Автор: Романенко В.Д.
Теги: автоматика системи управління підручник автоматизація
ISBN: 5-11-004274-8
Год: 1995
Текст
В.Д.Романенко МЕТОДИ
АВТОМ АТИЗАШІ
ПРОГРЕСИВНИХ
ТЕХНОЛОГІЙ
Затверджено Міністерством
©світи України
як підручник для студентів
вузів, які навчаються
із спеціальностей «Прикладна
математика», «Автоматизація
технологічних процесів
і виробництв», «Автоматика
та керування в технічних
системах»
київ
«ВИЩА ШКОЛА»
1995
ББК 32.965я73
Р69
\ДК 65.012.122(075.8)
Рецензенти: проф. М. Ф. Бондаренко (Харківський
технічний університет радіоелектроніки); проф. Л. Є. Ящук
(Одеська академія зв’язку); проф. 77. І. Чинаєв (Інститут
машинознавства РАН); ст. наук, співробітник О. І. Савенков
(Київський інститут кібернетики НАН України)
Редакція літератури з математики, фізики, інформатики
Редактор В. Ф. Хміль
У фінансуванні видання часткову допомогу надала київська
фірма «Комп’ютерні Технології та Системи»
Романенко В. Д.
Р69 Методи автоматизації прогресивних технологій:
Підручник.— К. : Вища шк.» 1995.— 519 с. : іл.
І8ВИ 5-11-004274-8
Викладено сучасні математичні методи проектування
мікропроцесорних адаптивних систем керування технологіч-
ними процесами, які подано лінійними та нелінійними дискрет-
ними математичними моделями авторегресії та ковзного серед-
нього, а також моделями в просторі стану Особливу увагу
приділено методам синтезу адаптивних цифрових регуляторів
у детермінованому та стохастичному середовищах для багато-
вимірних об’єктів з різними і змінними запізнюваннями в
каналах керування. Вперше у вітчизняній літературі висвіт-
лено методи проектування багатовимірних цифрових систем
керування з різнотемновим квантуванням.
Для студентів вузів, які навчаються із спеціальностей
«Прикладна математика», «Автоматизація технологічних про-
цесів і виробництв», «Автоматика та керування в технічних
системах».
2103000000—015
Р -------------87—94
211—95
ББК 32.965я73
I8ВN 5-11-004274-8
© В. Д. Романенко, 1995
ЗМІСТ
Список скорочень ............................................ 6
Основні умовні позначення..................................... 7
Вступ ......................................................... 8
Розділ 1. Проблеми та принципи керування технологіч-
ними процесами............................................14
1.1. Характеристика технологічних процесів і задач керування
технологічними системами...................................14
1.2. Основні принципи квантування .............................17
1.3. г-перетворення ...........................................23
1.4. Дискретні детерміновані моделі динаміки об’єктів керу-
вання типу «вхід-вихід»....................................26
1.5. Дискретні моделі об’єктів керування в просторі стану . . 31
1.6. Стохастичні дискретні авторегресивні моделі ... 40
1.7. Типовий контур цифрового керування .................45
1.8. Типові алгоритми цифрового керування .... 50
1.9. Методи вибору періоду квантування ........................55
1.10. Аналіз дискретних систем і об’єктів керування ... 59
1.11. Методи поточної оцінки параметрів дискретних моделей
об’єктів керування в реальному масштабі часу ... 65
Контрольні завдання............................................73
Завдання для самостійного розв'язування........................74
Розділ 2. Принципи та методи проектування оптималь-
них одновимірних поліномних дискретних си-
стем адаптивного керування ................................... 75
2.1. Класифікація і загальна характеристика методів побудо-
ви оптимальних дискретних регуляторів.........................75
2.2. Принципи проектування адаптивних цифрових регулято-
рів без еталонної моделі ......................................80
2.3. Принципи побудови адаптивних цифрових регуляторів з
еталонною моделлю .............................................84
2.4. Синтез адаптивних цифрових регуляторів з компенсацією
невідомого та змінного запізнювання в одновимірних лі-
нійних об’єктах керування .....................................91
2.5. Синтез адаптивних регуляторів для одновимірних ліній-
них стохастичних об’єктів керування з запізнюванням . . 101
2.6. Синтез адаптивних цифрових регуляторів для одновимір-
них нелінійних стохастичних об’єктів керування з запіз-
нюванням .....................................................112
Контрольні завдання ..........................................122
Завдання для самостійного дослідження.........................124
Розділ 3. Методи синтезу адаптивних регуляторів для
немінімально-фазових і нестійких лінійних об’-
єктів керування..............................................125
3.1. Адаптивне керування одновимірними немінімально-фазо-
вими та нестійкими об’єктами з детермінованими збурен-
нями .........................................................125
З
3.2. Адаптивне керування одновимірними немінімально-фазо-
вими та нестійкими об’єктами з запізнюванням при сто-
хаотичних збуреннях ..........................................143
3.3. Адаптивне керування багатовимірними немінімально-фа-
зовими об’єктами .............................................152
Контрольні завдання ..........................................168
Завдання для самостійного дослідження.........................168
Розділ 4. Методи проектування оптимальних систем керу-
вання з використанням дискретних моделей у про-
сторі стану...................................................169
4.1. Принципи проектування оптимальних дискретних регуля-
торів стану ..................................................169
4.2. Основні положення теорії прогнозування та фільтрації 181
4.3. Проблема лінійно-квадратичного гауссового оптимального
керування .....................................189
4.4. Синтез оптимального дискретного регулятора стану з ви-
мірністю, незалежною від запізнювання в об’єкті та періо-
ду квантування ...............................................197
Контрольні завдання ..........................................203
Завдання для самостійного розв'язування....................203
Розділ 5. Багатовимірні матричні поліномні адаптивні
системи керування об’єктами зі змінними запіз-
нюваннями при детермінованих збуреннях 201
5.1. Метод синтезу багатовимірних адаптивних цифрових регу-
ляторів з компенсацією різних, невідомих і змінних запізню-
вань у лінійних об’єктах .....................................204
5.2. Принцип різнотемпового квантування при синтезі багато-
вимірних адаптивних регуляторів для лінійних об’єктів
керування з різними та змінними запізнюваннями . . 229
5.3. Аналіз стійкості та збіжності багатовимірних адаптивних
систем керування зрізними та змінними запізнюваннями
при різнотемповому квантуванні................................251
5.4. Проектування двовимірної адаптивної системи керування
відпарною колоною установки каталітичного риформінга
бензинів .....................................................256
Контрольні завдання ..........................................270
Завдання для самостійного розв’язування та дослідження . . 271
Розділ 6. Методи проектування багатовимірних матрич-
них поліномних адаптивних систем керування
об’єктами з різними запізнюваннями при випад-
кових збуреннях...............................................272
6.1. Синтез адаптивних регуляторів для лінійних багатовимір-
них стохастичних об’єктів з різними запізнюваннями в ка-
налах керування ..............................................272
6.2. Синтез адаптивних регуляторів для нелінійних багатови-
мірних стохастичних об’єктів з різними запізнюваннями
в каналах керування ......................................... 287
6.3. Аналіз стійкості систем керування одно- та багатовимір-
ними об’єктами при випадкових збуреннях .... 302
Контрольні завдання ......................................... 307
Завдання для самостійного розв'язування та дослідження . . 308
Розділ 7. Синтез багатовимірних систем керування з регу-
ляторами стану при різнотемповому квантуванні 309
7.1. Проектування різнотемпових складених регуляторів стану
для дискретних систем ........................................309
7.2. Різнотемпове квантування неперервних систем і проекту-
вання складеного дискретного регулятора в подвійному мас-
штабі часу .....................................329
7.3. Вибір періоду квантування при проектуванні систем ке-
рування з подвійним масштабом часу ...........................335
7.4. Розробка алгоритму обчислення скалярних критеріїв опти-
мальності при різнотемповому квантуванні . . . 344
7.5. Проектування різнотемпового складеного регулятора для
об’єктів з запізнюванням і компенсацією повільнодіючих
збурень з середнім значенням їх, відмінним від нуля . . 351
7.6. Різнотемпові спостерігачі векторів змінних стану в замкне-
них підсистемах керування ....................................363
7.7. Проектування різнотемпових регуляторів з оцінкою змін-
них стану в двох масштабах часу при випадкових збуреннях
типу «білого шуму> ...........................................373
Контрольні завдання .........................................384
Завдання для самостійного розв'язування ...................384
Розділ 8. Синтез нелінійних багатовимірних адаптивних
дискретних систем керування з регуляторами стану
при випадкових збуреннях .................................... 385
8.1. Нелінійний фільтр для оцінювання векторів стану багато-
вимірних стохастичних об’єктів ...............................385
8.2. Метод одночасного роздільного оцінювання параметрів і
змінних стану нелінійних багатовимірних стохастичних
об’єктів .....................................................399
8.3. Синтез оптимального багатовимірного регулятора стану
нелінійного об’єкта на основі одночасного роздільного
оцінювання параметрів і змінних його стану . . . 409
Розділ 9. Проектування адаптивних мікропроцесорних
систем керування технологічними процесами 413
9.1. Методи проектування мікропроцесорних систем керування
технологічними процесами ......................413
9.2. Адаптивна робастна мікропроцесорна система керування
нестійкими та немінімально-фазовими об’єктами . . 425
9.3. Адаптивна мікропроцесорна система керування двовимір-
ними об’єктами з компенсацією змінних запізнювань при різ-
нотемповому квантуванні ..................................... 432
Додатки 443
Список використаної та рекомендованої літератури , . 514
Предметний покажчик........................................517
СПИСОК СКОРОЧЕНЬ
АР — авторегресія
АРКС — авторегресія та ковзне середнє
АРПКС — авторегресія та проінтегроване ковзне середнє
АСЕМ — адаптивна система з еталонною моделлю
АСКТП — автоматизована система керування технологічним поо-
АЦП
ББР
БВЗ
БД
БЦР
В
ВІС
ВМ
ВП
ГТІ
ГПЧ
д
ДАРКС
ЕМ
ЕОМ
ЗНЧ
КАС
КП
КС
лкг
лп
мікроЕОМ
МНК
МП
МПС
ОЕ
ОЗП
ОК
Парі
ПВ
ПВив
ПЗП
ПІ
ПІД
Послі
РМНК
СПВМ
спд
тп
тс
цесом
— аналого-цифровий перетворювач
— багаторежимний буферний регістр
— блок вироблення завдання
— блок ділення
— багатовимірний цифровий регулятор
— вентиль
— велика інтегральна схема
— виконавчий механізм
— виконавчий пристрій
— генератор тактових імпульсів
— генератор псевдовипадкових чисел
— датчик
— детермінована авторегресія та ковзне середнє
— еталонна модель
— електронна обчислювальна машина
— зведена неперервна частина
— комутатор аналогових сигналів
— керуючий пристрій
— ковзне середнє
— лінійно-квадратичний гауссів
— логічний пристрій
— мікроелектронна обчислювальна машина
— метод найменших квадратів
— мікропроцесор
— мікропроцесорна система
— обчислювальний елемент
— оперативний запам’ятовуючий пристрій
— основний контур
— паралельний інтерфейс
— пристрій введення
— пристрій виведення
— постійний запам’ятовуючий пристрій
— пропорційно-інтегральний
— пропорційно-інтегрально-диференціальний
— послідовний інтерфейс
— рекурентний метод найменших квадратів
— система приєднання виконавчих механізмів
— система приєднання датчиків
— технологічний процес
— технологічна система
6
ЦАП — цифроаналоговий перетворювач
НР — цифровий регулятор
ША — шина адреси
ШД — шина даних
ШК — шина керування
ОСНОВНІ УМОВНІ ПОЗНАЧЕННЯ
^7*0
~Уі
й = {х!Тй}
(2)
х (кТ0)
и(йГ0)
Л (г—1),
В (г-1),
С (г—*)
Р (кТ0)
0 (кТ0)
Ч
Ь
Л(й)
т
— період квантування
— задавальне діяння регулятора
— оператор математичного сподівання
— діагональна матриця
— передаточна функція об’єкта
— дискретна передаточна функція ЗНЧ об’єкта
— поточний час
— час запізнювання в об’єкті
— дискретні часи
— /и-вимірний вектор керованих змінних, спостережу-
ваних у дискретні моменти часу
— ти-вимірний вектор керуючих діянь у дискретні мо-
менти часу
— дискретне запізнювання в об’єкті за керуючим діян-
ням
— дискретна передаточна функція ЦР
— /л-вимірний вектор-стовпець стану об’єкта
— г-вимірний вектор-стовпець керуючих змінних
— поліномні вирази дискретної моделі об’єкта відносно
оператора зсуву г~1
— перехідна матриця дискретної системи в просторі стану
— матриця передачі керування
— матриця спостереження
— матриця підсилення фільтра Калмана
— тп-вимірний вектор-стовпець збурень
— матриця закону керування регулятора стану
— коефіцієнт підсилення регулятора
— стала часу інтегрування
— стала часу диференціювання
— відхилення регульованої змінної від задавального
діяння в дискретні моменти часу
— символ транспонування
ВСТУП
Найважливішою складовою частиною прискорення на-
уково-технічного прогресу є широка автоматизація техно-
логічних процесів (ТП) на основі мікропроцесорних си-
стем керування. Прогресивні технології, що впроваджу-
ються у різних галузях виробництва в розвинених країнах
світу, передбачають застосування мікропроцесорних си-
стем керування, проектування яких виконується одночас-
но з розробкою ТП.
Використання мікропроцесорних систем керування за-
мість традиційних неперервних регуляторів дає змогуі
здійснювати найбільш досконалі алгоритми керуван-
ня, які можна швидко перенастроювати програмним шля-
хом при зміні динамічних параметрів об’єкта, технології
виробництва, ситуації в ході ТП;
ураховувати при керуванні не тільки теперішній стан
об’єкта, а також його передісторію завдяки наявності
пам’яті мікропроцесорної системи;
розраховувати в автоматичному режимі оптимальну
структуру та параметри настроювання цифрових регуля-
торів (ЦР) при зміні динамічних параметрів об’єкта ке-
рування;
обчислювати значення вихідних керованих параметрів
ТП за його математичною моделлю в разі відсутності необ-
хідних датчиків;
компенсувати програмним шляхом недоліки датчиків
(нелінійності характеристик, зони нечутливості та зсув
нульової позначки);
уводити в закон керування складеного дискретного ре-
гулятора рідкі за часом вимірювання важковимірюваних
параметрів (складу сировини чи вихідного продукту, кон-
центрації, якості, продуктивності), які можна визначити
лабораторними методами за допомогою хроматографії,
радіоспектрометрії тощо.
В останні роки при створенні прогресивних техноло-
гій і промислових автоматизованих систем керування
ТП (АСКТП) використовують методи сучасної теорії
керування складними об’єктами, оцінювання стану і па-
раметрів їх, адаптивного настроювання параметрів ЦР.
8
Підручник призначений для студентів вузів і аспіран-
тів, які спеціалізуються в галузі проектування математич-
ного забезпечення цифрових систем автоматизації неперерв-
них ТП і синтезу адаптивних мікропроцесорних систем ке-
рування об’єктами в різних галузях промисловості.
Мета підручника — виклад методів синтезу цифрових
систем керування, орієнтованих на застосування спеціа-
лізованих мікропроцесорних керуючих обчислювачів або
мікроелектронних обчислювальних машин (мікроЕОМ).
Особливу увагу в книзі приділено різним класам адаптив-
них систем цифрового керування ТП. При цьому проекту-
вання системи керування завершується складанням від-
повідних програм на мовах високого рівня з наступним мо-
делюванням замкненої адаптивної системи на пер-
сональних ЕОМ «Искра-1030», «ЕС1840/-1041», «ІВМ
РСХТ», «ІВМ РС АТ». Методи й алгоритми синтезу цифро-
вих систем керування, описані в книзі, спочатку викла-
даються для об’єктів з відомими та сталими динамічними
параметрами, а потім ці методи поширюються на об’єкти
з невідомими та змінними параметрами.
Значне підвищення ефективності мікропроцесорних си-
стем керування особливо проявляється при реалізації
адаптивних ЦР, які застосовуються для керування техно-
логічними об’єктами зі змінними технологічними парамет-
рами при наявності збурень стохастичного характеру.
Адаптивні ЦР можна розглядати як окремий клас не-
лінійних систем, призначених для керування об’єктами в
умовах невизначеності або несталості параметрів мате-
матичної моделі об’єкта та збурень. Сучасний стан роз-
витку адаптивних систем керування знаходиться на тако-
му рівні, який не дає змоги створити універсальну систе-
му, придатну для будь-якого об’єкта. Виходячи з конкрет-
них умов і математичних моделей для реалізації адаптив-
ної системи керування, потрібно мати великий обсяг апрі-
орної інформації з метою розробки алгоритмів адаптивно-
го керування. Адаптивну систему керування в загальному
випадку можна поділити на два контури: внутрішній (ре-
гулювання) і зовнішній (оцінювання параметрів об’єкта
й обчислення параметрів регулятора).
Методи проектування регуляторів, які застосовуються
за нашого часу, дають добрі результати при відомих па-
раметрах об’єкта. Ці методи мають забезпечувати достат-
ню робастність щодо прийнятих припущень, наприклад
характеру зміни задавальних діянь, поведінки об’єкта в
області високих частот і стаціонарності шуму. Для пра-
9
бильного вибору методу проектування регулятора необ-
хідно добре знати фізичні процеси, що проходять у техно-
логічному об’єкті. Важливу роль відіграють смуга про-
пускання та період квантування сигналів. Вибір останньо-
го, а також низькочастотних фільтрів попередньої оброб-
ки вимірюваних сигналів безпосередньо пов’язаний з час-
тотою коливань вимірюваного сигналу.
Для реалізації адаптивних ЦР необхідно розробити
алгоритми оцінювання параметрів математичної моделі
об’єкта, які мають забезпечити збіжність оцінок до пара-
метрів об’єкта. Для цього треба виконати умови ідентифі-
кації, дістати на вході системи сигнал задавального діян-
ня з достатньо повним спектром, розглянути можливість
ідентифікації в замкненому контурі цифрового керування
і відслідкування змінних параметрів об’єкта.
Контури регулювання та ідентифікації повинні працю-
вати окремо. Досвід застосування адаптивних ЦР показує,
що для ідентифікації здебільшого використовують ре-
курентний метод найменших квадратів (РМНК) і фільтр
Калмана, причому в процесі впровадження їх виникають
ускладнення, пов’язані з низьким порядком використову-
ваних моделей об’єктів керування, відслідкуванням пара-
метрів і накопиченням помилок ідентифікації, обробкою
вадавальних діянь і нелінійнісгю регулятора, а також з
чисельною реалізацією алгоритмів і пуском адаптивної
системи керування.
Для опису більшості об’єктів керування потрібні мо-
делі високих порядків, але в системах керування, як пра-
вило, застосовуються більш зручні моделі низьких поряд-
ків. Щоб досягти високої якості керування, необхідно ма-
ти точну математичну модель в достатньо широкому час-
тотному діапазоні. При проектуванні робастної системи
керування треба обмежити частотний діапазон до такої мі-
ри, при якій модель об’єкта буде задовільною. При цьому
чутливість до низькочастотних коливань можна зменшити
введенням інтегратора в закон керування регулятора.
Для зменшення ефектів, пов’язаних з неточністю моделю-
вання об’єкта на високих частотах, необхідно вибрати
точну його модель, щоб коефіцієнт підсилення розімкне-
ного контура був низьким на цих частотах.
При реалізації адаптивних ЦР слід відслідкувати змін-
ні параметри об’єкта. Для розв’язання цієї задачі треба
відновлювати вимірювані дані. Велика швидкість віднов-
лення їх призводить до появи невизначеності оцінки пара-
метрів, якщо вони повільно змінюються. Занадто повіль-
10
не відновлення даних не дає змоги відслідковувати швид-
козмінні параметри об’єкта. Для виключення «старих»
даних застосовується спосіб експоненціального забуван-
ня, який добре працює при сталому та достатньому збуд-
женні об’єкта.
Якщо збудження в процесі ідентифікації нестале, то
параметри моделі об’єкта будуть відновлюватись непра-
вильно й виникне істотна невизначеність внаслідок нако-
пичення помилок ідентифікації. Щоб уникнути цього, не-
обхідно забезпечити стале збудження об’єкта, наприклад,
введенням допоміжного вхідного сигналу. Другий спо-
сіб полягає в зміні коефіцієнта забування даних або у від-
новленні даних тільки в той час, коли об’єкт збуджу-
ється.
Підручник містить дев’ять розділів і додатки. У пер-
шому розділі викладено принципи дискретного керуван-
ня ТП, описано детерміновані та стохастичні дискретні
моделі об’єктів керування, типові алгоритми цифрового
керування ними, методи вибору періоду квантування си-
гналів і поточного оцінювання параметрів дискретних
моделей керування.
Другий розділ присвячено принципам і методам проек-
тування оптимальних одновимірних дискретних систем
адаптивного керування, які грунтуються на дискретних
математичних моделях об’єктів керування у вигляді
авторегресій (АР) ковзного середнього (КС). При цьо-
му розглянуто два фундаментальних підходи до синтезу
адаптивних систем керування: 1) проектування адаптив-
них ЦР без еталонної моделі (ЕМ); 2) побудову адаптив-
них ЦР з ЕМ.
У третьому розділі викладено методи синтезу адаптив-
них регуляторів для різних класів немінімально-фазових
і нестійких об’єктів з детермінованими та стохастичними
збуреннями. Проектування цих регуляторів виконується
на підставі заданого розміщення полюсів замкненої систе-
ми, а оцінювання змінних параметрів об’єкта реалізуєть-
ся на основі РМНК.
Четвертий розділ присвячено регуляторам стану при
детермінованих і стохастичних збуреннях. Наведено основ-
ні положення рекурентного оцінювання змінних стану з
використанням фільтра Калмана, розглянуто проблему
синтезу лінійно-квадратичного гауссового (ЛКГ) оптималь-
ного керування. Крім того, викладено методи синтезу оп-
тимальних регуляторів стану на основі мінімізації квад-
ратичних критеріїв оптимальності з оцінюванням змінних
11
стану та збурень і з вимірністю незалежного від запізню-
вання об’єкта й періоду квантування.
Важливою частиною підручника є виклад теорії бага-
товимірних матричних поліномних адаптивних систем ке-
рування об’єктами з різними та змінними запізнювання-
ми в каналах керування при детермінованих і стохастич-
них збуреннях, якій присвячено п'ятий та шостий роз-
діли. Для лінійних об’єктів з детермінованими збурення-
ми описано метод синтезу багатовимірних адаптивних ЦР з
компенсацією різних невідомих і змінних запізнювань.
Уперше у вітчизняній та світовій навчальній літературі
розглянуто принцип різнотемпового квантування при син-
тезі багатовимірних адаптивних ЦР для об’єктів з різни-
ми га змінними запізнюваннями. Значну увагу приділено
методам синтезу адаптивних регуляторів для лінійних і
нелінійних стохастичних об’єктів з різними запізнюван-
нями в каналах керування. Виконано аналіз стійкості та
збіжності багатовимірних адаптивних систем керування.
Методи синтезу ЦР, які описано в четвертому й п’ятому роз-
ділах, ілюструються численними прикладами і результа-
тами цифрового моделювання на персональних ЕОМ.
Сьомий розділ присвячено методам синтезу багатови-
мірних систем керування з регуляторами стану при різно-
темповому квантуванні. Розглянуто різні методики проек-
тування швидко- й повільнодіючих взаємозв’язаних ЦР і
синтез складеного різнотемпового регулятора в подвійно-
му масштабі часу. Висвітлено питання розрахунку ска-
лярних критеріїв оптимальності при різнотемповому кван-
туванні сигналів. Описано метод синтезу складеного різ-
нотемпового регулятора для об’єктів із запізнюванням і
компенсацією повільнозмінних збурень. Матеріал цього
розділу не має аналогів у вітчизняній та світовій навчаль-
ній літературі.
У восьмому розділі викладено методи синтезу неліній-
них багатовимірних адаптивних дискретних систем керу-
вання з регуляторами стану при випадкових збуреннях.
Особливу увагу приділено розробці нелінійних фільтрів
для оцінювання змінних стану і параметрів математичних
моделей стохастичних об’єктів. Розглянуто метод суміс-
ного оцінювання параметрів і змінних стану багатовимір-
них стохастичних об’єктів і виконано проектування ре-
гулятора стану з використанням цього методу.
Дев'ятий розділ присвячено методиці проектування
мікропроцесорних адаптивних систем керування техноло-
гічними об’єктами. Наведено приклади мікропроцесорної
12
реалізації адаптивних систем керування технологічними
об’єктами різних класів.
У додатках уміщено доведення основних теорем, роз-
глянутих у підручнику, висвітлено окремі питання підви-
щеної складності. Значний обсяг тут займають програми
виконання лабораторних робітна персональних ЕОМ з ви-
користанням методів синтезу адаптивних регуляторів сто-
совно об’єктів керування різних класів *.
Підручник написано відповідно до програми курсу «Ме-
тоди автоматизації прогресивних технологій» за спеціаль-
ністю «Прикладна математика». В його основу покладено
курс лекцій, що викладається автором у Київському полі-
технічному інституті. Основи теорії проектування багато-
вимірних адаптивних систем керування об’єктами з різ-
ними та змінними запізнюваннями (розд. 5, 6) і методи син-
тезу багатовимірних систем керування з регуляторами ста-
ну при різнотемповому квантуванні (розд. 7) як матеріал
підвищеної складності розглянуто в книзі більш Докладно.
* У підготовці та налагодженні програмного забезпечення
(дод. 9) брав участь аспірант М. Ю. Коваль.
РОЗДІЛ 1
ПРОБЛЕМИ ТА ПРИНЦИПИ КЕРУВАННЯ
ТЕХНОЛОГІЧНИМИ ПРОЦЕСАМИ
1.1. Характеристика технологічних
процесів і задач керування
технологічними системами
Залежно від способу перетворення та перенесення енер-
гії, матеріалів і інформації ТП як об’єкти керування можна
поділити на такі групи [ЗО]:
1. Неперервні технологічні об'єкти, в яких переміщен-
ня енергії, матеріалів і інформації відбувається у виї ля-
ді неперервних потоків, що забезпечують неперервне функ-
ціонування об’єкта (в хімічній, нафтохімічній, газовій,
целюлозно-паперовій промисловості й енергетиці).
2. Неперервно-дискретні технологічні об'єкти, в яких
процеси проходять за обмежений час, а переміщення мате-
ріалів, енергії та інформації відбувається у вигляді пере-
ривчастих потоків (апарати періодичної дії, наприклад,
при виплавці сталі, полімеризації вінілхлориду). Зазначе-
на особливість технологічних об’єктів потребує розробки
математичних засобів для адекватного відображення диск-
ретного та неперервного характеру функціонування їх.
3. Дискретні технологічні об'єкти, що характеризу-
ються однократним проходженням процесів і переміщен-
ням матеріалів, енергії та інформації у вигляді окремих
елементів (у машинобудуванні при виготовленні деталей).
Для застосування загальних методів теорії керування
ТП необхідно подати у вигляді багатовимірного об’єкта.
На вході об’єкта діють змінні Х(/)={х1(/),...,хп(/)}т, до яких
належать параметри сировини та теплоносія (витрати, тиск,
температура, хімічний склад, концентрація), а також пара-
метри різних компонентів, які беруть участь у ході ТП. До
вихідних параметрів У (/) = {уг (/), ..., ут (і)]Т об’єкта
можна віднести параметри вихідного продукту (хімічний
склад, розміри, кількість, концентрація), режимні пара-
метри об’єкта (температура та тиск на виході тощо), а та-
кож його техніко-економічні показники (собівартість, ви-
трати сировини, коефіцієнт корисної дії).
На технологічний об’єкт діють вимірювані та невимірю-
вані збурення, що характеризують умови проходження
процесу Й описуються вектором £ (І) = {£](/), ...» ШУ-
До цих змінних належать температура й вологість навко-
14
лишнього середовища, домішки (якщо вони є у вихідній
сировині), а також параметри, які визначають стан об’єк-
та (активність каталізатора, коксо- та кристалоутворення
на внутрішніх стінках трубопроводів тощо).
Під час керування ТП змінні X (0, у (і), і (0 найчас-
тіше розглядаються як випадкові функції. При створенні
системи керування неможливо врахувати всі вхідні змін-
ні X (/), що впливають на хід ТП. Тому в системі керуван-
ня беруть участь тільки основні вхідні змінні, які визна-
чають хід процесу, а решта змінних належить до неконтро-
льованих збурюючих діянь.
На практиці останнім часом економічна ефективність
ведення ТП вважається другорядною характеристикою.
Спочатку необхідно забезпечити такі властивості техно-
логічної системи (ТС), як гнучкість — можливість проти-
стояти змінним умовам функціонування [14], стабілізо-
ваність — властивість, пов’язану з якістю перехідних про-
цесів і стійкістю системи, життєздатність — можливість
керування ТП при несправностях в системі керування
або агрегатах, надійність — виключення аварійних си-
туацій.
Складні ТС часто характеризуються невизначеністю
апріорної інформації внаслідок діяння невідомих збурень
на об’єкт керування, раптовими змінами режимів роботи
підсистем і неповним знанням проходження ТП. Наявність
обмежень режимів і параметрів ТС, а також нелінійностей
характеристик їх призводить до обмеження областей, в
яких системи можуть бути керованими та стабілізова-
ними.
Засоби автоматизації ТС, які потрібно вибрати на етапі
її проектування, мають забезпечити найбільшу гнучкість,
керованість, життєздатність і надійність при підвищенні
загальної економічної ефективності системи [14].
З точки зору задач керування поведінку ТС можна
характеризувати такими векторними величинами: =
= [^і, ^2, ••• > иі\ї — вектором керування; X == [хх, х2,...
•••. Хт]т —вектором стану; ¥ = у2,, у„]т — векто-
ром виходу.
Задача керування ТС з використанням мікропроце-
сорних засобів полягає у відшуканні такого вектора керу-
вання 4/, при якому мінімізується цільова функція Е (II»
X, У) = 0 з виконанням обмежень Іг ([}, X, ¥) = 0. Одно-
часно повинні бути вирішені такі три проблеми:
15
1. Визначення змінних стану X і вихідних сигналів У
ТС. При наявності вимірювальних пристроїв ці величини
можна визначити безпосередньо на об’єктах, а при від-
сутності їх інформація про об’єкти може бути подана у
формі моделей об’єктів керування та сигналів. Змінні ста-
ну X, недоступні для вимірювання, можна знайти за допо-
могою методів оцінювання стану.
2. Вибір структури системи керування. Після встанов-
лення основних груп параметрів і опису математичної
моделі ТС Ь (і/, X, У) — 0 визначається структура систе-
ми керування нею, яка служить основою для розробки
одно- чи багатовимірних ЦР.
3. Проектування алгоритмів цифрового керування ТС,
яке включає синтез і настроювання ЦР.
Особливістю ТС є значний вплив динаміки окремих ТП
один на одного. При вивченні ТС необхідно розв’язати три
взаємозв’язані задачі: 1) синтезувати локальні системи
керування; 2) спроектувати засоби координації для опги-
мізації глобальної цільової функції ТС шляхом формуван-
ня відповідних діянь на локальні системи керування;
3) синтезувати алгоритми керування структурою ТС. Від-
повідно до цього в сучасних АСКТП застосовуються три
рівні керування.
Перший рівень керування призначений для реалізації
локальних підсистем стабілізації або зміни режимів ро-
боти окремих стадій ТС за заданим законом. Математично
ця задача формулюється як задача мінімізації, наприклад,
квадратичного критерію оптимальності
м—і _ ___ ___
/1 = V [хт (к) (}х (к) 4- й7 (к) Ки (£)] + хт (/V) 8х (/V),
6=0
де С, 5 — додатно напіввизначені симетричні матриці;
7?—додатно визначена симетрична матриця; х — вектор
змінних стану; и — вектор керування. При цьому вико-
нуються умови хт5х^0; г/т7?н>0. На першо-
му рівні керування ТС діють збурення в основному сто-
хастичного характеру, що містять широкий частотний
спектр.
На другому рівні керування ТС реалізуються задачі
оптимізації статичних моделей для цільових функцій,
які мають економічне обгрунтування. Критерій опти-
-16
мальпості в цьому випадку можна записати так [14]:
А ~ ЦД/ — Сб/С^,
/ і
де Ц; — ціна /-го виду продукції; П, — її кількість;
Сб,—собівартість /-го виду сировини; С; — її кількість.
Збурення, що діють на другому рівні керування ТС, міс-
тять повільнодіючі частотні складові в детермінованому та
стохастичному середовищах.
На третьому рівні керування ТС реалізуються задачі
оптимізації структури їх при низьких частотах і значних
амплітудах збурюючих діянь. Для компенсації таких збу-
рень необхідно змінювати конфігурацію ТС. На цьому
рівні вводяться резервні агрегати, вмикаються й вимика-
ються окремі підсистеми тощо. Цільові функції тут засто-
совуються ті самі, що й на другому рівні керування ТС.
У цьому підручнику розглядаються задачі синтезу й
аналізу локальних підсистем першого рівня керування.
Динамічна гнучкість їх при зміні параметрів об’єктів,
умов функціонування та збурюючих діянь забезпечуєть-
ся за допомогою адаптивних регуляторів.
1.2. Основні принципи квантування
Якщо вихідна координата будь-якого з елементів си-
стеми автоматичного керування має тільки дискретні зна-
чення в дискретні моменти часу, то система називається
дискретною. Перетворення неперервних сигналів у дис-
кретні пов’язано з наявністю в системі дискретного еле-
мента, на виході якого утворюється послідовність імпуль-
сів. Таким елементом може бути ключ К', який замика-
ється на час через кожний період квантування То. Як-
що іі «С То, а за дискретним елементом знаходиться інер-
ційна ланка зі сталою часу 7\^> то послідовність ім-
пульсів V* (/) на його виході можна розглядати як дис-
кретний сигнал У [лТ0]. У цьому випадку ключ виконує
функцію найпростішого імпульсного модулятора, що фор-
мує миттєві імпульси, амплітуди V [пТ0] якого дорівнюють
миттєвим значенням вхідного неперервного сигналу V (/)
в моменти часу пТ0 (рис. 1.1).
Розрізнюють квантування неперервного сигналу за
часом і за рівнем. Перше реалізується за допомогою ім-
пульсного модулятора, якщо миттєві дискретні значення
неперервного сигналу V* (/) утворюються через сталий
період То його квантування.
17
Рис. 1.1
При квантуванні за рівнем виділяються миттєві зна-
чення неперервного сигналу у* (/) на фіксованих дискрет-
них рівнях у довільні моменти часу (рис. 1.2). Ці фіксовані
рівні сигналу звичайно відстоять один від одного на ста-
лий інтервал о, який називається інтервалом квантування
за рівнем.
У цифрових системах керування здійснюється кванту-
вання неперервних сигналів за часом і рівнем, коли вони
замінюються дискретними за рівнем значеннями, най-
ближчими до значень неперервних сигналів у певні дис-
кретні моменти часу, розділені періодом квантування То.
При цьому інтервал квантування сигналів за рівнем о ви-
значається значущістю молодшого розряду двійкового
цифрового коду мікроЕОМ. Кількість розрядів у коді
чисел різних мікроЕОМ дорівнює 8—16. Тому з достат-
ньою для практичних цілей точністю похибками кванту-
вання неперервних сигналів за рівнем сучасних мікроЕОМ
можна знехтувати, через що далі розглядатимемо тільки
сигнали, квантовані за часом.
При квантуванні неперервного сигналу V (/) за часом
із сталим періодом квантування То дістаємо модульовану
за амплітудою дискретну функцію у* (/), яку можна запи-
сати у вигляді
при і = пТ0;
V [ПТО]
0
V* (/) ==
при пТ0 < / < (п + 1) То,
(1.1)
де п = 0, 1, 2,....
Решітчасті функції. Теоретично вихідна координата
найпростішого імпульсного модулятора може бути
подана у вигляді послідовності дельта-функцій, площа яких
18
становить
оо
С б(/)Л= 1.
—оо
(1.2)
Послідовність імпульсів У* (/) на виході імпульсного
модулятора, що мають площу V (/) можна наближено
замінити ідеальними імпульсами 6 (/) такої самої площі.
Введення ідеального імпульсного модулятора, який формує
дельта-імпульси, дає змогу значно спростити математич-
ний опис процесу квантування неперервного сигналу, ко-
ли припустити, що площі реальних і відповідних ідеаль-
них імпульсів однакові. Вважаючи при цьому дійсною не-
рівність = 1 «С То, послідовність ідеальних імпульсів
на виході імпульсного модулятора можна описати виразом
оо
V* (/) = у 8(і~пТ0),
п—0
(1.3)
де V [пТ0] = V (і')і=пт0\ 6(/ — пТ0) —дельта-функція, зміще-
на на час пТ0.
Уведемо поняття решітчастої функції V Ілг7"0], значення
якої в дискретні моменти часу і = пТ0 становлять V [п7"0] =
— V (І)\і==пТо (ДИВ. рис. 1.1). При визначенні цієї функції
здійснюється заміна неперервного за часом сигналу по-
слідовністю чисел, які є його значеннями в певні моменти
часу.
Зворотна задача формування неперервної функції V (/)
з решітчастої V ІпТ0] не може бути розв’язана однозначно,
тому що одній решітчастій функції може відповідати без-
ліч обвідних неперервних функцій, збіжних з дискретни-
ми значеннями решітчастої функції.
Втрати інформації при квантуванні. У проміжках
між імпульсами характер зміни неперервного сигналу V (і)
залишається невідомим. , \с)
Тому при проходженні
останнього через імпуль-
сний модулятор втрачає-
ться частина інформації,
що міститься в цьому
сигналі. Щоб при його
квантуванні цього не
було, необхідно ЗМЄНШИ- 47 рис ] 2
19
ти період квантування То в разі зростання швидкості
ЗМІНИ функції V (/).
Розглянемо фундаментальну теорему Котельникова про
вибір періоду квантування неперервного сигналу залежно
від його спектра.
ТЕОРЕМА 1.1. Функція часу яка не містить гармо-
нічних складових з частотами, вищими від частоти о)тах,
повністю визначається своїми значеннями в моменти часу
пТ0, що відстоять один від одного на періоди
7^0 = Льотах» (1.4)
тобто частота квантування має бути вибрана відповідно до
умови соо 2(отах. У цьому випадку дискретна решітчас-
та функція точно відобразить неперервну функцію
V (/) = V
л
0)
тах
(1-5)
і втрати інформації при її квантуванні не буде. Доведення
теореми 1.1 наведено в дод. 2.
На підставі теореми Котельникова можна зробити вис-
новок, що коли неперервний сигнал V (/) не містить гармо-
нічних складових з частотою, ВИЩОЮ ВІД СОщах, ТО при його
квантуванні з періодом То — л/(отах дискретна решітчас-
та функція точно відобразить неперервну функцію, зав-
дяки чому втрати інформації при її квантуванні не буде.
Екстраполятор нульового порядку. При реалізації
імпульсних систем керування на основі мікроЕОМ після
20
імпульсного модулятора (див. рис. 1.1) установлюють де-
модулятор або формуючий елемент ^рис. 1.3, а), який фік-
сує вихідний сигнал імпульсного модулятора на весь пе-
ріод квантування То неперервного сигналу (рис. 1.3, б).
Такі формуючі елементи називаються екстраполяторами
чи фіксаторами нульового порядку.
При подаванні на вхід екстраполятора нульового по-
рядку одиничного імпульсу його вагова функція опису-
ється рівнянням (/) = 1 (і) — 1 (і— То), застосував-
ши до якого перетворення Лапласа, дістанемо передаточну
функцію екстраполятора
1 1 Т 1 р—Г08
№е (5) = Ь (/)} = V - V е = -Н---------------•
Різницеві рівняння. Для математичного опису динамі-
ки дискретних систем автоматичного керування викорис-
товують різницеві рівняння, які є аналогами диференці-
альних рівнянь. Такі рівняння визначають співвідношен-
ня між дискретною решітчастою функцією у [пТ0] та її
різницями різних порядків. Перехід від диференціальних
рівнянь до різницевих грунтується на заміні похідних
різницями відповідних порядків. У табл. 1.1 наведено
співвідношення для заміни похідних різницями. При цьо-
му решітчасті функції записуються в більш компактному
вигляді, а саме: у [пТ0] = уп\ у [(и + 1)Т0] = тощо.
З використанням зазначених співвідношень різницеве
рівняння, що відповідає диференціальному рівнянню 6-го
порядку, можна записати у вигляді
^к^ Уп ~Н Уп “Р ••• ^г\уп + а$Уп
де уп — шукана решітчаста функція, яка є розв’язком різ-
ницевого рівняння; ип — відома решітчаста функція.
Диференціальне рівняння можна розглядати як гра-
ничний вираз різницевого рівняння, коли період кван-
тування То неперервного сигналу прямує до нуля.
Дискретне перетворення Лапласа. Розглянемо пере-
творення Лапласа для одиничної решітчастої функції
1 ІиТ0], яку можна подати у вигляді такої суми:
1 [пТо] = 1' (0) + 1' (і - То) +1' (і-2То)+... +!'(*- "То),
де 1' — імпульси одиничної амплітуди нескінченно малої
тривалості.
21
Застосувавши до правої частини цього рівняння зви-
чайне перетворення Лапласа, дістанемо зображення оди-
ничної решітчастої функції
оо
Ь{1[пТ0]}= у [1'(0)+ 1'(^-Т0)+... + 1'(/-пТ0)]х
0
X 1+е-7'»5 4- = V є-"7»5,
п=0
яке відповідає інтегралу.
Якщо замість одиничної 1 [/гТ0] використати довільну
решітчасту функцію х [п70], то дискретне перетворення
Лапласа матиме вигляд
оо
О {х [пГ0]} = X* (5) = у X [пТ0] е-"7’»5, (1.7)
п=0
Таблиця 1.1
№
пор.
Неперервна функція
Дискретна функція
Перша похідна
.. У (і
—г---- = 11ГП------
аі Д/->0
Друга похідна
А2 У (0
Л/2
М
Різниця першого порядку
д«/п = уп+і - уп
Різниця другого порядку
ДЧ = д^п+і - &уп =
= #М-2 ~ 2Уп+1 + Уп
(Іу (і + М) _ д,у (і)
, йі <іі
= Ііш-----------
д/->о Д/
Похідна /2-го порядку
а^у (0
аік ~
^-'у + ДО
а?-1
У}
Різниця к-го порядку
&кУп = Д*-^п+і -
- ^-'Уп = ^~2уп+, -
- 2^Уп+І + ^к~2уп=...
22
яке є перетворенням Лап ласа решітчастої функції. При
цьому О {х [п70]} — функція оператора є7®8, де 5 = с +
+ /ш — комплексна змінна.
1.3. г-перетворення
Дискретне перетворення Лапласа (1.7) є раціональною
функцією оператора е7°8. Тому комплексна змінна 5 =
= с + /со входить у нього в неявній формі. У зв’язку з
цим виключається можливість застосування методів до-
слідження стійкості та якості імпульсних систем у площи-
ні 5, які розроблено для неперервних систем.
Якщо в (1.7) увести позначення г — ет°\ то дістанемо
г-перетворення решітчастої функції х [пТ0] -- х [п], а са-
ме:
2{х[п]} — Х(г)=у х[п]2~'1, (1.8)
п=0
яке буде раціональною функцією відносно нової змінної г.
З (1.7) і (1.8) випливає, що г-перетворення практично
збігається з дискретним перетворенням Лапласа, відріз-
няючись тільки позначенням елемента зображення, тоб-
то
2 {х (/)} = М%* «=его8
(1-9)
Таким чином, г-перетворення відображує півнескін-
ченну послідовність дискретних значень на комплексну
площину. В новій змінній
г = ето5 = = етос (СО8 Тою + / 8ІП Тц(£))
величи- на с може бути вибрана довільно. Тому півнескін-
ченний ряд (1.8) збігається, коли всі його члени \х [и] | об-
межені, а також виконується умова / г | > 1. При довіль-
ному значенні збіжність ряду (1.8) виконується для ши-
рокого класу функцій х [п].
Властивості г-перетворення. Розглянемо найважливі-
ші властивості, якими користуються у визначенні г-пере-
творення.
1. Лінійність. Якщо функції х (і), у (/) мають г-пере-
творення, а сталі коефіцієнти а, Ь від / і г не залежать, то
г {ах + Ьу} = V (ах рг] + Ьу [п]) г~п = у ах [п] г~п +
п=0 п=0
+ V Ьу [п] г~п == аХ (г)Ь¥ (г). (1-Ю)
п=0
23
2. Зсув за часом. Якщо функція х (і) має г-перетворен-
ня, а То — період квантування при її перетворенні в ре-
шітчасту функцію, то дійсними будуть такі співвідношен-
ня:
2{х[(п-к)Т0]} = г-кХ(гу, (1.11)
к—1
2 {х [(п+ к) Т.]} = 2к [X (г) - £ х (ІТ0) 2-і]. (1.12)
і=0
Таким чином, множення X (г) на г~к означає, що ре-
шітчаста функція х [и] затримується (зсувається право-
руч) на к періодів квантування. Тому для різниці двох ре-
шітчастих функцій, зсунутих на один період квантуван-
ня, дійсним є таке 2-.перетворення:
7 {х (/) _ х (/ _ То)} = (1 - г-і) X (г).
3. Зображення різниць. Для першої правої різниці на
підставі (1-12) можна записати
7{Дх [п]} = 2 {х [п + 1] — х [п]} = 2 {X (г) —
- х (0)} - X (2) = (г - 1) X (г) - X (0). (1.13)
Дискретна передаточна функція. Розглянемо об’єкт
керування з передаточною функцією Ц70 (5), на вхід якого
подається послідовність імпульсів V* (і) з виходу імпульс-
ного модулятора Л' (рис. 1.4). Дискретним перетворенням
Лапласа сигналу V* (/) буде І) {у* (і)} = V* ($). За допо-
могою ключа /С", синхронізованого з імпульсним модуля-
тором /(', виконуються відліки вихідного сигналу у* (і) в
дискретні моменти часу п70. Неперервний вихідний сигнал
об’єкта визначається виразом
у (5) = 1^0 (5) V* (5). (1.14)
Послідовність дельта-функцій І* (і) з періодом повто-
рення їх То запишемо в такому вигляді:
оо
»* (і) = £ 6 (і - пТ0). (1.15)
п=0
Тоді вихідний сигнал (1.3) імпульсного модулятора ви-
значиться виразом
У* (/) = /*(/) V (і). (1.16)
24
Рис. 1.4
Періодичну послідовність дельта-функцій і* (0 зобра
зимо у вигляді ряду Фур’є, записавши
і* (0 =
~Т^~ 1,
-Т„/2
ОО
б (І — пТ0) (1^
де й)0 — частота квантування.
З урахуванням основних властивостей дельта-функцій
маємо
б (І —10) V (0 сії = V (і0) при а і Ь.
Звідси випливає, що
т,П
~Т,/2
б (І — лТ0)І
(1-17)
Тоді періодична функція і*(0 матиме вигляд
і* (0 =
оо
>оо
(1.18)
Імпульсно-модульований сигнал (1.16) з урахуванням
(1-18) можна подати у вигляді
V* (/) -~
ік(доі
(1-19)
Застосувавши до (1.19) перетворення Фур’є, дістанемо
спектр послідовності модульованих миттєвих імпульсів
у*(» = ^_ £ 1/[/(а> + £<оо)], (1.20)
к=—оо
який є нескінченною сумою спектрів модулюючої вхідної
функції V (](&), зсунутих на частоти ±соо, ±2соо, ... .
25
Дискретне значення вихідного сигналу на підставі
(1.20), (1.14) матиме вигляд
= (З * 5 + Р®0) V* (з +/пю0). (1.21)
° п=0
Внаслідок того, що функція У*($) є періодичною з
частотою соо, вираз (1.21) можна записати так:.
У* (з) = у Го (5 + /ЛСд0).
1 о
Тоді з урахуванням (1.20) матимемо
У* (5) = у* (5) Ж* (5).
Використовуючи перетворення (1.7) — (1.9)
= є7*»5, знаходимо співвідношення
(1.22)
(1.23)
при 2 =
2 {У (і)} = Ь {У* (/)} |г=еЛ5 = Г* (з) |2=ето8 = У (г);
2 {о (/)} = Ь {о* (0) |г=еГо5 = V* (5) |г=еГо5 = V(г);
2 {Ь"1 {«70 (з))) = Г* (з) |г=ет.5 = №0 (з),
застосування яких стосовно виразу (1.23) дає просту
формулу
У (г) = (г) V (г),
(1-24)
Де Г0(г)- дискретна передаточна функція об’єкта ке-
рування. Остання, на перший погляд, здається аналогіч-
ною неперервній передаточній функції об’єкта ІУ0 (5) =
=У ($)/У($), однак між ними є істотна різниця. По-перше,
ІУ0 (?)—це штучна функція, визначена на підставі по-
чаткової передаточної функції об’єкта; по-друге, з ураху-
ванням (1-24) дістаємо інформацію про вихідний сигнал
у (/) тільки в дискретних точках, а в проміжках між ними
поведінка сигналу у (і) залишається невідомою.
1.4. Дискретні детерміновані моделі
динаміки об'єктів керування
типу «вхід-вихід»
З метою реалізації систем керування ТП на основі мік-
роЕОМ математичний опис об’єктів керування подають у
вигляді дискретних моделей, які відображуються скаляр-
26
ними чи векторними різницевими рівняннями. Для зруч-
ності аналізу та синтезу цифрових систем керування ма-
тематичні моделі екстраполятора нульового порядку й ке-
рованого об’єкта об’єднують, дістаючи зведену неперервну
частину (ЗНЧ) об’єкта з передаточною функцією
Гп(8) = «7е(5)Г0(5). (1.25)
Дискретна передаточна функція ЗНЧ об’єкта може
бути записана у вигляді
«7П (2) = 2{ге(5) го(5)} = 7 («) . (1.26)
Нехай №п($) = ^(5) Г2($), де Р^з) = 1 -е~^; Г2($) =
= При дослідженні імпульсних систем, якщо
функція є раціональним дробом відносно его5, а функція
А2 (5) — дробово-раціональною відносно 5, г-перетворення
функції Гп(5) знаходять за формулою
2{Гп(5)} = Л(г) X (Р2(8)і
де Гі(г) = Р1(ет^) |ето5=2- Тому основне розрахункове спів-
відношення (1.26) для визначення дискретної передаточ-
ної функції ЗНЧ об’єкта матиме вигляд
№п(г) = х ((і — е-т«8) г = .
Х ’ Iх 7 5 2 8 ) І! (г)
(1-27)
Оператори зсуву. В теорії дискретних систем комплекс-
на змінна ег«5 і оператор зсуву позначаються буквою г,
причому оператор прямого зсуву визначається як
гУп = Уп+і, (1-28)
а його інверсія (оператор зворотного зсуву) — як
г~'уп = уп-і. (1.29)
Оператори зсуву застосовуються для спрощення мані-
пулювання різницевими рівняннями високого порядку.
Розглянемо рівняння
Уп 4“ ^іУп—і 4~ 4~ ЩіУп—к = Ьоип—(і 4-
4" 4* ••• 4- Ьгип—а—г, (1.30)
27
яке з використанням оператора зворотного зсуву (1.29)
набуває вигляду
(1 + + ... + ак2~к) уп = \Ь^~а + ... ип.
Це різницеве рівняння можна записати так:
А (г-1) уп = В (г-і) ип, (1.31)
де
Л (г-1) = 1 + + ... +акг~к\
В (з-1) = Ьц2~а + + ... + Ьг2~а~г.
З визначень операторів зсуву (1.28), (1.29) випливає,
що різницеве рівняння (1.31) не зміниться, коли його обид-
ві частини помножити на оператор 2~п.
З’ясуємо на прикладах методику визначення дискрет-
них моделей об’єктів керування типу «вхід-вихід», які
виражають залежність тільки між входом і виходом їх.
Приклад 1.1. Об’єкт керування типу «вхід-вихід» характеризуєть-
ся неперервною передаточною функцією
іг0 (і) = ЛМ. =-----------*_________
и («) + 1) (725 + 1) •
Для визначення дискретної моделі його ЗНЧ розкладемо вираз
(5)
----- на суму простих дробів:
5
1Г0 (5) к хТ'І кТ2
5 -5 (Л-Т’їХЛг-Н) + (Л - Л) (Л® +1) •
Згідно з таблицею г-перетворення (див. дод. 1) знаходимо
Передаточна функція (г) відповідно до (1.27) після перетво-
рень матиме вигляд
№п (г) = ¥ ________________к (сі + сгг *) г 1___________ ,і 32>
п 4/(г)- [1 _(е-Г»/7’«) г-1] [1-(е-Г»/Г’) г-1]
де
, , 7'2е“7’«/Г‘— Т1е-7’«/Г* .
-- 1 ~(“ гр гр ’
1 І 1 2
28
Тоді різницеве рівняння, що описує динаміку ЗНЧ об’єкта керу-
вання, при використанні операторів зворотного зсуву г уп — Уп_2',
2~’іуп — уп_}\ г~*ип = на підставі (1.32) набуває вигляду
Уп + а1Уп_! + а2уп_2 = + Ь2ип__2,
(1.33)
де
= — (е то!т' е а2 = (е т°^Т1е т9І7*у9
Ьг = кс^ Ь2 — кса.
Приклад 1.2. Динамічна модель об’єкта керування типу «вхід-
вихід» характеризується передаточною функцією аперіодичної ланки
першого порядку з запізнюванням
^0 (5) =
У (5) _ ке Т3
~ЇЩ) ~ (Т15 + І)
Для визначення дискретної моделі ЗНЧ об’єкта знаходимо з-пе"
ретворення:
Ц?о (*) 1 = 2 ке~тз 1
5 / 5(Л«+ 1)
ке тя
< _
к7\е~"Т51
+ г/
Згідно з таблицею
(й 4" 1) То матимемо
г-перетворення (див. дод. 1) при
7 = кг а 1 ке Т1_______________Т1 1
І 5 / 1 —2—1 (1 —Є~~Т°їТі2—*)
Передаточна функція (?) відповідно до (1.27) після перетво.
рень набуває вигляду
У (?) / г — 1)
V (г) \ г )
Де
ЛЕо(х)1_ к(сз + с4г )г а 1
« (1—е— т'‘Іт'г~ *)
(1.34)
С3 = 1 — е~цГ»/7’1;
_ і _ (т-аГо) .
р, — 1 -----—----- ,
1 о
с4 = е~цТ°^Ті —Є~Т°ІТі.
Параметр бї, який визначає час запізнювання в дискретній формі,
дорівнює найбільшому цілому числу від ділення часу запізнювання
т в об’єкті на період квантування. Тоді різницеве рівняння, що опи-
сує динаміку ЗНЧ об’єкта керування першого порядку з запізнюван-
ням, при використанні вищенаведених операторів зсуву, а також опе-
ратора 2~~а~^ип= ип__а_і і виразу (1.34) можна записати так:
Уп + аіУп-, = + ЬаИп-й-2.
(1.35)
Де
-Го/7’*. к . к
О4 — Є , 0^ -- КСд, Ь?2 — КС4»
29
Приклад 1.3. Динамічна модель об’єкта керування типу «вхід-
вихід» характеризується неперервною передаточною функцією аперіо-
дичної ланки /и-го порядку
Й7О («) = г =_____________________Е_______________ .
і/(5) (Т^+1) (Т25 + 1) ... (Т 5+1)
Для визначення г-перетворення розкладемо вираз ІГ0 («)/« на
суму простих дробів:
Після цього, користуючись таблицею г-перетворення (див. дод. 1),
знаходимо
Передаточна функція (г) відповідно до (1.27) матиме вигляд
( Уі'о (5) '
І 5
гп (г) =
(1.36)
зо
Застосувавши оператори зсуву г Іип = г Іуп — уп_і при
і = 0, 1, 2, ... , т до виразу (1.36), дістанемо різницеве рівняння,
що описує динаміку ЗНЧ об’єкта керування /п-го порядку:
Уп аіУп—1 4" ••• 4" атУп—т Ьіип—1 4” —2 4“ 4“ —т 9
(1.37)
Стосовно ЗНЧ об’єкта керування т-го порядку з запізнюванням
аналогічне рівняння матиме вигляд
Уп 4" аіУп—і 4" 4" атУп—т ~ 4"
+ Ь2ип_а_2 + ... + Ьп ип__а_т. (1.38)
Різницеве рівняння (1.38) можна записати також у виглячі рів-
няння (1.31), а саме:
А (г~') Уп = г~аВ (г-1) и , (1.39)
де 2~а — дискретний оператор запізнювання в об’єктні керування при
а = [г/т0].
Поліномні вирази А (г !), В (г !) мають вигляд
А (г""1) = 1 + ц1г~1 + а2г~~2 + ... + атг~~ті (1-40)
В(г~') = Ьгг~х +Ь2г~2 + ... + Ь 2~т, (1.41)
І IV
де т— порядок рівняння (1.39).
Рівняння (1.39) у більш загальній формі можна записати так:
А (?-’) уг = г-йВ (г-1) (1.42)
де у , иі — відповідно вихідна координата й керуюче діяння об’єкта
в дискретні моменти часу [/гГ0] і < [(/г + 1) Л»]’, І(п—
(і — і) < [(тг — і + 1) 70] при і — 0, 1, 2, ... , т.
1.5. Дискретні моделі об'єктів керування
в просторі стану
При проектуванні багатовимірних цифрових систем
керування важливу роль відіграє метод простору стану,
розроблений у зв’язку з переходом до опису об’єктів ке-
рування рівняннями стану, заданими в часовій області.
Лінійний неперервний об’єкт керування можна описа-
ти такими рівняннями стану в просторі часу:
= Дх(/) + Вй(0;
О.43)
і/(/) = Сх(0 + Рм(0.
зі
Рис. 1.5
де X (?) — вектор-стовпець змінних стану вимірністю
(т X 1); и [і) — вектор-стовпець змінних керування ви-
мірністю (г X 1); у (і) — вихідний вектор-стовпець ке-
рованих змінних вимірністю (р X 1). Матриця А системи
керування, матриця передачі В, матриця спостереження С
і матриця О мають вимірності відповідно (т X т), (т X г),
(р х г), (Р X г).
У дискретній системі керування в момент квантування
і = кТ$ керуюче діяння и змінюється. Визначимо зв’язок
між змінними системи в цей момент. Якщо ввести позна-
чення
Р(і) = еАІ; (1.44)
_ 1 __
0 (і) = С Р (п) (1.45)
0
то при синхронному періодичному квантуванні входу и та
виходу ~у з періодом То, тобто при визначенні часу в дис-
кретні моменти і = кТь рівняння (1.43) матимуть вигляд
X [(к + 1) То] = Р (То) х (кТ0) + С (То) и (£Т0),
у (кТ0) = Сх (кТ0) + Ои (кТ 0), (1.46)
де для стаціонарного об’єкта керування Р (То) = елг<>;
_ _
6(Т0) = еЛт12Мг]. Функціональну схему системи, що
6
відповідає рівнянням (1.46), показано на рис. 1.5.
Припустимо, що заданий вектор стану х (к0Т0) та век-
тори змінних керування и (к0Т0), и [(&0 + 1) То] в почат-
ковий момент часу к0Т0 відомо. Розглянемо, як при цьому
змінюватиметься стан системи керування.
32
Розв’язавши перше рівняння (1.46) ітеративним спо-
собом, дістанемо
X [(*» + 1) то] = 7 (То) ~х + О (То) й (к0Т0),
х [(60 + 2) То] = Е (То) 7 [(*0 + 1) То] + 6 (То) х
X й [(*„ + 1) То] = 7* (Т0)7 (к0Т0) + 7 (То) х
X 6 (7’0) и (к0Т0) + 6(Т0) й Ц‘?о + 1) 7'01,
............................................... (1.47)
х (кТ0) = Ек~к° (То) х (киТ0) 4- Г*-*"-' (То) х
х О (То) и (к0Т0) + ... + 6 (То) и [(А - 1) Т01 =
=гк-к° (т0) х т +
7^ Аг—і—1
(70) 6 (70) и (ІТО),
де рк~к° (То)—перехідна матриця стану інваріантної си-
стеми керування.
Перший доданок розв’язку (1.47) залежить від почат-
кових умов, а другий є зваженою сумою вхідних векторів
змінних керування.
Друге рівняння (1.46) після перетворення набуває ви-
гляду
у [кТ0] =. С~Ек-к^ (Т0)х(к0Тп) + £ СЕк-{~] (Т0)х
X 6 (То) а (ІТО) + Ои (^То).
(1.48)
Розглянемо можливі методи подання моделі об’єкта
керування з запізнюванням, неперервна модель якого
описується рівняннями
СІХ (/)
= Ах (і) + Ви (і — т);
(1-49)
у (І) = Сх (І) + Ой (і).
Якщо запізнювання т записати в дискретній формі
х = (^ — 1)Г0 + 0.
(1.50)
33
2 — 4-940
т
о
+ 1 — ціле число, то перше рів-
няння (1.49) у дискретній формі матиме вигляд
И(* + 1) То] = Р(Т0) х{кТа) + Р(Т0 — 0)х
X О(Є)й [(к — <1)Т0]-р 6 (То —Є)їі№-сІ+ 1)Т0], (1.51)
де
Р(Т0 — 0) = ел<г»-Є);
т0-в
о
еЛг) Всіт].
(1.52)
(1.53)
Рівняння (1.51) у термінах простору стану об’єкта ке-
рування записується так:
хЦ£ + 1)Т0]
и[(к-а+ і)?;]
и[(к— 1)^0]
«(кТ 0)
Р(Т0) Р(Т0-Є)С(Є) 6(То-0)...б
б б 7 ...б
б б б ...7
б б б ... б
V (кТ0)
и [(/г — а) То]
й [(А — 2) То]
Й[(А-1)ТО]
0
б
б
«о)-
(1-54)
34
Неперервна модель об’єкта керування, подана рівнян-
нями (1.49), має необмежену вимірність відносно запізню-
вання, оскільки цю модель можна розглядати як дискретну
з нескінченно малим періодом квантування. Проте від-
повідна реальна така система з запізнюванням буде скін-
ченновимірною, тому що вхідний сигнал може бути пода-
ний кінцевим числом значень и в інтервалі часу «чистого»
запізнювання в об’єкті. При цьому вимірність вектора ста-
ну (1.54) об’єкта дорівнює (гп + ''бі). Якщо 0=0, тобто
відповідно до (1.50) т = (б/ — 1) То, то рівняння (1.51)
матиме вигляд
х [(к + 1) То] = Р (То) х (кТ0) + 6 (То) и [Цг - а + 1) То).
(1.55)
Приклад 1.4. Неперервна модель об’єкта керування описується
рівнянням
сіх (і)
= — 1,5 х(/) 4-0,8 м (/ —6,5).
Виконаємо квантування моделі з періодом квантування То = 2 с.
Згідно з (1.50) маємо сі ~ 4; 0 — 0,5. Тоді рівняння стану р 51)
набуває вигляду
х (£ 4- 1) = Е (То) х (6) 4- 6 (То — 6) и (к — 3) 4-
+ /7(Т0-Є) С(Є)и(й-4),
де на підставі (1.44), (1.45), (1 52) та (1.53)
Е (То) = е-3 = 0,04978;
1,5
о (Т„ — Є) = 0,8 С = 0,5333 (1 —Є-2’25) = 0,47709;
0
Е (Тп — Є) = е~1’5(7'”~Є) = е~2’25 = 0,10539;
0
О (Є) = 0,8 С є-1'5” аг) = 0,5333 (1 — Є-0’75) =0,28138.
О
Розглянемо особливий випадок складання дискретних
моделей багатовимірних об’єктів керування з різними за-
пізнюваннями в просторі стану. Такими об’єктами є, на-
приклад, підприємства хімічної, нафтохімічної та нафто-
переробної промисловості, які характеризуються запіз-
нюваннями змінних стану х і сигналів керування и, що
виникають при перекачуванні рідини з одного резервуа-
ра в інший або при рециркуляції матеріалів по трубах.
2
35
Часто спостерігаються запізнювання сигналів при вимі-
рюванні, зумовлені інерційністю датчиків.
Загальна лінійна неперервна модель об’єкта керуван-
ня з багатьма запізнюваннями змінних його стану та сигна-
лів керування описується такою системою диференціаль-
но-різницевих рівнянь:
= £ А~х (і - хХі) + £ В~и (і - т„.), (1.56)
Г=0 1=0
ТХв == ^и0-
Система (1.56) підлягає квантуванню з використанням
двох припущень: 1) змінні керування є сталими протягом
періоду квантування; 2) траєкторії затриманих змінних
при цьому є прямими лініями.
Проінтегрувавши (1.56) по всьому інтервалу кванту-
вання з урахуванням зазначених припущень, дістанемо
х[(А+ 1)Т0] = еА"т° х (кТи) +
Те - т _
+ .5 К1'-” ї АіХ{кТ0+д-хХі) +
0 і=]
г
і=0
(1 -57)
Визначимо цілі числа Л\«, гі,- таким чином, щоб
(N1 — 1 +VІ)ТО = хХі при VI Е [0, 1];
(^ — 1 + шА То = хи, при £ [0, 1].
Тоді на підставі першого припущення матимемо вирази
и (кТ0 4- д — т„.) = «(А’Т0 — гігТ0) при д Є [0,
(1 58)
и (кТв + д — т„.) = и (кТ0 — + То) при дЄ[^іТ0,Т0],
а на підставі другого — вирази
х(кТ0 + д — хХі) =х(кТ0 — 1МІТО) +
+ (1 —V^+^/Т0) [х(кТ0 — Л;;Т0 + То) —
-хікТ,-^)]
при де 10, У,ТО1;
(1.59)
х(кТ0 + д~хХі) = x(кТ^ — NіТ0 + Т0) +
36
+ (цП\ — Кі')\х(кТп — N ,Т 0 + 2Т„) —
— хікТо — КіТо + Т^ при ц Є ІР|7 0, /0].
Підставивши (1.58), (1.59) у (1.57), знайдемо
х(кТ0 + Т„) = е^Ч(ЙТй) 4- £ { у є*"'— х
1=1 П
Запишемо пе рівняння в такій ’ормі:
т
х (& + !)==/* ох (/?) + N {Р,міх (/? — Nї) +
'=і
+ Гк'.^х (6 - Л/, + 1) + Р^._2'х (к -^ + 2)} +
1
4-б„м (/?) + £ {6и(н(^ —(і()4-6а£-і«(* —^4-0}, (1.60)
і=|
де
^'іТо _
о,. = у е4»(7'»-” йдВі,
0
Го То _
Ой, = С е'4о<Го‘-^7’0-в)
О
Матриці Р, Сі можна переписати в більш зручній фор-
мі, а саме:
= 1770 -Ні - (1 - Уо + (1 - VI) Аі,
7%_, = І- Но +2Н, + (2 - У/) Уо - 2 (1 - V^) Уі]Аі,
Р^->= І- Н, + (1 Аі, Оо = Г„в0;
= ІЙ'о - і, 6М(_, = ^іВі,
де
На підставі наведених вище викладок збурений рух
багатовимірного об’єкта керування з різними запізнюван-
нями змінних його стану х і керування и можна попа ги в
38
просторі стану детермінованою дискретною моделлю з
запізнюваннями, що описується рівнянням
^гпах йтах
х(к+ І)= £ ЕіХ(к — і)+ 0г«(й —0» (1-61)
Ї=О 1=0
де {Еь і = 0, Л/тах}, {6/, і = 0, с/тах} — перехідні матриці
стану та керування ВІДПОВІДНИХ вимірностей; Л/Піах, ^тах—
максимальні дискретні запізнювання змінних стану й ке-
рування, причому Л/тах І ^тах ДОрІВНЮЮТЬ НЗЙМЄНШИМ ЦІ-
ЛИМ числам, при яких Л/тахТ0> тЛп1ах, т„тах.
Рівняння (1.61) можна записати у формі розширеного
векторного різницевого рівняння, збільшивши вимірність
вектора стану введенням змінних стану з запізнюванням
у змінні керування, а саме:
х(к + 1)
х (к)
X (к 1)
и (к)
и(к — 1)
Н (к — бЛпах + 1)
^0
1
о
о
о
о
Ех... Еч
0 ... 0 0
• • •
• • •
• • •
0 ... 7 0
о ... о 7
0 ... о о
• • •
• • •
• • •
о ... о о
І б, б2...с^
І о о ... о
І : : :
• • •
о о ... о
І о о ... о
і 7 о ... о
і .
І : :
о о ... 7
Оо
о
и(к).
о
0 _
(1.62)
39
Для нестаціонарних об’єктів керування (1.61) матиме
вигляд
*(&+!) = V Еі(к)х(к — і) + V Сі(к)и(к — і), (1.63)
4=0 4=0
де матриці стану і керування 0$ змінюються з часом.
Часто виникає така ситуація, коли відсутні запізню-
вання змінних стану, але є різні запізнювання сигналів
керування. Тоді дискретна модель об’єкта керування в
просторі стану описується рівнянням
т
X (к + 1) = Рох(к) + £ 0гц (к — (іі).
І=1
(1-64)
Канонічна форма подання дискретної моделі в прос-
торі стану. Рівняння (1-46) можна звести до канонічної
форми, скориставшись лінійним перетворенням
хР(кТ0)= Рх(кТ0).
Тоді дістанемо такі рівняння:
де діагональна матриця системи
0/»
має вигляд
•01
к
(1.65)
(1 -67)
= ї,
р
0 •
8 * _
тобто її елементи к дорівнюють власним значенням мат-
риці Р, а матриці Ср, <3Р визначаються так:
6Р = Р(ї
Ср = СР~'.
1.6. Стохастичні дискретні авторегресивні
моделі
Стохастичні дискретні моделі стаціонарних часових
рядів. Стаціонарний випадковий процес з достатньою точ-
ністю можна описати вихідним сигналом лінійного фільт-
ра, на вхід якого подається «білий шум» [9, 20].
Дискретним «білим шумом» називається послідовність
випадкових незалежних величин (імпульсів) Ц,
С/—2, •••, які реалізують випадковий процес з нормальним
розподілом і мають нульове середнє та дисперсію ог. Для
опису часових рядів використовують сюхастичпі стаціо-
нарні моделі, виходячи з того, що процес залишається
зрівноваженим відносно сталого його середнього рівня.
Операція лінійної фільтрації полягає в обчисленні
зваженої суми попередніх спостережень на підставі ви-
разу
У і — ^>і + ^і^—і + ••• + пс + (1.68)
де 6—параметр зсуву, що визначає рівень процесу.
Дискретна передаточна функція лінійного фільтра (1.68)
має вигляд лінійного оператора
С (2 ’) — 1 + сгг 1 4- с22 2 4- ... 4- с„сг П(,
(1.69)
де 2“1— оператор зворотного зсуву.
Якщо послідовність с19 с2, сПс збігається, то фільтр
називається стійким, а процес уг — стаціонарним.
Значення у процесу на виході лінійного фільтра в мо-
менти часу і = гіТ\, і — 1 =-(п — 1) 7’0, і — 2 = (п—2) То; ...
подамо’у вигляді дискретного ряду уі9 уі—\, уі—?,..., &
відхилення його складових від 6 — у вигляді ряду уі =
= Уі — 6, Уі— 1 — Уі—\ — 6,... . Тоді процес, який здійсню-
ється ТС, описується рівнянням
У і + аіУі—у + а2Уі—^ + ••• + апаУі—па = 0*70)
і називається авторегресивним, або КР-процесом.
У (1.70) поточне значення уг процесу виражено через
кінцеву лінійну зважену сукупність попередніх значень
процесу й імпульсу
Випадковий процес, який здійснюється ТС й опису-
ється рівнянням
У і — Сї + і + + Сп^і—пс9
(1.71)
називається ковзним середнім, або \\С-процесом.
Після введення оператора зворотного зсуву 1 рів-
няння (1.70), (1.71) перетворюються відповідно до вигляду
А (*“’) УІ = &
Уі~С (2->)
(1.72)
(1.73)
41
де
Л (г-1) = 1 4- «іЗ-’Ч- ... 4- аПаг Па; (1.74)
С (г-‘) = 1 4- с.г-' 4- - 4- сПсг~п‘. (1.75)
Таким чином, АР-процес можна розглядати як вихід-
ний процес у (І) лінійного фільтра з дискретною переда-
точною функцією Л”1 (г—!), на вхід якого подається ди-
скретний «.білий шум» а КС-процес— як вихідний про-
цес у1 такого самого фільтра з дискретною передаточною
функцією на вхід якого також надходить дискрет-
ний «білий шум»
Мішана модель АР- і КС-процесів. Для того щоб до-
сягти більшої гнучкості при розробці динамічних моделей
об’єктів керування у вигляді часових рядів, доцільно
об’єднати в одну модель обидві моделі, тобто моделі АР-
і КС-процесів. Тоді мішану модель процесів АР та КС
(АРКС) можна описати рівнянням
УІ + аіУі—\ + ••• + апаУі—па — £/ + 1 + ••• + пс,
(1.76)
або в операторній формі
Л(г-і)^ = С(г-’)^.
(1.77)
Таким чином, АРКС-лроц^с можна сформувати, про-
пускаючи дискретний «білий шум» £, через лінійний фільтр
з передаточною функцією Л“1 (2-1) С(г~1)- Для того Щ°б
цей процес був стаціонарним, корені рівняння Л(г—’) =
= 0 мають знаходитись на полі круга одиничного радіу-
са, тобто | її | < 1 (і = 1, 2,..., па). Модель АРКС-процесу
першого порядку, що описується рівнянням (1 4-^г-1)
= (1 + ^г-1) буде стаціонарною при ІЯ0С1.
Модель АР та проінтегрованого КС (АРПКС). Уза-
гальнений процес АР та проінтегрованого КС можна діста-
ти, пропускаючи «білий шум» £* послідовно через фільтр
КС, стаціонарний фільтр АР та нестаціонарний підсумо-
вуючий фільтр, як показано на рис. 1.6.
Фільтр КС (1.73) з передаточною функцією С (г-1)
має на вході «білий шум» а на його виході діє сигнал
причому згідно з (1.73), 0.75)
= С(г~’) = (1 + с.2-1 + - + сПсг-Пс) (1.78)
42
Рис. 1.6
Стаціонарний фільтр АР з передаточною функцією
Л-1 (г-1) має на вході сигнал а на його виході діє сиг-
нал
Х/ = л_| (г-1) (1.79)
З урахуванням поліномного виразу (1.74) і математич-
ного опису (1.78) фільтра КС модель стаціонарного фільт-
ра АР описується рівнянням
— О-^Хі—1 • •• —п0 “Н —
— ••• ап хі—п + ^ + —і сп —п
(1.80)
Нестаціонарний підсумовуючий фільтр на рис. 1.6 мож-
на подати різницевою схемою, записавши
= УкУі,
(1.81)
де V—оператор взяття різниці, наприклад щ—
— Уі—\, \/2Уі = Уї — %Уі—\ + ^—2- Для визначення часового
ряду на виході цього фільтра можна скористатися спів-
відношенням, оберненим до (1.81), яке має вигляд
У і = 5 хо
(1.82)
де дія підсумовуючого оператора 5 першого порядку ви-
значається так:
оо
8хі — V х/_(=(1+г-1+ г~?+ ...)хг=
1=0
1
(1 -г-1)
хГ'*,,
що еквівалентно дискретному процесу інтегрування, а
дія оператора другого порядку — так:
= (1 + 2-1 + 2“2 + ...) (Хі + Х/—і + Х/—2 + ...) ==
= (1 + 2~’ + г“2 + ...) (1 + г-1 + г~2 + ...) хг
За формулою для визначення суми геометричної про-
гресії дістаємо
8^ =
1
(І-*"1)
1
(1-а-1)
*3
Співвідношення (1.82) показує, що процес уі на виході
нестаціонарного підсумовуючого фільтра можна сформу-
вати підсумовуванням (або інтегруванням) к разів часо-
вого ряду на його вході.
На підставі (1.78), (1.79) рівняння, що описує модель
АРКС для проміжного часового ряду, набуває вигляду
А (г~') Хі = С (2->)
Скориставшись рівнянням (1.81), запишемо
яке описує модель АРПКС, а саме:
Л (2-') = с
(1.83)
рівняння,
(1-84)
де враховано рівність \^Уі— \кУі при к"^> 1.
Рівняння (1.84) застосовується для запису нестаціо-
нарних однорідних часових рядів за умови, що А (з-1) є
стаціонарним оператором АР, корені якого | | <1 1.
Якщо к = 0, то рівняння (1.84) описує стаціонарний про-
цес.
Модель АР дискретної передаточної функції дина-
мічного об’єкта керування з накладеним стохастичним
збуренням. Динамічне співвідношення між виходом і вхо-
дом об’єкта керування можна відобразити за допомогою
лінійного фільтра 19], записавши
У і = /()«( + + ггиі_2 -г- ... = К (г-1) и(,
де у, и — відхилення вихідного ¥ і вхідного (7 сигналів
від відповідних середніх значень їх; /? (з-1) — передаточ-
на функція фільтра.
У свою чергу, У? (з-1) можна записати у вигляді від-
ношення двох поліномів оператора зворотного зсуву з-1,
тобто
/? (2-1) = А~' (2-1) В (2-1).
Тоді динамічне співвідношення між входом і виходом
об’єкта керування матиме вигляд
А (2-1) Уі = В (2-') и(.
(1.85)
На об’єкт керування діють стохастичні збурення, які
при лінійній моделі (1.83) можна звести до виходу об’єк-
та. Тоді співвідношення між його виходом і входом можна
записати так:
= А~' (2_|) В (1.86)
де — незалежні змінні.
44
Припустимо, що стохастичне збурення описується
рівнянням (1.83), тобто
(1-87)
Тоді динамічне співвідношення між входом і виходом
об’єкта керування з урахуванням (1.86), (1.87) матиме
вигляд
У і = Л-1 (г-і) В (?-’) щ + А-1 (?-’) С (?-’)
Для зображення динаміки об’єктів керування це спів-
відношення записують у стандартній формі, а саме:
А (г-1) у> = В (г~>) и, + С (г~') (1.88)
яка описує модель АР та КС з допоміжним вхідним сигна-
лом (АРКСХ), де змінні і/р и1 характеризують відхилен-
ня абсолютних значень вихідного та вхідного сигналів від-
повідно від усталених значень ¥ (0), 1} (0). За таких умов
співвідношення (1.85) описує модель АРКС з детерміно-
ваним збуренням (ДАРКС).
1.7. Типовий контур цифрового керування
Структурну схему типового контура цифрового керу-
вання об’єктом на основі мікроЕОМ зображено на рис. 1.7.
Цифрова керуюча мікроЕОМ виконує функції задаваль-
ного, порівняльного та керуючого пристроїв. На порів-
няльний пристрій керована координата у (і) надходить у
дискретні моменти часу через комутатор К' і аналого-
цифровий перетворювач (АЦП). Комутатор К' перетворює
неперервну величину у (/) в решітчасту функцію у [ц7"0]
(рис. 1.8, а). Ця операція називається квантуванням не-
перервного сигналу за часом з періодом квантування 7"0.
В АЦП у моменти часу і = пТ0 функція у [п7"0] перетво-
Рис. 1.7
45
Рис. 1.8
рюється в цифровий код, який відповідає її дискретним
значенням. Кількість розрядів у коді числа АЦП в різних
мікроЕОМ дорівнює 10—12, тому з достатнім ступенем
точності для практичних цілей похибками квантування
за рівнем, які вносяться АЦП, можна знехтувати.
У порівняльному пристрої в кожному періоді кванту-
вання сигналу визначається помилка непогодження
е\п1\] = 6[пТ0] — у[пТ0], (1.89)
де 6 [пТ0] — задавальне діяння ЦР, яке обчислюється в
мікроЕОМ.
У керуючому пристрої (КП) відповідно до алгоритму
цифрового керування визначається керуюче діяння у ви-
гляді послідовності його дискретних значень и [пГ0]
(рис. 1.8, б), яке через комутатор К"' у кожний період
квантування сигналу подається на вхід цифроаналогово-
го перетворювача (ЦАП), встановленого на виході ЦР.
Цифроаналоговий перетворювач перетворює послідов-
ність числових значень керуючого діяння и [лТ0] у не-
перервний сигнал (рис. 1.8, в), який залишається сталим
протягом чергового періоду його квантування до приходу
наступного значення керуючого діяння и 1(п + 1) То].
Неперервний сигнал, який надходить з виходу ЦАП,
застосовується для переміщення виконавчого механізму
(ВМ).
46
Математичний опис реального імпульсного елемента.
Найпростіший імпульсний елемент (імпульсний модуля-
тор) під діянням неперервного вхідного сигналу формує
миттєві імпульси, амплітуда яких визначається значенням
вхідного сигналу V (/) в моменти часу пТ0. Такого роду ім-
пульсні елементи прийнято зображувати на структурних
схемах у вигляді ключа (див. рис. 1.1). Амплітуда кожного
імпульсу дорівнює V [пТ0].
У п. 1.1 наведено теоретичні обгрунтування умов не-
перервного передавання сигналів за допомогою імпульсів.
Екстраполятор нульового порядку з передаточною функ-
цією (1.6) виконує функції демодулятора й реалізується
за допомогою ЦАП.
З’ясуємо частотну характеристику такого екстраполя-
тора. Для цього в (1.6) покладемо 5 = /со. Тоді матимемо
(» =
І(і)Т0 І<йТ() ]йТ0
1 — Є-7"7'” „ е 2 І Є 2 — Є 2
/0) - о шТ0 \ 2/
2
Мо
2
(1.90)
звідки випливає, що екстраполятор нульового порядку
(ЦАП) вносить запізнювання сигналу, яке дорівнює Го/2.
