на функции многих переменных. Пусть, напр., функция
y=f(x1, ,r2, . . ., х") определена на выпуклом мно-
множестве М и-мерного аффинного пространства Е". Функ-
Функция / наз. выпукло it, если для любых точзк х±? М
и ,r2G M выполняется неравенство A), где под х-,-\-х2 по-
понимается сумма /г-мерных векторов х1 и ж2. Свойства
В. ф. одного переменного соответствующим образом
обобщаются на функции многих переменных: напр., для
непрерывных В. ф. и в этом случае выполняется нера-
неравенство B), непрерывная функция выпукла тогда и
только тогда, когда множество точек (ж1, х2, . . ., х", у)
пространства Е"-1, лежащих над ее графиком, выпукло.
Для того чтобы непрерывная функция /, определен-
определенная на выпуклой области G, была выпуклой, необходимо
и достаточно, чтобы для любой точки x?G существова-
существовала такая линейная функция
Цу) = а1Ух+---+<*пУ" + Ь,
что
f(x) = l (x), f(y)^l (у), у ?G. D)
Гиперплоскость, задаваемая уравнением 1(у) = 0, наз.
опорной.
Если функция / непрерывно дифференцируема в G,
то условие D) эквивалентно условию
Если функция / дважды непрерывно дифференцируема,
то условие D) эквивалентно условию неотрицательности
второго дифференциала функции /, т. е. квадратичной
формы
я ir-ч п df (х) . i~j
>
= \ дх' дх>
для всех x?G.
Другим важным обобщением понятия В. ф. для функ-
функций многих переменных является понятие субгармониче-
ской функции. Понятие В. ф. естественным образом
обобщается на функции, определенные на соответствую-
соответствующих подмножествах бесконечномерных линейных про-
пространств, см. Выпуклый функционал.
Лит.: [1] Б у р б а к и Н., Функции действительного пе-
переменного, пер. с франц., М., 1965, гл. 1, § 4; [21 Зигмунд
А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., М., 1965, гл. 1;[3]
Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1,
М., 1973, гл. 1; [4] Н а т а н с о н И. П..Теория функций ве-
вещественной переменной, 3 изд., М., 1974, гл. 10; [51 Н и к о л ь-
с к и й С. М., Курс математического анализа, М., 1973, гл. 5; [6]
X ардиГ.Г., Литтльвуд Дж. Е., Полна Г., Неравен-
Неравенства, пер. с англ., М., 1948, гл. 3. Л. Д. Кудрявцев.
ВЫПУКЛАЯ ФУНКЦИЯ комплексного пе-
ременногог— регулярная однолистная функция
в единичном круге Е= {z; |z|<l}, отображающая еди-
единичный круг на нек-рую выпуклую область. Регулярная
однолистная функция w=f(z) является В. ф. тогда и
только тогда, когда при обходе любой окружности |z| =
= г, 0<г<1, касательная к образу |z|=r в точке /(z)
вращается в одном и том же направлении. Следующее
неравенство выражает необходимое и достаточное ус-
условие выпуклости /(z):
Re {l+ 7^7-} > 0, *€*. A)
С другой стороны, для того чтобы /(z) была В. ф., необ-
необходимо и достаточно, чтобы она допускала следующее
параметрич. представление:
dt, B)
Jo " L J-я ' - • ' J
где (i(8) — неубывающая действительная функция на
отрезке [ — л, л] такая, что
J -я
с0, ct — комплексные постоянные, сгф0. Формулу B)
можно рассматривать как обобщение Кристоффеля —
Шварца формулы для отображения круга Е на выпук-
выпуклые многоугольники.
Пусть 5° — класс всех В. ф. в Е, нормированных ус-
условиями со=/(О) = О, c1=f'(O) = l; Sp, p~-i, 2, . . ., суть
подклассы класса 5°, состоящие из функций, отобра-
отображающих Е соответственно на выпуклые области пло-
плоскости w с р-кратной симметрией вращения относитель-
относительно точки ш=0, Si — S°. Классы Sp компактны в себе от-
относительно равномерной сходимости внутри Е. Их ин-
интегральные представления, в частности формула B) для
S0, позволяют развить вариационные методы решения
экстремальных задач на классах Sp (см. [2] — [5]).
Основные экстремальные свойства класса S0 характе-
характеризуются следующими неулучшаемыми неравенствами:
| arg/'(z) |<2arc sin|z|, z?E,
под аргументом функции понимается ветвь, обращаю-
обращающаяся в нуль при z=0. Во всех этих оценках знак ра-
равенства имеет место только для функции/(г) = г/A — ez),
|е| = 1. Для отношения Кг кривизны К (г) границы
дВ r(f) области Вг (/) = {w = f (z); |z| < r\ на классе
S°p, p = i, 2, ..., в точке /(z) к кривизне \1г прообра-
прообраза dBr(f), т. е. окружности |z| —г, в точке z имеют-
имеются также неулучшаемые оценки. Областям Bt(f), f? 5°,
принадлежит круг |w|<1/2, причем радиус этого кру-
круга не может быть увеличен без дополнительных огра-
ограничений на класс функций. Если f{z)?S°, то однолист-
однолистная функция g(z) = z/'(z) звездообразна в круге Е, т. е.
отображает Е на область, звездную относительно начала
координат.
Примерами обобщения и видоизменения класса 5° и
его подклассов являются: класс 2° однолистных в \z\ >1
функций F(z) = z+do+ii1z-1+.. ., регулярных при 1<
<|z| <oo и отображающих |z|>l на области с выпуклы-
выпуклыми дополнениями; класс S°(r, R) регулярных в кольце
r<lz| <Л нормированных определенным образом функ-
функций F(z), каждая из к-рых однолистно отображает
это кольцо в такую область, что конечная компонента
ее дополнения выпукла и ее объединение с этой компо-
компонентой также выпукло; класс Spr функций из S°p с дейст-
действительными коэффициентами разложений Тейлора в
окрестности точки z=0. Понятие В. ф. распространяет-
распространяется и на многолистные функции (см. [2], добавление).
Самостоятельный интерес представляет следующее
обобщение В. ф. (см. [6]): регулярная в круге Е функ-
функция w=/(z) = z+c2z2+- ¦ • наз- близкой к вы-
выпуклой, если существует в Е В. ф. Ф (г), Ф@) = 0,
такая, что всюду в Е
Для класса А" всех таких функций /(г) доказана одно-
однолистность, найдены необходимые и достаточные усло-
условия принадлежности функции /(г) классу К и парамет-
рич. представление функций f(z)?K при помощи ин-
интегралов Стилтьеса:
X
ехр Г — 2 Г In A-е- '6
где |ф|<л; аF), цF) — неубывающие действительные
функции,
ц
-я J -я
Класс К включает в себя выпуклые, звездные и другие
функции. Для функций f(z)?K справедлива Бибербаха
гипотеза: |е„|<:п; известны неулучшаемые оценки:
\z\(l + \z\)~*<\f(z)\<\z\(l-\z\)-\
A -1 * I ) A + I z |) -3 < | /' (г) | < A + | z | ) A - | z | )-»,
| arg /' (z) | < 4 arc sin | z |, z ? E,
под аргументом функции понимается ветвь, обращаю-
обращающаяся в нуль при z=0. Во всех этих оценках знак ра-
равенства имеет место только для функции /(z) = z/(l — ezJ,
|е| = 1. Геометрически функции f(z) класса К характе-
характеризуются тем, что они отображают круг Е на области
D (/), внешность к-рых CD (/) может быть заполнена лу-
лучами L, проведенными из точек границы области, La
CzCD'(f). Понятие функции, близкой к выпуклой, рас-
распространено на многолистные функции (см. [7]).
Лит.: [1] П р и в а л о в И. И., Введение в теорию функций
комплексного переменного, 11 изд., М., 1967; [2] Г о л у-
зия Г. М., Геометрическая теория функций комплексного
переменного, 2 изд., М., 1966; [3] 3 м о р о в и ч В. А., «Укр.
матем. ж.», 1952, т. 4, с. 276—98; [4] А л е к с а и д р о в II. А.,
Черников В. В., «Сиб. матем. ж.», 19СЗ, т. 4, Л» 2, с. 261 —
67; [5] 3 м о р о в и ч В. А., «Матем. сб.», 1953, т. 32, № 3,
с. 633—52; Гб] К а р 1 a n W., «Michiptan Math. J.», 1952, v. 1,
Хя 2, p. 169—85; [71 Styer D., «Trans. Amer. Math. Soc»,
1972, V. 169, p. 105—12. И. А. Алежандров, Ю. Д. Максимов.
ВЫПУКЛОЕ МНОЖЕСТВО в евклидовом
или другом векторном пространст-
пространстве — множество, к-рое вместе с любыми двумя точками
содержит все точки соединяющего их отрезка. Пересече-
Пересечение любой совокупности В. м. есть В. м.
Наименьшая размерность плоскости, содержащей
данное В. м., наз. размерностью этого В. м. Замыкание
В. м. (т. е. результат присоединения к В. м. всех его
предельных точек) дает В. м. той же размерности. Цент-
Центральное место в теории В. м. занимает изучение в ы-
п у к л ы х тел (в. т.) — конечных (т. е. ограничен-
ограниченных) замкнутых В. м. размерности п. При отказе от
ограниченности говорят о бесконечных в. т., а при от-
отказе от гс-мерности — о вырожденных в. т. или в. т.
более низких размерностей.
В. т. гомеоморфно замкнутому шару. Бесконечное
в. т., но содержащее прямых, гомеоморфно полупрост-
полупространству, а содержащее прямую является цилиндром с
выпуклым (возможно бесконочным) поперечным сече-
сечением.
Через каждую точку границы В. м. проходит хотя бы
одна гиперплоскость, оставляющая это В. м. в одном
замкнутом полупространстве. Такие гиперплоскости
и полупространство наз. опорными для данного
В. м. в данной точке границы. Замкнутое В. м. есть
пересечение его опорных полупространств. Пересече-
Пересечение конечного числа замкнутых полупространств есть
выпуклый многогранник. Гранями в. т. называют
его пересечения с опорными гиперплоскостями. Это —
в. т. более низких размерностей. Само в. т. считают его
n-мерной гранью. Грань грани, в отличие от случая
многогранника, может не быть гранью исходного в. т.
С каждой граничной точкой а: в. т. связывают: откры-
открытый касательный конус, заполненный лучами, идущими
из х через внутренние точки в. т.; замкнутый касатель-
касательный конус — его замыкание; касательный конус по-
поверхности — его границу. Первые два конуса выпуклые.
Точки границы в. т. классифицируют по минималь-
минимальной размерности граней, к-рым они принадлежат, а
также по размерности множества опорных гиперплоско-
гиперплоскостей в точке. Точки нульмерных граней наз. выступаю-
выступающими. Крайними наз. точки в. т., не внутренние ни для
одного отрезка, лежащего в этом в. т. Изучается вопрос
о возможном обилии точек и множества направлений
граней разного типа. Напр., точки с неединственной
опорной гиперплоскостью занимают на границе нуле-
нулевую (в — 1)-мерную площадь; направления лежащих на
границе отрезков имеют нулевую меру среди всех на-
направлений в пространстве.
Точка, не принадлежащая в. т., строго отделена от
него гиперплоскостью, оставляющей эту точку и в. т.
в разных открытых полупространствах. Два непересе-
непересекающихся В. м. отделены гиперплоскостью, оставляю-
оставляющей их в разных замкнутых полупространствах. По-
Последнее свойство отделимости сохраняется для В. м.
в бесконечномерных векторных пространствах.
С в. т. F связана его опорная функция//:
Е"-^Е1, определяемая равенством Я (u) = sup {их:x?F*f,
где их — скалярное произведение. Функция И (и) —
положительно однородная 1-й степени: //(аи) = а//м
при а^О, и выпуклая:
H(u+v)<zH(u)+H(v).
Любая функция с этими двумя свойствами есть опорная
функция для некоторого (причем единственного) в. т.
Задание опорной функции — один из основных спосо-
способов задания в. т.
При размещении начала координат внутри в. т. вво-
вводят функцию расстояния D: Еп-^~Е1, определяемую при
ифО равенством
D(u) = sup •(а:и I <x?F},
и полагают D @) — 0. Это — тоже положительно одно-
однородная 1-й степени выпуклая функция, определяющая
F. Два в. т. наз. полярными (или двойствен-
двойственными) друг другу, если опорная функция одного из
них есть функция расстояния для другого. Сущест-
Существование двойственных в. т. связано с самосопряжен-
самосопряженностью Еп.
Если в. т. F симметрично относительно начала коор-
координат, то функция р(«, v) = D (и — v) является метрикой.
Это — метрика пространства Минковского (конечномер-
(конечномерного банахова пространства), причем /' играет роль еди-
единичного шара. Аналогично в бесконечномерном банахо-
вом пространстве единичный шар есть В. м. Свойства
пространства связаны с геометрией этого шара, в част-
частности с наличием на его границе точек разного типа [3].
В. т. можно задавать как выпуклую оболочку точек
его границы или части этих точек.
Существует ряд достаточных признаков, позволяю-
позволяющих делать заключение о выпуклости множества (или
каждого из множеств нек-рого семейства). Напр., если
С2-гладкая замкнутая поверхность в Е3 имеет в каждой
точке неотрицательную гауссову кривизну, то эта
поверхность — граница в. т.; если пересечение компакт-
компактного множества F в Е3 с каждой плоскостью, оставляю-
оставляющей F в одном полупространстве, связно, то F выпук-
выпукло [4].
На множестве в. т. (в том числе вырожденных, но не
пустых) метрику можно ввести многими способами. Наи-
Наиболее употребительна метрика Хаусдорфа (см. Выпуклых
множеств пространство метрическое). В этой метрике
каждое в. т. можно приближать выпуклыми многогран-
многогранниками, а также такими в. т., к-рые допускают задание
Р (х1у . . ., ж„)<:0, где Р — многочлен, и к-рые имеют во
всех точках границы положительные главные кривизны.
В. т. всегда имеют конечный объем (по Жордану),
совпадающий с его «-мерной мерой Лебега. Граница в. т.
имеет конечную (п— 1)-мерную площадь, причем различ-
различные способы введения площади в этом случае эквива-
эквивалентны. Объем и площадь границы непрерывно (по
метрике Хаусдорфа) зависят от в. т.
С изучением зависимости объема линейной комбина-
комбинации 2X,\F,- в. т. F( от коэффициентов Я,- связана теория
смешанных объемов. Среди смешанных объемов нахо-
находятся, кроме объема и площади границы, многие другие
функционалы, связанные с в. т. [5]; напр, /с-мерные
объемы проекций на fc-мерные плоскости разных на-
направлений и их средние значения. Главным достижени-
достижением этой теории являются разнообразные неравенства
между смешанными объемами; среди них — изо пери-
периметрическое неравенство классическое.
С в. т. связывают ряд простых фигур, напр, для каж-
каждого в. т. единствен наибольший (по объему) вписанный
и наименьший описанный эллипсоиды [6]. Развиты при-
признаки, выделяющие среди всех в. т. шары, эллипсоиды,
центрально-симметричные тела [1], [2]. Особое место
в теории В. м. занимают теоремы о семействах В. м. [6].
Значение теории В. м. — в наглядности методов и ре-
результатов, их общности и независимости от аналитич.
требований гладкости (решениями экстремальных задач
часто служат негладкие в. т.).
Лит.: [1] Bonnesen Т., Fenchel W., Theorie der
konvexen Korper, В., 1934; [2] Valentine F., Convex sets,
N. Y., 1964; [3]ДейМ., Нормированные линейные пространства,
пер. с англ., М., 1961; [4] Б у р а г о Ю. Д., Залгаллер
В. А., Достаточные признаки выпуклости, в кн.: Вопросы
глобальной геометрии, Л., 1974, с. 3—53 (Записки научных се-
семинаров Ленинградского отделения матем. ин-та, т. 45); [5]
Хадвигер Г., Лекции об объеме, площади m верХности и
изопериметрии, пер. с нем., М., 1966; [61Д анцер Л., Г р ю н-
баум Б., К ли В., Теорема Хелли и ее применения, пер.
с англ., М., 1968. Ю. Д. Бураго, В. А. Залгаллер.
ВЫПУКЛОЕ ПОДМНОЖЕСТВО частично
упорядоченного множества — подмно-
подмножество, содержащее вместе с любыми двумя элементами
а и Ъ весь интервал [а, Ь] (см. Интервал и сегмент).
Л. А. Скорняков.
ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ — раздел
математического программирования, посвященный
теории и методам решения задач минимизации вы-
выпуклых функций на выпуклых множествах, задава-
¦мых системами неравенств и равенств. Существу-
jt законченная теория В. и. и разработаны мно-
многочисленные методы решения задач В. п. Для мно-
многих итерационных методов в В. п. установлены ап-
априорные оценки скорости сходимости. Одним из раз-
разделов В. и. является квадратичное программирование.
Лит.: [1] Е р с м и н И. И., Астафьев Н. Н., Введе-
Введение в теорию линейного и выпуклого программирования, М.,
1976; [2] Карманов В. Г., Математическое программиро-
программирование, М., 1975; [3] Зангвилл У. И., Нелинейное про-
программирование. Единый подход, пер. с англ., М., 1973; f4]
П о л а к Э., Численные методы оптимизации. Единый подход,
пер. о англ., М., 1974. В. Г. Карманоя.
ВЫПУКЛОЕ ТЕЛО — замкнутое (конечное или бес-
бесконечное) выпуклое множество в евклидовом или другом
топологическом векторном пространстве, имеющее вну-
внутренние точки.
ВЫПУКЛОСТИ РАДИУС, граница выпук-
выпуклости R (х0, /) ф у н к ц и и /(ж), — точная верхняя
грань радиусов г>0 шаров {х; р(х, ж0)О}, каждый из
к-рых отображается на выпуклую область; при этом
функция f(x) определена в области D метрич. простран-
пространства с метрикой р(хг, х2) и принимает значения в ли-
линейном пространстве. В. p. R(x0) в точке xg?D относи-
относительно нек-рого класса 3[I отображений /(ж) области D
есть, по определению, число
R(xo) = ini{R(xo,f); f^m}.
Если f(x) — аффинное отображение евклидова прост-
пространства Е", п^2, то /? (.гп, /)=оо. Относительно класса
ЗД! всех нормированных однолистных конформных ото-
отображений w—f{z), /@) = 0, /'@)=1, единичного круга
Е— {г; |г|<1} комплексной плоскости В. p. R(zo) =
= 2 — V^3-J- |zol,' а при дополнительном условии выпук-
выпуклости областей {w; w=f(z), z?E}, т. е. для выпуклых
функций, R (zo)=i — \zo\.
См. также Однолистная функция.
Лит.: til Г о л у з и н Г. М., Геометрическая теория функ-
функций комплексного переменного, 2 изд., Ы., 1966; [2] Але к-
с а н д р о в И. А., «Докл. АН СССР», 1957, т. 116, Л"» 6, с. 903 —
05; [3] Marx A., «Math. Ann.», 1932, Bd 107, Л5 1, S. 40 — 67.
И. А. Александров.
ВЫПУКЛОСТЬ — термин, используемый в разных
разделах математики и указывающий на свойства, обоб-
обобщающие отдельные свойства выпуклых множеств в евк-
евклидовых пространствах Е". С термином «В.» ассоции-
ассоциируется применимость ряда приемов исследования.
В Е" эквивалентны следующие два основных опреде-
определения. Множество выпукло: а) если оно есть
пересечение открытых полупространств; б) если вместе
с любыми двумя точками оно содержит соединяющий их
отрезок. Оба определения В. переносятся на случай
векторных пространств L.
Определение б) распространяют на множества в прост-
пространствах с геодезическими (пространства со связностью;
локально компактные метрич. пространства, в частно-
частности римановы и финслеровы пространства). При этом
роль отрезков играют геодезические; но если две точки
соединимы не единственной геодезической пли кратчай-
кратчайшей, то понятие «В.» разветвляется. В римановой гео-
геометрии употребительны, в частности, следующие ва-
варианты В. (см. [1]; [2]): 1) множество М в ы п у к л о,
если каждые две точки из М соединимы единственной
кратчайшей и она лежит в М; 2) множество М ло-
локально выпукло, если каждая точка из М име-
имеет выпуклую в смысле 1) окрестность в М; 3) множество
Л/слабо выпукло, если каждые две точки со-
соединимы хотя бы одной кратчайшей, идущей в М;
4) множество М абсолютно выпукло, если
для каждых двух точек в М лежат все соединяющие их
геодезические.
В Е" границу (или часть границы) re-мерного выпук-
выпуклого тела наз. выпуклой гиперповерх-
гиперповерхностью, при я = 3 — выпуклой поверх-
поверхностью, при п = 2 — выпуклой кривой.
Для функции действительного переменного В. озна-
означает В. ее надграфика (см. Выпуклая функция действи-
действительного переменного). Аналогично определяют В.
функционала / в L (см. Выпуклый функционал).
Для выпуклых множеств в L можно говорить о В. се-
семейства 31 множеств, требуя, чтобы из условия Mlt
A/2?2t, 0<а<1 следовало A—a) M1Jra.M2?'$l.
На выпуклых семействах 31 определяют выпуклые (п
вогнутые) функционалы Ф (М). Выпуклость
функционала определяется требованием
Ф (A -
Термин «В.» для однолистных функций комплексной
переменной имеет особый смысл — свойство отображать
единичный круг в выпуклую область (см. Выпуклая
функция комплексного переменного).
Из обобщений В. в Е" рассматривалась П - в ы и у к-
л о с т ь компакта М, означающая, что каждая точка,
удаленная от М менее чем на R, имеет в М единствен-
единственную ближайшую (см. [4], [5]).
В теории линейных дифференциальных операторов
термин «В.» связывают с нек-рыми свойствами групп
гомологии [6]. Это ассоциируется с возможностью кос-
коснуться границы изнутри области гиперповерхностью,
у к-рой определенное число главных кривизн положи-
положительно. В теории функций многих комплексных нере-
неременных важную роль играет голоморфная вы-
выпуклость, связанная с невозможностью коснуться
границы области изнутри аналитич. поверхностью [7].
Последнее понятие есть частный случай так наз. К-
выпуклости (см. [7], с. 6). В схему А'-вынуклости
укладываются многие из перечисленных понятий В.
В выпуклом анализе используют понятие Н - в ы-
п у к л о с т и, обобщающее представимость выпуклой
функции как супремума семейства линейных функ-
функций [8].
В теории метрич. пространств выпуклость,
метрики (по Менгеру) определяется как существо-
существование для любых точек хфу отличной от них точки, для
к-рой р{х, у) — р(х, z)+p(z, х) (см. [9]). Под d-выпуи-
л о с т ь ю множества М понимают принадлежность Af
любой такой точки z при х, у? М. Весьма близки к это-
этому определения В. в пространствах с упорядочением
(см., напр., Выпуклая подгруппа).
Почти каждому определению В. соответствует свя-
связанное с ним понятие локальной В. Но при выделении
класса локально выпуклых векторных топологич. прост-
пространств термин «локальная В.» имеет особый смысл, оз-
означая существование у каждой точки базисной системы
выпуклых окрестностей.
Лит.: [1] Г р о м о л Д., Клингенберг В., Мей-
ер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971;
[2] Александров А. Д., Залгаллер В. А., Дву-
Двумерные многообразия ограниченной кривизны [Тр. Матем.
ин-та АН СССР, т. 63], М., 1962; [3] X а д в и г е р Г., Лекции
об объеме, площади поверхности и изопериметрии, пер. с нем.,
М. 1966; [4] Federer H., «Trans. Amer. Math. Soc», 1959,
v. 93, №3, p. 418—91; [5] Решетняк Ю. Г., «Матем.
об.», 1956, т. 40, с. 381—98; [6] П а л а м о д о в В. П., Ли-
Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффи-
коэффициентами, М., 1967; [7] Владимиров В. С, Методы
теории функций многих комплексных переменных, М-, 1964;
[8] Кутателадзе С. С, Рубинов A.M., «Успехи
матем. наук», 1972, т. 27, № 3, с. 127 — 176; [91 Д а н ц е р Л.,
Грюнбаум В., К л л В., Теорема Хелли и ее применения,
пер. с англ., М., 1968. Ю. Д. Бураго, В. А. Залгаллер.
ВЫПУКЛОСТЬ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ — свойство
неотрицательной функции /(.г), определенной на нек-ром
промежутке, состоящее в следующем: если для любых хг
и х2 из этого промежутка и любых р1>0, ~0
+ii выполняется неравенство
i (р1х1^-р2х2) < /Л (xj fF* (x2),
то функция /(.г) наз. логарифмически вы-
выпукло й. Если функция логарифмически выпукла,
то она либо тождественно равна нулю, либо строго по-
положительна И In f(x) — выпуклая функция.
Л. Д. Кудрявцев.
ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ — раздел математики, за-
занимающий промежуточное положение между анализом
и геометрией, в к-ром изучаются выпуклые функции,
выпуклые функционалы и выпуклые множества. Основа-
Основания В. а. были заложены Г.. Минковским [1], 12], создав-
шим выпуклую геометрию, т. е. геометрию выпуклых
множеств в конечномерном пространстве. Многие поня-
понятия и концепции выпуклой геометрии нашли свое завер-
завершение в функциональном анализе. С работы В. Фенхеля
[3] начался новый этап В. а., на к-ром детально иссле-
исследовались свойства выпуклых функционалов. Формиро-
Формирование В. а. как самостоятельного раздела относится к
50—60-м гг. 20 в. Понятия и методы В. а. широко при-
применяются в разных областях математики — в теории
экстремальных задач, особенно — в выпуклом програм-
программировании и классическом вариационном исчислении,
в математич. физике, теории целых функций, матема-
тич. статистике и т. д.
Основными в В. а. являются понятия поляры, субдиф-
субдифференциала и сопряженной функции. Теоремы В. а. свя-
связывают операции сопряжения, перехода к поляре и взя-
взятия субдифференциала с алгебраическими, теоретико-
множественными и порядковыми операциями над вы-
выпуклыми множествами и функциями. Исследуются так-
также всевозможные двойственные отношения между мно-
множествами и их полярами, функциями и сопряженными
к ним, множествами п выпуклыми однородными функ-
функциями и т, п.
Лит.: [1] Minkowski H., Geometrie der Zahlen, В.—
Lpz., 1910; [2] его же, Theorie der konvexen Кбгрег, в кн.;
Gesamm. Abh., Bd 2, Lpz., 1911; [3] F e n с h e 1 W.,«Can. J.
Math.», 1949, v. 1, p. 73—77; [4] P о к а ф е л л а р Р. Т., Выпук-
Выпуклый анализ, пер. с англ., М., 1973. В. М. Тихомиров.
ВЫПУКЛЫЙ КОНУС - выпуклое тело V, состоя-
состоящее из полупрямых, исходящих из одной точки — вер-
вершины конуса. При этом исключается случай, когда V
совпадает со всем пространством. Понятие В. к. вклю-
включает в себя как частные случаи двугранный угол и полу-
полупространство. Иногда В. к. наз. поверхность В. к.
Е. в. Шикин.
ВЫПУКЛЫЙ МНОГОГРАННИК - выпуклая обо-
оболочка конечного числа точек в евклидовом пространстве
Е". Такой В. м. есть ограниченное непустое пересече-
пересечение конечного числа замкнутых полупространств. Бес-
Бесконечным В. м. называют пересечение конечного чис-
числа замкнутых полупространств, содержащее по край-
крайней мере один луч, причем уславливаются простран-
пространство Е" также считать В. м. В этом смысле В. м. есть
замкнутая выпуклая оболочка конечного числа точек
и лучей. Размерностью В. м. наз. минимальную раз-
размерность содержащего его пространства Еп.
В. м.— частный вид выпуклого множества. Как пере-
пересечение полупространств В. м. описывается системой
линейных неравенств и может быть исследован алгебра-
алгебраическими средствами. Методы минимизации линейных
форм на В. м. составляют предмет линейного програм-
программирования.
В. м. имеет конечное число граней (пересечений
В. м. с опорными гиперплоскостями). Каждая грань
В. м. ость В. м. меньшей размерности. Грани граней
являются гранями исходного В. м. Одномерные грани
наз. ребрами, нульмерные — вершинами.
Ограниченный В. м. есть выпуклая оболочка своих
вершин.
В теории выпуклых поверхностей В. м. наз. также
границу В. м., а иногда (см. [1]) даже часть такой гра-
границы. В последнем случае говорят о выпуклом
многограннике с краем. В элементарной
геометрии принято первоначально определять много-
многогранник как фигуру, специальным образом составлен-
составленную из многоугольников (см. [2]), а затем выделять
В. м. как лежащий по одну сторону от плоскости каж-
каждой его грани.
Ограниченный n-мерный В. м. имеет не менее чем
п-\-\ вершину. Наиболее просто устроен симплекс,
имеющий ге-f-l вершину. Всякий ограниченный В. м.
разбивается на симплексы, прилегающие по целым гра-
граням.
В евклидовом пространстве Е3 есть пять правильных
В. м.: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Об
их свойствах и аналогах см. Правильные многогранники,
Полу правильные многограннику-, О В. м. с частными осо-
особенностями строения см. Изогоны и изоэдры, Зоноэдры.
С правильными разбиениями пространства связаны
специальные типы В. м.: стереоэдры, параллелоэдры,
планигоны.
Возможные типы строения сети граней В. м. изучены
не полностью. Пусть /^ — число /с-мерных граней огра-
ограниченного га-мерного В. м. Справедливо соотноше-
соотношение Эйлера
имеющее топологич. характер: оно верно для любого
разбиения сферы S"-1 на простые ячейки. При ге=3
для не образующей двуугольных и самокасающихся
ячеек связной сети ребер на сфере S2 найдется В. м.
в евклидовом пространстве Е3 с таким строением сети
(теорема Штейн и ц а). При ге>3 строение сети
граней В. м. менее произвольно, чем возможные разбие-
разбиения сферы (см. [3]). В классе В. м. могут ставиться
специфические экстремальные задачи, в условия к-рых
входят строение сети граней, число или суммарная дли-
длина ребер и т. п. (см. [4]).
Приближение выпуклых тел посредством В. м. яв-
является универсальным приемом исследования. Прибли-
Приближением В. м. получены многие результаты теории сме-
смешанных объемов, теоремы существования, единственно-
единственности, устойчивости выпуклых поверхностей с фиксиро-
фиксированными данными, развиты геометрич. методы решения
Монжа — Ампер а уравнения. Эффективность этого мето-
метода связана с тем, что В. м. характеризуются конечным
числом данных; для В. м. общие теоремы имеют про-
простую формулировку; к В. м. применимы синтетич. при-
приемы исследования.
В связи с теорией поверхностей сформировался боль-
большой раздел теории В. м. (см. [1]). В евклидовом про-
пространстве Е3 два ограниченных В. м., имеющие одина-
одинаковые и в одинаковом порядке прилегающие грани,
совместимы движением (теорема К о ш и). В Е"
для нек-рых п,, 5,->0, удовлетворяющих соотношению
2^»^/= 0, JVSsii + 1,
существует и единствен с точностью до переноса В. м. с
единичными внешними нормалями »г,- граней и площадя-
площадями граней Si (теорема М и н к о в с к о г о). Раз-
Развертка из плоских многоугольников, склеиваемая так,
что результат гомеоморфен сфере 52 и вокр-уг каждой
вершины склеиваются углы с суммой -<2я, изометрич-
на В. м. в Е3, и этот В. м. единствен с точностью до
движения (теорема А. Д. Александрова).
Два В. м. в Е" совместимы переносом, если ни для одно-
одного направления нормали п грань одного В. м. нельзя
переносом сделать строгой частью другого. Для выхо-
выходящих из точки лучей Z,- и чисел со,- >0 существует и
единствен с точностью до гомотетии В. м. с вершинами
на лучах 1{ и кривизнами со,- в этих вершинах.
Лит.: [11 Александров А. Д., Выпуклые многогран-
многогранники, Ы.—Л., 1950; [2] Т о т Л. Ф., Расположения на плоско-
плоскости, на сфере и в пространстве, пер. с нем., М., 1958; [3] Энцик-
Энциклопедия элементарной математики, кн. 4, Геометрия, М., 1963;
[4J Grilnbaum В., Convex polytopes, L.—N.Y.— Sydney,
1967, В. А. Залгаллер,
ВЫПУКЛЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК — плоское вы-
выпуклое множество, граница к-рого — ломаная линия,
состоящая из конечного числа прямолинейных отрез-
отрезков. Иногда В. м. наз. только его границу. В. м. есть
пересечение конечного числа (замкнутых) полупло-
полуплоскостей. М. И. Войцеховский.
ВЫПУКЛЫЙ ОПЕРАТОР - см. Вогнутый и вы-
выпуклый операторы.
ВЫПУКЛЫЙ ФУНКЦИОНАЛ — функционал, оп-
определенный на векторном линейном пространстве и об-
обладающий тем свойством, что его надграфик является
выпуклым множеством. Функционал /, не принимающий
значений, равных -оо на выпуклом множестве А, бу-
будет выпуклым на А тогда и только тогда, когда выпол-
выполняется неравенство
/((l-a)i + ay)<(l-«)/(a:) + a/(y),i, !/? Л, 0<а<1.
При обратном знаке неравенства функционал / наз.
вогнутым. Операциями, переводящими В. ф. в В.
ф., являются, напр., сложение (/i+/2) (x)=fl(x)Jrf2{x),
умножение на положительное число, взятие верхней
грани
(/iV/2) (х) =тах (/! (х), /2 (х)),
инфимальная конволюция
(/1Ф/2)И= inf (/!(*)+/2 (*))•
хг + х2=х
В. ф., ограниченный сверху в окрестности нек-рой точ-
точки х, является непрерывным в этой точке. Если В. ф.
конечен в нек-рой точке х, то он имеет производную по
любому направлению (конечную или бесконечную) в
этой точке. Замкнутые В. ф. (т. е. функционалы с вы-
выпуклыми и замкнутыми надграфиками) в локально вы-
выпуклых линейных топологич. пространствах допускают
двойственное описание: они являются верхними гра-
гранями аффинных функций, их не превосходящих. Такая
двойственность позволяет связать с каждым В. ф. двой-
двойственный объект, сопряженный функционал:
/* (х*) = sup «ж*, ху — f (х)).
X
Свойства В. ф., операции над ними, взаимосвязи В. ф.
и их сопряженных и т. п. изучаются в выпуклом анализе.
Лит.: [1] В u r n b а и m Z., Orlicz W., «Stud, math.»,
1931, v. 3, p. 1—67; [2] X a p д и Г.,Литтльвуд Д т. Е.,
П о л и а Г., Неравенства, пер. с англ., М., 1948; [3] Крас-
Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б., Выпуклые
функции и пространства Орлича, М., 1958; [4] Р е и с li с 1 W.,
«Can. J. Math.», 1949. v. i, p. 73—77; [5] P о к а ф е л л а р Р.,
Выпуклый анализ, пер. с англ., М., 1973. В. М. Тихомиров.
ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ ПРОСТРАНСТВО л и
н е й н о е — пространство, элементами к-рого служат
классы эквивалентных пар (X, Y) выпуклых множеств
в линейном локально выпуклом топологич. простран-
пространстве. Пара (X, У) трактуется как «разность» X — Y,
причем пары (Xlt Fx) и (Х2, Y2) по определению экви-
эквивалентны, если X1-jrY2=X2^-Y1, где сложение множеств
понимают как замыкание векторной суммы. В ли-
линейном В. м. п. вводятся сложение, вычитание, умно-
умножение на число и топология, причем В. м. п. оказы-
оказывается локально выпуклым топологическим простран-
пространством. Вводят, кроме того, отношение частичного упо-
упорядочения, аналогичное включению множеств. Линей-
Линейные В. м. п. рассматривались также в нелокально
выпуклых линейных пространствах.
Лит.: [1] Пине к ер А. Г., «Тр. Ленингр. инж.-экон.
ин-та», 1966, т. 63, с. 13—17. В. А. Залгаллер.
ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ ПРОСТРАНСТВО м е-
трическое — совокупность компактных выпуклых
множеств F в евклидовом пространстве Еп, снабженная
метрикой Хаусдорфа:
p(F1,F2)= sup {p(x, F2), p(y, FJ}.
Это пространство ограниченно компактно (см. Бляшке
теорема выбора). Об аналогах метрических В. м. п.
(другие метризации, некомпактные множества, классы
множеств, другие исходные пространства) см. [1].
Лит.: [I] Грюнбаум Б., Этюды по комбинаторной гео-
геометрии и теории выпуклых тел, пер. с англ., М., 1971.
В. А. Залгаллер.
ВЫРОЖДЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЬ — вероятность
того, что В ветвящемся процессе не осталось частиц к мо-
менту времени t. Пусть u,(<) — число частиц в ветвя-
ветвящемся процессе с однотипными частицами. В. в.
Po(t) = P{|i(O = Of|i(O) = l}
не убывает при увеличении t\ вероятностью
вырождения за бесконечное время,
или просто вероятностью вырождения,
наз. величину
q = lim P0(t).
Если т — время от начала процесса до момента ис-
исчезновения последней частицы, то P{T<i}=P0(i) и
Р{т<оо| = 9. Для различных моделей ветвящихся про-
процессов изучена скорость сходимости P0(t) к q при
?—э-00. В. П. Чистяков.
ВЫРОЖДЕННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ФУНКЦИЯ, функция Кумме ра, функция
Похгаммера,— решение вырожденного гипергео-
гипергеометрического уравнения
zw"-jr(y— z)w'— aw=0. A)
В. г. ф. может быть определена с помощью так наз.
ряда Куммера:
Ф^^Л^^^+^ + ^йт..., B)
где а и у — параметры, принимающие любые действи-
действительные или комплексные значения, кроме у = 0, ~ 1|
— 2, . . ., 2 — комплексное переменное. Функция Ф (а;
у; z) наз. вырожденной гипергеометри-
гипергеометрической функцией 1-го рода. Второе ли-
линейно независимое решение уравнения A)
*«* г. ») = Т-
уфО, — 1, —2, ..., |argz| < я,
наз. вырожденной гипергеометриче-
гипергеометрической функцией 2-го рода.
В. г. ф. Ф (а; у; г) — целая аналитич. функция во
всей комплексной плоскости г; при фиксированном
z — целая функция а и мероморфная функция у с про-
простыми полюсами в точках у=0, — 1, — 2, ... . В. г. ф.
^(а; у; г) — аналитич. функция в комплексной пло-
плоскости г с разрезом (— ос, 0) и целая функция а и у.
В. г. ф. Ф (а; у; г) связана с гипергеометрической функ-
функцией F'(а; Р; у; г) соотношением
Ф(а; у; z) = lim F (а; Р; у; -|
Элементарные соотношения. Четыре
функции ф (а± 1; у; z) и Ф (а; у± 1; г) наз. смежными с
функцией Ф (а; у; z). Между Ф (а; у; z) и любыми двумя
смежными с ней существует линейная зависимость.
Напр.,
уф (а; у; г) — уф (а — 1; у; г) — гф (а; y-[-i; z)=0.
Шесть формул такого типа могут быть получены из со-
соотношений между смежными функциями для гипергео-
метрич. функций. Последовательное применение этих
рекуррентных формул приводит к линейным соотноше-
соотношениям, связывающим функцию Ф(а; у; z) с ассоцииро-
ассоциированными функциями Ф(а-|-т; у+га; z), где та и в —
целые числа.
Формула дифференцирования:
?^ y + n; z), в = 1; 2, ....
Основные интегральные представ-
представления:
Ф (а; у; z) =
а-' (l-W-*-1 ", Rer>Rea>0;
*' Rea>0> Rez>°-
Асимптотич. поведение В. г. ф. при z—yoo может быть
изучено с помощью интегральных представлений (см.
[1] — [3]). Если у—>-оо, в то время как а и z ограничены,
то поведение функции Ф (а; у; г) описывается формулой
B). В частности, при больших у и ограниченных а и г:
Ф(а; у; г) = 1 +0 ( | у I).
Представления функций через
В. г. ф. Функции Бесселя:
. ^ -ff ; 2v + l; 2z^.
Многочлены Лагерра:
Интеграл вероятностей:
Интегральная показательная функция:
— Ei( —z)=e-zr1F(l; I; z).
Интегральная логарифмическая функция:
li(s) = zY(l; I; -In S).
Гамма-функции:
Г(а,г) = е-г?A-а; 1—а; z).
Элементарные функции:
ег = Ф (а; а; г),
sin z=e'zz Ф A; 2; — 2iz).
См. также [1], [2]. [3], [8].
Лит.: [1] Б е й т ы е н Г., Э р д е й и А., Высшие транс-
трансцендентные функции, [т. 2], пер. с англ., 2 изд., М., 1973; [2]
Г р а д ш т е й н И. С., Р ы ш и к И. М., Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений, 4 изд., М., 1963; [3] Handbook of
mathematical functions with formulas, graphs and mathematical
tables, N. Y., 1964; МУиттекер Э.-Т., В а т с о н Д.-Н.,
Курс современного анализа, ч. 2 — Трансцендентные функции,
пер. с англ., 2 изд., М., 1963; [5] Л е б е д е в А. В., Федо-
Федорова Р. М., Справочник по математическим таблицам, М.,
1956;[6]Бурунова Н. М., Справочник по математическим
таблицам, М., 1959; [7] An index of Mathematical tables, 2 ed ,
v.l, 2, Oxford, 1962;[8] Л е бе д е в Н.Н., Специальные функ-
функции и их приложения, 2 изд., М.—Л., 1963. Э. А. Чистова
ВЫРОЖДЕННАЯ ИГРА - бескоалиционная игра п
лиц, в к-рой функция выигрыша Kj (х1, . . . , хп) каждо-
каждого игрока i вырождена, т. е. имеет вид
V аи) г@ (т ) г('> (г )
где rf^(xk), l<:/^<:n(ft> — функции, заданные на мно-
множестве чистых стратегий Х^ игрока к, к=1, .. ., п.
В случае антагонистических В. и. на единичном квадра-
квадрате функция выигрыша К {х, у) игрока I равна
Такая игра сводится к конечной антагонистической вы-
выпуклой игре (Л, 5, К), где Я — выпуклое множество,
натянутое на расположенную в m-мерном пространстве
кривую Г( = г{(х), 0<:ж<1, i=l, ...,m, a 5 — выпуклое
множество, натянутое на кривую Sj=sj(y), 0<:i/<1,
/=1, ..., и, лежащую в n-мерном пространстве; функ-
функция выигрыша К (г, s) имеет вид
В частности, если ri(x) = xl, a Sj(y) = yJ, то В. и. наз.
полиномиальной игрой. Во всякой анта-
гонистической В. и. на единичном квадрате игрок I
имеет оптимальную смешанную стратегию, носитель
к-рой состоит не более чем из т точек, если же игра по-
полиномиальная, то не более чем из т/2 точек (при под-
подсчете числа точек концевой точке отрезка приписывает-
приписывается вес V2). Аналогично, игрок II имеет оптимальную
смешанную стратегию, носитель к-рой состоит не более
чем из п точек; в случае полиномиальной игры — не
более чем из ге/2 точек.
Лит.: [1] Д р е ш е р М., К а р л и н С, Ш е п л и Л. С,
в кн.: Бесконечные антагонистические игры, М., 1963, с. 154—
179. Г. Н. Дюбии.
ВЫРОЖДЕННАЯ МАТРИЦА, особая матри-
матрица, сингулярная матрица,— квадратная
матрица, определитель к-рой равен нулю.
ВЫРОЖДЕННАЯ СЕРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ —
множество представлений полупростой группы Ли G,
индуцированных характерами ее не минимальной пара-
болич. подгруппы Р. Пусть П — фундаментальная си-
система корней,по отношению к к-рой алгебра Ли борелвв-
ской подгруппы B?G натянута на корневые векторы
«а, а<0. Множество всех параболич. подгрупп, содер-
содержащих 5, находится во взаимно однозначном соответ-
соответствии с множеством всех подсистем ПосП, причем
РФВ. если По непусто, и алгебра Ли группы Р порож-
порождается образующими еа, а<0, и еа, а?П0. Пусть
я (х) — представление группы G, индуцированное ха-
характером % подгруппы Р в классе С" (G). Существуют
характеры х, при к-рых л(х) продолжается до унитар-
унитарного представления группы G в L2(Z), где Z — подгруп-
подгруппа в G, алгебра Ли к-рой натянута на векторы еа, а>0,
а$?Д0, До —аддитивная оболочка По. Такие представле-
представления наз. представлениями основной В. с. п. Дополни-
Дополнительная В. с. п. получается пополнением л(%) (при
нек-рых х) относительно других скалярных произведе-
произведений в я(%). Для группы G=SL(n, С) представления
В. с. п. неприводимы.
Лит.: [1] Г е л ь ф а н д И. М., Н а й м а р к М. А., «Тр.
Матем. ин-та АН СССР», 1950, т.36; [2] Gross К., «Amer. J. Math.»,
1971, v. 93, М> 2, р. 398—428. Д. П. Желобеико.
ВЫРОЖДЕННОЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕ-
УРАВНЕНИЕ — дифференциальное уравнение с частными про-
производными
F(t, х, Du) = 0, (*)
где функция F(t, х, q) удовлетворяет условию: корни
многочлена
¦^-л 3F (t, х, Du) « aoj.a'
2~> а \-т дЯа
действительны при всех действительных | и существуют
1^Ф0, t, xv. Du, при к-рых либонек-рые корни совпадают,
либо коэффициент при кт обращается в нуль. Здесь: t —
независимая переменная, часто интерпретируемая как
время; х есть re-мерный вектор (хг, х2, . . ., хп); u(t,x) —
искомая функция; а и а'— мультшшдексы а= (а0,
аь ..., а„), а' = (ах, а2, ..., а„); Du — вектор с компо-
компонентами
d(a°dxai. . . дхап
1 п
причем в уравнение (*) входят производные порядка не
выше т; qa— компоненты вектора q; | есть «-мерный
вектор (Ь, U, . . ., In) и Еа' = Е?', Г,* ¦ ¦ ¦ 1пп-
См. также ст. Вырожденное уравнение с частными про-
производными и лит. при ней. А. М. Ильин.
ВЫРОЖДЕННОЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ
УРАВНЕНИЕ, конфлюэнтное уравне-
уравнение — линейное обыкновенное дифференциальное
уравнение 2-го порядка
zw"-\-(y — z) w' — olw = 0, a, y = const, A)
или, в самосопряженной форме,
(e-*zVw')r — ae-zzV-lu; = 0.
Переменные z, w и параметры а, у в общем случае могут
принимать любые комплексные значения. Приведен-
Приведенной формой уравнения A) является Уиттекера уравне-
уравнение. Уравнение A) тесно связано с гипергеометрическим
уравнением. В. г. у. можно рассматривать как уравне-
уравнение, получающееся из Римана дифференциального урав-
уравнения при слиянии двух особых точек. Точка х=0 яв-
является для уравнения A) регулярной особой точкой, а
точка ж=оо —сильно особой (см. Особая точка диффе-
дифференциального уравнения). Впервые систематич. изучение
решений уравнения A) предпринял Э. Куммер [1].
Решения уравнения A) выражаются через вырож-
вырожденную гипергеометрическую функцию Ф (а, у; z). Если
у не равно целому числу, то общее решение уравне-
уравнения A) можно записать в виде
w = C^(a, у, г) + С2^-7ф(а + 1 — у, 2 —у; г), B}
где Clt Сг— произвольные постоянные; это представле-
представление справедливо в комплексной плоскости z с разрезом
(— оо, 0). Для целых значений у общее решение имеет
более сложный вид (возможно существование членов,
содержащих логарифмы). В качестве фундаментальной
системы решений уравнения A) можно выбирать и иные
функции, отличные от указанных в B) (напр.,
Уиттекера функции, см. [2], [3]). Решение уравнения
A) может быть представлено также через контурные
интегралы в комплексной плоскости z.
Многие линейные обыкновенные дифференциаль-
дифференциальные уравнения 2-го порядка (напр., Бесселя уравнение)
преобразованием неизвестной функции и независимой
переменной приводятся к уравнению A) (см. [4]). В част-
частности, уравнение вида
(a(jz+bo)w"+(a1z-]-b1)w'+(a2Z+b2)w=O,
ai, b( = const,
интегрируется с помощью вырожденной гипергеомет-
рич. функции.
Лит.: [1] Kummer E., «J. reine und angew. Math.», 1836,
Bd 15, S. 39—83, 127—72; [2] К р а т ц е р А., Ф р а н ц В.,
Трансцендентные функции, пер. с нем., М., 1963; [3] Бейт-
мен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции.
Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра, пер. с англ.,
М., 1965; [4] Камке Э., Справочник по обыкновенным диф-
дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976.
Н. X. Розов.
ВЫРОЖДЕННОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ—
линейное интегральное уравнение Фредгольма с вырож-
вырожденным ядром. Общий вид В. л. у.:
Интегрирование производят по области D (вообще
й-мерного) евклидова пространства, Р и Q — точки из
D, X — действительный или комплексный параметр, а
функции, входящие в A), суммируемы с квадратом на
D. Решение В. и. у. A) ищется в виде
Коэффициенты с,- находятся из системы линейных ал-
гебраич. уравнений
Если система B) при заданном X имеет единственное ре-
решение, то уравнение A) также однозначно разрешимо.
Те значения ^.^0 (их не более N), при к-рых определи-
определитель системы B) равен 0, являются собственными значе-
значениями. Условия разрешимости В. и. у. A) даются
Фредгольма альтернативой. При ^.= 0 В. и. у. A) есть
уравнение Фредгольма I рода; для его разрешимости
необходимо и достаточно, чтобы функция / могла быть
представлена в виде линейной комбинации функций
<p,\ Тогда В. и. у. A) имеет решение, представимое в виде
при этом коэффициенты dj определяются однозначно,
а г|з есть функция, удовлетворяющая условиям
Важность В. и. у. для общей теории уравнений Фред-
гольма обусловлена тем, что решение любого уравне-
уравнения Фредгольма II рода может быть с любой точностью
в среднем квадратическом (и в нек-рых других метри-
метриках) приближено решениями В. и. у. Их вырожденные
ядра в том или ином смысле аппроксимируют ядро ис-
исходного уравнения.
Абстрактным аналогом и обобщением В. и. у. слу-
служит линейное операторное уравнение вида
%x-Ax=f,
где х и / принадлежат банахову пространству Е, л
оператор А имеет конечномерную область значений.
Свойства таких уравнений аналогичны свойствам
В. и. у. A).
Лит.: [1] М и х л и н С. Г., Лекции по линейным интеграль-
интегральным уравнениям, М., 1959. А. Б. Бакугиинский.
ВЫРОЖДЕННОЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕ-
УРАВНЕНИЕ — дифференциальное уравнение с частными про-
производными
F(t, х, Du) = 0,
где функция F(t, x, q) обладает свойством: для нек-рого
четного натурального числа р все корни А, многочлена
V dF (t- x' Du) Л". (?)*'
J—(а: ри„ + а1+ . . . +ип = т "Ча
имеют неположительные действительные части для всех
действительных ?, причем при нек-рых %Ф0, t, x и Du
для к.-л. корня Be ^.= 0, либо при нек-рых t, x и Du
коэффициент при старшей степени Хт^р обращается в
нуль. Здесь: t — независимая переменная, часто интер-
интерпретируемая как время; х есть re-мерный вектор (хи
х2, , . ., хп); u(t, х) — искомая функция; а — мультиин-
декс (а0, а1: а2, .. ., а„); Du — вектор с компонентами
а д и
причем pao+^j(.=1a,<:m; g—вектор с компонентами qa;
I есть га-мерный вектор (gj, |2, . . ., 1п) и (j|)cc'=(tg1)a'...
(i|n)ttn. См. также ст. Вырожденное уравнение с част-
частными ПРОИЗВОДНЫМИ И ЛИТ. при Ней. А. М Ильин
ВЫРОЖДЕННОЕ ПОЛОЖЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ
системы обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений x=f (x) — точка хп,
для к-рой f(xo) = O и матрица -т- (х0) имеет нулевые соб-
собственные значения. Наиболее изучены В. п. р. двумер-
двумерных систем, для к-рых развит ряд методов исследова-
исследования поведения траекторий в окрестности В. п. р.,
напр, методы Бендиксона (см. [1], [2], [4]), Фроммера
(см. [3], [4]). В пространствах более двух измерений
предлагались геометрич. методы исследования, состояв-
состоявшие в основном из выделения главных членов в правых
частях уравнений и из доказательства сохранения пове-
поведения траекторий при переходе от укороченного к пол-
полному уравнению (см. [5]). Если отображение / достаточ-
достаточное число раз дифференцируемо или аналитично, то
можно рассматривать степень вырожденности (степень
негрубости) положения равновесия в зависимости от
того, на сколько невырожденных положений равновесия
может распасться даннее В. п. р. при изменении /,
малом в смысле С-топологии.
Лит.: [1] В е n d i x s о n I., «Acfa Math.», 1901, v. 24, p. 1 —
88; [2] А н д р о н о в А. А., ЛеонтовичЕ. А., Гордон
И. И., М а й е р А. Г., Качественная теория динамических
систем второго порядка, М., 1966; [3] Frommer M., «Math.
Ann.», 1928, Bd 99, S. 222 — 72; [4] H e м ы ц к и й В. В., Сте-
Степа н о в В. В., Качественная теория дифференциальных урав-
уравнений, 2 изд., М.—Л.,1949; [5] Б р ю н о А. Д., «Изв. АН СССР.
Сер. матем.», 1965, т 29, „N"» 2 с. 329—64. Л. Э. Рейзипъ.
ВЫРОЖДЕННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ в и-м е р н о м
евклидовом пространстве — любое рас-
распределение, сосредоточенное с вероятностью 1 на
нок-ром линейном многообразии размерности, меньшей
п, рассматриваемого пространства. В противном случае
распределение наз. невырожденным. В. р.
в случае конечных вторых моментов характеризуется
тем, что ранг соответствующей матрицы ковариаций
(или корреляционной матрицы) г меньше п. При этом
г совпадает с наименьшей размерностью линейных мно-
многообразий, на к-рых сосредоточено данное В. р. Понятие
В. р. очевидным образом распространяется на распреде-
распределения в линейных пространствах. Иногда В. р. наз.
несобственными распределен и я-
м и, а невырожденные — собственными рас-
распределениями. А. В. Прохоров.
ВЫРОЖДЕННОЕ УРАВНЕНИЕ с частными
производными — дифференциальное уравнение
с частными производными, тип к-рого вырождается в
нек-рых точках области задания уравнения или на ее
границе. Тип уравнения или системы уравнений в точ-
точке определяется одним или несколькими алгебраич. со-
соотношениями между коэффициентами. Среди этих соот-
соотношений имеются, как правило, строгие неравенства.
Если в нек-рых точках рассматриваемой области вместо
строгих неравенств выполняются нестрогие, то говорят
о вырождении типа, а уравнение (система уравне-
уравнений) наз. вырождающимся, или вырож-
вырожденным. Различают вырожденные эллиптические
уравнения, вырожденные гиперболические уравнения,
вырожденные параболические уравнения (системы урав-
уравнений) .
Примеры:
— вырожденное элпиптич. уравнение в полупростран-
полупространстве О
— вырожденное гиперболич. уравнение во всей плос-
плоскости;
— ut-\-uyy + yux=0
— вырожденное параболич. уравнение в области
0
— вырожденная эллиптич. система при
В. у. встречаются в теории пограничного слоя, в
безмоментной теории оболочек, в теории диффузион-
диффузионных процессов, в частности в теории броуновского
движения, и во многих других задачах механики и
физики.
Исследования В. у. ведутся по двум тесно связанным
между собой направлениям: 1) доказывается разреши-
разрешимость краевых задач с учетом тех изменений в постанов-
постановке, к-рые происходят в силу вырождения типа; 2) ус-
устанавливаются свойства решений, аналогичные свой-
свойствам невырожденных уравнений (гладкость, нера-
неравенства Гарнака для эллиптич. и параболич. урав-
уравнений и т. п.).
Наиболее полно изучены В. у. 2-го порядка эллип-
эллиптич. и параболич. типов (строго говоря, параболич.
уравнение тоже можно считать вырожденным эллип-
эллиптич. уравнением, удовлетворяющим дополнительным
условиям). В случае, когда вырождение типа имеется
не только на границе, но и во внутренних точках
(напр., во всех точках рассматриваемой области), такие
уравнения называют еще уравнениями с не-
неотрицательной характеристиче-
характеристической формой, эллин тикопараболи-
ческими уравнениями, ультрапара-
ультрапараболическими уравнениями.
Особенностью В. у. является специфич. постановка
краевых задач. Граничные условия иногда приходится
задавать не на всей границе, а на ее части. М. В. Кел-
Келдыш впервые обратил внимание на зависимость поста-
постановки краевой задачи от характера вырождения эл-
липтич. уравнения на границе. Для общего эллипти-
копараболич. уравнения 2-го порядка
а/* (*) ^Xixk -Г Ь1 (х) иХ[ + c(x)u=f(x); alklilk Sa 0, (*)
первая краевая задача ставится следующим образом.
Пусть Г — граница рассматриваемой области D, п=
= (геь п2, . . ., пт) — внутренняя нормаль к Г, а Г- та
часть Г, где а''*ге,-ге? = О и (Ы ~-а^)п^О. Требуется
найти решение уравнения (*) в области D так, чтобы
м!г\Г=(Р' Были доказаны существование и единствен-
единственность обобщенного решения этой задачи и указаны до-
достаточные условия, при к-рых обобщенное решение
будет гладким.
Так как частным случаем В. у. являются уравнения
1-го порядка, то ясно, что решения вырожденных эл-
лиитич. уравнений, вообще говоря, не будут гладкими
внутри области, если граничные условия недостаточно
гладкие. Однако примеры показывают, что и при бес-
бесконечно дифференцируемых граничных условиях и
коэффициентах В. у. его решения могут не быть беско-
бесконечно дифференцируемыми. Найдено условие гипо-
эллиптичности для общего вырожденного эллиптич.
уравнения 2-го порядка.
Свойства решений вырожденных эллиптич. и парабо-
лич. уравнений 2-го порядка изучаются как с помощью
геометрич. методов, так и с помощью методов теории
вероятностей.
Большинство исследований вырожденных гипербо-
лич. уравнений относится к уравнениям 2-го порядка с
двумя независимыми переменными, вырождающимся
на границе области. Эти работы стимулировались преж-
прежде всего изучением уравнений смешанного типа и свя-
связанных с ними задач газовой динамики. Для иллюстра-
иллюстрации возникающих здесь вопросов рассмотрим задачу
Коши (и(х, 0) = а(ж), иу(х,О) = $(х)) для уравнения с
главной частью иуу—утихх. При т<2 эта задача имеет
единственное решение, а при то>2 задача Коши, вооб-
вообще говоря, некорректна. Для уравнения с главной
частью ymiiyy—u.xx задача Коши с данными на линии
вырождения поставлена корректно при 0<то<1. Если
m^l, то так же, как и для эллиптич. уравнения, по-
постановка задачи, вообще говоря, видоизменяется.
Вместо ич(х, 0) задается lim р(у) иу(х, у), где р(у) —
нек-рая положительная функция, зависящая от коэф-
коэффициентов уравнения.
Для гиперболич. уравнения с большим числом про-
пространственных неременных
utt — (ali(t, x)ux^x +bi(t, x)ux,+
+ b*{t, x)ut + c(t, x)u = f,
вырождающегося как на начальной плоскости t=0,
так и внутри области, доказана корректность задачи
Коши при выполнении нек-рых условий. Наиболее су-
существенным из этих условий является выполнение не-
неравенства
где а и А — нек-рые положительные постоянные..
Ряд результатов для линейных В. у. переносится и
на квазилинейные уравнения.
Лит.: [1] О л е й н и к О. А., Радкевич Е. В., Итоги
науки. Математический анализ. 1969, М., 1971, с. 7—252; [2]
Смирнов М. М., Вырождающиеся эллиптические и гипер-
гиперболические уравнения, М., 1966. А. М. Ильин.
ВЫРОЖДЕННОЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ УРАВНЕ-
УРАВНЕНИЕ — дифференциальное уравнение с частными про-
производными
F(x, Du) = 0, A)
где действительная функция F (х, q) удовлетворяет
условиям:
V ар(* Du) B)
V
\ a i = m °Ча.
для всех действительных ? и существует "Е,фО, при
к-ром в соотношении B) достигается равенство. Здесь:
х есть га-мерный вектор (хи х2, . ¦., х„); и{х)~ искомая
функция, а— мультшшдекс (ах, а2, . . ., а„); Du — век-
вектор с компонентами
Паа= д а и
причем в уравнение A) входят производные порядка
не выше го; </а— компоненты вектора q; \ есть га-мерный
вектор AЪ gg, . . ., 6„) и g«=6j«, If. . .??». Если в соот-
ношении B) для к.-л. х и Du и для всех действительных
$фО выполняется строгое неравенство, то уравне-
уравнение A) в точке (х, Du) является эллиптическим. Уравне-
Уравнение A) вырождается в тех точках (х, Du), где соотно-
соотношение B) обращается в равенство для к.-л. действитель-
действительного ?=й=0. Если равенство достигается лишь на границе
рассматриваемой области, то уравнение наз. вырож-
вырождающимся на границе области. Наи-
Наиболее исследованы линейные В. э. у. 2-го порядка
2 а<к (Х) их.^+26' (*) uX{ + c(x)u = f (x),
где матрица \](a'k(x)\\ неотрицательно определенная для
всех рассматриваемых значений х.
См. также ст. Вырожденное уравнение с частными
производными и лит. при ней. а. м. Ильин.
ВЫРОЖДЕННОЕ ЯДРО — ядро линейного интег-
интегрального Фредголъма оператора, имеющее вид
где Р и Q — точки евклидовых пространств.
А. Б. Бакушинский,
ВЫРОЖДЕННЫХ ЯДЕР МЕТОД — один из мето-
методов построения аппроксимирующего уравнения для
приближенного (и численного) решения нек-рых ви-
видов линейных и нелинейных интегральных уравнений.
Основным типом интегральных уравнений, пригодных
для применения В. я. м., являются линейные одномер-
одномерные интегральные уравнения Фредгольма II рода.
Для таких уравнений В. я. м. состоит в приближен-
приближенной замене ядра А* (х, s) интегрального уравнения
К (*. s> Ф (s) ds = f (x) (!)
на вырожденное ядро вида
Kn (х, s) = 2jn=i ап И ъп («)
и в последующем решении вырожденного интегрального
уравнения Фредгольма
Xq(x)-r\bKN(x, s) ~cp(s) = f(x). B)
Решение B) сводится к решению системы алгебраиче-
алгебраических линейных уравнений. Вырожденное ядро Км(х, s)
можно искать по ядру К (х, s) многими способами,
напр, разложением ядра в ряд Тейлора или Фурье
(° других методах см. Бейтмена метод, Полос метод).
В. я. м. переносится на системы интегральных уравне-
уравнений типа A), на многомерные уравнения с относительно
простыми областями интегрирования и нек-рые спе-
специальные нелинейные уравнения типа Гаммерштейна
(см. Гаммерштейна уравнение).
Лит.: [1] Канторович Л. В., Крылов В. И., При-
Приближенные методы высшего анализа, 5 изд., М.— Л., 1962.
А. Б. Бакушинский.
ВЫСКАЗЫВАНИЙ ИСЧИСЛЕНИЕ, пропози-
пропозициональное исчисление,— общее назва-
название дедуктивных систем, выводимые объекты к-рых
интерпретируются как суждения, составленные из про-
простейших (не анализируемых в рамках В. и.) суждений
при помощи пропозициональных связок (таких, как
«не», «п», «или», «если. . ., то. . .» и др.; см. Логические
исчисления). Важнейшим примером является классич.
В. п., в интерпретации к-рого суждения рассматриваются
как принимающие два значения («истина» и «ложь») и
выводимыми объектами оказываются все тождественно
истинные суждения и только они. Интерес к В. и. опре-
определяется тем, что эти исчисления лежат в основе почти
любой логико-математич. теории и обычно соединяют
сравнительную простоту с высокой содержательностью.
В частности, многие важные задачи как теоретического,
так и прикладного характера сводятся к тем или иным
проблемам для классич. В. и.
Лит. см. при ст. Логические исчисления. С. Ю. Маслов.
ВЫСОТА в элементарной геометрии —
отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины гео-
метрич. фигуры (напр., треугольника, пирамиды, ко-
конуса) на ее основание или на продолжение основания,
а также длина этого от-
отрезка. В. трапеции,
призмы, цилиндра, ша-
рового слоя, усеченных
параллельно основанию пирамиды и конуса,— рас-
расстояние между верхним и нижним основаниями. На
рис. изображены В. (h) треугольников, трапеции и
усеченного конуса. БСЭ-3.
ВЫСОТА в днофантовой геометрии —
некоторая численная функция на множестве решений
диофантова уравнения. В простейшем случае целочис-
целочисленного решения (хи .. ., х„) диофантова уравнения
высота есть функция решения, равная max |ж/|.
В таком виде она встречается уже в методе спуска Фер-
Ферма. Пусть имеется проективное алгебраич. многообра-
многообразие X, определенное над глобальным полем К. В ы с о-
т а представляет собой класс действительнозначных
функций hi(P), определенных на множестве X (К)
рациональных точек Р, и зависящий от морфизма L:X—>-
-*¦ Рп многообразия X в проективное пространство Р".
Каждая функция из этого класса тоже наз. высотой.
Различие между функциями из этого класса с точки зре-
зрения оценки рациональных точек несущественно; для
любых двух функций hi и hi существуют такие кон-
константы с'>0 и с">0, что c'h'i^.h'i^.c"hL. Такие функ-
функции наз. эквивалентными; эта эквивалентность (здесь)
обозначается ^Х-
Основные свойства В. Функция hi(P)
функториальна по Р, т. е. для любого морфизма
/ : X-*Y и морфизма L : Y^Pn
hf*L(P) ^hL(f{P)),P?X (К).
Если морфизмы L, L1 и L2 определяются обратимыми
пучками X, Х1 и Хг и jS = Xl®Xi, то h?Xhuhu.
Множество точек Р?Х (К), имеющих ограниченную Б.,
конечно в следующем смысле: если основное поле К есть
поле алгебраич. чисел, то указанное множество конеч-
конечно; если же К — поле алгебраич. функций с полем кон-
констант к, то элементы X (К) зависят от конечного числа
параметров из поля А; и, в частности, К конечно, если
поле к конечно. Пусть \-\v пробегает множество всех
нормирований поля К. Тогда В. точки (х^х^.. . .:хп) про-
проективного пространства Рп с координатами из К может
быть определена как
П„ sup | xi \v. (*)
i
Корректность определения следует из формулы произве-
произведения nw|^]w= 1, х?К. Пусть X — произвольное про-
проективное многообразие над К и L — замкнутое вложение
многообразия X в проективное пространство, В. hi
можно получить, перенося функцию (*) с помощью
этого вложения на множество X (К). Различные проек-
проективные вложения, соответствующие одному и тому же
пучку X, определяют на X (К) эквивалентные функции.
Распространение по линейности дает требуемую функ-
функцию hi. Иногда вместо функции hi используют ее ло-
логарифм — так наз. л о г а р и ф м и ч. высоту.
Приведенные выше оценки являются в нек-рых слу-
случаях следствием точных равенств (см. [3], [4], [5]). Су-
Существует вариант функции В.— высота Тейта — Неро-
Нерона, к-рая определяется на абелевых многообразиях и
ведет себя функториальным образом относительно мор-
физмов абелевых многообразий, сохраняющих нуле-
нулевую точку. Локальный аспект развит в [6]. Построен-
Построенные там локальные компоненты В. играют в арифметике
роль индексов пересечения.
Лит.: [1] В е й л ь А., Теория чисел и алгебраическая гео-
геометрия, «Математика», 1958, т. 2, № 4; [2] L a n g S., Dio-
phantine geometry, N. Y.—L., 1962; [3] M а н и н Ю. И., Те-
Теорема Морделла — Вейля, в кн.: М а м ф о р д Д., Абелевы
многообразия, пер. с англ., М., 1971, с. 279—95; [4] М а-
нин Ю. И., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1964, т. 28, с.
136.3—90; [5] М u m f о г d D., «Amer. J. Math.», 1965, v. 87,
p. 1007—16; [6] Neron A., «Ann. Math.», 1965, v. 82, p.
249—331. A. H. Паршин.
ВЫСОТА ИДЕАЛА — минимум высот простых идеа-
идеалов, содержащих данный идеал. Высота ht(?P)
простого идеала 51>в кольце А — наибольшее
число k (или оо, если такого числа нет) такое, что су-
существует цепочка различных простых идеалов
$o<=SPic: ...с<рд = 5|5.
Ковысота coht (ф) простого идеала ф
определяется как наибольшее h, для к-рого существует
цепочка простых идеалов
$ = ?BCf,C ... CZ^h^A.
Иначе говоря,
ht Ep) = dim Dч;!), coht ($) =dim
где dim означает размерность соответствующего кольца
по Круллю. Высота простого идеала равна коразмерно-
коразмерности многообразия, определяемого идеалом, а ковысота —
размерности этого многообразия. Высота и ковысота
простого идеала связаны неравенством
ht (ф) + coht (Sj?) < dim A,
равенство достигается, напр., в случае, когда А— ло-
локальное Коэна — Маколея кольцо.
Простые идеалы высоты 0 — это минимальные про-
простые идеалы. Существование в нётеровой области цело-
целостности простых идеалов высоты 1 устанавливает
теорема о главном идеале: высота ненулево-
ненулевого главного идеала равна 1 (см. Крулля кольцо). Более
общий результат — теорема Крулля — свя-
связывает высоту с числом образующих идеала: в нётеро-
вом кольце В. и,, порожденного г элементами, не пре-
превосходит г, и обратно: простой идеал высоты г является
минимальным среди простых идеалов, содержащих
некоторые г элементов. В частности, в нётеровом кольце
любой идеал имеет конечную высоту; в отношении ко-
высоты это уже не так (см. [2]).
Лит.: [1] К г и 1 1 W., Primidealketten in allgemeinen Ring-
bereichen, В.—Lpz., 1928; [2] N a g a t a M., Local rings, N. Y.,
1962; ШЗарисский О., Самюэль П., Коммутативная
алгебра, пер. с англ., т. 1, М., 1963; [4] С е р р Ж.-П., «Мате-
«Математика», 1963, т. 7, № 5, с. 3—93. В. И. Данилов.
ВЫЧЕТ целого числа а по модулю
т — любое целое число Ь, сравнимое с а по модулю т
(см. Сравнение). Пусть г — остаток от деления а на це-
целое m>0, 0<rr<m— 1, тогда В. Ъ числа а по модулю т
имеет вид h=mq-{-r, где q — некоторое целое число. В.,
соответствующий д^=0, равен остатку г и наз. наи-
наименьшим неотрицательным выче-
вычетом числа а. Наименьший по абсолютной вели-
величине В. р наз. абсолютно наименьшим
вычетом числа а. Если r<m/2, то р=г; если
r>m/2, то р=г — т; наконец, если т четное и г=т/2,
то за р можно принять любое из чисел т/2 и —т/2.
Система, состоящая из т целых чисел, каждое из
к-рых является В. одного и только одного из чисел 0, 1,
. . ., то — 1, наз. полно й системой вычетов
по модулю т. Чаще всего в качестве полной сис-
системы В. употребляются наименьшие неотрицательные
В. О, 1, ..., т — 1 или же абсолютно наименьшие В.
Вычетом степени п по модулю т,
п^2 — целое, наз. всякое целое число а, взаимно про-
простое с т, для к-рого сравнение
г"=а (mod m)
разрешимо. Если же данное сравнение не разрешимо,
то а наз. невычетом степени п по мо-
модулю т. В частности, при п = 2 вычеты или невычеты
наз. квадратичными, при л=3 — кубичес-
кубическими, при л=4 — биквадрат и чны ми (см.
также Степенной вычет).
Лит.: [1] Виноградов И. М., Основы теории чисел,
8 изд., М., 1972. С. А. Степанов.
ВЫЧЕТ аналитической функции /(z)
одного комплексного переменно-
переменного в конечной изолированной особой точке а однознач-
однозначного характера — коэффициент с_х при (z—а) в раз-
разложении Лорана функции f(z) (см. Лорана ряд) в
окрестности точки а, или равный ему интеграл
— [ f(z)dz,
где у — окружность достаточно малого радиуса с
центром в точке а. В. обозначается res [/(z)] (либо
Выч. [/(z)]).
а
Теория вычетов опирается на Коши инте-
интегральную теорему. Основной в теории В. является сле-
следующая теорема о вычетах. Пусть f(z) —
однозначная аналитич. функция всюду в односвяз-
ной области G, кроме изолированных особых точек;
тогда интеграл от /(z) по любой простой замкнутой
спрямляемой кривой у, лежащей в области G и не про-
проходящей через особые точки функции /(z), вычисляется
по формуле
где а/г, k=l, ..., N,— особые точки функции /(г),
попавшие внутрь у.
Вычет функции в бесконечно
удаленной точке а~ оо для функции / (г),
однозначной и аналитической в окрестности этой точки,
определяется формулой
res [/ (z)] =
-Lf
2яг Jv_
где у~ — окружность достаточно большого радиуса, ори-
ориентированная по часовой стрелке, a c_j— коэффициент
при z в разложении Лорана функции /(z) в окрестно-
окрестности этой точки. Из теоремы о В. вытекает теорема
о полной сумме вычетов: если /(z) — од-
однозначная аналитич. функция в расширенной комплекс-
комплексной плоскости, кроме конечного числа особых точек,
то сумма всех В. функции /(z), включая В. в бесконечно
удаленной точке, равна нулю.
Таким образом, вычисление интегралов от аналитич.
функций по замкнутым кривым (контурных интегралов)
сводится к вычислению В., к-рые находятся особенно
просто в случае конечных полюсов. Пусть аф оо —
полюс порядка т функции /(г), тогда
^ [{z~a)m f (zI }¦
При m=l (простой полюс) эта формула принимает впд
res[/(г)] = lim[(z-a)/(*)];
a z-+a
если /(г) = ф(г)/\|з(г), где ср (z) и -ф (z) регулярны в окрест-
окрестности точки а, причем для г|з (z) точка а есть простой
нуль, то
^Л ф(а)
Применение теоремы о В. к логарифмич. производ-
производной приводит к важной теореме о лог ариф-
м и ч е с к о м вычете: если функция /(z) меро-
морфна в односвязной области G, а простая замкнутая
кривая у лежит в G и не проходит через нули и полюсы
функции /(z), то
1( UEldz = NP,
2лг J v / (г)
где Л' — число нулей, Р — число полюсов функции
f(z) внутри у с учетом их кратностей. Выражение в ле-
левой части этой формулы наз. логарифмиче-
логарифмическим вычетом функции относительно кривой у
(см. также Аргумента принцип).
В. применяются к вычислению нек-рых определен-
определенных интегралов от действительных функций, таких,
напр., как
/j = [ ~я Л (sin t, cos t) dt,
l={jX_xe'xf(x)dx,
где Л (sin t, cos t)—рациональная функция от sin t, cos t,
непрерывная при 0<?«:2л, a /(z)— непрерывная функ-
функция при Im z^O, где Im z — мнимая часть z, и аналити-
аналитическая при Im z >0, кроме конечного числа особых то-
точек. При этом Jx подстановкой e'*=z сводится к кон-
контурному интегралу
Z2-l ?2
т. е. к вычислению В.;
/2 = 2m2lma>0res[/B)]'
а
если /(z)z-r-^O при z-^oo, Im z>0, г>1;
если /(z) удовлетворяет условиям Жордана леммы.
В. находят многочисленные и важные применения в
вопросах аналитич. продолжения, разложения меро-
морфных функций на простейшие дроби, суммирования
степенных рядов, асимптотич. оценок и во многих др.
вопросах анализа и его приложений (см. [1] — [4]).
Теория В. одного переменного разработана в основ-
основном О. Коши (A. Cauchy) в 1825 — 29. Ряд результа-
результатов, относящихся к обобщениям теории В. и ее прило-
приложениям, был получен Ш. Эрмитом (Ch. Hermite, тео-
теорема о сумме В. двоякопериодической функции), П. Ло-
раном (P. Laurent), Ю. В. Сохоцким, Э. Линделёфом
(Е. Lindelof) и др.
На римановой поверхности рассматриваются В. не
аналнтнч. функций, а аналитических дифференциалов
(см. [5]). Вычет аналитического диф-
дифференциала dZ в окрестности его изолирован-
изолированной особой точки определяется как коэффициент с_х
при z~x в разложении Лорана функции g(z) = dZ/dz,
где z — униформизирующий параметр в окрестности
этой точки. При этом интеграл от dZ no любой замкну-
замкнутой кривой на римановой поверхности выражается че-
через В. дифференциала dZ и через его цикличе-
циклические периоды (интегралы от dZ по каноническим
разрезам). На римановы поверхности распространяется
теорема о полной сумме В.: сумма всех В. мероморфного
дифференциала на компактной римановой поверхности
равна нулю.
Теория вычетов аналитических
функций многих комплексных
переменных базируется на интегральных тео-
теоремах Стокса и Коши — Пуанкаре, позволяющих за-
заменять интеграл от замкнутой формы по одному циклу
интегралом от этой формы по другому циклу, гомологич-
гомологичному первому. Начало теории В. функции многих
переменных положил А. Пуанкаре [6], к-рый в 1887
впервые обобщил интегральную теорему Коши и поня-
понятие В. на функции двух комплексных переменных, по-
показав, в частности, что интеграл от рациональной функ-
функции двух комплексных переменных по двумерному цик-
циклу, не проходящему через особенности подинтегральной
функции, сводится к периодам абелевых интегралов, и
применил двойные В. для обоснования двумерного ана-
аналога Лагранжа ряда.
Ж. Лере (J. Leray, см. [7], а также [4], [8]) разработал
общую теорию В. на комплексном аналитич. многооб-
многообразии X. Теория вычетов Лере, в частности, описывает
метод вычисления интегралов по нек-рым циклам на
X от замкнутых внешних дифференциальных форм,
имеющих особенности на аналитич. подмногообразиях.
Вводится понятие вычет-формы, обобщающее понятие
В. аналитич. функции одного переменного; получаемая
при этом формула В. позволяет свести вычисление ин-
интеграла от формы со, имеющей на комплексном анали-
аналитич. подмногообразии S полярную особенность 1-го по-
порядка, по нек-рому циклу в ЛГ\5 к вычислению интег-
интеграла на 1 меньшей размерности от вычет-формы res [со]
по циклу на S. Для вычисления интегралов от замкну-
замкнутых форм, имеющих на S произвольные особенности,
важны понятие вычет-класса (см. Вычет-форма) и т е-
орема Лере, согласно к-рой для любой замкну-
замкнутой формы со ? С°° (X\S) найдется когомологичная ей
форма соо, имеющая на S полярную особенность 1-го
порядка. Для формы со, имеющей особенность на не-
нескольких подмногообразиях Eхи • • • U Sт), используют-
используются кратные вычет-форма
вычет-класс
и формула В.
где бт— кратный оператор б, а у — цикл в
Имеется другой подход к теории В. функций многих
комплексных переменных — метод выделе-
выделения базы гомологии, опирающийся на
идею Э. Мартинелли (Е. Martinelli) применения
Александера двойственности (см. [9]). Пусть /(z),
z={z1, . . ., zn), — голоморфная функция в области Get",
а а есть re-мерный цикл в G. Если {аг, . . ., а„} — база
n-мерных гомологии области G и
— разложение а по этой базе, то обобщение теоремы о
В. имеет вид
\ / (z) dz = Bm)" 2uy=i *v^v! dz = dzi Л . . .,
где
есть re-мерный аналог В. и наз. вычетом функ-
функции / (z) относительно базисного
цикла ffv, В отличие от случая одной переменной,
значительную трудность представляет отыскание как
базы гомологии (av }, так и коэффициентов {kv } разло-
разложения а по базе. В ряде случаев (напр., когда G=
—C2\{/>(z1, z2) = 0}, где Р — многочлен) эти задачи по-
позволяет решить двойственность Александера и Понтря-
гина. При этом коэффициенты kv находятся как коэф-
коэффициенты зацепления цикла а с циклами на множест-
множестве C"\G (компактифицированном определенным обра-
образом), двойственными циклам crv . Вычеты Rv в нек-рых
случаях находятся как соответствующие коэффициенты
разложения Лорана функции /(z).
Многомерные аналоги логарифмич. В. (см. [4], [12])
выражают число общих нулей (с учетом их кратностеи)
системы голоморфных функций f= (f1, ..., /„) в облас-
области DccGcC" через интегралы:
) = -I- Г fi-л...
Bго)" Jv /l
где у —нек-рый цикл в uD\U"=1{/7-(z) = O}. В. функций
многих переменных нашли применения при научении
фейнмановских интегралов, в комбинаторном анализе
(см. [11]) и в теории неявных функций (см. [12]).
Лит.: [1]Маркушевич А. И., Теория аналитических
функций, 2 изд., т. 1, М., 1967; [21 Е в г р а ф о в М. А., Ана-
Аналитические функции, 2 изд., М., 1968; [3] П р и в а л о в И. И.,
Введение в теорию функций комплексного переменного, 11 изд.,
М., 1967; [4] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ,
М., 1969; [5] Спрингер Д., Введение в теорию римановых
поверхностей, пер. с англ., М., 1960; [6] Р о i n с а г ё Н., «Acta
math.», 1887, t. 9, 321—380; [7] Л е р е Ж., Дифференциальное
и интегральное исчисления на комплексном аналитическом мно-
многообразии, пер. с франц., М., 1961; [8] Фукс Б. А., Введение
в теорию аналитических функций многих переменных, М., 1962;
[9] Ю ж а к о в А. П., «Изв. ВУЗов. Матем.», 1964, № 5 D2),
е. 149—61; [10] G r i f f i t s P. A., «Ann. Math.», 1969, v. 90,
.Yi 3, p. 460—95; [11] Егорычев Г. П., Ю ж а к о в А. П.,
«Сиб. матем. ж.», 1974, т. 15, № 5, 1049—60; [12] Ю ж а к о в
А. П., Элементы теории многомерных вычетов, Красноярск,
11O5. А. П. Южаков.
ВЫЧЕТ-ФОРМА, форма-вычет,— обобщение
понятия вычета аналитич. функции одного комплексно-
комплексного переменного на случай многих переменных. Пусть
X — комплексное аналитич. многообразие, S — его
аналитич. подмногообразие комплексной коразмерно-
коразмерности 1 и пусть со (х) — замкнутая внешняя дифферен-
дифференциальная форма класса С°° на А"\?, имеющая на S
полярную особенность 1-го порядка. Последнее озна-
означает, что для функции s{x, у), голоморфной от ж в ок-
окрестности Uу точки у ? S и такой, что
Sr\Uy = {x: s (x, г/) = 0}, ds ^= 0 при х = у,
форма со (х) -s(x,y) принадлежит классу Ст (Uy). При
этих условиях в окрестности U любой точки у ? S су-
существуют такие формы г|э (х, у), в(х, у) класса С°°, что
причем г|з (х, y)lg~u есть замкнутая форма класса С°°,
зависящая только от со. Замкнутая форма на S, опреде-
определяемая в окрестности каждой точки y?S, сужением
у)\дпц , наз. вычет-формой формы со и обо-
обо\дпц ,
значается
Если форма со голоморфна, то и ее В.-ф. голоморфна.
Напр., для Х = С", S={x?C" :s(x) = 0} и формы
w№=r§Pj dXl Л •• -л dx"'
где /, s— голоморфные функции в С", grad s?=0 на 5,
В.-ф. равна
res [со] = Г/ (х) -%—1 dx-i Л ... Л [dx.] Л . . . Л Лг„
L / ож/ J Is
в точках, где j
Для В.-ф. имеет место формула вычета:
res [со],
где у — произвольный цикл в S размерности, равной
степени res [со], 8у — цикл в X \ S — граница нек-рой
цепи в X, находящейся в общем положении с S и пере-
пересекающейся с S по у.
Кратная В.-ф. resm [со] определяется по индукции.
В ы ч е т-к ласе (или к л а с с-в ы ч е т) замкну-
замкнутой в X\5 формы со есть класс когомологий подмногооб-
подмногообразия S, образованный В.-ф. форм класса С°° в Х\5,
когомологичных со п имеющих на S по-
Adi Adi лярную особенность 1-го порядка. Вы-
"' чет-класс формы со обозначается Bes [со].
Вычет-класс голоморфной формы может
не содержать голоморфной формы, так что в общем
случае нельзя ограничиться рассмотрением кольца го-
голоморфных форм вместо кольца замкнутых форм. Од-
Однако это возможно, если X — Штейна многообразие.
Вычет-класс Bes [со] не зависит от выбора со из одного
и того же класса когомологий и осуществляет гомомор-
гомоморфизм группы классов когомологий многообразия X\5 в
группу классов когомологпй многообразия S:
Res: H*{X\S) —>-Я* (S).
Как и для В.-ф., справедлива формула вычета:
\ . со =2яг \ Res [со],
причем интеграл в правой части берется от любой фор-
формы из вычет-класса Bes [со] и не зависит от ее выбора.
Лит. см. при ст. Вычет аналитической функции [7), [8], [4].
А. П. Южаков.
ВЫЧИСЛИМАЯ ФУНКЦИЯ — функция, вычисле-
вычисление значений к-рой может быть проведено с помощью
заранее заданной эффективной процедуры, или алгорит-
алгоритма. Характерная черта вычислительных процессов —
вычисление искомых величин задач происходит последо-
последовательно из данных исходных величин по определен-
определенным, заранее заданным, правилам и инструкциям. На
основании многочисленных примеров вычислительных
процессов в математике оформилось интуитивное поня-
понятие вычислительной процедуры. В связи с общей про-
программой обоснования математики в 20 в. возникла за-
задача создания не интуитивного, а точного понятия ал-
алгоритма. Строгое определение В. ф., эффективных про-
процедур и алгоритмов было дано в различных формах
Д. Гильбертом (D. Hilbert), К. Гёделем (К. Godel),
А. Чёрчем (A. Church), С. Клини (S. Kleene), Э. Постом
(Е. Post), А. Тьюрингом (A. Turing) и А. А. Марко-
Марковым.
Общая идея различных подходов к созданию стро-
строгих математич, определений рассматриваемых понятий
такова: проводится детальный анализ уже известных
или мыслимых вычислительных процессов, выявляются
существенные особенности этих процессов, находятся
подходящие математич. аналоги этих процессов и их
особенностей. Реализация различных аспектов этой
идеи неоднозначна и приводит к разным вариантам мате-
матич. понятия алгоритма. Основными математич. мо-
моделями понятия алгоритма являются машины Тьюрин-
Тьюринга, частично рекурсивные функции, нормальные алго-
алгоритмы Маркова и др.
Машины Тьюринга. Алгоритмы, применяемые в
математике, напоминают машину, работающую отдель-
отдельными тактами и выдающую ответ через конечное число
тактов. А. Тьюринг и Э. Пост описали понятия вычис-
вычислительных машин абстрактных, на к-рых можно мо-
моделировать вычислительные процессы. Машина
Тьюринга (иногда говорят машина Тьюринга —
Поста) Л/ состоит из:
конечного алфавита а= {а0, аь . . ., а„},
где а,- произвольные символы; конечные упорядочен-
упорядоченные последовательности символов алфавита а. наз. сло-
словами в алфавите а; с помощью слов в алфавите а ко-
кодируются исходные данные задачи, промежуточные вы-
вычисления и получаемые ответы;
конечного списка (?= {?0, ?i, . •., qm}
элементарных состояний, в к-рых ма-
машина М может находиться; при этом q1 считается на-
начальным состоянием, в к-ром находится М, когда на-
начинает работу, a q0— конечным состоянием: если М
приходит в состояние д0, то она останавливает свою
работу;
программ ы, составленной из отдельных ко-
команд Т-ц, имеющих один из видов: а,-ду—>-а^Х)%» гДе
0<;, fe<:«, 0<;«:m,, 0«:Z«sm, D — один из символов
движения Л, П или С.
Конфигурация машины М в данный момент времени
кодируется словом вида AaiqjB, где А и В — нек-рые
слова в алфавите а (вместо пустого слова А пишут
<х0). Конфигурация машины М в следующий момент
времени (после выполнения одного такта работы) так-
также кодируется словом, к-рое зависит от команды Т^:
если Z) = JI, то получается слово Aqfi^B,
если Z) = C, то получается слово Aa^qfi,
если D = H и B = aflB', то получается слово Aakapq/B',
если D — П и В — пустое слово, то получается слово
AakaoqcB.
Работа машины М может быть описана следующим
образом: кодируют исходные данные с помощью нек-рой
начальной конфигурации (здесь <?/=9i)> согласно про-
программе машины М получают следующую конфигура-
конфигурацию и т. д., если в какой-либо момент получают кон-
конфигурацию, содержащую конечное состояние </0, то
прекращают работу; заключительная конфигурация
декодируется в ответ; если машина никогда не оста-
останавливается, то считают ответ в задаче неопреде-
неопределенным.
Всякая вычислительная процедура, к-рая может быть
сведена к работе подходящей машины Тьюринга, яв-
является эффективной в интуитивном смысле. Обращение
предыдущего высказывания получило название т е-
зиса Тьюринга: всякая эффективная вычисли-
вычислительная процедура может быть реализована на соответ-
соответствующей машине М. Этот тезис нельзя доказать, так
как он объединяет два понятия — строгое математич.
понятие машины Тьюринга и расплывчатое, интуитив-
интуитивное понятие эффективной процедуры. Если моделиро-
моделировать на машинах Тьюринга вычисление значений функ-
функции, области определения и значений к-рой суть мно-
множества натуральных чисел, то приходят к понятию
вычислимой (на машинах Тьюринга) ф у н к -
ц и и. См. также Тьюринга машина.
Частично рекурсивные функции. Все известные при-
примеры алгоритмов можно свести к вопросу вычисления
значений подходящей функции. Считая эту черту алго-
алгоритмов основной, А. Чёрч, К. Гёдель и С. Клини выде-
выделили широкий класс функций, названных частично ре-
рекурсивными. Пусть F — класс частичных функций, об-
ласти определения и значения к-рых суть множества
натуральных чисел. На множестве F определяют сле-
следующие операции:
суперпозиция функций: если /, а1, ...
. . ., am?F, то говорят, что функция
ф (Х1} . . . , Хп) = / («J (ХХ, ..., Хп), . . . , ап (Zb .... Хп))
получается из /, осх, ..., ап с помощью суперпозиции;
|j,-o п е р а т о р: пусть /х, /2? F; говорят, что функ-
функция г/л получается из /х и /2 с помощью ^-оператора, и
записывают
Л I™ I 'V4 ^* I 117/ I f / *у *у 7/1 Т / 'V4 О* 7i \ 1
у ^li • • • • -"-п) — V-V U 1 v*-b • • • > *«> W — /2 ^lt ¦ • ¦ i xm V)\i
если /1(ж1, .. ., хп, z) и /2(a;i, ...,ж„, z) определены и
неравны между собой при г<г/, а
Ясно, что если эти операции применяются к функ-
функциям, значение к-рых мы умеем вычислять, то имеются
алгоритмы, вычисляющие значения функций <р и -ф-
Следующие функции считаются простейшими: +, X,
0, если х < у,
1, если х^г у.
Имеются легкие алгоритмы, вычисляющие значения
простейших функций.
Функция / наз. частично рекурсивной,
если она за конечное число шагов может быть получена
из простейших с помощью суперпозиции и ^-операто-
^-оператора. Всюду определенная частично рекурсивная функ-
функция наз. общерекурсивной. Значение вся-
всякой частично рекурсивной функции может быть вычис-
вычислено эффективно в интуитивном смысле. Обращение
этого высказывания получило название тезиса
Ч ё р ч а: всякая функция, значение к-рой может
вычисляться эффективно, является частично рекурсив-
рекурсивной. Таким образом, согласно тезису Чёрча, вычис-
вычислимыми функциям и являются частично
рекурсивные функции.
Нормальные алгорифмы Маркова. Всякий конкрет-
конкретный алгоритм имеет дело с нек-рым алфавитом, и реше-
решение конкретной задачи сводится к переработке слов
данного алфавита по нек-рым заранее заданным прави-
правилам. Такой подход к теории алгоритмов развит
А. А. Марковым, предложившим концепцию нормаль-
нормального алгорифма в качестве математич. модели понятия
вычислительной процедуры.
Нормальный алгорифм ф состоит из нек-рого алфа-
алфавита а= {а0, аг, ..., ап) и конечного упорядоченного
списка правил вида А^В, где А и В — нек-рые слова
в алфавите а. Часть правил выделена и названа за-
заключительными. Правило А^В применяется к слову Р
следующим образом: слово Р представляется в виде
QAR, где Q и R — слова в алфавите а, возможно пус-
пустые, и из всех таких представлений выбирается то, в
к-ром слово Q имеет наименьшую длину; тогда резуль-
результатом применения данного правила к слову Р наз. сло-
слово QBR. Нормальный алгорифм <р применяется к сло-
слову Р следующим образом: применяют к слову Р первое
правило из тех, к-рые к Р можно применить, получают
слово Рг; применяют к Р1 первое правило из тех, к-рые
к Р1 можно применить, получают слово Р2 и т. д. В ре-
результате получается последовательность слов, к-рая об-
обрывается после применения какого-либо заключитель-
заключительного правила.
Кодируя соответствующим образом информацию,
можно использовать нормальные алгорифмы для реше-
решения разнообразных алгоритмич. задач. Всякая вычисли-
вычислительная процедура, промоделированная с помощью
нормального алгорифма, является эффективной в инту-
интуитивном смысле. Обращение этого высказывания носит
название тезиса Маркова: всякая эффектив-
эффективная вычислительная процедура может быть промодели-
промоделирована с помощью подходящего нормального алгориф-
алгорифма. Если моделировать с помощью нормальных алго-
алгорифмов вычисление значений функций из класса F, то
приходят к еще одному понятию вычислимой
функции. Были предложены и другие уточнения
понятия алгоритмов (см. Алгоритм, а также Нормаль-
Нормальный алгорифм).
Доказан следующий результат о равносильности раз-
различных концепций понятия алгоритма: классы функций,
вычислимых на машинах Тьюринга, частично рекур-
рекурсивных функций, вычислимых с помощью нормальных
алгорифмов Маркова (аналогичные классы функций
при других концепциях понятия алгоритма), совпада-
совпадают. По мнению большинства современных математи-
математиков, этот класс функций адекватен классу интуитивно
В. ф. и отождествляется с ним. Такое отождествление
позволяет придать математичиость алгоритмическим
проблемам.
Лит.: [1] Мальцев А. И., Алгоритмы и рекурсивные
функции, М., 1965; [2] Роджерс X., Теория рекурсивных
функций и эффективная вычислимость, пер. с англ., М., 1972;
[3] Т и г i n g A. M., «Proc. London Math. Soc», 1937, v. 42,
JMs 2, p. 230—65; [4] К л и н и С. К., Введение в метаматема-
метаматематику, пер. с англ., М., 1957; [5] Марков А. А., Теория ал-
алгорифмов, М., 1954 («Тр. матем. ин-та АН СССР», т. 42).
И. А. Лавров, А. Д. Тайманов.
ВЫЧИСЛИМОЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО —
действительное число, для к-рого существует алгоритм,
находящий сколь угодно точные рациональные прибли-
приближения к этому числу. Близкое значение имеет термин
«конструктивное действительное число», обычно упот-
употребляемый при рассмотрении В. д. ч. в рамках той или
иной системы конструктивной математики (см. Конст-
Конструктивный анализ). Б. А. Кушнер.
ВЫЧИСЛИМЫЙ ИНВАРИАНТ бинарного
отношения между словами данно-
данного вида— алгоритм (в к.-л. точном смысле; напр.
— как это сделано в [1] — нормальный алгорифм),
применимый ко всякому слову рассматриваемого вида
и перерабатывающий в одно и то же слово всякие два
слова, связанные этим отношением.
А. А. Марков называет два слова неотделимы-
неотделимыми по инвариантам данного отношения,
если всякий В. и. этого отношения перерабатывает
упомянутые слова в один и тот же результат. Заметим,
что если к.-л. бинарное отношение разрешимо (см. Раз-
Разрешимое множество), то легко построить такой его
В. и., к-рый будет принимать различные значения на
любых двух словах, не связанных этим отношением.
Если же для данного отношения удастся построить сло-
слова, им не связанные, но по его инвариантам неотдели-
неотделимые, то тем самым будет доказана также и неразреши-
неразрешимость рассматриваемого отношения.
Многие известные алгоритмические проблемы алге-
алгебры и топологии могут быть формулированы как зада-
задачи исследования разрешимости определенных классов
отношений эквивалентности, и отрицательные решения
таких проблем обычно получаются в виде утверждений
о наличии неразрешимых отношений среди определен-
определенного типа отношений эквивалентности. А. А. Марковым
была осуществлена программа усиления в духе сделан-
сделанного в предыдущем абзаце замечания известных отри-
отрицательных решений многих алгоритмич. проблем мате-
математики (проблемы тождества в теории групп, проблемы
гомеоморфии, проблемы распознавания инвариантных
свойств ассоциативных исчислений и групповых исчис-
исчислений). Был построен пример перечислимого (см.
Перечислимое множество), но не разрешимого отно-
отношения эквивалентности слов, у которого тем не ме-
менее любые два слова, не связанные этим отношением,
отделимы по его инвариантам (см. [2]). Вопрос о воз-
возможности получения аналогичного результата для
классов отношений, рассмотренных А. А. Марковым,
остается открытым A977).
Лит.: [1] М а р к о в А. А., «Изв. АН СССР. Сер. матем.»,
1963, т. 27, Ni 4, с. 907—36; [2] Н а г о р н ы й Н. М., в сб.:
Исследования по теории алгорифмов и математической логике,
т. 1, М., 1973, с. 205 — 10. Н. М, Нагорный.
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА — раздел ма-
математики, включающий круг вопросов, связанных с ис-
использованием ЭВМ. Содержание термина «В. м.» нель-
нельзя считать установившимся, так как эта область мате-
математики интенсивно развивается в связи с быстро рас-
растущими применениями ЭВМ в новых направлениях.
Часто термин «В. м.» понимается как теория численных
методов и алгоритмов решения типовых математич.
задач. Это толкование термина «В. м.» получило рас-
распространение на первоначальном этапе, когда исполь-
использование ЭВМ предъявило новые требования к числен-
численным методам; основной задачей на этом этапе была раз-
разработка новых методов, «удобных» для ЭВМ. Ниже В. м.
понимается в первом — широком смысле этого термина.
В В. м. можно выделить следующие три основных
раздела. Первый связан с применением ЭВМ в различ-
различных областях научной и практич. деятельности и может
быть охарактеризован как анализ матем. моделей.
Второй — с разработкой методов и алгоритмов решения
типовых математич. задач, возникающих при исследо-
исследованиях математич. моделей. Третий раздел связан с во-
вопросом об упрощении взаимоотношений человека с
ЭВМ, включая теорию п практику программирования
задач для ЭВМ, в том числе автоматизацию програм-
программирования задач для ЭВМ.
Анализ математич. моделей включает в себя изучение
постановки задачи, выбор модели, анализ и обработку
входной информации, численное решение математич.
задач, возникающих при исследовании модели, анализ
результатов вычислений и, наконец, вопросы, связан-
связанные с реализацией полученных результатов.
Задача выбора модели должна решаться с учетом сле-
следующего требования. Степень достоверности, с к-рой
результаты анализа модели позволяют исследовать
конкретное явление (или класс явлений), должна соот-
соответствовать точности исходной информации. При этом
с появлением возможности получать более точную ин-
информацию обычно возникает необходимость совершен-
совершенствования построенной модели, а в ряде случаев даже
коренной ее замены. Для этих задач приобретает сущест-
существенное значение обработка исходной информации, что
в большинстве случаев требует привлечения методов
математич. статистики.
Математич. модели сыграли важную роль в развитии
естествознания; в настоящее время использование ма-
математич. моделей является существенным фактором в
широком диапазоне человеческой деятельности (в том
числе в вопросах планирования, управления, прогно-
прогнозирования и т. д.).
Изучение реальных явлений на основе анализа пост-
построенных моделей, как правило, требует развития чис-
численных методов и привлечения ЭВМ. Таким образом,
в В. м. важное место занимают численные методы реше-
решения поставленных математич. задач и в первую очередь
типовых математич. задач (В. м. в узком смысле слова).
В качестве примера типовых математич. задач, часто
встречающихся в приложениях, можно назвать задачи
алгебры: здесь большое значение имеют численные ме-
методы решения систем линейных алгебраич. уравнений
(в частности, больших систем), обращение матриц,
нахождение собственных значений матриц (как несколь-
нескольких первых значений,— частичная проблема собствен-
собственных значений, так и нахождение всех собственных
значений — полная проблема собственных значений).
Другие примеры: дифференцирование численное и ин-
интегрирование численное функций одного или несколь-
нескольких переменных; численные методы решения дифферен-
циалъных уравнений обыкновенных, интегральных урав-
уравнений, а также изучение и сравнительный анализ чи-
численных методов различных типов, например Адамса
метод, Рунге — Кутта метод. Значительное число ис-
исследований посвящено численным методам решения
уравнений с частными производными (см. Гиперболиче-
Гиперболического типа уравнение; численные методы решения, Па-
Параболического типа уравнение; чиелепные методы реше-
решения, Эллиптического типа уравнение; численные ме-
методы решения). Здесь большое направление составля-
составляют «экономичные методы», т. е. методы, позволяющие
получать результаты при относительно малом (эконом-
(экономном) числе операций.
Быстро развивающимся направлением В. м. явля-
являются численные методы оптимизации. Задача оптимиза-
оптимизации состоит в изучении экстремальных (наибольших или
наименьших) значений функционалов на множествах,
как правило, весьма сложной структуры (см., напр.,
Экстремальные задачи; численные методы решения). В
первую очередь следует упомянуть задачи математичес-
математического программирования (в том числе линейного и дина-
динамического), к к-рым сводятся многие задачи экономики.
К задачам оптимизации примыкают минимаксные за-
задачи (и соответствующие численные методы), возникаю-
возникающие при решении задач исследования операций (см.
Исследование операций) и теории игр (см. Игр теория).
Особенно сложные задачи типа minmaxminmax возни-
возникают при решении многошаговых (динамически разви-
развивающихся) игр. Здесь даже математич. эксперимент
(проигрывание вариантов поведения играющих) не-
невозможен без использования мощных ЭВМ.
Применение ЭВМ к решению сложных задач, в осо-
особенности задач больших размеров, вызвало к жизни
одно из главных направлений в теории численных ме-
методов — исследования устойчивости методов и алго-
алгоритмов к различного рода ошибкам (в том числе к ошиб-
ошибкам округления). См. Устойчивость вычислительного
алгоритма, Устойчивость вычислительных процессов.
Обратные задачи, напр, задача определения элемента
х из уравнения А х= b при известной информации об
операторе А и элементе Ъ, часто являются неустойчи-
неустойчивыми (некорректно поставленными) задачами (малым
погрешностям во входных данных могут соответство-
соответствовать большие погрешности в х). Более того, обратные
задачи часто имеют решение не для всех Ь, поэтому,
задавая приближенное значение Ь, следует учитывать,
что формально решение этой задачи может не сущест-
существовать. Неустойчивые задачи потребовали специаль-
специального определения понятия приближенных решений и
развития соответствующих методов для их нахождения.
К неустойчивым задачам относится широкий класс за-
задач, связанных с проблемами автоматизации обработки
результатов экспериментов (см. Некорректные задачи;
численные методы решения).
В большинстве разделов В. м. важное место занимают
вопросы оптимизации методов решения задач. Особен-
Особенно это существенно для задач большого объема (напр.,
с большим числом переменных).
Применение ЭВМ непрерывно расширяет круг поль-
пользователей и поэтому возникает тенденция такой степе-
степени автоматизации, при к-рой становится менее сущест-
существенным знакомство пользователей с численными мето-
методами. Это предъявляет новые требования к алгоритмам,
их классификации и к стандартным программам реше-
решения типовых задач.
В настоящее время выделился ряд направлений при-
прикладной науки, где современные темпы научно-технич.
прогресса были бы немыслимы без развития численных
истодов и применения ЭВМ (см., напр., Газовой динами-
динамики численные методы).
Основной задачей теории программирования можно
считать облегчение отношений человека с машиной, хо-
тя этот взгляд и конкретные направления исследовании
претерпевают радикальные изменения с развитием вы-
вычислительной техники. Смена ряда поколений вычисли-
вычислительных машин обусловила смену этапов в развитии
программирования.
От составления программ на внутреннем языке ма-
машин программирование быстро перешло к составлению
стандартных программ решения типовых задач и ком-
комплексов таких программ. При их употреблении для
широкого класса задач отпадает необходимость в про-
программировании метода решения; достаточно лишь
ограничиться заданием исходной информации. Однако
задание такой информации, а также написание не-
нестандартных блоков все равно требуют существенного
объема программирования на языке машины (см. Ма-
Машинно-ориентированный язык).
Появление машин следующего поколения с боль-
большим быстродействием сопровождалось ростом числа за-
задач, предъявляемых к решению; в результате этого
возникло узкое место системы человек — машина: ско-
скорость программирования. Это вызвало к жизни
новый этап программирования — создание алгоритми-
алгоритмических языков с трансляторами для перевода с алго-
ритмич. языка на внутренний язык машины. Вследст-
Вследствие большой близости алгоритмич. языков к общечело-
общечеловеческому, их внедрение упростило программирование
и существенно расширило круг пользователей.
Наряду с созданием универсальных алгоритмич.
языков (алгол, фортран) был разработан ряд проблемно-
ориентированных языков для определенного круга поль-
пользователей, напр, связанных с задачами обработки эко-
номич. информации (кобол). Создание специализирован-
специализированных языков вызвано следующим: универсальные языки
и трансляторы, предназначенные для решения широко-
широкого класса задач, иногда слабо учитывают специфику
отдельных важных классов задач, что снижает эффек-
эффективность использования всех возможностей машины.
При дальнейшем повышении скорости ЭВМ узким
местом системы человек — машина стали устройства для
ввода и вывода информации; их медленная работа сво-
сводила на нет высокопроизводительную работу централь-
центрального устройства. Необходимость преодоления этого
противоречия явилась одной из причин создания си-
систем одновременного решения на машине нескольких за-
задач. Другой причиной было требование одновремен-
одновременной работы на машине большого коллектива пользова-
пользователей (в частности, последнее особенно существенно
при применении ЭВМ в автоматизированных системах
управления — АСУ). Все это вместе с рядом других
причин обусловило появление нового этапа програм-
программирования — систем)юго программирования. Основной
задачей системного программирования является созда-
создание операционных систем, управляющих работой ма-
машины, программным путем расширяющих возможно-
возможности машины и предоставляющих пользователю допол-
дополнительное обслуживание, не предусмотренное аппарату-
аппаратурой: возможность ввода и вывода одновременно с реше-
решением задач, автоматизация редактирования выдачи, вы-
вывод графиков, работа с экраном, диалог с машиной,
возможность одновременного решения на машине мно-
многих задач (система разделения времени).
Развитие применения ЭВМ характерно также орга-
организацией работы комплексов, включающих большое
число машин, в том числе машин различных типов, ввод-
вводные устройства, каналы связи между машинами и
пользователем, а зачастую и физич. установки. Такие
высокопроизводительные системы создаются, напр.,
для решения задач экономики и обработки физич. экс-
экспериментов, требующих ввода и обработки большого
количества информации.
Задача развития вычислительных систем, в частности
информационных систем и автоматизированных систем
управления, является одной из наиболее актуальных
научных проблем. А. Н. Тихонов.
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАШИНА АБСТРАКТНАЯ,
абстрактная машина,— математическое по-
понятие, к-рое описывает модель вычислительной маши-
машины, абстрагируясь от ограниченности емкости запоми-
запоминающих устройств и других тсхнпч. параметров вычис-
вычислительных машин. В отличие от последних, В. м. а.
может вычислять функции, определенные на бесконеч-
бесконечной области конструктивных объектов (напр., целых
чисел, слов в конечном алфавите, конечных графов,
бесконечных деревьев и т. д.). В. м. а. употребляется
как понятие, уточняющее интуитивное понятие алгорит-
алгоритма, для исследования вопросов существования алгорит-
алгоритма (т. е. разрешимости или неразрешимости алго-
алгоритмических проблем), качества алгоритма (т. е. оце-
оценок сложности различных параметров алгоритма),
формализации семантики алгоритмических языков, мо-
моделирования одних классов В. м. а. другими (напр.,
с целью так наз. «распараллеливания» алгорит-
алгоритмов).
В. м. а. можно разделить на классы по уровню абст-
абстракции, а также по типу обрабатываемой информации.
Ниже перечислены основные классы В. м. а.
1) В. м. а., обрабатывающие слова в конечном ал-
алфавите и относящиеся к наиболее высокому уровню аб-
абстракции в связи с подчинением структуры В. м. а. спе-
цифич. запросам теории. Типичные представители —
Тьюринга машина, машины Минского, нормальные ал-
алгорифмы Маркова, Поста каноническая система. В. м. а.
часто употребляются для доказательства неразрешимо-
неразрешимости алгоритмич. проблем, а также для оценок сложно-
сложности алгоритмов (см. Алгоритма сложность вычисле-
вычисления).
2) В. м. а., относящиеся к тому же уровню абстрак-
абстракции, что и В. м. а. из 1-го класса, но обрабатывающие
матрицы, конечные графы, произвольные комплексы.
Типичные представители — алгоритмы Колмогорова,
автоматы Неймана — Чёрча, растущие автоматы.
Если в алгоритмах Колмогорова преобразование ин-
информации производится локально, то в автоматах Ней-
Неймана — Чёрча и растущих оно протекает параллельно.
Построены универсальные В. м. а. с хорошими характе-
характеристиками, способные моделировать произвольные
В. м. а. данного типа. Изучались вычисления с макси-
максимальным быстродействием (т. е. в реальное время)
на В. м. а. из данного класса.
3) В. м. а., к-рые обрабатывают, чаще всего, слова
или целые числа и относятся к низкому уровню абст-
абстракции. Их структуры сформировались под влиянием
запросов практики и имеют много общего со структу-
структурами вычислительных машин. Типичные представите-
представители — так наз. операторные алгоритмы
(см. [3]) и машины с произвольным доступом к памяти.
Эти В. м. а. употребляются для оценки сложности ал-
алгоритмов, используемых на практике, и для моделиро-
моделирования двух типов В. м. а.
4) В. м. а., относящиеся к тому же уровню абстрак-
абстракции, что и В. м. а. из 3-го класса, но обрабатывающие
произвольные графы (чаще всего бесконечные дере-
деревья). Эти В. м. а. образовались в результате развития
В. м. а. из 3-го класса, направленного на приспособле-
приспособление к особенностям алгоритмич. языков. Такие В. м. а.
используются для формализации семантики алгорит-
алгоритмич. языков, а также для доказательства правильности
программ. Типичные представители — В. м. а., ис-
используемые для задания семантики языков алгол-68 и
ПЛ/1.
Лит.: Ш Барздинь Я. М., «Докл. АН СССР», 1964,
т. 157, .№ 3, с. 542—45; [2] Ван Всйнгаарден А. и др.,
Сообщение об алгоритмическом языке АЛГОЛ-68 «Кибернетика»,
г о р о в А. II., Успенский В. А., «Успехи матем. наук»,
1958, т. 13, Л» 4, с. 3—28; [5] Минский М,, Вычисления и
автоматы, пер. с англ., М., 1971; [6] Т р а х т е н б р о т Б. А.,
Алгоритмы и вычислительные автоматы, М. 1974; [7] Н а г t-
manis Т., «Math. Syst. Theory», 1971, v. 5, № 3, p. 232—45;
[8] W e g n e r P., «Computing Surveys», 1972, v. 4, № 1, p. 5—¦
63. В. А. Непомнящий.
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ — точно опреде-
определенное указание действий над данными, позволяющее
с помощью цифровой вычислительной машины дискрет-
дискретного действия преобразовать за конечное количество
операций нек-рый массив данных (входные данные) в
другой массив данных (выходные данные). В. а. реа-
реализуется в виде вычислительного процесса, т. е. в виде
дискретно распределенной во времени конечной по-
последовательности состояний реальной ЭВМ, имеющей,
в отличие от абстрактной вычислительной машины,
ограниченные скорость выполнения операций, разряд-
разрядность чисел и объем памяти.
При заданных ЭВМ и В. а. вычислительный процесс
является строго детерминированным, т. е. заданным
входным данным отвечают вполне определенным обра-
образом: последовательность операций ЭВМ; последова-
последовательность состояний ЭВМ; выходные данные. В. а.
является линейным, если последовательность опера-
операций ЭВМ не зависит от входных данных, и нелиней-
нелинейным — в противном случае.
Объектом операций ЭВМ являются данные, представ-
представляемые в виде машинных слов, интерпретируемых как
машинные числа, машинные команды и т. п. Машинные
числа обычно составляют конечное ограниченное мно-
множество М чисел, размещенных в машинном интервале
[—А, А] и записанных в машинной разрядной сетке
при заданном основании а; а^2 — нек-рое натуральное
число, А — наибольшое машинное число (машинная бес-
бесконечность). Как следствие, машинные числа имеют
ограничение по числу значащих цифр и по абсолютной
величине. Конкретная ЭВМ может оперировать с раз-
различными множествами М, соответствующими различ-
различным основаниям, разрядным сеткам и машинным ин-
интервалам.
Машинная команда есть машинное слово, к-рое
содержит информацию об операции, напр, арифметиче-
арифметической, и ее оперантах (объектах, над к-рыми произво-
производится операция, и результате операции). Арифметич.
операция над парой машинных чисел может вывести
результат из совокупности М по двум причинам: вслед-
вследствие превышения допустимого числа значащих цифр;
вследствие превышения допустимой величины машин-
машинного числа. В первом случае применяется операция
округления, к-рая возвращает результат действия в
множество М, но делает само действие приближенным
и приводит к потере точности. Второй случай приво-
приводит к аварийной остановке ЭВМ (АВОСТ, или «аварий-
«аварийный останов»).
Композиция арифметич. операции, примененной к
паре машинных чисел, и операции округления называ-
называется квазиоперацией. Множество М вместе с
определенной над ним совокупностью квазиопераций
образует замкнутую систему N, однако, в отличие от
поля действительных чисел, N не образует поля. Си-
Система N зависит от выбора ЭВМ.
Реальный В. а. складывается из двух частей:
а) абстрактного (или собственно) В. а., к-рый при-
применяется к математич. объектам (элементам конечно-
конечномерных векторных пространств, полей, алгебраич. си-
систем, функциональных пространств и т. д.), не связан с
конкретной ЭВМ и может записываться в общеприня-
общепринятых математич. терминах или на каком-либо алгорит-
мич. языке;
б) программы, т. е. совокупности машинных ко-
команд, описывающих В. а., к-рая организует реализа-
реализацию вычислительного процесса в конкретной ЭВМ.
Первая часть В. а. является исходной и переходит во
вторую часть с помощью различных методов програм-
программирования. В. а. содержит ряд управляющих парамет-
параметров, к-рые остаются неопределенными в первой части
и фиксируются в программе, полностью определяя вы-
вычислительный процесс, обеспечивая адаптацию его пер-
первой части к конкретной ЭВМ.
В. а. осуществляет переработку числовой и символь-
символьной информации и, как правило, связан с потерей ин-
информации и точности. Потеря точности является след-
следствием ряда погрешностей, появляющихся на различ-
различных этапах вычислений: погрешности модели, аппрок-
аппроксимации, входных данных, округления. Погрешность
модели является следствием приближенности матема-
тнч. описания реального процесса. Погрешность вход-
входных данных зависит от ошибок наблюдения, измере-
измерения и т. п., но также может включать в себя и ошибку
округления входной информации. Иногда погрешность
модели и погрешность входных данных объединяют од-
одним названием неустранимая погрешность. Погреш-
Погрешность аппроксимации возникает, если рассматривать
абстрактный В. а. как нек-рую дискретную модель,
к-рая, как правило, аппроксимирует континуальную
модель. В нек-рых случаях абстрактный В. а. является
самостоятельной дискретной моделью, к-рая не сопо-
сопоставляется ни с какой другой моделью; в этом случае
нет смысла говорить о погрешности аппроксимации.
Погрешности округления могут встречаться только в
реальном вычислительном процессе и зависят от выбора
ЭВМ. При заданных входных данных и абстрактном
В. а. промежуточные и выходные данные, получаемые
в ЭВМ, зависят от выбора ЭВМ и режима ее работы
(вычисления с одинарной и двойной точностью). Абст-
Абстрактный В. а. допускает эквивалентные преобразова-
преобразования, к-рые при заданных входных данных могут менять
промежуточные данные, но оставляют неизменным
окончательный результат. В. а., соответствующий двум
различным эквивалентным представлениям абстракт-
абстрактного В. а., может при фиксированной ЭВМ и входных
данных приводить к различным окончательным ре-
результатам.
Помимо свойства точности, В. а. должен обладать
свойством устойчивости. Устойчивость В. а. определя-
определяется как свойство В. а., позволяющее судить о скорости
накопления суммарной вычислительной погрешности.
Имеется градация устойчивости (соответственно не-
неустойчивости), основанная на измерении исходной ошиб-
ошибки округления и суммарной вычислительной погрешно-
погрешности в различных нормах. В тех случаях, когда В. а.
сводится к последовательности линейных рекуррентных
соотношений, устойчивость В. а. определяется в тер-
терминах норм конечномерных матриц в конечномерных
векторных пространствах. Свойство устойчивости оп-
определяется как структурой абстрактного В. а., так и
влиянием ошибок округления. Так, устойчивость ите-
итерационного процесса ас" + *=А«»"+&„, где матрица А„
также вычисляется, будет зависеть от влияния ошибок
округления в коэффициентах матрицы на ее норму.
Ошибки округления, входя в коэффициенты различных
уравнений и операторов, вносят возмущения в мате-
матич. модель абстрактного В. а. и в этом смысле мо-
могут интерпретироваться так же, как и ошибки модели.
Чем лучше свойства устойчивости абстрактного В. а.,
тем меньше, при заданном абстрактном В. а., результаты
вычислений зависят от выбора ЭВМ и эквивалентных
представлений абстрактного В. а.
Другим условием, особенно важным в массовых вы-
вычислениях, является экономичность В. а., измеряемая
затратой машинного времени, необходимой для дости-
достижения заданной точности вычисления. Экономичные
В. а. получили широкое распространение в задачах
математич. физики (см., напр., дробных шагов метод).
Важной задачей теории В. а. является оптимизация
В. а.
При построении В. а. характерна тенденция к конт-
ро'лю точности. Контроль точности может косвенно осу-
осуществляться за счет увеличения устойчивости и поряд-
порядка аппроксимации В. а., изменения параметров В. а.
(внутренняя сходимость), сравнения двух численных ре-
решений одной и той же задачи, соответствующих различ-
различным В. а., применения тестов и т. д. Прямой контроль
точности осуществляется в том случае, когда удается
получить двусторонние оценки (или, по крайней мере,
односторонние оценки) результата вычислений. Теоре-
тич. оценки такого рода не всегда возможны и эффек-
эффективны, т. к. не всегда дают достаточно точные границы
отклонения численного решения от точного. Получил
распространение интервальный анализ, к-рый дает воз-
возможность в процессе вычислений строить доверитель-
доверительные границы для вычисляемых величин.
Различия в результатах абстрактного и реального
В. а. определяются довольно сложными связями между
их параметрами. Так, в абстрактном В. а. для схо-
сходящегося итерационного процесса точность е, вообще го-
говоря, тем больше, чем больше число итераций п. В слу-
случае реального В. а. эта ситуация может измениться
вследствие влияния ошибок округления и, начиная с
нек-рого момента, разность между ге-й итерацией и точ-
точным решением может потерять тенденцию к убыванию.
Вообще говоря, абстрактный В. а. строится независи-
независимо от выбора конкретной ЭВМ и только косвенно учи-
учитывает ее конфигурацию своими свойствами аппрокси-
аппроксимации и устойчивости. Так, для машин с большим бы-
быстродействием, но при малой оперативной памяти при
решении дифференциальных уравнений с частными
производными целесообразно применение экономичных
абсолютно устойчивых схем высокой точности. В свя-
связи с появлением ЭВМ с параллельно действующими
процессорами получили развитие параллельные алго-
алгоритмы и параллельное программирование. Сущность
параллельного программирования заключается в раз-
разбиении перерабатываемых численных массивов на час-
части (подмассивы), независимо перерабатываемые соот-
соответствующими процессорами; производится обмен ин-
информацией между подмассивами, причем время, за-
затрачиваемое на этот обмен, существенно меньше, чем
выигрыш времени, достигаемый в результате распарал-
распараллеливания счета. Это делает эффективным применение
ЭВМ с параллельным действием, позволяя достигать
резкого увеличения быстродействия, особенно при ре-
решении больших задач.
Многообразие ЭВМ приводит к многообразию про^
грамм, реализующих один и тот же абстрактный В. а.
Составление программ является трудоемким процес-
процессом, и поэтому особое значение приобретает проблема
адаптации, т. е. быстрого и по возможности автома-
тич. преобразования (при заданном абстрактном В. а.)
программы с одной ЭВМ на другую (см. Программиро-
Программирование). Н.Н.Яненпо.
ВЫЧИТАНИЕ — арифметическое действие, обрат-
обратное сложению, т. е. нахождение одного из слагаемых
по сумме и другому слагаемому. При этом данная сум-
сумма наз. уменьшаемым, данное слагаемое — вы-
вычитаемым, искомое слагаемое — разностью.
Обозначается знаком — (минус). Так, в выражении
а — b = c,
а — уменьшаемое, Ъ — вычитаемое, с — разность.
ВЬЕТОРИСА ГОМОЛОГИИ — одна из первых тео-
теорий гомологии, определенных в неполиэдральном слу-
случае. Впервые их рассмотрел Л. Брауэр (L. Brouwer,
1911) (в плоском случае), а затем Л. Вьеторис (L. Vie-
toris, 1927) распространил его определение на произ-
вольные подмножества евклидова (и даже метрического)
пространства.
Под (упорядоченным) re-мерным симплексом Vх под-
подмножества А метрич. пространства X понимается упо-
упорядоченное подмножество (е0, ег, . . ., еп) в А с условием
diam {е0, . . ., <?„}<е. После этого определяются е-ц е п и
множества А по данной группе коэффициентов G как
формальные конечные линейные комбинации 2g,f;
е-симплексов tf с коэффициентами g; ? G. Граница е-
симплекса Vх (е0, еи . . ., еп) определяется так: At" =
= 2/(-1)' (е0, «1. •••, е/, •••, еп)\ это - е-цепь. По
линейности определяются граница любой е-цепи, и
е-циклы как е-цепи с нулевой границей, е-цепь хп мно-
множества т|-гомологична нулю в Л (в записи ж"~0), если
х"= Ауп + 1 для нек-рой т]-цепн yn + l в А.
Истинным циклом множества А наз.
последовательность zn={z", z", ..., zk, ...}, в к-рой
z? есть е^-цнкл в А, и е^—vO (A;—vc»). Истинные циклы об-
образуют группу Zn(A, G). Истинный цикл z гомологичен
нулю в А, если для любого е>0 существует такое Лт,
что все z% при k~^N е-гомологичны нулю в А . Обозначим
А" (Л, G) факторгруппу группы Zn(A, G) по подгруп-
подгруппе Пп(А, G) циклов, гомологичных нулю.
Цикл z наз. сходящимся, если для любого
е>0 существует такое N, что любые два цикла zi, zm
при к, т>А' е-гомологичны между собою в А. Обозна-
Обозначим группу сходящихся циклов Z"(A, G), и пусть
h"(A, G) = Znc{A,G)lHi(A, G)—соответствующая фактор-
факторгруппа.
Цикл z имеет компактный носитель, если существу-
существует такой компакт Fg^A, что все вершины всех симплек-
симплексов всех циклов z% лежат в F. Аналогично изменим по-
понятие гомологичности нулю цикла, потребовав наличие
компакта, на к-ром лежат все осуществляющие гомоло-
гомологию цепи; определяем сходящийся цикл с компактным
носителем. Обозначая индексом к внизу переход к цик-
циклам и гомология»! с компактными носителями, прихо-
дим к группам A"(A, G) и А?&(А, G). Вторая из них
наз. группой гомологии Вьеториса.
В случае конечного полиэдра группы В. г. совпадают со
стандартными.
Определяются также относительные группы гомоло-
гомологии An(A,B,G), Anc{A,B,G), Ak{A,B,G), AnckA, B, G)
по модулю подмножества BczA. Именно, е-циклом мно-
множества А по модулю В наз. любая е-цепь х" в А, для
к-рой цепь Ахп лежит в В. Аналогично, е-цикл х" по
модулю В т]-гомологичен по модулю В нулю в А, если
хп = Ауп trl-\-wn, где yn + 1 \iwn суть т]-цепи в А , и цепь
w" лежит в В.
Лит.: [1] А л е к с а н д р о в П. С, Введение в гомологи-
гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную тополо-
топологию, М., 1975. А. А. Мальцев.
ВЯЛЫЙ ПУЧОК — пучок множеств F над тополо-
гич. пространством X такой, что для любого открытого
в X множества U отображение ограничения F(X)—>F(U)
сюръективно. Таковы, напр., пучок ростков всех
(необязательно непрерывных) сечений расслоенного про-
пространства с базой X, пучок ростков дивизоров и про-
простой пучок над неприводимым алгебраич. многообра-
многообразием /'. Вялость пучка F является локальным свой-
свойством (то есть В. и. индуцирует на любом открытом мно-
множестве снова В. п.). Факторпучок В. п. по вялому под-
подпучку является В. и. Прямой образ В. п. при непрерыв-
непрерывном отображении есть В. п. Если X паракомпактно, то
В. п. является мягким пучком (т. е. всякое сечение F над
замкнутым множеством продолжимо на все простран-
пространство X).
Пусть
О—„fo—yf1—>.. . .
— точная последовательность В. п. абелевых групп.
Тогда для любого семейства Ф носителей соответствую-
соответствующая последовательность сечений (носители к-рых при-
принадлежат Ф)
О ГЛ>
является точной, т. е. F—*-Гф (F) — точный слева функ-
функтор. М. И. Войцеховский.
ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ УРАВНЕНИЯ — математи-
математическое выражение основных законов сохранения массы,
импульса, энергии газа, описывающих состояние газа.
Газ есть совокупность большого числа частиц (молекул,
атомов, ионов), находящихся в непрерывном хаотич.
движении. Учет взаимодействия и движения каждой
частицы газа является чрезвычайно трудной проблемой,
поэтому для описания состояния газа применяют ста-
статистический или континуальный подход. При таком под-
подходе состояние ансамбля частиц газа характеризуется
функцией распределения частиц, определенной или в
7-мерном фазовом пространстве х1, и1, t, i=l, 2, 3, или
4-мерном пространстве х1, t, t=l, 2, 3. В первом случае
рассматривается скалярная функция распределения
/ (ж, и, t)=f(x1, х2, х3, и1, и2, и3, t),
в к-рой величины х', и', t — непрерывно меняющиеся
аргументы, х' и t меняются в конечных или бесконечных
интервалах, — оо<и'< + оо. Сама функция /(ж, и, t)
удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению
Больцмана (см. Больцмана уравнение, Кинетическое
уравнение) или же, в зависимости от физич. предпосы-
предпосылок, другим уравнениям (см. Боголюбова цепочка урав-
уравнений, Власова кинетическое уравнение). Во втором слу-
случае функция распределения, описывающая состояние
газа, является векторной функцией
iv = {p, ри1, ри2, ри3 рЕ\,
зависящей от четырех аргументов хл, ж2, х3, t, непрерыв-
непрерывно и независимо меняющихся в интервалах — оо <#' <
<+оо, — оо<?<+оо. В этом случае под частицей,
строго говоря, следует понимать материальный элемент
газа, занимающий бесконечно малый объем и обладаю-
обладающий определенной скоростью и= {и1, и2, и3}, к-рая яв-
является функцией аргументов х1, х2, х3, t. Здесь р=р(ж1,
х2, х3, t)—плотность газа, т. е. масса газа, приходящаяся
на единицу объема, ? = е+—— полная энергия едини-
единицы массы газа, е — внутренняя энергия единицы мас-
массы газа.
В предположении локального термодинамич. равнове-
равновесия из уравнений Больцмана следуют законы сохране-
сохранения газовой динамики в интегральной форме. В инер-
циальной ортонормированной системе координат:
х ? д2'а Г
ф ю1йас-\- ф ——dtdx=\r F'dtdao, A)
J lm J lm 9xa -]Lm+ i
где Lm + 1— объем пространства, ограниченный поверх-
поверхностью lm, m^s\. Соотношения A) справедливы для про-
произвольного объема Lm + 1c границей 1т в (т-)-1)-мерном
фазовом пространстве {.к, t}={x1, . . ., хт, t}. Величины
w', Sia, F' в трехмерном случае имеют следующий
вид:
T\kj\\, г = 1,2,3,
1
А = 0, 1, .. ., 4; а, Р, у, i, ; = 1, 2, 3,
р— давление газа, Г — температура газа, 6аР— сим-
символ Кронекера, X — коэффициент вязкости сжатия, (х —
коэффициент вязкости сдвига, х — коэффициент теп-
теплопроводности. При записи формул употребляются
правила записи формул тензорного анализа.
Для гладких течений получается система дифферен-
дифференциальных уравнений в дивергентной форме:
*"' I 2j f; C)
Эта система уравнений становится замкнутой после при-
присоединения уравнений состояния. В случае термодина-
мич. равновесия уравнения состояния принимают вид:
р = р(р, Т), е = е(р, Т), х = х(р, Т), Я = А(р, Т),
ц = |х(р, Г). D)
В неравновесном случае эти величины могут зависеть
от градиентов функции течения.
Представление B) имеет определенный физич. смысл:
1
7,1а соответствует конвективным потокам массы, им-
2
пульса, энергии, 2jia— шаровой недиссипативной
з
части тензора напряжений, т. е. давлению, 2'а— дис-
сипативной части напряжений (вязкость, диффузия
тепла) и используется в методе расщепления для полу-
получения эффективных схем интегрирования задач газовой
динамики.
Для описания течения газа могут применяться раз-
различные системы координат. Кроме системы координат,
неподвижно связанной с физич. пространством и яв-
являющейся галилеевой (эйлерова система координат),
применяются различные подвижные, не обязательно
декартовы и галилеевы системы координат. Очень рас-
распространенной является лагранжева система коорди-
координат, связанная с частицами газа. В этой системе коор-
координат каждый материальный элемент имеет фиксиро-
фиксированную координату. Эйлеров способ состоит в том, что в
каждый момент времени t параметры состояния газа оп-
определяются как функции координат ж1, хг, х3 (эйлеро-
(эйлеровы координаты) точки в нек-рой неподвижной системе
координат и вектор и:=и(х1, х2, xs, t) означает скорость
частицы газа, находящейся в момент времени t в точке
х1, х2, xs. Способ Лагранжа предполагает задание ско-
скорости и и термодинамич. величин для каждой части-
частицы как функций времени t. Зафиксировав частицу газа
с помощью параметров q1, q2, qs, получают параметры
течения газа как функции от времени t и q1, q2, q3 (лаг-
ранжевы координаты). Связь между эйлеровыми и
лагранжевыми координатами имеет вид:
ui(q1, q2, q3, т) dx, j = l, 2, 3,
где x'—xl {q1, q2, q3, t) — эйлеровы координаты части-
частицы, находившейся в момент времени <=0 в точке x' = q'.
В случае одной пространственной переменной при ус-
условии, что газодинамич. переменные являются непре-
непрерывно дифференцируемыми функциями, уравнения
вязкого теплопроводного газа имеют вид:
в эйлеровых координатах
Эр , в(ри) п
д(ри) 9
дрЕ . д Г / _ р \ ди~\ 9 ( дТ
в лагранжевых координатах
dv ди л
ди . в
8E
ИГ
где v=—, \^' =tt(g, t).
Для произвольной подвижной системы координат
во многих случаях целесообразно одновременно преоб-
преобразовывать компоненты скорости по тензорному зако-
закону. Если
z<' = z<'(y\ У2, У3, t) E)
есть преобразование пространственных координат,
при к-ром временная координата не изменяется, то
отображение E) можно связать с самим течением газа
и тогда оно будет определять поле локальных систем
координат, зависящих от самого течения. Возможны
и более общие преобразования, включающие изменение
временной координаты.
Большую роль в теории Г. д. у. и в приложениях иг-
играет анализ малых параметров X, ]х, х, со (со=1/с2 —
коэффициент сжимаемости), входящих в уравнения C).
Если А,=|Л—х — 0, то C) — уравнения идеальной газовой
динамики; если A,=const, jx = const, х=со=0, то C) —
уравнения Навьс — Стокса несжимаемой жидкости. Эти
уравнения не принадлежат к типу Коши — Ковалевской.
В случае A,= const, p,=const, х=0, co=const получается
система уравнений типа Коши — Ковалевской парабо-
лич. типа, не являющаяся сильно параболической.
В теории турбулентности и неньютоновых жидкостей
коэффициенты X, \х могут зависеть от градиентов газо-
динамич. величин.
Определяющие соотношения B) и, в частности, урав-
уравнения состояния D) характеризуют тип системы Г. д. у.
C) и ряд ее качественных особенностей. Так, в случае
идеального сжимаемого газа (Х=ц=х = О) система урав-
уравнений C) является гиперболической, если
\ Р J S ^
где энтропия S определяется соотношением (второй за-
закон термодинамики)
TdS=pd-+de.
Условие F) является локальным, зависит от решения и
в нек-рых случаях может нарушаться. Так, в случае
уравнения состояния Ван-дер-Ваальса условие F) мо-
может нарушаться, уравнения становятся эллиптически-
эллиптическими, решение — неустойчивым.
Законы сохранения A) позволяют сформулировать
обобщенное решение Г. д. у., к-рое уже не обязательно
является непрерывным и не удовлетворяет диффе-
дифференциальным Г. д. у. C). Полная теория обобщенных
решений Г. д. у. не создана, однако хорошо изучены
простейшие обобщенные решения, как, напр., ударная
волна, центрированная волна разрежения, контактное
течение и т. д. Существует гипотеза, согласно к-рой
обобщенное решение уравнений идеального сжимаемого
газа есть предел соответствующего решения вязкого
газа при Я—>-0 и |j,—>-0. Это утверждение строго дока-
доказано для одномерных ударных волн и в нек-рых част-
частных случаях для уравнений типа
ди , ди д2и
"эГ + " "ах = f1 "эгс^" ¦
Особый интерес представляют собой стационарные
Г. д. у., к-рыо в основном связаны с задачами стацио-
стационарного обтекания тел в бесконечном пространстве или
стационарных течений в каналах. В этом случае реше-
решение системы уравнений C) не зависит от t, и система
принимает вид:
дха
Для стационарной системы уравнений G) ставится
нек-рая краевая задача, к-рая может быть весьма слож-
сложной, а само уравнение G) может быть как эллиптиче-
эллиптического, так и смешанного типов. Напр., для задачи об-
обтекания идеального сжимаемого газа в предположении
потенциальности течения получается следующее урав-
уравнение в двумерном случае:
-^Y—r*\ Э2ф i оЭф 8ф 82ф 1
sW J (axiJ ' дх1 дх2 е*1 еж2"
где й1 = д((>/дх1, и2 = 9ф/дг2, ф — потенциал скорости,
квадрат скорости звука с2 может быть определен из
интеграла Бернулли:
-j- \(и1J + (J] + { с2 (р) d In P = const.
Для уравнения (8) может быть поставлена задача обте-
обтекания данного контура I:
где и„— нормальная составляющая вектора скорости
по нормали к контуру I. В случае (wLJ+(J—с->0
уравнение (8) имеет гиперболич. тип, в случае (а1J-]-
-)-(и2J—с2<0 — эллиптич. тип. Возможен переход от
эллиптич. типа к гиперболическому (трансзвуковой
поток). Можно показать, что краевая задача в случае
трансзвукового обтекания является некорректной, так
как сколь угодно малое изменение контура может сде-
сделать краевую задачу неразрешимой в классе непрерыв-
непрерывных функций.
Большой интерес представляют задачи газодинамич.
неустойчивости и турбулентности, к-рые описываются,
как правило, в рамках теории несамосонряженных
уравнений (уравнение Орра—Зоммерфельда, уравнение
Рейнольдса). В связи с практич. приложениями при-
приобрели большое значение Г. д. у., описывающие дви-
движение более сложных сред (многофазные среды, ненью-
неньютоновы жидкости, магнитная гидродинамика). Боль-
Большинство уравнений математич. физики представляют
собой результат линеаризации Г. д. у. О численном
решении задач газовой динамики см. ст. Газовой дина-
динамики численные методы.
Лит.: [1] Серрин Дж., Математические основы клас-
классической механики жидкости, нер. с англ., М., 1963; [2] С е-
дов Л. И., Механика сплошной среды, т. 1—2, М., 1970; [3]
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика сплошных
сред, 2 изд., М., 1954; [41 К о ч и и Н. Е., К и б е л ь И. А.,
Розе Н. В., Теоретическая гидромеханика, ч. 1—2, М., 1963;
[5] Б р а н о в е р Г. Г., Цинобер А. М., Магнитная гидро-
гидродинамика несжимаемых сред, М., 1970; [6] Рождествен-
Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н., Системы квазилинейных
уравнений и их приложения к газовой динамике, М., 1968.
Ю. И. Шокип, Н. Н. Яненко.
ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ —
методы решения задач газовой динамики на основе вы-
вычислительных алгоритмов. Рассмотрим основные аспек-
аспекты теории численных методов решения задач газовой
динамики, записав газовой динамики уравнения в виде
законов сохранения в инерциальной ортонормирован-
ной системе координат:
dw' , (> 2L) г./
at
Здесь
pU2
pM3
р!BЦ2
0
— а"
— a21
— a31
дТ
~~Л-дх~~~
\
2
2'"
\ ргА1
ХрЕи1
/ °
/ Р
= °
\ °
Хри1
3
21'
—
—
—
дТ
ри3и2
рЕи2
0
0
Р
0
ри2
X
0
а12
а22
ff32
ри3и3
рЕи3/
0 \
0 \
0 '
Р 1
ри*/
иа —и
/
0
— а"
— а23
— а33
дТ о-3 иа
г = 0, 1, ..., то+1; а, Р, у, k = l, 2, ..., т,
m = i ~ одномерный случай, т=2 — двумерный слу-
случай, т = 3 — трехмерный случай, р — плотность газа,
р — давление газа, и={и1, и2, и3} — скорость газа,
Т — температура газа, ?'=е+— и2 — полная энергия
массы газа, е — удельная внутренняя энергия, X —
коэффициент вязкости сжатия, р. — коэффициент вяз-
вязкости сдвига, и — коэффициент теплопроводности,
6Pfe — символ Кронекера.
Следует различать два основных класса задач газовой
динамики:
задача Коши для ограниченной или бесконечной об-
области (нестационарные задачи газовой динамики);
стационарные краевые задачи газовой динамики для
конечной или бесконечной области.
В свою очередь эти задачи могут подразделяться на
ряд классов в зависимости от физич. свойств течения
газа. По этому принципу можно различать:
течения идеального газа (Д,= и.=х = 0);
течения вязкого несжимаемого газа (Х=^0, и.=^0,
х = 0, со = О, со — коэффициент сжимаемости, со=1/с2,
с — скорость звука), описываемые уравнениями Навье —
Стокса;
течения вязкого сжимаемого теплопроводящего газа
О О 0 О)
, \ , )
Численные методы решения задач газовой динамики
развивались исторически почти независимо но указан-
указанным классам задач. Ныне создано большое количество
разностных схем различного порядка аппроксимации.
Наметились общие принципы построения численных
методов, приемлемые для всех задач газовой динамики
в целом, хотя и не доказанные математически строго.
Эти принципы заключаются в следующем.
1) Представления обобщенного решения уравнений
идеального газа как предела соответствующих решений
з
с физическими (^/аф0) или искусственными диссипа-
тивными членами при стремлении последних к нулю.
Искусственные диссипативные члены могут вводиться
непосредственно в уравнения газовой динамики или же
неявно определяться самой структурой разностной
схемы (аппроксимационная вязкость).
2) Расщепления (декомпозиции) интегральных зако-
законов сохранения и самих дифференциальных уравнений
геометрически, аналитически и по физич. процессам
(метод слабой аппроксимации, см. Дробных шагов метод).
3) Представления стационарного решения как пре-
предела решений нестационарных задач (метод установле-
установления). При этом в качестве вспомогательных нестацио-
нестационарных задач используются уравнения как гипербо-
гиперболического, так и параболического типов.
4) Аппроксимация уравнений не типа Коши — Кова-
Ковалевской уравнениями типа Коши — Ковалевской при
стремлении соответствующего малого параметра к ну-
нулю (уравнения Навье — Стокса, уравнения фильтрации).
5) Построение подвижных разностных сеток как ре-
регулярного, так и нерегулярного типов.
6) Разделение в разностной схеме задач аппроксима-
аппроксимации во внутренних регулярных и граничных точках.
7) Представление сложной системы линейных или
нелинейных алгебраич. уравнений в виде рекуррент-
рекуррентных соотношений (метод приближенной или точной
факторизации).
8) Метод продолжения краевой задачи за границу и
включения ее в краевую задачу с простой областью (ме-
(метод фиктивных областей).
Совокупность этих представлений и методов позво-
позволяет в конечном итоге свести алгоритм решения слож-
сложных задач газовой динамики к алгоритмам решений
простых задач стандартной структуры (модульный ана-
анализ алгоритмов). Такой подход пока строго не обосно-
обоснован, однако практически он себя оправдал и находит
все большее распространение.
Численные методы задач газовой динамики можно
разделить на два больших класса: методы с явным вы-
выделением особенностей (ударные волны, контактные
границы, центрированные волны разрежения) и так наз.
методы сквозного счета, в к-рых особенности явно не
выделяются.
Методы 1-го класса основаны на представлении обоб-
обобщенного решения уравнений газовой динамики как
совокупности классич. решений, определенных в неко-
некоторых областях, покрывающих фазовое пространство
{x1, x2, x3, t} и примыкающих друг к другу через общие
границы (линии разрывов) с соблюдением условий при-
примыкания (условия динамич. совместности). В каждой
области можно применять разностную схему, пригод-
пригодную для классич. решений, а условия примыкания
должны разрешаться с помощью системы, вообще гово-
говоря, нелинейных алгебраич. уравнений. Одним из наибо-
наиболее распространенных методов дискретного представ-
представления классич. решений является метод характеристик.
Этот метод используется только для решения задач
газовой динамики, описываемых гиперболич. урав-
уравнениями, и основан он на свойстве гиперболич. систе-
системы уравнений иметь, напр., в случае двух неизвестных
функций и двух независимых переменных семейство ха-
характеристик, к-рые образуют характеристич. сетку,
строящуюся в процессе счета. Метод характеристик по-
появился в газовой динамике сравнительно давно и с ус-
успехом применялся для расчета одномерных нестацио-
нестационарных течений с небольшим количеством особенностей,
а также расчета двумерных стационарных течений в об-
области гиперболичности уравнений. В расчетах исполь-
используются также и модификации метода характеристик,
в к-рых расчет ведется по слоям, ограниченным фикси-
фиксированными линиями. В случае двух независимых пере-
переменных (одномерные нестационарные задачи или дву-
двумерные стационарные задачи, сверхзвуковое обтека-
обтекание) метод характеристик дает возможность избежать
интерполяций и тем самым эффектов сглаживания и ап-
проксимационной вязкости. Он позволяет точно опреде-
определять место возникновения ударных волн внутри поля
течения как результат пересечения характеристик од-
одного семейства. При большом количестве неизвестных и
независимых переменных начинают появляться недо-
недостатки этого метода: возникает аппроксимационная вяз-
вязкость, при наличии большого числа особенностей алго-
алгоритм становится логически сложным. Существенным
недостатком метода характеристик является также огра-
ограничение на шаг сетки, связанное с критерием устойчи-
устойчивости Куранта, и нестрогое выполнение законов сохра-
сохранения. Поэтому методом характеристик целесообразно
рассчитывать задачи, в к-рых число разрывов невелико.
Для метода характеристик доказана сходимость его
решения к решению исходной дифференциальной за-
задачи в случае достаточно гладких течений. С развитием
ЭВМ, способных решать сложные логические задачи,
метод характеристик будет использоваться более эф-
эффективно.
Наряду с методом характеристик для указанных за-
задач газовой динамики широко используется метод ин-
интегральных соотношений, применимый к уравнениям
различных типов. Метод интегральных соотношений
строится на основе законов сохранения и сводится
в конечном итоге к решению обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений.
Основой для построения разностных схем задач газо-
газовой динамики является аппроксимация законов сохра-
сохранения на заданной подвижной или неподвижной сетке,
к-рая приводит к сложной системе нелинейных соот-
соотношений явного (явные разностные схемы) или неяв-
неявного (неявные разностные схемы) типа (см. Гиперболи-
Гиперболического типа уравнение; численные методы решения).
Так, для уравнений одномерной газовой динамики
в лагранжевых координатах можно построить общую
разностную схему в виде:
™ni+1-wi , 2/+у. -2/*-./, _0
где wf = w{xj, tn) = w(jh, nt). Для замыкания соотноше-
соотношений (*) следует связать величины ^Jj + ч > Z^Sj—ч с ве~
личинами w], w"j+x. Это делается различными способа-
способами, к-рые приводят или к явным разностным схемам,
если 2j*j + i^, 2i—•/. выРажены через w", или к неяв-
неявным разностным схемам, если "?] + 1/ , 2j->' выражены
через w", ivf+1, и нелинейным соотношениям, если
применяется один целый шаг, и линейным, если при-
применяется два или несколько дробных шагов (метод пре-
дикатор-корректор).
Решение получающейся при этом системы уравнений
может быть сильно упрощено, если применить методы
расщепления либо аналитические (метод предикатор-кор-
ректор), либо по физич. процессам, либо геометриче-
геометрические. Последние применяются при сведении многомер-
многомерных задач к задачам меньшей размерности (метод дроб-
дробных шагов или метод расщепления). Метод расщепления
позволяет получить экономичные абсолютно аппрокси-
аппроксимирующие схемы, в к-рых число операций на вычисле-
вычисление искомых функций в одной точке не возрастает с чис-
числом точек (см. Разностная схема). Одной из модифика-
модификаций метода расщепления является метод «частиц в ячей-
ячейках», в к-ром расщепление не связано с понижением
размерности операторов.
Указанная общая методика приводит к разностным
схемам сквозного счета, как в случае идеального газа
з
(^/а=0), так и в случае диссипативного процесса
з
Разностные схемы сквозного счета, вводя
аппроксимационную вязкость, сглаживают особенности
в переходных областях ширины 0 (h) и преобразуют
ударные волны в ударные переходы, контактные раз-
разрывы в контактные полосы. Аппроксимационная вяз-
вязкость разностных схем объединяет в себе диссииативные
свойства уравнений газовой динамики и диссипативные
свойства самой разностной схемы. Структура аппрок-
симационной вязкости определяется дифференциаль-
дифференциальным приближением схем, к-рое отличается от исходной
системы уравнений членами порядка О (if), где у —
порядок аппроксимации схемы. Во многих случаях
представляется важным насколько разностная схема
и ее дифференциальное приближение сохраняют груп-
групповые свойства исходной системы дифференциальных
уравнений. Сохранение разностной схемой групповых
свойств имеет большое значение в практич. счете, осо-
особенно в задачах газовой динамики, где, напр., неин-
неинвариантность первого дифференциального приближе-
приближения относительно преобразования Галилея приводит
к неприятным счетным эффектам (неустойчивость, не-
немонотонность профилей и т. д.).
Известные разностные схемы сквозного счета имеют
на гладких решениях локальную точность, как пра-
правило, не выше 3-го порядка и глобальную точность не
выше 1-го порядка (учитывая невысокую точность раз-
разностной схемы вблизи особенностей). Разностные схемы
для уравнений газовой динамики должны удовлет-
удовлетворять, кроме независимых требований аппроксимации
и устойчивости, еще ряду практически необходимых
требований — дивергентное™, экономичности, полной
консервативности и т. д. Для многомерных задач стро-
строить экономичные разностные схемы позволяет идея
расщепления. Дивергентность или консервативность
разностной схемы означает выполнение в разностных
уравнениях разностных аналогов основных законов
сохранения (массы, импульса, полной энергии). Свой-
Свойство полной консервативности требует выполнения раз-
разностных аналогов законов сохранения не только массы,
импульса и полной энергии, но и различных видов энер-
энергии (кинетической, потенциальной, магнитной).
Рассмотрим несколько конкретных разностных схем
вида (*). Полагая в формуле (*)
получим явную разностную схему 1-го порядка аппрок-
аппроксимации:
т "Г 2/i 2т
Здесь
-(I ,
/"=/(?(>/). Указанная схема является условно аппрок-
аппроксимирующей при xlh= const (при т/Л2= const схема
„ в«> а/ л2 е2«>,
аппроксимирует систему уравнении -^- + flx = — ^г),
дивергентной и условно устойчивой. Условие устойчи-
устойчивости имеет вид: ст/А<1, где с — скорость звука.
Полагая в формуле (*)
где
получим абсолютно аппроксимирующую явную разност-
разностную схему 2-го порядка аппроксимации:
2h
Это схема — дивергентная и устойчивая при условии
сх . •
Разностная схема
u"+i_u'? pr} + 1 -pr! + 1 ря
т h '
п+1 я п+1 гс+1
т '
рП + 1 „1
Е/+1/2 ВУ+ 1/2
«'"' +(!¦
является явной при а=0, неявной при а=^=0, 0<:а<:1;
при а= /4 имеет 2-й порядок аппроксимации, при a^fc
=^=У2 — 1-й порядок аппроксимации; при a=J4 схема
полностью консервативная.
Разностная схема
,,1+1/2 Я-1/2 П п
% ' ft
f!+l /1 и+1/2 1+1/2
»/+]'2-"l + l/o U/+l "M/
h
= 0,
П+1 П -Я + 1 -1 П+1
е/-Ч/2~е/+1/2 . Р/+1/2 + Р/+1/2 г'/+1/
q
Т > 2 Т
имеет 2-й порядок аппроксимации, неявная, абсолютно
аппроксимирующая и недивергентная. Здесь
И 1 \
Я
л—1/2 Я—1/2| Я-1/2 Я—1/2
К+1 -u/ I и/+1 -ц/
f*0=const.
Успех разностных схем сквозного счета связан с тем
обстоятельством, что, хотя аппроксимационная вяз-
кость схемы определяет структуру разностного удар-
ударного перехода, отличную от физического ударного пере-
перехода, консервативная аппроксимация сохраняет ско-
скорость ударной волны и воспроизводит условия дина-
мич. совместности.
Однако эти хорошие качества разностных схем сквоз-
сквозного счета теряют свое значение в случаях, когда важ-
важно точно передать структуру ударного перехода (за-
(задачи радиационной газовой динамики), структуру кон-
контактной полосы или пограничного слоя. В случае кон-
контактного разрыва хорошая аппроксимация в рамках
разностной схемы сквозного счета становится невоз-
невозможной но только из-за сильного расширения контакт-
контактной полосы, но и в результате развития неустойчивости
Гельмгольца и Тейлора. В этом случае с успехом при-
применяется схема метода частиц в ячейке, к-рая позволяет
передать сильные искажения границы вследствие не-
неустойчивости.
В задачах обтекания вязким газом при достаточно
больших числах Рейнольдса эффект аппроксимацион-
ной вязкости превосходит эффект физич. вязкости,
если разностная сетка недостаточно детальна. Для
уменьшения эффекта аппроксимационной вязкости не-
необходимо сильное измельчение сетки вблизи обтекаемо-
обтекаемого тела. Практически в этом случае отходят от единой
трактовки течения, разбивая задачу интегрирования на
две: задачу обтекания тела идеальным газом, в к-рой,
в частности, определяется скорость % потока на гра-
границе I тела; задачу расчета вязкого течения вблизи
тела, где градиенты величин велики (так наз. погра-
пограничный слой), с краевыми условиями на бесконечности,
где задаются значения скорости ii<x, = ui. Постановка
задачи в рамках теории пограничного слоя является
менее строгой, чем интегрирование уравнений Навье —
Стокса; однако она является наиболее употребитель-
употребительной в инженерных расчетах при больших числах Рей-
Рейнольдса.
Особо важный класс задач газовой динамики состав-
составляют задачи гидродинамич. неустойчивости и турбу-
турбулентности. В этом случае необходимо решать задачи на
собственные значения для уравнений гидродинамики
вязкой жидкости в вариациях (уравнения Орра —
Зоммерфельда) и строить сложные численные модели
для описания нелинейной неустойчивости и турбулент-
турбулентности. Эти задачи принадлежат к классу наиболее труд-
трудных задач вычислительной математики и требуют раз-
разработки новых моделей и мощных ЭВМ.
Лит.: [1] Рихтмайер Р.Д.,Мортон К., Разностные
методы решения краевых задач, М., пер. с англ., 19 72; [2] Г о-
дунов С. К., Рябенький В. С, Разностные схемы,
М., 1973; [3] Рождестве некий Б. Л., Я н е я к о Н. Н.,
Системы квазилинейных уравнений ..., М., 1968; [4] Самар-
Самарский А. А., Введение в теорию разностных схем, М., 1971;
[5] Ж у к о в А. И., «Тр. Матем. ин-та АН СССР», 1960, т. 58,
[6] X а р л о у Ф. X., в сб.: Вычислительные методы в гидро-
гидродинамике, М., 1967, 316—42; [7] Дородницын А. А., в
кн.: Труды 3 Всесоюзного матем. съезда, т. 3, М., 1958, 447—53;
[8] Белоцерковский О. М., в сб.: Численные методы
решения задач механики сплошной среды, М., 1969, 101—213;
МЯненко Н. Н., Анучина Н. Н., П е т р е н к о В. Е.,
Ш о к и н Ю. И., в сб.: Численные методы механики сплошной
среды, Новосибирск, 1970, т. 1, 40—62; [10] Я н е н к о Н. Н.,
Метод дробных шагов решения многомерных задач математиче-
математической физики, Новосибирск, 1967; [11] Самарский А. А.,
Попов Ю. II., Разностные схемы газовой динамики, М., 1975;
[12] Годунов С. К., Забродин А. В., Прокопов
Г. П., «Ж. вычисл. матем. и матем. физ.», 1361, т. 1, № 6, 1020—
1050. Ю. И. Шокин, Н. Н. Яненко.
ГАЗОВЫХ СТРУЙ ТЕОРИЯ — раздел газовой дина-
динамики, в к-ром исследуются течения газа в предполо-
предположении, что газ частично обтекает встречаемое на пути
своего распространения препятствие и стекает с него,
образуя за препятствием застойную область. Решение
задач о струйном течении газа достигается в предполо-
предположении, что газ баротропный и движение его плоско-
плоскопараллельное, потенциальное и установившееся. В этих
предположениях выводится из уравнений; гидродина-
гидродинамики следующая основная формула:
) A)
в к-рой ф и -ф — соответственно потенциал скоростей и
функция тока, р — плотность газа в произвольной точ-
точке, р0— плотность газа в точке нулевой скорости газа.
