Текст
\\,
.
н.А.r./lаlолев 1
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
rЕОМЕТРИЯ
.,
ПЛАНИМЕТРИЯ
r
-аl
=:-10
учпедlu.3...... 1954
Н. А. r ЛАrОЛЕВ
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
rЕОМЕТРИЯ
ЧАСТЬ 1
Планиметрия
ДЛЯ 6----8 КЛАССОВ
СЕМИЛЕТНЕЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ
Под реда1.'ц:исй д. и. ПЕРЕПЁЛНИНА
J;7 тверждено
Министерством nросвещения РСФСР
[осу ДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО ПЕДАrоrИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
Москва 1954
!
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ.
Настоящая книrа отличаетсЯ от написанных до сих пор учебников reo-
метри и следующими особен настями.
Изыенена по сравнению с прежними учебниками научная трактовка ос.
новных вопросов курса. Так, значительно полнее, чем в прежних учебниках,
изложены вопросы симметрии осевой и центральной. Они выделены в особые
подразделения в rлавах, снабжены отдельными упражнениями и в дальнейшем
используются при доказательстве теорем.
По новому изложен вопрос об измерении отрезков и о несоизмеРИМhlХ ве.
личинах, причём опущен алrоритм Евклида нахождения общей меры двух
отрезков как устаревший и не имеющий в настоящее время ни теоретическоrо,
ни практическоrо значения. По той же причине опущена rеометрическая тео.
рия пропорций. Вопрос об измерении длин отрезков, как и все вопросы из-
мерения, изложен в соответствии с современными научными взrлядами на из.
мерение rеометрических величин. Подобие фиrур изложено как некоторое reo-
метрическое преобразование, изменяющее размер фиrуры без изменения её
формы. Такое изложение соответствует истинному содержанию понятия о по-
добных фиrурах и является более современным, чем сохранившееся со времёll
Евклида определение подобия фиrур как некоторой формальной зависимости
между их элементами.
По новому изложен вопрос об измерении площадей. Вся теория измере-
ния площадей строится на современной научной основе в постановке, данной
rильбертом и Шурам.
В методическом отношении приняты следующие установки: значительно
усилена роль rеометрических построений, которые вводятся с caMoro начала
курса и СОIl ровождают всё изложение предмета от начала до конца. До r лавы
о равенстве треуrольников построения выполняются при помощи трёх инстру-
ментов ---- циркуля, линейки и треуrольника. При этом доказательства пра-
вильности производимых постро ний излаrаются петитом, так как они MorYT
на первых порах вызвать затруднения у учащихся, а в то же время MorYT
быть опущены без ущерба для общеrо развития учащихся ввиду простоты
самих построений. Теоремы о равенстве треуrольников ДВIОТ возможность ос-
вободиться от чертёжноrо трсуrольника, и с этоrо места курса все построе-
ния выполняются лишь с помощыо циркуля И линейки.
Далее, несколько изменён IlОрЯДUК изложения отдеЛЬНbIХ r лав.
Так, теория параллельных прЯМЫХ изложена раНhше свойств треуrольни-
ков, как 9ТО уже де.:Iалось в некоторых прежних учебниках (repxep, А. Н. r ла
rолев и др.). Это придаёт изложению большую стройность и освобождает от
необходимости давать отдельные оказательства ряду теорем о треуrольниках
(теорема о внешнем yr ле, некоторые теоремы о равенстве треуrольников и др.).
В книrе помещено свыше 700 задач (не считая решённых в тексте). В це-
JIЯХ наилучшеrо их использования при прохождении курса ти задачи поме
Щаются не только в конце каждой rлавы, но в больших rлавах и по отдель-
НЫМ раздел&м этих r лав.
По содержанию задачи разделяются на четыре rруппы: 1) задачи на до..
казательство, 2) на нахождение rеометрических мест, 3) на построение и 4) на
ВЫЧИСление.
1.
з
Особенно увеличено по сравнению с прежними учебниками число задач
первой и третьей rрупп, как наиболее развивающих rеометрическое мышление
учащихся. Такое большое число задач, как мне кажется, даёт возможность
начать работу по новому учебнику, не дожидаясь издания к нему отдельноrо
задачника. Из общеrо числа свыше 700 задач около 70 заимствовано автором
из книr:
1. А. S а 1 о m о п, Le<;ons de Geometrie.
2. Етilе В о r е 1, Geometrie.
3. Е. Н е j s und F. Е s с h w е i I е r, LеhrЬuсh der Geometrie.
4. А. 11. r л а r о л е в, Элементарная rеометрия.
у этих задач поставлены отметки [1], i21, [3], [4], указывающие их
источник, причём если задача помещена в нескольких книrах, то отметка YKa
зывает более ранний источник. Остальные задачи или составлены самим авто-
ром, или общеизвестны, или являются простыми вариантами общеизвестных
задач и потому не нуждаются в указании источника.
Н. r лаеолев.
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ.
Второе, посмертное издание учебника (автор скончался в 1945 r.) не от-
личается сколько-нибудь существенно от первоrо.
Текст nepBoro издания был тщательно просмотрен, исправлены замечен-
ные поrреUlНОСТИ, в некоторых местах внесены редакционные изменения. Те
места учебника, которые были изложены, на наш взrляд, слишком кратко,
снабжены дополнениями. l-iесколько чертежеЙ заменены новыми.
д. Перепёлкuн.
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА.
Настоящее (третье) издание печатается без изменений со BToporo и здания.
ВВЕДЕНИЕ.
1. Предмет rеометрии.
Наблюдая окружающие нас предметы, мы замечаем большое
разнообразие их BHeIllHero вида и их свойств.
Предметы отличаются один от друrоrо своиrvt видом, весом,
свойствами вещества, из KOToporo они состоят, и т. д. Но при 8сём
этом разнообразии можно заметить свойство, присущее всем пред-
метам без исключения, именно: каждый предмет имеет свою форму
и свой размер. При изrотовлении различных предметов им при-
дают форму и размер, соответствующие их назначеНИIО.
Артиллерийскому снаряду придают форму, при которой он
имеет нужную дальность полёта, кузову корабля форму, кото-
рая даёт ему устойчивое положение на поверхности воды и по-
зволяет леrче рассекать волны морской стихии.
Далее, мы замечаем, что каждый предмет занимает определён-
ное положение среди друrих предметов.
В практической жизни весьма важно уметь определять рас-
стояние между предметами, размещать их должным образом на
нужных расстояниях. Так. на заводах весьма важно правильно
расставить станки. На поле боя важно правильно разместить дзоты
и наблюдательные пункты, уметь определить местонахождение
orHeBbIx точек Bpara, расстояние до ero блиндажей и т. п.
Изучение форм и размеров предметов и их взаимноrо положе-
ния составляет отдельную область человеческоrо знания.
Наука, изучающая ф рмы, размеры и взаимное расположение
предметов, называется rеометрией.
2. Происхождение rеометрии.
Уже первобытные ЛIОДИ на саrvfОЙ начальной стvпени CBoero
развития должны были различать формы окружавших их предме-
тов и замечать места их расположения. Так, они запоминали места
охоты, места стоянок и селений. Они постепенно научились опреде-
лять расстояния между отдельными предметами, размеры отдель-
ных участков местности и т. п.
По мере развития общественной жизни людей изучение форм
и размеров предметов и их взаимноrо расположения становилось
5
..
всё более нужным и требовало от человека всё больших знаний.
В древнем Еrипте весенние раЗ.1IИВЫ оrромной реки Нила смывали
rраницы.между отдельными земельными участками. Нужно было
ежеrодно их восстанавливать, что было связано с большими из-
мерительными работами на местности. Чтобы выполнять эти ра-
боты, надо было иметь удобные правила для вычисления длин
линий, площадей, участков земли, для выполнения планировок
местности и т. п. Эти правила были выработаны и записаны.
rреки, ведя торrовлю с еrиптянами, познакомились с этими
правилами, дополнили их и постепенно рgзвили из них целую
u
науку, которую и назвали rеометриеи, что значит искусство из-
мерять землю ( y з е м л я, f-1Е'tреtУ И З м е р я т ь).
rреческий учёный Евклид, ЖИВIIJИЙ В 111 в. до н. э., особенно
подробно разработал эту науку и изложил её вместе с арифме-
ТИI{ОЙ в одиннадцати книrах, которые он назвал «Начала». По
ним И изучали rеометрию в последующие века. По образцу этих
«Начал» составляются учебники rеометрии и до нашеrо времени.
3. Основные rеометрические понятия.
а) r е о м е т р и ч е с к о е т е л о.
Коrда изучается лишь форма и размер предме!а, то этому
предмету дают название ", rеометрическое тело», подчеркивая этим,
что ero физические свойства оставляются без внимания. Если
взять два предмета одинаковой формы и одинаковоrо размера,
но сделанные из разных материалов, то они будут представлять
собой одно и то же rеометрическое тело, хотя физические их
свойства будут различны.
Например, небольшой резиновый мяч и мыльный пузырь Toro
>ке размера, совершенно раЗJIичные по своим физичеСI{ИМ свойствам,
представляют собой одно и то же rеометрическое тело.
Физическое те.по при изменении ero положения относительно
друrих тел, например при переносе ero из одной среды в друrую,
неизбежно, хотя бы и ничтожно мало, изменяет свои физические
своЙства и даже свой размер под ВJIиянием среды. rеометрическое
тело рассматривается независимо от физических свойств пред-
мета. Поэтому ему приписывают слеДУlощее CBOI';'ICTBO: ceoA1enlpu-
ческое тело может сво6одно nеремещаmься и ИЗА1еняmь своё поло-
ЖСlfие среди дРУ2их .rnел, не изменяя при .9fпOM ни свое20 раз;нера,
ни формы, ни вЗQиМНО20 расположения своих частей.
б) П о в е р х н о с т ь.
Всякое физическое тело отделяется от прилеrающих к нему
друrих тел, например от прилеrающих частиц воздуха, поверх-
ностью этоrо тела.
Поверхность тела мuжно представить себе отдельно от caMoro
тела. Такой отдельной поверхности в действительности не сущест"
6
.
вует. Мы лишь созда м её в своём воображении. В природе можно
найти лишь rрубое ее изо?раженис в виде, например, очень ТОН-
Koro листа бумаrи или пленки мыльно!о пузыря. rеомет ческую
поверхнОСТЬ мы воображаем без всякои толщины.
ев) Линия.
Иноrда поверхности тел встречаются, или, как rоворят, пересе-
каются НапrИ\1ер,поверхность дымовой трубы пересекается с поверх
носТЬЮ крыllи,, боковая rpaHb куба пересекается с ero основанием
и т. п. При такоМ пересечении поверхностей образуется линия.
Линию весьма часто представляют себе отдельно от rеометри-
ческих поверхностей в виде тончайшей нити без всякой ширины.
rеометрических линий в природе не существует. Мы лишь
создаём их в своём воображении.
r) Точка.
Две линии также MorYT встречаться, или пересекаться. При
таком пересечении образуется точка, например два ребра куба
встречснотся в вершине куба. Вершины куба точки.
Точку также часто представляют себе отдельно от линии, как
мельчайшее зёрнышко или про кол тонкоЙ иr лы на листе бумаrи.
Точка не имеет никакоrо рззмера. rеометрической точки в при-
роде не существует.
4. Образование линий и поверхностей движением.
Если точка будет как-либо пере1\fеща'fЬСЯ, то при CBoё , дви-
)I{ении она опишет ЛИНИIО. Так, например, если провести остриём
карандаша по листу бумаrи, то на бумаrе образуется черта
след, оставляемый остриём. Эта черта даёт представление о линии,
образуемой движением острия карандаша. Точно так же летящая
искра, быстро перемещаясь, образует светящуюся линию. Так,
интересно наблюдать, как от rорящеrо ночью костра по ветру
отлетает множество искр, образующих целый поток orHeHHbIX ли-
ний. Для уточнения приuела зенитных орудий, при обстреле вра-
жеских самолётов ночью, выпускаются обычно трассирующие пули,
полётом которых образуются цветные orHeBbIe линии
Если линия будет перемеlцаться из одноrо положения в дру-
roe, то при таком перемещении она опишет поверхность. Образо-
вание поверхности движением линии можно, например, видеть,
наблюдая вращение спиц велосипедноrо колеса. При быстром
вращении они как бы сливаются в один сплошной диск.
5. Простейшие линии и поверхности.
а) Прямая линия.
.. Простейшая из всех линий прямая. Представление о ней
дает Tyro натянутая на двух опорных точках тонкая нить или
луч света, выходящий из малоrо uтверстия. Основное свойство
1
прямой следующее: через две любые точки можно провести пря-
мую и притом только одну.
Этим свойством прямой постоянно пользуются на практике.
Например, чтобы наметить на lестности прямую линию, вбивают
в землю деревянную веху и на некотором расстоянии от неё ---- вто-
рую; эти вехи и определяют на местности прямую. Чтобы про-
должить эту прямую, вбивают за второй вехой на некотором рас-
стоянии третью так, чтобы она закрывала собой обе первые, если
приблизить r лаз к её концу и смотреть на концы двух первых
вех. Так же можно ставить четвёртую, пятую вехи и т. д. Этим
же свойством прямой пользуются пильщики, распиливая брёвна на
доски. Натяrивая нить между двумя точками на концах бревна,
они намечают по ней линию распилки бревна.
б) Плоскость.
Простейшей поверхностью является плоскость. Представление
о ней может дать поверхность жидкости в сосуде, находящейся
в покое, или поверхность хорошо отполированной крышки стола,
или поверхность хорошо отшлифованноrо зеркала. Но это пред-
ставление лишь прпближённое. Как бы хорошо ни был отполи-
рован стол, на ero поверхности Bcer да останутся l\iельчайшие
шероховатости и неровности древесных волокон. Чтобы пред-
ставить себе плоскость, нужно отвлечься от всех этих неровно-
стеЙ и вообразить, что поверхность стола абсолютно r ладкая.
Основное свойство плоскости следующее: если две любые точки
плоскости соединить прямой линией, то все точки эпlоtl прямой
окажутся лежащими на плоскости.
Э1ИМ свойством плоскости пользуются при отшлифовке rладких плит для
проверки точности шлифовки. Именно, берут металлический брусок с точно
выверенным прямолинейным ребром и этим ребром прикладывают ero к данной
поверхности. Если шлифовка достаточно точна, то брусок будет во всех своих
точках одинаково плотно прилеrать к поверхности, в каком бы направлении
и в каком бы месте ero ни прикладывали.
6. rеометрические фиrуры.
Сочетание HeKoToporo числа точек, линий и поверхностей, как-
либо расположенных одни относительно друrих, называется reo..
метрической фиrурой.
rеометрические фиrуры разделяются на п л о с к и е и пр о-
с т р а н с т в е н н ы е.
Плоской фиrурой называется такая, все точки которой лежат
на одной плоскости. Представление о такой фиrуре даёт всякий
рисунок, сделанный на r ладком листе бума rи.
Фиrура называется пространственной тоrда, коrда не все её
точки лежат на одной плоскости. Представление о такой фиrуре
даёт всякое rеометрическое тело.
В первой части rеометрии изучаются плоские фиrуры. Эта
часть rеометрии называется планиметрией.
8
7. Способы изучения rеометрических фиrур.
Непосредственных измерений и опытов, применяемых обычно
при изучении u физических тел, бывает иноrда недостаточно для
изучениЯ своиств и взаимноrо расположения rеометрических тел.
Так, например, непосредственное измерение длины или высоты
предмета не всеrда возможно. Нетрудно измерить длину стола
или высоту комнаты, но значительно труднее измерить высоту
растущеrо дерева или определить высоту летящеrо самолёта.
Поэтому в rеометрии не оrраничиваются только одними
измерения И, а прибеrают и к рассуждениям. Именно: заме-
тив какое либо свойство изучаемоrо тела, по нему стараются
правильными рассуждениями обнаружить новые свойства этоrо
тела.
Так, например, мы отметили свойство прямой линии: через
две точки МОЖНО провести nРЯАtуЮ и притом только одну. Из
этоrо утверждения можно сделать следующий вывод: две прямые
линии не МО2ут встречаться более, чем в одной точке. В самом
деле, если бы две прямые линии встретились в двух точках, то
через эти две точки стали бы проходить две прямые, а не
одна. Таким образом, путём правильноrо рассуждения мы обна-
ружили новое свойство прямых линий: они МО2ут nересе1Шться
не более, чем в одноЙ точке.
Подобноrо рода правильные рассуждения и являются rлавным
средством изучения свойств rеометрических фиrур.
ПОВТОРИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ,
1. Что такое rеометрическое тело?
2. Можно ли назвать rеометрическим телом внутренность закрытой
комнаты?
З. Если придавить cHer ноrой, в нём образуется уrлубление. Можно ли
это уrлубление назвать rеометрическим телом?
4. MorYT ли через данную линию проходить несколько rеометрических
поверхностей?
5. Можно ли точку разделить на более мелкие части?
6. Что называется rеометрической фиrурой?
r л А В А ПЕР В А Я.
ПРЯМАЯ ЛIIНИЯ.
1. ПРЯМЫЕ, ЛУЧИ, ОТРЕЗКИ.
1. Аксиомы о прямой линии.
Аксиомой называется утверждение, принимаемое за досто-
веРное. Слово а к с и о м а rреческое: а к с и о с (a;LO )........ Д о-
с т о й н ы й. Аксиома истина, достойная признания.
АКСИО!\fЫ, выражающие свойства прямых линий, следующие.
9
1. Через любые две точки можно провести прямую линию
и притом только одну.
2. Если две ТОЧКИ ПрЯМОЙ лежат на плоскости, то и все
ТОЧКИ этой ПрЯМОЙ лежат на той же плоскости.
2. Изображение ПрЯМОЙ линии. /
ПРЯ:\1УЮ линию обычно представляют себе безrранично про-
долженной в обе стороны. Прямая обозначается или двумя бук-
вами, обычно большими латинскими, поставленными при каких
либо двух её точках, например прямая АВ (черт. 1), или одной
д
I
в
I
а
Черт. 1.
Черт. 2.
малой буквой, например прямая а (черт. 2). Для вычерчивания
прямой линии употребляется линейка.
Чтобы вычертить прямую, ПрОХОДЯЩУIО через две заданные
её точки, например А н В. придвиrают край линейки ВПЛОТНУIО
к данным точкам и остриём карандаша проводят вдоль края
черту. Если хотят проверить правильность линейки, то прикла-
дывают её тем же боком к тем же точка 1, но с друrой стороны,
и вновь проводят черту вдоль края.
Если карандаш вычертит ту же ЛИНИIО, что и раньше, то это
значит, что линейка правильная.
3. Луч.
Часть прямой, все точки которой лежат по одну сторону от дан-
нои точки этой прямой, называется лучом. Сама данная точка назы-
ваt.ТСЯ началоrvl луча.
4. Отрезок.
Часть прямой, оrраниченная с обеих сторон, называется отрез-
ком этоЙ прямой. Отрезок обозначается обычно двумя буквами,
д
в
1
а
Черт. 3.
Черт. 4.
поставленными при ero концах, например отрезок АВ (черт. 3),
или одноЙ малой буквой, например а (черт. 4).
5. Равенство и неравенство отрезков.
Два отрезка называJОТСЯ равными, если их можно СОВ\1естить
так, что их концы совпадут. Если дан какой либо отрезок пря-
мой, то на каждой прямой от любой её точки в любую сторону
10
можно отложить отрезок, равный данному. Средством для этоrо
служит циркуль. Чтобы отложить на пряrvlОЙ а от точки С (черт. 5)
отрезок CD, равный АВ, сначала растворяют ножки циркуля так,
чтоБыI острия ИХ концов упирались в точки А и В, а затем, не
изменяя раствора циркуля, переносят ero так, чтобы один из ero
концов ПрОI1lёл через точку С, а друrой находился на прямой а.
Этот второй копец и определит положение точки D.
д
I
С
в
I
D
д
в
с
а
Черт. 5.
Черт. 6.
Равенство двух отрезков, наПРИl\lер АВ и CD, записывается
так: АВ == CD или CD == АВ.
Если отложить на прямой от данной точки, например А, в одну
сторону два отрезка АВ и АС и точка В окажется между точ-
ками А и С (черт. 6), то rоворят, что отрезок АВ меньше
отрезка АС или что отрезок АС больше отрезка АВ. Это запи-
сывают так:
АВ < АС и АС>АВ.
6. Сложение и вычитание отрезков.
Если на отрезке АВ взять какую либо точку С (черт. 7),
то обраЗУIОТСЯ два новых отрезка АС и СВ. Отрезок АВ назы-
вается суммой отрезков АС и СВ. КаждыЙ из отрезков АС и СВ
называется разностыо отрезка АВ и друrоrо отрезка. Это запи-
сывают так:
АВ == АС + СВ; АС === АВ СВ; СВ === АВ АС.
Чтобы сложить два отрезка, например АВ и CD, продолжим
отрезок АВ за точку В и на этом продолжении ОТЛОЖИ"vJ от
д в Е
Д ... I I
С В С D
I I I
.
Черт. 7. Черт. 8.
точки В отрезок ВЕ, равный CD. Отрезок АЕ даёт сумму отрез-
ков АВ и ВЕ или АВ и CD (черт. 8):
АЕ == АВ + CD.
Чтобы вычесть из большеrо отрезка меньший, например из
отрезка АВ отрезок CD, отложим на отрезке АВ от конца А
отрезок АЕ, равный CD (черт. 9). Отрезок ЕВ и даст искомую
разность отрезков АВ и CD:
ЕВ == АВ CD.
11
7. Длина отрезка.
Для приблизительноrо определения длин отрезков служит
линейка с намеченными на ней делениями, причём длина каждоrо
деления равна одному миллиметру.
Чтобы определить длину отрезка, прикладываJОТ к нему ли..
нейку так, чтобы начальное деление линейки совпало с началом
отрезка, и отсчитывают число делений, содержащихся в данном
отрезке.
8. Ломаная линия.
Если на плоскости дано несколько точек, не лежащих на
одной прямой, например А, В, С, D, Е (черт. 10), ro их можно
D
А
I
С
I
Е
I
D
I
в
I
Е
д
Черт. 9.
Черт. 10.
последовательно в каком-либо порядке соединить отрезками пря-
мых линий, например АВ, ВС, CD, DE.
Совокупность этих отрезков называется ломаной линией; отрезки
АВ, ВС, CD и DE называются звеньями этой ломаной, а точки
А, В, С, D и Е её вершинами. Отрезок, равный сумме всех
в
А
D
"-
"
"
с
,
" с
"
D Е
Черт. Черт. 12.
звеньев ломаной линии, т. е. АВ + ВС + CD + DE, называется
..
ее периметром.
Ломаная называется выпуклой, если все её звенья лежат
по одну сторону от каждоrо из них, неоrраниченно продолжен-
Horo. Такова, например, линия ABCDE (черт. 11).
Ломаная линия называется замкнутой, если её начало и конец
совпадают. Такова, например, линия ABCDEA (черт. 12).
12
ПОВТОРИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.
1. Как проверить правильнасть линейки?
2. Что такое луч?
3. Что называется отрезком прямой?
4. Как построить отрезок, равный данному?
5. Как убеждаются в равенстве двух отрезков?
6. Как записать равенство двух отрезков?
7. Как сложить два отрезка?
8. Что называется ломаной линией?
9. Что такое периметр ломаной лин ии?
10. Какая ломаная называется замкнутой?
11. Какая ломаная называется выпуклой?
УПРАЖНЕНИЯ.
1. На данной прямой от данной точки отложить отрезок, равный дан-
ному.
2. На данной прямой отложить от данной точки отрезок, равный сумме
двух данных.
3. Построить отрезок, равный разности двух данных отрезков.
4. По данной сумме двух отрезков и одному из них построить друrой.
5. По данной разности отрезков и меньшему из них построить больший
отрезок.
6. По данной разности отрезков и большему из них построить меньший
отрезок.
7. Начертить ломан YIO линию, состоящую из 5 звеньев, и построить
отрезок, равный периметру этой ломаной.
8. Даны 5 точек, из которых каждые 3 не лежат на одной прямой. Через
каждые 2 из них проводят прямую линию. Сколько Bcero таких прямых можно
провести? Отв. 10.
9. Сумма двух отрезков равна 15 см, а разность их равна 4 см. Чему
равен каждый отрезок? Отв. 5,5 СМ и 9,5 СМ.
10. Отрезок длиной 18 см разделён на 2 неравные части. Чему равно рас-
стояние ме)J{ДУ серединами зтих частей? Отв. 9 CA-t.
11. Отрезок длиной 24 СМ разделён на 3 равные части. Чему равно рас-
стояние между серединами первой и третьей части? Отв. 16 см.
12. Доказать, что еСJIИ данный отрезок разделить на какие уrодно две
части, то расстояние между серединами этих частей всеrда равно половине
Bcero отрезка.
11. yr Лbl МЕЖДУ ПРЯМblМИ.
9. Уrол.
Два луча, выходящие из одной точки, образуют фиrуру, кото-
рая называется уrлом. Лучи, образующие уrол, называются сто-
ронами уrла, а их общее начало ----- вершиной уrла. Уrол обозна-
чается или одной буквой, поставленной при ero вершине, напри-
мер L.. А, или тремя буквами, из которых одна ставится при
вершине, а две при каких-либо точках ero сторон. При записи
буква, стоящая при ero вершине, помещается между двумя дру"
rими, например L.. ВАС (черт. 13).
Иноrда уrол обозначают одной малой буквой или даже цифрой,
поставленной внутри yr ла, например L. а, L. 1 (черт. 14).
,
13
10. Внутренняя область уrла.
Стороны уrла разделяют всю плоскость на две области. Если
взять две каI<ие либо точки, например М и N, на сторонах уrла
ВАС (черт. 13) и соединить их отрезком прямой, то весь отрезоК MN
8
N
с
д
Черт. 13.
Черт 14.
будет целиком лежать в одной области плоскости. Эта область
называется внутренней областью уrла АВС. Друrая часть п ос-
кости называется внешней областью этоrо yr ла.
11. Равенство yr лов.
Два уrла называются равными, если при наложении они сов-
падают. Чтобы наложить один уrол на друrОIl, нужно совместить
плоскости yr лов так, чтобы
С вершины yr лов совпали и одна
сторона первоrо yr ла совме-
стилась со стороной BToporo,
а вторые стороны уrлов леr-
ли бы по одну сторону от
8 Д Е О. совмещённых лучей. Если вто-
рые стороны yr лов также со-
Черт. 15. вместятся, то данные уrлы
равны. Равенство уrлов, на-
пример L АВС и L DEF (черт. 15), записывается в форме:
L АВС == L DEF.
При этом изображённые на чертеже 15 отрезки лучей ВА и ED,
ВС и ЕР MOI'YT быть и не равны между собой.
12. Развёрнутый уrол.
Если два луча, выходящие из одной точки, составляют одну
прямую, то они не образуют yr ла в том СМbIсле, как мы обычно
себе представляем ero. Но, чтобы не делать для этих лучей исклю-
чения, совокупность двух таких лучей также называют уrлом
и дают ему особое название: развёрнутый уrол. Таков УI'ОЛ АВС
(черт 16).
Если даны два развёрнутых уrла, наПРИ\1ер АВС и DEF
(черт. 16), то их можно совместить, наложив один на друrой.
14
В саМОМ деле, возьмём на прямой ВС какую-либо точку М и отло-
жим на прямой ЕР отрезок EN, равныЙ отрезку ВМ. Равнь!е
отрезки ВМ и EN МОЖНО совместить, наложив один на друrои
При таком совмещении точки В и М
прямой ВС совпадут cuooTBeTcTBeHHo Д
с точками Е и N прямои ЕР. Значит,
и вся прямая ВС совпадёт с прямой ЕР, О
таК как через две точки можно про-
вести только одну прямую. Луч ве
совпадёт с лучом ЕР и луч АВ
с лучом DE. Значит, развёрнутый уrо.п АВС совместится с раз-
вёрнутЫМ уrлом DEF. Следовательно, все развёрнутые УZЛbl
равны .между собой.
в
I
Е
I
с
м
I
N
I
F
Черт. 10.
t 3. Прилежащие yr лы; сумма двух yr ЛОВ.
Если два уrла имеют общую вершину и одну общую сторону,
а их внутренние области не покрывают одна друrую, то они
называются прилежащими уrлами. Таковы,
например, уrлы АВС и CBD (черт. 17).
Если внутри какоrо-либо yr ла, например
уrла ABD, через ero вершину провести луч ВС,
то образуются два прилежащих уrла АВС и
Д CBD (черт. 17). Уrол ABD называется суммой
УI ЛОВ АВС и CBD. Это записывается так:.
D
с
в
Черт. 17.
L ABD L АВС + L CBD.
Каждый из прилежащих уrлов, L АВС и L CBD, называется
разностью yr лов ABD и друrоrо прилежащеrо, т. е.
L АВС === L ABD L CBD,
L CBD L ABD ....... L АВС.
14. Сравнение уrлов.
Уrол ABD (черт. 17) считается большим каждоrо из COCTaB
ляющих ero прилежащих уrлов: L АВС и L CBD. Это записы-
вается так: L ABD > L АВС и
L ABD > L С BD'. Чтобы срав- С
нить два любых уrла, например F F
L АВС и L DEF (черт. 18), и
определить, какой из них БОЛЫllе,
поступают так: на кладывают плос-
кости yrJIOB DEF и АВС одну
на друrую так, чтобы. точка Е В IJ Е О
СОВПала с точкой В, луч ED Черт. 18.
СОВП(iЛ с лучом ВА, а лу и 8е
и ЕР ОКr1зались ПО одну сторону от совмещённых лучеЙ' ВА
и ED. Луч ЕР займёт некоторое положение ВР. Если ВР OKa
15
жется внутри уrла АВС, то при вершине В образуются два
прилежаших уrла: L АВР и L РВС, которые вместе состав-
ляют L АВС.
Очевидно, L АВС > L АВР, но L АВР == L DEF, а потому
LABC>LDEF.
15. Смежные уrлы.
Два прилежащих уrла, не совпадающие стороны которых со-
ставляют одну прямую линию, называются смежными уrлами.
Так, на чертеже 19 L АВС и L CBD смежные.
Чтобы построить уrол, смежный с данным уrлом, нужно одну
из сторон данноrо уrла продолжить за вершину.
16. Прямой уrол.
Если два смежных уrла равны между собой, то каждый из
них называется прямым уrлом. Таковы, например, уr.пы АВС
и CBD (черт. 20).
д
/С
в D
с
I
в
д
о
.
Черт. 19.
Черт. 20.
Сумма двух прямых уrлов, очевидно, составляет развёрнутый
уrол. Так, сумма уrлов АВС и CBD составляет развёрнутый
уrол ABD. Следовательно, можно сказать: прямоЙ У20Л равен
половине развёрнуmО20 или развёрнутый У20Л равен двум прямым
У2лам.
Прямой уrол обозначается буквой d.
17. Сумма двух смежных уrЛОВ.
Всякие два смежные yr ла составляют в cYMrvIe развёрнутый
уrол.
Но развёрнутый уrол, как мы видели, равен двум прямым
уrла f. Поэтому можно сказать, что сумма двух с.межны,'х
уzлов равна двум прямым уzла.м.
Это записывается так: L АВС + L CBD === 2d (черт. 19).
Если сумма уrлов равна ДBY 1 прямым, то rоворят, что один
уrол дополняет друrой до двух прямых уrлов.
18. Построение прямоrо уrла.
Для построения ПрЯ 1ЫХ уrлов можно пользоваться уrольни-
ком; уrольник ----- это прибор, изображённый на чертеже 21. Два
из ero рёбер образуют прямой уrол. Чтобы построить прямой
16
уrол, коrда даны ero сторона АВ и вершина А, поступают так:
сначала прикладывают к прямой АВ линейку (черт. 22)) пристав-
ЛЯЮТ затем к ЭТUЙ линейке уrОЛЫIИК и застаВЛЯIОТ ero СКUJlЬ3ИТЬ
ВДОЛЬ линейки до тех пор, nOI{a верrllина
ero прямоrо уrла Не совпадёт с точкой А.
д
8
А
в
Черт. 21.
Черт. 22.
Черт. 23.
в ЭТ()!\tJ положении ero остянавливяют и пере\1ещяют линейку, при-
кладывая ее ко второй стор()не прямоrо yr лCl уrольника (черт. 23).
Отняв уrольник, проводят вдоль ребра JIинеЙl{И искомую вто-
рую сторону прямоrо yr ла.
19. Проверка уrольника.
Чтобы проверить праnильность уrольника. приклаДI')IRаем ero 1< ЛИНРI1ке
в как()й либо её точке ОДНОЙ из СТОрОН ero прЯМоrо yrJla и RДОЛЬ друrой
чеРТIIМ прямую. ЗаТеМ Ilep A(pTl")IBaeM уrОЛЬtlИК (черт. 24), прикладывасм
ero к линейке с друruй cropUHbI от начерченной прямой и вдоль свободной
CTOpOНl> \,рямоrо yrJla ВНОВЬ чертим ПРЯI\'IУЮ. При lIР;:НЗИЛЬНОl'Тl1 уrольника
обе начерченнь.е [Iрямыe ДОJIЖНЫ совпадать в одну линию.
20. Взаимно пер пендикулярные прямые.
Две прямые линии, пересекаясь, обраЗУIОТ 4 yr ла. Так, пря-
мые АС и DE пересекаются в точке В (черт. 25) и обраЗУIОТ
4 уrла: L АВЕ, L ABD, L DBC
и L СВЕ.
Если один из этих уrлов пря-
моЙ, то остаЛЬНhJе три также
должны быть прямыми.
о
д
в
с
f
Черт 24.
Черт. 25.
в самом деле, допустим, ЧI'О L ABD прямой (черт. 25). Это
значит, что он Рllвен сМt)ЖН{IМУ С ним yrJlY CBD и точно т,н< )I\e
раВен смежному с ним уrлу АВЕ. Значит, уrлы CBD и АВЕ........
2 Элемент. rеометрия, I
11
прямые. А потому L. CBD равен смежному с ним ус'лу СВЕ.
Значит, L. СВЕ прямой.
Таким образом, все четыре уrла прямые.
Прямые линии, образующие между собой прямой уrол, назы-
ваются взаимно перпендикулярными. Таковы прямые АС и DE
На чертеже 25. Знак перпендикулярности 1.: АС 1. DE.
21. Задача.
Через данну/о точку С (черт. 26) провести прямую, перпенди-
КУЛЯРНУЮ к nрЯ1l10Й АВ.
оС
с
д
8
д
8
Черт. 26.
Черт. 27.
Реш е н и е. К прямой АВ прикладываем линейку и вдоль
неё передвиrаем уrольник до тех пор, пока ero второе ребро не
пройдёт через ТОЧКУ С (черт. 27). Затем, отняв линейку, прикла-
дываем её ко второй стороне уrольника (черт. 28) и, отнимая
уrольник, проводим вдоль линейки
ПрЯМУIО ЛИНИlО CD; CD 1. АВ. Оче-
видно, что через точку С можно про-
вести только одну ПрЯМУIО, перпенди-
кулярную к АВ.
ХОТЯ из построения совершенно ясно,
что через точку С проходит лишь одна пря-
В мая, пеРl1ендикулярная АВ, но в rеометрии
очевидность иноrда БЫI3ает обманчивой, и
простое доверие к ней может приводить
к неверным заключен и ЯМ.
Поэтому, несмотря на очевидность мно-
rих фактов, Bcer да стараются подтвердить
их пранильность убедительными доводами, т. е. д о к а 3 а т е л ь с т в о м.
Т ак, доказательство Toro, что из данной точки на прямую MOJlCHO опустить
только один перпендикуляр, дано в Э 37 (следствие 3).
д
D
Черт. 28.
Для Toro случая, коrда точка С ле,кит на прямой АВ, по-
строение перпендикуляра см. в Э 18.
22. Острые и тупые yr лы.
Уrол, меныпий прямоrо, называется острым. Таков, напри-
мер, L. CBD (черт. 29), меньший прямоrо уrла DBE; уrол, боль-
ший прямоrо, называется тупым. Таков, например, L.ABC, боль-
18
ШИЙ прямоrо уrла АВЕ. Если сумма двух уrлов равна прямому
уrлу, то rОБОрЯТ, что один уrол дополняет друrой до прямоrо
yr ла.
23. Вертикальные уrлы.
f;C
в
о
Если стороны одноrо уrла служат про-
должением сторон друrоrо, то уrлы назы-
ваютСЯ вертикальными. Таковы уrлы АВС Д
и EBD, а также уrлы CBD и АВЕ
(черт. 30).
Чтобы
с данным
Черт. 29.
Вертик.альные уzлы равны, .между
собой. В самом деле, рассмотрим вертикаль
ные уrлы АВС и EBD (черт. 30). Уrлы АВС
и CBD составляют вместе развёрнутый уrол ABD.
Значит, L АВС дополняет L CBD дО двух
прямых. Уrлы EBD и CBD составляют развёр-
нутый уrол СВЕ. Значит, L EBD дополняет
L CBD дО двух прямых. Таким образом, уrлы АВС и EBD
дополняют до двух пряrлых один и тот же
уrол CBD. Значит, L АВС == L EBD.
построить уrол, вертикальный
уrлом, следует приложить линейку последовательно
к каждой стороне данноrо yr ла и продолжить
I{аждую из них за верIlIИНУ.
с
24. Равенство вертикальных уrлов.
Черт. 30.
с
25. Равноделящая уrла.
D
Луч, проходящий через веРIIJИНУ уrла и
разделяющий ero на два равных прилежа- В Д
щих уrла, называется равноделящей уrла или
биссектрисой ero. Так, луч BD (черт. 31) Черт. 31.
служит равноделящей уrла АВС. Это за-
е писывается следующим образом: L ABD ==
== L DBC.
D
д
26. Построение равноделящей уrла.
Построить равноделящую данноrо yr ла
можно следующим образом. На сторонах
данноrо уrла ВАС (черт. 32) от ero вер-
шины откладываем с помощью циркуля два
равных отрезка АВ и АС произвольной дли-
ны. Соединим точки В и С ПрЯ 10Й ВС И
ИЗ точки А при помощи чертёжноrо треуrольника опустим пер-
пендикуляр AD на ПрЯМУIО Ве (9 21). Прямая AD и будет
искомой равноделящей уrла.
8
Черт. 32.
2*
19
Убедиться в 10M ыожно так: перевернём плоскость уr.па ВАС и на.по-
жим уrол ВАС на прежнее место друrой ст()роной так, чтобы точка А
осталась на месте, а прямая АВ заняла ПОJlожение прямой АС. Тоrда пря-
мая АС займёт положение АВ, так K81{ при таком перевёрТbJвании уrол не
меняется.
Так как АС == АВ, то точки В и С поменяются местами и вся прямая 8С
займёт прежнее положение. Прямая AD так)ке займёт прежнее положение,
так как из точки А на прямую ВС можно опустить только один перпендиКУ-
ляр. Отсюда следует, что L CI1D совместится с уrлом DAB. Значит, =ти
уrлы равны, а поэтому прямая AD есть равноделящая уrла ВАС.
27. Деление отрезка пополам.
Чтобы разделить пополам данный отрезок АВ (черт. 33), сде-
лаем из ero концов А и В две ЗCiсечки одним и тем же раство-
ром циркуля.
Они от "етят на плоскости некоторую
точку С. Из этой точки С проведём пря-
мую CD, перпеНДИКУЛЯРНУIО к АВ. Точ-
ка D и будет серединой отрезка АВ.
с
/
/
/
/
/
,'\
"-
'\
'\
Убедиться IЗ ЭТО1\1 можчо совершенно так же
А D 8 как и в ореды Qущей задаче. Именно, соединим
точку С с точками А и В. Так как мы делали из
Черт. 33. точек А и В за\:ечки одним и тем же раствором
НИРКУ.rJя то АС == ВС.
Перевернrм плоскость чертежа и наJIОЖИМ L. АСВ на прежнее место дру-
rой стороной так, чтобы точка С заняла f1режнее ПОJ1uжение, а прямая АС
эаНЯJlа положение IlрЯМОЙ ВС. Тоrда Ilрямая ВС займёт положение пря-
мой АС Т ак как АС == ВС, то точки А и В помеНЯЮтt:Я ме тами, а пря.
мая АВ займёт С80ё пр жнее положение. Прямая CD также займёт прежнее
поло,кение. Значит, отрезок AD после l1еревёртывания займёт положение
отрезка DB, а отрезок DB положение отрезка AD. Следовательно, AD===DB,
т. е. D есть середина отрезка АВ.
28. Расширение понятия об yr ле. Уrол как мера
ПОБорота луча.
1 о. Допустим, что какоЙ либо луч, например АВ (черт. 34),
вращается BOKpyr CBoero начала А. Сделав неl{ОТОРЫЙ поворот от ..
исходноrо положения АВ, он заЙмёт
новое по.пожение АС. Это новое поло- С
жение луча образует со старым уrол ВАС.
Этот уrол определяет меру поворота
луча, или меру ero ОТI{лонения ОТ исход-
Horo положения.
20. Если продолжать вращение луча, Д В
то сначала этот уrол будет острым, Черт. 34.
затем станет прямы и при дальнейшем
вращении сделается тупыI.. Продолжая вращаТhСЯ, луч достиr-
нет TaKoro положения АВ} (черт. 35), при котором он будет слу..
жить продолжением исходноrо .пуча АВ.
Лучи АВ и АВ! образуют развёрнутый уrол. Следовательно,
20
развёрну,,!ЫЙ У20Л служит мерой поворота, при KOmOpOAt луч Ate-
няеm свое наnоавление на пРОПlивОnОЛОJICное.
30. Допустим, что луч АВ) достиrнув развёрнутоrо уrла, про-
должает вращаться в том же нйправлении и займёт положение
АВ 2 (черт. 36). Мерой ЭТОI'О поворота служит развёрнутый уrол
ВАВ! вместе с острым уrлом В 1 АlЗ 2 0 Эти два уrл вместе счи
таJОТСЯ за один уrол, больший развёр
HYToro yr ла) т. е. БОЛblllИЙ 2d. Ero
внутренней областью считается та) по
которой скользил луч АВ. На черте- В, .
же 36 она заштрихована.
Если внутри этоrо yr ла через ero
вершину провести луч, например АС, то образуются два приле
ж()щих уrла: L ВАС и L САВ 2 И уrол ВАВ 2 называется суммой
этих yr лов.
'То же положение АВ 2 луч может зянять, вращаясь от исход
Horo положения в обратном няправлении. Мерой этоrо поворота
служит L ВАВ 2 ) iеНЬШJiЙ 2d; ero внутренн й областыо служит
lIезаштрихованная часть плоскости.
Таким образом) два луча АВ и АВ 2 определяют не один,
а два уrла: один МРНЬUIИЙ 2d, друrой БОЛЬ(llИЙ 2d Оба эти уrла
имеIОТ одни и те же стороны, но разные внутренние области.
Вместо Toro чтобы указывать, каКИ.\1 поворотом луча образован
данный уrол, можно прямо указать, какая часть плоскости счи-
тается ero внутренней областью.
{1\
. .. в
Черт. 35.
с
в
81
д
в
Черт. 36.
D
Черт. 37.
Если же этоrо не указано, то внутренней областью уrла, как
сказано выше ( I О), считается та, в которой ле)l(ИТ отрезок пря-
мой, соединяк)щий две какие либо точки на сторонах уrла.
Допустим теперь, что луч АВ) сделав полный оборот BOKpyr
точки А, возвратился в своё исходное положение АВ. Можно
считать, что он описал уrол, внутренней областью KOToporo слу-
жит вся плоскость.
Этот уrол называется полным уrлом. Обе ero стороны совпа-
дают в один луч АВ.
Продолжив луч АВ в противоположном направлении и проведя
через точку А .прямую CD, перпендик'уЛЯРНУЮ к АВ (черт. 37),
21
замечаем, что полный уrол равен сумме четырёх прямых уrлов,
т. е. 4d.
На чертеже 38 изображены все виды уrлов, которые луч, вра-
щаясь около точки А, образует со своим начальным положе-
с
L
8 дв Д В дс
OCmp!)IU прямой тупой
в д
рс.з8ерну т ыи
с
Черт. 38.
д Gолны/
ние1'v1 АВ. нутренняя область К3ЖДОI'0 уrла отмечена дуrой со
стрелкой.
Коrда луч АВ сделает полный оборот BOKpyr cBoero начала А,
каждая ero точка, например В, опишет ЛИНИIО, которая называется
окружностью. Отрезок АВ называется радиусом окружности,
а точка А её центром (черт. 39). Все точки окружности отстоят
от центра на расстоянии, равном радиусу. Часть
плоскости, лежащая внутри окружности, вместе
с точками самой окружности называется KPY
rOM. Часть окружности между двумя её точ-
8 ками называется дуrой. Дуrа обозначается зна-
ком , например '--" MN. Две точки окружности
выделяют на ней две дуrи, составляющие вместе
цеЛУIО окружность.
Отрезок прямой, соединяющиЙ концы дуrи,
называется хордой. Хорда, проходящая через
центр, называется диаметром. Диаметр равен двум радиусам.
Часть Kpyra, оrраниченная двумя радиусами и дуrой окруж
ности, называется сектором. Таков сектор М AN (черт. 39). Часть
Kpyra, оrраниченная дуrой и проходящей через её концы хордой,
называется cerMeHToM. Окружность вычерчи..
вается при помощи циркуля.
29. Понятие об окружности.
N
Черт. 39.
30. Центральный уrол.
Уrол, образованныЙ двумя радиусами одной
окружности, называется центральным уrлом.
Таков, например, L АОВ (черт. 40); при этом
мы должны представлять себе радиусы ОА и ОВ
окружности н е о r р а н и ч е н н о про Д о л ж е н-
н ы м и за точки А и В. Дуrа АВ, лежаIJ ая во внутренней области
уrла АОВ, называется дуrой, соответствующей этому центральному
22
д 8
Черт. 40.
. 1 v
УI'ЛУ. Прямому уrлу соответствует дуrа, равная '"4 части всеи
окружности; развёрнутому уrлу дуrа, равная оловине окруж-
ности; полному уrлу вся окружность.
Величина центральноrо уrла измеряется с помощыо с О о т в е Т-
е т в у ю щей ему дуrи. Это измерение основано на следующих
свойствах центральных yr лов:
1. Если в данной окружности два центральных уzла
paвHЫ то и соответствующие им дуzи равны.
Чтобы убеДИ1ЬСЯ в этом, возьмём какую
Jlибо окружность (черт. 41) и в ней два равных
центральных уrла АОВ и COD. Им соответ-
CTBYIOT дуrи: АВ и CD. Наложим сектор СОО
на сектор АОВ так, чтобы прямая ОС COBMe С
стилась с прямой ОА, а точка О осталась на
месте. При этом точка С совпадёт с А, так
как ОС == ОА. Прямая OD совпадёт с ОВ, так
l<aK L COD == L АОВ. Точка D совпадёт с В,
так как OD == ОВ. Таким образом, концы Черт. 41.
дуrи CD совместятся с концами дуrи АВ. Сле-
ловательно, совместятся и дуrи АВ и CD. Значит, '--'" АВ == '--'" CD.
Совершенно так же можно убедиться, что:
2. Если в данной окружности две дуzи равны, то
и соответствУЮЩllе им центральные уzлы равны,.
31. Измерение центральных уrлов.
Для измерения центральных уrлов раздеЛЯIОТ всю окружность
на 360 равных частей, называемых дуrовыми rрадусами; каждый
дуrовой rрадус разделяют на 60 равных частей, называемых ду-
rОВblМИ минутами; I{а)J(ДУIО дуrовую минуту ----- на 60 равных частей,
называемых ДУ' ОВblМИ секундами. Если точки деления,. получен-
ные при первом разделении окружности, соединить с центром, то
весь полныЙ YI OJI при центре разделится на 360 равных uентраль-
IIЫХ уrлов. Они будут равны ме)l{ДУ собой, потому что соответ-
ствуют равным дуrам, именно дуrовым rрадусам. Эти уrлы назы-
ваIОТСЯ уrЛОВblМИ rрадусами. ПолныЙ уrол содержит 360 уrловых
rрадусов. Значит, уrловой rрадус составляет 3 часть полноrо
yr ла. Каждой дуrовоЙ минуте соответствует uентральный уrол,
называемый уrловой минутой. Все уrловые минуты равны между
собой. Уrловой rрадус содержит 60 уrловых минут. ДуrовоЙ се-
KY дe соответствует центраJIЬНЫЙ уrол, называемый уrловой cel<YH-
дои. Все уrловые секунды равны между собой; уrловая минута
содер)кит 60 yr ловых секунд.
Центральный УZОЛ 1 очевидно, содержит столь1(,О же
уzловых zрадусов l минут и секунд, СКОЛЬКО соответ-
ствующая ему дуzа содержит дуzовь/,х zрадУСО8, .минут
и cel(, нд.
3
rрадусы обозначаются знаком (О), минуты знаl{ОМ ('), секунды
знаком ("). Таким обр<iЗОМ, уrол в 30 rрадусов 25 минут и 15 се-
кунд запишется так: 300 25' 15".
Прямой уrол содержит 900. Развёрнутый уrол ]800. Если
увеличить радиус окружности, то, очевидно, увеличится и сама
1 ..
ОКРУ)I{НОСТЬ, а следовательно, увеличится и 360 ее часть, Т. е. ду-
rовои ['радус. Следовательно, величина дУ20вО20 2радуса зависит
oпz радиуса OKPY:J/CHOCтu. У r ловой rр<1ДУС не зависит от длины
радиуса В самом деле, при увеличении радиуса полный централь-
ныЙ уrол не будет изменяться. Значит, не будет изменяться и 3 O
ero часть, состаВЛЯlощая yr ловой rрадус.
32. Транспортир.
Для измерения дуr, а следовательно, и уrлов в простеЙПIИХ
случаях употребляется прибор, называемый транспортиром. Он
состоит из линейки и со-
ставляющей с ней одно
нелое полуокружности, при-
чём пентр её отмечен на
ребре линейки штрихом или
вырезом. Дуrа ПОЛУОКРУ)l{-
ности разделена на rраду
сы от О до 1800 (черт. 42).
Для измерения уrла с
помощью транспортира по-
мещаIОТ транспортир так,
чтобы центр ПОЛУОКРУЖ-
Черт. 42. ности совпал с вершиной
yr ла, а дияметр с одной
из eJ'o сторон. Вторая сторона yr ла УI<ажет на дуrе транспортира
точку, отмечеННУIО числом rрадусов, содержящихся в данном уrле.
При помощи транспортира МО)l(НО также СТРОlIТЬ уrол, имеlОЩИЙ
данное число rрадусов.
33. Понятие о теореме.
В предыдущих параrрафах были обнаружены свойства HeKOTO
рых I еомеI{Jических (t)иr"ур. Например, в Э 17 мы заметили свойство
двух смежных уrлов, и енно: эти уrлы в сумме всеrда состав-
ляют 2d. В 24 мы наll1ЛИ свойство вертикальных уrлов: всякие
два веРТИI{аJIЬНЫХ уrля равны между собой. Эти свойства уrлов
мы устаНОВlfЛl1 путём прявильных рассужденвй, опираясь на при-
нятые внаЧliле аКСIiОМЫ. Всякая истина или утверждение, которое
ВЬ1ВОДИТСЯ при помощи раССУ>l<дений из аКСИОМ t называется теоре-
мой, а раССУiкдение, с помощью KOToporo убеждаются в праВIfЛЬ-
ности TeOpt;MbI, называется её доказательством. Таким образом,
24
найденные свойства в ртикяльных уrлов, а Т3I{же смежных уrлов
следует назвать теоремами 1.
T opeMЫ имеются не только в rеометрии, но и в друrих частях
математики в арифметике и алrебре. ТаК, известно, например,
такое свойство целых чисел: «если сумма цифр числа делится
на 3, то и всё число делится на 3». Это свойство целых чисел
выражает одну из теорем арифметики. В алrебре теоремы весьма
часто записывяются в виде фОрJ\1УЛ. Каждая такая формула в ал-
rебре выражает некоторую теорему. Например, формула:
(а + Ь) (а Ь) == а 2 Ь 2
выр? жяет теорему: «произведение суммы двух чисел на их разность
равно разности их квадратов». Например:
(7 + 5) (7 ....... 5) == 12 · 2 == 24 и 72 ------ 52 == 49 ........ 25 == 24.
в rеометрии TeOpel\1bI выражаJОТСЯ обычно в форме отчёТЛИБО
высказанных математических предложений, которые следует запо-
минать так }I(е XOpOIlJO, как r лавные формулы в алrебре. До сих
пор мы доказали следующие теоремы:
1. Все развёрнутые уzлы равны между собой (э 12).
2. Сумма двух смежных уzлов равна двум прямым
уzлам (Э 17).
3. Вертикальные уzлы равны .между собой (Э 24).
4. Если в daf-tНОii окружности два центральнь/,х уzла
равны, то и соответствующие им дуzи равны (Э 30).
5. Если в данной О"IJУЖltости две dyzи равны, то
и соотнетствующие им центоа Ilьные уzлы равны (Э 30).
6. Центральный уzол соdержит столько же уzло-
8ЫХ zрадvсов .минут и секунд, сколько соответст-
вующая ему дуzа содержит дуzовых zрадусов .минут
и секунд (Э 31).
Каждую теорему обычно высказывают в форме условноrо пред-
ложения. При ЭТО\t1 первая часть предложения называется усло-
вием теоремы, а вторая её заключением.
Так, в теореме Э 30 первая часть «Если в данной окружности
два uентральных уrла равны» составляет условие теоремы,
а.. вторая «то И соотвеТСТВУluщие им дуrи равны» составляет
ее заключение.
В такой же форме можно высказать и друrие доказанные
нами теоремы. Так, теорему Э 17 можно высказать так: «если
два yr ла смежные, то ИХ сумма равна двум прямым»
Предложение, непосредственно вытекающее из теоремы, на-
зывается её следствием.
1 Слово «теорема» rреческое (8€ОР"flfJ-Cl); ero буквальный перевод зрелище,
представление; перевод по смыслу истина, доступная созерцанию.
25
ПОВТОРИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОС I.
1. 4-то назыв.а тся уrлом?
2. Какие yr лы называются прилежащими?
З. Как определить, какой из двух уrлов больше?
4. Какие уrлы называются смежными?
5. Что такое прямой уrол?
6. Как строится прямой уrол?
7. Каким образом проверяется правильнасть чертёжноrо треуrольника?
8. Сколько прямых, перпендикулярных к данной, можно провести через
данную точку на плоскости?
9. Что такое тупой, острый и развёрнутый уrол?
10. Какие уrлы называются вертикальными и каким свойством они
облаДaIОТ?
11. Что такое равноделящая уrла и как её построить?
12. Что служит равноделящей развёрнутоrо yr ла?
13. Что называется полным уrлом?
14. Сколько прямых уrлов содержит полный уrол?
15. Что такое центральный уrол и как он измеряется?
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Какой уrол образуют стрелки часов в 6 час., в 12 час., в 3 часа,
в 5 час., в 9 час., в 8 час., в 10 час.?
2. На какой уrол повёртывается часовая стрелка в течение часа? В тече.
вие одной минуты? Oпze. 1) 300; 2) 30/.
3. Сколько раз в промежуток от 2 час. до 5 час. стрелки часов образуют
развёрнутый уrол? Отв. 3 раза.
4. Который теперь час, если стрелки часов образуют уrол в 1050, а минут-
ная стрелка указывает 6 час.? Отв. 2 ч. 30 м. ИЛИ 9 ч. 30 м.
5. Который час, если стрелки часов обра
С зуют уrол в 7030/, а минутная стрелка указы.
вает на 3 часа? Отв. 3 ч. 15 м.
6. Один из двух смежных уrлов на 300
О Д больше друrоrо. Чему равен каждый из них?
Ото. 1050 и 750.
7. Один из двух смежных уrлов в 3 раза
больше друrоrо. Чему равен каждый из них?
Отв. 1350 и 450.
Е 8. Один из четырёх yr"nOB, образуемых
Черт. 43. двумя пересекающимися прямыми, равен O,6d.
Чему равен каждый из остальных трёх yrJIOB?
9. Из одной точки выходят 4 луча. 4 yr ла, образованные каждыми двумя
соседнИМИ лучами, таковы, что каждый следующий в 3 раза больше преды-
дущеrо. Определить эти уrлы. Отв. 9-:>, 270, 81 о, 2430.
10. Построить уrол, равный данному и имеющий с ним общую вершину.
11. Данный уrол разделить на 4 равные части.
12. Данный отрезок разделить на 4 равные части.
13. По данной сумме и разности двух отрезков построить каждый
из них.
Д о к а з а т ь, ч т о:
14. Ес,пи два yr ла равны, то и смежные им yr лы также равны.
15. РавнодеJIящие двух смежных уrлов перпендикулярны между собой.
16. Если развёрнутый уrЬл разделить на 3 равные части, равноделящая
средней из этих частей перпендикулярна к сторонам развёрнутоrо уrла.
17. Сумма трёх прилежащих один к друrому уrлов, образуемых тремя
пересекающимися в одной точке прямыми, равна 2d.
18. Если продолжить сторону АВ уrла АВС за вершину Н (черт. 43) и по
друrУIО сторону прямой провести луч НЕ так, чтобы LDHE был равен LABC,
то лучи Ее и ЕЕ составят одну прямую. .
19. Равноделящие двух вертикальных уrлов составляют продолжение
одна друrой.
20. В вершине данноrо oCTporo yr ла к ero сторонам восставлены пер-
пендикуляры, образующие тупой уrол. Доказать, что этот уrол вместе с дан-
ным образует 2d.
111. ПРЯМЫЕ, ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ.
34. Уrлы, образуемые при пересечении двух
прямых третьей.
Предположим, что две прямые АВ и CD (черт. 44) пересечены
третьей прямой ЕР. Назовём её секущей прямой. При пересечении
этих трёх прямых образуется 8 уrлов, 4 с вершиной G и 4 с вер.-
шиной Н.
ОбознаЧИ 1 эти уrлы цифрами, по-
ставленными внутри каждоrо уrла.
Эти уrлы можно различным образом С
соединить в пары, беря один yroJI
с вершиной О, друrой с вершиной Н.
Этим парам уrлов даIОТ различные на-
звания, сообразуясь с их положением Д
относительно прямых АВ и CD и секу-
щей ЕР.
1) У r лы 1 и 5, 2 и 6, 4 и 8, 3 и 7
называются соответственными.
2) Уrлы 1 и 7, 2 и 8 называIОТСЯ
внутренними накрест лежащими.
3) Уrлы 3 и 5, 4 и 6 называIОТСЯ внешними накрест лежа-
щими.
4) Уrлы 1 и 8, 2 и 7 называются внутренними односторон-
ними.
5) Уrлы 4 и 5, 3 и 6 называются внешними односторонними.
Все эти пары уrлов связаны между собой соотношениями, вы-
ражаемыми теореl\10Й, приведённой в 35.
Е
о
8
Черт. 44.
35. Теорема.
т е о р е м а. Если соответственные уzлы paBHbl J то:
1) внутренние накрест лежащие уzлы равны,.
2) внешние накрест лежащие уzл.ы равны,.
3) сумма внутренних односторонних равна 2d,.
4 ) сумма внешни односторонних равна 2d.
1) Дано: L 5 == L J; требуется доказать, что L 1 == L 7
и L2 ==L8.
В самом деле: L7 ==L5, как вертикальные, но L5 ==LI,
следовательно, L 7 == L 1; так же докажется, что. L 2 == L8.
2) Дано: L 5 == L 1; требуется доказать, что L 5 == L 3
и L 6 == L 4.
27
В самом деле: L 5 == L 1, а L 1 == L 3, как вертикальные
следовательно, L 5 == L. 3; так же ДОКCiзывается, что L 6 == L 4.
3) Дано: L 5 == L 1; требуется доказать, что L I + L 8 == 2d
и L 2 + L 7 == 2d.
В самом деле: L 8 + L 5 == 2d (9 22), но L 5 ==: L 1, сле-
довательно, L 8 + L 1 == 2d; так же доказывается, что L 2 +
+ L 7 == 2d.
4) Дано: L 5 == L ]; требуется доказать, что L 4 + L 5 == 2d
и L 3 + L 6 == 2d.
В самом деле: L 4 + L ] == 2d, но L 1 == L 5, следовательно,
L 4 + L 5 == 2d. Далее, L] == L 3, как вертикальные, но L 1 ===
== L 5, следовательно, L 3 == L 5, но L 5 + L 6 == 2d, следова-
тельно, L 3 + L 6 == 2d.
Совершенно такими же рассуждеНИЯ 1И можно доказать, что если
равны внутренние или внешние накрест лежащие уrлы, то COOTBeT
ственные yr лы также равны и что если сумма внутренних или внеш
них односторонних yr лов равна 2d, то соответственные yr лы равны.
Таким образом, между уrлами MorYT осуществляться следую
щие пять соотношений:
1. Соответственные У2Лbl равны.
2. Внутренние J-lакреСm ле.жащие У2АЫ равны.
З. Внешние накрест лежащие УсЛ. l равны.
4. CYAi1l1a внутре1iних од1-l0сторонних У2лов равна 2d.
5. Сумма внешних односmОрОН1tих У2лов равна 2d.
Если осуществится какое-либо одно из этих соотношений, то
осуществятся и четыре остальные.
36. Параллельные прямые.
в самом начале (Введение, п. 7) мы доказали, что две пря-
мые линии не MorYT пересекаться более чем в одной точке. Воз-
никает вопрос: можно ли построить
такие две прямые, которые лежзли бы
на одной плоскости и вовсе не пересе-
О кались?
Существование таких прямых леrко
обнару жить. В самом деле, допустим,
В что две прямые АВ и СО (черт. 45)
пересечены секущей, причём внутренние
накрест лежащие уrлы I и 7 оказались
равными между собой: L 1 == L 7, а
следовательно, и L 2 == L 8. В таком
случае прямые АВ и СО Не MorYT пе
ресекаться. ДокаЖfМ это. Ка}l{дая из прямых АВ и СО в точке
пересечения с секущей Разделяется на 2 луча: прямая АВ на
лучи ОА и ОВ, прямая CD на лучи НС и НО.
ДЛЯ удобства назовём лучи G В и Н D правыми лучами, а лучи
ОА и не левыми .лучами этих прямых. Если прямые АВ и CD
с
ё
А
Черт. 45.
2в
пересекаются, то, очевидно, пересекаются или их правые, или их
левые лучи; причём если пересекаются правые лучи, то левые
уже не пересекаются (так как две прямые не MorYT пересечься
более чеl\f в одноЙ точке).
ПреДПОЛОЖИl\I теперь, что пра рые лучи О В и Н D пересекаются
в какой-нибудь точке о. Представи\, себе, что плоскость чертежа
разрезана на 2 части по прямой ЕР (черт. 46). Повернём правую
её часть BOKpyr середины К OT
резка ОН так, чтобы отрезок КО
СОВ 1естился с К Н и, значит, точ-
ка О СОВl\1естилась с Н. При этом
луч ОБ совпадёт с лучо НС,
так как L 1 == L 7; а так как
L 2 == L 8, то луч Н D совпадёт
с лучом ОА. Таким обрf1ЗОМ, пра
вые лучи прямых АВ и CD COB
падут с .левыми. Если бы правые
лучи пересекались, то при указан
ном повороте всей правой части плоскости вместе с правыми
лучами переместилась бы и точка их пер сечения, и при совмеще
нии правых лучей с левыми эта точка оказалась бы и точкой
пересечения левых лучей, т. е. окпзалось бы, что одновременно
пересекак)тся и правые и левые лучи данных прямых, что невоз-
можно. Итак, мы доказали теорему: Если при пересечении
двух прямых третьей внутренние накрест лежащие
J'ZЛЫ paBHbl 1 то daHHble прямые не пересекаются.
Пря ]ые, лежащие в одной плоскости и не пересекаJощиеся,
называются параллельными. Знак параллельности 11: АВ 11 CD.
Е
с
D
о
д
в
46.
37. Следствия.
1) Если соответственные услы равны, или внеИlние накрест
лежащие УСЛЫ равны, или СУМА!а внутренних или внешних oдн'O
сторонних равна 2d, то nРЯJvlые параллельны, так как при каж
ДОМ из этих условий равны внутренние накрест лежащие уrлы.
2) Две прямые, псрnендикулярные к третьей, nараЛЛРЛЬНbl
между собой, так как эти прямые образуют с третьей равные
соответственные yr лы.
3) Через каJlсдую точку вне данной прямоЙ можно провести
1полько одну nрЯJИУЮ, nерnендикулярную aa/-tНОil, так как два
перпендикуляра к одной прямой должны быть параллельны и,
следовательно, не MorYT исходить из одной точки.
38. Задача.
3 а д а ч а. Чррез данную точку С вне пРЯJllОЙ АВ (черт. 47)
провести пРЯА1УЮ, ей nараллельную.
1 e реш е н и е. При помощи чертёжноrо уrольника ПрОВОДИl\1
через точку С прямую, пеРl1ендикулярную к АВ, так, как ЭТО
29
было указано в 21. Она пересечёт прямую в некоторой точке D.
Затем через точку С проводим прямую СЕ, перпендикулярную
к CD (черт. 47). Эта прямая СЕ и будет искомой прямой, Парал
лельной АВ.
2 e реш е н и е. Приложим чертёжный уrольник ребром пря
Moro уrла к данной прямой. К ero большому ребру прикладываем
равный ervIY второй чертёжный уrольник, как указано на чертеже
с
I
д D
Черт. 47.
Е
с
D
в
8
д
Черт. 48.
(черт. 48), и передвиrаем ero вдоль первоrо до тех пор, пока
ero ребро не пройдёт через точку с. Это ребро и определит иско-
мую прямую. Правильность построения следует из равенства .на-
крест лежащих уrлов, ОТlYlеченных на чертеже.
39. Аксиома о параллельных прямых.
Построение прямой, параллельной данной, было сделано нами
в 38 двумя способами. Спрашивается, будет ли прямая, полу-
ченная вторым способом, совпадать с прямой, полученной первым
спосоБО I? Если эти прямые окажутся различными, то через точку С
будут проходить две прямые, параллельные прямой АВ, и можно
будет спросить, нельзя ли каким либо способом провести через
точку С ещё одну ПрЯМУJО, параллельную АВ, и сколько
Bcero прямых, параллельных данной, можно провести через
данную вне её точку. На опыте можно убедиться, что каким
бы способом ни производить построение параллельной прямой
и как бы тщательно ero ни выполнять, на чертеже всеrда полу-
чается одна и та же прямая.
Возникает вопрос: чем это объясняется неизбежной ли не-
точностыо чертёжных инструментов или действительно через каж-
дую точку плоскости проходит JIИШЬ одна прямая, параллельная
данной? В таком случае, нельзя ли это доказать так же, как
доказываIОТСЯ все друrие теоремы rеометрии.
Этот вопрос на первый взrляд кажется очень простым. На
самом же деле он оказаJIСЯ одним из наиболее трудных вопросов
rеометрии. В своих «Началах» Евклид принимал аксиому, в силу
которой такая прямая может быть только одна. Жившие после
Hero reoMeTpbI пытаJIИСЬ это утверждение доказать. Эти попытки
продолжались более чем 2 тысячи лет, но были безуспешны.
И только в 1826 r. русский reoMeTp профессор Казанскоrо уни-
верситета Николай Иванович Лобачевский сделал величайшее
открытие, показав, что это утвержден.ие никаким способом дока-
за
зать нельзя и что ero нужно принимать как HOByro аксиому reo
I\lетрии. (Подробнее об этом см. в дополнении ко 2-й части
книrи. )
Эту аксиому принимаIОТ теперь в слеДУlощей форме: через
данную точку вне данной прямой можно провести
только одну прямую, парал.
лельную данной.
С л е Д с т в и е 1. Две прямые, na
раллельные mреrпьей, параллеЛЫ-lЫ С D
/vtежду собой, так как если бы эти
прямые пересекались, то через точку
их пересечения проходили бы две
прямые, параллельные третьей. Д В
С л е Д с т в и е 2. Прямая, nересе-
каюu(ая одну из двух nараллелыfхx
прямых, пересекает и дРУ2УЮ. Черт. 49.
