А. Г. Хованский
ТЕОРИЯ ГАЛУА, НАКРЫТИЯ
И РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ
Москва
Издательство МЦНМО
2007

УДК 512.62+512.12
ББК 22.144+22.152
Х68
Хованский А. Г.
Х68 Теория Галуа, накрытия и римановы поверхности. — М.:
МЦНМО, 2007. - 96 с.
ISBN 5-94057-266-9
В брошюре изложена теория Галуа и ее применения к вопросам
о разрешимости алгебраичесих уравнений. Рассматривается аналогия
между основной теоремой теории Галуа и классификацией накрытий
над топологическими пространствами. В последней части приведено
геометрическое описание конечных алгебраических расширений поля
мероморфных функций на римановых поверхностях.
Для студентов, аспирантов и специалистов в области математики.
ББК 22.144+22.152
© Хованский А. Г., 2007.
ISBN 5-94057-266-9 © МЦНМО, 2007.

Оглавление
Введение 4
Глава 1. Теория Галуа 6
§ 1.1 Действие разрешимой группы и представимость в
радикалах 7
§ 1.2 Неподвижные точки действия конечной группы и ее
подгрупп 18
§ 1.3 Автоморфизмы поля и соотношения между его
элементами 21
§ 1.4 Действие /с-разрешимой группы и представимость в
/с-радикалах 25
§1.5 Уравнения Галуа 26
§ 1.6 Автоморфизмы, связанные с уравнением Галуа 28
§ 1.7 Основная теорема теории Галуа 30
§ 1.8 Критерий разрешимости уравнений в радикалах 35
§ 1.9 Критерий разрешимости уравнений в /с-радикалах .... 38
§ 1.10 Неразрешимость сложных уравнений при помощи более
простых уравнений 43
§1.11 Конечные поля 46
Глава 2. Накрытия 49
§2.1 Накрытия над топологическими пространствами 50
§ 2.2 Пополнение конечнолистных накрытий над
проколотыми римановыми поверхностями 61
Глава 3. Разветвленные накрытия и теория Галуа 76
§3.1 Конечнолистные разветвленные накрытия и
алгебраические расширения полей мероморфных функций .... 77
§3.2 Геометрия теории Галуа для расширений поля
мероморфных функций 84

Введение
Главная цель этой брошюры — изложение теории Галуа и ее
применений к вопросам о разрешимости алгебраических уравнений в
явном виде. Кроме классической задачи о разрешимости алгебраического
уравнения в радикалах рассматриваются и другие задачи этого типа,
например вопрос о разрешимости уравнения при помощи радикалов и
решения вспомогательных уравнений степени, не превосходящей к.
Существует удивительная аналогия между основной теоремой
теории Галуа и классификацией накрытий над топологическим
пространством. Описание этой аналогии является второй целью настоящей
брошюры. Рассматривается несколько тесно связанных между собой
классификаций накрытий. При этом подчеркивается формальная
аналогия получаемых результатов с основной теоремой теории Галуа.
Кроме накрытий рассматриваются конечнолистные разветвленные
накрытия над римановыми поверхностями (т. е. над одномерными
комплексными многообразиями). Разветвленные накрытия чуть сложнее
неразветвленных конечнолистных накрытий, но классифицируются эти
два типа накрытий одинаково.
Третья цель брошюры — геометрическое описание конечных
алгебраических расширений поля мероморфных функций на римановой
поверхности. Для таких расширений геометрия разветвленных накрытий
и теория Галуа оказываются не просто аналогичны, но и весьма тесно
связаны между собой. Эта связь полезна в обе стороны. С одной
стороны, теория Галуа и теорема существования Римана позволяют
описать поле функций на разветвленном накрытии над римановой
поверхностью как конечное алгебраическое расширение поля мероморфных
функций на римановой поверхности. С другой стороны, геометрия
разветвленных накрытий вместе с теоремой существования Римана
позволяют дать прозрачное описание всех алгебраических расширений поля
мероморфных функций на римановой поверхности.
Несколько слов о расположениии материала. Первая глава
посвящена теории Галуа. Она абсолютно независима от остальных глав. Ее
можно читать отдельно.
Вторая глава посвящена накрытиям над топологическими
пространствами и разветвленным накрытиям над римановыми поверхностями.
Она почти полностью независима от первой главы. Во второй главе
мы подчеркиваем формальную аналогию классификации накрытий и
основной теоремы теории Галуа. В этом и заключается единственная
связь между главами — для чтения второй главы достаточно знания
формулировки основной теоремы теории Галуа.
4

Третья глава опирается как на теорию Галуа, так и на
классификацию разветвленных накрытий над римановыми поверхностями.
Впрочем, ее тоже можно читать независимо, принимая на веру нужные по
ходу дела результаты первых двух глав.
Нумерация теорем, утверждений, лемм и т. д. в каждой главе
начинается заново, формулы же имеют сплошную нумерацию во всей
брошюре.
Брошюра рассчитана на математиков, аспирантов и студентов,
специализирующихся в области математики. Отдельные результаты
брошюры (например, необходимые условия различных видов
разрешимости сложных алгебраических уравнений с помощью решения более
простых алгебраических уравнений, описание аналогии теории
накрытий и теории Галуа) могут представить интерес для специалистов.

Глава 1
Теория Галуа
В первой главе излагается теория Галуа и ее приложения к задачам
о разрешимости алгебраических уравнений в явном виде.
В §§ 1—4 рассматривается поле Р, на котором действует конечная
группа автоморфизмов G. Элементы поля Р, неподвижные
относительно действия группы G, образуют подполе К С Р, называемое полем
инвариантов.
В § 1.1 показано, что если группа G разрешима, то элементы
поля Р представимы в радикалах через элементы поля инвариантов К.
(Здесь надо дополнительно предполагать, что поле К содержит все
корни из единицы степени, равной порядку п группы G, и что порядок п не
кратен характеристике поля Р.) В случае, когда Р —поле
рациональных функций от п переменных, G — группа перестановок п переменных
и К — поле симметричных рациональных функций от п переменных,
этот результат объясняет, почему уравнения второй—четвертой
степеней решаются в радикалах.
В § 1.2 показано, что для любой подгруппы G0 группы G
существует элемент х £ Р, стационарная группа которого равна G0. Результаты
§§1.1 и 1.2 основаны на простых соображениях теории групп и
используют явную формулу для интерполяционного полинома Лагранжа.
В § 1.3 показано, что всякий элемент поля Р алгебраичен над
полем К. Доказано, что если стационарная группа точки z £ Р содержит
стационарную группу точки у Е Р, то z является значением в точке у
некоторого полинома над полем К. Это доказательство тоже основано
на исследовании интерполяционного полинома Лагранжа (см. п. 1.3.3).
В § 1.4 введен класс /с-разрешимых групп. Показано, что если
группа G является /с-разрешимой, то элементы поля Р представимы в /с-ра-
дикалах (т. е. представимы с использованием радикалов и решений
вспомогательных уравнений степени не выше к) через элементы поля К.
(Здесь нужны некоторые дополнительные предположения о поле К.)
Рассмотрим теперь другую ситуацию. Пусть поле Р получено из
поля К присоединением всех корней полиномиального уравнения над
полем К, имеющего лишь некратные корни. В этом случае существует
б

конечная группа G автоморфизмов поля Р, полем инвариантов которой
является поле К. Для построения группы G исходное уравнение
заменяется эквивалентным уравнением Галуа, т.е. уравнением, каждый корень
которого выражается через любой другой из его корней (см. § 1.5).
Группа автоморфизмов G строится в § 1.5.
Таким образом, ⧧1.2, 1.3, 1.5 и 1.6 доказаны центральные теоремы
теории Галуа. В § 1.7 подводится итог, формулируется и доказывается
основная теорема теории Галуа.
Алгебраическое уравнение над полем нулевой характеристики
решается в радикалах, если и только если его группа Галуа разрешима
(см. § 1.8), и решается в /с-радикалах, если и только если его группа
Галуа /с-разрешима (§1.9). В § 1.10 обсуждается вопрос о
разрешимости сложных алгебраических уравнений при помощи решения более
простых уравнений. Здесь дается необходимое условие для подобной
разрешимости в терминах группы Галуа уравнения.
В § 1.11 классифицированы конечные поля. Проверена
справедливость основной теоремы теории Галуа для конечных полей
(доказательство основной теоремы, приведенное в § 1.7, не проходит для конечных
полей).
В этом тексте большое внимание уделено приложениям теории
Галуа к задачам о разрешимости алгебраических уравнений в явном виде.
Для построения самой теории Галуа эти приложения не нужны.
Главные положения теории Галуа содержатся в § 1.2, 1.3, 1.5—1.7. Их можно
читать отдельно.
Конструкция разрешения уравнений в радикалах (включающая
решения общих уравнений степени 2—4) содержится в §1.1 и не зависит
от остального текста. Классификация конечных полей из §1.11 также
практически не зависит от остального текста. Эти параграфы можно
прочесть отдельно.
§1.1. Действие разрешимой группы и представимость в
радикалах
В этом параграфе доказано, что если на поле Р действует конечная
разрешимая группа автоморфизмов G, то (при некоторых
дополнительных предположениях о поле Р) все элементы поля Р выражаются через
элементы поля инвариантов К при помощи радикалов и
арифметических операций.
Конструкция представления элемента в радикалах основана на
линейной алгебре (п. 1.1.1). В п. 1.1.2 результат применяется для
доказательства разрешимости уравнений маленьких степеней. Чтобы напи-
7

сать явные формулы для решений, конструкцию из линейной алгебры
нужно проделать явно. В п. 1.1.3 мы описываем технику резольвент Ла-
гранжа, позволяющую явно диагонализировать конечную
коммутативную группу линейных операторов. В п. 1.1.4 мы объясняем, как
резольвенты Лагранжа помогают написать формулы решений в радикалах
для уравнений второй—четвертой степеней.
Результаты настоящего параграфа применимы в общей ситуации,
рассматриваемой в теории Галуа. Если поле Р получено из поля К
присоединением всех корней алгебраического уравнения над полем К,
имеющего лишь некратные корни, то существует группа G
автоморфизмов поля Р, полем инвариантов которой является поле К (см. § 1.7).
Эта группа называется группой Галуа уравнения. Из результатов
настоящего параграфа вытекает, что уравнение, группа Галуа которого
разрешима, решается в радикалах (достаточное условие разрешимости
в радикалах из теоремы 8.8). Существование группы Галуа никак не
самоочевидно и представляет собой один из центральных фактов теории
Галуа. Здесь мы эту теорему не доказываем (см. § 1.7), а изначально
предполагаем, что группа G существует.
В ряде важных случаев группа G задана априори. Так, например,
обстоит дело, если К — поле рациональных функций одной
переменной, Р — поле, полученное присоединением к К всех решений
алгебраического уравнения, и G — группа монодромии алгебраический функции,
определенной этим уравнением (см. гл. 3).
1.1.1. Достаточное условие разрешимости в радикалах.
Конструкция представления элемента в радикалах очень слабо использует
то обстоятельство, что мы имеем дело с полями. Чтобы подчеркнуть
это, мы опишем эту конструкцию, взяв вместо поля алгебру V, которая
может быть и некоммутативной. (Нам даже не понадобится
перемножать разные элементы этой алгебры. Мы будем использовать лишь
операцию возведения в целую неотрицательную степень к и
однородность этой операции относительно умножения на элементы основного
поля (ка)к = \как при а е V, X £ К.)
Пусть V — алгебра над полем К, содержащим все корни из
единицы. Конечная коммутативная группа линейных преобразований
конечномерного векторного пространства над полем К в некотором базисе
приводится к диагональному виду (см. п. 1.1.3), если порядок группы
не кратен'характеристике поля (для полей нулевой характеристики не
нужно никаких ограничений на порядок группы).
Утверждение 1.1. Пусть G — конечная коммутативная группа
порядка п автоморфизмов алгебры V. Пусть порядок п не кратен
характеристике поля К. Пусть поле К содерэюит все корни степени п
8

из единицы. Тогда каждый элемент х алгебры V представим в виде
суммы к ^п таких элементов a^EV, г = 1, ...,fc, что х™ лежит в
алгебре инвариантов V0.
Доказательство. Рассмотрим конечномерное векторное
пространство L в алгебре V, натянутое на орбиту элемента х относительно
действия группы G. Пространство L раскладывается в прямую
сумму L = Ьг ф ... ф Lk подпространств, собственных для всех операторов
группы G (см. п. 1.1.3). Поэтому вектор х представим в виде суммы
х = хг + ... + xk векторов хг, ..., хп, собственных для всех операторов
группы. Собственные числа этих операторов — корни степени п из
единицы. Поэтому элементы я", ..., arj принадлежат алгебре
инвариантов V0. □
Определение. Скажем, что элемент х алгебры V получается
операцией извлечения корня п-й степени из элемента а, если выполняется
равенство хп = а.
Пользуясь этим определением, утверждение 1.1 можно
интерпретировать следующим образом: каждый элемент х в алгебре V
представляется в виде суммы корней n-й степени из элементов алгебры
инвариантов.
Теорема 1.2. Пусть G —конечная разрешимая группа порядка п
автоморфизмов алгебры V, пусть порядок п не делится на
характеристику поля К и пусть поле К содерэюит все корни степени п из
единицы. Тогда каждый элемент х алгебры V получается из
элементов алгебры инвариантов V0 при помощи извлечения корней и
суммирований.
Докажем сначала следующее простое утверждение о действии
группы на множестве.
Пусть группа G действует на множестве X, пусть Я —нормальный
делитель группы G, и пусть Х0 — подмножество X, состоящее из
неподвижных точек относительно действия группы G.
Утверждение 1.3. Подмножество Хн множества X, состоящее
из неподвижных точек относительно действия нормального
делителя Н, инвариантно относительно действия группы G. На
множестве Хн естественно действует факторгруппа G/H с неподвижным
множеством Х0.
Доказательство. Пусть g£G и /i E i/. Тогда элемент g~lhg
принадлежит нормальному делителю Н. Пусть х Е Хн. Тогда g~1hg(x) =
= ж, или h(gx) = g(x), что означает, что элемент g E X неподвижен при
действии нормального делителя Н. Итак, множество Хн инвариантно
относительно действия группы G. При этом действии элементам
нормального делителя Н соответствуют тождественные преобразования.
9

Поэтому действие группы G на Хн сводится к действию
факторгруппы G/H. □
Перейдем теперь к доказательству теоремы 1.2.
Доказательство. Так как группа G разрешима, у нее
существует такая цепочка вложенных подгрупп G = G0D ... D Gm = е, что
группа Gm совпадает с единичным элементом е и при г = 1, ..., т группа Gi
является нормальным делителем группы Gi-ь причем факторгруппа
d-i/Gi коммутативна.
Обозначим через V0 С ... CVrn = V цепочку подалгебр инвариантов
алгебры V относительно действия групп G0, ..., Gm. Согласно
утверждению 1.3 коммутативная факторгруппа Gi-i/Gi естественно
действует на алгебры инвариантов V*, оставляя неподвижной подалгебру
инвариантов Vi_l. Порядок т{ факторгруппы Gi-i/Gi является делителем
порядка п группы G. Поэтому к этому действию применимо
утверждение 1.1. Следовательно, каждый элемент алгебры Vi выражается
при помощи суммирования и извлечения корней через элементы
алгебры Vi_i. Последовательно повторяя это рассуждение, мы выразим
каждый элемент алгебры V через элементы подалгебры V0 цепочкой
извлечения корней и суммирования. □
1.1.2. Группа перестановок переменных и уравнения
второй—четвертой степеней. Теорема 1.2 объясняет, почему уравнения
маленькой степени решаются в радикалах.
Пусть алгебра V — кольцо многочленов от переменных а^, ..., хп
над полем К. Группа S(n) перестановок п элементов действует на этом
кольце, переставляя переменные #!,..., а;п в многочленах из этого
кольца. Алгебра инвариантов V0 относительно этого действия состоит
из симметричных многочленов. Каждый многочлен из этой алгебры
явным образом представляется в виде многочлена от oi, ..., ап, где
Gi = хг + ... + хп, о2 = ^2 xixji • • • > °п = xi • • • хп- Рассмотрим общее ал-
г<з
гебраическос уравнение хп + а^71-1 + ... + ап = 0 степени п. Согласно
формулам Виета коэффициенты этого уравнения с точностью до знака
совпадают с основными симметрическими функциями от его корней
хи ..., хп. Именно, Gi = -аи ..., оп = (-1)пап.
При п = 2, 3, 4 группа S(n) разрешима. Пусть характеристика
поля К не равна 2 и 3, и пусть поле К содержит все корни из
единицы степени не выше 4. Применяя теорему 1.2, получаем, что каждый
многочлен от хi, ..., хп при п ^ 4 выражается через основные
симметрические многочлены ог, ..., оп при помощи извлечения корней,
суммирования и умножения на рациональные числа. Поэтому теорема 1.2
при п = 2, 3, 4 доказывает представимость корней уравнения степе-
10

ни п через коэффициенты уравнения при помощи извлечения корней,
суммирования и умножения на рациональные числа.
Чтобы получить явные формулы для корней этих уравнений, нужно
снова повторить все рассуждения, делая все необходимые конструкции
явно. Мы это сделаем в пп. 1.1.3 и 1.1.4.
1.1.3. Полиномы Лагранжа и коммутативные матричные
группы. Пусть Т — полином степени п с единичным старшим
коэффициентом над произвольным полем К. Пусть полином Т имеет в поле К
ровно п различных корней Хь ..., Хп. С каждым корнем X* связан
полином Ti(t) = T(£)/T'(Xi)(£ — Хг). Полином Т{ — единственный полином
степени не выше п — 1, равный единице в корне X; и обращающийся
в нуль в остальных корнях полинома Т. Пусть сг, ..., сп —
произвольная последовательность элементов поля К. Полином L(t) = ^2CiTi(t)
называется интерполяционным полиномом Лагранжа с узлами
интерполирования Xi, ...,ХП и начальными данными Ci,...,cn. Это
единственный полином степени не выше п — 1, принимающий в
точке Х{ значение с* при i = 1, ..., п.
Рассмотрим векторное пространство V (возможно
бесконечномерное) над полем К и линейный оператор А: V —> V. Пусть оператор А
удовлетворяет полиномиальному уравнению Т(А) = Ап + aiAn~l + ...
... + ап -\А + апЕ = 0, где а{ Е К и i£ — тождественный оператор.
Допустим, что полином T(t) = tn + aitn~x +... + an_it + an имеет п различных
корней Xi, ..., Xn в поле К. Оператор L{ = Т{(А), где Т{ —полином вида
Ti(t) = T(£)/T'(Xi)(£ — Хг), назовем обобщенной резольвентой Лагранжа
оператора А, соответствующей корню Х*. Для каждого вектора х Е V
вектор х{ = LiX будем называть обобщенной резольвентой Лагранжа
(соответствующей корню X*) вектора х.
Утверждение 1.4. 1. Обобщенные резольвенты Лагранжа L{
оператора А удовлетворяют следующим соотношениям: Lx +... + Ln = Et
LiLj = 0 при i ^ j, L\ = Ь{, ALi = \{Ь{.
2. Всякий вектор x £ V представим в виде суммы своих
обобщенных резольвент Лагранжа, т.е. х = Xi + ... + хп. При этом ненулевые
резольвенты х{ вектора х линейно независимы и являются
собственными векторами оператора А с собственными числами Х*.
Доказательство. 1. Пусть Л = {X*} — множество корней
полинома Т. По определению полином Т{ равен единице в точке X* £ Л и
обращается в нуль в остальных точках этого множества. Очевидно, что на
множестве Л обращаются в нуль следующие полиномы: Ti +... + Тп — 1,
TiTj при г ф j, T? — Т*, tTi —XiTi. Поэтому каждый из перечисленных
полиномов делится на полином Т, имеющий простые корни в точках
множества Л. Поскольку полином Т аннулирует оператор А, т. е. Т(А) = О,
11

отсюда вытекают соотношения Lx + •.. + Ln = Е, LiLj = 0 при г ^ j,
Ц = Ь» ALi=XtLi.
2. Вторая часть утверждения является формальным следствием
первой части. Действительно, так как Е = Ьг + ... + Ln, для всякого
вектора х имеем х = Lxx + ... + Lnx = xx + ... + хп. Допустим, что вектор Xi
не равен нулю и что некоторая линейная комбинация YlV-3xj векторов
#i, ..., хп обращается в нуль. Тогда 0 = L{ ^ W-jLjX = ^ Ь{Ь^х = ^#г>
т. е. ненулевой вектор х{ входит в линейную комбинацию с нулевым
коэффициентом ^ =0. Из равенства ALi=XiLi вытекает, что AL %Х — к{1*/{Х)
т.е. что либо вектор Xi = L^x —собственный вектор оператора А с
собственным ЧИСЛОМ Х^ Либо Х{ = 0. □
Приведенная явная конструкция разложения вектора х по
собственным векторам оператора А автоматически переносится на случай
нескольких коммутирующих операторов. Остановимся подробнее на
случае двух коммутирующих операторов. Пусть в пространстве V,
кроме оператора А, задан еще один линейный оператор В: V —> К,
коммутирующий с оператором А и удовлетворяющий
полиномиальному уравнению Q(B) = Вк + ЪхВк-1 + ... + Ьк_хВ + ЬкЕ = 0, где b{ е К.
Допустим, что полином Q(t) = tk + bxtk~l + ... + bk_xt + Ьк имеет к
различных корней ^i, ..., \Lk в поле К. С корнем \Lj связаны полином
Qj{t) = Q/Q'(\Lj)(t — \Lj) и оператор Qj{B) — обобщенная
резольвента Лагранжа оператора jB, соответствующая корню [Lj. Оператор
L{j =Ti(A)Qj(B) назовем обобщенной резольвентой Лагранжа
операторов А и Б, соответствующей паре корней X*, [Lj. Вектор xitj = L{jX
будем называть обобщенной резольвентой Лагранжа вектора х Е V
(соответствующей паре корней X* и \Lj) относительно операторов А и В.
Утверждение 1.5. 1. Обобщенные резольвенты Лагранжа L{j
коммутирующих операторов А и В удовлетворяют следующим
соотношениям: J2Li,j = Е> Lii,jiLi2J2 = ° пРи (*ь Ji) Ф (*2, З2), Llj = Lij7
ALij = kiLij, BLij = [LjLij.
2. Всякий векторxeV представим в виде суммы своих обобщенных
резольвент Лагранжа, т.е. x = Ylxi,i- ПРи этом ненулевые
резольвенты Xij вектора х линейно независимы и являются собственными
векторами операторов А и В с собственными числами X; и [Lj
соответственно.
Доказательство. Для доказательства первой части
утверждения достаточно перемножить соответствующие соотношения для
обобщенных резольвент операторов А и В. Вторая часть утверждения
является формальным следствием первой части. □
Применим доказанные утверждения для оператора А конечного
порядка п, Ап =Е. Обобщенные резольвенты Лагранжа для таких опе-
12

раторов особенно важны для решения уравнений в радикалах. Именно
эти резольвенты были открыты Лагранжем, и мы будем называть их
резольвентами Лагранжа (опуская слово «обобщенными»). Пусть
порядок п не кратен характеристике поля К, и пусть поле К содержит п
корней £i, ..., £п степени п из единицы, £Г = 1. По условию Т(А) = О,
где T(t) = tn — 1. Вычислим резольвенту Лагранжа, соответствующую
корню 5* =5. Имеем ЗД = ^£^|у = ^=г(«п_1 + •• • +5") =
= — (E~1*)П~1 + ... + 1). Резольвенту Лагранжа ТДА) оператора А,
соответствующую корню ^ =5? будем обозначать Я^(Л). Имеем i^(A)=
11 0^к<п
Следствие 1.6. Рассмотрим векторное пространство V над
полем К, содержащим все корни степени п из единицы, где п —
некоторое число, не кратное характеристике поля К. Пусть оператор
А: V —> V удовлетворяет уравнению Ап = Е. Тогда для всякого вектора
х £ V его резольвента Лагранжа R$(A)(x) либо равна нулю, либо
является собственным вектором оператора А с собственным числом £.
Вектор х является суммой всех своих резольвент Лагранжа.
Замечание 1. Справедливость следствия 1.6 легко проверить
непосредственно, не ссылаясь на предыдущие утверждения.
Замечание 2. В условиях следствия 1.6 нельзя опустить
предположение о том, что порядок п не кратен характеристике поля К.
Например, над полем характеристики 2 матрица А = (^ ,) удовлетворяет
уравнению А2 = Е, но не приводится к диагональному виду.
Пусть G — конечная коммутативная группа линейных операторов на
векторном пространстве V над полем К. Обозначим через п порядок
группы G. Пусть поле К содержит все корни степени п из единицы,
и пусть порядок п не кратен характеристике поля К. Тогда
пространство V является прямой суммой подпространств, собственных для всех
операторов группы G. Уточним это утверждение. Пусть группа G
является прямой суммой к циклических групп порядков mi, ..., тк. Пусть
операторы Ах £ G, ..., Ак £ G порождают эти циклические подгруппы.
В частности, А™1 = Е, ..., А1кПк = Е. Для всякого набора X = Хь ..., \к
корней из единицы степеней mi, ..., тк рассмотрим совместную
резольвенту Лагранжа Lx = LXl(Ai)... Lxk(Ak) образующих Аи ..., Ак
группы G.
Следствие 1.7. Всякий векторxeV представим в видеx = J2L\X.
Каждый из векторов L\X —либо нуль, либо общий собственный вектор
операторов А\, ..., Ак с собственными числами Хх, ..., \к.
13

