С. А. АМБАРЦУМЯН
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
АНИЗОТРОПНЫХ
ОБОЛОЧЕК
{НЕ БОЛЕЕ 1И КНИГИ В
\ ОДНИ РУКИ И 2ХВДВЕ !
КОЛОХ2А
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1974

531
A 61
УДК 531
Общая теория анизотропных оболочек,
Амбарцумян С. А., Главная редакция физико-
математической литературы издательства «Наука»,
М., 1974.
Книга посвящена вопросам расчета на проч-
прочность, устойчивости и колебания анизотропных
слоистых оболочек. В ней рассмотрены вопросы
общей теории, статической и динамической устой-
устойчивости, свободных колебаний, термоупругости,
аэроупругости, магнитоупругости анизотропных
слоистых оболочек.
) Главная редакция физико-математической литературы издател
«Наука», 1974 г.
А_20302_104_
" 053@2)-74

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 9
Введение 11
§ 1. Определения 11
§ 2. Криволинейная анизотропия. Обобщенный закон Гука 14
1. Плоскость упругой симметрии A5). 2. Три плоскости упругой
симметрии. Ортотропное тело A5). 3. Плоскость изотропии. Транс-
версально изотропное тело A6). 4. Полная симметрия. Изо-
Изотропное тело A7).
§ 3. Составляющие деформации. Перемещения. Дифференциальные
уравнения равновесия 17
§ 4. Основные гипотезы 19
1. Классическая теория A9). 2. Частично уточненная теория,
или итерационная теория B0). 3. Уточненная теория B0).
4. Теории, учитывающие и влияние нормального напряжения
ог B2). 5. Новая итерационная теория B2). 6. Замечания B3)
Литература 23
Глава I. Основные уравнения различных теорий анизотропных
оболочек 25
§ 1. Классическая теория 25
1. Перемещения и деформации B5). 2.Уравнения неразрывности
деформаций срединной поверхности B7). 3. Напряжения
в оболочке B8). 4. Внутренние силы и моменты C0). 5. Еще
раз о деформациях и напряжениях C1). 6. Уравнения равнове-
равновесия C2). 7. Соотношения упругости C4). 8. Граничные, или
краевые, условия C6). 9. Потенциальная энергия деформации
оболочки C7). 10. Несколько слов об оболочках из ортотропных
материалов C7). 11. Заключительные замечания D0).
§ 2. Классическая теория симметрично нагруженных ортотропных
оболочек вращения 41
1. Разрешающие уравнения и расчетные формулы D3).
§ 3. Классическая теория анизотропных круговых цилиндрических
оболочек 47
1. Разрешающие уравнения и расчетные формулы D8). 2. Тех-
Техническая теория E0). 3. Теория осесимметричнои деформации

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
анизотропной замкнутой круговой цилиндрической обо-
оболочки E6).
§ 4. Классическая теория ортотропной сферической оболочки. ... 60
1. Разрешающие уравнения и расчетные формулы F1). 2. Раз-
Разрешающие уравнения и расчетные формулы для ортотроп-
ортотропной сферической оболочки в географической системе коорди-
координат F4).
§ 5. Классическая теория пологих анизотропных оболочек .... 66
1. Разрешающие уравнения и расчетные формулы F9).
2. Весьма пологие оболочки G1). 3. Весьма пологие ани-
анизотропные оболочки большого прогиба G7). 4. Замеча-
Замечание (80).
§ 6. Частично уточненная, или итерационная, теория ортотропных
оболочек ?0
1. Перемещения и деформации (82). 2. Напряжения в оболочке,
внутренние силы и моменты (S4). 3) Разрешающие уравнения
(87). 4. Техническая итерационная теория ортотропных обо-
оболочек, для которых приближенно или точно можно принимать
j4=const, B=const, fcj^const, fc2=const. (90). 5. Пологие орто-
тропные оболочки большого прогиба (95).
§ 7. Уточненная теория анизотропных оболочек 102
1. Перемещения и деформации A03). 2. Напряжения в оболочке,
внутренние силы и моменты A05). 3. О разрешающих уравнениях
A08). 4. Граничные, или краевые, условия A09). 5. Уточненная
техническая теория ортотропных оболочек, для которых при-
приближенно или точно можно принимать .4=const, B=const,
A:1=const, &2=const (И0).
§ 8. Уточненная теория трансверсально изотропных оболочек . . . 122
1. Перемещения и деформации A22). 2. Напряжения в оболочке,
внутренние силы и моменты A23). 3. О разрешающих уравнениях
и граничных условиях A25). 4. Трансверсально изотропная кру-
круговая цилиндрическая оболочка A25). 5. Трансверсально изо-
изотропная сферическая оболочка A28).
§ 9. Новая итерационная теория , . 132
1. Перемещения и деформации A35). 2. Напряжения в оболочке,
внутренние силы и моменты A39). 3. О разрешающих уравнениях
и граничных условиях A41). 4. Новая техническая итерацион-
итерационная теория оболочек, для которых приближенно или точно можно
принимать А = const, B=const, fc,=const, fr2=const A42). 5. Но-
Новая итерационная теория симметрично нагруженных ортотроп-
ортотропных оболочек вращения A50).
§ 10. Классическая теория анизотропной слоистой оболочки, соста-
составленной из нечетного числа слоев, симметрично расположенных
относительно срединной поверхности , 156

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
1. Перемещения, деформации, уравнения неразрывности де-
деформаций срединной поверхности A56). 2. Напряжения в слоях
A58). 3. Условия контакта смежных слоев A59). 4. Об уравне-
уравнениях равновесия и граничных условиях A59). 5. Соотношения
упругости A59). 6. Заключительные замечания A61).
§11. Классическая теория оболочек, собранных из произвольного
числа анизотропных слоев 162
1. Перемещения, деформации, уравнения неразрывности, на-
напряжения в слоях, уравнения равновесия элемента оболочки,
граничные условия A63). 2. Соотношения упругости A64).
3. Замечания A66).
§ 12. Разрешающие уравнения и расчетные формулы классической
теории ^симметрично-нагруженных ортотропных оболочек вра-
вращения, составленных из произвольного числа слоев 166
1. Разрешающие уравнения и граничные условия A67). 2. Вну-
Внутренние силы и моменты A69). 3. Напряжения в слоях и переме-
перемещения A69).
§ 13. Разрешающие уравнения и расчетные формулы классической
теории анизотропных цилиндрических оболочек, составленных
из произвольного числа однородных слоев 171
1. Разрешающие {уравнения и расчетные формулы в перемеще-
перемещениях A72). 2. Техническая теория A75).
§ 14. Разрешающие уравнения и расчетные формулы классической
теории пологих анизотропных оболочек, составленных из произ-
произвольного числа однородных слоев 1S5
1. Разрешающие уравнения и расчетные формулы A86).
2. Весьма пологие оболочки A90). 3. Многослойная сфериче-
сферическая оболочка B00). 4. Весьма пологие анизотропные слоистые
оболочки большого прогиба B05).
§ 15. Основные уравнения и соотношения теории анизотропных слои-
слоистых оболочек со слоями переменной толщины 205
1. Уравнения равновесия B06). 2. Соотношения упруго-
упругости и еще раз o6j уравнениях равновесия B11). 3. Замеча-
Замечание B12).
§ 16. Осесимметрично нагруженные анизотропные оболочки вращения
со слоями переменной толщины 212
1. Исходные соотношения и уравнения B12). 2. Разрешающие
уравнения B13).
§ 17. Заключительные замечания 216
Литература 217
Глава II. Определение напряженного состояния и деформаций
различных типов оболочек 223
§ 1. Безмоментное напряженное состояние однородных оболочек 223
1. Определение напряжений B24). 2. Разрешающие уравнения
и граничные условия B25). 3. Перемещения и деформации B26).

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
4. Еще раз о напряжениях B31). 5. Об области применимости
безмоментной теории B33).
§ 2. Безмоментная теория анизотропных оболочек нулевой кри-
кривизны 235
1. Ортогональные криволинейные координаты на поверхностях
нулевой гауссовой кривизны B35). 2. Исходные уравнения и
соотношения B37). 3. Общий интеграл уравнений безмоментной
теории оболочек нулевой гауссовой кривизны B38).
§ 3. Вопросы расчета симметрично нагруженных оболочек вращения
по безмоментной теории 242
1. Исходные уравнения и соотношения B43). 2. Общий интеграл
уравнений безмоментной теории симметрично нагруженных
оболочек вращения B44). 3. Несколько слов о напряженно-
деформированном состоянии симметрично нагруженной обо-
оболочки вращения B47).
§ 4. Асимптотическое интегрирование разрешающего уравнения орто-
тропной симметрично собранной слоистой или однородной обо-
оболочки вращения. О частном решении неоднородного урав-
уравнения 248
1. Об определении частного решения уравнения D.1) B49).
2. Асимптотическое интегрирование разрешающего уравнения
D.1) B50). 3. Внутренние силы и моменты, напряжения, пере-
перемещения B54). 4. Замечания B57).
§ 5. Краевой эффект в анизотропных оболочках вращения . . . 257
§ 6. Длинные оболочки вращения 260
Замечание B62).
§ 7. Решение некоторых задач Для оболочек вращения нулевой
гауссовой кривизны, составленных из произвольного числа
слоев 262
1. Цилиндрическая оболочка B63). 2. Коническая обо-
оболочка B64).
§ 8. Интегрирование разрешающих уравнений технической теории
цилиндрических оболочек методом одинарных тригонометри-
тригонометрических рядов 266
1. Круговая цилиндрическая оболочка открытого профиля
B67). 2. Круговая цилиндрическая оболочка замкнутого про-
профиля B72). 3. Несколько слов об интегрировании уравнений
(8.5) и (8.33) B77).
§ 9. Осесимметричная деформация круговой замкнутой цилиндри-
цилиндрической оболочки в общем случае анизотропии. Два примера
расчета круговой цилиндрической оболочки в общем случае
анизотропии 278
§ 10. О возможности построения напряженно-деформированного со-
состояния цилиндрической оболочки с помощью приближенных
уравнений 2S9

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
1. Построение разрешающих уравнений различных теорий
расчета изотропных оболочек B91). 2. Несколько слов о пре-
пределах применимости полученных разрешающих уравне-
уравнений B95),
§ И. Интегрирование разрешающих уравнений теории весьма пологих
оболочек 297
1. Шарнирно опертая по всему контуру ортотропная слоистая
оболочка, симметрично собранная относительно срединной по-
поверхности B97). 2. Многослойная сферическая оболочка под
действием сосредоточенной силы C02).
§ 12. Решения некоторых задач анизотропных оболочек с помощью
уточненных теорий 308
1. Еще раз о распространении краевого эффекта C08). 2. Сво-
Свободно опертая по всему контуру весьма пологая трансверсально
изотропная оболочка C12). 3. Задача, в которой исследуется
вопрос влияния поперечного обжатия и поперечного нормаль-
нормального напряжения на напряженно-деформированное состояние
ортотропной оболочки C16).
§ 13. Температурные напряжения в анизотропных оболочках . . . 320
1. Классическая теория термоупругости слоистых ортотропных
оболочек C21). 2. Задача термоупругости ортотропной оболочки
вращения с учетом зависимости упругих и термических постоян-
постоянных материала оболочки от температуры C28). 3. Некоторые
вопросы термоупругости пологой ортотропной оболочки с учетом
поперечных сдвигов C34). 4. Замечание C38).
Литература . , , 339
Глава III. Некоторые задачи колебаний и устойчивости анизо-
анизотропных слоистых оболочек 343
§ 1. Свободные колебания 343
1. Определение частот колебаний шарнирно опертой по всему
контуру ортотропной цилиндрической панели C46). 2. О сво-
свободных колебаниях трансверсально изотропной сферической
оболочки C50). 3. Осесимметричные свободные колебания анизо-
анизотропной круговой цилиндрической оболочки C52).
§ 2. Некоторые вопросы статической устойчивости анизотропных
оболочек 354
1. Устойчивость пологой ортотропной цилиндрической панели
C55). 2. Две задачи устойчивости замкнутой трансверсально
изотропной цилиндрической оболочки C57). 3. Об устойчивости
трансверсально изотропной сферической оболочки C60).
4. К устойчивости анизотропной круговой цилиндрической
оболочки C62). 5. Вопросы устойчивости слоистых ортотропных
оболочек C63).
§ 3. Некоторые задачи анизотропных оболочек, подверженных Дей-
Действию динамически приложенных нагрузок 378

8 ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Задача динамической устойчивости многослойной ортотроп-
ной пологой оболочки C79). 2. Динамическая устойчивость
анизотропной замкнутой круговой цилиндрической оболочки
C86). 3. Несколько слов об учете поперечных сдвигов при рас-
рассмотрении задач динамической устойчивости C90). 4. Продоль-
Продольный удар вращающейся анизотропной полубесконечной круговой
цилиндрической оболочки о жесткую стенку C91).
§ 4. Некоторые вопросы устойчивости анизотропной слоистой обо-
оболочки, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа 398
1. Устойчивость анизотропной круговой цилиндрической обо-
оболочки, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа C99). 2. Устой-
Устойчивость анизотропной слоистой круговой цилиндрической обо-
оболочки, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа D03). 3. Устой-
Устойчивость гибкой ортотропной оболочки, обтекаемой сверхзвуко-
сверхзвуковым потоком газа, с учетом поперечных сдвигов D09).
§ 5. Некоторые задачи динамики анизотропных пологих оболочек,
находящихся в переменном температурном поле 414
1. О поперечных колебаниях прямоугольной в плане пологой
оболочки D19). 2. Устойчивость при обтекании ортотропной
цилиндрической оболочки, находящейся в поле действия пере-
переменной температуры D25).
| 6. Флаттер цилиндрической оболочки в потоке сжимаемой проводя-
проводящей жидкости в присутствии магнитного поля 430
Литература 440
Предметный указатель 444

ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга посвящена исследованию вопросов прочности, устой-
устойчивости и колебаний анизотропных оболочек. Она является есте-
естественным продолжением монографии автора «Теория анизотроп-
анизотропных оболочек» A961), посвященной вопросам статики анизотроп-
анизотропных слоистых оболочек, и монографии «Теория анизотропных
пластин» A967), в которой рассмотрены вопросы уточненных
теорий анизотропных пластин. В настоящей книге некоторые
результаты, входящие в первую монографию, повторяются.
Книга состоит из введения и трех глав.
Во введении приводятся все исходные уравнения и гипотезы,
на основании которых написаны три главы книги.
В первой главе излагаются основные теории анизотропных
оболочек, а именно: классическая теория, в основе которой лежит
известная гипотеза недеформируемых нормалей, и некоторые
уточненные теории, которые учитывают поперечные деформации
и напряжения и наиболее интересны с точки зрения приложений.
В книге, в основном, обсуждаются вопросы теории анизотроп-
анизотропных однородных оболочек. Однако здесь освещаются также
некоторые вопросы классической теории слоистых оболочек.
Во второй главе рассматриваются решения многочисленных
задач статики различных типов анизотропных оболочек. Выяв-
Выявляются специфические особенности напряженно-деформирован-
напряженно-деформированного состояния оболочек, изготовленных из анизотропных ма-
материалов.
В этой главе, наряду с решениями конкретных задач, осве-
освещаются также некоторые общетеоретические вопросы, представ-
представляющие интерес и для приложений. Здесь же обсуждаются вопросы
термоупругости анизотропных слоистых оболочек.
Последняя глава охватывает ряд вопросов устойчивости и ко-
колебаний анизотропных слоистых оболочек. Здесь на основании
классической и уточненных теорий рассматриваются задачи
свободных колебаний, статической и динамической устойчивости,
удара и флаттера анизотропных слоистых оболочек. Рассматри-
Рассматриваются задачи колебаний и флаттера оболочки в поле действия
высоких температур, а также магнитного поля.

10 ПРЕДИСЛОВИЕ
На основании приведенного краткого содержания книги можно
заключить, что она представляет интерес для специалистов, ра-
работающих в области машиностроения, самолетостроения, ко-
кораблестроения, ракетостроения и других отраслях современной
техники.
Несмотря на широкий круг вопросов, освещенных в настоящей
книге, она не может претендовать на полноту, ибо содержит лишь
некоторые основные результаты общей теории анизотропных обо-
оболочек.
Основную часть книги составляют результаты, полученные
автором. В нее вошли также некоторые результаты, полученные
сотрудниками и последователями автора.
В заключение автор считает своим приятным долгом выразить
глубокую благодарность А. Л. Гольденвейзеру, внимательно про-
прочитавшему рукопись книги и сделавшему много ценных заме-
замечаний.
С. А. Амбарцумян

ВВЕДЕНИЕ
В современной технике — строительном деле, самолетострое-
самолетостроении, кораблестроении, ракетостроении и т. д. — в качестве
рациональных конструкций и конструктивных элементов приме-
применяются оболочки. Они в громадном большинстве случаев естест-
естественно или конструктивно анизотропны. Большинство анизотроп-
анизотропных оболочек одновременно и слоисты.
Широкое распространение анизотропных слоистых оболочек
вызывает большой интерес к теории анизотропных оболочек.
Задачей теории анизотропных слоистых оболочек, как и за-
задачей теории оболочек вообще, является изучение прочности,
деформативности, устойчивости и колебаний оболочек, изготов-
изготовленных из различных материалов и находящихся в различных
условиях эксплуатации.
Особый интерес теория анизотропных слоистых оболочек при-
приобретает при рассмотрении оболочек, изготовленных из новых
конструкционных материалов.
Следует отметить также, что результаты, полученные по тео-
теории анизотропных слоистых оболочек, могут быть использованы
в частном случае изотропных оболочек. При этом, исходя из
специфичных положений теории анизотропных оболочек, можно
получить новые результаты и в теории изотропных оболочек.
§ 1. Определения
В механике сплошных твердых деформируемых сред оболочкой
принято называть тело, ограниченное двумя поверхностями,
расстояние между которыми мало по сравнению с прочими его
размерами.
Геометрическое место точек, равноудаленных от обеих обра-
образующих оболочку поверхностей, называют срединной поверх-
поверхностью оболочки.
Пусть срединная поверхность оболочки отнесена к криволи-
криволинейной ортогональной системе координат а и |3, и пусть это сде-
сделано так, что координатные линии аир совпадают с линиями глав-
главной кривизны срединной поверхности оболочки (рис. 1).

12
ВВЕДЕНИЕ
В выбранной системе координат срединная поверхность будет
характеризоваться: главными кривизнами кг=кг (а, |3), кг=
—к2 (а, Р) и соответствующими радиусами кривизны R\ =
=i?! (a, p), R2=R2 (а, р) линий кривизны p=const, a=const;
коэффициентами первой квадратичной формы А=А (а, р),
Рис. 1.
Рис. 2.
В=В (а, р), с помощью которых квадрат линейного элемента
срединной поверхности представляется известной формулой
ds2 = A2da2 -j- ВЧ$2. A)
Наконец, для полноты картины укажем, что между к(, А и В
существуют известные соотношения Гаусса—Кодацци, которые
имеют вид *)
B)
Таким образом, положение какой-либо точки срединной по-
поверхности будем определять двумя криволинейными координа-
координатами аир. Для определения же положения какой-либо точки,
оболочки, находящейся вне срединной поверхности, вводим
третью, нормальную к линиям a=const, p=const, координату у,
которая представляет расстояние по нормали от точки (а, C)
срединной поверхности до точки (а, р, у) оболочки (рис. 2).
Теперь линейный элемент оболочки в выбранной системе коор-
координат будет определяться следующей формулой:
*) Здесь ц в последующем, если это удобно, частные производные обозна-
обозначаются запятыми в индексах с последующим указанием аргументов, по кото-
которым берутся производные, например:
дР дР
Р Р

ОПРЕДЕЛЕНИЯ
13
где для коэффициентов Ламе Н( = Н. (а, |3) имеем
Н1 = А A +^iT)> Ht = B (I-\-ktf). D)
Длина отрезка, нормального в данной точке к срединной
поверхности оболочки и ограниченного образующими оболочку
поверхностями, определяет толщи-
толщину оболочки. Толщина оболочки,
вообще говоря, может быть величи-
величиной переменной, т. е. h=h (а, |3)
(рис. 3). Однако в дальнейшем, как
правило, мы будем рассматривать
лишь такие оболочки, у которых
/i=const, т. е. оболочки постоянной
толщины.
Укажем также, что здесь мы бу-
будем интересоваться и слоистыми обо-
оболочками постоянной и переменной
общей толщины h=const и h =
=h (a, p), составленными из одно-
однородных анизотропных слоев как постоянной толщины ti^=hi =
Рис. 3.
= const [^h. — h, n — число слоев , так и переменной толщины
W /
*< = *<(«, Р).
Наконец укажем, что, допуская обычную для инженерного
расчета относительную погрешность ~5°/0) ориентировочно тон-
тонкими будем считать такие оболоч-
оболочки, у которых max (hk\) ^ 1/20
и одновременно hi а ^ е (рис. 4),
где а — минимальный линейный
размер оболочки в срединной или
в какой-либо образующей обо-
оболочку поверхности, е — малая
величина, которая существенно
зависит от характера анизотро-
анизотропии материала оболочки и окон-
окончательно будет установлена лишь в последующем. Однако для
лучшей ориентации предварительно укажем, что для изотропной
оболочки етаО,{. Второе условие, заимствованное из теории анизо-
анизотропных пластинок, является обязательным, так как если тон-
тонкую оболочку определять только с точки зрения отношения тол-
толщины оболочки к минимальному радиусу кривизны координатной
поверхности (первое условие), то оболочка с точки зрения теории
пластинок (второе условие) может оказаться толстой.
В этой книге мы будем заниматься только тонкими оболочками
и будем строить лишь теории тонких анизотропных оболочек.
Рис. 4.

14
ВВЕДЕНИЕ
Рис. 5.
§ 2. Криволинейная анизотропия. Обобщенный
закон Гука
Изучая распределения напряжений и деформаций в анизотроп-
анизотропной оболочке, мы будем полагать, что тело оболочки в процессе
деформации остается упругим и подчиняется обобщенному закону
Гука, данному для анизотропного
тела.
Тело, вообще говоря, называет-
называется анизотропным, когда оно по раз-
разным направлениям имеет разные
физико-механические свойства.
Анизотропные однородные тела,
в которых все параллельные направ-
направления, проведенные через разные
точки, являются эквивалентными
в отношении физико-механических
свойств, называются телами с пря-
прямолинейной анизотропией. В этом
случае все одинаковые и одинаково
направленные элементы в виде прямоугольных параллелепипедов,
выделенные в разных местах тела, являются идентичными —
обладают одинаковыми свойствами. Таковыми являются, напри-
например, для случая тела с прямоли-
прямолинейной анизотропией элементы
1, 2, 3, показанные на рис. 5.
Анизотропные тела, в которых
эквивалентными с точки зрения
физико-механических свойств яв-
являются не параллельные направ-
направления, проведенные через различ-
различные точки тела, а направления,
которые подчиняются иным за-
закономерностям, называются кри-
криволинейно анизотропными. Вы-
Выбирая систему криволинейных
координат а, |3, у так, чтобы в
каждой точке эквивалентные на-
направления совпадали с координат-
координатными направлениями, замечаем,
что бесконечно малые элементы, выделенные в разных точ-
точках тела тремя парами координатных поверхностей, обладают
одинаковыми свойствами. Таковы, например, элементы 1,2 3
на рис. 6.
В общем случае однородного криволинейно анизотропного
тела обобщенный закон Гука в системе триортогональных коор-
аг
Рис. 6.

2]
КРИВОЛИНЕЙНАЯ АНИЗОТРОПИЯ
15
динат а, р, у имеет следующий вид:
«13°т
+ «66 V
E)
где aik — упругие постоянные (коэффициенты деформации); не-
независимых упругих постоянных всего 21.
Здесь и в последующем, как обычно, приняты следующие обо-
обозначения: et — относительные деформации удлинения, е(к — де-
деформации сдвига, а. — нормальные напряжения, xik — касатель-
касательные напряжения.
Когда анизотропное тело обладает упругой симметрией, то
уравнения обобщенного закона Гука упрощаются. Укажем не-
некоторые наиболее важные случаи упругой симметрии.
1. Плоскость упругой симметрии. Пусть в каждой точке тела
имеется плоскость, обладающая тем свойством, что любые два
направления, симметричные относительно этой плоскости, экви-
эквивалентны в отношении упругих свойств.
Предполагая, что координата у в каждой точке криволинейно
анизотропного тела перпендикулярна к плоскости упругой сим-
симметрии, получим
а11°а + «12^ + а13°Г
а12аа + а2^ + а^
азз°т
«55V
F)
В этом случае число независимых упругих постоянных aik
сокращается до тринадцати.
Направления, перпендикулярные к плоскостям упругой сим-
симметрии, называются главными направлениями упругости. В об-
обсуждаемом случае упругой симметрии через каждую точку тела
проходит одно главное направление.
2. Три плоскости упругой симметрии. Ортотропное тело. Пусть
через каждую точку тела проходят три взаимно ортогональные
плоскости упругой симметрии. Предполагая, что в каждой точке
криволинейно анизотропного тела эти плоскости перцендику-

16
ВВЕДЕНИЕ
лярны к соответствующим ортогональным координатным направ-
направлениям а, р, у, получим
G)
В этом случае число независимых упругих постоянных а{к
равно девяти.
Уравнения G) могут быть представлены и с помощью техни-
технических постоянных:
ea =
a —
?
T13
(8)
Здесь в силу симметрии уравнений (8) существуют зависимости
Z?2v21 := ?>12, Е3Уал = Е%ч23, Ejy13 = E3v31. (9)
В этих формулах и в последующем E1=Ea, E2=Ea, ES=E^ —
модули Юнга соответственно по направлениям а, р, у; G^=G23,
G =Gl3, Gap=G12 — модули сдвига, характеризующие изме-
изменения углов между главными направлениями р и у, а и у, а и Р;
v,« = v..,
1—V
»= v
2=V — коэффи-
y12— 'OJ> 1— 'p^i ie 07' ai rot'
циенты Пуассона, характеризующие поперечное сокращение (рас-
(расширение) при растяжении (сжатии) в направлении координатных
линий (первый индекс показывает направление сокращения или
расширения, второй индекс — направление действия силы).
3. Плоскость изотропии. Трансверсально изотропное тело.
Пусть через каждую точку тела проходит плоскость, в которой
все направления упруго эквивалентны. Предполагая, что в криво-
криволинейно анизотропном теле координата у в каждой точке перпен-
перпендикулярна к плоскости изотропии (в последующем нас будет
интересовать именно такое расположение системы координат),
получим
= «
is
A0)
з
В зтом случае число независимых упругих постоянных равно
пяти, ибо а66=2 (ац—а12).

§ 3] СОСТАВЛЯЮЩИЕ ДЕФОРМАЦИИ. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ 17
Уравнения A0) могут быть представлены и следующим
образом:
1 v v' 1
i v •/_ _i_
_ 1 V» _V^ _j_
Здесь в силу симметрии уравнений A1)
A1)
= v>E. A2)
В этих формулах Е — модуль Юнга для направлений в плоскости
изотропии; Е' — модуль Юнга для направлений, перпендикуляр-
перпендикулярных к плоскости изотропии; v — коэффициент Пуассона, характе-
характеризующий сокращение в плоскости изотропии при растяжении
в той же плоскости; V — коэффициент Пуассона, характеризую-
характеризующий сокращение в плоскости изотропии при растяжении в направ-
направлении, перпендикулярном к этой плоскости; v" — коэффициент
Пуассона, характеризующий сокращение в направлении, пер-
перпендикулярном к плоскости изотропии, при растяжении в пло-
плоскости изотропии; G' — модуль сдвига для плоскостей, нормаль-
нормальных к плоскости изотропии; G=E/2 A-f-v) — модуль сдвига для
плоскости изотропии.
4. Полная симметрия. Изотропное тело. Здесь все направления
эквивалентны и любая плоскость в любой точке тела есть плоскость
упругой симметрии. Уравнения обобщенного закона Гука в этом
случае имеют вид
e [°(o + o)] e^V
[ ( + )! i | A3)
= 5-V J
Здесь E — модуль Юнга, v — коэффициент Пуассона,
G=EI2 A + v) — модуль сдвига. Число независимых упругих
постоянных равно двум.
§ 3. Составляющие деформации. Перемещения.
Дифференциальные уравнения равновесия
Пусть тело оболочки, отнесенное к триортогональной системе
координат а, |3, у, под действием каких-либо сил претерпе-
претерпевает деформации. Тогда какая-либо точка оболочки М, имеющая
координаты (а, |3, у), получит перемещение, которое может быть
2 С. А. Амбатшу ян , ¦¦»

18
ВВЕДЕНИЕ
представлено следующими тремя проекциями вектора полного
перемещения на направления касательных к координатным ли-
линиям а, р, у (рис. 7):
A4)
Деформированное состояние тела оболочки в окрестности точки
М (а, р, f) характеризуется шестью составляющими деформации,
которые связаны с перемещениями точки М посредством извест-
известных соотношений:
77;
Рис. 7.
A5)
Уравнения равновесия дифференциального элемента da dp df,
выделенного из тела оболочки, выглядят следующим образом:
(ВД, a + (#Лр). р + (^Я^), т - aptf2> я +
Н2 = О,
В, = 0,
,я2 = о,
A6)
где Р(=Р( (a, p, ^) представляют составляющие объемной силы
по направлению касательных к координатным линиям. Напомним,
что Н( — коэффициенты Ламе, которые в силу B) и D) удовлет-
удовлетворяют условиям
1 11 1
Н В HA

4] ОСНОВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ 19
Присоединяя к приведенному выше условия на поверхности, можно
приступить к построению теории анизотропных оболочек в ли-
линейной постановке.
Вопросы нелинейной теории анизотропных оболочек нас будут
интересовать лишь частично, поэтому общие вопросы теории бу-
будем излагать в линейной постановке.
§ 4. Основные гипотезы
Очевидно, построение общей теории анизотропных оболочек
в рамках трехмерной задачи теории упругости сопряжено с почти
непреодолимыми трудностями. Поэтому исследователи анизотроп-
анизотропных оболочек идут по пути сведения трехмерной задачи теории
оболочек к двухмерной задаче, т. е. по пути сведения трехмерных
уравнений теории упругости к двухмерным уравнениям теории
оболочек.
Для решения.этой проблемы было предложено большое число
методов. Они могут быть представлены: а) методом гипотез;
б) методом разложений по толщине; в) асимптотическим методом.
Здесь без обсуждения других методов на основании метода ги-
гипотез будут построены различные теории анизотропных оболочек.
Мы считаем, что метод гипотез, наряду с чрезвычайной нагляд-
наглядностью, очень быстро и относительно просто приводит к оконча-
окончательным результатам и прикладным рекомендациям.
Имеет ли метод гипотез недостатки? Да, имеет, и основной из
них — трудности получения оценки погрешности. Однако этого
бояться не надо, ибо развитие других методов (б, в) открывает
новые пути для преодоления этих трудностей.
В настоящей книге будем рассматривать лишь теории анизо-
анизотропных оболочек, построенные методом гипотез.
Будем полагать также, что материал оболочки таков, что в каж-
каждой точке оболочки имеется по меньшей мере одна плоскость
упругой симметрии, параллельная срединной поверхности обо-
оболочки.
Более общие случаи анизотропии здесь вовсе не будут обсуж-
обсуждаться.
Таким образом, в последующем в общем случае будем пользо-
пользоваться обобщенным законом Гука F), т. е. уравнениями, описы-
описывающими анизотропное тело, которое в каждой точке имеет лишь
одно главное направление упругости.
1. Классическая теория. Эта теория основывается на известной
гипотезе недеформируемых нормалей, которая формулируется так:
а) нормальный к срединной поверхности прямолинейный эле-
элемент оболочки после деформации оболочки остается прямолиней-
прямолинейным, нормальным к деформированной срединной поверхности и
сохраняет свою длину;
2*

20 ВВЕДЕНИЕ
б) нормальными напряжениями а на площадках, параллель-
параллельных срединной поверхности, можно пренебречь.
Таким образом, в силу принятых предположений можно счи-
считать, что из шести соотношений A5) третье, четвертое и пятое
соотношения могут быть заменены следующими приближенными
равенствами:
ег = 0, врг = 0, ^ = 0, A8)
которые формально равносильны допущению, что деформация
оболочки в целом происходит без деформаций сдвига еаг, е^ в пло-
плоскостях нормальных сечений и без деформации удлинения е по
толщине оболочки.
Согласно второму предположению напряжением а можно
пренебречь лишь в уравнениях обобщенного закона Гука. В урав-
уравнениях же равновесия напряжением о пренебрегать нельзя,
и оно при необходимости определяется из третьего уравнения
системы A6).
2. Частично уточненная теория, или итерационная теория.
Эта теория анизотропных оболочек частично уточняет классиче-
классическую теорию. Она основывается на следующих гипотезах:
а) при определении деформаций ещ и ер считаем, что каса-
касательные напряжения х и т„ не отличаются от соответствую-
соответствующих напряжений, найденных по гипотезе недеформируемых нор-
нормалей, т. е. от соответствующих напряжений классической теории;
б) нормальное к срединной поверхности оболочки перемещение
и не зависит от координаты у;
в) нормальными напряжениями а на площадках, параллель-
параллельных срединной поверхности, можно пренебречь.
Принимая приведенные гипотезы, мы приближенно полагаем
где т°, т5 — касательные напряжения классической теории.
3. Уточненная теория. Она основывается на следующих гипо-
гипотезах:
а) касательные напряжения х и т„ или соответствующие
деформации е и е- по толщине оболочки меняются по задан-
заданному закону;
б) нормальное к срединной поверхности оболочки перемеще-
перемещение и не зависит от координаты у;
в) нормальными напряжениями а на площадках, параллель-
параллельных срединной поверхности, можно пренебречь.

ОСНОВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ 21
Принимая приведенные гипотезы, мы приближенно полагаем
B0)
где Х+(а, р), У+(а, р) и X" (а, 0), У" (а, 0) — тангенциаль-
тангенциальные компоненты векторов интенсив-
интенсивности поверхностных нагрузок, при-
приложенных на внешних поверх-
поверхностях оболочки (y=h/2, f=—h/2);
h — толщина оболочки (рис. 8);
tp (a, p) и ф(а, р) —произвольные
искомые функции координат а, р;
/,• (т) — Функции, характеризующие
законы изменения касательных на-
напряжений \у и i^ по толщине обо-
лочки, причем ft (±h/2)=0.
Рассматривая B0), замечаем, что
и
Рис. 8.
касательные напряжения т и т?
удовлетворяют следующим условиям на поверхностях оболочки:
при т= А/2 тат = Х+,
при т=—А/2 хвт = —
= —У"
B1)
Подставляя значения г и т. из B0) в четвертое и пятое
уравнения F), для деформаций сдвига получим
1
+ - У")] +
«45/2? + 4 [«44 (Y+ -
aiS (X+ -
B2)
Очевидно, из всех рассмотренных выше теорий наиболее уни-
универсальной является последняя, уточненная теория, так как иа
этой теории в частных случаях можно получить классическую и
частную теории. В этом легко убедиться, рассматривая основные
гипотезы этих теорий.
Например, полагая, что жесткости поперечных сдвигов мате-
материала оболочки равны бесконечности, т. е. a44=«55==«45=:0i из B2)

22 ВВЕДЕНИЕ
получим аналитически сформулированные основные предполо-
предположения классической теории, т. е. е =0, е- =0. Или, заменяя
в B0) правые части равенств известными функциями т" и т°
т. е. полагая т =т?т и -5^ = 1^, получим основную гипотезу
итерационной теории, т. е. соотношения A9).
Рассматриваемые теории, наряду с основными гипотезами,
содержат еще два, единых для всех теорий, предположения,
а именно: приближенно полагается е =0, и пренебрегается напря-
напряжением о . При построении теорий анизотропных оболочек эти
предположения могут быть и не приняты; кстати, такие теории
построены и заинтересованный читатель может найти их в после-
последующих параграфах или, например, в вышеупомянутых моногра-
монографиях автора. Однако анализ напряженно-деформированного со-
состояния различных типов анизотропных оболочек показывает,
что, как правило, в реально существующих оболочках погреш-
погрешности в окончательных результатах, обусловленные принятием
указанных двух предположений, зачастую настолько незначи-
незначительны с точки зрения приложений, что ими можно пренебрегать.
Таким образом, мы примем в рассматриваемых здесь теориях
эти два предположения, зная, что при решении задач прочности,
устойчивости и колебаний тонких анизотропных оболочек полу-
получаемые результаты имеют точность, достаточную для инженерных
разработок.
4. Теории, учитывающие и влияние нормального напряже-
напряжения а. Уточненные теории, построенные на основании гипотез,
приведенных в пп. 2 и 3 настоящего параграфа, могут быть не-
несколько улучшены. С этой целью в процессе построения указанных
двух теорий надо отказаться от предположения о возможности
пренебречь нормальным напряжением о по сравнению с прочими
напряжениями. При этом нормальное напряжение о определяется
из третьего уравнения равновесия A6), т. е. после того, как
устанавливаются окончательные выражения для напряжений
5. Новая итерационная теория, ату теорию мы условно назы-
называем новой, так как она сформулирована совсем недавно и, пожа-
пожалуй, является самой последней среди теорий рассматриваемого
класса, т. е. среди теорий, построенных методом гипотез. Она
называется итерационной теорией, так как основные идеи уточне-
уточнения идентичны с идеями, использованными при построении ите-
итерационной теории (см. п. 2 настоящего параграфа). Новая итера-
итерационная теория основывается на следующих предположениях:
а) при определении деформаций е и е^ считается, что каса-
касательные напряжения t и т- не отличаются от соответствующих
напряжений т° -с?, найденных по классической теории;

ЛИТЕРАТУРА 23
б) деформация е и нормальное напряжение о не отличаются
от соответствующих величин (е° о?) классической теории.
Согласно этим гипотезам мы, по сути дела, приближенно при-
принимаем
яО 0 — О
где ё\к — соответствующие деформации классической теории.
Если классическую теорию трактовать как нулевое прибли-
приближение, то новую теорию можно рассматривать как последующее,
первое.
Новая итерационная теория отличается от всех приведенных
теорий тем, что здесь делается попытка учесть влияние деформа-
деформаций еу на напряженно-деформированное состояние анизотропной
оболочки.
6. Замечания. Таким образом, мы здесь привели гипотезы,
на основании которых в первой главе будут построены различные
теории анизотропных оболочек.
Из известных в литературе гипотез здесь приведены лишь
те, которые находятся в кругу научных интересов автора.
Построенные на основании этих гипотез классическая и уточ-
уточненные теории имеют важное значение для приложений и, как
все теории этого класса, могут быть использованы для решения
внутренней задачи анизотропной оболочки. Что же касается ре-
решения задачи краевой зоны, то здесь как классическая теория,
так и любая уточненная теория, в разумных пределах приближе-
приближения, не могут быть использованы. В этом случае очевидно, что
мы должны привлечь трехмерную задачу теории упругости анизо-
анизотропного тела.
ЛИТЕРАТУРА
1. Айнола Л. Я. и Нигул У. К., Волновые процессы деформации
упругих плит и оболочек. Известия АН ЭстССР, № 1, 1965.
2. Амбарцумян С. А., Теория анизотропных оболочек. Физматгиз,
1961.
3. Амбарцумян С. А., Некоторые вопросы развития теории анизо
тройных слоистых оболочек. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 17,
№ 3, 1964.
4. Амбарцумян С. А., Теория анизотропных пластин. Физматгиз,
1967.
5. Амбарцумян С. А., Специфические особенности теории оболочек
из современных материалов. Известия АН АрмССР (механика), т. 21,
№ 4, 1968.
6. Веку а И. Н., Об одном методе расчета призматических оболочек.
Труды Тбилисского математического института им. А. М. Размадзе,
т. 21, 1955.
7. Власов В. 3., Общая теория оболочек. Гостехиздат, 1949.

24 ВВЕДЕНИЕ
8. Ворович И. И., Общие проблемы теории пластин и оболочек. Труды
6-й Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Изд-во
«Наука», 1966.
9. Г а л и н ь ш А. К., Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям.
Исследования по теории пластин и оболочек. Изд-во Казанского ун-та,
1970.
10. Гольденвейзер А. Л., Теория упругих тонких оболочек. Гос-
техиздат, 1953.
11. Гольденвейзер А. Л., Методы обоснования и уточнения теории
оболочек. ПММ, т. 32, в. 4, 1968.
12. Кильчевский Н. А., Основы аналитической механики оболочек.
Изд-во АН УССР, 1963.
13. Лехницкий С. Г., Анизотропные пластинки. Гостехиздат, 1957.
14. М у ш т а р и X. М., Г а л и м о в К. 3., Нелинейная теория упругих
оболочек. Таткнигоиздат, 1957.
15. Н о в о ж и л о в В. В., Теория тонких оболочек. Судпромгиз, 1962.
В приведенных работах читатель найдет необходимые сведения по общей
теории оболочек. Безусловно, такие сведения содержатся и в других работах
по теории оболочек, которые здесь не цитируются.

Глава I
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАЗЛИЧНЫХ ТЕОРИИ
АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
В настоящей главе подробно излагаются основные положения
тех теорий, о которых говорилось в четвертом параграфе введения.
Эти теории, как правило, излагаются для общего случая тонкой
анизотропной оболочки. Однако, без нарушения общности рас-
рассуждений, некоторые из них рассматриваются лишь для пологих
оболочек (это делается ради сокращения записи).
§ 1. Классическая теория
Как было указано (см. введение, § 4, п. 1), классическая теория
основывается на гипотезе недеформируемых нормалей, которая
аналитически представляется следующими приближенными ра-
равенствами:
ет = 0, е,г = 0, ^ = 0, от^0. A.1)
По возможности подробно изложим теорию, которая основы-
основывается на этой классической гипотезе.
1. Перемещения и деформации. В силу A. 1) из соотноше-
соотношений A5) имеем
ет = иг,т = 0, n^ = w{a, % A.2)
т. е. нормальное перемещение и^ какой-либо точки оболочки не
зависит от координаты у. Нормальные перемещения всех точек
данного нормального элемента оболочки имеют постоянное зна-
значение и равняются нормальному перемещению w=w (a, C) той
точки срединной поверхности оболочки, которая образуется при
пересечении данной нормали со срединной поверхностью оболочки.
В силу формул A.1), A. 2) и A7) из последних двух соотноше-
соотношений A5) получим
U A + Al7)  т

26
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
Интегрируя эти уравнения по у в пределах от нуля до у и по-
полагая, что при y = 0 ua = u(a, Р), u?=v(a, Р), найдем
». = (l+*ir)B-j«'1,. иэ=A+*»т)*' —g-.?' A.4)
где и—и (a, fi), v—v (a, Р) —тангенциальные перемещения соот-
соответствующей точки срединной поверхности оболочки. Таким обра-
образом, формулами A.2) и A.4) уста-
устанавливается геометрическая модель
деформированного состояния оболоч-
оболочки (рис. 9).
Рассматривая формулы A.2) и
A.4), замечаем, что нормальное пе-
перемещение и не зависит от коорди-
координаты у, а тангенциальные переме-
перемещения иа и Up по толщине оболочки,
т. е. по координате у, меняются по
линейному закону. Искомые переме-
перемещения и, v, w, через которые пред-
представлены перемещения какой-либо
точки оболочки, являются функция-
функциями лишь криволинейных координат
а и [3. Таким образом, базируясь на соотношениях A.2) и A.4),
мы трехмерную задачу теории упругости можем привести к двух-
двухмерной задаче теории оболочек.
В силу формул A.2) и A.4), а также сказанного выше, дефор-
деформации оболочки еа, во, е » могут быть представлены в виде раз-
разложений по степеням у, при этом, с точностью исходной гипотезы,
можно ограничиться первыми двумя членами разложений, а именно
Рис. 9.
Подставляя значения ив, и^ и и соответственно из A.4) и A.2)
в A5), при этом учитывая, что
а также B) и сравнивая полученные представления с соответствую-
соответствующими выражениями A.5), получим для коэффициентов разло-
разложений
1 , 1
A.6)

§ 1]
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
27
= -т(т
A.7)
Коэффициенты разложения е1 = е1 (а, р), е2=е2 (а, р), (о=(о (а, р),
которые называются компонентами тангенциальной деформации,
представляют собой относительные деформации удлинений и
сдвига срединной поверхности. Коэффициенты разложения
х1 = х1 (а, Р), х2 = х2 (а, р), T=t(a, р) называются компонентами
деформации изгиба и кручения срединной поверхности оболочки.
2. Уравнения неразрывности деформаций срединной поверх-
поверхности. Между шестью параметрами е1г . . ., -с, которые пред-
представляют деформацию срединной поверхности оболочки, имеются
три дифференциальных соотношения:
7~Ъ I / Ч 7~Ъ ^* Л f 7 Л I
, р - 5е2>а - (е2 - е,) ?; J = О,
^ {[4-
Функции
17.
у 1 -с, удовлетворяющие этим уравнениям, харак-
характеризуют такое деформированное состояние оболочки, при кото-
котором срединная поверхность остается сплошной. В силу этого
уравнения A.8) называют условиями неразрывности срединной
поверхности.
Известные и широко распространенные условия неразрывности
A.8), полученные из чисто геометрических условий Гаусса—
Кодацци, формально не находятся в соответствии с соотноше-
соотношениями A.7), так как последние имеют несколько отличный от
принятого в A.8) геометрический смысл. Однако, без нарушения
точности классической теории, условия неразрывности могут быть

28
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
приведены в соответствие с A. 7) и переписаны следующим
образом:
1 т
. я К1 , <х """ У '"V, р 5" i Р ' 1 2/ ^*?2, а
2: а) ш - (^ - к,) со, J = О,
A.8')
3. Напряжения в оболочке. Пренебрегая напряжением о и
учитывая, что в общем случае материал оболочки в каждой точке
имеет лишь одну плоскость упругой симметрии, параллельную
срединной поверхности оболочки, из обобщенного закона Гука F)
получим
A-9)
Решая эти уравнения относительно составляющих тензора
напряжений и при этом учитывая A. 5), получим
у
Ват),
A.10)
\fi = В16е1 + #26S2 + 586« + Т (#16*1 + #26*2 +
где для коэффициентов j5,.fc имеем
Вп = {a2ia№ — в*,) ОТ1, Bw = (а12а2в — а22а1
66 == (апа22 — а*а) Q'1, В12 = (а^а^ — а12ав6) Q,
2 = (вцва, — а?2) авв + 2а12а1ва2в — ОцО», —

§ 1]
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
29
При определении деформаций и расчетных напряжений мы
пренебрегли напряжениями ч^, ч^, о?. Однако неправильно
было бы считать их равными нулю. Они отличны от нуля и могут
\7
Рис. 10,
быть1 определены из уравнений равновесия A6). Ограничиваясь
общей формой записи, для указанных напряжений получим
1 = -Н?Н? {j [Я, (Я2оД а - Н.Н^
+ X (а, р)}.
A.12)
Здесь Ф (а, р), f (а, [3), X (а, р) — функции, появившиеся в силу
интегрирования по у. Их можно определить из условий на внеш-
внешних поверхностях оболочки, которые имеют следующий вид (рис. 8):
при T = A/2 ^ = X\ ^=
при Т = — А/2 \т = — Х-, трт =
A.13)
где Х+ (а, р), . . ., Z (а, р) —компоненты векторов интенсивности
поверхностных нагрузок.
К вопросу определения напряжений т , т„ , о и их оконча-
окончательной формулировке мы вернемся еще раз, ибо окончательные

30
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
представления этих напряжений нам будут необходимы в после-
последующем.
4. Внутренние силы и моменты. Выше были установлены
законы изменения деформаций и напряжений по толщине обо-
оболочки. Имея эти представления, удобно, как и в теории изгиба
пластин или в теории изгиба балок, вместо напряжений ввести
в рассмотрение статически эквивалентные им внутренние силы
Рис. 13.
и моменты, которые действуют на площадках главных нормаль-
нормальных сечений.
Рассмотрим грань дифференциального элемента оболочки
(рис. 10), перпендикулярную к линии кривизны а, с длиной дуги
срединной поверхности, равной ds=B dp (рис. 11). На дифферен-
дифференциальный элемент этой грани длиною ds'=B (l-\-k2y)d$=H2dft
будут действовать напряжения ов, ти|3, тти. Равнодействующие (Р,)
и моменты (L{) (относительно касательной к р) этих напряжений,
приходящиеся на рассматриваемую грань с элементом дуги сре-
срединной поверхности длиною ds—B dp, будут равны
Л/2 Л/2
-4/2 -4/2
А/2 Л/2
-А/2
= \
-А/2
.= S v
-Л/2
A.14)
Аналогичным образом могут быть найдены силы и моменты
приходящиеся на грань элемента оболочки, перпендикулярную
к линии кривизны р.
Отсюда для получения значений сил и моментов, приходящихся
на единицу длины данной дуги срединной поверхности, необходимо

S 1]
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
31
все формулы типа A. 14) разделить соответственно на В d$ и
на A da. (когда рассматривается грань p=const).
Таким образом, из условий статической эквивалентности для
внутренних тангенциальных {Тг, Т2, Sl2, ?21) и поперечных (Nlf
N2) сил, а также для изгибающих (М1г Af2) и крутящих (Я12,
Я21) моментов, отнесенных к единице длины дуг соответствующих
координатных линий, получим следующие формулы (рис. 12, 13):
A/2
-А/2
Л/2
-А/2
А/2
/
-А/2
А/2
1 J арВД,
-А/2
'¦¦ А/2
"'-А/8
А/2
-А/2
А/2
-А/2
*/2
#12=5"
^ А/2
-А/2
A.15)
Заменяя напряжения статически эквивалентными им силами и
моментами, в дальнейшем взамен произвольного трехмерного
элемента оболочки будем рассматривать соответствующий двух-
двухмерный элемент срединной поверхности под действием приведен-
приведенных внутренних сил и моментов. При этом рассматриваемому
элементу координатной поверхности оболочки будут придаваться
приведенные физико-механические характеристики соответствую-
соответствующего трехмерного элемента оболочки. Положительные направления
внутренних сил и моментов показаны на рис. 12 и 13.
5. Еще раз о деформациях и напряжениях. Ограничиваясь
точностью классической теории, из A. 15) в силу A. 10) для основ-
основных напряжений оболочки легко получить следующие формулы:
*-* 12 I
¦T. Te« =
4+
i2M2
Т.
21
Т.'
A.16)
отсюда ввиду того, что tap='V(' c точностью классической теории
имеем S12=S21=S, H12=H21=H.

32 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
Подставляя значения напряжений из A. 16) в A.12) и произ-
производя требуемые преобразования с учетом A. 13), найдем, что
(U7)
Далее, используя выражения A. 17), из третьего уравнения A. 12)
с учетом A. 13) получим для нормального напряжения от следую-
следующее выражение:
,|r() A.18)
Здесь принимается, что
Y2=Y++Y~,
Имея значения всех напряжений, легко найти значение де-
деформации е . Подставляя значения соответствующих напряжений
в третье уравнение обобщенного закона Гука F), получим
ет = Т (а'зТ1 + й*зf2 + «365) + Т at
~ж (т— г2) S"
Полученные в этом пункте результаты с точки зрения класси-
классической теории никакого интереса не представляют. Они демонстри-
демонстрируют лишь те противоречия, которые имеют место в классической
теории. Например, вначале, при построении классической теории,
исходя из исходной геометрической гипотезы A. 1), мы прибли-
приближенно принимали е —0. Теперь^ же, исходя из напряженного со-
состояния оболочки, согласно закону Гука-находим, что е=^=0 и т. д.
Несмотря на сказанное, эти результаты весьма важны с точки
зрения построения уточненных теорий и будут использованы
в последующем.
6. Уравнения равновесия. Уравнения равновесия дифферен-
дифференциального элемента оболочки ABdoLd^d^ были приведены во
введении. Однако в дальнейшем, как и в теории пластин или изо-
изотропных оболочек, нас будут интересовать уравнения равновесия
дифференциального элемента оболочки А В da d$h с конечной.
толщиной h.

§ 1]
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
33
С помощью четырех сечений, нормальных к координатной
поверхности оболочки, выделим малый криволинейный прямо-
прямоугольник, стороны которого совпадают с координатными ли-
линиями oc=const, |3—const.
На указанный элемент оболочки будут действовать внутренние
силы в виде напряжений, действующих на боковых гранях обо-
оболочки по известному закону A.16), A. 17), внешние силы в виде
объемных сил Р(=Р4(а, |3) и поверхностных сил, приходящихся
на соответствующие внешнюю (у=/г/2) и внутреннюю (у=—h/2)
поверхности, ограничивающие рассматриваемый элемент оболочки.
Очевидно, внешние поверхностные силы определяются согласно
условиям A.13).
Во всех предыдущих пунктах мы методически приводили
трехмерные уравнения теории упругости к двухмерным уравне-
уравнениям теории оболочек. То же самое предстоит осуществить и
сейчас. Проинтегрируем каждое из уравнений системы A6) по у
в пределах толщины оболочки, т. е. от y=h/2 до у=—/г/2. Да-
Далее, умножая первые два уравнения A6) на f и интегрируя по f
в тех же пределах, после некоторых преобразований получим
A.21)
-(kj, -f ВД -f -L.
+ (AN2\e\ = -Z,
где для внутренних сил и моментов имеем A. 15), а для грузовых
членов в силу A.13) получаем следующие формулы:
+ лг)(» +ж)+*"(' -
А/
-А/2
А/2
J
-А/2
А/2
J Padb
НЕ БОЛЕЕ Ш КНИГИ В
ОДНИ РУКИ И 2Х В ДВЕ
КОЛОХЗА
—ч А/2
SU ^ АВ }
^ -А/2
АВ )
А/2
¦ J
-А/2
й/2
S
-А/2
А/2
S
-А/2
A.22)

34
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. Г
Формулами A.22) внешние силы приведены к статически экви-
эквивалентным им силам, приложенным к срединной поверхности соот-
соответствующего элемента оболочки. При этом, как обычно, мы пре-
пренебрегли моментами, которые появляются при выполнении ука-
указанного процесса приведения. Этим и объясняется отсутствие
грузовых членов в последних двух уравнениях системы A.21).
Таким образом, система A.21) представляет уравнения равно-
равновесия дифференциального элемента оболочки, конечной толщины А,
под действием внутренних и внешних сил и моментов, приведенных
Г.+-
Рис. 14.
к срединной поверхности оболочки (рис. 14). Первыми тремя из
этих уравнений выражены условия равенства нулю сумм проекций
всех внутренних и внешних сил на три взаимно ортогональных
направления я, C, у. Четвертое и пятое уравнения представляют
условия равенства нулю сумм моментов относительно двух взаимно
перпендикулярных направлений я и р.
Из условия равенства^нулю суммы моментов относительно оси
у получим шестое недифференциальное уравнение равновесия,
которое имеет вид
= 0. A.23)
Это уравнение является тождеством, в чем легко убедиться, под-
подставляя в A.23) значения Sik и Hik из A.15). В классической
теории это тождество зачастую удовлетворяется приближенно.
7. Соотношения упругости. Уравнения, которые устанавли-
устанавливают связь между внутренними усилиями и деформациями, в тео-
теории оболочек называются соотношениями упругости.
Подставив выражения для напряжений A.10) в A.15) и вы-
выполнив интегрирование, получим, сохраняя лишь самые низкие

§ 1] КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 35
степени у (нулевая и первая) наиболее простые соотношения упру-
упругости для общего случая анизотропной оболочки, когда в каждой
точке ее имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, парал-
параллельная срединной поверхности оболочки:
A.24)
Тх = С11е1 -f С12г2 -j- С16со, Г2 = С22
Si2 =S21—S = С66о> + С16е! -f C26s2,
Ml = DU*l + Dli4 + D1<F, M2 = D
где для жесткостей имеем
Са=Щк, Dik = ^Bik. A.25)
Формулы для N1 и N2 при необходимости можно получить из урав-
уравнений равновесия A.21).
Рассматривая соотношения упругости A.24) и уравнение A.23),
замечаем, что между ними есть противоречие, а именно: приведен-
приведенные соотношения упругости не удовлетворяют шестому уравне-
уравнению равновесия, т. е. шестое уравнение равновесия не является
тождеством, что противоречит основам общей теории. Это противо-
противоречие легко объяснимо: дело в том, что мы получили соотноше-
соотношения A.24) лишь в первом приближении, т. е. всюду последовательно
пренебрегали величинами порядка kji по сравнению с единицей^
Если теперь несколько уточнить соотношения упругости для S.k,
т. е. оставить члены порядка kfh по сравнению с единицей, то полу-
получим новые соотношения упругости, которые тождественно удов-
удовлетворяют уравнению A.23). В этом случае для Sik получим
= С66со + Сигг -f C26s2 + к, (Я66т + ?>16х, + ZJ6x2), j
Исследования показывают, что соотношения A.24) (за исклю-
исключением выражений для S) совместно с A.26) представляют наибо-
наиболее простые и последовательные соотношения упругости в теории
оболочек.
Эти соотношения, будучи крайне простыми, в то же время
не противоречивы с точки зрения удовлетворения шестому урав-
уравнению равновесия. Элементарной подстановкой можно убедиться,
что соотношения A. 24), скорректированные соотношениями A. 26),
удовлетворяют шестому уравнению равновесия A.23) тожде-
тождественно.
Соотношения A.24), A.26) могут быть получены и из энерге-
энергетических соображений, аналогично тому что сделано в теории
изотропных оболочек.
3*

36 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
Наконец, отметим, что здесь нет и, пожалуй, не может быть
единого подхода в деле выбора тех или иных соотношений упру-
упругости. В связи с этим в последующем, отдавая некоторое предпочте-
предпочтение скорректированным соотношениям A-24) и A.26), как
формально непротиворечивым, мы там, где можно (с точки зрения
точности), рекомендуем пользоваться и более простыми соотноше-
соотношениями A.24).
8. Граничные, или краевые, условия. Произвольные постоян-
постоянные, содержащиеся в общем интеграле дифференциальных уравне-
уравнений теории оболочек, должны быть определены из граничных
условий. Граничные условия анизотропной оболочки ничем не от-
отличаются от соответствующих граничных условий изотропной
оболочки. Не вдаваясь в подробности, известные из учебной лите-
литературы по теории оболочек, приведем некоторые варианты гра-
граничных условий.
В дальнейшем нас будут интересовать такие оболочки, края
или край которых совпадают с линиями кривизны срединной по-
поверхности оболочки.
Ради краткости записи граничные условия приводим лишь
для края, который определяется координатной линией я =a0=const.
I. Однородные граничные условия.
а) Свободный край:
б) шарнирно-закрепленный край:
Д/1 = 0, в = 0, у = 0, и; = 0; A.28)
в) шарнирный, свободный в тангенциаль-
тангенциальном направлении край:
Г1==0, М1 = 0,Ъ> = 0, v = 0; A.29)
г) абсолютно-заделанный край:
в==0, v = 0, 10 = 0, » = —-i«7ie + u1B=0. A-30)
В последнем соотношении 8 — угол поворота краевой нормали
срединной поверхности оболочки вокруг касательной к линии
a = «o=const.
П. Неоднородные граничные условия. Не-
Неоднородные граничные условия легко получить из приведенных
выше граничных условий в предположении, что в приведенных

§ 1] КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 37
равенствах справа стоят не нули, а заданные величины. Например,
для загруженного края можно записать
ТХ=Г, Sl2 + k2Hl2 = S*, ЛГ1+4#и.р = ЛГ' Mi = M\ A.31)
где Т*, S*, N*, М* — усилия, приложенные к рассматривае-
рассматриваемому краю; в частности, некоторые из них могут быть равны нулю.
В случае, когда оболочка вовсе не имеет граничного контура
(полностью замкнутая оболочка) или граничный контур опреде-
определяется лишь по линиям одной координаты (частично замкнутая
оболочка), граничные условия по замкнутым координатным ли-
линиям заменяются условиями периодичности с периодом, обеспе-
обеспечивающим однозначность перемещений и деформаций в любой
точке рассматриваемой замкнутой линии координат.
9. Потенциальная энергия деформации оболочки. В силу
основной гипотезы имеем для потенциальной энергии деформации:
А/2
-А/2
Подставляя сюда значения напряжений из A.10) и деформа-
деформаций из A.5), получим с точностью классической теории для потен-
потенциальной энергии деформации анизотропной оболочки следующее
выражение:
V = Т И
, + 2С>е2) А В do. <ф +1J j (Щ +
+ ад + V + Щ<?*1 + 2?>26тх2) АВ da d$. A.32)
Здесь оба интеграла распространяются по всей срединной по-
поверхности оболочки. Первая составляющая V представляет по-
потенциальную энергию удлинений и сдвигов, вторая составляющая
представляет потенциальную энергию изгибов и кручения.
10. Несколько слов об оболочках из ортотропных материалов.
Особый интерес с точки зрения приложений представляют обо-
оболочки, изготовленные из ортотропных материалов, т. е. из материа-
материалов, свойства упругости которых описываются уравнениями
обобщенного закона Гука G) и (8).
В случае, когда оболочка изготовлена из ортотропного мате-
материала так, что в каждой точке оболочки все три главных направле-
направления упругости материала совпадают с направлениями соответ-
соответствующих координатных линий, мы говорим, что имеем дело
с собственно ортотропными оболочками. Очевидно, в ортотроп-
ортотропных оболочках в каждой точке каждого слоя одна из плоскостей
упругой симметрии параллельна срединной поверхности оболочки,

38 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
а остальные две перпендикулярны к координатным линиям
я = const, C=const.
В этом случае для интересующих нас упругих постоянных
на основании G) и (8) имеем
A.33)
В силу этого из A.11) получим
11 1 — ViVo " 1 —ViVo bb 1Z ,
1 A.34)
Здесь и в последующем
Далее, для соотношений упругости A.24) получим
1= '11е! + 12?2. 2= 22?2+ 12?1- = uu - , ,^3^
Соотношения A.26) примут вид
Sn = C«P + btDtf, Sn = Ctjo + klDwx. A.36)
Для полноты картины отметим, что в этом случае
В случае же, когда оболочка изготовлена из ортотропного
материала так, что главные направления упругости не совпадают
с геометрическими направлениями аир, повторяется картина
общего случая анизотропии (как было сказано выше, под общим
случаем подразумевается случай, когда в каждой точке оболочки
имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная
срединной поверхности оболочки), т. е. задача математически
формулируется точно так, как и для случая общей анизотропии.
Таким образом, и в этом случае соотношения упругости будут
иметь вид A.24), A.26). При этом, однако, под упругими постоян-
постоянными и жесткостями будем подразумевать новые величины, зави-
зависящие от упругих постоянных главных направлений ортотроп-
ортотропного тела.
Пусть, например, в рассматриваемой точке главные направле-
направления упругости ортотропного материала оболочки расположены

§ 1]
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
39
так, что одно направление совпадает с направлением у, а два дру-
других направления 1 и 2 с направлениями координатных линий аир
составляют угол <р (рис. 15). Далее,
пусть в системе координат а, р
жесткости пластинки равны, С(к,
Dik, а в системе!, 2жесткости рав-
равны C'ik, D'ih. Или в силу A.25), fi
что то же самое, в системе коор-
координат а, р упругие коэффициенты
равны В(к, а в системе 1, 2, т. е.
в главных направлениях упру-
упругости ортотропного материала,
равны B'ik.
Для вывода формул пересчета
коэффициентов упругости Bik
рассмотрим потенциальную энергию деформации на единицу
объема в системах координат а, р, у и 1, 2, у. Из A. 32) получимз
в системе координат 1, 2, у
2
Рис. 15.
V = i
g[в'и
.37)
в системе координат а, р, у
F = 1
.38)
Из курса механики сплошной среды известно, что составляю-
составляющие деформации еа, е*, еа~ и ev e2, е12 связаны зависимостями
ег = еа cos2 9 -f- e» sin2 9 — eap sin 9 cos cp,
e2 = ea sin2
cos2 9 -f eap sin 9 cos
A.39)
е12 = 2 (ел — еЛ sin 9 cos <p -f- ea, (cos2 9 — sin2 9I ¦
а с другой стороны, согласно гипотезе недеформируемых нормалей
A.40)

40
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
Очевидно, в силу A.40) зависимости типа A.39) будут иметь
место между вх, е2, <о и е^, е2
а также между xlt х2, x и
х , х , v , т. е.
е^ = Sj cos2 <p -J- e2 sin2 <р — <о sin <p cos 9.
= Xj cos2 cp -f- x2 sin2 cp — т sin cp cos <p
A.41)
Подставляя эти выражения в 'A.37) и сравнивая с A.38), по-
получим искомые формулы преобразования:
Bn = В'и cos4 cp -f 2 (Bi, + 2Вёе) sin2 9 cos2 9 -f B!2.2 sin4 9,
S22 = 5ц sin4 cp -f 2 (Bis -f 2Вбб) sin2 cp cos2 cp -f 522 cos* cp,
512 = Bi2 -f [B'n -f B22 — 2 (Bi2 -f 2B^)J sin2 cp cos2 9,
BBf. = B'SB -f- [B'n -f- В'<ц — 2 (B{2 + 25g6)] sin2 9 cos2 cp,
Вла = 4 [S22 sin2 9 — Sn cos2 9 + (S12 + 2566) cos 29] sin29,
le
.42)
S26 = 1 [B« cos2 9 — Bii sin2 9 — (B« + 2Se6) cos 2<p] sin 2cp.
Рассматривая формулы A.42), замечаем, что если оболочка
изготовлена из ортотропного материала, но главные направления
упругости не совпадают с главными геометрическими направле-
направлениями аир, коэффициенты В16 и В26 не равны нулю и их влияние
должно быть учтено в рамках общей теории анизотропных
оболочек.
11. Заключительные замечания. Таким образом, классическая
теория анизотропных оболочек построена. Приведенных выше сооб-
соображений достаточно, чтобы определить напряженно-деформирован-
напряженно-деформированное состояние произвольной анизотропной оболочки в рамках
классической теории.
Ниже будут приведены разрешающие уравнения и расчетные
формулы для различных типов анизотропных оболочек в класси-
классической постановке.
В последующем (гл. I, § 10) при построении классической тео-
теории анизотропных слоистых оболочек, составленных из нечетного
числа слоев, симметрично расположенных относительно срединной
поверхности, мы всецело будем опираться на результаты класси-
классической теории однородных оболочек, излагаемой в настоящей

2]
ОРТОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
41
главе. Поэтому по ходу изложения классической теории одно-
однородных оболочек, там, где крайне необходимо, будем делать
некоторые указания, которые имеют отношение к теории слоистых
оболочек.
§ 2. Классическая теория симметрично нагруженных
ортотропных оболочек вращения
Рассмотрим ортотропную оболочку, срединная поверхность
которой является поверхностью вращения с осью вращения г.
Положение какой-либо точки М срединной поверхности оболочки
будем определять гауссовскими координатами: углом у=$/г, яв-
являющимся азимутом плоскости, проведенной через точку М и ось
вращения z, и меридиональной z •
дугой s = а, отсчитываемой вдоль *
меридиана от некоторой началь-
начальной точки Мо (рис. 16). Для
рассматриваемой поверхности
вводим еще две геометрические
Рис. 16.
величины: радиус г—расстояние ММ% от точки М срединной поверх-
поверхности до оси вращения z и & — угол между касательной к ме-
меридиану и осью вращения z (рис. 17).
В выбранной системе координат для главных кривизн средин-
срединной поверхности имеем
, 1 db
cos»
B.1)

42
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
Рис. 18.
где RX=RX (s) — радиус кривизны меридиана (первый главный
радиус кривизны поверхности); R2=R2 (s) — второй главный
радиус кривизны поверхности вращения, представляющий длину
отрезка нормали к срединной поверхности до оси вращения.
Очевидно, что для кривизны меридиана в общем случае будем
иметь формулу — = —е -т- , s = —1, если меридиан обращен
к оси z вогнутостью (рис. 18, а) и е=—J—1, если он обращен к оси z
выпуклостью (рис. 18,6); рх— ра-
радиус кривизны меридиана. Форму-
Формула B.1) для к2 остается неизменной
для показанных на рис. 18 двух слу-
случаев.
Для квадрата линейного элемен-
элемента рассматриваемой поверхности вра-
вращения имеем
что же касается коэффициентов пер-
первой квадратичной формы, то, очевид-
очевидно, будем иметь
Укажем также некоторые соотношения, которые характери-
характеризуют поверхность вращения и будут использованы в дальнейшем:
f =-sin», ? = cose, ?Ш=-A -L)i™i. B.4)
ds ds ds\B2J yi?! R2J r K '
Первые формулы определяют угол 9; если точка М движется вдоль
меридиана в сторону возрастания дуги s (или координаты z), то
w > 0, когда г убывает, и Ь < О, когда г возрастает, причем
Считается, что рассматриваемая оболочка нагружена симмет-
симметрично относительно оси вращения, т. е. Х=Х (s), Z=Z (s), F=0,
и имеет соответствующие, симметричные относительно оси вра-
вращения, граничные условия. Далее, полагается, что ортотропный
материал оболочки расположен так, что в каждой точке одна из
плоскостей упругой симметрии параллельна срединной поверх-
поверхности оболочки, а остальные две перпендикулярны к соответствую-
соответствующим меридианам ((p=const) и параллелям (s=const). Очевидно,
такая оболочка в целом представляет собой ортотропное тело вра-
вращения, обладающее анизотропией вращения.
Так как при этом оболочка будет деформироваться, оставаясь
телом вращения, то внутренние силы, моменты и перемещения ее
не будут функциями угловой координаты tp и в ней возник-
возникнут лишь внутренние силы Tlt T2, NX=N и внутренние изги-

2]
ОРТОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
43
бающие моменты Мъ Мъ, т. е. из напряжений мы будем иметь
лишь ав, а3 и х , а из перемещений отличными от нуля будут
лишь и и w.
Из общих уравнений и соотношений классической теории анизо-
анизотропных оболочек для симметрично нагруженных ортотропных
оболочек вращения, учитывая B.1)—B.4), получим следующие
соотношения:
уравнения равновесия:
B.5)
формулы, связывающие компоненты деформаций, изменения
кривизны с перемещениями;
6,=-;—1--^-, е, = — (WCOS& — П Sin &), )
1 ds ' Ri * г ч 'I
где W представляет угол поворота нормального элемента оболочки
в плоскости меридиана и имеет следующий вид:
-j- (rM^ -f- M2 sin & — rN = 0;
dw——
ds i?!
уравнение неразрывности деформаций:
Г J-2 — (е2 — ej sin & — W COS ft = 0;
соотношения упругости:
Т1 = Сцв! + С1
Т2 =
где, как обычно,
х = Dny.1 + D12y.2,
M2 =
B.7)
B.8)
B.9)
B.10)
1. Разрешающие уравнения и расчетные формулы. Введем
вспомогательную искомую функцию V=V (s), с помощью кото-
которой внутренние силы представляются следующим образом:
B.11)

44
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. 1
Fi (s) являются функциями от внешней поверхностной нагрузки и
определяются формулами
x — sin ft j rErds + cos ft (Ц— j rEsds J,
* / « \
2 == —cos & j r?rds + sin & ^— j rEeds I,
B.12)
где Ег и Ег — составляющие внешней поверхностной нагрузки
по направлениям соответственно гиг; Р® — значение главного
вектора внешних сил, приложенных к кру-
кругу s=s0 с радиусом г0. Очевидно (рис. 19),
Ег = Z sin & + X cos &,
Р°. = {Т$ cos »0 + iV° sin
B.13)
Нижний предел интегрирования s0 в фор-
'о мулах B.12) может быть выбран произ-
произвольно, исходя из удобства расчета.
Подставляя значения Tlt T2, Nm B.11)
jo в уравнения равновесия B.5), тождест-
1 венно удовлетворим первым двум урав-
уравнениям. Третье же уравнение примет вид
+ M2sin&— Vcosb = F2. B.14)
Рис. 19.
Решая соотношения упругости относительно деформаций ех и е2,
при этом учитывая B.11), получим
dV
F + Ci27—Ч2Т^з1,
¦• —
B.15)
В силу [B.6) для моментов будем иметь
М ~—(d —-D *?1па
„ / г, dW ,л sin Ь
Мг = —[ /Л, -т- J
B.16)

2]
ОРТОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
45
Подставляя значения деформаций е1, е2 из B.15) и моментов
Мх, М2 из B.16) соответственно в уравнение неразрывности B.8)
и в уравнение равновесия B.14), после некоторых преобразова-
преобразований получим
sin bdW
r ds
где
ф Cn 1 dF-i C^ sin 8
Уравнения B.17) и B.18) составляют полную систему диф-
дифференциальных уравнений относительно двух искомых функций V
и W, через которые посредством формул
B.11) и B.16) определяются внутренние
усилия оболочки.
В осесимметрично нагруженных обо-
оболочках вращения, наряду с компонентами
перемещения и=и (s), w=w (s), интерес
представляют: ег — перемещение по на-
направлению z и ег — перемещение по на-
направлению г (рис. 20). Очевидно, эти ком-
компоненты перемещения связаны соотноше-
соотношениями
ег = и cos %¦ -j- w sin &,
er = w cos & — и sin &. B. 20)
Рис. 20.
Отсюда в силу B.6) и B.7) компоненты перемещения ег и ег
через деформации ех и е2 будут представлены следующими форму-
формулами:
ег = ге2, ег ¦=. е\ -\- \ (sj cos & -f- W sin &) ds.
B.21)
Из B.20) на основании B.21) для другой пары компонент
перемещения получим
и = —e2r sin & -f- \el + l (гг cos & -j" ^ s*n *) ^s | cos *»
w = Ef cos & -f- ej -|- \ (?j cos & + W sin &) i
s sin &.
B. 22)

46 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
Здесь е° — постоянная, определяющая жесткое смещение обо-
оболочки вдоль оси z.
Введением новой искомой комплексной функции a (s), которая
посредством искомых функций W и V представляется формулой
fv, B.23)
система разрешающих уравнений B.17) и B.18) с точностью клас-
классической теории может быть приведена к одному дифференциаль-
дифференциальному уравнению второго порядка относительно искомой комплекс-
комплексной функции a (s):
^_finftda Sin»» Qo^ ()
ds2 r ds r2 ' Г СцОцй, v " V • /
где для грузового члена имеем
sin»
./Bjb
При получении уравнения B.24) принято также, чтоХ=С22/С11=
=Dn'Du.
Постоянные интегрирования разрешающих уравнений B.17),
B.18) и B.24), а также Рй, и е° должны быть определены из гра-
граничных условий. Очевидно, края оболочки вращения будут опре-
определяться линиями s=const.
Для оболочек вращения некоторые рассмотренные выше гра-
граничные условия могут быть записаны следующим образом:
а) свободный край:
б)шарнирно опертый край:
Л/г = 0, er = w cos & — в sin & = 0;
в) заделанный край:
Поведение краев оболочки в осевом направлении характеризу-
характеризуется постоянными Р® и е®. Если один из краев может свободно
перемещаться в осевом направлении, постоянная Р% — осевое
усилие — при этом задается. Она может быть и нулем. Постоян-
Постоянная Р® может быть принята равной нулю или оставлена неопре-
неопределенной. Если оба края оболочки (скажем, s=s0 и s=Si) не должны
перемещаться в осевом направлении, постоянная е% может быть

§ 3] АНИЗОТРОПНЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
47
принята равной нулю, а Р°г должна быть определена из условия
обращения в нуль осевого перемещения на втором крае.
В случае, когда оболочка имеет один край, число произвольных
постоянных, подлежащих определению, уменьшается на два.
§ 3. Классическая теория анизотропных круговых
цилиндрических оболочек
Рассматривается круговая цилиндрическая оболочка, изго-
изготовленная из анизотропного материала, в каждой точке которого
имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная
срединной поверхности оболочки.
Принимается, что аир являются
ортогональными координатами, сов-
совпадающими с линиями главной кри-
кривизны срединной поверхности, т. е.
с прямолинейными образующими
(J3=const) и с направляющими ду-
дугами (a=const) цилиндрической сре-
срединной поверхности.
Если под « и р подразумевать
соответственно длину образующей и
длину дуги направляющего круга (рис. 21), то коэффициенты
первой квадратичной формы А, В и главные радиусы кривизны Rr,
i?2 срединной поверхности оп-
определятся формулами
Рис. 21.
7? — 7?
.п2 — п,
C.1)
где R — радиус кривизны ци-
цилиндра.
Если же пользоваться без-
безразмерными координатами s и $¦,
из которых s= a — безразмерная
длина прямолинейной образую-
Рис> 22- щей, а &= р — безразмерная дли-
длина дуги направляющего круга,
т. е. центральный угол поперечной дуги, отсчитываемый от некото-
некоторой начальной прямолинейной образующей (рис. 22), то для коэф-
коэффициентов первой квадратичной формы и главных радиусов кри-
кривизны координатной поверхности будем иметь
A=R, B =
C.2)
В каждом случае, исходя из удобств выкладок, мы будем брать
или систему координат первого вида C.1), или второго вида C.2).

