Текст
Н. А. ГЛАГОЛЕВ
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
ЧАСТЬ II
Стереометрия
ДЛЯ IX—X КЛАССОВ
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Издание второе
ПОД РЕДАКЦИЕЙ Д. И. ПЕРЕПЁЖИНА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
МОСКВА 1948
Утверждено
Министром просвещения РСФСР
к переизданию 1 октября 1947 г., протокол М 321
Редактор А. В. Зансохов. Техн. редактор В. В. Соколовская.
Подписано к печати 24/III 1948,г. А 01970. Печатных листов 9У*.
Учетно-изд. л. 9,28. Заказ № 7710.
Отпечатано в тип. Н-23 с матриц 1-й Образцовой тип. треста
«Полиграфкнига» Огиза при Совете Министров СССР.
Москва, Валовая, 28.
ВВЕДЕНИЕ.
ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР
НА ПЛОСКОСТИ.
§ 1. Общие замечания.
В стереометрии изучаются свойства таких геометрических
фигур, не все точки которых лежат на одной плоскости. Они
называются пространственными фигурами. Примерами их слу¬
жат геометрические тела. Чтобы облегчить себе представление
действительного вида пространственной фигуры, обычно поль¬
зуются рисунками, изготовленными так, чтобы они производили
на глаз приблизительно такое же впечатление, как и сама фигура.
Но так как пространственная фигура не может полностью быть
помещена на плоскости, то этот рисунок содержит неизбежные
искажения формы и размеров отдельных частей фигуры. Так, две
точки, в действительности весьма далёкие одна от другой, на
рисунке могут оказаться очень близкими. Учащиеся сами могут
легко заметить это на различных картинах, фотоснимках и т. д.
Такие рисунки вполне пригодны длх общего созерцания фигуры,
но замечать на них геометрические свойства фигур весьма трудно.
Поэтому рисунки, которыми пользуются при изучении простран¬
ственных фигур, выполняются по указанному ниже способу.
§ 2. Параллельное проектирование пространственных фигур.
Предположим, что мы имеем проволочный каркас куба.
Поместив его перед доской, освещённой солнцем, мы заметим,
что каркас даёт на доске тень. Эта тень может служить изо¬
бражением куба на плоскости. Лучи солнца, ввиду дальности
их источника, можно считать параллельными. А потому эта тень
называется параллельной проекцией куба, а самый способ её
получения — параллельным проектированием. Рассматривая
полученное таким образом изображение, легко подметить следу¬
ющее;
1. Параллельные и равные отрезки, например параллельные
рёбра куба, изображаются параллельными и равными отрезками.
2. Если какой-либо отрезок, например ребро куба, разделить
на две части в отношении т:я, то они изобразятся отрезками,
также находящимися в отношении т:п.
Эти правила и соблюдают обычно при изображении простран¬
ственных фигур на плоскости. Полученные таким путём изобра¬
жения соответствуют действительному виду фигуры, если смотреть
на неё с очеиь большого расстояния.
ГЛАВА ПЕРВАЯ.
ПРЯМЫЕ и плоскости.
I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ О ВЗАИМНОМ РАСПОЛОЖЕНИИ
ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ.
§ 3. Изображение плоскости на чертеже.
Многие предметы, поверхность которых близка к геометри¬
ческой плоскости, имеют форму прямоугольника. Таковы, на¬
пример, оконное стекло,
поверхность письменного
стола и т. п. При парал¬
лельном проектировании пря¬
моугольника по способу,
описанному выше (§ 2), на
чертеже получается парал-
лелограм. Поэтому обычно
плоскость на чертеже изо¬
бражают в виде паралле-
лограма. Этот параллелограм обычно обозначается одной бук¬
вой, например „плоскость Ма (черт. 1). Иногда для большей
наглядности одну из сторон параллелограма (или даже две) заме¬
няют кривой линией.
§ 4. Основные свойства плоскости.
Аксиомы: 1. Через всякие три тонки, не лежащие
на одной прямой, можно провести плоскость, и при¬
том только одну.
2. Если две плоскости имеют общую точку, то они
пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
4
Черт. 1.
3. Если две тонки прямой линии лежат на пло¬
скости, то и все точки этой прямой лежат на той
же плоскости (короче, вся прямая лежит на той же
плоскости).
Следствие 1. Через прямую и точку вне её можно
провести плоскость, и притом только одну.
В самом деле, какие-либо две точки данной прямой вместе
с данной точкой составляют три точки, не лежащие на одной
прямой. В силу аксиомы 1 через них проходит единственная пло¬
скость, а в силу аксиомы 3 данная прямая лежит в этой плоскости.
Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые можно
провести плоскость, и притом только одну.
В самом деле, если взять на каждой из прямых по одной
точке, отличной от точки пересечения прямых, то они вместе
с этой точкой пересечения составят три точки, не лежащие на
одной прямой. Через них проходит единственная плоскость
(акс. 1*), на которой лежат обе данные прямые (акс. 3).
Следствие 3. Через две параллельные прямые можно
провести плоскость (и только одну).
Действительно, параллельные прямые, по определению, лежат
в одной плоскости; эта плоскость единственная, так как через
одну из параллельных и какую-нибудь точку другой можно про¬
вести только одну плоскость (след. 1).
§ 5. Вращение плоскости вокруг прямой.
Через каждую прямую можно провести бесчисленное мно¬
жество плоскостей. В самом деле, пусть дана прямая а (черт. 2).
Возьмём какую-нибудь точку А вне её. Через
точку А и прямую а проходит единственная
плоскость (§ 4). Назовём её плоскостью М. Возь¬
мём новую точку В вне плоскости М. Через
точку В и прямую а в свою очередь проходит
плоскость. Назовём её плоскостью N. Она не
может совпадать с Ж, так как в ней лежит точка
В, которая не принадлежит плоскости М. Мы
можем далее взять ещё новую точку С вне плос¬
костей М и N. Через точку С и прямую а
проходит новая плоскость. Назовём её Р. Она
не совпадает ни с Ж, ни с N, так как в ней
находится точка С, не принадлежащая ни плос¬
кости /И, ни плоскости N. Продолжая брать всё
новые точки, мы будем таким путём получать всё новые плос¬
кости, проходящие через данную прямую а. Таких плоскостей,
очевидно, можно получить бесчисленное множество.
Их можно рассматривать как различные положения одной и той
же плоскости, которая вращается вокруг прямой а.
Мы можем, таким образом, отметить ещё одно свойство пло¬
скости: плоскость может вращаться вокруг всякой прямой,
лежащей на этой плоскости.
§ 6. Возможные взаимные положения прямых и плоскостей.
Из предыдущего следует, что две прямые линии могут:
1. Пересекаться, тогда они лежат в одной плоскости.
2. Быть параллельными, тогда они также лежат в одной плос¬
кости.
3. Не пересекаться и не быть параллельными. Таковы, напри¬
мер, два неограниченно продолженные не параллельные ребра
куба, лежащие в разных гранях (АВ
С и ЕНУ черт. 3).
Такие прямые называются скре¬
щивающимися.
Прямая и плоскость могут иметь
одну общую точку, тогда прямая
пресекается с плоскостью. Прямая,
F не лежащая в плоскости, может
пересекаться с нею не более чем в
одной точке. Точка пересечения пря¬
мой с плоскостью называется следом
Черт. 3. ЭТой прямой на плоскости.
Если прямая и плоскость не имеют
ни одной общей точки, то они называются параллельными.
Возможность такого положения прямой и плоскости будет далее
доказана (§ И). Две плоскости могут пересекаться по прямой,
и тогда они не имеют других общих точек вне этой прямой
(§ 4, акс. 1).
Если две плоскости вовсе не имеют общих точек, то они на¬
зываются параллельными. Возможность такого положения двух
плоскостей будет далее доказана (§ 14).
II. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ
ФИГУР.
§ 7. Постановка задач на построение.
Все построения, которые делались в планиметрии, выполнялись
в одной плоскости при помощи чертёжных инструментов.
6
Для построения пространственных фигур чертёжных инстру¬
ментов становится уже недостаточно, так как вычерчивать про¬
странственные фигуры на одной плоскости невозможно. Кроме
того, при построениях пространственных фигур появляется ещё
новый элемент — плоскость, построение которой нельзя выполнять
столь простыми средствами.
Поэтому при построении пространственных фигур необходимо
точно определить, что значит выполнить то или иное
построение и, в частности, что значит построить плоскость.
Во всём дальнейшем мы будем считать, что:
1) плоскость построена, если найдены элементы, определя¬
ющие её положение (§ 4), т. е. что мы умеем построить пло¬
скость, проходящую через три данные точки, через прямую и
точку вне её, через две пересекающиеся или две параллельные
прямые;
2) если даны две пересекающиеся плоскости, то дана и ли¬
ния их пересечения;
3) если дана плоскость, то мы можем выполнять на ней все
построения, которые делались в планиметрии.
В дальнейшем мы будем считать, что выполнить построе¬
ние в пространстве — значит свести его к конечному числу трёх
основных построений:
1) проведение плоскости через три данные точки;
2) нахождение линии пересечения двух плоскостей;
3) выполнение с помощью циркуля и линейки построений в
данной или построенной плоскости.
Рассмотрим несколько примеров.
§ 8.
Задача 1. Построить точку пересечения данной прямой
а с данной плоскостью Р (черт. 4).
Решение. Возьмём на плоскости Р какую-либо точку А.
Через точку А и прямую а
проводим плоскость Q. Она
пересекает плоскость Р по
некоторой прямой Ь. В плос¬
кости Q находим точку С пе¬
ресечения прямых а и Ь. Зта
точка и будет искомой. Если
прямые а и b окажутся па¬
раллельными, то задача не
будет иметь решения. Черт. 4.
§ 9.
Задача 2. Через данную точку А вне данной прямой
а провести прямую, параллельную прямой а.
Решение. Через прямую а и точку А проводим плоскость
М ив этой плоскости через точку А проводим прямую, парал¬
лельную прямой а.
Задача имеет только одно решение. В самом деле, по опре¬
делению параллельных прямых (Планиметрия, § 36) прямая, па¬
раллельная а, должна лежать с нею в одной плоскости. В этой
же плоскости должна лежать и точка Л, через которую прохо¬
дит искомая прямая. Но через прямую а и точку А проходит
лишь одна плоскость, — это плоскость М. Значит, искомая пря¬
мая должна лежать в плоскости М. А в силу аксиомы о парал¬
лельных прямых, в плоскости М через точку А проходит только
одна прямая, параллельная данной прямой а.
§ Ю.
Задача 3. Через данную точку А провести прямую,
пересекающую две данные скрещивающиеся прямые а и Ь,
не проходящие через А.
Решение. Так как искомая прямая должна проходить че¬
рез точку А (черт. 5) и пересекать прямую а, то она лежит
в плоскости Му проходящей через прямую а и точку А (так как
две её точки: точка А и точка пересечения с прямой а, должны
лежать в плоскости М). Она лежит также и в плоскости N, про¬
ходящей через точку А и прямую Ь. Значит, она служит линией
пересечения плоскостей М
и N. Отсюда такое по¬
строение: через точку А
и прямую а проводим пло¬
скость М, через точку А
и прямую b проводим
плоскость N. Прямая пе¬
ресечения плоскостей М
и N будет искомой,
если только она не ока¬
жется параллельной пря¬
мой а или прямой Ь.
В этом последнем слу¬
чае задача не имеет
Черт. 5. решения.
8
III. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ.
§ И. Условие параллельности прямой и плоскости.
Черт. 6.
Теорема. Если прямая параллельна какой-либо ли¬
нии на плоскости, то она пареллельна и самой плос¬
кости.
Дано: прямая а на плоскости М и прямая b || а. Требуется
доказать, что Ъ || М (черт. 6). Прямые а и Ь, как параллельные,
лежат в одной плоскости N.
Плоскости М и N пересе¬
каются по прямой а. Если
бы прямая b пересекла плос¬
кость /И, то она пересекла
бы и прямую я, что невоз¬
можно, так как а || Ь. Следо¬
вательно, b || М.
Теорема обратная.
Если прямая и плос¬
кость параллельны, то всякая плоскость, проходящая
через данную прямую и не параллельная данной плос¬
кости, пересекает эту плоскость по прямой, парал¬
лельной данной.
Дана прямая Ъ, параллельная плоскости М (черт. 6), и плос¬
кость N, проходящая через b и пересекающая М по прямой а.
Требуется доказать, что а || b. Если бы а и b не были парал¬
лельны, то они пересеклись бы, так как они лежат в одной
плоскости N. Если бы b пересекла а, то
в этой точке b пересеклась бы с плос¬
костью М, в которой лежит я, что не¬
возможно, так как Ь\\М. Следовательно,
а || Ь.
§ 12. Плоскости, проходящие через
параллельные прямые.
Теорема. Две непараллельные
плоскости, проходящие через две
параллельные прямые, пересека¬
ются по прямой, параллельной
этим прямым.
Дано: а|| ^ (черт. 7); М и N непарал-
проходящие через а и Ь\ с — линия их
Черт. 7.
лельные плоскости,
пересечения.
Требуется доказать, что с\\а и с\\Ь.
Так как a\\by а Улежит на iV, то д||М, но если д||Л/, то пло¬
скость Mf проходящая "через а, пересекает N по линии, парал¬
лельной а (§ 11). Следовательно, с\\а. Так же докажем, что с\\Ьщ
§13. Две прямые, параллельные третьей.
Теорема. Две прямые, параллельные третьей, па¬
раллельны между собою.
Дано: а\\Ь и а\\с. Требуется доказать, что Ь\\с (черт. 8).
Возьмём на с произвольную точку Р и проведём две плос¬
кости: плоскость М через а и Р и плоскость N через b и Р.
Эти плоскости проходят через параллельные прямые а и b и по¬
тому пересекаются по прямой, параллельной обеим этим прямым.
Но через точку Р проходит единственная прямая, параллельная
а; это — прямая с. Значит, она и будет линией пересечения
плоскостей М и N и потому будет параллельна как прямой а,
так и прямой b.
Теорема. Плоскость, проходящая через две Пересе-
кающиеся прямые, параллельные данной плоскости,
параллельна той же плоскости.
Дано: а\\М и b\\M. N проходит через а и Ъ.
Требуется доказать, что N\\M (черт. 9).
Если бы плоскость N пересекла плоскость Ж, то линия их
пересечения была бы параллельна и прямой а и прямой Ь (§ 11).
Следовательно, прямые а и b были бы параллельны между собою
(§ 13), что противоречит условию. Значит, N\\M.
Примечание. Эта теорема доказывает существование парал¬
лельных плоскостей.
С
Черт. 8.
Черт. 9.
§14. Параллельные плоскости.
10
Следствие. Если две пересекающиеся прямые, лежащие
на одной плоскости, соответственно параллельны двум пря¬
мым, лежащим на другой плоскости, то данные плоскости
параллельны (§ 11).
Теорема. Две параллельные плоскости пере¬
секаются третьей плоскостью по линиям парал¬
лельным.
Даны две параллельные плоскости М u N, пересечённые
третьей плоскостью Р, соответственно, по прямым т и п (черт. 10).
Требуется доказать, что т\\п.
•Прямые тип лежат в одной плоскости Р и не пересека¬
ются. В самом деле, если бы они пересекались, то точка их
встречи была бы и точкой встречи плоскостей М и Л/, что не¬
возможно, так как M\\N. Следовательно, т\\п.
§15. Отрезки прямых между параллельными плоскостями.
Теорема. Отрезки параллельных прямых, за-
ключённые между параллельными плоскостями,
равны.
Даны параллельные плоскости М и N и параллельные
прямые АВ и CD (черт. 11). Требуется доказать, что АВ =
=CD.
Через параллельные прямые АВ и CD проведём плоскость Р.
Она пересечёт М и N по параллельным прямым АС и BD
(§ 14). Отрезки АВ и CD составляют противоположные стороны
параллелограма ACDB, а потому АВ = CD.
Черт. 10.
Черт. 11.
II
Теорема. Отрезки двух произвольных прямых, за¬
ключённые между тремя параллельными плоскостями,
пропорциональны.
Даны три параллель¬
ные плоскости М, N и Р,
пересекающие две прямые
АС и DF соответственно
в точках А, В, С и D, Е,
F (черт. 12).
Требуется доказать,
АВ DE
4X0 ВС ЕР'
Проведём прямую
AH\\DF.
Тогда DE — AG и
EF=GH (по предыду¬
щей теореме).
Проведя плоскость че¬
рез прямые АС и АН,
получим треугольник АСН,
в котором БОЦСЯ (§ 14).
Следовательно,
AB_AG
ВС GH *
Черт. 12.
А так как AG = DE и GH = EFy то
АВ DE
ВС~~ EF'
§ 16. Углы с параллельными сторонами.
Теорема. Два
угла с параллель¬
ными и одинако¬
во направленными
сторонами равны.
Даны углы ABC и
DEF (черт. 13), лежа¬
щие соответственно в
плоскостях М и N,
причём лучи ВА и ED
параллельны и направ¬
лены в одну сторону,
лучи ВС и EF парал¬
лельны и также направ¬
лены в одну сторону.
12
Черт. 13.
Требуется доказать, что / ABC— / DBF.
В силу следствия из теоремы § 14 M\\N. Отложим на сто¬
ронах углов равные отрезки BA — ED, BC = EF и проведём
прямые AD, BE у CF, АС и DF.
Отрезки АВ и DE равны и па¬
раллельны, а потому отрезок
AD равен и параллелен BE.
Отрезки ВС и EF также равны
и параллельны,, а потому отре¬
зок BE равен и параллелен CF.
Следовательно, отрезок AD
равен и параллелен CF, а по¬
тому отрезки АС и DF также
равны и параллельны. Поэтому
[> ABC = /\DEF (по трём
сторонам) и, следовательно,
ABC = DEF.
§ 17.
Задача 1. Через данную
точку А провести плоскость, параллельную данной плоскости
Р, не проходящей через точку А.
Решение. Проводим на плоскости Р (черт. 14) через ка-
кую-либо точку В две какие-либо прямые ' ВС и BD. Построим
две вспомогательные плоскости: плоскость М—через точку А и
прямую ВС и пло¬
скость N— через точка
А и прямую BD. Ис¬
комая плоскость, парал¬
лельная плоскости Я,
должна пересечь пло¬
скость М по прямой,
параллельной ВС, у
плоскость N—по пря¬
мой, параллельной BD
(§ 14).
Отсюда вытекает
такое построение: че¬
рез точку А проводим
ь плоскости М прямую
АС1 || ВС у а в пло¬
скости 7V прямую
ADX\\BD. Через пря- Черт. 15.
13
мые АСХ и ADX проводим плоскость Q. Она и будет ис¬
комой.
Задача имеет только одно решение. В самом деле, предпо¬
ложим, что через точку А проходят две плоскости Q и Q', обе
параллельные плоскости Р
(черт. 15). Проведём тогда
через А какую-либо плос¬
кость Ж, пересекающую Р по
какой-либо прямой а. Эта
плоскость пересечёт плос¬
кости Q и Q' соответ¬
ственно по прямым b и Ь\
Черт. 1G. которые обе должны быть
параллельны прямой а (§ 14),
что невозможно, так как через точку А в плоскости М проходит
лишь одна прямая, параллельная прямой а.
Задача 2. Через данную прямую а (черт. 16) провести
плоскость, параллельную другой данной прямой Ъ.
Решение. Если прямые а и Ь скрещиваются, то через какую-,
нибудь точку А прямой а проводим прямую Ь'> параллельную Ь\
через прямые а и Ь' проводим плоскость. Она и будет искомой
(§ 11). Задача имеет в этом случае единственное решение.
Если прямые а и b параллельны, то задача будет неопределён¬
ной: всякая плоскость, проходящая через прямую д, будет парал¬
лельна b (конечно, кроме той, которая проходит через а и Ь).
Наконец, если прямые а и b пересекаются, то задача не
имеет решения.
IV. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СМЕЩЕНИЕ.
§ 18. Смещение точек.
Если взять какие-либо две точки А и А' (черт. 17), то их мож¬
но рассматривать как два различных положения одной точки,
переместившейся из одного места в другое, например, из А,
в А'. Такое смещение можно представить
себе совершённым по прямой АА9. Длина
отрезка АА' называется величиною сме¬
щения точки А, а направление прямой
АА9 от точки А к точке А' называется
направлением смещения. Для указания
направления смещения при конце отрезка Черт. 17.
АЛ9 ставится стрелка. Отрезок, опре¬
деляющий величину и направление смещения точки, назы¬
вается вектором смещения этой точки. Он обозначается двумя
14
буквами со стрелкой над ними, например АА'. Чтобы указать,
какому смещению подвергается точка, достаточно задать вектор
этого смещения; этот вектор можно задать в стороне от самой
точки. Так, чтобы подвергнуть точку С смещению, указанному
вектором АВ, достаточно провести через С прямую, параллель¬
ную АВ, и отложить на ней отрезок СС', равный АВ и одина¬
ково с ним направленный (черт. 18).
Если вектор смещения точки С задан в стороне от этой
точки, то принято говорить, что точка С смещается, следуя
вектору АВ.
Т е о р е м а. Если две тонки сместить, следуя одному
и тому же вектору, то расстояние между ними не
изменится.
Даны: вектор смещения MN (черт. 19), две точки А и В и
их положения А' и В’ после смещения. Требуется доказать, что
А' В' =АВ.
Черт. 18. Черт. 19.
Так как MN — вектор смещения точки А, то AA'\\MN,
AA’=MN. А так как MN есть вектор смещения точки В, то
BB’\\MN, и BB'=MN. Следовательно, АА'\\ВВ’ и АА' = ВВ'.
Прямые АА' и ВВ\ как параллельные прямые, лежат в одной
плоскости и так как АА' и ВВ' равны и параллельны, то че¬
тырёхугольник АА'ВВ' — параллелограм, а потому А'В' = АВ.
§19. Параллельное смещение пространственных фигур.
Если все точки какой-либо пространственной фигуры сместить,
следуя одному и тому же век.ору, то все полученные таким об¬
разом точки образуют новую фигуру, в которой расстояние ме¬
жду двумя любыми её точками равно расстоянию между двумя
соответствующими точками старой фигуры. Поэтому смещение
всех точек данной фигуры, следуя одному и тому же вектору,
можно рассматривать как смещение всей фигуры как одного
целого, следуя тому же вектору.
15
При таком смещении пространственной фигуры все её точки
описывают равные и параллельные отрезки. А потому такое сме¬
щение называется параллельным смещением данной фигуры.
Параллельное смещение есть простейший вид перемещения
пространственных фигур, его можно
f С постоянно наблюдать в обыденной
жизни. На черт. 20 представлено
параллельное смещение треугольной
пластинки АБС.
Примечание. Так как вектор
параллельного смещения тела можно
задавать в стороне от этого тела, то
все векторы, определяющие различные
параллельные смещения, можно пред¬
ставлять себе исходящими из одной
точки, т. е. имеющими общее
ЧеРт- 20- начало.
§ 20. Сложение параллельных смещений.
Допустим, что нам дано какое-либо тело F и два вектора
смещения АВ и АС.
Сместим параллельно тело F, сначала следуя первому век¬
тору АБ. Оно займёт новое положение F'. После этого сместим
его вновь параллельно, следуя второму вектору АС. Оно зай¬
мёт новое положение F". Нетрудно убедиться, что такое после¬
довательное выполнение двух параллельных смещений одно за
другим равносильно одному параллельному смещению тела из
положения F в F". В самом деле, построим параллелограм ABDC,
двумя сторонами которого служили бы данные векторы АБ и
АС. (Построить чертёж.) Возьмём теперь какую-либо точку М
тела F. После первого смещения (следуя вектору АБ) она зай¬
мёт положение М\ а после второго — точка М' переместится
в М". Соединим М с Ж", А с /И, В с М\ D с М".
Так как АВ\\ММ и АВ = ММ\ то AM || ВМ и АМ=БМ.
Так как BD || М'М" и BD = М'М", то ВМ || DM" и
BM' = DM".
А потому AM || DM" и AM = DM", следовательно, AD || ММ"
и AD = MM". Значит, точка М перемещается в М", следуя век¬
тору AD. То же самое справедливо и для всех других точек
тела. Но смещение всех точек тела, следуя одному и тому же
вектору, составит параллельное смещение всего тела. Значит,
последовательное выполнение двух параллельных смещений тела
F, сначала следуя вектору АВ, затем следуя вектору АС, рав-
16
посильно одному параллельному смещению этого тела, следуя
вектору AD. Последовательное выполнение двух данных парал¬
лельных смещений называется сложением двух смещений, а по¬
лучаемое в результате параллельное смещение называется суммой
двух смещений.
Вектор смещения AD называется суммой векторов АВ и
АС. Он служит диагональю параллелограмма ABDC со сторонами
АВ и АС. Отсюда следует, что векторы параллельных смещений
тела складываются по тому же правилу, как силы и скорости в фи¬
зике. Из предыдущих построений вытекает теорема:
Сумма двух параллельных смещений есть третье
параллельное смещение, вектор которого есть сумма
векторов данных смещений.
V. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ.
§ 21.
Теорема. Если прямая перпендикулярна к двум
прямым на плоскости, проведённым через её след, то
она перпендикулярна ко всякой прямой, лежащей на
этой плоскости и про¬
ходящей через её след.
Дана прямая АВ, пер¬
пендикулярная к прямым
ВС и BDy лежащим на
плоскости М. Требуется
доказать, что АВ пер¬
пендикулярна ко всякой
прямой ВЕУ лежащей на
плоскости М и проходя¬
щей через след В пря¬
мой АВ (черт. 21).
Отложим на прямой АВ по обе стороны ог точки В равные
отрезки AB = BF, а на прямых ВС и BD какие-либо отрезки
ВС и BD. Проведём прямую CD, пересекающую BE в какой-
либо точке Е. Далее, соединим точки С, D и Е с точками А и
F. Рассмотрим полученные треугольники.
Д ACD = Д FCD,
так как DC их общая сторона, AC=FCy как наклонные
к прямой AF, равноудалённые от основания В перпендикуляра
ВС, и также AD = FD.
~ Элементарн. геометрия, ч. II ^
Следовательно,
£ACD=£FCD.
Далее,
Д АСЕ = Д FCE
по двум сторонам и углу между ними; следовательно,
AE=FE.
Наконец,
Д аве = & FEE
по трём сторонам; следовательно,
ZABE4=ZFBE;
а так как эти углы смежные, то они прямые.
§ 22. Прямая, перпендикулярная к плоскости.
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она
перпендикулярна к каждой прямой, лежащей на этой плоскости и
проходящей через её след. Из предыдущего следует, что пря¬
мая будет перпендикулярна к плоскости, если она перпенди¬
кулярна двум пересекающимся прямым, лежащим на этой
плоскости.
Если через точку А вне плоскости Ж провести прямую АВ,
перпендикулярную к Ж, то её след В называется проекцией
точки А на плоскость Ж, а длина отрезка АВ — длиной перпен¬
дикуляра, проведённого из точки А к плоскости Ж. Прямая АС,
не параллельная и не перпендикулярная к плоскости, называется
наклонной. Её след С на плоскости Ж называется основанием
наклонной. Отрезок ВС прямой, соединяющей основание перпен¬
дикуляра с основанием наклонной, называется проекцией на¬
клонной.
§ 23. Перпендикуляр и наклонные к плоскости.
Теорема. Если из тонки вне плоскости провести
к ней перпендикуляр и наклонные, то:
/. Перпендикуляр короне всякой наклонной.
2. Те из наклонных равны, которые имеют равные
проекции.
3. Из двух неравных наклонных больше та, кото¬
рая имеет ббльшую проекцию.
18
Черт. 22.
1. Дана точка А вне плоскости М, АВ — перпендикуляр
к М (черт. 22). АС—наклонная, ВС — проекция наклонной.
Так как АВ \ М, то
Д ABC — прямоугольный,
причём АС — его гипоте¬
нуза, АВ — катет, а по¬
тому АС^>АВ.
2. Дано BC—BD.
Прямоугольные треуголь¬
ники ABC и ABD равны
(по двум катетам), следо-'
вательно, АС = AD.
3. Дано ВСУВО.
Требуется доказать, что AC^>AD. Отложим на ВС отрезок
BE = DB и соединим точки А и Е. По только что доказан¬
ному AE = AD. В треугольнике АЕС угол АЕС тупой (так как
угол АЕВ острый) и.потому АС^>АЕ. Следовательно, AC^>AD.
Теорема обратная. Если из тонки вне плоскости
провести к ней перпендикуляр и наклонные, то:
1. Равные наклонные имеют равные проекции.
2. Большая наклонная имеет и большую проекцию.
Доказательство (от противного) учащиеся проведут сами.
§ 24. Теорема о тр<ех перпендикулярах.
Теорема. Прямая, проведённая на плоскости через
основание наклонной и перпендикулярная к её проек¬
ции, перпендикулярна к
самой наклонной.
Дано: плоскость М, на¬
клонная АС, её проекция
ВС и прямая DE _[_ ВС
(чёрт. 23). Требуется до¬
казать, что DE _]_ АС.
На прямой DE отложим
по обе стороны от точки С
равные отрезки CD = СЕ и
соединим точки D и Е с
точками А и В. Тогда BD=
= ВЕУ как наклонные к пря¬
мой DE, имеющие равные
проекции CD и СЕ. Далее, AD = AE, как наклонные к плоскости
М, имеющие равные проекции BD и BE, а потому Д ACD = Д АСЕ
(по трём сторонам). Следовательно, / ACD = /_ АСЕ, а так
как эти углы смежные, то они прямые.
2* 19
Черт. 23.
Теорема обратная. Прямая, проведённая на плос¬
кости через основание наклонной и перпендикулярная
к ней, перпендикулярна и к её проекции.
Дано: DE АС. Требуется доказать, что DE _]_ ВС.
Отложив, как и раньше, равные отрезки CD = CE и со¬
единив точки D и Е с точками А и В, найдём AD — AE, как
наклонные к прямой DE в плоскости ADE, имеющие равные
проекции CD и СЕ. Далее BD = BE, как проекции равных на¬
клонных (AD и АЕ). А потому
Д BCD = Д ВСЕ;
по трём сторонам. Следовательно,
BCD =2. ВСЕ,
а так как эти углы смежные, то они прямые.
VI. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬЮ И
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬЮ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ.
§ 25. Предварительные замечания.
Параллельность прямых и плоскостей и перпендикулярность
прямой к плоскости находятся в некоторой зависимости. Именно,
наличие параллельности одних элементов влечёт за собой перпен¬
дикулярность других, и обратно: из перпендикулярности одних
элементов можно сделать заключение о параллельности других.
Эта связь между параллельностью и перпендикулярностью пря¬
мых и плоскостей выражается следующими теоремами.
§ 26. Плоскость, перпендикулярная к двум прямым.
Теорема. Если одна из двух параллельных пря-
q мых перпендикулярна
* к плоскости, то и
другая перпендику¬
лярна к той же плос¬
кости.
Дано: АВ^Р и
АВ || CD.
Требуется доказать,
что CZ)J_P (черт. 24).
Проведём через точку
Черт. 24. В на плоскости Р две
какие-нибудь прямые BE
и BF, а через точку D проведём прямые DG и DH, соответ¬
ственно параллельные прямым BE и BF. Тогда будем иметь
20
^ABE — £CDG и /_ABF = /_CDH, как углы с параллель¬
ными сторонами. Но углы АВЕ и ABF—прямые, так как
АВ _L Р, значит, углы
CDG и CDH—также
прямые. Следовательно,
CD±P (§ 21).
Теорема обрат¬
ная. Если две прямые
перпендикулярны к
одной плоскости, то
они параллельны.
Дано:Л£_1_ М, CD J_ М
(черт. 25).
Требуется доказать, Черт. 25.
что АВ || CD.
Предположим, что прямые АВ и CD не параллельны. Проведём
через точку D прямую DCV параллельную АВ, и через прямые
CD и CXD — плоскость Q. Обозначим через DE линию пере¬
сечения плоскостей М и Q. В силу прямой теоремы CXD _[_ /И,
а так как по условию CDJ_Mt то в плоскости Q к прямой
DE из одной её точки D будут восставлены два перпендикуляра
DC и DCX, что невозможно.
§ 27. Прямая перпендикулярная к двум плоскостям.
Теорема. £сли одна из двух параллельных плоскос¬
тей перпендикулярна к прямой, то и другая перпен¬
дикулярна к той же пря¬
мой.
Дано: Р || Q, АВ J__ Р•
Требуется доказать, что
АВ _]_ Q (черт. 26).
Проведём через прямую АВ
какие-либо две плоскости М и
N. Каждая из них пересекается
с Р и Q по параллельным пря¬
мым: первая — по ВС и ВХСХ,
вторая — по BD и BXDV Так
как прямая АВ по условию пер¬
пендикулярна к плоскости Р,
то она перпендикулярна к пря-
Черт. 26. мым ВС и BD. Следовательно,
она перпендикулярна и к парал¬
лельным им прямым ВгСг и BXDV а потому она перпендикулярна
И к плоскости Q} на которой лежат прямые ВХСХ и BXDV
2\
Теорема обратная. Если две плоскости перпен¬
дикулярны к одной прямой, то они параллельны.
Даны плоскости Р и Q и прямая АВ (черт. 26), причём
АВ \_Р и AB\_Q. Требуется доказать, что плоскости Р и Q
параллельны.
Проведём через АВ какую-либо плоскость Ж, пересекающую
плоскости Р и Q соответственно по прямым ВС и BXCV Так
как плоскости Р и Q перпендикулярны к АВ, то
ABC = /mBB1C1=d.
Следовательно, ВС\\ВХСА, а потому ВС || Q. Проведя через
АВ другую плоскость N, пересекающую Р и Q по прямым BD
и BXDр таким же образом найдём, что BD || Q. А потому (§ 14)
плоскость Р параллельна плоскости Q.
§ 28.
Задача 1. Через данную точку провести плоскость, пер¬
пендикулярную к данной прямой а.
Решение. Возможны два случая — когда данная точка ле¬
жит и когда она не лежит на данной прямой.
« Первый случай. Данная
точка С лежит на прямой а
(черт. 27).
Проведём через прямую а
какие-нибудь две плоскости Р
и Q. Искомая плоскость должна
пересекать эти плоскости по
прямым, перпендикулярным к
прямой а (§ 22).