1.1.4. Решение в радикалах уравнений второй—четвертой
степеней. В этом пункте мы снова вернемся к уравнениям маленьких
степеней (см. п. 1.1.2). Мы воспользуемся техникой резольвент Лагран-
жа и объясним, как довести схему решения уравнений из п. 1.1.2 до
явных формул. Сами формулы при этом мы выписывать не будем. Здесь
используются обозначения пп. 1.1.2, 1.1.3. Резольвенты Лагранжа
операторов мы будем нумеровать собственными числами этих операторов.
Совместные резольвенты Лагранжа пар операторов мы будем
нумеровать парами собственных чисел этих операторов.
Уравнение второй степени. Предположим, что
характеристика поля К не равна двум. На кольце многочленов K[xi, x2) линейно
действует группа 5B) = Z2 перестановок двух элементов. Она состоит
из тождественного преобразования и оператора второго порядка.
Элемент Xi относительно действия этого оператора имеет две^ резольвенты
Лагранжа:
о 1/ ч 1
#i = 2 (xi +х2)= 2аь
Я_х = -(xi -x2).
Квадрат резольвенты Лагранжа R-i является симметрическим
многочленом. Имеем
Д* 1 = j((xi + х2J - 4ххх2) = -(а2 - 4а2).
Получаем представление полинома хх через симметрические
многочлены Xi = R\ + R-\ = r^ , что и дает обычную формулу для
решения квадратного уравнения.
Замечание. Мы предполагали, что характеристика поля К не
равна двум. Это предположение существенно для разрешимости
квадратных уравнений над полем К при помощи арифметических операций и
операции извлечения квадратных корней. Действительно, пусть,
например, К—конечное поле характеристики 2, содержащее q = 2n элементов.
Из каждого элемента поля К в этом поле можно извлечь квадратный
корень: отображение поля К в себя, переводящее элемент х в ж2,
является изоморфизмом Фробениуса. В поле характеристики два корень
уравнения х2 = а имеет кратность два. Поэтому операция извлечения
квадратного корня не выводит из поля К. Между тем, около половины
квадратных уравнений х2 + рх + q = 0 над полем К не имеют решений
в этом поле: число разложимых уравнений (х — Xi)(x — x2) с
разными корнями равно q(q — l)/2, ас кратным корнем— q. Всего имеется
q(q + 1)/2 разложимых уравнений, в то время как число всех квадрат-
14

ных уравнений над полем К равно q2. Поэтому около половины
квадратных уравнений над полем К невозможно решить, используя лишь
операции извлечения квадратных корней и арифметические операции.
Ниже, решая уравнения третьей и четвертой степени над полем К, мы
будем предполагать, что характеристика поля К не равна двум и трем.
Это предположение существенно для разрешимости таких уравнений
при помощи арифметических операций и операций извлечения корней
степеней 2 и 3.
Уравнение третьей степени. Предположим, что
характеристика поля К не равна 2 и 3. Предположим также, что поле К
содержит все три кубических корня из единицы. На кольце многогчленов
К[хх, х2, х3] = V действует группа 5C) перестановок трех элементов.
Группа 5C) имеет в качестве нормального делителя знакопеременную
группу ЛC), которая является циклической группой порядка 3.
Группа АC) порождена оператором Д, задающим перестановку х2, х3, хх
переменных хь х2, х3. Факторгруппа 5C)/ЛC) является циклической
группой порядка 2. Обозначим через Vi кольцо инвариантов группы
ЛC) (которое состоит из многочленов, не меняющихся при четных
перестановках переменных) и через V2 — алгебру симметрических
многочленов. Элемент хх имеет три резольвенты Лагранжа относительно
оператора Д, порождающего группу АC):
R\ = g(xi +x2+x3),
Д^ = 3(^1 +S2Z2 + S2Z3),
Rt.2 = %(Х1 +£lZ2+£iZ3),
II / О
где $i, ^2 —неединичные кубические корни из единицы, £i, £2= .
Имеем Xi= Ri+ Д^ + Д^2, и Д?, Д| , Д| лежат в алгебре V\.
Более того, резольвента R\ является симметрическим многочленом, а
полиномы Д|х и Д|2 переставляются друг с другом при действии
группы Z2 = SC)/j4C) на кольце V\. Повторяя для полиномов Д|х и Д|2
конструкцию, которую мы использовали при решении квадратного
уравнения, получим, что ">ти полиномы выражаются через
симметрические полиномы R\x +K\2 и (R\x — R\2J- Окончательно получаем, что
многочлен Xi выражается через симметрические многочлены Дх G У2,
(Д|х + Д| ) £ V2 и (Д|х — R\2J G V2 при помощи извлечения корней
второй и третьей степени и при помощи арифметических операций. Чтобы
написать явную формулу для решения, осталось лишь явно выразить
15

эти симметрические многочлены через основные симметрические
многочлены.
Уравнение четвертой степени. Причина разрешимости
уравнений четвертой степени заключается в разрешимости группы 5D).
Группа 5D) разрешима, потому что существует гомоморфизм тс: 5D) —> 5C),
ядром которого является коммутативная группа Kl = Z2 0 Z2.
Гомоморфизм тс описывается следующим образом. Существует ровно три способа
разбить множество, содержащее четыре элемента, на два
подмножества, содержащие по паре элементов. Каждой перестановке множества
из четырех элементов соответствует перестановка этих трех разбиений.
Описанное соответствие и задает гомоморфизм тс. Ядро К1 этого
гомоморфизма—нормальный делитель группы 5D), состоящий из четырех
перестановок: тождественной перестановки и трех перестановок,
каждая из которых является произведением транспозиций двух
непересекающихся пар элементов.
Предположим, что характеристика поля К не равна 2 и 3.
Предположим также, что поле К содержит все три кубических корня из единицы.
На кольце полиномов К[х\, x2, х3, х4] = V действует группа 5D).
Обозначим через Vi подкольцо инвариантов нормального делителя К1
группы 5D). Итак, на кольце V = K[xi, х2, #з> #4] действует коммутативная
группа К1 с кольцом инвариантов Vi. На кольце Vi действует
разрешимая группа 5C) = SD)/Kl, и алгеброй инвариантов
относительно этого действия является кольцо V2 симметрических многочленов.
Пусть А и В — операторы, соответствующие перестановкам ж2, #ь
ж4, #з и х3, #4> #ь х2 переменных ж1? ж2, #з> #4- Операторы А и В
порождают группу KL Справедливы тождества А2 = В2 = Е. Корни
полинома T(t) = t2 — 1, аннулирующего операторы А и В, равны +1, —1.
Группа К1 является суммой двух экземпляров группы из двух
элементов, первое слагаемое порождено оператором А, второе—оператором В.
Элемент хх имеет четыре резольвенты Лагранжа относительно
действия коммутирующих операторов А, Б, порождающих группу К1:
#1,1 = j(#l + Х2 + Х3 + Ж4),
R-i,i = 4 (xi -х2 + х3- ж4),
#1,-1 = т(х1 ~\- Х2 — Х3 — Ж4),
-ft-1,-1 = ~7\Х1 ~ %2 ~~ %3 ~Ь 3^4 )•
Элемент хх равен сумме этих резольвент: хх = #i,i + #_i,i +#i,_i +
+ Я_1,_1, а квадраты Щл, #?_i,i, #i,_i и #-i,-i резольвент Лагранжа
16

принадлежат алгебре V\. Поэтому хх при помощи арифметических
операций и извлечения квадратных корней выражается через элементы
алгебры V\. В свою очередь, элементы алгебры Vi выражаются через
симметрические многочлены, так как на этой алгебре действует группа
5C) с алгеброй инвариантов Ц (см. выше решение кубических
уравнений).
Покажем, что приведенное выше рассуждение позволяет явно
свести уравнение четвертой степени к кубическому уравнению. Действи-
тельно, резольвента K\,i = -Oi является симметрическим многочленом,
а квадраты резольвент Я_1д, R\,-\ и R_x_x переставляются между
собой при действии группы 5D) (см. выше описание гомоморфизма
тс: 5D) —> 5C)). Так как элементы R2_1 1? R2 _n R2_1 _г лишь
переставляются, основные симметрические многочлены от них инвариантны
относительно действия группы 5D) и принадлежат кольцу V2. Итак,
многочлены
&i = #_i,i + Ri,-i + Д_1,_1,
Ь2 = Д-1,1^1,-1 + ^i,_i^_i,_i + #_1,_1#_1д,
^з = R-i,iRi,-iR-i,-i
являются симметрическими многочленами от Х\, х2, х3 и х4,
следовательно, &i, Ь2 и Ь3 явно выражаются через коэффициенты уравнения
х4 + (XiX3 + а2х2 + а3х + а4 = 0. A)
Чтобы решить уравнение A), достаточно составить и решить уравнение
г3-Ъ1г2 + Ъ2г-Ъ3 = 0 B)
и положить х = 1/4(—ai + у^Ч- у/г^Л- л/гз), где гь г2 и г3 —корни
уравнения B).
Замечание. Красивое явное сведение уравнения четвертой
степени к уравнению третьей степени, основанное на рассмотрении пучка
плоских квадрик, можно найти в [1]. Вот идея этого сведения. Две
плоские квадрики Р = 0 и Q = 0 пересекаются в четырех точках
(если учитывать точки, определенные над алгебраическим замыканием
основного поля, бесконечно удаленные точки и считать пересечения с
кратностями). Проекции этих точек на горизонтальную ось координат
удовлетворяют уравнению степени 4. Обратно, каждое уравнение
степени 4 представимо в таком виде. (Действительно, корни уравнения
а0х4 + а,хх3 + а2х2 + а3х + а4 = 0 являются проекциями на ось х точек
пересечения квадрик у = х2 и а0у2 + ахху + а2у + а3х + а4 = 0.)
17

Любая квадрика пучка Р + XQ = О проходит через точки
пересечения квадрик Р = О и Q = 0. Среди квадрик пучка есть квадрики,
распадающиеся на пары прямых. Для нахождения параметров X,
соответствующих распадающимся квадрикам, нужно решить уравнение
третьей степени. Для нахождения четырех точек пересечения осталось
решить квадратные уравнения, определяющие пересечения квадрики с
прямыми.
§1.2. Неподвижные точки действия конечной группы и
ее подгрупп
Здесь доказывается одна из центральных теорем теории Галуа,
согласно которой различные подгруппы конечной группы автоморфизмов
поля имеют различные поля инвариантов. В этом параграфе мы
дополнительно предполагаем, что поле содержит бесконечное число
элементов (для конечных полей теорема тоже верна, см. § 1.11).
Доказательство опирается на простую явную конструкцию, использующую
интерполяционный полином Лагранжа, и на геометрически очевидное
утверждение, согласно которому векторное пространство над
бесконечным полем нельзя покрыть конечным числом подпространств.
Начнем с геометрического утверждения. Пусть V — аффинное
пространство (может быть, бесконечномерное) над полем, содержащим
бесконечное число элементов.
Утверждение 2.1. Пространство V не может быть
представлено в виде объединения конечного числа своих собственных аффинных
подпространств.
Доказательство. Проведем индукцию по числу аффинных
подпространств. Пусть утверждение доказано для объединения менее
чем п собственных аффинных подпространств. Допустим, что
пространство V представимо в виде объединения п собственных аффинных
подпространств Vi, ..., Vn. Рассмотрим любую собственную аффинную
гиперплоскость V в пространстве V, содержащую первое из этих
подпространств V\. Пространство V является объединением бесконечного
семейства непересекающихся аффинных гиперплоскостей,
параллельных гиперплоскости V. Не более чем п гиперплоскостей этого семейства
содержат одно из пространств Vb ..., Vn. Возьмем любую другую
гиперплоскость из семейства. К этой гиперплоскости и ее пересечениям с
аффинными плоскостями Ц, ..., Vn применимо индукционное
предположение, что и доказывает утверждение. □
Следствие 2.2. Пусть на векторном пространстве V над
бесконечным полем действует конечная группа линейных преобразований.
18

Тогда найдется вектор а, па орбите которого группа действует
свободно.
Доказательство. Множество неподвижных точек линейного
преобразования является векторным подпространством. Для
нетождественного линейного преобразования это подпространство является
собственным. В качестве вектора а достаточно взять любой вектор, не
принадлежащий объединению неподвижных подпространств
нетривиальных преобразований группы. □
Стационарной подгруппой GacG вектора aeV называется
подгруппа, состоящая из всех элементов g€G, оставляющих вектор а
неподвижным, т. е. таких, что g(a) = a.
Вообще говоря, не каждая подгруппа G0 конечной группы G
линейных преобразований является стационарной подгруппой некоторого
вектора а. В качестве примера достаточно рассмотреть циклическую
группу линейных преобразований комплексной прямой, порожденную
оператором умножения на первообразный корень степени п из
единицы. Если число п не является простым, то эта циклическая группа имеет
нетривиальную подгруппу, но стационарные подгруппы всех элементов
тривиальны (тождественная подгруппа для каждого элемента а/Ои
вся циклическая группа для а = 0). Таким образом, существование
вектора а, неподвижного лишь для преобразований из подгруппы G0, не
очевидно и верно не для всех представлений группы G.
Лемма 2.3. Пусть Ga и Gb — стационарные подгруппы векторов а
и b некоторого пространства V над бесконечным полем. Тогда в
подпространстве L, порожденном векторами а иЪ, существует вектор с,
стационарная группа Gc которого равна GaC\Gb.
Доказательство. Подгруппа Ga П Gb оставляет неподвижными
все векторы подпространстваL. Однако каждый элементg^GaC\Gb
нетривиально действует либо на вектор а, либо на вектор Ь. Векторы из L,
неподвижные относительно действия фиксированного элемента g $£ G0 П
П Gb, образуют собственное подпространство в L. По утверждению 2.1
такие подпространства не могут покрыть все пространство L. □
Пусть Р — поле и G — некоторая группа его автоморфизмов.
Неподвижные элементы относительно действия группы G образуют подполе,
которое мы обозначим через К. Поле Р можно рассматривать как
векторное пространство над полем К. Если поле Р содержит бесконечное
число элементов, а группа G конечна, то поле К тоже является
бесконечным (см. §1.11).
В теории Галуа важную роль играет следующая теорема.
Теорема 2.4. Пусть Р —бесконечное поле и G —некоторая
конечная группа его автоморфизмов. Тогда для всякой подгруппы G0 груп-
19

пы G существует элемент х G Р, стационарная подгруппа которого
совпадает с подгруппой G0.
Доказательство. Для доказательства удобно воспользоваться
пространством полиномов P[t) с коэффициентами из поля Р.
Каждый элемент / пространства P[t) имеет вид / = а0 + ... + am£m, где
а0, ..., ат £ Р- Полином / G P[t) задает отображение /: Р —> Р,
переводящее точку х G Р в точку f(x) = а0 +... + amxm. Каждому
автоморфизму а поля Р соответствует индуцированный автоморфизм кольца P[t),
переводящий полином / = а0 + ... + am£m в полином /° = о(а0) + ...
... + a(am)£m. Для каждого элемента хеР справедливо тождество
f°(ox) = a(f(x)). Итак, группа автоморфизмов G поля Р действует на
кольце P[t]. Для всякого к ^ О пространство Pfc[£] полиномов степени не
выше к инвариантно относительно этого действия.
Лемма 2.5. Пусть группа автоморфизмов G бесконечного поля Р
содержит га элементов. Тогда для всякой подгруппы G0 группы G
существует полином f степени, меньшей чем га, стационарная
подгруппа которого совпадает с подгруппой G0.
Доказательство. Действительно, согласно следствию 2.2
существует элемент a G Р, на орбите О которого группа G действует
свободно. В частности, орбита О содержит ровно га элементов. Пусть
подгруппа Go содержит к элементов. Тогда в группе G есть q = т/к правых
классов смежности по подгруппе Go- Под действием подгруппы G0
множество О разбивается на q орбит Oj, j = 1, ..., q. Фиксируем q попарно
различных элементов Ьх, ..., Ья поля инвариантов К и построим
полином Лагранжа / степени меньше га, принимающий на всех элементах
множества Oj значение bj для j = 1, ..., q. Полином / удовлетворяет
условиям леммы.
Действительно, полином / инвариантен относительно
автоморфизма а, если и только если для каждого элемента х поля Р выполняется
равенство f(o(x)) = o(f(x)). Так как полином / имеет степень меньше га
и множество О содержит га элементов, равенство достаточно проверить
для всех элементов х множества О. По построению полинома / на всех
элементах множества О выполняется равенство f(o(x)) = a(/(x)), если
и только если о eG0- П
Вернемся к доказательству теоремы. Рассмотрим полином / =
= а0 + ... + а™-^771-1, стационарная погруппа которого равна Go.
Пересечение стационарных подгрупп коэффициентов а0, ..., am-i этого
полинома совпадает с подгруппой G0. Рассмотрим векторное
пространство L над полем К С Р инвариантов относительно действия группы G,
натянутое на коэффициенты а0, ..., am-i- Согласно лемме 2.3
существует вектор се L, стационарная подгруппа которого равна G0. □
20

§1.3. Автоморфизмы поля и соотношения между его
элементами
В этом параграфе рассматривается конечная группа автоморфизмов
поля. Доказываются две следующие теоремы теории Галуа.
Первая теорема (п. 1.3.2) утверждает, что каждый элемент поля
алгебраичен над полем инвариантов. Более того, каждый элемент
удовлетворяет сепарабельному уравнению (см. п. 1.3.1) над полем
инвариантов.
Пусть у и z—два элемента поля. При каких условиях существует
такой полином Т с коэффициентами из поля инвариантов, что z = Т(у)?
Вторая теорема (п. 1.3.3) утверждает, что полином Т существует, если и
только если стационарная группа элемента у принадлежит
стационарной группе элемента z.
1.3.1. Сепарабельные уравнения. Над полем положительной
характеристики существуют неприводимые уравнения, имеющие кратные
корни. Над полями нулевой характеристики таких уравнений нет. Пусть
T(t) — полином над полем К, T'(t) — его производная и D(t)
—наибольший общий делитель этих полиномов. Каждый корень полинома D
является корнем полинома Т.
Утверждение 3.1. Пусть х — корень кратности к > О
полинома T(t). Тогда он является корнем кратности k — l полинома D,
если кратность к не делится на характеристику поля К, и является
корнем кратности не меньше к в противном случае.
Доказательство. Если T(t) = (t — x)kQ(t), причем Q(x) ^ О, то
T'(t) = k(t — x)k~1Q(t) + (t — x)kQ'(i). Первое слагаемое обращается в
нуль, если и только если к делится на характеристику поля. □
Полином Т над полем К называется сепарабельным, если каждый
его корень (лежащий, вообще говоря, в некотором расширении поля К)
является простым. Из утверждения 3.1 видно, что неприводимый
полином над полем нулевой характеристики автоматически является сепа-
рабельным. В следующем пункте мы увидим, что только сепарабельные
уравнения важны в теории Галуа (см. утверждение 3.2 ниже). Для несе-
парабельных уравнений теории Галуа в полном объеме не существует.
Каждое уравнение над конечным полем сепарабельно, это легко
вытекает из описания конечных полей (см. § 1.11). Приведем пример
неприводимого несепарабельного уравнения. Над полем К характеристики р
уравнение хр = а имеет единственный корень, и его кратность равна р.
Действительно, если х% = а, то хр — а = (х — х0)р. Поэтому если
уравнение хр = а не имеет корня в поле К, то это уравнение неприводимо и
несепарабе льно.
21

Пример. Пусть К = Z/pZ(t) — поле рациональных функций над
конечным полем из р элементов. Уравнение хр = t неприводимо и несепа-
рабельно над К.
1.3.2. Алгебраичность над полем инвариантов. Пусть Р —
коммутативная алгебра без делителей нуля, на которой действует
группа автоморфизмов тс, и К — подалгебра инвариантов. Мы не
предполагаем, что группа тс конечна (хотя для теории Галуа достаточно
рассматривать лишь действия конечных групп).
Утверждение 3.2. 1. Стационарная подгруппа элемента у Е Р,
алгебраического над К, имеет конечный индекс в группе тс.
2. Если стационарная подгруппа элемента у Е Р имеет индекс п в
группе тс, то у удовлетворяет над К неприводимому сепарабелъному
уравнению степени п с равным единице старшим коэффициентом.
Доказательство. 1. Допустим, что элемент у удовлетворяет
алгебраическому уравнению
РоУп + ...+рп = 0 C)
с коэффициентами Pi из алгебры инвариантов К. Тогда всякий
автоморфизм алгебры Р, оставляющий на месте элементы алгебры К,
переводит элемент у в один из корней уравнения C), а этих корней не более
чем гг, поэтому индекс в группе тс стационарной подгруппы элемента у
не превосходит п.
2. Пусть стационарная подгруппа G элемента у имеет индекс п в
группе тс. Тогда орбита элемента у относительно действия группы тс
содержит ровно п различных элементов. Обозначим через ух, ..., уп
элементы этой орбиты. Пусть ах = J/1 + ... + 2/п, а2 = ]£ УгУ^ ..., ап = ух ...
г<3
• • • Уп — основные симметрические функции от элементов орбиты.
Элементы ах, ..., ап не меняются при перестановке точек т/х, ..., уп и
принадлежат поэтому алгебре инвариантов К. Элемент у удовлетворяет
алгебраическому уравнению
Т(у) = уп- а1Уп~1 + о2уп~2 + ... + (-1)пап = 0.
Это уравнение неприводимо (т.е. полином Т не раскладывается в
произведение двух полиномов положительных степеней,
коэффициенты которых лежат в алгебре К). Действительно, если бы оно было
приводимо, то элемент у удовлетворял бы уравнению меньшей
степени над алгеброй К и орбита элемента у содержала бы меньше чем п
элементов. Все корни уравнения C) различны, поэтому уравнение се-
парабельно. □
1.3.3. Подалгебра, содержащая коэффициенты полинома
Лагранжа. В этом пункте рассматривается полином Лагранжа, по-
22

строенный по специальным начальным данным, и оценивается
подалгебра, содержащая его коэффициенты. Результаты применяются в
п. 1.3.4.
Пусть Р — коммутативная алгебра без делителей нуля, ух, ..., уп —
различные элементы алгебры Р и Q Е Р[у] —полином степени п с
единичным старшим коэффициентом, обращающийся в нуль в точках
У и • • •, Уп, т. е. Q(y) = (у - ух)... (у - уп). Рассмотрим следующую
задачу. Для заданных элементов zx, ..., zn алгебры Р найти полином
Лагранжа Т, принимающий в точках у{ значения ZiQ'(yi). (По
определению полином Q имеет некратные корни, т.е. Q'{yi) ^ 0, и степень
полинома Лагранжа Т меньше, чем п.) Для формулировки ответа
удобно воспользоваться рациональной функцией F, определенной
тождеством F(y) = ^2 —-—. Из явной формулы для полинома Лагранжа
У ~ Уг
вытекает следующее утверждение.
Утверждение 3.3. Искомый полином Лагранжа Т равен
произведению QF полинома Q на рациональную функцию F. Коэффициенты
полинома Т принадлежат алгебре Р, т.е. ТЕ Р[у]-
Замечание. При Р = С задача допускает следующую переформули-
dv
ровку: найти такой полином Т степени меньше гг, что 1-форма со = Т—
Q
имеет в точках ух, ..., уп вычеты гх, ..., zn. Ясно, что форма со равна
F{y)dy. Поэтому Т = QF.
Нам понадобится другая формула для полинома Т, позволяющая
точнее оценить подалгебру, содержащую его коэффициенты. Введем
нужные обозначения. Для А; = 0, 1, ... положим тпк = ^1^У{- Обо-
п-1
значим через М полином от переменной у-1, равный ]Г тпку~1~к.
Представим произведение полиномов Q и М от переменных у и у-1
в виде QM = L + L_, где L и L_ —суммы мономов полинома Лорана
QM G К [у, у-1], имеющих соответственно неотрицательные степени и
строго отрицательные степени по переменной у.
Утверждение 3.4. Полином Т совпадает с определенным выше
полиномом L.
Доказательство. В кольце формальных рядов Тейлора по
степеням переменной у-1 с коэффициентами в алгебре Р выполняются
следующие равенства:
п оо п оо
F(y)=у-1 ]Г *A - у.у-1)-1=у-1 Е Е zitiv~"=у1 Е т*у~к-
г=1 к=0 г=1 к=0
(Если Р = С, то выписанный ряд является рядом Тейлора рациональ-
23

ной функции F в точке оо.) В кольце формальных рядов Лорана по
переменной у~1 с коэффициентами в алгебре Р выполняется равенство
оо
Т(у) = Q(y)y~1 Y1 ткУ~к, из которого следует, что Т = L. □
г=0
Из утверждения 3.4 вытекает такое следствие.
Следствие 3.5. Пусть подалгебра К алгебры Р содержит
коэффициенты полинома Q и элементы га0, ..., mn-i, где тк = ]Г ^yf. Тогда
коэффициенты полинома Т принадлежат подалгебре К, т.е. ТеК[у).
1.3.4. Представимость одного элемента через другой над
полем инвариантов. Пусть Р — поле, на котором действует группа
автоморфизмов тс, и К — поле инвариантов. Пусть у и z — элементы
поля Р, алгебраические над полем К, и Gy, Gz —их стационарные
подгруппы. Согласно утверждению 3.2 элемент у (элемент z) алгебраичен
над полем К, если и только если группа Gy (группа Gz) имеет конечный
индекс в группе тс. При каком условии z принадлежит расширению К (у)
поля К элементом у? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема 3.6. Элемент z принадлежит полю К {у), если и только
если стационарная подгруппа Gz элемента z содержит стационарную
подгруппу Gy элемента у.
Доказательство. В одну сторону теорема очевидна: каждый
элемент поля К (у) неподвижен при действии группы Gy. Другими
словами, стационарная подгруппа каждого элемента поля К(у) содержит
группу Gy.
Обратное утверждение мы докажем в более сильной форме. Ослабим
предположения в теореме 3.6. Будем предполагать, что
Р—коммутативная алгебра без делителей нуля (необязательно являющаяся полем), тс —
группа автоморфизмов алгебры Р, К — алгебра инвариантов, у и z —
элементы алгебры Р, стационарные подгруппы Gy и Gz которых имеют
конечный индекс в группе тс. Обозначим через Q сепарабельное целое
алгебраическое уравнение над алгеброй К, которому удовлетворяет
элемент у, Q(y) = 0 (см. п. 2 утверждения 3.2).
Утверждение 3.7. Если Gz 2 Gy то существует такой
полином Т с коэффициентами в алгебре К, что выполняется тождество
zQ'(y) = T(y).
Доказательство. Обозначим через S множество правых
классов смежности группы тс по подгруппе Gy. Пусть множество S
содержит п элементов. Занумеруем элементы sb ..., sn этого множества,
присвоив классу единичного элемента группы тс номер 1. Пусть g* —
любой представитель класса s{ в группе тс. Образы gi(y), gi(z)
элементов у, z при действии автоморфизма gi G тс не зависят от выбора
элемента gi в классе S*. Обозначим эти образы через у{ и г* соответствен-
24