48
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
В связи с этим, при изложении общей теории, коэффициенты А
и В оставляем без расшифровки, но при этом не забываем, что они,
а также R2=R являются величинами постоянными.
Из общих уравнений и соотношений классической теории,
приведенных в § 2, для анизотропных круговых цилиндрических
оболочек получим:
уравнения равновесия:
C. 3)
формулы, связывающие компоненты деформаций с компонен-
компонентами пермещения:
1 1 , W 1,1
1
соотношения упругости:
1
1 1
C. 4)
где, как обычно,
C.fc = AS .fc,
C.5)
k = j? B(k;
уравнение (третье) неразрывности:
xt , 1 1 , 1 p.
C.6)
1. Разрешающие уравнения и расчетные формулы. Подставляя
значения компонент деформаций ег, . . ., т из C.4) в C.5), полу-
получим для внутренних сил и моментов следующие выражения:

§ 3] АНИЗОТРОПНЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ 49
— AN v 4- С —
+ С6
д
-Ц-) и + [{Сва + д? Двв) Т
_2п
6
4
- IP") V + С26 д" »
C.7)
Исключая из уравнений равновесия C.3) поперечные силы iVj
и iV2, получим
C.8)
Подставляя значения внутренних сил и моментов из C.7) в урав-
уравнения равновесия C.8), будем иметь следующую разрешающую
4 С. А. Амбарцумян

50
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
систему дифференциальных уравнений равновесия в перемеще-
перемещениях:
C.9)
?ц (С„) и + Lu (Cik) v + L1S (Cik) w = -X,
?» (Clk) и + L22 (CikDik) v + L23 (CrtZ>rt) и; = -У,
^13 (C«) и -f L23 (CrtZ)<t) у + L33 (CrtZ)rt) и; = Z,
где линейные операторы Lik имеют следующий вид:
AB
-^ ZN6)-L ^i
| C12
~~l /?2 Л42 »
R
+
4Z>,
Л6
A3 В
4Д
26
C.10
1 #* tf(J* ' j
В частном случае ортотропной оболочки (главные направления
упругости совпадают с главными геометрическими направлениями
а, р, у) во всех приведенных выше уравнениях и соотношениях
надо положить ale=a26=0, Ви=В26=0, C16=C2e=0, Du=D2b=0,
Таким образом, при заданных граничных условиях, решая
систему линейных уравнений C.9), можно определить искомые
функции и, v, w, с помощью которых посредством формул C.7) и
A.16) можно найти все требуемые расчетные напряжения и
внутренние усилия.
2. Техническая теория. Большое прикладное значение имеет
так называемая техническая теория анизотропных цилиндриче-
цилиндрических оболочек, которая, наряду с основной гипотезой недеформи-
руемых нормалей, базируется на следующих дополнительных
предположениях:
а) в геометрических соотношениях для х2 и т C.4) сохраняются
лишь слагаемые, содержащие нормальное перемещение;

§ 3] АНИЗОТРОПНЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
51
б) вместо соотношений упругости C.5) берутся более простые
соотношения A.24), удовлетворяющие шестому уравнению рав-
равновесия A.23) приближенно;
в) во втором уравнении равновесия C.3) опускается член
NJR;
г) второе уравнение неразрывности деформаций A.8) удов-
удовлетворяется приближенно, т. е. во втором уравнении неразрыв-
неразрывности деформаций A.8) пренебрегается членом ¦я-(ттт)-
Исходя из сказанного, для круговой цилиндрической оболочки
получим следующие упрощенные уравнения и соотношения:
уравнения равновесия:
-у
о
S12 =
= S,
соотношения упругости:
SI | si i SI
° U660) "Г ^1бе1 ~Г U26S2> Л
М2 =
геометрические соотношения:
1 __ 1 w
1 1
Для внутренних сил и моментов в перемещениях имеем
Г1==..., Г2=... (см. C.7))
_ (п • S1 | on 4 д2 in 1 <^2 \
——^22 w -ф + ш™ ав чщ+"»1? is;Ш)
^ —
4*

52
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
?ГЛ.
Подставляя значения моментов из C.14) в последние два урав-
уравнения равновесия C.11), получим для поперечных сил следующие
выражения:
где для линейных операторов третьего порядка имеем
п / г\ \ D-i 1 (K 3D\ е </3 .
Do
AW даЩ
+ ¦
3Z?26 ^3
В*А
Z?26 ^з
+ В» д& '
ВА*
C.16)
Подставляя значения внутренних сил Tlt Тг, S и iVlf N2 со-
соответственно из C.7), C.14) и C.15) в первые три уравнения
равновесия C.11), получим разрешающую систему трех диффе-
дифференциальных уравнений относительно трех искомых перемещений;
Ьл (Cik) и + L22 (C,.t) у + L23 (Сл) и; = -У,
(Сл) у + L33 (CikDik) w = Z, J
C.17)
где для линейных операторов Ln (C.k), L12 (Ci1c), L13(Cilc) и L3s(CikDik)
имеем представления C.10), а
C.18)
— R\yd^-T А да]'
Таким образом, техническая теория анизотропных цилиндри-
цилиндрических оболочек в перемещениях построена.
Уравнения технической теории могут быть представлены
в форме уравнений смешанного метода теории статически неопре-
неопределимых упругих систем.
Полагая
C.19)

S 3] АНИЗОТРОПНЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
53
где <р=<р (а, |3) — искомая функция напряжений, тождественно
удовлетворим первым двум уравнениям равновесия C.11), а из
третьего уравнения получим
C.20)
Решая соотношения упругости C.12) относительно компонент
деформаций, найдем
C.21)
Как было указано выше, результаты классической теории
однородных анизотропных оболочек будут обобщены на случай
симметрично собранных слоистых оболочек. Поэтому целесо-
целесообразно записать здесь выражения коэффициентов Aik и в более
общем виде, без подстановки значений жесткости Cik. Таким об-
образом, для Aik будем иметь
Ап = (С^С№ - С\ъ) Q~\ Аи = (CuCi9 - СКС22) Q;\
Ап = {СпСъв ¦ С16) Qt, А2в = (С12С16 — СжСп) 2j,
™1 == (^11^22
~Г
Далее, в силу C.19) из C.21) получим
idfiS JL
в
где
= —D„4 j Z da + AUB j F dp), t = 1,2,6.
C.21'}
C.22)
Подставляя значения iVa и iV2 из C.15) в уравнение равнове-
равновесия C.20), а значения компонент деформаций ех, е2, ш из C.22)
в третье уравнение неразрывности деформаций C.6), получим
разрешающую систему двух уравнений относительно двух

54
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
искомых функций, нормального перемещения w (а, |3) и функции
напряжений <р (а, C):
C. 23)
где для линейных операторов Ь( имеем
i (Dik) = Jlfai + 4 Щ
6 "* I 2 »*
1TW
— 2
C.24)
Таким образом, задача анизотропной цилиндрической оболочки
на уровне технической теории приводится к разрешающей системе
двух линейных дифференциальных уравнений C.23) относительно
функции напряжений <р (а, р) и функции перемещения w (а, р),
через которые, с помощью формул C.13), C.7), C.14), C.15),
C.22) и A.16) могут быть определены все расчетные величины
задачи.
Когда оболочка загружена лишь нормально приложенной
внешней нагрузкой, т. е. когда X=Y=O, Z=?0, система разреша-
разрешающих уравнений C.23) перепишется следующим образом:
1 1
C. 25)
Соответственным образом упрощаются и расчетные формулы,
которые содержат X и У.
Систему уравнений C.25), как известно, можно привести к од-
одному разрешающему дифференциальному уравнению восьмого
порядка относительно одной разрешающей функции Ф (а, |3).
Полагая

§ 3] АНИЗОТРОПНЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
55
тождественно удовлетворим первому уравнению системы C.25),
а из второго уравнения получим разрешающее дифференциальное
уравнение задачи
1 1 дЩ
C.27)
Законность и общность представлений C.26) являются пред-
предметом особого обсуждения и будут рассмотрены в последующем.
Основной оператор уравнения C.27) в раскрытой форме имеет
следующий вид:
A (Dik) L2 (Ai1c) = DuA2i±^+2 BAi2D16 - DnA^
+ [Dn BAlt + AJ - 8D16Ai6 + 2 (D12 + 2L>66) A
M BA12
2D66) 4
n + 2DJ BAl2 + AJ-
+ [4L>26 B412 + AJ
- 4 (Z>M + 2L>66) A16]
- 2DUAW -
UAW
- 8DWA16
-, 8D№A16 + 2
2DJ Au]
+ D22A22]
2 B412
6) -
11±^. C.28)
В силу C.26) из C.7), C.14), C.19) получим следующие вы-
выражения для внутренних сил и моментов:
у __ 1 1 ^Ф j, __ 1 1 <НФ
R
даЩ '
= -^ (D.k) Ц (Aik) Ф, 7V2 = -Ег (Dik) L2 (Aa) Ф.
C.29)

56
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
Перемещения срединной поверхности определяются посред-
посредством C.26) и следующих формул:
1 / . 1 йзф 1 дЗФ . 1
и = — \ А-,. \-А Л,.
R \ 12 ЛЗ <ЭаЗ~ ™АВг дад$* w А*В
1 <Kф
п л 1 ^зф ±
C.30)
Подстановкой можно убедиться, что перемещения w (a, |3),
г; (а, |3) и и> (а, р), представленные формулами C.26) и C.30),
удовлетворяют первым двум уравнениям
системы C.17) при X—Y=0, а третье урав-
уравнение дает известное нам разрешающее урав-
уравнение C.27).
3. Теория осесимметричной деформации
анизотропной замкнутой круговой цилиндри-
цилиндрической оболочки. Пусть анизотропная зам-
замкнутая круговая цилиндрическая оболочка
как с точки зрения геометрии, так и физико-
механических свойств осесимметрична отно-
относительно оси вращения z (рис. 23).
Пусть, далее, такая оболочка имеет по тор-
цам^осесимметричные граничные условия и
загружена осесимметрично относительно
оси г, т. е. Х=Х (a), Y=Y (a), Z=Z (a). В этом случае, ввиду
полной симметрии, оболочка будет деформироваться осесиммет-
осесимметрично, т. е. после деформирования тело оболочки остается телом
вращения с осью вращения z. Тогда все искомые расчетные ве-
величины оболочки будут функциями лишь одной переменной а,
т. е. оси не будут зависеть от угловой координаты Ь (рис. 22).
Для рассматриваемой оболочки из C.3)—C.5) имеем:
уравнения равновесия:
C.31)
Рис. 23.
1 yi
R~ 2
1 dAfj
геометрические соотношения:
1 du
1 d2«7
Xl == Л2 da2 > X2 =
1
A
., 1
^' I
= w,
dN1
~da
dH
' da
O) =
X =1=
=
1
: A
2
Д
z,
2.
dy
"da'
1 dv,
Л da!
C.32)

§ 3] АНИЗОТРОПНЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ 57
соотношения упругости:
= С22е2
]eea -f- С26е2, Н =
C.33)
Разрешающая система уравнений в перемещениях согласно
C.31)—C.33) (или из C.9)) запишется следующим образом:
4
C12
Л
R A da R A3 da3 '
' R ЛЗЙаЗ + Л* da* ~Z
C.34)
Из первых двух уравнений C.34), с точностью до h2/R2,
легко получить
1 du_ С18С26-С] 2С66 w 2 с 16^16 1 d^w
A da ш1 R R <¦>! A* da* "•"
О Г С1 f
«1 J mj J
Ю1
Л ~ Л (о, Л2 da2
C.35)
Здесь fex и Ь2 — постоянные интегрирования, которые должны
быть определены из граничных условий оболочки.
Подставляя значения производных от перемещений и и v
по а из C.35) в третье уравнение C.34), с точностью до h2/Ra
получим следующее разрешающее уравнение задачи:
1 d*w 4 Z?16 (СПС26 - С12С,е) 1 diw Q, w _
A* da* "г" Л2 jOiimi Аг da"- 'Di^-iR2
1 f
1 Г

58
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
где
2, =
С22 — С12) С66 -j- zCl2CleC26 — CuCie — C2iCls. C.37)
Таким образом, при заданных граничных условиях, которые
имеют обычную структуру, решая уравнения C.36), определим
нормальное перемещение w (а), с помощью которого посредством
формул C.31)—C.35) и A.16) легко найти все расчетные вели-
величины задачи. В частности, имеем
т _ С,, du . С,„ dv
du
1 dv
i d*\w
)
с cl6 d" , C66 du , „ ш
1521 ~^""dT T da~<~bK R
w
2~
2 D26 dv
R A da
Л 2 rfa2
Ai6 dv
A da
N Du d^w . 2 ?>16 d2i>
1 ~ 43 da3 f Д Л2 da2'
C.38)
a2 ЛЗ da3 •
Рассматривая формулы C.38) и C*35), нетрудно сообразить,
что, в отличие от осесимметрично деформируемых ортотропных
оболочек вращения, здесь в общем случае ни одна из внутренних
сил и ни один из моментов не обращаются в нуль.
Посмотрим, как будет выглядеть все это в случае технической
теории. Согласно C.11)—C.16) для рассматриваемой оболочки
имеем:
уравнения равновесия: ¦
A da
l' A
' ТЧа--1^'
74a~~N*'
геометрические соотношения:
I du w 1 dv •
Bl~~A~da~' е2 = 1Г' Ш — Т17'
C.39)
C.40)

§ 3] АНИЗОТРОПНЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ 59
соотношения упругости:
р С|2 dii . Coq dv
¦ 2 3 w^ I 3 Яг,
A da
A
Ciedu
Z)I
C.41)
_T OT1 d3w; ,т Т)ло d&w
/y ¦ - n ^_ дг *J^16 w
Ид /iff о ' ? ЛЯ fiffO *
где с з и с 4 — постоянные интегрирования, которые определяются
из граничных условий.
В этом случае разрешающая система уравнений C.17) пере-
перепишется следующим образом:
Л
С]6 ^2U . Cqq d^V . С26 1 ^^ у
Л2 rfa2 "Г Л2 da2"r R A da — Л »
С26 1 Л" ^ -"
C.42)
Из первых двух уравнений C.42) легко получим
A da
J_dv_
~A"da~:
Ю1
R
— ?i±\ YAda.-\-b..
C.43)
Здесь, очевидно, для постоянных интегрирования имеем Ь3=с'3,
bi=c'i (читатель в этом может убедиться и обычной подстановкой).
Подставляя значения и и v из C.43) в третье уравнение C.42),
получим разрешающее уравнение задачи в постановке техниче-
технической теории:
Л*
Q-, w __ Z
бйо 6 i
-I2U66
'26
^ IYA da~
]- {3M)
Сравнивая разрешающие уравнения общей теории C.36) и
технической теории C.44), замечаем их принципиальное отли-
отличие, заключающееся в том, что в разрешающем уравнении

60
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
технической теории член со второй производной w по а отсутствует.
Отсутствие этого члена может сказываться, в основном, на скорости
затухания решений, т. е. на величине распространения краевого
аффекта.
§ 4. Классическая теория ортотропной
сферической оболочки
Рассматривается сферическая оболочка с радиусом кривизны
срединной поверхности R. Полагается, что оболочка изготовлена
из ортотропного материала так, что в каждой точке оболочки глав-
главные направления упругости материала совпадают с соответствую-
соответствующими координатными линиями триортогональной системы коор-
координат а, р, у. Координатная система а, р, у выбрана так, что
срединная поверхность сферы отнесена к криволинейным орто-
ортогональным координатам а, C, а прямолинейная координатная
линия у, как и раньше, направлена по нормали к срединной по-
поверхности.
Так как для сферической оболочки #1=.fl2=#=const, &i=&2=
=k=R~1, то уравнения равновесия A.21) для случая однородной
задачи, т. е. когда X=Y=Z=0, после некоторых преобразова-
преобразований могут быть переписаны следующим образом:
D.1)
где учтено также, что соотношения упругости имеют наиболее
простой вид, а именно:
Т2 = С22е2
М2 =
D.2)
D.3)

4]
ОРТОТРОПНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
61
Входящие в D.2) компоненты деформаций A.6), A.7) упростятся
и примут вид
1 , 1 .
А ( и
B(V
D.4)
1/1
=—4-D-"'.
~~k2w>
D.5)
Здесь следует отметить, что деформации изгиба и кручения х4, т
зависят только от нормального перемещения w (a, C).
1. Разрешающие уравнения и расчетные формулы. Используя
характерные особенности первых двух уравнений равновесия
D.1), введем в рассмотрение некоторую, дифференцируемую
необходимое число раз, функцию напряжений <р=ср(а, C), с по-
помощью которой входящие в эти уравнения искомые величины
определяются следующим образом:
D.6)
Принимая D.6), тождественно удовлетворим первым двум
уравнениям равновесия D.1), а из третьего уравнения, согласно
четвертому и пятому уравнениям равновесия D.1) и соотноше-
соотношениям D.6), получим
+ 2) 7 - ? (М, + М2) - -^ {JL
D.7)

62 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 1ГЛ. I
где, как обычно в теории оболочек, с помощью у2 обозначен без-
безразмерный обобщенный оператор Лапласа
А д
Таким образом, система уравнений равновесия D.1) введе-
введением искомой функции напряженийср (a, J3) свелась к одному урав-
уравнению относительно этой искомой функции и моментов, которые
(моменты), как легко заметить из D.2) и D.5), зависят лишь
от искомого перемещения ш (а, р).
Из сказанного следует, что теперь в нашем распоряжении вза-
взамен системы уравнений равновесия D.1) имеется одно дифферен-
дифференциальное уравнение равновесия D.7) относительно двух искомых
функций <р (а, р) и w (а, р).
Для получения полной системы уравнений нам необходимо
еще одно уравнение, которое должно быть найдено из системы
уравнений неразрывности деформаций.
Сравнивая между собой соотношения D.5) и D.6), замечаем,
что обобщенные статические величины Г1+А;ЛГ1, Г2+АМ2, S-{-kH
выражаются через функцию напряжений ср (а, р) точно так же,
как геометрические величины хх, х2, t — через нормальное пере-
перемещение w (а, C). В силу этого легко сообразить, что если первые
два уравнения D.1) представить посредством компонент дефор-
деформаций х1( х2, т следующим образом
D.9)
то согласно D.5) уравнения D.9) будут тождественно удовлет-
удовлетворены при любом нормальном перемещении w (а, р).
Рассматривая D.9), замечаем, что эти уравнения представ-
представляют первые два уравнения неразрывности деформаций A. 8'),
запиеанные для сферической оболочки.
Таким образом, первые два уравнения неразрывности дефор-
деформаций удовлетворены полностью, а третье уравнение согласно
D.5) перепишется следующим образом:

§ 4]
ОРТОТРОПНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
63
Уравнение D.10) является недостающим вторым уравнением
искомой системы. Оно представлено с помощью искомого переме-
перемещения w (а, р) и компонент деформаций е;, ш, которые согласно
D.2)—D.6) являются функциями как нормального перемещения
w (а, Р), так и искомой функции напряжений tp (а, |3).
Подставляя значения xt, т из D.5) в соответствующие соот-
соотношения упругости D.2), получим для моментов следующие
выражения:
Ml = —I{Dn)w, M2 = —I
где для линейного оператора / (
= —I(Dm)w, D.11)
имеем
да\А
Ь\_АВдад$ AW д$ да ВЫ да
\_В dd \и др/ Л-^-В до. ool J
D.12)
Здесь, очевидно, ?=1, 2, 6, /=1, 2, 6, Dle=D61=ZJe=^e2:=0.
Разрешая три соотношения упругости D.2) относительно компо-
компонент деформаций е0 ш, при этом учитывая D.6) и D.11), получим
D.13)
При рассмотрении симметрично собранных слоистых оболочек
для А(- надо пользоваться более общими представлениями,
а именно формулами C.21'); для линейного оператора К (А^)
имеем
D.14)
(Di2) + AaI (Dn)] w,
АЬ' 1АВ да д$ АВг дх ^ $ д
Л. Л Г1 д ( l
"Г У [а д\А
дА д
;
здесь, как и раньше, ? = 1, 2, 6, /=1, 2, 6, ^116=^161=^126=^1в2=0.
Подставляя значения М(, Н из D.11) в уравнение равнове-
равновесия D.7), а значения г., ш — из D.13) в уравнение неразрыв-
неразрывности деформаций D.10), получим окончательную разрешающую
систему двух дифференциальных уравнений относительно двух
искомых функций и> (а, р) и tp (а, |3):

64
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
f / (Д,,)-^ / (/?u)} w + A? I/ (Дп) + / (ZJ2)] = О,
)-AnI(Du)]-
¦4lAuI(Du
Л 22/ (/>и)] - Л 661А
I (Dw)\ w -
D.15)
Таким образом, мы получили разрешающую систему диффе-
дифференциальных уравнений, которая совместно с соответствующими
граничными условиями может быть использована для определе-
определения искомых функций задачи, т. е. функции напряжений ср (а, |3) и
функции перемещений — нормального перемещения w (a, {3).
Имея значения tp (a, p) и w (a, p), с помощью приведенных
выше уравнений и формул можно определить все расчетные
величины рассмотренной ортотропной сферической оболочки.
Кстати сказать, полученные здесь уравнения справедливы
для любой ортогональной криволинейной системы координат
a, p на срединной поверхности сферической оболочки.
2. Разрешающие уравнения и расчетные формулы для орто-
ортотропной сферической оболочки в географической системе коор-
координат. Если срединная поверхность сферической оболочки отне-

41
ОРТОПРОПНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
65
сена к ортогональной географической системе координат а, C,
так что координата а является широтой, ар — долготой, то для
коэффициентов первой квадратичной формы будем иметь
A = R, B=Rsina.. D.16)
В силу D.16) система разрешающих дифференциальных урав-
уравнений D.15) запишется следующим образом:
+1 (DJ cos a} w -f R [I (Dn) -f / (ВД = 0,
(V2 + 2) w _ J_ fa [sin a ± [A22I (Z>22) + AUI (Dn
+ [A22I (D22) + An (I (Dn) - I (Dn)) -
- AnI {Dn)] cos a - "f ± I (Dm)} w -
sin a Та
~ Лев cos
al (Z?66)} w —
sin а д v
T di K
(AJ cos a| cp = 0,
f D-17)
где
В этом случае формулы для расчетных величин перепи-
перепишутся так:
Л/,=— /@и)и7, Mi=—I(Dtt)wl
5 С. А. Амбарцумян
= —I(Dm)w.
D.19)

66
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
Для линейных операторов, которые входят в приведенные
выше уравнения и расчетные формулы, будем иметь
D.20)
Тангенциальные перемещения и (a, ft) и v (а, |3) согласно D.4),
D.13) и D.16) будут определяться с помощью уравнений
D.21)
§ 5. Классическая теория пологих анизотропных оболочек
Рассматривается пологая оболочка, изготовленная из ани-
анизотропного материала. Предполагается, что в каждой точке обо-
оболочки имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, парал-
параллельная срединной поверхности оболочки.
Теория пологих оболочек, наряду с основной гипотезой не-
деформируемых нормалей, базируется также на следующих до-
дополнительных предположениях:
а) в первых двух уравнениях равновесия можно пренебречь
членами k1Nl и k2N2; б) в выражениях, связывающих компоненты
изгибной деформации (х1? х2, т) с перемещениями, можно сохра-
сохранить лишь те члены, которые содержат нормальное перемещение w;
в) первые два уравнения неразрывности и шестое уравнение равво-
весия считаются удовлетворенными. (Безусловно, они удовлетво-
удовлетворяются приближенно.)
При построении теории пологих оболочек, наряду с приня-
принятыми выше предположениями, считается, что внутренняя геомет-
геометрия срединной поверхности оболочки, независимо от значения
гауссовой кривизны /*Г=/с1/с2, совпадает с геометрией плоскости,
т. е. выражение первой квадратичной формы поверхности
= АЧа?
E.1)

ы
ПОЛОГИЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ
67
отождествляется с аналогичным выражением первой квадратич-
квадратичной формы на плоскости. В этом случае уравнение Гаусса B) за-
заменяется приближенным равенством
которое, конечно, точно удовлетворяется для поверхностей нуле-
нулевой гауссовой кривизны.
Отсюда легко сообразить, что равенство E.2) приближенно
выполняется на любом достаточно малом участке произвольной
поверхности, если соответствую-
соответствующим образом выбрана система
ортогональных криволинейных ко-
координат а, р, т. е. если система
координат выбрана так, что вы-
выполняется сильное неравенство
AB/RiRz^ 1.
Например, сфера радиуса R,
отнесенная к географической си-
системе координат (рис. 24), задается
уравнением
х = R sin & сой со,
y = R sin & sin <p,
z = R cos &, Рис, 24.
где ip и 9 — углы широты и долготы. Первая квадратичная форма
в этом случае имеет вид
откуда
-f Да sin2 & df,
1==R2 = R, A=R, ?=i?sin&,
, = sin &.
Последняя величина вблизи полюса, при малых Ъ, становится
малой, и можно считать, что в достаточно малой части поверхности
сферы, "вблизи полюса, равенство E.2) выполняется с необхо-
необходимой точностью. Но это равенство заведомо не будет выполняться
в любой точке экватора, т. е. для точек с углом &»гс/2, если даже
рассматриваемая часть поверхности весьма мала. Очевидно, вблизи
таких точек надо соответствующим образом изменить систему
координат, например, можно в рассматриваемую точку пере-
перенести полюс.
5*

68
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
В силу принятых предположений для рассматриваемой пологой
оболочки из общих уравнений и соотношений, приведенных в § 2
настоящей главы, получим:
уравнения равновесия:
= ABN2;
2' )
E.3)
соотношения упругости:
Ti = cnei + ci2s2 + С1
Т2 = C.,2s2 + С12е, -f C26
5 = Cee@ -f C^Sj -f С2в
= ZJ2x
22x2
= Z)a6X -f ?>!„•*!
(.\4)
геометрические соотношения:
S2 ^ F "э + IB B«u
В
уравнение неразрывности деформаций:
4
;
E.5)

§ 5] ПОЛОГИЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ 69
Вышеизложенного достаточно для построения теории пологих
анизотропных оболочек.
Однако следует отметить, что теория оболочек, базирующаяся
на приведенных исходных уравнениях и соотношениях E.3) —
E.6), зачастую истолковывается как теория оболочек с большим:
показателем изменяемости. _
Такое двойственное истолкование теории, базирующейся на
формулах E.3)—E.6), существенно расширило области ее при-
применения. Эта теория может быть использована при рассмотрении
задач пологих оболочек, оболочек нулевой гауссовой кривизны,
не имеющих особенностей, при рассмотрении задач о построении
простого краевого эффекта, при исследовании локальной устой-
устойчивости произвольных оболочек и т. д.
Таким образом, истолкование приближенной теории оболочек,
базирующейся на соотношениях и уравнениях E.3)—E.6),
как теории оболочек с большим показателем изменяемости или
как теории пологих оболочек, будучи совершенно верным, не
отражает широких возможностей этой теории. С этой точки зре-
зрения название настоящего параграфа носит формальный характер.
1. Разрешающие уравнения и расчетные формулы. Огра-
Ограничимся рассмотрением случая, когда оболочка нагружена нор-
нормально приложенной поверхностной нагрузкой Zj^O. Остальные
составляющие поверхностной нагрузки X и У равны нулю. По-
Пожалуй, это наиболее важный случай с точки зрения приложений.
Полагая
E.7)
где <p=tf (к, р) —искомая функция напряжения, тождественно
(с точностью строящейся приближенной теории) удовлетворим
первым двум уравнениям равновесия E. 3) (при X=Y=0), а из
третьего уравнения получим
z- E-8)
Решая соотношения упругости E.4) относительно компонент
деформаций и учитывая E.7), будем иметь

70 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
где
[ГЛ. I
В
±
да
АвкГ дг 1 дВ д 1 дА д 1
~АВ~\1)а~ЩГ В да д$ A~!fda]~>
Ла=а^. E.10)
В случае симметрично собранных слоистых оболочек для Aik
необходимо использовать более общие формулы:
"¦ 22== \Р и^бб ^ 1в) ^Г1» "¦ 2в== \PvPvi
•^66 == (^11 ^22 — ^12) ^Г1' -^12 == (^-16^26 —
2j = (CUC22 Cf2) C6e + 2С12С1вС2в СП
"l >
С510'1)
Из соотношений упругости E.4) в силу E.5) имеем для мо-
моментов
, = -I2(Dn)w, M2 =
= -It(DM)w, E.11)
где
А* да
4-2 °6к Г д2 1. — JL L^?A"|_i-
•" А В [_дад$ В да д$ А д$ да]~>
Из последних двух уравнений равновесия E.3) в силу E.11)
получим для поперечных сил следующие выражения:
X I (J г Л Т у тл VI ¦ К/лл.
E.13)
Подставляя выражения E.13) для поперечных сил в уравнение
равновесия E.8), а выражения деформаций и компонент измене-
изменения кривизны и кручения соответственно из E.9) и E.5) в урав-
уравнение неразрывности E.6), получим следующую систему разре-
разрешающих дифференциальных уравнений задачи:
E.14)

§ 5 ] ПОЛОГИЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ 71
где для линейных операторов L2, L3 и Vfc имеем
Таким образом, задача равновесия пологой анизотропной оболочки,
очерченной по произвольной поверхности, приводится к разре-
разрешающей системе двух линейных дифференциальных уравнений
E.14) относительно двух искомых функций: ср (а, |3) — функции
напряжения и w (a, p) — функции перемещения, через которые
определяются расчетные величины задачи.
В частном случае ортотропной оболочки во всех приведенных
выше уравнениях и соотношениях надо полагать ale=a2e=0,
Bie=Bie=0, Си=С2в=0, Z)le=ZJe=0) 4le=42e=0, а для опре-
определения остальных а{к, Ai1e, Bi]c, и тем самым Cik,Dilc, надо поль-
пользоваться формулами, которые приведены в п. 10 § 1.
2. Весьма пологие оболочки. Название этого пункта, как и
название этого параграфа, носит условный характер, так как
излагаемая здесь приближенная теория оболочек применима не
только для расчета весьма пологих оболочек, но и для расчета
оболочек с большим показателем изменяемости, для построения
простого краевого эффекта, для расчета оболочек с нулевой гауссо-
гауссовой кривизной и т. д. Таким образом, трактуя предлагаемую
здесь теорию как теорию весьма пологих оболочек, не будем за-
забывать, что она может быть применима и для рассмотрения иных
задач теории оболочек.
Рассматривается весьма пологая анизотропная оболочка, очер-
очерченная по некоторой части произвольной поверхности с гауссовой
кривизной, отличной от нуля. Принимается, что рассматриваемая
оболочка проектируется на плоскость, проходящую черех вер-
вершины контура оболочки, в виде прямоугольника со сторонами
а и Ь (рис. 25). Считается, что стрела подъема оболочки над этой
плоскостью / ^ 1/5/, где I — наименьший характерный размер
оболочки на срединной поверхности.

72 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
Для такой оболочки приближенно принимается, что внутрен-
внутренняя геометрия срединной поверхности ничем не отличается от
евклидовой геометрии на плоскости.
Пусть теперь хну — декартовы координаты точки на пло-
плоскости основания оболочки. Тогда квадрат линейного элемента
Рис. 25.
на этой плоскости хОу представится обычной формулой
и коэффициенты первой квадратичной формы А и В будут равны
единице.
Для рассматриваемой весьма пологой оболочки, представлен-
представленной в криволинейной ортогональной системе координат а, C, 7,
первая квадратичная форма срединной поверхности с достаточно
высокой точностью представится такой же формулой:
что равносильно предположению, что Ая&\, B^zl.
В общем же случае, когда координаты аир безразмерны,
а коэффициенты А и В не равны единице и являются функциями
координат а и р, т. е. А=А (а, |3), В=В (а, |3), с точностью при-
принятых геометрических предположений надо принять, что А и
В при дифференцировании ведут себя как постоянные. С такой же
точностью следует принять, что и главные кривизны срединной
поверхности kt=kt (а, C) и кг=кг (а, C) при дифференцировании
ведут себя как постоянные.
Присоединяя к приведенным чисто геометрическим предполо-
предположениям исходные предположения общей теории пологих оболочек
(см. начало настоящего параграфа), мы можем приступить к по-
построению теории весьма пологих анизотропных оболочек.
В силу принятых предположений для рассматриваемой весьма
пологой оболочки имеем;

S 5] ПОЛОГИЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ
уравнения равновесия:
73
АВ (kjl + к2Т2) — BNlte — AN2>? = ABZ,
E.15)
соотношения упругости — см. формулы E.4);
геометрические соотношения:
1
1
1
E.16)
уравнение неразрывности:
Jb w. «Э + W
E.17)
Из E.4) в силу E.16) получим для внутренних сил и мо-
моментов
Т ^
™ ~А Та + Cl2 Т Щ) V
= (Cl2ТТа + Са6 5" 5?) м + V
Vе2 F 5р + С^ J
/л 1 ^2u; _L Л 1 ^2ц;
— /л 1 ^2ц;_1_П 1 Л I
— — ^22 "g? ^р? "Г ^12 ЛТ5^ "Г
И— (
E.18)
и, наконец, в силу E.15)
N^-E^D.Jw, Na = —Ea(Dik)w, E.19)

74
где
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
дад№
524
[ГЛ. I
E.20)
да? •
Подставляя значения внутренних сил Tlt T2, S, Nlf N2 соот-
соответственно из E.18) и E.19) в первые три уравнения равновесия
E.15), получим разрешающую систему трех дифференциальных
уравнений относительно трех искомых перемещений и (а, C),
v (а, р), w (а, р):
iAC№)v + Lia(C{k)w = -X,)
)w = Z,
/у.» (С,Л и 4- Loq (CiIe) v
где для линейных операторов Lik имеем
г т \ C-1-i д , 2Стс о2 Coo й2
E.21)
АВ
Q
да(
52
X Ж
Ж
~в~ Ж ~Ь И
g- ^
да"-д
4D
д
E.22)
26
Таким образом, теория пологих анизотропных оболочек в пе-
перемещениях построена, ибо при заданных граничных условиях,
решая систему уравнений E.21), определим искомые перемеще-
перемещения в, v, iv, а через них, посредством формул E.18), E.19) и
A.16), найдем все расчетные формулы задачи.
Разрешающие уравнения теории весьма пологих анизотропных
оболочек могут быть представлены и в форме уравнений смешан-
смешанного метода.

ПОЛОГИЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ
75
Полагая, что в формулах E.7)—E.14), согласно исходному
геометрическому предположению, функции А (а, Р), В (а, р),
Иг (а, р), R2 (а, р) при дифференцировании ведут себя как
постоянные, получим следующую разрешающую систему урав-
уравнений:
E.23)
—Vflu> = 0, J
где для линейных операторов Lv L% и Vfl имеем
6б) 42Д2 da* ,
I A. ОС У*
; — 2
AB3dadp"r Bi ар*'
ABS
1 1 d2 111?2
Для внутренних тангенциальных сил получим
j, J_<Pf_ f l_^p с !_
52 ^32 ' 2 Л2 ^Я2 ' Л В
E.24)
E.25)
Для внутренних моментов Aflf Л/2, ^Г и поперечных сил имеем
формулы E.18)—E.20). Напомним также, что Aik=aikh~1.
Система разрешающих уравнений смешанного метода E.23)
может быть приведена к эквивалентному ей одному разрешаю-
разрешающему дифференциальному уравнению восьмого порядка относи-
относительно потенциальной функции Ф (а, C), через которую искомые
функции w (а, р) и <р (а, |3) представляются следующим образомЗ
и; = ?„D.л)Ф,И<р = УлФ. 5 1[E.26)
Принимая E.26), тождественно удовлетворим второму уравне-
уравнению системы E.23), а из первого уравнения получим искомое раз-
разрешающее уравнение, которое имеет следующий вид:
где оператор LL (Dik)L2 (Aik) в раскрытой форме имеет вид C.28),
а для у« имеем
?ш. E-28)
1 1
R\Ai
1 1 di

76
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
В этой постановке расчетные величины задачи через искомую
функцию Ф = Ф (а, Р) представляются следующим образом:
* д* п„<ь Т — i д2 V Ф
АВ дад$
E.29)
Для определения тангенциальных перемещений имеем следующие
формулы:
^1— *Ии!
)
п) К
hA 26 —
""^16 S3 эрз"} Ф'
КА) +
E.30)
Таким образом, при заданных граничных условиях, имея решение
разрешающего уравнения E.27), с помощью формул E.26) —
E.30) можно найти значения всех расчетных величин задачи.
Особый интерес представляет вопрос о том, в какой мере пред-
представление E.26) является общим, т. е. представляет общее реше-
решение системы E.23). Этот вопрос возник и в § 4 настоящей главы
при рассмотрении технической теории анизотропных цилиндриче-
цилиндрических оболочек.
Вопрос этот досконально изучен, но мы здесь, ради сокращения
записи, приведем окончательные результаты и лишь для орто-
тропной оболочки.
Согласно результатам, приведенным в п. 10 § 1 настоящей главы,
для ортотропных оболочек будем иметь
«ie=«2e=0, Ам=Аи=0, В1в=В№=0, С1в=С26=0, /I6=/J6=0.
Будем полагать, что координатная система а.О$ выбрана так,
что коэффициенты первой квадратичной формы приближенно
равны единице, т. е. Ami, Bm\.

§ 5] ПОЛОГИЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ 77
Тогда для операторов, входящих в разрешающую систему
уравнений E.23), будем иметь
~~Щ~да?~
Очевидно, представление E.26) является разрешающим для
второго уравнения системы E.23). Возможность и общность та-
такого представления существенно зависят от свойств корней разре-
разрешающего уравнения
E-32>
Приведем окончательные результаты исследования возмож-
возможности представления E.26). Было установлено, что функция
Ф (ai P)» реализующая E.26), всегда существует, если
(? = 1,2). E.33)
При этом функция Ф определяется с точностью до полинома вида
Ф = аа2 + 2Ьа$ + с$2 + П1г fo,a + /i:1c = 0, E.34)
где Пх — произвольный полином первой степени.
Если же условие E.33) нарушается хотя бы для одного корня,
например для Xlf то для того, чтобы представление E.26) было
осуществлено, необходимо ввести в рассмотрение некое определен-
определенное соотношение между искомыми функциями w (а, C) и <р (а, C).
Если же и это последнее соотношение нарушается, то представле-
представление E.26) становится несостоятельным и его следует заменить
новым. Однако все эти представления и соотношения здесь не при-
приводятся, так как круг наших интересов ограничивается такими
оболочками положительной или нулевой гауссовой кривизны,
для которых условие E.33) выполняется безоговорочно.
3. Весьма пологие анизотропные оболочки большого прогиба.
Здесь рассматривается теория весьма пологих анизотропных оболо-
оболочек в случае, когда перемещения оболочки не малы. При этом тео-
теория будет строиться в предположении, что по сравнению с едини-
единицей малы не только деформации, т. е. удлинения и сдвиги, но и углы
поворота элементов оболочки.
Будем полагать, что для рассматриваемой весьма пологой
оболочки система ортогональных криволинейных координат а,
Р выбрана так, что коэффициенты первой квадратичной формы
срединной поверхности равны единице, т. е. А = 1, В=1.

78
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
1ГЛ. I
Будем полагать также, что начальные кривизны срединной по-
поверхности оболочки к1=к1 (а, |3) и &2=&2 (а, р), как и в случае
линейной задачи, при дифференцировании ведут себя как по-
постоянные.
С учетом сказанного, здесь, в отличие от нелинейной теории
сильного изгиба оболочек, во всех исходных соотношениях и урав-
уравнениях теории упругости будем сохранять лишь те нелинейные
члены, которые содержат нормальное перемещение и его про-
производные. Тогда из основных уравнений нелинейной теории
упругости для деформаций какой-либо точки оболочки по-
получим
_да «
е«— да ~T~R
(
2 \~да
е -
Т ~
е ==
да„
да ' да д-j
да да да
diiq duv да,,
E.35)
В силу основной гипотезы недеформируемых нормалей, пола-
полагая е =0, epv=0, еу=0 (последнее условие целесообразно тракто-
трактовать как независимость нормального перемещения и от коорди-
координаты у) и считая, что при у=0 иа = м (а, C), Ug=z> (а, C), и =w (а, р),
аналогично A.4) получим
1=» — 1«>.
E.36)
Подставляя значения и , иа, и^ из E.36) в неиспользованные
соотношения E.35) и в силу основной гипотезы принимая A.5),
получим для компонент деформаций срединной поверхности и изме-
изменений кривизны и кручения следующие формулы:
ди w 1 /ди>у d*w
до w I /dw\% d%w
да , до , dw dw n d^w
E.37)

5j
ПОЛОГИЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ
79
Из E.37), исключая тангенциальные компоненты перемеще-
перемещения, получим следующее выражение неразрывности:
где Vr — известный линейный оператор E.24), а нелинейный
оператор
L(w, H,) = 2[^.^F-Crs)J. E.39)
Уравнения равновесия дифференциального элемента тела обо-
оболочки da dp df после деформирования, с принятой здесь точностью,
запишутся следующим образом:
^2._i_ — -4-^1 — О
да
E.40)
Отсюда, поступая обычным образом (см. § 1, пункт 6 настоя-
настоящей главы), получим для дифференциального элемента оболочки
при отсутствии внешних тангенциальных сил следующие уравне-
уравнения равновесия:
дТ1 , dS ,-. дТ2 , dS „
d\1,dN2 /d^w ,
с— 7
E.41)
Для внутренних сил и моментов имеем обычные формулы:
п д2ц; п Д2ц>
18 й5" 26~ЛЙ2
E.42)
Решая первую группу соотношений упругости относительжГком-
понент деформаций, получим
1] 1 12 2 2 ^2 2^ 12 1 1 » I E.43)
Очевидно, при рассмотрении симметрично собранных слоистых
оболочек при определении коэффициентов Aik надо пользоваться
более общими формулами E.10').

80 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
Наконец, в силу E.42) из E.41) для поперечных сил получим
N, = -Е, (Dik) w, N2 =-. -Et (Dik) w, E.44)
где для линейных операторов Ei (Dik) имеем E. 20).
Полагая
где <f = (f (a, p) — искомая функция напряжений, удовлетворим
первым двум уравнениям равновесия E.41), а из третьего урав-
уравнения равновесия E.41) и уравнения неразрывности E.38),
в силу E.43), E.44) и E.45), получим разрешающую систему
двух нелинейных уравнений относительно двух искомых функ-
функций w и <р:
L^D^w + Vaf — Liw, ?)=Z,
где линейные операторы Ьг (Dik), L2 (Aik) и Vs даются формулами
E.24), нелинейный оператор L (w, w) — формулой E.39), а не-
нелинейный оператор
Система разрешающих уравнений E.46) является естествен-
естественным обобщением ранее полученной системы линейных уравнений
E.23) на случай конечных перемещений оболочки, т. е. на слу-
случай оболочек большого прогиба.
4. Замечание. Из основных уравнений и соотношений теории
оболочек, изложенной в настоящем параграфе, легко получить
необходимые разрешающие уравнения и расчетные формулы для
различных типов анизотропных оболочек. В частности, полагая
k1=Ri1 = 0, k2=R^ = R (р), получим уравнения и соотношения
теории цилиндрических оболочек, которые совпадут с соответ-
соответствующими уравнениями и соотношениями технической теории
цилиндрических оболочек. В связи с зтим мы в последующем изло-
изложенную в этом параграфе теорию будем называть технической тео-
рией^анизотропных оболочек.
§ 6. Частично уточненная, или итерационная,
теория ортотропных оболочек
Итерационную теорию будем излагать на уровне технической
теории оболочек и лишь для ортотропных оболочек. При желании
можно обобщить зти результаты на случай анизотропной оболочки,
когда в каждой точке материала оболочки имеется лишь одна

6] ЧАСТИЧНО УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 81
плоскость упругой симметрии, параллельная срединной поверх-
поверхности оболочки. Эти обобщения громоздки, но осуществляются
простыми средствами. В этом легко можно убедиться, внимательно
проследив за ходом последующих рассуждений и за результа-
результатами, приведенными в следующем параграфе настоящей главы.
Как было указано выше (см. введение, § 4, п. 2), частично уточ-
уточненная теория оболочек основывается на трех предположениях,
которые аналитически представляются следующими приближен-
приближенными равенствами:
ет = 0, хят = х^, трт = 1«г, ат«0, F.1)
где x|L их" — касательные напряжения, найденные по классической
теории и, как показано выше A.17), равные
F.2)
Здесь Xt, Yt определяются согласно A.19), а поперечные силы
классической теории Щ — из полученных ранее формул E.13).
Пусть теперь
12 Yo>
F.3)
тогда согласно E.5), E.12), E.13) для известных функций
<ро (а> Р)> Фо(а» Р)> которые определяются положениями класси-
классической теории, легко записать:
F.4)
I /d \ B2k Г ^ / * *^ X | _ ^ d*? <? I I _ p Z?6fc Г (j2 i_
дВ_д_
' В да дл
где wo—wo (а, |3) — нормальное перемещение, определяемое клас-
классической теорией.
6 С. А. Амбарцумян

82
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
В силу формул F.1)—F.3) из обобщенного закона Гука для
ортотропных тел G) для деформаций поперечных сдвигов получим
F.6)
где в правых частях равенств стоят известные величины и функции»
Здесь для коэффициентов упругости аи, согласно G) и (8), имеем
055=1/^3, a^^HG^.
1. Перемещения и деформации, В силу основной гипотезы
итерационной теории нормальное к срединной поверхности обо-
оболочки перемещение и не зависит от координаты у, т. е. имеем
ет = кТ(Т=О, ит = ы;(а, Р), F.7)
где w—w (а, |3) — нормальное перемещение всех точек данного
нормального элемента оболочки, в том числе и точки, которая
принадлежит срединной поверхности.
В силу F.6), F.7) и A7) из последних двух соотношений A5)
получим
1 , а.чк v
1Л1 +
1
...
"85
1 __
а44
¦A
IB A +
F.8)
Интегрируя полученные уравнения по j в пределах от нуля
до у и полагая, что при у=0 иа~и (а, |3), мр=У (а, |3), с точностью
технической теории найдем
1 dw . «44 /A T
F.9)
где м=м(а, |3), у=у(а, р) — искомые тангенциальные переме-
перемещения соответствующей точки срединной поверхности.
Отметим, что при получении формул F.9) отброшены некото-
некоторые несущественные с точки зрения технической теории члены на-
нагрузочного происхождения. В частности отброшены члены

§ 6] ЧАСТИЧНО УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 83
уа55 (Хг + «jjr хЛ и ^аи ( Yr + ^ Г2 J, несущественность которых
в формулах F.9) можно установить с помощью уравнений равнове-
равновесия в перемещениях.
Таким образом, формулам F.7) и F.9) соответствует геометри-
геометрическая модель деформирования оболочки в случае итерационной
теории. Рассматривая F.7) и F.9), замечаем, что, как и в класси-
классической теории, нормальное перемещение какой-либо точки обо-
оболочки и не зависит от координаты у, а тангенциальные перемеще-
перемещения иа и Ир, в отличие от классической теории, зависят от у не-
нелинейно.
Искомые перемещения и, v, w, через которые представлены
перемещения какой-либо точки оболочки, являются функциями
лишь криволинейных координат срединной поверхности аир.
Известные функции (р0 и <|>0 также зависят лишь от переменных а и
р. Поэтому можно привести, базируясь на соотношениях F. 7) и
F. 9), трехмерную задачу теории упругости анизотропного тела
к двухмерной задаче теории оболочек.
В силу формул F.7) и F.9) деформации оболочки еа, е?, е^
могут быть представлены в виде разложений по степеням у; при
этом, с точностью F.9), можно ограничиться первыми четырьмя
членами разложений, а именно:
( '
Третьи члены приведенных разложений, т. е. члены с у2, не
выписываются, так как они, с точностью технической теории,
в разложениях F.10) пренебрежимо малы.
Подставляя значения иа, и^ и и соответственно из F.7) и
F.9) в соотношения A5) и при этом учитывая, что Н^1 = А'1 A —
_ Л]Т + k\f - ...), Щ1 = Д-1 A - А2Т -f k\f -...), а также B),
приравнивая затем полученные представления к соответствующим
разложениям F.10), получим для коэффициентов разложений
формулы
1 да . 1 дА , ,
1 dv . 1 дВ .
А д (а\, В д (v
F.11)

84
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
структура которых ничем не отличается от структуры соответ-
соответствующих коэффициентов деформаций классической теории:
дА dw
[K>- I 1 &po
\т rss x лг
1 dA
*2~~~~B~d$\~B~df) BA* da dz i"
,\h"- I 1 <%
~B~d$\~B~df
Jg"
F.12)
коэффициенты F.12) по структуре отличаются от формул компо-
компонент деформаций изгиба и кручения классической теории лишь
членами в фигурных скобках и представляют известные функции,
характеризующие учет поперечных сдвигов.
Наконец, имеем еще три коэффициента разложений, которые
в классической теории вовсе не фигурируют, а целиком являются
продуктами учета поперечных сдвигов:
2. Напряжения в оболочке, внутренние силы и моменты. Для
определения напряжений в ортотропной оболочке из A.9) полу-
получим следующие формулы:
где для 5(.fc согласно A.34) имеем
_ Vlv2 '
^2
F.1Г))
12 1 — VjV2 1 — VjV2 '

I 6] ЧАСТИЧНО УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 85
Подставляя значения еа, е?, еа? из F.10) в F.14) и учитывая
формулы F.11)—F.13), получим для расчетных напряжений
F.16)
где для -^ и т, как обычно, имеем
F.17)
В связи с этим из F.12), согласно F.13), для коэффициентов
разложения х* и т* имеем
* = Xl—i.#&o, x; = x2 — |-A«05, т* = т—|-/i2X«. F.18)
Подставляя значения напряжений из F.16) в A.15), для
внутренних сил и моментов с точностью технической теории
получим
ЗА2
8 = Djb + ZI2x1 -
F.19)

86
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
Подставляя в последние три формулы F. 19) значения &°,
из F. 13), получим окончательно:
I дВ
Mt =
* [ Z)B (a<4 -i" ^ + «55 ^ ^ To)
F.20)
Поперечные силы iVx и 7V2 должны быть определены, как и
б случае классической теории, из уравнений равновесия. Однако
с достаточно высокой точностью можно считать, что они, анало-
аналогично касательным напряжениям т и х-, не отличаются от соот-
соответствующих поперечных сил классической теории, т. е. согласно
F.3) можно считать
*<Р ^<lV F21)
Рассматривая формулы F.19)—F.21) для внутренних сил и
моментов, замечаем, что учет явлений, связанных с поперечными
сдвигами, который мы, по сути дела, имеем в итерационной тео-
теории, представляется в виде поправочных членов с множителем
А2/10, входящих в формулы внутренних моментов F.20). Эти по-
поправочные члены существенным образом зависят от относительной
толщины оболочки и от отношения упругих постоянных материала
оболочки в срединной поверхности Bi!c к модулям поперечных
сдвигов Gi3. (В этом легко убедиться, рассматривая F.4) и вспоми-
вспоминая, что ati=G?, a66=Gj.i.).
При рассмотрении тонких оболочек неоправданной роскошью
является принятие нелинейного закона распределения напряже-
напряжений по толщине оболочки F.16). Ограничиваясь в разложениях
F.10) лишь первыми двумя членами, получим для основных
напряжений
В*2 + Т

§ 61 ЧАСТИЧНО УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 87
Тогда изменения будут претерпевать лишь моменты, которые
в этом случае запишутся следующим образом:
,, _ , „ , А2 г / I дщ , 1 дА , \ ,
12 {аит -^ + аъъ -^ -^ ?0)\,
F.23)
дА
Л д
55
В д
Рассматривая F. 20) и F. 23), замечаем, что новые, приближен-
приближенные представления моментов отличаются от первоначальных лишь
коэффициентами при поправочных членах. В одном случае имеем
h?/10, в другом — h?/8. Многочисленные подсчеты показывают, что
в реальных оболочках изменение коэффициента при поправочных
членах на 25% незначительно влияет на общие значения момен-
моментов, а тем самым и на все расчетные величины. В этом мы убедимся
при рассмотрении конкретных задач.
3. Разрешающие уравнения. Уравнения равновесия элемента
оболочки в случае итерационной теории ничем не отличаются
от соответствующих уравнений классической теории.
Из уравнений равновесия технической теории оболочек E.3)г
исключая Nt и iV2, получим
F.24)
Подставляя значения внутренних сил и моментов из F.19) и
F.20) в уравнения равновесия F.24), с учетом F.11)—F.13)
будем иметь
Lu (Cik) ii
Ln (Cik) в
^ (Cik) v -f L13 (Cik) w = -X,
22 (Cik) v -f- L23 (Cik) w = -Y,
F.25)

88 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
где для грузового члена третьего уравнения имеем
. F.26)
Система дифференциальных уравнений в перемещениях F.25)
является разрешающей для нашей задачи. Левые части уравнений
этой системы полностью совпадают с соответствующими уравне-
уравнениями классической теории. Что же касается грузовых членов,
то они совпадают лишь в первых двух уравнениях, в третьем же
уравнении грузовой член дается формулой F.26) и легко вычис-
вычисляется, если известно решение рассматриваемой задачи в класси-
классической постановке.
Поправочный член грузовой функции Z* (а, |3) содержит
функции ДО (а, р), Х°(«, Р)> которые через <р0 (а, |3) и ф0 (а, |3)
представляются формулами F.13). Последние в свою очередь
с помощью формул F.4) выражаются через функцию wQ (а, |3).
Как известно, w0 (а, |3) является нормальным перемеще-
перемещением оболочки, определяемым классической теорией. Таким
образом, поправочный член грузовой функции Z* может быть
представлен нормальным перемещением и>0 (а, р), которое опре-
определяется в результате решения соответствующей классической
задачи.
Разрешающие уравнения технической теории анизотропных
оболочек, построенной с учетом явлений поперечных сдвигов,
могут быть представлены и в форме уравнений смешанного метода.
Полагая
_ 1 /1
F.27)
где F=F (a, J3) — искомая функция напряжений, удовлетворим
тождественно (с точностью технической теории) первым двум
уравнениям равновесия F.24) (при Х=0, 5^=0), а из третьего

§ 6] ЧАСТИЧНО УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 89
уравнения получим
1 Г д (в к д\л- д (А к 3Wf
["ИГ \А Кг ~да~) -Г If \Т ftl If)J * —
АВ
1 д f 1 ГдВМ, дАН дА „ дВ -Л
АВ да [А I да + д} "+" д$ да т*\\
1 д ( I ГдАМ2 дВН дВ „ дА „"Л „
Решая соотношения упругости F.19) относительно компонент
деформаций и учитывая формулы F.27), будем иметь
e1 = I1{A11)F, ez = Il(Aa)F, io = I1(AJF, ' F.29)
где
при этом для рассматриваемой ортотропной оболочки согласно G),
(8) и A.33) имеем
F.31)
Из соотношений упругости F.19) в силу F.17) получим для
моментов следующие выражения:
Мх = -/, (Dn) w-^ (Z)u
Mz = -Iz (Z>22) w-Щ- (D
@.32)
где
Ч \u<ic) — ~1Щ \Ъ~ 5р ) "г ~лъ
АВ[дад$ В да
Напомним при этом, что для ортотропной оболочки
r Ех д Е2 р р р
°11 — 1 _ Vlv2 > °22— 1-Vlv2' °6«— 12~ '
В ^2^1 ^1^2 D D П
19 == ~л —==1 * ) D1B ^ D9R = V.
F.34)

90 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК (ГЛ. I
Наконец, укажем, что уравнение неразрывности деформаций
срединной поверхности оболочки и в итерационной теории остается
неизменным, т. е. имеет вид
Подставляя значения моментов из F.32) в уравнение равнове-
равновесия F.28), а значения деформаций и компонент изменения кри-
кривизны и кручения соответственно из F.29) и F.17) в уравнение
неразрывности F.35), получим следующую систему разрешаю-
разрешающих дифференциальных уравнений итерационной теории:
La (Atk)'? — Vfci^ =0,
где для линейных операторов L2, L3, Vk имеем обычные представле-
представления E.14), а грузовой член Z* определяется по формуле F.26).
Полученная здесь система дифференциальных уравнений F.36)
совпадает с соответствующей системой разрешающих уравнений
классической теории E.14), отличаясь лишь грузовым членом Z*.
В целом же итерационная теория существенным образом отли-
отличается от соответствующей классической теории. Это отличие
видно как из формул для определения напряжений F.16), так
и из формул внутренних моментов F.20).
Искомые функции и (a, P), v (a, p), w (а, |3) в первом случае
{уравнения F.25)) и w (a, J3), F (a, P) во втором случае (уравне-
(уравнения F.36)) должны удовлетворять не только соответствующим
уравнениям, но и граничным условиям, которые, как правило,
имеют структуру граничных условий классической теории.
Наконец, укажем, что если ограничиться лишь первыми двумя
членами разложений F. 10), то для напряжений и внутренних
усилий будем иметь ранее полученные формулы F.19) (первая
строчка), F.22), F.23), F.27), а грузовой член Z* несколько из-
изменится (входящие в F.26) поправочные члены вместо множи-
множителя Зй2/5 будут иметь новый множитель Зй2/4).
Полученных выше общих результатов вполне достаточно для
рассмотрения отдельных типов оболочек по итерационной теории.
В последующих пунктах параграфа, не вдаваясь в подробности,
рассмотрим частные случаи оболочек.
4. Техническая итерационная теория ортотропных оболочек,
для которых приближенно или точно можно принимать А=const,
JS=const, fc1=const, fc2=const. Здесь мы имеем в виду весьма по-
пологие оболочки в соответствующей системе координат (см. пункт 2
§ 5), цилиндрические оболочки на уровне технической теории
(см. пункт 2 § 3) и др.

§ 6] ЧАСТИЧНО УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 91
Пусть система координат а, |3 выбрана так, что точно или
приближенно A = l, B=i; далее, пусть оболочка или рассматривае-
рассматриваемая ее часть такова, что точно или приближенно можно считать,
что k1=R^1 и k2=R^ при дифференцировании ведут себя как
постоянные.
Для простоты записи будем полагать также, что X=Y=0,
0
Из формул F.2)—F.5) будем иметь
где
F.37)
F.38)
wo=wo (а, |3) — нормальное перемещение соответствующей орто-
тропной оболочки, найденное по классической теории, т. е. по тео-
теории, которая построена согласно гипотезе недеформируемых нор-
нормалей.
Из F.16) в силу F.11)—F.13) для расчетных напряжений
получим
— Т
— Т
t J
= 566 (В, 3 + V, а) —
«3
Из F.19), F.20) получим для внутренних тангенциальных
сил и моментов следующие выражения:
F.40)
12 (В>. + klW), S =

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
Уравнения равновесия в рассматриваемом случае запишутся
следующим образом:
F.41)
Подставляя выражения моментов из F. 40) в последние уравне-
уравнения равновесия, получим для поперечных сил
F.42)
N, = -Е, (Dik) w+'^ [a55
+ aii(
N2 = -E2 (Dik) w + h^ [a44 (?>22t,
где для операторов Ei (Dik) в случае ортотропной оболочки имеем
F.43)
{в нашем случае А =В=1).
С достаточно высокой точностью для определения поперечных
сил можно пользоваться и формулами F.21).
Таким образом, мы привели все формулы, с помощью которых
можно определить расчетные величины рассматриваемых типов
оболочек.
Разрешающие системы уравнений в перемещениях запишутся
следующим образом:
1
. dw
F.44)

S 6] ЧАСТИЧНО УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 93
где для грузового члена имеем
+ 2Л«);$У}. F'45)
Приведем уравнения смешанного метода. Согласно F.27) теперь
полагаем
Тогда разрешающая система уравнений F. 36) принимает вид
F.47)
где для линейных операторов имеем
(^rt) — ^22 57+ + B^12 + ^6в) ^ЭДр2 + ^П Эр4 '
, + ".?. '
F.48)
При этом тангенциальные перемещения и=и (а, C), v~v (а, р)
согласно формулам F.40) и F.47) определятся из следующих
уравнений:
F.49)
20 = СцС12 - С2п = № {ВпВ2г - В\2) = АХ-
Система разрешающих уравнений смешанного метода F.47)
может быть сведена к одному разрешающему уравнению восьмого
порядка относительно искомой функции Ф=Ф (а, |3), через кото-
которую функция напряжений F (а, |3) и функция перемещения и; (а, C)
представляются следующими формулами:
F.50)
Действительно, введение функции Ф по формулам F.50)
позволяет тождественно удовлетворить второму уравнению си-
системы F.47), а первое уравнение приводит к искомому разрешаю-
разрешающему уравнению:
<?8ф
F.51)

94 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
где для коэффициентов Р( имеем
[гл. i
о г Г Г* Г 1
F.52)
Разрешающее уравнение F.51) и разрешающая система F.47),
отличаются от соответствующих уравнений классической теории
грузовым членом F.45) из-за учета явлений, связанных с попереч-
поперечными сдвигами.
В случае, когда вводится одна потенциальная функция Ф (а, р),
формулы для определения внутренних сил и моментов приобретают
следующий вид:
Я* / Т"\ V- I t-j f/"
F.53)
Перемещения срединной поверхности будут определяться фор-
формулами
F.54)

5 6] ЧАСТИЧНО УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 95
Расчетные напряжения будут определяться с помощью формул
<6.39).
5. Пологие ортотропные оболочки большого прогиба. При
получении основных уравнений и расчетных формул итерацион-
итерационной теории произвольных оболочек можно заметить, что они стро-
строятся аналогично соответствующим уравнениям и соотношениям
классической теории и, за исключением тангенциальных величин
¦оболочки (Г,., S, ех, ш), содержат поправочные члены, учитываю-
учитывающие поперечные сдвиги оболочки. То же самое имеет место и
в случае оболочек большого прогиба.
Рассмотрим пологую ортотропную оболочку, которая загру-
загружена лишь нормально приложенной нагрузкой Z=Z (а, |3).
Здесь, наряду с предположениями классической теории поло-
пологих оболочек (§ 5) и гипотезами итерационной теории, принимаются
исходные предположения теории оболочек большого прогиба
{§ 5, п. 3).
В силу сказанного выше из соответствующих формул класси-
классической теории F.2)—F.5), а также формул E.5), E.12) и E.13)
получим
&?) &?)* <6-55»
Аналогично
иметь
F.3), принимая Л^ = /г3/12ср0, TVg = ^3/12ф0, будем
F.56)
+ (Вп - Вп) „о] + 2 ^ В^
где xj, т° — изменения кривизны и кручение, найденные по
классической теории:
F-57)
w°=w° (а, р) — нормальное перемещение, определяемое по клас-
классической теории.

96
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
В силу основной гипотезы итерационной теории F.1), согласно
F.55), F.56), из обобщенного закона Гука для ортотропного
тела G) получим для деформаций поперечных сдвигов
Тогда из A7) для перемещений какой-либо точки оболочки найдем
^_^?_,Ч5_ (№_ Т2 \
а А до. ^^ 2 ' \ 4 3 / ^'
1 дш , аи /" -»»ч F-59>
а также, что u^=w (а, р).
Рассматривая приведенные формулы, замечаем, что они ничем
не отличаются от соответствующих формул, полученных в первых
пунктах настоящего параграфа. Так и должно быть, ибо геометри-
геометрическая нелинейность, которую мы учитываем в этом пункте,
согласно исходным предположениям никак не изменяет характер
учитываемых поперечных сдвигов.
С точностью F.10), полагая
F.60)
получим для коэффициентов разложений формулы F.12), F.13).
Что же касается коэффициентов г. и <о, то они, в отличие от фор-
формул F.11), будут содержать также нелинейные члены:
i_^!i4- —— 4- к 4- — (— ди>
1 dv . 1 дВ ..,,...., 1 / 1 (toV F.61)
Л д / ц\ В ^/y\_j_^ дш дш
~~ ~в If \~а)+Т "лГ V"F/ "I" Js" "^Г "dp" •
Без каких-либо изменений остаются также формулы внутрен-
внутренних сил и моментов F.19)—F.21).
Уравнения равновесия элемента оболочки примут следующий
вид:
F.62)

§ 6] ЧАСТИЧНО УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 97
Первым двум уравнениям равновесия удовлетворим, введя
в рассмотрение искомую функцию напряжений F (о, |3), через
которую внутренние тангенциальные силы представлены извест-
известными формулами F. 27). Тогда из третьего уравнения F. 62)
получим нелинейное уравнение классической теории с уточнен-
уточненной правой частью:
ii(^>+V-iK^)=2*. F-63)
где, как и следовало ожидать, уточненная правая часть Z* (а, |3)
имеет структуру уточненной правой части соотношения линейной
теории F.26).
Второе уравнение смешанного метода, как всегда, можно полу-
получить из уравнения неразрывности:
- jg-» *р - -ш ЛЛ. - Ш-В*т Р +
5
F.64)
Очевидно, если в F.64) подставить значения х1? х2 из F.17)
C 3 \
Xj = х* -J- -г- ^2&J, y.2 = x*-J--^^2^) и значения ер ш, представ-
ленные (с помощью F.19), F.27)) через искомую функцию F (а, |3),
то получим недостающее нелинейное уравнение, которое не отли-
отличается от классического:
Lt(An)F — Vkw + ±.L(w, w) = 0. F.65)
Уравнения F. 63) и F. 65) составляют полную систему разре-
разрешающих уравнений относительно двух искомых функций w (а, |3)
и F (а, р), через которые выражаются все расчетные величины
задачи.
Эта разрешающая система дифференциальных уравнений не-
нелинейной теории пологих оболочек, учитывающей явления попереч-
поперечных сдвигов, отличается от соответствующей системы классической
теории лишь грузовым членом Z*. Поэтому решение ее не сопро-
сопровождается какими-либо новыми математическими трудностями,
если подобная задача предварительно решена в классической
постановке.
7 С. А. Амбарцумян

98
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
Здесь не приводится окончательный вид уравнений F.63) и
F.65) в развернутой форме для общего случая пологой оболочки
ввиду их громоздкости. Однако целесообразно привести их пред-
представления для двух частных случаев.
Сферическая оболочка.
Пусть оболочка очерчена по части сфе-
сферической поверхности и имеет подъем Os,
не превышающий 1/5 диаметра основа-
основания оболочки 210, т. е. рассматривает-
рассматривается пологая сферическая оболочка ра-
радиуса R1=R2=R (рис. 26).
Предположим, далее, что оболочка
изготовлена из ортотропного материала
и в каждой точке оболочки главные на-
направления упругости материала совпа-
совпадают с направлениями меридиана, па-
параллели и нормали в данной точке.
Пусть г и р являются полярными ко-
координатами точки на горизонтальной
плоскости основания оболочки. Ввиду
сильной пологости оболочки будем
полагать, что независимые переменные г
и р являются также координатами соот-
соответствующей точки на срединной по-
поверхности оболочки. Это значит, что для
коэффициентов первой квадратичной
формы срединной поверхности оболочки принимается ^4=1,
В=г.
В силу сказанного выше будем иметь для!р0 и <j>0
EPirc. 26.
д (г.d'2w<A_j_ r д
R И /1 (Г-1УП , M)
2V \г др ~Т~~д?
d3 /"'оVI
ГА" U Я'
F.66)
где wo=wo (г, P) — нормальное перемещение точки сферической
оболочки, определяемое классической теорией.
В этом случае, как это следует из F.59), получим
F.67)

§ 6] ЧАСТИЧНО УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 99
где и=и (г, р), v—v (r, p), w=w (г, р) — тангенциальные и нор-
нормальное перемещения соответствующей точки срединной поверх-
поверхности оболочки.
Для коэффициентов разложений F. 60) в случае рассматривае-
рассматриваемой сферической оболочки имеем
ди
1 / dw V
1 dw
1 dw dw
A2 1
F.68)
fte, 9.
Ограничимся лишь смешанным методом; тогда для внутренних
сил и моментов согласно F. 20), F. 21), F. 27) получим
F.69)
Напряжения могут быть определены по формулам F.16).
7*

100
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
Наконец, разрешающая система нелинейных дифференциальных
уравнений относительно искомых функций F (г, р) и w (г, P)
представится следующим образом:
л. п —^?.
r J r д'р* dr°~
д'-F 2 д /1 дшд/?\_
F.70)
, 2 dw d^w 1 (диЛ? . 1 д^шд^ш 1 / d2u> V __ „
Весьма пологая оболочка. Рассмотрим весьма
пологую ортотропную оболочку, отнесенную к ортогональной
системе координат так, что для коэффициентов первой квадратич-
квадратичной формы имеем А=1, 5 = 1. Далее, как и в случае технической
теории весьма пологих оболочек, считаем, что кривизны k1=Rj1
и k2 = R:>> при дифференцировании ведут себя как постоянные.
В этом случае, как и раньше, для функций, характеризующих
поперечные сдвиги, будем иметь
F.71)

§ 6] ЧАСТИЧНО УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 101
Формулы для коэффициентов разложений F.60) существенно
упростятся и согласно F.61), F.12), F.13) примут вид
ди . w . 1 fdw\2
du ,dv . dw dw
8~5^'
dv w . 1
dw
F.72)
Для внутренних сил и моментов согласно F.20) и F.27)
получим
Т — — Т —d"~F
d'-F
д*ш ,-. d?w . №
Л/, — ^22 -^pi — "°12 ^2 + JO (^22«44 -ЩГ + ^1^55 ^г) »
F.73)
Наконец, из F.63) и F.65) получим следующую систему раз-
разрешающих уравнений:
i d*-F 1 ^2f ^mg2f d^wdT-F
Л2 (?a2 "Г ^j ifyi da? dp dp* dtf
h^ + BAn + AjJLL; + Ant±-
F.74)

102 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
Рассматривая системы уравнений F.70) и F.74), замечаем,
что они отличаются от соответствующих систем разрешающих
уравнений классической теории лишь грузовыми членами, кото-
которые строятся на основании решений той же задачи в классической
постановке.
§ 7. Уточненная теория анизотропных оболочек
Уточненная теория анизотропных оболочек строится на осно-
основании предположений (см. введение, § 4, п. 3), которые аналитиче-
аналитически представляются следующими равенствами:
ет = 0, ит = w (a, P),
G.1)
где, как и в B. 19),
G.2)
Здесь X* (ос, |3), У±(ос, |3) — тангенциальные компоненты векторов
интенсивности поверхностных нагрузок (рис. 8), h — толщина
оболочки; <р (а, |3), ф (а, |3), w (а, |3) — искомые функции, причем
w (а, |3) — нормальное перемещение соответствующей точки сре-
срединной поверхности оболочки.
Заданные функции f. (у), f. (+h/2)=0, которые характеризуют
законы изменения поперечных касательных напряжений т и
т. по толщине оболочки, должны наилучшим образом представ-
представлять поперечные деформации сдвига оболочки. Вопрос выбора
функций ji (у) является одним из основных моментов уточненной
теории.
Анализ достаточно точных решений задач изгиба толстых
плит и оболочек, а также специальные исследования, посвященвые
вопросу выбора функций f. G), показывают, что некоторые не-
неизбежные неточности, которые допускаются при выборе функций
ff G), незначительно влияют на основные расчетные величины
оболочки вдали от линий искажения. Некоторый произвол при
разумном выборе функций f{ (у) не может внести в уточненную
теорию недопустимых погрешностей.
Учитывая сказанное, все же следует подбирать функции f( (y),
исходя из анализа законов распределения касательных напряже-
напряжений х и хэ в достаточно точных теориях изгиба толстых плит

§ 7J
УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
ЮЗ
и оболочек. Указанный анализ показывает, что вдали от линий
искажения касательные напряжения \у и х^ по толщине оболочки
изменяются почти по закону квадратной параболы.
Учитывая, что в настоящей книге нас интересуют лшпь тонкие
анизотропные оболочки, будем полагать
?-г2). G.3)
Подставляя значения касательных напряжений хаг и х^
из G. 1) в соответствующие уравнения обобщенного закона Гука
F) и учитывая G.3), получим
%=
где введены следующие обозначения:
X* = а55*1 + в«У1. Х' = Я55*2 + а45^2,
= «55?
(
1. Перемещения и деформации. Нормальное к срединной
поверхности оболочки перемещение и не зависит от координаты у,
здесь w—w (а, р) — искомое нормальное перемещение всех точек
данного нормального элемента оболочки, в том числе и точки,
которая принадлежит срединной поверхности, т. е. нормальное
перемещение соответствующей точки срединной поверхности.
Подставляя значения е , е^ , Hlt H2, и соответственно из G. 4),
D) и G. 6) в последние два уравнения A5), получим дифферен-
дифференциальные уравнения относительно перемещений иа и щ. Интегри-
Интегрируя эти уравнения по у в пределах от нуля до у и учитывая, что
иа=и (а, |3), Uj,=y (а, |3) при у=0, с точностью (у к4J будем
иметь

104
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
где и=и (а, |3), v=v (а, |3) — искомые тангенциальные перемеще-
перемещения соответствующей точки срединной поверхности оболочки.
На основании G.6) и G.7) заключаем, что, как и в классиче-
классической теории, перемещение и какой-либо точки оболочки не за-
зависит от координаты у. Что же касается тангенциальных пере-
перемещений, то здесь, в отличие от классической теории, тангенциаль-
тангенциальные перемещения иа и и^ какой-либо точки оболочки, удаленной
от срединной поверхности по нормали на расстояние у, зависят
от y нелинейно.
В силу G. 7) деформации еа, е? и ео? могут быть представлены
в виде многочлена по степеням у, а именно:
G.8)
Подставляя значения ua, u?, uy соответственно из G.7) и G.6)
в соотношения A5) и сравнивая полученные при этом значения
деформаций ел, е?, eag с соответствующими представлениями G, 8),
получим для коэффициентов разложений
1 ди , 1 дА
1 dv . 1 дВ
+
А д_/и\ В д /у\
' ~~В ~Щ \Т/"т" ~А~да\В')'
G.9)
№ I 1 ^Ф, 1 дА
А2 / 1 ?)ф9 1 дВ
, В д
где, как и в классической теории, для х{, т имеем
1 дА dw. i дк1 , 1 ^
G.10)
1 дА ди> 1 ив ди>\
~ТЖд~а~~1ГдТЖ)
G.11)

7] УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК Ю5
Для остальных коэффициентов разложений G. 8) будем иметь
—
G.12)
6 А
6 АВ<
п 11 дФ% 1 1 дВ
2 6 5$ 6 АВ да
G.13)
_~В Щ \A~J ~г А~ да \В~
В связи с этим согласно G.10) можем записать также
ф ОгЪ^ г\ Л Oil r\ a. Oft « /я i /i
Х1 = Х1 — — »1. Х2 =  —— &2' ^ =t 4Х> GЛ4)
Наконец, для последней группы коэффициентов разложений получим
1 8 J ~да 9Л Т г)л 1 К ТЙ Ж I'd I
8 В
i
в
1
24
1
24
G.15)
Имея в виду ограничится в последующем рассмотрением обо-
оболочек, загруженных лишь нормально приложенной нагрузкой
Z (а, |3) (Х±=0, У±=0) или такой нагрузкой, тангенциальные
компоненты которой в коэффициентах разложений G.8) или вовсе
не фигурируют, или несущественны, мы опустили в формулах
G.9)—G.15) члены, которые происходят от X и Y. При необ-
необходимости читатель их может восстановить самостоятельно.
2. Напряжения в оболочке, внутренние силы и моменты.
Пренебрегая напряжением о и разрешая уравнения обобщенного
закона Гука F) относительно напряжений, получим
= В^е? -f Bnea -f Втел?
G.16)

106 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
где
Bi2 = (апат — afe) 2~\ В2в == (^а^ — аиа2в) Q'1,
"№ == (Я11Я22 ' а12/ ™ » ^*12 == (Я16Я26 Я12Явв) " '
Q = {аиа^ — о?,) aee 4- 2fl
[гл. i
G.17)
Подставляя значения деформаций ea, e?, e. из G.8) в G.1В),
для напряжений aa, a^ и xap получим следующие формулы:
+
'+T3(Vi + V2 + V) +
G.18)
+ад
Таким образом, формулами G.1), G.18) представляются
все отличные от нуля напряжения в оболочке. Основная специ-
специфика этих напряжений заключается в том, что, в отличие от клас-
классической теории, здесь они изменяются по толщине оболочки по
нелинейному закону.
Подставляя в A.15) значения напряжений т , т? (с учетом
G.3)), ов, о., таK соответственно из G.1) и G.18), получим для
внутренних сил и моментов с точностью (k{hJ
г = Cum1 + C12m2 + С1вг
Z>12ra2 + Dws),
^1 = Свбг 4" Cwm14- Cje/Wg 4- К (^ees 4" ^i6rei 4" D26n2),
2 * ^ fifi ™ I " ^1R"^1 ™ I " ^Qfi**^? ™ I " * i'^'^fifi ™ I " ^26 2 ™ I " 16 1/'
M2 = Z>22ra2 4- Z>12^ + Z>2es 4- fc, (Z)eei 4- Z>12ej 4- Z>2ea)),
Ях = Д6в5 4- Dlunx 4- ?>2ви2 4- k2 (Dmm 4- /I6ех 4- ?>2fSs2),
Г) о _l Г) и I Г) и I J. I Г) /rt I 71 e _J_ П p \
A Do I iO X I ^D ^ I XV 00 f АО X f Д) ^/'
G.19)

§ 7] УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 107
где введены следующие новые обозначения:
а также известные:
(к ik1 ik 12 *'* 12 **' ^ ' 1
Далее, имеем для поперечных сил
N —— 4-hX -1-к — X
' f ..!. -2^2-2'' G-22)
В выражениях для N1 и iV2 G.22) в последующем несуществен-
несущественные грузовые члены могут быть исключены.
При получении соотношений упругости G.19)—G.22) мы
пользовались формулами A.15) классической теории. Они спра-
справедливы и для уточненной теории тонких оболочек, ибо формулы
A.15) получены из условий статической эквивалентности внутрен-
внутренних усилий и напряжений.
Полученные соотношения упругости G.19)—G.22) достаточно
компактны и могут быть использованы в дальнейшем. Они тож-
тождественно удовлетворяют шестому уравнению равновесия, которое
и в уточненной теории имеет знакомый вид:
S12 — S21 + k1H1 — k2H2^=0. A.23)
Рассматривая формулы для деформаций G.4), G.8), напря-
напряжений G.1), G.18), внутренних сил и моментов G.19)—G.22),
а также формулы G.5), G.9)—G.15), легко установить, что
все расчетные параметры оболочки в конечном итоге выражаются
через пять искомых функций: и (а, |3), v (а, |3), w (а, |3), <р(а, |3),
ф (а, |3). Как было указано выше, первые три из искомых функций
являются компонентами перемещения срединной поверхности
оболочки, а последние две функции характеризуют явления по-
поперечных сдвигов.
Очевидно, эти пять функций полностью характеризуют напря-
напряженно-деформированное состояние оболочки на уровне уточнен-
уточненной теории.

108
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
В случае существенно тонких оболочек с достаточно высокой
точностью взамен G.18) могут быть использованы линеаризо-
линеаризованные представления основных расчетных напряжений, т. е.
[
Вт (т — "Х
G.23)
На основании формул G.23) получим для внутренних сил и
моментов следующие, существенно упрощенные, представления:
г
+К [А
X
s2 =
Z?
ie
Sl -f D26e2) —
h3
G. 24)
hS
He выписанные здесь значения внутренних сил и моментов
можно получить из соответствующих приведенных формул путем
перестановки индексов.
3. О разрешающих уравнениях. Уравнения равновесия эле-
элемента оболочки в случае уточненной теории, очевидно, ничем не
будут отличаться от соответствующих уравнений классической

§ 7] УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 109
теории, эти уравнения имеют вид
G.25)
Неизменными остаются и уравнения неразрывности деформа-
деформаций, третье из которых имеет вид
-f ^i^ + -jg-{[^- [5г2,а + (е2 — ei) B,«— Yw,3] а
J G.26)
Уравнение G.26) может быть получено из формул G.9) для
компонент тангенциальной деформации срединной поверхности
путем исключения тангенциальных компонент перемещения точки
срединной поверхности и (ос, р), v (а, р) и введения функций из-
изменений кривизны срединной поверхности хх (а, р), х2 (а, р).
Подставляя значения внутренних сил и моментов из G.19) и
G.22) в уравнения равновесия G.25), при этом учитывая G.20),
G.9)—G.15), получим разрешающую систему из пяти дифферен-
дифференциальных уравнений относительно пяти искомых функций и, v,
W, <f, <р.
В случае пологих оболочек, введя обычным образом искомую
функцию напряжений F (а, р), через которую внутренние танген-
тангенциальные силы представляются формулами E.7), можно постро-
построить разрешающие уравнения уточненной теории анизотропных
оболочек смешанным методом. В этом случае мы получим систему
четырех дифференциальных уравнений относительно четырех
искомых функций F, w, <р, ф.
В общем случае эти системы очень громоздки и поэтому здесь
не приводятся. Разрешающие системы уравнений будут выпи-
выписаны лишь для некоторых частных случаев.
4. Граничные, или краевые, условия. Искомые функции
и, v, w, <р, ф должны удовлетворять как системе разрешающих
уравнений, так и граничным условиям.
Очевидно, граничные условия, вообще говоря, не могут быть
поставлены и удовлетворены на уровне трехмерной задачи теории
упругости, т. е. не могут быть выполнены в каждой точке краевой
поверхности оболочки. Практически мы можем удовлетворять
лишь «смягченным» граничным условиям.

110
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
Принятие «смягченных» граничных условий оправдано кон-
конструктивными способами осуществления граничных закреплений
оболочки, принципом Сен-Венана и возможностями уточненной
теории.
Уточненная теория, как и все подобные теории рассматривае-
рассматриваемого класса, как известно, уточняет напряженное состояние
оболочки лишь вдали от линий искаже-
искажения, т. е., вообще говоря, не дает досто-
достоверных с точки зрения трехмерной за-
задачи теории упругости сведений о крае-
краевых напряжениях и деформациях обо-
оболочки. Однако, несмотря на это, уточненные
теории «исправляют» основное напряжен-
напряженное состояние, тем более в случае анизо-
анизотропных оболочек.
Ьм Поэтому, взамен граничных условий
трехмерной задачи теории упругости, за-
запишем следующие основные «смягченные»
граничные условия уточненной теории анизотропных оболочек.
Условия запишем лишь для края а=const,
а) Свободный край:
Рис. 27.
Г1 = 0, Л/1==0, N1 = 0, 51 = 0,
б) шарнирно опертый край:
в) абсолютно заделанный край:
G.27)
G.28)
— точки на торце оболочки, где выполняются зти усло-
условия @ < Yo < А/2) (рис. 27).
В реальных конструкциях можно встретиться с самыми разно-
разнообразными типами опор оболочек, и зто многообразие конструктив-
конструктивных решений опор реальных оболочек, пожалуй, невозможно
с требуемой точностью представить в виде каких-либо математиче-
математических моделей — граничных условий. В связи с зтим здесь приве-
приведена лишь незначительная часть возможных вариантов граничных
условий. Мы полагаем, что проблема построения математических
моделей реально осуществляемых конструкций опор оболочек
нуждается в специальных исследованиях.
5. Уточненная техническая теория ортотропных оболочек,
для которых приближенно или точно можно принимать .Л.=const,
U=const, fei=const, /ca=const. Здесь рассматривается теория
«весьма пологих» оболочек (см. п. 2 § 5), техническая теория кру-
круговых цилиндрических оболочек (см. п. 2 § 3) и др.