Для адиабатич. движений постоянная а есть квадрат
скорости звука в точке нулевой скорости газа, поде-
поделенный на у — 1 {у — показатель адиабаты). Для ре-
решения задач Г. с. т. целесообразно рассматривать иско-
искомые функции не в зависимости от переменных х, у —
координат в плоскости потока, а как функции перемен-
переменных Чаплыгина: т=|г'[2/2а и угла 0 наклона вектора
скорости v к оси Ох. При таком выборе независимых
переменных уравнение A) приводит к системе двух
уравнений с частными производными
Эф __ 2т Эф Эф_ 1-BР + 1)тд1|)
ев~A_т)|5вт ' дт — 2тA
к к-рой надо присоединить интеграл Бернулли
р = роA-т)Р.
Исключение функции ф @, т) приводит к уравнению для
функции тока:
Это — уравнение эллиптич. типа для дозвуковых тече-
течений и гиперболич. типа для сверхзвуковых течений.
Решение уравнения B) может быть получено для ряда
препятствий, составленных из отрезков прямых линий;
вдоль каждого такого отрезка переменное 0 имеет со-
соответствующее постоянное значение. Вдоль линий тока,
срывающихся с концов отрезков и являющихся гра-
границей, отделяющей движущийся газ от спокойного
газа в застойной области, переменное т имеет постоян-
постоянное значение. Функция тока г|)(8, x) = const в точках
границ 8= const и т= const. На плоскости переменных
6, т образуется область, ограниченная отрезками пря-
прямых линий, параллельных осям координат; вдоль каж-
каждого такого отрезка функция тока имеет постоянное
значение. Расположение этих отрезков и постоянные
значения функции г|) F, т) на них зависят от вида и по-
положения препятствия на плоскости течения газа. В оп-
определенном круге задач функция -ф @, т) может быть
получена нз уравнения B) методом разделения пере-
переменных. Напр., если поток газа дебита Q и конечной
ширины набегает на прямолинейную пластинку, по-
поставленную перпендикулярно к скорости газа в уда-
удаленных частях потока, то функция г|) @, т) определяется
рядом:
~=> —( — ) -~—г sin 2rc9sin2 an, C)
где т0 — значение переменной т на граничной линии
тока, и. — угол скорости потока с осью Ох далеко за
пластинкой. Угол (X может быть найден через длину,
а сила давления потока на пластинку — с помощью
формулы A).
Функция уп (т) получается при разделении перемен-
переменных в уравнении B) и является интегралом гипергео-
метрич. уравнения:
dv
+ (Р21)]^ +
голоморфным около точки т=0.
Функция "ф (Э, т) для газа, вытекающего из отверстия
бесконечно широкого сосуда, определяется рядом
lnSlsin2nQ. D)
Сходимость рядов вида C) и D) была установлена
С. А. Чаплыгиным (см. [1]) для дозвуковых течений,
т. е. при т<1/BР+1).
Ряды, подобные рядам C) и D) для функции-ф@, т),
могут быть составлены, если в потоке есть лишь одна
характерная для него скорость, отличная от нуля.
Если же имеются две или несколько характерных ско-
скоростей, как, напр., в задаче о вытекании газа из от-
отверстия в поперечной стенке сосуда, ограниченного
двумя бесконечными полупрямыми, то решение выра-
выражается с помощью определенных интегралов сложной
структуры, содержащих битв виде параметров.
Для исследования рядов вида C), D) и определенных
интегралов, дающих точное решение задач Г. с. т ,
С. А. Чаплыгин предложил приближенный метод ре-
решения задач о струйном движении газа. Этот метод
приводит задачу о движении газа к задаче о плоско-
плоскопараллельном потенциальном движении несжимаемой
жидкости.
Лит.: [1] Ч а п л ы г и н С. А., Собр. соч.. т. 2, М.—Л.,
1948, с. 19—137; [2] Бай Ш и-и, Теория струй, пер. с англ ,
М., 1960. Л. Н. Сретенский.
ГАЛЕРКИНА МЕТОД, метод моментов,—
метод нахождения приближенного решения оператор-
операторного уравнения в виде линейной комбинации элемен-
элементов заданной линейно независимой системы.
Пусть F (х) — нелинейный оператор, область опреде-
определения к-рого лежит в банаховом пространстве X, а об-
область значений — в банаховом пространстве Y. Для
решения уравнения
F(x)=h A)
методом Галеркина выбираются линейно независимая
система элементов из X (координатная сис-
система) {ф,-}Г и линейно независимая система функцио-
функционалов ¦ {"Ф/}Г пз пространства Y*, сопряженного к Y
(проекционная система). Приближенное
решение х уравнения A) разыскивается в виде
Я» = 2"=1С'(Р'"- B)
Числовые коэффициенты си ..., сп определяются из
системы уравнений
<F B"=1 c<<Pi)> %'> = <>*> ¦*/>. 7 = 1. ••- п. C)
В этой общей постановке задачи нельзя гарантировать,
что система C) имеет хотя бы одно решение. В случае
если C) имеет единственное решение при каждом п=
= 1, 2, .. ., приближенное решение B) может не схо-
сходиться при п —>¦ оо даже слабо к точному решению урав-
уравнения A). Тем не менее, Г. м. является мощным сред-
средством не только для нахождения приближенных реше-
решений, но и для доказательства теорем существования
решений линейных и нелинейных уравнений, особенно
в задачах для уравнений с частными производными.
В ряде случаев задача определения коэффициентов
B) из системы C) эквивалентна задаче об отыскании
минимума нек-рого функционала, и Г. м. превращается
в вариационный (энергетический) метод. Наиболее
важный из таких методов — Ритца метод. В нек-рых
случаях эффективно применение для исследования сис-
системы C) топологпч. методов.
Если пространства X и Y гильбертовы, то Г. м. иног-
иногда наз. методом Галеркина — Петрова.
Если, кроме того, координатная и проекционная сис-
системы совпадают: X=Y=H и г|), = ф,-, то принято го-
говорить о методе Бубнова— Галерки-
н а. Если X = Y=H — гильбертово пространство, а
-ф, = ^(ф,), то этот частный случай Г. м. наз. наимень-
наименьших квадратов методом.
В линейном случае, когда F(х)швАх, А — линейный,
вообще говоря, неограниченный оператор с областью
определения D (А)с^Х и с областью значений R (A)g^Y,
а координатная система выбрана в D (А), уравнение
A) принимает вид:
Ax=h. D)
При этом система C) представляет собой систему п
линейных уравнений с га неизвестными:
V" с,- <Лф,-, г|)у-> = <Л, Ч>/>, / = 1, • • •, п. E)
Если в условиях метода наименьших квадратов на
R (А) существует и ограничен обратный оператор А~х,
h^R(A) и система {Лф,-}™ полна в Н, то приближенное
решение B) при п -*- оо сходится к точному решению
уравнения D). Если в условиях метода Галеркина —
Петрова оператор А симметричен, положительно опре-
определен, h^R(A) и система {ф,}Г полна в гильбертовом
пространстве Нд — пополнении D (А) в метрике, по-
порожденной скалярным произведением
[х, у\=(Ах, у), x,y?D(A),
то приближенное решение B) сходится к точному реше-
решению уравнения D) как в Нд, так и в Н.
Если А — самосопряженный положительно опреде-
определенный оператор в Н, а {ф,}Г — полная ортонормиро-
ванная система его собственных элементов, то метод
Бубнова — Галеркина и метод наименьших квадратов
совпадают с Фурье методом.
Г. м. применяется также для приближенного решения
задач на собственные значения и собственные элементы.
Г. м. получил широкое распространение после иссле-
исследований Б. Г. Галеркина [1]; ранее он применялся для
решения конкретных задач теории упругости И. Г. Буб-
Бубновым. Существует общий подход к приближенным ме-
методам, охватывающий обобщающие Г. м. проекционные
методы, разностные методы и другие приближенные
методы.
Лит.: [1] Г а л е р к и н Б. Г., «Вестник инженеров», 1915,
т. 1, № 19, с. 897—908; [2] М и х л и н С. Г., Вариационные
методы в математической физике, М., 1957; [3] Вайнберг
М. М., Вариационный метод и метод монотонных операторов
в теории нелинейных уравнений, М., 1972. В. А. Треногий.
ГАЛИЛЕЕВА СИСТЕМА КООРДИНАТ — система
координат в псевдоевклидовом пространстве, в к-рой
линейный элемент имеет вид:
где е,-=±1. Г. с. к. аналогична декартовой системе
координат в евклидовом пространстве. Происхождение
названия связано с приложениями системы отсчета
Галилея (см. Инерциалъная система отсчета).
Д. Д. Соколов.
ГАЛИЛЕЕВО ПРОСТРАНСТВО — пространство-вре-
пространство-время классич. механики Галилея — Ньютона, в к-ром
за расстояние между двумя событиями, происходящими
в точках Мг и М2 в моменты времени tx и i2, принимает-
принимается временной интервал |*х — ?2[, а в том случае, когда
эти события происходят одновременно, расстояние меж-
между событиями считается равным расстоянию между точ-
точками Мг и М2. В случае n-мерного Г. п. расстояние
определяется следующим образом:
<2 (аз, у) = \ х1~у1 | при х1 тр у1,
к, У) = -j/
при хх = у1.
Г. п. является полупсевдоевклидовым пространством
дефекта 1; может рассматриваться как предельный слу-
случай псевдоевклидова пространства, в к-ром изотроп-
изотропный конус вырождается в плоскость. Этот предельный
переход соответствует предельному переходу от спе-
специальной теории относительности к классич. механике.
Лит.: ШРозенфельд Б. А., Неевклидовы простран-
пространства, М., 1969; [2] П е н р о у з Р., Структура пространства-
времени, пер. с англ., М., 1972. Д.Д.Соколов.
ГАЛИЛЕЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — преобразование,
определяющее в классич. механике переход от одной
инерциальной системы отсчета к другой, движущейся
относительно первой прямолинейно и равномерно. При
этом система отсчета понимается как четырехмерная,
позволяющая фиксировать три пространственные коор-
координаты и отсчет часов (время). Если задана инерциаль-
ная система отсчета (х, у, z, t) , то во всякой другой инер-
инерциальной системе (х', у', z', ?'), движущейся относи-
относительно нее прямолинейно и равномерно, координаты
(х', у', z', t') связаны (с точностью до переноса начала
и поворота осей) с координатами (х, у, z, t) преоб-
преобразованиями Галилея
х'=х — vxt, y' = y — vyt, z'=z — vzt, t' = t,
где vx, vy, vz — компоненты скорости движения системы
(х', у', т,', t') относительно системы (х, у, z, t).
Основные законы классич. механики инвариантны
относительно Г. п., но, напр., уравнение распростра-
распространения фронта световой волны (электромагнитное яв-
явление) не инвариантно относительно Г. п. По этой
причине Г. п. были обобщены X. Лоренцом (Н. Lo-
rentz, см. Лоренца преобразование). Эти преобразова-
преобразования легли в основу специальной теории относитель-
относительности. Преобразования Лоренца переходят в Г. п.
при v<^.c.
Г. п. образуют группу, являющуюся подгруппой
группы неоднородных преобразова-
преобразований Галилея, называемой группой Га-
Галилея, к-рая получается из группы Г. п. добавле-
добавлением преобразований смещения начала координат в
трехмерном пространстве и начала отсчета времени.
А. 3. Петров.
ГАЛИЛЕЯ ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ — ос-
основной принцип классич. механики, утверждающий
инвариантность законов механич. движения относи-
относительно замены одних инерциальных систем другими.
Существование инерциальных систем отсчета постули-
постулируется. Г. п. о. был подготовлен в результате разви-
развития классич. механики от античных времен до эпохи
Возрождения; Г. Галилею (G. Galilei, 1636) принадле-
принадлежит его окончательная формулировка. Математически
Г. п. о. описываются Галилея преобразованиями, при
введении к-рых предполагают существование абсолют-
абсолютного времени и абсолютного пространства безотноси-
безотносительно к материи и друг к другу, что допускает экспе-
экспериментальную проверку, такая проверка приводит к
положительным результатам при малых сравнительно
со скоростью света скоростях. Однако при скоростях,
близких к скорости света, проверка приводит к отри-
отрицательным результатам. Этот факт, а также обобщение
Г. п. о. на электромагнитные явления послужили ос-
основным стимулом для создания специальной теории
относительности, в к-рой существование инерциаль-
инерциальных систем отсчета также постулируется, но связаны
они между собой группой Лоренца преобразований,
относительно к-рых инвариантны релятивистские урав-
уравнения механики (обобщение уравнений классич. меха-
механики) и уравнения электродинамики. Дальнейшее раз-
развитие Г. п. о. содержится в общей теории относитель-
относительности.
Лит.: [1] Фок В. А., Теория пространства, времени и
тяготения, 2 изд., М., 1961. А. 3. Петров.
ГАЛИЛЕЯ СПИРАЛЬ — плоская кривая, уравнение
к-рой в полярных координатах имеет вид:
р = аф2 —г, l^sO.
Г. с. симметрична относительно полярной оси (см. рис.)
и имеет двойную точку в полюсе с касательными, об-
разующими с полярной осью углы, равные ± Y
На полярной оси у Г. с. бесконечно много двойных
точек, для которых p = ak2n2 — I,
где к=1,2.... Г. с. относятся к так
называемым алгебраическим спи-
спиралям. Названа по имени Г. Гали-
Галилея (G. Galilei, 1638) в связи с его
работами по теории свободного
падения тел.
Лит.: [1] С а в е л о в А. А., Плос-
Плоские кривые, М., 1960. Д.Д.Соколов.
ГАЛУА ГРУППА — группа автоморфизмов Галуа
расширения L поля к, т. е. группа, состоящая из всех
автоморфизмов поля L, оставляющих все элементы
подполя к неподвижными. Г. г. обозначается G(Llk) или
Gal(Z,/fc). Поле инвариантов LGi-Lh^ совпадает с полем
к. Если L — ноле разложения многочлена / над полем
к, то Г. г. G(Llk) наз. также группой Галуа
многочлена /. Эти группы играют важную роль
в теории Галуа алгебраич. уравнений. Вычисление Г. г.
для расширений полей алгебраич. чисел является од-
одной из основных задач алгебраич. теории чисел. Зада-
Задача нахождения расширений Галуа с абелевой Г.г. (а б е-
л е в ы расширения) относится к теории полей
классов. Г. г. полей алгебраич. функций изучаются в
алгебраич. геометрии.
Если L — поле и G — конечная подгруппа группы
автоморфизмов поля L, то L является расширением
Галуа поля инвариантов k=L , Г. г. этого расшире-
расширения изоморфна G; при этом степень расширения [L:k]
равна порядку группы G.
Фундаментальным результатом о Г. г. является сле-
следующая теорема, иногда наз. основной теоре-
теоремой о расширениях Галуа (или тео-
теоремой о соответствии Галуа). Если
L — расширение Галуа конечной степени ноля к, то
существует взаимное однозначное соответствие между
всеми подгруппами II Г. г. G(L/k) и всеми подполями
F поля L, содержащими к, причем соответствующие
друг другу Н и F таковы, что F — поле инвариантов Н,
а Н — группа Галуа L/F (см. Галуа соответствие).
Эта теорема имеет многочисленные аналоги во многих
математич. теориях, так существует ее обобщение на
случай расширений бесконечной степени (см. Галуа
топологическая группа). Имеется обобщение понятия
Г. г. на случай расширений произвольных коммутатив-
коммутативных колец и даже схем (см. Фундаментальная группа),
а также на случай расширений тел.
Лит.: [1] Б у р б а к и Н., Алгебра. Многочлены и поля.
Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965; [2] Л е н г С,
Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [3] Постников М. М.,
Теория Галуа, М., 1963; [4]Джекобсон Н., Теория колец,
пер. с англ., М., 1947. И. В. Долгачев.
ГАЛУА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГРУППА — груп-
группа всех автоморфизмов дифференциального поля Р,
перестановочных с дифференцированиями и оставляю-
оставляющих на месте все элементы нек-рого фиксированного
дифференциального ПОДПОЛЯ Р' ПОЛЯ Р. Л. А. Скорняков.
ГАЛУА КОГОМОЛОГИИ - когомологии Галуа
группы. Если М — абелева группа и G(Klk) — груп-
группа Галуа расширения К/к, действующая на М, то ко-
гомологпи Галуа есть группы когомологии
Н" (К/к, М) = Нп (G {К/к), М), nrsO,
определяемые комплексом (С, d), где С" состоит из
всех отображений G (K/k)n^M, ad — кограничный опе-
оператор (см. Когомологии групп). Если К/к— расширение
бесконечной степени, то дополнительно требуется, что-
чтобы Галуа топологическая группа непрерывно действо-
действовала на дискретной группе М, а за коцепи С" берутся
непрерывные отображения.
Для неабелевой группы М содержательно опреде-
определяются только нульмерные (Л°) и одномерные (Н1)
когомологии. А именно, Н°(К/к, M) = MG(-K'h^ — мно-
множество неподвижных точек группы G(Klk) в М, а
Л1 (К/к, М) — фактормножество множества одномер-
одномерных коциклов, т. е. непрерывных отображений г:
G (К/к)-+М, удовлетворяющих соотношению
z (gig2) = z (gi)Siz (g2)
для всех gx, g2?G(K/k), по отношению эквивалент-
эквивалентности ~ (где zx~zz тогда и только тогда, когда z1(
= m-1 z2 (g)grn для некоторого т?М и всех ?G(
б/
2 (g) д р ? f?()).
В неабелевом случае IIх (К/к, M) является мно-
множеством с отмеченной точкой, соответствующей три-
тривиальному коциклу G (К/к)—>(е) (где е — единица М),
и структурой группы, вообще говоря, не обладает.
Тем не менее и для таких когомологии можно развить
стандартный когомологич. формализм (см. Неабелевы
когомологии).
Если K=ks— сепарабельное замыкание поля к,
то принято группу G (ks/k) обозначать G& и вместо
H"(ks/k, М) писать Л" (к, М).
Г. к. в форме, несколько отличной от современной,
возникли еще в работах Д. Гильберта (D. Hilbert),
Э. Артнна (Е. Artin), P. Брауэра (R. Вгаиег), X. Хассе
(Н. Hasse), К. Шевалле (С. Chevalley) по теории полей
классов, конечномерным простым алгебрам и квадра-
квадратичным формам. Развитие идей и методов гомологич.
алгебры обусловили введение в начале 50-х гг. 20 в.
Г. к. конечных расширений со значениями в абелевой
группе в работах Э. Артина, А. Вейля (A. Weil),
Г. Хохшильда (G. Hochschild), Дж. Тейта (J. Tate)
в связи с потребностями теории полей классов. В об-
общем случае теория абелевых Г. к. была затем развита
Дж. Тентом и Ж. П. Серром (см. [1], [3], [6]).
С помощью Г. к. Дж. Тентом было введено понятие
когомологич. размерности группы Галуа G^ поля к,
к-рая обозначается cdG/,. Она определяется через
когомологическую р-р аз мерность
cdpG/;— наименьшее целое число п такое, что для вся-
всякого периодического G^-модуля А и всякого целого
g>n р-примарная компонента группы H4(Gi,, A)
равна нулю. Когомологическая раз-
размерность cd Gfc есть
sup cd^G,;.
Для всякого алгебраически замкнутого поля к
cdG/; = 0; для всех полей таких , что Брауэра группа
В (К) их любого конечного расширения К/к тривиаль-
тривиальна, cd Gfc<l; для р-адического поля, поля алгебраич.
функций одной переменной с конечным полем констант
и для чисто мнимого числового поля cd Gk = 2 (см. [1]).
Поля к, когомологич. размерность группы Галуа к-рых
<:1, и группа Брауэра В (к)~0, наз. полями раз-
размерности sg:l, и это обозначается dim fc<l. К та-
таким полям относятся все конечные поля, максималь-
максимальные неразветвленные расширения р-адических полей,
поле рациональных функций от одной переменной с
алгебраически замкнутым полем констант. Если груп-
группа Галуа G (К/к) является п р о-р-г р у п п о й, т. е.
проективным пределом конечных р-групп, то размер-
размерность H1(G(K/k), Z/pZ) над Z/pZ равна минимальному
числу топологических образующих группы G(K/k),
а размерность Н'2 (G (К/к), Z/pZ) есть число опре-
определяющих соотношений между этими образующими.
Если cdG (Klk) = \, то G(Klk) — свободная про-р-
групиа.
Неабелевы Г. к. появились в конце 50-х гг. 20 в.,
однако систематич. исследования начались лишь в
60-х гг. и стимулировались главным образом пробле-
проблемой классификации алгебраич. групп над алгебраиче-
алгебраически незамкнутыми полями. Одной из основных задач,
давших толчок развитию неабелевых Г. к., является
задача классификации главных однородных про-
странств групповых схем. Особенно эффективными
оказываются Г. к. для проблемы классификации форм
алгебраич. многообразий.
Упомянутые выше задачи приводят к проблеме вы-
вычисления Г. к. алгебраич. групп. Общие теоремы о
строении алгебраич. групп в существенном сводят изу-
изучение Г. к. к отдельному рассмотрению Г. к. конеч-
конечных групп, унипотентных групп, торов, полупростых
групп, абелевых многообразий.
Г. к. связной унипотентной группы U тривиальны,
если U определена над совершенным полем к, т. е.
II1 (к, U) = 0 для произвольной унипотентной группы U,
и Лп (к, ?/) = 0 для всех и^1, если U — абелева груп-
группа. В частности, для аддитивной группы произволь-
произвольного поля Ga всегда Л1 (к, Ga) = 0. Для несовершенного
поля к, вообще говоря, Л1 (к, Ga)=^=0.
Одним из первых существенных фактов о Г. к. была
«теорема 90» Гильберта, одна из формулировок к-рой
утверждает, что Н1(к, GOT) = 0. Кроме того, и для любо-
любого fc-разложимого алгебраич. тора Т всегда Л1 (к, Т) =
= 0. В общем случае вычисление Л1 (к, Т) для произ-
произвольного fc-определенного тора Т сводится к вычисле-
вычислению Л1 (К/к, T), где К — минимальное ноле разло-
разложения Т, что пока A977) сделано только для специаль-
специальных полей. Особенно важен для приложений случай,
когда к — поле алгебраич. чисел. Для этого случая
получены теоремы двойственности, имеющие разнооб-
разнообразные применения.
Пусть Klk~ расширение Галуа конечной степени,
С (К) — группа аделей мультипликативной ЛГ-группы Gm,
Г = Ноп1;г(Г, Gm)— группа характеров тора. Теорема
двойственности утверждает, что (J -произведение:
Н2~г(К/к, Т)хЛг(К/к, Horn (T, С (Я))-* НЦК/к,С(К)),
задает невырожденное спаривание при г=0, 1,2. С по-
помощью этой теоремы найдена формула, выражающая
Тамагавы числа тора Т через инварианты, связанные с
его Г. к. Существуют и другие важные теоремы двой-
двойственности для Г. к. [1].
Доказана [И] тривиальность Н1 (k, G) над полями к
размерности <:1. Выделен естественный класс полей,
обладающих лишь конечным числом расширений фик-
фиксированной степени [так наз. поля типа (F)];
к ним относится, напр., поле р-адических чисел. Дока-
Доказано, что для произвольной алгебраич. группы G над
полем к типа (F) группа когомологий Л1 (к, G) является
конечным множеством (см. [1]).
Теория Г. к. полупростых алгебраич. групп имеет
глубокие арифметич. и аналитич. применения. Тео-
Теорема Кнезера— Брюа— Титса утверж-
утверждает, что Л1 (к, G) = 0 для односвязных полупростых
алгебраич. групп G над локальными полями к, поле
вычетов к-рых имеет когомологич. размерность <;1.
Эта теорема была доказана сначала для полей р-ади-
ческих чисел [12], а затем в [7] было получено единооб-
единообразное доказательство в общем случае. Доказана [13]
тривиальность Л1 (к, G) для поля алгебраич. функций
от одной переменной с конечным полем констант. Во
всех этих случаях когомологич. размерность с(Шд.«:2,
и это подтверждает общую гипотезу Ж. П. Серра о
тривиальности Л1 (к, G) для односвязных полупростых
G над полями к с cdGfc<2.
Пусть к — глобальное поле, V — множество всех
неэквивалентных нормирований к, kv— пополнение
к. Вложения k-^-kv индуцируют естественное отоб-
отображение
i-.Л1 (к, G) ->¦ П.^уЛ1 (kv, G)
для произвольной fc-определенной алгебраич. группы
G, ядро к-рого обозначается Ш (G) и в случае абелевых
многообразий наз. группой Шафаревнча —
Т е й т а. Группа Ш (G) показывает в какой мере Г. к.
над глобальным полем определяются Г. к. над локали-
локализациями. Для линейных алгебраич. групп основной ре-
результат о Ш (G) принадлежит А. Борелю (A. Borel),
к-рый доказал конечность группы IH(G). Существует
гипотеза, что группа Ш (G) конечна и в случае абелевых
многообразий. Выделяется случай, когда Ш (G) — О,
т. е. отображение i инъективно. Тогда говорят, что для
G справедлив Хассе принцип. Такое название объяс-
объясняется тем, что для ортогональной группы инъектив-
ность i эквивалентна классич. теореме Минковского —
Хассе о квадратичных формах, а для проективной
группы — теореме Брауэра — Хассе — Нётер о рас-
расщеплении простых алгебр. Существует также гипотеза,
принадлежащая Ж. П. Серру, что для односвязной или
присоединенной полупростой группы всегда III(G) = 0.
Это утверждение доказано для большинства одно-
связных полупростых групп над числовыми глобаль-
глобальными полями (исключая группы, имеющие простые
компоненты типа Eg) (см. [13]), а также для любых од-
носвязных алгебраич. групп над функциональными
глобальными полями.
Лит.: [1] С е р р Ж.-П., Когомологии Галуа, пер. с франц.,
М., 1968; [2] е г о же, Алгебраические группы и поля клас-
классов, пер. с франц., М., 1968; [3] Алгебраическая теория чисел,
пер. с англ., М., 1969; [41 К о х X., Теория Галуа р-расшире-
ний, пер. с нем., М., 1973; [5] А г t i n E., T a t e J., Class
field theory, N. Y.— Amst., 1967; [6] Serre J.-P., Corps
locaux, P., 1962; [7] В о г е 1 A., Serre J.-P., «Comm. Math.
Helv.», 1964, v. 39, p. Ill—64: [8] A r t i n M., Grothcn-
dieck A., Verdier J.-L., Theorie des topos et coho-
mologie etale des schemas, t. 1—3, B.— Hdlb. — N. Y. 1972;
[9] BruhatF., Tits J., «Publ. Math. IHES», 1972, № 41,
p. 5—252; [10] Borel А., там же, 1963, Л"» 16, p. 5—30; [11]
Steinberg R., там же, 1965, Ns 25, p. 49—80; [12] К n e-
zer M., «Math. Z.», 1965, Bd 88, S. 40—47; Bd 89, S. 250 — 72;
[13] Harder G., «Math. Z.», 1965, Bd 90, S. 404—28; 1966,
Bd 92, S. 396—415. E. А. Нисневич, В. П. Платонов.
ГАЛУА ПОЛЕ, конечное поле,— поле, чис-
число элементов к-рого конечно. Г. п. впервые рассмат-
рассматривалось Э. Галуа (Е. Galois, см. [1], с. 35 — 47).
Число элементов любого Г. п. есть степень р"
нек-рого натурального простого числа р, являющегося
характеристикой этого поля. Для любого натураль-
натурального простого р и любого натурального п существует
(и единственно, с точностью до изоморфизма) поле из
р" элементов. Оно обозначается GF (рп) или F „. Поле
GF(pm) содержит в качестве подполя поле GF(pn)
в том и только в том случае, когда т делится на п.
В частности, в любом поле GF(p") содержится поле
GF (р), наз. простым полем характери-
характеристики р. Поле GF (р) изоморфно полю Z/(р) клас-
классов вычетов кольца целых чисел ио простому модулю р.
В любом фиксированном алгебраическом замыкании
Q поля GF(p) существует точно одно подполе GF(p")
для каждого п. Соответствие n<—>GF(p") является изо-
изоморфизмом между решеткой натуральных чисел отно-
относительно делимости и решеткой конечных алгебраич.
расширений поля GF(p), лежащих в Q, относительно
включения. Такова же решетка множества конечных
алгебраич. расширений любого Г. и., лежащих в его
фиксированном алгебраич. замыкании.
Алгебранч. расширение GF(p")/GF(p) является про-
простым, т. е. существует примитивный элемент <х?
?GF(p") такой, что GF (pn) = GF (p) (а). Таким а бу-
будет любой корень каждого неприводимого многочлена
степени п из кольца GF(p)[X]. Число примитивных
элементов расширения GF (p")/GF (р) равно
где [х — Мёбиуса функция. Аддитивная группа поля
GF(p") естественным образом наделяется структурой
n-мерного векторного пространства над GF(p). В ка-
качестве базиса можно взять 1, а, . . ., а". Ненуле-
Ненулевые элементы поля GF(p") образуют мультипликатив-
мультипликативную группу GF*(p") порядка р" — 1, т. е. каждый эле-
элемент из GF* (рп) является корнем многочлена Хр"'1 — 1.
Группа GF*(p") циклическая, ее образующие — перво-
первообразные корни из единицы степени р"— 1, число
К-рых равно ф(р"— 1), где ф — Эйлера функция. Каж-
Каждый первообразный корень из единицы степени р" — 1
является примитивным элементом расширения
GF(p")/GF(p), но не наоборот. Точнее, среди
неприводимых унитарных многочленов степени п над
GF(p) имеется —ф(рп—1) таких, корни к-рых будут
образующими для GF* (рп).
Множество элементов поля GF (рп) в точности сов-
совпадает с множеством корней многочлена ХРп — X в Q,
т. е. GF (р") характеризуется как подполе элементов
из Q, инвариантных относительно автоморфизма т : х—>¦
-+хр', наз. автоморфизмом Фробениуса.
Если GF(pm)rDGF(p"), то расширение GF (pm)/GF (pn)
нормально (см. Расширение поля), его Галуа группа
Gal (GF (pm)/GF (p")) циклическая порядка ml п. В ка-
качестве образующей группы Gal(GF (pm)/GF (pn))
может быть взят автоморфизм т.
Лит.: [1] Галуа Э., Сочинения, пер. с франц., М.—Л.,
1936; [21 Ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем.,
М., 1976, с. 158—62; [3] Ч е б о т а р е в Н. Г., Основы теории
Галуа, М.—Л., 1934, ч. 1, с. 154—62; [4] Б у р б а к и Н., Ал-
Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер. с
франц., М., 1965, с. 185—203. А. И. Скопим.
ГАЛУА РАСШИРЕНИЕ поля — нормальное и се-
парабельное расширение поля. Изучение группы ав-
автоморфизмов таких расширений относится к Галуа
теории.
ГАЛУА СООТВЕТСТВИЕ между частично
упорядоченными множествами М и
М'— пара отображений ф: М—*-М' nij): M'—уМ, удов-
удовлетворяющих следующим условиям:
если а<;6, то аф^бф;
если а'<:6'. то a'ty^b'ty; аф'ф^а п а'г|)ф^а'.
Здесь а, Ь?М, а', Ь'?М'.
Понятие Г. с. тесно связано с понятием замыкания
в частично упорядоченном множестве, а именно, если
между М и М' установлено Г. с, то равенства а=афг|),
а?М, и а' = а'г|)ф, а'?М', определяют замыкания отно-
отношения в множествах М п М' соответственно. Понятие
Г. с. возникло из Галуа теории, где изучается Г. с. меж-
между всеми промежуточными подполями расширения
Р^К и системой подгрупп группы Галуа этого расши-
расширения.
Лит.: [1] Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ.,
М., 1968; [2] К у р о ш А. Г., Лекции по общей алгебре, М.,
1962. О. А. Иванова.
ГАЛУА ТЕОРИИ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА — задача
построения конечного нормального расширения для
данного поля к с заданной Галуа группой (см. Галуа
теория), а также выяснения условий, обеспечивающих
существование или отсутствие такого расширения над
полем к.
Если к есть поле рациональных чисел, то эта задача
превращается в задачу построения нормального поля
алгебраич. чисел с заданной группой Галуа и сводится
к отысканию алгебраич. уравнения над к с данной
группой Галуа. Такие уравнения существуют для лю-
любой симметрической группы, а также для знакопере-
знакопеременной группы. Конструктивно уравнения со знакопере-
знакопеременными группами построены И. Шуром (I. Schur),
в частности показано, что уравнения вида
j» i»-i х
ЙТ + (^П)Т+ ¦ ••+77+1=0
(отрезки разложения показательной функции) имеют
при n=0 (mod 4) группой Галуа знакопеременную груп-
группу, а в остальных случаях — симметрическую группу.
Существование расширения поля алгебраич. чисел
с любой разрешимой группой G в качестве группы Га-
луа доказано И. Р. Шафаревичем [2] с использованием
арифметич. свойств полей алгебраич. чисел. В качестве
решения К можно выбрать такое поле, что дискрими-
дискриминант К над полем алгебраич. чисел взаимно прост с лю-
любым наперед заданным целым числом, и, следовательно,
решений данной задачи бесконечно много.
Рассмотрение групп Галуа бесконечных расширений
данного поля (см. Галуа топологическая группа) дает
возможность решать Г. т. о. з. сразу для множества
однотипных полей: конечных, локальных, полей алгеб-
алгебраич. функций от одной переменной.
Лит.: [1] Ч е б о т а р е в Н. Г., Основы теории Галуа,
ч. 1, М.—Л., 1934; [2] Щ а ф а р е в и ч И. Р., «Изв. АН СССР.
Сер. матем.», 1954, т. 18, Mi 2, с. 261—96; Ms 3, с. 525—78.
С. П. Демушкин.
ГАЛУА ТЕОРИЯ — в наиболее общем смысле тео-
теория, изучающая те или иные математич. объекты на ос-
основе их групп автоморфизмов. Так, напр., возможны
Г. т. полей, колец, топологич. пространств и т. п. В бо-
более узком смысле под Г. т. понимается Г. т. полей.
Возникла эта теория из задачи решения в радикалах
алгебраич. уравнений высших степеней. Общеизвестная
формула для решения квадратного уравнения была уста-
установлена в глубокой древности. Методы решения урав-
уравнении 3-й (Кардано формула) и 4-й степеней (см. Фер-
рари метод) найдены в 16 в. В течение трех после-
последующих столетий велись безуспешные поиски формул
для решения уравнений 5-й степени и выше. Наконец, в
1824 Н. Абель (N. Abel) доказал, что общее алгебраич.
уравнение степени ^5 в радикалах не решается.
После этого встал вопрос о необходимых и достаточных
условиях, к-рым должны удовлетворять коэффициен-
коэффициенты уравнения, чтобы оно решалось в радикалах, т. е.
могло быть сведено к цепи двучленных уравнений вида
хп — а = 0. Ответ на этот вопрос был найден Э. Галуа
(Е. Galois); свои результаты он изложил в предсмерт-
предсмертном письме A832), опубликованном в 1846. В современ-
современном изложении Г. т. выглядит следующим образом.
Пусть к — произвольное поле. Расширением
поля к наз. любое поле К, содержащее к в качестве
подполя. Каждое расширение можно рассматривать как
линейное пространство над полем к; если это про-
пространство имеет конечную размерность п, то расширение
наз. конечным, а размерность п — степенью
расширения. Элемент а нек-рого расширения
поля к наз. алгебраическим над к, если он
является корнем уравнения /=0, где /— многочлен с
коэффициентами из к (этот многочлен можно считать
неприводимым). Наименьшее расширение поля fc, со-
содержащее алгебраический над к элемент а, обозна-
обозначается обычно к (а). Конечное расширение К поля к
наз. сепарабельным, если К=к(а), причем
многочлен /, корнем к-рого является а, не имеет крат-
кратных корней. В случае, когда поле к имеет характерис-
характеристику 0 (напр., если к — числовое поле), любое конечное
расширение сепарабельно (теорема о прими-
примитивном элементе). Полем разложе-
разложения неприводимого многочлена / наз. наименьшее
расширение поля к, содержащее все корни этого много-
многочлена. Степень такого расширения делится на степень
многочлена / п равна этой степени, если все корни мно-
многочлена / выражаются через один из корней. Расшире-
Расширение К наз. нормальным, если оно является полем
разложения нек-рого многочлена, и расшире-
расширением Галуа, если оно нормально и сепарабельно.
Группа всех автоморфизмов расширения Галуа К,
оставляющих на месте все элементы поля к, наз. груп-
группой Галуа этого расширения и обозначается
Gal(K/k). Ее порядок (число элементов) равен степени
расширения К над к. Каждой подгруппе Л группы
Gal (К/к) соответствует подполе Р поля К, состоящее
из всех элементов К, не меняющихся под воздействием
автоморфизмов из Н. Обратно, каждому подполю PczK
(содержащему поле к) соответствует подгруппа Н груп-
группы Gal(Klk), состоящая из всех автоморфизмов,
оставляющих на месте каждый элемент поля Р.
При этом поле К является расширением Галуа Р и
Gal [KlP) = H. Основная теорема теории
Галуа утверждает, что эти соответствия обратны
друг к другу и, следовательно, являются взаимно од-
однозначными соответствиями между всеми подгруппами
группы Q'sA(Klk) и всеми подполями поля К, содер-
содержащими поле к. Таким образом, описание всех под-
полей поля К сводится к описанию всех подгрупп ко-
конечной группы Gal (A'/fc), что является значительно
более простой задачей. Важно, что при этом соответст-
соответствии «хорошим» свойствам подполей отвечают опреде-
определенные свойства подгрупп и обратно. Так, подгруппа Н
будет нормальным делителем группы Gal(A7fc)=G
тогда и только тогда, когда соответствующее ей поле Р
является расширением Галуа поля к. При этом группа
Gal(Pfk) изоморфна G1H. Любой возрастающей после-
последовательности
к = Кос:К1с:...с:Кг = К A)
подполей поля К отвечает убывающая последователь-
последовательность
С = Я0 = Я1=Э... = #г={е} B)
подгрупп группы G, где Zf,-=Gal (KlK{). Последователь-
Последовательность B) является нормальным рядом (т. е.
каждая группа Н-1 + 1— нормальный делитель группы
Hi при 1<?<г) тогда и только тогда, когда в последо-
последовательности A) каждое поле А,+1есть расширение Га-
Галуа ноля Kj, и в этом случае #,•/#,¦ +х я*Gal (А',-.-]/#,¦).
К задаче решения алгебраич. уравнений эти резуль-
результаты применяются следующим образом. Пусть /— не-
неприводимый многочлен без кратных корней над полем
к, а А' — его поле разложения (оно будет расширением
Галуа поля к). Группа Галуа этого расширения наз.
группой Галуа уравнения /=0. Ре-
Решение уравнения /=0 тогда и только тогда сводится
к решению цепи уравнений /=0, '. .., /г=0, когда К
содержится в поле А', являющемся последним членом
возрастающей последовательности полей
где Kj, i=l, . . ., г — поле разложения над полем A',_b
многочлена /,-. Последнее условие равносильно тому,
что группа G=Ga\(Klk) является факторгруппой груп-
группы G= Gal {К/к), обладающей нормальным рядом, фак-
факторы Н/!Н[ + 1 к-рого изоморфны группам Галуа уравне-
уравнений // = 0.
Пусть поле к содержит все корни из единицы степе-
степени п. Тогда для любого а?к полем разложения много-
многочлена х" — а служит поле к (а), где а— одно из значений
радикала у/а. Группа Gal(fc(cc)/fc) является в этом слу-
случае циклич. группой порядка п, и обратно, если груп-
группа Gal(A7fc) является циклич. группой порядка га,
то К = к(а), где а — корень нек-рого двучленного
уравнения хп — а=0. Таким образом, если поле к
содержит корни из единицы всех необходимых степе-
степеней, то уравнение /=0 решается в радикалах тогда
и только тогда, когда его группа Галуа разрешима
(т. е. обладает нормальным рядом с циклич. фактора-
факторами H;iHi + 1). Найденное условие разрешимости в ради-
радикалах справедливо и в случае, когда поле к не содер-
содержит всех нужных корней из единицы, поскольку
группа Галуа Gal(k'/k) расширения к', получающегося
присоединением этих корней, всегда разрешима.
Для практического применения условия разреши-
разрешимости весьма важно, что группу Галуа уравнения
можно вычислить, не решая этого уравнения. Идея вы-
числения следующая. Каждый автоморфизм поля
разложения многочлена / индуцирует нек-рую пере-
перестановку его корней, причем этой перестановкой он
вполне определяется. Поэтому группу Галуа уравнения
в принципе можно трактовать как нек-рую подгруппу
группы подстановок его корней (а именно, подгруппу,
состоящую из подстановок, сохраняющих все алгебраич.
зависимости между корнями). Зависимости между
корнями многочлена дают нек-рые соотношения между
его коэффициентами (в силу формул Виета); анализи-
анализируя эти соотношения можно определить зависимости
между корнями многочлена и тем самым вычислить
группу Галуа уравнения. В общем случае группа
Галуа алгебраич. уравнения может состоять из всех
перестановок корней, т. о. являться симметрической
группой n-й степени. Поскольку при гС^-Ъ симметри-
симметрическая группа неразрешима, то уравнение степени 5 и
выше, вообще говоря, в радикалах не решается (т е о-
рема Абеля).
Соображения Г. т. позволяют, в частности, описать
полностью класс задач на построение, разрешимых
с помощью циркуля и линейки. Методами аналитиче-
аналитической геометрии показывается, что любая такая задача
на построение сводится к нск-рому алгебраич. уравне-
уравнению над полем рациональных чисел, причем она раз-
разрешима с помощью циркуля и линейки тогда п только
тогда, когда соответствующее уравнение решается в
квадратных радикалах. А для этого необходимо ц
достаточно, чтобы группа Галуа уравнения обладала
нормальным рядом, факторы к-рого являются группами
2-го порядка, что имеет место тогда и только тогда,
когда ее порядок является степенью двух. Итак, задача
на построение, разрешимая с помощью циркуля и ли-
линейки, сводится к решению уравнения, ноле разложения
к-рого имеет над полем рациональных чисел степень
вида 2s; если степень уравнения не имеет вида 2s, то
такое построение невозможно. Так обстоит дело с за-
задачей об удвоении куба (сводящейся к кубическому
уравнению хА — 2~0) и с задачей о трисекции угла
(также сводящейся к кубическому уравнению). Зада-
Задача о построении правильного р-угольника сводится при
простом р к уравнению хР~1-'гхР~2^г. . .+а:+1 = 0,
обладающему тем свойством, что его поле разложения
порождается любым из корней и поэтому имеет сте-
степень р —1, равную степени уравнения. В этом случае
построение с помощью циркуля и линейки возможно,
только если p = 2s+l (напр., прир = 5 и /> = 17 оно воз-
возможно, а при р = 7 н при р = 13 нет).
Идеи Галуа оказали решающее влияние на развитие
алгебры в течении почти целого столетия. Г. т. разви-
развивалась и обобщалась во многих направлениях. В.Крул-
лем (W. Krull) построена Г. т. для бесконечных рас-
расширений; доказано (теорема Кронекера —
В е бе р а), что корни уравнения с рациональными
коэффициентами с абелевой группой Галуа рациональ-
рационально выражаются через корни из единицы; дана класси-
классификация абелевых расширений заданного поля алгеб-
алгебраич. чисел (общая теория полей классов); доказано
существование ноля алгебраич. чисел с заданной раз-
разрешимой группой Галуа (см. Галуа теории обратная
задача). Тем не менее в классич. Г. т. осталось еще
много нерешенных задач. Напр., неизвестно, для любой
ли группы G существует уравнение над полем рацио-
рациональных чисел с этой группой Галуа.
Лит.: [1] Г ал у а Э., Сочинения, пер. с франц., М.—Л.,
1936; [2] Чеботарев Н. Г., Основы теории Галуа, ч. 1 —
2, М.— Л., 1934—37; [3] е г о же, Теория Галуа, М.— Л.,
1936; [4] Постников М. М., Основы теории Галуа,
М., 1960; [5] его же, Теория Галуа, М., 1963; [6]
Ван дер ВарденБ. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976; [7]
Л е н г С, Алгебра, пер. с англ.. М., 1968; [8] Б у р б а к и Н.,
Алгебра, Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер. с
франц., М., 1965; [91 К о х Г., Теория Галуа р-расширений,
пер. с нем., М., 1973; [10] Artin E., Galoische Theorie,
Lpz., 1959. М. М. Постников .
ГАЛУА ТЕОРИЯ КОЛЕЦ — обобщение результатов
теории Галуа полей на случай ассоциативных колец с
единицей. Пусть А — ассоциативное кольцо с единицей,
Н - некоторая подгруппа группы всех автоморфиз-
автоморфизмов кольца А, N — подгруппа группы Н,
J (N) = {я ? Л j h(a) = a yh ? Nj,
B = /(//). Тогда /(TV)— подкольцо кольца А. Пусть
Bj— подкольцо кольца А. Говорят, что автоморфизм
h кольца А составляет кольцо В1 поэлементно инва-
инвариантным, если А(Ь)=Ь для всех Ъ?В1. Множество
всех таких автоморфизмов обозначается GiB^. Пусть
Основной объект изучения Г. к. т. — соответствия:
1) Л' -у J (.V); 2) В1 -» G (Bj); 3) В1->Н (Bj).
В отличие от теории Галуа полей (даже в том случае,
когда группа II конечна) здесь не всегда выполняется
равенство G(B1) = //(B1), а соответствия 1), 2) и 1), 3)
не обязаны быть взаимно обратными. Поэтому представ-
представляет интерес выделение таких семейств подколец и
семейств подгрупп, для к-рых справедлив аналог тео-
теоремы о соответствиях Галуа. В двух случаях эта зада-
задача получила удовлетворительное решение. Первый
из них характеризуется требованием «близости»
свойств кольца А к свойствам поля (напр., А — тело
или полное кольцо линейных преобразований вектор-
векторного пространства над телом), второй — требованием
«близости» строения кольца А над подкольцом В к
строению соответствующей пары в случае, когда А —
поле (напр., В-модуль проектнвен).
Пусть с — обратимый элемент кольца А и ТС:А—>А —
автоморфизм кольца А, определяемый равенством
Тс(х) = схс~1, х?А, R (Н) — подалгебра алгебры А, по-
порожденная обратимыми элементами с?А, для которых
ТС?Н. Группа Н наз. Л"-группой, если ТХ?Н для
всех обратимых x?R{H). Если А — тело, В — его
подтело, причем B = J(G(B)), A — конечномерное ле-
левое векторное пространство над 5, то соответствия Га-
Галуа H-^>-J(H) nD^>-G(D) являются обратными друг к
другу, где Н принадлежит множеству всех TV-подгрупп
группы G(B), a D— множеству всех подтел тела А,
содержащих тело В.
Аналогичный результат справедлив и в том случае,
когда А — полное кольцо линейных преобразований
(однако соответствующая система условий, выделяю-
выделяющая семейства подгрупп и семейства подколец, форму-
формулируется несколько сложнее).
Пусть далее А — коммутативное кольцо без нетри-
нетривиальных идемпотентов и А~^.В. Кольцо А наз. конеч-
конечным нормальным расширением кольца В, если В =
= J{G{B)) и А — конечно порожденный 5-модуль.
Кольцо А можно рассматривать как А (Х)дЛ -модуль,
полагая
где а,-, &,-, а?А. Кольцо А наз. сепарабельной 5-ал-
геброй, если А — проективный А ®цА -модуль.
Если А — конечное нормальное сепарабельное рас-
расширение кольца В, то А — конечно порожденный про-
проективный В-модуль, группа G(B) конечна ([G(B) : 1] =
= гапкд А) и отображения Я-^-/(Я), B1-^~G(B1) за-
задают взаимно обратные соответствия между множест-
множеством всех подгрупп группы G(B) и множеством всех
сепарабельных В-подалгебр алгебры А .
Всякое кольцо В обладает сепарабельным замыка-
замыканием, являющимся аналогом сепарабельного замыка-
замыкания поля. Группа всех автоморфизмов этого замыка-
замыкания, оставляющих кольцо В поэлементно инвариант-
инвариантным, оказывается, в общем случае, проконечной груп-
группой. Соответствия 1) и 2) являются взаимно обратными
на множестве всех замкнутых подгрупп полученной
группы и на множестве всех сепарабельных В-подал-
гебр сепарабельного замыкания кольца В.
Аналогичные результаты справедливы и в том слу-
случае, когда кольцо В содержит нетривиальные идемпо-
тенты. При этом, однако, ряд основных понятий под-
подвергается существенному изменению. Напр., роль
группы Галуа G(B) играет фундаментальный группоид.
Лит.: ШДжекобсон Н., Строение колец, пер. с англ.,
М., 1961; [2] С h a s e S. U., S w e d 1 е г М. Е., Hopf algebras
and Galois theory, В.— Hdlb.— N. Y., 1969; [3] D e Meyer F.,
Ingraham E., Separable algebras over commutative rings,
В.— Hdlb.— N. Y., 1971; [4] Magid A. R.,The separable
Galois theory of commutative rings, N. Y., 1974.
К. И. Бейдар, А. В. Михалев.
ГАЛУА ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ГРУППА — группа
Галуа, снабженная топологией Крулля;
базис фильтра этой топологии состоит из нормальных
делителей конечного индекса. Если L/К — конечное
расширение Галуа, то топология его группы Галуа
G(LlK) дискретна. Если поле L — объединение конеч-
конечных расширений Галуа К/ поля К, то Г. т. г. G (L/К)
есть проективный предел конечных групп G(Ki/K) с
дискретной топологией. В этом случае Г. т. г. является
проконечной группой и тем самым вполне несвязной
компактной топологич. группой. Если К' — поло инва-
инвариантов для группы G(LlK), то подгруппа G(LIK')
всюду плотна в группе G{LlK). Основная теорема о
конечных расширениях Галуа может быть переформу-
переформулирована для бесконечных расширений: существует
взаимно однозначное соответствие между инвариант-
инвариантными открытыми подгруппами Г. т. г. расширения
ЫК и подполями L, являющимися конечными расшире-
расширениями Галуа ПОЛЯ К. И. В. Долгачев.
ГАЛЬТОНА — ВАТСОНА ПРОЦЕСС - ветвящий-
ветвящийся процесс с одним типом частиц и с дискретным
временем; назван по имени Ф. Гальтона (F. Galton)
и Дж. Ватсона (G. Watson), впервые занимавшихся в
1873 задачей О вырождении фамилии. Б. А. Севастьянов.
ГАМИЛЬТОНА ОПЕРАТОР, набла-онера-
т о р, у-о ператор, гамильтониа н,— символи-
символический дифференциальный оператор 1-го порядка,
применяемый для записи основных дифференциальных
операций векторного анализа. В декартовой прямо-
прямоугольной системе координат х= (х1, . .., хп) с ортами
е1? е2, .. ., е„ Г. о. имеет вид;
в
Применение Г. о. к скалярной функции f(x), понимае-
понимаемое как умножение «вектора» у на скаляр f(x)_, дает
градиент функции f(x):
/ df df
т. е. вектор с координатами / -—, . . ., -—
^ 1 It
Скалярное произведение у на векторное поле а =
= (аь . . ., ап) дает дивергенцию поля а:
Векторное произведение у на векторы «/= (a/i, -ч
...,а.-п), / = 1,2, ..,, п — 2, р,а.ет вихрь (ротор) совокуп-
совокупности полей alt a2, ¦¦¦, (in-2, T- е- вектор:
?х е2 . . . е„
)Х! 9х2 • • ¦ dx
[у, «х, . . ., й„_2] =
«11 а12 • ¦ ¦ а\
atl-2,l аП-2, 2
При ге=3
/в3 Ваг\ „ , /во,
да2 ва1
Скалярный квадрат Г. о. дает Лапласа оператор:
A = y-y = ^S ._ •—2-
I—I XJ-
Справедливы следующие соотношения:
[у>Уф] =rot grad ф = 0,
y-yffi = grad diva, у [y,«] = div rot a = 0,
[у [у,a]] =rot rot а, Дф = у- (уф) = div grad ф.
Г. о. был введен У. Гамильтоном [1].
Лит.: [lj H a m i I t о n W. R., Lectures on quaternions...,
Dublin, 1853. Л.П.Купцов.
ГАМИЛЬТОНА УРАВНЕНИЯ — канонические обык-
обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка,
описывающие движения голономных механич. систем
под действием приложенных к ним сил, а также экст-
экстремали задач классического вариационного исчисле-
исчисления .
Г. у., установленные У. Гамильтоном [1], эквива-
эквивалентны Лагранжа уравнениям 2-го рода (пли Эйлера
уравнениям в классическом вариационном исчисле-
исчислении), в к-рых неизвестными являются обобщенные ко-
координаты щ, а также и <7i = -Jt- Вместо обобщенных ско-
скоростей qi У. Гамильтон ввел в рассмотрение обобщен-
обобщенные импульсы
Pi = — , i=l, . .., п, A)
dqi
где L(q{, qi, t)~ Лагранжа функция, п — число сте-
степеней свободы системы, и определил функцию
H(qhPi, t)=2;_lP/?,—-Ь, B)
наз. ныне Гамильтона функцией. В правой часг'-i B)
переменные qi заменяются их выражениями
получаемыми разрешением уравнений A). Для динамич.
систем, у к-рых
det
такое разрешение всегда возможно.
Г. у. имеют вид канонич. уравнений
dq • qJ? dp
Здесь Qi обозначают непотенциальные обобщенные
силы, если они действуют на систему. Число уравне-
уравнений C) равно числу 2ге неизвестных <?,-, р;.
Порядок системы C) как и системы уравнений Ла-
Лагранжа 2-го рода, равен 2п.
Переход от переменных ?,-, qi, t и функции Лагранжа
L к переменным qt, pi, t и функции Гамильтона Я,
согласно формулам A) и B), представляет собой
Лежандра преобразование. Г. у. имеют определенные
преимущества по сравнению с уравнениями Лагранжа,
что обусловило их большую роль в аналитич. механике.
См. также Гамилътонова система.
Лит.: [1] Hamilton W. R., «Philos. Trans. Roy. Soc.
London», 1835, pt 1, p 95—144. B.B. Румянцев.
ГАМИЛЬТОНА ФУНКЦИЯ, гамильтони-
гамильтониан,— функция, введенная У. Гамильтоном (W. Hamil-
Hamilton, 1834) для описания движений механических си-
систем; начиная с работ К. Якоби (К. Jacobi, 1837), ис-
используется в классическом вариационном исчислении
для представления Эйлера уравнений в канонической
форме. Пусть L(t, х, х) — Лагранжа функция механпч.
системы или подинтегральная функция в задаче мини-
минимизации функционала
J(x)=\ L{t,xx)dt
классического вариационного исчисления, где х= (хи
. . ., xn),det\\Lx. \\фО. Г. ф. представляет собой Лежандра
преобразование функции L по переменным х, иначе го-
говоря,
H(t, х, p) = (p\'x)-L(t, x, x),
где х выражено через р соотношением p = L^\ (р\х)—
скалярное произведение векторов p = (pi, ...,pn) и х.
С помощью Г. ф. уравнения Эйлера
(в задачах классич. механики называемые Лагранжа
уравнениями) записываются в виде системы уравне-
уравнений 1-го порядка:
дН • вН
Р ~дх~ ' Х др
Эти уравнения наз. Гамильтона уравнениями, гамилъ-
тоноеой системой, а также канонической си-
системой. Через Г. ф. пишутся уравнения Гамильто-
Гамильтона—Якоби для функции действия (см. Гамильтона—
Якоби теория).
Г. ф. в задаче оптимального управления определяет-
определяется следующим образом. Пусть требуется найти мини-
минимум функционала
j= \\x f (t, x, и) at
при дифференциальных связях
xi = p (t, x, и),
при заданных граничных условиях и ограничении на
управление u?U. Здесь х=(х1, ..., хп) есть га-мерный
вектор фазовых координат, м=(«', ..., ит) — т-мер-
ный вектор управления, U — замкнутое множество
допустимых значений управления и. Г.ф. в этой задаче
имеет вид
Я (t, х, ф, м) = фо/°(?, х,и)-\-\\, \pif'(t,x, и),
где ijH=consts^O, фь • • •> tyn~ сопряженные перемен-
переменные (множители Лагранжа, импульсы), аналогичные
введенным выше канонич. переменным р,-. Если (х0, и0)
есть минимум в поставленной задаче и г|зОт^О (тогда
ф0 можно считать равным —1), то
II (t, X0 (t), p (t), U0 @) = (Р\П U, ио — /° 1*о, «о.
где •_ вН
дх х0, и о
Полученное для Г. ф. выражение имеет ту же структуру,
что и в классическом вариационном исчислении. Соглас-
Согласно Понтрягина принципу максимума уравнения Эйлера
для задачи оптимального управления с помощью Г. ф.
можно записать в виде
дЯ • дН
Xе = -5-:— , ф; = г , I = 1, . . . , П.
d^i дх'
Оптимальное управление и при каждом t должно доп.
влять максимум Г. ф.:
Н (t, х, tb, и) = max Я (t, x, -ih, v).
ve U
Лит.: [1] Б л и с с Г. А., Лекции по вариационному исчис-
исчислению, пер. с англ., М., 1950; [2] П о н т р я г и н Л. С. [и др.],
Математическая теория оптимальных процессов, 2 изд., М., 1969.
И. Б. Вапнярский.
ГАМИЛЬТОНА — ОСТРОГРАДСКОГО ПРИНЦИП,
стационарного действия принцип,—
общий интегральный вариационный принцип классиче-
классической механики, установленный У. Гамильтоном [1] для
голономных систем, стесненных идеальными стациона-
стационарными связями, и обобщенный М. В. Остроградским
[2] на нестационарные геометрия, связи. Согласно Г.—
О.п., в действительном движении системы под действием
Потенциальных сил
S =
= С ' (T — U)dt= V'Ldt
J to J t0
имеет стационарное значение по сравнению с близки-
близкими кинематически-возможными движениями, для кото-
которых начальное и конечное положения системы и время
движения одинаковы с таковыми для действительного
движения. Здесь Т — кинетическая, U — потенциаль-
потенциальная энергии, L-T — I/функция Лагранжа системы. В
нек-рых случаях истинное движение соответствует
не только стационарной точке функционала S, но и
доставляет ему наименьшее значение. Поэтому Г. — О. п.
часто наз. принципом наименьшего дей-
действия. В случае непотенциальных активных сил Fv
условие стационарности действия 65 = 0 заменяется ус-
условием
FГ + V Fv -6rv) dt=O.
Лит.: [1] Hamilton W., Report of the Fourth Meeting
of the British Association for the Advancement of Science, L.,
1835, p. 513—18; [2]Ostrogradsky M., «Mdm. de l'Acad.
des Sci. de St-Petersbourg», 1850, t. 8, Л"» 3, p. 33—48.
В. В. Румянцев.
ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ ТЕОРИЯ — раздел клас-
классического вариационного исчисления и аналитич. ме-
механики, в к-ром задача нахождения экстремалей (или
задача интегрирования гамильтоновой системы урав-
уравнений) сводится к интегрированию нек-рого уравнения
с частными производными 1-го порядка — так наз.
уравнения Гамильтона — Якоби. Основы Г.— Я. т.
были разработаны У. Гамильтоном (W. Hamilton)
в 20-х гг. 19 в. в применении к задачам волновой и гео-
геометрич. оптики. В 1834 У. Гамильтон распространил
свои идеи на задачи динамики, а в 1837 К. Якоби
(С. Jacobi) применил этот метод для общих задач клас-
классического вариационного исчисления.
Исходные позиции Г. —Я.т. были заложены в 17 в.
П. Ферма и X. Гюйгенсом на материале геометрич. оп-
оптики (см. Ферма принцип и Гюйгенса принцип). Рас-
Рассмотрим, следуя У. Гамильтону, задачу о распростра-
распространении света в неоднородной (но для простоты — изо-
изотропной) среде, где v(x)~ локальная скорость света в
точке х. В соответствии с принципом Ферма свет в не-
неоднородной среде распространяется от точки к точке
за кратчайшее время. Пусть хо?Е исходная точка, а
W(x) — минимальное время, требуемое свету для пре-
преодоления пути от х0 к х. Функцию W(x) называют
эйконалом, или оптической длиной
пути. Допустим, что за малое время dt свет распро-
распространился из точки х до точки x-\-dx. В соответствии с
Гюйгенса принципом свет с точностью до малых более
высокого порядка будет распространяться по нормали
к поверхности уровня функции W(x). Таким образом
выполняется равенство
W {х + | W-1$ Г » W «И ) = W (x) + dt + o (dt),
и:: к-рого следует уравнение Гамильтона — Якобн для
задач геометрич. оптики:
__1 уз / 8W (х) \ а _ 1
В аналитич. механике роль принципа Ферма играет
вариационный Гамильтона —Остроградского принцип,
а роль эйконала играет функция действия, представ-
представляющая собой интеграл
¦(«,,)=$
dt, x = (xu . . ., хп), A)
вдоль траектории у, соединяющей фиксированную точку
(t0, х0) с точкой (t, х), где L — функция Лагранжа
механич. системы.
К. Якоби предложил рассматривать функцию дей-
действия, подобную A), для любой задачи классического
вариационного исчисления. Экстремали задачи j Left—>¦
—*-inf, исходящие из точки (t0, х0), пересекают поверх-
поверхность уровня функции действия трансверсаль-
н о (см. Трансверсальности условие), из этого выводят
вид дифференциала функции действия:
dS = (p \dx)—Hdt,
где p = L'x, а Н=рх — L — Гамильтона функция
(см. также Лежандра преобразование).
Последнее соотношение приводит к уравнению для
функции S:
Это уравнение и наз. уравнением Гамиль-
Гамильтона— Якоби.
Важнейшим результатом Г. —Я. т. является тео-
теорема Якоби, заключающаяся в том, что полный
интеграл уравнения B), т. е. решение S (t, x, а) этого
уравнения, зависящее от параметров а=(ах, ..., а„)
(с условием невырожденности det я =^=0), позволяет
дхдсс
получить общий интеграл уравнения Эйлера функцио-
функционала A), или, что то же самое,— гамильтоновой систе-
системы, связанной с этим функционалом, по формулам
dS OS о „ „ ,
дх=Р' 5а= Р' Применение теоремы Якоби к интегри-
интегрированию гамильтоновых систем основано, как правило,
на методе разделения переменных в специально выбран-
выбранных координатах.
Несмотря на то, что интегрирование уравнений с част-
частными производными составляет, как правило, более сло-
сложную задачу, чем отыскание решений обыкновенных
уравнений, Г. —Я. т. оказалась мощным орудием ис-
исследования задач оптики, механики и геометрии. Суть
принципа Гюйгенса была применена Р. Беллманом
(И. Bellmann) к задачам оптимального управления.
См. также Гильберта инвариантный интеграл.
Лит.: [1] Вариационные принципы механики, М., 1959;
[2] Парс Л.-А., Аналитическая динамика, пер. с англ., М-.
1971, с. 283—86; [3] Арнольд В. И., Математические
методы классической механики, М., 1974, с. 219—24; [4]
Ахиезер Н. И., Лекции по вариационному исчислению,
М., 1955, с. 92—96. В. М. Тихомиров.
ГАМИЛЬТОНИАН — см. Гамильтона функция,
j Гамильтона оператор.
ГАМИЛЬТОНОВА ГРУППА — неабелева группа, все
подгруппы к-рой инвариантны. Группы с таким свой-
свойством исследовались Р.Дедекиндом (R.Dedekind) и были
названы им Г. г. в честь У. Гамильтона (W. Hamil-
Hamilton) — создателя алгебры кватернионов. Группа тог-
тогда и только тогда гамильтонова, когда она является
прямым произведением группы кватернионов порядка 8,
абелевой группы, каждый элемент к-рой имеет конеч-
конечный нечетный порядок, и абелевой группы показателя 2.
В частности, любая Г. г. периодична.
Лит.: [1] Холл М., Теория групп, пер. с англ., М., 1962.
В. Д. Мазуров.
ГАМИЛЬТОНОВА СИСТЕМА — система обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений для 2ге неизвестных
р= (р-у, ..., р„) («обобщенные импульсы») и q=
= (<?!,. . ., qn) («обобщенные координаты»), имеющая вид:
~1Г= ~dqj ' ~dF="dp^' ' = 1' •¦•' "' ("
где//— нек-рая функция от (р, q, t), наз. Гамильтона
функцией, или гамильтонианом, системы A).
Г. с. наз. также каноническими, а в авто-
автономном случае (когда // не зависит явно от t) иногда и
консервативными системами, по-
поскольку в этом случае функция Н (имеющая во многих
примерах физич. смысл энергии) является первым ин-
интегралом (т. е. энергия сохраняется при движении).
В механике Г. с. описывают движение при голоном-
ных связях и силах, имеющих потенциал (см. Гамиль-
Гамильтона уравнения). Многие задачи теоретич. физики также
приводят к Г. с. или к таким уравнениям с частными
производными, к-рые имеют близкие свойства и могут
рассматриваться как бесконечномерные аналоги Г. с.
Уравнениям квантовой механики можно придать вид
Г. с, в к-рых, однако, p,(t) и g,-(t) являются не число-
числовыми функциями времени, а (зависящими от t) самосо-
самосопряженными линейными операторами, удовлетворяю-
удовлетворяющими определенным перестановочным соотношениям.
Г. с. (в обычном смысле слова) играют важную роль
при исследованиях нек-рых асимптотич. задач для
уравнений с частными производными (коротковолно-
(коротковолновая асимптотика для волнового уравнения, квазиклас-
сич. асимптотика в квантовой механике).
Тесно связаны с Г. с. различные вариационные прин-
принципы. Принцип Гельмгольца (см., напр., [3]) непосред-
непосредственно приводит к Г. с, однако он употребляется
редко. Наибольшее значение имеет Гамильтона—Ост-
Гамильтона—Остроградского принцип (стационарного действия принцип),
к-рый непосредственно приводит к Лагранжа уравне-
уравнениям; при выполнении нек-рых дополнительных усло-
условий типа невырожденности от последних можно перей-
перейти К Г. с. с помощью Лежандра преобразования (см.
Гамильтона функция, Гамильтона уравнения), если в
вариационный принцип входят производные только
первого порядка. Несколько сложнее осуществляется
предложенный М. В. Остроградским переход к Г. с. в
том случае, когда вариационный принцип содержит про-
производные порядка выше первого (см., напр., [4]. § 110).
Если Н не зависит явно от д,-, то p, = const — первый
интеграл. В этом случае координату q; наз. цикли-
циклической (в нек-рых случаях она имеет физич. или
геометрич. смысл угловой переменной), или игно-
игнорируемой. Такую координату щ и соответствую-
соответствующий ей импульс pi можно исключить и тем самым перей-
перейти к Г. с. с меньшим числом неизвестных. Более общо,
при наличии к независимых первых интегралов в инволю-
инволюции возможно понижение порядка Г. с. на 2к (по край-
крайней мере в нек-рой области изменения переменных и с
заменой времени), и при этом снова получается Г. с.
Если все координаты циклические, то Г. с. наз. (впол-
(вполне) интегрируемой; нахождение ее решений и
качественное исследование их свойств уже не требует
решения дифференциальных уравнений.
Первые интегралы Г. с. часто получаются из тео-
теоремы Н ё т е р: если функция Лагранжа (или л а-
г р а н ж и а н) инвариантна относительно некоторой
непрерывной группы преобразований, то соответствую-
соответствующая Г. с. имеет первые интегралы определенного вида
(см., напр., [2]). Другое общее соображение, позволяю-
позволяющее иногда проинтегрировать Г. с, состоит в пере-
переходе к вспомогательному уравнению с частными про-
производными — так наз. уравнению Гамильтона — Якоби
(см. Гамильтона — Якоби теория). Посредством раз-
разделения переменных в подходящих координатах иног-
иногда удается найти полный интеграл последнего, тогда
теорема Якоби позволяет сравнительно легко проин-
проинтегрировать Г. с. [Связь между Г. с. и уравнением
Гамильтона — Якоби является двусторонней: решение
последнего сводится к интегрированию соответствую-
соответствующей Г. с. Исторически эта связь вместе с аналогией
между механикой и геометрич. оптикой (см. [1], с. 548,
[2] или [3], с. 421, 451) способствовала открытию Г. с.
(принцип Гюйгенса в оптике сразу приводит к эйконала
уравнению — уравнению типа уравнения Гамильто-
Гамильтона — Якоби).]
Для Г. с, близких к интегрируемым, разработаны
специфич. методы приближенного интегрирования и
качественного исследования свойств решений. Родст-
Родственные методы служат также для исследования поведе-
поведения траекторий Г. с. в окрестности положений равно-
равновесия, периодич. или квазипериодич. решений.
Могут использоваться и методы, не связанные специ-
специально с Г. с, однако и тогда специфика Г. с. может
позволить упростить вычисления или, наоборот,
усложнить задачу (поскольку с точки зрения общего
метода Г. с. могут оказаться «исключительными»—
так, напр., обстоит дело с устойчивостью). См. Адиаба-
Адиабатический инвариант, Малого параметра метод,
Малые знаменатели, Осреднение.
Пусть ф( (z) — решение Г. с. A), проходящее при
t=0 через точку z= (p, q)?R2n. Г. с. однозначно ха-
характеризуется тем, что (локальные) диффеоморфизмы
(pf переводят внешнюю дифференциальную форму
<o=2"=1dp?Arfg,- B)
(так наз. интегральный инвариант
Пуанкаре) снова в со; этот факт в других терминах
отмечался еще М. В. Остроградским и Г. Гельмгольцем
(Н. Helmholtz); последний говорил о «свойстве взаим-
взаимности» (см. [3]). Диффеоморфизмы, сохраняющие со, наз.
каноническими преобразования-
м и (или каноническими заменами пе-
переменных); они не только естественно возникают
из Г. с, но и переводят любую Г. с. снова в Г. с. (По-
(Последним свойством обладают и обобщенные канонич.
преобразования, переход к к-рым, впрочем, не является
особенно существенным расширением рассматриваемого
класса преобразований.) При этом гамильтониан но-
новой системы легко выражается через исходный гамиль-
гамильтониан и производящую функцию S канонич. преобра-
преобразования (которое удобно задавать именно с помощью S).
Таким образом, имея дело с Г. с. и производя канонич.
замену переменных, можно производить вычисления
всего с двумя функциями Н и S (тогда как в общем
случае замены переменных в системе дифференциаль-
дифференциальных уравнений пришлось бы рассматривать гораздо
больше функций); в этом состоит так наз. канониче-
канонический формализм, существенно упрощающий
вычисления в пределах своей применимости. Он широко
используется в небесной механике и теоретич. физике.
Определение Г. с. в терминах интегрального инва-
инварианта приводит к естественному обобщению, когда
вместо формы B) в R2" речь идет о заданной на нек-ром
многообразии М четной размерности In внешней диф-
дифференциальной форме со 2-го порядка, причем со замк-
замкнута (внешний дифференциал da>=0) и всюду со" =
= со л ... А со^=0 (тогда говорят, что на М задана с и м п-
лектическая структура.) Еще более об-
общей является трактовка Г. с. не как динамической сис-
системы, а как конгруэнции, когда траектории рассматри-
рассматривают просто как семейство линий с определенными
свойствами и не обращают внимания на скорость дви-
движения по ним. (Систему A) можно включить в эту схе-
схему, рассматривая графики решений p=p(t), q=q(t)
в пространстве (р, q, t); при этом вместо B) большую
роль играет интегральный инвариант
Пуанкаре— Картана 2j"=lPidqi — Нdt.) Соб-
Собственно, когда с помощью первых интегралов понижа-
понижается порядок Г. с. A), то получается Г. с. именно в
этом обобщенном смысле (см. [2]).
О свойствах Г. с, не являющихся интегрируемыми
или близкими к таковым, известно мало (не считая наз-
названных выше вопросов о локальном поведении траекто-
траекторий). Сохранение со влечет сохранение элемента объема
со" (теорема Лиувилля; обратное неверно,
исключая малые размерности). Поэтому Г. с. принадле-
жат к числу систем с инвариантной мерой, изучаемых
В эргодической теории.
Лит.: [1] П а р с Л.-А., Аналитическая динамика, пер. с
англ., М., 1971; [2] А р н о л ь д В. И., Математические мето-
методы классической механики, М., 1974; [3] Л е в и - Ч и в и т а Т.,
Ама льди У., Курс теоретической механики, пер. с итал.,
М., 1951, т. 2, ч. 2; [4] Уиттекер Е. Т., Аналитическая
динамика, М,—Л., 1937. Д.В.Аносов.
ГАМИЛЬТОНОВА СИСТЕМА ЛИНЕЙНАЯ — систе-
система вида
dP/ дН dqj _ т
где Н — квадратичная форма с действительными коэф-
коэффициентами от переменных ри . . ., р^, q\, . .., qk с коэф-
коэффициентами, к-рые могут зависеть от времени t.
Г. с. л. наз. также линейной канониче-
канонической системой. Система A) может быть запи-
записана в векторной форме:
jft=H(t)x, B)
где х - вектор-столбец (рь ..., pk, qlt ...,qk),
Н (t) = ll(t)* — матрица квадратичной формы 2Н и
/=|| _5 *{[ |) (Ik —единичная (/сХ/с)-матрица). Уравне-
Уравнение B) с произвольной неособой действительной косо-
симметрической матрицей / может быть сведено подхо-
подходящей заменой вида x=Sx1, где S — неособая дейст-
действительная матрица, к аналогичному виду;
здесь J1— любая заранее заданная действительная неосо-
неособая кососимметрическая матрица. Ниже предполагается,
что в B) | Я (t) |?L [ti, t2], V—oo < tx < t2 < + oo.
К канонич. уравнению B) сводятся: векторное уравне-
уравнение 2-го порядка
в к-ром у — вектор порядка к, R(t) = R(t)*, p (t) =
= P(t)*— действительные (fcx &)-матрицы функции,
det Л(г)=^=О; уравнение
(За)
где <?=—<?*— постоянная матрица, R(t) = R (t)*,
P(t) = P(t)*, det R(t)^O (матрицы Р(t), Q, R(t) —
действительные), скалярное уравнение
= 0, D)
*!=-<> dt> • ' ' '
где (j>j(t)—действительные функции, срд, (t)=^=0, и ана-
аналогичное векторное уравнение. [Для уравнения C)
х= ^'1 -~D dy
для уравнения (За)
Р где p = R^+4rQy, q = i
для уравнения D) xj =vl{J-1), j = l, ..., к,
xj+k= 4>jXj+i— x'k+i+i, j = l, ..., к— i, x2k = ykx'k].
Скалярное уравнение C) с R(t)=l, т. е. уравнение
-~ +P(t)y=O, в к-ром P(t) — периодич. функция,
наз. уравнением Хилла.
Пусть Х(() -матрицант уравнения B)
[матрица фундаментальной системы решений уравне-
уравнения B), нормированная условием Х@) = 1п]. Введем
индефинитное скалярное произ-
произведение (ж, y)=i(Jx, у), где (ж, y)=^JLoxjV,—
обычное скалярное произведение. Матрица U (вообще
комплексная), унитарная в смысле этого про-
произведения, т. е. такая, что ?/*/?/=/, наз. /-у н и-
тарной; действительная /-унитарная матрица X
наз. симплект и ческой.
Известно (см. Гамилътонова система), что при сдви-
сдвиге вдоль траектории Г. с. сохраняется интегральный
инвариант Пуанкаре — внешняя дифференциальная
форма 2j =1dpj-Adqj. В случае Г. с. л. это свойство оз-
означает, что для любых решений жA>=жA) (t), жB) = жB) (t)
уравнения B) выполнено (i(I), гB))= {X (t)x{1) @),
X (?)zB)@)) = const, т. е. что матрицант X(t)— симп-
симплектическая матрица для любого t. Из соотношения
Х*/Х=/ следует (теорема Ляпунова —Пу-
—Пуанкаре), что собственные значения симплектической
матрицы X (с учетом их кратностей и порядков жорда-
новых ящиков) располагаются симметрично (в смысле
инверсии) относительно единичной окружности. Соб-
Собственные значения снмплектических (и /-унитарных)
матриц, равные по модулю 1, подразделяются на соб-
собственные значения 1-го и 2-го рода по следующему
правилу. Пусть р — собственное значение /-унитарной
матрицы U и |р| = 1. Тогда форма (х, х) на соответству-
соответствующем корновом подпространстве не вырождается. Пусть
р — число положительных ид— число отрицательных
ее квадратов; говорят, что в точке р совпало р соб-
собственных значений 1-г о рода и q
собственных значений 2-го рода.
Аналогично определяется род чисто мнимых собст-
собственных значений матриц K=J~1L, L* = L (для них
(Кх, у)=— {х, Ку), ух, у). Для /-унитарной матрицы
X собственные значения р при |р|=^=1 считаются
собственными значениями 1-г о ро-
рода, если |р|<1, и 2-го рода, если |р|>1. Любая
симплектическая матрица X имеет (с учетом кратности)
ровно к собственных значений рь . . ., рд, 1-го рода и к
значений рГ1, . . ., рдГ1 2-го рода. При соответствующей
нумерации рх, . . ., р^ являются непрерывными функ-
функциями матрицы X (см. [2], [3]).
1. Осцилляторные свойства реше-
решений Г. с. л. К изучению осцилляторных свойств ре-
решений уравнений B)—D) приводит ряд задач вариа-
вариационного исчисления, оптимального управления, ис-
исследование свойств спектра соответствующего диффе-
дифференциального оператора и др.
Определения. (I) Уравнение C) наз. колеба-
колебательным, если для любого <0>0 найдутся числа
*2>*1>*ои решение y(t)^O такие, что у(t{) = y(t2) = 0, и
неколебательным — в противном случае. (II)
Уравнение D) наз. колебательным, если для
любого io>O найдется решение т] (t)^=0, имеющее по
крайней мере два ic-кратных нуля i2>f1>f0, и н е к о-
лебательным — в противном случае. (III) Урав-
Уравнение A) наз. колебат ельным, если на (<0, оо)
функция
Д Arg X (t) = 2/=i A Arg P/ W E)
является неограниченной, и неколобатель-
н ы м в противном случае. [ВE) Pj(t) суть собственные
значения 1-го рода матрицы X (().] После сведения урав-
уравнения C) или D) к уравнению B) получающееся урав-
уравнение B) будет колебательным в смысле определения
(III) тогда и только тогда, когда уравнение C) [соот-
[соответственно D)] колебательно в смысле определения (I)
[соответственно (II)]. Определению (III) можно при-
придать следующую геометрич. интерпретацию. Группа
Sp (к, Л) симплектических матриц X гомеоморфна про-
произведению связного и односвязного топологич. прост-
пространства на окружность. Соответствующее отображение
можно выбрать так, что i|'=^j=,1Arg py является про-
проекцией матрицы X?Sp(fc, R) на окружность (числа
pj— собственные значения 1-го рода матрицы X). Таким
образом, уравнение B) колебательно, если при f^oo
матрица X (t) неограниченно «закручивается.) в
Sp (k, R). (При ге=1 эта группа гомеоморфна «сплош-
«сплошному тору» и «закручивание» имеет очевидный нагляд-
наглядный смысл.) Известны другие разнообразные опреде-
определения аргумента симплектической матрицы, соответ-
соответствующие другим отображениям группы Sp (к, R)
на окружность и эквивалентные E) в том смысле, что
при любом из них выполнено неравенство:
|Д Arg' X(t)-A Arg X(t)\<c F)
для любой кривой X(i)?Sp(fc, R). Такими аргумента-
аргументами являются, напр.,
Arg1X=Arg det(?/1-iF1); Arg2Ar=Arg det(Z72-»F2),
где Vj, Vj суть (/сХЬ)-подматрицы матрицы Z=||^1^2jl
(см. также [4]). Известны разнообразные эффективно
проверяемые достаточные (а в нек-рых случаях необ-
необходимые и достаточные) условия колебательности и
неколебательности уравнений B), C), D) (см., напр.,
[5] и литературу в [6]).
2. Г. с. л. с периодическими коэф-
коэффициентами. Пусть в B) H(t+T) = H(t) почти
всюду. Матрица X (Т) наз. матрицей монодро-
м и и уравнения B), а ее собственные значения —
мультипликаторами уравнения B). Урав-
Уравнение B) (или соответствующий гамильтониан Н (?)) наз.
сильно устойчивым, если все его решения
ограничены на (— <х>, + <х>), и это свойство не наруша-
нарушается при малых деформациях гамильтониана в смысле
нормы ll-ffl|=J \H{i)\dt. Аналогично определяется
сильная неустойчивость уравнения B)
(гамильтониана H(t)). Для сильной устойчивости
уравнения B) необходимо и достаточно чтобы все его
мультипликаторы лежали на единичной окружности
и среди них не было совпадающих разного рода (иначе,
чтобы все корневые подпространства у X (Г) были де-
дефинитны в смысле произведения {х, y)=i(Jx, у)). Для
сильной неустойчивости уравнения B) необходимо и
достаточно, чтобы нек-рые его мультипликаторы ле-
лежали вне единичной окружности. Два набора мульти-
мультипликаторов (с учетом их рода), среди к-рых нет сов-
совпадающих разного рода, наз. эквивалентными,
если один набор можно непрерывно перевести в дру-
другой без встречи мультипликаторов разного рода. Класс
эквивалентных наборов мультипликаторов наз.
мультипликаторным типом. В случае
устойчивости имеется 2* мультипликаторных типа.
Их можно обозначить символами вида [х=(+, +, —,
-|-, . . ., —), в к-рых полюсы и минусы соответствуют
роду мультипликаторов, последовательно встречающих-
встречающихся при прохождении верхней полуокружности |р| = 1
от точки р= + 1 к точке р= —1. Пусть L={H(t)} —
множество всех гамильтонианов указанного выше вида
с нормой ||Я|| = $o\H(t)\dt. Множество OaL сильно ус-
устойчивых гамильтонианов распадается в L на счетное
число областей О^', ге=О, ±1,±2, . . ., u,= u.lt .. ., ц2к-
Область Оя^' является множеством всех гамильтониа-
гамильтонианов, к-рым отвечают мультипликаторный тип и. и це-
целое число п, определяемое формулой
Д Arg X (t) Q = 2ия \-Zdj=\ в/>
где 9,- = argp/G')— аргументы мультипликаторов 1-го
рода (см. Щ, [7]). Для к=\ множество сильно неустой-
неустойчивых гамильтонианов распадается на счетное число
областей; при &>1 это множество связно. Известны
(см. [3], [7], [8]) разнообразные достаточные условия
принадлежности Я(*)?О„М). При получении этих ус-
условий важную роль играет следующая теорема: пусть
H1(t)<:H2(t), тогда из сильной устойчивости «отрезка»
Hs(t) = sH1(t)+(i — s)H2(t), 0<s< 1, следует силь-
сильная устойчивость любого гамильтониана Н (t) такого,
что //, (<)<Я(г)<Я2(*). Аналогичная теорема установ-
лена и для бесконечномерного случая (/с=оо), когда
{х} — гильбертово пространство и в B) /, НD) суть
операторы со специальными свойствами (см. [9]);
при к=1 эта теорема верна и для сильно неустойчивых
гамильтонианов [3].
3. Параметрический резонанс.
Рассмотрим уравнение
/-?=#„* (8)
с постоянным гамильтонианом Но таким, что все ре-
решения уравнения (8) ограничены. Частота G наз. кри-
критической, если для любого б>1 найдется «возму-
«возмущенное» гамильтоново уравнение
j? = ff(Bt)x, (9)
где II(t+2n) = H(t), UIf(t)-H0\\<6, такое, что урав-
уравнение (9) имеет неограниченные решения (знак у G
может быть любым). Явление возникновения неогра-
неограниченно нарастающих колебаний системы при сколь
угодно малом периодическом возмущении нек-рых ее
параметров наз. параметрическим резо-
резонансом. Параметрич. резонанс имеет большое зна-
значение в технике и физике. Он «опаснее» (или «полез-
«полезнее», в зависимости от задачи) обычного резонанса, по-
поскольку в отличие от последнего при нем колебания
нарастают по экспоненциальному закону (а не степен-
степенному), и частоты, при к-рых имеет место резонанс, за-
заполняют малые интервалы. Длины этих интервалов
зависят от амплитуды возбуждения, а сами интервалы
стягиваются в точки (соответствующие критич. часто-
частотам), когда амплитуда возбуждения стремится к нулю.
Пусть icoj, . . ., iсо^ — собственные значения 1-го рода
матрицы J~1HQ (тогда — гши . . ., —ш^ имеют 2-й род).
Пусть й)у-+сод=^0 (;, Л=1, .... к). Критич. частотами
являются числа G//J) = (coy+a>ft)/iV (/, h=\, ..., к, N=
= ±1, ±2, ...) и только они (см. [2]). Пусть в (9)
Щ = Н0-{-гН1 (Щ, е— малый параметр;
f^iaifj 0 = ±l, ±2, ..., ±к), @/ = -©,-,
Систему векторов /у можно выбрать нормированной ус-
условием (/у, /ft) = 6yft sign/ (;=±1, ..., ±к). На плос-
плоскости {е, 6} вблизи оси G точки {е, 6}, для к-рых урав-
уравнение (9) с Н(Qt) = H0~\-eH1(Qt) сильно неустойчиво,
)
заполняют области Qj (e)<G—G/h ' <й2(е), примыкаю-
примыкающие к точкам @, ej^), где ^ ?=е//?° +ец1,г+0(е'7«)
(имеется в виду «общий» случай, см. [3]). Числа \ilt
ц2 просто выражаются через Нш) и /у (см., напр., [3]).
Величина | (-ff(jV)/y> f-k)\ характеризует «степень
опасности» критич. частоты G//,': чем больше эта вели-
величина, тем шире «клинышек» неустойчивости, примы-
примыкающий к точке @, Q'jh'), и тем ближе к оси G подходит
внутри этого клинышка область а — экспоненциального
возрастания решения с малым а>0 (подробнее см. в
[3]). Другие сведения имеются в [10], [12], [13].
Результаты, аналогичные перечисленным, имеются
для уравнений A) с комплексными коэффициентами
(Н(t) — эрмитова матрица функции, J*— — J, det JV=0,
см., напр., [И]). В работе [14] рассмотрена более
общая система
где <?(*)* = -0@. S(t)* = S(t), det Q @
T)=Q{t), S(t + T)=S(t).
| Выяснено, что как в комплексном, так и в действитель-
действительном случаях имеется конечное число областей устой-
устойчивости, получены их характеристики в терминах
свойств решений соответствующих уравнений.
Ряд аналогичных результатов получен также для
операторных уравнений B) в гильбертовом пространст-
пространстве с ограниченными и неограниченными операторными
коэффициентами (см. [15], [16]).
Лит.: [11 Л я п у н о в А. М., Общая задача об устойчивости
движения, Собр. соч., т. 2, 1956, с. 7—263; [2] К р е й н М. Г.,
в сб.: Памяти А. А. Андронова, М., 1955, с. 413—98; [3] Яку-
Якубович В. А., Старшинский В. М., Линейные диффе-
дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и
их приложения, М., 1972, гл. 3; [4] Г е л ь ф а н д И. М., Л и д-
с к и й В. Б. «Успехи матем. наук», 1955, т. 10, № 1, с. 3 — 40;
[5]Sternberg R. L., «Duke Math. J.», 1952, v. 19, Mi 2,
p. 311—22; [6] Я к у б о вич В. А., «Матем. сб.», 1962, т. 56 (98),
№ 1, с. 3—42; [7] К р е й н М. Г., Я к у б о в и ч В. А., в кн.:
Тр. Международного симпозиума по нелинейным колебаниям,
т. 1, К., 1963, с. 277—305; [8] Лидский В. Б., «Докл.
АН СССР», 1955, т. 102 № 5, с. 877—80; [9] Д е р г у з о в В. М.,
«Матем. сб.», 1964, т. 63 A05), Ni 4, с. 591—619; [10] М о s e r J.,
«Comm. Pure Appl. Math.», 1958, v. 11, Лгв 1, p. 81 — 114; [11]
С о p p e 1 W. A., H о we A., «J. Austral. Math. Soc», 1965, v. 5,
Ni 2, p. 169—95; [12] Митропольский Ю. А., Метод
усреднения в нелинейной механике, К., 1971; [13] Е р у-
гин Н. П., Линейные системы обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими
коэффициентами, Минск, 1963; [14] Лидский В. Б.,
Фролов П. А. «Матем. сб.», 1966, т. 71 A13), Jms 1,
с. 48—64; [13] Д а л е ц к и й Ю. Л., К р е й н М. Г., Устой-
Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом про-
пространстве, М., 1970, гл. 5; [16] Фомин В. Н., Математиче-
Математическая теория параметрического резонанса в линейных распреде-
распределенных системах, Л., 1972. В. А. Якубович.
ГАММА-КОРРЕЛЯЦИЯ — двумерное распределе-
распределение неотрицательных случайных зависимых величин
Xj и Х2, задаваемое плотностью
Р (*i, Х2) = Pi (xi) Pz (xz) 2X=° ckak Ць1 К) L%2 (Х2>,
где 0<xv<oo, av>Y> —I, Pv (xv)=x%ve-x\/T (av+l),
L^v(xv)— Лагерра многочлены, ортонормированные на
положительной полуоси с весом pv(xv), v=l,2;
__ Г (y + ft+1) / Г (a,+ l) Г (a, + l)
ak— r(v+l) V г («i + ft+1) Г (a2 + fc + l) '
ck= Г K"dF (X), k = 0, 1, 2, ...,
J о
F (X) — произвольная функция распределения на отрез-
отрезке [0, 1]. Коэффициент корреляции между Х1 и Х2 равен
г, у + 1 При a1=a2 = Y получается симметрич-
l/(a1 + i)(a2 + i)
ная Г.-к., тогда ak=i, k=0, I, 2, . .., и соответствую-
соответствующая характеристич. функция имеет вид
если F(X) такова, что Р (X~R) = 1, то ck = Rk и ф (tx, t2) =
= [1 — itx — it2— txt2 A— Л)], причем Л есть
коэффициент корреляции между Х1 и X2@<i?<l). В
последнем случае ряд для плотности суммируется с
помощью формулы (см. [2]):
где If— функция Бесселя от мнимого аргумента [2].
Лит.: [1] Сарма нов И.О., в кн.: Тр. Гидрологического
ин-та, 1969, в. 162, с. 37—61; [2] Miller-Lebedeff
W. «Math. Ann.» 1907, Bd 64, S. 388—416. О. В. Сарманов.
ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — непрерывное сосре-
сосредоточенное на положительной полуоси 0<;г<°о рас-
распределение вероятностей с плотностью
где X — параметр, принимающий положительные зна-
значения, и Г (X) — гамма-функция Эйлера
Соответствующая функция распределения при
равна нулю, а при х>0 выражается формулой
Интеграл в правой части наз. неполной гам-
гамма-функцией. Плотность g^ (x) унимодальна
и при Я>1 достигает максимума (Я — 1)^—1е~<*¦-н/Г(Я)
в точке ж=Я — 1. При 0<Я<1 плотность g^ (x) с ростом х
монотонно убывает, причем если х—>-+0, то g^ (x) не-
неограниченно возрастает. Характеристич. функция Г.-р.
имеет вид
Ф @ = A-")"*••
Моменты Г.-р. выражаются формулой
k I ч J Г
(Л)
в частности, математич. ожидание и дисперсия равны
X. Г.-р. замкнуто относительно операции свертки:
Г.-р. играют не всегда явную, но значительную роль
в приложениях. В частном случае Я=1 получается
показательная плотность. В теории
массового обслуживания Г.-р. при Я, принимающем
целочисленные значения, наз. Эрланга распределением.
В математич. статистике Г.-р. часто встречаются бла-
благодаря тесной связи с нормальным распределением,
т. к. сумма квадратов %2=Xi+. . . + АГ« взаимно неза-
независимых @,1) нормально распределенных случайных
величин имеет плотность 0,5 gn^(xl2) и наз. х и-к в а д-
рат плотностью с п степенями свободы. Ввиду
этого с Г.-р. связаны многие важные распределения в
задачах математич. статистики, где рассматриваются
квадратичные формы от нормально распределенных
случайных величин (напр., Стъюдента распределе-
распределение, ^-распределение и z-распределение Фишера). Ес-
Если Хг и Х2 независимы и распределены с плотностями
g^ и g^ , то случайная величина Х1/(Х1-\-Х2) имеет
плотность
к-рая наз. плотностью бет а-р а с п р е д е-
л е н и я. Плотности линейных функций аХ-\-Ь от
случайных величин X, подчиняющихся Г.-р., состав-
составляют специальный класс распределений — так наз.
«тип III» семейства распределений К. Пирсона (К. Pear-
Pearson). Плотность Г.-р. является весовой функцией систе-
системы ортогональных многочленов Лагерра. Значения
функции Г.-р. можно вычислить по таблицам неполной
гамма-функции (см. [1]).
Лит.: Ш Пагурова В. И., Таблицы неполной гамма-
функции, М., 1963. 4. В. Прохоров.
ГАММА-ФУНКЦИЯ, Г-функция,— трансцен-
трансцендентная функция Г (z), распространяющая значения
факториала z! на случай любого комплексного z=^=0, —1,
-2, .... Г.-ф. введена Л. Эйлером [(L. Euler), 1729,
письмо к X. Гольдбаху (Ch. Goldbach)] при помощи
бесконечного произведения
Г (Z) -= lim —; гт
2 (*+l)
= lim
из к-рого Л. Эйлер получил интегральное представле-
представление (эйлеров интеграл второго рода)
Г(г)=\ хг~1е~х dx,
верное для Re z >0. Многозначность функции х*-1 устра-
устраняется формулой xz-i—e(z—i)lnx c действительным
In х. Обозначение Г(г) и назв. Г.-ф. были предложены
А. М. Лежандром (А. М. Legendre, 1814).
Если Rez<0 и -к- l<Re z<-k, к=0, 1, 2,
то Г.-ф. может быть представлена интегралом
Кош и — Зальшюца:
х'-1 (е-х — У (_1)<в* ) dx.
О V Х-ш4т=о К ' ml /
На всей плоскости z с выброшенными точками z=0,
— 1, —2, . . . для Г.-ф. справедливо интеграль-
интегральное представление Ганкеля:
где sz~1=e(-z~1'ln s, причем In s есть ветвь логарифма,
для к-роп 0<arg In s -<2я; контур С изображен на
рис. 1. Из представления Ганкеля видно, что Г(г) —
мероморфная функция. В точках zn= — re, re = 0, 1,2,...,
она имеет простые полюсы с вычетами (—1)"/ге!
е
Основные соотношения и свой-
свойства Г.-ф.
I) Функциональное уравнение Эй-
Эйлера:
Г(Г
ГA)=1, Г(ге+1)=ге!, если ге>0 — целое, при этом
считают 0!^ГA)=1.
2) Формула дополнения Эйлера:
Г(г)ГA—z) = ^—.
4 ' v ' sin яг
В частности,
Г/ 1 \ ,/—
г(т)= V л>
если ге>0— целое, то
| ^ !/ —Действительное.
3) Формула умножения Гаусса:
Пт-1 / . n ^1Г_ —-mz
,=or(AjB 2 2
m = 2, 3, 4, ... .
При m=2 это есть формула удвоения Ле-
Лежа н д р а.
4) При Re z^i8>0 или |Im z|>6>0 имеет место асим-
птотич. разложение In Г (z) в р я д С т и р л и н г а:
In Г (z) = (z — 4-) Inz — г + ^1
т=1,2, ...,
где В2п — Бернулли числа. Из чего следует равенство
51840 2488320
В частности,
j
х, о < е < 1.
Более точной является формула Сон и на
[6]:
11
5) В действительной области Г(ж)>0 для ж>0 и
принимает знак (—1)* + 1 на участках — к— 1<ж<— к,
У
5
-1
—2
-3
-4
-5
-4 -3 -2 -1 0 ! 2 3 4
Рис. 2. График функции у=Г (ж).
fc=0, 1,2,... (см. рис. 2). Для всех действительных х
справедливо неравенство
ГГ" > Г'2 3s О,
т. е. все ветви как 'Г (ж),, так и In |Г(г)[ —выпук-
—выпуклые функции. Свойство логарифмич. выпуклости опре-
определяет Г.-ф. среди всех решений функционального
уравнения
-2
О
с точностью до постоянного множителя.
Для положительных х Г.-ф. имеет единственный ми-
минимум при х= 1,4616321 ..., равный 0,885603... . Локаль-
Локальные минимумы функции [Г(ж)| при х^>-— оо образуют
последовательность, стремящуюся к нулю.
- Ч"
-3
1.2
0,8
0,4
0,0
-0,4
-0.8
-1,2
Рис. 3. График функции -- .
I (X)
6) В комплексной области, при Re z>0, Г.-ф. быстро
убывает при |Im z\—>-oo
4--Rez i |Imz|
lim \T(z)\\lmz\z el = У 2я.
I Im z 1-х»
7) Функция 1/Г (z) (см. рис. З) является целой функ-
функцией 1-го порядка максимального типа, причем асимп-
асимптотически при г—>-оо
In M(r)~r In г,
\
\
к
\*
У
1
i
л
г
1
V
ч
ч
/
j
ч
^-
ч s
¦»¦
где
М (г) = max .
| г \ = г I Г<2) [
Она представила бесконечныл произве-
произведением Вейерштрасса:
абсолютно и равнолерно сходящимся на любом кол-
пактном множестве колплексной плоскости (здесь С—
Эйлера постоянная). Справедливо интеграль-
интегральное представление Ганкеля:
где контур С* изображен на рис. 4.
э
О ] Рис. 4.
Интегральные представления для степеней Г.-ф.
были получены Г. Ф. Вороным [7].
В приложениях большую роль играют так наз. п о-
лигамма-функции, являющиеся к-мм произ-
производными от In F(z). Функция (гр-ф ункция Г а-
усса)
4 ^
"'Jo
мероморфна, имеет простые полюсы в точках z=0, —1,
—2, ... и удовлетворяет функциональному уравнению
Из представления г|э(г) при |z| <1 следует формула
где
5ь=У~ „-*;
эта формула полезна для вычисления Г (z) в окрест-
окрестности точки z=l.
О других полигамма-функциях см. [2]. Неполная
гамма-функция определяется равенством
Функции Г(z), i|)(z) суть трансцендентные функции,
не удовлетворяющие никакому линейному дифферен-
дифференциальному уравнению с рациональными коэффици-
коэффициентами (теорема Гёльдера).
Исключительная роль Г.-ф. в математич. анализе
определяется тем, что при помощи Г.-ф. выражается
большое количество определенных интегралов, беско-
бесконечных произведений и сумм рядов (см., напр., Бета-
функция). Кроме того, Г.-ф. находит широкие приме-
применения в теории специальных функций (гипергеометри-
(гипергеометрической функции, для которой Г.-ф. является предель-
предельным случаем, цилиндрических функций и др.), в анали-
тич. теории чисел и т. д.
Лит.: [1] У и т т е к е р Э. Т., В а т с о н Д ж. Н., Курс
современного анализа, пер. с англ., т. 2, 2 изд., М., 1963; [2]
Б е й т м е н Г., Э р д е й и А., Высшие трансцендентные функ-
функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лешандра, пер.
с англ., М., 1965; [3] Б у р б а к и Н., Функции действитель-
действительного переменного. Элементарная теория, пер. с франц., М.,
1965; [4 ] Математический анализ. Функции, пределы, ряды,
цепные дроби, (Справочная математическая библиотека), М.,
1961; [51 Nielsen N., Handbuch der Theorie der Gamma-
funktion, Lpz., 1906; [6] С о н и н Н. Я., Исследования о ци-
цилиндрических функциях и специальных полиномах, М., 1954;
И Вороной Г. Ф., Собр. соч., т. 2, К., 1952, с. 53—62:
[8] Я н к е Е., Э м д е Ф., Леш Ф., Специальные функции.
Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 2 изд., М., 1968; [91
А н г о А., Математика для электро- и радиоинженеров, пер.
с франц., 2 изд., М., 1967. Л. П. Кутков.
ГАММЕРШТЕЙНА УРАВНЕНИЕ — нелинейное ин-
интегральное уравнение вида
ф
(ж)+\ К (х, s) f [s, <p (s)] ds = O,
где К (x, s) и / (x, s) — заданные функции, а ф (х) —
искомая функция. Названо по имени А. Гаммерштейна
[1], рассмотревшего случай, когда К(х, s) есть фред-
гольмово симметричное и положительное ядро, т. е.
все его собственные значения положительны. Если,
кроме того, функция f(x, s) непрерывна и удовлетворя-
удовлетворяет условию
\f(x, *)\<сСМ + Сг,
где Cj и С2— положительные постоянные, причем Cj
меньше первого собственного значения ядра К (х, s), то
Г. у. имеет по крайней мере одно непрерывное решение.
Если же для любого фиксированного х из интервала
(а, Ь) функция f(x, s) является неубывающей функцией
от s, то Г. у. может иметь не более одного решения. Это
последнее свойство сохраняется и в том случае, если
функция /(ж, s) удовлетворяет условию
|/(ж, st)-f(x, s2)|<C|Sl-s2|,
где положительная постоянная С меньше первого соб-
собственного значения ядра К(х, s). Для построения реше-
решения Г. у. можно применять последовательных прибли-
приближений метод.
Лит.: [1] Hammerstein A., «Acta math.», 1930, Bd 30,
S. 117—76; [2] T p и к о м и Ф., Интегральные уравнения, пер.
с англ., М., 1960; [3] В а й н б е р г М. М., Вариационные ме-
методы исследования нелинейных операторов, М., 1956; [4] К р а с-
носельский М. А., Топологические методы в теории не-
нелинейных интегральных уравнений, М., 1956; [5J Смирнов
Н. С, Введение в теорию нелинейных интегральных уравне-
уравнений М.—Л. 1936. Б. В. Хведелидзе.
ГАНКЕЛЯ ФУНКЦИИ, Ханкеля функ-
функции,— цилиндрические функции 3-го рода. Г. ф.
могут быть следующим образом определены через Бес-
Бесселя функции:
J_ lz)-e-lPnJ (г)
НР W ismpn
(р-нецелое). Отсюда вытекают важные соотношения
Г. ф. комплексны при действительных значениях z;
однако
(iz) и Г ("+1) Hf (-iz)
действительны, если z действительно и положительно.
Г. ф. обладают простыми асимптотич. представлениями
при больших \z\:
/
Г. ф. «полуцелого» аргумента р=ге+1/2 выражаются
через элементарные функции, в частности:
Г. ф. введена Г. Ганкелем (Н. Hankel, 1869).
Лит.: [1 ] Я н к е Е., Э м д е Ф., Леш Ф., Специальные
функции. Формулы, графики, таблицы, 2 изд., пер. с нем., М.,
1968. П. И. Лизоркин.
ГАРМОНИЗУЕМАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА —
поток, траектории к-рого после нек-рой замены времени
становятся почти периодическими. Обычно при этом
еще требуют, чтобы каждая траектория была всюду
плотна в фазовом пространстве (так что можно говорить
о гармонизуемом минимальном множестве). Д- в- Аносов.
ГАРМОНИЗУЕМЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС —
комплекснозначная случайная функция Х = Х (?) дейст-
действительного параметра t, допускающая представление в
виде стохастического интеграла
к ет йФ (X) = \\т^иеш Д^Ф (Я), (*)
где Ф (Я,),— оо<Х<оо,— случайный процесс. Прира-
Приращения ДАФ (Х)=Ф (Я^ + 1) — Ф (Xk) в (*) задают случай-
случайные «амплитуду» А^= | Л/гФ (Х)\ и «фазу» 6,fe = arg ДАФ (X)
элементарных колебаний вида
Ае1№ + в) = еш АкФ(Х)
частоты X, Xk<X,<Afc + i, суперпозиция к-рых в пределе
дает случайный процесс X = X(t). Переход к пределу (в
среднем квадратичном) в представлении (*) осуществ-
осуществляется при все более мелком разбиении прямой — оо <
<Я<оо на интервалы Д^ = (Xkt X^ + i), когда max (A.? + 1 —
h
—A,fc)—>-0. Обычно предполагают, что
F (Д2 X Д2) = Е (Ai<D ¦ Д1Ф)
как функция множеств Aj X Д2 на плоскости задает комп-
комплексную меру ограниченной вариации; в этом случае
соответствующий процесс Ф (Я), — оо<Я<оо [или точ-
точнее, соответствующая случайная мера <М> (X)] одно-
однозначно определяется самим процессом X (t), — 00 <?<оо:
ДФ (X) = lim -w \ —t X(t)dt
Т -*- со J J
для любого интервала Д= (Хг, Х2) такого, что d0(X{) =
= dO(X2) = 0 и
Ф(Х)= lim [T e~ixtX(t)dt
для любой точки X, — оо<Я<оо. Случайный процесс
X (t), — 00 <г<оо, является Г. с. п. тогда и только тогда,
когда его корреляционная функция представима в виде
B
J—C
Примеры Г. с. п. 1) Стационарный случайный
процесс. Если
— стационарный случайный процесс, то процесс вида
X(t) = c(t)X0(t),
где с («) = \ elUm(dX), m(dX) — некоторая мера на
1 —00
прямой, вообще говоря, уже не будет стационарным,
но он будет гармонизуемым:
P (),
J — 00
где случайная мера dФ (X) определена формулой
ДФ(Я)=^ m(A — X)dФ0(X).
2) Процесс, определяемый с помощью скользя-
скользящего суммирования
[™ c(t — s)dZ(s),
где dZ (t) — нек-рая случайная мера на прямой, а ве-
весовая функция c(t) того же типа, что и выше:
с(()=Гя eium(dX);
в этом случае
X(t) = \* eiudO(k),
где
ДФ (к) = \ I \ e~~l%t dZ (t) | m (dk).
Лит.: [ll Л о э в М., Теория вероятностей, пер. с англ.,
М., 1962, с. 486 —511. Ю.А.Розанов.
ГАРМОНИКА — простейшая периодич. функция
виДа л =;
Эта функция встречается при рассмотрении многих ко-
колебательных процессов. Число А наз. амплитудой, со —
частотой, ф — начальной фазой, Т=2к/ы — периодом
колебания. Функции sin Bа>х-{-cp), sin (Зсох+ф), ...,
наз. соответственно второй, третьей и т. д. высшими Г.
относительно основной Г. Помимо самих Г., рассмат-
рассматривают их суммы
так как очень широкий класс функций разлагается в
ряды вида (*) для изучения различных процессов.
А. И. Барабанов.
ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ — термин, иногда
применяемый для обозначения емкости множества в
евклидовом пространстве R", получаемой методом
классической потенциала теории при помощи ньютоно-
ньютонова потенциала при ге^З или логарифмического потенциа-
потенциала при гс=2, в отличие от аналитической емкости или
емкостей, получаемых при помощи потенциалов других
ТИПОВ. Е. Д. Соломепцев.
ГАРМОНИЧЕСКАЯ МАЖОРАНТА, и а и м о н ь-
шая гармоническая мажоранта v(x)
семейства {«,},— нижняя огибающая семейства
3$= {vk} всех супергармонич. мажорант v^ семейства
{и,} субгармонич. функций на открытом множестве
D евклидова пространства R", геЭ=2, т. е.
v(x)--=M{vk(x); ibgSB}, x?D.
Г. м. v(x) либо является гармонич. функцией, либо
у(ж)=+°°- В случае семейства, состоящего из одной
функции и, субгармонической на более широком мно-
множестве D0^>D, иногда используется также понятие
наилучшей Г. м. v* — решения обобщенной зада-
задачи Дирихле для D но значениям и на границе T=dD.
Всегда v* — iCSsO, причем справедлива формула [1]
v*(x)-v(x)=-{G(x, у) dp (у), x?D,
где (X — ассоциированная с и мера, |is?:0, G(x, у) ¦
(обобщенная) функция Грина задачи Дирихле для D.
Наилучшая и наименьшая Г. м. совпадают тогда и
только тогда, когда множество всех иррегулярных
точек Г имеет ц-меру нуль.
Соответственно, если {и,} — семейство супергар-
супергармонич. функций на D, то наибольшая гар-
гармоническая миноранта w(x) семей-
семейства {«,-} определяется как верхняя огибающая се-
семейства всех субгармонич. минорант семейства {«,};
при этом —w(x) есть наименьшая Г. м. для семейства
Другую постановку вопроса о Г. м., связанную с
задачей Коти для уравнения Лапласа, см. в ст. Гар-
Гармоническая функция.
Лит.: [JiFrostman О., Potentiel d'equilibre et capacite
des ensembles avec quelques applications a la theorie des foncti-
ons, Lund, 1935; [2] Брело М., Основы классической теории
потенциала, пер. с франц., М., 1964, гл. 2, 9. Е. Д. Соломенцев.
ГАРМОНИЧЕСКАЯ МЕРА - понятие теории гар-
гармонических функций, возникшее в связи с проблемами
оценки модуля аналитич. функции внутри области,
когда известны те или иные оценки модуля на границе
области (см. [1], [2]). Пусть D — ограниченное откры-
открытое множество евклидова пространства R", га^=2, Г=
= dD — граница D; f=f(y) — конечная действитель-
действительная непрерывная функция на Г. Каждой такой функ-
функции / соответствует единственная гармонич. функция
IIj(x) на D, являющаяся для / обобщенным решением
Дирихле задачи. Если считать точку x?D фиксирован-
фиксированной, то функционал IIj(x) определяет на компактном
множестве Г положительную борелевскую меру со (х) =
= <л(х; D), к-рая и называется гармонической
мерой в точке х. Для всякой непрерывной на
Г функции / справедлива формула представления обоб-
обобщенного решения задачи Дирихле
Я/(*) =
полученная Ш.-Ж. Балле Пуссеном [3] выметания мето-
методом. Более того, если Е — произвольное борелевское
множество на Г, то Г. м. со (х; Е, D), x?D, множества
Е в точке х равна значению в х обобщенного решения
задачи Дирихле для характеристич. функции Xa(#)i
у(;Г, множества Е.
Основные свойства Г. м: со (.г; Е, D) — гармонич.
функция точки i на й;
0<co(z; Е,
1-ш(х; Е, ?>)=co(z; Г\Е, D);
если D — область и со (х; Е, D)=0 хотя бы в одной
точке ж ? D, то со (ж; Е, Z>)=0.
В последнем случае Е наз. множеством ну-
нулевой Г. м. Если компактное множество KdRn
имеет нулевую Г. м. относительно какой-либо одной
области D, KdD, то есть со (ж; К, D\K)=0, то оно име-
имеет нулевую Г. м. относительно любой другой области
D, KdD, то есть К есть множество нулевой аб-
абсолютной Г. м. Множество К имеет нулевую
абсолютную Г.м. тогда и только тогда, когда оно имеет
нулевую (гармоническую) емкость.
С точки зрения приложений к теории функций комп-
комплексного переменного особенно важное значение име-
имеет зависимость Г. м. от области D, выражаемая гармо-
гармонической меры принципом, сущность к-рого состоит в
том, что при отображениях области D, осуществляе-
осуществляемых однозначными аналитпч. функциями w=w{z),
z?D, Г. м. не убывает. В частности, при взаимно одно-
однозначном конформном отображении Г. м. не изменяется.
Явное вычисление Г. м. удается провести лишь для
простейших областей D (прежде всего, для круга и ша-
шара, полуплоскости, полупространства; см. Пуассона
интеграл). Поэтому важное значение имеют различные
методы оценки (см. [4]—[7]) Г. м., базирующиеся в ос-
основном на расширения области принципе. В простей-
простейшей форме при ге=2 он состоит в следующем: пусть
конечносвязная область D ограничена конечным чис-
числом жордановых кривых Г, а — дуги, лежащие на Г.
Тогда, если область D расширяется каким-либо обра-
образом через дополнительную часть Г\а границы, то Г. м.
со (z; a, D) может только увеличиться.
Лит.: [1] С а г 1 е m a n Т., «Ark. mat.», 1921, Bd 15,
Ms 10, p. 1—7; [21 N e v a n 1 i n n a F., Nevanlinna R.,
«Acta Soc. scent, fennica», 1922, n. 50, № 5; [3] d e la Vail ее
Poussln Ch.-J., «Ann. Inst. H. Poincare», 1932, v. 2, p.
169—232; [4] Неванлинна Р., Однозначные аналитические
функции, пер. с нем., М,—Л., 1941; [5] Г о л у з и н Г. М.,
Геометрическая теория функций комплексного переменного,
2 изд., М., 1966; [6J Б р е л о М., Основы классической теории
потенциала, пер. с франц., М., 1964; [7] Haliste К., «Ark.
mat.», 1965, Bd 6, № 1, p. 1 — 31. E. Д. Соломепцев.
ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФОРМА - внешняя диффе-
дифференциальная форма а на римановом многообразии М,
- [ удовлетворяющая уравнению Да=0, где Д — db-\-6d —
Лапласа оператор, соответствующий римановой метри-
метрике на М, а б — оператор, сопряженный к внешнему диф-
дифференциалу d. Если а имеет компактный носитель, то
гармоничность формы а равносильна равенствам Лх=
= ба=0. Г. ф. степени р на М образуют векторное про-
пространство HP(M) над полем R. Если риманово много-
многообразие М компактно, то HP (M) конечномерно, как
ядро эллиптич. оператора Д. Поскольку Г. ф. замк-
замкнута, в силу теоремы де Рама возникает естественное
отображение пространства HP (M) в пространство
Нр(М, R) вещественных когомологии степени р много-
многообразия М. Из Ходжа теоремы следует, что это отобра-
отображение является изоморфизмом. В частности, гармо-
гармония, функции, то есть Г. ф. степени 0, на связном ком-
компактном многообразии постоянны.
Г. ф. на компактном римановом многообразии инва-
инвариантны относительно любой связной группы изомет-
рий этого многообразия, а для симметрического про-
пространства М пространство HP (М) совпадает с прост-
пространством р-форм, инвариантных относительно наиболь-
наибольшей связной группы изометрий.
Параллельная теория Г. ф. существует для эрмитовых
многообразий М. Г. ф. на эрмитовом многообразии М —
это комплексная форма, лежащая в ядре оператора
Бельтрами — Лапласа Ц. Г. ф. типа (р, д) составляют
пространство HP'Q(М) над С. Если М компактно, то
НР'Ц(М) конечномерно и естественно изоморфно про-
пространству когомологии Дольбо. В случае, когда М —
кзлероео многообразие, эти два понятия Г. ф. факти-
фактически совпадают, поскольку ?=G = 1/2A. В этом
случае
Hp'q(M) = Hq' Р(М)
Н* (М) <g) С =2p+C=ftHP' q (М).
Пусть со— кэлерова форма на М, L — оператор внеш-
внешнего умножения на со, Л — сопряженный к L оператор,
Ho'Q (M) — пространство примитивных гармо-
гармонических форм тина (р, q), т. е. форм а^НР'Ч(М),
для которых Ла=0. Для р^д и р + 9< dinij-. M спра-
справедливо равенство
ЦР' 1 (М) = 2LoLS Hl~S' q's(M) =
Для компактного кэлерова многообразия М простран-
пространство НР'°(М) совпадает с пространством Qp (M) голо-
голоморфных форм степени р. В частности,
/Л (М) (g) С = Q1 (М) + ОЧЖ).
Изучение гармония, функций и форм на римановых
поверхностях восходит к Б. Риману (В. Riemann),
сформулированные к-рым теоремы существования были
полностью обоснованы к началу 20 в. Теория Г. ф. на
компактных римановых многообразиях была впервые
изложена У. Ходжем (см. [1]).
В дальнейшем были даны различные обобщения тео-
теории Г.ф. Пусть на римановом (соответственно эрмито-
эрмитовом) многообразии М задано локально плоское (соот-
(соответственно аналитическое) векторное расслоение Е
и пусть на слоях расслоения Е задана евклидова (соот-
(соответственно эрмитова) метрика. При помощи надлежа-
надлежащего обобщения оператора Лапласа (соответственно
Бельтрами — Лапласа) (см. [4], [8]) определяются про-
пространства НР(Е) (соответственно НР'Ч (Е) ) гармония,
форм со значениями в Е (см. Дифференциальная фор-
форма). Если М компактно, то эти пространства конечно-
конечномерны и изоморфны соответствующим пространствам
когомологии де Рама и Дольбо, допускающим в свою
очередь интерпретацию в терминах когомологии пучков.
В случае локально плоского расслоения эти когомологии
тесно связаны также с когомологиями группы щ(М).
Если М не компактно, то пространство Г. ф. с инте-
интегрируемым квадратом изоморфно пространству кого-
когомологии комплекса форм с интегрируемым квадра-
квадратом [2]. В случае, когда М — область с гладкой гра-
границей и компактным замыканием М в кэлеровом много-
многообразии М, можно рассматривать также пространство
Г. ф. типа (р, q) со значениями в векторном анали-
тич. расслоении Е над М, гладких в М и непрерывных
в М. Если М строго псевдовыпукла, то это пространство
конечномерно и изоморфно пространству когомологии
Дольбо, соответствующему Е над М [9].
Г. ф. являются мощным средством изучения когомоло-
когомологии вещественных и комплексных многообразий, а так-
также когомологии дискретных групп. Из теории Г. ф.
выводятся основные когомологич. свойства компактных
кэлеровых многообразий и, в частности, проективных
алгебраич. многообразий [1], [4], [5]. С помощью Г.ф.
удается установить связь между кривизной компакт-
компактного риманова многообразия и тривиальностью неко-
некоторых его групп когомологии [6], [7]. Аналогичные
связи имеют место в комплексной аналитич. геометрии
(см. [4], [5]) и в теории дискретных групп преобра-
преобразований (см. [8]).
Лит.: [1] Hodge W. V. D., The theory and applications
of harmonic integrals, 2 ed., Camb., 1952; [2] де Рам Ж.,
Дифференцируемые многообразия, нер. с франц., М., 1956;
[3] Шварц Л., Комплексные аналитические многообразия.
Эллиптические уравнения с частными производными, пер.
с исп., М., 1964; [4] Уэллс Р., Дифференциальное исчис-
исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976;
[5] Ч ж э н ь III э н-ш я н ь, Комплексные многообразия, пер.
с англ., М., 1961; [6] Goldberg S., Curvature and homology,
N. Y.— L., 1962; [7] Я н о К., Б о х н е р С, Кривизна и числа
Бетти, пер. с англ., М., 1957; [8] Мацусима Й., М у р а-
к а м и С, «Математика», 1965, 9 ; о, с. 27—77; [9] Кон Д ж.
Д ж., «Математика», 1964, 8 : 1, с. 108—41; 8 : 3, с. 80—101.
А. Л. Онищик.
ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — действительная
функция и(х), заданная в области D евклидова прост-
пространства R", ;г^г2, имеющая в D непрерывные частные
производные 1-го и 2-го порядков и являющаяся реше-
решением Лапласа уравнения
AmsJ!IL + J5l+...+.«!?_ = 0,
где ху, з-2, . . ., хп— декартовы прямоугольные коор-
координаты точки х. Иногда это определение распростра-
распространяется и на комплексные функции w(x)=u (z)+
-j- iv(x) в том смысле, что их действительные и мнимые
части Не w(x) = u(x) и Im w(x) = v(x) являются Г. ф.
Требования непрерывности и, даже, наличия производ-
производных не являются априори необходимыми. Напр., спра-
справедлива одна из теорем Привалова: непре-
непрерывная в D функция и(х) является Г. ф. тогда и толь-
только тогда, когда в любой точке x?D для всех доста-
достаточно малых Я >0 выполняется свойство среднего
где Вп(х, R) — шар радиуса R с центром х, ып(Я)~
объем шара Вп(х, R), dy — элемент объема в R".
В случае неограниченной области D с компактной
границей 3D Г. ф. может быть доопределена в беско-
бесконечно удаленной точке оо, т. е. может быть доопределе-
доопределена в областях компактифицированного по Александрову
пространства R". Общий принцип такого доопределе-
доопределения состоит в том, чтобы при простейших преобразова-
преобразованиях, сохраняющих гармоничность (в случае ге=2 —
инверсия, в случае ге^З— Кельвина преобразование)
и переводящих конечную точку х0 в оо, Г.ф. в окрестно-
окрестности х0 переходила в Г. ф. в окрестности оо. Исходя из
этого, считают Г.ф. й(л) регулярной в бес-
конечности при л^З, если
lim u(x) = 0, \х\=У\
\Х | -> СО
Таким образом, в случае регулярной в бесконечности
Г.ф. и(х) при л^З всегда и(оо) = 0. При ге=2 должно
выполняться условие
и,*) = 0A), |z|-+OO,
из к-рого вытекает существование конечного предела
lim и(х) = и (оо).
\х\ ->- со
Под Г. ф. в неограниченных областях обычно понима-
понимаются регулярные в бесконечности Г. ф.
В теории Г. ф. важную роль играют главные фунда-
фундаментальные решения уравнения Лапласа
Аз (х)=ъгln nh~при п=2'
h при п
где ап— площадь единичной сферы пространства R".
При |ж|>0 это—Г. ф. С помощью фундаментальных
решений записывается основная формула теории Г. ф.,
выражающая значения Г. ф. и (х) внутри области D
через ее значения и(у) на границе S=dD и через зна-
значения ее производной по направлению внешней нор-
нормали ди (у)/д\ к S в точке у:
ди(у) ЭЛ (ж-у)"
%
da (у) =
u(x), x?D,
0, x^D.
Эта формула Грина справедлива, напр., при
условии, что функция и(х) и ее частные производные
1-го порядка непрерывны в замкнутой области D, т. е.
u(x)?Cl(D), граница S к-рой есть кусочно гладкая
замкнутая поверхность или кривая. Она дает пред-
представление произвольной Г. ф. и (х) в виде суммы по-
потенциалов простого и двойного слоя (см. Потенциала
теория). Плотности этих потенциалов, т. е. соответст-
соответственно граничные значения du(y)!dv и и (у), не могут
быть заданы произвольно. Между ними имеется инте-
интегральная зависимость, выражаемая тем, что левая
часть последней формулы — интеграл Грина —
должна обращаться в нуль для всех точек х, лежа-
лежащих вне замкнутой области D. Основная формула
теории Г. ф. есть непосредственный аналог основной
формулы теории аналитич. функций — интегральной
формулы Коши (см. Коши интеграл). Эта формула
справедлива также при замене в ней главного фунда-
фундаментального решения hn любым другим фундаменталь-
фундаментальным решением уравнения Лапласа, достаточно глад-
гладким в D, напр, принадлежащим классу С1 (D).
Основные свойства Г. ф. в предполо-
предположении кусочной гладкости границы S области D (мно-
(многие из них с соответствующими изменениями верны
и для комплексных Г. ф.).
1) Если D — конечная область и Г.ф. и(я)? С1 (D),
2) Теорема о среднем значении:
если и(х)- Г. ф. в шаре В = В(х0, R) радиуса R с
центром х0 и и(х)^С1{В)^ то ее значение в центре шара
равно среднему арифметическому ее значений на сфере
S(x0, Л), т. е.
где on(R) — площадь сферы радиуса R в R". В пред-
предположении непрерывности и (х) это свойство может
быть принято за определение Г. ф.
3) Принцип экстремума: если D — об-
область в R™, не содержащая внутри точки оо, и(х) —
Г. ф. в D, u(a;)=^=const, то ни в какой точке xn^D
функция и(х) не может достигать локального экстре-
экстремума, т. е. в любой окрестности V(x0) каждой точки
xo?D найдется точка x*?V(x0), в к-рой и (х*) >и (х0),
и найдется точка х^^\'(х0), в к-рой и (х^) < и (х0)
(принцип экстремума в локальной ф о р-
ме). Если, кроме того, и (х)?С (D), то наибольшее и
наименьшее значения и(х) в замкнутой области D до-
достигаются только в точках границы dD (п р и н ц и и
экстремума в глобальной форме). С ле до-
вательно, если \и(х)\^.М на dD, то \и(х)\-^.М всю-
ДувВ".
Этот принцип допускает обобщения в различных на-
направлениях.
Например, если и(х)— Г. ф. в области D, не содер-
содержащей оо, и
lim sup и (х) < М
для всех точек y^dD, то и(х)^:М всюду в D.
4) Теорема о стирании особенно-
особенностей: если и(х) — Г. ф. в области ?>\{ж0}, xQ?D,
удовлетворяющая условию
то существует конечный предел
lim u(x) = u (х0)
х^-х0
и и(х), пополненная значением и(х0), есть Г. ф. в D.
5) Если и(х)— Г.ф. во всем пространстве R", п^2,
ограниченная сверху или снизу, то u(z) = const.
6) Если и(х)~ Г. ф. в окрестности точки .to^((^i)o>
(х2H, . . ., (ж„H), то и(х) разлагается в этой окрестности
в степенной ряд попеременным х1— (х^)а, . . ., хп— (хпH,
т. е. всякая Г. ф. есть аналитич. функция переменных
Xi, ..., хп\ следовательно, Г.ф. и (х) имеет производ-
производные всех порядков
дх
. .-\-кп=т,
к-рые в свою очередь являются Г. ф.
7) Свойство единственности: если и (х) —
Г. ф. в области DdR" и a(i) = 0 в пек-рой ге-мерной
окрестности какой-либо точки xg?D. то k(i) = 0 в D.
Если и (х) — аналитическая функция действительных пе-
переменных х = (хи ..., хп) в области BcR" и и (х) —
Г. ф. в пек-рой и-мертгой окрестности какой-либо точ-
точки xo?D, то и (х) — Г. ф. в D.
8) Принцип с и м м е т р н и: пусть граница dD
области flcR" содержит открытое в плоскости хп=0
множество G, и (х) — Г. ф. в D и u(x)=Q всюду на G,
D — область, симметричная с D относительно плоско-
плоскости z,,=0; тогда и (х) гармонически продолжается в
область D\JG\JD по формуле
и(х1г ..., *„_!, хп)= — и(хи ..__., хп_1,—хп),
(.clt . .., хп~х, хп) ?D.
9) Первая теорема Гарнака: если по-
последовательность {ип(х)} Г. ф. в ограниченной обла-
области D, непрерывных в замкнутой области D, сходится
равномерно на границе dD, то она сходится равномерно
в D, причем предельная функция
и(х)= lim un(x)
есть Г. ф. в D.
10) Вторая теорема Гарнака: если по-
последовательность {ип(х)} Г. ф. монотонна в области
D и сходится по крайней мере в одной точке xo?D,
то она сходится всюду в D к Г. ф.
и (х) = lim un (х).
п ->• со
См. также Гарнака неравенство, Гарнака теорема.
Имеется тесная связь между Г. ф. двух переменных
(ж-!, хг) и аналитич. функциями комплексного перемен-
переменного z=x1-\-ix2. Действительная и мнимая части ана-
аналитич. функции являются, быть может, многозначными,
сопряженными Г. ф., т. е. они связаны Коши —
Римана условиями. Если в окрестности точки (х®, x®)
задана Г. ф. и(х1, х2), то простейшее решение задачи
об отыскании аналитпч. функции /(z), г=ж1+гх2, для
к-рон и (хг, х2) = Re/(г), дается формулой Гурса:
/ (г) = 2и [ ^- , ^-)- и (х°, хО) + гС0,
где z° = х°—ix%, Co—произвольная действительная
постоянная. К многозначным Г. ф. в областях R",
rC^Z, приводят и нек-рые пространственные задачи
математич. физики.
Важное значение Г.ф. в математич. физике обуслов-
обусловлено прежде всего тем, что часто встречаются потен-
потенциальные векторные поля вида s— — grad u(x). Такие
поля в областях, свободных от источников поля, долж-
должны удовлетворять уравнению сохранения div s= —
— Au(z) = 0, т. е. уравнению Лапласа, а значит в таких
областях потенциал и (х) есть Г. ф.
Пример ы: если s— силовой вектор гравитацион-
гравитационного поля, то и (х) — ньютонов потенциал сил тяго-
тяготения; если s — поле скоростей установившегося дви-
движения несжимаемой однородной жидкости или газа, то
и(х)~ потенциал скоростей; если в — напряженность
электростатич. поля в однородной и изотропной среде,
то и(х) — потенциал электростатич. поля; если s—
напряженность стационарного магнитного ноля в одно-
однородной и изотропной среде, то и(х)— скалярный, как
правило, многозначный потенциал магнитного поля. В
случае стационарного распределения тепла в однород-
однородной и изотропной среде или стационарного распределе-
распределения диффундирующих частиц, Г. ф. и (х) является не-
непосредственно температура среды или соответственно
плотность частиц в точке х. К решению задач на
Г. ф. сводятся также многие важные вопросы теории уп-
упругости и теории электромагнитного поля.
В развитии теории Г. ф. и математич. физики особое
место занимает краевая Дирихле задача, или первая
краевая задача. Она состоит в отыскании гармонической
в области D и непрерывной в D функции и (х) по задан-
заданным ее непрерывным значениям и (у) на границе обла-
области S=dD. В случае достаточно гладкой поверхности
или линии S решение можно выразить при помощи
Грина функции G(x,y):
При этом в случае простейших областей (шар, полупро-
полупространство), когда нормальная производная dG(x,y)fdv,j
легко выражается в явном виде, получается Пуас-
Пуассона интеграл. Часто встречается также вторая крае-
краевая задача, или Неймана задача. Она состоит в опре-
определении Г. ф. и(х) но заданным на границе S значе-
значениям ее нормальной производной. Решение этой зада-
задачи при помощи соответствующей функции Грина воз-
возможно, но явные выражения здесь значительно сложнее.
Имеется еще целый ряд краевых задач теории Г. ф.,
более сложных по постановке и решению. См. также
Выметания метод, Робена задача.
Особое место в современной теории Г. ф. занимают
некорректные задачи, связанные в первую очередь с
задачей Коши для уравнения Лапласа. Сюда относит-
относится, напр., следующая проблема наилучшей мажоранты:
если на границе S = dD области/) заданы функция М=
= М{у) и условия \и(у)\*?.М(у), \du(y)/dv\*?.M{y), то
требуется оценить возможно точнее sup | и (х)\ в классе
Г. ф. и(х) в D (см. [9], [10]).
Важное значение имеет исследование граничных
свойств Г. ф., тесно связанное с субгармонич. функция-
функциями и граничными свойствами аналитических функций.
Напр., в случае Г. ф. и(х) в единичном шаре .6@, 1)
пространства R", вообще говоря, и(х) не имеет ради-
радиальных граничных значений
f(y)= lim u(ry), y?S = dB@, 1).
г -> 1
Однако для класса А Г. ф., определяемого условием
t\iSu+(ry)da(y)<C(u) < оо,
где da (у) — элемент площади S, и+=тах {0, и},
радиальные граничные значения существуют почти
всюду на S по мере Лебега, и и(х)(^А цредставима в
виде интеграла Пуассона — Стилтьеса
Pn {x, у) d,x (у),
где
— ядро Пуассона, d\i— борелевская мера на S. Важ-
Важное значение имеет также собственный подкласс В
класса Л, состоящий из всех Г.ф. и(х), представимых в
В @, 1) интегралом Пуассона — Лебега
и(х)=^8Р„(х, у) f (у) do (у).
Большое развитие получила аксиоматич. теория
Г. ф. и потенциалов в топологич. пространствах (см.
Гармоническое пространство, Потенциала теория аб-
абстрактная).
Лит.: Ш Тима н А. Ф., Трофимов В. II., Введение
в теорию гармонических функций, М., 1968; [2] Г ю н т е р Н. М.,
Теория потенциала и ее применение к основным задачам мате-
математической физики, М., 1953; [3] С р е т е н с к и й Л. Н., Те-
Теория ньютоновского потенциала, М.— Л., 1946; [4] Б р е л о М.,
Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964;
[5] К е 1 1 о g g О. D., Foundations of potential theory, В., 1929;
[6] Владимиров B.C., Уравнения математической фи-
физики, М., 1967; [7] Л а в р е н т ь е в М. А., Шаба» Б. В.,
Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд.,
М., 1965; [8} М а р к у ш е в и ч А. И., Теория аналитических
функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; [9] Л а в р е н т ь е в М. М.,
О некоторых некорректных задачах математической физики,
Новосибирск, 1962; [10] Мергелян С. Н., «Успехи матем.
наук», 1956, т. 11, No 5, с. 3—26; [11] Привалов И. И.,
Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.— Л.,
1950; [12] Соломенцев Е. Д., Гармонические и субгар-
субгармонические функции и их обобщения, в кн.: Итоги науки. Серия
математика. Математический анализ. Теория вероятностей. Ре-
Регулирование, 1962, М., 1964, с. 83 —100. Е. Д. Соломенцев.
ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЧЕТВЕРКА точек — четверка
точек на прямой, обладающая тем свойством, что ее
двойное отношение рав-
J но - 1. Если (ABCD) -
Ц Г. ч., то говорят, что
.^-^/ч] ~ *—¦— пара точек А В гармони-
А с в ** чески разделяет пару CD
или что точки А и В
гармонически сопряжены с точками С
и D; пары АВ и CD наз. гармонически соп-
сопряженными. Г. ч. может быть определена без
привлечения метрич. понятий. Пусть PQRS — четы-
четырехугольник (см. рис.), А и В — точки пересечения
противоположных сторон, а С и D — точки пересече-
пересечения диагоналей SQ и PR четырехугольника PQRS с
прямой АВ. Тогда четверка точек (ABCD) представ-
представляет собой Г. ч. Четверка прямых (или плоскостей),
проходящих через одну точку (прямую), наз. г а р-
ионической четверкой прямых (плос-
(плоско с т е й), если она проектирует Г. ч. А- Б. Иванов.
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ — координаты,
в к-рых метрический тензор gik удовлетворяет усло-
условиям:
где g — определитель, состоящий из компонент тензо-
тензора gut- Использование Г. к. позволяет в ряде случаев
(напр., при выводе уравнений движения в общей тео-
теории относительности) с помощью этих условий значи-
значительно упростить вычисления.
Лит.: [1] Ф о к В. А., Теория пространства, времени и тя-
тяготения, М., 1955. А.Б.Иванов
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ — название раздела
математики и математич. метода. В Г. а. как раздел
математики обычно включают: теорию тригонометри-
тригонометрических рядов (одномерных и многомерных), Фурье пре-
преобразований (функций одного и нескольких перемен-
переменных), почти периодических функций, Дирихле рядов,
приближения теорию (функций тригонометрическими
полиномами), гармонический анализ абстрактный
и нек-рые другие математич. дисциплины, близкие
к указанным. Метод заключается в сведении нек-рых
задач (из различных областей математики) к вопросам
Г. а. и решаемых на его основе. Напр.: теория функ-
функций комплексного переменного в вопросах граничного
поведения аналитических в единичном круге функций,
по существу, сливается с теорией тригонометрич. рядов;
изучение свойств случайных величин при помощи харак-
теристнч. функций — применение метода Г. а. в теории
вероятностей; нок-рые объекты функционального ана-
анализа тесно связаны с тригонометрич. рядами, почти
периодич. функциями и др. объектами Г. а.; в теории
дифференциальных уравнений при помощи относяще-
относящегося к Г. а. Фурье метода находятся решения различных
уравнений математич. физики; наконец, многочислен-
многочисленные прикладные задачи вычислительной математики
решаются на основе применения рядов и интегралов
Фурье — объектов Г. а. Е- М. Никишин.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ АБСТРАКТНЫЙ —
теория абстрактных Фурье рядов и Фурье интегралов.
Классический гармонич. анализ —теория рядов Фурье
и интегралов Фурье — интенсивно развивался под
влиянием физич. задач в 18—19 вв., и в работах П. Ди-
Дирихле (P. Dirichlet), Б. Римана (В. Riemann), А. Ле-
Лебега (Н. Lebesgue), М. Планшереля (М. Plancherel),
Л. Фейера (L. Fejer), Ф. Рисса (F. Riesz) оформился в
самостоятельную математич. дисциплину.
Дальнейшее развитие гармонич. анализа привело к
установлению разнообразных связей гармонич. ана-
анализа с общими вопросами теории функций и функцио-
функциональным анализом. Открытие Хаара меры и развитие
теории представлений бесконечных групп, начиная с ра-
работ Г. Вейля и Ф. Петера (см. [1]) по теории пред-
представлений бикомпактных групп и работ Л. С. Понтря-
гина [2] по теории характеров локально бикомпакт-
бикомпактных абелевых групп, поставили вопрос о естествен-
естественных границах основных результатов классического
гармонического анализа. Эта задача основана на сле-
следующей интерпретации обычного ряда Фурье в ком-
комплексной форме. Пусть f(x)-~ комплекснозначная сум-
суммируемая с квадратом функция на окружности еди-
единичной длины (или на отрезке [0, 1]), с„— ее коэф-
коэффициенты Фурье по системе {e2TOrucj n _ целое}:
Тогда ряд Фурье
функции f(x) сходится в среднем к f(x) в L2 [0, 1].
2тпх
спе
Мера Лебега на [О, 1] порождает меру Хаара на окруж-
окружности (единичной длины) G, рассматриваемой как груп-
группа вращений плоскости, а функции х—*-е2пгпх представ-
представляют собой полный набор неприводимых унитарных
представлений топологич. группы G. Поэтому все ве-
величины, входящие в определение ряда Фурье, получа-
получают теоретико-групповой смысл и появляется возмож-
возможность обобщения понятия ряда Фурье, основанная на
теории неприводимых унитарных представлений топо-
топологич. групп. При этом Г. а. а. не только позволяет
найти естественную форму результатов классического
гармонич. анализа на прямой или окружности, но и
установить новые результаты, относящиеся к большим
классам топологич. групп.
Г. а. а. как гармонический анализ
на группах зародился в значительной мере на
основе теории характеров локально бикомпактных
абелевых групп, созданной Л. С. Понтрягиным [2]
(см. также [7], [8J, [9]). Г. а. а. является одной из естест-
естественных областей приложения методов теории банаховых
алгебр и может до нек-рой степени рассматриваться
как одна из ветвей этой теории. С другой стороны, рам-
рамки Г. а. а. являются естественными для ряда классиче-
классических задач теории функций и функционального анализа.
Приложения Г. а. а. весьма многообразны. Резуль-
Результаты Г. а. а. применяются в общей теории локально
бикомпактных групп (напр., в структурных теоремах),
в теории динамич. систем, в теории представлений бес-
бесконечных групп (к-рая, в свою очередь, служит одним
из основных инструментов Г. а. а.) и во многих других
математич. теориях.
Наиболее разработанным разделом Г. а. а. является
теория интеграла Фурье на локально бикомпактной
абелевой группе. Среди некоммутативных групп особое
положение занимают бикомпактные группы, теория
представлений к-рых имеет сравнительно простой и за-
законченный вид: для бикомпактных групп получен от-
ответ на многие классич. вопросы гармонич. анализа.
В случае небикомпактных некоммутативных групп об-
общая теория далека от завершения A977). Однако и в
этом случае известны естественные границы ряда фун-
фундаментальных результатов классического гармонич.
анализа.
Связь задач Г. а. а. с теорией банаховых алгебр ос-
основана на возможности построить по любой локально
бикомпактной топологич. группе G две банаховы ал-
алгебры, играющие большую роль в теории представле-
представлений группы G: групповую алгебру и алгебру мер М (G),
к-рая определяется следующим образом. Пусть CQ (G)—
множество непрерывных функций /на С с бикомпакт-
бикомпактным носителем, М(G) — банахово пространство огра-
ограниченных регулярных мер на G. Введение в М (G) ум-
умножения — свертки (\х,1, щ)—>-щ*ц2 и инволюции
|x->jx* посредством соотношений (для всех /?С)
\Gf (g) d\l* (g) = [сПё'1) d\l (g)
превращает М(G) в банахову алгебру с инволюцией,
называемую алгеброй мер группы G.
Если dg— левоинвариантная мера Хаара на G, то
сопоставление каждому элементу f(g) групповой
алгебры LX(G) меры f(g)dg приводит к изометрич.
отображению алгебры Ll(G) на замкнутую подалгебру
алгебры мер M(G), сохраняющему инволюцию. В этом
смысле L1 (G) может рассматриваться как замкнутая
подалгебра алгебры M(G).
Г. а. а. на локально бикомпактной
абелевой группе. Для построения интеграла
Фурье на локально бикомпактной абелевой группе G
необходимы следующие факты. Любое неприводимое
унитарное представление G одномерно и определяет не-
непрерывный гомоморфизм G в мультипликативную груп-
группу U комплексных чисел с модулем 1. Такое отображе-
отображение %: G-+U наз. унитарным характером
группы G. Пусть G — группа характеров группы G.
Теорема двойственности Понтряги-
н а утверждает, что отображение r\: G—>G, определяе-
определяемое формулой
(((
гДе Z€^i g?G, есть топология, изоморфизм группы G
на G (см. [2], [3], [4], [6]). При этом группа G биком-
бикомпактна тогда и только тогда, когда двойственная к
ней группа G дискретна. Группа характеров аддитив-
аддитивной группы К недискретного локально бикомпактного
поля изоморфна К; группа характеров группы U изо-
изоморфна группе целых чисел Z. Если Н — замкнутая
подгруппа группы G и Н^- — множество таких %^G,
что %=1 на //, то Н^ есть замкнутая подгруппа
группы G, (HA-)i- = r\(H), GlH^^H, и любой унитар-
унитарный характер подгруппы Н продолжается до унитар-
унитарного характера группы G.
Интегралом Фурье на группе G
(или преобразованием Фурье на
группе G) наз. отображение F, к-рое мере
\x?M(G) ставит в соответствие функцию (д.= .Fju. на G,
определяемую равенством
Копреобразованием Фурье наз. ото-
отображение F, определяемое равенством
Для /^LX(G) функция F(f(g)dg) обозначается / или
Ff (соответственно Ff). Отображения F и F являются
мономорфизмами М (G) в L°° (G); образом для М (G)
при этих отображениях служит алгебра В (G) линей-
линейных комбинаций непрерывных положительно опреде-
определенных функций на G. Справедлива обобщенная
теорема Бохнера (см. [4], [6]): функция F\i
является положительно определенной функцией на G
тогда и только тогда, когда ^i — положительная мера,
и в этом случае
sup |/>(Х)| =/>(<?) = |Ы1-
XeG
где ё — единица группы G.
Топологич. пространство G канонически гомеоморф-
но спектру кольца L1 (G) (или пространству максималь-
максимальных идеалов алгебры iL1 ((?)). Именно, характеру y.^G
ставится в соответствие характер коммутативной ал-
алгебры L1 (G), определяемый формулой
при этом копреобразование Фурье F совпадает на L1 (G)
с Гелъфанда представлением алгебры LX(G). Спектр
кольца M(G), вообще говоря, не гомеоморфен G.
Пусть d% — мера Хаара на G, a L?(G)— соответству-
соответствующее гильбертово пространство. Справедлива следую-
следующая теорема Планшереля (см. [4], [16]):
если 1?Щв)[)Ь2(в), то Ff?L2(G), и при нек-рой
нормировке мер dg и йу_ отображение f-^-Ff множества
L1 (G) П L* (G) в L2 (G) продолжается единственным об-
образом до унитарного оператора F via L2 (G) в L2(G).
Этот оператор наз. преобразованием Фу-
Фурье в L2(G). В этом случае меры dg и d% наз. с о-
пасованными. Пусть через A (G) обозначено ли-
линейное подпространство пространства LX(G), порожден-
порожденное функциями вида /*g, где /, g^L1(G)f)L2 (G). Спра-
Справедлива следующая формула обращения
Фурье (см. [4], [16]): если f?A(G), то ^
и для всех g?G имеет место равенство
т. е. если т| — каноническое отображение С в G, то /--=
= (FFf)or\ для всех f?A(G). Пусть 33 (G)- множество
таких /^/^(G), что /??2(G). Тогда сужение F на
33 (G) есть взаимно однозначное отображение 93 (G)
на 33 (G); обратное отображение есть сужение F на
33 (G). Если/, g?L*(G), то F(fg)=(Ff)«(Fg)-
Классическая Пуассона формула суммирования по-
получает в Г. а. а. следующую естественную интерпре-
интерпретацию. Пусть Н— замкнутая подгруппа группы G, dg —
мера Хаара на G, dh— мера Хаара на // и dk— мера
Хаара на K = GIH. Пусть (GIH)" отождествляется с
Н^- и dp— мера Хаара на i/^, согласованная с g№. На-
Наконец, пусть f?Ll(G) и пусть сужение на /f-1- непре-
непрерывной функции F/ интегрируемо ио мере dp. Тогда
для почти всех g?G функция }i-+f(gh) на Н интегриру-
интегрируема по мере dh, и
= J
(P)
Эта формула наз. обобщенной формулой
суммирования Пуассона.
Важной внутренней задачей Г. а. а. является изуче-
изучение банаховых алгебр L1 (G) и М (G) с точки зрения
преобразования Фурье на G. Алгебра L1 (G) есть впол-
вполне симметричная алгебра. Равенство М (G) = L1(G)
имеет место тогда и только тогда, когда G дискретна.
Если G не дискретна, то М (G) содержит несимметрич-
несимметричные максимальные идеалы. Пусть A (G) (соответствен-
(соответственно В (G)) — множество преобразований Фурье эле-
элементов алгебры L1 (G) (соответственно M(G)). A (G)
и В (G) являются алгебрами функций на G; при этом
A (G) — регулярная алгебра, и f?A (G) тогда и только
тогда, когда /=/i*/2 для нек-рых /ц/26^2(^)- Множест-
Множество тех f^L1 (G), для к-рых носитель функции Ff биком-
бикомпактен, есть плотное подмножество в ^1(G).
Следующие результаты описывают функциональные
свойства преобразования Фурье на G, Пусть F —
функция, определенная на [—1,1], и пусть G не диск-
дискретна. Пусть F действует на A (G), т. е. F((p)?A(G)
для любой функции q>?A(G), область значений к-рой
лежит в [—1, 1]. Тогда F аналитична на [ — 1,1], и если
G недискретна, то /'@) = 0. Обратно, аналитическая
на [ — 1,1] функция F (F @) = 0, если G недискретна)
действует на A (G). Функция F действует на В (G) тогда
и только тогда, когда F есть сужение на [—1, 1] це-
целой вещественной аналитич. функции. Пусть F опре-
определена на [— 1,1] и G есть бесконечная дискретная груп-
группа. F действует на A (G) тогда и только тогда, когда
/т@) = 0 и F аналитична в некоторой окрестности на-
начала (см. [12], [13], где имеется подробная библио-
библиография).
Традиционным вопросом теории банаховых алгебр
является вопрос о структуре и свойствах замкнутых
подалгебр. Следующие результаты относятся к замк-
замкнутым подалгебрам алгебры Lr(G). Пусть S — боре-
левская полугруппа в локально бикомпактной абеле-
вой группе G и Ll(S)~ максимальная подалгебра в
LX(G). Тогда S содержится в замкнутой полугруппе
PdG, индуцирующей архимедов порядок на G. Комму-
Коммутативная банахова алгебра А наз. алгеброй
Стоуна —Вейерштрасса, если любая ее
симметричная подалгебра BczA, отделяющая точки
спектра М кольца Л и не обращающаяся в нуль одно-
одновременно ни в одной точке из М, плотна в А. L1 (G)
есть алгебра Стоуна — Вейерштрасса в том и только в
том случае, если G вполне несвязна.
Одним из направлений современных исследований в
Г. а. а. является теория тонких множеств в локально
бикомпактных абелевых группах, к-рая может рассмат-
рассматриваться как обобщение более специальных результа-
результатов классического гармонич. анализа (в частности, тео-
теории лакунарных тригонометрия, рядов). Пусть G —
локально бикомпактная абелева группа, е — единица
группы G. Множество EczG наз. независимым,
если для любых g1, . . ., gk(zE и целых пи . . ., п^ либо
g^ = g1*=... = g™b=e, либо П^=1ё^фе. Любая не-
недискретная локально бикомпактная абелева группа
содержит независимое множество, гомеоморфное кан-
торову множеству. Среди независимых множеств сле-
следует выделить два важных класса множеств, а именно,
множества Кронекера и множест-
множества типа Kq в группах Dq. Множество Е в
локально бикомпактной абелевой группе наз. м н о-
жеством Кронекера, если для любой не-
непрерывной функции / на Е с модулем 1 и для любого
е>0 существует такой характер %?G, что ^~- \f(g)~
— %(g)\ <?e. Множество Кронекера независимо и не
содержит элементов конечного порядка. Пусть 2д —
циклич. группа порядка ?3=2 и Dq — прямое произ-
произведение счетного числа групп, изоморфных 2у Мно-
Множество Е в Dg наз. множеством тина Kq,
если любая непрерывная функция /: E-+%_q (^? рас-
рассматривается как группа корней из единицы) совпа-
совпадает на Е с нек-рым унитарным характером группы Dq.
Множества типа Кд независимы. Если в любой окрест-
окрестности единичного элемента локально бикомпактной
группы G содержится элемент бесконечного порядка,
то G содержит множество Кронекера, гомеоморфное
канторову множеству. Если G — недискретная локаль-
локально бикомпактная абелева группа и если существует ок-
окрестность единичного элемента без элементов бесконеч-
бесконечного порядка, то G содержит Dq (для нек-рого q^2)
как замкнутую подгруппу; любая группа Dq содержит
множество типа К„, гомеоморфное канторову мно-
множеству.
В конечномерных метрических локально бикомпакт-
бикомпактных абелевых группах независимое множество есть
вполне несвязное множество. Бесконечномерный тор
содержит множество Кронекера, гомеоморфное отрез-
отрезку. Объединение двух множеств Кронекера на окруж-
окружности может оказаться независимым множеством, не
являющимся множеством Кронекера. На бесконечно-
бесконечномерном торе добавлением одной точки к нек-рому мно-
множеству Кронекера можно получить независимое мно-
множество, не являющееся множеством Кронекера. Если
Е— бикомпактное множество Кронекера в G и ц, — ог-
ограниченная мера, сосредоточенная на Е, то
max |JP(i(x)| = ||ц||.
Другой важный класс подмножеств локально биком-
бикомпактных абелевых групп образуют множества
X е л ь с о н а —бикомпактные множества PczG, об-
обладающие тем свойством, что любая непрерывная функ-
функция F на Р есть сужение на Р нек-рого элемента алгеб-
алгебры A (G). Всякое бикомпактное множество Кронекера
и всякое бикомпактное множество типа Kq в Dq явля-
являются множествами Хельсона. Не всякое счетное биком-
бикомпактное подмножество локально бикомпактной абеле-
вой группы G есть множество Хельсона; существуют
независимые канторовы множества, не являющиеся
таковыми. Бикомпактное подмножество PdG будет
множеством Хельсона тогда и только тогда, когда |||j.||
и sup \(F\i)(%)\— эквивалентные нормы на банаховом
G
пространстве М (Р) ограниченных мер на Р. Пусть че-
через I\Р) обозначено множество всех тех f^Ll(G), для
которых (Ff)(g) = O при всех g?P. Тогда I(P) есть за-
замкнутый идеал в -?1(G). Сопряженное пространство к
L1 (G)l I (P) изометрично пространству Ф(Р), состоя-
состоящему из всех тех (p?L°°(G), для к-рых
5
при любых f?I(P). Бикомпактное множество Р явля-
является множеством Хельсона тогда и только тогда, когда
любая функция ф?Ф(Р) равна почти всюду преобразо-
преобразованию Фурье нек-рой ограниченной меры, сосредото-
сосредоточенной на Р. Если Р — множество Хельсона в G и о —
ненулевая мера, сосредоточенная на Р, то ^сг не стре-
стремится к нулю на бесконечности.
При изучении рядов Фурье на бикомпактных абеле-
вых группах большую роль играет понятие м н о-
жеств Сидонав дискретных абелевых группах.
Пусть G — бикомпактная абелева группа, Е — под-
подмножество G. Функция /^X1(G) наз. ?-ф у н к ц и е й,
если /(х) —0 для всех %(^Е. Линейная комбинация /
унитарных характеров на G наз. Е-ш ногочленом,
если / есть ^-функция. Множество Е наз. множест-
множеством С и дона, если существует такая постоянная
В = ВЕ, что
2х*с1/(ХI|/(*)|
g€G
для любого ^-многочлена на G. Следующие условия
эквивалентны:
Е есть множество Сидона в G;
для любой ограниченной ^-функции / ряд
2хбб1/"(ХI сходится;
для любой непрерывной ^-функции / ряд
2xsgl/(X)l сходится;
любая ограниченная функция / на Е совпадает с су-
сужением на Е нек-рого элемента f^B(G);
любая функция на Е, стремящаяся к нулю на беско-
бесконечности, совпадает с сужением на Е нек-рой функции
feA (С)-
Любое бесконечное множество в G содержит беско-
бесконечное множество Сидона. Любое независимое подмно-
подмножество из G есть множество Сидона.
Другим интенсивно развивающимся направлением
Г. а. а., тесно связанным с теорией тонких множеств,
является теория замкнутых идеалов в LX(G), и в част-
частности теория спектрального синтеза. Общая постанов-
постановка задачи спектрального синтеза такова. Пусть / есть
замкнутый идеал в L1 (G); требуется выяснить, при ка-
каких условиях / является пересечением максимальных
идеалов в X1(G), содержащих / (при этом следует отме-
отметить, что любой максимальный идеал в L1 (G) регуля-
регулярен, т.е. замкнут). Одним из важнейших результатов
теории спектрального синтеза — Винера глауберова тео-
теорема: если / — замкнутый идеал в Ll(G), }фЬ1(в),
то существует такой характер х€^> что (Ff) (Х)==0 Для
всех /?/. Это утверждение может рассматриваться как
положительное решение поставленной выше пробле-
проблемы для случая I=LX(G). Если любой замкнутый иде-
идеал в L1 (G) есть пересечение содержащих его макси-
максимальных идеалов, то говорят, что G допускает спект-
спектральный синтез. Бикомпактная группа до-
пускает спектральный синтез. С другой стороны,
справедлива теорема [15]: если группа G недис-
недискретна, то G не допускает спектрального синтеза. Отсю-
Отсюда следует, что если G недискретна, то алгебра L1 (G)
имеет несимметричные замкнутые идеалы.
Г. а. а. на бикомпактных группах может рассматри-
рассматриваться как часть теории представлений бикомпактных
групп; эта теория тесно связана с теорией почти пери-
одич. функций на группах; см. также Бора компакт
и обзоры в [11], [4]. Задачи Г. а. а. на произвольной
локально бикомпактной топологич. группе значитель-
значительно сложнее ввиду недостаточной разработанности и
сложности общей теории бесконечномерных представле-
представлений локально бикомпактной группы. Однако и в этом
случае можно определить интеграл Фурье на локально
бикомпактной группе (см. [5]) и получить аналог обоб-
обобщенной теоремы Бохнера, формулу Планшереля и
ряд других общих теорем (см. [8], [11]).
Лит.: [1] Р е ter F., W е у 1 Н., «Math. Ann.», 1927, Bd 97, S.
737—55; [2] Понтрягин Л. С, «Ann. Math.», 1934, v. 35, p.