но. Все элементы ух, ..., уп различны по построению, в то время как
некоторые из элементов zx, ..., zn могут совпадать. Для всякого целого
неотрицательного к элемент тк = Z\y\ +... + zny\ инвариантен
относительно действия группы тс и, следовательно, принадлежит алгебре К.
Для завершения доказательства осталось сослаться на следствие 3.5.
Утверждение 3.7 и теорема З.б доказаны. □
§1.4. Действие к-разрешимой группы и представимость
в к-радикалах
В этом параграфе рассматривается поле Р, на котором действует
конечная группа автоморфизмов G с полем инвариантов К. Мы будем
предполагать, что поле Р имеет нулевую характеристику и содержит
все корни из единицы, и введем определение /^-разрешимой группы.
Мы докажем, что если группа G является /^-разрешимой, то каждый
элемент поля Р выражается через элементы поля К с помощью
радикалов и решения вспомогательных алгебраических уравнений, степень
которых не превосходит к. Доказательство опирается на теоремы
предыдущих параграфов.
Определение. Конечная группа G называется к-разрешимой, если
у нее существует такая цепочка подгрупп
G = G0DG1D...DGn = {e},
что для каждого г, 0 < г ^ тг, либо индекс подгруппы d в группе Gi_i
не превосходит А:, либо подгруппа Gi — нормальный делитель в группе
Gi-i и факторгруппа G^i/Gi коммутативна.
Теорема 4.1. Пусть G — конечная k-разрешимая группа
автоморфизмов поля Р, имеющего нулевую характеристику и содержащего
все корни из единицы. Тогда каждый элемент х поля Р
выражается через элементы поля инвариантов К при помощи арифметических
операций, извлечения корней и решения алгебраических уравнений
степени не выше чем к.
Доказательство. Пусть
G = G0D...DGm = {e}
— цепочка вложенных подгрупп, удовлетворяющая условиям,
перечисленным в определении /^-разрешимой группы. Обозначим через
К = К0 С ... С Km = Р цепочку инвариантных полей относительно
действия групп Go, ..., Gm.
Пусть группа G* является нормальным делителем группы G^-i и
факторгруппа G^i/Gi коммутативна. Коммутативная факторгруппа
25

Gi-i/Gi естественно действует на поле инвариантов К{, оставляя
неподвижным поле инвариантов К{_х. Следовательно, каждый элемент
поля Ki выражается при помощи суммирования и извлечения корней
через элементы поля К^х (см. теорему 1.2 из п. 1.1.1).
Пусть группа G* является подгруппой индекса т ^ к в группе G»_i.
Существует элемент a Е Р, стационарная подгруппа которого равна G*
(теорема 2.4). На поле К действует группа автоморфизмов G^-i с полем
инвариантов Ki_x. Так как индекс стационарной подгруппы G*
элемента а в группе Gi_i равен га, элемент а удовлетворяет алгебраическому
уравнению степени га ^ к над полем /fi-i- Согласно теореме 3.6
каждый элемент поля Ki является полиномом от а с коэффициентами из
поля Ki_\.
Последовательно повторяя эти рассуждения, мы выразим каждый
элемент поля Р через элементы поля К с помощью арифметических
операций, извлечения корней и решения алгебраических уравнений
степени не выше к. □
§1.5. Уравнения Галуа
Алгебраическое уравнение над полем К называется уравнением
Галуа, если расширение поля К, полученное присоединением к К
любого одного корня этого уравнения, содержит все остальные его
корни. В этом параграфе доказывается, что для любого
алгебраического уравнения над полем К существует такое уравнение Галуа,
что расширения поля К, полученные присоединением всех корней
исходного уравнения, совпадают с расширением, полученным
присоединением уравнения Галуа. Доказательство опирается на теорему З.б
из п. 1.3.4. Уравнения Галуа удобны для построения группы Галуа
(см. §§1.6, 1.7).
Пусть К — любое поле. Обозначим через Р алгебру К[хх, ..., xmJ
многочленов над полем К от переменных хх, ..., xm. На алгебре Р
действует группа автоморфизмов тс, изоморфная группе S(ra)
перестановок га элементов: действие группы заключается в одновременной
перестановке переменных Х\, ..., хт во всех многочленах из кольца
K[xi, ..., Хт]. Алгебра инвариантов К относительно этого действия
состоит из симметрических многочленов от переменных хх, ..., хт.
Пусть у Е Р — некоторый многочлен от га переменных, орбита
которого под действием группы S(ra) содержит ровно п = т\ различных
элементов у = У\, . •., уп- Обозначим через Q полином над алгеброй К,
корнями которого являются элементы уг, ..., уп€Р (см. утверждение 3.2).
Производная полинома Q не обращается в нуль в его корнях ух, ..., уп.
26

Применяя утверждение 3.7 к действию группы S(m) на алгебре Р с
алгеброй инвариантов К, получаем следующий результат.
Следствие 5.1. Для всякого элемента FeP = K[xi, ..., хт]
существует полином Т, коэффициенты которого — симметрические
многочлены от переменных хх, ..., хт, удовлетворяющий тождеству
FQ'(y)=T(y).
Пусть b0 + biX + ... + brnX™ = О — сепарабельное алгебраическое
уравнение над полем К,Ь{еК. Сепарабельность уравнения означает, что все
его корни xj, ..., х^ попарно различны между собой. Пусть Р — поле,
полученное присоединением к полю К всех корней этого уравнения.
Рассмотрим отображение тс: K[xi, ..., xm] —► Р, сопоставляющее
каждому многочлену его значение в точке (xj, ..., arjJJ G Pm.
Следствие 5.2. Пусть у G К[х\, ..., хт] — такой многочлен, что
все п = т\ многочленов, полученных из у всевозможными
перестановками переменных, принимают в точке (х°, ..., arjJJ G Pm различные
значения. Тогда значение многочлена у в точке (х?, ..., arjJJ G Pm
порождает поле Р над полем К.
Доказательство. Действительно, алгебраические элементы
х°, ..., х^ порождают поле Р над полем К. Поэтому каждый
элемент поля Р является значением некоторого многочлена из кольца
if [xi, ..., хт] в точке х?, ...,х^. Но согласно следствию 5.2
каждый многочлен F после умножения на Q'(y) представляется в виде
полинома Т от у с коэффициентами из алгебры К. Подставим в
соответствующее тождество P(xi, ..., xm) = Q'{y)T{y) точку (х?, ..., x£J.
По условию все п = т\ корней полинома Q в точке (х°, ..., х^)
различны между собой. Поэтому функция Qf(y) в этой точке отлична от нуля,
а значение симметрических полиномов в точке (х?, ..., х^)
принадлежат полю К (так как симметрические полиномы от корней уравнения
выражаются через его коэффициенты). □
Лемма 5.3. Пусть основное поле К бесконечно. Тогда для любых
попарно различных элементов х?, ..., х^ поля Р D К существует
такой линейный многочлен у = XxXi + ... + Xmxm с коэффициентами
Xi, ..., Xm из поля К, что все п = т\ многочленов, полученных из
многочлена у перестановками переменных, принимают различные
значения в точке (х?, ..., х^) G Pm.
Доказательство. Рассмотрим п = т\ точек, полученных из
точки (х°, ..., x£J всевозможными перестановками координат. Для
каждой пары точек линейные многочлены, принимающие равные значения
в этих точках, образуют собственное подпространство в пространстве
линейных многочленов с коэффициентами в поле К. Подпространства,
27

соответствующие всевозможным парам точек, не могут покрывать
всего пространства (утверждение 2.1). Любой линейный полином у, не
лежащий в объединении описанных собственных подпространств,
удовлетворяет условиям леммы. □
Определение. Уравнение а0 + ахх + ... + amxm = 0 над полем К
называется уравнением Галуа, если его корни x°, ..., х^ обладают
следующим свойством: для любой пары корней х°, х° найдется такой
полином Pij(t) над полем К, что Piyj(x°) = х°.
Теорема 5.4. Пусть поле Р получается из бесконечного поля К
при помощи присоединения всех корней сепарабелъного алгебраического
уравнения над полем К. Тогда то оке самое поле Р можно получить из
поля К, присоединяя один корень некоторого {вообще говоря, другого)
неприводимого сепарабельного уравнения Галуа над полем К.
Доказательство. Так как уравнение сепарабельно, все его
корни х°, ..., х^ различны. Рассмотрим такой однородный линейный
многочлен у с коэффициентами в поле К, что все п = т\ линейных
многочленов, полученных из многочлена у перестановкой переменных,
принимают в точке (х°, ..., arJJJ различные значения. Рассмотрим уравнение
степени п над полем К, корнями которого являются эти значения.
Согласно доказанному выше следствию полученное уравнение является
уравнением Галуа, а его корни порождают поле Р. Полученное
уравнение Галуа сепарабельно (так как все его корни различны), но может
оказаться приводимым. Приравнивая к нулю любой из неприводимых
сомножителей, получим искомое сепарабельное неприводимое
уравнение Галуа. D
§1.6. Автоморфизмы, связанные с уравнением Галуа
В этом параграфе строится группа автоморфизмов расширения,
полученного из исходного поля присоединением всех корней некоторого
уравнения Галуа. Показывается (теорема 6.2), что поле инвариантов
этой группы совпадает с полем коэффициентов.
Пусть Q = b0 + biX + ... + bnxn — неприводимый многочлен над
полем К. Тогда все поля, порожденные над полем К одним корнем
уравнения Q, изоморфны между собой и допускают следующее абстрактное
описание: каждое такое поле изоморфно фактору кольца К[х] по
простому идеалу /д, порожденному неприводимым многочленом Q.
Обозначим это поле через K[x]/Iq.
Пусть М — расширение поля Ку содержащее все п корней х°, ..., х°п
уравнения Q{x) = 0. С каждым корнем х9 свяжем поле /С», являющееся
расширением поля К при помощи корня х°. Все поля К{, г — 1—, п,
28

изоморфны между собой и изоморфны полю K[x]/IQ. Обозначим через
Oi изоморфное отображение поля K[x]/IQ в поле К{, оставляющее на
месте элементы поля коэффициентов К и переводящее многочлен х в
элемент х°.
Лемма 6.1. Пусть уравнение Q = Ь0 + Ьгх +... + Ьпхп = 0 сепарабель-
но над полем К. Тогда образы о{(а) элемента а поля K[x]/IQ в поле М
при всех изоморфизмах а*, г = 1, ..., п, совпадают между собой, если
и только если элемент а лежит в поле коэффициентов К.
Доказательство. Предположим дополнительно, что степень п
полинома Q не кратна характеристике поля К. Если Ь = ах (а) = ...
... =оп(а), то Ь = {о\{а) + ... + сп(а))п~1 (в рассматриваемом случае
п^Ов поле К). Поэтому элемент Ь является значением
симметрического многочлена от корней х°, ..., х°п уравнения Q(x) = 0, т. е. элемент b
принадлежит полю коэффициентов К.
Если п = 0 в поле К, то приведенное доказательство не работает
и нужно привлекать другие аргументы. Элемент Gi(a) = &Gifi, как и
всякий другой элемент поля Кх, представим в виде Ь = с0 + схх^ + ...
... -I- cn_!(xj)n_1, где с0, ..., cn_! G К. Тогда элемент Oj{a) при j = 1, ...
... , п представим в виде с0 + схх® + ... + cn_i(x°)n_1. Для j = 1, ..., п
получаем п соотношений с0 + сгх° + ... + cn_i(x^)n~1 = Ь или (с0 — Ь) +
-I- Ci£° -I-... -I- cn_i(x°)n_1 = 0. Другими словами, полином (с0 — Ь) +
-|- схх + ... -|- cn_ixn_1 =0 степени меньше п над полем М имеет п
различных корней xj, ...,x°. Значит, все коэффициенты этого
многочлена равны нулю. В частности, элемент Ь поля М совпадает с
элементом с0 и поэтому лежит в поле К0. □
Теперь все готово для доказательства основного утверждения этого
пункта.
Теорема 6.2. Пусть поле Р получено из поля К присоединением
всех корней сепарабельного алгебраического уравнения над полем К.
Тогда элемент Ь G Р неподвижен при всех автоморфизмах поля Р,
оставляющих неподвиэюными все элементы поля К, если и только
если be К.
Доказательство. Согласно теореме 5.4 можно считать, что
поле Р получено из поля К присоединением всех корней (или, что то же
самое, одного корня) неприводимого сепарабельного уравнения Галуа.
По определению уравнения Галуа все поля К{, о которых идет речь в
доказанной выше лемме 6.1, совпадают между собой и совпадают с
полем Р. Изоморфизм OjO'1 поля Ki в поле Kj является автоморфизмом
поля Р, оставляющим неподвижными все элементы поля К. Согласно
лемме элемент b G Р неподвижен при всех таких автоморфизмах, если
и только если be К. □
29

§1.7. Основная теорема теории Галуа
В параграфах 1.2, 1.3, 1.5 и 1.6 фактически уже были доказаны
центральные теоремы теории Галуа. В этом параграфе подводятся итоги.
Определяются расширения Галуа (п. 1.7.1), группы Галуа (п. 1.7.2),
доказывается основная теорема теории Галуа (п. 1.7.3), обсуждаются
свойства соответствия Галуа (п. 1.7.4) и поведение группы Галуа при
увеличении поля коэффициентов.
1.7.1. Расширения Галуа. Приведем два эквивалентных
определения.
Определение 1. Поле Р, полученное из поля К присоединением
всех корней сепарабельного алгебраического уравнения над полем К,
называется расширением Галуа поля К.
Определение 2. Поле Р является расширением Галуа своего под-
поля К, если существует конечная группа автоморфизмов G поля Р,
полем инвариантов которой является поле К.
Утверждение 7.1. Определения I и 2 эквивалентны. Группа G из
определения 2 совпадает с группой всех автоморфизмов поля Р над
полем К. Следовательно, группа G определена однозначно.
Доказательство. Если поле Р является расширением Галуа
поля К в смысле определения 1, то по теореме 6.2 поле Р является
расширением Галуа поля Р в смысле определения 2. Пусть теперь
поле Р является расширением Галуа поля К в смысле определения 2.
Согласно следствию 2.2 существует элемент а€ Р, который сдвигается
с места любым нетривиальным элементом группы G. Рассмотрим
орбиту О элемента а относительно действия группы G. По утверждению 3.2
существует алгебраическое уравнение над полем К, множество корней
которого совпадает с О. Согласно теореме 3.6 любой из элементов
орбиты, т. е. любой из корней этого алгебраического уравнения, порождает
поле Р над полем К. Тем самым поле Р является расширением Галуа
поля К в смысле определения 1.
Любой автоморфизм о поля Р над полем К переводит элемент а в
некоторый элемент множества О, так как множество О является
множеством решений уравнения с коэффициентами в поле К. Поэтому для о
найдется такой элемент g группы G, что о(а) = g(a). Автоморфизм а
совпадает с этим элементом g, так как элемент а порождает поле Р над
полем К. Значит, группа G совпадает с группой всех автоморфизмов
поля Р над полем К. □
1.7.2. Группы Галуа. Перейдем к группам Галуа — центральному
объекту теории Галуа.
30

Группой Галуа расширения Галуа Р поля К (или, короче, группой
Галуа поля Р над полем К) называется группа всех автоморфизмов
поля Р над полем К. Группой Галуа сепарабельного алгебраического
уравнения над полем К называется группа Галуа расширения Галуа Р
поля К, полученного присоединением к этому полю всех корней данного
алгебраического уравнения.
Пусть поле Р получается из поля К присоединением всех корней
сепарабельного уравнения
а0 + ахх + ... + апхп = 0 D)
над полем К.
Каждый элемент о из группы Галуа поля Р над полем К
переставляет корни уравнения D). Действительно, применяя автоморфизм о к
равенству D), получаем
а(а0 + агх + ... + апхп) =а0 + aio(x) + ... + ап(о(х))п = 0.
Таким образом, группа Галуа поля Р над полем К имеет представление
в группе перестановок корней уравнения D). Это представление точное:
если автоморфизм оставляет неподвижными все корни уравнения D),
то он сохраняет на месте все элементы поля Р и, следовательно,
является тривиальным.
Определение. Соотношением между корнями уравнения D),
определенным над полем К, называется любой полином Q, принадлежащий
кольцу K[xi, ..., хп], который обращается в нуль в точке (я?, ..., х°),
где я?, ..., х°п — набор корней уравнения D).
Утверждение 7.2. Всякий автоморфизм из группы Галуа
сохраняет все соотношения над полем К между корнями уравнения D).
Обратно, всякая перестановка корней, сохраняющая все соотношения
между корнями, определенные над полем К, продолжается до
автоморфизма из группы Галуа.
Таким образом, группу Галуа поля Р над полем К можно
отождествить с группой всех перестановок корней уравнения D), сохраняющих
все соотношения между корнями, определенные над полем К.
Доказательство. Если перестановка a G S(n) соответствует
элементу группы Галуа, то полином oQ, полученный из соотношения Q
перестановкой а переменных xl5 ..., хп, тоже обращается в нуль в
точке х?, ..., х°п. Обратно, пусть перестановка а сохраняет все соотношения
между корнями, определенные над полем К. Продолжим
перестановку а до автоморфизма поля Р над полем К. Всякий элемент поля Р
является значением некоторого полинома Qi, принадлежащего кольцу
31

K[xi, ..., xn], в точке (я?, ..., x°). Значение автоморфизма а на этом
элементе естественно определить как значение полинома aQi,
полученного из полинома Qi перестановкой переменных а, в точке (я?, • • •» жп)-
Нужно проверить, что это определение корректно. Пусть Q2 — другой
полином из кольца К[хг, ..., хп], значение которого в точке (я?, ..., х°п)
совпадает со значением в этой точке полинома Q\. Но тогда полином
Q\ — Q2 является соотношением над полем К между корнями. Поэтому
полином oQi — oQ2 тоже должен обратиться в нуль в точке (х°, ..., х°п),
но это и означает, что автоморфизм а определен корректно. □
1.7.3. Основная теорема. Пусть поле Р является расширением
Галуа поля К. Теория Галуа описывает все промежуточные поля, т. е.
все поля, лежащие в поле Р и содержащие поле К. Сопоставим
каждой подгруппе L группы Галуа поля Р над полем К подполе PL всех
элементов, остающихся неподвижными при действии подгруппы L. Это
соответствие называется соответствием Галуа.
Теорема 7.3 (основная теорема теории Галуа). Соответствие
Галуа расширения Галуа является взаимно однозначным соответствием
между множеством подгрупп группы Галуа и множеством
промежуточных полей.
Доказательство. Во-первых, согласно теореме 2.4 различные
подгруппы группы Галуа имеют различные поля инвариантов. Во-
вторых, если поле Р является расширением Галуа поля К, то оно
является расширением Галуа и всякого промежуточного поля. Это
очевидно, если воспользоваться определением 1 (см. п. 1.7.1) расширения
Галуа. Из определения 2 (см. п. 1.7.1) расширения Галуа видно, что
промежуточное поле является неподвижным полем для некоторой группы
автоморфизмов поля Р над полем К. Теорема доказана. □
1.7.4. Свойства соответствия Галуа. Обсудим простейшие
свойства соответствия Галуа.
Утверждение 7.4. Промежуточное поле является расширением
Галуа поля коэффициентов, если и только если при соответствии
Галуа этому полю сопоставляется нормальный делитель группы Галуа.
Группа Галуа промежуточного расширения Галуа над полем
коэффициентов изоморфна факторгруппе группы Галуа исходного расширения
по нормальному делителю, соответствующему промежуточному
расширению Галуа.
Доказательство. Пусть Н — нормальный делитель группы
Галуа G и LH — промежуточное поле, соответствующее подгруппе Н.
Поле LH переходит в себя при действии автоморфизмов из группы G,
так как множество неподвижных точек действия нормального
делителя инвариантно относительно действия группы (утверждение 1.3).
32

Группа автоморфизмов поля LH, индуцированная действием группы G,
изоморфна факторгруппе G/H. Поле инвариантов относительно
действия на поле Ьн индуцированной группы автоморфизмов совпадает
с полем К. Итак, если Н — нормальный делитель группы G, то Ьн —
расширение Галуа поля К с группой Галуа G/H.
Пусть Кх —промежуточное расширение Галуа поля К. Поле К\
получается из поля К присоединением всех корней некоторого
алгебраического уравнения над полем К. Любой автоморфизм g из группы
Галуа G лишь переставляет между собой корни этого уравнения и
поэтому переводит поле Кх в себя. Пусть поле Кх соответствует подгруппе if,
К\ = LH. Элемент g группы G переводит поле Ьн в поле LgHg-\. Итак,
если промежуточное расширение Галуа Кх соответствует подгруппе i/,
то для всякого элемента g eG справедливо равенство Н = gHg~l.
Другими словами, группа Н является нормальным делителем группы
Галуа G. □
Утверждение 7.5. Наименьшее алгебраическое расширение
поля К, содерэюащее два заданных расширения Галуа поля К, является
расширением Галуа поля К.
Доказательство. Наименьшее поле Р, содержащее оба
расширения Галуа, можно построить следующим образом. Пусть первое поле
получается добавлением к полю К всех корней сепарабельного
полинома Qi, а второе поле —всех корней сепарабельного полинома Q2.
Полином Q = Q1Q2/L, где L — наибольший общий делитель полиномов Qi
и Q2> не имеет кратных корней. Поле Р получается присоединением
к полю К всех корней сепарабельного полинома Q и, следовательно,
является расширением Галуа поля К. □
Утверждение 7.6. Пересечение двух расширений Галуа является
расширением Галуа. Группа Галуа пересечения является
факторгруппой группы Галуа каждого из исходных расширений Галуа.
Доказательство. Пусть Р — наименьшее поле, содержащее оба
расширения Галуа. Как мы доказали, Р — расширение Галуа поля К.
Группа Галуа поля Р над полем К переводит в себя как первое, так
и второе расширение поля К. Следовательно, пересечение двух
расширений Галуа также будет переводиться в себя действиями группы G.
Поэтому, согласно утверждению 7.4 пересечение двух расширений
Галуа будет расширением Галуа. Из того же утверждения вытекает, что
группа Галуа пересечения является факторгруппой группы Галуа
каждого из исходных расширений Галуа. □
1.7.5. Изменение поля коэффициентов. Пусть
а0 + ахх + ... + апхп = 0 E)
33

— сепарабельное алгебраическое уравнение над полем К и Р —
расширение Галуа поля AT, полученное присоединением к полю К всех
корней уравнения E). Рассмотрим большее поле К Э К и его
расширение Галуа Р, полученное присоединением к полю К всех корней
уравнения E). Как связана группа Галуа поля Р над К с группой
Галуа G поля Р над К? Или, другими словами, что происходит с группой
Галуа уравнения E) при увеличении основного поля (т. е. при переходе
от поля К к полю К)?
При увеличении поля коэффициентов группа Галуа уравнения,
вообще говоря, уменьшается, т. е. заменяется некоторой подгруппой Галуа
уравнения над исходным полем. Действительно, над большим полем
может быть больше соотношений между корнями уравнения E). Приведем
более точное утверждение.
Обозначим через Кх пересечение полей Р и К. Поле Кг содержит
поле К и лежит в поле Р, т. е. К С Кх С Р. Согласно основной теореме
теории Галуа полю Кх соответствует некоторая подгруппа G\ группы
Галуа G.
Теорема 7.7. Группа Галуа поля Р над полем К изоморфна
подгруппе G\ в группе Галуа G поля Р над полем К.
Доказательство. Группа Галуа G оставляет элементы поля К
неподвижными (так как К С К) и переставляет корни уравнения E).
Поэтому поле Р переводится автоморфизмами группы G в себя.
Неподвижными элементами относительно индуцированной группы
автоморфизмов поля Р являются в точности те элементы поля Р, которые
содержатся в поле К, т.е. элементы поля Кх = РПК. Поэтому
индуцированная группа автоморфизмов поля Р совпадает с подгруппой G\
группы Галуа G поля Р над полем К. Осталось показать, что описанный
выше гомоморфизм группы G в группу G\ не имеет ядра.
Действительно, ядро этого гомоморфизма оставляет неподвижными все корни
уравнения E), т.е. ядро гомоморфизма содержит лишь тривиальный
элемент группы G. Теорема доказана. □
Пусть теперь в условиях предыдущей теоремы поле К само является
расширением Галуа поля К. Согласно утверждению 7.6 поле Кх в этом
случае также является расширением Галуа поля К. Обозначим через Гх
группу Галуа расширения Кг поля К.
Теорема 7.8 (об изменении группы Галуа при расширении Галуа
поля коэффициентов). При расширении Галуа поля коэффициентов
группа Галуа G исходного уравнения заменяется своим нормальным
делителем G\. Факторгруппа G/G\ группы G по этому нормальному
делителю изоморфна факторгруппе группы Галуа нового поля
коэффициентов К над старым полем коэффициентов К.
34

Доказательство. Действительно, группа G\ соответствует
полю РГ\К, которое является расширением Галуа поля К. Поэтому
группа G\ является нормальным делителем группы G, а ее факторгруппа
G/Gi изоморфна группе Галуа поля Кх над полем К. Но группа Галуа
поля Кх над полем К изоморфна факторгруппе Г/Г^ Теорема
доказана. □
§1.8. Критерий разрешимости уравнений в радикалах
Алгебраическое уравнение над полем К характеристики нуль
разрешимо в радикалах, если существует цепочка расширений К = К0сКг ...
... С Кп, в которой поле Kj+1 получается из поля К^ j = 0, 1, ..., п — 1,
присоединением радикала, а поле Кп содержит все корни исходного
алгебраического уравнения. Решается ли заданное алгебраическое
уравнение в радикалах? Теория Галуа была создана для ответа на этот вопрос.
В п. 1.8.1 рассматривается группа корней n-й степени из единицы,
лежащих в заданном поле К. В п. 1.8.2 рассматривается группа Галуа
уравнения хп = а. В п. 1.8.3 приводится критерий разрешимости
алгебраического уравнения в радикалах (в терминах группы Галуа этого
уравнения).
1.8.1. Корни из единицы. Пусть К — любое поле. Обозначим
через КЕ мультипликативную группу всех корней из единицы поля К
(т.е. a G К*Е, если и только если a G К и для некоторого натурального
числа п выполнено равенство ап = 1).
Утверждение 8.1. Если в группе КЕ существует подгруппа,
содержащая I элементов, то уравнение х1 = 1 имеет в поле К ровно I
различных корней и рассматриваемая подгруппа образована всеми
этими корнями.
Доказательство. Каждый элемент х в любой группе порядка /
удовлетворяет уравнению х1 = 1. В поле есть не более чем / корней
такого уравнения, а группа по условию имеет ровно / элементов. □
Из утверждения 8.1, в частности, вытекает, что в группе КЕ есть не
более одной циклической подгруппы любого заданного порядка /.
Утверждение 8.2. Конечная абелева группа G, имеющая не
более одной циклической подгруппы любого заданного порядка, является
циклической группой. В частности, любая конечная подгруппа в
группе КЕ является циклической группой.
Доказательство. Из классификации конечных абелевых групп
легко видеть, что абелева группа, удовлетворяющая условию
утверждения, с точностью до изоморфизма определяется числом т своих
элементов: если т =р\1 .. .р„п —разложение числа т на простые мно-
35