7]
УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
111
Пусть система криволинейных координат а, |3 выбрана так,
что точно или приближенно .4 = 1, В=1; далее, пусть оболочка
или рассматриваемая ее часть таковы, что точно или приближенно
кривизны &1=.fff1 и &2=.Й^1 при дифференцировании ведут себя
как постоянные.
Считаем, что оболочка из ортотропного материала изготовлена
так, что в каждой точке все три главных направления упругости
совпадают с координатными направлениями а, |3, у, т. е. имеем
ортотропную оболочку.
Для простоты записи полагаем
также, что оболочка загружена лишь
нормально приложенной к . средин-
срединной поверхности нагрузкой Z—
=Z* (а, р) (Х±=0, У±=0, Z~=0)
(рис. 28).
В отличие от изложенной выше
общей уточненной теории здесь мы не
пренебрегаем нормальным напряже-
напряжением о Тем самым в этой уточненной
теории мы будем учитывать явле- Рис. 28.
ния, связанные с нормальным на-
напряжением а Остальные гипотезы, которые лежат в основе об-
общей уточненной теории, остаются неизменными (см. введение,
§ 4, пп. 3 и 4) и аналитически, согласно G. 1)—G. 5), представ-
представляются следующим образом:
G.30)
Далее, с точностью теории пологих оболочек или технической
теории оболочек, т. е. с точностью (k(h), получим из G. 7) для тан-
тангенциальных перемещений
dw
№
G.31)
где и=и (а, |3), v=v (а, |3), w=w (а, |3) — искомые тангенциальные
и нормальное перемещения соответствующей точки срединной
поверхности, <p=<f(«, P), ф=ф(я, |3)—искомые функции, ха-
характеризующие явления поперечных сдвигов оболочки. В силу

f 12 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
G.31) из G.8)—G.15) имеем для составляющих деформаций
да д2ш
ди
т М2 72\ / *р дф\
~2\1 Т) Va«lp "га" ЛГУ"
,_. ,)riv
G-32)
Решая уравнения обобщенного закона Гуна G), написанного
для ортотропного тела, относительно напряжений оя, о., та^, t ,
*рт, получим
G.33)
где, как обычно (см., например, A.33), A. 34)),
Doo = = ;
'22
a0 1 —
¦'-'ев ^~ — ^12'
R —- 2 _— v2C.l _ ^2'
12 a0 1 — vjv2 1 — •
и, кроме того,
. B,B = — = G13,
'55
1 —
Ел
G.34)
V13
—п и л_„ в Ei ^2Я +
~ а13Д12 "Г" «23^22— Я3 1 -
v'Via
G.35)
Рассматривая формулы G. 33), замечаем, что учет нормаль-
нормальных напряжений о^ приводит к появлению в формулах нормаль-
нормальных напряжений оа и о? членов с множителями 42 и 42.
Подставляя значения деформаций еа, е^ и еор из G. 32) в формулы
G. 33), получим
ди . dv
G.36)

§ л
УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
113
В формулах для напряжений G.36) фигурирует нормальное
напряжение <^, которое может быть определено из уравнения
равновесия дифференциального элемента тела оболочки, т. е.
из третьего уравнения A6) или A.12). Подставим выражения
й C6) C0)
напряжений оа, о?, т
р
соответственно из G.36) и G.30)
в указанные выше уравнения и произведем интегрирование по fi
учитывая при этом, что о —Z=Z* при к=А/2 и о =0 при к — —А/2;
тогда с точностью k-Ji получим для напряжения о
Подставляя выражения для напряжений из формул G.30),
G.36) и G.37) в формулы A.15), получим с точностью техниче-
технической теории для внутренних сил и моментов следующие формулы:
г, d-w г- d2w , А
J-
д-w
G.38)
где введены обозначения:
Г» = A
= (ft^,, + k2D12) ^
2) J-
u;-
G.39)
•
8 С. А. Амбарцумян

114
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. 1
Рассматривая формулы для внутренних сил и моментов G.38),
замечаем, что учет явлений поперечных сдвигов и нормального
напряжения о в этих формулах представляется в виде поправоч-
поправочных членов с множителямиhz/l0, A1 и А2. Если поправочные члены,
учитывающие поперечные сдвиги, зависят только от относитель-
относительной толщины и физико-механических характеристик материала
оболочки, то поправочные члены, учитывающие нормальное на-
напряжение, зависят также от главных кривизн срединной поверх-
поверхности оболочки. Очевидно, что чем положе оболочка, тем меньше-
влияние поправочных членов, учитывающих нормальное напря-
напряжение о^, на напряженное состояние оболочки.
Уравнения равновесия G. 25) в рассматриваемом случае запи-
запишутся следующим образом:
дТх . dS p. дТ2 . dS
да д& дН да
дМх дН _
дН
G.40)
Подставляя значения внутренних сил и моментов из G.38)
в уравнения равновесия G.40), получим следующую разрешаю-
разрешающую систему дифференциальных уравнений уточненной теории
ортотропных оболочек:
?ll iPik) и + Ln{Cik) V-J-tt-r J-^ \^-4 Г№Л J_
+ л
I in \ d^w  . h dZ
T" K\UV2) fa ^2 J Al ~2 ~da~ '
l2 (Cik) и + (k2C
22
h dZ
-2 ip-
|- + {k\C
n
- (Mi + M2) [(fti^u + Wu) ^
10 KAi
i + ^2^12) -g-
) T + «44^12
2+ft, АО
To
) W + la"
G.41)

УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
115
?ffl (D(k) w-^ [uiiL22 (Dik) <]> + a5SL12 (Dik) ?] + -^-
+л 2 Г(М>22+W й-+(*Ai + ^2^12) ""
G.41)
где для линейных операторов и жесткостеи имеем известные вы-
выражения;
G.42)
Уравнения G.41) составляют полную разрешающую систему
пяти дифференциальных уравнений относительно пяти искомых
функций и, v, и>, <р, ф, через которые посредством формул G.30) —
G.39) представляются все расчетные величины оболочки. При ре-
решении конкретных краевых задач к разрешающим дифференциаль-
дифференциальным уравнениям G.41), как обычно, присоединяются граничные
условия, некоторые сведения о которых приводятся в пункте 4
настоящего параграфа.
Разрешающие уравнения уточненной теории могут быть пред-
представлены и в форме смешанного метода.
С этой целью к уравнениям равновесия должно быть присое-
присоединено уравнение неразрывности срединной поверхности G. 26),
которое в рассматриваемом случае «весьма пологой» оболочки
запишется следующим образом:
S2, „
= 0"
G. 43)
Это уравнение, выражающее неразрывность срединной поверх-
поверхности оболочки, остается справедливым и для уточненной теории,
учитывающей явления, связанные с поперечными сдвигами и
с нормальным напряжением а .
8*

116
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
|ГЛ. 1
Из G.38) и G.19) согласно G.9)—G.20) имеем для внутрен-
внутренних тангенциальных сил
G.44)
i 2 == Ь2282 ~| ^1281 "^2* »
где компоненты деформаций е,., ш согласно G.9) будут выражаться
так:
да . , dv , , ди . dv ,„ ,г.
е +к^ + ^ + (/45>
Далее, из G.11) с принятой точностью получим для коэффи-
коэффициентов изменения кривизны и кручения срединной поверхности
х., х
е>32
да <
G.46)
Решая систему G.44) относительно компонент деформаций
е2, е2, ш и подставляя полученные при этом значения, совместно
с G.46), в уравнение неразрывности G.43), найдем
•22
+С
у11С22 — -
G.47)
Вводя функцию напряжений F (ее, р) и выражая внутренние тан-
тангенциальные силы по формулам
1 , РЭ* 2 Г,от' ° ,аЗ' К' •'iO/
тождественно удовлетворим первым двум уравнениям равновесия
G.40), а из остальных трех уравнений G.40) и уравнения не-
неразрывности G.47), в силу G.38), G.39) и G.46), получим сле-
следующую разрешающую систему дифференциальных уравнений:
(Dik) w-^ [a55Ln (Dik) <
(D
ik
G. 49)

% 7] УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
117
i -Ь fc2D12
= • "^1И Ai -q~
A2 ~Q~J \kiDn -f- k2D12) -f-
5^12 (Dilc) f\ +
G. 49)
diw
^2 — Л Cl2Vfr D h D \diw —
—— 2 (л щ )^

118
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
где наряду с линейными операторами Lu, Ьгъ Z/12, L13, L23, выра-
выражения для которых даны формулами G.42), имеем также новые
линейные операторы
Т (Г \ — ?jl<!L-L.(A
Сп\ д* С22 д*
qqJ Oai др "Г qo ^4 >
' R2 да? ' R1 dp '
G.50)
Таким образом, задача «весьма пологой» оболочки в постановке
уточненной теории свелась к разрешающей системе четырех диф-
дифференциальных уравнений относительно четырех искомых функ-
функций w (a, p), F (а, р), tp (а, р), ф (а, р), через которые представ-
представляются все расчетные величины оболочки.
Нам остается привести формулы, с помощью которых могут
быть определены тангенциальные компоненты перемещения, т. е.
и (а, р) и v (а, р). Из первых двух равенств G.38) согласно G.39)
и G.48) получим
+ (A:2D22 -f ft^^ w, рз
+ A;2ZI2) ю J.
G.51)
На основании полученных выше результатов легко построить
вариант теории «весьма пологой» оболочки с учетом лишь явле-
явлений, связанных с поперечными сдвигами. С этой целью во всех
приведенных выше уравнениях и соотношениях формально надо
положить Л1=0, А2=0, тем самым исключив из всех уравнений
и соотношений члены, которые происходят от о
Поступая указанным образом, получим из G.41) следующую
систему разрешающих уравнений:
(Cik) v
(Cik) v
(Cik) a + (Jc2C2
12 (Cik
7 г (^2^22
^ = 0,
a~ г
G.52)

5 7] УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
119
12? =1
G.52)
Далее, для расчетных величин получим выражения*
для напряжений:
= ^22 -^ + S12 -^ — Т
G.53)
да
для внутренних сил:
да
для внутренних моментов:
G.54)
H=-.—2DK
дад$
G.55)
Главная особенность полученных формул для внутренних сил
и моментов заключается в том, что уточняющие классическую
теорию члены фигурируют лишь в соотношениях упругости G. 55),
т. е. в формулах для моментов. В связи с этим первые два безмо-
ментных уравнения разрешающей системы G. 52) не содержат
искомых функций <р и ф и не отличаются от соответствующих
уравнений классической теории.

120
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
В рассматриваемой постановке (т. е. без учета явлений, свя-
связанных с нормальным напряжением о ) существенно упрощаются
и разрешающие уравнения системы G. 49). В этом случае получим
из G.49) следующие разрешающие уравнения рассмотренной
задачи:
G.56)
• - fo [^11 (D№) 9 + G4A2 (Dik) ^1 + ^9 = 0,
(Dik) w-%
*8
(Dik) ф -f aSBL12 (Dik) <p] -|*8 ф = 0.
Эти уравнения, как и аналогичные уравнения общего случая
G.49), составляют полную систему четырех дифференциальных
уравнений относительно четырех искомых функций w, F, <р ф.
Однако система разрешающих уравнений смешанного метода
<7. 56) может быть сведена к одному разрешающему дифферен-
дифференциальному уравнению десятого порядка относительно некоторой
искомой функции Ф=Ф (а, C). Действительно, полагая
г = [го " AI Ls (Dik) - g L13 (Dik)] L2 (Cik) Ф,
*ssDk IL, (Dik) - g L23 (Dik)] L2 {Cik) Ф,
= \T0O
iD(k) — Щ [(а44°2
?]+щ} L2 (Cik) Ф,
) +
G.57)
тождественно удовлетворим трем последним уравнениям системы
G.56), а из первого уравнения получим искомое разрешающее
дифференциальное уравнение десятого порядка:
j-
20
D№ (a55 |г + % ?
fit
~ (l44
щ
(Cik) Ф -

§ 7] УТОЧНЕННАЯ ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
где для линейных операторов имеем
121
di
да*
д*
ар*
I
12
1 <?*
G.59)
С помощью формул G.53), G.54), G.55), G.57), G.48) нетрудно
представить все расчетные величины посредством искомой функ-
функции Ф (а, р). Однако ввиду громоздкости получаемых при этом
формул здесь они не приводятся.
Наконец, укажем, что при этом тангенциальные перемещения
согласно G.51) определятся из следующих равенств:
,d"-F
w \
G.60)
В случае тонких оболочек с достаточно высокой точностью
взамен G.53) для основных расчетных напряжений можно брать
их линейные по у части, т. е. использовать следующие формулы:
г, ди , г, dv (r> d^w
„ d2w
ва w
w + r i
dj\
да)'
dv
G.61)
В силу этого формулы для определения внутренних усилий не-
несколько изменятся. Формулы для внутренних сил G.54) останутся
неизменными, а в формулах для моментов G.55) изменится лишь
коэффициент при поправочных членах, а именно множитель h2/10
заменится на А2/8. При этом изменятся и значения некоторых коэф-
коэффициентов в разрешающих уравнениях задачи. В частности,
первые три уравнения системы G.52) останутся неизменными,
а в последних двух уравнениях множитель h2/10 заменится

122 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
множителем Л2/8. То же самое произойдет и с системой уравне-
уравнений G.56): в первых двух уравнениях неизменными остаются все
члены, а в последующих двух взамен множителя feVIO будем иметь
множитель h?/8.
§ 8. Уточненная теория трансверсально
изотропных оболочек
Уточненная теория трансверсально изотропных оболочек мо-
может быть построена на основании тех же предположений, что и
уточненная теория анизотропных оболочек. Эти предположения
аналитически представляются (см. введение, § 4, п. 3 и § 7 настоя-
настоящей главы) следующим образом:
(8Л)
где w (a, P), cp (a, |3), ф (a, |3) — искомые функции.
Будем полагать, что оболочка изготовлена из трансверсально
изотропного материала так, что в каждой точке оболочки пло-
плоскость изотропии параллельна срединной поверхности оболочки,
т. е. главное направление упругости, перпендикулярное к пло-
плоскости изотропии, в каждой точке оболочки совпадает с соответ-
соответствующей нормалью у.
В этом случае согласно формулам A0) и A1) для упругих по
стоянных материала оболочки имеем
«is = «23 = -*'/#'=-
где E, E' — модули упругости, v, v', v" — коэффициенты Пуас-
Пуассона (v"?" = v'?r), G, G' — модули сдвига (G=?"/2 A + v)).
Будем считать также (это видно и из (8. 1)), что оболочка за-
загружена лишь нормально приложенной нагрузкой с интенсив-
интенсивностью Z (a, P).
Отметим, что при построении общей уточненной теории транс-
трансверсально изотропной оболочки везде, где это очевидно, мы не
будем учитывать члены порядка (М,)а по сравнению с единицей.
1. Перемещения и деформации. Согласно (8.1), (8.2) и A0)
для поперечных деформаций оболочки имеем

$ 8]
ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ
123
Поступая точно так, как в п. 1 § 7 настоящей главы, получим
для тангенциальных перемещений какой-либо точки оболочки
следующие выражения:
d
(8.4)
где и=и (а, р), v=v (а, |3) — искомые перемещения. В силу (8.1),
(8.4) из равенств A5) для еще не определенных деформаций,
после некоторых преобразований с учетом B) и D), получим
*2Т ¦ htfi\l
2 ~ Ъ% ] А
дА
3№) (?р J Т'
(8.5)
где для в,., о), хл т имеем обычные формулы G.9), G.11).
2. Напряжения в оболочке, внутренние силы и моменты.
Для расчетных напряжений из A0), A1) согласно (8.1) получим
\ = Вп^ + В1ге^ °& = В22ер + В12еа, ^ = B66ea?, (8.6)
где для коэффициентов Bik имеем
Я — р Е д __ уЕ R Е о 7\

124
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
Коэффициенты Bik в этом случае ничем не отличаются от со-
соответствующих коэффициентов Bik для обычного изотропного
материала. И это естественно, так как оболочка в системе аО$
является изотропной.
Подставляя выражения деформаций из (8.5) в (8.6), получим
окончательные формулы для определения напряжений ая, о? и
*„,,. Ввиду громоздкости получаемых при зтом выражений окон-
окончательные формулы для оя, Op, Tag здесь не приводятся.
Подставляя выражения для напряжений (8.1) и (8.6) в фор-
формулы A.5) (о справедливости зтих формул для уточненных тео-
теорий мы говорили выше, см. § 7), получим для внутренних сил и
моментов следующие формулы:
(8.8)
n Г
1 дф . i ^В
(8.9)
(8.10)

g]
ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ
125
(8.10)
где для жесткостей имеем
_ ,2 1
) П "" П
'11 — ^22 — 12(l_v2)> 12~12A— v2)
24A
(8.11)
Рис. 29.
а деформации ео о) и изменения кривизны и кручения х., t опре-
определяются по формулам G.9) и G.11).
3. О разрешающих уравнениях и граничных условиях. Как
было неоднократно указано, уравнения равновесия элемента
оболочки и уравнения неразрывности срединной поверхности
оболочки в случае уточненной теории ничем не отличаются
от соответствующих уравнений класси-
классической теории. Эти уравнения даются
формулами G.25) и G.26). Что же ка-
касается невыписанного здесь шестого урав-
уравнения равновесия, то оно в силу соотно-
соотношений упругости (8.8) и (8.10) удовлет-
удовлетворяется тождественно.
Граничные условия, которым должны
удовлетворять искомые функции и, v, w,
9, ф, записываются точно так же, как и
в уточненной теории анизотропных оболочек. В частности, для
некоторых вариантов они имеют вид G.27)—G.29).
Выполняя соответствующие подстановки, о которых сказано
в пп. 3 и 5 § 7 настоящей главы, мы можем получить все варианты
разрешающих уравнений трансверсально изотропных оболочек.
Однако при этом мы получим громоздкие уравнения, которые
в общем виде не используются в дальнейшем; поэтому разрешаю-
разрешающие уравнения будут даны лишь для некоторых частных случаев.
Наконец, укажем, что приведенные в настоящем параграфе
результаты можно получить как частный случай результатов
предыдущего параграфа. При этом надо руководствоваться лишь
равенствами (8.2), (8.7) и положить ole=o2e=0, Ви—В2е~0.
4. Трансверсально изотропная круговая цилиндрическая обо-
оболочка. Пусть срединная поверхность круговой цилиндрической
оболочки с радиусом кривизны i?=const отнесена к криволиней-
криволинейной ортогональной системе координат а, р так, что а направлена
вдоль образующей оболочки, ар — по дуге крута поперечного
сечения. Тогда для коэффициентов первой квадратичной формы

126
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
и для радиусов кривизны будем иметь Л=.В=1, /?!=«» Дг=Л,
&2=1/Д (рис. 29).
Будем полагать, что оболочка или пологая, или замкнутая
(но тогда достаточно короткая) и поэтому может быть рассмотрена
на уровне технической теории, т. е. с точностью h/R.
С принятой точностью из формул (8. 8)—(8. 10) получим для
внутренних сил и моментов следующие выражения:
Eh Tdv . w , dul jy ЛЗ
, „ Eh (du , dv
E№
12A— m2) L da2 T dp 10G' \da '
: 12 fl — m2) I dS2"+ V da^~~10<rld3 ~f"Vd^)l'
(8.12)
Внутренние силы и моменты должны удовлетворять уравне-
уравнениям равновесия, которые в рассматриваемом случае запишутся
следующим образом:
da
da
(8.13)
Подставляя значения внутренних сил и моментов из (8.12)
в уравнения (8.13), получим следующую систему разрешающих
дифференциальных уравнений относительно пяти искомых функ-
функций и (а, р), v (а, р), w (а, р), «р (а, р), <|>(а, р):
I 1+" ^ I ' dw - 0
2 da о
Eh (dv
. — m2
(8.14)

3 8] ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ
где, как обычно,
127
(8.15)
Система пяти разрешающих уравнений десятого порядка
¦(8.14), написанная относительно пяти искомых функций, может
¦быть несколько модифицирована.
Из последних трех уравнений системы (8.14), исключая ис-
искомые функции «риф, получим новую систему трех дифференциаль-
дифференциальных уравнений относительно трех искомых перемещений и, v,
ip. Эта система в целом выглядит следующим образом:
1 —
'~2~
1 — v (V-
1 4
12 A
где
du
10A — '
(8.16)
(8.17)
представляет важную величину, которая характеризует влияние
поперечных сдвигов на напряженно-деформированные состояния
•оболочки. В частности, при Л*=0 система уравнений (8.16) сов-
совладает с соответствующими уравнениями классической теории.
Система (8.16) не будет полной, если к ней не присоединить
систему двух дифференциальных уравнений, определяющих ис-
исключенные выше искомые функции <р и ф:
12
' ду . dty \ Eh I dv . ди w\
jfz'~ dfJ ) R A — \^) \"dp" ~r" v"d7 '~RJ
(8.18)
Очевидно, что система (8.18) получается из последних трех
уравнений системы (8.14).
Система уравнений (8.16) может быть представлена в более
компактной форме. Выполним операцию д2/да2 над первым урав-
уравнением (8.16) и операцию <52/й ад |3 над вторым уравнением (8.16).
Складывая полученные при этом уравнения, найдем
v- \ii4--
a a- ' у
"д
= o.
(8.19)

128
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
1ГЛ. I
Далее выполним операцию д2/дC2 над первым уравнением (8.16)
и операцию д*/дад$ над вторым уравнением (8.16). Вычитая из
полученного первого уравнения второе, найдем
д-2 . й* . 2 «*>«,„ (820)
длдЪ
-тш=°-
Складывая теперь уравнения (8.19) и (8.20), получим
v д^ш . 1 д^ш
~R~ да? ' ~R да др '
\\и=-
и аналогично этому
2 +
W
1
(8.21),
(8,22>
Исключая с помощью уравнений (8.21) и (8.22) и и у из третьего-
уравнения системы (8.16), получим взамен (8.16) следующую,
достаточно удобную для использования систему трех новых урав-
уравнений относительно трех искомых функций u, v, w:
л
Н dtfdp
(8.23)
где D = Eh3/12 A — v2) — обычная цилиндрическая жесткость, Д2 =
= ДД, Д* = ДДДЛ. /
Полученных в этом пункте разрешающих систем уравнений
(8.14), (8.16), (8.18)и (8.23) достаточно для рассмотрения различных
задач теории трансверсально
изотропных цилиндрических
оболочек.
5. Трансверсально изотропная
сферическая оболочка. Пусть сре-
срединная поверхность сферической
оболочки радиуса кривизны R от-
отнесена к географической системе
координат а, р, так, что а пред-
представляет угол долготы, ар — угол
широты (рис. 30).
Тогда, очевидно, для коэф-
коэффициентов первой квадратичной
формы и для кривизны срединной
рис зо поверхности будем иметь A=R,
B=R sina, k1=ki=k=R-1. В по-
последующих выкладках ради сохранения симметричной структуры
получаемых выражений приведенные выше значения А и В (ъ рас-

8]
ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ
129
шифрованном виде) не будем подставлять, однако все время будем
помнить, что А — величина постоянная, а В не зависит от р.
Так как в дальнейшем трансверсально изотропные сферические
оболочки будут исследоваться лишь с точки зрения устойчивости
и колебаний, разрешающие уравнения выводятся здесь именно
для этих целей.
Учитывая вышеизложенное, с принятой точностью получим
из (8.8)—(8.11) для внутренних сил и моментов следующие вы-
выражения:
Eh
¦vel)]
24 A + v)
(8.24)
где для членов, представляющих явления поперечного сдвига,
имеем
_L
120 A — v*) G'I A
Л д I <P\, В
Для компонент деформаций s,., ш, изменений кривизны и круче-
кручения х4., т из G.9), G.11) получим
__ j_dv_, 1_
д I v
A d2w . 1 dB dw i w \
#2 ^p2 ' А~Ш д* doi "т~ ~Ш)'
9 С. А. Амбарцумян
(8.2G)

130
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ.
Уравнения равновесия сферической оболочки, которым должны
удовлетворять внутренние силы и моменты, в географической си-
системе координат выглядят так:
(8.27)
Исключая из первых трех уравнений (8.27) перерезывающие
силы и используя оставшиеся, получим
(8.28)
Подставляя значения внутренних сил и моментов из (8.24)
в уравнения равновесия (8.28), найдем
Д —
¦ 1 — ч/ц I dw\
"¦ ~R~\~R"~~A~da~)~~
A-i_2)u;~|-f(l--vL-4-
1 ' J ' v ' A di
, 1 — -t / v 1 dw\
"• R~\R~ TT~df)~~
1 — V
+ Eh
Eh AB v
Eh А В 2'
(8.29)

§ 8] ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ
где введены следующие обозначения:
2ш
131
то .
(8.30)
Исключая х из первых двух уравнений (8.29), получим
Eh А В
Преобразуя с помощью (8.25) правые части третьего уравнения
системы (8.29) и только что полученного уравнения (8.31),
найдем
Eh AB
1_V2
(8.32)
Третье уравнение равновесия (8.27) с помощью соотношений (8.24)
и (8.30), с принятой здесь точностью, может быть представлено
следующим образом:
9*

132 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
Теперь уравнение (8.31) и третье уравнение системы (8.29)
согласно (8.32) и (8.33) могут быть записаны так:
(8.34)
Наконец, исключая & из этих уравнений, получим одно уравне-
уравнение шестого порядка относительно нормального перемещения w:
[с* (Д + 1J + 1 _ /г*Д] (Д + 2) M;=g A - Л*Д) (А + 1 - v) Z, (8.35)
где
C —12A-*)Я*' Л — 10A-^)Д*С" ^' ^
Уравнение (8.35) является исходным уравнением при рассмот-
рассмотрении задач устойчивости и колебаний замкнутой трансверсально
изотропной сферической оболочки.
Однако укажем, что при рассмотрении иных задач, требующих
определения всех искомых функций (например, и, v, w), мы обя-
обязаны исследовать полную систему уравнений (8.34).
§ 9. Новая итерационная теория
Теория анизотропных оболочек, которая излагается в настоя-
настоящем параграфе, условно названа новой итерационной теорией.
Она базируется на предположениях (см. введение, § 4, п. 5), ко-
которые аналитически представляются следующими приближен-
приближенными равенствами:
где величины с нулевыми индексами представляют значения соот-
соответствующих напряжений и деформаций, найденных по класси-
классической теории.
Согласно классической теории для напряжений х» т" и з?
имеем формулы A.17), A.18), т. е.

§9]
И
НОВАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ
133
(9.3)
где, как и раньше (рис. 31),
х—у (X — X ),
Входящие в (9.2) и (9.3) функции Рис д1
(ро («i 0). Фо (а, Р) характеризуют по-
поперечные силы и с высокой точностью представляются формулами
?o=~~^i» Ф=—^2- (9-5)
Функции (р0, ф0 согласно формулам E.4), E.12), E.13) могут
быть представлены в виде
(9.6)
ЁЦ.\Л
АВ \_да
В да
да
да\А до.
dp
где wo=w0 (ос, р)]— нормальное перемещение, определяемое клас-
классической теорией, В(к — известные коэффициенты A.11).
Для большей строгости напомним, что формулы (9.6) получены
с точностью технической теории оболочек. Однако этой точности
в формулах (9.6) вполне достаточно, чтобы их трактовать как
формулы общей теории. В последующих выкладках функции tp 0
и фо будут фигурировать в нерасшифрованном виде, так что при
желании взамен (9.6) могут быть использованы более полные пред-
представления этих функций.

134
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
Моменты ikf,° и Ml, входящие в формулу (9.3), определяются
с помощью известных соотношений упругости
м; = ад+ад + d^, м» = ад + ад+?>2Ст<\ (9.8)
где
1— 4 дДл da У ЛЯМР ^ "Г da Л "Г" (?jB В ^0'
n 15/1 дшо\ 1 55 дш0 . дк2 уп дк2 щ
Х2 ~ ~~ "й" Щ \ ~В ~Ж) ~~AW dl!te~~t~~df ~В +"dT ~А~~
0 2 /d=iyn 1 дА dwn I 55<)u;n\ .
Т ~ А~В \д дЪ ~аШ~з ~В "да ~df) '
АВ \да дЪ
~В "да
(9.9)
щ=ио(а, р), г;0=г;0 (а, р) — тангенциальные перемещения средин-
срединной поверхности, определяемые классической теорией.
Подставляя значения касательных напряжений т? и т^т из
(9.2) в соответствующие уравнения обобщенного закона Гуна
F), получим для деформаций сдвига е?т и е^
(9.10)
где введены следующие, обычно принятые, обозначения:
Г = aggZ! + a45Yly X' = а5Д2 + ai5Y2, Ф} = а55?0 + а45ф0,
^ = ««^ + «4.^, Р = а44У2 + а4Д2, Ф» = М0
(9.11)
Далее, согласно классической теории имеем для деформации
ей выражение A.20), т. е.
(9.12)
где для внутренних тангенциальных сил и для крутящего момента,
в наиболее простом варианте, справедливы следующие, неодно-
неоднократно приводимые, соотношения упругости:
ц =
v, я» = zI6xj+ад
(9.13)

i 9]
НОВАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ
135
Здесь наряду с (9.9) имеем также
0
0 1
s 2 ~~ ~в
1 ди0
17~1~ АВ 1JT V°
If+Je 17 u°
A da\B
(9.14)
1. Перемещения и деформации. В силу основной гипотезы
(9.1) для нормальной компоненты деформации е согласно A5)
и (9.12) имеем
т—г
где
(9.15)
(9.16)
Интегрируя уравнение (9.15) по f в пределах от нуля до у
и полагая, что при f=0 и —w (а, р), получим для нормального
перемещения какой-либо точки оболочки
ит = м; + -{T*-\-fM*-\-fK*-{-fN% (9.17)
где введены следующие обозначения:
A3
(9.18)
Очевидно, w=w (a, p) является искомым нормальным переме-
перемещением срединной поверхности оболочки.
Далее, в силу основной гипотезы (9.1) для поперечных сдви-
сдвигов е и eg получим согласно A5) и (9.10) следующие выраже-
выражения:
(9.19)

136
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
Интегрируя с учетом A7) и (9.17) полученные уравнения по у
в пределах от нуля до у и полагая, что при у=0 ил=и (а, р), и? =
=v (а, C) с точностью (hk.J, найдем для тангенциальных перемеще-
перемещений какой-либо точки оболочки
(9.20)
Очевидно, ы=ы (а, р) и у=у (а, C) представляют искомые танген-
тангенциальные перемещения срединной поверхности оболочки.
Рассматривая формулы (9.17) и (9.20), замечаем, что (в отли-
отличие от всех ранее рассмотренных теорий) в новой итерационной
теории геометрическая модель деформирования оболочки такова,
что все компоненты перемещения любой точки оболочки зависят
нелинейно от координаты у. При зтом все искомые перемещения
и (а, р), v (a, p), w (а, р) и известные функции Т°,М°,. . ., К*, N*,
которые определяются согласно классической теории, являются
функциями лишь криволинейных координат срединной поверх-
поверхности аир.
Таким образом, при помощи соотношений (9.17) и (9.20) трех-
трехмерная задача теории упругости анизотропного тела сводится
к двухмерной задаче теории оболочек.
Имея значения «а, и^, и , с помощью геометрических соотно-
соотношений A5) легко определить еще не найденные компоненты де-
деформаций ел, е^, е^ и далее, согласно F), представить все расчет-
расчетные напряжения посредством искомых функций и, v, w.
В силу (9.17) и (9.20) деформации еа, е^, е^ могут быть
представлены в виде многочлена по степеням у:
(9.21)

§ 9]
НОВАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ
137
Здесь, в отличие от G.8), мы ограничиваемся первыми четырьмя
членами разложений, т. е. прибавляем к классическому разложе-
разложению по одному четному и по одному нечетному по у члену.
Подставляя значения«а, «р, « соответственно из (9.20), (9.17)
в соотношения A5) и сравнивая полученные при этом значения
деформаций еа, е~, е^ с соответствующими представлениями
(9.21), получим для коэффициентов разложений следующие вы-
выражения:
I Зи . I ЗА , , А д / и\ . В д [ v\ /n оо.
(9.23)
81В
+ ±()
^ А да\В J'
где, как обычно,
Х1— ~А~да\А да)~~AB2dJdf~T~J~dIU~>~
1 дк,
i_dAdw_ j_??
A dJdI~FdVd
д /и\ В
)
(9.24)
и, далее, для коэффициентов разложений при у высших степеней:
— .-
2Л
l^l^lj. i дА уЛ 1 л. 1 эх* 1 a*i
2Ли ^ "г"ЛВ^ / 2\,!Л да. A <te
АВ
(9.25)

138
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
1 д / 1 дТ*\ 1 ЗА дТ* 1 д ( 1 дТ*\ .
25<^U 5aJ + 2^2fi^ йа 2Ада\В д$ ) ¦"
1 двзт* 1 га у* „. ах* 1 ал, ул ,
I (9-25)
_1?^?_1_1_^фо 1 д ( 1 <Ш«\
6i di 6^fidp 2 ЗЛ5а\Л йа /
±(к 4-±
2 Vе! ^ 3
3 ХЛ да\А да] ' b Л2 da да
~~Yh\K^~^ "yiB'dJ1 ~ТТ~д*~л —
1 (]. 1дХ' 11 dklx\ a _
3h\lA~d*~ ~2Ад1Л)' 2~ •••
3B
da
, 1 dA dM* 1 dki dT*
~T'ZA-Wd$ да ' 6АВ <% da
i_ д A_дЛ?Л 1 дВ дМ* ,
ЗА l ~WJ'~3AB~?'fa ~~af ~Г
ЗА да\В d\i )
_J 2 |_ __^
* ft А В да д$ 2
(9.26)
He выписанные здесь коэффициенты разложений е2,. . ., &2
могут быть получены из этих формул путем круговых подстановок.
Рассматривая коэффициенты разложений (9.22) — (9.26), за-
замечаем, что, если даже ограничиваться первыми двумя членами
разложений (9.21), т. е. останавливаться на уровне принятых
в классической теории разложений A.5), мы не получим резуль-
результатов классической теории, ибо коэффициенты разложений (9.23)

§ 9]
НОВАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ
139
принципиально отличаются от соответствующих коэффициентов
классической теории. Здесь коэффициенты х*, т* наряду с обыч-
обычными членами, представляющими изменения кривизны и круче-
кручение срединной поверхности оболочки, содержат новые элементы,
которые происходят от поперечных деформаций
е. , е .
2. Напряжения в оболочке, внутренние силы и моменты.
Решая уравнения обобщенного закона Гука F) относительно
расчетных напряжений и используя формулы (9.1), получим
= Вп (е« —
= Вп (
а13о
— а23о») -f ?26 (е„э — а3
(9.27)
где для коэффициентов Bik имеем
В22 =
% — О Q *' #26 = («12«16 — аП«2б) Q *>
!66 = (япа22 — af2) 2, Б12 — (а1йа26 — а12а66) 2,
2 = (аиа22 — а|2) а66 -J- 2а12а16а26 — ацй2в — fl22flie-
(9.28)
Подставляя в (9.27) значения деформаций еа, ер, еа? и нормаль-
нормального напряжения о0 соответственно из (9.21) и (9.3), получим со-
согласно (9.16) следующие выражения:
Ъг + В12Ь2
В1йа'
1
В1йс'
f
1 -f B2Sa> -f т E22
12С] + Вжс>) -f f
2 -f Bma> -f T E,5
с>) -f f (
-f Bied'
2йЪ>) -f
-f B
-f В12Ъг
22d2 -f
-f B26b2 -f 566Ь') -f
^d, -f B2ud2 -f Beed
(9.29)
где введены следующие ооозначения:
(Z • - Е - ' " " W
c'=v
(9.30)
Таким образом, формулами (9.29) представляются расчетные
напряжения в оболочке. Эти напряжения по толщине оболочки

140
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
изменяются по нелинейному закону. Однако зачастую в формулах
(9.29) можно ограничиваться лишь первыми двумя группами чле-
членов, т. е. можно принимать линейный закон распределения напря-
напряжений о^, о„, та„ по толщине оболочки.
Подставляя в A.15) значения напряжений оа, о. и тар, по-
получим для внутренних сил и моментов следующие выражения;
Т1 = Cum1 + C12m2 + Cwr
Т2 = C22m2 + Cnmi -f C26r
1впг1 -f- Cwm2 -f k2
S2 = C66r -f CjeWi! -f C26m2 +/bj
Л/x = /)„«! + ZI2n2 + /)ив + k2
M2 = ZJ2?z2 -f D^w, + ZJCs + A,
Ях = ZN6s + D^ + ZJ6?z2
Я2 = Dees + /)„«! + ZJ0?z2
»2 + ^12»1+^2в«).
¦ ~\- Dwnx + Dy.n2),
: -f- Djg^j -f- D26n2),
U\242 ~V u1gP)i
kx {De6p + Z)ieg, + ZJ6g2),
(9.31)
где введены новые обозначения:
= ai
IT
C' ==
2"
2"
= si + 0" 1« ~ a'3 (Zi — 5Г *
_
(9.32)
)
Внутренние поперечные силы Л^х и iV2 должны быть определены
из последних двух уравнений равновесия, которые совпадают с со-
соответствующими уравнениями равновесия классической теории
A.21). Укажем также, что, согласно исходным предположениям
(9.1), поперечные силы могут быть приняты равными, с достаточно
высокой точностью, поперечным силам классической теории, т. е.
Полученные соотношения упругости достаточно компактны и
могут быть использованы в последующих выкладках. Легко за-
заметить, что они тождественно удовлетворяют шестому уравнению
равновесия.

§ 9]
НОВАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ
141
Рассматривая соотношения, приведенные в этом параграфе,
можно заметить, что все расчетные величины оболочки, т. е. все
деформации, напряжения, внутренние силы и моменты, являются
функциями трех искомых перемещений: и (а, р), г; (а, р), w (а, р).
Кроме искомых перемещений, все расчетные величины оболочки
содержат элементы, которые могут быть определены из решения
соответствующей задачи оболочки по классической теории.
Все эти величины отмечены нулевыми индексами.
Для случая тонких оболочек в формулах (9.29) можно огра-
ограничиваться с достаточно высокой точностью лишь первыми двумя
группами членов, что соответствует линейному закону распре-
распределения напряжений аа, ар, тср по толщине оболочки.
В этом случае для внутренних сил и моментов будем иметь
И, = Z)n61 + Dx A + D^V + к2 (Duax +
-f Dna2~\-Dl6a'),
S, = Cwa> + С1йп1 + C26a2 -f k2 (DmV +
2 (Dma'
b, -f
(9.33)
Не выписанные здесь значения внутренних сил и моментов
можно получить путем перестановок индексов (см. также (9.22),
(9.31) и (9.32)).
Напомним, что входящие в соотношения (9.31), (9.33) жест-
жесткости
3. О разрешающих уравнениях и граничных условиях. Урав-
Уравнения равновесия элемента оболочки и в случае новой итерацион-
итерационной теории ничем не отличаются от соответствующих уравнений
классической теории. Для удобства приведем их еще раз без ка-
каких-либо изменений:

142 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
Неизмененными остаются и уравнения неразрывности дефор-
деформаций, третье из которых имеет вид
{[ X [5s2.«+ (82 — si)В¦«— 4"ш. Р"" шЛ
Уравнение (9.36) может быть получено из формул (9.22) пу-
путем исключения тангенциальных компонент перемещения данной
точки срединной поверхности и (а, Р), v (а, р) и введения измене-
изменений кривизны срединной поверхности хх (а, р), х2 (а, р).
Подставляя значения внутренних сил и моментов из (9.31)
в первые три уравнения равновесия (9.35), из которых с помощью
последних двух уравнений исключены поперечные силы Nv JV2,
и при этом учитывая (9.32), (9.30), (9.22)—(9.26), получим раз-
разрешающую систему из трех дифференциальных уравнений отно-
относительно трех искомых функций и(а, $),и(а, р), w (а, C). Здесь
в правых частях разрешающих уравнений, наряду с грузовыми
членами Х± (а, C), Y± (a, p), Z± (a, C), будут стоять некоторые
величины, значения которых определяются на основании решения
рассматриваемой задачи по классической теории. В случае поло-
пологих оболочек разрешающие уравнения новой уточненной теории
анизотропных оболочек можно построить смешанным методом.
Для этого необходимо ввести в рассмотрение новую искомую функ-
функцию напряжений F (а, р), через которую внутренние тангенциаль-
тангенциальные силы представляются обычным образом (см. формулы E.7)).
Мы получим обычную систему двух разрешающих уравнений от-
относительно двух искомых функций w (а, C) и F (а, C). Ив этом
случае в правых частях уравнений, наряду с грузовыми членами,
будут стоять некоторые величины, значения которых определя-
определяются на основании решения рассматриваемой задачи по класси-
классической теории.
В новой итерационной теории граничные условия ничем не
отличаются от граничных условий классической теории, (см. п. 8
§ 1 настоящей главы). Читатель в этом убедится в последующем,
при рассмотрении конкретных типов оболочек, для которых будут
выписаны разрешающие уравнения.
В общем случае разрешающие уравнения здесь не выписыва-
выписываются в виду их громоздкости. Они будут приведены лишь для не-
некоторых частных случаев.
4. Новая техническая итерационная теория оболочек, для
которых приближенно или точно можно принимать А = const,
_B=const, fc1=const, fca=const. Здесь, как и раньше, объединяются
теории «весьма пологих оболочек» (см. п. 2 § 5), техническая тео-
теория круговых цилиндрических оболочек (см. п. 2 § 3) и др.

9]
НОВАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ
143
Пусть система криволинейных координат ocOfi выбрана так, что
выполняется сильное неравенство ABjRjR <**. 1. Пусть, далее,
коэффициенты первой квадратичной формы А — А (а, р),
В =В (а, р) и главные кривизны срединной поверхности kt —
= &! (a, $)=Rf (а, C), к2=к2(а, Р)=Д2 (а, р) при дифференциро-
дифференцировании, точно или приближенно с достаточно высокой точностью,
ведут себя как постоянные.
Далее, полагая, что рассматриваются лишь тонкие оболочки,
считаем, что расчетные напряжения °а, а?, т^ по толщине обо-
оболочки изменяются по линейному закону. В силу последнего, со-
соотношения упругости берем в виде (9.33) и при этом ограничи-
ограничиваемся наиболее простыми представлениями их, т. е. отбрасываем
члены с множителями к{.
Считаем также, что в первых двух уравнениях равновесия
(которые, очевидно, ничем не отличаются от уравнений равновесия
классической теории) можно пренебречь членами k1N1 и k2N2.
Наконец, в выражениях, представляющих компоненты изгиб-
ной деформации (9.23), (9.24), отбрасываются члены, которые
происходят от тангенциальных перемещений или имеют множи-
множители к).
Принятые здесь предположения не новые, они подробно осве-
освещены в соответствующих разделах настоящей книги, посвящен-
посвященных техническим теориям, теориям пологих и весьма пологих
оболочек.
Тогда для рассматриваемого класса оболочек получим следую-
следующие исходные соотношения и уравнения:
уравнения равновесия:
1 дТ,
-L^— __х 1 дт2 \ ds ,
1 дМл
А да
1 дН
в
1 дМ» 1 дН
(9.37)
геометрические соотношения:
1 ди . , 1 dv
1 да . 1 ди
+
JL^L-L— — ^l-4-k Т \ 1 дХ*
дУ*
АВ дад$
'fi "f" 8 \В d'i "f" A r)a)~^~B dp + А д.г '
(9.38)

144 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
где введены следующие обозначения:
То = —
?з dp
| р 1 ^3
ВА*
Далее, имеем
4-В ±д3
т* — _L то ??зя ro_i л Z
где согласно (9.16), (9.13), (9.14), (9.8), (9.9)
2D12) ± 2Г - (^2
— 2 (fcj
L О
У а
соотношения упругости
2- х = Cllfll + С12а2 + Cwa',
= Dnbx + D12b2 -f-
5 = C^a' + C^ + C26a2, Я =
где согласно (9.30), (9.22)—(9.24)
(9.39)
(9.40)
(9.41)
(9.42)
(9.43)
(9.44)

9] НОВАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ
, 1 ди . 1 dv
145
А да '
¦¦ — ~~B^WJrT~B da ~+~k*
24
"яе
24
1 <?У*
(9.44)
Здесь из (9.16) и (9.8), (9.9) имеем
1 д1щ0 п 1 д%п ,„ .-
S3 "dlrfp" -°22-Ш-"Ж"' \У-*°>
Подставляя значения a., a', b{, b1 из (9.44) в (9.43), получим
для внутренних сил и моментов следующие формулы:
D- %
i П i
1" ^"si"
+4
(9.46)
iA + АЛ) *¦*--? Л А
В
А да
(9.47)
С. А. Амбарцумян

146
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ.
Л * d2u;Nl I
А2
+ ?
l 5Ф? 1 дФ$\
1 дФ?
T ^T +
1 дФ§|
-g- Ж J+
m
\W ~df + T~^r) + Dl6T ~dT + D*~W~df
(9.47)
Структура формул для внутренних сил и моментов (9.46),
(9.47), как и следовало ожидать, идентична структуре формул для
коэффициентов а,,. . . , Ъ'. Здесь имеем классическую часть и по-
поправки к ней. Очевидно, поправочные члены определяются со-
согласно формулам (9.39) — (9.45) с помощью решения соответ-
соответствующей задачи по классической теории.
Исключая Nlt N2 из третьего уравнения равновесия (9.37)
с помощью последних двух уравнений и подставляя в оставшиеся
уравнения значения внутренних сил и моментов, получим следую-
следующую систему разрешающих уравнений в искомых перемещениях
и=и(а, р), v=v(a, p), w=w (а, р):
i*) ц
2V"I да
1дг
,) Ф?
P,,2k2)
X*
(9.48)
F*.

9]
НОВАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ
147
где наряду с операторами Е( {D{k) имеем также следующие неодно-
неоднократно использованные представления:
т (Г \ С" д2 . г, СN д2 I С 66 <Э'2
и\\ K^ik)— Л2 fat I AR даш "+"~Д2~ ЛМ •
АВ
д- I n Сое д'2
-22 ^ij —
АВ
АВ
I А •) Л-72 '
+ °26 'у
52 ^2 '
до.д$
\_ д
(9.49)
а также
р (Р \—р J__^L i_?p 1 g2 | р 1 дг
2A
1 -\-П12к2)-АЧ^ +
(9.50)
Таким образом, в случае рассматриваемого здесь варианта тех-
технической теории анизотропной оболочки с учетом явлений, свя-
связанных с поперечными напряжениями и деформациями (а^, т^,
Тэт, е^, еат, е?г), задача сводится к определению лишь трех ком-
компонент полного перемещения срединной поверхности оболочки:
и (а, р), v (а, р), w (а, р). Что же касается величин К0, Ф°, Q0,
Т°, Т*, то они являются функциями и0 (а, р), v0 (a, p), w0 (а, р) —
перемещений срединной поверхности той же оболочки, определяе-
определяемых по классической теории (см. формулы (9.39)—(9.41), (9.45)).
Искомые функции и, v, w должны быть определены из системы
разрешающих уравнений (9.48), левые части которых, как и сле-
следовало ожидать, ничем не отличаются от левых частей соответ-
соответствующих уравнений классической теории (см. п. 2 § 5 или урав-
уравнения E.21)). Что же касается правых частей этих уравнений,
то они принципиально отличаются от правых частей соответствую-
соответствующих уравнений классической теории. Здесь, наряду с обычными
грузовыми членами X, Y, Z, имеем также некоторые приведенные
10*

148
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
грузовые члены, которые построены с помощью решений соот-
соответствующей задачи по классической теории.
Разрешающие уравнения новой технической итерационной тео-
теории анизотропных оболочек могут быть представлены и в форме
уравнений смешанного метода.
Пусть оболочка загружена лишь нормально приложенной на-
нагрузкой Z+ (а, р) и Z- (а, C), Х±=0, У*=0.
Полагая
Т——— Т—— —
1 R2 ЛЯ2 ' 2 J2 Я-»2
с
АН дад$ '
(9.51)
где F (а, C) — искомая функция напряжения, тождественно (с точ-
точностью технической теории) удовлетворим первым двум уравне-
уравнениям равновесия (9. 37), а из остальных уравнений, исключая
Nx и iV2, получим
9 1 д*Н 1 дШ2_7
Решая соотношения упругости (9. 46) относительно компонент
деформаций (см. (9. 38)) и учитывая (9. 51), получим
d"-F
22
—d2F A 1
+ «1.^,1 + а2б^22) (X -^ if0),
(9.53)
где, как и раньше, Aik=aikh~1.
Очевидно, в рассматриваемом случае уравнение неразрывности
(9.36) перепишется следующим образом:
|. * гJе2 1 д^ы . 1 <?-?, j-. .„ г/-.
Подставляя значения моментов из (9.47) в уравнение равно-
равновесия (9.52), а значения компонент деформаций и изменения кри-
кривизны и кручения соответственно из (9.53) и (9.24) (с соответствую-
соответствующими упрощениями) в уравнение неразрывности (9.54), получим

9]
НОВАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ
149
следующую систему разрешающих дифференциальных уравнений
теории:
4 (Dik) w + VRF = Z + ^- [Е, (D.k) Ф J -f E2 (Dik)
+ш
L2 (Агк) F
11 ~Г а26-^22) "^й" дл d'i '
(9.55)
где, наряду с ранее приведенными линейными операторами (9.39),
(9.49), (9.50), введены операторы
ul\uik)— Ai
Ai
yi6
+
1
д*
I "V~12 "Г" —66/4202^2 ^2
1 1 r>2 1 1 /52
VD—— — — U—
д ' Л2 Л2 da2 "Г дх #2 dfia '
П Л4
Я" ~Г R4 ЛЯ4 >
1
(9.56)
)р ' В* <Ш • j
Разрешающая система дифференциальных уравнений (9.55)
написана относительно двух искомых функций: функции напряже-
напряжения F (а, C) и нормального перемещения срединной поверхности
и; (а, C), с помощью которых на основании приведенных выше фор-
формул могут быть найдены все расчетные величины.
Полученная система разрешающих уравнений, как и следовало
ожидать, отличается от соответствующей системы классической
теории E.23) лишь правыми частями дифференциальных уравне-
уравнений. Здесь, в отличие от классической теории, оба уравнения не-
неоднородны. Правые части полученных разрешающих уравнений,
наряду с нагрузкой (Z, Zt), содержат также некоторые члены, ко-
которые строятся на основании решений соответствующей задачи
по классической теории (см. формулы (9.40), (9.41), (9.45)).
Искомые функции и (а, C), v (a, p), w (а, р) в первом варианте
(уравнения (9.48)) и и; (а, р), F (а, р) во втором варианте (урав-
(уравнения (9.55)) должны удовлетворять не только соответствующим
уравнениям, но и граничным условиям, которые, как правило,
имеют структуру граничных условий классической теории.

150
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ.1
5. Новая итерационная теория симметрично нагруженных
ортотропных оболочек вращения. Рассмотрим рртотропную обо-
оболочку, срединная поверхность которой является поверхностью
вращения с осью вращения z. Положение какой-либо точки М
срединной поверхности оболочки будем определять гауссовыми ко-
координатами: углом'«р = р/г, являющимся
азимутом плоскости, проведенной через
точку М и ось вращения z, и меридио-
меридиональной дугой s=cc, отсчитываемой
вдоль меридиана от некоторой начальной
точки Мо (рис. 32). В выбранной си-
системе координат для главных кривизн
срединной поверхности имеем
т 1 db , 1 cos ft ,n Crrv
где R1=R1 (s) — радиус кривизны ме-
меридиана, R2=R2 (s) — второй главный
радиус кривизны поверхности враще-
вращения, &=& (s) —угол между касательной
к меридиану и осью вращения z, г =
= r (s) — расстояние от точки М средин-
срединной поверхности до оси вращения z.
Не вдаваясь в иные подробности гео-
геометрии срединной поверхности оболочки
(их читатель найдет в § 3 настоящей
главы), укажем, что для коэффициен-
коэффициентов первой квадратичной формы будем
иметь
А = 1, S=r = i?2cos&. (9.58)
Рис. 32.
Для дальнейшего полезно знать также, что
dr . Q dz Q
? = -8111», Й=СО8&,
d /JL\ / 1 1 \ si
sin »
Считается, что рассматриваемая оболочка нагружена симмет-
симметрично относительно оси вращения, т. е. X±=X(s), Zk=Z(s),
Y±=0, и имеет соответствующие, симметричные относительно
оси вращения, граничные условия. Далее, полагается, что орто-
тропный материал оболочки расположен так, что в каждой точке
все три главных направления упругости совпадают с соответствую-
соответствующими тремя главными геометрическими направлениями оболочки.

9]
НОВАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ
151
Очевидно, при этом для части коэффициентов упругости будем
иметь
а]6 = а2в=:а3в = 0. «46 = °- (9-59)
Такая оболочка, деформируясь, остается телом вращения, по-
поэтому внутренние силы и моменты, а также перемещения не будут
функциями угловой координаты <р, и в оболочке возникнут лишь
напряжения °г, а?, т и соответствующие им внутренние силы
и моменты.
Итак, для рассматриваемой оболочки вращения согласно ре-
результатам, полученным в начале настоящего параграфа, будем
иметь следующие основные соотношения и уравнения:
уравнения равновесия:
(9.60)
^ (гМ3) -f M2 sin & — rN = 0;
геометрические соотношения (согласно (9.22)—(9.24)):
du . w i . Q • n\
e, =-j—Ц-5-. ee = —tocos» — usinw),
w sin &
dw и
sin
T*
sin
(9.61)
уравнение неразрывности деформаций:
= 0, (9.62)
соотношения упругости (согласно наиболее упрощенному варианту
(9.33), т. е. при пренебрежении членами с множителями kf)
Ti = спал
— С22а2
A.
(9.63)
где согласно (9.30) и (9.61) имеем
(9.64)

152
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
Формулы для определения напряжений запишем в линейной
постановке, т. е. в формулах (9.29) оставим лишь первые две
группы членов:
а„ = Bnai+Bi№ + т EiA + в12ъ2),
а3 == В22а2 -f- Bnax -f- у Eг
(9.65)
Для соотношений упругости и напряжений можно использо-
использовать более полные представления (9.29) и (9.31), однако ради со-
сокращения записи, но не в ущерб общности рассуждений мы этого
здесь не делаем.
В приведенные уравнения и соотношения входят некоторые
члены, которые должны быть определены из решения соответствую-
соответствующей задачи по классической теории. Не вдаваясь в подробности
(см. § 3 настоящей главы), приведем окончательные значения этих
величин.
Бели искомыми в классической постановке задачи считать
функции Vй (s) и W° (s), то согласно B.11)—B.16) получим для
внутренних сил и моментов следующие выражения:
A3
12
sin ft
(9.66)
и, наконец, согласно (9.5) и (9.66)
(9.67)
где для грузовых членов имеем
F1 = sin & $ rErds -f- cos & (Ц — J rE,ds I,
F2 = —cos & j rErds -f- sin & Ш— j r?/Zs , (9-68)
«0 ^ «0 '
Er = Z cos & — X sin &, Ег = Ъ sir
P° = (Г? cos &0 + TV" sin &0) 2«rn.
Здесь (т. е. в формулах (9.68)) величины с нулевыми индексами
относятся к краю оболочки s—s0 (рис. 32), и их не следует путать

9]
НОВАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ
153
с величинами, которые приведены в формулах (9.66), (9.67)
и представляют решение задачи по классической теории.
Искомые функции Vй и W0, через которые представлены все
необходимые здесь величины (9.66), (9.67), должны быть опре-
определены или из системы B.17), или согласно B.23) из уравнения
B.24).
Учитывая выражения (9.66) и (9.67), для членов, которые
строятся на основании решения классической задачи, из (9.16),
(9.18) получим следующие формулы
1
т* L у" -
То~а ^_,
X ¦ —"- Urn*} 7 I
Zi ds
К» = -
sin
г
dF2
(9.69)
Таким образом, все величины (9.67), (9.69) представлены через
известные (после решения классической задачи) функции V° (s)
и W"(s).
Подставляя значения 6,. из (9.64) в (9.63), получим для мо-
моментов следующие выражения:
sin»
Z>1
(9.70)
Как и в случае классической теории, введем вспомогательную
искомую функцию V=V (s), с помощью которой внутренние силы
представляются следующим образом:
(9.71)

154 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
где Ff (s) являются функциями от внешней нагрузки и определя-
определяются ранее приведенными формулами (9.68).
Подставляя значения Tt, N из (9.71) в уравнения равновесия
(9.60), тождественно удовлетворим первым двум уравнениям,
а из третьего уравнения равновесия получим
~ (rMj) -j- M2 sin & — V cos & = F2 (s). (9.72)
Подставляя значения а( из (9.64) в (9.63) и решая получен-
полученные при этом соотношения упругости, найдем
sin&T/ , „ dV р F
Подставляя значения деформаций sx, s2, из (9.73) и момен-
моментов из (9.70) соответственно в уравнение неразрывности (9.62) и
в уравнение равновесия (9.72), после некоторых преобразова-
преобразований получим
V /
где
( MSFdsЖ[^{
, 522sin& «о./й, 3 «2/fON
l—^fry (9.76)
Таким образом, как и в случае классической теории, задача
сводится к определению двух искомых функций V (s) и W (s),
которые должны удовлетворять системе двух разрешающих диф-

§ 9] НОВАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ 155
ференциальных уравнений (9.74) и соответствующим гранич-
граничным условиям.
Уравнения (9.74) записываются точно так же, как и соот-
соответствующие уравнения классической теории C.17). Однако эти
системы уравнений принципиально отличаются своими грузо-
грузовыми членами Ф{, входящими в формулу B.19), и Ф* из формул
(9.76), (9.77). Грузовые члены Ф*, наряду с грузовыми членами
классической теории Ф<; содержат некоторые поправочные члены,
которые появляются в результате учета поперечных сдвигов,
поперечного обжатия и поперечного нормального напряжения.
Эти поправочные члены, согласно (9.76), (9.77), записываются
с помощью (9.67) и (9.69).
Имея значения V°, W0 и V, W, легко найти с помощью формул
(9.67)—(9.71) все расчетные величины рассматриваемой оболочки,
Что же касается перемещений и (s), w (s), то их, согласно резуль-
результатам классической теории, можно определить с помощью формул
и = — e2r sin & -f- е° + \ (si cos & + W sin &) ds cos &-
w = e,r cos & -f- e« + \ (ex cos & -f- W sin &) ds sin &,
L .. J
(9.78)
где е°г — постоянная, определяющая жесткое смещение оболочки
вдоль оси z.
Аналогично классической теории, введением искомой ком-
комплексной функции о (s), которая посредством искомых функций
W и V представляется формулой
Y%V' "o = BuBn-B\t, (9.79)
система разрешающих уравнений (9.74) с точностью kth может
быть приведена к одному дифференциальному уравнению^второго
порядка относительно искомой комплексной функции о:
где _
ф» = ф;-^/^Ф1- (9-81)
Постоянные интегрирования разрешающих уравнений (9.74)
и (9.80), а также Р° и е° должны быть определены из граничных
условий, структура которых, как правило, совпадает со струк-
структурой соответствующих граничных условий классической теории.

156
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
§ 10. Классическая теория анизотропной слоистой оболочки,
составленной из нечетного числа слоев,
симметрично расположенных относительно срединной
поверхности
Рассматриваются оболочки, составленные из нечетного числа
B/П+1) однородных анизотропных слоев. Слои, симметрично рас-
расположенные относительно координатной поверхности у = 0,
имеют одинаковые толщины и одинаковые физико-механические
свойства. Координатная поверхность у = 0 является срединной
поверхностью как среднего
слоя, так и всей оболочки в це-
целом (рис. 33).
Основной предпосылкой для
построения теории является из-
известная гипотеза недеформируе-
мых нормалей, принятая для
всего пакета оболочки в целом.
Принятие гипотезы недефор-
мируемых нормалей (см. вве-
введение, § 4, п. 1 и гл. I, § 1),
очевидно, освобождает нас от не-
необходимости рассмотрения пе-
перемещений и деформаций каж-
каждого слоя в отдельности. Имея
деформации удлинения и сдви-
сдвига, а также параметры, харак-
характеризующие изменения кривиз-
р 3„ ны и кручения срединной по-
поверхности оболочки, можно
определить элементарным пу-
путем деформации и перемещения любого слоя оболочки. При
этом, как нетрудно заметить, все характеристики деформации
и перемещения каждого слоя получаются из перемещений средин-
срединной поверхности некой приведенной однородной анизотропной
оболочки.
1. Перемещения, деформации, уравнения неразрывности де-
деформаций срединной поверхности. В силу основной гипотезы
из шести соотношений F) третье, четвертое и пятое соотношения
приближенно могут быть заменены равенствами
A0.1)
или для отдельного i-го слоя оболочки
A0.2)

10J
ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНОЙ СЛОИСТОЙ ОБОЛОЧКИ
157
В силу A0.1), A0.2) из A5), полагая, что при у = 0 м^ =
= и(а, C), uj = L>(a, C), n*^=w(a, C) легко получить (см. ход рас-
рассуждений § 1 гл. I)
и* = и>*(а, Р)=ц>(а, Р),
где и (а, C), г; (а, Р), w (а, C) — перемещения соответствую-
соответствующей точки срединной поверхности оболочки.
Таким образом, гипотеза недеформируемых нормалей, данная
для всего пакета оболочки в целом, безотносительно к слоис-
слоистости, приводит нас к обычной геометрической модели деформи-
деформирования A0.3). Вследствие этого деформации отдельных слоев
оболочки е*, ej, ejp могут быть представлены в виде двухчлен-
двухчленных разложений по степеням у в виде
e* = s1-j-yx1, ej = е2 -{- рс2, e'j3 = w -f~Tx> A0.4)
где для коэффициентов разложений имеем
si = -j u,«+Jb А ,ff> + kiw>
В I v
A0.5)
(Ю.6)
Коэффициенты разложения s1( . . ., x, которые характеризуют
деформированное состояние слоистой оболочки, имеют тот же
смысл, что и в случае однослойной оболочки, т. е. представляют
относительные деформации удлинений и сдвигов, а также изме-
изменения кривизны и кручения срединной поверхности оболочки.
Принимая A0.5) и A0.6), получим для уравнений неразрыв-
неразрывности деформаций срединной поверхности слоистой оболочки
обычные представления A.8) или A.8'), справедливые для одно-
однородных оболочек.

158
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
2. Напряжения в слоях. Пользуясь основной гипотезой, пре-
пренебрегая напряжениями о* и учитывая, что в каждой точке каж-
каждого слоя оболочки имеется лишь одна плоскость упругой сим-
симметрии, параллельная срединной поверхности оболочки, из обоб-
обобщенного закона Гука F) получим
Решая эти уравнения относительно составляющих тензора
напряжений в каждом слое оболочки и учитывая при этом A0.4),
найдем
2 + ?;> 4- т (В1л + ВЬ*2 + В\Л
где для коэффициентов В)к каждого слоя оболочки имеем
H \ 22 66 L^26J / *' ' 16 V 12 26 22 16/ • *
22 V 11 66 L 16 J^ . 26 V 12 16 11 W i A0.9)
q //T^ /г* Г/т* 12\ л< | Ojji ni /ji ni Г/ii 12 » Г i 12
Отличные от нуля напряжения x*v) x* и а* (которыми мы
ранее пренебрегали) могут быть определены из уравнений равно-
равновесия A6). Аналогично A.12), они запишутся следующим об-
образом:
^=^Г^Г {J
?Л«. Р)},
A0.10)
Здесь, tp . (а, р), ф4. (а, |3), %. (а, р) — функции интегрирования,
которые могут быть определены из условий на поверхностях

10]
ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНОЙ СЛОИСТОЙ ОБОЛОЧКИ
159
контакта смежных слоев и на внешних поверхностях оболочки
A.13).
3. Условия контакта смежных слоев. Ранее, при формули-
формулировке исходных положений для слоистой оболочки, было указано,
что слои оболочки работают совместно без скольжения. В силу
этого напряжения и перемещения отдельных слоев на поверх-
поверхностях спая должны удовлетворять следующим условиям кон-
контакта:
м' = м'+1, й' = и'+1, и7 = и'+1, A0.11)
Гипотеза недеформируемых нормалей, сформулированная для
всего пакета оболочки в целом, привела нас к геометрическим
соотношениям A0.3), вследствие чего условия контакта A0.11)
выполняются автоматически. Из условий A0.12) совместно
с A.13) могут быть определены функции интегрирования у.,
Ф.ч X, и> как нетрудно сообразить, первые три уравнения равно-
равновесия дифференциального элемента оболочки hAB da d$ конеч-
конечной толщины h.
4. Об уравнениях равновесия и граничных условнях. Поступая
точно так же, как и в случае однослойной оболочки (см. гл. I,
§ 1, п. 6), мы придем к уравнениям равновесия, которые, оче-
очевидно, не будут отличаться от аналогичных уравнений одно-
однослойных оболочек:
A0.13)
X. + (ЛЯ21), „ + А, рЯ12~BiaM2 = ABNV
(AM2)t „ + (ВН12)> а + Я, аЯ21 - At pM, = ABNr
Здесь при определении грузовых членов должны быть учтены
весовые характеристики отдельных слоев, т. е. объемные силы
должны быть определены с учетом слоистости оболочки.
Граничные условия классической теории анизотропной слои-
слоистой оболочки, как и в случае однородной оболочки, описыва-
описываются для линий, принадлежащих к поверхности у = 0, т. е. для не-
некоторой приведенной двухмерной задачи. Поэтому граничные
условия слоистой оболочки ничем не отличаются от соответству-
соответствующих условий однородной оболочки.
5. Соотношения упругости. Из условий статической эквива-
эквивалентности напряжений и внутренних сил и моментов для танген-
тангенциальных (Гх, Г2, #12, #21) и поперечных GVX, iV2) сил, а также

160
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
для изгибающих (Mv M%) и крутящих (Н12, Н21) моментов, от-
отнесенных к единице длины дуг соответствующих координатных
линий, аналогично A.15), получим (рис. 33)
*m+i m It,
-lim+i «= *«+i
Напомним, что и в случае многослойных оболочек, заменяя
напряжения статически им эквивалентными силами и моментами,
мы, по сути дела, взамен трехмерного неоднородного (слоистого)
элемента оболочки рассматриваем соответствующий приведенный
двухмерный элемент конечной толщины h.
Подставляя значения напряжений из A0.8) в A0.14), по-
получим следующие, наиболее простые, соотношения упругости,
которые не противоречат шестому уравнению равновесия A.23):
A0.15)
М1 = D^.x + ZI2x2 + D16z,
Я = Я12 = Я21 = ZN6t: -f- ^i
где для жесткостей имеем
С,* = 2
(Ю.16)
Здесь и в последующем формулы для определения N1 и N2
не приводятся, так как при наличии известных соотношений

§10] ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНОЙ СЛОИСТОЙ ОБОЛОЧКИ 161
A0.15) поперечные силы могут быть получены из четвертого и
пятого уравнений равновесия A0.13).
При рассмотрении слоистых оболочек, как и в случае одно-
однородной оболочки, соотношения упругости A0.15) можно несколько
упростить. Полагая, что шестое уравнение можно удовлетворять
приближенно, взамен приведенных соотношений для S12 и S21
можно брать
S = S12 = S2l = CVi + СпЧ + С66ш. A0.18)
Если подойти к вопросу о соотношениях упругости чисто
формально, то их можно записать несколько точнее, чем A0. 15);
для этого при вычислении квадратур в A0. 14) можно оставить
все члены. Однако этого не стоит делать, так как попытка уточ-
уточнить соотношения упругости, не выходя за рамки гипотезы не-
деформируемых нормалей, не имеет шансов на успех. Поэтому
наилучшим из всех вариантов соотношений упругости надо счи-
считать тот, который не содержит формальных противоречий и ведет
к наиболее простым выкладкам.
6. Заключительные замечания. Таким образом, классическую
теорию анизотропной слоистой оболочки, составленной из не-
нечетного числа однородных слоев, симметрично расположенных
относительно срединной поверхности оболочки, можно считать по-
построенной. Приведенных выше уравнений и соотношений доста-
достаточно, чтобы однозначно определить напряженно-деформирован-
напряженно-деформированное состояние произвольной слоистой оболочки в рамках клас-
классической теории.
Н-а основании приведенных выше уравнений и соотношений
легко построить разрешающие уравнения и расчетные формулы
для различных типов слоистых (симметрично собранных) анизо-
анизотропных оболочек. Однако здесь этого делать не надо. Приведен-
Приведенные здесь все исходные уравнения и соотношения, записанные
для симметрично собранной слоистой оболочки, полностью со-
совпадут с соответствующими уравнениями и соотношениями одно-
однородной анизотропной оболочки (см. гл. I, § 1), если в последних
там, где надо, под жесткостями С,к и D к понимать жесткости
слоистой оболочки A0.16), A0.17).
Таким образом, построенные в настоящей главе классические
теории: симметрично нагруженной ортотропной оболочки враще-
вращения (§ 2), круговых цилиндрических оболочек (§ 3), ортотропной
сферической оболочки (§ 4), пологих анизотропных оболочек.
(§ 5) — могут считаться классическими теориями соответствую-
соответствующих слоистых (симметрично собранных) оболочек. Только при этом
надо помнить, что жесткости должны быть определены по форму-
формулам A0.16) и A0.17), а напряжения в слоях — по формулам
A0.8) и A0.10).
И С. А. Амбарцумян

162
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
Не надо забывать также, что при получении разрешающего
уравнения ортотропной оболочки вращения B.24) было исполь-
использовано равенство А = С^1СХХ = Di2/Dn, являющееся в случае
слоистых оболочек приближенным. Однако, так как мы будем
в дальнейшем ограничиваться лишь первым приближением асим-
асимптотического интегрирования уравнения B.24), можно утвер-
утверждать, что ограничивающее предположение А = С^1С1Х = D22/Dn
геряет свою силу. В этом можно убедиться, рассматривая асим-
асимптотическое интегрирование разрешающего уравнения B. 24)
(см. гл. II, § 4).
§ 11. Классическая теория оболочек, собранных
из произвольного числа анизотропных слоев
Рассмотрим многослойную тонкую оболочку постоянной общей
толщины h, собранную из произвольного числа однородных анизо-
анизотропных слоев также постоянной толщины t( = h( (рис. 34).
Координатная поверхность у = 0 может проходить внутри
какого-либо i-ro слоя или, в частности, может совпадать с какой-
либо из поверхностей контакта слоев или
с какой-либо из граничных поверхностей
оболочки. Пусть число всех слоев оболочки
равно т + п, при этом m — число слоев
ниже координатной поверхности у = 0, п —
число остальных слоев. Если координатная
поверхность у = О расположена внутри слоя,
то под п подразумевается число слоев выше
*5 этого слоя плюс один, а если же координат-
координатная поверхность у = 0 совпадает с какой-
либо поверхностью контакта, то под п по-
подразумевается число слоев выше координат-
координатной поверхности (рис. 35).
Основной предпосылкой для построения
классической теории и здесь является ги-
потеза недеформируемых нормалей, данная
для всего пакета оболочки в целом.
Принимая гипотезу недеформируемых нормалей, мы, как было
указано для случая симметрично собранной слоистой оболочки,
существенно упрощаем вопрос построения деформационной
модели оболочки. Все характеристики деформации и перемеще-
перемещения каждого слоя получаются из элементов геометрии оболочки
и перемещений координатной поверхности у = О приведенной
оболочки.
Очевидно, что из результатов классической теории оболочек,
составленных из произвольного числа слоев, легко получить все
основные уравнения и расчетные формулы классической теории
рис 34

§ 11]
ОБОЛОЧКИ, СОБРАННЫЕ ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ СЛОЕВ
163
оболочек, составленных из нечетного числа слоев, симметрично
расположенных относительно срединной поверхности. С этой
целью надо положить (рис. 34, 35)
в результате чего для жесткостей получим Kfk = 0, а для С,к и
DJk — обычные формулы A0.16) и A0.17).
1. Перемещения, деформации, уравнения неразрывности, на-
напряжения в слоях, уравнения равновесия элемента оболочки, гра-
граничные условия. Принимая гипотезу недеформируемых нормалей
и оставаясь на позициях классической теории (см. гл. I, § 1),
\prn-l
¦ /
u-sm)
m*1
/77
н
i_LL
i
Рис. 35.
легко сообразить, что и в случае произвольно составленной
слоистой оболочки, когда в каждой точке каждого слоя имеется
лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная коорди-
координатной поверхности у = 0, исходные уравнения и соотношения
совпадают с соответствующими уравнениями и соотношениями
симметрично составленной слоистой оболочки.
В частности, для перемещений имеем формулы A0.3), в кото-
которых и = и (а, C), v = v (a, J3), w = w (а, |3) представляют пере-
перемещения координатной поверхности у = 0; для деформаций и
их компонент имеем формулы A0.4)—A0.6); для определения
напряжений в слоях имеем формулы A0.8)—A0.10); уравнения
равновесия элемента оболочки имеют обычный вид A0.13),
а уравнения неразрывности деформаций координатной поверх-
поверхности у = 0 и граничные условия, как и раньше, совпадают с со-
соответствующими представлениями однородной оболочки, т. е.
имеем формулы A.8), A.8'), A.27)—A.31).
11*

164
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
2. Соотношения упругости. Совершенно иную структуру имеют
соотношения упругости. Несимметричное расположение слоев от-
относительно координатной поверхности у = О вносит свои кор-
коррективы в соотношения упругости.
Из условий статической эквивалейтности напряжений и внут-
внутренних усилий для внутренних сил и моментов, отнесенных
к единице длины дуг соответствующих координатных линий,
имеем (рис. 12, 13, 34)
яг+n 8,-Д
¦2 S
8=1 5в_!-Д
т+п $g—Д
m+к 5о—Д
8=1 8,.,,-Д
т+я 8,-4
8=1 5,.
т+п 1
^у
«=15,
т+я
-1-4
S
i-i-A
8.-Д
»=ж2 S
т+и 5в—Д
8=1 8»_,-4
«=1 8..-Д
A1.1)
Подставляя значения напряжений из A0.8) в A1.1), после
соответствующих преобразований получим для внутренних сил
и моментов следующие простые представления:
A1.2)
Т1 = СПЁ1 + С1262 + ^16°» + ^11*1 + ^12^2 + К16Х'
Т2 = С22е2 -f Cne1 -f C26co -f ?22x2 -j- AT12Xj -f ЛГ2(.г,
Мх — Z>nxx -f Z>12x2 -j- Z>iex -j- ATjjSj -f Kne2 -j- ЛГ1всо,
Л/2 '== Z>22x2 + Z>12x} + Z>26x -f ЛГ22е2 + AT12Sl -f ЛГ26со,
Hl% = Я21 = Z>66x -j- Z>iexj -j- 2)^X2 -f A'6eco -f ЛГ16е, -f. K26s2,
где для жесткостей. С^л, K.k, DJk имеем
A1.3)
m-)-n
=4 25^ [(8« ~ ^ -
^-^+ЗД2 (8« ~ ^-

I 11] ОБОЛОЧКИ, СОБРАННЫЕ ИЗ АНИЗОТРОПНЫХ СЛОЕВ 165
ИЛИ
т+я
т+в
D»=т 2 Б5* (8'"" *W ~
(Н.6)
В частности, когда координатная поверхность у = 0 совпа-
совпадает с нижней поверхностью оболочки, А превращается в нуль
и для жесткостей К.к и D ,к получим более простые формулы;
т-\-п
42
=42
Рассматривая соотношения упругости A1.2), замечаем, что
они находятся в противоречии с шестым уравнением равновесия
A.23), которое, как известно, является тождеством. Однако это
противоречие можно устранить, видоизменив соотношения упру-
упругости для 512 и 521. Несколько увеличив точность этих представ-
представлений, получим
С26е2 + АГбет + AT^Xj -f #26х2 +
С16е1
К
К16е1
A1.8)
Пополнив соотношения упругости A1.2) новыми формулами
A1. 8) для S k, получим простые соотношения упругости, которые
не содержат формальных противоречий.
Полученные здесь соотношения упругости A1.2), A1.8) прин-
принципиально отличаются от ранее рассмотренных A.24), A.26),
A0.15). Дело в том, что здесь в соотношениях упругости фигури-
фигурируют члены с коэффициентами Kjk, характеризующие влияние
изменений кривизны и кручения на тангенциальные силы и влия-
влияние деформаций удлинения и сдвига —• на моменты. Очевидно,
такое взаимовлияние будет иметь место в общем случае слоистой
оболочки безотносительно к геометрии координатной поверхности
Y = 0, которая, по сути дела, характеризует тип оболочки.
Рассматривая формулы для К .к, замечаем, что в случае одно-
однородной оболочки и слоистой симметрично собранной оболочки,
когда координатная поверхность у = 0 совпадает со срединной
поверхностью, жесткости К.к превращаются в нуль и исчезает
указанное выше взаимовлияние. Очевидно, рассмотренное взаимо-
взаимовлияние не будет иметь места во всех случаях слоистой обо-
оболочки, если Kjk = 0.

166 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. Г
В общем случае анизотропной слоистой оболочки К .к =^= 0 ис-
исходными должны считаться соотношения упругости (И.2), A1.8).
3. Замечания. Принимая соотношения A1.2), A1.8), мы
должны заново построить разрешающие уравнения и записать
расчетные формулы для отдельных типов оболочек, собранных
из произвольного числа анизотропных слоев, произвольно рас-
расположенных относительно координатной поверхности у = 0.
Если в окончательных представлениях не учитывать члены с К.к,
то это может привести к недопустимым погрешностям. В этом
нетрудно убедиться, рассматривая окончательное выражение
потенциальной энергии деформации
V = 1 \ \ (Cue? + 2С12е1б2 + Щ + С6У + 2С16(ое1 +
+ 2C26u)e2) AB da dp + J J [КпЧЧ + K12 (Slx2 + вл) +
+ Я22е2х2 + Яббшт + #16 (siT + <°*i) +
+ Я26 (ед + «*,)] AB da. ^ +1 j j (Duxf + 2/?12хЛ +
+ D22xf + D^ + 2D^ + 2D26xx2) А В da dp- A1.9)
Здесь при любом точном представлении С -k и D k, если пре-
пренебрегать членами с коэффициентами Kjk, то в общем случае
можно получить неверные результаты. Однако следует учесть,
что в некоторых случаях многослойных оболочек возможно пре-
пренебречь указанными членами, и это не приведет к существенным
погрешностям.
Ниже приводятся разрешающие уравнения и расчетные фор-
формулы классической теории для различных типов анизотропных
слоистых оболочек, составленных из произвольного числа слоев,
произвольно расположенных относительно координатной поверх-
поверхности у = 0.
Подробный ход получения этих уравнений и расчетных формул
читатель найдет в соответствующих параграфах первой главы и
в монографии автора «Теория анизотропных оболочек».
§ 12. Разрешающие уравнения и расчетные формулы
классической теории
симметрично-нагруженных ортотропных оболочек вращения,
составленных из произвольного числа слоев
Рассмотрим ортотропную оболочку, координатная поверх-
поверхность (т = 0) которой является поверхностью вращения с осью
симметрии z и совпадает с внутренней поверхностью оболочки,
т. е. А = 0 (рис. 16, 17, 35, 36). Предполагается, что оболочка

§ 12]
ОРТОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
167
составлена из слоев, материалы которых ортотропны и располо-
расположены так, что в каждой точке слоя одна из плоскостей упругой
симметрии параллельна координатной поверхности, а остальные
две перпендикулярны к соответствующим меридианам и парал-
параллелям. Таким образом, оболочка в целом представляет собой орто-
тропное тело вращения, обладающее ортотропной анизотропией
вращения.
Положение какой-либо точки М координатной поверхности
у = 0 будем определять гауссовыми координатами: углом <р =
= р/г, являющимся азимутом плоско-
плоскости, проведенной через точку М и ось
вращения z, и меридиональной дутой
s = а, отсчитываемой вдоль меридиана
от некоторой начальной координаты
s ~ so (рис. 16).
Считается, что рассматриваемая обо-
оболочка нагружена симметрично отно-
относительно оси вращения, т. е. X = X (s),
Z = Z (s), Y = 0, и имеет соответству-
соответствующие симметричные относительно оси
z граничные условия.
Очевидно, рассматриваемая здесь
оболочка будет деформироваться, оста-
оставаясь телом вращения, поэтому вну-
внутренние силы, моменты и перемещения
ее не будут функциями угловой коор-
координаты <р. В такой оболочке возникнут лишь внутренние силы
Т\ = Тг (s), Т2 = T2(s), Nx = N = N (s) и внутренние моменты
Мх = Мг (s), М2 = М2 (s). Из перемещений отличными от нуля
будут лишь и = и (s) и w = w (s).
Метод получения разрешающих уравнений и расчетных фор-
формул для оболочек рассматриваемого типа подробно изложен
в § 2. Не вдаваясь в подробности, приводим окончательные резуль-
результаты, которых достаточно для решения различных задач по опре-
определению напряженно-деформированного состояния различных
типов многослойных оболочек вращения.
1. Разрешающие уравнения и граничные условия. Разрешаю-
Разрешающие уравнения записываются относительно двух искомых функ-
функций V = V (s) и W = W (s) и имеют вид
Рис. 36.
d*-V sin 9 dV / C12 1 C22 si
ds> r ds ~*ЛСИ RtR2 Cn
С
n
+ -
~P\ sin &
ЛГггСц —ЛГ]2С]2
r
p3
ds
A2.1)

168
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
1ГЛ. 1
ds*
sin» dW (D12 — Di2 *
г ds
/О»-О},
\DU - Ofc
Р2 + Р1 sin» dV
^11^22— ^12^12
A2.1)
' 1
где наряду с A1.3), A1.7) приняты следующие обозначения:
A2.3)
A2.2)
- 2К22К12С12
12
12си] 2-
QO = CUC22 — C\2.
Далее, для грузовых членов принято
» :— ЛтоСтО 1 (I
F2
ЛГ22С]2
22
(•)
sin » р / ч
ад. sin»
A2.4)
A2.5)
Щх)
Здесь F^ (s) являются функциями от внешней поверхностной
нагрузки и, как для однородных оболочек, определяются с по-
помощью следующих формул:
F1 = sin
F2 = —cos
cos
rds + sin » I -^~
A2.7)
где Er и Ег — составляющие внешней поверхностной нагрузки,
Р°г — значение главного вектора внешних сил, приложенных
к параллельному кругу s = s0 (рис. 19). Очевидно,
A2.8)
— Xsinb, E, = Z sin Ь-\-Хcos Ь,
Р°г = (Т\ cos Ьо + № sin »0) 2яг0.