Отсюда вытекает такое по¬
строение: через а проводим
две произвольные плоскости Р
и Q. В каждой из этих плос¬
костей восставляем перпенди¬
куляр к прямой а в точке С
(в плоскости Р перпендикуляр CD, в плоскости Q перпендику¬
ляр СЕ). Плоскость, проходящая через прямые CD и СЕ, есть
искомая.
Второй случай. Данная точка D не лежит на прямой а
(черт. 28). Через точку D и прямую а проводим плоскость Р
и в этой плоскости строим прямую DC, перпендикуляр¬
ную к а.
Через прямую а проводим прозвольно вторую плоскость Q
и в этой плоскости строим прямую СЕ% перпендикулярную к а.
П
Черт. 28.
Искомая плоскость должна пересечь плоскости Р и Q по пря¬
мым, перпендикулярным к я.
Отсюда вытекает такое построение: через точку D прово¬
дим в плоскости Р пря¬
мую DCy перпендикуляр¬
ную к а. Прямая DC
встретит прямую а в не¬
которой точке С. Через
точку С проводим в плос¬
кости Q прямую СЕ,
перпендикулярную к а.
Плоскость /?, проходящая
через прямые CD и СЕ,—
искомая.
Так как в каждой из
плоскостей Р и Q через
данную точку можно про¬
вести лишь одну прямую,
перпендикулярную к дан¬
ной, то задача в обоих
случаях имеет одно решение, т. е.
через каждую точку можно провести лишь одну плоскость,
перпендикулярную к данной прямой.
§ 29.
Задача 2. Через данную точку О провести прямую,
перпендикулярную к данной плоскости Р.
Решение. Возможны
два случая — когда данная
точка лежит и когда она не
лежит на данной плоскости.
Первый случай: точ¬
ка О лежит на плоскости Р
(черт. 29).
Проведём на плоскости
Р через точку О две какие-
либо взаимно перпендику¬
лярные прямые ОА и ОБ.
Через прямую О А проведём
какую-либо новую плоскость
Q и на ней построим пря-
ерт* * мую ОС _]_ О А. Через пря¬
мые ОБ и ОС проведём новую плоскость R и построим в ней
прямую ОМ ОБ, Прямая ОМ и будет искомым перпендикуляром
23
к плоскости Р. Действительно, так как OAJ^OB и ОЛ J_ ОС,
то ОА \_R и, следовательно, О A _]_ ОМ. Итак, ОМ_[_ОА и
ОМ _]_ ОБ, а потому ОуИ J_ Р.
Второй случай: точка О не лежит на плоскости Р.
Возьмём на плоскости Р какую-нибудь точку А (черт. 30)
и выполним для неё предыдущее построение. Мы получим тогда
прямую АВ, перпендикулярную
к плоскости Р. После этого
через точку О проводим пря¬
мую OD, параллельную АВ.
Эта прямая и будет искомой
(§ 26).
Задача в обоих случаях
имеет одно решение. В самом
деле, так как два перпендику¬
ляра к одной и той же плос¬
кости параллельны, то через одну и ту же точку О нельзя
провести двух перпендикуляров к плоскости Р. Следовательно,
через каждую точку можно провести одну и только одну
прямую, перпендикулярную к данной плоскости.
Черт. 30.
§ 30.
Задача 3. Даны две скрещивающиеся прямые а и Ь. По¬
строить прямую, пересекающую обе данные прямые и перпен¬
дикулярную к ним обеим.
Решение. Проведём через прямую а плоскость М (черт.31),
параллельную прямой b (§ 17). Из двух каких-нибудь точек
А и В прямой Ь опустим перпендикуляры ЛЛ1 и ВВХ на плоскость М.
Соединим точки Ах и Вх прямой линией и найдём точку Сх
пересечения прямых АХВХ и а. Через точку Сх проведём пря¬
мую, перпендикулярную к плоскости /И. Предоставляем самим
24
учащимся доказать, что эта прямая: 1) пересечётся с прямой b
в некоторой точке С и 2) будет перпендикулярна как к прямой
я, так и к прямой b.
Прямая ССХ будет, следовательно, искомой прямой.
Заметим, что отрезок ССХ меньше всех других отрезков, ко¬
торые можно получить, соединяя точки прямой а с точками пря¬
мой Ь. В самом деле, возьмём на прямой а какую-нибудь точку
£ и на прямой Ъ какую нибудь точку F, соединим эти точки
прямою и докажем, что EF^> ССХ. Опустим из точки F пер¬
пендикуляр FFX на плоскость М. Тогда будем иметь EF'^>FFX
(§ 23). Но FFX = CCX, следовательно, EF^>CCX. На этом
основании длина отрезка ССХ называется кратчайшим рас¬
стоянием между скрещивающимися прямыми а и Ъ.
VII. УГЛЫ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ И
МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ.
§ 31. Угол между двумя скрещивающимися прямыми.
Если даны две скрещивающиеся прямые а и то они не
образуют угла в обычном смысле, так как они не имеют общей
точки. Тем не менее для них д
также можно определить наклон
одной к другой. Для этой цели
поступают так.
Через какую-либо точку С
(черт. 32) проводят прямые СА
и СВ, соответственно параллель¬
ные прямым а и b (СА || а и СВ || Ь).
Прямые СА и СВ лежат в одной
плоскости и образуют в этой
плоскости некоторый угол ВСА.
Величина этого угла не зависит
от того, где взята точка С. Дей¬
ствительно, если вместо точки С
взять другую точку С1 и провести
прямые С А’ || а и С’В' || b, то бу¬
дем иметь С А || С А' и СВ || СВ'
ZmACB = /mA'C'B'.
В частности, можно взять точку на одной из данных прямых,
например, точку С" на прямой а. Тогда через неё достаточно
провести лишь прямую с, параллельную Ь. Угол между прямыми
awe будет равен углу АСВ. Величина угла АСВ и принимается
за меру угла между прямыми а и Ь. Таким образом, мы приходим
к следующему определению,
25
(§
Черт. 32.
13). Следовательно,
двумя скрещивающимися
параллельными им прямыми,
прямыми назы-
проходящими че-
Углом между
вается угол между
рез одну точку.
В частности, если этот угол окажется прямым, то данные
скрещивающиеся прямые называются взаимно перпендикуляр¬
ными. Таковы, например, рёбра АВ и НЕ куба, изображённого
на чертеже 3.
Пользуясь понятием угла между скрещивающимися прямыми,
можно многим теоремам придавать более общую форму. Так, из
теоремы § 21 легко вывести следующее, более общее заключение:
Прямая, пересекающая плоскость и перпендикулярная
к двум каким-либо пересекающимся прямым на плоскости
(хотя бы и не прохо¬
дящими через след
данной прямой), пер¬
пендикулярна и ко
всякой прямой, лежа¬
щей на той же пло¬
скости.
Даны прямые CD,
EF и KL, лежащие в
плоскости Р (черт. 33),
и прямая АВ, встреча¬
ющая плоскость Р в
точке В, причём АВ CD и АВ ±_EF. Требуется доказать,
что АВ КL.
Проведём через точку В в плоскости Р прямые BG || CD,
ВН || EF и В5||ЯХ. Так как АВ \_CD, то это значит, что
AB\_ BG\ и так как АВ _]_EF, то, значит, АВ J_ ВН, а потому,
в силу теоремы § 21, ABJ^BS. А это значит, что АВ \_KL.
§ 32. Угол между прямой и плоскостью.
Пусть даны плоскость Р и прямая АВ,
в точке В (черт. 34).
Различные прямые, лежащие
на плоскости Р и проходящие
через В, образуют с прямой
АВ углы различной величины.
Найдём наименьший из этих
углов. Докажем теорему.
Теорема. Острый угол
между прямой и её проек-
26
пересекающая её
Д
цией на плоскость меньше угла между этой прямой
и всякой другой прямой, лежащей на той же плоскости.
Дана плоскость Р (черт. 34), прямая АВ, её проекция ВС
на плоскость Р и произвольная прямая BD на плоскости Р.
Требуется доказать, что
abc<z.abd-
Из какой-либо точки Е прямой АВ опустим на плоскость Р
перпендикуляр EF. Так как ВС есть проекция прямой АВ, то
точка F упадёт на прямую ВС. Отложим на BD отрезок BG,
равный BF, и соединим точки G и Е. Тогда EG^>EF (§ 23).
В треугольниках BEG и BEF сторона BE — общая, BF = BG
и EG^>EF, следовательно,
^GBEy^FBE.
Углом между прямой и плоскостью называется острый угол
между прямой и её проекцией на эту плоскость.
VIII. ВРАЩЕНИЕ И ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ
ФИГУР.
§ 33. Вращение точки.
Пусть дана точка Л и не проходящая через неё прямая а.
Проведём через А плоскость Р, перпендикулярную к прямой я,
и обозначим через В точку её пересечения с прямой а (черт. 35).
Соединим А с В и
проведём через В на о
плоскости Р произ¬
вольную прямую BAV
на которой отложим от¬
резок BAV равный ВА.
Так как BA = BAV
то точки А и Ах лежат
в плоскости Р на ок¬
ружности с центром
в точке В и радиусом,
равным В А. Точку Ах
можно рассматривать
как новое положение
точки Л, переместившейся по дуге окружности ААХ. Такое пере¬
мещение точки А на плоскости Р называется вращением
точки А вокруг оси а. Угол ABAV называется углом враще¬
ния точки А вокруг оси af
27
Теорема. Если две тонки повернуть вокруг какой-
либо оси в одну и ту же сторону на один и тот же
угол, то расстояние между этими тоннами не из¬
менится.
Даны: ось а и две точки А и В. Точка А повёрнута вокруг оси
а на угол АСА в положение А; точка В — в ту же сторону на
угол BDB' в положение В', причём / АСА' = / BDB’ (черт. 36).
Требуется доказать, что
АВ' = АВ.
Точки А и А лежат
на плоскости Р, перпен¬
дикулярной к оси а и
пересекающей её в точ¬
ке С .Точки В w В' лежат
на плоскости Q, перпен¬
дикулярной как пере¬
секающей её в точке D.
Следовательно, Р || Q
(§ 27). Через точки А
и А проведём прямые,
параллельные оси а, до
встречи в точках F и F'
с плоскостью Q и соеди¬
ним точки F и F' с точ-
Черт. 36. кой D. Так как Р || Q,
то AF = A'F' = CD(§ 15)
и, следовательно, AC — FD, AC — F'D и AC || FD, AC || F'D,
следовательно (§ 16), / АСА = / FDF'; а так как, по
условию, ^ACA' = 2.BDB', то FDF' = BDB'. От¬
сюда следует, что / BDF— / B'DFСоединим теперь точку
В с точкой F и точку В' с точкой F' и рассмотрим треуголь¬
ники BDF и B'DF'. В них BD = B'Dy FD = F'D (так как
АС = А'С) и ^BDF = /_B'DF'. Следовательно, /\BDF=
— J\,B'DF\ а потому BF—B'F'.
Рассмотрим теперь треугольники ABF и A'B'F'. Эти тре¬
угольники прямоугольные. В самом деле, AF \\ a, a J_ Q, сле¬
довательно, AF±_ Q и, значит, AF_\_FB. Совершенно так же
убедимся, что AF' _[_ F'B\ Так как BF — B'F' и AF=AF\
то /\ ABF=/\ A'B'F'. Следовательно, АВ — А'В'.
Доказанная теорема допускает две обратные теоремы.
Теорема обратная 1. Если после вращения двух
тонек вокруг данной оси в одну и ту же сторону
расстояние между ними не изменится, то углы вра¬
щения обеих точек одинаковы,
2$
Даны: ось а и две точки А и В. Точка А после вращения
вокруг оси а на угол АСА заняла положение А' и точка В
после вращения вокруг той же оси на угол BDB' — положе¬
ние В’, причём АВ = А'В’.
Требуется доказать, что / АСА = / BDB' (черт. 36).
Точки А и А' лежат на плоскости Я, перпендикулярной
к оси а и пересекающей её в некоторой точке С, причём
ЛС = А'С. Точки В и В' лежат на плоскости Q, перпендику¬
лярной к а и пересекающей её в некоторой точке D, причём
BD = B'D. Плоскости Р и Q параллельны. Так же, как и при
доказательстве прямой теоремы, проведём через точки А и А
прямые AF и AF', параллельные оси а.
Так как Р || Q, то AF = A’F' = CD и AC = FD, A'C^F'D;
значит, FD = F'D и AC || FD, AC || F’D. Отсюда /_АСА =
= 2mFDF\
В треугольниках ABF и AB'F* по условию АВ — АВ', по
доказанному AF = AFкроме того, j/rAFB = ^AF'B' =
= 90°; следовательно, Д ABF — Д A B'F\ откуда BF=B’F’.
Далее, Д BDF = Д В’DF'
(по трём сторонам), откуда
BDF = В’DF'.
Прибавляя к обеим час¬
тям по углу B’DF, получим:
Z. BDB' = Z.FDF'. Но
/ FDF' = АСА, сл едо-
вательно,/АСА = / BDB*.
Теорема обратная 2.
Если даны два рав¬
ных непараллельных
отрезка, то концы пер¬
вого можно совместить Черт. 37.
с концами второго вра¬
щением вокруг одной оси в одну и ту же сторону на
один и тот же угол.
Дано АВ = АВ\ Возможны два случая.
Первый случай. Прямые АВ и А В* пересекаются
(черт. £7). Тогда отрезки АВ и А В' лежат в одной плоскости Ж,
и в 5Той плоскости точки А и В могут быть совмещены
соответственно с точками А и В’ вращением вокруг некото¬
рого центра О на один и тот же угол (см. Планиметрия,
стр. 134, упр. 23). Такое вращение вокруг центра О является в то
же время вращением вокруг оси а, перпендикулярной к Ж и прохо¬
дящей через точку О. Значит, точки А и В совмещаются с А
и В' вращением вокруг оси а на /_АОА (равный /_ВО&).
29
Второй случай. Прямые АВ и А В'—скрещивающиеся
прямые (черт. 38). Тогда и прямые АА и ВВ' будут скрещи¬
вающимися, и, следовательно, через прямую АА можно провести
плоскость Р || ВВ', а через прямую ВВ' плоскость Q || АА'.
Проведём на плоскости
Р через середину М
отрезка АА прямую
а\_АА, а на плоскости Q
через середину N отрезка
ВВ' — прямую Ь_\_ВВ'.
Построим далее общий
перпендикуляр CD к пря¬
мым а и Ь. Очевидно,
CD±P и CD±Q (§ 30).
Так как С лежит на
перпендикуляре из сере¬
дины отрезка АА\ то
СА=СА\ Следовательно,
точка А после вращения
вокруг оси CD на угол
Черт. 38. АСА срвместится с А'.
Точно так же DB = DB'
и, значит, точка В, после вращения вокруг оси CD на угол
BDB', совместится с В'. По условию АВ = АВ', а потому, по
предыдущей теореме, /_АСА' = /_BDB'. Значит, точки Aw В
совмещаются с А и В' вращением вокруг оси CD на один
и тот же угол, равный АСА.
§ 34. Вращение пространственных фигур.
Если все точки какой-либо пространственной фигуры или
геометрического тела повернуть вокруг произвольной оси в
одну и ту же сторону и на один и тот же угол, то все полу¬
ченные таким образом точки образуют новую фигуру, в кото¬
рой расстояние между любыми двумя её точками равно расстоя¬
нию между двумя точками старой фигуры.
Такое вращение на один и тот же угол всех точек данной
фигуры вокруг данной оси называется вращением это»й фи¬
гуры вокруг данной оси. Таким образом каждая геометриче¬
ская фигура может вращаться вокруг оси без изменения рас¬
стояния между её точками.
При вращении пространственной фигуры вокруг оси каждая
её точка описывает дугу окружности в плоскости, перпендику¬
лярной к оси вращения, с центром на этой оси.
30
Вращение тел вокруг оси можно постоянно наблюдать в
обыдённой жизни; так, переплёт книги вращается вокруг ко¬
решка, дверь и оконные рамы вращаются вокруг оси, прохо¬
дящей через дверные или оконные навески. Колёса экипажа,
винт корабля, пропеллер самолёта вращаются каждый вокруг
своей оси.
Вращение вокруг оси является наиболее распространённым
видом движения отдельных частей различных механизмов (ко-
лёсики часового механизма и т. п.).
§ 35. Понятие о перемещении геометрических тел и о их
равенстве.
В § 20 было рассмотрено последовательное выполнение двух
параллельных смещений геометрического тела. Аналогично можно
выполнить последовательно любое число параллельных смещений
и вращений данного тела. Результат последовательного выполне¬
ния нескольких параллельных смещений и вращений (в частности —
одно параллельное смещение или вращение) геометрического тела
называется его перемещением. При всяком перемещении гео¬
метрического тела расстояние между его точками, очевидно,
не изменяется. Если после какого-либо перемещения данное гео¬
метрическое тело совмещается с другим данным геометрическим
телом, то оба геометрические тела называются равными между
собой.
§ 36. Теоремы о перемещении твёрдого тела.
Если в каком-либо физическом теле расстояние между его части¬
цами остаётся неизменным, то это тело называется твёрдым телом.
Как следует из дока¬
занных выше теорем, М'
твёрдое тело может
перемещаться из од¬
ного положения в
другое, как геомет¬
рическое тело. Воз¬
можные виды пере¬
мещений твёрдого
тела определяются
следующими теоре¬
мами.
Теорема 1.
Если три, не ле- Черт. 39.
жащие на одной
прямой, точки твёрдого тела остаются неподвижными, то
и все его точки также остаются неподвижными.
Дано какое-либо тело F и три его точки Ау В и С, не лежащие
на одной прямой (черт. 39). Тогда через них проходит одна пло-
31
С'\
в
Черт. 40.
ВС—ВС, и так
точка С лежит
с С. Значит, все
скость Р. Возьмём какую-либо точку М тела F и предположим, что
она переместилась в некоторое новое положение М', а точки А, В, С
остались неподвижными. Так как при перемещении твёрдого тела
расстояния между его точками не изменяются, то AM —AM!,
ВМ — ВМ!, СМ — СМ, следовательно, Д АМВ = Д AM'В. Проведя
в этих треугольниках высоты MD и МЧУ, замечаем, что /\AMD =
= Д/Ш'/)' и, следовательно, AD — AD', т. е. точки D
и D' совпадают в одну. Так как MD\_АВ и М! D’ _L АВ,
чо ММ' \_АВ. Так же точно докажем, что ММ1 _[_ ВС.
Значит ММ’ Р. Продолжим прямую ММ! до встречи в
точке N с плоскостью Р. Тогда £_MNA — 90° и, следо¬
вательно, {\ANM-i\ANM' (так как AM —AM9 и AN—
общий катет), откуда NM = NM'. Значит М' совпадает
с М, т. е. точка М остаётся неподвижной.
Теорема 2. Если при данном перемещении
две точки тела остаются неподвижными, то это
перемещение тела есть вращение вокруг оси, про¬
ходящей через неподвижные точки.
Дано какое-либо твёрдое тело F и две его непо¬
движные точки А и В.
Возьмём сначала какую-либо точку С на прямой
АВ (черт. 40). Допустим, что точка С переместилась в
новое положение С’. Тогда АС = АС и
как АС-\- СВ = АВ, то и АС + СВ = АВ. Значит,
на прямой АВ, и так как АС —АС, то С совпадает
точки прямой АВ остаются неподвижными.
Возьмём теперь точку М вне прямой
АВ (черт. 41). Допустим, что она перемес¬
тилась в новое положение М!. Тогда AM=
—AM! и ВМ — ВМ!, следовательно, £±АМВ—
= £±АМ!В. Проведя в этих треугольниках
высоты MN и M'N', замечаем, что /\AMN-
= /\AM'N’, откуда AN = AN’. Значит, точки
дг и N' совпадают. Далее, MN = M'N и
MN _[_ АВ, M'N _L АВ. Следовательно, точка М
перемещается в М' вращением вокруг пря¬
мой АВ на угол MNM'. Возьмём теперь ка¬
кую-либо другую точку Р тела F. Допустим,
что она переместилась в новое положение Р'.
Так же точно докажем, что это переме¬
щение есть вращение вокруг прямой АВ на
некоторый угол PQP’. Так как тело F твёрдое,
то МР—М'Р' и, значит, MNM' — £ PQP'
(§ 33).
Таким образом, все точки тела F при
данном перемещении вращаются вокруг АЗ
на один и тот же угол. Значит, данное перемещение есть вращение
тела F вокруг оси АВ.
Теорема 3 (теорема Даламбера). Если при данном пе¬
ремещении одна тонка тела остаётся неподвижной, то это
перемещение можно осуществить одним поворотом вокруг
оси, проходящей через неподвижную точку.
Дано какое-либо тело F. После некоторого перемещения оно
заняло положение F’, причём одна его точка О осталась неподвиж¬
ной. Возьмём на F какие-либо две точки А и В, не лежащие на од¬
Черт. 41.
32
Черт. 42.
ной прямой с точкою О (черт. 42 и 43). После перемещения тела F они
займут некоторые положения А и В\ причём АВ = АВ* и точки А',
В' и О не будут лежать на одной прямой. В самом деле, для точек
А В, О имеем АО-\-ОВ> АВ, а так как А0 = А'0, 08 = 08*
ъАВ = А'В\ то А0 +
-f- 08' > А'В'. Значит,
А\ В' и О не лежат на
одной прямой.
Легко заметить, что
переместив точки А и
В в А' и В* и оставив
неподвижной точку О,
мы тем самым осущест¬
вим и всё данное пере¬
мещение всего тела F.
Действительно, после
перемещения точек А и
В в А' и В* они должны
остаться неподвижными,
так как их перемещение
уже осуществилось. Но
тогда тело F будет иметь уже 3 неподвижные точки А, В' и О, не
лежащие на одной прямой, и потому вовсе не может переме¬
щаться. Так как АВ = А’В', то перемещение точек А и 8 в А*
и В' можно осуществить одним вращением вокруг некоторой оси
а. Чтобы найти эту ось, рассмотрим два возможных случая.
Первый случай.
Прямые АВ и А*В* лежат в
одной плоскости М (черт.42).
Проведём через точку
0 прямую OOiJ_M. Тогда,
так как ОА = ОА и О В —
= ОВ', то OiA = OiA’ и
Оф—Оф’. Следовательно,
перемещение точек А и
В есть вращение их на пло¬
скости М вокруг центра
Ог на один и тот же угол
АОхА\ равный углу BOiB’,
а перемещение тела F есть
вращение его вокруг оси
001 на тот же угол.
Второй случай.
Прямые АВ и А В' скрещи¬
вающиеся. Тогда и прямые
АА и ВВ* также будут
скрещивающимися (черт.43).
Проведём через прямую
АА плоскость Р || 88\ через
ВВ' — плоскость Q\\AA*% а
через точку О прямую 0{02 _L Р и, значит, 0i02 _!_(?. Так как
uA^zOA и 08 = 08\ то ОхА = ОхА и 02£=02В'. Следовательно,
перемещение точек А и В есть вращение их вокруг оси ОхО2,
проходящей через точку О. Значит, всё перемещение тела F осу¬
ществляется вращением его вокруг оси 0\02.
о
Элементарн. геометрия, ч. II 33
Теорема 4. Всякое перемещение твёрдого тела можно
выполнить при помощи одного параллельного смещения и
одного вращения вокруг некоторой оси.
Допустим, что твёрдое тело F после нескольких параллельных
смещений и вращений около различных осей приняло новое поло¬
жение F'. Требуется доказать, что всю совокупность параллельных
смещений и вращений, которая переводит тело F в новое положе¬
ние F', можно заменить одним параллельным смещением и одним
вращением.
Возьмём какую-либо точку М тела и п усть М' новое положение,
которое заняла точка М после указанного перемещения тела F в но¬
вое положение F’. Подвергнем тело F параллельному смещению,
следуя вектору ЛШ'. Оно примет некоторое новое положение F",
причём точка М займёт положение М’. Чтобы перевести после этого
данное тело в положение F\ нужно подвергнуть его новому пере¬
мещению, причём точка М' должна остаться неподвижной. А такое
перемещение, в силу теоремы Даламбера, можно осуществить одним
вращением вокруг оси, проходящей через точку М’.
IX. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ ПЕРВОЙ.
А. Доказать теоремы:
1. Две плоскости, параллельные третьей, параллельны между-
собой.
2. Все прямые, параллельные данной плоскости и проходящие
через одну точку, лежат в одной плоскости, параллельной данной.
3. Дана плоскость Р и параллельная ей прямая /. Доказать, что
все точки прямой I находятся на одинаковом расстоянии от пло¬
скости Р.
4. Доказать, что все точки одной из двух параллельных пло¬
скостей находятся на одинаковом расстоянии от другой плоскости.
5. Если прямая параллельна одной из двух параллельных пло¬
скостей, то она параллельна и другой.
6. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной
плоскости, то и другая прямая параллельна той же плоскости.
7. Если прямая / параллельна плоскости М, то всякая прямая,
проходящая через точку, лежащую на плоскости М и параллельная
прямой /, лежит на плоскости М.
8. Прямая, параллельная каждой из двух пересекающихся пло¬
скостей, параллельна и линии их пересечения.
9. Прямые, проходящие через одну точку и перпендикулярные
к данной прямой /, лежат в одной плоскости, перпендикулярной к /.
10. Если плоскость и прямая перпендикулярны к одной прямой,
то они параллельны.
11. Даны прямые а и b и плоскость М. Если а\\М и
то а _]_Ь
12. Если через каждую из двух скрещивающихся прямых про¬
вести плоскость, параллельную другой, то эти плоскости будут па¬
раллельны между собою.
13. Если две плоскости перпендикулярны каждая к одной из двух
скрещивающихся прямых а и 6, то линия пересечения этих плоско-
стей параллельна общему перпендикуляру к прямым а и Ь.
34
14. На плоскости М построен параллелограм ABCD, диагонали
которого пересекаются в точке О. Если G— точка вне плоскости М
и АО = СО, BG = DG, то GO J_ Af.
15. Дан треугольник АБС. Через середину каждой его стороны
проведена плоскость, перпендикулярная к этой стороне. Доказать,
что эти три плоскости проходят через одну прямую, и определить
положение этой прямой относительно треугольника ABC.
Отв. Прямая перпендикулярна к плоскости треугольника ABC
и проходит через центр описанной около него окружности.
16. Проекции двух параллельных прямых параллельны между
собою.
17. Отношение проекций двух параллельных отрезков равно от¬
ношению самих отрезков.
18. Даны две пересекающиеся плоскости М и N, две прямые а
и Ъ\ аъ bi — проекции данных прямых на плоскость М\ аъ Ь2—про¬
екции тех же прямых на плоскость N. Доказать, что если
и а21|^2> т0 а II Какое исключение допускает эта теорема?
19. Две параллельные прямые, пересекающие данную плоскость,
одинаково наклонены к этой плоскости.
20. Если проекции двух равных наклонных равны между собою,
то углы обеих наклонных с плоскостью одинаковы.
21. Острый угол, образуемый прямой с её проекцией на какую-
либо плоскость М, меньше угла, образуемого этой прямой с любой
другой прямой, лежащей на плоскости М.
22. Если прямая одинаково наклонена к двум пересекающимся
плоскостям, то её следы на этих плоскостях одинаково удалены от
линии пересечения плоскостей.
23. Если стороны одною треугольника параллельны сторонам
другого, то прямые, соединяющие вершины равных углов, пересе¬
каются в одной точке или параллельны.
24. Если плоскости двух треугольников ЛВС и А1В1С1 не парал¬
лельны и прямые ААЪ ЬВг и ССг проходят через одну точку, то
прямые АВ и AiBb ВС и ВгСъ АС и A^Ci попарно пересекаются,
и 3 точки пересечения этих прямых лежат на одной прямой. Какое
исключение допускает эта теорема? Обратно: если * прямые АВ
и Афъ ВС и BiCv АС и AiCi попарно пересекаются, то точки их
пересечения лежат на одной прямой, а прямые ААЪ ВВх и СС± про¬
ходят через одну точку или параллельны.
25. Замкнутая линия, звенья которой не лежат в одной плоскости,
называется пространственным многоугольником. Доказать, что про¬
тивоположные стороны всякого плоского четырёхугольника, вписан¬
ного в пространственный четырёхугольник, пересекаются на диаго¬
налях последнего. Какие исключения допускает эта теорема?
26. Середины сторон пространственного четырёхугольника об¬
разуют вершины параллелограма.
27. Если дано п прямых, из которых каждые две пересекаются,
то или все они проходят через одну точку, или все лежат в одной
плоскости.
Б. Геометрические места.
28. Найти геометрическое место точек, находящихся на данном
расстоянии от данной плоскости. Отв. Две плоскости, параллельные
Данной.
35
29. Найти геометрическое место точек, равноудалённых от двух
данных параллельных плоскостей. Отв. Плоскость, параллельная
данным.
30. Найти геометрическое место точек, отношение расстояний
которых от двух данных параллельных плоскостей имеет данную
величину. Отв. Две плоскости, параллельные данным, если данное от¬
ношение не равно единице, и одна плоскость, параллельная данным,
если отношение равно единице.
31. Определить геометрическое место середин отрезков прямых,
пересекающих две данные параллельные плоскости и заключённых
между этими плоскостями. Отв. Плоскость, параллельная данным и
равноотстоящая от них.
32. Определить геометрическое место точек, делящих (внутрен¬
ним образом) в данном отношении отрезки прямых, пересекающих
две данные параллельные плоскости, заключённые между этими плос¬
костями. Отв. Плоскость, параллельная данным.
33. Найти геометрическое место центров тяжести треугольни¬
ков, основания которых лежат на данной плоскости М, а вершины
на плоскости N, параллельной М. Отв. Плоскость, параллельная
данной.
34. Найти геометрическое место вершин треугольников, осно¬
вания которых лежат на данной плоскости М, а центры тяжести на¬
ходятся на плоскости N || М. Отв. Плоскость, параллельная М.
35. Найти геометрическое место центров окружностей, описан¬
ных около прямоугольных треугольников, у которых вершина пря¬
мого угла лежит в данной плоскости, а вершины острых углов —
в двух других данных плоскостях, параллельных первой. Отв. Пло¬
скость, параллельная данным.
36. Даны отрезок АВ и плоскость М, параллельная*прямой АВ.
Отрезок CD данной длины перемещается на плоскости М, оставаясь
параллельным АВ. Определить геометрическое место точек пересе¬
чения прямых АС и BD, а также AD и ВС. Отв. Оба геометриче¬
ских места — плоскости, параллельные данной.
37. Отрезок АВ постоянной длины скользит своими концами по
двум параллельным плоскостям М и N. Через точку А проведена
плоскость Р_[_АВУ а через точку В — прямая пересекающая Р
в точке С. Найти геометрическое w место точек С. Отв. Плоскость,
параллельная М.
38. Найти геометрическое место середин отрезков лучей, про¬
ведённых из данной точки вне данной плоскости, ко всем точкам
этой плоскости. Отв. Плоскость, параллельная данной.
39. Отрезки лучей, проведённых из данной точки вне плоскости
ко всем точкам этой плоскости, разделены (внутренним образом)
в данном отношении т\п. Найти геометрическое место делящих то¬
чек. Отв. Плоскость, параллельная данной.
40. Найти геометрическое место точек, делящих (внутренним
образом) в данном отношении отрезки параллельных прямых, заклю¬
чённых между двумя пересекающимися плоскостями. Отв. Пло¬
скость, проходящая через линию пересечения данных плоскостей.
41. Найти геометрическое место точек, равноудалённых от двух
данных точек. Отв. Плоскость, проходящая через середину отрезка
прямой, соединяющей данные точки, и перпендикулярная к этой
прямой.
42. Найти геометрическое место точек, равноудалённых от вер¬
шин данного треугольника. Отв. Прямая, перпендикулярная к пло¬
36
скости этого треугольника и проходящая через центр описанной около
него окружности.
43. Найти геометрическое место оснований равных наклонных,
проведённых из одной и той же точки вне данной плоскости. Отв.
Окружность, лежащая на данной плоскости.
44. Определить геометрическое место концов равных отрезков,
имеющих общее начало на данной плоскости и наклонённых к этой
плоскости под одинаковыми углами. Отв. Две окружности, лежащие
в плоскостях, параллельных данной.
45. Дана прямая АВ. Через точку А этой прямой проведены
прямые, наклонённые к АВ под данным углом. На этих прямых, по
обе стороны от точки Л, отложены отрезки данной длины. Найти
геометрическое место концов этих отрезков. Отв. Две окружности,
лежащие в плоскостях, перпендикулярных прямой АВ.
46. Найти геометрическое место точек, находящихся на данном
расстоянии а от данной плоскости М и на данном расстоянии b от
прямой /J_Af. Отв. Две окружности, лежащие на плоскостях, па¬
раллельных М.
47. Найти геометрическое место точек, находящихся на данном
расстоянии а от данной плоскости М и на данном расстоянии b от
данной точки А, не лежащей на плоскости М. Отв. Две окружности,
лежащие на плоскостях, параллельных М, или одна такая окружность,
или геометрическое место вовсе не существует (одна из окружно¬
стей может обращаться и в точку).
48. Найти геометрическое место оснований перпендикуляров,
опущенных из данной точки вне данной прямой, на все плоскости,
проходящие через эту прямую. Отв. Окружность, лежащая в пло¬
скости, перпендикулярной к данной прямой.
49. Найти геометрическое место центров окружностей данного
радиуса, лежащих в плоскостях, проходящих через данную прямую
и касающихся этой прямой в одной и той оке точке. Отв. Окруж¬
ность с центром на данной прямой, лежащая в плоскости, перпен¬
дикулярной к этой прямой.
В. Задачи на построение.
50. Через данную точку провести плоскость, параллельную двум
данным прямым а и Ь.
51. Через данную точку провести прямую, параллельную данной
плоскости и пересекающую данную прямую.
52. Построить прямую, пересекающую две данные прямые и па¬
раллельную третьей данной прямой.
53. Построить какую-либо прямую, пересекающую две данные
прямые и параллельную данной плоскости (задача неопределённая).
54. Построить какую-либо прямую, пересекающую три данные
прямые (задача неопределённая).
55. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную
к двум данным скрещивающимся прямым.
56. Через данную точку А на плоскости М провести на этой
плоскости прямую, перпендикулярную данной прямой а, не лежащей
на плоскости М.
57. На данной плоскости найти точку, находящуюся на данных
расстояниях от двух данных плоскостей.