Тепер розглянемо роботу послідовно з’єднаних кому-
татора та ЦАП. Комутатор К"' на рис. 1.7 виконує функції
імпульсного модулятора, який формує миттєві імпульси
и [иТо] відповідно до цифрового коду мікроЕОМ. Спектр
послідовності модульованих миттєвих імпульсів на під-
ставі перетворення Фур’є має вигляд (1.20), тобто
ц* (/со) =
1
То
оо
У «і/ (« +
к=—оо
(1.91)
Спектр такої послідовності є нескінченною сумою спект-
рів модулюючої вхідної функції и (/со), зсунутих на час-
тоти ± соо, ± 2соо, ... , ± к(д0. Проходження сигналу через
імпульсний модулятор пов’язано із витратою частини ін-
формації. Для того щоб при квантуванні сигналу цього
не було, період його квантування 710 має відповідати тео-
ремі Котельникова, сформульованій в п. 1.2. Згідно з цим
47
частота оі0 квантування сигналу повинна бути вибрана,
виходячи зі співвідношення
2(і)тах,
(1-92)
де сОщзх — найвища частотна складова в спектрі сигналу.
Бічні складові спектра послідовності модульованих ім-
пульсів (1.91) не накладаються одна на одну. Якщо після
імпульсного модулятора ввімкнути низькочастотний
фільтр — демодулятор, який повністю відфільтровує гар-
моніки з частотами, вищими від частоти <отах, то можна взя-
ти до уваги тільки основну складову спектра, яка відпо-
відно до (1.91) визначається виразом
и* (/о)) = и (/їо).
* о
(1.93)
Якщо частотну характеристику екстраполятора УРе
обмежено смугою частот о< сотах, то на підставі (1.93)
спектр послідовності імпульсів на виході ЦАП матиме
вигляд
«І (/“) = -4~ О) и (1.94)
7 о
де ) №Д/(о)— частотна передаточна функція імпуль-
\ 7 о /
свого фільтра, складеного з послідовно з’єднаних імпульс-
ного модулятора /С'" та екстраполятора нульового поряд-
ку, яка визначається виразом (1.90). Тоді амплітудно-
частотну характеристику імпульсного фільтра можна знай-
ти за формулою
. о
! 8іп —
— ге (» = . (! 95)
2
Дискретна передаточна функція замкненого контура
цифрового керування. Функціональну схему типового
контура цифрового керування показано на рис. 1.9. Ке-
рована координата визначається виразом
У Ц) = №п (5) (/* ($),
(1.96)
де ІГП (5) =- ІГе (5) (5) — передаточна функція ЗНЧ об’єк-
та керування, а (7* (5) — дискретне перетворення Лапла-
са керуючого діяння и(і):
І/* (5) =30 г; (5) Е* (5).
(1-97)
48
Рис. 1.9
Тут №р($) — передаточна функція регулятора у формі
дискретного перетворення Лапласа, а
£*($)== С* (5)—У* (5),
(1.98)
де Е* (5), 0* (5), У* (5) — дискретні перетворення Лапла-
са відповідно помилки непогодження, задавального ді-
яння та керованої змінної.
Застосувавши до (1.96) дискретне перетворення Лап-
ласа
У*($)=^($)Е*(5), (1.99)
після підстановки [7* (5) з (1.97) до (1.99) дістанемо
у* (5) = №*($) У7*р (8)Е* (5).
(1.100)
Скориставшись формулою (1.98), перетворимо останнє
рівняння до вигляду
У* (5) = г; (5) г; (5) 0* (5) - Гп (5) УҐР (5) У* (5),
з якого визначимо вихідну координату
У* (5) =
<(5)
1+^(5) ^(5)
(1.101)
Поклавши 2 = ег»% рівняння (1.101) запишемо у виг-
ляді
И? (г) IV' (г)
С(г)' (и02)
Після підстановки в (1.102) значення И7П (?) з (1.27)
знайдемо дискретну передаточну функцію замкненого кон-
тура цифрового керування в каналі «завдання регулятс-
49
ра — вихідна керована змінна»
«7, (г) =
Г(г)
6(г)
(*)
И7о (5)
(г)
(1.103)
де С (г), ¥ (?) — відповідно г-перетворення задавального
діяння та вихідної керованої змінної.
1.8. Типові алгоритми цифрового керування
При реалізації алгоритмів цифрового керування ди-
намічними ТП за допомогою мікроЕОМ, в першу чергу,
виходять із принципів дії добре досліджених пропорцій-
ного, інтегрального, пропорційно-інтегрального (ПІ) та
пропорційно-інтегрально-диференціального (ПІД) регуля-
торів, застосовуючи адаптивне настроювання параметрів
регулятора при зміні динаміки об’єкта керування.
Закон керування аналогового ПІД регулятора опису-
ється рівнянням
и(1) = кр \е (І) +^- ( е (0 М + , (1.104)
о
де и (і) — вихідний сигнал регулятора (керуюче діяння);
кр— коефіцієнт його підсилення; е (і) — відхилення ре-
гульованої координати від задавального діяння О (?) ре-
гулятора; Т/, Тд—відповідно сталі часу інтегрування
та диференціювання.
Замінивши неперервні функції и (/), е (/) решітчастими,
запишемо
(в 1 є
п т . (1.105)
і 1 о _м
Для запису дискретних ПІ та ПІД законів керування
ТП застосовуються позиційний і швидкісний алгоритми.
Позиційний алгоритм. При реалізації закону керуван-
ня за цим алгоритмом ЦР має виконувати розрахунок пов-
ного значення керуючого діяння
«п = ф{еД. (1.106)
де еп = 6п—уп—помилка регулювання в п-му періоді
квантування.
.50
З’ясуємо алгоритм роботи цифрового ПІД регулятора,
проаналізувавши окремо кожну його складову.
Пропорційна складова в и-му періоді квантування
може бути розглянута автономно, причому визначається
вона виразом
пр
ип = к Реп.
(1.107)
Інтегральна складова, виходячи з правила трапецій
для чисельного інтегрування, може бути записана у вигля-
ді
єі-і
2
(1.108)
За іншим способом її можна визначити так:
і = 1, 2, 3,..., п.
(1.109)
Дискретна форма сигналу на виході ідеальної диференцію-
ючої ланки при застосуванні позиційного алгоритму по-
винна мати вигляд
ип = (еп - е„-і). (1.110)
1 о
Ця складова алгоритму при малому періоді квантуван-
ня То сигналу й наявності сильних перешкод на виході
замкненої системи керування може набувати великого
значення внаслідок стрибкоподібних приростів помилки
регулювання еп = Си — уп. Для зменшення впливу ви-
сокочастотних перешкод використовують різні спосоіи
фільтрації диференціальної складової позиційного алго-
ритму.
Один із них полягає в застосуванні реальної диферен-
ціюючої ланки зі сталою часу = (10 4- 100) 70. Сигнал
на виході такої ланки в аналоговій формі визначається
диференціальним рівнянням
(/) = кр7\
(1е (/) гр ІЇІіД (/)
(1-111)
а в дискретній він набуває вигляду
'Р
Ип = кРТ, ї п~'-----------------(«й - «»_!], (1.112)
І 1 о з 1 о
51
з бо після перетворення
1 к Т
__ _____Ф , Д і р Д г_________-і /111 О\
гр І гр_______________________________—) І >р І у ^'і—1]* (і • 1 1 3)
* ф • * о ' ф Т ‘ і.
Розглянемо спосіб подання позиційного НІЛ алгорит-
му в формі, зручній для програмування на керуючій мік-
роЕОМ. При цьому вважатимемо, що відхилення е (/) ви-
мірюється тільки в дискретні моменти часу, розділені ін-
тервалами 7^, а керуюче діяння залишається сталим про-
тягом періоду квантування сигналу, тобто
М (0 = «п.
(1Н4)
де лТ0</<(л + 1) То.
Керуюче діяння в позиційному алгоритмі на підставі
(1.107), (1.108), (1.110) визначається виразом
К_Т0 ьл 1 КГ7П
ип = кре„ + £ 1 (еп - ея_|). (1.115)
і—1
Віднявши від обох частин (1.115) величину і, після
перетворення дістанемо
Уведемо позначення
Тоді основне рівняння позиційного регулювання набуде
вигляду
ип == ип—і + А^еп + Агеп_і + А2еп_9, (1.118)
форма якого зручна для програмування на керуючій мік-
роЕОМ. Оцінка коефіцієнтів Ло, Лп Л2 тут еквівалентна
оцінці величин кр, Т[. 7\ при сталому періоді квантуван-
ня То.
Таким чином, використання позиційного алгоритму
припускає, що керуюча мікроЕОМ обчислює повне зна-
52
чення керуючого діяння в заданому інтервалі часу. Це зна-
чення повинно бути передане ВМ як аналоговий сигнал.
Тому при позиційному алгоритмі для кожного керуючого
діяння має бути окремий ЦАП, внаслідок чого в разі реа-
лізації багатьох контурів цифрового керування апаратні
витрати зростають.
На підставі здобутих залежностей (1.107)—(1.110),
(1.115), (1.118) для конкретних умов роботи контура циф-
рового керування мікроЕОМ обчислює керуюче діяння ин,
яке перевіряється на обмеження за максимумом і міні-
мумом: «тіп игі «тах- Я КЩО ЦЯ уМОВЗ ВИКОНУЄТЬ-
СЯ, то сигнал ип передається ЦАП і далі ВМ.
Швидкісний алгоритм. Цей алгоритм характеризу-
ється тим, що вихідний сигнал ЦР є похідною, тобто швид-
кістю зміни керуючого діяння. Швидкісний алгоритм як
результат диференціювання, позиційного алгоритму реа-
лізується при спільній роботі ЦР та ВМ (наприклад, ін-
тегральним операційним підсилювачем з цифровим вхо-
дом). При цьому спеціальний ЦАП не потрібний і кіль-
кість цифрових операцій на мікроЕОМ зменшується.
У швидкісному алгоритмі в кожному періоді кванту-
вання сигналу визначається приріст керуючого діяння
А«ГІ / (^п)-
(1.119)
Як і в позиційному алгоритмі, пропорційна складова
керуючого діяння тут має вигляд
А«"р = и'„ — «"її = кр (ен —-Єп-і). (1.120)
На підставі (1.108) приріст інтегральної складової
становить
Д/7^ _ ____________І —1 /і 1П1\
£Л«л — Ип Нп—і — • (1.1/1)
Дискретна форма сигналу на виході ідеальної диферен-
ціюючої ланки при застосуванні швидкісного алгоритму
з урахуванням (1.110) повинна мати вигляд
= кр (еп — 2еп^і + еп_2), (1.122)
а реальної з урахуванням (1.113) — вигляд
53
При реалізації швидкісного алгоритму обов’язковою є
операція інтегрування. Цифрові системи регулювання в
певному відрізку часу мають стале задавальне діяння ре-
гулятора (0 — сопзі). Оскільки помилка регулювання
еп — 0п — упі швидкісний алгоритм мсжна подати так:
звідки випливає, що задавальне діяння 0 регулятора при-
сутнє тільки в прирості інтегральної складової алгорит-
му. Якщо її виключити, то спостерігатиметься дрейф ре-
гулятора.
Дискретні передаточні функції типових дискретних
регуляторів. Застосувавши г-перетворення до виразу пе-
редаточної функції аналогового ПІД регулятора з низь-
кочастотним фільтром у каналі диференціювання
II (с) / і Т„ь \
дістанемо дискретну передаточну функцію
(г) = —, (1.125)
1 + а^г + а2г
де
Ьо = кр [1 + (1 - е-г“/г*)];
^1= КР — 1 + ”27^ 2-у-4-Є 0 27^~ Ч- 2-7^) »
а1= __ (] + е 7о/7ф); а2 = е“7°/7Ф
Коли стала часу фільтра Тф = 0, дискретна передаточ-
на функція регулятора набуває вигляду
( 2) = А+лі^1 + '42г-2 . (1.126)
1. 2
Якщо замість До, Аг, А2 підставити в (1.126) відповід-
ні значення з (1.117), то дискретна передаточна функція
54
ПІД регулятора визначиться виразом
(г) = кр [ 1 + Ти{] +г~І.) + ~ (1 — г~')] , (1.127)
Р \ / Р [ 2Ту(1— г"1) Л) 3 '
який відповідає різницевому рівнянню (1.115).
Коли інтегральна складова алгоритму роботи регуля-
тора має вигляд (1.109), дискретну передаточну функцію
можна визначити так:
-А (1-2-1) . (1.128)
* п
Якщо в (1.127), (1.128) покласти ТІ = оо, то дістане-
мо пропорційно-диференціальний регулятор, а при =
= 0 —відповідно ПІ регулятор.
1.9. Методи вибору періоду квантування
Задачу вибору оптимального періоду квантування То
можна віднести до однієї з основних проблем оптимальних
витрат машинного часу під час реалізації систем цифрово-
го керування. При зменшенні То точність керування й за-
вантаження мікроЕОМ збільшуються, але при цьому
неекономно витрачається машинний час. При збільшенні
То погіршується якість керування системи. Тому, природ-
но, виникає проблема пошуку компромісного рішення для
задоволення цих суперечливих вимог.
Залежно від спектра неперервної функції вибір То
здійснюється на підставі теореми Котельникова [див. (1.4),
(1.5)]:
То л/(0тах, (1.129)
тобто частота квантування сигналів має відповідати спів-
відношенню
0)0^2сОтах- (1.130)
Вибір періоду квантування сигналів залежить не тільки
від досяжної якості керування об’єктом. Необхідно також
ураховувати такі фактори [15]: динаміку об’єкта керуван-
ня; спектри збурень; динаміку виконавчого пристрою (ВП);
вимірювальні прилади; використовувану математичну мо-
дель об’єкта; обчислювальні витрати або вартість реаліза-
ції на мікроЕОМ одного контура керування.
Для вибору належного періоду квантування сигналів
використовують таку рекомендацію [15]:
Т0/Т95^ 1/15-—1/4, (1.131)
55
де 795 — час досягання керованою координатою значення,
що становть 95 % усталеного значення задавального діян-
ня регулятора при ступінчастій зміні його в замкненій си-
стем і.
Вибір періоду квантування залежно від спектра збу-
рюючих сигналів виконується на підставі теореми Котель-
никова: То я/оц, де со^ — найвища частота низькочас-
тотної області (0 со ац), а збурення керуючої змін-
ної знешкоджується. Теорема Котельникова при цьому
застосовується для визначення То, коли відомо максималь-
ну частоту, що пропускається дискретним регулятором
без спотворення. Одночасно слід ураховувати також ди-
наміку ВП. Наприклад, при значній його інерційності
дуже малий період квантування сигналів вибирати не мож-
на, оскільки дискретні зміни керуючого діяння и [пУД від-
працьовуватись ВП не будуть.
При використанні в системі керування дискретних ви-
мірювальних приладів, наприклад хімічних аналізаторів,
період квантування дискретного регулятора буде наперед
заданий.
Параметри математичної моделі нестаціонарного об’єкта
керування необхідно оцінювати в кожному періоді кван-
тування То. При цьому То не можна вибирати дуже малим,
тому що під час оцінювання їх виникають обчислюваль-
ні труднощі.
Частина з розглянутих вимог щодо вибору То є супе-
речливими, тому в кожному конкретному випадку слід
приймати компромісні рішення. В основному вибір То зво-
диться до відшукання залежності точності керування об’-
єктом від періоду квантування керуючих діянь и [пТ0] та
керованої змінної у ІпТД.
Критерій Джурі при виборі періоду квантування грун-
тується на оцінці максимальної частоти согаах у спектрі
вихідного сигналу ¥ (/со) за амплітудно-частотною харак-
теристикою замкненого контура цифрового керування.
Якщо на вхід регулятора подавати гармонічний одиничний
сигнал С (І) — 8Іп со/, то вихідний сигнал замкненого кон-
тура можна подати як функцію, тобто
ІУ | =
(/®) V®)
1 + (І®) (І®)
(1.132)
Звідси можна визначити частоту ю^ах, при якій | ¥ (/со) |
матиме мале значення, тому що замкнена система згладжує
високочастотні складові сигналу.
56
Значення є визначає точність, яку треба забезпечити
на виході системи. При О (/) = зіп со/ рекомендоване зна-
чення є становить 0,01—0,05. Розв’язуючи рівняння (1.132)
ьі нюсно частоти, знаходять сотах- Після цього період кван-
тування обчислюють за формулою (1.4), оскільки за по-
хибку на виході системи приймають амплітуду найвищої
гармонічної складової в спектрі сигналу V (до).
Приклад 1.5. Визначимо оптимальний період квантування сигна-
лів у цифровій системі з пропорційним регулятором, коефіцієнт під-
силення якого кр— 1,2. Частотна передаточна функція об’єкта керу-
вання описується рівнянням
^0 («) — (715 _|_ і) (Ті!1 4- 1) .
де к = 1; 7\ = ЗО с; Т2 = 5 с. При цьому потрібна точність керуваг
ня об’єктом в усталеному режимі є = 2 %.
Частотна передаточна функція замкненої системи визначається
виразом
крк
(/<*>) (/«) _ (/«Л + 1) (/<оТ2 + 1)
1 +1% (Л°) (/«) 1 , КрК
(/«л + 1)(Ж2 + 1)
=__________________КРК_________________
(1 + крк — со27\72) + /со (Т + Т2)
Користуючись критерієм Джурі, за формулою (1.132) маємо
кк
І У (І®) І = -- = 0,02.
У(1 + крк - ®27’17’2)2 + <о2 (Т, + Т2)2
Розв’язуючи це рівняння, знаходимо частоту (отах = 0,62. Оп-
тимальний період квантування сигналів
То = я/«тах == л/0,62 = 4,9 с.
Приймаємо То = 5 с.
Критерії вибору періоду квантування То, наведеп ви-
ще, не підходять для об’єктів керування, які описуються
диференціальними рівняннями з похідними в правій час-
тині або передаточні функції яких мають оператори ди-
наміки в чисельнику.
Розглянемо критерій вибору ТОі який забезпечує від-
новлення сигналу на виході таких об’єктів з необхідний
частотними складовими. Передаточна функція при цьому
має вигляд
(5) = Т232 2т?5 + 1 9 (1.133)
^7
де нуль чисельника дорівнює —1/&Т; V — коефіцієнт зга-
сання.
Позначимо через созр = д/Т найвищу частоту сигналу,
яку потрібно відновити на виході об’єкта. При цьому
припускаємо, що дійсними є такі співвідношення: созр >
> МЬТ\ созр > .
При заміні 5 = /со передаточна функція (1.133) набу-
ває вигляду
*.№>»>- (І-т'Х, (1.134>
Під час проходження через об’єкт керування з переда-
точною функцією (1.134) гармонічна складова, що має час-
тоту созр, ослаблюється в певне число разів, яке позначимо
через 0. Сигнали з частотами со > созр ослаблюються біль-
ше ніж у 0 разів, а значення модуля амплітудно-фазової
характеристики об’єкта в цьому випадку буде меншим
від попередньо вибраного значення 1/0.
Прирівнявши значення модуля І №0 (/созр) І до значен-
ня 1/0, тобто, записавши рівняння
1 + 62^2
1 — 2^2 4- 4- 4^2
(1.135)
знайдемо з нього д. Сигнали з частотами со > д/Т ослаб-
лятимуться в більше число разів, ніж 0.
Рівняння (1.135) має чотири корені дг (/=14- 4), з
яких два корені дійсні, а два — комплексні. Після роз-
в’язання цього рівняння приймаємо один дійсний додат-
ний корінь 7, а решту коренів відкидаємо.
Для узгодження з теоремою Котельникова значення
0 у (1.135) має дорівнювати 31, що відповідає [1]. Якщо
припустити, що созр буде найвищою частотною складовою
в спектрі вихідного сигналу, то за теоремою Котельни-
кова
= = (1.136)
Приклад 1.6. Визначимо ©птимальньїй період квантування, якщо
об’єкт керування має передаточну функцію
(5) =
К (7\3 + 1)
(725 + 1)(Т35+ 1) ’
де к = 0,70038; Т± = 5 с; Т2 = ЗО с; Т3 = 10 с.
58
Запишемо задану передаточну функцію у формі (1.33)
_ к (ЬТз + Ч
^0 («) — (7252 4- 2уТз + 1) ’
де Т = 1/7'97’3 = 17,32 с;
= 0,289.
Розв’язавши рівняння
Тоді
V = (Т2 + Т3)/2Т= 1,154;
Ь = 7\/Т =
(1.135) при 0 = 31, знайдемо <7 = 6,82.
я . 17,32
6,82
= 7,978 « 8с.
1.10. Аналіз дискретних систем
і об'єктів керування
Розглянемо аналіз дискретних систем керування. Ди-
наміка об’єкта відображується моделлю типу «вхід-ви-
хід», яка описується рівнянням (1.37):
Л(?-і)Уі = В(г-і)^, (1.137)
де
А (г—і) = 1 + 4- а2г~2 + ... + т;
В (г-1) = + Ь2г-2 + ... + Ьтг-т,
або моделлю в просторі стану, поданою у вигляді (1.67):
х (/? + 1) = Рх (&) + би (&);
у(к) = СІ(к).
(1.138)
Вважатимемо, що параметри об’єкта інваріантні за
часом, тобто коефіцієнти поліномів А (з-*1), В (г—1) і мат-
риці Р, 6, С від часу не залежать. Найбільш цікавим при
вивченні дискретних систем і об’єктів керування є аналіз
таких властивостей їх, як стійкість, керованість, спосте-
режував ість і досяжність.
Аналіз стійкості. Дискретну модель ЗНЧ об’єкта ке-
рування, що описується рівнянням (1.31), можна подати
у вигляді
Уі = 1ГП (?) №п (г) = В (г-'УА (г~>).
Розглянемо замкнену дискретну систему керування,
структурну схему якої показано на рис. 1.7. Дискретна
передаточна функція її згідно з (1.102) має вигляд
Я(г) =
(г) 1ГП (г)
1 + № (?) Гп (?) •
(1.139)
59
Рис 1.10
Стійкість лінійних дискретних систем автоматичного
керування за аналогією з неперервними системами ви-
значається вільними коливаннями, які залежать від коре-
нів характеристичного рівняння дискретної передаточної
функції Н (?) замкненої системи. Тому треба дослідити
характеристичне рівняння функції Н (?), яке відповідно
до (1.139) можна записати так:
1 + №Р (г) №п (г) = 0.
(1.140)
Це рівняння після перетворень набуває вигляду
п і п—1 і і і
Гп2 +гп-і2 + ... +г1г + го = О.
(1.141)
Розглянемо побудову областей стійкості на площині
комплексної величини г, для чого виконаємо відображен-
ня уявної осі площини 5 (рис. 1.10, а) на площину г. З цією
метою за методом О-розбиття необхідно зробити підстанов-
ку 5 = /со, а потім змінювати частоту со в межах від —оо
до 4-оо у виразі 2 = ет°8 — Границею стійкості на
площині 5 буде уявна вісь. При зміні частоти в межах від
—оо до 4 оо на площині 2 дістанемо коло одиничного ра-
діуса (рис. 1.10, б), яке й є межею області стійкості.
Таким чином, критерієм стійкості замкненої системи
керування буде знаходження полюсів її передаточної
функції Н (?) на полі круга одиничного радіуса, тобто ко-
рені характеристичного рівняння (1.141) мають бути об-
межені за модулем: | ^ | < 1.
Для спрощення задачі дослідження стійкості використа-
ємо пу-перетворення, на підставі якого коло одиничного
60
радіуса на площині г відображується на уявну вісь пло-
щини комплексної величини ю (рис. 1.10, в) Щоб відобра-
зити поле круга одиничного радіуса в комплексній пло-
щині г на ліву частину комплексної площини су, в характе-
ристичне рівняння (1.141) замість г підставимо (1 + ^)/
/ (1 — 10). Тоді після перетворень дістанемо нове харак-
теристичне рівняння
Тепер кореням характеристичного рівняння (1.141) га
полі одиничного круга площини 2 відповідатимуть корені
характеристичного рівняння (1.142), які знаходяться в
лівій частині площини коренів до.
Таким чином, для дослідження стійкості дискретних
систем автоматичного керування на основі ^-перетворен-
ня можуть бути використані критерії стійкості, розробле-
ні для аналізу стійкості неперервних систем.
Визначимо стійкість дискретної інваріантної системи,
яка в просторі стану описується рівнянням
Х[(*+ 1)Го1=/?(7’о)х(/^о). (1.143)
При початкових умовах х°(к0Т0) та х(к0Т0) розв’яз-
ками цього рівняння будуть відповідно х°{кТ0)\ х(кТь).
Розв’язок х°(/?Т0) рівняння (1.143) буде стійким, якщо
для заданого значення є>>0 існує величина 6 (є, к0) для
всіх розв’язків, які при початковій нормі ||х(^о) —
— V0 (/гаТ0)|| <6 задовольняють умову || х (кТ0) —х°(кТ0)\\<є
для всіх к^ /г0 [28].
Розв’язок х?(к7\) рівняння (1.143) буде асимптотично
стійким, якщо він стійкий і якщо норма ||х(&Т0) —
— х°(^Т0)||-> 0 при к-+ оо за умови, що початкова норма
||х(ВД— х°(^о^о)ІІ Достатньо мала.
Для лінійної дискретної системи стан х(х£7?р— ЛІ-
НІЙНИЙ простір матриць вимірністю (т х 1)) буде стій-
ким, якщо
Гші Т'кх(0) = 0. (1.144)
>оо
Стосовно розв’язку (1.47) це значить, що його остан-
ній член, який відповідає початковим умовам, буде асимп-
тотично перетворюватись у нульовий. Система буд<, стій-
кою, якщо всі значення змінних її стану будуть стійкими.
61
Для стійкості системи необхідно й достатньо, щоб власні
значення матриці Р були за модулем строго меншими від
одиниці [28], тобто
|?4|< 1, і = 1, ... ,т. (1.145)
Для визначення стійкості нелінійних динамічних си
стем, яка в просторі стану описується рівнянням
М(* + 1)Л)1-/1*(^О)],
(1.146)
застосуємо другий метод Ляпунова.
Якщо для системи (1.146) існує функція Ляпунова
V (х), то розв’язок х(йТ0) = 0 буде асимптотично стійким.
Якщо 0 < <р (II XII) < И(х), де ср(||х||)-> оо при ||X||-> оо, то
розв’язок буде асимптотично стійким за будь-яких почат-
кових умов [28].
У дод. 6 наведено визначення функції Ляпунова й
викладено правила побудови квадратичних функцій Ля-
пунова для лінійної системи, що описується рівнянням
(1.143).
Аналіз керованості та досяжності. Розглянемо дис-
кретну модель лінійного об’єкта керування в просторі ста-
ну, що описується рівнянням (1.46). Припустимо, що по-
чатковий вектор стану х (0) об’єкта відомо. Тоді його стан
у момент часу пТ0 можна визначити за (1.47), записавши
рівняння
х(лТо) = №(То)х(0) +
Г-,(То)6(То)«(О) + ...
... + О (То) и 1(п - 1) Г01 = Рп (То) х (0) +
+ [О(Т'о) Р(Т0)6(Т0)...Рп~'
(То) 0 (То)]
X [ит[(п-1)Т0] мт [(п - 2)Т0]... «т(0)]т. (1.147)
Лінійний динамічний об’єкт, який описується рівнян-
ням (1.46), називається керованим, якщо існує послідов-
ність керуючих діянь и (АТ0), яка дає змогу перевести об’-
єкт з довільного початкового стану х(0) в кінцевий за об-
межений час, який дорівнює п періодам квантування.
Складена матриця
КС=Ю(ТО) Р(Т0)С(Т0)...Рп~1(Т0)6(Т0)\ (1.148)
62
називається матрицею керованості. Необхідні й достатні
умови керованості об’єкта визначаються наявністю повно-
го рангу цієї матриці.
Модель об’єкта, що описується рівнянням (1.46), буде
досяжною тоді і тільки тоді, коли матриця 7?с має ранг
гапк /?с = т, де т — порядок матриці Р. На підставі
(1.147) можна визначити вектор керуючих діянь при п =
= т:
й,п = РҐ \х(тТ0) -Рт (ТоМО)], (1.149)
якщо матриця керованості /?с буде невиродженою, тобто
СІЄІ /?г 0.
Коли /?с має ранг т, то з (1.149) дістанемо п векторних
рівнянь для визначення послідовності керуючих діянь, за
допомогою яких об’єкт перейде з початкового в бажаний
кінцевий стан х (тТ0). Якщо п < т, то розв’язок рівняння
(1.149) — не існує, а при п > т він буде неоднозначним
[15].
Приклад 1.7. Дискретну модель об’єкта керування, що опису-
ється рівняннями (1.46), задано у вигляді
2 0
і[(/г + 1) То] =
— 1 0,5
х (&Т0)
при х (0) —
и (ЬТ0)
Знайдемо послідовність керуючих діянь для того, щоб хТ (27і0) =
= [— 1 1]. З (1.147) випливає, що
х (2Т0) = 72 (То) х (0) + Р (То) 6 (70) и (0) + О (То) и (1).
Матриця керованості (1.148) матиме вигляд
беї Рс ~ 2,25,
а вектор керуючих діянь на підставі (1.149) — вигляд
ц (1)
и (0).
0
0,5
= 1 [х (2) - х (0)] =
Звідси дістаємо и (0) = — 2,528; и (1) = 1,722.
Таким чином, послідовність керуючих діянь існує. Об’єкт буде
керованим і досяжним, тому що матриця має ранг 2.
63
Аналіз спостережуваності. Розглянемо модель об’єк-
та керування в просторі стану, що описується рівняннями
(1.138). Припустимо, що значення вихідної змінної відо-
ма у (0), у (1), ..., у (п— 1). Використовуючи рівняння
в і ходу та стану (1.138), сформуємо послідовність вихід-
них змінних:
у (0) = Сх(0);
У (1) = Сх (1) = СРх (0) СОи (0);
у (2) = СР2х (0) + СРОи (0) + СОи (1);
У(п — 1) = СЕп~'х(0) + Ю СО СЕ6... СЕп~2О] х
х [и(п — 1)...и(1) и (0)]т,
яка у векторно-матричному запису має вигляд
~у(0)
Матриця И7 = [С СР СР2 ...СРп~~}^ називається мат-
рицею спостережуваності.
Систему рівнянь (1.150) можна записати у вигляді
уп ==_ІГх(0) + №ип. Тоді вектор стану х(0) = IV-1 [уп —
— Мии] визначиться тільки в тому випадку, коли матриця
спостережуваності УР має повний ранг п. При цьому
деі УР =# 0, і розв’язок системи рівнянь (1.150) існує.
64
1.11. Методи поточної оцінки параметрів
дискретних моделей об'єктів керування
в реальному масштабі часу
При синтезі ЦР в основному використовують парамет-
ричні моделі об’єктів керування та збурень, які можна ха-
рактеризувати кінцевим числом параметрів. Реалізуючи
адаптивні системи керування, основну увагу приділяють
методам поточної ідентифікації параметрів у реальному
масштабі часу, для чого розроблено рекурентні методи
оцінки параметрів стаціонарних і нестаціонарних ліній-
них дискретних моделей об’єктів керування. Ці методи
відзначаються незначним обчислювальним навантаженням
ЕОМ в кожному такті та здатністю просліджувати змінні
за часом параметри дискретних моделей.
Рекурентний метод найменших квадратів. У дискрет-
них системах керування результати спостережень вхід-
них і вихідних координат об’єкта знаходять послідовно
через кожний період квантування. Для оцінки парамет-
рів моделі АРКСХ, яка описується рівнянням (1.88), до-
цільно побудувати рекурентну процедуру, відповідно до
якої оцінювання параметрів в поточному періоді кванту-
вання здійснюється на підставі оцінки їх у попередньому
періоді. Це дає змогу значно зменшити обчислювальні ви-
трати при визначенні невідомих параметрів моделі.
Розглянемо модель АРКСХ, у якій С (г-1) = 1. Тоді
співвідношення між виходом і входом об’єкта керування
матиме вигляд
Уі = £ “іУі-і + £ Ьіи(_( + (1.151)
1=1
або у векторній формі
= + (1.152)
де вектор вимірюваних спостережень визначається виразом
[У і—1» Уі—2, ••• , Уі—р» Н",—], Ні—2, ••• » Ш—#],
а вектор невідомих параметрів—виразом
0 — 1^1» ^2» » ^р» ^1» ^2» •
(1.153)
(1.154)
У (1.151) — послідовність нормально розподілених
статистично незалежних випадкових величин (дискретний
«білий шум») з математичним сподіванням М = 0 і
з — 4-940
65
коваріаційною функцією
соу ІСЬ т] = М {С^/+т} = а|6(т),
де <з\ — дисперсія; д(т)— функція Кронекера.
Середня квадратична оцінка за методом найменших
квадратів (МНК) вектора 0 при N спостереженнях вико-
нується так, щоб критерій
(1.155)
був мінімальним. Тому вектор 0 необхідно визначити,
виходячи з мінімізації критерію Д/, яка здійснюється ди-
ференціюванням його по вектору 0 і прирівнюванням по-
хідних до нуля. Ця операція після перетворень дає таку
систему нормальних рівнянь:
N N
£ Уіх1 = [2 ХІХА е (^.
/=і <=і
(1.156)
Увівши позначення
(^) ІУі У% ••• Уд>] »
(1.157)
^Т(^) = [ХТ(1)
Хт (2)...Хт(Л01,
(1.158)
складові системи рівнянь (1.156) можна записати у
вигляді
д7 _
2 УіХ] = (/V) У (АГ); £ Я]Х{ = і|)Т (У) ф (Я).
^=1 ^=1
(1.159)
ТЕОРЕМА 1.2. Якщо матриця фт(М)ф(2У) додатно
визначена, то з урахуванням (1.152) — (1.154), (1.156) —
(1.159) середню квадратичну оцінку вектора парамег-
66
рів 0 можна визначити на підставі рекурентних рівнянь
0г — 0/—і + Кі [Уі і];
Кі = Рі-іХ] [1 + х^-іхГг1;
(1.160)
Р{ = Р(-і -Рі-іХ] [1 + Х^ХЬ^ХіР^.
Для доведення теореми вихідні масиви (1.157), (1.158)
запишемо у формі
ф^) =
ф(Х — 1)
Х(Х)
(Л0 =
(Л/-1)
У»
(1.161)
Тоді праву частину першого рівняння (1.159) можна
перетворити до вигляду
фт (X) V (X) = фт (X - 1) У ЦУ - 1) + ХТ(Х) (1.162)
Користуючись системою рівнянь (1.156), яку на під
ставі (1.159) подамо у вигляді
фт(Х)ф(Х)0(Х) = ф7(Х) ¥(Х),. (1.163)
праву частину виразу (1.162) запишемо так:
фт(Х — 1) У (X — 1) + Хт (X) = фт (X — 1) ф(Х — 1) х
х£(Х-і) + хт(Х)^ = [Фт(Х)ф(Х)-
~ХТ (Х)Х(Х)]Є(Х~1) + Хт(Щу^
== фт (X) ф (X) 0 (X — 1) —Хт (X) X (Х)0 (X — 1) ф-
+ Хт (X) У".
Підставивши цей вираз у праву частину рівняння
(1.163), з урахуванням (1.162) матимемо
фт (X) ф (X) 0 (X) = фт (X) ф (X) 0 (/V — 1) —
- Хт (X) X (X) 0 (X - 1) + Хт (X) =
= фт (X) ф (X) £(Х - 1) + хт (X) - X (X) 0 (X - 1)].
(1.164)
з*
67
Уведемо позначення
Р (Л') = й? (Лі) Ф (Лі)]”1. (1.165)
Тоді (1.164) можна перетворити до вигляду
е (Лі) = ІЇ(ЛІ - 1) + Р (Лі) Хт (Лі) - X (Лі) І (Лі - 1)],
(1.166)
де матриця Р(Л/) буде пропорційною коваріаційній
матриці помилок при оцінюванні вектора параметрів 0.
Позначимо К (М) = Р (М) Xу (М). Тоді з (1.165) діста-
немо рівняння
Р~'(ЛІ) = ^г(ЛІ)^(Лі) = [^Т(ЛІ — 1)ф(ЛІ —1) +
4- Хт (Лі) X (Лі)] = Р~' № — 1) + Хт (Лі) X (Лі),
помноживши яке спочатку зліва на Р(Х'), а потім справа
на Р(М—1), знайдемо
Р(М — 1) = Р(ЛІ) + Р(ЛІ)ХТ(ЛІ)Х(ЛІ)Р(ЛІ — 1). (1.167)
Після цього домножимо обидві частини рівняння
(1.167) на ХТ(ЛІ):
Р (Лі — 1) Хт (Лі) = Р(Лі) Хт (Лі) + Р (Лі) Хт(Лі) X (Лі) х
X Р(ЛІ— 1)ХТ (Лі) = Р(ЛІ)Хт(Лі) X
X [1 +Х(Л')Р(ЛІ— 1)Хт(Лі)].
З цього рівняння можна визначити вектор корекції
(вагових множників)
Х(ЛІ) = Р(ЛІ)ХТ(Лі) = Р(ЛІ — 1)ХТ(ЛІ) X
X [1 +Х(Л')Р(ЛІ — 1)ХТ(ЛІ)]-’. (1.168)
З урахуванням (1.167), (1.168) маємо
Р(ЛІ) = Р(ЛІ —1) —Р(ЛІ)ХТ (ЛІ)Х(ЛІ)Р(ЛІ —І) =
= Р(ЛІ —1) —Р(ЛІ— 1)ХТ(ЛІ)[1 +Х(ЛІ)Р(ЛІ— 1) х
X Хт (Лі)]-*Х (Лі) Р (Лі — 1). (1.169)
68
На підставі виразів (1.166), (1.168), (1.169) можна
записати загальну обчислювальну процедуру (1.160) для
визначення середньої квадратичної оцінки вектора пара-
метрів 0 за РМНК. Початковими даними тут є Р (0) =
= а/, 0(0) = 0ПОЧ, де а — достатньо велике додатне число;
Т— одинична матриця; 0ПОЧ — початкове значення вектора
параметрів, яке в загальному випадку можна вважати
нульовим вектором.
Застосування РМНК для нестаціонарних моделей.
При використанні критерію (1.155) зробимо припущення,
що всі параметри об’єкта мають однакову вагу при N спо-
стереженнях. Якщо ці параметри з часом змінюються, то
слід увести фактор забування застарілих даних.
Обчислювальна процедура (1.160) з урахуванням змі
ни параметрів об’єкта набуває вигляду
0^ = 0/_і + Кі [уі — і];
к1 = Р^ХІ Ір +
Рі = її - клі л-і/р,
(1.170)
де експоненціальний фактор забування Р доцільно вибира-
ти в межах 0,9 < Р <С 1.
Застосування РМНК для дискретних моделей з за-
пізнюючим аргументом. Співвідношення^. 151) для об’-
єктів керування з запізнюванням керуючого діяння мож-
на записати так:
Р Р
= аіУі-і + £ ЬіШ-а-і + Со
/=1 1=1
(1-171)
де б/ — дискретне запізнювання в об’єкті.
Для використання обчислювальної процедури (1.160)
з метою оцінювання вектора параметрів 0 за (1.154) век-
тор вимірюваних спостережень (1.153) слід записати у ви-
гляді
— УУ У і—у ••• ^Уі—р^ иі—а—29 •••» и/—4—
(1.172)
Тепер можна сформулювати основні правила застосу-
вання РМНК для оцінювання параметрів дискретних мо-
делей об’єктів керування:
69
1. Порядки р, д в (1.151) і дискретне запізнювання (1
вважаються відомими.
2. Відхилення керуючого діяння щ = 1/і — V (0) ви-
значається без похибок.
3. Усталене значення вихідного сигналу ¥ (0) об’єкта
вважається відомим; воно дорівнює добутку статичного
коефіцієнта підсилення об’єкта на усталене значення ке-
руючого діяння 1} (0).
4. Вихідним сигналом у (1.151) вважається відхилення
вихідного сигналу Угоб’єкта від його усталеного значен-
ня, тобто = ¥і — ¥ (0).
5. На вихідний сигнал уі може діяти збурення у вигля-
ді стаціонарного «білого шуму». Якщо координата є
послідовністю незалежних нормально розподілених випад-
кових величин, то оцінка вектора параметрів 9 моделі за
РМНК буде асимптотично незсуненою та слушною [39].
Примітка. При ідентифікації параметрів об’єкта керування за
обчислювальною процедурою (1.170) відповідно до (1.151), (1.171) за-
мість абсолютних значень керуючих діянь і керованих вихідних
змінних Уі використовують відповідні відхилення їх від усталених
значень С/ (0) та ¥ (0), тобто
И =С/ -ЩО); У =¥ -¥(0).
Ь V І» Ь
(1.173)
Для того щоб у процедурі ідентифікації параметрів
об’єкта керування за РМНК використати безпосередньо
значення виміряних вхідних і вихідних ¥г сигналів,
перетворимо (1.151), урахувавши вирази (1.173). Тоді ді-
станемо
Р <7
= У і—І + У &і^Л-ї + Ц +
/=1 і=1
де г) — сталий зсув вихідної координати ¥1 при усталених
значеннях ¥ (0) та (7 (0), який на підставі (1.151) визнача-
ється виразом
П = (1 - Яі -... - ар) ¥ (0) - (Ьг + Ь2 + ... + Ьч) І/ (0).
При цьому Х( вимірюваних координат об’єкта
[див. (1.153)] доповнюється складовою, що дорівнює 1, а у
вектор параметрів 0 додається сталий зсув т], який оціню-
ється за обчислювальною процедурою (1.170).
Приклад 1.8. Модель об’єкта керування другого порядку опису-
ється різницевим рівнянням
УІ + а1Уі— 1 + а2Уі—!2 = 1 + ^2иі— 2 4“
70
Побудуємо алгоритм РМНК для оцінки параметрів цього
об’єкта.
Модель об’єкта у векторній формі (1.152) має вигляд
У і = і +
— [— Уі—1> У'і—\2» иі—1» иі—-2І»
= (%_!’ аь-\' 4-і’ Ч-і,т'
Алгоритм обчислювальної процедури для оцінки вектора парамет-
рів в кожному такті керування об’єктом виконується за вісім кроків.
1. Визначення вектора спостережень X..
2. Обчислення добутку - РЩ-\ Р12І-1 р™і-\ Р^і-\ _ Р21і-Х р2*і-\ р2ь-1 р2іі~] р^і~\ рз2і-} Р331_\ р^І-\ _р^і-\ р*21-\ Р*3 4 *І-1 р^1- Р^І—хУ і—\ Р12і—\Уі^-2 + ^13г- Р21і—\Рі—\ Р221—\У(—<2 + Р^і- Рз1і—\Уі—1 Р^21—\Рі—2 Р^3і- — Р^і—\Рі—\ Р^2і—\Рі—2 Р*3і- ~ГГ '2 1 1 СЧ 05 СЧ (М |!1І II з'*"> ^2 . ——г ї 7 7 ї 1 1 -к» -К» Жі «—> СЧ О> 1'ї’ 1 1 1 1 ££££ а, а, з з + + + + 1 1 ""її , 1 1 " 1 11 3 3 3 3
З
3. Обчислення добутку
і <-!
І = І — У 1-Х — У і—2 иі-\ иі-ї\ 1Г1 Г2 Г8 Г4І
2
4. Визначення нового вектора корекції
і ~ 1
і1
= \ку К к
71
5. Обчислення помилки апроксимації за РМНК
еі = У і — = У і — (— Ум — Ум иі-1 иі—2І X
X [Ді а» Ьі Ь2 ]т.
1 2с_і 4-і 2і—г
6, Визначення нової оцінки вектора параметрів
+ ^іеі = ІаЧ-| а2/-1 4-І +
+ (*!, к2{ Ч к4^Є1-
7. Обчислення нової коваріаційної матриці
Рі-Р^-Р'-ЇЇ [1 + -
= Л_, - К/Л-.
8. Збільшити і на 1 і знову виконати всю послідовність дій,
починаючи з п. 1.
Щоб можна було почати виконання алгоритму в момент часу
і = 0, треба задати початкові значення 0 (0) = [а1П0Ч а2Поч ^іпоч
£2поч1Т; (0) = <1іа£ {а а а ••• °0» де а — велике додатне число,
наприклад 1000.
Якщо випадкова послідовність {£*} в (1.152) буде корельова-
ною, то РМНК матиме зміщені оцінки.
Розширений РМНК. Розглянемо дискретну модель
АРКС, яка описується рівнянням
А (2-1) у і = В (г-1) щ + С (г-1) (1 • 174)
де
В (г 1)==Ь1г ' + ... + Ьдг я\
С (г""1) = 1 + с±г~} + ... + ^г“г,
а {уі}, {щ} — послідовності відхилень (варіації) відповід-
но вихідного та вхідного сигналів від усталених значень
У(0), (/(0).
Якщо припустити, що послідовність нормально розпо-
ділених статистично незалежних випадкових величин {^}
вимірюється, то (1.174) можна записати у вигляді
У1 = ХІ& + ^ (1.175)
де вектор вимірюваних спостережень визначається виразом
72
а вектор невідомих параметрів — виразом
••• , Лр, 0^, ••• , Рд, Су ... , Сг] ,
(1.177)
який можна оцінити за РМНК, користуючись обчислю-
вальною процедурою (1.160).
У загальному випадку послідовність {^} невідома і її
треба оцінити. Це можна зробити, якщо замість вектора
вимірюваних спостережень записати
і — І У і— 1» ••• » Уі—рі Щ—У ^/—2» ’ Мі-я* р ••• > гі*
(1.178)
Тоді поточне збурення можна оцінити за формулою
Сг=у(-ХД_.. (1.179)
Це приведе до такого рекурентного алгоритму МНК:
0^ — 0/—і + КЛр
(1.180)
Формули (1.177) — (1.180) використовують на прак-
тиці. Вони дають змогу дістати збіжність оцінюваних
параметрів 0^ до 0 за умови,
1/С(г—*)
що поліноми С(г ’) і
мають додатну дійсну частину, тобто
Контрольні завдання
Вивчити самостійно такі теми:
1. Розв’язування різницевих рівнянь на підставі г-перетворення
[8].
2. Дискретні моделі просторово-розподілених технологічних об’-
єктів [ЗО].
3. Оцінка точності відображення сигналів у цифровій ЕОМ. Ал-
горитм усереднення з нескінченною пам’яттю [15, ЗО].
73
4. Визначення дисперсії сигналу, сформованого шляхом фільт-
рації «білого шуму» [28].
5. Квантування стохастичних диференціальних рівнянь [28].
6. Компенсаційні й аперіодичні регулятори [15].
7. Спектральні характеристики шумів у системах керування [15].
Завдання для самостійного розв'язування
1. Для двовимірного об’єкта керування, що описується неперерв-
ними передаточними функціями
Чр—Др-55
ои^ = -&+Т: (5) = ПЙТГ 5
-<•>—пЬт ; %м = ^+г
розробити дискретну математичну модель у вигляді матричного полі-
номного різницевого рівняння на підставі рівнянь (1.34), (1.35) при
періоді квантування То = 2с.
2. Знайти дискретну передаточну функцію замкненого контура
цифрового керування, якщо передаточна функція об’єкта визначаєть-
ся виразом
№ „ к(1-7\з)
(Тг5 + і) (Тз5 + і) .
де к= 1, Тг~ 10 с, Т2— 50 с, Т3= 15 с, а передаточна функція
дискретного ПІ регулятора — виразом
117 р (г)=кр
1 +
= 2, Т±= 120 с, Го = 10 с.
де кр
3. Для передаточної функції об’єкта, яка визначається виразом
Г0 (8) — + 1) (Т28 + 1)
де к = 0,9, 7\ = 50 с, Т2— 20 с, за критерієм Джурі знайти опти-
мальний період квантування в системі цифрового керування з ПІД
регулятором, передаточна функція якого визначається виразом
(г) = кр
(1- г~ ’) ,
де к = 1, 2, Т\ = 140 с; Т = 15 с.
4. Визначити за критерієм Гурвіца стійкість замкненого контура
цифрового керування з дискретною передаточною функцією, знайденою
в задачі 2, при к = 0,7, 7\ = 5 с, Т2 = 40 с, Т3 = 10 с і кр= 1,5,
Ті — 120 с, 7*0 = 5 с.
74
5. Математична модель системи керування в просторі етану опи-
сується системою рівнянь
0,6 —0,6'
_0 0,3.
У (к) = [3 - 5]
(к\
х2 (к)
(к)'
_^2
и (к)\
Дослідити спостережуваність і досяжність цієї системи.
6. Модель дискретної системи керування в просторі стану опису-
ється системою рівнянь
Х1 (к + і)
х2 (к + 1)
*з (к + 1)_
0
0
0
1
0
0
Визначити послідовність керуючих діянь, яка переводить цю си-
стему з початкового стану хт (0) = [1 1 1] у початок координат.
РОЗДІЛ 2
ПРИНЦИПИ ТА МЕТОДИ ПРОЕКТУВАННЯ
ОПТИМАЛЬНИХ ОДНОВИМІРНИХ
ПОЛІНОМНИХ ДИСКРЕТНИХ СИСТЕМ
АДАПТИВНОГО КЕРУВАННЯ
2.1. Класифікація і загальна характеристика
методів побудови оптимальних
дискретних регуляторів
Дискретні системи керування можна умовно поділити
на два великих класи:
1. Системи керування з детермінованими збуреннями
(детерміновані системи керування).
2. Системи керування з випадковими збуреннями (сто-
хастичні системи керування).
Детерміновані системи керування — це такі системи,
що проектуються для детермінованих зовнішніх збурень
або детермінованих початкових умов, які можна описати
в аналітичній формі. Проте детерміновані сигнали, вико-
ристовувані при проектуванні цих систем керування,
можна розглядати лише наближеними моделями дійсних
сигналів. Синтезована детермінована система керування
буде оптимальною тільки відносно визначених наперед
модельних сигналів. Для решти випадків її можна розгля-
75
Рис. 2.1
дати як квазіоптимальну. Якщо до якості керування став-
ляться підвищені вимоги, то при проектуванні регулято-
рів необхідно враховувати не тільки динаміку об’єктів,
а й властивості реальних збурень. Для цього треба засто-
совувати методи теорії випадкових процесів.
Узагальнену схему процесу проектування систем ке-
рування зображено на рис. 2.1. Як початкові дані для
проектування використовують точні або наближені мате-
матичні моделі об’єктів керування і сигналів (початкових
умов, задавальних і збурюючих діянь).
Основні системи керування та методи проектування їх
можна поділити на дві загальні групи [15]:
1. Параметрично оптимізовані системи керування,
структуру яких задано, а параметри їх підстроюють під
керований об’єкт на підставі критерію оптимальності.
2. Структурно оптимізовані системи керування, струк-
туру й параметри регулятора яких оптимально підстрою-
ють під структуру та параметри математичної моделі
об’єкта.
До параметрично оптимізованих регуляторів можна від-
нести типові регулятори (пропорційний, інтегральний,
ГІД, ПІ, ПІД), закони керування яких у дискретній фор-
мі розглянуто в п. 1.7.
Структурно оптимізовані регулятори поділяються на
регулятори з компенсацією відхилень регульованих змін-
них і збурень, а також на регулятори з керуванням за ста-
ном.
Вирішальну роль при проектуванні оптимальних регу-
ляторів відіграє вибір критерію керування. Характер
поведінки керованих змінних можна задати розподілсм
полюсів замкненої системи керування, які визначають її
76
ізольований власний рух. Але найповніше це досягається
при використанні аналітичних методів розрахунку, що
грунтуються на різних критеріях оптимальності. Найбіль-
ші переваги з них мають квадратичні, оскільки при відшу-
канні оптимального значення квадратичної функції її
перші похідні зображаються у вигляді математичних спів-
відношень, лінійних відносно помилки керування е (п).
У найбільш загальному випадку для систем керуван-
ня з детермінованими збуреннями квадратичний критерій
оптимальності можна подати в такому вигляді;
оо
А = У е2 («) + <7«2 («)» (2.1)
п=0
де крім квадрата помилки е2 (и) є квадратичний член и2 (п),
яким ураховують відхилення керуючої змінної з ваговим
коефіцієнтом д.
У просторі стану критерій (2Л) записується так:
оо
</2 = V хт (и) (&с (п) +ди2(п).
п=0
(2.2)
Проектування стохастичних систем керування грунту-
ється на мінімізації дисперсії регульованої змінної у (п)
у моменти квантування
= Л4 {у2 (п)},
(2-3)
де М — оператор математичного сподівання.
У критерій (2.3) не входить керуюча змінна и (/); то-
му здебільшого спостерігаються значні зміни сигналу и (п)
на вході регулятора.
Введення в критерій оптимальності керуючого діяння
и (гі) не дає змоги дістати мінімум дисперсії керованої
змінної у (п), через що замість неї мінімізується зважена
сума дисперсій керованої та керуючої змінних у моменти
квантування їх. Критерій оптимальності для стохастич-
них систем у цьому разі можна записати в такому вигляді:
/4 = М {[Ру (п + і) — гС (и)]2 + ди2 (п)}, (2.4^
де і = (і 4- 1 — запізнювання в об’єкті керування.
Якщо задавальне діяння 6 (п) = 0, то критерій (2.4)
набуває вигляду
Л = Л4 {у2 (п + і) + ди2 (п)}.
(2.5)
77
Регулятори, що проектуються на підставі мінімізації
критеріїв оптимальності (2.4) та (2.5), називаються регу-
ляторами з мінімальною узагальненою дисперсією. Якщо
і = 0, то ці критерії можна використати при проектуван-
ні регуляторів для об’єктів керування без запізнюван-
ня. Тоді матимемо
У6 = {у2 (п) + уи2 (п)}. (2.6)
Стохастичні критерії оптимальності (2.3)—(2.6) засто-
совуються для лінійно-квадратичного синтезу традицій-
них дискретних регуляторів, які реалізують керування з
мінімальною дисперсією вихідного сигналу чи з мінімаль-
ною узагальненою дисперсією цього сигналу та керуючої
змінної в моменти квантування. Проте при цьому не вра-
ховується відхилення дисперсії сигналу на виході об’єк-
та керування протягом періоду квантування То, яке мо-
же бути значним. Тому при проектуванні дискретних ре-
гуляторів доцільно використовувати усереднену диспер-
сію вихідного сигналу
пТ0-рТ0
С Му2 (і) сії, (2.7)
1 о Л
пТ0
а також скалярний критерій оптимальності
пТ0-]-Т0
= р (П)=^~ С Му2 (/) аі. (2.8)
* 0 Л
пТ0
Дискретна передаточна функція узагальненого ліній
ного регулятора типу «вхід-вихід» має вигляд
И2 Е (г) ~
Чо + Яі? 1+ .. + <?/ '
(2-9)
З урахуванням
об’єкта керування
' С/ (г)
дискретної передаточної функції ЗНЧ
г~аВ (г"1) = г~'г(^1г~1 + ... +&тг~'п)
А (г-"1) 1 + + ... + « г~~т
(2.10)
і функції (2.9) можна визначити дискретну передаточну
функцію замкненої системи керування за задавальним
діянням
Ч __ № ___ 2 5 (2 ) (2 ) Ґ9 1 1\
О(г) ~ Р{г-^)А(2-') + ^(2-Ьв(2-')2-а 1 }
78
яка в загальному вигляді може бути записана такі
де її порядок к визначається за співвідношенням
к = шах (т + р). (2.13)
Запишемо чисельник і знаменник (2.12) у вигляді до-
датних степенів 2°, 2і, 22, ... , тобто
и - <2-' «І
Характеристичне рівняним при цьому матиме вигляд
Лм (з) = Р (г) А (г) з° + (? (з) В (з) =
= (г — 2і) (г — з2)... (2 — гк) = 0, (2.15)
де г2, ..., хк — полюси замкненої системи керування,
які розміщуються на полі круга одиничного радіуса
(І2ьІ < ї = 2, ..., к) для забезпечення стійкого пе-
рехідного процесу вихідної координати у.
Щоб забезпечити обмежене значення дисперсії керу-
ючого діяння
Ми2 (л) = Ри (л) = с\ (2.16)
розподіл полюсів 2^1 = 1, 2, ... ,к) вибирається, виходячи
зі сталих часу Ть:
-Т0/Ті
2і = Є
(2-17)
Розглянемо типові варіанти розподілу їх.
1. Полюси 2г (г = 1, 2, ..., к) розміщуються на дійс-
ній осі з фіксованим співвідношенням а між сталими часу
Тг. Характеристичне рівняння при цьому відповідно до
(2.15) має вигляд
Аш (?) =(2- е-т°ІГ')(з — е-г»/аЛ)... (з — е~т‘/ак Іт'), (2.18)
де найбільша стала часу 7\ підбирається так, щоб викону-
валось обмеження дисперсії (2.16).
2. Якщо а = 0, то характеристичне рівняння (2.18)
набуває вигляду
А, (2) = (г - е~т°,т') гк-\ (2.19)
79
При цьому один полюс = е~г°/Г1 розміщується на дійс-
ній осі, а інші знаходяться на початку координат у пло-
щині г.
3. Якщо а=1, то характеристичне рівняння (2.18)
має вигляд
Лм (г) = (г - е"Го/Г1)\ (2.20)
згідно з яким усі полюси (і = 1, 2, ... , к) розміщу-
ються в одній точці на дійсній осі площини г.
При розподілі полюсів відповідно до (2.18)—(2.20)
у системі керування забезпечується аперіодичний процес
зміни вихідної керованої координати у (і).
4. Для забезпечення коливального перехідного про-
цесу розподіл полюсів виконується, виходячи з характе-
ристичного полінома
Лм (з) = [г2 — т° СО8 (йТ0 V1 — £2) ? +
—2£со7'о1 к—2
(2-21)
в якому частота со відповідає обмеженню дисперсії (2.16),
а відносний коефіцієнт £ вибирається сталим. У цьому
випадку система керування є коливальною системою дру-
гого порядку, в якій два полюси її дискретної передаточ-
ної функції визначаються виразом
21,2 = Є ^Т° [С08 СоГо V 1 —£2 ± /8ІП(1)ТОУ 1 — £2 ] =
(2.22)
причому останні к — 2 полюсів знаходяться на початку
координат у площині.
2. 2. Принципи проектування адаптивних
цифрових регуляторів
без еталонної моделі
Адаптивне цифрове керування об’єктом реалізується
за допомогою двох контурів. На нижньому рівні ієрархії
знаходиться основний контур (ОК), який реалізує керу-
вання об’єктом за відхиленням вихідної координати від
заданої, за збуренням або комбіноване керування. Пара-
метричне керування в адаптивних системах здійснюється
в другому контурі з пристроєм адаптації, за допомогою
якого параметри регулятора ОК перестроюються так, щоб
дістати найкращу якість керування.
80
Параметри^ о&екта
Рис. 2.2
При керуванні технологічними об’єктами зі змінними
характеристиками другий контур параметричного керу-
вання має бути замкненим, тобто містити зворотний зв’я-
зок.
Усі адаптивні регулятори можна поділити на два кла-
си. До першого з них належать регулятори, в яких на
підставі заданого критерію оптимальності й виміряних
вхідних і вихідних координат об’єкта керування здійсню-
ється настроювання для досягнення найкращої якості ке-
рування. Структурну схему класичного адаптивного ре-
гулятора показано на рис. 2.2.
В адаптивних системах керування з регуляторами цьо-
го типу процес адаптації проходить три етапи:
1) оцінювання параметрів об’єкта керування (його
ідентифікація);
2) розрахунок (проектування) регулятора;
3) настроювання параметрів регулятора чи зміна його
структури.
Схема на рис. 2.2 дуже гнучка, тому що вона дає змо-
гу реалізувати багато різних комбінацій методів оціню-
вання параметрів і проектування ЦР. Адаптивні регуля-
тори зі змінною структурою називаються самооптимізу-
ючими.
До другого класу адаптивних регуляторів належать
регулятори з еталонною моделлю (ЕМ), які описуються
в п. 2.3.
Розглянемо принципи проектування адаптивних ЦР.
При цьому вважатимемо, що об’єкт керування є лінійним
з одним входом і одним виходом, а його параметри зміню-
81
Рис 2.3
ються з часом. Математична модель об’єкта описується
рівняннями (1.39)—(1.41).
Узагальнену функціональну схему лінійного ЦР, який
дістав найбільшого поширення в системах цифрового ке-
рування, зображено на рис. 2.3. Рівняння, що описує дію
цього регулятора, має вигляд
7? (г-*) иі = Н (г"1) - Р (г~1) Уі,
(2.23)
де иі — керуюче діяння протягом часу пТ0 <7 < (п + 1) То;
6О уг — задавальне діяння та вихідна координата в мо-
менти часу і = пТ0\ К (г”1), Н (г”1), Р (г-1) — поліномні
вирази відносно оператора зсуву а саме:
Р (г-1) = /о + М-1 + М~2 + - + (2-24)
Н (г ) = Ио + -|- /і2г 2 + ... + (2.25)
7? (г ') = г0 + ггг 1 + г2г 2 + ... + г-г
(2.26)
При проектуванні регулятора параметри цих поліно-
мів треба визначити так, щоб замкнений ОК був стійким,
якщо задано дискретну передаточну функцію контура в
каналі «задавальне діяння — вихідна координата»
-к _ 2 % (г ') у (2)
Лм(г-') 0(г) ’
(2.27)
полюси полінома Ам (г—1) якої знаходяться всередині кру-
га одиничного радіуса. На вихідний сигнал у (/) може бу-
ти накладена випадкова перешкода С (г-1) £, де С (г~х) —
поліном відносно оператора зворотного зсуву г-1.
При математичному поданні об’єкта керування у ви-
гляді рівнянь (1.39) дискретна передаточна функція замк-
82
неного ОК (див. рис. 2.3) відповідає (2.27) й описується
виразом
У(г) = г~аН (г-* 1) В (г-1)
с(2 3) А(2~1) Р(г-}) + г~аВ(2~1)Р (г~1) ’ ’ }
Таким чином, задачею проектування ЦР для реалізації
слідкуючої системи є визначення поліномів /?, //, Р, при
яких вирази (2.27), (2.28) відповідатимуть один одному,
тобто
г аН (г !) В (г !) __ 2 (2 *)
А (г-1) Я (г-1) + 2~аВ (г"1) Р (г"1) ~ Лм (г"1)
(2.29)
Для математичної моделі (1.39) об’єкта керування
дійсним є співвідношення В = В+В~~, де — усі корені
(нулі) полінома В(г—*), які знаходяться в області обме-
женої стійкості г, а В~ — решта нулів, які лежать поза
областю г і відповідають нестійким режимам роботи
об’єкта.
У рівнянні (2.29) степінь полінома Лм(г—’) звичайно
буває меншим від степеня полінома Л(г“1)/?(г~1)4-
+ г~аВ Р При цьому права частина (2.29) по-
винна мати корені, що гасяться. Ці корені можуть бути
враховані в додатковому поліномі Ло (г“]), який звичайно
назквається спостерігачем.
Для проектування оптимального ЦР, рівняння якого
має вигляд (2.23), мають бути задані поліноми Вм(г~!),
Лм(г-1) і дискретне запізнювання сі в (2.27). Тоді для
проектування адаптивного ЦР необхідно:
1. Виконати ідентифікацію коефіцієнтів математичної
моделі об’єкта А (г-1) уі == г~йВ (г-1)^ за РМНК.
2. Провести факторизацію оціненого полінома В(г~^'
тобто В = В+В~, де всі нулі в+ відповідають стійкому,
а В~ — нестійкому станам об’єкта керування.
3. Підібрати для лінійного рівняння
А (г-1) (г-1) + (г"1) Р (г"1) = Ак (г"1) Ло (г"1)
(2.30)
поліноми *) і Р(г !), яких безліч, а конкретний з
них вибирає проектант.
83>
4. Записати поліном Вм (г ’) у вигляді
5. Визначити поліноми
(2.31)
(2.32)
і реалізувати закон керування (2.23).
Ці етапи алгоритму повторюються в кожному періоді
квантування. Якщо оцінки параметрів об’єкта керування
за РМНК збігаються, то дискретна передаточна функція
замкненого контура цифрового керування матиме вигляд
ВМ1 (г-1) = В- (г-’)/Лм (г-1).
При діянні на об’єкт керування випадкових збурень
£* його дискретна математична модель описується рівнян-
ням
А (г-1) Уі = г~аВ (г—*) щ + С (г"1)
(2.33)
Проектування адаптивних ЦР для такого об’єкта реа-
лізується, виходячи з мінімізації квадратичного критерію
оптимальності (2.6), тобто
З = М {у2 [пТ0] — Ри2 [пТ0]},
(2.34)
за допомогою якого знаходять компромісне співвідношен-
ня між дисперсіями керуючого та вихідного сигналів. Ке-
рування, що мінімізує функціонал (2.34), називається лі-
нійно-квадратичним .
2.3. Принципи побудови адаптивних цифрових
регуляторів з еталонною моделлю
Структурну схему адаптивної системи керування з ЕМ
(АСЕМ) показано на рис. 2.4. Цю систему можна віднести
до безпошукових адаптивних систем замкненого типу, в
яких адаптація параметрів регулятора виконується на
підставі координатної помилки, що є різницею вихідних
сигналів ОК та ЕМ. Задача адаптивного регулятора по-
лягає у формуванні реакції ОК керування на вимірюваний
зовнішній сигнал, яка має бути максимально близькою до
реакції заданої ЕМ на цей самий сигнал. Таким чином, у
84
Рис. 2.5
АСЕМ, зображеній на рис. 2.4, є блок ЕМ і пристрій по-
рівняння сигналів моделі й замкненого ОК керування.
Залежно від взаємного розміщення ЕМ та ОК керу-
вання можуть бути три основні структури побудови АСЕМ:
паралельна, послідовно-паралельна й послідовна.
Паралельна структура АСЕМ (див. рис. 2.4) застосову-
ється в основному в слідкуючих системах і грунтується на
використанні помилки відхилення вихідних сигналів ЕМ
та об’єкта керування в алгоритмі адаптації.
Послідовно-паралельну структуру АСЕМ зображено на
рис. 2.5. її використовують у системах регулювання ТП.
При цьому для адаптивного настроювання регулятора за-
стосовується помилка, що визначається проміжними рів-
няннями системи.
Послідовну структуру АСЕМ, показану на рис. 2.6, ви-
користовують у слідкуючих системах керування та систе-
мах ідентифікації. Проектування послідовної АСЕМ ви-
конується з використанням помилки відхилення вихідно-
го сигналу ОК від вхідного сигналу ЕМ.
85
Вхідний
сигнал
Рис. 2.6
При застосуванні ЕМ для адаптивного керування об’-
єктом процес адаптації при зміні зовнішнього сигналу
складається з трьох етапів: 1) визначення помилки від-
хилення; 2) обчислення параметрів регулятора; 3) його
настроювання. ЕМ використовують також в адаптивних
системах поточної ідентифікації параметрів об’єкта керу-
вання в реальному масштабі часу.
При побудові адаптивних регуляторів з ЕМ припуска-
ємо, що математична модель об’єкта керування описуєть-
ся рівнянням
А = г-(гі+1,В (г—') и{ + (2.35)
де
в (г-1) = Ьо + &1*-1 + ь2г~2 + ... + Ьтг~г\ (2.36)
А (х ’) = 1 + а±х 1 + а2г
(2.37)
ас? — дискретне запізнювання в об’єкті.
Рівняння (2.35) ідентичне (1.39). Модифікація (2.35)
полягає у винесенні множника г~х з полінома (1.39) і вклю-
ченні його в оператор запізнювання х~Це необхідно
для реалізації алгоритмів адаптивного керування об’єк-
тів з ЕМ, коли перший член полінома В (х~х) дорівнює Ьо.
Стохастична перешкода на виході об’єкта керуван-
ня визначається виразом
Е (г-') = С
(2.38)
де — ряд незалежних нормально розподілених випад-
кових змінних. Припускаємо, що відомого порядку полі-
номи А(г~’), В(х~\ С(г“1) будуть стійкими, а дискретне
запізнювання д, відоме. У детермінованих системах керу-
вання С (2“’) = 0.
86
Задача проектування адаптивного регуляїора з ЕМ
полягає у визначенні поліномів Р (г-1), Н (г-1), /?(?у),
при яких реакція уі замкненого ОК керування на зміну
задавального діяння 6І визначається ЕМ, що описується
рівнянням
Ум = 2~(<Ж) т <2-39)
лм(г *)
де Ам(г~’), Вм(г-1) — задані поліномні вирази, які вхо-
дять до складу ЕМ.
При використанні явно вираженої ЕМ завданням ЦР є
ліквідація відхилення вихідного сигналу об’єкта від сиг-
налу ЕМ, тобто
еі~Уі~ Уи, (2-40)
для чого треба так підібрати поліномний вираз Р (з-1),
щоб виконувалась рівність
К (г"1)= С(2.41)
Поліном Р (г-1) = 1 + + ... + Рр2~р визначає ди-
наміку перехідного процесу при усуненні відхилення (2.40).
Якщо математична модель об’єкта керування опису-
ється рівнянням (2.35), то дискретна передаточна функція
замкненого ОК керування, зображеного на рис. 2.3, ви-
значається співвідношенням
У (г)______________________________________________
О (г) “ А (г-1) О (г“1) + 2~(а+1>В (г~{) Р (з-1)
(2.42)
Поліномний вираз П(г !) тут має вигляд
О = В (г-1) О. (г-1), (2.43)
Де
6і (г"1) = 1 + + (гх)2г~2 + ... + (гх); г~'> . (2.44)
Тому (2.42) можна скоротити на В (г-1). Тоді харак-
теристичне рівняння, що визначає динаміку замкненого
ОК керування, визначиться поліномом 7? (г-1), тобто
(2.45)
(2.46)
а (2.42) матиме вигляд
і
87
Через те що задача проектування ЦР полягає в забез-
печенні відповідності реакції ЕМ і замкненого ОК керу-
вання на зміну задавального діяння, прирівнявши праві
частини рівнянь (2.39) і (2.46), дістанемо
Н (г-1) = (г-1) -м . (2.47)
Виконаємо синтез оптимального ЦР. На підставі (2.39)
можна визначити передбачуване значення вихідної коор-
динати
Вм (г-1)
^+. = °* (2Л8>
яке з урахуванням (2.47) запишемо так:
Після визначення задавального діяння Сі з (2.49) і
підстановки його в основне рівняння ЦР (2.23) матимемо
° (П Щ = Я (г-1) - Р (г-1) Уі. (2.50)
З урахуванням (2.43), (2.44) та (2.36) можна записати
0(0) = &0. Тоді рівняння (2.50) матиме вигляд
ь«иі = Р (г—І) У — Р (г-1) Уі — [О (г~‘) — Ьо] щ,
1~Га~Г1
на підставі якого закон оптимального керування об’єктом
визначиться як
«е = -г ІК (г-*)УМ/, -Р^у.-С* (г-1)^], (2.51)
де
Запишемо (2.51) у формі
& (*“’) УК(+а+і - Єо хо/], (2.52)
де вектор параметрів ЦР визначається виразом
88
а вектор вимірюваних координат — виразом
ХОі = [Уі> У/ р ••• , У{ Ш—2» ••• , Ш—гА—г] • (2.54)
Для ідентифікації параметрів регулятора рівняння
(2.50) подамо так:
Я(г~*) + р^Уі = (2-55)
‘“ГИ-Г1
де
е = [&0, 0о]Т: (2.56)
= [«о Х£]т. (2.57)
Оскільки параметри об’єкта керування змінюються в
часі, слід передбачити в (2.55) адаптивну ідентифікацію
вектора параметрів 0 регулятора в реальному масштабі
часу. Невідомі параметри 0 можна оцінити, скористав-
шись таким рекурентним алгоритмом:
0^ — 0^_і + Рі—а—іУі,
(2.58)
де Р — матриця підсилення при адаптивній ідентифіка-
ції, яка підстроюється за рекурентним алгоритмом
[Рі—а— і] 1 + К^Хі—а—х^ї-^а—ї- (2.59)
Апостеріорна помилка адаптації визначається за
формулою
б/—2
> (2.60)
1 "г Аі—а—V і—а— їлі— а— і
де е01—відфільтрована помилка непогодження між ви-
хідним сигналом об’єкта керування та його ЕМ, причому
еОі = К(г~') Єі = — ущ). (2.61)
Вектор вимірюваних координат (2.58) склада-
ється на підставі (2.54), (2.57) з урахуванням зсуву за
часом, а саме:
Хі—а— і — і» У •••» У [—.а—~ї~^
иг.—а—р (2.62>
89
Рис. 2.7
Функціональну схему АСЕМ зображено на рис. 2.7,
а алгоритм її роботи в кожному періоді квантування зво-
диться до послідовного виконання таких операцій:
1. Передбачення вихідної координати ЕМ на
(б/+ І) тактів квантування вперед згідно з (2.48).
2. Фільтрації вихідного сигналу 1 ЕМ проход-
женням його через цифровий фільтр, поданий на рис. 2.7
дискретною моделлю 7?(г-1).
3. Визначення керуючого діяння щ відповідно до
закону оптимального керування (2.51) у моменти часу
[пТ0] < / < [(л + 1)Т0].
4. Вимірювання вихідного сигналу уі об’єкта керу-
вання в моменти часу і = мТ0.
5. Фільтрації цього сигналу проходженням його через
цифровий фільтр, поданий на рис. 2.7 дискретною модел-
лю 7? (г-1).
6. Зсуву за часом у бік відставання на (сі + 1) тактів
квантування вихідного сигналу фільтра за п, 2, тобто ви-
значення сигналу
7. Розрахунку відфільтрованої помилки непогодження
між вихідним сигналом об’єкта керування та його ЕМ від-
повідно до (2.61) на підставі обчислень за п. 2 і 6.
90
8. Оцінки вектора параметрів 0£ регулятора згідно з
(2.53), (2.56) у момент часу [пТ0] ^<[(и + 1) То] на під-
ставі рекурентного алгоритму адаптивної ідентифікації
(2.58)—(2.62).
9. Корекції параметрів регулятора з урахуванням оцін-
ки вектора параметрів 0* і переходу до п. 1 для реалізації
алгоритму в наступному такті квантування.
2.4. Синтез адаптивних цифрових регуляторів
з компенсацією невідомого та змінного
запізнювання в одновимірних лінійних
об'єктах керування
Проектування системи керування включає розробку
алгоритму роботи ЦР, який забезпечує бажаний перехід-
ний процес зміни вихідної координати у при замкненому
ОК цифрового керування. Для розімкненої частини цьо-
го контура відповідно до рис. 1.9 можна записати рівнян-
ня
У(г) = №р(г)№п(г) [6(г)-У(г)],
(2.63)
де ¥ (г), 0 (х) — відповідно г-перетворення керованої ко-
ординати та задавального діяння; (г), Ц7П (г) — відпо-
відно дискретна передаточна функція ЦР та ЗНЧ об’єкта
керування.
З (2.63) можна визначити функцію
(2.64)
Критерій якості регулювання. Для багатьох нафто-
хімічних, теплоенергетичних і металургійних об’єктів не-
бажаною є поява коливального перехідного процесу при
зміні режиму роботи їх. Тому для безпосереднього синте-
зу функції (2.64) оптимального ЦР застосуємо критерій
максимальної стійкості, відповідно до якого замкнений
ОК цифрового керування об’єктом у динамічному режимі
поводиться як неперервна модель першого порядку з за-
пізнюванням
У (8) =
(2.65)
де X — параметр, обернений сталій часу цього контура.
За умови, що на задавальне діяння 6 регулятора накла-
91
дається одиничне ступінчасте збурення, застосуємо до
(2.65) г-перетворення, після чого дістанемо співвідношен-
ня
ХФ. (і
6 (г) і р-%7^-1 » ^.оо;
де сі — найбільше ціле число від ділення часу запізнюван-
ня т на період квантування То.
Математична модель об’єкта керування. Розглянемо
широкий клас об’єктів керування, дискретна передаточна
функція ЗНЧ яких має вигляд
у? у — 2 ав^2 /о 57)
де поліноми Л(г“1), В(г-1) визначаються виразами (1.40),
(1.41); и (г)—г-перетворення керуючого діяння.
Для розв’язання задачі безпосереднього синтезу ЦР
досить підставити вирази (2.66), (2.67) у (2.64) і визначити
передаточну функцію И7р(г), оптимальну за критерієм
максимальної стійкості ЦР. За умови, що запізнювання в
об’єкті керування й замкненій системі безпосереднього
цифрового керування по каналу «задавальне діяння —
керована змінна» однакові, дістанемо
Тут X є параметром настроювання ЦР, інваріантним до
зміни періоду квантування То.
Компенсація змінного запізнювання. Закон опти-
мального керування ЦР, записаний в формі дискретної
передаточної функції (2.68), має недоліки, тому що він
містить невідоме дискретне запізнювання й в об’єкті, яке
міняється при його експлуатації.
Для усунення цього недоліку проведемо модифікацію
передаточної функції (2.67), яку подамо в розширеній
формі:
де бЛпіп — мінімально можливе дискретне запізнювання в
об’єкті керування, яке дорівнює найбільшому цілому
числу від ділення ттіП на То. При цьому для заданого
об’єкта значення б/тіп вважається відомим.
92
Рис. 2.8
Порядок к в (2.69) становить т + (йтах— ^тіп)- Перед-
бачуване максимальне запізнювання в об’єкті керування
^тах = ^тіп + — т)’ ДЛЯ дискретної МОДЄЛІ ЙОГО ЗНЧ,
описуваної рівнянням (2.69), відповідно перетворимо ба-
жану дискретну передаточну функцію замкненого кон-
тура, яка визначається співвідношенням (2.66).
На рис. 2.8 показано функціональну схему керуючої
системи з компенсатором запізнювання в об’єкті, дискрет-
на передаточна функція якого вибирається так:
(г) = Р (г) - Гп (*),
(2.70)
де Р (?) — дискретна передаточна функція уявного об’єк-
та керування без запізнювання, що визначається виразом
ь,
ї=і
— • (2-71)
т
Тут ¥ — незатримана керована координата.
Компенсатор приєднується в ланці зворотного зв’язку
до ЦР, дискретна передаточна функція (?) якого зас-
тосовується для керування уявним об’єктом без запізню-
вання.
Задача полягає в побудові ЦР, який забезпечує бажа-
ний перехідний процес у замкненій системі керування при
зміні динамічних параметрів і запізнювання в об’єкті.
Для цього виберемо дискретну передаточну функцію замк-
неного ОК керування, до складу якого входить уявний
об’єкт керування без запізнювання у вигляді
_ У (?) _(1—е КТ°) 2 1
(2.72)
93
яка є дискретною моделлю аперіодичної ланки першого
порядку за умови, що на його вхід подається одиничне сту-
пінчасте збурення.
Дискретна передаточна функція ЦР з компенсатором
запізнювання відповідно до рис. 2.8 матиме вигляд
ІГ(г) Я? (*)
Г ® = 1+ (?) ІГй(г) “ 1 + №р (г) [Г (г) - (г)] * (2’73)
Визначимо дискретну передаточну функцію замкненого
ОК для об’єкта керування без запізнювання так:
у (г\ (г) Р (г)
Н ~ С (г) = 1 + №р (г) Р (г) ' (2-74)
Прирівнявши цей вираз до правої частини рівняння
(2.72), з одержаної тотожності дістанемо дискретну мо-
дель ЦР для уявного об’єкта керування без запізнювання,
що описується рівнянням
<г> - П-"ним • (2-75>
Після підстановки (2.75) у (2.73) дістанемо
У? (?) = -Г7Т—?Дтї7-гт- • (2-76)
Рк' 1 Р (г) — Н (?) №п (г) ' '
Підстановка в (2.76) відповідних виразів (2.72), (2.71) і
(2.69) дає дискретну передаточну функцію оптимального
ЦР з компенсатором запізнювання, а саме:
і=і
Ь.г~к)г Йті".
1 к '
(2.77)
Звідси випливає, що у функції (2.77) передбачено
компенсацію змінного запізнювання в об’єкті керування,
ОСКІЛЬКИ ; /72 (б/щах ” ^тіп) —' ЇЇІ “Р
Дискретна передаточна функція замкненої системи ке-
рування, до складу якої згідно з рис. 2.8 входять об’єкт
з запізнюванням і ЦР з компенсатором запізнювання,
94
визначається виразом
Гзам(2) = -^
(*) (г)
Ц-ІГ (г)Гп(г) ’
* к
який після підстановки в нього функції (2.76) набуває
вигляду
(г) - Нг) __ " & &
зам (2) — 0(г)— /Г(2)
1=1
(2.78)
к
У характеристичне рівняння Ь^(1 —е""217®?""1) = 0
і=1
цього виразу не входить запізнювання в об’єкті і керу-
вання. Таким чином, у замкненому контурі реалізовано
компенсацію запізнювання, зміна якого на стійкість замк-
неної системи керування не впливає.
Адаптивна ідентифікація параметрів об’єкта керу-
вання. ТП в хімічній, нафтохімічній та нафтопереробній
промисловості, в енергетиці й металургії відзначаються
зміною динамічних параметрів у широких межах під час
проходження їх. Тому для досягнення високої якості ке-
рування ТП необхідно забезпечити ідентифікацію коефі-
цієнтів а19 а2і ..., ат; Ь19 Ь29 ..., Ьк9 які змінюються при змі-
ні навантаження та стану об’єкта керування.
