Автор: Келли Дж.
Теги: математика топология
Текст
Дж.Келли
ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ
Монография посвящена общей, или теоретико-множественной, топологии. В
ней собраны наиболее важные результаты из этой области математики. Большое
внимание в книге уделено таким фундаментальным вопросам, как сходимость по
направленному множеству, топологические произведения и фактор-пространства,
метризационные теоремы, теория бикомпактных пространств, равномерная
топология, теория функциональных пространств и др. В прекрасно подобранных
упражнениях излагается большой дополнительный материал, касающийся связей
между общей топологией, функциональным анализом и алгеброй.
Книга предназначена для студентов и аспирантов механико-математических
факультетов университетов, а также для научных работников в различных
областях математики, интересующихся методами общей топологии и их
приложениями.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию 5
Предисловие автора 11
Глава О
Предварительные сведения 13
Множества A3). Подмножества и дополнения; объединения и
пересечения A4). Отношения B0). Функции B5). Упорядочения B9).
Алгебраические понятия C4). Вещественные числа C7). Счетные
множества D4). Кардинальные числа D8). Порядковые числа E0).
Декартовы произведения E1). Принцип максимальности Хаусдорфа
E3).
Глава 1
Топологические пространства 60
Топологии и окрестности F0). Замкнутые множества F3). Точки
накопления F5). Замыкание F6). Внутренность и граница F9). Базы
и предбазы G2). Переход к индуцированной топологии;
отделенность G8). Связные множества (82). Задачи (84).
Глава 2
Сходимость по Мору — Смиту 91
Введение (91). Направленные множества и направленности (95).
Под направленности и предельные точки A01). Последовательности
и подпоследовательности A05) Классы сходимости A06). Задачи
(ПО).
Глава 3
Произведения и фактор-пространства 119
Непрерывные отображения A20). Произведения пространств A25).
Фактор-пространства A31). Задачи A40)
Глава 4
Вложения и метризация 152
Существование непрерывных функций A53). Вложение в кубы A57).
Метрические и псевдометрические пространства A61) Метризация
A69). Задачи A77).
Глава 5
Бикомпактные пространства 183
Эквивалентные утверждения A83). Бикомпактность и аксиомы
отделимости A90). Произведения бикомпактных пространств A93).
Локально бикомпактные пространства A97). Фактор-пространства
B00). Бикомпактные расширения B01). Лемма Лебега о покрытии
B09). Паракомпактность B12). Задачи B19).
Глава 6
Равномерные пространства 233
Равномерность и равномерная топология B35). Равномерная
непрерывность; произведение равномерностей B41). Метризация
B46). Полнота B53). Пополнение B60). Бикомпактные пространства
B63). Только для метрических пространств B67). Задачи B72).
Глава 7
Функциональные пространства (пространства отображений) 286
Поточечная сходимость B86). Бикомпактно открытая топология и
совместная непрерывность B91). Равномерная сходимость B97).
Равномерная сходимость на бикомпактных множествах C02).
Бикомпактность и равностепенная непрерывность C05).
Однообразная непрерывность C09). Задачи C13).
Добавление
Элементарная теория множеств 325
Классификационная схема аксиом C26). Классификационная схема
аксиом (продолжение) C28). Элементарная алгебра классов C29).
Существование множеств C32). Упорядоченные пары; отношения
C35), Функции C36). Вполне упорядочение C39). Порядковые числа
C43) Целые числа C49). Аксиома выбора C50). Кардинальные числа
C53).