361—88; ГЗ] Kampen E. R. van, «Proc. Nat. Acad. Sci. USA»,
1934, v. 20, p. 434—36; [4] В е й л ь А., Интегрирование в то-
топологических группах и его применения, пер. с франц., М., 1950;
[5] Гельфанд И. М., Райков Д. А., «Матем. сб.»,
1943, т. 13, с. 301 —16; [6] Р а й к о в Д. А., «Тр. Матем. ин-та
АН СССР», 1945, т. 14, с. 1—86; [7] Г е л ь ф а н д II. М., Рай-
Райков Д. А., Шилов Г. Е., Коммутативные нормированные
кольца, ?-!., 1960; [8] Н а й м а р к М. А., Нормированные коль-
кольца, 2 изд., М., 1968; [9] Понтрягин Л. С, Непрерывные
группы, 2 изд., М., 1954; [10] Б у р б а к и Н., Спектральная
теория, пер. с франц., М., 1972; [И] Диксмье Ж.,
С*-алгебры и их представления, пер. с франц., Ы., 1974; [12]
Н е 1 s on Н., (а. о.), «Acta Math.». 1959, v. 102, p. 135—57;
[13] Хьюитт Э., Росс К., Абстрактный гармонический
анализ, пер. с англ., т. 1—2, М., 1975; [14] Л ю м и с Л. X.,
Введение в абстрактный гармонический анализ, пер. с англ
М., 1956; [15] Malliavin P., «Publ. Math. IHES», 1959,
Я» 2, р. 61—68; [16] Крейн М. Г., «Докл. АН СССР»,
1941, т. 30, с. 482 — 86. Е.А.Горин, А. И. Штерн.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН — 1) Г. м.—
многочлен по переменным xlf . .., хп, удовлетворяющий
Лапласа уравнению. Любой Г. м. может быть представ-
представлен в виде суммы однородных Г. м. При ге=2
среди однородных Г. м. степени т имеется только два
линейно независимых, напр, действительная и мнимая
части в выражении (x1-\-ix2)m. При ге = 3 число линейно
независимых однородных Г. м. степени т равно 2т-\-1.
В общем случае ге^2 число линейно независимых одно-
однородных Г. м. степени т равно
Кп --Ла , т^2,
где
jrm n (.i+i). . .(п+т—1)
кп = —. ¦
— число размещений из п по т с т повторениями.
Однородные Г. м. Vт (х) наз. также шаровыми
функциями (в особенности при ге=3). При ге=3
введение сферич. координат позволяет записать:
Кя(х) = г«Гя(в, ф),
1 f ¦> 2 2
где r=V xi~\-xi~\-X3, a YOT@, ф) есть сферическая функ-
функция степени т.
Лит.: [1] С о б о л е в С. Л., Уравнения математической
физики, 4 изд., М., 1966; [2] Т и х о и о в А. Н., Самар-
Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М.,
1966; [3] Брело М., Основы классической теории потенциа-
потенциала, пер. с франц., М., 1964. Е. Д. Соломенцев.
2) Г. м.— конечная линейная комбинация гармоник.
Действительнозначные Г. м. представимы в виде
при нек-ром натуральном N, неотрицательных А^,
действительных со^, ф?, fe=l, 2, ..., N. Комплекс-
нозначные Г. м. представимы в виде
при натуральных значениях т, п, действительных зна-
значениях cos и комплексных значениях с^, к= — т,
— m-f-1, . . ., п. Г. м. являются простейшими почти пе-
периодическими функциями В. Ф. Емельянов.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД — числовой ряд
Каждый член Г. р. (начиная со второго) является гар-
гармоническим средним двух соседних (отсюда назв.
Г. р.). Г. р. расходится (Г. Лейбниц, G. Leibniz,
1673), и его частные суммы
s -V 1
Sn~2T
растут как In n (Л. Эйлер, L. Euler, 1740): существует
такая постоянная с>0, наз. Эйлера постоянной,
что ,sn=ln n-f-c-f-en, где lim en=0. Ряд
L
наз. обобщенным Г. р., он сходится при а>1 и расхо-
расходится при а<1. Л.Д.Кудрявцев.
ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА МЕТОД — прибли-
приближенный метод исследования нелинейных колебатель-
колебательных систем, описываемых нелинейными обыкновен-
обыкновенными дифференциальными уравнениями. Суть Г. б. м.
состоит в замене в колебательных системах нелиней-
нелинейных сил специальным образом построенными линей-
линейными функциями, в силу чего он позволяет использо-
использовать теорию линейных дифференциальных уравнений
для приближенного анализа нелинейных систем.
Линейные функции строятся с помощью специаль-
специального приема, наз. гармонич. линеаризацией. Пусть за-
задана нелинейная функция (сила)
F(x, x) = ef(x, х), x = jf,
где е- малый параметр. Гармонической ли-
линеаризацией наз. замена F(x, x) линейной
функцией
Ft (x, х) =
где параметры к я к вычисляются по формулам:
к (а) — — \ f (a cos г[1, —аш sin i|)) cos i|) <2г|),
Ли J 0
Е Г2Я
А (а) = —^— \ f (a cos i|), —аи> sin i|}) si
Бели x=a cos(coi+G), a=const, co=const, 0 = const,
то нелинейная сила F(x, x) является периодич. функ-
функцией времени, и ее разложение в ряд Фурье содержит,
вообще говоря, бесконечное число гармоник с частота-
частотами raw, re=l,2. . ., т. е. оно имеет вид:
F(x, x)= XL0^ncos(ncoi + en). A)
Слагаемое i?1cos(cot+G1) наз. основной гар-
гармоникой разложения A). Амплитуда и фаза ли-
линейной функции F[ совпадают с аналогичными харак-
характеристиками основной гармоники нелинейной силы.
Применительно к дифференциальному уравнению
x + v2x±F(x, x)=0, B)
типичному для теории квазилинейных колебаний,
Г. б. м. заключается в замене F(x, x) линейной функци-
функцией Fh и вместо уравнения B) рассматривается уравне-
уравнение
к1х=0, C)
где &!= co2+fc. Принято называть Ft эквивалент-
эквивалентной линейной силой, Я, — эквива-
эквивалентным коэффициентом затуха-
затухания, А^— эквивалентным коэффици-
коэффициентом упругости. Доказано, что если нели-
нелинейное уравнение B) имеет решение вида
x=acos (coi+O),
причем
в = 0(е), (о=О (е),
то разность между решениями уравнений B) и C)
имеет порядок е2. В Г. б. м. частота колебаний зависит
от амплитуды о (посредством величин к и Я,).
Г. б. м. применяется для отыскания периодич. и
квазипериодич. колебаний, периодич. и квазипериодич.
режимов в теории автоматич. регулирования, стацио-
стационарных режимов и для исследования их устойчивости.
Особенно большое распространение он получил в тео-
теории автоматич. регулирования.
Лит.: [1] К р ы л о в Н, М,, Боголюбов Н. Н., Вве-
Введение в нелинейную механику, К., 1937; [2] Боголюбов
Н. Н.,Митропольский Ю.А., Асимптотические методы
в теории нелинейных колебаний, 4 изд., М., 1974; [3] П о п о в
Е. П., Пальтов И. П., Приближенные методы исследова-
исследования нелинейных автоматических систем, М., 1960.
Е. А. Гребепипов.
ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ, синусои-
синусоидальное колебание,— периодическое из-
изменение во времени физич. величины, записываемое
аналитически в виде
х=х (t) = A cos(coi — a) = Re [Веш],
где z=x(t) — значение колеблющейся величины в мо-
момент времени t, |Л| = |.В| — амплитуда, со — цикли-
циклическая (круговая) частота, a — начальная фаза коле-
колебаний. Продолжительность одного полного колеба-
колебания, равная 71=2я/со, наз. периодом Г. к., а
величина v==l/T, равная числу полных колебаний в
единицу времени, наз. частотой Г. к. (co=2jtv).
Период Г. к. не зависит от амплитуды. Скорость, уско-
ускорение и все высшие производные гармонически колеб-
колеблющейся величины изменяются гармонически с той же
частотой. На фазовой плоскости (х, х) Г. к. изобража-
изображается эллипсом. В природе из-за диссипации энергии аб-
абсолютно точные Г. к. не встречаются. Однако существу-
существует много важных процессов, близких к Г. к. Таковы
малые колебания механич. систем относительно их
устойчивого положения равновесия. Получающиеся
при этом частоты (так наз. собственные час-
частоты) колебаний не зависят от начальных условий
движения, а определяются лишь самой колеблющейся
системой как таковой. Напр., малые колебания (под
действием силы тяжести) математич. маятника на нити
длины I описываются дифференциальным уравнением
mix = — mgx,
где g — ускорение силы тяжести, & x(t) — угол между
вертикалью и нитью маятника. Общее решение этого
уравнения имеет вид х=А cos(co?— a), где (собствен-
(собственная) частота колебаний ш= У gll зависит только от g
и I, а амплитуда А и фаза а являются постоянными ин-
интегрирования, выбираемыми на основе начальных усло-
условий.
Г. к. играют большую роль в изучении общих коле-
колебаний, так как сложные периодически и почти
периодически меняющиеся величины могут быть с лю-
любой степенью точности представлены суммой различ-
различных Г. к. Математически это соответствует приближе-
приближению функций тригонометрич. рядами и Фурье интегра-
интегралами.
Классический ряд Фурье
Т (*\ >^ п pint
комплекснозначной функции x(t), определенной на
[ — я, я], может рассматриваться как разложение x(t)
на сумму Г. к. с целочисленными частотами п=0, ±1,
±2,... . Коэффициент Фурье
определяет амплитуду (\ап\) и сдвиг фазы (arg о„)
Г. к. частоты п. Совокупность всех коэффициентов
Фурье определяет спектр x(t) и показывает, какие
Г. к. действительно входят в х (t) и каковы амплитуды
и начальные фазы этих колебаний. Знание спектра
заменяет знание функции x(t).
Функцию x(t), определенную на (—оо, оо), уже
нельзя построить из Г. к. с целочисленными частотами.
Для ее построения нужны колебания всех частот:
функция x(t) представляется в виде интеграла Фурье
x(t)= С™ a(n)eint dn,
где
— спектральная плотность функции x(t).
Эти представления функций являются основой Фурье
методов решения различных задач в теории дифферен-
дифференциальных и интегральных уравнений.
Лит.: [1] Г о р е л и к Г. С, Колебания и волны, 2 изд.,
М., 1959. Л. П. Купцов.
ГАРМОНИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — топология,
пространство X с пучком ЛЬ непрерывных действитель-
действительных функций с аксиоматически фиксируемыми в той
или иной форме тремя основными свойствами класси-
классических гармонических функций: свойство сходимо-
сходимости, выражаемое второй Гарнака теоремой; принцип
экстремума; разрешимость Дирихле задачи для до-
достаточно широкого класса открытых множеств
из X. Функции пучка § получают наименование
гармония, функций; преимущество этого аксиоматич.
подхода состоит в том, что с его помощью в теорию
включаются решения не только Лапласа уравнения,
но и нек-рых других уравнений эллиптич. и параболич.
типов. Пусть X — локально компактное топология,
пространство. Под пучком функций на X
здесь понимается отображение J-, определенное на
семействе всех открытых множеств U, V, ... из X и та-
такое, что: 1) g-(f) есть семейство функций на U; 2)
если Uа V, то сужение любой функции из $ (V) на
U принадлежит g-(?/); 3) для любого семейства {U;}ieI
функция на (JielUi принадлежит %(\JieiU), если для
всех i?l ее сужение на U[ принадлежит S(Uier^i')-
Пуяок функций U наз. гнпергармониче-
с к и м, если U ( U) для любого U есть выпуклый конус
полунепрерывных и конечных снизу действительных
функций на U. Пучок функций § наз. гармониче-
гармоническим, если ib(U) для любого U есть действитель-
действительное векторное пространство непрерывных функций на
U; в дальнейшем используется только гармонич. пучок
Локально компактное пространство X наз. Т.п.,
если выполняются следующие аксиомы (см. [3]).
Аксиома положительности: пуяок §
невырожден во всех тояках х?Х, т. е. для любого
х?Х существует функция и?§, определенная в ок-
окрестности х, причем и(х)фО.
Аксиома сходимости: если возрастающая
последовательность функций из i2(U) локально огра-
ограничена, то она сходится к функции из fe(?/).
Аксиома разрешимости: существует ба-
базис разрешимых открытых множеств U, т. е. таких,
что для любой непрерывной функции / с компактным
носителем на ди существует обобщенное в смысле
Винера — Перрона (см. Перрона метод) решение за-
задачи Дирихле для U из Ь(Ь).
Аксиома мажоранты: если полунепрерыв-
полунепрерывная и конечная снизу функция и на U для любого от-
относительно компактного множества V такого, что Vd U,
удовлетворяет условию
S"p{t? ? ?(?/); v(x)<u(x), х?д\'}=уУи < и
на V, то и?Ц(Ц).
Евклидово пространство R", п^2, с пучком клас-
сич. решений уравнения Лапласа или теплопроводности
уравнения образует Г. п. Имеется ряд других вариантов
аксиоматики гармонич. пространств. Г. п. локально
связны, не содержат изолированных точек; они име-
имеют базис из связных разрешимых множеств.
Гипергармонич. функция и на Г. п. X наз. супер-
супергармонической, если для любого относитель-
относительно компактного разрешимого множества V наибольшая
миноранта \iv и есть гармонич. функция. Положитель-
Положительная супергармонич. функция, для к-рой любая гармо-
гармонич. миноранта тождественно равна нулю, наз. п о-
т е н ц и а л о м. Г. п. X наз. f-г а р м о н и ч е с-
к и м (или р-г а р м о н и ч е с к и м), если для любо-
любого х?Х существует положительная супергармонич.
функция и (или, соответственно, потенциал и) на X
такая, что и(х)~>0.
Любое Г. п. допускает покрытие такими открытыми
множествами U, для к-рых выполняется принцип
м и н и м у м а в следующей форме: если гипергармони-
гипергармоническая функция и ? U (U) положительна вне пересе-
пересечения U с любым компактом из X и
lim inf и (х) S= О
X -V у
для всех y?dU, то и^О. В случае ^-гармонич. про-
пространства этот принцип минимума выполняется для
всех открытых множеств. Евклидово пространство R"
с пучком классич. решений уравнения Лапласа при
ге^2 образует ^-гармонич. пространство, а при га^гЗ
оно образует р-гармонич. пространство; пространство
R^XR1, re^l, с пучком решений уравнения теплопро-
теплопроводности образует ^-гармонич. пространство.
Основными вопросами теории Г. п. являются: теория
разрешимости задачи Дирихле, включающая исследо-
исследование поведения обобщенного решения этой задачи в
граничных точках; теория емкости множеств в Г. п.;
изучение проблемы выметания (см. Выметания метод)
и Робена задачи.
Лит.: [1] В г е 1 о t M., Lectures on potential theory, Bombay,
1960; [2] Bauer H., Harmonische Raume und ihre Potenti-
altheorie, В., 1966 (Lecture Notes in Mathematics, JM» 22); [3l
Constantinescu C, Cornea A., Potential theory
on harmonic spaces, В., 1972: [4] Брело М., О топологиях я
границах в теории потенциала, пер. с англ., М., 1974.
Е. Д. Соломенцев.
ГАРМОНИЧЕСКОЕ СРЕДНЕЕ чисел аг, а2, ...
..., о„— число, обратная величина к-рого является
средним арифметическим обратных величин данных
чисел, т. е. число
1 1
1
а. а.
Например, — является Г. с. дробей д и
ге=2,3, .... Г. с. чисел не превосходит их арифметич.
среднего. Л. Д. Кудрявцев.
ГАРМОНИЧЕСКОЙ МЕРЫ ПРИНЦИП: при отоб-
отображениях, осуществляемых однозначными аналитич.
функциями, гармоническая мера не убывает. Если
co(z; a, D) — гармонич. мера граничного множества а
относительно области D на плоскости комплексного
переменного z, то одна из конкретных формулировок
Г. м. п. утверждает следующее. Пусть в области Dz
с границей Tz, состоящей из конечного числа жор-
дановых дуг, задана однозначная аналитич. функция
w=w(z), удовлетворяющая условиям: значения w=w(z),
z?Dz, попадают в область Dw с границей Гда, состоя-
состоящей из конечного числа жордановых дуг; функция
w(z) непрерывно продолжается на нек-рое множество
<xzaTz, состоящее из конечного числа дуг, и значения
w(z) на az принадлежат множеству EdDw с границей
дЕ, состоящей из конечного числа жордановых дуг.
При этих условиях во всякой точке z?Dz, в к-рой
w(z)(?E, имеет место соотношение
со (z; az, Dz)<(u(w (z); дЕ, D*w), A)
где D& обозначает подобласть Dw такую, что точка
w(z)?Dw и dDwCirw(JdE. Если в A) имеет место равен-
равенство в какой-либо одной точке z, то оно будет иметь
место всюду в Dz. В частности, при взаимно однознач-
однозначном конформном отображении Dz на Dw выполняется
тождество
со (z; az, Dz) = со (w (z); aw, Dw).
Г. м. п. был установлен Р. Неванлинной, давшим ему
многочисленные применения (см. [1], [2]). Например, из
Г. м. п. выводится двух констант теорема, из к-рой,
в свою очередь, следует, что для функции w(z), голо-
голоморфной в области D2, максимальное значение функ-
функции ln|w(z)| на линии уровня {z; со (z; az, Dz)=t] явля-
является выпуклой функцией параметра t? (О, 1).
Г. м. п. обобщается для голоморфных функций
w=w(z), z=(z1,...1 zn), нескольких комплексных
переменных, re^l.
Лит.: [llNevanlinna F., Nevanlinna R., «Acta
Soc. scient. fennica», 1922, n. 50, № 5, p. 1—46; [2] H e в а н-
л и н н а Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем.,
М.—Л., 1941. П. М. Тамраэов.
ГАРНАКА ИНТЕГРАЛ — обобщение несобственного
интеграла Римана на класс функций /, множество точек
неограниченности к-рых Et имеет нулевую жорданову
меру и к-рые интегрируемы по Риману во всяком сег-
сегменте, не содержащем точек из Еj. Пусть A,-, i=l,2,
..., re,— конечная система интервалов, содержащая Ej.
Тогда Г. и. определяется равенством
(Я) J* / (х) dx = lim (R) J (a b)NU .д. / (x) dx,
если последний предел при mes (J,-A,-—>-0 существует.
Г. и. введен А. Гарнаком (Харнаком) [1]. Позднее к
этому определению было добавлено требование, чтобы
каждый интервал А,- имел непустое пересечение с Ej.
При этом Г. и. становится, вообще говоря, условно
сходящимся. Г. и. частично перекрывается с Лебега
интегралом и покрывается Перрона интегралом и
Дакжуа интегралом. В настоящее время Г. и. пред-
представляет лишь методич. и историч. интерес.
Лит.: [1] Нагпаск A., «Math. Ann.», 1883, Bd 21,
S. 305—26; [2] П е с и н И. Н., Развитие понятия интеграла,
М., 1966. В. А. Скворцов.
ГАРНАКА НЕРАВЕНСТВО (двойное) — неравенство,
оценивающее сверху и снизу отношение и(хIи(у)
двух значений положительной гармонич. функции;
получено А. Гарнаком (Харнаком) [1]. Пусть и(х)^0~
гармоническая в области G re-мерного евклидова про-
пространства функция, Ег(у) — шар {х:\х—у\<_г} ра-
радиуса г с центром в точке у. Если замыкание Er(y)czG,
то для всех х^Ер(у), 0<:р<г, справедливо нера-
неравенство Гарнака
\n-2r_n г , \п-2_,
г+р W ~-~ V /
или
и (х)
)
хеЕр(у)
Если g— компакт, gcG, то существует число
M=M(G, g), такое, что
М-1и(у)<.и(х)<Ми{у) B)
для любых х, y?g. В частности,
max и (х) < М min и (х).
xeg xzg
Из Г. н. следуют: сильный принцип максимума, Гарна-
ка теоремы о последовательностях гармонич. функций
теоремы о компактности семейств гармонич. функций,
Лиувилля теорема и другие факты. Г. н. обобщается
([3], [4]) на неотрицательные решения широкого клас-
класса линейных эллиптич. уравнений вида
,,, ди
с равномерно положительно определенной матрицей
\WJ\\:
где Л>Я>0 - числа, i=(ii, i2, ..., |„) - любой
re-мерный вектор, x?G. При этом постоянная М нера-
неравенства B) зависит толь-
только от Я, Л, некоторых
норм младших коэффи-
коэффициентов оператора L и
расстояния между гра-
границами G и g.
Для неотрицательных
решений и(х, t) равно-
равномерно параболич. урав-
уравнений вида щ-\-Ьи=й (коэффициенты оператора L мо-
могут зависеть и от () аналог Г. н. также имеет место [5].
В этом случае возможно только одностороннее нера-
неравенство
и(х, t)^.Mu(y,x)
для точек (х, t), лежащих внутри параболоида
{(\22 2}
{(,yn{), }
с вершиной в точке (у, т), обращенного полостью вниз
(рис. о). При этом М зависит от величин у, т, X, А,
|х, v, нек-рых норм младших коэффициентов оператора
L и от расстояний между границей параболоида и
границей области, в к-рой и(х, г)>0. Если, например,
и(х, t)^0 в цилиндре
Q = Gx(a, b],
расстояние между dG и dg больше или равно d>0 и d
достаточно мало, то в gX (a — d2, b] выполняется нера-
неравенство [5]:
in "<*¦j)-г м ( ! *""'' i T~*
В частности, если и(х, t)^0 в <3 (рис. б) и компакты
(?х, Q2 вложены в Q, причем
6= min (t—x) > 0,
(х, Ое Qi- (у, t)eQ2
то
'шах и (х, t)<M min и (х, t),
(х, t)sQ2 (ж, OeQi
М=М(б, (?, Qu Q2, L).
Пример функции
и (х, г) = ех )
являющейся решением уравнения теплопроводности
щ— Дм=0 при любых fe1; fe2, . . .kn, показывает невоз-
невозможность в параболич. случае двусторонних оценок.
Лит.: [1] Н а гп а с k A., Die Grundlagen der Theorie des
logarithmischen Potentiales und die eindeutiger Potentialfunc-
tion in der Ebene, Lpz., 1887; [2] Курант Р., Уравнения
с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [3] С е р р и н
Д ж., «Математика», 1958, т. 2, Кг 6, с. 49—62; [4] М о s e г J.,
«Communs Pure and Appl. Math.», 1961, v. 14, XI 3, p. 577—91;
15] его же, там же, 1964, v. 17, Х5 1, p. 101—34; [6]
Фридман А., Уравнения с частными производными пара-
параболического типа, пер. с англ., М., 1968; [7] Л а н д и с Е. М.,
Уравнения второго порядка эллиптического и параболического
типов, М., 1971. Л. 11. Камынин, Л. П. Купцов.
ГАРНАКА ТЕОРЕМА — 1) П е р в а я Г. т.: если
последовательность функций, гармонических в огра-
ограниченной области G и непрерывных на G, равномерно
сходится на границе 0G, то она равномерно сходится на
G к гармонич. функции. Первая Г. т. имеет следующее
обобщение для решений эллпптпч. уравнения
> а;,- (х) -т—т L >, а, (х) — г а (х) и = 0, (*)
имеющего единственное решение Дирихле задачи при
любой непрерывной краевой функции (см. [1]). Если
последовательность решений уравнения (*) равномер-
равномерно сходится на 0G, то она равномерно сходится на G
к решению уравнения (*).
2) В т о р а я Г. т., принцип Г а р н а к а:
если монотонная последовательность функций, гармони-
гармонических в ограниченной области G, сходится в некото-
некоторой точке из G, то она сходится во всех точках области
G к гармонич. функции, и эта сходимость равномерна
в любой замкнутой подобласти области G. Вторая Г. т.
допускает обобщение и для монотонной последователь-
последовательности решений эллиптич. уравнения (*).
Лит.: [1] П е т р о в с к и й И. Г., Лекции об уравнениях
с частными производными, 3 изд., М., 1961; [2] Ф р и д м а н А.,
Уравнения с частными производными параболического типа,
пер. с англ., М., 1968. Л. И. Камынин.
ГАРТОГСА ОБЛАСТЬ, полукруговая об-
область, с плоскостью симметрии {zn=an\— область
в пространстве п комплексных переменных, к-рая
вместе с каждой точкой z = (zl, . . ., zn_lT zn) s ('z, zn)
содержит окружность
{('z, а„ + е'0B„-ап)):О<е<2я}.
Названа по имени Ф. Гартогса (Хартогса, F. Hartogs).
Г. о. наз. полной, если вместе с каждой точкой
('z, 2„) она содержит круг
Г. о. с плоскостью симметрии {zn = 0| удобно изобра-
изображать на диаграмме Гартогса, т. е. обра-
образом Г. о. при отображении ('z, z,,)—>-('z, |г„|).
Лит.: [1] Владимиров В. С., Методы теории функций
многих комплексных переменных, М., 1964; [2] Б о х н е р С,
Мартин У. Т., Функции многих комплексных переменных,
пер. с англ., М., 1951. Е. М. Чирка.
ГАРТОГСА ТЕОРЕМА, Хартогса теорем а,—
1) Основная (главная, или фундамен-
фундаментальная) Г. т.: если функция f(z1, .. ., г„), опреде-
определенная в области Z>cC", в любой точке ??Z) голоморф-
голоморфна по каждому переменному z^ (при фиксированных
z,-=?,j, ]фк), к=1, . . ., п, то / голоморфна в D по сово-
совокупности переменных. Имеется много обобщений этой
теоремы на случаи, когда часть переменных действи-
действительна или используются не все точки области D или
когда допускаются нек-рые особенности /. Напр.:
а) если функция /(z, w), z?C*, w?Cl, определенная
в области Z>={|z|</f1, |Н<Я2}> голоморфна в обла-
области {|2|<r1? |u?|<if2;i ri<^i, и при каждом фиксиро-
фиксированном w, \w\<R2, голоморфна в шаре |z|</?1, то /
голоморфна в области D; б) если функция /, определен-
определенная в С" со значениями из расширенной комплексной
плоскости, рациональна по каждому переменному, то
/—рациональная функция.
2) Г. т. о продолжении: пусть область DdCn
имеет вид D = 'DXD', где 'Z>crC*, D'dCn-k и область
D' ограничена. Любая функция /, голоморфная в ок-
окрестности множества ('DX dD') (J ({'я}х/>'). a'€'D,
голоморфно продолжается в область D.
3) Иногда к Г. т. относят также теорему об устране-
устранении компактных особенностей (при га>1); она часто
именуется теоремой Осгуда — Брауна
(см. [3]).
4) Г. т. называют также теоремы о непрерывном рас-
расположении особых точек при ге>1, об аналитичности
множества особых точек и теорему о равномерной ог-
ограниченности последовательности поточечно ограничен-
ограниченных субгармонич. функций Теоремы 1), 1а), 2) и 4)
впервые доказаны были Ф. Гартогсом (Хартогсом).
Лит.: [1] Н а г t о g s P., «Math. Ann.», 1906, Bd 62, S. 1 —
88; [2] Б о х н е р С, Мартин У. Т., Функции многих
комплексных переменных, пер. с англ., М., 1951; [3] Шабат
Б. В., Введение в комплексный анализ, М., 1969. Е. М. Чирка.
ГАРТОГСА — ЛОРАНА РЯД — ряд
где 'z=(z1, .. ., zn_]), a /*('г) — функции, голоморфные
в нек-рой не зависящей от к области 'DdCn-x. Если
/ft = 0 для всех к<0, то ряд (*) наз. рядом Г а р-
т о г с а. Всякая функция, голоморфная в Гартогса
области D вида
{{'г, za):'z?'D, 0<r('z) < | *„-а„ | < R {'z) < + *>},
разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся
внутри D Г.--Л. р. В полных областях Гартогса это
будет разложение в ряд Гартогса. Областями сходимо-
сходимости Г. —Л. р. являются области того же вида со спе-
специальными r('z) и R ('z), наз. радиусами Гар-
Гартогса. При га=1, когда все /^ константы, Г.— Л. р.
является Лорана рядом.
Лит.: [1] Владимиров В. С, Методы теории функций
многих комплексных переменных, М., 1964. Е. М. Чирка.
ГАТО ВАРИАЦИЯ отображения f(x) ли-
линейного пространства X в линейное топологического
пространство У — предел в топологии пространства Y:
6/(х0, А) = -?.
.' =о
(*)
в предположении, что он существует для всех h ? X.
Именно так ввел первую вариацию Р. Гато (R. Gateaux)
в 1913—14. Для функционалов классического вариа-
вариационного исчисления это определение было дано Ж.
Лагранжем (см. Вариация функционала).
Выражение б/(х0, К) не обязательно является ли-
линейным функционалом по h, хотя оно всегда есть одно-
однородная функция по h первой степени. Отображение
h—>-б/(ж0, h) называют иногда Гато дифференциалом.
Начиная с работ П. Леви ([2], см. также [3]), обычно тре-
требуют линейность и непрерывность 6f(x0, h) no h:
б/ (х0, Л) =/р (х0) h, /'г (xo)?L (X, У).
В этом случае f'r(x0) наз. Гато производной. Аналогич-
Аналогично (*) определяются вторая и т. д. вариации. См. также
Вариация, Вторая вариация, Дифференцирование ото-
отображений.
Лит.: [i] Gateaux R., «С. г. Acad. sci.», 1913, t. 157,
p. 325—27; «Bull. soc. math. France», 1919, t. 47, p. 70—96; [2J
Levy P., Lecons d'analyse fonctionnelles, P., 1922; [3] Л e-
в и П., Конкретные проблемы функционального анализа,
пер. с франц., М., 1967. В. М. Тихомиров.
ГАТО ГРАДИЕНТ функционала j(x) в
точке х0 гильбертова пространства Н — вектор из Н,
равный Гато производной /г (х0) функционала / в
точке х0. Иначе говоря, Г. г. определяется формулой
где e(th)/t-+O при i—>-0. В re-мерном евклидовом прост-
пространстве Г. г. /г(#о) есть вектор с координатами
/Э/(х„) df(x,)^
вх„
и наз. обычно градиентом. Понятие Г. г. рас-
распространяется на случай, когда X — риманово много-
многообразие (конечномерное или гильбертово бесконечно-
бесконечномерное), а / — гладкая действительная функция на X.
Направление вдоль Г. г. среди всех направлений, про-
проходящих через точку х0, выделяется наибольшим ростом
ФУНКЦИИ /. В. М. Тихомиров.
ГАТО ДИФФЕРЕНЦИАЛ отображения f{x)
линейного топологич. пространства X в линейное то-
топологич. пространство У — функция
где предел
в предположении, что он существует для всех h?X,
а сходимость понимается в топологии пространства У.
Так определенный Г. д. однороден, но неаддитивен.
Аналогично вводятся Г. д. высших порядков. Отобра-
Отображение fe—kD/(x0, h) наз. иногда Гато вариацией,
или слабым дифференциалом (см. также
Дифференцирование отображений, Вариация).
Обычно накладывают дополнительное требование
линейности и непрерывности. Г. д.: Df(x,li) = fr(ro)h,
/г (^о) € ?(-^i У)- В этом случае /г (х0) наз. Гато производ-
производной. Если отображение (х, h)^-Df(x, h) равномерно не-
непрерывно по х и непрерывно по h в нек-рой области,
то в этой области существует Фреше производная /' (х)
и при этом /' (х) h=Dj(x, h).
Лит.: [1] Люстерник Л. А., Соболев В. И.,
Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; [2] К о л-
могоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функ-
функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976.
В. М. Тихомиров.
ГАТО ПРОИЗВОДНАЯ, слабая производ-
производная,— наиболее распространенная в бесконечномер-
бесконечномерном анализе, наряду с Фреше производной (сильной
производной), производная функционала или
отображения. Производной Гато в точке х0
отображения / : X—*-Y линейного топологич. простран-
пространства X в линейное топологич. пространство У наз. не-
непрерывное линейное отображение /р (х0) : X-yY, удов-
удовлетворяющее условию
/ (ха + К) = / (*„) -f /г (.г
где e(th)/t—^O при t-yO в топологии пространства У
(см. также Гато вариация). Если отображение / имеет
в точке хй Г. п., то оно наз. дифференцируе-
дифференцируемым по Гато. Для Г. п. теорема о дифференциро-
дифференцировании сложной функции, вообще говоря, неверна. См.
также Дифференцирование отображений.
Лит.: [ll Gateaux R., «С. г. Acad. sci.», 1913, t. 157,
p. 325—27; [2] Колмогоров А. Н., Ф о м и н С. В., Эле-
Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М.,
1976; [3j Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы
функционального анализа, 2 изд., М., 1965; [4] А в ер бух
В. И., С м о л я н о в О. Г., «Успехи матем. наук», 1967, т. 22,
в. 6, с. 201—60. В. М. Тихомиров.
ГАУССА ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА — вариацион-
вариационная задача, исследованная впервые К. Гауссом [1] и
в современных терминах формулируемая следующим
образом. Пусть \х — положительная мера в евклидовом
пространстве R" (я^З), имеющая конечную энергию
(см. Энергия мер), и пусть
— ньютонов потенциал меры fi. Требуется среди всех
мер А с компактным носителем Ка&п найти такую меру
\х0, к-рая дает минимум интегралу
Ul — 2Ull)dX,
представляющему собой скалярное произведение
(Я—2|х, Я) в предгильбертовом пространстве мер.
Значение Г. в. з. определяется тем, что равновесная
мера (см. Робена задача) может быть получена как ре-
решение Г. в. з. при определенном выборе меры ц; напр.,
можно принять за и, равномерное распределение массы
на сфере с центром в начале координат, охватывающей
множество К.
Лит.: [1] Gauss С. F., Werke, Bd 5, Gott., 1867, S.
195—242; [2] Л а н д к о ф Н. С, Основы современной теории
потенциала, М., 1966, гл. 2; [3] Брело М., Основы клас-
классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964, гл. 11.
Е. Д. Соломенцсв.
ГАУССА ЗАКОН — употребительное название
нормального распределения. Название связано с той
ролью, к-рую это распределение играет в ошибок теории
К. Гаусса. Плотности
ке, А>0, (*)
1 л
(именно они первоначально назывались Г. з.) появились
у К. Гаусса в соч. «Теория движения небесных тел»
A809). В книге 2, раздел 3, § 177 был сформулирован
принцип: «Если какая-нибудь величина будет опреде-
определена из многих непосредственных наблюдений, произве-
произведенных при одинаковых обстоятельствах и с одинаковой
тщательностью, то среднее арифметическое из всех
наблюдавшихся значений окажется наиболее вероятным
значением...» [1]. Это положение интерпретируется
следующим образом: пусть истинное значение наблюда-
наблюдаемой величины будет z и пусть плотность вероятности
получить результат х равна ц>(х — z). Тогда при любом п
и любых xlt . . ., хп совместная плотность ф(ж[ — z) . . .
. . .ф(х„—z) достигает максимума (как функция z) при
Отсюда легко получить сначала, что отношение
ф' (х)/хф (х) не зависит от х, а затем, что ф (х) имеет
вид (*). Следует отметить, что указанный выше принцип
неоднократно подвергался критике.
Лит.: [1J Гаусс К. Ф., Избранные геодезические сочи-
сочинения, пер. с латин. и нем., т. 1, М., 1957, с. 89 —109;
[2] Р о i n с а г ё Н., Calcul des probabilites, 2 gd., P., 1912.
Ю. В. Прохоров.
ГАУССА ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ — соотношение, свя-
связывающее значения Лежандра символов ( — ) и ( — 1
для различных нечетных простых чисел р и q (см. Ква-
Квадратичный закон взаимности). Кроме основного Г. з. в.
для квадратичных вычетов, заключающегося в соотно-
соотношении:
Р-1 g-l
, *ч 2 2
имеются еще два дополнения к указанному закону, а
именно:
Р-1 Рг-1
Закон взаимности для квадратичных вычетов был
впервые высказан Л. Эйлером (L. Euler, 1772). А. Ле-
жандр (A. Legendre, 1785) дал формулировку закона в
современной форме и доказал часть этого закона. Пер-
Первое полное доказательство Г. з. в. было дано К. Гаус-
Гауссом (С. Gauss, 1801) (см. [1]). В течение жизни К. Гаусс
дал восемь различных доказательств квадратичного
закона взаимности, построенных на различных прин-
принципах.
Попытки установить закон взаимности для кубичес-
кубических и биквадратичных вычетов привели К. Гаусса к
введению кольца целых комплексных чисел.
Лит.: [1] Г а у с с К. Ф., Труды по теории чисел, пер.
с нем. и латин., М., 1959; [2] В и н о г р а д о в И. М., Основы
теории чисел, 8 изд., М., 1972; [3] X а с с е Г., Лекции по тео-
теории чисел, пер. с нем., М., 1953. С. А. Степанов.
ГАУССА ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА —
формула, использующая в качестве узлов интерполяции
ближайшие к точке интерполирования х узлы. Если
x=xo+th, то формула
,2rlt(t'-i). ¦ ,[t2-(n-lJ](t-n)
/о B^I '
написанная по узлам х0, xo-\-h, xo — h, . . ., xo-\-nh,
х0—nh, наз. формулой Гаусса для интер-
интерполирования вперед, а формула
, {in l Ч-- 1 ) ¦ . . L'--yn- 1 ;-||lt III .„.
"T" h B~n)! ' (Z'
написанная по узлам x0, ж — h, xg-\-h, . . ., x0 — nh, xo-\-nh,
наз. формулой Гаусса для интерполи-
интерполирования назад (см. [1], [2]). В формулах A) и
B) использованы конечные разности, определяемые сле-
следующим образом:
jl 4. t. ff fin-I ,m — \
h + i/2 —//+i Jii n —¦'(¦+1/2 h-i/2-
Преимущество Г. и. ф. состоит в том, что указанный
выбор узлов интерполяции обеспечивает наилучшую
оценку остаточного члена по сравнению с любым дру-
другим выбором, а упорядоченность узлов по мере их бли-
близости к точке интерполяции уменьшает вычислитель-
вычислительную погрешность интерполирования.
Лит.: [1] Б е р е з и н И. С, Жидков Н. П., Методы
вычислений, т. 1, 3 изд., М., 1966; [2] Б а х в а л о в Н. С.,
Численные методы, М., 1973. М. И. Самарин.
ГАУССА КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА — квадра
турная формула вида
(х) dx х J5j-=l с;/ (xi),
в к-рой узлы xi и веса с; подбираются так, чтобы форму-
формула была точна для функций
JsLk—n aftwft (•*•)>
где сод (х) — заданные линейно независимые функции
(пределы интегрирования могут быть и бесконечными).
Г. к. ф. введены К. Гауссом (см. [1]) для а= — 1, й=1,
р(ж)=1. Полученная им общая формула, точная для
произвольного многочлена степени не выше 2га— 1, имеет
вид
^ / (х) dx = ЛГ / (хг) + А{п) } (х2) + .. .
...+Alnmf(xn)+Ra,
где хь,— корни Лежандра многочлена Рп(х), а А},Я) и
Rn определяются по формулам
А<?> = ? .
Применяется в тех случаях, когда подинтегральная
функция достаточно гладкая, а выигрыш в числе узлов
крайне существен: напр., если f(x) определяется из
дорогостоящих экспериментов, или при вычислении
кратных интегралов как повторных. При практическом
применении в таких случаях очень важен удачный под-
подбор весовой функции р (х) и функций a>j(x).
Для широких классов р (х) и соу(ж) составлены таб-
таблицы узлов Г. к. ф. (см. [1]), в частности в [5] при
p(z)=l, (uj(x) = xJ ДО ге=512.
При p(x)=l, a>j(x) = xJ Г. к. ф. применяется в
стандартных программах интегрирования с автоматич.
выбором шага как метод вычисления интегралов по
подотрезкам разбиения (см. [6]).
Лит.: [1] G a u s s С. F., Werke, Bd 3, Gott., 1866, S. 163 —
196; [2] Крылов В. И., Приближенное вычисление интегра-
интегралов, М., 1959; [3] Крылов В. И., Шульгина Л. Т.,
Справочная книга по численному интегрированию, М., 1966; [4J
Бахвалов Н. С, Численные методы, М., 1973; [5] S t r о-
u d А. Н., S е с г е s t D., Gaussian Quadrature Formulas,
N. Y., 1966; [6] Стандартная программа для вычисления одно-
однократных интегралов по квадратурам типа Гаусса, в. 26, М.,
1967. Н. С. Бахвалов, В. П. Моторный.
ГАУССА МЕТОД — метод последовательного исклю-
исключения неизвестных для нахождения решений системы
линейных уравнений, впервые описанный К. Гауссом
[1]. Пусть дана система
fj (х) — aj = aJ-lx1 + . . . -f ajnxn — a, = 0, / = 1, . . ., т, (S°)
где a,ji, aj— элементы произвольного поля Р. Без огра-
ограничения общности можно считать, что а1гф0. Г. м.
состоит в следующем. Из второго уравнения систе-
системы S0 вычитают первое ее уравнение, умноженное по-
почленно на аг11а11, из третьего — первое, умножен-
умноженное на ~а31/аг1, . . ., из то-го — первое, умноженное на
amilau- Пусть S1 — система полученных уравнений-
разностей. При наличии ненулевого коэффициента в S1
(после возможного изменения порядка уравнений и пе-
переменных) поступают с ней так же, как с системой 5°,
и т. д. Если ранг г системы 5° (т. е. ранг матрицы ее ко-
коэффициентов) меньше числа то, то на r-м шага появля-
появляется система Sr с нулевыми коэффициентами при всех
неизвестных; при г=т система Sr считается пустой.
Система S0 тогда и только тогда совместна, когда система
Sr либо совместна (т. е. не имеет отличных от нуля сво-
свободных членов), либо пуста.
Процесс получения одного из решений (совместной)
системы S0 может быть описан следующим образом.
Берется к.-л. решение (х°, . . ., х°) системы Sr~1.
Придавая значения х°г, . . . , хп неизвестным хг, . . ., х„
в к.-л. уравнении системы Sr~2, имеющем ненулевой
коэффициент при хг^1 (напр., в первом ее уравнении),
находят нз него xr_1=xr_i и получают решение (xr—\i
хг, . . ., хп) системы Sr~2. Иначе говоря, значение хг-\
получается из системы Sr~2 при замене в ней неизвест-
неизвестных хТ, . . ., хп взятыми их значениями. Значения
xr-i, хг, . . . , хп подставляются затем в систему Sr~3,
находится значение х,_2=ж?_2, и получают решение
(хг-2 , . ¦ ., хп) и т. д. Найденные так значения х\, . . .,
хйг~\ составляют вместе со взятыми значениями х°г, . . .,
хп решение (xj, х\, . . ., хп) системы 5° (см. [2]).
Описанный метод допускает следующее обобщение
(см. [4]). Пусть U — нек-рое подпространство век-
векторного пространства Рп и Pm(U)— множество всех
решений (/>!, р2, . . ., рт) уравнения
Pi/i И f Р2/2 (х)+...+ pmfm (х) = 0, (*)
где х пробегает U. Для произвольной конечной си-
системы
= (pL Pi, ¦ .-, Рт), i = l, 2, ..., I
Р'
ненулевых образующих элементов пространства Рт (U)
составляется система
2Г-1 ptlf>{X)-2Г-1 Pfa = °> ' = 1,2,...,!,
(х — неизвестное), наз. U-c верткой системы 5°.
Если пространство Pm(U) не содержит ненулевых эле-
элементов, то считается, что система 5° имеет пустую
U-c в е р т к у. Если система 5° совместна, то при лю-
любом U ее #-свертка совместна или пуста. Установле-
Установлено, что для совместности системы 5° достаточно, чтобы
совместной или пустой была ее f-свертка хотя бы для
одного U. Пусть, далее, Ult U2, . . ., Un— подпростран-
подпространства, порождаемые в пространстве Рп векторами ег=
= A, 0, . . ., 0), е2=@, 1, . . ., 0), . . ., е„=@, 0, . . ., 1).
Для {/= Ui уравнение (*) сводится к уравнению
Пусть, напр., s=l. Если при этом а1Хф0, то в качестве
ненулевых образующих элементов пространства Рт (Ui)
можно взять векторы (я21/ап, — 1, 0, . . ., 0), (a31/aii,
0, -1, . . ., 0), . . ., (ат,/ап, 0, 0, . . ., -1), и тогда
{/j-свертывание системы 5° совпадает с процедурой ис-
исключения неизвестного х1 в Г. м.
{/-свертывание системы S0 при {/= Uj-\- {/& есть
процедура одновременного исключения двух неизвест-
неизвестных xi н х^. Пусть, напр., i=l и к=2. Если при этом
. _ «и «21
2 —
aJ2 a22
то для получения (?\+ {/2)-свертки системы 5° можно
взять строки матрицы
— Доя Дп
— Д]2
о
0
Ац,
где
Д.- =
о
ап asl
ап as2
Чередуя исключения отдельных неизвестных с исклю-
исключением тех или иных пар (или в общем случае наборов)
неизвестных, можно для нахождения решений системы
5° строить те или иные алгоритмы, обобщающие Г. м.
Лит.: [1] G а и s s С. F., Beitrage zur Theorie der algebra-
ischen Gleichungen, Gott., 1849; [2] Курош А. Г., Курс
высшей алгебры, 10 изд., М., 1971; [3] Ф а д д е е в Д. К., Ф а д-
деева В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры,
2 изд., М.—Л., 1963; [4] Ч е р н и к о в С. Н., Линейные не-
неравенства, М., 1968. С. Н. Черников.
ГАУССА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — линейное функци-
функциональное преобразование W(t) [x] функции x(t), к-рое
определяется интегралом:
Re (?) > 0.
Если x(t)?L2(-oo, оо), то W(Z) lx]?L2(-oo, <x>)
для действительных значений ?=ь оператор VF(^) яв-
является самосопряженным положительно определенным
оператором [1]. Формула обращения для Г. п.:
z(i) = exp I— j--^,} W (Z) [х (t)].
При ?=4 Г. п. наз. преобразованием Вей-
ерштрасса.
Лит.: [1]Хилле Э., Филлипс Р., Функциональный
анализ и полугруппы, 2 изд., пер. с англ., М., 1962; [2] Д и тк ин
В. А., Прудников А. П., в кн.: Итоги науки. Сер. Ма-
Математика. Математический анализ. 1966, М., 1967, с. 7—82.
Л. П. Прудников.
ГАУССА ПРИЗНАК — признак сходимости числовых
рядов
с положительными членами. Если отношение ап+11ап
представимо в виде
где а и {5 — постоянные числа, {5>1, а {у„} — ограни-
ограниченная последовательность, то ряд 2а„ сходится при
а>1 и расходится при а<:1. Для того чтобы имело
место представление (*), необходимо (но не доста-
достаточно), чтобы существовал конечный предел
а= lim rein
или
а= lim re ( 1 —
Г. п.— один из первых по времени A812) общих приз-
признаков сходимости числовых рядов. К. Гаусс (С. Gauss)
применял свой признак для исследования сходимости
гипергеометрического ряда. Г. п. представляет собой
простейший частный случай одного из логарифмических
признаков сходимости. Л. П. Купцов.
ГАУССА ПРИНЦИП, наименьшего при-
принуждения принцип,— один из основных, на-
наиболее общих дифференциальных вариационных прин-
принципов классической механики, установленный К. Га-
Гауссом (см. [1]) и выражающий экстремальное свойство
действительного движения системы из класса мысли-
мыслимых по Гауссу движений, удовлетворяющих наложен-
наложенным на систему идеальным связям и условиям постоян-
постоянства положений и скоростей точек системы для рас-
рассматриваемого момента времени.
Согласно Г. п. «движение системы материальных то-
точек, связанных между собой произвольным образом и
подверженных любым влияниям, в каждое мгновение
происходит в наиболее совершенном, какое только воз-
возможно, согласии с тем движением, каким обладали бы
эти точки, если бы они стали свободными, т. е. оно про-
происходит с наименьшим возможным принуждением,
если в качестве меры принуждения за время dt принять
величину, равную сумме произведений массы каждой
точки на квадрат величины ее отклонения от того поло-
положения, которое она заняла бы, если бы была свободной»
(см. [1]).
Г. п. равносилен Д'Аламбера —Лагранжа принципу и
применим как к голономным, так и к неголономным си-
системам. Г. п. обобщен на случай освобождения системы
от части связей (см. [2], [3]), а также на случай систем,
стесненных неидеальными связями, и на случай сплош-
сплошных сред (см. [4]).
Лит.: [1] Gauss С, «J. reine und angew. Math.», 1829,
Bd 4, S. 232—35; И Болотов Е. А., «Изв. Физ.-матем.
об-ва при Казан, ун-те», 1916, т. 21, сер. 2, № 3, с. 99—152;
[3] Ч е т а е в Н. Г., там же, 1932—33, т. 6, сер. 3, с. 68—71;
[4] Р у м я н ц е в В. В., «Прикл. матем. и механ.», 1973, т.
37, № 6, с. 963—73. В. В. Румянцев.
ГАУССА РАЗЛОЖЕНИЕ топологической
группыС— представление всюду плотного подмноже-
подмножества GQdG в виде G0=NHN*, где Н — абелева подгруп-
подгруппа группы G, а N и N* — нильпотентные подгруппы
группы G, нормализуемые Н. Если G — группа GL(m, R)
невырожденных вещественных матриц m-го порядка,
Н — подгруппа диагональных матриц, N (соответст-
(соответственно N*) — подгруппа нижне (верхне)-треугольных
матриц с единицами на главной диагонали, Go— под-
подмножество матриц из G, все главные миноры к-рых от-
отличны от нуля, то разложение G0=NHN* наз. раз-
разложением Гаусса полной линейной
группы и непосредственно связано с Гаусса методом
решения систем линейных уравнений: если gg—nhn*,
где n?N, h?H, n*?N*,— невырожденная матрица
коэффициентов системы линейных уравнений gox=b,
то приведение матрицы g0 методом Гаусса к треуголь-
треугольному виду hn*, можно осуществить умножением g0
слева на нижнетреугольную матрицу n~1,'n^N. Стро-
Строгое определение разложения Гаусса тре-
требует введения следующих терминов. Пусть G — топо-
логич. группа, Н — ее подгруппа, N и N*— нильпо-
нильпотентные подгруппы в G, нормализуемые Н. Подгруппа
Н наз треугольным усечением груп-
группы, если a) N?D(R), N*<=D(R*), где D (X) - комму-
коммутант группы X, R и R*— связные разрешимые под-
подгруппы группы G; б) множество G0=NHN* всюду плот-
плотно в G, и разложение NHN* однозначно. Разложение
G0=NHN* наз. треугольным разложени-
разложением в G. Если Н — абелева группа, то это разложение
наз. вполне треугольным разложе-
разложением, или разложением Гаусса. В этом
случае подгруппы B = NH=HN, B* = N*H=HN* раз-
решимы. Пусть я — неприводимое (непрерывное) пред-
представление группы G в конечномерном векторном прост-
пространстве V, Vo~ подпространство всех векторов из V,
неподвижных относительно N*; тогда Vo инвариантно
относительно Н, и представление а группы Н в Vo не-
приводимо. Представление а определяет я однозначно
с точностью до эквивалентности. Представление я
содержится (как инвариантная часть) в представлении
е(а) группы G, индуцированном представлением а под-
подгруппы В в классе С (G), где а — продолжение на В од-
одноименного представления группы Н, тривиальное на
N. При этом пространство Honi(j(n, e(a)) одномерно.
Если Н — абелева подгруппа, то Vo одномерно и а —
характер группы Н. Известны следующие примеры
треугольных разложений групп Ли. 1) Пусть G — редук-
тивная связная комплексная группа Ли с картановской
подалгеброй Но, Н — редуктивная связная подгруппа
в G, содержащая Но. Тогда подгруппа Н является тре-
треугольным усечением группы G. 2) Пусть G — редук-
редуктивная связная линейная группа Ли; тогда группа G
содержит треугольное усечение Н=МА, где А — од-
носвязная абелева подгруппа в G (порождаемая неком-
некомпактными корнями в алгебре Ли группы G), М — цен-
централизатор А в максимальной компактной подгруппе
KcG. 3) В частности, всякая редуктивная связная
комплексная группа Ли допускает Г. p. G0=NHN*,
где Н — картановская подгруппа в группе G; N со-
соответственно N*— аналитич. подгруппа в G, алгебра
Ли к-рой натянута на все корневые векторы еа, а<0
(соответственно а>0), а — корень относительно Н,
т. е. HN и HN* являются противоположными Бореля
подгруппами. В примерах 1) —3) подгруппы N, N* од-
носвязны, Go открыто в G в топологии Зариского, а
отображение NXHXN*, (n, h, n*)-+nhn* является изо-
изоморфизмом алгебраич. многообразий (и, в частности,
гомеоморфизмом). Этот факт позволяет доказать, что
алгебраич. многообразие G рационально.
Лит.: [1] Ж е л о б е н к о Д. П., Компактные группы Ли и
их представления, М., 1968. Д. П. Желобенко.
ГАУССА СУММА — тригонометрическая сумма вида
2
где %(т, q) — числовой характер по модулю q. Г. с.
вполне определяется заданием характера %(т, q) и
числа а. Г. с. были рассмотрены К. Гауссом (С. Gauss)
в 1811 в случае простого нечетного q=p и характера
%(т, q)= [^—), где ("q") — Лежандра символ. В этом
случае
„„_1 2яг——
^(x)=2Loe p> «
где (я, р)=1. Исследуя свойства суммы (*) К. Гаусс
нашел точное выражение для модуля этой суммы:
! те (X) I = VV-
Он также решил более трудную задачу определения
знака та(%) и показал, что
та (X) = Ур ПРИ Р = ! (mod
та (X) = ' У~Р ПРИ Р = 3 (mod 4)-
К. Гаусс использовал свойства сумм (*) для решения
нек-рых задач теории чисел, в частности он применил
их в одном из доказательств квадратичного закона
взаимности.
Значение Г. с. для теории чисел было выявлено толь-
только в 20-е гг. 20 в. В это время Г. Вейль (Н. Weyl) при-
применил для исследования равномерных распределений
более общие тригонометрич. суммы, получившие назв.
Вейля сумм. В то же время И. М. Виноградов использо-
использовал Г. с. для получения оценки сверху наименьшего
квадратичного невычета по модулю р.
Г. с. позволяют установить связь между двумя важ-
важными объектами теории чисел: между мультиплика-
мультипликативными характерами %=%(т, р) и аддитивными харак-
характерами
(ради простоты берется только случай простого моду-
модуля р). Множество F всех комплекснозначных функций
f(x) периода р образует р-мерное векторное простран-
пространство над полем комплексных чисел. Если определить
скалярное произведение в F, положив
(/, g) = ~ XZl fWsW' /. * €*\
то функции fa(m), а = 0, 1, . . ., р— 1, составят орто-
нормированный базис F. При этом
гдеаа = —тв(х). Таким образом, Г. с. ха(%) (с точностью
до множителя l/р) являются координатами в разложении
мультипликативного характера % по аддитивным ха-
характерам fa. Возможность линейного представления
любого характера %=%(т, д) в виде линейной комби-
.ат
2Яг
нации экспонент е q , вытекающая из свойств Г. с.
общего вида, лежит в основе вывода функционального
уравнения для L-функции.
Эти же соображения существенно используются в
методе большого решета при переходе от оценок сумм
от аддитивных характеров к оценкам сумм от мульти-
мультипликативных характеров. Г. с. применяются также для
представления L-функций в виде конечных сумм. Та-
Такое представление используется в задаче о числе клас-
классов дивизоров кругового поля.
Вопрос о знаке Г. с. та(х), принадлежащей ква-
квадратичному характеру, может быть поставлен в бо-
более общем виде для Г. с, принадлежащей характе-
характеру % порядка /с^З. Так возникает Куммера гипоте-
гипотеза относительно кубических Г. с. по простому мо-
модулю р = 1 (mod 3) и обобщения этой гипотезы на
случай &>3.
Лит.: [1] Карл Фридрих Гаусс. Сб. статей, М., 1956; [2]
Виноградов И. М-, Метод тригонометрических сумм
в теории чисел, М., 1971; [3] Дэвенпорт Г., Мультипли-
Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М., 197Г, [4] П р а х а р К.,
Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967; [5] X а с-
с е Г., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М., 1953.
-Б. М. Бредихин.
ГАУССА ТЕОРЕМА (theorema egregium): гауссова
кривизна (произведение главных кривизн) регулярной
поверхности в евклидовом пространстве Е3 не меняется
при изгибаниях поверхности. (Здесь регулярность оз-
означает С3-гладкое погружение.) Г. т. следует из того,
что гауссова кривизна К поверхности в точке (и, v)
может быть выражена через коэффициенты первой
квадратичной формы поверхности
ds2= Edu2+2Fdudv+Gdv*
и их первые и вторые производные в этой точке. Та-
Такое выражение для К наз. уравнением Гаус-
с а, оно допускает разные формы записи (см., напр.,
[2]). Запись уравнения Гаусса упрощается при специа-
специализации координат. Так в изотермич. координатах
(E=G=X, F=0):
в полугеодезич. координатах (E=l, F=0):
к * d'G
Уравнение Гаусса вместе с Петерсона — Кодацци
уравнениями образуют условия интегрируемости систе-
системы, к к-рой сводится задача восстановления поверхно-
поверхности по ее первой и второй квадратичным формам. Из
Г. т. и Гаусса — Бонне теоремы следует, что отличие
суммы углов геодезич. треугольника на регулярной по-
поверхности от я равно ориентированной площади сфе-
рич. образа этого треугольника (см. [1]).
Г. т. установлена К. Гауссом (С. Gauss) в [1] и яв-
является первым и важнейшим результатом в исследова-
исследовании связей между внутренней и внешней геометриями
поверхностей.
Для регулярной m-мерной, 2<rm<gre — 1, поверхности
?т в римановом пространстве Vn справедливо следую-
следующее обобщение Г. т. (см. [3], с. 125; [4], с. 195):
к (а, Ъ) = к(а, b) + 2"Jim('i-(fl. a)h{b, b) — l2i(a, b)), (*)
где к (а, Ь), к (а, Ъ) кривизны соответственно Fm и V
в двумерном направлении, определяемом касательными
к Fm в рассматриваемой точке векторами а, Ъ, а /,- —
вторая квадратичная форма Fm относительно г-й нор-
нормали из ортонормированного набора нормалей в этой
точке. Из (*) следует, что для гиперповерхности F"-1
в Я" все четные элементарные симметрические функции
главных кривизн
КгР = 2л1 < .. . <t2p kU ¦ ¦ ¦ ki2p,
2<:2р<grc— 1, определяются внутренней метрикой F"-1.
В четномерном Е2т, пг>1, гиперповерхность F2m~l
однозначно определяется ее внутренней метрикой и
кривизной Гаусса — Кронекера:
при условии, что последняя отлична от нуля (см. [5],
с. 288).
Для широких классов двумерных нерегулярных
поверхностей в Е3 удается определить «внешнюю кри-
кривизну» как борелевскую меру, связанную со сферич.
отображением, и «внутреннюю кривизну» как меру,
связанную с отличием суммы углов треугольников от
я. Обобщение Г. т. состоит в утверждении, что внешняя
и внутренняя кривизны совпадают. Такое обобщение
Г. т. получено для общих выпуклых поверхностей (см.
[6]) и для б^-гладких поверхностей ограниченной внеш-
внешней кривизны (см. [7]).
Лит.: [1] Гаусс К. Ф., Общие исследования о кривых
поверхностях, пер. с лат., в сб.: Об основаниях геометрии, М.,
1956; [2] Бляшке В., Введение в дифференциальную гео-
геометрию, пер. с нем., Ы., 1957; [3] Г р о м о л Д., К л и н г е н-
берг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер.
с нем., М., 1971; [4] Э й з е н х а р т Л. П., Риманова геомет-
геометрия, пер. с англ., М., 1948; [5]Стернберг С, Лекции по
дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1970; [6] Алек-
Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверх-
поверхностей, М.— Л., 1948; [7] П о г о р е л о в А. В., Внешняя ге-
геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969. Ю. Д. Бураго.
ГАУССА — БОННЕ ТЕОРЕМА: полная кривизна со
двумерного компактного риманова многообразия F2,
замкнутого или с краем, и поворот т его гладкого края
(границы) 0V2 связаны с эйлеровой характеристикой %
многообразия V" соотношением
здесь
со = $у2 KdS,
где К — гауссова кривизна, a S — площадь;
где kg— геодезич. кривизна, а / — длина границы.
Г.— В. т. справедлива и для многообразия с кусочно
гладкой границей, в этом случае
где я —а,- есть поворот границы в угловой точке. В
частности, теорема справедлива на регулярных по-
поверхностях в Е3. К Г. —Б. т. близко подошел К. Га-
Гаусс (см. [1]), в отчетливой форме (для гомеоморфных
KDyry поверхностей) она опубликована О. Бонне
(см. [2]).
Для некомпактного полного F2 без края аналогом
Г.— Б. т. является неравенство Кон-Фос-
с е н а (см. [3]):
С К dS< 2ях-
J у2
Г.— Б. т. и приведенное неравенство верны также для
выпуклых поверхностей и двумерных многообразий ог-
ограниченной кривизны.
Г.— Б. т. обобщается для четномерных компактных
римановых многообразий V2P, замкнутых или с краем:
r2p-V"" — Bp-l)!l л>
где S, I — объемы в V2P и dV2P, Q — нек-рый полином
от компонент тензора кривизны V2P, ф — нек-рый по-
полином от компонент тензора кривизны и коэффициентов
второй квадратичной формы dV2P (см. [4]). Г.— Б. т.
распространена также на римановы полиэдры [5]. Дру-
Другие обобщения Г. — Б. т. связаны с интегральными пред-
представлениями характеристич. классов через параметры
римановой метрики (см. [4], [6], [7]).
Лит.: [1] Gauss С, Werke, Bd 8, Gott., 1900; [2] Boa-
net О., «J. Ecole polytech.», 1948, t. 19, p. 1—146: [3] Кон-Фос-
сен С. Э., Некоторые вопросы дифференциальной геометрии
в целом, М., 1959; [4] ШарафутдиновВ. А., «Сиб.
матем. ж.», 1973 , т. 14, № 6 с. 1321—35; [5] А 1 1 е n d о е г-
fer С. В., Weil A., «Trans. Amer. Math. Soc», 1943, v.
53, Me 1, p. 101—29; [6] E e 1 1 s J., «Trans. Amer. Math. Soc»,
1959, v. 92, № 1, p. 142—53; [7] П о н т р я г и н Л. С,
«Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1949, т. 13, № 2. Ю. Д. Бураго.
ГАУССА — ЛАПЛАСА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — одно
из названий нормального распределения, к-рое наряду
с другими названиями (Гаусса закон, г а у с-
совское распределение, второй за-
закон Лапласа, Лапласа— Гаусса рас-
распределение и т. д.) связывает историю открытия
и первых приложений распределения к различным зада-
задачам теории вероятностей с именами К. Гаусса (С. Gauss)
и П. Лапласа (P. Laplace). Нормальное распределение
появилось у К. Гаусса A809) и П. Лапласа A812) в свя-
связи с исследованиями по ошибок теории и наименьших
квадратов методу. Так, в развитой К. Гауссом для за-
задач астрономии и геодезии теории ошибок наблюдений
плотность вероятностей случайных ошибок выражалась
функцией
Ф (Д) = -Д= e~h'A\ h > 0
V я
(см. Гаусса закон). П. Лаплас, кроме того, получил
интеграл (функцию Лапласа)
Vn JO
как приближенное значение (при больших га) вероят-
вероятности того, что число успехов в п испытаниях Бер-
нулли с вероятностью успеха р будет заключено в пре-
пределах rap—т ]^2гарA—р) и np-\-%V^2np (I— p) (так наз.
предельная формула Лапласа). Однако
соотношение, где нормальное распределение появля-
появляется как предельная форма биномиального с р = д=//2,
было найдено еще А. Муавром (A. Moivre, 1733).
Лит.: [1] Гаусс К. Ф., Избр. геодезические соч., пер.
с лат. и нем., т. 1, М., 1957, с. 89—109; L2] L а р 1 а с е P. S.,
Theorie analitique des probabilites, P., 1812: [3] T о d h u n t e r
I., A history of the mathematical theory of probability, [N. Y.],
1949. А. В. Прохоров.
ГАУССОВА КРИВИЗНА, полная кривизна,
поверхности — произведение главных кривизн регу-
регулярной поверхности в данной точке.
Если
l = ds- = E du2+2 F dudv-\-G dv2
•— первая квадратичная форма поверхности и
II = L du2+2 Mdudv+N dv2
— вторая квадратичная форма поверхности, то Г. к.
вычисляется по формуле
„ _ LN-M*-
~ EG-F*
Г. к. совпадает с якобианом сферического отображения.
[К\Ра= lim A,
d(s)-* О s
где Ро — точка на поверхности, s — площадь области
U, содержащей Ро, S — площадь сферич. изображения
U, d— диаметр области. Г. к. положительна в эллипти-
эллиптической точке, отрицательна в гиперболической точке и
равна нулю в параболической точке и в уплощения точке.
Г. к. можно выразить только через коэффициенты пер-
первой квадратичной формы и их производные (см. Гаусса
теорема). Именно,
Е Еи Ev f -G F -Е \
~lW< FnFrutLv +2W \du~?vr1 + 'dv "w ЪI '
Or (ja Gv
где
Так как Г. к. зависит только от метрики, т. е. от
коэффициентов первой квадратичной формы, то Г. к.—
инвариант изгибания. Г. к. играет особую роль в тео-
теории поверхностей; существует много формул для ее
вычисления (см., напр., [2]).
Г. к. наз. гауссовой кривизной по имени К. Гаусса,
к-рый ввел это понятие (см. [1]).
Лит.: Ш Гаусс К. Ф., Общие исследования о кривых
поверхностях, пер. с лат., в сб.: Об основаниях геометрии,
М., 1956: [2] Бляшке В., Введение в дифференциальную ге-
геометрию, пер. с нем., 1957, с. 95. Е. В. Шикин.
ГАУССОВА ПОЛУГРУППА — коммутативная полу-
полугруппа с единицей, удовлетворяющая закону сокраще-
сокращения, в к-рой любой необратимый элемент а разложим в
произведение неприводимых (т. е. не представимых в
виде произведения необратимых сомножителей) эле-
элементов, причем для любых двух таких разложений
а —- bi . . . bk и а = с1 . . . с/
имеет место к=1 и, быть может, после перенумерования
сомножителей, справедливы равенства
где ех, . . ., Е?— обратимые элементы. Типичные при-
примеры Г. п.— мультипликативные полугруппы отличных
от нуля целых чисел, отличных от нулевого многочле-
многочленов от одного неизвестного над полем. Любые два эле-
элемента Г. п. обладают наибольшим общим делителем.
Лит.: [1] К у р о ш А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд.,
М., 1973. Л.Н.Шеерин.
ГАУССОВО ЧИСЛО — целое комплексное число
п-\-Ы, где а и b — любые целые рациональные числа.
С геометрич. точки зрения Г. ч. образуют на плоскости
решетку всех точек с целыми рациональными координа-
координатами. Г. ч. впервые были рассмотрены К. Гауссом
iC. Gauss) в 1832 в работе о биквадратичных вычетах.
Им же были найдены основные свойства множества
Г — целых комплексных чисел.
Г является кольцом; единицами Г (т. е. делителями
единичного элемента) будут 1, — 1, г, —г', других единиц
нет. Простыми (неразложимыми в нетривиальное про-
произведение) числами кольца Г — гауссовыми
простыми числами будут числа вида
а=а-\-Ы,
нормы (модули) N (а) = а2+62=р к-рых есть рациональ-
рациональные простые числа р вида 4ге+1 и 4га+3. Примеры про-
простых Г. ч.: 1 + 2;, 3+4г, 3, 7 и др.
Любое число из Г однозначно раскладывается в про-
произведение простых Г. ч. Кольца, характеризующиеся
этим свойством, наз. гауссовыми кольцами,
или факториалъными кольцами.
В теории биквадратичных вычетов Г. ч. явились пер-
первым простым и важным примером расширения поля
рациональных чисел.
Лит.: [1] Карл Фридрих Гаусс. Сб. статей, М., 1956.
ГАУССОВСКИЙ ПРОЦЕСС — действительный' "слу-
"случайный процесс Х = Х(?), t?T, любые конечномерные
распределения к-рого являются гауссовскими, т. е.
характеристич. функции совместных распределений
вероятностей случайных величин X (tj), . . ., X (tn) при
любых tlt . . ., tn? T имеют вид:
= ехр |
где A (t) = EX (t) — математич. ожидание и
B{t, S) = E[X(t)-A(t)][X(s)-A(S)\
— корреляционная функция. Распределение вероят-
вероятностей Г. п. Х = Х (t) полностью задается его математич.
ожиданием Ait) и корреляционной функцией Bit, s),
s, t?T. Для любой функции A (t) и любой положитель-
положительно определенной функции В (?, s) существует Г. п.
X(t), у к-рого среднее значение и корреляционная
функция суть именно A (t) та В (t, s). Многомерный
случайный процесс с векторными значениями
X(t)={X1(t), . . ., Xm(t)}
наз. гауссовским, если гауссовскими являют-
являются совместные распределения вероятностей любых ве-
величин
Xtl(h), . . ., Xin(tn).
Комплексным Г. п. Х = Х (t), t?T, наз. слу-
случайный процесс вида
где действительные Xx(t), X2(t) в совокупности обра-
образуют двумерный Г. п. Иногда, говоря о комплексном
Г. п. X (t) = X1(t)JriX2(t), считают, что выполняется
одно дополнительное условие:
ЕХ («) X (t) = A (s) A (t),
где
Ото условие вводится для того, чтобы сохранить то
свойство обычных гауссовских случайных величин, со-
согласно к-рому некоррелированность равносильна неза-
независимости; его можно переписать следующим образом:
ЕГ у /*\ А //\ 1 Г у /о\ А /<Л 1
I 1 \ / — 1 \ / J L 1 v / — 1 v / J —
= Е [Х2 (*) - А2 (t)] [X2 (S) - А2 (,)] = 1- Re В {t, s),
Е [Xj @ —^i (<)] tX2 (s)-A2 (s)\ =- i- Im В (t, s),
где
B(t, t) = E[X(t)-A{t)][X(s)-A(,)l
корреляционная функция процесса X (t) и
Действительный обобщенный случайный процесс
Х= {и, X), u?U, на линейном пространстве G наз.
обобщенным Г. п., если его характеристич.
функционал <рх(и) имеет вид:
iA (и)--к- В (и, и)
где А (и) = Е <и, Х~> — математич. ожидание обобщен-
обобщенного процесса Х= (и, X),
В (и, i>) = E[<«, Ху — A(u)][<v, X> — А(р)\
— его корреляционный функционал.
Пусть U — гильбертово пространство со скалярным
произведением (и, v), и, у? U. Случайная величина
X со значениями в пространстве U наз. гауссов-
с к о й, если случайный процесс вида Х= (и, X), и? U, —
обобщенный Г. п. Математич. ожидание А (и) является
линейным непрерывным функционалом, а корреляци-
корреляционная функция В (и, v) — билинейным непрерывным
функционалом на гильбертовом пространстве U, причем
B(u,v) = (Bu, v), и, v?U,
где положительный оператор В — корреляционный опе-
оператор случайной величины X ? U, является ядерным.
Для любых таких А(и) и В (и, у) существует гауссовская
величина X ? U такая, что обобщенный процесс Х =
= (и, X), u?U, имеет средним значением и корреля-
корреляционной функцией именно А (и) и В (и, и).
Пример. Пусть X=X(t) — Г. п. на отрезке Т=
= [а, Ь] и пусть процесс X (t) измерим, причем
E[Z (t)fdt < со.
Тогда почти все траектории X(t), t?T, будут принад-
принадлежать пространству интегрируемых в квадрате функ-
функций u=u(t) на отрезке Т со скалярным произведением
(и, у)= f6 u{t) v (t) dt.
Формула
<и, Х>= Р u(t)X (t)dt, u
задает обобщенный Г. п. на этом пространстве U. При
этом математич. ожидание и корреляционный функцио-
функционал обобщенного процесса Х= {и, X) выражаются
формулами:
А (и)= [b u(t) A(t)dt,
•ja
В (и, v)=[ { В <t s) и (t) v (s) dt ds,
Ja J a
где A (t) и В (t, s) — соответствующие математич. ожи-
ожидание и корреляционная функция исходного процесса
X = X(t) на отрезке Т=[а, Ь].
Почти все основные свойства Г. п. Х = Х(?) (пара-
(параметр t пробегает произвольное множество Т) могут
быть выражены в геометрич. терминах при рассмотре-
рассмотрении этого процесса как кривой в гильбертовом про-
пространстве Н всех случайных величин У, ЕУ2<оо, со
скалярным произведением (Ух, У2) = ЕУ1У2, для к-рой
(X(t), 1) = Л(()
и (X(t)-A (t), X(s)-A(s)) = B(t, s).
Ю. А. Розанов.
Стационарные в узком смысле Г. п. могут быть реа-
реализованы посредством нек-рых динамич. систем (сдвиг
в пространстве траекторий, см. [1]). Полученные ди-
динамич. системы (их иногда наз. нормальными,
сравни с нормальным распределением вероятностей)
представляют интерес как примеры динамич. систем с
непрерывным спектром, свойства к-рых благодаря упо-
упомянутому разложению Н могут быть изучены с большой
полнотой. Так были построены первые конкретные при-
примеры динамич. систем с «неклассическими» спектраль-
спектральными свойствами. Д- В. Амосов.
Лит.: [1] Д у б Д ж. Л., Вероятностные процессы, пер.
с англ., М., 1956; [2] Ибрагимов И. А., Розанов
Ю. А., Гауссовские случайные процессы, М., 1970; [3] Кра-
Крамер Г., Лидбеттер М., Стационарные случайные про-
процессы. Свойства выборочных функций и их приложения, пер.
с англ., М., 1969; [4] I t б К., «J. Math. Soc. Japan», 1951, v. 3,
№ 1, p. 157—69; [5] его же, «Japan. J. Math.», 1952, v. 22,
p. 63—86.
ГЕГЕНБАУЭРА МНОГОЧЛЕНЫ — то же, что уль-
ультрасферические многочлены.
ГЕГЕНБАУЭРА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — интеграль-
интегральное преобразование T{F(t)} функции F(t):
Т {F(t)}= У_\ (l-^)P-i/s Cl (t) F (t) dt = fn,
p > —1/2, re = 0, 1, 2, ... ,
где Cn(t) — многочлены Гегенбауэра. Если функция
разлагается в обобщенный ряд Фурье по многочленам
Гегенбауэра, то имеет место формула обращения
Ш(п + р)ГЧРJ2р~1 rPP
C
а лГ(п
Г. п. сводит дифференциальную операцию
R [p(t)] = (l — t2)F" — Bp-fl) tF"
к алгебраической
Т [R[F (t)]} = -/»(n + 2p)/8.
Лит.: [1] Д и т к и н В. А., Прудников А. П., в сб.:
Итоги науки. Сер. Математика. Математический анализ. 1966,
М., 1967, с. 7—82. А. П. Прудников.
ГЁДЕЛЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ интуициони-
интуиционистской арифметики — специальная операция,
переводящая формулы интуиционистской арифметики
в формулы вида зхуу А (х, i/, z), где х, у и z — наборы
переменных по вычислимым функциям специального
вида. При этом выводимые формулы переводятся в ис-
истинные формулы в смысле нек-рои четко описанной се-
семантики. Эта интерпретация, к-рая была использо-
использована К. Гёделем (К. Godel) для нового доказательства
непротиворечивости арифметики формальной, пред-
представляет также значительный интерес как нек-рая се-
семантика для языка формальной арифметики.
Рассматривается бескванторная аксиоматич. тео-
теория Т с бесконечным числом типов переменных. Класс
переменных данного типа определяется индуктивно, а
именно: 1) х°, у0, z°, . . .— переменные типа 0, перемен-
переменные для натуральных чисел; 2) пусть теория содержит
переменные типов i0, tlt . , ., t^, тогда теория содержит
и переменные типа t, где t есть (t0, . . ., t^). Переменные
типа t обозначаются через х*, у*, z*, . . . и рассматри-
рассматриваются как переменные для вычислимых в нек-ром смыс-
смысле функций, перерабатывающих каждый набор функ-
функций типов tlt . . ., tft соответственно в функцию типа
t0. Язык Т содержит термы различных типов: перемен-
переменная xt типа t является термом типа t, 0 есть терм типа О,
символ s, к-рый служит для обозначения функции при-
прибавления единицы к натуральному числу, есть терм
типа @,0). Остальные термы образуются с помощью
правил порождения: Черна Х-абстракции и примитив-
примитивной рекурсии для функций произвольного типа. Ато-
Атомарные формулы теории Т суть равенства (t=r), где
t, г — термы типа 0. Формулы теории Т получаются из
атомарных с помощью логических связок исчисле-
исчисления высказываний &, v, 3, ~~|. Постулатами Т явля-
являются аксиомы и правила вывода интуиционистского
исчисления высказываний, аксиомы для равенства,
аксиомы Пеано для 0 и S, уравнения примитивных ре-
рекурсий, аксиома применения функции, определенной
Х-абстракцией, и, наконец, принцип математич. ин-
индукции, сформулированный в виде правила вывода без
употребления кванторов. Через Т+ обозначим теорию
Т, пополненную кванторами по переменным произ-
произвольного типа и соответствующими логическими аксио-
аксиомами и правилами вывода для кванторов.
Г. и. переводит всякую формулу F из Т+ (а следова-
следовательно, и всякую формулу интуиционистской ариф-
арифметики) в формулу вида
ЪхууА (х, у, z),
где А (х, у, z) — формула без кванторов, а х, у, z — набо-
наборы переменных различных типов, z — совокупность
всех свободных переменных формулы F.
Пусть F — формула интуиционистской арифметики
и 3ХУУ А (^, У, z) — ее гёделевская интерпретация.
Если F выводима в формальной интуиционистской ариф-
арифметике, то может быть построен терм t(z) теории Т
такой, что формула A (t(z), у, z) выводима в Т. Таким
образом, непротиворечивость арифметики сводится к
установлению непротиворечивости бескванторной тео-
теории Т.
Интуиционистская семантика на
основе Г. и. определяется следующим образом: формула
F считается истинной, если найдется вычислимый терм
t(z) такой, что бескванторная формула A (t(z), у, z)
истинна при всяком вычислимом z.
Лит.: [1] Гбдель К., в сб.: Математическая теория ло-
логического вывода, М., 1967, с. 299—310. А. Г. Драгалин.
ГЁДЕЛЯ ТЕОРЕМА О НЕПОЛНОТЕ — общее назва-
название двух теорем, установленных К. Гёделем [1]. Пер-
Первая Г. т. он. утверждает, что в любой непротиворечи-
непротиворечивой формальной системе, содержащей минимум ариф-
арифметики (+, •, знаки у, 3 и обычные правила обраще-
обращения с ними), найдется формально неразре-
неразрешимое суждение, т. е. такая замкнутая форму-
формула А, что ни А, ни ~\А не являются выводимыми в
системе. Вторая Г. т. о н. утверждает, что при вы-
выполнении естественных дополнительных условий в
качестве А можно взять утверждение о непротиворечи-
непротиворечивости рассматриваемой системы. Эти теоремы знамено-
знаменовали неудачу первоначального понимания программы
Гильберта в области оснований математики, к-рая пре-
предусматривала полную формализацию всей существую-
существующей математики или значительной ее части (невозмож-
(невозможность этого показала первая Г. т. о н.) и обоснование
полученной формальной системы путем финитного до-
доказательства ее непротиворечивости (вторая Г. т. о п.
показала, что даже если финитными считаются все
средства формализованной арифметики, этого не хва-
хватит уже для доказательства непротиворечивости ариф-
арифметики).
Формально неразрешимое суждение строится методом
арифметизации синтаксиса, к-рый стал одним из основ-
основных методов теории доказательств (метаматематики).
Фиксируется нумерация основных формальных объ-
объектов (формул, конечных последовательностей формул
и т. д.) натуральными числами такая, что основные
свойства этих объектов (быть аксиомой, быть выводом
по правилам системы и т. д.) оказываются распознавае-
распознаваемыми по их номерам с помощью весьма простых алго-
алгоритмов. Столь же просто вычисляются по номерам ис-
исходных данных номера результатов комбинаторных
преобразований (напр., подстановки терма в форму-
формулу вместо переменной). При этом оказывается возмож-
возможным написать арифметич. формулу Б (а, Ъ), имеющую
вид f(a, b) = 0 (f — примитивно рекурсивная функция)
и выражающую условие: Ъ есть номер формулы, к-рая
получается из формулы с номером а путем подстановки
натурального числа а вместо переменной х. Если р —
номер формулы yb~\B(x, Ь), то формула yb~\B(p, Ь)
выражает свою собственную невыводимость. Она и ока-
оказывается формально неразрешимой. Отсюда следует,
что в любой непротиворечивой системе с минимальными
выразительными арифметическими возможностями име-
имеется истинное, но не выводимое суждение указанного
вида.
Вторая Г. т. о н. получается путем формализации
доказательства первой Г. т. о н. Ее доказательство су-
существенно использует особенности арифметизации син-
синтаксиса рассматриваемой системы, а именно — требует-
требуется выводимость в этой системе формул, выражающих
суждения: 1) система замкнута относительно правила
сокращения посылки (модус поненс); 2) система зам-
замкнута относительно подстановки термов вместо пред-
предметных переменных; 3) из истинности формулы вида
/(iV)=O, где N — натуральное число, / — примитивно
рекурсивная функция, следует ее выводимость. Эти
условия выполняются для естественной арифметизации,
но можно, не меняя алгорнфмич. характеристик ариф-
арифметизации (все функции и предикаты остаются прими-
примитивно рекурсивными), изменить ее так, что формула,
выражающая непротиворечивость системы (примени-
(применительно к новой арифметизации), будет выводима. При
этом для новой арифметизации будет нарушено усло-
условие 1).
Вторая Г. т. о н. дает критерий сравнения формаль-
формальных систем: если в системе S можно доказать непроти-
непротиворечивость системы Г, то S не погружается в Т (см.
Погружающая операция). Так, доказывается, что
формальный математический анализ не погружается
в арифметику, типов теория не погружается в анализ,
теория множеств Z не погружается в теорию типов.
Лит.: [1] Godel К., «Monatshefte fur Math, und Phys.»
1931, Bd 38, S. 173—98; [2] H i 1 b e г t D., В е г п а у s P.,
Grundlagen der Mathematik, 2 Aufl., Bd 2, в., 1970; [3] К л и-
н и С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957.
Г. Е. Минц.
ГЁДЕЛЯ ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ — утверждение о
полноте классического исчисления предикатов: всякая
предикатная формула, истинная на всех моделях, вы-
выводима (по формальным правилам классич. исчисления
предикатов). Г. т. о п. показывает, что множество
выводимых формул этого исчисления в определенном
смысле максимально: оно содержит все чисто логиче-
логические законы теоретико-множественной математики.
Доказательство К. Гёделя [1] дает способ построения
к о н т р м о д е л и (т. е. модели для отрицания) вся-
всякой формулы А, невыводимой в Генцена формальной
системе без сечения. Имеются также доказательства, ос-
основанные на расширениях систем формул до макси-
максимальных, а также доказательства, использующие ал-
гебраич. методы. Теорема вместе с доказательством
обобщается на исчисление с равенством. Другое на-
направление — обобщение на произвольные множества
формул: каждое непротиворечивое множество формул
обладает моделью (множество М непротиворе-
непротиворечиво, если для любых Аъ . . ., А^^М невыводимо
~] (А± & . . . & Аь)). Гёделевское доказательство дает
для непротиворечивого множества формул модель, эле-
элементами к-рой являются термы. Такие модели состав-
составляют исходный пункт во многих исследованиях по ме-
метаматематике теории множеств. Другое приложение
моделей из термов — теорема Лёвенхей-
ма — Сколем а: если счетное множество формул
имеет какую-то модель, то оно имеет счетную модель.
Само гёделевское доказательство проводится средст-
средствами теории множеств без аксиомы бесконечности, т. е.
средствами арифметики. Отсюда получается кон-
конструктивная форма Г. т. о п. (лемма
Б е р н а й с а): для каждой предикатной формулы А
можно указать такую подстановку ? арифметич. пре-
предикатов вместо предикатных переменных, что |Л—>-Рг (А)
выводима в формальной арифметике; здесь Рг(Л) —
арифметич. формула, выражающая, что А выводима.
Таким образом, для выводимости А достаточна ее ис-
истинность на той модели, к-рую задает подстановка |.
Лемма Бернайса применяется для построения моделей
формальной системы S в системе S', если в S' доказана
непротиворечивость S.
Из Г. т. о п. можно извлечь также теорему об устра-
устранимости сечения (см. Генцена формальная система) и
различные теоремы отделения, напр.: если формула,
не содержащая знака равенства, выводима средствами
исчисления предикатов с равенством, то она выводима
в чистом исчислении предикатов; если предикатная
формула выводима в арифметике со свободными преди-
предикатными переменными, то она выводима в исчислении
предикатов.
Г. т. о п. допускает (при соответствующем обобщении
понятия модели) обобщение на неклассич. исчисления:
интуиционистские, модальные и т. п.
Лит.: [1] G б d e 1 К., «Monatshefte fur Math, und Phys.»,
1930, Bd 37, S. 349—60; [2] H о в и к о в П. С, Элементы мате-
математической логики, М., 1959; [3] К л и н и С. К., Введение
в метаматематику, пер. с англ., М., 1957. Г. Е. Минц.
ГЕЙЗЕНБЕРГА ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — одно из ос-
основных возможных (наряду с Шрёдингера представле-
представлением и взаимодействия представлением) эквивалент-
эквивалентных представлений зависимости от времени t операто-
операторов А и волновых функций Т в квантовой механике
и квантовой теории поля. В Г. п. операторы Л//зависят
от ?, а волновые функции т|з/у не зависят от t, и связаны
с соответствующими не зависящими от t операторами
As и зависящими от t волновыми функциями tysi*)
в представлении Шрёдингера унитарным преобразо-
преобразованием
. И . Н . Н
1 t -I ¦— t I — t
AH(t) = e h Ase h ; Цн=е П т|M (t), A)
где эрмитов оператор Н есть полный гамильтониан
системы, не зависящий от времени. Возможность вве-
введения Г. п., как и представления Шрёдингера и вза-
взаимодействия, и их эквивалентность основаны на том,
что являются наблюдаемыми и имеют физич. смысл не
сами по себе А или г|), а лишь среднее значение опера-
операторов А в состоянии т|з, к-рое должно быть инвариантно
относительно унитарных преобразований типа A) и,
следовательно, не должно зависеть от выбора представ-
представления. Дифференцирование A) по t дает уравнение для
операторов AH(t) в Т.п., к-рое содержит всю информа-
информацию об изменении состояния квантовой системы с
течением времени t:
где операторы Н ж As, вообще говоря, не коммутируют.
Г. п. названо по имени В. Гейзенберга (W. Heisen-
berg), к-рый ввел его в 1925 в матричной формулировке
квантовой механики. в д кукин
ГЕЙНЕ — БОРЕЛЯ ТЕОРЕМА об открытом
иокрытии — см. Бореля — Лебега теорема.
ГЕЙТИНГА ФОРМАЛЬНАЯ СИСТЕМА, Г е й т и н
га исчисление,— название трех формальных
систем конструктивной логики, предложенных А. Рей-
Рейтингом [1]. Первая из них — гейтинговское,
или интуиционистское, исчисление
высказываний— формализация принципов кон-
конструктивной логики высказываний; вторая —гей-
—гейтинговское, или интуиционистское,
исчисление предикатов — формализация
конструктивной логики предикатов; третья — г е й-
тинговская, или интуиционистская,
арифметика — формализация принципов эле-
элементарной конструктивной теории чисел. Задуманные
первоначально как формализации соответствующих
разделов интуиционистской логики и математики, эти
системы не содержат, однако, никакой чисто интуици-
интуиционистской специфики.
Логические Г. ф. с. (исчисление высказываний и ис-
исчисление предикатов) получаются из обычных вари-
вариантов соответствующих классич. систем с полным ком-
комплектом (&, V, 3, ~), V, 3) логических связок (см.
Логические исчисления) путем замены «неконструктив-
«неконструктивного постулата» (обычно это исключенного третьего
закон A v^i или двойного отрицания закон "j^iDi)
на противоречия закон (А&~\А)^>В. Гейтинговская
арифметика получается тем же способом из классиче-
классической арифметики формальной. Генценовские логисти-
логистические (секвенциальные) системы (см. Генцена формаль-
формальная система) для Г. ф. с. обычно отличаются от соот-
соответствующих классич. систем ограничением: все сек-
секвенции, входящие в вывод, односукцедентны.
Г. ф. с. корректны относительно (различных вари-
вариантов) конструктивного понимания математич. сужде-
суждений: в частности, формулы, выводимые в этих систе-
системах, рекурсивно реализуемы и имеют истинные Гёде-
Гёделя интерпретации. Для Г. ф. с. допустимы интуицио-
интуиционистские (см. Интуиционизм) приемы оперирования
с логическими связками, содержащими конструктив-
конструктивную задачу: из выводимости формулы вида ^хА (х)
(формулы вида А \/В) следует выводимость формулы
A (t) при нек-ром t (соответственно, одной из формул
А, В). При этом в случае арифметики рассматриваемые
формулы должны быть замкнутыми. Справедливо так-
также правило Маркова: из выводимости зам-
замкнутой формулы ~\~)jxR(x), где R — примитивно
рекурсивная бескванторная формула, следует выводи-
выводимость R (N) при нек-ром N.
Гейтинговская арифметика удовлетворяет услови-
условиям Гёделя теоремы о неполноте. В ней невыводим прин-
принцип Маркова ~\~\^xR^>^xR для конкретной при-
примитивно рекурсивной формулы Л, хотя этот принцип
истинен как при конструктивном понимании суждений
в смысле Маркова — Шанина, так и при интерпретации
Гёделя. Неполнота логических Г. ф. с. относительно
интерпретации реализуемости следует из наличия не-
невыводимой, но реализуемой, пронозициональной фор-
формулы. Вопрос о полноте гейтинговского исчисления
высказываний относительно гёделевской интерпретации
остается A977) открытым.
Всякая формула, выводимая в Г. ф. с, выводима в
соответствующей классич. системе. Обратное утвер-
утверждение опровергается на примере (закон исключенного
третьего), однако имеется погружение классич. систем
в Г. ф. с, не меняющее формул (если рассматривать их
с точностью до эквивалентности в классич. системе) и
сохраняющее не только доказуемость формул, но и
структуру доказательств: всякий вывод формулы А
из списка Г в классич. системе легко перестраивается
в вывод формулы А - из списка Г~ в соответствующей
Г. ф. с. Здесь А ~ обозначает результат дописывания ~] ~]
перед всеми подформулами формулы А (в случае ис-
исчисления высказываний достаточно вставить ~~] ~~|
только перед самой формулой А). Таким образом,
формулы вида А - выводимы классически тогда и
только тогда, когда они выводимы в Г. ф. с, что дает
доказательство относительной непротиворечивости для
классич. систем. Сохраняющее структуру выводов по-
погружение Г. ф. с. в классич. системы невозможно, од-
однако имеется погружение Г. ф. с. в классич. системы с
дополнительной связкой ? («доказуемо»).
В исчислении предикатов все связки независимы.
В арифметике ~~\ выражается через 3, а V — через з,
&, :гэ. Можно сконструировать логическую связку,
через к-рую выражаются все остальные, напр.
(((Р Vg)&r)v(~]P&(r=V;z:32/sB:,2/))))- Теоретико-множе-
Теоретико-множественная теория моделей для Г. ф. с. использует
интенсиональные модели, в к-рых истин-
истинность высказывания не определяется раз и навсегда,
а зависит от рассматриваемого «момента времени».
Для изучения гейтинговского исчисления высказыва-
высказываний используются псевдобулевы алгебры.
В современной теории доказательств Г. ф. с. изуча-
изучаются в основном как части систем, включающих более
мощные принципы конструктивной математики (прин-
(принцип Маркова, реализуемость) или интуиционистской
математики (брауэровский принцип непрерывности,
бар-индукция и т. д.).
Лит.: [1] Н е у t i n g A., «Sitzungsber. Dtsch. Akad. Wiss.
Phys.-math. Klasse», 1930, Bd 16, Ni 1, S. 42—56, 57—71,
№ 10—12, S. 158—69; [2] К л и н и С. К., Введение в метама-
метаматематику, пер. с англ., М., 1957; [3] К а р р и X. Б., Основания
математической логики, пер. с англ., М., 1969; [4] Pitting
М., Intuitionistic logic model theory and forcing, Amst.— L.,
1969. Г. Е. Минц.
ГЕКСАЭДР — шестигранник. Напр., пятиугольная
пирамида. Правильный Г. есть куб.
ГЕЛИКОИД — винтовая поверхность, описываемая
прямой, к-рая вращается с постоянной угловой ско-
скоростью вокруг неподвижной оси,
пересекает ось движения под посто-
постоянным углом а и одновременно пе-
перемещается поступательно с постоян-
постоянной скоростью вдоль этой оси. При
а=я/2 Г. наз. прямым или м и-
н и м а л ь н ы м (см. рис.). При
а.фп'12 Г. наз. косым.
Уравнение Г. в параметрич. фор-
форме имеет вид
ж=р cost, j/=psini, z=f(p)-\-kt.
1 А. Б. Иванов.
ГЕЛЛЕРСТЕДТА ЗАДАЧА — краевая задача для
уравнения типа Чаплыгина вида
К (у) zxx + zyv = O,
в к-ром функция А' (у) возрастает, К @) = 0, у К (у)>0 при
уфЬ. Искомая функция z(x, у) задается на границе, со-
состоящей из достаточно гладкого контура и кусков харак-
характеристик. Рассматриваемое уравнение эллиптично в по-
полуплоскости j/>0, параболично на линии у=0 и гипер-
гиперболично при у<0- Гиперболич. полуплоскость покры-
покрывается двумя семействами характеристик, удовлетворя-
удовлетворяющих уравнениям у' = [ — К (у)]~1/2 и у'= — [ — К(у)]~'/г-
На линии г/=0 характерис-
характеристики одного семейства пере-
переходят в характеристики дру-
другого семейства.
Пусть Е — односвязная об-
область с границей, состоящей
из достаточно гладкого кон-
контура Г при г/^0 и из кус-
кусков характеристик Тъ Г2, Г3
и Г4 при г/<0, причем Гх,
Г3— характеристики одного
семейства, а Г2, Г4 — дру-
другого (см. рис.). В Е справед-
справедлива теорема4 существования
и единственности решений
следующих краевых задач: функция z(x, у) задается
на Г+Гх+Г4; функция z(x, у) задается на Г+Г2+Г3.
Впервые эти задачи были изучены (для К (у) =
=sgn y-\y\a, <х>0) С. Геллерстедтом [1] методами, раз-
развитыми Ф. Трикоми [2] для Трикоми задачи, и пред-
представляют собой обобщение последней. Г. з. имеют важ-
важные приложения в околозвуковой газовой динамике.
Г. з. и родственные им задачи исследовались для нек-рых
многосвязных областей и для линейных уравнений,
содержащих младшие члены (см. [3]).
Лит.: [1] Gellerstedt S., «Arkiv for mat., astr. och
fysik», 1938, Bd 26A, J\li 3, p. 1—32; [2] Трикоми Ф., Лек-
Лекции по уравнениям в частных производных, пер. с итал., М.,
1957; [3] Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа,
М-, 1970. Л. П. Купцов.
ГЁЛЬДЕРА МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ — сово-
совокупность методов суммирования числовых рядов; вве-
введены О. Гёльдером [1] как обобщение средних арифмети-
арифметических метода суммирования. Ряд
суммируется методом Гёльдера (Н, к)
к сумме s, если
lim Hn = s,
п ->- оо
где
rk-l
'о
•. . . + Я
k-l
n+1
Л=1, 2, ... В частности, (Н, 0)-суммируемость ряда
означает его обычную сходимость; (Н, 1) есть метод
средних арифметических. Методы (Н, к) — вполне
регулярные методы суммирования при любом к и сов-
совместны для всех к (см. Совместность методов суммиро-
суммирования). С увеличением к сила метода возрастает: если
ряд суммируем методом (Н, к) к сумме s, то он суммиру-
суммируем к той же сумме методом (Н, к') при любом к'>к.
Метод (Н, к) при всех к равносилен и совместен с Чезаро
методом суммирования того же порядка к. Если ряд
суммируем методом (Н, к), то его члены ап необходимо
удовлетворяют условию а„=о(ге*).
Лит.: [1] Holder О., «Math. Ann.», 1882, Bd 20, S. 535—
549; [2] X a p д и Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951.
И. И. Волков.
ГЕЛЬДЕРА НЕРАВЕНСТВО — 1) Г. н. д л я сумм.
Пусть {as}, {by} — нек-рые множества комплексных
чисел, s?S, где S — конечное или бесконечное множест-
множество индексов. Справедливо Г. н.
I Us ?S °sbs I < Bs «=S I «* И1/Р (Us 6S I bs I*I7"- A)
где />>1, i/p-\-l/q=l, причем равенство достигается
тогда и только тогда, когда \as\P=C\bs\<i, a aig(asbs) и
С не зависят от s?S. При p = q=2 Г. н. для сумм наз.
Коши неравенством. В предельном случае при р==1,
q=-\-oo Г. н. имеет вид
При 0</><1 знак Г. н. меняется на обратный. Г. н.
для сумм допускает обращение (М. Рисе, М. Riesz): если
при всех {а^| таких, что
Для сумм более общего вида Г. н. имеет вид
^ ^^ . B)
2) Г. н. для интегралов. Пусть S — измери-
измеримое по Лебегу множество re-мерного евклидова про-
пространства Л" и функции
ak(s) = ak(s1, s2, ..., s"), lsgfcsgm,
принадлежат L (S), причем выполнено условие B).
Тогда справедливо Г. н.
При m=p — q=2 это есть Буняковского неравенство.
Для интегрального Г. н. справедливы замечания (о
предельном случае и о знаках), аналогичные замеча-
замечаниям для Г. н. A).
В Г. н. множество S может быть любым множеством,
на некоторой алгебре подмножеств которого задана ко-
конечно аддитивная функция |х (например, мера), а функ-
функции a/t(s), 1<</с«:т, (^-измеримы и (^-интегрируемы в
степени р^.
3) Обобщенное Г. н. Пусть S — произвольное
множество и пусть на совокупности всех положитель-
положительных числовых функций a(s): S—i-R1 задан (конечный
или бесконечный) функционал ф: a(s)—мр(а), удовле-
удовлетворяющий условиям: а) ф@)=0; б) q>(ka) = k(p(a) для
всех чисел Х>0; в) при 0<a(s)<b(s) выполняется не-
неравенство <р(а)<ф(&); г) ф(в+6)<ф(в)+фF). Если
при этом выполняются условия B), то справедливо
обобщенное Г. н. для функционала:
Лит.: [1] Н б 1 d e r О., «Nachr. Ges. Wiss. Gottingen», 1889,
№ 2, p. 38 — 47; [2] X a p д и Г. Г., Л и т т л ь в у д Д. Е.,
Полна Г., Неравенства, пер. с англ., М., 1948: [3] Бек-
к е н б а х Э., Б е л л м а н Р., Неравенства, пер. с англ.,
М., 1965. Л. П. Купцов.
ГЁЛЬДЕРА УСЛОВИЕ — неравенство, в к-ром прира-
приращение функции оценивается . через приращение ее ар-
аргумента. Функция f(x), определенная в области Е п-мер-
ного евклидова пространства, удовлетворяет в точке
у?Е Г. у. с показателем а (порядка а), где 0<а<:1,
и коэффициентом А (у), если
\f(x)-l(y)\^A{y)\x-y\a A)
для всех х?Е, достаточно близких к у. Ото Г. у. наз.
иногда изотропным Г. у. Говорят, что f(x)
удовлетворяет на множестве Е'сЕ (изотропному)
Г. у. с показателем а, если Г. у. A) выполнено для
всех у?Е'. В случае, когда
А = sup А (у) < со,
yzE
Г. у. наз. равномерным на Е, а А — ко-
коэффициентом Гёльдера функции f(x) на Е.
Г. у. наз. также непрерывностью но Г ё л ь-
д е р у. Величина
Е\а= sup
\ х-у |
наз. а-п олунормой Гёльдера ограниченной
функции на множестве Е. Полунорма Гёльдера, как
функция от /, логарифмически выпукла:
Неизотропное Г. у. вводится аналогично
Г. у. A) и имеет вид:
I / (*) -/ (у) I < л 2"
где 0<a,<l, a det (а[)фО. Функции, удовлетворяющие
неизотропному Г. у., непрерывны и имеют но направ-
направлению ковектора а'= (aj, а-г, • ¦ • , в-п) показатель Гёль-
Гёльдера ос,-, l<:i<:n.
Для числовых функций одного действительного пе-
переменного условие вида A) было введено Р. Липшицем
(R. I.ipschitz, 1864) в связи с исследованиями по три-
гонометрич. рядам. В этом случае Г. у. часто наз.
условием Липшица порядка а с кон-
константой Липшица А. Для числовых функ-
функций пEг2) действительных переменных Г. у. было вве-
введено О. Гёльдером (О. Holder) при исследовании диф-
дифференциальных свойств ньютонова потенциала.
Г. у. естественным образом переносится на случай
отображений метрич. пространств. Говорят, что ото-
отображение / : Х—>-Е метрич. пространства X в метрич.
пространство Е удовлетворяет в точке хо?Х Г. у. с
показателем а и коэффициентом А (х0), если существует
такая окрестность U(xo)cX точки х0, что для любого
Х6 U (х0) выполняется неравенство
Ре (/ (*), / W) < А (*о) Рх (ж' жо)-
Здесь р^и р/г—метрики пространств X и Е. Аналогично
вводится Г. у. на множестве Х'сХ, равномерное на X
Г. у. п a — полунормы Гёльдера.
Векторные пространства функций, удовлетворяю-
удовлетворяющих тому или иному Г. у., образуют Гёльдерово про-
пространство. Л. П. Купцов.
ГЁЛЬДЕРОВО ПРОСТРАНСТВО — банахово про-
пространство ограниченных и непрерывных функций
f(x) = f(x1,x2, .. ., х"), определенных на множестве Е
n-мсрного евклидова пространства и удовлетворяющих
на Е Гёлъдера условию.
Г. п. Ст (Е), m^zO — целое, состоит из т раз непре-
непрерывно дифференцируемых на Е функций (непрерывных
при т=0).
Г. п. Сщ+я (Е), 0<сс<:1, т^О — целое, состоит из
функций, т раз непрерывно дифференцируемых (не-
(непрерывных при т=0), все т-е производные к-рых
удовлетворяют условию Гёльдера с показателем а.
Норма в Ст (Е) и Ст+а (Е) вводится следующим об-
образом:
— 11 I, -^ Ига — 7j, и ,
где к=(к1, к2, . . ., кп), Ау^з=О — целые,
\ E\
ах г"" ... ax"""
Основные свойства Г. п. для ограниченной связной
области (Е — замыкание Е):
1) Ст+$(Е) вложено в Ck+a(E), если 0<ft-fa<
<:т+Р, к, т — целые, 0<сс<:1, 0<:|3<:1. При этом
\f\k+a<-A l/lm+p и постоянная А не зависит от /? Ст+$(Е).
2) Единичный шар пространства Ст+$(Е) компактен
в Ст+а(Е), если 0<сс<р. Следовательно, любое огра-
ограниченное множество функций из Cm+p (E) содержит
последовательность функций, сходящихся в метрике
Ст + а(Е) к функции пространства Ст+а(Е).
Лит.: [1] Миранда К., Уравнения с частными произ-
впдпыми оллиптического типа, пер. с итал., М., 1957.
ГЕЛЬМГОЛЬЦА УРАВНЕНИЕ — уравнение с ча-
частными производными вида
п вги . п
*=1 Ьх\
где с — постоянное число. КГ. у. приводит изучение
установившихся колебательных процессов. При с=
= 0 Г. у. переходит в Лапласа уравнение. В случае,
если в правой части Г. у. стоит функция f(x), это урав-
уравнение наз. неоднородным Г. у.
Для Г. у., являющегося уравнением оллиптич. типа,
в ограниченной области ставятся обычные краевые за-
задачи (Дирихле, Неймана и др.). Те значения с, для к-рых
существует не равное тождественно нулю решение од-
однородного Г. у., удовлетворяющее соответствующему
однородному краевому условию, наз. собственным зна-
значением оператора Лапласа (соответствующей краевой
задачи). В частности, для задачи Дирихле все собст-
собственные значения положительны, а для задачи Нейма-
Неймана — неотрицательны. Для значений с, совпадающих с
собственными значениями, решение краевой задачи для
Г. у. заведомо неединственно. Если же значения с от-
отличны от собственных, то теорема единственности спра-
справедлива.
При решении краевых задач для Г. у. применяются
обычные методы теории эллпптпч. уравнений (сведе-
(сведение к интегральному уравнению, вариационный метод,
метод конечных разностей).
В случае неограниченной области с компактной гра-
границей для Г. у. ставятся внешние краевые задачи, к-рые
при с<0 имеют единственное решение, стремящееся к
нулю на бесконечности. При с>0 стремящееся к нулю на
бесконечности решение Г. у., вообще говоря, не явля-
является единственным. В этом случае для выделения един-
единственного решения ставят дополнительные условия
(см. Внешняя и внутренняя краевые задачи, Предельного
поглощения принцип).
Для регулярного в области G решения Г. у. справед-
справедлива следующая формула среднего значения
mesa \a **"¦" —
T~\rV-c)~ J^ ^ (ry ch
где Q — сфера радиуса г с центром в точке х0, целиком
лежащая в области G, Jv (x) — Бесселя функция по-
порядка V.
Г. у. рассматривалось Г. Гельмгольцем (Н. Helm-
holtz), к-рый получил первые теоремы о решении крае-
краевых задач для этого уравнения в 1860.
Лит.: [11 К у р а н т Р., Г и л ь б е р т Д., Методы мате-
математической физики, пер. с нем., т. 1 C изд.), т. 2 B изд.), М.—
Л., 1951: [2] Т и х о н о в А. Н., Самарский А. А., Урав-
Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966.
Ш. А. Алимов, В. А. Ильин.
ГЕЛЬФАНДА ПРЕДСТАВЛЕНИЕ — отображение,
сопоставляющее элементу а коммутативной банаховой
алгебры А функцию а на пространстве X максимальных
идеалов алгебры А. Существует взаимно однозначное
соответствие между точками пространства X и гомомор-
гомоморфизмами алгебры А в поле комплексных чисел. Если
произвести соответствующее отождествление, то Г. п.
осуществляется но формуле &(х) = х(а). В частном слу-
случае групповой алгебры локально компактной абелевой
группы (со сверткой в качестве умножения на алгебре)
Г. п. совпадает с преобразованием Фурье (подробнее см.
Банахова алгебра). Г. п. введено И. М. Гельфандом [1].
Лит.: [1] Г е л ь ф а н д И. М., «Матем. сб.», 1941, т. 9 [51],
с. 3—24. Е. А. Горин.
ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ — понятие тео-
теории статистического выборочного метода. В математич.
статистике Г. с. наз. множество к.-л. однородных эле-
элементов, из к-рого по определенному правилу выделя-
выделяется нек-рое подмножество, наз. выборкой. Напр.,
при статистическом контроле качества, связанном с
уничтожением контролируемых изделий, в роли Г. с.
выступает множество всех изделий, подлежащее общей
характеризацпн (в смысле долговечности, соответствия
принятым нормам, допускам и т. д.); при этом в про-
простейших случаях контролируемая выборка извлекается
из Г. с. случайно (наугад). С точки зрения теории ве-
вероятностей выбор «наугад» означает, что если Г. с.
содержит N элементов и отбирается выборка из л эле-
элементов (п<ЛА), то выбор должен быть осуществлен та-
таким образом, чтобы для любой группы из п элементов
вероятность быть извлеченной равнялась п\ (N— n)\/N\.
Именно такое правило отбора осуществляется при
определении выигравших лотерейных номеров из об-
общего числа всех лотерейных билетов, рассматриваемого
как Г. с, к-рая по своему смыслу необходимо является
конечным множеством.
В математич. статистике принято результаты к.-л.
однородных наблюдений наз. выборкой даже в том слу-
случае, когда эти результаты не соответствуют понятию
Г. с., указанному выше. Напр., результаты измерения
к.-л. физич. постоянной, подверженные случайным
ошибкам, часто наз. выборкой из бесконечной Г. с.
Предполагается, что принципиально можно произвести
любое число таких измерений; полученные фактиче-
фактически результаты считают выборкой из бесконечного
множества возможных результатов, называемого Г. с.
При этом предполагают, что правило отбора задается
функцией распределения F(x), так что вероятность по-
получить результат измерения, принадлежащий полуин-
полуинтервалу (а, Ь], выражается разностью F(b)~F(a).
Понятие бесконечной Г. с. не является логически
безупречным и необходимым. Для решения статистнч.
задач нужна не сама Г. с, а лишь те или иные харак-
характеристики соответствующей функции распределения
F(x). С точки зрения теории вероятностей выборка из
бесконечной Г. с. представляет собой наблюдаемые
значения нескольких случайных величин, имеющих за-
заданный закон распределения. В частности, если эти
величины независимы и подчиняются одному и тому же
распределению, то их наблюденные значения наз.
простой выборкой. При таком истолковании
термина «выборка» введение дополнительного понятия
Г. С. оказывается ИЗЛИШНИМ. л. Н. Большее.
ГЕНЕРАТРИСА — см. Производящая функция.
ГЕНЗЕЛЕВО КОЛЬЦО — коммутативное локальное
кольцо, для к-рого выполняется Гензеля лемма, или, в
другом определении, для к-рого выполняется теорема
о неявной функции. Для локального кольца Л с мак-
максимальным идеалом m последнее означает, что для
любого унитарного многочлена Р (X) ?Л [X] и простого
решения ао?А уравнения Р (Х) = 0 по модулю т(т. е.
¦Р(ао)€т и Р' (аоM=ГО) существует а?А, Р(а) — О и
а=а0 (mod m).
Примерами Г. к. являются полные локальные кольпа,
кольца сходящихся степенных рядов (и в более общем
смысле, аналитические кольца), кольцо алгебра-
алгебраических степенных рядов (т. е. рядов из
M[Xj, . . ., Х„]], алгебраических над к [Хь . . ., Хп]).
Локальное кольцо, целое над Г. к., есть Г. к.; вчастно-
сти, факторкольцо Г. к. есть Г. к. Для любого локально-
локального кольца Л существует общая конструкция — такая
локальная гензелева Л-алгебра ЛЛ, что для
любой локальной гензелевой А -алгебры В существует
единственный гомоморфизм Л-алгебр ЛЛ—vfi. Алгебра hA
локального кольца А является строго плоским А -моду-
-модулем, тлЛ будет максимальным идеалом алгебры hA, по-
поля вычетов А и hA канонически изоморфны, пополне-
пополнения А и hA (в топологиях локальных колец) совпадают.
Так, гензелевой Л-алгеброй для к [Xlf . . .,Хп],х х
является кольцо алгебраических степенных рядов от
Х1, . . ., Хп. Если А — нётерово (соответственно при-
приведенное, нормальное, регулярное, превосходное) коль-
кольцо, то таким же будет \\hA. Напротив, если А — це-
целостное кольцо, то ЛЛ может не быть целостным; более
точно, существует биективное соответствие между
максимальными идеалами целого замыкания кольца А
и минимальными простыми идеалами hA.
Г. к. с сепарабельно замкнутым полем вычетов наз.
строго локальным (или строго ген-
зеле в ы м) по причине локальности его спектра в
этальной топологии схем; аналогично конструкции
построения гензелевой Л-алгебры hA имеется функтор
строгой гензелевой А -алгебры s/tA. Понятие Г. к. можно
вводить для полулокального кольца и даже в более об-
общем смысле для нары кольцо — идеал.
Г. к. можно характеризовать как кольцо, над ко-
которым любая конечная алгебра есть прямая сумма ло-
локальных колец. Г. к. введены в [1]; общая теория
Г. к. и конструкция гензелевой Л-алгебры разрабо-
разработаны в [2].
В теории этальных морфизмов и этальной топо-
топологии гензелева Л-алгебра понимается как индук-
индуктивный предел этальных расширений кольца. В
коммутативной алгебре взятие гензелевой Л-ал-
Л-алгебры часто заменяет операцию пополнения, играю-
играющую важную роль при локальном исследовании объ-
объектов.
Лит.: [1] A z u m а у a G., «Nagoya Math. J.», 1951, v 2
p. 119—50; 12] N a g a t a M., Local rings, N. Y.—L., 1962;
[3] GrothendieckA., «Publ. math. IHES», 1967, J\B 32,
ch. 4. В.И.Данилов.
ГЕНЗЕЛЯ ЛЕММА — утверждение, полученное
К. Гензелем [1] при создании теории р-адических чисел
и нашедшее затем большое применение в коммутатив-
коммутативной алгебре. Говорят, что для локального кольца Л
с максимальным идеалом m выполняется лемма
Гензеля, если для любого унитарного многочлена
Р(Х)?А[Х] и разложения P(X)=q1 (X)-q2 (X) его
редукции по модулю m в произведение двух взаимно
простых многочленов
существуют такие многочлены
P(X) = Q1(X)-Qi(X), Q1(X) = q1(X), ~Q2(X)=q2(X)
(здесь черта обозначает образ при редукции А—*-А/т).
В частности, для любого простого корня а редуциро-
редуцированного многочлена Р (X) существует решение а?А
уравнения Р(Х) = 0, удовлетворяющее условию а=а.
Г. л. выполняется, напр., для полного локального коль-
кольца. Г. л. позволяет сводить решение алгебраич. урав-
уравнения над полным локальным кольцом к решению соот-
соответствующего уравнения над его полем вычетов. Так
в кольце Z, 7-адических чисел из Г. л. следует разреши-
разрешимость уравнения X2—2=0, так как это уравнение име-
имеет два простых корня в поле F7 из семи элементов.
Локальное кольцо, для к-рого выполняется Г. л., наз.
гензелев ым кольцом.
По поводу Г. л. в некоммутативном случае см. [3].
Лит.: Ш Н е n s е 1 К., «J. reine und angew. Math.», 1904,
Bd 27, S. 51—84; [2] Б у р б а к и Н., Коммутативная алгебра,
пер. с франц., М., 1971; [3] Zassenhaus H., «Arch. Math »
1954, Bd 5, Л1! 4—6, S. 317—25. В. И Данилов
ГЕНЦЕНА ФОРМАЛЬНАЯ СИСТЕМА — логико-ма-
тематич. исчисление, служащее для формализации и ис-
исследования содержательных доказательств, оперирую-
оперирующих с допущениями (гипотезами). Введены Г. Генценом
(G. Gentzen, [2]). Г. ф. с. делят на системы ес-
естественного вывода (или натураль-
н ы е, имитирующие форму обычных математич. умо-
умозаключений и потому особенно подходящие для фор-
формализованной записи их) и секвенциальные
(или логистические, направленные на анализ
возможных доказательств данной формулы, на полу-
получение результатов о нормальной форме доказательств и
их использование в доказательств теории и в теории до-
доказательства теорем на ЭВМ). Иногда Г. ф. с. отожде-
отождествляют с системами секвенциального типа; тем не ме-
менее натуральные Г. ф. с. могут использовать секвенции,
а секвенциальные Г. ф. с. иногда оформляют в виде
исчисления формул, а не секвенций; иногда все Г. ф. с.
считают натуральными, т. к. все они в той или иной
степени отражают обычные приемы оперирования с
логич. связками и допущениями.
Натуральные Г. ф. с. содержат правила введения
логич. символов и правила удаления символов. Логич.
аксиомы немногочисленны (обычно одна — две). Напр.,
натуральный вариант классич. исчисления предикатов
для языка {у, гэ, ~] } задается аксиомой А—>-А, пра-
правилами введения
А, Г->В А, Г^В А, Д-тВ.
l'-»(ADI))(J '' Г, X->lA V I ;.
Г -* Vx А (ж) vv ''
где Ь не входит в Г и \/хА (i); правилами уда-
удаления
Г, Z^B C )¦ Г - A (t) (V )'
где t — произвольный терм, и структурными
п равилами;
А< tr_r c (утончение),
—-—~—^— (сокращение повторений),
Г, А, В, 2 -»¦ С , .
г в а! 2 -> с (перестановка).
Секвенция, находящаяся под чертой, наз. заклю-
заключением правила, а секвенции, находящиеся
над чертой,— посылками. Аксиома А—>-А изоб-
изображает введение допущения А; правило (Z3 + ) иллю-
иллюстрирует освобождение от допущения: формула В верх-
верхней секвенции зависит от допущения А, формула А ГэВ
нижней секвенции уже не зависит от А. Г. ф. с. нату-
натурального типа задается иногда в виде исчисления фор-
формул (а не секвенций) с неявной записью зависимости
от допущений: вывод в таком исчислении — это дре-
древовидный граф, в вершинах к-рого могут находиться
произвольные формулы (не обязательно аксиомы), а все
переходы производятся по правилам вывода. Эти пра-
правила получаются вычеркиванием антецедентов из соот-
соответствующих правил натуральной системы, описанной
с помощью секвенций, причем в случае, когда проис-
происходит освобождение от допущений, добавляются соот-
соответствующие условия, напр.
А & В
(&
Считается, что вхождение V формулы в такой вывод
зависит от допущения D, если D не является аксиомой,
находится на вершине вывода над V, и в ветви, ведущей
от рассматриваемого вхождения D к V, не происходит
освобождения от допущения D. При истолковании та-
кого вывода каждому вхождению формулы С сопо-
сопоставляется секвенция Т—*-С, где Г — полный список
допущений, от которых зависит рассматриваемое вхож-
вхождение формулы С. Связь натуральных Г. ф. с. с обыч-
обычными (гильбертовскими) вариантами соответствую-
соответствующих систем устанавливается с помощью утверждения:
Г—*-С выводимо в натуральной системе тогда и только
тогда, когда С выводимо из Г с фиксированными пере-
переменными в обычной системе.
Натуральные Г. ф. с. в их первоначальной форме
плохо приспособлены для поиска вывода путем анали-
анализа: при попытке выяснить, по какому правилу из ка-
каких посылок могла получиться данная формула (сек-
(секвенция), возникает неоднозначность — в принципе это
может быть правило введения соответствующей логич.
связки или любое из правил удаления. При этом мно-
множество возможных посылок в правилах удаления
потенциально неограничено (за счет варьирования фор-
формулы А в правиле (Z3~)). Поэтому полезно иметь пра-
правила, обладающие свойством подформул ь-
н о с т п: в посылки входят только подформулы за-
заключения, а бесконечность проявляется лишь за счет
варьирования вида термов в правилах типа (v"j-
В секвенциальных Г. ф. с. либо все правила обладают
свойством подформульности, либо это свойство нару-
нарушается лишь для одного правила — правила се-
сечения:
Г -» А л, ? -»- А
Г, 2 -»¦ Д
или другого правила близкого вида, напр. для правила
(~\~). Поэтому Г. ф. с, обладающие свойством подфор-
подформульности, наз. также свободными от сече-
сечения или Г. ф. с. б е з сечения.
Пример. Свободный от сечения вариант классич.
исчисления предикатов LK. Выводимые объекты —
произвольные секвенции, составленные из {zd, ~|,A}-
формул. Аксиома А—>А. ~~
Сукцедентные правила:
А, Г ->¦ ,
Г -»• Д, -\
¦ (—- v),
А,Г->В А, Г + А - -¦¦
-* (-А Z) В) v '' Г -»• Д, -\ A v '''
Г -* Д, А (Ь)
Г -<• Д, V:tA
где 6 не входит в Г и ух А (х).
Антецедентные правила:
Г - А, А . _ A(t), Г^ А . .
ТА, Г-+4( ' '' ЧхА (х), Г->- A *V ''
Ij^A- *. Г->А, .
А э ?, Г-* Д * ;"
Структурные правила: сечение, переста-
перестановка, утончение и сокращение повторений в антецеден-
антецеденте и сукцеденте (см. Секвенция).
При сравнении секвенциальных и натуральных
Г. ф. с. правилам введения соответствуют сукцедент-
сукцедентные правила, правилам удаления — антецедентные
правила. При моделировании в секвенциальных Г. ф. с.
правил удаления используется сечение. Свойство под-
формульности для LK обеспечивает основная теоре-
теорема Генцена (теорема об устранимо-
устранимости с е ч е н и я): по всякому выводу в LK можно
построить вывод (той же секвенции) без сечения. Эта
теорема позволяет устанавливать разрешимость бес-
бескванторных систем: из подформул данной бескванторной
формулы можно составить лишь конечное число не-
несходных секвенций (секвенции сходны, если они
отличаются лишь порядком и повторениями членов в
антецеденте и сукцеденте), из к-рых, в свою очередь,
можно составить лишь конечное число «кандидатов» в вы-
выводы; данная формула доказуема, если среди этих кан-
кандидатов найдется вывод.
Г. ф. с. позволяют отражать содержательные особен-
особенности теории с помощью чисто структурных соображе-
соображений; так, Г. ф. с. конструктивной математики часто
отличаются от соответствующих классич. систем лишь
использованием односукцедентных секвенций вместо
произвольных. В свободных от сечения системах лег-
легко доказывается непротиворечивость (т. е. невыводи-
невыводимость пустой секвенции), а также выводимость одного
из дизъюнктивных членов выводимой дизъюнкции.
Важным обобщением Г. ф. с. являются полуформаль-
полуформальные системы, содержащие правила с бесконечным мно-
множеством посылок, напр, правило бесконеч-
бесконечной индукции (со-правило):
А @), А A), ..., A (N), ...
ЧхА (X)
Лит.: [1] К л и н и С. К., Введение в метаматематику, пер.
с англ., М., 1957; [2] Г е н и е н Г., в кн.: Математическая тео-
теория логического вывода, Сб. переводов, М., 1967, с. 9—76;
[3] К а р р и X. Б., Основания математической логики, пер.
с англ., М., 1969; [4] Р г a w i t z D., Ideas and results in proof
theory, в кн.: Proc. 2 Scand. logic symposium, Amst.— L., 1971.
Г. Е. Минц.
ГЕОДЕЗИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ — зада-
задачи, связанные с определением гравитационного поля и
фигуры Земли в единой системе координат. Использу-
Используют декартову прямоугольную систему ж, у, z, а также
криволинейные ортогональные координаты В, L, Н
(см. [3]) или и, v, w, связанные с сжатым эллипсоидом
вращения (из-за близости фигуры Земли к такому
эллипсоиду). При этом
х ={N-\-H) cos В cos L, y = (
где a, b — большая и малая полуоси эллипсоида,
2с — его фокусное расстояние
х = с sin и cos v ch w, y = c sin и sin v ch w,
z = c cos и sh w. B)
Фигуру Земли и ее поле определяют по измерениям
геометрич. характера (расстояний между точками, уг-
лов между направлениями), измерениям силы тяжести,
локации Луны, наблюдениям искусственных спутников
Земли и внегалактических радиоисточников. При раз-
развитии наземной сети геодезич. измерений необходимо
определять элементы ориентировки местных систем
координат.
В выводах с внеземными данными большое значение
приобретают геодезич. построения без отвеса (см. [1]).
Эти построения основаны на синхронном фотографиро-
фотографировании с нескольких пунктов подвижной цели на фоне
звезд. Если известны координаты части пунктов и из-
известны склонения и прямые восхождения звезд, сфо-
сфотографированных вместе с цельго, то возможно вывести
координаты как сфотографированных целей, так и не-
неизвестные координаты пунктов.
В наземном варианте, из-за искажений углов в
вертикальных плоскостях влиянием атмосферной ре-
рефракции для вывода высот // точек земной поверх-
поверхности, разработаны методы, связанные с использова-
использованием силы тяжести. Этими же методами определяют
земное гравитационное поле. Современная теория ис-
использования силы тяжести в геодезии принадлежит
М. С. Молоденскому (см. [2]). Эта теория основана на
решении краевой задачи с косой производной для урав-
уравнения Лапласа. Отсчетным может служить поле по-
потенциала U притяжения
U = -— Q0{isbw)-\—г-• ^—г— Рг (cos и),
близкого к земному. Здесь / — гравитационная по-
постоянная, тп — масса, близкая к массе Земли, ш —
угловая скорость ее вращения, Р, Q — функции Ле-
жандра соответственно 1-го и 2-го рода. Потенциал W
силы тяжести выражается через его значение Wo в
начале счета высот (уровня моря) и приращение, вы-
выводимое из геометрич. нивелирования и измерений силы
тяжести вдоль его линии:
где dh — элементарное нивелирное превышение. По
приращению \ gdh потенциала определяют прибли-
приближенную координату wOl полагая, что нивелирование
выполнено в поле потенциала силы тяжести эллипсоида,
уровенного относительно этого потенциала. Для уточ-
уточнения координаты w0 (вывода высоты Н) и определения
внешнего земного гравитационного поля достаточно
найти потенциал Т, наз. возмущающим:
T=W~Q-U. C)
Здесь Q — потенциал центробежной силы, возникаю-
возникающий из-за вращения Земли. Краевое условие на земной
поверхности для вывода потенциала получают, исполь-
используя связь dwldll= — g и вычисляя dUldw в точке с ко-
координатой w0. На бесконечности (sh w—vch w—>-oo) по-
потенциал Т удовлетворяет условию lim Т=0.
Решение задачи сводится к выводу плотности про-
простого слоя также на земной поверхности, связанно-
связанного с потенциалом Т нек-рой зависимостью. Из этой за-
зависимости и краевого условия выводится сингулярное
интегральное уравнение 2-го рода. На это уравнение
при определенных условиях распространяется альтер-
альтернатива Фредгольма. Краевые условия допускают един-
единственное решение при эллипсоидальном отсчетном поле.
Если же отсчетное поле вырождается в сферическое,
решением задачи становится произвольная сферич.
функция 1-й степени. Из-за неизбежных ошибок изме-
измерений вводят дополнительные условия о совмещении
центра инерции Земли и центра отсчетного эллипсоида,
о параллельности полярной главной центральной оси
инерции Земли и малой оси отсчетного эллипсоида.
Центр инерции Земли может не лежать на ее оси
вращения. В частности, так будет,если из гравитацион-
гравитационного поля Земли для уменьшения ошибок интерполя-
интерполяции силы тяжести выделено влияние топографич.
масс. В горных районах, из-за сложности земной по-
поверхности, численное решение представляет большие
практич. затруднения.
Координаты В, L, Н нек-рой точки, принимаемой за
исходную при обработке измерений геометрич. ха-
характера, назначают заранее произвольно, но так, что-
чтобы компоненты ср — В, (Я — В) cos В уклонения отвеса
от нормали к эллипсоиду были малы. При этом вводят
условия о параллельности осей вращения Земли и
эллипсоида и плоскостей начальных астрономич. и
геодезич. меридианов.
Величину Wo и координаты центра инерции Земли
определяют, сопоставляя решение упомянутого инте-
интегрального уравнения с наблюдениями астрономич.
широт ср и долгот X и с высотами Н, выводимыми из
геометрич. и астрономо-гравиметрич. нивелирования.
Из исследования орбит искусственных спутников
Земли определяют отличия ее гравитационного поля
от сферического, как правило, через вывод коэффи-
коэффициентов разложения потенциала по сферич. функциям.
Традиционные методы небесной механики дополняет
теория совместного определения гравитационного поля
и координат станций наблюдения за спутниками.
Основы математич. теории фигуры Земли заложены
И. Ньютоном (I. Newton, 1687), вычислившим сжатие
земного эллипсоида при условии, что он однороден по
плотности. А. Клеро (A. Clairaut, 1743) в первом прибли-
приближении исследовал гравитационное поле неоднородной
Земли, вращающейся в гидростатич. равновесии. Л. Эй-
Эйлер (L. Euler, 1757) заложил основы теории уровенных
поверхностей земного потенциала. Изучая притяжение
небесных тел — сфероидов, в частности эллипсоидов
вращения, П. Лаплас (P. Laplace, 1785) обобщил резуль-
результаты А. Клеро о распределении силы тяжести на по-
поверхности планеты, освободив их от предположения о
гидростатич. равновесии и сохранив точность вывода
А. Клеро (порядка земного сжатия — 1 : 300). При
этом П. Лаплас развил теорию сферич. функций и ря-
рядов. Работы Дж. Стокса (G. Stokes), развитые и до-
дополненные в дальнейшем многими геодезистами, слу-
служили теоретич. основой использования гравиметрич.
измерений в геодезии до появления работ М. С. Моло-
денского. К определению фигуры Земли Дж. Стоке
впервые подошел как к краевой задаче, приближенно
решив первую краевую задачу для сфероида и обосновав
результаты А. Клеро и П. Лапласа. Это решение Дж.
Стокса опередило результаты П. Дирихле (P. Dirichlet,
1852) по решению такой задачи для сферы разложением
по сферич. функциям. Дж. Стоке A849) выразил также
высоту внешней уровенной поверхности планеты над
сфероидом через силу тяжести на поверхности планеты.
Вывод о возможности замены притяжения тела притя-
притяжением простого слоя на поверхности тела сделан К. Га-
Гауссом (С. Gauss, 1840). Теория вращения неоднородной
жидкости в гидростатич. равновесии имеет значение при
совместном решении геофизич. и геодезич. задач.
Основные результаты в этой области принадлежат
А. М. Ляпунову.
Лит.: [1] И з о т о в А. А. и др., Основы спутниковой ге-
геодезии, М., 1974; [2] Молоденский М. С, Ере-
Еремеев В. Ф., Ю р к и н а М. И., Методы изучения внешнего
гравитационного поля и фигуры Земли, М., 1960; [3] М о-
розов В. П., Курс сфероидической геодезии, М., 1969.
В. Ф. Еремеев, М. И. Юркина.
ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА в точке кри-
кривой у=г (() на поверхности/"— скорость враще-
вращения касательной к у вокруг нормали п к F, т. е. проек-
проекция на п вектора угловой скорости вращения касатель-
касательной при движении вдоль у. Предполагается, что у и F
регулярны и ориентированы, скорость берется относи-
относительно длины s вдоль у. Г. к. может быть определена
как кривизна проекции у на касательную плоскость к
F в рассматриваемой точке. Г. к. равна
(')
где штрих означает дифференцирование по t.
Г. к. входит в выражение вариации длины L (у)
при варьировании у на F. При закрепленных концах:
6Х= — ^ kg (v, or) ds, где v = Г п, -
6r — вектор вариации кривой. Кривые, на к-рых к^з
=0 — геодезические линии.
Интегральной Г. к., или поворотом
кривой у, наз. интеграл \ kgds. Связь поворота
замкнутого контура с интегральной кривизной охва-
охваченной им области на поверхности дает Гаусса — Бонне
теорема.
Г. к. принадлежит внутренней геометрии поверх-
поверхности и допускает выражение через метрич. тензор
и производные внутренних координат поверхности по
параметру t кривой. Если внутренняя геометрия ри-
риманова пространства изучается в отвлечении от воз-
возможных погружений, то Г. к. остается единственной
кривизной кривой и слово «геодезическая» опускается.
При рассмотрении кривых в подмногообразии риманова
пространства кривизна кривой может определяться во
внешнем пространстве и в подмногообразии, подобно
тому, как на поверхности кривая имеет обычную кри-
кривизну и Г. к.
Можно ввести понятие Г. к. для кривой у на общей
выпуклой поверхности. Если кривая 7 имеет длину и
каждая ее дуга имеет определенный поворот, то н р а-
вой (левой) Г. к. кривой у в точкех наз. предел
отношения правого (левого) поворота дуги кривой к ее
длине, при условии, что дуга стягивается в точку х.
В финслеровом пространстве определяют два поня-
понятия Г. к., различающиеся способом измерения длины
вектора, заменяющего v. На геодезических эти Г. к.
равны нулю. ю. С. Слободян.
ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ, геодезиче-
геодезическая,- геометрическое понятие, обобщающее понятие
прямой (или отрезка прямой) евклидовой геометрии на
случай пространств более общего вида. Определения
Г. л. в различных пространствах зависят от того, какая
из структур (метрика, линейный элемент, линейная
связность) лежит в основе геометрии рассматриваемого
пространства. В геометрии тех пространств, где ме-
метрика считается заданной априори, Г. л. определяют
как локально кратчайшие. В пространствах со связ-
связностью Г. л. определяют как кривые, у к-рых каса-
касательный вектор остается касательным при параллель-
параллельном перенесении вдоль кривой. В римановой и финсле-
ровой геометриях, где первоначально задается линей-
линейный элемент (иначе говоря,— метрика в касательном
пространстве в каждой точке рассматриваемого много-
многообразия), а длины кривых получаются последующим
интегрированием, Г. л. определяют как экстремали
функционала длины кривой.
Впервые Г. л. изучались И. Бернулли (J. Bernoulli)
и Л. Эйлером (L. Euler) при отыскании кратчайших на
регулярных поверхностях в евклидовом пространстве.
На таких линиях обращается в нуль геодезическая кри-
кривизна; главная нормаль этих кривых параллельна нор-
нормали к поверхности. При изгибаниях Г. л. сохраняются.
Движение консервативной механич. системы с конеч-
конечным числом степеней свободы описывается Г. л. в соот-
соответственно подобранном римановом пространстве.
В римановых пространствах Г. л. изучены наиболее
полно. Пусть М" есть n-мерное риманово пространство
с метрич. тензором g,y класса Ск, к^2. Определение
Г. л. как экстремали позволяет написать ее дифферен-
дифференциальные уравнения в произвольных локальных коор-
координатах х', i=i, 2, . . ., re, при любой параметризации
¦ ' dF \ dF n
дх1
dxi
где
Другая эквивалентная форма уравнений Г. л. выводит-
выводится из требования параллельности переноса вдоль у
касательного вектора у= {х1}. Если t есть длина s дуги
вдоль Г. л. или линейная функция от s, то
¦^•G) = 0, или i'" + r/fti/ift = 0. A)
Определение Г. л. уравнением A) включает и канонич.
выбор параметра. При таком определении через каждую
точку х0 проходит Г. л. y=x(t, |) с начальным каса-
касательным вектором ?, х@, Е) = х0, х@, ?) = ?. Отображе-
Отображение |—кгA, %) касательного пространства в точке х0 в
изучаемое пространство есть экспоненциальное отоб-
отображение с полюсом х0. Вблизи начальной точки х0 —
диффеоморфизм, вводящий в изучаемом пространстве
римановы координаты.
Ряд свойств Г. л. сохраняется у кривых, определяе-
определяемых уравнениями 2-го порядка x=F (х,х), если, подоб-
подобно A), функция F — однородная 2-й степени по {х'}.
Определение таких уравнений в терминах касательных
расслоений приводит к понятиям пульверизации и их
интегральных кривых. Частным случаем последних
являются Г. л. (см. [2]).
Поведение Г. л. в малом похоже на поведение пря-
прямых в евклидовом пространстве. Достаточно малая дуга
Г. л. является кратчайшей среди всех спрямляемых
кривых с теми же концами. Через любую точку в
любом направлении проходит единственная Г. л. У каж-
каждой точки есть окрестность U, в к-рой любые две точки
соединимы единственной Г. л., не выходящей из U
(см. [3]).
Вопрос о том, как далеко можно продолжить из
точки х0 дугу Г. л., чтобы она оставалась кратчайшей
по сравнению с близкими к ней кривыми, составляет
одну из задач вариационного исчисления. Сравнение
Г. л. с близкими кривыми основано на изучении второй
вариации длины, к-рая исследуется путем рассмотре-
рассмотрения поля скоростей (Якоби поле) в точках Г. л. y(s)
при варьировании y(s, t). При любом фиксированном t
кривая y(s, t) остается геодезической, а параметр s
на ней — каноническим. Если в начале кривой у
скорость равна нулю, то те точки кривой у, где эта
скорость при каком-либо ненулевом поле Якоби ока-
оказывается нулем, наз. сопряженными точками. Г. л. ос-
остается кратчайшей по сравнению с близкими кривыми
до первой сопряженной точки. Для дуги Г. л., продол-
продолженной за сопряженную точку, существует сколь угод-
угодно близкая более короткая кривая с теми же концами.
Поле Якоби т) (s) удовлетворяет уравнению
где у — касательный вектор геодезической y(s), a
R (Y> 'i) T кривизны преобразование, или, в координатах
Ферми х', xl=s:
^+MM т,* = 0, B)
где л'д k — тензор кривизны. Связь поля Якоби с кри-
кривизной обусловливает зависимость свойств геодезиче-
геодезических от кривизны пространства. Напр., в пространст-
вах отрицательной кривизны сопряженных точек нет;
если пространство еще и односвязно, то любая дуга
Г. л.— кратчайшая, а выходящие из точки Г. л. экс-
экспоненциально расходятся. Эти свойства играют роль
в теории динамич. систем (см. Геодезический поток).
Монотонность влияния кривизны является предметом
ряда так наз. теорем сравнения. В частности, расстоя-
расстояние до первой сопряженной точки и длины векторов
поля Якоби на этом участке (нормированных требова-
требованием т]@) = 0, \~ = 1) убывают с ростом кривизны
пространства. Здесь подразумевается сравнение двух
Г. л., в соответствующих по длине точках к-рых все
кривизны второго пространства мажорируют любую из
кривизн первого пространства [4].
В общей теории относительности уравнение B) слу-
служит источником физического истолкования кривизны
пространства-времени через поведение Г. л. (см. [5]).
При отказе от сравнения только с близкими кривыми
дуга Г. л. может перестать быть кратчайшей раньше,
чем пройдет сопряженную точку. Это возможно даже
в односвязном пространстве, т. е. причины этого могут
быть топологическими и метрическими.
Вопрос о том, как влияет кривизна на протяжен-
протяженность дуги, на к-рой Г. л. остается кратчайшей, играет
существенную роль в изучении связей кривизны с то-
пологич. строением пространства. Зависимость коли-
количества замкнутых Г. л. или количества разных Г. л.,
соединяющих две точки, от топологич. строения прост-
пространства составляет предмет вариационного исчисления
в целом (см. [6], [4], [7]).
Семейства Г. л., рассматриваемые как возможные
траектории движения, являются предметом теории
динамич. систем и эргодич. теории.
В пространствах аффинной связности Г. л. опреде-
определяются уравнением A). Для них сохраняются локаль-
локальные теоремы существования и единственности Г. л.,
соединяющих две точки, и существования выпуклой
окрестности.
Г. л. с аналогичными свойствами определяются
и в пространствах проективной связности, а также
в случае более общих связностей на многообразиях.
Геометризация задач вариационного исчисления для
функционалов, отличных от длины кривой, привела
К понятию финслерова пространства и Г. л. в нем.
Выделение основных геометрических свойств подоб-
подобных пространств привело к понятию геодезических гео-
геометрии, которое определяется наличием и продолжае-
продолжаемостью Г. л.
Из метрич. пространств с нерегулярной метрикой
наиболее изучены Г. л. на выпуклых поверхностях
и в двумерных многообразиях ограниченной кривизны.
Здесь Г. л. не обязательно гладкая кривая; Г. л. мо-
может не иметь продолжения, а в двумерном многообра-
многообразии ограниченной кривизны может также иметь
неединственное продолжение. Г. л. на выпуклой по-
поверхности всегда имеют полукасательную; если про-
продолжается, то только единственным образом; из точки
Г. л. исходят почти во всех направлениях. В таких
пространствах более естественным, чем Г. л., оказался
класс квазигеодезических линий, к-рые служат замыка-
замыканием класса геодезических (см. [8]).
Лит.: [1] Раневский П. К. Риманова геометрия и
тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [2] Лен г С, Введение
в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М.,
1967; [3] X е л г а с о н С, Дифференциальная геометрия и
симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; [4] Г р о-
мол Д., Клингенберг В., Мей ер В., Риманова гео-
геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971; [5] С и н г Д ж. Л., Об-
Общая теория относительности, пер. с англ., М., 1963; [6] Л ю-
стерник Л. А., Ш н и р е л ь м а ]? Л. Г., Топологические
методы в вариационных задачах, М., 1930; [71 М и л н о р Д т.,
Теория Морса, пер. с англ., М., 1963; [8] Александ-
Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей,
М.—Л., 1948. Ю. А. Волков.
ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ОБЛАСТЬ — связное множество
G точек поверхности F таких, что для каждой точки х
существует круг К(х) с центром в х, при этом Kq=
— Gf\K(x) имеет один из следующих видов: 1) Ко(х) =
= К{х)\ 2) Ка(х) — полукруг круга; 3) К0(х) — сек-
сектор круга К (х), отличный от полукруга; 4) Kq (x)
состоит из конечного числа секторов щ (х) круга К(х),
не имеющих никаких общих точек, кроме х.
Точка х в первом случае наз. регулярной
внутренней точкой, во втором — регу-
регулярной граничной точкой, в третьем — уг-
угловой точкой и в четвертом — узловой
точкой.Г.о., компактная в себе и не имеющая узло-
узловых точек, наз. нормальной областью.
Нормальная область есть или замкнутая поверхность,
или поверхность с границей, состоящей из конечного
числа попарно непересекающихся жордановых полиго-
полигонов.
Г. о. можно рассматривать как нек-рое метрич. про-
пространство благодаря введению так наз. G-расстоя-
н и я между точками а и Ь (нижняя грань всех спрям-
спрямляемых кривых, соединяющих а и & и лежащих цели-
целиком в G). Спрямляемая дуга в G с концами а, Ь наз.
G-o т р е з к о м, если она связывает а с Ь в G кратчай-
кратчайшим образом. Отдельные точки считаются за G-отрезки
нулевой длины. Для всех точек G-отрезка справедливо
равенство: ра(а, x)-\~Pq(x, b) = pc(a, Ь). G-л у ч о м
наз. луч, лежащий в Г. о., у к-рого каждая частичная
дуга есть G-отрезок. G-n p я м о й наз. множество,
состоящее из двух лучей, не имеющих никаких других
общих точек, кроме начала, причем каждая дуга, со-
содержащаяся в прямой, является G-отрезком.
Г. о. имеет тогда и только тогда полную кривизну,
если для всякой последовательности нормальных об-
областей, исчерпывающих Г. о., полные кривизны стре-
стремятся к одному и тому же значению. Если гауссова
кривизна области нигде не отрицательна или нигде не
положительна, то область имеет полную кривизну.
Если область не имеет полной кривизны, то всегда можно
указать исчерпывающую последовательность нормаль-
нормальных областей, полные кривизны к-рых стремятся к
± оо. Если граница полной Т.о., гомеоморфной замкну-
замкнутой полуплоскости, имеет лишь конечное число угло-
угловых точек и со!, со2, . . ., со„— соответствующие углы,
измеренные в Г. о., то для полной кривизны С (G) спра-
справедливо неравенство
Лит.: [1] К о н - Ф о с с е н С. Э., Некоторые вопросы по
дифференциальной геометрии в целом, М., 1959.
Ю. С. Слободян.
ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬ — множество то-
точек метризованного двумерного многообразия, уда-
удаленных на расстояние г от фиксированной точки О.
Частный случай сферы в метрич. пространстве.
На регулярной поверхности и вообще в двумерном
римановом пространстве Г. о. при малых г есть простая
замкнутая кривая (не обязательно постоянной геоде-
геодезической кривизны); в каждую ее точку идет из О
единственная кратчайшая (радиус), с к-рой Г. о.
образует прямой угол; Г. о. ограничивает выпуклую
область. При г—vO длина I Г. о. связана с гауссовой кри-
кривизной К в точке О соотношением
2лг-; л „
г» —^ 3 Л-
При больших г в точки Г. о. может идти более одного
радиуса, она может ограничивать невыпуклую область,
распадаться на отдельные компоненты. Г. о. часто ис-
используют в исследованиях по геометрии в целом.
Свойства Г. о. изучались на общих выпуклых поверх-
поверхностях и в нерегулярно метризованных многообразиях
(см. [1]).
Г. о. в смысле Дарбу— замкнутая кривая
постоянной геодезич. кривизны. Является стационар-
стационарной кривой для изопериметрич. задачи. На поверхно-
поверхностях постоянной кривизны совпадает с Г. о. в обычном
смысле (см. [2]).
Лит.: [1] В у р а г о Ю. Д., Стратилатова М. Б.,
«Тр. матем. ин-та АН СССР», 1965, т. 76, с. 88—114; [2] Б л я ш-
к е В., Дифференциальная геометрия и геометрические осно-
основы теории относительности Эйнштейна, пер. с нем., М.— Л.,
1935. В. А. Залгаллер.
ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ СЕТЬ — сеть, состоящая из
двух однопараметрич. семейств геодезических линий.
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ в точке Р
пространства аффинной связности с объектом связности
Г,/ — любые координаты, при к-рых в точке Р все
Г(¦/ =0. Если равенства Г?/ = 0 выполняются во всех
точках нек-рой кривой, то говорят о Г. к. вдоль кривой
(см. Ферми координаты). В римановом пространстве
с метрич. тензором g,-j Г. к. xk часто определяют усло-
виями ~^=0, эквивалентными в этом случае ус-
условию Г,/ = 0. Для симметрии, связности, в частности
римановой, существуют Г. к. в любой точке и вдоль лю-
любой регулярной дуги кривой без самопересечений. Для
поверхности F в евклидовом пространстве Г. к. есть
декартовы прямоугольные координаты проекции на ка-
касательную к F плоскость; если проектирование вести на
развертывающуюся поверхность Q, огибаемую каса-
касательными к F плоскостями вдоль кривой, то внутренние
декартовы координаты на Q будут координатами Ферми
на F.
В Г. к. у ковариантной производной поля тензора
в точке Р координаты равны обычным производным
от координат тензора. Это можно принять за опреде-
определение ковариантной производной, следуя идее Э. Кар-
тана (Е. Cartan) о перенесении в более общие простран-
пространства геометрич. объектов или операций евклидовой гео-
геометрии с помощью специальных систем координат, в
к-рых в наибольшей степени исключено влияние неев-
клидовости. На этой же идее основано использование
Г. к. в пространстве-времени общей теории относитель-
относительности, где они связаны с локально инерциальными сис-
системами отсчета; их рассмотрение играет заметную роль
в физической интерпретации теории.
Геометрически условия Г// = 0 означают, что пря-
прямым х' = %4 (!' = const, t — параметр) в области изме-
изменения координат соответствуют в рассматриваемом про-
пространстве кривые y(t), имеющие в точке Р нулевой век-
вектор
D ( dy \ __ jd2x' ri dx> dxk \
( y __ j ri
~dt K~dTJ - \^г"+~L ik ~d~T
Если Г. к. таковы, что прямым всех направлений в
точке Р соответствуют геодезические, на к-рых по-
повсюду -(-lj = Q, то х' наз. римановыми коор-
координатами. Ю. А. Волков.
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ПОТОК — поток {St}, фазовым
пространством к-рого служит многообразие ТМп ка-
касательных векторов к риманову (более общо, к фин-
слерову) многообразию Мп (так наз. конфигура-
конфигурационному многообразию потока), а дви-
движение определяется следующим образом. Пусть
v?TMn — касательный вектор к Мп в точке х?Мп и
длина его \и\ф§. Пусть через х проведена геодезич.
линия у на Мп в направлении v и Х( есть точка на у,
отстоящая от х (по у) на расстоянии t\v\ (считая поло-
положительным то направление на у, к-рое в точке х сов-
совпадает с направлением вектора v). Тогда SfV=vt= - х\.
Если же М = 0, то S\v^v. При этом оказывается, что
|iYl=const, поэтому векторы единичной длины образу-
ют в ТМ" инвариантное относительно {Sf} подмного-
подмногообразие И72"-1; часто под Г. п. понимают ограничение
потока {Si} на W2"'1. В локальных координатах Г. п.
описывается системой обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений 2-го порядка, имеющей в римановом
случае вид
df +L^i.k l ik K t} dt dt ~u'
где х' есть i-я координата точки xf, a Г/ft суть Криспгоф-
феля символы 2-го рода. Г. п. сохраняет естественную
симплектическую структуру на ТМ™, а его ограничение
на VF2"-1 — соответствующую контактную структуру.
Г. п. играют очевидную роль в геометрии (см. также
Вариационное исчисление в целом); кроме того, к ним
после нек-рой замены времени можно свести описание
движения ряда механич. систем согласно Мопертюи
принципу. Д.В.Аносов.
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК — фигура, со-
состоящая из трех различных точек и попарно соединя-
соединяющих их геодезических линий. Точки наз. вершинами,
геодезические — сторонами. Г. т. может рассматривать-
рассматриваться в любом пространстве, где есть геодезические.
Если стороны Г. т., лежащего в гомеоморфной от-
открытому кругу области, составляют простой замкну-
замкнутый контур, то к Г. т. присоединяют внутреннюю об-
область. На регулярной поверхности сумма углов Г. т.
минус я (избыток треугольника) равна
интегральной кривизне внутренней области (см. [1]).
Для метрич. пространства часто рассматривают
плоский треугольник с теми же длинами сторон, что
у Г. т. Это позволяет вводить различные понятия уг-
угла между кратчайшими в метрич. пространствах.
В двумерном случае после введения измерения углов
можно через избытки Г. т. вводить интегральную кри-
кривизну как функцию множества. Сети из Г. т. служат
источником аппроксимации метрик многогранными
метриками (см. [2]).
Имеются оценки отличия угла Г. т. в изучаемом про-
пространстве от соответствующего угла в треугольнике с
теми же длинами сторон на плоскости или на поверх-
поверхности постоянной кривизны (см. [1], [3], [4]).
Лит.: [1] Гаусс К., Общие исследования о кривых по-
поверхностях, пер. с лат., в кн.: Об обоснованиях геометрии,
М.,1956;[2]Александров А. Д.,3алгаллер В. А.,
Двумерные многообразия ограниченной кривизны. (Основы
внутренней геометрии поверхностей), М.— Л., 1962 («Тр. матем.
ин-та АН СССР», т. 63); [3] Александров А. Д., Одна
теорема о треугольниках в метрическом пространстве и некото-
некоторые ее приложения, «Тр. матем. ин-та АН СССР», 1951, т. 38,
с. 5—23; [41 ГромолД.,Клингенберг В., Мейер В.,
Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 19 71.
ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ГЕОМЕТРИЯ — геометрия " мет-
метрического пространства (G-n ространства), к-рое
характеризуется единственностью продолжения гео-
геодезических линий, определяемых как локально кратчай-
кратчайшие.
G-пространство определяется следующей системой
аксиом:
1) G есть метрич. пространство; р(х, у) — расстояние
в нем.
2) G конечно компактно, т. е. в G ограниченные бе-
бесконечные множества имеют предельные точки.
3) G выпукло в смысле Менгера, т. е. для точек
хфу есть отличная от них точка z такая, что
р(х, z)+p(z, у) = р(х, у).
4) Для каждой точки а есть такое г>0, что в шаре
р (а, х) <г для точек хфу найдется отличная от них точка
z с р(х, г/) + р (j/,z) = p(x, z) (аксиома локального
продолжения).
5) Если в аксиоме 4) нашлось две точки zt и z2 и
Р(у, Zj) = p(у, z2), то z1=z2 (аксиома единственно-
единственности продолжения).
В класс G-пространств попадают, в частности, ри-
мановы пространства и финслеровы пространства.
G-пространства, в к-рых продолжение геодезической
возможно в целом и любой участок геодезической оста-
остается кратчайшей, наз. прямыми пространст-
пространствами. К ним относятся, напр., пространства Евкли-
Евклида, Лобачевского, Минковского, любое односвязное
риманово пространство неположительной кривизны.
В прямом пространстве и в G-пространстве нек-рого
специального типа (эллиптическом) геодезическая оп-
определяется двумя точками.
В общих G-пространствах, в отличие от простран-
пространства Минковского, сфера не всегда выпукла. Перпен-
Перпендикулярность, определяемая через кратчайшие до гео-
геодезических, в отличие от пространства Евклида, не
обязательно симметрична. В терминах G-пространств
формулируются признаки, выделяющие пространства
Евклида, сферическое пространство, пространство
Минковского.
Теория G-пространств показала, что многие резуль-
результаты дифференциальной геометрии не связаны с ус-
условиями дифференцируемости. Эта теория углубила
изучение финслеровых пространств; позволила иссле-
исследовать метризации аффинного и проективного про-
пространств, превращающих прямые в геодезические;
рассмотреть свободу выбора сети геодезических за счет
метризации. Ряд нерешенных вопросов связан с воз-
возможным топологич. строением G-пространств (см. [1]).
Лит.: [1] Б у з е м а н Г., Геометрия геодезических, пер.
с англ., М,, 1962. В. А. Залгаялер.
ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗА — утверждение,
определяющее движение пробной свободной частицы в
теории гравитации Эйнштейна (т. е. в общей теории от-
относительности). В ньютоновской физике частица наз.
свободной, если на нее не действуют никакие силы
(в том числе и гравитационные). В общей теории отно-
относительности понятие силы гравитации как четырех-
четырехмерного вектора отсутствует и гравитационные свой-
свойства определяются римановой структурой пространст-
пространства-времени. Соответственно, в общей теории относи-
относительности движение частицы в гравитационном ноле
(но без влияния каких-либо негравитационных сил)
рассматривается как свободное. Точная формулиров-
формулировка Г. г. такова: мировая линия пробной свободной
частицы с ненулевой массой покоя является неизотроп-
неизотропной геодезической пространства-времени; мировая ли-
линия пробной свободной частицы с нулевой массой покоя
(фотон, нейтрино) является изотопной геодезической
пространства-времени.
Г. г. является естественным обобщением закона инер-
инерции классической механики. Дифференциальные урав-
уравнения геодезических (см. Геодезическая линия) явля-
являются уравнениями движения в общей теории относи-
относительности.
Входящее в формулировку Г. г. понятие пробной
частицы означает, что не рассматриваются эффекты,
связанные с конечными размерами частиц и их внутрен-
внутренним строением, а создаваемое частицей гравитацион-
гравитационное поле считается пренебрежимо малым. Пробная
частица является идеализированным, предельным слу-
случаем реальной частицы, и в весьма широком и естест-
естественном классе способов совершения этого предельного
перехода удается получить Г. г. как следствие уравне-
уравнений Эйнштейна [3]. Это обстоятельство существенно от-
отличает общую теорию относительности от всех пред-
предшествовавших полевых физич. теорий, в к-рых, по-
видимому, уравнения движения принципиально не
могут быть получены из уравнений поля.
Лит.: [1] Фок В. А., Теория пространства, времени и
тяготения, 2 изд., М., 1961, гл. 6; [2] С и н г Д ж.-Л., Общая
теория относительности, пер. с англ., М., 1963, гл. 3; [3]
Эйнштейн А., Работы по теории относительности. Собр.
научн. трудов, т. 2, М., 1966, N° 117. Д. Д. Соколов.
ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИЕ кривой у
на поверхности/7 в .Е3 — скорость вращения
касательной плоскости к F вокруг касательной к у.