Действительно, если прямая АВ
(черт. 49) параллельна CD и прямая С' D' пересекает прямую CD
в точке Н, то ПРЯl\lая С' D' должна пересечь ПрЯl\1УЮ АВ. В про.
тивном случае через ТОЧI<У Н будут проходить две прямые CD
и C'D', параллельные прямой АВ.
40. Уrлы, образованные параллельными прямыми с секущей.
Т е о р е м а. ЕСЛll две прямые параллельны то при
пересечении с третьей они образуют:
1) равные внутренние и равные внешние накрест
лежащие уzлы,.
2) равные соответственные уzлы,.
3) одностооонние 'уzль/, та1(,ие, что сумма внутрен"
них односторонних уzлов равна 2d и сум..nа внешних
односторонних уzлов равна 2d.
Дано: прямая АВ 11 CD (черт. 49); требуется доказать, что
L 1 == L 7.
Предположим, что L 7 =f= L 1. Тоrда в точке Н можно по-
строить L 7' :::=: L 1. Но Tor да прямая С' D' будет параллельна
прямой АВ, как было доказано в 36. Таким образом, через
точку Н будут проходить две прямые CD и С' D', обе параллель.
ные прямой АВ, что невозможно в силу аксиомы о параллельности
ПРЯ 1ЫХ.
Так же точно доказываIОТСЯ и остальные утверждения теоремы.
41. Свойство уrлов с параллельными сторонами.
т е о ре 1\1 а. Уzлы с соответственно параллельными
сторонами или равны, если они оба острые или оба
тупые,. или сумма их равна 2a если один из них острый,
а друzой тупой. .
31
Дано: АВ 11 А' В', ве 11 В'С' (черт. 50), требуется доказать,
ЧТО:
1) L АВС == L А' В'С';
2) L АЬС + L А' 8' D' === '2d.
1) Продолжим сторону Ее nepBoro yr ла до пересечеНIIЯ в точ-
ке Е со стороной А' 8' BToporo yr ла.
, L АВС == L А' EFt как СООТ-
Д ветственные при параллельных
прямых АВ и А' 8', пересекае-
F мых секущей DF; L А'ЕР ==
== L А' Ь 'С', I<al{ соответстврн-
ные при пяраллельных прнмых
С' Е F и В' С', пересекаемых cehY-
щей А' [j'.
Следовательно,
L АВС == L А' В'С'.
2) L А' В'С' + L D' В' А' === 2d,
но L А' В' С' АВС, как С:ыло только что доказано.
Следовательно,
д
D.
с
о'
Чtрт. 50.
L АВС + L D' В' А' == 2d.
42. Свойство yr лов со взаимно пе й - пендикулярными
сто; онами.
т е о р е м а. Если стороны одноzо уzла перпендику"
лч-рны, l тооона.м. dpyzozo, то эmll уzлы или равны,
.между собою если OHf.l of5a острые или оба тyпыe .
или сумма их оавна 2a если одич,
из них острый, а opyzou тупой.
Рассмотрим отдельно 2 случая:
1. у r лы имеют общую верLLlИ н у
2. Уrлы имеют Рllзличные веРllfИНЫ.
1. Да но: А В 1. А D, А С 1. А Е (че рт. 5 1 ),
требуется доказать, что
L ВАС == L_ D/1E
и L ВАР + L DAE == 2d.
L BAD === LCAE как прямые уrлы.
Отнимая от пря оrо УI ла BAD уrол CAD,
получим L ВАС. Отнимяя от прямоrо
уrла САЕ тот же самый уrол CAD, получим уrол DAE Сле-
дов тельно,
8
с
о
Е
Черт. 51.
L ВАС == L DAE.
Далее: L ВАР + L ВАС == 2d. Но L ВАС == L DAE, следо-
вательно, L ВАР + L DAE == 2d
2. Дано: ABl FD; ACl Е:.'Р (че т. 52); тrебуется доказать,
что LBAC==LEFD и LEFD+LBAG==2d.
32
Проведём через вершину А прямые АЕ' и AD', соответственно
перпендикулярные прямым АС и АВ; АЕ' AC, AD' AB. Мы
замечаем, что АЕ' 11 ЕР (так как обе они перпендикулярны к пря-
мой АС) и AD' 11 FD (так как
обе они перпендикулярны к
прямой АВ).
Следовательно, L EFD ==
L Е' AD', как yr лы с парал-
леJIЬНЫМИ сторонаl\IИ.
Замечаем теперь, что
L ВАС и L D' АЕ' имеют
попарно перпендикулярные
стороны и общую вершину А.
Следовательно,
G
......
в
F
с
о
ё
Е'
Черт. 52.
L ВАС == L D' АЕ' и L D' АЕ' + L ВАО === 2d.
Заменяя здесь L D' АЕ' равным e1fY L EFD, получим
LBAC==LEFD иLЕFD+LВАО 2d.
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Прямая, пересекающая две параллельные прямые, наКЛОllена к одной И3
2
НИХ под уrлом "5 d. Определить OCTaJlbHble уrлы, образуемые той же секущей
с параллельными прямыми.
Д о К а з а т ь, ч Т о:
2. РавнодеJIЯlцие двух внутренних или внешних накрест JIежащих yr ДОВ
i.lараллельны между собой.
3. Равноделящие двух соответственных yr лов параJlлельны между собой.
4. Равноде.:Jящие двух внутренних или внешних односторонних yrJIOB пер-
пендикулярны между собой.
5. Равноделящие двух yrJIOB с лара.JIлельными сторонами параллельны или
перпендикулярны между собой.
6. Равноделящие двух уrлов с перпендику.аярными сторонами параллельны
или перпеНДИКУЛЯРНbJ между собой.
7. llерпендикуляр к данной прямой пересекается с каждой прямой, не
перпеНДllКУJlЯРНОЙ к данной.
8. Два перпендикуляра, восставленные к каждой из сторон yr JIа, пере-
секаются.
9. Неоrраниченно продолженная прямая не может целиком лежать внутри
какоrо-либо yr ла.
10. Если две данные прямые пересечены третьей так, что сумма BffYTpeH
них односторонних yr лов по одну сторону секущей меньше двух прямых, то
данные прямые по эту сторону секущей пересекаlOТСЯ.
При м е ч а н и е. Это предложение было принято ЕВКJlИДО за аксиому
вместо аксиомы 39 и на основании ero аксиома 39 дС)казывалась
как теорема. Предлаrаем учащимся самостоятельно провести такое доказа-
тельство.
Элемент. rеометрия. 1
33
IV. СИММЕТРИЯ rЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФиrуР
ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ.
Две точки называются СИМl\1етрично расположенными, или
симметричными относительно некоторой прямой, если при пере-
rибании плоскости чертежа по этой прямой до совпадения одной
части чертежа с друrой эти точки совмещаются.
Так, точки А и А' симметричны относи-
тельно прямой MN (черт. 53).
Прямая MN называется осью симметрии
Д точек А и А', а сама симметри я ----- осевой сим-
метрией.
Леtко заметить, что ось сим етрии двух точек
перпендикулярна к прямой, соединяющей эти
точки, и проходит через середину отрезка,
оrраниченноrо этими точками.
. В самом деле, если соединить точки А и А'
прямой АА', пересекающей ось MN в точке Р,
и переrнуть плоскость чертежа по оси MN так,
чтобы правая её часть совпала с левой, то точки
А и А' по условию совпадут между собой, а
точка Р. qСl'анется на месте. Следовательно, отрезок АР совпадёт
с А' Р, а уrол МР А совместится с уrлом М Р А', а потому
АР == А' Р и L АР М == L А' Р М == d. Ясно, что и, обратно, пер-
пендикуляр из середины отрезка всеrда служит осыо симметрии
для концов этоrо отрезка.
Таким образом, чтобы построить точку, симмеТРИЧНУfО с дан-
ной точкой А относительно данной прямой MN, следует провести
через точку А прямую АР, перпендикулярную к MN, и продол-
жить отрезок АР за точку Р на расстояние Р А', равное АР.
Т<;>чка A будет искомой.
м
д'
р
с
N
Черт. 53.
(Осевая симметрия.)
43. Осевая симметрия точек.
44. Свойства симметричных точек.
Леrко показать следующие свойства симметричноrо располо-
жения двух точек относительно оси симметрии.
1. Две точки имеют лишь одну ось симметрии, так как из
середины отрезка ПрЯl\10Й, соединяющей эти точки, можно восста..
вить к ней только один перпендикуляр.
2. Каждая точка оси симметрии СИМI\1етрична сама себе, так
как при переI"ибании плоскости чертежа точки оси симметрии
остаются неподвижными, и, следовательно, каждая из них после
переrиба занимает то же положение, что и ДО переrиба.
3. Каждая точка, лежащая на оси симметрии двух данных
точек, одинаково удалена от этих точек.
34
la оси симмеТрllИ MN точек А и А' взята какая-либо точка С
(черт. 53). l'ребуется доказать, что
АС == А'С.
Переrнём чертёж по прямой MN так, чтобы правая ero часть
совместилась с левой. Т or да точка А по условию совпадёт с А',
а точка С останется на 1eCTe. Следовательно, отрезки АС и А'С
совпадут (так как t!срез две точки можно провести лишь одну
прямую). Значит,
Имеет место и обратное предложение:
4. Если точка одинаково удалена от двух данных
точек, то она лежит на оси симметрии этих точек.
Даны три точки А, А' и С, причём
АС == А' С (черт. 54). Требуется доказать,
что точка С лежит на оси симметрии точек
А и А'.
Проведём прямые АС и А'С и построим
равнодеЛЯЩУIО CD уrла АСА'. Тоrда L ACD==
== L A'CD. Переrнём чертёж по прямой CD
так, чтобы правая ero часть леr ла на ле.. д'
BYIO. Так как L ACD === L A'CD, то пря..
мая СА ляжет на ПрЯМУIО СА'. А так как
АС == А'С, то точка А совпадёт с А'. Зна-
чит, прямая CD есть ось симметрии для точек А и А'. Следо-
вательно, точка С лежит на оси симметрии точек А и А'.
45. Осевая симметрия прямых.
Т е о р е м а. Если две точки одной прямой симметричны
двум точкам друzой прямой относительно некоторой
., .,
оси, то и все точки nервои nрямои
., .,
симметричны точкам второи nрямои
относительно той же оси.
Даны прямые АВ и А' В', причём точки
А' и В' симметричны соответственно точкам
А и В относительно некоторой оси MN
(черт. 55). Требуется доказать, что для каж-
дой точки ПрЯ АОЙ АВ есть симметричная ей
точка на прямой А' В'.
Возьмём на прямой АВ произвольную
точку С И переrнём плоскость чертежа по
прямой MN так, чтобы правая её часть со-
вместилась с левой. При этом точка Асовпа..
дёт с А', так как эти точки симметричны относительно оси MN,
и также точка В совпадёт с В'. Следовательно, прямая АВ сов..
падёт с А' В' (так {<ак через две точки можно провести JIИI1IЬ одну
прямую). Значит, точка С прямой АВ займёт некоторое ПОЛО)l{е-
м
N
Черт. 55.
3*
АС == А'С.
с
д
о
Черт. 54.
35
ние С' на прямой А' В'. По определению симметричных точек
(Э 43) точки С н С' СИМf\.fетричны относительно оси MN. Те же
рассуждения можно провести и для любой друrой точки прямой АВ.
Значит, все точки прямой АВ СИМl\tетричны точкаы прямой А' В'.
46. Определение.
Если все точки одной прямой симметричны точкам друrой
относительно некоторой оси, то прямые называIОТСЯ симметричными
относительно этой оси.
Из доказанной Teope AЫ следует: чтобы две пря;ллые были СИМ
меmричны 01l1Nосиmельно ОСИ, досmапzочн.о, чтобы две точки одflОЙ
прямой были СИ.Аt/vzеmрИЧflbl двум mочкам дpy oй.
47. Теорема.
т е о р е м а. Если две прямые симметричнь/, относи..
тельно некоторой оси и одна из них не параллельна
этой ocи то эти прямые пересекаются и точка их
пересечения лежит на оси их симметрии.
ОСЬ симметрии служит равноделящей уzла между
данными прямыми.
Даны прямые АВ и А' В', симметричные относительно оси MN,
llричём АВ не параллельна этой оси (черт. 55).
1) Докажем, что прямые АВ и А' В' перtсекаlОТСЯ и точка' их
пересечения лежит на оси MN. Допустим, что прямая АВ пере
секает ось MN в точке Р. Посмотрим, rде лежит симметричная ей
точка Р'. Так как Р лежит на ПрЯ 10Й АВ, то точка р' должна
лежать на прямоЙ А' В'; но точка Р ле)l{ИТ в то )ке время на оси
MN, значит, она симметрична сама себе, т. е. точка Р ДОJIжна
совпадать с Р'. Это значит, что прямые АВ и А' В' пересекаIОТСЯ
в точке Р на оси MN.
2) Покажем теперь, что ось MN делит пополам уrол между
прямыми АВ И А' В'. ДЛЯ этоrо переrнём чертёж по прямой М /V,
как это делалось выше. Тоrда прямая АВ совпадёт
с прямой А'В', а L APIV совместится с L A'PN,
значит, L APN== L A'PN.
8
48. Осевая симметрия сторон уrла.
т е о р е м а. Равноделящая уzла служит
Д С ОСЬЮ симметрии для ezo сторон.
D Дан L Аве, BD ero равнодеJ1ящая, т. е.
ЧtРТ. 56. L ABD == L DBC. Требуется доказать, что BD
ось симметрии (черт. 56).
Если neperHYTb плоскость черт )ка по прямоЙ BD ТС1к, чтобы
правая её часть совместилась с левой, то ПРЯ iая ВС совпадёт с АВ
(так как L CBD == L ABD), следовательно, прямая BD есть ось
СИ 1метрии прямых ве и АВ.
36
49. Осевая симметрия параллельных прямых.
т е о р е м а. Если две прямые симметричны относи..
тельно некоторой прямой u ,1,араллельны между собою,
то Ol;b их симметрии параллельна этим
прямым.
Дано: АВ 11 А' В'; MN ось симметрии прямых АВ F
и А' В' (чсрт. 57); требуется доказать, что АВ il MN. д' д
Допустим, ЧТО АВ пересекает ось MN в некото-
рой точке Q. Так как эта точка лежит на оси сим-
метрии, то точка, ей СИМ:\1еТРИЧН(1Я, должна с ней
совпадать, а так как она лежит на прямой АВ, то В'
еЙ симметричная должна лежать на llрЯ 10Й А' В'.
Значит, прямая А' В' проходит через Q, т. е. пря-
мые АВ и А' В' пересекаются в точке Q, что про-
тиворечит УСЛОВИIО, следовательно, АВ \1 MN.
м
в
о
Черт. 57.
50. Построение оси симметрии.
3 (l д а ч 3. Поспzроumь ОСЬ CU_HJvleтpuu двух данных nря..w'ЫХ.
Реш е н и е. MorYT представиться два случая.
1. Данные прямые пересекаются. Искомая. ось СИМl\1етрии слу-
жит равноделящей уrла между данны!V1И прямыми ( 47). Построе-
ние рявноделящей было уже дяно в 26. Основываясь на свойствах
симметрии, мо)кно дать друrое решение этой задачи. Пусть даны
С В
А
F
с
R
о
Q
8
D
Черт. 59.
.1Ве ПРЯl\fые АВ и АС (черт. 58). Ось их симметрии проходит через
точку А ( 47), а ПОТОМУ симметричные точки на прямых АВ и
АС должны быть одинаJ<ОВО удалены от точки А ( 44).
ОТНlIlIем из точки А произвольными радиусами две дуrи PQ
и ST. Точки Р и Q, а так)ке ТОЧК 1 S И т будут симметричны,
так K3J< АР === AQ и AS =-= АТ, а потому пря ая РТ СИМ 1етрична
прямой QS. Следовательно, точка их пересечения Х принадлежит
осн симметрпи. Искомая ось прямая АХ. Таким же образом
Можно построить BTOpYIO ось АУ, которая служит равноделящеЙ
cMe)KHOro yr ла SAD.
37
2. Данные прямые параллельны. Пусть даны прямые АВ и CD,
причём АВ 11 CD (черт. 59). 11з какой-либо точки R fJРЯМОЙ АВ
опускаем перпендикуляр RQ на прямую CD и через середину О
отрезка RQ ПрОВОДИ 1 ПРЯМУIО ОР, параллельную прямым АВ и CD.
Покажем, что ПРЯl\lая ОР и будет осью симметрии прямых АВ
и CD. ДЛЯ этоrо переrнёl\1 плоскость чертежа по прямой ОР так,
чт,?бы правая ero часть совместилась с левой. Луч OQ совпадёт
с лучом OR, так как прямые уrлы FOQ и FOR равны. Точка Q
совпадёт с R, так как OQ === OR. Прямая CD совпадёт с АВ,
так Kal{ уrлы OQC и ORA равны. Значит, прямая ОР есть ось
симметрии прямых АВ и CD.
51. Осевая симметрия фиrур.
Если для каждоЙ точки каКОЙ ЛIlбо фиrуры построить ей сим-
метричную относитеJIЬНО некоторой оси, то все построенные таким
образом точки обраЗУIОТ новую фиrуру, которая наЗЫI3ается сим-
метричной с данной относительно оси.
На чертеже 60 представлено построение фиrуры, симметричной
с 'фиrурой листа берёзыI, причём построены лишь те точки новоЙ
Черт. 60.
Черт. 61.
фиrуры, которые необходимы, чтобы обрисовался её I{OHTYp. Если
данная фиrура имеет сложный вид (как на черт. 60), то для
построения симметричной фиrуры ПРИIl1ЛОСЬ бы построить бесчис-
ленное множество точек, симметричных точкам данной фиrуры.
А потому выполнить такое построение не всеrда возможно. Если
же данная фиrура составлена из отрезков прямых линий, то для
получения симметричной фиrуры достаточно для каждоrо из этих
отрезков построить ему симметричный (черт. 61). .
Такое построение, как мы видели, выполнить весьма просто.
Две симметричные фиrуры можно совместить одну с друrою, пе-
perHYB плоскость черте)I{а по оси симметрии.
Леrко заметить, что всякая фиrурп симметрична со своим зер-
кальным отражением. В этом леrко убедиться, приставляя фиrуру
К зеркалу ребром.' -
38
52. Фиrуры, имеющие ось симметрии.
Если какая-либо фиrура состоит из двух частей, которые сим..
метричны одна друrоЙ относительно некоторой оси, то rоворят,
что данная фиrура и м е е т о с ь С И М М е т р и и.
Такие фиrуры весьма часто встречаются в природе и в обы..
дённой жизни. Так, узорам на комнатных обоях, архитектурным
украшениям на фасадах зданий
в виде плоских рисунков весьма
часто придают форму, симметрич-
ную относительно некоторой оси.
JIистья деревьев и лепестки цветов
Черт. 62.
Черт. 63.
имеют форrv!у, симметричную относительно среднеrо стебля
(черт. 62 лист клёна). Крылья бабочки и самый их рисунок
имеют форму, сиrvIметричную относительно её туловища (черт. 63).
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Две прямые, симметричные относительно оси MN, пересечены пря-
мой CD, перпендикулярнОЙ к M1V И встречающей данные прямые в точках
С и D. Доказать, что точки С и D симметричны относительно оси MN.
2. Доказать, что перпендикуляры, восставленные в серединах двух сим-
метричных отрезков, симметричны между соБОIО.
3. Доказать, что две прямые, проходящие через две точки А и А 1 , симметрич-
ные относительно оси MN и образующие равные yr лы с отрезком А А 1, СИМ-
метричны относительно оси MN.
4. Доказать, что уrол между лучами равен уrлу, образуемому лучами,
симметричными первым лучам.
5. Доказать, что если на двух симметричных прямых в обе стороны от.
двух симметричных точек отложить отрезки, равные какому либо данному
отрезку, то концы этих отрезков попарно симметричны.
6. Совокупность всех прямых, лежащих в данной плоскости и параллель..
ных между соБОIО, называется ПУЧКОМ параллельных ПРЯ IЫХ. Доказать, что
точки, симметричные с данной точкой относительно всех прямых Tar<oro пучка,
лежат на прямой, проходящей через даННУJО точку JI перпендикулярной к
прямым пучка.
7. Совокупность всех лучей, лежащих в GДНvЙ плоскости И имеющих
общее начало, называется пучком лучей, а их общее начало центром пучка.
Доказать, что все точки, симметричные . .данной относительно всех лучей
Пучка, одинаково удалены от центра пучка.
39
8. Даны 3 ТОЧКИ А, В и С, не лежащие на ОДНОЙ прямой. Докязать, что
три оси симметрии трёх пар этих точек (А и В, В и С, С и А) пересекаются
в ОДНОЙ точке.
у к а з а н и е. Построить точку пересечения осей симметрии точек .4 и В,
В и С и доказать, что она Jlежит на оси симметрии точек А и С (при этом
следует воспользоваться свойством 3 9 44).
9. Доказать, что если нз двух данных точек одинаковыми радиусами описать
две дуrи, то прямая, соединяющая точки пересечения !3тих дуr, служит осью
симметрии данных точек.
v. РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ТЕОРЕМЕ.
53. Простые и сложные теоремы.
В 33 было указано, что каждую теорему ожно высказать
в форме предложения, состоящеrо из двух частей: условия и за-
ключения.
Некоторые теоремы содержат не одно, а несколько условий,
а также не одно, а несколько заключений.
Так, теорема «если число делится на 3 и на 5, то оно делится
на 15» содержит два условия: «если число делится на 3» и «если
число делится на 5» и одно заКЛlочение: «то ОНО делится на 15».
Теорема 35 содержит одно условие: «если соответственные
уrлы равны» и четыре заключения: 1) «то внутренние накрест
лежащие yrJIbJ равны», 2) «то внеIlJние накрест лежащие уrлы
равны», 3) «то сумма внутренних односторонних уrлов равна 2d»
и 4) «то сумма внешних односторонних уrлов равна 2d».
Теорема 40 о параллельных прямых содержит одно условие
и пять заключениЙ.
Если теорема содержит ЛИII1Ь одно условие и одно заКЛIочение,
она называется простой; если условия или заКЛlочения теоремь]
состоят из нескольких отдельных условий и заКЛJочений, то Teo
рема называется сложной.
Каждую сложную теорему, имеющую несколько заключений,
можно разложить на СТОЛЬКО отдельных теорем, сколько заклю
чений содержит сложная теорема. Так, теорему 9 40 о параллель-
ных прямых: «есЛи прямые параллельны, то соответственные уrлы
равны, внутренние и внешние накрест лежащие уrлы равны,
сумма внутренних односторонних уrлов равна 2d, CYMM внешних
односторонних yr лов равна 2d», можно разложить на пять теорем:
1) «Если прямые параллельны, то соответственные уrлы равны».
2) «Если прямые параллельны, то внутренние накрест лежащие
yrJ1bI равны».
3) «Если прямые параллельны, то внешние накрест лежащие
уrлы равны».
4) «Если прямые параллельны, то сумма внутренних односто-
ронних уrлов равна 2d».
5) «Если прямые параллельны, то сумма внешних односторон-
них уrлов равна 2d».
40
54. Теорема, обратная данной.
Если в данной простой теореме переставить между собою усло
вне и заключение, т. е. сделать условие заключением, а заКЛIО
чение условием, то получится новая теорема. Она называется
теоремой, обратной данной, а данная теорема по отношению к
этой новой называется прямой.
Например, для теоремы «если соответственные уrлы равны, то
прямые параллельны» обратная будет такая: «если прямые парал
лельны, то cooTBe:rcTBeHHbIe уrлы равны».
Если прямая теорема верна, то это ещё не значит, что всеrда
будет верна и обратная. Так, например, для теоремы Э 24 «вер-
тикальные уrлы равны между собою» обратная была бы: «если
два уrла равны между собой, то они вертикальные». Это неверно,
так как два равных уrла MorYT и не быть вертикальными (напри-
мер, два острых уrла с перпендикулярными сторонами).
В сложной теореме можно переставлять часть условий с частью
заКЛlочениЙ и получать не одну, а несколько теорем, обратных
данной. Одни из них MorYT оказаться верными, друrие неверными.
Так, в теореме Э 35, содержащей одно условие и четыре заклю
чения, можно переставить условие с каждым из заключений и
получить таким образом четыре теоремы, обратные данной.
В 35 было показано, что все эти четыре теоремы верны.
В теореме Э 40 о параллельных прямых, переставляя условие с
каждым из пяти заключений, можно получить 5 теорем, обратных
данной. Все они будут верны, как это следует из 35 и Э 36.
55. Теорема, противоположная данной.
Если в данной теореме заменить условие отрипанием этоrо
условия, а заключение отриuанием этоrо заключения, то полу
u
чится новая теорема, которая называется противоположнои для
данной.
При м е р.
Прямая теорема: Если соответственные уrлы равны, то пря
мые параллельны.
Противоположная ей: Если соответственные уrлы не равны, то
прямые не параллельны.
Если прямая теорема верна, то это ещё не значит, что будет
верна и противоположная. Для приведённой теоремы о параллель
ных прямых противоположная теорема оказалась верной, но это
бывает не Есеrда. Так, например, для теоремы «если стороны
днух острых уrлов параллельны, то эти уrлы равны» ей противо
положная была бы такая: «если стороны двух острых уrлов не
параЛJIельны, то эти уrлы не равны». Это, очевидно, неверно, так
как MorYT быть равные острые уrлы, стороны которых не парал-
лельны, например острые уrлы с перпендикулярными сторонами.
Для противоположной теооемы можно в свою очередь составить
41
ей обратную. Таким обра ом, для каждой п р я м о й теоремы
можно составить ещё три, с нею связанные: о б р а т н у ю, про-
т и в о п о л о ж н у ю и о б Р а т н у ю про т и в о п о л о ж н о Й.
56. Зависимость между теоремами, связанными с данной.
Всякую теорему можно выразить в такой общей форме: «если
есть А, то CTЬ И В».
Здесь под А подразумевается условие теоремы, а под В-----
заключение.
Обратная теорема выскажется так: «если естр В, то есть и А»;
противоположная: «если нет А, то нет и В»;
обратная противоположной: «если нет В, то нет и А». (Эта
же теорема есть противоположная для обратной.)
Мы видели, что не для всякой теоремы верна обратная, но
для всякой прямой теоремы всеrда верна обратная противополож
ной. Действительно, если верно, что «коrда есть А, есть и В»
(прямая теорема), то верно и предложение «коrда нет В, нет и А».
А действительно нет, так как, если бы было А, было бы и В
в силу прямой теоремы.
В такой же зависимости находятся теоремы обратная и про
тивоположная. Если верна обратная, то верна и противоположная.
В самом деле, допустим, что верна обратная теорема: «если есть В,
то есть и А». ОТСIода сейчас же заключаем, что если нет А, то
нет и В, так как, если бы было В, то было бы и А в силу об
ратной теоремы.
Примеры теорем.
Прямая
Обратная
Противополож-
ная
Обратная противо
положной
Если цент-
ральные уrЛbJ
равны, то и со-
ответств ующие
Иl'Л дуrи равны
(верно)
Ес.п и соотпет
ственные yr лы
равны, то пря
мые пара.плель-
-ны
(верно)
Если стороны
двух острых yr.
лов перпенди-
кулярны, то эти
yr лы равны
(верно)
42
Если две ду-
rи ок ружности
равны, то и co
ответствующие
им централь
ные yr лы paB
ны
(верно)
Если прямые
параллельны,то
соответственные
yr лы равны
(верно)
Есл и два ост-
рых yr ла равны,
то их стороны
перпендикуляр-
ны
(неверно)
Если цент-
ральные yr лы
не равны, то
и соответствую-
щие им дуrи не
равны
(верно)
Если COOTBeT
ственные yr лы
не раIЗНЫ, то
прямые не па-
раллельны
(верно)
Если сторо-
ны двух острых
yr лов не пер-
пендикулярны,
то эти уrлы не
равны
(неверно) .
Если две ду-
rи окружности
не равны, то
и соответств ую-
щие им уrлы
не равны
(верно)
Если прямые
не параллель-
ны, то соответ-
ственные yr JlbI
не равны
(верно)
Если два ост-
рых yr ла не
равны, то их
стороны не пер-
пеНДИКУJlЯРНbl
(верно)
Прямая Обратная Противополож Обратная противо
ная положной
Если прямые
11 я р а л л ел т) н Ы ,
то внеJllние на-
крест лежащие
YJ'JIhI равны
(верно) ( Составить остальные теоремы и проверить .их
Если прапильность
данные
уrлы Сr.1ежные,
то их сумма
равн а 2d
(верно) )
Если стороны )
I
двух острых yr
лов параллель- Состявить остальные теоремы
НЫ, то эти yr лы и ПрОЕС i)ить их
равны правильнасть
(верно)
\
Равноделя- (
п а я уrла слу
жит осью сим-
метрии для. ero
сто ро н
(верно)
J
ПОВТОРИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ.
1. В чём разница между простой теоремой и сложной?
2. Что такое теорема, обратная данной?
3. Сколько обратных теорем можно составить для сложной теоремы, имею-
щей три условия и два заключения, и будут ли они всеrда верны?
ДJIЯ следующих теорем составить все теоремы, с ними связанные: обрат-
HYIO, противоположную и обратную противоположной, и проверить их пра.
вильнасть.
4. Если данные уrлы равны, то равны и смежные с ними yr лы.
5. Рс:звёрнутый уrол равен сумме двух прямых yr лоr.
6. Верти кальные yr JlbI равны между соБОIО.
7. Если суыма внутренних односторонних yr лов равна 2d, то прямые па.
раллельны.
8. Если два числа делятся на 5, то и их сумма делится на 5.
9. Если число, выражаемое двумя последними цифрами данноrо числя,
деJIИТСЯ на 25, то 11 Бсё данное число делится на 25.
10. Если ЧИС.10 делится на 2 и на 3, то оно делится на 6.
r л А В А В Т О РАЯ.
ТРЕуrольник.
1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ТРЕуrольников.
57. Определения.
Замкнутая ломаная линия ( 8), состоящая из трех звеньев,
называется треуrольником. Таков треуrольник АВС (черт. 64).
Вершины ломаной называIОТСЯ вершинами треуrольника, а её
звенья сторонами треуrольника. В треуrольнике АВС точки А,
В и С верIUИНЫ, отрезки АВ, ВС и АС стороны. УI"'ЛЫ, обра
зованные двумя сторонами треуrольника, называются уrлами
треуrольника; rоворя, например, об уrле ВАС треуrольника, мь]
представляем себе стороны АВ и АС треуrольника н е о r р а н и-
ченно продолженными за верll1ИНаТВИС. Уrлы и стороны
в
в
с
д
МЕЙ
д
с
D
Черт. 64.
Черт. 65.
треуrольника называются ero элементами. Внутренней областью
уrла треуrольника считается та, в I<ОТОрОЙ лежит ero третья CTO
lJoHa. У r ЛЫ, смежные с yr лами треуrольника, называются ero
внешними уrлами. Каждый такои уrол образован CTOpOHOIO Tpe
уrольника и продолжение"l ОДНОЙ из друrих сторон. Иноrда одна
из сторон треуrольника называется ero основанием, тоrда проти
волежащая ей вершина называется вершиной треуrольника.
Перпендикуляр, опущенный из вершины треуrольника на ero
основание, называется высотой треуrольника. Такова прямая BD
(черт. 64). Высота треуrольника мох{ет иноr да пересекать не самое
основание, а ero про Д о л )К е н и е. Тзк вь]сота BD треуrольника
АВС (черт. 65) пересекает продолжение основания АС. Линия,
делящая уrол треуrольника пополам, называется равноделящей
или биссектрисой уrла треуrольника. Такова прямая ВЕ: (черт. 64).
Длина отрезкп этой ПРЯМОЙ от вершины уrла до точки встречи
с ПРОТИВОПОЛОЖНОЙ стороной называется длиною равноделящей.
Прямая, соединяющая вершину треуrольника с серединой проти-
воположной стороны, называется медианой треуrольника. Такова
ПрЯl\1ая ВМ (черт. 64). Длина отрезка этон ПРЯМОЙ от вер[uины
до середины противоположной стороны называется длиною ме..
дианы.
44
Каждый треуrольник имеет три высоты, три биссектрисы и три
медианы. Для сокращения записи слово «треуrольник» заменяется
иноrда знаком Д. Так, символ Д АВС надо читать: «треуrоль-
ник АВС».
58. Виды треуrОJIЬНИКОВ.
Треуrольники различаются между собой, во-первых, по х а р а К-
теру уrлов, BO BTOpЫX, по характеру сторон.
По характеру yr лов треуrольник называется:
1) oCTpoyrOJIbHbIM, если все ero уrлы острые (черт. 66);
В
д
с
с
в
д
Черт. 66.
ч рт. 67.
11
Черт. 6В.
с
2) прямоуrОJIЬНЫМ, если один из уrлов прямой; сторона, лежа-
щая против прямоrо yr ла, называется rипотеНУЗ0Й, а стороны,
образующие прямоЙ уrол, катетами (черт. 67);
3) тупоуrОJIЬНЫМ, если один из ero уrлов тупой (черт. 68).
По характеру сторон Tpe
уrолыIкK называется: В В
1) разносторонним, если
все ero стороны имеIОТ раз-
ную длину (черт. 66);
2) равнобедренным, если
две ero стороны равны между Д С Д С
соБОlО (черт. 69); сторона, не
равная двум друrим, назы Черт. 69. Черт. 70.
вается ero основанием;
3) равносторонним, если все три ero стороны равны между
собою (черт. 70).
59. Сумма уrлов треуrОJIьника.
т е о р е м а. Сумма уzлов треУZОЛЬ1tu«а равна 2d.
Дан треуrольник АВС (черт. 71). Требуется доказать, что
L. САВ + L АВС + L ВСА == 2d.
,
Продолжим стороны АВ и Ве и проведём через точку В пря
'1ую DE, параллельную стороне АС. Тоrда L. САВ == L ОВЕ, как
уr.пы соответственные при параJIлеJIЬНЫХ пря лых АС и DE и ce
кущей ОА; L. АВС == L. РВО, как уrЛbJ вертикальные; L ВСА ==
== L DBF, как уrлы соответственные при параллельных АС и DE
45
и' секущей FC. Но уrлы DBF, FBO иОВЕ обраЗУJОТ все вместе
развёрнутый уrол DBE, а потому
L DBF + L РВО + L ОВЕ == 2d.
Замещая в этом равенстве уrлы DBF, FBO и ОВЕ COOTBeT
ственно равными им уrлами АСВ, АВС, ВАС, получим:
L АСВ + L АВС + L ВАС == 2d.
Теорема доказана.
С л е Д с т в и е 1. Если один из услов треУ ОАьника пря wой
или тупой, то оба дpy иe e o усла острые.
С л е Д с т в и е 2. Внешний у ол треу ольни1Ш равен сумме
двух внутренних, с ним не смежных.
Возьмём внешний уrол АВР (черт. 71):
L ABF == L ABD + L DBF, (1)
но L ABD == L ВАС (как накрест лежа
Е щие при секущей АВ), L DBF == L ВСА
(как соответственные при секущей ВС),
а потому, заменяя в равенстве ( 1) yr лы
ABD и DBF соответственно равными им
уrлами ВАС и ВСА, получим L АВР ==
=== L ВАС + L ВСА.
Следствие 3. Внешний у ол тpe
у ольника БОАьше каждqсо вHyтpeHHe o, с HU/vl не с"wежно о (так
КllK CYMJvla болыuе каждо о из сла аемых).
С л е Д с т в и е 4. Если два треу ольника имеют по два равных
у ла, то и третьи их УсАЫ равны между собо/о.
С л е Д с т в и е 5. Сумма острых услов пРЯJvlОусОАЬНОсО тpe
усольника равна пРЯМОJvlУ у лу.
С л е Д с т в и е 6. СУМ.А1а острых у лов тупОУ20ЛЬНО О треу оль
НИКll меньше прямо о У2ла.
Доказательства следствий 1, 3, 4, 5, 6 мы опускаем ввиду их
простоты Эти доказательства учащиеся MorYT провести caMO
стоятельно.
D
G
д
Черт. 71.
60. Равнобедренный треуrольник.
т е о р е м а. В равнобедренном треуzольни"е уzлы при
основании равны,.
Дан треуrольник АВС; АВ == Ве (черт. 72); требуется дока-
зать, что
L САВ == L АСВ.
Проведём равноделящую BD yr ла АВС и переrнём плоскость
чертежа по линии BD так, чтобы правая её часть совместилась
с левой. Линия ВС совпадёт с линией АВ, так как L CBD ===
== L ABD. Точка С СQвпадёт .с точкой А, так как АВ -= ВС.
46
СJI довательно, отрезок DC сольётся с отрезком DA, а потому
L АСВ совместится с L САВ; следовательно,
L АСВ == L САВ.
с л е Д с т в и е 1. В равнобедреННОАt треУеольнике равноделящая
Уела при вершине служит осью симметрии треУ20льника, так как
при переrибании плоскости чертежа по paBHO
делящей Д CBD совмещается с Д ABD.
С л е Д с т в и е 2. В равнобедренном mреУеОЛЬ-
нике равноделящая Уела при вершине nерnенди-
кулярна к основанию и делит ееО пополам.
В самом деле: точки А и С симметричны
относительно прямой BD, следовательно, АС 1.. BD
и AD == CD (Э 43).
Таким образом, в равнобедренном треуrоль-
нике биссектриса, lедиана и BbIcQTa, проведён
ные из ero вершины, сливаются в одну линию.
С л е Д с т в и е 3. У еЛЫ при основании равно-
бедреННОеО треУеольника всееда Ocmpble; внешний У2()Л при OCHoвa
нии равнобедреННОеО треУ20льника все2да тупой.
С л е Д с т в и е 4. В равностороннем mреУеоль//,uке все три Уела
равны между собою и каждыЙ из них равен ; d.
УПРАЖНЕНИЯ.
в
D
с
Черт. 72.
1. В треуrол ьнике один уrол равен 42035', друrой 85017' . Определить
третий уrол. Отв. 5208'.
1
2. Уrол при вершине равнобедренноrо треуrольника равен 6 d. Определить
11
остальные yr ЛЫ. Отв. 12 d.
3. Определить уrлы равнобедренноrо треуrольника, если каждый уrол при
d d
основании вдвое меньше уrла при вершине. Отв. d, 2"' 2".
4. Определить уrлы равнобедренноrо треуrольника, если уrол при вершине
на 300 меньше yr па при основании. Отв. 400, 700, 700.
5. Определить уrол, образуемый равноделящими острых уrлов в прямо-
3
уrольном треуrольнике. Отв. 2" d.
6. Определить уrол, образуемый равноделящими внешних тупых yr лов
d
прямоуrольноrо треуrольника. О/пв. 2.
2
7. Один из yr лов треуrольвика равен 5" d; определить уrол, образован
6
ныА равноделящими двух друrих уrлов треуrольника. Отв. 5 d.
8. В прямоуrольном треуrольнике один из ero yr лов равен 400. Опреде
пить величину yr лов, образуемых перпендикуляром, опущенным из вершины
прямоrо yr ла на' rипотенузу, с катетами треуrольника. OnzB. 500 и 400.
Доказать теоремы: .
9. Если один из yr лов треуrольника равен сумме двух друrих, то Tpe
уrольн ик прямоуrольный.
47
10. Равноделящая внешнеrо yr ла при вершине равнобедренноrо треуrоль-
ника паралле.пьна основанию.
11. Внутри треуrольника АВС взята точка О и соединена с вершинами
треуrо.пьника. Доказать, что L АОВ > L. АСВ.
12. Если медиана какой либо стороны треуrольника равна половине этой
стороны, то TpeyrO.r1bH ик прямоуrольный.
13. Если в прямоуrОJIЬНОМ треуrо.пьнике один из острых уrлов равен 300,
то меНhШИЙ катет равен ПОJIовине rИl10тенузы.
у к а з а н и е. Построить треуrОJlЬНИК, симметричный данному относи-
тельно ero большеrо катета, и доказать, что образованшийся треуrольник
равносторонний и Т. д.
14. Из веРllJИНbJ С треуrольника АВС лроведена прямая, параллельная
равноделящей уrла В, дО пересечения в точке D с продолжением стороны АВ;
доказать, что BD == ВС.
]5. Через точку пересечения равноде.пящих уrлов А и С треуrольника
АВС проведена прямая, пяраЛ..1ельная стороне АС и пересеКaIощая стороны
.4В и ВС соответственно в точках D и Е. Доказать, что DE == AD + ЕС.
16. Через точку пересечения равноделящих внешних yr лов А и В про-
ведена прямая, параллельная стороне АВ и встречающая продолже-
ние сторон АС и ВС соответственно в точках D и Е. Доказать, что DE ==
== AD + ВЕ.
17. Из вершины прямоrо уrла прямоуrОJlьноrо треуrольника пронедены:
равноделящая прямоrо yr ла, медиана rипотеНУЗbJ и высота, опущенная на rи-
пот нузу. Доказать, что равноделящая делит пополам уrол между высотою
и медианой.
11. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И Yf ЛАМII
ТРЕуrОЛЬНИКА.
61.
Т е о р е 1 а. В треуzольнике против большей стороны
лежит больший уzол.
Дано: в треуrольнике АВС сторона НС больше АВ (черт. 73);
требуется доказать, что уrол А больше yr ла С.
Отложи На стороне ВС отрезок ВО == АВ и соединим точки А
и D прямой линиеЙ. Треуrольник АВО равнобедренный, так
как АВ равно BD; следовательно, уrол АОВ равен уr.пу DAB
(Э 60). Но уrол ADB БОЛЫllе уr.ла С (как внешний уrол треуrоль
ника ADC), следовательно, н уrол DAB больше уrла С, а потому
и подавно уrол ВАС больше УJ.ла С, или L А > L С.
62.
Т е о р е м а о б р а т н а я. В треуzольни"е против боль-
шеzо уzла лежит и большая сторона.
Дано: уrол А больше уrла С (черт. 73); требуется доказать,
что Ее больше АВ.
8е> АВ.
АВ не может быть больше ВС, так как тоrдз, в силу прямой
теоремы, уrол С был бы болыuе yr ла А, что противоречит усло
вню теоремы. Точно Tal< же АВ не может быть равно ве, так
как тоrда треуrольник АВС был бы равнобедренным и в нём
48
уrол А и уrол С были бы равны. Следовательно, АВ MeHbIlle ВС,
или, что то же, ВС больше АВ.
Т е о р е м а. Если два уzла треуzольник.а paвHЫ то
и cтOpOHЫ лежащие против этих уzлов также равны,.
(Т е о р е м а, о б р а т н а я Д л я т е о р e
мы 60.)
Дано: уrол А равен уrлу С (черт. 72);
требуется доказать, что
АВ == ВС.
в
д с
Если бы АВ было болыпе ВС, то,
в силу прямой теоремы, уrол С был бы
больше уrла А. Если бы ВС было
больше АВ, то уrол А был бы больше уrла с. Следовательно,
АВ === ВС.
Из доказанных теорем леI'КО вывести такие следствия:
1. (У сОЛ, лежащий против меньшей стороны треусольника,
всееда острый.
2. В тупОУсОЛЬflОМ треусольнике наибольшая сторона лежит
против тупосо уела.
3. В пря"иоусольном треуzольнике zипотенуза всесда больше
катета.
Черт. 73.
63.
Теорема. Каждая сторона треуzольника меньше
суммы двух друzих ezo сторон и больше их разности.
О Дан треуrольник АВС (черт. 74); тре-
буется доказать, что
АВ + ВС> АС.
Продолжим сторону АВ и отложим на
её продолжении от точки В отрезок BD, рав-
ный ВС. Соединив точки С и D ПрЯМОIО ли
нией, получим треуrольник CBD, в котором
сторона BD == ВС и, следовательно, уrол BCD
Д С равен уrлу BDC ( 60), а потому уrол ACD
Черт. 74. больше уrла ADC. Следовательно, в Tpe
уrольнике ACD сторона AD> АС, но AD ==
=== АВ + BD, а так как BD === ВС, то AD === АВ + ВС; следова-
тельно, АВ + ВС > АС. Вычитая из обеих частей ВС, получим:
АВ > АС........ ВС.
64.'
т е о р е м а. Е'сли две стороны одноzо треуzольнuк.а
равны двум сторонам друzоzо а уzлы .между ними не
paвHЫ, то против большеzо уzла лежит и большая
сторона.
Дано: АВ == АIВ1' ВС == В 1 С 1 И L АВС> L А 1 В 1 С 1 ; тре-
буется доказать, что АС больше А 1 С 1 (черт. 75).
,
4 Элемент. rеометрия, I
49
Повернув треуrольниr< A 1 B 1 C 1 , приложим ero к АВС так,
чтобы сторона B 1 C 1 совместилась с ВС. Треуrольник А 1 В 1 С 1 зай-
мёт положение А 2 ВС (черт. 76). При этом А 2 В равно АВ и уrол
А 2 8С fеньше yrJIa АВС; А 2 С == А 1 С 1 . Мы должны показать, что
АС больше А 1 С 1 , или что АС больше А 2 С. Соединив точки А и A 2t
получим равнобедренный треуrольник АВА 2 . Равноделящая BD
уrла АВА 2 при ero вершине В проЙдёт внутри треуrольника АВС
(так как уrол АВС больше уrла СВА 2 ) и, следовательно, пере-
сечёт сторону АС в некоторой точке Е. Кроме Toro, она будет
в
8,
в
д
А 2
д
с
д,
С,
Черт. 75.
Черт. 76.
перпендикулярна к основанию АА 2 и разделит ero пополам: AD ==
== DA 2 (Э 60). Следовательно, точки А и А 2 симметричны отно-
сительно прямой ВЕ, и, следовательно, соединив точки Е и А 2 ,
будем иметь АЕ == А 2 Е. В треуrольнике А 2 ЕС сумма двух ero
сторон больше третьей, т. е. А 2 Е + ЕС> А 2 С. Заменив отрезок
А 2 Е равным ему отрезком АЕ, получим: АЕ + ЕС> А 2 С или
АС > А 2 С.
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Стороны треуrольника выражаются целыми числами; одна равна
3 метрам, друrая равна 2 метрам. Чему равна третья сторона?
2. Одна из сторон тр еуrольника равна 2 метрам, друrая 8 метрам. Опре-
делить третью сторону, зная, что она выражается целым числом, деJlЯЩИМСЯ на 3.
3. Доказать, что сумма отрезков медиан двух сторон треуrольника,
считая от точки их встречи до вершин, из которых они исходят, меньше
суммы сторон, к которым они проведены.
4. Доказать, .ЧТО каждая сторона треуrольника меньше половины ero
периметра.
5. Доказать, что медиана основания треуrольника меньше полусуммы
ero боковых сторон.
6. Доказать, что сумма расстояний точки, лежащей внутри треуrольника,
от трёх ero вершин больше половины ero периметра.
111. РАВЕНСТВО ТРЕуrольников.
65. Предварительные замечания.
Два треуrольника считаются равными, если их можно COB fe-
стить н а л о ж е н и е М. НО, чтобы не выполнять каждый раз на-
ложения, коrда хотят убедиться в равенстве треуrольников, уста-
50
навливаlОТ некоторые признаки, по которым МО}I{НО заранее опре-
делить, совмещается ли один треуrольник с друrим, или нет.
Эти признаки носят название признаков равенства треуrольников.
66. Первый признак равенства треуrольников.
т е о р е м а. Два треуzольника равны" если две сто--
раны и уzол, заключённыu между HUAIU I в одно.AI
треуzольнике, равны соответственно двум сторонам
и уzлу, заключённому между ними, в друzом треуzоль-
нике.
Даны треуrольники АВС и A 1 B 1 C 1 (черт. 77), причём
АВ == AIBl' АС === A1C 1 , L А == L А 1 ;
требуется доказать, что
Д АВС == A1B1C 1 .
rIаложим A1B1C 1 на Д АВС так, чтобы точка Al совмести-
лась с А и прямая АIВl совместилась с прямой АВ. Точка В 1
СОl3местится с точкой В, так как A1Bl == АВ. Сторона A 1 C 1 пой-
Д T по стороне АС, так как L Al === L А. Точка С} СО8падёт с
В В:
с,
д
Черт. 77.
точкой С, так как' A 1 C 1 == АС. CTOpOHbl B1G 1 И ве окажутся
совмещёнными, Tal{ как совмести.пись их концы. Таким образом,
треуrольники совместятся.
Второе доказатеJlЬСТВО. Приложим треуrольник A 1 B 1 C 1
к треуrольнику АВС так, чтобы их равные стороны АС и A 1 C 1
совместились (черт. 79), причём точка Al совместилась с А, а С 1
с точкой С. Тоrда треуrольник A 1 B 1 C 1 займёт положение АВ 2 С,
причём АВ 2 == АВ и L В 2 АС == L ВАС. Так как L В 2 АС == L ВАС,
то прямые АВ и АВ 2 симметричны оrносительно оси АС (9 48),
а так как АВ == АВ 2 , то точка В симметрична точке В 2 и, сле-
довательно, прямая ВС симметрична прямоЙ В 2 С ( 45). Значит,
треуrольники АВС и АВ 2 С симметричны относительно оси АС,
а потому треуrольник АВС MO)l{HO совместить с треуrольником
AB C (Э 51) И, значит, с треуrольником A1B1C..
4
51
67. Второй признак равенства треуrольников.
Т е о р е м а. Два треуzольни"а paвHЫ если сторона и
два прилежащие " ней уzла в одно-м треуzольни"е
равны, с о о т в е т с т в е н н о стороне и дву-м прилежа-
щи-м " ней уzла.м в друzо'м' треуzольни"е.
Даны треуrольники АВС и A 1 B 1 C 1 , причём АС == A1C 1 , L А ==
=== L Al И L С == L C 1 (черт. 78). Требуется доказать, что
L АВС == A1B1C 1 .
11аложим A1B1C 1 на 6 АВС так, чтобы ТОЧI<а Al совпала
с А, сторона A}C 1 пошла по АС. Точка С 1 совпадёт с С, так как
А}С 1 == АС. Прямая AIBl пойдёт по прямой АВ, так как L А 1 ==
== L А; прямая C 1 B 1 пойдёт по прямой СВ, так как L G 1 == L С.
Вершина В 1 совпадёт с Bep
8 8, llJИНОЙ В, так как В и 8}
бу,lI ут служить точками пере..
сечения одних и тех же пря-
мых.
Д С C 1 В Т О Р О е Д о к а з а т е л ь-
с т в о. Приложим треуrоль-
Черт. 78. ник A1B1C 1 к треуrольнику
АВС так же, как и в предыду-
щей теореме (черт. 79). Tal< как L ВАС == L В 2 АС, то прямые АВ
и АВ 2 симметричны относительно оси АС (э 48), а так как L ВСА ==
;:=: L В 2 СА, то и прямые ВС и В 2 С симметричны относительно
той же оси; следовательно, точка В симметрична точке В 2 . Значит,
треуrОJlЬНИКИ АВС и АВ 2 С симметричны относительно оси АС,
а потому треуrольник АВС можно совместить с треуrольником АВвС
И, значит, с треуrольником A1B1C}.
С Л е Д с т в и е. Два треУ20льника равн.ы, если два У2ла одНО20
треУ20ЛЬНUка равн.ы двум У2лам дРУ2020 и сторона, лежащая
против одНО20 из этих УеЛ 08 , в одном треУ2ОЛЬН , ик,е равна сто-
роне, лежащей против равпО20 eJrtY У2ла, в дРУ20М треУ20льнике,
так !{ак и третьи уrлы обоих треуrольников равны (э 59, след. 4).
68. Третий признак равенства треуrольников.
Теорема. Два треуzольника paвHЫ если три сто-
роны одноzо равны, трё.м, сторонам друzоzо.
Даны треуrольники АВС и А 1 В 1 С 1 (черт. 79), причём АВ ==
==AIBl' ВС == B 1 C 1 , АС == A1C 1 .
Требуется доказать, что Д АВС == A1B}C1o
Приложим треуrОЛЬНИI<И A 1 B 1 C 1 и АВС один к друrому так,
чтобы их равные стороны АС и А}С 1 совместились, причём точка
Аl совпала бы с точкой А, точка С} с ТОЧI{ОЙ С (черт. 79).
Треуrольник A 1 B 1 C 1 эаймёт положение АВ 2 С, причём АВ ==
== АВ2' СВ == СВ 2 . Соединив точки В и В2' получим два равно-
52
бедренных треуrолыIкаa В 2 АВ и 8 2 СВ; в первом из них L АВВ 2 ==
== L АВ2В' во втором L СВВ 2 == L СВ 2 8 (как уrлы при основа-
нии). Следовательно, L АВВ 2 + L СВВ 2 == L АВ 2 В + L СВ 2 В,
или L АВС == L АВ 2 С. Таким образом, 6 АВС и 6 АВ 2 С удов-
леТВОРЯJОТ первому признаку равенства треуrольников. Следова-
тельно,
д АВС == 6 АВ 2 С, или 6 АВС == Д A J B 1 C 1 .
Второе доказательство. Прпложим треуrольник А 1 В 1 С 1
к треуrольнику АВС так же, как и в предыдущих случаях. Тоrда
АВ == АВ 2, ВС == В 2 С.
8
81
Д' CI
д
с
B
Черт. 79.
TaI< как ВС == В 2 С, то точка е лежит на оси симметрии точек
В и В 2 (9 47); так как АВ == АВ 2, то точка А лежит на оси сим
метрии тех же точек В и В 2 . Значит, осью симметрии для этих
точек служит прямая АС. Следовательно, треуrольники АВС и
АВ 2 С симметричны относительно оси АС. Значит, треуrольник Аве
можно совместить С. треуrольником АВ 2 С и, значит, с треуrоль-
ником A 1 B 1 C 1 ; следовательно,
L АВС == Д A 1 B 1 C j .
69. Четвёртый признак равенства треуrольников.
т е о р е м а. Два треуzольника равны" если они и.меют
по две равнь,е стороны и по равному уzлу, лежа-
щему против одной из этих cтOPOH причём уzлы ле-
жащие против друzих равных cтOpOH или оба острые,
или оба тупые, или оба прямые.
Даны треуrольники АВС If А 1 В 1 С 1 , В которых АВ == AJBl'
АС == А 1 С 1 , L В == L Вl' а L С и L С} оба остры1e (черт. 80).
Требуется доказать, что
Д АВС === Д А)В 1 С 1 .
Наложим Д A 1 B 1 C} НН 6 АВС так, чтобы точка В 1 совпала
с точкой В, а сторона AIBl ПОJlIла по стороне АВ. Так как АВ===
== AtBl' то точка А совпадёт с точкой А) н, следовательно, сто-
роны АВ и А)В] совпадут. Сторона В)С} пойдёт по ве, так
53
как L в] == L в. Тяким образом, точка С 1 упадёт rде-либо
на вс. Дока}J(ем, что она совпадёт с точкой С. Допустим,
что она не совпадёт с с, а займёт некоторое положение D.
Следовательно, Д ABD === Д A1B1C 1 И AD == A1C 1 и L ADB :=:
== L A1C1B 1 . При этом образуется новый треуrольник ADC, в
котором AD == АС, так как
Д AD == A1C 1 , а по условию
A1C] == АС. Следовательно,
Д ADC ----- равнобедренный,
а уrол ADB, как внешний
уrол при ero основании,
должен быть тупым ( 60,
8 D С С 1 сл. 3).
Черт. 80. С друrой стороны,
L ADB как равный OCT
рому уrлу A 1 C 1 B 1 должен быть острым. Мы приходим К противо
речию. Следовательно, наше допущение, что точка C 1 не совпадёт
с точкой С, было неверно. Значит, точка С 1 совпадёт с точкой С
и треуrольник A1B}C} совпадёт с треуrОЛЬНИJ<ОМ АВС, т. е.
Д АВС == 6 A 1 B}C 1 .
Доказательство не изменится, если L С и L С} будут оба
тупые или оба прямые.
С л е Д с т в и е. Два mреУ20льника равны, если они имеют по
две равные стороны u по pa8HOAtY уёЛу, лежащему против боль-
шей из этих сторон, так как уrлы, лежащие против меНЫIlИХ cto-
рон, всеrда острые.
70. Признаки равенства прямоуrольных треуrольников.
т е о р е м а. Два прямоуzольных треуzольнuк.а равны,
если их "атеты равны.
Действительно, так как уrлы между катетами равны как пря-
мые, то треуrольники будут равны по первому признаку равенства
треуrольников ( 66).
Т е о р е м а. Два прям,оуzольных mреуzольни1(,а равны,
.,
если они имеют по равнои zипотенузе и по равному
острому уzлу.
ДеЙствительно, два друrих острых уrла прямоуrольных тре-
уrольников будут также равны, так как они, в силу 59 (след. 5),
ДОПОJIНЯJОТ до ПрЯМОI'О равные уrлы, а потому треуrольники равны
по второму признаJ(У равенства треуrольников ( 67).
Т е о р е м а. Два прямоуzольных треуzольнu"а равны,
если они имеют по равному катету и равному при..
лежащему или противолежащему уzлу.
В самом деле, в этом случае два друrих острых уrла будут
равны между соБОJО. А потому треуrольники равны по второму
признаку равенства треуrольника.
54
Т е о р е м з. Пря.моуzольные треуzольнu"u paBHbl если
"атет U zипотенуза одноzо пря.моуzольноzо треуzоль-
ни"а соответственно равны "атету U zuпоmенузе дру-
ZOZO пря.моуzольноzо треуzольнu"а.
В самом деле, уrлы, лежащие против больших сторон, ПРЯ fые
и, следовательно, равны, а потому треуrольники равны по четвёр-
тому прпзнаку равенства треуrольников.
71. Элементы, определяющие треуrольник.
Из доказанных теорем о равенстве треуrольников с л е Д у е т,
что элементы, перечисленные в признаках равенства треуrольни-
ков, вполне опредеЛЯIОТ единственный треуrольник. Так, треуrоль-
ник определяется:
]) стороною и двумя У2лами;
2) двумя сторонами и У2ЛОМ, лежащим между ними;
3) тремя сторонами;
4) дву.klЯ сторонами и У2ЛО/vt, лежащим npOfпUB большей из
них.
Прямоуrольные треуrольники определяются:
1) двумя каmеm,ами;
2) катетом и одним острым У2ЛОМ;
3) 2unотенузой и одним острым У2ЛОМ;
4) катетом и 2unотенузой.
Таким образом, из трёх уrлов и трёх сторон для определения
ПрОИЗВОJlьноrо треуrольника нужно брать три данных, в числе
которых должна быть по крайней мере одна из ero сторон.
72. ОбlЦее определение равенства двух
rеометрических фиrур.
В предыдущем изложении мы не раз встречались с понятием
о равенстве rеометрических фиrур. Вначале мы rоворили о равенстве
отрезков (Э 5), затем о равенстве yr лов (Э 1 1) и, н аконец, о ра-
венстве треуrольников. Во всех этих случаях фиrуры назывались
равными, если они с о в м е Щ а л и с ь при н а л о ж е н и и.
Таким образом, мы приходим к оБII е 1У определению равенства
двух rеометрических фиrур: две rеометрические фиrуры назы-
ваются равными, если их можно совместить одну с друrой так,
чтобы они совпали во всех своих точках. Таковы, например,
всякие две фиrуры, симметричные относительно какоЙ-либо оси.
УПРАЖНЕНИЯ.
д о к а з а т ь, ч т о Д в а т р е у r о л ь н и к а р а в н Ы, е с л и:
1. Они имеют одинаковые высоты и равные yr лы при основаниях.
2. Они имеют одинаковые высоты и равные уrлы при вершине и один
из уrлов при основании.
3. Они имеют равные высоты и две боковые стороны одноrо, равные
двум боковым сторонам друrоrо.
4. Основание, медиана основания и боковяя сторона одноrо равны осно-
ванию, медиане основания и боковой стороне друrОI"О.
-55
5. Yr лы при основании и равноделящая yr ла при вершине в одном тре-
уrольнике равны yr лам при основании и равноделящей yr ла при Dершине
в друrом треуrольнике.
6. Высота первоrо треуrольника и 01'резки, на которые она делит осно-
вание, равны высоте и таким же отрезкам во втором треуrольнике.
7. Высота, медиана основания и отрезок основания от вершины уrла до
высоты одноrо треуrольника равны высоте, медиане основания и соответствен-
ному отрезку во втором треуrольнике.
В. Боковая сторона, уrол при вершине и биссектриса этоrо уrла в первом
треуrольнике равны боковой стороне, yr лу при вершине и биссектрисе этоrо
уrла во втором треуrольнике.
Д о к а з а т ь, ч т о :
9. В равнобедренном треуrольнике перпендикуляры, опущенные из концов
оснований на боковые стороны, равны между собою.
10. Равноделящие yr лов при основании в равнобедренном треуrольнике
равны между собою.
11. Медианы боковых сторон в равнобедренном треуrольнике равны между
собою.
12. Если на одной из боковых сторон равнобедренноrо треуrольника от
основания отложить какой-либо отрезок, а на продолжении друrой боковой
стороны, также от основания, отложить отрезок, равный первому, то отрезок
прямой, соединяющей концы отложенных отрезков, делится основанием по-
пол ам [3].
13. Перпендикуляры, опущенные из концов какой-либо стороны на медиану
этой стороны, равны между собою.
14. Прямая, перпендикулярная к биссектрисе уrла, отсекает на ero сто-
ронах равные отрезки.
15. Треуrольники равны, если основание, медиана основания и высота
одноrо треуrольника соответственно равны основанию, медиане основания и
высоте BToporo треуrольника.
16. Перпендикуляры, опущенные из двух каких-либо точек одной из двух
параллельных прямых на вторую, равны между собою.
17. Доказать, что сумма двух перпендикуляров, опущенных из какой-либо
точки основания равнобедренноrо треуrольника на ero боковые стороны, равна
перпендикуляру, опущенному из конца основания на боковую сторон.у [3J.
IV. rЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ.
73. Предварительные замечания.
До сих пор для выполнения различных построений ( 21, 26,
27) мы пользовались тремя инструментами: л и н е й к ой, ц и р-
к у л е м и ч е р т ё ж н ы м у r о л ь н и к о м. Доказанные теоремы
о равенстве треуrольников позволяют выполнить те же построе-
u
ния с помощью лишь двух инструментов циркуля и линеики;
ц и р к ул ь для вычерчивания окружности и её дуrи, л и н е й-
к а для вычерчивания прямой линии.
rреки времён Евклида считали п р я м у ю л и н и ю и о к р у ж-
н о с т ь основными линиями в rеометрии и пото"'у требовали,
чтобы всякое rеометрическое построение выполнялось при помощи
лишь тех двух инструментов, которые вычерчивают эти линии.
Умение полностью использовать эти два основных инструмента
линейку и циркуль и в настоящее время представляется весьма
важным. В дальнейшем все построения будут выполняться лишь
..,
при помощи UИРI<У.пя и лннеики.
56
3 а Д а ч а 1. Через данную точку О на прямой провести пря-
"wую, 1\, ней перпендикулярную (черт. 81).
Реш е н и е. В обе стороны от точки О откладываем два лро
извольных, но равных между собой отрезка ОА и ОВ. Из точек
А и В одним и тем же радиусом описы-
ваем дуrи, пересекающиеся в точке С.
Соединяем точки С и О. Полученная
линия СО искомая.
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Треуrольники
АОС и вое равны между собою (9 68),
следовательно, L СОА == L СОВ, и так
как эти уrлы смежные, то они прямые.
Задача, очевидно, Bcer да имеет реше
иие и притом только одно, так как вся
кая друrая прямая, проходящая через точку О, образует с лу
чом ОА уrол, или меньший, или больший прямоrо.
74.
с
д
о
в
Черт. 81.
75.
3 а Д а ч а 2. И з данной точки вне пря
мой опустить на эту прямую пepпeHди
Д В куляр (черт. 82).
Реш е н и е. Из данной точки С описы
ваем дуrу, пересекающую данную прямую
в точках А и В; из точек А и В описываем
равными радиусами дуrи, пересекающиеся
в точке D. Прямая CD, встречающая в
точке F прямую АВ, искомая.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Д ACD == 6 CDB (Э 68). Поэтому
L ACD == L DCB.
В равнобедренном треуrольнике АСВ прямая CD есть равно-
делящая уrла при вершине, а потому CD 1.. АВ (Э 60, след. 2).
Задача всеrда возможна и имеет
одно решение.
76.
З а Д а ч а 3. Данный У20Л разделить
пополам (черт. 83).
Реш е и и е. vlз вершины А данноrо Д
уrла ВАС произвольным радиусом опи- .с
сываем дуrу ВС. Из точек В и С оди Черт. 83.
наковыми радиусами описываем дуrи,
пересекающиеся в точке Е. Прямая АЕ искомая равноделящая
уrла, так как Д АВЕ :::::: АСЕ (по трём сторонам).
Задача, очевидно, всеrда возможна и имеет одно решение.
57
а Д а ч а 4. Разделить aaH1tbla оmрезок АВ попола.Аt (черт. 84).
Реш е н и е. ИЗ КОНЦОВ А и В произвольными, но равными
радиусами проводим дуrй, пересекающиеся с обеих сторон отрезка
АВ. Точки их пересечения С и D соединяем прямой линией.
Точка её пересечения F с прямой АВ есть
середина отрезка АВ.
Д о к а з а т е л ь с т в о. .6 А CD == Д BCD
( 68), значит, L ACD == L DCB. Следова-
В тельно, в равнобедренном треуrольнике
ACD прямая CD равноделящая уrла при
вершине. А потому ср АВ и АР == РВ
(Э 60, след. 2).
Задача, очевидно, всеrда ВОЗМО)l{на и
имеет одно решение.
77.
/'
,/
/'
,/
/'
д/
"-
"-
"
"'-
"-
"
Черт. 84.
78.
3 а Д а ч а 5. Через данную точку вне данной прямой провести
пРЯАtуЮ, ей параллельную (черт. 85).
Реш е н и е. Из данной точки С произвольным радиусом проводим
дуrу, пересекаЮЩУIО данную прямую. Пусть А одна из точек пе-
ресечения. Из точки А тем же радиусом проводим дуrу, пересе-
кающую данную прямую в точке В; из
точки В тем же радиусом проводим дуrу,
пересекающую в точке D дуrу, прове-
дённую из ТОЧI{И С. Соединяя точки С
и D, получим искомую прямую.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Соединив точ-
ки А и С, В и D, С и В, получаем два
равнобедренных треуrольника 6 АВС
и Д BCD, имеющих общую сторону Ве Черт. 85.
и равные стороны АС, АВ, CD, DB.
Эти треуrольники равны (по трё1\1 сторонам), а потому L АВС ==
==L BCD. Эти уrлы служат внутренними накрест лежащими для
прямых АВ и CD при секущей СВ; следовательно, АВ парал-
лельна CD.
Задача всеrда возможна и имеет одно решение в силу аксиомы
о параллельных прямых. -
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Дан треуrольник АВС. Построить медианы двух ero сторон.
2. Построить высоту данноrо треуrольника.
3. Построить yro.r1, вдвое БОЛЫIJИЙ данноrо.
4. Через вершину А данноrо треуrольника АВС провести прямую, парал-
.r.ельную равноделящей уrла АВС.
5. Через вершину В данноrо треуrольника АВС провести прямую, парал-
леЛЬНУIО равноделящей внешнеrQ yr ла при вершине А.
58
6. Построить равноделящие двух внеUIНИХ у;' лов при основании JtaHHoro
равнобедренноrо треуrольника. ДОI<азать, что эти равноделящие пересекаюfся
на равноделящей уrла при вершине ( 52 и Э 60, след. 1).
7. Построить ПрЯМbIе, проходящие через веРШИНbI данноrо треуrольника
и параллельные противоположным сторонам, и доказать, что каждая сторона
этоrо HOBoro треуrольника в два раза больше па раJlлельной ей стороны дaH
Horo треуrольника.
8. Прямой уrол разделить на три равные части ( 60, след. 4).
9. Циркулем и линейкой построить уrол в 150.