Библиография 361
Предметный указатель 377
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная G§ 275 — счетности вторая 75
Аксиом схема классификационная первая 77
329 Аксиомы замыкания Куратовского 68
Аксиома бесконечности 349 — метрики 162
— выбора 3 51 База топологии 72
— объемности 327 в точке 77
— подмножеств 332 — равномерности 237
— подстановки 338 — системы окрестностей 77, 153
— регулярности 343 Банахова алгебра 319
соединения 338 Бикомпактность локальная
равномерная 283
Булево кольцо 116
— а-кольцо 284
Вложение 161, 251. 261, 262
— в кубы 157, 161
Вполне упорядочение 50, 339
Гипотеза континуума 360
обобщенная 360
Гнездо 54, 351
Гомеоморфизм (топологическая
эквивалентность) 123
Гомоморфизм (представление) 35,
147
— кольцевой 135
—, ядро 35
Грань верхняя 29
наименьшая 29
— нижняя 29
наибольшая 29 Группа 34
— абелева (коммутативная) 34
— топологическая 145
, подгруппа 147
, пополнение 280
, равномерность двусторонняя
278
,— левая 278
, — правая 278
— целых чисел 38
Диагональ 22
Диагональный процесс 313
Диаметр 165
Доказательство по индукции 38, 341
Дополнение 16, 329
— абсолютное 16
— относительное 16
Евклидова плоскость 89
Евклидово «-пространство 52, 126
Задача Куратовского 86
Звездная вписанность 230
— нормальность 230
Звездное измельчение 230
Идеал 35, 115, 117
— двусторонний 35
— дуальный 115, 117
— левый 35
— максимальный в структуре 115
Изометрия 167
Изоморфизм равномерный 242
Инвариант метрический 167
— равномерный 242
— топологический 125
Индукция математическая 38
— трансфинитная 341, 347
Интеграл Римана 114
Интервал замкнутый 64
— полуоткрытый 64
Кардинал 353
Категория 267
Класс 13
— конечный 355
— наполненный 344
— сходимости 107
— эквивалентности 23
Классификатор 326
Классы, объединение 329, 331
— равномощные 353
—,разность 330
Коллективная нормальность 232
Кольцо 35
— нормированное 320
— характеристическое 227
— эндоморфизмов группы 36
Компактность секвенциальная 313
— счетная 277
Комплект псевдометрик 252
— равномерности 252
Композиция отношений 21
— функций 27
Компонента 83
Критерии метризационные 173, 177
Куб 157
Лемма Куратовского 55
— Лебега о покрытии 209
— Тьюки 55
— Урысона 157
— Цорна 55
Метрика 161
— вещественных чисел обычная 163
— двусторонне инвариантная 279
— левоинвариантная 279
— правоинвариантная 279
— Хаусдорфа 178
Метрики инвариантные 278
Множества, декартово произведение
21,51
— направленные, направленное
произведение 99
— отделенные 80
— равномощные 48
—,разность 16
—, сумма 15
Множество 13
— вещественных чисел индуктивное
38
—, внутренность 69
—, внутренняя точка 69
— вполне упорядоченное 50
,секция 340
— выпуклое 150
—, граница 71
— замкнутое 63, 78
—, замыкание 66, 78
— канторово (канторов
дисконтинуум) 223
обобщенное (обобщенный
канторов дисконтинуум) 223
— конечное 355
— координатное 52
— линейно упорядоченное (цепь) 31
—, мощность 353
—, направление 95
— направленное 95
— нигде не плотное 197, 268
— нулей непрерывной вещественной
функции 182
— ограниченное 32
—. окрестность 153
Множество открытое 60
— почти открытое 279
— предельная точка 65
— производное 66
— пустое 15, 331
— счетно бесконечное 44
— счетное 45
— упорядоченное 31
полное 29
Направленность 95
— Коши 254
— монотонная 111
—,предел 99
—,предельная точка 103
— сходящаяся 96
— универсальная 116
Непрерывность в точке 140
— однообразная 309, 311
— равностепенная 305, 308
равномерная 315
Неравенство треугольника 162
Нормальный делитель 35, 147
Образ 25, 26, 120
Объединение 15
Оператор 25
— замыкания 67, 68
Куратовского 68
Определение по индукции 39
— функции по трансфинитной
индукции 347
Ординал 345
Отношение 21
— антисимметричное 23
— асимметричное 339
—, область значений 21
—,— определения 21
— обратное 21, 336
— рефлексивное 23
— симметричное 23
—, сужение 24
— тождественное 22
— транзитивное 23
— эквивалентности 23
Отображение 25
— в 120
Отображение взаимно однозначное
120
— вычисления 158, 287
— замкнутое 133
— индуцированное 26
— линейное 37
, нуль-пространство 37
— многозначное 25
— монотонное 31
— на 120
— непрерывное 121
— открытое 127
—, продолжение 26
— равномерно непрерывное 241, 259
открытое 270
—.сохраняющее порядок 31
—, сужение 26
— факторное (фактор-отображение)
135
— А-накрывающее 315
Пара неупорядоченная 334
— упорядоченная 335
Парадокс Бурали—Форти 346
— Рассела 355
Паракомпакт 212
Пересечение 15, 115, 329, 331
Плоскость Тихонова 179
Подгруппа 34
— инвариантная 35, 147
— нормальная 35, 147
— топологической группы 147
Подмножество 14