жители, то G = (Z/pklZ) x ... х (Z/p^Z). Поэтому (см. утверждение 8.1)
группы корней из единицы, содержащие заданное число элементов га, в
различных полях изоморфны между собой. Но в поле комплексных
чисел группа порядка га, состоящая из всех корней из единицы порядка га,
очевидно, является циклической. □
Циклическую группу из га элементов можно отождествить с
аддитивной группой кольца вычетов по модулю га.
Утверждение 8.3. Группа автоморфизмов группы Z/mZ
изоморфна мультипликативной группе обратимых элементов кольца вычетов
по модулю га. В частности, эта группа автоморфизмов
коммутативна.
Доказательство. Автоморфизм F группы Z/mZ однозначно
определяется элементом F(l), который, очевидно, должен быть
обратим в мультипликативной группе кольца вычетов. Этот автоморфизм
совпадает с умножением на F(l). □
Лемма 8.4. Пусть расширение Галуа Р поля К получается из
поля К присоединением некоторых корней из единицы. Тогда группа
Галуа поля Р над полем К коммутативна.
Доказательство. Все корни из единицы, лежащие в поле Р,
образуют циклическую группу по умножению. Преобразование из
группы Галуа задает автоморфизм этой группы и целиком определяется
этим автоморфизмом, т.е. группа Галуа вкладывается в группу
автоморфизмов циклической группы. Теперь лемма 8.4 вытекает из
утверждения 8.3. □
1.8.2. Уравнение хп = а.
Утверждение 8.5. Уравнение хп — а = О над полем К, а € К, афО,
сепарабельно над полем К, если и только если степень п не делится
на характеристику поля К.
Доказательство. Производная полинома tn — а равна ntn~l. Ес-
ли п ф О и t ф О, то производная не обращается в нуль. Если же п = О,
то эта производная тождественно равна нулю. □
Утверждение 8.6. Пусть число п не кратно характеристике
поля К, О Ф а € К и поле К содержит все корни степени п из единицы.
Тогда группа Галуа уравнения хп — а = 0 над полем К является
подгруппой циклической группы из п элементов.
Доказательство. Группа корней n-й степени из единицы
циклическая (см. утверждение 8.2). Пусть £—любая образующая этой
группы. Фиксируем любой корень х0 уравнения хп — а = 0. Занумеруем
корни уравнения хп — а = 0 вычетами i по модулю п, положив х{ равным
£>гх0. Пусть преобразование g из группы Галуа переводит корень х0 в
корень Xi. Тогда g(xk) =g(Z>kx0) = %k+lx0 = xk+i (напомним, что по пред-
36

положению £ € К, поэтому g(£) = 5), т. е. всякое преобразование группы
Галуа задает циклическую перестановку корней. Следовательно, группа
Галуа вкладывается в циклическую группу из п элементов. □
Лемма 8.7. Пусть число п не кратно характеристике поля К и
О^аеК. Тогда группа Галуа G уравнения хп — а = О, а € К, над полем К
обладает коммутативным нормальным делителем G\, факторгруппа
G/G\ относительно которого коммутативна. В частности, группа
Галуа G разрешима.
Доказательство. Пусть Р — расширение поля if, полученное
добавлением к этому полю всех корней уравнения хп = а. Отношение
любых двух корней уравнения хп = а является корнем n-й степени из
единицы. Отсюда видно, что поле Р содержит все корни степени п из
единицы. Обозначим через К\ расширение поля if, полученное
добавлением к этому полю всех корней степени п из единицы. Мы имеем
включения К С Ki С Р. Обозначим через G\ группу Галуа уравнения
хп = а над полем Кг. Согласно утверждению 1.4 группа G\
коммутативна. Группа G\ является нормальным делителем группы G, так
как поле Кх является расширением Галуа поля К. Факторгруппа G/Gi
коммутативна, так как согласно лемме 8.4 группа Галуа поля Кг над
полем К коммутативна. □
1.8.3. Разрешимость в радикалах. При формулировке критерия
разрешимости алгебраических уравнений в радикалах мы ограничимся
случаем полей нулевой характеристики.
Теорема 8.8 (критерий разрешимости уравнений в радикалах).
Алгебраическое уравнение над полем нулевой характеристики решается
в радикалах, если и только если его группа Галуа разрешима.
Доказательство. Пусть уравнение решается в радикалах.
Разрешимость уравнения в радикалах над полем К означает существование
цепочки расширений К = К0 С if i... С Кп, в которой поле Kj+i
получается из поля Kj, j = 0, 1, ..., п — 1, присоединением радикала, а поле Кп
содержит все корни исходного алгебраического уравнения. Обозначим
через Gj группу Галуа нашего уравнения над полем Kj. Проследим,
что происходит с группой Галуа уравнения при переходе от поля Ki к
полю Ki+i. Согласно теореме 7.8 группа Gi+i является нормальной
подгруппой в группе Gj, причем, факторгруппа Gi/Gi+i является
одновременно факторгруппой группы Галуа поля Ki+i над полем К^. Так как
поле Ki+i получается из поля К{ присоединением радикала, согласно
лемме 8.7 группа Галуа поля Ki+i над полем К{ разрешима. (В случае,
когда поле К содержит все корни из единицы, группа Галуа поля Ki+i
над полем К{ коммутативна.) Так как все корни алгебраического
уравнения по условию лежат в поле Кп, группа Галуа Gn алгебраического
37

уравнения над полем Кп тривиальна. Итак, если уравнение решается
в радикалах, то у его группы Галуа G существует цепочка подгрупп
G = G0 Э G\ Э ... D Gn, в которой группа Gi+i является нормальным
делителем группы G* с разрешимой факторгруппой Gj/Gi+i, а
группа Gn тривиальна. (Если поле К содержит все корни из единицы, то
факторгруппы Gj/Gi+i коммутативны.) Таким образом, если уравнение
решается в радикалах, то его группа Галуа разрешима.
Пусть группа Галуа G алгебраического уравнения над полем К
разрешима. Обозначим через К поле, полученное из поля К
присоединением всех корней из единицы. Группа Галуа G алгебраического уравнения
над большим полем К является подгруппой группы G. Поэтому группа
Галуа G разрешима. Обозначим через Р поле, полученное из поля К
присоединением всех корней алгебраического уравнения. Разрешимая
группа G действует на поле Р с полем инвариантов К. Согласно
теореме 1.2 каждый элемент поля Р выражается в радикалах через элементы
поля К. По определению поля К каждый элемент этого поля
выражается через корни из единицы и элементы поля К. Теорема доказана. □
§1.9. Критерий разрешимости уравнений в к-радикалах
Скажем, что алгебраическое уравнение над полем К характеристики
нуль разрешимо в k-радикалах, если существует такая цепочка
расширений К = К0 С К\... С Кп, что для каждого j, О < j < п, либо поле Kj+i
получается из поля Kj присоединением радикала, либо поле Kj+1
получается из поля Kj присоединением корня уравнения степени не выше /с,
а поле Кп содержит все корни исходного алгебраического уравнения.
Решается ли заданное алгебраическое уравнение в А:-радикалах? В этом
параграфе дается ответ на этот вопрос. В п. 1.9.1 обсуждаются свойства
/^-разрешимых групп. В п. 1.9.2 доказывается критерий разрешимости
уравнений в А:-радикалах.
Начнем со следующего простого утверждения.
Утверждение 9.1. Группа Галуа уравнения степени т ^ к
изоморфна подгруппе группы S(k).
Доказательство. Любой элемент группы Галуа
переставляет корни уравнения и вполне определяется возникшей перестановкой
корней. Поэтому группа Галуа уравнения степени т изоморфна
подгруппе группы S(m). При т < к группа 5(га) является подгруппой
группы S(k). □
1.9.1. Свойства fc-разрешимых групп. В этом пункте мы
покажем, что /^-разрешимые группы (см. § 1.4) имеют свойства, аналогичные
38

свойствам разрешимых групп. Начнем с леммы 9.2, характеризующей
подгруппы группы S(k).
Лемма 9.2. Группа изоморфна подгруппе группы S(k), если и
только если у нее есть такой набор из т^к подгрупп, что 1) пересечение
подгрупп не содержит нормальных делителей группы, отличных от
тривиального; 2) сумма индексов всех подгрупп не превосходит к.
Доказательство. Пусть G является подгруппой группы S(k).
Рассмотрим представление группы G как некоторой подгруппы
перестановок множества М, содержащего к элементов. Пусть под действием
группы G множество М распадается на т орбит. Выберем в каждой
орбите по точке х*. Набор стационарных подгрупп G* точек х{
удовлетворяет условиям леммы.
Обратно, пусть группа G обладает набором подгрупп,
удовлетворяющим условиям леммы. Обозначим через Р объединение множеств
Pi = {Р^} —множеств правых классов смежности Р/ группы G по
подгруппе Gi. Группа G обладает естественным действием на множестве Р.
Возникающее представление группы G в группу S(P) точное, так как
ядро этого представления лежит в пересечении подгрупп Gi. Группа
S(P) вкладывается в группу S(k), так как число точек в множестве Р
равно сумме индексов подгрупп Gi. □
Следствие 9.3. Факторгруппа подгруппы симметрической группы
S(k) изоморфна подгруппе симметрической группы S(k).
Доказательство. Пусть группа G изоморфна подгруппе
группы S(k) и Gi — набор ее подгрупп, удовлетворяющих условию леммы.
Пусть тс — произвольный гомоморфизм группы G. Тогда совокупность
подгрупп tc(Gj) в группе tc(G) тоже удовлетворяет условиям леммы. □
Скажем, что нормальный делитель Н в группе G имеет глубину,
не превосходящую /с, если в группе G существует такая подгруппа G0
индекса, не превосходящего к, что Н является пересечением всех
подгрупп, сопряженных с G0.
Будем говорить, что группа имеет глубину, не превосходящую к,
если ее единичный нормальный делитель имеет глубину не
превосходящую к.
Нормальной башней группы G называется вложенная цепочка
подгрупп G = G0D .. . Э Gn = {e}, в которой каждая следующая группа
является нормальным делителем в предыдущей группе.
Следствие 9.4. Если группа G является подгруппой группы S(k),
то у группы G существует вложенная цепочка подгрупп G = G0 D
D Gi D ... D Gn = {e}, в которой группа Gn тривиальна, а для каждого
г = 0, 1, ...,n — 1 группа Gi+i является нормальным делителем
группы Gi глубины, не превосходящей к.
39

Доказательство. Пусть Gi — совокупность подгрупп в
группе G, удовлетворяющих условиям леммы. Обозначим через F{
нормальный делитель группы G, равный пересечению всех подгрупп,
сопряженных группе G*. Цепочка подгрупп Г0 = F0, Гх = F0 П Fx, ...,
Гт = F0 П Fx П ... П Fm удовлетворяет требованиям следствия. □
Лемма 9.5. Группа G является к-разрешимой группой, если и
только если у нее существует нормальная башня подгрупп G = G0D
D Gi D .. .DGn = {е}, в которой для каждого г, О < г ^ п, либо
нормальный делитель Gi имеет в группе Gj_i глубину, не превосходящую к,
либо факторгруппа Gi_ i/Г; коммутативна.
Доказательство. 1. Пусть у группы G есть нормальная башня
G = G0 Э Gi Э ... Э Gn = {е}, удовлетворяющая условиям леммы. Если
для некоторого г нормальный делитель Gi в группе G;_i имеет
глубину не превосходящую /с, то у группы G^-i/Gi есть такая цепочка
подгрупп Gi-i/Gi = Г0 D ... D Гт = {е}, что индекс каждой
следующей подгруппы в предыдущей не превосходит к. Для каждого такого
номера г между группами Gj_i и G* вставим цепочку подгрупп Gj_i =
= 1\_1,0Э. ..Dl\_1>m = Gi? где ri_iJ=Tc~_11(rj) и Тсг-i: G^-i —^Gi-i/G,—
гомоморфизм факторизации. Мы получим цепочку подгрупп группы G,
удовлетворяющую определению /^-разрешимой группы.
2. Пусть группа G является А> разрешимой hG = G0dGiD...D Gn =
= {е} — цепочка подгрупп, удовлетворяющая условиям,
перечисленным в определении /^-разрешимой группы. Мы будем последовательно
уменьшать подгруппы в цепочке. Пусть г — первый номер, для
которого группа Gi не является нормальным делителем в группе Gj_i, a
является подгруппой индекса г в этой группе. В этом случае у
группы Gj_i есть нормальный делитель if, лежащий в подгруппе Gi и
такой, что группа Gi-i/H изоморфна подгруппе группы S(k).
Действительно, в качестве Н достаточно взять пересечение всех подгрупп в
группе Gj_i, сопряженных с группой G». Изменим цепочку подгрупп
G = G0D Gi D ... Э Gn = {e} следующим образом: подгруппы с
номерами, меньшими чем г, оставим без изменения. Каждую подгруппу Gj,
г ^ j, заменим на группу Gj П Н. Применим ту же процедуру к
полученной цепочке подгрупп, и т. д. В результате мы получим нормальную
башню подгрупп, удовлетворяющую условиям леммы. □
Теорема 9.6. 1. Подгруппа и факторгруппа k-разрешимой группы
являются к-разрешимыми группами.
2. Если группа имеет к-разрешимый нормальный делитель,
факторгруппа по которому к-разрешима, то группа тоже к-разрешима.
Доказательство. Единственное неочевидное утверждение
теоремы—это утверждение о факторгруппе. Оно вытекает из леммы 9.5. □
40

1.9.2. Разрешимость в fc-радикалах. Мы ограничимся случаем
полей нулевой характеристики.
Теорема 9.7 (критерий разрешимости уравнений в /с-радикалах).
Алгебраическое уравнение над полем нулевой характеристики
решается в k-радикалах, если и только если его группа Галуа к-разре-
шима.
Доказательство. 1. Пусть уравнение решается в /с-радикалах.
Нам надо показать, что группа Галуа уравнения ^-разрешима. Это
доказывается в точности так лее, как разрешимость группы Галуа
уравнения, решаемого в радикалах.
Пусть К = К0 С К\ С ... С Кп — цепочка полей, связанная с
решением уравнения в /с-радикалах, и G0D ... Э Gn — цепочка групп Галуа
уравнения над этими полями. Поле Кп по условию содержит все корни
уравнения, поэтому группа Gn тривиальна и, следовательно, является
/^-разрешимой. Предположим, что группа Gi+i является /^-разрешимой.
Надо доказать, что группа G» тоже ^-разрешима.
Если поле Ki+1 получается из поля Kt присоединением радикала,
то группа Галуа поля Ki+i над полем Кг разрешима и, следовательно,
/^-разрешима.
Если поле Ki+i получается из поля Кг присоединением всех корней
уравнения степени не выше к, то группа Галуа поля Ki+i над полем
Кг — подгруппа группы S(k) (утверждение 9.1) и, следовательно, А>раз-
решима.
Согласно теореме 1.2 группа Gi+i является нормальной
подгруппой в группе Gi, причем, факторгруппа Gi/Gi+i является одновременно
факторгруппой группы Галуа поля Ki+i над полем Кг. Группа Gi+i
является /^-разрешимой по предположению. Группа Галуа поля Ki+\ над
полем Кг, как мы только что показали, ^-разрешима. Воспользовавшись
теоремой 9.6, получаем, что группа G* является /^-разрешимой.
2. Пусть группа Галуа G алгебраического уравнения над полем К
является /^-разрешимой. Обозначим через К поле, полученное из поля К
присоединением всех корней из единицы. Группа Галуа G
алгебраического уравнения над большим полем К является подгруппой группы G.
Поэтому группа Галуа G является /^-разрешимой. Обозначим через Р
поле, полученное из поля К присоединением всех корней
алгебраического уравнения. Группа G действует на поле Р с полем инвариантов К.
Согласно теореме 4.1 каждый элемент поля Р выражается через
элементы поля К при помощи радикалов, арифметических операций и
решения алгебраических уравнений степени не выше к. По
определению поля К каждый элемент этого поля выражается через корни из
единицы и элементы поля К. Теорема доказана. □
41

1.9.3. Неразрешимость общего уравнения степени к + 1 > 4
в fc-радикалах. Пусть К — поле нулевой характеристики. Общее
алгебраическое уравнение степени к с коэффициентами из поля К — это
уравнение
хк + аххк~1 + ... + ак = О, F)
коэффициенты которого — «достаточно общие элементы» из поля К.
Существуют ли формулы, включающие радикалы (Аг-радикалы) и
переменные ах, ...,afc, которые при подстановке вместо переменных
конкретных элементов aj, ..., a£ поля К дают решения уравнения
хк+а°1хк-1 + ... + аок=0?
Этот вопрос можно формализовать так. Общее алгебраическое
уравнение можно рассматривать как уравнение над полем K{di, ..., ак}
рациональных функций от к независимых переменных аи ..., ак с
коэффициентами в поле К (при таком рассмотрении
коэффициенты уравнения F) — элементы ах, ..., ак поля K{ai, ..., ак}). Теперь
можно задаться вопросом о разрешимости уравнения F) над полем
K{cii, ..., ак} в радикалах (или в /с-радикалах).
Вычислим группу Галуа уравнения F) над полем K{di, ..., ак}.
Рассмотрим еще один экземпляр К{хх, ..., хк} поля рациональных
функций от к переменных, наделенного группой автоморфизмов S(k),
действующей перестановками переменных хх, ..., хк. Поле
инвариантов Ks{x\, ..., хк} состоит из симметрических рациональных функций.
По теореме о симметрических функциях это поле изоморфно полю
рациональных функций от переменных аг = хг 4-... 4- xfc, ..., ак = хх... хк.
Поэтому отображение F(a,i) = — о1? ..., F(ak) = (—1)кок продолжается
до изоморфизма F: К{аг, ..., ак} —> Ks{xi, ..., хк}. Отождествим
поля K{di, ..., ак} и Ks{xi, ..., хк} с помощью изоморфизма F. Из
сопоставления формул Виета и формул для отображения F видно, что
при таком отождествлении переменные хх, ..., хк становятся
корнями уравнения F), поле К{хг, ..., хк} становится полем, полученным
присоединением к K{ai, ..., ак} всех корней уравнения F), группа
автоморфизмов S(k) становится группой Галуа уравнения F). Итак мы
доказали следующее утверждение.
Утверждение 9.8. Группа Галуа уравнения F) над полем К{ах, ...
... , ак} изоморфна группе перестановок S(k).
Теорема 9.9. Общее алгебраическое уравнение степени к 4-1 > 4 не
решается при помощи радикалов и решения вспомогательных
алгебраических уравнений степени не выше к.
Доказательство. Группа S(k 4-1) имеет следующую
нормальную башню подгрупп: {е} С А(к 4-1) С S(k 4- 1), где А(к 4-1) —
знакопеременная группа. При к 4- 1 > 4 группа А (к 4- 1) — простая группа.
42

Группа А(к +1) не является подгруппой группы S(k), так как в группе
А(к +1) больше элементов, чем в группе S(k). Поэтому при к 4- 1 > 4
группа S(k 4-1) не является /^-разрешимой группой. Для завершения
доказательства осталось сослаться на теорему 9.7. □
В качестве следствия получаем такую теорему.
Теорема 9.10 (Абель). Общее алгебраическое уравнение степени
выше 4 не решается в радикалах.
Замечание. Абель доказал свою теорему другим способом еще до
возникновения теории Галуа. Его подход был развит Лиувиллем. Метод
Л иу вил ля позволяет, например, доказывать, что многие элементарные
интегралы не берутся в элементарных функциях.
Арнольд доказал топологически, что общее алгебраическое
уравнение степени выше 4 над полем рациональных функций одной
комплексной переменной не решается в радикалах (см. [2]). Я построил
топологический вариант теории Галуа, позволяющий доказать, что
общее алгебраическое уравнение степени к > 4 над полем рациональных
функций от нескольких комплексных переменных нельзя решить,
используя все элементарные функции и мероморфные функции от многих
переменных, суперпозиции, арифметические операции, интегрирование
и решение алгебраических уравнений степени меньше, чем к (см. [3]).
§1.10. Неразрешимость сложных уравнений при помощи
более простых уравнений
Молено ли решить заданное сложное алгебраическое уравнение,
используя в качестве допустимых операций решения других, более
простых, алгебраических уравнений? Мы рассмотрели два точно
поставленных вопроса такого рода: вопрос о разрешимости уравнений в
радикалах (в котором более простые уравнения — это уравнения хп — а = 0)
и вопрос о разрешимости уравнений в А>радикалах (в котором более
простые уравнения — это уравнения хп — а = 0 и любые алгебраические
уравнения степени не выше к). В этом параграфе рассматривается
общий вопрос о разрешимости сложных алгебраических уравнений при
помощи более простых уравнений. В п. 1.10.1 приводится постановка
задачи о ^-разрешимости уравнений и доказывается необходимое
условие ее разрешимости. В п. 1.10.2 обсуждаются классы групп, связанные
с задачей ^-разрешимости уравнений.
1.10.1. Необходимое условие разрешимости. Пусть В
—некоторая совокупность алгебраических уравнений. Алгебраическое
уравнение, определенное над полем К, автоматически определено и над любым
большим полем Кх, К СКХ. Мы считаем, что совокупность алгебраи-
43

ческих уравнений В вместе с каждым уравнением, определенным над
полем К, содержит то же самое уравнение, рассматриваемое как
уравнение, определенное над любым большим полем К С Кх.
Определение. Алгебраическое уравнение над полем К
называется разрешимым при помощи уравнений из совокупности В или,
короче, В-разрешимым, если существует такая последовательность полей
К = К0 С К\ С ... С Кп, что все корни уравнения лежат в поле Кп и
для каждого г = О, ..., п — 1 поле Ki+i получается из поля Кг
присоединением всех корней некоторого алгебраического уравнения из
совокупности В, определенного над полем К{.
Является ли заданное алгебраическое уравнение ^-разрешимым?
Теория Галуа доставляет необходимое условие для ^-разрешимости
уравнений. В настоящем пункте мы обсудим это условие.
Сопоставим совокупности уравнений В множество G(B) групп Галуа
этих уравнений.
Утверждение 10.1* Множество конечных групп G(B) с каждой
группой содержит все ее подгруппы.
Доказательство. Пусть некоторое уравнение, определенное над
полем К, принадлежит совокупности уравнений В. Пусть Р — поле,
полученное присоединением к полю К всех корней этого уравнения, G —
группа Галуа поля Р над полем К и G\ С G — подгруппа группы G.
Обозначим через К\ промежуточное поле, соответствующее подгруппе G\.
Группа Галуа рассматриваемого уравнения над полем Кг совпадает с
подгруппой G\. По условию совокупность уравнений В вместе со
всяким уравнением, определенным над полем К, содержит то же самое
уравнение над большим полем К\. □
Теорема 10.2 (необходимое условие ^-разрешимости). Если
алгебраическое уравнение над полем К является В-разрешимым, то у его
группы Галуа G существует нормальная башня подгрупп G = G0D
D Gi D ... D G\ = {e}, каждая факторгруппа Gi/Gi+i относительно
которой является факторгруппой одной из групп G(B).
Доказательство. Действительно, В-разрешимость уравнения
над полем К означает существование цепочки расширений К = К0 С
С К\... С Кп, в которой поле Ki+i получается из поля Кг
присоединением всех решений некоторого уравнения из совокупности В, а последнее
поле Кп содержит все корни исходного алгебраического уравнения.
Пусть G = G0D ... Э Gn = {e} — цепочка групп Галуа исходного
уравнения над этой цепочкой полей. Покажем, что полученная цепочка
подгрупп Gi удовлетворяет требованиям теоремы. Действительно,
согласно теореме 7.8 группа Gi+i является нормальной подгруппой в
группе Gi, причем факторгруппа Gi/Gi+i является одновременно фак-
44

торгруппой группы Галуа поля Ki+1 над полем Kt. Так как поле Ki+i
получается из поля К{ присоединением всех корней алгебраического
уравнения из совокупности В, группа Галуа поля Ki+i над полем К{
принадлежит множеству G(B). □
1.10.2. Классы конечных групп. Пусть М — некоторое
множество конечных групп.
Определение. Пополнением /С(М) множества групп М назовем
минимальный класс конечных групп, содержащий все группы из М и
обладающий следующими свойствами:
1) класс /С(М) вместе с каждой группой содержит все ее подгруппы;
2) класс /С(М) вместе с каждой группой содержит все ее
факторгруппы;
3) если у группы G есть такой нормальный делитель Я, что
группы Н и G/H принадлежат классу /С(М), то группа G принадлежит
классу /С(М).
Доказанная выше теорема делает актуальной следующую задачу:
для заданного множества М конечных групп описать его пополнение
/С(М). Напомним теорему Жордана—Гёльдера. Нормальная башня G =
= G0 D •. • Э Gn = {e} группы G, называется неуплотняемой, если все
факторгруппы Gi/Gi+i относительно этой башни являются простыми
группами. Теорема Жордана—Гёльдера утверждает, что для всякой
конечной группы G множество факторгрупп Gi/Gi+i относительно
любой неуплотняемой нормальной башни группы G не зависит от выбора
неуплотняемой башни (и, следовательно, определено инвариантно).
Утверждение 10.3. Группа G принадлежит классу /С(М), если и
только если каждая факторгруппа Gi/Gi+i относительно
неуплотняемой нормальной башни группы G является факторгруппой подгруппы
некоторой группы из множества М.
Доказательство. Во-первых, по определению класса /С(М)
каждая группа G, удовлетворяющая условиям утверждения, лежит
в классе /С(М). Во-вторых, несложно проверить, что группы G,
удовлетворяющие условиям утверждения, обладают свойствами 1—3 из
определения пополнения множества групп М. □
Следствие 10.4. 1. Пополнением множества всех конечных абе-
левых групп является класс всех конечных разрешимых групп.
2. Пополнением множества групп, содержащего группу S(k) и все
конечные абелевы группы, является класс всех конечных к-разрешимых
групп.
Замечание. Необходимые условия разрешимости алгебраических
уравнений в радикалах и в А>радикалах являются частными случаями
теоремы 9.9.
45