З метою адаптивної ідентифікації цих коефіцієнтів
у реальному масштабі часу визначимо дискретну пере-
даточну функцію (2.69) у рекурентній формі, використо-
вуючи оператори зсуву г~1¥ (?) = уп-і при 4 = 1,2,...
..., т; г~‘У (г) = ипЧ при / = 1, 2,..., к + гішіп.
Після перетворення (2.69) дісіанемо модель ДАРКС
у вигляді рівняння
Уп — &іУп—1 —2 ••• ^тУп—т 4”
+ Ьгип_ 4тіп-1 + Ми-Лиг2 + — + ^кип-ат[п-к + б, (2.79)
де б — зміщення вихідної координати у об’єкта при від-
сутності відповідної зміни керуючого діяння и відносно
нуля. Це зміщення може виникнути при діянні ступінчас-
тих збурень усередині об’єкта керування. Значення б не-
95
відоме і його слід оцінити разом з коефіцієнтами функції
(2.69).
Рівняння (2.79) у векторній формі запишемо так:
— у —
Уп ~ ^п—10П—1>
(2.80)
де
п~1 {Уп— 1» Уп—2> ••• ’ У п—т' ип—ат{п—\*
п ^тіп 2’ ’ п ^тіп
0/і—1 [ Яр #2, ... , (Іті ^1> ^2» ••• » ^1*
При цьому 0 є вектором параметрів, які необхідно пе-
ріодично оцінювати в міру надходження результатів ви-
мірювання вхідних і вихідних сигналів об’єкта керу-
вання.
Для оцінки вектора параметрів 0 в'реальному масштабі
часу застосуємо РМНК, записавши рівняння
0п —1
(2.81)
Рп = 4- [ХІг-іР'п-і X
г
де 0П, 0П-1—'Оцінені вектори параметрів відповідно в
п-му та (п— 1)-му періодах квантування; р— коефіцієнт,
який визначає чутливість алгоритму оцінки до змін пара-
метрів об’єкта (звичайно р < 1); Р — діагональна нену-
льова матриця з додатними елементами, що встановлює
нижню межу для елементів Р\ єп — помилка ідентифікації
в п-му періоді квантування, яка визначається виразом
хх — .у» —
&П == Уп У П Уп ' Хп—10/2 — !•
(2.84)
Матриця Р є діагональною матрицею коваріантності,
елементи якої пропорційні дисперсіям помилок при оцінці
вектора параметрів 0. На початку настроювання елементи
головної діагоналі цієї матриці вибираються великими
відносно ідентифікованих значень вектора параметрів
0 (тобто на два порядки більшими від складових вектора
96
0). Під час настроювання його параметрів за РМНК
діагональні елементи матриці Р різко зменшуються, не
перевищуючи кількох одиниць.
Реалізація адаптивного ЦР. Керуюче діяння на ВМ можна
знайти з (2.77), поклавши (?) == (7 (г)/Е (г), де £(?) =
= 6(г)— У(г). Тоді при використанні операторів зсуву
г~{Е (г) = Еп-і (і = 1, 2,..., т) і (г) = (/=!, 2, ...
..., к + ^тіп) керуюче діяння в п-му періоді квантування
визначиться виразом
’г /1 _р Х7\)\
= е 'ип_і {Ьіип__ат^_} +
1=1
... + Ькип^тї п_& +
п—
(2.85)
де ип_і, ип—атіп—* виміряні значення керуючого діяння
на вході об’єкта в (п—1)-й і (п — б/тІп—£)-й періоди
квантування То; Еп,... , Еп^т — помилки регулювання
об’єкта в я-й,... , (п—ш)-й періоди квантування. Коефі-
цієнти Ь1У Ь2, ..., Ьк, аг, а2, ... , ат оцінюються за (2.81) —
— (2.83) при ідентифікації параметрів об’єкта керування
з використанням РМНК.
Таким чином, керуюче діяння ип, яке визначається в
кожному періоді квантування, протягом одного періоду
залишається сталим.
Приклад 2.1. Виконаємо синтез оптимального за критерієм мак-
симальної стійкості ЦР при заданій сталій часу замкненого ОК безпо-
середнього цифрового керування Тзаг= 50 с для об’єкта керування
другого порядку з запізнюванням, параметри якого мають такі зна-
чення: к = 0,7; 7\ — 50 с; Т2 — 10 с; т_{п = 5 с; ттях = 13 с.
А ** 111111 111 сі А
Виходячи з цифрового моделювання замкненого ОК при накла-
данні на задавальне діяння регулятора одиничного ступінчастого збу-
рення, визначимо перехідний процес зміни вихідної координати у, по-
чаткове значення якої */поч= 1, а задавальне діяння ^поч= 1.
За методом ^-характеристик [ЗО] знаходимо період квантування
є к
То ’ де Єгпах = т 4-Т~ = 0,0117; в = 0,05. Тоді То =
= 4,27 с. Приймаємо То = 4 с.
Визначимо порядок розширеної моделі ЗНЧ об’єкта керування
к = т + (гітах - гітіп) = т +
Т
тах
^тіп
= 2 + 3 — 1=4.
Тп
4 — 4-940
97
Дискретна передаточна функція ЗНЧ об’єкта керування у формі
(2.69) матиме вигляд
У (г)
(г) = 7ДГ}
(Ь±г 1 62г 2 + ^з? 3 + ^4г 4) г 67(1110
1 + «,г"“1 4- а2г"”2
Коефіцієнти а.2, ЬІ9 Ь2 знаходимо за методикою, описаною в
п. 1.3, для об’єкта керування другого порядку без запізнювання:
С1 = - + е-Г0/Т5) = _ (е-0,08 + д~"0»4) = _ 1>5934з;
а. == е~ТоП ЧГ-Г°/Т* = е~°’08е""0’4 = 0,61878;
= 0,0096;
Початкові значення коефіцієнтів Ь3, в складових функції П?п(г),
які характеризують змінне запізнювання, вибираємо такими: Ь3 =з
= 0,003; = 0,002.
Рівняння, що описує оптимальний за критерієм максимальної
стійкості ЦР з компенсатором запізнювання, на підставі (2.85) при
=0,02 с 1 набуває вигляду
50
(1 _
‘ 4
І”.
1=1
X {&іИ„_і/гп.п_1 +
Йгп)г1
+ -3 +
^тіп
+ аіЕП-} +а2Єп-2} =
= 0,923ип_] +
+ 3,38 {0,0096ип_2 +
4-0,00812и„_3+ 0,003и„_ч4-
4- 0 ,002ип_ь +
+ Еп - 1,593435,г_, 4-
4-0,618785п_2}.
Рис. 2.9
98
01'3 ™сі
'•о 'о
Різницеве рівняння
а .
шш
Ттіп
~7\Г
об’єкта керування відповідно
= 1 матиме вигляд
до (2.69) при
Уп ~ ~~ а1Уп—1 а2Уп—2 + ^п-б/тіп—1 ^тіп—2 4
+ ^п-^іп-3 + 64«„_,тіп_4 + \ = >>59343^-, - 0,61878г/,,_2 +
+ 0,0096«„_2 4- 0,00812ип_3 + 0,003ип_4+0,002и„_г, + 0,02535.
(2.86)
Алгоритм цифрового моделювання замкненого ОК зводиться до
виконання таких операцій:
1. Вимірювання вихідної координати уп у п-му періоді кван-
тування.
2. Визначення помилки регулювання = 6—у .
3. Обчислення керуючого діяння ип в *?-му періоді квантування.
4. Обчислення вихідної координати у^.
5. Переходу до п.1 для визначення значень у, Е, и на (п + 1)-му
періоді квантування.
Результати цифрового моделювання відображує рис. 2.9.
Для ідентифікації параметрів математичної моделі об’єкта
керування, що описується рівнянням (2.86), за РМНК знаходимо
початковий вектор-стовпець параметрів 0ПОЧ з такими даними:
а1==-1; а2 = 1; =0,001; 62= 0,001; Р3 = 0, Ь4 = 0; 6=0,02.
Відповідні значення параметрів моделі об’єкта керування станов-
лять: а± = — 1,59343; а2 = 0,61878; = 0,0096; Ь2 = 0,00812; Ь3 =>
= 0,003; Ьл = 0,002; 6 = 0,02535.
100
На рис. 2.10 зображено графіки рекурентної оцінки вектора
пара метрів
I &ІП’
об’єкта керування за РМНК в режимі ступінчастого збурення зада-
вального діяння С.
Цифрове моделювання перехідних процесів виконано на персональ-
ній ЕОМ «Искра-1030-11» за програмою СОМТКОЬЬЕК-5, розробле-
ною на алгоритмічній мові ПАСКАЛЬ і наведеній в дод. 9. На рис. 2.11
показано графік зміни сліду коваріантної матриці під час рекурентної
оцінки вектора параметрів. З аналізу графіків можна зробити висно-
вок, що ідентифікація параметрів реалізується за 15 періодів кванту-
вання, після чого слід матриці 8рР не зменшується.
2.5. Синтез адаптивних регуляторів
для одновимірних лінійних
стохастичних об'єктів керування
з запізнюванням
При проходженні ТП на об’єкт керування діють випад-
кові збурення, що істотно впливають на роботу системи
керування. Динамічну поведінку об’єкта керування при
діянні на нього випадкових збурень можна описати за до-
помогою скінченно-різницевого рівняння
т. т— 1 т
У ОіУі-і = У + у с^і-,1 + Т), (2.87)
і—0 і—0 і=0
де У І—І, Щ-і — відповідно відліки вихідної координати
об’єкта керування та керуючого діяння в дискретні мо-
менти часу (/ — /), які знаходяїься в інтервалі [(л— і) То]^
< (/ — іТ0) < [(л — і + 1) Т’оі при і = 0, 1, ... , т; —
збурення у вигляді послідовності випадкових незалежних
змінних з нульовим математичним сподіванням; ц — зна-
чення вихідної координати у при відсутності керуючого
діяння ~ 0) і перешкоди £; т — порядок дискретної
математичної моделі об’єкта керування
Запізнювання в дискретній формі за керуючим діянням
у (2.87) ураховано параметром б/ — [т/Т0] + І. Воно до-
рівнює найбільшому цілому числу від ділення часу запіз-
нювання т на період квантування То з додаванням оди-
ниці.
Зазначимо, що уІУ щ, £, відповідно є відліками вихід-
ного та вхідного сигналів об’єкта керування й збурюючо-
го діяння в дискретні моменти часу, розділені періодом
квантування То. Дискретне запізнювання (і вважається
відомим (визначається за методикою, описаною в [301).
101
Скінченно-різницеве рівняння (2.87) можна записати
у вигляді дискретної моделі АРКСХ , а саме:
Л(г-')у( = г-ав(2-,)и/+С(г-1)^ + (2.88)
де
А (г—') = 1 + аіг~} + а2г~2 + ... + атг~т\ (2.89)
В (г-1) = Ьо + &12~' + Ь2г~2 + ... 4- Ьт_1г-(т~”; (2.90)
С(г—’) = 1 4-0,2“' + с2г—2 + ... +стг~т. (2.91)
Постановка задачі. При зміні режиму роботи та стану
об’єкта керування його інерційність змінюватиметься,
що виразиться в зміні в широких межах параметрів дис-
кретної передаточної функції (2.88) у каналі керування та
збурення. Для реалізації оптимального ЦР необхідно спо-
чатку виконати синтез його оптимальної структури, при
якій забезпечується мінімум квадратичного критерію оп-
тн мальпості
] = М {(Руі+а — КСі)2 + X (щ - иі_і)2}, (2.92)
де М — оператор математичного сподівання; Р, /? — ваго-
ві коефіцієнти; 6, — задавальне діяння ЦР при ІпТ0]
і < {(п + 1) То]; X— коефіцієнт підсилення, що впли-
ває на якість перехідного процесу.
Після цього треба розробити алгоритм адаптивного
настроювання параметрів регулятора в реальному масшта-
бі часу, виходячи з поточної ідентифікації їх.
Синтез оптимальної структури ЦР при відомій дис-
кретній моделі об’єкта керування. Задача ЦР полягає в
проектуванні такого закону керування, який в кожному
періоді квантування формував би керуюче діяння для мі-
німізації квадратичного критерію (2.92) при діянні випад-
кового збурення {£*}. Зазначимо, що цей критерій містить
прогнозоване значення вихідної координати у^а об’єкта
керування на (1 періодів квантування вперед. Тому по-
трібно розробити прогнозатор, який передбачав би зна-
чення вихідної координати у* на основі інформації про
попередні значення координати у^ та керуючого діян-
ня и^і.
Запишемо рівняння (2.88) у вигляді
“ А (г-1) и‘ + г А (г-1) + А (г"1)
де Уі+4 = г“ У і-
(2.93)
102
Поліном С(г ') подамо як діофантове рівняння
С (2-’) = Ь (г“‘) А (г~\ (2.94)
де
Ь (г-1) =.- /0 + /12-’ + ... + (2.95)
Р (г"’) = /0 + Аг"1 + ... + ^_1г-,т-1’. (2.96)
Коефіцієнти цих поліномних виразів треба відшукати.
На підставі (2.94) зобразимо складову рівняння (2.93)
ві збурюючим діянням у вигляді двох членів:
г4 4т=їГ = г“Ь = е'^ + е'’ <2-97>
А (г 1) А (г ')
де еі^а — помилка прогнозування вихідної координати у
на й тактів квантування вперед.
Якщо значення (2.97) підставити в (2.93), то теоретич-
не прогнозування вихідної координати об’єкта керуван-
ня матиме вигляд
ц +
п
Л (2-1)
+ еі+а, (2.98)
або
*
Уі+а = Уі+а\і +
(2.99)
де
• В(г-1)
У‘+аіі ~ А (г-1) 11‘
•п
А (г-1)
(2.! 00)
є практичним прогнозуванням вихідної координати у об'-
єкта на (1 тактів квантування вперед відносно моменту
часу І = пТ0.
Відповідно до (2.97) помилка прогнозування визна-
чається виразом еі-^а = (2'~1)^, на підставі якого з
а
урахуванням оператора зсуву = 2 еь можна записати
еі = Звідси знаходимо
г = 1
1
(2.101)
Помилка прогнозування згідно з (2.99) визначається
виразом — уі^-а—Уі+а\і, звідки з урахуванням опера-
тора зсуву маємо — Уці-а, де Уі\і—а — прогнозо-
1’03
ване значення вихідної координати об’єкта керування в
момент часу і = пТ0 на основі даних, включаючи момент
Підставивши вираз в (2.101), дістанемо
г = еі У< ~
* Цг-])
Тоді рівняння (2.100) з урахуванням збурення Сг
матиме вигляд
або
• , Г(г_|) • В(г-')
У‘+а'1 + 4(2->)£(г->) = иі
। ц і *1
А (г-1) Ь (г“У Уі Л(г-1)
З урахуванням оператора зсуву
таннє рівняння можна подати так:
* —‘б/ *
Уі\і^а = 2 по-
рівняння (2.94) перепишемо у вигляді
Замінивши лівою частиною цього рівняння вираз у
квадратних дужках (2.102), дістанемо рівняння
яке можна записати у формі
^(г-І)у’+<л/ = В (?“’) В (г“') щ + ^(г-1)^ + А.(г“')і],
(2.103)
104
де остання складова Ь (г~1) ц є сталим зміщенням прогно-
вованої вихідної координати об’єкта керування, тобто
Ь ТІ = (1) Т1 = ТТ1- (2-104)
Рівняння (2.103) описує математичну модель для про-
гнозування вихідної координати у об’єкта на (1 тактів кван-
тування вперед на підставі даних про її значення та керу-
юче діяння и в моменти часу /, і— 1, і — 2, ... .
Для формального доведення оптимальності прогнозу-
вання вихідної координати відповідно до (2.103)
покладемо щ — 0, г] — 0. Тоді основний результат можна
сформулювати у вигляді такої теореми.
ТЕОРЕМА 2.1. Якщо випадкова складова вихідної
координати уі об’єкта керування відображує нормальний
стохастичний дискретний процес [уІ9 який згідно
в (1.77) має зображення А (У *)у1 = С(?-1) де всі нулі
поліномів А та С знаходяться всередині круга одинич-
ного радіуса, а {£о і С Т} є послідовністю незалежних ви-
падкових змінних з нульовим математичним сподіванням
і дисперсією о?, то прогнозування координати у на сі так-
тів уперед з метою мінімізації дисперсії помилки завбачен-
ня задається рівнянням
(2.105)
де поліном Р (г ’) із структурою (2.96) визначається з
рівняння (2.94). При цьому помилка завбачення є КС
*
Уі+<ЦІ = Уі+а — Уі+4\і = Єі+4,
вираз якого з урахуванням рівняння еі+сі = гаЬ(г ’)^
матиме вигляд
еі+а = Уі+4\і = Р (аГ1) (2.106)
а його дисперсію можна знайти за формулою
уаг [у^^ 1 — (1 є? 4- е% + ... + і)
(2.107)
Доведення теореми наведено в дод. 3.
Підставивши вираз (2.99) у рівняння (2.92), дістанемо
квадратичний критерій оптимальності
-І = М {(Ру*і+аи + Реі+а — РСі)2 + Л(^ — «/-і)2}.
(2.108)
105
Випадкова помилка Реі^а тут не корельована з диск-
ретними значеннями у і—і, Сі—і для ї^>0.
Тому критерій (2.108) можна записати так:
= (Руі^і — /?0£)2 + X (и, — і^-і)2 + о2,
(2.109)
оскільки математичне сподівання добутку М {2 (Руі^\і—
— РС^Ре^} = 0 через відсутність кореляції його множ-
ників. Складова о2 у (2.109) визначається виразом о2=
- М [(Ре^)*}.
Синтез оптимальної структури ЦР грунтується на мі-
німізації критерію якості (2.109) шляхом вибору керуючо-
го діяння иі в кожний період квантування. Диференцію-
ючи (2.109) по керуючому діянню щ і прирівнюючи частин-
ну похідну до нуля, дістаємо рівняння для визначення уза-
гальненої функції якості ф на (1 тактів квантування вперед,
а саме:
Ф/-ИН = Руїнам — РСі + А' (и1 — иі—\) — 0. (2.110)
Підставивши в це рівняння замість у*і+щ відповідний
вираз з (2.103), запишемо прогнозування узагальненої
функції якості в рекурентній формі
*
[Огі—іЩ— і -г Еа-іУі +?с(—/ЦІ +
+ А.' (и1 — «<_]) — КСі,
звідки
(2.111)
(2.112)
О (г-1) = Рг^С'а-і + с (*“’) *'(1 — г“'); (2.113)
/>о
Н(г~1) = — КС(г~'). (2.114)
Тоді рівняння, що описує оптимальний закон керуван-
ня ЦР, матиме вигляд
С (г ]) = Р (г 1)уі-{-О(2 !)«/ +
+ Н (г-1) С, + 6 = 0, (2.115)
де стале зміщення на вході об’єкта керування згідно з
(2.111) визначається виразом 6= у
/>0
106
ОІЇєкт керування
нСг-') — £
г-с/віг-1)
А(г')
ф-9
Рис. 2.12
Функціональну схему синтезованої замкненої системи
керування, до складу якої входять об’єкт керування, що
описується рівнянням (2.88), і ЦР, дію якого відображує
рівняння (2.115), показано на рис. 2.12. Взагалі струк-
тура оптимального ЦР для стохастичного одновимірпсго
об’єкта керування, яка зображена на цьому рисунку, від-
повідає узагальненій структурі лінійного ЦР, показаній
на рис. 2.3.
Рівнянням (2.115) керуюче діяння иі передбачену
узагальнену функцію якості встановлює в нульове
значення в кожному періоді квантування. Завдяки цьо-
му мінімізується поточна дисперсія узагальненої функції
якості
(2.116)
де — помилка завбачення.
Розробка алгоритму адаптивного настроювання пара-
метрів ЦР. Параметри об’єкта керування, враховані в
поліномах А (з-1), В (з-1), С(г~!), змінюються під час
його експлуатації й залишаються невідомими. Розглянемо
спочатку випадок, коли С(з“1)==1. Тоді рівняння (2.115)
можна записати у векторній формі, тобто
* "7 Т —
= Л /
(2.117)
де вектор-стовпець вимірюваних координат системи, що
містить вимірювані відліки координат об’єкта керування,
визначається виразом
{Уі* Уі-1, ••• > ^І-Ь ••• ♦ ^(9 -1> ••• » Ц» (2-1 16)
а вектор невідомих параметрів регулятора — виразом
{/о» ••• ’ &0» » ^0' ^1» •
.. ,д}. (2.119)
107
Складові вектора X] не корельовані з помилкою зав-
бачення в (2.116). Тому для оцінки невідомих пара-
метрів 6 регулятора можна скористатися РМНК.
Припустимо, що необхідно оцінити в момент часу
і— пТц вектор невідомих параметрів регулятора, коли
відомо його вектор 0г—1 у момент часу (/—1) і вектор
вимірюваних координат Х^ Тоді нову оцінку вектора
параметрів можна дістати за обчислювальною проце-
дурою РМНК:
Є, - 0/-і
+ К, [ф/ —а7_^0/—і];
Кі = <_<,(! + хЬрд^Г';
(2.120)
р, = л_і - Кі_і (і + хЕйЛ-іХ^) ккь
причому Кі є матрицею коректуючих коефіцієнтів підси-
лення; — матрицею, пропорційною коваріантності оці-
нених параметрів регулятора.
Якщо припустити, що оцінені складові вектора 0^ є
вірогідними, то керуюче діяння на підставі (2.115), (2.117)
нри С = 1 визначиться виразом
Ф/-НФ = Р (^ *) У і + П (г *) + Н (г !) Сі + б — ХІ^І — 0,
(2.121)
де А, £), Н — оцінки поліномів Р, О, Н.
Тоді (2.116) для визначення узагальненої функції
якості матиме вигляд
= Хі в і + е/4-^. (2.122)
У загальному випадку С (г~1) — це поліном т-го по-
рядку, що не дорівнює одиниці. При цьому рівняння (2.117)
з урахуванням (2.121) можна записати так:
(2.123)
а рівняння (2.122) з урахуванням (2.123), (2.116) — так:
фн-л = 0| + + 11 — С(г *)] ф/4-д/.
(2.124)
108
Рис. 2.13
Тоді функція буде корельованою з вектором
вимірюваних координат Тому застосування РМНК
у загальному випадку призводитиме до зміщення оцінок
вектора параметрів 6*. Проте слід урахувати, що одно-
часно з оцінкою цього вектора 0* в кожному періоді
квантування проводиться встановлення функції в
нульове положення при визначенні керуючого діяння
Отже, якщо припустити, що 0->0, то закон керу-
вання (2.121) прямуватиме до оптимального закону
= 0, завдяки чому викривлення оцінок вектора
параметрів 0 в (2.124) будуть ліквідовані.
Швидкодія збіжності алгоритму адаптивного настрою-
вання параметрів ЦР визначається значенням коефіцієн-
та А в рівнянні (2.110).
Функціональну схему розробленої адаптивної системи
цифрового керування зображено на рис. 2.13. Алгоритм
адаптивного настроювання параметрів ЦР та формуван-
ня керуючого діяння иі в кожному такті квантування зво-
диться ось до чого.
Основний контур на першому рівні цифрового керу-
вання послідовно виконує такі дві операції:
1) в кожному періоді квантування [іТ0]^і <і [(/ ф-1 )Т0]
утворює масив {^, уі_и у^,... , у^т-а, •••
..., иі_т_а\ 6ц Оі—ь 0/-2,... , Сі-т-а} виміряних координат
109
системи керування, де і-- порядковий номер періоду кван-
тування {і = 1, 2, 3, ...).
2) за законом оптимального керування (2.121) формує
керуюче діяння
Другий контур адаптивного настроювання параметрів
ЦР в кожному періоді квантування здійснює такі п’ять
операцій:
1) відповідно до (2.119) формує вектор параметрів 0/_і
в урахуванням його оцінки за (2.120) в попередньому пе-
ріоді квантування;
2) згідно з (2.118) формує вектор Хі—а для відліків
вимірюваних координат системи керування з урахуван-
ням зсуву в часі Хі—а = тобто вектор
ХІ—сі = {у і—а, Уі—сі—Хі ..., иі—іі, иі—а—ь •••
••• » О і—(І) Оі—(1—і, ••• > 1}»
3) визначає узагальнену функцію якості ф^ = ф^г-
яку з урахуванням операції зсуву можна знайти з рів-
няння (2.110), тобто
Фі — у і —а 4“ (ііі—сі ііі—сі—і), (2.126)
4) обчислює вектор параметрів 0, за РМНК відповідно
до (2.120). При цьому в першому циклі оцінювання пара-
метрів застосовується вектор-стовпець початкових пара-
метрів 0поч, який в кожному наступному циклі настрою-
вання (періоді квантування) уточнюється;
5) перевіряє умову ф* — Х?—с$і—і У Разі вико-
нання якої настроювання вектора параметрів 0 регуля-
тора закінчується. При цьому точність настроювання є'
визначається експериментально для кожного об’єкта ке-
рування й заноситься в запам’ятовуючий пристрій у ма-
сив констант.
Приклад 2.2. Дискретна математична модель об’єкта керування
описується різницевим рівнянням
= 1»^_! — 0,7^_2 + и{_} + 0,5^_2 + + %
ПО
Квадратичний критерій якості (2.92), який треба мінімізувати при
синтезі ЦР, визначається виразом
«/ = Ли “Ь 0,5и* | уУ[—], и^9
Синтезуємо цей регулятор.
Подамо дискретну модель об’єкта керування у вигляді (2.88), за-
писавши рівняння
А (г-1) у. = г-’В (г-1) и + С (г“‘) С + 0,4,
V *т V
де
А (г-1) = 1 - 1,5г-1 + 0,7г-2; В (г-1) = 1 + 0,5г-1;
С(г-1)= 1 - 0,5г-1.
Тоді тотожність (2.94) матиме вигляд
(1 — 0,5г*”1) = £ (г”1) (1 — 1,5г”1 ф- 0,7г“”?) + г”1/7' (г”1),
звідки необхідно визначити поліном Р' (г” ), Для цього покладаємо
Ь(г“1) = 1 і дістаємо Р' (г”1) = 1 —0,7г*”1. Тоді 6' =
= Ь (г”1) В (г*”1) = 1 4- 0,5г”1, а коефіцієнт у в рівнянні (2.104)
визначається як у = Ь (1) = 1.
Відповідно до виразів (2.112)—(2.114) знаходимо поліноми Р (г”1),
£> (г”1), Н (г”1) і сталу зміщення 6 в рівнянні (2.115). При цьому ва-
говими коефіцієнтами для критерію якості (2.92) є Р = 1, Р =1, Х=
= 0,5. Отже,
Е (г-1) = РЕ' (г-1) = 1 — 0,7г-1;
£> (г-1) = РО' (г-1) + С (г-1) Л = 1,5 + 0,25г-1;
Н (г-1) = — РС (г-1) = — 1 + 0,5г-1;
6 = Рут) — 0,4.
Тоді рівняння (2.115) оптимального керування ЦР матиме вигляд
С (2-1) %*+1|/ = (1 - 0,7г-1) ^+(1,5 + 0,25г-1) и( +
4- (— 1 + 0,5г-1) 6, + 0,4 = 0,
звідки керуюче діяння в кожному такті квантування визначається як
иі = (у{ — 0,7у(_і + О.гби^, — С4 + 0,50/_1 + 0,4).
2.6. Синтез адаптивних цифрових регуляторів
для одновимірних нелінійних
стохастичних об'єктів керування
з запізнюванням
Розглянемо метод синтезу адаптивних ЦР для однови-
мірних у напрямах входу та виходу нелінійних об’єктів
керування, на які діють збурення сгохастичного харак-
теру. Математичний опис таких об’єктів можна подати у
вигляді нелінійного скінченно-різницевого рівняння
+ + (2.127)
Тут Уі — керована вихідна змінна об’єкта в дискретні
моменти часу І = и70, розділені періодом квантування 7’0;
Ш—п — керуюче діяння за час \п — сі) То і < (п —
— сі + 1) То, де сі = [т/Т0] + 1 — відоме дискретне за-
пізнювання в каналі керування об’єктом, а т — час за-
пізнювання. Таким чином, 1.
Поліноми Л, С визначаються виразами
Л (? ') = 1 4- агг * + ... + акАг *л;
С (?-') = 1 4- сгг~' + ... + ск г~кс,
+ + Ск 2
І/
де 2 1—оператор зворотного зсуву (наприклад, г =
=
Зміщення V вихідної змінної у об’єкта керування визна-
чається при нульовому відхиленні керуючого діяння а
відносно його умовного середнього значення й відсутності
збурень £. Функція Х(і_ї у (2.127) має вигляд
:\.уі ] /» і== Ц ••• > £ р і
і= 1, 2, ... , М,
(2.128)
де — одновимірні стаціонарні функції з відомими па-
раметрами. Величини М, гІУ &д, кс — відомі цілі числа,
причому гг 0.
Зведений до виходу об’єкта керування сигнал стохас-
тичного збурення складається з послідовності незалеж-
них випадкових змінних з нульовим середнім. Вважаємо,
що корені полінома С (г~х) лежать усередині круга оди-
ничного радіуса.
Постановка задачі. Потрібно виконати синтез закону
керування ЦР для об’єкта, що описується рівнянням
112
(2.127), виходячи з мінімізації критерію оптимальності
7 = М {[Р(г~') Уі+о - Р (*“') 6г]2 + 1(2 (г-1) ^]2}, (2.129)
де М — оператор математичного сподівання; у^а — зна-
чення керованої вихідної змінної об’єкта, зміщеної на а
тактів квантування вперед; /? (г-1), С (2”1) — раціональ-
ні дискретні передаточні функції; 6г — задавальне діян-
ня ЦР, а
Р (г-1) = 1 + Ріг~' + + Р^~кр-
Мінімізація критерію (2.129) шляхом вибору керуючо-
го діяння щ забезпечує відповідність керованої вихідної
змінної Уі задавальному діянню Сі з урахуванням запіз-
нювання в об’єкті керування, а також обмежує це діяння.
Для проектувння ЦР за критерієм (2.129) необхідно,
крім алгоритму передбачення значення керованої вихід-
ної змінної на сі тактів квантування вперед для моделі
об’єкта керування, що описується рівнянням (2.127), роз-
робити оптимальну структуру ЦР та алгоритм автоматич-
ного настроювання його параметрів з використанням пе-
редбаченого значення керованої вихідної змінної Уі+аи в
момент часу І.
Математична процедура передбачення значення змін-
ної Уі на сі тактів квантування. Розглянемо діофантове
рівняння
С (г~,)Р(г~І) = А (2-1) + г~'Р (г"1),
(2.130)
де поліном Р (г !) визначається виразом
Л (г *) — /0 Н- 1 + ... + \ Щ =
= шах (кА — 1, кс + кр—с1). (2.131)
Знайшовши з (2.130) поліном А (г~1) і підставивши
його в (2.127), дістанемо
С (г~‘) Р (г-1) Уі = Р (г-1) г//_і +
+ С
(2.132)
Визначимо значення керованої вихідної змінної
в момент часу /, що відповідає рівнянню
Для цього в (2.133) значення дискретного часу і за-
мінимо на і — сі, після чого здобутий вираз Р(г~~і)у1 ==
— ^(г"-1) уі\і—а + £>і підставимо в рівняння (2.132). Тоді
матимемо
С (г-1) Р (г~‘) у'пі-а = Р(2-І)у(_і +
+ £ + ”• (2.134)
1=1
Помноживши обидві частини цього рівняння на опе-
ратор зсуву г і замінивши координати у, відповід-
ними значеннями їх для моменту часу /, знайдемо
С (г х)Р(г уі^і — Р (г *) Уі+а— і +
+ £ ЬіХі1+а_їиг11 + V. (2.135)
І=1
Передбачувані значення Уі+\, Уі±2, •••, Уі-уа— і можна
дістати за рекурентною процедурою на момент часу /,
замінюючи і на (і + т]) в детермінованій частині рівняння
(2.127). Тоді
у/+п = 2 [1 — А (2~')] Уі+^-1 4-
+ У, ігг/Д_-п—(2.136)
1=1
де ц = 1, 2,... , б/ — 1.
На підставі цих значень за формулою (2.128) визна-
чаються передбачувані значення х^ г
В інтервалі часу, що відповідає запізнюванню сі в об’-
єкті керування, останній можна вважати стаціонарним.
Тому нестабільність його параметрів на точність передба-
чення не впливатиме. Застосування діофантового рівнян-
ня (2.130) для розробки процедури передбачення (2.135)
відповідно до сформульованої вище теореми дає змогу
знайти передбачуване значення Уі+а\і з мінімальною дис-
персією помилок завбачення.
Розробка структури оптимального нелінійного ЦР.
Використовуючи (2.133), запишемо вираз критерію опти-
мальності (2.129) у вигляді
/ = М {[Р (2-1) Уі+^і + - Р (2-‘) о,]’- + [<? (2-') и$}.
(2.137)
114
Оскільки збурення з іншими складовими правої
частини виразу (2.137) не корельоване, цей вираз можна
поділити на детерміновану та стохастичну частини, а са-
ме:
4
+ 10 (2 ) ^І2 + М {&+,}. (2.138)
Оптимальне керуюче діяння ЦР визначається виходя-
чи з мінімізації критерію оптимальності (2.138) за керую-
чим діянням Необхідною умовою мінімізації є така:
дЛЛщ = 0.
Диференціюючи рівняння (2.138) по щ, дістаємо
~ = 2 [Р (г~‘) уі+^ - К (г*1) 6(] х
___ 1. * т
[ ди{ 4 7 4 7 1
Таке саме диференціювання рівняння (2.135)
хуванням того, що С(0) = 1, дає:
----------------- —і. * - уу
= У
І=1
г^О
ди
(2.139)
4
з ура-
і"
(2.140)
Помножимо (2.139) на С(г ’) і підставимо в здобуте
. _____________________________________1 ч *
від-
повідні вирази (2.135), (2.140). Тоді після
рень дістанемо рівняння, що описує дію
диі
ряду перетво-
оптимального
У ЬіГі^
Ї=1
гі-1
\ ЬіЦ/Хі
І—1
(2.141)
Запишемо суму незалежних від щ членів лівої частини
цього рівняння у вигляді
N
і=і
г^=0
(2.142)
115>
*
N
Тоді рівняння (2.141) можна подати так:
~ N
І=1 1=1
г^^=0 г
ЬіГіи^Хі^^ 4- о +
+ С(2-’)(?(0)С(2-,)«4 = 0. (2.143)
Це рівняння визначає структуру нелінійного ЦР, коли
в кожному періоді квантування обчислюється керуюче
діяння з використанням чисельних методів до рівняння
<2.143). Щоб розв’язати його, треба спочатку обчислити
передбачувані значення уі+а— і за рекурентною процеду-
рою (1.136), а також визначити функцію за ре-
курентною процедурою
________1 ЇУі—1—Н-Ч» 6, 1, ... , Ні—д—/4-ї)» / 1 • ••],
де і = 1, 2,..., А; т] = 1, 2, ..., б/ — 1.
Алгоритм автоматичного настроювання нелінійного
ЦР. Параметри об’єкта керування, що описується рів-
нянням (2.127), які визначаються поліномами А (г-1),
С (г~А) і коефіцієнтами V, поступово змінюються під
час його експлуатації й у загальному випадку невідомі.
Тому параметри С (г-1), Ьі, V ЦР, що визначаються рів-
няннями (2.142), (2.143), а також коефіцієнти полінома
Р (г-1), які входять у (2.131), теж невідомі.
Для оцінювання змінюваних параметрів об’єкта керу-
вання, які містять рівняння (2.142), (2.143), використаємо
(2.133), (2.134). Для цього рівняння (2.134) запишемо у
вигляді
N
Р (г-1) у^і-а = Г (г-1) уі-Х + £ ^х^и1^ +
Ї=1
+ V + г [1 - С (?“’)] ІР (г-1) у'і-щ-4-і]. (2.144)
З урахуванням (2.133) та оператора зворотного зсуву
це рівняння подамо так:
Р («“') У і = Р (г~‘) + V ЬіХі^и^ + V +
1=1
+ 2 11 - С(2-')1 |Р(2~1)ї/;_ш_гі_1] + (2.145)
116
Для оцінювання невідомих параметрів Р (з-1), ЬІ9
С (з—1), V в реальному масштабі часу можна скориста-
тися узагальненим РМНК, тому що стохастичне збурення
в рівнянні (2.145) від решти складових його правої час-
тини не залежить. З цією метою (2.145) запишемо у вигля-
ді
У і = [Р(г~1) — г(Р (г-1) - 1)]«/(-і+ £ +
і=1
+ V + г 11 - С (г-1)] [Р (г-1) у'-иі-а-і] + (2.146)
або у векторній формі
Уі — ф/ і +
(2.147)
Тут розширений вектор вимірюваних координат ф/
визначається виразом
Ф* — {Уі— ь ••• > ^\і— ^і-а* \иі—а’
(2.148)
а вектор-стовпець параметрів 0, які необхідно оцінити, —
виразом
0 — І/о Рі> /і Рг» •••»
^1» ^2’ *” > ^1’ ^2>
. іТ
; У] •
(2.149)
Для оцінювання вектора-стовпця 0 в кожному періоді
квантування То застосуємо обчислювальну процедуру
е4 = 0,-1 4- Р^і [у( — ^І0(_1];
(2.150)
де 0,— оцінка невідомого вектора параметрів (2.149) в
п-му періоді квантування, коли і—пТ^ Рг — коваріацій-
на матриця; р— експоненціальний ваговий коефіцієнт
(0,9 < Р < 1).
Проектування оптимального нелінійного ЦР для керу-
вання реактором ідеального перемішування. Кінетична
модель реактора, складена на основі балансу мас і енер-
117
гії, описується диференціальним рівнянням
(2.152)
де Тр — температура реактора; — витрата реагуючої
суміші; Ті — температура речовини, що вводиться; —
витрата потоку охолодної води; ТС[, Тс — температури
охолодної води на вході та виході реактора. Значення реш-
ти параметрів моделі наведено в табл. 2.1.
При реалізації одновимірної системи керування реак-
тором його температура Тр буде керованою вихідною змін-
ною у, а витрата потоку охолодної води — керуючим
діянням и. Зміни параметрів Ті9 Тс., (2, V відносно серед-
ніх значень їх є збурюючими діяннями.
Задача керування реактором полягає в стабілізації
температури Тр при зміні параметрів ($, Ть Тс., V та ін-
ших збурюючих діянь шляхом зміни витрат потоку охо-
лодної води фв.
Диференціальне рівняння (2.152) зведемо до різнице-
вої форми. Дискретна модель об’єкта керування типу
«вхід-вихід» при цьому описуватиметься рівнянням
У і = +
+ {ехр(— 12370,9/уі-і)} + Ц + + V.
(2.153)
Таблиця 2.1
Позначен- ня пара- метра Найменування параметра Значення Одиниця
Ко Сталий коефіцієнт 30-1010 С-1
V Об’єм реагуючої суміші 2-83 М3
Я Універсальна газова ста- ла 8326 кг- моль-К
Ср Питома теплоємність реа- гуючої суміші 4187 Дж/(кг-К)
р Питома густина реагую- чої суміші 961 кг/м3
Е Енергія активації 1,03 -108 Дж/(кг-моль)
Рс Густина охолодної води 961 кг/м3
Срс Питома теплоємність охолодної води 4.187 Дж/(кг-К)
(2 Концентрація реагуючої суміші 7,96 кг-моль/м3
ЕН Теплота реакції 20,468-108 Дж/(кг- моль)
118
Розглянемо діофантове рівняння (2.130) при Р (з-1) =1,
яке в цьому разі матиме вигляд
(1+^г 1) = (1 + а1г !) + г ХР (г '). (2.154?
Звідси можна зробити висновок, що поліном Р (г ’)
вироджується, тобто Р (г-1) = Р (1) = /Р Тоді з (2.154)
дістанемо Л = £і—після чого знайдемо поліном
А (г-1) = 1 + аг2~х = 1 + (б?! — /\) г""1, який підставимо в
(2.153). Внаслідок цього матимемо рівняння
(1 + схг ') у( = Дг 'у{ + Ь^а + Ь^иі-аУі-і +
4- Ь3 {ехр (— 12370,9/уі_і)} + ^ + с&-і + V. (2.155)
Замінимо в рівнянні (2.155) дискретний час і на і + сі,
після чого його можна перетворити до вигляду
Уі-уа = ------згтг і + + Ь2щуі+</4-1 +
(1 + ^г *)
+ &3 [ехр (— 12370,9/^-1)] + у} +
(2.156)
де уі^а—і—оцінка передбачуваного значення вихідної
координати у, яке визначається за рекурентною про-
цедурою заміною дискретного часу / на (/+ т]) послідовно
при 2,..., (б/— 1) у детермінованій частині рів-
няння (2.127):
+
ехр
— 12370,9
Уі+'П—і
(2.157)
З урахуванням (2.156) маємо
* 1
Уі+а\і = Уі+а — £/+<* = --------------:
(1 + Сі?
іУі-\-а—\ + ЬіЩ +
(2.158)
Критерій оптимальності (2.138) записуємо у вигляді
= ІУі+^і — О(]2 + («і — И/-1)2 + М {Й+4. (2.159)
Оптимальне керування реактором визначається на
основі мінімізації критерію (2.159) за керуючим діяннгм
119
иі з урахуванням того, що С (0) = 1, тобто
д} *
_. = + [ї/ИД|/ — 64] + X (и, — «,_]) = 0.
(2.160)
Підставивши (2.158) у (2.160), після перетворе ння діс-
танемо рівняння, що описує оптимальний ЦР:
(і>і + Ь2уі+а-\) {КУі+сі-і + (&! + Ь2уі+а-\) Щ +
+ Іехр (— 12370,9/^4^-1)] + V — (Зі — с^} +
4~ Кіі} -р X (с-£ — 1) щ—і
— Хс^ї-2 = 0.
Звідси можна визначити керуюче діяння в кожному
періоді квантування, а саме:
Щ = — {Ь7К^і + Мф-і)2 + ^1} Ж + Ь^уі^-х) X
X [{ууі+а-д + Мехр (— 12370,9/у/+^_і)1 +
4-у — 6і — 64О/-1 ] 4- к(сх — 1)и/_і — (2.161)
Алгоритм цифрового моделювання замкненого контура
цифрового керування реактором в п-му періоді кванту-
вання полягає в послідовному виконанні таких операцій:
1. Обчислення значення вихідної змінної уг за допо-
могою рівняння (2.153).
2. Визначення передбачуваного значення (2.157)
при ц = 1, 2,..., (й— 1).
3. Визначення керуючого діяння щ за допомогою рів-
няння (2.161), що описує оптимальний закон керування
реактором.
4. Установлення номера періоду квантування (п 4~ 1)
і переходу до п. 1 для обчислення значення координати
Уі+і •
При зміні режиму та стану реактора параметри його
математичної моделі (2.153) міняються. Для оцінки їх
рівняння (2.155) спочатку запишемо так:
Уі — ЇіУі—\ + Ь^і—а + Ь2Уі—хііі—а +
4- Ь3 [ехр (— 1 2370,9/ї//_і)] — с± (у^ — ^_і) + у 4~
120
потім — у вигляді (2.147), де вектор вимірюваних коор-
динат визначається виразом
ФГ ~ {Уі~у Уі—уМ'ї—д'»ехр ( 12370,9/
(Уі—] £/_і)» і Ь
а вектор-стовпець параметрів — виразом
9]т.
Тоді обчислювальна процедура за РМНК для оцінюван-
ня вектора-стовпця 6^ зведеться до виконання розрахун-
ків за формулами (2.150), (2.151), у яких початковим зна-
ченням коваріаційної матриці Р вимірністю (6 X 6) буде
Рпоч = Ша§{1000, 1000,..., 1000}.
Приклад 2.3. Спроектуємо адаптивний ЦР для нелінійного об’-
єкта керування, що в нормалізованій формі описується дискретною
моделлю у вигляді рівняння (2.153):
У( = - <\Уі-1 +
+ 6аи/_4^_і + Ь3 {ехр (- 123,709/^_!»+
4~ 4" —1 “Ь V,
де 01 = —0,97; />1 = —0,1412; &2 = —0,007; Ь3 = — 22890-10»;
С1 = — 0,89; V = 0,1489849.
Критерій оптимальності для синтезу регулятора має вигляд (2.159),
де коефіцієнт підсилення X— 0,001. Початковий режим роботи замк-
неної системи керування підтримується на такому рівні: #поч= 3,64;
ипоч “ 0* ^поч ~ 3,64. Дискретне запізнювання в об’єкті (і = 4, а
дисперсія збурення о| = 0,001.
Цифрове моделювання адаптивної системи керування виконаємо
за програмою СОМТКОЬЬЕК, наведеною в дод. 9, при початкових зна-
ченнях параметрів об’єкта для рекурентної оцінки їх за обчислюваль-
ною процедурою (2.150), (2.151). Моделювання перехідного процесу в
замкненій системі керування проведемо при тестових імпульсах типу
«меандр», які подаються на вхід задавального діяння ЦР з амплітудою
ДО = 0,16.
Визначаємо параметри ЦР. З рівняння (2.152) знаходимо
/і = с1 — аг = 0,08.
Керуюче діяння ЦР на підставі (2.161) при (і = 4 визначається ре-
курентною процедурою
1
= —------------=------------{(.Ь + Ь уі+3) X
х {^Уі+з + Ь3 [ехр (- 123,709/^+3)] +
V — +
+ X (^ — 1)
де значення обчислюється за (2.157) при т] = 1, 2, 3 ....
121
Для оцінки параметрів об'єкта керування за РМНК початковий
вектор-стовпець параметрів 0ПОЧ задаємо такими даними: =
= 0,095; =-0,1;£9 = — 0,006; Ь = — 22890 • 109;
іпоч *поч ^поч
с, =-0,87; =0,12.
ІПОЧ
На рис 2.14 зображено графіки перехідних процесів під час змі-
ни вихідної координати у та керуючого діяння в замкненій системі
при імпульсних текстах типу «меандр», які подаються на вхід задаваль-
ного діяння ЦР.
На рис. 2.15 показано результати рекурентного оцінювання па-
раметрів регулятора за РМНК (програма СОГхґГКОЕЬЕК), здобуті на
персональній ЕОМ «Искра-1030-11». Програму СОїХТКОЬЬЕК роз-
роблено на алгоритмічній мові Паскаль.
Контрольні завдання
Вивчити самостійно такі теми:
1. Методи адаптивної ідентифікації часу «чистого» запізнювання
в об’єкті керування [ЗО].
2. Методи ідентифікації параметрів нелінійних динамічних об’єк-
тів керування за допомогою ЕМ [ЗО].
3. Методи компенсації запізнювання в одновимірному об’єкті ке-
рування. Одновимірна система керування з прогнозатором Сміта для
об’єкта з одним запізнюванням. Недоліки прогнозатора Сміта [29].
122
Рис. 2.15
4. Параметрично оптимізовані ЦР при випадкових збуреннях♦
Регулятори з мінімальною дисперсією для об’єктів керування без
запізнювання та з запізнюванням [15].
123
Завдання для самостійного дослідження
1. Використовуючи наведену в дод. 9 програму СОМТКОЬЬЕЕ-5Г
дослідити на персональній ЕОМ типу «ІВМ РС» швидкодію та точ-
ність оцінки параметрів об’єкта керування за РМНК для моделі, опи-
суваної рівнянням (2.86), при аг— —1,59; а2 = 0,62; = 0,01; Ь2 =
= 0,01; Ь2 = 0,01; = 0,01; б = Леї = 0,03.
Початковий вектор-стовпець параметрів 0 має такі дані;
^ = —2; = 0,2; = 0,02; Ь2 = 0,02; Ь3 = 0,015; &4 = 0,02;
6 = б/е/1=0,5.
Початковим вектором вимірюваних координат для РМНК є Хт ==
— {1, 1, 0, 0, 0, 0, 1}, а початковою коваріаційною матрицею Рпоч=
= с1іа£{1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000, 1000}.
Установити такі режимні параметри настроювання адаптивного
регулятора: % = Іат — 0,05; р = ти — 0,99; О — £е = \\ Л6 =
= сіуе = 0,5; То = іо = 4. Кількість тактів для моделювання п = 100;
номер такту для ступінчастого збурення задавального діяння пзі — 5.
2. При початкових даних попереднього завдання за програмою
СОИТКОЕЕЕН-5 дослідити вплив параметрів X на швидкодію та точ-
ність — перехідного процесу під час зміни вихідної координати і
оцінки вектора параметрів 0 — за РМНК, для чого послідовно задати
такі значення параметрів: Х= 0,001; Х = 0,01; к — 1; р = 0,9; р =
= 0,95, р = 1.
3. За програмою СОМТНОЬЕЕК-5 дослідити швидкодію та точ-
ність перехідного процесу в замкненому контурі керування об’єктом
при різних ступінчастих збуреннях (сІ£е ~ 0,2; сІ£е — 1) задавального
діяння Д6.
4. Послідовною зміною коефіцієнтів (а) Ь±— 0; б) Ь3 — 0; = 0;
в) Ь2 = 0, Ь3 =0, Ь4 = 0) в рівнянні, що описує об’єкт керування,
дослідити вплив запізнювання сі на швидкодію та точність перехідного
процесу під час зміни вихідної координати в адаптивній системі ке-
рування. Цифрове моделювання її провести за програмою
СОМТКОЕЕЕК-5.
5. Використовуючи наведену в дод. 9 програму СО\ТРОЕЕЕК,
дослідити на персональній ЕОМ типу «ІВМ РС» швидкодію та точ-
ність перехідного процесу в замкненій нелінійній системі керування
при зміні запізнювання в об’єкті (сі = 1; с? = 2; с? — 3; сі = 5; сі —10),
для чого з пульта ЕОМ ввести такі значення параметрів: а1 = —0,97;
Ьг = —0,1412; Ь2 = —0,007; Ь3 = 22890-109; = —0,89; V =
= 0,1489849. Початковий режим роботи системи характеризується
такими даними: Споч = 6па = 3,64; г/поч = Упа = 3,64.
Моделювання перехідного процесу провести при імпульсних тес-
тах типу «меандр», які подаються на вхід задавального діяння ЦР з
амплітудою ДС = 0,2.
6. Повторити попереднє завдання при коефіцієнтах підсилення
X, — 0,0005, Л == 0,001, 0,005. При цьому в модель об’єкта керу-
вання ввести випадкове збурення з поступовим збільшенням його дис-
персії — 0,1; сі і 8 = 0,3; сііз = 0,5).
124
РОЗДІЛ з
МЕТОДИ СИНТЕЗУ АДАПТИВНИХ РЕГУЛЯТОРІВ
ДЛЯ НЕМІНІМАЛЬНО-ФАЗОВИХ І НЕСТІЙКИХ
ЛІНІЙНИХ ОБ'ЄКТІВ КЕРУВАННЯ
3.1. Адаптивне керування одновимірними
немінімально-фазовими та нестійкими
об'єктами з детермінованими збуреннями
Синтез робастних адаптивних регуляторів із заданим
розміщенням полюсів замкненої системи керування. Про-
ектування цифрових систем керування немінімально-
фазовими та нестійкими об’єктами полягає в побудові
ЦР, що забезпечує стійкий перехідний процес у замкне-
ному контурі керування. При цьому система цифрового
керування має бути мінімально чутливою, або робастною,
до похибок вимірювань і збурень, які діють на об’єкт.
Чутливість системи керування в заданому інтервалі змі-
ни параметрів об’єкта не повинна значно змінюватись.
Проектуючи робастні регулятори для систем керуван-
ня із зворотним зв’язком за наближеними або неточними
моделями, слід мати на увазі такі вимоги [28]:
1. Важливо знати кількість нестійких полюсів і ну-
лів моделі об’єкта керування.
2. Необхідно мінімізувати підсилення регулятора на
частотах, при яких модель об’єкта є неточною.
3. Необов’язково знати точну модель об’єкта для час-
тот, при яких підсилення в розімкненій системі може бути
великим.
4. Необхідно знати точну модель розімкненої системи
керування на частотах, при яких передаточна функція
рдулятора (г) —1.
У п. 2.4 розглянуто проектування адаптивного регу
лятора для об’єктів керування з невідомим і змінним за-
пізнюванням шл іхом безпосереднього розміщення полю-
сів і нулів замкненої системи, з прямим використанням
оцінених параметрів об’єкта під час формування закону
керування регулятора. Проте описаний метод може за-
стосовуватись тільки стосовно стійких процесів у розімк-
неній системі керування.
Розробка методу синтезу робастних регуляторів для
немінімально-фазових і нестійких об’єктів керування по-
требує усунення негативного ефекту зміщення усталених
полюсів розімкненої системи при її замиканні.
12а
Розглянемо дискретну математичну модель одновимір-
ного об’єкта керування, що описується рівнянням
де Уі — відхилення керованої вихідної змінної від її ус-
таленого значення, яке визначається в дискретні моменти
часу /, розділені періодом квантування Го; щ — відхи-
лення керуючого діяння від його умовного середнього
значення при пТь / < (п + 1) То. Величина сі =
= [т/Т0] + 1 характеризує дискретне запізнювання в ка-
налі «керуюче діяння — вихідна керована змінна», де
т — час чистого запізнювання. При цьому введення ви-
разу в квадратних дужках відповідає операції виділення
в ньому цілої частини. Зсув 6 керованої змінної визнача-
ється при нульових відхиленнях керуючого діяння від-
носно його умовних середніх значень. Оператор г-1 у
(3.1) є оператором зворотного зсуву вихідної змінної, тоб-
то 2~ГУі = Уі-\.
Поліноми А (г--1), В(2~1) визначаються так:
Корені полінома А (г-1) є полюсами дискретної моде-
лі об’єкта керування. Якщо вони знаходяться на межі
круга одиничного радіуса чи поза ним, то об’єкт буде не-
стійким, Якщо корені полінома В (г-1), тобто нулі дис-
кретної моделі об’єкта керування, лежать поза кругом або
на межі круга одиничного радіуса, то об’єкт буде немі-
ні мально-фазовим.
Структура ЦР для керування немінімально-фазовими
та нестійкими об’єктами керування визначається рівнян-
ням
де
К(г *)(1—£ ')и{ = КСі+а — Р
—1
Р (?-’) =14- V ггг-‘;
Ї=1
па
і=0
пї
^=•0
126
Рис. 3.1
З рівняння (3.4) випливає, що приріст керуючого ді-
яння Д^ = иь — иі—! визначається в кожному періоді
квантування, завдяки чому з закону керування усува-
ється зсув при визначенні керуючого діяння й поліпшуєть-
ся робастність алгоритму адаптивного керування об’єк-
том.
З урахуванням (3.1), (3.4) дискретна передаточна функ-
ція замкненого контура керування набуває вигляду
.. У(г)
0(г)
=___________________КВ (и-1)____________________
(1 - з""1) А (£-’) /? (?-’) + г~а В (г-‘) В (г"1)
Таким чином, задача проектування регулятора поля-
гає у відшуканні поліномів Р /^(г—1), які входять
до складу діо^ангового рівняння
Лм(г“') = (1 - г-1) А (г~х) Н (г~') + г~аВ (г“‘) Р (г-1), (3.8)
де Дм (г-1) — характеристичний поліном замкненого кон-
тура керування в каналі «задавальне діяння — керована
вихідна змінна». Функціональну схему цього контура зоб-
ражено на рис. 3.1.
При проектуванні регулятора задається поліном
Дм (г-1), корені якого визначають полюси замкненої си-
стеми. Спростимо рівняння (3.8), для чого з (3.1) знайдемо
керуюче діяння
«/ = |Д(г-,)^-б]/г-йВ(г-1)
127
і підставимо цей вираз у рівняння (3.4). Тоді дістанемо
нове діофантове рівняння
7? (г—1) А (?-') (1 - г~>) у( - Р (?-') (1 - г-1) 6 =
= КВ (г~}) 01 - г~аВ (г~') Р (г"1) у(, (3.9)
яке за допомогою (3.8) можна звести до такого вигляду:
/їм (г-1) у{ = КВ (2-і) 6,+ К (г-і) (1 - 2-’) б. (3.10)
Для того щоб з рівняння (3.8) знайти поліноми
Р(2“’), /?(г“!), необхідно встановити порядки п^па
для полінома Р і пг = пь -ф сі—1 для полінома
/?(2“!). При цьому загальна кількість параметрів, які
треба визначити за (3.8), становитиме
п8 = Па + ПЬ +
(3.11)
Одночасно має виконуватись умова
п% пт +
де пт — степінь характеристичного полінома Лм(2-і),
тобто число полюсів замкненої системи.
Таким чином, у цьому методі синтезу робастного регу-
лятора використовується безпосереднє розміщення полю-
сів замкненої системи шляхом попереднього визначення
полінома Лм (2~х) із заданими його коренями 2П 22, ...
• • • , у •
При використанні діофантового рівняння (3.8) для ви-
значення структури поліномів /?, Р значно ускладнюється
процедура застосування оцінених параметрів об’єкта ке-
рування для розрахунку коефіцієнтів регулятора. В цьо-
му випадку ПІСЛЯ КОЖНОЇ ОЦІНКИ ПОЛІНОМІВ А (2~Х), В (2-1)
треба розв’язувати діофантове рівняння (3.8), що усклад-
нює алгоритм роботи адаптивного регулятора. Для усу-
нення цієї проблеми введемо допоміжну змінну стану хі —
= уь /В (2-1), з урахуванням якої рівняння (3.1), яке опи-
сує модель об’єкта керування, матиме вигляд
А (2-і) + б/В (2-1); (3.12)
у1 = В{г-^хі. (3.13)
Після цього при розробці алгоритму оцінювання пара-
метрів регулятора скористаємося тотожністю Везу
2“^ = (1 — 2-1) А (2-1) С (2-1) + В (2-1) Е (2-1), (3.1 4)
128
де
пЬ~1
С <г-,) = £ Сіг~1'
1=0
па
Е (г-1) = V е(г~1.
жими*
1=0
Існує тільки один варіант значень коефіцієнтів у полі'
номах С (г—1), Е (г-1), коли виконується тотожність (3.14).
Загальна ж кількість їх дорівнює па + пь + 1.
Наступним кроком при розробці алгоритму оцінюван-
ня параметрів регулятора буде поєднання рівняння (3.4)
з тотожністю (3.14). Якщо помножити обидві частини
(3.14) на поліном Дм (г-1), то дістанемо рівняння
Ам (г-1) г-*' = (1 - г-1) А (?-’) С (г-1) Ам (г~’) +
+ В(г-1)^(г~1)Лм(г-1). (3.15)
Після множення обох частин діофантового рівняння
(3.8) на оператор зсуву 2~а' матимемо рівняння
Ам (г-1) 2~а' = г-а' (1 — г-1) А (г-1) /? (г-’) +
+ г-^+^В (г-1) Р (г-1). (3.16)
Ліві частини двох останніх рівнянь однакові, тому
можна прирівняти і праві частини їх:
(1 _ 2-і) А (г-1) С (г-1) Ам (г~’) + В (г~9 Е (?-’) Лм (г-і) =
= г~^(1 — 2-'} А (г-1)/?^-1) +г-<^'^(г-1)/7(г-1). (3.17)
Перемноживши всі члени цього рівняння на допоміжну
змінну стану хі та застосувавши до них рівняння (3.12) і
(3.13), які описують модифіковану модель об’єкта керу-
вання, після перетворень дістанемо
Р (2~х)2~{а~^а^уі + Я(2—Х)2~{(1+а'х (1 —=
= £(г-’) Лм(г-')уг + С (?-') (г~')(1 — г-^м, +
+ [С (г-’) Ам (г—1) - Е (г~') ?-*']
(1 — г~*)6
в (г-1)
(3.18)
Останній член у правій частині цього рівняння відоб-
ражує ефект дії зсуву б керованої змінної, який знешкод-
жується введенням фільтра (1 — 2-1), Якщо ввести позна-
чення
(1 — г-1) щ = иг — ут^ Ам (г-1) у(;
== А^ (2 і)
5 — 4-940
129
а також урахувати (3.5), то рівняння (3.18) можна пода-
ти у векторній формі
— = Х?Є, (3.19)
Де
6 “ [/*і> ^*2» •••> /о> /1» — Є0> ^1» ^0» •••»] >
__ (3.20)
= [киї—а—а'—і, киї—а—а'—2, •••» Уі—а—ач
У/^а—а'—у •••» Ут^ *“»
\и ]Л (3.21)
І і
Для ідентифікації вектора параметрів 9 застосуємо
обчислювальну процедуру послідовної його оцінки за
РМНК, а саме:
0/ = 0/—і + Кі [— киї—— Х/т0/__і]; (3.22)
Кг = Л-1ХД1 + ХГРі-М (3.23)
Р, = 4- {/^-1 - Рі-іХі [1 4- ХЇРі-іХіГ'ХІР^}. (3.24)
г
Початковими умовами тут можна вважати такі:
Ро == а/; 0О = 0, (3.25)
де а — достатньо велике додатне число.
Приклад 3.1. Розглянемо дискретну математичну модель немі-
німально-фазового і нестійкого об’єкта керування, що описується
рівнянням (3.1), де А (г”1) = 1 — 1,2г”1; В (з-1) = 1 —3,1г”1 +
+ 2,2г“2; 4=1. Виконаємо синтез ЦР для стабілізації роботи
цього об’єкта.
Відповідно до (3.4) — (3.7) алгоритм керування ЦР матиме
вигляд
(1 + + г2г~2) (1 — г—1) + ^г-1)
де К = ї0+їі-
Для визначення параметрів гх, г2, /о> /і регулятора дюфан-
тове рівняння (3.8) записуємо у вигляді
(а + ам г 1 + а г 2) = (1 — г !) (1 — 1,2г ’) X
' Мф 1 М| 1 м^ 4
Х(1+гі2 1 + г2г 2) + г 1 (•—3.1г *4-2,2г 2)((0 + Лг ')•
(3.26)
де характеристичним поліномом замкненого контура керування є
поліном (с„ + ам г""1 4- г“2), який на полі круга одиничного
радіуса має корені гх, г2. Для цього вибираємо коефіцієнти ам =1;
аМі = - 1,68364; = 0,40469. Тоді гх = 0,9048; г2 = 0,77882.°
130
Діофантове рівняння (3.26) має однозначний розв’язок, якщо при-
рівняти коефіцієнти у його правій та лівій частинах при відповідних
степенях оператора г. При цьому дістаємо систему лінійних рівнянь
гх — /0 — 2,2 = — 1,68364;
- 2,2гі 4- г2 - 3,1/0 + Л + 1,2 = 0,70469;
1,2г1 — 2,2г2 + 2,2/0 — 3,1^ = 0;
1,2г2+2,2/1 = 0,
розв’язавши яку, знайдемо /0 = —12,2426378; = 12,453225; г1 =
= 12,7589978; г2 = —22,8309089; тобто поліноми (3.5), (3.6) у рівнянні
(3.4) мають вигляд (г"”1) = 1 + 12,7589978 X г~!—22,8309089 ?;
Г (г-1) =—12,2426378 + 12,453225 г-1, а коефіцієнт К = + / =
= 0,210587.
На рис. 3.2 показано графік перехідного процесу під час зміни
керованої координати в замкненій системі при подачі на регулятор
ступінчастого збурення ДО = 0,5.
Метод синтезу ЦР, описаний вище, дає змогу проекту-
вати рекурентну процедуру закону керування без розв’я-
зування діофантового рівняння (3.7) в кожному періоді
квантування. В цьому полягає основна позитивна риса цьо-
го методу. Проте він потребує оцінки за РМНК вектора
параметрів (3.20) з кількістю членів + 2лгь +1, що
ускладнює його застосування для об’єктів високого по-
рядку. В обчислювальній процедурі цього методу також
не враховується динаміка задавального діяння О, тому ме-
тод не можна використовувати для проектування слідку-
ючих регуляторів.
Синтез слідкуючих адаптивних регуляторів з по-
трібним розміщенням полюсів і нулів замкненої систе-
ми керування. Вище розглянуто метод проектування ЦР
для немінімально-фазових і нестійких об’єктів керуван-
ня. При цьому в кожному такті квантування розв’язувати
131
діофантове рівняння не потрібно, але метод потребує збіль-
шення вдвічі кількості параметрів регулятора порівняно
з класичними методами.
Нижче описується метод проектування ЦР, який не має
цього недоліку, завдяки чому значно підвищується точ-
ність адаптивного настроювання регулятора. Основна ме-
та синтезу останнього полягає у формуванні закону ке-
рування, що забезпечує високу якість відслідкування ви-
хідною координатою у1 зміни задавального діяння Сі в
замкненому контурі, який містить немінімально-фазовий
та нестійкий об’єкт.
Розглянемо дискретну математичну модель ЗНЧ одно-
вимірного об’єкта керування типу АРКС з детермінова-
ними збуреннями, що описується рівнянням
А (?) У і = В (г) щ,
(3.27)
де у1 — відхилення керованої вихідної змінної від її ну-
льового значення, яке визначається в дискретні моменти
часу і, розділені періодом квантування То; щ — відхи-
лення керуючого діяння від його нульового значення при
пТ0 і < (п + 1) То. Поліноми А (г), В (?) відносно опе-
ратора прямого зсуву 2 визначаються виразами
А (2) — 2 + а,г2 + ... + аПа; (3 28)
В (г) = Ь02Пь + 1 + ... + Ьпь, па = пь + 1. (3.29)
З урахуванням (3.27) ЗНЧ об’єкта керування опису-
ється дискретною передаточною функцією
ІГП (г) - В (2)/А (г),
(3.30) ч
чисельник і знаменник якої можна розкласти на мно-
жники
А (2) = А+ (г) А_ (г); (3.31)
В (2) = В+(г)В_(г), (3.32)
де поліноми Л-|-(г), В±(2) мають корені а по-
ліноми Л_(г), В—(?)—корені | | < 1, які знаходяться
на полі круга одиничного радіуса.
Припустимо, що змінний сигнал задавального діяння
можна подати математичною моделлю, яка описується
рівнянням
О(г) =
р (г)
О(г)
Р(г)
О_ (г) О+ (?) ’
(3.33)
132
Рис. 3*3
де Р (г), Р (?) — поліноми відносно оператора прямого
зсуву г, а поліноми (г), (?) відповідно мають коре-
ні в межах < 1 та 2г 1.
Розглянемо замкнений контур цифрового керування
(рис. 3.3), де (?) — дискретна передаточна функція
ЦР. З рисунка випливає, що помилка керування визнача-
ється як
еі = Не (?) Сі,
(3.34)
де Не(?) — дискретна передаточна функція замкненої
системи в каналі задавальне діяння — помилка керуван-
ня, причому
Не 1 + (?) Гп (г) ’ (3.35)
З урахуванням (3.33) для відслідкування змінного
сигналу Сц з високим ступенем точності потрібні полюси
функції Не (г) слід розмістити в межах | 21 < 1. Для цього
її доцільно подати у вигляді
Не (?) =
№ (?) Г>+ (г)
Ції
(3.36)
де УХ7 (г) — невизначений многочлен, який необхідно ви-
значити, виходячи з потреб стабілізації роботи замкненої
системи; Ь(г) — поліном Гурвіца, який містить потрібні
полюси стійкості замкненої системи керування в межах
|г|< 1.
Назвемо дискретну передаточну функцію Не(2) функ-
цією чутливості помилки керування еі до зміни зада-
вального діяння Функція Не(?) називається внут-
рішньо стійкою, якщо замкнений контур керування (див.
рис. 3.3) буде асимптотично стійким для деяких реалізацій
передаточної функції регулятора (г), тобто в (3.35)
полюс (нуль) не скорочується при множенні виразів Ц7р(г)
і Ц7П (г) в межах | 2 | 1.
Сформулюємо без доведення таку лему.
ЛЕМА. Функція чутливості /7£(г)=#0 буде внутріш-
ньо стійкою тоді і тільки тоді, коли виконуються три
умови*
133
1) функцію Не(ї) можна записати в аналітичній
формі в межах [ г | 1;
2) кожний корінь полінома А (?) в межах | г |^> 1 буде
також коренем функції Не (г);
3) кожний корінь полінома В (?) в межах | г 1 бу-
де також коренем виразу [1 —Не (2)].
Якщо функція чутливості Не (?) відповідає потребі
внутрішньої стійкості системи, то з (3.35) можна знайти
дискретну передаточну функцію ЦР, а саме:
^р (2) =
1 - НЕ (г)
Гп (?) НЕ (г)
(3.37)
Розкладемо на множники поліном В+(г), який має
корені в межах | 1:
р
В+(г) = П(г-гг) 1, (3.38)
де р—кількість коренів полінома В(г) в межах | г|^ 1,
а ті—‘Степінь кореня 2г.
Відповідно до другої умови вищенаведеної леми можна
зробити висновок, що чисельник № (2) (?) функції
чутливості (3.36) повинен містити вираз (г), тобто цю
функцію можна записати у вигляді
Не (2) =
(3.39)
де 7? (?) — поліном, який визначається з урахуванням
третьої умови леми, а поліном Ь (?) визначає полюси стій-
кої замкненої системи.
На підставі (3.39) маємо
1_^(г) =
Ь (г) - /? (?) /Ц (г) ЕЦ (г)
(3.40)
Відповідно до третьої умови леми чисельник [Цг) —
-К(г)Д+(г)О+(г)] у (3.40) повинен містити поліном
В+(г), який має корені в межах |г|^1. Тому можна
записати рівняння
£ (г) — Я (г) (г) £>+ (г) = В+ (г) N (г) = Р (г). (3.41)
Якщо це рівняння прирівняти до нуля, тобто
Р (гг) = £ (гг) - Я (гг) А+ (г{) £>+ (гг) = 0, і = 1,2.....р
(З 42)
134
•ц
при коренях (нулях) 2і полінома В (?) в межах | | 1,
які характеризують немінімально-фазові властивості об’єк-
та керування, то з (3.42) при (?) = 0 можна визначити
невідомий поліном 7? (?), а саме:
який в загальній формі має вигляд
п (г) = 2Р + г^р-' + ... + гр_х2 4- Гр. (3.44)
З урахуванням (3.43) вираз (3.44) можна перетвори-
ти до такого вигляду:
р»
який при і = 1, 2,..., р
формі
доцільно записати у векторній
(3.45)
Розв’язуючи систему р рівнянь (3.45), можна визначити
невідомі коефіцієнти гь г2і ...» гр полінома 7? (г), при якому
функція чутливості (3.39) буде стабільною (стійкою).
Підставивши в (3.37) вирази (3.30), (3.39) і (3.40), ді-
станемо
ш 1 — НЕ(г) Л(г)[Ь(г)—В(г)А4_(г)О+(г)]
Гп (2) НЕ (?) “ В (?) /? (?) (?) О+ (2) •
З урахуванням (3.31), (3.32) та (3.41) остання рів-
ність набуває вигляду
А__ (?) N (?)
<г> = В_ (г) /? (?) Г>+ (г) ’
(3.46)
135
тобто закон керування ЦР визначається виразом
/1_ (г) N (г)
“ В_ (г) /? (г) о+ (г) Є
(3-47)
Таким чином, алгоритм синтезу ЦР для дискретної мо-
делі об’єкта керування з передаточною функцією (3.30)
зводиться ось до чого:
1. Розкладання чисельника та знаменника (3.30) на
множники (3.31), (3.32).
2. Зображення сигналу задавального діяння О(г) у
вигляді рівняння (3.33) і виділення поліномів ЕЦ-(г) з
коренями та О_ (г) з коренями |гг|< 1.
3. Розміщення потрібних полюсів функції чутливості
НЕ(2), які є коренями полінома Л(г) на полі круга-оди-
ничного радіуса, тобто знаходяться в межах |г£|< 1.
4. Складання та розв’язування системи рівнянь (3.45)
відносно параметрів г19 г2, ...,гр полінома 7? (г).
5. Визначення полінома N (?) з рівняння (3.41).
6. Формування закону керування ЦР у вигляді (3.47).
Степінь полінома Ь (?) має відповідати такій вимозі:
(іе§ {Ь (г)} > Ле§ {/? (г)} + <іе§ {Л+ (г)} + {О+ (г)}, (3.48)
що випливає з (3.39), оскільки функція чутливості Не (г)
повинна мати степінь знаменника не менший, ніж степінь
чисельника.
Приклад 3.2. Розглянемо процедуру проектування ЦР для немі-
німально-фазового та нестійкого об’єкта керування, дискретна модель
якого описується рівнянням
(2) =
г2—1,6г+ 0,48 ’
(3-49)
Сигнал задавального діяння в процесі роботи замкненої систе-
ми (див. рис. 3.3) ступінчасто змінюється. Виконаємо синтез регулято-
ра й промоделюємо перехідний процес під час зміни вихідної коорди-
нати у в замкненій системі при подачі на ЦР одиничного ступінчасто-
го збурення.
Рівняння (3.49) після розкладання на множники його знаменни-
ка має вигляд
V =
(г — 1,2) (г — 0,4) ’
Прирівнявши чисельник і складові знаменника цього рівняння,
знайдемо відповідно нуль (г = 1,3) га полюси = 1,2; г2 — 0,4)
моделі.
Таким чином, об’єкт керування належить до класу немінімально-
фазових і нестійких.
При ступінчастому збуренні задавального діяння його можна по-
дати математичною моделлю у вигляді рівняння (3.33), тобто
0 = г— 1 ’
в якому виділяємо поліном (з) = (з — 1) з полюсом г — 1.
Розмістимо полюси полінома Ь (з) функції чутливості НЕ (з)
на полі круга одиничного радіуса так: гг — — 0,2; з2 = 0,3; з3 =
= 0,5. Функція НЕ (з) на підставі (3.39) має вигляд
н , . _ «(*) Л+(*) (*) _ /? (?) (? - 1, 2) (? - 1) „5
Не (2) Пг) (гТ 0,2)(г’=Ь 0:3) '(^'0:5)' * ( * 0)
З урахуванням (3.44) та (3.50) можна зробити висновок, що неві-
домим поліномом (3.43) буде поліном Р (з) = з + гг. На підставі (3.41)
дістаємо рівняння
Р (з) = (з + 0,2) (з + 0,3) (з - 0,5) - (з + гЦ (з - 1,2) (з - 1) =
= (г+ 1,3)Л^(г).
(3.51)
Оскільки поліном (з) = з + 1,3 має один нуль з = — 1,3,
з урахуванням (3.45) можна записати
тобто
Ц- 1,3)
А+ (- 1,3) Г>+(- 1,3)
+ 1,3 = гІ9
1,3+ 0,2) (- 1,3+ 0,3) (— 1,3 — 0,5)
(- 1,3- 1,2) (- 1,3-1)
Користуючись рівнянням (3.51), при гг = 0,95565 визначаємо по-
ліном N (з) = 1,24435 (з—0,72746). Тоді закон керування ЦР у ви-
гляді (3.47) при Л— (з) = з — 0,4; В— (з) = 1; Р (з) = з + 0,95565 ви-
значиться виразом
(з — 0,4) - 1,24435 (з — 0,72746)
(з + 0,95565) (г—1)
на підставі якого можна записати рекурентну процедуру для визна-
чення керуючого діяння иі в кожному періоді квантування:
иі = 0,044435г//_1
+ 0,95565і7/_2
+ 1,24435е# — 1,4029548^_і +
+ 0,3620859е^_2.
На рис. 3.4 показано результати цифрового моделювання замкнено-
го контура цифрового керування розглядуваним об’єктом при ступін-
частому збуренні ДО = 1 задавального діяння, а на рис. 3.5 при сину-
соїдному Збуренні ДО = 8ІП со/.
Реалізація адаптивного ЦР. Внаслідок того що пара-
метри об’єкта керування згідно з (3.28), (3.29) змінюються,
поліноми А (з), В (?) слід оцінити для кожного такту дис-
137
Рис. 3.4
кретизації, а потім знайти параметри поліномів 7? (г), N (?)
з метою використання їх у законі керування ЦР (3.47).
В обчислювальній процедурі оцінювання параметрів
об’єкта керування можна застосувати РМНК. Для цього
в рівняння (3.27) потрібно ввести зворотний оператор зсу-
ву г—1, що досягається діленням виразів (3.28), (3.29) на
гПа. Тоді рівняння (3.27) матиме вигляд
А (г~') У і = -В (г-1) Щ-
Адаптивне керування об’єктом з потрібним розміщен-
ням полюсів і нулів замкненої системи можна реалізувати
за допомогою алгоритму, що зводиться до виконання та-
ких дій:
1. Реалізації обчислювальної процедури РМНК в кож-
ному періоді квантування шляхом векторно-матричного
138
розрахунку параметрів
^ХД^-Х/е,-,];
(3.52)
Р 4-
е( =
де 0 — оцінка вектора невідомих параметрів об’єкта ке-
рування
[ ^2> ••• > @па9
в використанням вектора вимірюваних координат
—ї' *** ’ Уі—па' иі—\> •
иі „
1—пь
при 0,9<р<1; Р — коваріаційна матриця вимірністю
(«а + «ь) X (па + ПЬ).
2. Факторизації оцінених поліномів
А (г) = А+ (г) Л_ (г); В (г) = В+ (г) В_ (г)
в підстановкою значень Л_(г), В_(г) у закон керування
(3.47).
3. Визначення коефіцієнтів полінома Р(г) за форму-
лою (3.43) з заміною Л+(г;) на Л+(гг) при і=
139
тобто
Я (гг) =
(3.53)
4. Визначення коефіцієнтів полінома N (г) на підставі
рівняння (3.42), тобто
В+ (г) А/ (г) = Ь (г) — К (?) Л+ (?) (г). (3.54)
5. Заміни поліномів 7? (г), N (г) у законі керування
(3.47) на поліноми, оцінені за формулами (3.53), (3.54).
Виконуючи п. 1 для наступного такту квантування
після п. 5 попереднього такту ітеративного процесу, до-
сягаємо того, що функція чутливості (3.39) прямуватиме
до значення, при якому дістанемо потрібне розміщення
140
полюсів і нулів; оскільки оцінені поліноми А (?), В (?)
відповідно наближатимуться до істинних значень поліно-
мів А (2), В (2).
141
тобто
4. Визначення коефіцієнтів полінома /У(г) на підставі
рівняння (3.42), тобто
В+ (г) N (г) = Ь (2) — К (2) (2) Щ (2). (3.54)
5. Заміни поліномів 7? (з), N (?) у законі керування
(3.47) на поліноми, оцінені за формулами (3.53), (3.54).
Виконуючи п. 1 для наступного такту квантування
після п. 5 попереднього такту ітеративного процесу, до-
сягаємо того, що функція чутливості (3.39) прямуватиме
до значення, при якому дістанемо потрібне розміщення
140
полюсів і нулів; оскільки оцінені поліноми А (з), В (з)
відповідно наближатимуться до істинних значень поліно-
мів А (2), В (г).
141
Рис. 3.8
Приклад 3.3. На персональній
ЕОМ «Искра-1030-11» виконаємо
цифрове моделювання адаптивної
системи керування, проектування
якої проведено в прикладі 3.2. Ви-
хідна координата об’єкта керуван-
ня з дискретною моделлю, що опи-
сується рівнянням (3.49), змінюєть-
ся за законом
Уі ~ аіУі—\ 4" а%Уі—2 4“ 4~
2,
де а± =1,6; а2 = — 0,48; Ь, = 1;
*2=1,3.
При цифровому моделюванні
врахуємо такі умови:
а) задавальна дія 6 регулято-
ра змінюється за ступінчастим за-
коном у межах (1, —1) через 10
тактів квантування;
б) початковими значеннями ко-
ординат об’єкта є г/поч=1; 6ПОЧ =
1 ’ ^ПОЧ 0*»
в) початковими значеннями па-
раметрів об’єкта при його моде-
люванні є а, = 1,4; а =
іпоч 2поч
= -0,4; /г = 0,9; & =1,2;
АПОЧ 2ПОЧ
г) параметр а± у процесі мо-
делювання змінюється за зако-
ном а±= 1,6 + 0,2зіп 2л/3000.
На підставі рекурентної проце-
дури для визначення керуючого ді-
яння в кожному періоді квантування, наведеної в прикладі 3.2, закон
керування ЦР матиме вигляд
—і 4- /2^/__$ 4" 4- —14- ^2^/—2»
Де /2, ^о» ^і, 1г2—параметри регулятора, знайдені за оціненими па-
раметрами ах, а2, Ь1ь Ь2 об’єкта керування. При рекурентному оціню-
ванні цих параметрів об’єкта за РМНК для кожного періоду кванту-
вання відповідно до (3.52) формуються вектор невідомих параметрів
0 — [#1, #2, ^1» ^2І
і вектор вимірюваних координат
Хі ~ У і—2’ иі— 1* иі—2І*
Обчислювальна процедура РМНК виконується згідно з (3.53),
де початкова коваріаційна матриця Рпоч = сііа^ {1000, 1000, 1000,
1000}, початковий вектор оцінюваних параметрів 0ПОЧ = [1,4; — 0,4;
0,9; 1,2]т, а початковий вектор вимірюваних координат Х^оч — [1;
1; 0;0].
142
На рис. 3.6 зображено графіки перехідних процесів під час змі-
ни координату, у в замкненій адаптивній системі цифрового керуван-
ня при ступінчастому збуренні задавального діяння
На рис. 3.7 показано графіки рекурентної оцінки параметрів
«2, ^2 об’єкта керування та параметрів /х, /2, Ло, Лх, й2 регулятора,
Штриховими лініями на рис. 3.7 позначено істинні параметри а19 а2,
Ь19 Ь2 моделі об’єкта й оптимальні параметри Ло, Н19 Н2 регулятора,
знайдені в прикладі 3.2.