58. На данной прямой найти точку, находящуюся на данном рас¬
стоянии от данной плоскости.
37
59. Йерез данную точку вне плоскости провести к этой пло¬
скости наклонную, имеющую данную длину и параллельную данной
плоскости.
60. Через данную точку А провести прямую, пересекающую дан¬
ную прямую / так, чтобы её отрезок, заключённый между прямою /
и параллельной ей плоскостью М, имел данную длину.
61. На данной прямой найти точку, равноудалённую от двух дан¬
ных точек. В каком случае задача становится неопределённой?
62. На данной плоскости провести прямую так, чтобы расстоя¬
ния её точек от двух данных вне плоскости точек были равны между
собою.
63. На данной плоскости найти точку, равноудалённую от вер¬
шин данного треугольника, не лежащего на данной плоскости.
64. Построить точку, равноудалённую от четырёх данных точек,
не лежащих на одной плоскости.
65. Дана плоскость М и две точки А и В по одну сторону от
неё. Найти на плоскости М такую точку X, чтобы сумма АХ-\-ХВ
была наименьшей.
66. На данной прямой найти точку, сумма расстояний которой
от двух данных точек вне прямой была бы наименьшей.
67. Даны три параллельные прямые, не лежащие в одной пло¬
скости. Построить прямую, параллельную данным и равноудалённую
от всех трёх данных прямых.
68. Через данную прямую провести плоскость, находящуюся
на данном расстоянии от данной точки.
69. Через данную точку на плоскости провести на этой пло¬
скости прямую, находящуюся на данном расстоянии от данной точки
вне плоскости.
70. На данной плоскости М через данную точку А провести
прямую, образующую с данной прямой I (не лежащей на М) данный
угол.
Указание. Сначала провести прямую, параллельную искомой,
через след прямой / на плоскости М.
71. Через данную точку провести плоскость, параллельную дан¬
ной прямой и находящуюся от неё на данном расстоянии.
72. Через данную точку провести плоскость, пересекающую
данную прямую I в данной точке А и образующую с I данный
угол.
73. Через данную точку провести плоскость, параллельную
данной прямой / и образующую с другой данной прямой т дан¬
ный угол.
74. Три данные скрещивающиеся прямые пересечь прямой так,
чтобы её отрезки, заключённые между данными прямыми, находились
в данном отношении.
75. Построить прямоугольный треугольник, катеты которого даны,
так, чтобы вершина его прямого угла находилась в данной точке,
вершина одного острого угла лежала на данной прямой, вершина
другого — на данной плоскости.
76. Данную треугольную пластинку поместить в пространстве
так, чтобы одна её вершина совпала с данной точкой, другая легла
на данную прямую, третья легла на данную плоскость. Сколько та¬
ких положений может иметь пластинка? Отв. Самое большее — 24.
77. Построить равносторонний треугольник, одна вершина кото¬
рого находилась бы в данной точке, другая на данной прямой, третья
на данной плоскости (задача неопределённая).
33
78. Дана плоскость М и три точки А, В и С вне её. Найти на
плоскости М такую точку X, чтобы прямые АХ, ВХ, СХ были на¬
клонены к плоскости М под равными углами.
Указание: Если Аь Въ —проекции точек Л, В, С на пло¬
скость М, то AiX:BiX:CiX= AiA:BiB:CiC.
Г. Задачи на вычисление.
79. Из точки А, отстоящей на расстоянии 8 см от плоскости М,
проведена к ней наклонная АВ. Длина этой наклонной на 4 см
больше длины её проекции. Определить длину наклонной. Отв. 10 см.
80. Определить длину наклонной, если длина её проекции рав¬
на а, а угол наклонной с плоскостью равен 45° или 60°. Отв. аУ~ 2
или 2а.
81. Даны проекции Ръ Р2, Рз некоторого отрезка на три взаим¬
ноперпендикулярные прямые. Определить длину этого отрезка.
Отв. VР\Л- P^+P'i
Указание. Через конец искомого отрезка провести прямые,
параллельные данным.
82. На плоскости М дан отрезок AB=Y1 см. В точках А и В
восставлены к плоскости М перпендикуляры АС =9 см и BD = 4 см.
Определить расстояние между концами этих перпендикуляров.
Отв. 13 см или У"313 см.
83. В двух точках на плоскости М восставлены к ней перпен¬
дикуляры, длины которых а и Ъ. Отрезок прямой, соединяющей их
концы, разделён в отношении т\п. Определить расстояние делящей
.. л ап 4- Ьт
точки от плоскости М. Отв. Li .
т -f-л
84. Точка А отстоит от плоскости М на расстоянии 5 см. Пря¬
мая /, лежащая на плоскости М, отстоит от проекции точки А на
расстоянии 12 см. Определить расстояние прямой I от точки А.
Отв. 13 см.
85. Металлический стержень, поставленный параллельно пло¬
скости освещённого экрана, отбрасывает на экран тень длиною 1 м.
Определить длину этого стержня, если известно, что расстояние
стержня от экрана равно 3 м, а расстояние экрана от источника
света равно 5 м. Отв. 40 см.
86. Даны три параллельные прямые а, Ь, с и параллельная им
плоскость М. Расстояние между прямыми а и Ъ равно 4 м, между
прямыми а и с—5 м и между Ь и с — 3 м. Расстояние прямых а
и b от плоскости М равно 7 м. Определить расстояние плоскости М
от прямой с. Отв. 10 м или 4 м.
87. Две параллельные плоскости, расстояние между которыми
равно 2 м, пересечены прямой, образующей с ними угол 60°. Опре¬
делить длину отрезка этой прямой, заключённого между этими пло-
41/'“3
скостями. Отв. —^— м.
о
88. Отрезки двух прямых, заключённые между двумя параллель¬
ными горизонтальными плоскостями, равны 12 м и 18 м. Расстояние
между плоскостями равно 10 м. На каком расстоянии от одной из
39
этих плоскостей должна быть проведена между ними параллельная
им плоскость так, чтобы отсекаемый этой плоскостью верхний от¬
резок одной прямой был равен нижнему отрезку другой. Отв. 4 м
или 6 м.
89. Найти геометрическое место точек, находящихся на данных
расстояниях а и b от двух данных точек А и В, если АВ = с.
— (в2— bt + c*)*
Отв. Окружность радиуса 1 , лежащая в пло¬
скости, перпендикулярой к АВ и отстоящей от конца А на расстоя-
а2 — _1—
НИИ 2с ’
ГЛАВА ВТОРАЯ.
СИММЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР.
I СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТИ.
§ 37. Симметричные точки.
Две точки называются симметричными относительно пло¬
скости, если они лежат по разные стороны от этой плоскости
на прямой, перпендикулярной к ней, и
на одинаковом от неё расстоянии. Так,
точки Ли А' будут симметричны
относительно плоскости М (черт. 44),
если АА* \_М и ОА = ОА', где О —
точка встречи прямой АА' с плоскостью
М. Плоскость М называется плоскостью
симметрии точек А и А'.
Из этого определения следует:
1. Две тонка имеют лишь одну
плоскость симметрии, так как
через середину отрезка прямой, соеди¬
няющей эти точки, можно провести
лишь одну плоскость, перпендикуляр¬
ную к этой прямой.
2. Каждая тонка плоскости симметрии сама себе
симметрпнна, так как если точка А лежит на плос¬
кости М, то она совпадает с точкой О, а следовательно,
и с А'.
3. Каждая тонка, лежащая на плоскости симмет¬
рии двух данных тонек, одинаково удалена от этих
тонек.
40
Дано: М — плоскость симметрии точек А и А, С — какая-
либо точка плоскости М (черт. 45). Требуется доказать, что
АС = АС.
Проведём прямую АА', пересекающую М в некоторой точке О.
В силу симметрии точек А и А' имеем: АО = ОА и
АОС = Z. А'ОС = 90°.
А потому ДЛОС = ДЛ'ОС. Следовательно,
АС —АС.
Имеет место и обратное предложение:
4. Если тонка одинаково удалена от двух данных
точек, то она лежит на плоскости симметрии этих
тонек.
Даны три точки А, А\ С, причём АС = А’С. Требуется
доказать, что точка С лежит в плоскости симметрии точек А
и А.
Соединим точки Л и Л' и проведём через С плоскость М,
перпендикулярную к прямой А А, пересекающую А А в точке О.
В треугольниках АОС и АОС имеем:
/_АОС = /тА’ОС = 90° и АС = А'С,
а потому
Д АОС = Д АОС.
Следовательно, АО = АО. Значит, точки А и А симметричны
относительно М.
41
§ 38. Симметричные прямые.
Теорема. Если две какие-либо точки одной прямой
симметричны двум точкам другой прямой относи¬
тельно данной плоскости, то и все точки одной пря¬
мой симметричны точкам другой.
Даны прямые АВ и А'В' (черт. 46), причём точки А и В
симметричны соответственно точкам А' и В' относительно пло¬
скости М. Требуется доказать, что для каждой точки прямой АВ
есть симметричная ей точка на прямой А'В'.
Пусть Ох и 02 точки пересечения прямых АА' и ВВ'
с плоскостью М.
Проведём через параллельные прямые АА' и ВВ' плоскость N.
Она пересечётся с Ж по прямой 0t02, причём АА' J_Ox02,
ВВ' _L0j02, А01=А'01 и В02 = В'02. Следовательно, в пло¬
скости N прямые АВ и А'В' симметричны относительно оси
0г02. Возьмём на АВ произвольную точку С; в плоскости N
,есть симметричная ей относительно оси 0^02 точка С', лежа¬
щая на прямой А'В' (Планиметрия, § 45). Точки С и С', оче¬
видно, симметричны относительно плоскости М. В самом деле,
прямые СС' и АА' параллельны, так как в плоскости N они
обе перпендикулярны прямой 0Х02. А так как АА' _|_ Ж, то
и СС' _]_ Ж (§ 26). Из симметрии точек С и С' относительно
оси 0г02 в плоскости N следует, кроме того, что ОвС — OzC'.
Значит, точки С и С' симметричны относительно плоскости Ж.
Если точки одной прямой симметричны точкам другой прямой
относительно данной плоскости, то прямые называются сим¬
метричными относительно плоскости.
Из доказанной теоремы следует, что если две точка одной
прямой симметричны двум точкам другой относительно
данной плоскости, то эти две прямые симметричны относи¬
тельно той же плоскости.
§ 39. Симметричные плоскости.
Теорема. Если три какие-либо не лежащие на
одной прямой точки одной плоскости симметричны
трём точкам другой относительно некоторой третьей
плоскости, то и все точки первой плоскости сим¬
метричны точкам второй плоскости.
Даны плоскости Ж, Ж' и Р и точки Л, В и С в плоско¬
сти Ж, симметричные соответственно точкам А', В\ С пло¬
скости Ж' относительно плоскости Р (черт. 47)., Требуется;
42
доказать, что для каждой точки на плоскости М есть симмет¬
ричная ей точка на плоскости М'.
Построим на плоскости М треугольник ЛВС, а на плоско¬
сти №—треугольник АВ'С. Соответственные стороны этих
треугольников, очевидно, будут симметричны относительно Р
(§ 38).
Проведём на плоскости М через произвольную точку D
какую-либо прямую, пересекающую прямые АВ и АС соот¬
ветственно в точках Е и F. Точкам Е и F найдутся симметрич¬
ные им точки Е' и F' на прямых А’В' и А’С на плоско¬
сти М\ Соединив точки Е' и F' прямой линией, получим
прямую E'F\ симметричную EF. На E’F* найдётся точка D'
симметричная D.
Так как прямая E’F’ лежит на плоскости М\ то и точка D'
также лежит на плоскости М. Таким же способом и для вся¬
кой другой точки плоскости М можну найти симметричную ей
точку на плоскости М.
Если все точки одной плоскости симметричны точкам другой
относительно некоторой третьей плоскости, то две данные пло¬
скости называются симметричными относительно этой пло¬
скости.
Из предыдущего следует, что если три, не лежащие на
одной прямой, точки одной плоскости симметричны трём
точкам другой плоскости относительно какой-либо третьей
плоскости, то данные плоскости симметричны относительно
этой плоскости.
43
§ 40. Пространственные фигуры, симметричные
относительно плоскости.
Если для каждой точки данной фигуры построить точку, ей
симметричную относительно данной плоскости, то все полученные
таяим образом точки образуют новую фигуру, которая назы¬
вается симметричной данной относительно данной пло¬
скости.
Простейшим примером симметричных фигур являются любой
предмет и его отражение в плоском зеркале: они симметричны
относительно плоскости зеркала.
Из предыдущего следует, что соответственные (симметрич¬
ные) отрезки, входящие в состав двух симметричных фигур,
равны между собою. Тем не менее, порядок расположения
частей одной фигуры обратен тому, который имеется в фигуре,
ей симметричной. Поэтому совместить произвольную фигуру
с фигурой, ей симметричной, так, чтобы совпали их соответ¬
ственные части, невозможно. Это особенно ясно видно на
примере зеркального отражения.
Отражение правой руки человека, стоящего перед зеркалом,
является левой рукой для его отражения. Но кисть правой руки
нельзя совместить с кистью левой, что видно хотя бы из того,
что одна и та же перчат¬
ка не может подходить
9
и к правой и к левой
руке.
§ 41.
Задача. Построить
фигуру, симметричную
данной треугольной пла¬
стинке ABC относитель¬
но данной плоскости Р.
Решение. Из точек А,
Я' В и С (черт. 48) опускаем
Черт. 48. перпендикуляры А0а,В02,
СОь на плоскость Р и
продолжаем их за плоскость Р на такое же расстояние:
ОхА' = ОгА, 02В' = 02Я, ОгС = 03С.
Тогда /\А'В’С* будет симметричен Д ABC относительно
плоскости Р.
44
§ 42. Пространственные фигуры, имеющие плоскость
симметрии.
Если какую-либо пространственную фигуру можно разбить
на две части, симметричные относительно некоторой плоскости,
то эта плоскость называется
плоскостью симметрии данной
фигуры.
Геометрические тела, имею¬
щие плоскость симметрии,
весьма распространены в при¬
роде и в обыденной жизни.
Так, тело человека и живот¬
ного имеет плоскость симмет¬
рии, разделяющую его на пра¬
вую и левую части. Большое
число предметов домашнего
обихода имеет плоскость сим¬
метрии: обеденный стол, стул,
книжный шкаф и пр. Некото¬
рые, как, например,стол, имеют
даже не одну, а две плоскости симметрии (черт. 49). Обычно,
рассматривая предмет, имеющий плоскость симметрии, мы ста¬
раемся придать ему или самим занять такое положение, при
котором его плоскость симметрии совпадает с плоскостью сим¬
метрии нашей головы. При таком положении предмета его сим¬
метричная форма становится особенно заметной.
II. ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ
ФИГУР.
§ 43. Симметричные точки.
Точки А и А называются симметричными относительно
Центра О, если точка О есть середина отрезка АА (черт. 50).
Из этого определения следует:
1. Две тонки, А и А имеют
лишь один центр симметрии
(так как отрезок АА имеет лишь
одну середину).
2. Точка, симметричная цен¬
тру симметрии, совпадает с
Черт. 50. ним самим.
45
§ 44. Симметричные прямые.
Теорема. Если две тонки одной прямой симмет¬
ричны двум точкам другой относительно некоторого
центра, то и все точки этой прямой симметрич¬
ны точкам другой относительно того же центра.
j Даны две прямые АВ и
м А'В', причём точки А и В
/ симметричны соответственно
/ точкам А' и В' относительно
/ некоторого центра О (черт. 51)
/ Требуется доказать, что
I для любой точки С прямой АВ
есть симметричная ей точка С'
на прямой А'В'.
Проведём через пересека¬
ющиеся прямые АА' и ВВ' пло¬
скость Ж, тогда прямые АВ и
А!В' окажутся лежащими в этой
Черт. 51. плоскости, для прямых же, ле¬
жащих в одной плоскости, теорема была доказана в планиметрии
(Планиметрия, § 105).
Две прямые, точки которых симметричны относительно како¬
го-либо центра, называются симметричными относительно
этого центра.
Две симметричные прямые, как только что показано, лежат
в одной плоскости. А потому для них верны теоремы, доказан¬
ные в планиметрии (Планиметрия, § 105):
1. Две прямые, симметричные относительно какого-
либо центра, параллельны между собою.
2. Соответственные отрезки двух симметричных
прямых равны.
§ 45. Симметричные плоскости.
Теорема. Если три, не лежащие на одной прямой,
точки одной плоскости симметричны трём точкам
другой плоскости относительно некоторого центра,
то и все точки этой плоскости симметричны точкам
другой относительно того же центра.
Даны плоскости Ж и Ж', причём точки Л, В и С плоскости
Ж симметричны соответственно точкам А\ В', С' плоскости Л}'
относительно центра О (черт. 52). Требуется доказать, что для
произвольной точки на плоскости Ж есть симметричная ей точка
на плоскости Ж'.
46
Построим на плоскости М треугольник ABC, а на пло¬
скости М'— треугольник А'В'С'. Соответственные стороны этих
треугольников, очевидно, будут симметричны относительно
центра О (§ 44). Проведём через произвольную точку D
на плоскости М какую-
либо прямую, пересекающую
прямые АВ и АС соответ¬
ственно в точках Е и F.
Точкам Е и F найдутся
симметричные им точки Е' и
F' на прямых А'В’ и А’С.
Соединив точки Ё' и F'
прямой линией, получим пря¬
мую E'F', симметричную EF.
На E'F' найдется точка D’,
симметричная D.
Так как прямая E'F' ле¬
жит на плоскости М\ то и
точка D' также лежит на плос¬
кости М. Таким же способом
и для всякой другой точки плоскости М можно найти симметрич¬
ную ей точку на плоскости М.
Если все точки одной плоскости симметричны точкам другой
относительно некоторого центра, то две данные плоскости на¬
зываются симметричными относительно этого центра.
Из предыдущего следует, что если три не лежащие на
одной прямой точки одной плоскости симметричны трём
точкам другой плоскости относительно некоторого центра>
то данные плоскости симметричны относительно этого
центра.
Теорема. Дее плоскости, симметричные относи¬
тельно какого-либо центра, параллельны между собою.
Даны плоскости М и М', симметричные относительно центра
О (черт. 52). Возьмём в плоскости М какой-либо /\АВС и
построим симметричный ему 1\ А'В'С' на плоскости М. Прямые
АВ и АС симметричны соответственно прямым А'В' и А'Са
потому (§ 44) АВ\\А'В' и АС\\А’С*. Следовательно (§ 14), пло¬
скости М и М' параллельны.
§ 46. Пространственные фигуры, симметричные
относительно какого-либо центра.
Если для каждой точки какой-либо фигуры построить ей
симметричную относительно данного центра, то все полученные
таким образом точки образуют новую фигуру, которая назы-
47
вается симметричной данной фигуре относительно данного
центра.
Все соответственные отрезки в двух таких фигурах равны
между собой (§ 44).
Задача. Построить фигуру, симметричную данной тре¬
угольной пластинке ABC относительно данного центра О.
Решение. Точки А, В к С
(черт. 53) соединим с точкой О
и продолжим прямые АО, ВО и
СО за точку О на такое же рас¬
стояние, так что О А' —АО,
OB'= ВО, ос=со.
Тогда ДЛ'Б'С' будет сим¬
метричен 1\АВС относительно
центра О.
При решении этой задачи мы
получили треугольник А*В'С, сим-
Черт. 53. метричный треугольнику ABC и
в то же время ему равный (по трём сторонам). Однако,
как общее правило, как и в случае симметрии относительно плос¬
кости, две фигуры, симметричные относительно центра, совме¬
стить одну с другой так, чтобы совпали все их соответственные
части, — невозможно, так как порядок расположения этих частей
в одной фигуре обратен тому, который имеется в другой.
III. ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР.
§ 47. Осевая симметрия точек.
Две точки называются симметричными относительно оси,
если при повороте одной из них вокруг этой оси на 180° она
совмещается с другой.
Из этого определения
следует:
1. Дее точки,
симметричные от¬
носительно какой-
либо оси, лежат
на прямой, перпен¬
дикулярной к этой
оси и пересекающей
её в точке, служа¬
щей серединою отрезка прямой, соединяющей данные
точки.
48
Действительно, пусть дана точка А. Чтобы построить точку А
симметричную А относительно оси а (черт. 54), проведём через
точку А плоскость Mt перпендикулярную к оси а и обозначим
через О точку её пересечения с этой осью. Соединим О с А.
Тогда, очевидно, О A J_ а. После поворота точки А вокруг оси а
на 180° точка А займёт положение А' на прямой ОЛ, причём
ОА = ОА.
2. Каждая тонка оси симметрии симметрична сама
себе.
3. Каждые две точки имеют бесчисленное мно¬
жество осей симметрии.
Именно, осью симметрии двух точек служит всякая прямая,
проходящая через середину отрезка прямой, соединяющей эти
точки и перпендикулярная к этой прямой. Все эти оси, оче¬
видно, лежат в одной плоскости, перпендикулярной к прямой,
соединяющей данные точки.
4. Две точки, симметричные относительно какой-
либо оси, одинаково удалены от любой точки этой оси.
Действительно, пусть С — какая-либо
точка оси симметрии а точек А и А'
(черт. 55). Прямоугольные треугольники
ЛОС и А'ОС равны (по двум катетам),
а потому АС = АС.
Имеет место и обратное предложение:
5. Если какая-либо точка оди¬
наково удалена от двух данных
точек, то она лежит на одной из
осей симметрии этих точек. д
Действительно, пусть дано, что ЛС =
= АС. В таком случае треугольник АСА —
равнобедренный. Его высота СО, очевидно,
служит осью симметрии точек А и А. Черт. 55.
§ 48. Осевая симметрия прямых.
Теорема. Если две точки одной прямой симмет¬
ричны двум точкам другой прямой относительно
некоторой оси, то и все точки первой прямой сим¬
метричны точкам второй прямой относительно той
же оси.
Дано, что точки А к В симметричны соответственно точ¬
кам А и В* относительно оси а. Требуется доказать, что для
каждой точки прямой АВ есть симметричная ей точка на пря¬
мой АВ’ (черт. 56).
4 Элементарн. геометрия, ч. II 49
Возьмём на прямой АВ какую-либо точку С (например, между
точками Л и В), построим точку С', симметричную С относи¬
тельно а, и докажем, что С лежит на прямой А'В'.
Точки Л', В' и С' полу¬
чаются поворотом точек Л, Я
и С вокруг оси а на угол 180°.
При таком повороте расстояния
между этими точками не ме¬
няются, т. е. АВ = А'В\
ВС=В'С и АС = А'С'
(§ 33). Но так как точки
А, В и С лежат на одной
прямой, то
АВ-\-ВС = АС\
а потому, в силу написанных равенств, имеем:
А'В1 + В'С' = А'С'.
Из этого равенства следует, что точки Л', В' и С' также
лежат на одной прямой, т. е. точка С лежит на прямой А'В'.
Две прямые называются симметричными относительно
оси, если все точки одной прямой симметричны всем точкам
другой относительно этой оси.
§ 49. Осевая симметрия плоскостей.
Теорема. Если три, не лежащие на одной прямой,
точки одной плоскости симметричны трем точкам
другой относительно какой-либо оси, то и все точки
этой плоскости симметричны точкам другой пло¬
скости относительно той же оси.
Эта теорема доказывается совершенно так же, как теорема
о плоскостях, симметричных относительно плоскости (§ 39), и
теорема о плоскостях, симметричных относительно центра (§ 45).
Доказательство учащиеся легко проведут сами по образцу
доказательств §§ 39 и 45.
Если все точки одной плоскости симметричны точкам другой
относительно какой-либо оси, то эти плоскости называются сим¬
метричными относительно этой оси.
Из предыдущего следует, что
если три, не лежащие на одной прямой, точки одной
50
плоскости симметричны трём точкам другой плоскости
относительно какой-либо оси, то данные плоскости симмет¬
ричны относительно этой оси.
§ 50. Осевая симметрия пространственных фигур.
Если для каждой точки данной фигуры построить точку, ей
симметричную относительно какой-либо оси, то все построенные
таким образом точки образуют новую фигуру, которая назы¬
вается фигурой, симметричной
данной относительно этой оси.
Фигура, симметричная данной
относительно какой-либо оси, при
повороте на 180° вокруг этой
оси совмещается с данной фигурой.
Следовательно,
всякие две фигуры, сим-&4
метричные относительно какой-
либо оси, равны между собою.
Задача. Построить фигуру,
симметричную данной треугольной
пластинке ABC относительно дан¬
ной оси а.
Решение. Из точек А, В и С
(черт. 57) опускаем перпендикуляры
Черт. 57.
А01У В02, С03 на ось а и продолжаем их за точки Ог,
такое же расстояние: 01А' = А01, 02В' = В02,
на
0*у 0$
олс — С03.
Тогда /\А'В'С' будет симметричен Д АБС относительно
оси а.
§ 51. Фигуры, имеющие ось симметрии.
Если для каждой точки данной пространственной фигуры
есть симметричная ей относительно некоторой оси тдчка той же
самой фигуры, то говорят, что данная фигура имеет ось сим¬
метрии второго порядка.
При повороте вокруг этой оси на 180° данная фигура сов¬
мещается сама с собою.
Название „ось симметрии второго порядка* объясняется тем,
что при полном обороте вокруг этой оси фигура в процессе
вращения будет дважды принимать положение, совпадающее
с исходным (считая и исходное).
4* 51
Примером фигуры, имеющей ось симметрии второго порядка,
может служить, например, параллелограм: осью его симметрии
второго порядка служит
прямая, проходящая
через его центр и
перпендикулярная к его
плоскости (черт. 58).
Пространственные
фигуры, имеющие ось
симметрии второго по¬
рядка, весьма часто
встречаются в природе
и в обыдённой жизни.
Так, стволы деревьев
и стебли многих рас¬
тений имеют ось симметрии второго порядка (ось * ствола или
стебля).
§ 52. Оси симметрии высших порядков.
Возможны случаи, когда фигура приходит в совмещение
с исходным положением после поворота вокруг некоторой оси
на угол, меньший
180°.
Таким образом,
когда фигура сде¬
лает полный оборот
вокруг этой оси, то
в процессе вращения
она несколько раз
совместится со сво¬
им исходным поло¬
жением. Такая ось
вращения называет¬
ся осью симметрии
высшего порядка.
Порядком оси сим¬
метрии называется
число положений фигуры, совпадающих с исходным (считая и
исходное). Например, правильный треугольних имеет ось сим¬
метрии третьего порядка: этой осью служит прямая, перпен¬
дикулярная к плоскости этого треугольника и проходящая через
его центр (черт. 59).
52
§ 53. Зависимость между различными видами симметрии
пространственных фигур.
Между различными видами симметрии пространственных фигур:
осевой, плоскостной и центральной — существует зависимость, вы¬
ражаемая следующей теоремой.
Теорема. Если точка А симметрична точке А' отно¬
сительно плоскости Р и в то же время симметрична точ¬
ке А" относительно точки О, лежащей в плоскости Р, то
точки А' и А" симметричны от¬
носительно оси, проходящей
через точку О и перпендикуляр¬
ной к плоскости Р.
Пусть В точка пересечения
отрезка АА' с плоскостью Р (черт.60).
Проведём плоскость через точки
А, А' и О. Эта плоскость будет пер¬
пендикулярна к плоскости Р, так
как проходит через прямую АА',
перпендикулярную к этой плос¬
кости. На плоскости АА'О прове¬
дём прямую ОН, перпендикулярную
к ОВ. Эта прямая ОН будет пер¬
пендикулярна и к плоскости Р.
Пусть далее С—точка пересечения
прямых А'А" и ОН.
В треугольнике- АА'А" отрезок
ВО соединяет середины сторон АА'
и АА"; следовательно, ВО || А'А". Но ВО _]_ ОН, значит, А'А" \_ОН.
Далее, так как О— середина стороны АА" и СО || АА\ то Л'С — А"С.
Отсюда заключаем, что точки А' и А" симметричны относительно
оси ОН.
Следствие. Если все точки какой-либо фигуры F симмет¬
ричны точкам фигуры F’ относительно плоскости Р и в то же
время симметричны точкам другой фигуры F" относительно
точки О, лежащей в плоскости Р, то фигуры F и F" симметричны
относительно оси, проходящей через точку О и перпендикулярной
к плоскости Р.
Черт
IV. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ ВТОРОЙ.
1. Доказать, что всякая прямая, лежащая в плоскости симметрии
двух данных пересекающихся прямых aub, составляет с этими прямыми
равные углы.
2. Доказать, что две плоскости М и М', симметричные одна другой
относительно третьей плоскости Р, или пересекаются по прямой, лежа¬
щей на плоскости Р, или параллельны между собою.
3. Доказать, что угол между двумя прямыми равен углу между
прямыми, им симметричными относительно данной плоскости (или
данной оси, или данной точки).
4. Даны: плоскость М и прямая а, пересекающая М в точке А.
Доказать, что прямая а', симметричная а относительно М, проходит
через- А.
5. Даны: плоскость М и прямая а || М. Доказать, что прямая а'}
симметричная а относительно М, параллельна М.
53
6. Доказать,что две прямые, симметричные относительно какой-либо
плоскости, лежат в одной плоскости (т. е. или пересекаются, или па¬
раллельны).
7. Доказать, что две прямые, симметричные относительно данной
плоскости, одинаково наклонены к этой плоскости, а симметричные от¬
резки этих прямых равны между собою.
8. Доказать, что если фигура имеет ось симметрии порядка п=.п\пъ
где riiи щ— целые числа, то она имеет также оси симметрии порядка П\
и порядка л2.
9. Найти геометрическое место точек, симметричных данной точ¬
ке А относительно всех точек данной прямой а. Отв. Прямая, парал¬
лельная а.
10. Найти геометрическое место точек, симметричных данной
точке А относительно всех точек данной плоскости М, не прохо¬
дящей через А, а также относительно всех прямых, лежащих на
плоскости М. Отв. Плоскость, параллельная М.
11. Найти геометрическое место точек, симметричных данной точ¬
ке А относительно всех точек, лежащих на данной плоскости М
и одинаково удалённых от А. Отв. Окружность, лежащая в плоскости,
параллельной М.
12. Найти геометрическое место точек, симметричных данной
точке А относительно всех плоскостей, проходящих через данную
прямую а. Отв. Окружность, лежащая в плоскости, перпендикуляр¬
ной к а.
13. Найти геометрическое место точек, симметричных данной
точке А относительно всех прямых, параллельных данной прямой а.
Отв. Плоскость, перпендикулярная к а.
14. Найти геометрическое место осей симметрии двух данных
точек А и В. Отв. Плоскость, перпендикулярная прямой АВ, прохо¬
дящая через середину отрезка АВ.
15. Построить центр и плоскость симметрии двух данных точек.
16. На данной прямой а найти точку, симметричную данной точ¬
ке А относительно точки, лежащей на данной плоскости М.
17. Построить плоскость симметрии двух данных плоскостей
в случае, когда они пересекаются и когда они параллельны.
18. Построить плоскости симметрии двух пересекающихся прямых.
19. Для двух данных точек построить ось симметрии, которая
пересекала бы данную прямую:
20. Построить ось симметрии двух данных скрещивающихся
прямых.
21. Сколько плоскостей симметрии имеет правильный л-угольник?
Отв. п -f-1.
22. Сколько и какого порядка осей симметрии имеет правильный
восьмиугольник?
ГЛАВА ТРЕТЬЯ.
ДВУГРАННЫЕ И МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ.
I. ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ.
§ 54. Определение двугранного угла.
Каждая прямая, лежащая на плоскости, разделяет её на две
части. Все точки одной части лежат по одну сторону прямой,
все точки другой части — по другую сторону прямой.
54
Каждая из этих частей называется полуплоскостью, а пря¬
мая, разделяющая плоскость на две полуплоскости, называется
граничной прямой, или границей полуплоскости. Две полу¬
плоскости, имеющие общую граничную прямую, образуют фи¬
гуру, которая называется двугранным углом. Полуплоскости,
образующие двугранный угол, называются его гранями, а их
общая граничная прямая — его ребром.
Двугранный угол с гранями Р и Q и ребром а (или АВ)
обозначается PaQ (или PABQ) (черт. 61).
§ 55. Смежные и вертикальные двугранные углы.
Два двугранных угла с общим ребром и общей гранью, две
другие грани которых лежат по разные стороны от общей грани,
называются прилежащими. Таковы углы PaQ и QaR (черт. 62).
Угол PaR, образуемый не совпадающими гранями углов PaQ
и QaR, называется их суммой: PaR = PaQ-\- QaR. Два дву¬
55
гранных угла называются смежными; если они имеют одну общую
грань, а две другие их грани составляют две полуплоскости
одной и той же плоскости. Таковы углы PaQ и P'aQ (черт. 63).
Два двугранных угла называются вертикальными, если они
имеют общее ребро, и грани одного дополняют грани другого
до полных плоскостей. Таковы углы PaQ и P'aQ1 (черт. 64).
§ 56. Линейный угол двугранного угла.
Проводя через различные точки ребра двугранного угла
плоскости, перпендикулярные к этому ребру, будем получать
в сечении с гранями углы, стороны которых перпендикулярны
к ребру (§ 22). Каждый из них на¬
зывается линейным углом данного
двугранного угла (черт. 65).
Все линейные углы одного дву¬
гранного угла между собою равны.
Действительно, стороны АВ и А'В'
двух линейных углов ABC и А'В'С'
двугранного угла PaQ (черт. 65)
параллельны, так как они лежат в
одной плоскости и перпендикулярны
С' к ребру. Стороны ВС и В'С тех
же углов также параллельны. Следо¬
вательно (§ 16),
Черт. 65.
Z.ABC = Z.a'B'C.
§ 57. Равенство двугранных углов.
Два двугранных угла называются равными, если их можно
совместить один с другим.
Теорема. Если двугранные углы равны, то равны
и их линейные углы.
Дано: PaQ = P,a'Qr (черт. 66); /_АВС и /_А'В’С—ли¬
нейные углы двугранных углов PaQ и Р'a'Q'. Требуется дока¬
зать, что
Л ABC = Z. А'В'С'.