J О. Через данную точку провести ПРЯМУIО, отсекающую на сторонах дан-
Horo уrла равные отрезки.
11. Через данную точку провести прямую, одинаково наклонённую к двум
данным пересекающимся ПРЯМblМ.
12. Через данную точку провести прямую, наклонённую к данной прямой
под данным yr лом.
v. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ ТРЕуrольников.
79.
З а Д а ч а 1. Построить треУ20льник" равный данному тре-
У20льнику АВС (черт. 86).
Реш е н и е. На произвольной
прямой, от произвольной точки Аl'
откладываем отрезок АIВ1' рав-
ный АВ. Из точки А 1 как из центра
описываем дуrу радиусом, рав-
ным АС, а из точки В 1 описываем
дуrу радиусом, равным ВС. Точку Д
их пересечения С 1 соединяем с
концами отрезка А 1 В 1 . Треу)"оль-
ник А 1 В 1 С 1 искомый.
Д о к а з а т е л ь с т во. Треуrольник А 1 В 1 С 1 и треуrольник АВС
равнь] (по трём сторонам). Задача, очевидно, всеrда возможна.
с
81
А,
Черт. 86.
80.
З а Д а ч а 2. Построить У2()Л, равный данному У2ЛУ АВС,
имеющиЙ данную вершину В 1 и данную сторону В 1 С 1 (черт. 87).
8
81
Черт. 87.
С]
Реш е н и е. Из какой-либо точки, С стороны ве данноrо уrла
описываем ПРОИЗВОЛЬНЫ\1 радиусом дуrу, встречающую сторону АВ
данноrо уrла в точке А. Соединив точки А и С, строим на прямой
В 1 С} треуrОЛЬНIfК B1C1A 1 , равный треуrольнику ВАС (задача 1).
59
в этом треуrОЛЬНИJ<е L В 1 будет равен L В. Правильность по-
строения ясна непосредственно.
Задача Есеrда имеет реUJение.
81.
3 а д а ч а 3. Построить mреуzдЛЬflИК по трём aaflHblJrl ё20
стороНаМ.......... а, Ь, с.
Ре UJ е н и е. ОТЛОЖt1в На произвольной прямой одну из задан-
ных сторон, например а, проводим из её концов радиусами, рав-
ными отрезкам Ь и с, две дуrи. Точку их пересечения соединяем
с концами.
И с с л е Д о в а н и е. Чтобы задача была возможна, необходимо,
чтобы наибольшая из данных сторон была м ньше суммы двух
друrих ( 63).
3 а Д а ч а 4. Построить треУZОЛЬ1iИК по двум сторонам а и Ь
и УZЛУ между ними С
(черт. 88).
Реш е н и е. Строим
уrол, равный данному,
и откладываем на ero
сторонах от вершины от-
резки, равные данным.
Соединяя их концы, по-
лучаем искомый тре-
уrольник.
Правильность реше-
ния очевидна. Для выполнимости построения необходимо, чтобы
заданный уrол был меньше 2d. Задача имеет одно решение.
82.
а
1
д
с
fJ
с
Черт. 88.
83.
3 а д а ч а 5. Построить треуzольник, ПО стороне а и двум
прилежащим к, ней уzлам А и В (черт. 89).
о
AL 8 L
д
о
Черт. 89.
Отложив на произвольной прямой отрезок АВ == а, строим при
el'o концах А и В данные уrлы и продолжаем их стороны (не
БО
совпадаlощие с АВ) дО пересечения в точке С. Треуrольник АВС
искомый.
Задача имеет решение при условии, что CYM a двух данных
уrлов меньше 2d. Решение задачи единственное.
84. Общая схема решения задач на построение.
Рассмотрим пример более сложной задачи на построение.
3 а д а ч а 6. Построить треУ20дьник" если даны два е20 Уела
А и В и сумма двух е20 сторон Ь + с == АС + АВ.
Чтобы отыскать способ решения задачи, или, как rоворят,
выполнить анализ задачи, предположим, что задача решена и что
Д АВС (черт. 90) искомый треуrольник. Найдёrvl связь между
искомыми элементами тре-
уrольника и данными задачи.
Отложим на продолжении
стороны АВ за точку А отре..
зок AD == АС и соединим
точки С и D; Д ACD рав"
нобедренный. Следовательно,
L CDA == L DCA == L А.
В треуrольнике BCD известны
сторона BD == Ь + с и yr лы
CD8 и CBD. Этот треуrоль-
ник можно построить и полу"
чить таКИl\'1 образом две вершины В и С искомоrо. Третья ero
вершина А СЛУЖliТ верщиной ра!3нобедренноrо треуrольника ACD,
в котором известны основание CD и уrлы при основании.
В ы п о л н е н и е. п о с т р о е н и я. На произвольной прямой
откладываем отрезок DB, равный данному отрезку Ь + с. При
точке D строим уrол, равный ; L А, а при точке В уrол, рав-
ный данному уrлу В. Точку пересечения вторых сторон этих уrлов
обознаЧИ f через с. При точке С строим уrол DCA, равный уrлу
CDB. Точка пересечения второй стороны этоrо уrла с отрезком DB
будет третьей в ршиной А искомоrо треуrольника АВС.
Д о к а з а т е л ь с т в о. У rол В построенноrо треуrОЛЬНJ1ка равен
данному L В по построению. Уrол САВ построенноrо треуrольника
как внешний уrол треу."'ольника ACD равен L ACD + L ADC ==
1 1
== 2" L А + 2" L А == L А. Далее, треуrольник ACD........ равнобед..
ренный, так как по построению L DCA == L CDA == } L А, и, сле-
довательно, АС == AD. Поэтому АС + АВ == DA + АВ === DB. Тре-
уrольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи.
И с с л е Д о в а н и е. Задача имеет решение при условии, что
сумма двух данных уrлов меньше 2d. Решение задачи единственное.
6+с
LL
д в
с
D
д
Черт. 90.
61
ИЗ приведённоrо примера ВИДНО, что полное решение задачи
на построение состонт из следующих четырёх частеЙ:
1. Отыскание способа решения задачи в тех случаях, коrда
этот способ не ясен непосредственно (а н а л из).
2. В ы п о л н е н и е п о с т р о е н и я.
3. Д о к а 3 а т е л ь с т в о Toro, что построенная фиrура удовле-
творяет всем условиям задачи.
4. И с с л е Д о в а н и е, Bcer да ли возможна задача при задан-
ных её условиях и сколько решений она имеет.
УПРАЖНЕНИЯ.
.. Обозначения.
с
всём дальнейшем будем придерживаться слеДУIОЩИХ обозначений эле-
треуrольника (черт. 91):
а, Ь, с стороны треуrОJIьника; А, В, С
yr лы треуrольника; Ila, hb, he высоты, ОDущен-
ные на соответственные стороны треуrОЛЬНJlка;
та, ть, те ----- медианы сторон а, Ь, с; 'А' 'в,
'с равноделяи ие уrлов А, В, с; Ра, Рь от-
резки, на которые высота he делит основание А В,
прнчём отрезок Ра прилежит к вершине В, от-
резок Рь прилежит к вершине А; q А' q В от-
В резки, на которые равноделящая yr ла С делит
основание АВ, причём qA прилежит к L. А,
а qB K L.B.
с
Во
ментов
д
Черт. 91.
2. Простейшие задачи на построение .треуrольников.
п о с т р о и т ь Т р е у r о л ь н и к и, если даны:
1. с, L. А ИРа. 7. с, hc и Ь.
2. Ра, Рь И L. В. 8. с, he II те.
з. Ра, Рь И те. 9. с, he и ha.
4. Ра. Рь И he. 10. с, ha и hb.
5. Ра, Рь И а. 11. а, Ь и he.
6. с, he и L. А. 12. he, а и L с.
13. he, а и L А.
14. h c , а и tп e .
15. Ра, Ile И т с .
16. с, те и L А.
17. с, те и а.
П о с т р о и т ь р а в н о б е д р е н н ы й т р е у r о л ь Н И к, еСJIИ даны:
18. Основание и высота.
19. Основание и высота, опущенная на боковую сторону.
20. Основание и уrол при основании.
21. Основание и уrол при вершине.
22. у rол при вершине и высота, опущенная на боков ую сторону.
23. Построить равносторонний треуrольник по ero высоте.
П о с т р о и т ь n р я м о у r о л ь Н ы й т р е у r о л ь Н И К (с вершин а
прямоrо yr ла), еСJlИ даны:
24. he и L А.
25. hc ИРа.
26. hc и а.
62
3. Более сложные задаqи На not1"poe""e tреуrОЛЬНИl<ов.
п о с т р о и т ь Т р е у r о л ь Н И К и, если даны:
27. Ь + с, L А, а. 28. Ь + с, L А, hc. 29. Ь + с, hc, а. 30. Ь + с, L в, hc.
31. Построить треуrольник, еСJlИ даны
разность ero сторон а ---- Ь и два yr ла А и В.
А н а л и з. На стороне ВС (черт. 92) OT
кладываем отрезок CD == Ь и соединяем
точки А и D.
Тоrда:
L CAD == L ADC == 2d---- LC == d LC .
2 2
Следовательно,
L А D В 2d ( d L 2 С ) d + L 2 с .
LBL
д
с
I А I
a и
д
в
Далее, СВ == а ---- Ь. Следовательно, леr
ко построить треуrольник ABD и определить Черт. 92.
таким образом положение вершин А и В.
После этоrо вершина С определится как вершина равнобедренноrо треуrоль-
ника ADC, дЛЯ KOToporo будут известны основание AD и L ADC.
П о с т р о и т ь Т р е у r о л ь н и к и, если даны:
32. а Ь, с, L В. 33. а Ь, с, L А. 34. а Ь, с, L С. 35. а ---- Ь, hc, L В.
36. а Ь, hc, L А. 37. а Ь, ha, L С. 38. а ---- С, ha, L С.
39. Построить треуrольник, если даны ero периметр и два уrла А и В.
А н а л и з. Продолжив в обе стороны прямую АВ (черт. 93), отложим на ней
I r
С о+б+с
BL
D д В Е
Черт. 93.
отрезки AD == Ь и ВЕ == а и соединим вершину С с точками D и Е. Тоrда:
1 1
DE == а + Ь + с; L D == "2 L А; L Е == 2' L В.
Следовательно, 6 DCE можно построить. Этим определяется вершина С.
Вершины А и В найдутся так же, как в задаче 6 Э 84.
П о с т р о и т ь Т р е у r о л ь Н И к, если даны:
40. а + Ь + с, L А, hc. 41. а + Ь + с, hc, Р а. 42. а + Ь + с, Ра, L В.
VI. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ, ОСНОВАННЫЕ
НА РАВЕНСТВЕ ТРЕуrольников.
85.
Т е о р е м а. Оmрез и параллельных прямых .между
параллельны.ми прямыми равны, между собой.
Дано: АВ 11 CD и АС jJ BD (черт. 94).
.
б3
Требуется доказать, что
АВ === CD и АС == BD.
Соединив точки А и D, получим два треуrольника DAC и ABD,
имеющие общую сторону AD, L ADC ==
== L DAB как внутренние накрест ле-
жащие при параллельных прямых АВ
и CD и секущей AD. L DAC == L ADB
как внутренние накрест лежащие при
параллельных АС и BD. Следовательно,
Д ACD == Д ABD, а потому
Черт. 94. АВ == CD и АС == BD
как стороны равных треуrольников, лежащие против равных УI'ЛОВ.
86.
Т е о р е м а. Пря-мая, проходящая через середину одной
из двух сторон треуzольни"а и параллельная третьей,
делит вторую сторону попола-м, а отрезо" этой пря-
.мoй лежащий внутри треуzольни"а равен половине
.,
третьеи сторонье.
Дано: AD == BD и DE " АС (черт. 95). В
Требуется доказать, что
1
1) ВЕ == ЕС и 2) DE == '2 АС.
1) Проведём через точку Е прямую ЕР,
параллельную АВ.
В силу предыдущей теоремы DE == АР Д F С
и ЕР == AD, следовательно, ЕР == DB.
Далее, L DBE == L РЕС как соответ- Черт. 95.
ственные при параллеЛLНЫХ АВ и ЕР,
L BDE:=; L ЕРС как уrлы с параллельными сторонами; следо-
вательно, Д DBE == Д РЕС. А потому ВЕ == ЕС.
2) Из равенства треуrольников BDE и F ЕС следует, что
1
DE == РС, а так как DE == АР, то АС == 2ОЕ, или DE == 2 АС.
87.
Т е о р е м а о б р а т н а я. Прямая, соединяющая серединь"
двух сторон треуzольни"а, параллельна третьей сто-
., ., .,
роне, а отрезо" этои пря.мои, лежащии внутри тре-
уzольни"а, равен половине третьей стороны.
Дано: AD == DB и ВЕ == ЕС.
Требуется доказать, что
1
1) DE 11 АС и 2) DE == 2 АС.
е
64
Если через точку D провести прямую, паралл льную А(;, ТО
она, в силу прямоЙ теоремы, должна будет проЙти через середину
стороны ВС, т. е. через точку Е; следовательно, Оllа совппдёт с DE,
так как ч рез две точки нельзя провести двух ряз.rIIIчныx прямых.
Значит, DE 11 АС и, в силу прямой теоремы, DE === Ас.
Отрезок ПРЯl\10Й, соединяющий сереДIIНЫ двух сторон треуrоль-
ника, называется средней линией треуrольника.
88. Свойство медиан треуrольника.
Доказанная в 87 теорема позволяет обн.аРУЖIfТЬ весьма важ-
ное свойство медиан треуrольника. Это своЙство выражается сле-
дующеЙ теОрt:МОЙ:
т е о р е м а. Медианы, трёх сторон
mреуzольника пересекаются 8 одной
точке.
Дан треуrольник АВС и в нём CD и
АЕ медианы сторон АВ и ВС (ч рт. 96).
О ----- точка пересечения ЭТJ1Х меДИt-JlI. Тре-
буется доказпть, что медиана стороны АС А
также пройдёт через точку о.
РаздеЛИ 1 отрезки АО и ОС пополам,
и пусть F и О середины этих отрезков.
СоеДJfНИМ точку D с точкой Е и точку F с точкой О. в тре-
УI'ОJlьнике АВС отрезок DE fCTb средняя линия, а потому
1
DE == 2 АС и DE 11 АС. В треУI"'ольнике АОС отрезок Ра так-
же средняя линия, а потому
в
н
Черт. 96.
FG 11 АС и FG == АС.
ОТСlода следует, что
ОЕ == FO и DE 11 FG.
Сравнив тепrрь L ODE и 6. ООР.. найдём, что L ODE ===
== L ООР, как накрест лежаПLие L ОЕО == L ора, так)ке I<ЯК
някр ст J1ежаЩI1е, и DF. == FO, сл('Дователы.о, 6 ODE == ОСР.
А потому DO == 00 == ас и ОЕ == РО == АР, или
I )
DO==-зDС и OE==-зАЕ.
Отсюда заключаем, что каждая медиана треуrОЛЬJIика при пе-
U U .. I
реrечении с друrои медианои OTCeJ<aeT от нее 3 часть, считая от
основания. Так как мы взяли Лlобые дне из трёх медиан треуrоль-
ника, то это будет верно и для третьей ,,('диаНbI /3Н. Эта прямая
должна отсечь от DC OTp 30K. равный CD, считая от точки D,
5 Элемент. rеометрия, I
б5
и, следовательно, должна пройти через точку о. Значит, все три
медианы пройдут через одну точку. Точка псрес чения медиан
называется центром тяжести треуrольника.
89.
Т е о р е м а Ф а л е с а. Если на одной стороне уzла отло-
жить ряд равных отрезков и через их концы провести
nараллельные прямые, то они отсекут на второй сто-
роне уzла также равные .между собой отрезки.
Дано: MN == NP == PQ и DM 11
С 11 EN " F Р 11 GQ (черт. 97). Требуется
доказать, что
в
Проводим прямые DN 1 , ЕР 1 , FQ1,
параллельные АВ. Отрезки DN 1 , ЕР 1 ,
FQ1 будут все равны между собой.
В самом деле, DN 1 === MN, ЕР 1 === NP,
А FQ1 === PQ, как отрезки параллельных
между параллеЛhНЫМИ. А так как
MN === NP === PQ, то DN 1 === ЕР 1 === FQ1.
Сравним треуrольники DEN 1 и ЕРР1' В них DN 1 === ЕР1' L EDN 1 ===
== L FEP 1 , как соответственные, и L DN 1 E == L ЕР1Р' как уrлы
с параллельными сторонами; следовательно, DEN1 == ЕРР 1 .
А потому DE == EF. Таким же образом убедимся в равенстве
треуrольников ЕР Р 1 и FGQ1; следовательно, ЕР:::::- FO, а потому
DE === ЕР == Ра.
Теорема Фалеса имеет важные применения в rеометрии. Одним
из её применений является решение слеДУlощей задачи.
DE == ЕР == РО.
Черт. 97.
90.
З а Д а q а. Разделиmь данный оmрезок на n равных часmей.
Реш е н и е. Через конец А данноrо отрезка АВ (черт. 98)
проводим произвольную прямую АС и С
на ней от точки А отложим равные
отрезки столько раз, на сколько частей
нужно разделить данный отрезок АВ.
Допустим, нам нужно разделить ero на
3 равные части. В таком случае откла-
дываем три равных отрезка AD == DE ===
== EF. Конец последнеrо отрезка соеди- Д
ня м с В И из точек деления D и Е
проводим прямые, параллельные F В.
Они пересекут отрезок АВ в искомых точках деления М и N.
Правильность решения непосредственно вытекает из теоремы
Фалеса.
66
УriРАЖНЕНИЯ.
1. Данный отрезок разделить на 5 равных часте .
2. Дан ный отрезок со разделить на две части так, чтобы одна часть была
в 4 раза больше друrои.
3. Между сторонами д нноrо уrла поместить отрезок ДЗnНОЙ длины так.
чтобы он составлял с однои из сторон yr ла уrол задаННt)й веJ!ИЧИIlЫ [3].
у к а з а н и е. В какой-либо точке В одной из сторон yr ла А (черт. 99)
построить уrол АВС, равный заданному, и отложить на е\'о стороне отрезок
ВС данной длины. Через точку С провести пря-
мую CD 11 АВ и через точку D прямую DE 11 ВС.
Отрезок DE ИСКОМI.IЙ.
4. Между сторонами данноrо уrла поместить
отрезок данной длины так, чтобы он был парал-
лелен данной прямой, проходящей через вершину
данноrо yr ла.
5. Через данную точку внутри yr ла провести
прямую так, чтобы её отрезок между сторонами Д Е В
данноrо уrла делился в данной точке пополам.
6. Через данную точку внутри уrла провести Черт. 99.
прямую так, чтобы её отрезок между сторонами
данноrо уrла делился в данной точке на части, из которых одна ВДвое боль-
ше друrой.
у к а з а н и е. Воспользоваться теоремой Фалеса.
7. Через точку, данную вне уrла, провести прямую так, чтобы её отрезок
от данной точки до встречи с одной из сторон уrла делился друrой стороной
пополам.
8. Через данную точку провести прямую так, чтобы её отрезок, заклю-
чённый между двумя данными параллельными прямыми, имел данную длину.
9. Доказать, что каждая из медиан треуrольника меньше суммы двух
друrих и больше их разности.
3
10. Доказать, что та + mь > 2" с.
VII. О ПРОЕКЦИЯХ ТОЧЕК И ОТРЕЗКОВ.
91. Проекция точки.
Проекцией точки на прямую называется основание перпенди-
куляра, опущенноrо из точки на эту прямую.
Например, проекцией точки А на прямую PQ (черт. 100) служит
точка В основание перпендикуляра АВ, опущеННОI'О из точки А
на прямую PQ.
Отрезок АВ называется длиною
перпендикуляра.
д
92. Проекция наклонной.
о Соединив точку А (черт. 100)
D с kaKOlo-либо точкой С прямой,
получим прямую АС, которая назы-
вается наклонной; длина отрезка
АС этой прямой называется длиною наклонной. Отрезок СВ от
точки С до основания перпендикуляра В называется проекцией
наклонной АС.
р
8
Черт. 100.
5*
f31
93. Сравнительная ДЛина перпендикуляра и наклонных.
В приводимых ниже теоремах ПОД перпендикуляром и .наклон
ными подрпзумеваJОТСЯ их Д л и н ы; перпендикуляры и наклонные
предполаrаlОТСЯ проведёНl1ЫМИ из о Д н о й т о ч к И.
Т е о р е м а. Перпендикуляр короче наклонной.
Даво: АВ PQ; требуется доказать, что АС> АВ (черт. 100).
Наl(лонная АС является rипотенузой ПРflмоуrольноrо треуrоль
ника Аве, перпендикуляр АВ служит катетом Toro же треуrоль
ника, а пото: у АС > АВ (9 62).
Длина перпендикуляра АВ называется расстоянием ТОЧКИ А
ОТ прямой PQ.
94. Сравнительные длины наклонных и их проекций.
Т е о р е м а. Если проекции двух наклонных равны, то
равны и сами наклонные и обратно: равные наклонные
UMeloт равные nроекции.
1. Если С/3 == ВО (черт 100), то Д АВС == ABD (по двум
aTeTaM), следовательно, АС == АО.
2. Если АС == АО, то .6 АВС == Д АВО (TaI< как катет АВ
общий и rипотенузы АС и AD равны ПО условию), следовательно,
СВ == BD.
Т е о ре \' а. Из двух наклонных больше та, которая
имеет большvю nроекцuю н обратно: большая наклон..
ная имеет большую nроекцию.
1. Дано FB>BD. ТРf'буется ДОКClзать, что АР'"':>АО.
Отложим на отрезке РВ от ТОЧI(Н В отреЗОI< НС == ВО II со-
единим С с А. Наклонные АС и АО равны, Tal< как равны их
проеКIlИIf СВ и ВО В треуrОЛЬНIfI<е АСР уrол АСР ----- тупой, кнк
внеUJНИЙ уrол ПрЯМОУJ ОЛЬНurо треуrольника АВС, следовательно,
AF > АС (9 62), или АР > АО.
2. Дано АР > АО. Требуется ДОI<азать, что РВ > BD. Дей
ствительно, если бы BD было БОЛbllJе F В, то и АО было бы
болыuе АР; если бы РВ было равно BD, то и АР было бы равно
АО, следовательно, FB > во.
VIII. rЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК.
95. Понятие о rео етрическом месте точек.
Если расс:vIОТрИМ все те задачи на п о с т р о е н и е, которые мы
РСluаЛII до сих пор, то леrко заметить, что решение их Bcer да
сводилось к отысканию ОДНОЙ или неС(ОЛЬКIiХ точек. Так, решая
задClЧУ «разделить уrол пополам», мы ОТЫСIОfвали точку, чtрез
KOTOrYIO должна пройти ИСКОl\1ая равноделящая уr.па, а затем co
еДlltlЯЛИ её с верlllИНОЙ уrла. Точно так же, реLIIС1Я задачу «вос-
ставить из данной точки перпеНДИКУJ1ЯР к данной прямой», МЫ
68
отыскиВЯЛИ вторую ТОЧКУ, через I<ОТОРУЮ должен проходить иско-
МЫЙ перпендикуляр, а найдя, соединяли её с данной точкой на
прямой. Строя треуrОЛЫ-IИК по трём сторонам, МЫ, имея данные
две верl1JИНЫ треуrольника, отыскивали положение третьей ero
BepIlHIHbl н т. д. Но бываlОТ случаи, I{оrда условиям данной за
дачи УДОВJlетворяет не одна, а бесчисленное множество точек.
В таком случае задача называется неспределённой, а совокуп-
ность всех точек, удовлетворяющих
условиям неопредел нной задачи, на- В ' ' с
зывается rеометрическим местом то-
чек. Примеры таких задач приводятся
HlIiI<e.
3 а д а ч а 1. Найти точку, 'laxo
дящуюся от даНrtОЙ пlочк,и А на рас-
стоянии, paBflO /l даНН-ОЛ1У оmрезку вс.
Реш L н И е. Проведём через точ
ку А l{аl<УIО ЛIfбо прямую и отложим
На ней по обе стороны от точки А
отрезки Ai\t1 11 AN, равные ЕС
(черт. 101):
АМ == А/" == ВС. Черт. 101.
Точки М и N удовлеТВОРЯJОТ УСЛОВИIО задачи. Таких точеI<,
очевидно, можно построить бесчисленное множество: проведя че
рез точку А вместо прямой MN друrую прямую и отло}кнв на
Helt от точки А отрезки АР и AQ, равные ВС, получим НОАые
точки Р н Q, также удовлетворяющие УСЛОВИIО задачи. Леrко
заметить, что все получаемые таКIIМ построением ТОЧI{И М, N Р,
Q,... лежят на ОI{РУЖНОСТИ с центром в точке А и с радиусом,
раВНЫ\1 ВС, и т о л ь К О на этой окружности. Следовательно, Zeo-
-Меп рическое .место точе". находящихся на данном
расстоянии от данной тОЧIlU. есть О"РУЖНОl ть с цент..
ром 8 данной точ"е и с paдиyco.м. равным данно.Atу
расстоянию.
3 а Д а ч а 2. Найти точку, н-аходящуюся на данном расстоя-
нии от данной пРЯ);lОЙ ПО данную СПl0РОНУ от неё.
Реш е н и е. Восставим в про-
извольной точке А данной пря-
мой PQ (черт. (02) по данную её
сторону перпсндикуляр к Heli и
ОТЛО}l{ИМ на нём отрезок АС, paB
Оный Д,НIНОМУ раССТОЯIIИIО. Точка С,
очевидно, удовлетворяет услuвиям
задачи. Но таких точек можно
построить бесчисленное множество: взяв на ПРЯ:-V10Й PQ вместо
точки А друrую точку) воссrави!3 J3 ней лер.пендикуляр к. PQ
96.
р
с
I
д
,Е
I f"
IL,;
м
N
F
Черт. 102.
бе
и ОТЛОЖI1В на нём отрезок, равный АС, получим новую точку,
также удовлеТВОРЯIОЩУЮ условиям задачи. Спрашивается, rде
находятся все точки, удовлетворяющие условиям данной задачи.
Проведём через С прямую, параллельную PQ, и возьмём на
ней произвольную точку М. Расстояние MN точки М от прямой
PQ, очевидно, равно АС. Действительно, MN 1.. PQ и АС PQ,
следовательно, АС 11 MN, а потому АС == MN, как отрезки парал
лельных прямых между параллельными. Таким образом, все точки
прямой СМ удовлетворяют условиям данной задачи. Точка, не
лежащая на прямой С М, условиям задачи не удовлетворяет.
Действительно, возьмём точку Е не на прямой С М, а вне полосы
ме)l(ДУ прямыми PQ И СМ. Опустив из неё перпендикуляр ЕР на
PQ, находим ЕР === ЕО + ОР, но ОР == АС, следовательно, ЕР>
> АС. Совершенно так же убедимся, что расстояние каждой
точки внутри полосы между прямыми СМ И PQ от ПрЯ 10Й PQ
меньше АС. ТаКИ 1 образом, все точки, удовлетворяющие условиям
задачи, лежат на прямой, параллельной PQ, и только на этой пря
мой. Следовательно, zео.метрическ.ое .место точек, находя..
щиХСR по данную сторону от данной пря.мой на данно.м
расстоянии от неё l есть пря.мая, параллельная данной.
Если из условия задачи исключить слова «по данную сторону
от неё», то искомым zео.метрическим. .место.м будут слу-
жить две 'пря.мые l параллельные данной, лежащие по
разные стороны от неё.
97.
3 а д а ч а 3. 11 айти точку, находЯЩУ10СЯ на одинаковом .рас-
стоянии от сторон даННО20 усла.
Реш е н и е. Пусть АВС ----- данный уrол (черт. 103). Проведём
прямые LM и мк, соответственно параллельные сторонам уrла
Ве и АВ на произвольном, но одина
С ковам расстоянии от этих сторон. Точка
L их пересечения, очевидно, будет одина
ково удалена от сторон уrла, МР == MQ.
Спрашивается, r де лежат все точки,
удовлетворяющие этим условиям. Соеди
К нив М с вершиною уrла В, получим
8 Р S д два равных прямоуrольных треуrольни
I ка ВМР и BMQ, так как онн имеют
Черт. 103. оБЩУIО rипотенузу ВМ и равные катеты
мр == MQ, а потому L МВР == L MBQ.
Значит, точка М .нежит на равноделящей уrла АВС. Покажем
теперь, что любая точка этой равноделящей удовлетворяет усло
виям задачи. Пусть R......... какая-либо точка. Опустив из неё перпен-
дикуляры RS и RF на стороны уrла АВС, получим два рав-
ных прямоуrОЛЫ-IЫХ треуrольника BRS и BRF, так как они имеют
общую rипотенузу BR J1 равные острые yr Лрl L F BR == L. SBR t
а lJOTQMY R == Rf'! '".
7О
Т(1КИМ образом, все точки, удовлетворяющие условиям задачи, .
лежат на равноделящей данноrо yr ла и только на этой paBHoдe
лящей. Следовательно, zео.метричес"ое .место точе,, нахо-
дящихся на равно-м расстоянии от сторон уzла есть
равНQделящая этоz,о уzла.
98.
З а Д а ч а 4. Найти точку, находящуюся ka oдиHaкoвo ! рас-
еmоянии от концов даННО20 отрезlШ.
Реш е н и е. Пусть дан отрезок АВ (черт. 104). vlз точек А
и В опишем ПрОИЗВОЛЬНbIМИ, но одинаКОВbIМИ радиусами две дуrи,
пересекающиеся в точке С. Точка С, очевидно, удовлетворяет
условиям задачи. Посмотрим, rде лежат все М
такие точки. Опустив из точки С перпенди-
куляр CD на прямую АВ, получим два рав-
ных прямоуrОЛЫ-IbIХ треуrольника A.CD и
BCD, так как они имеют равные rипотенузы
АС и ВС и общий катет CD, а потому
AD == DB. Значит, точка С лежит на пер-
пендикуляре к прямой АВ, восставленном д
в середине отрезка АВ. Покажем, что каж-
дая точка этоrо перпендикуляра удовлетво-
ряет условиям задачи. Пусть М ----- какая либо ero точка. Соеди-
нив М с А и В, получим два равных прямоуrольных треуrоль
ника AMD и BMD, так как они имеют равные катеты AD == DB
и общий катет MD, а потому АМ == МВ.
Таким образом, все точки, удовлетворяющие условиям задачи,
лежат на nерпендикуляре, восставленном из середины данноrо
отрезка, и только на этом перпендикуляре. Следовательно, zeo-
-метричес"ое .место точе", находящихся на одина"ово.м
расстоянии от "онцов отрез"а, есть nерnенди"уляр
" отрез"у, восставленный из ezo середины.
Это )I(e самое можно доказать короче, заметив, что все точки, paB
ноудалённые от точек А и В, должны лежать на оси СИМ fетрии
этих точек. И обратно: каждая точка оси симметрии должна
быть равноудалена от точек А и В. Следовательно, ось симметрии
точек А и В служит искомым rеометрическим местом. Но осью
симметрии точек А и В служит пер п е н Д и к у л я р, восставлен-
ный из середины отрезка АВ.
I
/
/
/
/
/
/
I
/
о
8
Черт. 104.
9. Свойства равноделящих уrлов треуrОЛЬНlfка.
Т е о р е м а. Равноделящие трёх уzлов треуzольни"а
пересекаются в одной точ"е.
Проведём биссеКТРИСbI yr лов А и В треуrольника АВС и опу
стим из точки их пересечения F перпендикуляры РЕ, FG, FH
на стороны АВ, ВС и АС (черт. 105). Точка F должна одина-
71' .
КОБО отстоять ОТ сторон АВ и АС, так как она лежит на равно.
дrJ1ящеl1 уrла А. Значит, ЕР == FH. Точка F должна также оди-
наково отстоять от сторон АВ и 8С, так как она J1ежит на рав-
ноделящ й у,'ла В, значит, EF == FG Из написанныx равенств cJ1e-
дует: Ра == F Н. Это равенство nOI<a3blBaeT, что 10чка F одина-
ково отстоит ОТ сторон ЕС и АС,
И, зна чит, она J1ежит на равноде-
лящей yr J1a с. Следовательно,
раПllоделящие yr лоп А, В и С про-
ходят через одну и ту же ТОЧКУ F.
Теорема доказана. Точка оди-
иаl<ОВО удалена от Есех трех сто-
рон TpeyrOJlbH JI ка.
I авhоделящие двух вНI?Ш
них уzлов треуzольни"а и од-
HOZO 8HympeHlieZO l с ними не..
с.м.ежноzо, TaK}l<e пересе"ают..
ся в одной точ"е. Tal<, рnвноделящие внеllIНИХ УI"ЛОВ В И С
и BHYTpe.HHero уrла А пересеКНJОТСЯ в точке L, равноудt1лёНflОЙ
от сторон треуrОЛЬНИI\а, продолженных lIеоrраниченно. Учащиеся
MorYT доказать это сами совер шенно таКИ l же способом.
д
н
с
Черт. 105.
100. Свойство перпендикуляров, восставленных из середин
сторон треуrольника.
Свойство перnендикуляра, Dосставленноrо из середины ОТрСЗI<а,
даёт ВОЗ\10ЖНОСТЬ вывести ва}кное свойс"rво перп ндикуляров, вос-
ставленных 113 середи н сторон тrеуruльника.
Т е о р е а. Перпендиltv л яры, восставленные из сере-
дин сторон треvzольни"а,' пересе"аются в оdной точ"е.
Пер в о е Д о 1< а з а т е л' ь с Т в о. Вос-
ставим пеРllендикуляры Е/( и FK из се- В
редин сторон АВ и АС треуrОЛЬНИI<а АВС
(Чt:"'РТ. 106) ТОЧКУ IIX пере ечеllИЯ К соеди
ним со вс ми ЕерUJинами треуrольника.
Точка К одинаково удалена от верIllИН А
и В, так ,{ак она ле}f{ИТ на перпендику
ляре ЕК, восставленном из середины АВ.
Сл доватеJIЬНО. АК == К /J. Точка К таl<же
одинаково удаЛ lIа от верtlJИН А и С, T(tl{
как она Jlежит на перпенди куляре F К, Черт. 106.
восставленном из с(\реди lIЫ АС, следова
те.пьно, АК == К с. vlз двух п()Следних равенств следует: К В ===
== КС. Это равенство показывает, что точка К лежит на ерпен-
дикуляре, восставленном 113 середины стороны 8С. Значит, пер-
пендикуляр, посстаВ:lеliНЫЙ из середины G стороны ВС, проходит
через точку К. 'reopCMa доказана. Точка К одинаково удалена
от всех верШl-iН трсуrОailЬНИl(а.
7'4
Второе ДОI<азательство. Перпендикуляр из середины
АВ служит осью симметрии для точек А И В, перпендикуляр из
середины отрезк АС служит осью симметрии для точек А н С,
а потому точка их пересечения [( одинаково отстоит от точек А
и В, а также от точек А и С, а значит, и от точеl{ В и С, а по-
тому она лежит на оси симметрии точек В и е (9 44), Т. е. на
перпендикуляре, восставленном из середины отрезка 8С.
101. Свойство высот треуrольника.
Последняя теорема в свою очередь позволяет вывести важные
свойства ЕЫСОТ треуrольника.
т е о р е м а. Три высоты, треуzольни"а пересе"аются
в одной точ"е.
ПРОЕедём через веrшиl-!ы треуrолы1каa АЕС прямые, парал-
лель :ые протиЕсположl,ыM сторонам. Эти прямые образуют новый
треуrольник DEF (черт. 107), для I<oq-o-
POI"O А, В и С служат серединами сторон. О
В сямом деле, СЕ == АВ и DC == АВ, как
отрезки параллельных между параллель-
НЫ\1И Следовательно, СЕ == CD. Точно
тпк же ДОI<аже , что РВ == BD и РА == АЕ.
ОТСlода следует, что высоты треуrоль-
НИI<а Аве являются перпендикуляра и из
середин сторон треуrольника UEF, а по
тому ОllИ пересекаются в ОДНОЙ точке. Е
ТОЧI<а пересечения RbJCOT треуrОЛЬНИI<а LiCpT. 107.
называртся ero ортоцентрсм.
ТОЧI<И пересечения равноделящих, медиан, BbrcoT треуrОЛЬНИI<а
и перпеIlДИКУЛЯРОВ, ВQсставленных из середин ero сторон, назы-
ваIUТСЯ четырьмя замечательными точками треуrольника.
'Х. МЕТОД rЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ.
102. Сущность метода rеометрических мест.
На понятии о rеометрическом месте точек основан осоБыIi
приём решения задач на построение, носящий название метода
rеометрических мест. Сущность ero состоит в слеДУIощем. Задача
1la построение обычно сводится к Оllределению положения на
плоскости одной или нескольких точек, которые должны удовле
творять условиям зядачи. Если мы отБРОСИ\1 одно ИЗ условий
задачи, то она станет неопределённой и остаВlllИ СЯ условиям
будет удовлетворять беСЧИСJlеннос мно,[<ество точек, обраЗУЮЩilХ
некоторое r е о м е т р и ч е с 1< о е м е с т о. Если затем мы BOCCTa
н вим отбрОlll нное нами условие, а ОТI<инем какое-либо друrое,
то ОСlаВLUИМСЯ УСЛQ ИЯМ опять будет удовлетворять бесчисленное
множество точек, бразующих н о в о е r е о м е т р и ч е с к о е
73
м е с т о. Искомая точка должна удовлетворять всем условиям
задачи и, значит, должна при надлежать обоим rеометрическим
местам. Если построить каждое из найденных rеометрических мест,
то точка их пересечения и будет искомой. Задача будет иметь
столько решений, сколько общих точек имеют найденные rеометри-
ческие места.
103. Примеры решения задач методом rеометрических мест.
З а Д а ч а 1. Н айти точку, находящуюся на равных расстоя
ниях от двух данных точек А и В и на ,данном расстоянии а от
данной прямой CD (черт. 108).
Реш е н и е. Искомая точка долж
на удовлетворять двум условиям:
1) она должна находиться на paB
N ных расстояниях от точек А и В и
О 2) она должна находиться на pac
стоянии а от прямой CD.
О Отбросим второе условие. Тоrда
одному первому условию будут У дo
влетворять все точки перпендикуля
ра ЕР, восставленноrо из середины
отрезка АВ. Сохраним теперь второе
условие и отбросим первое. Тоrда одному второму УСЛОВИIО будут
удовлетворять все точки, лежащие на двух прямых A1N и PQ,
параллельных CD и находящихся на расстоянии а от неё.
Точки Х и У пересечения перпендикуляра ЕР с прямыми MN
и PQ и будут искомыми.
. 3 а д а ч а 2. Построить треУ20льник, если даны: с, Izc и т с .
Реш е н и е. Отложим на какой-либо прямой отрезок АВ == с
(черт. 109). Тоrда за
дача сведется к опре
делению положения
вершины С. Это поло.. М
жение должно удов" hc
летворять двум усло
виям: 1) точка С долж
на находиться на рас..
стоянии hc от прямой
АВ и 2) точка С должна
находиться на расстоя
нии т с от середины D
отрезка АВ. Отбросим второе условие. Тоrда одному первому
будут удовлетворять все точки двух прямых MN и PQ, парал
лельных прямой АВ и находящихся на расстоянии hc от неё.
СQхраним теперь второе условие и отбросим первое. Тоrда одному
второму условию будут удовлетворять все точки окружности
с. центром D И. радиусом mf;'
в
Е
Черт. 108.
74
F
с
N
hc
те
Q
Черт. 109.
ТОlII{И С 1 , С 2 , C , С 4 пересеqения этой окружности с прямыми
M.N и PQ и будут искомыми. Мы получим такиrvl образом четыре
треуrОЛЬНJlка ABC l , АВС 2 , АВС з , АВС 4 . Нетрудно доказать, что
все эти четыре треуrольника равны между собою. Прrдоставляем
учащимся рассмотреть случай, коrда задача имеет только два
решения, а также случай, коrда задача не имеет РСI1Jений.
УПРАЖНЕНИЯ.
н а й т и r е о м е т р и ч е с к и е м е с т а т о чек.
1. rеометрическое место точек, равноудалённых от двух параJIлельных
IlрЯМЫХ.
2. rеометрическое место точек, расстояния которых от одной ИЗ двух
параллельных прямых в два раза больше, чем от друrой.
3. rеометрическое место середин параллельных отрезков, заключённых
1\1ежду двумя данными параллельными прямыми.
у к а з а н и е сводится к упр. 1.
4. rеометрическое место точек, делящих на 3 равные части параллельные
отрезки, заключённые между двумя данными параллельными прямыми.
у к а з а н и е сводится к упр. 2.
5. rеометрнческое место середин отрезков, проведённых из данной точки
ко всем точкам данной прямой.
6. rеометрическое место точек, делящих на 3 раRные части отрезки, про-
BeдёHHыe из данной точки ко всем точкам данной прямой.
у к а з а н и е. Воспользоваться теоремой Фалеса 89.
7. rеометриче кое место вершин равнобедренных треуrольников с заданным
основанием.
8. rеометрическое место вершин треуrольников с заданным основанием и
с данным уrлом А при основании;
с данным при основании отрезком Ра;
С данным yr лом наклона медианы те к основанию с;
с данной высотой h('.
9. rеометрическое место вершин треуrольников с заданным уrлом А при
основании и с данной высотою h lJO
10. r'еометрическое место вершин треуrольников с заданным на ОСНовании с
отрезком qa И С данным yr лом наклона равноделящей yr ла при вершине lс
к высоте hc. .
11. r еометрическое место центров тяжести треуrольников с заданным
ОСНОЯЭlIием с и данной высотой h(..
У к а з а н и е: см. упр. 6 и 8.
12. rеометрическое место середин радиусов данной окружности.
13. rеометрическое место верllJИН треуrольников t; данным основ ием
и с данной боковой стороною а; с данной медианой основания mс.
х. СИММЕТРИЯ rЕОМЕТРИЧЕСКИХ Фиrур
ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА.
104. Центральная симметрия точек.
Две точки называются симметричными относительно третьей
точки, если эта последняя служит серединою отрезка прямой,
соединяющеrо две данные точки. Таковы точки А и А', симмет-
ричные относительно точки О (черт. 110), Точка О называется
7о
д'
I
центром симметрии Д€1HHЫX точек, а сама симметрия называется
центральной симметрией в отличие от осевой симметрии. Чтобы
построить точку, сим етrИЧНУIО с данной точкой А отнссительно
друrой данной точки О, следует соединить точ
f ки А и О отрезком прямой и продолжить ero
за точку О на раССТОЯl-Iие ОА', равное ОА.
Точка А' будет искuмой.
о
I
Черт. 110.
105. Центральная симметрия прямых.
.т е о р е м а. Если две точки одной прямой сu.м.мет..
ричны дну-м точка-м друzой прямой относительно ка..
коzо--либо цeHтpa то и все точки этой прямой сим..
.метриЧftЫ, точкам друzой относительно mozo же
центrа.
ДанЬ! две прямые АВ и А' В', 71
причём точки А и А', а также В и В'
симметричны относительно центра О
(черт, 111 ).
Требуется доказать, что для каж-
ДОЙ точки М прямой АВ есть симме-
тричная ей точка на прямой А'В'.
Соединим М и О и ПРОДОJIЖИМ OTpe
зок МО дО встречи с А'В' в некото- Черт. 111.
рой точке М'.
ПОКClжем, что ТОЧI<И М и М' симметричны относительно точки о.
Рассмотрим треуrольники АОВ и А'ОВ'. В них АО == ОА' иОВ == ОВ'
по построению. L АОВ == L А'ОВ', как вертикальные, следова
тельно, 1\ АОВ == 6 А'ОВ' и отсюда L 1 == L 2.
Рассмотрим теперь треуrольники АОМ и А/ОМ'. В НИХ
ОА == ОА', L АОМ == L А'ОМ' и L 1 == L2,
следовательно, Д ОАМ == Д ОА' М', а поэтому
ОМ == ОМ'.
Значит, точки М и М' симметричны относительно точки О. Совер-
шенно так же убедимся, что и обратно: для каждой Т(JЧКИ пря...
моI1 А' В' есть симметричная ей точка на прямой АВ.
Из p BeHCTBa L I == L 2 следует также, что АВ 11 А'В', а из
равенства треуrольннков АОВ It А'ОВ' следует, что АВ == А'В'.
Следоватrльно. отрезок симметричный дaHHOMY равен
и параллелен данному отрезку 1,
1 Под параллельными отрезками подразумеваются отрезки, принадл жщц"е
пар8JIJlеЛЬНbJМ ПРЯМЫМ.
16.
106. Центральная симметрия фиrур.
Если для КClждой точки какой либо фиrуры ПОС1РОИТЬ точку,
ей симметричную относительно HeKoToporo центра о, то все по
строенные таким образом точки образуют новую фнrуру, которая
называется симметричной данной относительно центра о, или,
коротко центрально симметричной данной.
Ее ли данная фиrура имеет сложныЙ вид, то для построения
симметричной фиrуры пришлось бы построить бесчисленное MHO
жество точек, СИМ\1етричных точкам данной фиrуры. А потому
такое построение выполнить с помощью ЦИРКУ.,lЯ И линейки не
в с е r Д а в о з м о ж н о.
Если же данная фиrура составлена JIЗ отрезков прямых линий,
то для получения симметричной фИI'УРЫ достаточно построить
для каждоrо из этих отрезков ему симметричный.
107. Примеры построения фиrуры, центрально-
симметричной данной.
3 а Д а ч а 1. Да,ч' тррусольниJ(, АВС (черт. 1] 2). Построить
фисуру, e.AtY си.Лf/vtетричную 01п.ч.осиmельно даННО20 цснтра о.
Реш е н и е. Построим для каждоЙ вершины данноrо треуrоль
ника ТОЧI<У, ей симмеТРИЧНУIО. Для точ С.,
ки А это будет ТОЧI\а А', дЛЯ точки
В точка В' и для точки С точка С'.
Соединив эти точки прямыми линиями,
получим треуrОЛЬНИI( А' В'С', симметрич
вый данному треуrольнику АВС. В ca
мом деле, в силу доказанноrо в 9 105,
отрезок А' В' симметричен отрезку АВ,
отрезок В'С' симметричен отреЗI<У ВС
и отрезок А'С' симметричен отреЗI<У АС.
3 а д а ч а 2. РешuпlЬ ту J/ce задачу,
приняв за центр CUJi.Atempuu одну из BepLUUH данносо тр('усольника.
Реш е н и е. ПрIlмем за центр симмет ии Еершину В (черт. 113).
Строим ТОЧКИ А' и С', сим етричные соответственно точкам А и с.
Соединяя точки А' и С', получим Д А'ЕС', которыЙ и будет
искомы .
3 а д а ч а 3. Постро
иmь фисуру, СИJvlмеmрич-
н У/О да ННОй ЛОЛUIНОй.
линии ABCDE относи-
В пlельно данносо ЦСН"lра О
(черт. 1 J 4).
Р е III е н и е. СТРОИ\1
точки А', В', С', D'. Е',
симмеТРИЧllые COOTBeT
ственно вершинам А, В,
С'
А'
Черт. 113.
Е'
с
Е
Черт. 114.
с
Черт. 112.
77
С, D, Е данной ломаной. Соединяя точки А', В', С', D', Е' посJtе
довательно ПРЯМЫ;\1И линиями, получим ломаную A'B'C'D'E', сим
метричную данной.
Действительно, в силу доказанноrо в Э 105, каждое звено этой
новой ломаной СИ Iметрично соответствующему звену данной ло
маной.
108. Равенство двух центрально"симметричных фиrур.
каждыle две центрально..си.м.метричные фиzуры
равны .между собой. Действительно, леrко заметить, что одну
из этих фиrур можно совместить с друrой путём вращения BOKpyr
центра симметрии. Рассмотрим, например, треуrольники АВС
и А'В'С', симметричные относительно центра О (черт. 112). Будем
вращать всю фиrуру ОАВС, не отрывая её от плоскости, BOKpyr
точки О, дО тех пор, пока луч ОА не совпадёт с лучом ОА'. Так
как ОА == ОА', то точка А совпадёт при этом с точкой А'. Так
как LOAB==LOA'B', то луч 08 совпадётслучомОВ', авслед
ствие равенства отрезков ОВ и ОВ' точка В совпадёт с точкой В'.
Точно так же, вследствие равенства уrлов L ОАС и L ОА'С'
и равенства отрезков ОС и ОС' , луч ОС совпадёт с лучом ОС',
а точка С с точкой С'. Таким образом, 6 АВС совместится
с Д А'В'С', следовательно, АВС == L А'В'С'. Очевидно, что при
таком повороте треуrольника АВС каждая из прямых ОА, ОВ,
ОС повернётся на 180°. Мы скажем, что весь L АВС повернулся
на 180°. То же можно показать и для всяких друrих симметрич
ных фиrур. Таким образом, вСЯ1(,ие две центрально..си.м.мет
ричные фиzуры Mozym быть сов.мещены одна с друzой
путё.м, вращения одной из них B01(,PYZ центра си.м.мет..
рии на уzол 180°.
109. Фиrуры, имеющие центр симметрии.
Если для каждой точки данной фиrуры существует симметрич
ная еЙ относительно HeKoToporo центра О точка той же самой
фиrуры, то rоворят, что фиrура имеет
центр симметрии и цен.тр О называют
центром симметрии и данной фиrуры.
Примером такой фиrуры служит OK
ружность. Центром её симметрии
ЯВJIяется её центр.
о
{
Черт. 115.
Черт. 116.
При повороте фиZУРЫ 1 и.меющей центр cUMMempUU I
B01(,fJYz этоzо центра на 18001 она совместится са.ма
с собой.
78
Фиrуры, имеющие центр симметрии, весьма часто встречаются
в жизни. На чертеже 115 дано изображение пропеллера самолёта,
имеющеrо центром симметрии точку о. На чертеже 116 дано
изображение снежинки, имеющей центр симметрии (она, очевидно,
имеет также шесть осей симметрии).
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Построить треуrольник, симметричный данному относительно ero центра
тяжести.
Д о к а з а т ь, ч т о :
2. Две прямые, проведённые через концы какоrо либо отрезка и перпен-
дикулярные к нему, симметричны относительно середины этоrо отрезка.
3. Две параллельные прямые, проходящие через две симметричные точки,
симметричны (относительно Toro же центра симметрии).
4. Две параллельные прямые симметричны относительно каждой точки
прямой, им параллельной и отстоящей на одинаковом от них расстоянии.
5. Две прямые, проходящие через центр симметрии, отсекают от двух
симметричных прямых равные отрезки.
6. Если две данные прямые пересекаются, то и симметричные им прямые
пересекаются, и уrол между ними равен yr лу между данными прямыми.
XI. УПРАЖНЕНИЯ К rЛАВЕ ВТОРОЙ.
1. Доказать, что четыре замечательные точки равнобедренноrо треуrоль
ника лежат на ero высоте, а в равностороннем треуrольнике они сливаются
в одну точку.
2 Через точку пересечения равноделящих yr лов А и С треуrольника АВС
проведена прямая, параллельная стороне АС и пересекающая стороны АВ
и ВС соответственно в точках D и Е. Доказать, что DE == AD + ЕС [1].
3. Через точку пересечения равноделящих внешних yr лов А и В проведена
прямая, параллельная стороне АВ и встречающая продолжение сторон АС
и ВС соответственно в точках D и Е. Доказать, что DE == AD + ВЕ (1).
4. Из вершины прямоrо yr ла прямоуrольноrо треуrольника проведеНbJ:
равноделящая прямоrо уrла, медиана rипотенузы и высота, опущенная на
rипотенузу. Доказать, что равноделящая делит пополам уrол между высотой
и медианой.
5. Доказать, что сумма расстояний точки, лежащей внутри paBliocTopOH
Hero треуrольника, от ero сторон есть величина постоянная, равная высоте
треуrольника.
6. Восставить перпендикуляр в начале данноrо луча, не продолжая ero
за начало.
у к а з а н и е. На данном луче от начала А луча отложить какой-либо
отрезок АВ и из ero концов А и В описать радиусом, равным АВ, две дуrи,
пересекающиеся в точке С. Провести прямую ВС и на ней от точки С отло-
жить отрезок CD, равный ВС. Прямая AD ---- искомый перпендикуляр. Доказать.
7. Даны две пары параллельных прямых АВ 11 CD и Е F 11 G Н. Через дан-
ную точку М провести прямую так, чтобы её отрезок между прямыми АВ
и CD был равен её отрезку между прямыми EF и GH f3].
У к а з а н и е. Продолжить все четыре прямые АВ, CD, ЕР и ОН дО
взаимноrо пересечения и рассмотреть все возможные прямые, соединяющие
попарно четыре полученные точки пересечения.
8. Даны две пары параJlлельных прямых АВ 11 CD и EF 11 ОН. Через дан-
ную точку М провести прямую так, чтобы её отрезок между прямыми АВ
и CD был в два раза больше её отрезка между прямыми ЕР и ан.
у к а з а н и е. Свести к предыдущей задаче.
Построить треуrольник, если даны:
79
9. Il c , 'с L С.
,
10. hc. lс, а.
11. h c , lс. L А.
12. с, та, ть.
13. та, ть и уrол между та и mь.
14. та, m t , hc.
15. с, пz Ll , т,.
у к а з а н и е. Построить сначала треу rольник, стороны KOToporo рзвны
112
"2 с, 3 т(; и "3 та.
16. а, Ь, те.
у к а з а н и е. Предположить задачу решённой, продолжить в искомом
треуrО:lьнике АВС медиану CD стороны АВ за точку D на расстояние DE,
раВliое CD, и доказать, что & ADC == 6 BDE и, слеДОRательно, ВЕ == АС.
Значит, в треуrОJlьнике СВЕ известны все три стороны и т. д.
17. а, m r , L С.
Воспользоваться указанием к задаче 17.
18. та, т, н т,.
у к а з а н и е. В искомом тrеуrольнике АВС провести все три медианы,
встрrчаЮLцнеся в точке М. j\\ диану CD стор,нуы АВ продолжить за точку D
на расстояние D.N == DM. Доказать, что 6 ADJV == 6 BDM и что в Tpeyro':lb-
222
нике AMN АМ == 3 та, AN == 3" т.? и MN == 3" те, следовательно, в этом
треуrольнике известны Асе три ст()роны И Т. д.
19. Даны две перпендикулярные ПрЯМblе р и q, пересеК 1I0щиеся в точке О.
и какая-либо точка А.
Доказать, что еСJlИ построить точку А', симметричную с А относительно
оси р, а зптем точку А", симметричную с точкой А' относите.'IЬНО оси q, то
точки А и А" будут CI-fl\fмеТРIiЧНblМИ OTHOCI1Te.,1bIIO l1ентра о.
20. Доказать, что uеllтральную симметрию можно осуществить при по-
мощи двух осепых симм(n рий ОтНrJситеJlЫiО люБыx днух пеРllеНДИКУJIЯРНЫХ
между собою прямых, проходящих через цеJiТр симметрии.
r л А В А Т Р Е Т Ь я.
ЧЕТЫРЁхуrольники и мноrоуrольники.
1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЧЕТЫРЕхуrольников.
110. Типы четырёхуrольников.
Замкнутая ломаняя линия, состоящая из четырёх звеньев, Ha ы-
Еается четырёхуrольником. ВерНJИНЫ ломаной называются в рши"
нами четырёхуrольника, а её звенья ----- сторонами четырёхуrоль..
ника. Четыrёхуrольник называется простым, ес-пи ero стороны не
имеют друrих ссщих точек, кроме вершин. Таков четырёхуrоль-
ник ABCD (черт. 117).
ЧеlырёхуrОJIЬНИI< называется непростым, если ero стороны,
кроме рерJIIИН, ИМt'JОТ друrие общие ТОЧI<И. Таков чеТhlрёхуrоль-'
ник MN PQ (ч рт. 118). I<.аждыii rlрОСТОЙ четырёхуr'олы ик orpa-
ничивает HeKoTOPYJO часть плоскости. Простой ч( тырёхуrо.пьник
называется выпуклым, если он образован выпуклой ЛО\1аноЙ ли-
нией, т. е. если Лl0сые три ero стороны лежат по одну сторону
80
от четвёртой, неоrраниченно продолженной в обе стороны. Таков
четырёхуrольник АВСО (черт. 117). В противном случае четырёх-
уrольник называется BorHYTbIM. Таков четырёхуrольник ЕРОН
N
д
с
F
о
м
н
в
Черт. 117.
Е
Черт. 118.
Черт. 119.
(черт. 119). В нём стороны ЕР и ОН лежат по разные стороны
от прямой ОР. В дальнейшеf\1 будут рассматриваться только
про с т ы е вы п у к л ы е ч е ты р ё х у r о л ь н и к и.
111. Общие свойства выпуклых четырёхуrольников.
Уrлы, составленные каждыми двумя соседними сторонами четы-
рёхуrольника, называются внутренними уrлами четырёхуrольника.
Уrлы, смежные с уrлами четырёхуrольника, называются ero внеш-
ними уrлами. Прямые, соединяющие противоположные (т. е. несо-
седние) вершины четырёхуrольника, назы-
ваются ero диаrоналями.
Четырёхуrольник имеет две диаrонали АС
и BD (черт. 120). Каждая диаrональ четы-
рёхуrольника разбивает оrраниченную им А
часть плоскости на две части, оrраниченные
треуrольниками. Для краткости принято ro-
ворить, что диаrональ четырёхуrольника раз-
бивает ero на два треуrольника. Так, диа-
rональ АС разбивает четырёхуrольник ABCD
на треуrольники АВС и АСО, а диаrо-
наль ВО на треуrольники АВО и ВСО.
Вполне очевидно, что сумма внутренних уrлов четырёхуrольника
ABCD равна сумме внутренних уrлов двух треуrольников ABD
и BCD (черт. 120) и, следовательно, равна 4d. Стороны, уrлы и
диаrонали четырёхуrольника называются ero элементами.
8
с
о
Черт. 120.
112. 'Построение четырёхуrольника.
Чтобы построить четырёхуrольник АВСО, нужно уметь по-
строить составляющие ero треуrольники ABD и BCD (или АВС
и ACD). ДЛЯ построения первоrо ну/кно иметь 3 данных, а для
построения BToporo только две, так как сторона BD будет уже
6 Элемент. rеометрия, I 81
найдена при построении первоrо треуrольника. Таким образом,
для nосmроения чеmырёХУёольника нужно иметь 5 данных, из
которых должно БЫfпь не более трёх еёО У2лов (так как четвёртый
уrол определится по трём остальным).
Таким образом, четырёхуrольник вполне определится пятью
своими элементами, в числе которых должно быть не более трёх
ero yr лов.
113. Классификация (подразделение) выпуклых
четырёхуrольников.
Четырёхуrольник называется трапецией, если в нём две про-
тивоположные стороны параллельны между собою, а две друrие.
В С В С
/ \ / \
д D Д О
Черт. 121. Черт. 122.
В С В С
/ / I I
д о д D
Черт. 123. Черт. 124.
не параллельны. Таков чеТhIрёхуrольник, изображённый на чер-
теже 121. Если две непараллельные стороны трапеции равны
между собой, то трапеция называется равнобедренной. Такая
трапеция изображена на чертеже 122. Если один из уrлов тра-
С пеции п р я м о Й, то трапеция на-
В о е зывается прямоуrольной.
Четырёхуrольник, в котором обе
пары противоположных сторон па-
раллельны, называется параллело-
Д О rpaMoM. Таков четырёхуrольник,
Черт. 126. изображённый на чертеже 123.
Параллелоrрам, в котором все
каждыЙ равен d), называется пря-
А
Черт. 125.
уrлы равны (и, следовательно,
моуrольником (черт. 124).
Параллелоrрам, в котором все стороны равны, называется pO}f-
бом (черт. 125).
Параллелоrрам, в котором и уrлы, и стороны равны, называется
квадратом (черт. 126).
82
114. Общая схема подразделения всех
четырёхуrольников.
Подразделение четырёхуrольников можно представить в виде
слеДУIощей схемы:
BorH уты й
выпуклый
непростой
)[
прямоуrольная
liвадра,.
Ниже мы подробно рассмотрим каждый из этих четырёхуrоль-
ников в отдельности, причём оrраничимся лишь вы п у к л ы м и
ч е ты р ё х У r о л ь н и к а м и.
11. ТРАПЕЦИЯ.
115. Средняя линия трапеции.
Параллельные стороны трапеции называются её основаниями,
а непараллельные её боковыми сторонами. Уrлы трапеции, при
лежащие к одной боковой стороне, в сумме равны 2d (Kal( внуо:
тренние односторонние). Так (черт. 127),
L BAD + L АВС === 2d и L ADC + L BCD == 2d.
Проведём через середину Е боковой стороны АВ трапеции пря-
Мую, параллельную её основаниям Ве и AD. Леrко заметить,
что эта прямая разделит боковую сторону CD пополам. В самом
деле, проведя диаrона.I1Ь BD, получим два треуrольника ABD
6-
83
в с
E a
Z
А О
и BCD. В первом из них ПРЯ:\1ая ЕР, как проходящая через
середину Е стороны АВ и параJlлельная AD, разделит сторону
BD в точке а пополам (9 86); во втором та же прямая, как
проходящая через середину а стороны BD If параллельная ВС,
разделит сторону CD пополам, следовательно, СР == FD. Это свой
ство трапеции можно высказать в форме теоремы: Пря.мая, па..
раллельная основаниЯAt трапеции и проходящая через
середину одной из её бо"овых сто-
pOH проходит через середину и вто-
рой бо"овой стороны.
Леrко убедиться, что и обратно: если
соединить середины, бо"овых сторон
., .,
трапеции nрямои линиеи то эта
прямая будет параллельна основа-
ниям трапеции.
В самом деле, предположим, что дана трапеция ABCD. Точки
Е и F середины её боковых сторон. Соединим: их прямой ли
нией ЕР. Проведём теперь через Е прямую, параллельную OCHO
ваНИЯl\1 трапеции. По доказанному выше, эта прямая должна
будет пройти через точку F и, следовательно, слиться с ЕР, так
I<aK через две точки Е и F нельзя провести двух различных
прямых.
Отрезок ЕР, соединяющий середины боковых сторон трапеции,
называется средней линией трапеции. Леrко показать, что сред-
.. .,
няя линия трапеции равна nолусум.ме ее основании:
ЕР ......... AD + ВС
........ 2 ·
Черт. 127.
1
Действительно, в треуrольнике ABD средняя линия ЕО == 2 AD,
1 .
в треуrольнике BCD средняя линия ОР == "2 ВС. СI<ладывая эти
равенства, получим:
1 1 AD + 8С
ЕО + ор== 2"AD+ 2 ВС или ЕР=== 2 ·
Это свойство трапеции обычно выражают в форме слеДУЮЩЕЙ
теоремы: Средняя линия трапеции параллельна OCH вa-
ниям, и равна их полусумме.
116. Построение трапеции.
Так !<ак два уrла трапеции, прилежащие к одной боковой
стороне, составляют 2d, то достаточно знать два уrла трапеUJ1И,
не прилежащих к одной боковой стороне, чтобы определить два
друrие. А потому для построения трапеции нужно иметь не
5 данных, а лишь 4, среди которых должно быть не более двух
уедав трапеции.
84
117. Свойства равнобедренной трапеции.
т е о р е м а. В равнобедренной трапеции уzлы, при осно-
вании равны,.
Действительно, допустим, что в трапеции ABCD (черт. 128)
АВ == CD. Проведя прямую СЕ 11 АВ, имеем АВ == СЕ. как отрезки
параллельных между параллельными. Но С
АВ == CD, следовательно, СЕ == CD; значит, В
Д ECD равнобедренный, а потому L CED == I /\
== L CDE, но L CED === L BAD (как COOT /
ветственные уrлы при параллельных прямых Е О
АВ и СЕ), следовательно, L BAD==L ADC. д
Совершенно таким же способом ДOKa Черт. 128.
}кется и обратная теорема:
Если УZЛЬ" при основании трапеции равны, то бо1(,О-
вые стороны её та1(,же равны.
Из доказанной теоремы вытекает ряд следствий, доказательство
которых ввиду их простоты предоставляем самим учащнмся:
1. Сумма противоположных У2лов равнобедренной трапеции
равна 2d.
2. В равнобедренной трапеции диа20нали равны.
3. Перпендикуляр, восставленный из середины одНО20 из осно-
ваний равнобедренноЙ трапеции, является её осью симметрии и)
следовательно, делит пополам дРУ20е основание.
у к а з а н и е. Переrнуть плоскость трапеuии по этому перпен-
дикуляру до совпадения правой её части с левою.
111. ПАРАЛЛЕлоrРАМ.
118. Общие свойства параллелоrрама.
Параллелоrрамом называется четырёхуrольник, противополож-
ные стороны KOToporo параллельны.
Параллелоrрам обладает следую-
ЩИ fИ свойствами:
1. Противоположные сторо-
ны параллелоzра.ма раВНЫ .меж
ду собою.
Действительно, так как А В 11 CD
и ВС 11 AD (черт. 129), то, следова-
тельно, АВ == CD и AD == ВС (как отреЗI{И параллельных между
параллельными).
2. Уzлы, прилежащие 1(, 1(,аждой стороне, составляют
В сумме 2d.
Действительно,
L А + L в == 2d, L В + L С == 2d, L С + L Р == 2d,
L А + L D == 2d
(как внутренние односторонние).
)
А
с
/
D
Черт. 129.
85
3. Протuвоположнь/,е уzлы параллелоzра.ма равны
между собою.
Действительно,
LА==LСиLВ===LD
(как уrлы с параллельными сторонами).
4. Диаzонали параллелоzра.ма в тОЧl(,е их пересече-
ния делятся пополам.
Действительно, проведя диаrонали АС и BD (черт. 130), по
лучим два треуrольника ВаС и AOD, в которых
ВС == AD, L ВСО == L OAD и L СВО == L ODA
(как накрест лежащие), следовательно,
Д ВаС::: Д AOD,
а потому
ВО == OD и АО == ОС.
119. Признаки параллелоrрама.
д о
Коrда хотят убедиться в том, что данный четырёхуrольник
параллелоrрам, нет необходимости проверять наличие всех четы
рёх свойств параллелоrрама, которые мы нашли. Достаточно убе-
диться, что четырёхуrольник обладает
о д н и м ИЗ этих свойств. Тоrда и три
остальные будут иметь место. Докажем
это.
1. Допустим, что в данном четырёх-
уrольнике ABCD противоположные CTO
роны равны: АВ == CD и ВС == AD.
Докажем, что этот четырёхуrоль-
т. е. докажем, что АВ" CD и ВС 11 AD
Черт. 130.
ВиК....... параллелоrрам,
(черт. 130).
Проведя диаrональ BD, получим два треуrольника ABD и BCD,
имеющие общую сторону BD. Эти треуrольники равны по трём
сторонам, следовательно,
L CBD == L ADB, L ABD == L BDC,
AD 11 ВС и АВ 11 CD.
2. Пусть теперь дан четырёхуrольник ABCD, в котором уrлы.
прилежащие к каждой стороне, в сумме составляют 2d.
значит,
L А + L в == 2d и L в + L С == 2d.
,
Уrлы А и В внутренние односторонние для прямых ВС
и AD, а уrлы В и С....... внутренние односторонние для прямых
АВ и CD. А потому из данных равенств следует: ВС 11 AD и АВ lJ CD.
Значит, четырёхуrольник ABCD параллелоrрам.
86
3. Допустим, что дан четырёхуrольник ABCD, в котором про-
тивоположные уrлы равны: L А == L С, L в == L D (черт. 130).
Мы знаем, что
L А + L в + L С + L D === 4d.
Заменяя здесь уrлы С и D равными им уrлами А и В, получим:
2 L А + 2 L в === 4d, или L А + L в == 2d.
Но уrлы А и В внутренние односторонние при прямых ВС
и AD и секущей АВ, следовательно, ве fI AD.
Заменяя в равенстве
L А + L в + L С + L D == 4d
уrлы А и В уrла fИ С и D, получим
2 L С + 2 L D == 4d, или L С + L D == 2d;
следовательно, АВ " CD. Значит, данный четырёхуrольник парал-
лелоrрам.