На рис. 3.8 зображено графік зміни сліду 8рР коваріаційної мат-
риці в процесі рекурентного оцінювання параметрів об’єкта керуван-
ня.
3.2. Адаптивне керування одновимірними
немінімально-фазовими та нестійкими
об'єктами з запізнюванням
при стохастичних збуреннях
Розглянемо алгоритм реалізації адаптивного регулято-
ра, який дає змогу керувати немінімально-фазовими та
нестійкими об’єктами в умовах невідомого й змінного за
часом запізнювання.
Розглядувані об’єкти можна подати одновимірними
дискретними моделями з випадковими збуреннями типу
АРКСХ, які описуються рівнянням
Л(г ^)Уі = 2
'"В (г-’^ + С (£-*);, +б, (3.55)
де — відхилення керованої вихідної змінної об’єкта
від її математичного сподівання в дискретні моменти
часу, розділені періодом квантування щ— відхилен-
ня керуючого діяння від математичного сподівання при
/<(/! + І)^. Величина б/тіп =
Т'тіп
+ 1 харак-
теризує відоме мінімальне дискретне запізнювання в ка-
налі керуюче діяння — керована вихідна змінна, де
Ттіп — мінімальний час чистого запізнювання. Оператор
г—1 У (3.55) є оператором зворотного зсуву, збурення —
некорельованою послідовністю сигналів з нульовим ма-
тематичним сподіванням, а б — відхиленням вихідної змін-
ної, не пов’язаним з відхиленням керуючого діяння.
Поліноми А (г—1), В (г*1, С(г~1) визначаються так:
Л(г *) = 1 + акг ‘ + ... + аПаг Па; (3.56)
В (2-1) = Ьо + Ьіг-' + ... + Ьпь2-Гь', (3.57)
С(г~‘) = 1 + с12_1 + ... + сп г~Пс. (3.58)
с
143
Корені поліномів А (г—х), В (г—1), які є відповідно по-
люсами та нулями дискретної моделі об’єкта керування,
знаходяться поза кругом одиничного радіуса, чи на його
межі, тобто об’єкт буде нестійким і немінімально-фазовим.
Порядок полінома В (г-1) має відбивати інтервал змі-
ни запізнювання в об’єкті від мінімального до максималь-
ного, тобто
Пь ^гпах ^тіп>
щоб запізнювання керуючого діяння можна було б записа-
ти як г“"<</тіп+Дй), коли коефіцієнти полінома В(г~})9
кількість яких становить Де/, дорівнюватимуть нулю. При
такій постановці задачі поточна оцінка коефіцієнтів аь
Ьі рівняння (3.55) у реальному масштабі часу дає змогу під-
строїтись до параметрів об’єкта керування при сталому
або змінному запізнюванні.
Для реалізації оптимального ЦР необхідно виконати
синтез його оптимальної структури, що забезпечує мі-
німум квадратичного критерію оптимальності
У = Л! {[Р (;“') у<+гіпііи- (г-1) 6(]2 + Ь - и^},
(3.59)
де М — оператор математичного сподівання; Р(г~1),
— вагові поліноми відносно оператора зсуву гч;
0і — задавальне діяння регулятора; К — його коефіцієнт
підсилення.
Задача синтезу ЦР полягає в знаходженні такого за-
кону керування, відповідно до якого в кожному періоді
квантування формується керуюче діяння, що мінімізує
квадратичний критерій оптимальності (3.59) при діянні
випадкового збурення £*. Критерій (3.59) містить значен-
ня вихідної координати іп на йт\п тактів квантуван-
ня вперед. Для цього з використанням методики, викла-
деної в п. 2.6, слід розробити прогнозатор значення вихід-
ної координати » виходячи з діофантового рів-
няння
Р (г-,)С(2-1) = £(г-І)Л (г-1) + г"йтіпГ (г-1), (3.60)
де
£(г 1)-=е0 + е1г '+... +е 2 1гітіп (3.61)
“пнп 1
? (*"’) = /о + + ... + ]па-хг~^-х\ (3.62)
Тоді математична модель прогнозатора значення вихід-
ної координати у на б/тіп тактів квантування вперед опи-
144
суватиметься рівнянням
С(г-‘) Р (г-1) у’ = Е (г-1) В (2-’) щ +
+ Е(г-1)уі + Е(г-і)Ь,
(3.63)
де остання складова зображує стале зміщення вихідної
координати, тобто
£(г-1)6 = Е(\)8.
Оптимальна структура ЦР. Підставивши значення ви-
хідної координати ^тіп = ^+гііпіпІ/+ ^тіп У (3-59),
дістанемо
,1 = м {[Р (г~') у* . и + Р(г-')еІІ(І . _
<1. \ 7к/Н-атіпИ 4 7 г-тАпіп
+ (3.64)
де випадкова помилка . не корельована з
дискретними значеннями иі_і,уі_і,Сі_і для ї^>0. Тому
критерій (3.64) можна записати так:
/ = [Р (2-1) г/;+гітіпи- Е(г-‘) О,]2 + X («, - + о2,
(3.65)
оскільки математичне сподівання добутку
« {2 (Р (г-') 9;+Лиі„„ - К 6,] Р (г-0- 0
через відсутність кореляції сигналів. Складова о2 у (3.65)
визначається як
О2 = М{[Р(2-'КИт.гП
Диференціюючи (3.65) по керуючому діянню щ і при-
рівнюючи частинну похідну до нуля {дІ/ди[ — 0), знаходи-
мо передбачуване значення узагальненої функції якості
Ф/4-^іп на ^тіп тактів квантУвання вперед:
(3.66)
Після підстановки в (3.66) замість його зна-
чення з (3.63) матимемо
с ^тіпі/ = (г-1) В (г-1) + С (г-і) \ (1 - щ +
(3.67)
+ Р (г-1) Уг~С (г-і) /? С, + £ (1) б = 0.
145
Рис. 3.9
Звідси можна дістати таке структурне рівняння, що
описує закон керування ЦР:
- Р (2“’) у( + С (г-') В (г-1) - Е (1) &
щ =----------г—*---і--------і----1----і----. (3.68)
Е (г—) В (г-1) + С (г-1) (1 — з”1)
Визначивши з діофантового рівняння (3.60) поліном
/7(г“’1)= — /Цг-1) Л (г-1)] на підставі
математичної моделі (3.55) і закону керування (3.68), знай-
демо дискретну передаточну функцію замкненої системи
керування
„ . =_____________________________________0
ун^тіп Р (2-і) в (2-і) 4- (1 — г~‘) А (г— ) 1
[В(г~‘) Е (г-1) + С (г-1) (1 - г~*)] д — В (г~') у „ бд
виходячи з якої характеристичне рівняння системи мати-
ме вигляд
Р (г-1) В (г-1) + М1 ~ (г-1) = 0. (3.70)
Функціональну схему замкненого контура цифрового
керування показано на рис. 3.9, де
О (?“') = Е (2-1) В (2-1) + С (г-1) М1 — г-1); (3.71)
Н(г-') = -С(г-')К(г-1у, у^£(1)6. (3.72)
В алгоритмах роботи адаптивних регуляторів, як за-
значено в п. 2.6, поліноми Р (з-"1) і К (з-1) часто дорівню-
ють одиниці. Коефіцієнт підсилення може вибиратись у
146
межах 0<Хі<: оо. При Лх-> оо полюси системи (3.70) пря-
муватимуть до полюсів моделі (3.55). У цьому випадку,
якщо система в розімкненому стані буде стійкою, вона за-
лишиться стійкою й у замкненому стані. Якщо Лг-> 0, то
полюси системи (3.70) при Р (г—1) = 1 прямуватимуть до
нулів полінома В (г—х) у моделі (3.55). Тому, якщо об’єкт
керування буде немінімально-фазовим, то замкнена си-
стема при 0 буде нестійкою. Якщо ж об єкт буде не-
стійким і немінімально-фазовим, то значення коефіцієнта
яке стабілізує цю систему, може знаходитись у дуже
вузькій області чи зовсім не існуватиме. Якщо при цьому
поліноми А (г-1), В (г”1) і запізнювання сі в (3.55) будуть
змінюватись, то замкнена система керування буде нестій-
кою. Для того щоб забезпечити за таких умов стійкість
систем з немінімально-фазовими та нестійкими об’єкта-
ми, слід скористатися методом автоматичного розміщен-
ня полюсів замкненої системи.
Узагальнений метод розміщення полюсів цифрової
системи керування. Основна ідея цього методу полягає
у виборі полінома Р(2—1)і коефіцієнта підсилення ^та-
ким чином, щоб полюси замкненої системи, тобто коре-
ні характеристичного рівняння (3.70), мали бажані зна-
чення. Для цього складаємо діофантове рівняння
Лм(2-1)= Л(г-І)В(г~') +Лг(1 —г~')Л (2-1), (3.73)
де Лм(г"’) — заданий характеристичний поліном замкне-
ного контура керування відносно оператора г—1, причому
корені цього полінома є бажаними значеннями полюсів,
які знаходяться всередині круга одиничного радіуса.
Для того щоб рівняння (3.73) мало розв’язок, порядки
поліномів Р, вибираємо так:
а) якщо пь = 0, то пр = па + 1, пА па + 1 при
м
б) ЯКЩО пь > 0, ТО пь + Пр = па + 1, ПА^ < 4- 1.
У загальному випадку в характеристичному рівнян-
ні (3.73) вираз ХД1 — г—1) зображується у вигляді полі-
нома С(г“’) при виконанні додаткової умови ф (1) = 0.
Тоді це рівняння можна записати у вигляді
лм (г-1) = Р (?“') В (?“’) + о (г-1) А (г-1). (3.74)
При цьому порядки поліномів Р, (}, Лм рекомендується
вибирати, виходячи з таких умов:
пр = па—1; = пА <па + пь—1. (3.75)
147
Якщо задавальне діяння Оі — 0, то в (3.69) не потрібно
відслідковувати значення Оі і регулятор реагуватиме тіль-
ки на випадкові збурення. В цьому випадку функція (3.69)
матиме вигляд
і
Уі =
і
(3.76)
Якщо взяти до уваги рівність Хх(1 — з-1) = СЦз-1) і в
рівняння (3.67) увести позначення
О (г-1) = Е (г-1) В (г-1) + С (г-1) 0 (г-1); (3.77)
Н (г-1) = — С(г-1) (г“’), (3.78)
то в загальній формі при С(з“1) = 1 воно матиме вигляд
Ч^т1п і< = ° (2“'> + р <г“') У і + н <2-1) + б' = °>
(3.79)
звідки за аналогією з (3.68) можна визначити керуюче діян-
ня щ ЦР в кожному періоді квантування.
Поліноми О (з-1), Р (з-1), Н (г1) і зсув 6' визнача-
ються за рекурентною процедурою МНК [див. (2.120)].
При цьому узагальнену функцію якості на підставі
(3.66) можна обчислити за формулою
^ = Р(г ')у{ — К(г
+ ^ (г~')и^тіп, (3.80)
урахувавши оператор зворотного зсуву г атіп і вираз
^"НтіпИ ^4"^тіп *Ч“^тіп
Оскільки при зміні динамічних параметрів об’єкта
Ідив. (3.56)—(3.58)] поліноми О (з-1), Р //(з-1) оці-
нюються за рекурентною МНК, поліноми А (з-"1), В (з-1)
залишаються невідомими. Тому з характеристичного рів-
няння (3.74) значення поліномів Р(з”1) і 0 (з-1) безпосе-
редньо визначити неможливо. Домноживши обидві час-
тини цього рівняння на поліном £(з~1), дістанемо
Е (г-1) А м (г-1) = Р (?-’) В (г"1) Е (г~') +
4- (2 (г"1) А (г-1) Е
(3.81)
148
З діофантового рівняння (3.60) знаходимо
Е (2_|) А (г~') = Р(г~і)С(г~')—2~атіпР (г-1),
після чого рівняння (3.81) набуває вигляду
Е(г~1)Аи (г-1) = Р(г~')В (г"1) Е (г~*) +
4- (2 (г-1) Р (г-1) С (2-1) - 2“гітіп<? (г-1) Е (2“’) =
= Р (2-1) [£ (2-1) В (2-1) + С (2-1) (2 (2“’)] -
— г-йтіп(2 (2-1)£(2-1).
Далі, скориставшись (3.77), останнє рівняння запишемо
у вигляді
Е (2-1) Дм (2-1) = Р (2-1) О (2-') - 2-^*0 (2-1) Е (2“‘).
(3.82)
Для адаптивного регулятора коефіцієнти поліномів
Р (г~})у О (з”1), Н (з”1) оцінюються за рекурентною про-
цедурою (2.118)—(2.120). Задача полягає в розміщенні
полюсів характеристичного полінома (3.74), до складу
якого входять поліноми Р (з-1), <2 (з—1). Для визначення
їх використаємо рівняння (3.82). Зазначимо, що поліном
Е (з~_1) також невідомий.
На підставі (3.60)—(3.62) маємо
^оРо — ^о^о»
(3.83)
але, взявши до уваги (3.56) і (3.58), можна записати с0 =
= а0 = 1. Тому з (3.83) дістанемо р0 = е0, а з урахуван-
ням (3.82) матимемо
(3.84)
Оскільки р0 = е0, рівність (3.84) набуде вигляду аМо = £о-
Коефіцієнт £0 полінома Щз-1) оцінюється в складі
(3.79) за РМНК незалежно від коефіцієта аМо. Тому рів-
ність аМо = £0 при рекурентному оцінюванні коефіцієнтів
поліномів у загальному випадку не виконується. Щоб поз-
бутися цього ускладнення, введемо сталий множник р в
ліву частину рівняння (3.82):
ц£ (2“’) Д, (г~1) = Р (г-1) О (2-1) — 2-^(2 (2~') Е (2-1).
(3.85)
Отже, після оцінювання коефіцієнта за РМНК
коефіцієнт ц можна знайти зі співвідношення
— В«м0.
(3.86)
149
При цьому в (3.85) замість полінома Р(г ’) буде тіль-
ки коефіцієнт р0. Якщо в характеристичному поліномі
Лм(2~1) перший член аМо = 1, то на підставі (3.86) діс-
танемо р = £0. Сформулюємо алгоритм роботи адаптив-
ного регулятора з розміщенням полюсів замкненої систе-
ми керування в кожному періоді квантування:
1. Формування узагальненої функції якості (3.80).
2. Оцінка коефіцієнтів поліномів О (з”1), Р Н (г”1)
і зсуву б' в (3.79) за обчислювальною процедурою РМНК
(2.120).
3. Визначення керуючого діяння щ з (3.79) при оці-
нених поліномах £), Р, Н і зсуві б' на підставі рівняння
Ь (г-1) Щ + Е (г—*) Уі + Н (г~’) 6, + = 0.
4. Визначення поліномів Р(г~С(г~1) з (3.85) при
р = £0, тобто з діофантового рівняння
(г-1) Л, (г-1) = Р(г~') 6 (г-1)- (г~1)Е (г"1).
(3.87)
5. Повторення обчислювальної процедури, починаючи
з п. 1, для наступного такту квантування.
Під час виконання обчислювальної процедури потріб-
но мати на увазі те, що при оцінці поліномів Р (г-1),
Л(2-1), Н (г-1), які входять до складу рівняння
(3.79), на результат оцінки впливають поліноми Р(г—1),
0 (2-1) узагальненої функції якості (3.80). Для усунення
цього ускладнення перетворимо (3.79) до вигляду
^ = 0(2 ’)«/-<гтіп + Г(2 1)У<_(/п)іп+Я(г-1)С/_<,Іпіп+6,+^.
(3.88)
Визначивши поліноми О (г-1), Н (г~х) з рівнянь (3.77),
(3.78) і підставивши їх у (3.88), дістанемо
= в (2~') Е <г~‘) + р (г-1) Уі-^ +
+ С(2->/_гітіп + 6'+ еи (3.89)
де
= О (є-1) и. , — 7? (г-1) .
*• итіп ' / і—атіп 4 ' “тіп
Рівняння (3.89) можна використовувати для оцінки
поліномів [В (з х)Е(г ’)], Р (г !), і при цьому всі
вони не залежатимуть від полінома
150
Зауваження. При визначенні
поліномів ^(г-"1), <2 (г-1) рівняння
(3.87) залежно від запізнювання
^тіп * порядку пс полінома
С (г-1), який входить у (3.77),
формується система рівнянь після
прирівнювання членів з однакови-
ми степенями в операторі зворот-
ного зсуву г~ 1. При цьому необ-
хідно враховувати порядки полі-
номів Е (г~!) і О (г—1). З (3.60),
(3.77) випливає, що
= шах [(п — 1), (п + п — &)];
по = тах [(П6 + к — 1), («3+ л,)].
Оскільки на підставі (3.75)
Пр = — 1 і г^-п^ — 1, замі-
нивши пр та у виразах і
матимемо
Рис. 3.10
Пр = тах [(па — 1). (па — 1 + пс — /?)];
(З 90)
«о = тах [(пь + к — 1), (л& + «с — 1)].
Рівняння (3.87) містить (пр + + к) невідомих при визначен-
ні поліномів Р (г~’), (2 (г-1); при цьому можна сформувати (по-\-пр)
рівнянь. З (3.75), (3.90) випливає, що при ^тіп пс кількість рів-
нянь дорівнюватиме числу невідомих, а при к < пс буде більшою
від цього числа. На практиці можна припустити, що пс б/тіп;
тоді кількість рівнянь не перевищить потрібної. Система лінійних
рівнянь, яка формується на основі (3.87) для визначення поліно-
мів Р (г”*1) і <2 (г—1), розв’язується за методом Гаусса.
Приклад 3.4. Розглянемо дискретну математичну модель немі-
німально-фазового об’єкта керування, що описується рівнянням
(3.55), де А (г—') = (1 — г-1); В (г~‘) = 1 + 1,5г-2; С (г-1) = 1 —
— 0,2г—, гіт1п = 2. Виконаємо синтез ЦР для стабілізації роботи
цього об’єкта при заданому розміщенні полюсів замкненого конту
ра керування, коли .4М (г~!) = 1—0,5г—
Завдяки тому що поліноми А (г""1), В (г-1) віцомо, для визна-
чення вагових поліномів Р (г--1), <2 (з-1) використаємо характерис-
тичне рівняння замкненого контура (3.74). Поклавши Р (г“1)=р0=1
знайдемо 0 (г~*) = д0 = 2.
Для синтезу ЦР розглянемо діофантове рівняння (3 60) при
1:
(1 - 0,2г-1) = (е0 + еіг-1) (1 - г-1) + г-2Г (г-1),
151
звідки
Г (2-1) =
(1 —0,2г 1)—(ер+ехг ’)(!—г ’)
Вибираємо вираз (е0Аеі^ *) так, щоб у останньому вираз,
скоротився знаменник г—2. Тоді матимемо е0=1, еГ = 0,8, а .
Р (г-1) = 0,8.
Обчислюємо поліноми О (г— ), Н (г~1) рівняння (3.79) з ураху»
ванням (3.77), (3.78) при /? (г— ') — Р (г—*) = 1:
О (г-1) = (1 + 0,8г-1) (1 + 1,5г-1) + (1 — 0,2г-1) • 2 =
= 3 + 1,9г-1 + 1,2г-2; Н (г-1) = — 1 + 0,2г-1.
Підставивши вирази Р (г~*), О (г— *), Н (г~') в (3.79) при б'=0,
дістанемо рівняння, що описує дію. ЦР, а саме:
«і = ~ -у (1.9и/—і + 1.20^2 + 0,8р( - + 0,20Ґ_]).
На рис. 3.10 зображено графіки перехідних процесів під час змі-
ни керованої координати уі та керуючого діяння и^, в замкненій систе-
мі керування при подачі на вхід задавального діяння ЦР ступінчас-
того збурення ДО = 1.
3.3. Адаптивне керування багатовимірними
немінімально-фазовими об'єктами
Синтез адаптивних регуляторів на основі розміщен-
ня полюсів для стійких багатовимірних немінімально-
фазових об’єктів керування при детермінованих збурен-
нях. Розглянемо клас багатовимірних об’єктів р-кано-
нічної структури, матрична поліномна дискретна модель
типу АРКС яких при детермінованих збуреннях описує-
ться рівнянням
А(г ')Уі = В(г
(3.91)
де Уі — вектор відхилень керованих вихідних змінних
вимірністю (тх 1), які відлічуються в дискретні момен-
ти часу І = пТ0; Щ—вектор відхилень дискретних ке-
руючих діянь вимірністю (тх 1); А (г-1), В (г--1) — матрич-
ні поліноми відносно оператора зворотного зсуву х~~х ви-
мірністю (тхт), причому
А(г ’) = 1 + А^-'а- - + АПаг п“;
В (г—1) = Віг~' + В2г~2 + ... + Впьг~пь.
(3.92)
(3.93)
152
Закон керування багатовимірного ЦР в загальному
вигляді можна записати так:
Р(г-1)и1^(г~1)[аі-уі], (3.94)
де 6І — у і = ег — вектор помилок непогодження системи
керування, що визначаються в дискретні моменти часу і =
= пТ0, а — вектор задавальних діянь ЦР вимірністю
(т х 1).
Матричні поліноми Р (г“!), 0(г~1) вимірністю (тхт),
параметри яких потрібно визначити, мають вигляд
Р (?-') = р0 + ~Рі2~1 + ... + р~2~^ (3.95)
З (?"') = Зо + Зі*-' + ... + &г~\ (3.96)
Керуючі діяння Щ. в (3.94) визначаються виразом
иг = {Р (г^Г'З (*“’) еь
(3.97)
де Р (г”1)—невироджена матриця.
На підставі (3.91), (3.94) рівняння замкненої системи
цифрового керування має вигляд
у(= [Д (г-1) + В (г—') р-' (г-1) $ (г"1)]^
х в (г—*) р~* (г—*) з (г~*) о(.
(3.98)
Якщо це рівняння записати в загальному вигляді, а
саме:
Дм (г-1) у і - Вм (г—’) 6{, (3.99)
де Дм(г“1), Вм(г-1) — (тхт)-вимірні матричні поліноми,
то передаточну матрицю замкненого контура керування
можна подати так:
Н(г *) = Лм 1 (г ')Ва(г~'). (3.100)
При цьому корені матричних поліномів Дм(г—’),
Вм(г-') стають відповідно полюсами та нулями замкне-
ної системи цифрового керування. Без утрати узагаль-
нення викладок матричні поліноми А„(г~}), Ви (г-1) мож-
на нормалізувати так, що
ДМ(1) = ВМ(1) = /.
(3.101)
153
Тоді в усталеному режимі канал «вектор за даваль-
них діянь—вектор керованих вихідних змінних» матиме
одиничний коефіцієнт передачі.
Виберемо матричний поліном в (3.94) у вигля-
ді _
(г-1) = Вм (г-1) А (г—1). (3.102)
Корені цього полінома містять нулі замкненого конту-
ра керування, що визначаються з рівняння Вм (з-1) = 0
і задаються проектувальником регулятора. Підставивши
(3.102) в (3.98), дістанемо рівняння замкненої системи ке-
рування
Уі = [Д (г-1) +В(г~') Р~' (г-1) Вм (г"') А (г-')Г’х
X В (г"’) Р~' (г—І) Вм (г“') А (г"1) 6{, (3.103)
яке після елементарних матричних перетворень матиме
вигляд
У і = А~' (г-') В (г—І) [Р (г—1) +ВМ (г”1) В (г"1)]-’ х
хВ„(г-') А(г~')6{.
(3.104)
Для забезпечення потрібного розміщення полюсів скла-
дову частину (3.104) в прямих дужках запишемо у вигля-
ді ______
Р(г-1) + Вм (г-1) В (2“') = Дм(2-*) К, (3.105)
де К — стала матриця вимірністю (т X т), яка вибира-
ється так, щоб усталена помилка дорівнювала нулю при
сталому векторі задавальних діянь
Якщо (3.105) підставити в рівняння (3.104), то воно для
усталеного режиму роботи об’єкта керування набуде ви-
гляду __ ______
у = А~' (1)В(1) [Дм(1)ЮГ’Вм(1) А(1) 0. (3.106)
Аналіз цього рівняння з урахуванням (3.101) показує,
що в усталеному режимі помилка керування е==0—у
дорівнюватиме нулю, якщо
К=В(1).
(3.107)
Підставивши (3.107) у (3.105), дістанемо матричний
поліном регулятора
Р(г-1) = [ДМ(2-1)В(1) —Вм(г-1) В(2-1)], (3.108)
154
з урахуванням якого рівняння (3.104) для замкненого
контура керування матиме вигляд
Уі = А~' (г-1) В (г—*) В~' (1) 47і (г~1) Ва (г~') А (г"1) О(.
(3.109)
Якщо з (3.91) знайти вектор керування щ і в його
вираз замість уі підставити (3.109), то цей вектор виз-
начиться як
щ = В-1 (1) Л71 (г-’) Вм (г-1) А (г~’) О(. (3.110)
На основі аналізу рівняння (3.109) можна зробити
висновок, що нулі замкненої системи керування визна-
чаються коренями визначників іЩг^1)! і | Вм (г""1) |, тоді
як її полюси залежать тільки від коренів визначника
|'4м(г~1)|. Оскільки нулі визначника |В(г—1)| передаточ-
ної функції об’єкта не знешкоджуються, то наведений ме-
тод синтезу можна застосувати для немінімально-фазових
об’єктів керування.
З урахуванням (3.101) матричний поліном (3.108) ре-
гулятора в усталеному етапі дорівнюватиме нулю, тобто
ЦР має вмонтований інтегратор, що, природно, випливає
з потреби нульового непогодження вихідного сигналу у і
задавального діяння О в усталеному стані.
Таким чином, рівняння (3.94) з урахуванням (3.102),
(3.108) матиме вигляд
[Ам (г-1) В (1) — Вм (г-1) В (г-1)] и{ = Вм (г-1) А (г-1)
(3.111)
Розглянемо порядок вибору матричних поліномів
Лм(2-!) і Вм(г-1), які визначають розміщення полюсів і
нулів замкненої системи керування при застосуванні ЦР
деяких класів.
Нехай спочатку
Вм (г *) = /, (г !) — (/ +
+ ... + Амгг г)х
х(/ + ЛМ1 -4-... -ф ЛМг)
Тоді рівняння (3.111) набуває вигляду
[(/ + Ам,г-1 + ... + АМгг~г) (І + Ам, + ... + АМг)-ІВ (1) -
— В (г~ *)] щ = А (г-1) еи
155
звідки можна дістати такий закон керування ЦР:
Щ — В (1)(/ + + ••• + ^мг)[—1 4- ...
... + АМгг Г)(/ + Лм, + .. +ЛМг)-’в(1) +
+ В (г ’)] щ 4- А (г ') е{,
(3.112)
що призводить до появи коливальних перехідних проце-
сів, які в основному визначаються розміщенням полюсів
визначника | Лм (з-1)).
Другий варіант синтезу ЦР можна реалізувати, ви-
бравши такі матриці передаточної функції замкненої си-
стеми керування:
Дм (2-1) = 7; Вм (г-1) = (/ + Вм,)-’ (7 +В„,г“’).
Тоді рівняння (3.111) має вигляд
[В(1)_ (Г+ ВМ1)-‘ (7 +Ви,г-’) В(2-’)]йг =
= (74 Вм,)"1 (7 + Вм,г“’) А (г-’) Єі. (3.113)
Після елементарних перетворень (3.113) закон керу-
вання ЦР можна записати у вигляді
Щ = В-’ (1) [(7 + Вм,)-’ (7 + Вм,г-') В (г-1) йі +
+ (7 + Вм,) (7 Вм,г ') А (г *)
(3.114)
Приклад 3.5. Розглянемо дискретну математичну модель двови-
мірного немінімально-фазового об’єкта керування, що описується
матричним рівнянням
(1 — 1,4г-1 + 0,48г-2) (— 0,2г-1 + 0,1г-2) 1 Уі{
— 0,1г-1 (1—0,9г-’+ 0,2г-2)] |_4
(3.115)
Виконаємо синтез ЦР для стабілізації роботи цього об’єкта при
заданому розміщенні полюсів і нулів замкненої системи керування
відповідно до другого варіанту:
вм (г-1) = (7 + Вм,)-1 (7 + В„г~’) =
156
0,5 0 1“Ч(1— 0,5г"1
0 0,5 о
О
(З 116)
Здійснимо також цифрове моделювання системи.
На підставі (3.115) запишемо рекурентну процедуру для цифрового
моделювання динаміки об’єкта:
У\і = ’ 1 ~ 2 + °’2у^-1 ~ їу2і-2 +
+ «1<_і+1>5аі/_2 + «2/_2;
(3.117)
= °’ 1у1^і + - °.2^_2 + «2ґ_2 .
а потім з урахуванням (3.115) і (3.116) —таку саму процедуру для
реалізації ЦР:
+ °’8иІ!_2 ~ + °>8е1/ — 1 ’44%-і
0,904е^_2 — 0,192?^^ — 0,8е2/
+ 0,96е, —0,36е2 Ч-0,04е, ;
2і—1 4—2 2і—3
(3.118)
= 2и9, —и9 —0,2е< -РОЛе, 4- 2е„—2,8е9 ~р
2/ 2/_2 2/_3 ! і » Ч—2 ‘ -і—1 ‘
+ >,3е2 2 “ °’2Є2/ З
Цифрове моделювання замкненої системи керування здійснимо за
таким алгоритмом:
1. Виходячи з (3.117), визначимо відхилення
змінних ух , у2 в п-му періоді квантування.
і і
керованих вихідних
2. Обчислимо помилки непогодження
еЧ - °1/ — % -
— а2{ У?(-
3. Виходячи з (3.118), знайдемо відхилення керуючих діянь
«1Г«2Г
4. Починаючи з п. 1, перейдемо до наступного (п + 1)-го періоду
квантування.
Початковими умовами для цифрового моделювання системи є:
у, =0; у9 =0; О, =0; 69 = 0; щ —
^ОЧ 4ІОЧ ШОЧ 4104 *поч
и9 = 0.
^поч
Графіки перехідних процесів у замкненій системі керування при
ступінчастому збуренні задавального діяння = 0,5 показано на
рис. 3.11.
Оскільки динаміка об’єкта керування змінюється, на
практиці матричні поліноми Л(г“’) і які входять
до складу рівняння (3.91), точно невідомі. Тому доводить-
ся використовувати оцінки їх, переходячи до рівняння
(3.111). При цьому слід мати на увазі, що ЦР функціонує
157
Рис. 3.11
як інтегратор, який забезпечує нульові відхилення векто-
ра вихідних керованих, змінних при сталих збуреннях,
а незсунені оцінки його параметрів можна дістати за до-
помогою РМНК.
Для виконання обчислювальної процедури РМНК рів-
няння (3.91) запишемо так:
158
°1Р а(1) “ ті Уі а1і—1
а<’> т2 УЬ-х
• • • • • " " • • •
• • • • •
• • • • •
ут. _^ті_ _ \т а<'> 2т тт _Ут(_х_
-а<па)
и11
а\"а>
12
21
,<па>
'ті
а(Па)
22
№
ггй
Н.
'‘-па
—па
а'"*’
1т
А(1)
021
а?а’
2т
а(Па)
тт
Ь(1) “
Оті
Ут‘-па_
и
№
%-1
ь(,)
02т
ьт ’
итт_
Мщ}__]
тт
Ц,\,
Ч~пЬ
£і—пЬ
(3.119)
Алгоритм адаптивної ідентифікації параметрів об’єкта
керування за РМНК в кожному періоді квантування зво-
диться до виконання таких дій:
І. Формування вектора вимірюваних координат об’єк-
та
ХІ-І = — > Уті_}> — ’ У\і^Па' — ’ У<п(_п>
и\, ••• >Цпгі-Г •" •" ’^-Л' (3.120)
І 1 І—Гіф Ь Гіф
2. Формування векторів-сіовпців параметрів об’єкта
в /-му каналі при / = 1,2, тобто
= [а(і/), ..., аО>,..., а$а\ а<”а>,..., а^, ...
...,^................ ^»]т. (3.121)
159
3. Виконання обчислювальної процедури РМНК для
почергового оцінювання вектора параметрів тобто
' *>
К = К-і + - ^-1^-,]; (3.122)
Рц ~ “р" і + |3] X
хВД,,}, (3.123)
де Р — коваріаційна матриця, діагональні елементи якої
пропорційні дисперсіям помилок при оцінці вектора па-
раметрів Оу, [3 — коефіцієнт експоненціального забування,
що визначає чутливість алгоритму до зміни параметрів
об’єкта (0,9 < (3 < 0,99).
4. Формування оцінених матричних поліномів Д(г-!)
і В[г~х) відповідно до (3.92) та (3.93), де матриці
2(0
«н
а™
_ \гп
ті
тт
160
складаються з елементів векторів 07, оцінених за реку-
рентною процедурою (3.122), (3.123).
Синтез автономних багатовимірних адаптивних си-
стем стабілізації з призначенням полюсів для неміні-
мально- фазових об’єктів керування при дії випадко-
вих збурень. Розглянемо проблему, пов'язану з проек-
туванням багатовимірних адаптивних регуляторів з при-
значенням полюсів для замкненої системи, що містить не-
мінімально-фазовий об’єкт з більш ніж однією вхідною та
вихідною змінними при дії випадкових збурень.
Припустимо, що об’єкт керування можна адекватно
подати дискретною математичною моделлю типу АРКСХ,
яка описується рівнянням
[І -У А(г )]у( = В(г ) и
+ [/ + С (г"1)] Ц
9
(3.124)
де Уі — вектор керованих змінних вимірністю (т X 1),
які спостерігаються в дискретні моменти часу і = пТ0\
Щ — вектор дискретних керуючих діянь вимірністю
(т X 1); £ і— вектор збурень вимірністю (т X 1) у ви-
гляді випадкової послідовності їх з нульовим математич-
ним сподіванням; Т— біа£{1, ..., 1} — одинична матри-
ця вимірністю (т X т).
У моделі АРКСХ координати иі9 характеризують
відхилення від нульових значень їх, а запізнювання за
вектором керуючих діянь ураховано в дискретній формі
введенням оператора зворотного зсуву ле сі = [т/7'0|.
Матричні поліноми А (г-1), В (г-1), С(г“’) відносно цього
оператора визначаються виразами
А (г~') = А^-' + А2г~? + ... + А„аг~Па; (3.125)
В (г-1) = Вгг~' + В2г~2 + ... + Вп,г~пь- (3.126)
С(г-1) = 4- С2г^2+ ... + С, г~\ (3.127)
де А1г ...,А„а; Ві,... ,Впь; С,,..., Сп< — матриці коефіці-
єнтів вимірністю (т X т).
Для проектування ЦР закон його керування в загаль-
ному вигляді запишемо так:
Щ = О(г-1)[/ + ^(г-,)Г,уг,
(3.128)
6 — 4-940
161
де
Р(г ) — О0 + 0^2 + ... + Орг
Р(г~]) = Рхг~' + Р.2-2 + ... + Р^.
Матриці коефіцієнтів £^(4 = 0, 1, ..., р), Р, (і — 1,
2, ..., /) мають вимірність (т X ги). При підстановці (3.128)
в (3.124) замкнений контур керування в каналі «вектор
збурень — вектор керованих змінних» опишеться дис-
кретною передаточною функцією
(3.129)
(Г’) = [7 4- р (г-1)] {[7 + А (г-’1)] [Г + р (г“’)1 -
— В (г^1) г~а ї) (г^1)}*"1 [7 + С (г“’)]. (3.1 ЗО)
Уведемо в (3.130) таке позначення:
(3.131)
Використаємо також характеристичний матричний по-
ліном [І + Лм(г“1)1, корені якого знаходяться на полі
круга одиничного радіуса й вибираються проектуваль-
ником. Якщо тепер вибрати коефіцієнти матричних по-
ліномів Р (г-"1), £>(г'”‘1) так, щоб виконувалась рівність
[/ + /?(г-1)] = І/ Ч-ССг"1)] [/ + Лм (г—’)], (3.132)
то функцію (3.130) можна перетворити до такої форми:
Щ (г-1) =ІІ + Р (г-1)] [7 + Лм (г-1)]-1. (3.133)
Для забезпечення рівностей (3.131), (3.132)
— 1
матричного полінома 4м(г“) має бути таким:
порядок
(3.134)
Пат =Па + Пь + СІ—\—Пс.
Визначення невідомих коефіцієнтів матричних полі-
номів 0(2“ ) і Т7^-1), які входять до складу рівняння
(3.128), потребує розв'язання системи сумісних лінійних
рівнянь (3.131) і (3.132), кількість яких дорівнюватиме
(па + пь + — 1) т- Якщо розкрити (3.131), то в роз-
ширеному матричному вигляді дістанемо систему суміс-
них рівнянь
162
Для розв’язання цієї системи _рівнянь відносно мат-
риць коефіцієнтів О0, ... , Ор, Рі, Р2,... , р(, кількість
яких становитиме (по 4- пь 4- <і—1)/и, необхідно в неї
замість матриць ..........підставити значення їх,
які на підставі (3.132) визначаються виразом
6*
163
К (г~*) - С (?“’) 4- А„ (?“’) + С(г“’) Ам (Г1) =
= ^г"1 + Я2г~2 + ... + КПгг~п', (3.136)
де пг = па + пь + 1.
Для існування розв’язку системи рівнянь (3.135) необ-
хідно, щоб матриця в її лівій частині була невиродженою.
Закон керування ЦР (3.128) можна реалізувати, ско-
риставшись формулою для обернення матричного поліно-
ма
де [І + Р (г ’)}— приєднаний матричний поліном, який
визначається так:
1/ + А'<г-'>іпг,-{[(+
Тоді рівняння (3.128) матиме вигляд
{деі [І + Р (г-1)] Ш{} = О(г-'){[/ + Р (г~1)]доп}т Уі,
(3.137)
звідки можна знайти поточне значення керуючого діян-
ня щ.
Приклад 3.6. Розглянемо двовимірний немінімально-фазовий об’-
єкт керування з дискретною математичною моделлю типу АРКСХ, яка
описується рівнянням
Виконаємо синтез двовимірного ЦР, виходячи з попереднього ви-
бору полюсів замкненої системи керування, що визначаються кореня-
ми характеристичного матричного полінома
де
тобто в першому каналі керування полюсами системи є г{1>=0,7;
= 0,1, а в другому — г{2) = 0,3; г£2) =0,1,
(3.139)
164
Для реалізації закону керування ЦР (3.137) необхідно визначити
матричні поліноми Р (г—г), і) і?—1). З цією метою сформуємо розширену
систему рівнянь (3.135) стосовно розглядуваної моделі об’єкта керуван-
ня, а саме:
Матриці /?2, /?3 знаходимо на підставі рівняння (3.136),
яке має вигляд
+ К2г~2 + 7?3г-3 = (С, + ДМі) г—1 + (Ащ + С^) г-2+
звідки
о
= (С. + ДМ1) =
— 1,3
.0,1
^2 —- (Ллг + —
0,47
— 0,08
0
— 0,015
/?3 — СХЛМ2 —
’— 0,035
0,007
0
—0,009
Розв’язавши систему взаємозв’язаних
матричні поліноми [/ + Р (г"”1)],
рівняння (3.128):
рівнянь (3.140), дістанемо
які входять до складу
І + Р (г-1) =
"(1 + 0,0858г-1)
0,2 з-1
0,16656г-1
(1 + 0,2г-1)
Р> (г-1) =
'(—0,0142 + 0,042г-1)
.(—0,14158 +0,033г-1)
(— 0,03344 + 0,0339г-1)
(—0,195656 + 0,049г-1)
Після обернення матричного полінома [7 + Р (г )] матимемо
[7 + Р (г~’)Г'
(1 +0,2г-1)
— 0,2г-1
— 0,16656г-1
(1 + 0,0858г-1)
165
Тоді закон керування ЦР можна записати у вигляді
иі( Г— 0,2858 + 0,08
и„ = —0,2858 4- 0,08
(— 0,0142 4- 0,045848г-1 + 0 00162г-2)
(— 0 14158 4- 0,0438г-1 — 0,0038г-г)
— 0,03344 + 0,033396г-1 —
(3.141)
0,0041г-2
(— 0,195656 4- 0,055793г-1 — 0,0013г-2)
Результати моделювання замкненої двовимірної системи цифрово-
го керування розглядуваним об’єктом в режимі стабілізації його ро-
боти з ЦР, закон керування якого описується матричним рівнянням
(3.141), показано на рис. 3.12.
Параметри А (г-1), В (г-1) дискретної математичної
моделі об’єкта керування, що описується рівнянням (3.124),
під час експлуатації об’єкта змінюються. Для оцінки їх
ва РМНК це рівняння подамо у вигляді
Уі= — А (г-1) у і + В (г-1) и(_а + єг,
(3.142)
166
або
т
а. У-
кііИ—к
к=\
т пЬ
4- V V Ьь..и. 4- є,.,
4- Д| и-к-а^ //г’
/=і /?=і
і — 1,..., т.
(3.143)
Рівняння (3.143) можна записати також у векторній
формі
Ч=<Л-ь (3-144)
де вектор вимірюваних параметрів у ї-му каналі визнача-
ється виразом
^-1 = "* ’ Ут>-\' "* ’ Ухі-па' •" ’ Уті-па'
ии—і' " ’ иті—а' " ’ иіі—пь—а' ’ иті—пь—(З-145)
а вектор невідомих параметрів — виразом
=й?.......><а)............44 ч1’*-
.... ....Ь™.......Ь%\ і = 1, 2,..., т. (3.146)
Обчислювальна процедура РМНК для оцінки вектора
параметрів 0£ зводиться до виконання алгоритму
^ = 6^1 + ^ Л-1В (3.147)
(3.148)
який повторюється т разів в кожному періоді квантуван-
ня То, тобто здійснюється окремо для кожного вектора
параметрів 0* (і = 1, 2, ...» т).
Випадкові збурення, записані в (3.124) у вигляді ча-
сового ряду [/ + С^”"1)]^, входять до складу випадко-
вої послідовності помилок оцінювання математичне
сподівання якої в обчислювальній процедурі РМНК виз-
167
качається виразом
є. = ц, — гьТ 0/.
і яка при /~>оо прямує до нуля.
В кожній ітерації пои оцінюванні векторів 0. (ї = 1, 2,...
... ,/л), параметри яких входять до складу матриць А19
Д2,..., АПа, ВІ9 В2, ..., ВПа, треба розв’язати систему рів-
нянь (3.135) відносно коефіцієнтів О0, О19..., Рр, Р19 Р2>—
...,РЬ після чого на підставі (3.137) знайти поточні
керуючі діяння
Контрольні завдання
Вивчити самостійно такі теми:
1. Стабілізація роботи немінімально-фазових і нестійких об’єк-
тів керування [1].
2. Розв’язування задачі розміщення полюсів з використанням
зворотного зв’язку за вихідними змінними [28].
Завдання для самостійного дослідження
1. На персональній ЕОМ типу«ІВМ РС» дослідити перехідні
процеси в замкненому контурі керування нестійким і немінімально-
фазовим об’єктом з параметрами, наведеними в прикладі 3.1. Цифрове
моделювання послідовно провести при ступінчастих збуреннях зада-
вального діяння з амплітудою: а) ДО = = 1; б) ДО = сі^е =
= —0,5; в) ДО = (І£е — —0,7.
2. На персональній ЕОМ типу «ІВМ РС» виконати цифрове мо-
делювання адаптичної слідкуючої системи цифрового керування не-
мінімально-фазовим об’єктом з прикладу 3.3. Дослідити швидко-
дію, збіжність і точність настроювання вектора невідомих парамет-
рів 0 = [а1, а2, Ь19 Ь2\ об’єкта керування за рекурентною процеду-
рою (3.53) при зміні параметра аг відповідно до закону СЦ = 1,6-]-
4-0,3 зіп 2л//2000. Дослідження провести при різних значеннях кое-
фіцієнта експоненціального забування: а) р — 0,9; б) р = 0,95;
в) Р = 0,99.
Початкові значення параметрів'! координат об’єкта керування
вважати такими: а* =1,4; а9 =—0,4; Ь, =0,9; Ьс, =
Апоч 4поч поч ^поч
= 1,2; #поч = 1; Опоч = “поч = ° Задавальне діяння 6 змінюєть-
ся за ступінчастим законом у межах [1, — 1] через 15 тактів кван-
тування. При моделюванні встановити початково коваріаційну мат-
рицю Рпоч — сІіа£ {1000, 1000, 1000, 1000}, початковий вектор вимі-
рюваних координат Х^оч = [1, 1, 0, 0] і початкові параметри ЦР
Д = 0,06; Д =0,9; £ =1,1; И. = - 1,3; =0,32.
*ПОЧ 4ПОЧ иПОЧ ’поч 4ПОЧ
168
Побудувати графіки перехідних процесів під час зміни коорди-
нат уе иг
3. Виконати попереднє завдання при синусоїдному законі зміни
задавального діяння О = зіп 0,052 і.
4. На основі методики, описаної в п. 3,2, з використанням рівнян-
ня (3.79) виконати синтез ЦР, призначеного для стабілізації роботи
немінімально-фазового об’єкта керування з запізнюванням при ви-
падкових збуреннях, параметрами моделі якого в рівнянні (3.55) є
А (*-') = 1 - 0,9г”’;
В(г~')= 1 + 1,8г-2;
С (г-1) = 1 - 0,3г”1; </га1п = 4.
Розміщення полюсів замкненого контура керування визначаєть-
ся характеристичним рівнянням
Лм (2-*) = 1 - 0,4г-1 = 0.
РОЗДІЛ 4
МЕТОДИ ПРОЕКТУВАННЯ ОПТИМАЛЬНИХ
СИСТЕМ КЕРУВАННЯ З ВИКОРИСТАННЯМ
ДИСКРЕТНИХ МОДЕЛЕЙ У ПРОСТОРІ СТАНУ
4.1. Принципи проектування оптимальних
дискретних регуляторів стану
Проектування дискретних регуляторів змінних стану
об’єктів керування полягає у визначенні структури та
параметрів регуляторів стану для забезпечення заданого
критерію оптимальності при початкових і кінцевих умо-
вах, відмінних від нуля. При цьому не всі змінні стану
можуть бути виміряні.
Застосування методу розміщення полюсів. Цей метод
дає змогу побудувати дискретний регулятор стану, за до-
помогою якого полюси замкненої системи керування на-
бувають заданих значень.
Розглянемо об’єкт керування, дискретна модель якого
в просторі стану описується рівнянням (1.46). Закон ке-
рування регулятора стану має вигляд
и (кТ0) = — Кх (4.1)
де К — матриця коефіцієнтів регулятора. Тоді рівнянням
замкненої системи керування буде
X [(к + 1) То] = [Р — ОК] х(кТ0), (4.2)
169
а її характеристичне рівняння можна записати у вигляді
йеі [гі — Е + ОК] = 0.
(4.3)
При проектуванні регулятора стану за заданим роз-
міщенням полюсів спочатку треба вибрати полюси
2г- (/=1, 2,... ,т) замкненої системи керування. Вва-
жаємо, що збуреннями є імпульси, які надходять з
настільки великими інтервалами, що перехідні процеси
в системі керування, спричинені одним імпульсом, пов-
ністю закінчуються до приходу наступного імпульсу.
Критерій оптимальності, відповідно до якого потрібно
сформувати закон керування (4.1), задається неявно шля-
хом фіксації полюсів замкненої системи, які визначають
швидкість переходу змінних стану до початкових значень
їх після збурення системи.
Нехай об’єкт керування має один вхід і один вихід, а
рівняння його стану подано в канонічній формі, тобто
Рівняння регулятора стану (4.1) при цьому матиме
вигляд
и (кТ0) = - Л'тх (кТ0) = - [кт кт_х... х (кТ0). (4.4)
Підставивши в попереднє рівняння замість вектора
и (кТ0) його вираз (4.4), дістанемо
170
"хД^Ч- 1)Т0]
х81(/г+ 1)Т0]
х^-Я^Ч- 1)Т0]
_хт ЦЛ + 1) То] _
Хі (кТ0)
х2 (кТ0)
(4.5)
хт_і (кТ0)
_хт(кТ0) _
Характеристичним рівнянням замкненої системи керу-
вання на підставі (4.2), (4.3), (4.5) буде [15]:
сіеі [гі — Р + 6/Г] = гт Ч- («, + кх) гт~х Ч- ...
... + (ат_і + кт_\) г Ч- (ап + кт) = гт + 1\гт 1 + ...
... Ч- Ьт-Хг Ч- Ьт = 0, (4.6)
ввідки випливає, що параметри регулятора стану визна-
чаються виразом
к^Ьі — аь (4.7)
Після вибору бажаних полюсів системи
(Зеї [гі — Е + СКТ] = (г~ гх) (г — г2)... (г — гт) (4.8)
можна визначити коефіцієнти характеристичного рів-
няння (4.6), а пот’ім параметои регулятора згідно з (4.7).
При цьому залежність останніх від коефіцієнтів матиме
явний вигляд.
Задане розміщення полюсів замкненої системи керу-
вання забезпечують також модальні регулятори стану,
171
параметри кг яких впливають безпосередньо на власні
значення полюсів гі9 які називаються модами. Це дає змо-
гу подати систему у вигляді незалежних контурів керу-
вання першого порядку.
Методи розміщення полюсів і модального керування
замкненою системою не враховують зовнішніх збурень,
а забезпечують тільки бажану поведінку її ізольованих
власних рухів при сталих динамічних параметрах об’єкта
керування. В цьому полягають основні недоліки названих
методів.
Приклад 4.1. Дискретна модель об’єкта керування в просторі
його стану описується матричним рівнянням
Л № + І) г0]-
_х2 [(£+ 1) То].
0‘
1
хі (кТо)
х2 (кТ0)
и (кТ0).
(4.9)
1
Вектор коефіцієнтів регулятора має вигляд
Визначимо цей вектор
рівняння замкненої системи
На підставі (4.3), (4.4)
при заданих полюсах характеристичного
керування.
можна записати
ЯТ = [й2
1 о
2 9
0
сієї [г/
]=сіеі
і2 о
2і 0
Нехай характеристичним рівнянням виду (4.6) буде а2 + Ьхг +
-}- &2 = 0. Тоді, прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях а,
дістанемо таку систему рівнянь відносно коефіцієнтів к19 к2:
к Т2
~~2~
( к±
2
При заданих полюсах Ь19 Ь2 характеристичного рівняння систе-
ми матимемо
(4.Ю)
172
2 [(1 — 7^) ^-Т^+7,+ 1]
То (- Т20 + 70 + 1)
Аперіодичні регулятори стану. Розглянемо процес
переведення об’єкта керування ш-го порядку з довільно-
го початкового стану х (0) в кінцевий стан х (гТ0) за кіль-
кість тактів квантування, що дорівнює г == т. Припусти-
мо, що об’єкт має одну керуючу змінну и (/). Тоді його мо-
дель в просторі стану можна описати рівнянням
*[(*+ І)Г0] = Рх(кТ0) + §и(кТ0). (4.11)
Послідовність дискретних керуючих діянь сформуємо
за допомогою регулятора стану, закон керування якого
відповідно до (4.1) має вигляд и (кТ0) = — Ктх(кТ0). З ура-
хуванням цього рівняння модель (4.2) запишемо так:
X Ц* + 1) то] = іг - ^1 х (кТ0) = Мх (кТ0).
При цьому рівняння послідовності векторів стану мати-
муть вигляд
х (1ТС) = Мх (0); X (2Т0) =Мх (1Т0) = М*х (0);...
...; х (гТ0) = Мх [(г — 1) То] = Мгх (0).
За умовою х (гТц) = 0; тому Мг = 0.
Характеристичним рівнянням замкненої системи керу-
вання відповідно до (4.6) буде
деі [гі — Р + §/<т] = де і [гі — М] = гт + + ...
(4-12)
... + Ьт_іг + Ьт = 0.
Рівняння Мг = 0 задовольняється при г = т і Ьг =
= Ь2 = ... = Ьт — 0, оскільки квадратна матриця згід-
но з теоремою Келі—Гамільтона відповідає своєму харак-
теристичному рівнянню:
Л4т + 61Л4т“1+ ... + 6т_1М+ ЬгпГ=О. (4.13)
Завдяки цьому рівняння (4.12) матиме вигляд
деі [г7— М] = 2т — 0, (4.14)
звідки випливає, що полюси замкненої системи керування
знаходяться на початку координат. Помилка регулювання
прямує до нуля не більш як за т періодів квантування.
173
Приклад 4.2. Розглянемо об'єкт керування, дискретна модель
якого в просторі стану описується рівнянням (4.9). Якщо полюси ха-
рактеристичного рівняння г? = 0 лежать на початку координат, тобто
Ь* = о, Ь2 = 0, то коефіцієнти кІ9 к2 відповідно до (4.10) визначаються
Знайдемо керуючі діяння и(0), и(1) при різних періодах кван-
тування (Т01 = 0,1; ТОі ’ • 1 :
1(0) = (0,5; 0,5).
Лінійний закон керування регулятора (4.4) має вигляд
0 = 10) і початковому стані об’єкта
“ (кТ0)= — к.^ (кТиі—к^ (кТа)=—
Хі(кТ0)—•
х2 (кТ0).
Якщо початковим станом об’єкта керування є х (0) — [х1 (0)
(О)]1, то
и (0) = -
2ла (0)
о
На підставі (4.9) змінні його стану визначаються виразами
Х2 (іТ'о) —
(1Т0) —
(- 2Т* + 1)
(- + То+ 1)
хі (0) +
(- 1)х2 (0)
(-7’2+Т0+ 1)
Тоді закон керування регулятора через один період квантування
описуватиметься рівнянням
И (І^о) ~ &2Х1 ( І^о) &1Х2 (ІТ’о) =
(2ТІ - 2Т% + 2Т0 4- 2) хі (1Т№) + (~ Гр + 2ГП + 3) х2 (Щ)
То(-Г§ + Го+І)2
Значення керуючих діянь при різних періодах квантування Ть
для початкового стану об’єкта х (0) = [0,5 0,5]7 наведено в габл. 4.1.
З табл, 4.1 випливає, що значення періоду квантування істотно
впливає на керуючі діяння. Тому при використанні аперіодичного ке-
рування об'єктом необхідно дуже ретельно вибирати період кванту-
вання.
Таблиця 4.1
То І 1 | 0,1 І 10
ЩО) —3 —19,266 0,0134
Щ1) —7 7,5019 —112,715
174
Оптимальні регулятори стану за початковими умо-
вами. Нехай математична модель об’єкта керування в
просторі стану описується рівнянням (1.46), тобто
х [(/? + 1) То] = Ех (кТ.) + Си (кТ0),
(4.15)
де Е,6 — сталі матриці, а вектор стану має початкове зна-
чення х (0) (див. рис. 1.5). Вважаємо, що вмінні стану
х (кТ0) можна виміряти точно. Виходячи з мінімізації
квадратичного критерію оптимальності
_ ___ п—1 _ _ _
д = (пТ0)Т^х (пТ0)'+ У [хт (кТ0) (кТ0) +
к=0
Ь и1 (кТ0) (^и (АТ0)]}, к = 0, 1, 2,...»п - 1, (4.16)
визначимо оптимальний закон керування ЦР, відповідно
до якого на основі вектора змінних стану х (кТ^ форму-
ється вектор змінних керування и (кТ0)9 який переводить
систему в кінцевий стан х (пТ0). При цьому в формуванні
зворотних зв’язків вихідні змінні у (кТ0) не застосовують-
ся, тобто стабілізація роботи об’єкта керування та зміна
його власних рухів виконуються тільки завдяки зворот-
ним зв’язкам за вектором змінних стану х (кТ0).
Сформулюємо теорему про відшукання послідовності
керуючих діянь и и (1Т0),... , и [(п—1)Т0], яка при
керуванні розглядуваним об’єктом мінімізує критерій оп-
тимальності (4.16).
ТЕОРЕМА 4.1. Нехай и (кТ0) є функцією х(кТ0),
х 1(к— 1) То],... . Якщо модель об’єкта в просторі стану
(4.15) буде керованою й такою, що розкривається, то
існує єдиний допустимий вектор керування и (к70) ==
= — К (кТ0) х (кТ0), я_кий мінімізує критерій (4.16) за
умови, що матриця К визначається так:
К (к) = ІЄ8 + 6ГЬ (к + 1) ОГ’О'Л (к + 1) Е, (4.17)
де матриця Ь обчислюється за рекурентною процедурою
Ь(к)= ҐЦк+їіГ + вг-КЦк) [<23 +
+ 0тЬ(*+ 1) О] К. (к) = [ЕтЦк + 1)/ + С2]-
175
— Ат£ (к 4- 1) С [<?3 + 0іЬ (к + 1) ОГ'6ТЛ (/? 4- 1) Е,
(4Л8)
коли £(л) = 01е
Для існування мінімуму критерію (4.16) необхідно,
щоб матриці <22 були додатно напіввизначеними та
симетричними, а матриця ^3—додатно визначеною й си-
метричною. При цьому виконуються умови х1(?1х^0;
хТ02х>0;йТС317>0.
Доведення теореми 4.1. наведено в дод. 4.
Таким чином, регулятор стану об’єкта керування за
законом и (/?Т0) = —Кх (кТ0) переводить об’єкт з почат-
кового стану в нульовий.
Оптимальні регулятори стану об’єктів з різними
запізнюваннями. Оптимальний закон керування такими
об’єктами (1.61) можна сформувати, розв’язавши рів-
няння Ріккаті, пов’язане з криіерієм оптимальності.
Проте розв’язування цього рівняння буде дуже тривалим,
оскільки вимірність матриці в (1.61), (1.62) дуже велика,
особливо при малому періоді квантування відносно най-
більшого запізнювання. Через це вимірність розширеної
системи рівнянь (1.62) стає великою.
При використанні критерію оптимальності
оо
6=0
[лт (кТ0) (}1Х (кТ0) 4- и (к.Т0) С^и (кТ.)\ (4.19)
закон оптимального керування об’єктами матиме вигляд
и(кТ0)= У[(&—/)Т0] 4- У К2,іи[(к— і)Т0].
(4.20)
Якщо відносно змінних стану запізнювання відсутні,
то рівняння (1.61) можна записати у вигляді (1.64), тобто
V Сіи(к— (і^.
*[(*+ ІНо] - Рох(кТ.) +
(4.21)
У цьому разі при синтезі оптимального регулятора об-
числювальне навантаження ЕОМ можна значно знизити.
Тоді спочатку розглядається система керування без за-
пізнювання, а потім ураховується запізнювання введенням
випередження в рівняння системи.
176
Закон керування^ для системи без запізнювання (£0>
С), де0 = [61,... . 0пг], може бути сформований у вигляді
щ = — КіХ (кТ^. Після цього необхідно визначити
вектор керування Щ (кТ0) = иг [(к— сіі) То]. Розглянемо
цю методику докладніше.
1. Розмістимо вхідні керуючі діяння так, щоб викону-
валась нерівність д,і > йі—\ для і =_2, ..., т.
2. Визначимо сигнал керування и± (кТц), який відпо-
відає найменшому запізнюванню сі^ тобто
йі (кТ0) = — Ккх(к + ^), (4.22)
де вектор стану х (к + б/х) з випередженням можна обчис-
лити за формулою
х [(А + То] = РІГх (кТ0) +
пг
+ V гіг1 У бй[(А- а,-а}- і) То], (4.23)
1=1 /=1
що випливає з (4.21).
3. Знайдемо сигнал керування
й2(кТ0)= Й2хї(к + а2)Т0]9 (4.24)
де вектор стану л (к + б/2) з випередженням на (12 так-
тів квантування визначається виразом
х ї(к + а2) тоі = (Го + сгк^~а'х [(к + т0] +
+ >2 ' (р0 + бЛГ1 у с7иі ([к -а2-а}- і) т0].
і=1 /=2
(4.25)
4. Повторюємо рекурентну процедуру доти, поки не
будуть знайдені всі сигнали керування. При цьому опти-
мальний закон керування (4.20) дістанемо після усунен-
ня вектора х ї(к + сЦ) То] з випередженням на йі тактів
квантування в кожному рівнянні з керуючим діянням
Щ (кТ0).
Регулятори зі спостерігачами стану. Для реалізації
регуляторів стану з законами керування (4.1), (4.4) по-
трібно мати інформацію про вектор стану х (кТ0). Але змін-
ні стану х (кТо) для більшості об’єктів безпосередньо ви-
177
міряти не можна; тому їх необхідно визначити за допомогою
спостерігачів стану, використовуючи послідовності дис-
кретних вимірювань вхідних і вихідних сигналів об’єкта
керування, тобто и (кТ0), и 1(& — 1) То], у (£7'0),
у ї(к — 1) То], ... . Для того щоб це можна було б зробити,
система відповідно до п. 1.10 має бути повністю спосте-
режуваною.
Розглянемо динамічний об’єкт керування, дискретна
модель якого описується рівнянням
л № + 1) го] = Рх (кТ0) + би (кТ0);
у (кТ0) = Сх (кТ0).
(4.26)
Припустимо, що вектор стану х об’єкта можна пода-
ти за допомогою його оцінки х згідно з моделлю, при-
єднаною паралельно об’єкту (рис. 4.1):
х [(к + 1) То| = Рх(кТ.) + би (кТ0).
(4.27)
Тоді відновлення вектора стану х об’єкта можна досягти
введенням у (4.27) зворотного зв’язку за різницею ви-
міряного вихідного сигналу у(кТ^ та його оцінки
у (кТ0) = СЇ(кТ0).
З рис. 4.1 випливає, що рівняння спостерігача мати-
ме вигляд [15,28]
х [(к + 1) То | кТ0] = Ех [кТ01 (к - 1) То] + би (кТ0) +
+ Ь[у (кТ0) —Сх [кТ. | (к -1) То]].
(4.28)
Позначення х Цк + 1) То | кТ0] тут показує, що оцінка
вектора х [(& + 1)Т0] залежить тільки від вимірювань,
зроблених на момент часу кТ\.
Віднявши (4.28) від (4.26), дістанемо помилку віднов-
лення стану
*[(* + 1)7’0/А7’0]= Х[(*+ 1)Т0]-х[(А;+ 1)Т0|£Т0] =
= [Г- ІС] х [ЙТО | (й — 1)Т0], (4.29)
яка залежить тільки від початкового значення помилки
х(0) і не залежить від сигналу керування ц(&Т0).
178
Регулятор стану
Рис. 4.1
Якшо матрицю
різницеве рівняння
процес відновлення
Ь вибрати правильно, то однорідне
(4.29) буде асимптотично стійким і
вектора стану х збігатиметься, тобто
Іігп х(6Т0) = 0. (4.30)
к—»оо
Розглянемо систему керування об’єктом з двома кон-
турами зворотного зв’язку (див. рис. 4.1). Якщо змінні
стану об’єкта відновлюються за допомогою спостерігача,
дія якого описується рівнянням (4.28), ю закон керуван-
ня регулятора стану матиме вигляд
и (кТ0) = - Кх [кТ0 | (6 - 1) То]. (4.31)
Користуючись (4.26), (4.29) і (4.31), замкнену систему
керування можна описати таким рівнянням:
х[(к + 1)Г0] = Рх(кТ0) +Ои(кТ0) = Рх(кТ0) -
- ОКх [кТ01 (к - 1) То] = Рх (кТ0) - ОК {х (6Т0) -
- * [кТ01 (к - 1) То]} = [Р- ОК] ~х (кТ0) +
+ СКх [кТ0\(к-1)Т0].
(4-32)
Повна система таких рівнянь у матричній формі на
підставі (4.26), (4.29) і (4.32) має вигляд
(Р - ОК) ОК
у(ЬТ0)= [С 0]
х (ЙТ0)
х\кТ0\(к- 1) То]
х (ЛТ0)
(Р - ЬС)
(4.33)
(4-34)
х [кТ0\(к — 1)70]
Власні значення матриць (Р— ОК), (Р— ЬС) визна-
чають полюси замкненої системи керування. Оскільки
власний рух її відображується характеристичниїМ рівнян-
ням
беі [гі — Р + ОК] сіеі \2І — Р + ІС] = 0,
180
можна зробити висновок, що полюси системи та полюси спо-
стерігача можуть бути визначені незалежно, бо вони не
впливають один на одного [15].
4.2. Основні положення теорії
прогнозування та фільтрації
У п. 4.1 поставлено й розв’язано задачу спостереження
змінних стану об’єктів керування в детермінованому се-
редовищі. Аналогічна задача, сформована в стохастичних
термінах, називається задачею фільтрації.
Якщо відомо вектор ¥ (кТ0) = {у (/), и (і) | і к}; то
мета полягає в оцінці вектора стану х ї(к + д) То]. При
цьому можливі три випадки [28]: 1) згладжування (сі < 0);
2) фільтрація (сі — 0); 3) прогнозування (сі > 0).
Рекурентний алгоритм оцінки стану (фільтр Кал-
мана). Розглянемо лінійну дискретну математичну мо-
дель об’єкта керування в просторі стану при То = 1, яка
описується рівняннями
х (к + 1) = Ех (к) + би (к) ф- (к); (4.35)
у (к) = Сх (к) + у2 (&),
(4.36)
де Г—матриця системи вимірністю (тхт); х(к) — век-
тор стану вимірністю (тхі); 0 — матриця керування ви-
мірністю (тхр); и(к)—вектор керування вимірністю
(рхі); у±(к) — вектор збурень вимірністю (рхі); у(к) —
вихідний вектор керованих змінних вимірністю (гх 1);
С — матриця виходу вимірністю (гхт); У2(к)— вектор
шуму вимірністю (гхі) при вимірюванні вектора у(к).
Припускаємо, що матриці Е.6.С є незалежними від ча-
су, а збурення — від стану об’єкта керування.
У (4.35), (4.36) сигнали ^1(к)}і {ю2(к)} — це послідов-
ності стаціонарного «білого шуму» з нульовими матема-
тичними сподіваннями: М {ух (к)} = 0; М {а2 (к)} = 0 та
коваріаційними матрицями, що визначаються співвідно-
шенням
V
м ![“
і1^2 (^).
[і?1Т (п)
П2Т (и)1 =
И>0;
А/>0,
(4-37)
181
де функція Кронекера
х ______________________ 1 при =
°кп — п , ,
(0 при к^п.
Крім того, припускаємо, що вектор початкового стану
х (0) має нормальний розподіл з математичним сподіван-
ням М {х (0)} = х0 та коваріаційною матрицею а по-
слідовність р-вимірних вхідних діянь и (/?0), ії(/?0+1),
и (&0 + 2), и (к) вимірюється точно. Також припуска-
ємо, що вектор початкового стану взаємно некорельова-
ний з похибкою вимірювань і вектором збурень, тобто
Мх (0)Тії (к) = 0; Мх (0) х% (к) = 0. (4.38)
На підставі зазначених вище припущень можна зроби-
ти такі висновки:
1. Математичне сподівання х (к) та коваріаційна мат-
риця (к) ймовірнісного розподілу стану відповідатимуть
рекурентним співвідношенням
х (к + 1) = Рх (к) + Ой (&); X (0) = х0; (4.39)
% (к + 1) = РЦ (к) Р + У; $ (0) - Со, (4.40)
де = _
х(к) = М{х(к)}-, (4.41)
С (к) А М {[х (к) — х (й)] [х (к) — х (й)]т). (4.42)
2. Математичне сподівання та коваріаційна матриця
процесу на виході об’єкта керування визначаються ви-
разами
У (к) А м {у (к)} = Сх (й); (4.43)
«
М{[у(к)-у (й)] [у (п) - у (/г)]т) = Срк~п^ (п) Ст +
+ А/6Ь_П+ СРк-п-^ [6Й_П - 1], (4.44)
де к п к0.
Визначимо лінійну незміщену оцінку вектора стану
х (к + 1), виходячи з послідовності результатів вимірю-
вань вектора вихідних сигналів у (й0), у (к0 + 1), ..., у (к)
об’єкта керування з мінімальною середньою квадратич-
ною помилкою оцінювання вектора стану х (к). При дії
182
гауссового шуму знайдемо умовне математичне сподіван-
ня зазначених сигналів.
Позначимо оцінку вектора стану через х(к)\ тоді по-
милка його оцінювання визначиться виразом
х (к) = х (к) — х (к).
(4.45)
Задача полягає в мінімізації середньої квадратичної
помилки
М {[X (к) - X (/г)]т [X (к) - х (£)!} = 8р (Р), (4.46)
де Р—. коваріаційна матриця помилки оцінки, яка для
незміщеної оцінки визначається співвідношенням
Р (к) = М {[х (к) — х (&)] [х (к) — х (/г)]т | у (к — 1),
у(к-2),...,у(к0)}. (4.47)
У (к — 2),
у (М-
Перед розробкою алгоритму оцінювання вектора ста-
ну об’єкта керування сформулюємо три леми.
ЛЕМА 4.1. Якщо вектор стану х об’єкта є Інваріант-
ною гауссовою випадковою змінною з математичним
сподіванням р, та коваріаційною матрицею Р, то, коли
у = Сх + V, вектор у також буде гауссовою випадковою
змінною з математичним сподіванням Ср, + V та коваріа-
ційною матрицею СРС\
ЛЕМА 4.2. Якщо вектор стану х об’єкта є Інваріант-
ною гауссовою випадковою змінною з математичним спо-
діванням р, та коваріаційною матрицею Р і якщо х, р,,
Р можна поділити на частини:
X =
Х1
х2
Ні
_ Р-2 _
Рц ^12
^21 ^22 _
н =
то вектор стану хг також буде гауссовою випадковою
змінною з математичним сподіванням р,х та коваріацій-
ною матрицею Ри.
183
ЛЕМА 4.3. Якщо випадковий вектор стану х об’єкта
керування визначається як
то умовний розподіл вектора стану при відомому зна-
ченні вектора х2 буде гауссовим з умовним математич-
ним сподіванням + Р12Рї% — Мг)! та коваріаційною
матрицею
ТЕОРЕМА 4.2. Якщо для моделі об’єкта керування,
яка в просторі стану описується рівняннями (4.35), (4.36)
з коваріаційними матрицями (4.37), припустити, що век-
тори початкового стану та послідовності шуму будуть
гауссовими, а також позначити через х(к-{- 1) умовне ма-
тематичне сподівання вектора стану %(/?-]- 1) при наяв-
ності попередніх значень {//(А), у(к—1),..., у (к0) вектора
вимірювань у, го процедура визначення умовного мате-
матичного сподівання х(к-\- 1) (оцінка стану) відповіда-
тиме таким рекурентним співвідношенням (фільтр Кал-
мана):
х(к + 1) = Рх (к) + /<ф (к) [у (к) — Сх (к)] + би (А); (4.48)
(4.49)
де Кф(к) — матриця підсилення фільтра, яку можна знай-
ти за рекурентною процедурою
Кф (Л) = [ЕР (к) Ст + /?] [СР (к) Ст + /V]-1. (4.50)
Тут Р (к) — коваріаційна матриця помилки оцінки век-
тора стану відповідно до (4.47), яку можна визначити,
розв’язавши різницеве рівняння Ріккаті
Р (к + 1) = ЕР (к) Е7 + V — /<ф (к) [СР (к) Ст + ІУ] Кф (к\,
(4-51)
Р (*о) = Ро-
Для доведення теореми 4.2, виходячи з припущення,
що умовний розподіл вектора стану х(к) при заданій
послідовності у (к — 1), у (к — 2), ..., у (к^ вектора вимг
184
рювань буде гауссовим з математичним сподіванням х (к)
та коваріаційною матрицею Р (&), визначимо умовний роз-
поділ вектора стану х (к + І), якщо попередні значення
у (к), у (к — 1), ~у (к0) вектора вимірювань у відомо.
На підставі (4.35), (4.36) можна записати
х(к+ 1) _ \р
У(к) . С
х(/г)
(к)
ї>2(к)
и (к).
6
0
З урахуванням леми 4.2 (для перетворення гауссових
випадкових змінних) сумісний розподіл об’єднаного век-
тора
х(* + 1)
при наявності
вимірювань
у(к — 2),..., у (60)] також буде
гаусссвим з математич-
ним сподіванням
Гх (к) [ 0
Сх (к) |_ 0
и (к)
(4.52)
та коваріаційною матрицею
ЕР (к) Ет + У \ ЕР (к)^ + р'
СР(к) Ег + РТ І СР (кУС* + ІЇ
(4.53)
Якщо
при цьому об’єднаний вектор х =
х(к + 1)
.У (*)
має умовне математичне сподівання ц, яке розкладаєть-
ся на складові рі —Рх(к) + Опік), р2 = Сх(к), то коварі-
аційна матриця Р на підставі (4.53) матиме такі еле-
менти:
= ЕР(к)Е' + V;
Р12 = ЕР (к) С1
4~ Ні
Р„ ^СРікУР + Р1:
(4.54)
Р2? = СР (к) Ст 4- N.
185
З урахуванням леми 4.3 умовне математичне споді-
вання вектора стану х(& + 1) визначиться виразом
X (й + 1) = [Ці 4- Р12Р22> (х2 — р,2)] = Ех(к) 4- ви (к) 4-
+ [ЕР (к) Ст + Я] [СР (к) Ст + ТУГ’ [у (к) - Сх(к)] =
= ЕІ(к) 4- (к) [у(к) - С~х (к)}, і- &- и(*)
де матриця підсилення фільтра
КФ (6) = [ЕР (к) Ст 4- Я] [СР (к) Ст 4- ЛП~’,
що й треба було довести.
Відповідно до леми 4.3 коваріаційну матрицю помил-
ки оцінки вектора стану можна визначити, скористав-
шись елементами (4.54):
Р (к 4- 1) = Рц-Р^'Р^ = [ЕР (к) Ет 4- V] -
— [ЕР (к) Ст 4- Р] [СР (к) Ст 4- /V]-1 [СР (к) Ет 4- Рт] =
= ЕР (к) Е7 4- V — Кф (к) [СР (к) Ет 4- Рт].
Запишемо цей вираз у вигляді
Р(к + 1) = [ЕР(к)Ет + У]-Кф(к) [СР(к)Ст + М] х
X [СР (Л) Ст 4- М]-1 [СР (/?) Рт 4- Рт].
Узявши до уваги співвідношення (4.50) для матриці
підсилення фільтра /(ф (&), а також тотожність N ~
яка випливає з (4.37), перетворимо останній вираз до ви-
гляду (4.51). Таким чином, теорему 4.2 доведено.
Властивості фільтра Калмана. Цей фільтр має такі
властивості:
1. При наявності гауссового шуму оцінка х(к) є умов-
ним математичним сподіванням вектора стану х(Л),
тобто
х(к) = М {х(Л)І ¥ (к — 1)},
У(й-1)= {у (к - \},у (к - 2), ..
(4.55)
У (*о)}-
186
2. З попередньої властивості випливає, що х(к) є оцін-
кою вектора стану х(к) з мінімальною дисперсією, тобто
М {х (к) — х (&)|У (к — 1)} = 0; (4.56)
Р (£) = Л4 {[х (*) - х (*)] [х (£) - х (£)]т| У (к — 1)} < Рф,
(4-57)
де Рф — коваріаційна матриця помилки оцінювання, що
визначається для якого-небудь іншого фільтра.
3. На підставі (4.50), (4.51) можна зробити висновок, що
матриця підсилення ^ф (к) фільтра Калмана й умовна
коваріаційна матриця помилки Р (к) не залежать від по-
передніх вимірювань вектора вихідних сигналів ¥(к—1) =
== {у (к — 1), у (к — 2), ..., у (&0)} за умови, що матриці
У7, С,/V, V,також не залежатимуть від ¥(к—1). У
цьому разі Р (к) є безумовною коваріаційною матрицею
помилки, причому матриці Кф(&), Р (к) можна поперед-
ньо обчислити.
4. Увівши позначення вектора помилки, що виникає
у фільтрі Калмана
ф(£) = у(к) — Сх(к) (4.58)
і назвавши послідовність {Ф (&)} послідовністю відновлен-
ня вектора стану з урахуванням (4.55), можна зробити вис-
новок, що умовне математичне сподівання цього вектора
дорівнює нулю, тобто
М {Ф (к) \у(к- 1), ..., у(к0)} 0. (4.59)
На підставі (4.58) можна записати
у(к) = СІ(к) + Ф (А) =М {у(к) | у(к - 1)...., у(к0)} + Ф(Л).
(4.60)
Тому Ф(к) е новою інформацією, якої не було в послі-
довності вектора вихідних сигналів {у(к—1),у(к—2),...
...,у(к0)}.
5. З використанням послідовності відновлення {Ф(А)}
фільтр Калмана можна описати за допомогою рівнянь
х(к + 1) = Рх(к) + Си(к) + Кф(£) Ф(£);
і/(£) = Сх(Л) + Ф(£),
(4-61)
(4.62)
187
які показують, як можна сформувати послідовність
{*/(£)}, знаючи послідовність відновлення {Ф(&)}. Після
підстановки (4.62) в (4.61) дістаємо таке рівняння цього
фільтра:
х(^+ 1) = [? — 7<ф(£)С] *(£) + 6~й(к) + Кф(к)1/Цг). (4.63)
Примітка 1. При розгляді властивостей фільтра Калмана можна
покласти /? = 0 у співвідношенні (4.37), записавши його у вигляді
V
0
0
МІ
(&)
Б2 (к)
(П) ^2 (")] ’
кп
(4.64)
Тоді рекурентна процедура (4.50) для визначення матриці підсилення
фільтра матиме вигляд
Кф (Л) = РР (к) Ст [СР (к) Ст + Л'Г1,
(4.65)
а рівняння (4.51), за допомогою якого можна знайти коваріаційну мат-
рицю помилки оцінювання вектора стану, вигляд
Р (к + 1) = РР (к) Рт — РР (к) Ст [СР (к) Ст + ЛГ]-1 х
X СР (к) Рт + V.
(4.66)
Примітка 2.^Здебільшого коваріаційна матриця Р (к) і матри-
ця підсилення Кф (к) прямують до усталених значень при /->оо.
Тоді, поклавши Р (к + 1) = Р (к) Р, різницеве рівняння (4.66)
можна записати у вигляді алгебраїчного рівняння Ріккаті
? — РРРУ + РРС? \СРС* + Щ-'СРР1' — V = 0. (4.67)
Уведемо поняття перехідної матриці усталеного стану
фільтра Калмана, що визначається виразом
Р = Р — (4.68)
та усталеної матриці його підсилення у вигляді
Кф = ЕРС1 [СРС1 + МГ1. (4.69)
Для зручності коваріаційні матриці N і V фактори-
зуємо так:
ЇЇ = (Л7,/2) (ЛГ,/2)Т; (4.70)
У = (4.71)
а також запишемо
С = (Л()-І/2С.
(4-72)
188
Тоді рівняння (4.67) матиме вигляд
р „ рррт + РРСГ [СРС1 + ГГ'СРҐ — Е>£>т = 0, (4.73)
а вираз (4.68) —вигляд
Р = Р — РРС1 [СРС* + 7]-1С. (4.74)
4.3. Проблема лінійно-квадратичного
гауссового оптимального керування
У п. 4.1 описано методи проектування дискретних ре-
гуляторів для лінійних об’єктів керування, поданих ма-
тематичними моделями в просторі стану при детермінова-
них збуреннях. Розглянемо проблему проектування ре-
гуляторів стану для таких самих об’єктів при наявності
стохастичних збурень і похибок під час вимірювання ви-
хідних керованих змінних.
Постановка задачі. Припустимо, що об’єкт керування
з дискретною математичною моделлю (4.35), (4.36) за по-
чаткових умов х (к0) в просторі стану можна описати
рівняннями
х(к + 1) = Рх(к) + Си(к) + V1(к)^, (4.75)
у (к) = Сх (к) + (^)-
(4.76)
Послідовності {% (к)}, {у (к)}, {и (к)} є відповідно век-
торами стану, вихідних керованих змінних і керування
на вході об’єкта. Вимірність векторів і матриць наведеної
моделі повністю відповідає вимірності аналогічних векто-
рів і матриць моделі (4.35), (4.36). У модель об’єкта керу-
вання входять послідовності {??! (к), {у2 (к)} стохастичних
збурень з нормальними функціями розподілу.
Припустимо, що вектор початкового стану х(к0) є
стохастичним гауссовим процесом з нормальним розпо-
ділом і математичним сподівання?л х0 та коваріаційною
матрицею Ро. При цьому вектор х(к0) некорельований з
послідовностями {^(й)}, {^2(к)}. Останні мають нульові
математичні сподівання [ 714 (к)} = 0; М {ц2 (А)} = 0], а
коваріаційні матриці їх визначаються так:
[V? (п) ^2 (п)1
У>0;
N>0,
Де \п — функція Кронекера.
(4-77)
М
( МФ
І [ і>% (к)
189
Синтез керуючих діянь дискретного регулятора вико-
нується, виходячи з мінімізації критерію оптимальності
{п—1 |
хт(п) ^(л) 4- £ [хт (к) (}2х (к) + ит(к) §3и (&)В ,
к=0 І
(4-78)
де х (к), и (к) — відповідно вектор стану та вектор керу-
вання в (4.75) і (4.76), а матриці можуть залежати від часу
й визначаються так: — симетрична та додатно визначе-
на; ф2 — невід’ємно визначена; ф3 — додатно визначена.
Таким чином, задача оптимального керування об’єктом
полягає у відшуканні такого вектора керування и (й),
який мінімізує критерій оптимальності (4.78). При розв’я-
зуванні цієї задачі можна варіювати матрицями фх, ф2,
ф3 та періодом квантування.
Нехай керуючі діяння формуються так, що и(к) е
функцією
{у(к — 1),у(к — 2), ...,у(0), и(к—У), и(к — 2), ...