Совместив прямую а' с прямой а так, чтобы точка В' сов¬
пала с В, будем вращать второй двугранный угол вокруг ребра
а' до тех пор, пока полуплоскости Р' и Q' не совместятся
с Р и Q (это совмещение возможно, так как двугранные углы
равны). Стороны угла А'В'С' совпадут при этом со сторонами
угла ABC, так как в полуплоскостях Р и Q через точку В
56
можно провести только по одной прямой, перпендикулярной
к прямой а. Следовательно, угол А'В'С' совместится с углом
ABC. Значит,
/_АВС = /тА'В,С.
Теорема обратная. Если линейные углы двугран¬
ных углов равны, то и двугранные углы равны.
Дано: /_АВС = /_А'В'С\ М и М — плоскости этих углов;
/_АВС и /_А’В*С*—линейные углы двугранных углов PaQ
и P'a'Q'. Требуется доказать, что
PaQ = P,atQ\
Совместим углы ABC и А'В’С’; тогда плоскость М’ сов¬
местится с Ж, а прямая а' с прямой а, так как через
точку В можно провести только одну прямую, перпендикулярную
к плоскости М. Так как а' совпадёт с а и А*В' совпадёт с АВ,
то плоскость Р’ совпадёт с Я. И так как В'С совпадёт с ВС,
то плоскость Q* совпадёт с Q. Следовательно, двугранные углы
PaQ и P’a'Q" совместятся; значит, они равны.
§ 58. Измерение двугранных углов.
Двугранный угол, линейный угол которого содержит 1°, на-
ю 1
зывается двугранным углом в 1°; часть двугранного угла
в 1° называется двугранным углом в Г; этого угла назы¬
вается двугранным углом в 1". Двугранному углу в Г, оче¬
видно, соответствует линейный угол в Г и двугранному углу
в 1"— линейный угол в 1". Очевидно, что каждый двугранный
угол содержит столько градусов, минут и секунд, сколько гра¬
дусов, минут и секунд содержит его линейный угол.
Следовательно, мерою двугранного угла служит его линей¬
ный угол.
57
§ 59. Прямой двугранный угол.
Если два смежных двугранных угла равны между собою, то
каждый из них называется прямым двугранным углом.
В силу теорем § 57 прямому двугранному углу соответ¬
ствует прямой линейный угол, и обратно, прямому линей¬
ному углу — прямой двугранный. Плоскости, образующие пря¬
мой двугранный угол, называются взаимно, перпендикулярными.
§ 60. Перпендикулярные плоскости.
Теорема. Плоскость, проходящая через прямую,
перпендикулярную к данной плоскости, перпендику¬
лярна к этой плоскости.
Дано: BD J_ Р.
Требуется доказать, что плос¬
кость Q, проходящая через BD,
перпендикулярна к плоскости Р
(черт. 67).
Проведём через точку В на
плоскости Р прямую GF J^AC.
Так как BD _]_ Я, то BD _[_ GF,
следовательно, DBG=/_ DBF.
Но эти углы служат линей¬
ными углами смежных двугранных
углов, образованных плоскостями
Черт. 67. р и Q, следовательно, эти дву¬
гранные углы равны, а потому
плоскость P перпендикулярна к плоскости Q.
Теорема. Если две плоскости взаимно перпендику¬
лярны, то всякая прямая, лежащая в одной из них
и перпендикулярная к линии их пересечения, перпенди¬
кулярна к другой плоскости.
Даны две перпендикулярные плоскости Р и Q, пересекаю¬
щиеся по прямой ЛС, и прямая BF, лежащая на плоскости Р
и перпендикулярная к АС (черт. 67). Требуется доказать, что
BF ±_ Q.
Проведём на плоскости Q прямую BD АС. Тогда /DBF бу¬
дет линейным углом двугранного угла PACQ (так как по условию
BF АС и по построению BD J_ ЛС), но по условию PJ_Q,
следовательно,^/ DBF = 90°, т. е. и BF _\_BD.
А так как, кроме того, Л/7 ]_ ЛС, то BF _\_ Q.
Следствие 1. Если две плоскости взаимно перпенди¬
кулярны, то перпендикуляр, опущенный на одну плоскость
из какой-либо точки другой, весь лежит в этой плоскости.
58
В самом деле, этот перпендикуляр должен совпасть с пер¬
пендикуляром, опущенным из той же точки на линию пересе¬
чения обеих плоскостей.
Следствие 2. Если две пересекающиеся плоскости перпен¬
дикулярны к третьей
плоскости, то и линия
их пересечения пер¬
пендикулярна к той
же плоскости.
В самом деле, если
Р ± м и Q j_ М
(черт.68), то, взяв на ли¬
нии пересечения плоско¬
стей Р и Q какую-либо Черт. 68.
точку А и опустив из неё перпендикуляр на плоскость М, за¬
метим, что он должен будет лежать и в плоскости Р ив плос¬
кости Q, т. е. будет служить линией их пересечения.
И. ТРЁХГРАННЫЕ УГЛЫ.
§ 61. Определение трёхгранного угла.
Три луча, выходящие из одной точки и не лежащие в одной
плоскости, и внутренние области трёх углов, сторонами которых
служат эти лучи, образуют пространственную фигуру, называе¬
мую трёхгранным углом.
Точка, из которой выходят лучи, называется вершиной, са¬
мые лучи — рёбрами.
Через каждые два ребра трёхгранного угла проведём пло¬
скость. Части этих плоскостей, ограниченные рёбрами, назы¬
ваются гранями трёхгранного угла.
Двугранные углы, образованные каждыми двумя гранями трёх¬
гранного угла, называются его двугранными углами, а углы,
образованные каждыми двумя его рёбрами, — его плоскими
углами.
Трёхгранный угол, очевидно, имеет три грани, три ребра,
три двугранных угла и три плоских угла. Трёхгранный угол обо¬
значается четырьмя буквами: на первом месте ставится буква,
указывающая его вершину, а затем три буквы, поставленные
У трёх его рёбер, например SABC (черт. 69).
59
§ 62. Свойства плоских углов трёхгранного угла.
Теорема. Всякий плоский угол трёхгранного угла
меньше суммы двух других его плоских углов.
Дан трёхгранный угол SABC (черт. 70). Допустим, что
ASC — его наибольший плоский угол, т. е. что
ASC > AS В и ASC > BSC.
Чтобы доказать теорему, мы должны доказать, что
ASC < ASB -f ^ BSC.
Проведём в грани ASC прямую SD, образующую с SC угол,
равный углу BSC, и отложим на этой прямой отрезок SD>
равный SB. Через точки В и D проведём какую-либо плоскость,
пересекающую рёбра SA и SC в точках Л и С, и рассмотрим
образовавшиеся треугольники.
Д CSD = /\CSB,
так как / BSC — / DSC, BS = DS, SC — общая сторона.
Следовательно,
ВС = CD.
В треугольнике ABC имеем:
ЛС<Л£ + ВС,
или
AD-\- DC<^AB-\-BC,
а так как DC = BC, то
AD<AB.
60
В треугольниках ASD и ASB имеем: AS — общая сторона,
SD = SB и AD<^AB. Следовательно,
Z.ASD<Z.ASB.
Прибавляя к левой части этого неравенства [DSC, а к пра¬
вой— равный ему /_BSC, получим:
ASD -f Z. DSC < Z.ASB + Z BSC,
или A SC Z ASB -j- Z BSC.
Следствие. Всякий плоский угол тргхгранного угла
больше разности двух других его плоских углов.
§ 63. Симметричные трёхгранные углы.
Если продолжить рёбра трёхгранного угла SABC за его
вершину, то продолжения этих рёбер образуют рёбра нового
трёхгранного угла S А'В'С9 (черт. 71),
симметричного данному относительно вер¬
шины S (§ 46). Все плоские и двугран¬
ные углы этого нового трёхгранного угла
равны соответствующим плоским и двугран¬
ным углам данного. Но порядок расположе¬
ния этих плоских и двугранных углов
в новом трёхгранном угле обратен порядку
расположения соответствующих углов дан¬
ного, а потому эти два симметричных
трёхгранных угла нельзя совместить один
с другим так, чтобы ребро SA совпало
с tSAf , ребро SB — с SB' и ребро SC —
с SC' (см. § 46). Следовательно, два
симметричных трёхгранных
угла нельзя назвать рав-
н ы м и. Черт. 71.
§ 64. Теоремы о равенстве трёхгранных углов.
Согласно определению равных фигур (§ 35), два трёхгран¬
ных угла называются равными между собой, если с помощью
какого-либо перемещения один из них можно совместить с другим.
Простым совмещением трёхгранных углов легко убедиться
в справедливости следующих теорем:
1. Два трёхгранных угла равны, если они имеют
по равному двугранному углу, заключённому между
двумя соответственно равными и одинаково располо¬
женными плоскими углами.
61
2. Два трёхгранных угла равны, если они имеют
по равному плоскому углу, заключённому между двумя
соответственно равными и одинаково расположен¬
ными двугранными углами.
III. МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ.
§ 65. Определение многогранного угла.
Пусть дана плоскость М и лежащий на ней какой-нибудь
простой многоугольник, например ABCDE (черт. 72). Возьмём
какую-либо точку S вне плос¬
кости М, соединим её с вер¬
шинами данного многоугольника
лучами SA, SB, SC, SD,
и продолжим эти лучи неогра¬
ниченно за точки А, Б, С, Z),
Через каждые два луча,
проходящие через соседние
вершины данного многоуголь¬
ника, проведём плоскость. Фи¬
гура, образованная частями
этих плоскостей, ограниченны¬
ми проведёнными лучами, назы¬
вается многогранным углом.
Точка S называется верши¬
ной многогранного угла, лучи SA, SB и т. д. называ¬
ются рёбрами многогранного угла, а части плоскостей, огра¬
ниченные лучами,— его гранями. Углы, образованные лучами,
ограничивающими каждую грань, называются плоскими углами
многогранного угла. Каждый многогранный угол содержит рав¬
ное число рёбер и граней, а следовательно, и плоских углов.
Многогранный угол называется выпуклым, если все его грани
лежат по одну сторону от каждой из остальных граней, неогра¬
ниченно продолженной. Очевидно, выпуклому многоугольнику
ABCDE соответствует выпуклый многогранный угол.
§ 66. Свойство плоских углов многогранного угла.
Теорема. Сумма плоских углов выпуклого много¬
гранного угла меньше 4d.
Дан выпуклый многогранный угол SABCDE (черт. 72). Пере*;
секая его грани какой-либо плоскостью, получаем в сечении-
выпуклый многоугольник ABCDE.
62
При каждой вершине этого многоугольника мы получаем трёх¬
гранный угол, образованный двумя гранями данного многогранного
угла и секущей плоскостью. Для каждого из этих трёхгранных
углов имеем (§ 62):
Z BCD < BCS -f SCD;
Z CDE С Z CDS + Z $°Е;
Z DEA < Z DES -f Z SEA;
z BAB < Z EAS + Z SAB.
Складывая почленно эти неравенства, мы в левой части по¬
лучим сумму углов многоугольника ABCDE, т. е. величину
2dn— Ы, где п — число сторон многоугольника; в правой части
мы, очевидно, получим сумму углов всех треугольников: ASBy
BSC и т. д., без суммы тех их углов, которые имеют вершину
в точке Sj т. е. без суммы плоских углов многогранника. Обо¬
значая эту последнюю сумму буквой S, мы после сложения всех
правых частей неравенств получим 2ап— 5. Таким образом, после
сложения наших неравенств мы получим следующее неравенство
2dn — 4d<^ 2dn — S.
Отсюда следует, что S<^4d.
IV. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ ТРЕТЬЕЙ.
А. Доказать теоремы.
1. Вертикальные двугранные углы равны между собой.
2. Сумма двух смежных двугранных углов равна двум прямым
двугранным углам.
3. Плоскости, делящие пополам два смежных двугранных угла,
взаимно перпендикулярны.
4. Двугранные углы с параллельными гранями или равны, или
составляют в сумме два прямых двугранных угла.
5. Если грани одного двугранного угла перпендикулярны граням
другого, а рёбра их параллельны, то эти углы или равны, или состав¬
ляют в сумме два прямых двугранных угла.
6. Две плоскости М и М!, пересекающиеся по прямой а и симмет¬
ричные одна другой относительно третьей плоскости Я, образуют
с плоскостью Р равные двугранные углы.
Указание. Взять на плоскости М произвольную точку А и
построить симметричную ей точку А* на плоскости М'. Прямая АА а.
Через АА' провести плоскость В сечении плоскости Q с плос¬
костями 7И, М' и Р образуются линейные углы двугранных углов.
Легко заметить равенство этих линейных углов.
7. Плоскость, перпендикулярная к одной из двух параллельных
плоскостей, перпендикулярна и к другой.
8. Прямая и плоскость, перпендикулярные к одной плоскости,
параллельны.
63
9. Сумма трёх двугранных углов, образованных тремя плоскостя¬
ми, пересекающимися по параллельным прямым, равна двум прямым
двугранным углам.
10. Прямая, соединяющая проекции какой-либо точки на грани
двугранного угла, перпендикулярна к его ребру.
11. Прямая, соединяющая точки, симметричные данной относитель¬
но граней двугранного угла, перпендикулярна к его ребру.
12. Если в трёхгранном угле два плоских угла прямые, то и про¬
тивоположные им двугранные углы также прямые.
13. Если в трёхгранном угле все плоские углы прямые, то и все
двугранные углы прямые.
14. Трёхгранный угол, плоские углы которого прямые, пересе¬
чён плоскостью. Доказать, что ортоцентр треугольника сечения слу¬
жит проекцией вершины трёхгранного угла на секущую плоскость.
Указание. Доказательство основывается на теореме о трёх
перпендикулярах.
15. Прямой трёхгранный угол SABC (т. е. такой, у которого все
плоские углы прямые) пересечён плоскостью Р, встречающей его
рёбра в точках А, В и С.
Доказать, что: 1) площадь каждого из треугольников SBC, SCA,
SAB есть средняя пропорциональная между площадью проекции этого
треугольника на плоскость Р и площадью треугольника ABC;
2) сумма квадратов площадей треугольнков SBC, SCA, SAB равна
квадрату площади треугольника ABC.
16. Плоскости, делящие пополам двугранные углы трёхгранного
угла, проходят через одну прямую.
Указание. Точки, принадлежащие прямой пересечения двух
таких плоскостей, одинаково, удалены от всех трёх граней.
17. Плоскости, перпендикулярные к граням трёхгранного угла и
проходящие через равноделящие этих граней, проходят через одну
прямую.
Указание. Точки, принадлежащие прямой пересечения двух
таких плоскостей, одинаково удалены от их трёх рёбер.
18. Три плоскости, проходящие через каждое ребро и равноделя-
щую противолежащего ему плоского угла, проходят через одну
прямую.
Указание. На рёбрах данного угла от его вершины отложить
равные отрезки и через их концы провести плоскость. Она пересе¬
чёт три проведённые плоскости по медианам треугольника сечения.
19. Плоскости, проходящие через рёбра трёхгранного угла пер¬
пендикулярно к противоположным граням, проходят через одну
прямую.
У казани е. Провести плоскость, перпендикулярную к линии
пересечения двух таких плоскостей. Рассмотреть треугольник сече¬
ния и применить теорему о трёх перпендикулярах.
Б. Геометрические места.
20. Найти геометрическое место точек, равноудалённых от граней
двугранного угла. Отв. Полуплоскость, делящая двугранный угол
пополам.
21. Найти геометрическое место точек, отношение расстояний
которых от граней двугранного угла равно данной величине. Отв.
Полуплоскость, имеющая своей границей ребро двугранного угла.
64
22. Наьти геометрическое место точек, сумма или разность рас¬
стояний которых от двух данных пересекающихся плоскостей равна
данной величине. Отв. Две пары плоскостей, параллельных плоскос¬
тям. делящим пополам двугранные углы между данными плоскостями.
23. Найти геометрическое место точек, находящихся на данных
расстояниях от граней двугранного угла. Отв. Прямая, параллель¬
ная ребру двугранного угла.
24. Найти геометрическое место точек, равноудалённых от граней
двугранного угла и находящихся на данном расстоянии от данной
плоскости. Отв. Прямая линия или две прямые линии, или геомет¬
рическое место не существует.
25. Найти геометрическое место прямых, проходящих через дан¬
ную точку и одинаково наклонённых к граням данного двугранного
угла. Отв. Плоскость.
26. Найти геометрическое место ортоцентров треугольников, по¬
лучаемых в сечении трёхгранного угла параллельными плоскостями.
Отв. Прямая, проходящая через вершину угла.
27. Найти геометрическое место центров тяжести треугольников,
получаемых в сечении трёхгранного угла параллельными плоскостями.
Отв. Прямая, проходящая через вершину угла.
28. Найти геометрическое место центров окружностей, описан¬
ных около треугольников, получаемых в сечении трёхгранного угла
параллельными плоскостями. Отв. Прямая, проходящая через верши¬
ну -угла.
29. Найти геометрическое место точек, равноудалённых от граней
трёхгранного угла. Отв. Прямая, проходящая через вершину угла.
30. Найти геометрическое место точек, равноудалённых от рёбер
трёхгранного угла. Отв. Прямая, проходящая через вершину угла.
31. Найти геометрическое мссто точек, расстояния которых от
трёх граней данного трёхгранного угла пропорциональны трём данным
числам. Отв. Прямая, проходящая через вершину угла.
В. Задачи на построение.
32. Построить двугранный угол, линейный угол которого дан.
33. Построить линейный угол данного двугранного угла.
34. Данный двугранный угол разделить пополам.
35. Через точку пересечения *двух данных прямых провести пло¬
скость, одинаково наклонённую к этим прямым.
36. Через данную точку провести плоскость, параллельную ребру
двугранного угла и одинаково наклонённую к его граням.
37. Через данную прямую провести плоскость, одинаково накло¬
нённую к граням данного двугранного угла.
38. На гранях двугранного угла даны две точки А и В. Найти на
ребре угла точку, равноудалённую от А и В. Рассмотреть случаи:
1. Точки А и В лежат на одной грани.
2. Точки А и В лежат на разных гранях.
39. На каждой грани двугранного угла взято по одной точке.
Найти на ребре угла такую точку, чтобы прямые, соединяющие её
со взятыми точками на гранях, были взаимно перпендикулярны.
40. Построить трёхграниый угол, симметричный данному относи¬
тельно одного из его рёбер.
41. Построить трёхгранный угол, если даны один из его двугран¬
ных углов и плоские углы, лежащие в гранях, образующих этот
двугранный угол.
42. Построить трёхгранный угол, если даны два его двугранных
угла и плоский угол, принадлежащий их общей грани.
5 Элементарн. геометрия, ч. II 65
43. Построить трёхгранный угол, если даны три его плоских угла.
44. Построить трёхгранный угол, если даны три его двугранных
угла.
45. Через вершину трёхгранного угла провести плоскость, оди¬
наково наклонённую ко всем трём его рёбрам.
46. Через вершину трёхгранного угла провести плоскость, одина¬
ково наклонённую ко всем его граням.
47. Пересечь грани данного выпуклого четырёхгранного угла
плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограм.
Отв. Искомая плоскость параллельна прямым пересечения про¬
тивоположных граней данного четырёхгранного угла.
Г. Задачи на вычисление.
48. Определить величину двугранного угла, зная, что прямая,
соединяющая точ'ки, симметричные данной относительно его граней,
пересекает его ребро. Отв. Двугранный угол—прямой.
49. На грани двугранного угла взяты две точки, расстояния кото¬
рых от второй грани равны 5 см и 8 см. Расстояние второй точки
от ребра двугранного угла равно 16 см. Определить расстояние пер¬
вой точки от того же ребра. Отв. 10 см.
50. Линейный угол двугранного угла равен 30°. На каком рас¬
стоянии от ребра угла находится точка, лежащая на одной его грани
и отстоящая от другой грани на расстоянии 7 см? Отв. 14 см.
51. Концы отрезка АВ = 15 см находятся на двух гранях прямо¬
го двугранного угла и отстоят от его ребра на расстоянии ААХ = 10 см
и 5^ — 11 см. Определить величину проекции отрезка АВ на ребро
двугранного угла (т. е. длину отрезка АХВХ). Отв. 2 см.
52. Линейный угол двугранного угла равен 60°. В одной его грани
взята точка А, в другой—точка В. Проекция Ах точки А на вторую
грань отстоит от ребра на а см, а проекция Вг точки В на первую
грань отстоит от ребра на b см. Вычислить длину отрезка АВ, зная,
что длина его проекции на ребро равна 2d см. Отв. 2Уаг—ab + £2 + d2.
53. Сколько граней может содержать выпуклый многогранный
угол, если каждый его плоски^ угол содержит 1) 45°? *2) 60°?
Отв. 1) 3, 4, 5, 6, 7. 2) 3, 4, 5.
ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ.
МНОГОГРАННИКИ.
I. ОБЩИЕ СВОЙСТВА МНОГОГРАННИКОВ.
§ 67. Определения.
Геометрическое тело, поверхность которого состоит из частей
плоскостей, ограниченных простыми многоугольниками, называется
многогранником. Таков, например, куб.
Части плоскостей, ограничивающие многогранник, называются
его гранями.
63
Для краткости обычно говорят: „гранями многогранника слу¬
жат многоугольники". Стороны этих многоугольников называются
рёбрами многогранника. Каждое из них служит общею стороною
двух многоугольников, принадлежащих двум соседним граням. Грани
многогранников, проходящие через одну его вершину, образуют
многогранный угол. Вершины этих многогранных углов называ¬
ются вершинами многогранника, их двугранные углы — дву¬
гранными углами многогранника, их плоские углы — плоскими
углами многогранника.
Отрезок прямой, соединяющий две вершины многогранника,
не принадлежащих одной грани, называется диагональю много¬
гранника. Плоскость, проходящая через три вершины многогранника,
не принадлежащих одной грани, называется диагональной плос¬
костью, а сечение её с поверхностью многогранника — диаго¬
нальным сечением.
§ 68. Выпуклые многогранники.
Многогранник называется выпуклым, если все его грани лежат
по одну сторону от каждой из его граней, неограниченно продол¬
женной. Если пересечь выпуклый много¬
гранник плоскостью, то в сечении всегда
получится выпуклый многоугольник, сто¬
роны которого лежат на поверхности мно¬
гогранника. Наименьшее число граней
многогранника равно четырём. Действи¬
тельно, в вершине многогранника сходится
не меньше трёх граней, — они образуют
трёхгранный угол. Чтобы получить много¬
гранник, необходимо провести ещё одну
плоскость, пересекающую все три грани Черт. 73.
трёхгранного угла. Эти четыре плоскости
будут ограничивать многогранник с наименьшим числом граней
(черт. 73). Он имеет четыре грани, четыре вершины и шесть рё¬
бер и носит название тетраэдра, или треугольной пирамиды.
§ 69. Соотношение между числом плоских углов
многогранника и числом его рёбер.
Теорема. Число плоских углов многогранника вдвое
больше числа его рёбер.
На каждой грани многогранника число его плоских углов
равно числу углов многоугольника, ограничивающего эту грань.
Но каждое ребро многогранника служит общей стороной двух
многоугольников, ограничивающих соседние грани. А потому число
5* 67
рёбер многогранника вдвое меньше числа сторон многоуголь¬
ников, ограничивающих каждую грань в отдельности. Если число
рёбер многогранника равно k, то число сторон всех отдельно
взятых многоугольников равно 2k. Но число сторон каждого
многоугольника равно числу его углов. А эти углы и составляют
плоские углы многогранника.
Следовательно, число плоских углов многогранника равно 2к.
Следствия. 1. Число плоских углов многогранника всегда
чётное.
2. Если в каждой вершине многогранника сходится по оди¬
наковому числу р рёбер и если е — число его вершин, то
ер —2k.
Действительно, число плоских углов при каждой вершине
многогранника равно числу сходящихся в ней рёбер. Следователь¬
но, число всех плоских углов многогранника этого вида равно ер.
3. Если все грани многогранника образованы многоуголь¬
никами с одинаковым числом п сторон и / — число граней,
то fn = 2k.
Действительно, число плоских углов, лежащих в одной грани,
равно числу п сторон многоугольника, образующих эту грань.
Следовательно, число всех плоских углов многогранника этого
вида равно fn.
§ 70. Соотношение между суммой плоских углов
многогранника и числом его рёбер и граней.
Теорема. Сумма плоских углов многогранника с чис¬
лом рёбер k и числом граней f равна 4d (k— f).
Дан многогранник, имеющий / граней и k рёбер, причём
гранями многогранника служат многоугольники с числом сторон:
в одной грани nv в другой я2, в третьей я3, и т. д.
По теореме § 69:
п\ я2 4"~ пз =
Сумма углов первого многоугольника равна 2dnA — 4d, вто¬
рого 2dn,2 — 4d, третьего 2dn3 — 4d и т. д. Сумма всех этих
углов равна:
2d (пЛ 4- я? + пч + . . .) — 4d — 4d — 4d — ... — 4d =
= 2d-2k-Adf=*d(k-f).
§ 71. Теорема Эйлера о выпуклых многогранниках.
Теорема. Если f—число граней выпуклого много¬
гранника, е—число его вершин, k — число его рёбер,
то е — k-\-f= 2.
68
Возьмём вне данного многогранника какую-либо точку Sy не
лежащую ни на одной из плоскостей его граней и ни на одной
из его диагональных плоскостей, и проведём из неё лучи ко
всем вершинам и ко всем точкам рёбер данного • многогранника.
Пересекая всю совокупность этих лучей плоскостью /И, не
проходящей через мы получим в сечении многоугольную фигуру,
которая называется центральной проекцией многогранника.
Эта фигура ограничена выпуклым многоугольником Р (с не¬
которым числом п сторон). Стороны его являются проекциями
некоторых п рёбер многогранника, а вершины — проекциями не¬
которых п его вершин. Остальные е—п вершин многогранника
и k— п его рёбер проектируются на плоскость М внутрь много¬
угольника Р и образуют вершины и стороны выпуклых много¬
угольников, лежащих внутри многоугольника Р.
Подсчитаем сумму плоских углов данного многогранника. По
теореме § 70 она равна 4d(k — /). С другой стороны, ту же сумму
можно выразить через углы той многоугольной фигуры, которая
получена в плоскости М.
Сумма углов многоугольника определяется лишь числом его
сторон и поэтому, при проектировании многоугольника на другую
плоскость, эта сумма не меняется. Поэтому сумма всех плоских
углов данною многогранника равна сумме проекций этих углов
на плоскость М. Эту последнюю сумму можно подсчитать так:
внутри многоугольника Р имеется е — п проекций вершин много¬
гранника, сумма углов при каждой из них равна 4d, а следова¬
тельно, сумма всех углов с вершинами внутри многоугольника
Р равна 4d(e — п).
Сумма углов многоугольника Р равна 2dn— 4d, но так как
при каждой вершине многоугольника Р проектируются плоские
углы с двух сторон многогранника (верхний и нижний), то сумма
проекций всех этих углов равна (2dn — 4*/) *2. А поэтому сумма
проекций всех плоских углов многогранника равна
4d (е — п) -f- (2dn — 4d) 2 = 4de — 8d = 4d (e — 2).
Этой же величине равна сумма всех плоских углов многогран¬
ника. Сравнивая эту формулу с найденной ранее, будем иметь:
4d (е — 2) = 4d (k—f).
Отсюда,
е— 2 — k — /
или
e — k+f=2.
69
II, ПРИЗМА.
§ 72. Общие свойства призмы.
Призмой называется многогранник, две грани которого парал¬
лельны, а остальные грани пересекаются по параллельным пря¬
мым. Построить такой многогранник можно следующим образом:
возьмём какой-либо многоугольник ABCDE
и через все его вершины проведём прямые,
параллельные между собою и не лежащие
в плоскости многоугольника. Через каждые
две прямые, проходящие через две соседние
вершины многоугольника, проводим плос¬
кость и всю совокупность построенных
плоскостей пересечём плоскостью, парал¬
лельной плоскости многоугольника. Геомет¬
рическое тело, ограниченное всеми построен¬
ными плоскостями, и будет призмой. Такова
С призма ABCDEAlB1ClD1E1 (черт. 74).
Коротко обозначим её AD^. Много¬
угольники ABGDE и A1BlClD1ElJ лежа-
Черт. 74. щие в параллельных плоскостях, называ¬
ются основаниями призмы, остальные гра¬
ни призмы называются боковыми гранями, а рёбра, по которым
они пересекаются, называются боковыми рёбрами. Отрезок
прямой, перпендикулярной к плоскостям оснований призмы, заклю¬
чённый между этими плоскостями, называется высотой призмы.
Из способа построения призмы легко усмотреть следующие её
свойства.
1. Основаниями призмы служат два равные много¬
угольника, соответственные стороны которых парал¬
лельны.
2. Боковыми гранями призмы служат параллело-
грамы.
§ 73. Виды призм.
Призма называется треугольной, четырёхугольной и т. д.,
когда в основании её лежит треугольник, четырёхугольник и т. д.
Призма называется прямой, если её боковые рёбра перпендику¬
лярны к плоскостям её оснований. Боковыми гранями прямой
призмы служат прямоугольники. Призма называется правильной,
если она прямая и если её основаниями служат правильные много¬
угольники. В правильной призме все боковые грани — равные пря¬
моугольники. Все трёхгранные углы при вершинах оснований пра¬
вильной призмы равны чмежду собою.
70
Прямая, соединяющая центры оснований правильной призмы,
перпендикулярна к плоскостям оснований призмы и служит
осью её симметрии порядка, равного числу боковых граней призмы.
Так, правильная треугольная призма имеет ось симметрии третьего
порядка, правильная /2-угольная нризма имеет ось симметрии /2-го
порядка.
§ 74. Сечения призмы.
Плоскость, проходящая через два боковых ребра приз¬
мы, не лежащие в одной грани, называется диагональ¬
ной плоскостью, или плоскостью диагонального сечения.
Диагональные плоскости пересекают поверхность призмы по парал-
лелограмам, называемым диагональными сечениями призмы.
Таково, например, сечение АСС1А1 (черт. 74).
Диагонали этих параллелограмов называются диагоналями
призмы.
Если пересечь призму плоскостью, параллельной плоскостям
сё оснований, то в сечении призмы получится многоугольник, рав¬
ный многоугольникам, служащим основаниями призмы.
Если пересечь призму плоскостью, перпендикулярной к её боко¬
вому ре.Зру, то в пересечении с плоскостями боковых граней
получится многоугольник, называемый прямым или перпендику¬
лярным сечением призмы. ^
Легко заметить, что в сечении призмы
двумя какими-либо параллельными плоскостями,
пересекающими все боковые рёбра призмы,
получаются равные многоугольники.
§ 75. Поверхность призмы.
Поверхностью призмы называется сумма
площадей всех её граней. Боковой поверх¬
ностью призмы называется сумма площадей
всех её боковых граней.
Теорема. Боковая поверхность
призмы равна произведению перимет¬
ра перпендикулярного сечения призмы
на её боковое ребро.
Дана призма AD1 (черт. 75). Если про¬
вести плоскость перпендикулярного сечения,
то в сечении получится многоугольник
MNPQR, стороны которого перпендикулярны к боковым рёбрам
призмы. В каждой боковой гр^ни сторону этого многоугольника
можно принять за высоту параллелограма, образующего эту грань.
Тогда основанием этого параллелограма будет служить боковое
71
И
в,
1
1
N
Г' Р
1
I
/\
\
/
75.
ребро призмы. Если обозначить длину бокового ребра через /,
то площади боковых граней будут hMN, l*NPy l*PQ и т. д.,
а сумма их равна:
+ RM = l(MN+.. .+/?Л1)=/Р,
где Р — периметр перпендикулярного сечения.
Следствие. Боковая поверхность прямой призмы равна
произведению периметра её основания на боковое ребро.
§ 76. Параллелепипед.
Четырёхугольная призма, основанием которой служит параллело-
грам, называется параллелепипедом.
Теорема. Противоположные грани параллелепи¬
педа равны между собой, а плоскости их параллельны.
М
Черт. 76а.
Дан параллелепипед ABCDEFGH, или AG (черт. 76). Возьмём
его грани ABFE и DCGH. В этих гранях:
AB = DC, EF=HG,
как противоположные стороны параллелограмов, служащих осно¬
ваниями параллелепипеда;
BF=CG, AE = DH,
как противоположные стороны параллелограмов, составляющих
боковые грани параллелепипеда;
ABF = DCGy
как углы с параллельными сторонами. Следовательно, параллело-
грам ABFE равен параллелограму DCGH и плоскости этих па¬
раллелограмов параллельны.
72
Следствие. Каждую пару противоположных граней
параллелепипеда можно принять га его основания.
Теорема. Все диагонали параллелепипеда пересека¬
ются в одной точке и делятся при пересечении попо¬
лам.
Диагонали AG и ЕС служат диагоналями параллелограма
EGCA и в точке О делятся пополам. Диагонали AG и НВ слу¬
жат диагоналями параллелограма ABGH, и потому диагональ
НВ проходит через точку О — середину диагонали AG. Нако¬
нец, диагонали DF и НВ служат диагоналями параллелограма
DHFB и потому диагональ DF проходит через середину О диа¬
гонали НВ.
§ 77. Прямой и прямоугольный параллелепипед.
Параллелепипед, рёбра которого перпендикулярны к плоско¬
стям оснований, называется прямым.
Прямой параллелепипед, основания которого прямоугольники,
называется прямоугольным.
В прямоугольном параллелепипеде все грани — прямоугольники,
все диагонали равны.
Три ребра прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся
в одной вершине, называются его измерениями.
Теорема. Квадрат диагонали прямоугольного парал¬
лелепипеда равен сумме квадратов трёх его изме¬
рений.
Пусть ABCDEFGH — прямоугольный параллелепипед
(черт. 76 а). Из треугольника AGC имеем:
AG2 = АС2 + CG2,
но
АС2 = АВ2-{-ВС2 и CG = BF,
а потому
AG2 = АВ2 + ВС2 + BF2.
Прямоугольный параллелепипед, три ребра которого, сходя¬
щиеся в одной вершине, равны, называется кубом. Все грани
куба — равные квадраты.
III. ПИРАМИДА.
§ 78. Определения.
Если пересечь все грани многогранного угла какою-либо
плоскостью, то секущая плоскость вместе с гранями -многогран¬
ного угла будет ограничивать многогранник, называемый пира-
73
мидой. Такова пирамида SABCDE (черт. 77). Многоугольник,
получаемый в секущей плоскости, называется основанием
пирамиды.
Если основанием пирамиды служит треугольник, четырёхуголь¬
ник, ... , многоугольник, то пирамида называется соответственно
треугольной, четырёхугольной,...,
вообще многоугольной.