Скорость считается относительно длины s дуги при
движении точки касания вдоль у. Кривая у и поверх-
поверхность F предполагаются регулярными и ориентирован-
ориентированными. Г. к. на F определяется точкой и направлением
кривой и равно кручению идущей в этом направлении
геодезической. Г. к. равняется
dr d
где >¦ — радиус-вектор кривой, п — единичная нор-
нормаль к F; т — обычное кручение у; ф — угол между со-
соприкасающейся плоскостью кривой п касательной пло-
плоскостью к поверхности; кг и к2 — главные кривизны
поверхности; а — угол кривой с главным направлением
КРИВИЗНЫ кг. Ю. С. Слободян.
ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ в точке
х — подмногообразие Мк гладкого многообразия Мп
(риманова или с аффинной связностью) такое, что гео-
геодезические линии многообразия М", касающиеся Л/"* в
точке х, имеют с Мк касание не ниже 2-го порядка.
Ото свойство выполнено во всех точках, если любая
геодезическая в Мк является и геодезической в Мп.
Такие Г. м. Мк наз. вполне геодезическими
Многообразиями. Ю А. Волков
ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ, проектив-
проективное отображение,— отображение /, перево-
переводящее геодезические линии пространства U в геодези-
геодезические линии пространства V. Г. о. / : U—vF, где U и
V— пространства, в к-рых определены геодезические,
локально гомеоморфно (диффеоморфно, если U, V —
гладкие многообразия).
Пространство, локально допускающее Г. о. на ев-
евклидово пространство, наз. проективно плос-
плоским. Г. о. одного риманова пространства на другое
существует в исключительных случаях. Из римановых
пространств проективно плоски только пространства
постоянной кривизны (см. [1]). Описание всех нери-
мановых ироективно плоских метрических пространств
составляет четвертую проблему Гильберта (см. [2]).
В теории пространств аффинной связности вместо
Г. о. говорят о геодезич. преобразовании связности,
имея в виду переход к другой связности на том же мно-
многообразии с сохранением геодезических. Переход от
связности Tjk к связности T)k есть Г. о. при условии
T)k=Tljk-\-&)i$j-T-blf$k-i гДе М'г ~ поле ковектора. Чтобы
пространство с аффинной связностью было проектнвно
плоским, необходимо и достаточно обращение в нуль
тензора Вейля.
Лит.: [1] С х о у т е н И. А., С т р о й и Д. Д ж., Введе-
Введение в новые методы дифференциальной геометрии, пер. с нем.,
т. 2, М., 1948; [2] П о г о р е л о в А. В., Четвертая проблема
Гильберта, М., 1974. Ю.Л.Волков.
ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ РАССТОЯНИЕ — длина кратчай-
кратчайшей геодезической линии, соединяющей две точки (или
два множества). В вариационном исчислении Г. р.—
значение исследуемого функционала на экстремали,
соединяющей две рассматриваемые точки.
ГЕОКРИОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ —
математич. задачи, возникающие при изучении процессов
и явлений, происходящих в мерзлых почвах и горных
породах, географич. распространения и условий фор-
формирования сезонномерзлых и многолетнемерзлых гор-
горных пород (вечной мерзлоты). Интересные Г. м. з. воз-
возникают при изучении проблемы взаимодействия темпе-
температурных и влажностных полей в зонах с подвижными
границами раздела фаз. Характерной особенностью
Г. м. з. является то, что процессы тепло- и массообмена,
происходящие при промерзании и оттаивании нород,
тесно связаны между собой. Задача сводится к системе
квазилинейных уравнений параболич. типа, поскольку
тепло- it влагообменные характеристики среды сущест-
существенно зависят от искомых функций. Типичными приме-
примерами подобных задач являются исследование промерза-
промерзания влагонасыщенных тонкодисперсных пород, к-рое
сопровождается миграцией влаги к фронту промерза-
промерзания и пучением, а также исследование оттаивания
грубодисперсных пород, сопряженное с инфильтрацией
и фильтрацией влаги. Особое значение для инженер-
инженерной геологии имеет решение многомерной Стефана за-
задачи, для областей со сложной конфигурацией, в част-
частности о чаше нротанвания при гражданском и промыш-
промышленном строительстве. Решение вопросов историч. ге-
геокриологии приводит к необходимости исследования
многофронтовой задачи Стефана с учетом образования
зон и вырождения их в точку. Важное значение при
этом имеет увязка процессов промерзания и оттаива-
оттаивания в верхних слоях литосферы с радиационно-тепло-
ВЫМ балансом. В. И. Дмитриев.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ — последова-
последовательность чисел, каждое из к-рых равно предыдущему,
умноженному на нек-рое постоянное для данной про-
прогрессии число q^=0 (знаменатель про-
прогресс и и). Г. п. наз. возрастающей, если
'/>!> убывающей, если 0<д<1; если ?<0, то
Г. п.— знакочередующаяся. Любой член Г. п. а,- вы-
выражается через ее первый член аг и знаменатель q фор-
формулой
а сумма первых п членов Г. п. (знаменатель к-рой
не равен 1) — формулой
е al-alqn alq"-al
Л"~ i-q -~ 3-1 •
Если [<j>|<1 , то при неограниченном возрастании числа
п сумма Sn стремится к пределу S=-~-. Это число S
наз. суммой бесконечно убывающей
геометрической прогресс и и.
Выражение
+n+ . .., при | q | < 1,
— простейший пример сходящегося ряда — геоме-
геометрический ряд, число aj{i — q) является суммой
геометрич. ряда.
Термин «Г. п.» связан со свойством любого члена
Г. п. с положительными членами: ап= Уап^1ап + 1 ,
т. е. любой член есть геометрическое среднее между
предыдущим и последующим ее членами, о. А. Иванова.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ — вероят-
вероятности событий, связанных со взаимным расположением
геометрич. фигур, случайно размещенных на плоскости
или в пространстве. Простейший пример: в область А
на плоскости наудачу бросается точка. Какова веро-
вероятность того, что она попадет в область В, лежащую вну-
внутри А? Принимая, что искомая вероятность зависит
лишь от «формы» области, но не от ее «положения»
внутри А, приходят к выводу, что она единственным
образом определяется как отношение площади В к пло-
площади А.
Сделанное допущение об инвариантности рассматри-
рассматриваемых вероятностей относительно группы преобразо-
преобразований евклидова пространства, включающей сдвиги,
вращения и отражения, типично для большинства за-
задач о Г. в. Ответ обычно получается в форме отношения
инвариантной меры множества «благоприятных слу-
случаев» к инвариантной мере множества «всех возможных
случаев» (см. Интегральная геометрия); аналогия с
классич. определением вероятности здесь очевидна.
Можно отметить, что в связанном с Г. в. Бертрана па-
парадоксе только один ответ удовлетворяет условию ин-
инвариантности.
Первым примером подсчета Г. в. была Бюффона зада-
задача, положившая начало идее случайности в геометрии.
200-летняя история развития этой идеи слагается из
периодов энтузиазма и интенсивной разработки, сме-
сменяемых периодами недооценки и падения интереса к
предмету. Наблюдающийся во 2-й пол. 20 в. подъем
в этой области привел к значительному расширению
круга рассматриваемых моделей (напр., к изучению слу-
случайных множеств, полей прямых, т. н. полей волокон
и т. п.), и теория Г. в. стала частью нового раздела
теории вероятностей — стохастической геометрии.
Лит.: [1] К е и д а л л М., Моран П., Геометрические
вероятности, пер. с англ., М., 1972; [2] Stochastic Geometry,
ed. E. E. Harding, D. G. Kendall, L., 1974. Ю. В. Прохоров.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ — решение
нек-рых геометрич. задач при помощи различных ин-
инструментов (линейки, циркуля и др.), к-рые предпола-
предполагаются абсолютно точными. В зависимости от выбора ин-
инструментов определяется цикл задач, к-рые могут быть
разрешены этими средствами. Основным набором ин-
инструментов для Г. п. являются циркуль и линейка.
Задача на построение разрешима при помощи циркуля
и линейки, если координаты искомой точки могут быть
записаны в виде выражений, содержащих конечное число
операций сложения, умножения, деления и извлече-
извлечения квадратного корня, примененных к координатам
заданных точек (см., напр., Деления круга многочлен).
Если таких выражений не существует, то задача не мо-
может быть решена при помощи циркуля и линейки. К этим
задачам относятся, напр., удвоение куба, трисекция угла,
квадратура круга. Любая задача на построение, раз-
разрешимая при помощи циркуля и линейки, может быть
решена при помощи и других наборов инструментов:
одним циркулем — так наз. Мора — Маскерони
построения (G. Mohr, 1672; L. Mascheroni,
1797); линейкой с двумя параллельными краями, к-рая
может быть заменена угольником (A. Adler, 1890);
линейкой и окружностью, заданной в плоскости черте-
чертежа с отмеченным центром, — Понселе— Штей-
нера построения (V. Poncelet, 1822; J. Stei-
ner, 1833).
Лит.: [1] А д л е р А., Теория геометрических построений,
пер. с нем., 3 изд., Л., 1940; [2] Гильберт Д., Основания
геометрии, пер. с нем., М.— Л., 1948; [3] Энциклопедия элемен-
элементарной математики, кн. 4, Геометрия, М., 1963.
__ П. С. Моденов, А. С. Пархоменко.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС — множество сим-
симплексов в евклидовом и гильбертовом пространствах,
удовлетворяющее нек-рым условиям. Конечным
геометрическим комплексом наз. ко-
конечный набор замкнутых симплексов в евклидовом про-
пространстве, причем любые два симплекса либо не имеют
общих точек, либо пересекаются по общей грани. Два
Г. к. считаются изоморфными, если между их вершина-
вершинами можно установить взаимно однозначное соответ-
соответствие, обеспечивающее взаимно однозначное соответ-
соответствие между всеми их симплексами. Подкомплексом
Г. к. наз. любая часть его симплексов. Всякий Г. к.
изоморфен подкомплексу нек-рого симплекса достаточ-
достаточно высокой размерности. Размерностью ко-
конечного Г. к. наз. наибольшая из размерностей
составляющих его симплексов.
Бесконечный геометрический ком-
комплекс определяется с точностью до изоморфизма как
набор симплексов нек-рого, не обязательно счетномер-
ного, гильбертова пространства; при этом вершины
симплексов являются концами векторов нек-рого ор-
тонормированного базиса. Каждый Г. к. определяет
топологич. пространство, состоящее из всех точек его
симплексов и называемое полиэдром Г. к. Размер-
Размерностью бесконечного Г. к. наз. верхняя
грань размерностей его симплексов. В случае бесконеч-
бесконечного Г. к. топология полиэдра, индуцированная его
вложением в объемлющее гильбертово пространство,
не является единственной, совместимой с обычной то-
топологией на всех его симплексах; примером служит
слабая топология. __ е. г Скляренко.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РОД — численный инвариант
неособых алгебраич. многообразий. В случае алгебраич.
кривых Г. р. совпадает с родом кривой. Для алгебраич.
поверхностей Г. р. был впервые определен с различных
точек зрения А. Клебшем (A. Clebsch) и М. Нётером
(М. Noether) во 2-й пол. 19 в. Последним была доказана
также бирациональная инвариантность Г. р. Геомет-
рич. род неособого проективного алгебраич. многообра-
многообразия X над алгебраически замкнутым полем к есть, но
определению, размерность пространства регулярных
дифференциальных форм степени ra=dim X. В этом
случае Г. р. X обозначается pg(X). Согласно теореме
двойственности Серра
Pg{X) = AimkH"(X, Qx),
где Qx ~ структурный пучок многообразия X. Число
pg (X) — 1 совпадает с размерностью канонической си-
системы многообразия X. Г. р. играет важную роль в
критерии рациональности алгебраических поверхно-
поверхностей (см. Рациональная поверхность), а также в общей
классификации алгебраических поверхностей. Г. р.
бирационально изоморфных гладких проективных мно-
многообразий совпадают.
Лит.: [11 Бальдассари М., Алгебраические много-
многообразия, пер. с англ., М., 1961; [21 Ш а ф а р е в и ч И. Р.,
Основы алгебраической геометрии, М., 1972. И. В. Долгачев.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ТЕОРИЯ — раздел
дифференциальной геометрии, основанный на теории
представления групп. Применение метода внешних диф-
дифференциальных форм позволяет ввести дифференциаль-
дифференциальные критерии Г. о. т., превращающие ее в эффективный
аппарат дифференциально-геометрич. исследования про-
пространств с фундаментальными группами, а также обоб-
обобщенных пространств (расслоенных пространств, про-
пространств со связностью, дифференцируемых многооб-
многообразий, снабженных различными дифференциально-геоме-
дифференциально-геометрич. структурами).
Если каждому элементу S r-членов группы Ли G
поставлено в соответствие преобразование каждой точ-
точки М, принадлежащей нек-рой области D топологич.
пространства Е, причем нулевому элементу группы So
соответствует тождественное преобразование (отобра-
(отображение) пространства в себя, а последовательное вы-
выполнение преобразований при помощи двух элементов
Sun Sv равносильно преобразованию, осуществляемому
при помощи произведения этих элементов, и в данном
пространстве введена надлежащим образом система
координат, то говорят, что группа G локально пред-
представлена в пространстве Е как группа преобразований.
Пространство Е называется пространством
представления группы G, или прост-
пространств о м с фундаментальной груп-
группой G.
Геометрическим объектом (г. о.) с
данной фундаментальной группой G, цди г. о., присо-
присоединенным к группе G (кратко G-объектом), наз. точка
пространства представления данной группы G. Само
это пространство наз. пространством г. о. в широком
смысле слова, или обобщенным однород-
однородным пространством. Группа преобразований
пространства г. о., реализующая его фундаментальную
группу, наз. фундаментальной группой этого г. о. Два
г. о. в одном и том же пространстве представления груп-
группы G наз. эквмвалентными, если один из них может быть
преобразован в другой с помощью преобразования фун-
фундаментальной группы G. Система интранзитивности
наз. пространством г. о. в собственном смысле. Про-
Пространство представления группы Сназ. однородным про-
пространством с фундаментальной группой G, если в нем
реализовано истинное транзитивное представление
этой группы. Во всяком пространстве истинного пред-
представления конечной группы существует репер, состоя-
состоящий из конечного числа точек.
Пусть в пространстве г. о. X реализовано истинное
транзитивное представление. Подвергая пространство
представления и с ним репер R всевозможным преобра-
преобразованиям фундаментальной группы G, получают пол-
полное семейство (пространство) реперов, в к-ром осуще-
осуществляется просто транзитивное представление группы
G. Это пространство отождествляется с групповым или
параметрич. пространством группы G. Если принять
его произвольную точку (репер) за исходную и сопо-
сопоставить ей единичный элемент группы G, то все точки
этого пространства приводятся во взаимно однозначное
соответствие с элементами группы G. Групповые пара-
параметры могут рассматриваться как параметры подвиж-
подвижного репера.
Между реперами семейства и элементами группы мо-
может быть установлено также и взаимно однозначное
соответствие, при к-ром каждому элементу Sa группы
приведен в соответствие репер Ra, получаемый из про-
произвольно зафиксированного начального (абсолютного)
репера R правым (левым) сдвигом при помощи элемен-
элемента Sa: Ra=RSa. Текущему элементу Sa будет соответ-
соответствовать текущий «подвижной» репер Ru. Каждая точка
X пространства представления группы G определяется
относительно репера Л своими координатами Хк,
К=\, . . ., N, наз. абсолютными коорди-
координатами, или абсолютными компонен-
компонента м и, г. о. X. Относительными компонентами XJ2
г. о. по отношению к реперу Ru= SU1R наз. абсолютные
компоненты г. о., в к-рый рассматриваемый объект X
превращается при помощи преобразования, переводя-
переводящего подвижный репер Ru в абсолютный репер R : Х1<=
= SUXK и X%=fK (us, XJ) (где IIs— групповые параметры
r-членной группы s=l, . . ., г). Относительные компо-
компоненты ХК фиксированного г. о. удовлетворяют вполне
интегрируемой системе дифференциальных уравнений
dZA'—?fco* = 0, A)
где ms=(i)s (и, du) — левоинвариантные формы группы
G и ?j =?;;(XJ). Система A) наз. системой дифферен-
дифференциальных уравнений инвариантности
г. о., а также системой дифференциальных у равне-
равнений представления группы G с инва-
инвариантными формами ws. Функции ?^ наз. основны-
основными определяющими г. о. функциями
(или определяющими представление функциями).
Система вида A) тогда и только тогда является системой
дифференциальных уравнений инвариантности г. о.
с относительными компонентами Хл и группой преобра-
преобразований G, когда коэффициенты ?^ являются функциями
только от переменных Хл и данная система A) вполне
интегрируема (основная теорема Г. о. т.). Необходимы-
Необходимыми и достаточными условиями полной интегрируемо-
интегрируемости системы дифференциальных уравнений инвариант-
инвариантности г. о. является выполнение структурных уравне-
уравнений Ли для определяющих объект функций 5^ (XX):
дХ дХ
Дифференциальные формы
наз. структурными формами пред-
представления (или структурными фор-
формами г. о. с относительными компонентами XJ).
Размерность N пространства представления г. о. наз.
рангом объекта X. Необходимым условием истинного
транзитивного представления r-членной группы в про-
пространстве объекта X является соотношение Лт<;г.
Число p=N—R, где R — ранг матрицы (%*), наз.
жанром г. о. Жанр р совпадает с числом независимых
абсолютных инвариантов г. о.
Система форм
где
QJK к = — s .. to*, e = l, 2, ...,
вполне интегрируема. Для фиксированной точки
пространства представления группы G
а возникающие формы
удовлетворяют структурным уравнениям линейной
группы.
Число гт линейно независимых форм среди форм
является арифметич. инвариантом пространства пред-
представления группы G. Число рт = г—гт наз. харак-
характером изотропии m-го порядка пространства
представления группы G. Числа ра образуют невозра-
стающую последовательность. Всегда существует та-
такое наименьшее число q, что
Число q также является арифметич. инвариантом
пространства представления группы G и наз. п о-
рядком нелинейности г. о. X.
Если система дифференциальных уравнений инвари-
инвариантности г. о.
dXJ—lJs(XK)a' = 0 B)
содержит подсистему
dXa — ??(ХР)ш* = 0, а, Р = 1, ..., n1<N,
то система компонент Ха определяет г. о. — п о д-
объект г. о. с относительными компонентами XJ.
Если два г. о. X и Y присоединены к одной и той же
группе, причем все относительные компоненты Ya
одного объекта могут быть представлены как опреде-
определенные аналитич. функции от относительных компонент
XJ второго объекта:
Ya = Ya(XK), C)
то говорят, что объект У охватывается объектом X.
Г. о. X наз. охватывающим г. о., а объект
У— охваченным г. о. Два г. о. Zj и Х2 наз.
подобными, если каждый из них охватывает дру-
другой. Ранги, жанры, характеристики и типы подобных
г. о. совпадают. Частный случай подобных г. о. дают
изомеры — г. о., компоненты к-рых отличаются
только порядком следования. Если система дифферен-
дифференциальных уравнений инвариантности г. о. алгебраиче-
алгебраически разрешима относительно всех инвариантных форм
to* группы G, то этим объектом можно охватить любой
другой объект, присоединенный к группе G.
Система функций C) тогда и только тогда будет
системой относительных компонент г. о., когда в си-
системе дифференциальных уравнений, к-рой удовлетво-
удовлетворяют функции Уа, коэффициенты разложения по фор-
формам is)s будут функциями только от этих компонент Уа ,
т. е.
а ?(Р) * = 0. D)
Если в дифференциальных уравнениях
dXa — las(XJ)^ = O, a = l, ..., n2<N,
к-рым удовлетворяют компоненты Ха г. о. с относи-
относительными компонентами XJ, функции ?"(.Yy) однородны
относительно компонент Ха, то система функций Ха
наз. усеченным г. о.
Пусть имеется г. о. X н охваченный им объект Y, т. е.
Ya=Ya(XJ)\ тогда
Совокупность относительных компонент охватывающего
г. о. XJ, охваченного г. о. Ya и частных производных
У^ вторых по первым является системой относительных
компонент нового охваченного г. о.:
При этом, если для XJ и Уа выполняются уравнения B),
D) соответственно, то
к \ ауР к ex*
Г. о. E) наз. производным г. о.
Г. о. наз. линейным, или кваз и тензор-
тензорным объектом, если группа преобразований его
компонент линейна, т. е.
XJ' = BJK(u) XK+BJ(и).
Если BJ=Q, то г. о. наз. линейным однород-
однородным объектом, или тензором. Г. о. — линей-
линейный объект тогда и только тогда, когда основные опре-
определяющие его функции имеют вид:
где К^к, К — постоянное. Г. о. является линейным
однородным объектом тогда и только тогда, когда
к{ = 0, т. е.
Ss =KsKX ¦
Однокомпонентный тензор X наз. инвариантом.
Дифференциальные уравнения инварианта имеют вид
dX— XKsu>s = 0, где Ks— постоянные. Если не все Ks
равны нулю, инвариант наз. относительным.
При Ks=0 инвариант наз. абсолютным.
Если Vn re-мерное дифференцируемое многообразие
и и1— локальные координаты точки u?UcVn, где
U — некоторая область этого многообразия, то всегда
можно ввести вполне интегрируемую систему п ли-
линейных линейно независимых дифференциальных форм
9', первыми интегралами к-рой являются координаты и1'.
Это означает, что
Ql = uikdub
и
dq' = е* л ei
Рассмотрим систему г линейных линейно независи-
независимых форм ша, удовлетворяющих следующим структур-
структурным уравнениям
а, Р, ...=ге + 1, ..., i-j-r.
Формы соа имеют расслоенную структуру
по отношению к формам 6' и при и1—и1ц, т. е. при 9*=0,
становятся инвариантными формами r-членной группы
Ли G со структурными константами С? (uj)-
Говорят, что на Vn задано (локально) поле г. о. {X},
присоединенного к группе G (поле G-объекта), если в
каждой точке u?U этого многообразия, определен г. о.
{X}, присоединенный к нек-рой группе Ли G (G-объект).
При этом
ф-'=ф-/(ц1, . . ., ип),
где Ф-/(/=1, . . ., N) — абсолютные координаты объек-
объекта {X}. Следовательно
Иначе, система функций XJ, удовлетворяющих си-
системе дифференциальных уравнений
наз. полем г. о., присоединенного к
гр уппе G, если система ДХ-/=0, в* = 0 вполне ин-
интегрируема. Г. о. {X} наз. образующим объ-
объект о м п о л я, а функции XJ при 6*= 0 становятся
относительными компонентами г. о. {X}. Уравнения
наз. дифференциальными уравнениями поля г. о. {X}.
Поле г. о. определяет сечение в присоединенном рассло-
расслоенном пространстве, базой к-рого являются Vn, а сло-
слоями — пространства данного геометрич. объекта.
Функции Н/ (ХК) наз. основными определяющими поле-
функциями, коэффициенты XJk — дополнитель-
дополнительны м и определяющими функциями
ноля г. о. (или пфаффовыми производ-
производными поля). Совокупность функций XJ, Xk так-
также является системой относительных компонент г. о.,
к-рый наз. продолжением г. о. {X}, или про-
продолженным г. о. первого порядка г. о.
Система дифференциальных уравнений F) поля г. о.
правильно продолжаема по формам 9*. Это означает,
что в результате внешнего дифференцирования систе-
системы получается квадратичная система вида
да-/ л е' = о,
где
Система
вместе с системой F) образует систему дифференци-
дифференциальных уравнений поля продолженного г. о. Система
F) — G), в свою очередь, правильно продолжаема.
После <7-го продолжения получается система диффе-
дифференциальных уравнений поля продолженного г. о.
порядка q с относительными компонентами
Если группа G, к к-рой присоединен г. о., является
дифференциальной группой GLP(n, R) порядка р,
то г. о. наз. дифференциально-геомет-
дифференциально-геометрическим объектом, а поле такого объек-
объекта— нолем дифференциально-гео-
дифференциально-геометрического объекта.
Если образующий объект поля охватывает другой
объект (охватывается другим объектом), то поле пер-
первого наз. охватывающим (охваченны м),
а поле второго — охваченным (охватыва-
ю щ и м).
Если на дифференцируемом многообразии Vn зада-
задано поле г. о., то У„наз. оснащенным, а заданное
поле и образующий его объект — оснащающим
полем и, соответственно, объектом.
Поле оснащающего г. о. индуцирует на Vn диффе-
ренциально-геометрич. структуру (G-структуру в ши-
широком смысле слова). Поэтому оснащающий объект
наз. также и структурным объектом. Тип структуры
определяется типом структурного объекта.
Лит.: [1] В е б л е н О., Уайтхед Д ж., Основания
Дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1949, с. 135—
221; [2] Лаптев Г. Ф., Дифференциальная геометрия пог-
погруженных многообразий, М., 1953 («Тр. Моск. матем. об-ва»,
т. 2). Н. М. Остиану.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ КОЛЬЦО — локальное кольцо
алгебраич. многообразия или пополнение такого коль-
кольца. Коммутативное кольцо, получаемое из кольца
многочленов над нолем применением операций попол-
пополнения, локализации и факторизации по простому идеалу,
наз. алгебро-геометрическим коль-
кольцом [3]. Локальное кольцо неприводимого алгебра-
алгебраич. многообразия после пополнения не приобретает
нильпотентных элементов [2]. Такое свойство локаль-
локального кольца наз. аналитической приве-
приведенностью. Имеет место аналогичный факт о ло-
локальных кольцах нормальных многообразий [1]: по-
пополнение локального кольца нормального алгебраич.
многообразия является нормальным кольцом (а н а-
литическая нормальность). Известны
примеры локальных нётеровых колец, не являющихся
аналитически приведенными или аналитически нор-
нормальными [4]. Псевдогеометрическ им
кольцом наз. нётерово кольцо, любое фактор-
кольцо к-рого по простому идеалу является японским
кольцом. Область целостности А наз. японским
кольцом, если ее целое замыкание в конечном
расширении поля частных есть конечный А -модуль
(см. [5]). Класс псевдогеометрических колец замкнут
относительно локализаций и расширений конечно-
конечного типа; к нему относятся кольцо целых чисел и все
полные локальные кольца. См. также Превосходное
кольцо.
Лит.: [1] 3 а р и с с к и й О., Самюэль П., Коммута-
Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 2, М., 1963; [2] С h e v а 1 1 е у
С. «Trans. Amer. Math. Soc», 1945, v. 57; MSamuel P.,
Algebre locale, P., 1953; [4] N a g a t a M., Local rings,
N. Y.—L. 1962: [5] Grothendieck A., «Publ. math.
IHES», 1967, № 32, ch. 4. В. И. Данилов.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК — понятие,
иногда используемое в геометрии. Обычно под Г. м. т.
понимают множество точек (образующих кривую или
поверхность), выделяемых из всех точек пространства
к.-л. геометрич. требованием. Напр., эллипс может
быть определен как Г. м. т. плоскости, для к-рых сумма
расстояний до двух данных точек есть величина по-
постоянная. А. Б. Иванов.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ, г е о
метро-оптическое приближен и е, —
ряд вида
V *> Уж' У' z) Jan (x, у, x)-ia>t
^s = 0 (-Oof
к-рый формально удовлетворяет уравнению, описываю-
описывающему волновой процесс (или системе уравнений, тог-
тогда us — векторы).
Для решения краевых задач теории колебаний (см.
Дифракции математическая теория) разработан так
наз. лучевой метод [2], позволяющий строить Г. п. Суще-
Существует гипотеза, что получающиеся в результате ряды
представляют собой асимптотич. разложение иско-
искомых решений там, где члены Г. п. не имеют особенно-
особенностей. В частных случаях эту гипотезу удалось дока-
доказать. Имеется и нестационарный аналог Г. п.
Построение функций us основано на рассмотрении
поля лучей, т. е. экстремалей функционала (см. Ферма
принцип)
С ds
J с (х','у, z) '
где с(х, у, z) — скорость в рассматриваемой изотроп-
изотропной физич. среде, ds — элемент длины дуги. Пусть пара
параметров а,
точки на луче,
Р характеризует луч,
причем
dx _ 1
ds
параметр т
"с (х, у, z) '
Параметры а, Р, т можно взять за криволинейные ко-
координаты. Переход от криволинейных координат ос,
Р, т к декартовой прямоугольной дается формулой
Г In R Т1 — Г (Г II 7\
Поверхности т= const ортогональны лучам. В тех
точках, где поле лучей не имеет особенностей, отлична
от нуля величина
"~ дг
aa'ag
к-рая наз. геометрическим расхожде-
расхождением. Величина / входит в рекуррентные соотно-
соотношения, связывающие функции us между собой, и играет
фундаментальную роль во всех построениях Г. п.
Лит.: Ш Фридлендер Ф.,'Звуковые импульсы, пер.
с англ., М., 1962; Г2] Бабич В. М., Булдырев В. С,
Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн,
М.. 1972. ' В. М. Бабич.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — распре-
распределение дискретной случайной величины, принимаю-
ч
'¦2 .
0,1
О
lllllil
F
т
'I
0,5
6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ^
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0 123456789 10 11 12
Геометрическое распределение: а — вероятности рт,
б — функция распределения (р=0,2).
щей целые неотрицательные значения т = 0, 1, ... с
вероятностями pm = pqm, где параметр распределения
p = l — q есть нек-рое число из интервала @, 1). Харак-
теристич. функция:
математич. ожидание: q/p, дисперсия: <?/р2; производя-
производящая функция:
Г. р. имеет случайная величина, равная числу неза-
независимых испытаний до первого успеха, если вероят-
вероятность успеха равна р, а неудачи q. Свое название Г. р.
получило от порождающей его геометрич. прогрессии.
В. М. Калинин.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СРЕДНЕЕ положитель-
положительных ч и с е л вх, . . ., ап — число, равное арифметич.
корню п-й степени из их произведения, т. е.
Г. с. всегда меньше арифметического среднего, кроме
случая, когда все взятые числа раввы между собой;
тогда их Г. с. равно их же арифметич. среднему. Г. с.
двух чисел наз. средним пропорциональ-
пропорциональным.
ГЕОМЕТРИЯ — часть математики, первоначальным
предметом к-рой являются пространственные отноше-
отношения и формы тел. Г. изучает пространственные отно-
отношения и формы, отвлекаясь от прочих свойств реаль-
реальных предметов (плотность, вес, цвет и т. д.). В после-
последующем развитии предметом Г. становятся также и
другие отношения и формы действительности, сходные
с пространственными. В современном общем смысле Г.
объемлет любые отношения и формы, к-рые возникают
при рассмотрении однородных объектов, явлений, со-
событий вне их конкретного содержания и к-рые оказы-
оказываются сходными с обычными пространственными отно-
отношениями и формами. Напр., рассматривают расстояния
между функциями, отвлекаясь от того, каковы специ-
специальные свойства этих функций и какие реальные про-
процессы эти функции описывают (см., напр., Метриче-
Метрическое пространство, Функциональный анализ).
Исторический очерк. Возникновение Г. относится
к глубокой древности. Оно было обусловлено практич.
потребностями (измерением земельных участков, объ-
объемов тел). Простейшие геометрич. сведения и понятия
были известны еще древним египтянам (нач. 2-го тыс.
до н. э.). Геометрич. утверждения формулировались
тогда в виде правил, логич. доказательства к-рых либо
отсутствовали, либо были примитивными. Начиная с
7 в. до н. э. и до 1 в. н. э., развитие Г. происходило в
основном в Др. Греции. Здесь накапливались сведе-
сведения о метрич. соотношениях в треугольниках, измере-
измерениях площадей и объемов, пропорциях и подобии фигур,
конич. сечениях, задачах на построение. В то время по-
появились уже сравнительно строгие логич. доказатель-
доказательства геометрич. утверждений. Собранием известйых
фактов Г. и их логической систематизацией явились
«Начала» Евклида (ок. 300 до н. э.). В этом сочинении
были сформулированы основные положения (аксиомы)
Г., из к-рых при помощи логич. рассуждений выводи-
выводились различные свойства простейших фигур на плоско-
плоскости и в пространстве. Здесь впервые сложились основы
аксиоматич. метода. Развитие астрономии и геодезии
A — 2 вв. н. э.) привело к созданию плоской и сферич.
тригонометрии.
Дальнейшее развитие Г., вплоть до 17 в., происходило
не столь интенсивно. Возрождение наук и искусств в
Европе способствовало развитию Г. Теория перспек-
перспективы, задача к-рой состояла в изображении тел на
плоскости (см. Начертательная геометрия), была в
центре внимания художников и архитекторов. Эта по-
потребность привела к зарождению проективной геомет-
геометрии — раздела Г., в к-ром изучаются свойства фигур,
инвариантные относительно так наз. проективных пре-
преобразований.
Совершенно вовый подход к решению геометрнч.
вопросов был предложен в 1-й пол. 17 в. Р. Декартом
(R. Descartes). Им был создан метод координат, позво-
позволивший привлечь в Г. методы алгебры, а в последую-
последующем и анализа. Начиная с этого момента Г. бурно раз-
развивается. Появляется аналитическая геометрия, в
к-рой методами алгебры исследуются кривые и поверх-
поверхности, задаваемые алгебраич. уравнениями. Примене-
Применение в 18 в. Л. Эйлером (L. Euler) и Г. Монжем (G. Monge)
методов математич. анализа в Г. заложило основы
классической дифференциальной геометрии. Ее ве-
ведущие разделы: теория кривых и теория поверхностей —
интенсивно развивались и обобщались в работах К. Га-
Гаусса (С. Gauss) и др. геометров. В результате взаимо-
взаимодействия Г. с алгеброй и анализом в дальнейшем воз-
возникли специальные исчисления, удобные для использо-
использования в Г. и др. разделах математики (векторное ис-
исчисление, тензорное исчисление, метод дифференциаль-
дифференциальных форм).
Разделы Г., не опирающиеся на методы алгебры и
анализа и оперирующие непосредственно с геометрич.
образами, получили назв. синтетической геометрии.
Предмет, основные разделы геометрии, связь с дру-
другими областями математики. Свои первоначальные
шаги Г. делала как физич. наука, ее первые резуль-
результаты описывали свойства физически наблюдаемых ве-
величин. Затем, до 2-й пол. 19 в., предметом Г. были
отношения и формы тел пространства, свойства к-рого
определялись аксиомами, сформулированными Ев-
Евклидом (см. Евклидова геометрия). Пространство Ев-
Евклида столь хорошо отражает простейшие физич.
наблюдения, что до 19 в. оно как бы отождествля-
отождествлялось с физич. пространством. В 1826 Н. И. Лобачев-
Лобачевский построил Г. (см. Лобачевского геометрия), в основу
к-рой была положена система аксиом, отличающаяся
от системы аксиом Евклида только аксиомой о
параллельных прямых. В результате появилась ло-
логически непротиворечивая Г., существенно отличная
от евклидовой. Стало ясно, что в математике возможно
построение разнообразных пространств с содержатель-
содержательной Г. (см., напр., Неевклидовы геометрии). Наряду с
этим сложилась идея многомерного пространства. Сле-
Следующим новым шагом в Г. была идея Б. Римана (В. Rie-
mann), к-рый в 1854 сформулировал обобщенное поня-
понятие пространства как непрерывной совокупности лю-
любых однородных объектов или явлений и ввел простран-
пространства, измерение расстояний (метрика) в к-рых произ-
производится по нек-рому заданному закону «бесконечно
малыми шагами». Иными словами, задается определен-
определенная функция, к-рая выражает длину пути точки через
дифференциалы координат при малом ее смещении.
Развитие идеи Римана привело к дальнейшим разнооб-
разнообразным обобщениям способов задания метрики и рас-
рассмотрению Г. соответствующих пространств (см. Ри-
маново пространство, Финслерово пространство). При
исследовании физич. пространства, различных меха-
нич. систем или вообще систем каких-либо однородных
физич. объектов выбор подходящего математич. про-
пространства и сопоставление его элементов объектам изу-
изучаемой системы зависят от характера этой системы.
Качество такого математич. моделирования проверяется
опытом. Разные объекты или одни и те же объекты при
разной детальности исследования могут требовать раз-
разных пространств. В общей физич. теории пространства-
времени-тяготения (см. Относительности теория) ис-
используется одна из разновидностей римановой Г.
Одним из стимулов развития и систематизации Г.
явилась ее связь с теорией групп. Ф. Клейн (F. Klein)
в эрлангенской программе A872) так определил содер-
содержание Г.: дано многообразие и в нем группа преобра-
преобразований. Требуется развить теорию инвариантов этой
группы. Напр., теория инвариантов ортогональной
группы определяет евклидову Г. В такую классифика-
классификацию хорошо укладываются также аффинная геометрия,
конформная геометрия, проективная геометрия. Но
риманова Г. не может быть определена таким образом.
В связи с этим Э. Картан (Е. Cartan) ввел пространства,
в к-рых соответствующая группа преобразований дей-
действует только локально, в бесконечно малой окрест-
окрестности; таковы римановы пространства и пространства
с различной связностью. Групповой подход с точки зре-
зрения непрерывных групп преобразований был предложен
С. Ли (S. Lie).
Параллельно в конце 19 в. развивался логич. ана-
анализ основ Г. Выяснение непротиворечивости, мини-
минимальности и полноты систем аксиом Г. суммировано
Д. Гильбертом (D. Hilbert) в книге «Основания геоме-
геометрии» A899) (см. Основания геометрии).
Современное понимание пространства как непре-
непрерывной совокупности однородных объектов (явлений,
состояний, фигур, функций) обусловлено глубокой
взаимосвязью Г. с другими областями математики.
Наиболее отчетливо эта связь проявилась в развитии
Г. в 20 в., когда Г. стала широко разветвленной, а ее
границы в связи с усилением единства математики стали
менее четкими. Теперь пространство в математике по-
понимается как множество, снабженное нек-рой струк-
структурой, т. е. нек-рыми отношениями между егб элемен-
элементами или подмножествами. Изучение простейшей весьма
общей структуры, позволяющей говорить о непрерыв-
непрерывности, привело к выделению из Г. большой самостоя-
самостоятельной части математики — топологии. Г. предпола-
предполагает наличие более богатых структур. При использо-
использовании аналитич. аппарата дополнительные структуры
(связности, метрики, конформные и симплектич. струк-
структуры и т. п.) задают обычно с помощью тензорных (в ча-
частности — векторных) или иных полей.
Исследование ряда геометрич. структур относится
и к другим частям математики. Это связано с преобла-
преобладающим методом исследования. Так, алгебраическая
геометрия изучает алгебраич. многообразия и связан-
связанные с ними алгебраич. и арифметич. проблемы. Алге-
браизация геометрич. закономерностей позволяет стро-
строить Г. над произвольными полями (в том числе над ко-
конечными — конечные Г.). Эти разделы — части алгеб-
алгебры. Бесконечномерные пространства изучаются в функ-
функциональном анализе. Однако во всех этих областях
математики остается полезным геометрич. способ мыш-
мышления, при к-ром непосредственно оперируют нагляд-
наглядными образами, без перехода к исчислениям.
Наиболее традиционным предметом Г. остаются про-
пространства, являющиеся многообразиями с той или
иной дополнительной структурой, многообразия раз-
различных фигур, в частности — подмногообразий в них
и полей разного рода объектов на многообразиях.
Многие разделы Г. можно характеризовать типом про-
пространств и типом объектов в них, являющихся предме-
предметом исследования. Напр., глобальная Г. дифференциру-
дифференцируемых многообразий изучает многообразия с гладкими
структурами, гладкие многообразия и гладкие поля на
них, причем изучает их в целом, на полных многообра-
многообразиях. Геометрия в целом изучает сходные вопросы для
кривых и поверхностей при допущении негладкости и
особенностей; она ведет свое начало от теории выпуклых
тел, основы к-рой были заложены Г. Минковским
(Н. Minkowski). В интегральной геометрии исследуют-
исследуются меры на совокупностях геометрич. объектов. Комби-
Комбинаторная геометрия изучает расположения геометрич.
фигур топологич. и метрич. средствами (напр., илот-
нейшие упаковки и редчайшие покрытия) в евклидовом,
гиперболич. и эллиптич. пространствах разного числа
измерений.
Развитие Г., ее приложения, развитие геометрич.
восприятия абстрактных объектов в различных обла-
областях математики и естествознания свидетельствуют
о важности Г. как одного из самых глубоких и плодо-
плодотворных но идеям и методам средств познания действи-
действительности.
Лит.: [1] А л с к с а н д р о в А. Д., Геометрия, ВСЭ, 3 изд.,
т. 6; [2] Математика, ее содержание, методы и значение, М.,
1956, т. 1, с. 5—69, 180—245; т. 2, с. 97—144; [3] В а н дер
В а р д е н В. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М.,
1959; [4] В и л е й т н е р Г., История математики от Декарта
до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; [5]
Клейн Ф., Лекции о развитии математики в 19 столетии,
пер. с нем., М.— Л., 1937; [6] С т р о й к Д. Я., Краткий очерк
истории математики, пер. с нем., 2 изд., М., 1969; [7] Гил ь-
б е р т Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.— Л., 1948;
[8] Об основаниях геометрии, М., 1956; [9] Е ф и м о в Н. В.,
Высшая геометрия. 5 изд., М., 1971; [10] Клейн Ф., Выс-
Высшая геометрия, пер. с нем., М.—Л., 1939.
См. также лит. при статьях об отдельных геометрических
дисциплинах. Э. Г. Позняк.
ГЕОМЕТРИЯ В ЦЕЛОМ — геометрич. теории, пред-
предметом изучения к-рых является полный геометрич. об-
образ (вся кривая, вся поверхность, все пространство,
аналогично — все поле вектора, все поле тензора или
другого геометрич. объекта, аналогично — все отобра-
отображение одного геометрич. образа или всего поля геоме-
геометрич. объекта на другое). Термин «Г. в ц.» (Geometrie
im Grossen) возник в немецкой математич. литературе
в нач. 20 в. в связи с противопоставлением Г. в ц. гео-
геометрии в малом — теориям, в к-рых геометрич. образ
(аналогично — поле, отображение) изучается только
в достаточно малых областях, как это имело место в
классической дифференциальной геометрии, методы
тс-рой были недостаточны для нужд Г. в ц. При отсутст-
отсутствии указанного противопоставления, когда рассматри-
рассматривают только объекты в целом (в элементарной геомет-
геометрии, в топологии многообразий), термин «Г. в ц.» не
употребляется.
Качественное отличие свойств в целом от свойств
в малом проявилось прежде всего в вопросах жест-
жесткости, изгибаемости, мзометричных погружений по-
поверхностей (напр., малый кусок выпуклой поверхно-
поверхности изгибаем с сохранением выпуклости, а вся по-
поверхность выпуклого тела уже так не изгибаема); в
поведении геодезич. линий (напр., в малой области
две точки гладкой поверхности соединимы единствен-
единственной геодезической, а на всей замкнутой поверхно-
поверхности — бесконечным числом геодезических); в возмож-
возможности задавать метрику с определенными свойствами
на различных многообразиях (напр., метрику везде
положительной кривизны можно задать на полной по-
поверхности только гомеоморфной сфере, плоскости или
проективной плоскости). Такие проблемы породили
самостоятельные теории, см., напр., вариационное ис-
исчисление в целом. Развитие более приспособленных
для Г. в ц. методов современной дифференциальной
геометрии открыло возможность получения многих
качественных результатов л количественных соотно-
соотношений в целом для регулярных геометрических струк-
структур на многомерных лишенных особенностей многооб-
многообразиях.
Особенности часто неминуемо возникают при про-
продолжении гладких погруженных многообразий или по-
полей на них. Кроме того, решение многих экстремаль-
экстремальных задач достигается именно на нерегулярных объек-
объектах. Поэтому многие вопросы Г. в ц. более естественно
ставятся в классах, включающих нерегулярные объек-
объекты. Это требует создания методов, отличных от диффе-
дифференциально-геометрических. Такие подходы, объеди-
объединяющие исследование в целом с исследованием особен-
особенностей, развиты для двумерных поверхностей геоме-
трич. школой А. Д. Александрова, Н. В. Ефимова,
А. В. Погорелова, в к-рой получены наиболее закон-
законченные результаты в теории поверхностей.
Лит.: [1] К о н - Ф о с с с н С. Э., Некоторые вопросы диф-
дифференциальной геометрии в целом, М., 1959; [2] Алексан-
Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей,
М.— Л., 1948; 13] Ефимов Н. В., Геометрия «в целом»,
в кн.: Математика в СССР за 40 лет. 1917—1957, т. 1, М., 1959;
[41 Погорело в А.В., Внешняя геометрия выпуклых поверх-
поверхностей, М., 1969; [5] Г р о м о л Д., Клингенберг В.,
Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем.,М., 1971.
А. Д. Александров, В. А. Залгаллер.
ГЕОМЕТРИЯ ЧИСЕЛ, геометрическая тео-
теория чисел, — раздел теории чисел, изучающий те-
теоретико-числовые проблемы с применением геометрич.
методов. Г. ч. в собственном смысле сформировалась
с выходом основополагающей монографии Г. Минков-
ского [1] в 1896. Исходным пунктом направления, раз-
развившегося в самостоятельный раздел теории чисел,
явилось то обстоятельство (подмеченное Г. Минковским),
что нек-рые предложения, почти очевидные при рас-
рассмотрении фигур в и-мерном евклидовом пространстве,
имеют глубокие следствия в теории чисел.
Основной и типичной задачей Г. ч. является задача
об арифметич. минимуме m(F) нек-рой действительной
функции
F (х) = F (хъ . . ., хп);
при этом под m(F) понимается точная нижняя граница
значений функции F(x), когда х пробегает все целые
точки (т. е. точки с целочисленными координатами),
удовлетворяющие нек-рому дополнительному условию
(напр., условию хфО). В важнейших частных случаях
эта задача решается теоремой Минковского
о выпуклом теле, к-рая может быть сформули-
рована так: пусть F (х) < 1 есть га-мерное выпуклое тело
объема Vf, причем F( — x) = F(x); тогда
Значение т (F) позволяет судить об условиях существо-
существования решений диофантова неравенства (см. Диофан-
тоеы приближения)
\F(x)\<cc;
к этому вопросу сводятся многие задачи теории чисел.
Особым разделом Г. ч. является геометрия квадратич-
квадратичных форм.
В Г. ч. различают два общих типа проблем, наз.
однороднойи неоднородной пробле-
проблемами.
Однородная проблема, исследования по
к-рой составляют большую часть Г. ч., посвящена изу-
изучению однородных минимумов m(F, Л) лучевой функции
F в точечной решетке Л. Понятие точечной решетки
является основным понятием Г. ч. Пусть аг, . . ., ап —
линейно независимые векторы «-мерного евклидова
пространства. Множество точек
когда ?1; . . ., gn пробегают независимо друг от друга все
целые числа, наз. (точечной) решеткой
Л с базисом аь . . ., ап и определителем
d(A) = |det(ei, ..., ап)\.
Пусть в R" заданы лучевая функция F=F(x) и ре-
решетка Л определителя d(A). Точная нижняя граница
т (F, Л) = inf F (а)
аеЛ, афй
значений функции F в точках афО решетки Л наз.
минимумом функции F в решетке Л
(точнее, однородным арифметическим
м и н и м у м о м). Точная нижняя граница m(F, Л),
к-рая может и не достигаться, заведомо достигается
для ограниченного звездного тела, определяемого не-
неравенством
Для оценки m(F, Л) сверху важно уметь вычислять
или оценивать постоянную Эр ми та у (F) луче-
лучевой функции F, определяемую равенством
у (F) = sup m (F, A)f{d (Л)}1/",
Л
где точная верхняя граница берется по множеству
2л всех re-мерных решеток Л.
Центральным пунктом Г. ч. является установление
связи между y(F), критич. определителем (см. ниже)
Д ((&р) множества (S,p=-ji | F(x)< 1} и (если F — сим-
симметричная выпуклая лучевая функция) плотностью
в((?/г) плотнейшей решетчатой упаковки тела (§,р.
Пусть в га-мерном евклидовом пространстве R" за-
заданы множество ffll и решетка Л определителя d(A).
Решетка Л наз. допустимой для 9Л или 2П-Д о-
п у с т и м о й, если 2I не содержит точек из Л, отлич-
отличных от 0. Множество 5Ш, имеющее хотя бы одну допу-
допустимую решетку, наз. множеством конеч-
конечного типа; в противном случае Ш( наз. м н о-
жеством бесконечного типа. Пусть Щ} —
множество конечного типа; точная нижняя граница
Д @J1) = inf rf (A)
множества определителей d (Л) всех ЗЛ-допустимых ре-
решеток Л наз. критическим определите-
определителем Д (Щ}) множества ЩЧ. Всякая ЗЛ-допустимая ре-
решетка Л с условием
d (Л) = Д (Ш1)
наз. критической решеткой множества 2JJ.
Для множества ЭД1 бесконечного типа, по определению,
Вычисление постоянной Эрмита y(F) лучевой функ-
функции F сводится к вычислению критич. определителя
Д (®f) звездного тела E^, определяемого условием
F(x)<\:
Связь между критич. определителем и плотностью
плотнейшей решетчатой упаковки устанавливается
следующей теоремой Блихфельдта. Пусть
Э{ — произвольное множество, Z)9i — соответствую-
соответствующее ему разностное множество (т. е. совокупность то-
точек ? —т], где ??9J, T)?Jft) и пусть Л — решетка. Для
того чтобы расположение ^31, Л}, т. е. се-
семейство множеств {ЯЦ-а}, где а?Л, было упаковкой,
необходимо и достаточно, чтобы решетка Л была D%\-
допустимой.
Плотность 9 (9t) плотнейшей решетчатой упаковки
ограниченного измеримого по Лебегу множества Ж
меры F(9t) выражается равенством
Для произвольного множества 3J1 и измеримого по
Лебегу множества 5И меры V ($}), удовлетворяющего
условию ?>;1!с:ЗЛ, справедливо неравенство (другая
формулировка теоремы Блихфельдта):
Если ,ff — выпуклое тело, симметричное относи-
относительно точки О, то
где 9 (,ff) — плотность плотнейшей решетчатой упа-
упаковки тела Л1. Так что в случае симметричной выпук-
выпуклой лучевой функции F1 (х) вычисление y(F) сводится к
вычислению плотнейшей решетчатой упаковки тела
IS/j, определяемого условием F{x)<Ci.
Важнейшим предложением Г. ч. является теорема
Минковского о выпуклом теле. Пусть
Si — выпуклое тело, симметричное относительно на-
начала координат и имеющее объем V(Si). Тогда
Иными словами, решетка Л, для к-рой
F(f) > 2"d(A),
имеет в $ точку, отличную от 0.
Неравенство A) наз. неравенством Мин-
Минковского; оно дает оценку снизу для критич. оп-
определителя Д (Я) выпуклого тела if, симметричного
относительно 0. Эта оценка, вообще говоря, неулучшае-
ма. Для достижения равенства необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы 9(,ft) = l. Выпуклые тела ^3, удовлетворяю-
удовлетворяющие условию 9 EJ?)= 1, наз. параллелоэдрами.
Они играют важную роль в Г. ч. и кристаллографии ма-
математической.
Все приложения теоремы Минковского о выпуклом
теле основаны на том, что для выпуклой симметрич-
симметричной лучевой функции F (х) и произвольной решетки Л
определителя d(Л) справедливо неравенство
m(F, A)s?2{d (A)/V (($,F)}1/n,
где
В частности, для решетки Ло целых точек и лучевой
функции
/
справедлива теорема Минковского о ли-
линейных однородных формах. Пусть a;j,
Р; — действительные числа, i, ; = 1, . . ., га; Р/>0,
|det(a,-,)| = A>0. Если
р1р2...р„> Д,
то найдутся целые числа хх, . . ., х„, не равные одно-
одновременно нулю и удовлетворяющие системе линейных
неравенств
I ХЛ" о л
\ Д-=, «'/*/ <Р" l = 1- ¦••'"•
В Г. ч. изучаются последовательные минимумы лу-
лучевой функции в решетке. Пусть F (х) — лучевая функ-
функция, Л — решетка и пусть зафиксирован индекс г,
1 <:i<:n; г-м последовательным миниму-
минимумом m,-=m,(i<', Л) функции F в решетке Л наз. точ-
точная нижняя граница чисел и, для к-рых множество
F (х) <и. содержит не менее i линейно независимых то-
точек решетки А. При атом
т^ (F, Л) = т (F, Л); 0 < т1 < т, < .. . < т„ < -)- оо.
Справедлива оценка
Труднее оценить сверху величину
Для этого надо уметь вычислять или оценивать сверху
величину
a(^) = sup6 (F, А),
л
где точная верхняя граница берется по всем п-мер-
ным решеткам А. Величина a(F) наз. аномалией
лучевой функции F, или аномалией
множества CV- Имеет место неравенство a (F)^\,
Оценку a(F) сверху дает (см. [4], с. 254—57) следую-
следующая теорема. Пусть F есть л-мерная лучевая функция
с аномалией a{F); тогда
Построены примеры, показывающие, что эта оценка,
вообще говоря, не улучшаема.
Если F — выпуклая симметричная лучевая функ-
функция, то предполагается (гипотеза об анома-
аномалии выпуклого тела), что
a(F)=\.
Справедлива вторая теорема Мннковск о-
г о о выпуклом теле, уточняющая первую теорему.
Если F (х) — симметричная выпуклая лучевая функция
и А — решетка, то
Лх Щ (F, Л) < 2"d (Л),
где выпуклое тело (§,р определяется условием F(x)<Cl.
Понятие последовательных минимумов и основные
относящиеся к ним результаты (исключая последнюю
теорему) обобщаются со звездных тел (&р на произ-
произвольные множества Щ} (см. [9], с. 44 — 46).
Следующее предложение оценивает критич. определи-
определитель данного множества сверху: для любого измери-
измеримого но Лебегу множества Щ} меры Г(Щ})
B)
при этом, если Щ} — симметричное относительно О
звездное тело, то
S(») = i + ^-1---- • C)
Все доказательства этой теоремы включают в себя то
или иное усреднение нек-рой функции, заданной на
пространстве решеток. Наиболее естественный вывод
дает (см., напр., [12]) следующая теорема 3 и ге-
геля о среднем. Пусть /(х) — интегрируемая по
Лебегу функция, заданная на га-мерном евклидовом
пространстве R", а jx — инвариантная мера, заданная
на пространстве решеток Л с определителем= 1; rf —
фундаментальная область этого пространства. Тогда
В отличие от оценки снизу A), оценки B) и C) не
являются окончательными (уточнение см. [13]).
Оценки критич. определителя Д (QJJ) данного множе-
множества ЭД! снизу и сверху приводят к оценкам у (F) сверху и
снизу, т.е. к решению (в известном смысле) однородной
задачи Г. ч. Однако часто бывает важно знать и точное
значение у {F) или точное значение критич. определи-
определителя Д ('ЛЛ) для заданного множества 9Л (скажем, для
норменного тела данного алгебраического числового
поля). Если E — заданное ограниченное звездное тело,
то, в принципе, можно указать алгоритм, позволяю-
позволяющий свести задачу отыскания всех критич. решеток те-
тела 6 (а следовательно, и Д ((?)) к конечному числу
обычных задач на экстремум нек-рых функции не-
нескольких переменных. Однако этот алгоритм осущест-
осуществим (при современном состоянии исследований) лишь
для выпуклых тел E при числе измерений м<4
(см. [4], с. 185-86, 199-202).
Для неограниченных звездных тел К нахождение
Д (@), вообще говоря, значительно сложнее; это по-
показывает явление изоляции однородных арпф-
метич. минимумов, состоящее в следующем. Пусть F —
лучевая функция в R" и пусть на множестве X всех
решеток Л задана величина
Множество М(F) возможных значений fi(A) для всех
Л ? X наз. спектром Маркова лучевой функ-
функции F. Говорят, что для F имеет место явление
и з о л я ц и и, если множество М (F) имеет изолиро-
изолированные точки. Множество М (F) лежит на промежутке
@, y(F)). Если звездное тело gf, F(z)<l, ограничено,
то
M(F) = @, y(F)].
Поэтому явление изоляции возможно лишь для неог-
неограниченных звездных тел (см. [4], гл. 10). Наиболее
исследован случай «^2
F0(.r) = |W/2- D)
То, что здесь возникает явление изоляции, впервые
заметили (см. [14]) А. Н. Коркин и Е. И. Золотарев
(и это был вообще первый пример явления нзоляшш).
А. А. Марковым A879, см. [14]) доказано, что часть
спектра M(F0), лежащая правее ?/4/9, дискретна;
она имеет вид
*-?)-"•.*-••». ••¦}. т
гДе Qk ~ возрастающая последовательность целых по-
положительных чисел, обладающих тем свойством, что
найдутся целые числа Д&, 5^, удовлетворяющие условию
каждой точке спектра E) («спектр Маркова» в узком
смысле) отвечает единственная, с точностью до автомор-
автоморфизмов D), решетка А&. Неопределенная форма ср& =
= ххж2, (хих2) ? Aft, иногда наз. формойМаркова,
а последовательность ф], ср2, . . . наз. цепочкой
Маркова. Известно также, что левее нек-рого
числа ixo=i\o(Fo) спектр M(F0) совпадает с отрезком
[0, ц0]. Явление изоляции можно описать в терминах,
допустимых решеток (см. [9], с. 50), что несколько обоб-
обобщает это понятие.
Неоднородная проблема охватывает
неоднородные диофантовы задачи, играющие большую
роль в теории чисел, она составляет важный раздел Г. ч.
Пусть F — лучевая функция в К", Л — решетка оп-
определителя d(A) в R" и х0 — действительная точка в
R". Рассматриваются величины
l(xo) = l(F, Л; ао)= inf F (х),
х = хо{А)
1 = 1 (F, Л)= sup I (F, Л; х0),
где точная нижняя граница берется по всем точкам
вида х-\-а, а?Л, а точная верхняя граница берется
по всем точкам zo?IR". Величина l(F, Л) наз. неод-
неоднородным арифметическим мини-
минимумом функции F в решетке Л; при этом «минимум»
может и не достигаться. l(F, Л) есть точная нижняя
граница действительных чисел Л>0, обладающих сле-
следующим свойством: расположение {к(Ер, Л } множест-
множества X(S,f, где Й/г удовлетворяет условию F(x)<.i, по
решетке Л является покрытием, т. е.
Для лучевой функции F рассматриваются аналоги
постоянной Эрмита:
/
где точная нижняя (верхняя) граница берется по всем
га-мерным решеткам Л. Величина 2 (F) обычно триви-
тривиальна (см. [4], с. 369—70): если множество 6/j, F(
имеет конечный объем, то
Однако в одном, представляющем интерес, частном
случае функции F, с величиной 2 (F) связана неод-
неоднородная проблема Минковского.
Гипотеза Минковского о произведении
неоднородных линейных форм. Пусть
Fn(x)
Тогда
Исследования по этой гипотезе и ее аналогам состав-
составляют более половины всех исследований по неоднород-
неоднородной проблеме Г. ч. (см. Минковского гипотеза).
В общем случае величина a (F) носит характер более
содержательный, чем 2 (F). Она тесно связана со зна-
значением плотности x(Qf) экономнейшего решетчатого
покрытия телом ($,р (см. [7], [10]). Именно, если F —
лучевая функция и множество К/? ограничено, то
Важный раздел неоднородной проблематики Г. ч.
составляют так наз. теоремы переноса для
данной лучевой функции F, под к-рыми понимаются не-
неравенства, связывающие неоднородный минимум l(F, Л)
с последовательными однородными минимумами m;(F, Л)
(или минимумами взаимной функции F* относительно
взаимной решетки Л*, и т. п.) (см. [4], с. 380—90).
Пример: пусть F — симметричная выпуклая лу-
лучевая функция и пусть F(x)y-0 для хфО; тогда для
любой решетки Л
-1 тп (F, Л) < I (F, Л) <4- XLi m" {F' Л)"
Имеются обобщения Г. ч. на пространства, более
общие, чем R", а также на дискретные множества, более
общие, чем Л (см. [15], [10]).
Лит.: [llMinkowski H., Geometrie der Zahlen, Lpz.—
В., 1953; [2] e г о же, Diophantische Approximationen, Lpz.,
1907; [3] Hancock H., Development of the Minkowski geo-
geometry of numbers, N. Y., 1939; [41 К а с с е л с Д ж. В. С, Вве-
Введение в геометрию чисел, пер. с англ., М., 1965; [5] L е к-
kerkerker С. G., Geometry of numbers, Groningen,
1969; [6] T о т Л. Ф., Расположения на плоскости, на сфере и
в пространстве, пер. с нем., М., 1958: [7] Роджерс К.,
Укладки и покрытия, пер. с англ., М., 1968; [8] К е 1 1 е г О.-Н.,
Geometric der Zahlen, Lpz., 1H54; [91 HI a w k a E., «Jahresber.
Dtech. Math.-Ver.», 1954, Bd 57, Abt. 1, S. 37—55; [10] Б а р a-
н о в с к и й Е. П., в кн.: Итоги науки. Алгебра. Топология.
Геометрия. 1967, М., 1969, с. 189—225; [ll]KoksmaJ. F., Dio-
pnantiscne Approximationen, В., 1936; [12] M а с b e a t h A. M;,
Rogers C. A,. «Proc. Cambridge Philos. Soc», 1958, v. 54, pt.
2, p. 139-51;[13] Schmidt W, «111. J. Math.», 1963 v. 7,
N° 1, p. 18—23; JV. 4, p. 714; [14] Марков А. А., «Успехи
матем. наук», 1948, т. 3, в. 5, с. 7—51; [15] Rogers К.,
Swinnerton-Dyer H. P. F., «Trans. Amer. Math. Soc»,
1958, v. 88, № 1, p. 227—42. А. В. Малыше*.
ГЕОМЕТРОДИНАМИКА — вариант единой теории
поля, последовательно сводящий все физич. объекты к
геометрическим. Построение Г. осуществляется в не-
несколько этапов.
На первом этапе строится единая теория гравита-
гравитации и электромагнетизма на основе общей теории от-
относительности. Основная задача Г. на этом этапе в
упрощенной постановке состоит в следующем. Пусть
задана метрика gjj пространства-времени, к-рая явля-
является решением уравнений Эйнштейна
Rik гг SikR — Тik (/no, g),
где Rik — тензор кривизны, Т,-^ —тензор энергии-
импульса электромагнитного поля в вакууме, /до- ~
тензор электромагнитного поля в вакууме, удовлет-
удовлетворяющий уравнениям Максвелла. Требуется выразить
/до- через gut- В такой упрощенной постановке задача
принципиально решена [1], однако полное ее решение
встречает непреодоленные трудности (напр., при учете
неэлектромагнитных полей).
На втором этапе строится теория элементарных ча-
частиц. Моделью пары взаимодействующих частиц счи-
считается так наз. «ручка», простейшим видом к-рой яв-
является одна из топологич. интерпретаций (см. [2])
максимального аналитич. продолжения Шварцшилъда
поля. Характеристиками элементарной частицы (напр.,
заряда) в этом случае являются нек-рые интегральные
инварианты «ручки». Пространство-время Г.— много-
многосвязное, а первое Бетти число — порядка числа ча-
частиц. Вводится понятие г е о н а — сгустка того или
иного излучения концентрации достаточной, чтобы соот-
соответствующее искривление пространства сделало этот
сгусток метастабильным (т. е. существующим долгое
время). В Г. предсказываются электромагнитные, ней-
нейтринные и гравитационные геоны. Понятие геона яв-
является классическим. Считается, что квантовый аналог
понятия Г. представляет собой геометродинамич. опи-
описание массы элементарных частиц (экспериментально
геоны не наблюдались.)
На третьем этапе строится теория сплошных сред,
приводящая в общих чертах к тем же результатам, что
и в обычной общей теории относительности.
Предполагается, что в Г. должен нарушаться закон
сохранения барионного заряда. В качестве конкретного
механизма этого нарушения можно рассматривать
процесс гравитационного коллапса и последующего ис-
испарения черных дыр.
На четвертом этапе делаются попытки построить
последовательную квантовую Г. Рассматриваются кван-
квантовые флуктуации метрики, причем указывается, что
на расстоянии порядка (кк/с3) '^Ю3 см (fb — по-
постоянная Планка, х — постоянная тяготения Эйнш-
Эйнштейна, с — скорость света) флуктуации могут сущест-
существенно изменять Топологию пространства и должны со-
соответствовать квантовым элементарным частицам.
В настоящее время G0-е гг. 20 в.) Г. не является
еще последовательно развитой теорией. Особенно за-
затруднительно толкование спинорных полей (а не тен-
тензорных): в частности, нейтринных полей. Многие час-
части Г. не имеют достаточного математич. обоснования.
Одной из попыток дать такое обоснование является
теория суперпространства [4].
Лит.: [1] R a i n i с h G., «Trans. Amer. Math. Soc», 1925,
т. 27, Mj 106; [2] Уилер Д ж., Гравитация, нейтрино и
Вселенная, пер. с англ., М., 1962; [,4j Уилер Д ж.,
ГаррисонБ., ВаканоМ., Торн К., Теория гравита-
гравитации и гравитационных коллапс, пер. с англ., М., 1967; [4] 3 е л ь-
дович Я. Б., Новиков И. Д., Строение и эволюция
Вселенной, М., 1975. Д. Д. Соколов.
ГЕОТЕРМИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ —
математич. задачи, возникающие при исследовании теп-
тепловых процессов, происходящих в Земле. В геотермике
различают поверхностные явления, связанные с коле-
колебаниями температуры в верхних слоях Земли вследствие
воздействия солнечного излучения, и глубинные яв-
явления, связанные с распределением температуры вну-
внутри Земли, обусловленным радиоактивными источника-
источниками тепла.
Г. м. з. в основном связаны с решением квазилиней-
квазилинейных уравнений параболич. типа, коэффициенты к-рых
изменяются с глубиной погружения и зависят от тем-
температуры. При изучении промерзания в верхних сло-
слоях Земли или процессов плавления в глубинных слоях
учитывается фазовый переход, т. е. изменение физич.
состояния среды. При этом возникает так наз. Стефана
задача или задача о фазовом переходе. Наиболее эффек-
эффективным методом численного решения этих задач явля-
является метод конечных разностей, широко используемый
на практике.
Ряд задач геотермики связан с исследованием взаи-
взаимодействия температурного поля с другими физпч. явле-
явлениями. При анализе задач промерзания грунта с уче-
учетом подтока воды решаются совместно уравнения теп-
теплопроводности и уравнения фильтрации. Исследова-
Исследование температурного распределения в водной толще
приводит к необходимости совместного рассмотрения
уравнения теплопроводности и уравнения конвекции.
Анализ термоупругих напряжений в Земле и связанных
с этим эффектов расширения и деформации Земли про-
проводится на основе совместного решения уравнения теп-
теплопроводности и уравнения упругого равновесия в гра-
гравитационном поле.
Среди Г. м. з. имеется ряд специфических задач.
Так, задача об определении историч. климата Земли
привела к математич. постановке обратной задачи для
уравнения теплопроводности, где надо определить
температуры для моментов времени t<t0 по заданному
распределению температуры по глубине в момент вре-
времени t=t0. Решение уравнения теплопроводности
и(х, t) в области i>0, — оо<?<70 определяется одноз-
однозначно по заданным значениям и(х, to)-—(f(x), если хотя
бы одна производная решения по координате х равно-
равномерно ограничена \д"и/дхп\ <М (см. [1]).
Учет влияния излучения на температурный режим
Земли и др. небесных тел приводит к задаче для урав-
уравнения теплопроводности при нелинейных краевых ус-
условиях, в частности при излучении но Стефана —
Болъцмана закону. Эти задачи могут быть сведены к
нелинейным интегральным уравнениям тина Вольтерра
(см. [1]).
Лит: [1] Тихонов А. Н., «Докл. АН СССР», 1935,
т. 1, № 5, с. 294—300; [2] е г о же, «Изв. АН СССР», Отд.
матем. и естеств. наук. Сер. геогр., 1937, № 3, с. 461—79; L3]
его же, «Матем. сб.», 1950, в. 26F8), с. 35—56; [4] Люби-
Любимова Е. А., Термина Земли и Луны, М., 1968.
В. И. Дмитриев.
ГЕОФИЗИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ — за-
задачи, возникающие при анализе физич. явлений, изу-
изучаемых в связи с исследованиями строения Земли. В за-
зависимости от природы изучаемых физич. явлений разли-
различают следующие виды геофизич. исследований: грави-
разведку, основанную на изучении гравитационного
поля; магниторазведку, основанную на изучении по-
постоянного магнитного поля; сейсморазведку, основан-
основанную на изучении распространения упругих колебаний:
электроразведку, оонованную на изучении электрич.
поля постоянного тока или переменного электромаг-
электромагнитного поля; радиометрию, основанную на измерении
интенсивности излучения естественной или вызванной
радиоактивности горных пород. Измерение полей мо-
может производиться на ловерхности Земли (наземные
методы), в воздухе (аэроразведка) и в скважинах (каро-
(каротаж скважин) (см. [1]).
Математич. задачи, возникающие в гравиразведке
и в магниторазведке, схожи. В обоих случаях прямая
задача сводится к решению уравнения Пуассона:
AU=p(M),
где U (М) — гравитационный или магнитный потен-
потенциал, а р(М) ~ избыточная плотность или фиктивные
магнитные заряды, определяемые через намагничен-
намагниченность горных пород. Измеряемой величиной является
grad U(M), определяющий или изменение ускорения
силы тяжести Ag, или изменение постоянного магнит-
магнитного ноля Земли. Измерения производятся в различных
точках земной поверхности. По этим эксперименталь-
экспериментальным данным необходимо определить распределение в
Земле функции р(М). Прямая задача проста и решение
выписывается в квадратурах. Основная трудность —
в решении обратной задачи. Здесь широко применяются
методы теории гармонич. полей и аналитич. продолже-
продолжения (см. [2]).
Несколько иной характер имеют задачи, возникаю-
возникающие в электроразведке на постоянном токе. Хотя по-
поле в этом случае потенциально, т. е. электрич. поле Е
выражается через электрич. потенциал U, однако урав-
уравнение для потенциала имеет более сложный вид:
div [a (M) grad U]= — div/o.
где /0— плотность тока заданного источника, а о(М) —
распределение удельной проводимости в Земле. Пря-
Прямая задача заключается в определении на поверхности
Земли электрич. поля для различных моделей строения
среды [распределения <з(М)]. В обратной задаче необ-
необходимо по измеренному электрич. полю в различных
точках земной поверхности найти распределение удель-
удельной проводимости а(М).
Еще более сложные задачи возникают в теории элект-
электроразведки для методов, использующих переменные
электромагнитные поля. В этих методах измеряемой
величиной являются компоненты переменного электро-
электромагнитного поля, расчет к-рых связан с решением урав-
уравнений Максвелла для неоднородных сред, т. е. когда
коэффициенты уравнений являются кусочно непрерыв-
непрерывными функциями. Обратная задача заключается в оп-
определении коэффициентов уравнений по известному
электромагнитному нолю. Здесь возможно несколько
различных вариантов измерений. Может измеряться
нестационарное поле в одной точке в зависимости от
времени (временное зондирование среды) или стацио-
стационарное поле заданной частоты в зависимости от изме-
изменения частоты (частотное зондирование), а также в за-
зависимости от положения точки наблюдения (геометрич.
зондирование) (см. [3]).
В сейсморазведке полная постановка задачи заклю-
заключается в решении уравнения распространения упругих
колебаний с кусочно непрерывными коэффициентами при
условии возбуждения точечным взрывом. Решения этой
задачи проведены только для простейших моделей строе-
строения среды. Однако в связи с тем, что основной измеря-
измеряемой величиной в сейсморазведке является время при-
прихода отраженных сигналов, в теории ограничиваются
приближением геометрич. оптики и решают уравнение
эйконала для определения траектории луча и после-
последующим вычислением времени прихода сигнала. Время
запаздывания сигнала измеряется в различных точках
земной поверхности. Обратная задача заключается в
определении отражающен границы по известной зави-
зависимости времени прихода сигнала от координаты точки
наблюдения (см. [4]).
Основной целью всех геофизич. исследований явля-
является решение обратной задачи, т. е. определение стро-
строения среды по измеренным характеристикам поля.
Параметры, определяющие строение среды, являются
коэффициентами уравнения с частными производными
или правыми частями этого уравнения, к-рому удов-
удовлетворяет поле. Задача отыскания коэффициентов
уравнения пли правой части уравнения по решению,
известному только в нек-рой части пространства, яв-
является некорректно поставленной задачей. Поэтому
при решении обратных задач геофизики необходимо
применение метода регуляризации, развитого А. Н. Ти-
Тихоновым (см. [5]).
Основой регуляризации решения обратных задач
геофизики является выбор достаточно узкого класса
решений, в к-ром задача становится корректной. Этот
выбор достигается построением семейства математик,
моделей строения среды, к-рое с одной стороны доста-
достаточно полно описывает практич. ситуации, с другой
стороны определяется небольшим числом параметров
модели. В построении таких семейств математич. моде-
моделей с учетом конкретных реализаций различных мето-
методов геофизич. исследований и в зависимости от целей,
стоящих перед этими исследованиями, а также в раз-
разработке эффективных алгоритмов решения прямых
задач для этих моделей и заключается основная мате-
математич. проблема при решении обратных задач геофи-
геофизики.
Если семейство математич. моделей построено и ал-
алгоритм решения прямой задачи известен, то общая фор-
формулировка обратной задачи будет следующей. Пусть
p=\pi, рг, ..., рп)— параметры модели, причем р?Р,
где Р — множество допустимых значений параметров
модели. Измеряемая на практике характеристика поля
U(x, р) в зависимости от переменной х и параметров
модели р может быть рассчитана с помощью известного
алгоритма прямой задачи:
где Ах — в общем случае нелинейный оператор, за-
зависящий от переменной х как от параметра. Если
иъ (х) — экспериментально полученная характерис-
характеристика поля, то решением обратной задачи будет р= рт\п,
на к-ром реализуется минимум отклонения U (.г, р)
от иэ (х), т. е.
i{) 9()\\u
реР
где U — пространство характеристик поля. Обычно
берут среднеквадратич. норму (см. [6]).
В геофизич. исследованиях основными являются
два типа моделей строения среды: полупространство
с локальными неоднородностями (используется при
анализе результатов методов разведочной геофизики,
направленных на обнаружение неоднородностей в зем-
земной коре, напр, в рудной геофизике); слоистое полу-
полупространство, когда параметры среды изменяются
только по глубине (используется при решении струк-
структурных задач геофизики).
Дальнейшее развитие математич. моделей в геофизике
шло путем усложнения указанных двух типов с целью
более полного описания практич. ситуаций. Напр.,
локальные неоднородности в слоистом полупространст-
полупространстве или слоистая среда с переменной толщиной слоев
и т.п. Решение даже прямых задач для таких сложных
моделей строения среды стало возможным только с вне-
внедрением ЭВМ. При этом широко используются конеч-
норазностные методы, метод интегральных уравнений и
проекционные методы.
Разработка эффективных алгоритмов решения пря-
прямых задач геофизики позволила проводить более точ-
точную количественную интерпретацию данных наблюде-
наблюдений. Проведен большой цикл расчетов прямых задач
для различных семейств математич. моделей. На этой
основе изданы альбомы палеток характеристик полей,
с помощью к-рых решаются обратные задачи методом
подбора (см. [7]). Все большее развитие получают сис-
системы автоматизированной обработки и интерпретации
экспериментальных данных с помощью ЭВМ.
Лит.: [1] Ф с д ы н с к и й В. В., Разведочная геофизика,
М., 1964; [2] М а л о в и ч к о А. К., Методы аналитического
продолжения аномалий силы тяжести и их приложения к зада-
задачам гравиразведки, М., 1956; [3] Дмитриев В. И., Элект-
Электромагнитные поля в неоднородных средах, М., 1969; [4] Вопросы
динамической теории распространения сейсмических волн,
сб. 3, [Л.], 1959; [5] Т и х о н о в А. Н., «Докл. АН СССР»,
1963, т. 153, ."№ 1, с. 49—52; [61 Л а в р е и т ь е в М. М., О не-
некоторых некорректных задачах математической физики, Ново-
сиб., 1962; [7] Т и х о н о в А. Н., «Докл. АН СССР», 1943,
т. 39, № 5, с. 195—98; [81 Н о в и к о в П. С, там же, (938, т. 18,
с. 165—68; [9] Т и х о н о в А. Н., там же, 1949, т. 69, № 6, с.
797—800: [10] его же, «Ж. вычисл. матем. и матем. физики»,
1965, т. 5, № 3, с. 545 — 48. В. И. Дмитриев.
ГЕРГЛОТЦА ФОРМУЛА — интегральное соотноше-
соотношение, устанавливающее связь между двумя замкнутыми
изометричными ориентируемыми регулярными поверх-
поверхностями. Пусть на поверхностях Sj и S2 введены локаль-
локальные координаты и и и так, что по их равенству устанав-
устанавливается отображение изометрии. Пусть:
ds2= Edu1+2Fdudv+Gdvi
— общая для Sa, a=l, 2, первая квадратичная форма,
К — гауссова кривизна, На — средние кривизны и
\~EG-F2- (Яа du2-f 2ца du dv + va dv2)
— вторые квадратичные формы поверхностей Sa. Тогда
Г. ф. имеет вид:
i~X1 u.2 — f
(n,x)dx=\ H2dx— Г
J 52 J -Si
где .r — .r,{u, v) — радиус-вектор поверхности Sl4 n —
единичный вектор нормали к Su dx — элемент площади.
Получена Г. Герглотцем [1].
Лит.: [llHerglotz G., «Abh. math. Semin. Univ. Ham-
burs», 1943, Bd 15, S. 127—29; [2] E ф и м о в Н. В , «Успехи
матем. наук», 1948, т. 3, в. 2B4), с. 47—158. Е. В. Шикин.
ГЕРОНА ТРЕУГОЛЬНИК — треугольник, длины
сторон и площадь к-рого выражаются целыми числами.
Назван по имени Герона (ок. 1 в. н. э.), рассмотревшего
треугольники со сторонами 13, 14, 15 и 5, 12, 13, пло-
площади к-рых соответственно равны 84 и 30. а. б. Иванов.
ГЕРОНА ФОРМУЛА — формула, выражающая пло-
площадь треугольника через его стороны а, Ь, с:
5=
где р— (а-\-Ь-\-с)!2. Названа по имени Герона (ок. 1 в.
Н. Э.). А. Б. Иванов.
ГЕРЦА ПРИНЦИП, прямейшего пути
принцип, наименьшей кривизны
п р и н ц и п,— дифференциальный вариационный прин-
принцип классической механики, постулированный Г. Герцем
[1] в качестве основного закона разработанной им меха-
механики, в к-рой, в отличие от механики Ньютона, вместо
понятия силы введены представления о скрытых свя-
связях и скрытых движениях. Согласно Г. п. «всякая сво-
свободная система пребывает в своем состоянии покоя или
равномерного движения вдоль прямейшего пути». Сво-
Свободной системой Г. Герцназ. систему, не под-
подверженную действию активных сил и стесненную свя-
связями, накладывающими ограничения лишь на взаим-
взаимные расположения точек системы; под прямей-
прямейшим путем понимается траектория, каждый эле-
элемент к-рой имеет наименьшую кривизну по сравнению
с любым элементом, имеющим с рассматриваемым об-
щие начальную точку и касательную в ней и удовле-
удовлетворяющим уравнениям связей. Для- систем, стеснен-
стесненных стационарными связями и не подверженных дейст-
действию активных сил, Г. п. эквивалентен Гаусса принци-
принципу (см. [2]).
Лит.: [ij Hertz H., Gesammelte Werke, [Bd] 3 — Die
Principien der Mechanik..., Lpz., 1894 (в рус. пер.— Герц Г.,
Принципы механики, изложенные в новой связи, М., 1959);
[2] Р о з е Н. В., Лекции по аналитической механике, ч. I, Л.,
1938. В. В. Румянцев.
ГЕССИАН функции/ — квадратичная форма
И (X) = 2j,=1 ?lj=1 aijxiXj
где a,y=d2/ (p)i'dxjdxj (или <32/(p)/dz,dzy) и f (p) задана
на «-мерном действительном пространстве R" (или ком-
комплексном пространстве С") с координатами х1, . . ., хп
(или zx, . . ., zn). Введен О. Гессе (О. Hesse, 1844). С по-
помощью локальной системы координат это определение
переносится на функции, определенные на действи-
действительном многообразии класса С2 (или на комплексном
пространстве). В обоих случаях Г.— квадратичная фор-
форма, заданная на касательном пространстве, не завися-
зависящая от выбора системы координат. В теории Морса через
Г. определяются понятия (не) вырожденной критич.
точки, формы Морса и формы Ботта. В комплексном
анализе Г. участвует в определении псевдовыпуклой
области и плюрисубгармонич. функции.
Лит.: [11 Постников Ы. М., Введение в теорию Морса,
М., 1971; [2] Г а н н и н г Р., Р о с с и X., Аналитические функ-
функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969.
Л. Д. Иванов.
ГЕССИАН, гессиана, алгебраической кривой по-
порядка п — множество точек, конические поляры к-рых
распадаются на две прямые, а также множество двой-
двойных точек первых поляр. Г. неособой кривой порядка п
есть кривая порядка 3(ге—2) и класса 3(ге—2) (Зге—7).
Если /=0 есть уравнение кривой порядка п в однород-
однородных координатах и /<•/>; = о2//tte,-<9.r?, то
/ll /12 /
/21 /22 /23
= 0
/31 /32 /зз
есть уравнение Г. Гессиан кривой 3-го порядка пере-
пересекает кривую в девяти общих точках перегиба. Назв.
по имени О. Гессе (О. Hesse, 1844). а в Иванов
ГЕТЕРОКЛИНИЧЕСКАЯ ТОЧКА — такая точка
(р=р*, q—q*), принадлежащая области определения
функции Гамильтона Д=Н(р, q) гамилътоновой сис-
системы-
вн • вн , . . . . .
Р= — -щ-, 9 = ~в?- , Р=(Ръ Рг), « = (9i. 92). (*)
что решение системы (*), проходящее через эту точку,
при t-*-oo асимптотически приближается к нек-рому пе-
риодич. решению Тг, а при i—>-— 00 асимптотически при-
приближается к другому нериодич. решению 7\. При этом
само решение, проходящее через Г. т., наз. гетеро-
клиническим.
Существует связь между гетероклинич. решениями
системы (*) и двумерными инвариантными поверхно-
поверхностями этой системы. Если двумерная инвариантная
поверхность разделяет периодич. решения Тг и Т[ ,
то не существует гетероклинич. решения, соединяю-
соединяющего эти периодич. решения. Во многих случаях спра-
справедливо и обратное. В невырожденном случае в окрест-
окрестности гомоклинич. решения (см. Гомоклиническая точка)
существует бесконечная последовательность периодич.
решений, из к-рых любые два можно соединить гете-
гетероклинич. решением. Окрестность контура, состав-
составленного из конечного числа периодических и гетерокли-
нических решений системы (*) (такназ. г о м о к л и-
нического контура), обладает структурой,
во многом сходной со структурой гомоклинич. решения.
Сформулированное выше определение Г. т. почти
дословно переносится на случай гамильтоновой систе-
системы с числом степеней свободы ге>2, если периодич.
решения Тг и Т[ заменить инвариантными торами Г/е
и Tk' размерности к и к' соответственно, 0<fc, к' <ге.
Гетероклинич. решения играют важную роль в изуче-
изучении неустойчивости в гамильтоновых системах с числом
степеней свободы больше двух и в теории грубых
динамич. систем (см. Грубая система).
Лит.: [1] Пуанкаре А., Новые методы небесной механики,
гл. 33, Избр. тр., пер. с франц., т. 2, М., 1972; [2] ZehnderE.,
«Communs Pure and App]. Math.», 1973, v. 26, № 2,
p. 131—82; [3] M e л ь и и к о в В. К., «Тр. Моск. матем. об-ва»,
1963, т. 12, с. 3 — 52; [4] С м е й л С, «Математика», 1967,
т. 11, № 4, с. 69—78, 88—106; [5] Ш и л ь н и к о в Л. П., «Ма-
«Матем сб.», 1967, т. 74A16), № 3, с. 378—97; [6] Алексеев
В. М., «Матем. сб.», 1968, т. 76A18), № 1, с. 72 — 134; т. 77 A19),
№ 4, с. 545—601; 1969, т. 78 A20), № 1, с. 3 — 50.
В. К. Мельников.
ГИВВСА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — распределение ве-
вероятностей обнаружения равновесной статистич. сис-
системы в любом из ее стационарных микроскопич. состоя-
состояний. Последние обычно задаются как чистые квантово-
механич. состояния, определяемые решением т|)„ ста-
стационарного Шрёдингера уравнения
где п — полный набор квантовых чисел, фиксирующих
каждое из этих состояний. Сопоставление каждому
состоянию п вероятности w:l обнаружения системы в
этом состоянии (для непрерывного спектра величин
п ~ плотности вероятности) полностью определяет,
вместе с набором функций т|)„, так наз. смешанное кван-
товомеханич. состояние. Для такого состояния наблю-
наблюдаемые величины определяются как средние по распре-
распределению wn от квантовомеханич. средних для каждого
чистого состояния п. Смешанное состояние полностью
характеризуется статистич. оператором Неймана (ма-
(матрицей плотности), к-рый в х — представлении имеет
вид
(х\р\х') = 2„ wnVn (*') 1|зп (х).
Наблюдаемые средние определяются как
В случае Г. р. смешанное состояние соответствует рав-
равновесному термодинамич. состоянию системы. Так
как Г. р. имеют структуру wn=w(En, А), где А — со-
совокупность термодинамич. параметров, фиксирующих
микроскопич. состояние системы, то соответствующие
им операторы р выражаются непосредственно через
оператор Гамильтона, p=w(H, A), Sp p=l. В зави-
зависимости от выбора параметров А возможны различные
формы Г. р., из к-рых наиболее распространены сле-
следующие.
Микроканоническое Г. р. Параметры А
характеризуют состояние изолированной системы и
включают энергию $, объем F, внешние поля а и число
частиц N (в случае многокомпонентной системы — со-
совокупность чисел Ni). В этом случае Г. р. имеет вид
wn{?, V, a, N) = A(g-En)/T(g, V, a, N),
где Г — статистический вес, определяющий
нормировку распределения и равный
Г(<?\ F, a, iV) = 2nA(«?-?»)'
причем сумма (или интеграл) берется по всем различ-
различным состояниям системы вне зависимости от их вырож-
вырожденности по Еп. Функция А($—Еп) равна единице,
если значение Еп попадает в энергетич. слой 8$ около
значения ^, и нулю в противном случае. Ширина 8$
должна быть значительно меньше макроскопических
бесконечно малых изменений энергии d$, но не меньше
интервала между уровнями энергии АЕп. Статистич.
вес Г определяет число микроскопич. способов, к-рыми
может осуществляться данное макроскопич. состояние
и к-рые предполагаются равновероятными; он связан
с энтропией системы выражением
S(<?, Г, а, Л') = 1пГ(<?\ Г, a, N).
Каноническое Г. р. Макроканонич. состоя-
состояние системы фиксируется температурой 0 и величинами
Г, а, N (система «в термостате»); с точки зрения при-
приложений это наиболее удобный способ задания термоди-
намич. состояния. Канонич. Г. р. имеет вид
и.-„(в, Г, a, N) = e~E"/°/Z,
где 7. — статистическая сумма (или сумма
состояний)
Z@, Г, а, Лг) = 2„<--?"/9,
непосредственно связана со свободной энергией си-
системы выражением
F(Q, V, а, Л')=-0 In Z.
Большое каноническое Г. р. Параметры
А фиксируют состояние системы в термостате, ограни-
ограниченном воображаемыми стенками, свободно пропускаю-
пропускающими частицы. Это в, V, а и химич. потенциал \i (в слу-
случае многокомпонентной системы — несколько химич. по-
потенциалов). Г. р. но мнкроскопнч. состояниям, опреде-
определяемым числом частиц Л" и квантовыми числами
n = n(N) системы Л" тел, имеет вид
где Zs~ большая сумма состояний
*Б(в, Г,а,и)=2Л^-(?»-да=.
= Ел~=о^Л/в2(е' Г- й' Л'>'
определяющая нормировку этого распределения, свя-
связана с термодннамич. потенциалом Q=—pV (p — дав-
давление) соотношением
й(в, Г, а, (х)= — 0 1nZB.
Использование какого-либо Г. р. позволяет на ос-
основе микроскопич. задания статистич. системы рас-
рассчитать характерные для нее макроскопич. средние,
дисперсии и т. д., а при помощи нормировочных сумм
Г, Z или Zb~ определить все термодинамич. характе-
характеристики равновесной системы. Выбор того или иного
Г. р. производится из соображений удобства. В ста-
статистическом предельном случае N—>-oo, r/JV=const,
получаемые при помощи Г. р. результаты (выраженные
в одних и тех же переменных) в главных асимптотиках
по Л" одинаковы. А так как метод Гиббса гарантирует
только такие асимптотики, то все варианты Г. р. ока-
оказываются идентичными. Микроканонич. Г. р. исполь-
используется в основном применительно к общим вопросам
статистич. механики (параметры А не включают спе-
специфичных термодинамич. величин типа 0, ц и т. п.),
канонич. Г. р.— главным образом при рассмотрении
классич. систем, большое канонич. Г. р.— при иссле-
исследованиях квантовых систем, когда фиксация точного
числа N по технич. соображениям неудобна.
При определенных значениях параметров А, свя-
связываемых обычно с повышением 0 (при фиксированных
остальных параметрах) сверх определенной температу-
температуры вырождения (имеющей разные значения для каждого
вида микроскопич. движения), общие Г. р. переходят в
квази классические (по отношению к переменным, для
к-рых связанное с их изменением движение невырож-
дено). В случае невырожденной системы Л' частиц,
когда микроскопич. движение представляется как
классич. движение N материальных точек, микроско-
микроскопич. состояние задается фазовой точкой п== (</, р) =
= (»'i. ¦ • ¦• ''Лг- Pi Pn)' энергия определяется
классич. гамильтонианом H=H(q, р), а канонич. Г. р.
имеет вид
wqp(%, V, a, N)dpdq = -Y е~НЫ' р)/9 dp dq/Nl Bnt)slv,
где классич. интеграл состояний (квазиклассич. предел
статистич. суммы) равен
е-Н (р, я).Ъ
Г. р. введены Дж. Гиббсом (J. Gibbs, 1902).
Лит.: [ll Г и б б с Д ж. В., Основные принципы статисти-
статистической механики..., пер. с англ., М., 1946; [2] X у а н г К., Ста-
Статистическая механика, пер. с англ., М., 1966; L3] Л е о н т о-
вич М. А., Статистическая физика, М.— Л., 1944.
И. А. Квасников.
ГИВБСА СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ — сово
купность большого числа одинаковых статистич. систем,
к-рые характеризуются одними и теми же значениями
термодинамич. параметров, но могут находиться в раз-
различных микроскопич. состояниях. Это формальное
построение позволяет интерпретировать функцию рас-
распределения по микроскопич. состояниям статистич.
системы как распределение числа систем ансамбля по
этим состояниям. Напр., в статистич. механике клас-
классич. систем состояние ансамбля определяется плот-
плотностью точек в фазовом пространстве — бп-мерном
пространстве импульсов и координат системы из и
частиц, каждая из точек к-рого фиксирует микроско-
микроскопич. состояние системы. В зависимости от способа фик-
фиксации макроскопич. состояния систем ансамбля раз-
различают: м и к р о к а н о н и ч е с к и и Г. с. а. —
ансамбль изолированных систем, если задаются значе-
значения энергии системы, ее внешних параметров (объем,
внешние поля и т. д.) и числа частиц в ней; канони-
канонический Г. с. а.— ансамбль систем с фиксированным
числом частиц и находящихся в термостате, если вместо
энергии задана температура системы; большой
канонический Г. с. а.— ансамбль систем в
общем термостате, но числа частиц в них не фиксиро-
фиксированы, если заданы температура, объем, внешние поля
и химич. потенциал систем. Возможны и иные варианты.
Распределение по микроскопич. состояниям в различ-
различных Г. с. а. определяется соответствующим Гиббса
распределением.
Понятие Г. с. а. используется при обсуждении общих
вопросов статистич. механики, перехода от одного ка-
канонич. распределения к другому (см. Дарвина — Фауле-
ра метод) И др. , Я. А. Квасников.
ГИББСА ЯВЛЕНИЕ — особенность поведения част-
частных сумм (или их средних) рядов Фурье. Впервые об-
У
.-2я
наружена Г. Уилорейамом [1] и значительно повже пере-
переоткрыта Дж. Гиббсом [2]. Пусть частные суммы sn (x)
ряда Фурье функции f(x) сходятся к f(x) в нек-рой ок-
окрестности |.г : 0<[ж — хо\ </(} точки х0, в к-рой
В точке х0 имеет место Г. я. для sn(x), если А
<В, где
А = lim sn (x),
= lim sn (x).
Геометрически это означает, что графики (рис.) част-
частных сумм sn (x) при х-+х0 и ге—>-оо приближаются не к
«ожидаемому» отрезку [а, Ь] по оси ординат, а к строго
большему отрезку [А, В]. Аналогично определяется
Г. я. для средних от частных сумм ряда Фурье при
суммировании его тем или иным методом.
Для 2я-периодич. функций / с ограниченным измене-
изменением на [ — л, л] справедливы, напр., утверждения
(см. [3]).
1) В точках неустранимого разрыва (и только в
них) имеет место Г. я. для sn(x). В частности, если
f(x) = (n — x)/2 при 0<ж<2л, то для точки х0 отрезок
[а, Ь] = [-п/2, я/2], а отрезок [А, В]=[-1, I], где
l=\sJ±idtX 1,85... >-?-.
Jo * 2
2) Существует такая абсолютная постоянная се0,
O<cto<lt что средние Чезаро а™ (я) при а>а0 не име-
имеют Г. я., а при а<а0 оно наблюдается в каждой точке
неустранимого разрыва функции /.
Лит.: [1] W i I I b r a h a m H., «Cambridge and Dublin
Math. J.», 1848, v. 3, p. 198—201; [2J G i b b s J. W., «Nature»,
1898, v. 59, p. 200; [3] Зигмунд А., Тригонометрические
ряды, пер. с англ., т. 1, 2, М., 1965. П. Л. Ульянов.
ГИДРОДИНАМИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДА-
ЗАДАЧИ — задачи для систем уравнений, к-рыми описыва-
описываются механич. модели течений жидкости и ее взаимодей-
взаимодействия с ограничивающими поверхностями. Для теоре-
тич. описания часто встречающихся турбулентных те-
течений применяются модели частного характера (в боль-
большинстве случаев — полуэмпирического), пригодные
для сравнительно узких классов течений. В теоретич.
исследованиях движений жидкости, в к-рых турбулент-
турбулентность не является существенной, широко использу-
используется модель однородной несжимаемой жидкости. Эта
модель описывается уравнениями Навье — Стокса: ,
*>i-r-*>fc«xA — vA«= — gvadp+f,
div v = 0,
где v — вектор скорости, р — давление, / — вектор
внешней силы, действующей на единицу массы, v —
коэффициент кинематич. вязкости жидкости; плотность
жидкости принята равной единице. Если коэффициент
v зависит от температуры, то к уравнениям Навье—
Стокса добавляется следующее из закона сохранения
энергии уравнение теплопроводности в движущейся
среде, в к-ром учитывается выделение тепла в резуль-
результате обусловленной действием вязкости диссипации
механич. энергии.
Различные задачи механики жидкостей приводят к
разным системам дополнительных условий (начальных,
краевых), требующихся для решения уравнений Навье—
Стокса. В связи со сложностью возникающих при этом
математич. задач для многих классов задач механики
жидкости создаются более простые механич. модели.
В задачах какого-либо одного класса стремятся вы-
выделить основные факторы, от к-рых может зависеть
движение, и соответственно этому в уравнениях и
дополнительных условиях сохраняются лишь члены,
учитывающие влияние этих факторов. В более сложных
случаях в разных частях области движения и в разные
отрезки времени основные определяющие факторы могут
быть разными. В таких случаях описание движения в
целом достигается путем склейки решений локальных
задач, осуществляемой применением к этим решениям
дополнительных алгоритмов.
Весьма плодотворной для решения многих задач
оказалась модель жидкости, в к-рой не учитывается
наличие вязкости (т. е. v=0) — модель идеальной жид-
жидкости.
В случае потенциальных внешних сил / (напр., при
учете лишь силы тяжести) особую роль играют в силу
их сохраняемости потенциальные течения идеальной
жидкости, для к-рых i?=grad ф. Потенциал ф удовлет-
удовлетворяет при этом уравнению Лапласа Дф=О.
Многие задачи механики жидкости сводятся в этом
приближении к классич. задачам теории потенциала.
Так, задача о движении тела в неограниченной поко-
покоящейся в бесконечности жидкости сводится к реше-
решению внешней задачи Неймана. Однако это решение
лишь в очень немногих случаях позволяет приблизить-
приблизиться к описанию полей скорости и давления в реальной
жидкости. Одним из таких важных случаев является
плоское движение хорошо обтекаемого профиля с по-
постоянной циркуляцией скорости вокруг него.
В вязкой жидкости благодаря действию вязкости
в пограничном слое вблизи поверхности тела образу-
образуются вихри, так что за толом возникает вихревой след.
В случае хорошо обтекаемых тел (напр., крыльев с ост-
острой задней кромкой, движущихся с малыми углами ата-
атаки) вихревой след при больших числах Рейнольдса
очень тонок и в модельной постановке задачи в идеаль-
идеальной жидкости его можно заменить поверхностью разры-
разрыва потенциала (вихревой пеленой). Таким образом, воз-
возникают задачи о нахождении в области вне крыла по-
потенциала скорости, имеющего разрыв на сходящей с зад-
задней кромки крыла поверхности, положение к-рой зара-
заранее неизвестно и определяется в процессе решения за-
задачи. Аналитич. решение этой задачи получено лишь в
линейном приближении для тонких крыльев простой
формы в плане (круг, эллипс). В линейном приближе-
приближении для крыльев иных форм при стационарных и не-
нестационарных движениях разработаны методы числен-
численного решения задач. Разрабатываются численные ме-
методы расчета обтекания крыльев при нелинейных воз-
возмущениях потока.
Широкий круг проблем гидромеханики приводит к
постановке задач об отыскании потенциального движе-
движения идеальной жидкости в области, ограниченной ча-
частично твердыми стенками, а частично — свободной
поверхностью. Форма свободной поверхности заранее
неизвестна, ее нужно определять в процессе решения
задачи с помощью дополнительных условий на этой
поверхности. В тех случаях, когда влиянием силы тя-
тяжести и поверхностного напряжения на движение можно
пренебречь, в установившихся движениях, как следу-
следует из интеграла Бернулли, на свободной поверхности,
вдоль к-рой жидкость соприкасается с областью по-
постоянного давления, скорость жидкости постоянна.
Типичными задачами с условиями такого типа являются
задачи об истечении струй из отверстия в сосуде и о
соударении струй, натекании на тело струи жидкости
конечной толщины, глиссировании с большой скоро-
скоростью тела по поверхности жидкости. К таким же зада-
задачам относятся задачи об обтекании тел неограниченным
потоком со срывом струй и с образованием за телом
застойных зон или кавитационных полостей с постоян-
постоянным давлением. В случае плоских течений при решении
всех этих задач используются техника конформных ото-
отображений, вариационный метод и метод интегральных
уравнений. Решение пространственных задач значитель-
значительно труднее и опирается на численные методы.
В случае нестационарных течений со свободными
поверхностями, в том числе при учете силы тяжести и
при учете капиллярных сил, интеграл Коши—Лагранжа
дает нелинейное условие для потенциала скорости на
свободной поверхности. С этим условием связаны ос-
основные трудности решения подобных задач: вход тела
в жидкость или выход тела из-под поверхности жидко-
жидкости, глиссирование тела по поверхности тяжелой жид-
жидкости; движение тела, частично или полностью погру-
погруженного в тяжелую жидкость, волны на поверхности
тяжелой жидкости.
При решении этих задач лишь немногие результаты
получены с использованием точных методов. Значитель-
Значительные успехи связаны с применением приближенных
асимптотич. методов. Один из основных подходов —
линейная теория малых возмущений и ее уточнения.
Применяемый при этом математич. аппарат охватывает
почти весь линейный аппарат математич. физики.
При изучении волн на поверхности тяжелой жидкости
важное значение имеет приближение «мелкой воды» —
предположение о малой сравнительно с длиной рас-
рассматриваемых волн глубине бассейна. В этом прибли-
приближении удается развить нелинейную теорию для волн
конечной амплитуды. Эта теория сводится к системе
гииерболич. уравнений с частными производными, ана-
аналогичной той, к-рая возникает в теории двумерных
сверхзвуковых течений газа; многие важные результаты
могут быть при этом получены методом характеристик.
В квазиодномерном приближении теория мелкой воды
составляет основу разделов современной гидравлики,
изучающих волновые движения в реках и протяженных
открытых каналах: распространение паводковых волн
и волн, вызванных разрушением плотины; возникнове-
возникновение периодических стационарных волн в каналах с кру-
крутым дном и др.
В точной нелинейной теории волн на поверхности
тяжелой жидкости методы теории функций и функцио-
функционального анализа позволили решить многие вопросы
существования и единственности волновых движений.
В частности, доказано существование гладких двумер-
двумерных периодических прогрессивных волн конечной ам-
амплитуды на поверхности жидкости бесконечной или
конечной постоянной глубины.
Схема обтекания тела потенциальным потоком со
срывом струй и с образованием за ним застойной об-
области, в к-рой скорость жидкости равна нулю, пред-
представляет собой лишь одну из возможных схематизации.
Имеются схемы обтекания тел с областью в следе за
ними, заполненной завихренной жидкостью. В связи с
исследованием таких схем обтекания, а также в связи
с рядом других приложений, возникла задача о склейке
областей потенциального и вихревого течений жидко-
жидкости, отделенных поверхностью тока, форма к-рой зара-
заранее неизвестна. В случае плоских симметричных дви-
движений при постоянной величине вихря в области за-
завихренного течения получены нек-рые частные числен-
численные решения этой задачи.
Для изучения движений жидкости, в к-рых действие
вязкости проявляется существенным образом, также
разработан ряд упрощенных по сравнению с полными
уравнениями Навье — Стокса математич. моделей. К чи-
числу наиболее важных и широко используемых относят-
относятся: теория медленных движений Стокса и ее уточнения;
теория пограничного слоя Прандтля и ее уточнения; те-
теория термических конвективных движений Буссинеска.
В ряде случаев движений жидкости, представляющих
практич. интерес, сила инерции, действующая на эле-
элемент жидкости, мала по сравнению с силами давления
или вязкости (при использовании критериев подобия
этому соответствуют малые значения числа Реинольдса),
так что в первом приближении ею можно пренебречь
(теория Стокса). В результате возникает задача об
определении v и р в области, заполненной жидкостью,
из системы линейных уравнений
A = grad p—/,
div v = 0.
С использованием этой системы уравнений решены мно-
многие задачи о движении вязкой жидкости в жестких и
деформируемых трубках и различной формы зазорах
между неподвижными и подвижными поверхностями,
задача о движении твердых тел и газовых пузырей в
вязкой жидкости. Эти задачи служат основой гидро-
динамич. теории смазки и имеют важное значение в
химич. технологии, в биологических и других прило-
приложениях.
Имеются успехи в строгом обосновании разреши-
разрешимости уравнений Стокса при различных дополнитель-
дополнительных условиях. В частности, доказано существование
и единственность решения задачи об обтекании систе-
системы тел конечных размеров неограниченным потоком с
заданной скоростью в бесконечности.
Для плоских течений уравнения Стокса сводятся к
бигармонич. уравнению относительно функции тока.
Граничное условие обтекания заданного контура сво-
сводится при этом к заданию на контуре самой функции
тока и ее нормальной производной, так что решение
задачи обтекания приводит в этом случае к хорошо
изученной задаче математич. физики.
В отличие от случая пространственного обтекания
в случае плоского течения (напр., при поперечном обте-
обтекании круглого цилиндра) не существует решения
задачи, соответствующего заданной скорости в бес-
бесконечности. «Парадокс Стокса», а впоследствии и
«парадокс Уайтхеда» (невозможность найти путем ите-
итерации следующее приближение по числу Рейнольдса
и в задаче обтекания сферы) привели к развитию в гид-
гидромеханике асимптотич. методов для малых значений
числа Рейнольдса, уточняющих теорию Стокса. Эти
методы сращиваемых асимптотич. разложений, кроме
задачи обтекания тел вязкой жидкостью при малых
значениях числа Рейнольдса, нашли применение во
многих других задачах механики жидкости. Идея ме-
метода в задаче обтекания тел состоит в следующем.
Приближение Стокса рассматривается как главный
член асимптотич. разложения при малых Be вблизи
обтекаемого тела. Вдали от обтекаемого тела (на рас-
расстояниях г от тела порядка Be-1) это разложение ста-
становится непригодным. Поэтому вдали от тела после
введения сжатой радиальной координаты rRe строится
другое асимптотич. разложение как возмущение рав-
равномерного потока (разложение Озеена). Устранение
произвола в построенных таким образом разложениях
достигается путем их «сращивания» в промежуточной
области в соответствии со специально разработанной
для этого процедурой.
Для решения задач обтекания тел при малых числах
Рейнольдса с успехом применяются численные методы.
Результаты асимптотич. вычислений в задаче обтека-
обтекания сферы хорошо согласуются с численными резуль-
результатами вплоть до Ие~60, что близко к пределу, при
к-ром в опытах еще наблюдается установившееся те-
течение.
К движениям, в к-рых инерционные силы малы по
сравнению с силами вязкости, относятся многие случаи
движения жидкости сквозь пористую сроду. Можно счи-
считать, что поток жидкости сквозь элемеЕТ поверхности,
пересекающий достаточно большое количество пор,
пропорционален градиенту давления и обратно про-
пропорционален коэффициенту вязкости — как в случае,
если бы среда состояла из ряда трубок малого диаметра.
Тогда при статистически изотропной структуре среды
v= — —gradp
(закон Дарси). Если коэффициент проницаемости среды
к не з-ависит от координат и коэффициент вязкости жид-
жидкости (д. постоянен, то скорость есть потенциальный век-
вектор, причем потенциал удовлетворяет уравнению Лап-
ласа. Это дает возможность успешного применения
методов теории потенциала для решения разнообразных
практич. задач, касающихся фильтрации воды под пло-
плотинами, движений грунтовых вод вблизи побережий
в связи с приливами и отливами, фильтрации нефти к
скважинам и т. п.
Решения, получаемые в задачах непрерывного потен-
потенциального обтекания тел неограниченным потоком не-
несжимаемой идеальной жидкости, удовлетворяют и пол-
полной системе уравнений Навье — Стокса, но не удовлет-
удовлетворяют условиям прилипания жидкости на поверхно-
поверхности тела. При больших значениях числа Рейнольдса
слой жидкости вблизи поверхности тела, в к-ром су-
существенно проявляется действие вязкости и благодаря
наличию к-рого удается удовлетворить условию прили-
прилипания вязкой жидкости к поверхности, имеет неболь-
небольшую толщину. На этом основании путем сравнительной
оценки порядка величин различных членов в уравне-
уравнениях Навье — Стокса эти уравнения сводятся к более
простому виду — к уравнениям теории пограничного
слоя (уравнения Прандтля). В уравнениях Прандтля
давление не изменяется по нормали к обтекаемой по-
поверхности, а изменение давления вдоль поверхности
определяется течением идеальной жидкости вне погра-
пограничного слоя. В простейшем случае двумерного уста-
установившегося течения вдоль плоского контура уравне-
уравнения Прандтля имеют вид:
до, , tiv, ,, dU i d2v,
1 dxt ' - dx2 dx ' д2 '
dXi [ dx2
Здесь х±, хг и ь\, i!2 — координаты и, соответственно,
компоненты скорости в пограничном слое вдоль по-
поверхности н по нормали к ней, V — скорость на внеш-
внешней границе слоя.
Уравнения пограничного слоя дают главный член
в соответствующим образом построенном асимптотич.
разложении решения уравнений Навье — Стокса для
больших чисел Рейнольдса.
Уравнения пограничного слоя имеют параболпч.
тип с линией вырождения на контуре обтекаемого тела
(там, где v1=^0). Для интегрирования уравнений погра-
пограничного слоя и получения важных в прикладном
отношении характеристик течения в нем разработаны
различные эффективные приближенные методы, в
частности методы интегральных соотношений, осно-
основанные на использовании различных аппроксимаций
распределений продольной скорости ь\ в поперечном
направлении внутри слоя. Численные методы позволя-
позволяют сравнительно просто получать нужные для практики
результаты, в том числе и для пространственных те-
течений, непосредственным интегрированием уравнений
пограничного слоя.
Общая теория (теорема существования и единствен-
единственности) разработана для случаев, когда внутри погра-
пограничного слоя на каждой нормали к обтекаемой поверх-
поверхности проекция скорости жидкости на направление
скорости внешнего потока не меняет знак (т. е. нет
«обратных токов»).
Усовершенствование теории пограничного слоя вы-
вычислением следующих членов асимптотич. разложения
для больших чисел Рейнольдса связано с использова-
использованием метода сращиваемых асимптотич. разложений.
Таким образом удалось, например, определить коэффи-
коэффициент сопротивления пластины с точностью порядка
Re~3/2 lnRe (главный член имеет порядок Re~'/2).
В задачах термич. конвекции движение жидкости про-
происходит в поле потенциальных массовых сил из-за воз-
возникающих вследствие неравномерного нагревания жид-
жидкости различий в плотности ее частиц. В приближе-
приближении Буссинеска для изучения конвективных движений
используется модель вязкой жидкости с постоянной
плотностью, но с учетом в уравнении движения избы-
избыточной массовой силы при температурной неоднород-
неоднородности:
k—vAv= — gradp—a\Tf.
Здесь p — превышение давления над гидростатиче-
гидростатическим, ДГ — превышение температуры над ее величиной,
соответствующей невозмущенной плотности, а — коэф-
коэффициент относительного объемного расширения жидко-
жидкости при нагревании. Это уравнение дополняется урав-
уравнением сохранения массы и уравнением теплопровод-
теплопроводности в движущейся среде (оба — для жидкости по-
постоянной плотности; в уравнении теплопроводности
во многих случаях не учитывается вязкая диссипация!.
Нек-рые задачи о конвективных движениях рассмат-
рассматривались на основе полной системы уравнений Навье —
Стокса с использованием численных методов для ее
решения. До появления ЭВМ отсутствовала возможность
решения задач механики жидкости с использованием
полной системы уравнений Навье— Стокса в тех случа-
случаях, когда нелинейные члены этих уравнений не обраща-
обращаются тождественно в нуль в силу особых условий те-
течения. Имеется ряд численных алгоритмов решения
уравнений Навье — Стокса, применимых для расчета те-
течений при небольших значениях числа Рейнольдса.
Трудности реализации численных алгоритмов при боль-
больших числах Рейнольдса отражают сами свойства реше-
решений уравнений Навье— Стокса в этих условиях. Так,
напр., в случае стационарных краевых задач доказано
существование решения при любом числе Рейнольдса,
если полный поток жидкости сквозь каждую изолиро-
изолированную часть области, заполненной жидкостью, равен
нулю. Если эта область простирается в бесконечность,
то в бесконечности ставится дополнительное условие
v—tVe. Для ограниченной области и малых чисел Рей-
Рейнольдса решение краевой задачи единственно и устой-
устойчиво. При увеличении числа Рейнольдса это единствен-
единственное решение теряет устойчивость, появляется новое
стационарное устойчивое решение. Такая смена тече-
течений может происходить при росте Re неоднократно.
Для общего трехмерного случая доказана однознач-
однозначная разрешимость начально-краевых задач вблизи глад-
гладких начальных данных; вопрос об однозначной разре-
разрешимости таких задач в целом, то есть для любого про-
промежутка времени и любых размеров области движения,
не решен A977). По-видимому, решения нестационар-
нестационарной задачи могут становиться с течением времени вес
менее и менее регулярными, переходить в «турбулент-
«турбулентные» режимы, могут ветвиться, причем продолжение
решения вдоль той или иной ветви не определяется са-
самой моделью Навье — Стокса.
Лит.: [1] К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. А., Р о з е Н. В.,
Теоретическая гидромеханика, т. 1—2, М.— Л., 1963; [2] С е-
д о в Л. И., Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики,
2 изд., М., 1966; [3] С т о к е р Д ж. Д ж.. Волны на воде, пер.
с англ., М., 1959; [4] Ладыженская О. А., Математи-
Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, 2 изц ,
М., 1970; [51 Л а в р е н т ь с в М. А., III а и а т Б. В., Проб-
Проблемы гидродинамики и их математические модели, М., 197.;
Г. Г. Черный.
ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ — ме-
метод описания эволюции системы и ее характерных
свэйств на основе макроскопич. уравнений гидродина-
гидродинамики. Г. п. соответствует рассмотрению системы типа
газа или жидкости как непрерывной среды, когда в
уравнениях гидродинамики, описывающих систему,
любые приращения времени t (даже dt) всегда больше
времени релаксации к локально равновесному рас-
распределению (для класепч. системы — к локальному
Максвелла распределению), т. е. всегда больше вре-
времени образования локальных термодинамич. харак-
характеристик, таких, как плотность, гидродинамич. ско-
скорость, температура и т. д., а изменения последних в
координатном пространстве настолько сглажены, что
используемые в приближении приращения объемов
dr не только содержат достаточное число частиц, но
и образуют квазиоднородные статистические подси-
подсистемы.
С точки зрения статистич. механики, классич. урав-
уравнения гидродинамики могут быть получены из кине-
тич. уравнения в приближении медленных и сглажен-
сглаженных процессов в молекулярных масштабах (средний
пробег) времени и длины. С этой целью на основе ки-
нетич. уравнения составляются уравнения для локаль-
локальной плотности (уравнения непрерывности), гидродина-
мич. скорости (уравнения движения) и локальной тем-
температуры (уравнения сохранения энергии), а затем в
них подставляется решение для одночастичной функции
распределения, соответствующее случаю малого от-
отклонения ее от локального распределения Максвелла.
В нулевом приближении это приводит к уравнениям
идеальной жидкости, в первом приближении — к
Навъе — Стокса уравнениям. Этот процесс составляет
основу Чепмена — Энскога метода.
Более общий метод основан на цепочке уравнений
для временных корреляционных функций (см. Боголю-
Боголюбова цепочка уравнений) и ее решении в виде разложе-
разложения по параметру, характеризующему степень неодно-
неоднородности системы. Получающиеся разложения для
коэффициентов переноса идентичны результатам метода
Чепмена — Энскога только в тех частях, к-рые вклю-
включают учет парных столкновений (эффекты тройных
столкновений дают соизмеримые им вклады).
Аналогичный метод получения гидродинамич. урав-
уравнений может быть использован и для квантовых жид-
жидкостей, когда необходимо исходить из цепочки уравне-
уравнений Боголюбова для квантовых корреляционных функ-
функций, или уравнений для квантовых Грина функций,
или непосредственно из Шрёдингера уравнения.
Лит.: [1] Боголюбов Н. Н., Избр. тр., т. 2, Киев,
1970; [2] У л е н б е к Д., Ф о р д Д ж., Лекции по стати-
статистической механике, пер. с англ., М., 1965. И. А. Квасников.
ГИЛЬБЕРТА ГЕОМЕТРИЯ — геометрия полного
мотрич. пространства Н с метрикой h (х, у), к-рое вме-
вместе с любыми двумя различными точками х и у содержит
точки ги( такие, что h (х, z)-\-h(z, y)~h(x, у), h(x, y)-{-
-\-h(y, t) = h(x, t), и к-рое гомеоморфно выпуклому мно-
множеству n-мерного аффинного пространства А", причем
геодезические у?Н отображаются в прямые А". Напр.,
пусть К — выпуклое тело пространства А", граница
к-рого дК не содержит двух неколлинеарных отрезков,
и пусть точки х, у?К расположены на прямой I, пере-
пересекающей в точках а, Ъ границу дК, R (х, у, а, Ъ) —
двойное отношение точек х, у, а, Ъ (если х={\ — X) а-\-%Ъ,
j,= (l-|i)a+(ib, то Я(х, у, a, Ь) = -1=1.?).
Тогда
h(x, у) = -^\\пЯ(х, у, а, 6)|
— метрика Г. г. (метрика Гильберта). Если
К центрально симметрично, то h{x,y) является метри-
метрикой Минковского (см. Минковского геометрия), если
К — эллипсоид, то h(x,y) определяет геометрию Лоба-
Лобачевского.
Проблема определения всех метризации К, при к-рых
геодезическими являются прямые, составляет содержа-
содержание 4-й проблемы Гильберта; решена полностью в [4].
Обобщением Г. г. является так наз. геометрия геоде-
геодезических (см. Геодезических геометрия).
Г. г. впервые была упомянута Д. Гильбертом (D.
Hilbert) в 1894 в письме к Ф. Клейну (F. Klein).
Лит.: [1] Гильберт Д., Основания геометрии, М.—Л.,
пер. с нем., 1948; [2] Проблемы Гильберта, М., 1969; [3] Б у-
земан Г., Геометрия геодезических, пер. с англ., М., 1962;
[4] Погорелов А. В., Четвертая проблема Гильберта, М.,
1974. М. И. Войцеховский.
ГИЛЬБЕРТА ИНВАРИАНТНЫЙ ИНТЕГРАЛ—кри-
ИНТЕГРАЛ—криволинейный интеграл от замкнутой дифференциальной
формы, являющейся производной действия функцио-
функционала вариационного исчисления. Для функционала
J (х)= [ L (t, х1', x')dt
ищется вектор-функция U' (t, x'), наз. полем, так,
чтобы интеграл
дхк
dL (t, x', Ul (i, х'))
dt-
не зависел от пути интегрирования. Если такая функ-
функция существует, то /* наз. инвариантным
интегралом Гильберта. Условие замкну-
замкнутости подинтегральной дифференциальной формы по-
порождает систему уравнений с частными производными
1-го порядка.
Г. и. и. наиболее естественным путем воссоединяет
теорию Вейергатрасса и теорию Гамильтона—Якоби.
Значение Г. и. и. на кривых, соединяющих точки
P<i=(toi х<>) и Pi~(h, xi), становится, в силу инвариант-
инвариантности /*, функцией S(Р1, Рг) этой нары точек и наз.
действием. Линия уровня 5 = const наз. транс-
версалямн поля ?/'(?, х'). Решения уравнения
x'=U'(t, x') являются экстремалями функционала
J(x). Обратно, если нек-рая область покрыта полем
экстремалей, то интеграл /*, по"л роенный по функ-
функции Ul (t, x'), равной производной экстремали, про-
проходящей через (t, х'), есть Г. и. и. Возможность
подобного окружения, а значит, и построения Г. и. и.,
формулируется обычно в виде Якоби условия.
Если кривая х'(t) проходит в области, покрытой
полем, через точки Ро и Р1, соединенные также экс-
экстремалью xu(t), то инвариантность Г. и. и. и равенство
dxljdt— Ul (t, xo(t)) позволяют получить Вейерштрасса
формулу для приращения функционала, а следователь-
следовательно, и достаточное Вейерштрасса условие экстремума.
При закрепленной точке Ро действие S (Ро, Р) есть
функция S(t, х1) точки P=(t,x') и /*= \dS. Переход
к каноническим координатам
,-. dL (t, xl, U'(t, х'))
¦ k
дх
позволяет записать Г. и. и. в виде
J*=\jdS=<\j—H(t, x', pi (t, xi)) dt
при этом
Эти соотношения эквивалентны уравнению Гамильто-
Гамильтона — Якоби.
Интеграл /* для поля геодезических был введен
Э. Бельтрами [1] в 1868, а в общем случае — Д. Гиль-
Гильбертом [2] - [4] в 1900.
Лит.: [1] В el tram i E., «Rend. 1st. Lombardo Sci.
Let.», 1868, v. 1, Кг 2, p. 708—718; [2J H i 1 b e г t D., «Nachr.
Ges. Wiss. Gottingen», 1900, S. 253—97; [3] Проблемы Гильберта,.
M., 1969, с. 57—63; [4] Hilbert D., «Math. Ann.», 1906,
Bd 62, S. 351—7Q; [5] A x и e з e p H. И., Лекции по вариаци-
онному исчислению, М., 1955, с. 55—6; [6] Г е л ь ф а н д И. М.,
Фомин С. В., Вариационное исчисление, М., 1961, с. 135—
146; [7] С а г a t h е о d о г у С, Variationsrechnung und parti-
elle Differentialgleichungen erster Ordnung, B.— L., 1935; [8]
Я н г Л., Лекции по вариационному исчислению и теории оп-
оптимального управления, пер. с англ., М., 1974.
В. М. Тихомиров.
ГИЛЬБЕРТА МНОГОЧЛЕН градуирован-
градуированного модуля M=Q)Mn — многочлен, выражаю-
п
щий при больших натуральных п размерности одно-
однородных слагаемых модуля как функцию от п. Более
точно, справедлива теорема, доказанная по существу
Д. Гильбертом. Пусть А-=К\Ха, . . ., Хт] — кольцо
многочленов над полем К, градуированное так, что За-
Заявляются однородными элементами степени 1, и пусть
М=^)Мп — градуированный Л-модуль конечного ти-
п
па; тогда существует такой многочлен Pjvi{t) c ра-
рациональными коэффициентами, что для достаточно
больших п dim^Mn = Рм (п)- Этот многочлен наз.
многочленом Гильберта.
Наибольший интерес представляет интерпретация
Г. м. градуированного кольца Л, являющегося фактор-
кольцом кольца А по однородному идеалу /; в этом
случае Г. м. доставляет проективные инварианты про-
проективного многообразия X=Proj (R)czPm, опреде-
определяемого идеалом /. В частности, степень многочлена
Plt(t) совпадает с размерностью многообразия ДГ, а
Ра(Х) = (~ l)dim x (-Pr(O)-- 1) наз. арифметическим ро-
родом многообразия X. Через Г. м. выражается также
степень вложения ХсРт. Г. м. кольца Л называют
также Г. м. проективного многообразия X относительно
вложения XczPm. Если ОхA) — обратимый пучок,
соответствующий этому вложению, то
PR(n)=AimKHo(x, Ox(l)®n)
для достаточно больших п.
Лит.: [1] Н i I b е г t D., Gesammelte Abhandhmgen,
Bd 2, В., 1933; [2] Бальдассарри М., Алгебраические
многообразия, пер. с англ., М., 1961; [3] 3 а р и с с к и й О.,
Самюэль П., Коммутативная алгебра, т. 2, пер. с англ.,
М., 1963. В.И.Данилов.
ГИЛЬБЕРТА НЕРАВЕНСТВО — теорема Гильберта
о двойных рядах:
уч со у, ос а^
Лш^т—\ j—*n = l п + т
Ъ) w
'=-^I, ±+±=1, а„
й
где
и ряды в правой части имеют конечные положительные
суммы, причем константа , " , — точная, т. е.
S 111 \ Jl/p )
не может быть уменьшена. Д. Гильберт (D. Hilbert)
доказал (*) без точной константы в своих лекциях по
интегральным уравнениям. Его доказательство было
опубликовано Г. Вейлем [1]. Точная константа найдена
И. Шуром [2], а неравенство (*) с произвольным р>1
впервые приводится в работах Г. Харди (G. Hardy)
и М. Рисса (М. Riesz) в 1925. Имеются интегральные
аналоги и обобщения неравенства (*), напр., неравенство
Г* х Г ее
JO J0
КК(Х, У) / (X) g (у) О1Х
где К (х, у) — неотрицательное ядро, однородное со
степенью —1, р>1, д>1, k=i/pJri/q<ii, /(ж)<:0,
и
^" K(i,u)du
и полученный ранее [4] частный случай этого неравен-
неравенства с ядром К(х, !/) = 1/(ж+!/) (так наз. двупараметри-
ческое Г. н.) и константой A =(n/sin ^p') . Точность
этой константы доказана при q'=p. Она является также
асимптотически точной при р—>1 и произвольном допу-
допустимом фиксированном q. Вопрос об асимптотике кон-
константы в (*) для конечных сумм A<:ге, m<riV) не решен
A977); здесь известно только, что при р = д=2 кон-
константа равна
5
я—~ (lnN
Лит.: [1] Weyl H., Singulare Integralgleichungen mit
besonderer Beriicksichtigung des Fourielschen Integraltheorems,
Inaugural Dissertation, Gott., 1908; [2] Schur I., «J. fur
Math.», Bd 140, 1911, S. 1—28; [3] X a p д и Г. Г., Л и т т л ь-
в у д Д. Е., Полна Г., Неравенства, пер. с англ., М., 1948;
Г4] В о n s а 11 F. F., «Quart. J. Math.», 1951, v. 2, p. 135—50;
[5] Levin V., «J. London Math. Soc», 1936, v. 11, p. 119—24;
[61 D e Bruijn N. G., Will H. S., «Bull. Amer. Math.
Soc», 1962, v. 68, p. 70—3; [7] W a 1 k e r P. L., «Proc. Edin-
Edinburgh Math. Soc», 1973, v. 18, № 4, p. 293—94. E. К. Годунова.
ГИЛЬБЕРТА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ функции
/— несобственный интеграл
Если /??(—оо, оо), то функция g существует почти
для всех значений х. Если f?Lp( — оо, оо), р?A, оо),
тогда функция g также принадлежит Lp(—oo, oo) и
почти всюду имеет место двойственная формула [обра-
[обращение преобразования A)]:
причем
^_a\g(x)\*dz<:Mpy_^\t(x)\pdz, C)
где константа Мр зависит только от р.
Формулы A), B) эквивалентны формулам
в к-рых интегралы понимаются в смысле главного зна-
значения.
Г. п. функции / называется также рассмотренный в
смысле главного значения интеграл
Этот интеграл часто наз. Гильберта сингулярным ин-
интегралом. В теории рядов Фурье функцию g, опреде-
определяемую формулой F), наз. сопряженной с/.
Если /?L@,2 я), то g существует почти всюду, а
если / удовлетворяет условию Липшица с показателем
а€ @,1), то g существует при любом х и удовлетворяет
тому же условию. Если f^Lp@,2 л), р(;A, оо), то g
обладает тем же свойством и имеет место неравенство,
аналогичное C), в к-ром интегралы взяты на интервале
@,2 я). Таким образом, интегральные операторы, по-
порождаемые Г. п., являются ограниченными (линейными)
операторами в соответствующих пространствах Lp.
Когда / удовлетворяет условию Липшица или
@2^ п, кроме того,
<^*g(x)dx = O,
то имеет место двойственная формула
причем
В классе функций, удовлетворяющих условию Липши-
Липшица, равенство G) справедливо всюду, а в классе функ-
функций, суммируемых с р-й степенью,— почти всюду.
Каждую из выписанных выше двойственных формул
[напр. D), E)] можно рассматривать как интегральное
уравнение 1-го рода; тогда вторая формула даст ре-
решение этого уравнения.
Когда функции ctg -у- и j— рассматриваются
как ядра интегральных операторов, то их часто наз.
Гильберта ядром и Ноши ядром. Между этими ядрами в
случае единичной окружности существует простая связь:
где § = е1ДГ, т=е'*.
Лит.: [lj H i 1 Ь е г t D., Grundziige elner allgemeinen Theo-
rie der Hnearen Integralgleiclmngen, Lpz.— В 1912 B Aufl.,
1924); [2] RieszM., «Math. Z.», 1927, Bd 27, № 2,
S. 218—44; [3] Титчмарш Е-, Введение в теорию интегра-
интегралов Фурье, пер. с англ.. М.—Л., 1948; [4] Мусхелиш-
в и л и Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд.,
М., 1968; [5] Б а р и Н. К., Тригонометрические ряды, JVI., 1961.
Б. В. Хведелидзе.
ГИЛЬБЕРТА СИНГУЛЯРНЫЙ ИНТЕГРАЛ — не-
несобственный (в смысле главного значения по Коши)
интеграл
i C2jt x-t
где периодич. функция f(t) наз. плотностью Г. с. и.,
a ctg х-^- — ядром Г. с. и. Если f(t) суммируе-
суммируема, то J{x) существует почти всюду, а если f(t) удов-
удовлетворяет условию Липшица с показателем а, 0<а<1,
то f(x) существует при любом s и удовлетворяет тому
же условию. Если f(x) суммируема с р-й степенью,
р>1, то ](х) обладает тем же свойством и
\)olf(x)ldxj ^Мр\)о \f(x)ldxf •
где Мр — постоянная, не зависящая от f(x). Кроме того,
имеет место формула обращения Г. с. и.
=-k I
T i
Функция f(x) наз. сопряженной с f(x).
Лит.: [1] H i 1 b e г t D., Grundziige einer allgemeinen Theo-
rie der Hnearen Integralgleichungen, Lpz.— В., 1912; [2] R i e s z
M., «Math. Z.», 1927, Bd 27, № 2, S. 218—44; [3] Б а р и Н. К.,
Тригонометрические ряды, М., 1961; [4] Мусхелишвили
Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968.
Б. В. Хведелидзе.
ГИЛЬБЕРТА СИСТЕМА АКСИОМ евклидовой
геометрии — система аксиом, предложенная в
1899 Д. Гильбертом (см. [1]). Со времени первой публи-
публикации Г. с. а. Д. Гильберт внес в систему аксиом раз-
различные изменения и уточнения.
Основными (неопределяемыми) понятиями в Г. с. а.
являются объекты: точки, прямые и плоскости и отно-
отношения между ними, выражаемые словами: «принадле-
«принадлежит», «между», «конгруэнтен». Природа основных объек-
объектов и отношений между ними может быть какой угодно,
лишь бы эти объекты и отношения удовлетворяли ука-
указанным аксиомам.
Г. с. а. содержит 20 аксиом, к-рые разбиты на пять
групп.
I группа состоит из восьми аксиом принадлежности
(соединения), к-рые описывают отношение «принадле-
«принадлежит». Ij. Для любых двух точек существует прямая,
проходящая через каждую из этих двух точек. 12.
Для двух различных точек существует не более одной
прямой, проходящей через каждую из этих двух точек.
13. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки.
Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на
одной прямой. 14. Для любых трех точек, не лежащих
на одной прямой, существует плоскость, проходящая че-
через каждую из этих трех точек. На каждой плоскости
лежит по крайней мере одна точка. Г5. Для любых трех
точек, не лежащих на одной прямой, существует не
более одной плоскости, проходящей через каждую из
этих трех точек. 1е. Если две точки А, В прямой а
лежат в плоскости а, то всякая точка прямой а лежит
в плоскости а. 17. Если две плоскости имеют общую точ-
точку, то они имеют еще по крайней мере одну общую точ-
точку. 1Я. Существуют по крайней мере четыре точки, не
лежащие в одной плоскости.
II группа содержит четыре аксиомы порядка, описы-
описывающие отношение «между». II,. Если точка В лежит
между точкой А и точкой С, то А, В, С — различные
точки одной прямой и В лежит также между С и А.
П2. Для любых двух точек А и В на прямой А В су-
существует по крайней мере одна точка С такая, что точка
В лежит между А и С. П3. Среди любых трех точек
прямой существует не более одной точки, лежащей меж-
ДУ двумя другими. П4 (аксиома Паша). Пусть
А, В, С — три точки, не лежащие на одной прямой,
и а — прямая в плоскости ABC, не проходящая ни
через одну из точек А, В, С. Тогда, если прямая а
проходит через внутреннюю точку отрезка АВ, то
она проходит также через внутреннюю точку отрезка
АС или через внутреннюю точку отрезка ВС.
III группа содержит пять аксиом конгруэнтности,
к-рые описывают отношение «конгруэнтен» (это отно-
отношение Гильберт обозначает знаком ==). III,. Если
даны отрезок А В и луч ОХ, то на луче ОХ существует
точка В' такая, что отрезок АВ конгруэнтен отрезку
ОБ', то есть АВ—ОВ'. III,. Если A'B'ssAB и Л"=
=АВ, то А'В'=А"В". 1И3."Пусть АВ и ВС- два отрез-
отрезка на прямой, не имеющие общих внутренних точек, а
А'В' и В'С — два отрезка на той же или на другой
прямой, тоже не имеющие общих внутренних точек.
Тогда, если АВ^А'В' и ВС=В'С, то АС=А'С.
П14. Пусть даны угол АОВ, луч О'А' и полуплоскость
Л', ограниченная прямой О'А'. Тогда в полуплоскости
W существует один и только один луч О'В' такой,
что 2-АОВ=/1А О'В'. Кроме того, каждый угол кон-
конгруэнтен самому себе. П15. Если для двух треуголь-
треугольников ABC и А'В'С имеем: АВ=А'В', АСзеА'С,
ZBAC=ZB'A'C, то ZABC=ZA'B'C.
IV группа состоит из двух аксиом непрерывности.
IVj (аксиома Архимеда). Пусть АВ a CD —
два каких-нибудь отрезка. Тогда на прямой АВ суще-
существует конечное множество точек Л1? А2, . . ., А„ та-
таких, что точка А1 лежит между А и А2, точка Л2 ле-
лежит между Аг и А3 и т. д., причем отрезки ААл, АгА2,
. . ., Ап_1Ап конгруэнтны отрезку CD и В лежит между
А и Ап. IV2 (аксиома Кантора). Пусть на
какой-либо прямой а дана бесконечная последователь-
последовательность отрезков А1В1, А2В2, . . ., удовлетворяющая двум
условиям: а) каждый последующий отрезок есть часть
предыдущего, б) для любого наперед заданного отрезка
CD найдется натуральное число п такое, что АпВn<_CD.
Тогда на прямой а существует точка М, принадлежащая
каждому из отрезков этой последовательности.
V группа содержит одну аксиому о параллельных.
Пусть даны прямая а и точка А, не лежащая на этой
прямой. Тогда в плоскости, определяемой прямой а
и точкой, существует не более одной прямой, проходя-
проходящей через точку А и не пересекающей прямую а.
(У Д. Гильберта IV группа — аксиома о параллель-
параллельных, V группа — аксиомы непрерывности.)
Все остальные понятия евклидовой геометрии опре-
определяются с помощью основных понятий Г. с. а., а все
предложения о свойствах геометрич. фигур, не содер-
содержащиеся в Г. с. а., должны быть доказаны чисто ло-
гич. выводом из этих аксиом (или предложений, полу-
полученных таким же путем).
Г. с. а. обладает свойством полноты; она непроти-
непротиворечива, если непротиворечива арифметика действи-
действительных чисел. Если в Г. с. а. заменить аксиому о
параллельных ее отрицанием, то полученная новая си-
система аксиом тоже непротиворечива (система аксиом
геометрии Лобачевского), т. е. аксиома о параллель-
параллельных не зависит от остальных аксиом Г. с. а. Можно
установить независимость нек-рых других аксиом
Г. с. а. от остальных аксиом этой системы.
Г. с. а. является первым достаточно строгим обосно-
обоснованием евклидовой геометрии.
Лит.: [11 Гильберт Д., Основания геометрии, пер.
с нем., М.— Л., 1948; [2] Е ф и м о в Н. В., Высшая геометрия,
5 изд., М., 1971. В. Т. Базылев.
ГИЛЬБЕРТА СХЕМА — конструкция в алгебраич.
геометрии, позволяющая снабжать множество замк-
замкнутых подмногообразий проективного пространства с
заданным Гильберта многочленом структурой алгебра-
алгебраич. многообразия. Более точно, пусть X — проективная
схема над локально нётеровой схемой 5 и Hilbjf/s —
функтор, сопоставляющий каждой 5-схеме S' множест-
множество замкнутых подсхем схемы X' = XXS', плоских над
S
S'. Функтор Hilb^/s представим локально нётеровой
схемой, к-рая наз. схемойГильберта 5-схемы
X и обозначается через Hilb (X/S) (см. [4]). По опреде-
определению представимых функторов в алгебраич. геометрии,
для любой S-схемы S' имеет место биекция Hilbjf/sE')=
= Нот$E', Rilb(XlS)). В частности, если 5 — спектр
поля fc, а Х=Р% — проективное пространство над
к, то множество рациональных fe-точек схемы Hilb (РУк)
находится во взаимно однозначном соответствии с мно-
множеством замкнутых подмногообразий в Р%.
Для любого полинома Р (z) ? Q [х] с рациональными
коэффициентами функтор Hilb^/s содержит подфунк-
тор Hilb^.,s, выделяющий в множестве Hilbjr/s(.S")
подмножество подсхем ZcXXS' таких, что для любой
s
точки s' ? S' слой ZS' проекций Z на S' имеет Р (z) в ка-
качестве своего многочлена Гильберта. Функтор Hilb^g
представим схемой Hilb'7 (XIS), проективной над S.
Схема Hilb (X/S) является прямой суммой схем
Ш1Ы7 (X/S) по всем P?Q(z). Для любой связной базис-
базисной схемы S схема Hilb'' (XIS) также связна [2].
Лит.: [1] Мам фор д Д., Лекции о кривых на алгебраи-
алгебраической поверхности, пер. с англ., М., 1968; 12J Дьёдонне
Ж., Керрол Дж., Мамфорд Д., Геометрическая тео-
теория инвариантов, пер. с англ., М., 1974; i.3] Grothendi-
eck A., «Seminaire Bourbaki», ann. 13, N. Y.—Amst., 1966,
p. 1—28; [4] H a r t s h о r n p R., «Publ. math. IHES», 1966,
t. 29, p. 261—304; L5J Итоги науки. Алгебра. Геометрия. Топо-
Топология, т. 10, 1972, с. 47—113. И. В. Долгачев.
ГИЛЬБЕРТА ТЕОРЕМА — 1) Г. т. о базисе:
если А — коммутативное нётерово кольцо и A [Xi,. . .,
..., Аг„] —кольцо многочленов от Хг, . . ., Хп с коэффици-
коэффициентами в А, то п A [X-i, . . ., Х„] — нётерово кольцо.
В частности, в кольце многочленов от конечного числа
переменных над полем или над кольцом целых чисел
любой идеал порождается конечным числом элементов
(имеет конечный базис). Именно в такой форме теорема
была доказана Д. Гильбертом [1] и играла вспомога-
вспомогательную роль в доказательстве основной Гильберта
теоремы об инвариантах. Впоследствии Г. т. о базисе
получила широкое распространение в коммутативной
алгебре.
Лит.: [1] Н i I b е г t D., «Math. Ann.», 1890, Bd 36, S. 473—
534. В.И.Данилов.
2) Г. т. о неприводимости: пусть f(tlt ...,
.. ., *?, #!,..., xji) — неприводимый многочлен над полем
рациональных чисел Q; тогда существует бесконечное
множество значений t\, ..., t^^Q переменных t±, ..., t^,
при к-рых многочлен /(i?, . . ., tl, хг, .. ., х„) непри-
неприводим над Q. Так, многочлен f(t, x) = t — хг остается
неприводимым для всех 1°A°фа2, a?Q) и только для
них. Полученная Д. Гильбертом (D. Hilbert) в 1892, эта
теорема обобщалась затем на случай многочленов над
нек-рыми другими полями (напр., над полем конечного
типа над своим простым подполем [2]).
Г. т. о неприводимости применяется в исследованиях,
связанных с Галуа теории обратной, задачей и алге-
алгебраических многообразий арифметикой. Пусть над по-
полем K=k(t1,. . ., tn) рациональных функций от tlt . . ., tn
существует такое расширение Е/К с группой Галуа G,
что поле к алгебраически замкнуто в ? и к нему приме-
применима Г. т. о неприводимости. Тогда можно так выбрать
значения переменных i1? . . .,tn в поле к, что получаю-
получающееся расширение поля к будет иметь группой Галуа
группу G. Используя это соображение, Д. Гильберт по-
построил в [1] расширения поля Q с симметрической и
знакопеременной группами. При этом, в случае симмет-
рич. группы за Е берется поле рациональных функции
от п переменных, а в качестве К — подполе поля сим-
метрич. функций, к-рое само будет полем рациональных
функций. Обобщая этот подход, Э. Нётер (Е. Noether)
рассмотрела произвольную подгруппу GczSn и расши-
расширение Е соответствующего поля инвариантов Е относи-
относительно группы G (см. [3]). Г. т. о неприводимости дает
возможность построить расширение поля к с группой
Галуа G, если только поле Е° есть поле рациональных
функций над Q. Вопрос о выполнимости последнего
условия (проблема Нётер), тесно связан с Лю-
рота проблемой. Лишь в 1969 Р. Суон (R. Swan) пока-
показал, что в общем случае ответ на него отрицательный
(см. [4], [6]).
Г. т. о неприводимости применяется также при по-
построении рациональных точек абелевых многообразий А
над полем рациональных чисел Q . В силу теоремы Мор-
делла — Вейля группа рациональных точек А является
конечно порожденной, и возникает вопрос о значении ее
ранга г. Используя Г. т. о неприводимости, А. Нерон
(A. Neron) построил многообразия А размерности g
и ранга больше или равного 3^+6 (см. [2]).
Лит.: []] Hilbert D., «J. reine und angew. Math.», 1892,
Bd 110, S. 104—29; [2] L a n g S., Diophantine Geometry, N. Y.,
1962; [3] Чебот ар е в Н. Г., Теория Галуа, М.— Л., 1936,
с. 18—32. 90—94; Ш Martinet J., «Seminaire Bourbaki»,
1969Л970, В., 1971; [5] S с h i n z e 1 А., в кн: «Actes du
Congrfs International des Mathematiciens», t. 1, P., 1971; [6]
Воскресенский В. Е., «Тр. Матем. ин-та АН СССР»,
1973, т. 82, с. 151—61. А. Н. Паршин.
3) Г. т. о н у л я х (о корня х): пусть к — поле,
к [Xi,..., Хп] — кольцо многочленов над к, к — алгеб-
раич. замыкание поля кн F, F\, ..., F т — многочлены
из к [Хг, . . ., Х„]. Корнем многочлена F(X1: . . .,
..., Хп) наз. последовательность (сь . . ., сп) элементов из
к, удовлетворяющая условию F(съ .. ., с„) = 0. Если
каждый общий корень многочленов Flt ..., Fт явля-
является корнем многочлена F, то существует такое целое
число г, зависящее только от Ft, ..., Fm, что Fr при-
принадлежит идеалу, порожденному Flt ..., Fт, то есть
где Аг, ..., Ат — нек-рые многочлены. Получена
Д. Гильбертом [1].
Г. т. эквивалентна утверждению, что для любого
собственного идеала а кольца к [Х1,..., Хп\ сущест-
существует корень, общий для всех многочленов из а. Таким
образом, Г. т. может рассматриваться как далеко иду-
идущее обобщение основной теоремы алгебры. На Г. т.
можно смотреть и как на утверждение о том, что любой
простой идеал кольца к [Хг,. .., Хп] является пересе-
пересечением максимальных идеалов, его содержащих; это
приводит к понятию Джекобсона кольца.
При геометрич. интерпретации корни идеала (ICZ
Ck [Xlt . . ., Хп] соответствуют алгебраич. точкам
аффинного многообразия, определяемого идеалом а.
Из Г. т. следует, что на любом непустом аффинном
многообразии имеется алгебраич. точка. Таким обра-
образом, множество алгебраич. точек всюду плотно на много-
многообразии, и потому однозначно его определяет — при-
чина, по к-рой при изучении алгебраич. многообразий
часто ограничиваются алгебраич. точками.
Лит.: [1] Н i lb er t D., «Math. Ann.». 1893, Bd 42, S. 313 —
73; [2] В а н - д e p - В а р д е н Б. Л., Современная алгебра,
пер. с нем., ч. 2, 2 изд., М.— Л., 1947; [3] 3 а р и с с к и й О.,
Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 2,
М., 1963; [4] Лен г С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [5]
Б у р б а к и Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М.,
1971. В. II. Данилов.
4) Г. т. о поверхностях отрицательной
кривизны: в трехмерном евклидовом пространстве
не существует полной регулярной поверхности посто-
постоянной отрицательной кривизны. Доказана Д. Гиль-
Гильбертом (D. Hilbert, 1901; см. [I]).
Лит.: [1] Гильберт Д., Основания геометрии, пер.
с нем., М.— Л., 1948. Е. В. Шикин.
5) Г. т. о с и з п г н я х — теорема о конечности
цепи сизигий градуированного модуля над кольцом мно-
многочленов (в класспч. формулировке см. [I]).
Пусть А — нётерово кольцо, М — нётеров Л-мо-
Л-модуль, и х1,. . ., хп — система образующих модуля М.
Модулем сизигий (соотношений) S (М) модуля
М пал. модуль соотношений для хг, . . ., хп, т. е.
Л-модуль векторов (а1,. . ., а„), а,-?А. удовлетворяющих
условию: а1г1-\-. . .-\-апхп=0. Индуктивно определяется
г-й модуль сизигий Si(M) — S E/_i (M)) моду-
модуля МE1(Л/) = 5(Л/)).Иначе это можно описать с по-
помощью точной последовательности, наз. цепью
сизигий:
0 -^Si (М) —*/-,-_!-*••• -—Fo—*М-+0,
где Fo Fi-i ~ свободные Л-модули конечного ти-
типа. В современном изложении Г. т. о сизигиях допу-
допускает следующую формулировку : если Л — локальное
регулярное кольцо размерности т, то т-й модуль си-
сизигий любого нётерова Л-модуля является свободным
модулем. Это эквивалентно тому, что любой Л-модуль
имеет свободную резольвенту длины т, или что А
имеет глобальную проективную размерность т. Это
свойстве характеризует регулярные кольца [2].
Глобальный вариант Г. т. о сизи-
сизигия х: над регулярным кольцом А (напр., над кольцом
многочленов) любой Л-модуль конечного типа имеет
проективную (но уже не обязательно свободную) резо-
резольвенту конечной длины.
Лит.: [1] Н i I b е г t D., «Math. Ann.», 1890, Bd 36, S. 473 —
534; [2] S e г г е J.-P., в кн.: Proceedings of the Internatio-
International — Symposium on Algebraic Number Theory, Tokyo, 1955
p. 17.)—89; ГЗ] Серр Ж.-П., «Математика», 1963, т. 7, Л» 5,
с. 3—93; [4] 3 а р и с с к и й О., Самюэль П., Коммута-
Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 2, М., 1963. В. И. Данилов.
6) Г. т. о циклических расширениях
(теорема Гильберта 90): пусть А' — циклич.
расширение с циклической группой Галуа G(Klk) по-
поля к и о- — образующая группы G{Kik); тогда норма
Nk/ьФ) элемента fi?K равна единице в том и только в
том случае, если существует ненулевой элемент а?&",
удовлетворяющий условию Р = а-сг(а)-1. Аналогично,
след Тг^/? (Р) равен нулю тогда и только тогда, когда р
может быть представлено в виде р = а —сг(а), аС-К
(см. [1], [21. [3]).
Г. т. может рассматриваться как следствие более
общего утверждения о когомологнях групп Галуа (см.
[4]). Именно: если А' — расширение Галуа группы к
с группой Галуа G, то мультипликативная группа А"*
поля К превращается в С-модуль, и первая группа ко-
гомологий Hl{G, К*) равна нулю. Аналогично, Hi (G,
А') = 0 при </Jsl (см. Галуа кого.иологии).
Другим обобщением Г. т. является теория спуска
Гротендика; одно из применений ее в этальной тополо-
топологии, также известное иод назв. «т е о р е м а Гил ь-
б е р т а 90», утверждает, что этальные когомологии
H1(Xet, Gm) схемы AT со значениями в пучке мультипли-
мультипликативных групп Gm изоморфны группе Пикара Pic(.Y)
классов обратимых пучков на Л' [5].
Лит.: [1] Hilbert D., «Jahresbericht der D. M. V.»,
1897, Bd 4, S. 175—546; Г2] Лен г С, Алгебра, пер. с англ.,
М., 1968; [3] Бур бак и Н., Алгебра. Многочлены и поля.
Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965; [4] С е р р
Ж.-П., Когомологии Галуа, пер. е франц., М., 1968; [5] Ar tin
JVI., Grothendieck A.. ColiomoloRie etale des schcmas,
Seminaire IHES, 1963—E4. В. И. Данилов.
7) Г. т. о существовании абсолютно-
абсолютного экстремума: пусть
/= [ Fdt
¦-J
есть функционал вариационной задачи в параметрич.
форме, где F=F(x, у, х, у\ — положительно опреде-
определенная функция 1-й степени по (х, у), трижды непре-
непрерывно дифференцируемая по всем аргументам для
всех (х, у) из области G п всех (х, у), удовлетворяю-
удовлетворяющих условию х'--{-у-фО. Кроме того, предполагается,
что F(x, у. ?, т])>0 для всех (г, y)?G и ?2-f-r|-=l (т. е.
функционал / положительно определен), а также, что
множества Ф{х, у)= {(?, n) : F(x, у, %, г))<1} строго
выпуклы по (?, ц) для всех (х, у) из выпуклой замкну-
замкнутой подобласти Go (т. е. функционал / регулярен, или
эллиптичен).
При этих предположениях для любых двух точек
(.т0, у0) и (х1у уг) из Go найдется кривая, доставляющая
функционалу / абсолютный минимум среди всех спрям-
спрямляемых кривых.
Г. т. получена Д. Гильбертом (D. Hilbert, 1899).
Лит.: [1] А х и е з е р Н. It., Лекции по вариационному
исчислению, М., 1955. В. М. Тихомиров.
8) Г. т. об инвариантах— теорема, уста-
устанавливающая конечнопорожденность алгебры всех
многочленов на комплексном векторном пространстве
форм степени d от г переменных, инвариантных отно-
относительно действия полной линейной группы GL(r, С),
определяемого линейными заменами этих переменных.
Первое доказательство теоремы, использующее Гиль-
Гильберта теорему о базисе и формальные процессы инва-
инвариантов теории, дано в [1]. Д. Гильберт [2] конструк-
конструктивно доказал эту теорему и получил оценку сверху для
степеней образующих указанной алгебры инвариантов
(что, в принципе, дает возможность их выписать явно».
Г. т. является первой основной теоремой теории
инвариантов для d-ш симметрия, степени стандартного
представления GL(r, С). Доказательство Г. т. стиму-
стимулировало постановку вопроса о конечнопорожденности
алгебр инвариантов для подгрупп группы CL(r, С,
а также постановку 14-й проблемы Гильберта. Исполь-
Используя теорию интегрирования на группах, Г. Вейль
(Н. Weyl) доказал конечнопорожденность алгебры
инвариантов для любых конечномерных представлений
компактных групп Ли и комплексных полупростых
групп Ли (см. [3]).
Г. т. принято называть также следующее ее обобще-
обобщение: если Я — алгебра конечного типа над полем к,
G — геометрически редукгпивная группа ее fc-автомор-
фнзмов и Я° — подалгебра всех G-ннвариантных эле-
элементов в R, то Л° также имеет конечный тип над к
(см. [4], [5]).
Лип.: [I] Hilbert D., «Math. Aim.», 1890, Bd 36, S.
473—534; [2] его же, «Math. Ann.», 1893, Bd 42, S. 313—73;
[3] В е it л ь Г., Классические группы, их инварианты и пред-
представления, пер. с англ., М., 1947; [4] Mumford D., Geo-
Geometric invariant theory, В.—Hdlb.—N.Y., 1965; [5] N a gat a
M., «J. Math. Kyoto I'niv.», 1963/64, v. 3. В.Л.Попов.
ГИЛЬБЕРТА ТЕОР.ИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВ-
УРАВНЕНИИ — общая теория линейных интегральных
уравнений 11 рода
Ф(*)+Р К(х, s)<p(s)ds = f(x), A)
построенная Д. Гильбертом [1] на базе созданной им
теории линейных и билинейных форм с бесконечным
числом переменных. Основная идея Г. т. и. у. состоит
в следующем. Пусть имеется полная ортонормирован-
ная система функций {шп(х)} на интервале (а, Ь) и
пусть
= J* f(t)ap(t)dt,
х' t)ap(t)ii>g(t)dxdt.
Решение интегрального уравнения A) эквивалентно
решению бесконечной системы линейных алгебраич.
уравнений:
SJ/" p=i. 2,.... B)
При этом имеются в виду только те решения этой систе-
системы, для к-рых
т. е. система рассматривается в гильбертовом простран-
пространстве. Исследование системы B) в гильбертовом про-
пространстве позволяет изучить свойства уравнения A).
В Г. т. и. у. были обоснованы экстремальные свой-
свойства собственных значений интегральных уравнений с
эрмитовыми ядрами.
Лит.: [1] Н I lbert D., Grundzuge einer allgemeinen Theo-
rie der linearen Integralgleichungen, 2 Aufl,, Lpz.— В., 1924.
В. В. Хведелидзе.
ГИЛЬБЕРТА ЯДРО — ядро Гильберта сингуляр-
сингулярного интеграла, т. е. функция
ctg ~ , 0 < х, s =sS 2л.
Между Г. я. и Коши ядром в случае единичной окруж-
окружности существует простая связь:
dt 1 / , x-s .
где t=elx, %=els. в. В. Хведелидзе.
ГИЛЬБЕРТА—КАМКЕ ПРОБЛЕМА — задача о сов-
совместности системы диофантовых уравнений варингова
типа:
где сеременные хх,.. .,х3 принимают целые неотрица-
неотрицательные значения, на числа Nn, iVra_1? ...,Ni наложе-
Г': нек-рые дополнительные ограничения (см. [3]),
s — достаточно большое число, зависящее только от
заданного натурального числа п.
Г.— К. п., поставленная в 1900 Д. Гильбертом (см.
[1]), решена Э. Камке, к-рый доказал существование
решений системы (*). Асимптотич. формула для числа
решений этой системы была получена К. К. Марджа-
Марджанишвили в 1937 с помощью Виноградова метода оценок
тригонометрии, сумм.
Лит.: [1] Hi lbert D., «Math. Ann.», 1909, Bd 67, S.
281—300; [21 Виноградов И. М., Метод тригонометриче-
тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [3] Марджанишвили
К. К., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1937, с. 609—31.
В. М. Бредихин.
ГИЛЬБЕРТА — ШМИДТА ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ОПЕ-
ОПЕРАТОР — ограниченный линейный интегральный опе-
оператор Т, действующий из пространства L2(X, ц) в
L2(X, ц) и пред ставимый в виде
G7) (х) = J х К (х, у) / (у) Ц (dy), f e Lt (X, ц),
где К(-, -)?L2(XX X, цХц) — ядро оператора (см.
[1]).
Впервые такого рода операторы рассматривались
Д. Гильбертом (D. Hilbert) и Э. Шмидтом (Е. Schmidt)
в 1907. Г.— Ш. и. о. является вполне непрерывным
оператором (см. [2]). Сопряженный к нему оператор
также есть Г.— Ш. и. о. с ядром К (у, х) [3]. Г.—
Ш. и. о. будет самосопряженным оператором тогда и
только тогда, когда К(х, у) = К(у, х) для почти всех
(х, у)?ХХХ (относительно (|лхц)). Для самосопря-
самосопряженного Г.— Ш. и. о. и его ядра имеют место разло-
разложения
(?7) («) =2» К (/, ф») Ф», / € L2 (X, ц), A)
К (х, у) = 2п Кч>п (х) ф„ (у), B)
где {ф„} — ортонормирования система собственных
функций оператора Т, отвечающих собственным зна-
значениям Хпф0; ряд A) сходится по норме L2(X, |л), а
ряд B) сходится по норме L2(XXX, jxXfi) (см. [4]).