..., «(0)} =4>й-ь
Це означає, що в системі керування існує запізнювання
за часом, яке дорівнює одному періоду квантування.
Розв’язування поставленої задачі грунтується на тео-
ремі розділення, яка полягає в тому, що оптимальна стра-
тегія керування розбивається на дві частини:
1) реалізація процедури оцінювання змінних стану
об’єкта на основі вимірювання його вихідних змінних;
2) синтез лінійного оптимального закону керування
об’єктом на основі оціненого вектора змінних стану.
При наявності стохастичних збурень з нормальною
функцією розподілу така задача називається проблемою
ЛКГ оптимального керування.
Принцип розділення. Проблему ЛКГ оптимального
керування можна вирішити, застосувавши метод динаміч-
ного програмування. Процедура оцінювання змінних ста-
ну об’єкта виконується за допомогою фільтра Калмана, а
оптимальні керування ним формуються шляхом реаліза-
ції зворотного зв’язку за змінними його стану.
ТЕОРЕМА 4.3 (теорема розділення). Якщо вектор
керування и (к) є функцією послідовності попередніх
190
вихідних сигналів і змінних керування, то оцінка змінних
стану моделі (4.75), (4.76) об’єкта й синтез лінійного оп-
тимального закону керування ним на основі мінімізації
критерію оптимальності (4.78) реалізуються за такими
співвідношеннями:
х (/є + 1) = Ех (Л) + би (к) + К* (к) [у (к) — Сх (&)]; (4.79)
х (/г0) == V»
и(к) = — К (к) х(к),
(4.80)
де Кф(к) — матриця підсилення фільтра Кал мана, що
визначається виразом (4.65), а х(к)—оптимальна оцінка
вектора стану об’єкта при наявності послідовності
К-ґ
Матрицю лінійного зворотного зв’язку К(к) (закону
керування дискретного регулятора) можна знайти за
формулою
К(£) = [<?з + 0Т3(*+ 1)О]"’ОТ5(А+ 1)Г, (4.81)
де коваріаційна матриця 5 (к) визначається після роз-
в’язання матричного різницевого рівняння Ріккаті
з (к) = + е2 + іг - +1) х
де
х [Е — СК (&)],
5 (и) =
(4.82)
(4.83)
Доведення. Для доведення теореми скористаємо-
ся методом динамічного програмування. Введемо поняття
оптимальної функції вартості Ц/г+ь яка визначається в
дискретні моменти часу від (к + 1)-го до кінцевого (п—
— 1)-го, тобто
= гпіп Л4 { гпіп ЛІ {... хг (п) (лг) 4-
«(^4-1) й(/г-Ь2)
___ ___________________ _
+ У Xі (/) ^2x (/) + и1 (/) 0_3и (/) І Гй+1) І ¥к}. (4.84)
Тоді за принципом оптимальності Беллмана [5] век-
тор оптимального керування можна визначити на підста-
191
ві функціонального рівняння
де
Ц& — гпіп М {Ек + Щ4-1І У&—і},
и{к)
Ек = хг (/е) (},х (к) 4- мт (к) (?3й(к);
У к—\
= {У(О),г/(1),
(4.85)
(4.86)
(4.87)
Припустимо, що стратегія керування полягає в об-
численні вектора керуючих діянь и (к) залежно від попе-
редніх вимірювань вектора вихідних сигналів х. Для
(4.85) граничною умовою при к = п буде
Цп = тіп М {хт (п) (п) | Уп—і} = 7 (п) 0гХ (п) +
й(п)
+ ігО‘1Р(п), (4.88)
де х(п), Р (п) — відповідно умовне математичне сподіван-
ня та коваріаційна матриця вектора стану х(п) при ві-
домих попередніх даних вектора вихідних керованих
змінних У*_1 = (у (0), у (1),у (к — 1)}.
При визначенні граничних умов (4.88) застосовано ме-
тодику обчислення математичного сподівання квадратич-
ної форми, яку викладено в дод. 5. Для обчислення умов-
ного математичного сподівання х (п) і коваріаційної мат-
риці Р (и) можна використати вираз (4.65) і рівняння
(4.66).
Відзначимо, що Ц* є квадратичною функцією
хт (п)С)Ах(п).
Застосуємо метод індукції, щоб довести справедли-
вість цього твердження для загального випадку, тобто
припустимо, що
ц;+1 = тг(£+і1)5(£+ 1)г(£+ 1) + ц(А+ 1). (4.89)
Для доведення підставимо (4.89) у (4.85). Тоді з ура-
хуванням (4.86) матимемо
ЕЦ = тіп М {хт (к) Ц2Х (к) + и1 (к) (к) +
+ [хт(к+1)8(к+ \)х(к+ 1) + ц(*+ ОІ ^-0- (4.90)
192
Оцінка змінних стану виконується за допомогою
фільтра Калмана — співвідношення (4.48), тобто
х (к + 1) = Рх (к) + би (к) + Лф (к) [у (к) — Сх (*)],
або з урахуванням (4.61)
х (к + 1) = Рх (к) + Си (к) + /Сф (к) Ф (к).
(4.91)
Якщо взяти до уваги попереднє рівняння та власти-
вість (4.59), тобто рівняння М {Ф(£)|у(Л—1), ..., у(ко)}=О,
то умовне математичне сподівання й коваріаційну матри-
цю оцінки вектора стану х(& + 1) за умови, що поперед-
ні вимірювання — вектора ¥ к_\ задано, можна визначи-
ти за формулами
М {х (к+ 1) | ¥к-і} = Рх (к) + би (к); (4.92)
М{[х(& + 1) — Рх(к) — би(к)][х(к+ 1) — Рх(к) —
- би (£)]т | ¥к-х}= М {Кф (к) [у (к) - Сх (А)] [у (к) -
— Сх (&)] тКф (А)| Уй_і} = М {КФ (к) [С [х (к) — х (6)] +
+ V, (А)] [[х (к) - х (£)]ТСТ + о2т (*)] КІ (А>)| П-!} =
= /<ф (к) [СР (к) Ст + АГ] Ктф (к).
(4.93)
Використаємо граничну умову (4.88) для обчислення
математичного сподівання квадратичної форми, а також
підставимо (4.92), (4.93) в оптимальну функцію вартості
(4.90). Тоді дістанемо
Ц‘ = тім {хт (к) (?2х (к) + іг (?2Р (к) + иг (к) <23м (к) +
и(к)
+ [Рх (к) + би (к)]т8 (к + 1) [Рх (к) + би (£)]} +
+ іг {5 (к + 1) Кф (к) [СР (к) Ст + ЛЧ КІ (к)} + р, (к + 1).
(4.94)
Вектор оптимального керування и(к) знайдемо, про-
диференціювавши функцію (4.94) по и(к) і прирівнявши
7 — 4-940
193
похідну до нуля. Тоді матимемо
й(к) = — [<?8+ 6Т5(^+ 1)ОГ1ОТ5(^4- І)Гх(^) =
= — К (к) х(к). (4.95)
Підставивши (4.95) у (4.94), після перетворень діста-
немо
ЦІ = 7" (к) 5 (к) X (к) + и (к), (4.96)
де
ад = к1 (к) $3к(к) + с2 + [р-окік^ік +1) х
X [Р — 6К(к)Г, (4.97)
ц(Л) = іг<32.Р(/г) + іг{5(£+ 1)КФ(£)[СР(£)СТ + ЛП X
X КЦк)} + ц(*+ 1). (4.98)
Рівняння Ріккаті (4.97) розв’язується за допомогою ре-
курентної процедури при заданій вихідній матриці 5 (п) =
Таким чином, теорему 4.3 доведено.
Функціональну схему системи ЛКГ оптимального ке-
рування об’єктом показано на рис. 4.2. Особливість її
полягає в тому, що вона буде стійкою, коли інтервал оп-
тимізації керування за часом триває нескінченно довго
(тобто в критерії оптимальності (4.78) п->оо).
Щоб дослідити динаміку замкненої системи керуван-
ня, розробимо її математичну модель. Для цього співвід-
ношення (4.79) запишемо у вигляді
х (к + 1) = Рх (к) + би (к) + /<ф (к) {у (к) — Сх (к)} =
= Рх(к) + би (к) + Кф(к) [—Сх(к) +1)2 (£)], (4.99)
де х (к) = х (к) — х (£).
Віднявши відповідно праві та ліві частини (4.75) від
(4.77), дістанемо
х (к + 1) = [? — Кф (к) С] х (к) + Кф (к) Б2 (к) — йг (£).
(4.100)
Після підстановки в (4.99) виразу и(і) відповідно до
(4.80) матимемо
х(А? + 1) = [Г — 6К(к)]х(к) — 7(ф(к) Сх(к) + Кф(к) й2 (к).
(4.101)
194
Рис. 4.2
Запишемо рівняння (4.100), (4.101) в об’єднаній мат-
ричній формі:
х(*+1) = (/='— Кф(к)С) 0
х(к + 1) ] [ — 7<ф(&) С (Р — 6К(к))
Кф (к) и2 (к) — V! (к)
Кф (к) щ (к)
х(к)
х (к)
(4.102)
Динаміка замкненої системи керування, що описуєть-
ся цим_рівнянням, визначається матрицями [У7 — /(ф(£)С],
[ї7 — СК (&)]. Власними значеннями такої системи бу-
дуть об’єднані власні значення цих матриць, які є полюса-
ми системи.
Реалізація оптимальної системи регулювання. За-
дача регулювання вюсідних координат об’єкта полягає в
стабілізації вектора у (к) на заданому рівні у або в зміні
7*
195
його за заданим законом (проблема слідкування). Для цьо-
го в математичний опис системи необхідно ввести вектор
задавального діяння § вимірністю (г X 1). Покажемо, як
цю задачу можна розв’язати шляхом розширення вектора
стану.
Уведемо новий вектор змінних
к—1
'(*) = У И/В.
/=0
(4.103)
який є сумою помилок регулювання вихідних координат
об’єкта.
У рекурентній формі (4.103) можна записати так:
7(6+!) = ?(£) +у’-у (£); (4.104)
г (0) = 0.
(4.105)
Розглянемо випадок, коли £ = 0. Записавши (4.104)
спільно з рівняннями стану (4.75), (4.76) в об’єднаній
матричній формі, дістанемо
«/(&)
?(/?) ,
VI (к) .
—М*) ]
х(А-)
(4.106)
(4.107)
с о
о і
М*)
0
Задача оптимального регулювання об’єкта в нескін-
ченному часовому інтервалі може бути сформульована
відносно розширеного вектора стану
х(Л)
х' (к) =
(4.108)
Тоді закон ЛКГ оптимального керування при реалізації
зворотного зв’язку можна записати у вигляді
«(£) = — Кх' (к) = [/<! /С2]
х(к)
(4.109)
г(к)
196
Рис. 4.3
де х(к)—оптимальна оцінка вектора стану за допомо-
гою фільтра Калмана.
Функціональну схему оптимальної системи регулюван-
ня, синтезованої на основі моделі об’єкта (4.75) і (4.76),
моделі інтегратора помилки (4.104) та закону керування
(4.109), зображено на рис. 4.3.
4.4. Синтез оптимального дискретного
регулятора стану з вимірністю, незалежною
від запізнювання в об'єкті
та періоду квантування
Розглянемо неперервну в часі модель об’єкта керуван-
ня в стохастичному середовищі, що описується рівняння-
ми
(іх (/) = Ах (/) йі + Ви (і — т) сіі + гілм (і)\ (4.110)
//(/) = Сх(0,
де х(і)— п-вимірний вектор стану; пу(/) — віперів процес
з коваоіантністю и(і — т) — т-вимірний вектор ке-
рування з запізнюванням т, яке через період квантуван-
ня То можна подати в дискретній формі
т = (й-1)Т0+Є.
(4.Ш)
Тут О<0^То, а 1—ціле число, відповідно до
якого т = якщо 0 = 70.
Припустимо, що вектор вихідних змінних у(1) об’єкта
керування вимірюється в дискретні моменти часу:
«/г(^0) = У(^0) + є(^0),
(4.112)
197
де є (кТ0) — похибка його вимірювання у вигляді «білого
шуму» з нульовим математичним сподіванням і коваріа-
ційною матрицею Т?2-
Якщо припустити, що вектор керування протягом пе-
ріоду квантування залишається сталим, тобто и (і) =
= и (кТ0) при кТ0 і < (к + 1) То, а також увести по-
значення
___ - _ 1 „ _
Г(о = еЛ'; о (о = у р (п) ва^-,
0
о(/,т0) =
£ р (і + т0—п) Ле» (п);
і
(4.113)
/?х (О = і Р (ТІ) РсРГ (ті) ЙТІ,
о
то рівняння (4.110) можна записати в дискретній формі
* [(* + 1) То] = Р (То) х (кТ0) + Р (То - 0) О (0) х
X и [(к - гі) То] + с (То - 0) и [(к - Л + 1) То] + V (кТ0, То),
(4.114)
де V (кТц, То) — «білий шум» у дискретному часі з кова-
ріантністю ^(То). Ціле число (і тут відповідає кіль-
кості затриманих сигналів керування и[(к — 1)Т0],...
...,и[(к — гі)Т0], які мають бути введені в істинний век-
тор дискретного стану об’єкта
Х(кТ0)={х(кТ0) и[(к —ії)Т0]... и[(к—1)Т0]}т, (4.115)
де додаткові змінні и[(к — (1) То],..., и [(&—1)Т0] введено
для опису дії запізнювання [28]. При цьому вимірність
вектора стану X (кТ0) дорівнюватиме (тії + п).
Постановка задачі. Для об’єкта керування з запізню-
ванням, який описується рівнянням (4.114), необхідно син-
тезувати оптимальний регулятор стану, щз дає змогу від-
образити властивості замкненої системи з запізнюванням,
використовуючи початкову вимірність п вектора стану в
системі без запізнювання.
При такій постановці задачі вимірність системи з за-
пізнюванням не залежатиме від періоду квантування.
Після синтезу оптимального регулятора стану слід про-
198
вести дослідження точності роботи замкненої системи ке-
рування.
Прогнозування значення вектора стану на час за-
пізнювання в об’єкті. Передбачення значення вектора ста-
ну об’єкта керування на один період квантування вперед
можна дістати з (4.114):
X [(£ +1) то І кТ0] =Р (То) х(кТ0\ кТ0) + Р (Тв - Є) х
X О (0) и {(к — (і) То] + 6(Т0 — Є)и[(к — а+ 1)Т0]. (4.116)
Проінтегрувавши рівняння (4.110) у межах від і= кТ„
до і = кТ0 -|- 9 й використавши позначення (4.113) і при.
лущення и (і) = и (кТ0) при кТп ^.1<.(к+ 1) То, дістанемо
х (кТ0 + 0) = Р (0) х (кТ0) + О (0) и [(£ — О) То] + V (кТ0, 0).
(4.Н7)
Аналогічне інтегрування рівняння (4.110) у межах від
і — кТ0 4-0 до і = (к + й — 1) То 4- 0 дає:
х[(* 4- а— і)То4-0) =Р[(а- і)т0]х(кт0 + е) +
4- £ р [(</- 1 - І) Т„] 6(То) й[(к-а- і) То] 4-
4- V (кТ0 4- 0, аТ0 — То). (4.118)
Підставивши (4.117) у (4.118) і знехтувавши неперед-
бачуваними відліками «білого шуму», запишемо таку фор-
мулу для прогнозування значення вектора стану на час
запізнювання т = йТ0 — То 4- 0:
х(кТ0+х\кТ0) = Ор
х (кТ01 кТ0)
и [(/г — О) То]
= Орх (кТ0 І кТ0),
де
«[(*- 1)Т0]
(4.119)
Яр = [Р (т) р «а - 1) То] б (То) Р [(а - 2) т0] о (тп)...
...Р(То)О(Т0) 6(Т0)]. (4.120)
199
Рис. 4.4
У (4.120) на підставі (4.111), (4.113) використано то-
тожність Р І(сї — 1) То] Р (6) = Р (т), а також розшире-
ний вектор стану (4.115).
Уведемо таке позначення прогнозованого значення
вектора стану на час запізнювання в об’єкті керування!
Гр(/) --=%(/ + т). (4.121)
Застосування цього вектора в рівняннях (4.110) дасть
змогу перенести вхідне запізнювання на вихід об’єкта, як
показано на рис. 4.4. Завдяки цій процедурі вимірність
вектора хр (/) при використанні (4.119) дорівнюватиме п
замість (птії}, а рівняння (4.110) у дискретній формі
при введенні позначень (4.113), (4.121) матимуть вигляд
хр [(А + 1) То] = Р (То) хр (кТ.) + О (То) и (кТ0) +
+ V (кТ0 + т, То);
(4.122)
у (кТ0) = Сх (кТ0) - Схр (кТ0 - т). (4.123)
Синтез оптимального дискретного регулятора. Відпо-
відно до [28] вектор керування, який формується регуля-
тором стану об’єкта в загальному вигляді, тобто стосовно
рівняння (4.122), визначається виразом
и (кТ0) = - Кхр(кТ01 кТ0) + и§ (кТе), (4.124)
де Хр (кТ01 кТ0) — оцінка вектора стану гр(/гТ0) = х(£Т0+т)
за даними (4.123), а и§(кТ0) — опорний сигнал.
Оцінювання вектора стану хр(кТц | кТ0) = х (/?Г0 +
+т (кТ0) виконується з використанням прогнозування
(4.119), причому вектор стану х (/?Т0|/?Т0) попередньо
оцінюється за формулою (4.116) з наступним застосуван-
200
ням фільтра Калмана:
х [(А + 1) Т „І (к + 1) 70] = (кТ01 кТ0)+ би (кТ0) +
+ Кф КЛ + 1) Го] {уг [(А + 1) То] -СІГх (кТ01 Й7'о)+
+ Ои (кТ0)]}.
(4.125)
Тут оптимальне значення матриці підсилення /<ф визна-
чається після розв’язання таких рівнянь з використанням
матриць Р (кТ0), С, (То), Р2:
Кф(к) = Р(к\к— 1)Ст[Я2 + СР(к\к— 1)СТ]-1;
Р(к\к — 1) = ТР(к — 1|Хг— 1Йт + Кі. (4.126)
Р(к | /г)= Р(к | к- 1) — Кф(к)СР(к |*— 1);
Р (01 0)= Ро.
У (4.126) замість матриці Р (к) записано матрицю
Р(/г|/г—1) для явного позначення наявних даних, а мат-
рицю Р(к\к) можна інтерпретувати як дисперсію помилки
оцінювання вектора стану в момент часу кТ0.
/Матриця зворотного зв’язку К регулятора, що входить
до складу (4.124), визначається, виходячи з оптимізації
дискретного лінійно-квадратичного критерію
7 = М (кТ0) 3^ (кТ0) + йт (кТ0) 32ц {кТ.)\, (4.127)
методом динамічного програмування [5], який дає розв’я-
зок рівняння Ріккаті при визначенні матриці /<, як пока-
зано в п. 4.3. Вираз (4.124) з урахуванням (4.119), (4.121)
можна записати так:
и №\) [Орх (кТ01 кТ0)] + иб (кТ0). (4.128)
Для обчислення вектора керуючих діянь и(кТ0) мож-
на скористатися вектором стану Орх(кТ^ р7"0) вимірністю
п, який визначається виразом (4.119). Завдяки цьому ви-
мірність матриці зворотного зв’язку К регулятора знач-
но зменшується, оскільки замість вектора (4.115) вимір-
ністю (п + тії) використовується вектор стану Орх(кТе\
кТц) вимірністю п.
201
Розглянемо властивості замкненого контура цифрово'
го керування. Динамічний режим його роботи, виходячи
з рівнянь системи (4.122) та регулятора (4.128) при враху-
ванні прогнозувань (4.116), (4.119) і (4.125), можна відоб-
разити матричним рівнянням
X, Ц6 + 1) То]
їх 1(6+ 1)70|(6-Ь 1)Т0] З
? (То) - 0 (То) К 6(Т0)КР(х)
б Р (То) - К*СР (То)
+ р (кТ0 + т. То) + 0 (То) Кй (кТ0, т)
[ (І - КС) V (кТ0, То) - ~Кг [(6 + 1) То]
(^о)
*(*Т0 | кТ0)_
(кТо),
(4.129)
0
де х (кТ01 кТ0)= х (^То) — х (кТ0 | кТ0)—помилка оцінюван-
ня вектора стану. Якщо рівняння (4.110) проінтегрувати від
/ = ^710 + т до і = (к + сі)Т0 і використати вираз (4.124),
то значення вектора змінних стану х можна знайти за
формулою
х [(к + сі) То] = Р (То — Є) х (кТ0 + т) + 6 (70 - Є) х
X и (кТ0) + V (кТ, + т, То - Є) = [Р (То - Є) -
- О (То - Є) К] хр (кТ0) + О (То - Є) Кх (кТ0 + т | кТ0)+
+ V (кТ. + т, Го - Є) + С (То - Є) (£Г0), (4.130)
де помилка передбачення значення вектора стану
х(кТ0 + т | кТ0) на підставі (4.119) визначається виразом
х (кТ0 + т | кТ0) =~хр (кТ01 670)=~хр (кТ0) -~хр (кТ01 кТ0) =
= р (т) X (Щ І кТ.)+ V (кТ0, т). (4.131)
Передаточну функцію замкненого контура керування
в каналі «опорний сигнал вектора керуючих діянь — век-
202
тор вихідних керованих змінних» з урахуванням (4.129),
(4.131) можна дістати за формулою
у (г) = - г^с {[7 (То - Є) - 6 (То - Є) 7] [г7 -7 (То) +
+ О (То) ДГ’О (То) + С(Т0- Є)) ие (г). (4.132)
З (4.129) випливає, що полюси замкненого контура
керування визначаються власними значеннями матриць
[? (Го) — О (То) К], [Р (Т0) — К*СР (Г0)]. Додаткові полю-
си, що виникають через наявність запізнювання в дискрет-
ній передаточній функції (4.132), задаються на початку
обчислення вектора керуючих діянь. Це означає, що по-
люси контура в цьому випадку будуть такі самі, як і кон-
тура без запізнювання, за винятком додаткових полюсів,
появу яких спричинює запізнювання.
Контрольні завдання
Вивчити самостійно такі теми:
1. Порівняльний аналіз дискретних регуляторів при детерміно-
ваних збуреннях [15].
2. Синтез оптимального лінійно-квадратичного регулятора при
наявності повної інформації про стан детермінованої системи керуван-
ня [28].
3. Дискретний «білий шум». Марковські процеси. Лінійні стохас-
тичні різницеві рівняння [15, 28].
4. Вибір періоду квантування для регуляторів стану [15, 28].
5. Оцінка змінних стану об’єкта керування при наявності коре-
ляції між вхідним збуренням V1 (к) і шумом у векторі ВИХІДНИХ ВИМІ’
рювань г>2 (к) [10, 38].
Завдання для самостійного розв'язування
1. Математична модель одновимірного об’єкта керування в стохас-
тичному середовищі описується рівняннями
X (к + 1) = 0,4х (к) + (к); у (к) = х (к) + у2 (к),
де (к), у2 (к) — послідовності стаціонарного «білого шуму» з нульо-
вими математичними сподіваннями та коваріаціями відповідно V й N.
Початковий стан х (0) об’єкта має нормальний розподіл з математич-
ним сподіванням М {х (0)} = 0 та коваріацією <?0.
Побудувати фільтр Калмана — співвідношення (4.48)—(4.51). Ви-
значити коефіцієнт його підсилення /СфВ усталеному стані.
2. Математична модель об’єкта керування в просторі стану опи-
сується системою рівнянь
*і (к+ 1)1 [1 її р! (6)1
х2 (к + 1) 0 1 х2 (к)
И*) = [1 0]
Г 0 1
Г 0,4 ]
(*)
(*)] ’
_^2
203
та коваріаційною мат-
; о±(к)—послідовність стаціонарного «білого
де початковий вектор змінних стану має нормальний розподіл з ма-
тематичним сподіванням М {х (0)} = [1 1]
рицею
1 О’
О 1
^о —
з нульовим математичним сподіванням і коваріаційною мат-
У='1 °|.
0 1
шуму»
рицею
Вивести рівняння для визначення коваріаційної матриці по-
милки оцінювання Р (к) та матриці підсилення фільтра Калма-
на. Дослідити швидкість збіжності цих матриць до усталених зна-
чень їх РУСТ, Кфуст-
3. Для системи керування, дискретна модель якої в просторі
стану описується системою рівнянь
1,0 0,21 Гхі (/?)'
0,6 0,2 х2 (к)
и (к);
«/(*) = [! 1]
Л (ку
х2 (й).
побудувати пропорційний регулятор, рівняння якого має вигляд
г х, (к)'
и(к) = — [й2 М .
Полюси замкненої системи керування (Ь± = 0,15; Ь2 = 0,3) від-
повідають характеристичному рівнянню (4.6).
РОЗДІЛ 5
БАГАТОВИМІРНІ МАТРИЧНІ ПОЛІНОМИ!
АДАПТИВНІ СИСТЕМИ КЕРУВАННЯ
ОБ'ЄКТАМИ ЗІ ЗМІННИМИ ЗАПІЗНЮВАННЯМИ
ПРИ ДЕТЕРМІНОВАНИХ ЗБУРЕННЯХ
5.1. Метод синтезу багатовимірних адаптивних
цифрових регуляторів з компенсацією
різних, невідомих і змінних запізнювань
у лінійних об'єктах
У хімічній, нафтохімічній та нафтопереробній промис-
ловості дуже поширені багатовимірні технологічні об’єк-
ти, динамічні параметри яких при експлуатації змінюють-
ся в широких межах. Крім того, внаслідок зміни витрат
сировини та теплоносія, коксо- й кристалоутворення на
внутрішніх стінках трубопроводів ці об’єкти характери-
204
зуються різними запізнюваннями в каналах керування,
значення яких також змінюються й залишаються невідо-
мими. До таких об’єктів належать ректифікаційні колони,
хімічні реактори та ін. 129].
У 115, 28] розв’язано задачу синтезу багатовимірних
ЦР (БЦР) для об’єктів з однаковими та сталими запізню-
ваннями в каналах керування, які вважаються відомими.
Проте скористатися цими результатами для автоматизації
ТП з різними запізнюваннями, які з часом змінюються,
не можна.
Нижче викладено розробку багатовимірного компен-
сатора невідомих і змінних запізнювань у каналах керу-
вання технологічним об’єктом, описано методику проекту-
вання адаптивного БЦР, який працює спільно з компен-
сатором запізнювань і не потребує явної оцінки часу за-
пізнювання. Для оцінки змінних динамічних параметрів
об’єкта, які визначають закон керування БЦР, розгляну-
то алгоритм ідентифікації їх у реальному часі стосовно
замкненої системи керування.
Математично ЗНЧ зазначених об’єктів можна пода-
ти у вигляді розширеної матричної поліномної дискретної
моделі типу ДАРКС, яка описується рівнянням
А(г-')У(г) = В (г), (5.1)
де ¥ (г) — вектор керованих змінних вимірністю (тхі),
спостережуваних у дискретні моменти часу /, розділені
періодом квантування Те; V (г) — вектор керуючих діянь
вимірністю (тхі); А (з-1), В(г-1) — матричні поліноми
вимірністю (тхт) з елементами
Ац (г-1) = а,7- — Ф^г-1 — а2(7г-2 —... — аГі.г ГЧ-, (5.2)
В1}(г-1) = + Ь2..г-? + ... + Ьрц2-рії) (5.3)
(і = 1, 2,..., т; / = 1, 2,..., т),
де — функція Кронекера, причому
1 при і = /;
0 при /у=/;
г-1 — оператор зсуву (наприклад, г-1У (г) = ги— по-
рядок полінома А^Дг-1); Рц — порядок полінома В^Дг-1);
— мінімальне очікуване дискретне запізнювання для
І/-ГО елемента, яке дорівнює цілому числу від ділення
205
Рис. 5.1
часу запізнювання ттіпі7 на То. При цьому порядок рц
вибирається з урахуванням максимального інтервалу змі-
ни дискретного запізнювання в //-му каналі, а саме:
Р ІЗ — г Ц “Ь (^тах^у (5«4)
де йтах,;, ^тіп£у — відповідно максимальне та мінімальне
дискретні запізнювання в //-му каналі, які дорівнюють
найбільшому цілому числу від ділення відповідно часів
запізнювання ттахі7 та ттіпї7 на 70.
Величини ги, рц, для (5.2), (5.3) визначаються
заздалегідь і не належать до параметрів, які необхідно
оцінювати в реальному часі.
Постановка задачі. В [29] розглянуто систему регу-
лювання з компенсатором сталих запізнювань в багатови-
мірному об’єкті, функціональну схему якої зображено на
рис. 5.1. Якщо дискретна передаточна функція №п (?) ЗНЧ
об’єкта лінійна і має сталі запізнювання, то дискретна
передаточна функція багатовимірного компенсатора може
бути вибрана так:
№к (г) = (?) - №п (г), (5.5)
де І^Т(г)— дискретна передаточна функція уявного об’єк-
та без запізнювань, яку можна визначити з рівняння
У(г) = Г£ (г) У (г).
(5-6)
Тут У — вектор незатриманих керованих змінних.
ТЕОРЕМА 5.1. Якщо для об’єкта без запізнювань,
який описується рівнянням (5.6), застосовується ЦР з
дискретною передаточною функцією (?), то введення ба-
гатовимірного компенсатора з дискретною передаточною
206
функцією (5.5) у ланку від’ємного зворотного зв’язку з
цим регулятором дає змогу вилучити дискретну передаточ-
ну функцію №п (г) об’єкта з запізненнями із характери-
стичного рівняння замкненої системи, яка відповідно до
рис. 5.1 може бути подана у формі г-перетворення:
У (г) = №п (г) [7 + <2 (г) ^(г)Г’ <2 (г) О (г), (5.7)
де б(г)— вектор задавальних діянь вимірністю (/ихі).
Доведення теореми наведено в дод. 7.
Стійкість такої системи керування визначається розта-
шуванням коренів її характеристичного рівняння сіеі [1 +
+ б (?) І^Цг)! =0, яке містить тільки дискретну переда-
точну функцію №1 (г) об’єкта без запізнювань. Отже, за-
пізнювання не впливають на стійкість замкненої системи.
Проте це дійсно тільки тоді, коли модель керованого об’єк-
та абсолютно адекватна його динаміці, а динамічні пара-
метри і запізнювання об’єкта відомі.
Задача полягає в побудові для об’єкта керування, мо-
дель якого описується рівнянням (5.1), БЦР, який забез-
печує бажаний перехідний процес у замкненій багатови-
мірній системі під час зміни динамічних параметрів і за-
пізнювань в об’єкті. Щоб при зміні запізнювань ураху-
вати параметри розширеного матричного полінома В (г“!)
з елементами (5.3), модифікуємо багатовимірний компен-
сатор з дискретною передаточною функцією (5.5). Для цьо-
го функцію (г) на підставі (5.1)—(5.3) запишемо у ви-
гляді
ГДг) = [Д (г~’)]-12В (г),
де елементи матриці 2В(г) визначаються такі
2Вм(г) = (^^.)г-Ч
6=1
(5-8)
(5-9)
Для синтезу БЦР треба розробити оптимальну струк-
туру регулятора й алгоритм автоматичного настроювання
його параметрів.
Проектування оптимальної структури БЦР з компен-
сацією змінних запізнювань при відомій динаміці об’єкта
керування. Лїатрична дискретна передаточна функція замк-
неної системи, до складу якої входить уявний об’єкт ке-
рування без запізнювань з передаточною функцією (5.8),
207
має вигляд
н (г) = [7 + (2) <2 (2)]-1 (?) (2 (2), (5.10)
де Ц (х) — дискретна передаточна функція регулятора,
призначеного для цього об’єкта.
Якщо бажану дискретну передаточну функцію Н (х)
замкненої системи наперед задано, то з (5.10) можна ви-
значити дискретну передаточну функцію Сопт(^) опти-
мального ЦР для об’єкта без запізнювань:
0оПТ (2) = гг' (г) Н (г) [7 - Н (2)]-1.
(5-11)
При цьому дискретна передаточна функція Н (?) зв’язує
вектор незатримання керованих змінних ¥ (?) з вектором
задавальних діянь 6(х) таким співвідношенням:
у (2) = н (2) О (г).
(5.12)
З (5.12) випливає, що при діагональній матриці Н (г)
перехресних зв’язків між елементами О (г) і У (г) не буде.
Таким чином, якщо Н (х) вибрати у формі діагональної
матриці, то регулятор з дискретною передаточною функцією
(5.11) буде ліквідовувати взаємодії в замкненій системі,
які спричинюють недіагональні елементи матриці (г)-
Тому за бажану дискретну передаточну функцію багатови-
мірної замкненої системи для об’єкта керування без за-
пізнювань вибирається діагональна матриця Н (г) з еле-
ментами, які визначаються виразом
У (г) // (г) = -ттЦТ-- “ ' ' 0 (г) (1 — е~Г"/ТзаГі) г-1 = _т ІТ . , 1—1,2 т, (5.13)
і є дискретними передаточними функціями аперіодичної
ланки першого порядку за умови, що на вхід об’єкта по-
даєіься одиничне ступінчасте збурення. Для регулювання
швидкодії перехідного процесу в г-му контурі як параметр
настроювання можна вибрати сталу часу Т3аГі- ї-го каналу
в (5.13).
Дискретна передаточна функція ЬЦР з компенсато-
ром запізнювань відповідно до рис. 5.1 матиме вигляд
Гр (2) = [/ + <? (2) (2) - Гп (2)]]-1 $ (2). (5.14)
208
Для проектування оптимального БЦР з компенсацією
запізнювань в об’єкті керування необхідно в (5.14) за-
мість 0 (?) підставити дискретну передаточну функцію
фопт (?), яка визначається виразом (5.11). Перед підста-
новкою слід, користуючись математичним апаратом мат-
ричного числення [11], перетворити функцію (5.14) до
такого вигляду:
(?) = КГ1 (2) [Г+’е (2) (?) - (2)]]]-1.
Після розкриття цього виразу матимемо
гр (?) = КГ* (?) + Ж (г) - №п (г)]"1. (5.15)
Підставивши в (5.15) функцію (5.11), дістанемо
(2) = [Ігт1 (г) Н (?) [7 - Н (?)]-']-’ + (г) - (г)]-1’
Перетворення правої частини цього рівняння за пра-
вилом обернення добутку квадратних матриць дає вираз
^р (2) = її? - Н (?)] Н~' (г) (?) + (?) - №п (г)Г‘,
який після спрощення матиме ВИГЛЯД
(?) = [Н~1 (?) Гл (?) - №п (г)]"1.
Це співвідношення можна записати в проміжній формі
Гр (?) = [Н~' (?) Н (?) [Н~' (?) (?) ->п (?)]]“',
а після перемноження матриць — у формі
Гр (?) = ІН-' (г) [Г£ (?) - Н (?) №п (?)]]"
Виконавши обернення добутку квадратних матриць,
остаточно дістанемо
(2) = [Й7 (г) — Н (г) Гп (г)Г1 Н (?). (5.16)
Вираз (5.16) визначає оптимальну структуру дискрет-
ної передаточної функції БЦР з компенсацією запізнювань
в об’єкті керування, причому здобуто цей вираз об’єд-
нанням дискретної передаточної функції (5.11) оптималь-
ного за (5.13) регулятора для уявного багатовимірного
об’єкта без запізнювань і записаної в загальному вигляді
дискретної передаточної функції (5.14) БЦР, який при ви-
конанні умов (5.8), (5.9) здійснює компенсацію невідомих
і змінних запізнювань в об’єкті.
Розробка загального алгоритму проектування опти-
мального БЦР з компенсацією запізнювань в об’єкті ке-
рування. Матрична дискретна передаточна функцій
замкненої системи визначається так:
2С9
У (2) = [/ + Гп (2) №р (г)Г1 №п (2) ІУр (2) О (2). (5.17)
За правилом обернення добутку квадратних матриць
цей вираз можна записати у вигляді
У (2) = [№7* (?) (2) [7 + №п (2) №р (2)]]-10 (2).
Після спрощення останній вираз матиме вигляд
У (2) = [№?’ (2) №7* (г) + 7]-’ о (г).
Підстановка сюди (5.16) дає вираз
у (?) = [[[^ (?) - Н (г) (2)]-177 (г)]-1^?1 (?) + 7Т’ б (?),
який після перетворення набуває вигляду
Г (?) = [Я"1 (2) [Гл (2) - Н (2) №п (2)] ІУ71 (?) + 7]-1 0 (г) =
= [/7-1 (г) Гь (г) ІУ71 (г)Г* 0 (г).
Якщо до цього виразу застосувати правило обернення
добутку квадратних матриць, то остаточно дістанемо дис-
кретну модель оптимальної замкненої системи керування
у вигляді
У (2) = Гп (2) [№ь (2)Г1 Я (?) 6 (2). (5.18)
Загальний алгоритм проектування оптимального БЦР
з дискретною передаточною функцією (5.16) і компенса-
цією невідомих запізнювань в об’єкті керування зводить-
ся до послідовного виконання таких дій:
1. Визначення бажаної оптимальної дискретної пере-
даточної функції (5.18) замкненої системи.
2. Виведення виразу дискретної передаточної функції
Ц/р(г) оптимального БЦР шляхом прирівнювання відпо-
відно загальної та оптимальної дискретних передаточних
функцій (5.17) і (5.18) .
При підстановці в (5.18) виразу (5.8) і виразу (?) —
= [Л (з-1)]-1# і?-1) відповідно до (2.1) можна помітити,
що нулі дискретної передаточної функції Ц7П (?) ЗНЧ об’-
єкта керування, спричинені коренями матричного полінома
В (т~!), є нулями дискретної передаточної функції замкне-
ної системи. Це означає, що БЦР з дискретною передаточ-
ною функцією (5.16) і компенсатором запізнювань не га-
сить нулів функції Ц7П (?) при забезпеченні стійкості замк-
210
неної системи. Таким чином, розглянутий метод синтезу
БЦР можна застосувати для немінімально-фазових об’єк-
тів керування.
Якість роботи багатовимірної системи керування можна
значно підвищити, якщо забезпечити компенсацію пере-
хресних зв’язків у ній. Класичним способом усунення цих
зв’язків є створення автономної системи керування. Від-
повідно до [29] автономне регулювання в замкненій систе-
мі по каналу «вектор задавальних діянь — вектор вихід-
них керованих змінних» забезпечується тоді, коли пере-
даточна матриця (5.18) буде діагональною.
У динамічному режимі добуток матриць №п (?) ИГГ1 (?)
у (5.18) не буде діагональним. Однак в усталеному ре-
жимі в добутку
№п(г) ЙТ1 (г) = А-1 (2-‘) В (г-1) [Я-1 (г”1) 2В (г)Г* =
= А~' (г-1) В (г-1) [2В (г)]-1 А (г-1)
матриці 5 (г ’) і 2В (г) будуть тотожними, тому В(г )х
X (г)Г* = 7. _ _
Отже, в усталеному режимі (г) (г) = І, і пере-
даточна матриця в (5.18) буде діагональною завдяки ді-
агональності матриці Н (з) відповідно до виразу (5.13).
Реалізація адаптивного БЦР. Динамічні параметри
об’єкта керування під час його експлуатації поступово мі-
няються й залишаються невідомими. При заданій дискрет-
ній передаточній функції
Н (г) = [7 — діа§ {е 7’“/7’загй) г-1]-1 [/ —
і* ( Т’о/Гзаг,-?’), і
-—аіа§ {е }] 2,
(5.19)
діагональні елементи якої визначаються згідно з виразом
(5.13), для реалізації оптимального БЦР з дискретною пе-
редаточною функцією (5.16) необхідно мати інформацію
про параметри дискретних передаточних функцій об’єк-
та керування з запізнюваннями, тобто №п(з) = Д"*1 (з-1)х
X В (з-1), і уявного об’єкта без запізнювань, тобто
(з) = Д-1 (з-1) 2В (з), які визначаются виразами (5.2),
(5.3) та (5.9).
Для оцінки параметрів об’єкта в реальному часі рів-
няння (5.1) запишемо у вигляді різницевого рівняння.
Стосовно ї-ї вихідної керованої змінної матимемо
2і1
У І («) = У] £ акцУі (п — к) +
/=1 6=1
+ У Ьк^і (п — к — б/пііп17) +
7=1 &=1
(5.20)
де параметр 6^ характеризує зсув, зведений до виходу об’-
єкта керування.
Рівняння (5.20) можна записати у векторній формі, а
саме:
У і № = (п — О 0і (п — 1), (5.21)
де 4? — вектор вимірюваних координат у 4-му каналі, при-
чому
’І’і (п — 1) = Ії/Х (п — 1),..., ут (п — Гіт),
(п. 1 ^тіп,-і)> ••• , Чр{П рі (Ірпіп, ), 1].
а 0г— вектор невідомих параметрів у цьому ж каналі,
причому
0? (п - 1) = [а*;1,..., Ь\1,..., Ь{™т, бг].
Вектори параметрів 0£ в (5.1) оцінюються за такою об-
числювальною процедурою РМНК:
= {Рі(п— 1) — Рі(п— —(п —
р..
— 1) Рі (п — 1) 1|>І (л — 1) + Ні] \>і (п — 0 РІ (« ~ >)};
(5.22)
(«) = (п — 1) + ~Рі (п) ір4 (п — 1) [уі (п) — (п —
-1)0;(п- 1)].
(5.23)
У випадку багатовимірних об’єктів керування, ЗНЧ
яких описується рівнянням (5.1), процедура (5.22), (5.23)
виконується т разів в кожному періоді квантування Го
окремо для кожного вектора невідомих параметрів 0і
(4=1, 2, ..., т).
212
Обчислення вектора поточних керуючих діянь. Закон
керування оптимального БЦР (5.16) можна записати
так:
0 (г) = (2) - Н (г) №п (г)Г'Я (г) Е (2), (5.24)
де Е (?) = 0 (?) — ¥ (х) — вектор помилок регулювання ви-
мірністю (т х 1).
Для раціональної організації багатовимірного алго-
ритму керування об’єктом рівняння (5.24) треба подати
у формі
[Гь (2) - Н (2) (2)] й (г) = Н (2) Е (2). (5.25)
Підставивши в (5.25) вирази №п(2) = Л-1 (2—1) В (2~’)
і ^(2), Н (х) відповідно до (5.8), (5.19), дістанемо рів-
няння БЦР, яке після виконання ряду перетворень зве-
деться до системи т одновимірних рівнянь, яку необхідно
розв’язати для кожного періоду квантування, щоб ви-
значити поточні керуючі діяння. При цьому потрібно ви-
конувати процедуру обернення матриці 2 В (2), елементи
якої визначаються виразом (5.9). Ця процедура досить
проста при вимірностях матриць (2 X 2) та (З X 3).
У разі відсутності взаємодії керованих змінних (і =
= 1, 2, ..., т) елементи матричного полінома А (х) будуть
діагональними. Стосовно цього випадку, характерного
для широкого класу об’єктів, розглянемо процедуру об-
числення вектора поточних керуючих діянь при реаліза-
ції БЦР з законом керування (5.24) для об’єкта з дискрет-
ною передаточною функцією 1ГП (?) вимірністю (2x2).
При цьому дискретні передаточні функції №п (х), (2)
і Н (2) можна записати у формі
- ЇВ,, (2) ЗВ12 (;)-
Дц (2) Дц (2)
£В21 (2) ?В22 (2) ;
А'22 (2) ^22 (2)
^11
Дц(г)
^21 (2)
^22 (2)
№п(х) =
; ЖіАг) =
^12 И/
Дії (*)
^2 2 (г)
^22 (2)
Після підстановки (5.26) у (5.25) і виконання ряду
перетворень дістанемо систему рівнянь
213
2ВИ (2) (7Х (г) + 2В12 (2) С/2 (2) = Л\ (2);
ІЗВ21 (2) 1/х (2) + 2В22 (2) ІУ2 (г) = Л/2 (2), (5-27>
розв’язавши яку, знайдемо вирази керуючих діянь у яв-
ному вигляді, а саме:
її = ^^2 2 (г) ^1 ^^12 (г) ^2 (г) . /К ПО\
1 ' 2В„ (2) 2В22 (г) - 2В12 (2) 2Я21 (2) ’
[і (7\_ (2) М2 (г) 2/?2і (?) Л\ (2) /г пп\
2 { } (?) 2В22 (г) - 2В12 (2) 2В21 (2) ’
де
N. (2) = е-г«/2^. г-> [2В1Х (2) О’хх (2) + 2В12 (2) 1/2 (2)] +
+ (1 - 2-і [Л11 (г) Еі (г) + Вц (2) (г) +
+ В12 (г)1/2 (г)];
N. (г) = е-г«/гзаг, 2-і [2я21 (2) [/х (г) + 2В22 (2) У2 (2)] +
+ (і -е-г»/гз^) г-1 [А22(г) Е2 (г) + В21 (2) (2) +
+ В22 (г) и2 (2)].
Тут Ег (г) = 6Х (г) — Ух (г); Е2 (г) = С2 (г) — ¥2 (г).
При реалізації законів керування БЦР на керуючій
мікроЕОМ вирази (5.28), (5.29) подаються у формі різ-
ницевих рівнянь.
Приклад 5.1. Порівняємо якість роботи оптимального БЦР з
законом керування (5.28), (5.29) і неадаптивних (ПІ) регуляторів сто-
совно дистиляційної колони, в якій здійснюється відокремлення ме-
танолу від води. Початкова математична модель колони описується та-
кож матричною передаточною функцією, наведеною в [29]:
— 8,9 е-1808
1260 « + 1
— 19,4 е-1808
864 5 + 1
С/х («)
і/2 (5)
3,8 є-4868
4,9 е 2048
(5.30)
де — молярна концентрація метанолу в дистиляті; У2 — молярна
концентрація метанолу в залишку; С/х — витрата верхнього рецирку-
ляційного потоку; 1/2 — витрата пари на вході в підігрівник; X — ви-
трата вхідного потоку.
214
У разі збільшення витрати вхідного потоку на 15 % коефіцієнти
передачі, а також запізнювання в об’єкті керування зменшуються.
Тоді функція (5.30) набуває вигляду
— 8,4 є-1205
1260 « + 1
- 8,8 е-608
864 5 + 1
(5.31)
За методикою вибору періоду квантування, описаною в п. 1.8, То =
=60 с. Тоді функція (5.30) з урахуванням даних прикладу 1.7 ма-
тиме вигляд
0,7424 г—1
1 — 0,94187 г—1
0,5786 г—1
1 — 0,91233 г—7
/ 0,8788 г~1
\ 1 — 0,95349 г—1 )
/ 1,28 г~1 \
\ 1 —0,93292 г-1 /
(5.32)
Уі (г)'
. (г).
а після зміни режиму колони, математична модель якої описуєть-
ся рівнянням (5.31), — вигляд
0,3538 г—1
1 _0,94187г-1
0,3068 г~1 \
. 1 — 0,91233 г—1 /
' 0,3906 г~1 \
< 1 — 0,95349 г—1 /
' 0,5808 г~1 \
. 1 — 0,93292 г—1 /
(5.33)
’ У і (?) '
. ^2 (г) ] '
Якість роботи оптимальних адаптивних БЦР розглянемо, порів-
нявши її з роботою звичайних одновимірних цифрових ПІ регуляторів,
дія яких відображується рівнянням
“і ю = кРІ
о
е (п) +
Л* ї=о
1= 1,2.
Ці регулятори оптимально настроюють за методикою безпосереднього
синтезу, розглянутою в [23] для найгіршого режиму роботи колони,
який описується рівнянням (5.30) з найбільшими запізнюваннями. При
цьому параметри ПІ регуляторів мають такі значення: кр^ = 0,08;
= 970 с; кр* = —0,037; = 830 с.
На рис. 5.2 показано графіки перехідних процесів під час зміни
координат Уі (г), У2 (г) при зміні задавальних діянь регуляторів в
системі керування з ПІ регуляторами, настроювання яких виконано
для об’єкта, математична модель якого описується рівнянням (5.32).
Для зміненого режиму роботи колони, коли її модель відображується
рівнянням (5.33), ПІ регулятори, що працюють без адаптації парамет-
215
рів, розстроюються, а дія їх стає уповільненою при зміні задавальних
діянь О1, й2, що випливає з рис. 5.3.
Тепер розглянемо якість роботи двовимірної системи керування,
до складу якої входить адаптивний двозв’язний ЦР із законом керу-
вання (5.28), (5.29) і розширена дискретна модель об’єкта, яка на під-
ставі (5.1)—(5.3) та (5.32) описується рівнянням
216
Рис. 5.3
Тоді дискретна модель уявного об’єкта керування без запізню-
вань з передаточною функцією (5.8) матиме вигляд
М11’?-1 ( &<12’+6<12> \
--------------Г І--------------Г ) г 1
( = 1 — 0,94187 г~х \ 1 — 0,95349 г-1 /
/Ц21>+^21>+М321ч^21)\ _1А!22)+^22) + ^22)\
\ 1 — 0,91233 г~1 / 2 \ 1 — 0,93292 г~1 / 2 _
Як настроювані параметри для досягнення бажаної дискретної
передаточної функції Н (г) відповідно до виразу (5.13), які визначають
швидкодію перехідного процесу в замкненій системі керування, ви-
бираємо 7"заГі = 1300 с, ТзаГ2 = 900 с.
На рис. 5.4 та 5.5 зображено графіки перехідних процесів під час
зміни керованих координат У] (г), У2 (?) у двовимірній замкненій си-
стемі керування з адаптивним БЦР до й після зміни режиму роботи ко-
лони. Чітко видно, що адаптивний БЦР забезпечує оптимальну якість
керування нею при зміні динамічних параметрів і запізнювань порів-
няно з застосуванням неадаптивних ПІ регуляторів, якість роботи
яких відображують рис. 5.2 та 5.3.
Моделювання двовимірної системи керування з адаптивним БЦР
виконувалось на персональній ЕОМ «Искра-1030-11» за програмою
СОХТКОЬБЕК-6, наведеною в дод. 9. Для цього рівняння (5.34) було
записано у вигляді двох взаємозв’язаних рекурентних рівнянь:
217
Рис. 5.5
Уц = -
+ Ь' “'^Итіп-1
+ М12)
+ 6<12>«
4М
2/-Й
12тіп—2
^1—*<<і2тіп—1
#2, = ~ ^22^9, . + &121)Иі. . + &22і>Иі. . о Ч~
4-612І^а. -1-М21)#. + ^і22^2/ +
^21 тій—3 ^~^21тіп***^ ^22тіп“' 1
+ Ь^и2 + ^з22>п2/ о +
2 ^тіп—2 3 2/—йггтіп—3
при запізнюваннях Д1ІП)ІП = 1, Д12т1п= 2, 421т1п= 4, Д22т|п= 1.
На підставі (5.28), (5.29) керуючі діяння ЦР в кожному такті
квантування визначаються виразами
де поліноми обчислюються за допомогою таких рекурент-
них процедур:
N.. = е-х-г» {брЧ, .+ [6(і12) + ^12)1 и2 } + (1 - е-х*г») X
р " ' в 1 іг Л
^222)^2 + я
2/-^22тїп~2” 3 2/-^22тіп-3
219
Тут помилки регулювання Е1 = О1 — у1г Е, = О„ — у,, а коефіці-
енти = 1/7заГі, Л2 = 1/Тзаг±.
Цифрове моделювання двовимірної системи керування про-
водилось на персональній ЕОМ «Искра-1030-11» за програмою
СОМТКОШ-ЕК 6, наведеною в дод. 9, при таких параметрах об’єк-
та: = —0,94187; с22 = —0,91233; = 0,7424; 6<12> =
= — 0,9223; 6<12> = 0,0078; 6<21> = 0,5786; б*22» = — 1,28; 6<21’ =
=-0,019; 6<21’=0,008; ^21> =0,006; 6<22>= 0,026; 6<22>= 0,007;* 6, =
= 0,558; 62 = 0,0438. Параметрами настроювання регулятора були
= Х2 = 0,006; То = 60 с.
На рис. 5.6 і 5.7 показано графіки оцінювання складових век-
торів параметрів = [аи, б/11’, 6і<12), &г12), 6,] і б/ = [а22Лі2°,
7(21) 7(21> а(21> 7(22> 7(22> 1<22> ї. •
0о , 03 ,04 , 01 ,02 ,03 , О2] ВІДПОВІДНО В першому ТЗ
другому каналах об’єкта за РМНК при таких початкових значен-
нях цих параметрів:
Я^ПОЧ -1,6; #22ПОЧ = -1,5; ^(11) = лпоч 0,9;
ь(12) - - °іпоч -1,1; ь(12) - °2ПОЧ 0,0078; л(21) - ^іпоч = 0,3;
ь(22) — . 01ПОЧ -1,8; ь(21) — 02ПОЧ 0,021; ь(2И — ^ЗПОЧ 0;
_Л. $,(22) - ПЛ2. л(22) __п.
^4ПОЧ 0» ^2ПОЧ 0,03, Ь зпоч 0,
біпоч = °.4; «2ПОЧ = 0.°5-
Приклад 5.2. Спроектуємо ЦР для тривимірного об’єкта керу-
вання (ректифікаційної колони) з різними запізнюваннями в ньому,
якщо матрична дискретна передаточна функція об’єкта визначаєть-
ся виразом
(*) =
Лц (?)
^21 (?)
^22 (2)
в31 (г)
_ ^33 (2)
^12 (г) #13 (г) І
^11 (2) Дц (?) І
&22 (г) &23 (г)
^22 (^) ^22 (?)
^32 (2) ^33 (2)
^33 (2) ^33 (г) —
(5.35)
де поліноми відносно оператора зворотного зсуву г 1 мають вигляд
Д1Х (?) = 1 а11г~1= 1— 0,94187 г~1;
^22 (г) = 1 4~ 0222”1 = і — 0,91233 г~1;
Д33 (?) = 1 + = 1 — 0,93292 г~1;
В1Х (г) = (Ь}11^”1) г 4/1101111 = (0,7424 г"*1) з-1»
220
В12 (г) = (Ь(1І2,г 1 + ^г*2*2 2) 2 ^',тіп =
= [— 0,9223 г“‘+0,0078 г-2]г-2;
В13 (г) = + г><13>2-2 + й<13>2-3 + 6<13)2~4] 2“‘/’зтіп =
= [0,8233 г—1 + 0,08 Г2 + 0,02 Г3 + 0,006 г-4] г-3;
221
Рис. 5.7
В„ (2) = + ^2”2’2 + г’з21’*-3 + ^2,’г-4І ^‘гаіп =
= [0,5786 г—'+0,019 г-2 +0,008 г~3 + 0,006 г—4| г~4;
В22 (г) = [^22,г-' + Ь^г~2 + Ь™г~3] г^23”'" =
= [— 1,28 г~' +0,026 г—2 + 0,007 г~3] г-1;
Вм (г) = [&}23)г~'] г—‘'23тіп = [0,725 г '] г~2;
(г) = [6<31,г~'+ &231>г 2] 2 Й31тіп = (0,12 г '+0,01 г 2) г 2:
В32 (г) = [б'^'г-' + 5^32)г-2] г-"'*32'”"1 = (0,57 г~' + 0,1 г~2) г-2;
В33 (г) = [^33)г-‘ + &Г3)г“2 + ^з33’2-3! 2-'/33т'П =
= [0,7626 г”’ + 0,02 г-2 + 0,005 г-3] г-4.
Матричну дискретну передаточну функцію тривимірної замкненої
системи керування, до складу якої входить уявний об’єкт без запіз-
нювань, на підставі (5.13) можна записати так:
0
0
0
^22 (*)
0
0
0
Н33 (г)
Є~^іГ°) 2 1
е—МЛ>2—
0
0
0
е~Лг'°) г~
е—^2ТО2— 1)
0
Цифрове моделювання спроектованої системи керування проведе-
мо на персональній ЕОМ «Искра-1030-11» при таких настроюваних па-
раметрах і задавальних діяннях регулятора: = Х3 = 0,002;
То = 60 с; Оі = 4; 62 = 0,5; О3 = 1.
Після підстановки виразів №п (г), Я (г) у матричне рівняння
(5.25) і виконання ряду перетворень дістанемо таку систему рівнянь,
які описують дію оптимального БЦР:
2£п (2) У, (г) + 2^12 (2) ^2 (г) + 2^13 (2) ^з (2) = (2);
2^21 (г) (2) + 2^2 <г) (г> + 25=з (г) уз (2) = (г);
2взі (г) (2) + 2взз (2) У і (2) + 2Взз (2) Уз (г) = N3 (г).
223
Розв’язавши цю систему рівнянь, знайдемо вирази поточних ке-
руючих діянь, а саме:
[2взг (?) 2вгз (г) - ЇХ (г) У В33 (г)] Н1( +
+ [2Віз (г) ЇХ (г) - Цв12 (г) У В23 (г)| Л/3< +
+ [ЇХ (г) ЇХ (г) - £Х (г) 2В32 (г)] X
£Вц (г) [2В2з (г) 25з2 (г) - ЇХ & ЇХ (*)] + '
+ ЇХ (г) [ £в13 (г) £в22 (г) - 5}В12 (г) £В23 (*) | +
+ ЇХ (2) [2Ві2 <2) ї5зз (г) - 2Віз (*) ЇХ (*)] і
[2В2і (г) 2взз (г) - ЇХ (г) У В31 (г) ] X +
+ [2віз (г) 2взі (г) - ЇХ (г)У>33 (*)] X +
+ [2Ви <г> ЇХ (2) ~ ЇХ (2) ЇХ (2)] X
ЇХ <2) [2В23 (2) ЇХ (г) - ЇХ (2) 2взз (г)] + ;
+ 2В31 (2) [2В13 (2) 2В22 (2) - 2В12 (2) 2В23 (*)] +
-Г 2В2і (2) [ ІВ12 (г) 2взз (г) - 2-В13 (г) ^зз (*)]:
[2В11 <2> 2В32 (2> - 2ВІ2 <2) 1В31 <2>]
+ [2В22 (2) 2В31 (г) - 2В2і (г) І>32 (г)] +
+ [2В12 (2) ЇВ21 (2) -2В11 (2) 2В22 (г)1 К3{
2ви (г) [2>23 (2) ЕВ32 (г) - 2В22 (г) ї^33 (г)] + ’
+ £В31 (г) [2В13 (г) ^В23 (г) - ^В12 (г) ^В23 (г)] +
+ 2В2і (г> [2Ві2 (г) І33 (г) - 5]В13 (г) Х>32 (г)] ,
Де
Л'1, = е-^ог-1 [2Вц (г) (г) + Ув12 (г) У2 (г) +
+ УВіз (г) У3 (г)] + (1 - е-х>Г») г~' [Лх1 (г) Ех (г) +
+ ВХ1 (г) (г) + В12 (г) У2 (г) + В13 (г) і/3 (г)];
Л'з, = е-х*Г«г-1 [ £в2] (г) (г) + ^В22 (г) У2 (г) +
224
+ 25-23 (г) У З (?)] + (1 - є-1’7») г~' X
X [Д22 (?) 52 (?) + Вг1 (г) (?) 4- В.» (?) і/2 (г) + й23 (г) (73 (?)];
= є-1"7»?-1 [253і (?) (*) + 2Вза (?) и і (г) +
+ 25зз (г) из (?)| +(• — е Х,7‘)? 1 |Д33 (?) Е3 (?) +
Ч- 2®31 (г) № *Ь 2|539 (2) ^2 № "Ь 2^38 № УЗ (г)| •
Тут 5, (г)= 0| (?) - У, (?), 52 (?) = С, (?) - Га (?), Е3 (?) = Оа (?) -
— /<,(?), а коефіцієнти >.,= 1/7'чаг<; Х2= 1/7’.аР?; Х3= 1/7\аг,> ПРИ*
чому ^заГ1, Т'загг’ Лагч є загальними сталими часу замкненої сис-
теми керування відповідно в першому, другому та третьому іі ка-
налах.
З урахуванням виразу (5.9) і поліномів матричної дискретної
передаточної функці’ (5.35) визначаємо елементи матриці (г):
2,5ц (г) = Ь<11 >?—1 = 0,7424 ?_|;
(?) = + б*12»] г~» = _ 0 9и5 г-1.
2віз (г) = [*{13> + &Г3’ + *Г3> + ^Г3’! г“' = °>9293 г“';
25а1(г) = [^’+(>Р»
? 1 = 0,6116 ?
2522 (?) = [б!22' + ^22> + &<22>] ?-’ = - 1,247 ?-•;
Уй23 (?) = б}23’?-1 = 0,725
2581 (?) = [&{3,) + &',3"] ?-’ = 0,13
2582 (?) = [6<32> + Ц32>] ?-* = 0,67 ?-';
Уезз (?) = [і;331 + ^33> + г>|33)] ?-’ = 0,7876 ?-’.
Цифрове моделювання тривимірної системи керування виконува-
лось за програмою СОІЧТКОЕЕЕН-7, наведеною в дод. 9. Для цього
матричва дискретна модель об’єкта (5.35) була записана у вигляді трьох
взаємозв’язаних рекурентних рівнянь:
^2/ — ~ а22 "2^
Ь6<2')„ „+ь(,22Ч
^^Ігпіп-*4 —ш^22піп
8-4-940
225
Рис. 5.8
^22 >°22
і
Ь/
Рис. 5 9
Рис. 5.10
-4-/?!32)«о +М33)«з 4-
/ ^32тіп 1 ^32тіп 2 ^ЗЗтіп
З/ ^ЗЗтіп'-
"“^ЗЗтіп З
При запізнюваннях ^Птіп ^І2тіп 2, ^(Згп'п ^21тїп —
^22тіп = 1* ^23тіп ~ 4итіп ~ 4з^тіи ~ ^ЗЗтІп — 4 та зсувах
= 0,23252, 62 = 0,043835, 63 = 0,06708.
На рис. 5.8—5.10 показано графіки оцінки векторів параметрів
відповідно в першому, другому та третьому каналах об’єкта керування
за РМНК при таких початкових значеннях параметрів:
у першому каналі
°ііпоч ~ 0’5» ^їпоч = 0,4; ^{поч = 0,5;
« = 0,003; « = 0,4; « = 0,04;
« = 0,005; &<;3>ч = 0,003; б|поч = 0,23;
у другому каналі
«, = -0,5; «=0,3; « = 0,005;
« = 0.003; « = 0,003; « = - 0,5;
«,=0,01; « = 0,002; «=0,3; « = 0,04;
у третьому каналі
“ззпоч = - 0.5; « = 0,05; « = 0,005;
« = 0,2; = 0,05; &<3П3’, = 0,4;
« =0.01; « = 0,002; 63поч = 0,06.
5.2. Принцип різнотемпового квантування
при синтезі багатовимірних адаптивних
регуляторів для лінійних об'єктів керування
з різними та змінними запізнюваннями
У п. 5.1 розглянуто задачу синтезу багатовимірної
адаптивної цифрової системи керування, в якій передбаче-
но компенсацію різних і змінних за часом запізнювань в
характеристичному рівнянні замкненої системи
229
Погреба в розв’язанні цієї задачі пов’язана зі значни-
ми складностями, якщо запізнювання в різних каналах
керування значно відрізняються між собою. При зада-
ному мінімальному періоді квантування ТОтіп тіп т£,
1
де тіп — найменший час запізнювання в каналах ке-
рування, порядок дискретної моделі об’єкта різко збіль-
шується в каналі з найбільшим запізнюванням гпах т£. Це
призводить до появи великого числа коефіцієнтів, які
необхідно оцінювати в реальному часі за РМНК. У зв’яз-
ку з цим значно збільшуються витрати машинного часу,
а точність оцінки параметрів об’єкта за РМНК знижу-
ється .
Для усунення зазначеної складності доцільно скорис-
татися різнотемповою моделлю ЗНЧ багатовимірного об’-
єкта керування типу ДАРКС, яка описується рівнянням
А(г ') у [пг7\.] = В (г ') діа§ {г,- /,тіп} и
і = 1, 2,..., т, (5.36)
де _
А (г-1) = І + сііа£ {г?1} + ••• + Ак діа§ {гГ*}; (5.37)
В(г ‘) = Вг діаа {г, '} + ... 4- Во
сііа§ {гі Ртах}; (5.38)
уІ/г^То-] — вектор керованих вихідних змінних вимірністю
(тхі), які вимірюються в дискретні моменти часу і =
=піТОі (То.— період квантування в гму каналі); и [піТ0.] —
вектор керуючих діянь вимірністю (тхі) у моменти часу
{(пі + 1) Тоії, Vі —оператор зворотного зсу-
ву на один період квантування То. в 6-му каналі, наприк-
лад г~'у = у 1(«4 — 1) То<]; Аи ..., Ак — діагональні
матриці вимірністю (тхт); ВІ9 ..., ВРіпвк— матриці ви-
мірністю (тхт); / — одинична матриця вимірністю (тх
хт); к— порядок моделі об’єкта без запізнювань; ртах —
порядок поліномної матриці В(г~~]) з урахуванням мак-
симальних запізнювань у всіх каналах, який визначаєть-
ся виразом
Ртах = & + ГПаХ (б/, — СІ; . ).
^тах 1 ___ ' їтах Ітіп'
(5.39)
Тут йіп1іп — відповідно максимальне та мінімальне запіз-
нювання в і-му каналі, які вважаоться відомими і дорів-
нюють найбільшому цілому числу від ділення часів за-
пізнювання т$тах, на 7"0..
Таким чином, модель багатовимірного об’єкта керу-
вання має р-канонічну структуру [15], в якій передбаче-
но дискретизацію його вхідних і вихідних координат, а
також ЦР з істотно різними періодами квантування.
Переваги цієї моделі порівняно з розширеною моделлю
об’єкта керування, що описується рівнянням (5.1), ілю-
струє такий приклад.
Приклад 5.3. Нехай в розширеній формі (5.1) задано дискретну
модель двовимірного об’єкта керування р-канонічно» структури друго-
го порядку. Визначимо кількість оцінюваних коефіцієнтів моделі,
якщо її порядок к = 2, а запізнювання в каналах керування зміню-
ються В межах ВІД Тірріїр 2с ДО ^іта№” 8 С І ВІД Т-2РДІ п 17 с ДО ^2тах _—
= 51 с.
Виберемо період квантування гак, щоб він дорівнював мін і-
мальному часу запізнювання в каналах, гобто То = т1тіп = 2 с- Тоді
розширена дискретна модель об’єкта керування в першому каналі
матиме порядок
а в другому каналі —порядок
Дискретна модель об’єкта — керування відповідно до (2.1) при
т = 2, к = 2, рг = 5, р2 = 19 описується матричним рівнянням
Загальне число оцінюваних коефіцієнтів цього рівняння дорівнює
52, що практично унеможливлює застосування РМНК для оцінки їх,
(5.40)
231
Відобразимо динаміку розглядуваного об’єкта за допомогою мо-
делі, то описується рівнянням (5.36) з різними періодами квантування
в кожному каналі, й визначимо кількість оцінюваних при цьому кое-
фіцієнтів.
У першому каналі об’єкта виберемо період квантування ТОі =
= = 2 с. Тоді порядок моделі в цьому каналі буде
Рі — & + (^і . ) — & +
тах тіп
тах
= 2+4 —1 = 5.
У другому каналі об’єкта виберемо період квантування =
= 4Т0, = 8 с. Тоді порядок моделі в цьому каналі буде
де оператори зворотного зсуву відповідно визначаються як
г2 ^2Г021 — У2 КЛ2 1) Л)2Ь
Загальна кількість оцінюваних коефіцієнтів рівняння (5.41) ста-
новитиме 26, що вдвічі менше, ніж при застосуванні дискретної моде-
лі об’єкта керування, яка описується рівнянням (5.40).
У загальному випадку відображення динаміки об’єкта
керування за допомогою різнотемпової дискретної моделі,
232
що описується рівнянням (5.36), дає змогу зменшити
кількість оцінюваних за РМНК коефіцієнтів навіть для
двовимірного об’єкта на
ДЬ = 2( 1), <7=1, 2, З,...
Ц Отіп І і Отін Л
коефіцієнтів порівняно з загальноприйнятою моделлю при
однакових періодах квантування (Дт2 = т2тах — т2тіп — ме-
жа зміни найбільшого запізнювання в об’єкті).
Доведемо можливість реалізації цієї моделі.
ТВЕРДЖЕННЯ 5.1. Я кщо в лінійній багатовимірній
матричній поліномній замкненій системі цифрового керу-
вання об’єктом його модель р-канонічної структури з т
входами та т виходами описується рівнянням (5.36) і
характеризується різними і змінними запізнюваннями
Ті#= т2 ... #= тш керуючих діянь ... , ит, причому тіт|п<
< гЛпах’ хи хи (і = 1, 2,... , т; / = 1, 2,..., т), а міні-
мальний період квантування То. т. в йму каналі
вимірювання й керування з мінімальним запізнюванням
визначено, то в інших (т—1) каналах, в яких
допускається квантування зі збільшеними періодами Т0/.=
= Н>гогт1 п. Де Ру = 2’> (при <7 = 1, 2, 3,...), коли То.
<л/<й/тах за Умови 7’о/<'Ч/тіП’ де ®утах — максимальна
частота в спектрі вихідної координати.
Доведення. Основна математична умова для реа-
лізації різнотемпової дискретої моделі об’єкта керування,
що описується рівнянням (6.36), полягає в забезпеченні
збігу в часі всіх високочастотних решітчастих функцій
УАп/Го]] У вузлах більш низькочастотних таких функцій
У іфл/ті гТо/ 1» ш° досягається тільки за умови То. =
= 2<7/Т0 (д = 1, 2, 3,...). При цьому номер відліку Пу
решітчастої функції в кожному каналі керування визна-
чається як ціле число від ділення номера відліку п най-
більш високочастотної решітчастої функції при То. } на
2 Друга умова твердження (То. л/ю. ) грунтується
на безумовному виконанні вимог теореми Котельникова.
Таким чином, на підставі твердження 5.1 порядок
дискретної моделі об’єкта керування, що описується рів-
нянням (5.36), можна значною мірою знизити при збіль-
шенні періоду квантування в каналах з максимальним
233
запізнюванням, якщо покласти
Тоі = , (5-42)
де кратність р, = 2^ (^ = І, 2, 3, 4,...).
Проектування оптимального різнотемпового БЦР. Без-
посередній синтез оптимального БЦР здійснюється, ви-
ходячи з критерію максимальної стійкості, відповідно до
якого в багатовимірній замкненій системі керування за-
безпечується аперіодичний перехідний процес під час змі-
ни керованих вихідних координат у при подачі на вхід
задавального діяння БЦР вектора ступінчастих збурень
С вимірністю (т X 1).
Для забезпечення цього процесу бажану дискретну мо-
дель замкненої системи запишемо в такому вигляді:
У — <3іа§ {е“Л“Лч’г“1}]“1 сііа§ {1 —X
X їв (1 )Г'В (2-1) діа§ {гТаіпіп} 6 (5.43)
тобто за аналогією з одновимірною системою ця модель
складається з моделі багатовимірного процесу першого по-
рядку, що описується рівнянням
н (г) = |7 — с!іа§ діа§ {1 — е~х“'7'“‘}, (5.44)
і моделі фільтра [В (1)]-1В (г~'), в якій матриця визна-
чається як
~5и(1) в12(і) В(1) = _В1т(1) Ртах де Ви(1) = У Ьгц(і = 1, Г=1 а матричний поліном — як “ ви(2?') В12 (гГ') В (з-1) = • ^1т (2Г!) В21(1) ... Вт1 (1) і в22(1) вт2(1) . • , (5.45) в2т(і) Вт,„(1)_ 2,..., т; /=--1,2,... , т), ] В21(гГ')...Вті(г-') - | В-22 (^Г1) ••• (^т ’) і . ’ •_ ,(5.46) ^2т (гг " (гт*) _ 1
234
-ц__ Ь0) -1
тт т ) — итт‘т
При цьому настроюваний параметр є величиною, обер-
неною до сталої часу Тзаг. замкненого контура в /-му ка-
налі.
Проектування різнотемпового БЦР включає розробку
алгоритму його роботи, який забезпечує проходження
бажаного перехідного процесу під час зміни керованих ви-
хідних координат у ЇПіТо.ї відповідно до (5.43) в замкне-
них контурах цифрового керування. При цьому рівняння
такого БЦР в загальному вигляді можна записати так:
Р(г-')и[піТиі] = (2(г~1) {6 ИЛ),] —у [пгТ0.]},
/ = 1, 2,...,/л, (5.47)
де 6[ПіТОі]—вектор задавальних діянь регулятора вимір-
ністю (тх 1), а
б — У = Е [піТОі] (5.48)
— вектор помилок регулювання вимірністю (тхі), які
визначаються в дискретні моменти часу і =
Структури поліномних матриць Р (г-"1), пара-
метри яких необхідно визначити, мають вигляд
Р (г->) = Ро + Рг с!іа§ {гГ1} + ... + діа§ {г7ц}; (5.49)
С(г~’) = Со + Сі {?“’} + — + Су Оіа§ {г?'’}. (5.50)
Закон керування рівнотемпового БЦР в загальному
вигляді визначається з рівняння (5.47):
« №<] = [Р (г-')Г' С(г) [6 [п;Т0Д]. (5.51)
-Визначимо дискретну передаточну функцію [Р (г-1)] !х
X С (г ') цього регулятора. З цією метою спочатку з (5.36)
внайдемо вектор керування
235
11 Иі'Т'о,) = ИіаЄ {г, ' [Щг-’)] (г-1) у {ПіТ0/], (5.52)
а з (5.43)— вектор задавальних діянь
СИЛ,| = Ісііао ігГ"'—}]“' (В (г"')]-’ В(1)[діа§{1 -
- е-х‘‘т»-}Г' [7- 6іа§ {е-^Чг1}] у [ПіТ^. (5.53)
Підставивши вирази (5.52), (5.53) в рівняння (5.51),
дістанемо матричну дискретну передаточну функцію оп-
тимального різнотемпового БЦР
[Р (7"')Г'Сй_,)= [ВЇІ-’в-’Л (?-’) X
і
X !Иіа§ {г^Чпі,,}]-' їв (г-')Г’ В(1) [сііа§ {1 - е-х‘‘Ч}Г' X
х [Т — 6іа§ {е-^'^іг?1}] — (5.54)
Після підстановки (5.54) в (5.51) знайдемо закон оп-
тимального керування різнотемпового БЦР, а саме:
и [ПіТ0,1 = ((Ііа^Іг-^пйп}]-1 [В(г-1)]-’д (г-1)х
X [[аіа§ {г-^тіг.}]-’ [В (г-')Г'В(І) Иіа§ {1 -е^^Г’х
х [7 — біа§ {е-^г-1}) — 7г'В (5.55)
У проміжній формі його можна записати так:
ПШае {г-^іп}]-1 [В (г-')Г'В(І) [6іа§ {1 -е-%»Г’4Г’х
X [/ — сііае {е-^’Ч-гТ'}] — 7] [А (^’)]-1В (г-,)х
X сііа§ {гу^'тіп} и [ПіТ0.] = Е [ПіТ0.1>
І І
а після послідовного множення лівої та правої частин
цього рівняння зліва на матричні вирази
<ііа§ {г-^іп}, В (г-1), [В(І)]"1, сІіа§ {1 -е”^}
остаточно матимемо
[7 — сііае {е~х,‘7’0<г71} — сііа§ {1 — [В (І)]-’ X
X В (г-1) діа§{г7’'/‘тіп)| [Д (г-1)]-ІВ (г“‘) сііа^ {г^'тіп} х
X и {ПіТ^ = діа§ {1 - Є-Х“Ч} [В (1 )Г*В (?“’) X
X сІіа§ {г~гі‘тіп} Е [п/Г0Д. (5.56)
236
Автономне цифрове керування. Матрична дискретна
передаточна функція багатовимірної розімкненої системи
керування відповідно до (5.17) визначається як Гп(?) Ц7р(г),
де Гп(-г)—дискретна передаточна функція ЗНЧ об’єкта,
яка згідно з (5.36) записується у вигляді
(г) = [А (г-')Г’В (г~') <3іа£ -}, (5.57)
а Гр (?) — дискретна передаточна функція БЦР, яка визна-
чається виразом (5.54). Тоді вираз дискретної передаточ-
ної функції розімкненої системи керування матиме вигляд
Гроз (г) = Гп (г) Гр (?) = [[ШаЄ х
X [В(г-1)Г’В(1) [с!іа§ {1 —X
X [7— діа§ {^ііТоіг~'}] — 7]-1. (5.58)
Відповідно до (5.58) можна записати рівняння багато-
вимірної розімкненої системи керування
[[діа§ {г-^іпІГ1 (Щ?"’)]-'^!) Иіаб {1 X
X [7— діа§ {е_х“7’0<гГ1}] — 7] у [ПіТОі] = Е
яке після послідовного множення його лівої та правої
частин зліва на матричні вирази {гГ^тіп}, [В(1)]~!,
сііа§ {1—е“х“г°і} можна звести до такого вигляду:
[Ц—сііа§ {е 7~ііТоіг ’}] — сНа§{1—е ІВ(1)] *х
X сііа£ {гГ^тіп}] у = Ша§ {1 — е~%ііТ°і}х
X 15(1)]“^ (г-1) с!іа§ {гГ^тіп) Е [п^]. (5.59)
При синтезі багатовимірних систем керування значні
труднощі виникають через наявність статичних і динаміч-
них перехресних зв’язків між різними входами та вихода-
ми системи. Якщо такі зв’язки відсутні, а кількість керу-
ючих діянь дорівнює кількості вимірюваних координат,
то узагальнена передаточна поліномна матриця (5.58) бу-
де діагональною, а система керування — автономною. Як-
що ж перехресні зв’язки відсутні в усталеному стані си-
стеми, то вона буде автономною в статиці.
237
Доведемо, що багатовимірна система керування, що
описується рівнянням (5.59), буде автономною саме в ста-
тиці.
ТВЕРДЖЕННЯ 5.2. Лінійна багатовимірна матрична
поліномна система цифрового керування об’єктом р ка-
нонічної структури з /пвходами га /п-виходами, дискретна
модель якого описується рівнянням (5.36), причому різні
запізнювання — Атіп) вектора керуючих діянь
ураховано в поліномній матриці В (г—1), яка в розгорну-
тому вигляді визначається виразом (5.46), при різнотемпо-
вому квантуванні, індивідуальному для кожного каналу «ке-
руюче діяння — вихідна керована змінна», буде автономною
в усталеному режимі, якщо в дискретній моделі (5.43), яка
грунтується на критерії максимальної стійкості, апрокси-
мація вектора запізнювання в цифровому фільтрі визна-
чається як [В (1)НВ (г"”1), де матриця В (1) має вигляд
(5 45).
Доведення. Дискретна модель багатовимірної
розімкненої системи керування при різнотемповому кван-
туванні описується рівнянням (5.59) Ця система буде ав-
тономною в усталеному режимі, якщо на підставі (5.59)
її дискретна передаточна матриця
У \.піт<>Д = І/ — <1іа§ {е КиТ,Чг1 ’} —
— {1—е В ’(1)В(г ') {г/’х
х біа§ {1 — е~КііТ<“} ЕГ' (1) В (г~') сііа§ {гТ“1^} Е ЇПіТ\\
(5.60)
буде діагональною при
у [п іТйі] = соті; Е [Пі7\] = соті, (5.61)
де п, — 0, 1, 2,... , Ртах
Згідно з (5.60) дискретна передаточна поліномна мат-
риця розімкненої системи керування буде діагональною,
якщо поліномна матриця [В П)]—1# (г”1) відповідно до
(5.45), (5.46) є діагональною. Доведемо діагональність мат-
риці [В (І)]”1 В (?“*') з урахуванням умови (5.61).
Після перемноження матриць ЇВ (І)]”1 і В (г-"1) усі
елементи здобутої поліномної матриці, крім елементів її
головної діагоналі, матимуть вигляд виразів
Ви (1)Вм(гГ*)-5У(1)Вн (*?’);
(5.62)
238
Ву(1) Вя(г-’)-Вя(1)Во(гГ’); (5.63)
В«(1) Ви^-В^ВиігТ'), (5.64)
помножених на деякі коефіцієнти при і = І, ...» т, і =
==1,2» т. Сума коефіцієнтів у (5.62)—(5.64) дорівнює
нулю при виконанні умови (5.61), завдяки чому передаточ-
на поліномна матриця (5.60) буде діагональною.
Таким чином, багатовимірна система цифрового керу-
вання буде автономною в усталеному режимі.
Стійкість багатовимірної замкненої системи керування
з дискретною моделлю (5.43) визначається розміщенням
коренів характеристичного рівняння
сіеі [І — с1іа§ {е її !}] — 0 (5.65)
на полі круга одиничного радіуса, з якого можна зробити
такі висновки:
різні запізнювання в каналах керування цієї системи
на її стійкість не впливають;
стійкість системи визначається розміщенням кореня
при мінімальному значенні періоду квантування То на
полі круга одиничного радіуса, тому що решта коренів
рівняння (5.65) будуть меншими від одиниці на підставі
твердження 5.1, відповідно до якого при д =
= І, 2, 3, 4, ..., / = 2, 3, ..., т.
Реалізація різнотемпового адаптивного БЦР. З рів-
няння (5.56) випливає, що в законі оптимального керу-
вання БЦР передбачено компенсацію змінних запізнювань,
які враховано в поліномній матриці В(1)~! В (г”1). Але
для реалізації адаптивного регулятора необхідно здійсни-
ти ідентифікацію коефіцієнтів поліномних матриць /1(г~ *)
і В (г”1), які під час експлуатації об’єкта керування змі-
нюються.