— вполне ограниченное 265
— всюду плотное 75
— конфинальное 96
— нигде не плотное 197, 268
— одноточечное 15
— связное 82
— собственное 16
Поднаправленность 101
Подпокрытие 76
Подпоследовательность 93
Подпространство 78
— линейное 36
Покрытие 76
— однообразное 211
— открытое 76
Покрытие равномерное 266
— точечно конечное 230
Поле 36
— упорядоченное 37
Полнота топологическая метрическая
275
Порядок линейный (простой) 31
— словарный (лексикографический)
42
Последовательность 91, 106
— абсолютно суммируемая 113
— по направленному множеству 96
Постулат Цермело 55
Предбаза равномерности 237
— системы окрестностей в точке 78
— топологии 74
произведения стандартная 127
Предел направленности 99
— повторный 100, 101
Преобразование топологическое 123
Принцип вполне упорядочения 56
— максимального элемента 55
— максимальности Хаусдорфа 56,
352
— математической индукции 38
— минимального элемента 56
Проектирование на координатное
множество 52, 125
разбиение 135
Произведение направлений 99
— псевдометрических пространств
166
— равномерностей 244
— равномерных пространств 244
— топологических пространств 127
— упорядоченных множеств 42
Прообраз 27, 120
Пространства равномерно
эквивалентные 242
Пространство абсолютно замкнутое
(Я-замкнутое) 208, 209
— бикомпактное 183
— булево 227
— —, характеристическое кольцо
227
Пространство векторное 36
-дверное ПО
-координатное 125
- линделёфово 77
-линейное 36
вещественное 36,150
нормированное 317
-локально бикомпактное 197
связное 90
-метризуемое 169
- метрическое 162
-нормальное 153
- однородное 148
- отображений (функций) 286
- паракомпактное 212
-, подмножество нехудое 269
-, — худое 269
- полное в смысле Чеха 277
топологически 276
- полуоткрытых интервалов
(стрелка) 88, 181
- псевдометризуемое 169, 246
- псевдометрическое 162
полное 261
, пополнение 261
-равномерное 236
вполне ограниченное 264
, метризация 247
метризуемое 246
отделимое 241
полное 256
, пополнение 262
предкомпактное 264
-разбиения 135
-регулярное 154
- с первой аксиомой счетности 77
- связное 82
-сепарабельное 75
- слабо паракомпактное 230
- со счетной базой 75
- совершенно нормальное 182
- сопряженное к нормированному
317
- счетномерное 218
-тихоновское 159
— топологически полное 276
— топологическое 60
антидискретное 60
дискретное 61
линейное 150
Пространство топологическое,
метризация 169
метризуемое 169
, плотное подмножество 75
регулярное 154
— финально компактное 77
— хаусдорфово 98
— Хелли 222
— худое 269
— экстремально несвязное 285
— ящичное 148
Прямая Александрова 222
— трансфинитная 222
Псевдометрика 162
—, комплект 252
Равномерность 236
— вещественных чисел обычная 236
— относительная 243
—, порожденная псевдометрикой 246
—, — семейством псевдометрик 249
— поточечной сходимости 290
— произведения 244
— псевдометрическая 246
— равномерной сходимости 298, 300
—, сужение 243
Разбиение 135
— единицы 231
— непрерывное 138, 182
Разложение двоичное 44
— десятичное 44
— по основанию 44
— троичное 44
Разность симметричная 116
Расстояние 162, 168
Расширение бикомпактное 204
одноточечное 203
Стоуна—Чеха 206
Уолмена 226
Расширения бикомпактные
топологически эквивалентные
204
Ретракт 224
Свойство двух точек 320
— делимое 180
— индуктивное 90
— наследственное 180
— неприводимое 90
Семейство 13
— множеств дизъюнктное 15
дискретное 172
замкнутое 211
конечного характера 54
локально конечное 172
, максимальный элемент 53
, минимальный элемент 54
, наибольший элемент 53
, наименьший элемент 53
— отображений поточечно замкнутое
287
Система окрестностей точки 62
— центрированная максимальная
194, 226
Совокупность 13
Соответствие 25
— взаимно однозначное 120
Сравнение топологий 61
Стрелка 88, 181
Структура 115
— дистрибутивная 115
—.объединение элементов 115
Сумма Дарбу верхняя 114
нижняя 114
— множеств (логическая сумма
множеств) 15
— неупорядоченная 112
— упорядоченная 112
Сходимость непрерывная 317
— по Мору—Смиту 90
— покоординатная 129
— поточечная 129, 286
— равномерная 297
на бикомпактных множествах
302
семействе множеств 300
Теорема Александера о предбазе 188
— Александрова об одноточечной
бикомпактификации 203
— Александрова—Урысона о
метризации 249
Теорема Асколи 307, 311
— Банаха—Штейнгауза 284
— Брауэра о редукции 90
— Бэра о категории 267
— Вейерштрасса—Стоуна 320
— Гейне—Бореля—Лебега 183, 195
— Дини314
— Кантора 354
— Кантора—Бернштейна
(Шредера— Бернштейна) 49,
354
— о замкнутом графике 281
— Стоуна о представлении 227
— Тихонова о вложении 161
произведении 194
— Уоллеса о произведении 193