4. Допустим, что дан четырёхуrольник ABCD, в котором диа-
rонали АС и BD при пересечении делятся пополам, т. е. АО == ОС
и ВО === OD. Докажем, что ABCD параллелоrрам.
Уrлы AOD и ВОС равны, как вертикальные, а потому Д AOD ==
== д ВОС ( 66), следовательно, L ВСО == L OAD и L СВО ==
== L ADO, а потому ВС 11 AD и АВ " CD.
5. Допустим теперь, что в данном четырёхуrольнике ABCD
две противоположные стороны. например ВС и AD, равны и па-
раллельны, Т. е. ВС == AD и ВС 11 AD.
Докажем, что четырёхуrольник ABCD параллелоrрам.
Проведём диаrональ BD; L CBD == L ADB, как накрест ле-
жащие, а потому .6. ABD == Д CDB ( 66), следовательно, АВ == CD
и L BDC == L DBA; значит, АВ 11 CD, т. е. данный четырёхуrоль-
ник параллелоrрам.
120. Построение параллелоrрама.
Так как один уrол параллелоrрама определяет остальные, то
для nосmроения nараллелосрама нужно иметь лишь три данных,
в числе которых должно содержаться не более односо из есо
услов.
IV. ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ПАРАЛЛЕлоrРАМА.
121. Прямоуrольник.
Прямоуrольником называется параллелоrрам, все yr лы кото-
poro равны. Так как в сумме все уrлы состаВЛЯJОТ 4d, то каждый
из них равен d. Прямоуrольник, конечно, обладает всеми свой-
ствами параллелоrрама. Но, кроме Toro, он имеет и собственные
свойства, отличающие ero от друrих параллелоrрамов. Именно,
87
обе ezo диаzоналu равны между собою. Докажем это.
Прямоуrольные треуrольники ABD и DCA (черт. 131) равны по
двум катетам (AD общий катет и АВ == CD, так как ABCD........
параллелоrрам). Следовательно, АС == BD. Леrко видеть, что и
обратно: если в параллелоzраме диа-
zонали равны, то этот паралле..
лоzра.м есть прямоуzольнu". Дей-
О ствительно, если дан пара.плелоrрам АВСО,
в котором АС === BD, то Д ABD == Д DCA
(по трём сторонам), следовательно,
L. BAD === L. CDA, а так как L.BAD +
+ L.CDA === 2d (как внутренние односто-
ронние), то L. BAD === L. CD.4 === d.
Далее леrко заметить, что прямо-
уzольни" имеет две оси cиMMeтpuи именно прямые, про-
ходящие через точку О пересечения диаrоналей и параллельные
противоположным сторонам. В самом деле, прямая MN, проходя-
щая через точку О (черт. 131) и параллельная сторонам АВ и CD,
составлена высотами равнобедренных треуrольников ВОС и AOD,
а потому она делит ВС и AD пополам ( 60). Значит, точки В
и С, а также точки А и D симметричны относительно оси MN.
То же самое можно повторить и для прямой PQ.
р
м
с
д
N
D
Черт. 131.
122. Ромб.
Ромбом называется параллелоrрам, все стороны KOToporo равны
между собою. Кроме общих свойств параллелоrрама, ромб имеет
и свои особые свойства, отличающие ero от друrих параллело-
rpaMoB.
Именно, диаzонали ромба вза-
имно перпенди"улярны и делят
уzлы ро.мба пополам. В самом деле,
Д АВО == СВО (черт. 132) по трём сто-
ронам (АВ == ВС, как стороны ромба),
следовательно, L АОВ == L. СОВ, а Ta
как эти уrлы смежные, они прямые. Д
Из равенства тех же треуrольников Черт.
следует, что L. АВО == L. СВО. Значит,
диаrональ BD делит уrол АВС пополам. Сравнив треуrольники
AOD и COD, убедимся, что BD делит пополам и L ADC. То же
можно повторить и для диаrонали АС. Леrко показать, что и об-
ратно: а) если дuаzонали параллелоzрама взаимно пep
пенди"улярны, то параллелоzрам есть ромб,. б) если
диаzонали параллелоzрама делят ezo уzлы пополам то
параллелоzрам есть ромб. Учащиеся леrко дока}l{УТ это сами.
Леrко убедиться, что диаzонали ромба служат осями
ezo симметрии. В самом деле, TaI{ как АО == ОС и AC.l BD,
то точки А и С СИМf\1етричны относительно оси BD.
s8
123. Квадрат.
м
Квадратом называется параллелоrрам, все
стороны и все уrлы KOToporo равны. р
Квадрат можно рассматривать, как прямо
уrольник с равными сторонами или как ромб
с равными уrлами. Квадрат обладает всеми
свойствами параллелоrрама, прямоуrольника и
ромба. Но он имеет и своё особое свойство,
отличаIощее ero от друrих видов параллелоrрама.
Именно: квадрат имеет 4 оси симметрии (черт. 133).
MN и PQ как оси симметрии прямоуrольника, АС и BD ----- I<aK
оси симметрии ромба.
о
N
D
Черт. 133.
v. МЕТОД ПАРАЛЛЕльноrо ПЕРЕМЕЩЕНИЯ.
124. Сущность метода параллельноrо перемещения.
На свойствах параллелоrрама основан особый приём решения
rеометрических задач на n о с т р о е н и е, который носит название
метода параллельноrо перемещения. Сущность ero заключается
в слеДУJощем:
Если какой либо отрезок. прямоЙ nеремещается по плоскости
та/(" что он остаёmся параллеЛЬНblМ своему первоначаЛЬНО/14У пo
ложен ию , то rоворят, что оmрезо/(, смещается параллельно. После
TaKoro перемещения новое ПОЛО)l<ение отрезка вместе с первоначаль
ным будет составлять пару противоположных сторон параллело
rpaMa. Так, сместив отрезок АВ (черт. 129) параллельно самому
себе в положение DC, получим параллелоrрам ABCD.
Таким параллельным смещением отрезков бывает удобно поль
зоваться при решении некоторых задач на построение. Именно,
иноrда производя анализ задачи и отыскивая связь между дан-
ными и искомыми элементами строимой фиrуры, удаётся так па
ралле.льно сместить отдельные отрезки, входящие в состав этой
фиrуры, что эта связь обнаружится значительно быстрее, чем без
TaKoro смещения.
Рассмотрим несколько примеров.
125. Примеры применения метода параллельноrо
перемещения.
3 а д а ч а 1. Две параллельные прямые р и q nересечеНbl HeKO
тороЙ секущей '; требуется nосп-lроumь paBHocmOPOHkUU тре-
У20льник с данной стороной а так, чтобы е20 вершины находи-
лись на пРЯА1ЫХ р, q и (.
А н а л и з. Предположим задачу решённой и пусть .6 АВС.........
искомый (черт. 134). Сместим ero параллельно вдоль прямых р
и q на произвольное расстояние. После смещения он займёт
89
положение А}В}С 1 . Треуrольник А}В}С} удовлетворяет лишь
двум условиям задачи: ero вершины А 1 и С} лежат на прямых
q и р.
Построить такой треуrольник не представляет затруднений.
Построив такой треуrольник с вершиной в произвольной точке
Аl' мы сместим ero параллельно вдоль прямых р и q на такое
расстояние, чтобы ero третья вершина В} оказалась на секу-
щей (.
П о с т р о е н и е. Из произвольной точки А} прямой q радиусом
а делаем засечку С} на прямой р. На стороне А 1 С 1 СТРОИl\f равно-
сторонний треуrольник А}В 1 С}. Через точку В} проводим прямую,
параллеЛЬНУIО прямым Р и q, до встречи в точке В с прямой '. От
fJ С
с
д
В, а
Черт. 135.
в
Черт. 134.
точек А 1 и С} на прямых q и р откладываем отрезки А 1 А и С 1 С,
равные отрезку В 1 В. Точки А,В,С вершины искомоrо треуrоль
ника.
И с с л е Д о в а н и е. Чтобы задача была возможна, длина а
должна быть больше расстояния h между параллельными прямыми
р и q или равна ему. Если а> h, то задача имеет два решения.
Если а == h, то только одно.
3 а д а ч а 2. Построить трапецию по чеmырём сторонам
а, Ь, с, d.
А н а л и з. Пусть ABCD искомая трапеция (черт. 135). Сме-
стим параллельно сторону ВС по направлению CD на длину Ь.
Она займёт положение DB}. В полученном после смещения Tpe
уrОJJьнике ADB 1 сторона АВ 1 == а Ь, DB} == с, AD == d.
Следовательно, этот треуrольник может быть построен по трём
сторонам. Построив ero и сместив в нём сторону DB 1 на расстоя
ние Ь, получим искомую трапецию.
П о с т р о е н и е. Строим треуrольник AB}D со сторонами АВ} ==
== а Ь, AD == d, DB} == с. Продолжим сторону АВ! И отложим
на этом продолжении от точки В} отрезок В 1 В == Ь.
Из точки D проводим прямую, параллельную АВ, и откла-
дываем на ней отрезок DC == Ь. Соединив точки В и С, получим
искомую трапецию.
И с с л е Д о в а н и е. Чтобы задача была возможна, нужно,
чтобы отрезки а, Ь, с, d удовлетворяли соотношениям с + d > а Ь
и а Ь > d с.
9О
3 а Д а ч а 3. Построить четырёХУ20льник" если даны две е20
противоположные стороны а и с, две диа20нали е и f и У20Л
между диа20налями М.
А н а л и з. Пусть ABCD ----- искомый четырёхуrольник (черт. ] 36).
Сместим параллельно диаrональ АС == е по направлению АВ на
длину АВ == а. Пусть ВС 1 смещённое положение диаrонали АС.
Затем сместим параллельно ту же диаrональ в направлении CTO
роны AD на длину, равную AD. Пусть DC 2 второе смещённое
положение диаrонали АС. Соединив точки С 1 и С 2 , получим па
раллелоrрам BC l C 2 D, в котором известны все ero стороны и уrлы
(так l{aK уrол между сторонами этоrо параллелоrраl\1а равен
известному нам уrлу М). Пострqив этот параллелоrрам, мы най
дём вершины В и D искомоrо четырёхуrольника. Далее леrко
построить треуrольник DCC l , так как в нём известны все три
стороны: DC 1 ----- диаrональ построенноrо параллелоrрама; DC == с;
CC l == АВ == а.
D
Д
А
С, В
Черт. 136. Черт. 136а.
Построением этоrо треуrольника будет найдена третья Bep
шина С. Вершину А найдё f, проведя из точки D прямую, парал
лельную прямой СС 2 , и отложив на ней отрезок DA == С 2 С.
Построение учащиеся MorYT выполнить сами.
3 а д а ч а 4. Построить mрапецию по данному ()снованию Ь,
диа20налям е и f и У2ЛУ J.tlежду диаёоналями М.
Сместив диаrональ f параллельно основаниям на длину Ь == AD
(черт. 136 а), получим треуrольник, образованный диаrональю
е == BD, новым положением диаrонали f == DC l И продолженным
вторым основанием трапеции BC l .
В этом треуrольнике будут известны две стороны и уrол между
ними, а потому ero леrко построить. Дальнейший анализ и по
строение учаlЦиеся MorYT выполнить сами.
3 а д а ч а 5. Построить четырёХУ20ЛЬНИк" если даны три е20
У2ла и две противоположные стороны.
у к а 3 а н и е. Четвёртый уrол искомоrо четырёхуrольника сей-
час >ке определится, как дополняющий три первых до 4d. Сместим
параллельно сторону ве в направлении CD на длину CD. Пусть
DB смещённое положение этой стороны. Треуrольник ADB леrко
построить (по двум сторонам и уrлу между ними) и т. д.
91
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Дан уrол АВС и прямая р.
Найти на прямой р точку х, расстояние которой от стороны АВ на дан-
ную длину а больше её расстояния от стороны ВС.
У к а з а н и е. Сместить параллельно сторону АВ в направлении, к ней
перпендикулярном, на длину а.
. 2. В плоскости данноrо треуrольника АВС найти точку О, расстояние
которой от стороны АВ на данную длину а больше её расстояния от стороны
ВС и на данную длину Ь меньше её расстояния от стороны АС.
у к а з а н и е. Параллельным смещением сторон ВС и АС свести задачу
к предыдущей.
3. Построить четырёхуrольн ик по трём сторонам а, Ь, с и двум yr лам,
прилежащим к неизвестной стороне d.
4. Построить трапецию, если даны её диаrонали, уrол между ними и бо-
ковая сторона.
5. Построить трапецию по двум параллельным сторонам и двум диаrо-
налям.
6. Построить трапецию по одному её yr лу, двум диаrоналям и средней
линии.
7. Построить треуrольник по двум медианам и yr лу между ними.
8. Построить треуrольник по двум сторонам и медиане третьей сто-
роны.
9. Построить треуrольник по трём медианам.
10. Построить треуrольник по высоте hc и медианам боковых сторон
та и mь.
у к а з а н и е. Параллельным смещением одной из медиан задача сводится
hc
к построению треуrольника по двум сторонам та и mь и высоте "2 ·
11. Построить треуrольник по основанию с и медианам р и q ero боко-
вых сторон.
12. Даны две точки А и В и две параллельные прямые р и q, пересекающие
отрезок АВ. Найти на прямой р точку М и на прямой q точку N так, чтобы
отрезок MN имел данную длину, а периметр ломаной линии AMN В был
наименьшим [2].
у к а з а н и е. Сместить точку А в направлении !vlN на длину MN.
13. Дана прямая р и две точки А и В по разные стороны от неё. По-
местить на прямой ротрезок MN == а данной длины так, чтобы периметр
данной ломаной линии AMN В был наименьшим.
у к а з а н и е. Сместить точку А параллельно прямой р на расстояние а
в положение А'. Прямая А' В пересечёт прямую р в точке М, служащей
концом искомоrо отрезка MN.
VI. мноrоуrольники.
126. Типы мноrоуrольников.
Замкнутая ломаная линия, звенья которой не имеют друrих
общих точек, кроме вершин, и в каждой вершине которой схо-
дятся лишь два её последовательные звена, называется простым
мноrоуrольником. Таков мноrоуrольник ABCDEF (черт. 137).
Вершины ломаной называются вершинами мноrоуrольника, а её
звенья сторонами iноrоуrольника. Уrлы, составленные каждыми
двумя соседними сторонами, называются внутренними уrлами
мноrоуrольника; rоворя, например, об уrле АВС мноrоуrольника,
мы представляем себе стороны БА и Бе мноrоуrольника н е о r р а-
92
lIиченно продолженными за вершины А и С. Уrлы, CMe)l{
IJ!.
I1bIe с внутрен ими уrлами мноrоуrольника, наЗБIваIОТСЯ ero внеш-
ними уrлами. Таков уrол GCD (черт. 137).
Каждый простой мноrоуrольник оrраничивает некоторую часть
плоскости. Простой мноrоуrольник, образованный выпуклой ло-
м&ной линией, называется выпуклым. Таков
мноrоуrольник ABCDE (черт. 138).
С G
д
в
F
о
Черт. 138.
Черт. 137.
f
(;
8
д D
Черт. 139.
На чертеже 139 дан пример замкнутой ломаной линии АВСПЕА, не обра-
зующей npOCToro мноrоуrольника. Здесь звенья АЕ и DE пересекают звено
ВС в двух точках, отличных от вершин.
127. Диаrонали мноrоуrольника.
Прямые, соединяющие две вершины, не прилежащие к одной
стороне, называются диаrоналями мноrоуrольника. Таковы пря-
мые АС, AD, ВЕ, BD и СЕ (черт. 138) в пятиуrольнике ABCDE.
Из каждой вершины можно провести диаrонали ко всем друrим
вершинам, кроме её самой и двух соседних с ней вершин, а по-
u u
тому число диаrоналеи, выходящих из каждои вершины, на т р и
е Д и н и Ц ы м е н ь ш е числа yr лов MHoro-
уrольника. Эти диаrонали разделяют часть
плоскости, оrраниченную контуром выпук-
лоrо мноrоуrольника, на части, оrраничен-
ные треуrольниками, число которых н а
Д в е е Д и н и Ц ы м е н ь ш е числа yr лов Д
мноrоуrольника. В самом деле, в два
крайние треуrольника войдёт по две сто-
роны, а во все остальные ---- по одной сто-
роне мноrоуrольника. Так, семиуrольник
ABCDEFG (черт. 140) имеет 7 сторон. Из
вершины А исходят четыре диаrонали АС,
AD, АЕ и АР, образующие вместе со сто-
ронами пять треуrольников. Если мноrоуrольник имеет n уrлов,
u
а следовательно, и n сторон, то число диаrоналеи, исходящих
из одной вершины, равно n 3, а так как число вершин равно n,
то Bcero можно провести n (n 3) диаrонали. Но при этом каж-
дая диаrональ будет проведена два раза, а потому число различ-
n (п 3)
ных диаrоналей равно .
'С
Е
G
Черт. 140.
93
128. Сумма уrлов мноrоуrОJlьника.
т е о р е м а. Су.м.ма внутренних уzлов выпуклоzо .мНО-
zоуzольни"а и.меющеzо п вершин, равна 2dn 4d.
Взяв какую-либо точку О внутри выпуклоrо мноrоуrольника
ABCDE (черт. ]41) и соединив её с вершинами, получим п Tpe
уrольников. Сумма уrлов всех этих треуrольников равна 2dn.
Но эта сумма состоит: 1) из уrлов при вершинах мноrоуrольника,
составляющих сумму уrлов мноrоуrольника, и 2) из уrлов при
с
в
D
д
Черт. 141.
Черт. 142.
точке О, составляющих 4d. Вычитая эту последнюю сумму из всей
CY IMbI уrлов треуrольников, равной 2dn, получим в остатке сумму
уrлов мноrоуrольника 2dn 4d.
Т е о р е м а. Сум.ма внешних уzлов выпуклоzо MHOZO-
уzольника взятых по одному при каждой вершине,
равна 4d.
Возьмём какую либо точку О ьнутри мноrоуrольника ABCDE
(черт. 142) и проведём через неё прямые, параллельные сторонам
мноrоуrольника. При точке О образуются уrлы, соответственно
равные внешним yr лам l\lноrоуrольника и в сумме составляющие
полный уrол, Т. е. 4d.
129. Правильный мноrоуrольник.
Мноrоуrольник называется правильным, если все ero уrлы
равны и все стороны равны между собою. Каждый уrол правиль-
2dn 4d
Horo n уrольника равен n
2d · 3 4d 2
Так, уrол правильноrо треуrольника равен 3 == зd.
У " 2d . 4 4d d
rол правильноrо четырехуrольника равен 4 ==.
Правильный четырёхуrольник квадрат.
\
VII. УПРАЖНЕНИЯ К r ЛАВЕ ТРЕТЬЕЙ.
А. Д о к а з а т ь т е о р е м ы.
1. Каждая из диаrоналей чеТbJрёхуrОЛЬНИICа меньше ero полупериметра.
2. Сумма противоположных сторон четырёхуrольника меньше суммы ero
диаrоналей.
94
3. GYMMa диаrоналей четырёхуrОЛЬНlIка меньше ero периметра и больше
полупериметра.
4. Середины сторон четырёхуrольника суть вершины параллелоrрама.
5. Отрезки прямых, соединяющие середины противоположных сторон
четырёхуrольника, и отрезок прямой, соединяющий середины ero диаrоналей,
пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.
6. Сумма боковых сторон трапеции больше разности её основ ний.
7. Если уrлы при большем основании трапеции оба острые, то сумма
проекций боковых сторон трапеции на её основание равна разности осно-
ван ий.
8. Если yr лы при одном из оснований трапеции разноимённые (один
острый, а друrой тупой), то разность проекций боковых сторон трапеции на
её основание равна разности оснований трапеции.
9. Если равноделящие уrлов при одном из оснований трапеции пере-
секаются на втором основании, то это второе основание равно сумме боковых
сторон трапеции.
10. Отрезок, соединяющий середины диаrоналей трапеции, параллелен её
основаниям и равен их полуразности.
11. В равнобедренной трапеции диаrонали равны.
12. Прямая, соединяющая середины оснований равнобедренной трапеции,
служит осью её симметрии.
13. Треуrольник, симметричный с данным относительно середины ero осно-
вания, вместе с данным треуrольником образует параллелоrрам.
14. Сумма расстояний любой точки, лежащей внутри параллелоrрама, от
всех ero продолженных сторон есть величина постоянная.
15. Продолженные параллельные стороны параллеJlоrрама отсекают на
прямой, параллельной ero диаrонали, равные отрезки.
16. Если через точку О пересечения диаrоналей параллелоrрама ABCD
провести какую-либо прямую р и построить параЛJlелоrрам, симметричный
с данным относительно прямой р, то этот параJlлелоrрам будет симметричен
с данным и относительно прямой q, перпендику лярной к р И проходящей
через точк у О.
17. Равноделящие внутренних (или внешних) yr лов параллеJIоrрама в пе-
ресечении образуют прямоуrольник, диаrональ KOToporo равна разности (или
сумме) соседних сторон параллелоrрама.
18. Равноделящая внешнеrо yr ла параллелоrрама вместе С ero сторонами,
не проходящими через вершину этоrо уrла, образуют равнобедренный тре-
уrольник, сумма боковых сторон KOToporo равна периметру параллело-
rpaMa.
19. Основания перпендикуляров, опущенных из точки пересечения диаrо-
налей ромба на ero стороны, суть вершины прямоуrольника.
20. Равноделящие внутренних (или внешних) yr лов п рямоуrольника в пе-
ресечении образуют квадрат, диаrональ KOToporo равна разности (или сумме)
двух смежных сторон прямоуrольника.
21. Отрезки, отсекаемые парами противоположных сторон квадрата на
двух IIерпеllДИКУЛЯрНЫХ прямых, равны между собой.
22. Если на сторонах квадрата ABCD отложить равные отрезки (на сто-
роне АВ отрезок АМ, на стороне ВС отрезок BN, на стороне CD отре-
зок СР, на стороне DA отрезок DQ, АМ == BN == СР == DQ), то точки
М, N, Р, Q будут вершинами HOBoro квадрата.
23. Если через две противоположные вершины квадрата провести парал-
леЛЬJlые прямые, а через две друrие вершины прямые, перпендикулярные
к первым, то четыре проведённые прямые в пересечении образуют квадрат.
24. На каждой стороне параллелоrрама вне ero построен квадрат. Дока-
зать, что центры этих квадратов суть вершины квадрата.
25. Доказать, что все диаrонали правильноrо пятиуrольника при взаимном
пересечении образуют новый правильный пятиуrольник.
26. Доказать, что правильный шестиуrольник содержит три пары диаrо-
налей параллельных, три диаrонали к ним перпеНДИКУЛЯрНblХ и две тройки
диаrоналей, составляющих равносторонний треуrольник.
95
27. Не прилежащие ОДна к друrой стороны правильноrо шестиуtольника
ПрОДОJlжены в обе стороны до взаимноrо пересечения. Доказать, что получен-
ный при STOM треуrольник равносторонний, со сторонами, в три раза БОль-
шими сторон шестиуrольника.
28. На каждой стороне r.равиль Horo шестиуrольника, вне ero, построен
квадрат. Ближайшие вершины соседних квадратов соединены прямыми. Дока-
зать, что полученный при STOM 12 уrольник ---- правильный.
29. Стороны правильноrо шестиуrольника продолжены в одну и ту же
сторону на одну и ту же длину. Концы полученных отрезков соединены пря-
мыми в последовательном порядке. Доказать, что полученная фиrура есть
правильный шестиуrольник.
Б. 3 а д а ч и на п о с т р о е н и е.
Элементы четырёхуrОЛЬНИ,ка будем обозначать так, как указано н а чер-
теже 143, именно стороны: АВ == а, СО == с, AD == d; диаrонали: АС == е,
BD == '; уrлы: А, В, С, D; уrол между диаrоналями: М.
П о с т р о и т ь ч е т ы р ё х У r о л ь н и к, если даны:
30. а, Ь, с, е, '.
31. а, Ь, с, е, L.. С.
32. а, Ь, с, d, L А.
33. а, Ь, е, " L М.
34. а, с, е, " L А.
35. а, Ь, d, L А, L В.
36. а, Ь, " L. В, L М.
37. а, с, е, L В, L. М.
38. а, Ь, L. A,L В, L. М.
39. а, с, L А, L. В, L.. D.
с
JJ
Черт. 143.
40. Внутри данноrо четырёхуrольника найти точку, сумма расстояний
которой от всех вершин четырёхуrольника была бы наименьшей.
41. В плоскости четырёхуrольника ABCD найти точку О, дЛЯ которой
величина АО + ВО ---- СО ---- DO была бы наибольшей [2].
В трапеции ABCD основания AD, ВС обозначим соответственно буквами
а и Ь, боковые стороны АВ и CD буквами с и d, диаrонали АС и BD----
буквами е и " высоту трапеции ---- буквой h, среднюю линию ---- буквой т,
yr лы буквами А, В, С, D, уrол между диаrоналями буквой М.
П о с т р о и т ь тр а п е ц и ю, если даны:
42. а, Ь, с, е. 44. а, с, d, h. 46. а, Ь, с, h.
43. а, с, d, е. 45. а, е, " h. 47. а, Ь, е, h.
50. а, с, е, L М. 52. а, h, L D, L. М.
51. а, h, L. А, L D. 53. а, Ь, L А, L. D.
54.
55.
56.
48. а, с, d, L А.
49. а, Ь, с, L. В.
т, h, с, d.
т, h, L А, L. D.
а, с, т, L. А.
п о с т р о и т ь пар а л л е л о r р а м, если даны:
57. Две смежные стороны и одна диаrональ.
58. Сторона и две диаrонали.
59. Две стороны и один из yr лов.
60. Две диаrонали и уrол между ними.
61. Две стороны и высота.
62. Две диаrонали и высота.
63. Диаrональ, сторона и высота, опущенная на эту сторону.
64. ДиаrОН8ЛЬ, сторона и высота, опущенная на друrую сторону.
П о с т р о и т ь п р я м о у r о л ь н и к, если даны:
65. Две ero смежные стороны.
66. Сторона и диаrональ.
61. Диаrональ и уrол между диаrОН8ЛЯМИ.
96
n о с т р о и т ь р о м б, если даны:
68. Сторона и один из уrлов.
69. Диаrональ и один из уrлов.
70. Две диаrонали.
71. Диаrональ и высота.
72. Высота и уrол.
73. Построить квадрат, если дана ero диаrональ.
74. Даны две точки А и В; провести ПрSJМУЮ, наклонённую к прямой
АВ под данным уrлом так, чтобы сумма её расстояний от точек А и В была
равна данному отрезку а. .
75. Построить квадрат, стороны KOToporo проходят через четыре данные
точки [4].
У к а з а н и е: См. упр. 21.
76. Построить пятиуrольник, для KOToporo дано положение середин ero
сторон [3].
, к а з а н и е. Теорема 9 86 даёт возможность определить длину и на.
правлен ие каждой диаrонали искомоrо пятиуrольника. 'пражнение 4 позво-
ляет определить положение середины каждой диаrонали.
77. Построить правильный IJJестиуr()льник по данной ero стороне.
78. Построить правильный шестиуrольник по данной ero меньшей диа.
rонали.
79. Построить правильный ВОСhмиуrольник по данной ero стороне.
80. В данном квадрате срезать уrЛbJ так. чтобы образовался правильныii
восьмиуrольник.
у к а з а н и е. Четыре стороны искомоrо восьмиуrольника ЯRЛЯЮТСЯ отрез-
ками сторон даllноrо квадрата, а четыре друrие стороны отрезками сторон
квадрата, paBHoro данному.
В. 3 а д а ч и н а в ы ч и с л е н и е.
81. Найти сумму внутренних уrлов выпуклоrо 20-уrольника. Оmв. 36 d.
82. Внутренние уrлы А, В, С, D, Е, F выпуклоrо 6-уrольника таковы,
что каждый следующий в два раза БОJIьше предыдущеrо, т. е. L В == 2 L А,
8
L. С == 2 L. В и т. д. Определить эти уrлы. Оmв. L А == 63 d.
83. Сумма внутренних уrлов мноrоуrольника равна 14d. Сколько сторон
имеет мноrоуrольник? Отв. 9.
84. Сколько диаrона.пей имеет выпуклый мноrоуrольник, сумма yr лов
KOToporo равна 20d? Оmв. 54.
r л А В А Ч Е Т В Е р Т А Я.
ОКРУЖНОСТЬ.
1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОКРУЖНОСТИ.
130. Число точек, определяющих окружность.
Мы знаем, что для построения прямой нужно задать две её
точки. Посмотрим, сколько точек нужно задать, чтобы через них
можно было провести одну окружность. 80зьмём на плоскости
сначала две точки А и В (черт. 144) и будем искать центр окруж-
ности, проходящей через эти точки. Этот иентр должен находиться
на одинаковом расстоянии от точек А и В и, следовательно, лежит
на перпендикуляре к прямой АВ, восстановленном из середины
1 Элемент. rеометрия, I
97
отрезка АВ (э 98); 11, так как Лlобая точка С этоrо перпендику
ляра одинаково отстоит от концов отрезка ,4В, то за центр
окружности, проходящей через точки А и В, можно взять любую
точку этоrо перпеНДИI<У"fJяра. ТliКИМ образом, можно построить
бесчисленное множество окружностей, проходящих через взятые
точки ,4 и В.
Возьмём теперь на плоскости три точки А, В и С, не лежащие
на ОДНОЙ пРямоib (черт. 145). Будем искать центр окружности,
проходящей через эти точки. Этот центр должен находиться на
одинаковом расстоянии от всех трёх точек А, В и с. в э 100
было показано, что этим свойством обладает точка О п ресечения
Е
с
Черт. 144.
Черт. 145.
перпендикуляров, восставленных из середин сторон треуrольника
АВС, и т о л ь К О она одна. Она и служит искомым центром
окружности, проходящей через точки А, В и С. ДЛЯ построения
этоrо центра достаточно провести лишь два из этих трёх перпен
дикуляров, например из середин отрезков АВ и ВС.
Если точки А, В и С будут взяты на ОДIIОЙ прямоЙ, то пер
пендикуляры из середин отрезков АВ и ВС будут пар а л л е л ь-
11 bJ ( 37). 3начит через Такие точки окружности провести нельзя.
11 та к : '
Через всякие три точки плоскости, не лежащие На
одной пря'/и'ОЙ, '.можно провести окружность и прито.м,
только одну.
131. Симметрия окружности.
Центр окружности, очевидно, служит центром её
си-м.метрии, так как каждой точке окружности COOTB TCTByeT
ТОЧI<а, симм тричная с Нею относительно центра, именно второй
конец диаметра, проходящеrо через эту точку.
Любой диа.метр О"fJужности есть её ось сu.м,.метоии. ,
В самом деле, проведём два взаимно п рпендикулярных диаметра
АВ и CD (черт 146) и п реrнём плоск()сть чертежа BOKpyr диа-
метра CD так, чт()бы прявяя её чнсть СОRместилясь с левой. Точка В
совместится с А. и вся правая часть окружности CBD совместится
с левой CAD, так как через три точки А, С lt D можно провести
98
ЛИШЬ одну окружность. Следовательно, CD ........ ось симметрии
оКРУЖНОСТИ.
С л е Д с т в и я м и этой симметрии являются слеДУIощие свойства
хорд и дуr окружности.
1. Диа,м,етр# перnенди"УЛЯРНbI,Й " хорде# делит эту
хорду и сmя,zuвае-м-ую ею дУlУ пополам. Так, диаметр CD
делит хорду MN, к нему перпеНДИКУЛЯРНУIО, и дуrу MN попо-
лам, так как после переrl1бания плоскости чертежа BOKpyr CD
точка N совместится с М и, следовательно, отрезок N Р с отрез-
ком РМ, а дуrа CN с дуrой СМ.
м
д
в
с
D
N
Черт. 147.
Черт. 146.
2. Дуzu, заключённые между параллельны,м,и хор-
дами, равны" так как они симметричны относительно диаметра,
перпендикулярноrо к этим хордам (черт. 147). На чертеже 147
дуrи АС и BD симметричны относительно диаметра MN, следо-
вательно, '-...1 АС == \....1 BD.
132. Соотношение между центраЛЬНЫМIf уrлами, соот-
ветствующими им дуrами и стяrивающими
их хордами.
Если одну ИЗ сторон центральноrо уrла АОВ (черт. 148) вра-
щать BOKpyr центра О, . увеличивая центральный уrол до 180°, то,
очевидно, будет увеличиваться Ji дуrа АВ, которая служит MepoIO
уrла АОВ (9 31), а вместе с дуrОIО будет
увеличиваться и стяrивающая её хорда АВ.
В самом деле, допустим, что радиус ОВ
после поворота занял положение ОВ 1 . Тре-
уrольникн АОВ lf АОВ 1 имеIОТ по две рав-
ные стороны, причём L АОВ 1 > L АОВ, и,
следовательно (9 64), АВ 1 > АВ Итак, боль- I
шему центральному yr лу соответствует и
большая хорда.
Леrко показать, что и обратно: если хорда
АВ> CD (черт. 149), то L АОВ > L COD. Черт. 148.
,*
99
В самом деле, L АОВ не может БыIьь равен L COD, ибо тоrда
треуrольники АОВ и COD были бы равны и АВ было бы равно CD.
Точно так же L АОВ не может быть меньше L COD, так как
тоrдз, по ДОJ<азанному, АВ было бы меньше CD. Значит,
LAOB>LCOD.
З а 11 е ч а н и е. При вращении радиуса ОВ
хорда АВ будет увеличиваться до тех пор,
пока L АОВ не достиrнет 2d. Коrда L АОВ
станет равным 2d, стороны уrла АОВ COCTa
вят продолжение одна друrой и хорда АВ
станет диаметром. В этом положении xop
да АВ будет самая большая.
В самом деле, в треуrольнике АОВ име
С е1\1: АО + ОВ > АВ (черт. 148). Но АО + ОВ
есть сумма двух радиусов, равная диамет
Черт. 1.19. ру AD. Следовательно, AD> АВ.
Таким образом, центральный уzол,
соответствующая ему дуzа и стяzивающая её хорда
связаны .между собою та", что с увеличением одной
из этих величин увеличиваются и две друzие.
11. ЗАВИСИМОСТЬ ДЛИН ХОРД ОТ ИХ РАССТОЯНИЯ
ОТ ЦЕНТРА.
133.
т е о р е м а. Равные хорды равно отстоят от центра,
и о б Р а т н о: хорды, равноотстоящие от центра, равны.
1. Дано: АВ CD, ОЕ 1 АВ и ОР CD
(черт. 150); требуется доказать, что ОЕ ОР.
6 ОВЕ ODF, так l<aK ОВ OD, как
радиусы; ВЕ FD, как половины равных
хорд; L ВЕО L DFO, как прямые уrлы;
следовательно, ОЕ == ОР.
2. Если ОЕ == ОР, то прямоуrольные тре- С
уrольники ОВЕ и ODF равны (по катету II
1
rипотенузе), а потому НЕ == DF, или 2 АВ ==
=== CD, следовательно, АВ == CD. Черт.
134.
,
т е о р е м 3. Большая из двух неравных хорд ближе
" центрУI и о б Р а т н о: че.м .меньше расстояние хорды
от центра l тем она больше.
1. Дано: АВ > CD, ОБ 1. АВ и 00 1. CD; требуется доказать,
что ОБ < оа (черт. 151).
100
Повернём отрезок 00 вместе с хордой CD BOKpyr О так,
чтобы точка D совпала с А; точка С займёт при этом положе-
ние С 1 на дуrе АВ. В самом деле, так как
АВ > CD, то и '--1 АВ > '--1 CD; значит,
дуrа CD составляет часть дуrи АВ, а потому
после поворота точка С заЙl\iёт положение С}
на дуrе АВ. Отрезок OG займёт новое поло-
жение CJG 1 , причём пересечёт хорду АВ в He
которой точке Р. В треуrольнике ОЕР rипо
тенуза ОР больше катета ОЕ, но OG} "":> ОР,
следовательно, OG 1 > ОЕ, или OG > ОЕ.
2. Дано ОЕ <.. OG. Требуется доказать,
что АВ > CD. АВ не может быть равно CD, Черт.
так как тоrда ОБ было бы равно ОР.
АВ не может быть меньше CD, так как тоrда ОБ было бы
больше ОР; следовательно, АВ > CD.
111. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ
И ПРЯМОЙ ЛИНИИ.
135. Прямая, не пересекающая окружности.
П р я м а я м о ж е т н е и м е т ь с О К Р У ж н о с т ь ю н и о Д 11 О Й
О б щеЙ т о ч к и. Таковы все прямые, расстояния I{OTOPbIX от
центра б о л ь ш е р а Д и у с а о к р у ж-
н о с т и. В самом деле, если OD 1 АВ
и OD > ОС (черт. ] 52), то точка D
лежит вне окру}кности и ЛIобая точка М
прямой АВ также лежит вне окружности,
так как ОМ > OD ( 93). Построить
такую ПРЯМУIО не представляет затруд-
нений.
136. Касательная к окружности.
в
д
п р я м а я fvI о п{ е т и м е т ь с о к-
р у )I{ н о с т ь 10 О Д Н У о б щ у 10 Т О Ч к у.
в этом случае она наЗЫВ(lется касатель"
HO к окружности. Построить TaKYlo
ПРЯМУIО fv10ЖНО следующим образом. Проведя произвольный радиус
окружности ОА (черт. ]53), CTpOIIM ПРЯМУIО MN, перпендику-
.пярную к ОА в точке А. Прямая MN и будет искомой Kaca
тельной. В самом деле, так как MN ОА, то расстояние всякой
точки В прямой MN от центра больше радиуса ОА, т. е. ОВ > ОА
(как наклонная). А потому все точки прямой MN, кроме точки А,
.'Iежат вне окружности, Т. е. прямая MN имеет с окружностью
JIИШЬ одну общую точку А. Отсюда теорема;
Черт. 152.
101
Пря-м,ая, перпендикулярная" радиусу в конце ezo,
есть касательная.
Для этой теоремы верна и обратная:
Касательная перпенди"улярна к радиусу, проведён"
но-м,у в точку прикосновения.
В самом деле, предположим, что MN ----- касательная к окруж-
ности в точке А. Докажем, что MN 1 ОА.
Все точки прямой MN, I<poMe точки А, лежат вне окружности.
Поэтому для всякой точки В этой прямой 08 > ОА. Значит, pa
м
Черт. 153.
д
N
Черт. 154.
диус ОА есть наименьший из всех отрезков, соединяющих центр
О со всеми точка 1И прямой MN, следовательно, ОА MN (9 93).
Ещё одно своЙство касательной выражается следующей Teo
ремой:
Если касательная параллельна хорде, то точка
прикосновения делит попола-м, дуzу, стяzивае.мую этой
хордой.
Даны кас(}тельная СР и хорда АВ, причём СР 11 АВ (черт. 154);
требуется доказать, что \J АС == '--- СВ. Так как СР ----- I<асатель-
ная, то СР ОС, а так как СР 11 АВ,
то АВ 1 ОС, следовательно, и '-...1 АС ==
=='-./СВ ( 131).
137. Секущая прямая.
Прямая может пересекать
В о к р у ж н о с т ь в Д в у х т о ч к а х.
В этом случае она называется секущей.
Такова, например, всякая прямая АВ,
Черт. 155. проходящая через конец радиуса ОА
(черт. 155) и н е пер n е н Д и к у .п я Р'"
н а я к в е м у. В caMO 1 деле, прямая АВ не может иметь с окруж
HOCTuIO лишь одну оБЩУIО точку А, Tar< как в этом случае она
была бы перпендикулярна 1< радиусу ОА. Но болре двух общих
точеl< прямая и OI<PY}KHOCTb иметь не MorYT. Следовательно, кроме
ТОЧКII А, прямая АВ имеет с ОI<РУЖНОСТЬЮ ещё одну общую
102
точку С. Так как АО является наклонной к АВ, то перпендику-
ляр OD меньше АО, т. е. расстояние прямой АВ от центра О
меньше радиуса.
138. Общий вывод.
Больше двух общих точек прямая линия и окружность иметь
не MorYT, так как через три точки, лежащие на одной прямой,
нельзя провести окружности. А ПОТОМУ рассмотренные выше три
случая исчерпывают все возможные виды взаимноrо расположе-
ния прямой и окружности. Таким образом, прямая линия и окруж-
ность MorYT занимать следующие положения одна относительно
друrой.
1. П РЯJe1ая отстоит 'От ценпzра на расстоянии, большем ра-
диуса: такая прямая вовсе не пересекает окружности.
2. Прямап отстоит от центра на расстоянии, равном радиусу;
такая прямая касается окружности и носит название касательН,ой.
3. П ря-,wая отстоит от центра на расстоянии, меньшем ра-
диуса; такая прямая пересекает окружность в двух точках
"
и носит название секущеu.
JV. уrлы, ОБРАЗОВАННЫЕ ПРЯМЫМИ,
ПЕРЕСЕКАЮЩИМИ ОКРУЖНОСТЬ.
139. Вписанный yroJl.
Вписанным уrлом называется уrол, составленный двумя хор-
дями, и еющими общий конец на окружности (хорды надо пред-
ставлять себе при этом н е о r р а н и ч е н н о про Д о л ж е н н ы м и
за их друrие концы). Таков уrол АВС (черт. 156). Принято ro-
ворить, что впнсанный уrол АВС, а также цеитра"lЬНЫf'f уrол АОС
опираются на дуrу АС.
д
\
\
\
Черт. 156.
в
А
Черт. 157.
Т е о р е м а. Вписанный УZОЛ равен половине централь-
HOZO уzла, опирающеzося на т V же дуzу.
Рассмотрим три возможных случая.
1 Одной из сторон уrла служит диаметр окружности (черт. 157).
Соединив точку С с центром О, получим равнобедренный тре-
103
уrольник ВОС, дЛЯ KOTOpOrO L АОС....... внешний, а потому L АОС==
== 2 L ове (9 59, след. 2), или
L АВС == L АОС.
2. Центр О лежи! внутри уrла АВС (черт. 158). Проведя диа-
метр BD, мы разобьем L АВС на сумму двух уrлов:
L АВС == L ABD + LDBC.
1 Но, по доказанному, L ABD == L AOD и L DBC ==
2 L DOC, а nOTO Y
L АВС == ' L AOD + LDOC,
или
Черт. 159.
LABC == L АОС.
Е
в
F
Черт. 160.
Черт. 161.
3. Центр О лежит вне вписанноrо уrла (черт. 159). Проведя
диаметр ви, заметим, что
LABC == LDBC LDBA,
но
1 1
LDBC== 2 LDOC . LDBA== 2 LDOA ,
следовательно,
1 1 1
LABC == 2" LDOC 2 L DOA, или LABC == 2 LAOC.
С л е д с т в и е 1. В писанн ые уzл 61, опирающиеся на одну
и ту же дуzу, равны,. Так,
L АВС == L ADC === L АЕС == L АРС,
так как все эти уrлы равны половине одноrо и Toro же централь-
Horo УI ла АОС (черт. 160)
С J1 е л с т в и f\ 2 Вписанный уzол, оnирающийся на диа-
.метр (т. е. на пО/lуокружность), прямой. Так, L АВС
прямой, тнк как он равен половине развёрнутоrо уrла АОС
(черт. 161).
104
140. Уrол между хордой и касательной.
Т е о р е м а. Уzол, образованный хардой и касаmель-
v
нои, равен половине центральноzо уzла, оnирающеzося
на дуzу, заключённую между хордой и касательной.
Даны хорда АВ и касательная ВС. Требуется доказать, что
LABC == + LAOB.
Проведя прямую AD 11 Ве (черт. 162), получим L Аве == L BAD
(как накрест ле)l{ащие), но '-..1 АВ == '-..1 BD ( I 36), следовательно,
Е
с
Черт. 162.
Черт. ] 63.
1
L АЙВ == L BOD ( 30), а так как L BAD == 2 L BOD, то
LABC == LAOB.
Для дополнительноrо уrла АВЕ, очевидно, имеем L АВЕ ==
1
=== 2 L АОВ (СООТВ. '-..1 ADB).
141. Уrол с вершиной внутри Kpyra.
Т е о р е м а. Уzол, образованный дву-мя хордами, nере-
секающимися внутри Kp.,\1Za, равен полусумме цент-
ральных уzлов, оnирающихся на дуzи, заключённые:
первая между сторонами уzла, вторая между их
продолжениями.
Даны хорды АВ и CD (черт. 163). Требуется доказать, что
L AED L AOD ;: L вое . Соединив точки А и С, получим тре-
уrольник АЕС, дЛЯ KOToporo L AED внешний, а потому
LAED == LACD + L САВ,
но
1 1
L.. ACD == "2 L.. AOD и L.. САВ == 2' L.. СОВ,
105
следовательно,
1 1
L. AED =- "2 L AOD + "2 L сов,
ИЛИ
L AED == L AOD L СОВ .
142. Уrол между двумя секущими.
Т е о р е м а. Уzол, образованный двумя се"ущими, nе-
ресе"ающимися вне "pyza, равен полуразности цен-
тральных уzлов, опирающихся на дуzи, за"лючённые
.между сторонами )zла.
.
Черт. 164.
Даны секущие АВ и CD, пересекающиеся в точке Е (черт. 164).
Требуется доказать, что
L АЕС == L АОС -;- L BOD .
Проведя прямую AD, получим треуrольник ADE, в котором
LAEC::= LADC L BAD.
Но
I 1
LADC==2"LAOC и LBAD== 2 LBOD,
а потому
LAEC == L АОС-; L BOD .
143. Описанный уrол.
Уrол между двумя касательными называется описаННЫrt! уrлом.
т е о р е 1 а. Описанный уzол равен полуразности цен-
тральмых уzлов, опирающихся на дуzи, за"лючённые
.между сторонами уzла.
Даны две касательные АВ и ВС. Требуется доказать, что
1 1
L АВС === 2" L АОС (СООТВ. "'" ADC)........ "2 L АОС (соотв. v АЕС)
106
(черт. 165). Соединив точки А и С, получим треуrольннк АВС, в
котором
L АВС Е::: L САР L АСВ.
Но
1
L САР === 2" L АОС (соотв. '--1 ADC),
1
L АСВ == 2 L АОС (соотв. v АЕС),
F
о
Черт. 165.
а потому
L АВС === L АОС (СООТВ. V ADC) -; L АОС (СООТВ. u АЕС) .
v. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ
ОКРУЖНОСТЕЙ.
144. ЛИНИЯ центров.
Неоrраниченно продолженная прямая, соединяющая центры
двух окружностей, называется их линией центров. Такова линия
001 (черт. 166). Эта линия является н е о r р а н и ч е н н о п р o
долженным диаметром
обеих окружностей.
Так как диаметр окружности
есть ось её симметрии, то линия
центров служит осью симметрии
всей фиrуры, образованной обеи-
ми окружностями.
145. Пересекающиеся
окружности. р
Две окружности не МО2ут Черт. 166.
пересекапzься более чем в двух
/почках, так как через три точки MO:JICHO провести I1Z0ЛЬКО одну
окружность.
Из симметрии окружностей относительно их линии центрон
следует, что: 1) точки пересечения двух окружноспzей расположены
1О7
м
СUJ.,tJ. етрltЧНО относительно их линии центров. Таковы точки А
и В (черт. 166); 2) общая хорда двух nересекаl0щиХGЯ окружностеЙ
nерnендикулярна к линии центров и делится ею пополам.. АВ 1. 001
И СА == СВ.
У ёЛЫ между касательными к обеим окружностям в каждой из
точек их пересечения равны между собой. Каждый из них назы-
вается уrлом между данными окружностями. Если этот уrол пря-
мой, то окружности называются взаимноортоrональными.
Соединив точку А с центрами О и 01' получим треуrольник
ОА0 1 , в I{OTOPOM 001 < ОА + 01А и 001 > ОА ----- 01А; значит, рас-
стояние между центрами nсресекающихся окружностей .А1еньше
суммы радиусов и больше их разности.
146. Касающиеся окружности.
Если две окружности имеют лишь одну общую точку, то при
нято rоворить, что они касаются одна друrой.
Касание окружностей может быть двояким:
1) внешним, коrда окружности расположены одна вне друrой
(черт. 167), и 2) внутренним, коrда одна окружность ле)l(ИТ внутри
д
Черт. 167.
Черт. 168.
друrой (черт. 168). .Б обоих случаях точка касания окружностей
лежит н а и х л и н и и Ц е н т р о в, так как если бы окружности
имели общую точку не на линии центров, то они имели бы. и BTO
рую общую точку, симметричную с первой относительно линии
центров. При внешнем касании 001 == ОА + А0 1 (черт. 167), при
внутреннем 001 == ОА ----- 01А (черт. 168). Итак, если две окруж-
ности касаются, то расстояние между их центрами равно с у м м е
р а Д и у с о в, если касание в н е ш н е е, и раз н о С т и р а Д и у с о в,
если касание в н у т р е н н е е.
...
147. Непересекающиеся окружности.
Если окружности не имеют общих точек, то они IorYT быть
двояко расположены одна относительно друrой:
1) лежать одна вне друrой (черт. 169) и 2) лежать одна внутри
друrой (черт. 170). Б первом случае расстояние между их центрами,
108
очевидно, б о .!I Ь lП е с у i\1 М Ы радиусоВ.
001 > ОА + 0IАl,
T3I{ как
001 == ОА + 01 А l + АА 1 .
Черт. 169.
Черт. 170.
Во втором ----- оно м е н ь ш е раз н о с т и радиусов. В caMO
деле, из чертежа 170 находим:
ОА == 001 + 01 А l + А 1 А.
Вычитая из обеих частей по 0lАl, получим:
ОА ......... 01 А l == 001 АIА;
следовательно,
ОА ----- 01Аl > 001.
Если две окружности имеют общий центр,
они называются концентрическими (черт. 17]).
Черт. 171.
148. Общий вывод.
Из предыдущеrо следует, что если две ОЮРУЖflости пересекаются,
то расстояние Jvlежду их центраhlи меньше CYAlhlbl их радиусов
u больше их разности: если две окружности касаются одна дРУ20Й,
то расстояние MeJlCay их центрами равно или сумме радиусов
(в н е ш н е е к а с а н и е), или разности радиусов (в н у т р е н н е е
к а с а н и е); если две окружности не имеют общих точек, то pac
СПlояние между их центрами или больше суммы радиусов (о Д н а
о к р у ж н о с ть В Н е Д р у r о й), или меньше разности радиусов
(одна окружность внутри друrой).
Найденные взаимоотношения между радиусами окружностей
и расстоянием между их центраl\1И позволяют, зная это расстояние
и радиусы окружностей, определить их взаимное расположение,
не вычерчивая самих окружностей.
Так, например, если расстояние между центрами d == 7 см, pa
ДИус первой окружности R === 5 см, радиус второй R 1 == 3 СА!, то
окружности пересекаются, тзк как d <.. R + Rl' d > R ----- R 1 , а ни
при KaKO 1 друrом положении окружностей TaKoro соотношения не
бывает; если d == 3 см, R == 11 см, R 1 == 4 см, то R......... Rl == 7 см,
109
следовательно, d< R R 1 окружности не пересекаются и
.лежат одна внутри друrоЙ; если d == 15 см, R == 9 СМ, Rl == 6 см, то
R + Rl Z: 15 см, следовательно, d =-= R + Rl ....... окружности каса-
ются и лежат одна вне друrой.
VI. ЗАДАЧИ ид ОКРУЖНОСТЬ.
149.
3 а д а ч а 1 Определить центр дуси окружности.
Реш е н и е. Взяв на ДУI'е три произвольные точки А, В и С
(черт. 172), будем искать иентр окружности, проходящей через
С эти точки. Для этоrо 80сставляем из середин
хорд АВ и ВС перпендикуляры к ним; точка
их пересечения О и есть ИСКОМЫЙ центр.
3 а Д а ч а 2. На отрезке АВ, как на хор-
де, построить дусу окружности, вJtещаl0ЩУЮ
данный усол (Т. е. так, чтобы вписанный уrол,
опирающийся на эту дуrу, был равен дан-
ному).
А н а л и з. Предположим, что задача ре-
шена и С есть центр искомой дуrи. Так как
отрезок АВ (черт. 173) служит хордой иско-
мой дуrи, то точка С лежит на перпенди-
ку.пяре CD к прямой АВ, восставленном из
середины отрезка АВ. L АСВ, как централь-
ный уrол, должен быть в два раза больше
данноrо вписанноrо yr ла, а L ACD должен
быть равен данному. Отсюда вытекает по-
строение.
П о с т р о е н и е. Из середины D отрез-
ка АВ восставляем к нему перпендикуляр и
при I{аl<ой-либо ero точке К строим уrол,
равный данному, одной стороной KOToporo
служит KD. Из точки А проводим ПРЯМУIО,
параллеЛЬНУIО второй стороне построенноrо
уrла. Она пересечёт прямую KD в точке С.
Из точки С, как из центра, радиусом СА
оп исыв(){:м дуrу АМ В.
Дуrа AN В, симметричная с дуrой АМВ относительно прямой
АВ, также удовлетворяет поставленному условию. ..
\
\ ,
\
,
\
.................... \ О
....................
Черт. 172.
к
Черт. 173.
150.
151.
3 а д а ч а 3 И з данной точки вне окружности провести к, НЕй
касательную.
110
А н а л и з. Предположим задачу решённоЙ. Пусть А данная
точка и АХ искомая касательная, Х точка её прикосновения
к данной окружности (черт. 174) Соединим точку А с центром о.
Продолжим радиус ОХ и ОТЛО)l{ИМ на вём от точки Хотрезок
ХК:::: ОХ Соединив затем точки А и К, получим треуrольник АКО,
в котором ОХ == ХК и АХ ОК, следова-
тельно, этот треуrольник равнобедренный и
АК == АО, т. е. точка К находнтся от точки А
на расстоянии АК, равном АО, и от центра О
на расстоянии ОК, равном диаметру окруж-
ности. Отсюда такое построение.
П о с т р о е н и е. Радиусом, равным АО,
описынаем liЗ точки А, как из центра, дуrу
окружности. Радиусом. равным диаметру дан-
ной ОКРУ}l{НОСТИ, описываем из пентра О вто-
рую дуrу. Эти дуrи пересекаlОТСЯ в двух ....... К. ....
точках К и К 1 (черт. 174). Соединим точ!{у
К с центром О. Прямая ОК пересечёт окруж- Черт. 174.
ность в точке х. Прямая АХ есть искомая
касательная. Сделав такое же построение для точки Кl' получим
вторую касатеЛЬНУIО AX t - .
Доказательство. Так как отрезок ОК равен диа tетру,
т. е. двум радиусам, а ОХ есть радиус, то К Х == хо; следова-
тельно, в равнобедренном треуrОЛЬНlfке АКО отрезок АХ есть
медиана стороны ОК, а потому он служит и высотой (Э 60, след. 2);
значит, АХ 1. ОХ, следовательно, АХ есть касательная (э 136).
То же докажем и для прямой АХ l' Задача имеет два решения,
и из сделанных построений можно вывести такие следствия:
.6 АХО == Д AX10, как прямоуrольные треуrОЛЬНИI{И с общей rи-
потенузой АО и равными катетами ОХ
иОХ t . А поэтому АХ ==АХtиLОАХ==
== L OAX t .
Следовательно:
Д 1) Касательные, проведённые из
одной точки к OKPYJlCHOCтu, равны.
2) Прямая, соединяющая точку пе-
ресечения двух касательных с с{ент-
pO H, делит пополам уzол А!ежду
Черт. 175. ними.
3) Та же прямая, как леrко заме-
тить, делит пополам У20Л между радиусами, проведёНflЫА1И в точки
прикосновения.
В т о р о е реш е н и е.
Соединив точку А с нентром О, строим новую окружность,
для которой отрезок ОА служит диаметром (черт. 175).
Эта окружность пересечёт данную в искомыlx точках прикосно-
вения Х и Х l' В самом деле, yr лы АХО и АХ 10 прямые, так как
они опираются на диаметр АО в проведённой второй окружности.
111
Следовательно, ПРЯl\fые АХ и АХ! перпеНДИI<УЛЯРНЫ к радиуса f
данной окружности ОХ и ОХ ! В точках Х и Х 1 , а потому они
служат касатеЛЬНЫl\1И к данной окружности (э 136).
УПРАЖНЕНИЯ.
А. Доказать теоремы:
1. Параллельные хорды, проведённые через концы одноrо диаметра, равны
между соБОIО.
2. Если прямая пересекает две концентрические окружности, то отрезки
,секущей между тими окружностями равны между собой.
3. Две хорды данной окружности, имеющие одинаковую длину, касаются
окружности, концентрической с данной.
4. Из всех хорд, проходящих через данную точку внутри Kpyra, наимень-
ШУIО ДJlИНУ имеет та, которая перпендикулярна к радиусу, проходящему через
эту точку.
5. Из всех отрезков, соединяющих данную точку внутри Kpyra с различ-
ными точками окружности, наибольшим и наименьшим ЯВЛЯIОТСЯ отрезки диа-
метра.
6. Вписанный уrол вращается BOKpyr вершины, не изменяя ве..1ИЧИНЫ.
Доказать, что хорда, стяrивающая ero дуrу, скользит по плоскости, оставаясь
касательной к окружности, концентрической с данной.
7. Если точки С и D лежат по одну сторону от I1РЯМОЙ АВ и LACB ==
== LADB, то точки А. В, С и D лежат на одной окружности.
8. Высоты треуrольника служат равноделящими уrлов треуrольника, вер-
шинами KOToporo служат основания высот даНllоrо треуrольника 11 J.
У к а з а н и е. Основания двух высот, опущенных на две стороны, лежат
на окружности, описанной на третьей стороне как Нр диаметре.
9. Диаrонали АС и BD четырёхуrольника ABCD пересекаlOТСЯ в точке М.
Дано, что касательная в точке М к окружности, проходящей через точки
А, В, М, параЛJlельна стороне CD. Доказать, что сумма противоположных
yr лов четырёхуrольника ABCD равна 2d.
10. Дана окружность с центром в точке О и точка М вне её. Через точку
М проведены: диаметр МАВ и секущая MCD, такая, что её внешняя часть
1
МС равна радиусу окружности. Доказать, что L. BMD == 3" L. BOD l1J.
11. у rол между секущей и касательной ра вен полуразности центральных
уrлов, опирающихся на дуrи, заКЛJочённые между сторонами уrла.
12. Доказать, что касательная в точке пересечения двух взаимно opToro"
нальных окружностей к одной из них проходит через центр друrой.
13. Доказать, что уrол между двумя пересекающимися окружностями равен
уrлу между их радиусами, проведёнными в точку их пересечения. .
14. Две окружности имеIОТ внешнее касание. В точке их касания прове-
дена к ним общая касательная и, кроме Toro, проведена общая внешняя ка-
сательная. Доказать, что отрезок этой второй касательной между точками при-
косновения при пересечении с первой касательной делится пополам.
15. Две окружности касаются одна друrой. Через точку их касания про-
ведена секущая. Доказать, что касательные к окружностям в точках их встречи
с секущей параллельны между собой.
16. Две касающиеся окружности отсекают на прямой, проходящей через
точку их прикосновения, хорды, которые видны из центров окружностей 110Д
равными yr лами.
17. Если даны две окружности, касающиеся одна ДР'Уrой изнутри, причём
меньшая проходит через центр большей, то хорды большей окружности, про-
ходящие через точку прикосновения, делятся меньшею окружностью пополам.
18. Две окружности имеют внутреннее касание в точке С. В какой либо
точке М внутренней окружности IIроведена к ней касательная, встречающая
внешнюю окружность в точках А и В. Доказать, что отрезки АМ и ВМ видны
из точки С ПОД равными уrлами.
112
У к а з а н и е. Пр()вести прямую СМ и продолжить её до встречи с внеш-
нею окружностью. Далее см. упр. 15 и конец Э 136.
19. Две окружности пересекаются в точках А и В. В точке А проведены
касательные к каждой из них. Доказать, что отрезки этих касательных, ле-
жащие внутри окружностей, видны из точки В под одинаковыми уrлами.
20. Через точку пересечения двух окружностей проведены их диаметры.
Доказать, что прямая, соединяющая концы этих диаметров, проходит через
вторую точку пересечения окружностей и перпендикулярна к их обlцей хорде.
21. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А про.
ведена секущая САО. Доказать, что отрезок CD виден из точки В под посто-
янным уrлом.
у к а з а н и е. В треуrольнике ВСО уrлы BCD и BDC имеют постоянную
величину.
22. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А про-
ведена секущая CAD. В точках С и D построены касательные к окружностям.
Доказать, что эти касательные пересекаются под ПОСТОЯННbJМ уrлом.
у к а з а н и е. При помощ'И теоремы 9 140 задача сводится к упр. 21.
23. Из всех секущих, проведённых через точку пересечения двух окруж-
ностей, наибольшую длину имеет та, которая параллеJlьна линии центров (под
длиной секущей здесь нанимается часть секущей, лежащая внутри обеих
окружностей).
у к а з а н и е. Из центров окружностей опустить перпендикуляры на про-
извольную секущую, ПРОХОДЯЩУIО через точку пересечения окружностей, и
рассмотреть получаемую при этом прямоуrольную трапецию.
24. Из точки А вне окружности прове дены к ней две касательные АВ
и АС. К какой..либо точке М на меньшей дуrе ВС проведена третья касатель-
ная, встречающая две первые в точках Р и Q. Доказать, что при перемеще-
нии точки М по дуrе ВС периметр треуrольника APQ имеет постоянную ве-
личину, равную АВ + АС.
25. В точках А и В, произвольно взятых на окружности, проведены к ней
касательные АС и ВС, пересекающиеся в точке С. В какой-либо точке М
меньшей дуrи АВ проведена третья касательная, пересекаЮlцая две первые.
Доказать, что отрезок этой третьей касательной, заключённый между двумя
первыми, виден из центра под постоянным уrло:vl (9 151, след. 3).
26. Отрезок произвольной касательной к окружности, заключённый между
двумя параллельными касательными к той же окружности, виден из нентра
под прямым yrJloM ( 151, ('лед. 3).
27. Две окружности касаются одна друrой внешним образом в ТОЧI<е С.
Проведённая к ним обlдая К€lсательная касается их в точках А и В. Дока-
зать, что треуrольник АВС прямоуrоJlыIй..
28. На сторонах треуrольник?, I<ак на хордах, описаны окружности так,
что их дуrи, лежащие вне треуrольника, вмещают уrлы. сумма которых равна
двум прямым. Доказать, что ти три окружности проходят через одну точку.
Б. Н а й т и r е о м е т р и ч е с к и е м е с т а т о чек.
29. rеометричеСJ<ое мрсто середин хорд данной длины в данной окруж-
ности. Отв. Окружность, концеНТРИl.Jеская с данной.
30. rеометричеСh.ое мес"'о середин пара l1"lельных хорд в данной окруж-
ности. Отв. Дияметр, перпеНДИkУ'nЯРНЫЙ к этим хордам.
31. rеометрическое место центров окружностей даНfIоrо радиуса, прохо-
ДЯIЦИХ через данную точку. Отв. Окружность с центром в данной точке.
32. rеометрическое место центров окружностей, касаюu{ихся данной пря-
мой в данн(,й точке. Отв Прямая, rJерпеllдикулярная к даН,iОЙ.
33. rеометрическое место центров окружностей данноrо радиуса, KacalO-
щихся данной прямой. Отв. Две прямые, параллrльные данной.
34. rеометрическое место центров окружностей данноrо радиуса касаю-
щихся данной окружности. Ото. Две окружности концентрические с данноЙ.
35. rеометрическое место центров окружностей, проходящих через две
данные точки. Отв. Перпендикуляр в середине отрезка, соединяющеrо данные
точки.
8 Элемент. rеометрия,
113
36. rеометрическое место центров окружностей данноrо радиуса, пересе-
кающих данную прямую под данным yr лом. (Yr лом, ПОД которым окружность
пересекает прямую, называется уrол между данной прямой и касательной к
окружности в точке её пересечения с данной прямой). Отв. Две прямые, па.
раллельные данной.
37. rеОl\1етрическое место центров окружностей данноrо радиуса, пересе-
кающих данную окружность под прямым уrлом. Oпle. Окружность, концентри-
ческая с данной.
38. rеометрическое место центров окружностей, касающихся двух данных
пересекающихся прямых. Отв. Две прямые линии, деЛЯЩI1 пополам уrлы
между данными прямыми.
39. rеометрическое место концов разных касательных, проведённых к дан-
ной окружности. Отв. Окружность, концентрическая с данной.
40. rеометрическое место вершин прямых уrлов, стороны которых прохо-
дят через две данные точки. Отв. Окружность, диаметром которой служит
отрезок, соединяющий данные точки.
41. rеометрическое место середин хорд данной окружности, выходящих
IIЗ данной точки окружности. Отв. Окружность, описанная, как на диаметре,
на радиусе данной окружности, проходящем чер з данную точку.
42. 1 еометрическое место центров окружностей, отсекающих на сторонах
данноrо уrла равные хорды. Отв. Равноделящая данноrо уrла.
43. Даны две концентрические окружности. Найти rеометрическое место
вершин прямых yr лов, у KOTOpi>!X одна сторона касается внешней окружно ти,
друrая внутренней. Оmв. Окружность, концентрическая с данными.
44. Отрезок постоянной длины скользит по плоскости, оставаясь парал-
лельным самому себе, так, что один ero конец перемещается по данной окруж-
ности. Какую линию описывает второй конец этоrо отрезка? Отв. ОКРУЖНОСТJ.J,
равную данной.
45. Отрезок АВ постоянной длины скользит по плоскости так, что ero
концы А и В перемещаются по двум взаимно перпендикулярным прямым ОА
и ОВ. Какую линию описывает при этом середина этоrо отрезка? Отв. Окруж-
АВ
ность С центром в точке О и радиусом 2 '
46. Найти rеометрическое место вершин равносторонних треуrольников,
стороны которых проходят через три данные точки. Oпze. Дуrи трёх окруж-
ностей, проходящих через одну точку.
В. З а Д а ч и н а п о с т р о е н и е.
П о с т р о и т ь о к р у ж н о с т ь данноrо радиуса:
47. ПРОХОДЯЩУIО через две данные точки.
48. КасаlOЩУЮСЯ данной прямой и центр которой находился бы на друrой
данной прямой.
49. Касающуюся данной прямой и отсекающую на друrой данной прямоЙ
хорду данной длины.
49а. OTceKalOIlLYlo на двух данных прямых хорды, длины которых даны.
50. Касающуюся данной прямой и данной окружности.
51. Касающуюся двух данных пересекающихся прямых.
52. КасающуlOСЯ двух данных окружностей.
53. Пересекающую ортоrонально две данные окружности.
54. Проходящую через данную точку и касаЮЩУIОСЯ данной прямой или
данной окружности.
5 . Так, чтобы она делила пополам обе данные окружности.
56. Построить окружность, касающуюся данной прямой в данной её точке
и данной окружности. ...
У к а з а н и е. Сместить паралле-пьно данную прямую в направлении, к ней
перпендикулярном, на длину радиуса данной окружности.
57. Построить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся
двух данных параллельных прямых.
У к а з а н и е. Пос!роить какую-либо окружность, к асающуюся данных пря-
мых, а затем сМестить ее параллельно так, чтобы она прошла через данную точку.
114
58. Через точку, данную внутри Kpyra, провести хорду так чтобы она в
этой точке делилась пополам.
59. К данной окружности провести касательную параллельно данной пря-
мой.
60. Через точку, лежащую вне окружности, провести секущую так, чтобы
ее часть, лежащая внутри окружности, имела данную длину.
61. Через точку, лежащую вне окружности, провести секущую так, чтобы
её внешняя часть была равна внутренней.
62. Даны прямая [, окружность О и на ней две точки А и В. Найти на
окружности точку С так, чтобы прямые СА и СВ в пересечении с прямою 1
образовали равнобедренный треуrольник f 4].
У к а з а н и е. Равноделящая yr ла С проходит через середину дуrи АВ
11 служит высотою искомоrо треуrольника.