В условиях Мерсера теоремы ряд B) сходится абсолют-
абсолютно и равномерно (см. [5]).
Если
х I К (х, у) | 2 ц (dy) < С для всех х ? X,
то ряд A) сходится абсолютно и равномерно (см. [4]).
Линейны i оператор
Т : L2(a, b)^L2(a, b)
является Г.— Ш. и. о. тогда и только тогда, когда Т
есть bo-линейный оператор (см. [6]). Если \i есть
о-конечная мера, то линейный оператор
Т : L2(X, n)->L2(Z, ц.)
является Г.— Ш. и. о. тогда и только тогда, когда су-
существует такая функция M(-)?L2(X, ц.), что для всех
f^L2(X, ц) неравенство
\(Tf)(x)\^M(x)\\f\\
справедливо для почти всех х?Х (относительно меры
ц.) [7]. Таким образом, Г.— Ш. и. о. образуют двусто-
двусторонний идеал в банаховой алгебре всех линейных огра-
ограниченных операторов, действующих из L2(X, jx) в
L2(X, ц.).
Г.— ill. и. о. играют важную роль в теории интег-
интегральных уравнений и в теории краевых задач (см. [8],
[9]), так как операторы, возникающие во многих за-
задачах математич. физики, либо сами являются Г.—
Ш. и. о., либо их итерации нек-рого порядка обла-
обладают этим свойством. Естественным обобщением Г. —
Ш. и. о. является Гильберта — Шмидта оператор.
Лит.: [1] Д а н ф о р д Н., Шварц Д ж. , Линейные опе-
операторы, ч. 2, пер. с англ., М., 1966; [2] И о с и д а К., Функ-
Функциональный анализ, пер. с англ., М., 196 7; [3] S t о п е М. Н.,
Linear Transformations in Hilbert Space and their Applications
to Analysis, N. Y., 1964; [4] Рисе Ф., Секефальви-
H а д ь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц.
М., 1954; [5]Дьедонне Ж., Основы современного анализа
пер. с англ., М., 1964; [6] К а н т о р о в и ч Л. В. [и др.].
Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах
М.— Л., 1950; [7] Weidmann J., Manuscripta Math.,
1970, v. 2, № I, p. 1—38; [8] M о р е н К., Методы гильбертова
пространства, пер. с польск., М., 1965; [9]Верезанский
Ю. М., Разложение по собственным функциям самосопряженных
операторов, К., 1965. В. Б. Короткое.
ГИЛЬБЕРТА — ШМИДТА НОРМА — норма линей-
линейного оператора Т, действующего из гильбертова про-
пространства И в гильбертово пространство Нх, имеющая
вид \Т\= (?аеА H7Valt2)V\ где {еа, а?А} - ортонор-
мированныи базис в Н. Г.— Ш. н. удовлетворяет всем
аксиомам нормы и не зависит от выбора базиса; ее свой-
свойства: ||r||<m, |Г|=1Г*|, ir^l^HT-J |Г2|; ||Г|| -
норма оператора Т в гильбертовом пространстве; если
Н1=Н, то
Лит.: [1] Д а н ф о р д Н., Ш в а р ц Д ж., Линейные опе-
операторы, ч. 2, пер. с англ., М., 1966; [2] Г е л ь ф а н д И. М.,
В и л е н к и н Н. Я., Некоторые применения гармонического
анализа. Оснащенные гильбертовы пространства, М., 1961.
В. Б. Короткое.
ГИЛЬБЕРТА — ШМИДТА ОПЕРАТОР — оператор
А, действующий в гильбертовом пространстве Н такой,
что для любого ортонормированного базиса {ж,} в Н
выполнено условие:
Hii*=SfiM*/ii*< °°
(достаточно, однако, справедливости этого для нек-рого
базиса), Г.— Ш. о. является компактным оператором,
для s-чисел к-рого s,- (А) и для собственных чисел А,,- (А)
имеет место:
2,- I h (А) | 2 < 2,- А И) = И II 2 = tr (A*A);
при этом А*А оказывается ядерным оператором (здесь
А * — оператор, сопряженный к А, a tr С — след опе-
оператора С). Совокупность всех Г.— Ш. о. пространства
А образует гильбертово пространство со скалярным
произведением
(
Если Я}(А)=(А—ХЕ)-1 — резольвента А, а
dot2 (E — zA) = Д. A - zki (A)) eZ%i<A)
— его регуляризованный характери-
характеристический определитель, то выполнено
неравенство Карлемана
Типичный представитель Г.— III. о.— Гильберта —
Шмидта интегральный оператор (откуда и название),
М. И. Войцеховский,
ГИЛЬБЕРТА — ШМИДТА РЯД — функциональный
ряд
где {Хп} — последовательность всех собственных зна-
значений симметричного ядра К(х, s), a<:x<:fe, a<:s<:fe,
{фге (х)} ~ соответствующая последовательность орто-
нормированных собственных функций, а (/, ф„) есть
скалярное произведение произвольной суммируемой
с квадратом функции f(x) и функции <р„(х).
Теорема Гильберта — Шмидта. Если
ядро К (х, s) есть суммируемая с квадратом функция
двух переменных, то ряд (*) сходится в среднем к
функции
\Ь К(х, s)f(s)ds.
Если существует такая постоянная С, что для всех х
из (а, Ь) выполняется неравенство
\К (х, s) |
то Г.— Ш. р. сходится абсолютно и равномерно.
Б. В. Хведелидзе,
ГИЛЬБЕРТА — ЭЙЛЕРА ПРОБЛЕМА — обобщение
проблемы Гольдбаха — Эйлера (см. Гольдбаха пробле-
проблема) о представимости всякого натурального четного
числа >2 в виде суммы двух простых.
Проблема Гильберта — Эйлер а сфор-
сформулирована Д. Гильбертом (D. Hilbert, см. [1], с. 38)
как часть проблемы простых чисел (восьмой проблемы
Гильберта). Именно, Д. Гильберт высказал гипотезу,
что решение проблемы распределения простых чисел
позволит решить как проблему Гольдбаха — Эйлера,
так и более общую проблему о разрешимости в простых
числах линейного диофантова уравнения
ах-{-Ьу-{-с=0
с данными целыми попарно взаимно простыми коэффи-
коэффициентами.
Частным случаем Г.— Э. п. является проблема близ-
близнецов. Во всех частных случаях, кроме тривиальных,
Г.— Э. п. (к 1977) не решена. См. Аддитивные про-
проблемы.
Лит.: [1] Проблемы Гильберта, М., 1969. С. М. Воронин.
ГИЛЬБЕРТОВ КИРПИЧ — подпространство гиль-
гильбертова пространства 12, состоящее из всех точек
х=(хх, . . ., хп, . . .), для к-рых 0<ж„<A/2)", ге=1,2, ....
Г. к. является компактом и топологически эквива-
эквивалентен (гомеоморфен) тихоновскому произведению
счетной системы отрезков, т. е. тихоновскому кубу /^°.
Г. к. является универсальным пространством в классе
метризуемых пространств со счетной базой (теорема
У р Ы С О Н а). Б. А. Пасынков.
ГИЛЬБЕРТОВА АЛГЕБРА — алгебра А с инволю-
инволюцией над полем комплексных чисел, снабженная невы-
невырожденным скалярным произведением (|), причем вы-
выполняются следующие аксиомы: 1) (х\у)—(у*\х*) для
всех х, у?А; 2) {xy\z) = (y\x*z) для всех х, у, z?A;
3) для всех х?А отображение у^>-ху пространства А
в А непрерывно; 4) множество элементов вида ху,
х, у?А, всюду плотно в А. Примерами гильбертовых
алгебр являются алгебры L2 (G) (относительно сверт-
свертки), где G — компактная топологич. группа,и алгебра
операторов Гильберта — Шмидта в данном гильберто-
гильбертовом пространстве.
Пусть А—Г. а., Н — гильбертово пространство — по-
пополнение А, Ux и Vх — элементы алгебры ограничен-
ограниченных линейных операторов в Н, являющиеся продол-
продолжениями по непрерывности умножений слева и справа
на х в А. Отображение х—>-Ux (соответственно x-+Vx)
есть невырожденное представление алгебры А (соот-
(соответственно алгебры с инволюцией, противоположной А)
в гильбертовом пространстве Н. Слабое замыкание
семейства операторов Ux (соответственно V) является
алгеброй Неймана в Я; она наз. левой (соот-
(соответственно правой) алгеброй Неймана данной Г. а. А
и обозначается U(А) (соответственно V(А))\ U(А) и
V(А) являются коммутантами друг друга; это — по-
полуконечные алгебры Неймана. Любая Г. а. одно-
однозначно определяет нек-рый точный нормальный полу-
полуконечный след на алгебре Неймана U(А); обратно,
если дана алгебра Неймана Щ. и точный нормаль-
нормальный полуконечный след на Ж, то можно построить
Г. а. такую, что левая алгебра Неймана этой Г. а.
изоморфна Ж, и след, определяемый на Ж Г. а., сов-
совпадает с исходным (см. [1]). Таким образом, Г. а. яв-
является средством изучения полуконечных алгебр Ней-
Неймана и следов на них; нек-рое обобщение понятия
Г. а. позволяет изучать аналогичными средствами не
обязательно полуконечные алгебры Неймана (см. [2]).
Лит.: [1] Dixmier J., Les algebres d'operateurs dans
l'espace hilbertien, 2 ed., P., 1969; [2] T a k e s a k i M., Torai-
ta's theory of modular Hilbert algebras and its applications, В.,
1970. А. И. Штерн.
ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО — векторное
пространство Н над полем комплексных (или действи-
действительных) чисел вместе с комплексной (действительной)
функцией (х, у), определенной на НХН и обладаю-
обладающей следующими свойствами.
1) (х, х)=0 в том и только в том случае, если х=0;
2) (х, ж)>0 для всех ж?#;
3) (х+у, z)=(x, z)+(y, z), x, у, z?H;
4) (ах, у) = а(х, у), х, у ? Н, а — комплексное
(действительное) число;
5) (х, у) = (уТ^), х, у
6) если х„?1/, ге=1,2,... и если
lim (xn — хт, х„ — хт)
п, т->- <х>
то существует такой элемент х?Н, что
lim (x — xn, х — хп) = 0;
п -*¦ т
элемент х наз. пределом последовательности (хп);
7) H — бесконечномерное векторное пространство.
Функция (х, у), удовлетворяющая аксиомам 1) —
5), наз. скалярным произведением, или
внутренним произведением, элементов
х и у. Величина |И|=(.г, xfU наз. нормой (или
длиной) элемента х?Л. Имеет место неравен-
неравенство \(х, у)|<:1ЫМ!^1|. Если ввести в Я расстояние
между элементами х, у,?Н при помощи равенства
р(х, у)=\\х—у\\, то Н превращается в метрическое
пространство.
Два Г. п. Н и Н1 наз. изоморфными (или
изометрически изоморфным и), если
существует взаимно однозначное соответствие лч-ьл,,
х?Н, х1^Н1, между Н и #lf сохраняющее линейные
операции и скалярное произведение.
Г. п. составляют наиболее распространенный и важ-
важный для приложений класс бесконечномерных вектор-
векторных пространств. Они представляют собой естественное
обобщение понятия конечномерного векторного про-
пространства со скалярным произведением (т. е. конечно-
конечномерного евклидова пространства, или конечномерного
унитарного пространства). Именно, если в конечномер-
конечномерном векторном пространстве (над полем действительных
или комплексных чисел) задано скалярное произведе-
произведение, то свойство 6), наз. п о л в о т ой Г. п., выполня-
выполняется автоматически. Бесконечномерные векторные
пространства Н со скалярным произведением наз.
предгильбертовыми пространства-
м и; существуют предгильбертовы пространства, в
к-рых свойство 6) не выполняется. Всякое предгиль-
предгильбертово пространство может быть дополнено до Г. п.
Иногда в определение Г. п. не включается условие
бесконечномерности, т. е. предгильбертовым простран-
пространством наз. векторное пространство над полем комплек-
комплексных (или действительных) чисел со скалярным произ-
произведением, а Г. п. наз. полное предгильбертово прост-
пространство.
Примеры Г. п. 1) Комплексное пространство I2
(или Z2). Элементами этого Г. п. являются бесконечные
последовательности комплексных чисел .r= {%lt g2, . ..},
У= Uhi I2i • • -} со сходящейся суммой квадратов моду-
модулей:
скалярное произведение определяется равенством
2) Пространство 12(Т) (обобщение примера 1)). Пусть
Т — произвольное множество. Элементами Г. п. 1~(Т)
являются комплекснозначные функции x(t) на Г, от-
отличные от нуля не более чем в счетном множестве точек
t? T и такие, что ряд_
Ъ. 6 г I * (О I 2
сходится. Скалярное произведение определяется равен-
равенством
Всякое Г. п. изоморфно пространству Р(Т) для нек-ро-
го соответствующим образом подобранного Т.
3) Пространство L2E, 2, ц) (или L2(s, 2, fi)) ком-
плекснозначных функций x(s), определенных на мно-
множестве S с вполне аддитивной положительной мерой fi
(заданной на ст-алгебре 2-подмножеств множества ?),
измеримых и имеющих интегрируемый квадрат модуля:
[ | X (S) | 2 d\l (S) < +00.
В этом Г. п. скалярное произведение определяется
равенством
(х (s), у (s)) = \s х (s)J17)dn (s).
4) Соболева пространство Wi (Q), обозначаемое так-
также ЛA) (см. Вложения теорема).
5) Г. п. функций со значениями в Г. п Пусть Н —
нек-рое Г. п. со скалярным произведением (.г, у),
х, у?Н. Пусть, далее. Q — произвольная область в
/?„, a f(x), x?Q — функция се значениями в Н, изме-
измеримая в смысле Бохнера (см. Бохнера интеграл) и
такая, что
где dx — мера Лебега на Q (вместо меры Лебега можно
взять любую другую положительную счетно аддитив-
аддитивную меру). Если на этом множестве функций определить
скалярное произведение
то получится новое Г. п. Нг.
6) Множество непрерывных Бора почти периодиче-
периодических функций на прямой образует предгильбертово про-
пространство, если скалярное произведение определяется
равенством
(х (t), у (<)) = lim 4tV rx (()^> dU
Существование предела вытекает из теории почти перио-
дич. функций. Это пространство пополняется Безико-
вича почти периодическими функциями класса В3.
Пространства 1г и L2 были введены и изучены Д. Гиль-
Гильбертом [1] в основополагающих работах по теории
интегральных уравнений и бесконечных квадратичных
форм. Определение Г. п. было дано Дж. Нейманом
[3], Ф. Рнссом |4] и М. Стоуном [13], к-рые положили
также начало его систематич. изучению.
Г. п. является естественным обобщением обычного
трехмерного пространства евклидовой геометрии, и
многие геометрпч. понятия имеют интерпретацию в
Г. п., что позволяет говорить о геометрии Г. и.
Два вектора х, у из Г. и. Н наз. ортогональ-
ортогональными (х_\_у), если (х, г/) = 0. Два линейных много-
многообразия ЯЛ и ЭД из Н наз. ортогональными
(Щ1_|_5Ю, если каждый элемент из 3J1 ортогонален каж-
каждому элементу из?!. Ортогональным допол-
дополнением множества АаН называется множество
В={х\(х, Л) = 0}, т. е. множество элементов х?Н, ор-
ортогональных ко всем элементам из А. Оно обозначает-
обозначается HQA или, если Н подразумевается, А-~. Ортого-
Ортогональное дополнение 9f произвольного множества Щ1 из
Н есть замкнутое линейное многообразие. Если 3J1 —
замкнутое линейное многообразие в Г. п. (называемое
также подпространство м), то всякий эле-
элемент х?Н единственным образом может быть пред-
представлен в виде суммы x=y-*rz, г/^Ш1, г^^с- :)то разло-
разложение наз. теоремой об ортогональном
дополнении и записывается обычно в виде
При этом теорема справедлива также в случае, если
Н есть предгильбертово пространство, а 5Ш — замкну-
замкнутое линейное многообразие в Н. В связи с этим уместно
отметить, что нек-рые другие утверждения теории Г. п.
справедливы полностью или частично и в предгильбер-
предгильбертовых пространствах. Однако практически это обстоя-
обстоятельство не очень существенно, ибо встречающиеся в
приложениях пространства либо полны, либо известно,
как их пополнить.
Множество А сН наз. ортонормнрованным
множеством, или ортонормированной
системой, если любые различные два вектора из А
ортогональны и если норма каждого вектора у?А рав-
равна единице. Ортонормированное множество наз. п о л-
ным ортонормировании м множест-
вом, если не существует ненулевого вектора из Я,
ортогонального ко всем векторам этого множества.
Если {г/,} — ортонормированная последовательность, а
{а,} — последовательность скаляров, то ряд
сходится в том и только в том случае, когда
2,-1«/12< °°;
при этом
112-««¦»«• II2=2-1«< г
(теорема Пифагора в Г. п.).
Пусть А — ортонормированное множество в Г. п.
Я, а х — произвольный вектор из Я. Тогда (х, г/) = 0
для всех у ? А, за исключением конечного или счетного
множества векторов. Ряд
Рх = ^упА (х> У) У
сходится, и его сумма не зависит от порядка расположе-
расположения его ненулевых членов. Оператор Р является опе-
оператором ортогонального проекти-
проектирования, или проектором, на замкнутое
линейное многообразие, порождаемое множеством А.
Множество АаН наз. ортонормирован-
ортонормированным базисом линейного многообра-
многообразия ЭДс^Я, если А содержится в 9f и если для любого
х?%1 имеет место
Ж = 2у ед(г. У) У:
т. е. любой вектор ж?ЗД разлагается по системе А,
или может быть представлен при помощи векторов
системы А. Набор чисел {(х, у)\у?А } наз. набором
коэффициентовфурье элемента х по базису
А. Каждое подпространство Г. п. Я (в частности, само
Я) имеет ортонормированный базис.
В Р(Т) ортонормированным базисом является набор
функций {xt, t?T}, определяемых формулой xf(s)=i
при s=t, xt{s) = 0 при s=?t. В пространстве L2(s, 2, ц)
разложение вектора по базису принимает вид разложе-
разложения функции по системе ортогональных функций —
важный метод решения задач математич. физики.
Для ортонормированного множества АаН следую-
следующие утверждения эквивалентны: А полно; А является
ортонормированным базисом для Я; ||ж||2=2 4|(х, у)\"
для любого х?Н.
Все ортонормированные базисы данного Г. п. имеют
одну и ту же мощность. Этот факт позволяет опреде-
определить размерность Г. п. Именно, размерностью
Г. и. наз. мощность произвольного ортонормированного
базиса в нем. Иногда эта размерность наз. гильбер-
гильбертовой размерностью (в отличие от лине й-
ной размерности Г. п.. т. е. мощности базиса
Гаме ля (Хаме ля) — понятия, не учитывающего тополо-
топология, структуру Г. п.). Два Г. п. изоморфны в том и
только в том случае, когда они имеют одну и ту же
размерность. С понятием размерности связано понятие
дефекта, или коразмерности, подпро-
ст р анства. Именно, дефектом подпространства Нх
Г. п. Я наз. размерность ортогонального дополнения
H-^ = HQHi. Подпространство, дефект к-рого равен 1,
т. е. ортогональное дополнение к-рого одномерно, на-
называется гиперпространством. Параллель-
Параллельное ему плоское множество называется г и п е р-
плоскостью.
Некоторые из геометрия, понятий требуют использо-
использования терминологии линейных операторов в Г. п.; к
ним относится, в частности, понятие раствора ли-
линейных многообразий. Раствором многооб-
многообразий Мг и М2 в Г. п. Я наз. норма Q{Mlt Мг)
разности операторов, проектирующих Я на замыкание
этих линейных многообразий.
Простейшие свойства раствора:
я) 9(Л/Ь M2)=Q(M1, M2)=Q(HQMU HQM2);
б) Q(MU M2)<1,
причем в случае строгого неравенства dim Af1=dim Мг.
Во многих задачах, относящихся к Г. п., участвуют
лишь конечные наборы векторов Г. п., т. е. элементы
конечных линейных многообразий Г. п. Поэтому поня-
понятия и методы линейной алгебры играют в теории Г. п.
большую роль. Векторы gu g2, . . ., gn в Г. и. наз.
линейно независимыми, если равенство
где а? — скаляры, возможно лишь в том случае, когда
все аь равны нулю. Для линейной независимости век-
векторов необходимо и достаточно, чтобы их Грама опре-
определитель был отличен от нуля. Счетная последователь-
последовательность векторов glt. .., gn, ... наз. линейно не-
независимой последовательностью,
если линейно независима каждая ее конечная часть.
Каждая линейно независимая последовательность мо-
может быть ортогонализирована, т. е. может быть по-
построена такая ортонормирования система elt e2, . ¦ .,
что для каждого п линейные оболочки множеств {gk}k=i
и (efe}fe=i совпадают. Это построение наз. процес-
процессом ортогонализации (ортонорма-
лизации) Грама— Шмидта и осуществля-
осуществляется следующим образом:
hn=gn—2jk=i(g'" e^' e*' е" = |Г7ГТг ••• •
В множестве Г. п. определены операции прямой сум-
суммы и тензорного произведения Г. п. П р я м о й сум-
суммой Г. п. Я/, г=1, 2,..., га, где каждое Я,- обладает
соответствующим скалярным произведением, наз. Г. п.
определяемое следующим образом: в векторном прост-
пространстве #!+Я2+¦•¦ + •#« — прямой сумме векторных
пространств Н1,.. ., Ип — задается скалярное произ-
произведение равенством
При 1Ф] элементы из Я,- и Hj в прямой сумме
взаимно ортогональны, и проектирование Я на Я,-
совпадает с ортогональным проектированием Я на Я,-.
Понятие прямой суммы Г. п. обобщается на случай
бесконечного множества прямых слагаемых. Пусть для
каждого v из нек-рого множества А индексов задано
Г. п. Я ,. Прямой с у м м о й Г. п. наз. (и обозна-
обозначается 2 veAQ-)H ) совокупность Я всех определенных
на А функций {т }, обладающих тем свойством, что
*V€HV Для каждого v?A, и 2V6 A l*vl! * < °°-
При этом в Я линейные операции определяются равен-
равенством
и скалярное произведение — равенством
(К}, !»v}>=2v6a(v »v>«v-
При таком способе введения линейных операций и ска-
скалярного произведения прямая сумма
*=2veA®"v
становится Г. п.
Другой важной операцией в множестве Г. п. явля-
является тензорное произведение. Тензорным про-
произведением Г. п. Н{, i=l, 2, . . ., п, наз. Г. п.,
определяемое следующим образом. Пусть H1QH2Q. . .
¦ ¦ -QHn — тензорное произведение векторных про-
пространств Н1, . . ., Я„. В векторном пространстве
HiQH^Q. . .QHn существует единственное скалярное
произведение такое, что
• • • О«, г/i О г/г О¦ • • Ог/J = Ц"= 1 (*»> vt) я,
для всех xi, У[?Н(. Векторное пространство становится,
таким образом, предгильбертовым пространством, по-
пополнение к-рого есть Г. п., обозначаемое Н^Н^®- ¦ ¦
.. .(Х)Я„ или JJ._ ®Н( и наз. тензорным про-
произведением Г. п. Я/.
Г. п. образуют важный класс банаховых пространств:
любое Г. п. II есть банахово пространство относитель-
относительно нормы ||л;||=(г, ху/г, причем для любых двух век-
векторов х, у?Н имеет место равенство параллелограмма:
Равенство параллелограмма выделяет класс Г. п.
среди банаховых пространств, т. е. если в действитель-
действительном нормированном пространстве В для любой пары эле-
элементов х, у?В имеет место равенство параллелограмма,
то функция
(ж, г/) = 4
удовлетворяет аксиомам скалярного произведения и
тем самым превращает В в предгильбертово простран-
пространство (а если В — банахово, то — в Г. п.). Из равенства
параллелограмма следует, что Г. п. есть равномерно
выпуклое пространство. Как в любом банаховом про-
пространстве, в Г. п. можно определить две топологии —
сильную (нормированную) и слабую. Эти топологии
различны, но Г. п. сепарабельно в сильной топологии
тогда и только тогда, когда оно сепарабельно в слабой
топологии; выпуклое множество (в частности, линейное
многообразие) в Г. п. сильно замкнуто тогда и только
тогда, когда оно слабо замкнуто.
Как и в теории общих банаховых пространств, в те-
теории Г. п. важную роль играет понятие сепарабель-
сепарабельности. Г. п. сепарабельно тогда и только тогда, когда
оно имеет счетную размерность. Г. п. I2 и Я(/) сепара-
бельны. Г. п. 12(Т) сепарабельно тогда и только тогда,
когда Т не более чем счетно; Г. п. L2(s, 2, jx) сепара-
сепарабельно, если мера pi имеет счетный базис. Г. п. В2
не сепарабельно.
Любой ортонормированный базис в сепарабельном
Г. п. Н является одновременно безусловным базисом
Шаудера в Н, рассматриваемом как банахово про-
пространство. Однако в сепарабельных Г. п. существуют
и не ортогональные базисы Шаудера. Так, справедлива
теорема (см. [7]): пусть {f^} — полная система векторов
в Г. и. Я и пусть Хп и Л„ — наименьшее и наибольшее
собственные значения Грама матрицы
ч.
Если
a;*}" ft=1. <x/k =
lim Я„ > 0 и lim А„ < оо,
то 1) последовательность {fk} есть базис в Я; 2) суще-
существует биортогональная к {f^} последовательность
{gk}, к-рая также является базисом в Я.
Как и в любом банаховом пространстве, описание
множества линейных функционалов на Г. п. и исследо-
исследование свойств этих функционалов имеет большое значе-
значение. Линейные функционалы в Г. п. устроены особенно
просто. Всякий линейный функционал /в Г. п. Я
однозначно записывается в виде /(ж)=(ж, х*) для всех
х?Н, где х*?Н; при этом ||/||=1к*||. Пространство Я*
линейных функционалов / на Я, сопряженное к Я,
изометрически антиизоморфно Я (т. с. соответствие
/—>-.г* изомотрично, аддитивно и антиоднородно: а/—»-
—кх.г*). В частности, Г. п. рефлексивно; поэтому спра-
справедливы следующие утверждения: Г. п. слабо секвен-
секвенциально полно; для того чтобы подмножество Г. п.
было относительно слабо компактным, необходимо и
достаточно, чтобы оно было ограниченным.
Основным содержанием теории Г. п. является теория
линейных операторов в Г. п. Само понятие Г. п. сфор-
сформировалось в работах Д. Гильберта [2] и У). Шмидта
[14] по теории интегральных уравнений, а абстрактное
определение Г. п. было дано в работах Дж. Ней-
Неймана [3], Ф. Рисса [4] и М. Стоуна [13] по теории эрмито-
эрмитовых операторов. Теория операторов в Г. п. представ-
представляет особый важный раздел общей теории операторов
по двум причинам.
Во-первых, теория самосопряженных и унитарных
операторов в Г. п. является не только самой разрабо-
разработанной частью общей теории линейных операторов, но
и имеющей исключительно широкие приложения в дру-
других областях функционального анализа и в ряде других
разделов математики и физики. Теория линейных опе-
операторов в Г. п. позволяет рассмотреть многие задачи
математич. физики с единой общей точки зрения; прежде
всего — вопросы, относящиеся к собственным значе-
значениям и собственным функциям. Кроме того, теория са-
самосопряженных операторов в Г. п. служит математич.
аппаратом квантовой механики: при описании кванто-
вомеханич. системы наблюдаемые (энергия, импульс,
координаты и т. п.) интерпретируются как самосопря-
самосопряженные операторы в нек-ром Г. п., а состояние системы
задается элементом этого Г. п. В свою очередь, задачи
квантовой механики до настоящего времени оказывают
влияние на развитие теории самосопряженных опера-
операторов, а также теории алгебр операторов в Г. и.
Во-вторых, интенсивно развивающаяся теория неса-
несамосопряженных операторов в Г. п. (в частности, цик-
циклических, нильпотентных, одноклеточных, сжимающих,
спектральных и скалярных операторов) является важ-
важной моделью теории линейных операторов в более об-
общих пространствах.
Важный класс линейных операторов в Г. п. образуют
всюду определенные непрерывные операторы, наз. так-
также ограниченными операторами в Г. п. Если ввести в
множестве SS (Я) всех ограниченных линейных опе-
операторов в Я операции сложения, умножения на число
и умножения операторов, а также норму оператора,
по обычным правилам (см. Линейные операторы) И
определить инволюцию в S3 (Я) как переход к сопряжен-
сопряженному оператору, то S3 (Я) становится банаховой алгеб-
алгеброй с инволюцией. Важнейшими классами ограничен-
ограниченных операторов в Г. п. являются самосопряженные
операторы, унитарные операторы и нормальные опера-
операторы, так как они обладают специальными свойствами
по отношению к скалярному произведению. Эти классы
операторов хорошо изучены; основным инструментом в
их изучении являются простейшие из ограниченных
самосопряженных операторов, а именно: операторы
ортогонального проектирования, или ортогональные
проекторы, часто называемые просто проекторами.
Способ, позволяющий строить любые ограниченные
самосопряженные, унитарные и нормальные операторы
в комплексном Г. п. с помощью проекторов, дается
спектральным разложением соответствующих операто-
операторов, особенно простым в случае сепарабельного Г. п.
Более сложным разделом теории линейных операто-
операторов в Г. п. является теория неограниченных операто-
операторов. Важнейшими неограниченными операторами в
Г. п. являются замкнутые линейные операторы с плот-
плотной областью определения; в частности, неограниченные
самосопряженные и нормальные операторы. Между
самосопряженными и унитарными операторами в Г. п.
существует взаимно однозначное соответствие, опреде-
определяемое Кали преобразованием. Большое значение имеет
(в частности, в теории линейных дифференциальных
операторов) класс симметричных операторов в Г. п. и
теория самосопряженных расширений симметричных
операторов.
Неограниченные самосопряженные и нормальные
операторы в комплексном Г. п. Н также допускают спек-
спектральное разложение. Спектральное разложение явля-
является большим достижением теории самосопряженных и
нормальных операторов в Г. п. Оно соответствует
классич. теории приведения эрмитовых и нормальных
комплексных матриц в re-мерном унитарном простран-
пространстве. Именно спектральное разложение и связанное с
ним операторное исчисление для самосопряженных и
нормальных операторов обеспечивают теории операто-
операторов в Г. п. широкую область применения во многих
разделах математики.
Для ограниченных самосопряженных операторов в
12 спектральное разложение было найдено Д. Гильбер-
Гильбертом [1], к-рый также ввел важное понятие разложения
единицы для самосопряженного оператора. В совре-
современный период известно несколько подходов к спект-
спектральной теории самосопряженных и нормальных опе-
операторов. Один из наиболее глубоких дает теория бана-
банаховых алгебр. Спектральное разложение для неогра-
неограниченного самосопряженного оператора было найдено
Дж. Нейманом [3]. Его работе предшествовали важ-
важные исследования Т. Карлемана [8], к-рый получил
спектральное разложение для случая симметрического
интегрального оператора, а также впервые обнаружил,
что между симметрическими ограниченными и неогра-
неограниченными операторами полной аналогии нет. На
важность понятия самосопряженного оператора впер-
впервые обратил внимание Э. Шмидт (см. [3], с. 62).
Следует отметить, что как для исследований Д. Гиль-
Гильберта, так и для более поздних исследований большое
значение имели работы П. Л. Чебышева, А. А. Мар-
Маркова, Т. И. Стилтьеса по классической моментов про-
проблеме, Якоби матрицам и непрерывным дробям (см.
[9]).
Лит.: [ilHtlbert D., Grundzuge einer allgemeinen Theo-
rie der linearen Integralgleichungen, Lpz.— В., 1912; N. Y., 1953;
[2] В e s i с о v i t с h A. S., Almost periodic functions, Camb.,
1932; [3] v о n Neumann J., «Math. Ann.», 1929, Bd 102,
S. 49—131; [4] Riesz F., «Acta Sci. Math. Szeged», 1930,
v. 5, № 1, p. 23—54; [5] Дьедонне Ж., Основы современ-
современного анализа, пер. с англ., М., 1964; [6] Бур баки Н.,
Топологические векторные пространства, пер. с франц., М.,
1959; [7] А х и е з е р Н. И., Глазман И. М,, Теория
линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М.,
1966; [8] С а г 1 е m a n Т., Sur les equations integrates singu-
lieres a noyau reel et symetrique, Uppsala, 1923; [9] A x и е з е р
H. И., Классическая проблема моментов и некоторые вопросы
анализа, связанные с нею, М., 1961; [10] Данфорд Н.,
Шварц Д ж., Линейные операторы, пер. с англ., М.,
1962; [11] Рисе Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции
по функциональному анализу, пер. с франц., М., 1954; [12]
Наймарк М. А., Линейные дифференциальные операторы,
2 изд., М., 1969; [13] Stone M., Linear transformation in
Hilbert space and their applications to analisis, N. Y., 1932;
[14] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы те-
теории функций и функционального анализа, 3 изд., М., 1972.
Б. М. Левитан.
ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО С ИНДЕФИНИТ-
ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ — гильбертово пространство Е
над полем комплексных чисел, снабженное непрерыв-
непрерывной билинейной (точнее полуторалинейной) формой G,
к-рая, вообще говоря, не является положительно опре-
определенной. Форму G часто наз. G-м е т р и к о й. Наи-
Наиболее важным частным случаем Г. п. с и. м. является
так наз. /-п р о с т р а н с т в о: Г. п. си. м., в к-ром
форма G определяется нек-рой эрмитовой инволюцией
/ в Е по формуле G(x, y) = (Jx, у). В этом случае фор-
форма G обозначается также буквой / и наз. /-м е т р и-
кой. Инволюция / допускает представление в виде
J=P+ — Р_, где Р + , Р_ — ортогональные проекторы
в Е, и Р + -\-Р_ = 1\ число x=min (dim P + , dim P^)
наз. рангом индефинитности /-метрики
или /-пространства. Если и<+°°, то Г. п. с и. м.
(Е, /) наз. Понтрягина пространством П ; см. также
Пространство с индефинитной метрикой.
Два Г. п. с и. м. (Е, G) и (Elt Gx) наз. метри-
метрически эквивалентными, если существует
линейный гомеоморфизм U гильбертова пространства Е
на пространство Ег, переводящий форму G в форму G1.
G-метрика, порождаемая обратимым эрмитовым опе-
оператором G по формуле G(x, z/) = (G;r, у), наз. регу-
регулярной; после введения нового скалярного произве-
произведения, метрически эквивалентного старому, регулярная
G-метрика становится /-метрикой. Каждое Г. п. с
и. м. с эрмитовой формой G может быть G-изометри-
чески (т. е. с сохранением формы G) погружено в
нек-рое /-пространство [2], [3].
Главные направления в теории Г. п. с и. м.— те
же, что и в общих пространствах с индефинитной мет-
метрикой, но со значительным уклоном в спектральную
теорию. Геометрия Г. п. с и. м. существенно богаче,
чем у общих пространств с индефинитной метрикой.
Так, в случае /-пространств имеется эффективное
описание максимальных подпространств L среди всех
неотрицательных (неположительных, нейтральных):
это те L, для к-рых Р + L=P + Е (соответственно P_L=
= Р_?; выполнено хотя бы одно из этих равенств). От-
Отсюда — аналог закона инерции квадратичных форм:
если E=L + -\-L- — канонич. разложение /-простран-
/-пространства в сумму семидефинитных подпространств, то
dim L± = dim P±Е. Подпространство L является мак-
максимальным неотрицательным тогда и только тогда, когда
L имеет угловой оператор К относительно Е + , т. е. L==
= {х+Кх : х?Е+}, и ||Я||<1.
В /-пространствах развита теория базисов, к-рая
помогает изучать геометрию Г. п. с и. м., а также опе-
операторы в них /-о ртонормированный ба-
базис /-пространства (Е, /) есть базис в гильберто-
гильбертовом пространстве Е, удовлетворяющий условиям (Jekt
еп)= ±6fcn; к, п=1, 2,... Для того чтобы /-ортонор-
мированная последовательность $ была базисом Рисса
пространства Е, необходимо и достаточно, чтобы Е==
— М+-{-М-, где М± — замкнутая линейная оболочка
векторов {ek : (Jek, ek)= ±1}. Если $—/-ортонормиро-
ванный базис в Е, то разложение Е=М + -\-М- есть
канонич. разложение /-пространства Е. Большую груп-
группу геометрич. задач в Г. п. с и. м., возникающих в
теории операторов в этих пространствах, составляют
вопросы, связанные со структурой и свойствами так
наз. дуальных пар подпространств
Г. п. с и. м. (Е, /), т. е. таких пар N, Р подпро-
подпространств в Е, что N и Р взаимно /-ортогональны, при-
причем iV-неположительное, а Р — неотрицательное под-
подпространства. Дуальная пара наз. максималь-
н о й, если N и Р — максимальные семидефинитные
подпространства.
Теория операторов в Г. п. с и. м. Метрика G счита-
считается эрмитовой и невырожденной, а встречающиеся опе-
операторы — плотно заданными. Пусть для оператора Т с
областью определения Dj- определен G-сопряженный
оператор Тс равенством
G(Tx, y) = G(x, T'y), x?DT, у ? D^.
При этом тс=а~гт*а и
D C = G~1 \GE[)T*-1(TE(]GE)}.
Оператор Т наз. G-c амосопряженным, если
Т=ТС, и G-c имметричным, если G(Tx, y)~
= G(x, Ту); х, y?D-p. Корневые подпространства
(линеалы) L}(T) и L^(T), Хфц, G-симметричного опе-
оператора Т G-ортогональны; в частности, если ХфХ,
то L^(T) — нейтральное подпространство (линеал).
Если G — регулярная метрика, то спектр о(Т)
G-самосопряженного оператора Т симметричен относи-
относительно действительной оси; если — не регулярная, то
это, вообще говоря, не так. /-самосопряженность
оператора Т равносильна самосопряженности /Г.
Если ?, ??<7(Г), то Кэли преобразование U= (T — ?/) X
ХG7—j/)-1 есть /-унитарный оператор,
т. с. такой, что UJU*=U*JU=J. Спектр [/симметри-
[/симметричен относительно окружности S={X?C : |Х,| = 1}.
Начиная с работы Л. С. Понтряшна [1], основным
вопросом теории является вопрос о существовании
семидефинитных инвариантных подпространств. Пусть
Т — ограниченный оператор в /-пространстве Е и
(JTx, 7\r)>0 при (Jx, х)^>0, х?Е (так наз. плюс-
оператор); если Р+ТР_ — вполне непрерывный
оператор, то существует максимальное неотрицатель-
неотрицательное Г-инвариантное подпространство L. Этот результат
приложим, в частности,, к /-унитарным операторам U
в пространствах П.^, где он служит основой так наз.
метода дофинпзации — построения опера-
операторного полиномар ([/), переводящего Е в семидефинит-
ное подпространство. Этот прием позволяет получать,
напр., аналоги обычного спектрального разложения
для /-унитарных и /-самосопряженных операторов в
пространствах П^.
Теория операторов в Г. п. с и. м. существенно ис-
используется в теории канонич. систем обыкновенных
дифференциальных уравнений; напр., критерий устой-
устойчивости для таких уравнений следующим образом
записывается в терминах оператора монодромии [/:
для этого необходимо и достаточно, чтобы существовала
максимальная [/-инвариантная дуальная пара подпро-
подпространств. Другой основной потребитель, описанной
теории — спектральная теория квадратичных опера-
операторных пучков, важная во многих задачах математич.
физики.
О теории представлений в Г. п. с и. м. см. [4].
Лит.: [1] П о н т р я г и н Л. С, «Изв. АН СССР. Сер. ма-
тем.», 1944, т. 8, с. 243—80; [2] Г и н з б у р г Ю. П., И о х-
видов И. С, «Успехи матем. наук», 1962, т. 17, в. 4, с. 3—
56; [3] А з и з о в Т. Я., И о х в и д о в И. С, там же,
1971, т. 26, в. 4, с. 43—92; [4] Н а й м а р к М. А., И с м а г и-
л о в Р. С, Итоги науки. Математический анализ. 1968, М.,
1969, с. 73—105; [5] Функциональный анализ, 2 изд., М,, 1972
{Справочная математическая библиотека).
Н. К. Никольский, B.C. Павлов.
ГИПЕРБОЛА — плоская кривая, получающаяся в
пересечении кругового конуса с плоскостью, не прохо-
проходящей через вершину конуса и пересекающей обе его
полости. Г. есть множество точек М плоскости (см.
рис.), модуль разности расстояний к-рых до двух дан-
данных точек F1 и F2 (фокусов Г.) постоянен и равен
2a<F1F2. Расстояние между фокусами Г. наз. фо-
фокусным расстоянием его принято обозна-
обозначать через 2с. Середина отрезка FiF2 наз. центром
Г. Прямая, на к-рой лежат фокусы Г., наз. дейст-
действительной (или фокальной) осью Г. Пря-
Прямая, проходящая через центр Г. перпендикулярно к
действительной оси Г., наз. мнимой осью Г. Мни-
Мнимая и действительная оси Г. являются ее осями симмет-
симметрии. Число е=с/а<1 наз. эксцентриситетом
Г. ДиаметромГ. наз. любая прямая, проходящая
через центр Г. Середины параллельных хорд Г. лежат
на диаметре. Директрисой Г., соответствующей
данному фокусу F, наз. прямая d, перпендикулярная
к действительной оси Г., отстоящая от центра на рас-
расстояние ale и лежащая от центра по одну сторону с фо-
фокусом F. У Г. — две директрисы. Г. имеет две асимп-
асимптоты:
Г. есть центральная линия второго порядка. Ее ка-
нонич. уравнение имеет вид
•У2 7/2
а2 Ь2 '
где а и Ь= Ус2—а2 — полуоси Г., a x, у — текущие
координаты. Уравнение касательной к Г. в точке (х0,
у0) имеет вид
хх„ уу„_ .
а2 ьг •
Фокальный параметр Г. (половина длины
хорды, проходящей через фокус перпендикулярно
фокальной оси Г.) равен Ь2/а. При помощи фокального
параметра р можно записать уравнение Г. в виде
^ 1 +е cos ф '
где р, ф — полярные координаты, я —фо<ф<я+фо>
2фо ~~ угол между асимптотами.
При а=Ъ Г. наз. равнобочной, или равно-
сторонней, Г. Асимптоты равнобочной Г. взаимно
перпендикулярны; если их принять за оси координат,
то уравнение равнобочной Г. примет вид
т. е. равнобочная Г. представляет собой график об-
обратно ПрОПОрцИОНаЛЬНОЙ ЗаВИСИМОСТИ. Д Б Иванов
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — Лобачев-
Лобачевского геометрия.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ МЕТРИКА, гиперболи-
гиперболическая мера,— метрика в области комплексной
плоскости, обладающей по крайней мере тремя гранич-
граничными точками, инвариантная относительно автомор-
автоморфизмов этой области.
Гиперболическая метрика в круге
Е : |z|<l определяется линейным элементом
¦ , I dz I
dgz = l-|z|2'
где \dz\ — линейный элемент евклидовой длины. Вве-
Введение Г. м. в круге Е приводит к модели Лобачевского
геометрии. Роль прямых в данной модели играют дуги
евклидовых окружностей, ортогональных к |z[ = l,
лежащие в Е; роль бесконечно удаленной точки играет
окружность |z| = l. Движениями в ней служат дробно-
линейные преобразования круга Е на себя. Гипер-
Гиперболическая длина кривой L, лежащей в
круге Е, определяется формулой
Гиперболическое расстояние между
точками zx и z2 круга Е равно
I l I 1
_
| 1-ZjZs -
Множество точек круга Е, гиперболич. расстояние
к-рых от данной точки z0, z0 ? Е, не превосходит задан-
заданного числа R, R >0, т. е. гиперболический
круг в Е с гиперболич. центром в точке z0 и гипербо-
гиперболич. радиусом R, является евклидовым кругом с цент-
центром, отличным от z0 при zo^=0.
Гиперболическая площадь области В,
лежащей в Е, определяется формулой
&к(В)—П dx dy z-x-Liu
Величины u^(L), rp(z1, z2) н &е(В) инвариантны
относительно дробно-линейных преобразований круга
Е на себя.
Гиперболическая метрика в любой
области D плоскости z, имеющей не менее трех гранич-
граничных точек, определяется как перенесенная в D при кон-
конформном отображении ?=?(z) области D на круг Е:
|?|<1 гиперболнч. метрика круга Е: ее линейный эле-
элемент определяется формулой
,,„ __ I V (^) I I dz |
daz= l-l t(O I2 •
Область, имеющую не более двух граничных точек,
уже нельзя конформно отобразить на круг. Величина
!?'(*)!
наз. плотностью Г. м. области D. Гиперболич.
метрика области D не зависит ни от выбора отображаю-
отображающей функции, ни от выбора ее ветви и вполне определя-
определяется областью D и положением точек в D. Гиперболич.
длина кривой L, лежащей в D, находится по формуле
Гиперболическое расстояние между
точками z1 и z2 области D равно
rn(z -) 11г>11~? (Zl) ? (Z2) * + ' ? (г''~? (гг)'
2 I 1 - С («О Е (гг) | - | С («!>- С (г«) I '
где ?(z) — любая функция, конформно отображающая
D на круг Е. Гиперболическим кругом
в области D, как и в случае круга \z\ <1, наз. множество
точек области D, гиперболич. расстояние к-рых от дан-
данной точки области D (гиперболич. центра) не превосходит
заданного положительного числа (гиперболич. радиу-
радиуса). Если область D многосвязна, гиперболич. круг в D
есть, вообще говоря, многосвязная область. Гипер-
Гиперболическая площадь области В, лежащей в
D, находится по формуле
Величины U?)(L), r?)(zlt z2) и Ад (В) являются инвари-
инвариантами относительно конформных отображений об-
области D (одно из основных свойств Г. м. в D).
Лит.: [1] Г о л у з и н Г. М., Геометрическая теория функ-
функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [2] Сто и-
л о в С, Теория функций комплексного переменного, пер. с
рум., т. 1—2, М., 1962. Г. В. Кузьмина.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ — плоская тран-
трансцендентная кривая, уравнение к-рой в полярных коор-
координатах имеет вид:
а
Состоит из двух ветвей, симметричных относительно
прямой d (см. рис.). Полюс является асимптотич. точ-
точкой. Асимптота — прямая, параллельная полярной
оси и отстоящая от нее на расстоянии а. Длина дуги
между точками M1(p1,(f1) а Л/2(р2, <р2):
I.
Площадь сектора, ограниченного дугой Г. с. и двумя
радиус-векторами рх и р2, соответствующими углам ср1
и ф2:
g _а2 (Pi-Рг)
Г. с. н архимедова спираль могут быть получены друг
из друга инверсией относительно полюса О. Г. с —
частный случай так наз. алгебрапч. спиралей (см. Спи-
Спирали).
Лит.: [1] С а в е л о в А. А., Плоские кривые, М., 1960.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ТОЧКА — 1) Г. тДi/o в°е°р х:
н о с т и — точка, в к-рой соприкасающийся парабо-
параболоид является гиперболич. параболоидом. В Г. т. ин-
индикатриса кривизны представляет собой пару сопря-
сопряженных гипербол. Е. в. Шикин.
2) Г. т. динамической системы— такая
точка х=х*, принадлежащая области определения
системы вида
* = /(*), х = {хх, ..., х„), (*>
что f(x*) = Q, а матрица А, равная значению dfldx в totil
ке х=х*, имеет к собственных значений с положительной
действительной частью и п — к собственных значений с
отрицательной действительной частью, 0<fc<n. В ок-
окрестности Г. т. существует (п— /с)-мерная инвариантная
поверхность S + , образованная решениями систем и
(*), к-рые при ?—»-оо асимптотически приближаются к
точке х=х*, и fe-мерная инвариантная поверхность 5_,
образованная решениями системы (*), к-рые асимпто-
асимптотически приближаются к точке х=х* при г_».-оо.
Поведение траекторий системы (*) в достаточно малой
окрестности Г. т. характеризуется следующей теоремой
[4]: существует гомеоморфизм нек-рой окрестности
Г. т. в нек-рую окрестность точки и=0, и=(к15 ...,
ип), переводящий траектории системы (*) в траектории
линейной системы и=Аи.
Г. т. для диффеоморфизма, обладающего неподвиж-
неподвижной точкой, определяется требованием отсутствия рав-
равных по модулю единице собственных значений у линей-
линейной части диффеоморфизма в рассматриваемой непод-
неподвижной точке. Таким образом, Г. т. системы (*) оста-
остаются Г. т. диффеоморфизма, порождаемого сдвигом
вдоль траекторий системы (*).
Лит.: [1] Пуанкаре А., О кривых, определяемых диф-
дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М.—Л., 1947;
[2] Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости дви-
движения, М.—Л., 1950; [3] К о д д и н г т о н Э. А., Левин-
с о и Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений,
пер. с англ., М., 1958; [41 X артман Ф., Обыкновенные-
дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970.
В. И. Мельников.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ — триго-
тригонометрия на плоскости Лобачевского (см. Лобачевского
геометрия). Пусть а,-, г—1, 2, 3,— длины сторон тре-
треугольника на плоскости Лобачевского, а а,- — углы
этого треугольника. Справедливо следующее основное
соотношение (теорема косинусов), связы-
связывающее а/ и а,-:
cha1=cha2cha2~ sha2sha3cosa1.
Из него вытекают все остальные соотношения Г. т.;
напр., так наз. теорема синусов:
sin oti sin cc2 sin сх3
sh at sho, sh a3 '
А. Б. Иванов.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ
определяемые формулами:
ФУНКЦИИ - функции,
2
sh_ = g гиперболический синус,
-X . .-X
— гиперболический косинус.
Иногда рассматривается также гиперболиче-
гиперболический тангенс:
sh х
ch x '
Другие обозначения: sinh x, Sh x, cosh x, Ch x, tgh x,
tanh х, Th х. Графики см. на рис. 1.
Основные соотношения:
sh (х + у) =sh х ch у ± ch x sh г/,
(х ± y) = chxchy ± sh х sh г/,
th lx + и) — th * ± th "
til (х ± у) — _______ ,
chx,
1
F
\
\
| '
Г
v
\
-2
\
\
„
---
= thx\ /
7
4i
1J
0
1
7
#
#
Jf
u\
ff\
1
hx
X
Рис. 1.
Рис. 2.
Геометрическая интерпретация Г. ф. аналогична ин-
интерпретации тригонометрических функций (рис. 2).
Параметрич. уравнения гиперболы
x=ch?, y=sht
позволяют истолковать абсциссу х=ОР и ординату
г/ = РЛ/ точки М равносторонней гиперболы ж2— г/2=1
как гиперболич. косинус и синус; гиперболич.
тангенс —отрезок АВ. Параметр t равен удвоенной
площади сектора О AM, где AM — дуга гиперболы.
Для точки М' (при у<0) параметр t отрицателен.
Обратные гиперболические функции определяются
формулами:
ln(z+ K*2+ 1),
Аг ch ж = In
2 1—x' ' I
Производные и основные интегралы от Г. ф.:
с(ж
S г
\ th _„_ =
J ch^a:
С dx 1 -
Во всей плоскости комплексного переменного
Г. ф. sh г и ch z могут быть определены рядами:
2!
5!
+¦?-
chz = l
таким образом,
ch z=cos (iz), i sh z=sin(iz).
Имеются обширные таблицы для Г. ф. Значения
Г. ф. можно получить также из таблиц для ех и е~х.
Лит.: [1] Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф., Специаль-
Специальные функ/даи. Формулы, графики, таблицы, 2 изд., пер. с нем.,
М., 1968; [2] Таблицы круговых и гиперболических синусов и ко-
косинусов в радианной мере угла, М., 1958; [:)] Таблицы ех и е~х,
М., 1955. В. И. Витюцков.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД — незамк-
незамкнутая нецентральная поверхность второго порядка.
В надлежащей системе координат (см. рис.) уравнение
Г. п. имеет вид:
—¦ —^- = 2z- гДе Р. 9 > 0.
Сечения Г. п. плоскостями, параллельными плоско-
плоскостям xOz и yOz, являются параболами, а сечения плос-
плоскостями, параллельными плоскости хОу,— гиперболами
(плоскостью хОу — двумя прямыми). Ось симметрии
Г. п. наз. его осью; точка пересечения Г. п. с осью
наз. вершиной Г. п. Если p = q, то Г. п. имеет
две оси симметрии. Г. п.— линейчатая поверхность;
уравнения прямолинейных образующих, проходящих
через данную точку (х0, у0, z0) Г. п., имеют вид:
х-хо__у-у„ _ _ г-га
Уо '
Vp~
х~х0 _ у-уа _ z-z
VJ -VV х«
_ А. Б. Иванов.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ЦИЛИНДР — цилиндри-
цилиндрическая поверхность второго порядка, для к-рой направ-
направляющей служит гипербола. Канонич. уравнение Г. ц.
имеет вид:
а2 Ъг
А. Б. Иванов.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ в
данной точке М (хъ х2, ¦ ¦ ¦, хп) — дифферен-
дифференциальное уравнение с частными производными, для
к-рого однозначно разрешима задача Коши при началь-
начальных данных, заданных в окрестности точки М на любой
нехарактеристич. поверхности. В частности, диффе-
дифференциальное уравнение с частными производными,
для к-рого конус нормалей не имеет мнимых полостей,
будет Г. т. у. Дифференциальное уравнение
Ци) =Я(Д1, Dt, ..., Dn)u +
W
где Di=d/dx{, i=l,..., re, H(DU D2, . . ., Dn) - од-
однородный многочлен степени т, а многочлен F имеет
степень, меньшую чем га, наз. Г. т. у., если его харак-
теристич. уравнение
имеет п различных и действительных решений относи-
относительно одной из величин glt g2,..., \п при заданных
остальных. Любое уравнение (*) 1-го порядка (т=1)
с действительными коэффициентами есть Г. т. у. Для
уравнений 2-го порядка
L (и) = ип— 2" ¦=1aijDiDjU + Fu-\-G = O
гиперболичность гарантируется положительной опре-
определенностью квадратичной формы
В. Л. Рождественский.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ чис-
численные методы решения — методы решения
уравнений гиперболич. типа на основе вычислительных
алгоритмов.
Различные математич. модели во многих случаях
приводят к дифференциальным уравнениям гипербо-
гиперболич. типа. Такие уравнения имеют точные аналитич.
решения только в редких случаях. Наиболее распростра-
распространенными являются численные методы. Они находят ши-
широкое применение при решениях задач механики сплош-
сплошной среды и, в частности, уравнений газовой динами-
динамики (см. Газовой динамики численные методы), к-рые
по своей структуре являются квазилинейными.
Численные методы решения уравнений гиперболиче-
гиперболического типа можно разделить на две группы: 1) методы
с явным выделением особенностей решения; 2) методы
сквозного счета, в к-рых особенности решения явно
не выделяются, а получаются в процессе счета как
области с резким изменением решений.
К первой группе относится, напр., метод характери-
характеристик, к-рый используется только для решения урав-
уравнений гиперболич. типа (он нашел широкое приме-
применение при решении задач газовой динамики).
Методы второй группы дают собственно разностные
схемы. Пусть, напр., имеется гиперболич. уравнение
где А есть (т X га)-матрнца, имеющая га различных
действительных собственных значений, w=w{x, t) —
вектор-функция с т компонентами. Матрица А может
быть либо функцией от х, t, и тогда A) есть линейная
гиперболич. система, либо зависеть также от w=w(x, t)
(квазилинейная система). Пусть, в последнем случае,
система уравнений A) приводима к дивергентному виду
где F есть вектор-функция от ш, х, t такая, что А =
=dF/dw, i|> — вектор-функция от w, x, t. В наиболее
важном случае А, F и ty зависят только от w. Для си-
системы уравнений A) может быть поставлена задача
Коши:
w(x, O) = wo(x)
с соответствующими краевыми условиями.
Как правило, основой построения разностных схем
является аппроксимация соответствующего дифферен-
дифференциальному уравнению интегрального закона сохране-
сохранения с помощью некоторых квадратурных формул на
контуре интегрирования разностной ячейки. В случае
гладких решений аппроксимация интегрального зако-
закона сохранения равносильна прямой аппроксимации
соответствующего дифференциального уравнения. Раз-
Разностные схемы должны удовлетворять требованиям
аппроксимации и устойчивости. Эти требования неза-
независимы и в определенном смысле вступают в противо-
речие одно с другим. Для случая дивергентных систем
дифференциальных уравнений существенным является
условие дивергентности (или консервативности) разно-
разностной схемы. Кроме того, разностные схемы должны
удовлетворять еще ряду необходимых требований— дис-
сипатнвности, экономичности и т. д. Двухслойная
явная разностная схема для линейного уравнения типа
A) имеет вид:
wr}+1=AwJ,
где Л — финитный оператор, т. е. представляется в
виде:
Ва есть (тХт)-матрицы с коэффициентами, зависящи-
зависящими от т, h, х, t; t=nx, x=jh\ т, ft. — шаги разностной
сетки по осям tux соответственно; числа q1 и q2 не за-
зависят от т, h; v.=xlh, T1 — оператор сдвига по х.
Условия аппроксимации приводят к соотношениям:
/ — единичная матрица.
Неявная разностная схема может быть записана в
виде:
ЛП+l д П
jU)/ = A0Wj ,
где Лх и Ло — финитные операторы:
Ва есть (mX т)-матрицы, зависящие от т, h, x, t, при-
причем оператор А1 содержит по крайней мере две ненуле-
ненулевые матрицы В и- Оператор Аг предполагается обрати-
обратимым, но его обратный не является финитным.
По свойствам аппроксимации разностные схемы мож-
можно подразделить на два класса: условно аппроксимиру-
аппроксимирующие и абсолютно аппроксимирующие. Условно аппро-
аппроксимирующие разностные схемы аппроксимируют ис-
исходное дифференциальное уравнение при т, /г, стремя-
стремящихся к нулю при нек-рой зависимости между т и h :
x=tp(/i). Абсолютно аппроксимирующие разностные
схемы аппроксимируют исходное дифференциальное
уравнение при стремлении т, h к нулю по любому
закону.
В случае условной аппроксимации разностное урав-
уравнение может аппроксимировать различные дифферен-
дифференциальные уравнения при различных законах предель-
предельного перехода. Так, напр., для уравнения
ди ди
1-и -х— =0, й = const > 0, B^
dt [ дх ' *¦ '
рассмотрим две разностные схемы:
'1 C)
-1 =0- D)
При законе предельного перехода
•? = const
разностная схема C) аппроксимирует уравнение B),
а при законе предельного перехода
,7* =const
— уравнение
ди , ди д'и Л2
Разностная схема D) аппроксимирует уравнение B)
абсолютно.
Аналогично, разностные схемы подразделяются на
условно устойчивые и абсолютно устойчивые. Так,
разностная схема D) устойчива, если выполнено сле-
следующее условие (условие Куранта):
т. о. условно устойчива. С другой стороны, неявная
разностная схема
устойчива при любых соотношениях между т и h,
т. е. абсолютно устойчива.
Явные разностные схемы просты в реализации, но
являются или условно устойчивыми или условно ап-
аппроксимирующими. В случае абсолютно аппроксими-
аппроксимирующей разностной схемы условие устойчивости явной
схемы имеет, как правило, вид
что приводит к излишне мелкому шагу т и неоправдан-
неоправданному увеличению объема вычислений. Абсолютно
устойчивые и абсолютно аппроксимирующие схемы
находятся только в классе неявных схем.
Неявные разностные схемы более сложны в реализа-
реализации при переходе с одного временного слоя на другой,
но зато шаг т может быть выбран сколь угодно боль-
большим и тем самым может определяться исключительно
требованием точности.
Теоремы сходимости для разностных схем, аппрок-
аппроксимирующих линейные дифференциальные уравнения,
позволяют сводить исследование сходимости разност-
разностной схемы к исследованию ее устойчивости.
Исследование аппроксимации разностной схемы соот-
соответствующего гиперболич. уравнения сравнительно
просто в случае гладких решений, носит локальный
характер и по существу сводится к разложению в ряд
Тейлора; в случае же разрывных решений это — слож-
сложная задача, сводящаяся к проверке интегральных
законов сохранения. Исследование устойчивости яв-
является значительно более сложной задачей.
Для разностных схем, аппроксимирующих гипербо-
гиперболич. уравнения с постоянными коэффициентами, ус-
устойчивость исследуется методом Фурье, а именно, оце-
оценивается норма образа Фурье оператора шага разност-
разностной схемы. Так как спектральный радиус матрицы
оСраза Фурье оператора шага не превосходит нормы
матрицы, то отсюда следует необходимый критерий
устойчивости: для устойчивости разностной схемы не-
необходимо, чтобы спектральный радиус образа Фурье
оператора шага не превосходил величины 1+0 (т), где
т — шаг разностной схемы по оси t. Это условие явля-
является необходимым и для разностных схем с перемен-
переменными коэффициентами и при ряде дополнительных огра-
ограничений является достаточным условием устойчивости
разностной схемы. Для исследования устойчивости
разностных схем с переменными коэффициентами, а
также для нек-рых нелинейных уравнений применя-
применяются: метод мажорантных или априорных оценок; ло-
локальный алгебраич. метод.
Метод априорных оценок аналогичен соответствую-
соответствующему методу для дифференциальных уравнений, но в
разностном случае его реализация встречает большие
трудности, что связано со спецификой разностного
анализа, в к-ром, в отличие от априорных оценок в тео-
теории дифференциальных уравнений, многие соотношения
принимают громоздкий вид.
Простейшей мажорантной оценкой является оценка
для разностных схем с положительными коэффициен-
коэффициентами.
Напр., пусть для уравнения B) с а=а(х) рассмат-
рассматривается разностная схема:
' х '+"/-' h' =0, al==aUh). E)
.*-?
Тогда при условии
справедлива оценка
где
|(и»[|=тах|«7|.
Отсюда следует равномерная устойчивость схемы E)
в пространстве С. Оценка переносится на разностные
схемы, аппроксимирующие гиперболич. системы урав-
уравнений в инвариантах.
Весьма важных!, хотя и ограниченный класс разност-
разностных схем составляют разностные схемы с положитель-
положительными коэффициентами и матрицами (так наз. мажо-
мажорантные схемы). Если коэффициенты таких
разностных схем есть симметричные, положительные
матрицы, липшиц-непрерывные по х, то такие схемы
устойчивы в пространстве L2. Как правило, это разност-
разностные схемы первого порядка аппроксимации, в к-рых
производные аппроксимируются односторонними разно-
разностями. При аппроксимациях более высокого порядка,
когда берутся центральные разности, как правило, по-
положительные коэффициенты не получаются. В этом слу-
случае используют априорные оценки более общего типа в
пространствах И7?.
Пусть, напр., A) — система уравнений акустики, где
причем функции а(х, t), u(x, t), v(x, t) периодичны
по ж с периодом 2 я. Априорная оценка для разностной
схемы
i" + 1W-u"(s)=
F)
имеет
где
вид
1 рп +1
\\Е\\2 =
Ы.1 р
X, П,
12
1
Т
^ 1 +Ъхх
— 1+М
J -я '
ап + 1(Х
та"
II рп 112
-av2)dx
-,,п(х)
(X)
Приведенная оценка доказывает устойчивость разност-
разностной схемы F) и аналогична энергетич. неравенству для
системы уравнений акустики.
В основе локально алгебраич. метода лежит изучение
свойств локального разностного оператора, получае-
получаемого из соответствующего разностного оператора с пе-
переменными коэффициентами «замораживанием» коэф-
коэффициентов. Тем самым анализ устойчивости разностного
оператора с переменными коэффициентами заменяется
анализом целого семейства операторов с постоянными
коэффициентами. Локальный критерий устойчивости
является обобщением метода «замораживания» коэффи-
коэффициентов, используемого в теории дифференциальных
уравнений.
К локальному критерию устойчивости, примыкает
диссипативный критерий устойчивости. Разностная
схема наз. диссипативной порядка v (v — четное число),
если существует такое б>0, что
где р — максимальное по модулю собственное число
матрицы перехода (образ Фурье оператора шага) раз-
разностной схемы, к — дуальное переменное. Тогда, если
разностная схема имеет порядок аппроксимации 2г+1
Bг+2), г=0, 1, 2,..., и является диссипативной
порядка 2г+2Bг-р4), то для гиперболических систем
дифференциальных уравнений 1-го порядка с эрмито-
эрмитовыми матрицами разностная схема будет устойчива
в L2.
При исследовании устойчивости разностных схем для
нелинейных гиперболич. уравнений (в частности,
уравнений газовой динамики) применяется метод диф-
дифференциального приближения, к-рый заменяет анализ
разностной схемы анализом ее дифференциального
приближения.
Например, дифференциальное приближение разност-
разностной схемы D) для уравнения B) строится следующим
образом: разложение в D) функции
u]-1 = u(U-l)h, пт)
в ряды Тейлора относительно точки x=jh, t=nr no
параметрам т и h приводит к Г-форме дифференциаль-
дифференциального представления разностной схемы:
Исключение
<
<
ди
В
Эй .
п '
G)
V4 х г1-1
Z-l/ = 2 II
производных
д2и в'и
д'и
etl
1 hl
д1и
дх1
приводит к П-форме дифференциального представления
разностной схемы D):
где С; — некоторые коэффициенты, зависящие от т,
h, а; причем C/=O(xz-1, h1-1). Исключение в G) и (8)
членов порядка О (т2, h2) приводит соответственно к
Г-форме первого дифференциального приближения раз-
разностной схемы D):
т д2и _^ди , ди ah в'и „
~2 Ыг ' дГ~гадх 2 ёж5" =
и к П-форме первого дифференциального приближения
разностной схемы D):
9» . ди р д2и
at T"°e5~t'2a^ -
В линейном случае для ряда разностных схем показано,
что из корректности первого дифференциального при-
приближения следует устойчивость соответствующей раз-
разностной схемы. Так, в рассмотренном выше случае
разностной схемы D) корректность уравнения (9) озна-
означает, что С2^0, т. е. выполнено необходимое и доста-
достаточное условие йт/Л<:1 устойчивости схемы D). Члены
с четными производными в уравнении (8) ответственны
за диссипативные свойства разностной схемы, а с не-
нечетными производными — за дисперсионные свойства
разностной схемы.
Под диссипацией разностной схемы D) понимается
величина
= \— |p|2= I— e h
где
— множитель усиления схемы; под дисперсией разно-
разностной схемы D) — величина
Диссипативные члены в (8) определяют свойства аппро-
Ксимационной вязкости схемы (т. е. некоторого меха-
механизма сглаживания в разностной схеме). На вид дис-
сипативных членов влияют как искусственные диссипа-
диссипативные члены, вводимые в исходное дифференциальное
уравнение, так и структура самой разностной схемы.
Первое дифференциальное приближение дает главный
член аппроксимационной вязкости. Метод дифферен-
дифференциального приближения широко используется при
исследовании разностных схем для нелинейных урав-
уравнений и позволяет объяснить эффекты неустойчивости
разностных схем, наблюдаемые в конкретных расчетах
и не улавливаемые локально методом Фурье.
Основой построения разностных схем в многомерных
случаях являются методы расщепления (слабой аппро-
аппроксимации) и дробных шагов, позволяющие сводить
интегрирование исходного многомерного уравнения к
интегрированию уравнений более простой структуры
(см. Дробных шагов метод).
Получают развитие методы решения гиперболич.
уравнений, основанные на методе конечных элементов,
к-рый можно рассматривать как разностный метод на
специальной нерегулярной сетке.
Лит.: [1] Годунов С. К., Рябенький В. С,
Разностные схемы, М., 1973; [2] Рихтмайер Р., Мор-
тон К., Разностные методы решения краевых задач, пер. с
англ., М., 1972; [3] Рождественский Б. Л., Я н е п-
к о Н. Н., Системы квазилинейных уравнений..., М., 1968;
[4] Самарский А. А., Гулин А. В., Устойчивость
разностных схем, М., 1973; [5] Я н е н к о Н. Н., III о к и н
Ю. И., «Сиб. матем. ж.л, 1969, т. 10, № 5, с. 1173—87: [61
С е р д ю к о в а С. И., «Докл. АН СССР», 1973, т. 208, MS 1,
с. 52 — 55. Ю. И. Шокин, Н. Н. Яненко.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ МНОЖЕСТВО гладкой
динамической системы {5*} — компактное
подмножество F фазового многообразия М, целиком
состоящее из траекторий, в окрестности каждой из
к-рых поведение (по отношению к ней) всех соседних
траекторий (включая и те, к-рые не лежат в F) напоми-
напоминает поведение траекторий возле седла. Точнее, Г. м.
гладкой динамич. системы {5*} — это такое компакт-
компактное инвариантное подмножество F фазового многооб-
многообразия М, что в каждой точке x?F в касательном про-
пространстве ТХМ к М имеются подпространства Е$х и
Ех, для к-рых выполняются следующие два условия.
1) Действие дифференциалов Sx : TxM-+Ts'xM отоб-
отображений S* : М-^-М в точке х на векторы ??.?1,
ц?Еих удовлетворяет неравенствам (см. Дифференци-
Дифференцирование отображений)'.
\Sfxl\^b \%\е"--г при
\S 1г) | < а | т] | ect при t < О,
i I Ss Ъ | г] | ect при
с нек-рыми константами а, Ъ, с>0, не зависящими от
х. 2) Если {5*} — каскад (т. е. время t принимает
целочисленные значения), то
а если {5'} — поток, то
где E'i — одномерное подпространство, натянутое на
вектор фазовой скорости (тем самым предполагается,
что последний нигде на F не обращается в нуль).
Кроме того, для удобства нек-рых формулировок бы-
бывает целесообразно причислить к Г. м. такие положе-
положения равновесия потоков, для к-рых собственные зна-
значения матрицы линеаризованной системы расположе-
расположены вне мнимой осп.
Подпространство Ех наз. устойчивым, Ех —
неустойчивым, Ех — нейтральным.
Точки у?Л/, для к-рых S*y неограниченно сближается
с Sfx при 2-*-оо, образуют нек-рое гладкое многообразие
Wx, касающееся Ех в точке х; оно наз. устойчи-
устойчивым многообразием т о ч к и х. Объедине-
Объединение Wx для всех х, лежащих на одной траектории, наз.
устойчивым многообразием этой
траектории. Аналогично вводятся неустойчивые
многообразия точки н траектории.
Классич. пример Г. м. потока — периодич. траекто-
траектория, для к-рон лишь один мультипликатор уравнения
в вариациях равен по модулю единице. У нек-рых си-
систем все фазовое пространство является Г. м. (см. У-си-
стема). Много примеров Г. м. было обнаружено при
изучении динамнч. систем классич. происхождения
(напр., в небесной механике, см. [1]). В общем виде
Г. м. были введены С. Смейлом (S. Smale) в 1965 (см.
[2]), и с тех пор они играют важную роль в теории
гладких динамич. систем, будучи как объектом иссле-
исследования, так и составной частью многих примеров (см.
также [3]).
Лит.: [1] К у ш н и р е н к о А. Г., Каток А. Б.,
Алексеев В. М., Гладкие динамические системы, в кн.:
Девятая летняя ыатем. школа, К., 1972, с. 50—341; [2] С м е й л
С, «Успехи матем. наук», 1970, т. 25, в. 1, с. 113—85; [3] Н и-
тецки 3., Введение в дифференциальную динамику, пер.
с англ., М., 1975. Д. В. Аносов.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МЕТРИКИ ПРИНЦИП: пусть
области D и G лежат соответственно в плоскостях z и w
и имеют каждая не менее чем по три граничные точки,
пусть w=f(z) — функция, регулярная в D и принимаю-
принимающая значения в G, и пусть daz и daw — линейные эле-
элементы в гиперболпч. метрике областей DiiCb точках
соответственно z и w=f(z); тогда справедливо неравен-
неравенство
Равенство в какой-либо точке zo?D имеет место только
в том случае, если f(z)=sw[?,(z)] в D, где функция
?=?(z) конформно отображает область D на круг
Е : |?|<1, а функция w~w(Q конформно отображает
круг Е на область G. Г. м. п. обобщает Шварца лемму
на многосвязные области, в к-рых может быть опреде-
определена гиперболпч. метрика.
В формулировке Г. м. п. предположение регуляр-
регулярности функции /(z) в D может быть заменено более об-
общим предположением: /(z) — аналитич. функция, опре-
определенная в D каким-либо своим элементом и продол-
жимая в D по любому пути.
Этот же принцип можно сформулировать также отно-
относительно поведения гиперболич. длины кривых, гипер-
болич. расстояния или гиперболич. площади при ука-
указанном отображении. Именно, если L — спрямляемая
кривая в D, то (в обозначеннях статьи Гиперболическая
метрика)
НО (/ (Щ < uD (L).
Если zt и z2 — две точки области D, то
rG(/(zi), f(z2))<rD(z1, z2).
Если В — область в D, то
В каждом из этих неравенств равенство достигается
только в указанном выше случае.
Приведенный выше результат относительно гипер-
болич. расстояния показывает, что при отображении
ш=/(г) образ гиперболич. круга с центром в точке
zo?D содержится в гиперболич. круге с центром в
точке шо=/(го) того же гиперболич. радиуса.
Этот результат распространяет на случай многосвяз-
многосвязных областей следующий факт теории конформного
отображения (инвариантная форма лем-
леммы Шварца): при отображении круга Е : \z\ <1
регулярной в нем функцией
w=f(z), I/WK1
в Е, гиперболич. расстояние между образами точек
z-y и г2 круга Е не превосходит гиперболич. расстоя-
расстояния между самими точками z1 и z2 и равно этому рас-
расстоянию только в случае дробно-линейного преобра-
преобразования круга Е на себя.
Г. м. п. следующим образом связан с Линделёфа
принципом. Если области D и G обладают функциями
Грина и односвязны, то оба принципа совпадают. Если
же D односвязна, a G многосвязна, то Г. м. п. дает
более точную оценку области, в к-рой содержится образ
гиперболич. круга в D, определяемого неравенством
?d(z> zo)>^ пРи отображении w=f{z) (где через
go(z, z0) обозначена функция Грина области D с лога-
рифмич. полюсом в точке zo^D). Кроме того, Г. м. п.
применим и тогда, когда нельзя говорить о принципе
Линделёфа, напр., в случае области, обладающей по
крайней мере тремя граничными точками, но не имею-
имеющей функции Грина. Г. В. Кузьмина.
ГИПЕРБОЛОИД — незамкнутая центральная по-
поверхность второго порядка. Существуют два вида Г.:
одно полостный Г. идвуполостный Г.
В надлежащей системе координат (см. рис.) уравнение
однополостного Г. имеет вид:
а двуполостного — вид:
и2 Ь- ' с2
Числа а, Ь и с (и отрезки такой длины) наз. полу-
полуосями Г. В сечении Г. плоскостями, проходящими
через ось Oz, получаются гиперболы. Сечения Г. пло-
плоскостями, перпендикулярными оси Oz, являются эллип-
эллипсами. Сечение однополостного Г. плоскостью z=0
наз. горловым э л л и п с о м. Г. имеет три плос-
плоскости симметрии. Конус, определяемый уравнением
^ ' V с- —U'
наз. асимптотическим конусом. Если
а=Ь=с, то Г. наз. правильным. Г., у к-рого две
полуоси равны, наз. Г. вращения. Однополостный
Г. есть линейчатая поверхность; уравнения прямоли-
прямолинейных образующих, проходящих через данную точку
(x0, y0, z0) однополостного Г., имеют вид:
x-xa у-Уо г-г„
аУо ~~ _^?о~ с '
Ь а
х-х„ У-i/o z-r0
аУо Ьх„ с
Ь а
А. Б. Иванов.
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — решение
гипергеометрического уравнения
z A_2)ш"+ [у — (а + Р+1) z] w'~сфш = 0. A)
Г. ф. может быть определена с помощью так наз. ря-
ряда Гаусса:
F(a, Р; 7; 2) = ^! (а, Р; у; z)=F (Р, а; V; z) =
= у B)
Г(а) Г(|3) Z-in = 0 ГG+и) n! ' k '
где а, Р, у — параметры, принимающие любые дей-
действительные или комплексные значения, кроме у=0,
— 1, —2, ...,z— комплексное переменное, (г)п^^(з;+
-М). . . (г-f ге— 1). Функция F (a, P; v; z) наз. гипер-
гипергеометрической функцией 1-го рода.
Второе линейно независимое решение гипергеометрич.
уравнения A)
Ф(-а, Р; V; г) =
-Ч+Ь 2-Г. ')
наз. гипергеометрической функцией
2-го рода.
Ряд B) сходится абсолютно и равномерно при |z|<l;
сходимость распространяется и на единичную окруж-
окружность, если Re(a+P~"\')<0; при 0<Re(a4-p~у) <1
сходится во всех точках единичной окружности, кроме
z=l. Однако существует аналитич. продолжение Г. ф.
B) во внешность единичной окружности [z|>l с разре-
разрезом A, оо) (см. [1]). Функция F(a, P; у; z) — однознач-
однозначная аналитическая в комплексной плоскости г с разре-
разрезом A, сю). Если а или Р — нуль или целое отрица-
отрицательное число, то ряд B) обрывается на конечном числе
членов и Г. ф. представляет собой полином относитель-
относительно Z.
При у= — п, п=0, 1, 2,..., Г. ф. не определена,
однако
z).
Элементарные соотношения. Шесть
функций
F (а ± 1; Р; у; z), F (а, Р ± 1; у; z) F (a, P; у ± 1; г)
наз. смежными с Г. ф. F (а, Р; у; z). Между функцией
F(a, P; у; z) и любыми двумя смежными с ней сущест-
существует линейная зависимость. Напр.,
yF (a, Р-1; у; z) + (а- $) zF (a, P; y + 1; z) =
= Y/1(a-l, P; у; z).
15 формул такого типа впервые были найдены К. Гаус-
Гауссом (С. Gauss, см. [2], [3]). Ассоциированные
функции F(a+m, P+re; y+l; z), где m, n, I —
целые числа, могут быть получены повторными приме-
применениями соотношений Гаусса. Имеют место формулы
дифференцирования
~F(a, P; у; z)=^]^LF(a+n, p + re; y + n; z).
Уравнение A) имеет 24 решения вида
zP(l-zfF(a', P'; у'; ,'),
где р, а, а', Р' и у' — линейные функции а, C и у,
z и z' связаны дробно-линейным преобразованием.
Любые три решения линейно зависимы (см. [2]). Суще-
Существуют квадратичные, кубичные и более высокого
порядка преобразования (см. [2]—[5]).
Основные интегральные представ-
представления. Если Re y>Re р>Ои |arg(l — z)\<n, то имеет
место формула Эйлера:
F (a, P; V; *) =
*-Ц1-ф-»-*A-и)-«*. C)
Разлагая A — tz)~a в биномиальный ряд и применяя
контурные интегралы для бета-функции, можно полу-
получить другие интегральные представления (см. [2]).
Интеграл C) и другие аналогичные формулы, опреде-
определяющие аналитич. функцию от z, однозначную во всей
плоскости z, также могут служить для аналитич. про-
продолжения функции F (а, Р; у; z) в область |arg( — z)| <я.
Существуют и другие аналитпч. продолжения (см.
[1], [2]).
Асимптотическое поведение Г. ф.
при больших значениях \z\ полностью описывается с
помощью формул, дающих аналитич. продолжение в
окрестность точки z=oo (см. [1] — [3]). Если а, Р, z —
фиксированные числа и |у| достаточно велико, |argy|<
<л —е, е>0, то при |z|<l:
При |z|>l имеется аналогичное выражение.
Для фиксированных а, у и z, уф§, —1, ~2, ...,
у;
=F (a, P; Y; ?) =
См. также 12], [5], 16].
Представления функций через Г. ф.
Элементарные функции:
(l + z)«=.F (_ ге, 1; 1, —г),
ln(l+z)=ZjP(l, 1; 2; —z),
e*= lim?(t, 6; 1; -f) ,
arc sin z = zF[ -5- , -5- ; -5- ; z2
arc tg z — zF i у , 1; -2~; — z- J ,
„ / 1+П 1-Й 3 -2*\
sin rez = n sm zF -5— , -5— ; -5- ; sin' z 1
2" re;
полные эллиптич. интегралы 1-го и 2-го рода:
= F^~«, 2" re; — ; sin2 z J ;
присоединенные функции Лежандра:
многочлены Чебышева:
n(z) = F 1 — п, га; т;
многочлоны Лежандра:
ультрасферические многочлены:
i а 1 1 1—2
» n2e;e + ;
многочлены Якоби:
Обобщения Г. ф. Обобщенной Г. ф.
pFg (ocj, a2, .. ., ар; уи у2, . . ., yq\ z) =
~2-п = 0^" (Т.)„(У2)„ ••• (Y?)n
наз. решение игаергеометряч. уравнения (?+1)-го по-
порядка (см. [2]). Имеются и другие обобщения Г. ф.,
напр., на случай многих переменных (см. [2]).
Лит.: [1] Лебедев Н. Н., Специальные функции и их
приложения, 2 изд., М.—Л., 19G3; 12] Б е й т м е н Г.,
Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, [т. 1], пер. с
англ., 2 изд.,М., 1973; C) Градттейн И. С, Рыжик
И. М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, 5 изд.,
М 1971; [4] К u m m е г Е. Е., «J. reine und angew. Math.»,
1835, Bd 15, S. 39—83, 127—72; [5] Handbook of mathematical
functions with formulas, graphs and mathematical tables, N. Y.,
1964; [6] Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс со-
современного анализа, ч. 2, Трансцендентные функции, пер. с
англ., 2 изд., М., 196.3; [7! Лебедев А. В., Федо-
Федорова Р. М., Справочник по математическим таблицам, М.,
1956; [81 Б у р у н о в а Н. М., Справочник по математическим
таблицам, М., 1959, доп. 1; [9] An index of mathematical tables,
2 ed., v. 1, 2, Oxford, 1962. Э. А. Чистова.
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИИ РЯД, ряд Гаусса,—
ряд вида
F(a, P; у; z) =
= 1 nl YG+D • ¦ ¦ (Y + n-1) ' K"'>
Г. р. имеет смысл, если у не равно нулю или целому
отрицательному числу; он сходится при |z|<l. Если,
кроме того, Re (у — а— C)>0, то Г. р. сходится и при
z= 1. В этом случае справедлива формула Гаусса
F (а 6- V п_Г(У)Г(у-а-Р)
где Г (z) — гамма-функция. Аналитпч. функция, опре-
определяемая с помощью Г. р., наз. гипергеометрической
функцией.
Обобщенным гипергеометричес-
гипергеометрическим рядом наз. ряд вида
pF9 (al7 a2, ..., ар; уи у2, ..., yq\ z) =
=On'- (V,)n(Y.)n ¦•• {Vq)n Z '
где (х)п=х (ж+l). . .(.r+n— 1). В этих обозначениях
ряд (*) записывается как 2F1 (а, Р; у; z). Э. А. Чистова.
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ —
распределение вероятностей, заданное формулой
= 0, 1...,
CN
где М, N и га — целые неотрицательные числа и М<:
<:iV, h^jV (здесь С а — биномиальный коэффициент).
Г. р. обычно связано с выбором без возвращения, а
именно: формула (*) указывает вероятность получения
ровно т. «отмеченных» элементов в случайной выборке
объема п из генеральной совокупности, содержащей N
элементов, среди к-рых М «отмеченных» и N—M «не-
«неотмеченных» элементов. При этом вероятность (*) опре-
определена лишь для
max @, Л/ + гс — iV) < ms?rnm (re, M).
Однако определение (*) можно использовать при всех
т^О, т. к. можно считать, что С* = 0 при Ь>а, по-
поэтому равенство Pm=0 нужно понимать как невозмож-
невозможность получить в выборке т «отмеченных» элементов.
Сумма значений рт, распространенная на все выбороч-
выборочное пространство, равна 1. Если обозначить MlN=p,
то (*) можно переписать в иной форме:
лт .п — т
A
где
Aba = Cbab\
Если р постоянна и N—>-оо, то имеет место биномиаль-
биномиальное приближение
Среднее значение Г. р. не зависит от N и совпадает
со средним пр. соответствующего биномиального рас-
распределения Дисперсия Г. р.
не превосходит дисперсии биномиального закона а2=
= npq. При N—>оо моменты любого порядка Г. р. стре-
стремятся к соответствующим значениям моментов биноми-
биномиального распределения. Производящая функция Г. р.
имеет вид:
Ряд в правой части представляет собой гипергеометри-
гипергеометрическую функцию F(а, р\ у, х), где а= — п, C= — Af,
Y=-^V— Л/— га+1 (этому обстоятельству распределение
обязано своим названием). Вероятность (*) и соответ-
соответствующая функция распределения табулированы в
широких пределах.
Лит.: [1] Lieberman G. I., Owen D. В., Tables
of the Hypergeometric Probability Distribution, Stanford, 1961;
[2] Оуэн Д. Б., Сборник статистических таблиц. Обработка
таблиц, пер. с англ., М., 1966; [3] Большев Л. Н., Смир-
Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд.,
М., 1968. А. В. Прохоров.
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, урав-
уравнение Гаусса,— линейное обыкновенное диффе-
дифференциальное уравнение 2-го порядка
z(z — l)u/' + [(a + p + lJ — y]w'+a$w = 0,
а, р, у = const,
или, в самосопряженной форме,
Переменные z, w и параметры а, C, у в общем случае
могут принимать любые комплексные значения. После
подстановки
получается приведенная форма уравнения A):
где Я,= 1 —у, (х=а—{5, v=y — а— р.
Уравнение A) подробно изучал К. Гаусс [1] в связи
с развитой им теорией гипергеометрических рядов,
но еще раньше это уравнение (и его решение) рассмат-
рассматривал Л. Эйлер (L. Euler).
Решения уравнения A) выражаются через гипергео-
гипергеометрическую функцию F(а, Р, у; г). Если у не равно
целому числу, то общее решение уравнения A) можно
записать в виде
w = C1F(a, р\ у; z) -f
+ C2z1-fF(a-y + l, P-7 + 1- 2-у; z), C)
где Cj, C2 — произвольные постоянные; представление
C) справедливо в комплексной плоскости z с разрезами
(— оо, 0) и A, оо). В частности, в действительном случае
формула C) дает общее решение уравнения A) на ин-
интервале 0<z<l. Для целых значений у общее решение
имеет более сложный вид (возможно существование
членов, содержащих логарифмы).
В качестве фундаментальной системы решений урав-
уравнения A) можно выбирать п иные функции, отличные
от указанных в C). Напр., если a— {S не равно целому
числу, то
ш=С1 (—zraF(a, a — v + 1, a
есть общее решение уравнения A) в комплексной плос-
плоскости z с разрезом @, оо) (см. [2], [3]).
Г. у. включает как частные случаи ряд дифферен-
дифференциальных уравнений, встречающихся в приложениях;
многие линейные обыкновенные дифференциальные
уравнения 2-го порядка преобразованием неизвестной
функции и независимой переменной приводятся к
уравнению A) (см. [4]). Особенно большое значение
имеет близкое уравнению A) вырожденное гипергеомет-
гипергеометрическое уравнение. Отношение s(z) двух линейно неза-
независимых решений уравнения B) удовлетворяет Шварца
уравнению, тесно связанному с задачей конформного
отображения полуплоскости на треугольник, ограни-
ограниченный тремя дугами окружностей. Изучение обратной
функции z(s) приводит к понятию автоморфной функции
(см. [5]).
Имеются линейные уравнения высших порядков,
свойства решений к-рых аналогичны свойствам гипер-
геометрич. функции: решение уравнения (д+1)-го по-
порядка
есть обобщенная гипергеометрическая функция
pFq(a,i, 7/, z), содержащая p + g параметров. В частно-
частности, обобщенное Г. у. 3-го порядка, имеющее решение
3F2 (aL, а2, а3, уъ у2; z), можно представить в форме
(I- z)w"' + [l+7l + 72-C + ai-l-a2 + a3) z] zw" +
+ а^аз^-азах) z]w'
= 0.
Лит.: [1] Gauss С, «Gomm. recentiores Soc. Giittingen»,
1812, Bd 2; [2] Кратцер А., Франц В., Трансцендент-
Трансцендентные функции, пер. с нем., М., 1963; Ш Б е й т м е н Г., Э р-
дейи А., Высшие трансцендентные функции. Гипергеометри-
Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра, пер. с англ., 2 изд., М.,
1973; [4] Камке Э., Справочник по обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976; [51
Голубев В. В., Лекции по аналитической теории диффе-
дифференциальных уравнений, 2 изд., М.—Л., 1950. Н. X. Розов.
ГИПЕРГОМОЛОГИЙ ФУНКТОР — набор функто
ров ?_nF на категории комплексов, связанный с нек-рым
функтором F. Именно, пусть F : А-+В — ковариантный
аддитивный функтор из абелевой категории А с доста-
достаточным числом проективных объектов в абелеву кате-
категорию В. Пусть далее К.— цепной комплекс со значе-
значениями в А и L.. — резольвента Картана — Эйлен-
берга комплекса К., состоящая из проективных объек-
объектов. Тогда бикомплекс F(L..) определяет гомологии
Hn(F(L . .))=?nF(K.) и две сходящиеся к ним спект-
ральные последовательности с начальными членами
.)) и "El^LpF{IIq(K.)).
Эти гомологии и спектральные последовательности
функториально зависят от К. и наз. соответственно
функторами гипергомологий для F
и спектральными функторами гипер-
гипергомологий для F. Г. ф. ?_. F является гомологич.
функтором на категории комплексов в следующих важ-
важных случаях: когда F перестановочен с индуктивными
пределами; когда объекты категории А имеют проек-
проективные резольвенты длины <:«; если рассматривать
его на категории комплексов с положительными сте-
степенями.
Двойственным образом определяются функторы
гиперкогомологий.
Лит.: [1] К а р т а н А., Зйленберг С, Гомологи-
Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., I960; [2] Г р о т е н д и к А.,
О некоторых вопросах гомологической алгебры, пер. с франц.,
М., 1961. В. И. Данилов.
ГИПЕРГРАФ — обобщение понятия графа. Г. зада-
задается множеством V, элементы к-рого наз. верши-
вершинами, и семейством $ подмножеств множества V,
называемых ребрами Г.; Г. обозначается (V, $).
Понятие Г. является вариантом давно известных поня-
понятий комплекса, блок-схемы, а также понятич сети.
Две вершины и и v Г. наз. смежными, если
существует ребро, содержащее эти вершины. Вершина v
и ребро Е Г. наз. инцидентными, если v?E.
Т. Н сп вершинами и т ребрами можно задать
матрицей инцидентности, т. е. матрице!!
||а,-7-|| размера пХт, в к-рой столбцы соответствуют реб-
ребрам, а строки — вершинам Г. и
| 1, если v:f-Ef,
аИ= { А-
\ 0, если vi^E{, i = l,..., n; / = 1, ...,т.
Всякой прямоугольной матрице М из нулей и единиц
можно сопоставить Г., для к-рого М является матри-
матрицей инцидентности. Г. Н* наз. двойственным по
отношению к Г. Н, если
матрица инцидентности
Г. Н* получается транс-
транспонированием матрицы
инцидентности Г. //. Чис-
Число ребер Г., инцидентных
данной вершине, наз. сте-
степенью вершины.
Степенью ребра
наз. число вершин Г.,
инцидентных этому реб.^у. *"' »а6
Г. (V, <?>')наз. п о д г и-
перграфомГ. (V, $), если F'<=F, <?"<^(§ и верши-
вершина v из V и ребро Е из @' инцидентны в Г. (V, §')
тогда и только тогда, когда они инцидентны в Г. (V, $).
Г. можно изобразить на плоскости, сопоставляя верши-
вершинам Г. точки плоскости, а ребрам — связные облас-
области, охватывающие вершины, инцидентные этим ребрам.
Напр., Г. Я с множеством вершин F= \vx, у2, . . ., ^б)
и семейством ребер
можно изобразить на плоскости, как показано на рис.
Г. Н можно представлять графом двудольным К (Н),
в к-ром вершины одной доли Ux соответствуют вер-
вершинам Г., а вершины другой доли [/2 — ребрам Г. Н.
При этом две вершины и' из Ux и и" из ?/2 соединены в
графе К(Н) ребром, если вершина Г., соответствующая
вершине и , инцидентна ребру Г., соответствующему
вершине и". Г. является графом, если каждое ребро его
имеет степень, равную 2. Важным частным случаем
понятия «Г.» является матроид. Многие понятия тео-
рии графов, такие, как связность, планарность, хрома-
тич. число, числа внутренней и внешней устойчивости,
переносятся и на Г. На Г. переносятся также многие
утверждения, справедливые для графов.
Лит.: [1] Зыков А. А., «Успехи матем. наук», 1974,
т. 29, в. 6, с. 89—154; [2] Berge С, Graphes et hypergraphes,
P. 1970 А. А. Сапоженко.
ГИПЕРКОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ФУНК-
ФУНКЦИЯ — функция w(z) пшеркомплексного переменного
z (см. Гиперкомплексное число) над полем действитель-
действительных чисел, т. е. функция на конечномерной ассоциа-
ассоциативной алгебре 31. В более узком смысле под Г. п. ф.
понимается функция ш (z) со значениями в той же ал-
алгебре 31, т. е. функция K'(z) может быть представлена в
виде
где e/g, k=0, 1, ...,п— 1,— базис алгебры ЗС, а и^ =
==Mfc(xo> xii • ¦ ¦¦> xn-i)i k=Q, 1, . . ., re—1,— система п
действительных функций от п действительных пере-
переменных. Теория Г. п. ф. наиболее развита в случае,
когда Ж есть алгебра кватернионов.
Аналитические (регулярные) Г. п. ф.
представляют собой обобщения в различных направле-
направлениях аналитич. функций одного комплексного пере-
переменного. При этом, в силу неэквивалентности различ-
различных определений аналитичности в случае произвольной
алгебры, существуют различные понятия аналитической
Г. п. ф.
В современных исследованиях наибольшее внимание
привлекают регулярные Г. п. ф. в с м ы с л е Фюте-
р а, или F-et н а л и т и ч е с к и е Г. п. ф. (см. [1]).
Г. п. ф. w(z) наз. праворегулярной
Г. п. ф. в точке z0, если в этой точке справедливо диф-
дифференциальное уравнение (условие Фютера)
2п -]
где
— частная производная функции w по г$, причем
все производные предполагаются непрерывными. Функ-
Функция w(z) наз. леворегулярной Г. и. ф., если
В случае некоммутативной алгебры 31 эти понятия не
равносильны. Сумма и разность праворегулярных
Г. п. ф. праворегулярны, но для произведения и част-
частного это неверно. Степени переменного z не праворе-
праворегулярны. Имеются ряды Тейлора и Лорана по специ-
специально построенным аналогам степеней. Условие Фютера
равносильно обращению в нуль дифференциала б<а=0
гиперкомплексной дифференциальной формы a>=wdz
(для леворегулярных Г. п. ф.— формы (?>=dzw)\ от-
отсюда получается специфическая иптегральная теорема.
Аналитической по Ш е ф ф е р с у Г. п. ф.
[2] в точке z0 для случая коммутативной алгебры 3f
наз. Г. п. ф., у к-рой дифференциал в этой точке
может быть записан в виде
Й1У=ф (z)dz,
где производная ф (z) = dw/dz не зависит от dz. Это
условие для коммутативной алгебры Ж равносильно то-
тому, что йш=0, и интеграл \ wdz не зависит от пути;
Г. п. ф., аналитические по Шефферсу, ^-регулярны
тогда и только тогда, когда
Г. п. ф. w(z) наз. аналитической по Хаус-
до р ф у [3] в точке z0, если ее дифференциал dw есть
линейная функция от dz, то есть
dw = 2" А=о 4ikei dz ek<
гДе Ф(А — действительные функции от х0, хи ..., хп_х.
Аналог степенных рядов здесь строится проще, но ин-
интеграл зависит от пути. Для коммутативной алгебры
Э{ определения Хаусдорфа и Шефферса эквивалентны.
Лит.: [1] Fueter К. R., «Elem. Math.», 1948, Bd 3
S. 89—94; [21 Scheffers G., «Ber. Verhandl. Sachsisch.
Akad. Wiss. Leipzig Math.-phys. Kl.», 1893, Bd 45, S. 828—
48; [3] H a u s d о r f f F., там же, 1900, Bd 52, S. 43—61; [4]
Кристалинский P. X., «Уч. зап. Смоленского пед.
ин-та», 1965, вып. 14, с. 91—95. Е. Д. Соломенцев.
ГИПЕРКОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО — элемент конеч-
конечномерной алгебры с единицей над полем действитель-
действительных чисел R (ранее называвшейся гиперком-
пл ексной спет е м о й). Исторически Г. ч. возник-
возникли как обобщение комплексных чисел. Действия над
комплексными числами соответствуют простейшим
геометрич. преобразованиям плоскости (сдвигу, вра-
вращению, растяжению и их комбинациям). При попытках
построить числа, к-рые играли бы для трехмерного
пространства роль комплексных чисел для плоскости,
выяснилось, что здесь не может быть полной аналогии;
это привело к созданию и развитию теории систем
Г. ч.
Гиперкомплексная система ранга п
получается введением умножения в re-мерном действи-
действительном пространстве R", удовлетворяющего аксиомам
алгебры над полем. Пусть 1 — единица гиперкомплекс-
гиперкомплексной системы и 1, ilt г2,..., in-i — некоторый базис
пространства R". Г. ч.
anin
из гиперкомплексной системы U наз. сопряжен-
сопряженным Г. ч.
a = ao + a1i1+ ... ^ап1п.
Пусть ?/B) = {и1-\-и2е}, где щ, u2?U, а е — некоторый
новый символ. Множество [/<2) можно превратить в
гиперкомплексную систему, определяя сложение
формулой
(«! + и2е) + К + »&) = ("l + i>i) +
и умножение формулой
Гиперкомплексная система t/<2> наз. удвоением
гиперкомплексной системы U.
Примеры гиперкомплексных систем: действительные
числа, комплексные числа, кватернионы, Кэли числа
(в этом перечне каждая следующая система получается
из предыдущей удвоением). Другие примеры — систе-
системы двойных и дуальных чисел, Г. ч. вида
при ге=4, наз. числами Клиффорда — Лип-
Липшица (эти Г. ч. являются элементами Клиффорда
алгебр ранга 2"). Важным примером гиперкомплексных
систем являются полные матричные алгебры над R.
Иногда в определение системы Г. ч. включают тре-
требование ассоциативности умножения или отождеств-
отождествляют понятие алгебры и гиперкомплексной системы.
Лит.: [1] Кантор И. Л., Солодовников А. С,
Гиперкомплексные числа, М., 1973; [2] К а л у ж н и н Л. А.,'
Введение в общую алгебру, М., 1973. Н. Н. Вильяме
ГИПЕРПЛОСКОСТЬ в векторном прост-
ранствеХнад полем К — образ (при сдвиге)
векторного подпространства М, дополнение к к-рому
одномерно, т. е. множество it вида хй-\-М при нек-ром
хо?Х. Т. при хо=О иногда наз. однородной, Подмно-
жество псХ является Г. в том и только в том случае,
когда
n={x:f(x)=a} (*)
для а?К и нек-рого ненулевого линейного функцио-
функционала /?Х*. При этом / и а определяются М с точно-
точностью до общего множителя $фО.
В топологич. векторном пространстве любая Г. либо
замкнута, либо всюду плотна; для замкнутости я,
определяемой формулой (*), необходима и достаточна
непрерывность функционала /. м. и Войцеховский.
ГИПЕРПОВЕРХНОСТЬ — 1) Обобщение понятия
обычной поверхности трехмерного пространства на
случай n-мерного пространства. Размерность Г. на еди-
единицу меньше размерности объемлющего пространства.
2) Если М и N — дифференцируемые многообразия,
dim N— dim M=i и определено погружение / : М—>ЛГ,
то f(M) — Г. в N. Здесь / — дифференцируемое отоб-
отображение, дифференциал к-рого df в любой точке х?М
является инъективным отображением пространства
Мх, касательного к М в точке х, в пространство N^X),
касательное к N в точке f(x). в. т. Базылев.
3) Г. алгебраическая— подмногообразие
алгебраич. многообразия, локально задаваемое одним
уравнением. Г. а. в аффинном пространстве At над по-
полем к задается глобально одним уравнением
/(*ъ ...,Хп) = 0.
Г. а. И7 в проективном пространстве Р\ задается урав-
уравнением
F(x0, ...,*„) = 0,
где F — однородная форма от п-\-1 переменных. Сте-
Степень m этой формы наз. степенью (порядком)
гиперповерхности. Замкнутая подсхема W
схемы V наз. гиперповерхностью, если соот-
соответствующий пучок идеалов I^cOy является пучком
главных идеалов. Для связных неособых алгебраич.
многообразий это условие означает, что коразмерность
W в V равна единице. Для каждой неособой Г. a. WcPk
порядка тп (обозначаемой часто через Fjf) имеют место
следующие факты:
канонич. класс Kw равен (m— n— i)Hw, где Hw —
класс гиперплоского сечения W;
группы когомологий IP(W, OiXr) = 0 для гфО, п— 1, а
dim, Н" -1 (W, Ow) = C"-l>C"-2)...(m-n) ;
при «^3 фундаментальная группа (алгебраическая
или топологическая, если к=С) ni(W)=0;
при «>4 группа Пикара Pic(W)=±Z и порождается
КЛаССОМ ГИПерПЛОСКОГО СеЧеНИЯ. И. В . Долгачев.
4) Г. аналитическая (Г. а.) — множество S в
комплексном евклидовом пространстве С, к-рое в
окрестности каждой своей точки ? ? >S задается урав-
уравнением ff(z, t)=0, где функция /.(z, /) непрерывна по
параметру t? ( — e, е), е>0, и при каждом фиксирован-
фиксированном t голоморфна по z в независящей от t окрестности
С/> Э S. причем Л\д//дг;-\ф0 для всех (z, t)?i/.X(-e, e).
Другими словами, Г. а. есть множество в С, к-рое ло-
локально является объединением непрерывного однопара-
метрич. семейства комплексноаналитич. поверхностей
комплексной коразмерности 1. Напр., если функция /
голоморфна в области DcCn и grad }ф0 в D, то множе-
множества |/| = 1, Re/=0 и т. п. являются Г. а.
Дважды гладкая гиперповерхность S в R2n = C
является Г. а. тогда и только тогда, когда ее форма
Леви тождественно на S равна нулю или когда S ло-
локально псевдовыпукла с обеих сторон. е м Чирка
ГИПЕРПРОСТРАНСТВО над топологичес-
топологическим пространством X — пространство, точ-
точками к-рого являются элементы нек-рого семейства W.
подмножеств пространства X с той или иной топологией.
Обычно ПЛ — кольцо множеств, хотя априори это не
предполагается.
Пример. Р (X) — Г. всех подмножеств простран-
пространства X; базу топологии образуют множества {М, Fc
cMcG} при условии, что F замкнуто в X, G открыто в
X и FcG.
Наиболее распространенным является Г. 2х, со-
состоящее из всех замкнутых подмножеств топология,
пространства X; предбазу экспоненциальной тополо-
гииив. 2х образуют множества{F, FcG}n {F, Р[\Нф0},
где G и II открыты в X, a F пробегает 2х. Ана-
Аналогично определяется топология в следующих Г.:
во множестве <3(Х) всех бикомпактных подмножеств
пространства X, во множестве Ехрш(Х) всех конечных
подмножеств пространства X, во множестве К (X) всех
подконтинуумов (связных бикомпактов) континуума X
и т. п. Эти пространства могут рассматриваться как
подпространства Г. 2х, взятого с экспоненциальной
топологией. Если X — равномерное пространство,
то множество 2х наделяется естественной равномерной
структурой; получающееся при этом равномерное про-
пространство обозначается через Н{Х). Если X — би-
бикомпакт, то Г. 2х, @(Х) и Н(X) гомеоморфны между
собой и являются бикомпактами. Если X — компактное
метризуемое пространство, то таково же и 2х. Ес-
Если X — континуум, то 2х и К (X) — тоже континуумы-
Лит.: [1] Куратовский К., Топология, пер.
с англ., т. 1—2, М., 1966—69; [2] Michael E., «Trans.
Amer. Math. Soc», 1951, v. 71, № 1, p. 152—82; [31 Поно-
Пономарев В. И., «Матем. сб.», 1959, т. 48(90), Мг 2, с.
191—212. Б. А. Ефимов.
ГИПЕРЦЕНТР — член Za верхнего центрального ря-
ряда группы G. Первый Г. Z-i есть центр группы; если
определены все Z^, р<а, то Za= Up<azp, если а—пре-
а—предельное порядковое число; Za есть полный прообраз
центра факторгруппы G/Za_v если а непредельное.
Г. группы локально нильпотентны. в. м. копытов.
ГИПЕРЦИКЛ в геометрии Лобачевско-
Лобачевского — то же, что эквидистанта.
ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРИВАЯ — неособая
проективная модель аффинной кривой у2=/(ж), где
f(x) — многочлен без кратных корней, нечетной степе-
степени п (случай четной степени 2к сводится к случаю не-
нечетной — Bк— 1)). Поле функций на Г. к. (поле гипер-
эллиптич. функций) есть квадратичное расширение поля
рациональных функций; в этом смысле оно является
простейшим полем алгебраич. функций после поля
рациональных функций. Г. к. характеризуются
условием существования одномерного линейного
ряда g'2 дивизоров степени 2, определяющего мор-
физм Г. к. на проективную прямую степени 2. Род
Г. к. равен (п— 1)/2, поэтому для различных нечетных
п Г. к. бирационально неэквивалентны между собой.
При га=1 получается проективная прямая, при ге=3 —
эллиптич. кривая. По традиции кривые рода 0 или 1
к Г. к. не причисляются. На Г. к. рода g>l отношения
регулярных дифференциальных форм порождают под-
подполе рода 0 и это свойство вполне характеризует Г.к.
Лит.: [1] III е в а л л е К., Введение в теорию алгебраи-
алгебраических функций от одной переменной, пер. с англ., М., 1959;
[2] Спрингер Д ж., Введение в теорию римановых поверх-
поверхностей, пер. с англ., М., 1960; [3] Ш а ф а р е в и ч И. Р.,
Основы алгебраической геометрии, М., 1972.
В. Е. Воскресенский.
ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ — частный
случай абелева интеграла
(z, w) dz, A)
где R — рациональная функция от переменных z, w,
связанных алгебраич. уравнением частного вида
w* = P(z), B)
здесь P(z) — многочлен степени m>5 без кратных
корней; при т=3, 4 получаются эллиптические интег-
интегралы, случай т=5,6 иногда наз. ультраэллип-
ультраэллиптическим.
Уравнению B) соответствует двулистная компактная
риманова поверхность F рода g= (m — 2)/2, если т —
четно, и рода g=(m—1)/2, если т — нечетно; таким
образом, в случае Г. и. g~^2. На .F функции z, г^, а
следовательно и Л (z, u;), однозначны. Интеграл A),
рассматриваемый как определенный, задается на F как
криволинейный интеграл от аналитич. функции, взя-
взятый вдоль нек-рого спрямляемого пути L, причем, во-
вообще говоря, задание только начальной и конечной то-
точек пути L не вполне определяет значение интеграла A).
Как и в общем случае абелевых интегралов, любой
Г. и. можно выразить в виде линейной комбинации эле-
элементарных функций и канонических Г. и. I, II,
III родов, имеющих свой специфич. вид. Так, нор-
нормальные Г. и. I p о д а являются линейными ком-
комбинациями Г. и. 1 рода вида
где (zv~1/w)dz, v=l, 2, ..., g,— простейший базис
абелевых дифференциалов I рода для случая гиперэл-
липтич. поверхности F. Явные выражения для абелевых
дифференциалов II и III родов и для соответствующих
Г. и. также легко выписываются (см. [2]). В основных
чертах теория Г. и. совпадает с общей теорией абеле-
абелевых интегралов.
Все рациональные функции R (z, w) от z и w обра-
образуют г и пер эллиптическое поле алгеб-
раич. функций, соответствующее данному уравнению
B) и имеющее род g. Всякая компактная риманова по-
поверхность рода g~l или g=2 допускает эллипти-
эллиптическое или гиперэллинтпч. иоле, соответственно.
Однако уже при #=3 существуют компактные римановы
поверхности F более сложной структуры, не обладаю-
обладающие этим свойством.
Лит.: [!] Спрингер Дж., Введение в теорию римано-
вых поверхностей, пер. с англ., М., 1960, гл. 10; [2] Нева н-
линна Р., Униформизация, пер. с нем., М., 1955, гл. 5;
[3] Neumann К., Vorlesungen iiber Riemanns Theorie
der Abelsclien Integrate, Lpz., 1884. E. Д. Соломенцев.
ГИПОТЕНУЗА — сторона прямоугольного треуголь-
треугольника, лежащая против прямого угла.
ГИПОЦИКЛОИДА — плоская кривая, траектория
точки окружности, катящейся по другой окружности и
имеющей с ней внутреннее касание. Параметрич. урав-
уравнения:
x = (R — r) cos 6 +г cos Г (Я — г)-у
y = (R — r) sinG — rsin \(R~r) ~~\ ,
где г — радиус катящейся окружности, Я — радиус
неподвижной окружности, в - угол, стягиваемый ду-
дугой между точками касания окружностей. В зависи-
зависимости от величины модуля m = R/r получаются Г.
различной формы. При т целом кривая состоит из т
непересекающихся ветвей (см. рис. а). Точки возврата
Аг,. . ., Ат имеют полярные координаты р = Л, <р=
= 2Ы/т, fc=0, 1,..., то—1. При т иррациональном
число ветвей бесконечно, точка М в исходное положение
не возвращается; при т рациональном Г. (см. рис., б) —
замкнутая алгебраич. кривая. Длина дуги от точки
Радиус кривизны:
. 9
sin T '
Если точка находится не на катящейся окружности, а
лежит вне (внутри) ее, то кривая наз. удлинен-
удлиненной (укороченной) гипоциклоидой
или гипотрохоидой (см. Трохоида). При т=2
у,
а)т-3
Г.— отрезок прямой, при т=3 — Штейнера кривая,
при т=4 — астроида. Г. относится к так наз. цикло-
циклоидальным кривым.
Лит.: [1] С а в е л о в А. А., Плоские кривые, М., 1960.
Д. Д. Соколов.
ГИСТОГРАММА — один из видов графич. представ-
представления экспериментальных данных. Г. строится следую-
следующим образом. Весь диапазон наблюденных значений
Хг, ..., Хп нек-рой случайной величины X делится на
к интервалов группиров-
группировки (обычно равных) точ-
точками хх, . . ., x/g + i', под-
считывается число наблю-
наблюдений mi, приходящихся
на интервал [х(, -г( + 1) и
определяется частота h-t =
Гистограмма распределения
диаметров стволов 1000 елей.
Длина интервала группировки
5 см.
500
400
! 300
200
100
гГ
22 27 32 37 42 47 52
Диаметр в см
— т//п. На оси абсцисс отмечаются точки х1, . . .,
xk + 1, и отрезки х{х; + 1A=1, . . ., к) принимаются
за основания прямоугольников с высотами, равными
hi/(x[ + 1 — xi). В случае равных интервалов [ж,-, х, + 1)
высоты прямоугольников принимаются равными либо
hj, либо т,-. Пусть, напр., измерение стволов 1000 елей
дало результаты:
диаметр в еж .
число стволов
22-27
100
27—32
130
32 — 37
500
37—42
170
42—52
100
Г. для этого примера изображена на рисунке.
ГИШАРА КОНГРУЭНЦИЯ, к о н г р у э н ц и яГ™-
конгруэнция прямых, у к-рых фокальные сети образо-
образованы линиями кривизны фокальных поверхностей.
Одна из поверхностей центров каждой фокальной по-
поверхности несет фокальную сеть из геодезич. линий.
Сферич. отображение развертывающихся поверхностей
Г. к. является чебышовской сетью. Фокальные поверх-
поверхности Г. к. наз. поверхностями Гитара.
Г. к. наз. по имени К. Гишара (С. Guichard, 1889),
к-рый впервые ее рассмотрел.
Лит.: [1] Фиников С. П., Теория конгруэнции, Ы.—
Л., 1950; [2] Шуликовский В. И., Классическая диф-
дифференциальная геометрия в тензорном изложении, М., 1963.
В. Т. Базылев.
ГЛАВНАЯ КРИВИЗНА — нормальная кривизна по-
поверхности в главном направлении, т. е. в направлении,
где она достигает своего экстремального значения. Г. к.
кг и А2 являются корнями квадратного уравнения
L — кЕ M — kF
M — kF N—kG
= 0,
(*)
где Е, F и G — коэффициенты первой квадратичной
формы, a L, М и N — второй квадратичной формы
поверхности, вычисленные в данной точке.
Полусумма Г. к. кх и к2 поверхности равна средней
кривизне, а произведение — гауссовой кривизне поверх-
поверхности. Уравнение (*) может быть записано в виде
где Н — средняя, К — полная кривизны поверхности
в данной точке.
Г. к. кх и к2 связаны с нормальной кривизной к
в произвольно выбранном направлении формулой
Эйлера:
к = к1 cos2 <p -f- к2 sin2 ф,
где ф — угол, образуемый выбранным направлением
с главным направлением для кривизны кг. е. в. Шикип.
ГЛАВНАЯ НОРМАЛЬ — нормаль к кривой, прохо-
проходящая через точку Мо кривой L и лежащая в соприкаса-
соприкасающейся плоскости к L в точке Мо. Еслиг=г(?) — па-
раметрич. уравнение кривой и значение параметра ?0
соответствует точке Мо, то уравнение Г. н. в векторной
форме имеет вид:
Е. В. Шикип.
ГЛАВНАЯ ТРАНСЛЯЦИЯ — отображение q> ал-
алгебраической системы А=(А, Й) в себя, имеющее вид
ф: х -+F (ах, . . ., aft_t, х, ak + l, . . ., ап),
где F — символ основной операции из Й и аг,. . ., ап —
фиксированные элементы множества А . Я- М. Смирное.
ГЛАВНАЯ ЧАСТЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕ-
ОПЕРАТОРА — однородный дифференциальный оператор,
образуемый из данного отбрасыванием всех членов, не
содержащих производных максимального порядка.
Для дифференциального оператора
главная часть есть "У,„, о„В«. Иногда Г. ч. д. о.
определяется с введением дополнительных весов, при-
приписываемых дифференцированиям по различным аргу-
аргументам. Например, в дифференциальном операторе
Dt — D\-\-aD% главная часть определяется иногда как
Dx — D\. А.А.Дезип.
ГЛАВНОГО ТИПА ОПЕРАТОР С ЧАСТНЫМИ ПРО-
ПРОИЗВОДНЫМИ и постоянными коэффи-
коэффициентами— оператор A (D), главная часть к-рого
Р (D) (см. Главная часть дифференциального оператора)
удовлетворяет условию:
9Р (х) 2 - 0
дх.
для любого вектора ае= (хи ..., xn)?Rn. Другая
формулировка условия: всякая действительная харак-
характеристическая относительно Р (D) плоскость должна
быть простой характеристикой. Условие (*) является
необходимым и достаточным для доминирования A (D)
по отношению к произвольному оператору меньшего
порядка. Операторы с совпадающей главной частью
Р (D) имеют одинаковую силу тогда и только тогда,
когда выполнено условие (*). В случае переменных
коэффициентов условие принадлежности A {D) к глав-
главному типу формулируется обычно с помощью специаль-
специальных неравенств, оценивающих производные функций
с компактным носителем через значения оператора.
Поточечное выполнение условия (*) и дополнительное
условие на порядок коммутатора [Р (х, D)P (x, D)]
достаточны для принадлежности A (D) к главному типу.
А. А. Цезип.
ГЛАВНОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РАССЛОЕНИЕ —
локально тривиальное аналитич. расслоение, на слоях
к-рого просто транзитивно и аналитически действует
структурная группа Ли; то есть Г. а. р. есть четверка
(Р, В, G, я), где Р, В — аналитические пространства
над полем к, л : P-vZ? аналитич. отображение, G —
группа Ли над к, аналитически действующая справа на
Р, причем для каждого элемента базы В существуют
окрестность U и аналитич. изоморфизм
Ф : U
такой, что
<p{x,gh) = <p{x
Каждое векторное аналитическое расслоение р:
V-+B с га-мерным слоем определяет Г. а. р. с базой В
и группой GL(n, к), слоем к-рого над точкой Ь?В
является многообразие всех базисов слоя р-1F). Это
частный случай взаимно однозначного соответствия меж-
между аналитич. расслоениями с заданным слоем и струк-
структурной группой G и ассоциированными с ними Г. а. р.
Другие примеры Г. а. р.: расслоение //—yHlG, слоя-
слоями к-рого служат левые смежные классы группы Ли Н
по ее подгруппе Ли G; аналитич. накрытие (здесь струк-
структурная группа — группа накрытия).
Г. а. р. можно задать при помощи открытого покры-
покрытия ¦[ Uiji ? / его базы В и функций перехода,
т. е. аналитич. отображений
Sij- Ui[)Uf-+G, i, j? I, Ut П Uj ф 0,
удовлетворяющих условиям
Sij (*) gjk П = gik (*), * в Ut П Uj П Uk.
Функции перехода образуют одномерный коцикл со
значениями в пучке QQ ростков аналитич. отображений
В—vG, что дает взаимно однозначное соответствие между
множеством Г. а. р. с базой В и группой G и множест-
множеством когомологий Нг{В, Qa). Классификация Г. а. р.
с базой В и структурной группой G представляет
собой (для неабелевой группы G) проблему, решенную
лишь в нек-рых специальных случаях (по поводу соот-
соответствующей проблемы локальных модулей см. Дефор-
Деформация аналитической структуры). Связь между этой
классификацией и классификацией топологических
главных расслоений выражается естественным отобра-
отображением
а: ННВ, 6G)- Ui(B, CG),
где С — пуюк ростков непрерывных отображений
B-+G.
Пусть А=С, а В — приведенное Штейна пространст-
пространство, тогда отображение а биективно, и проблема класси-
классификации сводится к задаче гомотопич. топологии [4].
В частности, всякое Г. а. р., базой к-рого является
некомпактная риманова поверхность, а структурная
группа связна, тривиально. Результат работы [4] полу-
получен на самом деле для более широкого класса ?"-глав-
ных расслоений, в определении к-рых группа G заме-
заменяется некоторым аналитическим локально тривиаль-
тривиальным расслоением Е-+-В на комплексные группы Ли,
послойно действующим на Р. Существует обобщение
приведенного результата на случай, когда структурная
группа есть банахова комплексная группа Ли [2]. Если
же В — компактная риманова поверхность, то а сюръ-
ективно, но не инъективно. В общем случае а не обя-
обязано быть ни инъективным, ни сюръективным. Для
связной разрешимой группы G известны когомологич.
достаточные условия инъективности или биективности
отображения а [3].
Изучен также случай, когда В — компактная рима-
риманова поверхность рода р, a G — связная редуктивная
алгебраич. группа. Для р = 0 соответствующая класси-
классификация дана в [5], для р=1 при G=GL(n, С) — в
[1]. В случае р~^:2, G=GL(ra, С) (см. Векторное алгеб-
алгебраическое расслоение) существенную роль играет поня-
понятие стабильного векторного расслоения. Это понятие
обобщается [6] на случай произвольной связной редук-
тивной группы G. Множество всех стабильных главных
расслоений данного топологии, типа на компактной
римановой поверхности обладает естественной структу-
структурой связного нормального комплексного пространства.
Получена также частичная классификация векторных
расслоений над комплексным проективным простран-
пространством В = Рт (С) и над алгебраическими поверхностями.
О вещественных Г. а. р. (случай &=R) см. Вещест-
Вещественное аналитическое пространство.
Лит.: [1] A t i у a h M., «Proc. London Math. Soc», 1957,
v. 11, Л» 27, p. 417 — 52; [2J Bungart L., «Topology», 1968,
v. 7, Nil, p. 55—68; [3] Frenkel J., «Bull. Soc. Math.
France», 1957, t. 85, ЛЬ 2, p. 135—220; [4] Grauert H.,
«Math. Ann.», 1958, Bd 135, №3, S. 263—73; [5] G г о t h e n-
dieck A., «Amer. J. Math.», 1957, v. 79, ЛЬ 1, p. 121—38;
[6] R a m a n a t h a n A., «Math. Ann.», 1975, Bd 213, ЛЬ 2, S.
129 — 52. А. Л. Онищик.
ГЛАВНОЕ НАПРАВЛЕНИЕ — направление в точке
регулярной поверхности, в к-ром нормальная кривизна
поверхности в этой точке достигает экстремального
значения. В каждой точке поверхности может быть либо
два Г. н., либо любое направление является Г. н. (в
уплощения точках и в округления точках). В первом
случае Г. н. ортогональны, сопряжены и совпадают
с направлением осей индикатрисы кривизны (см. Дюпе-
Дюпена индикатриса). Если направление (d) является Г. н.,
то справедливо соотношение (формула Род-
рига):
dn = — k dr,
где п — вектор единичной нормали к поверхности,
к — нормальная кривизна поверхности r=r(u, v) в
этом направлении. Обратно, если в нск-ром направле-
направлении (d) выполняется равенство dn=kdr, то (d) является
Г. н. Нормальная кривизна в Г. н. наз. главной кри-
кривизной. Е. в. Шикин.
ГЛАВНОЕ ОДНОРОДНОЕ ПРОСТРАНСТВО-главный
G-объект в категории алгебранч. многообразий или
схем. Если S — схема, а Г — схема групп над S,
то главный G-объект в категории схем над Г наз. Г. о. п.
над S. В случае, когда S — спектр поля к и Г — алге-
алгебраическая fe-группа, Г. о. п. над Г есть алгебраическое
fe-многообразие V, на к-ром Г действует (слева), и при
замене к на его сепарабельное алгебраич. замыкание
к, каждая точка v?V(k) определяет изоморфное ото-
отображение g-^-gv многообразий V-^ и F-^. Г. о. п. V три-
тривиально тогда и только тогда, когда V (к) не пусто.
Множество классов, изоморфных Г. о. п., над гладкой
алгебранч. группой Г может быть отождествлено с
множеством Галуа когомологий Н1(к, Г). В общем слу-
случае множество классов Г. о. п. над 5-схемой групп Г
совпадает с множеством одномерных неабелевых кого-
мологпй H1(ST, Г), где ST— некоторая топология
Гротендика на схеме S [2].
В ряде случаев Г. о. п. вычислено. Если к —
конечное поле, то каждое Г. о. п. над связной алгеб-
алгебраической &-груи;:ой является тривиальным (теоре-
(теорема Л е н г а). Это же утверждение верно, если к —
поле р-адических чисел, а Г — односвязная и полупро-
полупростая группа (теорема К н е з е р а). Если Г = Гт>5~
мультипликативная 5-схема групп, то множество клас-
классов Г. о. п. над Г совпадает с Пикара группой Pic (S)
схемы S. В частности, если S — спектр поля, то эта
группа тривиальна. Если Г = Га 5— аддитивная 5-
схема групп, то множество классов Г. о. п. над Г
совпадает с группой Я1 (S, Q) одномерных когомоло-
когомологий структурного пучка (95 схемы S. В частности, это
множество тривиально, если S — аффинная схема.
В случае, когда к — глобальное поле (т. е. поле ал-
алгебраич. чисел или поле алгебраич. функций от одного
переменного), изучение множества классов Г. о. п.
над алгебраической /с-группой Г основано на исследо-
вании множества Тейта — Шафаревича Ш (Г), состоящего
из Г. о. п. над Г, имеющих рациональные точки во
всех пополнениях kv относительно нормирований
поля к. В случае, когда Г — абелева группа над полем
к, множество классов Г. о. п. над Г образует группу
(см. Вейля — Шатле группа).
Лит.: [1] Серр Ж.-П., Когомологии Галуа, пер. с франц
М., 1968; [2] Dem azure M., Gabriel P., Groupes
algebriques, t. 1, P.—Amst., 1970; [3] Lang S., Tate J
«Amer. J. Math.», 1958, v. 80, p. 659—84.
В. E. Воскресенский, И. В. Долгачев.
ГЛАВНОЕ РАССЛОЕНИЕ — G-расслоение я0 : Х-+В
такое, что группа G действует свободно и совер-
совершенно на пространстве X. Значение Г. р. состоит в
том, что оно позволяет строить ассоциированные (с ним)
расслоения со слоем F, если задано представление G
в группе гомеоморфизмов F. Дифференцируемые Г. р.
с группами Ли играют важную роль в теории связно-
стей и групп голономии. Пусть, напр., Н — топологич.
группа, имеющая G своей замкнутой подгруппой, HlG —
однородное пространство левых смежных классов Н по
G, тогда расслоение я0: H—*-H/G является Г. р. Пусть,
далее, Хо — конструкция Милнор а, т. е.
соединение бесконечного числа экземпляров группы G,
каждая точка к-рого имеет вид:
(g, t)= (goto, gltu ...),
гДе Si^G, ?,-?[0, 1], причем только конечное число г,-
отлично от нуля и 2f,-—1. Действие группы G на XG,
определенное формулой h(g, i)=(fcg, t), свободно, и
расслоение шо : Xq—*-Xg mod G является нумерируе-
мым Г. р.
Каждый слой Г. р. гомеоморфен группе G.
Морфизм Г. р.— это морфизм расслоений / : ла~^-
-mtg', для к-рого отображение слоев fna1 F) индуци-
индуцирует гомоморфизм групп
где lb(g)=gx, ло(х)=Ь. В частности, морфизм наз.
эквивариантным, если 9;,= 6 не зависит от Ь, так что
gf(x) = Q(g)f(x) для любых х?Х, g?G; если G=G' и
9= id, то эквивариантныи морфизм наз. G-морфизмом.
Любой G, Б-морфизм (т. е. G-морфизм Г. р. над В)
является G-изоморфизмом.
Для любого отображения и : В'—*-В и Г. p. Uq: Х~у-
—>-В индуцированное расслоение и* (яд) является Г. р. с
той же группой G, причем отображение U : и* (па)~*¦
—кпд является G-морфизмом, однозначно определяю-
определяющим действие G на пространстве и* (х). Напр., если
Г. р. Яд тривиально, то оно изоморфно Г. р. ф* (т|),
где т| есть G-расстояние над одной точкой, ц> — посто-
постоянное отображение. Обратное также верно, и потому
Г. р., обладающее сечением, тривиально. Для каждого
нумерируемого Г. р. Яд : Х-^-В существует такое
отображение / : .B->-Zomod G, что /* (coG) является G-
изоморфным я0; при этом для изоморфности Г. р.
/о((Оу) и /i(coG) необходима и достаточна гомотоп-
гомотопность /0 и Д. Это — основная теорема гомотопической
классификации Г. р., выражающая универсальность
Г. р. сод (полученного с помощью конструкции Мил-
нора) по отношению к классифицирующему отображе-
отображению /.
Лит.: [1] Бишоп Р. Л., Криттенден Р. Д ж.,
Геометрия многообразий, пер. с англ., М., 1967; [2] Ноли д-
зу К., Группы Ли и дифференциальная геометрия, пер. с англ.,
М., 1960; [3] С т е р н б е р г С, Лекции по дифференциальной
геометрии, пер. с англ., М., 1970; [4] Расслоенные пространства
и их приложения, сб. переводов, М., 1958; [5] С т и н р о д Н.,
Топология косых произведений, пер. с англ., М., 1953; [6]
Хьюзмоллер Д., Расслоенные пространства, пер. с
англ., М., 1970. А. Ф. Щекутьев.
ГЛАВНОЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ —
фундаментальное решение G(x, у) определенного во
всем пространстве Е" эллиптич. уравнения 2-го порядка
Аи = \ а,ъ :—= Ь
+ У" bi(x)?+c(x)u = O, (*)
удовлетворяющее условиям
C(s, у)=0 (е-'*-«"), ^ = 0(e-a|3C-)
для нек-рых положительных постоянных а и Я при
|*-г/|>Л.
Если коэффициенты а^(х), Ъ;(х) и с (г) удовлетво-
удовлетворяют в Еп условию Гёльдера и для y>0 выполняется
неравенство c(z)< — у, то Г. ф. р. существует. В случае,
когда коэффициенты оператора А определены в нек-рой
ограниченной области с достаточно гладкой границей,
их можно продолжить на все пространство Е" так, что
у продолженного оператора Г. ф. р. будет существовать.
Лит.: [1] Миранда К., Уравнения с частными произ-
производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957.
_ Ш. А. Алимов.
ГЛАВНЫЙ ИДЕАЛ — идеал (кольца, алгебры, полу-
полугруппы или решетки), порождаемый нек-рым одним
элементом а, т. е. наименьший идеал, содержащий эле-
элемент а.
Левый Г. и. L(a) кольца К, кроме самого элемента а,
содержит все элементы вида
ка-\-па;
соответственно, правый Г. и. R(a) содержит все эле-
элементы вида
ак-~-па,
а двусторонний Г. и. Ь(а) — все элементы вида
na + ta-asAr^ [(A-,-a) Z,-+ к\ (а, Ц )],
где к, ?, s, к[, к], Z,-, \{ — произвольные элементы
кольца К, а па = а~г-. . .-\-а (п слагаемых). В случае,
когда К — кольцо с единицей, слагаемое па может
быть опущено. В частности, для алгебры А над полем
L(a) = aA, R(a)=Aa, J(a) = AaA.
В полугруппе 5 левый, правый и двусторонний идеа-
идеалы, порожденные элементом а, равны соответственно
L(a)=S1a, R(a)=aS1, J (a)=S1aS1,
где S1 — полугруппа, совпадающая с 5, если S содер-
содержит единицу, и полученная из S внешним присоеди-
присоединением единицы — в противном случае.
Г. и. решетки L, порожденный элементом а, совпа-
совпадает с множеством таких х, что жа; он обозначается
обычно av, [a] или [0, а], если решетка с нулем. Таким
образом,
av =aL = {ax \
В решетке конечной длины все идеалы главные.
В. Н. Ремесленников, Т. С. Фофанова, Л. Н. Шеврин
ГЛАВНЫЙ G-ОБЪЕКТ в топологизиро-
ванной категории — понятие теории катего-
категории, частные случаи которого — главное расслоение
в топологии, главное однородное пространство в алгеб-
раич. геометрии и др. Пусть G — групповой объект.
категории С с произведениями и финальным объектом е.
Объект Р наз. G-объектом, если определен морфизм я:
PXG-+P, для к-рого коммутативны следующие
диаграммы:
1рХЦ lpXg
Pxe >PxG
1р У
PXG ¦ >Р Р— >Р
Здесь (i, : GXG-+G —¦ морфизм группового закона на G,
а Р : e—>G — морфизм единичного элемента G. Более
точно, введенные выше G-объекты наз. правыми
G - о б ъ е к т а м и, аналогично дается определение
левых G-o б ъ е к т о в. Примером G-объекта может
служить сам групповой объект G, для к-рого отобра-
отображение ц совпадает с отображением я. Такой обт.ект
наз. тривиальным G-o б ъ е к т о м. G-объекты
категории С образуют подкатегорию Са, морфизмами
в к-рой служат морфизмы, перестановочные с морфиз-
мамн п. G-объект наз. формально главным
Pri я
G-o б ъ е к т о м, если морфизмы Р X G—>Р и Р X G--+-P
индуцируют изоморфизм ц>=лрг1 : PxG—^PXP. Если
Т — некоторая топология Гротендика на категории С,
то формально главный G-объект Р наз. главным G-
объектом (относительно топологии Г), если сущест-
существует покрытие (U[ —*-е)г?/ финального объекта такое,
что для любого г?/ произведение GX ?.',¦ изоморфно
е
тривиальному GX ^//-объекту.
е
Примеры. 1) Если С — категория множеств, а
G — группа, то непустые G-объекты наз. G-множест-
вами. Это множества Р, для к-рых задано такое отобра-
отображение PXG—+P((p, g)—*-pg), что для любых g, g'(^G
имеет место p(gg')=(pg)g' и для любого р?Р верно
p-i=p. Главный G-объект есть G-множество, в к-ром
для любых р, р'?Р существует единственный элемент
g?G такой, что pg=p' (главное однородное
G-м н о ж е с т в о). Если Р не пусто, то выбор Ро?Р
определяет отображение g^>-Pog, к-рое устанавливает
изоморфизм Р и тривиального G-множества G. Тем
самым в любой топологии формально главный б-объект
является главным G-объектом.
2) Если X — днфференциируемое многообразие,
Н — группа Лп, то, взяв за С категорию расслоений
над X, за групповой объект G проекцию НхХ—^Х
и определив топологию в С с помощью семейств откры-
открытых покрытий, можно получить определение главного
б-расслоения.
Если Р — формально главный G-объект категории
С, то для любого объекта X категории Ob (С) множество
Р (X) = Homc(X, P) либо пусто, либо является главным
однородным С(Х)-множеством.
G-объект Р изоморфен тривиальному G-объекту тогда
и только тогда, когда существует сечение е—>-Р. Множе-
Множество классов G-объектов (относительно отношения изо-
изоморфизма между ними) обозначается через НХ{С, G).
В случае, когда G — абелев групповой объект, мно-
множество Н1 {С, G) с отмеченной точкой, соответствующей
классу тривиальных G-объектов, является группой и
вычисляется стандартными средствами гомологич.
алгебры. В общем случае вычисления /^(С, G) исполь-
используют конструкции когомологий Чеха (см. Неабелевы
когомологии).
Лит.: [1] Revetements etales et groupe fondamental, В.,
1971. _ И. В. Долгачев.
ГЛАВНЫЙ РЯД длины т — такая конечная
последовательность
G = G0 > Gx > ... > Gm = i
вложенных друг в друга нормальных подгрупп группы
G, что ее нельзя включить (без повторения членов)
ни в какую другую последовательность с теми же свой-
свойствами, т. е. б1+1 — максимальная нормальная под-
подгруппа группы G, содержащаяся в G, в качестве собст-
собственной подгруппы, i=0, 1, . . ., то—1. Группа тогда и
только тогда обладает хотя бы одним Г. р., когда в ней
обрываются все убывающие по включению и все возра-
возрастающие по включению последовательности нормаль-
нормальных подгрупп. Если группа обладает Г. р., то любые
два таких ряда изоморфны, т. е. имеют одинаковую
длину и между множеством факторов G,-/G,-+1 одного
ряда и множеством факторов другого ряда существует
взаимно однозначное соответствие, при к-ром соответ-
соответственные факторы изоморфны. Ю. И. Мерзляков.
ГЛАВНЫЙ ФАКТОР полугруппы — всякая фак-
торполугруппа Риса (см. Полугруппа) вида J(x)lN(х),
где J(x) — двусторонний главный идеал данной полу-
полугруппы, порожденный элементом х, a N(x) = J(x)\Jx,
где Jx есть ^-класс (см. Грина отношения эквивалент-
эквивалентности), содержащий х\ если множество N (х) не пусто,
то оно является идеалом, а в случае, когда N (х) = 0,
считается J (хI N (x) = J (х). Г. ф. полугруппы наз.
также идеальным фактором. Произвольный
Г. ф. полугруппы есть либо полугруппа с нулевым
умножением, либо 0-простая полугруппа, либо идеаль-
идеально простая полугруппа (см. Простая полугруппа);
последнее имеет место тогда и только тогда, когда
полугруппа обладает ядром и данный Г. ф. совпадает
с ядром. Полугруппа, не имеющая Г. ф. с нулевым ум-
умножением, наз. полупростой; полупростота по-
полугруппы эквивалентна, напр., тому, что для любого ее
двустороннего идеала А выполняется равенство А2=А.
Всякая регулярная полугруппа полупроста. Если каж-
каждый Г. ф. полугруппы либо вполне 0-прост, либо вполне
прост (см. Вполне простая полугруппа), то полугруппа
наз. вполне полупростой. Полугруппа
вполне полупроста тогда и только тогда, когда она ре-
регулярна и удовлетворяет любому из следующих двой-
двойственных друг другу условий: для каждого ^-класса
частично упорядоченное множество содержащихся в
нем ^"-классов (соответственно 5?-классов) обладает
минимальным элементом; при этом /&:=&).
Произвольная полугруппа как бы собрана из своих
Г. ф., это объясняет, в частности, особую роль, к-рую
играют в теории полугрупп идеально простые и 0-про-
стые полугруппы.
Лит.: [1] Ляпин Е. С, Полугруппы, М., 1960; [2]
Клиффорд А., Престон Г., Алгебраическая теория
полугрупп, пер. с англ., тт. 1—2, М., 1972. Л. Н. Шеврин.
ГЛАВНЫЙ ХАРАКТЕР, главный характер
Дирихле,— арифметический характер %0, опреде-
определяемый условием
/ 1, если (п, D)=l,
Хо("'~| 0, если (n, D)^\,
где D — любое заданное натуральное число. Через
Г. х. определяются понятия первообразного и произ-
производного характеров (см. Дирихле характер).
Н. Г. Чудаков.
ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ КОЛЬЦО — ассоциативное
кольцо R с единицей, в к-ром все левые и правые идеа-
идеалы являются главными, т. е. имеют вид Да и аЯ, соот-
соответственно, где а?Д. Примеры Г. и. к.: кольцо целых
чисел, кольцо многочленов F (х) над полем F, коль-
кольцо косых многочленов/7 (х, S) над полем F
с автоморфизмом 5 : F—+F (элементы F (x, S) имеют вид
^.;=.о'г''а'' а'€^' сложение этих элементов обычное, a
умножение определяется законами дистрибутивности и
равенством ax=xas, где a?F), кольцо диффе-
дифференциальных многочленов F(х, ') над
полем F с дифференцированием ': F^>-F (это кольцо
2п ¦
(=о 1' а' € ^\ причем
сложение обычное, а умножение определяется равен-
равенством ах=ха-\-а', где a?F). Г. и. к. без делителей нуля
наз. областью главных идеалов. Комму-
Коммутативное Г. и. к. является прямой суммой областей
главных идеалов и Г. и. к., обладающих единственным
простым идеалом, к-рып нильпотентен (см. [2], с. 282).
Если R — область главных идеалов, то два ненулевые
элемента а, Ъ кольца R имеют наибольший общий ле-
левый делитель (а, Ь) и наименьшее общее правое кратное
[a, b], к-рые определяются как элементы, удовлетво-
удовлетворяющие равенствам:
aR + bR = (a, Ь) R; aRf]bR = [a,b]R.
Элементы (а, Ъ) и [а, Ь] единственны с точностью до
обратимого правого множителя. Область главных
идеалов является областью с однозначным разложением
на множители. Двусторонние идеалы области главных
идеалов образуют относительно умножения свободную
коммутативную полугруппу с нулем и единицей (сво-
(свободными порождающими этой полугруппы будут мак-
максимальные идеалы кольца).
Подмодуль N свободного модуля М конечного ранга
п над R является свободным модулем ранга к^.п над
Я, и в модулях М is. N можно так выбрать базисы аъ . . .,
ап и 6Х, ..., bf,, что 6j = e,a/, i<^ii^.k, где е,(;Л и е,-
является полным (т. е. е,Л Г)Ле,=;Ле/Л) дели-
делителем элементов еу- при ?<;. Каждый конечно порож-
порожденный модуль К над R является прямой суммой цик-
лич. модулей R/ejR, l<i<m, где е,?Л и е,- — полный
делитель ej при ?</, е,^=0. Эта теорема обобщает основ-
основную теорему о конечно порожденных абелевых группах.
Элементы е,, 1<:?<:т, из предыдущей теоремы опреде-
определены однозначно с точностью до подобия (см. Ассоциа-
Ассоциативные кольца и алгебры). Эти элементы наз. инва-
инвариантными множителями модуля К.
Кроме того, модуль К можно представить в виде прямой
суммы далее неразложимых циклич. модулей R/qiR,
где qt(~R, 1<:г<:А;. Элементы д,-, 1«:г<:&, определены
однозначно с точностью до подобия и наз. элемен-
элементарными делителями модуля К. Если
область R главных идеалов коммутативна, то д,Л = 0
или д,-Л = р"'Л, 1<:г«:&, где />,- — неприводимые (про-
(простые) элементы кольца Л. Из предыдущих утверждений
вытекают обычные свойства элементарных делителей и
инвариантных множителей линейных преобразований
конечномерных векторных пространств [3].
Лит.: [1] Джекобсон Н., Теория колец, пер. с
англ., М., 1947; [2] Зарисский О., Самюэль П.,
Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1, М., 1963; [31 Бур-
баки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы пер. с франц.,
М., 1966. Л. А. Бокутъ.
ГЛАДКАЯ СХЕМА — обобщение понятия неособого
алгебраического многообразия. Схема X (локально)
конечного типа над полем к наз. гладкой схемой
(над к), если схема, полученная ю I с помощью за-
замены поля констант к на его алгебраич. замыкание к,
является регулярной схемой, т. е. все ее локальные
кольца регулярны. Для совершенного поля к понятия
Г. с. над к и регулярной схемы над к совпадают. В ча-
частности, Г. с. конечного типа над алгебраически замк-
замкнутым полем есть неособое алгебраич. многообразие.
В случае поля комплексных чисел неособое алгебраич.
многообразие обладает структурой комплексного анали-
аналитического многообразия.
Схема является Г. с. тогда и только тогда, когда
она может быть покрыта гладкими окрестностями. Точ-
Точка схемы X наз. простой точкой схемы, если
в нек-рой ее окрестности схема X есть Г. с; в против-
противном случае точка наз. особой точкой схемы.
Связная Г. с. неириводима. Произведение Г. с. снова
есть Г. с; вообще, если У есть Г. с. над к, а/ : X—*-У—
гладкий морфизм, то X есть Г. с. над к.
Аффинное пространство А% и проективное простран-
пространство Pf. являются Г. с. над к; над совершенным полем
любая алгебраич. группа (т. е. приведенная алгебра-
алгебраич. схема групп) есть Г. с. Приведенная схема над
алгебраич. замкнутым полем является Г. с. на всюду
плотном открытом множестве.
Если схема X задается уравнениями
1'\(Хи ..., Хт) = 0, i = l, ...,п,
в аффинном пространстве А1?, то точка х(^Х будет про-
стой тогда и только тогда, когда ранг матрицы Якоби
д][~.(х)\ равен т — d, где d — размерность X в точке
¦ (я к о б и е в ы й критерий). В более общем
случае, замкнутая подсхема X Г. с. У, задаваемая
пучком идеалов /, будет Г. с. в окрестности точки х
в том и только в том случае, если существует система
образующих gu . . ., gn идеала Ix в кольце Ох, х, Удов-
Удовлетворяющая тому условию, что dgx, . . ., dgn составля-
составляют часть базиса свободного Ох, ^-модуля пучка
дифференциалов Qx/к.х-
Лит.: [1] Ш а ф а р ев и ч И. Р., Основы алгебраической
геометрии, М., 1972; [2] GrothendieckA. «Publ. math.
IHES», 1967, t. 32; [3] Zariski O., «Trans. Amer. Math.
Soc», 1947, v. 62, № 1, p. 1 — 52.
В. И. Данилов, II. В. Долгачсв.
ГЛАДКАЯ ТОЧКА функции — значение аргу-
аргумента х функции /, при к-ром выполнено условие:
lim ^f <.x + '^ + nx-h)-2f(x) |=Q
Точка дифференцируемости функции является Г. т.,
обратное, вообще говоря, не верно. Если в Г. т. суще-
существует односторонняя производная, то существует и
обычная производная. в. Ф. Емельянов.
ГЛАДКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, у к-рой каждое
значение аргумента является гладкой точкой. Г. ф. мо-
может быть разрывной. Если Г. ф. непрерывна на интер-
интервале, то множество точек ее дифференцируемости плот-
плотно на нем и имеет мощность континуума. Существуют
непрерывные, гладкие на числовой прямой функции,
не дифференцируемые почти всюду. Г. ф. имеет произ-
производную в каждой точке локального экстремума и, в
силу этого, для гладких непрерывных функций оста-
остаются справедливыми основные теоремы дифференциаль-
дифференциального исчисления — теоремы Ролля, Лагранжа, Коши,
Дарбу И др^ в. Ф. Емельянов.
ГЛАДКИЙ КОНТИНУУМ в точкер- континуум
X такой, что для каждой последовательности х1, . . .,
хп. . . точек из X, сходящейся к точке х, и каждого
подконтинуума КсХ, содержащего точки р и х,
существует сходящаяся к К последовательность под-
подконтинуумов {А'„} в X. Континуум, гладкий в каждой
своей точке, наз. гладким. л. а. Мальцев
ГЛАДКИЙ МОРФИЗМ схем— обобщение на
случай схем понятия семейства неособых алгебраиче-
алгебраических многообразий. В классич. случае морфизма комп-
комплексных алгебраич. многообразий это понятие сводится
к понятию регулярного отображения (субмерсии) ком-
комплексных многообразии. Конечно представленный (ло-
(локально) морфизм схем / : X—у У наз. гладким м о р-
ф и з м о м, если / есть плоский морфизм и если для лю-
любой точки y?Y слой f~l(y) будет гладкой схемой (над
полом к (у)). Схема X наз. гладкой схемой над
схемой Y, или гладкой У-с х е м о и, если
структурный морфизм / : X—>-У является Г. м.
Примером гладкой У-схемы служит аффинное про-
пространство Ау. Частный случай понятия Г. м.— эталь-
ный морфизм. Обратно, всякий Г. м. / : X—vl" разлага-
разлагается локально по X в композицию этального морфизма
X—уАу и проекции Ay-*-Y.
Композиция Г. м. снова есть Г. м.; аналогично об-
обстоит дело с произвольной заменой базы. Г. м. харак-
характеризуется своим дифференциальным свойством: пло-
плоский конечно представленный морфизм / : X—уУ будет
Г. м. тогда и только тогда, когда пучок относительных
дифференциалов есть локально свободный пучок ранга
dimxf в точке х.
Понятие Г. м. аналогично понятию расслоения в
смысле Серра в топологии. Напр., Г. м. комплексных
алгебраич. многообразий является локально тривиаль-
тривиальным дифференцируемым расслоением. В общем случае
выполняется следующий аналог аксиомы о накрываю-
накрывающей гомотопии: для любой аффинной схемы Y', ее замк-
замкнутой подсхемы Yo, определяемой нильпотентным
идеалом, и любого морфизма Y'—yY канонич. отобра-
отображение Ноту (У, X)—>¦ Нот^(У^, X) сюръективно.
Если / : X—>-У есть Г. м., а локальное кольцо Qy „
точки y?Y является регулярным (соответственно нор-
нормальным, приведенным), то таким же будет и локальное
кольцо Qx х любой точки х?Х с f(x) = y.
Лит.: [l'] Grothendieck A., «Publ. math. IHES»,
1967, t. 32; [2] RevStements etales et groupe fondamental, В.,
1971. В. И. Данилов, И. В. Долгачев.
ГЛАДКОЕ ПРОСТРАНСТВО — нормированное про-
пространство X, в к-ром для каждой точки х с || х \\ = 1
существует единственный функционал / ? X* такой,
что / (х) = || / || = 1. Пространство X гладко тогда и
только тогда, когда его норма обладает Гато диффе-
дифференциалом В каждой точке X с || X || = 1. Л. П. Власов
ГЛАДКОСТИ МОДУЛЬ — модуль непрерывности
производной порядка rti^l функции f(x), определенной
на банаховом пространстве X, т. е. выражение
II h |
Ц?-_.<-«.-'Ч. > (ж-*) i) I,,
где (x±mhl2)dX. При т=1 Г. м.— обычный непрерыв-
непрерывности модуль функции f(x). Основные свойства Г. м.
(для случая Х = С — пространство непрерывных функ-
функций) :
оэи(/, О, С) = 0;
а>т (/, б, С) не убывает вместе с б;
если к — целое ^1, то
шт(/, кб, С)< A-"<Bm (/, б, С);
для любого Я>0
(от (/, Хб, С) г^ (?v-t-l)"J com (/, б, С);
если v>m, то
если v>/n, то
ыт (/, б, C)sS
(шв(/, «, C)/Uv+1
где vlViOT и а — постоянные, не зависящие от /.
Нек-'рые вопросы теории приближения функций мо-
могут получить окончательное решение только в терминах
Г. м. порядка пС^2. В теории приближения функций
важен класс непрерывных периода 2я функций, Г. м.
2-го порядка к-рых удовлетворяет условию
ш2 (/, б, С2я) =з: б.
Модуль непрерывности таких функций удовлетворяет
условию
0<б«:я, причем постоянная 1/1п(]^2+1) не может
быть улучшена (см. [4]).
Лит.: [1] Бернштейн С. Н., Собр. сочинений, т. 1,
с. 37, М. 1952; [2] Marehaud A., «J. math, pures et appl.»,
1927, t. 6, p. 337—425; 13] Z у g m u n d A., «Duke Math..
J.», 1945, v. 12, p. 47—76; [4J Ефимов А. В., «Изв. АН
СССР. Сер. матем.», 1957, т. 21, № 2, с. 283—88. А. В. Ефимов.
ГЛОБАЛЬНАЯ СТРУКТУРА ТРАЕКТОРИЙ квад-
квадратичного дифференциала— описание
поведения в целом траекторий положительного квадра-
квадратичного дифференциала на конечной ориентированной
римановой поверхности. Пусть R — конечная ориен-
ориентированная рнманова поверхность, Q (z)dzi — положи-
положительный квадратичный дифференциал на R; пусть С —
множество всех нулей и простых полюсов Q (z)dz2, a
Н ~ множество всех полюсов Q (z)dz2 порядка 5^2,
Траектории Q (z)dz2 образуют семейство F, обладающее
многими свойствами регулярных семейств кривых.
Это семейство кривых покрывает R, за исключением
точек множества С(]Н, т. е. через каждую точку из
¦R\(CU#) ПРОХ°ДИТ единственный элемент F. Поведе-
Поведение траекторий Q (z)dz2 в окрестности любой точки R
описывается локальной структурой траекторий квад-
квадратичного дифференциала. При рассмотрении глобаль-
глобальной структуры кривых семейства F в точках R\H су-
существенную роль играют следующие объединения тра-
траекторий. Пусть Ф — объединение всех траекторий
Q(z)dz2, имеющих предельную концевую точку в нек-рой
точке множества С; Л — подмножество Ф, являю-
являющееся объединением всех траекторий Q (z)dz2, к-рые име-
имеют одну предельную концевую точку в точке множества
С и вторую предельную концевую точку в точке множе-
множества сия.
Множество К на R наз. ^-множеством относительно
Q {z)dz~, если каждая траектория дифференциала
Q (z)dz2, пересекающаяся с А', полностью лежит в К.
Внутреннее замыкание множества К определяется как
внутренность замыкания К и обозначается К. Внутрен-
Внутреннее замыкание F-множества снова является F-множест-
вом. Концевой областью Е относительно
Q(z)dz~ наз. наибольшее связное открытое ^-множество
на R, обладающее следующими свойствами: 1) Е не
содержит точек множества C\JH; 2) Е заполнено тра-
траекториями дифференциала Q (z)dz2, каждая из к-рых
имеет предельную концевую точку в каждом из двух
возможных направлений в данной точке А^Н; 3) Е
конформно отображается функцией
на верхнюю или нижнюю полуплоскость плоскости Q
(в зависимости от выбора ветви корня). Из локальной
структуры траекторий Q (z)dz2 следует, что точка А
должна быть полюсом дифференциала Q (z)dz2 не ниже
3-го порядка.
Полосообразной областью S относи-
относительно Q(z)dz2 наз. наибольшее связное открытое F-
множество на R, обладающее следующими свойствами:
1) S не содержит точек множества С (J Н\ 2) S заполнено
траекториями дифференциала Q (z)dz2, каждая из к-рых
имеет в одной точке А?Н предельную концевую точку
в одном направлении, а в другой (возможно, совпадаю-
совпадающей с А) точке В^Н — предельную концевую точку в
другом направлении; 3) 5 конформно отображается
функцией
на полосу a<Im?<6, где а, Ъ — конечные действи-
действительные числа, а<6. Точки А и В могут быть полюса-
полюсами Q{z)dz2 порядка 2 н более.
Круговой областью^ относительно Q (z)dz2
наз. наибольшее связное открытое ^-множество на
R, обладающее следующими свойствами: 1) Ч§ содер-
содержит единственный двойной полюс А дифференциала
Q(z)dz2\ 2) %>\А заполнено траекториями дифференциа-
дифференциала Q (z)dz2, каждая из к-рых является замкнутой жор-
дановой кривой, отделяющей А от границы 'ё; 3) при
надлежащем выборе чисто мнимой постоянной с функ-
функция
дополненная значением нуль в точке А, отображает %
конформно на круг |гг|<Л, причем точка А переходит
в точку w=0.
Кольцевой областью D относительно
Q(z)dz- наз. наибольшее связное открытое ^-множество
на R, обладающее следующими свойствами: 1) D не
содержит точек множества С[)Н; 2) D заполнено тра-
екториями дифференциала Q (z)dz2, каждая из к-рых
является замкнутой жордановой кривой; 3) при над-
надлежащем выборе чисто мнимой постоянной с функция
отображает D конформно на круговое кольцо
<r2, 0<r1<r2.
Плотностной областью Jf относительно
Q(z)dz2 наз. наибольшее связное открытое ^-множество
на Л, обладающее свойствами: 1) $ не содержит точек
множества Н\ 2) §~\С заполнено траекториями Q (z)dz2,
каждая из к-рых всюду плотна в <|р.
Справедлива основная структурная тео-
теорема (см. [2]). Пусть Л — конечная ориентированная
риманова поверхность, Q (z)dz2 — положительный квад-
квадратичный дифференциал на Л, причем исключаются
следующие возможные случаи и все конфигурации,
получающиеся из них посредством конформного отобра-
отображения: I. R есть z-сфера, Q(z)dz2 = dz2; II. R есть z-
сфера, Q(z)dz2=KeiadzJz2, К — положительное, а —
действительное числа; III. Л есть тор, Q (z)dz2 регулярен
на Л. Тогда: 1) Л\Л состоит из конечного числа конце-
концевых, полосообразных, кольцевых, круговых и плотно-
стных областей; 2) каждая такая область ограничена
конечным числом траекторий вместе с точками, в к-рых
последние встречаются; каждая граничная компонента
такой области содержит точку множества С, за исклю-
исключением граничных компонент круговой или кольцевой
области, к-рые могут совпадать с граничными компо-
компонентами Л; для полосообразной области два граничных
элемента, выходящие из точек множества Н, разделяют
границу на две части, на каждой из к-рых имеется точка
множества С; 3) каждый полюс Q(z)dz2 порядка т>2
имеет окрестность, покрываемую внутренним замыка-
замыканием объединения т~2 концевых областей и конечного
числа (возможно, равного нулю) полосообразных обла-
областей; 4) каждый полюс Q(z)dz2 порядка т=2 имеет
окрестность, покрываемую внутренним замыканием объ-
объединения конечного числа полосообразных областей,
или окрестность, содержащуюся в круговой области.