S 12]
ОРТОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
169
Уравнения A2.1) составляют полную систему дифференци-
дифференциальных уравнений относительно двух искомых вспомогательных
функций. Присоединяя к этим уравнениям граничные условия,
которые идентичны с граничными условиями однородной обо-
оболочки вращения (см. § 2), определим искомые функции V и W,
через которые представляются все расчетные величины задачи.
2. Внутренние силы и моменты. Внутренние силы и моменты
с помощью искомых функций V (s) и W (s) представляются следу-
следующим образом:
A2.9)
M1 = — UDa
+ " 12o'
W
ds "г
КцС22 — ^12^12 si
ds
у
A2.10)
При получении выражений для моментов мы пользовались
следующими формулами для изменений кривизны и деформаций:
w = -%7—jr, A2.11)
Uru П.1 ' V '
_ 1 Г
~"^о"L
~(Kn с22 - к12с12) ™L - с221 f,
A2.12)
= ^11^22
A2.13)
3. Напряжения в слоях и перемещения. Основные напряже-
напряжения в слоях будем определять с помощью формул A0.8), A2.11) и

170
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
A2.12). После соответствующих подстановок и преобразований
для нормальных напряжений получим
1 /., sin»
+[¦?¦ f*^ - ^i^i) - ^]^ -
w
+ * 1 л (,),
A2.14)
где
Д'2 = В<пС22 -
A2.15)
В многослойных оболочках расчетный интерес представляют и
касательные напряжения в слоях. Единственное отличное от нуля
касательное напряжение х' = V опре-
z деляется из A0.10).
Подставляя значения о* и о*
в A0.10), после некоторых преобра-
преобразований с учетом условий контакта
смежных слоев A0.12) и на внеш-
внешних поверхностях оболочки A.13),
для t* получим (рис. 37)
- S [(8.-8.-1
Рис. 37.
-x-, A2.16)
где для операторов А {В^ье) и Д (В'кх) имеем
Д (Bfr) = | {? [г (B{lH + В
5J SID
Kj) sin
A2.17)

§ 13]
АНИЗОТРОПНЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
171
Напряжения tf, определенные с помощью A2.16), удовлет-
удовлетворяют всем условиям контакта слоев и условиям на внешних
поверхностях. Однако из A2.16) не всегда это очевидно. Читатель
все это может проверить, пользуясь первым уравнением равно-
равновесия B.5), значением X A.22), а также условием, что80 = 0.
Перемещения оболочки определяются обычным образом; для
этого к приведенным формулам должны быть присоединены вы-
выражения относительных деформаций
Дальнейший ход рассуждений элементарен и приводит к фор-
формулам B.20)—B.22).
§ 13. Разрешающие уравнения и расчетные формулы
классической теории анизотропных цилиндрических оболочек,
составленных из произвольного числа однородных слоев
Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку, собранную
из произвольного числа однородных анизотропных слоев. Пред-
Предполагается, что в каждой точке каждого слоя оболочки имеется
Рис. 38.
лишь одна плоскость упругой симметрии материала, параллель-
параллельная координатной поверхности у = 0. Не нарушая общности рас-
рассуждений, для упрощения выражений жесткостей B.3)—B.7)
можно принимать, что координатная поверхность f = 0 совпадает
с внутренней граничной поверхностью оболочки, т. е. А = 0
(рис. 16, 17, 35).
Принимается также, что i e p являются ортогональными
координатами, совпадающими с линиями главной кривизны ко-
координатной поверхности у = 0, т. е. с прямолинейными образую-
образующими (C = const) и с направляющими дугами (а = const) (рис. 21,
22, 38).
Согласно § 3 настоящей главы здесь при изложении общей
теории коэффициенты А и В безотносительно к выбранной системе

172
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
координат остаются неизменными, но при этом следует помнить,
что они, а также i?2 = R являются постоянными (Rx = А^1 = оо).
Метод получения разрешающих уравнений и расчетных фор-
формул для многослойных круговых цилиндрических оболочек
аналогичен методу, подробно изложенному в § 3. Не вдаваясь
в элементарные подробности, приведем окончательные представ-
представления расчетных формул и разрешающих уравнений.
1. Разрешающие уравнения и расчетные формулы в переме-
перемещениях. Согласно утверждениям п. 1 § 2 настоящей главы на-
напряжения в слоях A0.8), в силу A0.5) и A0.6), для цилиндри-
цилиндрической оболочки запишутся следующим образом:
L в.
4- "..
Далее, в силу A0.5) и A0.6) из A1.2) и A1.8) для внутрен-
внутренних сил и моментов получим
„„ 1
™АВ
Т (Г i д -LC * д
26
„ 1 дг
-RKv) -g-lpr] У + ("Д С22 — ^12 ^ ^5 —
д

§ 13]
АНИЗОТРОПНЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
173
ее
Т" Г
i П
да
26
A3. 2)
и, наконец,
1 _^_
A3.3)
™Тв 1Щ~u™~b$
Рассматривая приведенные выше соотношения упругости,
легко заметить, что они тождественно удовлетворяют шестому
уравнению равновесия A.23), поэтому в последующем шестое
уравнение рассматриваться не будет. Если же ограничиваться

174
РАЗЛИЧНЫК ТКОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧКК
[ГЛ. I
приближенными соотношениями упругости A1.2), то формула
для S12 несколько изменится и примет вид формулы для S21,
т. е. в этом случае S12 = S2i = S. В этом случае шестое уравне-
уравнение будет удовлетворяться лишь приближенно.
Подставляя значения внутренних сил и моментов из A3.2),
A3.3) в уравнения C.8), получим следующую разрешающую
систему уравнений равновесия в перемещениях:
= — Y, j A3.4)
LS1 (С К) и -f Z,32 (CKD) v -j- L33 (CKD) w = Z,
где для линейных дифференциальных операторов Lik имеем
1
'«IF
¦ 4 r
1 д*
В? йВ2
B^26 +-Д ^26 +^3^26)^
"Г д" Л22 ~Г д5 ^22 j ^i" ^p2 >
L12 (CD) = L21 (CD) = (Cu +1. Jf„) -i ? +
nr 1 О** i
d*
26 fi3 ^3 '
-[K12 + 2Km + ± {Dl2
R
R
A3.5)

§ 13] АНИЗОТРОПНЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ 175
L33 (CKD) = — С22 — -д- (Ки jr,^ + 2К2й -L _i_
) + DhiD
+ 4^ + А
A3.5)
Таким образом, решая систему A3.4) при заданных гранич-
граничных условиях, определим искомые перемещения и (а, |3),
у (а, р), w (а, р), с помощью которых посредством формул A3. 1) —
A3.3) будут определены внутренние силы и моменты, а также
основные расчетные напряжения в слоях оболочки.
Рассматривая систему уравнений A3.4), замечаем, что она,
как и в случае однородной анизотропной оболочки, обладает
своеобразной симметрией строения, а именно: линейные опе-
операторы Lik, симметрично расположенные относительно главных
диагональных операторов Lu, имеют одинаковые значения.
Система дифференциальных уравнений A3.4) с помощью
операторного метода может быть приведена к одному разрешаю-
разрешающему дифференциальному уравнению восьмого порядка относи-
относительно некоторой потенциальной функции Ф (а, |3). Однако ввиду
чрезвычайной громоздкости получаемых при этом коэффициен-
коэффициентов искомого уравнения и соответствующих расчетных формул
мы здесь их, в общем случае анизотропии слоев оболочки, при-
приводить не будем.
В частном случае ортотропной слоистой оболочки, т. е. для
слоистой оболочки, которая изготовлена из ортотропных матери-
материалов так, что главные направления упругости каждого слоя
в каждой точке оболочки совпадают с главными геометрическими
направлениями (а, |3, у), разрешающие уравнения и расчетные
формулы существенно упрощаются, ибо в этом случае надо по-
положить
2. Техническая теория. При построении технической теории
анизотропных цилиндрических оболочек, составленных из произ-
произвольного числа однородных слоев, наряду с основной гипотезой
недеформируемых нормалей, сформулированной для всего пакета
оболочки в целом, принимаются также следующие дополнитель-
дополнительные предположения:
а) в геометрических соотношениях для х2 и т A0.6) сохра-
сохраняются лишь слагаемые, содержащие нормальное перемещение w;
б) берутся наиболее простые соотношения упругости A1.2),
которые шестому уравнению равновесия удовлетворяют прибли-
приближенно;

176
РАЗЛИЧНЫК ТКОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧКК
[ГЛ. I
в) во втором уравнении равновесия A0.13) пренебрегается
членом NJR;
г) допускается приближенное удовлетворение второго урав-
уравнения неразрывности деформаций A.8).
В силу принятых предположений исходные уравнения и соот-
соотношения перепишутся следующим образом (для стройности изло-
изложения некоторые формулы повторяются):
Уравнения равновесия:
A3.6)
геометрические соотношения:
1 1 . ш
A3.7)
A3.8)
соотношения упругости в перемещениях:
i = си -j и.. + Ci6 ~в
л
Т
A3.9)

§ 13] АНИЗОТРОПНЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
H KU + KU + Kv
"д #26» — #16 Ji «\ „ — 2#66 ABW°9~D™-B
поперечные силы:
177
A3.9)
#16 J? У, аа + (#12 + #6б) Jg" У. «0 ~Ь ^26 fi2 У.
= #22 -дг V, & + 2#26 -АВ V. «Р
+ #26 д1 «, рр + (#12 + #6б) -дв U, ,р + #16 Jz U,
где для линейных операторов Е. (D), как и раньше, имеем
A3.10)
' Т" ^26 ИЗ /МЗ »
Г) 1 *' , ИЛ 1
— -^22 ДЗ ДО ~Г d^26 д
1 дЗ
A3.11)
напряжения в слоях:
A3.12)
12 С. А. Амбарцумян

178
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
Подставляя значения внутренних сил и моментов из A3.9) и
A3.10) в первые три уравнения равновесия A3.6) (два последних
уравнения удовлетворяются тождественно, так как N± и N2 опреде-
определены из этих уравнений), получим симметрично построенную сис-
стему трех дифференциальных уравнений относительно трех
искомых функций и(а, р), v (се, Р) и w (а, Р):
A3.13)
L12 (С) и + L22 (С) v
L13 (CK) и + L23 (С К) v
23 (CK) w = —Y,
(CKD) w = Z,
где линейные операторы Ь1г (С), Ь13 (СК) и Ьаа (CKD) остаются та-
такими, как в A3. 5), а для остальных операторов имеем
(С) — С66 -j-2 т-j- -f- 2C26 -jjr
A3.14)
Таким образом, техническая теория анизотропных слоистых
цилиндрических оболочек в перемещениях построена.
Уравнения технической теории, как было указано в § 3 на-
настоящей главы, могут быть представлены в форме уравнений сме-
смешанного метода. В зтом случае получим следующую систему диф-
дифференциальных уравнений относительно двух искомых функций
ср (а,р) и w (а,р):
1 1
К + м1 + м1
3 (d) w — -д jj w_ ш =
Le +J-e
A2 2, та ~ ДВ 6,
где для линейных операторов Lt имеем
Д2 1
A3.15)
"г
, о
AB3 da (
A3.16)

$ 13]
АНИЗОТРОПНЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИК ОБОЛОЧКИ
179
d21 di I 2<*26 —
da.3d$
+ -
+
A9, di 2 A
Ai dai
— 2
| Ли 0* ^
A3.16)
а для дополнительных грузовых членов
: = 1,2,6),
*к = — (dlk
A3.17)
Здесь для жесткостей и других коэффициентов, характери-
характеризующих упругие свойства слоистой оболочки, имеем следующие
известные представления:
= ^1 Al
= K12dl2 -f- K22d22 -f- -^26^62'
= ^16^16 + ^26^26 + ^66^66'
16 — ^11^16 + ^12^26 + ^16^66 = -^16^11 + ^26^21 + ^66
в = ^12^16 "f" -^22^26 + -^26^66 = -^16^12 + -^26^22
a11 = AnKn -f- A12K12 -f- А 16л16,
d22 = A12K12-f-A22K22 -f- Л26А26,
*66 — ^-16-^1» Г -^26-^26 Г ^-66-^66'
»i2 — АцК12 ~т~А i2K22 -\-AuKw,
»21 == ^12^-11 ~Г ^-22^12 "Г ^-26^16>
^16 = ^11^16 + ^-12-^26 + ^-16^66'
^61 = ^16^11 + ^-26^12 + ^66^16'
«26 = ^12-^16 ~\~ A 22-^26 ~h -^26-^66'
<*62 == ^16-^12 T" -^26^-22 Г ^66-^26>
A3.18)
A3.19)
- C\t) Q?, A1% =
- C?2) C66 -f 2С12С16
- C26CU)
- C12CJ
A3.20)
- С22С\6. A3.21)
12*

180
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
Расчетные формулы внутренних сил и моментов в искомых
функциях ср (а, C) и w (а, C) представляются следующими фор-
формулами:
1
A3.22)
<?з
<?з
Nt = №-
М —(du дг I dgl ^ ^61
A3.23)
АВ
д, /а22 "' _| °12 ^2 '
+ 2
^26—
+ "
A3.24)
АВ
В формулы для моментов и поперечных сил, в отличие от соот-
соответствующих формул для однородных или симметрично собранных
слоистых оболочек, входят приведенные жесткости изгиба D°ik и
члены с множителями dik, которые происходят от жесткостей,
Cile и Kik. Такая структура расчетных формул характерна для
слоистых оболочек и зачастую приводит к любопытным явлениям
как с точки зрения распределения напряжений, так и с точки
зрения характера деформирования оболочки в целом.
Таким образом, проблема статики цилиндрической оболочки,
собранной из произвольного числа анизотропных однородных
слоев, в рамках технической теории приводится к разрешающей
системе двух дифференциальных уравнений A3.15) относительно
двух искомых функций: ср (а, C) — функции напряжения и
w (a> P) — функции перемещения.

13]
АНИЗОТРОПНЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИК ОБОЛОЧКИ
181
Присоединяя к системе A3.15) граничные условия, имеющие
обычный вид A.27)—A.31), получим полную систему, решение
которой позволит с помощью формул A3.7), A3.8), A3.12),
A3.17), A3.22)—A3.24) определить все расчетные величины
задачи.
Ввиду громоздкости окончательных формул расчетных вели-
величин в общем случае анизотропии, мы их здесь не приводим. Фор-
Формулы эти получаются элементарно.
В случае, когда оболочка составлена из произвольного числа
однородных ортотропных слоев так, что главные направления
упругости в каждой точке каждого слоя совпадают с направле-
направлениями соответствующих координатных линий, из формул A3.18) —
A3.21) для коэффициентов Aik, dih и D°ik получим
.?22
'11
^0
С12
С12 Q Г С
~Q~ ' ° U11U22
— Aiil/
12
^66 — ^бв —
I, = [КпКпС22 - (КпКа + К*п) Са + К22К12Сп] 2-1,
A3.25)
при этом для жесткостей Сл и Kih имеем формулы A1.3), A1.4),
A1.6), A1.7), а для коэффициентов Bih, как обычно,
В< -
11 ~
A3.26)
Тогда система разрешающих уравнений A3.15) примет вид.
l
A3.27)

182
РАЗЛИЧНЫЕ ТКОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
где для линейных операторов и дополнительных грузовых членов
имеем
—
+ 21
С22 1
Л 2^2
KltPll — -^11^12 1 дЬ . Ki2p22 — -^22^12
К22^11 — -^12^12 2 -^66 I К 11^22 — -^12^22^
М\ = —
В \ Y ^ — Kl2°22 ~ K22°12 А\хйа,
A3.28)
A3.29)
A3.30)
Расчетные формулы для внутренних усилий и напряжений
в слоях оболочки в искомых функциях ср (a, P) и w (а, р) пред-
представляются посредством следующих формул:
изгибающие и крутящий моменты:
{Dn - JDJj ^
+ ^1
_L
— -^11^12 1 _ I ^11^22 — -^12^12 ^
-^22^12
1 „ I -
Д2Г,№-1
A3.31)
тангенциальные силы:
A3.32)

§ 131
АНИЗОТРОПНЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
lea
напряжения в слоях оболочки:
а(
)i ?22
?l2\ J_
Qo ) S2
I D • ^ 22^-'ll — ¦** 12^*
+дь s;—
±
l2
22
Г" 12
A3.33)
A3-34>
Таким образом, все расчетные величины задачи представлены
с помощью искомых функций w (а, C) и <p(a, P), которые при
заданных граничных условиях могут быть определены из системы
разрешающих уравнений A3.27).
Большое прикладное значение имеет случай, когда оболочка
загружена лишь нормально приложенной поверхностной нагруз-
нагрузкой, т. е. когда X=Y=0, Z=Z (a, C).
В этом случае система разрешающих уравнений A3.27) пере-
перепишется следующим образом:
Ь2 (С)
A3.35).
Систему уравнений A3.35) можно привести к одному разре-
разрешающему дифференциальному уравнению восьмого порядка отно-
относительно потенциальной функции Ф (а, C). Полагая
i i
A3.36)

184
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
тождественно удовлетворим первому уравнению системы A3.35),
а из второго уравнения получим искомое дифференциальное урав-
уравнение относительно искомой функции Ф (а, |3):
1 1
где для линейных операторов имеем
A3.37)
+ Р.
1 (J8
A3.38)
Коэффициенты этих операторов в развернутом виде запишутся
так:
= (Du
22
^22 — -
11 ^22
+
- D0J](?.-2C^
К узри — К12С12
(^12^22 —
"о
*_ ^12^22 — ^22^12
ii,
1 /^22^11—^12^12
О
1 (
а0
A3.39)
)

14]
ПОЛОГИЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ
185-
Подставляя значения w (а, р) и <р(а, р) из A3.36) в фор-
формулы A3.31)—A3.34), получим выражения всех расчетных вели-
величин задачи через искомую функцию Ф (а, р). Ввиду элементар-
элементарности указанных подстановок, окончательные формулы для расчет-
расчетных величин здесь не приводим. Для полноты картины запишем
лишь формулы тангенциальных перемещений:
1 <?5ф
22
_g22 1
К
п
(Kф
A3.40)
Значения тангенциальных перемещений приводятся здесь,
так как они не могут быть получены с помощью элементарных
подстановок.
§ 14. Разрешающие уравнения и расчетные формулы
классической теории пологих анизотропных оболочек,
составленных из произвольного числа
однородных слоев
Рассматривается пологая оболочка, собранная из произволь-
произвольного числа однородных анизотропных слоев. Предполагается, что
в каждой точке слоя имеется лишь одна плоскость упругой симмет-
симметрии, параллельная координатной поверхности f=0.
Как известно, теория пологих оболочек, наряду с основной
гипотезой недеформируемых нормалей, базируется также на не-
некоторых упрощающих задачу предположениях, которые подробно
изложены в § 5 и полностью распространяются на классическую
теорию пологих многослойных оболочек.
Согласно принятым предположениям для рассматриваемой
здесь теории получим следующие исходные соотношения и урав-
уравнения:

186 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
уравнения равновесия:
[ГЛ. ]
+ (АН)ш,+ AtfH - BtJUt=
A4.1)
соотношения упругости:
х, Т2 =...,
S = С66
Мх = /?]Л + ZI
Н = ¦D6
A4.2)
)
где, как обычно, для жесткостей в общем случае имеем A1.3) —
(И. 6);
геометрические соотношения:
A4.3)
уравнение неразрывности деформаций:
~ {[
Здесь приведены лишь те соотношения и уравнения, которые
уду использованы в последующем. Как и в любой многослойной
оболочке, напряжения в классической теории будут определяться
<} помощью обычных формул A0.8)—A0.10).
1. Разрешающие уравнения и расчетные формулы. Ограни-
Ограничимся рассмотрением случая, когда оболочка нагружена лишь

§ 141
ПОЛОГИЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ
187
нормально приложенной поверхностной нагрузкой Z (а,
Полагая
s = - jb
1/1
т B-vt - -j A
A4.5)
где tp=cp (a, |3) — искомая функция напряжений, тождественна
удовлетворим первым двум уравнениям равновесия A4.1) (при
X=Y=0), а из третьего уравнения получим
1 Г д (В , д \ . д (А , д\1
АвЬ-Ак^)+ц{в-кщ)Г-
Решая соотношения упругости A4.2) относительно компонент
деформаций и учитывая A4.3), A4.5), найдем
A4.7)
где для линейных операторов имеем
А* да да]
А6кГ
АВ 1
В
1 дВ д 1 дА д!
В да д$ А д§ daJ
2к
А*да
д /1 д
1 дА д
АВ\_д~Щ~В да
"г" Л L^«V4 ^а/ "*" S2 (?P (jpj'
A4.8)
Что же касается коэффициентов Aik и dik, то для них, очевидно»
будут справедливы формулы A3. 19)—A3. 21), так как они появи-
появились именно при решении соотношений упругости A1.2) или A4.2)
относительно компонент деформаций.

188
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
Исключая из соотношений упругости A4.2) с помощью A4.7)
компоненты деформаций е1? е2, о> и учитывая A4.3), получим
M2 = /j (d22) <p — /2 (D22 — ZJ°2) w,
где для линейного оператора 12 имеем
j ,j~. ~0 , D2k — Щк Г д I 1 д\ . 1 дВ д ~1 ¦
A4.9)
АВ
1 54 д_
~АдТ да
В формулы A4.9) входят приведенные жесткости изгиба D°ik,
которые могут быть определены согласно A3.18).
Из последних двух уравнений равновесия A4.1), учитывая
значения моментов A4.9), получим для поперечных сил следую-
следующие выражения:
1 = Мщ[Ah
W
iyBh {dn)] ~
- ^ g [Ah (DGe -
-%h (da)} 9-^{±
щ[А12 (D22 - /)?,)] -
A4.11)
d? h (Dm ~
Подставляя значения поперечных сил A4.11) в уравнение
равновесия A4.6), а значения деформаций и компонент изменения
кривизны из A4.7) и A4.3) в уравнение неразрывности деформа-
деформаций A4.4), получим следующую систему разрешающих дифферен-
дифференциальных уравнений задачи*
?,(Я--Я0)и>-М<*)? + ^? = 3, j
L9(A)<r+Ls(d)w-Vkw = 0,\ ( ¦ >

§ 14] ПОЛОГИЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ
где для линейных операторов L,. и Vr имеем
189
-? Л
g- h Фее -
j + ± [AIt (ZJ2 - Z)«2)]
- л и22)] -i^
щ [A I,
- ^ /3 (dee)} + jB^w{Ai
fa
д (в ^ ()
A4.13)
Таким образом, задача о равновесии «пологой» многослойной
анизотропной оболочки, очерченной по произвольной поверх-
поверхности, приводится к разрешающей системе двух дифференциаль-
дифференциальных уравнений A4.12) относительно двух искомых функций
(р (а, |3) и w (a, P), посредством которых представлены все расчет-
расчетные величины оболочки.
Отметим, что в частном случае многослойной анизотропной
пластинки (&!=(), &2=0) система уравнений A4.12) запишется
следующим образом:
D-D°)w-Lt(d)9 = Z\

190 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
т. е., в отличие от однослойных или симметрично собранных много-
многослойных пластинок, не распадается на два независимых между со-
собой уравнения.
2. Весьма пологие оболочки. Подробные сведения об исходных
положениях теории весьма пологих оболочек были даны в п. 2 § 5
настоящей главы. Несмотря на зто, для стройности изложения
здесь приводятся некоторые соображения об исходных положе-
положениях теории весьма пологих анизотропных слоистых оболочек.
Для весьма пологих оболочек считаются справедливыми все
предположения, которые лежат в основе теории пологих оболочек
(см. гл. I, § 5). Считается, также, что внутренняя геометрия
координатной поверхности оболочки f=Q ничем не отличается
от евклидовой геометрии на плоскости. Далее, полагается, что
коэффициенты первой квадратичной формы А (а, C), В (а, C),
а также главные кривизны /сх (а, |3), к2 (а, |3) при дифференциро-
дифференцировании ведут себя как постоянные (см. гл. I, § 5, п. 2).
В силу принятых предположений для рассматриваемой обо-
оболочки имеем:
уравнения равновесия:
A4.15)
соотношения упругости — см. формулы A4. 2);
геометрические соотношения;
_i_ J_ 2_ i_
уравнение неразрывности:
e
напряжения в слоях — см. формулы A0.8)—A0.10).
Из A4.2) в силу A4.16) получим для внутренних сил и момен-
моментов следующие выражения:
A4.18)

% 14]
ПОЛОГИЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ
1 д . „ i д\ . /„ 1 д
191
То, + С» ? ~щ) и
F
Си , см ^ 1 ^ «„
(К22,к12 „ 1 а'
A4.18)
Напряжения в слоях также могут быть представлены в пере-
перемещениях. Из A0.8) в силу A4.16) получим
;'s 75-
Подставляя значения внутренних сил и моментов A4.18)
в первые три уравнения равновесия A4.15), при этом используя
четвертое и пятое уравнения A4.15), получим симметрично

192
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. I
построенную систему трех дифференциальных уравнений относи-
относительно трех искомых перемещений;!
Ln (С) и + L12 (С) v + L13 (С К) w = —X,
Ll2(C)u + Ln(C)v + L
L13 (СК) и 4- L23 (СК) v 4- ^зз
где для линейных операторов имеем
j //-rv Сп d2 . 2 ^16 ^2 | ^66 б2
JUoo [is ) = r><. ian "f~ ^ / r» TI~^^ p / ^ д«2 '
(СК) w = -У,
A4. 20)
да
. и 2g и*-
~\ R2 ЛЙ2 >
33
= -2
4- (ЩСп 4-
*)+M0).
"г* яз лвз >
^2
Д
16
4-2(ZI24-2ZN6)
; + 4
Д2
Д
22
АВЗ
A4.21)
Таким образом, решая при заданных граничных условиях
систему уравнений A4. 20), определим искомые перемещения
и (а, р), v (a, p), w (а, |3), через которые посредством формул
A4. 18), A4. 19) представлены все расчетные величины оболочки.

§ 14]
ПОЛОГИЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ
193
Уравнения теории весьма пологих анизотропных слоистых
оболочек могут быть представлены и в форме уравнений смешан-
смешанного метода.
Полагая, что в уравнениях и соотношениях A4.5)—A4.13),
согласно исходному геометрическому предположению, А (а, |3),
В (а, |3), Rx (а, |3), Я2 (а, |3) при дифференцировании ведут себя
как постоянные, получим следующую систему разрешающих
уравнений:
Lx (D - Д°) и, _ La (d) <р + V«f = Z,) (U 22)
где для линейных операторов имеем
д*
|
126
A W
/J\ ^21 54
А* да* '
^11 + ^22 — ¦
^66
AW*
i+"
d,9 54
5аорЗ
1 52
A4.23)
Для внутренних сил и моментов имеем
= T S
_ 2
В2
W яя —
_ 2
АВ
A4.24)
13 С. А. Амбарцумян

194
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
Напряжения в слоях определяются с помощью исходных фор-
формул A0. 8); при этом, наряду с A4.16), надо полагать также, что
9 ¦" Ifi
22 2В F 21 I
А а А А в,
A4. 25)
Наконец, укажем, что входящие в приведенные здесь уравнения
и формулы коэффициенты С{к, Dtk, Kik, D°ik, dik, как обычно,
определяются с помощью формул A1.3)—A1.7), A3.18)—A3.21).
Систему разрешающих уравнений смешанного метода A4. 22)
можно привести к эквивалентному ей одному разрешающему диф-
дифференциальному уравнению восьмого порядка. Полагая
ю = Ь2(А)Ф, <? = ЧВФ — Ь3(<1)Ф, A4.26)
где Ф=Ф (а, |3) — искомаятютенциальнаяфункция, тождественно
удовлетворим второму уравнению системы A4. 22), а из первого
уравнения получим
г, A4.27)
где линейные операторы: Lo — восьмого порядка, F — шестого
порядка, Уд — четвертого порядка — имеют вид
Lo (Р) = L, (D -
F(Q)=,L3(d)VR,
(A) + [L3
A4.28)
Таким образом, линейное дифференциальное уравнение вось-
восьмого порядка A4.27) является разрешающим уравнением теории
весьма пологих анизотропных слоистых оболочек. Определив
Ф (a, J3) при заданных граничных условиях из A4.27), можно
затем с помощью приведенных выше формул найти значения всех
расчетных величин оболочки. Однако при этом следует предвари-
предварительно установить, является ли представление A4.26) общим ре-
решением системы A4.22) в случае рассматриваемой конкретной
оболочки (см. гл. I, § 5, п. 2).
В случае, когда оболочка составлена из произвольного числа
однородных ортотропных слоев так, что главные направления упру-

14]
ПОЛОГИЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ
195
гости в каждой точке каждого слоя совпадают с направлениями
соответствующих координатных линий, все коэффициенты с ин-
индексами «16», «26», «61», «62» превращаются в нуль. Тогда для упру-
упругих постоянных будем иметь
*. = тЗ
Е%
I —?л. Л — j?lL A ¦*¦
'И — О„ •> Л22 — "о""" > 6 — с.^ '
d18 =
- Z22C12) Q-i, d21 = (KiaCn - KUC12)
e6,
-f-K*s) C
n
A4.29)
Система разрешающих уравнений в перемещениях и (а, |3),
у (а, р), ц;(а, Р) запишется следующим образом:
12 ~Г ^Сб) "Jg" U. «Р ~Ь
,) I«;, р - Е2 (К)w = -Y,
, (if) u-E2(K)v + (ЩСп + a^^C,, + ЩС22) w -
- 2 (кtKn + А2ЛГ12) i и;, „ - 2
где
A4.30)
В А*
1 v ' ~ Ai dai *
б* <?а* •
: "A4.31)

196
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
В этом случае внутренние силы и моменты, а также напряже-
напряжения в слоях будут представлены в перемещениях с помощью сле-
следующих формул:
внутренние силы:
Ti — Си Т а. • + Ci2 g- v, р + Сик,и> 4- C12k2w —
т, 1 г^ 1
С22 Г
1
С12 J И,
1
1
внутренние моменты:
= — Dn — и>г аа — D12 ж
, Р?
fg? М;, РЗ Л 12 -^р-
- w
1
А»
12 J
напряжения в слоях:
A4.32)
A4.33)
?<2А;2ш 4" B{AW —
A4.34)
В случае смешанного метода, когда искомыми являются функ-
функция напряжений <р (а, |3) и функция перемещений w (а, |3), система
разрешающих уравнений представится так:
A4.35)

§ 14]
ПОЛОГИЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ
197
где линейные операторы L. имеют следующий простой вид:
^1 ' / == ~АА dOi> Ш <Ж"Т~
i 2
а*
' О. А1 Лт4 ~Т~ О. R4 Mi
Bi
82»
6' ^ Q
ee
i
4252 ,)а2 ^2Т
xt 12 22 — -^22^12
Q
о
A4.36)
В этом случае формулы для расчетных величин оболочки
имеют следующий вид:
внутренние силы:
лт ^i2^ii ~ КиС^2 1
1~ Qo ЛЗ г.«««
у ^12
A4.37)
где ?,• (Z>—Z>°) запишется аналогично A4. 31); внутренние мо-
моменты:
+ ^12^11 —-^11^12 ^ I
Q A* T.aa Г
^0
w
"f" Qn Д2 f-PP Г
A4.38)

198
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
напряжения в слоях:
12 I
r< ^11^22 — ^12^12
n,- ?22\J_
i ^22^11 — ^12^12 I Ri ^12^22 — ^22^12
м 55 r-^12 Qo
A4.39)
И>. т.
Систему разрешающих дифференциальных уравнений смешан-
смешанного метода A4. 35) можно привести к эквивалентному ей одному
разрешающему дифференциальному уравнению восьмого порядка
относительно потенциальной функции Ф (а, |3). Полагая
и> = ?2(С)Ф, <р = УдФ — L3(d)<&, A4.40)
тождественно удовлетворим второму уравнению системы A4. 35),
а из первого уравнения получим искомое разрешающее уравнение*
1
3 А 662
Г+^5
1 д«Ф
1 А 6 ЛяВ J
„ 1 dкФ , ^
Г V3 ЛШ2 Aai Ж* ~Г V4

§ 14] ПОЛОГИЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ
где для коэффициентов Pt и Qt имеем
= (Z>22- D»2) ^
= 2 [(/>„ - D°2) -f 2 (Z>66 - Z>°6)] ^L
у /2^11 — ^12^12 ? 66 -
\ = 2 [(Da - D\2) + 2 (Dn - Dom)] С* ¦
КпС22 —
X
•)•
X
(tj- si if Г* If V С1 If С1 \
л22^11 — 2° 12 9 Л66 I Л11°22—Л12°12\
Q С ' Q /'
S = iPix - A0.) "^ + 2 [(Z)M - Z>«2) +
~^ + -
11 ~ ^11^12) (^12^22 —
щ
щ
_?_ -^12^22 —
r, a0
П _^_ ^12^11 — ^11^12 1 _5_
4 3 ~ Rl Ц, Ч" i?2
^ ^12^22—^22*^12
о
0
^66 1 ^11^22—
В этом случае для расчетных величин оболочки имеем следую-
следующие формулы:-
внутренние силы и моменты:
A4.43)

200
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
- Ь3 (с*)]
1.
;
+ [VR-L3(d)][
I
"Г
A4.43)
напряжения в слоях:
* — л 1 оС *
;ЗМС)Ф.
2 „Di \ 1 ^2
2 |
h
I Ri
"Г 2
Qo
1 .
A4.44)
3. Многослойная сферическая оболочка. Рассматривается по-
пологая сферическая оболочка, составленная из произвольного
числа однородных изотропных слоев. Пусть сферическая коорди-

14]
ПОЛОГИЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ
201
натная поверхность оболочки у=0 отнесена к ортогональной си-
системе координат г, Ь, которая, с принятой здесь точностью, сов-
совпадает с полярной системой координат г, Ь на плоскости, над кото-
которой возвышается сферическая оболочка с радиусом кривизны
R1=R2=R—k~1. Таким образом, со-
согласно принятым здесь для пологих
оболочек геометрическим гипотезам
считается, что полярные координаты
г и & на плоскости являются также
координатами точки на сферической
поверхности у=0. Следовательно, мы
полагаем, что первая квадратичная
форма координатной поверхности
у=0 с точностью до малых вели-
величин совпадает с квадратичной фор-
формой на плоскости (рис. 39)
A4.45)
Рис. 39.
это значит, что для коэффициентов
первой квадратичной формы здесь
принимается А=,\, В=г.
В рассматриваемом случае для упругих постоянных каждого
слоя оболочки согласно E), A3) и A0.9) будем иметь
„I
I —a< —a1-
a< —a1-— a* -_2l в* _
2 " Ifil 2 b-ft "вв
= «2в =
В'и = ВЬ = В*--
Е(
1-(V*J
j< —ч*В{ В{ —-
'12 V D > °6й ,
Ei
""le -°2в U' Vl V2 ' V
A4.46)
где ?' и v* —г модуль упругости и коэффициент Пуассона ?-го слоя
оболочки.
Напряжения в слоях, внутренние силы и моменты определяются
обычным образом с помощью формул A0.8) и A1.2), которые
в силу A4.46), в принятой здесь системе координат, запишутся
следующим образом:
'К
A4.47)

202
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
Тг =
Mr =
-f K
= Cvp + Kee-z;
x! + Z?12x2 -f ЛГв1 -f K12
?X2 -f ?>]2X
A4.48)
A4.49)
где, как обычно, для жесткостей Cik, Dik и K.k имеем формулы
A1.3)-A1-7).
Из соотношений A4.3) легко получить следующие выражения
для деформаций и изменений кривизны и кручения, входящих
в формулы A4.47)-A4.49):
1 1
2= — tfi9 + — u-j-kw,
A4.50)
A4.51)
Напомним, что в случае сферической оболочки k1=k2==k~
=i?~1=const.
Пусть оболочка загружена лишь нормально приложенной
нагрузкой Z (г, Щ, X=Y=0. Тогда уравнения равновесия A4. 1)
в выбранной системе координат перепишутся следующим образом:
2 / 1 \
Nr) = Z,
A4.52)
Аналогичным образом из A4. 4) получим следующее уравнение
неразрывности деформаций:
k ("i
A4.53)

§ 14] ПОЛОГИЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ
Согласно E. 5), полагая
где, как и раньше, <р (г, $) — искомая функция напряжений,
тождественно удовлетворим первым двум уравнениям равновесия
A4. 52), а из третьего уравнения получим
f[*«)+7S>--Kiw+i*.]=* <14'55)
Решая соотношения упругости A4.48) относительно ех, е2 и ш,
получим
A4.56)
где
(о = A6f.S —
С Л
Q2
-^66 о г2
A4.57)
Из соотношений упругости A4.49) в силу A4.51), A4.56)
A4.54) будем иметь
i dwл i d2w\j
A4.58)
где для жесткостей имеем A1. 3)—A1. 6), а также
С (К2 -)- Kji) —
j2Cj2 туд
Кю
'66
A4.59)

204 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ.
Из последующих двух уравнений равновесия A4.52), учиты-
учитывая значения моментов A4.58), получим для поперечных сил сле-
следующие выражения:
A4-(Ю)
MiD-^w-d^l J
где для оператора Аг имеем
Подставляя значения поперечных сил A4.60) в уравнение
равновесия A4.55), а значения деформаций и компонент измене-
изменения кривизны соответственно из A4.56) и A4.51), с учетом
A4.54), —в уравнение неразрывности деформаций A4.53), полу-
получим следующую систему разрешающих дифференциальных уравне-
уравнений задачи:
(D - DO) ArArw - <*„ДА? + -W Лг? = Z (r' ®).
^пДА? + dlsbAp>—g Arw = 0.
В частном случае, когда оболочка собрана из нечетного числа
слоев, симметрично расположенных относительно среднего слоя,
и координатная поверхность у=0 совпадает со срединной по-
поверхностью оболочки, система уравнений A4.62) несколько упро-
упрощается. В зтом случае, как нетрудно заметить, жесткости взаим-
взаимного влияния Kik обращаются в нуль, вследствие чего нулями ста-
становятся и жесткости D°ik и dik. Тогда, вместо системы уравнений
A4. 62), получим новую, упрощенную систему разрешающих
уравнений:
A4.63)
Система разрешающих дифференциальных уравнений A4.63)
отличается от соответствующей системы разрешающих уравнений
однородной сферической оболочки лишь приведенными жестко-
стями D и Аи.
Уравнения A4.62) можно было бы получить непосредственно
из A4.12), полагая А=1, В=г, а также учитывая A4.46) и
A4.57). Однако это не сделано, чтобы еще раз, на частном при-
примере, продемонстрировать ход получения разрешающих уравне-
уравнений в случае пологих оболочек.

§ 15] АНИЗОТРОПНЫЕ СЛОИСТЫЕ ОБОЛОЧКИ 205
4. Весьма пологие анизотропные слоистые оболочки большого
прогиба. Здесь приводятся основные уравнения и некоторые
расчетные формулы теории многослойных весьма пологих анизо-
анизотропных оболочек в случае, когда перемещения оболочки соизме-
соизмеримы с ее общей толщиной h.
Как обычно, эта теория строится в предположении, что по срав-
сравнению с единицей малы не только деформации, но и углы поворота.
Не вдаваясь в подробности, которые достаточно полно приве-
приведены в п. 3 § 5, здесь запишем лишь окончательные результаты.
Разрешающая система нелинейных дифференциальных уравне-
уравнений будет иметь следующий вид:
L(w, ю) = 0.
Очевидно, система уравнений A4. 64) отличается от соответ-
соответствующей системы линейной теории A4. 22) лишь двумя опера-
операторами L (w, (f>) и L (w, w), которые появились вследствие учета
больших перемещений оболочки и имеют вид
2_Гд?и> д-и>
д*-и>
A4. Ь5)
Что же касается внутренних сил, моментов и напряжений
в слоях оболочки, то они могут быть определены с помощью обыч-
обычных формул A0.8), A4.24) и A4.25).
§ 15. Основные уравнения и соотношения теории
анизотропных слоистых оболочек
со слоями переменной толщины
Пусть оболочка составлена из т-\-п однородных анизотропных
слоев переменной толщины ti=t{ (a, C). В этом случае уравнением
y = 8f (а, р) (г=1, 2,. . ., т-\-п—1) представляется поверхность
контакта i и г+1 слоев, а внешние огр*аничивающие поверхности —
уравнениями т=8о(а. Р)=0, Т=8т+„(а. Р) (Рис- Щ-
Пусть, далее, в каждой точке каждого слоя оболочки имеется
лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная коорди-
координатной поверхности у=0.
Из основной гипотезы недеформируемых нормалей, справедли-
справедливой для всего пакета оболочки в целом, очевидно следует, что
и в этом случае имеют место соотношения A0.1)—A0.6). Неизмен-
Неизменными остаются также геометрические условия контакта смежных
слоев A0.11).

206
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
1ГЛ. I
Условия контакта для напряжений можно записать в виде:
при т=8,- («, Р)
П = П+1 («=1,2,...,
n-1), A5.1)
где Fl — компоненты вектора напряжений, действующего на пло-
площадке т=84.
На внешней и внутренней ограничивающих оболочку поверх-
поверхностях выполняются следующие условия:
при T=8m+B
+. _ х+, F?±» = Y\ F3m+" = Z-+; A5.2)
F? = — X-, F°2=—Y-, F% = —Z~, A5.3)
где, как всегда, X, Y, Z — компонен-
компоненты векторов интенсивности внешних
поверхностных нагрузок.
Для полноты укажем, что для обо-
оболочки из слоев постоянной толщины
1. Уравнения равновесия. Рассмот-
Рассмотрим дифференциальный элемент i-ro слоя
Рис. 40. оболочки, ограниченной соответствую-
соответствующими координатными поверхностями.
Пусть векторами напряжений, под действием которых нахо-
находится выделенный дифференциальный элемент оболочки, являются
A5.5)
где r{ — орты выбранной системы координат (рис. 2).
Главный вектор R и главрый момент Ж всех сил, действующих
на рассматриваемый элемент оболочки, равны
М =
вД т] da
, A5.7)
Р* = Р-\-у (а., $)г , A5.8)
где Н{ — коэффициенты Ламе, Р — радиус-вектор координатной
поверхности т=0, Р* — радиус-вектор поверхности у=8(а, C).

§ 15]
АНИЗОТРОПНЫЕ СЛОИСТЫЕ ОБОЛОЧКИ
207
В последующем для получения уравнений равновесия элемента
оболочки с конечной толщиной h необходимо будет пользоваться
условиями A5.1)—A5.3). Поэтому небезынтересно знать значения
F\, представленные через компоненты тензора напряжений,
а именно:
cos
A5.9)
F[ = cos (ra, rn) xjp + cos (r?, *•„) o< + cos (rv rn) x'T
где rn — единичный вектор нормали к поверхности y=8f (a, C).
Имеем
К
откуда для »*я окончательно получим
»*. =- jl {В[тш + 8<f щгт) X (H{
где
Далее, в силу A5. 10) из A5. 9) получим для
irT), A5.10)
A5.11)
П=ji (-я?,. а^т - я*»,, ^ + я^я^).
A5.12)
Рассматривая условия равновесия элемента, из A5.6) после
некоторых преобразований получим известные уравнения равно-
равновесия дифференциального элемента ?-го слоя оболочки:
A5.13)

208 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
Здесь и в последующем индексы t при Н[ и Н*2 опускаем.
Из A5.13) после некоторых преобразований с учетом A7)
легко получить
]J^ A5.15)
A5.16)
Здесь (f,. (а, р), ф; (а, р) и х,- (а, Р) — произвольные функции ин-
интегрирования, которые могут быть определены из условий кон-
контакта смежных слоев A5.1) и условий на внешних поверхностях
A5.2), A5.3).
Из условий на внешней поверхности A5.2) с учетом A5.12) и
A5.14) получим:
[5т+я 5т+я
5(П+Я-1 8»Ц-Я-1
sm+» 5m+» 5/»+я "J
) s т-*.(.?)
/r=s»n-K-i
A5.17)
Условия контакта смежных слоев A5.1) при y = bi_1, согласно
A5.12), перепишутся в виде (приводится только первое условие)
A5.18)

АНИЗОТРОПНЫЕ СЛОИСТЫЕ ОБОЛОЧКИ
209
Входящие в A5.18) величины х* и х^-1 определим из уравне-
уравнения A5.14):
К W, = Щ=ЩТ fi (а> Р).
8 8 5
Подставляя значения х* и х*-1 в уравнение A5.18) получим
|; V
»*-
*<-!
-(^)H<-.lf=° (i = 2,3, ...i
A5.19)
Удовлетворяя условию A5.3) на внутренней ограничиваю-
ограничивающей поверхности у=80> получим
G»X- - (HA)^+(H^)^+fl (a, P) = 0. A5.20)
Исключая <ft. и члены с производными от 8^ из формул A5. 17),
A5.19), A5.20), после некоторых преобразований найдем
*t-4? S wt+I S^
8f_, 8,-_, 5
4-Ж S я^т+|
14 С. А. Амбарцумян

210
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
?)(.+$ X
V- — v
~ 2-
A5.21)
Аналогичным образом, удовлетворяя еще не рассмотренным
условиям контакта смежных слоев A5.1) и условиям на поверх-
поверхностях A5.2), A5.3) и производя очевидные преобразования,
получим еще два уравнения:
5, '"' 5<
A5.22)
n+я f *<
<=1 l 8<_, 8,_,
-^ (Я'а-Йу-А Jtf{aJdT}+4fiZ=0. A5.23)
Из условия равенства нулю главного момента A5.7), после се-
серии преобразований (схема которых приводилась выше при рас-
рассмотрении главного вектора), получим
т-\-п
2
l
ц \
т+п I t( 8,-
2 \ц S яИт^т-тж S
я S
<
A5.25)
S **№-§;] я^т^т-
-J?
A5.26)

АНИЗОТРОПНЫЕ СЛОИСТЫЕ ОБОЛОЧКИ
211
Таким образом, мы получили систему уравнений равновесия
A5. 21)—A5. 26) для дифференциального элемента многослойной
оболочки конечной толщины Ь,= Ът+п.
2. Соотношения упругости и еще раз об уравнениях равнове-
равновесия. Напряжения в каждом слое оболочки определяются с по-
помощью известных формул A0.8). Этим напряжениям статически
эквивалентны внутренние силы и моменты, которые могут быть
определены обычным образом (см., например, A1. 1)):
=2 \
2
=2 S х!р
m-\-n $i
2
«ll+n
<=1 8,-1
2
A5.27)
Подставляя значения напряжений в A5. 27), получим извест-
известные соотношения упругости A1. 2), (И. 8), где для жесткостей
С.к, Dik, Kik будем иметь новые представления:
m-f-n 8,
2
=2
m-|-n 8,
2
=2 S
*=1 3e_,
¦n-f-n
2
=2 S
A5.28)
«=1 8.-1
где В*к определяются по формулам A0. 9), a 8^ в отличие от обо-
оболочек, составленных из слоев постоянной толщины, являются
функциями координат а, р, т. е. 8<=8< (а, р). Таким образом,
в случае оболочек, составленных из слоев переменной толщины,
жесткости Cik, Kik, Dik будут переменными величинами, функци-
функциями координат а, р.
14*

212
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
СГЛ. I
Переписав уравнения равновесия A5.21)—A5.26) с учетом
представлений A5.27), будем иметь
A5.29)
= 0.
Таким образом, мы получили систему уравнений равновесия
многослойной анизотропной оболочки со слоями переменной тол-
толщины, которая ничем не отличается от соответствующей системы
уравнений, записанной для однородной оболочки.
3. Замечание. Присоединяя к уравнениям равновесия A5.29)
соотношения упругости A1.2) или A1.2), A1.8) с учетом A5.28),
геометрические соотношения A0.5), A0.6), граничные условия
и формулы для определения напряжений A0.8), A5.14)—A5.16),
можно приступить к рассмотрению напряженно-деформирован-
напряженно-деформированного состояния различных типов анизотропных оболочек, состав-
составленных из слоев переменной толщины.
§ 16. Осесимметрично нагруженные анизотропные оболочки
вращения со слоями переменной толщины
Рассмотрим многослойную оболочку вращения, составленную»
из произвольного числа анизотропных слоев переменной по ме-
меридиану толщины t(=t. (s). Считаем, что координатная поверхность
вращения у=0 совпадает с внутренней поверхностью оболочки,
т. е. Д=0 (см. рис. 16, 17, 35, 36), и представляется координатами
г, s, <р (см. §§ 2 и 12). В общем случае принимается также, что в каж-
каждой точке каждого слоя оболочки имеется лишь одна плоскость
упругой симметрии, параллельная координатной поверхности
у=0. Считается, что оболочка находится под действием лишь осе-
симметричных поверхностных и контурных нагрузок.
1. Исходные соотношения и уравнения. Для рассматриваемой
оболочки имеем:
уравнения равновесия:
AВ.1)
?. (rS) - S sin &+? (Я cos»)-
ds
+ N2 cos Ь = — r

§ 16] ОСЕСИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ 213
f- (гМг) + М2 sin & — riV, = 0,
ds
-f- (rH) — H sin & — riV, =.- 0;
A6.1)
главной особенностью этих уравнений является тот факт, что, не-
несмотря на осесимметричность задачи, величины Н12=Н21=Н и
512=521=5 не равны нулю, так как рассматривается достаточно
общий случай анизотропии (имеется лишь одна плоскость упру-
упругой симметрии) (см. также, § 3, п. 3);
геометрические соотношения:
du
dv
^ — к sin
sin
dW
ds
sin
A6.2)
sin &
Д,
причем здесь нельзя утверждать (из-за симметрии), что ш и z
равны нулю;
соотношения упругости:
Т1 = СПН
Т2 = Cj^! -j- C22e2 -f" C26O) -f- A2Xj -j- ^22X2
5 = CigSj -f- C26e, -f- C66o) -f- A6xj -f- A6x2 -f-
Mx = K11e1 + K12e2 + K16w + ?>1Л -f. ZI2
(KU)
где жесткости Cik=Cik (s), K(h=K.k (s), D.k=Dik (s) в общем слу-
случае определяются по формулам A5.28).
2. Разрешающие уравнения. Исходя из приведенных выше
уравнений и соотношений, построим систему разрешающих урав-
уравнений, удобную для численного решения краевых задач много-
многослойных анизотропных оболочек вращения, составленных из од-
однородных слоев переменной толщины.

214 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
В качестве основных искомых функций принимаем следующие:
Tz (s) — Nt sin & + Tx cos b,
ur (s) = w cos ft — и sin &,
uz (s) = и cos ft -|- w sin ft,
A6.4)
а также ранее известные Мх (s) и И7 (s).
Согласно A6. 4) исходные соотношения могут быть переписаны
следующим образом:
уравнения равновесия:
dT, sin ft m . 1 m n
dr.
sin Ь
dS* 2 sin » c, „
—з—== " — •* i
A6.5)
J
где принято также
?r = Z cos & — X sin &, Ez = Z sin & -f X cos &;
геометрические соотношения:
da_
"l —"
du,
dv
sin <
sin
соотношения упругости:
е1 ^Г + ^
е1 =
T2 =
22
S*
2
^2
2ie2
A6.6)
A6.7)
A6.8)
Выражения коэффициентов dffc через жесткости Cik, Kik, Dik
весьма громоздки, и их следует определять в каждом частном слу-
случае в отдельности (см. например, §§ 13 и 14 настоящей главы).
В частности, в случае ортотропной оболочки (главные направле-
направления упругости совпадают с главными направлениями координат),

§ 18] ОСЕСИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫЕ АНИЗОТРОПНЫЕ ОБОЛОЧКИ 215-
имеем
U> Ы13
>Л\Кп J J J J П J Г2
' 21 °23 «24 °2Б U> °22 Д~ >
dl5= Д
i== 4тз» %2= 0> 3 = —7—, «34 =
J -^11^12 — ^11^12 J J J П/7 ,7
а35 — д^ > а41 — аН> а42 — U> °43 — «34>
^44 = ^22 ~Ь ^12^14
O^ АО O^ qj 30' О* Ч0
d55 = -°22 + -^12^15 + ^12^35' Д = CllDll ~ ^11.
Ax = Ceer2 -f- 4 (K66r -f- -Oee sin <p) sin «p.
Далее, из A6. 7) получим
du
AG.9)
ds
dv_
ds
i- = W cos & — 6j sin &,
sin ft
ds
ds
= Sj cos & -f- W sin &,
A6.10)
Заменяя в A6.8) e,, x2 их значением из A6.7) и подставляя
значения Т2, М2 в A6.5), a elt (Bl xx — в A6.10), получим следу-
следующую систему разрешающих уравнений поставленной задачи:
dTr A — dix) sin Ь
«is
sin ft
r
, dn cos & т t <J^2 c*
"""I r 1*~* r~
dS* _2sin» p>
«is r
^ ¦
sin ft
KK '
du
• = du Гг sin2 & — tin Тг sin & cos & — dl2 S* sin & —
— d13M1 sin & 1±y!- ur + ^cos & la-^2—^ W,
'- = — du Tr sin & cos & + dn Тг cos2 & -f di2 S* cos & -f
<iu COS
<JiK Sin ft COS в\ тт7
-^— jW,
A6.11)

216 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
~ — — dn Tx Sin » + d21 Тг C0S ^ + ^22^* + &ViM
. aU4 sin & , (
i——ur —v + - .
A6.11)
• = d31Tr sin & — ^з!^ cos & — d32S* —
_ rf M _ _^L 77 _
JJ 1 r r
sin
Полученная таким образом система разрешающих уравнений
удобна для численного решения краевых задач осесимметрично
нагруженной анизотропной оболочки вращения, составленной из
однородных слоев переменной толщины.
§ 17. Заключительные замечания
В главе I были построены классические теории анизотропных
и анизотропных слоистых оболочек на основании гипотезы неде-
формируемых нормалей, а также уточненные теории, учитывающие
явления, связанные с поперечными сдвигами, поперечной дефор-
деформацией и с поперечным нормальным напряжением.
Особое внимание уделено уточненным теориям. Дело в том,
что многочисленными экспериментальными и теоретическими ис-
исследованиями установлено, что некоторые однородные полимеры
и почти все армированные пластики, применяемые в оболочках,
сочетают высокие механические характеристики на растяжение —
сжатие (по направлению волокон) со слабым сопротивлением
на сдвиг. При этом большинство армированных пластиков слабо
сопротивляется и растяжению—сжатию в направлениях, пер-
перпендикулярных к направлению укладки арматуры.
Классическая теория оболочек, построенная на основании
гипотезы недеформируемых нормалей, безразлична к поперечным
механическим характеристикам материала оболочки (Е, G(
и т. д.), точнее, к отношениям типа E^IE^, EHIGiV EikIGk^
и т. д. Поэтому, принимая гипотезу недеформируемых нормалей,
мы тем самым делаем теорию безразличной к отношениям типа
Еи/Е и т. д., что в реальных диапазонах изменения механи-
механических характеристик новых материалов, применяемых в оболоч-
оболочках, может привести к существенным погрешностям. В связи с этим
зачастую приходится отказываться от компактной классической
теории и обращаться к так называемым уточненным теориям, ко-
которые небезразличны к отношениям типа ЕН1Е и т. д. и в состоя-
состоянии «почувствовать» явления, связанные со слабыми сдвиговыми
и поперечными упругими характеристиками материала оболочки.
Однако здесь не надо забывать, что для громадного большин-
большинства реальных оболочек при определении напряженно-деформиро-

§ 17] ЛИТЕРАТУРА 217
ванного состояния вдали от линий искажения нет никакой необ-
необходимости отказываться от компактной классической теории. Низ-
Низкие сдвиговые и вообще низкие поперечные механические харак-
теристки материала оболочки еще не помеха применению класси-
классической теории. Дело в том, что оболочка может быть настолько
тонка, что можно пренебречь поправочными членами к классиче-
классической теории.
Таким образом, отказ от классической теории в пользу какой
либо уточненной теории должен быть обоснован предварительным,
хотя бы грубым, анализом.
Наконец, несколько слов о теории анизотропных слоистых обо-
оболочек. В отличие от монографии автора «Теория анизотропных обо-
оболочек»; здесь основное внимание было уделено вопросам теории
однородных анизотропных оболочек. Вопросы теории анизотроп-
анизотропных слоистых оболочек были освещены ради полноты картины и
для представления некоторых новых результатов, недостаточно
полно отраженных в указанной выше монографии.
Укажем также, что на основании анализа многочисленных экс-
экспериментальных и теоретических исследований легко прийти
к заключению, что в громадном большинстве случаев оболочки,
изготовленные из слоистых материалов, можно трактовать как
однородные с соответствующими приведенными механическими ха-
характеристиками. Трактуя многослойную оболочку как однород-
однородную, к ней можно применить соответствующую теорию однород-
однородной анизотропной оболочки. Конечно, при этом напряжения в обо-
оболочке должны быть определены с учетом слоистости.
ЛИТЕРАТУРА
На протяжении всей главы мы неоднократно пользуемся общими поло-
положениями теории оболочек вообще. С этими вопросами читатель может озна-
ознакомиться по книгам:
1. Власов В. 3., Общая теория оболочек. Гостехиздат, 1949.
2. Гольденвейзер А. Л., Теория упругих тонких оболочек. Гос-
Гостехиздат, 1953.
3. Н о в о ж и л о в В. В., Теория тонких оболочек. Судпромгиз, 1962.
Многочисленные общие вопросы, связанные с анизотропными оболоч-
оболочками, читатель найдет в книге:
4. Амбарпумян С. А., Теория анизотропных оболочек, Физматгиз,
1961.
§ 1. Классическая теория анизотропных оболочек строилась на базе клас-
классической теории изотропных оболочек и теории анизотропных пластин. Впер-
Впервые общая теория анизотропных слоистых оболочек на уровне классических
предположений была изложена в работах:
5. Амбарцумян С. А., Некоторые вопросы теории анизотропных
оболочек. Известия АН АрмССР, № 9, 1947.
6. Амбарцумян С. А., К теории анизотропных пологих оболочек.
ПММ, т. 12, в. 1, 1948.

218 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
7. Амбарцумян С. А., Некоторые основные уравнения теории тонкой
слоистой оболочки. ДАН АрмССР, т. 8, № 5, 1948.
Общим вопросам классической теории анизотропных оболочек посвя-
посвящены также работы [4] и
8. Амбарцумян С. А., К вопросу расчета слоистых анизотропных
оболочек. Известия АН АрмССР, т. 6, № 3, 1953.
§ 1, п. 2. Уравнения неразрывности деформаций срединной поверхности
для различных частных случаев были получены многими авторами. Впервые
они для оболочек произвольной формы были выведены в работе:
9. Гольденвейзер А. Л., Дополнения и поправки к теории тонких
оболочек Love. Пластинки и оболочки. Госстройиздат, 1939.
Уравнения неразрывности A. 8) с точностью гипотезы недеформируемых
нормалей идентичны с соответствующими уравнениями A. 8'). Они с оди-
одинаковым успехом могут быть использованы при построении различных теорий
«м. [1-4].
§ 1, п. 6. Уравнения равновесия дифференциального элемента оболочки
¦с конечной толщиной h различными авторами выводятся по-разному, см.,
например, I1"8], а также
10. Черных К. Ф., Линейная теория оболочек. Часть I (общая теория).
Изд-во ЛГУ, 1962.
Н.Новожилов В. В., Финкельштейн Р. М., О погрешности
гипотез Кирхгоффа в теории оболочек. ПММ, т. 7, в. 5, 1943.
§ 1,п. 7. Простейшие, не противоречащие шестому уравнению равновесия,
соотношения упругости впервые для изотропных оболочек, различными
путями, были получены в работах:
12. Б а л а б у х Л. И., Изгиб и кручение конических оболочек. Труды
ЦАГИ, № 577, 1946.
13. Новожилов В. В., Новый метод расчета тонких оболочек. Известия
АН СССР, ОТН, № 1, 1946.
§ 1, п. 10. Вопрос определения коэффициентов В(к для ортотропной пла-
пластинки при переходе от одной системы координат к другой подробно освещен
в работах:
14. Лехницкий С. Г., Теория упругости анизотропного тела. Гостех-
издат, 1950.
15. Лехницкий С. Г., Анизотропные пластинки. Гостехиздат, 1957.
§ 2. Вопросы теории изотропных оболочек вращения освещены в книгах:
16. Лурье А. И., Статика тонкостенных упругих оболочек. Гостехиздат,
1947,
результатами которой автор широко пользовался в этом параграфе.
17. Чернина В. С, Статика тонкостенных оболочек вращения. Изд-во
«Наука», 1968.
В этих книгах, наряду с общими положениями теории оболочек вращения,
приведены достаточно подробные сведения о поверхностях вращения.
Вопросы теории анизотропных оболочек вращения изложены в статьях:
18. Ш т а е р м а н И. Я., К теории симметричных деформаций анизотроп-
анизотропных упругих оболочек. Известия Киевск. политехи, и сельскохоз. ин-та,
1924 (первая работа по теории анизотропных оболочек).
19. Амбарцумян С. А., Симметрично нагруженные анизотропные
оболочки вращения. ДАН АрмССР, т. 9, № 5, 1948.
20. Амбарцумян С. А., Расчет слоистых оболочек вращения. ДАН
АрмССР, т. 11, № 2, 1949.

ЛИТЕРАТУРА 21&
21. Амбарцумян С. А., Длинные анизотропные оболочки вращения.
Известия АН АрмССР (ФМЕ и Т науки), т. 4, № 6, 1951.
22. А м б а р ц у м я н С. А., К расчету анизотропных цилиндрических
оболочек вращения, подкрепленных поперечными ребрами. Известия
АН СССР, ОТН № 12, 1955.
23. Пештмалджян Д. В., К расчету симметрично нагруженных слои-
слоистых анизотропных оболочек вращения. Известия АН АрмССР (ФМ
науки), т. 10, № 2, 1957.
24. Б у р м и с т р о в Е. Ф., Симметричная деформация конструктивно-
ортотропных оболочек вращения. Изд-во Саратовского ун-та, 1962.
Многие результаты по теории анизотропных слоистых оболочек вращения
читатель найдет также в работах [4. 8].
§ 3. Общая теория анизотропных слоистых цилиндрических оболочек
подробно изложена в [*]. Теория ортотропных цилиндрических оболочек
освещена в работах:
25. А м б а р ц у м я н С. А., Расчет пологих цилиндрических оболочек,
собранных из анизотропных слоев. Известия АН АрмССР (ФМЕ и Т науки),
т. 4, № 5, 1951.
26. А м б а р ц у м я н С. А., Расчет симметрично нагруженной круговой
цилиндрической оболочки, подкрепленной продольными ребрами. ДАН
АрмССР, т. 21, № 4, 1955.
27. М у ш т а р и X. М., Некоторые обобщенные теории тонких оболочек.
ПММ, т. 2, в. 4, 1939.
28. М у ш т а р и X. М., Некоторые обобщения теории тонких оболочек
с приложениями к решению задач устойчивости упругих анизотропных
оболочек. Известия Казанского физ.-мат. общества, т. И, 1938.
Последние две работы посвящаются вопросам устойчивости, о которой
разговор будет идти в последующих главах книги. Несмотря на это, мы их
здесь цитируем, так как, насколько нам известно, они являются первыми
работами по теории ортотропных цилиндрических оболочек.
§ 3, п. 3. Этот частный случай осесимметричной деформации анизотроп-
анизотропной цилиндрической оболочки в несколько ином виде рассмотрен в статьях:
29. Мовсисян Л. А., К расчету анизотропной (неортотропной) цилин-
цилиндрической оболочки вращения. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 12,
№ 4, 1959.
30. М о в с и с я н Л. А., Об осесимметрично нагруженной анизотропной
цилиндрической оболочке. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 15,
№ 2, 1962.
§ 4. Здесь на случай ортотропной сферической оболочки обобщаются
некоторые результаты, изложенные в книге I1].
§ 5. Приближенная теория оболочек, изложенная здесь под условным
названием «теория пологих оболочек», была истолкована и использована
различными авторами для рассмотрения различных задач теории оболочек.
Проблемы локальной устойчивости освещены в работах:
31. D о n n е 11 L., Stability of Thin Walled Tubes under Torsion. NACA,
Rep. № 479, 1933.
32. M у ш т a p и X. M., см. [ы].
33. P а б о т н о в Ю. Н., Локальная устойчивость оболочек. ДАН СССР,
т. 52, № 2, 1946.
Исследованию цилиндрических оболочек посвящены работы t1"8. и],
а также

220 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. I
.34. Фейнберг С. М.,К вопросу о построении моментной теории цилин-
цилиндрических оболочек. Проект и стандарт, № 12, 1936.
35. Хачатурян Т. Т., Пологие цилиндрические оболочки. Сообщения
Ин-та мат. и мех. АН АрмССР, № 4, 1949.
Собственно пологие оболочки рассматривались в работах:
36. Власов В. 3., Основные дифференциальные уравнения общей тео-
теории оболочек. ПММ, т. 8, в. 2, 1944.
37. Амбарцумян С. А., Приближенный метод расчета пологих тонких
оболочек, ДАН АрмССР, т. 6, № 3, 1947.
38. Амбарцумян С. А., К расчету пологих оболочек. ПММ, т. 11,
в. 5, 1947.
39. Векуа И. Н., К теории тонких пологих упругих оболочек. ПММ,
т. 12, в. 1, 1948.
Наконец, уравнения теории пологих оболочек в следующих работах
были истолкованы, как уравнения краевого эффекта:
40. Фейнберг С. М., К вопросу о построении приближенной моментной
теории тонкостенных оболочек произвольного очертания. Исследования
по теории сооружений. Госстройиздат, 1939.
41. Гольденвейзер А. Л., Качественное исследование напряженного
состояния тонкой оболочки. ПММ, т. 11, в. 6, 1945.
42. Р а б о т н о в Ю. Н., Уравнение пограничной зоны в теории оболочек.
ДАН СССР, т. 47, № 5, 1945.
Теория пологих анизотропных оболочек освещена в работах [4~8],
§ 5, п. 2. В теории пологих оболочек особое место занимают весьма поло-
пологие изотропные и анизотропные оболочки, которые впервые исследовались
в работах [40> 37' 88' 6~8]. В конце этого пункта обсуждается вопрос общ-
общности представлений E. 26) и аналогичных представлений, использованных
раньше. Вопрос этот подробно освещен в статье:
43. В о р о в и ч И. И., Об общих представлениях решений уравнений теории
многослойных анизотропных оболочек. ПММ, т. 29, в. 4, 1965.
§ 5, п. 3. Все необходимые сведения о нелинейной теории оболочек чита-
читатель может найти в книгах:
44. Феодосьев В. И., Упругие элементы точного приборостроения.
Оборонгиз, 1949.
45. В о л ь м и р А. С, Гибкие пластинки и оболочки. Гостехиздат, 1956.
46. М у ш т а р и X. М., Г а л и м о в К. 3., Нелинейная теория упругих
оболочек. Таткнигоиздат, 1957.
Здесь же можно найти богатую библиографию по затронутому вопросу.
§ 6. См. книгу [*], а также
47. Амбарцумян С. А., Теория анизотропных пластин. Изд-во «Наука»,
1967.
48. Амбарцумян С. А., К расчету двухслойных ортотропных оболочек.
Известия АН СССР, ОТН, № 7, 1957.
49. Амбарцумян С. А., О двух методах расчета двухслойных орто-
ортотропных оболочек. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 10, № 2, 1957.
50. Хачатрян А. А., К расчету трехслойной ортотропной оболочки.
Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 12, № 5, 1959.
§ 6, п. 5. Нелинейные вопросы итерационной теории были затронуты
в книге [*' ] и в статьях:
51. Амбарцумян С. А., К вопросу нелинейной теории анизотропных
пластинок. ДАН АрмССР, т. 24, № 4, 1957.
52. Амбарцумян С. А., Пештмалджян Д. В., О нелинейной
теории пологих ортотропных оболочек. Известия АН АрмССР (ФМ
науки), т. 11, № 1, 1958.

ЛИТЕРАТУРА 221
§ 7. См. книги [*' "], а также статьи:
53. Амбарцумян С. А., К теории изгиба анизотропных пластинок.
Известия АН СССР, ОТН, № 5, 1958.
54. Амбарцумян С. А., К общей теории анизотропных оболочек.
ПММ, т. 22, в. 2, 1958.
55. Амбарцумян С. А., Пештмалджян Д. В.,К теории орто-
тропных оболочек и пластинок. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 12,
№ 1, 1959.
56. Амбарцумян С. А., К теории изгиба анизотропных пластинок и
пологих оболочек. ПММ, т. 24, в. 2, 1960.
§ 8. См. книги [4, 47], а также статьи:
57. Хачатрян А. А., Об устойчивости и колебаниях трансверсалыю
изотропной сферической оболочки. Известия АН АрмССР (ФМ науки),
т. 13, № 4, 1960.
58. X а я а т р я н А. А., Об устойчивости круговой цилиндрической обо-
оболочки при некоторых нагрузках. Известия АН АрмССР (ФМ науки),
т. 13, № 5, 1960,
на основании которых написан весь параграф.
§ 9. Некоторые результаты этого параграфа изложены в статьях:
59. Амбарцумян С. А., Об одной уточненной теории анизотропных
оболочек. Труды Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин.
Изд-во «Наука», 1970.
60. Амбарцумян С. А., Еще одна уточненная теория анизотропных
оболочек. Механика полимеров, № 5, 1970.
Изложенная в этом параграфе теория, по сути дела, является обобщением
уточненной теории, изложенной в § 6 настоящей главы под названием «итера-
«итерационная теория» и в [*. 4'-52], где впервые сделана попытка построения ите-
итерационного процесса для уточнения внутренней задачи теории анизотропных
оболочек.
Различные варианты уточненных теорий оболочек и пластин неоднократно
обсуждались в современной литературе, например в статьях:
61. Кильчевский Н. А., Обобщение современной теории оболочек.
ПММ, т. 2, в. 4, 1939.
62. Green A., Zerna W., The Equilibrium of Thin Elastic Shells.
Quart. J. Mech. Appl. Math. v. 3, 1950.
63. Reissner E., Stress Strain Relations in the Theory of Thin Elastic
Shells. J. Math. Phys., v. 31, 1952.
64. Векуа И. Н., Об одном методе расчета призматических оболочек.
Тр. Тбилисского мат. ин-та им. А. М. Размадзе, т. 21, 1955.
65. Муштари X. М., Т е р е г у л о в И. Г., Теория пологих ортотроп-
ных оболочек средней толщины. Известия АН СССР, ОТН (мех. и мат.),
№ 6, 1959.
66. Naghdi P. M., On the Theory of Thin Elastic Shells. Quart. Appl.
Math., v. 14, № 4, 1957.
67. Гольденвейзер А. Л., Построение приближенной теории обо-
оболочек при помощи асимптотического интегрирования уравнений теории
упругости. ПММ, т. 27, в. 4, 1963.
68. Ворович И. И., Общие проблемы теории пластин и оболочек. Труды
6-й Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Изд-во
«Наука», 1966.
69. Айнола Л. Я. н Нигул У. К., Волновые процессы деформации
упругих плит и оболочек. Известия АН ЭстССР, № 1, 1965.
70. Гольденвейзер А. Л., Методы обоснования и уточнения теории
оболочек. ПММ, т. 32, в. 4, 1968.
I

222 РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 1ГЛ. I
71. Гольденвейзер А. Л., Погранслой и его взаимодействие с внут-
внутренним напряженным состоянием упругой тонкой оболочки. ПММ,
т. 33, в. 6, 1969.
В работах С1-?1] читатель найдет также полную библиографию по за-
затронутому вопросу.
Следует отметить также некоторые работы, посвященные вопросу по-
построения уточненных теорий для анизотропных оболочек.
72. Понятовский В. В., К теории изгиба анизотропных пластинок.
ПММ, т. 28, в. 6, 1964.
73. А г а л о в я н Л. А., Об уточнении классической теории изгиба анизо-
анизотропных пластинок. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 15, №5,
1965.
74. Агаловян Л. А., Применение метода асимптотического интегриро-
интегрирования к построению приближенной теории анизотропных оболочек. ПММ,
т. 30, в. 2, 1966.
75. А г а л о в я н Л. А., Об уравнениях изгиба анизотропных пластин.
Труды 7-ой Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин.
Изд-во «Наука», 1970.
В этих работах теории анизотропных оболочек и пластин построены
на основании положений, которые отличаются от принятых в настоящей
книге.
§§ 10—14 посвящены теории анизотропных слоистых оболочек. Теория
анизотропных слоистых оболочек систематически изложена в монографии [4].
Насколько нам известно, основные положения теории анизотропных слои-
слоистых оболочек впервые освещены в работе [' ]. В последующем эта теория была
использована для рассмотрения задач, связанных с различными типами обо-
оболочек. Эти результаты были освещены в [*], а также в [8. 20> 21, м. 2Ь] и др.
Сведения о теории слоистых оболочек в уточненной постановке можно
найти в работах [«-»о]) а также
76. Reissner E., Contributions to the Problem of structural Analysis,
of Sandwich-type Plates and Shells. Theory and Practice of Sandwich
Construction in Aircarft. A. Symposium. Preprint № 165, 1948.
77. К о р о л е в В. И., Слоистые анизотропные пластинки и оболочки и»
армированных пластмасс. Изд-во «Машиностроение», 1965.
78. Расчет элементов авиационных конструкции (Трехслойные панели и
оболочки). Под редакцией А. Я. Александрова, Э. И. Григолюка,
Л. М. Куршина, Изд-во «Машиностроение», 1965.
79. Болотин В. В., Москаленко В. Н., Пластины и оболочки из
армированных материалов. Доклады научн.-технич. конференции МЭИ,
1967,
и во многих других.
§§ 15, 16. Теория слоистых оболочек со слоями переменной толщины осве-
освещена, например, в диссертации:
80. Г р и г о р е н к о Я. М., Изотропные и анизотропные слоистые оболочки
вращения переменной жесткости при несимметричных нагрузках. 1970,
и в монографии:
81. Григоренко Я. М., Изотропные и анизотропные слоистые оболочки
вращения переменной жесткости. Изд-во «Наукова думка», 1973,
откуда и заимствованы результаты, изложенные в рассматриваемых пара-
параграфах.

Глава II
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
Я ДЕФОРМАЦИЙ РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ ОБОЛОЧЕК
Здесь будут рассмотрены как общие, так и частные вопросы
определения напряженного состояния и деформаций анизотроп-
анизотропных слоистых оболочек.
§ 1. Безмоментное напряженное состояние однородных
оболочек
Рассматривается вопрос построения безмоментной теории ани-
анизотропных однородных оболочек путем приведения трехмерной
задачи теории упругости анизотропного тела к двухмерной задаче
теории оболочек.
Теория строится для наиболее общего случая, когда в каждой
точке оболочки имеется лишь одна плоскость упругой симметрии,
параллельная срединной поверхности оболочки у=0.
Безмоментными считаются такие оболочки, в которых напря-
напряжения от моментов или равны нулю, или пренебрежимо малы по
сравнению с соответствующими напряжениями от тангенциаль-
тангенциальных сил.
В основе предлагаемой здесь теории лежит предположение, что
основные с точки зрения классической теории напряжения ов,
а., то. распределены по толщине оболочки равномерно, т. е.
Принимая A. 1), с точностью 1+A^y^I удовлетворим первым
четырем соотношениям (I. 1.15) *), а из формул для моментов с та-
такой же точностью получим
М1=-.О, М2 = 0, // = 0. A.2)
В последующем с такой же точностью там, где это очевидно, мы
будем пренебрегать величинами порядка к{у по сравнению с еди-
единицей. При этом требуется определенная осторожность при от-
отбрасывании членов с множителями, содержащими а(к. Дело в том,
что в общем случае коэффициенты упругости могут образовать
такие величины, которыми в сочетании с к(у нельзя пренебречь
по сравнению с единицей.
*) При ссылке на формулу предыдущих глав в начале номера формулы
ставится римская цифра — номер главы.

224
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. И
Пусть, как и раньше, оболочка загружена поверхностной на-
нагрузкой так, что
при *г = Л/2 та = Х+, т. = Y+, о = Z+,
при т = —Л/2 z^=—X~, трт = —У", от = —Z".
A.3)
1. Определение напряжений. Уравнения равновесия диффе-
дифференциального элемента оболочки A6), с принятой здесь точностью,
можно представить таким образом:
A.4)
Подставляя значения напряжений ов, ор, т^ из A.1) в пер-
первые два уравнения равновесия A. 4) и производя интегрирование
по у, с принятой здесь точностью получаем
Р)
A.5)
где (риф являются функциями интегрирования и определяются
из условий на поверхностях A. 3).
Удовлетворяя условиям A. 3), для (риф получим следующие
значения:
Y+-Y-), A.6)
а также следующие уравнения:
A-7)
Подставляя значения <р и ф из A, 6) в A. 5) и учитывая A. 7)г
получим для напряжений т и т-
А 2' Рт -~ 2

§ 1] БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОДНОРОДНЫХ ОБОЛОЧЕК 225
где введены следующие обозначения
Х1 = Х+— Х~, Х2 = Х+ -j- X",
Y1=Y*—Y-, У2 = У++ У".
Далее, подставляя значения т и тр из A.8), а значения оа
и Ор из A.1) в третье уравнение равновесия A.4) и производя ин-
интегрирование по y» получим
-х(а, Р), A.10)
где х является функцией интегрирования и определяется из ус-
условий A.3).
Удовлетворяя условиям A.3), получим, согласно A.10), для
нормального напряжения о
Р
а также следующее уравнение:
здесь наряду с A.9) введены и следующие обозначения
§
A.14)
Таким образом, мы получили формулы A.8) и A.11), которые
совместно с формулами A.1) позволят определить все шесть со-
составляющих тензора напряжений.
Что же касается внутренних сил, то они могут быть определены
из разрешающих уравнений.
2. Разрешающие уравнения и граничные условия. Разрешаю-
Разрешающие дифференциальные уравнения, по сути дела, уже получены.
Удовлетворяя условиям на поверхностях A.3), мы не только опре-
определяем функции интегрирования <р (а, |3), ф(а, р), i (а, |3), но и
получаем искомые разрешающие уравнения A.7) и A.12), ко-
которые в силу A.9) могут быть записаны следующим образом:
A15)
= 22 -f- у Zv
Таким образом, мы получили уравнения равновесия для
безмоментных оболочек. Как нетрудно заметить, эта система
15 С. А. Амбарцумян

226
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
уравненийне может быть получена из системы уравнений равнове-
равновесия классической теории A.1.21) путем отбрасывания членов момент-
ного происхождения. Здесь в третьем уравнении равновесия A.15)
фигурирует грузовой член hZ*J2, который происходит от учета
поперечных касательных напряжений х и х« .
Выше было указано, что граничные условия общей моментной
теории анизотропных оболочек ничем не отличаются от соответ-
соответствующих граничных условий однородной изотропной оболочки.
Естественно, что то же самое можно сказать и для случая безмо-
безмоментной оболочки. В связи с этим, не вдаваясь в подробности об-
общих вопросов граничных условий безмоментной теории оболочек,
приведем некоторые примеры граничных условий в классической
постановке. Ради краткости записи граничные условия приводим
лишь для края, который определяется координатной линией
а. = a0=const.
I. Однородные граничные условия:
а) свободный край:
Т1 = 0, 5 = 0;
б) шарнирный, свободный в
ном направлениии край:
7^=0, v = 0 или 5 = 0, и=0; A.17)
в) абсолютно заделанный край:
и = 0, у = 0.
Неоднородные граничные
A.16)
тангенциаль-
II.
а) загруженный край:
A.18)
условия:
б) смещенный край:
?*; A.19)
A.20)
Безусловно, возможны и другие граничные условия.
3. Перемещения и деформации. Соотношения A5), устанавли-
устанавливающие связь между перемещениями какой-либо точки оболочки
иа (а, р, у), Мр (а, р, у), и^ (а, [3, у) и компонентами тензора де-
деформаций, с принятой здесь точностью можно переписать следу-
следующим образом:
1 , 1
A.21)
е - —

§ 1]
БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОДНОРОДНЫХ ОБОЛОЧЕК
227
Из третьего уравнения обобщенного закона Гуна F), в силу
A.21), A.1), A.11), можно получить следующее соотношение:
Интегрируя обе части A.22) по f в пределах от нуля до f, при
этом полагая, что при у=0 и =w (а, |3), получим
Т (Я13 -J- + a2S -J- + а36 X + ^
= W
где w (а, C) — нормальное перемещение срединной поверхности
оболо.чки.
Рассматривая A.23), замечаем, что, в отличие от классической
теории, нормальное перемещение какой-либо точки оболочки
в общем случае зависит от у нелинейно.
Далее, из второго и третьего уравнений обобщенного закона
Гука, F), в силу A.21), A.1) и A.8), получим
г,
Г,
Г,
«зо X
A.24)
Интегрируя уравнения A.24) по у в пределах от нуля до у
и при этом учитывая, что при у=0 иа = и (а, р), и. = у (а, |3), по-
получим для тангенциальных перемещений какой-либо точки обо-
оболочки следующие формулы:
1
2А
28
6A
33
12й
A.25)
15*

228 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
где
т т
и (а, р), у (а, р) — тангенциальные перемещения соответствую-
соответствующей точки срединной поверхности оболочки.
Таким образом, здесь, также в отличие от классической теории,
тангенциальные перемещения какой-либо точки оболочки иа,
14р в общем случае зависят от f нелинейно.
Подставляя значения перемещений ил, и^ и и^ соответственно
из A.25) и A.23) в первое, второе и шестое соотношения A.21),
получим для еще не рассмотренных компонент тензора деформаций
следующие выражения:
[f M
^ +
A.28)
где введены обозначения:
{, Q( = auY t +aisXt,
A.30)
а также известные представления
1 , 1
A.31)

§ 1] БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОДНОРОДНЫХ ОБОЛОЧЕК 229
Для линейных операторов L( имеет
A.32)
G другой стороны, для тех же ["деформаций (еа, е~, е^) из обоб-
обобщенного закона Гука F), согласно A. 1), A. 11) и A. 13), получим
T-falz- С1-34)
= «ее-д- + а1бT + a26 T + ^s(т+? Z0 +
^ A.35)
В приведенных здесь выражениях для компонент деформаций
множители при f всех степеней могут быть в некоторых частных
случаях настолько малы, что с принятой точностью ими можно пре-
пренебречь по сравнению с е,, ш или по сравнению с членами, содер-
содержащими у иных, более низких степеней. Однако в общем случае
зтого делать нельзя. Поэтому в дальнейших рассуждениях все
члены, входящие в формулы для компонент тензора деформаций,
должны быть оставлены без каких-либо модификаций. Конечно,
при зтом в очевидных случаях членами, имеющими порядок kfi,
можно пренебречь по сравнению с единицей.
Приравнивая соответствующие значения компонент тензора
деформаций, выписанные в A.27), A.28), A.29) и в A.33),
A.34), A.35), получим три уравнения. Здесь, приравнивая коэф-
коэффициенты при одинаковых степенях у, найдем те системы уравне-
уравнений, удовлетворение которых обеспечит безмоментное состояние
оболочки и даст возможность определить искомые перемещения
и (а, р), v(a, C) и w (a, p).

230
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
Приравнивая коэффициенты при f B нулевой степени, согласно
A.31) получим
~В
АВ
+ "У ^1 ~Г Я23 "g- ^2'
S . Т1 .
A.3В)
Уравнения A.36) составляют полную систему дифференциаль-
дифференциальных уравнений, с помощью которых могут быть определены ис-
искомые перемещения. Эти уравнения, в отличие от соответствую-
соответствующих уравнений классической безмоментной теории анизотропных
оболочек, содержат члены (с множителями а13, а23, а36), которые
появились здесь в результате учета явлений, связанных с попереч-
поперечными деформациями оболочки. Очевидно, не всегда влияние этих
членов на перемещение оболочки ощутимо, однако они должны
быть оставлены для рассмотрения, ибо не исключены случаи, в ко-
которых учет явлений, связанных с поперечными деформативными ха-
характеристиками оболочки, может стать необходимым.
Далее, приравнивая соответствующие коэффициенты при всех
остальных т, получим следующие четыре группы соотношений:
первая группа:
т* tti О»-» Л г / гу v 7 «ЧЧ гу
A.37)
вторая группа:
зз А 17 \
«33
:!3 7
T 2
Ah
A.38)

1 ] БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОДНОРОДНЫХ ОБОЛОЧЕК 231
третья группа:
Ьг (Z2) - к& = О, L2 (Z2) ~ k2Zl = О, L3 (Z2) = 0; A.39)
четвертая группа:
L, {Z\) = 0, L2 (Z*) = 0, L3 {Z\) = 0. A.40)
Выполнение условий A.37)—A.40) обеспечивает безмомент-
ное состояние оболочки. От уровня точности удовлетворения ус-
условиям A.37)—A.40) зависит степень чистоты безмоментного со-
состояния оболочки.
Рассматривая условия A.37)—A.40), замечаем также, что для
обеспечения безмоментности оболочки ограничения должны быть
наложены не только на геометрию оболочки и на внешнюю на-
нагрузку, но и на механические характеристики материала оболочки.
Точнее, на оболочку, должны быть наложены согласованные между
собой геометрические, статические и физические ограничения.
4. Еще раз о напряжениях. Напряжения оа, о^ и тар, на которые
были наложены гипотетические ограничения, могут быть пред-
представлены также с помощью деформаций.
Первое, второе и шестое соотношения обобщенного закона Гука
F), в силу A.11), A.13) и A.27)—A.29), могут быть записаны
следующим образом:
-2L+8"Z*
A.42)

232 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
= ш - «зв (i1 +1" Zt) + Т [Г
Из A.41)—A.43), согласно A.37)—A.40), с учетом A.11)
A.13), A.14)—A.26) получим следующую систему уравнений:
A.44)
Разрешая систему A.44) относительно напряжений, получим
{^
Y
A.45)
где для е., ад имеем A.31), для Bik, как обычно,
ВП = («22авв — а2б) 2-1> ^16 = (а12а26 —
¦^22 == (а11а66 аШ * > ^*2б =
2 = (ana22 — a?,) a60 + 2a12ai
— а-ио-ы) ^"^
ana|0 — a22a2w,
причем постоянная
Ki
.xan -j- B.2a23 -f Втаж.
A.46)
A.47)
Рассматривая формулы A.45), замечаем, что полученные на-
напряжения аа) ар, т^ не изменяются по толщине оболочки, т. е.
исходное условие безмоментности, с принятой здесь точностью
l+kffful, обеспечено.
Из изложенного здесь хода получения формул для напряжений
A.45) видно, что условий A.37)—A.40) достаточно для обес-
обеспечения безмоментного напряженного состояния оболочки.