63. Построить вписанный уrол данной величины так, чтобы ero стороны
проходили через две данные точки внутри Kpyra.
64. На окружности даны две точки А и В. Построить вписанный уrол,
опирающийся на дуrу АВ, так чтобы ero стороны отсекали на данной прямой 1
отрезок данной длины а [3].
у к а з а н и е. Через одну из точек А или В, например через А, провести
прямую, параллельную [, и отложить на ней от точки А отрезок АС длиною а.
Задача сводится к построению на отрезке АС дуrи cerMeHTa, вмещающеrо
уrол, величина KOToporo известна.
П о с т р о и т ь т р е у r о л ь Н И К и, если даны:
65. с, L С и he.
66. С, L с и а.
67. с, L с и те.
68. С, ha и hb.
69. Даны две окружности; ПОСТрО 1ТЬ уrол данной величины, вписанный
(t одну окружность и описанный около друrой.
70. Построить отрезок данной длины и данноrо направления, концы ко-
Toporo лежали бы на двух данных окружностях (см. упр. 44).
71. Через данную точку провести прямую так, чтобы её отрезок, заклю-
tJённый между двумя данными окружностями, в этой точке делился пополам.
у к а з а н и е. Построить ОКРУЖ JОСТЬ, симметричную с одной из данных
относительно данной точки, и найти точки её пересечения с друrой данной
окружностью.
72. Через точку пересечения двух окружностей провести прямую так,
чтобы дан ные окружности отсекали от неё равные хорды.
у к а з а н и е. Искомая прямая перпендикулярна прямой, соединяющей
I'ОЧКУ пересечения окружностей с серединою Jlинии центров.
73. f Iостроить общую касательную к двум данным окружностям.
А н а л и з. Пусть 01 И 02 центры данных окружностей, '1 и '2 их
радиусы. ЕСJlИ'1 < '2' то смещаем параллельно оБЩУIО касательную в направ.
:IеllИИ, к ней перпендикулярном, на длину '1. Смещёllная таким образом IlрЯ-
ШЯ пройдёт через точку О) и будет касаться окружности с центром в точке
02 и радиусом, раВНЫМ'2 ---- '.. Такую прямую леrко построить (Э 1 l). ПОСJlе
чсrо обратным смещением на длину '1 получим искомую обlЦУЮ касательную.
Задача имеет 4 решения, если окружности лежат одна вне друrой. Предо-
ставляем учащимся рассмотреть и oCTa':lbHbIe случаи.
VII. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННblЕ мноrоуrольники.
152. Вписанный треуrольник.
3 а д а ч а: Построить окружность, nроходЯlЦУЮ через вершины
ианносо треусольN.Uка АВС (черт. 176).
Эта задача равносильна уже реUJённой задаче: провести окруж-
ность через 3 данные точки (э 130). Центр искомой окружности
8'"
115
ле>J<ИТ в ТОЧJ<е пересечения перпендикуляров, восставленных из
середин Сl0рОН треуrольника.
Окружность, проходящая через вершины треуrольника, назы-
вается описанной около треуrольника, а тре-
УI'ОЛЬНИК вписанным в окружность.
Опираясь на свойства вписанных уrлов,
учащиеся сами MorYT доказать следующие
свойства описанной окружности:
]. Центр окружности, описанной около
осmРОУ20ЛЬНО20 треУ20льника, лежит внутри
mреУ20льника.
2. Центр окружности, описанной ОК1JЛО
nРЯМОУ20ЛЬНО20 треУ20льника, лежит в сере-
Черт. 176. дине 2иnотеНУЗbl.
3. Центр окружности, описанной ОIOOЛО
тУ,nОУ20ЛЬНО20 треУ20льника, лежит вне треУ20льника.
153. Описанный треуrольник.
3 а д а ч а. П ocпZPOumb OKPYJlCHOCmb, касающуюся трёх сторон
aakHOcO треУ20льника АВС (черт. 177).
Мы видели, что равноделящие уrлов треуrольника пересекаются
в одной точке Ii эта точка одинаково удалена от всех трёх сто-
рон треуrольника (9 99). Поэтому, если из точки О пересечения
равноделящих опустить перпендику-
ляры OD, ОЕ и OF на стороны тре-
уrольника, то OD === ОБ == OF, и,
следовательно, окружность с центром
в точке О, проходящая через одну
из точек D, Е и f", пройдёт JI через
две друrие и будет касаться всех
трёх сторон треуrольника.
Так ка!{ друrой точки, равноуда-
лённой от сторон треуrольника, не
существует, то задача имеет только
одно рен!е н ие. Черт. 177,
OKPYII<HOCTb, касающаяся трёх сто-
рон треуrольника, называется вписанной в этот треуrольник,
а треуrольник описанным около неё.
Из проведённых построений следует (см. также 152):
Около всякоzо треуzольника .можно описать окруж-
..,
ность и во всякии треуzольник .можно вписать о"руж-
ность. "
154. Вневписанная окружность.
3 а д а ч а 6. Построиmь окружность, Кllсающуюся трёх данных
nРЯ"llblХ, попарно пересекающихся и не проходя'-Цих через одну
тuчку (черт. 178).
116
Одна из искомых окружностей вписана в треуrольник АВС,
образованный данными прямыми. Если
внешних уrлов этоrо треуrольника, то
01' 02' Оз, также равноудалённые от
всех трёх прямых АВ, ВС, АС ( 99).
Они также служат центрами окруж-
ностей, касающихся данных прямых.
Эти окружности называются вневписан-
ными в треуrольник АВС.
Bcero, таким образом, -можно про-
вести четыре О"ружности, "асаю-
щиеся трёх данных попарно пе-
ресе"ающихся пря-мых, не прохо-
дящих через одну точ"у.
провести равноделящие
получим еUlё три точки
0з
Черт. 178.
155. Вписанный четырёхуrольник.
Если через все вершины данноrо четырёхуrольника проходит
окружность, то четырёхуrольник называется вписанным в эту
окружность, а окружность описанной около четырёхуrольника.
Так как не через всякие четыре точки
можно провести окружность, то не для вся-
Koro четырехуrольника можно построить
окружность, проходящую через все ero вер-
шины. Чтобы такое построение было воз-
можно, нужно, чтобы четырёхуrольник удов-
летворял некоторому УСЛОВИJО. Это условие
выражено в слеДУЮIЦИХ теоремах.
Т е о р е м а. Су-м-ма противополож-
ных уzлов BпucaHHOZO четырёхуzоль-
Черт. 179. ника равна 2d.
Дан четырёхуrольник ABCD (черт. 179),
вписанный в окружность. Требуется доказать, что
L В + L D == 2d и L А + L с == 2d.
Проведём радиусы ОВ и OD. Уrлы А и С вписанные. Поэтому
1
L А == 2 L BOD (соотв. '-1 BCD);
1
L с == 2 L BOD (соотв. \-.1 BAD).
Так как сумма обоих этих центральных уrлов равна полному
уrлу BOKpyr центра О, т. е. равна 4d, то
L А + L с == 2d.
Точно так же докажем, что
L. в + L,. D ::= 2d.
117
Т е о р е м а о б Р а т н а я. Если сумма двух противопо-
ложных VZЛО8 четырёхуzольника равна 2d l то около
Эmиzо четЫ(Jёхуzольни"а можно описать окружность.
Дан ЧСТl>Jрёхуrольник ABCD, в котором
L в + L D == 2d.
Ilроведём ОКРУЖНОСТЬ через точки А, В, С и допустим, что
она не пройдёт через D. Tor да она пересечёт сторону AD (или
её продолжение) в некоторой точ е D 1
(черт. 180).
Соединив точки С и Dl' получим четы-
рёхуrольник ABCD 1 , в котором, В силу пря-
мой теоремы,
L в + L D 1 == 2d,
а по условию
L в + L D == 2d.
Следовательно,
L D == L Dl' или L ADC == L AD 1 C,
что невозможно, так как в Д D 1 CD: LAD 1 C внешний, а LADC
внутренний, с ним не смежный.
Следовательно, окружность, проходящая через точки А, В и
С, пройдёт И через точку D"
Чrрт. 180.
156. Описанный четырёхуrольник.
Если окружность касается всех четырёх сторон данноrо четырёх-
уrольникн, то четырёхуrольник называется описанным около этой
окружности, а окружность вписанной в дан-
ный четырёхуrольник. В
Чтобы в данный четырёхуrольник можно
было вписать окружность, он должен обладать
свойством, выраженным в следующих теоремах.
т е о р е м а. Во всяком описанном че
mырёхуzольнике суммы противополож-
ных сторон равны между собою.
Дан четырёхуrольник ABCD (черт. 181), Д
стороны KOToporo касаются окружности в точ-
ках Е, F, а, Н.
Требуется доказать, что АВ + CD == BC+AD.
Так как касательные, проведённые из одной точки к окружности,
равны, то
D
Черт. 181.
АЕ == АН; ВЕ == ВР;
са == CF; DG == DH.
СЛО1КИВ эти равенства почленно, получим:
(АЕ + ВЕ) + (СО + DG) == АН + (Bf + fC) + HD.
118
Но
АЕ + ВЕ == АВ; СО + DO == CD; BF + РС == ВС;
АН + н D == AD.
Поэтому
АВ + CD ;= Ве + AD.
т е о р е м а о б р а т н а я. Если в четырёхуzоль цике сум-
.мы пОQтивопОЛОЖНhfХ сторон равны" то в этот че.
тырёхуzольни" .можно вписать о"ружность.
Дано АВ + CD == ВС + AD (черт. 182). Проведё\1 окру}кность.
касающуюся сторон АВ, ВС и CD. Докажем, С
что она коснётся и стороны AD. Допустим,
что она не коснулась стороны AD. Проведя
из точки А касательную ADl' получим опи-
санный четырёхуrольник ABCD 1 , в нём, В силу
прямой теоремы, АВ + CD 1 == ве + ADto Вы-
читая это равенство почленно из данноrо,
ПОЛУЧИl\f:
CD CD 1 === AD 1 AD,
или
DD 1 == AD 1 ----- AD,
Черт. 182.
что невозможно (9 63).
Следовательно, окружность, касающаяся сторон АВ, ВС и CD,
касается и стороны AD.
157. Вписанные и описанные правильные
мноrоуrольники.
Мноrоуrольник, вершины KOToporo лежат на окружности,
называется вписанным в ОКРУЖНОСТЬ. Мноrоуrольник, стороны кото-
poro касаются окружности, называется описанным ОКОЛО ОКРУЖ-
ности.
Т е о р е м а. О"оло вся"оzо пfjавиль-
HOZO м,ноzоуzольни"а м,ожно описать
о"ружность. и во всякии nоавильныи
С мноzоуzольни" м,ожно вписать ок.руж..
нос", Ь.
1. Пусть ABCDE правильный MHoro-
уrольник (черт. 183) Проведём равноделя-
щие ero yr лов А и В. Они пересекутся
в некоторой точке О. Соединим эту точку
с остальными вершинами и ДОl{аже , что
АО == ВО == СО == DO == ЕО.
Так J<aK уrлы А и В равны, а прямые АО и 80 делят их по-
полам, то
в
д
Е
о
Черт. 183.
t.. АВО == L. ВАО
119
и, слеДОЕательно, Д АОВ равнобедренный; значит,
АО == ВО.
Сравним треуrольники АОВ и ВОС. Они имеют общую CTO
РОНУ 08 и, кроме Toro, АВ == ВС и L АВО == L СВО, как поло
вины одноrо УI"ла; следовательно,
Д АОВ == 6. ВОС и АО == ос.
Сравним далее треуrольники ВОС и COD. Сторона ОС у них
общая, ВС == CD и, кроме Toro, L ВСО == L ОВС, а этот уrол
есть половина уrла АВС; но L АВС === L BCD, следовательно,
L ВСО есть половина L BCD, а потому
L ВСО == L OCD.
Значит,
откуда следует, что
д ВОС == Д COD,
ОВ == OD.
Продолжая такое сравнение сос;едних треуrольников, найдём:
АО == ВО == СО == DO == ЕО.
Отсюда следует, что окружность с центром в точке О и ра-
диусом ОА пройдёт через все вершины данноrо мноrоуrольника.
2. Опустив из точки О перпендикуляры на стороны АВ, ВС,
CD, ... , найдём:
ОМ == ON == ОР == . . . ,
как катеты равных прямоуrольных треуrольников АОМ, BON,
СОР, ... Следовательно, окружность с центром в точке О и pa
диусом ОМ коснётся всех сторон данноrо мноrоуrольника.
С л е Д с т в и е 1. Равноделящие внутоенних уzлов пра-
вильноzо .мноzоуzольника пересе"аются в одной точке
центре описанной окружности . та же точка есть
центр вписанной ОКfJужн()сти.
С л е Д с т в и е 2. Перпендикуляры, восставленныle в
серединах сторон правильноzо .мноzоуzольника, пересе--
"аются в одной точке обще.м центре вписанной и
описанной окружности.
Общий центр вписанной и описанной окружности называется
центром правильноrо мноrоуrольника. llлина перпендикуляра,
опущенноrо из иентра nравильноrо мноrоуrольника на сторону,
называется апофемой мноrоуrольника.
УПРАЖНЕНИЯ.
А. Д о к а з а т ь т е о р е мы:
1. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треуrольник, в дна
раза меньше радиуса описанной окружности, а сумма обоих РаДИУСО pauHa
высоте треуrольника.
120
2. Сумма диаметров окружностей, вписанной в прямоуrольный треуrол ь-
ник и описанной около Hero, равна сумме ero катетов [1].
3. Равноделящие уrлов В и С при основании равнобедренноrо прямоуrоль-
Horo треуrольника АВС пересекаются в точке Е и при продолжении встре-
чают окружность, описанную около зтоrо треуrольника, в точках D и Р.
Доказать, что четырёхуrОJlЬНИК EDAF ромб (1].
4. Окружности, описанные на сторонах треуrольника, как на диаметрах,
пересекаются в точках, служащих основаниями высот треуrольника.
5. Если на каждой стороне треуrольника построить равный ему тре-
уrольник, дополняющий ero до параллелоrрама, то центры окружностей, опи-
санных около зтих трёх треуrольников, служат вершинами треуrольника,
равнот'о данному.
6. Окружность, проходящая через ортоцентр треуrольника и две ero вер-
шины, равна окружности, описанной около треуrольника [3].
7. Через вершину С треуrольника АВС проведены: высота CD на сто-
рону АВ и прямая СО, соединяющая вершину С с центром описаliНОЙ окруж-
ности. Доказать, что L OCD == LA L В.
В. В треуrольнике АВС проведены: высота CD из вершины С на CTO
РОНУ АВ, равноделящая СР уrла С и прямая СО, соединяющая вершину С
с центром описанной окружности. Доказат'ь, что прямая CF делит пополам
уrол OCD.
9. Высоты, проведённые из вершин А и В треуrольника АВС, при про-
должении встречают окружность, описанную около треуrольника, в точке D
и Е. Доказать, что вершина С делит дуrу DE пополам.
10. Высоты треуrольника продолжены до встречи с описанной окруж-
ностью. Доказать, что отрезки этих линий от ортоцентра до окружности
делятся соответственными сторонами пополам [4].
У к а з а н и е. Каждый из этих отрезков служит основанием равнобедрен-
Horo треуrольника, высота KOToporo совпадает со стороною данноrо треуrоль-
ника.
11. Касательные к окружности в вершинах вписанноrо прямоуrольника
в пересечен ии образ уют ромб.
12. Точки прикосновения сторон ромба к вписанной в Hero окружности
служат вершинами прямоуrольника.
13. Если около данной траllеции можно описать окружность и в ту же
трапецию можно вписать окружность, то каждая боковая сторона трапеции
равна её средней линии.
14. Около всякой равнобедренной трапеции можно описать окружность
и наоборот, если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция
равнобедренная.
15. Диаrональ вписавноrо чеТbJрёхуrольника образует со сторонами, схо-
дящимися в одном её конце, yr лы, равные yr лам, образ уемым касательной в
друrом конце диаrонали с двумя друrими сторонами.
16. Прямые, соединяющие сереД.1НЫ дуr, стяrиваемых противоположными
сторонами вписанноrо четырёхуrольника, взаимно перпендикулярны.
Б. З а Д а ч и н а п о с т р о е н и е.
Обозначения:
R радиус описанной окружности; r ---- радиус вписанной окружности; 'а,
rb, r(. радиусы вневписанных в треуrО.,1ЬНИК окружностей, касающихся со-
ОТветственно сторон а, Ь, с и продолжений друrих сторон.
Построить
17. R, с, а.
20. R, с, hc.
23. R, L С, тс.
26. R, h e , Ра.
29. R, q А' q в,
32. R, h e , 'с.
,
т р е у r о л ь Н И к, ес л и да н ы :
lВ. R, с, L А.
21. R, L С, hr..
24. R, hc, L А.
27. R, Ра, Рь.
30. qA, qR, L С.
33. с, L С, та.
19. R, LA, LB.
22. R, с, те-
25. R. h c , а.
2В. Ра, Рь, L С.
31. R, с, та.
34.r,LA,LB.
121
35. " с, L. А. 36. " а, hc. 37. " hc, Ра.
38. " h(', L С. 39. с, L С, '.
( у к а з а н и е. Уroл между равноделящими уrлов А и 8 равен
d + L 2 С ) .
40. R, " LC
43. 'а, L В, L с.
46. 'а, 'Ь, L с.
n о с т р о и т ь р а в н о б е д р е н н ы й т р е у r о л ь н и К Аве, в котором
8С == АВ, если даны:
47. R, а.
50. с, '.
П О с т р О И Т Ь в n и с а н н ы й ч е т ы р ё х у r О л ь н и к, есл и даны:
52. R, а, Ь, с. 53. R, а, Ь, ,. 54. R, а, е. ,.
55. R, е, " L М.
41. R, " с.
44. 'а, hc, L А.
42. с, 'а, L А.
45. " 'а, L А.
48. R, L А.
51. " L А.
49. R, hc.
у к а з а н и е. Через конец ОДНОЙ диаrонали провести хорду, параллель-
ную друrой; это определит одну из сторон четырёхуrольника и Т. д.
56. Построить вписанную трапецию, если даны одно из её оснований и
уrол Между диаrоналями.
57. Построить ромб, если даны ero сторона и радиус вписанной окруж-
ности.
VIII. МЕТОД СИММЕТРИИ.
158. Сущность метода.
Один из методов решения з а Д а ч н а п о с т р о е н и е осно-
вывается на свойствах осевой симметрии фиrур. Иноrда,
производя анализ задачи, чтобы обнаружить связь между иско-
мыми и данными задачи, бывает удобно или для всей фиrуры,
ил для её части построить фиrуру, ей симметричную относи-
тельно какой-либо оси.
После TaKoro построения иноrда обнаруживается такая зави-
симость между элементами фиrур, которую раньше было трудно
заметить.
у спех этоrо приёма зависит от характера самой задачи, а также
и от у дачноrо выбора осей симметрии.
159. Примеры применения метода симметрии.
3 а д а ч а 1. Дана прямая 1 и две точки А и В по одну сто-
рону от неё (черт. 184). Найти на прямой 1 точку Х такую,
чтобы CYJtlMa АХ + ХВ была наименьшей.
Реш е н и е. ПОСТРОИ 1 точку В1' симметричную для точки В
относительно прямой 1. Пусть Х искомая точка, тоrда ВХ == В 1 Х
И АХ + Х в == АХ + х В 1 ; следовательно, задача сводится к на-
хождению точки Х такой, что сумма АХ + Х В 1 имеет наимень-
шую велич ну. Этому условию, очеВИД 9, удо летворяет точка Х.
,
.22
лежащая на отрезке прямой линии, соединяющей А и В 1 . Отсюда
u
вытекает такое решение даннои задачи:
Данную точку А соединяем прямой линией с точкой Вl' сим
метричной с В относительно прямой 1. Прямая АВ 1 пересечёт
прямую 1 в искомой точке х.
3 а д а ч а 2. Даны две окружности с центрами в точках 01
u 02 и не nересекающая их nрЯJ1ая АВ. Найти на прямой АВ
точку Х, такую, чтобы касатеЛЬ1-fые из неё 1(, данным оJ\,РУЖ
ностям были наклонены к АВ под равными У2лами.
в
В,
I
Черт. 184.
'-iерт. 185.
А н а л и з. Допустим, что задача решена. ХТ 1 и ХТ 2 каса-
тельные к данным окружностям (черт. 185), причём L АХТ 1 ==
,
=== L ВХТ 2 . Построим окружность 01' СИМ lетричную с окруж-
ностью 01 относительно прямой АВ. Прямая ХТ;, симметричная
касательной ХТ 1, будет касаться окружности o . При этом, так
, ,
как LAXT 1 ==LAXT 1 , ToLAXT t ==LBXT 2 ; следовательно,
,
линия Т 2ХТl прямая.
Она служит общей касательной к окружностям 02 И о; . Отсюда
,
вытекает такое построение. Строим окружность о., симметрич-
ную 01 относительно прямой АВ. Проводим общую касательную
к окружностям о; и 02' Она пересечёт прямую АВ в искомой
точке.
Задача имеет четыре решения, по числу общих касательных
,
к двум окружностям, если окружности 01 и 02 лежат одна вне
друrой, и меньшее число решений в остальных случаях (см. стр. 130,
упр. 73).
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Построить треуrольник, если даны: с, L. В и разность сторон а ---- Ь.
у к а з а н и е. Принять за ось симметрии равноделящую уrла С. .
2. Построить треуrольник по двум сторонам а и Ь и разности уrлов:
L А L В.
У к а з а н и е. Выбрать за ось симметрии высоту треуrольника, опущен-
ную из вершины С, и построить прямую А'С, симметричную АС. Треуrоль-
ник А 'СВ- определяется данными задачами,
l З
З. Даны две прямые р и q и на прямой р точка А. Найти на той же
прямой точку Х, такую, что отрезок АХ равен расстоянию точки Х от пря-
мой q.
у к а з а н и е. Если ХУ ----- перпендикуляр из точки Х на прямую q, то
за ось симметрии следует выбрать равноделяшую уrла АХУ.
4. Даны две точки А и В по одну сторону от прямой [. Найти на пря-
мой l такую точку Х, чтобы прямые АХ и ВХ были наклонены к прямой 1
под равными yr лами.
5. Дана прямая l и две точки А и В по одну сторону от неё. Найти на
прямой l две точки М и N, такие, чтобы отрезок MN имел данную длину,
а периметр ломаной AMN В был наименьшим.
6. Дан уrол АВС и внутри Hero две точки М и lV. Найти на одной сто-
роне уrла такую точку Х и на друrой такую точку У, чтобы периметр лома-
ной МХУ N был наименьшим 12J.
7. Дан уrол АВС и точка М внутри Hero. Найти на одной стороне yr ла
точку Х и на друrой ----- точку У так, чтобы периметр треуrольника М4'ХУ
был наименьшим.
В. Дана прямая АВ и две точки М и N по одну сторону от неё. Няйти
на прямой АВ такую точку Х, чтобы разность уrлов АХМ и BXN имела
данную величину.
9. Дан уrол АВС и вне ero две точки М и N. Найти на стороне АВ
точку Х так, чтобы треуrольник, получаемый в пересечении прямых ХМ,
XN и ВС, был равнобедренным.
у к а з а н и е. Построить точку М 1, симметричную точке М относительно
стороны АВ, и определить величину уrла M1XN.
IX. УПРАЖНЕНИЯ К r ЛАВЕ ЧЕТВЁРТОЙ.
П о с т р о и т ь Т р е у r о л ь Н И к, если даны:
1. Положения оснований ero высот 14].
У к а з а н и е . См. у пр. 8 на стр. 126.
2. Три точки, в которых продолжения высот треуrольника встречают
описанную OKOJlO Hero окружность [4J.
3. Три точки, в которых продолжения равноделящих yr лов треуrольника
встречают описанную около Hero окружность 14J.
4. Три точки, в которых проведённые из одной вершины высота, медиана
и равноделящая уrла треуrоль ика встречают описанную около Hero
ок ру жность.
5. Положение центров вневписанных окружностей.
1
6. а + Ь + с, hc, L С. У к а з а н и е. L DCE == d + 2 L С (черт. 93).
7. а + Ь + с, " 'а.
8. а + Ь + с, 'а, L В.
9. а + Ь + с, 'а, hc.
10. Дан уrол АВС и точка М вне ero. Провести через точку М прямую,
образующую в пересечении со сторонами данноrо yr ла треус ольник данноrо
. периметра.
у к а з а н и е. См. упр. 24 на стр. 127.
11. Внутри данноrо треуrольника найти точку, из которой все три ero
стороны видны под равными yr лами.
12. В равносторонний треуrольник вписать друrой равносторонний тре-
уrольник, стороны KOToporo БЫ.JlИ бы перпеНДИКУЛЯрНbJ к сторонам данноrо [4].
13. В равносторонний треуrольник Rписать друrой равносторонний тре-
уrольник, стороны KOToporo имеют данную длину.
14. Построить равносторонний треуrольник, вершины KOToporo лежали бы
на трёх ДllННbJХ параллельных пrямых (4J.
у к а з а н и е. При анализе описать около искомоrо треуrольника окруж-
ность, вторые точки её пересечения с данными прямыми соединить с верши-
нами треуrQ ьника и рассмотреть ПQлученные прц rOM вп санны уrлы.
124
15. Построить треуrольНИК, @сJtи даны r10Jtожения lteHTpoB трёх кьадра.
tOB, построенных на ero сторонах.
16. Построить квадрат, три вершины KOToporo лежали бы на трёх дaH
ных паралле.пьных ПрЯМых.
17. В данный квадрат вписать друrой квадрат с данною стороною.
18. Построить три окружности с центрами в трёх данных точках, попарно
касающиеся одна друrоЙ.
у к а з а н и е. Каждая из сторон треуrольника с вершинами в трёх дан-
ных точка равна сумме двух радиусов искомых окружностей. Это позволит
определить рядиусы всех трёх окружностей.
Даны три точки А, В, С. Через точку А про в е с т и п р я м у ю так,
чтобы:
19. Сумма её расстояний от точек В и С была равна данной длине а [4].
20. Сумма её расстояний от точек В и С была наибольшей.
у к а з а н и е. Искомая прямая перпендикулярна или к ВС, или к В'С,
rде В' точка, симметричная В относительно точки А.
21. Разность её расстояний от точек В и С была равна данной длине
а [41.
у к а з а н и е. Строим окружность радиуса а с центром в точке В и из
точки С проводим к ней касательную и т. д.
22. Разность её расстояний от точек В и С была наибольшей.
23. На плоскости даны два равных не парал.пельных между собой отрезка
АВ и А' В'. Показать, что один можно совместить с друrим одним враще-
нием BOKpyr HeKoToporo центра.
Ре ш е н и е. Даны отрезки АВ и А'В', причём АВ == А'В'. Построим оси
симметрии точек А и А' и точек В и В'. Пусть O точка пересечения этих
осей. Соединим её с концами данных отрезков и рассмотрим треуrольники
АОВ и А'ОВ'. Так как АО == А'О, ВО == В'О (9 44) и, по условию, АВ == А' В',
то 6. АОВ == 6. А'ОВ'. Следовательно, L. АОВ == L. А'ОВ'. А поэтому, приняв
точку О за центр вращения и повернув весь АОВ BOKpyr этоrо центра на
уruЛ АОА', мы совместим отрезок АВ с отрезком А' В'.
24. Треуrольник АВС скольжением по плоскости, без выхода из неё,
был переведён в положение А' В'С', причём А' В' не параллельна АВ. Пока
зать, что такое перемещение может быть произведено путём одноrо вращения
BOKpyr HeKoToporo центра. Построить центр вращения и уrол поворота.
25. Сложенная вдвое крышка стола имеет форму прямоуrОЛЬНИК8, мень-
шая сторона KOToporo в два раза короче большей. В сложенном виде крышка
лежит на стойке той же формы и Toro же размера. Нижняя часть .крышки
прикреплена к стойке винтом, BOKpyr KOToporo может вращаться. После пово-
рота BOKpyr этоrо винта на прямой уrол верхняя часть крышки открывается
и вся крышка принимяет форму квадрата, причём две ero противоположные
стороны совпадают с короткими сторонами СТОЙКlf, а две друrие параллельны
данным её сторонам и одинаково отстоят от них. Определить, в каком месте
крышки должен быть укреплён винт.
3
Отв. [ eHTp вращения крышки находится на расстоянии 4"" а от стороны
крышки, rде а длина меньшей её стороны.
26. Произвольная точка окружности, описанной около paBHocTopoHHero
треуrольника, соединена с ero верUJинами. Доказать, что наибольшая из
полученных трёх хорд равна сумме двух друrих.
у к а з а н и е. Через конец меньшей хорды провести хорду, параллельную
наибольшей. Соединить конец проведённой хорды с концом второй меньшей
хорды. Последняя прямая пересечёт наибольшую хорду в точке, делящей эту
хорду на части, равные меньшим хордам.
27. Из произво.пьной точк окружности, описанной около данноrо Tpe
уrольника, onYlueHbI перпендикуляры на ero стороны. Доказать, что основания
этих перпендикуляров лежат на одной прямой (теорема Симсона).
у к а з а н и е. Взятую на окружности точку соединить с двумя вершинами
треуrольника и рассмотреть получаемый при этом вписанный четырёхуrольник.
125
а также четырёхуrольники, для которых проведённые хорды служат диаrо-
налями (около каждоrо из них можно описать окружность) и т. д.
28. На сторонах произвольноrо треуrольника построены равносторонние
треуrольники. Доказать, что их центры также служат вершинами равносто.
pOHHero треуrольника.
29. Через конец А диаметра АВ данной окружности проведена произ-
вольная хорда АМ, и на ней, по обе стороны от точки М, отложены отрезки
JyfP и MQ, равные МВ. Найти rеометрическое место точек Р и Q, коrда
точка М перемещается ПО данной окружности [1].
У к а з а н и е. Найдём сначала rеометрическое место точек Р. Так как
МВ == МР, то перпендикуляр MF из точки М на прямую РВ делит отрезок
d
РВ и уrол ВМР пополам: следовательно, BF == FP и L.. BMF == L.. FMP == 2" .
Если С вторая точка встречи прямой FM с данной окружностыо, то
L АМС == L F МР == . Следовательно, дуrа АС составляет часть всей
окружности и значит точка С есть конец диаметра CD, перпендикулярноrо
к АВ. Следовательно, ПОJIожеНllе точки С не меняется.
30. На плоскости даны: окружность О и прямая р. На окружности О
взята какая-либо точка А, а на прямой р..... какая-либо точка В. Через точки
А и В проводят произвольную окружность О.. Она встречает второй раз
окружность О в точке С и прямую р в точке D.
Доказать, что прямая CD пересекает второй раз окружность О в постоян-
ной точке Р (независимо от Toro, какая окружность 01 проведена через точки
А и В) [2J.
У к а з а н и е. Доказать, что L.. АСР == L. ABD. Для этой цели провести
в точке С к окружности 01 касательную EF. Тоrда L АСР == L. АСЕ + L ЕСР;
но L АСЕ ::= L. АВС и L ЕСР == L. FCD == L CBD и т. д.
r л А В А П Я т А Я.
ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ.
1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ОБ ИЗМЕРЕНИИ ОТРЕЗКОВ.
160. Аксиома Архимеда.
Измерение отрезков основано на СJIедующей COBepllleHHo оче-
ВИДНОЙ истине, известной под названием аксиомы Архимеда.
Если даны, два любь/,х отрезка
В F АВ и CD (АВ> CD) (черт. 186),
I t I то на прямой АВ можно от-
ложить от точки А отре-
зок CD последовательно столь.
1(,0 раз что получится отре-
зок АF больший или равныйАВ.
Значит, можно найти такое нелое число п, при котором будут
верны неравенства: п. CD < АВ, а (п + 1) CD > АВ 1.
д
I
I
С
I
D
Черт. 186.
1 А р х и м е Д (род. около 287 r., ум. в 212 r. дО Н. 9.) rреческий
учёный, открывший замечательные законы физики и механики, является
также автором нескольких сочинений по математике. ОН ЖИ 1 в rрече ком
rороде Сиракузах на острове Сицилия и при осаде rорода РI1М:Jянами, как
пламенный патриот, руководил обороной rорода, отдавая этому все свои науч-
ны е знания.
126
Если размер отрезка CD считать известным, то чисJIо п, пока-
зывающее, сколько раз возможно уложить отрезок CD на отрезке
АВ, даёт представлен ие о размере отрезка АВ.
Таким образом, для измерения данноrо отрезка берут какой-
либо отрезок, размер KOloporo считается известным, и определяют,
сколько раз ero можно уложить на данном отрезке.
Отрезок, при помощи KOToporo измеряется данный, называется
единицей измерения l .
161. Измерение отрезков.
ПрОС1ейший случай измерения отрезков был отмечен ещё в На-
чале курса. Измерение производилось при помощи Л и н е й к и,
разделённой на сантиметры и миллиметры. Такое измерение не
было точным, та!{ как подсчитывалось лишь число миллиметров,
содержащихся целиком в измеряемом отрезке.
Если же на измеряемом отреЗI<.е получался остаток, меньший
миллиметра, то ero не принимали во внимание.
Точное измерение отрезков производится следующим образом.
Принимаем какой-либо отрезок CD за еДИНИIlУ измерения и откла-
дываем ero на измеряемом отрезке АВ столы{о раз, сколько воз-
можно. При этом MorYT представиться такие случаи.
1. Первый случай.
Единица измерения CD укладывается в АВ некоторое число
раз, например 5 раз, без всякоrо остатка. В этом случае rоворят,
что отрезок АВ содержит 5 единиц длины, или, что длина
отрезка АВ равна 5 единица I, и записываlОТ это так: АВ == 5 CD.
2. В т о рой с л у чай.
Единица измерения СО уклады-
вается в АВ некоторое число раз,
например 5 раз, и остаётся некото-
рый остаток F В (черт. 187), меньший
единицы. Делим тоrда CD на 10 vaB-
ных частей и одну такую часть, СЕ,
откладываем на отрезке F В от точки F последовательно столько
раз, сколько возможно. Допустим, что она уложилась в от-
резке РВ ровно 6 раз без остатка. Таким образом, отрезок АВ
д
I
F lJ
I 111
с о
111 I ,1111
Черт. 187.
По преданию, коrда rород был взят и римские солдаты ворвались в ДОМ
Архимеда, он черти", на песке rеометрические фиrуры. Испуrанный более
Bcero тем, что солдаты испортят ero фиrуры, он закричал: «поН tangere
circulos meos» (не троrай только моих KpyroB), но был убит.
Аксиому Архимеда можно высказать в друrой форме, именно: неравенство
АВ
(n + 1 ) . CD > АВ можно представить в виде n + 1 < CD. Это неравенство
означает, что если даны два отрезка АВ и CD, причём АВ > CD, то отрезок
АВ можно разделить на столько равных частей, что каждая из них будет
меньше отрезка CD.
1 Смысл аксиомы Архимеда заключается, следовательно, в утнерждении,
чпzо любой оmрезок можно измерять с nОМDЩЫО любой единицы измерения.
127
будет содержать 5 целых единиц и 6 её десятых долей. В этом
случае rоворят, что длина отрезка АВ равна 5,6 единицы, и за-
писывают это так: АВ == 5,6 CD. Коротко rоворят, что отрезок CD
содержится в отрезке АВ 5,6 раза 1.
1
Это значит, что 10 CD содержится в АВ 56 раз, т. е. отре-
зок АВ измеряется десятой долей отрезка CD. Может случиться,
1
что 10 оля единицы уложится в остатке FB, например, 6 раз,
и останется некоторый остаток, меньший этой доли. Тоrда в этом
1
новом остатке укладыва м 100 единицы. Если она уложится, на-
пример, 3 раза без остатка, то мы запишем: АВ == 5,63 CD
и скажем, что отрезок АВ измеряется сотыми долями отрезка CD.
Такж может оказаться, что отрезок АВ измеряется тысячными
или какими либо друrими десятичными долями CD.
3. Т Р е т и й с л у чай.
Единица измерения CD укладывается в АВ некоторое число
раз, например 5 раз, и остаётся некоторый остаток, меньший
единицы. На этом остатке 0,1 доля единицы укладывается, Ha
пример , 6 раз, и остаётся некоторый остаток, меНЫllИЙ 0,1 еди-
ниuы. На этом новом остатке укладываем 0,01 долю единицы.
Пусть она УI<ладыва тся, например, 3 раза, и остаётся отрезок,
меньший 0,01 единицы. На этом остатке откладывае 0,001 ДОЛIО
единиuы и т. д.
Если всякий раз получается некоторый остаток, то это откла-
дыаниеe на отрезке АВ долей единицы никоrда не закончится,
а десятичная дробь, ПОКl1зынающая, сколько деСЯТhlХ, сотых, ты-
сячных и т. д. долей единиuы укладывается на отрезке АВ. будЕ'Т
получать всё болыне и БОЛЫlJе десятичных знаков. Если продол-
жать так поступать всё дальше и даЛЫllе, то получится беско-
нечная десятичная дробь, которая и называется длиною отрезка
АВ при единице измерения CD. Это записывают так: АВ==5,63. ..CD.
Обнаружить возможность этоrо TpeTbero случая на практике не
удаётся, так как практически делить единицу измерения на всё
более мелкие части можно лишь до HeKoToporo предела, а не без
конца. Тем не менее можно косвенным путём убедиться, что такие
случаи встречаются довольно часто (см. Э 214).
162. Основные законы измерения отрезков.
Длины отрезков при вычислении их установленным выше спо-
собом, очевидно, обладают следующими свойствами:
1 Коrда мы rоворим, что отрезок А содержится в отрезКе В дробное число
5
раз, например 7 раза, то этим МЫ хотим сказать, что доля отрезка А, ука-
1
ЭbJваемая знаменателем дроби, т. е. 7 ' укладывается без остатка в отрезке В
столько раз, сколько единиц в числителе, Т. е. 5 раз.
128
1. Длины двух равН,ых отрёзков (при одН,ой eдин'иц из ре.
ния) равны.
2. Если данный отрезок разбить на несколько произвольных
частеЙ то длина всесо отрезка будет равна сумме длин этих
частей.
Эти свойства носят название основных законов измерения
отрезков.
163. Приближённая длина отрезка.
Допустим что нам дан отрезок длина KOToporo выражается
конечной или бесконечной десятичной дробью например 5 637
или 5 6372086...
Возьмём лишь несколько десятичных знаков этой дроби. На-
пример оставим лишь один десятичный знак а остальные зачерк-
нём. Мы получим дробь с одним десятичным знаком 5 6. Она
называется приближённой длиной отрезка АВ с точностью дО О, 1
с недостатком, по той причине что отрезок длиной 5 6 единиц}))
меньше данноrо отрезка и разнится от Hero меньше чем на O 1
единицы. Дробь 5 7 называется приближённой длиной данноrо
отрезка с точностью до 0,1 с избытком, на том основании, что
отрезок длиной 5 7 единицы больше данноrо и разнится от Hero
меньше чем на O 1 единицы. Таким же образом можно брать
приближённые значения длины данноrо отрезка с точностью до
О, О l 0,00 1 и т. д.
Если длина отрезка выражается бесконечной десятичной
дробью то можно брать приближённое значение длины с любой
степенью точности. Обозначим бесконечную десятичную дробь бук-
вой а, её приближённое значение взятое с n десятичными знаками,
1
т. е. с точностью 10 n с недостаткоrvl через an а с тою же точ-
ностью с избытком через a . Как известно из алrебры число,
представляемое бесконечной десятичной дробью, считается большим
любоrо её приближённоrо значения с недостатком и меньшим
любоrо её приближённоrо значения с избытком т. е.
,
а n < а и а n > а.
На практике вычисление длин отрезков всеrда производится
лишь приближённо С той степенью точности, которая необходима
в том или ином случае.
3 а м е ч а н и е. Если получаемая при измерении отрезка бес-
конечная десятичная дробь окажется периодической то её можно
будет обратить в простую. Длина отрезка в этом случае выра-
зится простой дробью. Если, например, при измерении отрезка
АВ получилась дробь 4,4 (6) TO обращая её в простую
7 67
4,4 (6) == 4 15 == 15 '
9 Элемент. rеометрия, I
129
u .. АВ 67 Э
наидем, что отрезок измеряется числом 15 . то значит, что
1
если откладывать на отрезке АВ 15 долю единицы длины, то она
уложится в АВ 67 раз без всякоrо остатка.
164. Соизмеримые и несоизмеримые отрезки.
Будем для краткости обозначать отрезок одной буквой, Ha
пример отрезок А, отрезок В. Если длина отрезка А выражается
конечной десятичной дробью или бесконечной, но периодической,
то эта длина есть рациональное число. Отрезок А называется
u
в этом случае соизмеримым с единицеи длины.
Если длина отрезка А выражается бесконечной непериодической
десятичной дробью, то эта длина есть иррациональное число.
Отрезок А называется в ЭТО 1 случае несоизмеримы с единицей
длины.
Отрезок А называется соизмеримым с отрезком В, если длина
отрезка А выражается рациональным числом, коrда за единицу
измерения принят отрезок В.
т е о р е м а. Если отрезо" А соизмерим с отрез"ом В,
то и отрезо" В соизмерим с отрез"ом А.
Нам дано, что А соизмерим с В. Это значит, что длина OT
резка А при единице измерения В выражается рациональным
числом.
Нужно доказать, что длина отрезка В при единице измере
ния А также выражается рациональным числом.
Допустим, например, что длина отрезка А при единице изме
рения В равна 1,3. Мы запишем это так:
А 1,3В.
1
Это равенство означает, что 10 доля отрезка
1
резке А 13 раз, т. е. 10 доля
отрезка А. Значит, весь отрезок
т. е. длина
10
В == 13 А.
Следовательно, отрезок В соизмерим с отрезком А.
Отрезки А и В называются в этом случае соизмеримыми.
Отрезок А называется несоизмеримым с отрезком В, если
длина отрезка А выражается ирраниональным числом, коrда за
единицу измерения принят отрезок В.
т е о р е м а. Если отрезо" А несоизмерим с отрез"ом В#
то и отрезо" В несоизмерим с отрез"ом А.
В содержится в OT
1
отрезка В составляет 13 долю
10 .
В содержит 13 долей OTpe Ka А,
10
отрезка В при единице измерения А равна тз' т. е.
130
Действительно, если бы отрезок В был соизмерим с отрез-
ком А, то в силу предыдущей теоремы и отрезок А был бы со-
измерим с В, что противоречит условию.
В этом случае отрезки А и В называются несоизмеримыми
между собою.
165. Переход от одной единицы измерения к друrой.
Если измерять один и тот же отрезок различными единицами,
то длина ero будет выражаться различными числами. Так, если
длина отрезка А, измеренная единицей в 1 ,,11, равна 5, то длина
Toro же отрезка, измеренная единицей в 1 дм, равна 50, а изме-
ренная единицей в 1 см, равна 500.
П о с т а в и м з а Д а чу. Зная длину отрезка, измеренную одной
единицей, найти ero длину при измерении ero какою-либо новой
единицей.
Допустим, что длина отрезка А при единице измерения Е
равна а. Измерим тот же отрезок А друrой единицей El.
Допустим, что ero длина в этом случае окажется равной а 1 .
Мы должны найти зависимость между числами а и а 1 .
Докажем следующую теорему.
Т е о р е м а. Длина отрезка при новой единице изме-
рения равна ezo длине при старой eдиHицe умножен..
ной на длину старой eдиHицы измеренной новой еди..
ницей.
А ----- данный отрезок, а ----- ero длина при единице измерения Е.
Пусть Е I ----- новая единица измерения, a 1 длина отрезка А при
новой единице измерения El' е ----- длина отрезка Е при единице
измерения Е 1 . Мы должны доказать, что а 1 == а · е.
orYT представиться три случая.
1. а и е ----- целые числа, например,
а == 3, е == 5.
Это значит, что отрезок El укладывается в отрезке Е пять
раз, а отрезок Е в отрезке А три раза. Ясно, что отрезок Е 1
в отрезке А укладывается 3 · 5 == 15 раз, следовательно,
а 1 == а · е.
2. а и е ----- числа дробные, рациональные, например,
5
а == 3,5, е == 9" .
7
Отрезок Е в отрезке А содержится 3,5 или "2 раза. Это значит,
1 1
что 2" Е содержится в отрезке А семь раз. Но "2 Е составляет
5 2 5 u Е 5 Е
9: == 18 долеи отрезка 1; значит, 18 1 содержится в отрезке
9.
131
1
А семь раз, а потому 18 Е 1 содержится в этом отрезке 7. 5 ==
== 35 раз, т. е.
1 1
18 Е 1 =-: 35 А;
А 35 u Е
значит, в отрезке содержится 18 долен отрезка l' Т. е.
35 7 5 _
а 1 == 18 == 2 · 9 == а · е.
3. Одно из чисел а и е или оба числа иррациональные. Если
одно из этих чисел рациональное, представленное конечной деся
тичной дробью, то эту дробь можно изобразить в форме беско
нечной, дополнив её справа неоrраниченным числом нулей. По
этому можно предполаrать, что оба числа а и е представлены
бесконечными десятичными дробями.
Возьмём приближённые значения этих дробей с n десятичными
1
знаками, т. е. с точностью до 10 n С недостатком. Обозначим их
соответственно через а n и е n . Если бы отрезок Е в отрезке А co
держался а n раз, отрезок Е 1 в отрезке Е е n раз, то длина
отрезка А при единице Еl была бы равна а п . е n . Но так как
отрезок Е содержится в А больше, чем а n раз, а отрезок Е 1
в отрезке Е больше, чем е п раз, то длина отрезка А при еди..
нице Е 1 больше, чем а п · е п , т. е.
a 1 > а п · е п.
Обозначив приближённые значения чисел а и е с тою же
точностью с изБЫТI{ОМ соответственно через a и e , таким же
образом найдём а 1 < a · e . Число а п . е п есть приближённая
величина произведения бесконечных десятичных дробей а и е
с недостатком, а число a · e есть приближённая величина про
изведения тех же дробей с избытком. Так как n произвольное
число, то отсюда следует, что число а 1 больше любоrо прибли
жённоrо значения произведения а. е с недостатком и меньше
любоrо приближённоrо ero значения с избытком. А потому, по
определению произведения бесконечных десятичных дробей, аl ==
== а · е. Итак, теорема доказана для всех случаев.
11. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ.
166. Отношение двух отрезков.
Отношением двух отрезков называется отношение чисел, Bыpa
жающих длину этих отрезков при одной и той же единице' изме
рения. Отношение отрезка А к отрезку В изображается в виде
А
частноrО в . А называется предыдущим членом отношения,
В последующим членом. Из определения отношения отрезков
132
следует, что длина оmрезка есть оmношение е20 1(, единице изме-
рения.
Т е о р е м а. Отношение двух отрезков не зависит от
единицы, измерения.
Даны отрезки А и В. Их длины при некоторой единице Е
обозначим соответственно через а и Ь. В таком случае
А а
B b.
Измерим те же отрезки новой единицей Е 1 и пусть аl и Ь 1
соответственно новые длины отрезков А и В. Требуется доказать,
что
аl а
Ь 1 . ь.
Обозначим через е. длину отрезка Е, измеренноrо единицей Е 1 .
В таком случае, как было доказано (э 165),
а 1 == ае и Ь 1 == Ье,
следовательно,
Ql ае а
li; == Ье == Ь ·
с л е Д с т в и е 1. Отношение отрезка А к отрезку В
равно длине отрезка А, коzда отрезок В принят за
единицу измерения. .
Следствие 2. Отношение двух соизмеримых отрез-
ков есть число рациональное, отношение несоиз.м,ери-
мых отрезКов....... число иррациональное.
167. Пропорция, составленная из четырёх отрезков.
Принято rоворить, что четыре отрезка А, В, С, D обраЗУIОТ
пропорцию, если о:rношение двух первых отрезков А и В равно
отношеНИIО двух последних отрезков С и D, т. е. если
А С
--в ==75'
А и D называются крайними членами пропорции, В и С её
средними членами. Если длины отрезков А и В при какой-либо
единице измерения равны соответственно а и Ь, а длины отрез-
ков С и D при той же или друrой единице равны соответственно
с и d, то равенство
А С
fj== D
означает, что четыре числа а, Ь, с, d обраЗУIОТ ПРОПОРЦИIО
а с
Ь==4.
133
168. Свойства пропорций.
В дальнейшем мы не буде 1 вводить отдельноrо обозначения
для длин отрезков и под отрезком А будем подразумевать число,
выражающее ero Д л и ну.
Напомним известные из арифметики свойства пропорций.
1. Если даны четыре отрезка А, В, С и D, причём
А С
n== D '
то
А · D == В · С,
т. е.
Произведение крайних членов nроnорции равно nроuзведению
средних её членов.
2. Если
А В
B С '
то
В2 == А · с.
Отрезок В называется в этом случае средним пропорциональ"
ным между отрезками А и' С.
3. Если
А С
8==75'
ТО
А+В
в
C+D . А+В
D А
C+D
С
и
A B
В
C D
D
A B
А
C D
С
т. е.
CYlrtMa или разность членов nервОёО отношения так относится
к своему nоследУЮlцему (или предыдущему), как сумма или раз
ность членов втОрОёО отНОluенuя относится к своему noследую
щему (или предыдущему).
4 Если
А С
8==/5'
ТО
А+С А С
B+D==B==/5'
Т. е.
Сумма предыдущих так относится 1(, сумме последующих, как
каждый предыдущий 1(, своему последующему.
5. Если
А С Е К
в==й==р== ... ==у'
134
ТО
А+С+Е+ ... +К А С Е
B+D+F+ ... +L==B==15==p==
. . .
к
у'
Т. е.
В ряде равных отношений сумма всех предыдущих относится
к сумме всех последующих, как каждый предыдущий к своему
пас ледУЮlцему.
111. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНblХ ПРЯМblХ,
ПЕРЕСЕКАЮU(ИХ ДВЕ друrИЕ ПРЯМЫЕ.
169.
Т е о р е м а. Три параллельные прямые, nересек.ающие
две прямые, отсекают на них nроnорциональные от..
резки.
Даны прямые КЬ и RN, пересекаемые параллельными пря
мыми АВ, CD и ЕР (черт. 188).
Требуется доказать, что
АС BD
СЕ == DF .
orYT представиться два случая.
1. Отрезки АС и СЕ соизме
р и м ы, значит их отношение рацио
нально, например равно 0,7, т. е.
АС
СЕ == 0,7. К
Черт. 188.
1
Следовательно, 10 часть СЕ укла
дывается в АС 7 раз. А потому разделим отрезок АЕ на 17 рав-
ных частей. Проведя через точки деления прямые, параллельные
секущей АВ (а следовательно, и CD и ЕР), заметим, что ВР
также разделится на 17 равных частей (9 89), причём BD будет
содержать 7 таких частей, а DF 10 частей. Значит, /0 часть DF
укладывается в отрезке BD также 7 раз, Т. е.
BD
DF ==.0,7.
Следовательно,
АС BD
ЕС DF ·
2. Отрезки АС и СЕ н е с о и з м е р и мы. Значит, их OTHO
шение иррационально, т. е. представляется бесконечной неперио
дической десятичной дробью, например,
АС
СЕ == 0,6372 · · ·
135
Это отношение с точностью до 0,1 равно 0,6. Это значит,
что 110 часть отрезка СЕ отложится 6 раз на отрезке АС, и оста-
..
нется отрезок, меньший этой части. Сделав это построение, про-
ведём через точки деления прямые, параллельные АВ. Тоrда
отрезок DF разделится на 10 равных частей, а BD будет содер-
жать 6 таких частей с некоторым остатком, меньшим этой части.
BD
Следовательно, отношение DF с точностью до 0,1 также рав-
но 0,6.
Взяв отношение АС: СЕ с точностью до 0,01, т. е. взяв ero
равным 0,63, и выполнив такое же построение, найдём, что отно-
шение BD: DF с точностью до 0,01 будет также равно 0,63.
Продолжая увеличивать точность, найдём, что точная величина
BD v б u u б
отношения DF выразится тои же есконечнои десятичнои дро ью
АС
0,6372 . .. , что и отношение СЕ :
8D
DF == 0,6372 · · ·
Следовательно,
АС BD
СЕ == DF ·
170.
Т е о р е м а. Прямая, параллельная одной из сторон
mреуzольника и пересе"ающая две друzие ezo CmOPOHbl,
делит их на пропорциональные части.
Даны Д АВС и прямая DE 11 АС (черт. 189). Требуется ДOKa
,
зать, Что
F
в
G
AD СЕ
DB ----- ЕВ ·
Проведя через точку В ПрЯМУIО РО,
параллельную АС, заметим, что три парал
лельные прямые РО, DE и АС пересекают
две непараллельные прямые АВ и ве, а
потому, в силу предыдущей теоремы,
AD СЕ
DB ----- ЕВ .
С л е Д с т в и е. П рЯ.А1ая, nараллельная одноЙ стороне треусоль
ника и nересекающая две друсие, отсекает на них отрезки, nро-
порцuональные этим сторонам.
LLействительно, из пропорции
AD СЕ
DB ----- ВЕ
д
Черт. 189.
следует (см. 9 168, п. 3):
AD + DB
DB
СЕ + ЕВ
ВЕ
136
или
АВ ВС
D В == ВЕ '
или, переставляя средние члены,
АВ DB
ВС ---- ВЕ
и
AD + DB
AD
СЕ + ЕВ
СЕ
,
или
АВ ВС
AD == СЕ '
или, переставляя средние члены,
АВ AD
ВС == СЕ ·
Т е о р е м а о б р а т н а я. Если прямая, пересвкающая
две стороны. треуzоль ника, делит их на пропорцио-
.,
нальные части, то она параллельна третьеи етороне
треуzольника.
AD СЕ
Дано: BD == ВЕ . Требуется доказать, что DE 11 АС.
Из данной пропорции следует (см. следствие прямой теоремы):
АВ DB
ВС ВЕ ·
Допустим, что не прямая DE, а друrая прямая DF парал-
лельна АС. Тоrда, в силу следствия прямой теоремы,
АВ DB
ВС == ВР ·
Сравнивая две написанные пропорции, находим, что в них
3 члена одинаковы, а следовательно, и четвертые члены должны
быть равны, Т. е.
ВЕ == ВР.
А это значит, что DE совпадает с DF, Т. е., что DE [1 АС.
171.
т е о р е м а. Если в треуzольнике провести прямую,
пересекающую боковые стороны. и параллельную осно-
ванию, то отношение основания к отрезку секущей,
лежащему внутри треуzольника, равно отношению
всей боковой стороны к её отрезку, не прилежащему
к основанию.
Дано: DE 11 АС (черт. 190). Требуется доказать, что
АС АВ ВС
DE == BD == ВЕ ·
137
Проведём прямую DF, параллельную ВС. В силу следствия
теоремы 170 имеем:
Т е о р е м а. Если две параллельные прямые пересечь
двумя прямыми, пересекающимися между параллель..
HblMU пря.мыми l то отношение oт
резков каждой из этих прямых равно
отношению оmрезков, образовавшихея
на параллельных прямых.
Дано АВ 11 CD (черт. 191). Требуется дo
казать, что
в
д
Черт. 190.
А потому
АС АВ
............... ............ ............... .
ЕС BD '
но
РС == DE,
с
следовательно,
АС АВ
DE BD .
В силу Toro же следствия имеем
АВ ВС
BD ВЕ ·
АС АВ дС
DE BD ВЕ ·
172.
д
в
АР ВР АВ
Е D == ЕС == CD .
Построим Д А' В' Р, симметричныЙ с Tpe Черт. 191.
уrольником АВР относительно точки Р.
А' В' "АВ (как симметричные прямые, 105), следовательно,
А' В' 11 CD. А потому:
но
A'F B'F А'В'
FD == FC == CD '
А'Р == АР, В'Р == ВР и А'В' == АВ,
как симметричные отрезки. Следовательно,
АР ВР АВ
FD == РС == CD ·
IV. ПОСТРОЕНИЕ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫХ ОТРЕЗКОВ.
173.
3 а д а ч а 1. Даны три отрезка а, Ь и с; построить отрезок
х так, чтобы а : Ь ==: с : х.
138
Реш е н и е. На стороне произвольноrо уrла от ero вершины
откладываем отрезки ОА == а, ОВ == Ь, а на второй стороне
отрезок ос == с (черт 192). Соединив А и С,
проводим прямую ВХ 11 АС. Отрезок ох === х.
3 а Д а ч а 2. Данный отрезок разделить
в данном отношении т : n, т. е. на данно.и О
отрезке АВ найти точку Х такую, что
АХ : Х В == т : п .
Реш е н и е. Рассмотрим два случая.
1. Отношение т: n дано в виде отношения двух заданных
отрезков. Через конец А данноrо отрезка АВ (черт. 193) прово
ДИ t произвольную прямую и на ней от точки А откладываем
последовательно отрезки АС == т и CD === n. Соединив точки В
и D, проводим прямую СХ" BD.
Точка Х ----- искомая, так как АХ:
:XB==AC:CD. .
2. Отношение т: n дано в виде
отношения двух раuиональных чисел.
Такое отношение всеrда можно заме
нить отношением целых чисел. На..
пример,
174.
д
в
Черт. 193.
с
Черт. 192.
5.2 5 . 4
m:n== 14 .7=== · ·
Взяв произвольную единицу измерения е, строим отрезки
m==5е и n==4е
и для этих отрезков выполняем предыдущее построение.
Задача, очевидно, всеrда имеет решение и притом только одно.
В самом деле, д,,'IЯ всякой точки Х' отрезка АВ, лежащей вправо
от Х, имеем:
следовательно,
АХ'>АХ и Х'В<ХВ,
АХ' АХ АХ' т
Х' В > ХВ ' т. е. Х' В > n ·
Точно так же для всякой точки Х", лежащей влево от Х,
имеем АХ" < АХ и Х"В > ХВ, следовательно, < , т. е.
АХ" т
ХНВ < n. ТаКИ 1 образом, на отрезке АВ кроме точки Х нет
друrой ТОЧI{И, которая разделяла бы отреЗОI{ АВ на части, Haxo
т
дящиеся в отношении n.
139
175.
3 а Д а ч а 3. Данный отрезок разделить на несколько частей,
находящихся между собоЙ в заданном отношении т: n : р : q.
Решение. Через конец А данноrо отрезка АВ (черт. 194)
проводим произвольную прямую и на ней от точки А откладывае 1
последовательно отрезки АМ == т, MN == n, N Р == р, PQ == q.
Соединив точки Q и В, проводим пря-
мые МХ, NY, PZ, параллельные QB.
Точки Х, У, Z искомые, так как из
теоремы Э 169 следует, что
АХ : ХУ : YZ : ZB == т : п : р : q.
Q
в 176. Внешнее деление отрезка.
Черт. ]04. 3 а д а ч а 4. На продолжении дан-
НО20 оmрезка найти точку, расстояния
которой от концов даННО20 оmрезка на-
ходятся в данном от.чошении т : n, т. е.
на продолжении отрезка АВ найти
точку Х такую, что АХ: Х В == т : n
(черт. 195).
Реш е н и е. Проводим через точку А
произвольную прямую И на ней от точ-
Черт. 195. ки А откладываем отрезок АС == т,
а от точки С в сторону точки А........... от-
резок CD === n. Соединив точки D и В, проводим прямую СХ 11 BD.
Точка Х искомая, так как
АХ АС т
ВХ === CD === n ·
Если отношение т : n дано KaI{ отношение двух чисел, посту-
паем так же, как в Э 174.
Принято rоворить, что точка Х, лежащая на продолжении
отрезка АВ и удовлетворяющая пропорции АХ : ВХ . т : n, делит
отрезок АВ в отношении т: n внешним образом.
Задача внешнеrо деления отрезка также имеет только одно
решение.
177. rармоническая rpynna точек.
Если две точки Х и У делят отрезок АВ одна внутренним,
а друrая внешним образом в одном и том же отношении, т. е.
. АХ : Х В == А}' : У В,
то rоворят, что точки Х, у разделяют rармонически точки А и В.
Т е о р е м а. Если точ"и Х и У разделяют zapMOHU"
чес"и точ"и А и B то и точ"и А и В разделяют zap..
N-оничес"и точ"и Х и У.
140
Дано (черт. 196).
АХ : Х В == А У : У В.
Требуется доказать, что
ХВ : ВУ == ХА : АУ.
Переставляя в данной пропорции средние члены, получим:
АХ : АУ == ХВ : ВУ,
д
I
х в
I I
у
I
или, меняя местами правую и
левую части,
ХВ : ВУ == ХА : АУ.
rруппа точек А, В, Х, У, лежащих на одной прямой и удов..
летворяющих пропорции
Черт. 196.
АХ : ХВ == АУ : У В,
называется rармонической rруппой точек. В этой rруппе точки
Х, У называются rармонически сопряжёнными относительно точек
А и В и, наоборот, точки А, В rармонически сопряжёнными отно"
сительно точек Х и У.
178. Построение четвёртой rармонической к трём
данным точкам.
3 а Д а ч а. Даны три точки на одной прямой А, В и с. По..
строить точку Х, сармонически соnряжёННУIО с одноЙ из этих
точек относительно двух друсих (черт. 197).
Реш е н и е. Допустим, что В лежит между А и С. Построим
точку, rармонически сопряжённую с В относительно А и с. Для
искомой точки Х должно быть
АХ АВ
ХС === ВС . Через точку А про..
водим какую-либо прямую и на
ней от точки А откладываем от..
резок AD == АВ, а от точки D
в обратную сторону отрезок
DE == ВС. Соединяем точки С
и Е и проводим прямую DX "
11 СЕ. Точка Х ----- искомая (9 170).
Задача возможна и имеет лишь одно решение, если АВ =1= ВС.
Если АВ == ВС, то задача не имеет решения, так как в этом
случае точка Е совпадает с точкой А.
Подобным же образом строится точка, rармонически сопря..
жённая с С относительно А и В, а также точка, rармонически
сопряжённая с А относительно В и С, причём для этих случаев
задача всеrда возможна и имеет лишь одно решение.
......
.......
........
........
........
........
......
.........
........
.......
д
в
с
х
Черт. 197.
141
179. Пропорциональный циркуль.
Для изменения длины данных линий в заданном отношении употребляется
прибор, называемый пропорциональным циркулем. Он состоит из двух равных
по длине пластинок с остриями на концах (черт. 198). Вдоль пластинок сде-
ланы прорезы, в которые вложены короткие пластинки с отверстиями для
ви нта, BOKpyr KOToporo пластинки
MorYT вращаться. 1( or да винт ослаб-
лен, короткие пластинки MorYT пере-
мещаться в прорезах так, что длина
ножек цирку ля может изменяться.
В силу теоремы Э 172 отношение
расстояния между остриями верхних
ножек к расстоянию между остриями
нижних равно отношению длины верх-
них ножек к длине нижних.
Для изменения линий в данном
отношении устанавливают центр винта
так, чтобы длины верхних и нижних ножек находились в данном отношении.
После этоrо, закрепив винт, ставят концы нижних ножек на концы заданноrо
отрезка и между верхними концами получают изменённую длину отрезка.
Особенно удобно пользоваться пропорциональным циркулем, коrда приходится
изменять длины большоrо числа отрезков в одном и том же отношении.
Черт. 198.
У. CBOftCTBA РАВНОДЕЛЯЩИХ уrлов ТРЕуrОЛЬНИКА.
180.
Т е о р е м а. о Равноделящая 8нутренне20 уzла треУ20ЛЬ-
ника делит противоположную сторону на части, nро-
порциональные прилежащи.м. сторонам.
Дано: L АВЕ == L СВЕ (ч рт. 199). Тре-
буется доказать, что
АЕ АВ
ЕС ВС ·
Проведём через точку С прямую CD" ВЕ
дО пересечения её в точке D с продолжением
стороны АВ. Замечаем, что L АВЕ == LBDC
(как соответственные), L СВЕ == L BCD (как
накрест лежащие); но по условию
LABE == L СВЕ,
L BDC == L BCD,
следовательно, Д BCD равнобедренный, в нём BD == ВС. В тре-
уrольнике ACD имеем (9 170):
АЕ АВ
ЕС BD .
а потому
о
д
Черт. 199.
Заменяя в этой пропорции отрезок BD равным ему отрезком
ВС, получим:
АЕ АВ
ЕС ВС ·
142
181.
Т е о р е м а. Равноделящая внешнеzо уzла треуzоль-
ника делит противоположную сторону внешним об-
разом в отношении, равном отношению прилежащих
сторон.
Дано L CBD === L DBE Е
(черт. 200). Требуется доказать,
что
AD АВ
CD ВС .
о
д
Проведём прямую СР" BD.
Замечаем, что L ВРС === L DBE
(как соответственные), L РСВ ==
== L CBD (как накрест лежащие). Но L CBD == L DBE, следова-
тельно, L BFC == L РСВ, значит, треуrольник РВС равнобедрен-
ный, т. е. ВР == ВС. В треуrольнике ABD и Mee:V1 (Э 170, след.):
AD АВ
CD вр '
Черт. 200.
а так как вр == ВС, то
AD АВ
CD ВС .
182.
Теорема (обратная обеим предыдущим).
Если прямая, проходящая через вершину треуzоль-
ника, делит противоположную сторону внутренним
(или внешним) образом в отношении, равном отноше-
нию прилежащих сторон, то она служит равноделя-
щей mozo уzла (или mozo внешнеzо уzла), через вершину
KOmOPOZO она проходит.
Рассмотрим случай внутреинеrо деления.
АЕ АВ
Дано: ЕС === ВС (черт. 199). Требуется доказать, что прямая
ВЕ делит пополам L АВС. Если бы не прямая ВЕ, а друrая
ПРЯ 1ая ВЕ} делила пополам L АВС, то мы имели бы:
АЕ 1 АВ
Е 1 С ВС ·
Значит, две точки Е и El делили бы отрезок АС в одном
и том же отношении, что невозможно (э 174).
Так же доказывается теорема и в случае внешнеrо деления.
3 а м е ч а н и е. Равноделящая ВО BHYTpeHHero yr ла АВС и равноделя-
щая BD смежноrо внешнеrо уrла СВЕ треуrольника АВС (черт. 201) пересекают
прямую АС соответственно в точках G и D, образующих с точками А и С
АО AD АВ
rармоническую rpynny точек, так как ас == DC == ВС · При этом ВО BD,
1-13
как равноделящие смежных yr ЛОВ. "Т'IerKo эаметить, что справедливо и о б Р а Т-
н о е предложение, именно: если точки А и С rармонически сопряжены
точкам О и D и из какой либо точки В вне прямой АС проведены прямые
ВА, ВС, ВО, BD, причём оказа-
лось, что ВО BD, то прямые ва
и BD служат, соответственно, рав-
ноделящими yr ла АВС и yr ла
с ним смежноrо. В самом деле,
если бы прямая ва не была рав-
ноделящей уrла АВС, то можно
было бы построить уrол О ВА'
равным уrлу ОВС. Прямая Ва
служила бы равноделящей уrла
А' ВС, а прямая BD, как перпен
дикулярная ва, была бы paBHoдe
лящей смежноrо уrла СВЕ' и
точки О и D были бы rармонически сопряжены с точками А' и С. Но для
точек О, D и С можно построить лишь одну точку А, rармонически сопря
жённую с С относительно О и D. Следовательно, А' должно совпасть с А,
а прямая Ва должна служить равноделящей уrла АВС.
"-
,/
",
"
"
"
"
д'
Черт. 201.
D
183.
3 а Д а ч а. Найти ееомеmрическое место точек, отношение расстояний
которых от концов данноео отрезка есть заданная постоянная величина.
а
Дан отрезок АВ (черт. 202) и некоторое число ь. Радиусами, равными
а и Ь (или радиусами, им пропорциональными), описываем из точек А и В,
как из центров, две дуrи. Точка Х пересечения этих дуr будет одной из
искомых точек. Разделив уrол АХВ
и смежный с ни\-! пополам пря-
мыми ХС И XD, получим на пря-
мой АВ две точки С и D, также
принадлежащие искомому reoMe-
трическому месту, так как
АС : С В == а : Ь и AD : BD == а : Ь
(Э 180 и 181), причём точки А,.