Из этой теоремы непосредственно следует утвержде-
утверждение основной структурной теоремы Дж. Дженкинса
(J. Jenkins) в первоначальной формулировке (см.
[1]): в условиях сформулированной теоремы множество
Л\Ф состоит из конечного числа концевых, полосооб-
полосообразных, круговых и кольцевых областей. Большое
внимание в ряде исследований теории однолистных
функций уделяется доказательству того факта, что для
рассматриваемого квадратичного дифференциала Q (z)dz-
множество Ф пусто. Нахождение условий, обеспечи-
обеспечивающих пустоту множества Ф, представляет и самосто-
самостоятельный интерес. Пример квадратичного дифференциа-
дифференциала Q (z)dz2 на z-сфере, для к-рого множество Ф пусто,
дает следующая теорема о трех полюсах:
если R есть z-сфера, Q (z)dz2 — квадратичный диффе-
дифференциал на Л, имеющий не более трех различных по-
полюсов, то множество Ф пусто.
Лит..: [1] Д ж е н к и н с Д ж., Однолистные функции и
конформные отображения, пер. с англ., М., 1962; [2] Jen-
Jenkins J. A., «Illinois Math. J.», 1960, v. 4, № 3, p. 405 — 12.
Г. В. Кузьмина.
ГЛОБАЛЬНО СИММЕТРИЧЕСКОЕ РИМАНОВО
ПРОСТРАНСТВО — риманово многообразие М, каж-
каждая точка р к-рого является изолированной неподвиж-
неподвижной точкой нек-рой пнволютивной изометрии Sp много-
многообразия М, т. е. Sp есть тождественное преобразова-
преобразование. Пусть G — компонента единицы группы изометрии
пространства М и К — стационарная подгруппа точки
р. Тогда М является однородным пространством G/K,
и отображение Ф : g^-S^gSp есть инволютивный авто-
морфизм группы G, причем К содержится в замкнутой
подгруппе (Зф всех неподвижных точек автоморфизма Ф
и содержит компоненту единицы группы бф.
Пусть g — вещественная алгебра Ли, ф — ее инво-
лютивный автоморфизм и к — подалгебра в g, состоя-
состоящая из всех ф-неподвижных элементов. Рассмотрим
связную подгруппу К присоединенной группы Int (g),
соответствующую подалгебре к. Если группа К ком-
компактна, то к наз. компактно вложенной подалгеброй
алгебры g, а пара (g, ф) наз. ортогональной
симметрической алгеброй Ли. Пусть
g=fc+m — разложение на собственные подпростран-
подпространства автоморфизма ф, отвечающие собственным значе-
значениям 1 и — 1. Пара (g, ф) наз.: а) алгеброй ком-
компактного типа, если g компактна и полупроста;
б) алгеброй некомпактного типа, если
g=k~\-m есть К ар тана разложение; в) алгеброй
евклидова типа, если т — аболев идеал в g.
Пусть (g, ф) — ортогональная симметрич. алгебра
Ли и g=k-\-m — указанное разложение. Обозначим
через g* подмножество k-\-im комплексной оболочки gc
алгебры g. Отображение
есть инволютивный автоморфизм алгебры g* и (g*, ц>*)
есть ортогональная симметрич. алгебра Ли, к-рая наз.
двойственной к алгебре (g, ф). Если (g, ф) — алгебра
компактного типа, то (g*, ц>*) — алгебра некомпакт-
некомпактного типа, и наоборот.
Каждое Г. с. р. п. G/K порождает ортогональную
симметрич. алгебру Ли (g, ф), где g — алгебра Ли
группы G, а ф= (d<?>)e (е — единица группы). G/K наз.
пространством компактного или
некомпактного типа в соответствии с типом
порождаемой им пары (g, ф). Каждое односвязное
Г. с. р. п. М является прямым произведением: М=
= М0Х JW_ ХМ + , где Мо — евклидово пространство,
М_ и М + — Г. с. р. п. компактного и некомпактного
типа соответственно. Для всякого пространства неком-
некомпактного типа кривизна в любом двумерном направле-
направлении неположительна, а для пространств компактного
типа такая кривизна всюду неотрицательна. Любое
пространство некомпактного типа диффеоморфно евк-
евклидову пространству.
Пусть M=G/K — Г. с. р. п. компактного или не-
некомпактного типа. Рангом I пространства М наз.
максимальная размерность плоского вполне геодезич.
подмногообразия в М. Пусть А и А' — два плоских
вполне геодезич. подмногообразия пространства М
размерности I, q?A, q'?A' и X — касательный век-
вектор к М в точке q. Тогда: 1) существует такой элемент
хФG, что хА=А' и xq=q'; 2) существует такой элемент
y?G, что yq=q и dy(X) — касательный вектор к А
в точке q.
Пусть (g, ф) — ортогональная симметрич. алгебра
Ли, а к и т — собственные подпространства автомор-
автоморфизма ф, отвечающие собственным значениям 1 и —1.
Алгебра (g, ф) наз. неприводимой, если вы-
выполняются условия: 1) g полупроста и к не содержит
ненулевых идеалов алгебры g; 2) алгебра &dg(k) не-
неприводимым образом действует на т. Г. с. р. п. G/K
наз. неприводимым, если порождаемая им ор-
ортогональная симметрич. алгебра Ли (g, го) неприводи-
ма. Две ортогональные симметрич. алгебры Ли (g, ф)
и (g', ф') наз. изоморфными, если существует такой
изоморфизм г|) алгебры g на g', что г|)оф=ф'ог|з. Класси-
Классификация односвязных неприводимых Г. с. р. п. с точ-
точностью до изометрии эквивалентна классификации
неприводимых ортогональных симметрич. алгебр Ли с
точностью до изоморфизма.
Неприводимые ортогональные симметрич. алгебры
Ли компактного типа суть: I. (g, ф), где g — компакт-
ная простая алгебра Ли и ф — любой ее инволютивный
автоморфизм; II. (g, ф), где компактная алгебра g
является прямой суммой двух простых идеалов, к-рые
переставляются при помощи автоморфизма ф.
Неприводимые ортогональные симм.этрич. алгебры
Ли некомпактного типа суть: III. (g, ф), где g — про-
простая некомпактная алгебра Ли над R, комплексная
оболочка gc к-рой является простой алгеброй Ли над
С, а ф - такой инволютивный автоморфизм алгебры g,
что его неподвижные точки составляют максимальную
компактно вложенную подалгебру; IV. (g, ф), где g —
простая алгебра Ли над С, рассматриваемая как веще-
вещественная алгебра Ли, а ц> — сопряжение алгебры g
по отношению к максимальной компактно вложенной
подалгебре к, т. е. отображение X-{-iY—+X — iY,
X,Y?k. Кроме того, если обозначить через (g*,(p*) ал-
алгебру, двойственную к (g, ф), то (g, ф) типа III и
IV, если (g*, ф*) типа I и II соответственно, и на-
наоборот.
С каждой неприводимой ортогональной симметрич.
алгеброй некомпактного типа связано в точности одно
Г. с. р. п., причем это пространство односвязно. Для
компактных алгебр решение соответствующей задачи
значительно сложнее. Достаточно рассмотреть типы I
и II. Г. с. р. п., связанные с алгебрами типа II,— это
в точности компактные связные простые группы Ли,
снабженные римановой структурой, инвариантной отно-
относительно левых и правых сдвигов. Задача классифика-
классификации Г. с. р. п., связанных с алгебрами типа I, с точ-
точностью до локальных изометрий равносильна задаче
классификации инволютивных автоморфизмов простых
компактных алгебр Ли. Глобальная классификация
симметрических римановых пространств, связанных с
данной ортогональной симметрич. алгеброй (g, ф)
компактного типа, решается следующей теоремой.
Пусть (g, ф) — ортогональная симметрич. алгебра
компактного типа, причем подалгебра к неподвижных
точек автоморфизма ф не содержит идеалов алгебры g,
отличных от {о}. Пусть G — односвязная группа Ли с
алгеброй Ли g, Z — центр группы G, Ф — такой авто-
автоморфизм группы G, что йф = ф и It — множество всех
неподвижных точек автоморфизма Ф. Для произвольной
подгруппы S группы Z положим Ks= {g^G\g~1O (gN
?S}. Г. с. р. п. М, связанные с (g, ф), совпадают с
пространствами вида G/K, где G=G/S, K=K*IK*[)S,
снабженными любой G-инвариантной метрикой. Здесь S
пробегает все подгруппы группы Z, а К* пробегает все
такие подгруппы в G, что KaK*aKs.
Лит..: [1] Хелгасон С, Дифференциальная геометрия
и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; [2}
Loos О., Symmetric spaces, v. 1—2, N.Y.—Amst., 1969.
А. С. Феденко.
ГЛОБАЛЬНОЕ ПОЛЕ — поле, являющееся либо
конечным расширением поля рациональных функций
одной переменной над конечным полем констант, либо
конечным расширением поля Q рациональных чисел.
Лит.: [1] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М.,
1969. В. Л. Попов.
ГЛУБИНА МОДУЛЯ — одна из когомологич. харак-
характеристик модуля над коммутативным кольцом. Пусть
А — нётерово кольцо, / — его идеал и пусть М есть
А -модуль конечного типа. Тогда /-г лубиной мо-
моду л я М наз. наименьшее целое число га, при к-ром
(A/I, М) ф 0.
Г. м. обозначают depth/(M), или prof/(M). Другое
определение может быть дано в терминах М-р е г у-
лярной последовательности, т. е. по-
последовательности таких элементов аи. . ., а# из А, что
а,- не является делителем нуля в модуле
Л//К, . .., щ.{, М.
/-глубина модуля М равна длине наибольшей М-регу-
лярной последовательности, составленной из элементов
идеала /. В случае локального кольца А за / прини-
принимают обычно максимальный идеал. Верна следующая
формула:
prof/ (M) = inf (prof (МЛ),
где Jj означает простой идеал А, а Л/„ рассматривается
как модуль над локальным кольцом А* .
Понятие Г. м. было введено в [1] под назв. гомоло-
гомологической коразмерности. Если проектив-
проективная размерность dh(M) модуля М над локальным коль-
кольцом А конечна, то
dh (M) -4- prof (M) = prof (A).
В общем случае prof(Af) не превосходит размерности
модуля М.
Концепция Г. м. является одним из основных инст-
инструментов исследования модулей. Так, в терминах Г. м.
определяются модули и кольца Коэна — Маколея;
удобным часто оказывается условие Серра (Sf.)
на А-модуль М:
profA/pSs inf (к, dim Mf)
для всех простых идеалов \> в А. Наконец, Г. м. тесно
связанд с локальными когомологиями: утверждение
prof/ (М) 5э п
равносильно тому, что модули локальных когомологий
Н\ (М) равны нулю при г<п.
Лиг.г : [1] Auslander M., Buchsbaum D. А.,
«Proc, Nat. Acad. Sci. USA»,, 1956, v. 42, p. 36—38; [21 С e p p
Ж.-П., «Математика», 1963, т. 7, Л» 5, с. 3—93; [3] G г о t h e n-
d i е с k A., Cohomologie locale des faisceaux cohcrents, et
thcoremes de Lefschetz locaux et globaux, В., 1971.
В. II. Данилов.
ГОДОГРАФ вектор-функции x(t) — кри-
кривая, представляющая собой множество концов пере-
переменного вектора x(t) (t — действительная переменная,
напр, время), начало к-рого для всех t есть произволь-
произвольная фиксированная точка
О. Г. дает наглядное гео-
мотрич. представление об
изменении (с изменением
?) величины, изображае-
изображаемой переменным вектором,
и о скорости этого измене-
одограф ния имеющей наиравле-
скорости ' „ " „
v ние касательной к Г.
Построение годографа скорости. Напр., если скорость точ-
точки является величиной,
изображаемой переменным вектором v, то отложив
значения, к-рые имеет вектор v в разные моменты вре-
времени, от начала О, получают Г. скорости. При
этом величина, характеризующая быстроту изменения
скорости в нек-рой точке М, т. о. ускорение w в этой
точке, имеет для любого момента времени направле-
направление касательной к Г. скорости в соответствующей его
точке.
ГОДОГРАФА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — преобразование
нек-рых дифференциальных уравнений математнч.
физики к линейному виду.
Бернулли интеграл и уравнение неразрывности пло-
плоскопараллельного потенциального установившегося
движения баротропного газа (p=F(p))
р—pO^I 2^Tj > дх + ву —U'
где
а = ~р , C = —y (с —скорость звука для р = р0)
приводят к уравнению
к-рое служит для определения потенциала скоростей
да dw
и — -—*- , v = -—¦
дх ' ду
(и, v — компоненты скорости). Введением новых неза-
независимых переменных x=f2/2a и 0, равной углу наклона
вектора скорости к оси Ох, уравнение (*) приводится к
линейному виду:
т)р + 1 эФ 1 Aт)р агФ -
_а_ Г 2тA-т)р + 1 эФ 1 ,
дх I 1-B3+1)т dr J
2т
Это есть первое Т.п., или Чаплыгина пре-
преобразование. Второе Г. п. получается при-
применением Лежандра преобразования прикосновения.
В качестве новой неизвестной выбирается функция
дх ' я ду т>
выраженная через и, и, к-рые вводятся вместо х, у как
новые независимые переменные по формулам:
u_9cp ckp_
дх ' ду '
Уравнение (*) принимает линейный вид:
l I- P „Oi!^ i 2P ш; а2ф 4
Г. п. применяются при решении задач теории струй и
струйного обтекания криволинейных контуров газовым
потоком.
Лит.: [1] Чаплыгин С. А., О газовых струях, М.—Л.,
1949; [2] К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. А., Розе Н. В.,
Теоретическая гидромеханика, 4 изд., М., 1963.
Л. Н. Сретенский.
ГОЛОМОРФ ГРУППЫ — понятие теории групп, воз-
возникшее в связи с решением следующей задачи. Можно
ли включить любую данную группу G в качестве нор-
нормальной подгруппы в нек-рую другую группу так, что-
чтобы все автоморфизмы группы G были следствпями внут-
внутренних автоморфизмов этой большей группы? Для
решения такой задачи строят по группе С и ее группе
автоморфизмов Ф (G) новую группу Г, элементами к-рой
являются пары (g, q>), где g?G, Ф^Ф(б), и в к-рой
определяется композиция пар по следующей формуле:
(?i. <Pi) (?2. 4>2) = (gig't1 . Ф1Ф2);
здесь gf 1 — образ элемента g2 при автоморфизме срГ1-
Группа Г (или изоморфная ей группа) наз. голо-
голоморфом группы G. Множество пар вида (g, e), где
е — единица группы Ф(б), составляет подгруппу,
изоморфную исходной группе G. Аналогично, пары
вида (е, ф), где е — единица группы G, составляют
подгруппу, изоморфную группе Ф(б). Формула пока-
(е, ф-!)(г, е)(е, q>) = (g<f>, e)
зывает, что группа Г в действительности является ре-
решением поставленной задачи. в. Н. Ремесленников.
ГОЛОМОРФНАЯ ФОРМА с т е п е н и р на ком-
комплексном многообразии М — дифферен-
дифференциальная форма а типа (р, 0), удовлетворяющая ус-
условию d"a=0, т. е. форма, к-рая в локальных коорди-
координатах z1?. . ., zn на М записывается в виде
а = 2- • "i i dzilA ¦ ¦ ¦ Adz P,
-^t,, ...,ip '¦.-¦¦V
где ai j — голоморфные функции. Г. ф. степени р
образуют векторное пространство Q.P(М) над полом С;
fl° (М) — это пространство голоморфных функций на М.
На компактном кэлеровом многообразии М простран-
пространство QP (М) совпадает с пространством Нрл (М) гармо-
гармонических форм типа (р, 0), откуда следует, что
2dimQ1(JW) есть первое число Бетти многообразия [1].
Г. ф. на рпмановой поверхности М наз. также д и ф-
ференциалами первого рода; если по-
поверхность М компактна, то dim Q1 (М) равна ее роду.
Пространства QP(M), р = 0, 1, ..., dim?M, обра-
образуют локально точный комплекс относительно опера-
оператора d, наз. голоморфным комплексом
д е Рама. Если М — многообразие Штейна (см.
Штейна пространство), то когомологии этого комплек-
комплекса, изоморфны комплексным когомологиям Нр (М, С) и
НР(М, С)=0 при p>dimc-V[2].
Аналогично определяются Г. ф. со значениями в
нек-ром векторном аналитическом расслоении Е над
М (голоморфные 0-формы здесь — голоморфные се-
сечения расслоения). Ростки Г. ф. степени р со значения-
значениями в Е образуют локально свободный аналитич. пучок
Qpe- Комплекс Дольбо форм типа (р, q), g=0, I,...,
&imtQ,M, со значениями в Е есть тонкая резольвента
этого пучка, откуда
Яр' q (М, Е) = Hq (M, Q%)
(теорема Дольбо — Серра [1], [4]).
Определение Г. ф. можно распространить также на
комплексные аналптич. пространства. Достаточно сде-
сделать это для локальных моделей, т. е. в случае, когда
пространство X является аналитич. подпространством
в области GdC". Пучок ростков голоморфных р-форм
Q'x на X определяется как
QPCJKP\X,
где QPa ~ пучок ростков голоморфных />-форм в G,
а А"^ состоит из ростков форм вида
2L'*«*+21=1 Й*'ЛР"
fk, gi?I, ake&PG> PiSfig'
где / — пучок идеалов, задающий X. Определяется
также голоморфный комплекс де Рама пространства
X, к-рый, однако, не является локально точным. Для
того чтобы этот комплекс был локально точен в точке
х?Х, начиная с к-к степени, достаточно, чтобы X в
окрестности точки х допускало голоморфное стягивание
на локальное аналитич. множество YcX, для к-рого
emdimxY=k (см. [3]).
Лит.: [1] Чжэнь Шэн-шэнь, Комплексные много-
многообразия, пер. с англ.,М., 1961; [2] Ганнинг Р., Рос-
си X., Аналитические функции многих комплексных пере-
переменных, пер. с англ., St., 1969; [3] Re if fen H.-J., «Math.
Z.», 1967, Bd 101, H. 4, S. 269—84; [4] Уэллс Р., Диф-
Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях,
пер. с англ., М-. 1976. ' Л. Л. Онищик.
ГОЛОМОРФНАЯ ФУНКЦИЯ — см. Аналитическая
функция.
ГОЛОМОРФНО ВЫПУКЛОЕ КОМПЛЕКСНОЕ ПРО-
ПРОСТРАНСТВО — комплексное пространство X, удов-
удовлетворяющее следующему условию: для любого ком-
компакта КаХ множество
{z?X:\f(x) |<sup|/| (f?A)},
где А — алгебра голоморфных функций на X, компакт-
компактно. Пространство X голоморфно выпукло тогда и только
тогда, когда оно допускает собственное сюръективное
голоморфное отображение q> на нек-рое Штейна про-
пространство (голоморфно полное пространство) X, ин-
индуцирующее изоморфизм между алгебрами голоморф-
голоморфных функций этих пространств. При этом отображение
ф : X—+Х (голоморфная редукция про-
пространства X) определено однозначно и имеет
связные слои [1]. Для любого когерентного аналитиче-
ского пучка F на Г. в. к. п. X пространства когомоло-
гий Н (X, F) и Нс(Х, F), p^SsO, являются отделимы-
отделимыми векторными топологич. пространствами [2].
Специальный класс Г. в. к. п. составляют комп-
комплексные пространства конечного
типа, т. е. пространства X, для к-рых отображение
голоморфной редукции биективно вне нек-рого компакт-
компактного аналитич. множества (такое пространство полу-
получается из пространства Штейна путем собственной
модификации, «раздувающей» конечное число точек).
Комплексное пространство является пространством
конечного типа тогда и только тогда, когда
dimHp (X, F) < оо, р > О,
для любого когерентного аналитич. пучка F на X (см.
[3]). Класс пространств конечного типа совпадает
также с классом сильно 1-выпуклых комплексных про-
пространств (см. Псевдовыпуклость и псевдовогнутоетъ).
Лит.: Ш Комплексные пространства, М., 1965, с. 29—44;
[2] Eamis J. P., «Ann. Sc. norm, super. Pisa», 1973, v. 27,
p. 933—97; [3] Narasimhan R., «Math. Ann.», 1962,
Bd 146, JVs 3, S. 195—216. А. Л. Онищик.
ГОЛОМОРФНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — отображение
/ : D—>-?>' области DdCn в область D'cCm, при к-ром
z = (zx, ..., zn) —> (h (z), ..., fm(z)),
где все координатные функции fu. . ., fm голоморфны
в D. При т=1 Г. о. совпадает с голоморфной функцией
(см. Аналитическая функция).
Г. о. / наз. невырожденным в точке z?D,
если ранг якобиевой матрицы \\dfldz\\ в точке z максима-
максимален (=min (п, т)). Г. о. наз. невырожденным
в области D, если оно невырождено во всех точ-
точках z?D. При т=п невырожденность / эквивалентна
условию
det
При n=m=i невырожденное Г. о. есть конформное
отображение. При п=т^2 невырожденное Г. о., вооб-
вообще говоря, не сохраняет углов между направлениями.
Если Г. о. / невырождено в точке a?D и т=п, то /
локально обратимо, т. е. существуют ок-
окрестности U, U', a?UaD, f{a)?U'c:D' и Г. о. /-1:
U'-^U такие, что/-1-/(z) = z для всех z^f/. Если Г. о.
/ взаимно однозначно отображает D на f(D) и т=п,
то / невырождено в D; при т>ге это неверно, напр.
z-+(z2, z3), В = С, В' = С2. Если т<?г и / невырождено
в D, то образ области!) тоже является областью в С";
при т>1 принцип сохранения области не выполняется
для отображений, вырожденных в нек-рых точках,
напр. (z1? z2)-s-(z!, zjzsj), D = D' = C2.
Если Ми М' — комплексные многообразия, {(^а,фа)}
и {(Ua, <Рц)} — атласы их локальных систем коорди-
координат (фа : Ua-+DacCn, фр • ij^-+D'<z.Cm — гомеомор-
гомеоморфизмы; см. Многообразие), то отображение / : М-^М'
наз. голоморфным, если фк'/'ф^1'- ^ar-^D'a
есть Г. о. для всех а и |3. Аналогично определяются
Г. о. комплексных пространств (см. Аналитическое
отображение). См. также Биголоморфное отображение.
Лит.: [1] Гапнинг Р., Росси X., Аналитические
функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М.,
1969. Е. Д. Соломенцев, Е. М. Чирка.
ГОЛОМОРФНОСТИ ОБЛАСТЬ — область D комп-
комплексного пространства С", для к-роп существует функ-
функция /(z), голоморфная в D ц не продолжаемая голомор-
голоморфно в большую область; при этом D наз. естест-
естественной областью определения функции
f(z). Напр., естественной областью определения функ-
функции
служит единичный круг, к-рый поэтому является Г. о.
в С1. В С1 всякая область есть Г. о. Напротив, в С",
и^г2, не всякая область есть Г. о. Так, никакая об-
область вида D\K, где Л" — компакт, содержащийся в
D, не будет Г. о.
Область ВсС™ наз. голоморфно выпук-
л о й, если для каждого множества А(Щ:В существует
такое содержащее А множество FA($izD, что для любой
точки zo^D\FA существует функция /(z), голоморфная
в D и такая, что
p j ) |
Z6 А
Для того чтобы область D была Г. о., необходимо и
достаточно, чтобы она была голоморфно выпуклой
(теорема Картана — Ту л лен а). Для того
чтобы область D была Г. о., необходимо и достаточно,
чтобы для каждой точки zo?dD существовал барь-
барьер— функция /г„(г), голоморфная в D и не продол-
жимая голоморфно в точку z0. Напр., если D — про-
произвольная область в С1, то функция (z — Zq)-1 есть барь-
барьер в любой точке zq^&D, так что D есть Г. о.; если
D — выпуклая область в С™ и
Re (a, z —zo)=: Re2"=1 Щ (г{ — z0/) =0
— опорная плоскость в точке zo?dD, то функция
(a, z—z0)-1 есть барьер в z0, и поэтому всякая выпук-
выпуклая область в С" есть Г. о.
Пересечение Г. о. есть Г. о.; всякое биголоморфное
отображение переводит Г. о. в Г. о.; сумма возрастаю-
возрастающей последовательности Г. о. есть Г. о. (теорема
Венке— Штейна).
Область DdCn наз. псевдовыпуклой, если
функция — 1пДд(г) ость плюрисубгармоническая функция
в D, где Дд(г) есть расстояние от точки z(~D до dD.
Для того чтобы область была Г. о., необходимо и доста-
достаточно, чтобы она была псевдовыпуклой (теорема
Ока). Достаточность условия в теореме Ока состав-
составляет содержание проблемы Лев и, поставлен-
поставленной Э. Леви (Е. Levi, в 1911). Для п=2 она была реше-
решена К. Ока (К. Ока, 1942); для гс>2 эта проблема ре-
решена независимо К. Ока, Ф. Норга, Г. Бремерманом
(F. Norguet, H. Bremcrmann, 1953—1954).
Г. о. с достаточно гладкой границей допускают ло-
локальное описание. Область В с: С" наз. псевдовы-
псевдовыпуклой в точке zo?dD, если существует такая
окрестность V точки z0 и такая определенная в V дей-
действительная функция <p(z) класса С2, что: a) D f) V=
= [z : <p(z)<0, z? V] и б) на плоскости
ф (z0) _ n
En
г=1
форма Гессе
X^i,ft=l dzidzk
Если в условии б) имеет место строгое неравенство
для всех рассматриваемых векторов афО, то область D
наз. строго псевдовыпуклой в точке
z0. Область D наз. (строго) псевдовыпуклой
в с м ы с л о Л е в п. если она (строго) псевдовыпукла
в каждой точке zo^dD.
Если область строго псевдовыпукла в смысле Леви,
то она псевдовыпукла (теорема Леви).
Г. о. функции /(z), заданной в первоначальной ок-
окрестности V, может быть построена при помощи раз-
разложений в ряды Тейлора с использованием принципа
голоморфного продолжения; при этом может оказаться,
что в построенной области голоморфно продолженная
функция /(z) неоднозначна. Чтобы сделать функцию
однозначной, необходимо расширить понятие области.
Это достигается путем введения римановых об-
областей (наложения областей, неоднолист-
неоднолистных областей) над С" (римановы области над С1
наз. римановыми поверхностями). Понятие Г. о. рас-
распространяется и на римановы области и даже на объек-
объекты более общей структуры — комплексные многообра-
многообразия и комплексные пространства. Обобщение понятия
Г. о. приводит к Штейна пространствам.
Лит.: [1] Владимиров В. С, Методы теории функ-
функций многих комплексных переменных, М., 1964; [2] Ш а б а т
Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 2, М., 1976;
[3] X ё р м а н д е р Л., Введение в теорию функций несколь-
нескольких комплексных переменных, пер. с англ., М.. 1968.
В. С. Владимиров.
ГОЛОМОРФНОСТИ ОБОЛОЧКА (римановой)
области D — наибольшая область Н(D), обладаю-
обладающая тем свойством, что всякая функция, голоморфная
в D, голоморфно продолжается в H{D). Задача построе-
построения для данной области В ее Г. о. возникает в связи с
тем, что в комплексном пространстве С™, п^2, не вся-
всякая область есть голоморфности область, т. е. суще-
существуют такие области, что любая функция, голоморф-
голоморфная в этой области, допускает голоморфное продол-
продолжение в более широкую (вообще говоря, неоднолист-
неоднолистную) область. Оболочка Н(D) есть область голо-
голоморфности и если D — область голоморфности, то
H(D)=D.
В приложениях, л аксиоматической квантовой тео-
теории поля, возникает нетривиальная задача о построе-
построении Г. о. областей специального вида, отражающих
физические требования спектральности, локальной
коммутативности и лоренцовой ковариантности. При
этом особенно полезными оказываются Боголюбова тео-
теорема «острие клина» и непрерывности теоремы.
Лит..: [1] Владимиров В. С, Методы теории функ-
функций многих комплексных переменных, М., 1964; [2] Шабат
Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1. 2,М., 1976.
В. С. Владимиров.
ГОЛОНОМИИ ГРУППА — одна из характеристик
связности в расслоенном пространстве. Г. г. опреде-
определяется для главного расслоенного многообразия Р
со структурной группой Ли G и базой В (обладающей
счетным базисом), в к-ром задана инфинитезимальная
связность Г. Одновременно она определяется для лю-
любого присоединенного к Р расслоенного многообразия
Е, слоями к-рого являются экземпляры нек-рого про-
пространства F представления группы Ли G.
Связность V в Р (соответственно в Е) определяет
для любой кусочно гладкой кривой L базы В изоморф-
изоморфное отображение YL друг на друга слоев, соответствую-
соответствующих началу и концу кривой L. Каждой кусочно глад-
гладкой замкнутой кривой L базы В, начинающейся и окан-
оканчивающейся в точке х?В, соответствует автоморфизм
слоя Gx (соответственно F х) над точкой х. Множество
этих автоморфизмов образует группу Ли Фх, кото-
которая наз. группой голономии связности Г в
точке х.
Если база (линейно) связна, то Фх и Фх, изоморфны
между собой для любых х и х' в В. Поэтому можно
говорить о группе голономии Ф линейно связного
многообразия Р (или Е) со связностью Г.
Г. г. Фх является подгруппой структурной группы
G. В случае линейной связности в Р эту подгруппу
можно определить непосредственно. Пусть задана
точка р?Р в слое Gx над точкой х. Совокупность эле-
элементов g?G таких, что точки р и pg~x соединимы гори-
горизонтальными кривыми в Р, образует подгруппу Ф^
группы G, изоморфную Фх.
Ограниченной (суженной) Г. г. Ф* наз. подгруппа
Г. г. Фх, порожденная замкнутыми кривыми, гомо-
гомотопными пулю. Она совпадает с линейно связной ком-
компонентой единичного элемента Г. г. Фх, при этом Ф/Ф°
не более чем счетно.
Роль Г. г. в дифференциальной геометрии расслоен-
расслоенных пространств выясняют следующие теоремы о ли-
линейных связностях в Р.
Теорема о приведении связности.
Пусть Р(В, G) — главное расслоенное пространство,
удовлетворяющее второй аксиоме счетности; Ф — Г. г.
заданной в Р связности Г. Тогда структурная группа G
приводима к своей подгруппе Ф, а связность Г приво-
приводима к связности в приведенном расслоении Р' (В, Ф),
Г. г. к-рого совпадает с Ф.
Теорема о г о л о н о м и и. Алгебра голономии
(алгебра ограниченной Г. г.) является подалгеброй
алгебры G, порожденной всеми векторами Qy(Y, Y'),
где Qy — форма кривизны в точке у, у пробегает мно-
множество, каждая точка к-рого может быть соединена с
исходной точкой у0 горизонтальным путем, У и У —
произвольные горизонтальные векторы.
Лит.: [1] Г р о м о л Д., Клингенбсрг В., Мей-
ер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971;
[2] Бишоп Р. Л., Криттенден Р. Геометрия мно-
многообразий, пер. с англ., М., 1967; [3] С т е р н б е р г С,
Лекции по дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1970.
Г. Ф. Лаптев.
ГОЛОНОМНАЯ СИСТЕМА — система материальных
точек, либо не стесненная никакими связями, либо стес-
стесненная только геометрич. связями, накладывающими
ограничения на положения точек системы и могущими
быть представленными в форме конечных соотношений
вида
Ы*1- •••- *sN, t) = O,s = l, ..., к; fs(x, t)?C\ A)
Здесь t обозначает время, х/ — декартовы координаты
точек, N — число точек системы. Если dfs/dt==O, то
связи наз. стационарными, в противном слу-
случае — нестационарными. Всякое положение
системы, для к-рого координаты точек удовлетворяют
уравнениям A), наз. возможным для данного
момента t. Связи A) налагают ограничения но только
на положения xv, но и на скорости vv и ускорения
wv точек вида
dt, V Л' а/.
2 d^ + f O
B)
Скорости и ускорения, удовлетворяющие уравнениям
B), наз. кинематически возможными
в данном положении xv системы для данного момента
t. Бесконечно малые перемещения 6rv , удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям вида
представляют собою возможные (виртуаль-
(виртуальные) перемещения системы, в отличие от д е й-
ствительных перемещений drv , соверша-
совершаемых системой за время dt под действием приложенных
к ней сил и удовлетворяющих условиям вида
"ST grad /j-d/-v — -~ dt = 0, s = l, ..., к. D)
Для стационарных связей действительные переме-
перемещения находятся среди возможных, для нестационар-
нестационарных — вообще говоря, не находятся. Возможные пере-
перемещения способны перевести голономную систему из
одного возможного для данного t положения системы
в любое другое бесконечно близкое положение, возмож-
возможное для того же момента t.
Число независимых вариаций координат точек си-
системы наз. числом ее степеней свободы,
для голономной системы оно совпадает с числом п=
= 3iV — к независимых произвольных параметров qt,
с помощью к-рых уравнения A) связей можно предста-
представить в форме конечных соотношений вида
xv = xv(qu . .., qn, t), v = l, ...,3N, xv(q,
Параметры <?,- носят название обобщенных, или
лагранжевых координат системы; их на-
называют также г о л о н о м н ы м и координа-
координата м и, в отличие отноголономных коорди-
координат, или квазикоординат я^, вводимых
неинтегрируемыми соотношениями вида
Связи, аналитически выражаемые уравнениями A),
носят название удерживающих, или дву-
двусторонних связей, в отличие от н е у д е р-
ж и в а ю щ и х, или односторонних с в я-
з о й, выражаемых неравенствами вида
и накладывающих следующие условия на возможные
перемещения
2 6/-v S=0.
Возможные перемещения системы с двусторонними
связями обратимы, среди возможных перемощений си-
систем с односторонними связями имеются необратимые
(см. [1]).
Движения голономных систем описываются Лагранжа
уравнениями A-го и 2-го рода), Гамильтона уравнения-
уравнениями в лагранжевых координатах и импульсах, Аппеля
уравнениями, Пуанкаре уравнениями или Четаева урав-
уравнениями в лагранжевых координатах и квазикоордина-
квазикоординатах.
Лит.: [1] Суслов Г. К., Теоретическая механика
3 изд., М., 1944. В. В. Румянцев.
ГОЛУБЕВА — ПРИВАЛОВА ТЕОРЕМА: если
/(z) — комплексная суммируемая функция на замкну-
замкнутой спрямляемой жордановой кривой L, расположен-
расположенной в плоскости комплексного переменного z, то для
существования регулярной во внутренней области D,
ограниченной кривой L, функции F(z), угловые гра-
граничные значения к-рой совпадают с /(г) почти всюду на
L, необходимо и достаточно, чтобы
z"f(z)dz = O, n = O,l, 2, .... A)
L
Эти условия наз. условиями Голубева—
Привалова. В. В. Голубевым [1] доказана их
достаточность, а И. И. Приваловым [2] — необхо-
необходимость. Иначе говоря, условия A) необходимы и до-
достаточны для того, чтобы интеграл типа Копта — Ле-
Лебега (см. Коши шотеграл) F(z), построенный для функ-
функции /(z) и кривой L:
F(z\- — Г f<0 "Z zCD
обращался в интеграл Коши — Лебега.
. В более общей постановке, пусть п. — комплексная
борелевская мера на L. Тогда, для того чтобы инте-
интеграл типа Коши — Стилтьеса
обращался в интеграл Коши — Стилтьоса, необходи-
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись обобщенные
условия Голубева— Привалова
=0, n = 0, 1, 2, . .. . B)
Иначе говоря, условия B) необходимы и достаточны
для существования регулярной в D функции .F(z) та-
такой, что ее угловые граничные значения почти всюду
по мере Лебега на L совпадают с
e-iqxz)^' (z)j
где q>(z) — угол между положительным направлением
оси абсцисс и касательной к L в точке z?L, u.' (z) —
производная меры п. по мере Лебега s (длина дуги) на L.
Г.— П. т. имеет важное значение в теории граничных
свойств аналитических функций.
Лит.: [1] Голубев В. В., Однозначные аналитические
функции с совершенным множеством особых точек, М., 1916
(см. также его кн.: Однозначные аналитические функции. Авто-
морфные функции, М., 1961); [2] Привалов И. И., Ин-
Интеграл Cauchy, Саратов, 1918; [3] его же, Граничные свой-
свойства аналитических функций, 2 изд., М.—Л., 1950.
Е. Д. Соломенцев.
ГОЛЬДБАХА ПРОБЛЕМА — одна из известных проб-
проблем теории чисел; заключается в доказательстве того,
что всякое целое число, большее или равное шести,
может быть представлено в виде суммы трех простых
чисел. Эту проблему выдвинул в 1742 X. Гольдбах
(Ch. Goldbach) в письме к Л. Эйлеру (L. Euler). В ответ
Л. Эйлер заметил, что для решения проблемы достаточ-
достаточно доказать, что каждое четное число есть сумма двух
простых. В течение долгого времени не удавалось
найти никаких путей исследования Г. п. В 1923
Г. Харди и Дж. Литлвуду (G. Hardy, J. Littlowood)
удалось показать, что если верны нек-рые теоремы
(не доказанные и ныне) относительно ?-рядов Дирихле,
то всякое достаточно большое нечетное число есть сумма
трех простых чисел. В 1937 И. М. Виноградов создал
новый метод в аналитич. теории чисел — метод оценок
тригонометрич. сумм с простыми числами, с помощью
к-рого доказал асимптотпч. формулу для количества
представлений нечетного числа суммой трех простых
чисел. Из этой формулы следует, что каждое достаточ-
достаточно большое нечетное число есть сумма трех простых
чисел. Это — одно из крупнейших достижений совре-
современной математики. Метод И. М. Виноградова позво-
позволил решить и ряд существенно более общих задач.
Задача о разбиении четного числа на сумму двух про-
простых еще A977) не решена.
Лит.: [Ц Виноградов И. М., Метод тригонометри-
тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [2] К а р а ц у б а А, А.,
Основы аналитической теории чисел, М., 1975. А. А. Карацуба.
ГОЛЬДБАХА — ВАРИНГА ПРОБЛЕМА — задача о
поведении числа /^ (N) решений уравнения
где р1,..., pk — простые числа, п^{ (см. Варинга
проблема, Гольдбаха проблема). В этой проблеме полу-
получены (к 1977) примерно те же результаты, что и в
проблеме Варинга: разрешимость этого уравне-
уравнения (т. е. неравенство 7^(iV)>0) доказана при fe=
= 0 (re log га), а асимптотич. формула для /^ (Л') получена
при k=O(n- log re). Указанные решения получены Ви-
Виноградова методом.
Лит.: [1] Виноградов И. М., Метод тригонометри-
тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [2] X у а Л о - г е н,
Метод тригонометрических сумм и его применения в теории
чисел, вер. с нем., М., 1964. А. А. Карацуба.
ГОМЕОМОРФИЗМ — взаимно однозначное соответ-
соответствие между двумя топологич. пространствами, при
к-ром оба взаимно обратных отображения, определяе-
определяемые этим соответствием, непрерывны. Эти отображения
наз. г о м е о м о р ф н ы м и, или топологиче-
топологическими, отображениями, а также гомео-
гомеоморфизмами, а о пространствах говорят, что они
принадлежат одному топологическому ти-
типу и наз. г о м е о м о р ф н ы м и, или топологи-
топологически эквивалентными. Они являются
изоморфными объектами в категории топологич. про-
пространств и непрерывных отображений. Следует отли-
отличать Г. от уплотнения (в к-ром непрерывность
обязательна только в одну сторону); однако уплотне-
уплотнение бикомпакта на хаусдорфово пространство яв-
является Г.
Примеры. 1) Функция 1/(<?*+1) устанавливает
Г. между числовой прямой R и интервалом @, 1);
2) замкнутый круг гомеоморфен любому замкнутому
выпуклому многоугольнику; 3) трехмерное проектив-
проективное пространство гомеоморфно группе вращений про-
странства R3 вокруг начала и также пространству еди-
единичных касательных векторов к сфере S2; 4) все би-
бикомпактные нульмерные группы со счетной базой го-
меоморфны канторову множеству; 5) бесконечномерные
н сепарабельные банаховы пространства и даже прост-
пространства Фреше гомеоморфны между собой; 6) сфера и
тор негомеоморфны.
Термин «Г.» был введен А. Пуанкаре (Н. Poincare)
в 1895 (см. [3]) в применении к (кусочно) дифференци-
дифференцируемым отображениям областей и подмногообразий
пространства R"; однако понятие было известно и
ранее, напр. Ф. Клейну (F. Klein; 1872) и в рудиментар-
рудиментарной форме А. Мёбиусу (A. Mobius — элементарное
сродство, 1863). В начале 20 в. под влиянием развития
теории множеств и аксиоматич. метода началось изу-
изучение Г. без предположений диффоренцируемости.
Такая задача, в явной форме впервые поставленная
Д. Гильбертом (D. Hilbert) (см. [7], с. 31), составляет
содержание пятой проблемы Гильберта. Особое значение
имело установление Л. Брауэром (L. Brouwer) него-
негомеоморфности R" и Rm при пфт. Этим была восстанов-
восстановлена вера математиков в геометрич. интуицию, поколеб-
поколебленная результатами Г. Кантора (G. Kantor) о равно-
мощности R" и Rm и Дж. Пеано (G. Реапо) о возмож-
возможности непрерывного отображения R" на Rra, re<m.
Введенные М. Фреше (М. Frechet) и Ф. Хаусдорфом
(F. Hausdorf) понятия метрического (соответственно
топологического) пространства поставили на прочный
фундамент понятие Г. и позволили сформулировать
понятия топологического свойства
(свойства, но меняющегося при Г.), топологи-
ч е с к о й и н в а р и а н т н о с т и и т. п. и сформу-
сформулировать задачу классификации топологич. пространств
тех или иных типов с точностью до Г. В такой постанов-
постановке эта задача, однако, чрезвычайно сложна уже для
очень узких классов пространств. Кроме классич.
случая двумерных многообразий, классификация
указана лишь для нек-рых видов графов, для двумер-
двумерных полиэдров, для нек-рых классов многообразий. Ал-
Алгоритмически проблема классификации в общем виде
вообще неразрешима, так как невозможен алгоритм
для различения, напр., многообразий размерности боль-
больше 3. Поэтому обычно задача о классификации ставит-
ставится в рамках более слабого отношения эквивалентно-
эквивалентности, напр, в алгебраич. топологии для гомотопическо-
гомотопического типа или, наоборот, для классификации пространств,
снабженных какой-либо структурой. В этом случае
вопрос о Г. остается все же очень важным. В тополо-
топологии многообразий лишь в конце 60-х гг. разработа-
разработаны методы, позволяющие изучать многообразия с точ-
точностью до Г. При этом изучение проводится здесь в
тесной связи гомотопической, топологической, кусоч-
кусочно линейной и гладкой структур.
Другая проблема состоит в топологической
характер и зац и и отдельных пространств и
классов пространств (т. е. их указания характеристи-
характеристических топологич. свойств, формулируемых на языке
аксиом топологии). Она решена, напр., для одномер-
одномерных многобразий, двумерных многообразий, канторова
множества, кривой Серпинского, кривой Мещера,
псевдодуги, пространства Бэра п др. Универсальный
метод для топологич. характеризации пространств
дают спектры. С их помощью получена теорема Алек-
Александрова о Г. (см. [4]). Последовательностью измель-
измельчающихся подразделений охарактеризована сфера и
вообще класс локально евклидовых пространств (см.
[5]). Посредством спектров дано описание локально
бикомпактных групп (см. [6]). Другой метод состоит в
рассмотрении различных алгебранч. структур, связан-
связанных с отображениями. Так, бикомпактное пространство
совпадает с пространством максимальных идеалов ал-
алгебры действительных функции, заданных на нем.
Многие пространства характеризуются полугруппой
непрерывных отображений в себя (см. Гомеоморфизмов
группа). В общей топологии дается топологич. описание
многих классов топологпч. пространств. Представляет
интерес также характеризация пространств внутри
данного класса. Напр., очень полезно описание сферы
как компактного многообразия, покрытого двумя от-
открытыми клетками. Мало разработан вопрос об алгорнт-
мич. распознавании пространств. Напр., он не решен
(к 1977) для сферы Sn при га>3.
Вообще, если два топологич. пространства негомео-
морфны, то этот факт устанавливается указанием то-
пологач. свойства, к-рым обладает лишь одно из них
(компактность, связность и т. д.; напр., отрезок отли-
отличается от окружности тем, что он может быть разбит
точкой); особое значение имеет здесь метод инвариантов.
Инварианты определяются или аксиоматич. путем сразу
для целого класса пространств, или алгоритмически, по
конкретному представлению пространства, напр. по
триангуляции, Хегора диаграмме, разложению на
ручки и т. д. В первом случае возникает задача вычис-
вычисления инварианта, во втором — доказательства топо-
топологич. инвариантности. Возможен и промежуточный
случай, напр. характеристические классы гладких
многообразий определялись сначала как препятствия к
построению векторных и реперных полей, а затем стали
определяться как образ касательного расслоения при
преобразовании .йГО-функтора в когомологич. функтор,
но в обоих случаях обе указанные задачи не решаются
определением. Исторически первый пример доказатель-
доказательства топологич. инвариантности, именно, линейной
размерности R", дал Л. Брауэр A912). Классический
идущий от А. Пуанкаре метод состоит в том, чтобы
дать сразу два определения: «вычислимое» и «инвари-
«инвариантное», и затем доказывать их совпадение. Этот прием
оказался особенно успешным в теории гомологии
полиэдров. Другой метод состоит в том, чтобы доказать,
что инвариант не меняется при элементарных преобра-
преобразованиях представления пространства (напр., подразде-
подразделениях триангуляции). Он достигает цели, если известно,
что таким образом можно получить все представления
данного типа. В связи с этим, напр., в топологии по-
полиэдра возникла т.н. основная гипотеза комбинаторной
топологии. Этот метод (также идущий от А. Пуанкаре)
оказался очень полезным в топологии двух и трех из-
измерений, в частности в узлов теории, но он выходит
из употребления (если не считать конструктивного на-
направления) не столько в связи с тем, что указанная
гипотеза оказалась неверной, сколько потому, что
развитие теории категорий позволило давать определе-
определения, более отвечающие существу дела с более четкой
постановкой задачи о вычислении и топологнч. инва-
инвариантности. Так, инвариантность гомологии, опреде-
определенных функториальным, но вычислимым образом для
комплексов, следует из сравнения категорий комплек-
комплексов и гомотопич. классов симплициальных отображений
с категорией гомотопич. классов непрерывных отобра-
отображений, что позволяет не давать отдельного определения
для большей категории, а распространить его с меньшей.
(Истоки этой идеи содержатся в теории степени Брауэ-
ра.) Особенно ярко преимущество нового метода про-
проявилось в связи с указанным выше вторым определением
характеристич. классов как преобразований функторов.
Так, напр., вопрос о топологич. инвариантности есте-
естественным образом оказался частью вопроса о соотноше-
соотношении между if-функтором и его топологич. обобщением.
Если два пространства гомеоморфны, то для установ-
установления Г. общее значение имеет лишь метод спектров
(п измельчающихся подразделений). С другой стороны,
в том случае, когда построена классификация, вопрос
решается сравнением инвариантов. На практике уста-
установление Г. часто оказывается очень трудной геометрич.
задачей, к-рую приходится решать специальными
средствами. Так, Г. евклидова пространства и нск-рых
его факторпространств устанавливается с помощью
псевдоизотопии.
Лит.: [1] Гильберт Д., Кон-Фоссен С, На-
Наглядная геометрия, пер. с нем., 2 изд., М.—Л., 1951; [2] Бол-
Болтянский В. Г., Ефремович В. А., «Матем. просве-
просвещение», 1957, вып. 2; [3] Пуанкаре А., Собр. соч., пер. с
франц., т. 2, М., 1972; [4] Александров П. С, «Тр.
Матем. ин-та. АН СССР», 1959, т. 54, с. 1 — 136; [5] Harrold
О. G., «Trans. Amer. Math. Soc», 1965, v. 118, Л» 6, p. 1—16;
[6] Понтрягин Л. С Непрерывные группы, 3 изд.,
М., 1973; [7] Проблемы Гильберта, М., 1969. А. В. Чсрпавский.
ГОМЕОМОРФИЗМОВ ГРУППА — группа Ш(Х)
гомеоморфных отображений топологпч. пространства X
на себя. Если X — компактное многообразие, то ал-
гебранч. свойства группы Ш(Х), а именно, структура
ее нормальных делителей, определяют X с точностью
до гомеоморфизма (см. [1]). В частности, при пфА
известно, что группа ЗЛE") есть простая группа. Это
верно также для канторова множества, кривой Мен-
гера, кривой Серпинского, множеств рациональных и
иррациональных точек на прямой [2]. Для многообра-
многообразия М минимальным нормальным делителем в Ш(М)
служит подгруппа, порожденная гомеоморфизмами,
тождественными вне областей М.
Группа Ш1(Х) может быть топологизирована различ-
различным образом (см. Пространства отображений). Ос-
Основное значение имеют бикомпактно открытая топо-
топология и (если X метризуемо) тонкая С°-тонология, в
к-рой окрестности тождества Of задаются строго
положительными функциями / : А'^-@, оо), пргчем
h?%5l{X) входит в Of, если p(hx, х)<}(х) для всех х,
где р — метрика в X. Однако группа Ш(Х) не обязана
быть топологической группой в этих топологиях, так
как отображение h-^-h-1 не всегда непрерывно, и даже
если это так, то Ш1(Х) может не быть топологич. груп-
группой преобразований, т. е. отображение (h, x)-*-hx мо-
может быть разрывным (см. [3]). Но если X — многообра-
многообразие, то ОУН-Х) является топологич. группой преобразо-
преобразований в обеих указанных топологиях. Изучение топо-
топологич. свойств группы Щ}(Х) представляет интерес, в
первую очередь, для однородного пространства X, т. с.
такого, что действие группы УЛ(Х) на X транзитнвно.
Однако такое изучение проведено далеко не полностью
даже для простых многообразий. Неизвестно, напр,
(к 1977), будет ли Щ}(Х) бесконечномерным многообра-
многообразием, хотя оно будет (для метризуемого многообразия)
локально стягиваемым в тонкой С°-тонологш1 (си.
[4]). В частности, два достаточно близких гомеоморфиз-
гомеоморфизма соединимы изотопией. Для открытых многообразий,
к-рые являются внутренностью компактных многообра-
многообразий, это верно также и в бикомпактно открытой топо-
топологии.
Факторгруппа Г (X) группы Ш(Х) по компоненте
тождества Шц(Х) наз. группой г о м е о т о и и й
пространства X. Вообще говоря, Щ}0(Х) не совпадает
с Г. г., гомотопных тождеству, но это так для двумер-
двумерных и нек-рых трехмерных многообразий (напр., для
S3, S2XS: и др.). Гомотопич. свойства 5Ш0 изучены для
двумерных многообразий, что оказалось полезным для
установления гомологич. свойств групп кос (см. Кос
теория).
Особое значение в топологии многообразий имеет
изучение нек-рых подгрупп группы Щ}(К"), напр,
подгруппы диффеоморфизмов. Это изучение затруднено
тем, что подгруппы оказываются незамкнутыми, и то-
топология факторпространств неудовлетворительна. Вви-
Ввиду этого рассматривают нолусимплициальные группы
(ss-группы) Тор„, в к-рых fe-мерными симплексами
служат послойные гомеоморфизмы Д^ХК™, неподвиж-
неподвижные на нулевом сечении (где Д* — стандартный к-
симплекс). Граничные гомеоморфизмы и вырождения
определяются с помощью стандартных отображений
д'хК"-+Д!ХК". Аналогично определяются ss-моноид
Gn ss-группы PLn, Diffn, On (гомотопич. эквивалёнтно-
стей S"~х кусочно линейных, гладких и ортогональных
отображений R"), причем
С„ 3 Тор„ => PL» 3 DiffB 3 Оп,
и факторы Gn/Topn и т. д. обладают естественными
структурами ss-комплексов, что позволяет проводить
изучение гомотопич. свойств этих вложений.
Изучение различных подгрупп W(M) для многообра-
многообразий М составляет предмет ряда дисциплин. В частно-
частности, изучение Г. г., сохраняющих определенные струк-
структуры, относится к соответствующим разделам мате-
математики. Большой интерес представляют алгебраич. за-
задачи, связанные с группами автоморфизмов деревьев
и других графов.
Лит.: [1] Whittaker J. V., «Ann. Math.», 1963,
v. 78, Kb 1, p. 74—91; [2] Anderson R. D., «Amer. J.
Math.», 1958, v. 80, K> 4, p. 955—63; [3] А г ens R. F., «Amer.
J. Math.», 1946, v. 68, № 4, p. 593—610; [4] Чернявский
А. В., «Матем. сб.», 1969, т. 79, N> 3, с. 307—56.
А. В. Чернавский.
ГОМОКЛИНИЧЕСКАЯ ТОЧКА — такая точка (р =
=р*, q=q*), принадлежащая области определения
функции Гамильтона".йГ=//(р, q) гамильтоновой системы
дн ¦ дн , . . . . .
Р=— -щ, 1= э^-. P = (Pi. Рг), ? = (9и ?2)> (*)
что решение системы (*), проходящее через эту точку>
при t-+±oo асимптотически приближается к нек-рому
периодич. решению Т1. При этом само решение, прохо-
проходящее через Г. т., наз. г о м о к л и н и ч е с к и м.
Пусть S+— поверхность, образованная решениями
системы (*), к-рые при t—>-oo асимптотически прибли-
приближаются к периодич. решению Тг, а 5_ — поверхность,
образованная решениями системы (*), к-рые асимпто-
асимптотически приближаются к этому же периодич. решению
при t—»- — оо. Тогда множество S0=S+f\S- состоит из
гомоклинич. решений. Если хотя бы вдоль одного
гомоклинич. решения поверхности S+ и 5_ пересе-
пересекаются (или имеют касание нечетного порядка), то
множество So содержит бесконечно много различных
решений. Случай, когда множество So состоит из счет-
счетного числа решений, является грубым, т. е. сохраня-
сохраняется при малом изменении функции Н. Случай, когда
So содержит несчетное число различных решений, яв-
является негрубым, или вырожденным. При этом пред-
предполагается, что само периодич. решение Тг и поверх-
поверхности S + , 5_ сохраняются при малом изменении
функции Н. Это будет иметь место, напр., если перио-
периодич. решение Тг принадлежит к гиперболич. типу (см.
Гиперболическая точка).
Нахождение гомоклинич. решений системы (*) с
произвольной функцией Гамильтона // представляет
собой трудную задачу. Однако в случае, когда перемен-
переменные (р, q) можно выбрать так, что справедливо ра-
равенство
Я=Я„(Р) + еЯ1(р, д),
где е — малый параметр, а функция Ht является 2я-
периодической по переменным q, гомоклинич. решения
системы (*) могут быть найдены в виде сходящихся ря-
рядов (см. [3] при ст. Гетероклиническая точка). Доказа-
Доказательства существования гомоклинич. решений у сис-
системы (*) получены при менее огранительных предполо-
предположениях о функции Гамильтона системы (*).
Данное выше определение Г. т. почти дословно пе-
переносится на случай гамильтоновой системы с числом
степеней свободы ге>2, если периодич. решение 7\
заменить fc-мерным инвариантным тором Т/;, 0<fe<ra.
Известно, что (п~ 1)-мерные инвариантные торы обла-
обладают гомоклинич. решениями, если эти торы принадле-
принадлежат к гиперболич. тину.
Окрестность гомоклинич. решения имеет сложное
строение. Так, напр., в случае системы (*) доказано,
что в окрестности гомоклиннч. решения существует
счетное число периодич. решений со сколь угодно боль-
большими периодами. При этом любые два из них можно
соединить гетероклинич. решением. Гомоклинич. ре-
решения играют важную роль в общей теории гладких
динамич. систем.
Лит.: [1] Пуанкаре А., Новые методы небесной ме-
механики, Избр. тр., т. 1. 2, М., 1971; [2] Т a k e n s P., «Inventi-
«Inventions math.», 1972, v. 18, p. 267—92; [3] Мельников В. К.,
«Докл. АН СССР», 1973, т. 211, Лв 5, с. 1053 — 56; [4] Н и т е ц-
к и 3., Введение в дифференциальную динамику, пер. с англ.,
М., 1975.
См. также лит. при ст. Гетероклиническая точка.
В. К. Мельников.
ГОМОЛОГИИ ВАЗА (комплекса или топологического
пространства) по данной группе коэффи-
коэффициентов — система циклов zu z2,. . ., zn, удовлет-
удовлетворяющая свойствам: никакая нетривиальная линей-
линейная комбинация их не гомологична нулю; всякий цикл
гомологичен их нек-рой линейной комбинации.
А. А. Мальцев.
ГОМОЛОГИИ ГРУППА топологического
пространства — группа, которая ставится в
соответствие топологич. пространству с целью алге-
браич. исследования его топологич. свойств; это соответ-
соответствие должно удовлетворять определенным условиям,
важнейшими из к-рых являются Стинрода — Эйлен-
берга аксиомы (см. также Гомологии теория). Первона-
Первоначально Г. г. были построены исходя из идей А. Пуан-
Пуанкаре (Н. Poincare, 1895) для полиэдров на основе их
триангуляции — представления в виде симплициаль-
ного комплекса (см. Гомологии полиэдра). Впоследствии
для обобщения понятия гомологии и расширения об-
области ее применения были созданы несколько теорий
гомологии произвольных пространств, в к-рых понятие
комплекса всегда используется, но в более сложной
ситуации, чем в случае триангуляции. Из этих теории
две являются основными: сингулярная и спектраль-
спектральная. Первая строится исходя из отображений полиэдров
в данные пространства и преимущественно приложима
к вопросам, в к-рых полиэдры отображаются в произ-
произвольные пространства, а вторая основана на отображе-
отображении любых пространств в полиэдры и особенно полезна
в приложениях, в которых встречаются такие отобра-
отображения.
Идея сингулярных гомологии восходит к О. Всблену
(О. Veblen, 1921), к-рый в основу определения гомоло-
гомологии пространства положил системы, состоящие из
полиэдров, их непрерывных отображений в данное
пространство и их гомологии. Эта идея породила
две теории. Непосредственное ее развитие привело
к группе непрерывных классов гомологии. Более
удобной, из-за того что Г. г. определяются из групп
цепей, оказалась собственно сингулярная Г. г., оп-
определенная С. Лефшецем (S. Lefschetz, 1933) и сво-
сводящаяся к отображениям ориентированных симплек-
симплексов в данное пространство; дальнейшее развитие этой
теории привело к рассмотрению упорядоченных симп-
симплексов вместо ориентированных (С. Эйленберг, S. Eilen-
berg, 1944) и к кубич. гомологиям вместо симплек-
симплексов, использующих кубы (Ж. П. Серр, J. P. Serre, 1951).
Все указанные разновидности сингулярных Г. г. изо-
изоморфны между собой при очень общих условиях.
Спектральные гомологии, основанные на гомологиях
нервов покрытий пространства, связанных в спектр
естественными симплициальными отображениями нер-
нервов, введены П. С. Александровым A925—28), рассмат-
рассматривавшим сначала компактные метрич. пространства и
последовательности нервов конечных покрытий. Эта
теория была распространена на произвольные про-
пространства при помощи произвольных систем нервов
открытых покрытий Э. Чехом (Е. Cech, 1932), к-рый
также опирался на конечные покрытия, что в случае
некомпактных пространств не всегда пригодно. Поэто-
ыу с середины 40-х гг. стали пользоваться бесконечными
покрытиями. Введенная Г. г. наз. группой Александ-
Александрова — Чеха (см. Александрова — Чеха гомологии и ко-
гомологии). Другое определение Г. г. для компактных
метрич. пространств, основанное на предельных про-
процессах, дано Л. Вьеторисом (L. Vietoris, 1927) (см. Въе-
ториса гомологии). Для произвольных пространств
определение группы гомологии Вьеториса опирается на
рассмотрение вложенных друг в друга комплексов по-
покрытий (так наз. вьеторисианов), симплексами
к-рых являются конечные системы точек пространства,
принадлежащие одному и тому же элементу покры-
покрытия. В 1935 А. Н. Колмогоровым и Дж. Александе-
ром (J. Alexander) независимо было дано построение
групп когомологни, основанное на коцепях, являющих-
являющихся функциями упорядоченных совокупностей точек про-
пространства. А. Н. Колмогоровым было дано и построе-
построение Г. г., основанное на функциях множеств и двой-
двойственное предыдущему; эта Г. г. при любой группе коэф-
коэффициентов изоморфна группе гомологии Стинрода (см.
Стинрода двойственность), а при компактной группе
коэффициентов — группе гомологии Александрова — Че-
Чеха. Группа гомологии Александрова — Чеха и группа
гомологии Вьеториса изоморфны. Группа гомологии Вье-
Вьеториса и группа когомологий Александера — Колмого-
Колмогорова, являясь обратным и прямым пределами соответст-
соответственно двойственных спектров, заданных на одном и
том же спектре вьеторисианов, двойственны одна дру-
гой. Смотря но тому, какие берутся Г. г. на нервах и
вьеторисианах при построении соответствующих спект-
спектральных Г. г., получают две их разновидности —
проекционную и спектровую. В проекционном случае за
указанные группы берутся Г. г. цепного комплекса,
являющегося пределом цепных комплексов конечных
подкомплексов нервов и, соответственно, вьеторисиа-
вьеторисианов, в спектровом случае — продолы Г. г. указанных
подкомплексов; в случае дискретной группы коэффи-
коэффициентов эти группы изоморфны; для групп когомоло-
когомологий — двойственно.
Сингулярная и спектральная теории изоморфны в
случае паракомпактных, хаусдорфовых, гомологически
локально связных пространств; последнее означает, что
для данной окрестности каждой точки найдется меньшая
окрестность, образ сингулярной Г. г. к-рой в Г. г.
данной окрестности при гомоморфизме вложения три-
тривиален (для целочисленных Г. г. всех размерностей; в
случае размерности 0 имеются в виду приведенные
группы); иначе говоря, это означает, что каждая точ-
точка жестко вложена в пространство. Такими являются,
напр., локально стягиваемые пространства, в частно-
частности полиэдры.
Свойства, отличающие эти теории друг от друга сле-
следующие. Сингулярная (но не спектральная) теория
обладает свойством точности гомологпч. последователь-
последовательности и является гомологией с компактными носите-
носителями. Спектральная теория гомологии — точна в слу-
случае, когда она задана на категории компактных пар
пространств и когда группа коэффициентов компактна.
Она и была разработана впервые именно в этом слу-
случае. Спектральная (но не сингулярная) теория облада-
обладает свойством непрерывности, т. е. ес-
если данная компактная пара является обратным преде-
пределом спектра нек-рых компактных пар, то Г. г. данной
пары есть предел спектра Г. г. этих пар, и с в о й с т-
в о м жесткости, т. е. Г. г. подпространства —
предел спектра Г. г. его окрестностей. Эти теории отли-
отличаются также но свойствам вырезания. Сингулярная тео-
теория является единственной гомологич. теорией с дан-
данной группой коэффициентов на категории CW-комплек-
сов со свойством аддитивности, состоя-
состоящем в том, что Г. г. топологпч. суммы пространств есть
прямая сумма Г. г. слагаемых. Спектральная теория —
единственная частично точная теория гомологии на ка-
категории компактных пар со свойством непрерывности.
Из многочисленных других Г. г. и групп когомологий
и их обобщений следует указать на экстраординарные
теории Г. г., к-рые строятся методами гомологич. ал-
алгебры, Г. г. и когомологий с коэффициентами в пуч-
пучках, гомологии с локальными коэффициентами. Г. г.
спектрального типа, обладающие точной гомологич.
последовательностью, Г. г. по модулю различных осо-
особых подпространств.
Лит.: [1] Стиирод Н., Эйленбсрг С, Основа-
Основания алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1958; [2]
Хилтон П.-Дж., У а й л и С, Теория гомологии. Введение
в алгебраическую топологию, пер. с англ., М., 1966; [3] Але к-
с а н д р о в П. С, «Матем. сб.», 1947, т. 21, в. 2, с. 161 —
232; [4] его же, «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1942, т. В,
с. 227—82; [5] С п е н ь с р Э., Алгебраическая топология,
пер. с англ.. М., 1971; [6] Г о Д е м а н Р., Алгебраическая то-
топология и теория пучков, пер. с франц., М., 1961; [7] В г е-
d о n G., Theory of sheaves, N.—Y., 1970; [8] Телеман К.,
Элементы топологии и дифференцируемые многообразия, пер. с
нем., М., 1967; [9] Switzer R., Algebraic Topology —
Homotopy and Homology, В., 1975. Г. С. Чогошвили.
ГОМОЛОГИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, к о
гомологии динамической системы,—
один из инвариантов в эргодической теории, построение
к-рого напоминает построение когомологий группы (см.
[1]). В простейшем случае одномерных (ко)гомологий
Л1(Т, X) каскада, получающегося итерированием
автоморфизма Т пространства с мерой X, определение
эквивалентно следующему. Пусть Z (X) — группа по
сложению всех измеримых функций на X (соответст-
(соответственно группа по умножению измеримых функций /,
для к-рых \f(x)\ = l почти всюду). Аддитивной
(соответственно мультипликативной) (ко)
границей функции / наз. функция g(x)=f (Tx) —
—f{x) (соответственно g(х)=f(Tx)lj(x)). Обозначая сово-
совокупность всех (ко)границ через В(Т, X), можно опре-
определить аддитивную (соответственно мультипликатив-
мультипликативную) группу (ко)гомологий Л1 (Т', X) как факторгруппу
Z(X)/B (T, X). Вместо всех измеримых функций могут
рассматриваться и более узкие классы функций. Г. д. с.
являются инвариантами траекторного изоморфизма
(подробности для Л1 см. в [2]).
Пока (к 1977) Г. д. с. не вычислены ни в одном
нетривиальном примере. Использование «гомологиче-
«гомологических» понятий в эргодич. теории определяется тем, что в
различных конкретных случаях бывает важно знать (и
иногда действительно удается выяснить), является ли
та или иная определенная функция кограницей.
Лит.: [1] Кириллов А. А., «Успехи матем. наук»,
1967, т. 22, №5, с. 67—80; [2] Степии А. М., «Функци-
ональн. анализ и его приложения», 1971, т. 5, № 2, с. 91—2.
Д. В. Аносов.
ГОМОЛОГИИ КОМПЛЕКСА — исходное понятие
для различных гомологич. конструкций. Пусть А —
абелева категория и К. = (Кп, dn) — ценной
комплекс в категории Л, т. е. семейство объектов
(К„)п€% категории Л и таких морфизмов dn : Kn-^>~Kn^u
что йя_гой„=0 для всех n(^Z. Факторобъекты
Кегйя/1т<2„ + 1 наз. n-ми г о м о л о г и я м и ком-
комплекса К. и обозначаются Лп(К.). Семейство
(Лп(К.))п€7 обозначается также через if. (К.). Понятие
Г. к. является основой для ряда важных конструкций
в гомологич. алгебре, коммутативной алгебре, ал-
гебраич. геометрии, топологии. Так, в топологии каждое
топологич. пространство X определяет цепной комп-
комплекс в категории (АЬ) абелевых групп: (Сп(Х), дп).
Здесь Сп (X) — группа re-мерных сингулярных цепей
пространства X, а дп — граничный гомоморфизм, п-в
гомологии этого комплекса наз. re-ми группами
сингулярных гомологии пространства X
и обозначаются Нп(Х). Двойственным образом опреде-
определяется понятие когомологий коцепного комплекса.
Лит.: [1] Маклейн С, Гомология, пер. с англ., М.,
1966. И. В. Долгачев.
ГОМОЛОГИИ ПОЛИЭДРА — гомологии теория то-
пологич. пространства, являющегося полиэдром. Г. п.
возникли в трудах А. Пуанкаре (Н. Poincare, 1895)
при изучении многообразий в евклидовых пространст-
пространствах. Он рассматривал r-мерные замкнутые подмного-
подмногообразия данного многообразия, наз. r-мерными цик-
циклами. Если в многообразии существует ограниченное
(Н-1)-мерное подмногообразие, границей к-рого являет-
является данный r-мерный цикл, то ятот цикл наз. гомоло-
гомологичным нулю в данном многообразии. Напр.,
окружность, концентрическая с ограничивающими
кольцо окружностями, не гомологична нулю, в то время
как окружность, являющаяся границей круга, содер-
содержащегося в кольце, гомологична нулю в этом кольце.
Аналитическое вначале задание многообразия было
заменено А. Пуанкаре представлением его, разложен-
разложенным на симплексы, приложенные друг к другу по
граням так, чтобы они образовывали комплекс.
Такой метод исследования гомологии приложим к лю-
любым пространствам, триангулируемым в виде симпли-
циального комплекса, то есть к прямолинейным поли-
полиэдрам и их гомеоморфньтм образам — криволинейным
полиэдрам. Геометрич. смысл циклов и их гомологии
при этом сохраняются. Так, 1-мерным циклом будет
замкнутая ломаная, звеньями к-рой являются 1-мерные
симплексы. Он гомологичен нулю, если служит гра-
границей 2-мерного подкомплекса данного комплекса.
Два цикла одной и той же размерности гомологичны
один другому, если вместе они ограничивают подком-
подкомплекс данного комплекса. Это есть отношение эквива-
эквивалентности, что вызывает разбиение множества циклов
одной и той же размерности данного комплекса на клас-
классы. Во множестве классов вводится алгебраическая
структура, если за сумму двух классов принять класс,
содержащий сумму циклов, произвольно выбранных из
складываемых классов. Введение направления обхода,
т. е. рассмотрение ориентированных симплексов при-
приводит к понятию обратного класса. Строгое изложе-
изложение этих наглядных представлений позволяет опре-
определить понятие группы Г. п.
Пусть имеется триангуляция К полиэдра Р и абелева
группа G. r-м ерной цепью комплекса К над груп-
группой G коэффициентов наз. произвольная функция сг,
ставящая в соответствие каждому ориентированному
(¦-мерному симплексу f из К определенный элемент из
G, и отличная от нуля лишь для конечного числа сим-
симплексов, причем cr(—tr)= — cr(tr). Складывая г-мерные
цепи как линейные формы, получаем абелеву группу
Cr(K, G) — группу всех r-мерных цепей комплекса К
над группой G коэффициентов. Исходя из понятия гра-
границы симплекса и определяя по аддитивности границу
цепи, приходим к гомоморфизму
dr:Cr(K, G)—»Cr-i(K, G)
со свойством дг^1дг=О и цепному комплексу
{СГ(К, G), дг}.
Цепь сг наз. циклом, если ее граница есть нулевая
цепь: бгсг=О. Цикл zr наз. ограничиваю-
щ и м, если в К существует такая (г-|-1)-мерная цепь
сг + х,что zr=dr + xcr + 1. Ядро гомоморфизма Эг, т. е. группа
Zr(K, G) всех r-мерных циклов, содержит образ при гомо-
гомоморфизме дг + 1, т. е. подгруппу Вг {К, G) всех ограничи-
ограничивающих r-мерных циклов. Факторгруппа Нг (К, G) груп-
группы ZAK, G) по Br(K, G) есть r-мерная группа гомоло-
гомологии комплекса К над группой G коэффициентов. Она
принимается за г-мерную группу гомоло-
гомологии НАР, G) полиэдра Р над G, так как доказывает-
доказывается, что все триангуляции полиэдра Р имеют изоморф-
изоморфные r-мерные группы гомологии над G. Группа HAP,G)
при произвольном G, в силу теоремы об универсальных
коэффициентах, определяется целочисленными груп-
группами НАР) Z)> гДе Ж. ~ группа целых чисел. В свою
очередь если полиэдр конечный, целочисленная груп-
группа, к-рая является абелевой группой с конечным чи-
числом образующих, имеет полную систему числовых
инвариантов — число Бетти и коэффициенты кру-
кручения, т. е. ранг и коэффициенты кручения группы
НГ{Р,Ж)-
Лит.: [1] Александров П. С, Комбинаторная топо-
топология, М.—- Л., 1947; [2] Понтрягнн Л. С, Основы ком-
комбинаторной топологии, 2 изд., М., 1976; [3] 3 е й ф е р т Г.,
Трельфалль В., Топология, пер. с нем., М,—Л., 1938;
[41 Хилтон П.-Дж., У а й л и С, Теория гомологии. Вве-
Введение в алгебраическую топологию, пер. с англ., М., 1966.
-Г. С. Чогошвили.
ГОМОЛОГИИ С КОМПАКТНЫМИ НОСИТЕЛЯМИ—
теория частично точных гомологии (см. Гомологии тео-
теория), удовлетворяющая следующей аксиоме о
компактных носителях: для каждого эле-
элемента h из r-мерной группы Hr(X, А) произвольной нары
пространств (X, А) в теории Н существует такая ком-
компактная пара (X', А')а(Х, А), что h содержится в обра-
образе индуцированного вложением гомоморфизма
1>:НГ(Х', А')~^НГ(Х, А).
Если теория Н точна и имеет компактные носители, то
справедлива следующая теорема: для любого элемента
/г ? НГ(Х', А'), принадлежащего ядру гомоморфизма \i,
существует такая компактная пара (X", А"), что
(X1, А') d (X", Л")С(Х, А)
и h принадлежит ядру гомоморфизма
НГ(Х', А')~^НГ(Х\ А").
Точная теория обладает компактными носителями тог-
тогда и только тогда, когда для любой пары (X, А) груп-
группа НГ(Х,А) есть прямой предел Нт -[Нг (X', А')),
где (X', А') пробегает компактные пары, содержащиеся
в (X, А). Точная теория гомологии с компактными но-
носителями единственна на категории произвольных (не-
(некомпактных) полиэдральных пар при данной группе
коэффициентов и она эквивалентна сингулярной теории.
Наряду с группой НГ(Х, А) имеется группа
НСГ(Х, А) = \\т {Иг (X', А')},
где (X', А') — компактные подпары из (X, А). Сингу-
Сингулярная группа гомологии обладает компактными носи-
носителями и изоморфна группе НСГ(Х, А). В спектральной
теории, кроме групп НГ(Х, А) гомологии Александро-
Александрова — Чеха и групп НСГ{Х,А) рассматривается также
группа, являющаяся образом при естественном гомо-
гомоморфизме
НСГ(Х, А)-^НГ(Х, А);
эта группа, как и группа Нсг (X ,А), удовлетворяет ак-
аксиоме о компактных носителях, но в спектральной
теории группой Г. с к. п. обычно называют именно
группу Нсг (Х,А). Указанные три группы спектральной
теории отличны друг от друга и каждая из них яв-
является объектом теоремы двойственности как при ди-
дискретной, так и при компактной группе коэффициен-
коэффициентов (см. Двойственность в топологии).
Лит.: [1] С т и н р о д II., Эйленберг С, Основа-
Основания алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1958; [2]
Александров П. С, «Матем. сб.», 1947, т. 21, вып. 2,
с. 161—232; [3] С п е н ь е р Э., Алгебраическая топология,
пер. с англ., М., 1971. Г. С. Чогошвили.
ГОМОЛОГИИ ТЕОРИЯ топологических
пространств — часть алгебраич. топологии, осу-
осуществляющая связь между топология, и алгебраич.
понятиями: приводя в соответствие каждому простран-
пространству определенную последовательность групп, а непре-
непрерывному отображению пространств — гомоморфизмы
соответствующих групп, Г. т. по свойствам групп и их
гомоморфизмов позволяет судить о свойствах прост-
пространств и отображений. К таким свойствам относятся,
напр., связности различных размерностей, для исследо-
исследования к-рых Г. т. опирается на понятие ограничивают,
в отличие от другой части алгебраич. топологии — тео-
теории гомотопии, к-рая для той же цели применяет дефор-
деформации. Г. т. зародилась в конце 19 в. в трудах А. Пуан-
Пуанкаре (Н. Poincare) (см. Гомологии полиэдра), но аксио-
матпч. построение (а вместе с ним и точные границы
этого долгое время расплывчатого понятия) Г. т. полу-
получила лишь в работах Н. Стинрода и С. Эйленберга (см.
[3], а также Алгебраическая топология, Гомологии
группа, Стинрода — Эйленберга аксиомы,).
По этому построению теория гомологии {Н, д} есть
совокупность трех функций: 1) относительной г-мерной
группы гомологии НГ(Х, А) пары топологич. прост-
пространств {X, А), АаХ, к-рая каждой паре (X, А) и каж-
каждому целому числу г ставит в соответствие абелеву
группу НГ(Х, А); 2) гомоморфизма
НГ{П=^:НГ(Х, A)~+Hr(Y, В),
к-рый ставится в соответствие непрерывному отобра-
отображению /: (X, A)—*-(Y, В) и числу г и паз. гомоморфиз-
гомоморфизмом, индуцированным отображением /; 3) граничного
оператора д, к-рый каждой паре (X, А) и каждому г
ставит в соответствие гомоморфизм д группы НГ(Х, А)
в группу Hr-j(A) (так наз. абсолютную груп-
группу пространства А, являющуюся группой
пары (А,0)). При этом указанные функции должны
удовлетворять следующим аксиомам.
1. Если / — тождественное отображение, то таковым
является и fm.
2. (g/)* = g*/*.
3. е>/* = (/|Д)*е>.
4. Аксиома точности. Если
i : А-уХ и / : Х-+(Х, А)
— отображения вложения, то последовательность
. . .—ЯгD) 1-^Нг(Х) ^НГ{Х, А) —>ЯГ_!(А) —*...,
наз. гомологической последователь-
последовательностью, пары (X, А), является точной последо-
последовательностью, т. е. везде образ входящего гомоморфиз-
гомоморфизма совпадает с ядром исходящего.
5. Аксиома гомотопии. Если отображения
/, g : (X, A)-+(Y, В)
гомотопны, то /% = g%.
6. Аксиома вырезания. Если U — откры-
открытое подмножество пространства X и его замыкание со-
содержится во внутренности подпространства А, то ото-
отображение вложения
e:(X\U, A\U)—*(X, A)
индуцирует изоморфизм е%.
7. Аксиома размерности. Если X — од-
одноточечное пространство, то НГ(Х)=О для всех г=^=0.
Вместо категории всех пар пространств за область
определения функции Нг можно взять произвольную
категорию пар пространств, напр, категорию пар ком-
компактных пространств или категорию пар, состоящих из
полиэдров и их подполиэдров. Однако требуется, чтобы
такая категория вместе с (X, А) содержала пары @,
0), (Х,0) = Х, (А, 0)=А, (А, А), (X, X), цилиндр
(X, А) X/, / = [0,1], и какое-либо одноточечное про-
пространство Ро, со всеми их отображениями вложения.
Кроме того, требуется, чтобы категория содержала все
пары и отображения, к-рые встречаются в аксиомах или
теоремах. С другой стороны, за область значений
функции Нг вместо категории всех абелевых групп
можно принимать и другие категории, напр, категорию
топологических, в частности, компактных групп с не-
непрерывными гомоморфизмами или категорию модулей
над нек-рым кольцом с линейными гомоморфизмами.
Аксиомы 1 и 2 означают, что Нг есть ковариантный
функтор из нек-рой категории пар пространств в кате-
категорию групп. Аксиома 3 означает, что граничный
оператор д согласован с функтором Нг. Аксиома 4,
связывающая функторы всех размерностей г, иногда
заменяется более слабым требованием: чтобы последо-
последовательность была лишь полуточной, т. е. образ входил
в ядро (см. Точная последовательность); важным при-
примером частично полуточной теории
гомологии является теория гомологии Александ-
Александрова — Чеха. Аксиома 5 имеет эквивалентную форму:
если
/0,/i = (X, А)-*(Х,А)Х1
— отображения, определяемые формулами fo(x)=(x, 0),
f1(x) = (x, 1), то /o*=/i*. Аксиома 6, требующая инвари-
инвариантность при вырезании и имеющая несколько разно-
разновидностей, указывает то свойство Г. т., к-рое отличает
ее от теории гомотопии. Аксиома 7, обеспечивающая гео-
метрич. значимость размерностного индекса г, в совре-
современных исследованиях часто пренебрегается, что по-
порождает так наз. обобщенные теории гомо-
гомологи и, важным примером к-рых служит теория
бордизмов.
Для Г. т. существует двойственная ей т е о р и я к о-
гомологии (см. Двойственность в топологии). Она
задается: относительной г-мерной группой когомологии
НГ(Х,А), являющейся контравариантным функтором
из категории пар топологич. пространств в категорию
абелевых групп с индуцированным гомоморфизмом
Hr(f) = f*:Hr(Y, В)~^Нг{Х, А)
и кограничным оператором
Аксиомы формулируются так же, как и в случае гомо-
гомологии, с очевидным изменением в направлении гомо-
гомоморфизмов, происходящим от контравариантности;
напр., аксиома точности требует, чтобы была точной
когомологическая последователь-
последовательность
Здесь возникают также обобщенные когомологич. тео-
теории, важными примерами к-рых служат К-теории и
кобордизмы. Приводимые ниже факты Г. т. имеют кого-
когомологич. параллели.
Группой коэффициентов Г. т. или тео-
теории когомологии наз. группа Н0(Р0) или соответственно
Н°(Р0). Группы НГ(Х, А) иногда удобно заменять так
наз. приведенными группами Н г (X, А):
приведенная нульмерная группа гомологии Нй(Х) есть
ядро гомоморфизма
г»:#0(Х)— Я„(Р0),
индуцированного отображением I : Х-*-Ро, а приведен-
приведенная нульмерная группа когомологии Йа(Х) есть фактор-
факторгруппа группы Н°(Х) по образу f*(H°(P0)); приведенные
группы других размерностей совпадают с исходными:
НГ(Х) = НГ(Х), гфО. Так, Н0(Х) ~ Ha{X)^G. Если
А ф 0, то Нг (X, А) = НГ (X, А) при всех г. Замена
обычных групп приведенными позволяет получить из
гомологич. последовательности приведенную го-
гомологическую последовательность.
Аксиомы Г. т. не являются независимыми. Так, ак-
аксиома 1 есть следствие аксиом 2, 3, 4. Система аксиом
совместна, как показывает пример тривиальной теории
НГ(Х, А)=0; нетривиальными примерами являются
когомологич. теория Александрова — Чеха, сингуляр-
ные гомологии и др. В вопросе полноты имеет место
следующее: гомоморфизмом Г. т. {Н, д} в
Г. т. {В', д'} наз. такая система гомоморфизмов
h(X, A; г):Нг(Х, А)~^Н'Г(Х, А),
что
H'(f)-h(X,A; r) = h{Y, В; r)-H(f)
и
д'-h(X, A; r) = h(A\ r~\)-0;
если все h(X, А; г) — изоморфизмы, то Г. т. {Н, д)
и {Н', д'} наз. изоморфными Г. т. На конечных
полиэдрах Г. т. является единственной. Точнее, если
h0 : G-+G' — произвольный гомоморфизм группы ко-
коэффициентов G теории {Н, д} в группу коэффициентов
G' теории {Н', д'}, то для каждой полиэдральной пары
(X, А) существует единственных"! гомоморфизм
h(X, A; r):Ur(X, А)—+Н'Г{Х, А),
обладающий тем свойством, что h(P0; 0) = А0, причем,
если h0 — изоморфизм, то изоморфизмами являются и
все h(X, А; г). Так как группы гомологии отрицатель-
отрицательной размерности триангулируемой пары тривиальны,
то для таких пар равенство ПГ(Х, Л) = 0, г<0, имеет
место и при любой Г. т. {//, д}. Теорема единственности
справедлива и для более широких категорий прост-
пространств в случае, когда Г. т. удовлетворяет соответствую-
соответствующим дополнительным аксиомам.
Группы гомологии являются топологическими, а
также гомотопич. инвариантами: если / есть гомотопич.
эквивалентность, то fm есть изоморфизм. Если X —
стягиваемое пространство, в частности, клетка, то
ЫГ(Х) = О, гфО, и H0(X)~G. Если i : АаХ есть гомо-
топич. эквивалентность, то НГ(Х, Л) = 0, и, при любом
X, НГ(Х, Х) = 0. Если А — ретракт пространства X, то
t% есть мономорфизм, }т — эпиморфизм, оператор д
тривиален и
Hr {X)~Hr {A)Q)Hr(X, A).
Если X деформируемо в А, то im есть эпиморфизм, jm три-
тривиален, д есть мономорфизм и
IIr(A)~Hr(X)Q)Hr + 1(X, A).
Пусть через S (X) обозначена надстройка над X; имеет
место изоморфизм
Hr (X)~Hr + 1 (S (X)).
Это дает возможность вычислить группы гомологии
сфер S"; именно: Hr(Sn) = 0 при гфп и Я„EЛ)~С;
следовательно, Нr(S") = 0 при пфгфО, Hr{Sn)~G при
пфг=0 или п = гфО и Ho(S°)~GQ)G.
Важную роль в Г. т. играют гомологические
последовательности троек и триад.
Для тройки (X, А, В), XtdAtdB, пространств гра-
граничный оператор д' = Ы.д определяется как ком-
композиция fe,-д, где к': Л—>-(Л, В) есть вложение. Тогда
возникает так наз. гомологическая после-
последовательность тройки (X, А, В) (сводя-
(сводящаяся при 5=0 к гомологич. последовательности па-
ры (X, А))
где i' : (А, В)-+(Х, В) и /' : (X, В)-+(Х, А) - вложе-
вложения. Эта последовательность точна. Если группы
Hr(X, A), Itr(X, В), НГ(А, В) тривиальны для всех г,
то ^«i ^', /» являются соответственно изоморфизмами, и
наоборот. Если X есть объединение непересекающихся
замкнутых множеств X;, ?=1, . . ., п, и А =Л1и ...\]Ап,
где AjCzXi, то НГ(Х, А) изоморфна прямой сумме
групп Нг(Хг,А{), i=l, ..., га. Триада (X; А, В)
есть пространство X с упорядоченной парой А, В под-
подпространств. Она является собственной три-
триадой, если вложения
к:(А, А[\В)—*{А[)В. В), l:(B, A{)B)—y(A\JB, A)
индуцируют изоморфизмы или имеется разложение
Hr(A\jB, А[\В)~НГ(А, АГ\В)(?ЛГ{В, А(\В).
Далее, для них определяется граничный оператор
д:Нг(Х, A(jB)-^Hr^1(A, A[)B)
как к71-т%-д, где т : A \JBc(A \JB, В). Это порож-
порождает точную гомологическую последова-
последовательность триады
где р : (А,АГ\В)^(Х, В), q : (X, В)-+(Х, A (JB) -
вложения [при ВсА эта последовательность сводится
к гомологич. последовательности тройки (X, А, В)].
Пусть Х = А (JВ, А ПВ — С и пусть для отображений
h, hlr h2 : (X, С)—*-(Y, D) имеют место соотношения
h1\A=h\A, h2\B = k\B, hy(B)(z.D, h2(A)dD. Тогда спра-
справедливы следующие а д д и ц ионные теоремы.
1. ^ = Л1» + й2,.
2. Если D стягиваемо и /, /1? /2 : X—>У определены
соответственно посредством к, /гь /г2, то для индуциро-
индуцированных гомоморфизмов приведенных групп fm, /1И!,
f2i, : IIr(X)-+Hr(Y) имеет место равенство /* =/i*+/2*.
Пусть определен гомоморфизм
где s(c) = (slm(c), — s2m(c)), c?Hr(C) и где
s2
где t(fl, b) = tlm(a)+t2m(b), (a, )^r()^r(
ix : Л—>-Х, i2 : B-^-X — вложения. Пусть, наконец, оп-
определен гомоморфизм
Д:ЯГ(Х)—^ЯГ(С),
где Д^^и*^^ и
v:X~^(X, В), и:(А, С)—+(Х, В)
— вложения. Тогда получается так наз. последо-
последовательность Мейера— Вьеториса соб-
собственной триады:
.. . —, IIг (С) Л Hr (A)QHr (В) -U Нг (X) \
к-рая является точной и к-рая связывает гомологии
пространств с гомологиями их объединения и пересече-
пересечения. Отсюда, в случае Сф-(?, можно перейти к анало-
аналогичной последовательности для приведенных групп.
Из нее следует:
1. Если А[\В стягиваемо, то
II Г(А[]В)~Н r{A)QH Г(В).
2. Если А \]В стягиваемо, то
Hr(A\JB)~Hr(A)^Hr(B).
3. Если А и В стягиваемы, то Д устанавливает изо-
изоморфизм
Использование предыдущих результатов позволяет
вычислить группы гомологии различных пространств.
Напр., если X — замкнутая ориентируемая поверх-
ность рода га, то НГ(Х) изоморфна группе коэффициентов
G при г=0,2, прямой сумме G2" 2га экземпляров группы
G при г=1 и 0—в остальных случаях. Если X — замкну-
замкнутая неориентируемая поверхность рода п, то Н Г{Х)
изоморфна G при г=0, группе G"~10G2, где G2 есть
факторгруппа G/2G, 2G={2g|g?G}, при г=1, подгруппе
r2(G) группы G, состоящей из всех элементов j^G с
2g=b при г=2 и 0—в остальных случаях. Таким обра-
образом, Г. т. дает топологич. классификацию замкнутых
поверхностей. Для re-мерного действительного проек-
проективного пространства Р" группа Нг(Рп) изоморфна груп-
группе G при г=0 или г=п и нечетном, группе G2 при г не-
нечетном и 0<г<га, группе T2(G) при г четном и 0<г<га
и 0 — в остальных случаях. Группа гомологии Нг(СРп)
комплексного проективного пространства СР" размер-
размерности 2ге изоморфна группе G при г четном и 0<:г<:2ге и О
— в остальных случаях. Гомологич. группа Hr(Lp q)
линзового пространства Lpq изоморфна группе G при
г=0,3, группе Gp=G/pG, гд'е pG={pg\g?G} при г=1,
группе Tp(G), где Tp(G)= {g? G\pg=0} при г=2 и 0—
в остальных случаях.
Из разнообразных приложений предыдущих резуль-
результатов следует выделить нек-рые фундаментальные пред-
предложения. Прежде всего — инвариантность размерности:
сферы, а также евклидовы пространства различных раз-
размерностей не гомеоморфны; более того, если два поли-
полиэдра гомеоморфны, то они имеют одинаковую размер-
размерность. Далее, из равенства /*** = ?*, где, / : X—>-У есть
распространение данного отображения g : A—y-Y, AcX,
получаются различные признаки распространяемости и
ретрагируемости отображений; напр., отображение не-
ненулевой степени сферы S"-1, га>1, в себя не распро-
странпмо на га-мерный шар Еп, границей к-рого является
S"-1, а сфера S"-1 не является ретрактом шара Еп
ни для какого натурального п. Из этого, в свою очередь,
следует теорема Брауэра о неподвижной точ-
точке: любое отображение Еп—*-Еп имеет неподвижную точ-
точку. Наконец, доказывается, что на S" существует еди-
единичное касательное векторное поле тогда и только тог-
тогда, когда га нечетно, а из теории триад получается
ряд теорем о степенях отображений, что, в частности,
позволяет по-новому доказать основную теорему ал-
алгебры.
Лит.: [1] Александров П. с, Комбинаторная то-
топология, М.—Л., 1947; [2] Лефшец С, Алгебраическая топо-
топология, пер. с англ., М., 1949; [3] С т и н р о д Н., Э й л е н-
б е р г С, Основания алгебраической топологии, пер. с англ.,
М., 1958; [4] С пень ер Э., Алгебраическая топология,
пер. с англ., М., 1971; [5] Ни Sze-Tsen, Homology
Theory; 3 ed., N.— L., 1965; [6] Ни Sz.-Tz., Cohomology
Theory, L., 1970; [7] Д о льд А., Лекции по алгебраической
топологии, пер. с англ., М., 1976. Г. С. Чогошвили.
ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры,
основным объектом изучения к-рого являются производ-
производные функторы на различных категориях алгебраич. объ-
объектов (модулей над данным кольцом, пучков и т. д.).
Одним из истоков Г. а. явилась теория гомологии то-
топологич. пространств, в к-рон каждому топологич. про-
пространству X сопоставляется последовательность абеле-
вых групп Нп(Х) (групп гомологии), а непрерывному
отображению / : X—>Y пространств — набор гомомор-
гомоморфизмов /„ : Нп(Х)—>Hn(Y) групп гомологии. Каждый
га-мерный сингулярный симплекс Т топологич. прост-
пространства X имеет границу, состоящую из сингулярных
симплексов размерности га—1. Если Кп — свободная
абелева группа, порожденная всеми этими ге-мерными
симплексами, то функция д, к-рая сопоставляет каж-
каждому Т альтернированную сумму д Т его граничных
симплексов, определяет гомоморфизм 'д : Кп-^>-Кп-1,
до о О
так что... —*Кп—>-Кп-1—>-Кп_2—<-...,причем не-
непрерывное отображение пространств индуцирует го-
гомоморфизм соответствующих им комплексов. Неко-
Некоторые свойства пространства X или отображения
/ : X—>Y могут быть найдены по свойствам группы Нп
гомологии этого комплекса или соответствующих гомо-
гомоморфизмов /„ этих групп гомологии, что в ряде случаев
позволяет свести изучение топологич. объектов к изуче-
изучению нек-рых алгебраич. объектов, подобно тому, как
это делается в аналитич. геометрии (но с той разницей,
что переход от геометрии к алгебре в теории гомологии
необратим).
В свою очередь, в алгебре в связи с изучением расши-
расширений групп фактически рассматривались первая и вто-
вторая группы гомологии и когомологий. Значительный
подготовительный материал был разработан в теории
ассоциативных алгебр, алгебр Ли, теории конечномер-
конечномерных алгебр, теории колец, теории квадратичных форм.
В процессе изучения групп гомологии сложился
прежде всего язык Г. а. Появились обозначения отобра-
отображений с помощью стрелок и коммутативные
диаграммы (если в графе отображений два пути,
имеющие общие начало и конец, приводят к одному и
тому же результату, то такую диаграмму наз. коммута-
коммутативной). Часто встречались последовательности гомо-
гомоморфизмов, в к-рых ядро исходящего гомоморфизма сов-
совпадало с образом входящего, такие последовательности
назвали точными. Стало обычаем задавать матема-
тич. объекты одновременно с их отображениями, а наи-
наиболее предпочтительными считались соответствия между
объектами, сохраняющие отображения, названные функ-
функторами. Основные достоинства этого языка — инфор-
информативность, естественность и наглядность, быстро по-
получили признание. Напр., в [5] язык Г. а. был исполь-
использован для аксиоматич. изложения основании алгебраич.
топологии. В настоящее время язык Г. а. присутствует
во многих работах, даже не использующих ее методов.
К середине 40-х гг. 20 в. Г. а. выделяется в самостоя-
самостоятельную область алгебры. Основная сфера применения
Г. а.— категория модулей над кольцом. Большинство
результатов, известных для модулей, переносится на
абелевы категории с нек-рыми дополнительными огра-
ограничениями (это объясняется тем, что такие категории
вкладываются в категорию модулей). Наиболее содер-
содержательное расширение области применения Г. а. было
осуществлено в [4], где Г. а. была перенесена на произ-
произвольные абелевы категории с достаточным запасом инъ-
ективных объектов и стала прнложимой к арифметиче-
ской алгебраич. геометрии и теории функций многих
переменных (см. Гротендика категория).
Основные функторы Г. а.— Нот (Л, В) (группа гомо-
гомоморфизмов модуля А в модуль В) и тензорное произ-
произведение модулей А(Х)В. Основа теории — изучение про-
производных функторов, к-рые строятся, напр., следующим
образом. Произвольный модуль А может быть пред-
представлен как фактормодуль свободного модуля Fo,
затем рассматривается такое же представление fi\ для
ядра предыдущего представления и т. д. В результате
возникает точная последовательность
Последовательность
...-^Р„—> ... -+РХ—*Л,—>-0,
где все модули Р,- — проектнвны, наз. проектив-
проективной резольвентой модуля А. Примене-
Применение к ней ковариантного аддитивного функтора Т дает
комплекс, группы гомологии к-рого наз. левыми
производными функтора Г и обозначают-
обозначаются LnT. Двойственно (для контравариантного функтора)
или, используя инъективные модули и инъективные ре-
резольвенты (для ковариантного функтора), строятся пра-
правые производные функторы RnT. Производные функто-
функторы измеряют в нек-ром смысле отклонение функтора от
точности. Они не зависят от произвола построения ре-
резольвенты. Каждой точной последовательности
соответствуют две бесконечные точные последователь-
последовательности производных функторов:
... —^Rn-1-T {C)—+R»T (A) —> R"T (B)—±R"T (C)—>
-^Rn + lf (A)—* ...
Для производных функторов основных функторов при-
приняты следующие обозначения:
Ln (A@RB) = Tor,? (А, В),
R"HomR(A, B) = Ext%(A,B).
Оба эти функтора являются функторами двух аргумен-
аргументов А и В, поэтому изложенная конструкция построе-
построения производного функтора к ним непосредственно не-
неприменима. В данном случае можно фиксировать один
из аргументов и строить резольвенту для другого или,
взяв резольвенты для обоих аргументов, можно по-
построить нек-рый двойной комплекс. Все эти построения
приводят к одному и тому же результату. Группа
JZxtR(A, В) изоморфна группе расширений модуля В с
помощью модуля А (и в этом виде давно изучалась).
Установление новых связей значительно расширило и
продвинуло теорию расширений модулей. Группа
Torf (A, Q/'Ж) сопоставляет каждой группе А ее перио-
дич. часть. Обобщение этого наблюдения привело к об-
общей теории кручения.
В общую схему производных функторов укладывается
теория гомологии алгебраич. систем. Напр., пусть Л=
=^G — групповое кольцо мультипликативной группы
G над кольцом ~$_ целых чисел, А — левый, а В — пра-
правый Л-модули. Изучение групп
H"(G, A)=Ext^G (Ж, А),
H"(G, B) = Tor^p (В, ¦%-),
где 2[ рассматривается как тривиальный левый ^G-mo-
дуль, составляет теорию гомологии и когомологий
групп. Пусть L — алгебра Ли над полем к, UL — ее
универсальная обертывающая алгебра, А есть UL-mo-
дуль. Изучение групп
Н" (L, A) = ExtnuL(k, A),
где к рассматривается как тривиальный UL-модуль,
составляет теорию когомологий алгебр Ли. Аналогич-
Аналогично определяются подходящие группы когомологий и го-
гомологии моноидов, абелевых групп, алгебр, градуиро-
градуированных алгебр, колец и т. д. Руководящей идеей в каж-
каждом случае служит то, что вторая группа когомологий
представляет группу расширений для рассматриваемого
типа алгебраич. систем.
В свою очередь, гомологии алгебраич. систем являют-
являются предметом изучения относительной гомологической
алгебры.
В конкретных случаях вычисление производных
функторов обычно достигается с помощью удачно по-
построенной резольвенты. Иногда резольвента оказывается
конечной (напр., длина резольвенты произвольной абе-
левой группы не превосходит 1). Существует давний и
вполне оправданный интерес к длине самой короткой ре-
резольвенты (эта длина наз. гомологической размерностью).
Первый значительный результат в этом направле-
направлении — Гильберта теорема о сизигиях (конец 19 в.).
Теория гомологич. размерности — одна из активно
развивающихся ветвей Г. а. Переход от модулей с раз-
различными ограничениями конечности к общему случаю
часто осуществляется с помощью функторов индуктив-
индуктивных пределов (lim) и проективных пределов (lim). Напр.,
всякая группа является индуктивным пределом своих
конечно порожденных подгрупп. Всякая компактная
вполне несвязная группа представима в виде проектив-
проективного предела своих конечных факторгрупп. Интерес к
этим группам вызван их связями с теорией Галуа. Про-
Производные этих функторов применяются в теории гомо-
логич. размерности.
Изучаются производные функторы для неадднтивных
функторов (напр., функтора, сопоставляющего а бе левой
группе ее групповое кольцо пли симметрическую ал-
алгебру).
К основным средствам вычисления Г. а., кроме уже
отмеченных резольвент, следует отнести спектральные
последовательности и гомологические умножения. Спек-
Спектральные последовательности, являясь наиболее мощ-
мощным аппаратом исследования производных функторов,
аппроксимируют группы гомологии группы группами
гомологии ее подгруппы и факторгруппы. Гомологич.
умножения изучают гомоморфизмы типа
LnT®LmT-+Ln + mT,
комбинирующие между собой производные функторы.
Методы Г. а. широко используются в настоящее время
в самых различных разделах математики — в функцио-
функциональном анализе, теории функций комплексного пере-
переменного, дифференциальных уравнениях и др. Без Г. а.
немыслимы такие разделы алгебры, как алгебраич. К-
теория, алгебраич. геометрия, алгебраич. теория чисел.
Лит.: [1] Картан А., Эйленберг С, Гомологи-
Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [2] Маклейн С,
Гомология, пер. с англ., М., 1966; [3] Басе X., Алгебраи-
Алгебраическая К-теория, пер. с англ., М., 1973; [4] Гротендик А.,
О некоторых вопросах гомологической алгебры, пер. с франц.,
М., 1961; 15J Стинрод Н., Эйленберг С, Основа-
Основания алгебраической топологии, пер. с англ. М., 1958; [6] Ито-
Итоги науки. Сер. Математика. Алгебра. 1964, М., 1966, с. 203—36;
[7] Steenrod N. Е., Reviews of papers in algebraic and
differential topology, topological and homological algebra, pt.
2, Princeton, p. 1174 — 364. В. Е. Говоров, А. В. Михалев.
ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ КО-
КОЛЕЦ — общее название для результатов, описывающих
свойства кольца (обычно, ассоциативного и с единицей)
по свойствам тех или иных модулей над ним и, в част-
частности, по свойствам категории всех левых (или правых)
модулей над этим кольцом (см. Мориты эквивалент-
эквивалентность).
Важнейшие примеры таких результатов следующие.
1) Классич. полупростота кольца равносильна как
инъективности всех левых модулей над ним, так и их
проективности, а также инъективности всех левых иде-
идеалов кольца (см. [1]).
2) Коммутативное локальное нётерово кольцо регу-
регулярно тогда и только тогда, когда оно имеет конечную
глобальную гомологич. размерность.
3) Регулярность (в смысле Неймана) кольца имеет
место в том и только в том случае, когда все модули
над ним плоские, т. е. когда кольцо имеет нулевую сла-
слабую гомологич. размерность (см. [2]).
4) Проективность всякого плоского левого модуля
равносильна условию минимальности для главных пра-
правых идеалов (см. Совершенное кольцо).
5) Кольцо нётерово слева тогда и только тогда, когда
класс инъективных левых модулей над ним описывается
формулами узкого исчисления предикатов на языке
теории модулей (см. [4]).
См. также Артиново кольцо, Квазифробениусово
кольцо, Когерентное кольцо, Полусовершенное кольцо,
С амоинъективное кольцо.
Лит.: [1] Картан А., Эйленберг С, Гомологи-
Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [2] Лам бек И.,
Кольца и модули, пер. с англ., М., 1971; [3] Скорняков
Л. А., «Математички весник», 1967, т. 4, № 4, с. 415—34; [4]
Е к 1 о f P., Sabbagh G., «Ann. Math. Log.», 1971, v. 2,
№ 3, p. 251—95; [5] Маклейн С, Гомология, пер. с
англ М., 1966. А. В. Михалев, Л. А. Скорняков.
ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ —
бесконечная в обе стороны точная последовательность
гомологии трех комплексов, связанных короткой точ-
ной последовательностью. Пусть 0—уК.—yL.—>М.—>0 —
точная последовательность цепных комплексов в абеле-
вой категории. Тогда для любого п определены морфиз-
мы гомологии
наз. связывающими (или граничными)
м о р ф и з м а м и. В категории модулей они опреде-
определяются особенно просто: для h ? Нп(М.) выбирается про-
прообраз x?Ln; тогда dx является образом нек-рого элемен-
элемента z?Zn-1(K.), класс гомологии к-рого есть dn(h). По-
Построенная с помощью связывающих морфизмов последо-
последовательность гомологии
. . . —>¦ Н„(К.) —* Hn(L.) — Нп(М.) —> Нп^(К.) —>.. .
является точной и наз. гомологической по-
последовательностью. Таким образом, гомо-
гомологии являются гомологическим функтором на катего-
категории комплексов.
Двойственным образом определяется когомоло-
когомологическая последовательность.
Лит.: [1] К а р т а н А., Эйленберг С, Гомологи-
Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960. В. И. Данилов.
ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ — числовая
характеристика объекта категории относительно неко-
некоторого выделенного класса объектов этой категории.
Основная область применения этого понятия — кате-
категории модулей над кольцом.
Пусть 5Р — фиксированный класс объектов абелееой
категории Щ. и А объект из УЗ, тогда (проектив-
(проективной) гомологической размерностью
объекта А относительно класса 93 наз. наименьшее
число п, для к-рого существует точная последователь-
последовательность вида
0—>Д„—>?„_!—>- ..._>?„—^-+0,
где все В; из S3. Если такого п не существует, то гово-
говорят, что Г. р. равна оо.
Пусть gW. (ЗЛ#) — категория левых (правых) моду-
модулей над ассоциативным кольцом R с единицей. Тогда:
а) если 93— класс всех проективных левых Д-модулей,
то соответствующая Г. р. модуля А наз. проектив-
проективной размерностью и обозначается р -d./j (A);
б) если 93— класс всех плоских левых Д-модулей, то
соответствующая Г. р. модуля А наз. слабой раз-
размерностью и обозначается w.d.#D). Если 31 —
категория левых градуированных модулей над градуиро-
градуированным кольцом A, a 5J3 — класс всех левых проектив-
проективных градуированных Д-модулей, то соответствующая
Г. р. градуированного Д-модуля А наз. градуи-
градуированной проективной размерностью
и обозначается gr. p. d.#(^4).
Рассматривается также двойственная конструкция.
Если A GftSJii то наименьшее число п такое, что сущест-
существует точная последовательность
0-+Л—> <?„—><?!-^...—><?„-+0,
где все модули <?,- инъективны, наз. и н ъ е к т и в н о й
размерностью модуля А и обозначается
i. d.R(A).
Пусть A?RW., тогда следующие условия равно-
равносильны:
а) i. d.#D)<re;
б) ExtR+1{B, А) = 0 для всех ??#21} (см. Функтор
Ext);
б') Extj?+1(B, A) = 0 для всех циклических моду-
модулей В;
в) Ext^(fi, A) — точный функтор относительно аргу-
аргумента В;
г) если
— точная последовательность и модули У^ при
инъективны, то Yn — инъектпвный модуль.
Эквивалентны между собой также условия:
а) р. d.R(A)<^n;
б) Ext%+1(,4, С) = 0 для всех С?КШ;
в) Ext%(A, С) — точный справа функтор аргумен-
аргумента С;
г) если
0-^Xn—>Xn-i—+...—+X0~^0
— точная последовательность п модули Хк при
проектпвны, то и Хп — проективный модуль.
Если последовательность
О—+А'—>А—+А"—+0
— точна, где А', А, А"^ДШ, и
d'=v.d.R(A'), d = p.d.R(A), d" = p.d.R(A"),
то
', d").
Если d<sup(d', d"), то d"=d'-\-i.
Число
l.gl.d.(fl) =sup {p.d.R D) j )
наз. левой глобальной размерностью
кольца R.
l.gl.d.(R) =
==sup jp.d.^ (A) | Л —циклический левый Л-модуль}-
{4}
Если кольцо R обладает композиционным рядом левых
идеалов, то
l,.gl.d. (Д) = sup {p.d.E) | S ^ дШ1, 5 — простой Д-модуль}.
Число
gl.w.d. (Д) = sup {w.d. (А) | A ?Rm}
наз. слабой глобальной размерностью
кольца Д, при этом
gl.w.d. (Д)= sup {w.d.R (Л
Число
наз. левой ограниченной глобальной
размерностью кольца Д.
Сюда же примыкают следующие размерности: если
Д — алгебра над коммутативным кольцом К, то про-
проективная размерность Д-бимодуля Д (т. е. левого
Д(Х)д-Д°Р-модуля, где Д°Р — противоположное Д кольцо)
наз. б и размерностью алгебры R и обо-
обозначается bid Д;если G — группа, К — коммутативное
кольцо, то (к о)г о м о л о г и ч е с к о й размер-
размерностью группы G наз. плоская (проективная)
размерность модуля К над групповым кольцом KG с
тривиальным действием группы G на К и обозначается
(hd.K(G))cd(G).
Ряд хорошо известных теорем можно переформули-
переформулировать в терминах Г. р. Напр., теорема Веддерберна —
Артина будет иметь вид: кольцо Д классически полу-
полупросто тогда и только тогда, когда gl. d. (Д) = 0. Кольцо
Д регулярно (в смысле Неймана) тогда и только тог-
тогда, когда w. gl. d.(fl) = O. Равенство bidA'fl = O для ал-
алгебры Д над полем К равносильно ее сепарабельности
над К. Утверждение о том, что подгруппа свободной
абелевой группы свободна, эквивалентно тому, что
gl. d.(^)=l, где^— кольцо целых чисел. Кольцо Д,
для к-рого 1. gl. d.(/?)<l наз. наследственным слева
кольцом.
Левая и правая глобальные размерности кольца R мо-
могут не совпадать. Если же R нётерово слева и справа, то
l.gl.d.(R) = r.gl.d. G?)=w.gl.d. (Д).
Если R-+S — гомоморфизм колец, то любой 5-модуль
$(А) можно рассматривать н как Л-модуль, при этом:
V-d.K(A) < p.d.s (A) + V.d.R (S),
dfA) w.d.s (A) + w.d.fl (RS),
Если кольцо R — фильтрованное, то
l.gl.d. tff)<l.gr.gl.d.GOR),
где G(R) — ассоциированное градуированное кольцо.
В ряде случаев изучение Г. р. связано с мощностью
рассматриваемых модулей. Это позволяет, в частности,
оценивать разность между слабой и проективной раз-
размерностями модуля, а также разность между левой и
правой глобальными размерностями кольца. Контину-
Континуум-гипотеза равносильна утверждению о том, что
P-d-R [х, у, 2]<R(X' У' z)) = 2,
где R — поле действительных чисел, R (х, у, z) — поле
рациональных функций, a R [х, у, z] — кольцо много-
многочленов над R.
Большая часть исследований по Г. р. посвящена
выявлению связей Г. р. с другими характеристиками
модулей и колец. Так, Гильберта теорема о сизигиях
утверждает, что
g[.d.K[xlt ..., хп) = п,
где К — поле, а К \хх, . . ., хп] — кольцо многочленов
от переменных хг, . . ., хп над К. К настоящему времени
эта теорема значительно обобщена. Г. р. групповых ал-
алгебр разрешимых групп тесно связана с длиной разре-
разрешимого ряда группы п рангами ее факторов. Из равен-
равенства cd (&) = 1 следует, что G — свободная группа (т е о-
р е м а С т о л л и н г с а). Исследуются связи между
Г. р. и другими размерностями модулей и колец. Напр.,
размерность по Круллю коммутативного кольца л совпа-
совпадает с gl. d. (Д) тогда и только тогда, когда все локали-
локализации кольца Д но простым идеалам имеют конечную
размерность Крулля. Всякое коммутативное нётерово
кольцо Д, для которого gl. d.(fl)<oo, раскладывается
в конечную прямую сумму областей целостности. Ло-
Локальное кольцо регулярной точки наз. в алгебраич.
геометрии локальным регулярным коль-
кольцом. Глобальная размерность такого кольца совпадает
с его размерностью Крулля, а также с минимальным
числом образующих его максимального идеала (регу-
(регулярные локальные кольца являются областями целост-
целостности с однозначным разложением на простые множите-
множители, они остаются регулярными при локализациях по
простым идеалам).
Лит.: [1] К а р т а н А., Эйленберг С, Гомологи-
Гомологическая алгебра, пер. с англ., Ы., 1960; [21 Osofsky В. L.,
Homological dimensions of modules, Providence, 1973.
В. К. Говоров, А. В. Михалев.
ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ РАЗМЕРНОСТЬ простран-
пространства X по группе коэффициентовбг —
наибольшее целое число п, при к-ром для нек-рого замк-
замкнутого множества АаХ отлична от нуля группа Нп(Х,
А ; бг) гомологии Александрова — Чоха. Г. р. обозначает-
обозначается А'ппдХ. Аналогично определяется когомологи-
когомологическая размерность — наименьшее целое п,
для которого отображение В"(Х; G)-+H"(A\ G) эпи-
морфно для всех замкнутых АсХ. Под гомоло-
гомологической теорией размерности обыч-
обычно подразумевается ее когомологический вариант, зна-
значительно глубже разработанный. Это объясняется тем,
что когомологии Александрова — Чеха удовлетворяют
всем Стинрода — Эйленберга аксиомам, включая точ-
точность, и потому применение когомологии оказалось бо-
лее эффективным. На категории метризуемых компак-
компактов, где между группами Нр{Х, A; G) и НР(Х% A; G*)
имеет место Понтрягина двойственность, гомологический
подход с коэффициентами в компактной группе G
эквивалентен когомологическому подходу с коэффициен-
коэффициентами в двойственной группе G*; аналогично, оба подхо-
подхода эквивалентны, если в качестве коэффициентов берут-
берутся элементы одного и того же поля G.
Гомологическая теория размер-
размерности берет свое начало с утверждения, полученного
П. С. Александровым: соотношение dim X<«, где
dim — лебегова размерность, эквивалентно тому, что
любое непрерывное отображение в re-мерную сферу S"
произвольного замкнутого множества 4сХ может быть
продолжено до отображения в S" всего X. Отсюда было
получено, что dim X^dim^X, если dim X<oo, a Z есть
группа целых чисел. Затем Л. С. Понтрягиным было
замечено, что Г. р. по разным областям коэффициентов
не совпадают (вообще же, как это вытекает из формул
универсальных коэффициентов, dimGX<:dim X для
любого компакта X); таким образом, Г. р. являются
вместе с лебеговой размерностью нек-рыми топологич.
инвариантами пространства X.
Г. p. dimGX обладает многими свойствами обычной
размерности dim. Именно, если А — замкнутое под-
подмножество из X, то dimG;4 <dimGX; если X=U?liXI-,
где каждое X замкнуто в X, то
AimaX = max diniQ X,-,
г
и т. п. Справедлива теорема Александрова
о препятствии: подмножества евклидова прост-
пространства Е", имеющие Г. р. г, (локально) зацепляются
(ге —г — 1)-мерными циклами. См. также Размерность.
Центральное место в гомологич. размерности зани-
занимают исследования соотношений между Г. р. по различ-
различным областям коэффициентов. Возникающие в этом на-
направлении задачи имеют много непосредственных при-
приложений в теории размерности и тесно переплетаются
с нек-рыми важнейшими задачами теории групп преоб-
преобразований. Большую роль играет анализ размерности
произведения; напр.,
dime (X хУ) = dimG X -\-&imaY,
если G — поле рациональных чисел или поле вычетов
по простому модулю, а
dim(Xxy) = dim X+dim Y
для любого компакта У (dim Х<оо) тогда и толь-
только тогда, когда все размерности dim^X совпадают
с dim X.
Внешний облик гомологич. теории размерности су-
существенно изменился в связи с применением аппарата
пучков теории, получила самостоятельное развитие ко-
гомологич. теория размерности с коэффициентами в
пучках (основное определение такое же). Новые методы
оказались применимыми к решению ряда задач, связан-
связанных с поведением размерности при непрерывных ото-
отображениях, а также позволили расширить область при-
применимости теории до категории паракомпактных прост-
пространств.
Лит.: [1] Г у р е в и ч В., В о л м э н Г., Теория раз-
размерности, пер. с англ., М., 1948; [2] К у з ь м и н о в В. И.,
«Успехи матем. наук», 1968, т. 23, в. 5A43), с. 3—49.
Е. Г. Скляренко.
ГОМОЛОГИЧЕСКИЕ УМНОЖЕНИЯ — операции,
определенные на группах Тог и Ext. Над коммутатив-
коммутативным кольцом К рассматриваются .йС-алгебры R, S и
T=R@/(S. Производные функторы. Тог и Ext над ними
можно комбинировать между собой посредством четы-
четырех гомоморфизмов, наз. гомологическими
умножениями:
Т ' Тог (A A 'ifSv^Tot1'4 (С С\ >- Тог (А (у?)С А Г&)С)
±:ExtpT+Q (Л®С, Нот (Л', С')) —>
—>- Hom(Tor^ (A1, A), Ext? (С, С')),
Л :ТоГр+„(Нот (А, С), А'@С)—>-
—+Нот (Ext?} (А, А'), Тог| (С, С')).
Здесь А и А' правые или левые Л-модули, С и С пра-
правые или левые 5-модули, а символ К опущен при всех
функторах. Последние два гомоморфизма определены
только, если алгебры R и S проективны над К и
Тог^(Л, С) = 0 для всех ге>0. При нек-рых дополни-
дополнительных ограничениях можно определить внутренние
умножения, связывающие Тог и Ext над одним и тем же
кольцом.
Все четыре умножения могут быть получены из фор-
формул, переставляющих функторы (X) и Нот с помощью
замены аргументов соответствующими резольвентами
(см. [1]). Умножение v допускает следующую интерпре-
интерпретацию в терминах умножений Ионеда. Пусть
А Л ' ^ \ V А Г)
'— точные последовательности R- и 5-модулей, соот-
соответственно, являющиеся представителями классов кон-
конгруэнтности в Ext^(/4, А') и Ext^(C, С). Умножая
первую из них тензорно справа на С, а вторую — слева
на А, получают точные последовательности
О—
объединяемые в точную последовательность
О—^Л'®С—^Х!®С —>• ...-^Л^У^-^
к-рую можно рассматривать в качестве представителя
класса конгруэнтности в группе
Умножение V в когомологии Я(Х, 2) топологич.
пространства X с коэффициентами в кольце целых чисел
2 носит название умножения Колмогорова — Алексан-
дера или U-умноженпя.
Лит.: [1] К а р т а н А., Эйленберг С, Гомологи-
Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [2] М а к л е й н С,
Гомология, пер. с англ., М., 1966. В. Е. Говоров.
ГОМОЛОГИЧЕСКИЙ ФУНКТОР — функтор на
абелевой категории, определяющий нек-рую гомологич.
конструкцию на этой категории. Система -йГ=(-#7)<'GZ
ковариантных аддитивных функторов из абелевой кате-
категории Л в абелеву категорию Л' наз. гомологиче-
гомологическим функтором, если выполняются следую-
следующие аксиомы.
1) Для всякой точной последовательности
0-wl'-wi-vA"-v0
в категории Л задан морфизм di:IIi + 1(A")-*-ffj(A'),
к-рый наз. связывающим, или граничным,
м о р ф и з м о м.
2) Последовательность
... — Hi + 1 (A')—^Ht + 1 (А) —»Я1 + 1 (A") ~L
наз. гомолог и ческо и последователь-
последовательностью, является точной.
Пусть, напр., Л= К(АЬ) — категория цепных комп-
комплексов абелевых групп, (АЬ) — категория абелевых
групп. Функторы Л; : К(АЪ)-+-(АЬ), ставящие в соот-
соответствие комплексу К. соответствующие группы гомо-
гомологии Hi(K.), определяют Г. ф.
Пусть F : А\-*-А' — нек-рый аддитивный ковариант-
ный функтор, для к-рого определены левые производные
функторы RiF(RiF= 0, i<0). Тогда система (fl,-F)isJ
определяет Г. ф. из Л в ,4.'¦
Еще одним примером Г. ф. может служить гипер-
гомологии функтор.
Двойственным образом определяется когомоло-
когомологический функтор.
Лит.: [11 Гротендик А., О некоторых вопросах
гомологической алгебры, пер. с франц., М., 1961. И. В. Долгачев.
ГОМОЛОГИЧЕСКОЕ МНОГООБРАЗИЕ, обоб-
обобщенное многообразие,— локально компакт-
компактное топологич. пространство, локальная гомологич.
структура к-рого аналогична локальной структуре
обычных топологич. многообразий, в том числе много-
многообразий с краем. Более точно, гомологическим
ге-м ногообразием (обобщенным ге-м н о-
гообразием) над группой или модулем G коэффи-
коэффициентов наз. локально компактное топологич. прост-
пространство X, имеющее конечную гомологическую размер-
размерность над G и такое, что все его локальные гомологии
группы Нр при рфп тривиальны, а при р = п либо изо-
изоморфны G, либо равны нулю. Здесь Лр есть прямой пре-
предел групп Нр(Х, X\U; G), взятый по всем окрестно-
окрестностям U точки х ? X, причем под Л понимается теория го-
гомологии, удовлетворяющая всем Стинрода — Эйлен-
берга аксиомам, включая аксиому точности; в категории
локально стягиваемых пространств теория Н, рассмат-
рассматриваемая с компактными носителями, изоморфна сингу-
сингулярной (см. Сингулярные гомологии). Группы Нп авто-
автоматически оказываются слоями нек-рого пучка $(п
(см. Пучков теория), называемого ориентирую-
ориентирующим пучком многообразия X. Г. м. X наз. о р и-
ентируемым, если пучок ffln изоморфен постоян-
постоянному пучку XXG, илокально ориентиру е-
м ы м, если ffln является локально постоянным в точ-
точках, где НпфО. Если G — кольцо главных идеалов и
все Нп отличны от нуля, то Г. м. над G всегда локально
ориентируемо. Если Г. м. над группой G локально
ориентируемо, то множество всех х?Х, в к-рых Лп=0,
замкнуто, нигде не плотно и образует край Г. м. X.
Локально ориентируемое Г. м. X имеет те же гомологич.
свойства, что и обычные многообразия.
Например, для X верна теорема об инвариантности
области, h dimGX = re, множество А' нигде не плотно
в X в том и только в том случае, если h dimG/i -<rc— 1,
и т. д.
Для всякого Г. м. над G имеют место естественные
изоморфизмы (Пуанкаре двойственность)
Нр(Х; G)=H"-P(X; SKn)
(когомологии с коэффициентами в пучке). Здесь р —
любое целое число, но гомологич. размерность Г. м. X
над G равна п, и потому изоморфизмы имеют нетриви-
нетривиальное содержание только при 0«:р«:ге. Аналогичные
изоморфизмы имеют место для гомологии и когомологии
с носителями в любом паракомпактифицирующем се-
семействе (в частности, для гомологии и когомологии с
компактными носителями). Условие изоморфизма между
ненулевыми слоями Н% пучка ffln и группой G не яв-
является существенным. Можно также вместо группы G
рассматривать любой локально постоянный пучок коэф-
коэффициентов g со слоем G (при этом ffln изменится). Л ю-
бое открытое подмножество UcX является Г. м.; по-
поэтому использование равенств
IIp(U; G) = Hp(X, X\U; G),
H%(U; G)=H4(X, X\U; G),
из к-рых во втором U имеет компактное замыкание, а
индекс с указывает на компактность носителей, позво-
позволяет получать как частные случаи двойственности
Пуанкаре изоморфизмы
IIp(X,X\U- G)=H"-P(U, Ж и),
IIcp(U- G)=If«-P(X, X\U; Жп)-
Сопоставление точных гомологпч. и когомологнч. по-
последовательностей соответствующих пар позволяет в
качестве частных случаев двойственности Пуанкаре рас-
рассматривать также изоморфизмы
Hp{X\U- G) = H"~P(X, U; Жп)
Нр(Х, U; G)=H"-P(X\U; Жп),
последний из к-рых является обобщением Александера
двойственности. Аналогичные соотношения имеют место
для гомологии и когомологий с носителями в нек-ром
фиксированном семействе.
Пусть
Нр(Х; G) = Hp + 1(X; G) = 0
и пусть X компактно, a Y — замкнутое или открытое
подмножество. Следствием предыдущих изоморфизмов
и точности гомологии и когомологнй является изомор-
изоморфизм
Hcp(X\Y- G)=H»-P-1{Y; Жп),
представляющий собой Понтрягина двойственность
при замкнутом Y и Стинрода двойственность при откры-
открытом Y. Отсюда н из свойства непрерывности когомоло-
когомологий вытекает, что изоморфизм
Пср(Х\У; G)=II"-P-\Y; Жп)
имеет место для любого подмножества YcX (д в о й-
ственность Ситников а). В случае неком-
некомпактного X вместо гомологии с компактными носителя-
носителями следует рассматривать гомологии с носителями, замк-
замкнутыми во всем X. Если X компактно, то при р = 0 сле-
следует использовать приведенные гомологии.
Нетривиальными примерами Г. м. являются «сомно-
«сомножители» обычных многообразий, напр, евклидовых
пространств: если для топологич. пространства X суще-
существует такое Y, что декартово произведение XX Y есть
Г. м., то I и У - тоже Г. м. Известны примеры Г. м.,
не являющихся локально евклидовыми ни в одной своей
точке. Г. м. играют существенную роль в нек-рых вопро-
вопросах теории преобразований групп, где они появляются в
качестве пространств орбит или множества неподвиж-
неподвижных точек.
Имеется когомологич. вариант определения обоб-
обобщенных многообразий. Всякое когомологиче-
когомологическое многообразие над кольцом главных
идеалов G является Г. м. над G, а если G не более чем
счетно, то верно и обратное.
Лит.: [1] Cech E., «Ann. Math.», 1933, v. 34, p. 621 —
730; [2] Lefschetz S., «Amer. J. Math.», 1933, v. 35,
p. 469—573; [3] Александров П. С, «Ann. Math.», 1935,
v. 36, p. 1—35; [4] Александров П. С, II о н т р я-
г и н Л. С, «С. г. Acad. sci.», 1936, t. 202, p. 1327—329; [51
Smith P. A., «Ann. Math.», 1939, v. 40, p. 690 — 712; [6]
Begle E., «Amer. J. Math.», 1942, v. 64, p. 553—73; [7]
Wilder R., Topology of manifolds, N. Y., 1949; [8] В о r e 1
A., «Mich. Math. J.», 1957, v. 4, p. 227—39; [9] Y a n g С. Т.,
«Trans. Amer. Math. Soc.», 1958, v. 87, p. 261—83; [10] Con-
Conner P. E., Floyd E. E., «Mich. Math. J.», 1959, v. 6,
p. 33—43; [11] Raymond F., там же, 1360,v. 7, p. 7—21;
[12] В red on G. E., там же, р. 35—64; [13] Borel A.,
«Ann. Math, studies», 1960, №46, p. 23—33; [14] В red о n G. E.,
«Proc. Nat. Acad. Sci. USA», 1969, v. 63, N° 4, p. 1079—81.
В. Г. Скляренко.
ГОМОЛОГИЧЕСКОЕ ОПОЯСЫВАНИЕ — метод,
позволяющий характеризовать размерность компакта,
лежащего в евклидовом пространстве R", в терминах
метрич. свойств дополнительного пространства. Назо-
Назовем мерой существенности цикла z компакта ФсК"
верхнюю грань тех 8>0, для к-рых можно подобрать та-
такой компактный носитель Ф1<=ф цикла z, что цикл не
гомологичен нулю в О (Фь е). Назовем р-мерным гомо-
гомологическим поперечником af,z цикла z
открытого множества Г = И?"\Ф нижнюю грань р-мер-
ных поперечников тел всех циклов, гомологичных в Г
циклу z. Здесь под р-м е р н ы м поперечником
аРХ компакта XcR" понимается нижняя грань тех
е>0, для к-рых существует непрерывный е-сдвиг ком-
компакта X в р-мерный компакт (и потому полиэдр).
Всякий (п— 1)-мерный цикл открытого множества
Г —К"\Ф, зацепленный с каждой точкой компакта Ф,
наз. мешком вокруг компакта Ф.
Теорема о мешках. Пусть r=dim Ф<«— 1.
Тогда существует такое а>0, что всякий мешок вокруг
компакта Ф имеет (г— 1)-мернын гомологич. попереч-
поперечник, больший а, тогда как r-мерный гомологич. попе-
поперечник любого цикла в Г равен нулю. При этом всегда
имеются мешки вокруг Ф со сколь угодно малой мерой
существенности. Если же dim Ф=д, то существует та-
такое а>0, что для всякого мешка zn~x вокруг Ф выпол-
выполняется \iz"-1>a (при этом аг"~2 г"-х>0и aJ~1z"-1=O
для всех мешков z"-1).
Теорема о мешках может быть еще более усилена с
помощью понятия пояса вокруг компакта.
Теорема о поясах. Пусть ФсзК" — ком-
компакт размерности г. Существует такое у>0, что для
любого к=1, 2, . . ., г-f-l и любого г>0 в Г=К."\Ф
имеется (п— &)-мерный цикл v (пояс размерности га — к во-
вокруг Ф), при /с>1 ограничивающий в Г, для к-рого
Pr-* + 1i;<e, tv<C.E и, кроме того, для всякого цикла w,
гомологичного циклу v в у-окрестности последнего от-
относительно Г имеет место Рл"" + 1ж>у; для всякой цепи
х, ограниченной циклом v в Г, имеет место f>r~n + 1xy>y.
С другой стороны, если s>r и fc=l, . . ., s-f 1, то при
любом 7>0 всякий (п— &)-мерный цикл z в Г, для к-рого
tz<y, гомологичен в своей у-окрестности (относительно
Г) нск-рому циклу z' со сколь угодно малым f>s~kz'. Да-
Далее, если s>r и к=2, 3, . . ., s+1, то при произвольном
Y>0 всякий (п— ?с)-мерный цикл z, ограничивающий в
Г, для к-рого P-f-* + az<y (и tz<y при s—n—l), огра-
ограничивает в Г цепь х с р*-" + ]ж<у. Здесь через f>r'x,
р^О, обозначена нижняя грань тех е>0, для к-рых су-
существует е-сдвиг вершин цепи х, посредством к-рого
цепь х вырождается до размерности р; через хх обозна-
обозначена нижняя грань тех е>0, для к-рых существует
е-сдвпг вершин х, переводящий х в нулевую цепь.
Лит.: Ш Александров П. С, Введение в гомоло-
гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную топо-
топологию, М., 1975. А. А. Мальцев.
ГОМОЛОГИЯ в проективной геометрии—
автоморфизм проективной плоскости, переводящий все
точки нек-рой прямой (оси Г.) в себя и имеющий точно
одну неподвижную точку (центр Г.). Если центр Г.
не лежит на оси Г., то Г. наз. неособенной (или
гиперболической); если центр Г. лежит на
оси Г. то— особенной (или параболиче-
параболической). Обычно Г. задается центром, осью и парой то-
точек в соответствии Г. Г. аффинной плоскости с собст-
собственным (конечным) центром и несобственной (бесконеч-
(бесконечно удаленной) осью есть гомотетия; с несобственным
центром и собственной осью — растяжение и сжатие к
оси; с несобственным центром и несобственной осью —
параллельный перенос; особая Г. с несобственным цен-
центром и с собственной осью есть сдвиг.
Лит.: [1] ХартсхорнР., Основы проективной геомет-
геометрии, пер. с англ., М., 1970. А. Б. Иванов.
ГОМОМОРФИЗМ — морфизм в категории алгебраи-
алгебраических систем. Г.— отображение алгебраич. системы А,
сохраняющее основные операции и основные отношения;
точнее, пусть А= (А, {о,- : i?I}, {rj :/?/}) — алгебра-
алгебраич. система с основными операциями о,-,г? / и основны-
основными отношениями ;у, /?/. Г. системы А в однотипную ей
систему А'= (А', {о; : t?/}, {r'j : /?/}} наз. отображе-
отображение ф : А—>-А', удовлетворяющее следующим двум
условиям:
ф (о/(«i, . . ., ап )) =о'( (ц>{а{), ...,ц>(ап)), A)
(%, ..., аот) ?/-,•=> (ф (ai), ..., ф(ат))?г/, B)
для всех элементов ах, а2, ... из А и всех i?I, /?/.
Если каждому элементу i из / сопоставлен некото-
некоторый п,--арный функциональный символ Ff, а каждому
элементу ; из / — my-местный предикатный символ Pj и
в каждой системе А', однотипной системе А, результат
г-й основной операции о'р примененной к элементам
хг, ..., хп. из А', записан в виде F (хг, . . ., х ), а вместо
(хг, ..., хт^г'! пишут Р(хи . . ., хт). Условия A),
B) при этом упрощаются и принимают вид
Pj(a1: ..., am)=i>P/(q,(a1), ..., ц> (ат )).
Г. ф ; А—*-А' наз. сильным, если для любых эле-
элементов а[, . . ., а'т, из А' и для любого предикатного сим-
символа Pj, /^/, условие Pj(a'1, . . ., ат .) влечет существо-
существование в А таких элементов аг, . . ., ат,, что Я1=ф(а1),
.. ., a'm. = tp(am,), и выполняется соотношение Р/(аи
•¦•-%)•
Для алгебр понятия Г. и сильного Г. совпадают. Для
моделей существуют Г., к-рые не являются сильными,
и взаимно однозначные Г., к-рые не являются изомор-
изоморфизмами.
Если ф — Г. алгебраич. системы А на алгебраич. сис-
систему А' и 6 — ядерная конгруэнция для Г. ф, то отобра-
отображение ip : (A/Q)-*-A', определяемое формулой ip(a/6) =
= ф(а), является Г. факторспстемы A/Q на алгебраич.
систему А'. Если при этом ф — сильный Г., то i() есть
изоморфизм. Это — одна из самых общих формулировок
теоремы о Г.
Следует отметить, что иногда Г. наз. также морфизмы
в категориях, отличных от категорий алгебраич. систем.
(Напр., Г. графов, Г. пучков, Г. групп Ли).
Лит.: [11 Мальцев А. И., Алгебраические системы,
М., 1970; [2] Chang С. . С, Keisler H. J., Model
theory, Amsterdam, 1973. Д. М. Смирнов.
ГОМОСКЕДАСТИЧНОСТЬ — свойство корреляции,
состоящее в постоянстве условной дисперсии (в против-
противном случае корреляция наз. гетероскедастич-
н о й); этим свойством обладает, напр., нормальная
корреляция. О. В. Сарманов.
ГОЗЮТЕТИЯ — преобразование евклидова прост-
пространства относительно нек-рой точки О, ставящее в соот-
соответствие каждой точке М точку М', лежащую на пря-
прямой ОМ, но правилу
0М' = ЮМ,
где к — постоянное, отличное от нуля число, наз. к о-
э ф ф и ц и е н т о м Г. Точка О наз. центром Г.
При к >0 точки М и М' лежат на одном луче, при к <0 —
по разные стороны от центра. Точке О соответствует
сама эта точка. Г. есть частный случай подобия. Две
фигуры наз. г о м о т е т и ч н ы м и (а также подоб-
подобными и подобно расположенными,
или перспективно-подобным и), если
каждая состоит из точек, получаемых преобразованием
Г. из другой фигуры относительно нек-рого центра Г.
Простейшие свойства Г.: Г. ость взаимно
однозначное отображение евклидова пространства в се-
себя с одной неподвижной точкой. При /с=1 Г. есть тож-
тождественное преобразование. Г. переводит прямую (пло-
(плоскость), нроходящую через центр Г., в себя, прямую
(плоскость), не проходящую через центр,— в прямую
(плоскость), ей параллельную; углы между прямыми
(плоскостями) при Г. сохраняются. Отрезки при Г.
переходят в параллельные им отрезки с длиной, умень-
уменьшенной или увеличенной в \к\ раз, т. е. Г. есть сжатие
(растяжение) евклидова пространства к точке О. Всякая
сфера при Г. преобразуется в сферу, причем центр од-
одной переходит в центр другой.
Г. задается чаще всего (геометрически) центром Г. и
парой соответственных точек или двумя парами соот-
соответственных точек. Г. есть аффинное преобразование,
имеющее одну (и только одну) двойную точку.
В «-мерных евклидовых пространствах Г. оставляет
инвариантными каждую из совокупностей S^ (A=l,2,
..., п—1) /с-мерных плоскостей пространства.
Аналогично определяется Г. в псевдоевклидовых про-
пространствах. Г. в римановых пространствах и в псевдо-
римановых пространствах определяется как преобразо-
преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точ-
точностью до постоянного множителя. Совокупность Г. со-
составляет группу преобразований Ли, причем г-членная
группа Г. риманова пространства содержит (г— 1)-член-
НуЮ Нормальную ПОДГруППу Движений. И П Егоров
ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ГРУППА — обобщение фунда-
фундаментальной группы, предложенное В. Гуревичем [1] в
связи с задачей о классификации непрерывных отобра-
отображений. Г. г. определены для любого «J>1. При и=1
Г. г. совпадает с фундаментальной группой. Определе-
Определение Г. г. не конструктивно, и поэтому их вычисление
является трудной задачей, общие методы решения к-рой
были выработаны только в 50-х гг. 20 в. Значение Г. г.
определяется тем, что все задачи теории гомотоппй более
или менее сводятся (см. Гомотопический тип) к задаче
вычисления тех или иных Г. г.
Пусть
/" = {(<!¦ .... tn)\ 0<«!<1, ..., 0<г„<1}
— единичный «-мерный куб, /я-1 — его грань tn=0
и /"-1 — объединение всех остальных его граней. Для
любой пунктированной пары (X, А, х0) (см. Пунктиро-
Пунктированный объект) символом лп(Х, А, х0) (или просто
пп(Х, А)) обозначается пунктированное множество всех
гомотопич. классов [и] (см. Гомотопия) отображений
u:(I», I"-1, J"-1)—>-(Х, А, х0);
отмеченным элементом (нулем) этого множества служит
класс постоянного отображения, переводящего весь
куб //; в точку х0. Каждое непрерывное отображение
/: (Х,А,хо)-+(У, В, г/о)
индуцирует нек-рый морфизм
/»:я„(Х, А, х0)—>-я„(У, В, г/0)
пунктированных множеств. Для любого rejsl множества
пп(Х, А, х0) и морфизмы /* составляют нек-рый функ-
функтор я„ из категории пунктированных пар в категорию
пунктированных множеств. Этот функтор голого-
п и ч е с к и инвариантен, то есть /* = ?*,
когда fug гомотопны (как отображения пунктирован-
пунктированных пар). Кроме того, он н о р м и р о в а н, в том
смысле, что если Х = А=х0, то пп(Х, А, хо) = О.
При га^2 в множество лп(Х,А,х0) можно ввести
операцию сложения, относительно к-рой оно будет
группой (при «>2 даже абелевой): по определению, если
ж = [и] и y=[v], то x-\-y=[w], где w — отображение
(/", I"-1, /"-1)—+(А', А, х0),
определенное формулой
\ uBt1, t2, ..., tn), 1 /2 m
\ v{2t1 — 1, t2, ..., tn), если V2 <«i<l- U;
Получающаяся группа лп(Х, A, xQ) наз. ге-й гомото-
гомотопической группой (или ге-м е р н о й Г. г.)
пунктированной пары (X, А, х0); говорят
также о Г. г. пары (X, А) в точке х0 или о Г. г.
пространства X относительно под-
подпространства А в точке ха. Отображения
/„. являются гомоморфизмами этих групп. Таким обра-
образом, при «^2 можно считать, что функтор лп принимает
значения в категории групп (при ге>2 даже абелевых).
При А —х0 группа пп(Х, А , х0) обозначается пп(Х, х0),
или просто лп(Х), и наз. абсолютной го-
гомотопической группой пунктирован-
пунктированного пространства (X, х0) (или пространст-
пространства X в точке х0). Ее элементами являются гомотопич.
классы отображений (/", 1п)-+(Х, х0), где in = In-1{J
(J/" — граница куба /". Для таких отображений
формула A) имеет смысл и при ге=1, так что множество
лг(Х, х0) оказывается группой. Эта группа совпадает с
классической фундаментальной группой. Обычно груп-
групповая операция в лг(Х, х0) наз. умножением. Эта
группа, вообще говоря, неабелева, тогда как группа
Л2(Х, х0) — абелева. Для любого re^l группы
л„(Х, х0) и соответствующие гомоморфизмы составляют
нек-рый функтор из категории пунктированных про-
пространств в категорию групп (при ге>1 — в категорию
абелевых групп). Этот функтор является композицией
я„<п функтора вложения i : (X, хо)—>-(Х, х0, х0) и по-
построенного выше функтора лп.
Функтор пп°\, распространяется и на случай я=0,
если понимать под ло(Х, ха) пунктированное множество
компонент линейной связности пространства X; нулем
этого множества является компонента, содержащая точ-
точку х0. Множество ло(Х, А, х0) при Афха не определяет-
определяется. Для упрощения формулировок множества ло(Х, х0)
и лг(Х, А, х0) обычно также наз. Г. г., хотя они, во-
вообще говоря, являются лишь пунктированными множе-
множествами.
Для любого элемента х=[и] ?лп(Х, А, ха) отображение
и\1п~х представляет собой отображение A"~г, I")—>-
—у(А, х0) и потому определяет нек-рый элемент Г. г.
лп-1[А, х0). Этот элемент зависит только от х и обозна-
обозначается символом дх. Получающееся отображение
д : лп(Х, А, х0)—>лп-г(А, х0) является морфизмом пунк-
пунктированных множеств (при п>1 — гомоморфизмом
групп) н наз. граничным гомоморфизмом,
или граничным оператором. Граничный
гомоморфизм вместе с гомоморфизмами ц и jm, индуци-
индуцированными вложениями i : (А, х0)—>(Х, х0) и / : (X,
хо)—)-(Х, А, х0), позволяет написать бесконечную слева
последовательность групп и гомоморфизмов:
3» 9
...—>-л„ + 1(Х, А, х0)—
i,
-~"Лп (X,
U д
... —у л2 (X, А, х0) —>¦
h S
—уп±(Х, А, х0)—у
Это — точная последовательность; она наз. точной
гомотопической последователь-
последовательностью пары (X, А, х0) и обозначается обычно
л(Х, А, х0). Если лп(Х, хо) = 6 для всех ге^О, то гомо-
гомоморфизм д : лп(Х, А, х^-ъ-Лп-^А, х0) является изо-
изоморфизмом (также для всех п).
Граничный гомоморфизм д обладает свойством естест-
естественности, т. е. является морфизмом функтора лп в функ-
¦л,
А,
л1
л0
г (А
х0)
(А,
(А,
. *о) —:
а
—* : • •
Х0)^У
«- лп (X
лх(Х,
щ(Х,
Зч.
. *о) —
х0) —<-
х0).
тор япо1 [точнее, в функтор я„о1', где i' : (X, А, з;0)Н»
Н>(А, х0, х0)]. Это позволяет определить лп(Х, А, х0)
как функтор, принимающий значения в категории точ-
точных последовательностей пунктированных множеств,
являющихся, за исключением последних шести мно-
множеств, абелевыми группами, а за исключением послед-
последних трех множеств,— группами.
Пусть р : Е^>-В — произвольное расслоение в смысле
Серра и пусть АсВ, Е'=р~1(А), ео?Е' и Ь0=р (е0).
Отображение р определяет нек-рое отображение р' : (Е,
Е', е0)—у(В, А, Ьо) пунктированных пар. Для любого
п!>1 индуцированный этим отображением гомоморфизм
р': пп(Е, Е', е0)—*-лп(В,А, Ьо) является изоморфизмом.
В частности, это верно при А=Ьд. В этом случае форму-
формула T=do(pJ-1 однозначно определяет нек-рый гомо-
гомоморфизм т : п„(В, Ь0)->я„_1(/', е„), где F=p~1{b0) -
слой расслоения р над точкой Ьо. Этот гомоморфизм наз.
гомотопической трансгрессией. Он
Входит в точную последовательность
• • • — п„ (F, е0) -Дл„(?, еп) -^ лп (В, Ьо) —*
—<-я„_1(/\ е0) —
Эта последовательность наз. гомотопической
последовательностью расслоения
р : Е\-^В. Сопоставление расслоению его гомотопич.
последовательности приводит к нек-рому функтору на
категории всех (пунктированных) расслоений.
В частном случае, когда р есть стандартное Серра
расслоение путей над пространством X, для любого ге^гО
имеет место изоморфизм nn(QX)vnn^.1(X), где QX —
петель пространство пространства X. Этот изоморфизм
наз. изоморфизмом Гуревича.
Перечисленные свойства по существу однозначно оп-
определяют Г. г. лп(Х, А, ж0), т. е. могут быть приняты за
аксиом ы, описывающие эти Г. г. Именно, пусть
я1? . . ., я„, . ..— произвольная последовательность
гомотопически инвариантных нормированных функто-
функторов, заданных на категории пунктированных прост-
пространств, принимающих значения в категории пунктиро-
пунктированных множеств и обладающих тем свойством, что для
любого расслоения в смысле Серра р : Е—уВ любого под-
подмножества АсВ и любой точки ео^р~1(А) индуциро-
индуцированный гомоморфизм п„(Е, р-1(А), ео)-*-лп(В, А, р (е0))
является изоморфизмом. Такая последовательность наз.
гомотопической системой, если для лю-
любого п~^\ задан морфизм д функтора я„ в функтор
л,г<н' (при ге=1 — в ло(Х, ?„)), являющийся изомор-
изоморфизмом для любой пунктированной пары (X, А, х0), для
которой п„(Х, хо) = 0 при всех ге^О. Любая гомото-
гомотопич. система изоморфна построенной выше гомотопич.
системе, состоящей из Г. г. Более того, при п^З в пунк-
пунктированные множества лп(Х, А, х0) (а также в множест-
множества Л2(Х, х0)) можно единственным образом ввести груп-
групповое строение (структуру группы) так, чтобы все мор-
физмы /,. были гомоморфизмами [это строение совпадает,
стало быть, с тем, к-рое определяется формулой A)].
В группах же л2(Х, А, х0) при Афх0 и лг(Х, х0) можно
только ввести еще инверсную групповую операцию. Все
это и означает, что перечисленные выше свойства одно-
однозначно определяют Г. г. (с точностью до порядка
сомножителей в некоммутативных группах).
Для любого отображения и : Aп, 1п)—у(Х, х2) и лю-
любого пути и : I^yX, соединяющего точку х1 с точкой х2,
формула gt(x) = v(l — t), x?In, определяет нек-рую гомо-
топию отображения и\1п. По аксиоме о распростране-
распространении гомотопии (см. Корасслоение) эта гомотопия может
быть распространена до нек-рой гомотопии Uf : Р'—уХ,
обладающей тем свойством, что ио= и. Конечное ото-
отображение и1 этой гомотопии переводит /" в ,гь то есть
представляет собой отображение (/", /")—И А', хг). Со-
ответствуюншй элемент Г. г. лп{Х, х^ зависит только
от класса [и] ?я.п(Х, х2) отображения и и гомотопич.
класса а=[г/) пути v и обозначается символом ах (при
ге=1 — символом ха). Семейство Gx=nn(X, x) опреде-
определяется тем самым как локальное семейство на простран-
пространстве X, т. е. на фундаментальном группоиде этого про-
пространства. В частности, для любой точки хо?Х группа
лх(Х, х0) оказывается группой операторов группы
пп(Х, хп). При ге=1 эти операторы действуют как вну-
внутренние автоморфизмы: жа = ажсс-1, а при и>1 опреде-
определяют группу яп(Х, х0) как лх(Х, ж0)-модуль. Для любо-
любого непрерывного отображения / : (X, xo)-+{Y, у0) инду-
индуцированные гомоморфизмы /,. : л„(Х, ха)—>-nn(Y, у0) яв-
являются операторными гомоморфизмами (гомоморфиз-
(гомоморфизмами модулей): /« (ах) = /, (а) /« (х).
Аналогичным образом группы Gx = n,,(X, A, х), х?А
составляют локальное семейство Г. г. на подпространст-
подпространстве А . В частности, лг(А, х0) является группой операто-
операторов Г. г. лп(Х, А, х0), так что при ге>2 группа лп(Х,
А, х0) будет пг(А, х„)-модулем. Группа Л2(Х, А, х0)
является скрещенным (лх(А, х0), д)-модулем (см. Скре-
Скрещенные модули), где д : лг(Х, А, ха)—>-л1(Л, ж0) — гра-
граничный гомоморфизм.
Группа лг(А, х0) служит группой операторов не
только групп лп(Х, А, х0), но и групп лп(А, ха), а так-
также, в силу естественного гомоморфизма ях(Л, хо)~>-
—>Лх(Х, х0), — группой операторов групп лп(Х, х0). От-
Относительно этого действия группы лг(А, х0) все голю-
морфизмы точной последовательности л(Х, А, х0) явля-
являются операторными гомоморфизмами, так что группа
лх(А, ха) может рассматриваться как группа операторов
последовательности л(Х, А, х0). Это равносильно тому,
что последовательности п(Х,А,х), х?А составляют
локальное семейство точных последовательностей на
подпространстве А.
В случае, когда дополнение Х\А представляет собой
объединение непересекающихся открытых «-мерных
клеток, лг(А, ж0)-модуль лп(Х, А, х0) является свобод-
свободным модулем (при ге=2 — свободным скрещенным мо-
модулем) и обладает системой свободных образующих —
базисом, находящимся в биективном (не обязательно
естественном) соответствии с клетками из Х\Л (т е о-
р е м а У а й т х е д а).
Отображения (/", /'")—у(Х, х0) находятся в биектив-
биективном соответствии с отображениями E", so)-*-(X, x0),
где S" — произвольная re-мерная сфера, as,- нек-рая
ее точка; поэтому элементы группы лп(Х, х0) можно
рассматривать как гомотопнч. классы отображений
{Sn, so)-*-(X, x0). Это верно и при ге = 0. Указанное отож-
отождествление зависит от выбора нек-рого относительного
гомеоморфизма ср : (/", /")—>(Sn, s0). Обычно сфера S"
и гомеоморфизм ф предполагаются раз навсегда вы-
выбранными и фиксированными. В первоначальном, став-
ставшем малоупотребительным определении Гуревича, сфе-
сфера S" не фиксировалась, а гомеоморфизм ср задавался с
точностью до гомотопии. Такое задание гомеоморфизма
ср равносильно заданию нек-рой ориентации сферы S".
Таким образом, по Гуревичу, элементами группы
лп(Х, х0) являются пунктированные гомотопич. классы
отображений ориентированной re-мерной сферы в про-
пространстве X. Множество [Sn, X] непунктированных
гомотопич. классов отображений Sn—>-X находится в
биективном соответствии с орбитами действия группы
яг(Х, х0) в группе лп(Х, х0). Если лг(Х, хо) = О (или,
более общим образом, если группа лх(Х, х0) тривиально
действует на группе лп(Х, хо),~ в этом случае прост-
пространство X наз. гомотопически ге-п р о с т ы м),
то лп(Х, х0) не зависит от точки хв (так что в этом случае
обозначение лп(Х) полностью оправдано). Эта группа
естественным образом отождествляется с множеством
[Sn, X], к-рое является, стало быть, в этом случае
группой. Пространство, гомотопически n-простое для
всех и, наз. а б е л е в ы м.
Пусть sn — ориентирующий класс гомологии сферы
S" и пусть h([/])=/* (sn), [f]?nn(X, х0). Тем самым
определяется нек-рый гомоморфизм h : пп(Х, х0)—>-
-^-Нп(Х), наз. гомоморфизмом Гуревича.
Его ядро содержит все элементы вида ах—х, х?яп(Х,
х0), а.?пх (X, х0) (при ге=1 — все элементы вида хах~1=
= аха-1х~1, т. е. содержит коммутант [щ, ях] группы
п1(Х, х0)). Классич. теорема Пуанкаре утверждает,
что при п= 1 ядро гомоморфизма h совпадает с комму-
коммутантом [яь jiJ, так что группа //] (X) изоморфна про-
коммутированной фундаментальной группе щ (X, х0).
Обобщением теоремы Пуанкаре на случай ге> 1 является
теорема Гуревича, утверждающая, что если
я,-(Х) = 0 при г<п, то гомоморфизм h : nn(X)-+Hn(X)
является изоморфизмом (а гомоморфизм h : яп + 1(Х)—v
-)-Нп + 1(Х) — эпиморфизмом).
Аналогичным образом элементы группы л„(Л", А , х0)
можно рассматривать как (пунктированные) гомото-
пич. классы отображений (Е, S)-+(X, А), где Е —
(ориентированный) re-мерный шар, a S — его граница.
Если пара (Х,А) гомотопически «-проста [т. е. группа
nl(A, xQ) тривиально действует на группе пп(Х, А,
хо)\, то в этом определении пунктированность можно
игнорировать. Формула
h ([/]) = /* (еп),
где <?„— ориентирующий класс гомологии пары (Е, S),
а (Л 6:пп(Х>А, хп), определяет гомоморфизм Гу-
Гуревича
Л: п„(Х, А,хо)->Н„(Х, А).
Если кг(А, хо) = О ия„(Х, А, хо) = 0 при г<ге, то этот
гомоморфизм является изоморфизмом (теорема Гу-
Гуревича для относительных групп).
Для вычисления Г. г. конкретных пространств из-
известны два основных метода: метод убивающих прост-
пространств и метод гомотонич. резольвент (см. Гомотопиче-
Гомотопический тип, Постникова системы,). Первый метод осно-
основывается на изоморфизме яп + 1(Х)^1111 + 1(Х, и), вы-
вытекающем из теоремы Гуревича, и определении убиваю-
убивающего пространства (X, п). Этот изоморфизм сводит
задачу вычисления группы яп+1(Х) к задаче вычисления
групп гомологии Лп + 1(Х, п). Пространство (X, п)
расслаивается над пространством (X, п—1) со сло-
слоем К(лп(Х), ге — 1), а группы гомологии пространств
К (я, п) известны. Поэтому индукцией можно пытаться
найти нужные группы гомологии убивающих прост-
пространств. Задача вычисления группы гомологии рас-
расслоенного пространства по группам гомологии его
базы и слоя в общем виде полностью не решена (и,
по-видимому, общего удовлетворительного решения не
имеет), однако обширную информацию о группах
гомологии пространств (а, п) можно извлечь^из соот-
соответствующих спектральных последовательностей Сер-
ра. Во многих случаях этой информации достаточно
для вычисления групп Нп + 1(Х, п)«яп + 1(Х), по край-
крайней мере для нек-рых п. Существенное технич. упро-
упрощение задачи достигается на основе серровской теории
классов абелевых групп и вытекающей из этой теории
теоремы G^-аппроксимации, позволяющей проводить
все вычисления во-первых для когомологий, а во-
вторых лишь для групп коэффициентов ~%Jp. Геометрич.
принципы, лежащие в основе этой техники, были не-
недавно вскрыты Дж. Адамсом (J. Adams) и Д. Саллпваном
(D. Sullivan) [8] на основе понятия локализации топо-
логич. пространств по данному простому р.
Второй (также индуктивный) метод вычисления Г. г.
состоит в постепенном построении гомотопич. резоль-
резольвенты пространства X. Пусть уже известен ге-й член этой
резольвенты [напр., если X = S", то Xn=KCZ., re)].
Следующий член Хп + 1 должен быть расслоенным про-
пространством над Хп со слоем К{пп + 1(Х), ге+1), причем
группа Нп + 1(Х11 + 1) должна быть изоморфна известной
группе Hnj.1(X). Это дает (на основе соответствующей
спектральной последовательности) определенную ин-
информацию о группе лп + 1(Х), позволяющую во многих
случаях полностью ее вычислить. Напр., при X=S"
этим методом можно найти группы nn + k(S") для всех
/с<13. В современной своей форме эти вычисления так-
также основываются на понятии локализации.