Для оцінки цих коефіцієнтів за РМНК квантування
відліки вимірюваних координат у і и треба виразити че-
рез такти квантування п найбільш високочастотної решіт-
частої функції. З цією метою при використанні операторів
зворотного зсуву г^1ух [/гТ01] = ух [(п — і) Т01] і співвідно-
шень То. = 2^01 ПРИ <7=1,2, 3, 4,... , / = 2, 3,... т по-
чаткову модель об’єкта керування, що описується рівнян-
ням (2.36), потрібно подати в такій формі:
239
У і
У і [\п№] То,]
Уп. Цл/2’" 1 тпгг]
~уЛ^-\)ТОх}
уД(Іп/2’/] - 1) То,-]
_уп, [ (]п/29"!| — 1) Т0/„]
~ Уі 1(п — к) Т011
Уі[([п/2'І}- к) ТР,]
ут іап/г’"»] - к)тОт]
А<«) Л(1)______
О іт------І'іт итт
ПіІ(п —1—гіітіп)Т01]
«; [([п/2^1 - 1 - Фтіп) То,.]
«т[(Ь'г/2’т]-1-йтгпіп17,от]
240
(ртах)______/7рпіах^_______
1] и/1 итх
____^Ртах>________т ах>
1/ /7 гп]
А^тах) _____ А^ггах^______£^ртах)
и \т /т тт
^1 [(Я Ртах ^Ітіп)^0!^
Ч; [([^/2^ ] Ртах ^/*тіп)
«„[([п/г’"1] — ртах — а ) тОт)
(5.66)
де То{ — мінімальний період квантування. Взяття виразу
и/2^’ (де 2<7/ = То./То^) в квадратні дужки означає опера-
цію виділення цілої частини числа.
Відповідно до (5.66) вектор вимірюваних координат
визначається виразом
X/ 1([п/29і] - 1) Тс.] = {«/, Шп/29'] - 1) То,],...
..., У/ [([п/2<!/] - к)Т0/], и, [(я - 1 - аІтіп) ТОі],...
..., щ [([я/29'] - 1 - 4/тІп) Т0/],..., ит [([я/2*т] - 1 -
^ттіп) 7от]’ •" ’ М1 Ртах ' ^’тіп)
..., и, [([п/2Чі] - Ртах - сІітП) П,]......ит [([п/2,т] -
Ріпах ”’^ттіп)^°т1Л}, / = 1, 2, ... ,/П, (5.67)
де п — нумерація тактів квантування найбільш високо-
частотної решітчастої функції пци різнотемпових вимірю-
ваннях координат щ.
241
Вектори-сіовпці параметрів, які необхідно оцінити,
запишемо у вигляді
Є; [(Іп/2^ - 1) То,.] = [а<*\..., ар, Ь\}>, ..., ...
і(1) » (^тах) »^тах> і^шах> о 1Т /г
... , 0т/, ... , ,... ,0// ,...,Ьт/ , О;] , (5.68)
де / = 1,2,..., т.
Тоді матричне рівняння (5.66) можна подати у виг-
ляді окремих рядків, тобто
У, [[п/24'] То,-] = X/ [([п/2^] - 1) Т0/] Є, ІЦп/г’'] - 1) ТОу],
І = 1,2,..., т. (5.69)
Вектори параметрів 0 оцінюються для кожного рядка
дискретної моделі об’єкта керування (5.66) за допомогою
РМНК. При оцінці вектора параметрів Ої для каналу об’-
єкта з найменшим періодом квантування обчислювальну
процедуру РМНК можна записати так:
/"X •
0! 1п7\] = 0і 1(п- 1)Т0]] + (пТОі] X, ](и- 1) ТоД X
X {у, [»Т01]- X} [(п- 1) То 1 Єх[(п- 1)ТОі]}:
(5.70)
?і [пТ0 1 = 4- ІРї ](п - і) То ] —
1 Р1 І 1
Р, [(я- 1) Т01] X, [(я— 1) ТО1] X} Ця- 1) Т01] Рг Ця—1)7^] 1
Рх + Х7 [(я - 1) ТОі]РІ Ця- 1) Т’оД X, Ця- 1) Т011 і ’
де 0х— оцінка вектора параметрів 0/, Рг [пГОі] — коварі-
аційна матриця, діагональні елементи якої пропор-
ційні дисперсіям помилок при оцінці вектора пара-
метрів 0г; — фактор експоненціального забування, що
змінюється в межах від 0,9 до 1.
При оцінці векторів параметрів 0; (/ — 2,..., т) для
каналів об’єкта керування з періодами квантування
То^>То обчислювальна процедура РМНК виконується в
зниженому темпі:
О.[[«/2’'1То,.]
= 0. [([п/2Д - 1) То,.] + Рі [[и/2?/] То,.] X
242
X X Щп/З*7] - 1)То,1 {у, [[п/2^1 То,.] — X, [(ІпІЧ4’] - 1)7\] х
X Є; Ц[п/2*'] - 1) Т0/]}, Р> \[пІЧ?’\ТОі] =
= 4- {р> [([п'29'] - 1) Т0/] - (5.71)
Р, \({пІ2ЧІ] - 1) Гр/] X, [([п/2^] - 1) То/| ХТ [([п/29'] - 1) ТОі]х
_________________X Р [([п/2?/] - 1) То/]___________________
Р; + X/ [([п/г"'] - 1) То,І Рі [(|п/29,| - 1) То/] X
X Х} [([Л/29'] - 1) Т0/]
(5.72)
де [и/2^] — найбільше ціле число від ділення номерів
тактів квантування п найбільш високочастотної решіт-
частої функції на кратність 2^ = ру.» яку необхідно ви-
бирати для кожного каналу на підставі (5.42);
РДп/2^]— коваріаційна матриця, діагональні елементи
якої пропорційні дисперсіям помилок при оцінці вектора
параметрів 67.
На рис. 5.11 зображено функціональну схему багато-
вимірної адаптивної дворівневої системи керування неста-
ціонарним об’єктом з невідомими, різними запізнювання-
ми при різнотемповому квантуванні координат, де ЛП —
логічний пристрій, ГПС — генератор псевдовипадкових
сигналів, БД — блок ділення.
На першому її рівні реалізується основний багатови-
мірний замкнений контур керування, дискретна модель
якого описується рівнянням (5.36), причому до складу
цього контура входять пристрій порівняння з функцією
(5.48) і багатовимірний різнотемповий ЦР з законом ке-
рування (5.55). При цьому вихідні координати (/ = 1,
2, ... , т) вимірюються в моменти часу а керу-
ючі діяння и,] подаюіься на об’єкт в дискретні часові
проміжки [пД^] </;< [(и;+ 1)7^], де Т0/— період
квантування в /-му каналі. Всі періоди квантування зв’я-
зані з мінімальним періодом То = ТОі тіп за допомогою
співвідношення (5.42).
243
с
(5.71),(5.72)
Формування матрац
. них ПОЛІДОМІв
Алгоритм оцінювання
Лектора параметрів
/ІП
гпс
Формування рядків
Зпоч
Формування
вектора
хр[([пр^Р)тОІ]
(±67)
ь:
(5.75)
Од'ект керування
цифровий
регулятор
Рис. 5.11
(5.36) -(5.38)
При реалізації різнотемпового БЦР, що описується
рівнянням (5.56), процедура обернення матриці [В (І)]-1
виконується для кожного періоду квантування, а пара-
метри цієї матриці оцінюються за РМНК. Теоретично мож-
лива ситуація, коли матриця В (1) виявиться виродженою
і процедура її обернення стане неможливою. Тоді в алго-
ритмі роботи регулятора перевіряється умова с1еІ|В(1)|^>
{сієї | В (І) |} . . Якщо вона не виконується, то при ре-
алізації закону керування БЦР застосовуються оцінки,
здобуті для попереднього періоду квантування 7^ = 7^ тіп.
У законі оптимального керування БЦР є перехресні
зв’язки ил = ВНЕИ. З урахуванням того, що в /-му ка-
налі керування «помилка керування — керуюче діяння»
передбачено квантування з періодом То., всі перехресні
високочастотні решітчасті функції для цих каналів необ-
хідно нормалізувати до вихідної низькочастотної решіт-
частої функції ЩіУпіТо).]. Нормалізація виконується усе-
редненням більш високочастотних решітчастих функцій
за формулою
В/ _
X р}іЕг
ип [ПіТОі] = --------------(5.73)
с/7/
•де = 2
Алгоритм адаптивної ідентифікації параметрів мате-
матичної моделі об’єкта керування й автоматичного на-
строювання параметрів регулятора на другому рівні ке-
рування полягає в послідовному виконанні для кожного
мінімального періоду квантування таких операцій:
1. Формування вектора Хт
вимірюва-
них координат і/;, (] ~ 1, 2,..., т) відповідно до виразу
(5.67) з розміщенням їх у порядку збільшення періодів
квантування 70/..
2. Формування окремих рядків Хт [([п/2^] — 1)Тоу1 X
X Є; (([п/2’'] — 1)Т0/] матричного рівняння об’єкта (5.69).
3. Виконання обчислювальної процедури РМНК згід-
но з (5.71), (5.72) для наступної оцінки вектора пара-
метрів
ЄЯІп/29'] То.], /=1,2.....гп.
245
4. Згладжування кожного вектора оцінених парамет-
рів 0Д(|лг/2<7,| 7'0/] з використанням цифрової фільтрації пер-
шого порядку, тобто
0/в,.х 1(1^1+і)Т0/] = аеУвих
[[п/2‘?']7,0/]+(1 — а) х
X ОДІЯЛІ Т0)],
(5-74)
де 0/вих—згладжений вектор оцінок параметрів на вихо-
ді фільтра; а—коефіцієнт фільтрації, який вибирається
в межах від нуля до одиниці.
5. Формування оцінених матричних поліномів А ),
В(г~]) згідно з виразами (5.37) і (5.38), матриці яких
цм-------
ит1
і і
1 !
_
а(і)-------о
і І
І І
0----------с">
І_ тт
-----0
। і
!
0--------с№
|_ тт
Т/Ртах)
І
1
с
°\т
Т'^та/)
— *т1
І
І
ї
'ЦРтах)
итгп
(5.75)
складаються з елементів векторів параметрів 07-, оцінених
за допомогою обчислювальної процедури РМНК і згладже-
них з використанням цифрової фільтрації (5.74).
6 Корекції параметрів рівняння ЦР (5.54) для кожно-
го мінімального періоду квантування на підставі оцінок
(5.71), (5.72), (5.75).
Для підвищення швидкості та точності оцінювання па-
раметрів об’єкта керування з використанням обчислюваль-
ної процедури РМНК (5.71), (5.72) на кожний керуючий
вхід об’єкта через БД подаються випадкові збурення від
ГПС, необхідні для створення деяких коливань в замкне-
ній системі керування під час оцінювання параметрів об’-
єкта. ГПС приєднується за допомогою ЛП тільки тоді»
коли помилка ідентифікації в ї-му каналі, яка відповідно
до (5.69) визначається виразом
246
і, [|л/2’']Т0/] = Уі [[п/2ч'\ Т0/] - X] {([п!2Чі\- 1)То] X
х ЄД([п/2ч/] - 1)Т0/],
стане більшою від експериментально встановленої верх-
ньої границі е/ таз<
Амплітуда збурення від
регулюється в БД діленням
сліду матриці
на вихідний сигнал ГПС.
Примітка. Для відслідковування вектора параметрів 0/ нестаціо*
карного об’єкта керування за допомогою РМНК нові вимірювання
вектора X] повинні мати більшу значущість порівняно з одержаними
раніше. Для цього в обчислювальній процедурі РМНК (5.70)—(5.72)
передбачено механізм поступового зниження значущості попередніх
вимірювань вектора X/ завдяки введенню факторів експоненціального
забування (Д, ... , ... , 0 [див. (1.170)], які вибираються в ме-
жах 0,9 < [Н < 1.
Приклад 5.4. Розглянемо реалізацію різнотемпового ЦР в багато-
вимірній системі керування ректифікаційною колоною, основна функ-
ція якої полягає в забезпеченні високої точності стабілізації рівня у±
суміші в кубі колони та температури у2 на контрольній тарілці. Керу-
ючими сигналами ии и2 в колоні задаються відповідно витрата сирови-
ни та теплоносія. Оскільки координати и2, уІУ у2 взаємозв’язані,
розв’язання поставленої задачі досягається за допомогою двовимірного
ЦР. При цьому запізнювання в каналах керування колоною на уста-
новці каталітичного риформінга змінюються в межах тх = (2 4 5) с,
т2= (17 ч- 35) с.
Вибираємо періоди квантування Т0і = 2с, == 2^г7'0і> ПрИ
= 2 маємо То = 8 с У даному разі мінімальні запізнювання в
каналах об’єкта керування становитимуть сі. . = 1, —2.
Експериментальна дискретна математична модель ректифікацій-
ної колони відповідно до (5.36) описується рівнянням
(5.76)
247
де оператори зсуву г19 г2 визначаються, наприклад, так:
гі Уі — Уі [(лі В 7о.І> г2 У* [^2Го9] — Уч — В
Коефіцієнти в (5.76) мають такі значення: о}{* =— 1,3033;
а”' =- 1,21526; й<2> = 0,34407; а<2) = 0,34415; Ь<*> = 0,02874;
4’> = 0,0909; = — 0,7185; б’4’ = 2,2731; 6^’ = 0,02018; Ц3» =
= 0,06375; = - 0,5046; Ь$= 1,59375; &}3’ = 0,005; Ь<3)=0,012;
Ь™ = - 0,04; Ь™ = 0,09; М4) = &<4) = 0; і№ = 0,006; Ь&> =
= 0,015.
Вважаючи, що у1се =6м і //2сер = 150° С, параметрами ба-
жаної дискретної моделі (5.43) замкненої системи керування будуть
0,02874г]"2
— 0,7185г72
0,0909г;-3
2,2731г;Г3
0,02018г]-3
0,5046г]"3
0,06375г]"4 1 Г 0,005г]"4
І
1,59375г]"4 — 0,004г]"4
0,012г]"5
0,09г]"5
0 0,006г]"6
0 0,015г]"6
'9.3231538 — 0.4052626'
2,8803812 0,1265668
(5.77)
(5.78)
Нехай сталі часу замкненої системи керування в ї-му каналі «за-
давальне діяння — вихідна керована змінна» = ^2заг ~ ^5 с;
тоді в рівнянні (5.43) Хц = Х22 = 0,04.
Підставивши (5.77), (5.78) і = Х22 = 0,04 в матричне поліном-
не рівняння розімкненої системи керування (5.59), з урахуванням то-
го, що [^То.1 = Уі к*2], Уг і[^2^о91 = У2 [п/4] 8], дістанемо
1 — 0,923г]-1 — 0,043г]-2 — 0,03г]-3 — 0,0037г]"4
0,0022г]-2 + 0,00157г]"3 — 0,0038г]"4
0,00566г“2 + 0,0039г]"4 — 0,00579г;-5 — 0,0038г;-6
1 _ 0,726г;-1 — 0,151 г~3 — 0,1055г;-4 — 0,012г^5 — 0,005г^е
248
М-2]
Л/2ІІЛ/4] 8]
0.0429г~~ + 0,0302г}-3 + 0,037г}-4
— 0,0022г}-’ — 0,00157г}-3 + 0,0038г}-4
— 0,0056г}}"3 — 0,0039г}}"4 + 0,00579г^"5 + 0,0038г^6]
0,151гГ3 + 0,1055гГ4 + 0,0126гГ5 + 0,0052г76
Г^іІя-21 І 579
[£г [[л/4]-8]]
В останньому рівнянні можна виділити окремо рівняння ро
зімкненої системи в першому каналі керування
Уі [л-2]= 0,923116г/х [(л — 1)-2] + 0,04298789г/і [(л — 2).2] +
4-0,030187г/] Цп — 3)-2] + 0,0037086г/] [(л — 4)-2| —
— 0,0056683г/.2 [([л/4] — 3)-8] — 0,0039823г/2 [([л/4] — 4).8] +
+ 0,0057974у2 [([л/4] — 5) -8] + 0,0038335г/8 [([л/41 — 6)-8] +
+ 0,0429878£і [(л — 2).2] + 0,0301874£і [(л — 3)-2] +
+ 0,0037086£] [(л — 4)-2] — 0,0056683£2 [([п/4] — 3)-8] —
— 0,0039623£2 [([п/4] — 4)-8] + 0,0057974£2 [([п/4] — 5)-8] +
+ 0,0038335£2 [([п/4] — 6)-8]
(5.80)
І в другому каналі
г/2 ||л/4|.8] = 0,726149г/2 [([п/4] - 1)-8] +
+ 0,15049874^ [([л/4] — 3) -8] + 0,1055332г/2 [([п/4] — 4) • 8] +
+ 0,0125858^2 [([л/4] —5).8] + 0,005253г/2 [([л/4] — 6).8] —
— 0,00223529г/і [(л — 2).2] — 0,00157178уг [(п — 3)-2] +
+ 0,00380655^1 [(л — 4)-2] — 0,00223529£і [(л — 2).2] —
— 0,00157178£± [(л — 3)-2] + 0,00380655£і [(л — 4)-2] +
+ 0,15049874£2 [([л/4] — 3)-8] + 0,1055332£3 [([л/4] — 4)-8] +
+ 0,0125«58£., [([л/4] — 5)-8] + 0,00525304£г |([л/4] — 6)-8]. (5.81)
На підставі двох останніх рівнянь можна зробити висновок про
повну компенсацію перехресних зв'язків в усталеному режимі систе-
ми, оскільки як у першому, так і в другому каналах сума коефіцієнтів
по перехресних зв’язках дорівнює нулю:
(_ 0,0056583 — 0,0039623 + 0,0057974 + 0,0038335) у2 = 0;
249
&1[ПІ0Г]
Рис. 5.12
(— 0,0056683 — 0,0039623 + 0,0057974 + 0,0038335) £а = 0;
(— 0,00223529 — 0,00157178 + 0,00380655) = 0;
(— 0,00223529 — 0,00157178 + 0,00380655) = 0.
Результати цифрового моделювання розглянутої системи автома-
тичного керування ректифікаційною колоною в перехідному режимі
показано на рис. 5.12. Із графіків випливає, що система в усталеному
режимі повністю автономна.
250
Застосування принципу різнотемпового квантування
в вищенаведепому прикладі дало змогу зменшити кількість
оцінюваних параметрів за РМНК на
= 14.
5.3. Аналіз стійкості та збіжності
багатовимірних адаптивних систем керування
з різними та змінними запізнюваннями
при різнотемповому квантуванні
У п. 5.2 розглянуто задачу синтезу багатовимірного
адаптивного ЦР, в якому передбачено компенсацію неві-
домих, різних і змінних запізнювань в об’єкті керування
за допомогою алгоритму, побудованого на підставі роз-
ширеної багатовимірної дискретної моделі об’єкта, в якій
ураховано зміни запізнювань від мінімальних до макси-
мальних значень. При цьому квантування в різних кана-
лах керування має неоднакові періоди, що дає змогу іс-
тотно зменшити кількість оцінюваних коефіцієнтів у мо-
делі об’єкта.
Для аналізу стійкості та збіжності багатовимірної
адаптивної системи керування розглянемо розширену ба-
гатовимірну дискретну модель об’єкта з різнотемповим
квантуванням у каналах керування, що описується рів-
нянням (5.36). Як критерій оптимальності керування си-
стеми приймемо критерій максимальної стійкості, на під-
ставі якого бажана дискретна модель замкненої системи
описується рівнянням (5.43). Відповідно до цієї моделі
забезпечується аперіодичний перехідний процес під час
зміни вектора вихідних координат у при подачі вектора
ступінчастих збурень 0 на вхід задавального діяння ре-
гулятора.
Виходячи з заданої дискретної моделі замкненої си-
стеми (5.43) для об’єкта керування, що описується рів-
нянням (5.36), синтезований оптимальний різнотемповий
БЦР із законом керування (5.55) передбачає компенсацію
змінних запізнювань в об’єкті завдяки введенню розшире-
ної поліномної матриці [В (1)]"“1В (г-1).
Оскільки коефіцієнти поліномних матриць А (г~г),
В (г~1) моделі (5.36) під час експлуатації об’єкта зміню-
ються, для реалізації оптимального БЦР потрібна адап-
тивна ідентифікація параметрів моделі в реальному часі
251
з урахуванням виміряних значень координат (/[/?г7о4.],
Для цього можна застосувати обчислювальну
процедуру (РМНК) (5.71) і (5.72), відповідно до якої
кожний л вектор-сговпець параметрів 07- (/ = 1,2, ... , т),
який визначається виразом (5.68), обчислюється для кож-
ного періоду квантування ТоД/ = 1, 2, ... ,ш).
Позначимо помилку апроксимації першого рядка (5.69)
математичної моделі об’єкта керування, що описується
рівнянням (5.66), як
еДлТо,] = у. [лТо,] -ХГ[(п - 1) То,] [(п - 1) То,],
(5.82)
де вектор вимірюваних координат Хі[(л— 1)То 1 визна-
чається виразом (5.67).
Тоді з урахуванням (5.70) можна скласти таке
рекурентне рівняння для визначення похибки оцінки век-
тора параметрів 0Х:
Д0і їпТ\] = 0! [пТ011 — Єї = Д0і 1(п - 1) 7\] +
+ Рі [«То,1 [(м — 1) То,] Єц [пТ0,].
(5.83)
На підставі цього рівняння легко знайти зміну похиб-
ки при оцінці вектора параметрів в кожному періоді кван-
тування, а саме:
60! [п7\] = ДЩ [г?Т01] — Д^ [(п - 1)7^1 = X
X ХД(п — 1) То,1 Є! [лТ0,].
(5.84)
Помилку апроксимації (5.82) можна виразити через
похибку оцінки вектора параметрів (5.83), тобто
Єї («То,] = у, [пТо.]- ХІ [(п - .1) То,] {ДО, [пТо,1 +
+ Ох) = — Дб[
Цл-ПТо^ХЖп-ПТо,]^
= - X? [(л - 1) То,1 ДОі [(л -1) То,].
(5.85)
252
Відповідно до [15] коваріаційна Рх [п7о ], яка входить
до складу (5.70), визначається виразом
Рі [пТОі] = {7 - РДпТ^] Хх[(л - 1) ТО1] X? [(л - 1) ТО1]} х
(5.86)
на підставі якого рекурентна процедура для обчислення
оберненої матриці має вигляд
РТ' ІпТОі І = РРГ1 ((л - 1) ТО11 +х, [(л - 1) ТОх] х
X ХИ(л-1)7^],
(5.87)
де Р — фактор експоненціального забування, значення
якого вибираються в межах від 0,9 до одиниці.
Для дослідження стійкості нелінійних систем керу-
вання можна скористатися функціями Ляпунова, з уве-
денням яких сформульовано теореми Ляпунова про стій-
кість і нестійкість таких систем. Наведемо без доведення
теорему про стійкість нелінійних дискретних систем ке-
рування [31.
ТЕОРЕМА 5.2. Для рівномірної стійкості розв’яз-
ку х (&Т0) 0 різницевого рівняння х [(& + 1) То] =
= / їх (кТ0), к], І (&, 0) == 0; х (к!\) £ необхідно й до-
статньо, щоб існувала функція І/ (к, х), яка відповідала б
таким умовам:
І7 (&, *)<^<о2 (| х І); И[(*+ 1), Ж *)]—
де сог (//) при 0, / — 0,1,...,—скалярні неперервні
неспадні функції такі, що соДО) — 0 та со1(7/)>>О при
и > 0.
Для дослідження стійкості оцінки вектора параметрів
за обчислювальною процедурою РМНК (5.70) для
першого вектора-стовпця (5.68) уводяться функції Ляпу-
нова, які для одновимірної системи керування мають ви-
гляд
V, [лТОі 1 = Д^ ІлТОі1 Р?' [лТ0(] ДІ ІлТОі1 > 0. (5.88)
На підставі (5.82), (5.85) і (5.87) функцію Ляпунова
(5.88) можна перетворити до вигляду
V, [лТОі] = [(л - 1) ТОі] + Х{ [(л - 1) ТО1] X
253
хАЄ1[(и-1)ТОі]{Х?'[(п- 1)Т0]] ДЄ^п-і)^! +
+ 2Ч [пТОі]} + Х[[(п - 1) ТОі1 РДпТ^І X? [(п - 1) ТОі1 х
X є’ (пТОі]. (5.89)
Ця функція з урахуванням (5.72), (5.85) може бути
записана так:
Цп - 1) ТОі] =
Ре{ [пТОі1
{Р + Х{[(л- 1)7^] ?,[(«- 1) 7^1 ХіК" - 1)^1} ’
(5.90)
де Р— діагональна й додатно визначена матриця при п ~
= 1, 2, ..., оо. Тому права частина в (5.90) завжди буде від’-
ємною.
За умови 0< Р 1 функцію (5.90) можна записати у
вигляді
ІпТОі] - V, [(я - 1) ТОі| = - ЛИ, (пТОі] -
_____________________8[ [ПГО1]_____________________
{Р + Х1ТІ(Л - 1) Г01] Р,[(« - 1) Т’о,] Х1[(« - 1) 7’о1]) ’
де
Д^І 1^0,1 = (у - 1)^[пТ0]].
(5.91)
З виразу (5.91) випливає, що перша різниця у функції
Ляпунова Уг [пТ01]— ^[(я— і) 7’0і1 має знак, проти-
лежний знаку функції ]/і кТ01] при п = 1, 2, ..., оо. Та-
ким чином, обчислювальна процедура РМНК (5.70)
при оцінці першого вектора-стовп ця параметрів 91 буде
стійкою.
Для доведення збіжності оцінки вектора параметрів
0, вираз (5.91) запишемо у вигляді нерівності, відкинувши
член ЛГ'і [пТОі1:
^х[(/г — 1)ТОі] — V, ІпТОі]>
еі [/1^о11
р + ХТ [(п - 1) Т011 ?ії(п - 1) То,] ЯіИ'і ~ О Т01]
(5.92)
254
Права частина в (5.92) при п = 1, 2, ... ос буде додат-
ною. Як результат, вираз (5.92) можна записати У вигляді
суми складових, тобто
[иГОі]>
п
1^0,1
і=1 1 і *
Звідси випливає, що при буць-яких значеннях
V, [п^.КУНО^].
Отже, в (5.93)
п
Іігп У
п—»оо
і=1
(5.94)
(5.95)
тобто існує таке значення фактора експоненціального
забування р (0<р<1), при якому
Ііт________=_____________________________________________ 0.
П-+ОО {р 4- [(« - 1) То ] Р^п - 1) То ] %,[(« - 1) Го,]
1 (5.96)
На підставі (5.83) — (5.87) можна показати» ЩО дійс-
ною є така рівність:
____________________е] =
{Р + хТ[(м- 1)Гоір1[(/г- 1)Гог] ХЩп- 1) Т^ЇГ
__ [пТоі] 4- 69|Г [пТо^ 1 [пГо1] 6^ [пТо^
Обернена коваріаційна матриця Р^~1 ИТо,! буде до-
датно визначеною при п ~ 1, 2, ... оо. Тоді з (5.94), (5.96)
і (5.97) випливає умова збіжності оцінки вектоРа парамет-
рів 0Г, тобто
Ііт 60! [пТо ] = 0; Ііт Єі [пТо ] = 0- (5.98)
п—>оо 1 гг—>со 1
Примітка. Аналіз стійкості та збіжності обчислювальної про-
цедури РМНК (5.70), (5.82) — (5.98) можна узагальіІИТИ для /-го
рядка моделі (5.69) (/ = 2, ..., т).
Щоб показати зв'язок стійкості адаптивної оцінки век-
тора параметрів 0# із стійкістю багатовимірно1 замкненої
255
Рис. 5.13
системи керування, в якій має забезпечуватись аперіодич-
ний перехідний процес під час зміни вектора вихідних ке-
рованих координат у Іпі7"Оі], розглянемо рівняння замкне-
ної системи (5.43). На його підставі можна зробити висно-
вок, що стійкість замкненої системи при різнотемповому
квантуванні визначається розміщенням коренів харак-
теристичного рівняння (5 65) на полі круга одиничного ра-
діуса. Записавши це рівняння у вигляді
7\
е 11 —е 2
г~') =0,
(5.99)
^тт^0т ___і
е
легко знайти ЙОГО корені .
е “ 1
Тому при д> 0, То. > 0 завжди дістанемо корені
характеристичного рівняння < 1, завдяки чому замк-
нена система буде стійкою.
5.4. Проектування двовимірної адаптивної
системи керування відпарною колоною
установки каталітичного риформінга бензинів
Розглянемо реалізацію адаптивного ЦР в двовимірній
системі керування відпарною ректифікаційною колоною
(рис. 5.13), вихідними керованими змінними якої є: ух—
рівень суміші в кубі колони та у2 — температура на конт-
рольній тарілці. Керуючими діяннями в системі вважа-
256
ються сигнали про витрати
сировини і теплоносія и2.
Оскільки координати и19 и2,
у19 У2 відповідно до ^-каноніч-
ної структури об’єкта (рис.
5.14) взаємозв’язані, для за-
безпечення високої якості ке-
Рис. 5.14
рування координатами уг, у2
необхідно реалізувати двови-
мірний ЦР.
Основна задача двовимірної системи цифрового керу-
вання полягає в забезпеченні високої стабільності темпе-
ратури у2 на контрольній тарілці та витрат/?! готового про-
дукту, який подається в реактор риформіша, що забезпе-
чує найбільш сприятливий режим роботи каталізатора в
реакторі [32]. При цьому слід компенсувати вплив збу-
рень (змін складу сировини, тиску в колоні та витрат зро
шення).
Поставлені вимоги забезпечуються при застосуванні
двовимірного ЦР, який, стабілізуючи температури у2 на
заданому рівні О2, слідкує за рівнем суміші уг у кубі ко-
лони при зміні задавального діяння = с0 + +
+ с2х2, де х± — тиск у колоні; х2 — керуючий сигнал,
який подається на клапан витрат готового продукту.
Передаточні функції ІГП, Ц712, 1Г2і, М22 відпарної ко-
лони за результатами проведених експериментів з достат-
ньою точністю можна подати у вигляді двох аперіодичних
ланок першого порядку з запізнюваннями, причому тх <С
т2, де тт — час запізнювання в каналі витрати сирови-
ни, який змінюється в межах 2—5 с, а т2 — час запізню-
вання в каналі витрати теплоносія, що змінюється в ме-
жах 17—35 с.
Вибираємо період квантування в першому каналі так,
щоб він дорівнював найменшому запізнюванню, тобто
То = 7отіп = т1тіп = 2 с. Тоді мінімальне дискретне за-
пізнювання в цьому каналі буде йітіп =-= = 1.
Виходячи з критерію вибору періоду квантування,
наведеного в п. 1.9, і згідно з рекомендацією (5.42) твер-
дження 5.1 період квантування в другому каналі виби-
раємо так, щоб він становив 702 = 2<7ТОтіп == 8 с при ^=2.
Тоді мінімальне дискретне запізнювання в цьому каналі
бУДЄ ^тіп = = 2-
9—4-940
257
Оскільки передаточні функції ІГП, П712, ІГ21, 1Г22 ко-
лони мають перший порядок, рівняння (5.36) без урахуван-
ня запізнювання також матиме перший порядок [ЗО]. По-
рядок матричного полінома В який визначається
виразом (5.38), відповідно до (5.39) з урахуванням макси-
мального інтервалу зміни запізнювання становитиме
Ртах = /г + тах (й2тах - ^тіп) = 2 + (4 - 2) = 4.
При заданих обмеженнях експериментальна дискрет-
на модель колони описується матричним рівнянням
Уі
Уь И«/4] То 1
— «а
ь(1)
//В
#12
о 1 У1[(«— 1)7\1
О22 _ У 2
М’’1 Г“1 К"- 1
Ь(1>
#22 З
11
о
ГМ?
тіп'
«2 [([п/4]-1-</2тіп)7\]
&Н)]р1[(п—2
ь(2)
#22
иа[([п/4]-2 -йгаіп)7\]
2-1
Гь(3)
#п
ь(3)
І #12
1/3)1
#21
/)(3)
#22
ЧІ(«-з-й1тіп)тОіі 1.ГМІ» МГ
.«2 [([П/4] - 3 - Л2тіп) 7^] ] [ &(4)
«1 [(П —4 — с?ітІп) 1 Г бі
«2 [([п/4] - 4 - г/2тіп) ТОз] + [ 62
(5.100).
Коефіцієнти в (5.100) мають такі значення:
М? = — 0,73256; 4Р = — 0,61137; МР = 0,02874;
Мі° = 0,0909; = —0,7185; = 2,2731;
М? = 0,02018; = 0,06375; = — 0,5046;
^> = 1,59375; &{?’= 0,005; &Я’ = 0,012;
= - 0,004; = 0,09; = 0;
&'/> = 0,006; &’і24’ = 0; = 0,015.
Як і в прикладі 5.4, вважаємо, що середніми значен-
нями вихідних координат є такі: г/1сер == 6 м; у2Сер =
= 150 °С.
258
Розробка алгоритму роботи адаптивної системи керу-
вання відпарною колоною. Відповідно до структурної схе-
ми Рис- 5.13) двовимірної адаптивної системи керу-
вання об’єктом з невідомими, різними запізнюваннями при
різнотемповому квантуванні на першому рівні реалізу-
ється основний замкнений контур керування за відхилен-
ням. Стосовно відпарної колони цей контур містить: саму
колону, дискретна модель якої описується рівнянням
(5.100); пристрій порівняння, за допомогою якого визна-
чаються помилки регулювання
£і [пТ01] = Сі [пТо^ — Уі 1«7"охГ.
£2 [[п/41 То 1 = 62 [[п/4] То 1 - у2 [[п/4] То 1,
4 а 2
в кожний період квантування, а також двовимірний різ-
нотемповий ЦР, закон керування якого в загальному ви-
падку має вигляд (5.55).
Для більш зручного подання моделі двовимірного ре-
гулятора рівняння (5.103) запишемо у вигляді
-(І-КМ
о
Уі [«Т’о,!
у2 [[п/4] То ]
А
//.(І)--! 4- 4. Ь<3>,~3 4. Ь(4)7—У Й‘ті
(011 2\ + 2\ 4“ 2і ) 21
_Ь Л<2>,-2 4. /,<3>,-3 і М4>,-Л , ^'тіп
'12 21 Д- С>12 21 4" 012 21 4" 012 2і ) 21
-і. /,<2),~2 д- М3»,-3 4_ /,(4’,-4) г Й2тіп
(021 2г 4~ 021 22 4“ 021 2о 4” 021 2а /
І Ь<2),~2 і Ь<3>,-3 : Ь<4),~4\ “^тіп
(022 22 4" 022 22 4" 022 + 022 ?2 ) ^2
«і ІпТ’о,]
«2 1\]
а
(5.101)
У цьому матричному рівнянні можна виділити матрич-
ні поліноми, виходячи з загальної моделі об’єкта керу-
вання, що описується рівнянням (5.36):
(5.102)
(5.103)
9*
259
Складові діагонального матричного полінома А (г^1)
відповідно до (5.101), (5.102) визначаються виразами
Лц (27-1) = (1 + а'и’2?1); А22 (гГ1) = 0 + (5.104)
а складові поліномної матриці (5.46) згідно з (5.103) ма-
тимуть вигляд
— 1А(1) Д_ А(2)<"1 _1_ А(3)<-2 А(4)<-3Ь
= 2і |0Ц "Г 0Ц 2і -1-01121 ч 0Ц 21 ],
512 (гГ’) = (МРгГ1 + &У’гГ2 + + М24,гГ4] г. =
= гГ? [МР + + Ь^гТ2 + (5. Ю5)
521 (гГ1) = ’㥠+ + Ь^г^} =
= гГ3 +
р Ц _ гА(%—1 і А(2)<“2 і А(3)У3 і Ас4)7“‘41 —
0*22 \г2 ) = [022 22 + 022 + 022 ^2 “Г 022 %2 1 ^2 —
- <~3 ГА(1> _1_ А(2^“! Д_ А(3)7~2 Д- А(4^“3і.
— 22 [022 "Г 022 %2 Т 022 %2 “Г 022 %2 1
Відповідно до (5.45) дістаємо
_ ^ц(І) #21(1)1 /К 1ЛС\
5(0= ** . о21,п » (5.106)
511(і) = &}1,, + &!і,4-ь{і) +М4);
в21(і) = ^’+^і, + ^?, + ^і>;
512 (1) — + Ь\2 + 612* + &12>>
522(1) = бУ’ + ^’ + бУ3’ +&У’.
Обернена матриця (В(1)] 1 згідно з (5.106) після її
розкриття матиме вигляд
1
^21
^22 _
(5.107)
11 #11 (1) В22 (1) - В12 (1) В21 (1) ’
260
К* _ ___________ ^12 (0___________ .
12 ^11 (1) В22 (1) - В12 (1) В21 (1) ’
А* __ ___________— ^21 (0__________ .
21 Яц(1)В22(1)-В12(1) В21 (1) ’
А* ______________ ^11 (0___________
22 В11 (О ^22 (О ~ В12 (О В21 (О ‘
Алгоритм адаптивної ідентифікації параметрів мате-
матичної моделі відпарної колони, що описується рівнян-
ням (5.100), та автоматичного настроювання параметрів
регулятора зводиться до виконання таких операцій для
кожного періоду квантування То.:
1. Формування вектора вимірюваних координат від-
повідно до (5.67) при 9; = 0,2 (/ = 1, 2), тобто
*ї [([П/29'1 - 1) То.] = {у. - 1) Т0/],
«і К« ~ 1 - <*ітіп) 7^1, »2 [([п/4] - 1 - ^гаіп) Ту,
[(я 2 ^іт1п) Ту, и2[([п/4] — 2 ^2тіп) Ту,
«і [(« — 3 — </1тІп) Ту, «2 [([п/4] - 3 - йтіп) Ту,
«і— 4 — аІт]п)Ту, м2 [([п/4]—4—^) Ту). (5.Ю8)
2. Формування окремих рядків матричного рівняння
об’єкта (5.69), тобто
Х[ [(п -1) Ту [(п — 1) Ту = - [(п - 1) Т0]] ОД +
+ Ту ОД + «2-1-йт(п) ТОя] ОД+
+ мх Цп — 2 — с?ітіп) ТОі] ОД + м3 [([«/4] — 2 — ^п) X
X ТОя] ОД + иі [(п - 3 - гіІтіп) ТОі] Ь<з> + «2 [([п/41 -
- З - ^гаІп) ТУ + «х [(« - 4 - гі1тіп) ТОі] +
+ «21([п/4] - 4 - йтіп) ТОа] (5.109)
Х2Т [([п/4] - 1) ТОї] 02 [([п/4] - 1) Т\] = -у2 [([п/41-1 )То,] X
X ОД + «1 [(п — 1 — йітіп) ту ОД + «2 [((«/4] —
261
- 1 -^тіЖ1 Щ +И11(п-2-йІт1п)ТОі1 &{|> +
+ и2 [([п/4] - 2 - й2г ііп) Т02] Ь$> 4- «, [(п - 3 - гі1гпіп) 7^1 X
X Ь™ + и2 [([п/4] - 3 - </2іпіп) Т02] Ь$> + [(п - 3 -
“^іпИо,] +«2[(1«/4]-4-гі2тіп)Т02]/>у>. (5.110)
3. Виконання обчислювальної процедури РМНК (5.71),
(5.72) при початковому значенні коваріаційної матриці
Рпоч == (1іа§ {1000, ..., 1000} для кожного рядка коефіці-
єнтів дискретної моделі колони, які так виражаються че-
рез вектори-стовпці:
6, = [аїР. 0,0, />!}’, №, ^’]Т,
(5.111)
02 = Ю, <&>, 0, Ь&\ Ь&, Ь$, Ь%, Ь{42\ ^’]т.
(5.112)
4. Згладжування кожного вектора оцінених парамет-
рів (5.111), (5.112) з використанням цифрової фільтрації
(5.74).
5. Формування оцінених матричних поліномів А (г—1),
В (г—1) (/ =• 1, 2) з урахуванням (5.102), (5.103), які скла-
даються з елементів векторів (5.111) і (5.1112), згладжених
за (5.74).
6. Корекції параметрів ЦР з законом керування (5.56).
Обчислення вектора поточних керуючих діянь різно-
темпового ЦР. Дискретну модель багатовимірної замкне-
ної системи керування, що описується рівнянням (5.43),
в загальному випадку можна подати у вигляді
^И^==^з(г)6[пгТ0.], (5.113)
де
и/73(г)==[/—біа§{е ^“^гГ1}]”1 с!іа§ {1 —е °1’} X
_ _ • —
X [^(ОГ’ВСг-’)^^ тіп} О [пгТ0/]. (5.114)
Тоді після перемноження обох частин рівняння (5.56)
на матричний вираз [/ — с1іа§ {е и 1 дістанемо
[7 — Гз(г’)] №п (і) и [и£Т0.] = (г) Е [игТ0.], (5.115)
262
ТГп (г) — дискретна передаточна функція ЗНЧ об’єкта,
де визначається виразом (5.57).
ЩОЯКЩО взяти до уваги рівняння (5.101), то стосовно ко-
дискретна передаточна функція її ЗНЧ матиме ви-
^я(і)=Л-,(г ’)£(? ')діа§{г/1ті”} =
ГІ17 (г) Гп (г)
їх 1
Ч, (*)
Ь 1 &
№„ (г)
22х 7 З
ВМ <г2~') г2 ^тІП
Ч (г~‘)
В22 (г2~‘) Ч2ті"
^22 ^2
(5.116)
£кЛадові частини цієї функції визначаються виразами
(5.104), (5.105).
Для двовимірного ЦР матричне рівняння (5.115) до-
цільно записати так:
(г)
Ч2 (2)
чч
Ч8 &
, 1"
1Гг1 (г) Г«! (гх)
П^22 (?) ^2 (?г)
1^21 (?) Г «1(?Ь
22 (?) «2 (?2.
Чі <2>
№з, (г)
12 ' '
’ЧЛ2)
Ч, (2)
— X сі
«Ч (2Н
Ч2 (2>
Ч, (2Л
1 X
ч2 & з
(5.117)
іДсля перемноження матриць останнє рівняння можна
подати У вигляді системи двох оівнянь, а саме:
{^ГІ11 (Ю - (2) «Ч + Чх (2) ^Ч <2^и* +
+ {Гп х (г) - [ІГ311 (2) Гп (2) + П7 (2) Гп22 (2)]} х
X и2 (г2) = Гзп (г) Ег (гг) + Ц7 (г);
(5.118
{П/п 12 (?) - [«Ч (г) (2) + «ч <2> Ч. (2М “і +
+ {Ч2 (2) - [Ч2 (2> ^2! (2) + Чг (2) Ч2 <2М =
= Гзі2 (г) (гг) + 117 (г)^2(г2).
-* Сі Сі
263
Складові частини рівняння (5.114) у випадку двови-
мірної замкненої системи керування відпарною колоною
після обчислення їх за формулами (5.105), (5.107) мати-
муть вигляд
,. “Ч,и О - Ча, <‘Г’> +1-',А, V)і.
..и " =-----------------Щч------------------'
(5.119)
, . _ Гз22 (г) _ (1 - е~^2Ч) [&;гВ21 (г2~’) + ь;2в2і(гт\
22 ( ) Ь(гг’) Ь(гГ‘)
Ь (гГ1) = (1 - е Л11Г°12ГІ); Ь = (1 - е
При вибраних періодах квантування = 2 с, 7^ =
= 22Т0 =8 с оператори зсуву ?! і г2 будуть співвідноситись
як г~1 = г~4. Тому поліноми А22 (г-1), В21 (г~'), В22 (г-1)
відповідно до (5.105), (5.104) можна записати так:
В21 (гГ1) = гГ12 [Й> + + ^>гГ8 + Ь^]-
В22 (гГ1) = гГ12 [^’ + Ь^гТ4 + ^’г?8 + ^’г?12]; (5.120)
А22 (Vі) = 1 + й22)гГ4.
З урахуванням (5.105) і (5.120) чисельники у вира-
зах (5.119) набувають вигляду
~ (1 ---Є 11 01) 21 2 К&11МР + Ь2іЬі2>) + (&Ц&11} +
+ Ьгі^) 1 +(йц&іі) + 2 + (^п^п* + 3]‘,
^312 = (1 е 22 °2) 21 2 Ц^12^1Р + ^22^12^) + (^12^12) +
+ Й22&12*) 21 + (І’іг^ІІ1 + Й22^12() ?1 2 + (ЬцЬіі * 4“ ^22^12 *) 2\ 3]ї
(5.121)
г;гі (г) = (1 - гГ>2 [(^ь’Р + Ь*2їь^) + М +
264
+ ^21 ^22*) 4 + + Ь^їЬ^) 21 8 + (&Ц&2? +
+ 2і 12];
^322 (2) == О — Є 22 °2)^1 К^12^2Р + &22&2р) + (&12&2? +
+ ^22^22?) 21 4 + (&1262Р + &22І>22))21 8 + (&12&21 *+ &22&22>) 21 *2].
Підставивши в систему рівнянь (5.118) вирази (5.116),
(5.119)—(5.121), після зведення до загального знаменника
та виконання ряду перетворень дістанемо спрощену си-
стему рівнянь
Ьн^і \(2!) + &2Р21 12п2(гі) = Л\(з);
ЬіРз?2^ (2і) + &22)2?12п2 (Зі) = М2(з),
(5.122)
де керуючі діяння иг (зх), и2 (з2) визначаються через най-
менший період квантування Т01, а поліноми (з), УУ2 (з)
обчислюються за формулами
(2) = {Л 22 (27і) вп (з-1) (з) + Ли (з-1) В12 (з-1) х
X К (г) — [Мі’гГ’ + ^і’гҐ+Мі’гГЧ (гГ1) вп(гГ*)]} х
х иг (2]) {А22 (22 ) В21 (& ) ^з1х (2) "Ь (2* ) ^22 (Ф ) X
X (г)- [д^гГ16 + ЬІРгГ20 + ’г?24 + Е\ (гГ1) X
х в21 (г?1)]} «2 (г2) + ли (2?1) А 22 (г?*) Г3іі (2) £х (гх) +
+ А11(гГ1)А22(гҐ)^2(г)Е2(22);
N. (г) == {А22 (2Г1) вп (гГ1) (г) + Ли (гГ1) В12 (гГ1) X
Л сі
х (2) — [Ь12}21 + біірзі 4 4» &14,31 5 + О2 (31 }) X
Сі 2і
х ві2( гГ')]} иу (21) + {А22 (гГ1) В21 (гГ1) Г' (г) +
X Л
+ ли (гГ1) В22 (гГ1) Г' (г)- [№гТхе+ Ь^гТ2°+ Ь^гТ2і+
Л Сі
+ Р2 (21 *) В22 (гГ1)]} «2 (г2) + лп (гГ1) Л22 (г^) (г) х
л Л
X Е. (21) + Ли (гГ1) Л 22 (гГ1) Г' (г) Е2 (г2).
А А
265
Тут
Г) 1 І г/1)?-4 ^11^°17Т5,
Ь'і (21 ) = — Є Ї2| -|- И22 21 — и22 Є Х21 ,
П “\2Г09у-4 п^)-%22Т0 29~5
и2 (21 ) — #11 21 —Є 221 —иц Є 22і .
Розв’язавши систему рівнянь (5.122), знайдемо вира-
зи керуючих діянь в явному вигляді, а саме:
"2(21)- г?12 [«>-«'’] •
(5.124)
Таким чином, керуючі діяння иг (г^, и2 (г^ визнача-
ються для кожного найменшого періоду квантування Т01,
причому керуюче діяння и2 подається на ВМ через кожний
період квантування Т02. Оскільки за умовою періоди кван-
тування в каналах співвідносяться як Т02 = 4Т01, керую-
че діяння и2 (21), яке визначається виразом (5.124), об-
числюється через кожний період квантування чотири
рази з наступним його усередненням за формулою
#2 (^2) —
(5.125)
після чого воно й подається на ВМ.
На підставі (5.101)—(5.105) вихідні координати об’єк
та керування визначаються виразами
, X В12 <гГ') , х , , X
У2 (2г) ~ —Г=ЇГ иі (21) + м2 (2г)-
22 ^2 ' ^22 ^2 )
Якщо взяти до уваги вирази (5.123) та (5.124), то
після перемноження їх на відповідні поліноми Вц(2“1),
В21 (2”1)» 512(г~1) ' ^22 (г2~1)» як* визначаються виразами
(5.105) і (5.120), оператори зсуву ?“2, гр42 скорочуються.
Для реалізації законів керування БЦР на керуючій
мікроЕОМ вирази (5.123), (5.124) записуються у вигляді
різницевих рівнянь.
266
&і>Уі
#---------1-------1------1 і \___________________і і____________। і ..і і
Рис. 5.15
Моделювання розглянутої системи керування відпар-
ною колоною виконувалось на персональній ЕОМ «Искра
1030-11» за прої рамою СОМТРОЬЬЕК-2, наведеною в
дод. 9.
267
Рис. 5.16
Рис. 5.17
На рис. 5.15 зображено графіки перехідних процесів у
двовимірній замкненій системі цифрового керування при
різнотемповому квантуванні координат у каналах —у&
«ц2—У%» і ступінчастій зміні задавальних діянь 6Х, 62 ре-
гулятора. Зміна задавального діяння Сі на ~ 0,5 ви-
конувалась у першому малому періоді квантування Т01,
а задавального діяння 62 — в п’ятому великому періоді
квантування
На рис. 5.16 і 5.17 показано графіки оцінки складових
векторів параметрів математичної моделі колони, що опи-
сується рівнянням (5.101) у першому та другому каналах.
Оцінка параметрів для першого каналу провадилась за
швидкодіючим алгоритмом (5.70), а для другого — за
повільнодіючим алгоритмом (5.71), (5.72). Початковими
значеннями параметрів моделі для оцінки їх за РМНК бу-
ли:
у першому каналі
Яцпоч == ~ 0,3; Міпоч = 0,05; &2іпоч == 0,05;
^ііпоч = 0,05; = ^’0ч = 0,001;
Ь&оч = 0,001; дії}™ = 0; = 0;
біпоч == 0,5;
у другому каналі
^22поч — 1, ^12поч ~ 0,5, ^22поч = 2,
&1ІІОЧ - - 1; Жоч = 1,8; йХч = - 0,001;
Жоч = 0,05; ?124>оч = 0; ^оч = 0,01;
2іюч
= 0,5.
Контрольні завдання
Вивчити самостійно такі теми:
1. Канонічні структури подання багатовимірних об’єктів керу-
вання у вигляді передаточних функцій. Матричне поліномне подання
дискретної математичної моделі багатовимірного об'єкта [15].
2. Матричний поліномний аперіодичний регулятор [15].
3. Методи компенсації запізнювань у багатовимірному об’єкті.
Система регулювання з компенсатором запізнювань для багатовимір-
ного об’єкта керування [29].
4. Методи компенсації перехресних зв язків у багатовимірних си-
стемах керування. Принцип автономності (29).
270
Завдання для самостійного розв'язування
та дослідження
1. Двовимірний об’єкт керування (див. рис. 5.14) р-канонічної
структури (15) описується неперервними передаточними функціями
№0 =_кііе Тї1$.
11 Лі» +1
«’о
К12е Т1г5 .
Т125+1 ’
19
г0 = , її/ = ...к2ге
Г215 + 1 °« Т225 + 1
де Кц З, К12 — 4, К21 — 1, к22 — 5, 7Д — ЗО с, 7\2 — ЗО с, 7^22 —
= 20 с, Т21 ~ 20 с. Запізнювання в об’єкті змінюються в межах тп =
= 3 4- 8 с, т12 = 3 4- 6 с, т21 — 6 4- 12 с, т22 = 6 -? 15 с.
За даними з прикладів 1.7 і 5.1 розробити математичну модель об’-
єкта зі змінним запізнюванням у вигляді дискретної передаточної
функції (5.34) при періоді квантування 70 — тптїп“ $ с.
Подати розроблену модель у матричній поліномній формі (5.1).
2. На підставі розробленої в попередньому завданні математичної
моделі об’єкта за програмою СОПТКОЬЕЕК-6, наведеною в дод. 9,
виконати моделювання двовимірної системи цифрового керування об’єк-
том при настроюваних параметрах регулятора = Х2 = Іат— 0,01,
То = /0 = 3 с і задавальних діяннях = 1 = 1, С2 = 1,5 = £е 2.
Початкові координати об’єкта мають такі значення: р1поч= 1; р9ПОЧ=
1,0, Цщоч 0» ^‘2ПОЧ~ 0» ^1= 0 “Ь а11) ^ІПОЧ== (1-І- Я22)Х
Хр2пОч== Моделювання перехідного процесу провести при ступін-
частому збуренні першого задавального діяння — сІ§е1 = 0,5 в
такті квантування пзі 1 = 5 і такому самому збуренні другого за-
давального в такті квантування П8і 2 = 25. Загальна кількість тактів
при моделюванні п = 50.
3. За програмою СОМТКОЬЬЕК-6, наведеною в дод. 9, виконати
моделювання двовимірної адаптивної системи керування з параметра-
ми, заданими в попередньому завданні. Для цього початкові значення
параметрів а, Ь збільшити в півтора раза порівняно зі значеннями па-
раметрів а, Ь, визначеними в завданні 2.
4. Тривимірний об’єкт керування р-канонічної структури (див.
рис. 5.14) характеризується такими неперервними передаточними
функціями:
\У
''23
Нз
и33
«і3е Тіа8 .
Т188+1 ’
«2 3Є 23
к Р ^зз8
к33у
де Кц 0,5, к^2 1,2, к13 0,8; к2і — 1,5; к22 — 1,9; к2з — 2; Ко^ —
= 2,3; к32 = 3,5; к33 = 4; Тгі = Т12 = Т13 = 25 с; Т21 = Т22 = Т23 =
= 40 с; Т31 = Т32 = ^зз = 55 с.
271
Запізнювання в об’єкті змінюються в межах: тп = 3 4- 8 с,т12 =
= 3-4- 6 с, т13 = 3 9 с, т21 = 2 -4- 7 с, т22 = 2 -4- 5 с, т23 = 2 4- 10 с,
Чі = 4 -г Ю с, т32 = 4- 12 с, т33 = 4 -4- 9 с.
З використанням прикладів 1.7, 5.1, 5.2 розробити математичну
модель об’єкта керування за змінним запізнюванням у вигляді дис-
кретної передаточної функції (5.35) з наступним відображенням цієї
моделі за допомогою трьох взаємозв’язаних рекурентних рівнянь, на-
ведених у прикладі 5.2, при періоді квантування = 2 с = /0.
За програмою СОМТКОЬЬЕК-7, наведеною в дод. 9, на персональ-
ній ЕОМ типу «ІВМ РС» виконати цифрове моделювання тривимірної
адаптивної системи при настроюваних параметрах регулятора =
= Л2 = Л3 = Іат = 0,01 і задавальних діяннях = 2, С2— 1, сз =
= 0,5. Початкові координати об’єкта мають такі значення: г/іпоч= 2;
^2поч = Узпоч = ^іпоч 0» ^2поч ^Зпоч “
д1 — сіє 11— (1 -р &іг) у} ;
Чіоч
^2 “ (1 + «22) ^2П0Ч>
^3 — (1 + ^зз) ^зпоч •
Моделювання перехідного процесу провести при ступінчастому
збуренні першого задавального діяння = сІ£е1 = 0,5 — в такті
квантування пзі 1 = 5, другого Д62 = сіде 2 — 0,5 — в такті пзі 2 =
= 20 і третього ДС3 = сІ£е 3 = 0,2 — в такті П8І 3 = 40. Загальна
кількість тактів при моделюванні п = 100 вводиться з пульта ЕОМ.
Початкові значення параметрів а, Ь збільшити в півтора раза по-
рівняно зі значеннями параметрів а, Ь, визначеними при розробці дис-
кретної моделі об'єкта.
Моделювання провести при таких значеннях фактора експоненці-
ального забування р = ти: 1) 0,9; 2) 0,95; 3) 0,99.
Накреслити графіки перехідних процесів під час зміни коор-
динат у. , У^р У Зр ^1/» ^2/’ ^3/»
І і> І І І 4
РОЗДІЛ 6
МЕТОДИ ПРОЕКТУВАННЯ БАГАТОВИМІРНИХ
МАТРИЧНИХ ПОЛІНОМНИХ АДАПТИВНИХ
СИСТЕМ КЕРУВАННЯ ОБ'ЄКТАМИ
З РІЗНИМИ ЗАПІЗНЮВАННЯМИ
ПРИ ВИПАДКОВИХ ЗБУРЕННЯХ
6.1. Синтез адаптивних регуляторів
для лінійних багатовимірних стохастичних
об'єктів з різними запізнюваннями
в каналах керування
Багатовимірні технологічні об’єкти, які поширені в
хімічній та нафтохімічній промисловості і на які діють
збурення стохастичного характеру, відзначаються різ-
ними запізнюваннями в каналах керування. Крім того,
динамічні параметри їх (коефіцієнти передачі, сталі часу)
272
повільно змінюються при експлуатації об’єктів, залиша-
ючись невідомими.
Задачу синтезу адаптивного БЦР стосовно багатови-
мірних об’єктів з однаковими запізнюваннями в каналах
керування розв’язано в 115, 28]. Однак припущення про
рівність запізнювань у всіх каналах значно звужує мож-
ливість застосування здобутих результатів.
Нижче описується метод синтезу БЦР для широкого
класу багатовимірних об’єктів з різними запізнюваннями
в каналах керування [36]. Математичний опис таких об’єк-
тів можна подати у вигляді матричної моделі АРКСХ, за-
писавши рівняння
Л (?“') Уі = В (г-1) сііа§ и{ + С (г-1) + V,
і — 1,2,... ,т,
(6-1)
де Уі — вектор відхилень керованих змінних вимірністю
(т X 1) від математичних сподівань їх, спостережуваних
у дискретні моменти часу /, розділені періодом кванту-
вання 70; Лі = [т^/То] + 1 — відоме дискретне запізнювання
в каналі «вектор керуючих діянь — вектор відхилень ке-
рованих змінних» (тг — час запізнювання в і-му каналі
керування); щ — вектор відхилень керуючих діянь ви-
мірністю (т х 1) від умовних середніх значень їх за час
пТо і < (п + 1) 70. Взяття виразу т-/70 в квадратні
дужки відповідає операції виділення його цілої частини.
Припускаємо, що в (6.1) запізнювання впорядковано
так: < (12 < ... < б?^;_при іщому = б/тіП.
Матричні поліноми Л,В, С вимірністю (тхт) визна-
чаються виразами
^4(2 ) = І 4~ 4“ ••• Аь? »
В (г~*) = Во + В.г-' + - + Вкг~к;
С (г ') = І + Сгг 1 + ••• + Скг ,
де 7, Во — відповідно одинична та невироджена матриці
вимірністю (тхт).
Вважаємо, що вплив середовища на об’єкт можна сха-
рактеризувати збуреннями, які є стохастичними проце-
сами. Оскільки система керування лінійна, скористаємось
принципом суперпозиції й усі збурення в (6.1) зобразимо
у вигляді одного вектора збурень вимірністю (т X 1),
прикладеного до виходів об’єкта [28]. При цьому припус-
273
каємо, що стохастичні збурення є послідовностями не-
залежних випадкових змінних з нульовим середнім.
Вектор зміщення V керованих змінних у вимірністю
(тхі), який входить до складу рівняння (6.1), визнача-
ється при нульових відхиленнях вектора и відносно
умовних середніх значень і за відсутності вектора збурень
£; з"”1—оператор зворотного зсуву, наприклад =
Оптимальне прогнозування значення вектора уі на
йтіп тактів квантування вперед. Рівняння (6.1) можна
записати у вигляді
А(г 1)<іїа£{г Дгі‘}^-</тіп
+ С (г~’) + V,
(6-2)
де б/тіп — мінімальне запізнювання в усіх каналах керу-
вання. При цьому запізнювання в г-му каналі буде б/£==
== Дб/^ -р б/тіп.
Рівняння (6.2) подамо в такій формі:
А ^тіп = 5 (2 Щ + С ^тіі, + Р-
(6-3)
Щоб вивести формулу для визначення значення век-
тора У} на б/щіп тактів квантування вперед, модифікуємо
діофантове рівняння
С (г-1) = А (г-1) Е' (г-1) + діа§ {г-""11”} Е' (г-1). (6.4)
Використання рівняння (6.4) з урахуванням теореми
2.1, наведеної в п. 2.5, дасть змогу дістати цю формулу,
за допомогою якої мінімізується дисперсія помилок про-
гнозування значень вектора
Уведемо матричні поліноми Е' та Р' за умови, що ви-
конується тотожність Е' (з-1) р' (з“!) = Р' (з”"1) Ег (з”"1),
с!еі Е' (з"1) = деі Е' (з-1), Е (0) = І. Відповідно до [28] такі
поліноми існують.
За аналогією (6.4) для визначення матричного полі-
нома С(з“1) запишемо діофантове рівняння
С (г-1) = Е' (г-1) А (г-1) + Ша£ {2-йтіп} Г (г“’). (6.5)
274
Для (6.4), (6.5) дійсною є тотожність
С(г~') Е' (г-1) = Е' (г-1) С (г'1).
(6.6)
Матричний поліном Ег (х ’) визначається виразом
Е' (г-1) = / + Е'іг-1 + ... +
Тоді Е' (г~1) можна знайти, скориставшись діофантовим
рівнянням (6.5).
Помножимо обидві частини рівняння (6.3) на Е' (г-1)
і перетворимо ліву частину здобутого рівняння, підста-
вивши в неї з (6.5) значення виразу Е' (г”1) А (г—1), а та-
кож застосувавши тотожність (6.6). Тоді дістанемо
^п,іп= [С (г“’)Г V' (*“') Уі+ Е' (г-1) В (г”1) йіа§ {г~^} х
X «,+ Е' (Г1) V] + Е' (г-1) С<+ . (6.7)
З рівняння (6.7) можна визначити передбачуване зна-
чення вектора вихідних керованих змінних на б/тіП так-
тів квантування вперед, маючи інформацію на час І — пТ\
включно:
у‘+^іп|/ = ^(г-1)]-1 \Е (г-1) Уі + Е' X
+ б7], (6.8)
де б' = £(1)й
Вектор похибок передбачення в (6.7) позначимо як
= Є (г-1) ГІ4Чмп. (6.9)
В інтервалі часу передбачення об’єкт можна вважати
стаціонарним; тому нестабільність його параметрів на точ-
ність прогнозування стану об’єкта не впливатиме.
Формулу (6.8) можна використовувати для розрахунку
систем керування об’єктами з запізнюваннями в каналах,
які не дуже відрізняються одне від одного.
Постановка задачі проектування БЦР. Для об’єкта
керування з однаковою кількістю входів і виходів, мат-
275
Рівняння (6.14) визначає структуру оптимального БЦР,
який в кожному періоді квантування формує вектор керу-
вання.
Методика оцінки запізнювань в каналах керування,
викладена в [ЗО], тут не розглядається.
Реалізація адаптивного БЦР. Під час експлуатації
об’єкта параметри матричних поліномів А (г~~х), В (г--1),
С (г”"1), сіь V рівняння (6.1) змінюються; тому коефіцієнти
Р (г"”1), (г--1), Н (г-1) і вектор 6 в (6.14) теж повинні
мінятись, щоб закон керування залишався оптимальним.
Для реалізації адаптивного БЦР треба розробити реку-
рентну процедуру безпосередньої ідентифікації парамет-
рів регулятора.
Спочатку припустимо, що в (6.14) матричний поліном
со
С (г”"1) = /. Це буде тоді, коли С(г~х) —1. При цьому рів-
няння (6.14) матиме вигляд
ФнЧпіпі* = У і + иі+ + 6 = 0,
(6.18)
а _
'ф^тіп = ^-Мтіпі* + Є^тіп’
Запишемо вектор вимірюваних координат у
== (у], у]-!, •• • •> й(]т,
[<ііа§ {г~Мі} .......01, Ої-у,...;
вигляді
(6.20)
де N = [1, 1, ... , 1]т—одиничний вектор вимірністю (тх 1),
а матрицю коефіцієнтів регулятора так:
Тоді рівняння (6.18), (6.19) можна подати у формі
окремих рядків, а саме:
де вектор-стовпець коефіцієнтів регулятора при г=1, 2,..., т
визначається виразом
7? __ і г9 $9 ГІ г®
І/ їх» • •• > / Іті / ї’1» ••• » / іт9 ••• > • •• 9 ' І{П9
278
При цьому компоненти вектора Хг відповідно до (6.20)
некорельовані з вектором похибок передбачення .
Параметри матриці коефіцієнтів 6 регулятора оціню-
ються для кожного її рядка за допомогою обчислювальної
процедури РМНК, модифікованої стосовно запізнювання
^тіп*
(6.24)
де |3—фактор експоненціального забування.
Запишемо вираз векторної функції (6.19), урахувавши
рівність у = £ , + е1+(Ітіп і рівняння (6.13):
^+^шіп ~ ^+гітіп ’Т" Р“1> "• ’ ^т} Х
X {г~Лгі‘} {иг — (6.25)
Алгоритм автоматичного настроювання коефіцієнтів БЦР
відповідно до (6.14) за час + 1)Т0 при
со
С(г~1)= 1 зводиться до виконання таких дій:
1. Вимірювання значення вектора вихідних керованих
змінних уг при відомому значенні вектора задавальних
діянь О{.
2. Після застосування оператора зворотного зсуву
2—^тіп дО ВИразу (6.25) обчислення векторної функції:
Ф/ = У І'—•••
X біа§ (иі — и^) (6.26)
з виділенням у ній окремих рядків ф .
3. Формування вектора вимірюваних координат (6.20),
зміщеного в бік відставання на с/тіП, тобто
Х/-Йтіп = {уЬтіп. {г~а‘} «<]т.
«ііа§ {г~^} й^Г,...; ОДйтіп; бДйтіп-ь..., ЯТ}. (6.27)
279
4. Коректування значень коефіцієнтів вектора 0г (і =
= 1,2, ..., т} за РМНК згідно з обчислювальною процеду-
рою (6.22)—(6.24).
5. Складання рівняння оптимального БЦР
X А, = ? (2-1) У і + Я (г-’) щ + Н (г-1) 6, + б = 0
(6.28)
з визначенням нового вектора керуючих діянь
#ос]іа£ {? &аі} Щ = — V ЕіУі-і + У Я/ііа£ {г &а‘} и{_.
7^ о 7^1
7>0
(6.29)
6. Установлення значення дискретного часу і — і + 1
і повернення до п. 1.
Розглянемо складніший варіант, коли в (6.14) мат-
ричний поліном С(г~На підставі (6.14), (6.19) і
(6.21) дістанемо
ф. = Х/0/. 4" Є. + Ф* \4
*+^тіп ^"Нтіп ^4-^тіп^
с»<^)(6-30)
У цьому випадку векторна функція ф* скорельована
з вектором X; тому оцінки вектора параметрів 0г за
РМНК будуть зміщені на початку його настроювання.
Проте слід мати на увазі, що при оцінюванні вектора
параметрів 0г в кожному періоді квантування для виз-
начення вектора керуючих діянь відповідно до (6.18),
(6.28), (6.29) функція ф* установлюється на нульове зна-
чення. Отже, якщо припустити, що 0—> 0, то параметри
адаптивного БЦР згідно з (6.18), (6.28) прямуватимуть
до оптимальних значень при ф* = 0 і скривлення оцінок
вектора параметрів 0 в (6.22) будуть ліквідовані (тобто
останні три члени в (6.30) зникнуть).
280
Приклад 6.1. Розглянемо двовимірну систему автоматичного циф*
рового керування ректифікаційною колоною при діянні на неї випад*
кових збурень. Аналогічну задачу для детермінованого варіанта ке-
рування (без стохастичних збурень) розглянуто в прикладі 5.4.
Основним завданням системи керування є забезпечення високої
стабільності температури уг на контрольній тарілці й рівня суміші
у2 в кубі колони. При цьому необхідно компенсувати вплив збурень
(зміни складу сировини, тиску в колоні та витрати зрошення). Керу-
ючими діяннями в системі вважаються витрати сировини і теплоно-
сія «а.
Експериментальна дискретна модель (6.1) ректифікаційної коло-
ни при дискретних запізнюваннях = 2, 6І2 = З описується матрич-
ним рівнянням
"0,9833
.0,03933
0,3269 "
0,02307.
Г0,42
.0,0168
0,269 '
0,01076
‘—0,2355
0
0 1 Г0,12876"
0,0942] 0,515
Критерій оптимальності (6.11) для двовимірної системи керу-
вання колоною визначається як
и, —і/,
ч ч—і
“ и2і
де = 1,5; 02 = 6 — задавальні діяння.
З урахуванням (6.5) при г/тіп = сі1 = 2
структуру матричних поліномів:
та
маємо таку
01
1,052г
0
"0,98111
0
0
1,405598
0
1,3815г-1] ’
0,39275г-1 0
0 0,515769г-1
1
0
2
и^. — ііо
0
0 "
Л2 _
На підставі (6.15)—(6.17) визначаємо матричні поліноми рів-
няння (6.14):
(0,9833 + 2,347377ц) (0,3269 — 4,00183Л,2) г-1
(0,03933 — 33,2621 Л,) (0,02307 + 100,05087Х2) г-’.
281
(1,454431 — 2,900175Л,х) г-1
.(0,071134 + 30,12882^!) Г1
(0,44184 + 0,552805X1) г-2
.(0,023209 + 3,133287.!) г~2
(0,612898 + 4,944267.2) г-2'
(0,04263 — 90,626087.2) г-2
(0,282988 — 0,94243Л2) г-3
(0,014864 — 9,42479Х2) г-3
Н (г-1) = -
01 Г 0,2355г-1
1 +. О
— 0,0942г-1
Вектор сталого зсуву
на вході ЦР визначається як
= Е(1)
А‘
-^2_
2,052 0
0 2,3815
12,876 "І _ Г26,4215'
0,515 ] = І 1,22647.
А
А
1
0
Для автоматичного настроювання вектора параметрів 0. регуля-
тора за обчислювальною процедурою РМНК (6.22)—(6.24) знаходимо
векторну функцію ф/ відповідно до виразу (6.26), а саме:
'2,34737 (иХі_2 - - 4,00183%2 («2/_з - ц2/_4)
- 33,2621%! - ц^_з) + 100,05087%2 (и2/_з - н2/_4)
Користуючись виразом (6.27), формуємо вектор вимірюваних
координат
2 ^1/—2’ ^—2* ^У—39 ^2/—з’ ^і-З*
иЧі-Є иІ/-4’ и2/-5’ °2<-2’ °1/_з> 11
Після корекції вектора параметрів 0 за РМНК згідно з обчислю-
вальною процедурою (6.22)—(6.24) визначаємо новий вектор керуючих
діянь, виходячи з виразу (6.29):
“ч
(0,009827+10,9275347,1+ 98,5374117,2+101,74714Хх Т,2)
'(0,02307 + 100,050877,2) — (0,3269 — 4,00183Х2)’
_ (0,03933 — 33,26217-!)
Уі/ _
1,405598^ у2і
0,98111 0
'о
(0,9833 + 2,2473771) ]
1
^2/ і
0,392753 0
0 0,515769
— 7 —
Г(1,454431 — 2,900175%!) (0,612898 + 4,94426%2)’
+ І (0,071134 + ЗО, 128827,!) (0,04263 — 90,62608Х2).
А-і
282
0,44184 + 0,55280521!)
.(0,023209 + 3,1332821!)
(0,282988 — 0,942432і2)1
(0,014864 — 9,424792і2)]
%-2
иїі-з
1 0
0 1
0,2355
0
— 0,0942
0,264215
1,22647
Цей вектор коректується для кожного періоду квантування у двовимір-
йому регуляторі.
Результати моделювання двовимірної системи автоматичного циф-
рового керування показано на рис. 6.1 і 6.2 відповідно для першого
та другого каналів керування. Цифрове моделювання проводилось на
персональній ЕОМ «Искра-1030-11» за програмою СОЬІТКОЕЕЕК-4,
наведеною в дод. 9, у режимі автоматичного оцінювання параметрів ЦР
за РМНК. При моделюванні початкові параметри моделі (6.31) мали
такі значення:
^поч
'1,2875
0
+оч
0,9833
0,03933
о
1,2875.
0,3269 ’
0,02307.
0,2355
^поч
ІПОЧ
^поч
0
0,0942
У процесі моделювання
ступінчастим законом аж до
0,37334
0
V
поч
'0,42
.0,0168
0,12876
0,515
0
0,37334] ’
0,269 ‘
0,01076] ’
ці параметри значно змінювались за
таких значень:
1,34 0 - [0,43 0 3 - [1,30 0,361
* А І * й =
0 1,25] ’ 2 [0 0,32] ’ 0 |_0,03 0,02.
0,38 0,30’
0,02 0,01.
Г— 0,22 0 1 _ [0,151
; V —
[0 0,12] [0,49]
При моделюванні вектори параметрів
тому каналах керування визначались як
ЦР в першому та дру-
гг _ г^О) +1) $(0) 7(0) 7(1) 7(1) 7(2)
% “ 1 /и » /п » '11 ’ '12 » Г11 » г12 » '11
Г12 »
- А]?’. С- 6x1;
к _ 7(0) $(0> 7(1> З-*2) 7<2)
°2^ — і /22 » '22 > '21 » '22 ’ '21 ’ '22 » '21 » '22 » '22 »
22 ’ “22 »
тобто параметри регулятора в кожному періоді квантування коректу-
вались на підставі оцінки їх за РМНК.
На рис. 6.3 зображено графіки перехідних процесів під час змі-
ни вихідних керованих координат у2 та керуючих діянь и1г и2 в
замкненій системі цифрового керування при ступінчастому збуренні
задавальних діянь А(?і = 0,3, Д62 = 1 і Аі = 0,05, Х2 = 0,005. Сту-
пінчасту зміну задавальних діянь проведено після того, як були оці-
0
283
Пй
5 Ю 15 20 П
Рис. 6.1
Рис. 6.2
Рис. 6.3
нені параметри об’єкта керування за РМНК (див. рис. 6.1 і 6.2), тоб-
то після зміни його динаміки.
З рис. 6.3 випливає, що двовимірний адаптивний ЦР забезпечує
оптимальну якість керування при зміні динамічних параметрів об’-
єкта.
6.2. Синтез адаптивних регуляторів
для нелінійних багатовимірних стохастичних
об'єктів з різними запізнюваннями
в каналах керування
До класу нелінійних багатовимірних об’єктів керу-
вання, на які діють збурення стохастичного характеру,
належать, наприклад, хімічні реактори ідеального пере-
мішування та реактори каталітичного риформінга бензи-
нів/Ці об’єкти характеризуються різними запізнюваннями
в каналах керування й поступовою зміною динамічних па-
раметрів їх під час експлуатації, які в загальному випадку
є невідомими.
В [1] розглянуто задачу стабілізації роботи реактора
ідеального перемішування, поданого у вигляді лінеари-
зованого одновимірного об’єкта керування, що описуєть-
ся неперервною функцією. При цьому не враховано зміну
збурюючих діянь, яка звичайно призводить до зниження
якості роботи системи керування.
Нижче викладено узагальнення методики проектуван-
ня оптимальних адаптивних ЦР для нелінійних багатови-
мірних стохастичних об’єктів з різними запізнюваннями в
каналах керування, динамічні параметри яких зміню-
ються залежно від зміни режиму роботи об’єкта, його ста-
ну та якості сировини [33]. Для визначення цих парамет-
рів, які входять у закон керування адаптивного регуля-
тора, розроблено алгоритм ідентифікації їх, який викону-
ється в реальному масштабі часу при замкненій системі
керування.
Математичний опис ЗНЧ нелінійного багатовимірного
об’єкта з різними запізнюваннями в каналах керування
можна подати у вигляді нелінійного матричного поліном-
ного різницевого рівняння
— - _
А (г-1) Уі = х
1=1
..., и^п]т + с(г“’) 4- V,
(6.32)
287
де Уі — вектор відхилень керованих змінних вимірністю
(тхі) від математичних сподівань їх, спостережуваних
у дискретні моменти часу / = пТ0, розділені періодом
квантування То; — матриця параметрів системи вимір-
ністю (тхт); = [т/7%] + 1 — відоме дискретне запіз-
нювання в каналі — ур при / = 1,2,... , ш(т7-— час за-
пізнювання в /’-му каналі); щ—вектор відхилень змін-
них керування вимірністю (тхі) від умовних середніх
значень їх за час пТ^^.і<і(п 4- 1)Т0. Взяття виразу
т7-/Т0 в квадратні дужки відповідає операції виділення
його цілої частини.
Припускаємо, що в (6.32) запізнювання впорядковано
так: < ... < <2? < (1т\ при цьому = б/тіП.
Матричні поліноми А, С вимірністю (тхт) визнача-
ються виразами
А (г'"1) = І +
4“ ••• 4"
С (х ) — І С^х 4“ ••• + с>
де х 1—оператор зворотного зсуву, наприклад г хуь =
= у(__{; І — одинична матриця вимірністю (тхт).
Вектор зміщення V керованих змінних у вимірністю
(/ихі), який входить до складу рівняння (6.32), визна-
чається при нульових відхиленнях вектора и відносно
умовних середніх значень і за відсутності вектора збурень £.
Векторну функцію можна знайти так:
і=== б"і (І ~ 0’ !>•••»)» [х і]
ц=1,2,...], £ = 1, 2,...,/V; /= 1,2,...,т, (6.33)
де — відомі стаціонарні діагональні матричні функції
з відомими параметрами вимірністю (тхт).
Коефіцієнти М, г^,..., г,ш, в (6.32) є відомими
цілими числами зг. >0(/= 1, ... , т). Зведений до ви-
Ч „
ходу об’єкта керування вектор стохастичних збурень
вимірністю (тхі) складається з послідовностей незалеж-
них випадкових змінних з нульовими середніми значен-
нями їх.
Постановка задачі проектування БЦР. Математич-
на задача синтезу адаптичного БЦР для об’єкта керуван-
ня, що описується рівнянням (6.32), зводиться до побудо-
288
ви закону керування регулятора у вигляді рекурентної об-
числювальної процедури, при виконанні якої в кожному
періоді квантування формується вектор керуючих діянь
діа£ {г”’Лг//} на основі дискретних вимірювань вектора
керованих змінних , вектора задавальних ді-
янь 6}, 0/_і, ... , 6і—ьс вимірністю (тхі) і вектора попе-
редніх керуючих діянь сІіа£ сІіа§
шляхом мінімізації для кожного періоду квантування кри-
терію оптимальності
= М {II Уі+а . — ІГ + Ніа£ {г мі} (и{ — ^_1)]т X
X (ііа§ {Лп ..., Лт) [діа£ (г д</'} (и{ — «,_,)]},
(6.34)
де М—оператор математичного сподівання; —зна-
чення вектора керованих змінних, зміщених на йтіП тактів
квантування вперед; с!іа§ {Лр ... , Хш} — діагональна мат-
риця коефіцієнтів; ~ б/7- — б/тіп.
Оскільки керовані змінні Уз сприймають зміну зада-
вальних діянь 67 через певну кількість тактів запізню-
вання в об’єкті керування, критерій (6.34) враховує
відхилення вектора уі+(1 . від вектора 0Р
Для розв’язання задачі проектування БЦР за крите-
рієм (6.34) необхідно розробити алгоритм передбачення
значення вектора уь на б/тпіп тактів квантування вперед,
виходячи з моделі об’єкта (6.32), а також оптигиальну
структуру регулятора й алгоритм автоматичного настро-
ювання його параметрів з використанням передбачувано-
го значення вектора керованих змінних Уі+а . на м0'
мент часу /.
Розробка математичної процедури передбачення зна-
чення вектора уі на б/тіП тактів квантування вперед. Рів-
няння (6.32) можна записати в такому вигляді:
_ „ 77 _
А (г-') Уі = £ {г~м>} X
1=1
^тіп
Г+С(г-')^ + и,
ь и тіп
(6.35)
якщо дискретне запізнювання в /-му каналі керування
визначити як = Дй7- + йтіп-
Ю-4-940
289
Запишемо діофантове рівняння [28]
С(г-’) = Д(г-’) + г-’Г (?“’),
(6.36)
яке дійсне завжди. З цього рівняння визначимо матрич-
ний поліном Л (г-"1). Підставивши здобуте значення
Л (г"~І) У (6.35), після елементарних перетворень дістане-
мо
_ _ _ _ N _____
с (г—') Уі = Р (г-1) У(_х + V х
1=1
х[<;« іт+ с(2-‘)^ + й. (6.37)
^тіп *-Апіп
Домножимо обидві частини останнього рівняння на
оператор зсуву г^тіп. Тоді матимемо
со
N со
X ..., иг^т]т 4- V} + С/-нтіп>
(6.38)
со со
де . _р і —і — оцінки прогнозованих значень
вектора керованих змінних і функції х.* на йтІп
тактів квантування вперед, які обчислюються за рекурент-
ною процедурою шляхом послідовної заміни дискретного
часу / на час (/+ ц) при ц = 1, 2,..., (йтіп—1) в де-
термінованій частині рівняння (6.32):
оо со N со
= 2 ЇЇ (г В 4" *
І=1
X с!іа§ {г Л</'} [иг.1<
51 ’г+Ч-Чпіп
*т* -
иГіт 14-у»
пі. , , 11 ’
Ц-т) ^тіп
/ = 1,2,..., т. (6.39)
Користуючись рівнянням (6.38), можна знайти прог-
нозоване значення вектора керованих змінних на б/т1п
290
тактів квантування вперед відносно моменту часу тоб-
то _ __ _
^Нт1пІ< = ^-Нтіп ~'^+'/тіп = 1С (2 )1 Х
сю N сю
х {Г(г ) ^т1п_, + X
«=1
Х(1іа£{г
+ V}'
(6.40)
В інтервалі часу передбачення йтіП об’єкт керування
вважається стаціонарним; тому нестабільність його пара-
метрів на точність прогнозування значення вектора
£-МтіпИ НЄ в™™ме.