— Урысона о метризации 170
Теория интегрирования 112
Топология 60
— антидискретная 60
— бикомпактно открытая 292
— бикомпактной сходимости 302
— более сильная 61
слабая 61
— вещественных чисел обычная 61
— дискретная 61
— индуцированная на подмножестве
78
— метризуемая 169
— метрическая 169
— относительная 78
— порядковая 87
— поточечной сходимости 289
— произведения 125, 127
— псевдометрическая 162
— равномерная 238
— равномерной сходимости 298
— слабая сопряженного к
нормированному пространству
149
— совместно непрерывная 293, 294
—, сужение 78
— тривиальная 60
Точка 13
—, звезда 230
— изолированная 143
— накопления 65
Точка, окрестность 62
— полного накопления 221
Ультрафильтр 118
Универсум 331
Упорядочение 29
— архимедово 41
— линейное (совершенное) 31
— полное 29
— частичное 29
Условие Суслика 89
Фактор-группа 35, 147
Фактор-отображение 135
Фактор-пространство 136
Фактор-топология 132
Фильтр 118
— Коши 257
— сходящийся 118
Формулы де Моргана 18
Функционалы на линейных
пространствах 149
Функция 25, 336
— вещественная полунепрерывная
сверху 141
снизу 141
— возрастающая 31
— выбора 52, 350
—, график 25
—, значение 25, 337
—, колебание 142
— линейная 37
— многозначная 25
— монотонная 31
—, область значений 336
—, — определения 336
—, определение по трансфинитной
индукции 347
— полунепрерывная сверху, снизу
141
— почти периодическая 322
—, продолжение 26
—, сужение 26
— суммируемая 112
— характеристическая 46
Цепь 54
Числа кардинальные 48, 353
— бесконечные (трансфинитные) 359
— порядковые 50, 346
— целые 349
Шар замкнутый 162
— открытый 162
Элемент 13
^-пространство 304
Г0-пространство 85
Тх -пространство 85
Г2-пространство (хаусдорфово) 98
Г3-пространство (регулярное + Т{)
154
Т4 пространство (нормальное + Т{)
153
а-дискретное семейство множеств
173
а -кольцо 284
а -локально конечное семейство
множеств 173
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ
ИЗДАНИЮ
Книга Келли «Общая топология» является очень по-
популярным руководством по общей топологии; книга мо-
может служить, во-первых, учебником для лиц, желающих
систематически овладеть основами этой области матема-
математики, и, во-вторых, справочным пособием для многочис-
многочисленных категорий математиков, сталкивающихся в своей
работе с теми или иными понятиями или теоремами, от-
относящимися к топологическим пространствам, их непре-
непрерывным отображениям, равномерной топологии и т. д.
Общетопологические концепции и факты заняли в по-
последнее время большое место в самых разнообразных
областях математики, и поэтому книга такого типа, как
книга Келли, стала нужна очень многим математикам
весьма различных специальностей. В этом — первая при-
причина успеха названной книги. Вторая причина связана
с тем, что в огромном множестве определений и фактов,
составляющем современную общую топологию, автору
учебника необходимо сделать тот или иной, но доста-
достаточно строгий выбор: нельзя объять необъятное. Выбор,
сделанный Келли примерно тринадцать лет назад, был
сделан удачно, вернее, вниманию читателя предложен
один из удачных вариантов такого выбора (я думаю,
впрочем, что если бы автор писал свою книгу не в
1950—1953 гг., а в 1965—1968 гг., то отбор основных
фактов для учебника был бы иногда несколько иным,
что и естественно в применении к быстро развивающейся
области математики). Но несомненно, что и сейчас, как
и десять лет тому назад, книга Келли может хорошо вы-
выполнять те основные свои назначения, о которых ска-
сказано выше. Поэтому перевод ее на русский язык вполне
целесообразен, и многочисленные настойчивые пожелания
6 ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
осуществить, наконец, этот перевод раздаются среди
советских математиков уже не первый год.
Автор перевода — А. В. Архангельский — является не
только одним из лучших знатоков современной общей
топологии, но и, несомненно, одним из тех математиков
молодого поколения, которым эта область науки обязана
многими из самых лучших и самых ярких своих дости-
достижений за последние годы. Если к этому прибавить, что
А. В. Архангельский обладает даром излагать свои мыс-
мысли легким и весьма современным (на мой взгляд, иногда
даже слишком современным!) языком, то надо думать,
что выбор переводчика сделан удачно. Это суждение
вполне подтверждается и при подробном знакомстве с
переводом: он не только точно передает содержание
подлинника, но и сохраняет общий литературный стиль
его. Поэтому весь перевод представляется мне удачным.