§1.11. Конечные поля
В этом параграфе приводится классификация конечных полей. Из
классификации видно, что основная теорема теории Галуа справедлива
и для конечных полей. При доказательстве ряда теорем теории Галуа
мы предполагали, что поле коэффициентов бесконечно (в утверждении
2.1, на которое опирались многие конструкции, существенна
бесконечность поля). Этот параграф практически независим от остальных. Мы
используем лишь свойства группы корней из единицы, лежащих в
заданном поле (утверждение 8.2), и алгебраичность элемента над полем
инвариантов при действии конечной группы автоморфизмов
(утверждение 3.2).
Всякое поле Р является векторным пространством над любым
своим подполем К. Конечное поле Р является конечномерным векторным
пространством над любым своим подполем К.
Лемма 11.1. Пусть размерность конечного поля Р над своим
подполем К равна к, и пусть поле К содержит q элементов. Тогда поле Р
содержит qk элементов.
Доказательство. Каждый элемент а поля Р однозначно
представим в виде а = Xiei 4-... + Xfcefc, где ех, ..., ек —базис поля Р над К
и Хь ..., Xfc € В. □
Следствие 11.2. 1. Пусть характеристика конечного поля Р
равна р. Тогда поле Р имеет рк элементов, где к — натуральное число.
2. Пусть поле К является подполем поля Р, имеющего рк
элементов. Тогда число элементов в поле К равнорт, где т —делитель
числа к, к = ml, I € Z.
Доказательство. Аддитивная подгруппа в поле Р, натянутая
на единицу поля, является подполем, изоморфным полю Z/pZ, где р —
характеристика поля Р. По лемме 11.1 поле Р содержит рк элементов.
Аналогично подполе К С Р содержит рт элементов (здесь кит —
размерности пространств Р и К над полем Z/pZ). По лемме 11.1 число рк
является целой степенью числа рт. Поэтому т—делитель числа к. □
Лемма 11.3. Пусть число элементов конечного поля Р равно q.
Тогда любой ненулевой элемент а поля Р удовлетворяет
соотношению aq~1 = 1. Для каждого элемента а поля Р справедливо тождество
aq = a.
Доказательство. Мультипликативная группа Р* С Р
ненулевых элементов поля Р имеет порядок q — 1. Порядок группы делит
порядок любого ее элемента, откуда и вытекает соотношение а9-1 = 1.
Умножая это соотношение на а, получим тождество aq = а,
справедливое и для нулевого элемента. □
46

Теорема 11.4. Для всякого натурального числа к и простого
числа р существует единственное конечное поле Р, содержащее рк
элементов. Характеристика этого поля равна р. Мультипликативная
группа Р* ненулевых элементов поля Р является циклической
группой. Для каждого делителя т числа к в поле Р существует
единственное подполе К, содержащее р™ элементов. Это подполе
является полем инвариантов относительно т-й степени автоморфизма
Фробениуса. Никаких других подполей поле Р не имеет.
Доказательство. Как мы показали выше, поле, содержащее
рк элементов, должно содержать поле Z/pZ и все корни уравнения
к ""
хр — х = О над этим полем. Рассмотрим поле Р, полученное
присоединением к полю Z/pZ всех корней уравнения хр — х = О (т. е. Р —
поле разложения полинома хр — х = О над полем Z/pZ). Поле Р имеет
характеристику р. Поэтому отображение Фробениуса F: Р—>Р,
переводящее каждый элемент а поля Р в его р-ю степень, F(a) = ap, является
автоморфизмом поля Р. Множество элементов поля, инвариантных
относительно к-й степени автомофизма Фробениуса F, является полем.
Элементы поля, инвариантные относительно Fk,— это решения урав-
к "" к
нения хр =х. Итак, в поле Р все решения уравнения хр = х над полем
Z/pZ образуют подполе. По определению поля Р это подполе
совпадает с полем Р. Из доказанного вытекает, что поле из рк элементов
существует и единственно — это поле Р (т. е. поле разложения полинома
хр = х над полем Z/pZ).
Каждая конечная подгруппа корней из единицы в любом поле
является циклической группой (утверждение 8.2). Поэтому группа Р*
циклическая. Обозначим через а любую образующую группы Р*.
По следствию 11.2 подполе К поля Р должно содержать q = prn
элементов, где рк = ql и / — натуральное число. Образующая а группы Р*
имеет порядок ql — 1. Число ql — 1 делится на число q — 1. Действительно,
ql — 1 = (q — 1)п, где п = ql~l 4-... 4-1. Положим b = ап. Элемент Ь
имеет порядок q — 1. Элементы 1, 6, ..., bq~2 и точка 0 являются корнями
уравнения xq = х. Эти элементы образуют подполе К С Р, содержащее q
элементов. Обратно, элементы любого подло ля, содержащего q
элементов, должны удовлетворять уравнению xq = х.
Мы перечислили все подполя в поле Р. □
Перечислим все автоморфизмы конечного поля Р.
Теорема 11.5. Существует ровно к различных автоморфизмов
конечного поля Р, содержащего рк элементов. Это тождественный
автоморфизм Id и степени автоморфизма Фробениуса F, F2, ..., Ffc_1
(автоморфизм Fk совпадает с автоморфизмом Id).
47

Доказательство. Каждый автоморфизм поля Р оставляет на
месте 0 и 1. Поэтому каждый автоморфизм поля Р оставляет на месте
подполе Z/pZ. Циклическая группа G автоморфизмов поля Р,
порожденная автоморфизмом F, содержит к элементов. Рассмотрим поле
инвариантов относительно действия группы G. Оно состоит из всех
решений уравнения хр = х и поэтому совпадает с полем Z/pZ. Пусть а —
образующая циклической группы Р*. Так как группа G содержит к
элементов, образующая а (как и любой другой элемент поля Р)
удовлетворяет полиномиальному уравнению степени не выше чем к над
полем Z/pZ (утверждение 3.2). Образ элемента а под действием
автоморфизма полностью определяет автоморфизм, так как любой элемент
из Р* — степень элемента а. Поэтому есть не более чем к различных
автоморфизмов поля Р. Мы знаем к автоморфизмов поля Р — это степени
автоморфизма F. Значит, никаких других автоморфизмов у поля Р не
существует. □
Следствие 11.6. Различные подполя поля Р находятся во
взаимно однозначном соответствии с подгруппами группы G, порожденной
автоморфизмом F.
Доказательство. Каждая подгруппа группы G — циклическая
группа, порожденная элементом Рт, где га — делитель числа к. Эта
подгруппа оставляет неподвижным подполе К, содержащее рт
элементов. □
Пусть поле К имеет q = р1 элементов, а поле Р имеет qk элементов и
содержит поле К. Обозначим через G группу автоморфизмов поля Р,
порожденную 1-й степенью автоморфизма Фробениуса F.
Следствие 11.7. Поле К является полем инвариантов группы G.
Различные подполя поля Р, содержащие поле К, находятся во
взаимно однозначном соответствии с подгруппами группы G, порожденной
автоморфизмом F = F1.
Доказательство. Каждая подгруппа группы G — циклическая
группа, порожденная элементом Рт, где т—делитель числа к. Эта
подгруппа оставляет неподвижным промежуточное поле, содержащее qm
элементов. □
48

Глава 2
Накрытия
Эта глава посвящена накрытиям. Существует удивительная
аналогия между классификацией накрытий над связным, локально связным
и локально односвязным топологическим пространством и теорией Га-
луа. Мы сформулируем результаты классификации накрытий таким
образом, чтобы стала очевидной формальная аналогия этих результатов
с теорией Галуа.
Есть целый ряд близких задач о классификации накрытий. Кроме
обычной классификации есть классификация накрытий с отмеченными
точками. Молено фиксировать нормальное накрытие и
классифицировать накрытия (и накрытия с отмеченными точками), подчиненные
этому нормальному накрытию. Для наших целей необходимо
рассматривать разветвленные накрытия над римановыми поверхностями и
решать аналогичные классификационные задачи для разветвленных
накрытий и т. д.
В §2.1 рассматриваются накрытия над топологическими
пространствами. Мы подробно обсуждаем классификацию накрытий с
отмеченными точками над связным, локально связным и локально односвязным
топологическим пространством. Остальные классификационные задачи
легко сводятся к этой классификации.
В § 2.2 рассматриваются конечнолистные разветвленные накрытия
над римановыми поверхностями. Разветвленные накрытия сначала
определяются как собственные отображения вещественных
многообразий в риманову поверхность, имеющие особенности, характерные для
комплексных аналитических отображений. Затем показывается, что
разветвленные накрытия имеют естественную аналитическую
структуру.
Обсуждается операция пополнения накрытий над римановой
поверхностью X, из которой удалено дискретное множество О. Эта
операция одинаково применима как к накрытиям, так и к накрытиям
с отмеченными точками. В результате ее применения из конечнолист-
ного накрытия над X \ О получается разветвленное конечнолистное
накрытие над X.
49

Классификация конечнолистных разветвленных накрытий с
фиксированным множеством ветвления почти дословно повторяет
аналогичную классификацию неразветвленных накрытий. Поэтому мы
ограничиваемся лишь формулировками результатов.
Для сравнения основной теоремы теории Галуа и классификации
разветвленных накрытий полезен следующий факт. Множество орбит
действия конечной группы на одномерном комплексном аналитическом
многообразии имеет естественную структуру комплексного
аналитического многообразия. В доказательстве используется резольвента Ла-
гранжа (в теории Галуа резольвенты Лагранжа используются для
доказательства разрешимости в радикалах уравнений с разрешимой группой
Галуа).
В конце второй главы операция пополнения накрытий применяется
для определения римановой поверхности неприводимого
алгебраического уравнения над полем К{Х) мероморфных функций на
многообразии X.
§2.1. Накрытия над топологическими пространствами
Этот параграф посвящен накрытиям над связным, локально
связным и локально односвязным топологическим пространством. Есть
целый ряд близких задач о классификации накрытий. Мы подробно
обсуждаем классификацию накрытий с отмеченными точками. Остальные
классификационные задачи легко сводятся к этой классификации.
В п. 2.1.1 мы напоминаем теорему о накрывающей гомотопии.
В п. 2.1.2 доказывается теорема о классификации накрытий с
отмеченными точками. В п. 2.1.3 обсуждается соответствие между
подгруппами фундаментальной группы и накрытиями с отмеченными точками.
В п. 2.1.4 обсуждаются другие классификации накрытий и формальная
связь этих классификаций с теорией Галуа.
Этот параграф можно читать независимо от остальной брошюры.
2.1.1. Накрытия и накрывающая гомотопия. Непрерывные
отображения /х и /2 топологических пространств Yx и У2 в
топологическое пространство X называются левоэквивалентными, если
существует гомеоморфизм h: Yx —> У2, коммутирующий с
отображениями /i ¥и /2, т.е. такой, что Л = /2 о h. Топологическое пространство Y
вместе с проекцией f:Y—>X называется накрытием со слоем D над
топологическим пространством X, где D— дискретное множество, если
у каждой точки с€ X существует такая окрестность £/, что отображение
проекции произведения U x D на первый сомножитель левоэквивалент-
50

но отображению /: Yu—>U, где Yu=f~1(U). Для накрытий справедлива
следующая теорема.
Теорема 1.1 (о накрывающей гомотопии). Пусть f:Y—>X
—накрытие, Wk — k-мерный клеточный комплекс и F: Wk —> X, F: Wk —>
—> Y — такие его отображения вX uY, что tzoF = F. Тогда для всякой
гомотопии Ft: Wk x [0, 1] —> X отображения F, F0 = F, существует, и
притом единственное, ее поднятие до гомотопии Ft: Wk x [0, 1] —> Y,
ic(Ft) = Ft, отображения F, F0 = F.
Теорема о накрывающей гомотопии нам будет нужна в двух случаях:
когда Wk— точка и когда VKfc—отрезок [0, 1]. Напомним, как
доказывается теорема о накрывающей гомотопии в первом из этих случаев.
Доказательство во втором случае аналогично, и мы не будем на нем
останавливаться. Сформулируем первый случай отдельно.
Лемма 1.2. Для каждой кривой у: [0, 1] —> X, у@) = а, и каждой
точки b E.Y, проектирующейся в начальную точку кривой, f(b) = a,
существует, и притом единственная, такая кривая у: [0, 1] —> Y, что
у@) = Ь и f oy = y.
Доказательство. Если Y есть прямое произведение Y = X x D,
то лемма очевидна. Рассмотрим кривую у: [0, 1] —> X. Скажем, что
сегмент, принадлежащий отрезку [0, 1], достаточно мал относительно у,
если его образ при отображении у лежит в окрестности пространства X,
над которой накрытие является прямым произведением. В силу
компактности кривой существует разбиение отрезка [0, 1] на более мелкие
отрезки (пересекающиеся по своим концам), достаточно малые
относительно у. Поднимем на Y кусок кривой над первым из этих сегментов
[О, ai], т.е. построим кривую у: [0, аг] —> У, у@) = 6, /оу = у. Затем
поднимем на Y кривую над следующим сегментом [аг, а2], используя
уже найденную точку Ьг =у(ах). Продолжая этот процесс, мы
поднимем на Y всю кривую у. Единственность поднятия кривой очевидна:
множество точек сегмента [0, 1], на которых два поднятия совпадают,
во-первых, непусто, так как по условию каждое из поднятий начинается
в точке b € Y, во-вторых, открыто, так как локально Y является прямым
произведением открытого множества в пространстве X на дискретное
множество, в-третьих, замкнуто, так как кривые непрерывны. Поэтому
два поднятия совпадают на всем отрезке [0, 1]. □
Определим нормальные накрытия и группу преобразований
наложения, играющие центральную роль в этой главе.
Рассмотрим накрытие /: Y —> X. Гомеоморфизм h: Y —>Y
называется преобразованием наложения этого накрытия, если выполняется
равенство / = / о ft. Преобразования наложения образуют группу.
Накрытие называется нормальным, если его группа преобразований нало-
51

жения транзитивно действует на каждом слое /_1(а), а € X, накрытия
и выполняются следующие топологические условия на пространства X
и Y: пространство Y связно, пространство X локально связно и
локально односвязно.
2.1.2. Классификация накрытий с отмеченными точками.
Тройка /: (Y, Ь) —> (X, а), состоящая из пространств с отмеченными
точками (X, a), (Y, Ь) и отображения /, называется накрытием с
отмеченными точками, если /: Y —> X — накрытие и f(b) = а. Накрытия
с отмеченными точками называются эквивалентными, если
существует гомеоморфизм между накрывающими пространствами,
коммутирующий с проекциями и переводящий отмеченные точки в отмеченные.
Обычно из обозначений видно, идет речь о накрытиях или о
накрытиях с отмеченными точками. В таких случаях мы для краткости иногда
будем говорить о накрытиях, опуская слова «с отмеченными точками».
Для накрытия с отмеченными точками /: (Y, Ь) —> (X, а) определен
гомоморфизм /*: tci(Y, b) —> пг(Х, а) фундаментальной группы kx(Y, b)
пространства Y с отмеченной точкой b в фундаментальную группу
тех (X, а) пространства X с отмеченной точкой а.
Лемма 1.3. Для накрытия с отмеченными точками
индуцированный гомоморфизм фундаментальных групп имеет ядра.
Доказательство. Пусть замкнутая кривая у: [0, 1] —> X, у @) =
= уA) = а, в пространстве X является образом / о у замкнутой кривой
у: [0, 1] —> Y, у@) =уA) = Ь, в пространстве Y. Пусть кривая у
гомотопна тождественной кривой в пространстве кривых с закрепленными
концами на X. Тогда кривая у гомотопна тождественной кривой в
пространстве кривых с закрепленными концами на Y. Для доказательства
достаточно поднять гомотопию с закрепленными концами на У. □
Для всякого связного, локально связного и локально односвязного
топологического пространства X с отмеченной точкой а справедлива
следующая теорема.
Теорема 1.4 (о классификации накрытий с отмеченными точками).
1. Для каждой подгруппы G в фундаментальной группе
пространства (X, а) существует связное пространство (У, Ь) и накрытие над
(X, а) с накрывающим пространством (Y, Ь), для которого образ
фундаментальной группы пространства (У, Ь) совпадает с подгруппой G.
2. Если для двух накрытий над (X, а) со связными
накрывающими пространствами (Yi, 6X) и (Y2, Ь2) образы фундаментальных групп
этих пространств в фундаментальной группе пространства (X, а)
совпадают, то два накрытия эквивалентны.
Доказательство. 1. Рассмотрим пространство &(Х, а) кривых
у: [0, 1] —> X на X, начинающихся в точке а, у @) = а € X, и его подпро-
52

странство Cl(X, а, ах), состоящее из кривых, заканчивающихся в
точке di. В пространствах £l(X, a), (l(X, а, ах) введем топологию
равномерной сходимости и следующее соотношение эквивалентности.
Скажем, что кривые Yi и у2 эквивалентны, если они заканчиваются в
одной и той же точке ах и если кривая у1 гомотопна кривой у2 в
пространстве (l(X, a, di) кривых с закрепленными концами. Обозначим
через П(Х, а) и П(Х, а, аг) факторпространства пространств £1(Х, а)
и Cl(X, a, aj по этому соотношению эквивалентности. На
пространстве П(Х, а) действует фундаментальная группа тс^Х, а) при помощи
умножений справа. Для фиксированной группы G С тсх (X, а)
обозначим через ClG(X, а) пространство орбит действия группы G на П(Х, а).
Точки в S7G(X, а) —это элементы пространства Cl(X, а, ах), заданные с
точностью до гомотопии с закрепленными концами и умножения
справа на элементы подгруппы G. В этом пространстве есть отмеченная
точка а —класс эквивалентности постоянной кривой y(t) = a.
Отображение /: (ftG(X, а), а) —> (X, а), сопоставляющее кривой ее правый
конец, является накрытием, обладающим требуемым свойством. Не будем
останавливаться на проверке этого факта. Отметим лишь, что
условия на пространство X необходимы для справедливости теоремы:
если пространство X несвязно, то отображение / не имеет прообразов
над компонентами его связности, не содержащими точку а, а если X
не является локально связным и локально односвязным, то
отображение /: (Q,g(X, а), а) —> (X, а) может не являться локальным
гомеоморфизмом.
2. Покажем, что накрытие /: (У, Ь) —> (X, а), такое, что /*тсх(У, Ь) =
= GC тсх(Х, а), левоэквивалентно накрытию, построенному по
подгруппе G в первой части доказательства теоремы. Сопоставим точке у 6 У
любой элемент из пространства кривых П(У, 6, у) на У, начинающихся
в точке 6, заканчивающихся в точке у € У и определенных с точностью
до гомотопии с закрепленными концами. Пусть ух, у2—две кривые из
пространства £2(У, 6, у) и у = (ух)-1 ° У 2 — кривая, составленная из
кривой у2 и из пройденной в обратном порядке кривой ух. Кривая у
начинается и заканчивается в точке 6, поэтому кривая / о у лежит в группе
G. Следовательно, образ / о у произвольной кривой у из пространства
П(У, 6, у) при проекции / является одной и той же точкой из
пространства ПС(Л', а) (т.е. кривой из пространства &(Х, а), определенной с
точностью до гомотопии с закрепленными концами и умножения
справа на элементы группы G). Итак, мы сопоставили точке у € У точку
пространства Hq(X, а). Легко проверить, что это сопоставление
задает левую эквивалентность накрытия /: (У, Ь) —> (X, а) со стандартным
накрытием, соответствующим подгруппе G = /*тсх(У, Ь). □
53

2.1.3. Накрытия с отмеченными точками и подгруппами
фундаментальной группы. Теорема 1.4 показывает, что накрытия с
отмеченной точкой над пространством X с отмеченной точкой а с
точностью до левой эквивалентности классифицируются подгруппами G
в фундаментальной группе тс^Х, а). Обсудим соответствие между
накрытиями с отмеченными точками и подгруппами фундаментальной
группы.
Пусть /: (У, Ь) —> (X, а) — накрытие, соответствующее подгруппе
G С тс^Х, а), и F = /_1 (а) —слой, лежащий над точкой а. Справедлива
следующая лемма.
Лемма 1.5. Слой F находится во взаимно однозначном
соответствии с правыми классами смежности группы tci(X, а) по
подгруппе G. Если точке с слоя F соответствует правый класс смежности h,
то накрытию /: (У, с) —> (X, а) с отмеченной точкой с
соответствует группа hGh~l.
Доказательство. На пространстве П(Х, а, а) замкнутых
кривых, начинающихся в точке а и определенных с точностью до гомотопии
с закрепленными концами, действует группа G при помощи
умножения справа. Согласно описанию накрытия, соответствующего группе G
(см. п. 1 доказательства теоремы 1.4), прообразы точки а для этого
накрытия—орбиты действия группы G на пространстве П(Х, а, а), т.е.
правые классы смежности группы тсх (X, а) по подгруппе G.
Пусть h: [0, 1] —> X, h@) = а, — кривая в пространстве X и h: [О, 1] —>
—> У, fh = h, — поднятие этой кривой на У, начинающееся в точке 6,
/г@) = 6, и заканчивающееся в точке с, h(l) = с. Пусть G\ С тс^Х, а) —
подгруппа, состоящая из кривых, поднятия которых на У,
начинающиеся в точке с, заканчиваются в той лее точке с. Легко проверяются
включения hGh~l CGX, h~1G1hCG, которые показывают, что GY =
= hGh-\ D
Будем говорить, что накрытие /2: (У2, Ь2) —* (X, а) подчинено
накрытию /i: (У1, 61) —> (X, а), если существует непрерывное отображение
h: (yl5 &i) —> (У2, 62), согласованное с проекциями /ь /2, т.е. такое, что
Л = /2 о й-
Лемма 1.6. Накрытие, соответствующее подгруппе G2,
подчинено накрытию, соответствующему подгруппе G\, если и только если
выполняется включение G2 Э Gi.
Доказательство. Пусть Ъ\{Х, а) Э G2 2Gi» и пусть /2: (У2, Ь2) —>
—> X — накрытие, соответствующее подгруппе G2 в Ki(X, а). По
лемме 1.3 группа G2 совпадает с фундаментальной группой 7ii(y2, 62)
пространства У2. Пусть g: (Ух, &i) —> (У2, 62) —накрытие, соответствующее
подгруппе Gi в фундаментальной группе 7ii(y2, 62) = G2. Отображение
54

/2 og: (Уь 6i) —> (X, а) задает накрытие над (X, а), соответствующее
подгруппе Gi С Ki(X, а). Поэтому накрытие /2 og: (У2, Ы —»(^> а)
можно отождествить с накрытием fY: (У1? 6Х) —> (X, а). Мы доказали
лемму в одну сторону. В противоположную сторону она проверяется
аналогично. □
Рассмотрим накрытие /: У —>Х, для которого У связно, а X
локально связно и локально односвязно. Пусть для некоторой точки а € X
накрытие обладает следующим свойством: для любого выбора
прообразов бис точки а накрытия с отмеченными точками /: (У, Ь) —> (X, а)
и /: (Y, с) —> (X, а) эквивалентны. Тогда 1) накрытие обладает этим
свойством для любой точки а € X, 2) накрытие f:Y—>X нормально.
Обратно, если накрытие нормально, то для любой точки а € X оно
обладает этим свойством. Это утверждение непосредственно вытекает из
определения нормального накрытия.
Лемма 1.7. Накрытие является нормальным, если и только если
оно соответствует некоторому нормальному делителю Н в
фундаментальной группе Ki(X, а). Для этого нормального накрытия группа
гомеоморфизмов наложения изоморфна факторгруппе Ki(X, а)/Н.
Доказательство. Пусть накрытие /: (У, Ь) —> (X, а),
соответствующее подгруппе GCki(X, а), нормально. Тогда для любого
прообраза с точки а это накрытие левоэквивалентно накрытию /: (У, с) —>
—> (X, а). Согласно лемме 1.5 это означает, что группа G совпадает с
любой своей сопряженной подгруппой. Следовательно, группа G
является нормальным делителем в фундаментальной группе. Аналогично
проверяется, что если G — нормальный делитель в фундаментальной
группе, то соответствующее этой группе накрытие нормально.
Гомеоморфизм наложения, переводящий точку b в точку с,
единствен. Действительно, множество, на котором совпадают два таких
гомеоморфизма, во-первых, открыто (так как / — локальный
гомоморфизм), во-вторых, замкнуто (так как гомоморфизмы непрерывны) и,
в-третьих, не пусто (так как содержит точку 6). Так как пространство У
связно, это множество совпадает с У.
Фундаментальная группа тсх (X, а) действует правыми умножениями
на пространстве П(Х, а). Для всякого нормального делителя Н это
действие индуцирует действие на классах эквивалентности ПН(Х, а) (класс
эквивалентности П(Х, а)Н при умножении на элемент gEKi(X, a)
переходит в класс эквивалентности П(Х, a)Hg = Q,(X, a)gH).
Действие фундаментальной группы на Q,H(X, а) согласовано с проекцией
/: ПН(Х, а) —> (X, а), сопоставляющей каждой кривой ее конец.
Поэтому фундаментальная группа tci(X, а) действует на пространстве У
нормального накрытия /: (У, Ь) —> (X, а) гомоморфизмами наложения.
55

Для накрытия, соответствующего нормальному делителю #, ядром
этого действия является группа Н, т.е. на пространстве такого
накрытия эффективно действует факторгруппа Ki(X, a)/H. Действием
факторгруппы можно перевести точку Ь в любой прообраз с точки а.
Поэтому не существует никаких других гомоморфизмов наложения
h:Y—>Y кроме гомоморфизмов действия факторгруппы кг(Х, а)/Н.
Лемма доказана. □
На слое F = f~1(a) накрытия /: (У, Ь) —> (X, а) действует
фундаментальная группа ^(Х, а). Определим это действие. Пусть у —
замкнутая кривая в пространстве X с началом и концом в точке а.
Для каждой точки с € F обозначим через ус такое поднятие кривой у
на У, что Ус@) = с. Отображение 5Y: F —> F, переводящее точку с
в точку усA) € F, является элементом группы S(F) взаимно
однозначных отображений множества F в себя. Отображение 5Y зависит
лишь от гомотопического класса кривой у, т. е. от элемента
фундаментальной группы тсх(Х, а), представленного кривой у. Гомоморфизм
5Y: tci(X, a) —> S(F) называется гомоморфизмом монодромии, а образ
фундаментальной группы в группе S(F) называется группой монодро-
мии накрытия /: (У, Ь) —> (X, а).
Пусть /: (У, Ь) —> (X, а) — накрытие, соответствующее подгруппе
G С тс^Х, a), F = f~l(а) —слой этого накрытия над точкой а и S(F) —
группа перестановок слоя F. Справедлива следующая лемма.
Лемма 1.8. Группа монодромии накрытия является
транзитивной подгруппой в группе S(F) и равна фактору группы tci(X, а) по
наименьшему нормальному делителю Н, содержащему группу G, т. е.
Н= П hGh~l.
heKi(X,a)
Доказательство. Группа монодромии транзитивна. Для
доказательства надо для всякой точки с€ F предъявить такую кривую у, что
Sy(b) = с. Возьмем произвольную кривую у в связном пространстве У,
соединяющую точку b с точкой с. В качестве кривой у достаточно взять
образ кривой у при проекции /.
Непосредственно из определений видно, что при действии
фундаментальной группы на слое F стационарной группой точки b G F
является группа G Спг(Х, а). Пусть h G тех(X, а) — элемент в
фундаментальной группе, переводящий точку b в точку с € F. Тогда
стационарная группа точки с равна hGh~l. Ядро гомоморфизма
монодромии Н является пересечением стационарных групп всех точек
слоя, т.е. Н = р| hGh~l. Пересечение всех групп hGh~l является
h£Ki(X,a)
наименьшим нормальным делителем, содержащим группу G. □
56