Треугольная пирамида является
в то же время тетраэдром (§ 68.)
Остальными гранями пирамиды
служат треугольники с общей вер¬
шиной, называемой вершиной пира¬
миды. Эти треугольники называются
боковыми гранями пирамиды. Рёб¬
ра, по которым пересекаются боко¬
вые грани пирамиды, называются её
боковыми рёбрами. Длина перпен¬
дикуляра, опущенного из вершины
пирамиды на плоскость её основания,
называется высотой пирамиды. Пирамида называется правиль¬
ной, если основанием её служит правильный многоугольник и
перпендикуляр из вершины пирамиды
на её основание проходит через центр
этого многоугольника.
Все боковые рёбра, а также все
плоские углы при вершине правильной
пирамиды, равны между собой.
Боковыми гранями правильной пира¬
миды служат равнобедренные треуголь¬
ники, равные между собою. Высота
каждого из них называется апофемою
пирамиды. Такова, например, высота SG
в треугольнике ABS (черт. 78).
§ 79. Сечения пирамиды.
Плоскость, проходящая через два несмежных боковых ребра
пирамиды, называется диагональной плоскостью, а сечение её
с поверхностью пирамиды называется диагональным сечением
пирамиды. Таково, например, сечение ACS (черт. 77).
Диагональными сечениями пирамиды служат треугольники
с общей вершиной в вершине пирамиды. Основаниями этих тре¬
угольников служат диагонали основания пирамиды. Таковы тре¬
угольники ASC и ASD (черт. 77).
74
Теорема. Если пересечь пирамиду плоскостью, па¬
раллельной её основанию, то:
1) боковые рёбра и высота пирамиды разделятся
на пропорциональные между собою
части;
2) сечение есть многоугольник,
подобный основанию;
3) отношение площадей сечения
и основания равно отношению квад¬
ратов их расстояний от вершины
пирамиды.
1. Дана пирамида SABCDE (черт. 79),
пересечённая плоскостью A1B1C1D1E1.
Проведём высоту пирамиды SP, встре¬
чающую плоскость сечения в точке Pv
и соединим точки Р и Рг соответственно^
с точками А и Av
Из подобных треугольников ASP и Черт. 79.
/IjSPj имеем:
SPi_S_Ait
SP SA ’
и так же найдём:
5^_5£i. SPi_S£i.
SP ~SB ’ SP ~SC ; SP ~~~SD
Следовательно,
SPi_SAL_SBL_SCL_
SP ~~~ SA SB SC
2. Так как секущая плоскость параллельна плоскости основа¬
ния пирамиды, то (§ 14)
ABWA&; ВС\\ВjCj...
Следовательно (§ 16),
Z.ABC=ZA1B1CVZBCD=Z.B1C1DVZCDE=Z.C1D1EV...
Так как
Д со Д ABS,
то
А\В\ /4i«S P\S
1Ш~~а5~ TsT'
Так же найдём:
В\С\ P\S # C\DX P\S
~ВС ~PS ’ ~CD ~ ~PS;
следовательно,
А\В\ В\ С\ C\DX
~АВ~~ ~ВС~ 'CD
75
S
А потому
О AXBXCXDXEX со О ABODE.
3. По теореме о площадях подобных многоугольников (Пла¬
ниметрия, § 254) имеем:
2
площ .A\BXC\D\EX А\В 1
илощ. ABCDE ~ АВ* ’
а так как
АХВХ AjS_ _ f\S_
АВ — AS ~~ PS »
то
площ. AXBXC\DXEX PjS2
площ. ABCDE PS'2 *
§ 80. Поверхность пирамиды.
Сумма площадей боковых граней пирамиды называется её
боковою поверхностью. Сумма боковой поверхности пирамиды
и площади её основания называется полной поверхностью
пирамиды. Чтобы найти боковую поверхность пирамиды, нужно
определить площадь каждой её боковой грани и взять сумму
всех полученных таким образом площадей. Если же пирамида
правильная, то её боковая поверхность может быть вычислена
проще на основании следующей теоремы.
Теорема. Боковая поверхность правильной пира¬
миды равна произведению периметра её основания
на половину апофемы.
Если а (черт. 78) — сторона основания правильной пирамиды
(АВ = а)у а / — её апофема (SG = /), то площадь боковой грани
равна ~ al, а сумма S площадей всех её боковых граней равна
у пей. Но па = Р, где Р—периметр основания, а потому
§ 81. Усечённая пирамида.
Часть пирамиды, заключённая между её основанием и секущей
плоскостью, параллельной основанию, называется усечённой пи¬
рамидой (черт. 80).
Параллельные грани усечённой пирамиды называются её
основаниями. Отрезок прямой, перпендикулярной к плоскостям
оснований усечённой пирамиды, заключённый между этими пло¬
скостями, называется высотой усечённой пирамиды. Основаниями
76
усечённой пирамиды служат подобные многоугольники (как парал¬
лельные сечения пирамиды).
Усечённая пирамида называется правильной, если основаниями
её служат правильные многоугольники и прямая, соединяющая
центры оснований, перпендикулярна
к плоскостям этих оснований.
Боковыми гранями правильной
усечённой пирамиды служат равные
между собой равнобедренные тра¬
пеции; высота каждой из них назы¬
вается апофемэй усечённой пира¬
миды .
Боковой поверхностью усечён¬
ной пирамиды называется сумма пло¬
щадей её боковых граней. Полной
поверхностью усечённой пирамиды
называется сумма её боковой поверхности и площадей основания.
Теорема. Боковая поверхность правильной усечён¬
ной пирамиды равна произведению полусуммы пери¬
метров её оснований на апофему.
Если а — сторона нижнего основания, Ь — сторона верхнего
основания, / — апофема данной усечённой пирамиды, то площадь
её боковой грани равна —Л а сумма S площадей всех боко¬
вых граней равна
a-\-b t na-\-nb
п —гг— / — 1 j
Черт. 80.
2
где п — число боковых граней, но па — Р, где Р — периметр
нижнего основания, a nb=Q, где Q — периметр верхнего осно¬
вания, а потому
s = ^i.
IV. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ.
§ 82. Общие свойства правильных многогранников.
Многогранник называется правильным, если все его грани —
равные правильные многоугольники и все его двугранные углы
равны между собой. Отсюда следует, что все плоские углы мно¬
гогранника, а также все его многогранные углы и все его рёбра
равны между собой.
Если обозначить через е — число вершин правильного много¬
гранника, /—число его граней, k — число всех рёбер, р — число
77
рёбер, сходящихся водной вершине, и п — число сторон много¬
угольника в каждой грани, то между числами е, /, &, п и р
должны иметь место следующие соотношения:
Теорема. Число рёбер, сходящихся в каждой вер¬
шине правильного многогранника, не может быть
более пяти.
Сумма плоских углов многогранного угла меньше 360° (§ 66),
а потому, если бы в какой-либо вершине правильного многогран¬
ника сходилось 6 рёбер, то и число плоских углов при этой
вершине правильного многогранника было бы равно 6, и, следо¬
вательно, каждый угол должен быть меньше 60°, что невозможно.
В самом деле: гранями правильного многогранника служат пра¬
вильные многоугольники, но правильного многоугольника, угол
которого был бы меньше 60°, не существует.
Теорема. Число сторон правильных многоугольни¬
ков, образующих грани правильного многогранника,
не может быть более пяти.
В каждой вершине многогранника сходится не меньше трёх
плоских углов, сумма которых должна быть меньше 360°, и
следовательно, каждый из них должен быть меньше 120°.
Так как угол правильного шестиугольника равен 120°, а угол
многоугольника с ббльшим числом сторон больше 120°, то
правильные многоугольники с числом сторон шесть или больше
не могут служить гранями правильного многогранника.
Так как в правильных многогранниках во всех е вершинах
сходится по одинаковому числу р рёбер и многоугольники всех
его / граней содержат по одинаковому числу п сторон, то для
всех правильных многогранников должны иметь
место равенства (§ 69, сл. 2 и 3):
ер = 2k и fn = 2k.
§ 83. Возможные виды правильных
многогранников.
1. Если гранями правильного многогран¬
ника служат треугольники, то при вершинах
могут сходиться три, четыре или пять рёбер.
Ниже будет показано, что все эти три случая действительно
могут иметь место.
В первом случае многогранник называется правильным тет¬
раэдром; он имеет 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер (см. черт. 73),
во втором — октаэдром, имеющим 8 граней, 6 вершин и 12
ргб.'р (черт. 81), в третьем — икосаэдром. Икосаэдр имеет 20 •
граней, 12 вершин и 30 рёбер (черт. 82).
78
2. Если гранями правильного многогранника служат квадраты,
то многогранник может быть только один (так как в каждой
вершине в этом случае не может сходиться более трёх рёбер).
Такой многогранник действительно существует, это — куб; он
имеет 6 граней, 8 вершин и 12 рёбер (черт. 83).
3. Если грани многогранника — пятиугольники, то многогранник
также может быть только один; он действительно существует и
носит название додекаэдра; он имеет 12 граней, 20 вершин и
30 рёбер (черт. 84).
§ 84. Существование правильных многогранников.
. Изложенные выше теоремы доказывают, что могут сущест¬
вовать не более пяти видов правильных многогранников.
Но из этих теорем ещё не следует, что все эти пять видов
правильных многогранников действительно существуют, т. е. что
можно проведением плоскостей в пространстве осуществить по¬
строение каждого из этих пяти возможных правильных многогран¬
ников. Чтобы убедиться в существовании всех указанных выше
правильных многогранников, достаточно указать способ построе¬
ния каждого из них.
Для построения куба берём произвольную плоскость Р ив
ней какой-либо квадрат; через стороны этого квадрата проводим
плоскости, перпендикулярные к плоскости Р. Таких плоскостей
будет четыре. Далее проводим плоскость Q, параллельную Р и
отстоящую от неё на расстоянии, равном стороне квадрата.
Шесть полученных плоскостей образуют грани куба; двенадцать
прямых пересечения каждой пары пересекающихся плоскостей
являются рёбрами куба, а восемь точек пересечения каждой
тройки пересекающихся плоскостей служат вершинами куба.
В этом легко убедиться непосредственно, рассматривая получен¬
Черт. 82.
Черт. 83.
Черт. 84.
§ 85. Построение куба.
79
ную совокупность точек, прямых и плоскостей. Умея построить
куб, легко найти способ построения всех других правильных
многогранников.
§ 86. Построение правильного тетраэдра.
Пусть дан куб (черт. 85). Возьмём какую-либо его вершину,
например А. В ней сходятся три грани куба, имеющие форму
Л квадратов. В каждом из этих
квадратов берём вершину, про¬
тивоположную точке А. Пусть
это будут вершины куба В, С
и D. Точки А, В, С и D слу¬
жат вершинами правильного те¬
траэдра. Действительно, каж¬
дый из отрезков АВ, ВС, CD,
AD, BD и АС, очевидно, слу¬
жит диагональю одной из гра¬
ней куба, а потому все эти
отрезки равны между собою.
Отсюда следует, что в тре¬
угольной пирамиде с вершиной
А и основанием BCD все гра¬
ни— правильные треугольники, следовательно, эта пирамида —
правильный тетраэдр. Этот тетраэдр вписан в данный куб.
Полезно заметить, что оставшиеся четыре вершины куба
служат вершинами второго правильного тетраэдра, равного пер¬
вому и также вписанному в данный
куб.
§ 87. Построение октаэдра.
Если в данном кубе построить
центры всех его граней, то шесть
полученных точек служат вершинами
октаэдра. В этом легко убедиться,
рассматривая чертёж 86.
§ 88. Построение додекаэдра.
Если через каждое из двенадцати
рёбер куба провести плоскость, ые
имеющую с поверхностью куба других общих точек, кроме точек
этого ребра, то полученные 12 плоскостей образуют грани неко¬
торого 12-гранника. Более подробное изучение формы этого
80
многогранника показывает, что можно так подобрать наклон этих
плоскостей к граням куба, что грани этого 12-гранника будут
правильными пятиугольниками, а сам 12-гранник будет додека¬
эдром (черт. 87).
Если мы умеем построить додекаэдр, то построение икосаэдра
не представляет затруднений:центры граней додекаэдра служат
вершинами икосаэдра (черт. 88.)
Все диагонали куба между собой равны (§ 77), пересекаются
в одной точке и делятся в ней пополам (§ 76). Следовательно,
точка пересечения диагоналей куба равноудалена от всех его
вершин. Эта точка называется центром куба. Легко видеть, что
других точек, равноудалённых от всех вершин, куб не имеет.
В правильном тетраэдре также существует единственная
точка, равноудалённая от всех вершин. Такой точкой будет
центр того куба, с помощью которого мы строили правильный
тетраэдр (черт. 85). То же имеет место и для октаэдра (черт. 86).
Более подробное проведение рассуждений, относящихся к до¬
декаэдру и к икосаэдру (§ 88 и § 89), показывает, что как
в додекаэдре, так и в икосаэдре также существует единственная
точка, равноудалённая от всех вершин. В додекаэдре такой
точкой будет центр того куба, с помощью которого строится
додекаэдр (черт. 87), в икосаэдре — центр соответствующего
додекаэдра (черт. 88).
Итак, во всяком правильном многограннике существует
единственная тонка, равноудалённая от всех его вершин.
Точка, равноудалённая от всех вершин правильного много¬
угольника, называется центром правильного многогранника.
6 Элементарн. геометрия, ч. II 81
§ 89. Построение икосаэдра,
Черт. 87.
Черт. 88,
§ 89а. Центр правильного многогранника,
§ 90. Самосовмещения правильных многогранников.
Благодаря тому, что в правильном многограннике все грани —
равные между собою правильные многоугольники, все плоские, а
также все двугранные углы равны, — его можно переместить
так, что одни его вершины займут место других, а весь много¬
гранник в целом сохранит прежнее положение. Если взять, на¬
пример, деревянный кубик и перенумеровать его грани, написав
на каждой грани её номер, а затем начертить на столе на листе
бумаги квадрат, равный грани кубика, то кубик можно будет
поставить на стол так, что одна его грань, например грань №5,
совместится с начерченным квадратом. Эта грань может занять
То
5
сл
9
ю
при этом 4 различных положения
же справедливо и для каждой из других граней. Так как куб
имеет 6 граней, то всего можно поставить кубик на данный
квадрат на столе 24 различными способами. Если заменять одно
из этих положений другим, то кубик будет принимать одно и
то же положение на столе, или, как говорят, будет совмещаться
сам с собой. Каждое положение многогранника, при котором он
совмещается сам с собой, называется его самосовмещением.
Получать такие самосовмещения можно различными способами,
заставляя одну вершину многогранника занимать место то одной,
то другой из остальных вершин. Полное число всех самосовмег
щений правильного многогранника, считая и исходное его поло¬
жение, определяется следующей теоремой.
Теорема. Полное число всех самосовмещений пра¬
вильного многогранника в два раза более числа его
рёбер.
Действительно, при всех возможных самосовмещениях много¬
гранника любой его плоский угол может совместиться с каждым
из других его плоских углов и с самим собою и притом только
одним способом. Следовательно, полное число всех самосовме¬
щений многогранника равно числу его плоских углов, а это
число, как было показано выше, в два раза больше числа его
рёбер (§ 69).
Таким образом, правильный тетраэдр имеет 12 самосовмеще¬
ний, куб — 24, октаэдр — 24, додекаэдр — 60, икосаэдр — 60.
§ 91. Оси симметрии правильных многогранников.
При каждом самосовмещении правильного многогранника его-:
центр не меняет своего положения, т. е. остаётся неподвижным.;
А потому, в силу теоремы Даламбера, каждое такое самосовмеще-t
ние можно осуществить вращением вокруг некоторой оси, про¬
ходящей через центр многогранника (§ 36).
Если тело совмещается само с собой вращением вокруг оси,
то эта ось называется, как мы знаем (§ 51), его осью симметрии.
Найдём все оси симметрии правильных многогранников.
Первую группу осей симметрии найдём, рассматривая
вершины многогранника. Концы всех рёбер, выходящих из одной
вершийы, лежат в одной плоскости. Это очевидно в случае тет¬
раэдра, куба, октаэдра и додекаэдра; в случае икосаэдра это
свойство можно доказать. Эта плоскость отсекает от многогран¬
ника правильную р-угольную пирамиду. Высота / этой пирамиды
служит её осью симметрии порядка р. Но при вращении пира¬
миды вокруг этой оси вместе с нею будет вращаться и весь
многогранник, и когда пирамида совместится сама с собой, и весь
многогранник придёт в самосовмещение. Отсюда следует, что
прямая / служит и для многогранника осью симметрии порядка р.
Найдём число таких осей. Если для каждой вершины много
гранника есть ей противолежащая (куб, октаэдр, додекаэдр и
икосаэдр), то прямая / проходит не только через взятую вер-.
шину, но и через вершину противолежащую.
В самом деле, вершина, противолежащая взятой, при совме¬
щении многогранника должна совместиться сама с собой, т. е.
остаться неподвижной. Значит, эта вершина лежит на прямой /.
Следовательно, прямая / соединяет противолежащие вершины.
а
Число найденных осей многогранника равно .
Таким образом, куб имеет 4 оси симметрии этого типа, окта¬
эдр— 6, додекаэдр—10, икосаэдр — 6. Для куба и додекаэдра
это будут оси 3-го порядка, для октаэдра — 4-го и для икоса¬
эдра— 5-го порядка.
В тетраэдре вершины не имеют себе противоположных, и по¬
тому для тетраэдра число осей симметрии этого типа равно пол¬
ному числу его вершин, т. е. 4. Все они будут осями 3-го по¬
рядка.
Вторую группу осей симметрии многогранника получим,
рассматривая его грани. Возьмём какую-либо его грань. Прямая
проходящая через центр этой грани и перпендикулярная к её
плоскости, очевидно, служит осью симметрии п-го порядка для
многоугольника, образующего эту грань. Но при вращении этого
многоугольника вокруг оси /' вместе с ним будет вращаться и
весь многогранник и, когда многоугольник совместится сам с со¬
бой, и весь многогранник придёт в самосовмещение. Отсюда сле¬
дует, что прямая /' служит для многогранника осью симметрии
порядка п. Определим число таких осей. Если для каждой грани
6* 83
многогранника есть ей противолежащая (куб, октаэдр, додекаэдр,
икосаэдр), то прямая V проходит через центр противолежащей
грани. В этом убедиться так же легко, как и для осей первой
группы. Следовательно, число осей этой второй группы равно -j.
Таким образом, куб имеет 3 таких оси, октаэдр — 4, доде¬
каэдр— 6, икосаэдр—10. Для октаэдра и икосаэдра это будут
оси третьего порядка, для куба — четвёртого, для додекаэдра —
пятого. Для всех четырёх многогранников—куба, октаэдра, до¬
декаэдра, икосаэдра—оси второй группы, очевидно, отличны от
осей первой группы. Иначе будет обстоять дело для тетраэдра.
В тетраэдре грани не будут иметь себе противолежащих, и по¬
тому для него число осей симметрии равно полному числу его
граней, т. е. 4.
Очевидно, эю те же самые оси 3-го порядка, которые были
найдены выше. Таким образом, для тетраэдра оси второй группы
совпадают с осями первой группы.
Наконец, третью группу осей симметрии многогранника
получим, рассматривая его рёбра. Прямая Г, проходящая через
середину ребра, перпендикулярная к нему и одинаково наклонён¬
ная к обеим прилежащим граням, очевидно, служит для много¬
гранника осью симметрии 2-го порядка. Чтобы найти число осей
этой группы, заметим, что во всех правильных многогранниках
для каждого ребра есть ему противолежащее, и так же, как и раньше,
легко убеждаемся, что прямая Г проходит не только через се¬
редину взятого ребра, но и через середину ребра противолежащего.
Отсюда следует, что число осей этой группы равно ~ . Таким
образом, тетраэдр имеет 3 оси этой группы, куб— 6, октаэдр — 6,
додекаэдр—15, икосаэдр—15. Для всех многогранников это
будут оси 2-го порядка. Для всех 5 многогранников оси
третьей группы, очевидно, отличны от осей первой и второй
групп. Все самосовмещения, получаемые вращением многогранника
вокруг найденных осей, очевидно, различны, так как они получа¬
ются вращением или вокруг разных осей, или вокруг одной оси
на разные углы.
Легко убедиться, что никаких других осей симметрии,
кроме найденных выше, правильные многогранники не имеют.
Действительно, рассмотрим вначале тетраэдр. Для него мы нашли!
4 оси симметрии 3-го порядка и 3 оси симметрии 2-го порядка.)
Вращение около каждой оси симметрии 2-го порядка даёт одно]
самосовмещение тетраэдра, отличное от исходного положения.,!
Вращение около оси симметрии 3-го порядка даёт два таких само-|
совмещения. Таким образом, вращением около найденных ocefllj
84
можно получить всего 3* 1 —j— 4-2 = 11 самосовмещений тетраэдра,
отличных от исходного положения. Вместе с исходным положе¬
нием они составляют 12 самосовмещений тетраэдра, т. е. исчер¬
пывают собой полное число его самосовмещений. А потому ни¬
каких других осей симметрии тетраэдр не имеет.
Возьмём теперь какой-либо другой правильный многогранник.
Вращение около его осей симметрии первой группы даёт (р—1)
самосовмещений многогранника, отличных от исходного. Число
таких осей равно , а потому вращения около них дают всего
£
2 (р — 1) различных самосовмещений, отличных от исходного.
Точно так же вращения около осей симметрии второй группы
дают --*(п — 1) различных самосовмещений.
Наконец, вращение вокруг каждой из осей третьей группы
даёт лишь одно самосовмещение многогранника, отличное от ис¬
ходного. Следовательно, число таких самосовмещений равно ^.
е f k
Таким образом получаем N=~(p — \)-\-~(п—1) ~ различ¬
ных самосовмещений, отличных от исходного.
Преобразуя это выражение, найдём:
Столько различных самосовмещений, отличных от исходного,
можно получить вращением около всех найденных осей. Вместе
с исходным положением они составляют 2k самосовмещений, т. е.
исчерпывают собой полное число возможных самосовмещений пра¬
вильного многогранника. Отсюда следует, что никакик других
осей симметрии правильный многогранник не имеет. Исходное по¬
ложение многогранника можно также рассматривать как самосов¬
мещение, полученное вращением вокруг какой-либо оси симметрии
на угол 0. Это вращение называется нулевым, или тождест¬
венным.
Но (§ 69 и § 71):
fn = ep — 2k и е /= /г —2,
а потому
85
Число и порядок осей симметрии и число самосовмещений
правильных многогранников представлены следующей таблицей.
Вид
многогранника
Число осей симметрии
Полное
число
самосовме¬
щений
2-го по¬
рядка
3-го по¬
рядка
4-го по¬
рядка
5-го по¬
рядка
всего
осей
тетраэдр ....
3
4
7
12
куб
6
4
3
—
13
24
октаэдр
6
4
3
—
13
24
додекаэдр ....
15
10
—
6
31
60
икосаэдр ....
15
10
6
31
60
§ 92. Свойства вращений правильных многогранников.
Рассмотрим все найденные выше вращения правильных много¬
гранников вокруг их осей симметрии. Два такие вращения счи¬
таются различными, если они дают различные самосовмещения
многогранника. Два вращения считаются равносильными, если
они дают одно и то же самосовмещение. Таковы будут, напри¬
мер, вращения вокруг одной оси, углы вращения которых раз¬
нятся на угол, кратный 360°. Значит, нулевое вращение равно¬
сильно вращению на 360°.
Таким образом, чтобы указать, какому вращению подвер¬
гается многогранник, достаточно указать, какие положения
должны занимать его вершины после вращения. Так, после вра¬
щения тетраэдра ABCD вокруг оси DDX (черт. 89) на 120°
вершина А займёт место вершины В, вершина В—место вер¬
шины С, вершина С—место вершины А, а вершина D останется.
на месте. Это коротко записывают так:
А-+В, В —С, С —Л, D—>D.
Нулевое вращение запишется так:
Л-*Л, В—* В, С-*С, D-+D.
Каждое вращение обозначают какою-либо одной буквой, на¬
пример,
SX = (A—+B, С—Л, D-—D).
Сложение вращений. Последовательное выполнение
двух вращений Sx и S2 называется сложением этих вращений
и изображается обычно в виде суммы Sj-f-S8.
86
Теорема. Сумма всяких двух вращений правиль¬
ного многогранника равносильна некоторому одному
вращению.
В самом деле, при всех вращениях многогранника его центр
остаётся неподвижным. А потому положение многогранника, за¬
нятое им после двух вращений Sk и St, приводящих его в само-
совмещение, может быть получено одним вращением вокруг оси,
проходящей через центр (теорема Даламбера), также приводя¬
щим его в самосовмещение, т. е. некоторым вращением Sm во¬
круг одной из осей симметрии.
Рассмотрим, например, два вращения тетраэдра ABCD:
5,== (Л—*£, В-+С, С —► Л, D-+D)
—> вращение вокруг оси DDX (черт. 89) и
S2 = (A -*£, В-+ Л, С—►£>, D—+C)
— вращение вокруг оси MN, проходящей через середины рёбер
АВ и CD (черт. 90). Выполним их последовательно одно за
другим.
После первого вращения вершина А перейдёт в В, а после
второго — вершина В перейдёт в А. Значит, в результате двух
87
вращений вершина А останется на месте. Вершина В после вра¬
щения Sx перейдёт в С, а С после враще ния S2 перейдёт в D.
Значит, после двух вращений вершина В перейдёт в D. Так же
легко замечаем, что после
двух вращений С перейдёт
в В и D в С. Таким обра¬
зом, два вращения St и S2
равносильны одному враще¬
нию
St + S2 = (A —Л, В —+D,
С—* В, D-+C);
это есть вращение вокруг
оси ААг, показанной на
чертеже 89.
Нулевое вращение
50 по отношению к любому
вращению Sk, очевидно, об¬
ладает свойством
^ + = и ^0 + ^ = ^.
Теорема. Сложение вращений правильного много¬
гранника подчиняется сочетательному (ассоциатив¬
ному) закону.
Возьмём три какие-либо вращения Sk, St и Sm. Докажем,
что
(Sk + St) Sm = Sfr -j- (St-f- Sm).
Сложение данных вращений можно выполнить двояко. Во-пер¬
вых, можно сначала сложить вращения Sk и Sr Они равносильны
некоторому одному вращению Sp:
Затем сложить вращения Sp и Sm. Результат можно будет запи¬
сать в форме: S -\-Sm или (^*4" $i) Во-вторых, можно
сложить два последних вращения St и Sm; они равносильны не¬
которому одному вращению Sq:
Sm — Sg-
Тогда результат можно будет записать в форме:
или Sk-{-(Sl-\-Sm).,
Так как общий результат трёх вращений будет в обоих слу¬
чаях, очевидно, один и тот же, то:
+ Si> "1“ Sm — + ^т).
Пример. Возьмём три вращения тетраэдра ABCD:
51 = (Л—►£, В—»-С, С-—Л, D —+D)
— вращение вокруг оси DDX (черт. 89);
52 —(Л —► Л, Б-^С, С—*D, D-+B)
— вращение вокруг оси ААХ\
SB — (Л —► С, С —*D, D А)
— вращение вокруг оси £#г
Составим сначала (S, S2) -f- S,, затем (^>2~j~ ^
сравним оба результата между собой.
Имеем:
^1+^2=:(Л—►С, B-+D, С—* Л, D—+B)
— вращение вокруг оси RS (черт. 90);
(Si + Sa) + 6B = (,4 —D, В-+А, С —С, D-+B)
— вращение вокруг оси CCV Далее:
52-f-SZ = (A-+C, В —+D, С —► Л, D-+B)
— вращение вокруг оси RS;
S1 + (S2 + SZ) = (A — Я, Б—► Л, С—С, D-*B)
— вращение вокруг оси ССГ Сравнивая оба результата, заме¬
чаем, что
№ + S2) “Ь = ^1 “Ь (^2 4" ^з)-
Важно ещё отметить, что переместительный закон для сло¬
жения вращений правильного многогранника не имеет места.
В этом можно убедиться на примере вращений тетраэдра. Возьмём
два вращения:
51==(Л —В, В—*С, С —► Л, D —►£>)
— вращение вокруг DDX\
$2 — (Л —►Л, В—*С, С—►£>, £> —► £)
— вращение вокруг ЛЛГ
Тогда
Sx-\-S2 = (A—+C, В —►£), С—► Л, D-+B)
— вращение вокруг оси RS (черт. 90);
S8-fSX=(A — Б, 5 —►Л, С—►D, D —С)
— вращение вокруг оси MN (черт. 90),
Следовательно,
Вращение, обратное данному. Вращение, которое
при сложении с данным вращением Sk даёт нулевое вращение,
называется обратным данному и обозначается через — Sk, так
что
+ Sk) = SQ.
Для каждого вращения существует ему обратное, именно:
вращение вокруг той же оси на тот же угол в обратную сто¬
рону или в ту же сторону на угол, дополнительный до 360°.
Так, для вращения
Sl = {A-+B, В —+С, С-*Л, D—>D)
обратное будет
— Зг = (А—+С, В —► А, С—* В, D—>D).
Нулевое вращение обратно самому себе:
S0 = S0.
§ 93. Группы вращений правильных многогранников.
Из всего изложенного выше следует, что совокупность вра¬
щений правильного многогранника обладает такими свойствами:
1. Два любые вращения из этой совокупности мож¬
но складывать, причём сумма двух вращений равно¬
сильна одному вращению, принадлежащему к этой
же совокупности:
Sk + St*=Sm.
2. Сложение вращений многогранников подчиняется
сочетательному (ассоциативному) закону:
(Sk -f- st) 4- sm = sk -f- -4- sm)>
3. В числе вращений многогранника есть нулевое,
или тождественное S0:
+ = Sk; S0-\-Sk—Sk.
4. Для каждого вращения Sk есть ему обратное
— sk:
5t + (-«S'*)=-S0.
Совокупность вращений, обладающих указанными четырьмя
свойствами, называется группой вращений, а вращения, состав¬
ляющие группу, называются элементами этой группы.
90
Таким образом, каждый правильный многогранник имеет свою
группу вращений. Группа вращений правильного тетраэдра со¬
держит 12 элементов, группа вращений куба—24 элемента,
группа октаэдра — 24, группа додекаэдра—60 и группа икоса¬
эдра — 60 элементов.
Изоморфизм групп вращений октаэдра и куба,
а также икосаэдра и додекаэдра. Группы вращений
куба и октаэдра находятся между собой в некоторой зависи¬
мости. Именно, выше было показано (§ 87), что вершины окта¬
эдра служат центром граней куба. При вращении куба вместе
с ним вращается и вписанный в него октаэдр. Так как при само-
совмещении куба центр каждой его грани совмещается с цент¬
ром другой грани, то каждая вершина вписанного октаэдра сов¬
мещается с другой его вершиной, и весь октаэдр приходит в
самосовмещение. Отсюда следует, что каждому вращению куба
соответствует своё вращение октаэдра и сумме двух враще¬
ний куба соответствует сумма двух вращений октаэдра.
Группы вращений, связанные между собой таким образом, на¬
зываются изоморфными. Таким образом, группа вращений
октаэдра изоморфна группе вращений куба. В такой же зависи¬
мости находятся и группы додекаэдра и икосаэдра. Эти группы
изоморфны между собой.
Понятие „группа" встречается не только при вращении много¬
гранников, но и при многих других операциях. Так, например, все
параллельные смещения данного тела (§ 20) образуют группу, так
как для них выполняются все четыре условия. Можно также
привести примеры групп, заимствованные из арифметики и алгебры.
Так, например, рассматривая сложение целых чисел, легко за¬
метить, что совокупность всех чётных чисел образует при этом
группу: самые чётные числа будут элементами группы. Напротив,
нечётные числа группы не образуют, так как сумма двух нечётных
чисел есть число чётное. Понятие группы является одним из основ¬
ных понятий современной математики.
V. ПОДОБНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МНОГОГРАННИКОВ.
§ 94. Определение подобного преобразования пространст¬
венных фигур.
Пространственные фигуры, так же как и плоские, можно
подвергать преобразованию подобия, которое будет, изменять
размеры фигур, не меняя их формы. Для выполнения этого
преобразования поступают следующим образом: выбирают где-
либо точку (центр подобия), которую соединяют со всеми точ¬
ками данной фигуры, и все полученные таким образом отрезки
изменяют в одном и том же отношении. Концы всех изменённых
91
таким образом отрезков образуют новую фигуру, которая яв¬
ляется результатом преобразования данной фигуры. Это преобра¬
зование называется преобразованием подобия. Точка S назы¬
вается центром подобия.
Отношение, в котором изме¬
няются все отрезки, соеди¬
няющие центр подобия с
точками данной фигуры, на¬
зывается коэфициентом по¬
добия. На чертеже 91 по¬
казано подобное преобразо¬
вание тетраэдра. Фигуры,
получаемые одна из другой
преобразованием подобия,
называются перспективно-
подобными.
§ 95. Подобие многогран¬
ников.
Если преобразование по¬
добия применить к какому-
либо многограннику, то в результате получим новый многогран¬
ник, перспективно-подобный данному, с тем же числом вершин,
рёбер и граней, что и данный.
Из способа выполнения преобразования подобия легко заме¬
тить следующие свойства двух перспективно-подобных много¬
гранников:
1. Соответственные рёбра перспективно-подобных
многогранников параллельны между собой, а их длины
находятся в одном и том же отношении, равном
коэфициенту подобия.
Действительно, если через каждое ребро данного многогранника,
например АВ (черт. 91), и через центр подобия 5 провести плос¬
кость, то преобразование подобия ребра АВ будет происходить
в этой плоскости по тем правилам, которые были изложены в
планиметрии (Планиметрия, гл. VI). Именно, отрезок АВ преоб¬
разуется в отрезок А'В', причём
А'В'\\АВ
А'В'
АВ
SA' ,
~~ SA ~k>
где k—коэфициент подобия.
92
Таким же способом найдём, что
В'С'\\ВС; C’D'WCD; ..
и
В'С _сп __
~~ CD
2. Соответственные плоские углы перспективно¬
подобных многогранников равны между собой.
Именно:
как углы с параллельными сторонами.
3. Соответственные грани двух перспективно-по¬
добных многогранников представляют собой подобные
многоугольники, а плоскости этих граней параллельны
между собой (как плоскости углов с параллельными сторонами).