Теперь — краткий обзор содержания книги. Она от-
открывается вводной главой (имеющей порядковый номер
нуль), в которой собраны определения и элементарные
предложения, касающиеся таких понятий, как множе-
множество, подмножество, отношение, функция (отображение
одного множества в другое), порядок, а также простей-
простейшие понятия алгебраического характера: группа, гомо-
гомоморфизм, кольцо, идеал и т. п. В этой же главе идет речь
о действительных числах, а также о счетных множе-
множествах, кардинальных числах (мощностях) и порядковых
числах. Следует заметить, что аксиоматически построен-
построенному элементарному введению в абстрактную теорию
множеств посвящено еще специальное Добавление в кон-
конце книги. Наконец, в той же «нулевой» главе содержится
и хаусдорфов принцип максимума (эквивалентный прин-
принципу трансфинитной индукции и принципу Куратовского
о возможности исключения трансфинитных чисел из ма-
математических рассуждений); принцип этот в свое время
A922 г.) произвел большое впечатление.
В первой главе излагаются элементарные свойства
топологических пространств: открытые множества (ле-
(лежащие, как обычно, в основе определения), окрестности
(определенные по Бурбаки, а не согласно классическому
определению Хаусдорфа), точки накопления (почему-то
предпочтенные принятым у нас точкам прикосновения),
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 7
замкнутые множества, базы и т. д. — обычный материал!
Здесь же, естественно, излагается и понятие связности.
Вторая глава посвящена сходимости по направлен-
направленному множеству (в Америке принято название «сходи-
«сходимость Мора — Смита»; в книге Келли дана ссылка на
работу этих авторов 1922 г.). Следовало бы помнить, что
это самое понятие на два десятилетия ранее было от-
открыто талантливым одесским математиком С. О. Шату-
новским. На мой взгляд, следует очень приветствовать,
что сходимость по направленному множеству (в частно-
частности, такое трудное понятие, как «подпоследовательность
по направленному множеству») подверглась в книге
тщательному исследованию. Английский термин net ка-
кажется мне очень неудачным; русский термин «последо-
«последовательность по направленному множеству» слишком дли-
длинен. Переводчик предлагает — быть может, несколько
компромиссный — термин «направленность»; вероятно,
это — лучший выход из положения.
Третья глава посвящена топологическим произведе-
произведениям (А. Н. Тихонов) и фактор-пространствам, а следо-
следовательно, и фактор-отображениям. Фактор-отображения,
введенные автором этого предисловия в совместной книге
с Хопфом ([1], стр. 65), приобретают в новейшее время
все возрастающее значение в топологии. В частности,
весьма замечательные исследования, касающиеся этих
отображений, принадлежат самому А. В. Архангель-
Архангельскому. Специальными случаями фактор-отображений яв-
являются как замкнутые, так и открытые отображения, и
исследования А. В. Архангельского, в частности, осве-
освещают взаимные связи, существующие между этими и
другими классами фактор-отображений. Эти исследова-
исследования А. В. Архангельского составляют часть новой главы
общей топологии, которую естественно назвать «общей
теорией непрерывных отображений топологических про-
пространств». После уже упомянутого введения понятия
фактор-отображения, а также замкнутого отображения
в книге П. С. Александрова и Хопфа, первые результаты
по общей теории непрерывных отображений получены
в Москве И. А. Вайнштейном. В последние годы эта тео-
теория развивалась стремительно и очень интересно глав-
главным образом в работах талантливых молодых советских
8 ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
топологов: А. В. Архангельского, Б. А. Пасынкова,
В. И. Пономарева (в работах последнего существенное
развитие получила, в частности, теория неприводимых
совершенных отображений, см. [3], [6]). К этой же об-
области относятся очень интересные работы американских
математиков: Глисона (предваряющие часть основных
результатов Пономарева), Стоуна, Майкла, Исбелла
и др., английского тополога Даукера, а также работы
японских ученых: Морита и его учеников. Замечатель-
Замечательная факторизационная теорема принадлежит югослав-
югославскому математику С. Мардешичу.
Выделение фактор-отображений как одного из важ-
важнейших классов непрерывных отображений является
удачной особенностью книги Келли, хотя в этой книге
о фактор-отображениях сообщаются лишь самые эле-
элементарные сведения. Это естественно — все развитие тео-
теории произошло в конце пятидесятых и в начале шести-
шестидесятых годов, т. е. уже после выхода книги Келли.
В четвертой главе доказываются классические тео-
теоремы Урысона и Тихонова о погружении вполне регу-
регулярных пространств в соответствующие «кирпичи» —¦
гильбертов и тихоновский, т. е. в топологическое (тихо-
(тихоновское) произведение счетного, соответственно, любого
множества отрезков. В этой же главе доказываются и
метризационные теоремы Бинга и Нагата — Смирнова и
метризационная теорема Урысона как их частный слу-
случай. Здесь же вводится понятие псевдометрического про-
пространства. Не могли получить отражения в книге метри-
метризационные теоремы совершенно нового типа, доказанные
в начале шестидесятых годов П. С. Александровым и
А. В. Архангельским.