2.1.4. Накрытия и теория Галуа. В этом пункте обсуждается
аналогия между накрытиями и теорией Галуа. Сначала мы обсуждаем
обычную классификацию накрытий (не имеющих отмеченных точек).
Затем мы доказываем теорему о классификации накрытий и накрытий
с отмеченными точками, подчиненных заданному нормальному
накрытию. Эта теорема удивительно похожа на основную теорему теории
Галуа. Чтобы сделать эту аналогию более прозрачной, мы вводим понятие
промежуточных накрытий и переформулируем классификационную
теорему для промежуточных накрытий. В конце пункта приводится еще
одно описание промежуточных накрытий, непосредственно
связывающее такие накрытия с подгруппами группы наложения, действующей
на нормальном накрытии.
Перейдем теперь к накрытиям без отмеченных точек.
Классифицируем накрытия со связным накрывающим пространством над связным,
локально связным и локально односвязным пространством. Эта
классификация сводится к аналогичной классификации для накрытий с
отмеченными точками.
Два накрытия /i: Yi —> X и /2: Y2 —> X называются эквивалентными,
если существует гомеоморфизм h: Yx —> Y2, коммутирующий с
проекциями /i и /2, т. е. такой, что /i = /2 о h.
Лемма 1.9. Накрытия с отмеченными точками эквивалентны как
накрытия (а не как накрытия с отмеченными точками!), если и только
если подгруппы, соответствующие этим накрытиям, сопряжены в
фундаментальной группе многообразия X.
Доказательство. Пусть накрытия /i: (Yi, 61) —> (X, а) и /2:
(Y2, Ь2) —»(X, а) эквивалентны как накрытия. Гомеоморфизм h должен
переводить слой /i_1(a) в слой /2_1(а)- Поэтому накрытие /i: (Yi, 61) —>
—> (X, а) эквивалентно, как накрытие с отмеченной точкой, накрытию
/2: (Y2, ЦЬг)) -> (X, а), где /2(Л(Ы) = /2(^2). Это означает, что
группы, соответствующие исходным накрытиям с отмеченными точками,
сопряжены. □
Итак, накрытия /: Y —> X, где Y связно, а X локально связно и
односвязно, классифицируются подгруппами фундаментальной
группы tci(A'), определенными с точностью до сопряжения в группе tci(X)
(группа tci(X), в отличие от группы 7ii(X, a), тоже определена с
точностью до сопряжения).
В теории Галуа обычно рассматривают алгебраические расширения
поля, принадлежащие заданному расширению Галуа (а не все
расширения поля одновременно). Аналогично при классификации накрытий с
отмеченными точками и при классификации накрытий можно
ограничиваться накрытиями, подчиненными данному нормальному накрытию.
57

Определение соотношения подчиненности на накрытиях с
отмеченными точками было дано выше. Можно определить аналогичное
соотношение и для накрытий, по крайней мере в случае, когда одно из
накрытий нормально.
Скажем, что накрытие f:Y—>X подчинено нормальному
накрытию g: M —> X, если существует отображение h: M —> У,
коммутирующее с проекциями g и /, т. е. такое, что g = f о h. Ясно, что накрытие
подчинено нормальному накрытию, если и только если любая группа
из класса сопряженных подгрупп в фундаментальной группе
пространства X содержит нормальный делитель этой группы,
соответствующий нормальному накрытию.
Фиксируем в пространстве X отмеченную точку а. Пусть g: (М, Ь) —>
—> (X, а) — нормальное накрытие, соответствующее нормальному
делителю Н группы П\(Х, а), и N = Кх(Х, а)/Н — группа наложения этого
нормального накрытия. Рассмотрим всевозможные накрытия и
накрытия с отмеченными точками, подчиненные этому нормальному
накрытию. На такие накрытия переносятся все классификационные
теоремы. При этом роль фундаментальной группы К\ (X, а) играет группа
наложения N нормального накрытия.
Сопоставим подчиненному накрытию с отмеченной точкой
подгруппу группы наложения N, равную образу при гомоморфизме
факторизации к(Х, а) —> N подгруппы фундаментальной группы,
соответствующей накрытию с отмеченной точной. Для описанного соответствия
справедлива следующая теорема.
Теорема 1.10. Соответствие между накрытиями с
отмеченными точками, подчиненными заданному нормальному накрытию, и
подгруппами группы налоэюения этого нормального накрытия взаимно
однозначно.
Подчиненные накрытия с отмеченными точками эквивалентны
как накрытия, если и только если соответствующие им подгруппы
группы наложения сопряжены в группе налоэюения.
Подчиненное накрытие является нормальным, если и только если
оно соответствует некоторому нормальному делителю М группы
налоэюения N. Группа налоэюения подчиненного нормального накрытия
изоморфна факторгруппе N/M.
Доказательство. Для доказательства достаточно
воспользоваться уже доказанными «абсолютными» классификационными
результатами и следующими очевидными свойствами факторизации групп.
Гомоморфизм факторизации устанавливает взаимно однозначное
соответствие между всеми подгруппами исходной группы, содержащими
ядро гомоморфизма, и всеми подгруппами факторгруппы. Это соот-
58

ветствие 1) сохраняет частичный порядок по включению в множестве
подгрупп, 2) переводит класс сопряженных подгрупп исходной
группы в класс сопряженных подгрупп факторгруппы, 3) устанавливает
взаимно однозначное соответствие между всеми нормальными
делителями исходной группы, содержащими ядро гомоморфизма, и всеми
нормальными делителями факторгруппы. При соответствии
нормальных делителей из 3) фактор исходной группы по нормальному делителю
и фактор ее факторгруппы по соответствующему нормальному
делителю изоморфны. □
Подчиненные накрытия классифицируются двумя разными
способами: как накрытия с отмеченными точками и как накрытия. Чему
соответствуют эти две классификации при аналогии между накрытиями
и теорией Галуа? Чтобы ответ на этот вопрос стал очевиден,
переформулируем задачу о классификации накрытий, избегая использования
отмеченных точек.
Пусть /: М —> X — нормальное накрытие (как обычно, мы
предполагаем, что пространство М связно, а X локально связно и
локально односвязно). Промеэюуточным накрытием между М и X назовем
пространство Y вместе с отображением «на» ft у : М —> Y и проекцией
/у : Y —> X, удовлетворяющими условию f = fY о h.
Введем два различных понятия эквивалентности промежуточных
накрытий. Скажем, что два промежуточных накрытия
мЮ+Уг-^+Х и M^Y2^X
эквивалентны как поднакрытия накрытия /: М —> X, если существует
гомеоморфизм ft: Y\ —> 1г, делающий диаграмму
коммутативной, т. е. такой, что ft2 = ft о ftx и /i = /2 о ft. Скажем, что
два поднакрытия эквивалентны как накрытия над X, если
существует такой гомеоморфизм ft: Yi —> У2 что /i = ft о /2 (не требуется, чтобы
гомеоморфизм ft делал верхнюю часть диаграммы коммутативной).
Классификация промежуточных накрытий как поднакрытий
эквивалентна классификации подчиненных накрытий с отмеченными точ-
59

ками. Действительно, если в пространстве М отметить какую-либо
точку 6, лежащую над точкой а, то в промежуточном накрывающем
пространстве Y возникает инвариантно определенная отмеченная точка
hY {а).
Переформулируем теорему 1.10.
Утверждение 1.11. Промежуточные накрытия для нормального
накрытия с группой наложения N, рассматриваемые как
1) поднакрытия, классифицируются подгруппами группы N;
2) накрытия над X, классифицируются классами сопряженных
подгрупп группы N.
Подчиненное накрытие является нормальным, если и только
если оно соответствует нормальному делителю М группы
наложения N. Группа наложения подчиненного нормального накрытия
изоморфна факторгруппе N/M.
Классификация промежуточных накрытий, подчиненных данному
нормальному накрытию, формально аналогична классификации
промежуточных подполей данного расширения Галуа. Чтобы это увидеть,
нужно слова «нормальное накрытие», «группа наложения»,
«подчиненное накрытие», заменить соответственно на слова «расширение Галуа»,
«группа Галуа», «промежуточное поле».
Промежуточное поле К\ между полем К и его расширением Галуа Р
можно рассматривать с двух различных точек зрения: как подполе в
поле Р и как расширение поля К. Классификации промежуточных
накрытий как поднакрытий в теории Галуа соответствует классификация
промежуточных полей как подполей расширения Р. Классификации
промежуточных накрытий как накрытий над X в теории Галуа
соответствует классификация промежуточных полей как расширений поля К.
В §2.2 мы рассмотрим конечнолистные разветвленные накрытия над
связными одномерными комплексными многообразиями.
Разветвленные накрытия (с отмеченными точками или без отмеченных точек) над
многообразием X, ветвления которых лежат над заданным дискретным
множеством О, классифицируются так же, как накрытия (с
отмеченными точками или без отмеченных точек) над X \ О (см. п. 2.2.2).
Конечнолистные разветвленные накрытия соответствуют алгебраическим
расширениям поля мероморфных функций на X, для которых основная
теорема теории Галуа и классификация промежуточных накрытий не
просто формально аналогичны, но и весьма близки друг к другу.
Приведем еще одно описание всех промежуточных накрытий для
нормального накрытия /: М —* X с группой наложения N. Группа N
является группой гомеоморфизмов пространства М, обладающей
следующим свойством дискретности: около каждой точки пространства М
60

существует такая окрестность, что ее образы под действием различных
элементов группы N не пересекаются. В качестве такой окрестности
около точки z € М достаточно взять компоненту связности
прообраза при проекции /': М —* X связной и односвязной окрестности точки
№ е х.
Для каждой подгруппы G группы N рассмотрим факторпростран-
ство MG пространства М по действию группы G. Точка в MG — это
орбита действия группы G на пространстве М. Топология в MG
индуцируется из топологии в пространстве М. Окрестность орбиты состоит из
всех орбит, лежащих в инвариантном открытом множестве U
пространства М, содержащем исходную орбиту и таком, что компонента
связности множества U пересекает каждую орбиту не более чем по одной
точке. Пространство MN можно отождествить с пространством X. Для
этого надо отождествить точку iGlc прообразом f~l(x) С М,
являющимся орбитой действия группы преобразований наложения N на, М.
При таком отождествлении отображение факторизации fCiN: М —> MN
превращается в исходное накрытие /: М —> X.
Пусть Gi, G2 — две подгруппы в TV, и пусть выполнено включение
G\ С G2. Тогда определено отображение /gi,g2 : MGl —> MG2,
сопоставляющее орбите группы G\ содержащую ее орбиту группы G2. Легко
видеть, что
1) отображение /gi,g2 является накрытием,
2) если d С G2 С G3, то fGl,c3 = fc2,G3 ° /0^021
3) отображение fGiN: MG —> MN при отождествлении MN с X
переходит в накрытие, подчиненное исходному накрытию fe,N: М —* MN
(так как /e>N = fGjN о /eG),
4) если G—нормальный делитель в N, то накрытие /g,n • MG —> MN
нормально и его группа наложения равна N/G.
С промежуточным накрытием /g,n • MG —> MN можно связать либо
тройку пространств М > MG —:—► MN с отображениями /е>с и /g,n>
либо пару пространств MG —:—► MN с отображением /g,n- Эти две
возможности соответствуют рассмотрению промежуточного накрытия как
поднакрытия и как накрытия над MN.
§2.2. Пополнение конечнолистных накрытий над
проколотыми римановыми поверхностями
В этом параграфе рассматриваются конечнолистные разветвленные
накрытия над одномерными комплексными многообразиями.
Описывается операция пополнения накрытий над одномерным комплексным
61

многообразием X, из которого удалено дискретное множество О. Она
одинаково применима как к накрытиям, так и к накрытиям с
отмеченными точками. В результате из конечнолистного накрытия над X \ О
получается разветвленное конечнолистное накрытие над X.
Локальный случай, в котором пополняются накрытия над
открытым проколотым диском, рассматривается в п. 2.2.1. В локальном
случае операция пополнения накрытий помогает доказать разложимость
в ряды Пьюизо многозначных функций, имеющих алгебраическую
особенность.
В п. 2.2.2 рассматривается общий случай. Сначала определяется
вещественная операция заклеивания дырок. Затем показывается, что
полученное в результате применения вещественной операции заклеивания
дырок разветвленное накрытие обладает естественной структурой
комплексного многообразия.
В п. 2.2.3 классифицируются конечнолистные разветвленные
накрытия с фиксированным множеством ветвления. Классификация почти
дословно повторяет аналогичную классификацию неразветвленных
накрытий. Поэтому мы ограничиваемся лишь формулировками
результатов. Мы доказываем, что множество орбит действия конечной группы
на аналитическом многообразии имеет естественную структуру
аналитического многообразия.
В п. 2.2.4 мы применяем операцию пополнения накрытий для
определения римановой поверхности неприводимого алгебраического
уравнения над полем К(Х) мероморфных функций на многообразии X.
Параграф 2.2 опирается на результаты §2.1.
2.2.1. Заклеивание дырки и ряды Пьюизо. Пусть Д.
—открытый диск радиуса г с центром в точке 0 на комплексной прямой и
D* = Dr \ {0} — проколотый диск. Для каждого натурального числа к
рассмотрим проколотый диск -D*, где g = r1//fc, вместе с отображением
/: D* —> D*, заданным формулой f(z) = zk.
Лемма 2.1. Существует единственное связное к-листное
накрытие к: V* —>D* над проколотым диском D*. Это накрытие нормально.
Оно эквивалентно накрытию /: D* —> D*, где отображение f задано
формулой х = f(z) = zk.
Доказательство. Фундаментальная группа области D*
изоморфна аддитивной группе целых чисел Z. В группе Z только
подгруппа кЪч имеет индекс к. Подгруппа A:Z — нормальный делитель в
группе Z. Накрытие z —> zk проколотого диска D* над проколотым
диском D* нормально и соответствует подгруппе kZ. □
Пусть к: V* —> D* — связное А:-листное накрытие над проколотым
диском D*. Обозначим через V множество, состоящее из области V*,
62

к которой добавлена точка А. Доопределим отображение к до
отображения множества V на диск £>г, полагая к(А) = 0. Введем на
множестве V минимальную топологию, удовлетворяющую следующим
условиям: 1) отождествление множества V \ А с областью V* является
гомеоморфизмом, 2) отображение к: V —> Dr непрерывно.
Лемма 2.2. Отображение к: V —> Dr левоэквивалентно
отображению /: Dq—+ Dr, определенному формулой х = f(z) = zk. В
частности, V гомеоморфно открытому диску Dq.
Доказательство. Пусть ft: D* —> V* — гомеоморфизм,
устанавливающий эквивалентность накрытия к: V* —> D* и стандартного
накрытия /: D*^>D*. Доопределим ft до отображения диска Dq в
множество V, полагая ft@) = А. Нам надо проверить, что доопределенное
отображение ft является гомеоморфизмом. Проверим, например, что ft —
непрерывное отображение. По определению топологии на V во всякой
окрестности точки А есть окрестность V0 вида V0 = k~1(U0), где U0 —
окрестность точки 0 на комплексной прямой. Пусть W0 С Dq —открытое
множество, определенное формулой W0 = f~lU0. Имеем ft-1V0 = W0, что
доказывает непрерывность отображения ft в точке 0. Непрерывность
отображения ft-1 доказывается аналогично. □
Воспользуемся обозначениями из предыдущей леммы.
Лемма 2.3. На многообразии V существует единственная
структура аналитического многообразия, для которого отображение к: V —>
—> Dr аполитично. Эта структура индуцируется из аналитической
структуры на диске Dq при помощи гомеоморфизма ft: Dq^>V.
Доказательство. Гомеоморфизм ft переводит отображение к в
аналитическое отображение f(z) = zk. Таким образом, аналитическая
структура на V, индуцированная при помощи гомеоморфизма ft,
удовлетворяет условию леммы. Рассмотрим какую-либо другую
аналитическую структуру на V. Отображение ft: D —> V вне точки 0 локально
представимо в виде h(z) = n~1zk и, следовательно, аналитично. Итак,
отображение ft: D —> V непрерывно и аналитично всюду, кроме, может
быть, точки 0. По теореме об устранимой особенности оно аналитично
и в точке 0, и, следовательно, аналитическая структура на У, в которой
проекция к аналитична, единственна. □
Переход от вещественного многообразия V* к вещественному
многообразию V и переход от накрытия к: V* —> D* к отображению к: V —> Dr
будем называть вещественной операцией заклеивания дырки. Лемма 2.3
показывает, что при заклеивании дырки на многообразии V существует
единственная структура комплексного аналитического многообразия,
для которого отображение к: V —> £>г аналитично. Переход от
комплексного многообразия V* к комплексному многообразию V и переход от
63

аналитического накрытия к: V* —> D* к аналитическому отображению
к: V —> Dr будем называть операцией заклеивания дырки. Именно эта
операция нам нужна для дальнейшего.
Операция заклеивания дырки тесно связана с определением
алгебраической особой точки и с рядами Пьюизо. Остановимся на этом
подробнее.
Скажем, что аналитический росток фа в точке а € Dr определяет
многозначную функцию в диске Dr с алгебраической особенностью в
точке 0, если 1) росток фа продолжается вдоль кривой, начинающейся
в точке а и лежащей в проколотом диске £>*, 2) многозначная
функция ф в проколотом диске £>*, полученная продолжением ростка фа по
кривым, лежащим в £>*, имеет конечное число к значений, 3) при
приближении к точке 0 многозначная функция фа растет не быстрее чем
степенным образом, т. е. существуют такие положительные числа С, TV,
что любое из значений многозначной функции ф удовлетворяет
неравенству |ф(х)| < C\x\~N.
Лемма 2.4. Многозначная функция ф, имеющая алгебраическую
особенность в проколотом диске D*, представима в этом диске
рядом Пьюизо
СпХк .
m> — mo
Доказательство. Если функция ф аналитически продолжается
по всем путям, лежащим в проколотом диске D*, и имеет к различных
значений, то росток gb = фа о z\, где Ьк = а, задает однозначную функцию
в проколотом диске £>*, где q = r1/fc. По условию функция g растет не
быстрее чем степенным образом при подходе к точке 0, поэтому в
проколотом диске D* она представима рядом Лорана g(z) = J^ cmzm.
т>—то
Подставляя в ряд для функции g вместо z функцию х1/к, получим ряд
Пьюизо для функции ф. □
2.2.2. Отображения аналитического типа и вещественная
операция заклеивания дырок. В этом пункте определяется
вещественная операция заклеивания дырок. Показывается, что полученное
в результате применения вещественной операции заклеивания дырок
разветвленное накрытие имеет естественную аналитическую
структуру.
Пусть X — одномерное комплексное аналитическое многообразие,
М — двумерное вещественное многообразие и к: М —> X —
непрерывное отображение. Скажем, что отображение к в точке у € М имеет
особенность аналитического типа кратности к > 0, если
существуют 1) такая связная проколотая окрестность U* С X точки х = к(у),
64

2) такая компонента связности области тс-1 (£/*), являющаяся
проколотой окрестностью V* С М точки у, что тройка к: V* —> U* является
/ь-листным накрытием. Особой точке у естественно приписать
кратность к как прообразу точки х: посчитанное с учетом кратностей число
прообразов отображения к в окрестности особой точки аналитического
типа кратности к постоянно и равно к.
Отображение /: М —> X является отображением аналитического
типа, если в каждой точке оно имеет особенность аналитического
типа. Очевидно, что комплексно-аналитическое отображение /: М —> X
комплексного многообразия М в комплексное многообразие X
является отображением аналитического типа (если его рассматривать как
непрерывное отображение вещественного многообразия М в
комплексное многообразие X). Для отображения аналитического типа точка у
называется регулярной, если ее кратность равна единице, и называется
особой, если ее кратность к больше единицы. Множество регулярных
точек отображения аналитического типа открыто. Отображение около
регулярной точки является локальным гомеоморфизмом. Множество
М0 особых точек отображения аналитического типа является
дискретным подмножеством в М.
Утверждение 2.5. Пусть М —двумерное многообразие и /: М —>
—> X — его отображение аналитического типа в одномерное
аналитическое многообразие X. Тогда в М существует единственная
структура аналитического многообразия, для которой отображение f ана-
литично.
Доказательство. В точках открытого множества М\Ом
отображение / является локальным гомеоморфизмом. Этот локальный
гомеоморфизм с аналитическим многообразием X превращает М\0
в аналитическое многообразие. Около точек множества О
аналитическую структуру можно ввести так же, как в приклеенных точках
при операции заклеивания дырки. Докажем, что других
аналитических структур, для которых / аналитично, нет. Пусть Мх и М2 —
две копии многообразия М с разными аналитическими структурами.
Пусть 0\ и О2 — выделенные дискретные подмножества в копиях Мх
и М2 и h: Mi —> М2 — гомеоморфизм отождествления этих копий. Из
условия видно, что гомеоморфизм h является аналитическим
отображением всюду, кроме дискретного множества 0\ С Мх. По теореме об
устранимых особенностях h—бигомоморфное отображение. Значит, две
аналитические структуры на М совпадают. □
Вернемся к операции заклеивания дырок. Пусть М — вещественное
двумерное многообразие и /: М —> X—отображение аналитического
типа многообразия М в комплексное многообразие X.
65

Около точки а € X фиксируем локальную координату и, и(а) = О,
задающую обратимое отображение малой окрестности точки а € X в
малую окрестность нуля на комплексной прямой. Пусть U* — прообраз
малого проколотого диска D* с центром в точке 0 при отображении и.
Пусть среди компонент связности прообраза тс-1(£/*) есть
компонента V*, ограничение отображения к на которую является /г-листным
накрытием, где к — положительное число. В этом случае применима
вещественная операция заклеивания дырки. Она состоит в следующем.
Из многообразия М вырезается окрестность V*. Накрытие к: V* —> £/*
заменяется на отображение к: V —> U при помощи описанной выше
вещественной операции заклеивания дырки. Многообразие V* лежит в
многообразии V и отличается от V одной точкой. Вещественная
операция заклеивания дырки состоит в приклеивании к многообразию М
вместо вырезанной окрестности V* окрестности V вместе с
определенным на ней отображением к: V —> X.
Вещественная операция заклеивания дырок заключается в
применении вещественной операции заклеивания дырки сразу ко всем
дыркам одновременно. Она определена корректно: если V* — компонента
связности прообраза тс-1(£/*) проколотой окрестности U* точки о € X
и отображение к: V* —> U* — конечнолистное накрытие, то операция
заклеивания всех дырок добавляет к замыканию области V* ровно одну
точку, лежащую над точкой о. Топология около этой новой точки
определяется так же, как и при операции заклеивания одной дырки.
Операция заклеивания дырок — это комплексификация
вещественной операции заклеивания дырок. Операция заклеивания дырок
применима к комплексному аналитическому многообразию М, снабженному
аналитическим отображением /: М —> X. Для этого тройку f:M^>X
надо рассматривать как отображение аналитического типа из
вещественного многообразия М в X. К полученной тройке надо применить
вещественную операцию заклеивания дырок. В результате получается
вещественное многообразие М вместе с отображением аналитического
типа к: М —> X. Многообразие М имеет единственную структуру
комплексного многообразия, в которой отображение аналитического типа
к является аналитическим. Именно это комплексное многообразие М
вместе с аналитическим отображением к является результатом
применения операции заклеивания дырок к исходной тройке /: М —> X. В
дальнейшем нам будет нужна именно операция заклеивания дырок, а
не ее вещественный вариант.
Пусть X и М — одномерные комплексные многообразия, О —
дискретное подмножество в X и к: М —■> £/, где U = X \ О, — аналитическое
отображение, являющееся конечнолистным накрытием. Пусть много-
66

образие X связно (накрывающее многообразие М может быть
несвязным) .
Около каждой точки оеО можно взять малую проколотую
окрестность £/*, не содержащую других точек множества О. Над проколотой
окрестностью U* возникает накрытие /: V* —> £/*, где V* = f~l(U*).
Многообразие V* разбивается на компоненты связности V*. Применим
операцию заклеивания дырок. Над точкой о € О приклеится конечное
число точек, равное числу компонент связности многообразия V*.
Лемма 2.6. В результате применения операции заклеивания дырок
к к-листному накрытию к: М —> £/', где U = X \0, получается
комплексное многообразие М, снабэюенное собственным аналитическим
отображением к: М —> X степени к.
Доказательство. Нужно проверить собственность отображения
тс. Прежде всего, это отображение аналитическое, поэтому образ
каждого открытого множества при этом отображении открыт. Далее, число
прообразов любой точки х0 € X при отображении тс, посчитанное с
учетом кратностей, ровно к. Поэтому отображение тс собственно. □
2.2.3. Конечнолистные разветвленные накрытия с
фиксированным множеством ветвления. В этом пункте
классифицируются конечнолистные разветвленные накрытия с фиксированным
множеством ветвления.
Пусть X — связное комплексное многообразие с выделенным
дискретным подмножеством О и отмеченной точкой а£0. Тройку,
состоящую из комплексных многообразий МиХи собственного
аналитического отображения тс: (М, Ь) —* (X, а), все критические значения
которого содержатся в множестве О, будем называть разветвленным
накрытием над X с ветвлением, лежащим над О. Мы
рассматриваем разветвленные накрытия с точностью до левой эквивалентности.
Другими словами, две тройки tci : Мх —> X и тс2: М2 —»X считаются
одинаковыми, если существует гомеоморфизм h: Мх —* М2, согласованный
с проекциями tci и тс2, т.е. tci=/iotc2. Гомеоморфизм h,
устанавливающий эквивалентность разветвленных накрытий, автоматически
является аналитическим отображением из многообразия Мх в
многообразие М2. Это доказывается так же, как утверждение 2.5.
Проколом ветвлений назовем операцию, сопоставляющую связному,
разветвленному над О накрытию тс: М —* X не разветвленное
накрытие тс: М\0 —* X \0 над X \ О, где О — прообраз множества О при
отображении тс. Непосредственно из определений вытекает следующая
лемма.
Лемма 2.7. Операция прокола ветвлений и операция заклейки
дырок взаимно обратны друг другу. Они устанавливают изоморфизм ка-
67