4. Поверхности двух перспективно-подобных много¬
гранников пропорциональны квадратам их сходствен¬
ных ребер, или: отношение поверхности преобразован¬
ного многогранника к поверхности данного равно
квадрату коэфициента подобия.
Действительно, отношение площадей подобных многоуголь¬
ников равно отношению квадратов их сходственных сторон,
а поэтому, если Sv S2, З3, ... площади граней данного много¬
гранника, S', S'2, — площади граней преобразованного,
1г и Гх — длины двух каких-либо сходственных рёбер, входящих
в состав первой пары сходственных граней, то
где k — коэфициент подобия.
Точно так же ,
Т =
следовательно: 2
5. Соответственные двугранные и многогранные
углы двух перспективно-подобных многогранников рав¬
ны между собою.
отсюда
-f- S2 + 53 +
^1 4“ ^2 ■+■ ^3 + -
I?
93
§ 96. Подобные многогранники.
Если как-либо переместить один из двух перспективно-по¬
добных многогранников так, чтобы нарушилась параллельность
соответственных граней, то многогранники нельзя будет уже
назвать перспективно-подобными, но соотношения между их
углами, гранями и рёбрами останутся теми же, что и были до
перемещения, именно: их соответственные рёбра будут про¬
порциональными; соответственные грани будут подобны
и расположены в одинаковом порядке в обоих многогран¬
никах; их соответственные двугранные и многогранные углы
будут равны.
Такие многогранники называются подобными. Подобным
преобразованием каждого из них можно получить многогранник,
равный другому.
ГЛАВА ПЯТАЯ.
ОБЪЁМЫ МНОГОГРАННИКОВ.
I. СРАВНЕНИЕ ОБЪЁМОВ МНОГОГРАННИКОВ.
§ 97. Равносоставленные многогранники.
Совокупность всех точек, лежащих внутри многогранника,
называется его внутренней областью.
Пересекая многогранник различными плоскостями, можно
разбивать его на отдель¬
ные части, представляю¬
щие собой более мелкие
многогранники.
Перекладывая эти час¬
ти по-другому, можно
)В иногда составить из них
новый многогранник. Так,
например, если дана тре¬
угольная пирамида SABC
(черт. 92), в основании
которой лежит равнобед¬
ренный треугольник ABC
(АВ — ВС)У то, проведя
плоскость через ребро SB и высоту BD треугольника ABC, мы
разобьём пирамиду SABC на две пирамиды SABD и SCBD.
Эти две пирамиды можно приложить одну к другой, совместив
94
их грани ABD и CBD, и получить, таким образом, новый
многогранник ASXBDS (черт. 93). Этот многогранник имеет
другую форму, но составлен из тех же частей, что и данная
пирамида. Два многогранника называются равносоставленными,
если один из них можно разбить на части, из которых можно
составить другой многогранник. Таким образом, многогранник
ASXBDS и пирамида SABC — равносоставлены.
§ 98. Равносоставленные призмы.
Теорема. Каждая призма равносоставлена с пря¬
мой призмой, основанием которой служит перпенди¬
кулярное сечение данной призмы, а
высотой — её боковое ребро.
Дана призма ABCDEAXBXCXDXEX
(черт. 94) или, коротко, ADX. Возьмём
на ребре ААХ какую-либо точку Р и
проведём через неё перпендикулярное се¬
чение призмы PQRST. Продолжим боко¬
вые рёбра и боковые грани призмы за
плоскость AXBXCXDXEX и возьмём на про¬
должении ребра ААХ точку Рх так, чтобы
АХРХ было равно АР. Проведя через точку
Рх плоскость, перпендикулярную ребру AAV
получим в сечении с продолженными боко¬
выми гранями многоугольник P1Q<lRxSxTx,
равный многоугольнику PQRST. Эти два
многоугольника служат основаниями прямой
призмы PSj, боковые рёбра которой PPV
QQj,... равны боковым рёбрам ААХ, BBV ...
данной призмы.
Сечение PQRST разбивает данную
призму на два многогранника: многогран¬
ник AS и многогранник PDX. Прямая приз¬
ма PSX сечением AXBXCXDXEX также раз¬
деляется на два многогранника PDX и
Теперь легко заметить, что многогран¬
ники AS и /4jSj равны между собой. В самом деле, много¬
угольник PQRST равен многоугольнику PiQ^Ri^xTx. Боковые
рёбра призмы перпендикулярны к плоскостям этих многоуголь¬
ников. Далее, но построению,
AP — A1PV
95
и так как ВВХ== QQly то
BQ=BXQX;
так же найдём, что
CR=CXRV DS=DXSX и ЕТ = ЕХТХ.
А потому, если сдвинуть многогранник AXSX в направлении
ребра ААХ так, чтобы многоугольник PXQXRXSXTX совместился
с многоугольником PQRST, то вершины АХУ Bv Cv Dv Ех
совместятся с вершинами Л, В, С, D, Е и весь многогранник
A{SX совместится с многогранником AS.
Таким образом, обе призмы ADX и PSX составляются из рав¬
ных многогранников: общего им многогранника PSх и равных
между собой многогранников AS и AXSX.
Теорема. Если произведение трёх измерений одного
прямоугольного параллелепипеда равно произведению
трёх измерений другого, то эти параллелепипеды
равносоставлены.
Даны два параллелепипеда AG и AXGX (черт. 95), причём
Требуется доказать, что эти параллелепипеды равносоставлены.
Возможны два случая.
1. Параллелепипеды имеют по одному равному измерению,
например, АЕ = АХЕХ.
В этом случае обе части данного равенства можно разделить
на АЕ. В результате будем иметь:
§ 99. Равносоставленные прямоугольные
параллелепипеды.
Н.
G,
И
G
А
В
Черт. 95.
AB-AD-AE = A1Bx-A]DrAxEx.
АВ • AD = АХВХ' AXDX.
96
Отсюда следует (Планиметрия, § 250), что прямоугольник
ABCD равносоставлен с прямоугольником AXBXCXDV Значит,
прямоугольник AlBxCxDl можно разбить секущими прямыми на
такие части, из которых составится прямоугольник ABCD. Про*
изведя это разбиение, мы через все секущие прямые проведём
плоскости, перпендикулярные к плоскости прямоугольника
АхВ^СгОх. Этими плоскостями параллелепипед AXGX разобьётся
на прямые призмы. При перекладывании частей прямоугольника
AlB1ClD1 эти призмы будут переставляться и, когда из частей
прямоугольника AXBXCXD^ составится прямоугольник ABCD, из
полученных призм составится параллелепипед AG. В этом случае
теорема доказана.
2. Параллелепипеды не имеют равных измерений.
Построим вспомогательный параллелепипед A2G2 (черт. 96),
в котрром
А2Е2 = АЕ, А2В2 = А} Вх
и A2D2 определяется из равенства
А2В2 • A2D2 • А9Е2 = AB-AD-AE.
Значит,
п AB-AD'AE AD AB
2 2 А2ВгА2Ег — А2В2 9
откуда:
A2D2 АВ
~AD =AiBi
(так как А2В2 = АгВх), т. е. отрезок A2D2 определяется как
четвёртый пропорциональный к трём данным отрезкам AD, АВ,
АгВг ' '
По предыдущему, параллелепипед A2G2 равносоставлен и с
параллелепипедом AG и с параллелепипедом AXGX, так как имеет
с каждым из них по одному равному измерению.
7 Элементарн. геометрия, ч. II 97
Отсюда следует, что параллелепипеды Агйг и AG равно-
составлены. Действительно, чтобы из параллелепипеда A^GX
получить параллелепипед AG, мы сначала разобьём его на такие
части, из которых составим параллелепипед A2G2, а затем этот
последний разобьём на такие части, из которых составим парал¬
лелепипед AG.
II. ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЁМОВ МНОГОГРАННИКОВ.
§ 100. Общие принципы измерения объёмов.
Объёмом многогранника называется число, характеризующее
размер его внутренней области.
При измерении объёмов многогранников придерживаются
двух следующих принципов:
1) Объемы двух равных многогранников считаются рав¬
ными.
2) Если многогранник разбит на части, представляющие
более мелкие многогранники, то объём всего многогранника
считается равным сумме объёмов всех этих частей.
В силу этих принципов объёмы двух равносоставленных
многогранников должны считаться одинаковыми. Многогранники,
имеющие равные объёмы, называются равновеликими. Всякие
два равносоставленные многогранника — равновелики.
§ 101. Объём прямоугольного параллелепипеда.
Для простейшего случая, когда измерения прямоугольного
параллелепипеда выражаются ц е л ы м и числами, способ вычисле¬
ния объёма известен из арифметики: объём параллелепипеда равен
произведению всех трёх его измерений. Это число показывает,,
сколько кубов с ребром, равным единице, можно поместить
внутри данного параллелепипеда, целиком * заполнив его внутрен¬
нюю область. Так, если рёбра параллелепипеда равны 5 см, 7 см и
10 см, то объём параллелепипеда равен 350 куб. см\ это значит, что
внутри данного параллелепипеда, целиком его заполняя, умещают¬
ся 350 кубиков с ребром в один сантиметр, т. е. внутреннюю
область параллелепипеда можно разбить на 350 кубиков с реб¬
ром в один сантиметр.
Если все измерения прямоугольного параллелепипеда выража¬
ются дробными числами, то объём параллелепипеда такжё
равен произведению трёх его измерений (ср. Планиметрия, § 252).
Если одно или несколько измерений параллелепипеда ирра¬
циональны, то, очевидно, внутреннюю область параллелепипеда
98
нельзя разбить на кубики с ребром, равным какой-либо рацио¬
нальной доле единицы длины. Тем не менее и в этом случае
произведение трёх измерений параллелепипеда принимается за
меру его объёма.
Теорема § 99 показывает, что если два прямоугольных
параллелепипеда имеют одинаковый объём, то каждый из них
можно рассечь плоскостями на такие части, из которых
можно сложить второй параллелепипед.
Заметим, что произведение двух измерений прямоугольного
параллелепипеда равно площади одной его грани. Примем эту
грань за основание прямоугольного параллелепипеда, Тогда третье
измерение прямоугольного параллелепипеда будет служить его
высотой. А потому
объём прямоугольного параллелепипеда равен про¬
изведению площади его основания на высоту.
В частности, объём куба, ребро которого я, равен а3.
§ 102. Объём прямого параллелепипеда.
тг
1 1
1 1
F 1
1
1
1 1
1 1
1
1
—к
^ •
S
/
Дан прямой параллелепипед AG (черт. 97), основанием кото¬
рого служит параллелограм ABCD. Проведя через рёбра АЕ
и BF плоскости, перпендикулярные к
АВ, получим прямоугольный паралле¬
лепипед AQ. Примем за основания дан¬
ного параллелепипеда AG грани AEHD Ef
и BFGC, тогда его боковые рёбра бу¬
дут EF, АВ, CD, GH.
В силу теоремы § 98 о равносо-
ставленных призмах, параллелепипеды
AG и AQ будут равносоставлены и,
значит, равновелики. Но объём паралле¬
лепипеда AQ будет равен AB*AS*AE.-4
Заметим теперь, что, так как
ASj^AB, то произведение AB*AS
равно площади параллелограма ABCD. Ребро же АЕ служит
высотой параллелепипеда AG. Следовательно, объём прямого
параллелепипеда равен произведению площади его осно¬
вания на высоту.
§ 103. Объём наклонного параллелепипеда.
Дан наклонный параллелепипед АСЛ (черт. 98). Проведя через
какую-либо точку М ребра ВС плоскость, перпендикулярную
к этому ребру, получим перпендикулярное сечение MNPQ. При-
7* 99
В
Черт. 97.
мем за основание параллелепипеда АС\ грань АВВгАг. Тогда его
боковые рёбра будут ВС, ВХСЛ, AD, AXDV
В силу теоремы о равносоставленных призмах, объём парал¬
лелепипеда АСг равен объёму прямого параллелепипеда, основа¬
нием которого служит параллело-
грам MNPQ, а высотой — ребро
ВС, т. е. произведению площади
параллелограма MNPQ на ВС. Но
площадь MNPQ равна QM*SRy
где SR—высота параллелограма
MNPQy опущенная на сторону
MQ, т. е. SR _L MQ.
А потому,
объём ACj = ВС • QM • SR.
Теперь заметим, что QM J_ ВС
(так как ВС плоскости MNPQ).
Следовательно, произведение
BC»MQ есть площадь параллелограма ABCD.
Рассмотрим теперь отрезок SR. По построению
Кроме того, SR лежит в плоскости MNPQ, перпендикулярной
к ребру jВС, а потому SR J_ ВС.
Отсюда следует, что SR пл. ABCD. Значит, отрезок SR
служит высотой данного параллелепипеда ЛСГ А потому
объём наклонного па¬
раллелепипеда равен про¬
изведению площади его
основания на высоту.
§ 104. Объём треугольной
призмы.
Дана треугольная призма
АВСА1В1С1 (черт. 99). Про¬
ведя через ребро ААг плос¬
кость, параллельную грани ВС1У
а через ребро ССг—плоскость,
параллельную грани ВАг, и
продолжив плоскости основа¬
ний, получим параллелепипед
ACV в котором грань данной призмы АСг служит диагональ¬
ным сечением, разбивающим параллелепипед на две треугольные
призмы.
100
С, D,
В А
Черт. 99.
Черт. 98.
Легко заметить, чти эти призмы равновелики. В самом деле,
проведём перпендикулярное сечение MNPQ. Тогда первая приз¬
ма равновелика прямой призме, основанием которой служит тре¬
угольник MNP, а высотой ребро ААХ. Вторая призма равно¬
велика прямой призме, основанием которой служит треугольник
MQPy а высотой ребро ААХ. Эти две прямые призмы равны между
собою, так как вследствие равенства треугольников MNP и
MQP и перпендикулярности их боковых рёбер к плоскости
основания эти призмы, очевидно, можно совместить одну с дру¬
гой. Но сумма объёмов этих прямых призм составляет объём
прямого параллелепипеда с основанием MNPQ и высотой AAV
равновеликого параллелепипеду АСХ. Отсюда следует, что объём
данной призмы равен половине объёма параллелепипеда ACV
т. е. половине произведения площади ABCD на высоту призмы.
Но половина площади ABCD есть площадь треугольника ABC,
следовательно,
объём треугольной призмы равен произведению
площади её основания на высоту.
§ 105. Объём многоугольной призмы.
Дана многоугольная призма АСХ (черт. 100). Проведя через
ребро ААХ диагональные плоскости ААХСХС> AAxDxDy мы разо¬
бьём данную призму на треугольные. Объ¬
ём каждой из них будет равен произве¬
дению площади её основания на высоту.
Но все эти треугольные призмы имеют
одну и ту же высоту, равную высоте
данной призмы АСХ. Площади же
ний в сумме составляют площадь
ния ABCDE данной призмы.
Называя эти площади через
bv а высоту призмы через Л, получим:
ооъём АС| = bxh -|“ btji —b^h = h *{bx —|—
-\- b2-\- bs) — h • пл. ABCDE. Следова¬
тельно,
объём всякой призмы равен про¬
изведению её основания на высоту.
Следствие 1. Призмы, имеющие равновеликие основания
и равные высоты, равновелики.
Следствие 2. Объём всякой призмы равняется произ¬
ведению площади перпендикулярного сечения на боковое реб¬
ро (§ 98).
101
Черт. 100.
§ 106. Объём пирамиды.
Объём пирамиды не удаётся получить так же просто, как
объём призмы. Поэтому для определения объёма пирамиды при¬
ходится прибегать к значительно более сложным приёмам, кото¬
рые могут даже показаться искусственными.
Дана треугольная пирамида SABC (черт. 101). Проведём её
высоту SD и разобьём её на п равных частей. Через точки
деления проведём плоскости, параллельные основанию ЛВС.
В сечении получим п треугольников. Площади этих треуголь¬
ников легко вычислить, зная площадь треугольника ABC.
Обозначая эту последнюю буквой b, а площади треуголь¬
ников сечений через b{, Ьг, ..bn_v считая от вершины
£ пирамиды, по теореме § 79 будем
Для каждого полученного в сечении треугольника построим
треугольную призму, приняв этот треугольник за верхнее основа¬
ние призмы, а отрезок одного из рёбер пирамиды, например
ребра SAt заключённый между соседними параллельными сече¬
ниями, за боковое ребро призмы.
Мы получим, таким образом, п— 1 треугольных призм, заклю¬
чённых. внутри пирамиды SABC, с рёбрами, параллельными ребру
SD
высота каждой из этих призм, очевидно, равна —. Объём
каждой из этих призм равен произведению площади соответ-
SD
ствующего треугольного сечения на высоту, т. е. на — .
Совокупность всех этих призм образует некоторый много¬
гранник Рп. Плоскость одной из его граней совпадает с пло¬
102
скостью ABC. Плоскости двух других совпадают с плоскостями
SAB и 5ЛС. Остальные грани образуют ступенчатую поверх¬
ность, примыкающую к грани SBC данной пирамиды.
Вычислим объём многогранника Рп. Этот объём, очевидно,
равен сумме объёмов всех построенных призм. Обозначив его
через Vn, будем иметь:
*'«=V7SD + V75D+---+*«-i45D =
= _ SD-(bx -)- &2-f- • • •
Внося сюда вместо Ьх, £2,..., Ьп_х найденные для них
выражения, получим:
или
t on 1* + 2* + 8*+...+(я —1)*
П SD .
Из алгебры известно, что
12-}-2Д-{-384-... + (я — 1)2—■”(л~1^2п~1) ,
а потому
V =b-SD■ (---—1 > .
П 6 Ф
Будем теперь увеличивать число я, т. е. делить высоту SD
(На всё более и более мелкие части. При этом число получаемых
[призм будет становиться все большим, высоты их будут делаться
^сё меньше, а ступенчатая поверхность многогранника Рп будет
|сё плотнее прилегать к боковой грани SBC данной пирамиды.
За объём пирамиды SABC мы примем предел объёма много-
|ранника Рп при неограниченном увеличении п. Чтобы вычислить
|Этот объём, найдём сначала предел величины ^ ^ •
Выполняя действия, получим:
(п — 1) (2/z — 1) 2п~ — 3/г -f- 1 * п 3,1
7? //2 п ' п2 ’
п 3 1
При неограниченном возрастании п величины — и р, оче¬
видно, стремятся к нулю, а потому пределом дроби —
103
служит число 2. Следовательно,
предел Vn—b-SD^»2 — ~ b-SD,
т. е.
объём треугольной пирамиды равен части про¬
изведения площади её основания на высоту:
где V — объём, b — площадь основания, h — высота пирамиды.
§ 107. Объём многоугольной пирамиды.
Дана многоугольная пирамида SABCDE (черт. 102). Для
получения её объёма разбиваем её диагональными плоскостями
SAC и SAD на треугольные пирамиды и сумму их объёмов
принимаем за объём V данной многоугольной пирамиды.
Обозначая высоту пирамиды через h, будем иметь:
V = . площ. АВС-\-‘~ • площ. ACD -\-
-(- у • площ. ADE,
или
V = 4 • (площ. ABC -f- площ. ACD -\-
о
-{- площ. ADE) = ~ • площ. ABCDE,
т. е.
объём многоугольной пирамиды равен ~ произве¬
дения площади её основания на высоту.
§ 108. Объём усечённой пирамиды.
Дана усечённая пирамида ADX (черт. 103). Продолжив её
грани за верхнее основание A1B1C1D1E1, дополним её до пол¬
ной пирамиды SABCDE. В таком случае объём V усечённой пи¬
рамиды ADX будет равен разности объёмов двух полных пира¬
мид SABCDE и SA1B1C1DlEv
104
Обозначим площади оснований ABCDE и AXBXCXDXEX соот¬
ветственно через b и Ьх, высоту усечённой пирамиды ADX че-
рзе Л, а высоту пирамиды SAiB1C1DxEx через х.
Тогда высота пирамиды SABCDE будет равна h-\-x, а по¬
тому объём усечённой пирамиды ADX
v=b.^+£-bl.^=U bhMb-
Определим теперь величину х.
По теореме § 79 имеем:
b_ _ (x+h)*
h
откуда
х*
Vb _£+Л_, I 1.
1 "Г л: ’
Vh х
отсюда последовательно получим:
h_Vb 1 УТ -У b[
х У bi У ьх
или
ьУ ь\
x-yj-Vh '
Черт. 103.
Подставляя это в выражение для объёма пирамиды ADU
получим:
[b — b^hVTi]
но
Vь - Vb, J ’
ь-ь, = (VJ + УЦ (IV~b - Vb,),
а потому дробь можно' сократить на Vb —Vb, ,
у b — V ьл
и тогда
i/=I [bh-\-(Vь -i-Vb^kVb,] [bh+hVbb, + blh),
или
105
Эту формулу можно прочитать так:
объём усечённой пирамиды равен сумме объёмов
трёх пирамид, у которых общая высота равна высоте
усечённой пирамиды, а площади оснований равны: у
первой пирамиды — площади нижнего, у второй пира¬
миды— верхнего основания усечённой пирамиды, у
третьей — среднему пропорциональному между ними.
§ 109. Изменение объёма многогранника при подобном
преобразовании.
Теорема. Объёмы двух подобных многогранников от¬
носятся как кубы их сходственных рёбер.
Даны два подобных многогранника, у которых объёмы равны V и
Vv длины двух каких-либо сходственных рёбер / и /г Требуется
доказать, что
Ъ—А
V — /з ’
1. Рассмотрим сначала случай двух подобных тетраэдров.
Пусть S —площади двух каких-либо их сходственных
граней, h и hx— длины высот, опущенных на эти грани.
Тогда
1/=!“,
Но, как было показано (§ 95),
Ъ-А- h±—l±
S /2 ’ h / ’
а потому
~Sh — F*
Следовательно,
V ~ /з *
2. Рассмотрим теперь два выпуклых подобных много¬
гранника. Сохраним те же обозначения. Возьмём две какие-либо
сходственные вершины этих многогранников и соединим каждую
из них прямыми линиями со всеми остальными вершинами того же
многогранника. Проводя плоскости через пары этих прямых,
можно оба многогранника разбить на попарно подобные тет¬
раэдры.
106
Обозначим их объёмы соответственно через:
V, V", V”', ...
V'i V" V'"
1> 1> 1 I • • •
Тогда
V =V-\-V,-\-rV"'
^ = + +
По доказанному:
у' у» У'" • • /3 ’
отсюда;
vi + v;+v;’+... ua i\
V + V" + V"’ + ...~ V ~ /3 •
3. Так же легко доказать теорему для любых подобных
многогранников.
///. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВАМ ЧЕТВЁРТОЙ И ПЯТОЙ.
А. Доказать теоремы.
1. Число вершин многогранника, из которых выходит нечётное
число рёбер, всегда чётное. Указание. См. § 69, след. 1.
2. Число многоугольников с нечётным числом сторон, входящих
в состав граней многогранника, всегда чётное. Указание. См.
§ 69, след. 1.
3. Если две диагональные плоскости параллелепипеда перпен¬
дикулярны к его основаниям, то параллелепипед прямой.
4. Если диагональные плоскости четырёхугольной призмы про¬
ходят через одну точку, то эта призма есть параллелепипед.
5. В трёхгранной призме большая боковая грань лежит против
ббльшего трёхгранного угла.
6. В треугольной призме, усечённой плоскостью, не параллель¬
ной ни одной из сторон основания, три точки пересечения про¬
долженных соответственных сторон треугольников, лежащих в
основаниях призмы, лежат на одной прямой.
7. Если через каждую вершину верхнего основания треугольной
призмы и через противолежащее ей ребро нижнего основания про¬
вести плоскости, то эти плоскости пересекутся в точке, лежащей
на линии, соединяющей центры тяжести обоих оснований.
8. Плоскости, проходящие через боковые рёбра треугольной
призмы и перпендикулярные противолежащим боковым граням, пере¬
секаются по одной прямой.
9. Плоскости, делящие пополам углы между боковыми гранями
треугольной призмы, пересекаются по одной прямой.
107
10. Если два диагональных сечения параллелепипеда, не прохо¬
дящих через одну и ту же вершину, — прямоугольники, то парал¬
лелепипед— прямой.
11. Если наклонная призма имеет основанием трапецию, то объём
этой призмы равен произведению полусуммы площадей параллель¬
ных боковых граней на расстояние между ними.
12. Секущая плоскость, параллельная двум противоположным
рёбрам тетраэдра, пересекает остальные его рёбра в точках, обра¬
зующих вершины параллелограма.
13. Если в тетраэдре ABCD имеем: АВJL.CD и ACJ_BDt то
AD _L ВС и АВ2 + CD2 =АС* + BD2 = AD2 + ВС2.
14. Отрезки прямых, соединяющих середины противоположных
рёбер тетраэдра, проходят через одну точку и делятся в ней по¬
полам.
15. Четыре прямые, соединяющие каждую вершину тетраэдра
с центром тяжести противолежащей ей грани, проходят через одну
точку.
16. Прямые, соединяющие три вершины правильного тетраэдра
с серединой высоты, проведённой через четвёртую вершину, обра¬
зуют рёбра прямого трёхгранного угла.
17. Плоскости, проходящие через боковые рёбра трёхгранной
пирамиды и через медианы противоположных граней, пересекаются
по одной прямой.
18. Шесть плоскостей, проходящих каждая через одно из рёбер
и середину противоположного ребра тетраэдра, пересекаются в
одной точке.
19. Плоскости, перпендикулярные к рёбрам тетраэдра и прохо¬
дящие через середины этих рёбер, пересекаются в одной точке.
20. Центры тяжести граней данного тетраэдра служат верши¬
нами тетраэдра, перспективно-подобного данному.
21. Через каждую вершину тетраэдра проведена плоскость, па¬
раллельная противоположной грани. Доказать, что четыре получен¬
ных таким образом плоскости образуют тетраэдр, перспективно¬
подобный данному. Найти центр подобия и величину коэфициента
подобия.
22. Точки пересечения сторон основания пирамиды с соответ¬
ствующими сторонами сечения пирамиды плоскостью, не параллель¬
ной ни одной из сторон основания, лежат на одной прямой.
23. Плоскости, проходящие через боковые рёбра пирамиды и
перпендикулярные к плоскости её основания, пересекаются по одной
прямой.
24. Правильная «-угольная пирамида имеет ось симметрии /г-го
порядка.
Б. Задачи на построение.
25. Построить прямую четырёхугольную призму, если даны её
основание и одна из диагоналей.
26. Построить треугольную пирамиду, если даны её основание,
два боковых ребра и проекция третьего ребра на плоскость основания.
27. Построить треугольную пирамиду, если даны её основание,
проекции на плоскость основания двух боковых рёбер и третье боко¬
вое ребро.
28. Построить треугольную пирамиду, если даны её основание,
высота и два боковых ребра.
108
29. Построить треугольную пирамиду, если даны её основание,
вмсота и углы наклона двух боковых рёбер к плоскости основания.
30. Построить треугольную пирамиду, если даны её основание,
два боковых ребра и угол наклона одного из них к плоскости осно¬
вания.
31. Построить треугольную пирамиду, если дано её основание
и три боковых ребра.
32. Построить треугольную пирамиду, если даны её высота, три
боковых ребра, одно из рёбер основания и прилежащий к нему угол
основания.
33. Построить треугольную пирамиду, если даны три её боковых
ребра, два ребра основания и двугранный угол, имеющий ребром
одно из данных рёбер основания.
34. Построить треугольную пирамиду, если даны длины её бо¬
ковых рёбер и плоские углы при вершине.
35. Построить тетраэдр, если даны шесть его рёбер.
36. Построить треугольную пирамиду, если даны её высота, три
боковых ребра и два ребра основания.
37. Построить треугольную пирамиду, если даны три её боко¬
вых ребра, двугранный угол при одном из боковых рёбер и два
ребра основания, лежащих в гранях данного двугранного угла.
38. Построить треугольную пирамиду, если дана боковая грань
и двугранные углы при основании пирамиды.
39. Построить треугольную пирамиду, если даны отношение трёх
рёбер её основания, двугранные углы при основании и высота пи¬
рамиды.
40. Построить треугольную пирамиду, если даны две её боко¬
вых грани и двугранный угол между ними.
41. Построить треугольную пирамиду, если даны отношения
трёх её боковых рёбер, плоские углы при вершине и одно из рёбер
основания.
42. Построить треугольную пирамиду, если даны отношения
трёх рёбер её основания, двугранные углы при основании и одно
из боковых рёбер.
4 43. Построить четырёхугольную пирамиду, если даны её осно¬
вание, высота и два двугранных угла при основании.
44. На плоскости дано изображение в параллельной проекции
четырёхугольной призмы. Построить изображение сечения этой
призмы плоскостью, проходящей: 1) через три данные точки на
рёбрах призмы; 2) через три данные точки на гранях призмы; 3) че¬
рез три данные точки, из которых две лежат на соседних боковых
рёбрах призмы, а третья на Соковой грани, не содержащей этих
рёбер.
45. На плоскости дано изображение в параллельной проекции
шестиугольной пирамиды. Построить изображение сечения этой пи¬
рамиды плоскостью, проходящей через три какие-либо точки, взятые
на её рёбрах или гранях.
46. Найти точку, расстояния которой от вершин данного те¬
траэдра пропорциональны четырём данным числам. Сколько решений
имеет задача?
47. Какая фигура получается в сечении куба плоскостью, про¬
ходящей через его центр и перпендикулярной к его диагонали?
48. Дан тетраэдр, противоположные рёбра которого перпенди¬
кулярны. Пересечь его плоскостью так, чтобы в сечении получился
квадрат.
109
В. Задачи на вычисление.
49. Прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием
пересечён плоскостью, проходящей через ребро основания. Опреде¬
лить площадь сечения, если секущая плоскость встречает ось парал¬
лелепипеда в точке, отстоящей от его основания на расстоянии
1,5 ж, а сторона основания параллелепипеда равна 4м. Отв. 20 кв. м.
50. Определить площадь диагонального сечения, проходящего
через противоположные рёбра оснований прямоугольного паралле¬
лепипеда, основанием которого служит квадрат, если даны ребро
основания а и объём параллелепипеда V. Отв. Vа6 + V2.
51. В прямоугольном параллелепипеде дано отношение трёх его
измерений 1:2:3. Полная поверхность параллелепипеда равна 88 кв. м.
Определить его измерения. Отв. 2, 4, 6 м.
52. Найти объём правильной треугольной призмы, ребро основа¬
ния которой равно высоте призмы и равно 2 м. Отв. 2УГ'3 куб.м.
53. В основании прямой треугольной призмы лежит треугольник,
стороны которого равны 2, 3 и 4 м. Через одну из его вершин про¬
ведена плоскость, пересекающая боковые грани призмы по правиль¬
ному треугольнику. Вычислить его стороны. Отв. 4,07 м.
54. Определить площадь сечения куба плоскостью, проходящей че¬
рез концы трёх его рёбер, выходящих из одной вершины,если ребро куба
„ a*V 3
равно а. Отв. —^—.
55. Вычислить объём наклонной треугольной призмы, каждое
ребро основания которой равно боковому ребру и равно 2 м, а бо¬
ковые рёбра наклонены к плоскости оснований под углом в 60°.
Отв. 3 куб. м.
56. Через две точки, взятые на ребре правильной треугольной
призмы на расстоянии а одна от другой, проведены две параллель¬
ные плоскости. Определить боковую поверхность, образовавшуюся
между этими плоскостями наклонной призмы, если ребро основания
данной призмы равно Ь. Отв. 3аЪ.
57. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна ау
а её высота 2а. Вычислить поверхность пирамиды. Отв. 2 д2 V 3.
58. Вычислить объём треугольной пирамиды, боковые рёбра ко-
. ^ abc
торой взаимно перпендикулярны и равны а, Ъ и с. Отв. -g-.
59. От куба отсечены его углы плоскостями, проходящими через
середины рёбер, выходящих из отсекаемых вершин. Вычислить объём
оставшегося тела. Отв. -5- где а — ребро куба.
60. От октаэдра, ребро которого а = 2, отсечены его углы пло¬
скостями, проходящими через середины рёбер отсекаемых углов.
Вычислить объём оставшегося тела. Отв. V~2.
о
61. На каком расстоянии от вершины пирамиды следует прсвести
плоскость, параллельную её основанию, чтобы она разделила объём
пирамиды в отношении 1:4? Отв.-^—, где h—высота пирамиды.
У 5
110
62. Площади основания усечённой пирамиды равны 64 м2 и 100 м2.
Определить площадь сечения пирамиды плоскостью, параллельной её
основанию и проходящей через середину её высоты. Отв. 81 м2.
63. Определить высоту правильной усечённой четырёхугольной
пирамиды, если рёбра её оснований равны а и Ь, а боковая поверх¬
ность равна сумме площадей оснований. Отв.
ГЛАВА ШЕСТАЯ.
КРУГЛЫЕ ТЕЛА.
I. ЦИЛИНДР.
§ 110. Цилиндрическая поверхность.
Поверхность, образованная движением прямой линии, кото¬
рая во всех своих положениях остаётся параллельной самой себе,
называется цилиндрической поверх¬
ностью. ,l|l
Закон движения прямой можно уста¬
новить, заставив движущуюся прямую
постоянно пересекать некоторую за¬
данную линию (черт. 104). Движу¬
щаяся прямая называется образую¬
щей цилиндрической поверхности, а
линия, которую при своём движении
постоянно пересекает образующая (и
которая, таким образом, устанавливает
закон движения образующей), называет¬
ся направляющей этой поверхности.
Если за направляющую цилиндри¬
ческой поверхности принять окруж¬
ность, плоскость которой перпендику¬
лярна образующей цилиндра, то по- ^ ^
лучаемая при этом цилиндрическая ejrr*
поверхность называется круглой цилиндрической поверхностью.
§ 111. Круглый цилиндр.
Если пересечь круглую цилиндрическую поверхность двумя
плоскостями, перпендикулярными к её образующим, то обе се¬
кущие плоскости вместе с цилиндрической поверхностью будут
ограничивать цилиндрическое тело, называемое прямым круглым
цилиндром или просто цилиндром (черт. 105).
111
Это геометрическое тело может быть получено вращением
прямоугольника ABCD вокруг одной из его сторон, например,
вокруг стороны АВ (черт. 106), при этом его стороны ВС
и AD опишут круги, называемые основаниями цилиндра. Пря¬
мая АВ называется осью цилиндра, а длина отрезка АВ — вы¬
сотою цилиндра. Вращающаяся сторона CD называется обра¬
зующей цилиндра.