Процедуру (6.40) доцільно використовувати в системах
керувгшня об’єктами з запізнюваннями в каналах ке-
рування, які не дуже сильно відрізняються одне від од-
ного. Відповідно до теореми 2.1 застосування діофантово-
го рівняння (6 36) для розробки процедури передбачення
(6.40) дає змогу дістати значення вектора (/* „ з мі-
** г • 4-Ь«тіп'г
німальною дисперсією помилок завбачення.
Розробка структури оптимального нелінійного БЦР. Як
показано
мальності
в п. 6.1, після підстановки в критерій опти-
(6.34) замість вектора у... виразу у* ..ф-
Г~Г“ГПІП г~г“тіпІ'
ф через відсутність кореляції між
нч™ ’ векторами І7;+(ітіпІр діа§{г-Дгі/}йь ді
вектором
< -_\а '
задача зведеться до вирішення проблеми детермі-
нованої оптимізації. При цьому (6.34) можна записати у
вигляді (6.11), тобто
1 = II ІАЧЧпіпИ — Р + [<1іа§ (йі — X
хдіа§{Х1,..., [4іа§ {г Дг/'} (щ — «,_,)] 4-
^“Ь^тіп
(6-41)
Вектор оптимального керування визначається на осно-
ві мінімізації критерію (6.41) по вектору керуючих діянь
<ііа§ {г~мі} щ шляхом прирівнювання похідної до нуля.
Л______- = от [?.„ „ — би +
д [4іа§ {г-^і} и,] + тІпІ
ь
+ с!іа§ {Лр ..., Хт} діа§ (й( — й^) - 0, (6.42)
10*
291
де матричний поліном О відповідно до виразу (6.40) при
С (0) = І можна знайти за формулою
д [(На& {г~м/} й ]
V
N
со
*/_Ит1п 1
^=#0
Х<іїа£{г. иг‘і 1 }1Т,
/ И—М] >
/ = 1, 2,... ,т.
(6.43)
Після підстановки в (6.42) виразів (6.40), (6.43) і ря-
ду перетворень дістанемо рівняння оптимального БЦР, а
саме:
со N со
^(2 ) ^+Лтіп-І + (г '}Х
1=1
X [«Л, ... , и^пг] -|- V — С (х !) 6І +
+ С(г-’) {[£ }]т}"'х
1=1 7
г
Х(ііа§{Х1,..., ?.т}с1іа§{2 '} (и{— и^) =0, /=1,2,... ,т.
(6.44)
Якщо суму незалежних від {х~Мі}и1 членів лівої части-
ни останнього рівняння записати у вигляді виразу
(6.45)
то (6.44) можна подати у формі
N со
£=1 7
Г£#=о
N со
*{У ..., ичп}1 + 5) +
Ї=1
г^О
+ йіа§ {^!...М йіа§ {г дй/} (м{ — м/_1)= 0. (6.46)
292
Рівняння (6.46) визначає структру оптимального не-
лінійного БЦР, в якому для кожного періоду квантуван-
ня обчислюється вектор керуючих діянь аіа§ {? ’} щ при
застосуванні чисельних методів для розв’язання матрич-
ного рівняння (6.46). Якщо при цьому буде знайдений
більш ніж один фізично здійснимий розв’язок, то як
вектор діа§{г“Л^'}г/і приймаються дійсні корені, най-
ближче розміщені до попереднього вектора керуючих ді-
янь діа§{г—
Для розв’язання рівняння (6.46) спочатку обчислю-
ються значення прогнозованого вектора керованих змін-
них уіл_а . _] за рекурентною процедурою (6.39) послі-
довно при г| = 1, 2, ... , йтіП—1, а також значення функ-
ції -ь Порядок рівняння (6.46) відносно вектора
с!іа§ {г~мі} иг становить у = 2 [шах (гг)] — 1. Якщо кое-
фіцієнти виразів А (г~!), Вь С (г”1), V в (6.32) відомо, то
матричний поліном Р (г-1), який входить до складу (6.45),
можна визначити за допомогою рівняння (6.36).
Алгоритм автоматичного настроювання нелінійно-
го БЦР. Для оцінки в реальному масштабі часу змінних
параметрів, що входять до складу рівняння БЦР (6.46),
а саме: Р Вь С (г”1), у, можна скористатися вимірю-
ваннями вхідних і вихідних сигналів відповідно до (6.40).
За умови С(0) = / домножимо вираз (6.40) на оператор
зворотного зсуву б/гпіп; тоді матимемо
+ о + г [/ - С (г-’)] у;_ш_,тіп_р (6.47)
або, якщо у* _а = Уі—їі,
Ч1 тіп
Уі = Р(.г *) +
• 1 » /<
І=1
Оскільки вектор збурень від решти складових пра-
вої частини (6.48) не залежить, для оцінки параметрів
^(г"1), Вц С(г”’),у можна застосувати узагальнений
293
РМНК на основі вимірювань керуючих діянь і вихідних
координат об’єкта. Тоді окремі рядки цього виразу ма-
тимуть вигляд
+ ^/? /=1,2,...,т, (6.49)
де розширений вектор вимірюваних координат
= (уі-р Уі-2,...; й . Ц” .а,..., «> )т]т,
6 т
, и2т
т^т
[ХЛ,
1
и т
Ш.
і—
)Т]Т- [у* 1Т
т
[//;_2|£—^тіп--2^ » ••• » Ь ••• » О» (6.50)
а вектори-стовпці оцінюваних параметрів
Д ___ |£<°) 4°) Ю) рО) . л(1) іЛІ)
V] 1//1 ,•••»/ /т» //1 , ••• , І /ту ••• , ь'/І > ••• , ^/т, •••
• А(?/) г(2) „ іт
••• , ь'/І » ••• > и]т » ь/1 , ... , Сущ, Суі , ... , С іт, ... , .
(6.51)
При цьому обчислювальна процедура узагальненого
РЛШК для оцінки вектора-стовпця 07 параметрів БЦР
реалізовуватиметься в кожний період квантування То для
кожного рядка (6.49):
[уі — 1; (6.52)
• І' * г~ ’" Д
де 0;—оцінка невідомих параметрів регулятора при
/= 1,2, ...т; Рі — коваріаційна матриця, діагональні еле-
менти якої пропорційні дисперсіям помилок при оціню-
ванні вектора параметрів 0/ р — фактор експоненціаль-
ного забування (0,9<р<1).
Алгоритм автоматичного настроювання БЦР відповід-
но до (6.46) зводиться до виконання в кожному періоді
квантування таких дій:
1. Вимірювання вектора вихідних керованих змінних
у і при відомому векторі задавальних діянь 0^
2. Формування розширеного вектора вимірюваних ко-
ординат фГ згідно з виразом (6.50).
294
3. Коректування значень век-
тора параметрів 0; за узагальненим
РМНК відповідно до (6.51)—(6.53)
при / = 1,..., т.
4. Обчислення за рекурентною
процедурою (6.39) прогнозованих
значень вектора вихідних керова-
них змінних у. . При цьому
функція X.
визначається ви-
разом (6.33) з урахуванням попе-
редньо знайдених значень вектора
керованих змінних у^тіп-і— і за
формулою (6.39).
5. Визначення вектора керуючих діянь сІіа§ {2“"^/} щ
за допомогою чисельних методів розв’язання нелінійних
алгебричних рівнянь з використанням рівняння БЦР
(6.46) і знайдених у п. З значень вектора параметрів 0.
, 6. Установлення значення дискретного часу (/4-1) і
повернення до п. 1.
Приклад 6.2. Розглянемо методику проектування оптимального
нелінійного БЦР для керування реактором ідеального перемішування
як двовимірним нелінійним об’єктом. Схему реактора показано на
рис. 6.4.
Кінетична модель реактора, складена на основі балансу мас і
енергії, описується такими диференціальними рівняннями [1]:
(6.54)
Св (Тс - Тс.},
(6.55)
де С — концентрація вихідного продукту; 0—витрата реагуючої
суміші; С. = 7,96 кг-моль/м3— концентрація вхідного продукту;
ко = 3-1О11с“1— сталий коефіцієнт, Е = 1,03-109 Дж/(кг-моль) —
енергія активації; V = 283 м3—об’єм реагуючої суміші; /? =
= 8326 (кг-моль*К)-1 — універсальна газова стала; Тр—темпера-
тура реактора; Г.—температура вводжуваної рідини; Д// =
= 2,0468-109 Дж/(кг-моль)—теплота реакції; С —теплоємність
295
охолодної води; Рв—витрата її потоку; Тс, Тс—температури охо-
лодної води на виході та вході реактора; Р = Рс—961 кг/м3—пи-
тома густина відповідно реагуючої суміші й охолодної води; Ср =з
= 4187 Дж/(кг«К)—питома теплоємність реагуючої суміші.
З рівнянь (6.54), (6.55) випливає, що реактор ідеального перемішу-
вання є нелінійним об’єктом.
Основна задача керування реактором, у якому проходить хімічна
реакція з виділенням теплоти, полягає в забезпеченні високої точності
регулювання концентрації С вихідного продукту шліхом стабілізації
температури реактора Тр при зміні величин Р, Рв, Ті, Сі, ТСі, V. Під
час роботи двовимірної системи керування вихідні параметри реакто-
ра (С, Тр) будуть відповідно керованими координатами уА, у2. Як ке-
руючі діяння и2 виступають відповідно величини Р, Рв. Збурюючими
діяннями є зміни величин Ті, Сі, Тг_, V відносно середніх значень їх.
За умови, що в реальному реакторі керуючі діяння иг, и2 мають
різні запізнювання і й2, диференціальні рівняння (6.54), (6.55) мож-
на звести до різницевої форми. Тоді дискретна двовимірна математич-
на модель реактора описуватиметься нелінійним матричним рівнянням
«о, ,
/-1 ехР
— 12370,9]]
^2.
1
0
(6.56)
З урахуванням (6.56) рівняння
вигляд
оптимального БЦР (6,44) матиме
2/~Дб/.и
— 12370,9 1 -і
ЬНУ\І+<1 -1
Ь^У2І Н1-
^4-^—1
— 12370,9
296
де /ц» /22 — параметри матриці Р (г—1) =7? (1), які визначаються з рів-
няння (6.56) з урахуванням позначень /Х1 = — аи, /22 = с22 — а22-
Керуючі діяння обчислюються для кожного періоду квантування
після розв’язання системи двох у даному випадку лінійних відносно
и1У и2 рівнянь (6.57) з попереднім визначенням оцінок у± р #2/4-^—і
за допомогою рекурентної процедури (6.39), застосовуваної до (6.56).
Рівняння (6.56) при сталих значеннях вхідних і вихідних змінних и± =
= 0,014 м8/с; и2 = 0,24 м3/с; уг == 7,5 кг-моль/м3, у2 — 364 К для пе-
ріоду квантування То — 2 с і дискретних запізнювань = б/тіп =
= 3, б/2 — 4 з урахуванням значень величин, які входять до складу ди-
ференціальних рівнянь (6.54) та (6.55), набуває вигляду
0,056
.3,22
0,1412
у.
З
6- ІОН
- 3052-1011
— 12370,9
/-1ЄХР
0
— 0,89
‘0,00782
4,00297
(6.58)
Ухі— і
^2/_1
0 1
При визначенні коефіцієнтів сп, с22 вважалось, що збурюючі ді-
яння за один період квантування можуть змінюватись на 1 %.
Оптимальний закон керування двовимірного ЦР, який випливає
з (6.56)—(6.58), приводить до таких двох рівнянь для визначення ке-
руючих діянь и1е и2і_^:
+ 6. — 0>78Оь . + 31,8139Х1и1 _ — 13,9409Х1ц1 о —
0,0078241/(17,8737^ — 0,007^
/4-2
+ 0,057);
297
«2(_1 = ((3,22 - 0,007у2/+2 + 407,594X0 и1{ +
+ °’1 ’^+2
— 3052.1011#, ехр
' — 12370,9 '
I
—— Сп —|- 0,89С2 — 770,35266X2^1
9 1 4 — 1
+ Збг./бвббХ^^ + 13,397454Л2и2/_2—
— 6,308854Х2и2 , + 2,91 /(0,1412 + 7,0886Л2),
1—3 І
На рис. 6.5 відображено результати цифрового моделювання дво-
вимірної системи керування реактором ідеального перемішування при
коефіцієнтах підсилення £ = 2, Х2 = 5 і виконанні обмеження
^0,011 м3/с.
Приклад 6.3. Спроектуємо адаптивний ЦР для нелінійного дво-
вимірного об’єкта керування, що описується рівнянням (6.56), якщо
нормалізована форма дискретної моделі об’єкта має вигляд системи
двох різницевих рівнянь, а саме:
У1( = - ЯцУіі-і + +
+ ^11^1^/ехр |- 123,709///^]} + + V,;
11—(11
+ Ь^2и2і_аі + +
У2/ — а22У2і_і
- — 123,709 ]]
. 1/
~І~ ~Г С22?2/_, "Ь
де а11 = -1; «22 = -1; = 0,056; = - 0,007; =
= 6- 10Н; С11 = — 0,78; У1 = 0,0000782; = 3,22; 6<‘> = — 0,1412;
*<2> = - 0,007; Ь<? = -3052-10“; с22 = — 0,89; = 0,03978.
Критерій оптимальності для синтезу регулятора визначається
виразом (6.41), де коефіцієнти підсилення Хх = 0,001, Х2 = 0,005.
Початковий режим роботи замкненої системи керування підтриму-
ється такими значеннями величин: ух = 0,075; и = 0; (Д =
хпоч Іпоч хпоч
= 0 075; = 3,64; «о = 0; 6 =3,64. Дискретні запізню-
вання в каналах керування <2Х = 3, сІ2 = 4. Дисперсія випадкових
збурень £2 дорівнює 0,001.
Цифрове моделювання двовимірної адаптивної системи керування
в режимі оцінки параметрів об’єкта за РМНК виконаємо при початко-
вих оцінюваних параметрах, які відрізняються від наведених вище.
Моделювання перехідного процесу в замкненій системі проведемо при
ступінчастих збуреннях задавальних діянь ЦР з амплітудою ДОх =
-= 0,05, Д62 = 0,16.
Керуючі діяння ЦР на підставі (6.57) визначаємо за такою реку-
рентною процедурою:
298
Рис. 6.5
299
Рис. 6.7
%—
+ ^Уіі+^р
— 123,709 ]
С22(^2І_1
Х^Р
а(1)ь(1)
«11 «22
(1 ~ С22^ ।
МП/ЛО
«її °22
Ч—2
+ -12 (С22— 1)«„ ~^2С22 и + ЬА/(—
(1> V 22 ^1-^-1 .(І) 2 І 22 ,(1) Ь
«22 «22 \ «22 '
ДЄ С?! = 3, б/2 = 4, Тоді Дб?2 = д2 — СІ1 = 1,
З рівняння (6.36) знаходимо їіг = сп — ап = 0,22; /22 = с22—
— а22 = 0,11. Прогнозовані оцінки ? р 1 обчислюємо,
користуючись рекурентною процедурою (6.39),
Для оцінки параметрів об’єкта за РМНК у векторах-стовпцях
Й — Г? 7<») а(2) £(3) ] 7 л.
°і — 1/и» «ц » «и » «ц > ]» сіі» «її »
(Т — г? Л<2> Л<3> 1 г ?Р1Т
— 1/22» «21 » «22 » «22 ’ «21 » *» 622, “21
вибираємо такі початкові значення параметрів: /н =0,24:
11поч
&}Р =0,06; б® =— 0,008; 6}?' = 6-1011; сп = — 0,8;
11ПОЧ Х1ПОЧ “ГІОЧ ипоч
V. = 0,00007; /22 = 0,095; &АР =3,24; й2('> =-0,1;
*поч г/поч гіпоч ^2ПОЧ
6<2) =— 0,006; Ь<?> =— 3052-Ю11; с22 = —0,91;», =
поч ^поч ^поч ^поч
= 0,043.
На рис. 6.6 зображено графіки перехідних процесів під час зміни
вихідних координат та керуючих діянь в замкненій си-
стемі при ступінчастих збуреннях задавальних діянь 61У О2.
На рис. 6.7 відображено результати оцінювання параметрів ре-
гулятора за РМНК.
6.3. Аналіз стійкості систем керування
одно- та багатовимірними об'єктами
при випадкових збуреннях
Виконаємо дослідження стійкості синтезованої опти-
мальної системи керування одновимірними стохастичними
об’єктами, які описуються рівняннями (2.87) і (3.55), на
основі мінімізації квадратичного критерію оптимальності
(2.92) або (3.59). Синтез системи керування проведено в
п. 2.5 і 3.2 відповідно для мінімально- та немінімально-
302
фазових об’єктів. Дискретна передаточна функція замкне-
ної системи (див. рис. 3.9) визначається виразом (3.69),
згідно з яким характеристичне рівняння (3.70) цієї си-
стеми має вигляд
Р (г“’) В (з-1) + (1 — 2-1) А (г—’) = 0.
(6.59)
Для замкненої системи керування (див. рис. 2.12), опи-
саної в п. 2.5, характеристичне рівняння буде таким са-
мим.
Стійкість замкненої системи керування визначається
розміщенням коренів 2} характеристичного рівняння (6.59).
У п. 1.10 показано, що така система буде стійкою, якщо
корені 2і знаходяться на полі круга одиничного радіуса.
При цьому коефіцієнт підсилення ЦР А може вибиратись
у межах 0 < X < оо.
Як відзначено в п. 2.5 і 3.2, поліноми Р (г—1) і Р (г-1)
у критеріях (2.92), (3.59) часто дорівнюють одиниці. При
X = 0 дістанемо регулятор з мінімальною дисперсією
керування, а полюси замкненої системи керування з ха-
рактеристичним рівнянням
В (г—*) + X (1 — г-1) а (г-1) = 0
повністю визначатимуться коефіцієнтами полінома В (2”1)
у виразах (2.90) і (3.57).
Таким чином, якщо об’єкт є немінімально-фазовим, то
замкнена система керування при а = 0 буде нестійкою.
Проте, якщо X 0, то полюси замкненої системи також
залежатимуть від коефіцієнтів полінома А (г—!).
Якщо об’єкт є стійким (корені рівняння А (2“9 = 0
лежать на полі круга одиничного радіуса), то в замкнено-
му стані система керування буде стійкою навіть при вели-
кому значенні коефіцієнта підсилення X. В разі нестійко-
го мінімально-фазового об’єкта (корені рівняння А (г“1) ~
= 0 знаходяться поза кругом одиничного радіуса, а рів-
няння В{ 2”1) = 0— на полі зазначеного круга) замкнену
систему керування можна застабілізувати при достатньо
малому значенні коефіцієнта X.
Розглянемо чутливість системи керування до похибок,
спричинених неправильною оцінкою параметрів матема-
тичної моделі об’єкта (2.87), коли д, = 1, т] = 0. Обмежи-
мося випадком, при якому в критерії оптимальності (2.108)
поліноми Р = 1 і Р = 0, що відповідає нульовому зна-
ченню задавального діяння Тоді узагалі нена функція
303
якості 4' відповідно до (2.110), (2.126) матиме вигляд
Я\+1 = Уі+х + X (1 — г-1) и(. (6.60)
Запишемо рівність (2.116) у вигляді С(г“1)ф/+1 =
= С^”1) гр*+м + С (г—!) На підставі (2.101) при
Ь (г"”1) = 1 дістанемо
(6-61)
З урахуванням наведених припущень і виразу (3.71)
параметрами рівнянь ЦР (2.113), (2.114) будуть 6 — 0,
Н (2~')=~КС (г-1) = 0, О(г-,)=В (2~1)+С (г-1) X (1 —г-1).
Для скорочення запису аргумент г~1 у поліномах бу-
демо умовно опускати. Тоді на основі (2.115) рівність
(6.61) матиме вигляд
= РУї + (В + СХ (1 —?“’)] щ + СС,+1> (6.62)
а рівняння (2.115) при зазначених параметрах описува-
тиметься рівнянням
РУі + [В + ХС (1 — г-1)] щ = 0. (6.63)
Визначивши з останнього рівняння керуюче діяння
иі і підставивши здобутий вираз у (6.62), знайдемо
{Г[В4-ХС(1 _г-')}-Г[В + СХ(1 — г— )} у.
Ся|>,. !=----------7---7------:------------- +ССЧ1.
В+ХС(1— г-1)
(6.64)
Після введення оператора зворотного зсуву ==
= г—виРаз (6.60) запишемо у вигляді = уі +
+ %(1—2-1)^_г Визначивши звідси керуюче діяння
і підставивши його вираз у рівняння (2.87) при
б/ = 1 та т] = 0, остаточно дістанемо
Уі =
В^+Х(1 - г~')
В+Х(1— г~‘)А
(6.65)
Увівши (6.65) у (6.64), матимемо таке рекурентне
співвідношення для визначення узагальненої функції
304
якості:
= {6 [В+ К(1 — г~~')] — 6 [В + СХ(1 — г~')]} х
Ж С[В+ЛС(1— г—*)} [£ 4-X (1 — г—!) Л]
Х[В^ +Х(1-2-|)С^ + ^+І. (6 66)
Розглянемо випадок, коли X — 0, тобто забезпечується
мінімальна дисперсія керування. Відповідно до (6.60)
н = у ф, = уь а співвідношення (6.66) матиме виг-
ляд
у _ у, + Ь + 1. (6.67)
1 св
Позначимо похибку оцінки полінома В(г-1) як
В (г-1) = В — В
(6.68)
і припустимо, що В = В. Тоді на підставі діофантового
рівняння (2.94) при Ь (г-1) = 1 дістанемо тотожність
/Чг-’^гіС (г—') - А (г"1)],
яку застосуємо до співвідношення (6.67). Виконавши ряд
перетворень, знайдемо передаточну функцію замкненої
системи
* - (6-69)
де вираз
т = [С (г-1) - 4 (г-1)] В (г-1)
С(г->) В(г~')
є передаточною функцією розімкненого контура в каналі
«збурююче діяння — вихідна керована змінна».
Якщо припустити, що похибка (6.68) оцінки полінома
В (г-1) дорівнює нулю, то у1 = Знайшовши коре-
ні характеристичного рівняння [1 + Т (г—!)] — 0, можна
визначити межі похибки в (з-1), при яких замкнена сис-
тема керування буде нестійкою.
Стійкість багатовимірної системи керування лінійними
об’єктами з різними запізнюваннями. Аналіз стійкості
замкненої системи виконаємо, поклавши Сі = 0 та 6 = 0
в рівнянні (6.14).
305
На підставі (6.3), (6.14) багатовимірну замкнену систе-
му керування можна описати матричним рівнянням
^тіп
^+йтІп
де відповідно до виразу (6.16)
К' (г"1) = [Е' (г—') В (а"1) + С (г"1) (ВоУ’х
Хдіаб^..........Хт}(1 — г-1).
(6.70)
Стійкість такої системи визначається розміщенням ко-
ренів матричного рівняння
= 0 (6.71)
на полі круга одиничного радіуса, яке досягається шля-
хом вибору коефіцієнтів ...,ХШ матричного полінома
7?' (г~згідно з виразом (6.70).
Визначник (6.71) можна перетворити за допомогою до
повнення Шура. Тоді, скориставшись діофантовим рів-
нянням (6.5) і виразами (6.15), (6.16), а також опустивши
аргумент 2—1 у матричних поліномах, рівняння (6.71) за-
пишемо у вигляді
306
деі [Е'В 4- С (Вотг’<1іа§{^...М (1 -г“’)х
X деі [А + В {Е'В + С(ВОТ)-’ діа§ {Л,.....Хт} (1 — г-')]"* X
х(С—Е'А)] = О. (6.72)
Якщо біа£ .. . Хт) — її, то матимемо регулятор а
мінімальною дисперсією керування, а стійкість замкненої
системи визначиться розміщенням коренів матричного рів-
няння
гіеі (Е'В) деі [А + В (Е'В)-1 (С — Е' А)] = сіеі Всієї С = 0,
тобто беї В(г~0.
Таким чином, замкнена система керування буде не-
стійкою, якщо об’єкт є немінімально-фазовим і якщо коре-
ні рівняння беї В (г-1) ~ 0 знаходяться поза кругом оди-
ничного радіуса.
Якщо (ііа§ {Хь ..., Хш} 0, то замкнену систему можна
стабілізувати шляхом правильного вибору коефіцієнтів
підсилення Ат. Наприклад, при стійкому неміні-
мально-фазовому об’єкті керування (корені рівняння
беї А (г-1) = 0 лежать на полі круга одиничного радіуса,
а рівняння беї В (г-1) = 0 — поза цим кругом) для за-
безпечення стійкості замкненої системи необхідно вибрати
коефіцієнти достатньо великими. Тоді в (6.72)
деі [В В + 5 (Вот.гМіа§ {%!,..., М (1 - г-1)] «
»6еіС(В?) .....Хпг}(1—г1);
йеі {А + В (Е'В + С(В0ТГ1<1іа§{Х1,..., Хт)х
х (12“')]“' (С — Е'А)} ж беі А,
і стійкість системи забезпечується.
Контрольні завдання
Вивчити самостійно такі теми:
1. Матричні поліномні регулятори з мінімальною дисперсією ке-
рування [15].
2. Вплив періоду квантування на керування об’єктами з міні-
мальною дисперсією [28].
307
3. Оптимальне прогнозування вихідних координат у багатови-
мірних стохастичних системах керування [28].
4. Розв’язування діофантових рівнянь при синтезі ЦР у випадку
стохастичних збурень [28].
Завдання для самостійного розв'язування
та дослідження
1. Для матричної поліномної моделі об’єкта керування в стохас-
тичному середовищі, яка описується рівнянням
^2і—2
0,921 0,1825'
0,376 0,0928
— * - «
0,156 0
0 0,0832
0,044'
0,062
визначити прогнозоване значення вектора вихідних керованих змін-
них за допомогою співвідношень (6.4)—(6.9).
2. Для моделі об’єкта керування з попереднього завдання визна-
чити матричні поліноми двовимірного оптимального регулятора з
законом керування (6.14), скориставшись виразами (6.15)—(6.17) і мат-
ричними поліномами Р' (г~!), Е' (г-"1), обчисленими в завданні 1.
Знайти новий вектор керуючих діянь (6.29).
3. Для сформованої структури БЦР з векторною функцією (6.25)
зашісати обчислювальну процедуру РМНК (6.22), (6.23) при С (г~*) =
= Т.
4. За програмою СОМТКОЬЬЕК-4, наведеною в дод. 9, на персо-
нальній ЕОМ типу «ІВМ РС» виконати моделювання двовимірної
системи цифрового керування, описаної в п. 6.1, при таких початко-
вих параметрах математичної моделі об’єкта (6.32): = (ітї — 2;
^2 ~ З»
'0,45 0,21 ‘ — 0,3 0 0,05'
в\ = *поч .0,02 0,015^ » = ^поч 0 0,08. » упоч .0,08 9
якщо початковими координатами об’єкта є у, — у? = 1;
хпоч ^поч
И 1 — Ип —— 0 , Ст 1 -• От —• 1.
1ПОЧ НІОЧ *поч гпоч
Для цифрового моделювання системи:
а) за співвідношеннями (6.4) — (6.9) визначити прогнозоване
значення вектора вихідних керованих змінних 3
виділенням у ньому матричних поліномів £' (г~*), Р' (г~*) і векто-
ра б';
б) ввести з пульта ЕОМ значення коефіцієнтів підсилення
= 0,01; Х2 = 0,02;
.308
в) розрахувати матричні поліноми Р (г 1)уР(г *), Н (г *) і век-
тор сталого зсуву б, скориставшись виразами (6.15)—(6.17). Ви-
діливши в цих поліномах матриці Р1У Р2, /?0, /?2, 7/1, Н2і ввести
їу і вектор 6 в ЕОМ.
Задати випадкові збурення з пульта ЕОМ, для чого встановити
дисперсію збурення в межах від 0,000001 до 1.
При вимкненому контурі самонастроювання та ступінчастому збу-
ренні задавальних діянь АС?! = 0,3; А62 = 0,3 дослідити швидкодію
й точність проходження перехідних процесів під час зміни вихідних
керованих координат г/1 , у2. залежно від зміни коефіцієнтів підсилен-
4 4
ця , Л2.
Змінити матриці в математичній моделі об’єкта керування за до-
помогою пульта ЕОМ на такі:
ДА = 0,9 0 О 0.85 9 Во = Г1.2 0.351 9 вх = 0,4 0,025 0,3 0,01. *
0,1 0.07,
Сі = •- 0,25 0 0 ' 0,1. V = 0,08' .0,12. •
Увімкнувши контур самонастроювання, дослідити швидкодію та
точність оцінки параметрів об’єкта за РМНК при використанні об-
числювальної процедури (6.22)—(6.24) залежно від зміни фактора екс-
поненціального забування Р (Ьеіа) в межах від 0,85 до 1.
РОЗДІЛ 7
СИНТЕЗ БАГАТОВИМІРНИХ СИСТЕМ
КЕРУВАННЯ З РЕГУЛЯТОРАМИ СТАНУ
ПРИ РІЗНОТЕМПОВОМУ КВАНТУВАННІ
7.1. Проектування різнотемпових складених
регуляторів стану для дискретних систем
Різнотемпове квантування складових векторів змін-
них стану та вихідних вимірюваних координат. У по-
передніх розділах розглядались системи керування, в
яких аналого-цифрові та цифроаналогові перетворення
здійснювались на одній частоті. В ряді випадків бажано чи
необхідно збільшити частоту (зменшити період) кванту-
вання в одному контурі керування багатовимірної систе-
ми, а в іншому, навпаки, знизити цю частоту. При ньому в
кожному окремому контурі АЦП і ЦАП працюватимуть
синхронно на одній частоті квантування, але в різних кон-
турах ця частота буде різною.
309
Розглянемо випадки, коли доцільно застосовувати різ-
нотемпове квантування в різних каналах: багатовимірної
системи керування.
1. В системах керування ТП буває неможливим оціни-
ти якість продукту на бажаній частоті квантування. В цьо-
му випадку використовують посередню інформацію (на-
приклад, про температуру та тиск в об’єкті) для оцінюван-
ня важковимірюваного параметра чи здійснюють рідкі
лабораторні аналізи в дискретні моменти часу. Застосу-
вання таких вимірювань у багатовимірній системі керу-
вання поряд з аналізом інформації в реальному часі при-
водить до різнотемпового квантування при вимірюванні
вихідних координат об’єкта.
2. Для зменшення завантаження ЕОМ у багатовимір-
них системах цифрового керування вигідно в різних кон-
турах мати різні частоти квантування.
3. Стійкість систем цифрового керування залежить від
періодів квантування. Тому для збільшення запасу стій-
кості в різних взаємозв’язаних контурах багатовимірної
системи рекомендується квантувати вхідні та вихідні ко-
ординати з різними періодами.
4. В багатовимірних адаптивних системах цифрового
керування об’єктами з різними запізнюваннями [32] для
зменшення вимірності вектора оцінюваних параметрів
доцільно квантувати координати з різними періодами в
каналах керування.
Розглянемо лінійну, інваріантну в часі дискретну мо-
дель об’єкта керування, описувану в просторі стану рів-
няннями
*і [(* + 1) то] = <т + 7272 (кТ0) + 6гй (кТоу,
х2 [(£ + 1) То] = Р^ (кТ0) + Р,х2 (кТ0) + 62и (кТоу
у (кТ0) = (кТ0) + С2х2 (кТ0),
(7-1)
(7.2)
(7-3)
де х (кТц) — п-вимірний вектор стану, що складається з
Пі-вимірного вектора стану хг (кТ^) та п2-вимірного векто-
ра стану х2 (кТо)\ и (кТ0) — /-вимірний вектор керуван-
ня; у (кТ0) — р-вимірний вектор вихідних вимірюваних
координат.
Припустимо, що ця система може функціонувати в двох
масштабах часу. При цьому п власних значень її можна по-
ділити на ігг повільних мод і п2 швидких мод, пов’язаних
відповідно з векторами стану хх і х2. Асимптотично стій-
310
кі швидкі моди діють тільки протягом короткого почат-
кового часу, після чого перехідні процеси, що відповіда-
ють їм, досягають усталеного стану і режим роботи си-
стеми можна повністю відобразити повільними модами.
Якщо в системі швидкодіючими перехідними процесами
знехтувати, то можна вважати, що в квазіусталеному ста-
ні х2 1(& + І) Т’оі = Х2 (^о). Тоді рівняння (7.2) зводиться
до алгебричного співвідношення
х2 (кТ.) = Р3х, (кТ0) + Р,х2 (АТ0) + 02и (кТ0). (7.4)
За умови, що матриця (/—£4) невироджена, вектор
х2 можна записати у вигляді
х2 (кТ0) = (7 — 74)-’ [73хп (кТ0) + 027п (кТ0)], (7.5)
де хп = х19 ип = и — повільнодіючі частини відповідних
векторів у (7.1) — (7.3).
Якщо тепер вираз (7.5) підставити в (7.1) і (7.3), то
повільнодіюча підсистема моделі об’єкта керування може
бути описана рівняннями
Хп ї(к + 1) То] = Рпхп (кТ0) + 0пип (кТь)-, (7.6)
Уп (&Т 0) — СдХп (кТ0) 4~ (кТц),
(7.7)
Де уп — повільнодіючий вектор вихідних вимірюваних
координат, а матриці
Гп = Л + Р, (/ - Р.ҐРз,
£)0 = С2 (/ -
(7.8)
Для визначення швидкодіючої підсистеми моделі
об’єкта керування припустимо, що протягом швидкодію-
чих перехідних процесів повільнодіючі вектори хп будуть
сталими. Відповідно до виразу (7.5) це означає, що
х21(£ + =. х2(кТ0).
Віднявши від рівняння (7.2) відповідні члени співвід-
ношення (7.4), дістанемо математичний опис швидкодіючої
311
підсистеми, а саме:
хшв [(£ + 1) То] = Р4хшв (кТ0) + 02йшв (кТ0\, (7.9)
?шв (кТ0) =С2хшв (кТ0), (7.10)
де ХщВ х2 х2, Пщв = и — ііц —— и и, Ушв == у —* Уп ===
==У — У-
При цьому рівняння (7.10) випливає з (7.3), якщо
покласти ушв = у — у.
Проектування однотемпового складеного дискретного
регулятора з одним періодом квантування. На підста-
ві рівнянь (7.6), (7.7) і (7.9), (7.10) можна синтезувати
складений дискретний регулятор з законом керування
^скл (кТ0) — ип (кТ0) 4 ^шв (АТ0).
(7.И)
Лінійний зворотний зв’язок за станом у кожній під-
системі керування визначається виразами
иа (кТ0) = — Кпхп (кТоу (7.12)
(7-13)
Якщо (7.12), (7.13) підставити відповідно в (7.6) і (7.9),
то дістанемо рівняння, що описують динаміку замкненого
контура керування, тобто рівняння
*п [(& + 1) То] = [Рп — ОпКп] хп (кТ0);
(7.14)
^шв [(к 4-І) Го] — [/^ 0 2ТСшь] -^шв (*Т0). (7.15)
Завдяки розподілу мод складений дискретний регу-
лятор з законом керування (7.11) можна синтезувати
незалежно для повільнодіючої ив(кТ0) та швидкодіючої
ишь(кТ0) складових вектора керування, при цьому мат-
риці підсилення Кп, Кшв проектуються окремо.
Якщо (7.5) підставити в (7.13) і замінити хп на х19 то
складений регулятор стану (7.11) матиме закон керування
^скл (кТ 0) — [К
Лшв (/ Р4) (Р3 (кТ0) •
п
(7.16)
312
У загальному випадку задача проектування оптималь-
ного регулятора стану розв’язується, виходячи з мате-
матичної моделі об’єкта (7.1)—(7.3), на основі мінімізації
квадратичного критерію оптимальності
оо
7 = У {Г (кТ0) у (кТ0) + ит (кТ„) Я й(кТ0)}.
к=0
(7-17)
Оскільки математична модель об’єкта керування відоб-
ражується у вигляді повільнодіючої (7.6), (7.7) і швидко-
діючої (7.9), (7.10) підсистем, дискретний регулятор ста-
ну також проектується у вигляді двох дискретних регуля-
торів.
Перший регулятор (повільнодіючии} проектується на
підставі математичного опису повільнодіючої підсистеми
(7.6), (7.7) шляхом визначення вектора керування ип (кТ0),
який мінімізує критерій оптимальності
оо
7 = V {Уп (кТ0) уп (кТ0) + Й (кТ0) Цип (кТ0)}.
(7.18)
Після підстановки (7.7) у (7.18) матимемо
оо
к=0
X (кТ0) + «п (кто) Кпип (кТ0)}, (7.19)
де — 7? Оо О0.
Для проектування законів керування повільно- та
швидкодіючого регуляторів сформулюємо наступні ви-
значення.
Визначення 7.1. Повільно- та швидкодіюча підсисте-
ми (7.6), (7.7) і (7.9), (7.10) об’єкта керування (7.1)—(7.3)
будуть стабілізованими, якщо вони мають некеровані мо-
ди з відповідними власними значеннями, які знаходяться
в середині круга одиничного радіуса.
Визначення 7.2. Повільно- та швидкодіюча підсистеми
(7.6), (7.7) і (7.9), (7.10) об’єкта керування (7.1)—(7.3) бу-
дуть такими, що розкриваються, якщо вони мають неспо-
стережувані моди з відповідними власними значеннями,
які знаходяться в середині круга одиничного радіуса.
Якщо повільнодіюча підсистема [Рп, Сп, Со] відповідно
до (7.6), (7.7) буде такою, що стабілізується і розкриваєть-
ся, то на основі теореми 4.1 існує додатно визначена мат-
313
риця £п, яку можна знайти, розв’язавши алгебричне рів-
няння Ріккаті
Тоді закон керування лінійного повільнодіючого дис-
кретного регулятора матиме вигляд
(7.20)
«п т = — (/?„ 4- ОЇЬпОп)-] (СгпЬпРп + Г>оТС0) хп (кТ0).
(7-21)
Другий регулятор (швидкодіючий) проектується на під-
ставі математичного опису швидкодіючої підсистеми (7.9),
(7.10) шляхом визначення вектора керування пшв (&Т0),
який мінімізує квадратичний критерій оптимальності
шв
оо
6=0
^шв
(кТ0) Р>иШд (кТ0)}.
(7.22)
Після підстановки (7.10) у (7.22) дістанемо
/шв — у1, {Хшв(ЙТо)С2 С2Хшв(ЙТо) + ^шв(ЙТ'о) (кТц)}.
к=0
(7.23)
Якщо швидкодіюча підсистема [Р4, 62, С2] відповідно
до (7.9), (7.10) буде такою, що стабілізується і розкрива-
ється, то на основі теореми 4.1 існує додатно визначена мат-
риця £шв, яку можна знайти, розв’язавши алгебричне рів-
няння Ріккаті
шв
(7-24)
Тоді закон оптимального керування лінійного швид-
кодіючого дискретного регулятора матиме вигляд
йшв (кТ0) ==—(£ + сХДгЖЛ» (АТ0). (7.25)
Закони керування (7.21), (7.25) є оптимальними щодо
векторів стану повільно- та швидкодіючої підсистем керу-
вання, причому визначити їх значно простіше, ніж закон
оптимального керування всієї системи (7.1)—(7.3), оскіль-
ки єдині в своєму роді матриці £п, £шв взаємно незалежні.
314
Порівнявши (7.21), (7.25) відповідно з (7.12) і (7.13),
визначимо матриці підсилення лінійного зворотного зв’яз-
ку ЦР стану
Кп = (Яп + О^пбпГ1 (6ТпЬпРп + ОоТС0); (7.26)
Ешв = (Я + 4» (7.27)
що дає змогу сформувати закон складеного керування
згідно з рівнянням (7.16) у вигляді
«скл (кТ0) = — {(7?п + ОЇГпОпГ' (бЛпЕї + ОоС0) —
- (я + 62тЕшв62е,62тішв?4(7-?4г1 х
•X Е3 - б2 (Яп + б'пЧпбпГ1 (ОТПЬПРП + По Со)1} (£Т0) —
Паралельна стратегія проектування різнотемпового
складеного дискретного регулятора. Задача проектування
такого регулятора полягає у формуванні різнотемпового
закону керування при виконанні вимірювань вихідних
координат об’єкта з різними періодами квантування. В об’-
єктах, де діють «повільні» та «швидкі» моди, доцільно за-
стосовувати різнотемпову стратегію керування. Основою
для її реалізації є попереднє розкладання математичної
моделі об’єкта на повільнодіючу (7.6), (7.7) і швидкодіючу
(7.9), (7.10) підсистеми керування.
Припустимо, що основний період квантування То під-
ходить для швидкодіючої підсистеми (7.9), (7.10). Тоді
природно вважати, що більш низький темп квантування
може мати повільиодіюча підсистема (7.6), (7.7). Нехай
цей довший період квантування Н буде кратним коротшо-
му періоду То, тобто
Н = тТ0, (7.29)
де т — ціле число, більше від одиниці.
Повільнодіючий вектор керування після цифроанало-
гового перетворення матиме вигляд
ип (гН + ІТО) = ип (гИ), 0 <
т.
(7.30)
Застосувавши до повільнодіючої підсистеми (7.6) збіль-
шений період квантування (7.29) після т ітерацій з малим
періодом То і взявши до уваги (7.30), запишемо рівняння
(7.6) у повільному масштабі часу з періодом квантування
315
И, тобто
™, „ _ т—і _
[(/• + 1) к] = Р™ХП (гН) + £ Р‘пОпйп (гИ).
і—0
(7-31)
При проектуванні повільнодіючого дискретного регу-
лятора також виходимо з використання лінійного зворот-
ного зв’язку стосовно векторів стану:
ип (гіг) = — КпХп (гН).
(7.32)
Якщо (7.32) підставити в (7.31), то дістанемо рівняння,
що описує динаміку замкненого контура керування, а
саме:
*п[(/' + 1)Л] =
т—1
(7.33)
Таким чином, полюси цього контура визначаються
власними значеннями матриці системи (7.33).
Для синтезу оптимального повільнодіючого регулято-
ра застосуємо квадратичний критерій оптимальності в
повільному масштабі часу
«Лі -- (г/1)
г=0
(гіг)]
01,т 012,т
^12,т 0.2 ,т
(гіг)
(гіг)
(7.34)
де матриці критерію обчислюються за рекурентною про-
цедурою:
а) Оі,/4-і — РпО\,]Рп + СоСо, / == 1, 2, ... , т — 1, а 0щ =
— ^>оЬо,
б) 0і2,/4-і = Рп0і,/0п 4- ^п0і2,/ + С0О0, / = 1, 2, ... , т —1,
а 0і2, і = Со 7)0;
в) 0г,/4-і = Сп0і,/Сп + Сп0і2,/ + 0і2,/Сп + 0г,/ + +/?,
/ = 1, 2....т — 1, а ^2,і = 7>о 7)0 + Е-
Матриці Со, Е>0 визначаються з рівняння (7.8).
Закон оптимального керування лінійного повільнодію-
чого регулятора з урахуванням методики, описаної в
дод. 4, має вигляд
т—1
і=0
і—О і=0
Додатно визначену матрицю Ьп можна знайти, роз-
в’язавши алгебричне рівняння Ріккаті
„ ~ т~ і ~
Ьп = [(/№ + с1>т] - [(£ РІЇпуіпРЇ + сот
і—0
т—1 т—1
і=0 і=0
і=0
(7.36)
Для реалізації швидкодіючого регулятора, щоб виз-
начити вектор -^шв — -^2 ~ ^2’ необхідно мати інформацію
про швидкі квазіусталені моди, коли
Користуючись співвідношенням періодів квантування
(7.29), перетворимо вираз (7.5) з урахуванням повільного
та швидкого масштабів часу. Для цього в (7.5) вектор
повільнодіючих змінних стану хп замінимо на вектор х19
а вектор повільного керування ип виразимо через (7.32).
Тоді матимемо
х2 (гк + ІТО) = (/ — Р^ 1 [Гд^! (гк + ІТО) — 62КпХі (гк)],
і = 0,... ,т—1. (7.37)
При цьому припускаємо, ЩО вектор ПОВІЛЬНИХ ЗМІННИХ
визначатиметься тільки в моменти часу і = гіг, коли век-
тор керування ии (гН) визначено відповідно до нових да-
них.
Щоб вектор стану визначити з урахуванням швидко-
го та повільного масштабів часу, підставимо (7.32) в (7.6\
317
ураховуючи (7.28). У результаті дістанемо такі рекурент-
ні співвідношення:
(гіг + іТ0) = -фп лх± (гН)\ (7.38)
кж = ОХ, * = 0, 1, ... ,т—1 (7.39)
при початковому значенні фп,о = Л
Тоді швидкодіючий вектор керування (7.13) згідно з
(7.37), (7.38) визначатиметься за рекурентною формулою
^шв (г/ї ^Т’р) — — 7СШВ (гіг + ^0)
— (І — рі) ' (Р^п.і — О2/Сп) (г/і)].
(7-40)
Матрицю підсилення /Ств швидкодіючої складової різ-
нотемпового дискретного регулятора, як і однотемпового,
відповідно до (7.25), (7.27) можна знайти, скориставшись
рівнянням
= -[(/? + О2тивС2Г'б2ТішвР4]Х2(гЛ+ іТ0), (7.41)
де матриця £шв обчислюється після розв’язання алгеб-
ричного рівняння Ріккаті (7.24).
Складений вектор різнотемпового керування дискрет-
ного регулятора з урахуванням його складових (7.32),
(7.40) при х± — хп визначається виразом
^скл (гк + іТо) (гіг) + «шв (гіг + гТ0) =
= — їКп — Кшв (/ — Р\)~' (^зФп.і — С2Кп)] Хі (гіг) —
— /\шв*2 (гіг + 1Т0), і = 0, 1, ... , т — 1. (7.42)
Відзначимо подібність цього виразу до рівняння одно-
темпового дискретного регулятора (7.16).
На підставі (7.35), (7.41), (7.42) алгоритм визначення
складеного вектора різнотемпового керування зводиться
до обчислення вектора
~ т—1
^скл (гЛ + ІТц) = — (ГО2,/П + ( У РпОп\ТЬп
і=0
г=0
іпІ \Т г г^ҐП
рП^п І РпРп
318
-- (Я + @2 ^швОг) ^2 4 ---Р&) X
т—1 т—1
т—1
і=0
-- [(7? + 6ІЛШВО2) ’о/ішв/?4] Х2 (Г^ + ^0),
і = 0, 1,..., т — 1.
(7.43>
Порівняно з однотемповим складеним регулятором (7.28)
обчислювальна процедура (7.43) потребує значно менших
витрат машинного часу, тому що повільнодіюча складова
ип (гіг) вектора керування регулятора (7.42) визначаєть-
ся в т разів рідше, ніж відповідна складова ип (кТ0) ре-
гулятора (7.28).
Каскадне проектування різнотемпового складеного дис-
кретного регулятора. При паралельній стратегії проекту-
вання різнотемпового складеного дискретного регулято-
ра необхідно виконувати рекурентну процедуру оціню-
вання векторної функції фп.і+1 (І = 0, 1, •••, т— 1) ВІД-
ПОВІДНО до виразу (7.39). Внаслідок цього реалізація швид-
кодіючої складової згідно з (7.40) залежатиме від ди-
наміки повільнодіючого замкненого контура керування,
яка описується рівнянням (7.32) й яку визначити важко.
Для усунення цієї складності потрібно зробити ряд
перетворень. Записавши вектор керування «шв У вигляді
• (7.13), складений вектор керування (7.11) подамо як
искл(кТ.) — иц (кТ0) + ишв(кТ(і) — ип (кТ0) —/Сшв-^шв (кТ0).
(7.44)
Якщо врахувати те що повільнодіючі складові цього
вектора протягом швидкодіючих перехідних процесів
будуть сталими, тобто ип — и, то хшв = і вираз (7.44)
можна записати так:
и (кТ0) = и (кТ0) — /<швх2 (кТ0). (7.45)
Тоді рівняння стану (7.2) матиме вигляд
[(к + 1) То] = [?4 - бХв] х2 (кТ0) +
+ Р3хг (кТ0) + О2н (кТ.). (7.46)
319
Якщо в цьому рівнянні вектори хг і и розглядати як
зовнішні повільнодіючі сигнали, то (7.46) відповідатиме
рівнянню (7.15), яке описує динаміку швидкодіючого
замкненого контура керування.
Таким чином, матрицю зворотного зв’язку /Сшв можна
спроектувати на основі розміщення полюсів характерис-
тичного рівняння деі \гІ —Р$ + С2/<шв] = 0 або мініміза-
ції критерію оптимальності (7.23) при синтезі закону
керування (7.25) з заміною вектора хШБ на вектор х2.
Підставивши в рівняння стану (7.1) замість вектора
и (ЛТ0) його вираз з (7.34), дістанемо нове рівняння стану,
яке поєднаємо з (7.46). Тоді математична модель системи
(7.1), (7.2) набуде вигляду
1(* + 1) (^о) + І?г - СЛшв]
X х2 (ІгТ0) + б.и (ЙТ0); (7.47)
[(&+!) Л)] = [Л - СЛшв] *2 (.^оі +
+ Р^ (кТ0) + 62и (кТ0), (7.48)
де матриці Р2, Р^ замінено відповідно на матрицю
[?2 —0\А'шв] і [А4 — 62КШВ] порівняно з (7.1), (7.2).
Тепер можемо застосувати описану вище стратегію
різнотемпового керування, ввівши в (7.47) і (7.48) вектор
керування
и (г/і -|- іТ0) — — А^ (г/г), (7.49)
що приведе до такої реалізації різнотемпового регулятора:
^скл (гй + ЇТ0) = — (гй) — /\швх2 (г/г 4- ЇТО),
і = 0, 1, ... , т — 1, (7.50)
яка є альтернативною до реалізації (7.42).
Для виконання алгоритму (7.50) необхідно синтезу-
вати матриці підсилення Кп, КШв_ на основі мінімізації
критерію (7.19), поклавши ип = и та хп = Однак при
цьому для обчислення матриці Кп за формулою (7.26)
проміжні матриці Ап, 6П, Со та £>0, що визначаються
виразами (7.8), слід записати так:
320
Останні вирази здобуто при врахуванні відповідності
матриць [/•,_—СіКшв] У (7.1) і (7.47), а також мат-
риць ?4, [Т?4 — 62КШВ] У (7.2) та (7.48).
При підстановці (7.51) у (7.26) можна побачити, що
матриця підсилення /<п залежатиме від матриці що
позначиться на законі складеного керування (7.50). Однак
при цьому швидкодіюча матриця Л'шв не залежатиме від
матриці Кп-
Таким чином, при синтезі різнотемпового складеного
дискретного регулятора паралельна стратегія його проек-
тування застосовується толі, коли динаміка повільнодію-
чого замкненого контура керування визначається не до-
сить важко. В інших випадках рекомендується викорис
товувати стратегію каскадного проектування регулятора.
Приклад 7.1. Спроектуємо складений дискретний регулятор стану
з одним періодом квантування То = 1 с для двовимірної термозмішу-
вальної установки (рис. 7.1), дія якого полягає в стабілізації рівня у}
і температури води на виході у2. Керуючими сигналами в системі є
витрати холодної і гарячої и2 води.
Експериментально встановлено такі передаточні функції в ка-
налах установки:
кп _ 0,1080 . Тцч+І 60х 4-1 ’
= к12 _ 0,1080 . 7125 + 1 605 + 1 ’
Г21 (5) = 1*1^. = 21 Ух («) . к21 = —0,2092 . 7215+ 1 13,15 + 1 ’ •
№2„ (5) = (5)- = Уг (5) (7.52) . к22 _ 0,1012 7-225 + 1 13, 15 + 1
За методикою визначення дискретних передаточних функцій, ви-
кладеною в п. 1.3 (див. приклад 1.5), установимо параметричну модель
двовимірного об’єкта гину «вхід-вихід», користуючись неперервними
передаточними функціями (7.52):
11 — 4-940
321
Рівень води
Температура води
на виході
Датчик
температури
де
Рис. 7.1
^1/ — 1 “Ь ^12М2/—1 ’
У^ — а22^_і + + ^22м9^_р
(7.53)
а„ = е~7’»/г» = 0,983471; а„„ = е~г°/г*’ = 0,926505;
Ь1Х = кп (1 — е“г°/Л1) = 0,001785; 612 = к12 (1—е~7°/712)=0,001785;
^2і = к2! О — еГТ°ІТ”) = — 0,015375; Ь22 = к22(І —е~Т(і/г^)=і
= 0,0074376.
Математичну модель об’єкта (7.53) в просторі стану запишемо
у вигляді
>іі(* + 1)Т0]
*г№ + 1)Т0].
ап
0
(ВД
о 1Г*! (^То)-]
^22^ 1-^2
&12 (кТ0)
^22- -^2 (^7\))
У і (^70) [ і
^2 (^70).
0 (кТ0)
1 х2 (УТ0)
0
Відповідно до узагальненої динамічної моделі дискретної системи
керування (7.1)—(7.3) вищенаведену модель об’єкта подамо так:
21
Яц
0
0'
0] 07
^12 Иі(^7о) ,
о 1 1«2 (&70)]
х2і (^70)
Г0 0] % (*го)
0 0 V (ьт \
ЛІ2
х9
22
0 0'
0 0
(^70)
0
х
(^70)"1
322
о о
.0 «22
х19 (^0)
Х22 (^0)
О
-^21
о ІГнї^Т,)-
^22 . М2 (^То)
>і(^о)1 [1 О
Уч (&То). .0 0
*ц (^То)
Х2| (^0)
О'
1
*і9 № >)'
Х22 (^0)
(7.54)
О
о
тобто матрицями в (7.1) — (7.3) є матриці
1 °1 . г _Г° °1
0 0’ 2 0 1
Обчислимо за (7.8) матриці повільнодіючої підсистеми керуван-
ня:
Рп = ?! + (І - Р<Г'Г3 = ?! =
ач °]_ [0.983471 0-
0 0] 0 0.
<?„=(?!+ Г2 (І - Рі)~їОг =сг =
0,001785
0
0,001785]
Со = С, +С2 (І - Г4)-^3 = Сг =
(7.55)
0 ' __
&22] ""
0 0
Г 0 о
——Г / Ь'22—Г [—0,209198 0,1011987
(1—а22) (1 — а22)
Тоді математична модель (7.6), (7.7) повільнодіючої підсистеми
керування матиме вигляд
*1п "І" 0 То]
х9п [(* + 1) То]
0,001785
0
0,9834714
0
01 х1п ^т0)
0. Х2П (^То)
0,0017851 Г^їп
0 _ «2П (^То)
(7.56)
323
#1П
^2П
1 01 *іп(й7’о)
0 0 х9 (кТ0)
0 0 '
— 0,209198 0,101198
^2П (^^о)
а модель швидкодіючої підсистеми (7.9), (7.10)—вигляд
(^0)-
(^Го) 5
шв
2
^шв
(кТ0)
4
‘шв
х0
^шв
(^о)!
(кТ0)
2
иА
‘шв
гшв
2
Х1ШВ
т ’
ШВ
де
(кТ0) = Х1 (кТ0) - Х1 (кТоу,
Х2ШВ — Л'2 о)
, (кТ„) = уі (кТа) - у\ (кТ0У,
Ішв
^2Ііт (^о) — Уї (^о) У^ (кТц)',
ШВ
(кТ0) =и2 (кТ0) — и2п (кТа).
(кТ0)=и1 (кТо)-и1п(кТоу,
«9
шв ’ * *п шв
Сформуємо закон керування (7.12) лінійного повільнодіючого ре-
гулятора. Для цього матрицю підсилення /Сп визначимо за формулою
(7.26), в якій додатно визначену матрицю Ьп обчислимо, розв’язавши
алгебричне рівняння Ріккаті (7.20), де вагова матриця — Р +
«1
Якщо вибрати /? =
п
Після розв’язання
0'
о 1-
1,0437638 - 0,0211705"
— 0,0211705
рівняння (7.20)
_ [31,45015
0
, то дістанемо
п
1,0102412.
знайдемо
0
0
Визначивши матрицю підсипення лінійного
Кп за формулою (7.26), закон керування
діючого регулятора запишемо у вигляді
’«1п (^о)"
% (^^о)
"0,0540162
0,0557718
(7.12)
*1
зворотного зв’язку
лінійного повільно-
(ЙТ„)
п
0"
0 Х2П (^^о)
Закон керування (7.13) лінійного швидкодіючого регулятора сфор-
муємо після визначення матриці підсилення /<шв. Для цього поперед-
ньо обчислимо матрицю £ІПВ, розв’язавши алгебричне рівняння Рік-
каті (7.24):
ШВ
0 0
~ .0 6,976672] ’
324
Визначивши
закон керування
потім матрицю підсилення
(7.13) запишемо так:
Кшв за формулою (7.27),
%1В (*т,)
(^о)
0
0
- 0,0991829091 *‘шв
0,0479791 х7
^шв
Складений регулятор стану з одним
емо на підставі рівняння (7.16):
періодом квантування сформу-
«і [0,0540361
и2 (кТ,}) ~ [0,0557519
01 р! (кту
о 11 о
0 — 0,09918291 0
.0 0,017979 [х2 (к7\)
325
Результати цифрового моделювання замкненої системи керування
при початкових значеннях змінних стану (0)=1, х2 (0) =0,5 відобра-
жено на рис. 7.2.
Приклад 7.2. Виходячи з паралельної стратегії, спроектуємо різ-
нотемповий складений дискретний регулятор для розглянутого в по-
передньому прикладі, з передаточними функціями (7.52) та періодах
квантування То = 1 с в швидкодіючій, Н = 5 с у повільнодіючій під-
системах.
На основі аналізу передаточних функцій (7.52) двовимірного об’єк-
та керування можна зробити висновок, що інерційність у каналах
««і—г/і», «ц2—Уі» об’єкта значно вища, ніж у каналах — у2»9
«ц2—#2»- Тому повільнодіючу підсистему керування з періодом кван-
тування И = 5 с доцільно реалізувати для каналів об’єкта Щ—ул» і
«ц2—//!», а швидкодіючу з періодом квантування То = 1с — тільки для
каналів —у2», «и2—у#.
Для розглядуваного об’єкта параметрична модель типу «вхід—
вихід» при То = 1 с має вигляд (7.53), де = 0,983471; а22 =
= 0,926505; = 0,001785; &12 = 0,001785; Ь21 = —0,015375; Ь22 =
= 0,0074376. З урахуванням викладок, наведених у прикладі 7.1, ма-
тематичну модель об’єкта в просторі стану (7.1)—(7.3) подамо у вигля-
ді векторно-матричних рівнянь (7.54).
Матриці Гп, Оп, Со, По повільнодіючої підсистеми обчислено в при-
кладі 7.1 [див. (7.55)].
При заданих періодах квантування То = 1 с, Ь, = 5 с відповідно
до (7.29) маємо ш = 5.
Записавши математичну модель повільнодіючої підсистеми (7.31)
у вигляді
’*іп + ЧМ
*2 !('+ і) М
п
*1П И)
*2П (гЛ)
т—1
ї=0
'Міп(гЛ)‘
«2П
після обчислень дістанемо
*іпі(г +1) М'
*2П [(' + 1) А]
[0,0086348
+ 0
'0,9200423
0
0,0086348'
0
01 Р'п (гй)
0 (г/і)
ц. (гНУ
1п
«2П (гй)
(7.58)
Обчислимо матриці квадратичного критерію оптимальності по-
вільнодіючого регулятора:
а) <21>ж»^<2і,/п + С0С0> /=1»2, 3, 4. При
~ __ П 0]
<?1,1=С0С0= 0 0
після виконання рекурентної процедури знайдемо
4,6827328 0
0 0
б) 012./+І = +0)^0» І = Ь 2, 3, 4,
326
При
‘О О'
о о] ’
виконавши рекурентну процедуру, матимемо
0,01670572 0,01670572’
0 0
<212,1 —
<212,5 —
5
П
При
1 0‘
О 1.
7) - , в _ [ 1,0437694 - 0,0211719 1
2,1 о о+ —0,0211719 1,01024118
після виконання рекурентної процедури дістанемо
=. Г 5,21893893 — 0,105767544 '
^2,5 о, 105767544 5,051297836 ’
Закон оптимального керування (7.35) лінійного повільнодіючогф
регулятора сформуємо у вигляді (7.32), тобто
“п (гй) = — ^п*п (гЛ)>
де матриця підсилення визначається виразом
і=0 ї=0
і=о
(7.59)
Додатно визначену матрицю Ьп обчислимо, розв’язавши алгеб-
ричне рівняння Ріккаті (7.36):
'30,3301529 0'
0 0
Тоді матриця підсилення Кп відповідно до (7.59) набуде вигля-
ду
- 10,05038006 0
п= 0,05201777 0 ’
•— • -л
Матриця підсилення Кшв, яка входить до складу рівняння
(7.41), обчислюється за формулою (7.27). Її вираз (див. приклад
7.1) має вигляд
0 — 0,099182909'
0 0,0479791 ’
Лшв =
327
Рис. 7.3
Закон керування різнотемпового складеного регулятора визна-
чається рівнянням (7.42). Обчисливши функцію фпД за рекурент-
ною процедурою (7.39) при і = 0, 1,2, 3, 4, тобто знайшовши її зна-
чення
'0,91609179
0
о
а також
урахувавши
матриці
ГО 01
о о];
Г 0
0
о
0,926505
— 0,015375 0,0074376
наведені в прикладі 7.1, після обчислень закон керування (7.42)
при і = 0, 1, 2, 3, 4 матиме вигляд
и1
Чкл
^2скл
(г/і + ГГ0)
(гН + ЇТО)
'0,05038006
,0,05201777
01 Гхх (гИу
о] [о
0 —0,0991829091 Г 0
0 0,0479791 |х2 (гН + /То)
і = 0, 1, 2, 3, 4.
т—1
Результати цифрового моделювання синтезованої різнотемповзї
замкненої системи керування при початкових значеннях змінних ста-
ну Хі (0) = 1, х.2 (0) = 0,5 і математичних моделях об’єкта у вигляді
повільнодіючого вектора стану
«і (гк)'
и2 (гіг)
п
п
о
328
і швидкодіючого вектора стану
0 1Г0 0
_х2 [гН + (і 4- 1) то]. о а
0
Ч + ІТо)
0
.^21
0 1 (гіг + іТьУ
^22 , -^2 "Ь <Т0),
відображено на рис. 7.3.
7.2. Різнотемпове квантування неперервних
систем і проектування складеного дискретного
регулятора в подвійному масштабі часу
Лінійні, інваріантні в часі неперервні математичні мо-
делі багатьох фізичних процесів поєднують повільні та
швидкі моди. За нашого часу розроблено кілька підходів
до проектування систем керування об’єктами, в яких від-
буваються подібні фізичні процеси. В найпростішому з
них нехтують швидкими, а також деякими повільними
модами, що не повністю підлягають спостереженню та ке-
руванню. При використанні сингулярних збурень засто-
совуються як повільні, так і швидкі моди. При цьому ана-
ліз і синтез системи керування здійснюються спочатку для
швидких, а потім для повільних мод.
Виходячи з розгляду неперервної системи, розробимо
стратегію проектування для неї окремо повільно- та швид-
кодіючого дискретних регуляторів. При цьому розподіл
математичних неперервних моделей на швидко- й повіль-
нодіючі здійснюватимемо до етапу складання дискретних
моделей.
Нехай інваріантна в часі неперервна модель об’єкта
керування в просторі стану описується рівняннями
Ті (о = (0 + Ал (/) + В.и (і), хх (0) = х10; (7.60)
^2 (0 = ^21Л1 (0 ^22*^2 (0”Ь -®2^ (0» ^2 (®) ^20» (7*61^
у (0 = Сл (0 + с2х2 (і)9
(7.62)
де (/) — невимірний вектор стану; х2 (і) — п2-вимірний
вектор стану; и(і) — /-вимірний вектор керування; у (і)—•
р-вимірний вектор вихідних вимірюваних координат.
329
Припускаємо, що розглядувана модель об’єкта ке-
рування може функціонувати в двох масштабах часу.
Це значить, що п власних значень її можна поділити на
повільних мод і п2 швидких мод, які пов’язані відповідно
з векторами стану і х2.
Явно виражену властивість математичної моделі (7.60)—
(7.62) в двох масштабах часу можна дістати, якщо ввести
матриці
у421 — ^22 — ^22^» ^2 — (7.63)
де р — малий додатний скалярний коефіцієнт.
Тоді після підстановки (7.63) в рівняння стану (7.61)
останнє матиме вигляд
рх2 (/) = Д21Ч (/) + Д22х2 (0 + В2и (/). (7.64)
В асимптотично стійкій моделі об’єкта керування швид-
кі моди діють тільки в короткий початковий період, після
якого ними можна знехтувати, а режим об’єкта описати
тільки повільними модами. Нехтування швидкими мода-
ми тотожно припущенню, що вони нескінченно швидкі,
тобто р-> 0. Якщо припустити, що А22 є невиродженою
матрицею, то при р -> 0 квазіусталена частина вектора
швидких змінних х2 в (7.64) запишеться у вигляді
х2 (0 = “ [Л21хх (/) +~В2й (/)].
При врахуванні (7.63) останній вираз можна записати
при початкових значеннях його матриць, тобто
х2 (і) = - Лй' (АгіХг (і) + В2и (/)]. (7.65)
Якщо повільні змінні хп(і) = х1(і) і = то
х2 (/) = - Лй' [Л21хп (/) + В2и„ (/)]. (7.66)
Математичний опис повільнодіючої підсистеми матема-
тичної моделі об’єкта можна дістати, підставивши (7.65)
V рівняння (7.60) і (7.61):
хп (/) = Лпхп (/) 4- впйп (/); (7.67)
уп (/) = Спхп (/) + Опйп (/), (7.68)
де
^4П — Лц ----І412І422 Аоі', Л12/І22 52і
(7.69)
С*П = С2-^22 ^21» = С2^22 В2.
330
Щоб здобути математичний опис швидкодіючої під-
системи моделі об’єкта, припустимо, що повільні змінні
під час зміни швидких мод залишаються сталими, тобто
Хі (/) =хп (/) = сопзі. При цьому похідна від квазіустале-
них складових швидких змінних х2 (?) = 0.
Тоді на підставі (7.61), (7.62), (7.66) можна записати
Де
шв
(0;
Яшв (0 —“ (0 (0>
(0 = и (і) — и (і) = а (і) — (/);
#ШВ (0 ------ У (І) Уп (?)•
(7.70)
(7.71)
Маючи неперервні математичні моделі повільно- та
швидкодіючої підсистем, легко обчислити дискретні моде-
лі їх при різних періодах квантування. Як і в п. 7.1, при-
пускаємо, що довший період квантування /і пов’язаний з
коротшим періодом То співвідношенням Н = тТ^ де т —
ціле число, більше від одиниці.
При проектуванні дискретної системи керування ке-
руючі діяння протягом своїх періодів квантування за-
лишаються сталими, тобто
д/п (/) = ип (гН) при гН і < гН + й;
(7.72)
^ШВ (0 —" ^шв
(гН + іТ0) при (гН 4- ЇТ0)
< і < гй + (і 4- 1) То, і = 0, 1......т — 1.
Введемо позначення
фп (0 = еЛїІ; Нп (і) = у фп (т) Впбіт;
о
— _ 1_ __
*фшв (0 = ел,2Ґ; /7ШВ (і) = у фшв (т) В2с/т.
о
(7.73)
Інтегруючи рівняння (7.67) від І = гіі до / = гй 4-
4- т + Є та виходячи з формування дискретних керуючих
331
діянь (7.72), дістаємо при т 0, 0 >> 0, т + 0 й рів-
няння
хп (гк + т + 0) = 4>п(0) хп (гй + т) 4- Нп (0) ип (гк). (7.74)
Закон керування лінійного повільнодіючого регулято-
ра стану описується рівнянням (7.32). Якщо припустити,
що в (7.74) т = 0, а 0 = й, то з урахуванням (7.32) рів-
няння повільнодіючого замкненого контура керування ма-
тиме вигляд
Хп (гіг + й) = [ірп (й) — Нп (к) Дл] хп (гк).
(7.75)
Полюси цього контура можна оптимально розподі-
лити на основі мінімізації квадратичного критерію опти-
мальності
оо
<^11 = £ [Уп (гН) уп (гН) + Й (г/і) 8иП (гИ)],
г=0
(7-76)
який з урахуванням (7.68) можна
записати у вигляді
п
оо
= У (4 (гЛ) Ип (гк)}
г=0
Хп (ГЙ)
«п (гИ)
(7.77)
де матриці <2і , (?і2п, <?2П визначаються так,-
її
'фп (І) СпСп'фп (І)
0
С12П = 5 1$ (0 сТсЛп (І) + ^тСІ5п] Л;
(7.78)
$2П = 5 [77п (І) Сп СпНП (і) + йп (0 СпТОп +
0
+ ІЇСпНП (і) + £>„£>п + Я] М.
У дод. 8 викладено методику обчислення цих інтегра-
лів чисельними методами. Інтеграли (7.78) застосовуються
також для визначення матриць критерію оптимальності
(7.34), якщо коротший період квантування То->0 при
332
фіксованих довших періодах квантування її = тТ0 {гп ->
-> оо) моделі об’єкта.
Тепер розглянемо швидкодіючу підсистему керуван-
ня, що описується рівняннями (7.70), (7.71). Якщо ке-
руючі діяння сформувати відповідно до (7.72) і застосува-
ти позначення к7.73), то рівняння (7.70) для дискретного
часу можна записати у вигляді
шв
(7.79)
Закон керування лінійного швидкодіючого регулятора
стану в загальній формі має вигляд
^шв (ЙТ0) — ТСшв-^шв (кТо) — ТСшв 1-^2 о) %2 о)].
(7.80)
На підставі (7.79), (7.80) рівнянням швидкодіючого
вамкненого контура керування буде рівняння
[фіпвС^о) — #шв (Го) Кшв] ХШВ(ЙТО). (7.81)
При співвідношенні періодів квантування /і = тТ0
для проектування оптимального швидкодіючого регулято-
ра стану можна застосувати дискретний квадратичний
критерій оптимальності
оо
Л™ = £ ІЙв (кТ9) ушв (кТ0) + йІв (кТ0) Кйшв (кТ0)]. (7.82)
6=0
Якщо виходити з неперервного критерію оптималь-
ності
шв
оо
У [//шв (0 Ушв (0 ~Ь ^ШВ (0 ^ШВ (01
о
використаного для неперервної швидкодіючої підсистеми
(7.70), (7.71), то перехід до дискретного критерію можна
здійснити за формулою
ШВ--
оо
/ < 4Лшв
шв
<2і
х‘шв
0і2
'ЧЛщв
ф12
хишв
333
де матриці ф. <2і2шв, О? визначаються таю
- То _ ______
~ Я шв (0 ^2 С'з'фщв (/) (І1\
0
- То ______
Сі?шв = 5 'Йв (0 С2ТС2Яшв (/) (7.84)
о
П То _ _ _
^шв= У //шв (0 ^С2ЯШВ (/) Л.
0
З’ясуємо режим роботи повільнодіючої підсистеми (7.74)
в моменти квантування, коли відповідно до нових даних
коректується швидкодіюча підсистема. Для цього необхід-
но визначити вектор стану хг з урахуванням швидко- та
повільнодіючого масштабів часу. З цією метою в (7.74)
вробимо заміну т_= іТ0, 6 = 7’0, хп = а замість век-
тора керування ип (гН) підставимо його вираз (7.32). В ре-
зультаті дістанемо такі рекурентні співвідношення:
(гН + іТ0) = Фп,іХ] (г/і), і = 0,..., ш — 1; (7.85)
Фп.ж = % (То) Фпд- - Нп (Т.) Кп, Фп,0 = 7. (7.86)
Тоді закон керування (7.80) після підстановки в нього
виразу (7.66) для моменту часу (гіг + ІТО) матиме вигляД
^шв (г/і ~Т ІТо) = ^Сшв{х2 (г/і іТф)
- Л^1 [Л21хх (гН + ІТО) + В2ип (гіг)]}. (7.87)
З урахуванням (7.32), (7.85) останнє рівняння можи#
записати так:
^шв (г/і ~Т іТо) = ТСшвХ2 (гН “Т ІТо) —
А шв-^22 (^21^п»1 -^2^п) (^^)’
Різнотемповий складений вектор керування дістанемо,
підсумувавши вектор £/шв(^ + ^о) та ПОБІЛ ьнодіючийґ
вектор керування (7.32):
Нскл “Т іТр) = ив (гИ) Т“ ^шв (а*й -р іТ0) =
^Сшв-^2 "Т“ о) [А^шв-422 (-^гі^п»^---
— В^п) + Кп] х^гН), і = 0, —1. (7.88)
334
Закони оптимального керування, тобто матриці під-
силення Кп, Київ в лінійних повільнодіючого реіулятора
(7.32) для критерію (7.77) і швидкодіючого регулятора
(7.87) для критерію (7.83) можна визначити, скористав-
шись методикою, наведеною в дод. 4.
7.3. Вибір періоду квантування
при проектуванні систем керування
з подвійним масштабом часу
І
У п. 7.1 і 7.2 розглянуто дві стратегії різнотемпового
квантування й описано методику проектування різнотем-
пового складеного регулятора стану при вимірюваннях
вихідних координат об’єкта з різними періодами кванту-
вання кожної з них. Щоб реалізувати цю методику, по-
чаткову дискретну модель об’єкта було розкладено на
повільно- та швидкодіючу частини з відображенням їх у
дискретному часі при різних періодах квантування, ви-
браних з урахуванням показників інерційності повільно-
та швидкодіючої підсистем.
У п. 7.2 викладено методику відображення неперервної
моделі об’єкта керування у формі повільно- та швидкодію-
чої підсистем на основі методу сингулярних збурень 135,
47], а також обчислення дискретних моделей цих під-
систем при різних періодах квантування.
Нижче висвітлюється методика вибору коротшого пе-
ріоду То при квантуванні неперервної моделі об’єкта ке-
рування, описуваної рівняннями (7.60;—(7.62). Відзна-
чається, що стратегії різнотемпового квантування, роз-
глянуті в п. 7.1 і 7.2, будуть майже однаковими при пра-
вильному виборі періоду квантування То.
Математичний опис неперервної моделі об’єкта (7.60),
(7.61) у матричній формі має вигляд
_л2 (І) _
21п
~д
^21 22
Л12] Гхі (/)
Х2 (0 .
2 .
Виконаємо діагоналізацію цієї моделі, для
демо вектор нових змінних
чого вве-
ЇІ2 (0 = Х2 (0 + КХ1 (0»
(7.90)
де К — матриця вимірністю (и2 х пх).
335
Записавши (7.90) у вигляді х2(ї) = Лг (0 — КхА (ї),
після диференціювання лівої та правої частин цього ви-
• • •
разу дістанемо х2(/) = ї]2(/)— Кх1(і). Тоді рівняння (7.89)
набуде вигляду
-^12
^22 _
(0
п2(0-^(0
звідки
и(і),
^1(0 — (Лц ^12^0 (0 ^12^2 В^и (/),
ТІ2 (0 = І^СЛц - ^22% — КА12К + Л21] Х± (І) 4-
+ (Л22 + Ю412) п2 (/) + (В2 + О£) и (і).
Якщо матрицю К підібрати так, щоб вона була дійс-
ним розв’язком матричного рівняння Ріккаті
. (КАіг - А22К - КАі2К + А21) = 0,
то два останніх рівняння можна записати в
формі, а саме:
(7.91)
матричній
*і(0
-П2 (0
*і(0
.п2(0.
(Лп-Л12/<)
б
12
(7.92)
Перетворимо
нових змінних
рівняння (7.92), для чого введемо вектор
Пі (0 = *і (0 + Мп2 (/), (7.93)
ЯКИЙ перепишемо у ВИГЛЯДІ (/) = Т)! (/) —ЛІТ)2(/).
Після диференціювання лівої та правої частин цього
виразу дістанемо хг (/) = (/) — Л4т]2 (/). Тоді рівняння
336
(7.92) матиме вигляд
(7.94)
Другим рівнянням тут є рівняння
п2 (/) = (Л22 + КАі2) іі2 (/) + (В2 + КВ.) и (і),
(7.95)
а першим з урахуванням (7.95) — рівняння
Я1 (О = Ип -ЛЛ)% (О + [М И22 + /<Л12) -
’ (41 4гЮ 12І Л2 (О +
+ [МВ2 + (7 + Ж) и (і). (7.96)
Якщо матрицю М вимірністю (^ X п2) підібрати так,
щоб вона була дійсним розв’язком алгебричного рівняння
Ляпунова
М (Д22 + /С412) - (41 - А12К) М + Д12 = 0, (7.97)
то два останніх рівняння можна записати в матричній
формі, трансформованій відносно початкової форми (7.92),
а саме:
Пі (0
-П2 (0 -
(Лц -^12^0
0
Н1 (0 _|_
„ТІ2 (О]
(7.98)
На підставі виразів (7.90), (7.93)_можна зробити ви-
сновок, що вихідний вектор стану [хг (/) х2(/)]Т може бу-
ти відображений вектором [т]! (0 Н2 (0]Т за Допомогою
матричного рівняння
%і (/)
х2 (/)
-м 1ГМ0
/2 + ] [_Т12 (/)
(7.99)
-К
337
де /х, /2 — одиничні матриці вимірністю (п^ X і
(п2 X п2) відповідно.
Виконаємо квантування перетворень неперервної мат-
ричної моделі (7.98), для чого припустимо, що вектор ке-
рування відповідає умові
и (кТ0 + т) = и (кТ0),
Тоді, проінтегрувавши (7.98)
4- 1) То, дістанемо
'Йі К*+ 1)7,1] ГЇМП)
ЛК*+ 1И0]] І о
0<т<Т0.
від І = кТ0 до І = (к +
0 Г Пі (^Я
'М7’о) ]
(7.100)
де матриці •фіСТ’о), Я’гС^о)- 772(Т0) визначаються
виразами
ірі (То) = ф2 (То) = е(Л’*+*Л1*)7’®;
_ Т’о _ ___________ _______
(70) = у (0 [(/ + МК) в, + МВ2] <Ц- (7.101)
о
__ То_ ___
^2 (То) = у % (і) [В2 + яв,] м.
0
Зворотне перетворення (7.98) до динамічної дискретної
форми (7.92), записаної для початковою вектора стану
Іхх (і) х2 (01Т» можна виконати за допомогою матричного
рівняння (7.99). У результаті матимемо
хЯ(*+і)70]
. ^2 “Ь 1) То]
'їй (Т„) (7 + МК) - Лїф2 (То) К]
_[(7 + КМ) (То) К - (То) (7 + ЛЇК)]
(70) лі — ЛЬр2 (Тп) X, (кТ0)
(7 4-/СЛ4) (То) - (То) М х2 (кТ0) ,
нат^-мнат.)
(7 + КМ) н2 (То) - КНХ (То)
(7.102)
338
Тут матриці Д, М є розв’язками матричних рівнянь Рік-
каті (7.91) і Ляпунова (7.97).
Виконаємо діагоналізацію матричного рівняння (7.89/,
застосувавши матриці з сингулярним збуренням (7.63).
Тоді після перетворення другого рівняння (7.89) дістане-
мо
НЛг (0 == рДЛ12Д “Т ^22^1 X
X (/) + (Л22 + рДЛ12) Г)"2 (/) + (82 + ^#і) й (/).
У цьому випадку матриця Д підбирається як розв’язок
рівняння
рДЛц — рДЛ12Д + Л21 — Д22Д = 0.
(7.103)
Оскільки р— малий додатний скалярний коефіцієнт,
матрицю Д можна подати у вигляді
Д = Д0 + О(р),
(7.104)
де До = = А221А21. При цьому співвідношення О(ц)
визначається як
0(и) = Мй* (КАп-КА12/().
Після перетворення першого рівняння (7.89) з ураху-
ванням матриць з сингулярними збуреннями (7.63) та ви-
разу (7.109) знайдемо
А4 — — рД12Л22 + Н [(-^н — — Л4ДД12] А22*.
(7.105)
Якщо записати = —Л12Л221, а також урахувати
вираз (7.104) та форму запису рівняння (7.105), то мат-
рицю М у розширеній формі можна записати так:
М = рЛ4х + О (р2).
(7.106)
Трансформовану матричну форму (7.98) відображення
неперервної моделі об’єкта керування можна інтерпрету-
вати як повільно- та швидкодіючу її підсистеми, якщо вра-
хувати (7.69), (7.104), (7.99):
339
де
їішв (О
Лп + 01 (р)
б
5п + Од (р)
і/ (0,
’ Пп (О
Тішв (0
Пп (О
^22 Н“ О2 (НУН
01 (м-) = -^12® (|0: 02 (р) = [X [^22^21 +
+ О (р)] Л12;
О3 (Р) = — ^12^221КВ1 +
+ о (р2);
О4 (Н) — Р (Н) Вії-
(7.107)
Період квантування То швидкодіючої підсистеми необ-
хідно вибирати так, щоб він був пов’язаний з коефіцієнтом
р співвідношенням То = О (р). Якщо взяти до уваги по-
значення (7.73), то дискретні матриці (7.101) за аналогією
з (7.98), (7.100), (7.107) можна записати у вигляді
(То) = е^п+б.(ю]г. = (То) + о' (м2);
(7.108)
г|>2 (То) = е1 >т. = (Го) + 0, (и); (7> 109)
_ г« _ _ _ _ _
(То) = ]' (То) [Вп + О3 (н)] Нп (То) + О (н2); (7.110)
о
о
Ч (ц)
Л = /7У(Т0) + 0"(Н).