Метод гомото1шч. резольвент был доведен (см. [5])
до алгоритма, применимого к любому односвязному ко-
конечному клеточному разбиению п дающего все его Г. г.
Однако этот алгоритм для ирактич. применения слиш-
слишком сложен.
Поскольку гомотопич. теория пространств полностью
эквивалентна гомотопич. теории симплициальных мно-
множеств, определение Г. г. может быть перенесено на лю-
любые (полные) симплициальные множества. Получаю-
Получающееся «комбинаторное» определение Г. г. (принадлежа-
(принадлежащее Д. Кану) легко может быть доведено до алгоритма.
Однако и этот алгоритм для практич. вычислений слиш-
слишком сложен.
Любой из описанных методов без труда устанавлива-
устанавливает, что Г. г. произвольного односвязного пространства,
имеющего конечно порожденные группы гомологии,
также конечно порождены. Аналогичное утверждение
для неодносвязных пространств (Г. г. конечно порожде-
порождены как .-^(А^-модули), вообще говоря, неверно.
Пусть S — функтор (приведенной) надстройки, а
Q — функтор петель. Так как эти функторы сопряжены,
то для любого X тождественное отображение SX—>SX
определяет нек-рое вложение XciQSX. Поскольку
n,,(Q5Z)s;nn + 1EX), это вложение определяет нек-рый
гомоморфизм
Е : nn(X)^nn + y(SX),
известный как гомоморфизм надстройки.
Он совпадает с гомоморфизмом, получающимся при со-
сопоставлении произвольному (пунктированному) отобра-
отображению / : Sn^>-X его надстройки Sf : Sn + 1-)-SX. Этот
гомоморфизм входит в точную последовательность
+nn {QSX, X) -+
Эта последовательность наз. надстроечной по-
последовательностью пространств a X.
Фигурирующий в ней гомоморфизм // является обобще-
обобщением классического Хопфа инварианта.
В случае, когда X — счетное одновершинное клеточ-
клеточное разбиение, пространство QSX может быть заменено
(см. [7]) приведенной степенью Х„ разбиения X. Это
показывает, что если я,(Х) = 0 при i<C.m, то гомомор-
гомоморфизм Е является изоморфизмом для всех п<С2т— 1 и эпи-
эпиморфизмом при п=2т~1. Эта теорема известна как
теорема Фрейденталя о надстройке
[Г. Фрейденталь (Н. Freudenthal) первым опубликовал
доказательство для случая X—S", хотя теорема была
известна и ранее].
Теорема Фрейденталя показывает, что при /с<2«—1
группа 7in + k(S") не зависит от п. Она наз. k-v. стаци-
стационарной Г. г. (стабильной Г. г.) с ф е р.
Аналогичное явление стабилизации наблюдается для
Г. г. ортогональных групп, Г. г. Тома пространств МSO
и во многих других случаях. Общее изучение этого яв-
явления наиболее удобно проводить в рамках так наз.
теории спектров. В этой теории стационарные
Г. г. появляются как Г. г. спектров. Эти группы уст-
устроены существенно проще Г. г. пространства и их изу-
изучение (и вычисление) оказывается значительно более
легкой задачей. Напр., для вычисления этих групп
имеется специальный аппарат: спектральная последова-
последовательность Адамса.
Г. г. обобщались в самых различных направлениях.
Напр., делались попытки заменить сферы другими про-
пространствами. Здесь можно отметить торусные Г. г., по-
позволившие проинтерпретировать Уайтхеда произведения
как нек-рые коммутанты. Показано также, что в множе-
множество гомотопич. классов отображений X-+Y тогда и
только тогда можно ввести естественную по У групповую
операцию, когда X является ко- В'-пространством.
Были определены Г. г. с коэффициентами, получаю-
получающиеся при замене сфер S" Мура пространствами
M{G, п). Это определение Г. г. с коэффициентами ока-
оказалось не очень удачным. Более удовлетворительное
определение (согласующееся с общим принципом двой-
двойственности Экмана — Хилтона) было получено при
замене .М-пространств Мура ко-.М-пространствами.
Однако эти Г. г. определены пе для всех G (напр.,
при бг, являющейся аддитивной группой действитель-
действительных чисел, эти группы не определены).
Детально изучен также вопрос о построении Г. г.
в категориях, отличных от категории пунктированных
пар. Здесь в первую очередь следует отметить построе-
построение Г. г. триад (см., напр., [3]), оказавшихся очень
полезными при изучении гомоморфизма Е. Весьма об-
общие конструкции Г. г. были предложены в связи с ис-
исследованиями по двойственности. На основе понятия
стандартной конструкции (см. [6]) построение Г. г.
было перенесено на произвольные категории. Сущест-
Существенную роль в этом построении играют уже упоминав-
упоминавшиеся Г. г. симплициальных множеств.
Лит.: [1] С т и н р о д Н., Топология косых произведе-
произведений, пер. с англ., М., 1953; [2] Болтянский В. Г., Го-
Гомотопическая теория непрерывных отображений и вектортшл
полей, М., 1955; [3] Ху С ы - и з я н. Теория гомотопип.
пер. с англ., М., 1964; [4] Браун Э. X., «Математика».
1958, т. 2 : 2, с. 3—24; [5] К а н Д., там же, Шеи.
т. 6, № 1, с. 3 — 32; [6] Столлинге Дж., там же.
1964, 8 ; 4, с. 155 —57; [7] Экман Б., Хилтон П..
там же, 1960, 4 : 3, с. 3—27; [8] С у л л и в а и Д., Геомет
рическая топология, пер. с англ., М., 1975. М. М, Постиипо*
ГОМОТОПИЧЕСКИЙ ТИП — класс гомотопическп
эквивалентных топологич. пространств. Отображения
/ : X-+Y и g : У—>-Х наз. взаимно обратными
гомотопическими эквивалентностя-
м и, если fcg~ly и g°f~lx. Если выполнено только
первое из этих соотношений, то g наз. гомотопиче-
ски мономорфным отображением, а
/—гомотоппчески эпиморфным ото-
отображением. Отображение тогда и только тогда
является гомотопич. эквивалентностью, когда оно гомо-
топически мономорфно и эпиморфно. Если существует
гомотопическп эпиморфное отображение / : А'—>-У, то
говорят, что пространство У доминирует над
пространством X. Если существует гомотоиич. эквива-
эквивалентность / : X—>-У, то пространства X и У наз. г о м о-
топически эквивалентными, или п р о-
странствами одного гомотопическо-
гомотопического типа.
Проблема гомотопического типа
состоит в нахождении необходимых и достаточных ус-
условий гомотопич. эквивалентности любых пространств.
Оказывается удобным эту постановку несколько осла-
ослабить. Отображение / : X->Y наз. слабой гомо-
гомотопической эквивалентностью, если
оно индуцирует изоморфизм гомотопических групп всех
размерностей. Соответственно, пространства X и У
наз .слабо гомотоппчески эквивалент-
эквивалентным и, если существует либо слабая гомотопич. экви-
эквивалентность X—>-У, либо слабая гомотопич. эквивалент-
эквивалентность Y—^-X. Поскольку любая гомотопич. эквивалент-
эквивалентность является слабой гомотопич. эквивалентностью, то
гомотопически эквивалентные пространства слабо го-
мотопически эквивалентны. Обратное верно, если про-
странства являются клеточными разбиениями (т е о-
рема Уайтхеда). Эта теорема основана на том,
что: 1) отображение / : X—>-Y тогда и только тогда яв-
является гомотопич. эквивалентностью, когда X есть де-
деформационный ретракт цилиндра Мj отображения /;
2) отображение / : X—yY тогда и только тогда является
слабой гомотопич. эквивалентностью, когда подпрост-
подпространство X цилиндра Мi гомотопическн репрезентативно
(см. Репрезентативное подпространство); 3) подразбие-
подразбиение клеточного разбиения тогда и только тогда репре-
репрезентативно, когда оно является деформационным рет-
рактом.
Таким образом, проблема Г. т. на категории клеточ-
клеточных разбиений равносильна проблеме слабого Г. т.
С другой стороны, любое пространство X слабо гомото-
пически эквивалентно геометрич. реализации его син-
сингулярного симплициального множества S(X). Поэтому
в проблеме слабого Г. т. без ограничения общности
можно рассматривать лишь клеточные разбиения.
Отображения /, g : X—>-Y наз. «-г о м о т о п н ы м и,
если для любого клеточного разбиения К размерности
<» и любого отображения ср : К-^-Х отображения /оф
и goq> гомотопны. Если X — клеточное разбиение, это
имеет место тогда и только тогда, когда f\Xn~g\Xn.
Пространства, эквивалентные по отношению «-гомо-
«-гомотопности, наз. пространствами одного п-т о м о т о п и-
ч е с к о г о типа. Клеточные разбиения A'ai наз.
разбиениями одного п-т и п а (обозначение K~L), если
их п-е остовы К" и L" имеют один и тот же (« — ^-гомо-
^-гомотопический тип. Если K~L, то K~L при любом т^п.
п m
Это остается справедливым и при п=оо, если под оо-ти-
UOM понимать Г. т. Другими словами, понятие «-типа
гомотопически инвариантно. Важность понятия «-типа
для проблемы Г. т. определяется тем, что два тг-мерных
клеточных разбиения тогда и только тогда гомотопиче-
гомотопически эквивалентны, когда они имеют один и тот же
(+1
()
Пусть X — произвольное пространство (для просто-
простоты — линейно связное). Симплициальное подмножество
М (X) симплициального множества S (X) наз. мини-
минимальным, если оно содержит все сингулярные
симплексы, являющиеся отображениями в нек-рую фик-
фиксированную точку хо?Х, и если для любого симплекса
o?S(X), все грани к-рого принадлежат подмножеству
М (X), в М (X) существует единственный симплекс,
гомотопный а (относительно границы стандартного
симплекса). Минимальные подмножества существуют
и, с точностью до изоморфизма, однозначно определя-
определяются пространством X. При этом два пространства тогда
и только тогда слабо гомотопически эквивалентны, когда
их минимальные симплицпальные множества изоморф-
изоморфны. Таким образом, для решения проблемы слабого
Г. т. остается лишь найти достаточно удовлетворитель-
удовлетворительное описание симплициальных множеств М(Х).
Пусть А„ есть g-мерный стандартный симплекс,
рассматриваемый как симплициальное разбиение (от-
(относительно его стандартной триангуляции) и пусть
Сп(Ач,л) — группа его «-мерных коцепей над абелевой
группой л (точнее, группа нормализованных «-мерных
коцепей симплициального множества О (Ад)). Пусть
Е (л, п) — симплициальное множество, в к-ром симплек-
симплексами размерности q являются коцепи из С"(Д?, я), а
операторы грани д[ и вырождения s,- являются коцеп-
ными отображениями, индуцированными стандартными
симнлициальными отображениями е,- : 0(А(/-1)-^-0 (Aq)
и / : О (Ад + 1)—>-0 (Ад) (отображение е,- «выпускает» ?-ю
вершину, а отображение /,- «склеивает» г-ю и (г+1)-ю
вершины). Симплексы, являющиеся коциклами, об-
образуют в Е(п, п) некоторое симплициальное подмноже-
подмножество К (л, п). Кограничный оператор б : С"(Ад, п)—>-
С" 1(Д я) определяет симшшциальное отображе-
ние б : Е (я, п)—>-К (л, ге+1), ядром к-рого служит под-
подмножество К (л, п). Отображение б является расслоени-
расслоением (в смысле Кана) со слоем К (л, п). Кроме того, сим-
плициальное множество К (я, п) является в категории
симплициальных множеств объектом типа К (л, п) (по
отношению к гомотопич. группам в смысле Кана, см.
Эйленберга — Маклейна пространство), а симплици-
альное множество Е (л, п) гомотопнчески тривиально
(гомотопически эквивалентно «точке»). Таким образом,
расслоение 6 является симплициальным аналогом Серра
расслоения путей над пространством типа К (л, n-f-1).
Симплициальное множество К (л, п) при п=1 имеет
смысл и для любой (не обязательно абелевой) группы л.
Получающееся симплициальное множество К (л, 1) есть
но что иное, как стандартная симплициальная резоль-
резольвента группы л.
Пусть лх — мультипликативная группа операторов
аддитивной группы л. Для любого коцикла а произ-
произвольного симплициального множества N над группой
щ в группе коцепей этого множества над группой л
определен кограничный оператор ба относительно ко-
коцикла а. Пусть а — произвольный g-мсрный симплекс
из N и пусть to : О(Д?)—>-7V — его характеристическое
отображение (см. Симплициальное множество). Тогда в
О (Д?) определен коцикл to(a). Пусть когранпчный опе-
оператор относительно этого коцикла обозначен симво-
символом 6а,о- Пусть kn + 1 — произвольный (п+1)-мерный
коцикл симплициального множества N над группой л
относительно коцикла а. Бели в прямом произведении
симплициальных множеств N и Е(л, п) рассмотреть
подмножество P = P(N, kn + 1), состоящее из всевозмож-
всевозможных нар (о", u), o?N, и?Е(л, «), для к-рых ta(k" + 1) =
= &а,а и, то Р будет симплициальным подмножеством.
Формула р (а, м) = а определяет надъективное (сюръ-
ективное) отображение р : P^>-N, являющееся рассло-
расслоением (в смысле Кана). Это расслоение будет обознача-
обозначаться р (N, к" + г). В случае, когда коцикл а тривиален,
это ость не что иное как расслоение, индуцированное
симплициальным отображением N—*-К(л, «+1), отвеча-
отвечающим коциклу kn + 1, из расслоения Е (л, п)У^-К (я, га+1).
Над re-мерным остовом N" симплициального множе-
множества N расслоение р обладает сечением а—Ца, 0), и ко-
коцикл к71-*-1 является препятствием к распространению
этого сечения на Nn + 1. После отождествления симплек-
симплексов а и (о", 0) можно считать, что NncPn. При этом
туп —1 — рп —1
Пусть теперь имеется последовательность расслоений
симплициальных множеств
р„ Pi
...—+Pn + i-^Pn-+...—rPt-^P1, A)
начальный член Рх к-рой является спмллпцпальным
множеством К(я1, 1), построенным для мультиплика-
мультипликативной группы лх. По определению, одномерные сим-
симплексы из Рх находятся в естественном биективном соот-
соответствии с элементами группы лх. Сопоставление каж-
каждому такому симплексу соответствующего элемента
группы щ приводит bPjK нек-рому одномерному ко-
коциклу ах над группой лх. Пусть коцикл ап определяется
в Рп индуктивной формулой а,г=рп_1(а„_1). Последо-
Последовательность A) наз. гомотопической ре-
резольвентой, или Постникова системой (первона-
(первоначальное название — натуральная система),
если для любого п^\ симплициальное множество Рп + х
есть множество вида Р (Рп, к"+2), где к"+2 — коцикл
размерности ге+2 в Рп над нек-рой я^группой лп + 1 от-
относительно коцикла ап [и расслоение рп есть расслоение
р (Рп, &гс+2)]- Эта последовательность наз. резоль-
резольвентой симплициального м н о ж е с т-
в а М, если для любого »^1 задано симплициальное
отображение qn : M—>-Pn, являющееся изоморфизмом
на М" н такое, что pn°Qn+i~Qn- Резольвента опреде-
определяет симплициальное множество М однозначно с точ-
точностью до изоморфизма. С другой стороны, сама резоль-
резольвента однозначно определяется группами яь я2, . . .,
я„, ... и коциклами к\, к\, . . ., к"г+2, . . . Поэтому
резольвентой можно называть также и объект
{яп, А-"+2}, состоящий из групп я„ и коциклов /с" .
Не всякое симплициальное множество М обладает
резольвентой. Основная теорема теории гомотоппч. ре-
резольвент утверждает, что симплициальное множество М
тогда и только тогда обладает резольвентой, когда оно
изоморфно минимальному снмплициальному множеству
М (X) нек-рого топологнч. пространства X. При этом
я„=я„(Х).
Резольвента минимального множества М=М (X)
строится следующим образом. Пусть а — произвольный
g-мерный симплекс из М(Х). Этот симплекс представ-
представляет собой отображение а : Ад—>-Х, переводящее все
вершины симплекса Ад в точку х0. Поэтому на любой
одномерной грани (ребре) симплекса Ад оно определяет
нек-рый элемент группы я1=я1(Х, х„). Таким образом
на Aq возникает нек-рый одномерный коцикл над груп-
группой п1, т. е. g-мерный симплекс из /I=А'(я1, 1); он бу-
будет обозначаться q±(o). Тем самым получено нек-рое
(симплициальное) отображение ql : М—*-Рг. Это отобра-
отображение является изоморфизмом на М1 и эпиморфизмом
на М'1. Далее проводится индукция: пусть для нек-рого
гС^\ уже построено симплициальное множество Рп и
симплицпальное отображение qn : М^~Ргг, являющееся
изоморфизмом на М" и эпиморфизмом на М" + х. Для
отображения g,,|M" + 1 существует обратное справа отоб-
отображение q'n : Pn+1—>-M'1 + i. Пусть к%+2 — препятствие к
распространению этого отображения на Мп + -. Препят-
Препятствие кЦ^2 является («4-2)-мерным коциклом в Рп над
rpynnoii я„+1=яп + 1(Х) относительно коцикла ап.
Для любого (н+1)-мерного симплекса т из М симплекс
9п<?п(т) = т' сравним с т. и потому определен различа-
различающий элемент d(x, т')?я„+1 (см. Различающая).
Пусть а — произвольный g-мерный симплекс нз М.
На каждой (п+1)-мерной грани симплекса Ад он опре-
определяет некоторый («+1)-мерный симплекс т. Сопостав-
Сопоставление этой грани элемента d(x, %') приводит к некото-
некоторой (п-г1)-мерной коцепи в Ад над ял + 1, то есть
к некоторому (/-мерному симплексу гп(а) симнлицналь-
ного множества Е (лп + 1, ге+1). Пара </,,+i(a)=(</,,(a),
гп(а)) принадлежит симплицнальному множеству Рп + 1=
= Р(РП, /сп+2)- Для завершения индукции остается
заметить, что построенное отображение qn + 1 : M—>-P,l + 1
симплпциально. является изоморфизмом на М" + 1 и
эпиморфизмом на М" + 2.
Резольвента {я„, к"+2} строится по симплицнальному
множеству М (X) неоднозначно: имеется произвол в вы-
выборе обратных отображений q'n. Проще всего описать эту
неоднозначность, понимая резольвенты в смысле A).
Именно, две такие резольвенты {Р„, рп} и {Рп, рп) тог-
тогда и только тогда возникают из одного минимального
симплпциального множества М(X), когда они изоморф-
изоморфны как последовательности отображений, т. о. когда для
любого гС^.\ существует такой изоморфизм 6„ : Рп-+Рп,
что 6„ср„ = рпо6„ + 1. Чтобы описать этот изоморфизм
в терминах резольвент {л„, fcJJ+2}n {я„, /?п+2}, следует
заметить, что существование изоморфизма 6Х : Pi—yPx
равносильно существованию изоморфизма групп
•©! : Я!—^-л-р При этом 61(а1)='й1(а1). Далее, для изомор-
изоморфизма 6„ : Рн—ь-Р,, тогда и только тогда существует
следующий изоморфизм 6п + 1 : Рп + 1—кРп + 1, когда су-
существует такой ftj-изоморфизм "ft,; + 1 : яп+1-»-ял + 1 (см.
Операторный гомоморфизм) и такая коцепь 1п + 1?
?С" + ЧРа, лп + 1), что
еЖ+2)-д„ + 1№2)=6е* Z« + i. B)
П. \ П)
При этом изоморфизм 9п + 1 определяется формулой
в„ + 1(а, «) = (а, u-t*oOn + 1))- B')
Резольвенты {л„, &л+2} и {л„, /с^1} тогда и только
тогда возникают из одного минимального симплициаль-
ного множества, когда существуют такие изоморфизмы
д„ : лп—>пп, являющиеся при ге>1 гЧ^-изоморфизмами,
что для любого re^l выполнены соотношения B), где
6 „— изоморфизм, последовательно определяемый при
ге>1 формулой B'), а при ге=1 являющийся изоморфиз-
изоморфизмом, индуцированным изоморфизмом dj. В этом случае
резольвенты {я„, к?+2} и {лп, к%+2} наз. изоморф-
изоморфными. Гомотопической резольвен-
резольвентой пространства X наз. резольвента симпли-
циального множества М(X). Резюмируя, получаем, что
два пространства тогда и только тогда слабо гомотопи-
чески эквивалентны, когда их гомотопич. резольвенты
изоморфны; в частности, два клеточных разбиения тогда
и только тогда гомотопически эквивалентны, когда их
гомотопические резольвенты изоморфны.
Если условия B) выполнены только при ге</п, то
изоморфизмы 6„ существуют только при re<m. В этом
случае говорят, что данные резольвенты m-и з о м о р ф-
н ы. Два клеточных разбиения тогда и только тогда
имеют один и тот же n-тип, когда их гомотопич. резоль-
резольвенты (п— 1)-изоморфны.
Изложенное решение проблемы Г. т. (и re-типа) позво-
позволяет доказывать целый ряд общих теорем и существенно
проясняет принципиальную сторону дела (но явное вы-
вычисление резольвент возможно лишь в немногих случа-
случаях). Из него вытекает, что для любого односвязного про-
пространства с конечными группами гомологии гомотопич.
группы могут быть эффективно вычислены. Аналогичное
утверждение справедливо и для пространств, группы
гомологии к-рых лишь конечно порождены (см. [2]).
Тот факт, что Г. т. полностью определяется резольвен-
резольвентой, показывает, что любая задача теории гомотопий
сводится к нек-рому утверждению о резольвентах соот-
соответствующих пространств. Это позволяет классифици-
классифицировать задачи по числу коциклов к%+2, участвующих в
их решении. Если рассматриваемое пространство (и— 1)-
связно, то его резольвента начинается фактически с
члена Р„=Я(я„, п). Если решение данной задачи мо-
может быть сформулировано лишь с использованием пер-
первой нетривиальной группы я„, то эта задача наз. зада-
задачей нулевой ступени [напр., задача Хоп-
фа — Уитнн о классификации отображений ге-мерного
полиэдра в (п— 1)-связное пространство]. Если для этого
требуются группы я„, лп + 1 и коцикл /с„+2, то задача
наз. задачей первой ступени [напр., зада-
задача о классификации отображений (ге+1)-мерного поли-
полиэдра в (п— 1)-связное пространство]. Аналогично опре-
определяются задачи второй, третьей и т. д.
ступеней. Известны эффективные решения любых
задач нулевой и первой ступеней. Это связано с тем,
что для любого (п— 1)-связного пространства можно
вполне эффективно вычислить класс когомологий ко^
цикла fc"+2; именно, он имеет вид Sq^i, где i — фунда-
фундаментальный класс пространства К(лп, п), а Sq-ц-
при п>2 — Стинрода операция, соответствующая ес-
естественному спариванию г\:пп(?)лп—*-лп + 1, а при ге=2 —
некоторый ее вариант, известный как Понтрягина квад-
квадрат. Для задач высших ступеней необходимо аналогич-
аналогичное эффективное вычисление следующих коциклов к"+и
&п+2, • ¦ • • Каждый из этих коциклов получается из
фундаментального класса с применением нек-рой когомо-
когомологической операции соответствующего порядка. Это, в
частности, показывает, что решение любой задачи тео-
теории гомотопий может быть сформулировано в терминах
определенных когомологич. операций. Однако ввиду
большой сложности операций высших порядков полу-
получены лишь решения отдельных задач высших ступеней,
использующие соображения специального характера.
Нек-рый общий прогресс достигнут в предположении
стационарности: продвинутое в этих предположениях
уже довольно далеко вычисление дифференциалов спек-
спектральной последовательности Адамса равносильно вы-
вычислению нек-рых стационарных операций высоких по-
порядков.
Теория гомотопич. резольвент может быть переформу-
переформулирована в следующей, «геометризованной» форме.
Резольвентой наз. произвольная последова-
последовательность расслоений в смысле Серра
р„ Pi
Xn + i—*¦ % п—>¦ .. ¦—гХг—>-Х1, C)
в к-рой каждое пространство Хп обладает тем свойством,
что пт(ХП) = 0 при т>«. Эта последовательность наз.
резольвентой пространства X, если
для любого rejssl заданы отображения qn : Х-*-Х„, инду-
индуцирующие изоморфизм гомотопич. групп до размерно-
размерности п и такие, что рп°Яп=Яп- Эта резольвента с точ-
точностью до изоморфизма [понимаемого как изоморфизм
последовательностей (см. Последовательностей катего-
категория)] определяется однозначно группами nn=nn(X) н
характеристич. классами /с"+ расслоений />„. Резоль-
Резольвента существует для любого линейно связного прост-
пространства X [таковой будет, напр., геометрическая реали-
реализация «алгебраической» резольвенты A)] и определяет
это пространство с точностью до слабой гомотопич.
эквивалентности. Слоем расслоения рп : Хп + 1-*-Х„
является пространство типа К (яп + 1, и+1), и в случае,
когда X гомотопически «-просто (см. Гомотопическая
группа), напр., односвязно, это расслоение индуцирова-
индуцировано из Серра расслоения путей над пространством
К(п„ + 1, и+2) посредством нек-рого отображения X,,-*-
-*-К (кп + 1, га+2), представляющего (см. Эйленберга —
Маклейна пространство, Представимый функтор) класс
когомологий kn+I.
Если пространство X (ге— 1)-связно, то его резольвен-
резольвента фактически начинается с члена А'и=А'(я„, п). При
га>1 удобно наряду с «абсолютными» резольвентами C)
рассматривать также так наз. резольвенты по
модулю простого числа р, определение к-рых отли-
отличается от определения резольвент C) только тем, что
гомотопич. группы заменяются их р-компонентами. Ес-
Если для X найдены резольвенты по любому простому мо-
модулю р, нахождение «абсолютной» резольвенты, как
правило, не представляет труда. Поэтому в задаче вы-
вычисления резольвент (включающей задачу вычисления
гомотопич. групп) обычно ограничиваются «модульны-
«модульными» резольвентами, в вычислении к-рых могут быть ис-
использованы мощные методы теории спектральных после-
последовательностей и теории когомологич. операций. Для
нек-рых пространств вычисление резольвент далеко про-
продвинуто.
Например, для сферы S" (при п достаточно боль-
большом, чтобы выполнялись условия стационарности) из-
известно уже довольно много первых членов ее резольвен-
резольвенты по модулю 2. Достаточно описать соответствующие
группы пп + г [то есть 2-компоненты групп nn + r(Sn)]
и классы когомологий knVP- Первые группы пп + г
имеют следующий вид
Т
пп+г
0
Z
1
z2
2
Z2
3
Z8
4 | 5
0 0
6
Zz
7
Zie
Класс /с?+2 имеет вид S<fi?#" + 2(Z, »; Z2). гДе 1€
€^"(Ж> ге; Ж2) ~~ фундаментальный класс. Следующий
класс кп+\?Н" + 3(Х1; 2г) обладает тем свойством, что
на слое К B[2, га+1) расслоения рп он высекает класс
5д21„ + 1^_йг'!т3B2, ге+1; Жг) и однозначно этим свой-
свойством характеризуется. Аналогично, класс /с"+2?
?#™ + 4(Х2; 2в) однозначно характеризуется тем, что
после приведения по модулю 2 он переходит в класс
S<A6#" + 4(X2;Z2)- Классы к^Ц и /с^! равны нулю, а
класс кпХ1?Нп + 1{Хп+ь; 2[2) однозначно характери-
характеризуется тем, что на слое К(~%_%, га+3) расслоения pn + i он
высекает класс Sqhn+3?Hn+'! (Zs, га+3;2г)- Наконец,
класс kntl^.Hn + s(Xn + s\ Zie) характеризуется тем, что
после приведения по модулю 2 он переходит в класс
Sfr?H» + *(X Z)
Лит.: [1] Постников М. М., Исследования по гомото-
гомотопической теории непрерывных отображений, ч. 1, Алгебраиче-
Алгебраическая теория систем, ч. 2, Натуральная система и гомотопический
тип, М., 1955; [2] Браун Э. X., «Математика», 1958, 2:2,
с. ;s—24; [3] М о ш е р Р., Т а н г о р а М., Когомологиче-
Когомологические операции и их приложения в теории гомотошш, пер.
С англ., М., 1970, гл. 13. М. М. Постников.
ГОМОТОПИЧЕСКИЙ ТИП т о п о л о г и з и р о-
ванной категории — проективная система
топологич. пространств, ассоциированная с топологи-
зированной категорией и позволяющая определять го-
гомотопические группы этой категории, группы гомоло-
гомологии и когомологий со значениями в абелевой группе
и т. д.
Рассматриваются только локально связные
топологизированные категории (С, т), т. е. такие
категории С, снабженные топологией Гротенднка т,
любой объект к-рых представим в виде копроизведения
LJj € jXj неразложимых объектов X,-; 1 играет роль мно-
множества связных компонент топологич. пространства.
Множество индексов / определено однозначно с точно-
точностью до биекцин; оно обозначается лв(Х). Сопоставле-
Сопоставление Хн>яо(Х) определяет функтор из категории С в
категорию множеств. Произвольное покрытие U—+X объ-
объекта X в топологии F', т) определяет спмнлициальный
объект U. в категории С, для к-рого
п раз
и симплициальное множество no(U.). Геометрия, реа-
реализация снмплициального множества яо((/.) дает то-
топологич. пространство \U\ = \no(U.)\. Для любого из-
измельчения W-+-X — покрытия U (W-+X пропускается
через U—*-Х) определено (с точностью до гомотошш)
непрерывное отображение |VF|-*-|(/|. Таким образом,
объекту X сопоставляется проективная система топо-
топологич. пространств {| U\ }г/6соу(л:)> где Cov (X) — се-
семейство всех покрытий объекта X.
Это определение аналогично определению когомоло-
когомологий Чеха; известно, однако, что в общем случае когомо-
когомологий Чеха дают «правильные» когомологий только в
размерностях 0 и 1. Поэтому приведенная выше конст-
конструкция не может считаться удовлетворительной. В [1]
введено понятие гиперпокрытия, обобщающее симнли-
циальные объекты (/., построенные выше для покрытий
U-*~X. Это — снова симплициальный объект К. в топо-
логизнрованной категории (С, т) с финальным объектом
X, удовлетворяющий условиям: А'о—>-Х — покрытие
объекта X; для любого п каноннч. морфизм Кп + 1—*-
-*-(coskn(A'.))n + 1 является покрытием, где coskn —
функтор n-го коске лета.
Сопоставление каждому гиперпокрытню К. тополо-
гпч. пространства |яо(А'.)| приводит к проективной сис-
системе пространств, параметризованной пшерпокрытия-
ми. Это и определяет гомотопический тип
(а точнее — прогомотопическнй тип) то-
пологи з и рованной категории (С, т) с
финальным объектом X. Группы гомотопий, гомологии
и когомологий вводятся стандартным способом.
Г. т. топологизированной категории, ассоциирован-
ассоциированной со схемой, позволяет определить Г. т. схемы. Наи-
Наиболее часто рассматривают случай этальной топологии
Xet на схеме X. В этом случае Г. т. схемы X пред-
представляет собой прообъект категории пунктирован-
пунктированных снмплициальных множеств или категории конеч-
конечных клеточных комплексов. Определяемые для таких
объектов гомотопические группы я,(Х) являются про-
конечнымн группами и наз. г-ми гомотопиче-
гомотопическими группами схемы X (см. [2]). Если
X — нормальная схема, то ях(Х) совпадает с фунда-
фундаментальной группой схемы, определяемой по Гротен-
дику [3]. Г. т. точки X = Spec к, где к — поле, совпадает
с проективным пределом пространств Эйлснберга —
Маклейна K(G[, 1), где G,- — группа Галуа конечного
расширения Галуа К[ поля к. В случае алгебраич.
многообразий над полем комплексных чисел С имеет
место теорема сравнения: группы я,(Х) яв-
являются проконечным пополнением обычных гомотопич.
групп я,(Ха") комплексного пространства Ха", ассоции-
ассоциированного с X.
Лит.: [1] Труды международного конгресса математиков
<Ыосква. 1966), М., 1968, с. 44—56; L2] Theorie des Toposes
et cohomologie etale des schimas, t. 1 — 3, В.—Hdlb.—N.Y.,1974;
[3] Art in M., Mazur В., Etale Iiomotopy. В. —Hdlb.—
N. Y., 1969; [41 С у л л и в а н Д., Геометрическая топология,
пер. с англ., М., 1975; [5] Revetements etales et groupe fonda-
mental (S6AI), В.—Hdlb.—N.Y., 1971.
В. И. Данилов, И. В. Долгачев.
ГОМОТОПИЯ, гомотопность двух не-
непрерывных отображений /, g : X—»-У,—
формализация интуитивного представления о деформи-
деформируемости одного отображения в другое. Точнее, ото-
отображения / и g наз. гомотопными (обозначение
f~g), если существует такое семейство непрерывных
отображений /t : X—>-У, непрерывно зависящих от па-
параметра /?[0, 1], что /0=/Л) /j.—? (фиксация отрезка
[0, 1] произведена здесь лишь по соображениям технич.
удобства; ясно, что вместо него можно взять любой дру-
другой отрезок действительной оси). Это семейство (назы-
(называемое г о м о т о п п е и, связывающей / с g) является
путем в пространство F(X, У) всех непрерывных ото-
отображений X—»-У, связывающим точку / с точкой g,
так что гомотопность отображений является специали-
специализацией на случай пространств отображений общего от-
отношения «быть связанным непрерывным путем». По-
Поэтому, в частности, отношение гомотопности является
отношением эквивалентности, а соответствующие клас-
классы (они называются гомотопич. классами) представляют
собой компоненты линейной связности пространства
F(X. У). Для придания сказанному точного смысла
необходимо уточнить, что означает выражение «отобра-
«отображения ff непрерывно зависят от Ь). Самый естественный
путь состоит во введении в F(X, У) топологии (или хотя
бы псевдотопологии). Однако по традиции принято по-
поступать иначе. Именно, но определению, считается, что
/t непрерывно зависит от t, если функция /r(f) непре-
непрерывна по совокупности неременных, т. е. если непре-
непрерывно отображение F : Хх[0, 1]—>-У, определенное
формулой F(x, t)=ft(x) (это отображение также часто
наз. гомотопией, связывающей / с g).
Описанные Г. иногда наз. свободными, чтобы
отличить их от «связанных» Г., возникающих, когда
фиксирован нек-рый класс Ш непрерывных отображе-
отображений Х—>-У и наложено требование, чтобы /f?9( для лю-
любого ??[0, 1]. Напр., если задано подпространство
ЛсгХ, то можно рассматривать связанные на А гомо-
топип, отличающиеся тем, что fj=f0 на А для всех t.
В этом случае говорят, что отображение /=/0 гомотопно
отображению g=/x относительно А и пптиут
iA
Другой тип «связанных» Г. возникает, когда в X и У
выбраны подпространства АсХ и BczY и рассматри-
рассматриваются лишь отображения / : X—>-У, удовлетворяющие
условию f(A)<z.B. Такие отображения наз. отобра-
отображениями пары (X, А) в пару (У, В) [обо-
[обозначение / : (X, Л)->(У, В)], а соответствующие Г. [т. е.
гомотопии, для к-рых ft(A)aB для всех t] — г о м о-
топиями отображений пар. Вместо пар
можно рассматривать тройки (X, А, В) (с условием
ВсЛсХ или без этого условия), четверки и т. п. Можно
рассматривать, напр., Г. отображений пар относительно
третьего подпространства и т. д. Возможны и принци-
принципиально другие типы «связанных» Г.
Задача установления гомотопичности («связанной»
или нот) двух данных отображений /, g : X-+Y равно-
равносильна задаче распространения на все XX [0, 1] непре-
непрерывного отображения в У, заданного на XxOU^Xl
(а в задаче гомотопности rel А — на ХХОЦА Х[0, 1](J
IJXXI). В этом смысле задача гомотопности является
частным случаем задачи распространения. Вместе с тем
в широком классе случаев (а именно, для так наз. корас-
корасслоений) возможность распространения на все X непре-
непрерывного отображения Л—>-У, заданного на подпрост-
подпространстве ЛсХ, зависит только от его гомотопич. класса.
Эта тесная связь задачи гомотопности и задачи распро-
распространения обусловливает их совместное рассмотрение
в рамках так наз. теории гомотопии. См.
Гомотопический тип. м. М. Постников.
ГОНИОМЕТРИЯ — часть тригонометрии, определяю-
определяющая тригонометрич. функции и соотношения между
ними.
ГОРДИНГА НЕРАВЕНСТВО — неравенство, имеющее
вид:
|| и \12т < с1 Re В [и, и] =с2 || и ||о,
где ц?Со°((?) — комплексная функция с компактным (з
G) носителем, GczR" — ограниченная область и
В[и,и] = У\ [ а^иЪЧйх
— интегральная квадратичная форма с непрерывными в
G комплексными коэффициентами asp Достаточным ус-
условием справедливости Г. н. для любой функции и?
?Co°(G) является существование такой положительной
постоянной с0, что
для любого i^Gu всех действительных векторов |=
= (|1, ..., 5"). Г. н. сформулировано и доказано Л. Гор-
дингом [1].
Лит.: [1] Girding L., «Math, scand.», 1953, bd. 1, Кя I,
s. 55—72; [2] И о си да К., Функциональный анализ, пер.
с англ., М., 1967. А. А. Дезин.
ГОРЕНШТЕЙНА КОЛЬЦО — коммутативное нё-
терово локальное кольцо, имеющее конечную инъектив-
ную размерность (см. Гомологическая размерность).
Кольцо А с максимальным идеалом m и полем вычетов к
размерности п является Г. к. тогда и только тогда, ког-
когда выполняется одно из следующих эквивалентных ус-
условий:
1) Extji(fe, А)=--0 для гфп и Ехй(/с, A)z^k.
2) Для любой максимальной А -последовательности
x-l, . • ., хп (см. Глубина модуля) идеал (ху, . . ., хп) не-
неприводим.
3) Функтор Af(-»Ext^(Af, А), определенный на кате-
категории А -модулей коночной длины, изоморфен функтору
M\-*YiomA(M, /), где / — инъсктпвная оболочка поля к.
4) Кольцо А является Коэна — Маколея кольцом
(в частности, все локальные когомологии В1т(А)=0
для i^=n) и Лт(А) совпадает с инъоктивной оболочкой
поля к.
5) Для любого Л-модуля М конечного типа существу-
существует канонич. изоморфизм
Н'т (М) ^ Нот (Ext»-' (M, А), Н% (А))
(локальная двойственность).
Примерами Г. к. являются регулярные кольца, а
также их факторкольца по идеалу, порожденному регу-
регулярной последовательностью элементов (полные
пересечения).
В случае, когда Г. к. А — одномерная область целост-
целостности, Г. к. допускают следующую численную характе-
ризацию. Пусть А — целое замыкание А в поле част-
частных, F — кондуктор А в A, C^dim^A/F n e = dnii)lA/A.
Тогда кольцо А есть Г. к. тогда и только тогда, когда
С=2б. Это равенство впервые доказано для локального
кольца неприводимой плоской алгебраической кривой
Д. Горенштейном [1]. Локализация Г. к. является Г. к.
В связи с этим возникло расширение понятия Г. к.:
нётерово кольцо (или схема) наз. кольцом (схе-
(схемой) Г о р е н ш т е й н а, если все локализации
этого кольца по простым идеалам (соответственно все
локальные кольца схемы) являются локальными коль-
кольцами Горенштойна (в первом определении).
Лит.: [1] Gorenstein D., «Trans. Airier. Math. Soc»,
1952, v. 72, p. 414—36; [2J С е р р Ж., Алгебраические группы
и поля классов, пер. с франц., М., 1968; [3] А в р а м о в Л. Л.,
Голод Е. С, «Матем. заметки», 1971, т. 9, .\i 1, с. 53—8'
[4] Grothendieck A., Seminaire Bourbaki, 2 ed., P.
1959; [51 его же, Local cotiomology, В.—Hdlb,—N.Y., 1967
16] H a r t s h о г n e R., Residues and duality, В.—Hdlb.—N.Y
1966; [7] Bass H., «Math. Z.», 1963, Bd 82, № 1, S. 8—28
В. И. Данилов, И. В. Долгачев
ГОРИЗОНТАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ — гладкое
распределение на гладком расслоенном пространстве Е
со структурной группой Ли G (т. е. гладкое поле ли-
линейных подпространств в касательных к Е пространст-
пространствах), к-рое определяет связность в Е в том смысле, что
все горизонтальные поднятия всех кривых базы яв-
являются его интегральными кривыми. Г. р. Д должно
быть трансверсально к слоям, т. е. в любой точке у?Е
имеет место прямое разложение Ту(Е)= ДуфГ,^/^),
где Fy — слой, содержащий у. Эффективные условия
на трансверсальное распределение, достаточные, чтобы
оно было Г. р., в общем случае весьма сложны. В част-
частном случае, когда Е является главным расслоенным
пространством Р, они должны гарантировать инвари-
инвариантность распределения относительно действия группы
G на Р. В этом случае условия даются с помощью формы
связности, аннулятором к-рой является Г. р., и нахо-
находят свое выражение в теореме Картана — Лаптева.
Из соответствующих структурных уравнений следует,
что если гладкие векторные поля X и У на Р тако-
таковы, что Ху, Yy?Ay в любой у?Р, то [XY]y имеет
на Ту(Еу) компоненту Qy(X, У), где Q — форма кри-
кривизны. Следовательно, Г. р. инволютивно тогда и
только тогда, когда определяемая им связность в Р
плоская.
Г. р. на пространстве Е, присоединенном к Р. яв-
является всегда образом нек-рого Г. р. А на Р при кано-
канонич. проекциях тех факторизации, с помощью к-рых
строится Е, исходя из Р. В общем случае, когда Е полу-
получается факторизацией из РХ F по действию G согласно
формуле (у, f)-g={y-g, g-/) и следовательно возни-
возникает канонич. проекция я : PXF-+E, каждое Г. р. на
Е получается как образ л* А, где А — естественное под-
поднятие А с Р на РXF. В более частном случае, когда F
является однородным пространством G/H, пространство
Е отождествляется с PiН и каждое Г. р. на Е получает-
получается как образ я*Д при канонич. проекции л : Р-+Р/Н.
Лит.: [1] Номидзу К., Группы Ли и дифференциаль-
дифференциальная геометрия, пер. с англ., М., 1960; [21 Бишоп Р., К р и т-
тенден Р., Геометрия многообразий, пер. с англ., М.,
1967; [3] Л у м и с т е Ю. Г., «Матем. сб.», 1966, т. 69, № 3,
с. 434 — 69. Ю. Г. Лумисте.
ГОРЛОВОЙ ЭЛЛИПС — эллипс наименьшей пло-
площади, получающийся в пересечении однополостного
гиперболоида плоскостью, перпендикулярной его оси.
Е. В. Шикин.
ГОРНЕРА СХЕМА — прием для нахождения непол-
неполного частного и остатка при делении многочлена
/ (х) = апх" + я,,-!*"-1 + . . . + п1х+ а0
на двучлен х—а, где все коэффициенты а, а0, . . ., ап ле-
лежат в нек-ром поле, напр., в поле комплексных чисел.
Всякий многочлен f(x) единственным способом пред-
представим в виде
f(x)=(x~a)g{x) + r,
где g(x)=bn_lxn-1-ir. . .-г-Ь^+Ьо есть неполное част-
частное, а г — остаток, равный по Безу теореме /(а). Коэф-
Коэффициенты g (x) и г вычисляются по рекуррентным фор-
формулам
При вычислениях применяют таблицу
а
ап
Ьп-1
i>n-2
«1
а0
г
верхняя строка к-рои задана, а нижняя заполняется по
формулам (*). Этот способ по существу совпадает с ме-
методом Тянь-юань, применявшимся в средневековом
Китае. В начале 19 в. он был заново открыт почти одно-
одновременно У. Горнером [1] и П. Руффини [2].
Лит.: [1] Ноте г W. G., «Philos. Trans. Roy. Soc.
London A», 1819, y. 1, p. 308—35; [2] Ruffini P.,' «Mem.
coronata della Societa Italiana delle Scienze», 1802, v. 9, p.
444—526. В. Н. Ремесленников.
ГРАВИТАЦИЯ, тяготение, — универсальное
свойство притяжения между любыми телами. Изучение
Г. положило начало ньютоновской классич. механике.
Так, Г. Галилей, изучая квазиоднородное поле Г. у по-
поверхности земли, сформулировал закон инерции
и установил, что сила, действующая на тело, измеряет-
измеряется ускорением; И. Кеплер (J. Kepler) и И. Ньютон
(I. Newton) изучали действие тяжелой точки с большой
массой на другую точку, значительно меньшей массы,
что привело И. Ньютона к открытию закона все-
всемирного тяготения
/12 = ?^?^ ^12- (!)
где /12 — сила тяготения, действующая на точку с мас-
массой ть г12 — радиус-вектор, проведенный из этой точки
в точку с массой т2, г=|г12| — расстояние между точ-
точками, у — гравитационная постоянная (yv F,67 ±
±0,01) -10~8 см31г-сек2); при этом /12= —/21. Таким об-
образом, модуль / вектора силы тяготения равен ут1т2/г2.
При переходе от точечных масс к объемам закон тя-
тяготения Ньютона приводит к теории ньютонова потен-
потенциала, описывающего явление Г. в рамках нерелятиви-
нерелятивистской классич. физики. Основы этой теории заложены
в формуле A), представленное в виде
/i2 = — т2 grad ф, ф = — ^-',
где ф — потенциал поля Г., создаваемого точкой массы
т1, и следовательно, grad ф может рассматриваться как
напряженность поля Г. Отсюда, при нек-рых условиях,
следует, что массы, распределенные с плотностью р(г),
создают поле, определяемое уравнением Пуассона
Аф=4я'ур.
При этом потенциал, вне центрально-симметрически
распределенных масс, совпадает с потенциалом матери-
альной точки, помещенной в центре и имеющей массу,
равную сумме всех масс (теорема Ньютона).
Поле ньютоновского потенциала, выполняя функции
описания Г., предполагает принцип дально-
дальнодействия — распространения гравитационного
воздействия с бесконечной скоростью — и существова-
существование абсолютных пространства и времени, однако при
этом является очень точным приближением к действи-
действительности. На теории ньютоновского потенциала ба-
базируются небесная механика, ряд вопросов астрофизи-
астрофизики, гравиметрия, аэронавтика и космонавтика.
В заданном поле Г. тело приобретает ускорение
т. е. все тела в данном поле Г. движутся с одинаковым
ускорением.
Уравнение Пуассона классич. теории Г. не раскрывает
внутренней структуры механизма Г. Существует много
нерелятивистских гипотез о природе Г. Первые попытки
объяснить причину падения тел на Земле возникли еще
в древности (Платон, Аристотель); их продолжили Лео-
Леонардо да Винчи (Leonardo da Vinci), затем Н. Коперник
(N. Copernicus), Ж. Роберваль (G. Roberval), P. Гук
(Н.-Нооке). После И. Ньютона проблемой природы Г.
занимались: И. Кант (I. Kant) (теория двух сил мате-
материи -- отталкивания и притяжения), Р. Бошкович
{R. Boscovic) (сводивший все виды взаимодействия к
одной универсальной силе), М. В. Ломоносов и
Ж. Л. Лесаж (G. L. Lesage) (оперирующие особой «тя-
готптельной материей»). Были созданы «эфирно-удар-
«эфирно-ударные» гипотезы Г., «кинетическая» гипотеза, «волновые»,
«ударные», «гидродинамические» и т. д. [8]. Все эти тео-
теории имеют главным образом лишь историч. интерес;
современное же решение проблемы требует построения
квантовой теории поля Г.— задача поставленная,
но еще не решенная в современной теоретич. физике.
Ньютоновская теория Г., при высокой точности со-
соответствия с опытом, обладает следующими недостатка-
недостатками: поле ньютоновского потенциала не удовлетворяет
принципу близкодействия — конечной скорости рас-
распространения гравитационных возмущений; классич.
теория Г. не лоренц-инвариантна (см. Лоренца преобра-
преобразование), как это имеет место, напр., для электро-
электромагнитного поля; существуют по крайней мере два аст-
рономпч. эффекта, необъяснимых количественно в клас-
классич. теории Г. (смещение перигелия Меркурия, откло-
отклонение луча света около Солнца). Эти и нек-рые другие
соображения привели к созданию теории грави-
гравитации Эйнштейна — общей теории относи-
относительности, к-рая исторически строилась как дедуктив-
дедуктивная теория, следующая из принципа эквива-
эквивалентности (неотличимости поля Г. и ^неинерци-
альной системы отсчета) и принципа общей
ковариантности (геометрия пространства ин-
инвариантна относительно группы непрерывно дифферен-
дифференцируемых невырожденных преобразований систем ко-
координат). Однако современное рассмотрение показы-
показывает, что для построения такой теории требуется более
сложная система аксиом.
Общая теория относительности является ведущей
современной теорией Г. С математич. точки зрения эта
теория основывается на следующих положениях: гео-
геометрия физич. пространства-времени четырехмерна.
Это есть геометрия риманова пространства Vt с сигна-
сигнатурой метрики ( [-)• Не существует гравитаци-
гравитационных сил (как 4-векторов), а уравнения движения проб-
пробных тел в гравитационном поле определяют геодозич.
линии в F4. Для пробных тел с ненулевой массой по-
покоя эти геодезические — неизотропные кривые, для
частиц типа фотона — изотропные. Уравнения дви-
движения являются четырехмерным ковариантным анало-
гом закона инерции Ньютона; ковариантного же анало-
аналога второго закона Ньютона для гравитационных сил не
существует. Роль «потенциала» поля Г. играют ком-
компоненты метрич. тензора ga$(z), для к-рых постулиру-
постулируются уравнения поля Г.
В общей теории относительности, в отличие от всех ос-
остальных физич. теорий, уравнения движения пробных
тел вытекают из уравнений поля.
Общая теория относительности с большой точностью
предсказывает эффект смещения перигелия Меркурия,
эффект отклонения луча света вблизи диска Солнца, а
также эффект космологического красного смещения.
Получение новых экспериментальных данных позво-
позволило приблизиться к конкретному рассмотрению раз-
различных физич. задач. В частности, в значительной сте-
степени выяснен вопрос о гравитационных волнах [13],
[14]; делаются попытки построения квантовой теории
Г., общая теория относительности применяется и при
описании ряда астрономич. объектов.
В современной науке имеются также иные теории Г.,
основанные на более общем формализме (пространствах
аффинной связности и др.); релятивистская теория тя-
тяготения в плоском пространстве, аналогичная класси-
классической электродинамике.
Лит.: [1] Сретенский Л. Н., Теория ньютоновского
потенциала, М.—Л., 1946; [2] Дубошин Г. Н., Теория
притяжения, М., 1961; [3] Эйнштейн А., Собр. научных
трудов, т. 1—2, М., 1966; [4] Фок В. А., Теория пространст-
пространства, времени и тяготения, 2 изд., М., 1961; [5] В е б е р Д ж.,
Общая теория относительности и гравитационные волны, пер.
с англ., М., 1962; [6] С и н г Д ж., Общая теория относитель-
относительности, пер. с англ., М., 1963; [7] Петров А. 3., Новые
методы в общей теории относительности, М., 1966; [81 К а-
гальникова И. И., История развития нерелятивистских
представлений о природе гравитации, «Уч. зап. Ярославского
пед. ин-та. Кафедра астрономии и теоретической физики»,
1963, в. 56; [91 Зельдович Я. Б., Н о в и к о в И. Д.,
Релятивистская астрофизика, М., 1967; [10] Петров А. 3.,
Общая теория относительности, в сб.: Развитие физики в СССР,
кн. 1, М., 1967; [11] Зельдович Я. Б., Н о в и к о и
И. Д., Теория тяготения и эволюция звезд, М., 1971; [121
и х ж е, Строение и эволюция Вселенной, М., 1975; [13] Н а-
а с s о n R. A., «Phys. Rev.», 1968, № 166, p. 1263; [141 его
ж е, там же, р. 1272. А. 3. Петров.
ГРАДИЕНТ — одно из основных понятий векторного
анализа и теории нелинейных отображений.
Градиентом скалярной функции /(?) вектор-
векторного аргумента i=(<1, . . ., t") из евклидова пространства
Е" наз. производная функции f(t) по векторному аргу-
аргументу t, то есть га-мерный вектор с компонентами dfldt',
1 <:?<:«. Существуют следующие обозначения Г. функ-
функции f(t) в точке t0:
grad/(<0), v/(*o). ^Г1' f (*о)-
Г. представляет собой ковариантный вектор: компо-
компоненты Г., вычисленные в двух различных координатных
системах t=(t1, . . ., tn) и т=(тх, . . ., т"), связаны соот-
соотношениями:
at1 ^i=l вт' et1
Вектор f'(t0), начало к-рого помещено в точку tQ, ука-
указывает направление наискорейшего роста функции f(t),
ортогональное линии или поверхности уровня функции
/(?), проходящей через точку t0.
Производная функции в точке t0 в направлении про-
произвольного единичного вектора -ДГ=(ЛГ1, . . ., Nn) равна
проекции Г, функции на это направление:
A)
д.У
где ф — угол между N и f'(t0). Максимум производной
достигается при ф=0, т. е. в направлении Г., и равен
длине Г.
Понятие Г. тесно связано с понятием дифференциала
функции. В случае дифференцируемое™ f(t) в точке t0
вблизи t0
f(t)=f(to) + (f'(to), t~to) + o(\t — tn\), B)
то есть df=(f'{t0), dt). Существование в точке t0 Г. функ-
функции f(t) не достаточно для справедливости формулы B).
Точка t0, в к-рой f'{to) = O, наз. стационарной (крити-
(критической или экстремальной) точкой функции f(t). Такой
точкой является, напр., точка локального экстремума
функции f(t) и система d/(io)/di' = O, l<j<re, исполь-
используется для нахождения экстремальной точки t0.
При вычислении значения Г. справедливы формулы:
grad (Я/) = Л grad /, Я = const,
grad (/-f g) =grad /4-grad g,
grad (fg)=g grad / + / grad g,
grad (^-J =^- (g grad / — / grad g).
Г. /'(?о) есть производная в точке t0 по объему векторной
функции объема
где Е — область с границей дЕ, to?E, ds — элемент
площади дЕ, а М — единичный вектор внешней норма-
нормали к дЕ. Другими словами
Формулы A), B) и перечисленные выше свойства Г.
указывают на инвариантный относительно выбора си-
системы координат характер понятия Г.
В криволинейной системе координат х=^(х1, . . ., х"),
в к-рой квадрат длины элемента
ds2 = У. gji (x) dx' dxi,
компоненты Г. функции f(x), отнесенного к ортам,
касающимся координатных линий в точке х, равны
где матрица Ц^'-'Ц — обратная к матрице #,у|
Понятие Г. для более общих векторных функций век-
торногв аргумента вводится при помощи равенства B),
означающего, что Г. есть линейный оператор, действием
к-рого на приращение t—t0 аргумента получается глав-
главная линейная часть приращения f(t) — f{t0) вектор-
функции /(*). Напр., если f(t)=(f1(t),...,fm(t)) есть
m-мерная вектор-функция аргумента t=(t1, . . ., tn), то
ее Г. в точке t0 — Якоби матрица J=J (t0) с компо-
компонентами — и0), i^i*g.m., I<:/'<:re, причем
dt>
fW = f (to) + J (t- t0) + o (t-t0),
где o(t—t0) ~ m-мерный вектор, длина к-рого есть
o(\t—tb\). Матрица / определяется при помощи пре-
предельного перехода
lim /<«¦+»")-/(«i) = /T C)
р->0 р
с любым фиксированным га-мерным вектором т.
В бесконечномерном гильбертовом пространстве опре-
определение C) равносильно определению дифференцируе-
дифференцируемое™ по Фреше н Г. при этом совпадает с произ-
производной Фреше.
В случае, когда f(t) лежит в бесконечномерном век-
векторном пространстве, возможны различные типы пре-
предельного перехода в C) (см., напр., Гато производная).
В теврии тензорных полей, заданных в области ге-мер-
ного аффинного пространства связности, при помощи
Г. описывается главная линейная часть приращения
компонент тензора при соответствующем связности па-
раллельном перенесении. Г. тензорного поля
типа (р, q) есть тензор типа (р, ?-f-l) с компонентами
л • • • j q j
гДе Vk ~~ оператор абсолютного (ковариантного) диф-
дифференцирования.
Понятие Г. широко применяется в различных зада-
задачах математики, механики и физики. Многие физич.
поля могут быть рассматриваемы как градиентные
поля (см. Потенциальное поле).
Лит.: [II К очин Н. Е., Векторное исчисление и начала
тензорного исчисления, 9 изд., М., 1965: [2] Р а ш е в с к и й
П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд , М.,
1967. Л. П. Купцов.
ГРАДИЕНТНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА —
поток, задаваемый градиентом гладкой функции / на
гладком многообразии. При дифференцировании / не-
непосредственно получается ковариантный вектор (напр.,
в конечномерном случае в координатной окрестности U
с локальными координатами х1, .. ., х" это будет вектор
с компонентами df/dx1, . . ., dfldxn), тогда как вектор фа-
фазовой скорости является контр авар иантным вектором.
Переход от одного к другому осуществляется с помощью
к.-л. римановой метрики, от выбора к-рой (наряду с /)
зависит, таким образом, определение Г. д. с; часто у
вектора фазовой скорости еще меняют знак. В приве-
приведенном примере Г. д. с. в области U описывается си-
системой обыкновенных дифференциальных уравнений
— = i ^ g'J 1 / -"= 1 1 • • • . "I
dt ^—-/ "х1
где коэффициенты g'J образуют матрицу, обратную по
отношению к матрице коэффициентов WgjjW метрич.
тензора; подразумевается, что во всех п уравнениях
правая часть берется с одним и тем же знаком «плюс»
или «минус». Часто под Г. д. с. понимают системы не-
несколько более общего типа (см. [1]).
Лит.: [И S m a I e S., «Ann. Math.», 1961, v. 74, p. 199—206.
Д. В. Аносов.
ГРАДИЕНТНОЕ ПОЛЕ — то же, что потенциальное
поле.
ГРАДИЕНТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — преобразо-
преобразование в классической и квантовой теории поля, к-рое
изменяет характеристики поля, не являющиеся наблю-
наблюдаемыми (напр., потенциалы поля), и не меняет при
этом имеющие физич. смысл наблюдаемые величины
(напр., напряженности поля). Название «Г. п.» возник-
возникло в классич. теории электромагнитного поля, где 4-
мерный вектор электромагнитного потенциала А „(.г),
га=0, 1, 2, 3, вводится в теорию неоднозначным обра-
образом, поскольку так наз. Г. п. 2 - г о рода:
с произвольной функцией f(x), обладающей частными
производными 1-го и 2-го порядков, не сказываются на
значениях компонент антисимметричного тензора элект-
электромагнитного поля
ОА, ОАи
— -, к, 1 = 0, 1, 2, 3,
к-рые равны физически наблюдаемым компонентам век-
векторов напряженности электрич. поля Ea = FaQ, a=l,2,3,
и магнитного поля H1 = F23; H^=F3X; H3=F12. При Г. п.
2-го рода остаются неизменными уравнения поля
l=g22=?33— _ ?г00= _ \ _
т. е. имеет место свойство так наз. градиентной
инвариантности теории поля. С по-
помощью соответствующего выбора функции / (ж) можно
добиться выполнения для А к.-л. дополнительного ус-
условия, к-рое наз. условием калибровки,
что позволяет упростить вид уравнений поля. Напр.,
линейное относительно потенциала А условие Лорен-
Лоренца — равенство нулю 4-мерной дивергенции
V »**?1*?1> = о, B)
приводит к уравнению Д'Аламбера для Ап(х) (см.
Д'Аламбера оператор)
k дхкдхк
Условие Лоренца не определяет полностью потенциал
А, так как в теории остается инвариантность относи-
относительно так наз, специализированного Г. п.
2-го рода A) с функцией /0(х), удовлетворяющей урав-
уравнению Д'Аламбера: |^/0(ж) = 0. Однако при определен-
определенном выборе jo(x) (так наз. лоренцева система отсчета)
можно добиться выполнения условия Ав=0. При этом
условие Лоренца B) сводится к условию div^ = O для
3-мерного вектор-потенциала, т. е. к условию попе-
речности электромагнитного поля. В случае комплекс-
комплексных полей должна иметь место также инвариантность
теории относительно Г. и. 1-го рода для волно-
волновых функций поля и их производных
Ф(х)—->Ф' (х) = е1аф(х)-
Ф*(х)—>Ф*' (х) = е~'аФ*{х), D)
так как все наблюдаемые динамич. величины в силу ус-
условия действительности (эрмитовости) должны выра-
выражаться только через действительные билинейные отно-
относительно Ф* и Ф формы. Условие инвариантности тео-
теории поля относительно Г. п. 1-го рода в силу общих
принципов механики означает существование нек-рых
сохраняющихся наблюдаемых физич. величин — заря-
зарядов, к-рые выражаются через функции поля, или, иначе
говоря, существование законов сохранения этих заря-
зарядов. Соответствующие лагранжианы и уравнения поля
должны быть инвариантны относительно Г. п., иначе
называемых калибровочными преобра-
преобразованиями. Напр., в случае взаимодействующих
с электромагнитным полем Ап{х) комплексных полей
•ф(ж), соответствующих частицам, обладающим элект-
рич. зарядом, лагранжианы свободных полей п лагран-
лагранжиан взаимодействия и уравнения поля должны быть
инвариантны относительно калибровочных преобразо-
преобразований вида
ч|) (х) —>- ег* (*' ф (х); \|з* (х) —>е "^ ^А^г|)* (х\
df(x) \ E)
Ап (х) —> А„ (х)
ёх"
т. е. относительно Г. и. A) и D), где фазовый множи-
множитель в D) может зависеть от 4-мерных координат про-
пространства-времени и должен совпадать с произвольной
скалярной функцией, входящей в A). В этом случае в
системе полей Ап(х) и ty(x) выполняется закон сохра-
сохранения электрич. заряда. Калибровочные преобразова-
преобразования E) образуют абелеву группу преобразований в том
смысле, что калибровочная функция f(x) — g(x)-\-h(x)
описывает калибровочное преобразование, представляю-
представляющее собой два калибровочных преобразования с функ-
функциями g(x) и h(x), произведенных в любой последова-
последовательности. При построении более общих, чем рассмот-
рассмотренный пример, теорий взаимодействующих полой для
выполнения соответствующих законов сохранения тех
или иных зарядов необходимо требовать инвариантно-
инвариантности лагранжианов и уравнений поля относительно не-
абелевых калибровочных преобразований, в к-рых ка-
калибровочные функции f(x) должны быть операторами.
Лит.: [1] Боголюбов Н. Н., Ш и р к о в Д. В.,
Введение в теорию квантованных полей, М., 1957. В. Д. Кукин.
ГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД — метод минимизации
функций многих переменных. Г. м. состоит в том, что
последующее приближение функции F (as) получается
из предыдущего смещением в направлении градиента
функции:
осп + 1 = йсп —6ngradF (ж").
Параметр б„ может быть определен, напр., из условия
минимума величины
F (ж" — б„ grad^ (жп)).
См. Спуска метод, Наискорейшего спуска метод.
ГРАДУИРОВАННАЯ АЛГЕБРА — алгебра А, ад-
аддитивная группа к-рой представлена в виде (слабой)
прямой суммы групп A;, i=0, 1, 2, . . ., причем
AjAjSAi+j для любых i, j. Таким образом аддитивная
группа Г. а. (рассматриваемая как модуль над кольцом
целых чисел) есть положительно градуированный модуль.
Примером Г. а. может служить алгебра A = F [x\ много-
многочленов над полем F, где Л,- — подпространство, порож-
порожденное одночленами степени i (Aa-=F). Возможно более
общее определение Г. а. Л как такой алгебры, аддитив-
аддитивная группа к-рой представляется в виде прямой суммы
групп Аа, где а пробегает нек-рую коммутативную по-
полугруппу G и АаА р^=Ла+р для любых a, P?G. С по-
понятием Г. а. тесно связано понятие фильтрованной ал-
алгебры. Действительно, на каждой Г. a. ^ = 2;>о^' ec~
тественным образом определяется возрастающая фильт-
фильтрация:
А = и,>ощ, sr0сsrx<= ..., 3fft= ]??_/'•
Обратно, если А = (J ^„Slfc — фильтрованная алгебра
(?Ioc:3liC:..., 3ti2ty-c:2t/+;-), то определяют Г. а.
GA=2li>0A< (А; = 'Х{т,--1, А0=Ш0), к-рую наз.
Г. а., ассоциированной с А. Аналогично
определяется градуированное кольцо.
_ Е. Я. Кузьмин.
ГРАДУИРОВАННЫЙ МОДУЛЬ — модуль А , пред-
представленный в виде прямой суммы своих подмодулей Ап
(индекс п пробегает все целые числа; нек-рые из под-
подмодулей Ап могут быть тривиальными). Модуль А наз.
положительно градуированным, если
Л„=0 для всех га<0, и отрицательно граду-
градуированным, если Л„=0 для всех п>0. Элементы
из Ап, отличные от нуля, наз. однородными
степени п. Подмодуль В Г. м. А наз. одно-
однородны м, если он разлагается в прямую сумму под-
подмодулей Вп таких, что Впс^Ап для любого целого п.
Тем самым В также оказывается Г. м. Если В — одно-
однородный подмодуль Г. м. А, то фактормодуль А =А/В
также является Г. м.: A=2jAn, где А„ — образ под-
подмодуля Ап при естественном гомоморфизме А—*-А1В,
Ап^Ап/Вп. Г. м. находят широкое применение в гомо-
логич. алгебре.
Лит.: [1] К а р т а н А., Эйленберг С, Гомологи-
Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 19G0. Е. Н. Кузьмин.
ГРАДУС — единица измерения плоских углов, рав-
равная 1/90 части прямого угла, обозначается знаком °.
Г. делится на 60 минут F0') или 3600 секунд C600").
Прямой угол составляет 90°, развернутый 180°. Г. упо-
употребляется также для измерения дуг окружности (пол-
(полная окружность равна 360°). е. в. Шикин.
ГРАМА МАТРИЦА — квадратная матрица
G (аи а2, ..., а*) = ||?ар ||,
составленная из попарных скалярных произведений
?аР=(аа, ар) элементов (векторов) (пред)гильбертова
пространства. Г. м. всегда неотрицательна. Она поло-
положительно определена, если ах, а2, ..., а^ линейно не-
независимы. Справедливо обратное: любая неотрицатель-
неотрицательная (положительно определенная) (ЛХ&)-матрица есть
нек-рая Г. м. (с линейно независимыми определяющими
векторами).
Если ях, а2, . . ., й? суть re-мерные векторы (столбцы)
«-мерного евклидова (эрмитова) пространства с обыч-
обычным скалярным произведением
— т
G (aj, аг, . . ., aft) = А А,
где А есть («X А")-матрнца, составленная из столбцов ах,
я2, . . ., а^, знак т означает операцию транспонирования
матриц, а черта сверху — взятие комплексно сопря-
сопряженной величины. См. также Грама определитель.
Л. П. Купцов
ГРАМА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ — определитель вида
Г-ГК, ..., an) = det|(a,-, ak) \, i, fc = l, ...,n,
где a1? . . ., «„ — элементы (пред)гильбертова простран-
пространства, а (а,-, ak) — их скалярные произведения. Г. о. равен
квадрату «-мерного объема параллелотопа, построен-
построенного на векторах ах, . . ., ап.
Г. о. является определителем неотрицательной эрми-
эрмитовой формы
откуда и вытекают его основные свойства:
1) Г. о. неотрицателен, т. е. Г^О. Равенство Г = 0
имеет место тогда и только тогда, когда векторы ли-
линейно зависимы. Это свойство может рассматриваться
как обобщение Коши неравенства:
Г (а-!, а2) 5зО или (ох, аг) (а2, а2) 5=
Ss faj, fl2) (a2, fli) = | (fl], a2) |2.
В частности, Г. о. равен нулю, если какой-либо его
главный минор (также являющийся Г. о.) равен нулю.
2) Г (яь . .., а„)< Г (ах, . . ., ар) Г (а^ + 1, . .., а„),
причем равенство имеет место тогда и только тогда, ког-
когда подпространства L (аъ . . ., ар) и L(ap + 1, .. ., ап)
ортогональны или один из определителей Г (а1? . . ., а^,),
Г(а^ + 1, . • ., аи) Равен нулю. Геометрически это нера-
неравенство означает, что объем параллелотопа не превос-
превосходит произведения объемов дополнительных граней.
В частности,
Г К, .... а„)<Г(а1) ... Г(а„).
3) Г (а1; ..., an) = r(fll, ..., я„-!)й2,
где
есть расстояние от элемента ап до подпространства
Ь(аг, ..., an_i), т. е. наилучшее квадратическое при-
приближение элемента ап полиномами вида ^._ х'а/.
Если я-j, . . ., а„ суть «-мерные векторы а,-=(а^, ...,
а"), то
Г К, ..., «„) =( det J a/|J, i, / = 1, ..., л.
Г. о. введены И. П. Грамом [1] и независимо К. А.
Андреевым (см. [2]) в связи с задачами разложения
функций в ортогональные ряды и наилучшего квадрати-
ческого приближения функций.
Г. о. применяются при решении многих задач линей-
линейной алгебры и теории функций: исследовании линейной
зависимости системы векторов или функций, ортогона-
лизации системы функций, построение проекторов, а
также при изучении свойств систек функций. См. также
Грама матрица.
Г. о. являются частным случаем определителей вида
к-рые эрмитово билинейны по отношению к векторам а,-
и bj. Если а,(х) принадлежат классу Ь2(Е), то справед-
справедлива формула
det(e,-. Ь,) =
det I а« (*/) 1 d0t I Ь^ М ЙХ1 • • • dx«-
Лит.: [1] Gram J. P., On Raekkeudviklinger bestem-
te ved Hjaelp of de mindste Kvadraters Methode, Kopenh., 1879;
[2] Андреев К. А., Избр. работы, Харьков, 1955; [3]
Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 3 изд., М., 1967.
Л. П. Купцов.
ГРАМА — ШАРЛЬЕ РЯД — ряд, определяемый вы-
выражением
или
fB^)=^(x)J^m_bmgm(x), B)
где х — нормированное значение случайной величины.
Ряд A) наз. Г.— Ш. р. типа А; здесь
/(х)= * е-*Ч2
1 2л
/(*'(а-) есть к-я производная от j(x), к-рую можно пред-
представить в виде
где Hk(x) ~ многочлены Чебышева — Эрмнта. Произ-
Производные /(*'(ж) и многочлены Н^{х) обладают свойствами
ортогональности, благодаря чему коэффициенты а^
можно определить при помощи основных моментов г^
данного ряда распределения. Ограничиваясь первыми
членами ряда A), получают
Ряд B) наз. Г.— III. р. типа В\ здесь
ф(;г)=-^е-\ х = 0, 1, 2, ...,
а gm(x) — многочлены, аналогичные многочленам Н%(х).
Ограничиваясь первыми членами ряда B), получают
... Xх _х I. , jj-s-x, Г ж?21 , п]
^ x3 L 6 i ' ~T
где hi ~ центральные моменты распределения, а г[П =
A)(+1)
= а(ж1)...(а;г+1).
Г.— Ш. р. были получены Дж. Грамом [1] и К. Шар-
лье [2] при исследовании функции вида
принятой для интерполирования между значениями
В (т) = —тт-——гг pmq"-'n— общего члена биномиально-
го распределения, где
Ф @ = (F"+9)" = 2," =ofi ("») e"m
— характеристическая функция биномиального рас-
распределения. Разложение In ф (t) по степеням t приводит
к Г.— Ш. р. типа А для В0(х), а разложение In cp(t) no
степеням р приводит к Г.— Ш. р. типа В.
Лит.: ll] Gram J. P., «J. reine und angew. Math.»,
1883, Bd 94, S. 41—73; [2] Gharlier G. V. L., «Arkiv
Mat., Astr., Fys,», 1914, b. 2, №25, s. 1—17; [3] M и т р o-
польский А. К., Кривые распределения, Л., 1960.
А. К. Митрополъский.
ГРАММАТИКА формальная — общее название
нескольких типов исчислений, используемых в матема-
математической лингвистике для описания строения естест-
естественных языков (а также нек-рых искусственных язы-
языков, в частности языков программирования). См. Грам-
Грамматика порождающая, Грамматика доминационная,
Грамматика категориальная, Грамматика трансфор-
трансформационная. А. В. Гладкий.
ГРАММАТИКА АВТОМАТНАЯ, грамматика
конечно-автоматная, грамматика с
конечным числом состояний, — грам-
грамматика бесконтекстная, каждое правило к-рой имеет
вид А-*~аВ или А-*~а, где А, В — вспомогательные сим-
символы, а — один из основных символов. (Иногда допус-
допускаются также правила вида А—»-Л, где Л — пустая це-
цепочка; класс порождаемых языков при этом расширя-
расширяется только за счет языков, получаемых из прежних
добавлением цепочки Л.) Для каждой Г. а. можно по-
построить эквивалентный ей автомат конечный. Класс
языков, порождаемых Г. а. (автоматных язы-
языков), совпадает (при допущении правил с пустой
правой частью) с классом регулярных множеств. Авто-
Автоматные языки образуют собственный подкласс класса
линейных языков (см. Грамматика линейная); так, ли-
линейный язык {а™Ь"|ге=1, 2, . . .} — не автоматный.
Класс автоматных языков замкнут относительно объ-
объединения, пересечения, умножения, подстановки и усе-
усеченной итерации (а при наличии правил с пустой пра-
правой частью также и относительно итерации). Пересече-
Пересечение бесконтекстного языка с автоматным есть бескон-
бесконтекстный язык.
Для наглядного изображения Г. а. используется д и-
аграмма— ориентированный мультиграф, верши-
вершинами к-рого служат вспомогательные символы, и из
вершины А в вершину В идет дуга, помеченная (основ-
(основным) символом а, если в грамматике есть правило А—>¦
-+аВ; кроме того, в диаграмме имеется еще одна вер-
вершина — заключительная, в к-рую из вершины — вспо-
вспомогательного символа А — идет дуга, помеченная сим-
символом а, если в Г. а. есть правило А—>-а. (При наличии
правил вида А-+Л каждый символ А, для к-рого имеется
такое правило, также считается заключительной вер-
вершиной.) Цепочка в основном сло-
В ь И варе выводима в грамматике из
*"* вспомогательного символа А тог-
тогда и только тогда, когда она «запи-
«записана» на нек-ром пути в диаграм-
диаграмме, идущем из А в заключительную вершину. На рис.
изображена диаграмма Г. а. с правилами /—>-а/, 1-+аВ,
В^тЬВ, В—*-Ь (I — начальный символ, К — заключи-
заключительная вершина), порождающей язык (апЬт\п, т—
= 1,2,...}.
Лит.: L1 ] Гладкий А. В., Формальные грамматики
и языки, М., 1973; [2] Трахтенброт Б. А., В а р з-
динь Я. М., Конечные автоматы (Поведение и синтез),
М., 1970. А. В. Гладкий.
ГРАММАТИКА БЕСКОНТЕКСТНАЯ, граммати-
грамматика контекстно-свободная, КС-грам-
КС-грамматика,— грамматика составляющих, все правила
к-рой имеют вид А—>-0, где А — вспомогательный сим-
символ и 0 — непустая цепочка (так наз. бесконтек-
бесконтекстные правила). Языки, порождаемые такими
грамматиками, наз. бесконтекстными язы-
языками. Напр., язык \апЬп\п=\, 2,. . .} порождается Г. б.
с правилами I-*-aIb, I—>-ab (I — начальный символ).
В определении Г. б. условие непустоты 0 можно от-
отбросить без существенного изменения класса языков
(добавляются лишь языки, получаемые из бесконтекст-
бесконтекстных присоединением пустой цепочки). Г. б.— наиболее
употребительный в приложениях класс формальных
грамматик; они широко используются для построения
математич. моделей естественных языков (см. Матема-
Математическая лингвистика) и для описания языков програм-
программирования. Класс бесконтекстных языков является
собственным подклассом класса НС-языков (см. Грам-
Грамматика составляющих; напр., НС-язык {anbncn\n=i,
2, . . .} не бесконтекстный) и совпадает с классом язы-
языков, допускаемых так наз. автоматами с магазинной па-
памятью (МП -автоматам н).
Каждая Г. б. может быть эквивалентным образом
приведена кстандартной бинарно и ф о р-
м е — Г. б., все правила к-рой имеют вид А—>-ВС и
А—*-а, а также к н о р м а л ь н о й форме Г р о й-
б а х — Г. б., все правила к-рой имеют вид А-*-аВС,
А-+аВ и А—>-а (в обоих случаях А, В, С — вспомога-
вспомогательные символы, а — основной символ). Бесконтекст-
Бесконтекстные языки определяются также грамматиками катего-
категориальными, грамматиками доминационными, грамма-
грамматиками зависимостей. Иногда для определения бескон-
бесконтекстных языков используются так наз. нормаль-
нормальные системы уравнений в языках,
представляющие собой другую форму записи Г. б.
Класс бесконтекстных языков замкнут относительно
объединения, умножения, подстановки и усеченной
итерации (а при наличии правил с пустой правой частью
и относительно итерации) и но замкнут относительно
пересечения и дополнения. Г. б. Г наз. однознач-
однозначной, если для каждой цепочки языка L(T) имеется
единственное дерево вывода в Г. Бесконтекстный язык
наз. однозначным, если он порождается нек-рой
однозначной Г. б.; в противном случае он наз. неод-
неоднозначным (или существенно неодно-
неоднозначным, существенно неопределен-
неопределенным). Пример неоднозначного бесконтекстного язы-
языка —
{anbncm\n, т=\, 2, . . .}U {amb"cn\n, m=l, 2, . . .}.
Если для любой Г. б., порождающей бесконтекстный
язык L, и любого натурального пь L найдется цепочка,
имеющая более п деревьев вывода в данной грамматике,
говорят, что L имеет бесконечную степень
неоднозначности; пример — язык {ххуу\х,
?/€ {flii аг}+}. гДе ~ означает обращение (т. е.
если х—а,,. . .ai;, то x=aif . . .а,-,).
Бесконтекстный язык наз. детерминирован-
н ы м, если он допускается нек-рым детерминирован-
детерминированным МП-автоматом. Всякий детерминированный язык
однозначен, обратное неверно: напр., однозначный язык
{хх\х? {%, а2}+) не является детерминированным.
Сложность вывода. Для любой Г. б. временная
сложность и емкость вывода (см. Грамматика порож-
порождающая) ограничены сверху и снизу линейными функ-
функциями. Поэтому для классификации Г. б. но сложности
вывода вводятся нек-рые спецпфпч. характеристики
сложности. Эти характеристики разделяются на два
типа: одни из них («древесные») строятся на основе
представления вывода в виде дерева (см. Грамматика
составляющих), другие («цепочечные») основаны на уче-
учете числа или расположения вхождений вспомогатель-
вспомогательных символов в промежуточные цепочки вывода; в ряде
важных случаев с «древесными» характеристиками мож-
можно связать «цепочечные», имеющие тот же порядок ро-
роста. Из «древесных» характеристик наиболее тонкую
классификацию дает густота, определяемая сле-
следующим образом. 1) Каждой вершине а конечного до-
рева с корнем сопоставляется густота а — число ц, (а)
такое, что: если а — концевой узел, то и.(а) = 0; если
Pj, . . ., $s — все узлы, в к-рые из а идут дуги, s>0 и
m=max(fi(P1), .. ., ц(E.,)), то: а) если т= и, ([},¦) только
для одного г=1, . . ., s, то u,(a)=m; б) в противном слу-
случае u,(a) = m+l. 2) Густота корня дерева наз. густо-
густотой дерева. 3) Если Г есть Г. б., ее густота цг(«)
определяется аналогично временной сложности с за-
заменой длины вывода густотой дерева вывода. Одинако-
Одинаковый с густотой порядок роста имеет (для Г. б.) а к т и в-
н а я емкость /г(«), определяемая аналогично ем-
емкости с заменой длины цепочки со,- числом вхождений в
со,- вспомогательных символов. Густота всякой Г. б.
ограничена сверху логарифмич. функцией. Существуют
бесконтекстные языки, для к-рых густоты любых по-
порождающих их Г. б. имеют логарифмич. порядок роста,
напр, множество всевозможных «правильных скобоч-
скобочных последовательностей» (т. е. последовательностей
левых и правых круглых скобок, расставленных так,
как это делается, напр., в арифметич. выражениях).
В то же время языки, порождаемые Г. б., густоты к-рых
ограничены константами, составляют обширный класс,
совпадающий с замыканием класса линейных языков
(см. Грамматика линейная) относительно подстановки.
Имеются бесконечные последовательности функций,
промежуточных по порядку роста между константой и
логарифмом, такие, что для любых двух соседних чле-
членов последовательности найдется бесконтекстный язык,
для к-рого наименьшая по порядку густота порождаю-
порождающей его Г. б. заключена между этими функциями. Упо-
Употребляются и другие характеристики сложности вывода
в Г. б.
Предметом интенсивных исследований является н
управление выводом в Г. б. Предложено
много различных Концепций управления выводом в
Г. б. (из к-рых значительная часть переносится и на
более широкие классы грамматик). Так, м а т р п ч-
ная грамматика получается, если задано
нек-рое множество конечных последовательностей пра-
правил грамматики — «матриц» и допустимыми выводами
считаются те, для к-рых последовательности применяе-
применяемых правил могут быть разбиты на матрицы (т. е. пра-
правила применяются только «группами»). В грамма-
грамматике с порядком на множество правил задает-
задается частичный порядок и на каждом шаге разрешается
применять только такие правила, для к-рых никакие
предшествующие в смысле этого порядка правила не
применимы к полученной к данному моменту цепочке.
В программированной грамматике
каждому правилу сопоставляются два множества пра-
правил — «успешное» и «безуспешное»; применение каж-
каждого правила распадается на два этапа: на первом этапе
проверяется, входит ли левая часть правила в полу-
полученную к данному моменту цепочку; если да, то второй
этап состоит в замене левой части правила правой и вы-
выборе из «успешного» множества правила для примене-
применения на следующем шаге; если нет, то второй этап сво-
сводится к выбору из «безуспешного» множества правила
для применения на следующем шаге. Класс языков,
порождаемых программированными Г. б. без правил с
пустой правой частью, является собственным подклас-
подклассом класса НС-языков и содержит классы языков, по-
порождаемых матричными Г. б. и Г. б. с порядком; в то
же время оба эти класса шире класса бесконтекстных
языков. При наличии правил с пустой правой частью
программированные Г. б. порождают произвольные
рекурсивно перечислимые языки.
Алгоритмические проблемы. Существуют алгоритмы,
позволяющие по любой Г. б. распознавать, является ли
порождаемый ею язык пустым, соответственно конеч-
конечным. В классе Г. б. нераспознаваемы, в частности, сле-
следующие свойства языков и отношения между языками:
иметь пустое, соответственно конечное или бесконтекст-
бесконтекстное дополнение; быть однозначным, соответственно до-
терминированным, линейным или автоматным языком;
L1=L2; L1<=L2. Существуют такие Г. б. Г] и Г2, для
к-рых нет алгоритмов, позволяющих по произвольным
цепочкам х и у в основном алфавите \\ грамматики Г\
(соответственно в основном алфавите \\ грамматики
Г2) распознавать, замещаема ли ieaj относительно Vt
и L(Yi) (соответственно взаимозамещаемы лиги} отно-
относительно V2 и L(T2); см. Аналитическая модель языка).
Сложность распознавания. Принадлежность цепочки
языку, порождаемому заданной Г. б., может быть рас-
распознана алгоритмом Кока, допускающим реа-
реализацию на машине Тьюринга с одной лентой и одной
головкой, время работы к-рой пропорционально чет-
четвертой степени длины цепочки; при увеличении числа
лент или головок до трех четвертая степень может быть
заменена третьей.
См. также Грамматика автоматная, Грамматика
линейная.
Лит.: [1] Гинзбург С, Математическая теория кон-
контекстно-свободных языков, пер. с англ., М.. 1970. А. В. Гладкий.
ГРАММАТИКА ДОМИНАЦИОННАЯ — один из
видов формальной грамматики, служащий для порож-
порождения цепочек вместе с деревьями подчинения (см. Син-
Синтаксическая структура). Формально Г. д. может быть
определена как грамматика бесконтекстная, у к-рой
в каждом правиле, за
исключением правил
вида /-*-«, где / — на-
начальный и а — основ-
основной символы, одно из
вхождений символов в
правую часть снабже-
снабжено специальной мет-
меткой; при этом правая часть каждого такого прави-
правила должна содержать не менее двух вхождений
символов. Система составляющих, отвечающая выводу
в такой грамматике (см. Грамматика составляющих),
становится иерархизованной, если считать главными те
составляющие, к-рые «происходят» от помеченных
вхождений символов в правые части правил. Каждой
цепочке порождаемого грамматикой языка сопостав-
сопоставляется дерево подчинения, связанное с указанной иерар-
иерархизованной системой составляющих (к-рая не обязана,
вообще говоря, быть единственной). На рис. показано
одно из деревьев подчинения, к-рое сопоставляет цепоч-
цепочке ааасЪЬЪ Г. д. с правилами /—ya'Ib, I-*-aIb', I-+c (I —
начальный символ, штрих служит меткой); это дерево
отвечает выводу
(/, alb', aa/b'b', aaa'Ibb'b', aaa'cbb'b'),
здесь скобками выделены нетривиальные составляющие.
Важнейший частный класс Г. д.— так наз. прос-
простые Г. д., у к-рых в правых частях правил помеча-
помечаются только основные символы (грамматика рассмот-
рассмотренного примера — простая). Для всякой простой Г. д.
существует такое натуральное число к, что в каждом де-
дереве подчинения, к-рое эта Г. д. сопоставляет к.-л.
цепочке, ни из одной вершины не выходит более к дуг.
Обратно, для всякой Г. д., обладающей указанным
свойством, существует эквивалентная ей простая Г. д.
такая, что для каждсй цепочки множества деревьев под-
подчинения, приписываемых ей обеими грамматиками,
совпадают.
Простая Г. д. наз. также грамматикой з а в и-
с и м о с т е и.
Лит.: [1] Б е л е ц к и й М. П., «Кибернетика», 1967,
Л» 4, с. 90—7; [2J Гладкий А. В., Формальные грамма-
грамматики и языки, М., 1973. А. В. Гладкий.
ГРАММАТИКА КАТЕГОРИАЛЬНАЯ — один из ви-
видов формальной грамматики. Г. к. может быть опре-
определена как упорядоченная четверка G={V, W, Фо, /),
где V и W — конечные множества, элементы к-рых наз.
основными символами и элементар-
элементарными категориями соответственно; Фо —
элемент W, называемый главной категорией;
/—приписывающая функция, сопо-
сопоставляющая каждому основному символу конечное
множество категорий— выражений, образован-
образованных из элементарных категорий и синтаксич. символов
[,], \, / по следующему правилу: 1) всякая элементар-
элементарная категория есть категория; 2) если Фв?- катего-
категории, то [Фч,1?] («Ф под Y») и [Ф/У] («Ф над Y») суть
категории; 3) всякая категория является таковой либо
в силу 1), либо в силу 2).
Если х=а1...ак, где а,-?7, и Ф;?/(а,-), г=1, . . ., к,
то говорят, что цепочка Ф1 . . . Фк сопоставляв т-
с я грамматикой G цепочке х. Над цепочкой категорий
можно производить (вообще говоря, неоднозначную)
операцию сокращения, состоящую в последова-
последовательной замене вхождений подцепочек вида Ф [ФЧ,1?]
или [>?/Ф]Ф вхождениями 4я. Если нек-рая цепочка
категорий \, сопоставляемая цепочке х, сокращается
до одной категории в, а также если |=в, то говорят,
что G приписывает цепочке х категорию в.
Язык, определяемый г р а м м а т и к о й G
(обозначается через L(G)), есть множество тех цепочек
основных символов, к-рым G приписывает главную ка-
категорию. Категория [ФХ1?] (соответственно [Ч/Ф]) мо-
может интерпретироваться как оператор, действующий
справа (слева) на Ф и дающий в результате 4я. На этом
основано использование Г. к. в лингвистике. Так, если
элементарными категориями являются П — «предло-
«предложение» и S — «существительное», то категория [S/S]
может интерпретироваться как «прилагательное» (это
значит, что прилагательное рассматривается как опе-
оператор, действующий на существительное слева, причем
получается снова существительное, точнее группа су-
существительного), [5\П] — как «непереходный гла-
глагол» п т. п. Если при этом П — главная категория, то
определяемый грамматикой язык состоит из «правиль-
«правильных предложений».
Г. К. может быть превращена в грамматику бескон-
бесконтекстную; для этого нужно: а) составить вспомогатель-
вспомогательный словарь W из тех категорий, к-рые являются эле-
элементами или частями элементов значений приписываю-
приписывающей функции /; б) сделать Фо начальным символом;
в) взять в качестве правил всевозможные выражения
вида ?->Ф [Ф\ЧЧ и ?-+[Ч7Ф]Ф, где [Фх^^Г (со-
(соответственно [W/(i>]^W') и вида Ф—>-а, где Ф?/(а).
Это позволяет сопоставлять цепочкам определяемого
грамматикой языка системы составляющих стандартным
способом (см. Грамматика составляющих). Получаемый
таким образом подкласс класса бесконтекстных грам-
грамматик с лингвистич. точки зрения характеризуется
тем, что в них вся «грамматическая информация» со-
содержится в словаре. Однако для любой бесконтекстной
грамматики Г можно построить эквивалентную ей
Г. к. G (т. е. такую, что L(G) = L(r)); при этом можно
добиться, чтобы значения приписывающей функции G со-
содержали лишь категории вида А, [^1\В] и [.4\[В\С]],
где А, В, С — элементарные категории. Имеются
также простые и содержательно естественные способы
получения из Г. к. грамматики доминационной.
Лит.: [1] Ваг-Hillel L., Gaifman С, S h a-
m i г К., «Bull. Res. Council Israel», 1960, sec. F, v. 9, № 1
p. 155 — 66; [2] Белецкий М. И., «Кибернетика» 196!)
№ 4, с. 129—35; Л1> 5, с. 10—14; [3] Гладкий А. В., Фор-
Формальные грамматики и языки, М., 1973. А. В. Гладкий.
ГРАММАТИКА ЛИНЕЙНАЯ — грамматика бес-
бесконтекстная, у к-рон правая часть каждого правила
содержит не более одного вхождения вспомогательного
символа. Класс порождаемых такими грамматиками
языков (линейных языков) является собст-
собственным подклассом класса бесконтекстных языков
(так, бесконтекстный язык {anbnambm\n, ra=l, 2,...} не
является линейным). См. также Грамматика автомат-
автоматная. А. В. Гладкий.
ГРАММАТИКА ПОРОЖДАЮЩАЯ, граммати-
грамматика Хомского,— один из видов формальной грам-
грамматики; представляет собой, по существу, частный
случай исчисления Поста (см. Поста каноническая
система). Систематич. изучение Г. п. было начато
в 50-х гг. 20 в. Н. Хомским (N. Chomsky), к-рый указал
пути ее приложения в лингвистике и выделил наиболее
важные для этих приложений классы Г. п.— грамма-
грамматики составляющих, грамматики бесконтекстные,
грамматики автоматные; те же классы оказались осо-
особенно интересными и с чисто математич. точки зрения.
Г. п. есть упорядоченная четверка Г= (V, W, I, Я),
где V и W — непересекающиеся конечные множества,
наз. соответственно основным и вспомога-
вспомогательным алфавитами, или словарями
(их элементы наз. соответственно основными, или
терминальными, п вспомогатель-
н ы м и, или нетерминальными, симво-
символам и), / — элемент W, наз. начальным сим-
символом, и Я — конечное множество правил,
имеющих вид ф—*-г[}, где ср и ч|) — цепочки (слова) в ал-
алфавите V'U W и —)~ не принадлежит V \J W; R наз. схе-
схемой грамматик и. Если цепочки | и т) предста-
вимы соответственно в виде ?=Х1фХ2> t11=Xi'1I>X2' гДе
ф—>-г|1 — одно из правил грамматики Г, то говорят, что
^непосредственно выводима из ? в Г
(обозначение: ?|=ri или ||=ii). Последовательность
г
цепочек (ш0, щ, .... ш„) наз. выводом ш„ из Wj
в Г, если v;, l<i<n, (cof-x^co,-); число п есть длина
г
вывода. Вывод наз. полным, если шо=/ и со„ не
содержит вспомогательных символов. Если существует
вывод цепочки т) из цепочки \ в Г, то говорят, что т)
выводима из \ в Г. Множество цепочек в основном
алфавите, выводимых в Г из /, наз. языком, по-
порождаемым грамматикой Г (обозна-
(обозначается через L (Г)). Две Г. п. эквивалентны,
если они порождают один и тот же язык. Класс языков,
порождаемых всевозможными Г. п., совпадает с клас-
классом рекурсивно перечислимых множеств цепочек.
Для оценки сложности вывода в Г. п. используются
так наз. сигнализирующие функции,
важнейшими из к-рых являются временная сложность
и емкость. Временная сложность грамма-
грамматики Г — это функция натурального аргумента тг(п),
значение к-рой для каждого п равно наименьшему из
чисел к, обладающих тем свойством, что для любой
цепочки ifl(F) такой, что \x\<s.n (\х\ — длина х),
существует вывод D этой цепочки из начального сим-
символа Г, длина к~рого не превосходит к; если но сущест-
существует цепочек х таких, что х?Ь(Г) и |ж|<и, то тг(га) = 0.
Емкость о"г(ге) грамматики Г определяется анало-
аналогично с заменой длины вывода D^(w0, ..., a>s) наиболь-
наибольшей из длин цепочек со,-, ;=0,l,...,s.
Если М' — нек-рое множество полных выводов в грам-
грамматике Г и V — множество заключительных цепочек
выводов, принадлежащих М', то L'<^L(T). Если при
этом М' задано эффективно, то говорят, что задан
нек-рый способ управления выводом в Г.
Изучение способов управления выводом существенно
для приложений, так как возможность использовать
не произвольные, а лишь нек-рые определенные вы-
выводы лучше отвечает ситуации, имеющей место в ес-
естественном языке. Управление выводом может зада-
задаваться, в частности, наложением ограничений на после-
последовательности применяемых в выводе правил (напр.,
множество таких «допустимых» последовательностей
правил может само порождаться нек-рой Г. п. Г';
в этом случае язык определяется упорядоченной па-
парой Г. п. (Г, Г'), к-рую наз. обобщенной г р а м-
м а т и к о й), или на вид входящих в выводы цепочек,
или к.-л. более сложным способом (напр., применя-
применяемое на очередном шаге правило может зависеть от вида
цепочки, полученной на предыдущем шаге).
При изучении Г. п. естественно возникают алгорит-
мич. проблемы. Если а — свойство языков, $~—
нек-рый класс грамматик, и если существует алгоритм,
позволяющий по любой грамматике Г ? <?Г распознать,
обладает ли язык L(T) свойством а, то говорят, что а
распознаваемо в классе <?Г. В классе всех
Г. п. ни одно нетривиальное свойство (т. е. такое, что
в соответствующем классе языков есть как языки,
обладающие этим свойством, так и не обладающие им)
не распознаваемо. Аналогичным образом можно гово-
говорить о распознаваемых в нек-ром классе грамматик
отношениях. Возникают также проблемы иного типа,
напр, о существовании для данной грамматики Г алго-
алгоритма, позволяющего но любым п цепочкам хг, ..., хп
в ее основном алфавите найти значение заданного
предиката P(L, щ, ..., со„) для L=L(T), со1=х1,...,
юп=хп. В частности, если Р (L, со) означает co(;L, то
речь идет об алгоритме для. распознавания принадлеж-
принадлежности произвольной цепочки языку L(T). Если для
грамматики Г такой алгоритм есть, существенное зна-
значение имеет вопрос о сложности его работы, или, как
говорят, о сложности распознавания языка L(T).
См. также Грамматика составляющих. Грамматика
бесконтекстная, Грамматика линейная, Грамматика
автоматная, Математическая лингвистика.
Лит.: [1] Гросс М., Л а н т е н А., Теория формаль-
формальных грамматик, пер. с франц., М., 1971; [2] Гладкий А. В.,
Формальные грамматики и языки, М., 1973; [3] Н о р с г о f t
J. E., Ullman J. D., Formal languages and their relation
to automata, Reading (Mass.), 1969; [4] Г л а д к и й А. В.,
Д и к о в с к и й А. Я., в кн.: Итоги науки и техники. Тео-
Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая
кибернетика, 1972, т. 10, с. 107—42; [5] М а с л о в А. Н.,
С т о ц к и й Э. Д., в кн.; Итоги науки и техники. Теория
вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибер-
кибернетика, 1975, т. 12, с. 155—87; [6] Стоцкий Э. Д.,
«Проблемы передачи информации», 1971, т. 7, Xi 1, с. 87—101;
Xi 3, с. 87—102. А. В. Гладкий.
ГРАММАТИКА СОСТАВЛЯЮЩИХ, грамма
тика непосредственно составля ю-
щ и х, НС-г рам мат и к а, грамматика кон-
контекстная,— частный случай грамматики порож-
порождающей, T={V, W, I, В.), когда каждое ее правило
имеет вид ^Л^-у^б^, где ?1? \2, 0 — цепочки в ал-
алфавите V\J W, /Iflfn 8 непуста. Каждый шаг вывода
в Г. с. состоит в замене одного вхож-
вхождения символа А вхождением цепочки
6, причем возможность замены обус-
обусловлена наличием «контекста» ?1( ?2-
Вхождения символов в 6 потом также
с МОГУТ заменяться и т. д. Таким образом,
вхождение символа «развертывается»
в нек-рый отрезок возникающей в результате вывода
цепочки. Это дает возможность представить вывод
в Г. с. с помощью дерева (дерева вывода):
напр., если грамматика имеет правила I-+AAB,
AB-+DBB, аВВ-^аЪВ, А-+а, D-+a, B-+C, С^-с (а, Ъ, с-
основные символы, I, А, В, С, D — вспомогательные
символы, / — начальный символ), то вывод (/, ААВ,
аАВ, aDBB, ааВВ, ааЪВ, ааЪС, ааЪс) имеет дерево, изо-
изображенное на рис. Множество всех отрезков последней
цепочки вывода, получающихся «развертыванием»
вхождений вспомогательных символов — иначе говоря,
«происходящих» от (неконцевых) вершин дерева вы-
вывода — при добавлении всех одноточечных отрезков
образует систему составляющих указанной цепочки
(см. Синтаксическая структура); отсюда и название
«Г. с». Если все одноточечные отрезки также полу-
получаются заменой вхождений вспомогательных символов,
то можно получить размеченную систему составляю-
составляющих, приписывая каждой составляющей в качестве
меток те вспомогательные символы, от вхождений
к-рых она «происходит»; так, в приведенном выше
примере для цепочки ааЪс получается размеченная си-
система составляющих
((а)А ((a)D (b)B)A (с)В,СI
(здесь границы составляющих указаны скобками, после
правых скобок записаны метки). Приписывание це-
цепочкам размеченных систем составляющих лежит
в основе лингвистич. приложений Г. с. Так, грамма-
грамматика, имеющая (в числе прочих) правила
ПРЕ Д Л-»-5муж, ед, им V», V8-* У'35же„, ед, ви„,
^муж, ед, км->-«эллипс», 5Жен, ед, вшг->-«параболу»,
F'3—^-«пересекает»,
где ПРЕДЛ, Sхуг, V3, Vts— вспомогательные символы,
означающие, соответственно, «предложение», «сущест-
«существительное рода х в числе у и падеже z», «группа гла-
глагола в 3-м лице», «переходный глагол в 3-м лице»,
а символ ПРЕДЛ — начальный, приписывает предло-
предложению «Эллипс пересекает параболу» размеченную
систему составляющих
((Эллипс) ¦SMylKj ед WM((nepeceKaem)Vt3 (параболу)
•5жен,ед,вин)>'3) ПРЕДЛ.
Математич. значение Г. с. определяется прежде
всего тем, что порождаемые ими языки (так наз. НС-
я з ы к и) представляют собой простой подкласс класса
примитивно рекурсивных множеств: класс НС-языков
совпадает с классом языков, допускаемых недетерми-
недетерминированными линейно ограниченными Тьюринга ма-
машинами с одной лентой и одной головкой. «Конкретные»
числовые множества при обычных способах кодиро-
кодирования натуральных чисел весьма часто оказываются
НС-языками (таковы, напр., множество полных квад-
квадратов, множество простых чисел, множество десятич-
десятичных приближений числа ]/~2 и т. п.).
Для каждой Г. с. может быть построена эквивалент-
эквивалентная ей левоконтекстная (соответственно
правоконтекстная) Г. с, то есть Г. с, все
правила к-рой имеют вид \А —>-|8 (соответственно
А^,—>-8g). В то же время всякая Г. с, все правила к-рой
имеют вид xAy-^-xQy, где х, у — цепочки в основном
алфавите, эквивалентна нек-рон грамматике бескон-
бесконтекстной.
Класс НС-языков замкнут относительно объедине-
объединения, пересечения, умножения, усеченной итерации,
подстановки; неизвестно, замкнут ли он относительно
дополнения.
Сложность вывода. Временная сложность вывода в
Г. с. ограничена сверху показательной функцией. Су-
Существуют языки, порождаемые Г. с. с временной слож-
сложностью порядка п2 и не порождаемые никакими Г. с
с меньшей по порядку временной сложностью (например,
язык {хЬх\х?{аг, а2}*}); примеров более высоких
нижних оценок временной сложности неизвестно.
Емкость всякой Г. с. очевидным образом равна п; для
произвольной порождающей грамматики, емкость
к-рой ограничена сверху линейной функцией
f(n)=kn,
существует эквивалентная ей Г. с. (эта Г. с. может
быть построена эффективно, если известно к).
Алгоритмические проблемы. Если нек-рый класс
языков содержит хотя бы один НС-язык и хотя бы для
одного НС-языка Lo содержит разве лишь конечное
число «почти совпадающих» с Lo языков (языки L1
и L2 «почти совпадают», если их симметрич. разность
(Ьг— L2)[J(L2~ Ьг) конечна), то свойство принадлежать
данному классу нераспознаваемо в классе Г. с. В част-
частности, нераспознаваемы свойства быть пустым, конеч-
конечным, автоматным, линейным, бесконтекстным языком,
иметь пустое или конечное дополнение, совпадать
с (любым) фиксированным НС-языком. Примером
свойства языков, распознаваемого в классе Г. с,
может служить свойство содержать (любую) фиксиро-
фиксированную цепочку.
См. также Грамматика бесконтекстная.
ГРАММАТИКА ТРАНСФОРМАЦИОННАЯ —"один
из видов формальной грамматики. Г. т. предназна-
предназначаются для преобразования синтаксических структур,
что делает их более адекватными для описания естест-
естественного языка, чем формальные грамматики других
типов, осуществляющие порождение или распознава-
распознавание синтаксич. структур лишь вместе с порождением
(распознаванием) цепочек, поскольку раздельное рас-
рассмотрение синтаксических и линейных отношений
между речевыми единицами больше соответствует
природе языка.
Г. т. значительно более громоздки, чем грамматики,
предназначенные для преобразования «цепочек»,
в связи с чем разработка формальных концепций Г. т.
началась только в конце 60-х гг. 20 в., хотя содержа-
содержательная база для этого была построена Н. Хомским
(N. Chomsky) примерно на 10 лет раньше. Имеется
несколько концепций Г. т.; нек-рые из них предназна-
предназначаются для переработки систем составляющих, дру-
другие — для переработки деревьев подчинения. Приме-
Примером могут служить так наз. А-грамматики, представ-
представляющие собой конечные системы элементарных преоб-
преобразований, имеющих вид tx=^>t^\f, где ?х и f2— (конеч-
(конечные) ориентированные деревья с помеченными вер-
вершинами и дугами, а / — отображение множества вер-
вершин tx в множество вершин t2. Применить такое пре-
преобразование к дереву Т (интерпретируемому как
дерево подчинения) с помеченными вершинами и ду-
дугами означает заменить в нем нек-рое поддерево, изо-
изоморфное *!, поддеревом, изоморфным t2, «перевесив»
при этом «внешние связи» каждой вершины А заменя-
заменяемого поддерева на вершину 1(А) заменяющего. Д-грам-
матики применяются для перехода от синтаксич. струк-
структур одного уровня к структурам другого уровня (см.
Математическая лингвистика) и для осуществления
синонимич. преобразован!™ глубинных синтаксич.
структур.
Лит.: [11 Хомский Н., в кн.: Новое в лингвистике.
1962, вып. 2, с. 412 — 527; [2] GUsburg S., P a r t e e В.,
«Inform, and Control», 1969, v. 15, M 4, p. 297—334; [3] Г л а д-
к и й А. В., Мельчук И. А., в кн.: Информационные
вопросы семиотики, лингвистики и автоматического перевода,
М., 1971, в. 1, с. 16 — 41. А. В. Гладкий.
ГРАНИЦА — 1) Множество точек подпространства
А данного топологич. пространства X, обладающих
тем свойством, что любая окрестность каждой из них
содержит как точки из А, так и точки из Х\А. Обще-
Общепринятые обозначения: грЛ, дА, FrA, Fr^A.
2) Синоним понятия край многообразия, например
Г. симплекса. А- В. Чернавский.
ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕ-
АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ — задачи нахождения аналитической
в нек-рой области функции по заданному соотношению
между граничными значениями ее действительной
и мнимой частей. Впервые такая задача была постав-
поставлена в 1857 Б. Риманом (см. [1]). Д. Гильберт [2] ис-
исследовал граничную задачу в следующей постановке
(задача Р и мана— Гильберта): найти
функцию Ф (z)=u-\-iv, аналитическую в односвязной
области S+ с контуром L, непрерывную в S+(JL, по
граничному условию
<b = au-bv=c, A)
где а, Ь, с — заданные на L действительные непрерыв-
непрерывные функции. Первоначально Д. Гильберт привел эту
задачу к сингулярному интегральному уравнению
с целью дать пример приложения такого уравнения.
Задача A) может быть сведена к последовательному
решению двух задач Дирихле. Полное исследование
задачи, проведенное таким способом, имеется в [3].
Близкой к задаче A) является задача, к к-рой при-
пришел А. Пуанкаре [4] при разработке математич. теории
приливов. Задача Пуанкаре состоит в опре-
определении гармонической в области S+ функции и(х, у)
по условию на границе L этой области:
A(s)d^ + B(S)d^+C(s)u = f(s), B)
где A (s), B(s), С (s), f(s) — заданные на L действитель-
действительные функции, s — дуговая абсцисса, п — нормаль к L.
Под обобщенной задачей Римана— Гиль-
Гильберта — Пуанкаре (задача Р. — Г. — П.) по-
понимается следующая линейная граничная задача:
найти функцию Ф(г), аналитическую в S +, по гранич-
граничному условию
/(t0), to?S + , C)
где А. — интегро-дифференциальный оператор, опре-
определяемый формулой
1Ф = 2™
(*о) + \LhJ Со. *) ф</) О ds) '
в к-рой ао(го), ..., am(t) — заданные на L, вообще ком-
комплексные, функции класса Н (т. е. удовлетворяющие
условию Гельдера), f(t) — заданная действительная
функция класса Я, hj(ta, t) — заданные на L, вообще
комплексные, функции вида
причем h°j(t0, t) — функции класса Н по обеим пере-
переменным. В правой части D) под O(-"(t0) подразумевается
граничное значение на L изнутри области S+ произ-
производной /-го порядка функции Ф(г).
Частным случаем задачи Р.— Г.— П. при т=0,
hj(t0, /) = 0 является задача Римана — Гильберта; за-
задача Пуанкаре также является частным случаем сфор-
сформулированной задачи. К задаче Р.— Г.— П. приво-
приводятся многие важные граничные задачи, напр, гра-
граничные задачи для уравнений с частными производными
эллиптич. типа с двумя независимыми переменными.
Задача Р.— Г.— П. была поставлена и в предполо-
предположении, что ат(га)ф0, to?L, и решена И. Н. Векуа [3].
В теории граничных задач важную роль играет
понятие индекса задачи— целого числа, опре-
определяемого формулой
2(+)
где 2лп — приращение arg am(t) при однократном об-
обходе контура L в направлении, составляющем область
S+ слева.
Задача Р.— Г.— П. редуцируется к сингулярному
интегральному уравнению вида
AV ^ A (to)\i(to) + ^LN(to, t)\i(t)ds=f(ta)-ca{tu)Jro)
где ц — искомая действительная функция класса Н,
с — искомая действительная постоянная, а
функции A(t0), K(t0, t), a(t0) выражаются через aj(t)
и hj(t0, t), ; = 0,..., m.
Пусть кик'— числа линейно независимых решений
соответствующего E) однородного интегрального урав-
уравнения Лт[г = 0 и союзного с ним однородного интеграль-
интегрального уравнения
^ = 4(ууA0) + ^ЛГ((, @) v(t)ds = O. F)
Числа к и к' связаны с индексом v. задачи Р.— Г.— П.
равенством
к=к-к'.
Особый интерес представляет тот случай, когда за-
задача разрешима при всякой правой части f(ta). Для
того чтобы задача Р.— Г.— П. была разрешима при
любой правой части /(i0), необходимо и достаточно,
чтобы к' = 0 или fc'=l, причем в последнем случае ре-
решение v (t) уравнения F) должно удовлетворять усло-
условию
^Lv (t) a (t) ds ?0;
в обоих случаях xJsO и однородная задача Ие{ЯФ}=0
имеет ровно х+1 линейно независимых решений.
При a(t)=O задача Р.— Г.— П. разрешима при любой
правой части тогда и только тогда, когда /с' = 0.
В случае задачи Римана — Гильберта имеют место
следующие утверждения: 1) при х^О неоднородная
задача A) разрешима при любой правой части и 2) при
к< —2 эта задача разрешима тогда и только тогда,
когда
(p)(p)p O,
где
„-rr-l— ехр { _-L С г
>о!(ф| + A!(ф) ( 4л Jo
Задача Римана — Гильберта тесно связана с так наз.
задачей линейного сопряжения. Если L — простая
гладкая или кусочно гладкая линия, состоящая из
замкнутых контуров, ограничивающих нек-рую об-
область S+ плоскости комплексного переменного z=
= ж+гу, остающуюся слева при обходе L, то дополне-
дополнение S + (J L до плоскости z обозначается через S ~. Пусть
функция Ф (z) задана и непрерывна в окрестности
линии L всюду, кроме, быть может, самой L. Говорят,
что функция Ф (г) непрерывно продолжима на точку
t?L слева (или справа), если Ф(г) стремится к опреде-
определенному пределу Ф + (?) [или ф- (*)], когда z стремится
к t по любому пути, оставаясь слева (или справа) от L.
Функцию Ф (z) наз. кусочно аналитической с линией
скачка L, если она аналитична в S+ и S~ и непрерывно
продолжима на каждую точку t?L как слева так и
справа.
В задаче линейного сопряжения
требуется определить кусочно аналитич. функцию
Ф (z) с линией скачка L, имеющую конечный порядок
на бесконечности, по граничному условию
Ф+ (t)=G(tL>-(t) + g(t),
где G(t) и g(t) — заданные на L функции класса Н.
В предположении, что G(t)^O всюду на L, целое число
наз. индексом задачи линейного со-
сопряжения.
Когда Ф(г) = (Ф1, ..., Ф„) — кусочно аналитический
вектор, G(t) — квадратная («X и)-матрица и g(() =
= {gi, •••> gn) — вектор, причем det G(t)=?O, целое число
x = ^[argdetG(t)k
наз. суммарным индексом задачи ли-
линейного сопряжения. Понятия индекса и
суммарного индекса играют важную роль в теории
задачи линейного сопряжения (см. [5], [6], [7], [8]).
На базе теории задачи линейного сопряжения по-
построена теория одномерных сингулярных интегральных
уравнений вида E).
Лит.: [1] Р и м а н Б., Сочинения, пер. с нем., М.—Л.,
1948; [2] Hilbert D., Grundziige einer allgemeinen Theorie der
linearen Integralgleichungen, Lpz.—В., 1912; [3] Веку а И.Н.,
«Тр. Тбил. матем. ин-та АН Груз. ССР», 1942, т. 11, с. 109—39;
[4] Poincare H., Lecons de mecanique celeste, t. 3, P.,
1910, ch. 10; [5] Мусхелишвили Н. И., Сингулярные
интегральные уравнения, 3 изд., М., 1У68; [6] В е к у а Н. П.,
Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые
граничные задачи, 2 изд., М., 1970; [7] Г а х о в Ф. Д., Крае-
Краевые задачи, 2 изд., М., 1963; [8] Хведелидзе Б. В.,
«Тр. Тбил. матем. ин-та АН Груз. ССР», 1956, т. 23, с. 3—158.
ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ — свойства аналитич. функций, прояв-
проявляющиеся при приближении к границе области опре-
определения.
Можно считать, что понимаемое в самом широком
смысле изучение Г. с. а. ф. началось с Сохоцкого тео-
теоремы и Пикара теоремы о поведении аналитич. функций
в окрестности изолированной существенно особой точки,
полученных во 2-й пол. 19 в. В лекциях П. Пенлеве
(P.Painleve, 1895) впервые появляются термины того
подхода к изучению Г. с. а. ф., к-рый теперь носит
назв. теории предельных множеств. В диссертации
П. Фату (P. Fatou, 1906) впервые систематически изу-
изучаются нек-рые Г. с. а. ф. вблизи непрерывной гра-
границы области определения. Примерно в 1-й трети 20 в.
теория Г. с. а. ф. получила существенное развитие
в трудах многих ученых. После середины 20 в. теория
Г. с. а. ф. снова развивается очень бурно, в ней воз-
возникают новые идеи и методы, новые направления
и объекты исследования. В своем развитии теория
Г. с. а. ф. тесно взаимодействует с различными обла-
областями математического анализа и математики вообще,
в первую очередь с такими, как теория вероятностей,
теория гармонических функций, теории конформных
отображений, граничных задач аналитических функ-
функций, потенциала, распределения значений, римановых
поверхностей, субгармонических функций, функцио-
функциональных алгебр. Через граничные задачи теория
Г. с. а. ф. тесно связана с различными областями при-
применения математики.
В связи с тем, что изучение Г. с. а. ф. связано прежде
всего с геометрией границы Г области определения D
аналитич. функции /(z) одного комплексного перемен-
переменного z, в теории Г. с. а. ф. выделились три основных
направления.
а) Изучение поведения /(z) в окрестности изолиро-
изолированной граничной точки а?Г. Наибольшее значение
имеет случай существенно особой точки а, к к-рому
относятся Сохоцкого теорема, Пикара теорема, Жюлиа
теорема, Иверсена теорема.
б) Изучение поведения /(z) в том случае, когда гра-
граница Г есть всюду разрывное множество. Большое
значение здесь имела диссертация В. В. Голубева
«Однозначные аналитические функции с совершенным
множеством особых точек» A916, см. [1]).
в) Изучение поведения /(z) в том случае, когда об-
область D ограничена непрерывной замкнутой кривой Г.
В частности, наиболее важен случай единичного круга.
Случаи а) и в) — в нек-ром смысле крайние, случай
б) — промежуточный. Наибольшее внимание исследо-
исследователей привлек случай в), о к-ром говорится ниже.
Пусть аналитич. функция /(z) определена в конеч-
конечной односвязной области D комплексной плоскости z,
ограниченной жордановой спрямляемой кривой Г.
Основными проблемами, характерными для классич.
направления изучения Г. с. а. ф., являются следующие.
1) Проблема существования гра-
граничных значений, т.е. вопрос о том, при ка-
каких условиях и в каком смысле существуют граничные
значения /(z) при приближении точки z к Г. Эта проб-
проблема, как и последующие, иначе может быть сформу-
сформулирована как задача о выделении достаточно обширных
классов аналитич. функций в D, имеющих в том или
ином смысле граничные значения на достаточно мас-
массивных множествах точек Г.
2) Проблема граничного представ-
представления /(z), т. е. вопрос о тоЛ1, при каких условиях
и при помощи какого аналнтич. аппарата может быть
выражена зависимость функции /(z) от ее граничных
значений на Г. Здесь, очевидно, для различных клас-
классов аналитич. функций аналитич. аппарат будет варьи-
варьироваться.
3) Проблема единственности, или
вопрос о том, какими свойствами должно обладать
множество ЕсГ, чтобы две аналитич. функции того
или иного класса совпадали всюду в D, если их гра-
граничные значения на Е совпадают.
Первым результатом в решении проблемы существо-
существования явилась теорема Фату A906): если
аналитич. функция f(z) ограничена в единичном круге
D= {z;|z|<l}, \f(z)\s^M, то почти всюду по мере Ле-
Лебега на единичной окружности Г={г; \z\ = l) сущест-
существуют радиальные граничные, или предельные, значения
/(e'9) = lim/(ге'9). При высказанных условиях можно
>•-+!— 0
показать, что почти всюду на Г существуют не только
радиальные, но и угловые граничные значения, пли
граничные значения но всем некасательным путям.
Это означает, что /(z) почти для всех точек е«е^Г
стремится к определенному пределу /(е<9), когда z
стремится к точке е'^, оставаясь внутри любого фикси-
фиксированного угла
A(eie,s)={\z\ < 1} П {|argj(e'e-*)| < f -e) , г > 0,
раствора я — 2е, меньшего я, с вершиной в точке е'9'
биссектрисой к-рого служит радиус, проведенный
в точку е'6. В определенном смысле теорема Фату не-
улучшаема; как показал Н. Н. Лузин A919), для лю-
любого множества EczT меры нуль на Г существует огра-
ограниченная аналитич. функция /(z) такая, что f(z) не
имеет радиальных пределов на Е.
Класс ограниченных аналитич. функций в области D
обозначается В (D) или _//„(/)). После результатов
Фату первоочередной задачей выглядело распрост-
распространение его теорем на более широкие классы функций.
Различают следующие основные классы аналптич.
функций в единичном круге D, связанные строгими
включениями:
A (D)(=.B (D)=HOO (D) с Нр (D) с Л'* (D) а N (D). A)
Класс A (D) — это класс однозначных аналитических
в О и непрерывных в замкнутой области D\JT=D
функций.
Классы Нp(D) для всех положительных чисел р
определяются условием
( | Г2я р Л lip
\\П\р= sup {~\0 |/(!¦««• )| Лр =
= С(/, р)< + оо. B)
Для любых 0<р1</J<+00 имеют место строгие
включения Н^аПр2а11 pi. Классы Нр впервые встре-
встречаются у Г. Харди A915), и их часто наз. клас-
классами X а р д и. При ls?p<oo в Нр можно ввести
норму по формуле B), а в Н^ — по формуле
1|/|1- = 11/||в= sup | / (г) |,
и при этом классы Нр, 1<:р<:+оо, наделенные, кроме
того, естественной структурой векторного пространства,
превращаются в банаховы пространства Хар-
д и. При 0<р<1 на Нр можно только ввести метрику
9p(f, g) — \\f~g\\'p, превращающую Нр в полное метри-
ческое ненормпруемое пространство. Класс ограничен-
ограниченных аналитич. функций ?? = //„, содержится в любом
классе Нр, р >0.
Класс N(D) мероморфных функций /(г) в единичном
круге D наз. классом функций ограни-
ограниченного вида; он был введен Р. Неванлинной
в 1924. Класс N (D) можно охарактеризовать как сово-
совокупность всех мероморфных функций /(z) в D, пред-
ставимых в виде отношения двух ограниченных регу-
регулярных функций fx{z) и /2(z) в D, /(z) = /1(z)//2(z).
Все регулярные функции f(z)?N(D) образуют под-
подкласс N*(D), причем f(z)?N*(D) тогда и только тогда,
когда выполняется условие
sup _L_^nln + |/(re'<P)|dcp = C(/) < + oo, C)
где 1п + х=1п х при In х^?0 и 1п + х=0 при In x<0.
В классе N*(D) содержатся все классы Ир, 0</?<:-|-оо.
Классы Нр имеют следующее обобщение. Пусть гр (t) —
сильно выпуклая функция при — оо <?<-[-оо,
т. е. неотрицательная выпуклая неубывающая функ-
функция такая, что г|) (?)/?—>—f-oo при ?—>--|-оо. Тогда класс
H$(D) определяется условием
sup гЬ-1 {_!_ Г2я1|)Aп |/ (ге'Ф) \) dw) =
0<г<1 I. 2л Jo J
= С(/, грХ+оо B')
[ср. с условием B), где г|:(?)=е^'].
Основной результат по проблеме существования гра-
граничных значений для случая единичного круга D
гласит: каждая мероморфная функция /(z) ограничен-
ограниченного вида в D почти всюду на Г имеет угловые гранич-
граничные значения /(е'9); эти граничные значения таковы,
что функция ln]/(e'°)J суммируема по Лебегу на Г.
Для классов Нр, 0<р<+оо, или Н-§ сюда добавляется
свойство: функция \Це1^)\р или, соответственно,
гAAп|/(с'е)[) суммируема по Лебегу на Г. Для ограни-
ограниченных функций /(z), |/(z)l«:M, вместо этого имеем
vrai max [/(e'e)|<M, 0<8<г2я. Таким образом, условие
C) можно охарактеризовать как наиболее широкое до-
достаточное условие на средний рост аналитич. функ-
функции/(z) при |z|—>-1, обеспечивающее существование по-
почти всюду на Г угловых граничных значений.
Было доказано, что условие C) нельзя существенно
ослабить. Напр., А. Зигмунд (A. Zygmund) доказал,
что для произвольной возрастающей функции гр (t),
^ (?)/г_>_0 при 0<г|+оо, существует аналитическая
в D функция j(z) такая, что
sup Г2яг|)Aп+ |/(ге'Ф)|)а!ф < + со,
О </•< 1 J0
но не имеющая нигде на Г граничных значений. Также
и при произвольно медленном росте максимума M(r;f) =
= max {|/(z)[; |z| = r} существуют аналитич. функ-
функции без радиальных граничных значений.
Граничное представление функций /(z) класса N(D),
характеризующее функции этого класса, имеет вид:
Bl (z; а„)
2л J'9,
o inl/^l-^
JO . ,
где m — целое число, т= к, если точка z = 0 — нуль
кратности к, и т — —к, если z = 0 — полюс кратности
к; к — действительное число;
— Бляшке произведение, составленное по всем нулям
ацфО функции /(z) внутри D с учетом их кратности;
B2(z; 6V) — произведение Бляшке вида E), составлен-
составленное по всем полюсам Ьхф0 функции /(z) в D; ФF) —
сингулярная функция ограниченной вариации на
[О, 2я] с производной, равной нулю почти всюду. По-
Последний интеграл в D) — типа Лебега — Стилтьеса,
первый — типа Лебега.
Как показал М. М. Джрбашян (см. [10]), теория ме-
роморфных функций ограниченного вида допускает
существенное расширение. Именно, можно ввести
семейство классов мероморфных функций Л'«, завися-
зависящее от непрерывного параметра а, — 1<ос<-|-оо,
причем классы Na характеризуются такими пара-
метрпч. представлениями, из к-рых при а=0 полу-
получается представление D). При возрастании а классы Л'а
расширяются, и класс Лг0 совпадает с классом Неван-
линны N.
Для аналитич. функций j(z)?N*(D) в представ-
представлении D) следует положить B2(z; 6v)s==l. Для функций
f(z)?Hp, 0<p<+oo, или Hty в представлении D) имеем:
B2(z; 6V)=1 и ФF) есть невозрастающая функция
указанного тина. См. также Коши интеграл.
В проблеме единственности первый результат был
получен братьями Ф. и М. Рис A916): если функция
j(z)?Hx на множестве EczT положительной меры
Лебега на Г имеет радиальные граничные значения
^(et0^ —о, то /(z)=0 в D. Представление D) позволяет
распространить эту теорему на мероморфные ограни-
ограниченного вида функции. В то же время Н. Н. Лузин
построил A919) для любого множества ?сГ меры
нуль аналитич. функцию f(z) такую, что /(е'9) = 0
всюду на Е, когда z—>-<?<9 любым способом, но /(г) не
равна тождественно нулю. Наиболее глубокие и общие
граничные теоремы единственности для мероморфных
функций общего вида были получены Н. Н. Лузиным
и И. И. Приваловым в 1925 (см. Единственности
свойства, Лузина — Привалова теоремы).
Рассмотрим случай произвольной плоской области D,
ограничившись, однако, для краткости, односвязными
областями D со спрямляемой границей Г. Условия B),
C) и B') равносильны требованию, чтобы субгармонич.
функции \f(z)\P, ln + |/(z)| и i|)(ln|/(z)|), соответственно,
имели гармоническую мажоранту в fl. В такой форме
эти условия вполне пригодны и естественны для опре-
определения классов Нр, N* и Н^ в произвольных областях.
Известно, что спрямляемая кривая Г почти во всех
точках имеет определенную касательную и нормаль.
Включения A) остаются в силе, равно как и теорема
Фату о существовании почти всюду на Г угловых гра-
граничных значений для класса N*. При этом биссектри-
биссектрисой угловых областей Д(?, в) следует считать нормаль
к Г в точке ?(;Г. Переносится также теорема единст-
единственности Ф. и М. Рисов для класса Лг*.
В случае произвольной области D В. И. Смирнов
ввел также часто употребляемые классы Ер, р >0,
со следующим определением: f(z)?Ep(D), если сущест-
существует последовательность контуров {Гу}сО, Гу->Г,
такая, что
sup \ \f(z)\r\dz\=CU, pX-foo.
Классы Ер особенно удобны при изучении вопросов
представимости функций интегралом Коши.
Значительный интерес вызывает изучение Г. с. а. ф.,
осуществляющих конформное отображение. Пусть
функция z=F(w) осуществляет конформное отображе-
отображение единичного круга |ш|<1 на область D плоскости z
со спрямляемой границей Г. Доказано, напр., что при
этом производная F'(w) принадлежит классу Харди Н1
в круге |м>|<1, а следовательно, она представима
в форме D) с -52=1 п невозрастающей сингулярной
функцией Ф(Э). В. И. Смирнов указал на важность
класса S таких областей D, для к-рых эта сингулярная
функция Ф(9)=0. В 1937 М. В. Келдыш и М. А. Лав-
Лаврентьев построили пример области со спрямляемой
границей, не входящей в этот класс S Смирнова, что
еще более подчеркивает важность характеризации об-
областей типа Смирнова.
Усилия многих исследователей направлены также
на изучение Г. с. а. ф. /(z) многих комплексных пере-
переменных z=(z1, z2, ..-, 2„). Пусть D= Un= {z?C";
zJ<l, 7 = 1, 2, ..., п} — единичный поликруг, Тп~-=
= {z?C"; |zy-|=l, /=1, 2, ..., п} - его остов. Класс
N*(D) аналитич. функций /(z) вй можно определить
условием:
sup
0<r< I
Г ln+|/(rz)|dmn(z)-C(/)<
J Т™
аналогичным C), а классы Нp(D) или Il^(D) — усло-
условием типа (ty(t) = ePt для случая Hp(D), p>0):
1
sup tf-
О < г < 1 IJ Т"
где т„— нормированная Хаара мера на Г", mn(Tn)=l.
Включения типа B = Hx,CZH^aN* сохраняются. Ана-
лнтич. функции 1(z)?N*(D) почти всюду на Тп по
мере Хаара тп имеют «радиальные» граничные значе-
значения /*(z) = lim f(rz), z?T", причем ln+|/*(z)| сумми-
r^i—о
руем на Тп по мере тп. Для граничных представлений
и свойств единственности функций f(z) в U" при и>1
достаточно простых и общих адекватных характеристик
пока A977) не найдено.
Многие граничные свойства переносятся на различ-
различные обобщения аналптич. функций, в частности на
абстрактные аналитич. функции/ : /)—>-Х со значениями,
напр., в отделимом локально выпуклом топологич.
пространстве X над полем С.
Лит.: [1] Голубев В. В., Однозначные аналитические
функции. Автоморфные функции, М., 1961; [2] Г о л у з и и
Г. М., Геометрическая теория функций комплексного перемен-
переменного, 2 изд., М., 1966; [3] Привалов И. И., Граничные
свойства аналитических функций, 2 изд., М.—Л., 1950; [4] X а-
в и н с о н С. Я., в сб.: Итоги науки. Математический анализ.
1963, М., 1965, с. 5—80; [5] II е в а н л и н н а Р., Однозначные
аналитические функции, пер. с нем., М.—Л., 1941; [6] Нос и-
р о К., Предельные множества, пер. с англ., М., 1963; [7] К о л-
лингвуд Э., Ловатер А., Теория предельных мно-
множеств, пер. с англ., М., 19 71; 18] Мак-Лейн Г., Асимпто-
Асимптотические значения голоморфных функций, пер. с англ., М.,
1966; [9] Ловатер А., в сб.: Итоги науки и техники.
Математический анализ, т. 10, М., 1973, с. 99—259; [10]
Д ж р б а ш я и М. М., Интегральные преобразования и
представления функций в комплексной области, М., 1966,
гл. 9; [11] Рудин У., Теория функций в поликруге,
пер. с англ., М., 1974; [12] X е н к и н Г. М., Чирка Е. М.,
в сб.: Итоги науки и техники. Современные проблемы ма-
математики, т. 4, М., 1975, с. 13 —142. Е. Д. Соломенцев.
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ — см. Краевые условия.
ГРАНИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ области, прос-
простые концы области,— элементы области В ком-
комплексной плоскости, определяемые следующим об-
образом. Пусть В — односвязная область расширенной
комплексной плоскости, дВ — граница области В.
Сечением с области В наз. всякая простая
замкнутая в сферической метрике жорданова дуга с = аЪ
с концами а и Ь (случаи а=Ь, а или 6=оо не исклю-
исключаются) такая, что а, Ь принадлежат дВ; неконцевые
точки с принадлежат В; дуга с разбивает В на две
подобласти, такие, что на границе каждой из них
найдется точка, принадлежащая дВ п отличная от а
и Ъ. Последовательность К сечений сп области В наз.
цепью, если: диаметр сп стремится к 0 при д_>оо;
для каждого п пересечение сп Г) сп + 1 пусто; любой
путь, соединяющий фиксированную точку О?В в В
с сечением сп (гс>1), пересекает сечение сп^1. Две
цепи К= {сп } и К'.' = {сп} в В эквивалентны, если каждое
сечение сп разделяет в В точку О от всех сечений сп
за исключением конечного числа их. Класс эквива-
эквивалентности цепей в В наз. граничным эле-
элементом, или простым концом, области В.
Пусть Р — Г. э. области В, определяемый цепью
К~{сп), п пусть Вп— такая из двух подобластей, на
к-рые сп разбивает область В, что она не содержит
точку О. Множество I(Р)— Г\п=\Вп наз. телом (или
н о с и т е л е м) Г. э. Тело Г. э. состоит из точек
границы и не зависит от выбора пепи К в классе
эквивалентности. Главной точкой Г. э. наз. точка
Г. э., к к-рой стягиваются (сходятся) сечения по
крайней мере одной из цепей, определяющих рас-
рассматриваемый Г. э. Смежно й (или дополни-
т е л ь н о й) т о ч к о и Г. э. наз. всякая его точка,
не являющаяся главной. Всякий Г. э. содержит
но крайней мере одну главную точку. Главные точ-
точки Г. э. образуют замкнутое множество. Г. э. сле-
следующим образом классифицируются по К. Каратео-
дори [1]: Г. э. 1-го рода содержит единственную
главную точку и не содержит смежных точек; Г. э.
2-го рода — единственную главную точку и беско-
бесконечное множество смежных точек; Г. э. 3-го рода —
континуум главных точек и не содержит смежных то-
точек; Г. э. 4-го рода — континуум главных точек и бес-
бесконечное множество смежных точек.
Другое равносильное определение Г. э. дал П.Кёбе [2].
Оно основано на классах эквивалентности путей.
Основной в теории Г. э. является теорема К а-
ратеодори: при однолистном конформном отобра-
отображении области В на единичный круг |?|<1 между
точками окружности |?|=1 и Г. э. области В сущест-
существует взаимно однозначное соответствие. При этом
каждая последовательность точек области В, сходя-
сходящаяся к Г. э. Р, преобразуется в последовательность
точек единичного круга, сходящуюся к точке ?0, | ?0 1 = 1.
являющейся образом Г. э. Р.
Лит.: [1] Carathgodory С, «Math. Ann.», 1913,
Bd 73, S. 323—70; [2] К о e b e P., «J. reinc und angew. Math.»,
1915, Bd 145, S. 177—223; [3] Суворов Г. Д., Семейства
плоских топологических отображений, Новосиб., 1965; [4]
Маркушевич А. II., Теория аналитических функций,
2 изд., т. 2, М., 1968; [5] К о л л и н г в у д Э., Л о в а т е р А.,
Теория предельных множеств, пер. с англ., М., 1971, гл. 9.
Е. Г. Голузина.
ГРАНИЧНЫХ ВАРИАЦИЙ МЕТОД — метод иссле-
исследования однолистных функций, основывающийся на
рассмотрении вариаций функции w=f(z), однолистной
в области плоскости с, причем вариации функции
определяются надлежащими вариациями границы об-
образа этой области.
О с н е в н а я лемма Г. в. м. Пусть D — об-
область плоскости w и дополнение Д области D до рас-
расширенной плоскости состоит из нек-рого числа конти-
континуумов. Пусть Г — континуум в Д и на Г существует
аналитич. функция s(w)=^=Q такая, что для любой
точки w0 ? Г и для любой однолистной в области D
функции F(w), представпмой в виде
справедливо неравенство
причем оценка остаточного члена в (*) является равно-
равномерной в каждой замкнутой подобласти области D.
Тогда Г — аналитическая кривая и представляется
параметрически посредством функции w=w(t) от дейст-
действительного параметра (. Этот параметр можно выбрать
таким образом, что Г удовлетворяет дифференциаль-
дифференциальному уравнению
чг) *(«0-7-1=0-
Этот результат обнаруживает существенную роль
квадратичных дифференциалов в решении экстремаль-
ных задач теории однолистных функций, так как во
многих приложениях s(w) оказывается мероморфной
функцией. В нек-рых случаях из условий задачи сле-
следует, что соответствующие полюсы функции s(ir) при-
принадлежат границе экстремальной области, и основная
лемма Г. в. м. показывает, что граница этой области
принадлежит объединению замыканий критич. траек-
траекторий квадратичного дифференциала
Q (wjdw2— — s (w)dw2.
Для ряда экстремальных задач основная лемма Г. в. м.
не только дает качественный результат, но и окапы-
окапывается достаточной информацией для определения гра-
границы экстремальной области, что приводит к полному
решению данной задачи.
Посредством Г. в. м. были получены: качественные
результаты в коэффициентов проблеме для класса S
и в задаче о максимуме и-го диаметра в семействе
континуумов данной емкости, решение ряда экстре-
экстремальных задач однолистных конформных отображений
двусвязных областей, искажения теоремы для много-
многосвязных областей, дающие одновременно доказательство
теорем существования однолистных конформных отоб-
отображений данной многосвязной области на канониче-
канонические области, и др.
Лит.: [1] Schiffer M., «Proc. London Math. Soc.»
1938, ser. 2, v. 44, p. 432—49; [2] Ш и ф ф е р М., Некоторые
новые результаты в теории конформных отображений, пер. с
англ., в кн.: Р. Курант, Принцип Дирихле, конформные
отображения и минимальные поверхности, М., 195.'!; [3]
Schiffer M., в сб.: Calculus of variations and its applica-
applications, N. Y.—Toronto—L., 1958, p. 93 —113. Г. В. Кузьмина.
ГРАНЬ многогранника — плоский много-
многоугольник, являющийся частью поверхности многогран-
многогранника и ограниченный его ребрами.
ГРАССМАНА МНОГООБРАЗИЕ — множество
Gnm(k), т<.п, всех m-мерных подпространств в «-мер-
«-мерном векторном пространстве V над телом к. Если к —
поле, то Gnm{k) с помощью грассмановых координат
(см. Внешняя алгебра) вкладывается в (С™— 1)-мерное
проективное пространство над к в виде компактного
алгебраич. многообразия. В изучении геометрич.
свойств Г. м. большую роль играют так наз. много-
многообразия Шуберта S а , 0<я0<я1<...<
<_ат<^:п, определяемые следующим образом: если
0= Vocz t/1c:...c:Fn= V — флаг подпространств, т.е.
набор таких подпространств, что diiaV/i=k, то
Saa a={W€Gnm{k}
Любое р-мерное алгебраич. подмногообразие в Г. м.
Gn,m(k) эквивалентно единственной целочисленной ли-
линейной комбинации многообразий Sa a a , где
2?oT
В случаях, когда к — поле действительных чисел R,
поле комплексных чисел С или тело кватернионов Н,
Г. м. над к можно рассматривать как компактное ана-
литич. многообразие (действительное при fc=R н Н и
комплексное при fc=C). Эти многообразия замеча-
замечательны тем, что являются классифицирующими прост-
пространствами для классических групп О(т), U(m), Sp(m)
соответственно. Точнее, для любого клеточного ком-
комплекса X размерности <с(п+1) — 2, где с=\, 2, 4
соответственно, множество классов изоморфных т-
мерных векторных расслоений над к с базой А" нахо-
находится в естественном взаимно однозначном соответст-
соответствии с множеством гомотопич. классов непрерывных
отображений X-^~Gn + m т(к) (см. [2]). Аналогичная
теория для групп SO (m)' и SU(m) приводит к рассмот-
рассмотрению Г. м. Gnitn(k) (k=R или С) ориентированных
m-мерных подпространств в кп. Перечисленные Г. м.
тесно связаны, в частности, с теорией характеристиче-
характеристических классов.
Роль, к-рую играют Г. м. в топологии, потребовала
детального изучения их топологич. инвариантов. Ста-
Старейший метод этого изучения основан на многообразиях
Шуберта, с помощью к-рых легко построить клеточное
разбиение для Gnm(k) (fc=R, С, Н). Оказывается,
в частности, что циклы Saoa] пт порождают базисы
групп гомологии #*(Gn,m"(C),ZO H*(Gn,m(R), Z2)>
H*(Gn ,Л(Н),2!)- Хорошо изучены также алгебры кого-
мологий Г. м. и действие степеней Стинрода на них [3].
Другой аспект теории Г. м. состоит в том, что они
являются однородными пространствами линейной
группы над соответствующим телом и представляют
собой основные примеры неприводимых симметри-
симметрических пространств.
Многообразия, аналогичные Г. м., можно конструи-
конструировать также из подпространств бесконечномерных
векторных пространств. В частности, в теории дефор-
деформаций аналитич. структур существенную роль играет
банахово аналитич. многообразие (Jg, элементами к-рого
являются замкнутые подпространства банахова прост-
пространства В над С, допускающие замкнутое прямое до-
дополнение.
Лит.: [11 X одж В., Пи до Д., Методы алгебраической
геометрии, пер. с англ., т. 2, М., 1954; [2] X ь ю з м о л л е р Д.,
Расслоенные пространства, пер. с англ., М., 1970; [3J Рассло-
Расслоенные пространства и их приложения, М., 1958; [4] Ч ж э н ь
ПТ эн-ш а н ь, Комплексные многообразия, пер. с англ., М.,
1961. А. Л. Онищик.
ГРАФ — множество V вершин и набор Е неупоря-
неупорядоченных и упорядоченных пар вершин; обозначается
Г. через G(V, E). Неупорядоченная пара вершин наз.
ребром, упорядоченная пара — дугой. Г., содер-
содержащий только ребра, наз. неориентирован-
н ы м; Г., содержащий только дуги,— ориенти-
ориентированным. Пара вершин может соединяться двумя
или более ребрами (дугами одного направления),
такие ребра (дуги) наз. кратными. Дуга (или ребро)
может начинаться и кончаться в одной и той же вер-
вершине, такая дуга (ребро) наз. петлей. (Иногда
под Г. понимают Г. без петель и кратных ребер; тогда
Г., в к-ром допускаются кратные ребра, наз. м у л ь т и-
графом, а Г., в к-ром допускаются кратные ребра
и петли, наз. псевдографо м.)
Вершины, соединенные ребром или дугой, наз.
смежными. Ребра, имеющие общую вершину,
также наз. смежными. Ребро (дуга) и любая
из его двух вершин наз. инцидентными. Гово-
Говорят, что ребро (и, и) соединяет вершины и и v, а дуга
(и, г) начинается в вершине и и кончается в вершине v.
Каждый Г. можно представить в евклидовом прост-
пространстве множеством точек, соответствующих верши-
вершинам, к-рые соединены линиями, соответствующими
ребрам (или дугам) Г. В трехмерном пространстве
любой Г. можно представить таким образом, что линии,
соответствующие ребрам (дугам), не пересекаются во
внутренних точках.
Существуют различные способы задания Г. Пусть
иъ и%, ..., ип~ вершины графа G(V, E), а е1} е2, ...
•••! ет~ ег0 ребра. Матрицей смежности, со-
соответствующей графу G, наз. матрица А = ||а,у||, у к-рой
элемент а,-у равен числу ребер (дуг), соединяющих
вершины и; и uj (идущих из щ в uj), и а,у=0, если соот-
соответствующие вершины не смежны. В матрице
инцидентности В= ||6,-у|| графа G элемент
6,у=1, если вершина и,- инцидентна ребру бу, и 6,у=0,
если вершина и, и ребро е}- не инцидентны. Г. можно
задать посредством списков, напр., указанием пар
вершин, соединенных ребрами (дугами), или заданием
для каждой вершины множества смежных с ней вер-
вершин. Два графа G(V, Е) и H(W, I) наз. и з о м о р ф-
н ы м и, если существует взаимно однозначное соот-
соответствие между множествами вершин V, W н множест-
вами ребер Е, I, сохраняющее отношение инцидент-
инцидентности (см. также Графов изоморфизм).
Подграфом G'(V, E') графа G(V, E) наз. Г.
с множеством вершин V'^ZV и множеством ребер (дуг)
Е'^Е, каждое из к-рых инцидентно только верши-
вершинам из V. Подграфом G'(V, Е ), порожденным
подмножеством V'^V, наз. Г. с множеством вершин
V и набором ребер (дуг) Е', состоящим из всех ребер
(дуг) графа G, к-рые соединяют вершины из V. Остов-
ный подграф G (V, Е') содержит все вершины
графа G и нек-рый поднабор его ребер (дуг) Е'д^Е.
Последовательность ребер (и0, иг), (ии м2), ..., ("i-i,
щ), {щ, м,- + 1), ..., (мг-1, иг) наз. маршрутом,
соединяющим вершины и0 и иг. Маршрут замкнут,
если ио=иг. Маршрут наз. цепью, если все его ребра
различны, и простой цепью, если все его вер-
вершины различны. Замкнутая (простая) цепь наз. (и р о-
с т ы м) ц и к л о м. Г. наз. связны м, если любая
пара его вершин соединена маршрутом. Максимальный
связный подграф графа G наз. компонентой
связности. Несвязный Г. имеет по крайней мере
две компоненты связности (см. также Графа связность).
Длина маршрута (цепи, простой цепи) равна коли-
количеству ребер в порядке их прохождения. Длина крат-
кратчайшей простой цепи, соединяющей вершины и; п и.-
в графе G, наз. расстоянием d(u;, uj) между
и,- и uj. В связном неориентированном Г. расстояние
удовлетворяет аксиомам метрики. Диаметр Г.— это
его наибольшее расстояние. Величина min max d(u;, uj)
Щ Uj
наз. радиусом, а вершина и0, для к-рой
max d(uj, и,-) принимает наименьшее значение, наз.
и ;
центром графа G. В Г. может быть много центров
и ни одного.
Степенью вершины и,- графа G, обозначае-
обозначаемой d[, наз. число ребер, инцидентных этой вершине.
Если граф G (без петель) имеет п вершин и т ребер, то
2j[=ldi = 2m. Вершина u-t наз. изолированной,
если dj = Q, и концевой, если d,-—1. Г., у к-рого
все вершины имеют одинаковые степени (равные к),
наз. регулярным (степени к). В полном
Г. нет петель и каждая пара вершин соединена в точ-
точности одним ребром. Для графа G(V, E), не имеющего
петель и кратных ребер, дополнительным Г.
к G наз. граф G(V, E), у к-рого Г= V и вершины смежны
в G только в том случае, когда они не смежны в G. Г.,
дополнительный к полному, состоит из изолированных
вершин и наз. пустым. Многие характеристики для
графа G и его дополнения G оказываются зависимыми.
В ориентированном графе G для каждой вершины и;
определяются полустепень исхода и по-
полустепень захода как количества дуг, вы-
выходящих из этой вершины и входящих в нее соответст-
соответственно. Полный ориентированный Г. наз. турниром.
Каждому графу G можно отнести ряд Г., являющихся
производными от G. Так, реберным графом L (G)
графа бназ. Г., вершины к-рого соответствуют ребрам
графа G и две вершины смежны в L(G) в том и только
в том случае, когда соответствующие им ребра графа G
смежны. В тотальном графе Т(G) графа G
вершины соответствуют элементам графа G, т. е. вер-
вершинам и ребрам, и две вершины в Т (G) смежны тогда
и только тогда, когда соответствующие элементы в G
смежны или инцидентны. Многие свойства графа G
переносятся на графы L(G) и T(G). Известно много
обобщений понятия «Г.»; одними из них являются
понятия гиперграфа и сети.
С помощью различных операций можно строить Г.
из более простых, переходить от одного Г. к более
простому, разбивать Г. на более простые, в заданном
классе Г. переходить от одного Г. к другому и т. д.
Наиболее употребительными одноместными операциями
являются: удаление ребра (вершины ребра
сохраняются), добавление ребра между двумя
вершинами Г., удаление вершины вместе
с инцидентными ей ребрами (Г., полученный в резуль-
результате удаления вершины v из графа G, часто обозначают
G— v), добавление вершины (к-рую можно
соединить ребрами с нек-рыми вершинами Г.), стя-
стягивание ребра — отождествление пары смеж-
смежных вершин, т. е. удаление пары смежных вершин
и добавление новой вершины, смежной с теми верши-
вершинами Г., к-рые были смежны хотя бы с одной из удален-
удаленных вершин; подразбиение ребра— удале-
удаление ребра и добавление новой вершины, к-рая соеди-
соединяется ребром с каждой вершиной удаленного ребра.
В ряде задач теории Г. используются двуместные
операции над Г. Пусть Gt=G(l"b Ex) и G2=G(V2, Ег)~-
Г. такие, что \'1[]\/2=ф и Е1Г\Е2=ф. Объединением
графов G1 и G2 наз. граф G=G1(JG2 с множеством
вершин V=V1(JV2 и множеством ребер E = E1\JE2.
Произведением графов Gx и G2 наз. граф G=GjXG2,
множеством вершин к-рого являются элементы декар-
декартова произведения F=F1X V2, причем две из этих вер-
вершин (щ, и2) и (v1, v2) смежны в том и только в том слу-
случае, если либо 1^=!;! и вершина и2 смежна с вершиной
i>2, либо и2=г;2 и вершина щ смежна с вершиной vx.
Напр., любой Г. является объединением своих компо-
компонент связности; Г., известный как n-мерный единич-
единичный куб Qn, может быть определен рекуррентно с помо-
помощью операции произведения:
где <?i = A'2 — граф, состоящий из пары вершин, соединен-
соединенных одним ребром. Эти операции можно определить
также для пересекающихся Г., в частности для под-
подграфов одного Г. Сложением по модулю 2
графов Gj и С2 наз. граф G с множеством вершин
V= V1U V2 и множеством ребер E={E1\JE2)\(E1f\E2).
tif иг (/, и„ Употребляются и
• «^ ^ другие многомест-
многоместные операции над Г.
Для некоторых
классов Г. удается
найти простые оие-
" " "° "« рации, позволяющие
3 4 Рис j с помощью много-
многократного их приме-
применения перейти от любого Г. изучаемого класса
к любому другому Г. этого класса. На рис. 1 приведена
операция, с помощью к-рой в классе Г. с одинаковым
набором степеней можно перейти от одного произволь-
произвольного Г. к любому другому; на рис. 2 показана операция,
позволяющая в классе плоских триангуляции (см.
Граф плоский) с одинаковым числом вершин перейти от
произвольной триангу-
^ ляции к любой другой.
Для описания и изу-
изучения нек-рых классов
Г. отыскиваются такие
операции и множества
Г., из к-рых с помощью
Рис 2. данных операций мож-
можно получить любой Г.
заданного класса. Операции над Г. используются так-
также для построения Г. с заданными свойствами, при
вычислении графов числовых характеристик и т. д.
Понятие «Г.» используется в определении таких ма-
тематнч. понятий, как управляющая система, в нек-рых
определениях алгоритма, грамматики и др. Изложение
ряда математич. теорий становится более наглядным
при использовании геометрич. представления Г., напр.
теории марковских цепей. Понятие «Г.» широко ис-
используется при создании и описании различных мате-
матич. моделей в экономике, биологии и т. д.
Лит.: [1] Б ер ж К., Теория графов и ее применения,
пер. с франц., М., 1962; [2] О р е О., Теория графов, пер.
с англ., М., 1968; [3] Зыков А. А., Теория конечных гра-
графов, [в. 1], Новосиб., 1969; [4] X а р а р и Ф., Теория графов,
пер. с англ., М., 1973. В. П. Козырев.
ГРАФ ДВУДОЛЬНЫЙ, б и хроматический
гр а ф,— граф, множество вершин к-рого V можно
разбить на два непересекающихся подмножества V
и V" (т. е. V=V \JV", V f]V"= ф) так, что каждое
ребро соединяет нек-рую вершину из V' с нек-рой
вершиной из V". Граф является Г. д. тогда и только
тогда, когда все его простые циклы имеют четную длину.
Под Г. д. часто понимают также граф, в к-ром заранее
заданы подмножества вершин V и V" (дол и). Г. д.
удобны для представления бинарных отношений
между элементами двух разных типов, напр.: взяв эле-
элементы данного множества и его подмножества, имеем
отношение «вхождение элемента в подмножество»;
для исполнителей и видов работ имеем отношение
«данный исполнитель может выполнять данную работу»
и т. д.
Среди задач о Г. д. важное место занимает изучение
п а р о с о ч е т а н и й, т. е. семейств попарно не-
несмежных ребер. Такие задачи возникают, напр., в тео-
теории расписаний (разбиение ребер Г. д. на минимальное
число непересекающихся паросочетаний), в задаче
о назначениях (нахождение максимального паросоче-
тания) н т. д. Мощность максимального паросочетания
в Г. д. равна
IF'l-max (\A'\-\V"(A')\),
где Т-'"(А') — число вершин из V", смежных хотя бы
с одной вершиной из .4'. Полный Г. д.— это Г. д.,
в к-ром любые две вершины из различных подмножеств
соединены ребром (напр., граф KStS, см. Граф плос-
плоский, рис. 1). Обобщением понятия «Г. д.» является по-
понятие «&-д о л ь н о г о г р а ф а», т. е. графа, в к-ром
вершины разбиты на к подмножеств так, что каждое
ребро соединяет вершины из разных подмножеств.
Лит.: [1] О р е О., Теория графов, пер. с англ., М., 1968.
ГРАФ ОРИЕНТИРОВАННЫ!! — граф, каждому
ребру к-рого приписана ориентация. Г. о. G задается
множеством вершин V и набором Е упорядоченных
пар вершин, наз. дугами. Говорят, что дуга (и, v)
исходит из вершины и и входит в вершину v. Число
дуг, исходящих из v, наз. полустепенью ис-
исхода вершины у, а число дуг, входящих в у,
наз. полустепенью захода вершины г.
Чередующаяся последовательность вершин и дуг v0,
ei! yij e2i •••> en, vn> в к-рой e,' = (i;Ii_l, i'i), i=l, 2, ..., n,
наз. маршрутом (ориентированным). Маршрут
наз. замкнутым, если его первая и последняя
вершины совпадают. Путь — это маршрут, в к-ром
все вершины различны. Контур — это нетривиаль-
нетривиальный (содержащий хотя бы одну дугу) замкнутый марш-
маршрут, у к-рого все вершины различны, кроме первой
и последней. Если существует путь из вершины и
в вершину у, то говорят, что у д о с т м ж и м а из и.
Г. о. G с нумерованными вершинами ух, ..., vn и ду-
дугами elt ..., ет можно задать матрицей инци-
инцидентности, т. е. матрицей ||6,у|| размера пХт,
в к-рой
С +1, если дуга ej исходит из [>,-,
bij=-l—i, если дуга ej заходит в у,-,
\ 0, если дуга е^ не инцидентна t--,-
Матрицей смежности A (G) вершин Г. о.
G наз. матрица ||а,-у|| размера пХп, в к-рой элемент а,у
равен числу дуг, идущих из i>,- в ty. Суммы элементов
по строкам матрицы A (G) равны нолустепеням исхода
вершин Г. о. G, а суммы элементов по столбцам — полу-
полустепеням захода. Элемент (г, /) матрицы Ak(G) (т. е.
k-ii степени матрицы смежности графа G) равен числу
маршрутов длины к, идущих из и; в vy.
В Г. о. можно определить несколько типов связности
(см. Графа связность). Г. о. наз. сильносвяз-
н ы ы, или сильны м, если любые две его вершины
взаимно достижимы; односторонне связным,
если для любых двух его вершин по крайней мере одна
достижима из другой; слабосвязным, или
слабым, если любые две его вершины соединены
цепью в графе, полученном из исходного Г. о. заменой
каждой дуги (неориентированным) ребром.
Г. о. используются: в теории вероятностей для пред-
представления Маркова цепей; в теории игр при описании
множества игровых ситуаций и результатов состяза-
состязаний; в математич. экономике при решении транспортных
задач; в теории автоматов для задания диаграмм пере-
переходов и т. п. В самой теории графов при решении
нек-рых задач относительно неориентированных графов
иногда вводят ориентацию, сводя исходную задачу
к задаче над Г. о. Основное отличие Г. о. от неориенти-
неориентированного графа проявляется при определении таких
понятий, как путь, связность, достижимость, расстоя-
расстояние и др. Наиболее интересными типами Г. о. являются
тур)шры, транзитивные графы, графы частичных по-
порядков, растущие деревья, графы однозначных отобра-
отображений, бесконтурные графы.
Лит.: [1] Зыков А. А., Теория конечных графов, [в. 1],
Новосиб., 1969; [2] X ар ар и Ф., Теория графов, пер. с
англ., М., 1973; [3] Р 1 с а г d G. F., G.raphes et questionnaires,
V. 1—2, P., 1972. А. А. Сапоженко.
ГРАФ ПЛОСКИЙ, пленарный граф,— граф,
допускающий правильную укладку на плоскости (см.