Пятая глава посвящена теории бикомпактных про-
пространств. Несколько удивляет отсутствие теоремы, ха-
характеризующей бикомпакты (бикомпактные хаусдор-
фовы пространства) как регулярные пространства, замк-
замкнутые во всяком объемлющем хаусдорфовом простран-
пространстве. Не упоминается и знаменитая теорема Стоуна,
характеризующая бикомпакты как те хаусдорфовы про-
пространства, все замкнутые подмножества которых абсо-
абсолютно замкнуты, т. е. замкнуты во всяком объемлющем
хаусдорфовом пространстве. Сама эта «абсолютная»
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 9
замкнутость (теперь предпочитают говорить «Я-замкну-
тость») упоминается лишь мимоходом; в частности,
остаются в стороне работы М. Катетова и др.
Центральной теоремой главы заслуженно является
классическая теорема А. Н. Тихонова о бикомпактности
топологического произведения любого числа бикомпакт-
бикомпактных пространств. На мой взгляд, слишком бегло осве-
освещены бикомпактные расширения. Впрочем, это объяс-
объясняется тем, что основная теорема Ю. М. Смирнова, свя-
связывающая бикомпактные расширения с пространствами
близости, и основывающаяся на этой теореме последую-
последующая работа П. С. Александрова и В. И. Пономарева, пе-
перефразирующая теорему Ю. М. Смирнова так, что она
превращается в способ построения всех бикомпактных
расширений данного вполне регулярного пространства
методом центрированных систем открытых множеств,
уже не могли оказаться в сфере внимания автора, когда
он писал свою книгу. То же относится и к очень интерес-
интересным работам Е. Г. Скляренко. Однако метод центриро-
центрированных систем открытых множеств, найденный и приме-
примененный еще в 1939 г. П. С. Александровым к построению
максимального бикомпактного расширения (расширения
Стоуна — Чеха) и явившийся основой многих дальней-
дальнейших исследований (С. В. Фомина, частично Ю.М. Смир-
Смирнова, В. И. Пономарева, С. Илиадиса и др.), мог бы
найти свое место в книге Келли.
Паракомпактные пространства попадают в ту же пя-
пятую главу. В настоящее время мы видим в пара компакт-
компактных пространствах один из важнейших классов тополо-
топологических пространств. Однако новейшее развитие теории
этих пространств также относится уже к годам после на-
написания книги Келли, поэтому не удивительно, что в эту
книгу они вошли только в самом коротком изложении,
занимающем всего лишь один небольшой параграф. На
пятой главе заканчивается изложение собственно теории
топологических пространств.
Шестая глава книги посвящена равномерной тополо-
топологии, которую Келли понимает как теорию равномерных
структур в смысле А. Вейля. Очень важно, конечно, что
эта теория, вызывающая интерес математиков самых
различных специальностей, изложена в элементарном
Ю ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
учебнике. Однако нельзя не пожалеть, что в книге Келли
даже не упомянуты пространства близости. Эти про-
пространства, определение которых восходит еще к Рису,
были введены В. А. Ефремовичем; однако В. А. Ефремо-
Ефремович интересовался определенными им пространствами
лишь с точки зрения возможных приложений к конкрет-
конкретным геометрическим объектам. Общая теория про-
пространств близости была, как известно, построена
Ю. М. Смирновым в [1], [5], [6], и эта теория, несомненно,
принадлежит к значительнейшим достижениям современ-
современной общей топологии. Но и исследования Ю. М. Смир-
Смирнова не могли стать известными Келли до окончания им
работы над его учебником.
Последняя, седьмая, глава книги Келли посвящена
функциональным пространствам, которые в значительной
степени исследуются именно с точки зрения равномерной
топологии (равномерная сходимость, равностепенная не-
непрерывность семейств функций и т. д.).
Интересной особенностью книги, рекомендуемой се-
сегодня вниманию советского читателя, является наличие
в каждой ее главе особого добавления, состоящего из
упражнений, связанных именно с данной главой. Помимо
«упражнений» в собственном смысле слова, в этот раздел
попали и многие теоремы, казавшиеся автору слишком
специальными, чтобы быть помещенными в основной
текст книги. В большинстве случаев с соображениями ав-
автора можно согласиться. Но все же, как мне кажется,
не всегда. Приведу только один пример: в раздел «упраж-
«упражнений» попала знаменитая теорема, называемая теперь
«теоремой Вейерштрасса — Стоуна»; очевидно, это ке
только одна из важнейших теорем общей топологии, но
и одна из самых «нужных» для всей вообще математики.