§ 1] БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОДНОРОДНЫХ ОБОЛОЧЕК 233
Условия A.37)—A.40) могут быть заменены смягченными ус-
условиями, обеспечивающими безмоментность оболочки с некото-
некоторым приближением. Эти смягченные условия можно получить,
предполагая, что те части напряжений оа, а^, т^, которые изме-
изменяются по толщине оболочки (см. A.41)—A.43)), пренебрежимо
малы по сравнению с теми частями этих напряжений, которые не
изменяются по толщине.
5. Об области применимости безмоментной теории. Получен-
Полученных выше расчетных формул и уравнений безмоментной теории
однородной анизотропной оболочки достаточно для определения
напряженного состояния различных типов оболочек. Эти формулы
и уравнения были получены в предположении A.1). Однако
очевидно, что исходные уравнения безмоментной теории могли
бы быть получены и в более точной постановке. Например,
полагая
удовлетворим первым четырем соотношениям A.1.15), а из фор-
формул для моментов получим условия строгой безмоментности, т. е.
М1=0, М2=0, Н12—0, Н21=0. В этом случае, как легко заметить,
в отличие от классической постановки безмоментной теории, ос-
основные напряжения по толщине оболочки не остаются постоян-
постоянными.
Очевидно, что условиям нулевых моментов можно удовлетво-
удовлетворить и иными соотношениями типа A.1), A.48). Однако эти во-
вопросы здесь не будут обсуждаться, так как они не дают ничего но-
нового с точки зрения приложений.
Безмоментная теория, будучи приближенной теорией расчета
оболочек, дает возможность выявить лишь приближенную кар-
картину напряженного состояния оболочки.
Для обеспечения достаточной точности получаемых по безмо-
безмоментной теории значений искомых расчетных величин должны
быть соблюдены некоторые условия, которые мы вынужденно за-
заимствуем из теории изотропных оболочек. Дело в том, что специ-
специфические особенности теории, которые появляются в связи с ани-
анизотропией материала (см. предыдущие пункты), или неклассиче-
неклассический закон распределения напряжений (см., например, A.48))
недостаточно полно изучены с точки зрения установления усло-
условий применимости безмоментной теории. Поэтому условия приме-
применимости безмоментной теории в случае анизотропных оболочек мы
возьмем из теории изотропных оболочек. Отметим также, что об-
область применимости и оценка погрешности безмоментной теории

234 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. И
и в случае изотропных оболочек окончательно не установлены.
В силу сказанного выше, здесь, не вдаваясь в подробности, при-
приводим один из вариантов условий применимости безмоментной
теории.
Условиями применимости безмоментной теории оболочек яв-
являются следующие:
1. Линии искажения на срединной поверхности оболочки не
должны образовывать слишком густую сетку.
2. Ни одна из линий искажения не должна касаться асимп-
асимптотических линий срединной поверхности, т. е. линий на поверх-
поверхности, вдоль которых нормальная кривизна этой поверхности
обращается в нуль.
3. Внешняя нагрузка и силы реакции должны иметь плавный
характер изменения, т. е. не должны иметь слишком большого по-
показателя изменяемости.
4. Срединная поверхность оболочки не должна обладать не-
некоторыми особенностями (например, цилиндрическая оболочка
не должна быть слишком длинной; коническая оболочка не должна
содержать вершины конуса; срединная поверхность оболочки не
должна касаться плоскости по замкнутой кривой; оболочка не
должна быть слишком пологой и пр.).
5. Срединная поверхность оболочки должна быть жесткой,
т. е. она не должна деформироваться без растяжений (сжатий)
и сдвигов.
Приведенные условия нуждаются в уточнении тем более для
случая анизотропных оболочек. Вопрос о формулировке коррект-
корректных условий применимости безмоментной теории анизотропных
оболочек является весьма интересным и ждет своего разре-
разрешения.
Несмотря на сказанное выше, безмоментная теория анизотроп-
анизотропных оболочек представляет большой интерес как с точки
зрения общей теории анизотропных оболочек, так и прило-
приложений.
Много интересного о безмоментной теории изотропных обо-
оболочек читатель найдет в литературе, посвященной классической
теории оболочек. Что же касается безмоментной теории анизотроп-
анизотропных оболочек, то литература по этому вопросу весьма скудна.
Специфические особенности безмоментного напряженного состоя-
состояния анизотропных оболочек недостаточно полно изучены и, как
видно из результатов, изложенных в предыдущих пунктах настоя-
настоящего параграфа, должны быть выявлены совместным учетом гео-
геометрических и статических особенностей рассматриваемой обо-
оболочки.
Не останавливаясь более на общих положениях безмоментной
теории анизотропных оболочек, переходим к рассмотрению от-
отдельных классов оболочек.

§ 2] БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ 235
§ 2. Безмоментная теория анизотропных оболочек
нулевой кривизны
Здесь в общей постановке рассматриваются вопросы безмомент-
ной теории анизотропных оболочек нулевой гауссовой кривизны.
Решения конкретных задач не приводятся, так как они могут быть
получены из общих формул путем элементарных подстановок и
преобразований.
1. Ортогональные криволинейные координаты на поверхно-
поверхностях нулевой гауссовой кривизны. Поверхность нулевой гауссовой
кривизны определяется как геометрическое место касательных
к произвольной пространственной кривой. Если указанную по-
поверхность отнести к линиям кривизны (к, C) и предположить, что
Л71 =^i==0, то уравнения Гаусса—Кодацци B) перепишутся сле-
следующим образом:
(тД)+(т^Д=0} B 1)
Из формул B.1) следует, что коэффициент первой квадратич-
квадратичной формы А зависит только от к, т. е. А=А (а); тогда для диффе-
дифференциального элемента дуги к-линий получим
dsa = A(a.)da. B.2)
Вид функции А (к) зависит от выбора параметра к. Если за
а принять длину дуги к-линий, т. е. принять a=sa, то для рас-
рассматриваемого коэффициента первой квадратичной формы полу-
получим А = 1.
Тогда из B.1) для второго коэффициента первой квадратичной
формы В и для отличного от нуля главного радиуса кривизны i?2
будем иметь
'$ + ф B.3)
B.4)
Таким образом, для поверхностей нулевой кривизны, отнесен-
отнесенных к линиям кривизны, справедливо следующее утверждение:
если один из коэффициентов первой квадратичной формы равен
единице D = 1), то второй коэффициент первой квадратичной
формы (В) и отличный от нуля главный радиус кривизны (R2)
являются линейными функциями координаты а.
В частных случаях функции В' (C) и В" (и) могут обращаться
в нули (конечно, не одновременно).
Рассмотрим два частных случая.
Цилиндрическая поверхность в декартовой системе координат
представлена так, что (рис. 41)
х = а, у = у<$), z = z{% B.5)

236
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
где уравнениями у=у (В), z=z (В) задается контур поперечного
сечения цилиндра.
В этом случае для коэффициентов первой квадратичной формы
и для главных радиусов кривизны будем иметь
где p=p (P) — кривизна направляющей кривой.
B.6)
Рис. 41.
Рис. 42.
Коническая поверхность, вершина которой совпадает с началом
декартовой системы координат (рис. 42), может быть представлена
следующим образом:
х = a cos Ь, -I
г/ = я sin» cos», I B.7)
г = а sin 9- cos &, J
где Ь=Ъ (|3) — функция, представляющая геометрическое очер-
очертание конуса. В общем случае а-линиями являются образующие
конуса, а В-линиями будут пространственные кривые, по которым
конус пересекается с семейством сфер, имеющих центр в начале
декартовой системы координат.
В этом случае для коэффициентов первой квадратичной формы
и для главных радиусов кривизны будем иметь
, #1 = CO,
1 cos 8 sin2 8 + 2 (-jr) cos 8 — ^ sin 8
B.8)

§ 2] БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ 237
2. Исходные уравнения и соотношения. Полагая для оболочек
нулевой кривизны
?*(Р), B.9)
легко получить исходные уравнения.
Уравнения равновесия, согласно A.15), имеют вид
B.10)
где (см. A.9) и A.14))
Х = Х2 = Х+ + Х-, Y=Y2=Y+-\-Y~,
Уравнения равновесия B.10) удобнее переписать следующим
образом:
B.11)
Соотношения упругости, согласно A.36), имеют вид
ди Т-, , Т9 , S , „ \
1 dv 1 дВ w _ Т2
~~в Ц+~в~1? и+"л"—а22 х
1 ди
B.12)
где
B.13)
Расчетные напряжения, согласно A.1), A.8), A.11), A.13)
и A.14), выражаются следующими формулами:
_ . 7*1 _ ^2 _ & Ю \h\

238
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
B.15)
B.16)
3. Общий интеграл уравнений безмоментной теории оболочек
нулевой гауссовой кривизны. Интегрирование приведенных выше
дифференциальных уравнений безмоментной теории анизотропных
оболочек нулевой кривизны может быть выполнено элементарным
образом в самом общем виде.
Интегрирование начнем с уравнений равновесия B.11). Пусть
Т{ = Т° -f
B.17)
где с помощью Т*. и S* представляется какой-либо частный инте~
грал неоднородной системы B.11), а. Т°. я S0 представляют общий
интеграл соответствующей однородной системы уравнений. Тогда,
очевидно, Т* и S* можно взять в виде
Здесь нижний предел интегрирования кх считается фиксированным
и может быть выбран произвольно исходя из удобств расчета.
Полагая в B.11) Х=0, Г=0, Z=0, получим
го __ о S1 — —
B.19)
где Д(Р) и /2(|3) являются произвольными функциями интегриро-
интегрирования и должны быть определены из граничных условий. Если
граничные условия задачи представлены с помощью статических
величин, то функции интегрирования fx и /2 определяются не-
непосредственно из этих условий. Если же граничные условия

{ 2] БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
239
выражаются через перемещения, то функции интегрирования
jx и /г будут определяться после интегрирования системы уравне-
уравнений B.12).
Интегрирование системы уравнений B.12) также выполняется
элементарно. Имея значения Тг, Т2 и S, из уравнений B.12)
с помощью двух квадратур легко получить значения искомых
перемещений м(к, р), у(и, р), w(a, р). При этом для удобства
дальнейшей записи компоненты перемещения целесообразно пред-
представить в виде трех слагаемых:
и=и°+и*+и**, v=v°+v*-\-v**, w=w°+w*+w**, B.20)
где и0, v°, w° — общий интеграл соответствующей однородной
системы B.12) (Г1=0, Т2=0, S=0, Z=0); ц*, v*, w* — частный
интеграл неоднородной системы уравнений B.12), отвечающий
величинам Тг*, Т2*, S*, Z; и**, v**, w** — частный интеграл
неоднородной системы уравнений B.12), отвечающий величинам
77, Т2°, S0.
Внося в уравнения B.12) вместо тангенциальных усилий Тг*,
Т2*, S*, получим
= J [1 («
а а
- ^ J -g -^ j [-i (ап Т\ + а12 Г2 -f
T*
f [
B.21)
Нижний предел интегрирования к, считается фиксированным
и может быть установлен произвольно.
Внося в уравнения B.12)^ вместо тангенциальных усилий Т°1У
Г", S0 из B.19) и полагая Z=0, получим для частного интеграла
неоднородной системы B.12), отвечающего величинам Т\, Г,1

240 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
и S0, следующие выражения:
а, а,
а а а а \ ~1
Г da С д ( /, \ , f rfa d f /« , \
«2 «1 CC2 CC2 / J
B.22)
Здесь, как и раньше, нижний предел интегрирования счита-
считается фиксированным и может быть выбран произвольно.
Наконец, полагая в уравнениях системы B.12) Гх=0, Т2=0,
5=0, Z=0 и выполнив необходимые преобразования, получим
общий интеграл соответствующей однородной системы:
R д
R дВ
B.23)

§2]
БЕЗМОМЕНТНАЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
241
где <р].(Р) и ср2([3) — произвольные функции интегрирования,
которые могут быть определены из граничных условий.
Приведенных здесь окончательных формул B.14)—B.23)
вполне достаточно для определения напряженно-деформирован-
напряженно-деформированного состояния оболочки нулевой гауссовой кривизны. При этом,
как было указано выше, произвольные функции интегрирования
/«(Р) и 9<(Р). которые входят в формулы B.19), B.22) и B.23),
могут быть определены из граничных условий задачи (см. A.16) —
A.20)).
В частном случае ортотропной оболочки, когда главные на-
направления упругости материала оболочки в каждой точке сов-
совпадают с направлениями к, C, f данной точки, т. е. когда aie=
а2е=азе=0, формулы для определения перемещений существенно
упрощаются и, согласно B.20)—B.23), принимают вид
a
= Ъ + S [т
B 1 "И If 1 LT
B.24)
16 С. А. Амбарцумян

242 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
B.24)
Формулы для определения усилий B.17) — B.19) остаются
неизменными. Они такие же в случае изотропной оболочки.
Однако если рассматриваемая задача такова, что для определения
функций интегрирования /,. должны быть привлечены фор-
формулы B.20)—B.23) или B.24) (в случае ортотропной оболочки),
то внутренние усилия, определенные формулами B.17)—B.19),
будут отражать характер анизотропии материала оболочки.
§ 3. Вопросы расчета симметрично нагруженных оболочек
вращения по безмоментной теории
Пусть срединная поверхность оболочки является поверхностью
вращения с осью вращения z. Положение какой-либо точки М
срединной поверхности будем определять гауссовыми координа-
координатами: углом ф=|3/г и меридиональной дугой s=oc (рис. 43
и 44) (подробности о выбранной системе координат см.
в гл. I, § 2).
В выбранной системе координат для главных кривизн и коэф-
коэффициентов первой квадратичной формы имеем
= l, B = r,
dr . о
—r- = Sin г>.
ds
dr
—r
ds
C.1)
Считается, что оболочка нагружена симметрично относительно
оси вращения, т. е. X±=X±(s), Y±=Y±(s), Z±=Z±(s), и имеет
соответствующие, симметричные относительно оси враще-
вращения, граничные условия, которые не зависят от угловой коорди-
координаты ср.
Учитывая сказанное выше, а также тот факт, что в случае
оболочек вращения R^R^s), R2=R2(s), r=r(s), 0=#(s), легко

§ 3] РАСЧЕТ СИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ 243
установить, что в случае симметрично нагруженной оболочки
вращения внутренние усилия G\, Т2, S), перемещения (и, v, w)
Рис. 43,
Рис. 44.
и напряжения (ag, а т т , т , о) не могут быть функциями
угловой координаты <р.
1. Исходные уравнения и соотношения. Учитывая C.1), из
основных уравнений безмоментной теории оболочек для симмет-
симметрично нагруженных оболочек вращения легко получить:
уравнения равновесия:
sin
V
—
ds
C.2)
где
C.3)
соотношения упругости:
du w 1 ,
sin & 1 , rr
C.4)
16*

244 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
где
расчетные напряжения:
=-r-. ч=4> <3-6>
)+А [А (Х+ + х-) - (х-+х-) ]
-^i]. C.8)
2. Общий интеграл уравнений безмоментной теории симмет-
симметрично нагруженных оболочек вращения. Интегрирование при-
приведенных выше уравнений безмоментной теории анизотропных
оболочек вращения, нагруженных симметричной относительно
оси вращения z нагрузкой, может быть осуществлено элементар-
элементарным образом.
Пусть
U =Тхг соя Ь, V=,Sr2; C.9)
тогда из первых двух уравнений равновесия C.2), с учетом треть-
третьего уравнения и представления C.9), для новых искомых функ-
функций U=U{s) и V=V(s) получим следующие уравнения:
4^ = —г (X cos a+ z sin ft)
4
4-
ds
Интегрируя эти уравнения, найдем
U = — j г (X cos & + z sin ») ds + UQ, C.11)
s+F0, C.12)
где Uo и Vo — постоянные интегрирования, которые определяются
из граничных условий, а нижний предел интегрирования s0
считается фиксированным и может быть выбран произвольно.

§ 3] РАСЧЕТ СИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ 245
Подставляя значения U и V из C.11) и C.12) в C.9) и далее
в C.2), придем к следующим выражениям для внутренних сил:
\ г (Xcos Ь-\-Z si
Структура этих формул, как и следовало ожидать, ничем не
отличается от структуры соответствующих формул классической
теории симметрично нагруженной изотропной оболочки вращения.
Единственное различие содержится в представлении Z: здесь под
нормальной компонентой внешней поверхностной нагрузки надо
подразумевать выражение C.3).
Имея значения внутренних сил C.13) — C.15) и внешнюю
поверхностную нагрузку, можно определить с помощью фор-
формул C.6)—C.8) напряжения в оболочке.
Переходим к определению перемещений. Из первого уравне-
уравнения C.4), учитывая третье уравнение равновесия C.2), получим
для нормального перемещения следующее выражение:
\-\-a16S-\-a12R2Z\—
ТУ ^^ [ D 7 /О Л О\
1 ds Г" 13 1 ¦ V • )
Подставляя выражение C.16) во второе и третье уравнения
C.4) и при этом учитывая третье уравнение равновесия C.2),
найдем
C.17)
dv , sin
IJI——
Пусть

246
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
тогда из C.17) получим уравнения
., Т1 ,
dii
_i j X
dii I R2\ T, , S , Я, r, | 1 /f
C.19)
Интегрируя эти уравнения, придем к следующим выражениям
для вновь введенных искомых функций:
C.20)
„ C.21)
где (f0 и (jH — постоянные интегрирования, которые определяются
из граничных условий оболочки, а нижний предел интегрирования
s0 выбирается так же, как в случае статической задачи.
Подставляя значения (риф соответственно из C.20) и C.21)
в C.18) и далее в C.16), получим для искомых перемещений
u(s), v(s), w(s) следующие формулы:
S», C.22)
+ (а12 - а23 ^) ^ Z + (aI3 - a23|j) ^
+ Т[(а'2 - «22 ff) ^1 + a2BS + a22i?2
. C-23)
ds\ +
+ ?0 sin ft. C.24)

§ 3] РАСЧЕТ СИММЕТРИЧНО НАГРУЖЕННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ 247
Приведенных выше формул C.6)—C.8), C.13)—C.15),
C.22)—C.24) вполне достаточно для расчета анизотропной
симметрично нагруженной оболочки вращения. Конечно, при
этом мы будем сталкиваться с необходимостью определить по-
постоянные интегрирования UQ, Vo, ср0, ф0, что нетрудно осуще-
осуществить, если граничные условия рассматриваемой задачи изве-
известны.
3. Несколько слов о напряженно-деформированном состоянии
симметрично нагруженной оболочки вращения. Выше было отме-
отмечено, что формулы для определения внутренних усилий имеют
обычную классическую структуру. Что же касается формул для
определения перемещений, то они принципиально отличаются
от соответствующих формул классической теории симметрично
нагруженных изотропных оболочек вращения. Здесь, в отличие
от задачи изотропной оболочки, каждое перемещение (и, v, w)
в отдельности зависит от всех трех компонент (Х±, У*, Z*) внеш-
внешних поверхностных нагрузок. В силу этого легко заметить, что
когда симметрично нагруженная анизотропная оболочка враще-
вращения статически неопределима, т. е. когда граничные условия
таковы, что постоянные интегрирования Uo, Vo не могут быть
определены без помощи соотношений C.22)—C.24), то каждая
внутренняя сила (Тг, Т2, S) в отдельности тоже зависит от всех
компонент внешних поверхностных нагрузок. В случае же,
когда оболочка статически определима, т. е. граничные условия
таковы, что постоянные интегрирования Uo, Vo определяются
непосредственно из граничных условий и соотношений C.13) —
C.15) без помощи C.22)—C.24), то, как и в изотропных обо-
оболочках, компоненты внешней нагрузки Х± и Z± вызывают в обо-
оболочке лишь внутренние силы Тг и Т2, а компоненты У* вызывают
лишь внутреннюю силу S. Что же касается перемещений, то они
(каждое в отдельности) и в этом случае зависят от всех трех компо-
компонент каждой поверхностной нагрузки.
Картина несколько изменяется в случае ортотропной оболочки
вращения, т. е. когда в каждой точке оболочки одна из плоско-
плоскостей упругой симметрии параллельна срединной поверхности
оболочки, а остальные две перпендикулярны к координатным
линиям s=const cp=const. В этом случае формулы для внутрен-
внутренних сил C.13) — C.15) остаются без изменений, а формулы
для перемещений C.22)—C.24) принимают вид
о. 1» , . R2\ R--> m i
C.25)
a\i~ a22 jr)~z + («и — ao3-^) — hZ Ids 1 -f-?0 cos ft,

248 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
г Г S
j —
w=
C.25)
sin
Здесь, как и в случае симметрично нагруженной изотропной
оболочки вращения, перемещения u(s) и w(s) вызываются лишь
двумя компонентами (X*, Z*) внешних поверхностных нагрузок,
а перемещение v(s) — лишь одной компонентой (У^) внешних
нагрузок. Вообще говоря, в случае симметрично нагруженной
ортотропной оболочки вращения компоненты внешних поверх-
поверхностных нагрузок X* и Z* вызывают лишь внутренние силы Тг
и Тг, а компоненты Y± — лишь внутреннюю силу S.
Наконец, отметим, что первая группа формул C.6)—C.8),
C.13)—C.15), отвечающая статической задаче симметрично
нагруженной оболочки вращения, содержит две постоянные
интегрирования (?/„, Vo), а вторая группа формул C.22)—C.24)
или C.25), отвечающая геометрической задаче симметрично нагру-
нагруженной оболочки вращения, содержит четыре постоянные интегри-
интегрирования (Uo, Vo, <p0, <J>0). Отсюда, как и в случае изотропной обо-
оболочки, для определенности решения поставленной задачи на каж-
каждом из двух ограничивающих оболочку параллельных торцевых
кругов должно быть задано по два граничных условия. Из этих
граничных условий по крайней мере два должны быть заданы в пе-
перемещениях, иначе оболочка будет смещаться, как твердое тело.
В частном случае, когда оболочка вращения имеет один край,
т. е. оболочка имеет одну замкнутую вершину, количество гранич-
граничных условий уменьшается вдвое.
§ 4. Асимптотическое интегрирование разрешающего уравнения
ортотропной симметрично собранной слоистой или однородной
оболочки вращения. О частном решении неоднородного уравнения
Разрешающее уравнение симметрично нагруженной ортотроп-
ортотропной оболочки вращения имеет вид A.2.24), A.2.25)
sin & da .
CuDnR2
?
rD
n
I Г CnDn Гг dFi r
г Ц, L 12 ds 22
D.1)

§ 4] ОРТОТРОПНАЯ СИММЕТРИЧНО СОБРАННАЯ ОБОЛОЧКА 249
где искомой является комплексная функция a (s), которая в рас-
раскрытой форме записывается следующим образом:
^-V. D.2)
Имея значения функций W(s) и V(s), с помощью формул A.2.6),
A.2.11), A.2.15) A.2.16), A.2.22), A.10.8) можно опре-
определить все расчетные величины.
1. Об определении частного решения уравнения D.1).
Частное решение линейного уравнения D.1) может быть опреде-
определено обычным образом. Как показывают многочисленные иссле-
исследования, во многих случаях частное решение неоднородного урав-
уравнения D.1) может быть построено по безмоментной теории. В част-
частности, это можно сделать, если внешняя нагрузка, срединная
поверхность и толщина оболочки изменяются достаточно плавно,
при этом срединная поверхность не содержит окрестностей осо-
особых точек.
Из основного положения безмоментной теории симметрично
нагруженной оболочки вращения имеем
М1 = 0, М2 = 0, N = 0. D.3)
Согласно D.3) из A.2.11) и A.2.16), как частный интеграл
неоднородной системы разрешающих уравнений A.2.17), A.2.18),
получим
^ = 0, Г=—^-. D.4)
Далее, на основании D.4) из D.2) для частного решения не-
неоднородного уравнения D.1) будем иметь
Значения усилий Тг и Т2, отвечающие частному решению
D.5), определим с помощью формул A.2.11). После некоторых
преобразований найдем
.D.6)
>v*
2 ~
при этом, как и раньше,
Р% = (Г, cos &0 + № sin »0) 2лгэ, D.7)
а величины с нуликами представляют значения соответствующих
параметров у края s=s0 (рис. 19).

250 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
Значения Тх* и Т2* могут быть получены непосредственно
из соответствующих формул безмоментной теории оболочек вра-
вращения. Из C.13) и C.14), с помощью A.2.12), A.2.13), после
некоторых преобразований для Тг* и Т2* получим формулы D.6).
2. Асимптотическое интегрирование разрешающего уравнения
D.1). Полагая, что частное решение неоднородного уравнения
D.1) точно или приближенно построено, здесь будем заниматься
лишь вопросами нахождения общего решения соответствующего
однородного уравнения, которое, очевидно, имеет вид
d2o sin 5>da .
I* Л
где равенство \=Cv.2ICil=D22[Dll Для однородной оболочки
удовлетворяется точно, а для многослойной оболочки — при-
приближенно. В частном случае многослойной оболочки, когда отно-
отношение B\JB\X для всех слоев оболочки имеет одинаковое значение,
указанное выше равенство также удовлетворяется точно. К этому
равенству еще раз вернемся чуть позже.
Учитывая A.1.25), A.2.15), A.10.16), A.10.17), можно
показать, что множителем последнего члена уравнения D.8) для
многих типов тонких оболочек является большой параметр
где а и Ъ — некоторые постоянные, которые имеют размерность
Bik и зависят от упругих и геометрических (в случае слоистых
оболочек) характеристик оболочки; h — величина, характеризую-
характеризующая толщину оболочки. Вводя новое обозначение
>\ D.10)
перепишем однородное уравнение D. 8)- следующим образом:
ds% r ds г" ' hR2 ' \ • I
В силу сказанного выше можно утверждать что коэффициентом
последнего члена уравнения D.11) является большой параметр,
поэтому для определения быстро изменяющихся решений может
быть использован метод асимптотического интегрирования. Оче-
Очевидно, в частном случае, когда отношение Ыа таково, что пара-
параметр А нельзя считать большим, метод асимптотического интегри-
интегрирования, вообще говоря, не может быть использован для нахожде-
нахождения решений уравнения D.11).
Полагая, что А =к2 является большим параметром, интегралы
уравнения D.11) будем искать в виде
„ со /„ М pkfW (А А О\

§ 4] ОРТОТРОПНАЯ СИММЕТРИЧНО СОБРАННАЯ ОБОЛОЧКА 251
где <р (s, к) — функция интенсивности, f(s) — функция изменяе-
изменяемости.
Функция интенсивности может быть представлена в виде
асимптотического ряда
9(,, k)v>ao(s)+°-±S?l + °^}+ . . . +ЪМ+ . . . , D.13)
в котором о0, Oj, . . . , а не зависят от большого параметра к,
а °0 Ф 0.
Ограничиваясь первым приближением асимптотического инте-
интегрирования, окончательно для искомой функции °(s) получим
следующее выражение:
о = {Е1 cos р — F1 sin р) е'? + (Е2 cos р + F2 sin р) е3 +
+ г K^i sin ,3 + F1 cos p) e-p — (Et sin p — F2 cos P) e% D.14)
где
?j, /'j — постоянные интегрирования, которые должны быть
определены из граничных условий.
Подробные выкладки, необходимые для получения решения
D.14), здесь опущены; они приведены достаточно полно в книге
автора «Теория анизотропных оболочек».
Рассматривая ход получения решения D.14), легко заметить,
что это решение с такой же точностью можно получить непосред-
непосредственно из исходных уравнений A.2.17), A.2.18), если в них
пренебречь третьими и четвертыми членами, т. е. теми членами,
которые содержат отношения С22/Сп и D^/D^. В силу этого
можно утверждать, что ограничивающее предположение С22/Сп=
=D22/Z>11, принятое для слоистой оболочки, теряет свою силу,
т. е. если ограничиться точностью первого приближения асимпто-
асимптотического интегрирования, то ограничивающее равенство
C22/Cu =D22IDXX не будет влиять на дальнейший ход расчета
оболочки вращения в общем случае симметричной слоистости и ор-
тотропной анизотропии.
Путем элементарных рассуждений нетрудно показать, что
первое приближение асимптотического интегрирования разре-
разрешающих уравнений симметрично нагруженной ортотропной обо-
оболочки вращения имеет погрешность порядка yJh/R{, малую
по сравнению с единицей.
В настоящей работе мы ограничимся лишь первым приближе-
приближением, так как для целей инженерного расчета точность его вполне
достаточна. При желании, исходя из уравнения D.11) в случае

252
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
однородной оболочки или из системы уравнений A.2.17), A.2.18)
в случае слоистой оболочки, можно построить второе приближе-
приближение, точность которого не будет ниже точности исходных пред-
предположений классической теории.
Общее решение разрешающего уравнения D.1), очевидно,
представится суммой решений D.14) и D.5). Учитывая D.2),
D.9), получим
а = W — lA ?ii V= {Е1 cos 8 — Fj sin 8) е~э -f
-f (E2 со^ p -f F2 sin P) e3 +1 [(E1 sin p -f F1 cos В) е"э —
D.16)
Отсюда, отделяя мнимую и вещественную части, будем иметь
- (E2 sin 3 - F2 cos p)«"] - g
cos p -f F2 sin p) i, D.17)
D.18)
Таким образом, формулами D.16) —
D.18) представляются решения как си-
системы уравнений A.2.17), A.2.18), так
и эквивалентного разрешающего уравне-
уравнения D.1).
Решение уравнения D.1) можно представить в несколько
ином виде. Введем новую переменную (рис. 45)
Рис 45
Тогда для основных искомых функций W (s) и V (s) получим
следующие формулы:
W = А^ cos 3 -f B^ sin 3 + AjTb cos 3X -f 52e-3. sin $v D.20)
F = — ^- (Л1б'э sin 3 — Bxe* cos p -f Л2е-3. sin Вх —
D.21)
где A,., Bf — новые постоянные интегрирования.
Функции, входящие в D.20) и D.21), табулированы (см.
таблицу 1). Для этих функций вводим следующие обозначения:
9C) = exces, C() eeSin, J

§ 4] ОРТОТРОПНАЯ СИММЕТРИЧНО СОБРАННАЯ ОБОЛОЧКА 253
Таблица 1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
?№)
1,0000
0,9907
0,9651
0,9267
0,8784
0,8231
0,7628
0,6997
0,6354
0,5712
0.5083
0,4467
0,3899
0,3355
0,2849
0,2384
0,1959
0,1576
0,1234
0,0932
0,0667
0,0439
0,0244
0,0080
—0,0056
—0,0166
-0,0254
—0,0320
—0,0369
—0,0403
—0,0423
—0,0431
—0,0431
-0,0422
-0,0408
-0,0389
—0,0366
-0,0341
—0,0314
—0,0286
—0,0258
—0,0204
—0,0204
-0,0179
—0,0155
-0,0132
—0,0111
-0,0092
—0,0075
—0,0059
—0,0046
1,0000
0,8100
0,6398
0,4888
0,3564
0,2415
0,1431
0,0599
-0,0093
-0,0657
-0,1108
-0,1457
—0,1716
-0,1807
-0,2011
—0,2068
—0,2077
—0,2047
-0,1985
-0,1899
—0,1794
—0,1675
—0,1548
—0,1416
-0,1282
-0,1149
-0,1019
-0,0895
-0,0777
-0,0666
-0,0563
-0,0469
—0,0383
—0,0306
-0,0237
—0,0177
—0,0124
-0,0079
-0,0040
—0,0008
0,0019
0,0057
0,0057
0,0070
0,0079
0,0085
0,0089
0,0090
0,0089
0,0087
0,0084
8C)
1,0000
0,9003
0,8024
0,7077
0,6174
0,5323
0,4530
0,3798
0,3131
0,2527
0,1988
0,1510
0,1091
0,0729
0,0419
0,0158
-0,0059
-0,0235
-0,0376
-0,0484
-0,0563
—0,0618
-0,0652
—0,0668
—0,0669
—0,0658
-0,0636
—0,0608
—0,0573
-0,0534
-0,0493
-0,0450
-0,0407
—0,0364
—0,0323
—0,0283
—0,0245
—0,0210
—0,0177
—0,0147
-0,0120
—0,0074
-0,0074
-0,0054
—0,0038
-0,0023
-0,0011
—0,0001
0,0007
0,0014
0,0019
0
0,0903
0,1627
0,2189
0,2610
0,2908
0,3099
0,3199
0,3223
0,3185
0,3096
0,2967
0,2807
0,2626
0,2430
0 2226
0,2018
0,1812
0,1610
0,1415
0,1230
0,1057
0,0895
0,0748
0,0613
0,0492
0,0383
0,0287
0,0204
0,0132
0,0071
0,0019
-0,0024
—0,0058
-0,0085
-0,0106
-0,0121
-0,0131
—0,0137
—0,0140
-0,0139
-0,0131
-0,0131
-0,0125
—0,0117
-0,0108
-0,0100
—0,0091
-0,0082
-0,0073
-0,0065

254 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. 1Г
Таблица 1 {продолжение)
р
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6,0
ч>(Р)
—0,0033
—0,0023
—0,0014
—0,0006
0,0000
0,0005
0,0010
0,0013
0,0015
0,0013
0,0080
0,0075
0,0069
0,0064
0,0058
0,0052
0,0046
0,0041
0,0036
0,0031
8C)
0,0023
0,0026
0,0023
0,0029
0,0029
0,0029
0,0028
0,0027
0,0026
0,0024
с (?)
—0,0057
-0,0049
-0,0042
—0,0035
—0,0029
-0,0029
-0,0018
-0,0014
-0,0010
—0,0007
Между этими функциями имеют место соотношения
d A d2 А О"
d
D.23)
Учитывая введенные обозначения D.22), из D.20) и D.21) мы
получим для искомых функций V и W, которые представляют
решение уравнения D.1), следующие окончательные расчетные
формулы:
" " D-24)
#• (^-25)
Входящие в эти представления постоянные интегрирования
Af, B( должны быть определены из граничных условий.
3. Внутренние силы и моменты, напряжения, перемещения.
Подставляя выражение для однородной части V из D.25) в одно-
однородные формулы A.2.11) и прибавляя соответствующие частные
решения D.6), получим для внутренних тангенциальных сил
Тх и Т2 следующие выражения:
D.26)
D.27)
T2 = ADn

j 4] ОРТОТРОПНАЯ СИММЕТРИЧНО СОБРАННАЯ ОБОЛОЧКА 255
Подставляя значение V из D.25) в третью из формул A.2.11),
получим для поперечной силы N следующее выражение:
N = ADU [5,6 (Р) _ А? (?) + 52е (р2) - Л2С (р,)] °°i». D.28)
Подставляя значение W из D.24) в A.2.16) и при этом пре-
пренебрегая членами порядка s/h/Rf, для внутренних изгибающих мо-
моментов М1 и М2 будем иметь
.=в4ж1
,С (Р) + Л26 (pl} + 52С (РОТ ^. D.30)
В случае однородной оболочки напряжения определяются
с помощью обычных формул A.1.16). В случае же слоистой
оболочки, подставляя значения е. из A.2.15) и значения х< из
A.2.6) в соответствующие формулы A.10.8), получим для нор-
нормальных напряжений в слоях оболочки следующие выражения:
ds Qo \ г г J ' Ч и ds
Di .,, sin
г J ' Ч и ds 1г г J
sin 9\ ,, Oo\
TJ^ST^) D.32)
где, как и раньше,
Кстати, формулы D.31) и D.32) могли быть получены из
более общих формул A.12.14) и A.12.15) путем отбрасывания
членов, которые содержат коэффициенты Kik.
Отличное от нуля касательное напряжение т* —t* определя-
определяется из A.10.10). Подставляя значения напряжений о* и а*
в A.10.10) (а'=з*, g*—g< т^ = т*9 = 0) и удовлетворяя усло-
условиям контакта смежных слоев A.10.12) и на внешних поверх-
поверхностях A.1.13), получим для касательного напряжения V сле-
следующие формулы:
для наружных слоев:
Q~o
12

2о6 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
для внутренних слоев (? = 1, 2, 3, ..., m-\-i):
где ho — hl2 (рис. 32), а также
0 L 1
=i UB>+2 Bijk (8* - 8«+i) I •
), (SJ - 8^I, D.35)
J
D-36)
Подставляя значения sl и e2 из A.2.15) в A.2.21), получим,
для радиального и осевого перемещений:
j • ft *-* 12 u ' ft ^22/T/alllv 1 1 I //o /A Qft\
Компоненты перемещения могут быть представлены и несколько
иначе. Из A.2.9) имеем для деформаций е: и е2:
Подставляя значения s1 и е2 из D.39) в A.2.15), получим сле-
следующие выражения для перемещений:
er = r(CnT2 — CvlT1)Q'a\ D.40)
ег = е°г + \ [W sin & + Qo' (CiJi ~ CiiTl) cos &1 ds- D-41)
Значения функций F(s) и W(s) не подставлены в расчетные
формулы D.26)—D.41) ввиду громоздкости получаемых при
этом выражений. Для облегчения вычислений, связанных с ука-
указанными расчетными величинами, приведем окончательные выра-
выражения необходимых производных искомых функций V и W.
Согласно D.24) и D.25) легко получить
&°-

5] КРАЕВОЙ ЭФФЕКТ В АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧКАХ 257
При получении этих формул мы ограничивались принятой здесь
точностью, т. е. пренебрегали членами порядка \lhjRt по сравне-
сравнению с единицей.
Наконец, укажем, что мы не можем требовать от приведенных
здесь расчетных формул, чтобы они во всех точках оболочки обе-
обеспечивали точность первого приближения асимптотического ин-
интегрирования. В особых точках расчетные формулы могут дать
неприемлемые результаты.
4. Замечания. В частном случае круговой цилиндрической
оболочки, когда l/i?1=0, i?2=i?=const, &=0, полученные выше
расчетные формулы являются точными, т. е. имеют точность
исходных уравнений.
С помощью приведенных в этом параграфе формул могут быть
решены задачи определения напряженного и деформированного
состояния однородных и симметрично собранных относительно
срединной поверхности слоистых оболочек вращения, находя-
находящихся под действием внешних осесимметричных воздействий.
Решения конкретных задач мы не приводим, так как эти решения
могут быть получены элементарным образом и широко освещены
в современной литературе.
§ 5. Краевой эффект в анизотропных оболочках вращения
Рассмотрим вопрос о распространении краевых воздействий
по оболочке вращения, изготовленной из ортотропного материала
так, что в каждой точке оболочки главные направления упругости
совпадают с главными геометрическими направлениями обо-
оболочки — с меридианами, с параллелями, и с нормалями.
Если начало отсчета координаты s совместить с одним краем
оболочки, а длину оболочки по дуге меридиана обозначить через
L, то для значений р, соответствующих краям оболочки, согласно
D.15) и D.19) будем иметь
Тогда, как нетрудно заметить из D.19), через Pi=<*o—P
будет представлена координата текущего поперечного сечения
оболочки, отсчитанная от края s=L (рис. 46).
17 С. А. Амбарцумян

258
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
Рассматривая решение D.24), D.25) разрешающего уравне-
уравнения D.1), легко заметить, что входящие в эти представления
функции 6(Р), С(Р) убывают при удалении от края s=0, а функции
в(Рг), С (Рх) —при удалении от края s=L. Как видно из таблицы 1,
эти функции уже при р=п имеют порядок 0,04. Поэтому, если
исследуемая точка находится на окружности поперечного сече-
сечения оболочки, удаленной от края оболочки настолько, что при
заданных значениях упругих постоянных и геометрических харак-
характеристик оболочки параметр р
| становится больше или равен
п (Р ^ п), то влиянием этого
края на напряженное состоя-
состояние точек рассматриваемой ок-
окружности или более удаленных
точек, с точностью техниче-
технического расчета A+0,05л*1),
можно пренебречь. Это усло-
условие можно сформулировать не-
несколько иначе, а именно: если
упругие постоянные (Ев, Е^,
рис. 46. v»> v9) и геометрические харак-
характеристики (h, t{, R2) оболочки
таковы, что р ^ г. при задан-
заданном s, то влиянием края на напряженное состояние части оболочки,
соответствующей s, можно пренебрегать.
Таким образом, если ограничиться указанной выше точностью,
то можно утверждать, что краевые воздействия в глубь оболочки
могут распространяться до тех поперечных сечений, для которых
Р ^ л, т. е. ширина зоны распространения краевого эффекта
может быть установлена из условия р=тг.
В реально существующих оболочках зона распространения
краевого эффекта достаточно узка, и в пределах этой зоны, с до-
достаточно высокой точностью, можно считать R2 постоянным. Если
теперь в выражении D.15) не считаться с изменяемостью Л2, то
для р, согласно D. 9), получим
¦'/.*. E.2)
Полагая в E.2) р=я, получим формулу для определения длины
(по дуге меридиана) зоны распространения краевого эффекта:
E.3)
Отсюда следует, что если длина оболочки по дуге меридиана
^ s*, то взаимным влиянием краев можно пренебрегать. Это

S 5] КРАЕВОЙ ЭФФЕКТ В АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧКАХ 259
означает, что при L J> s* нагрузка, приложенная к краю C=0,
практически не влияет на напряженное состояние другого края
(Р=а0), и наоборот.
При однородной ортотропной оболочке, на основании A.1.25),
A.1.34), A.2.15), из D.9) получим
Подставляя значение А из E.4) в E.3), получим формулу
для определения длины зоны распространения краевого эффекта
в случае однородной ортотропной оболочки толщиною h:
- <5-5>
В частном случае изотропной оболочки, учитывая, что Е^=Ее=Е,
v<p=v/=v=l/m, для зоны распространения краевого эффекта
получим известную формулу:
Формулы E.3)—E.6) выведены с некоторой погрешностью
(они точны для круговой цилиндрической оболочки) ради про-
простоты и получения единых формул для всех типов оболочек вра-
вращения. Допущенные при этом погрешности незначительны, ибо,
как нетрудно заметить из формул E.3)— E.6), длина зоны
распространения краевого эффекта для реальных оболочек в дей-
действительности мала, а в узком кольце оболочки вращения изме-
изменяемостью радиуса кривизны R2 можно пренебрегать. Однако при
необходимости в каждом частном случае квадратуру формулы
D.15) можно вычислить точно и найти необходимое значение
длины зоны распространения краевого эффекта.
Сравнивая формулы E.5) и E.6), замечаем, что, в отличие
от изотропных оболочек, в анизотропных оболочках соответствую-
соответствующим выбором упругих постоянных можно существенным образом
изменить величину зоны распространения краевого эффекта
и тем самым влияние краевых условий (при заданной длине обо-
оболочки L) на общее напряженное состояние оболочки.
На этом мы завершаем исследование краевого эффекта в орто-
тропных оболочках вращения в классической постановке, т. е.
когда исходное разрешающее уравнение построено на основании
гипотезы недеформируемых нормалей. Однако вопрос этот требует
дальнейших исследований и разъяснений, и поэтому мы бу-
будем возвращаться к нему в некоторых параграфах настоящей
главы.
17*

260
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
§ 6. Длинные оболочки вращения
Анизотропные оболочки вращения, применяемые в инженерной
практике, в основном являются длинными оболочками, для кото-
которых взаимным влиянием краев можно пренебрегать.
Рассмотрим длинную оболочку вращения, по краям (s=0,
s=L) которой действуют изгибающие моменты M\, M\ и пере-
перерезывающие силы ./V0, NL (рис. 47, 48).
Учитывая основное свойство длинных оболочек, отбросим
в расчетных формулах D.24)—D.30) функции 8г при вычислении
Рис. 47.
Рис. 48.
величин, относящихся к краю s=0, и функции 8 при вычисле-
вычислении величин, относящихся к краю s=L.
Определив постоянные интегрирования А{ и В( и подставив
их в формулы D.24)—D.30), получим следующие выражения
для основных искомых функций V(s), W(s) и внутренних сил
и моментов:
W =
V =
- у/ЩА М
F.1)
F.2)
sin
F.3)

ДЛИННЫЕ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ 261
Т2 = -У^щ
N = [R°2N^ (P) - yJ2RjA M% (P) +
+ RW^ (Pi) + \/2Др Л/fC (Р,)] ^, F.5)
F-6)
sin^ F?)
Формулы для определения напряжений D.31)—D.34) и пе-
перемещений D.37)—D.41) остаются без изменений. При этом
в процессе определения указанных величин нас будут интере-
интересовать:
(P) - ^ЩАМЦ(Р)- ZR\W(P0 -
Для полноты картины приведем граничные условия в рассмат-
рассматриваемом случае. Граничные условия ничем не отличаются от
граничных условий изотропной оболочки вращения.
Выпишем три основных варианта граничных условий (см.
гл. I, § 2):
край Р=0 свободный:
7V° = 0, MJ = O; F.8)
край Р=0 шарнирно опертый:
u; = 0, MJ = O; F.9)
край Р=0 заделанный:
j l = 0, w = 0. F.10)

262
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. 11
Соответствующие граничные условия по краю рх=0 имеют вид
УУ? = О, Mf = 0, F.11)
ii; = 0, Aff=rO, F.12)
Щ№-^2ЩМ? = 0, w = 0. F.13)
Для нормального перемещения w, входящего в граничные
условия, согласно A.2.22), D.40), D.41) имеем
-^r cos & -f-1 e°, -f- ^ (W sin & -f-
C0S
ft) «fa sin ft. F.14)
Замечание. С помощью приведенных в этом параграфе рас-
расчетных формул без какого-либо труда могут быть решены за-
задачи определения напряженно-деформированного состояния
длинных ортотропных оболочек вращения (однородных и сим-
симметрично собранных слоистых), находящихся под действием
осесимметричных внешних воздействий. Предложенным здесь
методом решены многочисленные задачи. Читатель может найти
их в соответствующих публикациях.
§ 7. Решение некоторых задач для оболочек вращения
нулевой гауссовой кривизны,
составленных из произвольного числа слоев
Здесь будут рассмотрены оболочки, составленные из орто-
ортотропных слоев, плоскости упругой симметрии которых взаимно
параллельны, а главные направления упругости совпадают с
главными направлениями координатной поверхности оболочки
(см. гл. I, § 12).
Полагая R1 = co, из A.12.1) получим следующую систему
разрешающих дифференциальных уравнений задачи:
г Р1 d^W ,P<> — Рл sin » dW
~~ 7<~ W..2 "Г"
г
sin!
г
ds
idW
ds
u
с,
ds
d'-V
рз
smbdV
r ds
--I^iJr
G.1)

§ 7J ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ НУЛЕВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ 263
Предполагая, что
^22. ^22 ^22 \ (И О\
Ul\ ЛП Оц
систему дифференциальных уравнений G.1) можно свести к од-
одному разрешающему дифференциальному уравнению второго
порядка следующего вида:
ds
i_\/Q^___ cos»]
u(Dn-D°n) r \ —
5гф1(8)' G'3)
где искомой является комплексная функция
i п. по.\ • \ )
Таким образом, задача о напряженном состоянии несиммет-
несимметрично собранной многослойной ортотропной оболочки вращения
при предположении G.2) свелась к решению линейного диффе-
дифференциального уравнения G.3). Имея значения функции о, с по-
помощью G.4) можно легко определить значения основных иско-
искомых функций W и V, через которые выражены все расчетные
величины задачи.
Остановимся несколько подробнее на случаях конической
и цилиндрической оболочек. При этом будем рассматривать лишь
соответствующие однородные уравнения, полагая, что частные
решения, отвечающие грузовым членам, точно или приближенно
определены.
1. Цилиндрическая оболочка. Для круговой цилиндрической
оболочки имеем
jR1=co, г = Д2 = R = const, & = 0. G.5)
Тогда исходное разрешающее уравнение G.3), которое в этом
случае из системы уравнений G.1) получается без упрощающих
предположений G.2), примет вид
~ — fo=W(s), G.6)
где
- CnP^ (.) +1 jCnQtiDn-DMlC^ (s) + Р,Ф2 (.)]}. G.8)

264 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
Решение соответствующего G.6) однородного уравнения получим
в виде
а = (А, + 1Вг) е(а+ш' + (Az + iBz) e-{a+ibu, G.9)
где
а = 1/4 [Vgi^o(Он - Pji) + ^ - Л]
У 2R[CUQO(DU-D^)+Pl] '
G.10)
так как принято, что
yjk=a-{~lb, G.11)
А{, В. — вещественные постоянные интегрирования, которые
должны быть определены из краевых условий.
Приравнивая выражение G.9) к G.4), после серии преобра-
преобразований получим для основных искомых функций V(s) и W(s)
следующие формулы:
s) - А^ (а)], G.12)
W = A1Xi (s) — B^ (s) -f- A2x (s) + B2-q (s), G.13)
где
X (s) = e~" cos bs, 7j (s) = e~** sin bs,
Zl (s) ^= e°* cos bs, t]j (s) = e"' sin bs.
Имея значения искомых функций V и И^, с помощью формул
A.12.9)—A.12.13) легко определить все расчетные величины
задачи.
Исходя из решений G.12), G.13) и поступая точно так, как
в § 5 настоящей главы, получим соотношение для определения
длины зоны распространения краевого эффекта:
г
Рассматривая G.15), замечаем, что, как и в E.3), длина
зоны распространения краевого эффекта существенным образом
зависит как от геометрии оболочки и ее слоев, так и от механиче-
механических характеристик материала отдельных слоев оболочки.
2. Коническая оболочка. Для круговой конической обо-
оболочки имеем
.Й1=оо, r=(s'—s)sina, & = a, \
1 COS a ctga . . } G.16)

§ 7] ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ НУЛКВОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ 265
где s' — длина образующей оболочки, 2 а — угол конусности,
г0 — радиус основания конуса.
В рассматриваемом случае разрешающее уравнение G.3)
примет вид
<J2cj I da
Как было указано выше, мы будем рассматривать лишь одно-
однородное уравнение. Будем считать, что частное решение разре-
разрешающего уравнения G.3) с требуемой точностью известно.
Для коэффициента к0, аналогично G.7), имеем следующее
выражение:
Дll)] п
rolCnQo(Du~D^) + Pj] ' К ¦
Полагая
a= ft t = ^Jf G.i9)
из G.17) получим следующее разрешающее уравнение:
= 0, G.20)
где h — полная толщина оболочки.
Таким образом, задача конической оболочки свелась к урав-
уравнению типа Бесселя, общий интеграл которого можно представить
в следующем виде:
f J)l G.21)
где /v, Fv — функции Бесселя соответственно первого и второго
рода индекса v; Cu С2 — комплексные постоянные.
Ограничимся рассмотрением оболочек с малым углом а; при
этом будем интересоваться лишь точками, достаточно удаленными
от вершины конуса. Тогда вместе с х аргумент бесселевых функ-
функций принимает большие значения, и для них будут справедливы
асимптотические разложения (с точностью 1/z)
, (z) = V2/rcz cos
(z — -^ TJ,
G.22)
Далее, в силу G.4), G.19), G.21) и G.22) получим для иско-
искомых функций W и V следующие выражения:
W
= А, ~ cos(—b0 s/7Jx- -у - ^/Х «)ch (a0
Tsin (~b° ^ Z~T~ ^n)s

266 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
77sin (~~ь° ^ х ~~~ т — fi л)ch (а° fi$
— 52 — cos {—b0 \Jroh ж — -? — \/Х" я) sh (а0 \/7Jix), G.23)
. Щ fo±cos
— у/Х л j ch (а0 yVg/гx) — Ax —= sin (—b0 \Jroh x —
* V X
X — N/^) СП («0 V
^ C0S (—
-T - ^") sh
где, аналогично G.10) и G.11),
^ ao + ibo, G.25)
PI -
ь _ lAoIVCu^ (Он ~ Pit)
0 У
G.26)
Входящие в G.23) и G.24) постоянные А. и В( вещественны
и должны быть определены из граничных условий.
Имея значения W и V, по формулам A.12.9) — A.12.13)
можно определить все расчетные величины.
§ 8. Интегрирование разрешающих уравнений технической
теории цилиндрических оболочек методом одинарных
тригонометрических рядов
Метод решения задач о равновесии цилиндрических оболочек
с помощью одинарных тригонометрических рядов широко осве-
освещен в современной литературе. В связи с этим здесь будут изло-
изложены лишь те основные положения, которые, как нам кажется,
достаточны для случая анизотропных цилиндрических оболочек.
Здесь в основном будут освещены вопросы интегрирования
однородного разрешающего уравнения круговой ортотропной
оболочки. Что же касается частных интегралов неоднородных
уравнений, то они, как известно, могут быть найдены из неодно-

81
ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
267
родных систем уравнений A.13.13), A.13.15), или, в частном
случае, из неоднородного разрешающего уравнения A.13.27).
Во многих практически важных случаях для обычно встречаю-
встречающихся поверхностных нагрузок частный интеграл можно строить
по безмоментной теории.
1. Круговая цилиндрическая оболочка открытого профиля.
Рассмотрим ортотропную многослойную цилиндрическую обо-
оболочку открытого кругового
профиля, у которой в каждой
точке каждого слоя главные
направления упругости совпа-
совпадают с направлениями коорди-
координатных линий. Пусть оболочка
перекрывает прямоугольный
план (aX&i) и имеет следующие
размеры: по образующей — а;
по дуге поперечного круга — Ъ;
радиус кривизны координатной
поверхности (у=0)—R. Пусть,
далее, система координат вы-
выбрана так, что коэффициенты рис> 49.
первой квадратичной формы А
и В равны единице (рис. 49).
Рассматриваемая оболочка свободно оперта по поперечным
криволинейным краям а=0, а=а, т. е. по криволинейным краям
имеем следующие граничные условия:
при а = О
при а = а
— 0, v = 0 Т1=0, М1==0;
(8.1)
На прямолинейные кромки оболочки никаких ограничений не
ставится, т. е. граничные условия на прямолинейных краях обо-
оболочки A3 = ^, C=C2) могут быть произвольными.
Разрешающее уравнение рассматриваемой оболочки в случае
однородной задачи записывается следующим образом:
6 "Г

268 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
Решение разрешающего уравнения (8.2) будем искать в форме
^)sinX»a' ^ = JT". (8-3)
m=l
где т — целое число, фст(Р) — новая искомая функция, завися-
зависящая лишь от одной переменной р.
Подставляя значение Ф=Ф (а, |3) из (8.3) в уравнение (8.2),
придем к соотношению вида
2<U4>Jsin\lla=0,
т \Тт/
т=1
которое может быть выполнено, если потребовать, чтобы
f - wm+аду -
iK+&Vm)y» = 0. (8-5)
К интегрированию этого обыкновенного линейного дифферен-
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и приво-
приводится задача нахождения m-го члена разложения (8.3). Уравне-
Уравнений типа (8.5) будет столько, сколько членов удерживается в ряду
(8.3). Каждому члену ряда (8.3) соответствует некоторое напря-
напряженное и деформированное состояние многослойной ортотропной
цилиндрической оболочки.
Вспомогательные искомые функции w=w(a, |3) и tp=tp(a, |3)
могут быть вычислены с помощью формул A.13.36).
Подставляя значение Ф(а, |3) из (8.3) в указанные формулы,
получим
W = 2 Wm sin ^ma' T === 2 Tm S*n ^тЯ> (8. 6)
где для коэффициентов Wm($) и <рт(|3) имеем следующие представ-
представления:
п И.Р.2 ~~Оп ЙН4~' ("•')
Тщ — д яТ« Q mTm Г

8]
ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
269
Подставляя значения Ф (я, |3), w (a, p), tp (а, |3) соответственно
из (8.3), (8.6) в формулы A.13.31) - A.13.34), A.13.40), каж-
каждую из расчетных величин представим в виде
Т> = 2 Tim sin Xma, M. = 2 Mim sin Xma,
m m
s = 1tSm cos Xma, Я = 2 #m cos Xma,
= 2 Um cos
i = 2 °L sin
у = 2 Vm sin Xma,
m
o'm = 2 a*, sin lma,
ffl
?2 = 2 ?s» sin Xma.
(8.9)
Здесь в первых двух формулах под индексом i надо подразу-
подразумевать 1 или 2, а в формулах для напряжений индексом i обозна-
обозначается г-й слой оболочки. Последняя формула представляет угол
поворота какого-либо продольного сечения, который определяется
известной формулой tp2==~w,^-\-vlR.
Выпишем выражения для коэффициентов представлений (8.9):
внутренние силы:
Т
lm ~
_
R
drf-
о
Л тоС 99 J
L 22^12
V Qo ^ С66 "Г
^11^22 — ^12^
12^12
(8.11)
S = — X3 -^2
^
2 2 A«e i д-nt.
—^12^
— ^22^12
¦ +

270 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
изгибающие и крутящий моменты:
м1т = Ф„ - d»u) Glm 4 Ф„- о?2) G2m + JC"c"-g"c" т1т 4
~*'iC'2 Г2т, (8.13)
2 гы 4
| #12^22 — #22^12 у /g JM
Ят = 2 (ZNtf- Z)o6) G12IB 4 -^f 5Ш. (8-15)
где введены следующие новые обозначения:
^+^.^^, (8.16,
о С'2Ъ.Д d3;('"' Cg2 ). dS*'" - (8 18)
тангенциальные перемещения и угол поворота:
^11 Y5,l, ^22^11 —С12 (^12 + 2Абб) >g ^2Фт |
~ Qo »^« C66Q0 » df|2 "Г
+ F^X^+F^^^F' (8Л9>
у _ К22 ^5Фт СиК22— С12 (Кп + 2/С66) ,2 d3^m
Qo rfp|5 C66Q0 m dp f
_ /1 ^22 ^22^ &*tm Г 1 ^22
/Я

8] ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
напряжения н слоях оболочки:
271
(Rt ^12^22 —
5» ^
— V. 22 Ц() -°12 ЬH;У2т ^22 gQ -°12 2(( J ' lm
; ^12^11 — ^11^12 | Rf ^11^22 — ^12^12 „Di
Ввиду громоздкости, выражения для Nlm и N2m здесь мы не
приводим. Однако при необходимости, имея значения Mlm, М2т
и Нт, с помощью уравнений равновесия A.13.6) формулы для
Nlm и N2m можно построить элементарным образом.
Перейдем к рассмотрению вопросов, связанных с граничными
условиями задачи. Пусть частный интеграл разрешающего урав-
уравнения, отвечающий нагрузке, построен, все расчетные величины,
соответствующие частному интегралу, найдены и могут быть пред-
представлены с помощью тригонометрических рядов, так что, в част-
частности, имеем
и,
» = 2 Wl sin К*, М° = 2 П. sin XMa,
(8 25}
где Т^т, F^, W°m, M\m — известные функции, зависящие лишь
от одной переменной р; очевидно, они могут быть вычислены по
известным формулам Фурье.
Тогда для приведенных расчетных величин, согласно (8.9)
и (8.25), получим
Т, = 2 Tlm sin \та + 2 Т*т sin Xma,
(8.26)
f! = 2 Mim sin Ka + 2 Л/?m sin Xma
" = 2 Vn sin Xma + 2 V°m sin Xma,

272
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
Отсюда, учитывая, что Хт=тп1а, замечаем, что граничные
условия (8.1) удовлетворяются для каждого члена разложения
в отдельности.
Остается рассмотреть вопрос о граничных условиях на прямо-
прямолинейных кромках оболочки. Для конкретности рассуждений
цредставим себе, например, что при P = Pi нормальное перемеще-
перемещение w имеет заданное значение w (а, р1)=и>*(а).
Представим w*(a) в виде тригонометрического ряда:
«>* = 2W>nX.a, (827)
т
где W*m — известная функция р.
Очевидно, для удовлетворения граничного условия, наложен-
наложенного на w (а, C) при C = 13!, мы должны будем удовлетворить ра-
равенству
К (Pi) sin Xma + 2^1 (fc) sin Xma = 2 Wm sin Xma, (8.28)
2
что эквивалентно требованию
Wm (px) -f- Wum (Pt) = W*m, (8.29)
т. е. и на прямолинейных кромках оболочки граничные условия
рассматриваемого вида выполняются для каждого члена разло-
разложения в отдельности.
Имеются и иные типы граничных условий, которые не допу-
допускают почленного удовлетворения. Однако они здесь не будут рас-
рассмотрены.
Таким образом, интегрирование разрешающего уравнения (8.2)
и удовлетворение граничным условиям (как по прямолинейным,
так и по криволинейным кромкам оболочки) могут быть осуществ-
осуществлены для каждого номера т в отдель-
отдельности. Следовательно, для каждого
номера т (для каждого члена раз-
разложения) будем иметь по восьми
граничных условий (по четыре на
каждом прямолинейном крае обо-
оболочки), накладываемых на краевые
значения функции <]>т, которая
должна удовлетворять обыкновен-
обыкновенному линейному дифференциаль-
дифференциальному уравнению восьмого порядка
(8.5).
2. Круговая цилиндрическая обо-
оболочка замкнутого профиля. Рассмот-
Рассмотрим ортотропную многослойную цилиндрическую оболочку кру-
кругового замкнутого профиля, у которой главные направления
упругости совпадают с направлениями координатных линий.
Рис. 50.

{ 8] ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК 273
Систему координат выбираем так, чтобы A=B=R. Пусть длина
оболочки /, а радиус кривизны R (рис. 50).
Разрешающее уравнение рассматриваемой оболочки в случае
однородной задачи записывается следующим образом:
>~ 3
2Ri (Q + <?
— 2Ri (Ql -fas' + <?з
^ = 0^ (8.30,
Искомую функцию будем представлять в виде
Ф= 2 (ф^созтР + Ф^Ьтр), (8.31)
0
2
=0
где т — целое число, ф^,(а) и ф^(«) — функции, зависящие лишь
от одной переменной а.
Подставляя значение Ф (а, C) из (8.31) в уравнение (8.30),
придем к соотношениям вида
2 Р. Ю cos ™Р + d. Ю ^п тЩ = 0, (8.32)
я»=0
которые могут быть выполнены, если потребовать, чтобы для каж-
каждого <{/, и ty"m имело место
J = Рг % ~ № + 2RQl)
+ 2RWQ, ^
^и = 0. (8.33)
К интегрированию таких уравнений и приводится нахождение
m-го члена разложения (8.31). Каждому слагаемому ряда (8.31)
соответствует некоторое напряженно-деформированное состояние
ортотропной цилиндрической оболочки. Внутренние силы и мо-
моменты, перемещения, углы поворота и напряжения в слоях обо-
оболочки, отвечающие этому напряженному состоянию, могут быть
вычислены с помощью формул A.13.31) — A.13.34), A.13.36)
и A.13.40). Например, полагая
Ф = ф; cos игр, (8.34)
18 С. А. Амбарцумян

274 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. 1 I
получим
Т{ = Tim cos mp, M( = Mim cos m$,
S = Sm sin mp, H = Hm cos mp,
Nl = Nlm cos mP, Nt = N2m sin mp,
и = Umcos mp, v=Vm sin mp, (8.35)
и> = Wm cos mp, f! = flm cos mp,
Taj3 = T«pm sinmp, cp = cpmcosmp,
где коэффициенты некоторых из расчетных величин имеют вид:
внутренние силы:
*",. = -
da2
R
) r da".
Т - 1
Qo C66 f Qo /Л da4
5. = -^
l
R
!—2-
Л
Йо Л da
изгибающие и крутящий моменты:
hm = Фи - Л?,) <?lm + (А2 - O?s) <?2m +
1_ КцС22 — К 12^12 71 _J_ -^12^11 — -^11^-12 <Т
(8 38)
+ (Dl2 - D& Gl
I
— K12CJ 71 1 -^12^22 — ^22^12
2^ 72mi Щ
(8.41)

§ 8] ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК 275
где введены следующие дополнительные обозначения:
п _ 1 ГС„ Щ'т
перемещения и угол поворота:
_,
~T C66Q0 da
_д^4^_я4Р-™2^1 (8.46)
i20 da3 Qo da у
у __. L Г-^22 ^Бф' CUK22 — С12 (К12 + SA'ee) ^з <1^'т I
"т™ ~" " ~~" —"Ту—,-. //fr ;;—~. г~
1 С„А dai '
В рассматриваемом случае напряжения в слоях оболочки бу-
будут определяться формулами (8.22)—(8.24), но при этом под опе-
операторами Tim и Ghn надо понимать их новые значения (8.36)—
—(8.38) и (8.42)—(8.44).
Далее (вместо (8.34)), полагая
Ф = ф! sin i»p, (8.49)
18*

276 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
получим для внутренних сил и моментов, перемещений, углов по-
поворота и напряжений в слоях оболочки формулы, аналогичные
предыдущим, причем Тг, Т2, Мг, М2, Nu оа, ор, и, w будут содер-
содержать множитель sin mp, а 5, Н, N2, \^, v будут содержать множи-
множитель cos mp. Что же касается операторов (8.36)—(8.48), то в них
необходимо <{/, заменить на ф^,, a m на (—пг).
Таким образом, для любых тп, имея интегралы ф^ и ф^ уравне-
уравнения (8.33), можно построить напряженно-деформированное со-
состояние рассматриваемой оболочки, причем в соответствии с (8.34)
и (8.49) напряженно-деформированное состояние расчленяется
на симметричное и на обратно-симметричное относительно началь-
начальной образующей р=0.
Рассматривая приведенные здесь формулы, нетрудно заметить,
что условия периодичности по переменной р выполняются в каж-
каждом члене разложений в отдельности. Здесь, кроме условий пе-
периодичности, необходимо выполнить и граничные условия на тор-
торцах оболочки. Полагая, что частный интеграл неоднородной за-
задачи, отвечающий внешней нагрузке, известен, можно записать
выражения для внутренних сил и моментов, напряжений в слоях
и перемещений, отвечающих этому частному решению, с помощью
тригонометрических рядов вида (8.31), в которых коэффициенты
разложений будут известными функциями. Поэтому граничные ус-
условия на торцах оболочки могут быть удовлетворены обычным
образом.
Для конкретности рассуждений положим, например, что при
а= аг (на одном из торцов оболочки) тангенциальное перемещение
имеет заданное значение и (аг, р)=м* (Р). Тогда для удовлетворе-
удовлетворения этому условию надо потребовать, чтобы
2 [U'm К) cos mp -f U"m К) sin mp] -f
+ 2[U'm0K) cos mp-f ?Г0(a,) sin mp] =
m
= 2[U'm(a) cos mp-f ?T,(a) sin mp], (8.50)
m
где предполагается, что
U° = 2 [Um0 (a) cos mp -f V^ (a) sin mp]
fn=0
представляет тангенциальное перемещение, отвечающее частному
решению неоднородного уравнения, а
со
Н* == 2л \U'm* COS m$ ~f~ ^'m* ^^П ™Щ
m=0

§ 8] ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК 277
представляет разложенное в тригонометрический ряд, заданное
на контуре а= с^ значение функции и* (|3). Очевидно, коэффи-
коэффициенты U'^ и U"^ являются известными функциями.
Равенству (8.50) можно удовлетворить, полагая
Таким образом, условия, накладываемые на коэффициенты сим-
симметричного напряженно-деформированного состояния (коэффи-
(коэффициенты, отмеченные одним штрихом), не переплетаются с услови-
условиями, накладываемыми на коэффициенты обратно-симметричного
напряженно-деформированного состояния (коэффициенты, от-
отмеченные двумя штрихами).
Имеются и иные типы граничных условий, которые не допус-
допускают раздельного удовлетворения граничным условиям симметрич-
симметричного и обратно-симметричного напряженных состояний. Однако
они здесь нас не будут интересовать.
Таким образом, интегрирование разрешающего уравнения
(8.30) и наложение граничных условий может быть выполнено
в отдельности для каждого номера т, и притом раздельно для сим-
симметричного и обратно-симметричного напряженных состояний обо-
оболочки. Тогда на каждую искомую функцию ty'm и ij'm будет наложено
по восемь граничных условий, которые обеспечат определение
восьми произвольных констант, входящих в каждую из этих
функций.
3. Несколько слов об интегрировании уравнений (8.5) и
(8.33). Рассматривая задачи ортотропных цилиндрических обо-
оболочек открытого и замкнутого профиля, замечаем, что первым и,
пожалуй, основным этапом расчета указанных типов цилиндри-
цилиндрических оболочек является интегрирование обыкновенного линей-
линейного дифференциального уравнения восьмого порядка с постоян-
постоянными коэффициентами, а именно в случае оболочек открытого
профиля — уравнения (8.5), в случае же оболочек замкнутого
профиля — уравнения (8.33).
Как обычно в случае оболочек открытого профиля, полагая
Ф. = Сжв-э (Ся = const), (8.52)
а в случае оболочек замкнутого профиля
^ = CJ^ (Cm = const), (8.53)
из уравнений (8.5) и (8.33) получим следующие характеристичес-
характеристические уравнения восьмого порядка:
з1 + АЛ + А^ + АА + А* = 0> (8-54>
pi+ад.+ад.+ад,+я4=о, <8-55>

278 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
где для коэффициентов А. и Bt имеем в случае оболочек откры-
открытого профиля
л fV
Л1 р
в случае оболочек замкнутого профиля
(8.56)
Очевидно, вид функций фт как в случае открытых, так и в слу-
случае замкнутых оболочек зависит от корней соответствующих ха-
характеристических уравнений (8.54) и (8.55).
Из-за сложной структуры коэффициентов характеристических
уравнений (8.54) и (8.55) их корни, вообще говоря, не могут быть
определены в замкнутой форме. Лишь в некоторых частных слу-
случаях, когда между коэффициентами имеются определенные связи
требуемого типа, корни характеристических уравнений могут
быть получены точно в замкнутой форме. В иных частных случаях,
используя определенные соотношения между коэффициентами,
корни характеристических уравнений можно определить анали-
аналитически каким-либо приближенным методом. Однако в общем слу-
случае целесообразно корни характеристических уравнений опреде-
определять численно и весь последующий расчет вести в числах.
В реальных задачах анизотропных слоистых оболочек имеем
большое многообразие коэффициентов А{ и Во в силу чего
то же имеет место и для корней характеристических уравнений
(8.54), (8.55). В связи с этим ясно, что для дифференциальных
уравнений (8.5) и (8.33) будем иметь решения различных типов.
Это многообразие решений уравнений (8.5), (8.33) здесь не рас-
рассматривается. Однако в каждом частном случае решения уравнений
(8.5) и (8.33) могут быть построены обычным образом. При этом весь
ход расчета рассматриваемой анизотропной оболочки, по сути дела,
совпадает с ходом расчета соответствующей изотропной оболочки.
§ 9. Осесимметричная деформация круговой замкнутой
цилиндрической оболочки в общем случае анизотропии.
Два примера расчета круговой цилиндрической оболочки
в общем случае анизотропии
Теория осесимметричной деформации замкнутой круговой ци-
цилиндрической оболочки, когда в каждой точке оболочки имеется
лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная срединной
поверхности оболочки, изложена в п. 3 § 1 гл. I.

§ 9] ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ 279
Полагая A =R, т. е. считая, что координата a=s является без-
безразмерной, и для краткости записи принимая X=Y==0, перепи-
перепишем разрешающее уравнение A.3.36) следующим образом:
где
пш1 А? '
(9.1)
(9.2)
Тогда, согласно A.3.35) и A.3.38), для внутренних сил и
моментов получим
2| » |
ЛЗ"
°1 "Г
- 6
'26)
Ж
w —
3Д2
ht
A2
jj
^66 (^12^16 —
Ш1 6Д2
П 1\
ЗД2
СиСж\ А2_ d*w ,r ЪГ- j-
>R2 Wo2 "Г°66 9П"°2'
1— со,
6ЛЗ
h"-
12ДЗ
y . ^66 (^12^16 ~ CnCie) fe2
2 coj 6ЛЗ
_г Л fe2 cnc66\ A2 <гзш
16V ЗД2 Ш1 /12ЛЗ da3
(9.4)
(9.5)
(9.6)

280 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
и, наконец, для тангенциальных перемещений u(s), v(s)
и =
(9.7)
)
где 6f — постоянные интегрирования.
Общий интеграл разрешающего уравнения (9.1) имеет вид
w = е~а' (С1 sin ps + С2 cos 0s) + е+0* (С3 sin 3S -(- С4 cos 3S) -f uf, (9.8)
где
P=|/
y/n+
(9.9)
Здесь С,. — тоже постоянные интегрирования, которые опре-
определяются из граничных условий на торцах оболочки, w* — ча-
частное решение уравнения (9.1) с грузовым членом -тг—
Согласно (9. 8) имеем также
-j- = е~ад [— (aCj -J- pC2) sin Ps -f- (PCX — aC2) cos
-f e" [(aC, — pC4) sin ps -f (aC4 + pC3) cos 3s] + ^,
+ (a2C2 — 2apC1 — p2C2) cos ps] + e" |(a2C3 — 2яЗС4 —
— P2C3) sin Ps + (a2C4 -f 2a3C3 — P2C4) cos 3s] + ^-,
3a^Cl + 33Q sin p* +
+ (—a3C2 + За^С1! + 3ap«C, — P'CJ cos ps] -f
+ еад [(a3C3 — За2рС4 — 3a32C3 + p3C4) sin ps +
pC3 - 3a3^C4 - p3C3) cos 3S] +
sin Ps-
cos
e" [(aC3 + pC4) sin ps + (aC4 — pC3) cos ps]} + J

i 9] ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ 281
Приведенного выше достаточно для решения многочисленных
задач осесимметричной деформации круговой цилиндрической
оболочки в общем случае анизотропии ее материала.
Два примера расчета круговой цилинд-
цилиндрической оболочки в общем случае анизо-
анизотропии. Здесь будут рассмотрены два примера осесимметрич-
осесимметричной деформации круговой цилиндрической оболочки, когда в каж-
каждой точке оболочки имеется лишь
одна плоскость упругой симмет- 1^
рии, параллельная срединной по-
поверхности оболочки. ( Л{
1. Бесконечно длинная цилинд- ^—
рическая оболочка с радиусом кри-
кривизны В нагружена силами, равно-
равномерно распределенными по окруж И
ности поперечного сечения *=0
(рис. 51). Интенсивность Рис- 51*
нагрузки равна q кГ/см.
Рассмотрим часть оболочки справа от загруженного сечения.
Ясно, что здесь Z=0.
В сечении оболочки s=0, очевидно, будем иметь
ds ' ' ' г 2 * \ ¦ /
Очевидно также, что в бесконечно удаленных сечениях оболочки
(s=oo) нормальное перемещение w и напряжения о,, о , х,9 обра-
обращаются в нули.
Удовлетворяя условиям в бесконечности, для некоторых по-
постоянных интегрирования, входящих в (9.4)—(9.8), получим
В силу этого, а также условия Z=0 разрешающее уравнение (9.1)
становится однородным и частное решение w* (s), входящее в об-
общее решение (9.8), обращается в нуль.
Удовлетворяя условиям (9.10), для оставшихся неопределен-
неопределенными постоянных интегрирования получим следующие значения:
П л г.
Ч—г» °з —
» — ^-12^66
(9.12)
где
К — -

282 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
Согласно (9.11)—(9.13) из (9.4)—(9.8) получим для внутрен-
внутренних сил и моментов, а также трех перемещений следующие выра-
выражения:
w
а=
=kU- sinBs + icosBs)^", (9.14)
у sin pg _ 2 cos
Sin Bs - 2 cos
J a2 + P2
x(jsinBs—^-cosBs^e-0", (9.17)
^(| sin ps + l
X (|- sin Bs—I cos Bs)e-a', (9.18)
(f sin Bs "I cos Ps) e"ae. (9-19)
^(i. sin ps + Icos
X (j sin Ps—y cos Bs^e-ae, (9.20)
A sin Bs +| cos ps) e— -
X D- sin ps—-i- cos Bs) e*018, (9.21)

§9] ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ 283
1
6ДЗ
X (j sin Ps — -^ cos $s)e-", (9.22)
X
in p» -f 2 cos p»)е-ад, (9.23)
sin
\
x
^! sin p» + 2 cos ps) e""8. (9.24)
В частном случае ортотропной оболочки, когда главные направ-
направления упругости материала оболочки совпадают с координатными
линиями, как известно, имеем С16=0, С26=0; тогда из (9.2), (9.3),
(9.9), (9.13) получим
m=0, a2 = a*=p» = y^A/, ^ пвб. 1
( *
Далее, из (9.14)—(9.24) для расчетных величин получим
ранее приведенные представления, которые в принятых здесь
обозначениях запишутся следующим образом:
и =
¦'П
g-a0» COS
(sin a0
cos
= ""^n 1Ш Koao (sin aos — cos aos) e~v'
cos
(9.26)
Сравнивая формулы (9.14)—(9.24) с формулами (9.26), за-
замечаем, что, в отличие от ортотропных оболочек, в общем случае
анизотропии внутренние силы 512, 521 и N2, крутящий момент Н
и тангенциальное перемещение v не превращаются в нуль. Таким

284 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
образом, несмотря на полную осевую симметрию задачи, круго-
круговая цилиндрическая оболочка в общем случае анизотропии под
действием симметричной, нормально приложенной нагрузки пре-
претерпевает деформации кручения и сдвига.
В общем случае несколько изменяется также и картина распро-
распространения краевого эффекта. Исходя из решения (9.14) и посту-
поступая точно так, как в § 5 настоящей главы, для определения длины
s* зоны распространения краевого эффекта получим
s* = -^L-. (9-27)
Эта формула показывает, что величина зоны распространения
краевого эффекта существенным образом зависит как от геометри-
геометрических, так и от физико-механических характеристик материала
оболочки. Сравнивая формулу (9.27) с формулой E.3), представ-
представляющей величину зоны распространения краевого эффекта в ор-
тотропной оболочке, замечаем, что s* в общем случае существен-
существенным образом зависит от величины и знака параметра т; в частности,
при т=0 получим известный результат для ортотропной
оболочки E.3) (при сравнении следует вспомнить, что здесь s*
представляет безразмерную координату).
2. Круговая цилиндрическая оболочка конечной длины I на-
находится под действием внешней нормально приложенной нагрузки
Z=p(s) (X=T=0). Пусть оболочка свободно
оперта по торцам (s=0, s=l/R), т. е. и м е е м сле-
следующие граничные условия:
при s = О
при s = ijR
(9.28)
Решение разрешающего уравнения (9.1), которое записыва-
записывается следующим образом:
f С26Ь2), (9.29)
ищем в виде бесконечного тригонометрического ряда
(9.30)
где /fc — неизвестные постоянные, которые могут быть определены

§ 9] ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ 285
из условия удовлетворения разрешающему уравнению (9.29).
Нетрудно видеть, что граничные условия (9.28) будут удовлет-
удовлетворены, если положить fex=0, Ь2=0.
Учитывая сказанное выше, разложим правую часть уравне-
уравнения (9.29) в ряд типа (9.30):
где
2Л
Л4
VR
к=1
kizR
ds.
(9.31)
(9.32)
Подставляя значения w из (9.30) и R*p/Dn из (9.31) в разре-
разрешающее уравнение (9.29) (Ь1=0, Ь2=0), получим для искомых
постоянных fk следующее выражение:
(9.33)
D» l\~) ~2т{-г) +п\
Наконец, согласно (9.30) и (9.33) искомая функция
w=
ккВ.
рк sin —j— s
(9.34)
Имея значение и>, нетрудно с помощью формул (9.4)—(9.7)
определить все расчетные величины задачи:
2
е _
12""
sin —т— s —
I
*=i
V ^п
.
fc=i
s>
n2i~?rsin~r
S,
(9.35)

286 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК 1ГЛ II
fc=l
Pv. . knR -
Ш*0П А Д* Sln-J~s'
l# _
2
6Z)
n
*=1
fc=l
ft
П —
P*
*•=!
(9.35)
.
knR
COS ; S
knR
COS —j— S
kizR
ft=l
(9.36)
В этих формулах принято
' + n. (9.37)
Приведенные здесь формулы, как и любые расчетные формулы
анизотропных слоистых оболочек, позволяют решать многочислен-
многочисленные задачи оптимального проектирования оболочек.
Пусть, например, оболочка изготовлена из ортотропного ма-
материала так, что главные направления упругости материала не
совпадают с направлениями координатных линий s и &. В част-
частности, пусть в каждой точке оболочки главное направление уп-
упругости 1—1 составляет с координатной линией s угол <р (рис. 52).
Если теперь через В(ъ. обозначить упругие постоянные по главным
направлениям упругости материала оболочки, то для упругих

§ 9] ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ 287
постоянных В(к в исходной системе координат s, & получим извест-
известные формулы A.1.42):
Вп = В'п cos* ср + 2 (В'12 + 2B'ee) sin2 <р cos2 cp -f B'22 sin4 «p,
#22 = вп sin4 «р + 2 (В'12 + 2B'J sin2 cp cos2 <p + Я22 cos* <p,
#66=#;0+\Bn+#;2 - 2 (#;2+25^1 sin2 7 COs^,
— В'п
. = y [#22 cos2 ? — #11 sin2 cp —
(9.38)
Учитывая, что в случае однородной оболочки Cik=hBik, из
(9.2) получим
n = ¦
— #Ь) #66 ~Ь
#п(#п#бб-#?в)
(9.39)
Подставляя значения Bik из (9.38) в (9.39) и далее в расчет-
расчетные формулы (9.34) —(9.36) и учитывая (9.37),
получим формулы типа
(9.40) А
с помощью которых можно определить тре-
требуемые оптимальные параметры оболочки.
Для примера рассмотрим характер из-
изменения нормального перемещения централь-
центрального поперечного сечения оболочки (s=l/2R) I
в зависимости от угла ориентации матери-
материала ср. Ради простоты вычислений примем
= g!sin-r-, k=l;
(9.41)
Рис. 52.
тогда для w получим
w = flSm^-s, (9.42)
где для стрелы прогиба оболочки/! имеем следующее выражение
(9.43)

288
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
Согласно представлению (9.40) для /t будем иметь
' 4
(9.44)
Очевидно, в общем случае из (9.44) нет возможности найти фор-
формулу для определения угла <?, т. е. ту ориентацию материала обо-
оболочки, при которой /х будет оптимальным. Поэтому значение F
определим для конкретного материала и для некоторых значений
угла <?.
Рассмотрим стеклопластик КАСТ-В со следующими парамет-
параметрами:
Е1 = 2,15-105 кГ/см*,
Е2 = 1,234О5 кГ/см\
G12 = 0,21.10s кГ/см2,
v2 = 0,ll, v1 = 0,19.
Напомним, что для B'ik имеем следующие формулы:
В' —
12
12 1 —
BW = G12-
Пусть имеем также i?/A=100, l/R=r..
В таблице 2 приведены значения F • 103 для пяти значений
угла <?.
Рассматривая приведенные результаты, замечаем, что, меняя
ориентацию материала оболочки, можно существенно изменять
Таблица 2
<р
/"•103
0°
0,811
30°
1,345
45°
2,090
60°
1,172
90°
0,465
величину прогиба оболочки. В частности, максимальный прогиб
получаем при <р=45°, а минимальный — при <р = 90°.
Конечно, полученные здесь результаты относятся к частному
виду нагружения (9.41) и к частному типу материала. Однако,
несмотря на это, легко сообразить, что, меняя характер анизо-

§ 10] ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ 289
тропии материала, мы можем найти оптимальные оболочки с тре-
требуемой точки зрения. Например, если в рассматриваемом случае
требуются оболочки максимального прогиба, то взятый материал
(КАСТ-В) необходимо ориентировать так, чтобы угол <р был бли-
близок к 45е.
§ 10. О возможности построения
напряженно-деформированного состояния
цилиндрической оболочки с помощью приближенных уравнений
Здесь, исходя из основных уравнений теории однородных ор-
тотропных оболочек, попытаемся сформулировать некоторые
приближенные теории расчета цилиндрических оболочек, изго-
изготовленных как из изотропного, так и анизотропного материалов.
В теории цилиндрических оболочек приближенные методы рас-
расчета основаны на тех или иных упрощающих предположениях, вы-
выбор которых в основном обусловливается соотношениями размеров
срединной поверхности и механическими характеристиками ма-
материала оболочки; последние, конечно, в случае изотропных обо-
оболочек не играют существенной роли.
Из всех приближенных теорий расчета изотропных цилиндри-
цилиндрических оболочек особое место занимают теории длинных цилиндри-
цилиндрических оболочек, в основе которых лежат следующие гипотезы:
а) гипотеза об отсутствии продольных изгибающих моментов
(Mi~0);
б) гипотеза об отсутствии деформаций удлинения срединной
поверхности оболочки по поперечным линиям а=const (е2«Ю);
в) гипотеза об отсутствии крутящих моментов (//12=//21=//яй
«0);
г) гипотеза об отсутствии сдвигов срединной поверхности обо-
оболочки (шлЮ).
Наряду с приведенными, интересны также следующие пред-
предположения:
д) гипотеза об отсутствии поперечных изгибающих моментов
(М2^0);
е) гипотеза об отсутствии деформаций удлинения срединной
поверхности оболочки по продольным линиям p=const (e^O).
Обе эти гипотезы могут служить основой для построения уп-
упрощенной теории существенно коротких цилиндрических оболочек.
Для большей наглядности и ради краткости будем строить при-
приближенные теории для однослойных изотропных оболочек, для ко-
которых величины однотипных жесткостей имеют одинаковый по-
порядок. Полученные результаты легко могут быть обобщены на
некоторые случаи ортотропных оболочек.
В основу дальнейших рассуждений положим техническую тео-
теорию ортотропных цилиндрических оболочек.
19 С. А. Амбарцумян

290
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
Полагая A=B=i, Ble=Bze—0, из A.3.28) получим следую-
следующее исходное разрешающее уравнение для ортотропной оболочки
для случая, когда главные направления упругости совпадают с ко-
координатными линиями оболочки:
д*ф
Р **._j_ Р
1 А*8 1" *3
где, согласно A.3.21), имеем
д8ф
i р д8ф |
4 ' * д*ШЪ '
^11^22
г^Ш + Тп^г^2' A01)
A0.2)
A0.3)
Через функцию Ф (а, |3) расчетные величины будут опреде-
определяться формулами A.3.29), A.3.30), которые в случае орто-
ортотропной оболочки запишутся следующим образом:
1— в
Л
2~~
R
даЩ '
= — 2DR
A0.4)
A0.Г.)
A0.6)
R \ Qo д* dpi Qo
_J_
R
где для линейного оператора L2 имеем
Г (A W.?ii^-4_f-J о С»
да* др~

10]
ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
291
Наконец, для полноты картины приведем также значения же-
сткостей оболочки:
Ят С1 Ii \
„
12
12 1 — VjV2 1 —
« 12(l-v1v2) '
12
A0.8)
2— 12A_ viv2) 12A- v2v2) ' «в
Приведенных здесь результатов вполне достаточно, чтобы, ис-
исходя из теории ортотропных оболочек, построить различные тео-
теории изотропных оболочек, базирующиеся на рассмотренных выше
гипотезах.
1. Построение разрешающих уравнений различных теорий
расчета изотропных оболочек. Для простоты будем полагать
vx=v2=O. Тогда из формул A0.6) и A0.7) получим для жесткостей
изотропной оболочки (Е1=Ег=Е, GXi=E/2) следующие выражения
\
Сп = С22 = Eh, C6&z=-j Eh, C12 = О,
A0.9)
В силу A0.9) из A0.2) для коэффициентов разрешающего
уравнения Р. в общем случае изотропной оболочки (без дополни-
дополнительных гипотез) получим
P1 = P2=Y2"¦ > "з~ ="з"" ' 5—"г""¦ • A0.10)
Учитывая это, из A0.1), A0.4)—A0.7) получим известное
разрешающее уравнение и расчетные формулы технической тео-
теории изотропной цилиндрической оболочки:
12
A0.11)
1 ~^Я" да?>
2 = ^~д^
R
_ 1 1
Eh R да dp '
д
A0.12)
19*

292 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. IX
где
В последующем, вне зависимости от принятых гипотез, расчет-
расчетные формулы A0.12) будем считать неизменными, т. е. будем
считать, что для всех рассматриваемых приближенных теорий
формулы расчетных величин имеют вид A0.12). Такая непоследо-
непоследовательность в данном случае может быть оправдана тем, что в об-
общем случае реально существующих оболочек нет «нулевых» внут-
внутренних сил, моментов и деформаций, а есть силы, моменты и де-
деформации, которые пренебрежимо малы по сравнению с другими
силами, моментами и деформациями.
Таким образом, приведенные выше гипотезы об отсутствии той
или иной геометрической или статической величины, в основном,
должны быть учтены и использованы лишь при построении разре-
разрешающего уравнения.
Учитывая сказанное выше, для каждого рассматриваемого
приближенного случая следует построить лишь основное разре-
разрешающее уравнение, которое, кстати сказать, будучи приближен-
приближенным с точки зрения изотропной оболочки (все однотипные жест-
жесткости одного порядка), является точным или более точным
уравнением для определенного класса ортотропной оболочки, где
однотипные жесткости могут иметь различные порядки.
Рассмотрим некоторые варианты приближенных разрешающих
уравнений. Сначала посмотрим, какое разрушающее уравнение
соответствует каждой из приведенных выше гипотез.
Случай I. Принимается гипотеза (а), в силу которой на
основании A0.5) в разрешающем уравнении A0.1) наряду
с A0.9) надо положить Du=0. Тогда из A0.2) и A0.3) для коэф-
коэффициентов Pt получим
Р —-О Р — — Р — —
р —-^1 р —?^1
в силу чего для первого приближенного случая получим следующее
разрешающее уравнение:
12
Случай II. Принимается гипотеза (б), в силу которой на
Q
основании A0.9) и A.3.21), учитывая, что з2 = Л22Г2 = -^- Т.г,
надо принимать Си/20 = 0.