В, С, D образуют rармоническую
rруппу точек. Так как L CXD
прямой, то точка Х лежит на ок-
ружности, описанной на .CD, как
на диаметре. Покажем, что каж- Черт. 202.
дая точка этой окружности при
надлежит искомому rеометрическому месту. Возьмём на этой окружности
произвольную точку У и соединим её с точками А, В, С и D. Пары точек
А, В и С, D rаРМОJIически сопряжены, и, кроме Toro, уrол DYC прямой,
как опирающийся на диаметр, а поэтому (э 182, замечание)
L АУС == L ВУС,
следовательно,
АУ АС а
УВ == СВ == ь.
Итак:
reoAIempU'lec"oe .место точе", расстояния "оторых от "OH
а
цов данноzо отрезка находятся в данном отношении Ь' есть
о"ружность, описанная, "а" на диа.метре, на отрезке .между
144
mоч,,,а.мu, делящи.ми данный оmрезо" бн,утренни.м и бнешни.м, 06.
а
разо.м, б оmношении Ь . Эта окружность называется окружностью Апол-
лоuия, по имени впервые открывшеrо её rреческоrо reoMeTpa Аполлония
Перrскоrо, жившеrо в 111 веке до н. Э.
VI. УПРАЖНЕНИЯ К rЛАВЕ пятой.
А. Д о к а з а т ь т е о р е м ы.
1. Лежащий внутри треуrольника отрезок секущей, параллельной осно-
ванию треуrольника, при пересечении с медианой основания делится по-
полам.
2. Из произвольной точки О К двум параллельным прямым проведён
ряд секущих прямых ОАА', ОВВ', ОСС', ODD',..., встречающих первую
прямую в точках А, В, С, О, а вторую соответственно в точках А', В'. С', D'.
АВ ВС CD
Доказать, что А' В' == В'С' == С' D' == . · · [1].
3. Каждая диаrональ трапеции при пересечении с друrой диаrQналью
разбивается на части, находящиеся в одинаковом отношении для обеих диа-
rоналей.
4. Лежащий внутри трапеции отрезок прямой, параЛJlельный основаниям
трапеции и проходящий через точку пересечения её диаrоналей) делится
в этой точке пополам [1].
5. Даны два треуrольника АВС и АВС 1 с общим основанием А В и рав-
ными высотами CD и CtDI. Прямая EF, параллельная АВ, пересекает сто-
роны первоrо треуrольника в точках М и N и стороны BToporo в точках
М и N l' Доказать, что MN == М lN 1 [1].
6. Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, проходит через
точку пересечения её диаrоналей.
Б. r е о м е т р и ч е с к и е м е с т а т о чек.
7. Найти rеометри-ческое место середин лежащих внутри треуrольника
отрезков секущих, параллельных основанию треуrольника. Omв. Медиана
основания треуrольника.
8. Найти rеометрическое место точек, отношение расстояний которых от
сторон данноrо уrла равно данной величине. Отв. Луч, проходящий через
вершину уrла.
9. Найти rеометрическое место точек, делящих в данном отношении
отрезки параллельных прямых, заключённые между сторонами уrла.
O/nв. Луч, проходящий через вершину yr ла.
10. Найти rеометрическое место точек, делящих в данном отношении
отрезки всех прямых, пересекающих две параллельные прямые, заКJlючённые
между этими прямыми. Отв. Прямая, параллельная данным.
11. Найти rеометрическое место точек, делящих в данном отношении
отрезки всех прямых, проведённых из общей точки О до встречи с данной
прямой АВ. Отв. Прямая, параллельная АВ.
12. Даны две параллельные прямые р и q. На прямой р даны две непо-
движные точки А и В. По прямой q перемещаются две точки М и N так, что
расстояние между ними MN остаётся неизменным. По какой линии переме-
щается при этом точка пересечения прямых АМ и BN? Отв. По прямой,
параллельной прямым р и q.
13. Найти rеометрическое место центров прямоуrольников, вписаННbJХ
в данный треуrольник так, что две вершины прямоуrольника лежат на осно-
вании треуrольника, а две друrие на боковых сторонах [1].
Отв. Отрезок прямой, соединяющей середину высоты с серединой
основания.
10 Элемент. rеометрия, 1.
145
В. 3 а д а ч и н а n о с т р о е н и е.
14. Дан уrол АВС и какая либо точка О в ero плоскости. Провести
через эту точку прямую так, чтобы отрезки, отсекаемые ею на сторонах уrла,
находились в заданном отношении т : n.
15. Через данную точку внутри yrJla провести прямую так, чтобы её
отрезок, лежащий между сторонами уrла, делился данной точкой в заданном
отношении т : n.
16. Через данную точку вне уrла провести прямую, пересекающую сто-
роны уrла так, чтобы данная точка делила отрезок этой прямой, лежащий
между сторонами этоrо уrла, внешним образом в заданном отношении т : n.
17. Даны три луча ОА, ОВ и ОЕ, выходящие из одной точки, и какая-
либо точка М, не лежащая ни на одном из них. Провести через эту точку
прямую, пересекающую все три луча так, чтобы её отрезки, заКJIючённые
между данными лучами, находились в данном отношении [3].
] 8. В данный треуrольник вписать прямоуrольник так, чтобы две ero
вершины .лежали на основании, а две друrие ----- на боковых сторонах, и так,
чтобы диаrональ этоrо прямоуrольника имела наименьшую длину.
у к а з а н и е. При помощи теоремы упр. 5 свести задачу к случаю пря-
моуrольноrо треуrольника.
Оmв. Из конца А основания АВ данноrо треуrольника АВС восставляем
перпендикуляр к стороне АВ и откладываем на нём отрезок AC t , равный
высоте данноrо треуrольника: АС 1 == hc. Соединив точки С 1 И В, опускаем
из точки А перпендикуляр AD на прямую С 1 В 1 . Через точку D проводим
прямую, параллельную АВ. Эта прямая пересечёт стороны АС и ВС в двух
вершинах искомоrо прямоуrольника.
19. В данный треуrольник вписать прямоуrольник так, чтобы ero диаrо-
паль имела данную длину [3].
См. у к а з а н и е к у пр. 18.
20. В данный треуrольник вписать прямоуrольник дапноrо пери-
метра [3].
См. у к а з а н и е к упр. 18.
21. В данный четырёхуrольник вписать ромб так, чтобы ero стороны были
параллельны диаrоналям четырёхуrольника [3].
у к а з а н и е. Вершины ромба делят стороны четырёхуrольника в отноше-
нии, равном отношению диаrоналей четырёхуrольника.
П о с т р о и т ь т р е у r о л ь н и к, если даны:
22. а, а : Ь, L.. С. 23. а : Ь : с, а. 24. а + ь, а : Ь, L С.
25. а + Ь + с, а : Ь : с. 26. R, С, Ра : Рь. 27. а, hc, Ра : Рь.
Решение нижеследующих задач основано на изложенном в 180 183.
П о с т р о и т ь т р е у r о л ь н и к, есл и да ны :
28. с, а : Ь, L А. 29. с, а : Ь, L С. 30. с, а : Ь, hc. 31. а : Ь, q А' L А.
32. а : Ь, qA' L С. 33. qA : qB' а, hc. 34. qA : QB, а, mс. 35. QA : QB' L С, R.
36. а, Ь, 'с. [4].
f. 3 а д а ч и н а в ы ч и с л е н и е.
37. Дуrи, стяrиваемые сторонами вписанноrо четырёхуrольника, относятся,
как 1: 2 : 3 : 4; определить уrол между диаrоналями этоrо четырёхуrоль-
ника. Отв. 720.
38. Определить вписанный уrол, образованный двумя хордами, из которых
первая равна стороне правильноrо вписанноrо шестиуrольника, а друrая-----
стороне правильноrо вписанноrо десятиуrольника. Отв. 1320.
39. На какую длину следует продолжить отрезок АВ === 20 СМ, чтобы
АХ : ВХ === 3 : 2. Отв. На 40 СМ.
40. Через точку D стороны АВ треуrольника АВС проведена секущая
DE, параллельная основанию АС. Определить длину DE, если АВ:;:: 155 СМ,
АС == 10 е'м и AD === 3,1 СМ. Оmв. 8 СМ.
J46
41. Отрезок секущей DE, лроходящей через точку D стороны АВ тре-
уrольника АВС параллельна основанию АС, равен 7 см. Найти длину сто-
роны АС, если АВ 24 см и AD == 10 см. Оmв. 12 см.
42. Основания трапеции равны 15 см и 25 см; определить отношения
отрезков, на которые разбивается каждая её диаrонзль при их взаимном пе-
ресечении. Оmв. 3 : 5.
43. Боковые стороны трапеции, продолженные до вззимноrо пересечения,
образуют вместе с меньшим основанием трапеции треуrольник. Вычислить
ero стороны если основания трапеции равны 12 см и 18 см, а боковые её
стороны 7 см и 9 см. Отв. 14 см и 18 см.
44. Боковые стороны трапеции, продолженные до взаимноrо пересечения,
образуют вместе с меньшим основанием трапеции треуrОJ1ЬНИК со сторонами
5 см, 7 см и 9 см, причём сторона 9 см есть меньшее основание трапеции.
Одна из боковых её сторон равна 10 см. Определить вторую боковую сторону
и большее основание трапеции. Отв. 14 см и 27 см.
45. Основания трапеции равны 12 см и 18 см, боковые её стороны равны
7 с'м и 9 см. Определить длину: 1) лежащеrо внутри трапеции отрезка пря-
мой, проходящей через точку пересечения диаrоналей трапеции и параллель-
ной её основаниям; 2) отрезков, отсекаемых :,той прямой на боковых сторонах.
Omв. 14,4 см, 2,8 см, 3,6 см.
46. Зная длины а, Ь и с сторон треуrольника АВС, вычислить длины
ас Ьс
отрезков q А и q В' Оmв. q А а + Ь ; q в == а + Ь .
47. Через точку, делящую боковую сторону трапеции на части, находя-
щиеся в отношении т : n, проведена секущая, параллельная основаниям тра-
пеции. Определить длину отрезка этой секущей, лежащеrо внутри трапеции,
.. аn + Ьm
если ее основания равны а и Ь. Отв. + .
т n
r л А В А Ш Е С Т А Я.
ПОДОБНОЕ nРЕОБРА30ВАНИЕ фиrур.
1. ОБЩИЙ ПРИЁМ ПОДОБноrо ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
184. Предварительные замечания.
При решении мноrих задач часто возникает необходимость
изменять размеры фиrур без изменения их формы. Так, при
u Ь
составлении планов здании и различных сооружении часто при-
ходится вычерчивать эти планы в различных масштабах. Та же
задача возникает при составлении rеоrрафических карт, которые
изrотовляются или в размере стенной карты, или в размере карты
атласа, или, наконец, в размере страницы учебника.
Во всех таких случаях нужно уметь из одноrо рисунка по-
лучить друrой, той же формы, но в должное число раз больший
или меньший данноrо.
Переход от одноrо вида данной фиrуры к друrому её виду
называется преобразованием этой фиrуры. Чтобы при этом пре-
образовании изменялись лишь размеры фиrуры, а форма её оста-
10.
147
валась без изменения, как это бывает, например, при увеличении
фотоснимков, это преобразование должно выполняться по опре
делённым правилам, с которыми учащиеся познакомятся в этои
r лаве.
185. Подобное преобразование фиrур.
Подобным преобразованием какой либо фиrуры называется
следующее построение. В плоскости данной фиrуры выбирают
произвольную точку и соединяют её со всеми точками данной
фиrуры. ПолучаlОТ таким образом с о в о к у п н о с т ь о т рез к о в
с о б щ и м н а ч а л о м. После этоrо удлиняют (или укорачивают)
все эти отрезки в одно и то же число раз, т. е. изменяют их
в одном и том же отноше
нии. Свободные концы этих
изменённых отрезков обра
зуют новую фиrуру. Такой
способ получения из дaH
ной фиrуры новой и Ha
зывается подобным I1реоб
разованием данной фиrуры.
Выбранное общее нача-
ло отрезков называется
центром подобия, а OTHO
Черт. 203. шение, в котором изменя-
ются все отрезки, Т. е. от-
ношение изменённоrо отрезка к первоначальному, называется коэф
фициентом подобия.
Если этот коэффициент больше единицы, то, как увидим, при
преобразовании фиrура увеличивается, а если он меньше еди-
ницы, то уменьшается.
Такому преобразованию подверrают фиrуру, Kor да желают
изменить её размер, не изменяя формы. Примером TaKoro пре
образования служит представленное на черт. 203 подобное пре
образование рисунка листа клёна при коэффициенте подобия k == 3.
На чертеже изображено лишь небольшое число лучей, исходящих
из центра подобия О. При этом проведены те лучи, которые
необходимы, чтобы образовался контур ново['о рисунка. Этот
контур имеет весьма сложную форму и вычертить ero полностью
лишь с помощью циркуля и линейки невозможно. Для вычерчи
вания столь сложных контуров примеНЯIОТСЯ более сложные при
боры, которые будут описаны ниже (э 202). Если же данная
фиrура составлена из прямолинейных отрезков, то для преобра-
зования всей фиrуры достаточно преобразовать каждый из этих
отрезков. Такое преобразование, как мы увидим, выполнимо с по-
мощью циркуля и линейки.
Две фиrуры, получаемые одна из друrой подобным преобразо
ванием, называются перспеl{тивно-подобными. Таковы, например,
фиrуры, изображённые на черт. 203.
148
186. Подобное преобразование отрезка.
Дан отрезок АВ (черт. 204). Приняв какую-либо точку С за
центр подобия, произвольное число k за коэффициент подобия,
построим фиrуру, перспективно-подоБНУIО отрезку АВ. ДЛЯ этоrо
соединим точку О с точками А и В.
Отложим на прямых ОА и 08
от точки О отрезки ОА 1 и ОВ 1 ,
такие, что
ОА] == ОБ 1 == k
ОА ОБ .
о
Точки А 1 И В 1 получаIОТСЯ по-
добным преобразованием точек Черт. 204.
А И В. Соединив теперь точку А 1
и Вl' возьмём на отрезке А 1 В 1 произвольную точку М 1 И прове
дём прямую ОМ 1 , пересекаIОЩУЮ отрезок АВ в некоторой точке М.
В треуrольнике ОА 1 В 1 имеем:
ОА 1 ОБ 1
ОА == ОБ ;
следовательно, А 1 В 1 " АВ.
В треуrольнике ОА 1 М 1 будет А 1 М 1 " АМ, следовательно,
ОМ! OA 1
-----
ОМ ОА'
а потому
ОМ) == k
ОМ .
Значит, точка М 1 получается подобным преобразованиеf\1 точки М.
Так как М 1 любая точка отрезка А1Вl' то все точки отрезка
А 1 В 1 MorYT быть получены подобным преобразованием точек OT
резка АВ. Следовательно, фиrурой, перспективно-подобной OT
резку АВ, служит отрезок А 1 В 1 . При этом А1Вl" АВ, а потому
из Д A 1 0B 1 имеем:
А]Б 1 == OA 1 == k
АБ ОА .
Итак, фиzура, перспективно..подобная данному от-
резку есть новы,й отрезок, параллельный данному,
причём отношение этоzо отрезка к данному равно
коэффициенту подобия.
187. Примеры подобноrо преобразования фиrур.
3 а д а ч а ]. Построить фисуру, перспективно..подобную mре-
У20льнику АВС (черт. 205), если коэффициент подобия k == 3 и за
центр подобия принята какая-либо точка О вflутри треУ20ЛЬ-
НИ1Ш.
149
Реш е н и е. Соединяем точку О с точками А, В и с. Продол-
жаем прямые ОА, 08 и ОС за точки А, 8 и С и откладываем
на них от точки О отрезки
ОА 1 == 30А; 081 === 30В
и ОС 1 == ЗОС.
д А 1 В 1 С 1 искомая фиrура.
3 а д а ч а 2. Выполнить такое
же построение, принимая за центр
подобия одну из вершин треУ20ЛЬ-
ника.
Реш е н и е. Примем за центр
подобия вершину В (черт. 206).
Следуя общему правилу , нужно
соединить центр подобия с вер-
UJинами треуrольника. Так как
центр подобия совпадает с В, то остаётся провести прямые, сое-
диняющие центр подобия с вершинами А и С. Эти прямые сов-
паД310Т со сторонами ВА и ВС. Продолжив эти стороны, отло-
жим на них от точки В отрезки
А,
Черт. 205.
ВА 1 == 38А, ВС 1 == ЗВС.
Соединив точки А} и С}, получим 6 А 1 8С}, который и будет
ИСКО 1ЫМ.
3 а д а ч а 3. Построить фи2УРУ, перспективно подобн.ую пяти-
1
У20льнику A8CDE при коэффициенте подобия k == 2"' приняв за
центр подобия какую либо точку О вне пятиУ20льника (черт. 207).
в
Черт. 206.
д
о
8
с
Черт. 207.
Реш е н и е. Соединив центр подобия О с вершинами данноrо
пятиуrольника, откладываем на прямых ОА, ОБ, ОС, OD и ОБ
от точки О отрезки
1 1
ОА 1 == 2" ОА, ОБ} == "2 ОВ,
1 1 1
ОС} == 2 ос, OD} == 2 OD и ОЕ 1 == 2 ОЕ.
150
Точки Аl' Вl' С 1 , D 1 И Е 1 служат вершинами HOBoro пяти-
уrольника, перспективно-подобноrо- данному.
При м е ч а н и е. Так как все отрезки ОА, 08, ... приходится
изменять в одинаковом отношении, то при построении точек А 1 ,
В 1 , ... удобно пользоваться пропорциональным циркулем (9 179).
188. Второй способ подобноrо преобразования;
внутренний и внешний центр подобия.
Пусть какой либо мноrоуrольник, например четырёхуrольник
ABCD (черт. 208), преобразуется в четырёхуrольник A 1 B 1 C 1 D 1
ОА
. при центре подобия О и коэффициенте подобия k == ОА 1 .
Построим четырёхуrольник А' В'С' D', симметричный четырёх
уrольнику A 1 B 1 C 1 D 1 относительно центра О.
Четырёхуr"ольник А' В'С' D' получается из ABCD
следующим образом: соединим верIllИНЫ данноrо О
четырёхуrольника ABCD с центром подобия О,
изменим отрезки ОА, ОВ, ОС, OD в данном отноше-
нии k и отложим эти изменённые отрезки k. ОА,
k · ОВ, k. ОС, k. OD не на лучах ОА, ОВ, ОС,
OD, а на их продолжениях за точку О, так что
ОА' == k · ОА ОВ' == k · ОВ
, ,
ОС' == k · ОС, OD' == k · OD.
Соединяя концы полученных отрезков ОА', ОВ',
ОС', OD' получим четырёхуrольник А' В'С' D'.
Такое построение также называется подобным
преобразованием, причём центр подобия О назы-
вается в этом случае внутренним. При прежнем
способе преобразования центр подобия называется
внешним. При выполнении подобноrо преобразова
ния можно одинаково пользоваться как внутренним,
так и внешним центром подобия.
Черт. 208.
189. Общие свойства двух перспективно-подобных фиrур.
Т е о р е м а. Во вся"их двух перспе"тивно-подобных
фиzурах соответственные отрезки пря-мых пропор-
циональны, а соответственные уzлы равны.
Возьмём, например, два перспективно- подобных треуrольника:
6 АВС и 6 А 1 В 1 С} (черт. 205). Мы должны доказать, что сто-
роны nepBoro треуrольника пропорциональны соответственным сто-
ронам друrоrо и yr лы nepBoro равны соответственным yr лам
BToporo.
В силу Э 186 имеем:
AIB] == k и В.С 1 == k
АВ ве'
151
отсюда:
B 1 C 1 А]8 1
ве == АВ ·
Так же докажем, что
A 1 C 1 AIB)
АС == АВ ·
Далее, так как АВ 11 АIВl' ВС 11 В 1 С}, АС 11 A 1 C 1 (Э 186), то
L АВС == LA}B1C 1 , L ВСА === L B1C1A 1 , L САВ == L C1AIBl'
как уrлы с параллельными сторонами.
То же самое, очевидно, будет верно и для любых двух пер
спективно-подобных фиrур. Например, для пятиуrольников ABCDE
и Al B}C 1 D 1 E 1 (черт. 207) найдём:
AIBl B1C) С}О) DIEl .
АВ == ВС == СО == ОЕ '
L А == L А 1 ; L в == LB 1 ; . · ·
190. Подобные фиrуры.
Возьмём два перспективно-подобных треуrольника: АВС и
A1B1C 1 (черт. 208 а), и построим rде либо на плоскости тре-
уrольник А 2 В 2 С 2 , равный треуrольнику АВС.
Сравним треуrольники A]B1C} и А 2 В 2 С 2 .
42 С 2
Д.
С,
Черт. 208а.
в треyrольниках АВС и A 1 B 1 C 1 соответственные стороны про
порциональны, а соответственные уrлы равны (Э 189). Но
АВС == А 2 В 2 С 2
и, значит, уrлы и стороны АВС равны соответственным уrлам
и сторонам А 2 В 2 С 2 .
А потому и в треуrольниках A1B1C 1 и А 2 В 2 С 2 также соответ-
ственные стороны nропорциональны, а соответственные уrлы равны.
Такое же построение можно выполнить и для любых друrих
перспективно подобных фиrур. .
152
Если подобным преобразованием ОДНОЙ из двух данны)( фиrур
можнО получить фиrуру, равную друrой, то данные фиrуры назы-
ваются подобными (без добавления слова «перспективно»). Таковы,
например, треуrольники A 1 B 1 C 1 и А 2 В 2 С 2 0
Соответственные отрезки в подобных фиrурах называются сход..
ственными. Из предыдущеrо следует, что в двух подобных фU2урах
cxoacmeeHHble отрезки nропорцuональны, а соответственные У2ЛЫ
равны.
Знак подобия N. Например,
A1B1C 1 А 2 В 2 С 2 .
11. ПОДОБИЕ ТРЕуrольников.
191. Предварительные замечания.
Из свойств подобных фиrур вытекает, что во всякuх двух по..
добных треУ20ЛЬНUках соответственные У2ЛЫ равны, а cxoaClneeH-
ные стороны пропорцuональны. Поставим обратную задачу: опре-
делить, каким условиям должны удовлетворять два треуrольника,
чтобы они были подобны, Т. е. чтобы подобным преобразованием
одноrо из них можно было получить треуrольник, равный др У-
rOMY. Для решения этоrо вопроса устанавливаются признаки по-
добия треуrольников.
192. Первый признак подобия треуrольников.
т е о р е м а. Еслu два уzла одноzо mреуzольнu"а равны
двум уzлам друzоzо треуzольнu"а, то треуzольнu"u
подобны.
Даны треуrольники АВС и А 1 В 1 С 1 (черт. 209), причем
L А == L А 1 И L В == L В 1 .
Требуется доказать, что L АВС N AIB1CJo
I
8,
"*
Черт. 209.
Построим треуrОЛhНИК, перспективно- подобный треуrольнику
АВ
АВС, взяв коэффициент подобия k == АВ 1 И приняв за центр по-
добия веРII1ИНУ В.
153
с этой Йелью, ПРОДОЛЖИВ стороны БА и Бе, откладываем на
них от точки В отрезки
ВА' == k · АВ и ВС' == k · ВС.
Соединив точки А' и С', получаем А' ВС' , перспективно-подоб-
ный треуrольнику АВС. Сравним теперь треуrольники А' ВС' и
А 1 В 1 С 1 . Так как А'С' 11 АС (9 186), то
L А L А' ,
но по условию
по условию также
LA LA1'
LA' == LA 1 ;
L В == L В 1 .
следовательно,
Далее, замещая в равенстве
А' В k · АВ
k u u u А]В 1 .
величину равнои еи величинои _ АВ ' получим.
А' В А]В. АВ А В
АВ . 1 1.
Следовательно, треуrольники А' ЕС' и А 1 В 1 С 1 имеют по равной
стороне и двум равным прилежащим к ней уrлам. А потому
L А' ВС' == А 1 В 1 С 1 ,
следовательно,
АВС N А 1 В 1 С 1 .
193. Второй признак подобия треуrольников.
Т е о р е м а. Два треуzольник,а подобны, если они и.меют
по равно.му уzлу, за"лючённо.му .между пропорциональ-
ны.ми сторона.ми.
Дано (черт. 209):
AIBl В]С] / В == / В
АВ ВС и L.. L.. 1.
Построим треуrольник, перспективно-подобный треуrольнику
АВС, приняв за коэффициент подобия k общую величину отноше-
ний
k А.В. В]С.
АВ ВС '
а за центр подобия точку В.
ДЛЯ этой цели на сторонах АВ и ВС
отрезки
(1)
откладываем от точки Б
А' В == k . АВ
(2)
154
и
С' В === k · ВС.
(3)
Соединив точки А' и С', получим 6 А' ВС', перспективно-подобный
треуrольнику АВС.
Сравним А' ВС' и А 1 В 1 С 1 . Замещая в равенстве (2) вели-
чину k равной ей величиной AA I , в равенстве (3) ту же вели
k U u u B)C 1
чину равнои еи величинои ВС ' получим:
А' В == А}В 1 . АВ === А В. С' В == В}С 1 · ВС == В С
АВ 1 1, ВС 1 1.
Следовательно, в треуrольниках А' ВС' и А 1 В 1 С 1 стороны
А' В == А 1 В 1 , ВС' === В 1 С 1 И L В === L В 1 ,
а потому
следовательно,
А' ВС' == А 1 В 1 С 1 ,
6 АВС N L A 1 B 1 C 1 .
194. Третий признак подобия треуrольников.
т е о р е м а. Два треуzольни1(,а подобны, если три сто..
роны. одноzо треуzольни1(,а пропорциональны. трём сто-
ронам друzоzо.
Дано (черт. 209):
А}В 1 B1C 1 AJC.
АВ == ВС == АС .
(4)
Построим треуrольник, перспективно-подобный треуrольнику
АВС, приняв за коэффициент подобия k общую величину отноше-
ний (4):
k А}Вl B 1 C 1 A)C 1
АВ ВС АС '
а за центр подобия точку В.
С этой целью на сторонах АВ и ВС от точки В откладываем
отрезки
(5)
и
А' В === k · АВ
ВС' == k · ВС.
(6)
(7)
Соединив точки А' и С', получим Д А' ВС', перспективно-подоб-
ный АВС, причём
А'С' == k · АС. (8)
Сравним треуrольники А' ВС' и A 1 B 1 C 1 . Замещая в равенстве
(6) величину k равной ей величиной AA J , получим:
А' В == AA ' · АВ == AIBl'
155
Замещая в равенстве (7) величину k взятой из равенства (5) ве-
u В 1 С.
личином ВС получим:
ВС ' BJC] ВС В С
ВС . 1 1.
Точно так же, замещая в равенстве (8) величину k взятой из
(5) u A1C 1
равенства величином АС ' получим:
А'С' == A gl · АС == А 1 С 1 .
Итак,
А' В == АIВ1' ВС' == В 1 С 1 И А'С' == A 1 C 1 ;
следовательно,
6 А' ВС' == 6 А 1 В}С 1 ,
а потому
6 АВС N 6 А}В 1 С 1 о
195. Четвёртый признак подобия треуrольников.
Т е о р е м а. Два mреуzольни"а nодоБНЫ 1 если две сто..
роны OdHOZO nроnорциональны. двум сторонам друzоzо
и уzлы, лежащие против двух соответственно пропор..
циональных CтOPOH 1 равны и если l "ро.м.е mOZO, УZЛЫ.,
лежащие против друzих nроnорционаЛЬНblХ им сторон,
одноимённые (т. е. или оба острые, или оба тупые).
Дано (черт. 209):
L В == L В 1 . A l == AA l . L С и L С 1 острые.
Построим треуrольник, перспективно-подобный треуrольнику
АВС при коэффициенте подобия
k AjB. . A.C 1 ( 9 )
АВ АС '
приняв за центр подобия точку В. Мы получим 6. А' ВС', в ко-
тором
А' В == k · АВ, А'С' == k · АС . . .
( 10)
Сравним треуrольники А' ВС' и А 1 В 1 С 1 . Замещая в равенствах
(1 О) величину k равной ей величиной, взятой из равенств (9),
получим:
А' В == A l . АВ == А 1 В 1 .
А'С' == AA l · АС == А 1 С 1 .
Таким образом, в треуrольниках А' ВС' и А 1 В 1 С 1
L В == L В 1 , А' В == AIBl' А'С' == A 1 C 1 ,
156
L.. C 1 И L.. С ----- острые, а потому
6 А' ВС' == A1B1C 1 ,
следовательно,
АВС <"'J 6 A1B1C 1 .
196. Признаки подобия прямоуrольных треуrольников.
Из доказанных теорем непосредственно BbITeKaloT следующие
признаки подобия прямоуrольных треуrольников.
Пря.моуzольнь/,е треуzольники подобны если:
1) они имеют по равному острому уzлу;
2) катеты. одноzо пропорциональны катетам дру..
ZOZOI.
3) "атет и zипотенуза одноzо пропорциональны ка..
тет у и zипотенузе друzоzо.
197. Сравнение признаков подобия треуrольников
с признаками их равенства.
Обозначим стороны двух треуrольников через а, Ь, с и a 1 , Ь 1 ,
Сl' а уrлы, лежащие против них, через А,В,С и A1,B1,C 1 ,
и составим сравнительную таблицу условий равенства и подобия
треуrольников.
При з н а к и р а В е н с т В а т р е у r о л ь н и к о в.
1. а == аl' Ь == b 1 , L С == L С 1 .
11. а==аl, L..B==LB 1 , LC==LC 1 .
1 1 1. а == al' Ь == Ь 1 , С == С 1 .
IV. а == a 1 , Ь == b 1 , L А == L Al' L.. В и L.. 81 ----- одноимённые.
При з н а к и п о Д о б и я т р е у r о л ь н и к о В.
1. LB==L..Bl' LC==L..C 1 .
а ь
11. == b ,L..C==L..C 1 .
а 1 J
111. a c
al b 1 Cl
IV. !!.. == ь ь , L.. А == L.. Al' L..B и L..Bl ----- одноимённые.
al 1
Эта таблица показывает, что для р а в е н с т в а треуrольников
всеrда нужно иметь на одно условие больше, чем для п о Д о б и я.
Наконец, заметим, что равенство треУ20льников есть частный
случай их подобия, КО2да коэффициент подобия равен единице.
157
111. ПОДОБИЕ мноrоуrольников.
198. Свойства подобных мноrоуrольников.
ИЗ свойств подобных фиrур (Э 189) вытекает, что в двух no
добных МНО20У20льнuках соответственные У2ЛЫ равны, а cxoдcтвeH
ные стороны nроnорцuонаЛЬНbl.
Так, если О ABCDEF N О AIBICIDIEIFl (черт. 210), то
LA==LA 1 , L.B===LB 1 , L.C==LC 1 ,
L. D === L. Dl' L Е == L Еl' L. F == L. F 1 ;
АВ ВС CD DE ЕР
AIB1 == 8.С 1 === CID === DIEl === EIFl ·
8
D
/
/
/
/
I /
I /
I / ,.,"
I / ". .".
/ .".
.".""
81
Е,
F
А,
Черт. 210.
ИСХОДЯ из этоrо свойства подобных мноrоуrольников, можно
доказать следующую теорему.
т е о р е м а. Подобные Jnноzоуzольники сходственными
диаzоналями разделяются на подобные треуzольники.
Проведём в подобных мноrоуrольниках ABCDEF и AIBICIDIEIFl
(черт. 210) диаrонали из вершин А и А 1 И сравним треуrольники
АВС и А 1 В 1 С 1 . Так как
АВ ВС
AIBJ == B1C 1 и L В == L Вl'
то
Следовательно,
6. АВС N L. А 1 В 1 С 1 .
АС АВ
A 1 C 1 AIB. ·
Сравним треуrольники ACD и A 1 C 1 D 1 . По доказанному
АС АВ
А .С 1 == I1 1 В 1 '
а по условию
АВ CD
А)В) C]D 1 '
следовательно,
АС CD
А 1 С. == C 1 D. .
158
Далее, из подобия треуrо.пьников АВС и AJ.B1C 1 следуеТ:
L Аса == L A1C1B 1 ,
а по УСЛОВИIО
L BCD == L B1C1D 1 ,
следовательно,
L ACD == L A 1 C 1 D 1 .
А потому ACD N L. A1C1D 1 .
Так же докажем, что
.6 ADE N L.AIDIEl и 6 AEF N 6 AIEIFl.
С Л е Д с т в и е 1. В подоБныlx .м.ноzоуzольниках сход..
ственные диаzонали пропорциональны сходственным
сторонам, т. е. отношение сходственных диаzоналей
равно отношению сходственных сторон.
В самом деле, из подобия треуrольников АВС и A1B1C 1
следует:
АС ВС АВ
A 1 C 1 В 1 С 1 AJBL ·
Точно так же из подобия треуrольников ACD и A1C1D 1 сле
дует:
AD CD АВ
AIDl == C 1 D. == AIBl ·
Так же найдём, что
АЕ DE АВ
AIEl == D jE 1 == AjB 1 ·
с л е Д с т в и е 2. Отношение периметров подобных
мноzоуzольник.ов равно отношению их сходственных
сторон.
LLействительно, из равенств
АВ ВС CD DE ЕР РА
AIBl == B1C 1 == C 1 D 1 == DJEl == Е 1 Р 1 == F lA '
в силу свойств равных отношений (9 168), имеем:
АВ + ВС + CD + DE + EF + F А АВ ВС
АIВ] + B1C 1 + C1D j + DIEl + Е 1 Р 1 + FI A l == А 1 В 1 === B1C 1 ...
С Л е Д с т в и е з. Отношение пери.м.етров прав ильных
одноu.м.ённых мноzоуzольник.ов равно отношению ради..
усов описанных ок.ружностей, а так.же отношению
их апофе.м..
Правильные одноимённые мноrоуrольники, очевидно, подобн.w,.
а потому, если даны правильные мноrоуrольники ABCDEF и
А' В'С' D' Е' F' и Р и р' их периметры, то
р АВ
P' А'В' .
159
Далее (черт. 210а),
L,AOB N L,A'O'B',
а потому
АВ АО R
А' В' === А'О' == R' ·
Следовательно,
р АО
Р' == А'О' ·
д
D д'
о'
Черт. 210a.
Если ОН апофема, опущенная на сторону АВ, то
L. АОН N L, А'О' Н',
следовательно,
АО ОН
A'O' O'H' .
Таким образом,
р АО ОН
Р' == А/О' == О' Н' ·
199. Признак подобия мноrоуrольников.
Поставим теперь вопрос: каким условиям должны удовлетво-
рять два одноимённых мноrоуrольника, чтобы они были подобны,
Т. е. чтобы подобным преобразованием одноrо из них можно
было получить мноrоуrольник, равный друrому?
Докажем следующую теорему.
т е о р е м а. Два однои.мённь/,х N,ноzоуzольни1(,а подобны,
если стороны одноzо пропорциональны сторонам дру-
. ZOZO, а УZЛЫ, между пропорциональными сторонами
равны.
Д. HЫ два мноrоуrольника ABCDE и AIB1C1DIEl (черт. 211),
причем
L А == L A 1 , L В === L Вl' L С == L C 1 , L D == L D 1 ,
L Е == L Е 1 ,
AIBl В}С 1 C1D} D 1 E] Е 1 А 1
АВ == ве === CD === DE == ЕА ·
(1)
160
Требуется доказать, что подобным f1реоf5разованием первоrо
МlIоrоуrольника можно получить мноrоуI'олыlк,' равныЙ второму.
Обозначим общую величину отношений (1) буквою Il.
А.ВI B1C] EIAI k
АВ ВС . · · . ЕА ·
Из этих равенств непосредственно получаем:
А 1 В 1 == k · АВ, В 1 С 1 == k . ВС, C 1 D 1 == k · CD,
D 1 E 1 == k · DE, Е 1 А 1 === k · ЕА. (2)
д,
С,
в'
д
С'
Черт. 211.
Произведём подобное преобразование мноrоуrольника ABCDE,
приняв коэффициент подобия равным величине k. За центр подо-
бия возьмём точку А. Мы получим мноrоуrОJIЬНИК АВ'С' D' Е',
подобный данному: мноrоуrольник АВ'С' D' Е' N мноrоуrольнику
ABCDE. Стороны HOBoro мноrОУI'ольника будут равны cTOpOHa1\t1
данноrо, умноженным на коэффициент подобия k:
АВ' == k · АВ, В'С' -== k · ВС, С' D' == k · CD,
D'E' == k · DE, Е'А == k · БА. (3)
Сравнивая равенства (2) и (3), находим:
АВ' == А 1 В 1 , В'С' == В 1 С 1 , С' D' == C 1 D 1 ,
D' Ее, == DIEl' Е' А == Е 1 А 1 .
Далее, yr лы мноrоуrольника АВ'С' D' Е' равны соответствующим
уrлам мноrоуrольника ABCDE:
L В == L В', L С == L С', L D == L D', L Е == L Е' ,
но по условию:
L А == L А 1 , L В == L В 1 ,
L С == L С 1 , L D == L D 1 , L Е == L Et,
а потому
L 81 == L В', L С 1 == L С', L D 1 == L D', L Е} == L Е. ·
Отсюда следует, что мноrоуrольник АВ'С' D' Е' равен MHoro-
уrольнику AIBICIDIEt, а потому мноr'оуrольник ABCDE подобен
мноrоуrольнику AIBICIDIEl, теорема доказана.
11 Элемент. rеометрия, ч. I
161
IV. ПОДОБИЕ ОКРУЖНОСТЕЙ.
200.
т е о р е м а. rео.метрttч,ес"ое .место точ,е«, делящих в данно.м
отчошении отрез"и луч,ей, соединяющих "а"ую-нибудь точ,,,у
с точ,,,а.ми о"ружности, есть о"ружность.
Пусть дана окружность радиуса R с центром в точке О (черт. 212).
Возьмём произвольную точку S и, соединив её с Т,очкой О, разделим отрезок
80 точкой 01 внекотором отно-
801 k
шении, так что 80 == .
Возьмём п роизвольную точ-
S ку М на данной окружности и
соединим её с точкой 8. На OT
резке 5М найдём точку М 1 та-
кую, что
Черт. 212. 8М 1 == 801 == k
5М 50 ·
Для этой цели следует из точки О] провести прямую, параллельную ОМ,
дО пересечения её с прямой 8М в некоторой точке М 1 . Из подобия треуrо.пь-
ников SOM и SOlM 1 следует:
0]М 1 801
OM == SO ·
Следовательно,
01 М . == k
ОМ ·
ОТСlода найдём, что
или
01Мl :=: k · ОМ,
01Мl == k · R.
Мы видим, что величина О}М] есть некоторая постоянная величина, не
зависящая от ПОJ10жения точки М на данной окружности. СлеДОRательно,
если точка М будет перемещаться по окружности, то точка М} будет п'ере-
мещаться по плоскости, описывая окружность с иентром О) и радиусом kR.
С л е Д с т в и е. Фи?ура, nерспективно nодобная данной окружности, есть
новая ОКРУЖflость, nричём отношеflие радиуса 8той новой окружности к ра-
диусу данной равно коэффициенту подобия.
201.
т е о р е м а. Вся"ие две о"ружности на плоскости "ерспе"тивно
подобны и имеют два центра подобия внешний и внутренний.
Даны две окружности с llентрами О. и 02 И радиусами R] и R 2 (черт. 213).
Проведём линию центров 0102 и построим на ней две точки J и Е, опреде-
ляемые равенствами
01 J R 1 О.Е R.
== и ==
02J R 2 02Е R! ·
.Пеrко заметить, что точки J и Е служат центрами подобия данных окруж-
ностей. Возьмём какую либо точку М. на первой окружности, проведём I1рЯ
мую J М I И отложим на ней отрезок J М 2 так, что J М 1 : J М 2 == R 1 : R 2 ; при
9ТОМ J01M 1 и l:::. J 02М 2, так как
L. 01J М} == L. 02 J М 2 ;
.J М} R. 01J R.
== и == .
JM 2 R 2 02J R.'
162
следовательно,
01 М l R 1
02 М 2 ::с R 2 '
02 М 2 == R 2 .
Это значит, что точка М 2 лежит на второй окружности. Следовательно,
точка J есть внутренний центр подобия данных окружностей. Таким же обра-
зом можно доказать, что Е есть
внешний центр подобия.
П о с т р о е н и е точек J и Е
можно выполнить так: ПрОRОДИМ
в данных окружностях два ка-
ких-либо параллельных радиуса
и соединяем их концы; полу-
ченная прямая пересечёт линию
центров в центре подобия. При
этом, если проведённые радиусы
направлены в одну сторону (ОIА.
и 02А2 на черт. 213), то центр
подобия будет в н е ш н и м, если Черт. 213.
они направлены в противополож-
ные стороны (ОlМl И 02МЗ на черт. 213), то центр подобия будет в н у-
т р е н н и М.
ИЗ равеНСТА
и так как 01 М 1 == R 1 , то
01 J R 1 и 01 Е == R 1
02 J R 2 02 Е R 2
01J О.Е
02J 02E.
Это равенство показывает, что центры окружностей 01 и 02 И центры их
подобия J и Е образуют r а р м о н и ч е с к у ю r р у п п у т о чек.
,,'lerKo, далее, заметить, что если две окружности касаются, то один из
центров подобия с о в п а Д а е т с т о ч к о й к а с а н и я. При этом, если к а-
с а н и е о к р у ж н о с т е й в н е ш н е е, то в точке к а с а н и я находится
в н у т р е н н и й ц е н т р п о Д о б и я, если же к а с а н и е в н у т р е н н е е,
то с точкой касания совпадает в н е ш н и й 11 е н т р п о Д о б н я о к р у ж-
н о с т е й.
следует пропорция
i 202. Свойство центров подобия трёх окружностей.
Если взять на плоскости три окружности, то каждые две из них будут
иметь 2 центра подобия. Bcero на ПJIОСКОСТИ получим 6 центров подобия.
Франuузский reoMeTp Понселе 1 доказал, что эти 6 иентров подобия имеют
замечательное расположение на плоскости. Это расположение характеризуется
следующей теоремой.
т е о р е м з. Шесть центров подобия трох окружностей на
плоскости лежат по три на одной прямой.
Пусть даны три окружности с центрами 01, 02' 0з И радиусами R 1 , R2'
R3 И пусть J 12' J 23, J 13 внутренние центры подобия пар окружностей соот-
ветственно О. и 02' 02 И 0з, 01 И O;j; Е12, Е 2з , El;j внешние центры подобия
тех же пар окружностей (черт. 214).
Теорема Понселе утверждает, что каждая из троек точек: Е23' Е13, Е 12 ;
J ]3, J 12, Е 2з ; Е 12, J 23' J 13; J 12' J 23' Е 13 образует rруппу точек, лежащих на
1 П О Н С е л е франuузский математик, живший в XIX Веке. Будучи
оФиuером французской армии, участвовал в походе Наполеона на Россию
в 1812 r. В битве под Красным был ранен и взят в плен русскими войсками.
Живя в плену в rороде Саратове, он написал ряд важных работ по rеометрии.
11-
163
одной прямой. Соединим точки Е 2з И Е. 2 , Н пусть Е ---- точка пересечения пря-
мых Е 2з Е. 2 И 0.0з,
Пока)f{ем, что Е совпадает с Е 1з . I Iроведём прямую 02Р' параллеЛЬНУIО
0]08 и llересекаЮlЦУIO прямую Е 2з Е 12 в точке Р.
/
,/
/.z...... ..........
,
............... '
Е 13 (Е)
Черт. 214.
Из чертежа непосредственно усматриваем следующие два ряда равных
отношений;
02 Р 02 Е 23 R 2
Оз Е Оз Е 2З RIJ '
О]Е OlE]2 RI
02 Р 02 Е 12 R 2 .
Перемножая между собой первые отношения обоих рядов и последние,
получаем:
OlE Rl
оз Е R3 .
Следовательно, Е есть центр подобия окружностей 01 и ОЗ, т. е. точки Е
и Е 1з совнадают. Следовательно, точки Е. 2 , Е lз И Е 2з лежат на одной прямой.
Так же докаЗblвается, что на одной
OO прямой лежат тройки точек: E 12 , J 23'
J 18 ; Е 2з , J 12 , J 1з ; Е lз , J 2з , J 12 .
В эти тройки входят два внутренних
центра подобия и один внешний. Таким
образом, шесть центров подобия трёх
окружностей Jlежат на четырёх прямых
(по три на каждой). Совокупность всех
шести центров подобия вместе с четырьмя
прямыми, их соединяющими, носит на-
Черт. 215. звание конфиrурации Понселе.
р а с с м о т р и 1\1 Ч а с т н ы й с л у-
чай. Пусть окружность 01 касается окружностей О) и 08 (черт. 215).
Тоrда два центра подобия окружности 02 С окружностями 01 И 02 совпа-
дают с точками прикосновения. А потому, в силу доказанной теоремы, можно
164
Уl верждать, что прямая, соединяющая 1110ЧКll касания ОКРУЖНОС111U О, С окруж-
нсспzл.мu 01 u Оз, проходит через центр подобия окружностей 01 и 08. ЭrОТ
иентр подобия будет внешний или внутренний, смотря по тому, какое касание
имеет окружность 02 С окружностями О, и Оз (BlleUIHee или внутреннее).
v. ПОДОБНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ
Фиrур.
203. Пантоrраф.
Подобное преобразование всяко й фиrуры можно выполнять
механически, с помощью особоrо прибора, называемоrо п а н т 0-
r раф о м.
Вообразим параллел orpaM ABCD (черт. 216), сторонами кото-
poro служат металлические стержни, моrущие на шарнирах вра-
щаться BOKpyr вершин.
Один из этих стерж
неЙ ВС продолжен за
вершину С. Укрепим не.
подвижно вершину А,
возьмём на продол же- Д
нии ВС ПРОИЗВОЛЬНУIО
точку Е и заставим эту
точку описать какую
либо линию ЕЕ'. Пусть
F точка пересечения прямых АЕ и CD; АВ'С' [)', Е' и F' новые
положения нашеrо llIарнирноrо паралл лоrрама и точек Е и F.
Так как длины сторов параллелоrрама и длины отрезков СЕ и СР
при перемещении точки Е не изменились, то мы можем написать,
следовательно, следующие пропорuии:
АО DF АР
СЕ == FC === РЕ '
так как 6 ADF N Д ECF;
AD' D' F'
С' Е' == Р'С' ,
й'
Черт. 216.
так как
AD == AD', СЕ == С'Е'; DF == D'F'; FC == F'C';
]{ роме Toro,
L AD' F' == L Е'С' F'.
так как AD' 11 С' Е'.
Отсюда следует, что
AD' F' N 6 Е/С' F',
следовательно,
L AF' D' == L Е' F'C',
т. е. точки А, F' и Е' ле}l{ат на ОДНОЙ прямой. Далее, из ПОДО-
бия тех же треуrОЛЫIИI{ОВ имеем, ЧТО
АЕ' D' Р' D' F' DF AF
F' Е/ ---- Р/С/ ' НО Р/С' РС == РЕ '
.65
следовательно,
АР' АР
Р'Е' == РЕ .
Отсюда следует, что треуrольники АЕЕ' и АРЕ' подобны, следовате..'IЫIО,
L АРР' == L АЕЕ',
значит, ЕЕ' 11 рр'.
Черт. 217.
Далее из черте>l{а находим:
АР ВС АР' В'С'
РЕ == С Е и Е' Е' == С' Е' ·
Составляя производные пропорции, можем написать:
АР + Е Е
АР
ве + СЕ
8С
В'С' + С' Е'
В'С'
АР' + Р'Е'
и АР'
или
но
АЕ ВЕ АЕ' В' Е'
АР == ВС и AF' == В'С' ;
ВЕ == В' Е' и ВС == В'С',
следовательно,
АЕ АЕ' ВЕ
АР == АР' == ВС ·
Эти равенства показывают, что, Kor да точ-
ка Е опишет какую-либо фиrуру, точка F опи-
шет фиrуру подобную, причём коэффициент подо-
ВЕ
бия этих фиrур равен отношению ВС . Если
в точке Е укрепить остриё иrлы, а в F остриё
карандаша, то при обводе остриём иrлы кон-
Черт. 217а. тура фиrУРbl остриё карандаша зарисует на
бумаrе контур фиrуры подобной. Для измере-
ния коэффициента подобия следует переместить точку Е по прямой ВС в ту
или друrую сторону. На этом свойстве шарнирноrо параллелоrрама и осно-
вано устройство пантоrрафа (черт. 217). Схема пантоrрафа друrоrо устройства
дана на чертеже 217а. Ilрибор применяется при перерисовке планов в различ-
ных масштабах.
166
204. Подобное преобразоsание плоскости.
Иноr приходится производить подобное преобразование не
только отдельной фиrуры, но одновременно в с е х фи r у р, л е ж а-
щи х н а Д а н н ой п л о с к о с т и. В этом случае для краткости
rоворят, что производят прео5разование всей ПЛОСКОСТИ. ДЛЯ
этой цели принимают какую-либо точку О плоскости за центр
подобия и какое-либо положительное число k за коэф-
фициент подобия. Подобное преобразование для каж- М,
дой точки плоскости, например точки М, будет состоять
в том, что точку М соеДИНЯIОТ с точкой О и отрезок ОМ
измеНЯIОТ в отношении k, т. е. на луче ОМ от точки О М
откладывают отрезок ОМ! == k · ОМ (черт. 218) 1.
Таким образом точка М перейдёт в точку М!. Про-
изведя это построение для всех точек плоскости, полу-
чим подобное преобразование всей плоскости. Подобное О
прробразование плоскости обладает следующими очевид-
ными свойствами:
1. Прямая линия переходит 8 прямую линию
и притом параллельную первоначальной.
2. Отрезо" прямой переходит вотрезо",
отношение "omopozo" первоначальному равно
"оэффициенту подобия. M
3. Всякая о"ружность переходит в о"руж- Черт. 218.
ность, причём отношение радиуса новой о"руж-
ности "радиусу первоначальной равно "оэффициенту
подобия.
4. Каждая фиzура, лежащая на данной плос"ости,
переходит в фиzуру, ей перспе"тивно..подобную отно"
сuтельно центра подобия о. Отнош'ение соответствен..
ных отрез"ов в этих фиzурах равно "оэффициенту по..
дооия.
VI. МЕТОД ПОДОБИЯ.
205. Сущность метода подобия.
Подобное преобразование фиrур может с успехом применяться
при решении мноrих задач на построение. Именно во мноrих за-
дачах на построение условие задачи удаётся разделить на две
такие части, что одна часть условий вполне определяет форму
искомой фиrуры, а друrая определяет её размер. Пусть, напри-
мер, требуется построить треуrольник по двум данным ero уrлам
А и В и м диане одной из сторон, например т с .
Эти условия можно разделить на две части: к первой отнести
заданные уrлы А и В, ко второй заданную длину медианы т с .
1 Отрезок О М 1 == k. О М можно откладывать не на луче О М, а на ero п ро-
ДО"lжении за точку О. Тоrда центр О будет внутренним центром подобия для
соответствующих фиrур.
167
Уrлы А и В вполне определяют форму треУI'ольника, так как
все треуrольники, имеющие по два равных уrла, подобны между
собо й .
Следовательно, искомый треуrольник содержится среди бес
численноrо множества подобных треуrольников, имеющих два уrла,
равные данным уrлам А и В.
Среди них нужно выбрать тот, который имеет медиану те
данной длины. Применение метода подобия состоит в том, что
сначала по тем элементам, которые опре-
деЛЯJОТ форму фиrуры, строят фиrуру, по
добную искомой, а затем при помощи по-
В добноrо преобразования придают ей тот
размер, который соответствует второй
части условий задачи. В нашем примере
В / по двум уrлам А и В можно построить
Д '
треуrольник АВС (черт. 219) произвольной
Черт. 219. величины, взяв, например, произвольно
длину стороны АВ. Этот треуrольник
будет подобен искомому.
Построенный таким образом треуrольник мы подверrнем по-
добному преобразованию так, чтобы ero медиана те приняла за-
данную длину. Если при этом взять за центр подобия веР[lIИНУ С,
то подобное преобразование можно выполнить так: на медиане CD
(черт. 219) построенноrо треуrольника откладываем отрезок CD',
равный заданной длине т", и через точку D' проведём прямую,
параллельную АВ, встречающую прямые АС и ВС в точках А'
и В/. Треуrольник А'СВ' искомый.
206. Примеры применения метода подобия.
З а Д а ч а 1 . Построить mреусольн ИК, если даны а : Ь, L С и hc.
Реш е н и е. Первые два данных условия а: Ь и L С вполне
определяют форму искомоrо lреуrольника (Э 193). Возьмём какие-
либо два отрезка а 1 и Ь 1 , отношение которых равно а : Ь, и по-
строим треУI"'ОЛЬНИК А' Ь'С (черт. 220) по двум сторонам а 1 и Ь 1
И уrлу между ними С. Этот треуrольник будет подобен искомому.
Произведём теперь подобное преобразование треУl'ольника А' В'С
так, чтобы высота преобразованноrо треуrольника была равна
данной высоте hc.
h
Для этоrо коэффициент подобия следует взять равным CD" rде
CD' высота треуrольника А' В'С. За центр подобия удобно взять
вершину С. В таком случае придётся выполнить такое построение.
На высоте CD' треуrольника А' В'С, если нужно, продолжив
её, откладываем отрезок CD == hc и через точку D проводим пря-
мую, параллеЛЬНУJО А' В'. Она встретит стороны СА' и Cfl.' (или
их продолжение) в некоторых точках А и В.
ТреуrОЛЫIИI{ АВС искомый.
168
3 а Д а ч а 2. В данный равносторонний треУ20ЛЬНUК вписать
дРУ20й равносторонний треУ20ЛЬНUК, стороны котОрО20 были бы
nерпендUКУЛЯРНbl cmOpOHaht даННО20.
Реш е н и е. ИСКОМЫЙ треуrольник вместе с данным образует
некоторую сложную фиrуру. Если отвлечься от размера этой фи-
rypbI, то можно получить фиr"уру той же формы, произведя по-
строение в о б Р а т н о м порядке.
Именно, взяв произвольный равносторонний треуrольник, опи-
сать около Hero равносторонний треуrольник, стороны KOToporo
были бы перпеНДИI<УЛЯРНЫ сторонам данноrо. Для этоrо следует
через каждую вершину взятоrо треуrольника провести прямую,
перпендикулярную одной из ero сторон.
8
с
о'
Черт. 20.
А
д'
Черт. 221.
После этоrо достаточно произвести подобное преобразование
всей фиrуры так, чтобы этот описанный треуrольник принял раз-
меры данноrо.
Чтобы сократить самое построени , можно описать равносто-
ронний. треуrольник не около произвольноrо paBHocTopoHHero тре-
уrольника, а около TaKoro, две верщины KOToporo лежат на
сторонах данноrо и стороны KOToporo перпендикулярны сторонам
данноrо. Для этой цели берём на стороне АС данноrо треуrоль-
ника АВС (черт. 221) ПРОИЗВОЛЬНУfО точку М. Восставляем в ней
перпендикуляр MN к стороне АС дО пересечения со стороной АВ.
На отрезке MN строим равносторонний треуrольник MNP. Каждая
ero сторона, очевидно, будет перпендикулярна к соответствующей
стороне треуrольника АВС, а именно: MN АС, NP АВ и
РМ ВС. Чтобы описать равносторонний треуrольник около тре-
уrольника М N Р, достаточно провести через точку Р ПрЯМУIО
В 1 С 1 , параллельную ВС. Теперь остаётся преобразовать подобно
треуrольник АВ 1 С 1 вместе с вписанным в Hero треуrольником
!\1N Р, увеличив ero до размера треуrольника АВС. Выберем за
АВ
центр подобия точку А и за коэффициент подобия АВ. . В таком
случае треуrольник АВ 1 С 1 преобразуется в данный треуrольник
14ВС, I "1fреуrольник MN Р в искомый треуrольник M.N 1 P 1 . ДЛЯ
сокращения построения можно не проводить прямой B 1 C 1 , а про-
должить прямую АР дО пересечения в точке Рl со стороною Ве
lб
и провести через точку Р 1 прямую Р 1 М 1 параллельно Р М,
и ПРЯМУIО P 1 N 1 параллельно PN.
3 а д а ч а 3. В данный треУ20льник вписать квадрат ,пак,
чтобы две е20 вершины ле.?lCали на основании треУ20льника, а две
дРУ2ие на е20 боковых сторонах.
Реш е н и е. Взяв произвольный квад-
рат, описываем около Hero треуrольник,
подобный данному. После этоrо. преобра-
зуем ero подобно так, чтобы он принял
размер данноrо. Выполнить построение
можно так: в данном треуrольнике АВС
проводим прямую MN 11 АС (черт. 222) и
на отрезке MN строим квадрат MNQP.
Продолжая в обе CTOpOI:bI отрезок PQ,
получим треуrольник А' ВС', описанный
около квадрата MNQP и подобныЙ тре-
уrольнику АВС. Приняв за центр подобия вершину В, проводим
прямые ВР и BQ и продолжаем их до встречи в точках Р' и Q'
СО стороною АС.
Р'В
Взяв за коэффициент подобия отношение РВ ' мы преобразуем
треуrольник А' ВС' в данный треуrольник АВС, а квадрат MNQP
в искомый квадрат М' N'Q' Р', вписанный в треуrольник АВС.
8
д
О'
Черт. 222.
VII. УПРАЖНЕНИЯ К rЛАВЕ ШЕСТОЙ.
А. Д о к а з а ть т е о р е м ы.
Треуrольники АВС и А/В/С' подобны, если:
1. а : Ь : h(. === а' : Ь' : h; .
2. а : с : hc == а' : с' : h; .
3. Ра : Рь : hc == P : Рь : h .
4. а : Ь : m(. == а' : Ь' : m .
5. с : пZa : mь == с' : m : mь.
6. а : hc == а' : h и L. С == L. С'.
7. hc : 1 с == h : 1;' и L. А == L. А'.
8. с: ha == с' : h и L. А == L. А'.
9. q А : q в == q А : q в и L С == L. С'.
10. Высоты треуrольника обратно пропорциональны ero сторонам, т. е.
1 1 1
ha : hb : hc == : b : .
а с
у к а з а н и е. Построить две высоты и рассмотреть подобные треуrоль-
ники, для которых эти высоты служат катетами.
11. На сторонах лроизвольноrо треуrольника АВС построены три треуrоль-
ника АВС], BCA 1 , ACB 1 , подобные некоторому данному треуrольнику MN Р
так, что L. А} == L. М, L В} == L. N и L С} == L. Р.
Д о к а з а т ь, что центры окрvжностей, описанных около этих трёх тре-
уrольников, СJlужат вершинами треуrольника, также п.одобноrо треуrольнику
MN Р (31.
у к а з а н и е. См. упр. 28 на стр. 128.
Б. 3 а д а ч и н а п о с т р о е н и е.
П о с т р о и т ь т р е у r о л ь Н И к, если даны:
170
12. L А, L в, 'с. 13. L А, L в, hc.
14. L А, L В, " 15. а : Ь, L С, та.
16. а: Ь, LC, 'а. 17. Ра :Рь, LC, hc.
18. с, та : ть и уrол та с lп r . 19. hc : 'с, L А, те,
20. а :hc, L А, R. 21. а :lc, L В, '.
22. hc : Ра : Рь, R. 23. qa : qь, L С, 'с.
24. Построить ромб, если даны ero стороны и отношение ero диаrоналей.
П о с т р о и т ь пар а л .rI е л о r р а м, если даны:
25. Отношение двух ero сторон, уrол и одна из диаrоналей.
26. Высота, отношение диаrоналей и уrол между ними.
27. Сторона, отношение диаrоналей и уrол между ними.
28. Один уrол, сторона и отношение друrой стороны к высоте, опущенной
на эту сторону.
П о с т р о и т ь р а в н о б е д р е н н у ю т рап е Ц и ю, если даны:
29. Уrол при основании, одна диаrональ и отношение основаниЙ.
30. Один уrол, одно из оснований и отношение друrоrо основания к бока...
вой стороне.
П о с т р о и т ь т рап е Ц и ю, если даны:
31. Отношение её оснований, диаrональ и два её уrла.
32. Отношение её оснований, два уrла и высота.
33. Отношение одноrо основания к боковой стороне, два yr ла и средняя
линия.
34. В данный треуrольник вписать прямоуrольник, уrол между диаrона-
лями KOToporo имел бы данную величину.
35. В данный ромб вписать квадрат, вершины KOToporo лежа.пи бы на
сторонах ромба.
36. В данный Kpyr вписать прямоуrольник с данным yr лом между диаrо-
налями.
37. Описать около данной окружности треуrольник, уrлы KOToporo даны.
у к а з а н и е. Сначала построить треуrольник с данными yr лами и вписать
в Her'o окружность, а затем произвести подобное преобразование.
38. В данный полукруr вписать квадрат так, чтобы две ero вершины ле-
жали на окружности, а две друrие ---- на диаметре.
39. В данный полукруr вписать равнобедренную трапецию, подобную
данной (2].
40. Построить треуrольник, для KOToporo даны три ero высоты ha, hb
И hc.
111
У к а э а н и е. Польэуясь пропорциями а: Ь : с === ha : hb : hc (упр. 1 о).
определить отношение сторон искомоrо треуrольника и т. Д.
r л А В А С Е Д Ь м А Я.
ЧИСЛОВЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ
ЭЛЕМЕНТАМИ фиrур.
1. триrОНОМЕТРИЧЕСКИЕ функции OCTPoro УrЛА.
207. Определение триrонометрических функций
oCTporo yr ла.
Прямоуrольный треуrольник, как мы знаем, вполне опреде-
ляется двумя ero сторонами, например двумя катетами или кате-
том и rипотенузой. Но если вместо двух сторон задать лишь их
171
отношение, то можно построить бесчислrlfное множество прямо
УI"ОЛЬНЬJХ треуrольников, удовлетворяющих условиям задачи, т. е.
имеюших данное отношение двух сторон. Все эти треуrольники
В будут подобными между собой и, значит, все они
будут иметь одинаковые уrлы. Таким образом, OTHO
[IJение двух сторон прямоуrольноrо треуrольника
вполне определяет величину ero острых уrлов.
Отсюда следует, что величину вСЯКО20 остРО20
У2ла МОЖНО определить при nОМDщи отношения двух
nрЯJrlолинеЙНblХ отрезков, именно сторон nРЯМОУ20ЛЬ
НО20 треУ20льнuка, содержаще20 этот У20Л. Опре
делять величину yr ла при помощи отношения отрез
Д С ков оказывается весьма удобlIыIM при реlllении мно-
Черт. 223. ['их задач. Для облеrчения пользования этими отно-
шениями им дают особое название. Именно, отношение
катета ВС к rипотенузе АВ (черт. 223) называется синусом
уrла А и обозначается символом sin А:
8С . А
АВ == Sl11 ;
отношение катета АС к rипотенузе АВ называется косинусом уrла
А и обозначается символом COS А:
АС
АВ == cos А;
наконец, отношение катета ВС к катету АС называется TaHreHCOM
уrла А и обозначается символом tg А:
ВС
АС == tgA.
АС
Отношение ВС называется KOTaHreHCOM yr ла А и обозначается сим-
волом ctg А:
АС
ВС == ctg А.
JIerKo заметить, что
t А == s i n А А cos А
g А и ctg == A ·
cos Sln
Величины sin А, cos А, tg А и ctg А называются триrонометри-
ческими функциями уrла А.
АС
Леrко заметить, что cos А, т. е. отношение АВ ' является в то
же время синусом для уrла В, т. е.
АС . В
АВ == Sln ·
Так как
172
L в == 900 L. А,
ТО MO}I{HO написать, Чl О
COS А == sin (900 А).
Точно так же
АС
ctgA == ВС
является TaHI'eHCOl\f для yr ла В, т. е.
ctg А == tg (900 А).
208. Нахождение триrонометрических функций
заданноrо уrла.
Если дан уrол А, то можно определить ero триrонометрические
функции. Для этой цели опускаем из какой либо точки В на одной
из ero сторон перпендикуляр ВС на друrую сторону (черт. 224).
ТОI'да отношения сторон образоваВLuеrося Tpe
уrольника АВС и будут представлять искомые
триrонометрические функции уrла А, именно:
ВС . АС ве
АВ == SlП А; АВ == cos А; АС == tg А.
Если вместо точки В взять друrую точку В 1
И опустить перпендикуляр В 1 С 1 , то получится
треуrольник АВ 1 С 1 , подобный треуrольнику АВС,
и, следовате.Т1ЬНО, отношение ero сторон будет
равно отношению сходственных сторон Tpe
уrольника АВС. А потому триrонометрические
функции уrла А при выборе точки 81 будут
иметь ту же величину, что при выборе точки В;
зависят от выбора точки В на стороне yr ла.
д с
значит, они не
209. Построение oCTporo уrла по какой либо одной
заданной ero триrонометрической функции.
Зная одну из триrонометрических функций oCTporo уrла, леrко
построить этот уrол. Пусть, например, нам
дано, что sin А == : . Тоrда леr'ко построить
уrол А. ДЛЯ этоrо, выбрав какую либо
единицу длины, строим прямоуrольный тре-
уrольник, один катет KOToporo равен 2 еди-
ницам, а rипотенуза равна 3 единицам
(черт. 225). Уrол, лежащий против катета,
llepT. 225. paBHoro 2 ед., и будет искомым.
5
Т очно так же, если дано, что tg В == 4' то этоrо достаточно)
чтобы найти уrол В. ДЛЯ этой цели, выбрав какую-либо единицу
173
длины, откладываем отрезки в 5 ед. и 4 ед. на сторонах прямоrо
УI"'ла (черт. 226) от ero вершины, это будут катеты искомоrо
треуrольника. Уrол, лежащий против катета, рав-
Horo 5 ед., будет искомым.
210. Таблицы триrонометрических функций
oCTporo уrла.
Чтобы леrче было пользоваться триr'ономет-
8 рическими функциями различных острых уrлов,
для них составлена таблица. Эта таблица состоит
Черт. 226. из пяти столбцов. В первом столбце пишется
число rрадусов уrла от 0° до 90°, во втором
величина ero синуса, в третьем величина косинуса, в четвёр-
том величина TaHreHca и в пятом величина KOTaHreHca. Значе-
ния триrонометрических функций каждоrо yr ла стоят в одной строке
с числом ero rрадусов. Далее, в первом столбце таблицы поме-
щены лишь уrлы от 0° до 45° по той причине, что триrономет-
рические функции уrлов, б6льших 45°, MorYT быть найдены уже
с помощью этой части таблицы. Действительно, мы видели, что
sin (90° .......... А) == cos А и tg (90° А) == ctg А.
А потому синус yr ла, большеrо 45°, например sin 56°, можно
найти так:
sin 56° == cos (90° 56°) == cos 34°,
а эта величина уже есть в таблице; точно так же
tg 56° == ctg 34°.
Ввиду этоrо, для получения триrонометричР.ских функций уrлов,
б6льших 45°, к таблице присоединён шестой столбец, содержащий
уrлы, написанные в порядке убывания от 90° до 45°, а снизу
столбцов sin, cos, tg, ctg подписаны названия cos, sin, ctg, tg.
Эти нижние названия относятся к уrлам, б6льшим 45°.
С помощью этой таблицы можно для каждоrо oCTporo уrла
находить приближённо ero триrонометрические функции и, обратно,
по заданной триrонометрическоЙ функции уrла находить прибли-
жённо самый уrол.
Так, например, для уrла 38° находим:
sin 38° == 0,61566, cos 38° == 0,7880 1,
tg 38° === 0,78129, ctg 38° === 1,27994.
Обратно, пусть дано, что sin х == 0,54048. Чтобы найти уrо.п х,
ищем в столбце под sin величину 0,54048. Этоrо числа в таблице
не содержится. Поэтому замечаем имеющиеся в таблице ближай-
шее меньшее и ближайшее большее числа. Это будут 0,52992
и 0,54464. Первое из них соответствует уrлу 32°, второе уrлу
330. Следовательно, искомый уrол х содержится между yr лом 32°
и уrлом 33°, т. е. 32° < х < 33°.