тегории разветвленных накрытий над X с ветвлением, лежащим над
множеством О, и категории конечнолистных накрытий над Х\0.
На разветвленные накрытия переносятся все определения и
утверждения о накрытиях. Это делается автоматически: достаточно
применять лишь аргументы, использованные при доказательстве
утверждения 2.5. Поэтому мы ограничимся формулировками определений
и утверждений о разветвленных накрытиях.
Начнем с определений, относящихся к разветвленным накрытиям.
Разветвленные накрытия fx: Мх —> X, /2: М2 —> X с ветвлением,
лежащим над О, называются эквивалентными, если существует такой
гомеоморфизм h: Мх —> М2, что /i = /2 о h. (При этом гомеоморфизм h
автоматически является аналитическим.)
Преобразованием наложения разветвленного накрытия к: М —> X
с ветвлением, лежащим над О, называется гомеоморфизм
пространства М в себя, коммутирующий с отображением проекции к.
(Преобразование наложения автоматически является аналитическим.)
Разветвленное накрытие к: М —> X со связным многообразием М и
с ветвлением, лежащим над О, называется нормальным, если группа
его преобразований наложения транзитивно действует на слоях
отображения к. Группа преобразований наложения автоматически является
группой аналитических преобразований пространства М.
Разветвленное накрытие /2: М2 —> X с ветвлением, лежащим над О,
называется подчиненным нормальному разветвленному накрытию
/i: Mi —> X с ветвлением, лежащим над О, если существует такое
разветвленное накрытие h: Мх —> М2 с ветвлением, лежащим над /2_1(^)j
что /i = /2 о /г. (При этом отображение /г автоматически оказывается
аналитическим.) В частности, такие накрытия называются
эквивалентными.
Перейдем к определениям, относящимся к накрытиям с
отмеченными точками.
Тройка к: (М, Ь) —> (X, а), в которой к: М —>X — разветвленное
накрытие с ветвлением, лежащим над О, и а€ X, be M — такие
отмеченные точки, что а £ О и кF) = а, называется разветвленным накрытием
с отмеченными точками с ветвлением, лежащим над О.
Разветвленное накрытие /2: (М2, Ь2) —> (X, а) с ветвлением,
лежащим над О, называется подчиненным разветвленному накрытию
/i: (Mi, 61) —» (X, а) с ветвлением, лежащим над О, если
существует такое разветвленное накрытие h: (Mi, 61) —> (М2, 62) с ветвлением,
лежащим над /2_1@), что /i = /2 о h. (При этом отображение /г
автоматически оказывается аналитическим.) В частности, такие накрытия
называются эквивалентными, если отображение h — гомеоморфизм.
68

(Гомеоморфизм h автоматически является бианалитическим
соответствием между Mi и М2.)
Операция прокола ветвлений сопоставляет разветвленному
накрытию /: (У, Ь) —> (X, а) с отмеченными точками и
разветвленному накрытию к: М —> X с ветвлениями, лежащими над О,
накрытие с отмеченными точками f:(Y\ /_1@), Ь) —> (X \ О, а) и
накрытие к: М \ к_1@) —> X \ О. С этими накрытиями над X \ О связаны
подгруппа конечного индекса в группе iti(X\0, а) и,
соответственно, класс сопряженных подгрупп конечного индекса в этой группе.
Будем говорить, что эта группа соответствует разветвленному
накрытию /: (У, Ь) —> (X, а) с отмеченными точками и что этот класс
сопряженных подгрупп соответствует разветвленному накрытию
к: М->Х.
Рассмотрим всевозможные разветвленные накрытия с отмеченной
точкой, со связным накрывающим многообразием и над
многообразием X с отмеченной точкой а, имеющие ветвление, лежащее над
множеством О, а£0. Перенося доказанные утверждения о накрытиях с
отмеченной точкой на разветвленные накрытия, получим, что
1) такие накрытия классифицируются подгруппами конечного
индекса в группе Ъ\(Х \ О, а);
2) такое накрытие, соответствующее подгруппе G2, подчинено
такому накрытию, соответствующему подгруппе Gb если и только
если выполняется включение G2 2 Gi;
3) такое накрытие нормально, если и только если
соответствующая ему подгруппа фундаментальной группы Ъ\{Х \ О, а) является ее
нормальным делителем Н. Группа наложения нормального
разветвленного накрытия изоморфна группе Ъ\{Х \ О, а)/Н.
Рассмотрим всевозможные разветвленные накрытия над
многообразием X со связным накрывающим многообразием, имеющие ветвление,
лежащее над множеством О, а£0. Перенося доказанное утверждение
о накрытиях на разветвленные накрытия, получим, что
4) такие разветвленные накрытия классифицируются классами
сопряженности подгрупп конечного индекса в группе iti(X \ О, а).
На разветвленные накрытия дословно переносится описание
разветвленных накрытий, подчиненных данному нормальному
разветвленному накрытию с группой наложения N. Сопоставим
подчиненному разветвленному накрытию с отмеченной точкой подгруппу
группы наложения 7V, равную образу при гомоморфизме факторизации
к(Х, а) —> N подгруппы фундаментальной группы, соответствующей
разветвленному накрытию. Для описанного соответствия справедлива
следующая теорема.
69

Теорема 2.8. Соответствие между разветвленными
накрытиями с отмеченными точками, подчиненными заданному нормальному
накрытию, и подгруппами группы наложения этого нормального
накрытия взаимно однозначно.
Подчиненные разветвленные накрытия с отмеченными точками
эквивалентны как разветвленные накрытия, если и только если
соответствующие им подгруппы группы наложения сопряжены в группе
наложения.
Подчиненное разветвленное накрытие является нормальным, если
и только если оно соответствует некоторому нормальному
делителю М группы наложения N. Группа наложения подчиненного
нормального накрытия изоморфна факторгруппе N/M.
На разветвленные накрытия переносится понятие поднакрытия.
Пусть /: М —> X — нормальное разветвленное накрытие (как
обычно, мы предполагаем, что комплексное многообразие М связно).
Промежуточным разветвленным накрытием между М и X называется
комплексное многообразие Y вместе с отображением «на» hY: М —> Y
и проекцией fY : Y —> X, удовлетворяющими условию / = /у о h.
Скажем, что два промежуточных разветвленных накрытия
M^Y^X и M^Y2^X
эквивалентны как разветвленные поднакрытия накрытия /: М —> X,
если существует аналитическое отображение h: Yx —> Y2, делающее
диаграмму
коммутативной, т. е. такое, что h2 = h о hi и /i = f2 о h. Скажем, что
два разветвленных поднакрытия эквивалентны как разветвленные
накрытия Над X, если существует такое аналитическое отображение
h: Yi —*Y2, что fi = ho f2 (не требуется, чтобы отображение h делало
верхнюю часть диаграммы коммутативной).
Классификация промежуточных разветвленных накрытий как
разветвленных поднакрытий эквивалентна классификации подчиненных
накрытий с отмеченными точками.
70

Действительно, если в многообразии М отметить какую-либо
точку 6, лежащую над точкой а, то в промежуточном накрывающем
многообразии Y возникает инвариантно определенная отмеченная точка
hY(a).
Переформулируем утверждение 1.11.
Утверждение 2.9. Промежуточные разветвленные накрытия для
нормального разветвленного накрытия с группой наложения N,
рассматриваемые как
1) разветвленные поднакрытия, классифицируются подгруппами
группы N;
2) разветвленные накрытия над X, классифицируются классами
сопряженных подгрупп группы N.
Подчиненное разветвленное накрытие является нормальным, если
и только если оно соответствует нормальному делителю Н группы
наложения N. Группа наложения подчиненного разветвленного
нормального накрытия изоморфна факторгруппе N/H.
Приведем еще одно описание всех разветвленных накрытий,
подчиненных заданному нормальному разветвленному накрытию. Пусть
к: М —> X — нормальное конечнолистное разветвленное накрытие,
группа преобразований наложения которого равна N.
Группа преобразований наложения N является группой
аналитических преобразований многообразия М, коммутирующих с проекцией к, и
индуцирует транзитивную группу преобразований слоя отображения к.
Преобразования из группы N могут иметь изолированные
неподвижные точки, лежащие над множеством критических точек
отображения к.
Лемма 2.10. Множество MN орбит действия группы
наложения N на разветвленном нормальном накрытии М находится во
взаимно однозначном соответствии с многообразием X.
Доказательство. На слое отображения к: М —> X над каждой
точкой х0 £ О преобразования наложения действуют, по определению,
транзитивно. Пусть оеО — точка в множестве ветвления. Пусть U* —
малый проколотый координатный диск вокруг точки о, не
содержащий точек множества О. Прообраз к-1(£/*) области U* разбивается
на компоненты связности V*, являющиеся проколотыми окрестностями
прообразов bi точки о. Группа преобразований наложения
транзитивно действует на областях V*. Действительно, каждая из этих областей
пересекается со слоем к-1 (с), где с —любая точка из области £/*, а
группа iV транзитивно действует на слое к-1 (с). Из транзитивности
действия N на компонентах V* вытекает транзитивность действия N
на слое к (о). □
71

Теорема 2.11. Множество орбит M/G аналитического
многообразия под действием конечной группы G аналитических преобразований
имеет структуру аналитического многообразия.
Доказательство. 1. Стационарная группа GXQ любой точки
х0 Е М при действии группы G циклическая. Действительно,
рассмотрим гомоморфизм группы GXQ в группу линейных преобразований
одномерного векторного пространства, сопоставляющий
преобразованию его дифференциал в точке х0. Это отображение не может иметь
ядра: если начальные члены ряда Тейлора преобразования / имеют
вид f(x0 + К) = х0 + h + chk + ..., то начальные члены ряда Тейлора
1-й итерации /М преобразования / имеют вид /М = х0 + h + lchk + ...
Поэтому никакая итерация преобразования / не будет тождественным
преобразованием, что противоречит конечности группы GXQ.
Конечная группа линейных преобразований пространства С1—циклическая
группа, порожденная умножением на один из первообразных корней из
единицы £т степени га, где га — порядок группы GXQ.
2. Стационарную группу GXQ точки х0 можно линеаризовать, т.е.
можно ввести такую локальную координату и около точки х0, что
преобразования группы GXQ, записанные в этой системе координат,
линейны. Пусть / — образующая группы GXQ. Тогда выполняется равенство
f[™\ =ld, где Id—тождественное преобразование. Дифференциал
функции / в точке х0 равен умножению на £т, где £т — один из
первообразных корней из единицы степени га. Рассмотрим любую функцию
ф, дифференциал которой не равен нулю в точке х0. С
отображением / связан линейный оператор /* на пространстве функций. Напишем
резольвенту Лагранжа i^m(cp) функции ср для действия оператора /*:
^т(ф) = (Vm) J2^k(f*)k((?)' Функция и = Я$т(ср) является
собственным вектором преобразования /* с собственным числом £т.
Дифференциалы в точке х0 у функций и и ср совпадают (это проверяется простым
вычислением). Отображение / в координате и становится линейным,
так как f*u = £mit.
3. Теперь можно ввести аналитическую структуру в пространстве
орбит. Рассмотрим какую-либо орбиту. Пусть стационарные группы
точек орбиты тривиальны. Тогда малая окрестность точки орбиты
каждую орбиту пересекает не более чем один раз. Локальная координата
около этой-точки параметризует соседние орбиты. Если у точки
орбиты есть нетривиальная стационарная группа, то около точки можно
выбрать локальную координату и так, чтобы в этой системе координат
стационарная группа действовала линейно, умножая и на степени
корня £т. Соседние орбиты параметризуются функцией t = urn. Теорема
доказана. □
72

С каждой подгруппой G группы N свяжем аналитическое
многообразие MG, являющееся пространством орбит действия группы G.
Отождествим пространство MN с пространством X. При этом
отождествлении отображение факторизации fe,N: М —> MN превращается в исходное
разветвленное накрытие /: М —> X.
Пусть Gi, G2—две подгруппы в N, и пусть выполнено включение
Gi С G2. Тогда определено отображение /Gl,G2: Mzi —> ^g2>
сопоставляющее орбите группы Gi содержащую ее орбиту группы G2. Легко
видеть, что справедливы следующие утверждения:
1) отображение /Gl,G2 является разветвленным накрытием;
2) если d С G2 С G3, то /Gl,G3 = /G2,Gs о /Gl,G2;
3) отображение fG,N • A^g —> ^Gv при отождествлении MN с X
переходит в разветвленное накрытие, подчиненное исходному разветвленному
накрытию /e,N: М -> MN (так как feyN = fGyN о /e,G);
4) если G —нормальный делитель в N, то разветвленное накрытие
/g,tv • MG —> MN нормально и его группа наложения равна N/G.
С промежуточным разветвленным накрытием fGyN: MG —> Мдг
можно связать либо тройку пространств М > MG —:—► MN с
отображениями /e?G и /g,tv, либо пару пространств MG —:—> MN с отображением
/g,n- Эти две возможности соответствуют рассмотрению
промежуточного накрытия как разветвленного поднакрытия и как разветвленного
накрытия над MN.
2.2.4. Риманова поверхность алгебраического уравнения
над полем мероморфных функций. Наша цель — геометрическое
описание алгебраических расширений поля К(Х) мероморфных
функций на связном одномерном комплексном многообразии X. В этом
пункте мы построим риманову поверхность алгебраического уравнения
над полем К{Х).
Пусть Т = уп + ахуп~1 + ... + ап — полином от переменной у над
полем К(Х) мероморфных функций на X. Мы будем предполагать, что
при разложении полинома Т на неприводимые множители каждый
множитель встречается с единичной кратностью. В этом случае
дискриминант D полинома Т является ненулевым элементом поля К(Х).
Обозначим через О дискретное подмножество в X, содержащее все
полюсы коэффициентов а, и все нули дискриминанта D. Для всякой точки
х0 е X \ О полином Тхо = уп + а1(х0)уп~1 + ... + ап(х0) имеет в
точности п различных корней. Римановой поверхностью уравнения Т = О
называются такое n-листное разветвленное накрытие к: М —> X и такая
мероморфная функция у: М —> СР1, что для каждой точки х0 Е X \ О
множество корней полинома Тхо = О совпадает с множеством значений
73

функции у на прообразе к_1(х0) точки х0 при проекции к. Покажем,
что риманова поверхность уравнения существует и единственна (с
точностью до аналитического гомеоморфизма, коммутирующего с
проекциями в X и функциями у).
В декартовом произведении (X \ О) х С1 определены проекция к
на первый сомножитель и функция у, являющаяся проекцией на
второй сомножитель. Рассмотрим в декартовом произведении
гиперповерхность М0, заданную уравнением Т(к(а), у(а)) =0. Частная
производная Т по у в любой точке гиперповерхности М0 не равна нулю, так как
полином Тк(а) имеет только некратные корни. По теореме о неявной
функции гиперповерхность М0 неособа и ее проекция на X \ О
является локальным гомеоморфизмом. На многообразии Мо определены
проекция к: Мо —* X \ О и функция у: М0 —»С1. Применяя к
накрытию к: М0 —> X \0 операцию заклеивания дырок, получим п-листное
разветвленное накрытие к: М —> X.
Теорема 2.12. Функция у: М0 —> С1 продолжается до мероморф-
ной функции у: М —> СР1. Разветвленное накрытие к: М —> X,
снабженное мероморфной функцией у: М —> СР1, является римановой
поверхностью уравнения Т = 0. Других римановых поверхностей у
уравнения Т = 0 нет.
Доказательство. Нам понадобится следующая лемма.
Лемма 2.13 (из школьной математики). Всякий корень у0
уравнения уп + aiyn~l + ... + ап = 0 удовлетворяет неравенству \у0\ ^
<max(l, £|а*|).
Доказательство. Если \у0\ > 1 и у0 = — ах — ... — апу1_п, то \у0\ ^
^max(l, £1а<1)- □
Переходим к доказательству теоремы. Функции к*а^ мероморфны
на М. В проколотой окрестности каждой точки функция у
удовлетворяет неравенству \у\ ^ max(l, ^ |тх*сг-»|) и, следовательно, имеет в каждой
приклеенной точке либо полюс, либо устранимую особенность.
По построению тройка к: М0 —>Х\0 является n-листным
накрытием и для каждого х0еХ\О множество корней полинома Тхо совпадает
с образом множества к~1(х0) при отображении у: М0 —> СР1. Поэтому
разветвленное накрытие к: М —> X, снабженное мероморфной
функцией у: М—►СР1, является римановой поверхностью уравнения Т = 0.
Пусть разветвленное накрытие Ki: Mi —> X и функция ух: Мх —> СР1
представляют собой другую риманову поверхность этого уравнения.
Обозначим через Ох множество тС[10. Существует естественное взаимно
однозначное отображение hi: М0 —► Мг \Oi, коммутирующее с
проекциями K\ohi=K,ylohi=y. Действительно, по определению римановой
поверхности, множества чисел {уок_1(х)} и {ух oiC[l(x)} совпадают с
74

множеством корней полинома Тк(х). Легко видеть, что отображение hx
непрерывно и что оно продолжается по непрерывности до
аналитического гомеоморфизма ft: М —> Мх, коммутирующего с проекциями
7ii о ft = к, у\ о ft = у. Теорема доказана. □
Замечание. Иногда одно многообразие М, фигурирующее в
определении римановой поверхности уравнения, называют римановой
поверхностью уравнения. Это же многообразие называют римановой
поверхностью функции у, удовлетворяющей уравнению. Когда это не
приводит к недоразумению, мы будем пользоваться этой многозначной
терминологией.
Множество О критических значений разветвленного накрытия
гс: М —> X, связанного с римановой поверхностью уравнения Т = 0,
может оказаться строго меньше, чем множество О, фигурирующее в
его построении (включение О С. О выполняется всегда). Множество О
называется множеством ветвления уравнения Т = 0. Над точкой a G
G X \0 уравнение Та = 0 может иметь кратные корни, однако в поле
ростков мероморфных функций в точке a G X \0 уравнение Т = 0
имеет лишь некратные корни, и их число равно степени уравнения
Т = 0. Каждый из мероморфных ростков в точке а,
удовлетворяющих уравнению Т = 0, соответствует точке римановой поверхности
уравнения, лежащей над точкой а.
75

Глава 3
Разветвленные накрытия
и теория Галуа
Эта глава основана на теории Галуа и теореме существования Ри-
мана (которую мы принимаем без доказательства) и посвящена связи
между конечнолистными разветвленными накрытиями над
многообразием X и алгебраическими расширениями поля К(Х). Показывается,
что поле К(М) мероморфных функций на М является
алгебраическим расширением поля К(Х) мероморфных функций на X и что
каждое алгебраическое расширение поля К(Х) получается таким способом.
Ключевую роль играет следующая конструкция. Фиксируем
дискретное подмножество О в многообразии X и точку а€Х\0.
Рассмотрим поле Ра@), состоящее из мероморфных ростков в точке a Е X,
которые мероморфно продолжаются до конечнозначных функций на
X \ О, имеющих алгебраические особенности в точках множества О.
Операция мероморфного продолжения ростка вдоль замкнутой кривой
задает действие фундаментальной группы Ki(X \ О, а) на поле Ра@).
К действию этой группы автоморфизмов поля Ра@) применяются
результаты теории Галуа. Описывается соответствие между подполя-
ми поля Ра@), являющимися алгебраическими расширениями поля
К(Х), и подгруппами конечного индекса в фундаментальной группе
Ki(X \ О, а). Доказывается, что это соответствие является взаимно
однозначным. В доказательстве кроме теории Галуа используется теорема
существования Римана.
Нормальные разветвленные накрытия над связным комплексным
многообразием X связаны с расширениями Галуа поля К(Х).
Основная теорема теории Галуа для таких расширений имеет прозрачную
геометрическую интерпретацию.
Локальный вариант связи между разветвленными накрытиями и
алгебраическими расширениями позволяет описать алгебраические
расширения поля сходящихся рядов Лорана. Расширения этого поля
аналогичны алгебраическим расширениям конечного поля Z/pZ (при этой
76

аналогии замкнутой вещественной кривой на плоскости, обходящей
вокруг точки 0, соответствует автоморфизм Фробениуса).
В конце главы рассматриваются компактные одномерные
комплексные многообразия. С одной стороны, соображения теории Галуа
показывают, что поле мероморфных функций на компактном
многообразии является конечно порожденным расширением поля комплексных
чисел степени трансцендентности один (в доказательстве
используется теорема существования Римана). С другой стороны, разветвленные
накрытия позволяют достаточно явно описать все алгебраические
расширения поля рациональных функций от одного переменного. Группа
Галуа такого расширения имеет геометрический смысл: она совпадает с
группой монодромии римановой поверхности алгебраической функции,
определенной этим уравнением. Поэтому теория Галуа доставляет
топологическое препятствие к представимости алгебраических функций
в радикалах.
§3.1. Конечнолистные разветвленные накрытия
и алгебраические расширения полей мероморфных
функций
Пусть к: М —> X — конечнолистное разветвленное накрытие. Теория
Галуа и теорема существования Римана позволяют описать связь
поля К{М) мероморфных функций на М с полем К(Х) мероморфных
функций на X. Поле К(М) является алгебраическим расширением поля
К(Х), и каждое алгебраическое расширение поля К(Х) получается
таким способом. Этот параграф посвящен связи между конечнолистными
разветвленными накрытиями над многообразием X и алгебраическими
расширениями поля К(Х).
В п. 3.1.1 определяется поле Ра@), состоящее из мероморфных
ростков в точке а€Х, которые мероморфно продолжаются до конечнознач-
ных функций на X \ О, имеющих алгебраические особенности в точках
множества О.
В п. 3.1.2 рассматривается действие группы Ki(X\0, а) на
поле Ра{0) и к действию этой группы автоморфизмов применяются
результаты теории Галуа. Описывается соответствие между подпо-
лями поля Ра@), являющимися алгебраическими расширениями поля
К(Х), и подгруппами конечного индекса в фундаментальной группе
Ki(X\0, а). Доказывается, что это соответствие является взаимно
однозначным (в доказательстве, кроме теории Галуа, используется
теорема существования Римана). Показывается, что риманова поверхность
уравнения, ветвление которой находится над множеством О, связна,
77

если и только если уравнение неприводимо. При этом поле мероморф-
ных функций на римановой поверхности неприводимого уравнения
совпадает с алгебраическим расширением поля К(Х), полученным
присоединением корня этого уравнения.
В п. 3.1.3 показывается, что поле мероморфных функций на
всяком связном разветвленном конечнолистном накрытии над X является
алгебраическим расширением поля X, причем разным накрытиям
соответствуют разные расширения.
3.1.1. Поле Ра (О) ростков в точке а алгебраических
функций, ветвящихся над множеством О. Пусть X — связное
комплексное многообразие, О —дискретное подмножество в X и а —отмеченная
точка в X, не принадлежащая множеству О.
Обозначим через Ра@) совокупность ростков мероморфных
функций в точке а, обладающих следующими свойствами. Росток фа
принадлежит Ра(О), если
1) росток фа мероморфно продолжается вдоль любой кривой,
начинающейся в точке а и лежащей в X \0,
2) для ростка фа существует такая подгруппа G0 С 7ti(X, а)
конечного индекса в группе Ъ\(Х \ О, а), что при продолжении ростка сра вдоль
кривой из подгруппы G0 получается исходный росток фа,
3) многозначная аналитическая функция на X \ О, получающаяся
при продолжении ростка сра, имеет в точках множества О
алгебраические особые точки.
Обсудим подробнее свойство 3. Пусть у: [О, 1] —► X — любая
кривая, идущая из точки а в особую точку о€0, у@)=а, уA) = 0, по
области X \ О, т. е. если t < 1, то y(t) Е X \ О. Свойство 3
означает, что для значений параметра t, достаточно близких к единице
(t0 < t < 1), ростки, полученные при мероморфном продолжении сра
вдоль кривой у ДО точки t, будут аналитическими и что они в малой
проколотой окрестности V* точки о определяют /с-значную
аналитическую функцию фг. Ограничение функции фг на малый проколотый
координатный диск D*u^<r с центром в точке о, где и — локальная
координатная функция около точки о, иF) = 0, должно иметь
алгебраическую особенность в смысле определения из п. 2.2.1. Последнее
условие не зависит от выбора координатной функции и. Оно означает,
что функция фу раскладывается в ряд Пьюизо по и (или, что
эквивалентно, чтб она растет не быстрее чем степенным образом при подходе
к точке о).
Лемма 1.1. Множество ростков Ра@) является полем. На поле
Ра@) действует фундаментальная группа G области X \ О при
помощи операции мероморфного продолжения. Полем инвариантов от-
78

носительно этого действия является поле мероморфных функций на
многообразии X.
Доказательство. Пусть ростки cpi>a и cp2,a лежат в множестве
Ра@) и не меняются при продолжениях вдоль подгрупп d, G2
конечного индекса в группе G = Ki(X \ О, а). Тогда ростки cpi>a ± ф2,а,
ф1,аф2,а И ф1,а/ф2,а (рОСТОК ф1,а/ф2,а ОПрвДвЛвН, вСЛИ рОСТОК ф2,а Нв раВвН
тождественно нулю) мероморфно продолжаются вдоль любой кривой,
начинающейся в точке а и лежащей в области X \ О, и не меняются
при продолжении вдоль подгруппы Gi П G2 конечного индекса в группе
G = K1(X\0,a).
Многозначные функции, определенные этими ростками, имеют
алгебраические особенности в точках множества О, так как ростки
функций, представимых рядами Пьюизо, образуют поле. (Разумеется, нельзя
производить арифметические операции над многозначными
функциями. Однако для фиксированной кривой, входящей в точку 0, можно
производить арифметические операции над фиксированными ветвями
функций, раскладывающихся в ряды Пьюизо. В результате получится
ветвь функции, представимой рядом Пьюизо.)
Итак, мы показали, что Ра{0) является полем. Мероморфное
продолжение сохраняет арифметические операции. Поэтому
фундаментальная группа G действует на Ра@) автоморфизмами. Поле
инвариантов состоит из ростков поля Ра@), являющихся ростками
мероморфных функций в области X \ О. В точках множества О эти
однозначные функции имеют алгебраические особенности и являются,
следовательно, мероморфными функциями на многообразии X. Лемма
доказана. □
3.1.2. Теория Галуа действия фундаментальной группы на
поле Ра@). В этом пункте мы применим теорию Галуа к действию
фундаментальной группы G = К\(Х \ О, а) на поле Ра@).
Теорема 1.2. 1. Каждый элемент фа поля Ра@) алгебраичен над
полем К(Х).
2. Множество ростков в точке а, удовлетворяющих тому же
неприводимому уравнению, что и росток фа, совпадает с орбитой
ростка фа при действии группы G.
3. Росток фа лежит в поле, полученном присоединением к полю
К{Х) элемента /а поля Ра@), если и только если при действии
группы G стационарная группа ростка фа содержит стационарную группу
ростка /а.
Доказательство. Доказательство пп. 1 и 2 получается
применением утверждения 3.2 из гл. 1, а п. 3 — применением теоремы 3.6 из
гл.1. □
79