§ 10] ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ 293
Далее, поступая так же, как и в первом случае, получим
р _ о р _ hl р _ h2 р _ h2 р _ 5А2
*i — и» *2— 12 ' 3— 6 ' 4 — IT' s — Т2~'
Случай III. Принимается гипотеза (в), в силу которой на
основании A0.5) в разрешающем уравнении A0.1) наряду
с A0.9) надо положить ?вв=0. Тогда из A0.2), A0.3) и A0.1)
получим
р-Л р —*1 р —*1 р —*1 р —*L
J" 12 ' 2"~ 12 ' 3~ 6 ' *'~ 6 ' 5~" 6 '
12 V ^8 "Т" даб д^ ~Г е»2^Э4 """ (^2 ф» ~Г ^8 У ""
Случай IV. Принимается гипотеза (г), в силу которой на
основании A0.9) и A.3.21), учитывая, что u> = A6eS = -^—S, надо
принимать 1/С66 = 0. Тогда, очевидно,
р —^1 р — J^L Р — ^1 Р — ^1 р —^1
*а /^8ф2 I О ^Ф-2 , О <?8Ф2 ¦ о ()8Ф2 ^Ф2\
Случай V. Принимается гипотеза (д), в силу которой на
основании A0.5) в разрешающем уравнении A0.1) наряду с A0.9)
надо положить D22=0. Тогда получим
Р-Jt р _о р —*L p —*L р—^
1— 12 ' 2 — и> ГЪ— з ' 4— 6 ' 5— 12 >
а« /*w3 . , двф3 . 5 т3 . о Д8Ф
12 V ^8 Т- доб^г^ dai^T- <Ь2<
Случай VI. Принимается гипотеза (е), в силу которой
на основании A0.9) и A.3.21), учитывая, что &1=:AuT1^=-^-Tv
надо принимать С22/й = 0. Тогда
JL
Р — — Р =0, Р =— Р =— Р — —

294 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
Полученные разрешающие уравнения попарно совпадают,
а именно совпадают уравнения A0.14) с A0.15), A0.16) с A0.17)
и A0.18) с A0.19). В силу этого мы можем констатировать
важное свойство рассмотренных гипотез: каждой статической
гипотезе соответствует эквивалентная ей геометрическая гипотеза,
которая в разрешающих уравнениях может заменить данную ста-
статическую гипотезу, или, наоборот, каждой геометрической ги-
гипотезе соответствует своя эквивалентная статическая гипотеза,
которая в разрешающих уравнениях может заменить данную гео-
геометрическую гипотезу.
Теперь построим разрешающие уравнения с попарным исполь-
использованием рассмотренных выше гипотез.
Случай VII. Совместно вводятся гипотезы (а) и (б), в силу
которых надо принимать D11=0, Cu/Q0=0. Тогда получим
р _п Р — — Р — 0 Р — — Р — fe2
*i — и> *2— 12 ' 3 — 4— 3 ' 5— 3 '
^ Z
12 V* **¦<$¦ Г* ^2^8 + ^8 ) + R2 dai
Случай VIII. Совместно вводятся гипотезы (д) и (е), в силу
которых надо принимать ZJ2=0, C22/Q0=0. Тогда
Р — hi Р —П Р — Ш Р —п Р — h2
*i — "J2"' 2— ' 3—~3~ ' 4— ' 5 — ~3~ '
Случай IX. Совместно принимаются гипотезы (в) и (г),
в силу которых Dee=0, l/C66=0. Тогда
р .*! р _^1 р—о р о р ——
*1— 12 ' 2— 12 ' 3— ' 4— ' 5— 6 '
Наконец, рассмотрим еще два варианта приближенной теории,
построенных на основании совместного применения четырех ги-
гипотез в каждом варианте.
Случай X. Совместно принимаются гипотезы (а), (б),
(в), (г), в силу которых Dn=0, De6=0, Cn/Q0=0, 1/С66=0. Тогда
получим
12

§ 10] ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ 295
Случай XI. Совместно принимаются гипотезы (в), (г), (д),
(е), в силу которых Я22=0, Я66=0, C22/Q0=0, 1/С66=0. Тогда по-
получим
12 йа8 +^2^
Таким образом, здесь, исходя из единых позиций теории ани-
анизотропных оболочек, рассмотрено одиннадцать вариантов приб-
приближенных теорий изотропных оболочек и получено восемь типов
разрешающих уравнений, которыми приближенно может быть
описано напряженное состояние
цилиндрической оболочки.
Эти уравнения важны с точки
зрения приближений и должны
быть подробно исследованы для
установления пределов их приме-
применимости.
2. Несколько слов о пределах
применимости полученных разре-
разрешающих уравнений. Вопросы оп-
определения пределов применимости Рис. 53.
полученных выше приближенных
разрешающих уравнений весьма
интересны и требуют специальных исследований. Для некото-
некоторых из них такие исследования имеются, и пределы примени-
применимости этих уравнений установлены в достаточно общем виде.
Здесь мы укажем некоторые пределы применимости полученных
разрешающих уравнений в случае пологих (b/R ^ 0,5) цилиндри-
цилиндрических оболочек при достаточно плавно изменяющейся поверхност-
поверхностной нагрузке (рис. 53).
Предлагаемые здесь пределы применимости установлены на
основании численного анализа решений рассмотренных прибли-
приближенных уравнений. При этом используются также положения,
установленные на основании общих аналитических соображений.
Однако, несмотря на это, установленные здесь пределы примени-
применимости носят несколько условный характер, так как практически
невозможно охватить все многообразие факторов, которые влияют
на них. В частности, трудно охватить все возможные варианты гра-
граничных условий, внешней нагрузки, относительной толщины обо-
оболочки и др., которые влияют друг на друга и в процессе взаимного
влияния существенно могут изменить напряженное состояние обо-
оболочки.
Рассмотренные здесь приближенные разрешающие уравнения
получены с помощью дополнительных предположений, которые

296 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
делятся на три группы. В первую группу входят гипотезы (а)
и (б), которые как совместно так и в отдельности применимы для
построения приближенных теорий длинных оболочек (уравнения
A0.14), A0.15), A0.20)) с отношением сторон а/Ь > 2,0. Во вто-
вторую группу входят гипотезы (д) и (е), которые как совместно, так
и в отдельности применимы для построения приближенных тео-
теорий коротких оболочек (уравнения A0.18), A0.19), A0.21)) с от-
отношением сторон а/Ь ^ 0,5. В третью группу входят гипотезы
(в) и (г), которые как совместно, так и в отдельности, применимы
для построения приближенных теорий как существенно длинных
оболочек, с отношением сторон а/Ь ^ 5, так и существенно ко-
коротких оболочек, с отношением сторон a/b ^ 0,2 (уравнения
A0.16), A0.17), A0.22)).
Особое место занимают уравнения A0.23) и A0.24), каждое
из которых является наиболее простым разрешающим уравнением
в теории цилиндрических оболочек. Эти уравнения получены
в итоге применения различных комбинаций четырех гипотез.
Уравнение A0.23) применимо для расчета существенно длинных
оболочек с отношением сторон а/Ь ^> 0,5, а уравнение A0.24) —
для расчета существенно коротких оболочек с отношением сторон
а/Ь < 0,2.
Не надо забывать, что в случае весьма длинных и весьма ко-
коротких оболочек классическая теория может оказаться неприемле-
неприемлемой вообще. Очевидно, в этих случаях непригодными становятся
все приведенные выше уравнения A0.11)—A0.24).
С уменьшением пологости оболочки пределы применимости
указанных гипотез существенно расширяются, и уже при b/R >
> 2 эти гипотезы с достаточно высокой точностью становятся прием-
приемлемыми при большом диапазоне изменения отношения а/Ь. На-
Например, гипотеза (а) уже может быть использована для построения
уравнения «длинных» оболочек с отношением сторон а/Ь ^ 0,5,
гипотеза (д) — для расчета «коротких» оболочек с отношением
сторон а/Ь ^ 2,0, а гипотеза (в) становится приемлемой для рас-
расчета оболочек с отношением сторон 0,3 ^ a/b ^ 3,0.
Расширение пределов применимости рассмотренных выше ги-
гипотез с уменьшением пологости оболочки объясняется тем, что
на общее напряженное состояние оболочки существенным обра-
образом начинают влиять члены разрешающих уравнений, отражаю-
отражающие безмоментное напряженное состояние оболочки, на кото-
которое рассмотренные гипотезы не влияют или влияют незначи-
незначительно.
Таким же образом можно поступать при рассмотрении прибли-
приближенных уравнений теории анизотропных слоистых оболочек;
однако при этом серьезное внимание следует обратить не только
на геометрию оболочки, в частности на отношение сторон а/Ь, но
и на отношения упругих характеристик материала оболочки.

§ 11] ТЕОРИЯ ВЕСЬМА ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК 297
При рассмотрении изотропных оболочек, несмотря на то
что коэффициенты разрешающих уравнений Pt примерно одного
порядка, мы, руководствуясь чисто геометрическими соображе-
соображениями, можем некоторые из них полагать равными нулю. В слу-
случае анизотропных оболочек с аналогичными геометрическими ха-
характеристиками это можно делать с еще большим успехом.
Например, если в длинных изотропных оболочках (случай X)
можно принять P1=P3=Pi=Pb=0, то в длинных анизотропных
оболочках это тем более можно сделать, если Рг больше указан-
указанных выше коэффициентов Р(. Такие примеры элементарны.
В тех же случаях, когда из геометрических соображений можно
некоторые из коэффициентов Pt положить равными нулю, хотя
они значительно больше, чем оставленные, этот вопрос должен
быть рассмотрен особо.
Очевидно, в случае анизотропных оболочек пределы примени-
применимости рассмотренных здесь гипотез могут как расширяться, так
и сужаться. Вопрос этот вполне разрешимый, но требует громозд-
громоздких исследований.
§ 11. Интегрирование разрешающих уравнений теории
весьма пологих оболочек
Методы интегрирования разрешающих уравнений весьма по-
пологих оболочек в принципе не отличаются от соответствующих
методов, данных для интегрирования соответствующих уравнений
анизотропных цилиндрических
оболочек.
Для иллюстрации рассмот-
рассмотрим некоторые примеры весьма
пологих слоистых оболочек.
1. Шарнирно опертая по
всему контуру ортотропная слои-
слоистая оболочка, симметрично со-
собранная относительно средин-
срединной поверхности. Пусть сим-
симметрично собранная из орто-
тропных слоев весьма пологая
оболочка составлена так, что рис> 54.
в каждой точке каждого слоя
главные направления упругости
совпадают с направлениями координатных линий а, р, у. Пусть
оболочка перекрывает прямоугольный план со сторонами а и Ъ
(рис. 54) и несет сосредоточенную в точке (а=х, fi=y) силу Q.
Принимая, что аир являются абсолютными координатами, для
коэффициентов первой квадратичной формы будем иметь
4 = 1, 5 = 1. A1.1)

298
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК 1ХЛ. II
Учитывая, что в случае слоистой симметрично собранной обо-
оболочки, когда координатная поверхность у=0 совпадает со средин-
срединной поверхностью оболочки, жесткости взаимного влияния Kik
равны нулю, из A.14.41), согласно A.14.29) и A1.1), получим
следующее разрешающее уравнение рассматриваемой задачи:
Й8Ф
1 да* ""
3 йав(?р
"Г Г5
A1.2)
где, как и в случае цилиндрической оболочки,
Qa
О
М0
A1.3)
Граничные условия будут иметь вид:
при а = 0, а = а и = w = 7\ = М1 = 0;
при р = 0, р = 6 м = »=Г2 = Ж2=0.
Этим условиям удовлетворим, представляя искомую функцию
Ф (а, р) в виде
где Ати — искомые коэффициенты.
Сосредоточенную силу Q, приложенную в точке (а=#, P=y),
тоже представим в виде аналогичного тригонометрического ряда:
где, очевидно,
40 . тпх . /ту
ab а Ь
A1.7)
Подствляя значения Ф и Z соответственно из A1.5) и A1.6)
в разрешающее уравнение A1.2), после некоторых преобразова-
преобразований получим
Ф = х~5 7, 7 а—sin sin-г2-sin — sin-г-, A1.8)
ab n& jLJ jU ДОТп a b a b ' ч '

§ llj ТЕОРИЯ ВЕСЬМА ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК 299
где
Дтв = Р^8 -f- Р3тепЧ? -f- Рвт*п*\* -f- Р4те2и6Х6 -f- Р2п8'к8 -f
+ ^(Щт* + ikJtzmWK + Щг?\% X = -i. A1.9)
Из A.14.40), в силу A.14.36) и A1.8), получим для нормаль-
нормального перемещения следующее выражение:
w = t~i У, y.-r^sm sin-—sin sin-r5-, A1.10)
ab ni ^ ^ \mn a b a b ' v '
где
2o = CnC22-Cf2. A1.12)
Далее из A.14.39), согласно A.14.40), A1.8) и A1.10),
с учетом Kik=0, (I.14.23) и A.14.36), получим для напряжений
в слоях следующие формулы:
Х
X п- \ п- b-, A1.13)
ткх ппу тъа
sin sm —r- sin —— sin
;я} x
witi/ ттео гатф
sin —-r- sin —t— sin sin —j—
x f ?L 1 L, A1.14)
2 2 [S ?
X д~ sln ~ Sln ~T cos T~ cos a •
"mn
Рассматривая полученные здесь формулы как функции влия-
влияния, легко получить расчетные формулы рассматриваемой здесь
оболочки для других случаев загружения оболочки нормально
приложенной нагрузкой. Например, в случае равномерно распре-
распределенной нагрузки с интенсивностью q, подставляя вместо Q

300 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
выражение q скс dy и интегрируя по всей загруженной поверхности
оболочки, получим следующие расчетные формулы:
w = V- У У—f^sln sin-r-. A1.16)
. ШИН . flivQ /АЛ Л П\
5in -j- sm -J-, A1.17)
~ тA™.fcco'4~cos~/ A1Л9)
(/га=1, 3, 5,. . .; га=1, 3, 5,. . .)•
Решим пример. Рассмотрим свободно опертую по всему контуру
слоистую оболочку двоякой кривизны, перекрывающую прямо-
прямоугольный план (aXb). Пусть оболочка составлена из изотропных
слоев, коэффициенты Пуассона которых принимаются равными
нулю^О). Тогда всилуE), A3), A.10.9) из A.10.16) иAЛ0.17)
получим для жесткостей симметрично собранной изотропной обо-
оболочки
С = Си = С22 — *~> J2 ~Г ^66 ==
\^А A1-20)
,=1

§ 11] ТЕОРИЯ ВЕСЬМА ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК 301
2 Г
J
3^1 (vm+
Таким образом, из (И. 10) и (И. 16) для нормального перемеще-
перемещения оболочки, когда она загружена сосредоточенной силой —Q,
приложенной в центре оболочки (х=а/2, у=Ъ/2), и в случае,
когда оболочка нагружена равномерно распределенной нагруз-
нагрузкой с интенсивностью —q, получим соответственно
2
1
WQ j.
и
Я L
Далее,
)ab ~i ?i ^|
Dn« Zi -Zlf
m n (
используя
(m2 + X2
(m2+X2W2J
(m2 + t,
тождество
«2J
тт.
sin —
.-«2J si
. nn .
sin -g- sin
q4
Г 4 (л-2?№ -
u a sin
1
TOTla . лтер
|- ^«2X2J
b
— -(^m2 + ^n2/2J
2 + Х2„2L + — -^ (^m2
получим из (И. 26) и (И. 27) для нормальных перемещений обо-
оболочки Wq и wg следующие выражения:
«4. = ^*К-4), wf = ^K-<). A1-29)
где
пте ттся и тер
4=422
m я
пи mi miw
— Sin Т Si" ~V

302
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
m
n
miza
- kx re2 2)
M7tS
sin~b~
a
A1.32)
A1.33)
. A1.34)
Первые члены в формулах (И. 29) представляют прогибы
соответственно нагруженных прямоугольных (axb) изотропных
пластинок с жесткостью D. Вторые же члены дают поправки,
обусловленные кривизной срединной поверхности оболочки. Зна-
Значения первых членов могут быть
заимствованы из известных таблиц,
—~~^ составленных для расчета прямо-
tJl^\ i i^^v, угольных изотропных пластинок.
\ I I | Что же касается вторых членов, то
они вычисляются при помощи доста-
достаточно быстро сходящихся рядов,
сходимость которых существенно
быстрее сходимости рядов, входящих
в формулы A1.26) и A1.27).
2. Многослойная сферическая
оболочка под действием сосредото-
сосредоточенной силы. Рассмотрим много-
многослойную изотропную сферическую
оболочку, находящуюся под дейст-
действием радиаль'ной сосредоточенной
силы Q, приложенной в произволь-
произвольной точке (а0, р0) координатной по-
поверхности Yi=0 (рис. 55). Очевидно,
поставленная задача может быть решена на основании резуль-
результатов, изложенных в п. 3 § 14 гл. I.
Введем безразмерные координаты a, p, fii которые с поляр-
полярными координатами г, & и координатой т (см. гл. I, § 14, п. 3)
связаны зависимостями
Рис. 55.
a = кг, р = &, 7i =
A1.35)
Коэффициент к, с помощью которого вводятся безразмерные
координаты, имеет вид
№\(D — DO) С
A1.3В)

§ 11]
ТЕОРИЯ ВЕСЬМА ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
303
где, как и раньше (рис. 33, 34),
1 VI *
d=t 2лв К°« — 8«-i) — dA (s^ — 8?-i) + зд (в. — 8«-i
-I-:). (И.37)
A1.38)
в=1
1 ^i
A1.39)
по
и —
Согласно A1.35) система разрешающих уравнений A.14.62)
примет вид
—-i- Vu; = 0,
где
V=—+-—+ —— A141)
Оа2 ' j i)a ' a' dfi2 ' v '
а также, наряду с A1.39),
»12 = (СЛ]2—С]ол)/а2. A1.4Z)
Далее в выбранной безразмерной системе координат из
A.14.54), A.14.58) и A.14.60) получим для внутренних сил
и моментов следующие выражения:
Ма = —(D —
A1.43)

304 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. И
N« = ~k?^ № ~Щ*>- <*»?
A1.44)
A1.45)
где, наконец, наряду с A1.37)—A1.42), имеем также
)?2 = [2ККЫС - С12 (К* + *?,
(8« - 8~) -2А (8« -
тп-^-п
ш+1
=4- 2 5«et(8« ~ 8-i) ~зд C- ~ ^
A1.46)
Очевидно, во всех формулах A1.3)—A1.42), A1.46) имеем
также известные представления
Л % = SB\ В*=- L
1- ' bo .
В*=
1 — (v'J '
2(l+v')#
Сосредоточенную радиальную нагрузку Q представим с по-
помощью 8-функции Дирака:
ZD, P) = ^8(K-ao, р_-рл). (Ц.47)
Частное решение системы уравнений A1. 40), отвечающее на-
нагрузке A1. 47), может быть найдено различными способами.
Например: элементарным образом получают решение для случая,
когда сила Q приложена в полюсе сферы, а затем заменой коор-
координат находят частное решение, когда сила Q приложена в произ-
произвольной точке (а0, р0) поверхности сферы; или для этой цели поль-
пользуются методом интегральных преобразований Ханкеля. В итоге
для частного решения, полученного методом преобразования
Ханкеля, получим
P)
A1.48)

§ 11]
где
ТЕОРИЯ ВЕСЬМА ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
305
_ 2аа() COS (Р - Р„), I = \/—1
/ {D-D») dl2
A1.49)
Ko — модифицированная функция Бесселя второго рода.
Применяя к представлениям A1.48) теорему сложения цилиндри-
цилиндрических функций нулевого порядка, с учетом A1.49) получим для
частного решения:
при а < а0
я=0
со
)=1г2хЛ
я=0
при а > а0
со
' = 4 2^
. К) <?„ (а) + Тп К) F, (а)] cos п (Р - р.,).
A1.51)
(а)] cos /i (p - ft,),
я=0
A1.52)
где введены следующие обозначения:
A1.53)
здесь /в — модицифированная функция Бесселя первого рода.
В формулах A1.51) и A1.52) для коэффициента \ имеем: \,= 1/2
при п=0; Хя=1 при п > 0.
Общее решение однородной системы уравнений A1.40) (при
Z (а, р)=0) запишем в форме
с»
ц;'(я, Р)= 2tc'iA(a
»;=0
n {a
а) р), A1.54)
(а, р). A1.55)
20 С- А. Амбарцумян

306 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
Здесь гармонические функции Ф (а, р) и f (i, |3) имеют вид
Ф (а, р) = а0 + b0 In ос + 2 (а„ай + 6,а-) cos в (Р - р0),
я=1
Ф (а, р) = Сд + doln а + 2 {су + Й„О cos п (р - р0),
A1.56)
где ап, bn, cn, dn — действительные постоянные коэффициенты.
Постоянные интегрирования, входящие в решение однородной
системы уравнений A1. 54), A1. 55), в зонах оболочки а < а„,
и а > а0 принимают различные значения. Для четкости последую-
последующих рассуждений постоянные интегрирования, относящиеся к зоне
а < а0, пометим звездочкой, т. е. положим:
при а<а0 С\п, С\п, С*3п, С*я, ая, b*n, c*n, d"n;
при а>а0 С1я, C2tt, C3n, Cin, an, Ь„, с„, dn.
Поскольку мы рассматриваем сплошную сферическую оболочку,
т. е. оболочку с полюсом, то, очевидно, в полюсе оболочки моменты,
силы и перемещения должны иметь конечные значения. Для удов-
удовлетворения этим условиям необходимо положить
C'Sn = C\n = b"n^d'n = Q, A1.57)
так как при а. -»¦ 0 функции Sn (а.) -»¦ оо и Тп (а) -»¦ оо.
Таким образом, в случае оболочки с полюсом определению под-
подлежат четыре группы констант типа C*ik (т. е. в зоне а < а0)
и восемь групп констант типа Cik (т. е. в зоне а > а0). (В случае
отсутствия полюса, когда имеем сферический пояс, в обеих зонах
определению подлежит по восемь групп постоянных интегриро-
интегрирования).
За исключением перерезывающей силы Na, которая при пере-
переходе через окружность а = «0 претерпевает разрыв вида
со
— N Хя cos (Р —130), расчетные величины оболочки являются непре-
я=0
рывными. Из условий непрерывности расчетных величин оболочки
между постоянными интегрирования устанавливаются следующие
соотношения:

§ 11J ТЕОРИЯ ВЕСЬМА ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК 307
Здесь неопределенными остаются четыре постоянные интегриро-
интегрирования С1п, С2н, ап, ся, которые находятся из граничных условий
на краю а= аг. Постоянная с0 принята равной нулю, так как она
на напряженно-деформированное состояние оболочки не влияет.
При определении A1. 58) и при удовлетворении граничным
условиям необходимо иметь значения тангенциальных перемеще-
перемещений, которые, согласно A.14.50), A.14.51), A.14.54) и A.14.56),
определятся с помощью следующих формул:
Таким образом, поставленная задача решена. Складывая част-
частное решение A1. 51), A1. 52) с общим решением однородной си-
системы A1. 54), A1. 55), получим общее решение системы разре-
разрешающих уравнений A1. 40) в случае, когда на оболочку действует
радиальная сосредоточенная сила Q.
При а <[ а0
w = а 2 \tt[Sn К)Q«(«) + тп К)Fn(ее)
+ ClnFn (a) + C2nQn (a) -f- ay] cos n ф - ро), A1.61)
(со
^KlSn (а0) F.(*)- Тп (од Qn (а) - ClnQn (а) + CinFn (а) +
1я=0
2^(^)соя/|(Р-р0) . A1.62)
При а>а0
= A±\n[Fn (eg Г„ (И) -f- ?>„ (eg 5Я (а) +
я=0
+ ClnFn (а) + C2nQn (а) + а„а»] cos п (р - Ро), A1.63)
сяа»] соя /»(р - pj +1 In « - 2 ^ (?)" cos п (Р - роI. A1.64)
я=1 J
20*

308 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
Напомним, что постоянные интегрирования, входящие в фор-
формулы A1. 61)—A1. 64), определяются из граничных условий
а= ах.
Имея значения w и tp, с помощью формул A1.43)—A1.45),
A1.59), A1.60) можно найти все расчетные величины задачи.
§ 12. Решения некоторых задач анизотропных оболочек
с помощью уточненных теорий
Здесь будет определено напряженно-деформированное состоя-
состояние анизотропных слоистых оболочек при помощи так называе-
называемых уточненных теорий, учитывающих влияние поперечных
деформаций (е , е е^) и напряжений (а т , т.) на общее напря-
напряженно-деформированное состояние оболочки. Эти теории, изло-
изложенные в §§ 6—9 гл. I, приводят задачи теории оболочек к раз-
разрешающим дифференциальным уравнениям, решения которых
отличны от соответствующих решений классической теории и
содержат специфичные особенности, отражающие учет поперечных
деформаций и напряжений в оболочке.
В частности, в тех случаях, когда отношения типа Gi3IEik
или E33/Eik существенно меньше единицы, что зачастую имеет
место в слоистых оболочках, расхождения между результатами
классической теории и уточненных теорий становятся значитель-
значительными. В этих случаях пренебрежение поперечными деформа-
деформациями и напряжениями может привести к существенным погреш-
погрешностям.
Рассматриваемые здесь задачи, как правило, не доводятся
до конца, т. е. до получения окончательных формул всех расчет-
расчетных величин задачи. Нашей целью является выявление некоторых
специфических особенностей напряженно-деформированного со-
состояния оболочки при учете поперечных деформаций и напряже-
напряжений. Однако укажем, что при необходимости в каждом частном
случае нетрудно получить окончательные формулы для расчет-
расчетных величин.
1. Еще раз о распространении краевого эффекта. §§ 5, 7 и 9
настоящей главы были освещены некоторые вопросы распростра-
распространения краевого эффекта в анизотропных слоистых оболочках.
Возвратимся к этому вопросу в связи с теориями, в которых учи-
учитываются эффекты от поперечных деформаций и напряжений.
В качестве иллюстрации рассмотрим пример ортотропной круго-
круговой цилиндрической оболочки с учетом лишь тех уточнений, кото-
которые происходят от поперечных сдвигов.
Из уравнений A.7.56) для осесимметричной деформации
(ф=0, у=0, ср= ?(а), F=F (a), w=w (а)) круговой цилиндриче-

§ 12]
РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
309
ской оболочки (/?!=:», R2=R) получим следующую систему раз-
разрешающих дифференциальных уравнений:
1 &F h? dtp ~
~R da? \2~da '
Cn d^F 1 d^w a
A2.1)
В этом случае, согласно A.7.48), A.7.51), A.7.54), A.7.55),
получим для внутренних сил, моментов и тангенциального пере-
перемещения следующие формулы:
M1 = -
du
da
Qo
A2.2)
A2.3)
Напомним, что в случае однородной ортотропной оболочки
имеем
Еф 1
О Г Г Г2
1 —
^" — 12 A - Vlv2) ' иЪ — 12 A - v
Решение системы A2. 1) имеет вид
12 A
A2.5)
Здесь /?( являются корнями следующего характеристического урав-
уравнения:
l_Aa Q0 1 р2 I Q0 f —О-
A2.6)

310 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
Нетрудно видеть, что
рх = а -(- ib, р2—.а— ib, р3 = —a-\-ib, р4 =—а—'^> A2.7)
где
Vrre + т ,
з,^1 ._ 1 ^o
A2.8)
Заметим, что в рассматриваемых здесь реальных оболочках
п^>т.
Учитывая A2.7) и A2.8), окончательно для искомых функ-
функций получим
«р = ш т^щ, W* (fl2 -b2) - 2С^ ^cos ы +
+ [С2 {а2 — Ъ2) + 2^06] еал sin Ы + 1С3 (а2 — б2) + 2С4аЬ] e"aa cos b* +
(а2 — б2) — 2С3а6] е'"* sin 6a},
сов 6а +6 sin
-f- С2 (a sin 6а — 6 cos 6а)]еа* -\- [Cs (b sin 6а — a cos 6а) —
— С4 F cos 6а -f- a sin Ьа)] е^"} -f- Csa -f- Ce,
1
Ci (а cos &а +^ sin 6а) -(- С2 (a sin 6а — 6 cos 6a)] еа" -)-
-f- [С3 (& sin 6a — a cos 6a) — C4 F cos 6a -f- a sin 6a)J e~aot}.
Имея значения искомых функций, с помощью формул A2.2)
в A2.3) легко определить все расчетные величины задачи. По-
Постоянные интегрирования С( должны быть определены из гранич-
граничных условий на торцах оболочки.
Имея в виду исследование вопроса о распространении краевого
эффекта, рассмотрим полубесконечную оболочку (а=0, а=оо).
Очевидно, в этом случае выражения для искомых функций <р (а),
w (а) и F (а) перепишутся следующим образом:
т = " « {[С (в2 _ ft2\ I 2C a6] cos 6a -f
+ [С4 (a2 — б2) — 2C3a6] sin 6a}, A2.9)
w = -jr^ г- [С3 F sin oa — a cos oa) —
— C4 F CO? 6a + a sin 6a)], A2.10)
—-5— ^^ 1 C-o (b sin 6ct — й cos ool) —
act- a2 -J- 62
— C4 F cos 6a-f-a sin 6a)]. A2.11)

§ 12] РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ 311
Рассматривая формулы A2.9)—A2.11) и учитывая A2.2),
легко сообразить, что скорость затухания краевого эффекта и ве-
величина зоны его распространения определяются показателем а и
частично параметром Ъ. Аналогично классической теории (§§ 5,7),
полагая аа=к (при этом в реальных оболочках решения на-
настолько затухают, что краевыми воздействиями можно пренебречь),
согласно A2.8) получим для величины зоны распространения
краевого эффекта следующее выражение:
**= Г а° =¦ A2.12)
1ТХ?пгАН
Х?пг§пА_Н_
+ 5 hR У CnDn
или в силу A2.4)
„. У Д У 3?2 A - v,v2)
/
1Г{1 ~VlV2)
Отсюда для трансверсально изотропной оболочки B?х = Е2 = Е,
уг = v2 = v, G13 = G') легко получить
10 Я С Г 3A —
L
A2л4>
Наконец, полагая G13=co, G' = oo, т. е. становясь на позиции
классической теории, получим для величины зоны распростране-
распространения краевого эффекта известные формулы:
для ортотропной оболочки
для изотропной оболочки (v = яг)
.' = «Я YJ if==rZ = «д ^5 f зй^Лу. A2-16)
Сравнивая формулы A2.13)—A2.16), замечаем что учет
поперечных сдвигов приводит к увеличению скорости затухания
краевого эффекта и к уменьшению зоны его распространения.
Это явление, как и следовало ожидать, существенным образом за-
зависит от величины отношения типа Ei4/Gi3. Чем больше Eu/Gi3,
тем меньше величина зоны распространения краевого эффекта.

312
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
Явление это в классической теории [см. формулы A2.15) и A2.16)]
не обнаруживается, так как классическая теория безразлична
к отношениям типа Eu/G{3.
2. Свободно опертая по всему контуру весьма пологая транс-
версально изотропная оболочка. Пусть весьма пологая, транс-
версально изотропная, прямоугольная в плане оболочка (рис. 56)
свободно оперта по всему контуру
(а=0, а=а, [3=0, C=6) и не-
несет нормально приложенную на-
нагрузку, распределенную по по-
поверхности оболочки согласно за-
закону
ZTWL . Т&
= Я sin — sin -f-, A2.17)
где q — интенсивность нагрузки
в центре оболочки (а=о/2, р=6/2).
Рис. 56. Предполагается, что в каждой
точке оболочки плоскость изо-
изотропии параллельна срединной поверхности оболочки. Тогда для
упругих постоянных трансверсально изотропного материала обо-
оболочки, очевидно, будем иметь
1 — V-
2 A + v) '
Е
2(l-v) '
A2.18)
Для жесткостей получим следующие формулы:
„ „ Eh ry Eh
С'12—
0 —
= ^22= 12(l-v=)'
Eh?
D
12"
\Е№ г-* | г-* Ь №
'¦ !2 A —V2) ' ^12 ~Г ^66 = 24A —v)
24A +v) '
A2.19)
Поставленную задачу решим с помощью уточненной теории,
которая учитывает явления поперечных сдвигов.
В этом случае, согласно A.7.42), A.7.50), A2.17)—A2.19),
система разрешающих уравнений A.7.56) перепишется следующим

12]
РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
313
образом:
, д-w , , д-io К^ [ да . д<1/\ и . теВ
к, -^-v- + к, -^— -пг -r- + T7-) = ?sin — sin-f-,
2 dot2 ' 1 дл- 12 \да г)Ь J а Ъ '
d*F
1 /^F 2 d*F QiF\
12A—V2)
12 A — V2)
ШсГ
d"v
24A
—v)
A2.20)
"г 24A +v) да"- ~ 24A— v
При этом формулы для определения расчетных величин примут
вид
"г"
120A — v^G'
¦ Ehb /^ , Э?\
"г" 120 A — v2) G' \ dp ' dx)>
Eh3
12A
240A +v)G'
A2.21)
A2.22)
A2.23)
A2.24)
Решение системы A2.20) ищем в форме
, . тих . ий 7, тел иЗ
w = Л sin — sin -?-, ц> = В cos — sin -f-,
a b ' ~ a b
п у-. . iict . ii3 . g-t . Tza Tip
r = D sin — sin -r1, Ф = t sin — cos -f-,
a b ' ~ a b '
A2.25)
где А, В, С, D — постоянные, которые должны быть определены
из условий удовлетворения системе A2.20).

314
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
Принимая A2.25), удовлетворим тем самым условиям свобод-
свободного опирания, а из уравнений A2.20) обычным способом полу-
получим искомые коэффициенты решения:
Б ——— i 1
ah\ \а2 ~ 62 У '
^ Ti2g / тс2 ТС2 у
A2.26)
где
A2.27)
Подставляя значения найденных коэффициентов из A2.26)
в формулы A2.25), найдем все искомые величины задачи.
Имея значения w, <p, ф и F, с помощью формул A2.21)—A2.24)
легко записать формулы для определения расчетных величин задачи:
X
ч л2 ля тсВ
X —г cos — cos -—.
A2.29)
1
62
^ 2 —
аб ( —т + -тт-
Sin Sin -г1-,
а 6 '
cos_Cos-^,
A2.30)

§ 12] РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ 315
7W ТсВ A2.31)
— f
A2'32)
Рассматривая формулы A2.25)—A2.32), замечаем, что, в от-
отличие от классической теории, здесь расчетные формулы сущест-
существенным образом зависят от параметра t*, который в данном случае
представляет явления, связанные с учетом поперечных сдвигов.
Для большей наглядности представим значение нормального
перемещения (а тем самым и коэффициента А, который входит
во все формулы расчетных величин) несколько иначе, а именно:
ii; = u;0(l-f А*), A2.33)
где
ME
,»
120G' A — уз) \дг" + W
7 ^
К*
a w0 — нормальное перемещение, найденное по классической тео-
теории и равное
I 1 \2 па пЗ
_12(l-y2)g *4i" + F7 sinTSin~
' A2.34)
Отсюда, видно, что, изменяя параметр t*, т. е. отношение
E/G', существенным образом можно изменить напряженно-де-
напряженно-деформированное состояние оболочки.
Рассматривая полученные здесь результаты, замечаем, что
классическая теория анизотропных оболочек, построенная на ос-
основании гипотезы недеформируемых нормалей, в определенных
случаях существенной анизотропии материала оболочки не может
быть использована и нуждается в корректировке. Дело в том, что
классическая теория совершенно безразлична к отношениям типа
Eu/Gi3 и при некоторых значениях этих величин может привести
к существенным погрешностям.
Рассматривая формулы A2.25)—A2.34), замечаем также, что
с увеличением подъемистости оболочки (т. е. с увеличением пара-
параметров akl=a/R1, bk2=b/R2) ошибка, допускаемая при принятии
гипотезы недеформируемых нормалей, уменьшается. В случае

316
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
пластинки (&1=&2=0) эта ошибка принимает свое максимальное
значение. Дело здесь в том, что при увеличении подъемистости
оболочки влияние изгибающих параметров на напряженное состоя-
состояние оболочки уменьшается, что означает и уменьшение влияния
перерезывающих сил iVx и N2, а тем самым и касательных напряже-
напряжений т и т„ , которыми обусловливается влияние поперечного сдвига.
3. Задача, в которой исследуется вопрос влияния поперечного
обжатия и поперечного нормального напряжения на напряженно-
деформированное состояние ор-
тотропной оболочки. Рассмот-
Рассмотрим задачу о равновесии осе-
симметрично нагруженной ор-
тотропной круговой цилиндри-
цилиндрической оболочки, свободно опер-
опертой по торцам (рис. 57).
Поставленную задачу решим
с помощью новой итерацион-
итерационной теории (см. § 9 гл. I); при
этом мы познакомимся также
с ходом решения задач по
итерационным теориям.
Пусть оболочка загружена
распределенной по всей поверх-
поверхности нормально приложенной нагрузкой, которая по поверхности
оболочки изменяется по закону
Рис. 57.
= q sin -j-,
A2.35)
где I — длина оболочки, q — интенсивность нагрузки в централь-
центральном сечении оболочки.
В силу A.9.4) будем иметь для грузовых членов
Zq . т.о. „ ка
i = у sin -у-, Z2 = q sin -у-
A2.36)
Для рассматриваемой задачи граничные условия принимают вид:
при а = 0, а. = 1 М1 = 0, Г1 = 0, w = 0. A2.37)
Ввиду полной симметрии все искомые величины являются
функциями лишь координаты а. Тогда очевидно также, что
A2.38)
где все величины, отмеченные индексом «0», относятся к классиче-
классической теории.

§ 12]
РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
317
Пусть система координат а, |3 такова, что
А = В = 1, ЛГ' = 0, R2 = R.
Разрешающая система уравнений A.9.55) для рассматривае-
рассматриваемой задачи, согласно A.9.39), A.9.49), A.9.50), A.9.56) и при-
принятым здесь предположениям, перепишется следующим об-
образом:
«22
"I"
R
L
R
а~У" I i
.Jtp J
12 и
3
2h da*
A2.39)
где наряду с известными постоянными упругости для ортотропной
оболочки имеют место (см. A.9.42))
A2.40)
75 ,_
22 ¦^ 22
Входящие в правые части уравнений A2.39) величины <р0,
<2°, 21*, А^° должны быть определены из решения поставленной
задачи по классической теории.
Разрешающие уравнения классической теории запишутся
следующим образом:
d^F0
1
R dai
A2.41)
где w0 (a) и Fo (a) — искомые функции классической теории.
Полагая
у0 = С* sin -7- , Fo = C!J sin Ц-,
A2.42)
удовлетворим граничным условиям задачи, а из системы A2.41)
определим коэффициенты С9, а тем самым и искомое решение задачи
по классической теории
й|
sin —, г о = '
где ради краткости введено ооозначение
A2.44)

318
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
Подставляя значения м>0 и Fo из A2.43) и A.9.6), A.9.16),
(I. 9. 18), после серии преобразований получим
(?0 =
cos
_ г) 1 d-wn _
12 Л da* ~~
12/2 [
sin
A2.45)
Подставляя значения <р0,. . ., T* из A2.45) в уравнения си-
системы A2.39), получим следующую разрешающую систему урав-
уравнений рассматриваемой задачи:
d*w
1 d»f _Г^ ,
¦+
vm
1$РиЫ\ jca
"Г 12/2 \4sm I '
R da* "
= (a22P22-
aaaB,ah
? 8/4 [ ) j 9 Sm T
Решение этой системы также ищем в форме
С ЯСС !-, у-, TTCt
1sin-7-, r=C2sin-y-,
A2.46)
A2.47)
где С( — искомые постоянные.
Принимая A2.47), тождественно удовлетворим граничным ус-
условиям свободного опирания по торцам A2.37), а из разрешающей
системы A2.46) обычным образом получим для искомых функций
w (а) и F (а) следующие выражения:
A2.48)

% 121
где
РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
2ВпР
Г 2
12/2 [ j "г дац
12/2
ШТ
¦wy
Имея значения и; и F, а также соотношения A2.45), с помощью
формул A,9.29), A.9.30), A.9.47), A.9.51) нетрудно опреде-
определить все расчетные величины задачи.
Для большей наглядности рассмотрим численный пример.
Пусть оболочка изготовлена из трансверсально изотропного мате-
материала так, что плоскость изотропии в каждой точке оболочки па-
параллельна срединной поверхности. Тогда, очевидно,
Результаты подсчета значений отношений w/w0 и F/Fo при раз-
различных значениях Е/Е', E/G', h/l, когда v=v'=0,3, R/l=l, при-
приведены в нижеследующих таблицах.
Таблица 3
w/w0, л/г = 0,1
\
Е/Е'
0
1
2
5
EiG'
\
\
,0
,0
,0
,0
1
0
0
0
0,0
,0000
,9831
,9061
,9154
1
0
0
0
2,0
,0022
,9853
,9684
,9176
1,
0,
0,
0,
5,0
0056
9886
9717
9209
1
0
0
0
10,0
,0111
,9942
,9772
,9267
F/Fo, fill = 0,1
Таблица 4
\
Е/Е'
0
1
2
5
Е;С
N.
\
,0
,0
,0
,0
1,
о,
о,
о,
0,0
0000
9982
9Я64
9910
1,
1,
0,
0,
2,0
0022
0004
9986
9932
1
1
1
0
5,0
,0056
,0037
,0019
,9965
1
1
1
1
10,0
,0111
,0093
,0075
,0021

320
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ II ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
Таблица 5
\
\
EIE'
0
1
2
5
hll = 0
Е/С
,0
,0
,0
,0
2
1
0
0
0
0,0
,0000
,9591
,9182
,7954
1
0
0
0
2,0
,0285
,9876
,9467
,8240
1
1
0
0
5,0
,0713
,ОЗ'»4
,9895
,8667
1
1
1
0
10,0
,1426
,1017
,0608
,9381
Таблица
FIF0, h
\
\
Е/Е'
0,
1,
2,
5,
jl = 0
Б/С
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0,0
, 0000
,994!)
,9898
,9745
1
1
I
0
2,0
,0285
,0234
,0183
,9969
1
1
1
]
5,0
,0713
,0662
,0E11
,0459
1
1
1
1
10,0
,1426
,1375
,1324
,1172
Из этих таблиц видно, что при достаточно сильной анизотро-
анизотропии неучет явлений, связанных с поперечными деформациями и,
в частности, с поперечным обжатием или расширением, может
привести к неприемлемым погрешностям. Следует отметить также,
что в некоторых случаях поправки от учета е могут быть сущест-
существеннее поправок от учета поперечных сдвигов. Однако отметим,
что в реальных оболочках из слоистых пластиков поправка от
учета поперечных сдвигов должна быть введена в первую очередь,
так как сдвиговая деформативность этих материалов значительна,
т. е. отношения типа E/G' существенно отличаются от нуля.
§ 13. Температурные напряжения
в анизотропных оболочках
Вопросы определения температурных напряжений в оболочках
издавна привлекали внимание исследователей. В современной
литературе имеется множество работ, посвященных этой теме.
Для полноты изложения здесь мы приводим некоторые сведения,
необходимые при исследовании температурных напряжений в ани-
анизотропных оболочках.

§ 13J
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ОБОЛОЧКАХ
321
1. Классическая теория термоупругости слоистых ортотропных
оболочек. Рассмотрим многослойную оболочку, собранную из
нечетного числа однородных ортотропных слоев, симметрично
расположенных относительно срединной поверхности оболочки.
Под симметричностью понимается как геометрическая симметрия,
так и симметричность термоупругих свойств. Как и раньше, пусть
в каждой точке каждого слоя одна из плоскостей упругой симмет-
симметрии параллельна срединной поверхности оболочки, а остальные
две перпендикулярны к координатным линиям аир.
Обобщенный закон Гука для г-го слоя оболочки в случае задачи
термоупругости, согласно G) и A.10.7), принимает вид (в слу-
случае ортотропного материала а\в=а1в=0)
< = «+а;2а;+^7>, р, т)> ¦
«h^+^+^(«, P, т). A3.1)
где наряду с известными обозначениями принято также: ак —
коэффициенты линейного температурного расширения, Т=
= Г (а, р, у) — функция, характеризующая температуру оболочки.
Принимаем, что температура по толщине оболочки меняется
по линейному закону, а именно:
Т=Т0(а,
A3.2)
где Г0=1/2 {Т+-\-Т ) — средняя температура нормального эле-
элемента оболочки, (АТ) = (Т+—Т~) — нормальный перепад темпера-
температуры.
Здесь Т+ (а, р) и Г "(а, |3)— температуры соответственно
на внешней (?=fe/2) и внутренней (т=— h/2) поверхностях обо-
оболочки.
Решая A3. 1) относительно напряжений, получим
A3.3)
где, как всегда, для ортотропной оболочки
D,- _ E\
Ц2 Ri (li
2 1 _ v{v!i ' 66 I2>
а также
21 С, А. Амбарцумян
A3.4)
A3.5)

322
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
Что же касается компонент деформаций, то, как обычно, имеем
формулы A.10.5) и A.10.6).
Далее, с помощью формул A.10.14) и A3.3) получим для
внутренних сил и моментов следующие выражения:
где (рис. 32)
Tl = Cns1 -f- C12s2 — C1TT0,
1 2 == ^22 2 "T" ^12 <^2Г-» О'
S = C66(o, Я = ZN6x,
Mx = Z>uxj + Z>12x2 — D1T^~,
M2 = Z>22x2
— D,
A3.6)
A3.7)
и для температурных членов:
m "I
+2P5(/*.-a«)J,
A3.8)
Очевидно, к выписанным соотношениям должны быть присоеди-
присоединены уравнения равновесия элемента оболочки и уравнения нераз-
неразрывности деформаций срединной поверхности, которые должны
совпадать с соответствующими уравнениями общей теории, т. е.
с A.1.8) и A.1.21), в предположении, что X=Y=Z=0.
Этого достаточно для построения разрешающих уравнений
задачи термоупругости и получения частных решений, отвечаю-
отвечающих температурным «нагрузкам», т. е. температурным членам этих
уравнений. Для конкретности рассуждений целесообразно рас-
рассмотреть конкретные типы оболочек.
а. Оболочки вращения. Рассмотрим ортотропную
оболочку, срединная поверхность которой является поверхностью
вращения с осью вращения z. Положение какой-либо точки М
срединной поверхности будем определять координатами: <р —

§ 13]
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ОБОЛОЧКАХ
323
азимутом плоскости, проведенной через точку М и ось z, и мериди-
меридиональной дугой s (рис. 58). Для срединной поверхности рассматри-
рассматриваемой оболочки имеем следующие кри-
кривизны и коэффициенты первой квад- z
ратичной формы:
COS
A3.9)
= г,
где г — радиус кривизны параллель-
параллельного круга, & — угол между радиусами
кривизны нормального сечения и парал-
параллельного круга.
Пусть температурное поле оболочки
тоже осесимметричное, т. е.
T(s, Т)=
A3.10)
Рис. 58.
Осесимметричны также граничные
условия.
Тогда, очевидно, будем иметь за-
задачу осесимметричного напряженного
состояния. Не вдаваясь в подробности
(см. гл. I, § 2), приведем окончательные представления исход-
исходных уравнений и соотношений, необходимые в последующем:
уравнения равновесия:
A3.11)
?. (rTI/j) + М2 sin & — rN = 0;
геометрические соотношения:
da , w 1 . о . „.
6,:= — + —, е„=г — (H7COSW — И Sin w),
dW
sin
и vr -wrr sin v jtt иш и
уравнение неразрывности:
г -5-2— (s2 — Sj) sin $ — W cos & = 0.
Полагая
sin»
dV дт cos 9 T7
A3.12)
A3.13)
A3.14)
21

324 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
тождественно удовлетворим первым двум уравнениям равновесия
A3.11), а третье уравнение примет вид
(rM){Mib Fos» 0. A3.15)
Решая первые два соотношения A3.6) относительно дефор-
деформаций и при этом учитывая A3.14), получим
С22 sin» „ C}2dV . Kit j,
' "° Г Q°ds Q° A3.16)
Сц OF . С12 Sin w ¦** . "¦ 2Г rp
где
О Г p Л2. l\ Q 17\
Подставляя значения моментов из A3.6) с учетом A3.12)
и компонент деформаций из A3.16) в уравнения A3.13) и A3.15),
получим следующую систему разрешающих уравнений задачи
относительно двух искомых функций V=V (s) и W=W (s):
sin Ъ dW ,О22 sin2 & ti/ Ol2 1 ,.; . 1 J_y
r ds 7)^ r2 'D^iR1R2 ' 5^Лг
Oir d /ДГ\ Й2Г - ?>]У sin $ дг
A3.19)
^!Z_?J?i dy___Cw sin за C12 1 у _ ?o_ J_ xy _
ds
Таким образом, осесимметричная температурная задача тео-
теории ортотропной слоистой оболочки вращения сводится к решению
системы линейных дифференциальных уравнений, отличающейся
от аналогичной системы уравнений статической задачи A.2.17),
A.2.18) лишь «грузовыми» членами.
Вопросы решения соответствующей однородной системы урав-
уравнений достаточно полно освещены в §§ 4—7 настоящей главы,
поэтому здесь нас будут интересовать лишь вопросы определения
частных решений, отвечающих температурным членам.
Если частное решение системы A3.18), A3.19) искать в виде
разложений
W=Wo + T2Wi+---> V=VU + ±VX+ ... A3.20)
и, учитывая точность исходных предположений, ограничиться

§13] ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ОБОЛОЧКАХ
первым приближением, то
325
A3.21)
Внутренние силы, моменты и напряжения, соответствующие
частному решению A.13.21), определяются с помощью формул
A3.3), A3.6), A3.12), A3.14), A3.16), A3.21) и имеют вид
A3. 22)
-(KiT-К2Т) [Du i- A + tg«Ь)
Й1 ^—(Jf „ - K2T) [Dn ^
A3. 23)
' ;
sin
- с19в<
у0 , с12ву
i Q
sin а
A3.24)

326 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
где, наряду с A3.21), имеем
KiTi ~щ 1Г
б. Весьма пологая оболочка. Исходя из основ-
основных положений теории весьма пологих оболочек (см. § 5 гл. I)
и выбирая систему координат («, р) так, чтобы А = 1, В = 1, полу-
получим следующие уравнения и соотношения, которые будут использо-
использованы для решения задачи термоупругости весьма пологой оболочки:
уравнения равновесия:
i L i т" "i* г — " i а ™ 2, р=
геометрические соотношения:
уравнение неразрывности:
— —W
A3.25)
A3.26)
-ш it#-J-elfW, = O. A3.27)
Исключая из уравнений равновесия A3.25) Nt и N2 и учиты-
учитывая A3.6) и A3.26), получим
^) = о,
A3.28)
где
Разрешая соотношения A3. 6) относительно деформаций, получим
?22Т ?i2T L^T S
12
A3.29)
где, как и раньше, для А\-г и Qo имеем A3.17).

5 13]
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ОБОЛОЧКАХ
327
Подставляя значения компонент деформаций из A3.26) и
A3.29) в уравнение неразрывности A3.27), получим
~\QQ
C66 да
K
2T
Полагая
0
\ Ъ?л oa* Lin Оал I
rp "T rp U~f r> <?2<p /iOQl,
где tp=(p (a, P) — функция напряжений, тождественно удовлетво-
удовлетворим первым двум уравнениям системы A3.28), а из третьего урав-
уравнения A3.28) и уравнения A3.30) получим
A3.32)
где для Lx, Vrfr имеем известные представления, а остальные опе-
операторы имеют вид:
т in \ ?п^_л.[Л о с\2\ д* . С22 д*
^2\^ile)— Q(j dai "Г" ^C66 C QQ ) даЩ2 "I" Qo да »
и, аналогично оператору
Таким образом, температурная задача теории анизотропных
пологих оболочек сводится к решению линейной системы дифферен-
дифференциальных уравнений A3.32) при заданных граничных условиях.
Здесь искомыми функциями, как и в случае обычного смешан-
смешанного метода, являются функция напряжений <р(а, [3) и функция
перемещений w (а, |3), посредством которых представлены все
расчетные величины задачи, а именно:
тангенциальные силы: — определяются формулами A3. 31);
моменты;
п d*w n d?w n
= ~D22 -gps- Da w - D
2T
(ДГ)
= -2DR
A3.33)

328 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
поперечные силы:
D±№} A34)
где, как и раньше,
напряжения в слоях:
Li
Q
Л-.-2 I
да*
к,
да*
ДГ
12 "S7 ~"
A3.35)
51а~Ш-
Рассматривая разрешающую систему уравнений и расчетные
формулы, замечаем, что, как и в случае оболочек вращения, в слу-
случае пологих оболочек разрешающая система уравнений темпера-
температурной задачи отличается от соответствующей системы статической
задачи лишь «грузовыми» членами.
2. Задача термоупругости ортотропной оболочки вращения
с учетом зависимости упругих и термических постоянных мате-
материала оболочки от температуры. В некоторых задачах термоупру-
термоупругости оболочек, когда рассматриваемые разности температур до-
достаточно велики, а сама температура превышает некоторое пре-
предельное значение, характерное для данного материала, бывает
необходимо при определении температурных напряжений учиты-
учитывать изменения термоупругости постоянных материала оболочки
в зависимости от температуры. Отсылая читателя для полного
изучения вопроса к специальной литературе, рассмотрим здесь

g 13] ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ОБОЛОЧКАХ 329
лишь оболочку вращения, на примере которой можно получить
представление о рассматриваемом вопросе.
Задача решается в линейной постановке без учета явлений пол-
ползучести материала оболочки в предположении справедливости
обобщенного закона Гука. Геометрия срединной поверхности
рассматриваемой оболочки читателю известна и характеризуется
рис. 58 и формулами A3.9).
В основе рассмотрения лежит несколько модифицированная
гипотеза недеформируемых нормалей. Принимая все основные
положения указанной гипотезы, будем считать, что относительная
линейная деформация по толщине оболочки отлична от нуля и
равна свободному температурному расширению:
7
е^=а3Т или n^^Td^. A3.36)
о
При этом предполагается, что модули упругости и коэффициенты
Пуассона являются произвольными функциями температуры Т—
— Т (s, у), т. е. имеем
Е1 = Е, = Ег{Т), E, = Ef = E9(T), \ = ^(Г). A3.37)
Пусть, далее, оболочка изготовлена из такого ортотропного
материала, для которого зависимость коэффициента линейного тем-
температурного расширения от температуры можно аппроксимиро-
аппроксимировать линейной функцией:
a.: = a; = a,-{-b,T, a2 = о,, = af-f-\Т, а3= а{ = а^-{-Ъ^Т.
В силу принятых предположений из обобщенного закона Гука
легко получить
{B
°12е» — (#22аср + B12as) L • J
где для 5rt, как и раньше, имеем A3.4) (без индексов г).
Согласно модифицированной гипотезе недеформируемых норма-
нормалей, для относительных деформаций получим (см. §§ 1 и 9 гл. I)
. 7
A3.39)
Я2
О
откуда, в силу A3.36) и A3.38), найдем
+ (/ +
д
A3.40)

330
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. Н
где
1 / n •
= 7"(^cos & — м sin
1
dW
ds
sin
du;
ds
u
'Ж'
A3.41)
A3.42)
где, как всегда, и (s), w (s) — перемещения точек срединной по-
поверхности соответственно вдоль меридиана и по нормали к сре-
срединной поверхности, W (s) — искомая функция деформаций,
Т (s, f) — температура оболочки.
Подставляя значения деформаций е,, е из A3.40) в A3.38),
получим для напряжений следующие выражения:
т/2)
+ т E22х2 + В1Л) + Jj (а/, + Ьт/2) +
+1?
,А) ^1-
A3.43)
Подставляя значения напряжений из A3.43) с учетом A3.38)
в известные формулы A.1.15), получим с достаточно высокой точ-
точностью для внутренних сил и моментов следующие формулы:
1 , „
у — Спв1
12г2
4-
) 4-
^2 = Cl2sl 4~ ^22S2 + ^12*1 4~ ^2
1
I d \ у 2
m) 4"
Mt =
A3.44)
A3.45)

§ 13]
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ОБОЛОЧКАХ
331
где приняты
А/2
-А/2
*/2
-А/2
А/2
ооозначения:
*/2
-А,2
А/2
.Jkdb Kijk= j i
-A,'2
A/2
А/2
-A/2
при А; = 1,2,
A3.46)
-A/2
-hli
Из соотношений упругости A3.44) и A3.45) замечаем, что,
когда механические характеристики материала оболочки зависят
от температуры, а температура оболочки является произвольной
функцией координат s и у, однородная оболочка ведет себя как
неоднородная (точнее, оболочка под действием температурного
поля становится неоднородной). Наличие, например, в формулах
A3.44) и A3.45) членов с жесткостями взаимного влияния гово-
говорит о том, что оболочка по толщине неоднородна.
Очевидно, в рассматриваемом случае уравнения равновесия
A3.11) и уравнение неразрывности деформаций A3.13) остаются
неизменными. Полагая
cos & т/ . sin ft
A3.47)
где F= V (s) — искомая функция напряжений, Со — постоян-
постоянная интегрирования, тождественно удовлетворим первым двум
уравнениям равновесия A3.11).
Напомним (см. гл. I, § 2), что постоянная интегрирования
С0/г0 представляет собой отнесенное к единице длины внешнее
осевое усилие, распределенное по параллельному кругу s—s0.
Таким образом, остается еще удовлетворить третьему уравне-
уравнению равновесия A3.11) и уравнению неразрывности A3.13).
Подставляя значения Т( из A3.47), х, из A3.41) в A3.44)
и решая полученную систему уравнений относительно компонент
деформаций, найдем
^22
sin
С12 dV
- Сй §J
A3.48)

332 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
ds
i-
i-
где введены следующие обозначения:
^.•o =
lu as
Co *j
П,о = (Сик"г - Cv2K(i) Q-1 (i = 1, 2),
тт (Г Г С Г \ О а 1 9- 7 ¦—- 1 2 3 4^
llij — \Унь1у ^n^Hj) "Jo \1 — 1' *> ' — lj *•' °' ч/'
Qa = (CitCiik-CltClt])Q^ D=1,2,3,4; ?,7 = 1,2; i^/
A3.49)
Подставляя значения х,. и е,. сосжветственно из A3.41) и A3.48)
в формулы A3.45), получим для изгибающих моментов следующие
выражения:
dV
sin &
А12 - COQW
,Н13
где введены новые обозначения:
Aik = ^»Пу4
(t, / = 1, 2; Л=1, 2, 3, 4;
A3.50)
A3.51)
Подставляя значения TV и Af< соответственно из A3.47) и
A3.50) в третье уравнение равновесия A3.11), а значения х(
и е^ соответственно из A3.12) и A3.48) в уравнение неразрывности
A3.13), получим следующую разрешающую систему двух диф-
дифференциальных уравнений относительно двух искомых функций

§ 13] ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ОБОЛОЧКАХ 333
V (s) и W (s):
1 С12 ¦ sin»d/C12\
^2 L>o "г" г ds\Q0J
[d (Cn\ sm$
C221F .
U0J V <~
dV Cud*V
ds'1'Ua ds*
10
A3.52)
где принято:
Ф! = i- [aY (Яп
- A
a
12 - A22) -
124 — Аи) -)- а (//23 A j
¦-Alt)-C0]~
мз
? ds
^, С121 sin 8 . 1 / tr , ,п ^ C22\sin& .
~ coii: -^ + д-КП21 + 6tii22_ co^-j-^+
- [л, (Q13 - П13) + bt B24 - П14) + % (П23 - 213

334 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
Таким образом, поставленная здесь задача термоупругости
ортотропной оболочки вращения сводится к интегрированию си-
системы дифференциальных уравнений A3.52). Имея значения V
и W, с помощью приведенных выше формул найдем все расчетные
величины оболочки. Однако легко заметить, что в общем случае
интегрирование полученной системы линейных дифференциальных
уравнений с переменными коэффициентами сопряжено с большими
трудностями; поэтому целесообразнее вопросом интегрирования
разрешающих уравнений заниматься лишь для конкретных ти-
типов оболочек, при конкретных закономерностях A3.37), в слу-
случае заданного закона изменения температуры Т—Т (s, у). Оче-
Очевидно, при этом мы придем к частным задачам неоднородных обо-
оболочек, достаточно полно изученным в современной литературе.
3. Некоторые вопросы термоупругости пологой ортотропной
оболочки с учетом поперечных сдвигов. Здесь строится теория
пологих ортотропных оболочек с учетом поперечных сдвигов.
Эта теория основана на главных положениях уточненной теории
весьма пологих оболочек (см. гл. I, § 7).
Примем, что температура по толщине оболочки меняется по
линейному закону, т. е.
Т=Т0(а, р) + Л-ДГ(а, р). A3.53)
Далее, будем считать, что коэффициенты упругости и линей-
линейного температурного расширения являются линейными функциями
температуры, т. е.
«*« = <(!+*Л «< = а. + &,Т, A3.54)
где сРы — начальные значения коэффициентов упругости (at = aa,
bi=ba; a2 = a?, Ь2 = Ь^; а3 = ау, b3 = bj.
Подставляя значение температуры из A3.53) и A3.54), окон-
окончательно получим для коэффициентов упругости следующие фор-
формулы:
I
A3.55)
\i — «м^+Ч^о)» Чм 1+ХиГ0 I
Согласно исходным положениям уточненной теории, как из-
известно, имеем
4
где tp (а, р), ф (а, р) — искомые функции, характеризующие по-
поперечный сдвиг оболочки.

§ 13] ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ОБОЛОЧКАХ 335
Принимая симметричный закон изменения поперечных сдви-
сдвигов по толщине оболочки, мы заведомо допускаем некоторую пог-
погрешность с точки зрения термоупругости. Приняв A3.53)—A3.55),
очевидно, будем иметь дело с оболочкой, которая, по крайней мере
по толщине, неоднородна, и в общем случае эта неоднородность
несимметрична относительно срединной поверхности оболочки.
Таким образом, принимая A3.56), мы входим в некоторое проти-
противоречие с механикой деформирования. Однако, как показывают
многочисленные исследования (и в случае задач термоупругости),
возможные неточности, вносимые произвольным, но разумным вы-
выбором закона изменения сдвиговых деформаций по толщине обо-
оболочки, незначительно влияют на окончательные значения основ-
основных расчетных величин во внутренней области оболочки (подроб-
(подробности см. в §§ 7, 8, 9 гл. I).
Поступая известным образом, из A5), согласно D), A3.55),
A3.56), получим для перемещений какой-либо точки оболочки
формулы
^' <13-58>
от = и;(я, р), A3.5!))
где и (а, р), у (а, р), и; (а, |3) — тангенциальные и нормальное пе-
перемещения срединной поверхности оболочки.
Укажем, что здесь и далее, как и в случае весьма пологих
оболочек, система координат а, |3, у выбрана так, что коэффициенты
первой квадратичной формы А — 1, .6=1. Считается также, что
главные кривизны срединной поверхности оболочки А1=/?71
и k2=R~1 при дифференцировании ведут себя как постоянные.
Подставляя значения иа, и„, и из A3.57)—A3.59) в геометри-
геометрические соотношения A5), для компонент деформации оболочки
получим
e. = ei + T*i + T4 + T8»i. '
A3.60)
где введены обозначения:
да , 7 dv
B +Kw
Л А \ A3-61)
ди , dv • v '
(О **.*—• — I ^—

336
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК 1ГЛ. II
.. д"Ю . ft2 d (Аддср)
1 да* г 8 да
д'2и> ¦ fe2 d (А44ф)
2 лаг "Г а л&
46"
ft2(
'Тб"
A3.62)
J' J
A3.63)
6 da
24
da
24 dp '
. ft
da
A3.64)
J
При получении формул A3.60) мы органичивались лишь пер-
первыми четырьмя членами разложений и по возможности отбрасы-
отбрасывали члены, точность которых выше точности теории весьма по-
пологих оболочек. Конечно, вопрос этот здесь решен недостаточно
корректно, ибо не доказано, что можно ограничиться лишь пер-
первыми четырьмя членами в разложениях A3.60). Вопрос этот тре-
требует специального исследования.
Подставляя значения деформаций из A3.60), коэффициентов
а. из A3.54) и температуры из A3.53) в обобщенный закон Гука
A3.1), после некоторых преобразований получим
2 - [В»п (а, + bjo) + Я°2 (a, + b,T0)i TQ +
+ (x2 +1 vl2) ??2 -
(ДГ) + (op + 26рГ0)
(ДГ) +
+ К + ^Го) ЪВД + (flp +

13]
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ОБОЛОЧКАХ
337
?2, + W (ДГJ + К + ВД) Д^и
+ (вр + 2Ь?Т0) ДоЛя
i F.
, A3.65)
(fle
Н- Т
»2 + (х, + E-l v12) 5?2 -
J 5о2 (ДГ) + (fle + 2bJ0) B«u (ДГ) +
Т v
1Л.2 (\Т) +
)»]
°2>12)(ДГJ!, A3.66)
A3.67)
где приняты следующие обозначения:
=
2 АПД22 — 412
R0 —
ее л „„
A3.68)
— «22) — АП
voe = —Ю66>
Af2 Bи12 — иа) —
v Дц^22 (И12 — М11 — М22) '
" ~ ДпД22 - ДЬ
A3.69)
здесь Д<4. и соа. даются формулами A3.55).
22 С. А. Амбарцумян

338 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
Наконец, получим для внутренних сил и моментов следующие
выражения:
+ Я?2е2) - А Щх (а. + Ь.71,) + Я»2 (а, + &/„)] Го +
Т vu) 5n + (ч, + %i vu) 5?2]-^2 [F.5?, + &р??2) (ДГ)" +
7-J До.уц (ДТ) + (ap
A3.72)
р ?Г„) 5«^12ГЭ]
(Ь^ + Ь^?Л)(ДГJ Мй = . . ., A3.73)
Уравнения равновесия и неразрывности деформаций имеюг
обычный вид. Подставляя значения внутренних сил и моментов
(посредством A3.61)—A3.64), представленных через искомые
функции и (а, р), v (a, p), w (а, р), <р (к, р), ф (в, р)) из A3.70) —
A3.74) в уравнения равновесия, получим систему пяти линей-
линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициен-
коэффициентами относительно пяти искомых функций: и, v, w, <p, <[>. Присое-
Присоединяя к этой системе граничные условия уточненной теории, по-
получим замкнутую систему, решение которой и будет решением
поставленной здесь задачи.
В общем случае полученная разрешающая система уравнений
очень громоздка, и поэтому ее здесь не приводим. Пути решения
этой системы в общем случае необозримы.
4. Замечание. Приведенные в этом параграфе решения не во>
всех случаях доведены до конца. Однако они достаточны для опре-
определения температурных напряжений и перемещений в отдельных
частных случаях.
Здесь мы привели лишь некоторые сведения по задачам термо-
термоупругости анизотропных слоистых оболочек. Эта проблема имеет
большое самостоятельное значение и может составить содержание
отдельной книги.

ЛИТЕРАТУРА 339
ЛИТЕРАТУРА
Вопросам определения напряженного состояния и деформаций различ-
различных типов анизотропных слоистых оболочек посвящена обширная литература,
которая, к сожалению, здесь не может быть приведена полностью. Здесь,
как правило, приводится лишь та часть литературы, которая непосредственно
использована при написании настоящей главы.
§ 1. Безмоментная теория изложена в форме, которая отличается от тра-
традиционной. Она написана на основании работы:
1. Амбарцумян С. А., К безмоментной теории анизотропных оболо-
оболочек. ПММ, т. 34, в. 6, 1970.
Вопросы безмоментной теории анизотропных оболочек освещены также
в работах:
2. Мовсисян Л. А., О некоторых специфических особенностях анизо-
анизотропных оболочек. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 11, № 4, 1958.
У. А м б а р ц у м я и С. А., Теория анизотропных оболочек. Физматгиз,
1961.
§ 1, п. 5. При чтении этого пункта полезно просмотреть:
4. Гольденвейзер А. Л., Теория упругости тонких оболочек, Гос-
техиздат, 1953.
5. Новожилов В. В., Теория тонких оболочек, Судпромгиз, 1962.
6. Ч е р н ы х К. Ф., Линейная теория оболочек. Изд-во ЛГУ. Часть I,
1962, часть II, 1964.
§ 2. См. [2~5], на основании которых и написан этот параграф.
§ 3. См. |3] и [<*].
§§ 4, 5, 6 посвящаются вопросам расчета анизотропных слоистых обо-
оболочек вращения. Эти параграфы написаны на основании монографии [3],
а также следующих работ:
7. Амбарцумян С. А., Симметрично нагруженные анизотропные обо-
оболочки вращения. ДАН АрмССР, т. 9, № 5, 1948.
¦8. Амбарцумян С. А., Расчет слоистых оболочек вращения, ДАН
АрмССР, т. 11, № 2, 1949.
S. Лурье А. И., Статика тонкостенных упругих оболочек. Гостехиздат,
1947.
10. Амбарцумян С. А., К вопросу расчета слоистых анизотропных
оболочек. Известия АН АрмССР (ФМЕ и Т науки), т. 6, № 3, 1953.
11. Амбарцумян С. А., Длинные анизотропные оболочки вращения.
Известия АН АрмССР (ФМЕ и Т науки), т. 4, № 6, 1951.
В работе [10 ] впервые были освещены вопросы распространения краевого
эффекта в ортотропных слоистых оболочках вращения. В частном случае
изотропной оболочки эти результаты перекликаются с результатами [*].
§ 7. Написан на основании монографии [3] и работы:
12. П е ш т м а л д ж я н Д. В., К расчету симметрично нагруженных слои-
слоистых анизотропных оболочек вращения. Известия АН АрмССР (ФМ
науки), т. 10, № 2, 1957, где имеются решения и иных задач.
Вопросы расчета цилиндрических оболочек с помощью двойных тригоно-
тригонометрических рядов в настоящей монографии вовсе не рассматриваются.
Однако заинтересованный читатель некоторые сведения получит из [3]
и [10], а также из статьи
13. Амбарцумян С. А., Расчет пологих цилиндрических оболочек,
собранных из анизотропных слоев. Известия АН АрмССР, (ФМЕ и
Т науки) т. 4, № 5, 1951.
22*

340 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
§ 8. Наиболее полно этот вопрос изучен в случае изотропных оболочек,,
например, см. [4] и [6], а также
14. Власов В. 3., Общая теория оболочек, Гостехиздат, 1949.
В случае анизотропных оболочек интегрирование разрешающих урав-
уравнений цилиндрической оболочки методом одинарных тригонометрических
рядов несколько осложняется [а]. Об этом говорят также работы:
15. S с h n е 1 1 W., Krafteinleitung in versteifte Kreiszylinderschalen..
Teil I, Die orthotrope Shale. Zeitschrift fur Flugwissenschaften, Bd. 3r
№ 12, 1955.
16. S с h n e 1 1 W., Krafteinleitung in versteifte Kreiszylinderschalen-
Teil II, Die Shale mit endlich vielen Spanten. Zeitschrift fur Flugwissen-
scahften, Bd. 5, № 1, 1957.
§ 9. При составлении настоящего параграфа были использованы работыг
17. М о в с и с я н Л. А., К расчету анизотропной (неортотропной) цилин-
цилиндрической оболочки вращения. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 12,
№ 4, 1959.
18. М о в с и с я ц Л. А., Об осесимметрично нагруженной анизотропной
цилиндрической оболочке. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 15, № 2,.
1962.
в которых освещены прикладные вопросы деформирования цилиндрических
оболочек в общем случае анизотропии, имеющие важное значение для рас-
расчета косо-армированных оболочек.
В этом параграфе особое внимание уделено вопросу распространения,
краевого эффекта в общем случае анизотропии.
§ 10. Здесь теория анизотропных оболочек трактуется как обобщающая
теория, которая дает возможность, исходя из механических соображений,,
сформулировать различные приближенные теории изотропных и анизотроп-
анизотропных оболочек. Более подробно эти вопросы освещены в работах:
19. Амбарцумян С. А., К расчету длинных оболочек двоякой кри-
кривизны. Известия АН АрмССР (ФМЕ и Т пауки), т. 6, № 5—6, 1953.
20. А м б а р ц у м я н С. А., К вопросу построения приближенных теорий
расчета пологих цилиндрических оболочек. ПММ, т. 28, в. 3, 1954.
21. Амбарцумян С. А., О пределах применимости некоторых гипотез;
теории топких цилиндрических оболочек. Известия АН СССР, ОТН..
№ 5, 1954.
§ 11. Здесь рассматриваются два примера интегрирования разрешающих
уравнений теории весьма пологих анизотропных оболочек, загруженных,
сосредоточенными силами. Показывается возможность перехода к иным типам
нагрузок. Параграф написан на основании [3] и
22. Т р у ш Е. И., Многослойные сферические оболочки под действием на-
нагрузки, равномерно распределенной по площадке. Прикладная механика,,
т. 6, в. 7, 1970.
Вопросам расчета анизотропных оболочек, загруженных сосредоточен-
сосредоточенными силами, посвящены, например, и следующие работы:
23. Артюхин Ю. П., Расчет ортотропных оболочек вращения на локаль-
локальные нагрузки. Труды 6-й Всесоюзной конференции по теории оболочек
и пластин. Изд-во «Наука», 1966.
24. Ж и г а л к о Ю. П., Действие сосредоточенных сил ва ортотропные и
биметаллические цилиндрические оболочки. Труды 6-ой Всесоюзной
конференции по теории оболочек и пластин, Изд-во «Наука», 1966.
25. Чернышев Г. Н., Сосредоточенные силы, температурные и кон-
контактные воздействия на оболочки. Автореферат, 1971.
По этому поводу стоит посмотреть и работу:

ЛИТЕРАТУРА 34 f
26. О г и б а л о в П. М., Колтунов М. А., Оболочки и пластины,
Изд-во МГУ, 1969.
Здесь имеется достаточно полная библиография по теории оболочек.
§ 12. Результаты, приведенные в этом параграфе, интересны с точки зре-
зрения расчета анизотропных слоистых оболочек со слабыми механическими
характеристиками в поперечном направлении и, в частности, с точки зрения
расчета оболочек, изготовленных из армированных пластиков. Необходимые
сведения об этом материале с точки зрения теории оболочек можно найти,,
например, в работах:
27. Амбарцумян С. А., Специфические особенности теории оболочек
из современных материалов. Известия АН АрмССР (механика), т. 21,
№ 4, 1968.
28. Огибалов П. М., Суворова Ю. В., Механика армированных
пластиков. Изд-во МГУ 1965.
29. М а л м е й с т е р А. К., Т а м у ж В. П., Тетере Г. А., Сопро-
Сопротивление жестких полимерных материалов. Изд-во «Знание», 1967.
30. Тарнопольский Ю. М., Розе А. В., Особенности расчета,
деталей из армированных пластиков. Изд-во «Знание», 1969.
31. Александров А. Л., Бородин М. Я., Павлов В. В.,.
Конструкции с заполнителями из пенопластов. Оборонгиз, 1962.
В этих работах читатель найдет достаточно полную библиографию по-
поэтому вопросу.
Рассматриваемый параграф написан согласно следующим работам: [3],
а также
32. Амбарцумян С. А., О двух методах расчета двухслойных орто-
тропных оболочек. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 10, № 2, 1957.
33. Амбарцумян С. А., К расчету двухслойных ортотропиых оболо-
оболочек. Известия АН СССР, ОТН, № 7, 1957.
34. Амбарцумян С. А., К общей теории анизотропных оболочек.
ПММ, т. 22, в. 2, 1958.
35. Амбарцумян С. А., П е ш т м а л д ж я н Д. В., К теории орто-
тропных оболочек и пластинок. Известия АН АрмССР (ФМ науки),
т. 12, № 1, 1959.
36. А м б а р ц у м я н С. А., К теории изгиба анизотропных пластинок и
пологих оболочек. ПММ, т. 24, в. 2, 1960.
37. Хачатрян А. А., К расчету трехслойной ортотропной оболочки.
Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 12, № 5, 1959.
38. Амбарцумян С. А., Еще одна уточненная теория анизотропных
оболочек. Механика полимеров, № 5, 1970.
§ 12, п. 1. Посвящается вопросам определения закономерностей распро-
распространения краевого эффекта в анизотропных оболочках при учете явлений,
связанных с поперечным сдвигом. Результаты остальных пунктов этого
параграфа читатель может пополнить, просматривая [3, з2-38], а также
39. Амбарцумян С. А., Пештмалджян Д. В., О нелинейной
теории пологих ортотропных оболочек. Известия АН АрмССР (ФМ науки),
т. И, № 1, 1958.
40. А м б а р ц у м я н С. А., Теория анизотропных пластин. Физматгнз,.
1967.
§ 13. Основные положения термоупругости анизотропных тел можна
найти, например, в книге
41. Витольд Новацкий, Вопросы термоупругости, Изд-во АН СССР
1962.
§ 13, п. 1. Посвящен классическим задачам термоупругости анизотропных
слоистых оболочек. Этот пункт написан па основании статьи:

342 НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДЕФОРМАЦИИ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. II
42. Амбарцумян С. А., Температурные напряжения в слоистых анизо-
анизотропных оболочках. Известия АН АрмССР (ФМЕ и Т науки), т. 5, № 6,
1952.
§ 13, п. 2. В этот пункт вошла лишь часть статьи:
43. Дургарьян С. М.,К температурному расчету тонких ортотропных
оболочек вращения. Инженерный журнал, т. 2, в. 3, 1962.
В работах этого автора можно найти литературу, посвященную задачам
термоупругости анизотропных слоистых оболочек с учетом зависимости
термоупругих характеристик материала оболочки от температуры.
§ 13, п. 3. Написан на основании статьи:
44. AmbartsumianS. A., DurgarianS. M., Some Thermoelastic
Problems of Anisotropic Shells and Plates. Non-Classical Shell Problems.
Proceedings of the IASS Symposium, Warsaw, 1964.
Проблемам термоупругости анизотропных слоистых неоднородных обо-
оболочек посвящено много интересных работ. Укажем некоторые книги, в кото-
которых читатель найдет как новые и оригинальные результаты, так и обширную
литературу по этому вопросу:
45. Коваленко А. Д., Пластинки и оболочки в роторах турбомашин.
Изд-во АН УССР, 1955.
46. Б и р г е р И. А., Круглые пластинки и оболочки вращения. Оборонгиз,
1961.
47. Подстригая Я. С, Ярема С. Я., Температурные напряжения
в оболочках. Изд-во АН УССР, 1961.
48. Ф е о Д о с ь е в В. И., Прочность и теплонапряженность узлов жидкост-
жидкостных ракетных двигателей. Оборонгиз, 1963.
-49. Огибалов П. М., Грибанов В. Ф., Термоустойчивость пла-
пластин и оболочек. Изд-во МГУ, 1968.