Переводчик кое-где дополнил перевод своими немно-
немногочисленными примечаниями. Все эти примечания ка-
кажутся мне существенными; их могло бы быть и боль-
больше — книга бы от этого только выиграла. Но и такая,
какая она есть, книга, несомненно, будет иметь успех
у широкого круга советских математиков различных воз-
возрастов и специальностей.
Болшево — Комаровка
5 ноября 1966 П. Александров
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Эта книга является систематическим обозрением об-
общей топологии в той ее части, которая уже нашла при-
применение в различных областях математики. Специальное
ее назначение — быть основой современного анализа;
мне очень хотелось назвать свою книгу «Что каждый мо-
молодой аналитик должен был бы знать», — друзьям с тру-
трудом удалось отговорить меня от этого.
Основой для книги послужили различные курсы лек-
лекций, прочитанные автором в Чикагском университете в
1946—1947 гг., в Калифорнийском университете в 1948—
1949 гг. и в Туланском университете в 1950—1951 гг. Ее
следует рассматривать одновременно и как справочник,
и как учебник. Эти два качества не очень хорошо ужи-
уживаются. Как справочный обзор книга содержит полное —
в разумных пределах — изложение материала, более ши-
широкое и полное, чем принято давать в обычных курсах.
Справочный характер книги проявился во многих дета-
деталях; например, я старался включить все наиболее рас-
распространенные термины — они перечислены в предмет-
предметном указателе. С другой стороны, учебный характер
книги проявился в спокойной манере изложения, харак-
характерной для первых глав. В этой же связи в книге появ-
появляется предварительная глава, выпадающая из плана
систематического обзора. Она содержит те из необходи-
необходимых для чтения данной книги сведений, которые, судя
по моему опыту, оказываются неизвестными для многих
студентов.
Наиболее серьезные из результатов, включенных в
главу 0, относятся к теории множеств, систематический
обзор которой дан в Добавлении. Это добавление совер-
совершенно не зависит от предшествующей части книги.
В остальном изложение последующего материала ка-
каждый раз предполагает знание предыдущего.
12 ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
В техническом оформлении книги есть несколько нов-
новшеств. Иногда перед названием параграфа стоит звез-
звездочка; это указывает на то, что здесь мы уклоняемся от
главной линии. Ряд тем, не менее, а иногда и более ин-
интересных, чем включенные в собственно текст, вынесен
в раздел упражнений, к которому следует отнестись как
к неотъемлемой части книги. Частью — это простые
упражнения, назначение которых—помочь лучше усвоить
затронутые понятия. Другие — противоречащие при-
примеры; ими отмечаются границы возможных теорем. В не-
некоторых упражнениях развиваются маленькие теории,
интересные сами по себе. Ряд упражнений подводит нас
к применениям общей топологии в различных областях
математики. К последним всегда даются ссылки. В би-
библиографию включено большинство недавних работ с но-
новыми результатами, естественно укладывающимися в
рамки этой книги, и несколько ранних выдающихся работ.
Ряд работ относится к другим областям математики.
Теоремы седьмой главы, связанные с понятием «одно-
«однообразной непрерывности», являются результатом нашей
совместной работы с А. П. Морсом; они публикуются
здесь с его разрешения. Многое из того хорошего, что
есть в изложении теории множеств, данном в Добавле-
Добавлении, взято из неопубликованной системы Морса; я бла-
благодарен ему за разрешение сделать это. Впрочем, он не
несет ответственности за допущенные мной небрежности.
Я признателен также Альфреду Тарскому за ряд бесед,
темой которых была теория множеств и логика.
Я благодарен многим моим коллегам, читавшим всю
рукопись или ее части и сделавшим ценные замечания.
Особенно я обязан Исааку Намиоке, поправившему пе-
печальное множество ошибок и прояснившему много ту-
туманных мест книги; он предложил также много усовер-
усовершенствований. Хуго Рибейро и Поль Халмош также
чрезвычайно помогли мне ценными советами.
Наконец, я шлю самые теплые слова благодарности
Туланскому университету за поддержку во время изгото-
изготовления рукописи. Эта книга была написана в 1950—
1952 гг. в Туланском университете и пересмотрена в 1953 г.
Беркли, Калифорния
1 февраля 1955 Дж. Л. Д.
Глава О
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Для понимания этой книги надо знать только некото-
некоторые свойства вещественных чисел и, кроме того, надо обла-
обладать в разумных пределах тем неоценимым качеством,
которое обычно называют математической зрелостью.
Все определения и основные теоремы, существенные
для дальнейшего, собраны в этой главе. Изложение в до-
достаточной мере замкнуто, но многие детали опускаются—
особенно это относится к обсуждению числовой системы.