Цилиндр обладает, очевидно, следующими свойствами:
1. В пересечении цилиндра плоскостями, перпендикуляр¬
ными к его оси, получаются равные окружности.
2. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его
ось (осевое сечение), даёт прямоугольник, две стороны ко¬
торого служат образующими цилиндра, а две другие слу¬
жат диаметрами окружностей, лежащих в основаниях
цилиндра.
3. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси,
даёт прямоугольник, две стороны которого служат обра¬
зующими цилиндра, а две другие являются равными между
собой хордами окружностей оснований (черт. 107).
Плоскость, параллельная оси цилиндра и отстоящая от неё
«а расстоянии, равном радиусу окружности основания, содержит
в себе целиком одну образующую цилиндра и не имеет с по¬
верхностью цилиндра других общих точек (черт. 107).
Эта плоскость называется касательной плоскостью к ци¬
линдру. Касательная плоскость к цилиндру обладает следую¬
щими очевидными свойствами:
D
Черт. 105.
Черт. 106.
§ 112. Касательная плоскость к цилиндру.
JL12
1. Плоскость, проходящая через ось цилиндра и образую¬
щую, по которой касательная плоскость касается цилиндра,
перпендикулярна к касательной плос¬
кости.
2. Прямая, по которой касатель¬
ная плоскость к цилиндру пересекает
плоскость основания цилиндра, слу¬
жит касательной к окружности
этого основания.
3. Прямая, лежащая в касатель¬
ной плоскости и не параллельная обра¬
зующей, по которой плоскость ка¬
сается цилиндра, имеет с поверх¬
ностью цилиндра лишь одну общую
точку, именно точку пересечения с
образующей цилиндра, лежащей в касательной плоскости.
Такая прямая называется касательной к цилиндру.
§ 113. Поверхность цилиндра.
Правильная призма, основанием которой служит правильный
многоугольник, вписанный в основание цилиндра, а высотой —
высота цилиндра, называется вписанной призмой.
Боковая поверхность вписанной призмы принимается за при¬
ближённую величину поверхности самого цилиндра. При увели¬
чении числа боковых граней правильной вписанной призмы её
боковая поверхность, как легко заметить, стремится к некото¬
рому определённому пределу, и этот предел принимается за
величину боковой поверхности цилиндра.
Боковая поверхность правильной призмы равна Ph, где Р —
^периметр основания правильной призмы, вписанного в основание
^цилиндра, a h—. её высота.
При неограниченном увеличении числа боковых граней пра¬
вильной призмы периметр Р стремится к определённому пре¬
делу— именно к длине окружности основания, т. е. к 2тгг; где
;Г—радиус основания цилиндра. А потому боковая поверхность
^вписанной призмы, при неограниченном увеличении числа её
боковых граней, имеет пределом величину 2ттrh. Следовательно,
роковая поверхность цилиндра равна произведению
$лины окружности его основания на высоту.
Полной поверхностью цилиндра служит его боковая поверхность,
сложенная С площадями его оснований; она, следовательно, равна
2тгrh -j- 2тгг2 = 2тгг (h -f - г)э
8 Элементарная геометрия, ч. II
113
§ 114. Объём цилиндра.
За объём цилиндра принимают предел объёма правильной
вписанной в него призмы при неограниченном увеличении числа
её граней.
Объём правильной
призмы равен bhy где b —
площадь её основания,
h— высота. При нео¬
граниченном увеличении
числа боковых граней
призмы величина b имеет
пределом площадь
круга основания,
т. е. величину тгг2.
А потому пределом для
объёма призмы* служит
величина тгг2Л. Следова¬
тельно,
объём цилиндра
равен произведению
площади его основа¬
ния на высоту.
И. КОНУС.
§ 115. Коническая поверхность.
Поверхность, образованная движением прямой линии, которая
во всех своих положениях проходит через одну и ту же точку,
называется конической поверхностью. Точка, через которую
проходит прямая, называется вершиной конической поверхности,
а движущаяся прямая— её образующей.
Чтобы установить закон движения образующей конической
поверхности, достаточно указать какую-либо линию, которую
образующая при своём движении должна постоянно пересекать
(черт. 108). Эта линия называется направляющей конической
поверхности.
§ 116. Круглый конус.
Если за направляющую конической поверхности принять окруж¬
ность, а за вершину — точку, лежащую на прямой, проходящей
через центр окружности и перпендикулярной к её плоскости, то
коническая поверхность называется круглой конической поверх¬
ностью, а прямая, соединяющая её вершину с центром направ-
114
ляющей окружности, называется осью круглой конической по¬
верхности. Секущая плоскость, перпендикулярная к оси, вместе с
самой конической поверхностью ограничивает геометрическое тело,
называемое круглым конусом, или просто конусом (черт. 109).
Круглый конус может быть образован вращением прямоуголь¬
ного треугольника ЛВС вокруг одного из его катетов, например,
вокруг катета АВ (черт. 110). Прямая АВ служит осью круглого
конуса, а длина катета АВ называется высотой конуса. Круг,
описанный катетом С А, называется основанием конуса.
Конус обладает, очевидно, следующими свойствами:
1. В сечении конуса плоскостью, перпендикулярной к его
оси, получается окружность.
2. В сечении конуса плоскостью, проходящей через ось (осе¬
вое сечение), получается равнобедренный треугольник, боко¬
выми сторонами которого служат образующие конуса, а
основанием — диаметр основания конуса.
3. В сечении конуса плоскостью, проходящей через его вер¬
шину и пересекающей его поверхность, получается равнобед¬
ренный треугольник, боковыми сторонами которого служат об¬
разующие конуса, а основанием — хорда окружности основания.
Плоскость, проходящая через образующую конуса и перпен¬
дикулярная к плоскости осевого сечения, проходящей через ту
же образующую, не имеет с поверхностью конуса других общих
точек, кроме точек этой образующей. Эта плоскость называется
касательной плоскостью к конусу (черт. 111).
8* 115
Черт. 109,
Черт. 110.
§ 117. Сечения конуса.
§ 118. Касательная плоскость к конусу.
Касательная плоскость обладает следующими свойствами:
1. Прямая пересечения касательной плоскости с плоско¬
стью основания касается окружности основания.
2. Все касательные плоскости к конусу одинаково накло¬
нены к плоскости его основания.
S
3. Все прямые, лежащие в касательной плоскости и пере-
секающие образующую, по которой плоскость касается ко¬
нуса,— касаются поверхности конуса (т. е. имеют с нею лишь
одну общую точку).
Такие прямые называются касательными к конусу.
§ 119. Поверхность конуса.
Правильная пирамида с вершиной в вершине конуса, осно¬
ванием которой служит правильный многоугольник, вписанный
в окружность основания, называется правильной вписанной
пирамидой (черт. 112).
Поверхность этой пирамиды принимается за приближённую
величину поверхности конуса.
При неограниченном увеличении числа боковых граней впи¬
санной пирамиды её боковая поверхность стремится к некото¬
рому пределу, который принимается за боковую поверхность
Ра
конуса. Боковая поверхность правильной пирамиды равна -у , где
Р — периметр основания пирамиды и а—её апофема.
При неограниченном увеличении числа сторон основания его
периметр Р возрастает и стремится к пределу, равному длине
окружности основания, т. е. к 2ттг, где г— радиус основания
конуса. Апофема а вписанной пирамиды будет иметь пределом
образующую конуса /.
116
Действительно (черт. 112),
SA — SK<CAK,
или
SA-SK<r§-\
АВ
но —, как сторона правильного вписанного многоугольника,
стремится к нулю, следовательно, SA служит пределом для SK.
Отсюда следует, что боковая поверхность конуса равна
S=j-2url:
= тгг/.
Итак,
боковая поверхность конуса равна половине произве¬
дения длины окружности его основания на образующую.
Полная поверхность конуса равна пг (г -(-/).
§ 120. Вторая формула для боковой поверхности конуса.
При вычислении боковой поверхности конуса иногда бывает
удобно заменять конус цилиндром с той же высотой и таким ра¬
диусом основания, чтобы боковые по¬
верхности цилиндра и конуса были оди¬
наковы. Докажем следующую теорему.
Теорема. Боковая поверх¬
ность конуса равна боковой по¬
верхности цилиндра с тою же
высотой и радиусом основания,
равным высоте равнобедренного
треугольника, основанием кото¬
рого служит образующая, а вер¬
шина лежит на оси конуса.
Пусть ABC (черт. ИЗ) — осевое
сечение конуса; АСО — равнобедренный
треугольник с вершиной О на оси ко¬
нуса; ОМ—его высота. Требуется доказать, что боковая по¬
верхность 5 конуса может быть представлена в виде
S = 2n-MO-CD.
Черт. ИЗ.
По формуле § 119 имеем:
S = тг • AD • АС = 2тг • AD
АС
--2n-AD.MC.
Прямоугольные треугольники ACD и ОМС подобны, следова-
тельно, лр МО
DC МС ’
117
откуда
AD • МС — МО • DC.
Произведя подстановку в выражение для S, получим:
£ = 2тг. MO-CD.
§ 121. Объём конуса.
Объём //-угольной вписанной в. конус правильной пирамиды
при увеличении п стремится к некоторому пределу, который при¬
нимается за объём конуса.
Объём пирамиды равен ^, где b — площадь основания пи¬
рамиды и h — её высота. Пределом для b служит площадь круга
основания, т. е. величина тгг2. А потому объём конуса V равен
v — r^!L
3 *
Следовательно,
объём конуса равен одной трети произведения пло¬
щади его основания на высоту.
§ 122. Усечённый конус.
Часть конуса, заключённая между его основанием и секущей
плоскостью, параллельной основанию, называется усечённым ко¬
нусом (черт. 114).
Усечённый конус может быть об¬
разован вращением прямоугольной
трапеции вокруг её боковой сто¬
роны, перпендикулярной к основанию.
Вторая боковая сторона этой
трапеции служит образующей ко¬
нуса. Две параллельные стороны
трапеции описывают круги, называемые основаниями усечённого
конуса.
Если вписать в основания усечённого конуса правильные мно¬
гоугольники с одинаковым числом сторон и с соответственно па¬
раллельными сторонами и через каждую пару этих параллельных
сторон провести плоскость, то все эти плоскости вместе с пло¬
скостями оснований будут ограничивать правильную усечённую
пирамиду, вписанную в данный усечённый конус. При неограни¬
ченном увеличении числа боковых граней правильной вписанной
пирамиды её поверхность и объём стремятся к опредалённым пре¬
делам, которые принимаются соответственно за поверхность
и объём усечённого конуса.
118
^ р-\-р
Поверхность правильной усечённой пирамиды равна —-—а,
где Р и р — периметры оснований и а — апофема.
При увеличении числа боковых граней пирамиды периметры
Р и р стремятся соответственно к длинам окружностей оснований,
т. е. к 2ттR и 2тгг, где R и г—радиусы оснований конуса.
Апофема а пирамиды, очевидно, имеет пределом длину / обра¬
зующей усечённого конуса. А потому боковая поверхность 5
усечённого конуса равна
S=-M±2z.'l=Mw±4
или
S = TT/(/? + r).
Следовательно,
боковая поверхность усечённого конуса равна про¬
изведению полусуммы длин окружностей его оснований
на образующую.
п 1 г
Заметим, что -= MN (черт. 115) есть радиус среднего
сечения усечённого конуса. Обозначая его через rlt получим:
S = 2nlrv
Так же, как и в случае простого конуса, при вычислении бо¬
ковой поверхности можно заменить усечённый конус цилиндром
с той же высотой и таким радиусом
основания, чтобы его боковая поверх¬
ность была равна боковой поверхности
данного усечённого конуса.
Докажем следующую теорему:
Теорема. Боковая поверх¬
ность усечённого конуса равна ^
боковой поверхности цилиндра с
той же высотой и радиусом ос¬
нования, равным высоте равно- Черт. 115.
бедренного треугольника, осно¬
ванием которого служит образующая конуса, а вер¬
шина лежат на его оси.
Дано: АВ020х — половина осевого сечения данного усечённого
конуса (черт. 115), АВО — равнобедренный треугольник с вер¬
шиной О на оси конуса, МО— его высота, ВС — высота усечён¬
ного конуса, S—его боковая поверхность. Требуется дока¬
зать, что
S — 2n-A10-BC.
119
Как показано выше,
S = 2n-AB-MN.
Так как
/mABC = /mOMN и Z АСВ = Z MNO = 90°,
то
Д ABC -V- Д OMN;
следовательно,
АВ _ МО
ВС MN*
откуда
AB-MN = MO-BC.
Подставляя это выражение для S, получим:
S = 2n-MO-BC.
§ 123. Общее выражение для боковой поверхности
цилиндра, конуса и усечённого конуса.
Для круглого цилиндра высота равнобедренного треугольника,
основанием которого служит образующая, а вершина лежит на
оси, очевидно, равна радиусу основания цилиндра. А потому вы¬
веденные в §§ 120 и 122 формулы для боковой поверхности при¬
менимы и к цилиндру.
Таким образом, для боковых поверхностей цилиндра, конуса
и усечённого конуса можно дать одно общее выражение:
боковая поверхность каждого из трёх тел: ци¬
линдра, конуса и усечённого конуса, равна боковой по¬
верхности цилиндра с той же высотой и радиусом
основания, равным высопе равнобедренного треуголь¬
ника, основанием которого служит образующая, а вер¬
шина лежит на оси тела.
§ 124. Объём усечённого конуса.
Объём усечённой пирамиды равен
~ (Ь 4- Ьг + КЬЬг),
где b и Ьг — площади её основания и h — высота.
При неограниченном увеличении числа боковых граней пло¬
щади её оснований b и Ьг стремятся соответственно к пределам
тг/?2 и тгг2. А потому объём усечённого конуса равен:
у (тг/?2—}-тгг2—V тгR2 • тег2) = ^ (R2 -}- r2 + Rr)-
120
Следовательно,
объём усечённого конуса равен сумме объёмов трёх
конусов, у которых общая высота равна высоте усе¬
чённого конуса, а площади оснований равны: у первого
конуса — площади нижнего, у второго конуса — пло¬
щади верхнего основания усечённого конуса, у треть¬
его— среднему пропорциональному между ними.
III. ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ.
§ 125.
Плоская ломаная называется правильной, если все её звенья
равны и все углы между её звеньями также равны. Правильная
ломаная имеет центр, т. е. точку, равноудалённую от всех вер¬
шин и от всех звеньев.
Теорема. Поверхность, образованная вращением
правильной ломаной вокруг оси, лежащей в плоскости
ломаной, проходя¬
щей через её центр
и не пересекающей
ломаной, равна бо¬
ковой поверхности
цилиндра, радиус
основания которо¬
го равен апофеме
ломаной, а высо¬
та—проекции ло¬
маной на ось вра-
щения.
Дана поверхность
(черт. 116), образован¬
ная вращением пра¬
вильной ломаной линии
ABCDE (черт. 117)
вокруг оси хуу про¬
ходящей через центр О ломаной; обозначим через а = ОМ =
= ON=OP = OQ апофему ломаной, через Ь> с, d и е — про¬
екции точек Ву С, D и Е на ось ху, через S — величину по¬
верхности, образованной вращением ломаной. Требуется дока¬
зать, что
3 = 2тс*а* Ае.
%
т
1 \
\#
ш
Черт. 116.
Черт. 117.
При вращении ломаной каждое её звено будет описывать или
конус, или цилиндр, или усечённый конус. Так, звено АВ опишет
121
конус с высотой АЪ, звено ВС — усечённый конус с высотой Ьс,
звено CD — цилиндр с высотой ей и звено DE — усечённый ко¬
нус с высотой de. Каждую из этих поверхностей можно вычис¬
лить по общей формуле, данной в § 123. При этом «высота
равнобедренного треугольника с вершиной на оси, основанием
которого служит образующая, будет для всех звеньев ломаной
одинакова и равна апофеме ломаной (MO = NO — PO—QO — a).
А потому поверхности, образованные вращением звеньев АВ,
ВС, CD и DE ломаной, соответственно равны 2ттa-Ati, 2тха-Ьс,
2Tta-cd и 2rta-de. Складывая эти выражения, получим:
5 = 2па • (Ab -f- be -j- cd -f- de) = 2m • Ae.
§ 126. Объём тела вращения.
Теорема. Объём тела, образованного вращением
треугольника вокруг оси, лежащей в его плоскости,
проходящей через его вершину и не пересекающей са¬
мого треугольника, равен произведению поверхности,
образованной вращением основания треугольника, на
х одну треть его высоты.
1 Могут представиться три случая:
1. Ось вращения ху совпадает с одной из
сторон, например, со стороной АВ (черт. 118).
Тогда сторона ВС при вращении описывает по¬
верхность конуса, радиус основания которого ра¬
вен СЕ (СЕ _\_АВ), а высота равна BE. Объём это¬
го конуса равен ~ТГ‘£С2 *ВЕ. Точно также сто¬
рона АС опишет конус, объём которого равен
-i-тг-ЕС2-АЕ. А потому объём всего тела вра¬
щения равен
i- тт • £С2 • BE -f-1 тг • £С2 • АЕ — |тг • Е& X
X {АЕ-\-Е,В) = ±п-ЕС*. Л£=Ц-те-..ЕС•ЕС>АВ.
В
Черт. 118.
Но EC»AB=AC-BD (как удвоенная площадь треуголь¬
ника ABC); а потому объём тела вращения равен
jH-EC-AC-BD = TfEC-AC~.
Здесь и»ЕС»АС есть боковая поверхность конуса, образо¬
ванного вращением основания АС треугольника ABC.
122
2. Ось вращения ху проходит через одну из вершин, но не
совпадает ни со стороной ЛС, ни со стороной ВС и не парал¬
лельна стороне АВ (черт. 119).
Продолжим сторону АВ до пересечения в точке Е с осью ху.
Тогда объём тела, образованного вращением треугольника ABC,
Черт. 119. Черт. 120.
будет равен разности объёмов тел, образованных вращением
треугольников АСЕ и ВСЕ. Первый объём равен произведению
. поверхности, образованной вращением отрезка АЕ, на ~ высо-
о
ты CD .Второй объём равен произведению поверхности, образован¬
ной вращением отрезка BE, на — высоты CD. А потому разность
этих объёмов равна произведению поверхности, образованной
вращением отрезка АВ, на ~ высоты CD.
о
3. Ось вращения ху параллельна основанию АВ треуголь¬
ника ABC (черт. 120).
В этом случае опустим из точек А к В перпендикуляры АЕ
и BF на ось вращения. Объём тела, образованного вращением
треугольника ABC, равен разности между объёмом цилиндра,
образованного вращением прямоугольника ABFE, и суммой объ¬
ёмов двух конусов, образованных вращением треугольников
АСЕ и BCF.
Объём цилиндра равен тг • CD2 »ЛБ.
* K'CD* * AD
Ооъём первого конуса равен ^ •
123
.. it• CD*• BD
Ооъем второго конуса равен ~
Сумма объёмов этих конусов равна
я• CD2• AD , тz-CD2-BD tz-CD2
(AD -f BD) = *'CD*'.A£.
А потому объём искомого тела вращения равен
nCD2-AB — n-CD'-AB-.
AJL£v = i.. 2k cd ■ab-cd.
О и
Но 2iz-CD»AB равно поверхности, описанной основанием АВ.
Назовём правильным многоугольным сектором фигуру,
образованную правильной ломаной и двумя отрезками, которые
соединяют центр ломаной с её концами.
Теорема. Объём тела, образованного вращением
правильного многоугольного сектора вокруг оси, лежа-
х щей в его плоскости, проходящей че¬
рез его центр и не пересекающей сек¬
тор, равен произведению поверхности,
образованной вращением ломаной ли-
нииу на ^ её апофемы.
Дан многоугольный сектор ABCDEO
(черт. 121), ограниченный правильной лома¬
ной линией ABCDE и радиусами АО и ЕО
окружности, описанной около этой ломаной.
Объём тела, образованного вращением
этой ломаной вокруг оси ху, очевидно, ра¬
вен сумме объёмов тел, образованных вра¬
щением треугольников АОВ, ВОС, COD и
Черт. 121. DOE.
Но объём тела, образованного вращением
треугольника АОВ, равен произведению поверхности, образо¬
ванной вращением отрезка АВ, на одну треть апофемы OF
данной ломаной. Точно так же объёмы тел, образованных вра¬
щением треугольников ВОС, COD и DOE, соответственно
равны произведениям поверхностей, образованных вращением
отрезков ВС, CD и DE, на одну треть апофемы.
А потому искомый объём всего тела вращения равен произ¬
ведению поверхности, образованной вращением ломаной ABCDE,
на одну треть апофемы.
124
IV. СФЕРА.
§ 127. Определение.
Геометрическое место точек, равноудалённых от одной и той
же точки (центра), образует поверхность, называемую сферой,
или шаровою поверхностью. Тело, ограниченное шаровою по¬
верхностью, называется шаром.
Отрезки прямых, соединяющих центр с точками сферы, на¬
зываются её радиусами. Отрезок прямой, соединяющей какие-
либо две точки сферы, называется хордой сферы. Хорда, проходя¬
щая через центр, называется диаметром сферы. Диаметр сферы
равен двум её радиусам. Сфера может быть образована враще¬
нием полуокружности вокруг диаметра. Центр вращающейся
полуокружности служит центром сферы, а её радиус — радиусом
сферы.
§ 128. Сечения сферы.
Теорема. Сечение сферы плоскостью есть окруж¬
ность.
Для плоскости, проходящей через центр сферы, это оче¬
видно. Поэтому будем предполагать, что секущая плоскость М
не проходит через центр (черт. 122). Опустим из центра О сферы
на плоскость сечения М
перпендикуляр ОР и до¬
кажем, что все точки ли¬
нии пересечения сферы
с плоскостью М одина¬
ково удалены от точки Р.
Возьмём произвольные
точки сечения: А, В, С, ...
Соединим их с точкой Р
и с центром сферы О. Черт. 122.
Отрезки РА, РВ, PC у ...
служат проекциями равных наклонных (радиусов сферы) АО, ВО,
СО, ..., а потому АР = ВР = СР = ... Следовательно, сечение
сферы плоскостью есть окружность с центром Р.
Следствие 1. Если секущая плоскость не проходит
через центр сферы, то радиус окружности сечения меньше
радиуса сферы, так как АР<^АО.
Следствие 2. Сечение имеет наибольший радиус, когда
плоскость сечения проходит через центр сферы.
Такое сечение называется большим кругом сферы.
125
Следствие 3. Плоскость большого круга есть плоскость
симметрии сферы.
Следствие 4. Радиусы сечений, плоскости которых
равноудалены от центра сферы, равны.
Задача. Через две данные точки сферы, не служащие
концами одного диаметра, провести окружность большого
круга.
Пусть А и В — две точки сферы, О — её центр. По условию,
точки Л, Б и О не лежат на одной прямой, и, следовательно,
через них проходит единственная плоскость. Сечение её поверх¬
ностью сферы даёт искомую окружность большого круга, про¬
ходящую через точки А и В.
Задача имеет только одно решение.
§ 129. Касательная плоскость к сфере.
Плоскость, имеющая с поверхностью сферы лишь одну общую
точку, называется касательной плоскостью к сфере.
Теорема. Плоскость,
проходящая через конец
радиуса сферы и пер¬
пендикулярная к нему,
служит касательной
плоскостью.
Проведём через конец А
радиуса ОА данной сфе¬
ры плоскость М J_ ОА
(черт. 123) и докажем, что все
точки этой плоскости, кроме
точки Л, лежат вне сферы.
Пусть В — произвольная точка плоскости М. Соединим её с
центром сферы О. Тогда ОА<^ОВ (так как перпендикуляр ко¬
роче наклонной). Следовательно, точка В лежит вне сферы.
§ 130. Касательная прямая к сфере.
Прямая, лежащая в касательной плоскости к сфере и про¬
ходящая через точку прикосновения, называется касательной
прямой к сфере. Касательная прямая, очевидно, имеет лишь
одну общую точку со сферой и перпендикулярна к радиусу
сферы, проведённому в точку прикосновения.
Теорема. Все касательные к сфере, проведённые
из одной внешней точки, равны между собой.
Проведём из внешней точки S касательные к сфере SA, SB,
SC (черт. 124). Точки их прикосновения А} В, С соединим
126
Черт. 123.
с центром сферы О. Прямоугольные треугольники /ЮЗ, BOS,
COS имеют общую гипотенузу SO и ^
равные катеты
О А = О В — ОС у
а потому они равны между собой. Следо¬
вательно,
SA = SB = SC.
Черт. 124.
всех образующих
лежат на одной
§ 131. Коническая поверхность,
описанная около сферы.
Проведя из какой-либо внешней точки
все касательные прямые к сфере, получим
коническую поверхность, касающуюся
сферы и называемую описаннрй кониче¬
ской поверхностью.
Теорема. Тонки прикосновения
описанной конической поверхности
окружности (окружность прикосновения).
Действительно, построив в равных треугольниках AOS, BOS,
COS, ... высоты из вершин А, В, С, ... на общую сторону SO
(черт. 124), найдём, что
все они пересекают пря¬
мую SO в одной и той
же точке Р. Так как
AP±SO, BP±SO,
CP X SO, ..., то прямые
АР у BP, СР, ... лежат
в одной плоскости Му
перпендикулярной к SO.
А так как
АР = BP— СР = . . .,
то точки А, В, С, ...
лежат на одной окруж¬
ности с центром в точ-
Черт. 125. ке Р.
§ 132. Пересечение двух сфер.
Теорема. Линия пересечения двух пересекающихся
сфер есть окружность, лежащая в плоскости, перпен¬
дикулярной к линии центров сфер.
Даны две пересекающиеся сферы (черт. 125). Соединим их
центры О и Ох и возьмём на линии их пересечения произволь¬
127
ные точки А, В и С. Соединив их с центрами сфер, получим
равные треугольники:
Д ОАОг = Д ОБОг = Д ОСОг
(по трём сторонам). Опустив из их вершин А, Бу С перпенди¬
куляры на общую сторону ООг, заметим, что все они встретят
общую сторону ООг в одной и той же точке Я, и, следова¬
тельно, все они будут лежать на одной плоскости MJL_001.
Так как
АР = ВР = СР,
то точки А, В, С, ... лежат на одной окружности с центром
в точке Р.
§ 133. Части шара.
Тело, отсекаемое от шара какою-либо плоскостью, назы¬
вается шаровым сегментом. Сферическая поверхность сегмента
называется шаровым сводом. Тело, отсекаемое от шара двумя
параллельными секущими плоскостями, называется шаровым
слоем. Сферическая поверхность шарового слоя называется
шаровым поясом. Расстояние между обеими параллельными
секущими плоскостями называется высотой шарового пояса.
Если одна из секущих плоскостей становится касательной
плоскостью, то шаровой слой обращается в шаровой сегмент,
шаровой пояс — в шаровой свод, а высота пояса — в высоту
шарового свода.
Геометрическое тело, образованное вращением кругового
сектора вокруг оси, лежащей в его плоскости, проходящей через
его центр и не пересекающей сектора, называется шаровым
сектором. Шаровой сектор может быть двух родов:
1) простой шаровой сектор, когда ось вращения совпадает
с одним из радиусов, ограничивающих круговой сектор;
2) полый шаровой сектор, когда ось вращения не совпа-
дает с радиусом, ограничивающим круговой сектор.
Шаровой поверхностью простого сектора служит шаровой
свод; шаровой поверхностью полого сектора служит шаровой
пояс.
§ 134. Поверхность шара и его частей.
1. Поверхность шарового пояса. Шаровой пояс
может быть образован вращением дуги окружности вокруг не
пересекающего её диаметра (черт. 126). Впишем в дугу окруж-
128
ности АВ правильную ломаную линию. Тогда поверхность,
образованная вращением этой ломаной, по теореме § 125, рав¬
на 2па • GH, где а — апофема
ломаной, GH—высота пояса.
При неограниченном уве¬
личении числа звеньев впи¬
санной ломаной её апофема
а стремится к радиусу
ОМ=г дуги АВ, а потому
предел поверхности, описан¬
ной этой ломаной, равен
2nr-GH. Этот предел и
принимается за величину
поверхности шарового пояса.
Итак: поверхность
шарового пояса равна произведению длины окружности
большого круга на высоту пояса.
2. Поверхность шарового свода. Если плоскость
одного из оснований шарового . слоя обращается в касательную
плоскость, то шаровой слой обращается
в шаровой сегмент, а ограничивающий
его шаровой пояс в шаровой свод.
Поэтому поверхность шарового свода
выражается той же формулой, что и
шарового пояса, т. е.
поверхность шарового свода
равна произведению длины
окружности большого круга на
высоту свода.
3. Поверхность шара. Если
плоскости обоих оснований шарового
слоя сделаются касательными плос¬
костями, то шаровой пояс обращается
в полную сферу, а его высота ста¬
новится равной диаметру шара, т. е. 2R.
А потому поверхность шара равна
2nR • 2R = 4nR2.
Следовательно,
поверхность шара равна боковой поверхности ци¬
линдра, радиус основания которого равен радиусу шара,
а высота — его диаметру (черт. 127).
$ Элементарная геометрия
129
§ 134. Объём шара и его частей.
1. Объём шарового сектора. Шаровой сектор обра¬
зуется вращением кругового сектора около оси, проходящей
через его центр. Впишем в круговой сектор ОАВ (черт. 126)
правильную ломаную линию. Тогда объём тела, образованного
вращением этой ломаной, равен произведению поверхности, обра¬
зованной вращением ломаной, на её апофемы. При неограни¬
ченном увеличении числа звеньев ломаной поверхность, ею опи¬
сываемая, стремится к поверхности шарового пояса (для полого
сектора) или свода (для простого сектора). Апофема ломаной
стремится к радиусу сферы. А потому предел объёма тела, опи¬
санного вращением многоугольного сектора, равен
2шИ • г == у ттг2/?,
где h — высота шарового пояса (или свода).
Этот предел и принимается за объём шарового сектора.
Следовательно,
объём шарового сектора равен произведению по¬
верхности соответствующего шарового пояса (или свода)
на одну треть радиуса шара.
2. Объём шара. Если h = 2Ry то шаровой сектор стано¬
вится полным шаром. А потому объём шара равен
Следовательно,
объём шара равен двум третям объёма цилиндра,
радиус основания которого равен радиусу шара, а вы¬
сота— его диаметру (черт. 127).
3. Объём шарового сегмента. Объём шарового сег¬
мента может быть найден как разность объёмов простого шаро¬
вого сектора и конуса.
V. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ ШЕСТОЙ.
А. Доказать теоремы:
1. Касательная плоскость к цилиндру перпендикулярна к плоско¬
сти, проходящей через образующую прикосновения и через ось
цилиндра.
2. Две непараллельные плоскости, касающиеся цилиндра, пере¬
секаются но прямой, параллельной оси цилиндра.
3. Если одна из трёх граней треугольной призмы, вписанной
в цилиндр, проходит через его ось, то две другие её боковые грани
взаимно перпендикулярны.
130
4. Двугранный угол, ребром которого служит образующая ци¬
линдра и грани которого проходят через две образующие цилиндра,
равен половине двугранного угла, ребром которого служит ось ци¬
линдра и грани которого проходят через те же образующие.
5. Угол между двумя образующими, принадлежащими осевому
сечению конуса, больше угла между образующими, не принадлежа¬
щими осевому сечению.
6. Плоскость, касательная к конусу, перпендикулярна к пло¬
скости, проходящей через образующую прикосновения и через ось
конуса.
7. Касательная к окружности основания конуса перпендикулярна
к образующей, проходящей через точку прикосновения.
8. Все плоскости, пересекающие данную сферу по окружности
Данного радиуса, касаются сферы, концентрической с данной.
9. Если через данную точку,не лежащую на поверхности сферы,
провести к ней различные секущие, то произведение отрезков каж¬
дой секущей, считая от данной точки до точек встречи со сферой,
есть величина постоянная для всех секущих.
У Казани е. Провести плоскость через взятую секущую и центр
сферы,— тогда утверждение сведётся к теореме § 222 Планиметрии.
10. Если через данную точку провести к данной сфере различные
секущие плоскости, то степень данной точки относительно всех
окружностей, получаемых в сечении, будет одинакова. Она назы¬
вается степенью данной точки относительно данной сферы.
11. Доказать, что подобным преобразованием с коэфициентом
подобия k сфера радиуса R преобразуется в сферу радиуса kR.
12. Всякие две сферы перспективно-подобны и имеют два центра
иодобия: один внешний, другой внутренний.
13. Цилиндр (или конус), ось которого проходит через центр
сферы, пересекает эту сферу по окружности.
14. Плоскость, касающаяся двух данных сфер, проходит через
их центр подобия.
15. Внутренние и внешние центры подобия трёх сфер, взятых
попарно, расположены по три на четырёх прямых.
16. Около каждой правильной пирамиды можно описать сферу и
во всякую правильную пирамиду можно вписать сферу.
17. Объём многогранника, описанного около сферы, равен про¬
изведению его поверхности на радиуса сферы.
о
18. В цилиндр можно вписать сферу, если осевое сечение ци¬
линдра — квадрат.
19. Если в усечённый конус можно вписать сферу, то его обра¬
зующая равна сумме радиусов обоих оснований.
Б. Геометрические места.
20. Найти геометрическое место точек, находящихся на данном
расстоянии от данной прямой. Отв. Цилиндрическая поверхность,
осью которой служит данная прямая.
21 .Найти геометрическое место осей цилиндров данного радиуса,
^асающихся данного цилиндра вдоль его образующих (говорят, что
два цилиндра или цилиндр и конус или два конуса касаются вдоль
образующей, если они имеют общую образующую и в точках этой
Q * 131
общей образующей — общие касательные плоскости). Отв. Два ци¬
линдра, оси которых совпадают с осью данного цилиндра.
22. Найти геометрическое место рёбер двугранных углов данной
величины, грани которых проходят через две данные параллельные
прямые а и Ь. Отв. Искомое геометрическое место состоит из час¬
тей двух цилиндров, к образующим которых принадлежат пря¬
мые а и Ь; если данный двугранный угол — прямой, то получается
один цилиндр.
23. Найти геометрическое место центров сфер данного радиуса,
касающихся боковой поверхности данного цилиндра. Отв. Два ци¬
линдра, имеющие ту же ось, что и данный.