Глава HI
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЕБАНИЙ И УСТОЙЧИВОСТИ
АНИЗОТРОПНЫХ СЛОИСТЫХ ОБОЛОЧЕК
В настоящей главе будут рассмотрены некоторые задачи ко-
колебаний и устойчивости анизотропных, а в некоторых случаях и
слоистых оболочек. Читатель здесь не найдет полного и система-
систематического изложения указанных выше вопросов, ибо эти вопросы
настолько обширны, что могут и должны стать предметом отдель-
отдельных монографий.
§ 1. Свободные колебания
Уравнения движения элемента оболочки da dp df в ортого-
ортогональной криволинейной системе координат а, р, f согласно A6),
запишутся следующим образом:
= Р
= р -
A.1)
)
где р — плотность материала, t — время.
Пусть оболочка не нагружена поверхностными силами. Тогда,
на уровне уточненной теории (см. гл. I, § 7), с учетом явлений
поперечных сдвигов, имеем
uT = ы; (a, p, i),
где в=и (a, p, Q, v=v (а, р, *), <р=<р (а,
), <J»=<J»(a, p, «).

-344
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. Ш
Умножая уравнения A.1) на dy, а кроме того, первые два
уравнения на у dy и интегрируя их в пределах от —h/2 до h/2
с учетом A.2) и A.1.15), получим следующие уравнения движе-
движения элемента оболочки:
12
*8
д'ф
12T
h3 i d'iw
кЪ
A.3)
Таким образом, мы получили уравнения движения, в левых
частях которых стоят внутренние силы и моменты, а в правых
частях имеем члены инерционного происхождения.
В частном случае классической теории, пренебрегая явлениями
сдвигового происхождения (Ф;=0) и ограничиваясь точностью
k(h, вместо правых частей уравнений A.3) (левые части остаются
неизменными) получим соответственно
ркАВш,
IB' ^'
A.4)
В случае многослойной оболочки, собранной из произволь-
произвольного числа анизотропных слоев (см. гл. I, § 11), в правых частях
уравнений движения классической теории будем иметь
с л в
d2v
к л
dSw
A.5)

§ 1] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ Я4.>
где для приведенных характеристик плотности слоистой оболочки
имеем (рис. 34)
ср— 2 р.(8.—s.-i)'
т-\-п
тг 2 ^^^ Г/512 512 \ О Л /51 51 \
т+я
D — -тг ^j Р Г (о—о. .) — 3A(oJ — о2 .j-i-oA2 (о —S -Л1,
где рв — плотность ^материала i-ro слоя оболочки.
Сравнивая A.4) и A.5), замечаем, что в случае многослойной
оболочки инерционные члены-, учитывающие инерцию вращения,
входят не только в моментные уравнения (четвертое и пятое), но
и в первые два безмоментные уравнения, а инерционные члены от
тангенциальных перемещений, входят также и в моментные урав-
уравнения. Указанное возаимодействие исчезает, когда коэффициенты
взаимовлияния К превращаются в нуль. Присоединяя к получен-
полученным уравнениям движения A.3) с соответствующими правыми
частями A.3), A.4), A.5) соотношения упругости соответственно
A.7.19), A.1.24)—A.1.26), A.И.2), геометрические соотно-
соотношения A.1.5) — A.1.8), граничные условия A.7.27)—A.7.29),
A.1.27)—A.1.30), а также начальные условия в момент времени t=0,
получим полные системы, с помощью которых могут быть опреде
лены динамические характеристики оболочки.
Анализ уравнений движения типа A.3) показывает волновой
характер этих систем уравнений. Однако в последующем нас, как
правило, не будут интересовать волновые процессы в оболочках.
Мы будем заниматься вопросами определения частот низкочастот-
низкочастотных колебаний в оболочке. Эти частоты с достаточно высокой точ-
точностью могут быть найдены с помощью уравнений, не содержащих
членов, которые происходят от учета инерции вращения и инерции
деформаций поперечных сдвигов. Поэтому в последующем, при
рассмотрении конкретных задач, из системы уравнений движения
будут отброшены указанные выше члены.
Сравнивая полученные уравнения движения с уравнениями
равновесия оболочки, замечаем, что уравнения движения легко
получить из уравнений равновесия путем замены грузовых чле-
членов соответствующими инерционными членами. В частности,
например, в случае однородной оболочки надо принимать
si —~ —oh , I — —ptl ? — —pfi 1
Рассмотрим некоторые частные задачи по определению свобод-
свободных колебаний анизотропных оболочек. Эти задачи имеют целью

;J46
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. III
«светить специфические особенности колебаний анизотропных
оболочек.
1. Определение частот колебаний шарнирно опертой по всему
контуру ортотропной цилиндрической панели. Исходная система
дифференциальных уравнений колебаний круговой ортотропной
цилиндрической (R1=oo, /?2=7?) оболочки с учетом лишь инерци-
<онных сил, происходящих от нормального перемещения, согласно
приведенным выше соображениям, системе уравнений A.7.56),
я также следующим представлениям:
h t Г I Г V I "> / Т Т Г'
ш = [4 —
A.7)
запишется следующим образом:
A dot "T" 12 [^ u ~Г" 1Щ~ п ""^р 22~
100 (
= О,
A.8)
где
F=F (я, C, /), ЧГ=ЧГ (я, р, t) — искомые функции, р=Т(/?
жести
F=F (а, |3, /), ЧГ=ЧГ (я, р, ^) — искомые функции, p=fo/g
— удельный вес материала оболочки, g — ускорение силы тя-
тяти) ,
д*
A.9)
К системе уравнений A.8) следует присоединить граничные
условия, которые запишутся следующим образом (рис. 59):
при а = 0, а=а
w =-- v = Мг = Тг = <j> = О,
при р = 0, ^ = Ь

1] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Решение системы A.8) представим в форме
F(a, P, t) = Fmnsm'klasinK$cosmmnt,
W (а, р, t) = Wmn sin Xx« sin X2p cos u>mnt,
347
A.10)
где Fmn, Ч1^ — некоторые постоянные, л1=ттг/а, \=пк/Ь, а —
длина панели, b — длина дуги поперечного сечения панели,
uimn — частота колебаний, т и п — це-
целые числа, показывающие число полуволн
по продольным и поперечным направ-
направлениям соответственно.
Легко заметить, что представления
A.10) полностью удовлетворяют гра-
граничным условиям шарнирного опира-
ния по всему контуру панели.
Подставляя значения F и х? из
A.10) в систему A.8), получим сле-
следующую однородную систему алгеб-
алгебраических уравнений относительно коэффициентов Fm
Рис. 59.
ЦЦ
+ «44 (^22^1 + ЯббЧ
= 0,
, - 2BltBm) ЦЦ +
[a55 (ВпЦ + 56eX2) +
[Вц^Х* + (BUB22 -
= 0.
A.11)
Приравнивая нулю определитель однородной системы A.11),
получим для частот собственных колебаний ортотропной панели

348 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
следующее выражение:
[ГЛ. IIJ
~
где
« = ! + "JO" (а55&П + а«&
Ы,' AЛ2)
A.13)
Ь12 = ХХХ
Формула A.12) получена на основании уточненной теории
с учетом поперечных сдвигов. В частном случае классической тео-
теории, полагая аи—а55=0, получим
Wo
Ч
Сравнивая формулы A.12) и A.14), замечаем, что поправка
к классической теории, обусловленная учетом поперечных сдвигов,
существенным образом зависит не только от величины постоянных
упругости материала оболочки, но и от числа полуволн в продоль-
продольном и поперечном направлениях оболочки. Легко заметить также,
что с увеличением числа полуволн поправка к классической теории
увеличивается.
В частном случае трансверсально изотропной оболочки, когда
в каждой точке плоскость изотропии материала оболочки парал-
параллельна срединной поверхности оболочки, имеем, согласно A0),
A1), A.1.11), следующие выражения для коэффициентов упру-
упругости:
#66 — G—
2A-v)'
?2
A.15)

S 1]
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
349
Тогда из A.12) получим следующее выражение для частот
колебаний трансверсально изотропной цилиндрической панели:
...2 _gD
ТоА 1 + h*az (Х{ + Ц)
(Ч + ЧJ'
где
12 A — v2)
~ 10 a* (I — v2) G'
A.16)
A.17)
Параметр h* представляет поправку к классической теории от
учета явлений, связанных с поперечными сдвигами. Полагая h*
равным нулю, из A.16) получим формулу для определения частот
колебаний изотропной оболочки:
A.18)
Эта формула, как нетрудно заметить, безразлична к отношениям
типа E/G'. Поэтому она, вообще говоря, не может быть использо-
использована в случае трансверсально изотропной оболочки, тем более
когда определяются высшие частоты колебаний существенно ани-
анизотропных (трансверсально изотропных) оболочек {E/G' ^> 1).
Для наглядного представления закономерностей изменения
частот колебаний панели в зависимости от изменения параметра
h* и подъемности оболочки {а/В) в нижеследующей таблице при-
приведены значения отношения <° /smji, соответствующие некоторым
тонам колебаний (тге=1, га=1; т=2, п=2) трансверсально
изотропной панели {а=Ь, v=0), вычисленные по формуле A.16).
Рассматривая расчетные формулы A.12), A.14), A.16),
A.18) и таблицу 7, замечаем: с увеличением параметра h*, т. е.
Таблица 7
Л*
0,00
0,002
0,005
0,01
0,05
в =
О>11
Ш11
1,0000
0,9807
0,9539
0,9137
0,7092
= со
1,0000
0,9293
0,8466
0,7475
0,4494
н =
о„
1,0000
0,9837
0,9615
0,9282
0,7637
= 2а
ffi2I
1,0000
0,9302
0,8486
0,7510
0,4599
н =
ш„
о>и
1,0000
0,9891
0,9742
0,9522
0,8481
= а
<»»
1,0000
0,9326
0,8543
0,7609
0,4886
¦отношений типа Bik/Bi3, {E/G'), частоты колебаний уменьшаются
¦по сравнению с частотами, найденными по классической теории
,(ft*=0); различие между частотами колебаний, найденными по
^классической теории и по уточненной теории, менее заметное для

350
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. III
частот низших тонов колебаний, становится более существенным
для частот высших тонов колебаний; с увеличением подъемности
оболочки удельный вес членов, представляющих явления попереч-
поперечных сдвигов, уменьшается.
2. О свободных колебаниях трансверсально изотропной сфери-
сферической оболочки. Рассмотрим задачу собственных колебаний
трансверсально изотропной замкнутой сферической оболочки,
когда в каждой точке оболочки плоскость изотропии материала
параллельна срединной поверхности оболочки. Пренебрегая тан-
тангенциальными составляющими сил инерции, можно записать ис-
исходное уравнение движения оболочки, согласно A.8.35), следую-
следующим образом:
[с2 (Д + IJ + 1 - й*Д] (А + 2) w =
где
A.19)
12 A — vs)
h* =
Eh"-
10 A —
а оператор Лапласа на сфере, описанной в географической системе
координат а, [3 (A=R, B = Rsin а)
I (рис. 60), имеет вид
= —: ^-(sin а —14-
sm 1 \_дз. \ да; ¦
Рис. 60.
Подставляя значение и; из A.22)
W получим следующее уравнение:
[с2 (Д -f iJ + 1 — А*Д] (Д + 2) W —
Очевидно, отыскание общего
решения уравнения A.19) сопря-
сопряжено с некоторыми трудностями.
Поэтому будем ограничиваться
лишь некоторым классом решений,
как зто обычно делается и в случае
изотропной оболочки. Представим
решение уравнения A.19) в форме
Н7(я, р, t) = W(a, |3)sinorf. A.22)
A.19), для определения
A.23)

I 1 1 СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 351
Затруднительно также отыскание общего решения уравнения
A. 23). Поэтому ограничиваемся классом решений, являющихся
решениями следующего дифференциального уравнения:
MV + \W = O, A.24)
и удовлетворяющих граничным условиям для w, т. е. условиям
непрерывности и однозначности w на сфере.
Из A.23), согласно A.24), для частот собственных колебаний
трансверсально изотропной сферической оболочки получим
Ш2_ SE 0 2 ct(x-i)* + i+ AT.
Формулой A.25) собственные частоты оболочки представлены
с помощью пока еще неизвестного параметра X.
Значения параметра X определим из уравнения A.24), которое
подробно изучено. Решение уравнения A.24) ищется в виде
sin к В,
*<¦•» = *<¦> cos *?
Условие однозначности функции W (а, В) на сфере требует,
чтобы к было нулем или целым числом (к=0, 1,2,.. .).
Подстановка значения W в A.24) с учетом обозначения cos a=
=х приводит к известному уравнению
?[«-*>¦?]+(*-г*з)*=°
(fc = 0, 1, 2, ...),
собственными функциями которого являются присоединенные
функции Лежандра.
Нетривиальное ограниченное решение этого уравнения суще-
существует лишь при собственных значениях
(п = 0,1,2, ...). A.26)
которым соответствуют следующие собственные функции:
(fc = 0, 1, 2, ...),
где полином Лежандра

352 КОЛКБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. Ill
Возвращаясь к уравнению A.24), находим систему его
решений:
& = 0: W0(a, $) = Pncosa;
fc=l: W_x{at В) = pw (cos a) sin B,
— n: W_n{a, ,8) = PC") (cos a) sin w
Напомним, что полиномы Лежандра Ря (х) в интервале (— 1,
+ 1), т. е. в интервале изменения a @, тс), имеют п нулей. Присоеди-
Присоединенные функции Лежандра Pj,fc) (ж) имеют п—к нулей.
Как известно, sin «р и cos пВ обращаются в нуль на In мери-
меридианах, а P?fc) (х) (в интервале О <I a <^ тс) — на и—& широтах.
Следовательно, этими меридианами и широтами (узловыми линиями)
оболочка разбивается на участки, внутри которых Wn не меняет
свой знак. Это значит, что параметр \ определяет вид формы коле-
колебаний оболочки. Чем больше параметр X, тем меньше размеры по-
полуволн.
3. Осесимметричные свободные колебания анизотропной кру-
круговой цилиндрической оболочки. Осесимметричные колебания
круговой цилиндрической оболочки, в каждой точке которой име-
имеется лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная сре-
срединной поверхности оболочки, согласно A.3.36) и исходным по-
положениям настоящего параграфа описываются следующим урав-
уравнением:
—i \~2m-—- 4-nw-\-T.—^-A-3-r = 0, A.28)
ds ' ds2 ' ' Du g dt" v '
где
A.29)
2, 12Д2
~T~
Пусть оболочка свободно оперта по торцам (s=0, s=l/R),
т. е. имеем следующие граничные условия (рис. 61):
при s=0
при s—1/R
w = Ml=Tl = S12 = 0.

§ 1]
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
353
Решение уравнения A.28) ищем в виде
S, t)=:AkS10—-.— S Sin
A.30)
где Ак — неизвестные постоянные, <ofc — частоты колебаний.
Принимая A.30), полностью удовлетворяем граничным усло-
условиям, а удовлетворяя уравнению A.28), получим для частот
колебаний следующую формулу:
Полученная здесь формула для определения частот колебаний
рассматриваемой оболочки позволяет ставить задачи оптимального
проектирования, конечно для рас-
рассматриваемого частного случая. Изме- I
няя материал оболочки или, что очень
важно, ориентацию главных направ-
направлений упругости материала оболочки,
можно проектировать оболочки
с требуемыми частотами свободных
колебаний.
Пусть, например, оболочка изго-
изготовлена из ортотропного материала,
главные направления упругости ко-
которого в каждой точке оболочки
с главными геометрическими направ-
направлениями оболочки (s и 0) могут со-
составлять произвольный угол. В ча-
частности, пусть в каждой точке
оболочки главное направление упру-
гости составляет с главным геоме-
геометрическим направлением s угол <р
(рис. 61). Пусть, далее, оболочка составлена из однородного-
материала (Cik=hBik); тогда для коэффициентов тип, входящих,
в расчетную формулу A.31), будем иметь , i
Рис. 61.
_
~ Bh) g6
B11(B11Bea-Bla)
I • '
Имея значения упругих постоянных материала оболочки в глав-
главных направлениях упругости, с помощью формул A.1.42) или
(П.9.38) легко определить значения коэффициентов В4к, входя-
входящих в A.32).
Имея значения всех Bik, с помощью формул A.32) определим
значения тип при различных значениях угла у и далее с помощью
23 С. А Амбарцумян

354 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. III
формулы A.31) найдем значения частот колебаний оболочки при
различной ориентации ортотропного материала в теле оболочки.
Рассматривая эти результаты, замечаем, что, изменяя лишь
ориентацию материала в теле оболочки, мы можем существенно
изменить динамические характеристики оболочки. Безусловно,
полученные результаты относятся к частному случаю осесимметрич-
ных колебаний оболочки при определенных граничных условиях,
при определенной геометрии оболочки и при определенно задан-
заданном ортотропном материале. Однако, несмотря на это, сделанные
выше выводы имеют достаточно общий характер и могут считаться
корректными.
§ 2. Некоторые вопросы статической устойчивости
анизотропных оболочек
За последние годы вопросы устойчивости оболочек привле-
привлекают всеобщее внимание исследователей. Имеется громадное ко-
количество работ, посвященных этому весьма актуальному вопросу
современной теории оболочек.
В настоящей главе приводится лишь ничтожная часть этих
исследований, представляющая интерес с точки зрения теории
анизотропных слоистых оболочек.
Общая система дифференциальных уравнений устойчивости
анизотропных слоистых оболочек достаточно сложна и громоздка
и не всегда может быть использована для решения многочислен-
многочисленных задач, представляющих интерес с точки зрения приложений.
Однако для выяснения многих вопросов теории и для решения кон-
конкретных задач устойчивости общая система уравнений может
быть существенно упрощена.
Упрощенная система дифференциальных уравнений устойчи-
устойчивости анизотропных оболочек может быть получена на основании
уравнений теории пологих оболочек (см. гл. I, §§ 5 и 14).
Полагая, что основное напряженное состояние оболочки до
потери устойчивости является безмоментным, и ограничиваясь
точностью классической теории пологих оболочек, получим для
компонент интенсивности фиктивной поверхностной нагрузки
известные представления:
S\ X* = 0, Y* = 0. B.1)
Заменяя в соответствующих уравнениях (например, A.5.14),
A.5.21), A.5.27), A.5.46), A.14.12), A.14.30), A.14.41) и др.)
Z, X, Y значениями Z*, X*, Y*, получим уравнения локаль-
локальной устойчивости соответствующей анизотропной слоистой обо-
оболочки.
Картина несколько изменяется при рассмотрении задач устой-
устойчивости по уточненным теориям. В этом случае представления
B.1) не всегда приемлемы, ибо возникают вопросы, связанные

§ 2j СТАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
355
с учетом искривления и нарушения нормальности поперечного
элемента оболочки. Эти вопросы требуют дополнительных ис-
исследований, более корректных, чем это сделано до сих пор неко-
некоторыми авторами.
Здесь, сознавая незавершенность исследований в этой области,
при рассмотрении задач устйчивости оболочек с учетом попереч-
поперечных сдвигов все-таки будем пользоваться представлениями B.1),
которые в первом приближении позволяют выяснить влияние по-
поперечных сдвигов на устой-
устойчивость анизотропной обо-
оболочки.
1. Устойчивость пологой
ортотропной цилиндрической
панели. Рассмотрим задачу
статической устойчивости по- и
логой ортотропной круго-
круговой цилиндрической панели
(i?1=co, R2=R), сжатой
вдоль образующих равномер-
равномерно распределенной нагрузкой
с интенсивностью р, приложенной по торцам оболочки (рис. 62).
Пусть оболочка изготовлена так, что главные направления
упругости материала ее совпадают с координатными направле-
направлениями а, $ (А = 1, В — 1). Пусть, далее, оболочка шарнирно оперта
по всему контуру {а.—а, а=0; $=Ь, [3=0).
Очевидно, что в рассматриваемой оболочке в безмоментном
состоянии появляются следующие внутренние силы:
Ц = —р, Го = О, S» = 0. B.2)
Тогда, согласно B. 1), получим
Z* = Т% = —р -^-. B.3)
Разрешающую систему получим из системы уравнений
A.7.56). Принимая A.7) и вместо Z подставляя Z*, получим
Рис. 62.
В.
а55
hi
I Г \ I hi
-f atiL22) -f аиа&& щ
= 0,
B.4)
где для операторов Llk имеем формулы A.9).
23*

356 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧКИ [ГЛ. Ш
Решение системы B.4) представим в виде
B.5)
где тип — целые числа, которые показывают числа полуволн
по направлениям аир соответственно.
Принимая B.5), удовлетворим условиям шарнирного опира-
ния по всему контуру.
Подставляя значения F и 4я из B.5) в систему уравнений
B.4), получим относительно коэффициентов Fmn и л?тп однород-
однородную систему двух алегебраических уравнений. Приравнивая нулю
определитель этой системы, будем иметь для определения крити-
критической силы следующую формулу:
] g _JL_g, B.6)
где, как и раньше,
(«& + «^) + «^ (^11^22 ~ b'h), J
6, 61S = VS (S12 + Sco)-1
Формула B.6) получена на основании уточненной теории,
учитывающей явления поперечных сдвигов. В частном случае
классической теории, т. е. когда пренебрегают явлениями, свя-
связанными с поперечными сдвигами, полагая а44=1/6?23=0, а55=
=1/6?13=0, получим
(ЧЬ + 2ХМ, + Х^2) + **«* ,^1 bh . B.8)
В случае трансверсально изотропной оболочки, когда в каж-
каждой точке плоскость изотропии материала оболочки параллельна
срединной поверхности оболочки, в силу A.15) получим
_. _ D (Ч + М)» | Eh Ц
^« — Ц 1 + ft*o2 (Ц + Ц) "Г Д2 (Х| + Х|J ' ^- °^
где, как всегда,
12 A—^2) ' " "~Тоо5A—v2)
Рассматривая формулы B.6)—B.10), замечаем, что критиче-
критическая сила вообще и величины, входящие в зти формулы и представ-

§ 2] СТАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 357
ляющие явления, связанные с учетом поперечных сдвигов, в ча-
частности зависят от формы волнообразования (т. е.от чисел тип)
срединной поверхности панели при потери устойчивости. С уве-
увеличением чисел ffi=l, 2, 3,. . . и п=\, 2, 3,. . . влияние членов,
представляющих поперечные сдвиги, увеличивается.
Далее, следует указать, что с увеличением параметра h*
увеличивается расхождение между значениями критических сил,
найденными по классической теории (h*—0) и по уточненной тео-
теории. Причем, как и следовало ожидать, критическая сила, най-
найденная по уточненной теории, всегда меньше соответствующей
критической силы, опрделенной по классической теории.
Наконец, укажем, что, минимизируя р*тп по т и п, из B.6),
B.8) и B.9) получим значения т и п, при которых р*тп получат
свои минимальные значения, т. е. найдем верхние критические
значения напряжения, при котором оболочка теряет устойчивость,
2. Две задачи устойчивости замкнутой трансверсалыго изо-
изотропной цилиндрической оболочки. Рассмотрим замкнутую круго-
круговую цилиндрическую оболочку, изготовленную из трансверсально
изотропного материала так, что в каждой точке оболочки плоскость
изотропии параллельна срединной поверхности оболочки. Система
координат выбрана так, что i?1=co, R2=R, A—I, 5 = 1. Пусть,
далее, рассматриваемая оболочка шарнирно оперта по торцам
(«=0, а=1).
а. Оболочка находится под совместным
действием осевого и равномерно рас-
распределенного поперечного давлений. На-
Нагрузка, приходящаяся на единицу длины
дуги поперечного сечения оболочки, равна
р, а интенсивность равномерного попереч-
поперечного давления q. Для начального безмоментного состоя-
состояния имеем
Ц = —р, T\ = -qR, 5» = 0, B.11)
тогда для Z* получим
7*— n d*W пй diw Г9 19\
Следовательно, для решения задачи статической устойчиво-
устойчивости рассматриваемой оболочки, согласно A.8.23), получим сле-
следующую систему дифференциальных уравнений:
" R даЗ ~г" Д да др '
д2 2 + v d^w I
В
+ ф !%

358
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. III
где
Eh?
Eh*
-?г + Ж- B-14)
12A— м2)' " ~~ 10 A — v2) G'
Решение системы B.13) представим следующим образом:
. тпа . ий
и = A cos —г— sin -S-
{ ?1
г. . тъа пВ
V = В Sin —г- COS -=j-
w=C sin
j
I
sin
ti
B.15)
где А, В, С — некоторые постоянные, I — длина оболочки, т,
п — целые числа, характеризующие волнообразование средин-
срединной поверхности оболочки.
Принимая B.15), удовлетворяем условиям шарнирного опира-
ния по торцам.
Подставляя значения и (а., |3), v (a, |3), w (а, Щ из B.15)
в систему уравнений B.13), после некоторых преобразований
получим следующую однородную систему алгебраических урав-
уравнений относительно неизвестных постоянных А, 5, С:
В (X2 + п2) = —С [B + v) X2 + п21 п,
(Х.2 + «2J
где
Л ^^
J
ЕЮ
= 0,
12A —
10 A —
B.16)
B.17)
Очевидно, что тривиальное решение системы B.16) А=В=
=С=0 нас не будет интересовать.
Из условия существования нетривиального решения, из треть-
третьего уравнения однородной системы B.16), получим соотношение
для определения критической комбинации нагрузок ряд:
Eh
= с-
+ h*
B.18)
В случае классической теории (h*=0) формула B.18) пере-
перепишется следующим образом:
= с2(Х2 + п2)- + 7Т———. B.19)
Уравнение B.18) отличается от соответствующего уравнения
классической теории B.19) лишь наличием члена с множителем h*,

§ 2] СТАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
359
т. е. члена, учитывающего явления поперечных сдвигов. Поэтому
дальнейшее исследование уравнения B.18) ничем не отличается
от анализа классического уравнения B.19).
Не вдаваясь в подробности, укажем, что с помощью уравнения
B.18) нетрудно определить те комбинации чисел тип, при ко-
которых нагрузки р и q получат свои критические комбинации в слу-
случае учета поперечных сдвигов.
б. Оболочка находится под действием
крутящих моментов Мо, приложенных по
концам оболочки. Такая нагрузка в оболочке вызывает
следующие внутренние силы безмоментного состояния:
Г° —О, Т\ = 0, 50 = Ж0/2тсД2. B.20)
тогда для Z* получим
В этом случае первые два уравнения системы A.8.23) остаются
неизменными, а третье уравнение принимает следующий вид:
§^5^ = 0. B.22)
Граничные условия свободного опирания удовлетворяются
приближенно, а именно:
при а = 0, a = l w — 0, B.23)
т. е. удовлетворяются лишь условия, накладываемые на нормаль-
нормальное перемещение.
Такая форма удовлетворения граничных условий позволяет
решить задачу с помощью лишь уравнения B.22), без учета пер-
первых двух уравнений системы A.8.23).
Решение уравнения B.22), удовлетворяющее условиям B.23),
можно представить в виде
тогда условия B.23) сводятся к следующим уравнениям:
]
Сх sin (* i - в 1) + С2 sin (,21 - в I) = 0. j
Условия B.25) имеют место при любом |3 и отличных от нуля
значениях Cv лишь если
sin(fj.2 — !л1)^- = 0,

360 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. III
т. е. когда
^_^=2трЯ (m=1> 2> } B26)
Подставляя B.24) в B.22), получим
Отсюда для определения критического значения крутящего мо-
момента получим следующее выражение:
Мл — nR2Eh ie2 (^ + ге2J 4—^—1 B 28^
где с2 и fe* определяются по формулам B.17). Здесь p..(i=i, 2) —
некоторые параметры, которые удовлетворяют условию B.26).
Кроме того, параметры ц( должны быть такими, чтобы выражение
B.28) для критического значения крутящего момента имело одно
и то же значение при ?=1 и i=2.
На основании сказанного выше нетрудно каким-либо извест-
известным способом определить критическое значение крутящего мо-
момента с учетом явлений, связанных с поперечным сдвигом.
3. Об устойчивости трансверсально изотропной сферической
оболочки. Пусть замкнутая сферическая оболочка находится под
действием равномерно распределенного по поверхности нормаль-
нормального внешнего давления <7=const.
Под действием равномерно распределенного нормального дав-
давления q в оболочке в безмоментном состоянии появляются следую-
следующие внутренние силы:
7* = —«?-, Т° = —Щ-, 5° = 0. B.29)
Тогда в силу A.8.26) и B.29) из B.1) получим
где А — безразмерный (A=R, B=R sin а) оператор Лапласа,
который в принятых здесь географических координатах имеет вид
. _ 1 Гд / . д\1

§ 2) СТАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 361
Таким образом, заменяя Z выражением Z* B.30), из уравнения
A.8.35) получим уравнение устойчивости рассматриваемой сфе-
сферической оболочки:
где
° 12 A — V2)fl2' 10A- v
Это уравнение должно решаться при соответствующих гранич-
граничных условиях для w. В данном случае граничными условиями для
w являются условия непрерывности и однозначности решений на
сфере.
Полагая в уравнении B.31)
Lw = —\w, B.32)
получим для искомой постоянной величины Хследующее характери-
характеристическое уравнение:
g-v_X)]B-X)==0. B.33)
Отбрасывая тривиальное решение Х=2, имеем
g-l-fv) = O. B.34)
Отсюда для определения критической силы получим
2Eh С2(Х — 1J+
Рассматривая q как функцию параметра X, легко получить ми-
минимальное значение выражения B.35), которое и будет представ-
представлять искомое значение критической силы:
* 2ЕЬ 2с — 2vc2 + Zh* /
q =
q =~R l+2h*lc
или с принятой здесь точностью
ff*_2|*Bc —2vcs —А*). B.37)
Полагая в этих формулах h*=0, получим известное выраже-
выражение критической силы для изотропной сферической оболочки:
* 4?й , ,. 2Eh
Рассматривая расчетные формулы B.36)—B.38), замечаем,
что критическая сила, найденная с учетом явлений, связанных
с поперечными сдвигами, при некоторых значениях отношений

362 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. III
h/R, E/G' может существенно отличаться от критической силы,
найденной по классической теории. Учет поперечных сдвигов,
как и следует ожидать, снижает значение критической силы. В этом
мы не раз убеждались и раньше, при рассмотрении задач устойчи-
устойчивости различных оболочек.
4. К устойчивости анизотропной круговой цилиндрической
оболочки. Рассмотрим задачу устойчивости круговой цилиндриче-
цилиндрической оболочки, когда материал оболочки обладает лишь одной
плоскостью упругой симметрии, в каждой точке параллельной
срединной поверхности оболочки.
Пусть оболочка загружена по торцам (s=0, s=l/R) равномерно
распределенной нагрузкой с интенсивностью р. Оболочка шар-
нирно оперта по концам. Тогда для основного безмоментного со-
состояния оболочки будем иметь
Ц = —р, Ц = 0, S° = 0. B.39)
В силу этого из B. 1) получим
Будем изучать лишь осесимметричные* формы потери устойчи-
устойчивости рассматриваемой оболочки. Согласно A.3.36) и B.40)
уравнение устойчивости запишется следующим образом:
где, как и раньше, для коэффициентов т и п имеем A.29).
Решение уравнения, удовлетворяющее условиям шарнирного
опирания, ищем в форме
со
~~ ' " B-42)
где I — длина оболочки, R — радиус кривизны, fk — неизвестные
постоянные, к — целые числа, характеризующие формы потери
устойчивости.
Подставляя значение w из B.42) в уравнение B.41), получим
следующую формулу для определения значений р, при которых
возможны осесимметричные формы потери устойчивости:
B.43)
Отсюда легко определить наименьшее значение рк, т. е. кри-
критическое давление

§ 2] СТАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 363
соответствующее следующему числу полуволн:
Рис. 63.
Рассматривая формулы B.43), B.44), A.29), замечаем, что
как критическое давление, так и число полуволн существенным
образом зависят от упругих характеристик материала оболочки.
Очевидно, что изменяя ориентацию мате-
материала в теле оболочки, т. е. угол ср, полу-
получим для основных упругих коэффициентов
оболочки Bik различные значения. Значения
5.. легко определяются с помощью формул
A*1.34), A.1.42).
Ясно также, что каждой группе коэффи-
коэффициентов Bik будут соответствовать свои ко-
коэффициенты тип.
Рассматривая приведенные результаты,
видим, что, меняя ориентацию материала
в оболочке, можно существенно изменить
характеристики устойчивости оболочки.
5. Вопросы устойчивости слоистых ор-
тотропных оболочек. Пусть оболочка собрана
из произвольного числа однородных орто-
тропных слоев, расположенных в теле обо-
оболочки так, что в каждой точке каждого слоя
главные направления упругости совпадают с главными геометри-
геометрическими направлениями оболочки а, C, у (см. гл. I).
Очевидно, для слоистых оболочек в общем случае безмомент-
ное напряженное состояние невозможно. В этом легко убедиться,
рассматривая соотношения упругости многослойной оболочки
A.11.2). Поэтому при решении задач устойчивости многослойных
оболочек, вообще говоря, следует докритическое состояние обо-
оболочки считать моментным.
Таким образом, в отличие от предыдущих пунктов настоящего
параграфа, будем считать, что основное, докритическое состояние
оболочки является моментным. Будем полагать также, что диф-
дифференциальные уравнения устойчивости анизотропной слоистой
оболочки могут быть получены на основании уравнений теории
весьма пологих оболочек (см. гл. I, § 14).
Выберем координатную систему так, чтобы коэффициенты
первой квадратичной формы были равны единице (^4 = 1, В=\),
а координатная поверхность 7=0 проходила внутри какого-либо
слоя оболочки (в частном случае она может совпадать с поверх-
поверхностью контакта двух каких-либо слоев, т. е. A=8f) (рис. 63).
Пусть начальное моментное состояние оболочки характеризу-
характеризуется нормальным перемещением w (а, Щ и функцией напряжения

3(i4
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ, III
<р (a, P). Тогда для определения начального напряженного состоя-
состояния мы можем использовать уравнения A.14.64)*):
,(D-D»)w-L3(d)9-VR?-L(w, <?) = Z, \
±L(w, w) = 0,
B.45)
где, как и раньше,
Lx (D - О») = (DU-
+ (D
22 "li) щ
2 (Dm — 1
д* , л di
(d) = d21 ^-t -f (dn
V —lil-L-Lii
B.4H)
{w, ^^2^^-^) j,
B.47)
а для жесткостей, входящих в линейные операторы B.46), в случае
ортотропной оболочки имеем
- 3?-!) - 2Д (8. - 8..,)].
B.48)
а также следующие комбинации из них:
Л ^22 Л СЧ Л
л ^12 о г г г2
Л12 ц , — 0 ^11^22 °1
B.49)
*) Ради преемственности результатов здесь главные кривизны недефор-
мированной координатной поверхности y=0 fci и ^2 считаются положитель-
положительными, если центр кривизны лежит с выпуклой стороны оболочки.

§ 2j СТАТИЧКСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
365
«22 =
о12 =
0 '
— ™б = •"¦ б
B.50)
B.51)
Таким образом, системой B.45) будет определяться началь-
начальное моментное состояние оболочки. Однако при определенных со-
соотношениях геометрических и механических параметров оболочки
это состояние может оказаться неустойчивым, и оболочка под
действием малых возмущений bw и &р перейдет к новой, устой-
устойчивой форме равновесия. Тогда во втором состоянии будем иметь
1 = w-\- bw, cpj = ср -f- 8-f.
B.52)
Подставляя B.52) в систему уравнений B.45), получим следую-
следующую систему линейных дифференциальных «уравнений в вариа-
вариациях» относительно 8ш и Зщ:
Ll (D —
L2(A)by
ош — L3 (d) 8? — VB5cp = L {bw, -f)+L(w, 8<p),
(d)bw
= — L(bw, w).
B.53)
Таким образом, решение задач устойчивости моментного на-
напряженного состояния многослойной анизотропной оболочки при-
приводится к интегрированию двух систем дифференциальных урав-
уравнений: B.45) и B.53). К этим системам уравнений должны быть
присоединены граничные условия, которые для системы B.45)
имеют обычный вид, а для системы B.53) однородны и на основа-
основании B.52) вытекают из граничных условий начального напряжен-
напряженного состояния. При этом необходимы будут также полученные
ранее представления
B.54)
(л д2 I Л <?2
= (Л22 —2 +А 12^
д-w

366
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
1ГЛ. Ill
^6
B.55)
<^У_ с
У 2 == ^22S2 Г" ^12S1 "Т" ¦2Х2 Г" 12Х]>
5 = С66<о -f- А6т,
B.56)
B.57)
ди
Т
w
Ж
dv . i /dw\2 w
~df "¦" ~2 \lf) Л^
ди . dv . dw dw
да*
ЬТШ •
B.58)
На основании приведенных уравнений и расчетных формул
могут быть решены задачи устойчивости моментного состояния
различных типов анизотропных слоистых оболочек.
1. Рассмотрим многослойную замкнутую круговую (/?а=сх),
R2=R) цилиндрическую оболочку, шарнирно опертую по торце-
торцевым линиям (и=0, a=l; I — длина оболочки) координатной по-
поверхности у=0. Пусть оболочка загружена нормально приложен-
приложенной к внешней поверхности осесимметрйчной равномерно рас-
распределенной нагрузкой с интенсивностью q, т. е. Z=q, X=0,
F=0.
Очевидно, напряженно-деформированное состояние оболочки
до потери устойчивости будет моментным и осесимметричным.
Для определения этого состояния из B.45) получим следующую
разрешающую систему дифференциальных уравнений:
("и — ип) ^Г — °2i dai Rd*z~
B.59)

§ 2] СТАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
367
к которой должны быть присоединены следующие граничные
условия:
при и = 0 Mx — Q, w = 0, T1 = 0
при а = 1 Л/1==0, ш = 0 ^ = 0
В силу осесимметричности начального состояния система
дифференциальных уравнений устойчивости B.53) перепишется
следующим образом:
bw)
Г
д* (Ъ?)
B.61)
К уравнениям B.61) необходимо присоединить следующие
однородные граничные условия:
при а = 0 ЬМ1 = 0, §ш = 0, оГ1 = 0, 8у = 0
при а = 1 Ш1 = 0, 8ш = 0, 8Г1 = 0, 8^ = 0
Из системы уравнений B.59), в силу граничных условий B.60)
и соотношений B.54)—B.58), получим для определения и; (а)
следующее дифференциальное уравнение:
Решая уравнение B.63) и удовлетворяя граничным условиям
B.60), получим для искомого перемещения w (а) следующее выра-
выражение:
w — CLem cos ta -f- C2e~m cos Ы -f- C3eea sin ta -f-
-f- CierM sin ia -f- A22R2q,
где
—4' ~*~—H 2i_
s —
B.E4)
B.65)
а для постоянных интегрирования с точностью 1+е"";л; 1 имеем
С1 — (a sin tl — А22Яе~"' cos ?Z) Лд,
С2 = — (a sin Й -f- A22R) Rq,
6'3 = — (a cos tl -f- Л22Ле-" sin tl) Rq,
C4 — (aesl — A22Re~sl sin tl) Rq,
B.K6)

368
где
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
„ _ ~ И22 (Рц ~ Oil) + dill (S2 - <2) Д Л ._„
в— 2.» 1^и (Рц - P?i) + «4il 22 "
[ГЛ. III
В последующем нам необходимо также знать значение d?<p/da2.
Из B.59), согласно B.54)—B.60), легко получить
v- = — ——(1 ТТ + "Б-). B.67)
Точное решение уравнения начального моментного состояния
оболочки B.64) представим в виде бесконечного тригонометриче-
тригонометрического ряда по косинусам:
W-
=2fk cos х*и> х*=~г
B.68)
где согласно второму уравнению системы B.59)
B.69)
Далее, в силу B.64)—B.66) для коэффициента разложения fk
получим
/* = {Kci - ед е" - (С, + СкС,) в] (-l)fc cos tl +
I e" -f (CkC2 — Ct) e~"] (—l)fc sin tl — Cx -f C2 -f-
2S S2 + 12 _|. ц ,
I (s2-
где
-f Л22Л2д 1 j cos ^ a da, B.70)
= 0, 1, 2, 3,...,оо).
Решение системы уравнений устойчивости B.61) будем искать
в виде
= COS
т=1
B.71)

{ 2] СТАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
369
Представления B.71) удовлетворяют граничным условиям
B.60) и условиям замкнутости оболочки по координате р.
Подставляя в B.61) значения w,d?y/da2, Su? и 8<р соответственно
из B.68) и B.71), получим следующую систему алгебраических
уравнений:
«.л - К» - i) ьр+4 B ¦«*¦+
m— 2 IVA»— 2 4-Jr-J>m~
m=l m=l
- 2 ^/„-A. + 2 ^U
«я=г m=l
^ +4B Xr-Jr^m +
2 *и~*ш- 2 ^+r/m+r
l
-о,
B.72)
где для Ф^ имеем
B.73)
Исключая bp из системы уравнений B.72) и пренебрегая не-
нелинейными членами, приходим к следующей бесконечной системе
алгебраических уравнений:
B.74)
5есь
т. — \ 1 ft
24 С. А.
(ф3рк-^J +
(i = р — тп,
Амбарцумян
- 2
m=p-f-l
Фхя»Ф2р»
т — р,
1
/re-fp).
B.75)

370 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК 1ГЛ. III
Очевидно, тривиальное нулевое решение системы B.74) нас
не будет интересовать. Тогда, приравнивая нулю детерминант
матрицы коэффициентов системы B.74), получим условие для
определения критической силы. Для наглядности приведем уко-
укороченный вид этой бесконечной матрицы:
Vi-2W0+W1+1 -WVi + ^2+1 -ИЪ-1 + ИЪн...
-WVi + Wi+2 V2 - 2W0 + W2+2 -W3.2 + W3+2 ..
W
2+3
B.76)
Таким образом, поставленная задача, т. е. определение кри-
критического значения внешнего давления Z=q, привелась к отыска-
отысканию наименьшего собственного значения матрицы B.76).
Рассмотрим численный пример. Пусть оболочка составлена
из двух ортотропных слоев одинаковой толщины h(=0,5 h (?=1, 2).
Пусть, далее, для механических характеристик слоев имеем
0,5E, vp) = v^)=0, G$=0,2E.
Принимаем также, что l/R=n/Q, h/R—l/100 и A=h, т. е.
закреплена внутренняя поверхность оболочки*).
Тогда, согласно B.48), B.49) и неоднократно использованным
обозначениям В\у = ЕЦ{\ — vjv«), В[г = ЕЦ{\ — v'v*), В*2 =
= 4ЕЦA — ^у1) = ^Е1A — ^у1), B\a = G[v для коэффициентов
Aik, dik, Dik, D°ik получим
А А A А0
no A Fh3 Г>о — — Fh3 Г>о — i_ Fh3 П0 — 0
Из B.73) для Ф( .„ получим
*) Иные значения Д здесь не рассматриваются. Однако укажем, что спе-
специальным исследованием, выполненным на основании изложенной здесь
теории, установлено влияние величины Д на значение критической силы.

J 2] СТАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК .471
где
e, =i-i i (nY i ** (nY
*J» M80\// ~82944l// '
V» x ^ 48 \ / / ^ 10 368 \ / ) '
Далее, из B.75) имеем
Г п*~ f I 36
OPL1+400J +Й25У^Р4
Fp = :
Г П"- «2-1
. , 1 "^ 400 / i \2 , 1 + 400 / i \2 ,
(i = p — яг, яг — р, т-\-р).
И наконец, из B.70), согласно B.66), а также приведенным
выше численным результатам, для f( найдем
где q=A22R2q*/h — безразмерное внешнее давление.
Подставляя значения V и W{ в детерминант матрицы B.76)
и приравняв его нулю, получим для критического значения без-
безразмерного давления д=0,223, что имеет место при /г=13.
Теперь, если ту же самую задачу решать, формально полагая,
что начальное напряженное состояние оболочки является безмо-
ментным, то для безразмерного критического давления получим
^=0,251 при /г=13.
Приведенные результаты показывают, что учет начального
моментного состояния не изменяет формы потери устойчивости,
но приводит к некоторому снижению критического значения внеш-
внешнего давления. Эти результаты получены для весьма короткой
оболочки, для которой учет начального моментного состояния дол-
должен привести к наибольшим поправкам. В случае длинных обо-
оболочек поправка будет незначительной и формальное предположе-
предположение о безмоментности начального напряженного состояния может
привести к хорошим результатам.
2. Рассмотрим гибкую пологую оболочку, собранную из про-
произвольного числа однородных ортотропных слоев, загруженную
равномерно распределенным давлением с интенсивностью q,
нормально приложенным к координатной поверхности у=0.
Пусть оболочка перекрывает прямоугольный план (aXb)
и шарнирно оперта по всему контуру («=0, и=а; р=0, Р=Ь)
24*

372
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. Ill
(рис. 64), т. е. имеют место следующие граничные условия:
при а = 0, а = а М1 = 0, Т1 = 0, w = 0, v = 0;
Система разрешающих дифференциальных уравнений B.45)
в развернутом виде перепишется следующим образом:
B.78)
" oft* wp2 ^ (ja^ (/a2 d№
На примере рассматриваемой оболочки осветим некоторые осо-
особенности выпучивания несимметрично собранных слоистых гиб-
гибких оболочек.
При граничных условиях B.77) система уравнений B.78)
может быть проинтегрирована методом Бубнова—Галеркина.
Решение системы B.78)
представим следующим образом:
w = / sin Хя sin fj.p, X— —,
<р = <]>sinXasm (ip, A = -т-.
л
B.79)
Рис. 64.
Представление B.79) удов-
удовлетворяет условиям шарнирного
опирания B.77), а искомые функции найдутся из системы урав-
уравнений B.78).
Согласно методу Бубнова — Галеркина необходимо выписать
следующие уравнения:
а Ъ
И
F, sin Xa sin u,S da. dp = 0,
о о
a b
\ \ F2 sin Xa si
и u
B.80)

i 2] СТАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 373
С помощью B.78)—B.79) осуществляя преобразования B.80)
и из полученной при этом системы исключая коэффициент <J>, най-
найдем искомую нелинейную связь между прогибом центра оболочки
и нагрузкой:
j*f>+f q, B.81)
где
t = (Dn - D°n) X* + 2 [(D12 - ДЩ + 2 (D66 -
_ 512 XV
9 a262 A22U + (Л66 + 24„) Х2[х2
a b
q=z — f j g sin Xa sin (ip da dp.
о о
Существенное влияние на характер зависимости / — q оказы-
оказывает коэффициент s при /2.
Рассматривая B.82), замечаем, что коэффициент s сущест-
существенным образом зависит не только от кривизн координатной по-
поверхности 7=0 (что имеет место в однородных и симметрично
собранных слоистых оболочках, когда координатная поверхность
1=0 является срединной поверхностью оболочки), но и от коэф-
коэффициентов dik и тем самым от жесткостей взаимного влияния К.к,
которыми характеризуется несимметричное строение слоев по тол-
толщине оболочки.
Несимметричность строения оболочки по толщине при задан-
заданных значениях кривизн кх и к2 может привести к увеличению или
уменьшению коэффициента s, что в свою очередь приведет к уве-
увеличению или уменьшению склонности оболочки к хлопку.
Интересно заметить также, что при некоторых значениях жест-
костей Kik даже пластинка (^=0, к2~0) может терять устойчи-
устойчивость хлопком. Отметим также возможность потери устойчиво-
устойчивости хлопком оболочек отрицательной гауссовой кривизны.
Таким образом, при заданных значениях кривизн многослой-
многослойная оболочка в зависимости от характера слоистости может пре-
претерпевать деформации различных типов. В случае анизотропных
слоистых оболочек исследование характера деформирования сле-
следует вести, рассматривая совместно как геометрические, так и ме-
механические параметры оболочки, т. е. исходя из поведения коэф-
коэффициента s уравнения B.81).
В случае, когда s достаточно мало (очевидно, для этого нет
необходимости, чтобы оболочка была весьма пологой), или s < 0,

374
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. III
с увеличением стрелы прогиба / параметр нагрузки монотонно
возрастает (рис. 65, а). С увеличением s кривая q—/ приобретает
предельную точку и оболочка может деформироваться хлопком
(рис. 65, б). Дальнейшее увеличение параметра приводит к диаг-
диаграмме, в которой ветвь неустойчивых состояний лежит вблизи
Ч
а)
б)
Рис. 65.
В)
начальной ветви (рис. 65, в). Эта диаграмма, как известно, отно-
относится к оболочкам большой кривизны, однако такую картину можно
наблюдать и в случае слоистой весьма пологой оболочки.
В силу сказанного выше мы вновь приходим к заключению,
что в случае анизотропных слоистых оболочек чисто геометриче-
геометрический подход для определения качественной картины поведения
оболочки может привести к не-
недоразумениям.
Описанные здесь специфиче-
специфические особенности поведения
многослойных оболочек подт-
подтверждаются и частными приме-
примерами, которые здесь не приво-
приводятся. Укажем лишь, что, как
правило, при решении частных
задач используются известные
методы, применяемые в теории
Рис. 66. изотропных оболочек.
3. Рассмотрим задачу выпу-
выпучивания длинной слоистой орто-
тропной цилиндрической панели, шарнирно закрепленной по
длинным сторонам (р=0, Р=Ь) и загруженной нормально прило-
приложенной к координатной поверхности у=0, равномерно распределен-
распределенной нагрузкой с интенсивностью q (рис. 66).
Предполагается, что закрепление краев является нецентраль-
нецентральным по отношению к толщине и изгиб панели происходит по ци-
цилиндрической поверхности.

§ 2] СТАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 375
Очевидно, для рассматриваемой панели
Я^оо, R2 = R, Z = q.
Имея в виду рассмотрение задачи цилиндрического изгиба, из
системы уравнений B.45), согласно B.46), B.47), B.49) и
B.56), получим следующее уравнение равновесия для панели:
Здесь и в последующем принимаем, что усилие Т2 по ширине
панели остается постоянным. Вообще говоря, Т2—Т2 (C), однако
точные исследования показывают, что в достаточно широком диа-
диапазоне изменения прогиба центральной линии (Р=6/2) панели
(О <I w/h <; 2,5) изменяемостью Т2 по ширине панели можно
пренебрегать.
Пусть сила Т2 сжимающая. Тогда, полагая Т2 = — Т, можно пе-
переписать уравнение B.83) следующим образом:
dp* "т" dp — R "Г D22C22 — Kz ' к '
где
Общее решение уравнения B.84) представится так:
+ (X_^.)|. B.86)
Постоянные интегрирования С( определим из условий шарнир-
шарнирного закрепления:
при р = 0, р = 6 w = 0, M2 = 0. B.87)
С помощью соотношений упругости и условия 8х=0 удовлет-
удовлетворяя граничным условиям B.87), получим для нормального
перемещения оболочки выражение
при условии, что sin X6^=0.
В случае же, когда sin lb=0, т. е. Х&=2тш (ге=1,2,3,. . .),
имеем

376 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. III
что соответствует несимметричному выпучиванию панели относи-
относительно сечения C=6/2.
Из приведенных формул B.88) и B.89) нетрудно получить
формулу для определения прогиба центрального сечения панели
р6/2
B.90)
R т)8
В окончательных представлениях B.89)—B.90) пока еще оста-
остается неопределенным внутреннее усилие Т.
Значение Т определим из условия несмещаемости опор оболоч-
оболочки. Полное взаимное сближение опор 8 должно быть равно нулю,
т. е.
t
Из формул B.52)—B.58) для dv/dfl в случае цилиндрического
изгиба получим
d$—R 2 Up) ~*~ С22 dp с22" ^ 'У I
Подставляя значение dv/dfi из B.92) в B.91) и учитывая B.88),
будем иметь
Для дальнейших рассуждений целесообразно ввести безраз-
безразмерные параметры
B.94)
22
характеризующие соответственно нагрузку, кривизну, прогиб,
усилие и эксцентриситет закрепления.
Учитывая B.94), из B.90) и B.93) получим уравнения, ко-
которые устанавливают связь между расчетными величинами

i 2] СТАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК 377
(q*, <р» 5» е) панели:
[q* + 4?2 D<р2е - й)]2 {2^ + 3 [5 (<р - tg ?) + ? tg2 ?]} +
+ 16?2[q* + 4?2 (Ve — ft)] {(/с — 4?2е — 12е) <р3 -f
+ 3 [(ft - Ve) (? — tg cp) + 4f 2e tg ?)) +
r\ Л 2*2 I
12 ^3? -e (/c - 2^2e -l2e) J256?9=°-
(
VCOS <f
B.95)
B.96)
В случае же, когда нагрузка приложена со стороны вогнутости
панели и сила Т2 является растягивающей, взамен B.95) и B.96)
получим
[q* -|- 4?2 (Ve -f k)f {2<р3 — 3 [5 (f — th ?) — <? th2»]} —
— 16cp2 [q* -f 4^2 D?2e ^. ЭД |(fc ^. ^ _ i2e) ^3 —
— 3 [(к + 4?2e) (? — th <p) — 4?2e th cp]} —
Г D ^ 1
- [12 Cz2^22 - e (ft-f 2te — 12e)J 256y« = 0,
B.97)
Для иллюстрации на примере панели с параметрами
i2(D22C22—K%2)/C%Ji2=l, &=15 покажем характер изменения
закономерности q*— I в зависимости от величины эксцентриситета
закрепления е и от знака нагрузки q.
Задаваясь значением <р, из B.95) или B.97) (в зависимости от
знака силы Т2) определим соответствующие значения q*. Далее
по найденным значениям q* из B.96) или B.98) находим соответ^
ствующее значение относительного прогиба.
На рис. 67 приведены кривые зависимости «нагрузка — про-
гиб» в случае, когда тангенциальная сила Т% сжимающая, т. е.
когда равномерное давление приложено со стороны выпуклости
оболочки. Графики построены для двух значений эксцентриситета
закрепления е. Значение е=0 отвечает центральному шарнирному
закреплению оболочки (оболочка однородная, с толщиной А/2),
а значение е=—0,25 относится к случаю закрепления нижних
кромок оболочки.
Сравнивая полученные кривые, замечаем, что наличие экс-
эксцентричного закрепления кромок оболочки может значительно
изменить картину деформирования панели. При перемещении опор

378
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. III
к центру кривизны оболочки деформативность оболочки увеличи-
увеличивается. Далее замечаем, что вначале с ростом нагрузки панель из-
изгибается по симметричной форме, а затем, когда параметр f, ко-
который характеризует внешнюю нагрузку, достигает значения
п, происходит несимметрич-
несимметричное выпучивание по прямой
(хлопок). После хлопка даль-
дальнейший изгиб панели опять
происходит по симметричной
форме.
В случае действия давле-
давления со стороны вогнутости
/250
-500
Рио. 67.
Рис. 68,
панели прогибы являются монотонно возрастающими функциями
давления (рис. 68). Что же касается вопроса влияния эксцентри-
эксцентриситета закрепления, то и в этом случае перемещение опор к центру
кривизны приводит к увеличению прогибов оболочки.
§ 3. Некоторые задачи анизотропных оболочек,
подверженных действию динамически приложенных
нагрузок
Здесь будут рассмотрены некоторые задачи анизотропных обо-
оболочек, находящихся под действием нагрузок, настолько быстро
меняющихся во времени, что при решении задач необходимо учи-
учитывать ускорения элементов тела оболочки.
Из этой серии задач будут рассмотрены досконально изу-
изученные задачи динамической устойчивости, а также задачи
удара.

§3]
ДИНАМИЧЕСКИ ПРИЛОЖЕННЫЕ НАГРУЗКИ
379
1. Задача динамической устойчивости многослойной орто-
тропной пологой оболочки. Рассмотрим нелинейную задачу дина-
динамической устойчивости слоистой ортотропной пологой оболочки,
собранной из нечетного числа однородных ортотропных слоев,
симметрично расположенных относительно срединной поверхности
оболочки (см. гл. I, § 10).
Пусть оболочка в срединной поверхности загружена периоди-
периодически изменяющимися с малыми амплитудами тангенциальными
силами. При определенных соотношениях между частотой прило-
приложенной нагрузки & и частотой собственных колебаний <о начальная
форма оболочки становится динамически неустойчивой, т. е. воз-
возникают поперечные параметри-
параметрические колебания оболочки,
амплитуда которых возрастает
до недопустимых значений.
Вибрационная нагрузка, под
действием которой возможна по-
потеря динамической устойчиво-
устойчивости, входит как параметр в урав-
уравнение возмущенного равновесия.
В связи с этим такая нагрузка Рис. 69«
называется параметрической.
Таким образом, теория динамической устойчивости оболочек
изучает колебания, которые возникают в оболочке под влиянием
выбрационной параметрической нагрузки, действующей в сре-
срединной поверхности оболочки.
При получении исходных уравнений не учитываются танген-
тангенциальные силы инерции, силы инерции вращения и деформации
поперечных сдвигов. Приближенно считается, что начальное на-
напряженное состояние является безмоментным и характеризуется
тангенциальными силами Т^(а, р, t), T%(a, p, t).
На основании принятых предположений из A.5.46), согласно
A.5), A.6), B.1) и B.54)—B.58), получим следующую систему
дифференциальных уравнений динамической устойчивости поло-
пологой гибкой оболочки (А = \, B=i, k1=R^i, к2=Щ*) (рис. 69):
А ^1
22 di
1 Л д-^-
^2 ТА11 ф
+ 2,
г-Hi-
. diw
d^w , mn дги>
д& др \да d$) ~
да д$ да
d~w — 0
dt* ~ '
C.1)

380
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. 1Ц
где для коэффициентов уравнений при осесимметрично собранной
ортотропной оболочке имеем
C.2)
C.3)
8=1
здесь у,. — удельный вес материала г-го слоя оболочки, g — уско-
ускорение силы тяжести, h. — расстояние i-го слоя от срединной по-
поверхности оболочки, которая одновременно является срединной
поверхностью среднего (тга+1) слоя (рис. 33).
Получить точное решение системы уравнений C.1) не представ-
представляется возможным. Поэтому мы обращаемся к известному вариа-
вариационному методу, который неоднократно применялся для при-
приближенного решения различных задач теории оболочек.
Исходные уравнения рассматриваемой задачи в вариацион-
вариационной записи принимают вид
1 т ,
д"и>
C-5)
где, как всегда,
' да?
-\-А1г -TTj,
д*
т , \ п Гд2ю д"-ю
L(w, ш) = 2[—__
p? да*

§ 3] ДИНАМИЧЕСКИ ПРИЛОЖЕННЫЕ НАГРУЗКИ 381
Решение системы C.1) ищем в виде
?(«. Р. ') = *«.(*)?«.(«. Р). \
«>(«> Р. *) = /.» (О "«.(«. Р). I ( '
Представим сртв (а, C) и «?„„, (а, |3) в виде произведения двух функ-
функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента
и может быть представлена в виде линейных комбинаций фундамен-
фундаментальных функций поперечных колебаний балок, заведомо удов-
удовлетворяющих только двум граничным условиям на каждом краю
оболочки:
?(«. Р) = Х(«)Г(Р), }
Выразим соответственно решению C.6) вариации функций
напряжений и перемещений в следующем виде;
8? = Т-М>«.. bw^wjif^ C.8)
Вариации коэффициентов Фтв и /тп, являющихся функциями
лишь времени t, произвольны и не связаны между собой.
Используя произвольность вариаций §Фтв и bfmn, а также ор-
ортогональность фундаментальных функций X (a), Y ф), U (а),
F(P), согласно C.6) и C.8) из C.5) получим следующую си-
систему уравнений:
J J [
= 0,
C.9)
где m = 1, 2, 3, . .., и = 1, 2, 3.
Подставляя значения tpOTB и ютя из C.7) в систему уравнений
C.9), вычисляя соответствующие интегралы, получим систему
уравнений относительно функций Фтп (t) и fmn (t). Исключая из
этой системы Фтп (t), получим следующее нелинейное уравнение
относительно искомой функции /тя (t):
fmn = O, C.10)
где введены следующие обозначения:
для квадрата частот собственных колебаний оболочки

382
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. III
для критических значений тангенциальных усилий Г? при их
независимом статическом действии
для коэффициентов нелинейных членов
у 7
C.12)
C.13)
и, наконец, для интегралов, входящих в формулы C.11)—C.13),
[л dix« v > ' л , п, v &X. d*Yn
7HS[>«
C.14)
C.15)
ГС rd2U
- J1 r^
dW
y
»
П _
da
dYm dUn dVm
dS da d8
C.16)
C.17)
Очевидно, интегралы должны быть вычислены по всей средин-
срединной поверхности оболочки. Пределы интегрирования легко опре-
определить после того, как будет установлена система ортогональных
координат a, p и контуры оболочки.
Рассмотрим некоторые частные случаи.

»}
ДИНАМИЧЕСКИ ПРИЛОЖЕННЫЕ НАГРУЗКИ
383
1. В частном случае линейной задачи, когда исходные уравне-
уравнения имеют вид
дги>
L, (D) w - V& + T\^ + Ц Г^+ Cf -^-=0,
уравнение динамической устойчивости записывается так:
C.18)
C.19)
2. Пусть прямоугольная в плане (а X 6) оболочка шарнирно
оперта по всему контуру. Тогда граничные условия запишутся
обычным образом (рис. 69):
при а = 0, а = а И7 = О, Мг = 0, Тг — 0, v = 0; 1
ю = 0, Mt = 0, Т2 = 0, п = 0. J C-20)
при р = 0, р = &
В этом случае, полагая
Xn=Un = sinХва,
= Vm= sin pt
из C.11)—C.13), согласно C.14)—C.17) и C.21), получим для
коэффициентов уравнения C.10) следующие выражения:
C.22)
16
г атп \>
тв С аЬ
д;я
-512 1 Xfrg,
"~ 9 С„.
где
C.23)
C.24)
C.25)
Из формул C.22) и C.23) нетрудно получить ранее найденные
формулы для определения частоты колебаний A.14) и критиче-
критической силы статической устойчивости B.8) круговой цилиндриче-
цилиндрической панели. Таким же образом могут быть найдены указанные
расчетные величины для различных типов пологих ортотропных
слоистых оболочек.
= DnK + 2 (Z)u + 2ZN

384 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. Щ
3. Принимая
Т°=Ты+Ти cos bt, Ц = Т„+Т„соаЫ, C.26)
из уравнения динамической устойчивости C.10) получим уравне-
уравнение параметрически возбуждаемых колебаний
W 0, C.27)
22 = о)Ч1 —:
/: i ^ / ' !
C.28)
где
V- ~ > тщ - г1йц
Здесь и в последующем индексы тип опущены, поскольку урав-
уравнение C.27) идентично для всех форм колебаний.
Заметим, что Q2, представленное формулой C.28), является
квадратом частоты собственных колебаний рассматриваемой обо-
оболочки, загруженной постоянными составляющими тангенциаль-
тангенциальных сил Т\ и Т\. Коэффициент fi называется коэффициентом воз-
возбуждения.
Уравнение C.27) досконально изучено в специальной литера-
литературе, поэтому здесь, не вдаваясь в подробности, приводятся не-
некоторые окончательные результаты, представляющие интерес
с точки зрения оболочек.
Введем в рассмотрение силы сопротивления. Полагая, что сила
сопротивления является линейной функцией скорости перемещения
с коэффициентом линейного затухания е, перепишем уравнение
C.27) следующим образом:
g ^ 0. C.29)
Решение уравнения C.29) ищем в виде
/ = /oi + /iiCOs(?-Tl), / = /M + /usinD—P«) C.30)
соответственно для нижней и верхней границ главной области не-
неустойчивости, которые определяются обычным образом с помощью
известной приближенной формулы
C-31)
Подставляя значения / из C.30) в C.29), после выделения
постоянных членов и гармоник получим следующую нелинейную-

S 3] ДИНАМИЧЕСКИ ПРИЛОЖЕННЫЕ НАГРУЗКИ 385
систему алгебраических уравнений относительно /0,. и fu:
d/o. - е/м + Q2fo< — T <e — 3d/o.) fu = 0.
/?.—i-{&2- 4Q2 И+(-!)'>]-4s»tg <p,.}/b.-
-4-Be/0l.-3^)/b = '
C.32)
3d
где
C.33)
Принимая fOi <^ fu и пренебрегая нелинейными членами,
происходящими от fOi, из первого уравнения системы C.32) по-
получим
(г==1'2)- C4)
Тогда из второго уравнения C.32), согласно C.34), будем иметь
ftt=±{K+A ± 1(К+А)* + 8Я*КЩ, C.35)
где
К = № — 422 [1 +(—1)' fj.1 —4e&tgcPj, C.36)
Б случае, когда е=0, т. е. когда пренебрегается затуханием,
из C.35) в силу C.31) для fu найдем
Рассматривая C.35) и C.38), заметим, что при А < 0 для
f\t имеем только одно положительное значение. Та же картина
имеет место и в пластинках.
В случае А > 0 после потери устойчивости наблюдается паде-
падение возбуждающей частоты до некоторого критического значения
&„•, которое определяется из уравнения
№ - Ч< + А? + 8^ ФЪ " *U) = 0- C-39)
Решив уравнение C.39), получим для нижних критических
частот следующее выражение:
25 С. А. Амбарцумян

386
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. III
Этим частотам,' по формуле C.38), соответствуют следующие
значения амплитуд колебаний:
Рассматривая формулу C.41), замечаем, что первое значение
(верхние знаки) нижней критической частоты для амплитуд коле-
колебаний будет действительным при А > 0; если же взять нижние
знаки, то не будем иметь действительных значений для амплитуд
колебаний.
Для нижней критической частоты главного параметрического
резонанса и для соответствующего ей значения амплитуд колеба-
колебаний имеем J
C.42)
2е
/•* = ¦
2е
0=1,2).
C.43)
0=Рв+Р,№Ш
Таким образом, предположение fOi <^t fu позволило получить
простые формулы для определения нижних критических частот
и амплитуд установившихся резонансных
колебаний.
Как показывают численные результаты,
эти формулы хорошо согласуются с точ-
точными.
^" Динамическая устойчивость анизо-
тропной замкнутой круговой цилиндрической
оболочки. Рассмотрим задачу динамической
устойчивости длинной анизотропной замкну-
замкнутой круговой цилиндрической оболочки, ежа-
той продольной силой Q=P0JrP1 cos Ш.
Принимается, что в каждой точке обо-
оболочки имеется лишь одна плоскость упругой
симметрии, параллельная срединной поверх-
поверхности 7—0- Ортогональная система коорди-
нат выбрана так, что .4=1, В = \, R1 = co,
R2=R^=const (рис. 70).
Под действием нагрузки Q в начальном состоянии в оболочке
будем иметь
^ Ро + Р, cos 81), Ц = 0, 5« = 0. C.44)
а
Q=Pg+P,№8t
Рис. 70.

3]
ДИНАМИЧЕСКИ ПРИЛОЖЕННЫЕ НАГРУЗКИ
387
Тогда из A.3.27), согласно A.3.26), A.4), B.1) и C.44), полу-
получим следующее уравнение динамической устойчивости рассматри-
рассматриваемой оболочки:
где p=70/g — плотность материала оболочки (т0 — удельный вес
материала оболочки, g — ускорение силы тяжести), е — коэф-
коэффициент линейного затухания, а для коэффициентов линейных опе-
операторов, как всегда, имеем
-1= \PisPta — ^2б) ^Г > -"и ==
•^22 == (^11^66 ^Хб) ^Г ' ^2
^66 == (^11^22 ^1г) ^Г ' -2 ==
28 == (^12^16
*i •
^12^6б) *1 '
Х = (CUC22
C.46)
C.47)
Предполагая, что оболочка достаточно длинная, представим
решение уравнения C.45) в виде
Ф(«, р, t) = f(t)e~l№'\ C.48)
где / (t) — искомая функция времени t, k=n/'k — волновое число,
^ — длина полуволны в направлении образующих оболочки,
п — число волн по окружности поперечного сечения оболочки.
Подставляя значение Ф из C.48) в исходное уравнение C.45),
получим следующее дифференциальное уравнение:
^7Г + 2г# + 22A-2^со8^)/ = 0, C.49)
где имеем:
для квадрата частоты колебания оболочки, загруженной по-
постоянной составляющей внешней нагрузки,
25*

388 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. III
для коэффициента возбуждения
Для критической силы статической устойчивости
В эти формулы входит коэффициент К, который характеризует
Волнообразование и упругие свойства оболочки и имеет вид
§+ J
+ ^^ 24 + D|24)
* -1
Таким образом, рассматриваемая задача динамической устой-
устойчивости круговой цилиндрической оболочки в общем случае ани-
анизотропии (имеется лишь одна плоскость упругой симметрии) также
приводится к известному уравнению Матье C.49).
Не вдаваясь в подробности, приведем окончательные формулы
определения границ главной области неустойчивости:
Рассматривая формулы C.50)—C.54), легко сообразить, что
границы областей неустойчивости существенно зависят от меха-
механических характеристик материала оболочки.
На примере осесимметричной задачи, т. е. когда имеет место
осесимметричная форма потери устойчивости, покажем влияние
ориентации ортотропного материала в теле оболочки на значения
критических частот.
Если имеет место симметричная форма потери устойчивости,
то h=0, а критическая частота Ь^ принимает минимальное значе-
значение при *)
C.55)
*) Ради сокращения выкладок рассматривается консервативная задача.

§ 3] ДИНАМИЧЕСКИ ПРИЛОЖЕННЫЕ НАГРУЗКИ 389
Тогда для границ главной области неустойчивости получим
3 (Р1 + 2Р0)п
22 64«»Z)U J'
1 3(Р1+2Р0J
л22 т~
Пусть оболочка изготовлена из ортотропного материала так,
что два главных направления упругости материала в каждой точке
оболочки составляют произвольный угол tp с главными геомет-
геометрическими направлениями оболочки я, C, а третье главное направ-
направление упругости совпадает с соответствующим направлением ко-
координаты у.
Тогда, если упругие постоянные материала в главных направ-
направлениях упругости обозначить через Вы, то для упругих постоян-
постоянных, входящих в C. 46), C. 47), получим
Вп = В'п cos* ? -f 2 (В'1г + 2B'ee) sin2 tp cos2 tp + B22 sin* tp, 1
#22 = B'u sin* cp + 2 (B[2 -f 2B'ee) sin2 tp cos2 tp -f B22 cos* tp,
B12 = B'12 + [B'u +B'22-2 {B[2 + 2B'J] sin2 ? cos2 9,
Bm = B'ei, -f [B'u + B22 — 2 (B\2 + 2B'e6)] sin2 tp cos2 tp, C.57)
1 ,
/?16 = у [529 sin2tp — Bn cos2cp -)- E12 -)- 2B66) cos 2tp] sin 2tp
I
-S26 = у [52, cos2 tp — B'n sin2 tp — (Bl2 -j- 25g6) cos 2cp] sin 2tp
Рассматривая формулы C.55), C.56), C.46) и C.57), легко
заметить, что минимальное значение критической частоты 8^
и значение длины полуволны в направлениях образующих су-
существенно зависят от угла ориентации ср материала в обо-
оболочке.
Рассмотрим численный пример. Пусть Р0=0, Р1 = 5Е№, В'и =
= Ю?, В'22=Е, В'вв=0,ЪЕ, В[2=0.
С помощью формул C.46), C.47) и C.57) определим значе-
значения А22 и Dn при различных значениях угла ориентации ср. Сов-
Совместно с исходными данными подставляя полученные значения
^22i ^и в C.56), найдем искомые величины критических ча-
частот при заданных углах ориентации материала в теле обо-
оболочки.
Результаты подсчетов представлены графически (рис. 71).
Здесь приводятся значения blt = ^.pR2/iE в зависимости от
угла ср.
Рассматривая приведенные графики, замечаем, что: а) изме-
изменением ориентации материала можно существенным образом
изменить экстремальные значения Ь?(; б) изменяя ориентацию мате-
материала, можно изменить ширину области главного параметриче-

390
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. III
ского резонанса; минимальные значения ширины зоны устойчиво-
устойчивости можно получить в окрестностях <р=0; в) вблизи <р=тс/2 наблю-
наблюдается бурное возрастание критических частот, а в окрестностях
tp=O и <р=тс в достаточно большом интервале изменения угла ср
критические частоты изменяются незначительно.
Эти результаты подтверждаются и другими примерами.
Ж S0° 30° 120° 150° 180° r
Рис. 71.
3. Несколько слов об учете поперечных сдвигов при рассмотре-
рассмотрении задач динамической устойчивости. Исходные уравнения дина-
динамической устойчивости и при учете поперечных сдвигов строятся
обычным образом. Если ограничиться принятой в этой главе
точностью (см. §§ 1, 2), то можно построить эти уравнения, исходя
из любого разрешающего уравнения или разрешающей системы
уравнений уточненных теорий (см. гл. I, §§ 6—9), путем замены гру-
грузовых членов соответствующими инерционными членами и фик-
фиктивной поверхностной нагрузкой, т. е. полагая
X = —рп -
_
C.58)
Решая полученные таким образом уравнения по описанным
выше схемам, мы опять приходим к уравнению Матье
= 0, C.59)

9 3j ДИНАМИЧЕСКИ ПРИЛОЖЕННЫЕ НАГРУЗКИ
где, как обычно,
391
C.60)
Таким образом, уравнение C.59) ничем не отличается от
соответствующего уравнения классической теории. Однако это
сходство лишь внешнее. Коэффициенты, входящие в C.59), принци-
принципиально отличаются от соответствующих коэффициентов клас-
классической теории. Здесь в Q2 и {* входят частота свободных колеба-
колебаний о) и критическая сила Р*, которые содержат члены, происходя-
происходящие от учета поперечных сдвигов, — A.12), A.16), A.25), B.6)
B.9), B.36).
Как известно, учет поперечных сдвигов может существенным
образом изменить как частоту колебаний, так и критическую
силу. Эти изменения естественным образом изменяют также
картину динамической устойчивости оболочки. В частности, как
показывают подсчеты, учет поперечных сдвигов приводит к су-
сужению области устойчивости оболочки (см. формулы C.54)).
4. Продольный удар вращающейся анизотропной полубесконеч-
полубесконечной круговой цилиндрической оболочки о жесткую стенку. Рас-
Рассмотрим удар, о жесткую стенку полубесконечной цилиндрической
оболочки радиуса Д. и толщины h, -
движущейся с продольной ско-
скоростью С и угловой скоростью о).
(рис. 72). Я
Пусть оболочка изготовлена из
ортотропного материала, два глав-
главных направления уругости кото-
которого не совпадают с координат-
координатными линиями a=const, p=const,
а третье направление, как всегда,
в каждой точке оболочки совпадает с направлением соот-
соответственной координатной линии f-
Будем определять осесимметричное напряженно-деформиро-
напряженно-деформированное состояние оболочки на основе безмоментной теории.
Уравнения осесимметричного движения рассматриваемой обо-
оболочки, согласно (П.2.И) и A.4), запишутся следующим обра-
образом:
О)
7
о
ос
Рис. 72.
дТ1 ,д*и гр г, 1 d*w
dS
d"-v
C.61)
Очевидно, что здесь система координат выбрана так, что А—1,
Я-1, ^=00, R2=R.