174
211. Соотношения между сторонами и уrлами
в прямоуrольном треуrольнике.
И ВС. А АС А ВС t А
з равенств АВ == SlП ; А В == cos ; АС == g ;
; == ctg А следует:
1) НС == АВ sin А; 2) АС == АВ cos А; 3) ВС == АС tg А;
4) АС == ВС ctg А.
Словами эти равенства формулируют так:
1. Катет равен zипотенузе, у-м-ноженной на синус
противолежащеzо катету уzла.
2. Катет равен zиnотенузе, умноженной на "осинус
nрилежащеzо катету уzла.
3. Катет равен друzо.му "атету, у-м-ноженно-м,у на
maHzeHC уzла, протuволежащеzо первому "amemJ'.
4. Катет равен друzому "атету, умноженному на
"omaHzeHC уzла, прилежащеzо первому "атету.
212. Решение прямоуrольных треуrольников.
Выведенными соотношениями можно пользоваться, чтобы по
заданному острому уrлу и одной из сторон прямоуrольноrо тре-
уrольника найти остальные ero стороны. Такой способ отыскания
сторон называется решением прямоуrольноrо треуrольника. Пусть,
например, нам дано, что катет ВС == 4,5 ед. и L А == 35°. Из
nepBoro равенства находим:
4,5 == АВ sin 35°.
По таблице находим:
sin 35° == 0,57358.
Следовательно,
4,5 == АВ · 0,57358,
откуда
АВ == o,;7 58 7,7.
Из TpeTbero равенства находим:
4,5 == АС tg 35°.
По таблице находим:
tg35° == 0,70021,
следовательно,
4,5 == АС. 0,70021,
откуда
АС == О. 7 21 ::::::: 6.4.
175
к решеНИIО прямоуrОЛЬНbIХ треуrольников приходится пр ибе-
{'ать во мноrих практических задачах. Рассмотри пример такоЙ
задачи (черт. 227).
З а Д а ч а. Определить высоту дерева, не подниJ lаясь на е20
вершину.
Д Реш е н и е. Отмеряем от дерева Ka
кое либо расстояние, например 10м,
и устанавливаем в этом месте уrломер-
ный прибор (теодолит). Далее, наводим
трубку прибора на вершину дерева и
измеряем уrол АСВ наклона трубки
к rоризонтальной прямой СВ. Допустим,
что LACB оказался равным 62°. В пря
моуrОЛLНОМ треуrольнике АВС имеем:
AB==BCtgC, или АВ== 10tg62°.
По таблице находим:
D tg 62° == 1,8807,
Черт. 227.
следовательно,
АВ == 10 · 1 ,8807:::: 18,8.
Чтобы найти BbICOTY дерева AD, нужно к найденной ДJIине АВ
прибавить высоту прибора BD или СЕ. Допустим, что СЕ == 1,2 М.
Тоrда
А D 18,8 м + 1,2 м;:::: 20 М.
213. Соотношения меil{ДУ стоrонами и уrлами
в остроуrольном треуrольнике; теорема синусов.
Т е о р е м а. Во вся"о.AI остроуzольно.AI треуzольни"е
"аждая сторона равна диаметру о"ружности, описан-
ной о"оло треуzольни"а умноженному на синус nро-
тиволежащеzо этой стороне уzла тре-
уzольни"а.
Проведя в окружности, описанной около
треуrольника АВС (черт. 228), диаметр CD и
соединив точки В и D, получим треуrольник BCD,
в котором LBDC==LBAC (Э 139, ел. 1),
L DBC == d (Э 139, ел. 2), DC == 2R, rде R
радиус описанной окружности. По доказанному
выше имеем:
ВС =-== CD sin L BDC.
Черт. 22 .
Заменяя CD и L BDC соответственно раВНbIМИ им величинами
2R и L ВАС, получим: ВС == 2R sin L ВАС или ВС == 2R sin А.
Так же найдём:
АС == 2R sin В; АВ === 2R sin с.
176
С л е Д с т в и е. В остроуzольном треуzольнuке отноше.
ние каждой стороны к синусу nротиволежащеzо уzла
равно диаметру описанной окружности.
Действительно, из написанных выше равенств непосредственно
находим:
ве == АС АВ 2
sin А sin В sin С R.
11. ЧИСЛОВАЯ ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ
ТРЕУrольников.
214.
Т е о р е м а. Перnендикуляр, оnущенны,й из вершинь/'
nрямоzо уzла на zиnотенузу, есть среднее пропорцио-
нальное междуа nроекциями катетов на zиnотенузу,
а каждый из катетов есть среднее nроnорциональное
между всей zиnотенузой и nроекцией этоzо катета на
zиnотенузу.
1. Дан прямоуrольный 6 АВС (черт. 229). Опустив из вер-
шины ero прямоrо уrла С на rипотенузу перпендикуляр CD, по-
лучим два прямоуrольных треуrольника ADC и CDB, причём
6. ADC N 6. CDB, С
так как
в
L CAD == LDCB и LACD == L CBD,
как уrлы с перпендикулярными CTOpO
нами.
А потому
AD CD
е6 Ьв ' Черт. 229.
что и требовалось доказать. Здесь под отрезками мы подразуме-
ваем, как и во всём дальнейшем, длины этих отрезков, измерен-
ных какой либо одной для всех отрезков единицей измерения.
Из написанной пропорции следует, что
CD2 == AD · DB,
т. е. квадрат nерnендикуляра, оnущеННО20 из вершины пРЯМ,О20
Уела на zиnоmенузу, равен произведению nроек,циЙ Kaтerпoe на
сunоmенузу.
2. Рассмотрим теперь треуrольники ACD и АВС. Они подобны,
т. е.
6. ACD (" 6 АВС,
так как у них L А общий, а L ADC равен L АС В ( 195).
А потому
AD АС
AC АВ '
что и требовалось доказать.
12 Элемент. rеометрия, ч. I
177
Из этой ПРОПОРЦИИ следует:
АС 2 == АВ · AD,
т. е. квадрат катета равен nроuзведенuю всей ёunоmеНУЗbl на
nроекцuю этОёО катета на ёunотенузу. .
Из доказанной теоремы, в силу свойств вписанных уrлов
(9 139, сл. 2), следует:
С л е Д с т в и е 1. Перnендикуляр, опущенный из какой-
либо точки окружности на диаметр, есть среднее nро-
порциональное .между отрезками диаметра.
С л е Д с т в и е 2. Всякая хорда в окружности есть сред..
нее пропорциональное между диаметром, проходящим
через её конец, и nроекцией хордЫI на диаметр.
215.
Т е о р е м а П и Ф а r о р а. Квадрат
сумме квадратов катетов.
Дан прямоуrольный треуrольник АВС
доказать, что
АС 2 + ВС 2 == АВ2.
Выше было доказано, что
АС 2 == АВ · AD.
zипотеНУЗЬI равен
(черт. 229). Требуется
Точно так же
ВС 2 == АВ · DB.
Сложив почленно эти равенства, получим:
АС 2 + ВС 2 == АВ · AD + АВ · DB ==
== АВ (AD + DB) == АВ · АВ == АВ2._
Эта замечательная теорема была открыта rреческим reoMeTpoM
Пифаrором (У 1 в. до н. э.).
При м е ч а н и е. Теорема Пифаrора даёт возможность убедиться
в существовании отрезков, несоизмеримых между собой. В самом
деле, если взять ПрЯМОУI'ОЛЬНЫЙ треуrольник, катеты KOToporo
равны единице, то ero rипотенуза будет несоизмерима с катетом.
Действительно , по те ореме Пифаrора rипотенуза этоrо треуrоль..
ника равна VI2 + 12 == V2.
ЭТО число иррациональное, выражаемое бесконечной непериоди..
ческой десятичной дробью, и потому никакая десятичная доля
отрезка, paBHoro единице, не может уложиться на rипотенузе целое
число раз без всякоrо остатка.
216. Исторические сведения о теореме Пифаrора. Пифаrорейские
числа.
Простейший случай этой теоремы для треуrольника со сторонами 3, 4 и
5 единиц был известен еrипетским жрецам, а ещё ранее китайским учёНbJМ
(около 11 ООО лет до Н. э.). Пифаrор долrо жил в Еrипте, специально изучал
науку еrипетских жрецов и познакомился с искусством жрецов (<<rарпедонап-
178
тов») строить на поверхности земли прямой уrол при помощи верёВоЧНоrо
треуrольника со сторонами 3, 4 и 5 ед. РастяrИDая этот треуrольник по по-
верхности земли, они получали прямой уrол против CТOPOHbI длиной В 5 ед.
Пифаrор обратил внимание на замечательное соотношение между числами 3, 4
и 5: 32 + 42 == 52 И обнаружил, что такое соотношение имеет место для в с я-
к о r о п р я м о у r о л ь н о r о т р е у r о л ь Н И К а. Как доказывал эту теорему
саМ Пифаrор ---- осталось неизвестным. Теорема была высказана Пифаrором 8
несколько иной форме, именно как неко-
торое соотношение между площадями.
Учащиеся уже из арифметики знают, что
площадь всякоrо квадрата со стороною а
равна а 2 . Поэтому квадрат каждоrо ка-
тета выражает величину площади квад-
рята, построенноrо на этом катете, а квад-
рат rипотенузы ---- величину площади квад-
рата, построенноrо на rипотенузе. Таким
образом, теорема Пифаrора выражает сле-
дующее соотношение между площадями:
площадь "вадрата, пocтpoeHHOZO
на zипотенузе, равна су.м.ме пло-
щадей "вадратов, построеннь/,х на
катетах. В этой форме теорема и была
высказана Пифаrором и в такой форме
помещена в «Началах» Эвклида, rде
Эвклид дал ей своё собственное доказа-
тельство.
rеометрическое соотношение между
площадями для треуrольника со старо-
нами 3, 4 и 5 ед. учащиеся MorYT про-
следить на прилаrаемом черт. 230. rеометрическое доказательство для произволь-
Horo прямоуrольноrо треуrольника будет дано ниже в отделе площадей ( 259).
Целые числа, представляющие длины сторон HeKoToporo прямоуrольноrо
треуrольника, носят название пифаrорейских чисеJl. Для получения всех таких
чисел можно вывести общие формулы. Действительно, пусть а, Ь и с целые
числа, п ричём
а 2 + Ь 2 == с 2 .
25
Черт. 230.
(1)
Числа а, Ь и с мы вправе считать взаимно простыми, так как если бы
они имели общий множите.пь, то равенство (1) можно было бы сократить на
квадрат 3Toro множителя и получить такое же равенство для чисел взаимно
простых. Итак, пусть для трёх взаимно простых чисел а, Ь и с имеет место
рявенство (1). Тоrда каждые два числа а и Ь, а и с, Ь и с взаимно простые.
В самом деле, общий множитель двух этих чисел в силу равенства (1) должен
быть и множителем TpeTbero числа, что невозможно, так как числа а, Ь и с
взаимно простые.
Далее число с ---- Bcer да нечётное. В самом деле, если бы число с было
чётным, то числа а и Ь должны быть или оба чётные, или оба нечётные. Дока-
жем, что ни то, ни друrое невозможно. В самом деле, если а и Ь оба чётные.
то числа а, Ь и с имеют общий множитель 2, что противоречит условию.
Если а и Ь оба нечётные, а с....... чётное, то можно положить
а == 2т + 1, Ь == 2п + 1, с == 2р,
rде т, n, р целые числа. Внося эти выражения в paFeHcTBo (1), ПОЛУЧИ1\!:
(2rп + 1)2 + (2п + 1)2 == 4 р 2.
Раскрывая скобки и rруппируя члены, можно получить равенство:
2 == 4р2 ---- 4т2....... 4m ....... 4п' 4п.
Это равенство невозможно, так как ero правая часть делится на 4, а левая
нет.
12-
119
Итак, число с всеrда нечётное, а одно из чисел а и Ь нечётное, друrое
чётное. Б у дем п редполаrать, что а и с нечётные, а Ь чётное. В таком слу-
чае леrко найти целые взаимно простые числа х и у, удовлетворяющие ра-
венству:
(2)
х + у == С. Х ---- у == а.
уравнения (2). получим:
с+а c a
х== 2 · y== .
Т Об .. с + а с ---- а К
ан как с и а а нечетные, то числа и целые. роме Toro,
они взаимно простые, так как из равенств (2) следует, что общий множитель
чисел х и у должен быть также и общим множителем чисел а и с, а эти числа
взаимно простые. Внося выражение а и с через х и у из (2) в (1), получим:
(х у)2 + Ь 2 == (х + у)2,
Действительно, решив
отсюда
Ь 2 == 4ху,
следова тел ьно,
ь == 2 V ху .
Из 9Тоrо равенства следует, что число JI ху должно быть рациональным,
а так как числа х и у взаимно простые. то корень из произведения ху может
оказаться рациональным числом, лишь коrда числа Ух и V'и каждое в отдель-
ности рационально. Обозначим эти числа чер з сх и , т. е.
ух == а, V у == ,
отсюда
х==а2, y== 2.
Внося эти величины в равенства (1) и (2), получим:
а == а 2 ---- 2, Ь == 2a , с == а 2 + 2. (3)
Формулы (3) и являются общими формулами пифаrорейских чисел.
Подставляя Сlода вместо а И произвольные целые числа, будем получать
для а, Ь и с тройки чисел. удовлетворяющие равенству (1). т. е. тройки пи-
фаrорейских чисел.
Так, при а == 2, == 1 получим:
а == 3. Ь == 4, с == 5;
при а==3, ==2 имеем:
а == 5, Ь == 12, с == 13 и т. д.
Пифаrорейские числа представляют собой интересную катеrорию чисел.
Предлаrаем самим учащимся доказать слеДУIОЩУIО теорему. Если сто-
роны, nря.моуzольноzо треуzольника вь/,ражаютСII целы.ми 'tUC-
ла.ми, то nроuз1Jедение катетов всеzда делится на 12, а произве-
дение всех mpl!x сторон всеzда делится на 60.
При м е ч а н и е. Равенство (1) есть частный случай более общеrо равен-
ства, именно
а n + Ь N == сп;
(4)
при п == 2 равенство (4) совпадает с равенством (1). Французский математик
Ферма (Fermat) высказал утверждение, что в противоположность равенству (1)
равенство (4) при целом п > 2 не может иметь места ни для каких целых чисел
а, Ь и с. Ферма утверждал, что он доказал это предложение, но cBoero до-
казательства не опубликов.ал. Это предложение известно в науке под именем
великой теоремы Ферма. Справедливость ero была доказана для мноrих част-
ных значений п, но доказать эту теорему для люБОl'О целоrо n > 2 до сих пор
никто не Mor.
180
217. Применение теоремы Пифаrора к вычислению
триrонометрических функций.
1. Завuсuмость между CUHYCO.Jf U KOCUHYCOJll одНО20 У2ла.
В силу теоремы Пифаrора имеем:
ВС2 + АС 2 == АВ2.
В Э 2]] было доказано, что
8С == АВ sin А и АС == АВ cos А.
Внося это в предыдущее равенство, ПОЛУЧИМ:
АВ2 sin 2 А + АВ2 cos 2 А == АВ2.
Деля почленно обе части этоrо равенства на АВ2, найдём:
sin 2 A+cos 2 A==]. (1)
Это замечательное соотношение между синусом и косинусом
одноrо уrла имеет MHoro важных приложений. В частности, оно
позволяет, зная синус какоrо либо OCTporo уrла, вычислить ero
косинус, и наоборот.
При м ер: sin А ' вычислить cos А. Заменив в равенстве (1)
. А u u u 1
величину sln равнои еи величинои 3' получим:
118
9" + cos 2 А == 1; отсюда cos 2 А == 1 9 == "9 ;
следовательно,
2У2
cos А == .
2. Вычuсленuе тРU20нометрuчес"uх ФУН"ЦUЙ У2лов 300, 600 и
450.
1
Пусть LA == 300 (черт. 231). Тоrда ВС == 2 АВ. Следовательно,
ве . А 1
АВ == Sln =="2 ·
Таким образом,
. 30 0 1
Sln == 2" ·
Далее,
cos 300 == V I si1l 2 300 == V 1 + == v 2 з ;
t 300 == sin 300 === == У3 .
g cos 300 уз 3
Для уrла 600 имеем:
i)l 600 == 3 , cos 600 == , tg 600 == V 3 .
18,
Пусть L А == 450 (черт. 232). Тоrда L В == 900 ----- 450 == 450.
Следовательно, в треуrольнике АВС имеем:
АС == ВС.
По теореме Пифаrора
АВ2 == АС2 + ВС2 == 2ВС2,
отсюда
8С2 1
АВ2 == 2 ·
в
в
д
с
д
Черт. 231.
Черт. 232.
Следовательно,
ВС АС I У 2 ВС
АВ == АВ == 112 == т; АС == 1.
А потому
sin 450 == cos 450 == 1122 ; tg 450 == 1.
2180
Т е о р е м а. Квадрат стороны, лежащей против остро..
zo уzла треуzольни"а l равен су-м,-м,е квадратов двух
друzих сторон без удвоенноzо nро-
С изведения одной из этих сторон на
прое"цию на неё друzой стороны,.
Дан 6 АВС (черт. 233). Опустив из
вершины С на сторону АВ перпендику-
ляр CD, получим два прямоуrольных тре-
Д О В уrольника ACD и BCD. Из треУI"ОЛЬ-
ника BCD имеем:
Черт. 233. ВС2 == CD2 + BD2. (1)
Вычислим отдельно CD2 и BD2. Из треуrольника ACD находим:
CD2 == АС2 AD2.
Далее,
BD == АВ AD,
182
следовательно,
BD2 == (АВ ----- AD)2 == АВ2 + AD2 2АВ · AD.
Подставляя эти выражения дЛЯ CD2 и BD2 В равенство (1), по-
лучим:
ВС2 == АС2 ----- AD2 + АВ2 + AD2 ----- 2АВ · AD;
или, по сокращении:
ВС2 == АС2 + АВ2 ----- 2АВ · AD.
Это равенство и доказывает теорему, так как AD есть проекция
стороны АС на сторону АВ.
е л е Д с т в и е. Из треуrольника ACD имеем:
AD == АС · cosA.
Внося это в предыдущее равенство, ПОЛУЧИМ:
ВС2 == АВ2 + АС2 ----- 2АВ · АС · cos А,
т. е. квадрат стороны" лежащей против ocmpOZO уzла
треуzольника, равен сум.ме квадратов двух друzих сто-
рон без удвоенноzо произведения этих сторон на ко-
синус уzла между ними.
219.
т е о р е м а. Квадрат стороны" лежащей против ту-
пOZO уzла тупоуzольноzо треуzольника, равен сумме
квадратов двух друzих сторон, сло
женной с удвоенным произведением
одной из этих сторон на проекцию
на неё друzой cmopOHbl.
Дан тупоуrольный треуrольник АВС
(черт. 234). Опустив из вершины С перпен-
дикуляр CD на продолжение С1'ороны АВ,
получим два прямоуrольных треуrольника BCD
и ACD. Из треуrольника ACD имеем:
АС2 == CD2 + AD2.
с
(1)
д
Вычислим отдельно CD2 и AD2. Из треуrольника BCD находим:
CD2 == ВС2 DB2.
Далее,
следовательно,
AD == BD + АВ,
AD2 == BD2 + АВ2 + 2BD · АВ.
Подставляя эти значения дЛЯ AD2 и CD2 В равенство (1), по
сокращении получим:
АС2 ;;:: ВС2 + АВ2 + 2АВ · BD.
183
220. Общий ВЫВОД О величине квадрата стороны
треуrольника.
Все три доказанные теоремы о квадрате стороны треуrольника
можно объединить в одну.
Во вся"ом треуzольни"е "вадрат стороны меньше l
равен или больше суммы "вадратов двух друzих сто-
рон, смотря по тому, будет ли уzол, лежащий против
81 .., 81 ..,
этои стороны, острыи, nрямои или тупои.
Пользуясь этой теоремой, можно, зная лишь длины сторон
треуrольника, определить, будет ли этот треуrольник остроуrоль-
ный, прямоуrольный или тупоуrольный. Допустим, например, что
стороны треуrольника равны 6 ед., 8 ед. и 12 ед. Так как пря-
мой или тупой уrол может лежать только против наибольшей
стороны, то достаточно определить вид уrла против стороны 12 ед.
Замечая, что 122 == 144, 62 == 36, 82 == 64 и, следовательно, 122 >
> 62 + 82, заКJIючаем, что этот уrол тупой, так как при друrом
виде уrла имело бы место иное соотношение между сторонами.
221. Свойство диаrоналей параллелоrрама.
т е о р е м а. Сумма "вадратов диаzоналей параллело-
zpaMa равна сумме "вадратов всех ezo сторон.
Дан параллелоrрам ABCD (черт. 235).
Проведя диаrонали АС и BD, мы разде-
лим ero на треуrольники. В треУI ОЛЬ-
нике ABD опустим перпендикуляр DE из
ТОЧJ{И D на сторону АВ, тоrда:
BD2 == АВ2 + AD2 2АВ · АЕ.
В тупоуrольном треуrольнике АВС опу-
стим перпендикуляр СР из точки С на продолжение стороны АВ;
тоrда
о с
4 Е- В F
Черт. 235.
АС2 == АВ2 + ВС2 + 2АВ · ВР.
Складывая эти равенства и замечая, что АЕ == 8Р (так как
Д ADE == Д ВСР) и АВ == CD, получим:
АС2 + 8D2 == АВ2 + AD2 + ВС2 + CD2.
222. Выражение ВЫСОТЫ треуrольника через три ero стороны.
Рассмотрим Д АВС (черт. 233 или 234). Введём обычные обозна-
чения АВ == с, ВС == а и АС === Ь, CD == hc. Из треуrОJIьника ACD
имеем:
h == Ь 2 AD2. (1)
Но, в силу теоремы 217 или 218:
а 2 == Ь 2 + с 2 2с · AD (или: а 2 == Ь 2 + с 2 + 2с · AD);
184
отсюда
Ь 2 + с 2 а 2 ( . Ь 2 + с 2 а' )
AD. 2 или. AD 2 ·
с ---- с
Следовательно,
AD2 :=: (Ь 2 + с 2 ..... а 2 )2 (в обоих )
4с 2 случаях ·
Подставляя это в равенство (1), получим:
2 (Ь 2 + с 2 а 2 )2 4Ь 2 с 2 ---- (Ь 2 + с 2 а 2 )2
hc:=: Ь 2 4с2 == 4с 2 ·
Числитель последнеrо выражения есть разность квадратов двух
выражений 2Ьс и (Ь 2 + с 2 а 2 ). РазлаI'ая её на про изведение
суммы на разность, получим:
h 2 [2Ьс + (Ь 2 + с 2 ---- а 2 )] . [2Ьс (Ь 2 + с 2 а 2 )]
с 4с 2 t
или
h == [(Ь 2 + с 2 + 2Ьс) а 2 ) . 2[а 2 (Ь 2 + с 2 2Ьс») :=:
4с
[(Ь + с)2 а 2 ] . [а 2 (Ь с)2]
4с 2
Выражения, заключённые в квадратные скобки, опять можно
разложить на произведtние суммы на разность, следовательно:
h 2 == (Ь + с + а) (Ь + с а) (а + Ь с) (а Ь + с) (2)
с 4с 2 ·
Полаrаем а + Ь + с == 2р. Вычитая из обеих частей по 2а, по-
лучим: Ь + с а :=: 2 (р а); вычитая по 2Ь, получим: а Ь +
+ с == 2 (р Ь); вычитая по 2с, получим: а + ь с == 2 (р с).
Замещая в равенстве (2) множители в числителе равными им ве-
личинами, получим:
h 2 == Р (р а) (р Ь) (р с) . 16
с 4с2 '
откуда:
11с == v р (р а) (р Ь) (р с).
с
111. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ЛИНИИ В KPyrE.
223.
Т е о р е м а. Если из точки, взятой в плоскости окруж-
ности, провести две прямые, пересекающие о кру Ж..
Hocтb то произведение расстояний этой точки от то-
чек пересечения каждой се"ущей с окружностью есть
величина постоянная (для данной точки).
Возможны два случая.
1. Взятая точка лежит в н у т р и окружности (черт. 236).
Через взятую точку О проводим две произвольные хорды АВ и
185
CD. Соединив концы хорд А с С и В с D, получим два подобных
треуrольника АСО и BDO, так как их соответственные уrлы опи
раются на одну и ту же дуrу (L АСО == L OBD и L САО ==
== L BDO). Поэтому
АО СО
OD == 08 '
отсюда
АО · ОВ == СО · OD.
Так как хорды АВ и CD проведены через точку О произвольно,
то и для всякой друrой хорды, проходящей через точку О, на-
МВ
с
о
N
Черт. 236.
Черт. 237.
пример MN, произведение отрезков МО. ON будет иметь ту же
величину, Т. е.
МО · ON == АО · ОВ == СО · OD.
2. Точка О лежит вне окружности (черт. 237). Прове ём через
точку О произвольные секущие ОА и ОС и обозначим через В и D
вторые точки их пересечения с окружностью. Соединив точки А
и D, а также В и С, получим два подобных треуrольника ВСО
и DAO (так как L BAD == L BCD и уrол при точке О ----- общий).
Поэтому
АО СО .
OD 08 '
отсюда
Ай · ОВ == СО · OD.
Так как секущие АВ и CD проведены через точку О произ-
вольно, то и для всякой друrой секущей, например MN, произве
дение МО · ON имеет ту же величину, т. е.
МО · ON == АО · ОВ == СО · OD.
224.
Т е о р е м а о б р а т н а я. Если на одной стороне уzла А ОС
заданы точ"и А и 81 а На друzой.... точ"и С и D ma"l
что АО · ОВ == СО · OD 1 то точки А, В, С и D лежат
186
на одной о ружности. Если на сторонах уzла АОС за-
даны точ и А и с, на продолжении стороны ОА за
вершину ...... точ а В и на про-
должении стороны ОС за вер- О
шину ...... точ а D тa , что
А О. ОВ==СО. OD, тоточ«иА,В,
С и D лежат на одной о руж-
ности.
Пусть точки А, 8, С и D лежат Д
на самих сторонах уrла (черт. 238).
Проведём окружность черрз точки А,
8 и С. Если бы эта окружность пе-
ресекла прямую CD не в точке D,
а в друrой точке D 1 , то мы имели бы
АО · 08 == СО · OD 1 . Сравнивая это Черт. 238.
равенство с данным, заключаем, что
OD 1 == OD. Значит, точки D и D 1 совпадают, т. е. окружность
проходит через точку D.
Таким же образом доказывается и вторая часть теоремы.
225.
Т е о р е м а. Если из а ой-либо точ и вне о ружности
.,
провести " неи асательную и се ущую, то асатель-
ная есть средняя nроnорциональная м-ежду всей ce y-
щей и её внешней частью.
Из точки О вне окружности проведены касательная ОА и се-
I<ущая 08 (черт. 239). Соединив точку касания А с точками В
Д О
о
Черт. 239.
Черт. 240.
и С, получим два подобных треуrольника АОВ и СОА, так как
L АВС == L ОАС (9 140), 8 уrол при точке О общий в обоих
треуrольниках. Поэтому
ОВ ОА
ОА ОС '
или
А02 == 08 · ОС.
Т е о р е м а о б р а т н а я. Если на одной стороне уzла
АОВ задана точ"а А, а на друzой две точ и В и С,
187
nричё.м А02 == ОВ. ОС, то о"ружность проходящая
через точ"и А, В и C 1 касается стороны ОА 8 точке А.
Построим окружность, касающуюся прямой ОА в точке А и
llРОХОДЯЩУЮ через точку В (черт. 240). Центром этой окружно
сти, очевидно, служит точка пересечения перпендикуляра к пря
мой АО, проведённоrо через точку А, и перпендикуляра к пря
мой АВ, проведённоrо через середину отрезка АВ.
Эта окружность необходимо пройдёт и через точку С. в самом
деле, если бы она пересекла прямую ОВ не в точке С, а в дру-
rой точке С 1 , то мы имели бы А02 == ОВ · ОС!. Сравнивая это
равенство с данным, находим ОС 1 == ОС; значит, точка C 1 совпа
дает с С.
226. Деление отрезка в крайнем и среднем отношении.
З а Д а ч а. Данный отрезо/(, разделить на две части та/(, , чпlО
бы одна есо цасть была средней пропорцuональной между всем
отрез/(,ом и друсой еёО частью.
д
в
Черт. 241.
отсюда ( 168, п. 3)
АЕ ---- АВ
АВ
Заметим, что
Реш е н и е. Дан отрезок АВ
(черт. 241 ). Из конца В ВОС-
1
ставляем перпендикуляр 8е == 2АВ;
из точки С радиусом, равным ВС,
описываем окружность; она коснётся
АВ в точке 13.
Соединив А и С, получим ceKY
щую АЕ. D и Е - точки её BCTpe
чи с проведённой окружностью.
Тоrда
АВ АВ
АВ == AD ;
АВ AD
AD
а потому
АВ === 2ВС == DE
,
АЕ АВ == АЕ D Е == AD.
Следовательно,
AD AB AD
АВ == AD
И, значит, AD есть искомая большая часть отрезка АВ. Отложив
на АВ отрезок АХ == AD и замечая, что
АВ ........ AD == АВ АХ == ВХ,
будем иметь:
lB
АХ ВХ
АВ == АХ ·
Следовательно, Х искомая точка деления. Такое дрление отрезка
называется делением в крайнем и среднем отношении. Чтобы
найти отношение частей АХ и ВХ, полаrаем АВ == а, АХ === х.
Внося эти значения в пропорцию, получим:
х a x
а х
отсюда
х 2 == а (а х) или х 2 + ах а 2 == о.
Решая это квадратное уравнени е, найд ём:
а + У а 2 + 4а 2
х== 2 ·
Так как х > О, то перед корнем нужно брать знак +.
Выполняя действия, получим:
У5 ..... 1 6 8
х == а 2 О, 1 03а,
т. е. приближённо (с точностью до 0,1) х === О,6а.
Отношение 0,6... обладает весьма интересными свойствами.
Так, ещё в древности было замечено, что прямоуrольник, сто-
роны KOToporo являются частями отрезка, разделённоrо в крайнем
и среднем отношении, имеет наиболее приятную для rлаза форму.
В друrих областях человеческоrо знания, как в живописи, архи-
тектуре, отношение 0,6... встречается всеrда в связи с наиболее
приятными для rлаза сочетаниями размеров частей предметов
и изображений. В музыке отношение длин струн, равное 0,6. . .,
связано с rармоническими аккордами. Поэтому делению отрезка
в крайнем и среднем отношениях в средние века придавали осо-
бенно большое значение и называли ero «божественным сечением»
(sectio divina) и «золотым сечением» (sectio aurea).
IV. СТЕПЕНЬ ТОЧКИ ОТНОСИТЕЛЬНО ОКРУЖНОСТИ.
227.
Степенью данной точки относительно окружности называется
произведение отрезков секущей, проходящей через эту точку, изме-
ряемых от данной точки до точек пересечения с окружностью. Этому
произведению приписывают знак +, если данная точка лежит вне
окружности, и знак -----, если данная точка лежит внутри окружности.
В силу теоремы Э 225, для точки, лежащей вне окружности,
её степень равна квадрату касательной, проведённой через эту
точку. Для точки, лежащей внутри окружности, её степень, в силу
теоремы Э 223, равна взятому со знаком минус квадрату полу-
хорды, проходящей через эту точку и перпендикулярной к прохо-
дящему через ту же точку диаметру 1.
1 Эта хорда будет наименьшей из всех хорд, проходящих через данную
точку (см. стр. 126, упр. 4).
189
JIerKo заметить, что если d...... расстояние точк.и от
центра ок.ружности l r ...... радиус ок.ружности и Р...... сте-
пень точки M 1 то во всех случаях
Р == d 2 r 2 .
в самом деле, если точка М лежит вне окружности О, то, про
ведя касательную МТ, найдём:
р == МТ2 == ОМ2 ----- ОТ2 == d 2 r 2 .
Если точка М лежит внутри окружности, то, проведя через
неё хорду АВ, перпендикулярную к диаметру ОМ, найдём:
р == AM2,
а из треуrОЛhника ОАМ имеем:
АМ2 == А02 ОМ2 == r 2 d 2
,
следовательно,
р == d 2 ----- r 2 .
228. Радикальная ось двух окружностей.
3 а д а ч а. Н айти zеометричес/(,ое меСlпо точе/(" степени кoтo
рых относительно двух данных неконцентричес/(,uх окружностеЙ
равны между собой. [Окруж-
М ' ность С центром О и радиу-
сом R будем обозначать в
дальнеЙll1ем: О (R).]
Даны две окружности:
01 (R 1 ) и 02 (R 2 ) (черт. 242).
Если М одна из точек,
имеющих одинаковую степень
относительно обеих окружно
стей, то
01М2 ......... R == 02 М2 ....... R ,
откуда:
01M2 ----- 02М2 == R ......... R . (1)
Черт. 242. Опустив из точки М пер
пендикуляр мр на линию
центров, получим два прямоуrольных треуrольника 0lMP и 02 МР '
в которых
01M2 == 01 Р2 + рМ2 и 02 М2 == 02 Р2 + рМ2.
Вычитая второе равенство из первоrо, получим:
01M2 02М2 == OlP2 02Р2;
190
замещая в равенстве (1) левую часть равной ей величиной, будем
иметь:
О р2 ----- О Р 2 R 2 R 2
1 2 1 ----- 2'
Следовательно, точка М лежит на перпендикуляре к линии
центров, восставленном в точке, разность квадратов расстояний
которой от центров окружностей равна разности квадратов pa
диусов.
Покажем, что на линии центров 0}02 существует т о л ь 1( о
о Д н а точка Р, удовлетворяющая условию (2). Если R 1 == R2' то
этой точкой будет середина отрезка 0}02' Предположим, что
R 1 > R 2 (мы всеrда можем обозначить через Rl радиус большей
окружности). При этом О}Р > О",Р И точка Р лежит на самом
отрезке 0}02 или на ero продолжении за точку 02 (но не на ero
продолжении за точку О}). Принимая во внимание, что 02Р ==
== + (0}02 0IР)' получим из равенства (2):
01Р2 (0}02 0}Р)2 == R: R .
(2)
Отсюда:
2 2
О}Р == R} ---- R 2 + 01 2 .
20102 2
Это равенство и определяет положение точки Р на луче 0102'
Обратно, пусть М' одна из точек ЭТОI'О перпендикуляра. Из
треуrольников 0IМ'Р и Р 2 М'Р имеем:
01 М '2 == 0}Р2 + РМ'2 и 02 М '2 == 02 Р2 + РМ'2.
Вычитаем второе равенство из первоrо:
01М'2 02М'2 == 01Р2 02 Р2 .
Подставляя в равенство (2), найдём:
01 М2 ....... 02 М '2 == R R ,
или 01М'2 Ri == 02 М '2 R . ·
Следовательно, M'Ti 2 == M'T 2. Значит, точка М' имеет оди-
наковую степень относительно обеих данных окружностей.
Отсюда следует, что:
ёеометрическое место точек, имеющих одинаковую степень
относительно двух данных окружностей, есть прямая линия,
nерпеflдиКУЛЯРflая к линии центров и nересекающая её в точке,
для котороЙ разность квадратов расстояний от центров окруж-
ностей равна разности квадратов их радиусов.
С л е Д с т в и е 1. Если две о"ружности пересекаются,
то их ради"альной осью служит прямая, проходящая
через их точ"и пересечения.
С л е Д с т в и е 2.. Если две о"ружности касаются, то
их ради"альной осью служит "асательная в их общей
точ"е.
191
9 229. Радикальный центр трёх окружностей.
Т е о р е м а. Три радик.альные оси трёх ок.ружностей,
центры к.оторы'х не лежат на одной прямой, nересе-
к.аются 8 одной точк.е.
Даны три окружности С 1 , С 2 , Сз, центры которых не лежат
на одной прямой. Если построить радикальные оси для окруж
ностей С 1 и С 2 , а также для окруж"
ностей С 2 и СЗ, то точка пересе..
чения этих прямых, очевидно, бу-
дет иметь одинаковую степень как
относительно окружностей С 1 и С 2 ,
так и относительно окружностей С 2
и Сз, а следовательно, и относи..
01 тельно окружностей С 1 и Сз. Зна..
чит, она лежит и на радикальной
оси окружностей С 1 и СЗ' Точка
пересечения трёх радикальных осей
трёх окружностей называется их
радикальным центром.
Радикальным центром удобно
пользоваться для построения ра..
Черт. 243. дикальной оси двух непересекаю-
щихся окружностей.
Допустим, что нужно построить радикальную ось окружностей
с центрами 01 и 02 (черт. 243). Проведём две какие либо окруж"
ности с центрами О' и О", пересекающие обе данные, и построим
радикальный центр S окружностей 01' 02 И О' И радикальный
центр S' окружностей 01, 02 И О". Точки S и S'. очевидно, ле)кат
на радикальной оси окружностей 01 и 02. Н Е
Следовательно, прямая S'S искомая ра-
дикальная ось.
v. ВЫЧИСЛЕНИЕ СТОРОН ПРАВИЛЬНЫХ
ВПИСАННЫХ мноrоуrольников.
230. Квадрат.
Построить квадрат, вписанный в дaH
ную окружность, можно следующим обра- G О F
зом. Проведём два перпендикулярных диа Ч 244
А ерт. .
метра С и BD (черт. 244) и точки их
пересечения с окружностью А, В, С и D соединим между собой.
Эти два диаметра разделят окружность на 4 равные части, и
полученный вписанный четырёхуrОЛЫ-IИJ( ----- квадрат.
Сторону вписанноrо квадрата найдём из треуrольника АОВ:
АВ2 == А02 + В02 == R2 + R2 == 2R2,
откуда
192
АВ == R У 2.
с
231. Шестиуrольник.
Сторона АВ (черт. 245) правильноrо вписанноrо шестиуrольника
u u 1
является хордои, стяrиваlощеи дуrу, равную (3 части окружности.
1
Следовательно, L АОВ == 6" · 3600 == 600, а потому L ВАО ==
== L АВО == 1800; 600 == 600,
Значит, f::,.АОВ равносторонний, и потому АВ == R, т. е.
сторона правильноrо вписанноrо шеСТИУI'ольника равна радиусу
H:pyra. Отсюда вытекает простой способ построения шестиуrоль-
ника путём откладывания от какой-либо точки А окружности дуr
радиусом, равным радиусу Kpyra.
232. Треуrольник.
Соединяя через одну врршины правиль-
Horo вписанноrо шестиуrольника ABCDEF
(черт. 245), получим правильный вписан
ный треуrолыlкK АСЕ. Сторону АС этоrо
треуrольника найдём из параллелоrра-
ма АВСО:
АС2 + ОВ2 == АВ2 + ВС2 + С02 + ОА2,
или АС2 + R2 == R2 + R2 + R2 + R2; отсю-
да АС2 == 3R2; АС == R V з .
Черт. 245.
233. Десятиуrольник. D
Если АВ == х (черт. 246) сторона пра-
ВИЛЫIО вписанноrо десятиуrольника, то
L АОВ == 3 0 == 360,
L ВАО == LABO == 1800;-360 == 720,
Проведём равноделящую 'АМ уrла ОАВ.
Т L МАВ 720 36 0 Черт. 246.
оrда == 2 == ; а так как
L АВ М == 720, то L АМ В == 1800 360 720 == 720; следовательно,
треуrольник МАВ равнобедренный и АМ == АВ. Треуrольник АМО
также имеет два равных yr ла:
L МАО == L АОМ == 360,
следовательно,
Далее,
АМ == ОМ.
6 АОВ N МАВ,
ОВ : АВ == АВ : ВМ,
а потому
13 Элемент. rеометрия, ч. I
193
а так как
и
то
АВ == АМ == ОМ == Х, ОВ == R
вм == OB AM == R x,
R : х == х : (R Х),
т. е. искомая сторона десятиуrольника равна большей части ра-
диуса, разд лёнвоrо в крайнем и среднем отношении. Сл довательно
( 226),
х == (V 5 1) :::::: 0,61803 R.
234. Общий случай.
Для получения стороны Лlобоrо правильноrо вписанноrо MHoro-
уrольника удобно пользоваться ТРИI-онометрическими функuиями.
Пусть АВ (черт. 247) сторона праВИЛЬНОI'О IЗписанноrо n-уrольника.
С Построив ero апофему ОМ, из треуrольника
ОАМ имеем:
АМ == OAsinLAOM.
Обозначив сторону n-уrольника через а n ,
будем иметь
Черт. 247.
АМ ап
2 .
LLалее заметим, что
ОА == R и L АОМ == 2 600 == 1800 .
n n
Внося эти величины в предыдущее равенство, получим:
а п R . 1800
2 == SlП n '
откуда
. 1800
а п == 2R Sln .
Il
Из этой общей формулы можно получить, как частный случай,
полученные BbIII.Ie выражения для сторон вписанных квадрата,
шестиуrольника и треуrольника. В самом деле,
а 4 == 2R sin 450 == 2R 2 == R V 2 ;
а& == 2R sin 300 == 2R == R;
аз == 2R sin 600 == 2R 3 == R V 3.
194
3 235. Удвоение числа сторон правильноrо вписанноrо
мноrоуrольника.
3 а д а ч а. Зная сторону ап правильно о впиcaHHO O JrlflO O-
У ОЛЬflика и радиус круса R, определить сторону а 211 правиЛЬНО Q
вписаННО20 Мflо оу ольника, иJrtеющесо вдвое более cnzopOfl.
Дана сторона АВ == а п (черт. 247). Проводим радиус ОС, пер-
пендикулярный к АВ, и соединяем точку С с точками А и В.
Хорды АС и ВС и будут сторонами искомоrо мноrоуrольника:
АС == ВС == а2n' Из треуrольника АОС имеем:
АС2 == АО2 + ОС2 20С · ОЛ1,
или
a n == R2 + R2 2R · О М ;
но из треуrольника АОМ:
ОМ == V R2 а 4 ; ·
Следовательно,
(' 2
а: n == 2R2 2R V R2 а 4n ;
отсюда
а 2n == v 2R2 R V 4R2 a .
Ту же формулу можно получить иначе. Из треуrольника АОС
имеем:
или
АС2 == АО2 + ОС2 2АО · ОС · cos L АОС,
а: n == R2 + R2 2R . R . cos I O° == 2R2 ( 1 cos I OO ) .
Но
1800 . 1800
COS == 1 sln2
п n
и
. 1800 а n
Sln п == 2R '
а потому:
а 2 == 2R2 ( 1 .. / 1 a ) == 2R2 ........ R V 4R2 ----- а 2
2n -v 4R2 n,
следовательно,
а 2n == v 2R2 R V 4R2 a .
VI. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОКРУЖНQСТИ.
236. Предварительные замечания.
Коrда мы измеряли длину прямолинейноrо отрезка, мы стара-
Лись определить, сколько раз на данном отрезке МО)I{НО отложить
отрезок, принятый за единицу длины. Этот приём нельзя приме-
13*
195
нить для вычис.пения ДJlИНЫ окружности, так как какой бы пря
молинейный отрезок ни был принят за единицу длины, ero нельзя
будет совместить с дуrою окружности. Поэтому для вычисления
длины окружности стараются найти величины, которые моrли бы
заменить собой длину окружности и в то же время моrли бы
,., ..
оыть измерены ооычным приемом.
За такие величины берут периметры правильных вписанных
мноrоуrольников. Чем больше вершин в таком мноrоуrольнике,
тем больше он имеет общих точек с окружностыо (вершины)
и тем более по своему виду 011 похож на окружность.
Поэтому периметр правилыIrоo вписанноrо мноrоуrольника при-
нимается за приближёНllое значение длины окружности. Чтобы
перейти отсюда к точному определению длины окружности, рас-
смотрим некоторые своЙства периметров вписанных мноrоуrолъни
ков и периметров ломаных линий.
237. Свойства периметров ломаных линий.
т е о р е м а, Отрезо" прямой, соединяющий две точ"и,
"ороче всякой ло-маной линии, проведённой между
этими же точка-ми.
Даны: отрезок АВ и ломаная ACDEFB (черт. 248). Соединив
точку А с точками С, D, Е, F, получим треуrольники ACD, ADE,
АЕР и AFB. Из этих треуrольников имеем:
AC+CD>AD;. AD+DE>AE;
АЕ + EF > АР; АР + FB > АВ.
Сложив эти неравенства. по со..
кращении получим:
АС + CD + DE + ЕР + РВ > АВ.
F
с
в
Е
G
д
Черт. 248.
д ....--- ....--- о
Черт. 249.
Из двух ломаных линий с общим началом и общим концом
одна называется объе-млющей по отношению к друrой, если эта
последняя лежит в н у т р и мноrОУI'ольника, образованноrо первой
ломаной и отрезком, соединяющим их кониы.
Так, ломаная AEFGD....... объемлющая по отношению к ломаной
ABCD (черт. 249). ·
196
Т е о р е м а. Пери.меmр выпуклой ло-маной линии меныие
пери.метра всяк.ой объе-млющей её ло.маной.
Даны две ломаные: выпуклая ABCD и объемлющая её AEFGD.
Продолжим звенья АВ и ВС дО пересечения с объеМJIIощей
ломаной в точках Н и к. в силу предыдущеrо имеем:
АЕ+.ЕН>АВ+ВН,
BH+HF+FK>BC+CK,
ск + ка + CD > CD.
Складывая эти неравенства и производя сокращения, ПОЛУЧИМ:
АЕ +- ЕН + HP + FK + КО + GD > АВ + ВС + CD,
или:
АЕ + ЕР + FO + GD > АВ + ВС + CD.
238. Свойства периметров вписанных мноrоуrольников.
Периметры вписанных мноrоуrольников обладают следующими
свойствами.
1. Пери-метр BпиcaHHOZO -мноzоуzольника при удвоении
числа ezo сторон возрастает.
В самом деле, при удвоении числа сторон вписанноrо MHoro-
уrольника сторона АВ (черт. 247) заменяется двумя сторонами
АС и ВС HOBoro мноrоуrольника. Но АС + ВС > АВ, а потому
Р2n > Р n ' rде Р п И Р 211 ----- периметры cTaporo и HOBoro мноrоуrоль
ников.
2. Пери-метр любоzо BпucaHHOZO .мноzоуzольник.а
.меньше пери.метра любоzо OпucaHHOZO .мноzоуzольник.а.
Это непосредственно вытекает из дока.занных
выше свойств выпуклых ломаных линий.
В самом деле, обозначим периметр впи-
caHHoro мноrоуrольника через Р, описанио-
.ro ----- через Q. Соединим точку прикосновения
одной из сторон описанноrо мноrоуrольни-
ка т с ближаЙLlIИМИ к ней слева и справа
вершинами М и N вписанноrо мноrоуrоль-
ника (черт. 250). Заменяя хорду MN двумя
хордами МТ и TN, мы получим новый впи-
санный мноrоуrольник, периметр KOToporo Черт. 250.
Р' > Р. Но Р' есть периметр замкнутой вы-
пуклой ло аной линии, начало и конец которой совпадают в точ-
ке Т, Q есть периметр объеМЛlощей ломаной с теми же нача-
JIOM и кониом, а потому Q > Р' и, следовательно, Q > Р.
3. Если удвоить число сторон правильноrо описанноrо MHoro-
уrольника, затем удвоить число сторон вновь полученноrо MHoro-
уrольника и продолжить этот процесс удвоения неоrраниченно,
то получится последовательность правильных вписанных MHoro-
уrольников со всё возрастающим числом сторон. Периметры этих
197
мноrоуrольников образуют бесконечную ПОСJIедовате льность чисел:
Рl' Р2' Рз, ... , р n' . . ·
Эта последовательность обладает такими свойствами: в силу
первой теоремы этоrо параrрафа, каждый член последова..
тельности больше предшествующеzо, т. е. эта после..
довательность возрастающая. В силу второй теоремы,
члены этой последовательности м-еньше HeKomopoZo
постоянноzо числа, и-м,енно меньше периметра любоzо
oпucaHHozo мноzоуzольника, например меньше периметра
описанноrо квадрата.
Как известно из алrебры, возрастающая последовательность
чисел, все члены которой меньше HeKOTOpOI"O числа, имеет опре-
делённыЙ предел. А потому последовательность периметров Рl'
Р2' Р З , ... , Р11' ... имеет определённый предел.
239. Длина окружности.
Предел периметров правильных вписанных в Kpyr мноrоуrоль-
ников при неоrраниченном увеличении (путём удвоения) числа их
u
сторон называется длинои окружности.
Таким образом, вычисление длины окружности приводит К Ha
хождению предела периметров правильных вписанных мноrоуrоль-
ников при неоrраниченном возрастании числа их сторон. Нахожде-
ние этоrо предела облеrчается замечательным свойством окруж-
ности, которое выражается слеДУIощей теоремой.
240.
Т е о р е м 3. Отношение длинь/, окру.жности к диаметру
есть величина постоянная, т. е. одна и та же для всех
окружностей.
Возьмём две окружности и впишем в них одноимённые пра-
вильные мноrоуrольники. Их периметры Р и Р относятся, как ра-
диусы R и r (Э 198, ел. 3), т. е.
р : р == R : r,
отсюда
р р
2R 2r ·
При увеличении числа CTOpOII МНОI"оуrольников их периметры
стремятся, как к своим пределам, к длинам данных окружностей
С и с.
Так как переменные величины :R и :' остаются равными при
I1еОI"раниченном удвоении числа сторон, то будут равны и их пре-
делы, т. е.
с с
2R == 2r '
что и доказывает теорему.
198
241. Число 1t.
С С
Постоянная величина 2R обозначается буквой 1t, т. е. 2R == 1t,
отс юда
C==21tR.
Таким образом, задача вычислrния длины окружности сводится
I{ вычислению I1eKOTOporo постоянноrо числа, именно числа 1t.
Коrда это число будет найдено, то, умножив ero на диаметр
Kpyra 2R, получим длину окружности.
Чтобы получить приближённую величину числа 1t, вписывают
в окружность какой либо правильный мноrоуrольник. Затем вы-
числяют ero периметр и делят ero на диаметр KpYI'a. Чтобы по
лучить более точное значение 1t, удваиваlОТ число сторон MHoro
уrолыIка,, и периметр H080ro мноrоуrольника опять делят на
диаметр. Чем больше число сторон вписанноrо мноrоуrольника,
тем более точное значение получается для числа 1t. Ниже даётся
таблица, в которой приведены приближённые знаqения чисел 1t,
соотвеТСТВУЮlцие различным мноrоуrольникам.
Число сторон
Отношение периметра вписанноrо мноrоуrО.тJьника
к диаметру Kpyra
12
24
48
96
192
384
768
1536
3072
6144
12288
24576
49152
98304
3,10582854
3,13262861
3,13935020
3, 14 1 03195
3,14145247
3, 14 155761
3, 14158389
3,14159U46
3,141592106
3,141592517
3,111592619
3,141592645
3,141592651
3,1415У2653
Точная величина ОТНОlIJения длины окружности к диаметру
представляется бесконечной непериодической десятичной дробью:
'lt == 3, 14159265358979323846...
На практике берут часто приближённо
22
h == 3, 1.4 или 1t == 7 .
Последнее значение 1t было найдено Архимедом и носит назва-
ние Архимедовоrо числа. Оно даёт значение n с точностью до 0,01.
199
242. Длина дуrи окружности.
ДуrОВbIе rраДУСbI разбивают всю окружность на 360 равных
1
частей, а потому длина дуrи в 1 о должна составлять 360 часть
всей окружности, т. е. должна измеряться числом
21tR 1tR
360 ----- 180 ·
L(лина s дуrи в пО равна:
птtR
S == 180 ·
(1)
Если дуrа s несоизмерима с дуrОВbIМ rраЛУСО:\1, то поступаlОТ
так же, как при измррении отрезков (Э 161). И \1енно, делят дy
I'ОВОЙ rрадус на 1 О, 100, 1000 и т. д. равных частей и укладывают
на данной дуrе сначала целый дуrовой rрадус, на полученном
1 1
остатке 10 долю rрадуса, на новом остатке 100 ero долю и т. д.
Таким образом получают длину дуrи, измеренную дуrОВbIМ rраду
1 1
сом с точностью до 10 ' 100 и т. д. доли дуrовоrо rрадуса. По
вышая точность неоrраниченно, приходят к бесконечной дроби,
представляющеЙ точную длину данной дуrи.
243. Радианная мера уrлов_
Деля обе части равенства (1) на R, получим:
s п7t
R == 180 .
Это равенство показывает, что ОТНОIlJение длины дуrи к ра-
диусу вполне определяется числом rрадусов n. содержащихся в
этой дуrе (а следовательно, и в соотв тствующем ей центральном
yr Jle), независимо от длины радиуса. Обратно, если известно от-
s
ношение [[' то можно определить в rрадусах величину централь-
Horo уrла. В самом деле, из полученной формулы находим:
s 180
n==R-7.
s
Отсюда следует, что величина отношения R так же хорошо
определяет величину центральноrо уrла, как и число ('()держащихся
.. S u
В нем rрадусов, так как, зная величину R' можно сеичас же
S
определить число rрадусов уrла. Величина R непосредственно
показывает, сколько раз радиус Kpyra содержится в дуrе, соответ-
ствующей да нному центральному yr лу, или сколько раз в данном
уrле содержится уrол, измеряемый дуrою, по длине, равной радиусу..
200
Таким образом вместо прежнеrо r р а Д у с а можно ввести новую
единицу измерения центральных уrлов, именно, у r о л, и з м е р я e
мый ДУI ОЮ, длина которой равна радиусу Kpyra.
Эта новая единица измерения yr лов носит название радиана, а
S u u О
величина R радианнои мерои уrла. на показывает, сколько
радианов содержится в данном уrле. Обозначим величину одной
буквой:
S
R == 9.
Связь между радианной и rрадусной мерой уrла выражается
формулой .
пr..
ер == 180 ·
По этой формуле, зная rрадусную Mery п yr ла, можно найти
ero радианную меру и обратно по радианной мере уrла вычис--
лить число ero rpanycoB.
Найдём радианную меру прямоrо уrла. Полаrая n == 900, имеем:
90 Jt 1t
ер == 1 80 == 2" ·
Найдём число rрадусов, содержащихся в одном радиане. Для
радиана s == R, следовательно, 1. Таким образом для радиана
имеем:
п1t
1 == 180 '
откуда
n == 180 570 17' 44" .
1t
Такова rрадусная мера одноrо радиана. Наконец, из фор мулы
S
ер == R
s == R'f'
т. е. длина дуzи равна длине радиуса, умноженной на
радианную меру центральноzо уzла.
следует:
VII. АлrЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
НА ПОСТРОЕНИЕ.
244. Сущность алrебраическоrо метода.
Формулы, выражающие одни элементы rеометрических фиrур
через друrие, MorYT служить иноrда средством для решения запач
на построение. Пользуясь этими формулами, можно величины
201
отдельных алrебраических выражений представлять в виде длин
некоторых отрезков. Так, например, выражение
аЬ
Х ==...........
с
представляет длину отрезка, четвёртоrо пропорциональноrо к трём
данным отрезкам а, Ь и с. Действительно, из формулы
аЬ
Х === ...........
с
следует:
х Ь
............ -----
а с '
а потому, зная величины отрезков а, Ь и С, мы можем построить
отрезок х (Э 173), иначе rоворя, можем построить величину OTHO
аЬ
шения .
с
Т.очно так же выражение
х == V а 2 -t Ь 2
представляет длину rипотенузы ПрЯМОУI'ольноrо треуrольника, ка-
теты KOToporo равны а и Ь, так как из этой формулы следует:
х 2 == а 2 + Ь 2 ,
а потому по данным отре зкам а и Ь мы можем построить отрезок,
длина KOT oporo равна V а 2 + Ь 2 , т. е. построить величину выра-
жения Va 2 + Ь 2 .
Если научиться таким образом строить величины различных
алrебраических выражений, то этим можно иноrда с успехом поль
зоваться при решении задач на построение, именно, КОl да тре-
буется построить какую .пибо фиrуру по некоторым заданным её
элементам. Иноrда можно выразить какой-либо из неизвестных
элементов фиrуры через данные сё элементы, т. е. найти для неиз-
BecTHoro отрезка алrебраическое выражение, даIощее ero длину.
Если удаётся построить величину этоrо выражения, то тем самым
будет найден ещё один отрезок, входящий в искомую фиr уру,
и построение её может значительно облеrчиться. В этом состоит
сущность алrебраическоrо метода. Чтобы успешно пользоваться
этим методом, нужно y leTЬ строить величины различных алrе-
браических выражений.
245. Построение простейших формул.
аЬ
1. х == -----; из этоrо равенства следует:
с
х Ь
а с'
следовательно, х есть че1вёртая пропорциональная к трём данным
а, Ь, с. Построение её дано в Э 173.
202
а 2
2. Х == ь; из этоrо равенства находим:
х а
а Ь'
СJIедовательно, задача СВОДИТСЯ к предыдущей. KpO:Vle Toro, можно
дать дрУI"'ое решение задачи, именно, леrко заметить, что если
построить прямоуrольный треуrольник, rипотенуза KOToporo равна Ь,
а один из катетов равен а, то проекция этоrо катета на rипоте-
нузу будет равна х ( 214).
3. х == V аЬ ; отсюда
х 2 == аЬ.
Это равенство показывает, что х есть длина перпендикуляра, опу-
щенноrо из вершины прямоrо уrла на rипотенузу прямоуrольноrо
треуrольника, в котором проекции катета на I'ипотенузу равны
а и Ь ( 214). Отсюда непосредственно вытекает способ построения
отрезка х.
Можно также заметить, что х есть длина катета прямоуrОJIЬ-
Horo треуrольника, rипотенуза KOToporo равна большему из отрез-
ков а и Ь, а проекция катета. на rипотенузу равна меньшему из
этих отрезков. Отсюда вытекает второй способ построения отрез-"
ка х. Третий способ построения отрезка х леrко получить на осн<?-:
вании теорем ы о д лине касательной ( 225).
4. х == Va 2 + Ь 2 ; отсюда
х 2 ==а 2 +Ь 2 ,
следовательно, х есть rипотенуза прямоуrольноrо треуrольника,
катеты KOTo poro p aBIJbI а и Ь.
5. х == V а 2 Ь 2 ; х есть катет прямоуrОЛЬНОI"'О треуrольника,
rипотенуза K OToporo ра вна а, а друrой катет Ь.
6. х == V а 2 + Ь 2 + с 2 . Полаrаем:
а 2 +Ь 2 ==у2.
Тоrда отрезок у может быть построен как rипотенуза прямоуrоль-
Horo треуrольника, каlеты KOToporo равны а и Ь.
Построив у, будем иметь:
х == V у2 + с 2
и тем >k.e сп особом построим х.
246. Построение корней квадратноrо уравнения.
Допустим, что отыскание длины х неизвестноrо отрезка свелось
к решению квадратноrо уравнения. В зависимости от знака сво-
бодноrо члена, это уравнение может иметь один из двух видов:
х 2 + рх + q == о и х 2 + рх q == О,
203
rде q > О. ДЛЯ дальнейшеrо удобно положительное число q пред-
ставить в виде квадрата какоrо либо числа ql (что возмо)Кно, так
как q > О). В таком случае уравнение будет иметь один из двух
видов: .
1. х 2 + рх + qi === О и
:l
2. х2 + рх ql === О.
Рассмотрим каждый из этих видов отдельно:
1) х2 + рх + q == О. в зависимости от знака коэффициента р
возможны два случая:
а) р < о.
Заменяя р через Pl' получим
х2 РI Х + q :=:: О,
rде Рl > о. Корни этоrо уравнения должны удовлетворять COOTHO
шениям:
2
Х 1 + Xz == Pl И Хl · Х 2 === q 1 .
Построить эти корни можно так.
На отрезке длиной Рl' как на диаметре (черт. 251), описываем
окружность и на расстоянии ql от этоrо диаметра проводим пря-
мую, ему параллельную. Если ql < Pd ' то эта прямая пересечёт
окружность в двух точках. Опустив из одной из них перпенди-
куляр на диаметр, мы разобъём ero на два OT
резка Х 1 и Х 2 ' которые и будут служить корнями
данноrо уравнения, так как
2
Хl + Х 2 === Рl И Xl · Х 2 == q 1 ·
Если ql < Р; , корни Хl И Х 2 будут различ
ными и задача будет иметь д в а решения. Если
Ч 251 q l === Р 2 1 , П р оведённая прямая будет касаться
е рт . .
окружности, оба корня Х 1 и Х 2 будут равны между
собой и задача будет иметь о Д н о решение. Наконец, если
ql > 1 , то прямая вовсе не встречается с окружностью; корни
уравнения будут мнимыми. Если при решении какой-либо задачи
будет получаться такое уравнение, то это будет означать, что за-
дача н е в о з м о )к н а.
б) р > о.
Так как
2
Xl + Х 2 == p < О и Xl · Х 2 == ql > О,
ТО Х 1 И Х 2 оба отрицательны. Так как при построении нас инт ре-
сует лишь абсолютная величина этих корней, то данное уравнение
можно заменить друrим, в котором корни имеют ту же величину,
но друrой знак, т. е. оба больше нуля. Для этоrо нужно в дан.
204
ном уравнении замени'fЬ р qерез р. в таком случае мы ОПЯТЬ
придём К уравнеНИIО, рассмотренному выше.
2) х 2 + рх ---- q == о. в зависимости от знака р возможны два
случая.
а) р > о.
Так как для корней Х 1 и Х 2 этоrо уравнения должно иметь
место равенство
2
Х 1 · Х 2 == q 1 ,
то один из корней положителен, друrой отрицателен. Построим
положительный корень. Напишем уравнение в виде:
2
Х (х + р) == ql .
Тоrда леrко заметить, что если р > о, ТО ql представляет длину
касательной к окружности из некоторой внеш
ней точки, а Х + р длину проведённой из
той же точки секущей, причём часть ceKY
щей, лежащая внутри окружности, равна р.
Выполнить построение оrрез!{а Х можно так.
Строим произвольную окружность, диаметр
которой был бы больше р. Построим в ней
хорду длиной Р и концентрическую окруж-
ность, касающуюся этой хорды (черт. 252).
В какой либо точке М внешней окружности
проводим к ней касательную и откладываем
на ней от точки касания отрезок Л1N == ql0
ИЗ ТОЧКИ N проводим касательную к BHYTpeH
ней окружности. Она пересечёт внешнюю
окружность в точках Х и У о ДJlина отрез
ка N Х представляет величину искомоrо поло
жительноrо корня X 1 . Абсолютную величину отрицательноrо
корня Х 2 можно получить на основании равенства
Хl + Х 2 == -----р.
Из эrоrо равенства имееl\f:
-----Х 2 == Х 1 + р.
Это равенство показывает, что абсолютная веJIичина отрицатель-
Horo корня равна NY.
б) р < о.
Если р < О, то ----р > О, и, полаrая p == Рl' приведем уравнение
]( виду
х 2 ----- Рl Х == q ,
или
Черт. 252.
х (х ....... Pl) == q .
Построение корней останется тем же, с той разницей, что теперь
положительный корень изобразится отрезком NY, а абсолютная
величина отрицательноrо корня...... отрезком N Х.
205
В случае уравнения вида
х 2 + рх q == о
задача возможна при люБыIx данных р и Ql'
247. Общее замечание о построении алrебраических
выражений.
Формулы, выражаIощие длину одноr'о отрезка через длины
друrих, обладаIОТ одной особеIIНОСТЫО, которая отличает их от
друrих алrебраических формул.
Допустим, что искомый отрезок х входит в состав какой либо
фиrуры (наПРИl\fер, является стороной или диаrональю какоrо либо
мноrоуrольника) и ero длина у выражена через длины друrих OT
резков а, Ь, с,..., входящих в ту же фиrуру (например, через
друrие стороны и диаI'онали).
Если произвести подобноr преобразование всей фиrуры с каким-
либо коэффициентом подобия k, то все отрезки, входящие в состав
фиrуры, изменятся в одном и том же отношении, именно в отно-
шении, равном коэффициенту подобия k. Следовательно, отрезки
Х, а, Ь, С,... преобраЗУIОТСЯ в отрезки kx, ka, kb, kc,...
Новый отрезок /lX, очевидно, будет выражаться через новые
отрезки ka, kb, kc,. .. той же формулой, какой отрезок х выра-
жается через старые отрезки а, Ь, с,...
Отсюда следует, что для получения новоЙ величины отрезка х
нужно в старой формуле заменить буквы а, Ь, с, . . . соответственно
через ka, kb, kc,... Так как длина отрезка х равна старой, ум-
ноженной на k, то ОТСIода заКЛIочаем, что если в формуле, даю-
щей х, заменить а, Ь, с, . .. соответственно через ka, kb, kc,...,
то всё выражение умножится на k.
Например, r ипотену за прямоу"ольноrо треуrольника с катетами
а и Ь равна J;I а 2 + Ь 2 . Заменив а чер ез ka и Ь ч ерез kb , полу чим:
V (ka)2 + (kb)2 == V"k 2 a 2 + k 2 b 2 == V k 2 (а 2 + Ь 2 ) == k V а 2 + Ь 2 .
r
Таким образом, величина 1/ а 2 + Ь 2 получила множитель k.
Алrебраическое выражение, обладающее тем свойством, что
замена входящих в Hero величин а, Ь, с,... величинами ka, kb,
kc, . .. равносильна умножению Bcero выражения на k, называется
однородным выражением первой степени относительно этих величин.
Следовательно, всякое выражение, предсmавляющее длину ucJ(,()
AtЮ20 Оfпрезка через длины данных, должно быть одliородным пер-
вой степени относительно длин данных оmрезков.
248. Возможность выполнения построения с помощью
циркуля и линейки.
Теперь возникает вопрос, всякое ли однородное выражение
первой степени можно изобразить отрезком прямой линии. Всякое
алrебраическое выражение имеет определённую величину, коrда
2Q6
даны значения ВХОДЯI.цих в Hero букв. Эту величину, в каком либо
масштабе, всеrда можно представить в виде отрезка прямой. Но
возникает вопрос, всеrда ли МОЖJiО этот отрезок построить, если
значения букв заданы в виде отр зков и. если пользоваться лишь
циркулем и линеЙкой, т. е. проводя только прямые линии и ок-
ружности.
Подробное исследование этоrо вопроса, требующее знаний, да-
леко выходящих за пределы элементарной математики, показала,
что, проводя только прямые линии и окружности, можно полу-
чать лишь такие отрезки, длины которых получаются из длин
данных отрезков только с помощью конечноrо числа рациональных
операций и извлечения квадратных корней. Поэтому, если задача
сведётся к построеНИIО отрезка, представляемоrо более сложным
выражением, то такую задачу с помощью циркуля и линейки ре-
шить невозможно. Таковы, например, знаменитые задачи древности,
которые древние rреки долrо и безуспешно старались решить с
помощью циркуля и линрйки:
1. ДанныЙ У20Л разделить на 8 равные части.
2. Построить ребро куба, объём котОРО20 был бы в два раза
БОЛbluе объёма даННО20 куба.
3. Построиmь квадрат, площадь котОрО20 была бы равна пло-
щади даННО20 КРУ2а.
Невозможность решения этих задач с помощью циркуля и ли-
нейки была показана лишь в Х 1 Х веке н. э., коrда был решён
общий вопрос о том, кякие задачи на построение можно решать
с помощью циркуля и линейки.
VIII. УПРАЖНЕНИЯ К rЛАВЕ СЕДЬМОЙ.
Л. Д о к а з а т ь т е о р е 1\1 ы.
1. Отношение проекций катетов прямоуrольноrо треуrольника на rипоте.
нузу равно отношеНИIО квадратов катетов.
2. Произведение катетов прямоуrольноrо треуrольника равно произведению
rипотенузы на перпендикуляр, опущенный из вершины ПрЯl\10rо уrла на rипо-
тенузу.
3. Произведение двух сторон треуrольника равно произведеНИJО высоты,
опущенной на третью сторону, на диаметр описанной окружности [1].