Графа укладка). Иными словами, граф G наз. п л о с-
к и м, если он может быть изображен на плоскости
так, что вершинам соответствуют различные точки
плоскости, а линии, соответствующие ребрам (исключая
их концевые точки), не проходят через точки, соответст-
соответствующие вершинам, и не пересекаются. К рассмотре-
рассмотрению Г. и. сводятся такие задачи, как задача о раскраске
карт, задачи о проектировании коммуникаций, задачи
из радиоэлектроники, связанные с реализацией схемы
с помощью плоских печатных подсхем, и др. Любая
правильная (без пересечения ребер) укладка связного
Г. п. порождает разбиение плоскости на отдельные об-
области (грани). Такое разбиение плоскости наз. пло-
плоской к а р т о й. Для любой плоской карты имеет
место формула Эйлера
и —m+r=2,
где п — число вершин, т — число ребер и г — число
областей карты (включая внешнюю область). Отсю-
Отсюда графы А'5 (полный граф с ге=5) и К33 (полный
граф двудольный, имею-
имеющий по 3 вершины в
каждой доле, см. рис.
1) не являются плос-
плоскими. Эти графы яв-
являются в нек-ром смыс-
смысле минимальными не-
5 з.з плоскими графами в
Рис 1. силу теоремы
Понтрягина —
Куратовского: граф плоский тогда п только
тогда, когда он не содержит подграфа, гомеоморфного
графу Къ или Л?3 (см. Графов гомеоморфизм).
Существуют и другие критерии планарности (т. е.
свойства графа быть плоским). В частности, граф G
является плоским тогда и только тогда, когда каждая
нетривиальная двусвязная компонента графа G обла-
обладает таким базисом циклов ZX) Z2, .... Zm и таким
дополнительным циклом ZOl что любое ребро G при-
принадлежит точно двум из этих т+1 циклов (базис
циклов — это подмножество циклов данного гра-
графа, независимое и полное во множестве всех циклов
графа относительно операции сложения по модулю 2,
см. Граф).
Любой Г. п. можно изобразить на плоскости так,
чтобы все его ребра являлись отрезками прямых.
Любой трехсвязный Г. п. (см. Графа связность) единст-
единственным образом уклады-
вается на сфере (с точ-
точностью до гомеоморфизма
сферы). Каждой укладке
Г. и. на плоскости, а сле-
следовательно и плоской кар-
карте, можно поставить в со-
соответствие геометрически
двойственный ей
граф, получаемый следую- \ / Рис. 2.
щим образом. В каждую V. У
область карты помещается
ио вершине Г. п., и если две области имеют общее ребро
е, то помещенные в них вершины соединяются ребром
е*, пересекающим только ребро е (на рис. 2 сплошны-
сплошными линиями изображена укладка Г. п., а штриховыми —
двойственный ей граф). Плоская карта, каждая грань
к-рой ограничена тремя ребрами, наз. плоской
триангуляцией. Число ребер плоской триан-
триангуляции с п вершинами равно Зге— 6.
В теории графов большое внимание уделяется рас-
раскраскам Г. и. (см. Графа раскраска); для неплоских
графов изучаются различные числовые характеристики,
показывающие степень ненланарности, напр, род, тол-
толщина, крупность графа, число скрещиваний и др. (см.
Графа укладка).
Лит.: [1] X а р а р и Ф., Теория графов, пер. с англ.,
М., 1973. В. Б. Алексеев.
ГРАФ СЛУЧАЙНЫЙ — вероятностная модель, пред-
предназначенная для изучения частотных характеристик
различных параметров графов. Под Г. с. обычно по-
понимается нек-рый класс графов $^={<?}, на к-ром
задано распределение вероятностей. Произвольный
конкретный граф G пз g наз. р е а л и з а ц и е й Г. с.
Всякая числовая характеристика графа (см. Графов
числовые характеристики) может рассматриваться как
случайная величина. Понятие Г. с. оказывается весьма
полезным при моделировании сетей связи, подвержен-
подверженных нек-рым случайным изменениям, или логических
сетей, элементы к-рых могут приходить в неисправные
состояния; при рассмотрении картины фазовых прев-
превращений в статистич. физике; при изучении различных
биологич. процессов; при решении задач минимизации
булевых функций и др. В ряде случаев понятие Г. с.
позволяет использовать аппарат теории вероятностей
для получения асимптотич. решений перечислительных
задач.
Одной из типичных является такая конструкция Г. с,
при к-рой все реализации получаются в результате
применения к заданному неслучайному графу G (чаще
всего полному) нек-рой процедуры уничтожения его
ребер; при этом обычно предполагается, что уничтоже-
уничтожение различных ребер — события независимые и унич-
уничтожение ребра е происходит с вероятностью q(e).
Такую конструкцию Г. с. обозначают $о( {?(«)}).
Наибольший интерес представляет изучение различных
числовых характеристик связности Г. с. '§a({cl{e)})
таких, как число компонент связности, диаметр, ра-
радиус, число связности и т. п., к-рые можно интерпрети-
интерпретировать как характеристику надежности соответствую-
соответствующей сети связи или логической сети. В этом случае
число 1 — q(e) характеризует надежность связи е, а
q(e) — вероятность выхода ее из строя.
Если G — полный граф с п вершинами, д(е)—<?>
0<(/<1, то с вероятностью, стремящейся к 1 при
п—>-оо, Г. с. <§o({q(f)}) связен, имеет диаметр и радиус,
равные 2, содержит гамильтонов цикл (см. Графа об-
обход). Если q(e) — функция числа вершин п, то вероят-
вероятность связности Г. с. <Sn(q) = '§o ({q(e)}) зависит от
близости величины 1 — q(e) к lnre/n. Точнее, пусть
хп-=п A — q (е)) — In n;
тогда ^л(д) стремится к 1 при п—>-оо, если lim г„=оо;
-* ее
стремится к 0, если lim xn=0; стремится к е~е~с, если
П->- ос
lim xn=c (с — нек-рая константа). В последнем случае
число ребер Г. с. асимптотически равно —^—•
Этот же Г. с. 4fn(q) может рассматриваться как граф,
получаемый из неслучайного пустого п-вершинного
графа путем случайного соединения его вершин реб-
ребрами так, что любая пара вершин соединяется незави-
независимо от остальных с вероятностью p = i — q. Этому спо-
способу образования графа $,г(д) можно придать дина-
динамику, если положить q=e-i, ?>0, и смотреть на t как
на время. При этом наблюдается следующая картина.
В начальный момент времени ?=0 имеется п изолиро-
изолированных вершин. Затем с ростом t появляются нетриви-
нетривиальные компоненты связности, представляющие собой
деревья или связные графы с одним циклом и малым
числом вершин. Затем появляется одна «главная»
компонента, содержащая число вершин, асимптоти-
асимптотически равное п (при больших п). Дальнейший процесс
характеризуется ростом главной компоненты и умень-
уменьшением числа малых компонент. Наконец, наступает
момент, когда граф становится связным. Эту эволю-
эволюцию Г. с. можно рассматривать как модель картины
фазовых превращений, где роль жидкой фазы играет
главная компонента, а роль разреженной фазы играют
компоненты с малым числом вершин.
Существует много других видов Г. с, напр. Г. с,
связанные с деревьями (случайные деревья),
с однозначными отображениями конечного множества
в себя (случайные отображения), с под-
подграфами единичного /(-мерного куба (случайные
булевы функции).
Лит.: Ш Мур Э. Ф., Шеннон К. Э., «Кибернети-
«Кибернетический сборник», 1960, в. 1, с. 109—48; [21 Степанов В. Е.,
в кн.: Вопросы кибернетики. Труды семинара по комбинаторной
математике, М., 1973, с. 164—85; [3] Дискретная математика и
математические вопросы кибернетики, т. 1, М., 1974; [4] С а-
поженко А. А., «Проблемы кибернетики», 1975, в. 30,
С. 227—61. А. А. Сапоженпо.
ГРАФ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЙ — граф, на к-ром та или
иная числовая характеристика принимает свое мини-
минимальное или .максимальное значение. Обычно отыски-
отыскиваются экстремальные значения нек-рой одной число-
числовой характеристики при ограничениях на другие чис-
числовые характеристики и свойства. Часто задача состоит
в описании множества соответствующих Г. э. Пусть,
напр., зафиксированы целые положительные числа п
и А; и отыскивается наибольшее число ребер п-вершин-
п-вершинного графа, не имеющего полных подграфов с fc-j-1
вершинами. Установлено, что это число равно
-Ть~ Уг г ) ~\ 2 '
где ra=fcf-j- 1 + г. При этом единственным с точностью
до изоморфизма Г. э. является полный А-дольный граф,
мощности долей к-рого отличаются не более чем на еди-
единицу (см. [3]).
На Г. э. изучаемые числовые характеристики дости-
достигают своего глобального экстремума. Так наз. кри-
критические графы могут рассматриваться как
локально оптимальные. Пусть заданы нек-рое свойство
А и набор одноместных операций Оь ..., Os над гра-
графами. Граф G, обладающий свойством А, наз. критиче-
критическим по свойству А относительно операций Ох, ..., Os,
если после применения любой из этих операций полу-
получается граф, не обладающий свойством А. При этом
предполагается, что множество графов, не обладающих
свойством А, замкнуто относительно рассматриваемых
операций. В качестве свойства А рассматриваются
такие свойства графа, как быть связ-
связным, плоским, ^-хроматическим и т. п.,
а в качестве операций — операции уда-
удаления и добавления вершины или
ребра, стягивания ребра и др. Напр.,
граф Петерсена (см. рис.) явля-
является критическим по свойству иметь
реберное хроматическое число, равное 4, относительно
операции удаления ребра. Полный пятивершинный
граф Къ и полный двудольный граф К3,3 (см. Граф
плоский, рис. 1), каждая доля к-рого имеет три вер-
вершины, являются критическими по свойству не быть
плоским относительно операций удаления ребра, стя-
стягивания ребра, удаления вершины.
При изучении свойств и характеристик графов ока-
оказывается полезным изучение их критических
подграфов, т. е. подграфов, обладающих теми
или иными свойствами и являющихся минимальными
(максимальными) по включению. Примеры таких под-
подграфов — компоненты связности (А-связности), остов-
ные деревья. Экстремальные и критич. графы служат:
для описания классов графов, обладающих заданными
свойствами и числовыми характеристиками; для уста-
установления взаимосвязи между различными свойствами
и числовыми характеристиками; для проверки наличия
того или иного свойства графа.
Лит.: [1] X ар ар и Ф., Теория графов, пер. с англ.,
М., 1973; [2] Зыков А. А., Теория конечных графов, [в. 1],
Новосиб., 1969; [3] Turin P., «Mat. Fiz. Lapok», 1941,
v. 48, p. 436—52. А. А. Сапоженко.
ГРАФА АВТОМОРФИЗМ — изоморфное отображение
графа на себя (см. Графов изоморфизм). Множество
всех автоморфизмов данного графа образует группу
относительно операции композиции автоморфизмов.
Автоморфизмы графа G порождают группу подстановок
вершин Г (G), наз. группой (или иногда вершинной
группой) графа G, и группу подстановок ребер Гх(?),
наз. реберной группой графа G. Реберная и вершинная
группы графа G без петель и кратных ребер изоморфны
тогда и только тогда, когда граф G имеет не более одной
изолированной вершины и никакая его компонента
связности не является изолированным ребром. Для
каждой конечной группы F существует граф, группа
автоморфизмов к-рого изоморфна F. В то же время су-
существуют группы подстановок на множестве из п
элементов, не являющиеся вершинной группой ни-
никакого графа с п вершинами. С Г. а. можно связать
различные типы и меры симметрии графа. А с и м-
метричным называется граф, не имеющий авто-
автоморфизмов, отличных от тождественного. При п—>-<х>
почти все графы с п вершинами являются асиммет-
асимметричными.
Лит.: [1] X а р а р и Ф., Теория графов, пер. с англ.,
М., 1973. В. Б. Алексеев.
ГРАФА ОБХОД — маршрут, содержащий все вер-
вершины или ребра графа и обладающий определенными
свойствами. Наиболее известными Г. о. являются эйле-
эйлеровы и гамильтоновы цепи и циклы. Маршрут (замкну-
(замкнутый маршрут) наз. эйлеровой цепью (эйле-
(эйлеровым цикло м), если он содержит все ребра
графа и проходит через каждое ребро по одному разу.
Имеется эффективный критерий существования эйле-
эйлеровых циклов (теорема Эйлера): связный
граф имеет эйлеров цикл тогда и только тогда, когда
каждая его вершина имеет четную степень.
Маршрут (замкнутый маршрут) наз. гамильто-
новой цепью (гамильтоновым цик-
циклом), если он содержит все вершины графа и через
каждую проходит по одному разу. Известен ряд доста-
достаточных условий существования гамильтоновых цик-
циклов, напр.: граф не имеет петель и кратных ребер и для
любых двух его несмежных вершин сумма степеней
не меньше числа вершин этого графа; граф является
плоским и 4-связным; граф не имеет петель и кратных
ребер, а число ге его вершин и число т его ребер удов-
удовлетворяют условиям гс^З и m ^г—(ге2 —Зге + 6). Граф
наз. гамильтоновым (эйлеровым), если
он имеет гамильтонов (эйлеров) цикл. Граф наз. г а-
мильтоново связным, если любые две его
вершины соединены гамильтоновой цепью, и к-v а-
мильтоновым, если любая простая цепь длины к
входит в нек-рый гамильтонов цикл. Известная задача
о коммивояжере состоит в том, чтобы найти в графе,
ребрам к-рого приписаны неотрицательные числа (длины
ребер), гамильтонов цикл, имеющий наименьшую сумму
длин ребер. Эта и другие задачи о Г. о. имеют различные
технич. и экономич. приложения.
Лит.: [ll X а р а р и Ф., Теория графов, пер. с англ.,
М., 1973; [2] Зыков А. А., Теория конечных графов,
[в.1], Новосиб., 1969. В. П. Козырев.
ГРАФА РАСКРАСКА — приписывание цветов вер-
вершинам и (или) ребрам графа, обладающее определен-
определенными свойствами. Правильная вершинная
(реберная) раскраска— это раскраска вер-
вершин (ребер) графа, при к-рой любые смежные вершины
(ребра) окрашены в разные цвета. Правильную вер-
вершинную раскраску часто наз. просто раскраской
графа. Граф наз. к-у аскрашиваемым, если
существует правильная вершинная Г. р. к цветами.
Наименьшее число цветов, достаточное для правиль-
правильной вершинной раскраски графа G, наз. хромати-
хроматическим числом X (G) графа G. Если X (G) = k, то
граф G наз. к-х роматическим. Граф является
2-хроматическим тогда и только тогда, когда он не
содержит простых циклов нечетной длины. Если мак-
максимальная степень вершин графа G равна г, то граф G
всегда r-раскрашиваем, за исключением двух случаев:
1) г=2 и G имеет компоненту связности, являющуюся
циклом нечетной длины; 2) г>2 и полный граф с г+1
вершинами является компонентой связности графа G.
Для объединения двух графов G± и G2 справедливо
неравенство
X(G1UG2)<X(G1)X(G2),
причем равенство здесь достигается. Более того, если
граф G такой, что X(G) = k=ab, то найдутся подграфы
Gj и G2 в G такие, что G^G^G^, JX, (G1) = a, X(G2)=b.
Если G — граф с re вершинами и G — граф, дополни-
дополнительный к G, то
причем все границы достигаются. Хроматиче-
Хроматическим ч и с л о м X (S) двумерной поверх-
поверхности S наз. максимум хроматич. чисел графов,
допускающих правильную укладку на S (см. Графа
у кладка). Для ориентируемой поверхности Sv рода
7 >0 справедливо равенство
При y=0 это равенство принимает вид ХE0) = 4, что
составляет утверждение четырех красок задачи.
Пусть /((?, t) — число различных правильных раскра-
раскрасок графа G с нумерованными вершинами в t или меньше
цветов, тогда для любого графа G функция /((?, t) есть
многочлен от переменной t, наз. хроматическим
многочленом графа G. Напр., хроматич. много-
многочлен любого дерева с п вершинами имеет вид/ (G,t) =
= t (t — I)"-1. Реберное хроматич. число (хром а-
тический класс) X'(G) графа G — это наименьшее
число цветов, достаточное для правильной раскра-
раскраски ребер графа G. Если максимальная степень вер-
вершин графа G равна к (допускаются кратные ребра), то
X' (G) <[-§-*]•
Если при этом кратность каждого ребра не более г,
то X'((?)<:&-(-г. В частности, для графов без петель и
кратных ребер fc<X'(G)<fe-)-l.
Задачи на Г. р. возникают при проектировании
коммуникаций, в радиоэлектронике, в планировании
эксперимента и других областях.
Лит.: [1] X ар ар и Ф., Теория графов, пер. с англ.,
М., 1973; [2] О р е О., Теория графов, пер. с англ., М., 1968;
[3] Шеннон К. Э., «Кибернетический сборник», 1960,
в. 2, с. 249 — 53. В. Б. Алексеев.
ГРАФА СВЯЗНОСТЬ — одна из топологических ха-
характеристик графа. Граф наз. связным, если для
любых его вершин и и v существует цепь, соединяющая
эти вершины. Числом вершинной связ-
связности графа G [обозначение х ((?)] наз. наименьшее
число вершин, удаление к-рых (вместе с инцидентными
им ребрами) приводит к несвязному графу или к графу,
состоящему из одной изолированной вершины. Ч и с-
лом реберной связности [обозначение
k(G)] наз. наименьшее число ребер графа G, удаление
к-рых приводит к несвязному графу. Граф G наз. fc-
связным, если х (G)>fc, и fe-p еберно связ-
связным, если \(G)~^k. Максимальный по включению
fc-связный подграф графа G наз. его k-с в я з н о н
компонентой; 1-связная компонента наз. к о м-
понентой связности. При исследовании ком-
коммуникационных и логических сетей числа связности
соответствующих графов можно интерпретировать как
степень надежности этих сетей.
В теории графов изучаются способы установления
Г. с, условия, при к-рых граф является fe-связным или
/с-реберно связным, соотношения между различными
видами связности, зависимость чисел связности от
других параметров графа и т. п. Так, если 8(G) — ми-
минимальная степень вершин графа G, то справедливы
следующие неравенства: х (G) «Л (G) <:б (G).
Для любых целых а, Ъ, с @<а<Ь<с) существует
граф G, у к-рого х (G) = a, k(G) = b, 8(G) = c. Если граф G
имеет п вершин ii6(G)^| -?- |, то k(G) = 8(G). Говорят,
что множество S вершин, ребер или вершин и ребер
разделяет вершины и и у, если ип v принадлежат
разным компонентам связности графа G—S, получен-
полученного из G удалением элементов множества S. Справед-
Справедливы следующие утверждения.
Наименьшее число вершин, разделяющих две не-
несмежные вершины и и v, равно наибольшему числу
простых цепей, не имеющих общих вершин, соединяю-
соединяющих и и v. Граф G является fc-связным тогда и только
тогда, когда любая пара его вершин соединена по край-
крайней мере к вершинно непересекающимися цепями. Ана-
Аналогичные теоремы справедливы и для реберной связ-
связности. Граф fe-реберно связен тогда и только тогда,
когда любая пара его вершин соединена по крайней
мере к реберно непересекающимися цепями. Множество
ребер, удаление к-рых приводит к несвязному графу,
наз. разрезом. В каждом графе наибольшее число
реберно непересекающихся разрезов, разделяющих
вершины и и v, равно наименьшему числу ребер простой
цепи, соединяющей и и v, т. е. расстоянию d(u, v)
между и и v.
Лит.: fi] X а р а р н Ф., Теория графов, пер. с англ.,
М., 1973; [2] Форд Л., Фалкерсон Д., Потоки в се-
сетях, пер. с англ., Ы., 1966. А. А. Сапожеико.
ГРАФА УКЛАДКА, графа вложен и е,—
отображение вершин и ребер графа соответственно
в точки и непрерывные кривые нек-рого пространства
такое, что вершины, инцидентные ребру, отображаются
в концы кривой, соответствующей этому ребру. Пра-
Правильной укладкой наз. укладка, при к-рой
разным вершинам соответствуют различные точки,
а кривые, соответствующие ребрам (исключая их кон-
концевые точки), не проходят через точки, соответствую-
соответствующие вершинам, и не пересекаются. Любой граф до-
допускает правильную укладку в трехмерное прост-
пространство. Граф, допускающий правильную укладку
на плоскости, наз. плоским. Существуют неплоские
графы, напр, графы А'5 п К3,3 (см. Граф плоский,
рис. 1). Наименьший род двумерной ориентируемой
поверхности, на к-рой граф С допускает правильную
укладку, наз. родом y{G) графа G. Установлено, в
частности, что
где Кп— полный граф с п вершинами, ]о[ — наимень-
наименьшее целое число, не меньшее о;
, "|(т-2)(п-2)Г
где Кт п — полный граф двудольный;
У (<?«) = ! +(п-А)-2"-3,
где Qn есть и-мерный куб. Толщиной 0 (G) графа
G наз. наименьшее число его плоских подграфов, объеди-
объединение к-рых дает граф G. Установлено, в частности, что
прп р*9> 10; в(л'9)
(возможно с несколькими исключениями).
Изучаются также другие числовые характеристики,
связанные с Г. у., напр, число с к р е щ и в а-
н и й — наименьшее число пересечений ребер, с к-рым
можно уложить данный граф на данной поверхности;
крупность — наибольшее число непересекаю-
непересекающихся по ребрам неплоских подграфов в данном
графе и др. Рассматриваются также укладки на неори-
ентируемых поверхностях. Вложение графа в и-мерную
целочисленную решетку — это отображение в данную
решетку, при к-ром вершины отображаются в различ-
различные узлы решетки, а ребра идут по линиям решетки.
Задачи об укладках графов на поверхностях и вло-
вложениях их в решетки возникают при автоматизиро-
автоматизированном проектировании ЭВМ, при проектировании
коммуникаций н т. д.
Лит.: [1] X а р а р и Ф., Теория графов, пер. с англ.,
М., 1973; [2] Теория графов. Покрытия, укладки, турниры,
сб. переводов, М., 1974, с. 82—159. В. Б. Алексеев.
ГРАФИК отображения /: X—*-Y множе-
множества X во множество Y — подмножество Г
произведения XXY, состоящее из точек вида (х, f(x)),
х^Х. Если X и У — топологич. пространства, / —
непрерывное отображение и р: ХХУ-+-Х — проекция
топологнч. произведения XXY на сомножитель X,
то на подпространстве Г произведения XXY отобра-
отображение р является гомеоморфизмом. Если пространство У
хаусдорфово, то множество Г замкнуто в произве-
произведении XX У. Б. А. Пасынков.
В случае действительной функции / с п действитель-
действительными аргументами xt, x2, ..., хп и областью определе-
ния ?" г р а ф и к есть множество всех упорядоченных
пар (Oz-j, ..., хп), f{Xl, ..., хп)), где (хг1, ..., хп) - любая
точка из Еп; иначе — множество всех точек (ж1; ...,
хп, i(xii •••, хп)) пространства Еп + 1. Если выбрать
систему координат (прямоугольную декартову, поляр-
полярную или какую-либо другую), то числовые точки
(х, f(x)), (ж, у, f(x, у)) можно изобразить точками плос-
плоскости или пространства. Для действительных функций
f(x) одного действительного переменного, имеющих
/'(ж), f"(x), в более или менее сложных примерах эскиз
Г. строится при помощи исследования знака /'(х) и
Г(х). По знаку f{x) судят о монотонности функции /,
по знаку f"(x) — о направлении выпуклости Г. функ-
функции. Для получения представления о графике дейст-
действительной функции z(x, у) двух действительных пере-
переменных может применяться метод сечений: рассматри-
рассматриваются сечения Г. нек-рыми плоскостями, в частно-
частности, плоскостями z=c; проекция этого сечения на пло-
плоскость Оху наз. множеством уровня функции z(x, у).
Аналогично, для функций f{xx, ...,xn) с областью оп-
определения Е" множеством уровня функции / с ш=с
(с— любое число) наз. множество всех решений урав-
уравнения c=f(x1, ..., хп); решения (хи ..., хп) нужно ис-
искать в Еп. Множество уровня может оказаться пус-
пустым множеством. Если множество уровня есть линия
или поверхность, то она наз. линией или поверхностью
УРОВНЯ фунКЦИИ. А. А. Конюшков.
ГРАФИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО — отношение между
двумя конструктивными объектами, заключающееся
в том, что эти объекты одинаковым образом составлены
из одинаковых элементарных знаков. Г. р. двух слов
означает, что они составлены из одних и тех же букв,
одинаково следующих друг за другом. Точнее Г. р.
слов можно охарактеризовать следующим образом:
а) пустое слово считается графически равным только
самому себе; б) два непустых слова Р| и Qr\ (здесь
| и г) означают последние буквы этих слов) считаются
графически равными тогда и только тогда, когда Р
и Q графически равны, а буквы | и т) одинаковы.
Обычно Г. р. обозначается знаками =, ЗГ.
Лит.: [lj Марков А. А., Теория алгорифмов, М., 1954
(Тр. матем. ин-та АН СССР, т. 42), с. 13 —14. Н. М. Нагорный.
ГРАФОВ ГОМЕОМОРФИЗМ — отношение эквива-
эквивалентности на множестве графов, характеризующее их
геометрич. свойства. Г. г. определяется следующим
образом. Подразбиением ребра (о, Ь) графа G
наз. операция, состоящая в добавлении новой вер-
вершины и, удалении ребра (о, Ь) и добавлении двух ре-
ребер (a, v) и (b, v). Геометрически эта операция состоит
в выделении на линии (о, Ь) нек-рой (внутренней)
точки v, к-рая объявляется новой вершиной. Граф G'
наз. подразбиением графа G, если он может быть
получен из G путем применения нек-рого числа раз
операции подразбиения ребер. Графы Gx и G2 наз.
гомеоморфными, если существуют такие их
подразбиения, к-рые изоморфны (см. Графов изомор-
изоморфизм). В. Б. Алексеев.
ГРАФОВ ИЗОМОРФИЗМ — отношение эквивалент-
эквивалентности на множестве графов. Изоморфным от-
отображением одного неориентированного графа
на другой наз. взаимно однозначное отображение вер-
вершин и ребер одного графа соответственно на вершины
и ребра другого графа, при к-ром сохраняется отноше-
отношение инцидентности. Два графа наз. изоморфными,
если существует изоморфное отображение одного из
этих графов на другой. Графы вг и (?2, представленные
на рис., не изоморфны, a Gj и G3 изоморфны. Обычно
изоморфные графы не различают. Число попарно не-
неизоморфных графов с данным числом вершин и данным
числом ребер конечно. Подобным образом можно опре-
определить изоморфизм ориентированных графов, гипер-
гиперграфов и сетей.
Проблема установления Г. и. является важной про-
проблемой теории графов. Для нек-рых классов графов
имеются алгоритмы, позволяющие установить изомор-
изоморфизм достаточно эффективно (напр., для деревьев или
плоских графов, см. [1]).
Для нек-рых классов графов
с п вершинами доказана
однозначная (с точностью
Vf до изоморфизма) восстанав-
•^ 3 ливаемость графа по набо-
набору всех его (п — 1)-вершин-
5 ных подграфов G~ v, полу-
получаемых удалением всевозможных вершин v. Это уста-
установлено, в частности, для деревьев и турниров
(при п=И=5,6).
Лит.: [1] Хопкрофт Д ж., Т а р ь я н Р., «Кибер-
«Кибернетический сборник», 1975, в. 12, с. 39—61; [2] Kelly P. J.,
«Pacific J. Math.», 1957, v. 7, p. 961—68. В. Б. Алексеев.
ГРАФОВ ТЕОРИЯ — область дискретной матема-
математики, особенностью к-рой является геометрич. подход
к изучению объектов. Основной объект Г. т.— граф
и его обобщения. Первые задачи Г. т. были связаны
с решением математических развлекательных задач
и головоломок (задача о Кенигсбергских мостах, задача
о расстановке ферзей на шахматной доске, задачи о
перевозках, задача о кругосветном путешествии и др.).
Одним из первых результатов в Г. т. явился критерий
существования обхода всех ребер графа без повторе-
повторений, полученный Л. Эйлером A736) при реше-
решении задачи о Кенигсбергских мостах. Сформули-
Сформулированная в сер. 19 в. проблема четырех красок (см.
Четырех красок задача) также выглядит как развле-
развлекательная задача, однако попытки ее решения привели
к появлению нек-рых исследований графов, имеющих
теоретическое и прикладное значение. В сер. 19 в.
появились работы, в к-рых при решении практич.
задач были получены результаты, относящиеся к Г. т.
Так, напр., Г. Кирхгоф [2] при составлении полной
системы уравнений для токов и напряжений в электрич.
схеме предложил но существу представлять такую
схему графом и находить в этом графе остовные де-
деревья, с помощью к-рых выделяются линейно независи-
независимые системы контуров. А. Кэли [3], исходя из задач
подсчета числа изомеров предельных углеводородов,
пришел к задачам перечисления и описания деревьев,
обладающих заданными свойствами, и решил нок-рые
из них. В 20 в. задачи, связанные с графами, начали
возникать не только в физике, химии, электротехнике,
биологии, экономике, социологии и т. д., но и внутри
математики, в таких разделах, как топология, алгебра,
теория вероятностей, теория чисел. В нач. 20 в. графы
стали использоваться для представления нек-рых ма-
тематич. объектов и формальной постановки различных
дискретных задач; при этом наряду с термином «граф»
употреблялись и другие термины, напр, карта, ком-
комплекс, диаграмма, сеть, лабиринт. После выхода
в свет в 1936 монографии Д. Кённга [4] термин «граф»
стал более употребительным, чем другие. В этой работе
были систематизированы известные к тому времени
факты. В 20—30-х гг. 20 в. появились первые резуль-
результаты, относящиеся к изучению свойств связности, пла-
нарности, симметрии графов, к-рые привели к форми-
формированию ряда новых направлений в Г. т. Значительно
расширились исследования по Г. т. в конце 40-х —
начале 50-х гг., прежде всего в силу развития кибер-
нетики и вычислительной техники. Благодаря развитию
вычислительной техники, изучению сложных киберне-
тич. систем, интерес к Г. т. возрос, а проблематика
Г. т. существенным образом обогатилась. Кроме того,
использование ЭВМ позволило решать возникающие
на практике конкретные задачи, связанные с большим
объемом вычислений, прежде не поддававшиеся ре-
решению. Для ряда экстремальных задач Г. т. были раз-
разработаны методы их решения, напр., один из таких
методов позволяет решать задачи о построении макси-
максимального потока через сеть (см. Поток в сети). Для
отдельных классов графов (деревья, плоские графы
и т. д.), к-рые изучались и ранее, было показано, что
решения нек-рых задач для графов из этих классов
находятся проще, чем для произвольных графов (на-
(нахождение условий существования графов с заданными
свойствами, установление изоморфизма графов и др.).
Характеризуя проблематику Г. т., можно отметить,
что нек-рые направления носят более комбинаторный
характер, другие — более геометрический. К первым
относятся, напр., задачи о подсчете и перечислении
графов с фиксированными свойствами, задачи о пост-
построении графов с заданными свойствами. Геометриче-
Геометрический (топологический) характер носят многие циклы
задач Г. т., напр, графов обходы, графив укладки. Су-
Существуют направления, связанные с различными клас-
классификациями графов, напр, по свойствам их разложе-
разложения. Примером результата о существовании графов
с фиксированными свойствами может служить крите-
критерий реализуемости чисел степенями вершин нек-рого
графа: набор целых чисел 0<gd1<d3sg...«:d,,, сумма
к-рых четна, можно реализовать степенями вершин гра-
графа без петель и кратных ребер тогда и только тогда,
когда для любого гA<:г<:и—1) выполняется условие
2[=i di <r(r — l)+ 2,"=r+1 min (r> di)-
Примерами задач о подсчете графов с заданными
свойствами являются задачи о нахождении количеств
неизоморфных графов с одинаковым числом вершин
и (или) ребер. Для числа неизоморфных деревьев с я
вершинами была получена аснмптотнч. формула
где С=0,534948..., 6 = 2,95576... . Для числа gn не-
неизоморфных графов без петель н кратных ребер с п.
вершинами было показано, что
С2
JLf\ ' 2n(w-l) , 8 Cn-7)n! ,
gn~ п\ (^Т- 2п ' 3(n-3)!-22" \25п'2
Наряду с проблемами, носящими общий характер,
в Г. т. имеются специфич. циклы задач. В одном ип
них изучаются различные свойства связности графов,
исследуется строение графов по свойствам связности
(см. Графа связность). При анализе надежности сетей
связи, электронных схем, коммуникационных сетей
возникает задача о нахождении количеств непересекаю-
непересекающихся цепей, соединяющих различные вершины графа.
Здесь получен ряд результатов. Напр., наименьшее
число вершин, разделяющих две несмежные вершины
графа, равно наибольшему числу непересекающихся
(по вершинам) простых цепей, соединяющих эту иар\
вершин. Найдены критерии и построены эффективные
алгоритмы установления меры связности графа (наи-
(наименьшего числа вершин или ребер, удаление к-рых
нарушает связность графа).
В другом направлении исследований Г. т. изучаются
маршруты, содержащие все вершины или ребра графа
(см. Графа обход). Известен простой критерий сущест-
существования маршрута, содержащего все ребра графа:
в связном графе цикл, содержащий все ребра и проходя-
проходящий по каждому ребру один раз, существует тогда
и только тогда, когда все вершины графа имеют четные
степени. В случае обхода множества вершин графа
имеется только ряд достаточных условий существова-
существования цикла, проходящего по всем вершинам графа по
одному разу.
Характерным специфическим направлением Г. т.
является цикл задач, связанный с раскрасками графов,
в к-ром изучаются разбиения множества вершин
(ребер), обладающие определенными свойствами, напр,
смежные вершины (ребра) должны принадлежать раз-
различным множествам (вершины или ребра из одного
множества окрашиваются одним цветом; см. Графа
раскраска). Было доказано, что наименьшее число цве-
цветов, достаточное для раскраски ребер любого графа
без петель с максимальной степенью а, равно [За/2],
а для раскраски вершин любого графа без петель и
кратных ребер достаточно а-)-1 цветов.
Существуют и другие циклы задач (см. Покрытия
и упаковки, Графа укладка, Графов числовые характе-
характеристики); нек-рые из них сложились под влиянием
различных разделов математики. Так, под влиянием
топологии производится изучение вложений графов
в различные поверхности. Напр., было получено необ-
необходимое и достаточное условие вложения графа в пло-
плоскость (критерий П о н т р я г и н а — К у р а-
товского): граф является плоским тогда и только
тогда, когда он не содержит подграфов, получаемых
с помощью подразбиения ребер из полного 5-вершинного
графа и полного двудольного графа с тремя вершинами
в каждой доле. Под влиянием алгебры стали изучаться
группы автоморфизмов графов (см. Графа автоморфизм).
В частности, было доказано, что каждая конечная
группа изоморфна группе автоморфизмов нек-рого
графа. Влияние теории вероятностей сказалось на ис-
исследовании графов случайных. Многие свойства были
изучены для «почти всех» графов; напр, было показано,
что почти все графы с п вершинами связаны, имеют
диаметр 2, обладают гамильтоновым цик-
циклом (циклом, проходящим через все вершины графа
по одному разу).
В Г. т. существуют специфич. методы решения экстре-
экстремальных задач. Один из них основан на теореме о мак-
максимальном потоке и минимальном разрезе, утверждаю-
утверждающей, что максимальный поток, к-рый можно пропустить
через сеть из вершины и в вершину v, равен минималь-
минимальной пропускной способности разрезов, разделяющих
вершины и 11 I" (см. Поток в сети). Были построены
различные эффективные алгоритмы нахождения макси-
максимального потока.
Большое значение в Г. т. имеют алгоритмические
вопросы. Для конечных графов, т. е. для графов с конеч-
конечным множеством вершин и ребер, как правило, пробле-
проблема существования алгоритма решения задач, в том числе
экстремальных, решается положительно. Решение мно-
многих задач, связанных с конечными графами, может быть
выполнено с помощью полного перебора всех допусти-
допустимых вариантов. Однако таким способом удается ре-
решить задачу только для графов с небольшим числом
вершин и ребер. Поэтому существенное значение для
Г. т. имеет построение эффективных алгоритмов, на-
находящих точное или приближенное решение. Для
нек-рых задач такие алгоритмы построены, напр.,
для установления планарности графов, определения
изоморфизма деревьев, нахождения максимального
потока.
Результаты и методы Г. т. применяются при реше-
решении транспортных задач о перевозках, для нахож-
нахождения оптимальных решений задачи о назначениях,
для выделения «узких мест» при планировании и управ-
управлении разработок проектов, при составлении опти-
мальных маршрутов доставки грузов, а также при мо-
моделировании сложных технологич. процессов, в пост-
построении различных дискретных устройств, в програм-
программировании и т. д.
Лит.: [1] Е и 1 е г L., в кн.: Commentationes Arithmetical
Collectae, St. Peterburg, 1766, с. 66—70; [2] Kirchhoff
G., «Poggendorf Annalen», 1847, Bd 72, S. 497—508; [3] Cay-
ley A., «Collected Mathematical papers», Camb., 1854,
v. 3, p. 242; [4] К б n 1 g D., Theorie der endlichen und unen-
dlichen Graphen, 2 ed., N. Y., 1950; [5] Верш К., Теория
графов и ее применение, пер. с франц., М., 1962; [6] 3 ы-
к о в А. А., Теория конечных графов, [в. 1], Новосиб., 1969;
[7] X а р а р и Ф., Теория графов, пер. с англ., М., 1973; [8]
Козырев В. П., в кн.: Итоги науки и техники. Теория
вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая ки-
кибернетика, т. 10, 1972, с. 25—74; [9] На га г у F., Pal-
Palmer Е., Graphical enumeration, N. Y. — L., 1973.
В. Б. Алексеев, В. П. Козырев, А. А. Сапоженко.
ГРАФОВ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ — функ-
ции, заданные на множестве графов и принимающие
значения из нек-рого множества чисел. Ниже приведен
ряд Г. ч. х. и их наиболее употребительные обозначе-
обозначения. Наиболее простыми Г. ч. х. являются число вер-
вершин и число ребер (дуг) графа G. Цикломатиче-
с к и м числом v(G) графа G наз. наименьшее число
ребер, удаление к-рых приводит к графу без циклов;
где т — число ребер, п — число вершин, к — число
компонент связности графа G. Числом вершин-
вершинной связности х ((?) [числом реберной
связности X(G)] наз. наименьшее количество вер-
вершин (ребер) графа G, удаление к-рых приводит к не-
несвязному графу или тривиальному графу (т. е. гра-
графу, состоящему из одной вершины). Плотность
ф ((?) есть наибольшее число вершин в полном под-
подграфе графа G; число независимости,
или число внутренней устойчивости,
е((?) есть наибольшее число попарно несмежных вер-
вершин графа G (при этом попарно несмежные вершины
графа G образуют внутренне устойчивое
множество). Хроматическим числом
X (G) [реберным хроматическим чис-
числом Х'((?)] наз. наименьшее количество цветов, к-рыми
можно раскрасить вершины (ребра) графа G так, чтобы
любые смежные вершины (ребра) были окрашены раз-
разными цветами (см. также Графа раскраска). Числом
внешней устойчивости fS (G) наз. наи-
наименьшее количество вершин такого подмножества W
множества вершин графа G, что любая вершина, не
принадлежащая W, смежна по крайней мере с одной
вершиной из W. Древесность Г((?) есть наи-
наименьшее число непересекающихся по ребрам остовных
лесов графа G, объединение к-рых есть граф G. Круп-
Крупность | (G) — это наибольшее число непересекаю-
непересекающихся ио ребрам неплоских подграфов графа G. Тол-
Толщина 6 ((?) — это наименьшее число плоских под-
подграфов, объединение к-рых есть G. Число скрещива-
скрещиваний— это наименьшее число попарных пересечений
ребер графа G при расположении его на плоскости.
Род y(G) графа G есть наименьший род двумерной
ориентируемой поверхности, на к-рой можно уло-
уложить граф G без пересечения его ребер (см. Графа
укладка).
Нек-рые числовые характеристики относят данно-
данному графу количества подграфов определенного типа,
напр, число остовных деревьев, число гамильтоновых
циклов и т. д. Существуют характеристики, зависящие
от параметра /^(G) (напр., число полных подграфов с
к вершинами), совокупность этих характеристик может
быть задана многочленом E^/ft(G)x*— аналогом произ-
производящей функции. Многие из таких многочленов можно
находить рекуррентно, применяя операции над гра-
графами — удаление вершины или ребра, стягивание
ребра и др. При решении задач теории графов часто
возникает необходимость изучения взаимосвязи раз-
различных Г. ч. х. На нек-рых множествах Г. ч. х. до-
достигают своих экстремальных значений, при нахож-
нахождении к-рых часто удается описать графы, на к-рых
они достигаются. Тогда нахождение экстремальных
значений сводится к исследованию таких графов. Для
изучения графов, у к-рых рассматриваемая характе-
характеристика принимает заданное значение, оказывается
полезным исследование свойств критических графов
(см. Граф экстремальный).
Лит.: [1] Зыков А. А., Теория конечных графов, [в. 1],
Новосиб., 1969; [2] Козырев В. П., в кн.: Итоги науки и
техники. Сер. Теория вероятностей. Математическая статисти-
статистика. Теоретическая кибернетика, т. 10, М., 1972, с. 25—75; [3]
X а р а р и Ф., Теория графов, пер. с англ., М., 1973.
В. П. Козырев.
ГРЕГОРИ ФОРМУЛА приближенного ин-
интегрирования для функции y=f(х) —
формула, имеющая вид:
a+nh 4 4
f(x) dxz=~2 У0 + У1
где г/у=^/(а+//г), Д'^- — разности функции у порядка
1= 1, 2, ... в точках a-\-jh, ; = 0, 1, ..., ге
Ak=^[lt(t — l) ... (t — k+l)(k\)-ldt, k = 2, 3, ...,
в частности
^2=~l2' ^3 = 24' Ai = ~ 720' ^5 = Гб0'---
Г. ф. получается при интегрировании интерполяцион-
интерполяционного многочлена с узлами в точках а, a-\-h, ..., a-\-nh.
Если в Г. ф. взяты разности до порядка п включительно,
то она может быть получена из формулы Ньютона —
Котеса (см. Котеса формулы) замкнутого типа и потому
остаточные члены у этих формул одинаковы. Простей-
Простейший вариант Г. ф. был предложен Дж. Грегори (J. Gre-
Gregory, 1668).
Лит.: [1] Б е р е з и н И. С, Жидков Н. П., Мето-
Методы вычислений, т. 1, 3 изд., М., 1966. Л. Д. Кудрявцев.
ГРЁТША ПРИНЦИП — теорема в теории конформ-
конформных отображений, предложенная в 1928 X. Грётшем [1]
и используемая при доказательстве неравенств для
длин кривых нек-рых семейств и площади занимаемой
ими области; им же в дальнейшем были разработаны
многочисленные применения развитого на этой основе
полос метода в теории однолистных функций, заданных
в конечносвязных или в бесконечносвязных областях.
Г. п. состоит в следующем. Пусть в кольце К (г, /?) =
= {z : r<\z\<R}, 0<?-</?<00, имеется конечное число
попарно непересекающихся односвязных областей В^,
fc=l, ..., п, с жордановыми границами, содержащими
невырождающиеся в точки дуги у^ и Г^ соответствую-
соответствующих окружностей |z| = r, \z\ = R [B^ образуют полосы,
соединяющие граничные компоненты кольца К (г, Л)].
Если Bk отображается на нек-рый прямоугольник
{if : 0<Ке ш<а^, 0<Im w<6ft} так, что у^ и Г& пере-
переходят в стороны длины ak, то ^^_ -^- < |п д2п Т ,
и равенство достигается только в том случае, если
Bk={z : r<\z\<R, aA<arg z<Pft}, ak, $k- постоян-
постоянные, A=l, ..., re, п объединение \j'l=xBk покрывает
кольцо К (г, Л), за исключением принадлежащих ему
интервалов лучей arg z~a.k, arg z=fik.
Г. п. и метод полос входят как составные части
в экстремальной метрики метод и применяются не
только в конформных, но и в более общих, напр.,
квазиконформных отображениях.
Лит.: [lJGrotzsch H., «Вег. Verhandl. Sachsisch. Akad.
Wiss. Leipzig. Matli.-naturwiss. Kl.», 1928, Bd 80, S. 367 — 76,
497—502; 1929, Bd 81, S. 217—21; 1930, Bd 82, S.09—80; 1931,
Bd 83, S. 185—200; 1932, Bd 84, S. 114-20; [2] Го л узин
Г. М., Геометрическая теория функций комплексного перемен-
переменного, 2 изд., М., 1966; [о] Дженкинс Д ж., Однолистные
функции и конформные отображения, пер. с англ., М., 1962.
И. А. Александров.
ГРЁТША ТЕОРЕМЫ — различные результаты о
конформных и квазиконформных отображениях
X. Грётша (см. [1]). На основе разработанного им полос
метода, представляющего первую общую форму ме-
метода конформных модулей (см. Экстремальной метрики
метод), X. Грётш систематически исследовал и решил
большое количество экстремальных задач конформ-
конформного отображения многосвязных (в том числе беско-
нечносвязных) областей, включая вопросы существо-
существования, единственности и геометрич. свойств экстре-
экстремальных отображений. Ниже приведены нек-рые из
простейших Г. т.
Среди всех однолистных конформных отображений
w—f(z) фиксированного кругового кольца КR= {z : Ж
<|z|<l}, при к-рых единичная окружность Г =
*= {z : |z| = l} переходит в себя, максимум диаметра
образа окружности Г^= {z : |z| —Я} достигается в том
и только в том случае, когда граничной компонентой
/(Г^) служит прямолинейный отрезок с серединой
в точке ц'=0. Аналогичный результат установлен для
многосвязных областей.
Среди всех однолистных конформных отображений
«¦=f(z) фиксированной многосвязной области #Э°°
с разложением в бесконечности f(z) = z-\-0 (I) (z—»-°°)
и с нормировкой /(zo) = O в фиксированной точке zo?B
максимум l/'(zo)l> максимум |/(zj)| и минимум |/(zj)|
в фиксированной точке zt?B, г1фг0, достигаются только
на отображениях, переводящих каждую граничную
компоненту В соответственно в дугу окружности с цент-
центром в точке ш=0; в дугу эллипса с фокусами в точках
ш=0 и w=w' = /(zj); в дугу гиперболы с фокусами в
точках ш=0 и w=w"=f(z1). В каждой из указанных
задач экстремальное отображение существует и един-
единственно. В том же классе отображений для фикси-
фиксированного Н^В областью значений функционала
Ф (/) = 1и (/(z1)/z1) является круг
w —Т (w -\-w )
2
— I '"' w" | \
Каждая граничная точка этого круга является значе-
значением функционала Ф на единственном отображении
из рассматриваемого класса, обладающем определен-
определенными геометрич. свойствами.
X. Грётш впервые предложил одну из форм представ-
представления квазиконформных отображений и перенес на эти
отображения многие экстремальные результаты, уста-
установленные им ранее для конформных отображений.
Лит.: [llGrotzsch H., «Bcr. Verhandl. Sachsisch. Akad.
Wiss. Leipzig. Math.-Naturwiss. Kl.», 1929, Bd 81, № 1, S.
38—47; Ni 4, S. 217—21; 1930, Bd 82, Л1 1, S. 69—80; 1932,
Bd 84, Л» 4, S. 269—78; [2] Д ж е н к и н с Д ж., Однолистные
функции и конформные отображения, пер. с англ., М., 1962.
П. М. Тамразов.
ГРИНА ЛИНИИ — ортогональные траектории семей-
семейства поверхностей уровня Gy(x)=r, 0-<r< + oo, где
Gy(x)—-G(x, у) есть Грина функция (задачи Дирихле
для уравнения Лапласа) для области D евклидова
пространства R", п^2, с фиксированным полюсом
y^D. Иными словами, Г. л.— это интегральные кри-
кривые поля градиента grad Gy(x). Имеются также обоб-
обобщения (см. [2]).
Лит.: [1] Л а и д к о ф Н. С, Основы современной теории
потенциала, М., 1966, гл. 1; [2] В г е 1 о t M., С h о q ti e t G.,
«Ann. Inst. Fourier», 1952, t. 3, p. 199—263. E. Д. Соломсицев.
ГРИНА ОТНОШЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ н а
полугруппе — бинарные отношения X, 5?, ^,
б?), $(, заданные следующим образом: хХу означает, что
х и у порождают совпадающие левые главные идеалы;
xfjiy и xfyy имеют аналогичный смысл с заменой «ле-
«левые» на «правые» и «двусторонние» соответственно;
(объединение в решетке отношений эквива-
лентности); ffl= J?D5?- Отношения X и 5? перестано-
перестановочны в смысле умножения бинарных отношений, так
что 6?) совпадает с их произведением. Отношение Jf
является правой конгруэнцией, т. е. ста-
стабильно справа: аХЬ влечет асХЬс для любого с; отно-
отношение 51 есть левая конгруэнция (стабильно
слева). Х-класс и 51-класс пересекаются тогда и только
тогда, когда они лежат в одном и том же ^-классе.
Все ^-классы, лежащие в одном ?2)-классе, равномощны.
Если б?)-класс D содержит регулярный элемент, то все
элементы из D регулярны, причем вместе с любым своим
элементом D содержит и все инверсные к нему; такой
6/)-класс наз. регулярным. В регулярном
,®-классе каждый JP-класс и каждый 51-класс содержит
идемпотент. Если Н — произвольный ,^-класс, то
либо Н является группой (это имеет место тогда и
только тогда, когда Н есть максимальная подгруппа
данной полугруппы), либо Hf\H2=0. Все групповые
ffl-классы из одного и того же б/)-класса СУТЬ изоморф-
изоморфные группы. В общем случае ^Цф^, но, напр., если
нек-рая степень каждого элемента полугруппы S
лежит в подгруппе (в частности, если S — периодиче-
периодическая полугруппа), то S)='p-. Отношение включения
главных левых идеалов естественным образом определя-
определяет отношение частичного порядка на множестве jf-клас-
сов; аналогично, для 5?-классов и ^-классов. Рассмат-
Рассматриваемые отношения были введены Дж. Грином [1].
Лит.: [1] Green J., «Ann. Math.», 1951, v. 54, p. 163—
172; [2] Ляпин Е. С, Полугруппы, М., I960; [3] Клиф-
Клиффорд А., Престон Г., Алгебраическая теория полу-
полугрупп, пер. с англ., тт. 1 и 2, М., 1972; [4] Алгебраическая тео-
теория автоматов, языков и полугрупп, пер. с англ., М., 1975;
[5] Hofmann К., Mostert P., Elements of compact
semigroups, Columbus (Ohio), 1966. Л. Н. Шеврин.
ГРИНА ПРОСТРАНСТВО — топологич. пространство
X, на к-ром определены гармонич. и супергармонич.
функции и существует Грина функция (для Дирихле зада-
задачи в классе гармонич. функций), или, что равносильно,
существует отличная от константы положительная
супергармонич. функция. Точнее, пусть X является
?¦-11 ространством, т. е. связным отделимым то-
топологич. пространством, в к-ром: 1) каждая точка
х?Х имеет открытую окрестность Vх, гомеоморфную
нек-рому открытому множеству Vx евклидова прост-
пространства R" (или его компактификации R" по Алек-
Александрову; см. Александрова бикомпактное расшире-
расширение); 2) образы всякого непустого пересечения Vxf\Vy
двух окрестностей в Vx и Vy изометричны, а при ге=2
конформно эквивалентны. Гармонич. и супергармонич.
функции на ^-пространстве X определяются локально
посредством перехода к образам Vx. Если, кроме того,
на ^-пространстве X существует отличная от константы
положительная супергармонич. функция, или, что
равносильно, положительный потенциал, то X наз.
Грина пространством. Напр., евклидово
пространство R", его компактификация R" (ге^2),
римановы поверхности являются ^-пространствами.
При этом R" при га^З и римановы поверхности гипер-
болич. типа являются Г. п., a R2 и римановы поверх-
поверхности параболич. типа не являются Г. п. Всякая об-
область в Г. п. X снова есть Г. п.
В рамках аксиоматич. теории потенциала (см. Потен-
Потенциала теория абстрактная) в качестве обобщения Г. п.
можно рассматривать такие гармонические пространст-
пространства X, на к-рых существует положительный потенциал.
Лит.: [1] Брело М., О топологиях и границах в тео-
теории потенциала, пер. с англ., М., 1974; [2] В г е 1 о t ML,
Choquet G., «Ann. Inst. Fourier», 1952, t. 3, p. 199—263.
E. Д. Соломенцев.
ГРИНА ФОРМУЛЫ — формулы интегрального ис-
исчисления функций многих переменных, связывающие
значения «-кратного интеграла по области D га-мерного
евклидова пространства Е" и (га—1)-кратного интеграла
по кусочно гладкой границе dD=T этой области. Г. ф.
получаются интегрированием по частям интегралов от
дивергенции векторного поля, непрерывного в D = D-\-Г
и непрерывно дифференцируемого в Dt
В простейшей Г. ф.
криволинейный интеграл по контуру Г выражается
через двойной интеграл по области DdE2. При этом
область D ориентируется естественным образом, а на
границе Г берется индуцированная ориентация, из-
известная как обход против часовой стрелки. Формула A)
имеет простой гидродинамич. смысл: поток через гра-
границу области Г жидкости, текущей по плоскости со
скоростью v=(Q, —P), равен интегралу по области
D от интенсивности (дивергенции) div v =-? %.—
распределенных в D источников и стоков. В этом
смысле Г. ф. A) подобна Остроградского формуле
(см. также Стокса формула).
Формула A) иногда наз. именами К. Гаусса (С. Gauss)
и Б. Римана (В. Riemann). Ни одно из употребляемых
названий не является исторически верным: формула A)
встречалась еще в работах по анализу 18 в.— у Л. Эй-
Эйлера (L. Euler) и др.
Дж. Грину [1] принадлежат следующие Г. ф. потен-
потенциала теории
— подготовительная Г. ф. и
-v&u] dx = $г [u-^r-v-lf]*,, C)
где D — область Е3, х=(хг, х2, х3), dx—
элемент объема G, ds — элемент площади Г, N=
= (iV1, N2, Ns) — единичная внешняя (ко)нормаль к Г,
— оператор дифференцирования в направлении (ко)век-
тора N, а
— оператор Лапласа.
Формулы B), C) справедливы и в случае, когда D
есть область Е", х=(х1, ..., х"), dx=dx1...dx" — эле-
элемент объема D, ds — элемент (п— 1)-мерного объема Г, а
— оператор Лапласа с п независимыми переменными.
Обобщения Г. ф. B) и C) для линейных дифференциаль-
дифференциальных операторов с частными производными с достаточно
гладкими коэффициентами имеют вид:
1) если
Lu=> —г \a'J (х) г +> ''W 7 + с(х)и,
*~4.i=i dx1 L дх' \ *-Ч-1 Ох1
г \а>1 (х)
с(х)и
L*v = \ г \а>1 (х) г — > г W (х) у] +
— (вещественно) сопряженные дифференциальные опе-
операторы второго порядка, a'J = aJl, то
Г
J
дх1 дх'
где N=(N1, ..., Nn) — единичный (ко)вектор внешней
нормали к Г,
— оператор дифференцирования по направлению так наз.
конормали
М = ( \ а V —- , ..., \ a"J
\ gxJ ?-4=1 dxJ
оператора L;
2) если
Lit=\ a';(z) ; г -j- > fclW—г
-^-'./=1 дх1 дх' 4-4=1 dxi
+ c(x)v,
то
Г т . Х^п •; ди dv
\vLu + \ аЧ г—г —
L *-*i.i=i дх1 дх'
\*-H-l Ox' J J Jr дМ
\
где М — конормаль оператора L, а
С = УП \Ы-УП ^1ЛГ,;
Л-Ч-1 I 4^1=1 dxj J
3) если
— (вещественно) сопряженные дифференциальные опе-
операторы порядка т, a=(alt a2, ..., a^) — целочислен-
целочисленный мультииндекс длины \а\=р, l<a,<re, Da =
= да,даг ••• да,< di = ~i < т0
5[uL*u — vLu] dx =
D
Здесь граничный интеграл можно записать в виде би-
билинейной суммы
где S,-, Tj— нек-рые линейные дифференциальные опе-
операторы порядков s[, tj, 0-^.Si-\~tj<?.m— 1.
Г. ф. играют важную роль в анализе и особенно
в теории краевых задач для дифференциальных опе-
операторов (обыкновенных и с частными производными)
второго и более высоких порядков. Для достаточно
гладких в D функций и(х), v(x) Г. ф. B), D) служат
источником ряда соотношений, полезных для изучения
свойств решения краевых задач, выяснения вида крае-
краевых задач, получения решения в явном виде и т. п.
Напр., для гармонической в D функции и(х) из B)
при v(x) = \ следует Гаусса теорема:
)dG dN
ds = O.
Для достаточно гладких в D функций и(х), w(x) и
функции
—In | х — у | -|- w (х), если ге = 2,
имеющей при ж=г/ такую же особенность, как и фунда-
фундаментальное решение оператора Лапласа, верны сле-
следующие Г. ф.:
Здесь число
@)„, если у ? D,
Y шп, если у ? Г ,
О, если у (р D,
а ш„ = 2л;П/'2''г(ге/2) есть площадь (и—1)-мерной еди-
единичной сферы пространства Е". При этом для у?Г
предполагается, что граница Г имеет непрерывную ка-
касательную плоскость в нек-рой окрестности у.
Формулы E) и F) служат основой получения интег-
интегральных представлений решений основных краевых
задач потенциала теории (см. Гармоническая функция,
Грина функция, Пуассона формула). Напр., отсюда
для гармонической в D функции и(х) получаем фор-
формулу, или интеграл Грина
играющую важную роль в теории гармонических
функций.
Формулы, подобные формулам E), F), дающие
интегральные представления решения задачи Коши
или смешанной задачи, имеют место и для нормально
гиперболич. оператора второго порядка. См. Кирхгофа
формула, Римана метод, Римана функция.
О Г. ф. в теории краевых задач см. также [4]—[9].
Лит.: [1] Green G., An essay on the application of ma-
mathematical analysis to the theories of electricity and magnetisrb,
Nottingham, [1828]; [2] Максвелл Д., Избранные сочине-
сочинения по теории электромагнитного поля, пер. с англ., М., 1954;
[3] Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 2, 20 изд.,
М., 1966; [4] К у р а н т Р., Уравнения с частными производны-
производными, пер. с англ., М., 1964; [5] Владимиров В. С., Уравне-
Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; [6] Соболев
С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966; [7]
Миранда К., Уравнения с частными производными эллип-
эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [8] Д а н ф о р д Н.,
Шварц Дщ. Т., Линейные операторы, пер. с англ., ч. 2, М.,
1966; [9] Лионе Ж.-Л., Мадщенес Э., Неоднородные
граничные задачи и их приложения, пер. с франц., М., 1971.
А. К. Гущин, Л. П. Купцов.
ГРИНА ФУНКЦИЯ — функция, связанная с интег-
интегральным представлением решений краевых задач для
дифференциальных уравнений.
Г. ф. краевой задачи для линейного дифференциаль-
дифференциального уравнения — фундаментальное решение урав-
уравнения, удовлетворяющее однородным краевым усло-
условиям. Г. ф. является ядром интегрального оператора,
обратного к дифференциальному оператору, порож-
порожденному данным дифференциальным уравнением и
однородными краевыми условиями. Г. ф. позволяет
найти решения неоднородного уравнения, удовлетво-
удовлетворяющие однородным краевым условиям. Нахождение
Г. ф. сводит исследование свойств дифференциального
оператора к изучению аналогичных свойств соответст-
соответствующего интегрального оператора.
Функция Грина для обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Пусть L — дифференциальный оператор, порож-
порожденный дифференциальным полиномом
1М = УП PkH^-, a<x<b,
и краевыми условиями Uy[y] = 0, j=\, 2, ..., re, где
Г. ф. оператора L наз. функция G(x, |), удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям:
1) G(x, |) непрерывна и имеет непрерывные произ-
производные по х до (ге — 2)-го порядка включительно для
всех :шачен1ш х я \ из сегмента [а, Ь];
2) при любом фиксированном ? из интервала (а, Ь)
функция G(x, |) имеет равномерно непрерывные про-
производные гс-го порядка по х в каждом из полусегментов
[а, |) и (?, 6], причем производная (ге—1)-го порядка
при ж=| удовлетворяет условию
3) в каждом из полусегментов [а, |) и (|, fc] функция
(?(.г, |), рассматриваемая как функция от х, удовлетво-
удовлетворяет уравнению lx[G]=--0 и краевым условиям U.X[G] =
= 0, /=1, 2, ..., га.
Если краевая задача Ly=0 имеет лишь тривиальные
решения, то оператор L имеет и притом только одну
Г. ф. (см. [1]). При этом для любой функции f{x),
непрерывной на сегменте [о, Ь], существует решение
краевой задачи Ly=f, и это решение задается формулой
Если оператор L имеет Г. ф. G(x, |), то сопряженный
оператор L* также имеет Г. ф., к-рая равна G(%, x).
Если, в частности, оператор L самосопряженный
(L=L*), to G(x, ?) = G(?, х), то есть Г. ф. в этом случае
является эрмитовым ядром. Напр., Г. ф. самосопря-
самосопряженного оператора L 2-го порядка, порожденного диф-
дифференциальной операцией с действительными коэффи-
коэффициентами
lW=lk(p%)+*WV' а<х<ь>
и краевыми условиями у(а) = О, у(Ь) = О, имеет вид:
Су1(х)угA), если ^<g,
сУ1{\)у2{х), если х>\.
Здесь ух(х) и у2{х) — произвольные решения уравне-
уравнения 1[у] = 0, удовлетворяющие соответственно усло-
условиям У1(а) = 0, y2(b)^0; C=lp (t)W(Z)]-\ где W-
определитель Вронского (вронскиан) решений у± и г/2,
причем можно показать, что С не зависит от |.
Если оператор L имеет Г. ф., то краевая задача на
собственные значения Ly = %y эквивалентна интеграль-
сь
ному уравнению у (х) = X \ G (х, |) у (|) d\, к которо-
которому применима теория Фредгольма. Поэтому краевая
задача Ly = Xy может иметь не более счетного числа соб-
собственных значений Ях, Я2, ..., у которых отсутствуют
конечные предельные точки. Сопряженная задача
имеет комплексно сопряженные собственные значения
той же кратности. Для каждого К, не являющегося
собственным значением оператора L, можно построить
Г. ф. G(x, |, Я) оператора L — XI, где / — тождествен-
тождественный оператор. Функция G-^x, |, X) является мероморф-
ной функцией параметра X; ее полюсами могут быть
лишь собственные значения оператора L. Если крат-
ность собственного значения /,„ равна единице, то
G(x, %, Ц= ««<*>»• «> +G1(x, I, X),
где G(x, |, X) регулярна в окрестности точки Хо, а
ио(х) и vo(x) — собственные функции операторов L
и L*, отвечающие собственным значениям Хд и Хо и
нормированные так, что
\ uo(x)vo(x)dx = i.
Если G(x, |, Я) имеет бесконечно много полюсов и
при том только 1-го порядка, то существует полная
биортогональная система
щ(х), и2(х), ...; vx{x), v2(x),...
собственных функций операторов L и L*. Если зануме-
занумеровать собственные значения в порядке возрастания
их абсолютных величин, то интеграл
равен частичной сумме
разложения функции / по собственным функциям опе-
оператора L. Положительное число R выбирается так,
чтобы на окружности \Х\ = П функция G(x, |, X) была
регулярной по X. Для регулярной краевой задачи
и для любой кусочно гладкой функции / (х) в интервале
а<Сх<СЬ выполняется равенство
lim IR(x, i) = \[f(x + O) + f(x-O)},
т. е. имеет место разложимость в сходящийся ряд
(см. [1]).
Если Г. ф. G(x, g, X) оператора L — XI имеет кратные
полюсы, то ее главная часть выражается через канонич.
системы собственных и присоединенных функций опе-
операторов L и L* (см. [2]).
Выше рассматривался случай, когда краевая задача
Ly = 0 не имела нетривиальных решений. Если же
эта краевая задача имеет нетривиальные решения,
то вводят так наз. обобщенную Грина функ-
ц и ю. Пусть, напр., имеется ровно т линейно неза-
независимых решений задачи Ly=Q. Тогда существует
обобщенная Г. ф. G(x, \), к-рая обладает свойствами
1) и 2) обычной Г. ф., при а<|<6 удовлетворяет как
функция х краевым условиям и, кроме того, является
решением уравнения
здесь {vft(x)}'k=i^ система линейно независимых ре-
решений сопряженной задачи L*j/ = O, a {q>k(x)}kl=i~
произвольная биортогональная ей система непрерыв-
непрерывных функций. Тогда
(•Ь ~
у (х)=\ G (x, I) f (I) dl
есть решение краевой задачи Ly=f, если функция
f(x) непрерывна и удовлетворяет условию разреши-
разрешимости, т. е. ортогональна всем Vk(x).
Если E0(ж, |) — одна из обобщенных Г. ф. оператора
L, то любая другая обобщенная Г. ф. может быть пред-
представлена в виде
G (х, I) = Со (х, I) + 2Г=1 "А И ^к (I),
где {иь(х)} — полная система линейно независимых
решений задачи Ly=0, а г|^(!) — произвольные непре-
непрерывные функции (см. [3]).
Функция Грина для дифференциальных уравнений с
частными производными. 1) Эллиптические
уравнения. Пусть А — эллиптический диффе-
дифференциальный оператор порядка т, порожденный диф-
дифференциальным полиномом
в ограниченной области QdR^ и однородными краевы-
краевыми условиями Bju=Q, где Bj— граничные операторы
с коэффициентами, определенными на границе dQ
области Q, к-рая предполагается достаточно гладкой.
Функция G(x, у) наз. Г. ф. оператора А, если при любом
у ? Q она удовлетворяет однородным краевым условиям
BjxG(x, y) = 0 и, рассматриваемая как обобщенная
функция, удовлетворяет уравнению
a{x,D)G(x, у) = Ь(х-у).
В случае операторов с гладкими коэффициентами и нор-
нормальных граничных условий, обеспечивающих единст-
единственность решения однородной краевой задачи, Г. ф.
существует и решение краевой задачи A u=f представ-
представляется в виде (см. [4])
G (х, у) f (у) dy.
В этом случае для Г. ф. справедливы равномерные
при x?Q, y?Q оценки
| G (х, у) |< С | х — у \т~", если т < га,
\G(x, у) | < C-J-C | In | х — у \\, если т = п,
и Г. ф. равномерно ограничена, если т>».
Краевая задача на собственные значения Аи=Хи
эквивалентна интегральному уравнению
, G (х, у) и (у) dy,
для к-рого применима теория Фредгольма (см. [5])-
При этом Г. ф. сопряженной краевой задачи равна
G(y, x). Отсюда, в частности, следует, что может су-
существовать не более чем счетное число собственных
значений и что они не имеют конечных предельных
точек, а сопряженная краевая задача имеет комплексно
сопряженные собственные значения той же кратности.
Для уравнений 2-го порядка Г. ф. изучена полнее,
поскольку явно выписывается вид особенности фунда-
фундаментального решения. Так, для оператора Лапласа
Г. ф. имеет вид
G (х, у) = ,, —| х — у \2~"-\-у (х, у), при га > 2,
2яЛ/ (п - 2)
G (х, y) = + ~2^ In \x — у \-\-у(х, у), при ге = 2,
где у(х, у) — гармоническая в области Q функция,
выбранная таким образом, чтобы Г. ф. удовлетворяла
краевому условию.
Г. ф. G(x, у) первой краевой задачи для эллиптич.
оператора 2-го порядка а (х, D) с гладкими коэффициен-
коэффициентами в области Q с границей ^Q типа Ляпунова позво-
позволяет выразить решение задачи
о (х, D) u{x)=f (x) при х ? Q,
в виде
u(x) = ^G(x, y)f(y)dy+[dQ-?rG(.
д
где з— — производная по внешней конормали для
у
оператора о (ж, D).
В случае, если однородная краевая задача Аи=О
имеет нетривиальные решения, то, как и для обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений, вводится обоб-
щенная Г. ф. Так, напр., в случае второй краевой за-
задачи для оператора Лапласа существует обобщенная
Г. ф., наз. Неймана функцией (см. [3]).
2) Параболические уравнения.
Пусть Р — параболический дифференциальный опе-
оператор порядка т, порожденный дифференциальным
полиномом
i(Q, t > О,
и однородными начальным и краевыми условиями
и(х, 0) = 0, Ду-к(а:, i) = 0,
где Bj— граничные операторы с коэффициентами, опре-
определенными при х?дп и t^O. Г. ф. оператора Р наз.
функция (?(ж, ?, г/, т), к-рая для любых ?>т^0 и y?Q
удовлетворяет по ж однородным краевым условиям, яв-
является при (х, г)ф(у, т) решением уравнения
«, Я*, -^-) G(x, t, у, т)-=0
и для любой непрерывной функции <р (х) удовлетворяет
соотношению
lim \OG (*. *, У, т)ф (У) <ty=<p (г).
В случае операторов с гладкими коэффициентами
и нормальных граничных условий, обеспечивающих
единственность решения задачири=0, Г. ф. существует,
и решение уравнения
р(х, t, Пх, А) и(х, t) = f(x, t),
удовлетворяющее однородным краевым условиям и на-
начальному условию и(х, 0) = ф(.т), имеет вид
G(x, t, у, O)q>(y)dy.
При изучении эллиптич. или параболич. систем
вместо Г. ф. вводится понятие матрицы Грина, к-рая
позволяет выразить решения однородных краевых задач
для указанных систем в виде интегралов от произведе-
произведений матрицы Грина на векторы правых частей и на-
начальных условий (см. [7]).
Г. ф. наз. по имени Дж. Грина (G. Green), впервые
рассмотревшего один ее частный случай в своем иссле-
исследовании по теории потенциала A828).
Лит.: [1] Н а й м а р к М. А., Линейные дифференци-
дифференциальные операторы, 2 изд., М., 1969; [2] Келдыш М. В.,
«Докл. АН СССР», 1951, т. 77, № 1, с. 11 — 14; [3] Соболев
С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М-, 1966;
[4] Б е р с Л., Джон Ф., Ш е х т е р М., Уравнения с
частными производными, пер. с англ., М., 1966; [5] Garding
L., «Math, scand.», 1953, v. 1, № 1, S. 55—72; 16] Ф р и д м а н А.,
Уравнения с частными производными, параболического типа,
пер. с англ., М., 1968; [7] Эйдельман С. Д., Парабо-
Параболические системы, М., 1964. Ш. А. Алимов, В. А, Ильин.
Функция Грина в теории функций. В теории функций
комплексного переменного под (действительной) Г. ф.
понимается Г. ф. первой краевой задачи для оператора
Лапласа, т. е. функция вида
G(z, Zo) = lnT7l7-r + Y(Z, zt), 2, б Q, A)
где z=x-\-iy — комплексное переменное, zo=oo
полюс Г. ф., zo?Q, y(z, z0) — гармонич. функция z,
принимающая на границе области дО, значения
— In (l/|z— zo|). Пусть область Q односвязная и w=
= /(z, z0) — аналитич. функция, реализующая конформ-
конформное отображение области Q на единичный круг в плос-
плоскости w так, что точка z0 переходит в центр круга,
/(zo,zo) = O, f'(z0, zo)>O.
Тогда
Если Н(z, z0) — сопряженная гармоническая для
(J(z, z0) функция, Н (zo,zo) = O, то аналитич. функция
F(z, Zq) = G(z, zo)-{-iff(z, z0) наз. комплексной
функцией Грина области Q с полюсом z0. Обра-
Обращение формулы B) дает
/(z, zo) = e-F^'z«\ C)
Формулы B) и C) показывают, что задачи построения
конформного отображения области Q на круг и отыска-
отыскания Г. ф. эквивалентны. Г. ф. G(z, z0), F(z, z0) инва-
инвариантны относительно конформных отображений, что
облегчает иногда их отыскание (см. Отображений
метод).
В теории римановых поверхностей Г. ф. удобнее
определить при помощи минимального свойства, спра-
справедливого для функции A): среди всех положительных
гармонических при z^=z0 функций U(z, z0) на римано-
вой поверхности Q, имеющих в окрестности точки z0
вид
U (г, zo)=ln , . +y(z, z0), D)
где y(z, z0) — регулярная на всей поверхности Q гар-
монич. функция, Г. ф. G(z, z0), если она существует,
является наименьшей, т. е. G(z, zo)<:[/(z, z0). При этом
существование Г. ф. характерно для римановых по-
поверхностей гиперболич. типа. Так определенная Г. ф.
на (идеальной) границе римановои поверхности, вообще
говоря, уже не везде обращается в нуль. Аналогично
обстоит дело и в потенциала теории (см. также Потен-
Потенциала теория абстрактная). Для произвольного откры-
открытого множества Q, напр, в евклидовом пространстве
R™, ге5э2, Г. ф. G(x, ха) также можно определить
при помощи указанного минимального свойства, при-
причем при ге^З в D) вместо 1п: следует писать
\х — хо\2~". Вообще говоря, при приближении к гра-
границе 0Q такая Г. ф. не обязательно стремится к ну-
нулю. Для римановых поверхностей параболич. типа и
для нек-рых областей в R2 (напр., для Q = R2) Г. ф.
не существует.
Лит.: [1] Сто и лов С, Теория функций комплексного
переменного, пер. с рум., т. 2, М., 1962; [2]Неванлинна Р.,
Униформизация, пер. с нем., М., 1955; [3] Брело М., Ос-
Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964.
Е. Д. Соломенцев.
Грина функция в статистической механике — упоря-
упорядоченная по времени линейная комбинация корреля-
корреляционных функций, удобная промежуточная величи-
величина при расчетах физич. характеристик систем боль-
большого числа взаимодействующих частиц.
1)Г. ф. в квантовой статистической
механике. Наиболее часто применяются двувре-
менные коммутаторные температурные Г. ф.: запазды-
запаздывающие (ret, -)-), опережающие (adv, —) и причинные
(с), определяемые соотношениями:
) (*-*')= «Л (t) | В (i'
Gab (t-f) = «A(t)\B («')» <c> = <Г r, A (t) В (t')>,
где
[A (t), В (t')]n = A(t)B (П-цВ (*') A (t),
Tr,A(t)B(t') = B(t — t')A (t) Я(«') + т)в (t'~t)B{t')A(t),
II, x > 0
6(){ ±l
Здесь A (t) и В (?') — зависящие от времени динамич.
величины (операторы в пространстве состояний системы
в Гейзенберга представлении), через { • • • } обозначено
среднее по Гиббса статистическому ансамблю; значе-
значение т)=±1 выбирается из соображений удобства. Эф-
Эффективность применения Г. ф. в значительной степени
обусловлена использованием спектральных представле-
представлений для их фурье-образов G'ab(E), »=ret, adv, с. Так,
напр., в случае ненулевой температуры для запаздываю-
запаздывающих и опережающих Г. ф. справедливо представление:
г Г + М^-т,)
— 2я J -oo Е-ш + ie
1 7
Здесь JAei®) ~ спектральная плотность; Q = kT, где
T — абсолютная температура, ТфО, k ~ постоянная
Больцмана; использована система единиц, в которой
ft—А/2я=1, где h — постоянная Планка. Справедлива, в
частности, формула:
$ (со) - G%^ (со) = ( e^Q -1) / Ав (со),
позволяющая вычислять спектральную плотность (а
следовательно, и ряд физич. характеристик системы)
через Г. ф. Аналогичные спектральные формулы сущест-
существуют и для нуля температуры. Особенности (полюса на
комплексной плоскости) фурье-образа Г. ф. характери-
характеризуют спектр и затухание элементарных возбуждений
в системе. Основные источники вычисления Г. ф.:
а) приближенное решение бесконечной цепочки зацеп-
зацепляющихся уравнений, к-рая выводится непосредственно
из определения Г. ф. путем «расцепления» ее, исходя
из тех или иных физич. соображений; б) суммирование
«основных» с физич. точки зрения членов рядов теории
возмущений (суммирование диаграмм); этот способ
применяется в основном при вычислении причинных
Г. ф. и имеет много общего с методикой расчета Г. ф. в
квантовой теории поля.
2) Г. ф. в классической статистиче-
статистической механике. Вводятся опережающие
(ret) и запаздывающие (adv) двувременные Г. ф. путем
замены в соответствующих формулах для квантового
случая (при т) = + 1) операторов A (t) и В (f) на функции
динамич. состояния изучаемой классич. системы и ком-
коммутатора A (t)B(t') — B(t')A (t) (квантовые скобки Пу-
Пуассона) — на классические (обычные) скобки Пуассона;
соответственно под (• • •) понимается усреднение по
классическому ансамблю Гиббса. Введение причинной
Г. ф. здесь теряет смысл из-за коммутативности произ-
произведения динамич. величин. Аналогично квантовому
случаю, существуют и могут быть эффективно исполь-
использованы спектральные представления для фурье-образа
Г. ф. Основным источником для вычисления классич.
Г. ф. служат системы уравнений, получающиеся варьи-
варьированием по бесконечно малому изменению гамильтони-
гамильтониана той или иной системы уравнений для корреляцион-
корреляционных функций: Боголюбова цепочки уравнений, системы
уравнений гидродинамики и т. д.
Лит.: [1] Боголюбов Н. Н., Тябликов С. В.,
«Докл. АН СССР», 1959, т. 126, с. 53; [2] Зубарев Д. Н.,
«Успехи физ. наук», 1960, т. 71, с. 71; [3] Боголюбов Н. Н.
(мл.), Садовников Б. И., «Ж. эксперим. и теор. физ.»,
1962, т. 43, в. 8, с. 677; [4] и х ж е, Некоторые вопросы статис-
статистической механики, М., 1975; [5] Статистическая физика и кван-
квантовая теория поля, М., 1973. В. Н. Плечко.
ГРОНУОЛЛА МЕТОД СУММИРОВАНИЯ — один из
методов суммирования числовых и функциональных ря-
рядов, определяется заданием двух функций f(w) и g(w),
удовлетворяющих определенным условиям. Ряд ?п=оип
суммируется методом Гронуолла (/, g)
к сумме s, если
lim Un = s,
П —*- ас
где Uп, п=0, 1,2, ... определяются из разложения
Метод был введен Т. Гронуоллом [1] как обобщение
Балле Пуссена метода суммирования, в к-рый он обра-
обращается при
При
f(w)=w, g{w) = (\—ш)-*-1.
Г. м. с. обращается в Чезаро метод суммирования.
Лит.: [1] С г on wall Т. Н., «Ann. Math.», 1932, v. 33,
Jfi 1, p. 101 — G. И. И. Волков.
ГРОТЕНДИКА ГРУППА аддитивной кате-
категории — абелева группа, сопоставляемая аддитив-
аддитивной категории универсальным аддитивным отображе-
отображением. Точнее, пусть С — малая аддитивная категория
и G — абелева группа. Отображение ф : C-vG наз.
аддитивным, если для любой точной последова-
последовательности 0—>L—t-M—*-N—vO объектов из С выполняет-
выполняется (p(L)Jt-(f(N) = (p(M). Существует группа К (С), наз.
Г. г., и такое аддитивное отображение к : С-^К(С),
наз. универсальным отображением,
что для любого аддитивного отображения ф : С—*-G
существует единственный гомоморфизм % : К (С)—>-G,
удовлетворяющий условию q>=%-k.
Впервые эта конструкция была рассмотрена А. Гро-
тендиком (A. Grothendieck) для категорий когерентных
и локально свободных пучков на схемах при доказа-
доказательстве теоремы Рпмана — Роха. См. К-функтор в ал-
гебраич. геометрии. Группа К (С) определена однознач-
однозначно с точностью до изоморфизма и может быть задана
образующими — каждому объекту L?C соответствует
образующая [L] — и соотношениями [M] — [L] — [N] = 0
для всякой точной последовательности
0—*L—*М—rN—>-0.
Частным случаем этого понятия является Г. г. комму-
коммутативного моноида М (который можно рассматривать
как категорию). Тогда универсальное отображение к
является гомоморфизмом М в группу К (М), а если в М
выполняется закон сокращения, то к — инъективный
гомоморфизм.
Если X — топологич. пространство, то Г. г. аддитив-
аддитивной категории векторных расслоений над X является
инвариантом пространства, изучаемым в К-теории.
Если С — категория невырожденных симметрических
билинейных форм на векторных пространствах над по-
полем к, то К (С) есть группа Витта — Гротендика над к
(см. Витта кольцо).
Лит.: [1] Swan R., «Topology», 1963, v. 2, p. 85—110;
[2] Б о р е л ь А., С е р р Ж.-П., «Математика», 1961, т. 5,
JVs 5, с. 17—54; L3] Атья М., Лекции по К-теории, пер. с
англ., М., 1967; [4] Bass H., Topics to algebraic K-theory,
Bombay, 1966; [5] Л е н г С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968.
В. 11. Данилов.
ГРОТЕНДИКА КАТЕГОРИЯ — абелева категория,
обладающая семейством образующих и удовлетворяю-
удовлетворяющая аксиоме: в категории 31 существуют копроизведения
(суммы) любых семейств объектов и для каждого на-
направленного по возрастанию семейства нодобъектов
(^(> ц/]> '€А п произвольного объекта А и каждого
подобъекта (V, о) выполнено равенство
(Uf6/(tf«, Ml) П (Г, o] = Ui6/(tf,-Hi] П (V, a]).
Категория левых (правых) Л-модулей над произвольным
ассоциативным кольцом Л с единицей и категории пуч-
пучков Л-модулей над произвольным топологич. простран-
пространством есть Г. к. Полная подкатегория 3 категории Л2Л
левых Л-модулей наз. подкатегорией лока-
локализации, если она замкнута относительно копреде-
копределов и если в точной последовательности
объект А принадлежит 3 тогда и только тогда, когда и
А' и А" принадлежат 3. Каждая подкатегория локали-
локализации позволяет построить факторкатегорию Л9Л/@.
Абелева категория тогда и только тогда является Г. к.,
когда она эквивалентна нек-рой факторкатегории вида
л
В Г. к. каждый объект обладает инъективной оболоч-
оболочкой, поэтому Г. к. хорошо приспособлены для гомоло-
гич. приложений.
Лит.: [1] Гротендик А., О некоторых вопросах го-
мологичеслой алгебры, пер. с франц., М., 1961; [2] Б у к у р И.,
Деляну А., Введение в теорию категорий и функторов, пер.
с англ., М., 1972; [3] Popes со N.. Gabriel P., «С. г.
Acad. sci.», 1964, t. 258, .№ 17, p. 4188—90. М.Ш. Цаленко.
ГРОТЕНДИКА ТОПОЛОГИЯ — см. Т опологизирован-
ная категория.
ГРОТЕНДИКА ФУНКТОР— функтор вложения (см.
Вложение категорий) из категории С в категорию С
контравариантных функторов, определенных на С и
принимающих значения в категории множеств (Ens).
Пусть X — объект [/-категории С (где U — фиксиро-
фиксированное универсальное множество); сопоставление Y—*-
—*-Ноп1с(^, X) определяет контравариантный функтор
hx : С—>(Ens) в категорию множеств. Для любого
объекта F категории С контравариантных функторов из
С в категорию (Ens) имеет место естественная биекция
F(XJzHomg(hx, F). При этом
Hom-(u.Y> hy) ^ Homc (X, Y)
(лемма Ионеда). Поэтому сопоставление X-^>-hx
определяет полное изоморфное вложение h : С-у-С, к-рое
и наз. Г. ф. С помощью Г. ф. можно вводить алгебраич.
структуры на объектах категории (см. Групповой объект
категории, Групповая схема).
Лит.: [1] Б у к у р И., Деляну А., Введение в тео-
теорию категорий и функторов, пер. с англ., М., 1972; [2] G г о-
thendieck A., Seminaire Bourbaki. 1959/1960, №195.
11. В. Долгачев.
ГРУБАЯ СИСТЕМА, структурно устой-
устойчивая (динамическая) система,— глад-
гладкая динамическая система, обладающая свойством:
для любого е>0 найдется такое б>0, что при любом ее
возмущении, отстоящем от нее в (^-метрике не более
чем на б, существует гомеоморфизм фазового простран-
пространства, к-рый сдвигает точки не более чем на е и переводит
траектории невозмущенной системы в траектории воз-
возмущенной. Формально определение предполагает за-
заданной нек-рую рпманову метрику на фазовом многооб-
многообразии. Фактически о Г. с. обычно говорят либо когда
фазовое многообразие замкнуто, либо когда траектории
входят в нек-рую компактную область G с гладкой гра-
границей, не касаясь последней, причем возмущение и го-
гомеоморфизм рассматривают только на G. Ввиду компакт-
компактности выбор метрики не играет роли.
Таким образом, при малом (в смысле С1) возмущении
Г. с. получается система, эквивалентная исходной по
всем своим топологич. свойствам (однако приведенное
определение содержит еще дополнительное требование,
чтобы эта эквивалентность осуществлялась посредством
гомеоморфизма, близкого к тождественному). Иногда
термины «грубость» и «(структурная) устойчивость»
употребляют в более широком смысле, напр, имея в виду
только сохранение при малых возмущениях того или
иного свойства системы (в этом случае лучше говорить о
грубости данного свойства). См. также Локальная гру-
грубость.
Г. с. были введены А. А. Андроновым и Л. С. Понтря-
гиным [1]. При малой размерности фазового многообра-
многообразия (единица для дискретного времени и единица или
два для непрерывного) Г. с. допускают простую харак-
характеристику в терминах качественных свойств поведения
траекторий (это — так наз. Морса — Смейла системы)
и образуют открытое всюду плотное множество в про-
пространстве всех динамич. систем, снабженном С1-тополо-
гией (см. [1], [2]; таким образом, системы с более слож-
сложным и более чувствительным к малым возмущениям по-
поведением траекторий можно в этом случае рассматри-
рассматривать как исключительные). В больших размерностях ни
один из этих фактов не имеет места, как установил
С. Смейл (S. Smale, [3]). Он высказал гипотезу, что, не-
несмотря на все эти усложнения, можно и в общем случае
сформулировать необходимые и достаточные условия
грубости в терминах качественной картины поведения
траекторий, а именно: 1) неблуждающие точки должны
образовывать гиперболическое множество Q, в к-ром
всюду плотны периодич. траектории (так наз. аксио-
аксиома А С м е й л а); 2) устойчивое и неустойчивое много-
многообразия любых двух траекторий из Q должны пересе-
пересекаться трансверсально (строгое условие
трансверсальности). Достаточность этих ус-
условий доказана почти в полной общности, необходи-
необходимость пока что G0-е гг. 20 в.) удается доказать лишь при
нек-ром видоизменении определения грубости (см.,
напр., [4] или [5]).
Лит.: [1] Андронов А. А., Понтрягин Л. С,
«Докл. АН СССР», 1937, т. 14, № 5, с. 247 — 50; [2] Peixoto
М. М., «Topology», 1962, v. I, Ms 2, p. 101—20; 1963, v. 2, № 2,
p. 179—80; [3] Смейл С, «Успехи матем. наук», 1970,
т. 25, № 1, с. 113—85; [4] Кушниренко А. Г., Каток
А. В., Алексеев В. М., Гладкие динамические системы,
«Девятая летняя матем. школа. Ин-т матем. АН УССР», К.,
1972, с. 50—341; [5] Нитецки 3., Введение в дифферен-
дифференциальную динамику, нер. с англ., М., 1975. Д. В. Аносов.
ГРУДЫ И ПОЛУГРУДЫ — алгебры с одной тернар-
тернарной операцией, удовлетворяющей нек-рым тождествам.
Груды (г.) определяются тождествами:
[ [x1xlx3]xixb\ = [х1х2[х3х1хь] ],
а полугруды (п.) — тождествами:
Всякая груда является полугрудой.
Если в множестве Ф (А, В) всех взаимно однозначных
отображений множества А на множество В определить
тернарную операцию, ставя в соответствие упорядочен-
упорядоченной тройке отображений <рь ф2, ср3 отображение, яв-
являющееся суперпозицией срь ф<Г\ фз. т0 Ф(А, В) ста-
становится г. Любая г. изоморфна нек-рой г. взаимно одно-
однозначных отображений. Если в произвольной группе G
ввести тернарную операцию, полагая [g1g2g3]z= Sig7rg3,
то также получится г. (г р у д а, ассоциирован-
ассоциированная с данной группой). Понятие г. было вве-
введено при рассмотрении вышеуказанной тернарной опе-
операции в абелевой группе (см. [1]). Г. изучались и с аб-
абстрактной точки зрения (см. [2], [3]). В частности, Р. Бэр
доказал [2], что если в г. S фиксировать произвольный
элемент s0, то операции, определяемые равенствами sxs2=
= [siVc2J, s~1 = [*osso]. задают на S структуру группы,
в к-рой s0 является единицей; при этом г., ассоциирован-
ассоциированная с этой группой, совпадает с исходной г., а груп-
группы, получаемые из данной г. фиксированием различ-
различных ее элементов, изоморфны. Другими словами, много-
многообразие всех г. эквивалентно многообразию всех групп.
Совокупность 5р(Л, В) всех бинарных отношений ме-
между элементами множеств А и В является п. относитель-
но тройного умножения: [piP2P3l==PiP2 хРз- Множество
всех обратимых частичных отображений А в В также
замкнуто относительно тройного умножения и является
обобщенной грудой (см. [4]), то есть п. с
тождествами:
[ [x1xix2]x3x3] = [[х1х3х3]х2х2].
Обобщенные г. находят приложение в основаниях диф-
дифференциальной геометрии при рассмотрении координат-
координатных атласов (см. [5]).
П. тесно связаны с полугруппами с инволюцией. Если
на полугруппе S задана инволюция 6, являющаяся анти-
антиавтоморфизмом, то тернарная операция [s1s2s3] = s16 (s2)s3
превращает S в и. Всякая п. изоморфна подполугруде
нек-рой полугруппы с инволюцией (см. [4]).
Лит.: [1] Prufer H. «Math. Z.», 1924 Bd 20, S. 165—87;
[2] Baer R., «J. reine und angew. Math.», 1929, Bd 160,
S. 199—207; [3] Certain! J., «Bull. Amer. Math. Soc»,
1943, v. 49, p. 869 — 77; [4] Вагнер В. В., «Матем . сб.»,
1953, т. 32, № 3, с. 545—632; [5] его же, Основания диффе-
дифференциальной геометрии и современная алгебра, в кн.: Тр. 4
Всесоюзного матем. съезда, т. 1, Л., 1963, с. 17—29; [6] Г л у с-
к и и Л. М., в сб.: Теория полугрупп и ее приложения, т. 1,
Саратов, 1965, с. 179—97, 198—228. В. Н. Салий.
ГРУПП КАТЕГОРИЯ — категория Gr, объектами
к-рой являются всевозможные группы, а морфизмами —
все гомоморфизмы групп. Иногда предполагают,что все
рассматриваемые группы принадлежат фиксированному
универсальному множеству. Г. к. является локально
малой биполной категорией с нулевыми морфизмами.
Она обладает единственной структурой бикатегории,
в к-рой допустимыми эпиморфизмами являются нор-
нормальные эпиморфизма и допустимыми мономорфизма-
мономорфизмами — все мономорфизмы. Причем нормальные эпимор-
эпиморфизмы — это в точности сюръективные гомоморфизмы,
а мономорфизмы — в точности инъективные гомомор-
^измы. Проективными объектами Г. к. являются сво-
одные группы и только они, инъективными объекта-
объектами — только единичные группы, к-рые будут одновре-
одновременно и нулевыми объектами. Аксиоматич. описание
Г. к. дано П. Леру [3].
Г. к. является частным случаем общего определения
Г. к. над произвольной категорией К.
Категория GvK состоит из всех групповых объектов из
К и гомоморфизмов между ними; эта категория насле-
наследует ряд свойств категории К, она, в частности, полна,
если полна категория К.
Лит.: [1] К у р о ш А. Г., Лившиц А. X., Ш у л fc-
ге й ф е р Е. Г., «Успехи матем. наук», 1960, т. 15, в. 6,
с. 3—52; [2] Kckmann В., Hilton P. J., «Math.
Ann.», 1962, Bd 145, Ni 3, S. 227—55; 1963, Bd 151, №2,
S. 150—86; 1963. Bd 150, M 2, S. 165—87; [3] L e г о u x P.,
«Canad. Math. Bull.», 1972, v. 15, N° 3, p. 375—80.
M. Ш.Цаленко.
ГРУПП МНОГООБРАЗИЕ — класс всех групп, удов-
удовлетворяющих фиксированной системе тождественных со-
соотношений , . .
v (хи ..., хп) = 1,
где v пробегает нек-рое множество Кгрупповых
слов, т. е. элементов свободной группы X со свобод-
свободными образующими хг, . . ., хп, .... Как и всякое алге-
алгебраических систем многообразие Г. м. может быть опре-
определено также замкнутостью относительно подсистем
(подгрупп), гомоморфных образов и декартовых произ-
произведений. Наименьшее многообразие, содержащее дан-
данный класс E групп, обозначается var E- Относительно
операций пересечения многообразий и объединения мно-
многообразий, определяемого формулой
U V 3S = var(U U S3),
Г. м. образуют полную модулярную, но не дистрибу-
дистрибутивную решетку. Произведение \ХЧ& многообразий U
и 48 определяется как Г. м., состоящее из всех групп G,
обладающих нормальной подгруппой iV?U такой, что
G/7V?SB. Каждое Г. м., отличное от многообразия еди-
единичных групп и многообразия всех групп, однозначно
представимо в виде произведения далее неразложи-
неразложимых Г. м.
Примеры Г. м.: многообразие 21 всех абелевых
групп, бернсайдово многообразие 58,,
всех групп экспоненты (показателя) п, определяемое
тождеством хп=\, многообразие 31п=33„л31, много-
многообразие *МС всех нильпотентных групп класса <:е, много-
многообразие 31' всех разрешимых групп длины <:Z, в част-
частности при Z=2, 3t3 — многообразие метабелевых групп.
Пусть ff— нек-рое свойство групп. Говорят, что Г. м.
33 обладает свойством <J> (локально обладает свойством
/У), если каждая группа из ЭЗ (каждая конечно порож-
порожденная группа из 33) обладает свойством ?р. Именно в
этом смысле говорят, что многообразие нильпотентное,
локально нильпотентное, локально конечное и т. д.
Свойства разрешимого Г. м. Ч& зависят от 9< л 9I2-
Так, если %-QW, то ЗЗ^ЗЗЛ^ЗЗл при нек-рых под-
подходящих лис (см. [2], [3]). Описание метабелевых Г. м.
в значительной степени сводится к описанию локально
конечных Г. м.: если метабелево многообразие 23 не
локально конечно, то
58 = a?i v582 v$83,
где 581=9l,e3t, 232 однозначно представимо в виде
объединения конечного числа Г. м. вида Sf^-SfA А Э12,5Б3»
локально конечно [4]. Некоторые локально конечные
метабелевые многообразия описаны, напр, многообра-
многообразия />-групп класса <:/> + 1 (см. [5]).
Г. м. наз. кроссовым, если оно порождается
конечной группой. Кроссовы Г. м. локально конечны.
Г. м. наз. почти кроссовым, если оно не крос-
сово, но всякое его собственное подмногообразие кроссо-
во. Разрешимые почти кроссовы многообразия исчерпы-
исчерпываются многообразиями 31, Э1р, %р'йдЖг, Жр1д, где
р, q, г — различные простые числа, %g=^SgA^U при
нечетном q и Х2=334Л9?2 (см. [6]). Существуют, однако,
другие почти кроссовы многообразия; такие, напр., со-
содержатся во всяком многообразии $ всех локально ко-
конечных групп экспоненты р^Ъ (см. [7]). В изучении ло-
локально конечных Г. м. важную роль играют крити-
критические группы— конечные группы, не лежащие
в многообразии, порожденном всеми их собственными
подгруппами и факторгруппами. В кроссовом многооб-
многообразии может содержаться лишь конечное число неизо-
неизоморфных критич. групп. Всякое локально конечное мно-
многообразие порождается своими критич. группами.
Г. м. наз. конечно базируемым, если оно
может быть задано конечным числом тождеств. Таковы,
напр., все кроссовы, нильпотентные и метабелевы мно-
многообразия. Доказано [8] существование не конечно ба-
базируемых Г. м. и континуальность количества всех
Г. м. Примеры бесконечных независимых систем то-
тождеств приведены в [9]. Произведение конечно базируе-
базируемых Г. м. не обязано быть конечно базируемым, в
частности 3J4332 не имеет конечного базиса.
Г. м. наз. многообразием лиевского
т и п а, если оно порождается своими нилыютентными
группами без кручения. Если, кроме того, факторы
нижнего центрального ряда свободных групп многооб-
многообразия — группы без кручения, то многообразие наз.
магнусовым. Класс многообразий лиевского типа
не совпадает с классом магнусовых многообразий; каж-
каждый из них замкнут относительно операции умножения
многообразий [10]. Магнусовыми являются, напр., мно-
многообразие всех групп, многообразия 4Jfc, 21" и много-
многообразия, получающиеся из многообразий Эсс с помощью
применения в конечном числе операций пересечения и
умножения [11].
Лит.: [1] Нейман X., Многообразия групп, пер. с англ.,
М., 1969; [2] Каргаполов М. И., Ч у р к и н В. А.,
«Алгебра и логика», 1971, т. 10, вып. 6, с. 651 — 57; [3] Gro-
Groves J. R. F., «Bull. Austr. Math. Soc», 1972, v. 7, № 3, p. 437—
41; [4] В г а у с e R. A., «Philos. Trans. Roy. Soc. London», ser.
A 266, 1970, ЛИ 1176, p. 281—355; [5] Brisley W., «J. Austr.
Math. Soc», 1971, v. 12, № 1, p. 53—63; [6] Ольшанский
А. Ю., «Матем. сб.», 1971, т. 85, № 1, с. 115—31; [7] Р а з-
м ы с л о в Ю. П., «Алгебра и логика», 1971, т. 10, в. 1, с. 33—44;
[8] Ольшанский А. Ю., «Изв. АН СССР. Сер. матем.»,
1970, т. 34, № 2, с. 376—84; [9] А д я н С. И., Проблема Берн-
сайда и тождества в группах, М., 1975; [101 Шмелькин
А. Л., «Тр. Моск. матем. об-ва», 1973, т. 29, с. 247—60; [11]
Горчаков Ю. М., «Сиб. матем. журнал», 1969, т. 10,
Л1» 5, с. 1023—33. А. Л. Шмелъкин.
ГРУППА — один из основных типов алгебраических
систем. Теория Г. изучает в самой общей форме свойства
алгебраич. операций, наиболее часто встречающихся в
математике и ее приложениях (примеры таких опера-
операций — умножение чисел, сложение векторов, последова-
последовательное выполнение преобразований и т. д.). Понятие Г.
явилось исторически одним из первых примеров абст-
абстрактных алгебраич. систем и послужило во многих от
ношениях образцом при перестройке других математич.
дисциплин на рубеже 19 — 20 вв., в результате к-рой
понятие математич. системы ( — структуры) стало основ-
основным в математике.
Определение. Группой иаз. произвольное множе-
множество G с одной бинарной операцией, удовлетворяющей
следующим аксиомам (если операцию записывать как
умножение):
1) операция ассоциативна, т.е. (ab)c = a(bc) для
любых а, Ь, с из G;
2) операция гарантирует единицу, т. е. в G существу-
существует такой элемент е, наз. единицей, что ае=еа = а
для любого а из G;
3) операция гарантирует обратные элементы, т. е. для
любого а из G существует в G такой элемент х, наз. о б-
ратным к а, что ах=ха= е.
Иногда вместо системы аксиом 1) — 3) пользуются
равносильной системой из двух аксиом: 1) и 4) операция
гарантирует левые и правые частные, т. е. для любых
двух элементов а, Ъ из G существуют в G такие элементы
х, у, наз. левым частным и правым част-
частным от деления Ь на а, что ах=Ь, уа=Ь.
Из определений следует, что единица в любой Г.
единственна, для любого элемента из Г. обратный к не-
нему элемент единствен и для любых элементов а, Ь из Г.
оба частных от деления Ь на а единственны.
Исторические замечания. Истоки понятия Г. обна-
обнаруживаются в нескольких дисциплинах, главная из
к-рых — теория решения алгебраич. уравнений в ради-
радикалах. В «Мемуаре об алгебраическом решении уравне-
уравнений» Ж. Лагранжа (J. Lagrange, 1771) и одной работе
А. Вандермонда -(A. Vandermonde, 1771) впервые для
нужд этой теории были применены подстановки. Особо
важен для теории Г. «Мемуар» Ж. Лагранжа, где в тер-
терминах многочленов по существу получено разложение
симметрической Г. подстановок на смежные классы по
подгруппе. Глубокие связи между свойствами Г. под-
подстановок и свойствами уравнений были указаны Н. Абе-
Абелем (N. Abel, 1824) и Э. Галуа (Е. Galois, 1830). Вместе
с тем Э. Галуа принадлежат конкретные достижения в
теории Г.: открытие роли нормальных подгрупп в связи
с задачей о разрешимости уравнений в радикалах, уста-
установление простоты знакопеременных Г. степени «Js5
и пр. Важную роль в систематизации и развитии этого
направления алгебры сыграл трактат К. Жордана
(С. Jordan, 1870) о Г. подстановок.
Независимо идея Г. возникла в геометрии, когда в
середине 19 в. на смену единой античной геометрии
пришли многочисленные «геометрии» и остро встал воп-
вопрос об установлении связей и родства между ними. Вы-
Выход из создавшегося положения был намечен исследова-
исследованиями по проективной геометрии, посвященными изуче-
изучению поведения фигур при различных преобразованиях.
Постепенно интерес в этих исследованиях перешел на
изучение самих преобразований и поиск их классифи-
нации. Таким «изучением геометрического родства»
много занимался А. Мёбиус (A. Mobius), исследовавший
конгруэнтность, подобие, аффинность, коллинеацию и,
наконец, «элементарные виды родства» геометрич. фи-
фигур, т. е. по существу топологич. эквивалентность. На
более сознательном уровне классификация геометрий
была дана А. Кэли (A. Cayley, 1854 и далее) и другими
представителями английской школы теории инвариан-
инвариантов: А. Кэли явно пользовался термином «Г.», система-
систематически использовал таблицы умножения, наз. теперь
его именем (см. Кэли таблица), он доказал представи-
представимость всякой конечной Г. подстановками, пришел к по-
пониманию Г. как системы, заданной порождающими эле-
элементами и определяющими соотношениями. Заключи-
Заключительным этапом на этом пути явилась «Эрлангенская
программа» Ф. Клейна (F. Klein, 1872), положившая в
основу классификации геометрий понятие Г. преобра-
преобразований.
Третий источник понятия Г.— теория чисел. Уже
Л. Эйлер (L. Euler, 1761), изучая «вычеты, остающиеся
при делении степеней», по существу пользовался сравне-
сравнениями и разбиениями на классы вычетов, что на теоре-
теоретико-групповом языке означает разложение Г. на смеж-
смежные классы по подгруппе. К. Гаусс (С. Gauss, 1801) в
«Арифметических исследованиях», занимаясь уравнением
деления круга, фактически определил подгруппы его
группы Галуа. Там же, изучая «композицию двоичных
квадратичных форм», К. Гаусс по существу доказал, что
классы эквивалентных форм образуют относительно
композиции конечную абелеву Г.
Осознание в конце 19 в. принципиального единства
теоретико-групповых идей, использовавшихся долгое
время независимо в разных областях математики, при-
привело к выработке современного абстрактного понятия
Г. Так, С. Ли (S. Lie, 1895) уже определял Г. как сово-
совокупность преобразований, замкнутую относительно
операции, к-рая ассоциативна и гарантирует единицу и
обратные элементы. Изучение Г. без предположения их
конечности и без каких бы то ни было предположений о
природе элементов впервые оформилось в самостоятель-
самостоятельную область математики с выходом в 1916 книги О. Ю.
Шмидта «Абстрактная теория групп».
Примеры групп. Ниже приводятся примеры, иллю-
иллюстрирующие роль Г. в алгебре, в других разделах мате-
математики и в естествознании.
а) Группы Галуа. Пусть К — конечное, се-
парабельное и нормальное расширение поля к. Автомор-
Автоморфизмы поля К, оставляющие элементы подполя к не-
неподвижными, образуют Г. Gal(K/k) относительно их
последовательного выполнения, наз. Галуа группой
расширения К/к. Основная теорема Галуа теории гла-
гласит: отображение, сопоставляющее каждой подгруппе
Г. Gal (К/к) ее неподвижное подполе, является ан-
антиизоморфизмом решетки подгрупп Г. G&\(Klk) на ре-
решетку промежуточных подполей, заключенных между
к и А'.
Приложение к вопросу о разрешимости уравнений в
радикалах осуществляется следующим образом. Пусть
/ — многочлен от х над нолем к, К — поле разложения
/. Группа Gal (К/к) наз. группой Галуа многочлена /
над полем к (ее элементы естественным образом изобра-
изображаются подстановками корней уравнения f(x) — O). Ока-
Оказывается, уравнение f(x) = O тогда и только тогда ре-
решается в радикалах, когда группа Галуа многочлена /
разрешима (см. Разрешимая группа).
В этом и других аналогичных примерах Г. возникают
в форме Г. автоморфизмов математич. структур. Это не
только одна из важнейших форм, но и вообще присущая
только Г. форма применения, обеспечивающая им особое
положение в алгебре. Дело в том, что автоморфизмы
произвольных структур, говоря словами Галуа, всегда
можно «группировать», тогда как определить на множе-
стве автоморфизмов строение кольца или какой-нибудь
другой полезной структуры удается лишь в специаль-
специальных случаях.
б) Гомологические группы. Ведущей иде-
идеей теории гомологии является применение теории (абе-
левых) Г. к изучению категории топологич. пространств.
Каждому пространству X сопоставляется семейство абе-
левых Г. Н0(Х), #х(Х), ... и каждому непрерывному
отображению / : X—+Y — семейство гомоморфизмов
/„ : Нп(Х)—*-Hn(Y), ге=0, 1, 2, ... . Изучение гомоло-
гич. Г. Нп(Х) (см. Гомологии группа) и их гомоморфиз-
гомоморфизмов средствами теории Г. часто позволяет решить ис-
исходную топологич. задачу. Типичный пример — задача
распространения: можно ли отображение g : A-+-Y, оп-
определенное на подпространстве А пространства X, рас-
распространить на все X, т. е. представить g как супер
позицию вложения h : A-yX и нек-рого непрерывного
отображения / : X-+Y? Если да, то в гомологиях
должно быть gn=fn-hn, т.е. каждый гомоморфизм
gn : Hn(A)-*-Hn(Y) можно пропустить через Нп(Х) с за-
заданный множителем hn. Если эта алгебраич. задача не-
неразрешима, то и исходная топологич. задача неразре-
неразрешима. Этим способом можно получать важные положи-
положительные результаты.
Гомологич. Г. иллюстрируют другой типичный путь
применения Г. — путь изучения неалгебраич. объектов
с помощью алгебраич. систем, отражающих их поведе-
поведение. Именно таков основной метод алгебраич. тополо-
топологии. Аналогичный метод и, в частности, гомологич. Г.
успешно используются и для изучения самих алгебра-
алгебраич. систем — Г., колец и пр. (напр., в теории расшире-
расширений Г.).
в) Группы симметрии. Понятие Г. позво-
позволяет в точных терминах охарактеризовать симметрич-
симметричность той или иной геометрич. фигуры. Именно, каждой
фигуре можно сопоставить совокупность всех преобра-
преобразований пространства, совмещающих данную фигуру с
нею самой. Эта совокупность будет Г. относительно по-
последовательного выполнения преобразований. Она и ха-
характеризует симметричность фигуры. Именно с таких
позиций Е. С. Федоров в 1890 решил задачу классифи-
классификации правильных пространственных систем точек, яв-
являющуюся одной из основных задач кристаллографии.
Существует всего 17 плоских федоровских Г., они были
найдены непосредственно; пространственных федоров-
федоровских Г. — 230, и только теория Г. позволила провести их
исчерпывающую классификацию. Это был исторически
первый случай применения теории Г. непосредственно в
естествознании.
Аналогичную роль играет теория Г. в физике. Так,
в квантовой механике состояние физич. системы изобра-
изображается точкой бесконечномерного векторного прост-
пространства. Если физич. система переходит из одного со-
состояния в другое, то изображающая ее точка подвер-
подвергается нек-рому линейному преобразованию. Сообра-
Соображения симметрии и теория представлений Г. линейными
преобразованиями имеют здесь первостепенное зна-
значение.
Указанные примеры иллюстрируют классифицирую-
классифицирующую роль теории Г. всюду, где речь идет о симметрии.
Изучая симметрию, по существу имеют дело с автомор-
автоморфизмами систем (не обязательно математических), по-
поэтому теория Г. незаменима в этих вопросах.
Важнейшие классы групп. «Конечная цель» теории
Г. — описать все групповые операции или, иначе, все Г.
с точностью до изоморфизма. Теория Г. распадается на
ряд разделов, выделяемых чаще всего дополнительными
условиями на групповую операцию или внесением в Г.
дополнительных структур, связанных определенным
образом с групповой операцией.
Старейшей и интенсивно развивающейся ветвью тео-
теории Г. является теория конечных групп. Важное место
в ней занимает отыскание конечных простых Г., к к-рым
относятся многие классические Г. матриц над конечны-
конечными полями, а также «спорадические» простые конечные
Г. (группы Матьё и др.)- На другом полюсе находятся
конечные разрешимые Г., в них обычно интересуются
специфическими системами подгрупп (холловых, карте-
ровых и пр.), во многом определяющих строение самой
Г. Часто конечные Г. возникают в форме Г. подстановок
или матриц над конечными полями; изучению представ-
представлений матрицами и подстановками посвящено боль-
большое самостоятельное направление теории конечных Г.
Типичным методом исследования бесконечных Г. яв-
является наложение на них того или иного условия ко-
конечности. Здесь наибольшее внимание привлекают пе-
периодические группы, локально конечные Г., Г. с усло-
условием максимальности для подгрупп (н'ётеровы группы),
Г. с условием минимальности для подгрупп (артиновы
группы), конечно порожденные группы, Г. конечного
ранга (см. Ранг группы), финитно аппроксимируемые
группы.
При изучении абелевых групп важную роль играют
полные абелевы Г., абелевы Г. без кручения и периоди-
периодические абелевы Г., а в них — сервантные подгруппы
и примерные подгруппы. Исследование произвольной
абелевой Г. во многом сводится к теориям указанных
классов с помощью теории расширений абелевых Г.,
развиваемой в основном гомологич. методами (см. Рас-
Расширение группы).
Более широкими по отношению к классу абелевых Г.
являются классы нилъпотентных групп и разрешимых
групп, теория к-рых также достаточно развита. Из обоб-
обобщений нильпотентности и разрешимости наиболее упо-
употребительны локальная нильпотентность, локальная
разрешимость, нормализаторное условие, а также много-
многочисленные свойства, определяемые наличием в Г. суб-
субнормальных систем (см. Подгрупп система) того или
иного типа. Заметную роль играют специальные классы
разрешимых и нильпотентных Г.: сверхразрешимые груп-
группы, полициклические группы.
Важной частью теории Г. является теория Г. преоб-
преобразований (см. Преобразований группа), в том числе тео-
теория Г. подстановок (см. Подстановок группа) и теория
линейных групп. Ряд важных классов Г. определяет-
определяется внесением в Г. дополнительных структур, согласо-
согласованных с групповой операцией; сюда относятся топо-
топологические группы, Ли группы, алгебраические группы,
упорядоченные группа. Из других классов Г. следует
отметить Г., свободные в том или ином многообразии
(см. Свободная группа), полные группы, Г., аппрокси-
аппроксимируемые в том или ином смысле, Г., определяемые ус-
условиями в терминах порождающих элементов и опреде-
определяющих соотношений, Г., выделяемые условиями на
решетку подгрупп.
Лит.: Ш Каргаполов М.И., Мерзляков Ю. И.,
Основы теории групп, М., 1972; [2] К у р о ш А. Г., Теория
групп, У изд., М., 1967: [3] Холл М., Теория групп, пер.
с англ., М., 1962; [4] Шмидт О. Ю., Избр. тр. Математика,
М., 1959, с. 17—70; L5] W u s s i n g H., Die Genesis des abs-
trakten Gruppenbegriffes, В., 1969; [6] Федоров Е. С,
Симметрия и структура кристаллов, М., 1949, с. 111—258;
[7] Боголюбов Н. Н., Логунов А. А.., Т о д о-
ров И. Т., Основы аксиоматического подхода в квантовой
теории поля. М., 1969. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков.
я-ГРУППА — обобщение понятия группы на случай
n-арной операции, ге-г р у п п о й наз. универсальная
алгебра с одной гс-арной ассоциативной операцией, од-
однозначно обратимой на каждом месте (см. Алгебраиче-
Алгебраическая операция). Теория п-Т. при rej2=3 существенно отли-
отличается от теории групп (т. с. 2-групп). Напр., при л^=3
у ге-Г. нет аналога единицы.
Пусть Г (о) группа с операцией умножения о, п^З —
произвольное целое число, тогда на множестве Г можно
следующим образом определить n-арную операцию со:
а^а2 ... апч> = ахоа^р ... оо„.
Получаемая п-Т. наз. n-группой, определя-
определяемой группой Г (о). Известны необходимые и
достаточные условия, при к-рых п-Т. определяется
нек-рой группой (см. [1]). Всякая ге-Г. вкладывается в
п-Т., определяемую группой (теорема Поста).
Лит.: [1] Курош А. Г., Общая алгебра, М., 1974.
В. Д. Белоусов.
/7-ГРУППА — группа, каждый неединичный элемент
к-рой естьр-э л е м е н т, т. е. элемент, удовлетворяю-
удовлетворяющий уравнению хр = 1; здесь р — фиксированное одно
и то же для всех элементов группы простое число, а
п — натуральное число, вообще говоря, свое для каж-
каждого элемента группы. В том же смысле вместо буквы р
употребляют другие буквы, напр, q, r, s, но в таком слу-
случае их употребление особо оговаривают. Если р —
конкретное простое число, напр. 2, 3, 5, .. ., то гово-
говорят о 2-группах, 3-группах и т. д. Иногда р-Т. наз.
примарными группами. Обобщением р-Т.
является я-группа (л — заданное множество простых
чисел), определяемая как группа, каждый неединичный
элемент к-рой есть п-э л е м е н т, т. е. элемент, удов-
удовлетворяющий условию хт=1, где т — натуральное
число, все простые делители к-рого принадлежат п.
Реже в том же смысле пишут П-группа, а-группа, т-
группа. Если N — множество всех простых чисел, то
часто обозначают p' = N\p, л' = 7У\п и говорят о р'-
и я'-группах, о р'- и л'-элементах. Подгруппа данной
группы, являющаяся р-Т. (п-группой), наз. р-п о д-
г р у п п- о й (п-п одгр уппой).
Значительная часть работ в теории конечных групп
связана с задачей описания произвольных конечных
групп через конечные р-Т. и простых конечных групп
через 2-группы (см. [1], гл. IV и VI и [2]). Поэтому
наиболее интенсивно развиваются направления, свя-
связанные с описанием конечных р-Т. по их абелевым под-
подгруппам, либо с их описанием посредством р-автомор-
физмов.
Бесконечные (неабелевы) р-Т. менее изучены. Ниже
приводится небольшое число наиболее важных резуль-
результатов, грубо разделенных на три части.
1) О результатах, относящихся к решению проблем
Бернсайда, см. Бернсайда проблема.
2) Локально конечная р-Т. непроста (см. [3], с. 290).
3) Примеры, показывающие отличие теории конечных
р-Т. от общей теории р-Т. а) Существует локально ко-
конечная р-Т., к-рая не имеет неединичных абелевых нор-
нормальных подгрупп (см. [3], с. 294). б) Существует ло-
локально конечная р-Т., совпадающая со своим коммутан-
коммутантом (см. [3], с. 296).
См. также Группа с условием конечности.
Лит.: [i] Hup pert В., Endliche Gruppen, В., 1967;
[2] Gorenstein D., Finite Groups, N. Y., 1968; [3]
Ш м и д т О. Ю., Избр. тр. Математика, М., 1959; [4] Ч е у н и-
к о в С. Н., «Успехи матем. наук», 1959, т. 14, в. 5, с. 45—96; [5]
Итоги науки. Алгебра. 1964, М., 1966, с. 123 — 60; [6] Серр
Ж.-П., Когомологии Галуа, пер. с франц., М., 1968.
ЮМ. Горчаков.
ГРУППА БЕЗ КРУЧЕНИЯ — группа, не имеющая
элементов конечного порядка. Свободная, свободная
разрешимая, свободная нилытотентная и свободная абе-
лева группы суть Г. б. к. Прямое, полное прямое и сво-
свободное произведения Г. б. к. суть Г. б. к. Факторгруп-
Факторгруппа Г. б. к. G по ее нормальной подгруппе Н есть Г. б. к.
тогда и только тогда, когда из того, что х"?Н, следует
х?Н для всех ,r?G и для любого натурального я. Рас-
Расширение Г. б. к. с помощью Г. б. к. есть Г. б. к. Если
группа аппроксимируется р-группами по двум различ-
различным простым числам р, то она есть Г. б. к.
Лит.: [1] Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М..
1967. В. М. Копытов.
ГРУППА С ОДНОЗНАЧНЫМ ИЗВЛЕЧЕНИЕМ
КОРНЯ, Я-г р у п и а — группа, у к-рой из равенства
хп = уп следует х=у, где х, у — любые элементы труп-
пы, п — любое натуральное число. Группа G тогда и
только тогда является й-грушюй, когда она без круче-
кручения и такова, что из хпу = ухп следует ху=ух для любых
.г, у? G и натурального числа п. Й-грунна распадается в
теоретико-множественное объединение пересекающихся
по единице абелевых групп ранга 1. Группа тогда и
только тогда есть й-группа, когда она без кручения и ее
факторгруппа по центру есть й-группа. Подгруппа й-
группы, прямое и полное прямое произведения й-групп
суть й-группы. Для класса й-групп справедлива ло-
локальная теорема: если всякая конечно порожденная
подгруппа группы G есть й-группа, то и сама группа
G является й-группой. Свободные группы, свободные
разрешимые группы, а также локально нильпотентные
группы без кручения являются й-группами. Класс всех
полных fl-групп образует многообразие алгебр с опера-
операциями умножения и извлечения корня (D-т р у п п ы).
Лит.: Ш К у р о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М.,
1967. В. М. Нопытов.
ГРУППА С УСЛОВИЕМ КОНЕЧНОСТИ — группа,
элементы или подгруппы к-рой удовлетворяют тому или
иному условию конечности. Под условием ко-
конечности в теории групп понимается любое такое
свойство, присущее всем конечным группам, что сущест-
существуют бесконечные группы, к-рые им не обладают. Наи-
Наиболее важными в теоретико-групповых исследованиях
являются следующие условия конечности: конечность
убывающих цепей подгрупп (условие минимальности
для подгрупп, см. Артииова группа), конечность возра-
возрастающих цепей подгрупп (условие максимальности
для подгрупп, см. Нётерова группа), конечная порож-
денность, конечность порядков элементов (периодич-
(периодичность), конечность конечно порожденных подгрупп (ло-
(локальная конечность, см. Локально конечная группа),
конечность ранга, конечность классов сопряженных
элементов.
Систематич. изучение Г. с у. к. началось в 1939—40
(см. [1]) с исследования локально нильпотентных и
локально разрешимых групп с условием минимально-
минимальности для подгрупп, в результате к-рого было установ-
установлено, что бесконечные группы такого рода являются ко-
конечными расширениями прямых произведений конечно-
конечного числа квазициклич. групп. Вопрос о справедливости
утверждения этой теоремы для произвольной бесконеч-
бесконечной группы с условием минимальности для подгрупп в
общем случае пока A977) не решен. В предположении
локальной конечности он решен положительно [5].
Изучение групп с условием минимальности обогатило
теорию групп важными результатами. Само условие ми-
минимальности подвергалось при этом существенным ог-
ограничениям: налагалось не на все подгруппы, а лишь
на подгруппы, удовлетворяющие тем или иным допол-
дополнительным требованиям (инвариантность, абелевость,
конечность индекса, примарность и пр.). Исследование
групп с условием максимальности оказалось менее про-
продуктивным, чем исследование групп с условием мини-
минимальности. Разрешимые группы с условием максималь-
максимальности — это полициклич. группы. В разрешимых груп-
группах условие максимальности для подгрупп эквивалент-
эквивалентно условию максимальности для абелевых подгрупп
[4]. Аналогичный результат установлен и для условия
минимальности в локально разрешимых группах. Усло-
Условие максимальности для подгрупп эквивалентно усло-
условию конечной порожденное™ группы и всех ее под-
подгрупп. Для нильпотентных групп оно эквивалентно ко-
конечной порожденности самой группы.
Группа имеет конечный ранг, если мини-
минимальное число образующих элементов в каждой ее ко-
конечно порожденной подгруппе не превосходит нек-рого
фиксированного числа. Это условие конечности было
широко использовано при изучении разрешимых групп
и локально нильпотентных групп. Было установлено, в
частности, что если все абелевы подгруппы локально
нильпотентной группы без кручения имеют конечный
ранг, то конечный ранг имеет и вся группа [4].
Ряд существенных результатов дало исследование
групп с конечными классами сопряженных элементов.
Наиболее изученными среди них оказались с л о и н о
конечные группы, т. е. группы с конечными
множествами элементов каждого порядка. Их изучение
доведено по существу до полного описания их строения.
Из этого описания вытекает, в частности, что класс
слойно конечных групп совпадает с классом локально
нормальных групп, удовлетворяющих условию мини-
минимальности для примерных подгрупп.
Лит.: [1] Черников С. Н., «Успехи матем. наук»,
1959, т. 14, № 5(89), с. 45—96; [2] Robinson D. J. S., Fi-
nitenessconditions and generalized soluble groups, p. 1, 2, B.—
Heid.—N. Y., 1972; [3] Курош А. Г., Теория групп, З изд.,
М., 1967; [41 Мальцев А. И., «Матем. сб.», 1951, т. 28
G0), JV» 3, с. 567—88; [5] Ш у н к о в В. П., «Алгебра и ло-
логика». 1970, т. 9, ЛЬ 5, С. 579 — 615. С.Н.Черников.
ГРУППА С УСЛОВИЕМ МАКСИМАЛЬНОСТИ для
подгрупп — см. Нётерова группа.
ГРУППА С УСЛОВИЕМ МИНИМАЛЬНОСТИ для
подгрупп — см. Артинова группа.
ГРУППА TIIHAj)" — см. Квазициклическая группа.
ГРУППОВАЯ АЛГЕБРА группы G н а д по-
полем К — ассоциативная алгебра над полем К, эле-
элементами к-рой являются всевозможные формальные ко-
конечные суммы вида 2 cag?' S ?G, ag ? К, а опе-
операции определяются формулами:
(в правой части второй формулы сумма также конечна).
Эта алгебра обозначается KG; элементы группы G обра-
образуют базис алгебры KG; умножение базисных элементов
в Г. а. индуцируется групповым умножением. Алгебра
KG изоморфна алгебре функций, определяемых на груп-
группе G со значениями в поле К и принимающих лишь ко-
конечное число ненулевых значений; умножение в этой
алгебре — свертка функций.
Эту же конструкцию можно рассмотреть и для слу-
случая, когда К — ассоциативное кольцо. Таким образом
приходят к понятию группового кольца
группы (Знад кольцом А"; в случае, когда К
коммутативно и с единицей, групповое кольцо наз. часто
также групповой алгеброй группы над
кольцом.
Г. а. были введены Г. Фробеннусом (G. Frobenius) и
И. Шуром [1] в связи с изучением представлений групп,
поскольку рассмотрение представлений группы G над
полем К равносильно изучению модулей над Г. а. KG.
Так, теорема Машке на языке групповых ал-
алгебр формулируется следующим образом; если G — ко-
конечная группа, а К ~ поле, то Г. а. KG полунроста
тогда и только тогда, когда порядок группы G не де-
делится на характеристику поля К.
В начале 50-х гг. 20 в. появились исследования по
Г. а. бесконечных групп в связи с применением целочис-
целочисленных Г. а. в алгебраич. топологии, а также с исполь-
использованием методов теории Г. а. при изучении строения
группы. Этому способствовал также ряд проблем, по-
поставленных для Г. а., наиболее известная из них: содер-
содержит ли делители нуля Г. а. группы без кручения?
(проблема К а и л а н с к о г о).
Некоторые направления исследований по групповым
кольцам и алгебрам.
Радикал и полупростота. Групповое
кольцо обладает ненулевым нильпотентным идеалом
тогда и только тогда, когда либо К имеет ненулевой
нильпотентный идеал, либо порядок нек-рой конечной
нормальной подгрушш из G делится на порядок элемен-
элемента из аддитивной группы кольца К. Если К — кольцо
без нильидеалов и порядок любого элемента из G не де-
делится на порядок ни одного элемента из аддитивной
группы К, то KG без нильидеалов. Г. a. KG над полем
характеристики 0 полупроста в смысле Джекобсона ра-
радикала, если К содержит трансцендентный элемент над
полем рациональных чисел.
Вложение Г. а. в тела. Г. а. упорядоченной
группы вложима в тело (теорема Мальцева-
Неймана). Существует предположение, что это же
верно для Г. а. всякой правоупорядоченной группы.
Связь теоретико-кольцевых свойств
группового кольца KG со строепием
группы би к о л ь ц а К. Напр., KG первично тог-
тогда и только тогда, когда кольцо К первично и группа G
не имеет конечных нормальных подгрупп.
Проблема изоморфизма: если группо-
групповые кольца KG и КН изоморфны как ЛГ-алгебры, то ка-
какая связь существует между строением групп G и Н,
в частности, когда G и // изоморфны? Выяснилось, что
однозначно определяет группу групповое кольцо пери-
периодической разрешимой группы класса 2 над кольцом
целых чисел и групповое кольцо счетной абелевой
/>-группы над кольцом характеристики р.
Рассматривались различные обобщения понятия
Г. а., напр, понятие скрещенного произведения группы
и кольца, для к-рого остаются справедливыми многие
свойства Г. а.
Лит.: [1] S с h u г I., «Sitzber. Preuss. Akad. Wiss.»,
1905, S. 406—32; [2] Кэртис Ч., Р айн ер И., Теория
представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, пер.
с англ., М., 1969; [31 Passman D. S., Infinite group rings,
N. Y., 1971; [4] Современные проблемы математики, т. 2, М.,
1973, с. 5—118; [ 5 ] Бовди А. А., Групповые кольца, Ужго-
Ужгород, 1974; см. также лит. при статье Представления групп.
А. А. Бовди.
ГРУППОВАЯ АЛГЕБРА локально биком-
бикомпактной группы — топологическая алгебра с
инволюцией, образованная функциями на группе и та-
такая, что в ней умножение определяется как свертка.
Пусть банахово пространство Ll(G) построено с помощью
левоинвариантной Хаара меры dg на локально биком-
бикомпактной топологич. группе G и пусть в L1(G) умножение
определяется как свертка (Д, /2)—>-/i*/2, a инволюция
/->/* - по формуле f*(g)=f(g~1)A(g), где А - модуль
группы G. Полученная банахова алгебра с инволюцией
наз. групповой алгеброй группы G и обо-
обозначается также через Ll(G). Если G — конечная груп-
группа, то определение Г. а. совпадает с обычным алгебраич.
определением Г. а. над полем комплексных чисел.
Понятие Г. а. позволяет применять общие методы тео-
теории банаховых алгебр в задачах теории групп и, в част-
частности, в абстрактном гармонич. анализе. Свойства Г. а.
как банаховой алгебры отражают свойства топологич.
группы: так, Г. а. содержит единичный элемент тогда и
только тогда, когда группа дискретна; Г. а. является
прямой суммой (топологической) своих конечномерных
минимальных двусторонних идеалов тогда и только тог-
тогда, когда группа бикомпактна. Исключительно важную
роль играет понятие Г. а. в теории унитарных пред-
представлений группы: между непрерывными унитарными
представлениями топологич. группы G и невырожден-
невырожденными симметричными представлениями Г. a. ?*(G) су-
существует взаимно однозначное соответствие, сопостав-
сопоставляющее непрерывному унитарному представлению п
группы G в гильбертовом пространстве // представление
Г. a. L^(G), определяемое формулой
Г. а. локально бикомпактных групп обладают рядом
общих свойств. Именно, любая Г. а. содержит аппрокси-
аппроксимативную единицу (см. Банахова алгебра), образован-
ную семейством характеристич. функций окрестностей
единичного элемента, упорядоченных по включению (в
сторону убывания); поэтому для Г. а. можно установить
соответствие между положительными функционалами
на Г. а. и ее симметричными представлениями. Любая
Г. а. является полупростой алгеброй и имеет симметрич-
симметричное точное представление. В частности, представление
Г. а., определяемое регулярным представлением группы,
является точным. Замкнутые левые идеалы L^G) суть
замкнутые векторные подпространства ^(G), инвари-
инвариантные относительно левого сдвига.
Иногда групповой алгеброй наз. банахова
алгебра с инволюцией, полученная из Г. a. Ll(G) при-
присоединением единицы. Существует ряд других алгебр с
инволюцией, к-рые иногда наз. групповыми ал-
алгебрами. К их числу относятся, в частности: алгеб-
алгебра мер М (G) относительно свертки; алгебры относитель-
относительно обычного умножения, напр, алгебра L°°(G) сущест-
существенно ограниченных измеримых по мере Хаара функ-
функций, алгебра Р (G) комплексных линейных комбинаций
непрерывных положительно определенных функций.
Множество Pl{G) = P(G)C\L1(G) и совокупность К (G) не-
непрерывных финитных функций образуют алгебру и от-
относительно свертки, и относительно обычного умноже-
умножения. Имеет место следующая таблица, в к-рой стрелки
означают включения:
Лит.: [1] II а й м а р к М. А., Нормированные кольца
2 изд., М., 1968; [2J Guichardct A., Analyse harmoni-
que commutative, P., 1968. А. И. Штерн
ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ — величина, характери-
характеризующая скорость распространения волнового процесса
в диспергирующих средах. Пусть волновой процесс
описывается волновым уравнением с переменным коэф-
коэффициентом
0<: z < oo, — oo<.z<oo, с(г)>0.
Ищутся решения, удовлетворяющие условиям
и имеющие вид
= eiai-k)t-ikxv(z).
Фупкция у (г) должна быть ненулевым решением одно-
одномерной краевой задачи
V с2 W/ ' г=0 ' z~* °°
Если в нек-ром промежутке изменения к существует ко-
конечный набор a>j(k), k=\, 2, ..., при к-рых эта задача
имеет ненулевое решение vj, то величины V=(Oj(k)i'k и
U=d(Oj/dk наз. соответственно фазовой и груп-
групповой скоростями волны
j j
Фазовая скорость и Г. с. связаны следующим соотно-
соотношением (формула Рэлея):
U = V—kdV/dX,
где Я — длина волны.
Лит.: [1] Мандельштам Л. И., Полное собрание
трудов, т. 5, Л., 1950, с. 315—19, 419—25, 439 — 67; L2] Гор е-
л и к Г. С, Колебания и волны, 2 изд., М., 1959. В. М. Бабич.
ГРУППОВАЯ СХЕМА, схема групп,— обоб-
обобщение понятия алгебраич. группы. Пусть (Sch/5) — ка-
категория схем над базисной схемой S; групповой объект
этой категории наз. групповой схемой над
схемой S (а также групповой 5-е х е м о й,
или 5-с хемой групп). Для Г. с. G над S функ-
функтор точек hG:X—*HomSch/s(X, G) = G(X) является
контравариантным функтором из категории (Sch/5) в
категорию групп (Gr). Категория (S — Gr) группо-
групповых схем над S определяется как полная подкатегория
категории таких функторов, образованная представи-
мыми функторами.
Примеры. 1) Алгебраич. группа над полем к есть
приведенная Г. с. конечного типа над полем к. (Иногда
алгебраич. группой наз. произвольную Г. с. конечного
типа над полем.)
2) Функтор, сопоставляющий S-схеме X аддитивную
(соответственно мультипликативную) группу кольца
сечений структурного пучка Г {X, Ох) представим. Со-
Соответствующая Г. с. над S наз. аддитивной (со-
(соответственно мультипликативной) группой
и обозначается Ga< 5 (соответственно Gm $). Для любой
5-схемы S'
Ga, S X S'^-Ga, S" Gm,S>< SS' —Gm,S'-
3) Каждая абстрактная группа Г определяет Г. с.
(F)s — прямую сумму семейства схем (Sg)g€G, каждая
из к-рых изоморфна S. Соответствующий функтор со-
сопоставляет 5-схеме X прямую сумму гя°(^), где
я0 (X) — множество связных компонент схемы X.
Если G — Г. с. над S, то для любой точки s?S слой
Gs=G®k(s) является Г. с. над полем вычетов k(s) этой
точки. В частности, каждую Г. с. конечного типа над
схемой S можно рассматривать как семейство алгебраич.
групп, параметризованное базой S. На Г. с. распро-
распространяется терминология теории схем; так, говорят о
гладких, плоских, конечных, собственных Г. с.
Для любой Г. с. G соответствующая приведенная схе-
схема Gred также есть Г. с, для к-рой каноническое замк-
замкнутое вложение Gre(j—y-G есть морфизм Г. с. Каждая
приведенная Г. с. локально конечного типа над полем
является гладкой. Каждая Г. с. локально конечного
типа над полем нулевой характеристики приведена
(теорема Картье).
Многие понятия и результаты теории алгебраич.
групп имеют свои аналоги для Г. с. Напр., имеется
аналог структурной теории Бореля — Шевалле для
аффинных алгебраич. групп 15], развита когомологич.
теория расширений Г. с. и однородных пространств над
Г. с. (см. [2], [5]). С другой стороны, многие проблемы
и результаты специфичны для теории Г. с. и связаны с
наличием нильпотентных элементов в структурном пуч-
пучке как базисной, так и самой Г. с. Так, изучаются ин-
финитезимальные и формальные деформации Г. с. [4],
вопросы подъема в нулевую характеристику, формаль-
формальные пополнения Г. с. (см. Формальная группа). Г. с.
естественным образом возникают при изучении алгеб-
алгебраич. групп над полем положительной характеристики
(см. р-делимая группа).
Понятие аффинной Г. с. над базисной аффинной схе-
схемой 5=SpecB?) двойственно понятию коммутативной
Хопфа алгебры, именно, если G=Spec(/l) такая Г. с, то
А является коммутативной алгеброй Хопфа.
См. также Коммутативная групповая схема, Конеч-
Конечная групповая схема.
Лит.: [1] Тсйт Д ж., О орт Ф., «Математика», 1972,
т. 16, J\6 1, с. 165—83; [2] Demazure M., Gabriel P.,
Groupes algebriques, t. 1, P.— Amst., 1970; [3] Oort F., Com-
Commutative group schemes, B.— Hdlb.—N.Y., 1966; [4] его же,
«Compositio math.», 1971, v. 23, p. 265—96; [5] Schcmas en
groupes, t. 1 — 3, В.— Hdlb.—N.Y., 1970. И. В. Долгачев.
ГРУППОВОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — ассоциативное ис-
исчисление, в к-ром эффективным образом выполнено ес-
естественное групповое требование существования об-
обратной операции. Именно, ассоциативное исчисление 21
наз. Г. и. (см. [1], с. 341), если для него может быть по-
построен инвертирующий алгоритм, т. е.
такой алгоритм (J, что для всякого слова Р в алфавите
А исчисления 31 выполняются следующие условия:
1) Ш(Р) определено и также является словом в А;
2) слова Р($,(Р) и (Ц(Р)Р эквивалентны в 3( пустому
слову (алгоритм здесь следует понимать в к.-л. точном
смысле слова, напр, как нормальный алгорифм).
Наиболее употребительными являются Г. и. специ-
специального типа (так наз. инверсивные исчис-
исчисления, см. [2]), у к-рых существование инвертирую-
инвертирующего алгоритма обеспечивается надлежащим подбором
их алфавитов и списков соотношений: алфавит инвер-
инверсивного исчисления имеет четную длину, для каждой
его буквы ^ явно указывается обратная ей буква %~х,
а в список соотношений включается полный набор так
наз. тривиальных соотношений, т. е.
соотношений, правые части к-рых суть пустые слова, а
левые имеют вид ?S-1-
Роль Г. и. определяется тем, что они являются пред-
представлениями конечно определенных групп. Г. и. 5}1, как
и всякое ассоциативное исчисление, стандартным обра-
образом (см. Ассоциативное исчисление) порождает конечно
определенную ассоциативную систему К^, к-рая вслед-
вследствие наличия у 31 инвертирующего алгоритма оказы-
оказывается группой. Алгоритмическая проблема распозна-
распознавания эквивалентности слов в Г. и. ЭГ представляет со-
собой формулированную в терминах Г. и. проблему
тождества для конечно определенной группы А"8[.
Это — первая из числа фундаментальных проблем раз-
разрешимости, сформулированных в 1911 М. Деном [3] для
конечно определенных групп. Рядом авторов было най-
найдено положительное решение этой проблемы для групп,
определяемых частными типами Г. и. В частности, оно
было получено для групп, определяемых инверсивными
исчислениями с одним нетривиальным соотношением
(см. [4]). В 1952 П. С. Новиков (см. [5], а так;;;е [6])
впервые построил пример конечно определенной группы
с неразрешимой проблемой тождества, т. е. группы,
порожденной таким Г. и., для к-рого невозможен ника-
никакой алгоритм в уточненном смысле слова (напр., Тью-
Тьюринга машина или нормальный алгорифм), решающий
проблему эквивалентности слов в этом Г. и. Этот при-
пример дает отрицательное решение проблемы тождества
для конкретной конечно определенной группы с учетом
современного уточнения этой проблемы, даваемого тео-
теорией алгоритмов (см. Чёрча тезис). Впоследствии были
приведены др. примеры таких Г. и. (см., напр., [7], [8]).
Упомянутый пример П. С. Новикова дает отрицатель-
отрицательное решение и второй фундаментальной проблемы Дэ-
Дэна — проблемы распознавания пар слов, сопряженных
в данном Г. и. Позднее П. С. Новиков [9] дал более про-
простое и независимое от указанного примера отрицатель-
отрицательное решение проблемы сопряженности.
Большой интерес с алгебраич. точки зрения представ-
представляет изучение тех свойств Г. и., к-рые оказываются ин-
инвариантными относительно изоморфизмов Г. и.,— это
свойства абстрактных конечно определенных групп. В
1955 С. И. Адян [10]—[12] получил весьма общий ре-
результат, аналогичный результату А. А. Маркова для
ассоциативных исчислений, давший отрицательное
решение практически всех известных в то время алго-
ритмич. проблем, связанных с основными классифика-
классификациями Г. и. В частности, им было получено отрицатель-
отрицательное решение третьей проблемы Дена — проблемы изо-
морфин любой фиксированной конечно определенной
группе. Впоследствии аналогичные результаты полу-
получил М. Рабин [13].
Неразрешимость упомянутых алгоритмич. проблем,
касающихся Г. и., повлекла за собой отрицательное
решение ряда алгоритмич. проблем топологии.. Так, по
Г. и. с неразрешимой проблемой сопряженности можно
построить двумерный полиэдр, для к-рого неразрешима
проблема гомотопии путей. Опираясь на результаты
С. И. Адяна, А. А. Марков получил в 1958 отрицатель-
отрицательное решение проблемы гомеоморфии (см. [14]).
Лит.: [1] Марков А. А., Теория алгорифмов, М.,
1954; [2] его же, «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1963, т. 27,
М4, с. 907—36; [3] Dehn M., «Math. Ann.», 1911, Bd 71,
S. 116; [4] Magnus W., «J. reine und angew. Math.», 1931,
Bd 163 JV« 2, S. 141—65; [5] Новиков П. С. «Докл. АН
СССР», 1952, т. 85, с. 709—12; [6] его же, ОП алгоритмиче-
алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в теории групп,
М., 1955; [7] В о one W. W., «Indagat. math.», 1954, т. 16,
P. 231, 492; 1955, v. 17, p. 252—56; 1957, v. 19, p. 22—7, 227—32;
[8] В г i t t о n J. L., «Proc. London Math. Soc», 3 ser., 1958,
v. 8, № 32, p. 493—506; [9] H о в и к о в П. С, «Изв. АН
СССР. Сер. матем.», 1954, т. 18, № 6, с. 485—524; [10] А дян
С. И., «Докл. АН СССР», 1955, т. 103, с. 533—35; [11] его
же, там же, 1957, т. 117, № 1, с. 9—12; [12] ег о же, «Тр. Моск.
матем. об-ва», 1957, т. 6, с. 231—98; [13] Rabin M. О.,
«Ann. Math.», 1958, v. 67, p. 172 — 94; [14] Марков А. А.,
«Докл. АН СССР», 1958, т. 121, № 2, с. 218—20. Я. М. Нагорный.
ГРУППОВОЙ ОБЪЕКТ категории — объект
X категории С такой, что для любого У?ОЬ(С) множе-
множество морфизмов Home (Y, Х)является группой, а соот-
соответствие У—>-Нотс(У, X) — функтором из категории С
в категорию групп (Gr). Гомоморфизмом Г. о.
X в Г. о. Y наз. такой морфизи / : X—уХ' категории С,
что для любого У?ОЬ (С) соответствующее отображение
Нотс(У, Х)->-Нотс(У, X') является гомоморфизмом
групп. Г.о.категории С образуют подкатегорию (Gr— С)
категории С; морфизмами в этой категории служат го-
гомоморфизмы. Функтор X—vAi(=Homc(', X) устанавли-
устанавливает эквивалентность категории (Gr — С) и категории
представимых предпучков групп на категории С. В слу-
случае, когда значения функтора hy '¦ У—*-Нотс(У, X) при-
принадлежат подкатегории (АЬ) абелевых групп, Г. о. X
наз. коммутативным, или абелевым. Если
категория С обладает конечными произведениями и фи-
финальным объектом е, то Г. о. X категории С определя-
определяются следующими свойствами.
Существуют морфизмы т : XXX—уХ (умножение),
г : Х-уХ (обращение) и Р : е-уХ (единица), к-рые удов-
удовлетворяют следующим аксиомам.
а) Ассоциативность. Диаграмма
Х«Х
коммутативна. *¦*
б) Существование единичного элемента. Диаграмма
Id
коммутативна.
в) Существование обратного элемента. Диаграмма
^х-
коммутативна. Здесь всюду рх '• X—уе — канонический
морфизм объекта X в финальный объект е, а Д : X—у
—>ХХХ — диагональный морфизм.
В случае, когда С есть категория множеств (Ens),
Г. о. X суть в точности группы. Финальным объектом
категории (Ens) является множество {е}, состоящее из
одного элемента е. Аксиома а) означает ассоциативность
бинарной операции, задаваемой морфизмом т : XXX—у
—уХ. Морфизм г : X—>-Х есть отображение обращения, а
морфизм р : {е}—уХ есть отображение множества {е} в
X, образ к-рого равен единичному элементу в X.
Аналогичным способом можно определить кольце-
кольцевой объект категории и вообще задать алгеб-
алгебраическую структуру на объекте
категории (см. [2]).
Лит.: [1] Манин Ю. И., «Успехи матем. наук», 1963,
т. 18, в. 6; [2] Dem azure M., Grothendieck A.,
Schemas en groupes, t. 1, В.—Hdlb.—N.Y., 1970. И. В. Долгачев.
ГРУППОИД — универсальная алгебра с одной би-
бинарной операцией. Г.— самый широкий класс таких
алгебр; группы, полугруппы, квазигруппы — все это Г.
специального вида. Важным понятием для Г. является
понятие изотопии операций. Пусть на множестве
G определены две бинарные операции, обозначаемые (•)
и (о), они изотопны, если существуют такие три взаимно
однозначных отображения а, Р и у множества G на себя,
что a-b=y-1(aacfib) для любых a, b?G. Г., изотопный
квазигруппе, сам является квазигруппой; Г. с единицей,
изотопный группе, изоморфен этой группе. Поэтому
понятием изотопии в теории групп не пользуются, для
групп изотопия совпадает с изоморфизмом.
Группоид с сокращением — это Г., в
к-ром любое из равенств ab=ac, Ьа=са влечет Ъ^=с
(а, Ь, с — элементы Г.). Каждый Г. с сокращением вло-
вложим в квазигруппу. Гомоморфный образ квазигруппы —
группоид с делением, т. е. Г., в к-ром урав-
уравнения ах=Ъ и уа=Ь разрешимы (но не обязательно од-
однозначно).
Множество с одной частичной (т. е. определенной не
для всяких пар элементов) бинарной операцией наз.
частичным группоидом. Каждый частич-
частичный подгруппоид свободного частичного Г. свободен.
Вместо термина «Г.» употребляется иногда термин
«о п е р а т и в».
Лит.: [1] К у р о ш А. Г., Лекции по общей алгебре,
2 изд., М., 1973; [2] Кон П., Универсальная алгебра, пер. с
англ., М., 1968; [3] Boruvka О., Grundlagen der Gruppoid-
und Gruppentheorie, В., 1960; [4] Bruck R.H..A survey of
binary systems, В., [a. o.], 1971. В. Д. Белоусов.
ГУКА ЗАКОН — закон, устанавливающий в извест-
известных пределах зависимость между напряженным состоя-
состоянием и деформацией упругого тела. Г. з. заключается в
том, что малая деформация пропорциональна приложен-
приложенным к телу силам, т. е. тензор деформации щ^ является
линейной функцией тензора напряжений а,-&:
1 . . 1 / 1
где 6" — символ Кронекера, К — модуль всестороннего
сжатия, [I — модуль сдвига (см. Упругости математи-
математическая теория).
В простейшей форме Г. з. был экспериментально ус-
установлен Р. Гуком (R. Hooke) в 1660.
Лит.: [11 Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Теория
упругости, 3 изд., М., 1965, §4. А. В. Иванов.
ГУРВИЦА КРИТЕРИЙ —см. Рауса — Гурвица кри-
критерий.
ГУРВИЦА ТЕОРЕМА: если {/„(z)} - последователь-
последовательность голоморфных функций в области DczC, равномер-
равномерно сходящаяся внутри D к функции /(z)^0, то для лю-
любой замкнутой спрямляемой жордановой кривой Г, ле-
лежащей в D вместе с областью, ограниченной Г, и не
проходящей через нули функции f(z), можно указать
такое число N=N (Г), что при re>iV каждая из функций
fn(z) имеет внутри Г одно и то же число нулей, равное
числу нулей функции /(z) внутри Г. Получена А. Гур-
впцем [1].
Лит.: [1] Hurwitz A., «Math. Ann.», 1895, Bd 4fi,
S. 273—84; то же: Math. Werke, Bd 2, Basel, 1933, S. 533 —4Г).
[2] M a p к у ш е в и ч А. И., Теория аналитических функций,
2 изд., т. 1, М., 1967. Е. Д. Соломепцее.
ГУРВИЦА ФОРМУЛА —см. Римана — Гурвица
формула.
ГУРСА ЗАДАЧА — решение гиперболич. уравнения
и системы 2-го порядка с двумя независимыми перемен-
переменными по заданным его значениям на двух характерн-
стич. кривых, выходящих из одной точки.
Для гиперболич. уравнения
"xy = F{x, у, и, р, q), p = ux, q=--uy, A)
заданного, напр., в области Й = {{х, у) : 0<.г<г/<1},
Г. з. ставится следующим образом: найти регулярное
в области Q решение и (х, у) уравнения A) и непрерыв-
непрерывное в замыкании Q по краевому условию
и (О, t)=4>(t), u(t, l)=tW. 9(l)=t@), 0«*«:l, B)
где q> и ty — заданные непрерывно дифференцируемые
функции. Если функция F непрерывна для всех (х, у) ?
^йи для любой системы действительных значений пе-
переменных и, р, (jii допускает производные Fu, Fp и Fv,
к-рые при тех же условиях по абсолютной величине
меньше нек-рого числа, то в области Q существует един-
единственное и устойчивое решение задачи A), B).
При исследовании Г. з. в линейном случае
Lus=uxy-\-aux+buy-\-cu = f C)
фундаментальную роль играет функция Римана
R (х, у; |, г\), к-рая однозначно определяется как реше-
решение уравнения
RXy-(aR)x-(bR)y + cR=O,
удовлетворяющее на характеристиках х=% и у~г\ усло-
условию
Л (I, У, I, т!) = ехр \У аЦ, t)dt,
П(х, г\; |, Г)) = охр^*Ь(*, r\)dt,
где E, ц) — произвольная точка из области Q задания
уравнения C). Если функции ах, by и с непрерывны, то
функция Римана существует и по переменным g, т] яв-
является решением уравнения LR = 0.
Решение Г. з. B) для уравнения C) дается так наз.
формулой Р и м а н а. При ф=г|;=О она имеет вид:
и (х, у) = J* dl ^ R (I, Л; х, у) f (g, n) di\.
Из формулы Римана следует, что значение и (х0, уд) ре-
решения Г. з. в точке (х0, у0) ^ Q зависит лишь от значения
заданных функций в характеристич. четырехугольнике
0<;г<;а;0, 0<i/<;i/0. При /=0 это значение зависит лишь
¦от значения функции -ф (х) и (f{y) в промежутках 0«:.z«:
<:ж0 и 0<i/<;i/0 соответственно, а при a=b=c=f=O
функция
и(х0, УВ)=Ч> (Уо) + У(хо)—ф @).
Метод получения явных формул решения Г. з. с по-
помощью функции Римана известен под названием мето-
метода Римана. Этот метод распространен на довольно
широкий класс гиперболич. систем 1-го и 2-го порядков.
В частности, на систему вида C), где а, Ъ и с — квадрат-
квадратные симметрии, матрицы порядка п, а / и и — векторы с
п компонентами.
Непосредственным обобщением Г. з. является зада-
задача Дарбу— Пи кар а, к-рая состоит в опреде-
определении решения гиперболич. уравнения и системы 2-го
порядка с двумя независимыми переменными по задан-
заданным его значениям на двух гладких монотонных кривых
у и S, выходящих из одной точки А и расположенных в
характеристич. угле с вершиной в точке А . В частности,
у и б могут частично или полностью совпадать со сто-
сторонами этого угла. Эта задача исследована для уравне-
уравнения вида A).
Г. з. иногда наз. задачей Дарбу. Под Г. з.
для гиперболич. уравнений 2-го порядка с несколькими
независимыми переменными часто понимают характе-
характеристич. задачу, т. е. задачу отыскания решения но за-
заданным его значениям на характеристич. коноиде
(см. Дифференциальные уравнения с частными произ-
производными; задача с данными на характеристиках).
Г. з. названа по имени Э. Гурса (Е. Goursat), подроб-
подробно ее исследовавшего.
Лит.: [1] Гурса Э., Курс математического анализа,
пер. с франц., т. 3, ч. 1, М.—Л., 1933; [2] Б и ц а д з е А. В.,
Уравнения смешанного тина, М., 1959; [3] Курант Р.,
Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964;
[4] Т р и к о м и Ф., Лекции по уравнениям в частных произ-
производных, пер. с итал., М., 1957. А. М. Нахушев.
ГУРСА КОНГРУЭНЦИЯ — конгруэнция прямых, у
к-рой первый точечный инвариант фокальной сети одной
фокальной поверхности (Мх) равен второму точечному
инварианту другой фокальной поверхности (Af2). Пусть
(М3), (М„) — преобразования Лапласа (см. Лапласа
преобразование в геометрии) фокальных поверхностей
(Afj) и (М2). Тогда для каждой прямой М1М2 Г. к. су-
существует поверхность 2-го порядка, проходящая через
точки М; ((=1, 2, 3, 4) и имеющая касание 3-го порядка
с линией и на поверхности (М3) и с линией v на поверх-
поверхности (М4) (см. [1]). Если две соседние конгруэнции в по-
последовательности Лапласа (см. Лапласа последователь-
последовательность) являются Г. к., то вся последовательность со-
состоит из Г. к.
Г. к. наз. по имени Э. Гурса (Е. Goursat), к-рый рас-
рассматривал конгруэнции такого типа.
Лит.: [1] Т i t e i с а (Т z i t z e i с a) G., «J. math, pares
et appl.», 1928, ser. 9, t. 7, p. 189—208; [21 Ф и н и к о в С. П.,
Проективно-дифференциальная геометрия, М.—Л., 1937.
„ В. Т. Базылев.
ГЮЙГЕНСА ПРИНЦИП — утверждение, в силу к-ро-
го при распространении колебаний, описываемом вол-
волновым уравнением в пространстве нечетного числа изме-
измерений, резко локализованное начальное состояние на-
наблюдается позднее в другой точке, как явление, столь
>ко резко ограниченное. В случае четного числа прост-
пространственных неременных Г. п. не имеет места — сигнал
от локализованного начального возмущения, принятый
в точке наблюдения, будет размытым. Г. п. был впервые
сформулирован X. Гюйгенсом (Ch. Huygens) в 1678
(см. [1]), а затем развит А. Френелем (A. Fresnel) в 1818
при исследовании проблем дифракции.
Г. п. является следствием математич. факта, что реше-
решение волнового уравнения в точке М трехмерного про-
пространства в момент t выражается через значения ре-
решения и его производных на произвольной замкнутой
поверхности, содержащей точку М внутри, в предшест-
предшествующие моменты времени. В частности, решение в точ-
точке (М, t) задачи Коши для волнового уравнения опре-
определяется начальными данными только на пересечении
начального многообразия с характеристич. конусом
точки (М, t) и не зависит от начальных данных внут-
внутри характеристич. конуса. Впервые строгая математич.
формулировка Г. п. была дана Г. Гельмгольцем (Н. Hel-
mholtz) в 1859 для стационарного и Г. Кирхгофом (G.
Kirchhoff) в 1882 для нестационарного случаев.
Обобщением Г. п. на линейные гиперболич. уравне-
уравнения 2-го порядка
2"~V w "'7+27=iь' (*>"'+с <*>"=° ' (*>
являются результаты Ж. Адамара (см. [2]), в силу к-рых
решение задачи Коти для уравнения (*) при четных
»^=4 зависит лишь от начальных данных на пересечении
начального многообразия с характеристич. коноидом
тогда и только тогда, когда в фундаментальном решении
(*) отсутствуют логарифмич. члены. Об описании всего
класса уравнений вида (*), для к-рых справедлив Г. п.,
см. [4].
Лит.: [11 Гюйгенс X., Трактат о свеге, пер. с франц.,
М.—Л., 1935; [2] Hadamard J., Lectures on Cauchy's
problem in linear partial differential equations, New Haven—L.,
1923; [3j Курант Р., Уравнения с частными производными,
пер. с англ., М., 1964; [4] Ибрагимов Н. X., Принцип
Гюйгенса, в кн.: Некоторые проблемы математики и механики,
Л., 1970. А. Г. Свешников.