392
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. III
Соотношения упругости имеют вид A.1.24)
Ti = Ciiei + С12е2 + С1в-с, Cik = B.Ji,
*2 == ^2282 ~Ь ^2?1 "Г ^2вТ»
C.62)
где для компонент деформации в случае осесимметричной задачи
из A.1.6) имеем -^
ди w до /0 „„.
в1=йГ. е2=д" * = !?• C-Ь3)
Коэффициенты Bik определяются по известным представлениям
C.57). Для коэффициентов B'ik, входящих в C.57), в случае
ортотропного материала имеем
C.64)
В силу C.62) и C.63) уравнения движения C.61) в перемеще-
перемещениях представятся следующим образом:
" 5^ г" ^w д^ "Г Т -°i217" —р
16
^5 "Г -°вб ^5 -+-Д- -«26 ~^- — Р ^р- >
C.65)
К уравнениям C.65) присоединим начальные и граничные
условия, которые имеют вид:
при t=0
ди
dv
dw
C.66)
при а=0
при а=оо
dv
C.67)
Система уравнений C.65) вблизи фронтов волн может быть
решена лучевым методом. Согласно этому методу решение системы

s 3] ДИНАМИЧЕСКИ ПРИЛОЖЕННЫЕ НАГРУЗКИ
C.65) ищем в виде
393
\t-x(a)\l
n!
-Ct,
я=1
00
=2
где (при а ^ 0)
' n!
О при
¦ — т (а) при
C.68)
C.69)
причем т(а)=? является уравнением фронта волны.
Подставляя C.68) в систему уравнений C.65) и приравнивая
коэффициенты при [t— т (а) ]~г, получим следующую алгебраиче-
алгебраическую систему уравнений относительно искомых функций Д,
- >
где V=da/dT — скорость распространения фронта волны.
Из условия разрешимости однородной системы C.70) для двух
скоростей распространения фронтов волн получим следующие
выражения:
т/2 Г I? II?
и соответствующие им два фронта волн:
тA) (а) = < = — -j-d, тB)(а);
C.71)
C.72)
Теперь, на фронте волны полагая/(a)=const, что находится в со-
соответствии с данными задачи, согласно C.70) имеем
/J<> = const, Tto = __?a
ф1о = 0 (/=1,2). C.73)
Рассматривая формулы C.71), замечаем, что в общем случае
анизотропии обе скорости распространения фронтов волн зависят
как от упругих характеристик растяжения (сжатия) и сдвига,
так и от упругих констант взаимного влияния. В частном случае

394
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
1ГЛ. Ill
ортотропной оболочки (В1в=В2в=0) картина существенно изме-
изменяется и для скоростей Vf получим
у2 __ ДП у2 __ Д66
1 р ' 2 р .
C.74)
т. е. скорости распространения фронтов волн зависят лишь от
соответствующих упругих постоянных, характеризующих данный
вид деформации. у
Приравнивая коэффициенты при последующих степенях ве-
величины [t—т(а)]+, и учитывая C.73), найдем
О = const, #) =
D=1,2),
f)= const, ?(.-) =
4° VB
= 1, 2),
C.75)
C.76)
C.77)
(n=4, 5, 6, . . .; *=1, 2).
Таким образом, поскольку имеем две волны, а для коэффи-
коэффициентов /(''>, (р('>, ф@ _ представления C.73), C.75)—C.77), то
взамен C.68) введем
Л') = const, 9m=mL1^-[Buft*-±BnV№\],
я=1 <=1
со 2
Я=1 1=1
оо 2
C.78)
Удовлетворяя граничным условиям C.67) и учитывая C.71),
C.72), получим для /„') следующие формулы:
а,-»,
—а2
C.79)

§ 3]
ДИНАМИЧЕСКИ ПРИЛОЖЕННЫЕ НАГРУЗКИ
395
где введены обозначения:
D-sa
а, = -
Напомним, что здесь и в дальнейшем индексы ?=1, 2 указы-
указывают величины, относящиеся соответственно к первому и ко вто-
второму фронтам волн.
Имея значения /<•>, с помощью формул C.62), C.63), C.68),
C.73)—C.79) можно определить все расчетные величины вблизи
фронтов волн. В частности, для напряжений на фронтах волн,
в силу формул aei = 711//i, o?=T2/h, x^=S/h, получим
= — (Bv, 4- a,BJ) l
Vi v li ' 1 zb' aj — a2
Рассматривая C.68), C.71)—C.80), замечаем, что в общем
случае анизотропии при отсутствии вращения оболочки, т. е.
при ш=0, тангенциальное перемещение v и касательное напряже-
напряжение т . отличны от нуля.
Таким образом, с помощью приведенных выше формул нетрудно
определить напряженно-деформированное состояние у фронтов
волн рассматриваемой анизотропной оболочки.
Однако определенный интерес представляет напряженно-де-
напряженно-деформированное состояние оболочки за фронтами распространения
волн.
Для решения этой задачи воспользуемся методом операцион-
операционного исчисления. Подвергая систему дифференциальных уравне-
уравнений C.65) преобразованию Лапласа и учитывая C.66), получим
В„ ^7Г—1
dw
dw
C.81)

396 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
Исключая из системы C.81) й>, будем иметь
-
[ГЛ. III
C.82)
где введены следующие обозначения:
— вп
C.83).
Необходимые здесь корни характеристического уравнения
системы C.82) будут
К 2 = -
± \/(Ьц —
C.84)
Остальные два корня нас не интересуют, так как соответ-
соответствующие им решения в бесконечности не отвечают требованиям
поставленной механической задачи.
Преобразованные граничные условия C. 67) запишутся в виде:
при х = О й = О,
при х = оо й =
v = 0;
1 п - 1 D
~р* ' г'~"'р2"а)
Решение системы C.82), удовлетворяющее граничным усло-
C.85)
C.86)
()
виям C.85) и C.86), имеет вид
С_
Р2
где
1
Р2
+ ы
.-V
А _ 1 ^с+.
X _ *12*1
C.87)
C.88)
C.89)
Далее, из третьего уравнения системы C.81) для w имеем
Д
w.
C.90)
Имея значения й, у, w, с помощью приведенных выше формул
можно определить изображения напряжений oe, a^, xa?. По фор-

ДИНАМИЧЕСКИ ПРИЛОЖЕННЫЕ НАГРУЗКИ
397
мулам обращения можно, хотя бы формально, определить ори-
оригинал искомой функции. Например, для ал имеем
r=J_ J J-
Интеграл, входящий в C.91), а также интегралы, входящие
в другие формулы оригиналов искомых величин, невозможно вы-
вычислить в замкнутой форме, поэтому следует пользоваться чис-
численными или какими-либо приближенными методами.
Не вдаваясь в подробности, рассмотрим в качестве примера
оболочку, изготовленную из стеклопластика СВАМ-ИММ со сле-
следующими упругими характеристиками в главных направлениях
упругости:
^=34-10* кГ/см2, #2=8,86-104 к/Ус**,
G12=2,95-10* кГ/см\ v1==0,3, v2=0,078.
Для различных значений угла у, т. е. ориентации ортотроп-
ного материала в теле оболочки, определим значения безразмерных
скоростей распространения фронтов волн и безразмерных напря-
напряжений на них.
В таблице 8 приведены значения F,-, вычисленные по форму-
формулам C.71) и разделенные на г/р/?^ = 4,33 • 105 см/сек.
?
V, (?)
0°
1,00
0,291
30°
0,883
0,348
60°
0,592
0,424
90°
0,511
0,291
Та
150°
0,883
0,348
блица 8
180°
1,00
0,291
В таблице 9 приведены значения напряжений, вычислен-
вычисленные по формулам C.80) и разделенные на оA)@) = —С \JpB'n,
для различных значений угла <р и отношений скоростей
Как видно из таблиц 8 и 9, значения скоростей распростране-
распространения фронтов волн и напряжений на них существенно зависят от
ориентации главных направлений упругости материала оболочки
в теле оболочки. При определенных условиях изменением угла <р

398
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. III
Таблица 9
°lv M/'i" @)
«J" (*)№" @)
"$ dr)K" (°)
oi*l (tf/ej» @)
«?' (?)/«i1J @)
^ (*)/«J" @)
e >^
1
0
—1
1
0
—1
1
0
—1
1
0
—1
1
0
-1
1
0
—1
0°
1,00
1,00
1,00
0,078
0,078
0,078
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
—0,291
0,00
0,291
30°
1,060
0,739
0,413
0,349
0,242
0,136
—0,470
—0,326
—0,182
—0,072
0,057
0,185
—0,028
0,022
0,071
—0,163
0,128
0,420
60°
0,691
0,424
0,157
0,738
0,453
0,167
-0,436
—0,267
—0,099
—0,071
0,120
0,311
0,065
-0,110
—0,284
—0,112
0,191
0,494
90°
0,511
0,511
0,511
0,078
0,078
0,078
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
-0,291
0,00
0,291
150°
0,413
0,739
1,060
0,136
0,242
0,349
0,182
0,326
0,470
0,185
0,057
-0,072
0,071
0,022
—0,028
—0,420
-0,128
0,163
2i
j
(т. е. изменением ориентации материала) можно найти наиболее
оптимальные условия работы оболочки, претерпевающей комби-
комбинированный удар.
§ 4. Некоторые вопросы устойчивости анизотропной
слоистой оболочки, обтекаемой сверхзвуковым потоком газа
Рассматриваются задачи устойчивости анизотропных слоистых
оболочек, обтекаемых с одной стороны сверхзвуковым потоком
газа, направленным вдоль координатных линий а=const с невоз-
невозмущенной скоростью U. Предполагается, что давление газа р
на обтекаемую поверхность пологой оболочки может быть вы-
вычислено при помощи приближенной формулы поршневой теории
D.1)
гДе Ра> — давление невозмущенного потока газа, v — нормаль-
нормальная составляющая скорости обтекаемой поверхности оболочки,
па, — скорость звука в невозмущенном газе, х — показатель
политропы.
Нормальная нагрузка Z (a, |3, t), которой должна быть за-
заменена нормальная компонента внешней поверхностной нагрузки

§ 4] ОБОЛОЧКА, ОБТЕКАЕМАЯ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА
399
оболочки Z, входящая в исходную систему разрешающих урав-
уравнений, складывается из силы инерции, силы демпфирования и
аэродинамического давления и представляется следующим обт
разом:
п I о л\ 1 d?w о 7 dw v.pm / dw , тт dw\ ,, О\
Z (а, р, t) = —oh—- 2р/ге -f ^-^(^ г U —т~ )» D.^)
ot* dt Яоо \ dt do. J
где р — плотность материала, е — коэффициент затухания.
Последний член формулы D.2) представляет избыточное дав-
давление газа, полученное путем разложения в ряд двучлена, вхо-
входящего в формулу D.1). При этом принято также, что
dw I j-т dw и о\
ot оа '
Наконец, укажем, что приближенное выражение избыточного
давления, входящее в формулу D.2), при малых возмущениях
потока, т] <С 1 {"Ч — v/U), с достаточно высокой точностью может
быть использовано при М2 ^> 1 (М — число Маха).
Таким образом, при больших значениях сверхзвукового
обтекания пологих оболочек исходные уравнения устойчивости,
с достаточно высокой точностью, можно получить из разре-
разрешающих уравнений статики оболочки путем замены грузово-
грузового члена Z (а, |3) новым представле-
представлением Z (а, C, t) по формуле D.2).
Рассмотрим некоторые задачи.
1. Устойчивость анизотропной
круговой цилиндрической оболочки,
обтекаемой сверхзвуковым потоком
газа. Рассмотрим круговую цилин-
цилиндрическую оболочку бесконечной
длины, обтекаемую сверхзвуковым
потоком газа с невозмущенной ско-
скоростью U, направленной вдоль об-
образующих оболочки, т. е. по коор-
координатным линиям а (рис. 73).
Систему координат выбираем так,
что
и.
Рис. 73.
Считаем, что оболочка изготовлена из ортотропного материала,
два главных направления упругости которого в каждой точке
оболочки составляют с координатными линиями аир произволь-
произвольный угол <р. В силу этого упругие постоянные Bik будут представ-
представляться с помощью формул C.57).
Пренебрегая тангенциальными составляющими сил инерции
и силами инерции, происходящими от поворота и искажения нор-

400
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. Ill
мального элемента оболочки, согласно A.3.27), A.3.26) и D.2)
Получим следующее исходное дифференциальное уравнен^
Поставленной задачи:
-Г Uii ^4 J 1Л22 dai
di I 2(Л 4-24 \ di
+ *РсО О I *PcO TT О \ I /I ^ О /I
aa> dt ' aoo da) |_ ^ot*
пж1Ф = °- D-4>
где для ?>,.fc, A.k имеем C.46), C.47).
Решение уравнения D. 4) ищем в виде волн, распространяю-
распространяющихся на поверхности оболочки:
Ф(а, р, г) = Фое^ й ), D.5)
где Фо — некоторая комплексная постоянная, ш — частота коле-
колебаний оболочки, к=к1\ — волновое число, X — длина полуволны
й направлении образующих оболочки, п — целое число волн
fto окружности поперечного сечения оболочки.
Подставляя значение Ф (а, р, t) из D.5) в исходное уравне-
уравнение D.4), придем к следующему характеристическому уравнению:
где
гш Bе 4- fi) — Q2 (к, п) 4- ikW = О,
Г1 =
D.6)
D.7)
а для квадрата частоты собственных поперечных колебаний обо-
оболочки Q2 имеем
D.8)
при этом
D.9)

3 4] ОБОЛОЧКА, ОБТЕКАЕМАЯ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА 401
Из D.5) видно, что характер движения оболочки может быть
установлен согласно частоте колебания ш, которая при любых
заданных значениях к vs. n может быть определена из D.6).
Если мнимая часть частоты колебания ш положительна
(Im ш > 0), то невозмущенное движение устойчиво по отношению
к малым возмущениям. Если же мнимая часть частоты колебания
ш отрицательна (Im ш < 0), то движение оболочки неустойчиво.
Таким образом, из условия Im ш^О получим для скоростей
невозмущенного потока газа, при которых невозмущенное дви-
движение оболочки устойчиво, неравенство
DЛ0)
где второй член представляет конструктивное демпфирование,
a V=Q/k является фазовой скоростью распространения упругих
волн в оболочке и имеет вид
Из неравенства D. 10) для критической скорости (условие
Im <o=0) получим
Как было указано выше, коэффициенты упругости Bik опре-
определяются из C.57), отсюда, согласно C.46) и C.47), следует,
что величины А(к и Dile зависят от ориентации материала оболочки
в теле оболочки, т. е. от угла tp. В силу этого из D.9)—D.12)
легко заметить, что критическая скорость невозмущенного по-
потока существенным образом зависит от ориентации материала
оболочки в теле оболочки.
Очевидно, наибольший интерес представляют те значения ар-
аргументов к я п, вблизи которых критическая скорость U* при-
принимает минимальное значение.
В частности, например, если имеет место симметричная форма
потери устойчивости, то га=0 и критическая скорость принимает
минимальное значение при
. D.13)
В этом случае для скорости получим
Если же устойчивость теряется по несимметричной форме, то,
учитывая, что п2 мало по сравнению т2 (это подтверждается вы-
вычислениями), членами порядка n2Di)c/m2D11, n*A(klm?Ai2 можно
26 С. А. Амбарцумян

402
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. Ш
пренебречь. Тогда критическая скорость принимает минималь-
минимальное значение вблизи тех значений т и п, которые удовлетворяют
уравнению >
(Dum -f- 2?>1ви) (А22т2 — 2А2втпJ — R2 (А22т — А2йп) = 0, D.15)
п=1, 2, 3, ...
В этом случае для критической скорости получим следующую
приближенную формулу:
D.16)
Таким образом, поставленная задача решена. Мы нашли фор-
формулы для определения критической скорости в зависимости от ме-
механических характеристик (включая и ориентацию) рассматривае-
рассматриваемой оболочки.
Для иллюстрации рассмотрим оболочку, для которой h=
=0,01Д, е=0.
Считаем, что оболочка теряет устойчивость по осесимметрич-
ной форме, т. е. имеем га=0.
Рассматриваются четыре случая комбинаций упругих по-
постоянных:
Случаи
I
II
III
IV
е{
Е
2Е
10Я
Е
2Е
Е
Е
Ш
Gl2
0,5Я
0,5?
0,5Е
0,5Е
г
0,165
0,230
0,349
0,035
1
'2
0,230
0,165
0,035
0,344
Исходя из приведенных данных, с помощью формул D.14),
C.46), C.47), C.57) вычислены значения критической ско-
скорости в зависимости от угла ср. Результаты подсчета U*min \Jphl2RE
помещены в таблице 10.
Таблица 10
?
0°
30°
45°
60°
90°
Случаи
I
1,151
1,100
1,094
1,114
1,151
II
1,151
1,114
1,094
1,100
1,151
III
13,506
12,261
11,185
10,545
13,506
IV
13,506
10,545
11,185
12,261
13,506

$ 4] ОБОЛОЧКА, ОБТЕКАЕМАЯ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА
403
Для наглядности результаты подсчета критической скорости
в двух последних случаях (случаи III и IV) приводятся и гра-
графически (рис. 74).
На основании рассмотренных примеров заключаем, что при
осесимметричной форме потери устойчивости максимальные зна-
значения критической скорости получаются при tp = s ~ (s = 1, 2, 3,.. .),
Сш Jph/2RE
/4,0
/2,0
/0,0
\
IV-
ш
\
1
О JO SO" 30° /20° 150° 180
Рис. 74.
т. е. когда главные направления упругости материала оболочки
совпадают с главными геометрическими направлениями обо-
оболочки.
Минимальные значения критической скорости при Е[ < Е'2
достигаются вблизи углов sr. < tpj < src+7r/4 и Зтг/4+$тг<
< ?2<И-1)* (s=0, 1, 2, . . .), а
при ?;>^2 — вблизи «7Г+ тг/4 < фх <
/2 и STt-f-7r/2
fi
<H f/
(« = 0, 1, 2, ...).
2. Устойчивость анизотропной слои-
слоистой круговой цилиндрической обо-
оболочки, обтекаемой сверхзвуковым по-
потоком газа. Рассмотрим круговую ци-
цилиндрическую оболочку бесконечной
длины и постоянной толщины h, собран-
собранную из произвольного числа однород-
однородных анизотропных слоев. Принимается, а
что координатная поверхность f=0 сов-
совпадает с внутренней граничной поверх-
поверхностью оболочки, которая представ-
представляется ортогональными координатами а, р (Л = 1, В = 1, И1 = оэ,
R2=R) (рис. 73, 75, а также рис. 35 и 36).
Предполагается, что в каждой точке каждого слоя имеется
лишь одна плоскость упругой симметрии, параллельная коорди-
координатной поверхности f=0-
26*
Рис. 75.

404
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. III
Пусть оболочка обтекается сверхзвуковым потоком сжимае-
сжимаемого газа с невозмущенной скоростью U, направленной вдоль
образующих оболочки. Для получения исходных уравнений за-
задачи в уравнениях статики оболочки A.13.13) заменим грузовые
члены, согласно A.3), A.5), A.6) и D.2), выражениями
„ r d"-w
z = —c?-dT*-
Р да дП '
fdF-1
dw
(du
и- iu-w .d2w\ xpaydw ipaorjdw
^751"iu? i ляг 7 п.. Hi n~~ л^ »
D.17)
а для приведенных плотностей (при А=0) имеем:
=2 р. (8« -8.-!)=7 2 т« (8« - 8-i}'
8=1
S=l
D.18)
(рв — плотность материала i-го слоя, yg — удельный вес ма-
материала г-го слоя, g — ускорение силы тяжести, п — число слоев).
Произведя соответствующие преобразования, получим сле-
следующую исходную систему дифференциальных уравнений по-
поставленной задачи:
— ?>.
dim
d*w
dw
D.19)
am

4] ОБОЛОЧКА, ОБТЕКАЕМАЯ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА 405
где линейные операторы Lik имеют вид:
Lu (С) = Сп -^
д*
= -R (СП Та
= Ж V22 Щ
— (А
12
дз
= T2C22 — W (К а ^ 4- 2^2
Решение системы D.19) ищем в виде
и (а, р, t) = i/jfi
• ( mt-lca- -|- |
у (а, р, t) = if2e v
| (а, р, t) =.
\~К»ф*
D.20)
где fk — некоторые комплексные коэффициенты, ш — частота
колебаний, к= п/Х — волновое число, X — длина полуволны в на-
направлении образующих оболочки, п — целое число волн по ок-
окружности поперечного сечения оболочки.
Подставляя значения и, v, w из D.20) в уравнения D.19),.
придем к следующей системе алгебраических уравнений:
2] "j» Г I m
\C~W> — aj<№'2 ~f~ l 2e<o 4" ? (№ — ~r '
fc} U = 0
(/ = 1,2,3), D.21)

•406 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
в которой введены следующие обозначения:
Ьи = Спт2 + 2Сатп + С66п2,
п + сбб)тп + С2еп2>
[гл. ш
Ь22 = Сеет2 -J- 2С26тп
*13 = Ь31 = С1
д"
= с22 +1 (л:12
22 +1
3n + 2 (Z)
12
D.22)
p m
«Poo
= kR, 8,.=
D.23)
D.24)
Из системы алгебраических уравнений D.21) легко опреде-
определить критическую скорость U*.
Система B.2) имеет отличные от нуля решения только в том
случае, если равен нулю определитель, составленный из коэф-
коэффициентов этой системы. Приравнивая нулю указанный опре-
определитель, получим необходимое уравнение для определения
критической скорости:
= 0. D.25)
Невозмущенная форма равновесия оболочки устойчива, пока
все значения ш лежат в левой полуплоскости комплексного пере-
переменного. Наименьшее значение U, при котором один из показате-
показателей ев переходит на правую полуплоскость, оставаясь при этом
комплексным, является критической скоростью.
Если частота собственных поперечных колебаний оболочки
мала по сравнению с частотой собственных колебаний в поверх-

§ 4] ОБОЛОЧКА, ОБТЕКАЕМАЯ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА 407
ности т=0, т0 тангенциальными составляющими сил инерции
можно пренебречь. В этом случае уравнение D.25) принимает вид
— S2(m, n) + i^AU = 0, D.26)
где Q2 — квадрат частоты собственных поперечных колебаний
оболочки в вакууме — имеет вид
О2 /„, „\ 1
иь [iTl, Tl) — ~—гт~ь
~а л
р о13Л13 — а23А23
а для коэффициента А имеем
^D.28)
З^ЗЗ *
Здесь А -3 — миноры второго порядка детерминанта D.25).
Для любых заданных значений m и п из D.26) можно опре-
определить значение соответствующей частоты <о. Если ее мнимая
часть положительна, то невозмущенное движение устойчиво по
отношению к малым возмущениям. Наличие частот с отрицатель-
отрицательной мнимой частью означает неустойчивость оболочки. Условия
отсутствия корней уравнения D.26) с отрицательными мнимыми
частями могут быть представлены в-форме, аналогичной известным
условиям Рауса—Гурвица. Поступая обычным образом, полу-
получим из этих условий для критической скорости следующие вы-
выражения:
Cr=V(m,n)(l+f), D.29)
где V (т, п) = — й (т, п) — фазовая скорость распространения
упругих волн в оболочке.
Наибольший интерес представляют те значения аргументов т
и п, вблизи которых критическая скорость принимает минималь-
минимальное значение. Эти значения могут быть определены из следующей
системы нелинейных алгебраических уравнений:
дт дп
D.30)
В общем случае система D.30) может быть решена численным
методом. Для получения результатов в замкнутой форме рас-
рассмотрим случай, когда влиянием инерционных членов, возникаю-
возникающих вследствие несимметричного строения оболочки, можно пре-
пренебречь. Тогда, если имеет место симметричная форма потери
устойчивости, то п=0, а критическая скорость принимает мини-
минимальное значение при mi=A1/A2 и равняется
VAa + 2)fA^t{i +|), D.31)

408 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
где для коэффициентов А{ имеем
(^12^-66 —
R(CnCee-Ch)
[ГЛ. III
D.32)
Рассматривая формулы D.31), D.32), замечаем, что мини-
минимальное значение критической скорости, а также величина пара-
параметра т (следовательно, и длина полуволны в направлении обра-
образующих) существенным образом зависят от механических харак-
характеристик оболочки и согласно C.57) являются периодическими
функциями углов ориентации tpf каждого слоя в теле оболочки.
* 1
'mini
Рис. 76.
Рассмотрим двухслойную оболочку, слои которой имеют оди-
одинаковые толщины, изготовлены из одинакового ортотропного ма-
материала, но различно ориентированы по отношению к главным
геометрическим направлениям (а, Р) оболочки. Пусть ориента-
ориентация первого слоя характеризуется углом <pv а второго слоя —
углом <р2-
На рис. 76 приведена картина изменения минимальной кри-
критической скорости потока газа в зависимости от углов ориента-
ориентации <рх и <р2.
Из рисунка видно, что при заданном материале слоев и при
заданной геометрии оболочки (8<, R), варьируя углами ориента-
ориентации материала слоев оболочки, можно значительно расширить
область устойчивости оболочки.

4] ОБОЛОЧКА, ОБТЕКАЕМАЯ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА 409
3. Устойчивость гибкой ортотропной оболочки, обтекаемой
сверхзвуковым потоком газа, с учетом поперечных сдвигов.
Рассмотрим шарнирно опертую по всему контуру, гибкую,
весьма пологую орто-
тропную оболочку, ко-
которая обтекается сверх-
сверхзвуковым потоком газа
с невозмущенной скоро-
скоростью U, направленной
вдоль оси Оа0 (рис. 77). .
Систему координат в ере- "
динной поверхности обо-
оболочки выбираем так, что
А — 1) ii • 1.
В выбранной системе ко- Рис. 77.
ординат согласно A.5.46),
A.7.56), D.1) и D.2) получим следующую исходную систему:
zAlzl?.4-( — о 12l
Q да* ~\Ст Q }
12
/^, , «?ф\ i , d"-F . , &F d*wd*F
5S "T" 5p J "T~ fcl dp "T~ ft2 dc.2 -Г da* dp*
d^F ,<Pw о h —
[,, dw, , x + 1 ,,„ /dwi\
М —• -4-—т— М I —-)
D.33)
Здесь наряду с принятыми выше обозначениями считается также,
что w1=w0-\-w, где ц;0=ц;0 (а, Щ — уравнение недеформированной
срединной поверхности оболочки, M=U/am — число Маха для
невозмущенного потока.
Граничные условия шарнирного опирания запишутся так:
при а = 0, а = а
ю = 0, 5 = 0, Т1 — 0, ф = 0, М1 = 0; D.34)
при р =
D.35)

410
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОИСТЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. III
Напомним, что Т( и Mv входящие в граничные условия,
через искомые функции представляются следующим образом:
м n d2w п Ри> . А2
М2 = —D22 Wi - Dls —2 + я
D.37)
Для функций, характеризующих поперечные сдвиги (ради
компактности записи), введем обозначения:
D.38)
Ф2 (а, р, f) = Bilty (а, р, t) = auty. \ '
Решение системы D.33) приближенно будем искать в виде
« т
w (а, р, *) = 2 2 fuc (*) sin \* sin (iftp,
х (a. P, 0 =
I cos ^fa sin jtfcp, D.39)
(a, p, *) = 2 2 Д« (О
»=1 k=l
X. = -, a. = x, D-40)
где а и b — размеры оболочки в срединной поверхности (рис. 77).
В D.39) функции fik (t), pik (t) и R(k (t) подлежат определению.
Рассматривая D.39) и граничные условия D.34) и D.35),
замечаем, что некоторые из них удовлетворены. Подставляя
D.39) в первое уравнение системы D.33), найдем функцию
F (a, p, t), удовлетворяющую остальным граничным условиям.
Затем, подставляя значения w, Ф1, Ф2 с учетом D.38) в по-
последние два уравнения системы D.33), получим алгебраическую
систему относительно pik (t) и Rik (t). Решая эту систему и исполь-
используя D.39), найдем Ф1 и Ф2, представленные через ftk (t).
Теперь остается неопределенной функция времени fik (t).
Для определения fik (t) воспользуемся вторым уравнением си-
системы D.33). Решая это уравнение методом Бубнова—Галеркина,
найдем следующую систему уравнений:
= l, 2, 3, ...,п; k = i, 2, 3, ...,

§ 4] ОБОЛОЧКА, ОБТЕКАЕМАЯ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА 411
где, как и раньше, wik — частота собственных колебаний оболочки,
~ф{к — некие нелинейные функции.
Таким образом, поставленная задача свелась к исследованию,
системы уравнений D.41). Ради конкретности последующих рас-
рассуждений и для упрощения записи в дальнейшем ограничимся
двухчленной аппроксимацией (см. D.39)) и будем рассматривать
лишь круговую цилиндрическую оболочку (^=0, k2=R~1, a= а0,
dwo/da=O).
Введем в рассмотрение безразмерные функции прогиба хг =
—fxl/h, x2=f12/h и безразмерное время т= (%?. Тогда система D.41)
примет вид
+ qXl {ЪА + Tl2a|) +
1хлх2 = О,
где введены следующие обозначения:
к = -
г = ¦
a" = ^F
56
16
/и — Г21 — 40 '
1
70
Ti2 — Т21
_c С -
Q
"* 11
8Q
D.42)
• ~г 11 i
70 ' }
D.43)
D.44)
D.45)
D.46)
D.47)

412
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. III
=4^ ss j и+
D.48)
14400 ^ 12 ' 6e) <^*'
Здесь iu, и ш, — частоты первой и второй формы малых собствен-
собственных колебаний оболочки, V — приведенный параметр скорости.
Соответствующая D.42) линейная система имеет вид
dx, , 2,т, „
, D.49)
dxn i о i 2 , Т7 л v '
+ f+ *F 0
Решение этой системы может быть представлено в виде
Подставляя D.50) в D.49) и приравнивая определитель полу-
полученной при этом алгебраической системы нулю, получим
Из характеристического уравнения D.51) замечаем, что при
малых V все характеристические показатели X лежат в левой полу-
полуплоскости комплексного переменного и соответствующие им ре-
решения устойчивы по отношению к малым возмущениям. С увели-
увеличением V возможны случаи выхода X из левой полуплоскости.
Минимальное значение V=V*, при котором два из характеристи-
характеристических показателей становятся чисто мнимыми, а остальные
по-прежнему лежат в левой полуплоскости, является критиче-
критическим, т. е. представляет критическую скорость потока газа

§ 4] ОБОЛОЧКА, ОБТЕКАЕМАЯ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА
413
для выбранной формы потери устойчивости оболочки и имеет
следующий вид:
D.52)
Формула D.52) имеет обычный вид формулы критической
скорости панельного флаттера, однако по содержанию она не-
несколько отличается от обычной, ибо учитывает влияние попереч-
поперечных сдвигов на критическую скорость.
В § 1 настоящей главы мы установили, что учет поперечных
сдвигов в анизотропных оболочках может привести к существен-
существенному снижению величины частот свободных колебаний оболочки.
Если это так, то, согласно представлениям D.43)—D.48), мы
можем утверждать, что при учете поперечных сдвигов критическая
скорость панельного флаттера, определенная по формуле D.52),
становится меньше критической скорости, найденной без учета
поперечных сдвигов. При этом, чем больше отношения hi a, Bik/Biiy
Btk/B5i, тем больше разница между этими скоростями.
Для определения амплитуды установившихся колебаний флат-
флаттера вновь обратимся к системе нелинейных уравнений D.42).
В предположении малости аэродинамической нелинейности си-
система уравнений D.42) примет вид
D.53)
Цг2 + X$ + ГЧ + 4kVx, +qx2 (T2ls?
-f
0.
Решение системы D.51) ищем в виде
Xl = Ах cos От -|- В, x2 = A
D.54)
где Аг, А2, В и в — постоянные, подлежащие определению.
Если затухание системы достаточно мало, то, как показывают
более точные исследования, можно считать, что А2——Av.
Согласно D.54), решив систему уравнений D.53) методом
Бубнова—Галеркина, для определения Ах получим уравнение:
[§ ?-yMF- П = 0, D.55)
D.56)
где
з i
c = ~g~ 4 To (''Tn ~r Ti2)> To== T21 ~r T22 — T11 — Ti2>
3o = т «To + T r2 (8i2 + 8n) B8n — 82i)-

414 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОИСТЫХ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. Ш
Наконец, из D.55) найдем:
- D-57>
Как показывает анализ, учет поперечных сдвигов приводит
к увеличению амплитуды колебания флаттера. Характер флат-
терных колебаний зависит также от знака 80:
а) Если 80^0, то, как видно из D.57), установившиеся дви-
движения возможны при V ^ V*. В этом случае амплитуда устано-
установившихся колебаний флаттера, равная нулю на границе области
флаттера, постепенно увеличивается при дальнейшем увеличении
параметра V.
б) Если 80 < 0, то установление флаттерных колебаний при
V<V* возможно, когда 2/3 к (V — V*) CГп -f Г12) Я — 8о > 0, а при
F J> V* амплитуда установившихся флаттерных колебаний посте-
постепенно увеличивается при дальнейшем увеличении параметра V.
Здесь можно наблюдать следующую картину. Начальное без-
моментное состояние оболочки останется устойчивым, пока V < V*.
При V = V* амплитуда флаттерных колебаний скачком возрастает
до конечного значения. С дальнейшим увеличением скорости ампли-
амплитуда возрастает. При снижении скорости режим колебаний сохра-
сохраняется вплоть до F= Ve, где V*e определяется из уравнения
При V=V*h произойдет «срыв» амплитуды и вновь восстано-
восстановится первоначальная форма оболочки.
Таким образом, если V*h < V <С V*, то невозмущенная форма
оболочки, устойчивая по отношению к малым возмущениям, может
оказаться неустойчивой по отношению к конечным, хотя и доста-
достаточно малым возмущениям.
§ 5. Некоторые задачи динамики анизотропных пологих
оболочек, находящихся в переменном температурном поле
Рассматривается ортотропная пологая гибкая оболочка поло-
положительной гауссовой кривизны и постоянной толщины h, нахо-
находящаяся в переменном температурном поле.
Предполагается, что оболочка отнесена к знакомой триорто-
гональной системе координат а, р, f так, что срединная поверх-
поверхность ее совпадает с координатной поверхностью ^=0- Считается,

ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ В ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ
415
что координатные линии совпадают с главными направлениями
упругости, теплопроводности и линейного температурного расши-
расширения ортотропного материала оболочки.
Пусть температура оболочки Т=Т (а, р, у, t) задана и удов-
удовлетворяет как уравнениям,теплопроводности, так и начальному
и граничным условиям.
Учитываются изменения физико-механических свойств мате-
материала оболочки в зависимости от темцературы. Однако считается,
что материал оболочки остается упругим.
Поставленная задача решается в классической постановке на
уровне теории весьма пологих оболочек (см. гл. I, § 5 и гл. II, § 13).
Принимая основные предположения теории гибких пологих
оболочек, термоупругости анизотропных тел, а также Л=1, В = 1,
Х=0, Y=0, получим следующие исходные уравнения и соотно-
соотношения задачи:
уравнения движения:
da
3S
dp
д"-Н
да д$
д*-У
дИ »
г" da V X да )'
п dw
E.1)
соотношения упругости:
Tl = СПе1 + C12e2 + КП*1
12е1 + % 22*2
IT,
Г 66
т, Я = Z>66x -j- /T66(o,
S = C66(o
Mx = Dux, -f ZI2x2 -f Knsl + ЛГ12е2 -j- /Г1Г,
M2 = ZJ2x2 -f- Dj^ -f- К22s2 -f- /T12s1 -f- AT2J,,
1'де для жесткостей Ctj = С., (а, ,3, t), K{J = K(J (а, р, ^),
= Z>t.. (а, |3, ^) и температурных усилий CiT = CiT (a, p, ^),
~KiT(a., p, i) имеем
A/2
A/2
A/2
, DtJ= \
-hit
к/2
Г f П А V
-А/2
-А, 2
А/2
I (
-А/2
-A/2
E.2)
E.3)

416
здесь
"и'
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
«22 О]
а0
__ «11 _ Е2
'' а0 1 — vj
в12
a0 = ana2i — a\2;
[ГЛ. III
E.4)
геометрические соотношения:
ди . 7 . 1 / dw
(Pw
— —A-k 4-1 l dw ^2
dv t du t с
уравнение неразрывности: .
= —2
E.5)
Исходя из приведенных уравнений и соотношений, получим
для определения искомых перемещений и, v, w систему нелинейных
дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами:
t^w, w)= —
[ци -{- Ltv -f- (L5 -\- L5) w-\-R2 (w, и
-j-R2(w, v) + R3(w,
dC,
чт
IT
да*
E.7)
где для линейных ?,., Lt и нелинейных R(, R( операторов имеем
L
^66 If) ~~ (kici]

5J
ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ В ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ
41?
dw fdwf op 6>u»d2u»l LJ
* V?P/ ~" 12 d"lp"J~" #
и, наконец, входящие в E.7) операторы Lt и R{ получаются соот-
соответственно из операторов Li и R( заменой в них коэффициентов
А ^ В, координат и ^ |3 и индексов 1^2.
Основные уравнения задачи могут быть сформулированы в тер-
терминах смешанного метода с помощью функции напряжений
<р (а, |3, t) и функции перемещений w (а, |3, t).
Пренебрегая тангенциальными силами инерции и обычным
образом вводя функцию напряжений:
E.8)
из соотношений упругости, с учетом E.2), получим для состав-
составляющих тангенциальной деформации и моментов следующие вы-
выражения:
diw
U)
^ ~
E.9)
27 С. А. Амбарцумлн

418
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. III
- «и) 5 + (о?2 - d12) -g-+к1Т,
^+ с„)+
4" (^22
4" (^12 О12) ~л^Г
E.10)
где введены следующие обозначения:
^22
7
_ ^п
du = (С22Кп - С12К12) Qo1, dB = (CUK22 -
О == 11 22
= K12d
12
Kud12
= K12dn
E.11)
Подставляя значения сил, моментов и деформаций соответст-
соответственно из E.8), E.10) и E.9) в третье уравнение движения E.1)
и в уравнение неразрывности деформаций E.6), получим для опре-
определения искомых функций <р и w следующую систему нелинейных
дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами:
(Le + ?eL. + (L7
+ R, (w, ?) = -Й- (C1Tdn
--=-z (C1Td12
u; + 1
d-w
=j^;{citA12 -f- C2r^22) -f ^ (ClT^n -f- C2
где для дифференциальных операторов имеем
E.12)
(J2 
да d'fi J'

5]
ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ В ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ
419
а операторы L., как и раньше, определяются из операторов L.
путем замены в них А "^ В, и ^ |3 и индексов 1^2.
Таким образом, решение рассматриваемой здесь задачи сводится
к интегрированию систем дифференциальных уравнений E.7)
или E.12) при известных граничных условиях.
1. О поперечных колебаниях прямоугольной в плане пологой
оболочки. Рассмотрим в линейной постановке свободные колеба-
колебания прямоугольной в плане (aXb) весьма пологой оболочки,
шарнирно опертой по всему контуру (а=0, а=а, |3=0, $—Ь).
Пусть оболочка находится в таком переменном во времени тем-
температурном поле, что Т—Т (t).
Тогда легко получить исходные дифференциальные уравнения
свободных колебаний оболочки, полагая в E.12)
дА,
дА
dDtj
Ч
Ч Ч да дЬ да дй ч '
%
Конечно, термин «свободное колебание» здесь носит несколько
условный характер, ибо изменение механических характеристик
материала оболочки во времени (Btj=Bfj. (t), Aij=Aij (t),
D(j=D{j (t), так как B{J=Btj (T), а Т=Т (t)) вносит некоторые
элементы «вынуждения».
Для рассматриваемого случая свободных колебаний из E.12)
получим следующую исходную систему дифференциальных урав-
уравнений:
dF
д*<?
E.14)
К системе E.14) присоединим граничные и начальные условия,
которые имеют вид:
при и = 0, a = а
и;.= О, 2'1 = 0, 17 = 0, .?1 = 0; E.15)
27*

420 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
при р = 0, |3 = Ъ
при t = tQ =
Принимая
а = а/2, C = 6/2
dw
[гл. ш
E.16)
E.17)
m=l я=1
со со
mira
sin sin
. mica .
sm ~^~sin
E.18)
удовлетворим граничным условиям E.15) и E.16).
Далее, подставляя значения w и <р из E.18) в систему уравне-
уравнений E.14), получим для определения искомых функций fmn (t)
и Fmn (t) соотношение
Fmn (t) = -/«, @ (^-J (V»
+ 2A12) a2&2m2ra2 + i4/n«p, E.19)
а также следующее дифференциальное уравнение второго порядка
с переменными коэффициентами:
.(*) = о,
где приняты обозначения:
E.20)
E.21)
) 4Г E-22)
(g — ускорение силы тяжести).
Укажем, что при получении уравнения E.20) было учтено,
что коэффициенты Пуассона не зависят от температуры, а пара-
параметры Bik (t) имеют вид:
E.23)

§ 5] ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ В ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ 421
Полагая 82^> 1, что имеет место для многих прикладных за-
задач, применим к уравнению E.20) метод асимптотического ин-
интегрирования.
Интегралы уравнения E.20) будем искать в виде (в дальней-
дальнейшем, где это допустимо, индексы тип опускаются)
= O(t, 8)е8а)(", E.24)
где
Ф (*, 8) = Фо @ + 8"
— функция интенсивности, <о (t) — функция изменяемости.
Подставляя значение / (t) из E.24) в E.20) и производя со-
сокращение на е8ш, получим
/=0
Потребовав, чтобы в уравнении E.25) коэффициенты при всех
степенях 8 обращались в нуль, при условии Ф07^0 получим сле-
следующую бесконечную систему рекуррентных уравнений для опре-
определения ш (t), Фо (t), Фг (t), . . ., Фу (t), . . .:
0> <5-26)
(/ = 1, 2, 3, ...).
Решив E.26), для функции изменяемости получим
E-29)
Внеся E.29) в E.27), найдем функцию интенсивности в нуле-
is ом приближении:
«>0 = Q-v*. E.30)

422 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. III
Имея E.29) и E.30), с помощью E.28) можно найти следую-
следующее, первое приближение. Каждое последующее приближение
также найдется путем интегрирования уравнения E.28).
Ограничимся рассмотрением нулевого приближения, ибо по-
подробные исследования показывают, что нулевое приближение
в ряде случаев обеспечивает вполне удовлетворительную точность
результатов.
Согласно E.30), E.29) из E.24) в нулевом приближении
получим
[( j ) (j )] E.31)
Постоянные интегрирования Ср входящие в E.31), с помощью
E.18) могут быть определены из начальных условий E.17),
В силу E.31) из E.19) для второй искомой функции имеем
F = — f^y «jrV* (^а*»* -f к^тР) \СУ exp (ib j {§ df) +
-f C2 exp (—/8 J v/ф Л)] [А22Ь*т* -f Aua*n* -f
+ (Aw + 2Aa)a*0m*n1-1. E.32)
Имея значения искомых функций / (t) и F (t), с помощью
E.18) легко записать значения функции напряжений <р и функ-
функции перемещения w.
Таким образом, поставленная задача решена. С помощью фор-
формул E.18), E.31), E.32) легко найти характер напряженно-
деформированного состояния оболочки, когда температура ее из-
изменяется во времени по произвольно заданному закону Т=Т (t).
Рассмотрим случай, когда средняя температура оболочки из-
изменяется по закону
l E.33)
где Ттл% — максимальная температура оболочки, ?х — время,
необходимое для достижения максимальной температуры.
Будем принимать, что в рассматриваемом диапазоне изменения
температуры модули упругости материала оболочки зависят от
температуры линейно или хорошо аппроксимируются линейной
функцией, т. е.
Е{ = Е°{1—\Ч), E°t = Et(t0) = const. E.34)
Приближенно будем считать, что и коэффициенты B(j. зависят
от температуры линейно:
Вч = B4j A - Х'Т), ВЬ = B(J (g = const,

§ 5]
где
ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ В ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ
i-
423
E.35)
Тогда из E.20) после некоторых преобразований, ограничиваясь
основным тоном колебаний (т=п=1), получим
?^ _j_ С2 A _ щ f —. о, E.36)
где
12 A -
о la2_La4
E.37)
E.38)
Укажем, что из физического содержания рассматриваемой за-
задачи следует, что 1—It > 0.
Уравнение E.36) путем элементарной подстановки приводится
к уравнению Бесселя и может быть интегрировано точно. Выпол-
Выполнив интегрирование, получим
[§ ] E.39)
где /v — функции Бесселя,
Постоянные интегрирования С,, подлежат определению из на-
начальных условий задачи E.17), которые в данном случае могут
быть записаны в виде:
при t = 0
E.40)
Удовлетворяя условиям E. 40), получим
Bс\ m'°r Bc
E.41)

424 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. III
Подставляя значения С( в E.39), получим выражение для / (t)
при i»=l, га=1. Подставляя это выражение в E.18), найдем нор-
нормальное перемещение оболочки и? (и, р, i):
0 [H (Co) /у, (С) + /_«/. (С,) Uh (С) 1-
-Т5 [/-V, (У /v. (С) - /•/. Ко) /-/. G)i} sin т sin T • E-42)
} T
где для сокращения записи введены следующие обозначения:
Таким же образом можно записать и выражение для искомой
функции (р (а, р, *).
Легко установить, что с увеличением t (т. е. с повышением
температуры оболочки E.33)) увеличиваются как амплитуда,
так и условный период колебания нагреваемой оболочки. Обрат-
Обратную картину можно наблюдать при ее остывании, т. е. при повы-
повышении жесткости оболочки.
Во многих прикладных задачах аргументы бесселевых функций,
входящих в E.42), имеют большие значения. Используя извест-
известную асимптотическую формулу
из E.42) получим
Из E.43) найдем перемещение центра оболочки (и = а/2,
Ь/2):
w4 = / = 0A- Ц-/. Sin {I [1 - A - И)*] + »}, E.44)
где
При Х=0 из E.44) предельным переходом нетрудно получить
общеизвестное уравнение гармонических колебаний
и>ц = w sin (ct + 9-). E.45)
Простой анализ показывает, что приближенное решение,
полученное в нулевом приближении при асимптотическом интег-
интегрировании уравнения E.36), совпадает с точным решением E.42)

t 5]
ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ Б ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ
425
при асимптотическом представлении входящих в него бесселевых
функций.
При наличии линейного затухания (с коэффициентом затуха-
затухания е) взамен E.36) будем иметь следующее уравнение:
= 0, E.46)
решив которое, для w (и, |3, t) получим
Не вдаваясь в подробности, укажем, что в формуле для w
имеется затухающий множитель, который, в зависимости от соот-
соотношений величин в, с, X, может существенно изменить характер
колебания оболочки. В частности, на-
например (в отличие от случая е=0)
значительное повышение температуры
может и не привести к увеличению
амплитуды колебания.
2. Устойчивость при обтекании ор-
тотропной цилиндрической оболочки,
находящейся в поле действия перемен-
переменной температуры. Рассмотрим круго-
круговую цилиндрическую оболочку беско-
бесконечной длины, обтекаемую сверхзвуко-
сверхзвуковым потоком газа с невозмущенной
скоростью U, направленной по обра-
образующим оболочки (рис. 78). Будем полагать, что оболочка изго-
изготовлена из ортотропного материала, главные направления упру-
упругости которого совпадают с координатными линиями оболочки
я, Р, Т-
Механические характеристики оболочки зависят от температуры,
являющейся функцией лишь времени t, т. е. Т=Т (t).
В рассматриваемом случае исходные уравнения задачи, со-
согласно E.12) и D.2), в линейной постановке запишутся следую-
следующим образом:
Рис. 78.
J
R да*
у""^
«со
am
E.48)

426 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. III
где, как всегда,
р— Т</# — плотность материала оболочки (у0 — удельный вес,
g — ускорение силы тяжести), е — коэффициент затухания, рот —
давление невозмущенного потока газа, ат — скорость звука
в невозмущенном потоке, х — показатель политропы.
Исключая <р (а, р, t) из системы E.48), получим для опреде-
определения искомого нормального перемещения w (a, p, t) следующее
уравнение:
/ 1 0С13\ д* , С22 д*1 ¦ 1 diw
VC66 Qo / <JaVp ~T Q() ^4 J W I" д2 ^4
Решение уравнения E.50) ищем в виде
и;(а, р, <) = /We-<ftacos^p. E.51)
Здесь / (t) — некоторая комплексная функция действительного
аргумента, й=^/Х— волновое число, X — длина полуволны по
образующим оболочки, п — целое число волн по окружности по-
поперечного сечения оболочки.
Подставляя значение w из E.51) в E.50), для определения
/ (t) получим следующее дифференциальное уравнение второго
порядка с переменными коэффициентами:
где
г рйасо
Подстановкой

§ 5] ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ В ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ 427
уравнение E.52) приводится к виду
g*+W(f)t = 0, E.56)
где введены следующие новые обозначения:
El @, л*
Здесь
Ег @) — модуль упругости главного направления 1—1 в началь-
начальный момент t=t0.
Множитель второго члена уравнения E.56) является боль-
большим параметром. Учитывая сказанное, уравнение E.56) будем
решать методом асимптотического интегрирования; решение урав-
уравнения E.56) будем искать в виде
ф = фо(8, *)«»»<", E.60)
ф0 (§, *) = Фо (t) + 8-1Ф, (t) + 8Ф2 (<)+..., Фо W # 0, E.61)
где фо — функция интенсивности, <о (t) — функция изменяемости.
Не вдаваясь в подробности, освещенные в предыдущем пункте
настоящего параграфа, согласно E.55), E.56), E.60) и E.61)
в нулевом приближении для / (t) получим
/ (t)=F~'l' [CjeWn-lWV -f С^-'К'Иш-./»)*], E.62)
t
р (<) = 8 J N/F <й = р, (*) -f- ф2 (t), E.63)
о
где C1=a1-\-ib1, C2=a2-\-ib2 — произвольные комплексные по-
постоянные.
Имея значение / (t), по сути дела, можем считать, что постав-
поставленная задача решена. Исследуя поведение функции / (t), мы мо-
можем установить значение критической скорости потока газа.
Характер функции / (t) существенно зависит как от скорости
набегающего потока U, так и от коэффициентов упругости
Bik (T)=B'ilc (t), зависящих в свою очередь от температуры. Если

428 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. III
модуль амплитуды / (t) в течение интересующего нас промежутка
времени возрастает, то будем считать, что оболочка находится
в состоянии неустойчивости. В противном случае состояние обо-
оболочки считается устойчивым. Скорость потока газа U*, при ко-
которой d\f (t)\/dt=O, является критической.
Для выяснения характера функции / (t) необходимо знать
аналитическую зависимость коэффициентов упругости материала
оболочки от температуры, а также закон изменения температуры
во времени. Рассмотрим для иллюстрации пример.
Ради конкретности последующих рассуждений и ради крат-
краткости записи будем полагать, что материал оболочки ивотропный
{E1{t)=E^{t)=E(t), G12(t)=E(t)/2(l + v), vx=v2=v) с модулем
упругости Е (Г), линейно зависящим от температуры:
Е = Е0-Е*0Т, E.64)
где Ео и Ео — коэффициенты, определяемые из эксперимента.
Будем полагать также, что средняя температура оболочки
изменяется по закону
T 'i)> Т=Тшх (!>Ь), E.65)
гДе ?ш — максимально достигаемая температура оболочки, fx —
время, необходимое для достижения максимальной температуры.
В силу E.64) и E.65) окончательно получим
E = E0-Ettt Е^Ц^К E.66)
Тогда из E.62) и E.63), с учетом E.57), E.58) и E.66), найдем
тдя f (t) и р (t) следующие выражения:
f (t) = r
_ t sin l±pL\ (C,e'ft(O -f Cf-'W&U)) I E 67)
3» + 2stc . . 39 +
^jsin
\"| /г fox
JJ, E.68)
(/ = 0,1,2,3; s = 0,1),

§ 5]
где
ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ В ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ
429
= arctg^L, »0=»@), Л =
E.70)
Как было указано выше, критическая скорость определяется
из условия d\f (t)\/dt=O, которое в развернутой форме, согласно
E.67)—E.70), имеет вид
[a2 cos рх -f p, sin pj -f
-f- Oj cos рг — 6j sin PjJ + (e*O [62 cos j^ — a2 sin &] -f
! cos pj -f at sin ptJ]V2} = 0. E.71)
Таким образом, мы получили уравнение, при помощи которого
можно определить точное значение критической скорости U*.
Однако, ввиду громоздкости уравнения E.71), аналитическое
определение U* затруднительно. Но если учесть, что модуль пер-
первого слагаемого функции / (f), т. е.
независимо от скорости потока убывает во времени, то критическая
скорость может быть приближенно определена из указанного эк-
экстремального условия, наложенного лишь на второе слагаемое
функции f (t), т. е. из условия
?. {r-v« еХр t--p2 (*) - (в + (х/2) t]} = 0.
Далее, имея в виду, что при
B{t)>0, ЩР-=-ЪгЧ>зт
из E.72) получим
В @ EpRa __ \/УД2 + AW В ¦ , _^
E.72)
* - В
Отсюда легко определить значение критической скорости по-
потока газа U* в любой момент времени t @ ^ t ^ fx).
В большинстве случаев 52 ^> Л2С/2; тогда из E.73) можно
получить
?!_l__i Ё1 E74)
1 0-?1@' V '

430 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. III
где
L— —|— ' ¦ ' - I ( 1 —4— — I
— критическая скорость флаттера, найденная по квазистатиче-
квазистатической с точки зрения температуры теории (т. е. когда в окончатель-
окончательной формуле критической скорости для несогреваемой оболочки
вместо модуля упругости Е подставляется выражение (Ео—Erf)).
Формула E.74) показывает, что динамическая критическая
скорость U* меньше критической скорости, найденной по квази-
квазистатической теории, и в случае достаточно малого затухания мо-
может существенно отличаться от квазистатической скорости U*o.
§ 6. Флаттер цилиндрической оболочки в потоке
сжимаемой проводящей жидкости в присутствии
магнитного поля
Рассмотрим задачу устойчивости анизотропной круговой ци-
цилиндрической оболочки бесконечной длины, обтекаемой с внешней
стороны сверхзвуковым потоком идеально проводящего невязкого
газа с невозмущенной скоростью U,
х направленной по образующим ци-
цилиндра. Пусть во внутренней об-
гос ласти оболочки газ находится в по-
покое и имеет давление рт, равное
давлению невозмущенного потока
обтекающего газа. Оболочка нахо-
находится в магнитном поле, вектор на-
напряженности которого равен Но
и направлен параллельно скорости
потока (рис. 79).
р „а Пусть оболочка изготовлена из
анизотропного материала, который
имеет лишь одну плоскость упру-
упругой симметрии, параллельную срединной поверхности оболочки.
За координатную поверхность у=0 (r=R) принимается средин-
срединная поверхность оболочки, отнесенная к координатам а, C (а —
вдоль образующей, {3 — по дуге окружности поперечного сечения).
Система координат а, C выбрана так, что .4=1, B=l, R1 = co,
R2=R (рис. 79).
Считается, что магнитные и диэлектрические проницаемости
газа и материала оболочки изотропны и равны единице. Внутри
оболочки предполагается справедливость уравнений Максвелла
^ля вакуума. Электромагнитные эффекты в теле оболочки вовсе
зе рассматриваются.

6]
ФЛАТТЕР ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
431
Уравнения движения оболочки записываются на уровне тех-
технической теории, без учета тангенциальных сил инерции, сил
инерции вращения и поперечных сдвигов.
В силу принятых предположений для рассматриваемой задачи
получим следующие исходные уравнения и соотношения:
уравнения магнитогазодинамики для внешней области:
ZL + div(p'F') =
F.1)
здесь H — вектор напряженности магнитного поля, V — вектор
скорости потока газа, р' — плотность газа, рт — плотность не-
невозмущенного газа, р — давление газа, рт — давление невозму-
невозмущенного потока газа, х — показатель политропы;
уравнения магнитного и электрического полей для внутренней
области (в вакууме):
ДЯ--±^ = 0, AJT-^^-O. F.2)
где Н* — вектор напряженности магнитного поля во внутренней
области, JE* — вектор напряженности индуцированного электри-
электрического поля внутри оболочки, с — скорость света,
уравнения движения оболочки:
л ^_ 9л J*4? л to л _i /i v<*P
"Л •
F.3)
где р,в=Т(/? — плотность материала оболочки (у0 — удельный
вес, # — ускорение силы тяжести), а для коэффициентов А{к и Dik
имеем
л in п пч \ о~' Л Ю Г п п \ о-'
11 V 22 66 ^^ *^26/ \ » 16 \ 12 96
¦6 ==
^22 ^ 1й) i > -^ 12 :=: (^16^26 ^12^6б)
= FПС22 — 6j2) 666 -j-2C12C16C26 — CltCj8 —
F-4)
F.5)

432
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. III
Входящий в F.3) грузовой член Z (а, р, t) в рассматриваемой
задаче электромагнитоупругости, согласно известным исследова-
исследованиям, имеет вид
7 — 2\тл *)f~i ho | rp fp* /С Ол
где Ьр — избыточное давление газа, е — коэффициент затухания,
Тгг и Ггг — тензоры Максвелла в газе и в вакууме соответственно.
Предполагая возмущения малыми и принимая
V'=U-\-Jr, H—H0-\-h, p' = pro-|-p, F-7)
где V (va, vg, vr), h (ha, hp, hr), p соответственно представляют
возмущения скорости обтекающего потока газа, напряженности
внешнего магнитного поля и плотности газа, линеаризуем исход-
исходные уравнения F.1) и F.2).
Линеаризованные уравнения задачи представляются следую-
следующим образом:
для внешней области:
rih dha dVa dha
da dt " da da '
-(—2^—o, i F.8)
,dt do.} ** ' pco дт ^^po V ^^ d? /
д_\ттд\ \°^Rd9t Но (R dh^ ^M _л
jdt ~ 0a) ? ~ pco r c*^ ' 4upo \r ^P da ] *
где аСо==(хРоо/рсо)/2 является скоростью звука в невозмущен-
невозмущенном газе;
для внутренней области:
1
с*
F.9)
При этом векторы Е, V и Е*, h* связаны соотношениями
F.10)

6]
ФЛАТТЕР ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
433
где наряду с принятыми выше обозначениями считается, что Е
представляет вектор напряженности электрического поля во внеш-
внешней области.
Решения систем уравнений F.3), F.8) и F.9) должны удов-
удовлетворять общим граничным условиям на колеблющейся поверх-
поверхности оболочки, а именно: условию непроницаемости, которое
имеет вид
dw
Vf ~дТ'
- при r =
F.11)
и граничным условиям для электромагнитного поля
hr = K при r — R,
F.12)
где компоненты тензора Максвелла после линеаризации опреде-
определяются следующим образом:
Т =
//oft?
4л
Hohr
4л
О
О
F.13)
Выражение для тензора Т* получается из F.13) путем замены
/га, hr, Ар на A.*, h*r, Щ соответственно.
Таким образом, поставленная задача сводится к совместному
решению систем дифференциальных уравнений F.3), F.8) и
F.9) при условиях F.11) и F.12).
Решение этих систем ищем в виде волн, распространяющихся
вдоль оболочки. Пусть, аналогично D.5),
woexp|j (wt — ka — ^
<Ро ехР [* (wt — ка — Р w
F.14)
= W3 (r) exp[« (wt- ко. - р J
F.15)
28 С. А. Амбарцумян

434
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
1
vr = Ф2 (г) exp [i (а* _ fa _ р ?)],
^ = фз @ exp [i (wt - ка - р -?)],
p=p(r)exp[i(atf-.fa-p?)].
[ГЛ. Ш
F.16)
F.17)
Здесь все коэффициенты неизвестны и подлежат определению
(к=к/1 — волновое число, А — длина полуволны в направлении
образующих, <о — частота колебаний, п — целое число волн
по окружности поперечного сечения оболочки).
Система уравнений F.8), после подстановки решений в виде
F.14)—F.17), приводится к одному дифференциальному урав-
уравнению относительно искомой функции р (г):
где
A +
¦' е -т?
F.18)
F.19)
F.20)
F.21)
Здесь Afj и Af2 — числа Маха и Альфвена в относительном движе-
движении проводящего газа и упругой волны, F8 — скорость распро-
распространения электромагнитных волн Альфвена, V — фазовая ско-
скорость распространения упругой волны в оболочке.
Остальные искомые функции, входящие в F.15) и F.16),
представляются посредством р (г) следующим образом:
Ш TJ М-^—i р ™ „
¦*¦ 1 ¦*-* ft * Г*> Ч •'¦О -L-L ft
-\ 1 d?
Щ
M\—in p
— 1) гк Рсо '
V — t/ рсо '
V — U Щ — 1
dr '
_ ^ ^ + «j - 1 » р
3 К - U M\—i rt рсо
F.22)

§ 6] ФЛАТТЕР ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ 435
Таким образом, для определения компонент векторов h и V
во внешней области нам необходимо найти решение дифференциаль-
дифференциального уравнения F.18).
Если т^>0, то, обозначив х — кг\]т, уравнение F.18) можно
привести к виду
№!№ ( g)(x) = O. F.23)
+
Решение уравнения F.23) имеет вид
р(х) = С1/я(х) + С2У„И, F.24)
где In (х), Yn (x) — функции Бесселя действительного аргумента
порядка п.
Если же m<0, то, полагая х~кг\]\т\, аналогично предыду-
предыдущему получим
^^(!> = 0. F.25)
Интеграл этого уравнения представляется в функциях Бесселя
чисто мнимого аргумента порядка п и имеет вид
п /т»\ — с* т A»\ \ с* тс 1т\ ff\ *}{\\
Часть постоянных интегрирования С( определяется из усло-
условий излучения и затухания возмущений на бесконечности.
В случае пг > 0 согласно условию излучения С:=0 при V > U
и С2=0 при V < U.
В случае тп < 0 из условия затухания возмущений на беско-
бесконечности получаем Сг=0.
Таким образом, для внешней области решение исходных урав-
уравнений F.23) и F.25) представляется следующим образом:
< C2Ya(x) (m>0, V>U),
р(ж) = | CJn{x) (m>0, F<?/), F.27)
I C2Ka(x) (m<0).
Из условия F.11), согласно F.14)—F.27), определив по-
постоянную интегрирования, для каждого из трех рассмотренных
случаев получим
b[Y'n{k\]mR)~\-lw0 (m>0, V>U),
С = \ b[J'n(kyJmR)]~1w0 (m>0, V<U), F.28)
28*

436
где
КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК
[ГЛ. III
F-29)
F.30)
согласно F.14)—F.17), F.22) и F.28), получим для компо-
компоненты тензора Максвелла Тгг и избыточного давления Ьр соот-
соответственно
Из F.13) и линеаризованного соотношения
Т —
гг
, V>U),
(m>0, F > ?/),
(m>0, F< f/),
F.31)
F.32)
Наряду с §р и 21,., в уравнения F.3), согласно F.6), входит
также Т^. Для определения У*,, необходимо иметь решение урав-
уравнений F.9) во внутренней области.
Из F.9) имеем
Решение уравнения F.33), аналогично F.15), ищем в виде
hi = W[ (г) ехр [г (о*- Ы — ?р)]. F.34)
При этом очевидно, что функция W* (г) должна удовлетворять
уравнению
Принимая, что
к виду
< 1, уравнение F.35) можно привести

6]
ФЛАТТЕР ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
437
где
V2
Решение уравнения F.36) имеет вид
=**—?•)• F-37)
F.38)
г. е. представляется с помощью функций Бесселя чисто мнимого
аргумента порядка п.
Функция Кп (г0) имеет особенность в начале координат. По-
Поэтому для внутренней области следует считать С*=0. Постоянную
интегрирования С* определим из граничных условий F.12),
три из которых удовлетворяются тождественно, а третье и четвер-
четвертое условия, необходимые для однозначного определения иско-
искомых й? и Ар, перепишутся следующим образом:
да
г If
r dvr
0 dt
dt
vh\ dhr . U dhr Hn dvr
Ar Ar, 1~~Ж ~At b A(
при г==
при этом здесь учтено, что hr=h*r при r=R.
Из условия F.39) получим
Нак ...
следовательно,
Наконец, из F.13), в силу F.40), будем иметь
(G.39)
(R.40)
F.41)
F.42)
Таким образом, из F.6), согласно F.31), F.32) и F.41), для
приведенной нормально приложенной нагрузки Z окончательно
получим
[ ±], F.43)

438 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. III
где
z=
-1), F.44)
k?a>\/mYn(ks/mR)[Y'n(k\/mR)Y1 (m>0, V>U),
kp^s/mJ^ks/mR)^^^^)]-1 (m>0, V<U)
краткп (k v/н R) [VH К (* n/йТдХГ1 ijn < 0).
F.45)
Переходим к решению уравнений движения оболочки. Согласно
F.43), исключая <р (а, Р) t из] системы уравнений, получим отно-
относительно нормального перемещения w (а, р, ?) следующее диф-
дифференциальное уравнение движения оболочки:]
^-]и, = 0. F.46)
Подставляя значение u? (a, |3, t) из F.14) в F.46), придем
к следующему характеристическому уравнению относительно
частоты колебаний оболочки о>:
си2 — *2ео) — 22 (А:, п) — Q = 0, F.47)
где
22=~Ь lD^+AD^ 5"+2 (Z)i2+2Dm) fe25+
J}F.48)
F.49)
Здесь Q — частота собственных поперечных колебаний оболочки
в вакууме.
Частоту колебаний о> для любых заданных значений к и п
можно определить из уравнения F.47). Если ее мнимая часть
положительна, то движение оболочки устойчиво по отношению
к малым возмущениям. Если же частота имеет отрицательную
мнимую часть, то, очевидно, движение оболочки будет неустой-
неустойчивым.

s 6]
ФЛАТТЕР ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
439
Из F.19) и условия тга>0 нетрудно получить области не-
неустойчивости. Для наглядности результаты анализа и определен-
определенные области неустойчивости приведены графически (рис. 80).
В общем случае вопрос определения критической скорости
флаттера сопряжен с большими трудностями. С целью получения
/,Д 1,5 2,0
Рис. 80.
наглядных оценок для критической скорости флаттера рассмотрим
следующий случай:
U>V.
F.50)
В рассматриваемом случае мы имеем большие скорости обте-
обтекания и малый показатель изменяемости оболочки поперек потока.
Согласно принятым ограничениям, используя асимптотические
представления функций Ханкеля, из F.45) будем иметь
z = —ikp0
L A+е2)Л/?_е2 J
F.51)
Из уравнения F.45), с учетом F.50) и F.51), получим выра-
выражение для критической скорости М*\
где
F.52)
F.53)
г4 — 2A26san-{.
+ (А№ + 2Л12) s2ra2 — 2Aiesn3 -j- Ацга4]}, s = kR. F.54)
а =— ц = 2???==.
00 М ' " р_,А
n+2

440 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. III
При отсутствии магнитного поля (е=0) из F.52) для крити-
критической скорости получим формулу
К = —= —(!+-), F-55)
которая совпадает с ранее полученной формулой D.29).
Таким образом, поставленная задача решена. Мы нашли фор-
формулу, с помощью которой можно определить критическую скорость
флаттера анизотропной цилиндрической оболочки, обтекаемой
потоком идеально проводящего газа, в присутствии магнитного
поля.
Рассматривая формулу F.52), замечаем, что критическая ско-
скорость существенным образом зависит от характера анизотропии
материала оболочки. Как и в предыдущих задачах, здесь так-
также, меняя ориентацию материала оболочки в теле оболочки,
существенным образом можем изменить критическую скорость
флаттера.
Критическая скорость флаттера существенным образом зависит
также от напряженности магнитного поля. Из F.52) путем чис-
численного анализа нетрудно установить, что при увеличении напря-
напряженности магнитного поля критическая скорость вначале умень-
уменьшается, достигая минимума для определенного значения е, после
чего начинает неограниченно возрастать, стабилизируя рассмат-
рассматриваемый процесс.
ЛИТЕРАТУРА
Здесь цитируются и частично обсуждаются лишь те работы, на основании
которых написана настоящая глава.
§ 1. Приведенные здесь положения общеизвестны, однако в случае анизо-
анизотропной слоистой оболочки появляется некоторая специфика, которая осве-
освещена в исследованиях:
1. Амбарцумян С. А., К теории анизотропных оболочек. ПММ, т. 12,
№ 1, 1948.
2. Амбарцумян С. А., Некоторые вопросы теории анизотропных
оболочек, Известия АН АрмССР, № 9, 1947.
3. Амбарцумян С. А., Теория анизотропных пластинок. Физматгиз,
1967.
4. Г н у н и В. Ц., О параметрически возбуждаемых колебаниях слоистых
анизотропных гибких оболочек. Известия АН АрмССР (ФМ науки),
т. 15, № 3, 1962.
5. Librescu Liviu, Statica si dinamica structurilor elastice anizo trope si
eterogene. Bucuresti, 1969.
§ 1, nn. 1, 2. Эти пункты написаны на основании монографии [3], а также
следующих статей:
6. Амбарцумян С. А., Хачатрян А. А., Об устойчивости и
колебаниях анизотропных пластинок. Известия АН СССР (мех. и
машиностр.), ОТН, № 1, 1960.

ЛИТЕРАТУРА 441
7. X а ч а т р я н А. А., Об устойчивости и колебаниях трансвереально
изотропной сферической оболочки. Известия АН АрмССР (ФМ науки),
т. 13, № 4, 1960.
8. Амбарцумян С. А., Хачатрян А. А., Об устойчивости и
колебаниях пологой ортотропной цилиндрической панели. ДАН АрмССР,
т. 30, № 1, 1960.
§ 1, п. 3. Написан на основании работы:
9. М о в с и с я н Л. А., Об осесимметрично нагруженной анизотропной
цилиндрической оболочке. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 15,
№ 2, 1962.
§ 2. С основными вопросами статической устойчивости оболочек вообще
читатель может ознакомиться по книгам:
10. В о л ь м и р А. С, Устойчивость деформируемых систем. Физматгиз,
1967.
11. Огибалов П. М., Вопросы динамики и устойчивости оболочек.
Изд-во МГУ, 1963,
где можно найти обширную литературу по устойчивости.
§ 2, пп. 1, 2, 3. Посвящены исследованию устойчивости различных типов
анизотропных и трансверсально изотропных оболочек с учетом поперечных
сдвигов. Эти пункты написаны на основании ранее цитированных ра-
работ [3, *-8], а также
12. Хачатрян А. А., Об устойчивости круговой цилиндрической обо-
оболочки при некоторых нагрузках. Известия АН АрмССР (ФМ науки),
т. 13, № 5, 1960.
При рассмотрении указанных выше задач были использованы также не-
некоторые положения, освещенные в соответствующих параграфах монографий:
13. В л а с о в В. 3., Общая теория оболочек. Гостехиздат, 1949.
14. Болотин В. В., Динамическая устойчивость упругих систем. Гос-
Гостехиздат, 1956.
§ 2, п. 4. См. I»-].
§ 2, п. 5. Посвящен задачам устойчивости анизотропных слоистых обо-
оболочек. Выявлены многочисленные специфические особенности, которые ранее
были освещены в работах I1], а также в статьях
15. Г н у н и В. Ц., Об устойчивости несимметрично-собранных слоистых
гибких пологих оболочек. ДАН АрмССР, т. 34, № 3, 1962.
16. Багдасарян Г. Е., Г н у н и В. Ц., Об одной нелинейной задаче
устойчивости анизотропной цилиндрической оболочки. Известия АН
АрмССР (ФМ науки), т. 18, № 2, 1965.
17. Г н у н и В. Ц., М и к а е л я н Г. 3., К устойчивости несимметрично-
собранной слоистой ортотропной цилиндрической оболочки. Ученые
записки Ереванского Гос. Ун-та, № 2, 1970.
18. Г н у н и В. Ц., М и к а е л я н Г. 3., Выпучивание длинных слоистых
пластин и цилиндрических панелей. Известия АН АрмССР (механика),
т. 24, № 2, 1971,
на основании которых написан этот пункт.
§ 3. Общие сведения с указанием специальной, литературы можно найти
в [5. 10. п. 14], а также в работах
19. Б о л о т и н В. В., Неконсервативные задачи теории упругой устой-
устойчивости. Физматгиз, 1961.
20. Он и а ш в и л и О. Д., Некоторые динамические задачи теории обо*
Изд-во АН СССР, 1957.

442 КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОЛОЧЕК [ГЛ. Ill
§ 3, п. 1. Здесь использованы работы [4, 14], а также
21. Аибарцумян С. А., Б а г д а с а р я н Г. Е., Г н у н и В. Ц.,
Некоторые динамические задачи трехслойных анизотропных оболочек.
Теория пластин и оболочек. Изд-во АН УССР, 1962.
22. Амбарцумян С. А., Г н у н и В. Ц., О вынужденных колебаниях
и динамической устойчивости трехслойных ортотропных пластинок.
Известия АН СССР, ОТН (мех. и машиностр.), № 3, 1961.
23. Г н у н и В. Ц., К теории динамической устойчивости слоистых анизо-
анизотропных оболочек. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 13, № 1, 1960.
24. Багдасарян Г. Е., Г н у н и В. Ц., Резонанс в вынужденных
нелинейных колебаниях слоистых анизотропных оболочек. Известия
АН АрмССР (ФМ науки), т. 14, № 1, 1961.
25. Г ну ни В. Ц., К нелинейной теории устойчивости ортотропных не-
неоднородных пологих оболочек. Известия АН АрмССР (ФМ науки), т. 18,
№ 1, 1965.
§ 3, п. 2. В основу этого пункта легла работа:
26. В а г д а с а р я н Г. Е., Г н у н и В. Ц., Динамическая устойчивость
анизотропной замкнутой цилиндрической оболочки. ДАН АрмССР, т. 41,
№ 5, 1965.
§ 3, п. 3. См. Р, »-в].
§ 3, п. 4. Пункт написан на основании статьи:
27. Г н у н и В. Ц., Мовсисян Л. А., Продольный удар вращающейся
анизотропной полубесконечной цилиндрической оболочки о жесткую
стенку. Переходные процессы деформации оболочек и пластин. Изд-во
АН ЭстССР, 1967.
§ 4. Исходные положения читатель найдет в монографии [1Э]. Следует
отметить также работу:
2К. Ильюшин А. А., Закон плоских сечений в аэродинамике больших
сверхзвуковых скоростей. ПММ, т. 20, в. 6, 1956,
где дан закон плоских сечений, обнаруженный автором впервые в 1947 г.
Конкретные результаты, вошедшие в этот параграф, взяты из работ
29. Б о л о т и н В. В., Нелинейный флаттер пластин и оболочек. Иыж.
сборник, т. 28, 1960.
30. А м б а р ц у м я н С. А., Багдасарян Г. Е., Об устойчивости
ортотропных пластинок, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа. Изве-
Известия АН СССР, ОТН (мех. и машиностр.), № 4, 1961.
31. Багдасарян Г. Е., Устойчивость анизотропной цилиндрической
оболочки в сверхзвуковом потоке газа. ИзвестияАН АрмССР (ФМ науки),
т. 15, № 6, 1962.
32. Вагдасарян Г. Е., Устойчивость анизотропной слоистой цилиндри-
цилиндрической оболочки в сверхзвуковом потоке газа. ДАН АрмССР, т. 39, № 5,
1964.
33. Багдасарян Г. Е., Об устойчивости ортотропных пологих оболочек,
обтекаемых сверхзвуковым потоком газа. Известия АН СССР (мех. и
машиностр.), № 1, 1963.
§ 5. Написан на основании следующих работ:
34. Амбарцумян С. А., Об одной задаче колебания ортотропной пла-
пластинки, находящейся в поле действия высоких температур. Известия
АН СССР (мех. и машиностр.), № 4, 1963.
3j. Амбарцумян С. А., Дургарьян С. М.,0 колебаниях орто-
ортотропной пологой оболочки, находящейся в переменном температурном
поле. ДАН АрмССР, т. 38, № 2, 1964.

ЛИТЕРАТУРА 443
36. Амбарцумян С. А., Параметрические колебания пластинки в поле
действия высоких температур. Известия АН СССР (мех. и машиностр.),
№ 6, 1964.
37. Амбарцумян С. А., Багдасарян Г. Е., Флаттер пластинки,
находящейся в поле действия температуры. ДАН АрмССР, т. 39, № 3,
1964.
38. Амбарцумян С. А., Багдасарян Г. Е., Флаттер цилиндри-
цилиндрической оболочки, находящейся в поле действия высоких температур.
Известия АН СССР, ОТН (мех. и машиностр.), № 5, 1964.
39. Ambartsumian S. A., Bagdasarian G. E., Durga-
rian S. M., Gnuny V. Ts., Some Problems of Vibration and Stability
of Shells and Plates. Int. J. Solids and Structures, v. 2, 1966.
§ 6. Целиком написан на основании работы:
40. Б а г д а с а р я н Г. Е., Б е л у б е к я н М. В., Флаттер цилиндриче-
цилиндрической оболочки в потоке сжимаемой проводящей жидкости в присутствии
магнитного поля. Инж. журнал, МТТ, № 6, 1966.
Рассмотренной задаче посвящены также работы:
41. Kaliski S., Solarz Z., Aero-Magneto-Flutter of a Plate Flown
Past by a Perfectly Conducting Gas in a Magnetic Field with Isotropic
Action. Proc. Vibr. Problems, v. 3, JVS 3, 1962.
42. А в а н в с я н Г. Г., Флаттер анизотропной цилиндрической оболочки
в потоке сжимаемой проводящей жидкости в присутствии магнитного
поля. Труды 8-ой Всесоюзной конференции по теории оболочек и пласти-
пластинок, 1972.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Анизотропия криволинейная 14
— прямолинейная 14
Выпучивание цилиндрической па-
панели 374
Гипотеза ыедеформируемых норма-
нормалей 19, 25
Гипотезы основные общей теории 19
— теории итерационной 20
— — — новой 22
— — уточненной 20
— — цилиндрических длинных обо-
оболочек 289
Деформации удлинения, обозначе-
обозначение 15
Дирака ^-функция 304
Задача теории оболочек 11
— термоупругости оболочки враще-
вращения 322, 328
Закон Гука обобщенный 15, 17
— —¦, — в задаче термоупругости
321
Квадрат линейного элемента средин-
срединной поверхности 13
Колебания свободные оболочки 345
— — — в температурном поле 419
— — сферической оболочки 350
Компоненты деформации изгиба и
кручения срединной поверхности
оболочки 27
— — тангенциальной 27
Координаты гауссовские 41
— криволинейные а, р, у 12
Коэффициент возбуждения 384
Коэффициенты деформации 15
— Ламе 18
— первой квадратичной формы 12
Кривизны главные 12
Материалы ортотропные 37
Метод асимптотический 19
— гипотез 19
— одинарных тригонометрических
рядов 266
— разложений по толщине 1»
Модули сдвига 16
— Юнга 16
Направления упругости главные 15
Напряжения касательные, обозна-
обозначения 15
— нормальные, обозначения 15
Обозначение производных индекс-
индексное 12
Оболочка 11
— анизотропная пологая 66
— в магнитном поле 430
— ортотропная весьма пологая 100
— — пологая 334
— — сферическая 60, 98
— многослойная сферическая 200
— — — под действием сосредото-
сосредоточенной силы 302
— свободно опертая весьма пологая
312
— слоистая симметрично собранная
шарнирно опертая 297
— трансверсально изотропная кру-
круговая цилиндрическая 125
— — — сферическая 128
— цилиндрическая круговая 47, 257,
316, 357
— — — замкнутая 56, 278
— — многослойная 171
— — — замкнутого профиля 272
— — — открытого профиля 267
Оболочки анизотропные 25 V
— безмоментные 223
— — нулевой гауссовой кривизны
235
— весьма пологие 71, 110, 190, 326
— — — большого прогиба 77

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
445
Оболочки весьма пологие большого
прогиба слоистые 205
— вращения 322
— — длинные 260
— — конические 264
многослойные 166, 262
ортотропные 37, 41, 248, 257
— — — симметрично нагруженные
— — слоистые со слоями перемен-
переменной толщины 212
симметрично нагруженные 243
— — цилиндрические 263
— ортотропные 60, 80, 90 v
— — пологие большого прогиба 95
— пологие анизотропные 66
— — многослойные 185
— постоянной толщины 13
— слоистые с нечетным числом слоев
156, 321
— — с любым числом слоев 162
— — со слоями переменной тол-
толщины 205
— тонкие 13
— трансверсально изотропные 122 v
Параметр большой 250
Плоскость изотропии 16
Поверхность нулевой гауссовой кри-
кривизны 235
— оболочки срединная 11
Полиномы Лежандра 351—352
Система координат географическая
67
Скорость флаттера критическая 439
Соотношения Гаусса—Кодацци 12,
235
— упругости 34
Стеклопластик КАСТ-В 288
— СВАМ-ИММ 397
Тело анизотропное 14
— изотропное 17
— криволинейно анизотропное 14
— ортотропное 15
— с прямолинейной анизотропией
14
— трансверсально изотропное 16
Теории приближенные расчета ци-
цилиндрических оболочек 289
Теория безмоментная 223
— —, область применимости 233
— — оболочек вращения 242, 248
— — — нулевой кривизны 235
— — весьма пологих оболочек 190,
297
Теория безмоментная весьма поло-
пологих оболочек вращения 166
— — цилиндрических оболо-
оболочек 171
— итерационная новая 22, 132, 142,
150, 316
— — техническая ортотропных обо-
оболочек 90
— классическая 19, 25, 216
— — круговых цилиндрических
оболочек 47
— — ортотропных оболочек враще-
вращения 41
— — — сферических оболочек 60
— — пологих оболочек 66
— — слоистых оболочек 156, 162
— — термоупругости слоистых обо-
оболочек 321
— техническая цилиндрических обо-
оболочек 50, 175, 266, 289
— уточненная 19, 102, 308
— — техническая ортотропных обо-
оболочек 102
— — трансверсально изотропных
оболочек 122
— частично уточненная (итерацион-
(итерационная) 20
— — — ортотропных оболочек
80
Толщина оболочки 13
Удар оболочки 391
Уравнение Матье 387, 390
— осесимметричных колебаний ци-
цилиндрической оболочки 352
— разрешающее круговой цилин-
цилиндрической оболочки замкнутого
профиля 273
— — — открытого профиля
267
— — конический оболочки 265
— — технической теории цилиндри-
цилиндрической оболочки 291
— — шарнирно опертой слоистой
оболочки 298
— устойчивости сферической обо-
оболочки 361
Уравнения движения элемента оби-
лочки 343, 344, 350
— колебаний круговой цилиндри-
цилиндрической оболочки 346, 352
— разрешающие безмоментных обо-
оболочек 230
— — весьма пологих оболочек 74,
80, 101, 149
— — замкнутых круговых цилин-
цилиндрических оболочек 57

446
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Уравнения разрешающие круговых
цилиндрических оболочек 48, 54,
267, 273, 279, 309
— — многослойной сферической обо-
оболочки 294, 303
— — оболочек вращения 45, 154,
262
— — ортотропных оболочек 87, 88,
92, 114, 117
— — — сферических оболочек 64,
65, 100
— — пологих оболочек 70, 97
— — слоистых весьма пологих обо-
оболочек 192, 193, 196, 205, 298
— — — оболочек вращения 167,
168, 216
— — — пологих оболочек 188
— — — цилиндрических оболочек
174, 181
— — трансверсальио изотропных
оболочек 125, 126, 313
— устойчивости замкнутой цилин-
цилиндрической оболочки 357
— — круговой цилиндрической обо-
оболочки 362
— — многослойной оболочки 364,
365
Условия граничные неоднородные 37
— однородные 36
— — смягченные 110
— контакта слоев 159
— неразрывности срединной поверх-
поверхности 27
— применимости безмоментной тео-
теории 234
Устойчивость гибкой оболочки, об-
обтекаемой сверхзвуковым потоком
409
— динамическая замкнутой цилин-
цилиндрической оболочки 386
Устойчивость динамическая много-
многослойной пологой оболочки 378
— замкнутой цилиндрической обо-
оболочки 357
— круговой цилиндрической обо-
оболочки 362
— — — —, обтекаемой сверхзву-
сверхзвуковым потоком 399, 403
— — — —, — — — в магнитном
поле 430
— пологой цилиндрической панели
355
— при обтекании оболочки в поле
переменной температуры 425
— слоистых оболочек 363
— сферической оболочки 360
Флаттер оболочки 430
Формула поршневой теории прибли-
приближенная 398
Функция изменяемости 251
— интенсивности 251
Частоты колебаний круговой цилин-
цилиндрической оболочки 353
— — цилиндрической панели 347,
349
Число Альфвена 434
— Маха 399, 434
Элемент линейный оболочки 12
Энергия потенциальная деформации
оболочки 37
— — изгибов и кручения 37
— — удлинений и сдвигов 37
Эффект краевой в оболочках вра-
вращения 258

Сергей Александрович Амбарцумян
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ АНИЗОТРОПНЫХ
ОБОЛОЧЕК
М., 1974 г., 448 стр. с илл.
Редактор И. А. Маркузон
Техн. редактор К. Ф. Брудно
Корректоры Т. С. Плетнева и В. П. Сорокина
Сдано в набор 18/XII 1973 г. Подписано к печати
31/VII 1974 г. Бумага 60х90/1И Физ. печ. л. 28.
Условн. печ. л. 28. Уч.-изд. л. 29,9. Тираж 4000 8кз.
Т-14503. Цена книги 2 р. 78 к. Заказ Jsfi 813.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
Н7О71, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
1-я типография изд-ва «Наука»
199034, Ленинград, В-34, 9 лин., д. 12

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
ИМЕЮТСЯ В ПРОДАЖЕ:
Александров А. Я. и Ахметзянов М. X., Поляриза-
ционно-оптические методы механики деформируемого тела,
«Наука», 1973, 576 стр., 3 р. 45 к.
А р у т ю н я н Н. X., Абрамян Б. Л., Кручение упругих тел,
Физматгиз, 1963, 688 стр., 1 р. 25 к.
Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Конвективная
устойчивость несжимаемой жидкости, «Наука», 1972, 392 стр.,
2 р. 35 к.
Сборник задач по сопротивлению материалов, под ред.
А. А. Уманского, «Наука», 1973, 432 стр., 86 к.
С т у п о ч е н к о Е. В., Лосев С. А., Осипов А. И., Релак-
Релаксационные процессы в ударных волнах, «Наука», 1965, 464 стр.,
71 к.
Ха л ф м а н Р., Динамика, перев. с англ., «Наука», 1972,
568 стр., 1 р. 55 к.
Перечисленные выше книги продаются е магазинах Книго-
Книготорга и Академкниги, распространяющих литературу по данной
тематике.
При отсутствии этих книг на месте заказы следует направ-
направлять по адресу: 103050, Москва, ул. Медведева, 1, магазин М 8
Москниги «Книга — почтой».
Литература будет выслана наложенным платежом.