(7.Ш)
Припустимо, що в (7.102) 7о»0. Тоді відповідно до
<7.73) матимемо
(То) = = /~+ 0 (Р); 77п(Т0) = О(р), (7.112)
тобто в повільнодіючій підсистемі для визначення вектора
стану Хі(/?Т04-Т0) потрібно враховувати значення матриць
(7.108), (7.110).
Повна апроксимація дискретної моделі об’єкта керу-
вання, що описується рівнянням (7.102), має вигляд
340
х, К* + 1) То]
. х2 [(к + 1) То].
' {Я’п (То) + ІІМ.Ц- %в (То)] Ко +О (Н2)}
_ {['фшв (То) 7] Ко + О (н)}
{рМ1 [7 - фшв (То) + О (н2)} 1 Г х. (кТ0)
{фшв(Т0) “1" О(р)} _ . х2(кТц)
{Н^Т^-ііМ.Н^Т^ + Оііі2)
(Н^іТ^ + біїї)}
и (кто).
(7.113)
Припустимо, гцо вибір періоду квантування То пов’я-
заний з повільнодіючим масштабом часу, тобто То = О (1).
Тоді при визначенні повільнодіючого вектора стану
хі (кТ0 + 70) швидкодіючі перехідні процеси, пов’язані
з коефіцієнтом рі, можна не враховувати. В цьому разі ап-
роксимація (7.102) набуває вигляду
хх 1(Й + 1) то] = Г {4>п (Т’о) + о (н)}
х2 [(& + 1) То) ^.(Ж-кМ) + О(н)
О(Н) ІрхТО
{фшв (То) -)- О (ц)} _ _ х2 (кТ0) _
{Нп (То) + О (н)}
{яшв (То) - КОНП (То) + б (И)}
н(/?то).
(7.П4)
Використовуючи довший період квантування То =
= 0(1), динаміку дискретної моделі об’єкта (7.113) в ос-
новному можна визначити повільнодіючим вектором ста-
ну %і, оскільки перехідні процеси під час зміни швидкодію-
чого вектора х2 майже повністю закінчуються до наступ-
ного моменту квантування.
Тепер застосуємо методику, викладену в п. 7.1 стосов-
но дискретних математичних моделей (7.1) і (7.2), до
дискретних моделей (7.113), (7.114). Задача полягає в
проектуванні стратегії різнотемпового складеного керу-
вання об’єктом. При цьому слід мати на увазі, що співвід-
ношення між відповідними матричними виразами в моде-
лях (7.1), (7.2) та (7.113) дуже складні. Проте можна вста-
341
не вити ці співвідношення окремо для повільно- та швидко-
діючої підсистем моделі об’єкта керування.
Для виведення співвідношень МІЖ матрицями Тп, Оп,
Со, £)0 повільнодіючої підсистеми (7.6), (7.7) і відповідни-
ми матрицями підсистеми (7.113) перше та друге рівняння
останньої запишемо окремо:
~Х1 К* + 1) Т'о] = {ірп (То) + рЛ^ [/ - %в (То)] Ко +
+ О (р2)} (кТ0) 4- {рМ1 [/ — 4ШВ (То)] 4-
4- О (р2)} х2 (кТ0) 4- {Нп (То) - (То) + О (р2)) (и (к)-,
(7.115)
х2 № 4- 1) То] = {[%в (Те)-1] Ке 4- О (р)} х. (кТ0) 4-
+ {йлВ (То) + О (р)} х2 (кТ0) 4- {77шв (То) 4- О (р)} и (к).
(7.116)
Порівняємо ці рівняння з аналогічними рівняннями (7.1)
і (7.2), підставивши у вирази (7.8) замість Р19 Р2, Р3, Р*9
0ь 62 значення їх згідно з (7.115), (7.116). У результаті
матимемо
Рп — Чп (Л>) “Ь Н У — Чшв (7"0)] Ао
4* М} [І Чшв (То)] [/ ірши (7\))] [Чшв (7\)) /] /Со} 4”
+ о (Н2) = Чп (То) + О (Р); (7.117)
Сп = Нп (То) - р {М1 Ншь (То) - М, [7 - %в (То)] х
х [1 - %в (Т0)]-*^шв (То)} 4- 0 (Р2) = Нп (То) 4- О (Р2);
(7.118)
Со = 4" ^2 Й 'фшв (То)1 ['фшв (^о) Л ^0 "Ь
4" О (р) — С} — С2А221А21 4- 0 (р) = Сшв 4~ О (р); (7.119)
О0 = С2 [Т-ішв (ТО)]-1НШВ (То) 4- б (Р). (7.120)
Якщо в (7.120) для визначення матриці НШв(Т0) ви-
користати її вираз з (7.73), то дістанемо
Ншв (То) = Йшв (То) - 7] А^В2, (7.121)
342
після чого матриця О0 визначиться так:
О0----^2^22^2 + О (р) = Оп + 0 (р).
(7.122)
Співвідношення між матрицями швидкодіючої підсис-
теми можна вивести, порівнявши відповідні вирази мате-
матичних моделей (7.9) і (7.116):
Т4 = К (То) + 0 (р); С2 = /7ШВ (То) + 0 (р). (7.123)
Якщо повільнодіючу підсистему задано дискретною
моделлю (7.31) у повільному масштабі часу з періодом кван-
тування А, то можна припустити, що в моделі (7.14) И =
= 0 (1). Тому відповідні матриці моделі (7.31) і рівняння
(7.14) запишуться у вигляді
Рп = фп (Л) + 0 (р); V Т‘6П = Нп Ці) + 0 (р). (7.124)
Для реалізації різнотемпового складеного регулятора
стану необхідно знати квазіусталену швидку моду х2, щоб
визначити швидкодіючу динамічну складову х шв = х2 —
— х2. Відповідно до виразу (7.37) останній містить оці-
нювач (7.38), (7.39). При цьому матриці (7.39) можна визна-
чити за формулами (7.117), (7.118). Тоді моду х2, задану
виразами (7.37) — (7.39), легко виразити через відповідні
дискретні матриці (7.113), (7.121), (7.123). В результаті
матимемо
х2 (гіг + іТ0) = [/ — Т4] 1 (ГзФпд- — 62Кп) хг (гР) =
= [7 фшв (Ро)] {[фшв (Ро) 7]УІ22 -^21^0,і
— [фшв (То) — 7] А^В2Кп} хг (гН) + О (р) =
= — А^1 [А21ФпД — В2КП] (гіг) + О (р),
і = 0, 1,... , пг — 1.
(7.125)
Порівняємо результати, здобуті в п. 7.1, 7.2 та 7.3:
1. Матриці Рп, Сп (7.117), (7.118) повільнодіючої під-
системи збігаються з матрицями підсистеми (7.74) при 0 =
= То, якщо збурюючими похибками другого порядку
О (р2) знехтувати.
343
2. Вихідні матриці (7.119), (7.120) відповідають вихід-
ним матрицям (7.68) повільнодіючої підсистеми, якщо по-
хибки першого порядку О (р,) не враховувати.
3. Швидкодіюча підсистема (7.79) збігається з (7.123),
якщо похибками першого порядку О (р,) знехтувати.
4. Повільнодіючі підсистеми (7.74), (7.124) відпові-
дають одна одній за умови 0 = Л, якщо похибки першого
порядку О (р) не враховувати.
5. Слід пам’ятати, що вектор змінних х2 відповідно до
(7.125) є повільнодіючою складовою вектора змінних х2.
Тому період квантування То буде дуже коротким віднос-
но динамічної зміни вектора х2, тобто не має значення,
як обчислюється вектор змінних стану х2: до процедури
квантування (п. 7.3) чи після неї (п. 7.1).
7.4. Розробка алгоритму обчислення
скалярних критеріїв оптимальності
при різнотемповому квантуванні
Розглянемо способи обчислення скалярних квадратич-
них критеріїв оптимальності, що застосовуються при син-
тезі різнотемпових дискретних систем керування. В стра-
тегіях різнотемпового керування, описаних у п. 7.1—7.3,
початкова модель об’єкта керування розподілялась на
повільно- та швидкодіючу підсистеми. Потім для них об-
числювались матриці підсилення /Сп, різнотемпових
дискретних регуляторів.
Щоб проаналізувати роботу замкненого контура ке-
рування, важливо розроблену стратегію керування при-
стосувати до початкової неперервної моделі об’єкта ке-
рування. Нехай ця модель описується рівнянням
х (і) = Ах (0 + Ви (і). (7.126)
У загальному випадку при проектуванні оптимальних
систем керування застосовується квадратичний критерій
оптимальності для неперервного часу, тобто критерій
оо
4= (7-127)
о
який не залежить від стратегії керування і може бути ви-
користаний при проектуванні як оптимальних, так і суб-
оптимальних систем керування.
344
Якщо ввести позначення
(0 = ел/; Н (0 = С і|> (т) ВЛх (7.128)
і прийняти дискретне керування
й = и (кТ0 + т) при 0 т
то розглядувану модель об’єкта в моменти квантування
можна описати рівнянням стану в дискретному часі, тоб-
то рівнянням
X [(Л + 1) То] = Я’(Т’о) х(кТ0) + Н (Т0)й(кТ0), (7.129)
а критерій оптимальності (7.127) подати у вигляді
/ = 2 кт т] итт]
СігЛ Г х(кто) '
.<2^ . _М(^^о).
, (7.130)
де
____ _ т„_ _ _
<21, = ( 'фТ (Т) Сх'Ф(Т) <212^ = Ч1 (т) СіхН (т)
То _ _ _
®2а = У (т) (т)
(7.131)
Постановка задачі. Критерій оптимальності (7.130)
підходить для синтезу швидкодіючого ЦР з періодом кван-
тування То. Задача полягає в розробці алгоритму обчис-
лення скалярних критеріїв оптимальності в загальній
формі, які підходять для різнотемпового квантування,
тобто коли стратегії різнотемпового складеного керуван-
ня визначаються виразами ^7.42), (7.50) або (7.88). Це зна-
чить, що критерій (7.130) потрібно виразити в повільному
масштабі часу.
Розв’язування задачі. Закони різнотемпового скла-
деного керування (7.42), (7.50), (7.88) в узагальненій фор-
мі можна записати так:
и(гН + іТ0) = — КіХ (гИ) — Кшвх(гИ + гТ0),
і = 0, 1,..., т — 1.
(7.132)
Якщо вибрати, наприклад, закон керування (7.50), то
/<. = Ц(п б], Кшв=[бКшв]- Оскільки закон керування (7.132)
е періодичним, режим замкненої системи керування та-
345
кож буде періодичним. Тоді з урахуванням вектора ке-
рування (7.132) рівняння стану (7.129) матиме вигляд
х(гН + іТ0 + То) = Ох(гН + іТ0) +
+ Оре (г/і), і = 0, 1,..., т — 1; Л = тТ^ (7.133)
де матриця швидкодіючого вектора стану визначається ви-
разом
О = (7.134)
а матриця повільнодіючого вектора — виразом
(7.135)
Увівши вектор керування (7.132) в критерій оптималь-
ності (7.130), дістанемо періодичний критерій
оо т—1
7 = ї £ [*т (гЛ +іТ^
г=0 і=0
хт (г/і)] X
С12.Г
0.2Л
(7.136)
Де
Фм — 0\д Ф12^^шв А\іівФ12^ 7Сше^2^А^шв
Фі2,і = — 0і2аКі + ТСшвСг^Кі’» (7.137)
—* /—
О2 ,і = Кі02аКі-
Для розробки алгоритму обчислення на ЕОМ скаляр-
ного критерію оптимальності при різнотемповому кванту-
ванні доведемо таку лему.
ЛЕМА. Якщо рівняння стану періодичної системи ке-
рування має вигляд (7.133), а періодичний критерій оп-
тимальності записано у формі (7.136), то рівняння (7.133)
в повільному масштабі часу И = тТ0 можна подати такі
х(гК 4- Н) = Ктх(гН),
(7.138)
де матриця Кт обчислюється за допомогою рекурентної
процедури
^+і = О7?И-Д, / = 0, 1,..., /л-1; Ло="7.(7.139)
346
При цьому критерій (7.136) матиме вигляд
оо
[хт (гН) х (гН)]
= V хт (гН) Ох (гН),
г=0
(7.140)
де
— — — —*р —
0 = Оі,т + 012,т + 012,т + 0.2 ,т,
(7.141)
а матриці 0\,т, Оіг.т» Ог.т обчислюються за
рекурентної процедури
Оі, /4-і = °т0і./° + Оі,т—і— і»
допомогою
—' — *р — — — гр — мм
012,/4-1 = —]'—101,фт—і—1 4“" —і—1012,/ ~Ь 012,г—і—Ь
(7.142)
0г,/4-1 = Вгп—І— 10От—І—1 + ОХ—і—1012,/ +
гр — — —
+ 012, ]От—І—1 + Ог,/ + Ог ,т—і—1
8 початковими даними
01,1 — 01,т—1> 012,1 — 012, т—Ь Огі — Ої.т—1* (7.143)
Доведення. Перша частина леми зводиться до
виведення рівняння стану (7.138), інваріантного в швидко-
діючому масштабі часу. За періодичним рівнянням стану
(7.133) при рекурентній процедурі знаходимо:
для і = 0
х(гН + То) = (01 4- О}) х(гИ) = /?1х(г/г);
для і = 1
х(гН + 2Т0) = [0(01 + О і) + О і] х (гН) =
= (ОКг + Ох (гН) = В2х (гН)\
для і = 2
х(/7г + ЗТ0) = {О ффі + 5.) + 54 + х (гЛ)} =
= (О/?2 + В і) Х (Г^) = Язх Ф1)*
347
для і = т — 1
х (г/і + її) = Кх (гН),
що відповідає рівнянню (7.138).
Доведемо другу частину леми. Щоб дістати критерій
оптимальності (7.140), інваріантний в швидкодіючому мас-
штабі часу, введемо такий вираз:
£ [хт (гН + ІТО) ~хт (гк)] X
<212, і Х(гН + ІТ0)
0.2,і
(7.144)
Це означає, що при і = т критерій (7.136) можна за-
писати так: 7 = V т.
9 1І *>
/==0
Тепер припустимо, ЩО при І = цей критерій
має вигляд
Л,/ = [Хт (гк + тТ0 — /70) ? (гк)] х
0і,І <212,/
0.12, і <2г,/
х (гк + тТ0 — /70)
X (г/і)
(7.145)
Тоді наступне коректування критерію оптимальності
відповідно до нових даних у поєднанні з (7.144) можна ви-
конати так:
Л,/+і = 1*Т (гк. + тТ0 —/70 + То) хт(г/г)1 X
+ ^.і- (7.146)
Підставивши і = (т — і — 1) в рівняння стану (7.133),
дістанемо
х(гк + тТ0 — /70) = Ох(гк + тТп — /70 — То) + Огх(г/і).
(7.147)
Далі підставимо (7.147) у вираз (7.145), який входить
до складу рівняння (7.146). Після обчислення та зведен-
348
ня подібних членів здобудемо вираз критерію Л./+І, в
якому матриці фі і+\, <212 Сг.л-і будуть матрицями
(7.142).
Щоб довести дійсність початкових даних (7.143), вираз
(7.145) критерію запишемо для /= 1, тобто
Л.і = [7 (гП + тТ0 — То) 7 (гЛі)] х
<2і,і 0і2,і
х (гН + гпТ0 — То)
(7.148>
а вираз (7.144) — для і = т — ] = т—1, тобто
Л.і = 1*Т (гН
тТ0 — То) хт (гН)] х
01 ,т—1
012 ,т—\
х (гК + тТ0 — То)
х(гН)
(7.149)
З порівняння відповідних матриць критеріїв (7.148) і
(7.149) випливає правильність вибору початкових даних
(7.143).
Після того як віроіідність виразів (7.141)—(7.143) до-
ведено, можна зробити висновок, що критерії оптималь-
ності (7.136) та (7.140) при т = 1 збігаються. Отже, лему
доведено.
Застосуємо цю лему для розробки алгоритму обчислен-
ня скалярного критерію оптимальності. З цією метою під-
ставимо спочатку (7.134) у вираз (7.133). В результаті
дістанемо
х(гИ + іТ0 + То) = [4>(Т0) — Н (То) /<шв] х(гН + іТ0) +
+ О{х (гН).
При і = 0 останній вираз набуває вигляду
х(гИ + То) = {[гЦТ’о) — Я(Т’о) Лшв] 7 + О0}х(гН) =
=
Продовжуючи ітераційний процес при і = 1, 2, ...
..., гп — 1 і користуючись рекурентною процедурою (7.139)».
дістаємо рівняння стану (7.138). Після цього підставимо
вирази (7.137) у (7.136), внаслідок чого відповідно до ле-
349
ми прийдемо до інваріантного в швидкодіючому масштабі
часу критерію (7.140).
Застосувавши рівняння стану (7.138), виконаємо іте-
раційну процедуру:
х(И) = Ятх(0);
х(2/г) = П.тх(И) = ^пХ(О);
х(ЗН) = Р.тх(2И) = Я«х(0);
х(//і) = Ктх[(1 — 1) Н} = /?'х(0),
після чого вираз х(І1г) — К1 2 * * *Іпх(0) підставимо в критерій
оптимальності (7.140). У результаті матимемо
7 = хт (0) £х(0), (7.150)
де
оо оо
Е = V = ПІп [V (/Гт’/О/йГ1] Нт +
Г=0 г=1
(7.151)
Таким чином, матрицю Е можна обчислити, розв’я-
завши рівняння Ляпунова
Е = ПІгЕПт + 0. (7.152)
Якщо початкові дані записано у вигляді випадкового
вектора стану з нульовим математичним сподіванням і
коваріаційною матрицею М {х (0) хт(0)}, то математичне
сподівання критерію (7.150) можна записати так:
М {Д = М {хт (0) Ех (0)} = іг Е [М {х (0) х7 (0)}]. (7.153)
На підставі наведених вище теоретичних викладок ал-
горитм обчислення скалярного критерію оптимальності
(7.150) зводиться до виконання таких дій:
1. Обчислення матриць Лшв, Кі складеного регулято-
ра (7.132) при і = 0, 1, ..., т— Із використанням однієї
із стратегій різнотемпового керування (7.42), (7.50) або
(7.88).
2. Обчислення інваріантних у часі матриць /?т, <2 за
допомогою ітераційних процедур (7.139) і (7.142) для / =
= 1, 2, ..., гп. При цьому вхідні матриці задаються вира-
зами (7.134), (7.135), (7.137).
350
3. Розв’язування рівняння Ляпунова (7.152) для ви»
вначення матриці Е бажаного критерію оптимальності
(7.150).
7.5. Проектування різнотемпового складеного
регулятора для об'єктів з запізнюванням
і компенсацією повільнодіючих збурень
з середнім значенням їх, відмінним від нуля
При проектуванні стратегій різнотемпового керуван-
ня, описаних у п. 7.1 і 7.2, не враховувались збурення,,
що виникають у системі керування. Покажемо, що різно-
темпові складені регулятори (7.42;. (7 88, працюють неза-
довільно при діянні повільних збурень з середнім значен-
ням їх, відмінним від нуля. В типових неперервних або
цифрових регуляторах повільнодіючі збурення звичайно
компенсуються введенням ізодрома в закон керування
регулятора.
При проектуванні різнотемпового ЦР можна скориста-
тись математичною моделлю об’єкта керування з запізню-
ванням, в яку слід увести додаткові вектори стану, що мо-
делюють збурюючі діяння. Проте ці вектори звичайно
не вимірюються і необхідно оцінювати їх.
Розглянемо інваріантну в часі неперервну модель об’єк-
та керування в просторі стану, що описується рівняння-
ми
Х1 (/) = А11х1 (і) + А12х2 (/) 4- (І — т) + (/); (7.154}
х2 (/) = (/) + А22х2 (і) + В2и — + В^и (ї)\ (7.155}
у (і) = СрМО + С2х2(і).
(7.156)
Від математичної моделі (7.60)—(7.62) вона відрізня-
ється тим, що в неї введено запізнювання вектора керую-
чих діянь и та вектор збурень V вимірністю (/0 х 1). При
цьому припускаємо, що останній містить тільки повільно-
діючі складові.
Припустимо, що вводжувані сингулярні збурення по-
дібні до (7.63). Тоді розглядувана математична модель
об’єкта керування в явному вигляді відпові а двом мас-
штабам часу. Квазіусталений вектор швидких змінних
стану х2 (/) подібно до виразу (7.66) має вигляд
ха (0 = — Лй1 Й21хп (0 + В2ип(/ — т) + Воу (/)]. (7.157>
351
Математичний опис повільнодіючої підсистеми моделі
об’єкта можна дістати, підставивши (7.157) у рівняння
(7.154), (7.156). У результаті дістанемо
хп (0 = ДпХп (0 + Впип (і — т) + (0; (7.158)
уп (І) = Спхп (0 + Опм’п (і — т) + Дп V (і), (7.159)
де матриці_ДП, Вп, Сп, Оп визначаються виразами (7.69),
а матриці В„п, —виразами
^12^22
(7.160)
Щоб вивести рівняння швидкодіючої підсистеми, при-
пустимо, що вектор повільних змінних хА під час зміни
•
вектора швидких змінних х2 залишається сталим. При цьо-
му похідна від квазіусталеного вектора швидких змінних
х2 (/) дорівнює нулю. За припущенням, що вектор збурень
V містить тільки повільні динамічні складові, він у швид-
кодіючу підсистему не включається. Тоді рівняння (7.155),
(7.156) набувають вигляду
-^шв (0 == Ц” ^22'^'шв (0 ^2^шв (^ • 161)
ушв (/) = С2хшв (/). (7.162)
де
^шв (^) Х2 (/) • Х2 (^)ї (^ т) = и (і т)
— и{і — т) = и(і — т) — ип{і — т); ушв(0 = у(і) — уп(0-
(7.163)
Згідно з (7.13), (7.80; швидкодіюча складова вектора ке-
рування пшв є функцією квазіусталеного вектора швидких
змінних х2 </). В розроблених стратегіях різнотемпового
керування (7.42), (7.88), а також при оцінюванні вектора
х2 відповідно до (7.38), (7.85) вектор збурень V не врахо-
вувався. Вектор стану повільнодіючої підсистеми визна-
чався в моменти часу, розділені великим періодом кван-
тування Н. У ці моменти квантування повільна динаміка
об’єкта завбачається, виходячи з повільнодіючої моделі
його стану. Природно, якщо при цьому вектором збурень
V зі зсувом знехтувати, то оцінка вектора стану буде ду-
же слабкою.
352
Одним із способів вирішення цієї проблеми буде оці-
нювання вектора збурень V з урахуванням його в синтезо-
ваному векторі керування. Проте не завжди вдається
сформувати динамічну модель системи для такого збу-
рення.
Другим способом урахування вектора збурень у зако-
ні керування регулятора буде побудова динамічної мо-
делі системи, вираженої в нескінченно малих приростах
векторів стану та керування. Для визначення приросту
вектора стану використаємо такий різницевий оператор:
Дех(/) == х(і) — х {і — Є). (7.164)
Якщо припустити, що для повільнодіючого збурен-
ня дійсною є рівність
у (0 = 0, (7.165)
то після введення в модель системи різницевого оператора
ДоV (0 = V (0 — V (/ — 0) = 0 (7.166)
вплив збурень можна виключити чи значною мірою змен-
шити.
У дійсності вектор збурень V (/) не сталий. Проте мож-
на припустити, що протягом періоду квантування він бу-
де сталим. Це значить, що приріст Ду в моменти кванту-
вання може ступінчасто мінятись тільки при зміні амплі-
туди збурень, що погіршить оцінювання повільнодіючої
складової частини вектора стану в перехідний період.
Однак це погіршення було б і в тому разі, якщо проводи-
лося б додаткове оцінювання амплітуди збурень. Тому,
використовуючи різницевий оператор (7.164) в моделі си-
стеми відповідно до (7.166), вплив вектора збурень V мож-
на не враховувати.
Постановка задачі. Для об’єкта керування з запізню-
ванням, описуваного відповідно повільнодіючою (7.158/,
(7.159) і швидкодіючою (7.161), (7.162) математичними
моделями, необхідно розробити різнотемпові дискретні
моделі з вимірностями, незалежними від запізнювання,
після чого потрібно синтезувати різнотемповий складе-
ний ЦР, використовуючи початкові вимірності п19 п2 век-
торів стану хь х2 для підсистем без запізнювання. При та-
кій постановці задачі зміна запізнювання на вимірність
підсистем не впливатиме. Синтезуючи ЦР, слід виконати
компенсацію повільнодіючого вектора збурень.
12-4-940
353
Розв’язування задачі. Припустимо, що основний пе-
ріод квантування 70 має швидкодіюча підсистема (7.161),
(7.162). Тоді повільнодіюча підсистема (7.158), (7.159) мо-
же мати більший період квантування й, який буде кратним
меншому періоду То відповідно до виразу (7.29).
При проектуванні дискретної системи керування при-
пускаємо, що вектори керування ип, ишз протягом своїх
періодів квантування залишаються сталими, тобто вико-
нуються рівності (7.72).
Розробка дискретної моделі повільнодіючої підси-
стеми. Час запізнювання т можна виразити через період
квантування 1г, а саме:
т = №-1)71+іц, (7.167)
де 0<ц1^й, а ціле число, відповідно до яко-
го т = +й при гц = й.
Уведемо позначення
і
Фп (/) = елп'; Нп (/) = С фп (ф) ВпЛр; (7.168)
<-•
0
_ _ _
у(/, = С фпСг! — р) В„по(/ + р) гір.
І
Проінтегрувавши рівняння (7.158) від і = гіг до / =
= (/й + Ці) (див. методику, викладену в п. 4.4), дістане-
мо
хп (ГІІ + Пі) = фп (гц) хп (гії) +
+ 01і) (гН — с^й) + V (гіг, Ц+ (7.169)
Після інтегрування цього самого рівняння від і —
= гіі + Ці до і == гіг + (^ — 1) й + матимемо
Хп [ГЙ + (^ — 1) Й + ТЦ] = фп [(^ — 1) й] X
X Хп (гН + П1)+ £ — 1)Л — іИ] х
Хи[(г — ^4-і)й] + V(гй + ц1, б^й — й).
(7.170)
Підставивши (7.169) у (7.170) і знехтувавши ненередба
ченими значеннями збурень, дістанемо таку формулу для
прогнозування значення повільнодіючого вектора стану
хп на час запізнювання т — (+ — 1) й + Цр
354
хп (гН + т | гН) = 0Пм
Хп (гН І г/і)
ип [(г — її]
(7.171)
«п І(г — 1)Й]
Опм= Н’п (х) 1]>П [(^1— 1) А] Н (/і) 1|-П [(^ — 2)/і] х
X НП(Н)...^„(И)Н (Л) Н„(Н)]. (7.172)
Прогнозоване значення вектора стану лгп на час за-
пізнювання т позначимо так:
х"м (0 = *п (/ + т).
(7.173)
Тоді при дискретному векторі керування (7.72) матема-
тична модель (7.158), (7.159) повільнодіючої підсистеми
набуде вигляду
*пм [(г + 1) к] = ірп (й) %пм (гк) + Нп (к) ип (гк) + V(гк + й, й);
(7.174)
Уп (гк) = Сп%пм (гк — т) + Г)пи„ (гк — т) 4- (гк). (7.175)
Використовуючи різницеві оператори (7.164) та (7.166).
останні рівняння можна записати в приростах змінних,
а саме:
Дл*пм І(г + 1) к] = їрп (Іг) \КхПм(гк) +7іп (1г) &нип (гк); (7.176)
АлУп (гк) = СГІ Д/гхПм (гк — т) + Рп (гк ~ т). (7.177)
Розробка дискретної моделі швидкодіючої підсис-
теми. Якщо за одиницю часу прийняти період квантуван-
ня 7'0, то час запізнювання т можна виразити через ньо-
го так:
т = (гі2— 1) То + Т]2,
(7.178)
де 0<іі2<Т„.
Введемо позначення
'фшв (0 = Єл«ґ; /7ШВ (І) = § гршв (<р) й2^ф- (7-179)
12*
355
Проінтегрувавши рівняння (7.161) від і = кТ^ до і =»
= к!\ + т]2, дістанемо
^Ш8 4“ Л2) = *фшв Оіг) -^ШВ (^^о) 4"
“Ь ^4шв (Л2) ^щв (^о ““^2^0) 4“ (*Ли Лг)* (7.180)
Після інтегрування цього самого рівняння від І =
= + Лг Д° + (^2 — І) Л) + Л2 матимемо
хшв \ЬТ0 + (^2 — 0 То +Л2] == “Фив [(^2 — 0 7\)1 X
4-і _
X ^шв (^0 4“ Л2) + । Фшв 1(^2 0 7*о “/То]
і=1
X ншв (То) и [(к ~а2- 0 т0] + V (кт0 + П1, а2т0 - т0).
(7.181)
Підставивши (7.180) у (7.181), дістанемо формулу для
прогнозування значення швидкодіючого вектора стану
хшв на час запізнювання т = (б/2 — 1) То 4- г]2:
•^шв (ЙТ01 кТ0)
^ШВ [(^ - ^2)^0]
_«шв К*-1) ПІ
(7.182)
де
Сшвм — [фшв (т) фшв [(^2 ------------- 0 ^оі ^ШВ (7*о) X
X фшв [(^2 2) 7\)1 Ншв (Т...фшв (Т//шв(Т'о) /7Шв(710)].
(7.183)
Якщо прогнозоване значення вектора стану на час
запізнювання т позначити як
X
швм
(/) — х □в [і 4~ Т),
(7.184)
то рівняння
ній формі:
(7.161), (7.162) можна записати в дискрет-
Яшвм 1(^ 4- 0-^0І — Фшв (То) ^швм (^^о) 4- /^шв (^о) ^шв (ЙГ0);
(7.185)
356
Ушв (*Г0) = С*2Хи-в (^0 т) — ^2%шв (7. 186)
де
иШв (йТ0) = йшв № при кТ0 і <С £7*0 + Т’д.
При використанні різницевих операторів (7.164), (7.166)
рівняння (7.185), (7.186) матимуть вигляд
Лг0Хшвм [(^ + 0 Л)] ~ 'Ф’ИВ (То) Лг0^Швм (кТ0) -}-
~Ь 77"шв (То) А То^шв (ЬТ0)- (7.187)
Дге^шв (^7*0) = С2ДгохШВм (кТ0 т) = С2Д7пхшв (кТ0).
(7.188)
Уведення прогнозованого повільнодіючого вектора ста-
ну (7.173) в рівняння (7.158), (7.159) і прогнозованого
швидкодіючого вектора стану <7.184; в рівняння (7.161),
(7.162) означає, що запізнювання т переноситься з входу
об’єкта на його вихід. Внаслідок цього вимірності векто-
рів *пм(0 та хШВм (г) у виразах (7.171), (7.182) дорівнюва-
тимуть гц і п2 замість (пг + Иг) або (и2 4 И2) відповідно
для повільно- та швидкодіючої підсистем математичної
моделі об’єкта керування.
Синтез різнотемпового складеного ЦР. Розглянемо спо-
чатку задачу проектування повільнодіючого регулятора.
Якщо застосувати лінійний зворотний зв’язок за станом у
підсистемі, що описується рівняннями (7.176) та (7.177),
то рівняння повільнодіючого регулятора матиме вигляд
ДЛмп(г/г)=— Кл ДдХПм(/7г | гН)=— Кпккхп (гН + т | г/г), (7.189)
де хПм (гИ \ гН) = хп(/'Л+т| гЛ)—значення вектора хПм (гЛ) =
= хп (гН + т) за виразом (7.171).
Матрицю зворотного зв’язку Кп можна визначити на
основі мінімізації квадратичного критерію оптимальності
= 0
4- кни„ (гіг) (гіг),
(7.190)
де ДЛуп (гН + т | гН)—прогнозоване значення приросту век-
357
тора вихідних вимірюваних координат, яке на підставі
(7.177) визначається виразом
(гН 4- т | гіг) = СпДлЧ1 (гН) + Бп Длйп (гй). (7.191)
Після підстановки (7.191) у (7.190) критерій оптималь-
носгі матиме вигляд
*/п — {ДдХпм (гЛ) Сп СпДд%пм (гй) +
+ 2Длг/п (гН) ©пСпДпхПм (гН) + Длд/п (гіг) 8^кип (гіг)}. (7.192)
Якщо повільнодіюча підсистема (Н)9 НП(И), Сп]
відповідно до (7.176), (7.177) буде такою, що стабілізу-
ється і розкривається, то існує додатно визначена мат-
риця Гп, яку можна знайти, розв’язавши алгебричне
рівняння Ріккаті
Сп — [фп (Л) Т-п'Фп (С) + СПСП] — [Нп (й) £пфп (й) 4*
+ ОІСП]Т + ТІЇ (И)ТПНП (П)]~1 х
X [Н„ (Л) (Л) ОПСП].
Ця матриця є в законі оптимального керування по-
вільнодіючого регулятора в приростах змінних (7.189),
оскільки
Дл«п (гН) = — Кп АлхПм (г/і І гіг) =
= — [5, + ТІЇ (к)ЬпНп (/і)]"1 [ТІЇ (К)ТП^П (Л) +
т^т^
4- оп Сп] ДлХпм (гН І гіг).
(7.193)
Якщо за методикою, описаною в п. 4.4, на підставі
рівнянь (7.176), (7.189), (7.171), (7.172) записати рівняння
повільнодіючого замкненого контура керування, то його
полюси можна встановити безпосередньо після визначення
власних значень матриць
№п (Л) — (И) Кп] та [*фп (й) — ЛСпірп (Л)1, де
Л — матриця спостерігача чи фільтра Калмана для від-
новлення змінних стану.
358
Розглянемо тепер задачу проектування швидкодіючого
регулятора. При цьому за одиницю часу при визначенні
приростів швидких змінних приймемо період квантуван-
ня То. Якщо застосувати лінійний зворотний зв’язок за
швидкими змінними стану, то рівняння швидкодіючого
регулятора, виражене в приростах змінних, матиме ви-
гляд
Лто^шв (^Т*о) — А^швЛто-^швм (кТ© \кТо)9 (7.194)
де %швм (кТ01 кТ0) = хшв(йТ0 4- т ІкТ0)— значення вектора
Хшвм(^о) = 4- т) за виразом (7.182).
Матрицю підсилення /<шв можна визначити на основі
мінімізації квадратичного критерію оптимальності
«/шв ~ [Лгоушв (кТ0 4- т | кТ0) Ау^і/шв (кТ0 4~ т І &Т0) 4~
4“ Агнців (йТ* 0)
^2^ Горнів (^о)І. (7-195)
який після підстановки в нього прогнозованого значення
Ато^/шв(ЬТ0 + %\кТ0) = С2ДГохШВм(кТ0) відповідно до ви-
разу (7.186) набуде вигляду
оо
/шв = [Лт’о^ШВм
к=0
(кТ0) С% С2ктохШвм (кТ0) 4“
4- А70Цшв (^7"о) (ЬТ0)].
(7.196)
Якщо швидкодіюча підсистема [іршв(Т0), //ШВ(ТО), С2]
відповідно до (7.187), (7.188) буде такою, що стабілізу-
ється та розкривається, то існує додатно визначена мат-
риця Ешв, яку можна знайти, розв’язавши алгебричне
рівняння Ріккаті
Тоді закон оптимального керування швидкодіючого
регулятора (7.194) в приростах змінних можна записати
359
таю
А Токаїв (ЛТ0) — &Т 0 | £Т0) —
X Лшв'фшв (То) \тх (кТ01 ЙТО). (7.197)
Порівняємо синтезовані вище ЦР (7.189), (7.193) та
(7.194), (7.197) з регуляторами (7.21), (7.25)—(7.27). Не-
важко помітити, що матриці підсилення /<п, Кшв У цих ре-
гуляторах мають одну форму. Різниця полягає тільки в
реалізації вектора керування.
Запишемо закони оптимального керування (7.193),
(7.197) у формі позиційних алгоритмів, а саме:
ип (гіг) = ип [(г — 1) Н] — Кп ДЛхПм (гН | гЛ); (7.198)
&шв (^о) — і/шв [(& 1) 7^0] -—7СшвЛт,охШВм (&Тц | кТ0). (7.199)
Для зручності реалізації на мікроЕОМ рівняння
швидкодіючого регулятора (7.199) доцільно переписати
так:
^шв (гіг + іТ0) = г/шв (гіі + іТ0 — То) —
— КшвАтоХшви (гіг + іТ0 | гіг + ҐГ0), і = 0, 1, ... , т — 1,
(7.200)
де прогнозоване значення швидкодіючого вектора стану
*шВм (гіг + іТц | гїг + гТ0) на підставі (7.182) — (7.184) виз-
начається виразом
хШвм (гН + іТ01 гіг + гТ0) = хшв (гН + ІТ0 + т | гіг + ІТ0) =
швм
А'шв (гіг + 11\ | гН + П\)
«шв \гН + (і — б/2) То]
«шв [гН + (і — 1) То]
(7.201)
Розробка алгоритму роботи різнотемпового складеного
ЦР, вираженого через початкові вектори стану х1 і х2.
Повільнодіючий вектор стану хп в рівнянні регулятора
360
(7.198) замінимо на вектор х19 прогнозоване значення
Хім (гк \ гН) == хПм (гіі \гН) якого визначається за формулою
(7.171), тобто
хг (гк І гк)
Хім (гк І гк) = %! (гй + т | гй) = СП]
«п [(г — Лі) й]
(7.202)
_«п [(г — 1)й]
З урахуванням виразів (7.163) рівняння швидкодіючого
регулятора (7.200) можна записати так:
«шв (гй + іТ0) = ишв (гіг + іТ0 — То) —
— ТСшвАтс-^м (гк + ІТО | гк + — Дт„х2м (гй +
+ іТ0 | гй + »Т0)], і = 0, 1,
т — 1, (7.203)
де прогнозовані значення векторів Хгм (гй + іТ0|гй-Ь ІТО),
Х2И (гк 4- ІТ01 гіг + ІТ0), які входять до складу вектора
хШвм (гк + іТ0\гкіТв), визначаються виразом (7.201),
а саме:
(гГг + іТо Іо) = °шв
х2 (гіг + іТ01 гН + дТ0)
^шв 4“ 0* — ^2) ^*о]
^шв 4~ 1) Т'ф]
(7.204)
(гЛ 4“ | гЛ 4“ іТ0) — Ошв
х2 (гк + іТ01 гк + іТ^
0
о
(7.205)
461
Квазіусталений вектор швидкодіючих змінних стану
х2(гіі + іТ^, який входить до складу (7.205), може бути
визначений за формулою (7.157), тобто
(гк + іТ0) = — А22 [Агіх1 (гк + іТ0) +
4- В2ип (гк — % + іТ0 )],
(7.206)
де повільнодіючий вектор стану хл при надходженні нових
даних відповідно до (7.74) визначається виразом
[гіг + (і + 1) То] = 'Фп (То) хх (гй + ІТО) 4-
+ Нп (То) ип (гк — % + іТ0)
(7.207)
при початковій умові хг (гк) = хг (гк).
Прирости прогнозованих значень векторів стану в
рівнянні (7.203) визначаються після обчислення цих век-
торів за формулами (7.204) та (7.205), а саме:
Дт.Х2м (гй + іТ01 гк + ІТО) = х2м (гй + іТ01 гк 4- іТ0) —
— Х2м(гй + ІТО — Т0\гк + іТ0 — Т0);
(7.208)
Ьт,Х2и (гк 4- іТ01 гк + іТ0) = х2м (гк + іТ0\гк + іТ0) 4-
4- (гк 4- іТ0 — То | гк 4- іТ0 — То).
(7.209)
Таким чином, закон оптимального керування різно-
темпового складеного ЦР на підставі виразів (7.193),
(7.197), (7.198), (7.200), (7.203) матиме вигляд
«скл (гк 4- ІТО) = иа (гк) 4- і/шв (гк 4- іТ0) =
= иа [(г — 1) й] — [Зі 4- НІ (к) ТпНа (й)]-1 X
X [#п (й) Мп (й) 4- ОпТСп] Длхім (гй | гй) 4-
4- «шв (гй 4- ІТ0
X Нщв (Го) Тшвфшв (То) [ДГ(,Х2М (гк + ІТ0\гк + ІТО) —
— ДїДм (гЛ 4- ІТО | гк 4- іТ0)],
(7.210)
362
де приріст повільнодіючого вектора стану
Дл*ім (гк | гк) = х,м (гк | гк) — Хім [(г — і) к | (г — 1)Л]
визначається за формулою (7.202), а прирости швидкодію-
чих векторів стану обчислюються за формулами (7.208),
(7.209) з урахуванням результатів обчислень за формула-
ми (7.204)—(7.207).
Матричні вирази
+ НІ (Л) ЬпНп (/і)]"' [НІ (Л) (й) + ОоСпІ,
обчислюються на мікроЕОМ поза реальним масштабом
часу.
Реалізація різнотемпового ЦР дає змогу значно змен-
шити завантаження мікроЕОМ завдяки введенню проце-
дури квантування на різних частотах у контурах цифро-
вого керування багатовимірної системи. Цифрове моделю-
вання двовимірної замкненої системи керування з різно-
темповим складеним регулятором (7.210) показало, що
вплив повільнодіючих збурень зменшується вдвічі в пе-
рехідному режимі й повністю ліквідується в усталеному
режимі порівняно з аналогічним регулятором, виконаним
без урахування приростів прогнозованих значень векторів
стану та керування.
7.6. Різнотемпові спостерігачі
векторів змінних стану в замкнених
підсистемах керування
У п. 7.1 викладено методику розкладання математич-
ної моделі об’єкта (7.1)—(7.3) на повільно- та швидкодію-
чу підсистеми керування. Перша з періодом квантування
й = тТ(і в просторі стану описується рівняннями (7.7),
(7.31), тобто рівняннями
ХП (гй + к) = 7п"хп (гк) + £ Гп6пйп (гк)- (7.211)
1=0
уп (гй) = Сохп (гк) + О0г/П (гй), (7.212)
де матриці Еп, 6П, Со, £>0 визначаються виразами (7.8).
З урахуванням виразу (7.28) швидкодіючу підсистему
363
(7.9), (7.10) можна описати рівняннями
Хшв [гк + (і + 1) То] = ?4хшв (гк + іТ0) + 62ишв (гк + іТ0);
(7.213)
Ушв (гк 4- іТ0) = С2хшв (гк 4- іТ0), і = 0, 1, 2, ... , т — 1.
(7.214)
Для більшості об’єктів керування вектори змінних
хп (гк) і хШв (гк 4- іТ0) при різнотемповому квантуванні
безпосередньо виміряти не можна; тому їх необхідно оці-
нювати за допомогою різнотемпових спостерігачів стану
на основі вимірюваних векторів у і и. При цьому уп є
повільнодіючим вектором вихідних вимірюваних коорди-
нат, який під час зміни швидких мод залишається сталим
і визначається в моменти часу і — гк, а ушв = у — уп —
швидкодіючим вектором названих координат.
Припустимо, що повільнодіючий вектор змінних стану
хп можна так виразити через його оцінку хп-
/X І'1-1
Хп [(Г + 1) Л] = О'п (гк) + £ Р1пСлип (гк). (7.215)
Увівши зворотний зв’язок за різницею виміряного
вихідного сигналу уп (гк) і його оцінкою у (гіг) = Сохп(<й)+
-|- £>0«п (гк), реалізуємо спостерігач повільнодіючого век-
тора стану хп [(г + записавши рівняння
хп [(/ + 1) й І гк] = Рлхп [гіг | (г — 1) к] +
+ 2 6п«п (гіг) + Хп {Уп (гк) — Сохп [гк | (г — 1) к] —
— О0и„ (гк)}.
(7.216)
Математична модель (7.216) відновлює повільнодіючий
вектор стану хп на основі вимірювань вхідних пп (гк) і
вихідних уп (гк) сигналів. _
Якщо швидкодіючий вектор стану хшв виразити через
його оцінку
Аінв [г/і 4~ (^* 4~ 1) Тц] — Р4%шв (гк 4- іТц) 4~
4~ 62^шв (гк 4“ ІТо)>
(7.217)
364
то відновлення цього вектора можна досягти, ввівши спо-
стерігач вектора стану у вигляді рівняння
хшв {гіг + (і + 1) То |гіг + іТ0] = /\Хшв[гН + іТ0\гН +
(£ — 1) То] ^2^шв
(гН + іТ.) + /?шв {ушв (гіг + іТ0) —
- С2хшв [гП + ІТ. | гН + (і - 1) Т.]},
(7.218)
відповідно до якого оцінка хшв {гН -}- (і + 1)Т0\гІг + іТ0]
залежить тільки від виміряних векторів уШв(гЛ + іТ.)>
ишь(г!г + /То) на момент часу (гіг + іТ0), де і = 0, 1, 2,...
... , пі — 1.
Віднявши від (7.211) відповідно ліву та праву частини
рівняння (7.216), дістанемо помилку відновлення повіль-
нодіючого вектора стану, а саме:
хп Кг + 1) й | гіг] = хп (гіг + Л) — хп [(^ + 1) Л | гЛ] =
= [Тп - /?ПСО] хп [гН | (г - 1) Л], (7.219)
яка залежить тільки від початкового значення помилки
хп (0).
Помилку відновлення швидкодіючого вектора стану
можна визначити, віднявши від (7.213) відповідно ліву
та праву частини рівняння (7.218). У результаті матиме-
мо
хшв [гіг + (і + 1) Т. | гіг + гТ0] = — ЯШВС2] х
X Хц]В
[гН + іТ0\гІг + (і — 1)Т0],
(7.220)
тобто ця помилка не залежить від сигналу керування
и1}В(г1і + *Т0), а залежить тільки від початкового значення
помилки хшв (0).
При правильному виборі матриць /?п, /?шв однорідні
різницеві рівняння (7.219), (7.220) будуть асимптотично
стійкими, а процес відновлення векторів стану хп, хшв
збігатиметься, тобто
Ііт хп (гіг) = 0; Ііт хшв (гіг + іТ.) = 0.
Г-♦ОО ґ ‘Г~ЮО
365
При цьому корені характеристичних рівнянь спостеріга-
чів векторів стану
деі [г7 —X? + ЯпСо] = О;
(7.221)
йеі [г/ — Р4 + /?ШВС2] = 0
повинні лежати на полі круга одиничного радіуса.
Якщо повільнодіючий вектор стану хп відновлюється
еа допомогою спостерігача (7.216), то закон керування
повільнодіючого регулятора стану за умови (7.30) матиме
вигляд
Пп {гН) = — КПХП [ГІІ | (г — 1) її].
(7.222)
Тоді рівняння повільнодіючої замкненої підсистеми
на основі (7.211), (7.219), (7.222) можна записати так:
т—1____
Хп (гк + к) = Р„хп (гк) + у ЕпбпМп (гк) =
і=0
т—1 /х
= Рп Хп (гк) — У РпбпКпХп [гк | (г — 1) Н] =
1=0
= Рп хп (гЙ) — У Р^ОпКп {*п (гк) — Хп [гк І (г — 1) Й]} —
1=0
т—1
і=0
т—1_______
+ У Рп^пКпХп [гк | (г — 1) й].
•=о
(7.223)
З урахуванням (7.212), (7.219), (7.223) повну систему
рівнянь повільнодіючої підсистеми керування зі спостері-
гачем повільнодіючого вектора стану хп в матричній фор-
мі можна подати у вигляді
хп (тії + /і) _
-*діи + ол \гк.
366
т—1 т—\
-Хп [гН |(г — 1) Лг
Уп(гН) = [С0 0]
Хп (гН)
-Хп[гЛ| (г— 1)Л_
+ £>0«п (гН).
(7.225)
На основі відновлення швидкодіючого вектора стану
хшв за допомогою спостерігача (7.218) закон керування
(7.13) швидкодіючого регулятора стану набуває вигляду
^шв
(г/і 4~ іТ0) —
шв
[гН + іТ01 гН. + («— 1) То].
(7.226)
Рівняння швидкодіючої замкненої підсистеми керу-
вання з урахуванням (7.213), (7.220), (7.226) можна запи-
сати такі
(г/і 4“ *^*о) ~Ь" ^2^шв
(гН + іТ0) =
хшв [гН + (і + 1) То] == Р±х
шв
[гЛ + іТ0|г/і + (/-1)Т0] =
шв
— х[гИ + ІТ01 гіг + 0 — 1) Л>]} =
= [Т7 4 ОЛшв] -^шв (гЛ 4“ ІТо) 4"
[гіг 4- іТ^\гК 4- (і — 1) То].
(7.227*
Повна система рівнянь швидкодіючої замкненої під-
системи керування зі спостерігачем швидкодіючого векто-
ра стану при врахуванні (7.214), (7.220), (7.227) у матрич-
ній формі має вигляд
^шв [^!г 4-0 4- О^*о
- Хшв [гН 4- (і 4- 1) 7*01+ ^о] л
(/* 4
0
С2ТСшв
(^4в~
367
Х,„в \.ГП 4- ІТ0]
(7.228)
-Хшв[г/і 4- іТ0\гк 4- (і— 1)7'0]_
УшВ(гП 4- іТ0) = [С2 0]
х (гк 4- ІТ^)
-X [гк 4- іТй | гк 4- (і — 1) То]_
Характеристичне рівняння повільнодіючої замкненої
підсистеми керування зі спостерігачем повільнодіючого
вектора (7.224) набуває вигляду
деі гі— Тп
+ £ ^пОЛп] <іеі [гі -Г^ + Я„С0] = 0.
1=0
(7.229)
Полюси цього рівняння визначають власний рух підси-
стеми.
Для швидкодіючої замкненої підсистеми керування зі
спостерігачем швидкодіючого вектора (7.228) характе-
ристичне рівняння має вигляд
йеі Іг/ — Р4 + О2КШВ] деі [гі — Р^ + /?ШВС2] = 0. (7.230)
Таким чином, повний набір полюсів повільно-та швидко-
діюче! систем керування із спостерігачами (7.229), (7.230)
складатиметься з полюсів замкнених систем керування
без спостерігачів і полюсів спостерігачів (7.221). Тому
полюси підсистем керування з характеристичними рів-
т—1
няннями деі г/ — Р™
1=0
деі [г/ — Р± +
+ ОгЛ’шв] = 0 і полюси спостерігачів (7.221) можна ви-
значити незалежно, оскільки вони не впливають одні на
одних.
Для реалізації спостерігачів повільнодіючих (7.216) і
швидкодіючих (7.218) векторів стану необхідно, щоб по-
вільнодіюча (7.211), (7.212) і швидкодіюча (7.213), (7.214)
підсистеми керування були повністю спостережуваними.
Щоб реалізувати спостерігач початкового вектора стану
[О* +1) Л | г^\ в повільному темпі, потрібно в рекурентному
рівнянні (7.216) замінити оцінку повільнодіючого вектора
стану хп на оцінку хг. Тоді з урахуванням виразів (7.8)
і співвідношення (7.5) рекурентне рівняння (7.216) матиме
368
вигляд
Кг + 1) ЛІ гЛ] = Рп1х1 [гк | (г — 1) Н]+ РпОпип (гк) +
і=0
+ Еп {у (гк) — С1х1 [гк | (г — 1) А — С2х2 (гк | гк— То)}.
(7.231)
При визначенні повільнодіючого вектора керування
ип (гк) = — КПхп [гк | (г — 1) к] = — КпХі [гк | (г — 1) к] за
формулою (7.222) рівняння (7.231) набуває вигляду
хі + 1) Л І г/і] = ?п*і [гк | (г — 1) к] —
— у ^пОгАп*! [гк І (г — 1) к] + {у (гк) —
і=0
— С1х1 [гк | (г — 1) Л] — С2х2 (гіг | гк — То)}. (7.232)
Для реалізації спостерігача початкового швидкодіючо-
го вектора стану х2 [гк + (і + 1) То | гк + іТ0] треба до
лівої та правої частин рекурентного рівняння (7.218) до-
дати відповідно ліву та праву частини рівняння (7.4),
вираженого через спостережувані значення векторів ста-
ну;
х2 [гк + (і + 1) 7% | гк + іТ0] = ?3хГ [гк + іТ. | гіг +
+ (і — 1) То] + Р~х2 [гк + іТ. | гк + (і — 1)5%] +
+ С2и (гк + іТ0).
Тоді рівняння (7.218) за умови х2 ~ хшв + х2, и =
«= «шв + и матиме вигляд
х2[гк + (і + 1)То |гк + іТ0] = Р3хі [гк + іТ0\гк +
+ (і — 1) То] + Р^х2 [гк + іТ01 гк + (і — 1) То] +
+ 62и (гк + ІТо) + Ешв {ушв (гк + іТ0) —
- С2ХШВ [гк + ІТ. І гк + (і - 1) Т.]}. (7.233)
369
Якщо швидкодіючий 'вектор вихідних вимірюваних
координат (7.10) записати як ушв (гк + ІТ0) = у (г/і + іТй)—
— у(гк + іТ0),де з урахуванням_(7.3) можна прийняти
у (гк 4- іТ0) = С^х\ (гк + іТ0) + С2х2(гк + іТ0), то за умови
хшв[гк + іТ01 гк + (і — 1) То] = х2 [г/і4- іТ01 гк + (/—1)Т0]—
— х2 (гк 4- ІТО) рівняння спостерігача початкового швид
кодіючого вектора стану можна записати так:
х2 [гк 4- (і 4- 1) То | гк 4- іТ0] = ?3лі’ [гк 4- ІТО | гіг 4-
+ ((— 1) Т’оі + [гк 4- ІТО | гк 4- (і — 1) То] 4-
4- С2й (гк 4- ЇТ0) 4- Ршв {у (гк 4- іТ0) —
- сД’ [гк + ІТй | гк + (і - 1) То] -
- С2х2 [гк 4- іТ01 гіг 4- (і — 1) То]}, (7.234)
де х* (гк 4- іТ0\гк 4- (і — 1) Тд] = •фп.^і [гк | (г — 1) к], і =
= 0, 1,, т—1, визначається виходячи з (7.38), (7.39),
(7.232) при і['п,о=/.
Приклад 7.3. Для різнотемпової математичної моделі об’єкта ке*
рування, що описується рівняннями (7.53)—(7.57) (див. приклади 7.1,
7.2), спроектуємо різнотемповий складений регулятор (7.42), (7.43)
зі спостерігачем (7.232) початкового повільнодіючого вектора стану
х± [(г + 0^1 г^] ї спостерігачем (7.234) початкового швидкодіючого
сектора стану х2 [гН + (ї + 1) То | гН 4- їТ0] при періодах квантуван-
ня То = 1 с, Н = 5 с. Цифрове моделювання синтезованої різнотем-
пової системи керування зі спостерігачами векторів стану виконає-
мо при початкових значеннях їх х1 (0) = 0, х2 (0) = 0.
Складений вектор різнотемпового керування (7.42), синтезова-
ний на основі спостережуваних повільно- та швидкодіючого векто-
рів стану х2, можна записати у вигляді
'«Іскл (ГІІ + їТо) І
_«2скл (г/г + гТ») ]
= - Кп - «ш» (' - (р3%,і - С2КП)] х
*і [г/і | (г — 1) Н]'
0
де і = 0, 1,2, 3, 4.
х2 [гй 4- ІТ„ І гй 4- (і- 1) То]
(7,235)
370
З урахуванням матриць
0,05038006
0,05201777
кшв
— 0,099182909'
0,0479791
0,91609179
0
0 0 '
— 0,015375 0,0074376.
з прикладу 7.2, а також матриць Ра, Р4 з прикладу 7.1 закон ке-
рування (7.235) набуває вигляду
^Іскл
&2скл
0,05038006 0
0,05201777 0
[гН | (г — 1) Н
0
0 — 0,0991829091 Г 0
0 0,0479791 ] [х2 [гй + »Т0 | гй 4- (і— 1) 7\>]
(7.237)
Для визначення векторів вихідних вимірюваних координат
Уі У2 № + іТ0) використаємо параметричну модель об’єкта ке-
рування типу «вхід-вихід» [див. (7.53)], а саме:
Уі (тії) = ИцУх [(А — 1) Й] + йци1скл [(г — 1) й] +
+ 612"2скл
[(г - 1) й] +
(7.238)
де У1 (0) = 1; ап = е~л/г“ = 0,9200475; = ки (1 — е“л/г“) =
= 0,108 (і_е-°-08333) = 0,00863487; 612 = к12 (1 — е-л/7’») =
= 0,108 (1 — е-°-08333) == 0,00863487.
Зсув = 0,0799525 відповідає нульовим значенням керуючих
ДІЯНЬ И|скл, ^2скл*
Вектор у2 для дискретних моментів часу визначимо з ураху-
ванням періоду квантування То:
Уч (гіг + ІТ0) — #22^2 [г^ 4“ (І 1) Т0] "І" &21и[скл 4“ (і 0 То] 4’
4“ ^22и2скл 4- (І 0 То] -р б2,
де Уі (0) = 0,5; а22 = е о/ 22 = 0,926505; й2і = к21
= — 0,015375; й22 = к22 (1 — е~г“/7'22) = 0,0074376.
Зсув б2 = 0,0367475 також відповідає нульовим
руючих діянь иІСКЛ, м2скл.
Рівняння спостерігача (7.232) повільнодіючого
виходячи з (7.54), (7.55), (7.236), можна записати у
(7.239)
(1-
значенням ке*
вектора стану8
вигляді
0,919129
0
(7,240)
371
Рівняння спостерігача (7.234) швидкодіючого вектора стану з
урахуванням рівняння (7.54) та матриць (7.236) набуває вигляду
0
0
^іскл
0 0
0,015375 0,0074376 ] |_м2скл (гН + ІТ0)
0
шв
0
.У2 № + іТ0).
372
(7,241)
Результати цифрового моделювання синтезованої різнотемпової
замкненої системи керування із спостерігачами векторів стану (7.235),
(7.237)—(7.241) при початкових значеннях їх х1 (0) = 0, х2 (0) = 0 і
коефіцієнтах підсилення /?п = 0,2 та 7?шв = 0,2 відображено на
рис. 7.4.
7-7. Проектування різнотемпових регуляторів
з оцінкою змінних стану в двох масштабах часу
при випадкових збуреннях типу «білого шуму»
У п. 7.1 дискретну модель об’єкта керування, подану в
детермінованому середовищі, поділено на повільно- та
швидкодіючу підсистеми. На основі цього поділу розв’я-
зано задачу синтезу різнотемпового складеного лінійно-
квадратичного регулятора.
Синтезуємо різнотемповий складений ЛКГ регулятор,
виходячи з поділу стохастичної дискретної моделі об’єкта
на повільно- та швидкодіючу підсистеми, записані в дис-
кретній формі з різними значеннями періоду кванту-
вання.
Розглянемо лінійну, інваріантну в часі дискретну мо-
дель об’єкта керування з випадковими збуреннями, яка
в просторі стану описується рівняннями
[(& “Ь 0 То] — /* ххх (кТ0) + Р2х2 (кТ0) -(-
+ С.и (кТ0) + Фху (ЙТ0);
*2 [(& + 1) Т’о] = Р3*1 (^^о) “Ь Р4*2 4"
+ С2ЇЇ(ЙГО) + Ф2у(йТ0);
(7.242)
(7.243)
У (кТ0) = СЛ (кТ0) + С2х2 (кТ0) + (£Т0), (7.244)
де х (кТ0) — п-вимірний вектор стану, що складається з
пгвимірного вектора стану хг (кТ0) та невимірного векто-
ра стану х2 (кТо)-, и (кТ0) — /-вимірний вектор керуван.
ня; у (кТ0) — р-вимірний вектор вихідних вимірюваних
координат.
Перехідні матриці системи Р19 Р2, Р3і Р± мають відпо-
відно вимірності (Пі X Пі), (нх X н2), (П2 X Пі), (п2 X п2);
матриці керування 6Х, С2 — вимірності (пх X /), (и2 X /);
вхідні матриці Фь Ф2— вимірності (пх X нх), \п2 X
вихідні матриці Сх, С2 — вимірності (р X нх), (р X п2);
373
вектор_збурень V (кТ0) має вимірність (п, X 1), а вектор
шуму ш (кТ0)—вимірність (рх 1). При цьому послідовності
{V (кТ0)}, {їй (кТ0)} стаціонарного «білого шуму» мають ма-
тематичні сподівання М {? (кТ0)} = 0, М {й (/гТ'о)} = 0 та
коваріаційні матриці
Д4 | « (^о)
(кТ0)
[Бт (пто)
(7.245)
^(лЛ)]
де функція Кронекера
кп
1 при к — п\
0 при к^п.
Припускаємо, що початкові вектори стану хх (0), х2 (0)
мають нормальний розподіл з математичними сподіваннями
Л4 {%! (0)} = х10, М {х2_(0)} = *2о- Початкові вектори ста-
ну з вектором збурень V та вектором шуму ні) взаємно неко-
рельовані.
Класичне проектування ЛКГ регулятора для розгля-
дуваного об’єкта керування проводиться за допомогою роз-
ширеного фільтра Калмана, використовуваного для оці-
нювання векторів стану. При цьому рівняння такого ре-
гулятора має вигляд
розв’язання якого при великих вимірностях об’єднаних
матриць забирає багато часу, що ускладнює роботу замк-
неної системи керування в реальному масштабі часу.
Постановка задачі. Припустимо, що модель об’єкта
керування має неявно виражені властивості функціону-
вання в двох масштабах часу. При цьому п власних чисел
її можна поділити на п± повільних мод і и2 швидких мод,
пов’язаних відповідно з векторами стану хх, х2. Асимпто-
тично стійкі швидкі моди діють тільки протягом початко-
вого короткого періоду, після чого режим роботи системи
можна описати її повільними модами.
374
Для значного зниження завантаження керуючих ЕОМ
доцільним є квантування сигналів з різними періодами в
контурах керування, що мають різну інерційність. З цією
метою, поділивши математичну модель об’єкта (7.242)—
(7.244) на повільно- та швидкодіючу підсистеми, слід роз-
робити для них фільтри Калмана більш низького порядку,
а також синтезувати різнотемповий складений дискретний
ЛКГ регулятор.
Розробка дискретної моделі повільнодіючої підси-
стеми керування. Якщо для опису повільної динамічної
поведінки об’єкта керування, як і в п. 7.1, швидкодіючими
перехідними процесами знехтувати, то можна припустити»
що в квазіусталеному стані рівняння (7.243) матиме ви-
гляд
х2 (кТ0)« Р\х1 (кТ0) + Р*х2 (кТ0) + 62м (ЙТО) + Ф2у (кТ0).
(7.246)
Тоді за умови, що матриця (/—Р4) буде невиродже-
ною, останнє рівняння можна записати так:
х2 (кТ0)« (І — Р^ 1 І^зХп (кТо) + 62ип (кТ+
+ Ф2г (ЛТ0)],
(7.247)
де хп — х1? ип = и—повільнодіючі складові векторів стану
та керування.
Якщо тепер (7.247) підставити в (7.242) та (7.244), то
повільнодіюча підсистема керування описуватиметься рів-
няннями
Хп ї(к -І- 1) То] = РпХп (ЙГО) + 6ПиП (кТ0) + Фпу (йто);
(7.248)
Уп (кТ0) = Спхп (кТ0) + Опип (&Т0) + (кТ0) + ш (кТ0),
(7.249)
де уп — повільнодіюча складова вектора вихідних вимі-
рюваних координат; матриці Гп, 6П, Сп, Оп визначаються
виразами (7.8), а матриці Фп, Оп— виразами
Фп = Фі + (' - ЛГЧ: = С2 (І - (7.250)
Для реалізації різнотемпової стратегії керування ма-
тематичну модель (7.248), (7.249) треба записати в дискрет-
375
ній формі з періодом квантування, що визначається вира-
зом (7.29).
З урахуванням умови (7.30) після ітерацій т тактів
квантування рівняння (7.248) матиме вигляд
•^п [(^ + 1) Л] = Еп хП (г/і) + у і ЕпОпип (гк) +
і=0
т— 1
+ £ ^-‘-‘Фп?(гй + »Т0).
і=0
(7.251)
Рівняння (7.249) у повільному масштабі часу набуває
вигляду
Уп (гк) = Сп%п (гк) + £>пИп (гк) + (гк) + ш (гк). (7.252)
Розробка дискретної моделі швидкодіючої підсисте-
ми керування. Припустимо, що під час зміни швидкодію-
чих мод повільнодіючі моди хп, ип залишаються сталими.
Стосовно (7.247) це означає, що х2 [(к + 1) То] = х2 (кТ0).
При цьому також припускаємо, що в усталеному стані
вплив вектора стохастичних збурень V на швидкодіючу
динаміку об’єкта керування не враховується.
Тоді рівняння (7.246) матиме вигляд
(^о) = Е3%! (кТ0) + Е4х2 (кТ0) + С2и (кТ0).
(7.253)
Віднявши від (7.243) відповідні члени рівняння (7.253),
дістанемо математичну модель швидкодіючої підсистеми
керування, а саме:
К* +1) т0] — Е 4ХщВ (/гТ0) + С2^шв
(7.254)
де ХщВ -— х2 х2, — и и.
Якщо швидкодіючу складову вектора вихідних вимі-
рюваних координат записати як ушв — у — у = у—уП, то
рівняння (7.244) набуде вигляду
ушв т = с2хшв (кт2) + ш (кт0).
(7.255)
Фільтр Калмана для оцінювання вектора стану по-
вільнодіючої підсистеми керування. Виходячи з мате-
матичної моделі (7.251), (7.252) цієї підсистеми, коваріа-
376
цінні матриці збурень і шуму запишемо в такому вигляді:
т—1
£ рт-1-^- (гН + іТо}
і=0
О»пи (гк) + їе)(гк)
+ /Л)Г 1*Т <+ шт (пк)]
~т—1
£ Г--1-/фпу {п1і +
-/=0
М
де функція Кронекера
при г = п, і = /;
при г#= п, і #= /.
Примітка. При запису рівнянь (7.251), (7.252) та (7.254), (7.255)
слід мати на увазі, що для послідовностей V (гк + іТ0), & (гк-{- іТ0)
стаціонарного «білого шуму» коваріаційні матриці від періодів кван-
тування не залежать, тобто
V = М {р(гк + іТа) ? (гк + ІТО)} = (гк) от (гк)}-,
«7 = Л'1 {й (гк 4- іТ0) о,т (гк + іТ0)} = ТИ {и> (гк) и»т (гк)}.
Тому для визначення матриць (7.256) можна скористатись фор-
мулами
т—1 т— 1
Рп -1~‘ФП* + іТо)] [£ 5Т(^ + /Г0)(^-1-/фп)Т]) =
і—0 1—0
т—1
= у,,6 — У Р1 ф гфт (г‘)г;
* а гпЛі 71 п п п\ п' »
і=0
= І'іАхМО = (7.257)
т—1
м (й^(гк) [£ Бт (пк +іТ0) (^-1-^ФП)Т])
/=0
= У^ГП,ОІ = Ои/ (гг1фп)т;
377
Ж (гН) V* (пй) + М {ю (гй) йГ1" (пй)} =
= ЇУ22 + «И \п-
З урахуванням наведених коваріаційних матриць фільтр
Калмана для оцінювання повільнодіючого вектора стану
математичної моделі об’єкта (7.251), (7.252) матиме фор-
му таких трьох рекурентних співвідношень:
*п [(г + 1) Л | гН] = р™хп [гН | (г — 1) И] +
+ у РпОпип (г/г) + /<Фп (гк) {уп (гк) — Спхп [гк\(г — 1) к] —
і=0
— (гк)}.
(7.258)
Матриця підсилення цього фільтра визначається ви-
разом
^Фп(^) = Рп (гк) Стп + К12] [СПРП (гк) Спт + У22+
(7.259)
причому коваріаційну матрицю помилки оцінювання по-
вільнодіючого вектора стану можна знайти, розв’язавши
різницеве рівняння Ріккаті
Рп 1(г+1)/і] = [7?п/’п(г/г) (ґп)т
+ Уні -
- КФп (гН) [СПРП (гк) (С)Т + У21].
(7.260)
Фільтр Калмана для оцінювання вектора стану
швидкодіючої підсистеми керування. З урахуванням
співвідношення (7.29) рівняння (7.254), (7.255) запишемо
у вигляді
^шв [гк + (і + 1)7%] = />шв (гк + іТ0) +
-р О2иш& (гК -р ІТо) Ф2 ~|~ іТ
(7.261)
Ушв № + *Го) = С2*шв (гА + ІТ0) + (Ні + ІТ0\
і = 0, 1, 2,..., т — 1.
(7.262)
Тоді фільтр Калмана для оцінювання швидкодіючою
вектора стану хшв матиме форму таких трьох рекурент-
378
них співвідношень:
Хшв ((гк + (і + 1) То І гк 4- іТ0] = Г4Хшв \гк 4- (і + 1) Т'о] гк 4-
+ (»-!) Го] + 62І7шв (гк + ІТ„) +
+ ^Фшв (гН + іТо) {Ушв (гН + іТо) —
— С2ХшвІгЛ + і'Го\гк+(і~1)То]}.
(7.263)
Матриця підсилення цього фільтра визначається ви-
разом
Кфш» (гк 4- ІТО) = І\РШВ (гк 4- іТ0) СІ х
X [С2РШВ (г/і + ІТО) С2Т 4-^Г1,
(7.264)
причому коваріаційну матрицю помилки оцінювання
швидкодіючого вектора стану можна знайти, розв’язавши
рівняння Ріккаті
Ршв [гН + (і + 1) Го] = Г4РШВ (гк + іТ0) РІ —
-Р.Р
шв
(гк 4- ІТО) С2Т [С2РШВ (гк 4- ІТО) сі + гг1 х
х С2Ршв (гк 4- іТ0) Рі 4* Ф2^Ф2 •
(7.265)
Синтез різнотемпового складеного ЛКГ регулятора.
Структура закону керування повільнодіючого ЛКГ ре-
гулятора в загальному випадку має вигляд
ип (гк) = — КпХп[г/г | (г — 1) /і],
(7.266)
де хп [/7і|(г— 1) к] —оптимальна оцінка вектора стану
хп (гіг) за допомогою фільтра Калмана (7.258)—(7.260).
Синтез оптимальної матриці підсилення /Сп регулятора
для повільнодіючої підсистеми (7.251), (7.252) виконуєть-
ся на основі мінімізації критерію оптимальності
п— 1 ~
/п = М (пк) @іпхп (пк) 4- (к/і) ^2,тх^ (кк) 4-
ь=о
4- (кк) тип (кк)]},
(7.267)
де М — оператор математичного сподівання.
379
Матриці критерію (7.267) можна визначити за такою
рекурентною процедурою:
Сз./Ч-І —РпОЯ'іРп + Сп Сп При (?2,1 — СпСп'і
(7.268)
Сж Д + &,/ + ОІОп + К
при
^2гІ = ^Оп + ^, /= —1, (7.269)
де 7? — додатно визначена симетрична матриця.
Відповідно до критерію оптимальності (7.267) матриця
підсилення Кп закону оптимального керування (7.266) об-
числюється за формулою
Кп (гН) =
т—1 Т
г=0
X (2 ґпбп)] ’( £ [(г + 1) Н] Р™, (7.270)
1=0 1=0
причому коваріаційну матрицю 5П можна знайти, розв’я-
завши матричне різницеве рівняння Ріккаті
*$п (**А) — [Кп (гА) (2з,тКп (гН) + 0з,т +
т—1
+ р ~ (£ №>] 5п + ’) х
і=0
т— 1
і=0
(7.271)
при 5П (пИ) = <2іп.
Структура закону керування швидкодіючого ЛКГ ре-
гулятора визначається виразом
(7.272)
де Хшв[&7;,|(6—1)7,0] — оптимальна оцінка вектора стану.
Синтез оптимальної матриці підсилення регуля-
тора для швидкодіючої підсистеми (7.254), (7.255) викону-
380
ється на основі мінімізації квадратичного критерію опти-
мальності
п—1
/ш. = м {^в (пТ0) йшвхшв (пТ0) 4- £ [х£в (/гто) х
/?—0
х С,тС2хшв (кТ0) 4- йІв (кТ0) #йшв (АТ0)]. (7.273)
Якщо система ЇР^, 62, С2] буде керованою та визначу-
ваною, то при мінімізації критерію (7.273) існує додатно
визначена матриця 5ШВ, яку можна знайти, розв’язавши-
рівняння Ріккаті
$шв фто) —
4- ІЛ - 02/<шв (£Т0)]т5шв [(й 4- 1) То] [Г4 — СДШВ (ЛТ0)]
(7.274)
при 5шв(пТ0) = <2ішв.
Матриця підсилення швидкодіючого регулятора зако-
ну керування (7.272) обчислюється за рекурентною проце-
дурою _ ________
Кшв (кТ0) = {/? 4- о2т5шв [(к 4- 1) То] О2}“' х
Х6І5ШВ[(*+ 1)Т0]7>
(7.275)
Для формування закону керування різнотемпового скла-
деного регулятора рівняння (7.272) запишемо так:
«шв (гН + іТ0)
ТСшв-^-шв
[гН 4- гТ0| ГН + (і— 1)Т0],
і = 0,1,..., т — 1.
(7.276)
З урахуванням (7.266), (7.270), (7.275), (7.276) закон ке-
рування різнотемпового складеного регулятора матиме
вигляд
Искл [гИ + 70] = ип (гй) + пшв (гй + іТ0) =
= - (0з.т + (X РпСп) 5П [(г 4- 1) Гі] ( £ ?пОп)}“ X
і=0 і=0
/п—1 _____ т _ _
Х(Е Г"Оп) 5п[(г4-1)/і]^Хп[г/і|(г-1)А]-
і=0
— {К + 615ШВ [гН 4- (І 4-1) то] 02}"’0І5шв [гН 4- (і4-1) Го] х
X [гк 4- іТ01 гк 4- (і — 1) Т'оЬ
(7.277)
причому матрицю 5ШВ можна визначити, розв’язавши
таке видозмінене рівняння Ріккаті (7.274):
5Шв (гН + іТ0) = (гН + іТ0) (гН + гТ0) +
+ Сіс2 +[Г4 — С2КШВ (г/г + іТ0)]т5шв [гк + (Г + 1) То] X
х — О2А'ШВ (гк 4- іТ0)].
(7.278)
Визначення повільно- та швидкодіючих складових
вектора вихідних вимірюваних координат. До складу
фільтрів Калмана (7.258), (7.263) входять повільно- та
швидкодіючі складові //п, ушв вектора вихідних вимірю-
ваних координат у. Виділити їх у реальних системах тех-
нічно дуже складно; тому рівняння (7.258), (7.263) необ-
хідно перетворити так, щоб до них увійшов вектор у.
Для запису швидкодіючої складової вектора у застосу-
ємо рівняння (7.249) і П.266):
У,„„ (гН + ІТо) = у(гк-р іТ0) — ~уп (гк)=
= У (гк + ІТО) — (Сп — ОПКП) хп (гіг).
(7.279)
Повільнодіюча складова вектора вихідних вимірюваних
координат уп оцінюється за допомогою рівняння (7.262),
яке при і = 0 набуває вигляду
уп (гк) = у (гк) — Ушв (гк) = у (гк) — С2хшв (гк).
(7.280)
Властивості замкненої системи ЛКГ керування.
На підставі (7.251), (7.252), (7.258), (7.266) повільнодіючу
замкнену підсистему ЛКГ керування можна описати рів-
няннями
хп 1(г 4 1) к] = Р„ хп (гіг) 4- У, Р„Спип (гк) 4-
і=0
т—1
г=0
Уп (г^) ~ ^пХп № + Ді«п (гк) + .Рг.пі? (гк) ю (гк)-,
хп [(г 4- 1) Л | гіг] = Рп хп [гк | (г — 1) к] + V Р‘а6пип (гк) 4-
1=0
382
+ Кфп (гіг) {У„ (гк) — Спхп[гЛ І (г — 1) Л] — О п«п (гк)};
ип (гк) = — кпхп
Увівши в ці
—• Хгт. їх можна
[гк\(г — 1)к].
рівняння помилку оцінювання хп = хп —
записати так:
~ т—1 т—1
7%-\'Г&,Кп
1=0
II
і=0
0
п
т— 1
хп (гк)
_хп (гк) _
і=0
т—1
V ~р(т—і— 1)~Г
7 , 1 п
_і=0
п
п
о
уп
о
- Кфп (гк)
ц> (гк).
(7.281)
Динаміка повільнодіючої замкненої підсистеми керу-
вання визначається власними значеннями матриць
Р™ — V ?п6пКп] та [Рп —Кфп(/7і)Сп], тобто динамікою
відповідної детермінованої лінійно-квадратичної системи,
а також динамікою оптимального фільтра Калмана. Стій-
кість цієї підсистеми залежить від того, чи знаходяться
полюси характеристичних рівнянь
деі
т—1
деі [гі -Р” + КФп (гН) Сп] = 0
всередині круга одиничного радіуса, що забезпечується
настроюванням матриць підсилення фільтра Дфп та регу-
лятора /<п відповідно до виразів ^7.259), (7.270).
На підставі (7.261)—(7.263), (7.276) швидкодіючу замк-
нену підсистему ЛКГ керування можна описати векторно-
383
матричним рівнянням
*шв[гА + (/ + 1)Г0]“
^шв ~Ь (і ~Ь 1) го]_
^2ТСшв
^4 ^Фшв^2_
V (гН 4- іТ0) -[-
ш(гН + /То),
(7.282)
де Хшв = хшв — Хшв—помилка оцінювання швидкодіючо
го вектора стану.
Стійкість цієї підсистеми залежить від того, чи знахо-
дяться полюси характеристичних рівнянь
деі [21 — + 02/<шв] = 0; деі {2І — Р± + КфшвС2] = 0
всередині круга одиничного радіуса, що забезпечується
настроюванням матриць підсилення фільтра Кфшз і регу-
лятора ЛщВ згідно з виразами (7.264) та (7.275).
Контрольні завдання
Вивчити самостійно такі теми:
1. Динамічні системи та процеси з рухами, збуреними за малим
параметром [47].
2. Синтез квазіоптимальних різнотемпових лінійних систем з
післядією, що описуються диференціальними рівняннями [47].
3. Застосування сингулярних збурень у теорії керування [47].
Завдання для самостійного розв'язування
1. Користуючись методикою чисельного розв’язування інтегралів,
викладеною в дод. 8, визначити вагову матрицю
5
<?1п=Нп(0Сптсп%(0,
0
Де
при А =
‘0,9834
0
0.9265
01
ір (/) = ел/
а період квантування А = 5.
2. Інваріантна в часі неперервна система в просторі
ється рівняннями
часу опису-
о
о
о о
о о
ч (0
Х21 (0
хі (0
Лі
хіг (0
6ц Ь12
о о
«1 (0
«2 (0
Хіх (0
*21 (0
384
ч &
Ч №
Ч (/)
Ч (/)
Уі(О _ 1 О
У2 У) О О
О о
О 0,22
*1 х (/)
Ч (/)
Ч (О
%2 (О
о о
^21 ^22
Ч V)
Ч (О
«і (О
ї^2 (О
о
о
о
о
О О
О 1
Користуючись методикою, викладеною в п. 7.2, описати динаміку
повільно- та швидкодіючої підсистем (7.67), (7.68) і (7.70), (7.71) при
таких значеннях параметрів моделі: =—0,016; а22~ —0,077;
Ьк1 = 0,0018; 612 = 0,0018; &21 = —0,0035; Ь22 = 0,0017.
За допомогою рівнянь (7.74), (7.75) сформувати дискретні моделі
повільнодіючої підсистеми та замкненого контура керування при пе-
ріоді квантування Н = 5 с.
На підставі виразів (7.73), (7.79), (7.81) сформувати дискретні
моделі швидкодіючої підсистеми та замкненого контура кешування при
періоді квантування То — 1 с.
РОЗДІЛ 8 -
СИНТЕЗ НЕЛІНІЙНИХ БАГАТОВИМІРНИХ
АДАПТИВНИХ ДИСКРЕТНИХ СИСТЕМ
КЕРУВАННЯ З РЕГУЛЯТОРАМИ СТАНУ
ПРИ ВИПАДКОВИХ ЗБУРЕННЯХ
8.1. Нелінійний фільтр для оцінювання векторів
стану багатовимірних стохастичних об’єктів
У реальних технологічних об’єктах змінні стану й па-
раметри звичайно є невідомими та змінними в часі. Відо-
мо два різних підходи до побудови фільтра Калмана для
оцінювання векторів змінних стану, а також матриці па-
раметрів об’єкта. Перший з них передбачає розробку за-
гального фільтра для розширеної моделі об’єкта, який
дає змогу спільно оцінювати змінні стану й параметри.
При цьому вимірність задачі різко зростає, що призво-
дить до втрати стійкості процесу оцінювання. Другий
підхід потребує розробки різних фільтрів для оціню-
вання вектора змінних стану й параметрів об’єкта в ре-
альному масштабі часу.
Розглянемо дискретну нелінійну математичну модель
об’єкта керування в просторі стану, що описується рів-
няннями
х(&+1)=7[х(&), и (&),&]+і)(&); (8.1)
У(£) = і[х (к), к] 4- г(к), (8.2)
13-4-940
^85