4. Квадрат медианы основания треуrо.пьника равен половине суммы квад-
ратов боковых сторон минус квадрат половины основания треуrольника.
у к а з а н и е. Продолжить медиану на равную ей длину, конец получен-
Horo отрезка соединить с концами основания и рассмотреть полученный парал-
лелоrрам.
5. Дан квадрат ABCD. Через ero вершины А и В проведены две взаимно
перпендикулярные прямые, встречающие продолженную в обе стороны пря-
IYlv CD в точках Е и Р.
Доказать, что CD есть средняя пропорциональная между ED и СЕ [2].
6. Дан пара.тIлеJlоrрам ABCD. Через ero вершину А проведена произволь-
l1с.я сеКУlцая, встреЧaJощая диаrональ BD в точке Е и стороны ВС и CD со.
ответственно в точках Р и О. Доказать, что АЕ есть средняя пропорциональ-
ная между ЕР и ЕО [2].
7. Если в равнобелренную lрапецию можно вписать окружность, то вы-
СО1 а трапеции есть средняя ПРОПОРЦИОН8J1ьная между её основаниями.
201
8. Середины сторон равнобедренной трапеции служат вершинами квадрата;
доказать, что боковая сторона трапеции больше среднеrо п ропорциона.пьноrо
между её основаниями.
9. Произведение отрезков
измеренных от точек касания
двух параллельных касательных к окружности,
до точек пересечения с произвольной третьей
касательной, есть величина постоянная,
равная квалряту радиуса окружности.
10. Доказать, что если две окруж-
ности касаются одна друrой внешним
образом, то отрезок общей внешней каса-
тельной к этим окружностям, заключён-
НЬ:Й между точками прикосновения, есть
средняя n ропорциональная между диа-
метрами окружностей [1].
11. На плоскости дана окружность О
и две какие..либо точки А и В. Через
точку А проведена произвольная секу-
щая, встречающая окружность в точках
С и D. Доказать, что окружность, про-
ведённая через точки В, С и D, при
любом положении секущей, пересечёт
прямую АВ в одной и той же точке.
12. Произвольная точка плоскости М соединена с вершинами треуrольника
АВС, причём прямая АМ встречает сторону ВС в точке А 1 , прямая ВМ
сторону СА в точке В 1 и прямая СМ ---- сторону АВ в точке С). Доказать, что
!! Аl . СВ 1 . АС} 1
А}С BIA С 1 В .
д
Черт. 253.
в
Обратно, если для трёх точек А}, Вl' С 1 , лежащих на сторонах треуrоль-
ника АВС, имеет Место написанное равенство, то прямые АА 1 , ВВ 1 и СС]
проходят через одну точку (теорема Чевы).
Реш е н и е. Дан треуrольник АВС. Пусть точка М лежит внутри Hero
(черт. 253). Из точки А проводим прямуlU AL 11 ВВ 1 . Тоrда
АВ] LM
В}С МС .
Из точки С ПрОВОДИl\f ПРЯМУIО CN 11 ВВ 1 - Треуrольники CMN и AML по.
добны, а потому
LM AL
МС == CN ·
Сравнивая эти пропорции, получим:
АВ] AL
B1C == CN '
Т.реуrольники CA1N и MAIB подобны, следовательно.
СА} CN
AIB МВ ·
Треуrольники AClL и MC1B подобны.
Отсюда
(1)
(2)
ВС 1 МВ
С lA == AL .
Перемножив равенства (1). (2) и (3), получим:
АВ] . СА 1 _ BC == 1.
В 1 С А 1 В ClA
208
(3)
(4)
-Обратная теорема п.еrко доказывается спосоБОvl- от протпвноrо.
13. Рассмотреть частные случаи теоремы Чевы, коrда точки А 1 , Bi, (:,
ЯН"lЯЮТСЯ:
1) серединами сторон треуrольника;
2) точками 8С'Iречи сторон.с равноделящими ПРОТИВQлежащих уrлов;
3) основаниями высот треуrольника.
Показать, что во всех этих трёх случаях отрезки AB1' B1C, СА., А.В, ВС.,
C1A удовлетворяют равенству (1), и ВbJвести отсюда теоремы опересечении
в одной точке медиан треуrо'льника, а также ero высот и равноделящих ero
yr лов, как частные случаи теоремы Чевы.
Б. З -а Д а -ч и н а п о с т р о е н и е.
Построить выражения:
аЬс а 2 Ь
14. х d · 15. х == cd '
с ' .
а3- а 2 + Ь 2
16. х == Ь 2 ., 17. х == а + Ь ·
аЬ аЬ .
1 з. х == Уа 2 +Ь2 . 19. х == а + ь .
20. х =0= а У2. 21. х == ;;2 ' 22. х =0= а VЗ.
23.
а
x
Vз'
24. х == а Уп, rде'n целое число.
у к а з а н и е. х CTЬ средняя пропорциональная между а и па.
25. х == а 2 V 2 + Ь 2 y .
a Ь
26. Зная сумму а двух неизвестных отрезков х и у и отрезок Ь, длина
KOToporo есть средняя пропорционяльная между х и у, (10\ ТрОИТЬ каждый из
отрезков х и у.
27. Построить
у к а з а н и е.
2h/)h(.
с== .
V 4h 2 ..... h 2
С ()
28. Построить равнобедренный тр уrольник, если даны ero боковая сто-
рона Ь и расстояние q ортоцентра треуrольника от КОНЦОВ основания [4J.
2bq
У к а з а н и е. Определяем длину основания с == /
r Ь 2 + q2
29. Определить положение центров подобия взятых попарно окружностей,
вписанной и вневписанных в данный треуrо.льник [2]. Оmв. Вершины треуrоль-
ника и точки пересечения равноделящих ero внутренних и внеLIJНИХ yr лов
с rJРОТИВОПОЛОЖНЫМИ сторонами.
равнобедренный треуrольни к по двум высотам hc и hb r 4].
Вычислим длину основания с и строим эту величину:
и т. д.
В. З а Д а ч и н а в ы ч и с л е н и е.
30. Проекции катетов прямоуrольноrо треуrольника на rипотенузу равны
9 см и 16 см. Вычислить стороны треуrольника. Оmв. 15, 20, 25.
31. rипотенуза прямоуrольноrо треуrольника на 8 см больше одноrо ка-
тета и на 1 см болыuе друrоrо. Вычислить стороны треуrольника. Отв. 5,
12, 13.
32. Сумма катетов прямоуrольноrо треуrО.:1ьника равна 17 см, а ero пери-
метр 30 СМ. Вычислить длину перпендикуляра. опущенноrо из вершины пря-
8
Moro yr ла на rипотенузу. Оmв. 4 13 см.
33. rипотенуза прямоуrольноrо треуrольника равна 52 см, а отношение ero
катетов равно 5 : 12. Определить длины катетов. Оmв. 20, 48.
14 Элемент. rеометрия, 1
209
34. Радиус окружности, описанной около прямоуrольноrо треуrольника,
R == 10 см, радиус вписанной , == 4 СМ. Определить длину сторон TpeyrOw1b-
нака. Отв. 12, 16, 20.
35. Боковая сторона равнобедренноrо треуrольника равна 25 см, высота,
опущенная на эту сторону, равна 24 см. Вычислить длину основания треуrоль-
ника. Отв. 30 см.
36. В равнобедренном треуrольнике даны: осНование а == V 10 см и медиана
боковой стороны 3 см. Вычислить длины боковых сторон. Отв. Ь == с == 4 см.
37. Вычислить высоту he треуrольника, зная ero стороны а == 68 c.м
Ь == 87 см, с == 95 см. Отв. 60 см.
3 а д а q и н а реш е н и е п р я м о у r о л ь н ы х т р е у r о л ь н и к о в.
Обозначения: а, Ь --- катеты, с rипотенуза.
38. а == 25 см; Ь == 17,5 см; определить L А и с. Отв. с == 30,5 см; А==55 0 .
39. а == 15,6 см; L А == 400; Ь == ? С == ? Отв. Ь == 18 см; с == 24,3 см.
40. с == 26 см; L в == 350; а == ? Ь == ? Отв. а == 21,3 см; Ь == 14,9 см.
41. he == 12 см; а == 15 см; L А ==? L в ==? С ==? Отв. L А == 530,
L В == 370, с == 18,8 см.
42. те == 8 см; he == 5 см; а ==? Ь == ? с ==? L А ==? L в ==? Отв. а ==
== 15,2 см, Ь == 5,3 см, с == 16 см, L А == 71 о, L в == 190.
3 а д а ч и н а реш е н и е к о с о у r о л ь н ы х т р е у r о л ь н и к о в.
43. а == 34 см; Ь == 20 см; hc == 17 см; определить L А, L в, с. 01118.
L А == 580, L В == 300, с == 39,9 см.
44. L А == 700; hr. == 12 см; lс == 13 см; определить а, Ь, с, L в, L с.
Отв. а == 27,4 см; Ь == 12,8 см; С == 29 см; L в == 260; L С == 840.
45. с == 16 см; те == 10 см; h(' == 8 см; определить а, Ь, L А, L в, L с.
Отв. а == 16,1 C..4t; Ь == 8,2 см; L А == 760; L В == 300; L с == 740.
46. а == 15 см; Ь == 16 см; с == 17 см; определить L А, L в, L с. Отв.
L А == 53"; L В == 600; L с == 670.
47. а == 25 см; L А == 450; L В == 600; определить Ь, с, L с. Оmв. Ь ==
== 30,6 см; с == 34,1 см; L с == 750.
48. В треуrольнике один из уrлов равен 600, сторона, лежащая против
этоrо уrла, равна 26 см, а периметр ero равен 70 см. Определить длины сто-
рон, заключающих уrол в 600. Оmв. 30 СМ и 14 см.
49. Радиусы двух окружностей равны 8 СМ и 15 см. Расстояние между их
uентрами раВIIО 17 см. Определить длину их общей хорды. Отв. 14 127 см.
50. Основания равнобедренной трнпеции равны 26 СА' и 30 см, а высота
3,5 см. Вычислить радиус ОКРУЖНОСТИ t описанной около этой трапеции. OпZ8.
16,25 см.
51. Две окружности, радиусы которых равны 7 см и 24 см, пересекаются
под прямым уrлом; определить расстояние между их центрами. Отв. 25 см.
52. Радиусы двух концентрических окружностей равны 1 О см и 26 см.
Определить длину наибольшеrо отрезка, лежащеrо в кольце между обеими
ОКРУЖIIОСТЯМИ. OпzB. 48 см.
53. Радиус окружности равен 6 СМ; из точки, отстоящей от иентра на pac
стоянии 10 см, пропедена касательная к окружности. Вычислить её длину.
Отв. 8 СМ.
54. К окружности радиуса , проведены две перпендикулярные касате.пь..
ные. Вычислить радиус окружности, касающейся обеих 9ТИХ ПРЯМblХ и данноЙ
окружности. Оmв. Х == , (3 + 2 У2).
55. к двум окружностям, имеющим внешнее касание, проведена общая ка-
сательная, не перпендикулярная к линии центров. Вычислить длину отрезка
этой касательной между точками прикосновения, если радиусы окружностей
равны 8 см и 18 С,м. Оmв. 24 см.
56. Сторона вписанноrо в Kpyr правильноrо десятиуrольника равна 10 СМ.
Определить радиус , Kpyra и длину s дуrи окружности, стяrиваемой этой сто..
раной. Оmв. r == 5 У5 + 5, s == 1t (У5 + 1).
210
57. Вычислить сторону правильноrо вписанн оrо в Kpyr рад иуса R 12 уrо ль
ника и 24 уrольника. Отв. й]2 == R y 2 ---- уз и а 2 4 == R V 2 V 2 + vз.
58. Определить отношение дуrи в 1200 к хорде, стяrиваемой этой дуrой.
21t . уз
Отв. 9 ·
59. Дуrа окружности, содержащая 100, имеет длину 0,5 СМ. Вычислить
u О 9
радиус этои окружности. тв. СМ.
1t
r л А В А В О С Ь м А Я.
ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ.
1. СРАВНЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ мноrоуrольников.
249. Предварительные замечания.
Всякий простой мноrоуrольник оrраничивает некоторую часть
плоскости. Её размер зависит от длин сторон и величин уrлов
мноrоуrольника. Но нетрудно заметить, что два мноrОУI'ольника
MorYT иметь различную форму и в то же время оrраничивать
одинаковые по размеру части плоскости. В этом леr'ко убедиться.
взяв, например, два равных прямоуrольных треуrольника АВС и
DEF (черт. 254а) и прикладывая их различным образом один к
о) В
I
Е
. . . .
r.&
F D
2 ) 1 д)
I 11
I i i 11 /;
I 11I1
Черт. 254.
друrому. Приложив их равными катетами ве и EF, мы получим
или равнобедренный треуrольник (черт. 254, б), или параллелоrрам
(черт. 254, в); приложив их rипотенузами, получим или прямоуrоль
ник (черт. 254, ё), или четырёхуrольник, называемый дельтоидом
(черт. 254, д).
Все эти четыре фиrуры имеют различную форму, но размер
оrраничиваемой ими части плоскости, очевидно, один и тот же,
так как эта часть плоскости во всех фиrурах состоит из одних
и тех же треуrольных пластинок.
[Поэтому о размере части плоскости, оrраниченной простым
мноrоуrольником, можно rоворить независимо от величин уrлов
и длин сторон этоrо мноrоуrольника.]
В этой rлаве будут изложены способы измерения частей плос-
кости, оrраниченных различными простыми мноrОУI'ольниками. При
этом, rоворя о разбиении части плоскости, оrраниченной MHoro
уrольником, на отдельные части, мы будем пользоваться COKpa
14*
211
щёнными выражениями. Именно, желая сказать, что часть ПЛос
кости, оrраниченная мноrоуrольником, разбивается на части, мы
будем для краткости rоворить, что мноrоуrольник разбивается на
части. Так, например, вместо фразы: «часть плоскости, оrрани
ченная данным мноrоуrольником, разоита на части, каждая из
которых оrраничена треуrольником» мы будем коротко rоворить:
«данный мноrоуrольник разбит на треуrольники».
250. Равносоставленные мноrоуrольники.
Два мноrоуrольника называются равносоставленными, если
оrраничиваемые ими части плоскости можно разбить на одинако
вое число попарно равных частей. Таковы, например, фиrуры,
рассмотренные в Э 248 (черт. 254,6, 8, 2, д).
Черт. 255.
На черт. 255 изображены два равносоставленных пятиуrоль
ника. Каждый из них разбивается на три треуrольника. Эти Tpe
уrольники попарно равны: 1 и 1', 2 и 2', 3 и 3'.
Обнаружить равносоставленность двух мноr'оуrольников не
всеrда так леr'ко, как в рассмотренных примерах. Следующие
теоремы устанавливают важнейшие случаи равносоставленных MHO
rоуrольников.
251. Теоремы оравносоставленных параллелоrрамах
и прямоуrольниках.
т е о р е м а. Два nараллелоzрама имеющие равные
основания и равные высоты, равносоставлеНbl.
Даны параллелоrрамы ABCD и EFGH (черт. 256), имеющие paB
ные основания АВ и EF и равные высоты. Совместим их равными
нижними основаниями АВ и EF так, чтобы верхние основания DC и
НО леrли по одну сторону от прямой АВ. Так как высоты парал
лелоrрамов равны, то стороны DC и HG будут составлять отрезки
одной и той же прямой, параллельной АВ.
Возможны два случая.
1. Боковые стороны ВС и АН не пересекаются (черт. 257).
В этом случае равносоставленность параллеЛОI"рамов очевидна.
В самом деле, параллелоrрам ABCD состоит из двух частей:
треуrолыwка ADH и трапеции АЕСН.
212
Параллелоrрам АВОН также состоит из двух частей: трапе
цИИ АВСН и треуrольника вса; но 6,"ADH == 6, вса. Следова-
тельно, параллелоrрамы ABCD и Ава Нравносоставлены.
2. Боковые стороны Ве и АН пересекаются в некоторой точке К
(черт. 258).
Разделим сторону АН на столько равных частей, сколько нужно,
чтобы каждая часть была меньше АК. ЭТО сделать можно так:
о
с
н
G
не
G
д
д
в f
Черт. 256.
Черт. 257.
отложим отрезок АК на стороне А/I столько раз, сколько воз
можно; допустим, что он укладывается на АН два раза или без
остатка, или с некоторым остатком. В таком случае делим CTO
РОНУ АН на три равные части. Каждая из этих частей, очевидно,
будет меньше АК. Через точки деления М 1 и М 2 проводим пря-
мые, параллельные основанию АВ. Этими прямыми мы разделиl'.1
I<аждый из данных параллелоrрамов
lIа три равных части. Так, парал О
.пелоrрам ABCD разделится на три
равных параллеЛОI'рама: ABPIQl,
PtQIQ2P2 и P2Q2DC. Точно так же па
раллелоrрам Ава Н разделится на три
равных параллелоrрама: ABN 1 М 1,
N 1 M 1 M 2 N 2 И N 2 M 2 HG. Но парал
лелоrрамы ABN 1 M 1 и ABP 1 Ql имеют
общее основание АВ и равные BЫ
соты, причём боковые стороны их
не пересекаются. А потому они paB
носоставлены (случай 1). Следова
тельно, равносоставлены и COOTBeT
ственно равные им параллелоrрамы N 1 ..M 1 M 2 N 2 и P 1 QIQ2 P 2, а также
N 2 i'V1 2 HG и P2Q2DC. Таким образом, каждый из параллелоrрамов
ABCD и АВОН состоит из трёх равных частей, причём каждая
часть одноrо равносоставлена с каждой частью друrоrо. Следо
вательно, эти параллелоrрамы равносоставлены.
Т е о р е м а. Если в двух пря.моуzольни"ах произведе.-
ние двух с.межны.х сторон одноzо равно произведению
двух с.межны.х сторон друzоzо, то эти пря.моуzольни«и
равносоставлены.
G
д
Церт.
213
Расположим данные прямоуrольники ABCD и ВЕра так, чтобы
..
две смежные стороны одноrо составляли продолжения двух смеж-
ных сторон друrоrо (черт. 259).
Дано, что
АВ · ВС == ВЕ · Ва.
АВ == на, ВЕ == ОР, Ва == АН
и ВС == AD,
то из пропорции (2) следует, что
на НА
ОР AD '
следовательно, прямая DF параллельна АО. Значит, все три пря-
мые Аа, СЕ и DF параллельны между собой. Проведём через
точку В прямую MN, параллельную этим трём прямым.
Прямые DF и MN разобьют каждый из прямоуrольников на
три части, попарно равносоставленные в обоих прямоуrольниках.
Действительно,
fJ
с
А,
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
,
,
\
,
\
,
\
,
Е
н
G
Черт. 259.
так как
(1)
Требуется доказать, что прямоуrоль-
ники ABCD и ВЕРО равносоставлены.
Из равенства (1) выводим:
АВ ВО
ВЕ == ВС ·
Соединив точки А с G и С с Е, заме-
чаем, что в силу пропорции (2) прямые
АО и СЕ параллельны между собой. Со-
единим далее точки D и F и продолжим
стороны AD и G F до взаимноrо пересече-
ния в точке н. Так как
(2)
ь ОСК == L LEP,
DC == LE и С/( == ЕР,
как отрезки параллельных между параллельными.
Точно так же
так как
ь АВМ == 6. GNB,
АМ == ОВ и АВ == GN.
Параллелоrрамы MDKB и BLFN имеют равные основания:
МВ == BN (так как МВ == Аа и BN == АО) и равные высоть)
(расстояние между параллельными прямыми MN и DF). Значит,
они равносоставлены.
Отсюда следует, что прямоуrольник ABCD равносоставлен
с прямоуrольником ВЕра. Теорема доказана.
Чтобы разделить прямоуrольники ABCD и BEFG на попарно равные
части, для случая, изображённоrо на черт. 259, можно поступить так:
Через точку М проведём ПРЯМУIО МР, паралле.пьную АВ, а через точку
N прямую NQ, параллельную ВС. & MDP == NQF (по двум катетам).
214
Трапеция МРКВ, очевидно, равна трапеции BLQN (так как они имеют
равные стороны и равные yr лы). Таким образом, части плоскости, оrраничен-
ные прямоуrольниками ABCD и ВЕРО, разбились на попарно равные части,
отмеченные в прямоуrольнике ABCD цифрами 1, 11, 111, IV, а в прямоуrольнике
ВЕРО цифрами 1', 11', 111', lV'.
При м е ч а н и е. Доказанную теорему можно высказать так:
Если дань/, две прямоуzольные пластинки, такие,
что произведение двух смежных сторон одной равно
произведению двух смежных сторон друzой, то каждую
из них можно разрезать на такие части, из которых
.можно сложить вторую пластинку.
Учащисся леrко сами MorYT вырезать эти части из бумаrи и,
перекладывая их сообразно с черт. 259, составить из них как
первый, так и второй прямоуrольник.
11. ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ мноrоуrольников.
252. Понятие об измерении площади мноrоуrольника.
Площадью простоrо мноrоуrольника называется число, опреде
ляющее размер части плоскости, оrраниченной этим мноrоуrоль
ником. Нахождение этоrо числа называется измерением площади
мноr'оуrольника.
За единипу измерения площадей принимается площадь квад-
рата со стороной, равной единице длины. Так, если за единипу
длины принят метр, то за единицу площади принимается площадь
квадрата, сторона KOToporo равна одному метру (квадратный
метр) .
При измерении площадей площади всяких двух равносостав-
ленных мноrоуrольников считаются одинаковыми и, следовательно,
должны измеряться одним и тем же числом.
253. Измерение площадей мноrоуrольников.
1. Пр я м о у r о л ь н и к. Для простейшеrо случая, а именно
коrда длины сторон прямоуrольника выражаются Ц е л ы м и числа-
ми, способ вычисления площади известен из арифметики. Площадь
nРЯМОУ20льника измеряется числом, равны,н произведению основа-
ния nРЯМОУ20льника на е20 высоту, т. е. nроизведеhИЮ е20 смеж-
ных сторон, измеренных одноЙ и той же единицей длины. Это
число показывает, сколько квадратов со стороной, равной единице,
можно уложить на данном прямоуrольнике, покрыв ero полностью.
Так, если основание прямоуrольника равно 5 м, а высота 4 м, то
ero площадь равна 20 кв. А!. ЭТО значит, что на данном прямо-
уrольнике укладывается 20 квадратов со стороной в 1 м.
Рассмотрим теперь случай, коrда длины сторон выражаются
Д р о б н ы м и числами (или длина одной из смежных сторон Bыpa
жается целым числом, а друrой дробным). Эти две дроби мож-
но привести к одному знаменателю. Пусть, например, основание
215
3 27 1 1 О
равно 64 М == 4" t, а высота 22 М == 4 М. При этом отрезок,
равный .м, укладывается в основании 27 раз, а в высоте
10 раз. На данном прямоуrольнике укладываются, покрывая ero
полностью, 27. 1 О == 270 квадратов со стороной Л . НО квадрат
u 1 б . u 1
со сторонои В М представляет со ои 16 часть квадрата со CTO
роной в' 1 М. Поэтому площадь данноrо прямоуrольника равна
270 . м 2 == 270 м2 == 27 . 1 О м 2 == 6! . 2 м 2
16 16 4 4 4 2 .
Мы видим, что и в этом случае площадь пРЯJИОУ20ЛЬflикл изме-
ряется числоolw', равным проuзведению е20 С.межных сторон.
До сих пор мы рассматривали те случаи, коrда стороны дан..
Horo прямоуtольника соизмеримы с единиuей длины ( 164).
Пусть, наконец, стороны данноrо прямоуrольника н е с о и з м е..
римы с единицей длины (или одна из сме)l{НЫХ сторон со-
измерима с единицей длины, а друrая нет). В этом случае
квадрат, сторона KOToporo равна единице длины, уже нельзя
разрезать на такие paBHЫ квадраты, которые укладывались бы
целое число раз на данном прямоуrольнике, покрывая ero пол
ностью. Тем не менее и в этом случае число, равное произведе-
НIIЮ двух смежных сторон прямоуrольника, измеренных одной
единицей, называется площадью этоrо прямоуrольника.
Это число попрежнему выражается в квадратных единицах.
Так, площадь прямоуrольника, стороны KOToporo, измеренные
сантиметром, равны V з и V 2 , равна V 6 квадратных санти-
метров. Если взять приближённые значения сторон, например,
с точностью до 0,1 с недостатком, т. е. принять V З == 1,7, V2 ==
== 1 ,4, то число 1,7 · 1,4 кв. СМ == 2,38 кв. СА! выразит приближённую
величину с недостатком ПЛОlцади данноrо прямоуrольника. Оно
показывает, сколько приблизительно раз сотая доля квадрата со
стороной в 1 СМ укладывается на прямоуrольнике со сторонами
в 1,? см и 1,4 СМ.
Точно так же, если взять приближённые значения сторон
с точностью дО О, 1 с избытком, Т. е. принять V з == J ,8, V2 == 1,5,
то число 1,8. 1,5 == 2,7 выразит величину той же площади с из
бы fK01\'I.
Теорема 251 показывает, что если два прямоуrольника имеют
ОДlIнаковую площадь, то каждый из них можно разрезать на та-
кие части, из которых составится друrой прямоуrольник.
Если произвед.ение сторон прямоуrольника с иррациональными сторонами
окажется числом рациональным, то оно попрежнему будет выражать число
квадратов со стороной единица, которые можно уложить на этом прямоуrоль
нике, разрезав, если нужно, для этоrо квадраты на части. Так, прямоуrольник
со сторонами У7 и з)17 имеет площадь 21 кв. ед. Таково число квадратов
216
СО стороною единица, которые можно уложить на данном прямоуrольнике,
пок рыв ero полностыо. Действите.пьно, если ,взять пр ямоуrольник со сторонами
3 и 7, то внутри ero укладывается в точности 21 квадрат. Но этот прямо-
уrольник, в СИ Т'Jу второй теоремы 251, можно разрезать на части, из которых
составится данный прямоуrольник со сторонами у7 и зv"7, так как 3 . 7 ==
== У7 . 3У7 == 21. Следовательно, и внутри данноrо прямоуrольника уклады-
вается также 21 квадрат.
2. Пар а л л е л о r рам. Дан параллелоrрам ABCD (черт. 260).
Построим прямоуrольник АВЕР, имеющий то же основание АВ
и ту же высоту АР (или ВЕ). По теореме 250 этот прямоуrоль-
ник равносоставлен с параллелоrрамом ABCD и, следовательно,
должен иметь ту же площадь, что и данный параллелоrрам. Но
площадь прямоуrольника равна АВ · ВЕ. А потому
площадь ABCD === АВ · ВЕ,
т. е.
площадь параллелоzрама равна про изведению ezo
основания на высоту.
В случае р о м б а можно указать и друrое выражение для'
площади. Пусть дан ромб ABCD (черт. 260а). Проведём через
вершину В прямую, параллельную диаrонали АС. Через вершины
о
в F
Черт. 260.
Черт. 260а.
А и С проведем прямые, параллельные диаrонали BD, до их
пересечения в точках Е и F с прямой, проведённой через вер-
шину В. Так как диаrонали ромба взаимно перпендикулярны,
то четырёхуrольники АЕВО, ОВРС и АЕРС, rде О точка пере
сечения диаrоналей ромба, прямоуrольники. Прямоуrольные
треуrольники AOD, COD, ВЕА и BFC равны между собой, так
как
и
АО == ОС == ЕВ == BF
DO == 08 == АЕ == СР.
Следовательно, ромб ABCD равносостав.пен с прямоуrольником
1
АСРЕ. Поэтому площадь ромба ABCD равна АС . ,4Е == 2,4С · BD,
т. е. .
площадь ромба равна половине произведения ezo
диаzоналей.
2f7
3. Т Р е у r о л ь н и к. Дан треуrольник АВС (черт. 261). Про-
ведя через вершину В прямую, параллельную стороне АС, а через
середину D стороны ВС прямую DE, параллельную стороне АВ,
получим параллелоrрам АВРЕ, равносоставленный с данным тре-
уrольником. Действительно, треуrольник АВС составлен из тра-
пеции ABDE и треуrОЛЬНИI{а DCE; параллелоrрам АВРЕ составлен
из той же трапеции ABDE и треуrольника BDF. Но
BDF == 6 CDE,
так как
BD==DC, LBDF==LCDE и LDBF==LDCE,
а потому площадь треуrольника АВС равна площади параллело-
rpaMa ABDE. Основание АЕ этоrо параллелоrрама равно половине
в F
------------T ------ .....
I
I
I
f1
I
I
Н Е
с
с
D
д
д
н
Черт. 261.
Черт. 262.
стороны АС треуrольника АВС, а высота ero ВН служит в то же
вреl\1Я и высотой треуrольника АВС. А потому
1
площадь 6 АВС == 2 АС. ВН,
т. е.
площадь треуzольни"а равна половине произведения
ezo основания на высоту.
4. т рап е Ц и я. Дана трапеция ABCD (черт. 262). Проведя
через середину F боковой стороны CD прямую G Н, параллельную
боковой стороне АВ, и продолжив верхнее основание трапеции ВС,
получим параллелоrрам АВОН, равносоставленный с данной тра-
пецией. Действительно, трапеция ABCD состоит из пятиуrольника
АВСРН и треуrольника HFD. Параллелоrрам АВОН состоит из
Toro же пятиуrольника АВСР Н и треуrольника СРО. Но
6 СРО == 6 DFH,
а потому площадь трапеции ABCD равна площади параллелоrрама
АВОН. Основание АН этоrо параллелоrрама равно средней линии
ЕР данной трапеции, а высота ero ВК служит в то же врr-мя
и высотой трапеции ABCD. А потому
площадь ABCD == ЕР · ВК,
т. е.
площадь трапеции равнЬ nроизведеНllЮ средней ли-
нии на высоту, или, в силу Э 115,
218
площадь траnеции равна nолусу.м.ме её основании,
.,
ум,ноженнои на высоту.
5. П р а в и л ь Н ы й м н о r о у r о л ь Н И К. Дан правильный MHO
rоуrольник (черт. 263). Соединив ero центр О со всеми ero Bep
шинами, получим столько равных треуrольников, сколько сторон
имеет данный мноrоуrольник. Так, для шеСТИУI ольника ABCDEF
имеем:
АОВ == 6 ВОС == COD == . . .
Сумма площадей этих треуrольников называется площадью
Bcero мноrоуrольника. Но
1
площадь 6. АОВ == "2 АВ · ОН,
Д В
\ I /
\ I /
\ I /
F ---- ---- ---- lL ---- ---- с
/ \
/.. \
/ \
/
с
ё
Черт. 264.
rде ОН апофема мноrоуrольника, ОН == а. Сумма площадей всех
1
полученных треуrольников равна "2 n · А4В · ОН, rде n число сто-
рон мноrоуrольника; но n · АВ есть периметр Р мноrоуrольника;
n · АВ === Р.
А потому площадь Bcero мноrоуrольника ABCDEF равна
1
2 Р · а, т. е.
площадь правильноzо м,НОZОУZОЛЬНU1(,а равна поло-
вине проuзведения ezo пери,м-етра на апофем,у.
6. Про и з в о л ь н ы й про с т о й м н о r о у r о л ь н и к. Для
определения площади npoCToro мноrоуrольника, например ABCDEF
(черт. 264), ero разбивают каким либо способом на треуrольники.
Сумма площадей этих треуrольников называется площадью Bcero
мноrоуrольника.
254. Друrие выражения площади треуrольника
11 параллелоrр ма.
Площадь треуrольника можно выразить не только через ero
основание и высоту, но и через друrие ero элементы.
1. Если даны три стороны треуrольника, то ero площадь можно
219
J3ЙТИ сл дующим образом. Высоту треуrольника мы уже выразили
ч рез ero стороны ( 221):
hc== ; Vp(p a)(p b)(p c).
А. . потому площадь S треуr ОJIьника равна
S == ; с · hc == V р (р а)(р Ь) (р с).
;>T формула, выражающая площадь треуrольника через три
ero стороны, была впервые найдена repOHoM (1 ........ 111 века дО Н. э.)
И носит название формулы fepOHa. ,
2. Если даны две стороны треуrольника и острый УI"ОЛ между
ними, то ero площадь можно выразить и через эти элементы.
Пусть даны стороны Ь и с и уrол А (черт. 265).
8 S == ; Ь · hb'
НО из треуrольника ABD находим:
hb == csinA,
.Ь
............ .........
а потому
д
s === ; Ь · с sin А. (1 )
площадь треуzольника равна пo
ловине произведения двух ezo сторон, образующих
острый уzол, на синус уzла .между ни.ми.
з. Ещё одну весьма полезную формулу для площади трrуrоль
ника можно получить, выражая её ч рез стороны и радиус R
u
описаннои 'ОКРУ}I{НОСТИ.
В силу теоремы 212 имеем:
D
Черт. 265.
а == 2R sin А,
отсюда
. А а
SlП == 2R .
Подставляя это в формулу (1), получим:
S ..... аЬс
..... 4 R ·
4. Для площади параллелоrрама также можно найти друrие
выражения. Из формулы (1) для площади треуrольника леrко
получить следующие выражения для площади параллелоrрама:
а) площадь nараллеЛО2рама равна произведению двух е20 Сhtеж
НЫХ сторон на синус е20 остРО20 У2ла:
б) площадь параллеЛО2рама равна половиl-tе произведения е20
дuаClJналей на синус остРО20 уела между ними;
в) пllощадь ромба равна квадрату eZQ стороны, У},fноженному
на синус есо остросо У2ла.
220
255. Изменение ПnОlЦадей при подобном преобразовании
мноrоуrольников.
Посмотрим, как будет изменяться площадь мноrоуrольника,
если подверrнуть ero подобному преобразованию.
Рассмотрим сначала т р е у r о л ь н и к.
Допустим, что 6. АВС преобразован подобным преобразованием
в 6 A1B1C 1 (черт. 266). По-
строим высоты этих треуrоль В,
ников BD и BIDl. В
Из подобия прямоуrоль-
ных треуrольников ABD и
AIBIDl (имеющих равные
острые уrлы) следует:
BD АВ D
BIDl == АIВl ·
Таким образом,
сходственные высоты подобных треусольников Qтносятся) ка1\,
их сходственные стороны.
Далее имеем:
1
пл. АВС == "2 АС · BD;
1
пл. A 1 B 1 C 1 == "2 A1C 1 · BIDl.
в
д
с
Следовательно,
"п. АВС АС BD АС АВ АВ2
пл. A 1 B 1 C 1 == А.С 1 · BIDl A 1 C 1 · AIBl == A.B '
Итак, ·
площади подобных треусОЛЬflиков lJm-
носятся, ка1\, квадраты их сходственных
сторон.
Нетрудно убедиться, что это же имеет
место для двух подобных мноrоуrольников.
т е о р е м а. Площади подобных .мноzоуzольни"ов отно-
сятСЯ 1 "а" "вадрать" их сходственных сторон.
Возьмём два подобных мноrоуrольника ABCDE и AIBICIDIEl
(черт. 267). Сходственные диаrонали разбивают их на подобные
треуrольники:
Д,
В,
С,
дАВС N 6 A 1 B 1 C 1 ;
6. ACD N 6. A 1 C 1 D 1 ;
6. ADE N 6. A 1 f!l E l.
Следовательно,
ПЛ. АВС ВС9
.
А С "'"""""2'
ПЛ. 1 В 1 1 В С
1 1
15 Элемент. rеометрия. I
221
но
а потому
пл. ACD CDs
.
ПЛ. A1C l D ] С ]D '
пл. ADE DE2
.
пл. AIDIEI DIE '
ВС CD DE
В 1 С 1 == C]D 1 === DJEl '
пл. АВС пл. ACD пл. ADE ВСВ
пл. A 1 B 1 C 1 == пл. A1C}D] == пл. AIDIE. === B1C: .
По известному свойству пропорций:
пл. АВС + пл. ACD + пл. ADE ВС?
пл. A1B1C 1 + ПЛ. A 1 C 1 D 1 + пл. AIDIEl == В 1 С: '
или
пл. ABCDE ВС"
пл. AIB1C1DIEl == BIC .
Мы видим, таким образом, что при подобном преобразовании
MI-lО20У20льнико, е20 площадь иЗJ1,еняется в отношении, равном
квадрату числа, характеризующе20 изменение e2Q сторон, т. е.
квадрату коэффициента подобия.
Так, если сторона мноrоуrольника увеличивается в 3 раза,
то ero площадь увеличится в 9 раз.
111. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ мноrоуrольников
БЕЗ ИЗМЕНЕНИЯ ИХ ПЛОЩАДИ.
.
256. Равновеликие мноrоуrольники.
Два мноrОУI'ольника) имеющие одинаковую площадь, назы
ваются равновеликими. Два равных мноrоуrольника всеrда равно-
велики, но не всякие два равновеликих
мноrоуrольника равны.
Из предыдущеrо следует:
1) Два треУ20льнuка, имеющие рав-
ные основания и равные высоты, рав..
новелики.
2) Если, оставляя неизменяемы"w ос-
нование треУ20дьника, перемеща"lЬ е20
вершину по прямой, параллельной осно-
вани/о, то е20 площадь не будет иЗJrlеняться. Так, все треуrоль-
ники АВС, AB1C, АВ 2 С, А8 з С, изображённые на черт. 268, имеют
одинаковую площадь.
3) Две трапеции, имеющие равные средние линии и равНЫЕ
высоты, равновелики.
В з
д с
Черт. 268.
222
257. Преобразование мноrоуrольника в равновеликий
ему прямоуrольник.
\3 а Д а ч а 1. Построить пРЯМОусОЛЬflUК, равновеликий данному
выпуклому мносоусольнику.
Пусть требуется построить прямоуrольник, равновеликий пяти-
уrольнику ABCDE (черт. 269). Проведём диаrональ АС этоrо
пятиуrольника, а через ero вершину В прямую ВР, параллельную
диаrонали АС, дО встречи в точке F с продолжением стороны
CD. Соединим точки А и Р. Треуrольник AFC равновелик тре-
уrольнику АВС. Заменяя треуrольник АВС равновеликим ему
треуrольником АРС, мы вместо пятиуrольника ABCDE получим
G
G
в
в
к
д
Е
д
Черт. 269.
Черт. 270.
равновеликий с ним четырёхуrольник AFDE. С этим четырёх-
уrольником можно поступить опять таким же образом и преобра-
зовать ero в равновеликий треуrольник. I1менно, проведём диаrо-
наль AD, а через точку F прямую, параллельную AD дО встречи
в точке G с продолжением стороны ED. Проведя прямую АО,
замечаем, что треуrольник AFD равновелик треуrольнику AGD.
Заменяя первый вторым, мы вместо четырёхуrольника AFDE по-
лучим равновеликий ему треуrольник АОЕ. Таким образом, пяти-
уrольник ABCDE преобразован в равновеликий ему треуrольник
АОЕ. ДлЯ- треуrольника АОЕ леrко построить равновеликий ему
прямоуrольник. Именно, приняв за основание треуrольника сто-
рону АЕ, строим прямоуrольник с основанием АЕ и высотой,
вдвое меньшей высоты треуrОЛЬНИI<а АОЕ. Это построение выпол-
нено на черт. 270. Таким образом, данный мноrоуrольник ABCDE
преобразован в равновеликий ему прямоуrольник ALME.
Такое преобразование имеет следующее значение. При вычисле-
нии площадей фиrур прямоуrольник является самой простой фиrурой,
площадь которой определить леrче Bcero. Площадь же неправиль-
Horo мноrоуrольника определить довольно сложно. Произведённое
нами преобразование одними построениями, без вычислений, сводит
эту сложную задачу к простейшей.
15-
223
u
258. ПреобраЗ0вание прямоуrольника вравновеликии
ему квадрат.
3 а д а ч а 2. Построить квадрат, равновеликий дaHHO. Y nря-
},'lОУ20ЛЬftUКУ.
А н а л и 3. Мы пойдём сначала обратным путём. Именно, возь-
мём квадрат и построим какой-либо равновеликий ему прямоуrоль-
ник. Пусть дан квадрат ABCD (черт. 271). Продолжим ero сто-
рону Ве и из вершин А и D проведём две какие-либо параллель-
ные прямые, встречающие продолжение стороны ве в точках Е
и Р. Мы получим параллелоrрам AEFD, очевидно, равновеликий
данному квадрату. Продолжим теперь прямую АЕ и через точки
н
н
G
д Е
F
Черт. 271. Черт. 272.
D и F проводим прямые, перпендикулярные к DF дО пересечения
в точках G и Н с прямой АЕ. Мы получим прямоуrольник DGHF,
очевидно, равновеликий параллелоrраму AEFD. Прямоуrольник
DGHF и квадрат ABCD будут, таким образом, равновелики.
Рассмотрим треуrольник DCF. Квадрат ABCD построен на
катете CD этоrо треуrольника. Прямоуrольник DG Н F на ero
rипотенузе DF. Построив высоту треуrольника СК, леrко заметим,
что сторона GD прямоуrольника равна отрезку DK, который
служит проекцией катета CD на rипотенузу DF. В самом деле,
6 AGD == 6. CKD (так как AD == CD, как стороны квадрата,
и L ADG == L CDK, как уrлы с перпендикулярными сторонами).
Следовательно, DG:;: DK.
Отсюда вытекает следующее построение.
П о с т р о е н и е. Дан прямоуrольник ABCD (черт. 272). На ero
большей стороне AD строим, как на rипотенузе, прямоуrольный
треуrольник, такой, что проекция одноrо из ero катетов на rипо-
тенузу равна второй стороне прямоуrольника. С этой целью на
отрезке AD, как на диаметре, построим окружность. На стороне
AD отложим отрезок АЕ, равный АВ:
АЕ == АВ.
В точке Е восставим п рпендикуляр к прямой AD и продолжим
ero до пересечения в точке F с построенной окружностью. Тре-
уrольник AFD искомый. Квадрат АОНР, построенный на катете
АР, будет равновелик данному прямоуrольнику.
224
д о к а з а т е л ь с Т В о. Соединим точки G и В прямой линией.
АОВ == 6. АРЕ,
так как
АВ == АЕ и АР == АО
по построению,
L ОАВ == L РАЕ,
как уrлы с перпендикулярными сторонами. Следовательно,
LABG == LAEF,
т. е. L АВО ----- прямой; значит, линия оВе........ прямая. А теперь
непосредственно замечаем, что прямоуrольник ABCD равновелик
параллелоrраму AGKD, а этот параллелоrрам равновелик квадрату
АОНР (так как имеет с ним общее основание Ай и общую вы-
соту G Н). Следовательно, АО Н F ........ искомый квадрат, равновеликий
данному прямоуrольнику ABCD.
Объединяя задачу 1, рассмотренную в Э 257, с только что ре-
lпённой, мы можем теперь nостроить квадрат, равновелuкий
данному выпуклому МНО20У20ЛЬНUКУ.
При М е ч а н и е. В предыдущих рассуждениях нами доказана
следующая т е о р е м а: квадрат, построенный на катете
прямоуzольноzо треуzольника, равновелик nРЯМОУZОЛЬ-
нику, имеющему одной стороной zипотенузу этоzо
треуzольника, а друzой..... прое"IfUЮ этоzо катета на
zиnотенузу.
Если выразит площади их числовыми значениями, то эта
теорема выразится формулой (черт. 272):
Ар2 == AD · АВ.
Представив это равенство в виде пропорции
AD АР
AF === АЕ '
мы леrко узнаем в этой пропорции уже известную теорему: кa
тет nРЯМОУ20ЛЬНО20 треУ20льнuка есть среднее nрОnдрЦUОНЛJlьное
между 2unотенузой и своей nроекцией на неё (э 214).
Друrие числовые зависимости между элементаl\tIИ треуrольников,
выведенные нами ранее ( 214, 215, 218, 219), также MorYT быть
представлены в форме некоторых соотношений между площадями
фиrур. Так, теорема: neрneндuкуляр, опущенныЙ из вершины
nрЯМО20 У2ла на 2unотенузу, есть среднее nроnорцuональное
между nроекцuям'U катетов может быть выражена так:
Квадрат, построенный на nерneндuк,уляре, оnущеННQМ из вер-
шuны nряМО20 У2ла на 2unотенузу, равновелuк nРЯМl)У20ЛЬНUКУ,
имеющему сторонами nроекции катетов на 2unотенузу.
Точно так же теоремы о пропорциональных линиях в окруж-
ности MorYT быть высказаны так:
225
1. П рямоусольнuки, U.'vlеlощuе стОРОНйJ.fИ опzрезки одной и той
же хорды, проходящеЙ tlерез данную точку внутри окружности,
равновелики.
2. Квадрат, построенный на касательной, проведённой из
внешней точки ОКРУЖн'оспzи, равновелuк пРЯМОУ20ЛЬНИКУ, имеющему
сторонами вс/о секущую, проведённую из той же точки, и её
внешнюю часть.
В этой именно форме все эти теоремы и были найдены древними
rреками, которые доказывали их rеометрически построением KBaд
рата, равновеликоrо прямоуrольнику.
259. Теорема Пифаrора.
Допустим теперь, что мы имеем два квадрата. П о с т а в и м
з а Д а чу: сложить их площади, т. е. построить квадрат, пло
щадь котОрОёО равна сумме площадеЙ данных квадратов.
Решение этой задачи даётся знаменитой теоремой Пифаrора:
Квадрат, построенный на zunотенузе nРЯМОУZОЛЬ"
HOZO треуzольнu"а равновели" сумме "вадратов, ПО..
строенных на катетах этоzо треуzольнu"а.
С ч и с л о в ы м выражением этой теоремы
L ,( в виде соотношения между Д л и н а м и KaTe
тов и rипотенузы прямоуrольноrо треуrоль-
ника мы уже встречались ( 215).
Приведём теперь r е о м е т р и ч е с к о е до-
казательство этой теоремы, выражая её как
соотношение между п л о Щ а Д я м и.
На rипотенузе ВС прямоуrольноrо Tpe
уrольника АВС построим квадрат BCDE
Д М (черт. 273). Через точки D и Е проводим
прямые, параллельные соответственно кате-
там АВ и АС дО взаимноrо пересечения с про-
должениями этих катетов в точках L и М и до
взаиМНо....о пересечения в точке N. Четырёхуrольник ALN М ----- квад-
рат, сторона KOToporo равна сумме катетов данноrо треуrольника.
Действительно, L АВС 6 CMD, так как ВС == CD ----- как стороны
квадрата, L ВАС == L CMD ----- как прямые уrлы, L АВС ==
== L MCD как уrлы с перпендикулярными сторонами. Следо-
вательно,
СМ == АВ, АМ == АС + АВ, DM == АС.
Т очно так же
следовательно,
6 CMD == 6 DNE == 6.. .ELB;
зна чит ,
[Е == ND == СМ === АВ; LB === EN == MD === АС;
226
AL === LN == MN == АМ.
Построим теперь квадраты ABDE и АСРО на катетах АВ и АС
(черт. 274). Продолжив стороны DB и РС дО взаИМllоrо пересече-
ния в точке Н и стороны DE и РО дО пересечения в точке К,
мы получим квадрат D Н F К, сторона KOToporo опять равна сумме
катетов треуrольника АВС. Соединив точ
ки Е и О, мы получим треуrольники ОКЕ
и ЕАО, причём
КОЕ == АЕО == НСВ == 6 АВС,
D
с
н
Е
д
как имеющие равные катеты. Отнимая теперь
от квадрата ALNM (черт. 273) четыре равных
треуrольника, получим квадрат, построенный
на rипотенузе, а отнимая от квадрата KDH F
(черт. 274), paBHoro квадрату ALNM, четыре К F
таких же треуrольника, получим сумму квад- Черт. 274.
ратов, построенных на катетах. Следователь
но, квадрат, построенный на rипотенузе, равновелик сумме квад-
ратов, построенных на катетах.
Теорема Пифаrора даёт возможность складывать rеометрически
площади нескольких мноrоуrольников. Пусть, например, требуется
сложить площади Рl, Р2, Р З трёх мноrоуrольников. Строим сначала
квадраты, равновеликие этим мноrоуrольникам. Пусть стороны
этих квадратов будут соответственно а 1 , а 2 и аз. Строим прямо
уrQЛЬНЫЙ треуrольник с катетами аl и а 2 . Строим далее новый
треуrольник, принимая rипотенузу построенноrо треуrольника за
катет HOBoro треуrольника, а за второй ero катет берём сторону
TpeTbero квадрата аз.
Площадь квадрата, построенноrо на rипотенузе этоrо HOBoro тре-
уrольника, будет равна сумме площадей данных мноrоуrольников.
IV. ПЛОЩАД):> KPyrA и ErO ЧАСТЕЙ.
260. Площадь Kpyra.
Площадью Kpyra называется предел площади правильноrо впи-
caHHoro в этот Kpyr мноrоуrольника при Heorpa-
ниченном удвоении числа ero сторон.
Для вычисления площади Kpyra радиуса R
находим сначала площадь S правильноrо впи-
caHHoro мноrоуrольника. Если Р периметр
этоrо мноrоуrольника. и а ero апофема, то
Ра
S == 2"'. При удвоении числа сторон MHOrO-
Черт. 275. уrольника ero периметр Р имеет пределом длину
окружности, т. е. 21tR.
Апофема а, как леrко заметить, имеет пределом радиус Kpyra R.
В самом деле, из треуrольника АОМ (черт. 275) имеем: Ай
227
а
ОМ < АМ или R а == ; . Так как а п стремится к нулю при
возрастании п, то R есть предел переменной величины а. А потому
Ра 21tR . R
предел 2 == 2 == 1tR2.
Итак,
площадь Kpyza радиуса R равна 1tR2.
С л е Д с т в и е. Площади КРУ20в пропорционаЛЬНbl квад ратам
радиусов.
Если R и r ----- радиусы KpyroB, S и s их площади, то
S == 1tR2, S == 1tr 2 .
Отсюда
s R2
s fi ·
261. Площадь сектора.
Если разделить всю окружность на 360 дуrовых rрадусов и сое-
динить точки деления с центром, то весь Kpyr разобьётся на 360
равных секторов. Площадь каждоrо из них мы определим как
1 б .. 1CR '},
360 часть площади Kpyra и удем измерять ее числом 360 ·
тcR2 n
Площадь сектора в пО будем измерять числом 360 . Это число
1CR R п1tR
можно представить в форме 11 180 . 2". Но 180 есть длина s дуrи
сектора, а потому
sR
пл. сектора == 2"" '
(1)
Т. е. площадь сектора равна длине дуzи сектора, умно..
женной на половину радиуса.
Если дуrа s сектора несоизмерима с единицей длины, то берут
сначала приближённую величину дуrи.
М Тоrда формула (1) будет давать приближён
ную величину площади сектора. Чтобы по
лучить точную её величину, следует в фор
мулу (1) подставить точную величину дуrи.
262. Площадь cerMeHTa.
Площадь cerMeHTa АМВ (черт. 276) оп
ределим как разность площади сектора АОВ
и площади треуrольника АОВ. Но площадь
сектора АОВ равна s: . rде s длина ду-
1
треуrольника АОВ равна 2 АО · ве, rде 8е-----
D
Черт. 276.
rи АВ; площадь
228
высота треуrольника АйВ, проведённая через вершину В. А потому
ПЛ. cerM. АМВ === s: R /С === (s ВС).
Леrко заметить, что Ве есть половина хорды BD, которая
стяrивается двойной дуrой BD ('-..1 BD == 2 · '-/ АВ). Таким образом:
Площадь се2менmа равна половине радиуса, умноженной на
разность между дусой СС2мента и половиной хорды двойной дуzи.
v. УПРАЖНЕНИЯ К rЛАВЕ восьмой.
А. Д о к а 3 а т ь т е о р е м ы.
1. Если через вершины четырёхуrольника провести прямые, параллеЛЬНhIе
ero диаrоналям, то площадь параллелоrрама, образованноrо этими прямыми,
в 2 раза больше площади данноrо четырёхуrольника.
2. Если два треуrольника имеют по две равные стороны, а yr лы, заКЛIО-
чённые между ними, в сумме составляют 180°. то эти треуrольники равно-
велики.
3. На сторонах прямоуrольноrо треуrольника построены квадраты. Соеди-
нив ближайшие вершины каждых двух соседних квадратов, получим 3 Tpe
уrольника.
Доказать, что каждый из них равновелик данному треуrольнику [1].
4. Отношение периметра треуrольника к одной из ero сторон равно отно-
шению высоты. опущенной на эту сторону, к радиусу вписанноrо Kpyra.
5. Если два треуrольника имеют по равному уrлу, то их площади отно-
сятся между собой. как произведения сторон, заключающих равные уrлы.
6. Внутри треуrольника АВС взята какая-либо
точка М. расстояния которой от сторон треуrоль-
ника равны х, у и z. Доказать, что сумма ах +
+ Ьу + cz, rде а. Ь. с --- длины сторон треуrоль-
ника, есть постоянная величина, равная удвоенной
площади треуrольника.
1. Доказать, что если в каком-либо MHoro-
уrольнике все стороны равны между собой, то
сумма расстояний точки, лежащей внутри MHoro-
уrольника от ero сторон, есть величина постоян-
ная [2]. Ч РТ. 277.
8. Доказать, что площадь мноrоуrольника, по-
cTpoeHHoro на rипотенузе прямоуrольноrо треуrольника, равна сумме площадей
подобных ему мноrоуrольников, построенных на катетах, как на сходственных
сторонах.
9. Доказать, что площадь Kpyra, описанноrо. как на диаметре, на rипоте-
"узе прямоуrольноrо треуrольника, равна сумме площадей KpyroB, описанных,
как на диаметрах. на катетах.
10. Т е о р е м а r и п п о к р а т а. Сумма площадей серпов (луночек rиппо-
крата), заключённых между дуrою полукруrа, описанноrо на rипотенузе прямо
уrольноrо треуrольника, как на диаметре, и дуrами полукруrов, описанных, как
на диаметрах, на катетах 9Toro треуrольника, равна площади треуrодьника
(черт. 277).
у к а з а н и е. Если 8 площадь большеrо полукруrа, 81 и 82 --- площади
малых полукруrов, то 8 == 81 + 82 (упр. 9). Вычитая из обеих частей площади
eerMeHТOB, оrраниченных дуrой БОJIьшеrо полукруrа и катетами треуrольника.
получим слева площадь треуrольника, а справа сумму площадей серпов.
Б. 3 а д а ч и н а п о с т р о е н и е.
11. Построить треуrольник, равновеликий данному и имеюЩИЙ то же осно-
вание, одна из сторон KOToporo имела бы данную величину.
229
12. Построить треуrольник, равновеликий данному, имеlОЩИЙ основание,
в 2 раза меньшее основания данноrо, и данный уrол при основании.
13. Построить треуrольник, равновеликий данному, с тем же основанием,
высота KOToporo была бы в 3 раза меньше высоты данноrо и уrол при вершине
KOToporo был бы равен заданному yr лу.
1
14. Построить треуrольник, у KOToporo площадь составляет 3" площади
1 u б
данноrо, основание равно 2" основания данноrо и медиана однои из оковых сто-
рон имеет данную длину.
15. Построить треуrольник, равновеликий данному и имеющий то же осно-
вание, так, чтобы в построенном треуrольнике отрезок основания qa имел за-
данную длину.
1
16. Построить треуrольник, у KOToporo площадь составляет 2" площади
1 о..
данноrо, высота равна "3 высоты данноrо, а радиус описаннои окружности равен
2
3 радиуса окружцости, описанной около данноrо.
17. Построить треуrольник, равновеликий данному, с тем же yr лом при
основании, высота KOToporo равна данному отрезку h [4J.
У к а з а н и е. Из конца А основания АС данноrо треуrольника АВС
(черт. 278) восстапляем перпендикуляр АЕ == h. Через точку Е проводим пря-
мую ЕХ 11 АС (Х точка её пересечения
с прямой АВ). Соединяем точки Х и С
и через точку В проводим прямую BD 11
11 ХС. Треуrольник AXD ---- искомый.
18. Построить треуrольник, paBHOBe
ликий данному, имеющий с ним общий
уrол при основании и боковую сторону
данной длины l [4].
У к а з а н и е. На стороне АВ откла
дываем отрезок АХ == l и далее посту-
паем так же, как при решении предыду
щей задачи.
19. Построить треуrольник, равно-
великий данному и подобный друrому
данному.
20. Данный треуrольник разделить
на 3 равновеликие части прямыми, выходящими из вершины.
21. Данный треуrольник разделить на 3 равновеликие части прямыми, па
раллельными основанию.
у к а з а н и е. Площадь треуrольника, отсекаемая секущей, ближайшей
1
к вершине, равна 3 площади данноrо треуrольника, а площадь треуrольника,
о о 2 u
отсекаемая второи секущеи, раина 3" тои же площади.
22. Данный треуrольник разделить на 3 равновеликие части прямыми, про.
ходящими через точку, данную на стороне треуrольника [4].
23. Данный треуrольник разделить на две равновеликие части прямою,
перпендикулярной к основанию [4].
у к а з а н и е. Искомая прямая отсекает от
в
f
h'
А
Черт. 27 .
данноrо треуrольника пря о-
1
равна "2 площади данноrо. Кроме
тех треуrольников, на которые дан-
уrольный треуrольник, площадь KOToporo
Toro, этот треуrольник подобен одному из
ный треуrольник делится высотой.
24. Данный треуrольник разделить прямой
наковую площадь и одинаковый периметр [4J.
230
на две фиrуры, имеющие оди
У к а з а н и е. Пусть АВС ---- данный треуrольник, и искомая прямая Х У
пересекает прямую СВ в точке У и прямую СА в точке Х. На основании
упр. 5 и условия задачи имеем:
· пл. САВ СА. СВ
пл. СХУ СХ . СУ ,
откуда
1
СХ · СУ == 2" СА . СВ.
(1)
Далее, по УСJIОВИЮ задачи СХ + СУ + ХУ == ХУ + АХ + АВ + ВУ. Но
Ax==AC-----сХ; ВУ == BC-----СХ.ОтсюдаСХ + СУ == АС-----СХ + AB+BC CY,
или
СХ + СУ == ; (АС + АВ + ВС).
(2)
Равенства (1) и (2) дают возможность построить отрезки СХ и СУ ( 246).
25. Построить равносторонний треуrольник, равновеликий данному квад-
рату.
26. В данный треуrольник вписать треуrольник, равновеликий данному
квадрату.
27. Построить параллелоrрам по двум данным ero сторонам так, чтобы он
имел наибольшую площадь.
28. Данный прямоуrольник преобразовать в прямоуrольник, ему равнове-
ликий, имеющий одну из сторон, равную данному отрезку.
29. Построить квадрат так, .чтобы ero площадь относилась к площади
данноrо квадрата, как т : n [4].
У к а з а н и е. Если а ---- сторона данноrо квадрата, х ---- сторона и cKoMoro,
х 2 т m '1. х 2 m 2
то == == . Ст р оим от р езок n такой, что р2 == mn. Тоrда == ,
a Q п mn а 2 р2
х т
отк уда ......... == -----.
а р
30. Д'3нную трапецию разделить на две равновеликие части прямыми, па-
раллельными её основаниям.
31. Прямой, перпендикулярной к основаниям трапеции, разделить её
площадь пополам. Отв. Если задача имеет решение, то искомая прямая прохо-
дит через середину средней линии трапеции.
32. Данный правильный шестиуrо.пьник преобразовать в равновеликий ему
квадрат.
В. 3 а д а ч и н а в ы ч и с л е н и е.
33. Площадь прямоуrольника равна 150 кв. м, а отношение ero сторон
равно 1,5. Определить ero стороны. Отв. 10 м, 15 м.
34. Периметр прямоуrольноrо треуrольника равен 24 м, ero площадь равна
24 кв. м. Определить ero стороны. Оmв. 6 м, 8 м, 1 О м.
35. Вычислить площадь па раллелоrрама, стороны KOToporo равны 3 СМ,
8 СМ, а острый уrол содержит 300. Оmв. 12 кв. СМ.
36. Две стороны треуrольника равны 8 СМ и 14 СМ, а уrол между ними 600.
Вычислить площадь треуrольника. Отв. 28V3 кв. СМ.
37. Стороны треуrольника равны 61, 74 и 87. Вычислить ero площадь
[4]. Omв. 2 220.
38. Вычислить площадь '1aBHOCTopoHHero треуrольника, сторона KOToporo
а" V3
равна й. Оmв. 4 ·
39. Диаrонали ромба равны 48 CAt и 14 СМ. Определить ero площадь. Оmв.
336 кв. СМ.
40. Высота треуrольника равна 1 О см. Определить высоту прямоуrольника,
вписанноrо в этот треуrольник, если отношение площади прямоуrольника
к площади треуrольника равно 8 : 25 [4]. Оmв. 2 СМ и 8 СМ.
231
41. Зная сторону правильноrо шестиуrольника, вычислить площадь "ра-
вильноrо 12-уrольника, вершинами KOToporo служат вершины квадратов, по-
строенных на сторонах шестиуrольника [1].
у к а 3 а н и е. См. упр. 28 на стр. 108. Отв. За 2 (2 f- vз).
42. Две противоположные стороны праnJ1льноrо восьмиуrольника и две
перпендикулярные к ним диаrонали образуют лрямоуrо.ТJЬНИК. Вычислить ero
площадь, ес.ТIИ сторона восьмиуrольника равна а. Отв. а 2 (1 + У2).
43. Около двух равных окружностей, касающихся извне в точке О, описана
окружность с центром в точке О, касающаяся первых двух окружностей. Затем
внутри большеrо Kpyra вписаны две окружности, касающиеся первых трёх
окружностей. Центры четырёх окружностей, лежащих внутри большей, служат
веРПlинами ромба. Определить ero площадь, если радиус большей окружности
равен R [4]. Отв. : R',
44. Вычислить площадь Kpyra, если длина ero окружности равна 15 см.
225
Ото. 41t кв. СМ.
45. Вычислить площадь Kpyra, описанноrо около paBHocTopOHHero треуrоль-
. 100
ника, сторона KOToporo равна 10 см. Отв. 3 кв. СМ.
46. Периметр сеКтора равен 20 СМ, а ero площадь 25 кв. СМ. Определить
ero радиус. Отв. 5 см.
47. Хорда АВ постоянной длины скользит своими концами по окружности
радиуса R. Точка С этой хорды, находящаяся на расстоянии а и Ь от концов
А и В этой хорды, описывает при полном обороте окружность. Вычислить
площадь кольца, заключённую между данной окружностью и окружностью,
описанной точкой С [4]. Отв. 1tab. Площадь кольца не. зависит от радиуса
Kpyra.
48. Три равные окружности попарно касаlОТСЯ одна друrой. Вычислить
площадь фиrуры, лежащей вне окружностей и оrраниченной их дуrами, за-
ключёнными между точками прикосновения [1].
Отв. ' (уз 27t).
49. Из каждой вершины paBHocTopoHHero треуrольника радиусом, равным
ero стороне, проведена дуrа, концами которой служат две друrие вершины
треуrольника. Вычислить площадь криволинейноrо треуrольника, образован-
а 2 .. / )
Horo этими дуrами [1]. Отв. 2( 1t ---- У 3 .
О r л А В Л Е Н И Е.
Предисловие к первому изданию . .
Предисловие ко второму изданию
Введение . . . . . . . . .
..........
r л а в а пер в а я.
ПРЯМАЯ .,ТIИНИЯ.
1. Прямые, лучи, отрезки .......
11. Уrлы между пр ямы ми. . . . . . . .
111. Прямые пересекающиеся Н параллельные .
IV. Симметрия rеометрических фиrур относительно оси . . . .
У. Расширение понятия о теореме. . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
r л а в а в т о рая.
ТРЕ Уrольник.
1. Общие свойства треуrольников. . . . . . . . . . . . .
11. Соотношения между сторонами и уrtkiми треуrольника
111. Равенство треуrольников . . . . . .
IV. rеометрические задачи на построение
v. Задачи на построение треуrольников .
VI. Некоторые теоремы,' основанные на равенстве треуrольников. .
VII. О проекциях точек и отрезков .
VIII. rеометрические места точек . . . . . . . . . .
IX. Метод rеометрических мест .... . . . . . .
х. Симметрия rеометрических фиrур относительно центра
XI. Упражнения к rлаве второй . . . . . . . . . . . . .
r л а в а т р е т ь я.
ЧЕТЫРЕхуrольники и мноrоУrОЛЬНИI(И.
1. Общие свойства четырёхуrольников
11. Трапеция . . . . . . . . . . . .
111. Параллелоrрам . . . . . . . . . .
IV. Частные виды параллелоrрама . . . . . . . .
v. Метод параллельноrо перемещения. .
VI. Мноrоуrольники ......
VII. Упражнения к rлаве третьей
. . . .
. .
Сmр.
3
4
5
. .
9
13
21
34
40
44
48
50
56
59
63
67
68
73
75
79
80
83
85
87
89
92
94
233
, л а в а ч е т в ё Р т а я.
ОКРУЖНОСТЬ.
1. Общие свойства окружности. . . . . . . . . . . . . . .
11. Зависимость длин хорд от их расстояния от центра . . .
111. Относительное положение окружности и прямой ..'Iинии . . . .
IV. У r лы, образованные прямыми, пересекающими окружность
v. Относительное положение двух окружностей . . .
VI. Задачи на окружность. . . . . . . . . . . . . .
VII. Вписанные и описанные мноrоуrольники
VI II. Метод симметрии . . . . . . . . . . . .
IX. Упражнения к rлаве четвёртой ....
. .
r л а в а п я т а я.
ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ.
Сmр.
97
100
101
103
107
110
115
122
124
1. Общие положения об измерении отрезков .......... 126
11. Пропорциональные отрезки . . . . . . . . . . . . . . . 132
111. Свойства параллельных прямых, пересекающих две друrие пря-
мые . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
IV. Построение пропорциональных отрезков
V. Свойства равноделящих уrлов треуrольника
VI. Упражнения к rлаве пятой . . . . . .
. . . .
. . .
r л з в а ш е с т а я.
ПОДОБНОЕ РЕОБРАЗ0ВАНИЕ Фиrур.
1. Общий приём подобноrо преобрззования . . . .
11. Подобие треуrольников . . . .
111. Подобие мноrоуrольников . . . . . . . . .
1 У. Подобие окружностей . . . . . . . . . . . . . . .
У. Подобное преобразование произвольных фиrур
V 1. N\етод подобия . . . . . .. . . . . .
VII. Упражнения к rлаве шестой .....
. . . .
r л а в а с е Д ь м а я.
ЧИСЛОВЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖдУ ЭЛЕМЕНТАМИ Фиrур.
1. Триrонометрические функции OCTporo уrла. . . . . . . 171
11. Числовая зависимость между элементами треуrольников. . . . 177
111. Пропорциональные линии в Kpyre . . . . . . . . . . . . . . 185
IV. Стеl1ень точки относительно окружности . . . . . . . . . 189
V. Вычисление сторон правильных вписанных мноrоуrольников. . 192
V 1. Вычисление длины окружности . . . . . . . . .. . . . 195
VII. Алrебраический метод решения задач на построение . . . 201
VIII. Упражнения к rлаве седьмой . . . . . . . . . . . . . . 207
234
135
138
142
145
147
153
158
162
165
167
170
r л а в а в о с ь м а я.
И3.7v\ЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ.
1. Сравнения площадей мноrоуrольников . . . . . . . . . . . .
11. Измерение площадей мноrоуrольников . . . . . . . . . . . .
111. Преобразование мноrоуrо.пьников без изменения их площади. .
IV. Площадь Kpyra и ero частей
у. у пражнения к r лаве восьмой . . . . . . . . . . . . . . . .
Сmр.
2])
215
222
227
229
Редактор А. А. Борисов
Технический редактор и. В. Рыбин
flодписано к печати 19/1 1954 r. А 01728.
Тираж 75 тис. экз. Бумаrа 60 х 921/16 7,375
бумажных листов 14,75 печатных ЛИСТОВ.
Уч.-издат. листов 14,61. Цена без переплёта
3 руб. 95 коп. Переплёт 80 коп.
Книжная фабрика ИМ. Фрунзе r лавиздата
Министерства культуры rccp, Харьков,
Донец-3ахаржевская, 6/8. 3ак. 1523.
/