24. Найти геометрическое место центров сфер данного радиуса,
пересекающих данную плоскость по окружности данного радиуса.
Отв. Две плоскости, параллельные данной. ,
25. Найти геометрическое место центров сфер данного радиуса,
касающихся данной плоскости. Отв. Две плоскости, параллельные
данной.
26. Найти геометрическое место прямых, наклонённых под дан¬
ным углом к данной прямой и проходящих через данную на ней
точку. Отв. Поверхность конуса, осью которого служит данная
прямая.
27. Найти геометрическое место осей цилиндров данного
радиуса, касающихся данного конуса вдоль его образующих
(см. упр. 21). Отв. Два конуса, имеющих ту же ось, что и данный.
28. Найти геометрическое место осей конусов с данным углом
в осевом сечении, касающихся данного конуса вдоль его образую¬
щих (см. упр. 21) и имеющих с ним общую вершину. Отв. Два ко¬
нуса с той же осью и той же вершиной, что и данный.
29. Найти геометрическое место центров сфер, проходящих че¬
рез вершины данного треугольника. Отв. Прямая линия, перпенди¬
кулярная к плоскости этого треугольника и проходящая через центр
окружности, описанной около него.
"30. Найти геометрическое место центров сфер данного радиуса,
касающихся граней данного двугранного угла. Отв. Прямая, парал¬
лельная ребру.
31. Найти геометрическое место центров сфер, касающихся гра¬
ней данного трёхгранного угла. Отв. Луч, выходящий из вершины угла.
32. Найти геометрическое место центров сфер, касающихся рё¬
бер данного трёхгранного угла. Отв. Луч, выходящий из вершины
угла.
33. Найти геометрическое место центров сфер данного радиуса,
проходящих через две данные точки. Отв. Окружность, лежащая
в плоскости, перпендикулярной к прямой, соединяющей эти точки,
или одна точка, или геометрическое место не существует.
34. Найти геометрическое место центров сфер данного радиуса,
ироходящих через данную точку и касающихся данной плоскости.
Отв. Окружность, лежащая в плоскости, параллельной данной, или
точка, или две точки, или геометрическое место не существует.
35. Найти геометрическое место точек, из которых три после¬
довательных отрезка прямой линии АВ, ВС, CD видны под равными
углами. Отв. Окружность или геометрическое место не существует.
36. Найти геометрическое место середин параллельных хорд *
сферы. Отв. Точки круга, лежащего в диаметральной плоскости,
перпендикулярной данным хордам.
132
37. Найти геометрическое место вершин прямых углов, стороны
которых проходят через две данные точки. Отв. Сфера, для которой
отрезок, соединяющий данные точки, служит диаметром.
38. Найти геометрическое место центров сфер данного радиуса,
касающихся данной сферы. Отв. Две сферы, концентрические с данной
39. Найти геометрическое место точек, из которых данный отре¬
зок виден под данным углом. Отв. Поверхность, образованная
вращением дуги окружности вокруг некоторой оси; если данный
угол прямой, — сфера.
40. Найти геометрическое место точек, из которых данная сфера
видна под данным углом, т. е. найти геометрическое место вершин
конусов, описанных около сферы и имеющих данный угол в осевом
сечении. Отв. Сфера, концентрическая с данной.
В. Задачи на построение.
41. Построить линии пересечения поверхности цилиндра с пло¬
скостью, параллельной его оси.
42. Построить точки пересечения поверхности цилиндра с дан¬
ной прямой.
43. Через данную образующую цилиндра провести плоскость,
касающуюся этого цилиндра.
44. Через данную точку вне цилиндра провести плоскость, ка¬
сающуюся цилиндра.
45. В данный цилиндр вписать правильную шестиугольную
призму.
46. В данный цилиндр вписать треугольную призму с данными
двугранными углами между боковыми гранями.
47. Даны три точки на окружности основания цилиндра. По¬
строить его ось.
48. Построить общую касательную* плоскость к двум цилиндрам
с параллельными осями.
49. Построить точки пересечения данного конуса с прямой
линией.
50. Через данную точку вне конуса провести плоскость, касаю¬
щуюся конуса.
51. Дана ось конуса и две точки, лежащие на поверхности
конуса. Построить вершину конуса.
52. Построить точки пересечения данной прямой с поверхностью
сферы.
Указание. Через данную прямую провести диаметральную
плоскость и в ней выполнить построение.
53. Построить окружность, по которой данная плоскость пере¬
секает сферу, для которой даны центр и радиус.
Указание. Основание перпендикуляра, опущенного из центра
сферы на данную плоскость, служит центром искомой окружности.
Её радиусом служит катет прямоугольного треугольника, гипотенуза
которого равна радиусу сферы, а другой катет равен расстоянию
центра от плоскости.
54. Построить линию пересечения двух данных сфер.
55. Построить точку пересечения трёх данных сфер.
133
56. Через данную точку провести прямую, касающуюся данной
сферы и параллельную данной плоскости.
57. Построить окружность прикосновения к данной сфере опи¬
санного конуса, имеющего вершину в данной точке.
58. Через две данные точки провести плоскость, касательную
к данной сфере.
59. Построить плоскость, касающуюся трёх данных сфер. Сколько
решений имеет задача? Отв. Самое большее 8 решений.
У Казани е. См. упр. 14.
60. Найти точку, из которой три данные сферы видны под дан¬
ными углами.
61. Найти точку, из которой четыре данные сферы видны под
равными углами.
62. На данной прямой найти точку, из которой данный отрезок
был бы виден под прямым углом.
63. Построить центр сферы данного радиуса, проходящей через
вершины данного треугольника.
64. В данный тетраэдр вписать сферу.
65. Около данного тетраэдра описать сферу (найти её центр и
радиус).
Г. Задачи на вычисление.
66. Вычислить площадь сечения круглого цилиндра, радиус осно¬
вания которого равен 8 см, а высота— 50 см, плоскостью, параллельной
его оси и отстоящей от неё на расстоянии 4 см. Отв. 692,8 кв. см.
67. Круглый цилиндр с радиусом R и высотой И пересечён
плоскостью, параллельной оси цилиндра, так, что хорда сечения на
основании цилиндра равна его радиусу. Определить объём части
68. Радиус основания конуса равен 22,35 м и высота 29,8 м.
Определить боковую поверхность конуса. Отв. 2615 кв. м.
69. Определить образующую конуса, если его боковая поверх¬
ность равна 106,76 кв. м, а высота 7,5 м. Отв. 8,5 м.
70. Боковая поверхность конуса, развёрнутая на плоскость, пред¬
ставляет собой кругог.ой сектор, радиус которого равен 32,867 му
а дуга содержит 90°. Вычислить объём конуса. Отв. V = 2250 куб. м.
71. Вычислить объём V и поверхность S конуса, осевое сечение
которого представляет собой равносторонний треугольник со сто¬
роной, равной 2 м. Отв. V" = 1,8 куб. м; 5 = 9,4 кв. м.
72. Определить объём конуса с площадью основания S и боко-
м о 1 ifSIM'*-S'1)
вой поверхностью М. Отв. — у .
73. Даны образующая конуса / и боковая поверхность М. Опре¬
делить объём конуса. Отв. ]/гс2/4 — М2.
74. Дан конус, радиус основания которого г и высота Н. На каком
расстоянии от плоскости основания нужно провести плоскость, ей
цилиндра, отсекаемой
параллельную, чтобы этой плоскостью конус разделился на две равно¬
великие части. Каков радиус такого сечения? Отв. ^(2—\/ 4); !—\/ 4.
75. На каком ргсстоянии от основания отстоят две пло¬
скости, параллельные плоскости основания и делящие боковую по¬
верхность конуса на 3 равные части, если высота конуса равна //?
76. Высота конуса разделена на 3 равные части и через эти
точки деления проведепы плоскости параллельно плоскости основа¬
ния конуса. В каком отношении делится объём конуса этими плос¬
костями? О те. 1:7: 19.
77. Дан конус, радиус основания которого г и образующая 2г*
Плоскость, параллельная основанию, делит его на два тела, полные
поверхности которых одинаковы. Чему равна образующая конуса, от¬
сечённого этой плоскостью? Отв. rV 3.
78. Определить, в каком отношении делится боковая поверхность
конуса плоскостью, проведённой через его вершину и хорду осно¬
вания, равную по длине радиусу основания. Отв. 5:1.
79. Определить высоту усечённого конуса, радиусы оснований
которого 18 и 10 м, а образующая 28 м. Отв. 26,83 м..
80. Определить радиусы оснований усечённого конуса R и г и
образующую /, если известно их отношение R:r:l~ 2:1:3, а боковая
поверхность этого конуса равна 452,16/се. м. Отв. R — 8 м,г — 4 м,
/ = 12 м.
81. Определить высоту усечённого конуса, радиусы основании
которого R и г и боковая поверхность которого равна сумме пло¬
щадей его оснований. Отв.-^^- .
R + г
82. Дан усечённый конус с высотой И и радиусами оснований R
и г. На каком расстоянии от плоскости нижнего основания его сле¬
дует провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь
сечения была средней пропорциональной между площадями основа-
hVr
ний? Отв. ■ .
VR+V г
83. Усечённый конус, радиусы оснований которого равны R и г,
высота h и образующая /, разделён на две части плоскостью, парал¬
лельной основанию.
Определить радиус сечения, если плоскость делит:
_ _ f № 4-
1) Объём усечённого конуса на две равные части. Отв. |/ _—I— .
2) Объём усечённого конуса на две части, находящиеся в отно¬
шении p:q. Отв. л/~.
У Р \~Ч
3; Боковую поверхность усечённого конуса на две равные части.
0„.. уГЩГ1 .
135
4) Боковую поверхность усечённого конуса на две части, нахо-
( R% -I— vt2
дящиеся в отношении р\в. Отв. л/ -l__-_Т-£— .
V р-\~ч
84. Высота усечённого конуса //, радиусы оснований R и г. Пло¬
скость, параллельная основанию, делит объём конуса на две равные
части. Определить расстояние этой плоскости от нижнего основа-
н ( l/w+w
ния конуса. Отв. _ r \ R — у —^
85. Полная поверхность усечённого конуса равна т2, а образую¬
щая наклонена к плоскости основания иод углом в 60° и равна а.
п •« гл г / ЪсС1 т2
Вычислить радиусы основании этого конуса. Отв. I/
V
6ai I т2 а
“Тб + ~ ~ I
86. Определить высоту шарового слоя, сферическая поверхность
которого равна 22,609 кв. м, а радиус шара, которому принадлежит
слой, равен 2,4 м. Отв. 1,5 м.
87. Радиус шара равен 2 л/, радиус сечения шара плоскостью ра¬
вен 1 м. Определить объём сектора, соответствующего сегменту,
отсекаемому плоскостью. Отв. 2,26 куб. м.
ДОПОЛНЕНИЕ.
ОБ АКСИОМАХ ГЕОМЕТРИИ.
1. Геометрия среди других областей математики (алгебра,
арифметика) выделяется одной только ей присущей особенностью.
Эта особенность состоит в том, что те теоремы и свойства фи¬
гур, которые изучаются в геометрии, не только устанавливаются
путём ряда рассуждений, но во многих случаях могут слу¬
жить объектом непосредственного созерцания; справедливость
этих свойств не только доказывается, но и подтверждается не¬
посредственным зрительным впечатлением. Так, равенство углов
при основании равнобедренного треугольника или равенство двух
треугольников, имеющих одинаковые длины сторон, и многие
другие свойства фигур можно непосредственно созерцать.
Наглядность геометрических объектов помогает обнаруживать
и угадывать многие геометрические факты прежде, чем они бу¬
дут точно доказаны. Непосредственное созерцание геометрических
фигур у древних египтян (за 2000 лет до нашей эры) служило
главным способом доказательства наличия тех или иных их свойств.
Но такой способ мог быть пригоден лишь для установления про¬
стейших геометрических фактов. С такими именно фактами и
имели дело египтяне, которые пользовались геометрией для узко-
практических целей. Уже простое расширение и усложнение прак¬
тических задач привело к необходимости изучать свойства всё более
сложных геометрических фигур, а для этого уже недостаточно
было простого созерцания чертежа; появилась необходимость
применять всё более сложные формы рассуждений.
Кроме того, сама наглядность чертежа в применении к более
сложным геометрическим фигурам часто весьма обманчива и при¬
137
водит иногда прямо к неверным заключениям. Можно привести
много примеров, когда общий вид чертежа подсказывает невер¬
ное заключение о взаимном расположении и свойствах изобра¬
жённых на нём фигур. На этом основано много геометрических
парадоксов, приводить которые мы -здесь не будем.
Древние греки, воспринявшие геометрическую науку от егип¬
тян, обобщили отдельные факты, известные египтянам, и вырабо¬
тали определённые формы рассуждений, при помощи которых они
обнаруживали новые геометрические факты. Приблизительно за
300 лет до начала нашей эры греческий геометр Е в к ли д-в ряде
своих книг, носивших общее название „Начала*, дал первое на¬
учное обоснование геометрии. Он постарался в достаточно от¬
чётливых терминах в форме определений выразить словами те
общие представления о простейших геометрических образах —
точках, линиях, поверхностях — и о взаимоотношениях между
ними, которые считались до того времени само собой понятными.
Базируясь на этих определениях, он дал полное логически стро¬
гое построение геометрии, по форме в высшей степени совершен¬
ное и с точки зрения современной науки.
Евклид прежде всего попытался дать точные определения основ¬
ных геометрических понятий: точки, линии, поверхности и гео¬
метрического тела. Приведём данные им определения:
1. Тонка есть то, нто не имеет настей.
2. Линия есть длина без ширины.
3. Границы линии суть тонки.
4. Прямая линия есть та, которая одинаково располо¬
жена относительно всех своих тонек.
5. Поверхность есть то, нто имеет только длину и ши¬
рину.
6. Границы поверхности суть линии.
7. Плоскость есть поверхность, которая одинаково рас¬
положена относительно всех своих прямых.
8. Телом называется то, нто имеет длину, ширину а
глубину.
9. Границы тела суть поверхности.
Целью этих определений было достигнуть того, чтобы тер¬
мины „точка*, „прямая44 и т. д. не только вызывали определён¬
ное зрительное представление, но, одновременно с тем, опреде¬
ляли некоторое понятие, опираясь на которое, можно было бы
делать дальнейшие логические выводы. И хотя эти определения
несовершенны с точки зрения современной науки, но они вполне
соответствовали тогдашнему состоянию научной мысли и являлись
первым шагом к переходу от образов к понятиям. Они послужили
отправным пунктом всех последующих работ по геометрии и
138
определили собой пути её дальнейшего развития.
Все истины, которые устанавливаются в геометрии, Евклид
разделил на три вида: постулаты, аксиомы и теоремы. К пер¬
вым двум видам1 были отнесены простейшие истины, которые
не возбуждали никаких сомнений, были непосредственно очевидны
и могли поэтому служить исходными предложениями, из кото¬
рых логически выводились другие истины.
Третий вид предложений—теоремы — истины, которые
должны доказываться, т. е. путём рассуждений выводиться из
двух первых видов истин.
Приведём постулаты и аксиомы Евклида:
а) Постулаты. Требуется, чтобы:
1) от каждой точки до каждой другой точки можно
было провести одну прямую линию;
2) ограниченную прямую можно было неограниченно про¬
должать;
3) из любого центра можно было описать окружность
любым радиусом;
4) все прямые углы были равны между собой;
5) две прямые, которые при пересечении с третьей обра¬
зуют с ней по одну сторону внутренние углы, в сумме мень¬
шие двух прямых, при продолжении в ту же сторону пере¬
секались.
б) Аксиом ы.
1) рлвные одному и тому же равны между собой;
2) если к равным прибавить поровну, то суммы будут
равны;
3) если от равных отнять поровну, то остатки будут
равны;
4) совмещающиеся друг с другом равны;
5) целое больше своей части.
Эти аксиомы и постулаты Евклида в течение долгого ряда
последующих столетий служили базой, на которой строилась вся
геометрия.
2. Уже ближайшие последователи Евклида обратили особое
внимание на пятый из данных Евклидом постулатов. Он привле¬
кал к себе внимание сложностью своей формулировки и далеко
не полной очевидностью. Эта неочевидность вызывала стремление
так или иначе доказать справедливость постулата, т. е. вывести
его из остальных, не возбуждающих сомнений истин. Попытки
1 Принципиальгой разницы между теми и другими Евклид не указы¬
вает, но с постулатами он обычно связывает утверждение воз¬
можности выполнить то или иное построение.
139
дать доказательство пятого постулата продолжались в течение 2000
лет, но не привели и, как оказалось впоследствии, не могли при¬
вести к положительному результату. Удавалось лишь заменить
постулат другим предложением, ему равносильным, но столь же
неочевидным и не вытекавшим из остальных геометрических ак¬
сиом и постулатов.
3. В первой половине XIX в. великий русский матаматик,
профессор Казанского университета, Николай Иванович Лоба¬
чевский высказал смелую мысль, что пятый постулат Евклида не
является логическим следствием остальных аксиом геометрии и
потому не может быть доказан и что принятие этого постулата
не является необходимым для построения геометрии.
В подтверждение своей мысли он построил новую геометрию,
в которой пятый постулат Евклида был заменён другим пред¬
ложением, а именно, что через данную точку в данной плоскости
можно провести бесчисленное множество прямых, не пресекаю¬
щих данной.
Предложения Зтой геометрии существенно отличались от те-
ирем геометрии Евклида. Так, сумма углов треугольника оказы¬
валась меньше двух прямых углов, к теоремам о равенстве
треугольников присоединялась новая: треугольники равны, когда
три угла одного равны трём углам другого. В этой геометрии,
следовательно, не существует треугольников, подобных и в то же
время неравных между собой.
Несмотря на всю непривычность таких предложений новой
геометрии, она имела такую же стройную и -законченную форму,
как геометрия Евклида. Впоследствии ей было дано название
неевклидовой геометрии. Одновременно с её открытием возник
вопрос, какая же геометрия имеет место в действительном ма¬
териальном мире и какой геометрией следует пользоваться при
решении различных вопросов физики, астрономии и др. Лобачев¬
ский пытался решить этот вопрос опытным путём — астрономи¬
ческими наблюдениями. Но реши?ь этот вопрос столь простыми
средствами оказалось невозможным. Дело в том, что наши про¬
странственные восприятия лишь приблизительно отражают про¬
странственные отношения материального мира.
Геометрия Евклида выросла из наблюдений над материальным
миром и потому с большою точностью отражает существующие
в нём взаимоотношения, по крайней мере в их простейших про¬
явлениях. Поэтому опыты Лобачевского не дали исчерпывающего
ответа на поставленный вопрос: они не обнаружили заметных от¬
клонений от того, что давала геометрия Евклида, но и не уста¬
новили абсолютного совпадения предложений этой геометрии
с пространственными взаимоотношениями материального мира.
140
Открытие неевклидовой геометрии произвело глубокие изме
нения в сознании геометров. Самый факт существования строй¬
ной и непротиворечивой неевклидовой геометрии подрывал вековое
доверие к „наглядности44 и „очевидности", руководившими мы¬
слью древних геометров. Многовековой анализ пятого постулата
расшатал устои первичных геометрических представлений, на ко¬
торых покоилась геометрия Евклида. Он вскрыл глубокие зави¬
симости между отдельными, казавшимися далёкими одни от дру¬
гих, геомётрическими фактами и представил в новом свете про¬
странственные взаимоотношения материального мира. Поэтому
система аксиом и определений Евклида как база для построения
геометрии стала уже недостаточной. В свете новых идей его
определения и аксиомы обнаружили недостаточную полноту и
не могли уже отвечать возросшим требованиям научной стро¬
гости.
Такое, например, определение, как „линия есть длина без
ширины44, не могло уже удовлетворить геометров, так как в их
сознании сами понятия длины и ширины уже утратили ту абсо¬
лютную ясность, которую они имели во времена Евклида. Для
геометров нового времени стало ясно, что многие определения
Евклида требовали некоторых дополнительных предположений, ко¬
торые явно не высказывались, но незаметно принимались сознанием
древних геометров. Иначе трудно объяснить, почему, например,
определение 4 нельза применить • к окружности и определение 7
к поверхности круглого цилиндра или сферы.
Требование большей полноты геометрических определений и
аксиом привело к тому, что в конце XIX в. перед учёными
встала задача общего пересмотра и уточнения всей аксиомати¬
ческой базы геометрии. Это привело к созданию новой аксиома¬
тики геометрии, вполне отвечающей современным требованиям
математической строгости.
Ниже мы даём краткое изложение современного состояния
этого вопроса.
4. Прежде всего поставим вопрос об определении основных
геометрических образов: точка, прямая линия и плоскость. За¬
метим, что определить какое-нибудь понятие, значит выразить
его через понятия, ранее уже установленные. Если же искать
определение простейших понятий, то дело неизбежно сведётся
лишь к замене одного термина другим, в свою очередь требую¬
щим определения. Так и было у Евклида, который понятие „ли¬
нии44 определил через понятие „длины44 или „границы44, а эти
последние не определил.
Поэтому можно с самого начала не искать определения про¬
стейших геометрических понятий, а принять их за исходные,
141
которые нельзя уже выразить через понятия более простые.
„Точка", „прямая* и „плоскость* и принимаются за такие первич¬
ные, неопределимые геометрические понятия. По отношению к ним
устанавливается целая система основных положений—„аксиом*,
принимаемых за исходные недоказуемые положения. По существу
эти аксиомы представляют собой лишь целесооб¬
разные абстракции пространственных взаимо¬
отношений материального мира.
Мы приведём здесь (с несущественными изменениями) ту
систему аксиом, которая была дана немецким математиком Г иль-
бертом. В этой системе все аксиомы геометрии разделяются
на 5 групп.
Первая группа аксиом — „аксиомы соединения". Аксиомы
этой группы имеют целью установить те взаимоотношения между
понятиями точка, прямая и плоскость, которые обычно
характеризуются словами: „прямая проходит через точку*,
„точка лежит на прямой или на плоскости* и т. п. Эта группа
состоит из следующих аксиом:
1. Через две точка проходит единственная прямая.
2. На каждой прямой лежит не менее двух точек;
существуют, по крайней мере, три точки, не лежащие на
одной прямой.
3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, про¬
ходит единственная плоскость\ В каждой плоскости лежит,
по крайней мере, одна точка.
4. Если две точки прямой линии лежат в данной плоскости,
то и все точки этой прямой лежат в той же плоскости.
5. Если две плоскости имеют одну общую точку, то они
имеют и ещё, по крайней мере, одну общую точку.
6. Существуют, по крайней мере, четыре точки, не лежа¬
щие в одной плоскости.
При первом взгляде на эти аксиомы некоторые из них могут
показаться или недостаточными, или вообще ненужными. Так,
аксиома 2 как бы противоречит обычному представлению о прямой,
на которой мы мыслим бесчисленное множество точек. Но не
следует забывать, что точки и прямые введены у нас как первич¬
ные, не зависящие одно от другого понятия. Они могут сущест¬
вовать раздельно. Поэтому, когда мы говорим, что точка ле¬
жит на прямой или что прямая проходит через точку, мы
приписываем точке и прямой способность находиться между
собой в некотором взаимоотношении. Чтобы яснее представить
себе такое раздельное существование точек, прямых и плоскостей
и взаимоотношения между ними, будем их представлять себе
в виде конкретных, физических предметов. Точки будем пред¬
142
ставлять себе в виде горошин какой-нибудь определённой вели¬
чины. Эти горошины будем предполагать шарообразной формы
и достаточно мягкими (например, разбухшими в воде), чтобы их
можно было прокалывать тонкими иглами и резать на части.
Прямые линии будем представлять в виде очень тонких стальных
иголок, а плоскости в виде столь же тонких пластинок. Сначала
эти пластинки, иглы и горошины представляем себе ничем не
связанными и даже находящимися в разных местах: в одном
месте кучка гороха, в другом — груда стальных игл, в третьем —
пачка сложенных пластинок. Начнём теперь подчинять их тем
условиям, которые содержатся в наших аксиомах. Мы будем
считать, что точка лежит на прямой, если игла прокалывает
горошину, или хотя бы частично входит в неё. Будем считать,
что точка лежит на плоскости, если тонкая пластинка режет
горошину пополам, или лишь надрезает горошину. Что означают
при этих условиях аксиомы? Они требуют, чтобы наши горошины,
иглы и пластинки приняли такое расположение в пространстве,
при котором бы: каждые две горошины были проколоты по край¬
ней мере одной иглой или нанизаны на одну иглу (акс. 1); каж¬
дая игла прокалывала не менее двух горошин (акс. 2); каждые
три горошины были разрезаны (или надрезаны) одной пластинкой
и чтобы каждая нластинка надрезала но крайней мере одну
горошину (акс. 3); если две горошины, нанизанные на одну иглу,
надрезать некоторой пластинкой, то и все другие горошины,
которые могут оказаться нанизанными на ту же иглу, надрезы¬
вались бы той же пластинкой (акс. 4); если две пластинки над¬
резывают одну и ту же горошину, то они надрезывали бы, по
крайней мере, ещё одну горошину (акс. 5); имеются по крайней
мере четыре горошины, не разрезанные (и не надрезанные) одной
и той же пластинкой (акс. 6). Таким условиям должны удовлет¬
ворять наши горошины, иглы и пластинки. И такую комбинацию
горошин, игл и пластинок нетрудно построить. Действительно,
отделим от пачки пластинок четыре пластинки. Обрежем их по
краям так, чтобы каждая из них приняла форму равностороннего
треугольника определённого размера. Из груды игл возьмём
6 штук и обломаем их концы так, чтобы все иглы стали одной
длины, равной стороне треугольной пластинки. Возьмём, далее,
4 горошины и составим следующую фигуру: из 4 пластинок
составим правильный тетраэдр; в пазы между прилегающими
краями пластинок вложим иглы, а на вершинах тетраэдров поме¬
стим горошины так, чтобы пластинки их надрезали, а иглы про¬
калывали. Для этой совокупности горошин, игл и пластинок
удовлетворяются все поставленные выше требования, т. е. все
наши аксиомы.
143
Из этого примера видно, что множество точек, прямых и
плоскостей, удовлетворяющих аксиомам 1-й группы, может быть
конечным. В нашем иримере мы имеем всего 4 точки, 6 прямых
и 4 плоскости.
Вторая группа аксиом — „аксиомы порядка" — имеет целью
в отчётливой форме высказать те положения, на которые мы
опираемся, когда говорим о том или ином порядке расположе¬
ния точек на прямой и на плоскости. Главным понятием здесь
является расположение на прямой одной точки между двумя
другими. Логическое содержание этого понятия и устанавливается
аксиомами этой группы. Она состоит из следующих аксиом:
1. Если В лежит между А и С, то А, В и С — различ¬
ные точки прямой, и В лежит также между С и А.
2. При данных двух точках А и В на прямой линии на
ней существует по крайней мере одна точка С, такая, что
В лежит между А и С.
3. Из трёх данных точек на прямой не более чем одна
лежит между двумя другими.
4. Если в данной плоскости даны треугольник ABC и
какая-либо прямая а, не проходящая ни через одну из его
вершин и пересекающая отрезок АВ, то она непременно пере¬
сечёт или отрезок ВС или отрезок АС.
Эти аксиомы предъявляют к нашим точкам, прямым и пло¬
скостям требования, которым они должны удовлетворять. Та
совокупность граней, рёбер и вершин тетраэдра, которая удовле¬
творяла аксиомам 1-й группы, уже не удовлетворяет аксиомам
2-й группы. В самом деле, на каждой нашей игле были нанизаны
лишь 2 горошины, между тем как вторая аксиома 1-й группы
требует, чтобы на прямой было не менее трёх точек. А более
подробный анализ показывает, что аксиомам 2-й и 1-й групп,
вместе взятым, может удовлетворять лишь бесконечное множество
точек, прямых и плоскостей.
Третья группа аксиом — „аксиомы конгруентности" — имеет
целью установить основные предложения о равенстве отрезков
и углов. Она содержит следующие аксиомы:
1. Иа любой прямой от любой её точки можно отло¬
жить отрезок, равный данному.
2. Два отрезка, равные третьему, равны между собой.
3. Пусть А, В, С — точки одной прямой и Ах, Bv Сх —
также точки одной прямой и AB — A^BV ВС = В1С1; если
отрезки АВ и ВС, а также АхВг и ВгСг не имеют общих
точек, то АС = А1С1.
4. В данной плоскости от любой точки данной прямой
по данную её сторону можно построить один и только
144
один угол, равный данному; каждый угол равен самому себе.
5. Если в двух треугольниках ABC и АХВХСХ стороны
АВ = АХВХ, АС = АХСХ и BAC = Z.B1A1CX1 то £ АВС =
=zw,.
Следует обратить внимание на последнюю аксиому.
В учебниках геометрии эта аксиома есть следствие первого
признака равенства треугольников. Но само это равенство треуголь¬
ников доказывается путём наложения и, следовательно, пред¬
полагает возможность перемещения фигур; возможность же
такого перемещения сама составляет некоторую новую аксиому
и притом не включённую в нашу систему. Поэтому предложе¬
ние 5 и приходится принимать как новую аксиому. Пользование
ею заменяет применение в геометрии метода перемещения фигур.
Четвёртую группу аксиом составляет одна „аксиома о
параллельных прямых". При этом возможность существова¬
ния параллельных доказывается без помощи новых аксиом.
А потому аксиома требует лишь единственности параллельной
прямой: через данную точку в данной плоскости можно про¬
вести не более одной прямой, не пересекающей данной. Об
этой аксиоме мы уже говорили выше.
Наконец, пятую и последнюю группу аксиом составляют
„аксиомы непрерывности". Эта группа состоит из двух аксиом:
1. Аксиома Архимеда. Если АВ и CD два произволь¬
ных отрезка, то на прямой АВ существует ряд точек
Ах, А2, А3, . . Ап таких, что ААХ = АХА2 = А2А3 = ... =
= Atl_xAn = CD и что В будет лежать между^ Ап__х и Аа.
2. Аксиома линейной полноты. Точки прямой ли¬
нии образуют систему точек, которую нельзя дополнить
новыми точками, которые можно было бы считать принад¬
лежащими той же прямой без нарушения ранее устан. елей¬
ных аксиом*.
Содержание первой из этих аксиом — аксиомы Архимеда —
достаточно ясно: аксиома требует, чтобы каждой точки прямой,
как бы далеко она ни была намечена, можно было достигать с по¬
мощью конечного числа равных шагов и, следовательно, чтобы
можно было измерить расстояние от данной точки до любой точки
прямой. Поэтому эту аксиому и называют иногда „аксиомой
измерения44.
Посмотрим, в чём сущность аксиомы линейной полноты.
Учащиеся знают из курса алгебры, что если на числовой
оси построить все точки с рациональными абсциссами, то этим
1 Точнее: без нарушения первых двух аксиом соединения, аксиом
порядка, первой аксиомы конгруентности и аксиомы Архимеда.
145
не исчерпаются все точки прямой: прямая не будет сплошь
заполнена этими точками. Так, точки с иррациональными абсцис¬
сами ещё не будут построены. Когда вводятся алгебраические
иррациональные числа в виде корней всевозможных степеней из
рациональных чисел и корней алгебраических уравнений с рацио¬
нальными коэфициентами и строятся соответствующие им
точки на числовой оси, то числовая ось обогащается новыми
точками с иррациональными абсциссами. Но на числовой оси всё
ещё остаются пустые места, где ещё могут быть вставлены но¬
вые точки. Так, точки с абсциссами я, -£■, ~ , ]/"тт и т. п. не
будут нанесены на числовой оси. Ось заполнится вся лишь после
того, как будут введены все действительные числа. После этого
на ней нельзя будет вставить новую точку. На ней уже не
останется пустых мест. Аксиом'а полноты требует, чтобы именно
этим свойством обладала геометрическая прямая: чтобы на ней
не оставалось ни одного пустого места, куда можно было бы
вставить новую точку.
Принятие этой аксиомы позволяет считать, что каждому дей¬
ствительному числу соответствует определённая точка на прямой
при выбранном начале отсчёта абсцисс, и обратно — каждой
точке прямой соответствует определённое действительное число.
Таков перечень всех аксиом, на которых базируется в на¬
стоящее время евклидова геометрия.
Введение.
Изображение пространствен¬
ных фигур на плоскости . . 3
Глава первая.
ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ.
I. Общие положения о вза¬
имном расположении пря¬
мых и плоскостей 4
II. Задачи на построение
пространственных фигур.. . 6
III. Параллельные прямые и
плоскости 9
IV. Параллельное смещение 14
V. Перпендикулярные пря¬
мые и плоскости 17
VI. Зависимость между па¬
раллельностью и перпенди¬
кулярностью прямых и пло¬
скостей 20
VII. Углы между скрещиваю¬
щимися прямыми и между
прямой и плоскостью ... 25
VIII. Вращение пространст¬
венных фигур вокруг оси . 27
IX. Упражнения к главе
первой 34
Глава вторая.
СИММЕТРИЯ ПРОСТРАН¬
СТВЕННЫХ ФИГУР.
1. Симметрия относительно
плоскости 40
II. Центральная симметрия
пространственных фигур . 45
III. Осевая симметрия про¬
странственных фигур ... 48
IV. Упражнения к главе
второй 53
Стр.
Глава третья.
ДВУГРАННЫЕ И МНОГО¬
ГРАННЫЕ УГЛЫ.
I. Двугранные углы .... 54
И. Трёхгранные углы .... 59
III. Многогранные углы ... 62
IV. Упражнения к главетретьей 63
Глава четвёртая.
МНОГОГРАННИКИ.
I. Общие свойства много¬
гранников 66
II. Призма 70
III. Пирамида 73
IV. Правильные многогран¬
ники 77
V. Подобное преобразование
многогранников 91
Глава пятая.
ОБЪЁМЫ МНОГОГРАН¬
НИКОВ.
1. Сравнение объёмов много¬
гранников 94
II. Измерение объёмов много¬
гранников 98
III. Упражнения к главам чет¬
вёртой и пятой 107
Глава шестая.
КРУГЛЫЕ ТЕЛА.
I. Цилиндр 111
II. Конус 114
III. Тела вращения 121
IV. Сфера 125
V. Упражнения к главе
шестой 130
Дополнение. Об аксиомах гео¬
метрии 137
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.