Пункт 1 теоремы 1.2 можно переформулировать следующим
образом.
Утверждение 1.3. Мероморфный росток в точке а лежит в поле
Ра{0), если и только если он удовлетворяет неприводимому
уравнению Т = О, множество точек ветвления которого содерэюится в
мноэюестве О.
Пункт 2 теоремы 1.2 эквивалентен следующему утверждению.
Утверждение 1.4. Уравнение Т = 0, множество точек ветвления
которого содерэюится в мноэюестве О, неприводимо, если и только
если риманова поверхность этого уравнения связна.
Доказательство. Пусть /: М —> X — риманова поверхность
уравнения, множество точек ветвления которого содержится в
множестве О. Согласно п. 2 теоремы уравнение неприводимо, если и только
если многообразие M\f~1@) связно. Действительно, связность
накрывающего пространства эквивалентна тому, что слой F — /_1(а) лежит в
одной компоненте связности накрывающего пространства. Это, в свою
очередь, эквивалентно транзитивности действия группы монодромии
на слое F. Осталось заметить, что многообразие М связно, если и
только если связно многообразие М\/_1@), полученное выбрасыванием
из М дискретного подмножества. □
Утверждение 1.5. Подполе поля Ра@) является нормальным
расширением поля К(Х), если и только если оно получено
присоединением к К(Х) всех ростков в точке а многозначной функции на X,
удовлетворяющих неприводимому алгебраическому уравнению Т — О
над К(Х), ветвление которого содерэюится в О. Группа Талу а
этого нормального расширения изоморфна группе монодромии римановой
поверхности уравнения Т = 0.
Доказательство. Нормальное расширение всегда получается
присоединением всех корней неприводимого уравнения. В ситуации
утверждения ветвление этого уравнения должно содержаться в О. Как
группа Галуа нормального расширения, так и группа монодромии
уравнения Т = 0 изоморфны образу фундаментальной группы Ki(X \ О, а)
на орбите ее действия на поле Ра{0), состоящей из всех ростков в
точке а, удовлетворяющих уравнению Т = 0. □
Рассмотрим риманову поверхность уравнения Т = 0, которому
удовлетворяет росток фа G Ра{0). Точки этой римановой поверхности,
лежащие над точкой а, соответствуют корням уравнения Т — 0 в поле Ра@).
Росток фа — один из этих корней. Итак, мы сопоставили каждому
ростку фа поля Ра(О), во-первых, разветвленное накрытие лфа : Мфа —*-X",
множество критических точек которого содержится в О, во-вторых,
отмеченную точку фа G Мфа, лежащую над точкой а (мы обозначаем сим-
80

волом фа точку римановой поверхности, соответствующую ростку фа).
Пункт 3 теоремы 1.2 можно переформулировать следующим образом.
Утверждение 1.6. Росток фа лежит в поле, полученном
присоединением к полю К(Х) элемента fa поля Ра@), если и только если
разветвленное накрытие лфа : (Мфа, фа) —► (X, а) подчинено
разветвленному накрытию к/а : (М/а, /а) —► (X, а).
Действительно, согласно классификации разветвленных накрытий
с отмеченными точками накрытие, соответствующее ростку фа,
подчинено накрытию, соответствующему ростку /а, если и только если
стационарная группа ростка фа при действии фундаментальной группы
Ki(X \0) содержит стационарную группу ростка /а.
Следствие 1.7. Поля, полученные присоединением к полю К(Х)
элементов фа и /а поля Ра{0), совпадают, если и только если
разветвленные накрытия с отмеченными точками тсфа : (Мфа, фа) —► (X, а) и
Kfa : (М/а, /а) —► (X, а) эквивалентны.
Верно ли, что для любой подгруппы G, имеющей конечный индекс в
фундаментальной группе К\(Х \ О), существует росток fa Е Ра@),
стационарная группа которого равна G?
Ответ на этот вопрос положителен. Одной теории Галуа для
доказательства этого факта недостаточно: чтобы алгебраические рассуждения
было к чему применять, необходимо иметь много мероморфных
функций на многообразии1. Нам будет достаточно сформулированного ниже
факта, который мы будем называть теоремой существования Римана
и применять без доказательства. (Доказательство использует
функциональный анализ и совсем не алгебраично. Отметим, что есть двумерные
компактные комплексные аналитические многообразия, единственными
мероморфными функциями на которых являются константы.)
Теорема существования Римана. Для любого конечного
подмножества одномерного аналитического многообразия существует
функция, мероморфная на этом многообразии, аналитическая в
окрестности подмножества и принимающая в разных точках подмножества
разные значения.
Теорема 1.8. Для любой подгруппы G конечного индекса в
фундаментальной группе Ъ\(Х \ О) существует росток fa Е Ра@),
стационарная группа которого равна G.
1 Теория Галуа позволяет получить следующий результат. Пусть для подгруппы G
ответ на вопрос положителен, и пусть fa€Pa@)—росток, стационарная группа
которого равна G. Тогда для всякой группы, содержащей группу Я, где Н —
наибольший нормальный делитель, лежащий в группе G, ответ тоже положителен. Для
доказательства нужно применить основную теорему теории Галуа для
минимального расширения Галуа поля К(Х), содержащего росток /а.
81

Доказательство. Пусть Tti(М, b) —► (X, а) — конечнолистное
разветвленное накрытие над X, критические значения которого лежат
в О и которое соответствует подгруппе G С Ki(X \ О). Обозначим через
F = /_1(a) слой накрытия над точкой а. По теореме существования
Римана на многообразии М существует мероморфная функция,
принимающая различные значения в точках множества F. Пусть к^1 —
росток отображения, обратный к проекции тс и переводящий точку а в
точку Ь. Росток функции /ок^1 по построению лежит в поле Ра@),
и его стационарная группа при действии фундаментальной группы
Ki(X \ О) равна группе G. □
Итак, мы показали, что классификация алгебраических расширений
поля К{Х) мероморфных функций на многообразии X, содержащихся в
поле Ра{0), эквивалентна классификации разветвленных конечнолист-
ных накрытий к: (М, Ь) —► (X, а), критические значения которых лежат
в множестве О. И те, и другие объекты классифицируются подгруппами
конечного индекса в фундаментальной группе кг (X \ О, а). В частности,
справедлива следующая теорема.
Теорема 1.9. Соответствие между подгруппами конечного
индекса в фундаментальной группе и алгебраическими расширениями
поля Ка(МI лежащими в поле Ра{0), взаимно однозначно. Если
подгруппа G\ лежит в подгруппе G2, то поле, соответствующее
группе G2, лежит в поле, соответствующем подгруппе G\. Подполе
в Ра{0) является расширением Галуа поля Ка(Х), если ему
соответствует некоторый нормальный делитель Н фундаментальной
группы. Группа Галуа этого расширения изоморфна факторгруппе
ъ(Х\0,а)/Н.
3.1.3. Поле функций на разветвленном накрытии. Здесь мы
показываем, что неприводимые алгебраические уравнения над полем
К(Х) задают изоморфные расширения этого поля, если и только если
римановы поверхности этих уравнений задают эквивалентные
разветвленные накрытия над многообразием X.
Из утверждения 1.4 вытекает такое следствие.
Следствие 1.10. Алгебраическое уравнение над полем К(Х) непри-
водимо, если и только если его риманова поверхность связна.
Пусть к: (М, Ь) —► (X, а) — конечнолистное накрытие с отмеченными
точками, многообразие М связно и точка а не принадлежит множеству
критических значений отображения к. Применим результаты о поле
Ра@) и его подполях для описания поля мероморфных функция на М.
Здесь полезна следующая конструкция.
Обозначим через л^ росток в точке а обратного отображения к
проекции к, переводящего точку а в точку Ь. Пусть КЬ(М) —поле ростков в
82

точке Ь мероморфных функций на многообразии Ь. Это поле изоморфно
полю К(М). Отображение (л^)* вкладывает поле КЬ(М) в поле Ра@).
Выбирая различные прообразы b точки а, мы получим различные
вложения поля К(М) в поле Ра@).
Пусть уравнение Т = О неприводимо над полем К(Х). Тогда его ри-
манова поверхность М связна и мероморфные функции на ней
образуют поле К{М). Поле К(М) содержит подполе к*(К(Х)), изоморфное
полю мероморфных функций на многообразии М. Пусть у: М —> СР1 —
мероморфная функция, фигурирующая в определении римановой
поверхности. Справедливо следующее утверждение.
Утверждение 1.11. Поле К(М) мероморфных функций на
поверхности М порождено функцией у над своим подполем тС{К{Х)).
Функция у удовлетворяет неприводимому алгебраическому уравнению Т = О
над подполем тС{К{Х)).
Доказательство. Пусть ЬеМ — точка на многообразии М,
проектирующаяся в точку а, к(Ь) = а, и к^1 — росток в точке а
обратного отображения, переводящего точку а в точку Ь. Обозначим через
КЬ(М) поле ростков в точке b мероморфных функций на
многообразии Ь. Это поле изоморфно полю К(М). Отображение (тс^)* вкладывает
поле КЬ(М) в поле Ра@).
Для каждой мероморфной функции g: М —> СР1 росток gb о к'1
лежит в поле Ра@). Стационарная группа этого ростка относительно
действия группы Ki(X \ О, а) содержит стационарную подгруппу точки b
относительно действия группы монодромии. Для ростка уь о к~ х
стационарная группа равна стационарной группе точки b при действии группы
монодромии, так как функция у по определению принимает различные
значения в точках слоя к-1 (а). Теперь утверждение вытекает из п. 2
теоремы 1.2. □
Теорема 1.12. Неприводимые уравнения Тг = О и Т2 = 0 над полем
К(Х) задают изоморфные расширения этого поля, если и только если
разветвленные накрытия к\: Мх —> X и к\: Мх —> X, фигурирующие в
определении римановых поверхностей этих уравнений, задают
эквивалентные разветвленные накрытия над многообразием X.
Доказательство. Точки римановых поверхностей уравнений Ti =
= 0 и Т2 = 0, лежащие над почти каждой точкой х многообразия X,
однозначно задаются значениями корней ух и у2 уравнений Ti = 0, Т2 = 0
над точкой х. Если уравнения 7\ = 0 и Т2 = 0 определяют одинаковые
расширения поля К(Х), то yY = Qi(y2) и у2 = Q2(?/i), где Qu Q2
—полиномы с коэффициентами из поля К(Х). Эти полиномы задают
определенное почти над каждой точкой х обратимое отображение одной
римановой поверхности в другую, которое коммутирует с проекциями
83

этих поверхностей на X. По непрерывности оно продолжается до
изоморфизма накрытий.
Если римановы поверхности уравнений имеют эквивалентные
накрытия, то отображение х: М1^>М2, устанавливающее
эквивалентность, коммутирует с проекциями и поэтому аналитично. Отображение
х*(К(М2) —> {К{Мх) устанавливает изоморфизм полей К(М1) и К(М2)
и переводит подполе\2(К(Х)) в подполе к1(К(Х)), так как к\ = к2 ох. □
§3.2. Геометрия теории Галуа для расширений поля
мероморфных функций
В этом параграфе мы подводим итоги. В п. 3.2.1 мы обсуждаем
связь между нормальными разветвленными накрытиями над связным
комплексным многообразием X и расширениями Галуа поля К(Х).
В п. 3.2.2 эта связь применяется для описания расширений поля
сходящихся рядов Лорана.
В п. 3.2.3 идет речь о компактных одномерных комплексных
многообразиях. Теория Галуа помогает описать поле мероморфных функций
на компактном многообразии, а геометрия разветвленных накрытий
позволяет достаточно явно описать все алгебраические расширения
поля рациональных функций от одного переменного.
Группа Галуа расширения поля рациональных функций совпадает
с группой монодромии римановой поверхности алгебраической
функции, задающей это расширение. Поэтому теория Галуа доставляет
топологическое препятствие к представимости алгебраических функций
в радикалах.
3.2.1. Расширения Галуа поля К(Х). Согласно теореме 1.12
алгебраические расширения поля мероморфных функций на связном
комплексном многообразии X имеют прозрачную геометрическую
классификацию, совпадающую с классификацией связных конечнолистных
разветвленных накрытий над многообразием X. При этом расширениям
Галуа поля К(Х) соответствуют нормальные разветвленные накрытия
многообразия X. Опишем геометрически все промежуточные
расширения для таких расширений Галуа.
Пусть.X — связное аналитическое многообразие, к: М—>Х —
связное нормальное разветвленное конечнолистное накрытие над X, О —
конечное множество в X, содержащее все критические значения
отображения л, и ае X — любая точка, не лежащая в О. Мы имеем поле
мероморфных функций К(Х) на многообразии X и его расширение
Галуа—поле К(М) мероморфных функций на многообразии М.
84

Согласно утверждению 2.9 из гл. 2 промежуточные разветвленные
Хл f\
накрытия М —► Yi —► X находятся во взаимно однозначном
соответствии с подгруппами группы N преобразования наложения
нормального накрытия к: М —> X. С каждым промежуточным накрытием
связано подполе xl(K(Yi)) поля К(М) мероморфных
функций на многообразии М. Из основной теоремы теории Галуа видно,
что каждое промежуточное поле между полями К(М) ик*К(Х) имеет
такой вид, т.е. является полем x*(K(Y)) для некоторого промежуточ-
х f
ного разветвленного накрытия М —► У —► X. При этом промежуточные
расширения Галуа соответствуют промежуточным нормальным накры-
х f
тиям М —> У —> X, а группы Галуа промежуточных расширений Галуа
равны группам преобразования наложения соответствующих
промежуточных нормальных накрытий.
Вот немного другое описание того же расширения Галуа. На
нормальном разветвленном накрытии М действует конечная группа
автоморфизмов TV наложения. С каждой подгруппой G группы TV связано
подполе KN(M) мероморфных функций на М, инвариантных
относительно группы G.
Утверждение 2.1. Поле К{М) является расширением Галуа
поля KN(M) = к*(К(Х)). Группа Галуа этого расширения Галуа
равна N. При соответствии Галуа подгруппе G С N соответствует
поле KG(M).
3.2.2. Алгебраические расширения поля ростков
мероморфных функций. В этом пункте связь между нормальными накрытиями
и расширениями Галуа применяется для описания алгебраических
расширений поля сходящихся рядов Лорана.
Пусть L0 — поле ростков мероморфных функций в точке О ЕС1.
Это поле можно отождествить с полем сходящихся рядов Лорана
m>mo
Теорема 2.2. Для каждого к существует единственное
расширение степени к поля L0. Оно порождено элементом z = x1/k. Это
расширение нормально, и его группа Галуа равна Z/kZ.
Доказательство. Пусть ук + ak-iyk~l + ... + a0 = 0 —
неприводимое уравнение над полем L0. Из неприводимости уравнения вытекает
существование малого открытого диска Dr с центром в точке 0,
удовлетворяющего следующим условиям: 1) ряды Лорана коэффициентов а*,
г = 1, ..., к, сходятся в проколотом диске D*, 2) уравнение неприводимо
над полем K(Dr) мероморфных функций в диске £>г, 3) дискриминант
уравнения отличен от нуля во всех точках проколотого диска D*.
85

Пусть к: М —> Dr — риманова поверхность полученного
неприводимого уравнения над диском Dr. По условию в диске Dr лишь точка 0
является критическим значением отображения л. Фундаментальная
группа проколотого диска D* изоморфна аддитивной группе целых чисел Z.
Группа кЪ является единственной подгруппой индекса к в группе Z.
Эта подгруппа является нормальным делителем, и факторгруппа ZjkZ
является циклической группой порядка к. Поэтому существует
единственное расширение степени к. Оно соответствует ростку /с-листного
накрытия /: (С1, 0) —► (С1, 0), где f(z) = zk, является нормальным и
его группа Галуа равна Z/kZ. Далее, функция z: Dq —> С1, где q = r1/fc,
разделяет все прообразы точки a Е D* при отображении х = zk.
Поэтому функция z = х1/к порождает поле K(Dq) над полем K(Dr). Теорема
доказана. □
Согласно теореме функция z и ее степени 1, z = x1/k, ..., zk~l —
= x(k-i)/k 05разуют базис в расширении L степени к поля L0,
рассматриваемого как векторное пространство над полем L0. Функции у G L
можно рассматривать как многозначные функции от х. Разложение
элемента у G L по базису y = f0 + fiZ + ... + fk-izk~l, /0, ..., /fc_i G L0,
эквивалентно разложению у(х) = fo(x) + fi(x)x1/k 4-... 4- A-i(^)^(fc_1)/fc
многозначной функции у(х) в ряд Пьюизо.
Отметим, что элементы 1, z, ..., zk~l являются собственными
векторами изоморфизма поля L над полем L0, порождающего группу Галуа
и соответствующего обходу вокруг точки 0. Собственные числа этих
векторов соответственно равны 1, £, ..., £fc_1, где £—первообразный
корень из единицы степени к. Существование такого базиса доказывается
в теории Галуа (см. утверждение 1.1 гл. 1).
Замечание. Поле L0 во многом аналогично конечному полю Z/pZ,
а обход вокруг точки нуль аналогичен изоморфизму Фробениуса.
Действительно, у каждого из этих полей для каждого натурального к есть
единственное алгебраическое расширение степени к. Каждое из этих
расширений нормально, группа Галуа каждого из них есть циклическая
группа из к элементов. Образующая группы Галуа расширения
первого поля соответствует петле, обходящей точку 0, а образующая группы
Галуа расширения второго поля является изоморфизмом Фробениуса.
Аналогичные свойства имеет любое конечное поле. Для поля Fg,
содержащего q=pn элементов, роль петли, обходящей точку 0, играет п-я
степень автоморфизма Фробениуса.
3.2.3. Алгебраические расширения поля рациональных
функций. Рассмотрим теперь случай связных компактных
комплексных многообразий. Применяя теорию Галуа, мы покажем, что поле
мероморфных функций на таком многообразии является конечным
86

расширением степени трансцендентности один поля комплексных
чисел. С другой стороны, геометрия разветвленных накрытий над сферой
Римана дает ясное описание всех конечных алгебраических расширений
поля рациональных функций.
Сфера Римана СР1 является простейшим из компактных
комплексных многообразий. Будем считать, что на проективной прямой СР1
фиксированы бесконечно удаленная точка ос, C1U{oc}=CP1, и
координатная функция х: СР1 —> СР1, имеющая полюс первого порядка
в точке ос. Каждая мероморфная функция на СР1 является
рациональной функцией от х.
Скажем, что пара мероморфных функций /, g на многообразии М
разделяет почти все точки многообразия М, если существует такое
конечное множество АсМ, что вектор-функция (/, g) определена на
множестве М \ А и принимает в его точках разные значения.
Теорема 2.3. Пусть М — связное компактное одномерное
комплексное многообразие.
1. Тогда любые две мероморфные функции /', g на М связаны
некоторым полиномиальным соотношением (т. е. существует такой
полином Q от двух переменных, что выполняется тождество Q(/, g) =
= 0).
2. Пусть функции /, g разделяют почти все точки
многообразия М. Тогда каждая мероморфная функция ср на многообразии М
является композицией рациональной функции R двух переменных с
функциями f и g, ф = Я(/, g).
Доказательство. 1. Если функция / тождественно равна
константе С, то в качестве полиномиального соотношения можно взять
тождество / = С. В противном случае отображение /: М —> СР1
является разветвленным накрытием с некоторым множеством точек
ветвления О. Осталось воспользоваться п. 1 теоремы 1.2.
2. Если функция / тождественно равна константе, то функция g
принимает различные значения в точках множества М\А.
Следовательно, разветвленное накрытие g: М —> СР1 является взаимно
однозначным отображением многообразия М на сферу Римана СР1.
В этом случае каждая мероморфная функция ф на М является
композицией рациональной функции R одной переменной с функцией g,
<f = R(g).
Если функция / не равна тождественно константе, то она задает
разветвленное накрытие /: М —> СР1 над сферой Римана СР1. Пусть О —
объединение образа множества А при отображении / и множества
критических значений отображения /, а £ О —любая точка сферы Римана,
не лежащая в О, и F — слой разветвленного накрытия /: М —> СР1 над
87

точкой а. По условию функция / должна разделять точки множества F.
Осталось воспользоваться п. 3 теоремы 1.2. □
Пусть
уп + а1уп~1+ ... + ао = 0 G)
— неприводимое уравнение над полем рациональных функций. Римано-
ва поверхность к: М —> СР1 этого уравнения называется также римано-
вой поверхностью алгебраической функции, определенной этим
уравнением, а группа монодромии разветвленного накрытия к: М —> СР1
называется также группой монодромии этой алгебраической функции.
Согласно утверждению 1.5 группа Галуа уравнения G) совпадает с
группой монодромии.
Итак, группа Галуа неприводимого уравнения G) над полем
рациональных функций имеет топологический смысл: она равна группе
монодромии римановой поверхности алгебраической функции, определенной
уравнением G). Совпадение группы Галуа уравнения G) и группы
монодромии алгебраической функции, определенной этим уравнением, было
известно Фробениусу, но, возможно, было открыто еще раньше.
Результаты теории Галуа доставляют топологическое препятствие к
разрешимости уравнения G) в радикалах и в /с-радикалах. Из теории
Галуа вытекают следующие теоремы.
Теорема 2.4. Алгебраическая функция у, определенная
уравнением G), представима в радикалах над полем рациональных функций,
если и только если ее группа монодромии разрешима.
Теорема 2.5. Алгебраическая функция у, определенная
уравнением G), представима в k-радикалах над полем рациональных функций,
если и только если ее группа монодромии к-разрешима.
В.И.Арнольд доказал (см. [2]) чисто топологически, не используя
теории Галуа, что группа монодромии алгебраической функции, пред-
ставимой в радикалах, разрешима. Кроме неразрешимости уравнений
в радикалах Владимир Игоревич доказал топологическую
неразрешимость целого ряда классических математических проблем. Согласно
Арнольду, топологическое доказательство неразрешимости какой-либо
задачи, как правило, влечет за собой новые, более сильные следствия.
Я построил топологический вариант теории Галуа, в котором роль
группы Галуа играет группа монодромии (см. [4]). Топологический
вариант теории Галуа применим к широкому классу многозначных
функций комплексного переменного. Например, он применим к
функциям, определенным линейными дифференциальными уравнениями
типа Фукса, и дает наиболее сильные результаты о неразрешимости
таких уравнений в квадратурах.
88

Связные разветвленные накрытия над сферой Римана СР1,
критические значения которых лежат в фиксированном конечном
множестве О, допускают полное конечное описание. Связные /с-листные
разветвленные накрытия с отмеченной точкой к: (М, Ь) —> (СР1 \ О, а)
классифицируются подгруппами индекса к в фундаментальной группе
tzi(CP1\0). Для каждой группы G справедлива следующая лемма.
Лемма 2.6. Классификация подгрупп индекса к группы G
эквивалентна классификации транзитивных действий группы G на
множестве с отмеченной точкой, содержащем к точек.
Доказательство. Действительно, с подгруппой G0 индекса к в
группе G связано транзитивное действие группы G на множестве
правых классов смежности группы G по подгруппе G0, состоящем из к
элементов. В этом множестве отмечен правый класс смежности
единичного элемента. Обратно, каждому транзитивному действию группы G
на множестве из к точек, из которых одна точка отмечена,
соответствует стационарная подгруппа G0 отмеченной точки, имеющая индекс к в
группе G. □
Фундаментальная группа Tti (СР1 \ О, а) — свободная с конечным
числом образующих. Она имеет конечное число различных
транзитивных действий на множестве из к точек, которые можно перечислить.
Вот их описание.
Занумеруем точки множества О. Пусть оно содержит т +1 точку.
Фундаментальная группа Ki(CPl \ О, а) является свободной группой,
порожденной кривыми уь • • • > Ym, где у* —кривая, обходящая г-ю
точку множества О. Возьмем множество из к элементов, в котором одна
точка отмечена. В группе S(к) перестановок этого множества
произвольным образом выбираем т элементов аь ..., ат. Нас интересуют
упорядоченные наборы аь ..., ат, подчиненные одному-единственному
условию: нужно, чтобы группа перестановок, порожденная этими
элементами, была транзитивной. Есть конечное число наборов элементов
Oi, ..., От. Их можно перебрать и выбрать все наборы, порождающие
транзитивные группы. С каждым таким набором связано
единственное разветвленное накрытие к(М, Ь) —> (СР1, а) с отмеченной точкой.
Оно соответствует стационарной подгруппе отмеченного элемента при
гомоморфизме F: тс^СР1 \ О, а) —> 5(/с), переводящем образующую у*
в элемент а*. Итак, за конечное число операций можно перечислить
все транзитивные действия F: Ki(CPx \ О, а) —> S(k) фундаментальной
группы Tii (СР1 \ О, а) на множестве из к элементов.
На конечном множестве гомоморфизмов F: тс^СР1 \ О, а) —► S(k),
образ которых транзитивен, действует конечная группа
гомоморфизмов сопряжения группы S(k). Орбиты действия конечной группы на
89

конечном множестве можно перечислить. Поэтому классы
сопряженности подгрупп индекса к в фундаментальной группе тоже можно
перечислить за конечное число операций.
Итак, мы получаем полное геометрическое описание всевозможных
расширений Галуа поля рациональных функций одной переменной.
Отметим, что в этом описании мы использовали теорему существования
Римана. Теорема Римана не помогает описывать алгебраические
расширения других полей, скажем, поля рациональных чисел. Вопрос об
описании алгебраических расширений поля рациональных чисел еще
открыт. Неизвестно, например, существует ли расширение поля
рациональных чисел, у которого группа Галуа — заданная конечная группа.
90

Литература
[1] М. Бе рже. Геометрия. Т. 1-2. М.: Мир, 1984.
[2] V. В. А1 е к s e e v. Abel's theorem in problems and solutions based on
the lectures of professor V. I. Arnold. Kluwer Academic Publishers, 2006.
[См. также В. Б. Алексеев. Теорема Абеля в задачах и решениях.
М.: МЦНМО, 2001.]
[3] A. Khovanskii. Sovability of equations by explicit formulae //
V. B. Alekseev. Abel's theorem in problems and solutions based on the
lectures of professor V. I. Arnold. Kluwer Academic Publishers, 2004.
P. 221-263.
[4] А. Хованский. О разрешимости и о неразрешимости уравнений
в явном виде // УМН. Том 59, №4 C85). 2004. С. 69-146.
91