Наиболее глубокие результаты этой главы — теоремы
из теории множеств; систематическое их изложение дано
в Добавлении. Поскольку основное назначение нулевой
главы — служить в дальнейшем для ссылок, мы предла-
предлагаем читателю, просмотрев первые два параграфа, обра-
обратиться к главе 1, возвращаясь к остальной части данной
главы по мере надобности. Многие из следующих ниже
определений повторяются затем в основном тексте при
первом появлении соответствующего понятия.
МНОЖЕСТВА
Мы будем иметь дело с множествами и с элементами
множеств. «Множество», «класс», «семейство» и «сово-
«совокупность»— для нас синонимы*); символ б будет обо-
обозначать отношение принадлежности элемента множеству.
Таким образом, х?А тогда и только тогда, когда х
является членом (или «элементом», или «точкой»)
множества А. Два множества совпадают тогда и только
*) По техническим причинам (они излагаются в Добавлении)
стоит различать два типа совокупностей. Термин «множество» бу-
будет сохранен за теми из классов, которые сами могут быть элемен-
элементами классов. Это различие не играет особой роли и данной книге:
за единственным нетривиальным исключением каждый класс, кото-
который в ней встретится (до Добавления), будет одновременно и мно-
множеством.
U I Л 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
тогда, когда они состоят из одних и тех же элементой;
знак равенства всегда будет использоваться для обозна-
обозначения совпадения. Следовательно, А = В, если для ка-
каждого х х ?А тогда и только тогда, когда xdB.
Для выделения множеств будут употребляться скоб-
скобки; именно, {х : . . . (утверждение об х). . .} — множество
всех тех х, для которых верно сформулированное в скоб-
скобках утверждение. Иными словами, yd{x : . . . (утвержде-
(утверждение об х). . .} в том и только в том случае, когда соответ-
соответствующее утверждение об у имеет место. Например,
пусть А — какое-нибудь множество; в этом случае
у С {х : х dA) тогда и только тогда, когда yd А. По-
Поскольку множества, состоящие из одних и тех же элемен-
элементов, совпадают, A={x.xdA)— факт, приятный, если не
удивительный. Следует понимать, что в описанной схеме
конструирования множеств символ х играет роль свя-
связанной переменной — мы можем заменить его любой
другой переменной, не входящей в остальную часть фор-
формулировки определяющего утверждения. Таким образом,
{x:xdA} = {y:ydA}, но {х : х dA} = {A : А ? А].
Есть одно очень полезное правило, касающееся по-
построения множеств по описанному образцу. Если два
множества построены по указанному выше правилу
с помощью двух различных, но логически эквивалентных
утверждений, то они совпадают. В этом можно убе-
убедиться, проверив, что тогда рассматриваемые множества
состоят из одних и тех же элементов. Например, если А
и В — множества, то {x.xdA или х ?В} = {х : х ?в или
х?А), ибо у принадлежит первому множеству тогда и
только тогда, когда yd А или yd В, а так бывает тогда и
только тогда, когда ydB или yd А, что выполняется
тогда и только тогда, когда у является элементом вто-
второго множества. Все теоремы следующего раздела до-
доказываются подобным же образом.
ПОДМНОЖЕСТВА И ДОПОЛНЕНИЯ; ОБЪЕДИНЕНИЯ
И ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
Пусть А и В — множества (или семейства); говорят,
что А является подмножеством (подсемейством) множе-
множества В в том и только в том случае, когда каждый эле-
ПОДМНОЖЕСТВА И ДОПОЛНЕНИЯ 15
мент из А входит в В. Мы говорим при этом также,
что А содержится в В, или что В содержит А, и пишем
AczB, ВгэЛ соответственно. Таким образом, ЛсВ тогда
И только тогда, когда для каждого х верно, что х 6 В,
коль скоро х?А. Множество А называется собственный
подмножеством множества В (А строго содержится в В
и В строго содержит А) тогда и только тогда, когда
Лей и АФВ. Если А является подмножеством множе-
множества В, а В является подмножеством множества С, то
ясно, что А является подмножеством множества С. Если
AczB и В<^А, то А = В, ибо в этом случае каждый эле-
элемент множества А является элементом множества В, и
наоборот.
Объединение (сумма, логическая сумма) множеств А
и В, обозначаемое через A U В, — это множество всех то-
точек, принадлежащих либо А, либо В; таким образом,
Ли В — {х : х€_ А или х?В). Следует иметь в виду, что
слово «или» используется здесь (и всюду в дальнейшем^
в неисключающем смысле — точки, принадлежащие и .4,
и В, тоже входят в A U В. Пересечение множеств А и В,
обозначаемое через А П В, состоит из всех точек, при-
принадлежащих А и В одновременно. Пустое множество
обозначается *) через Л; оно определяется как {х : хфх).
Вместо хфх в этом определении можно было бы ис-
использовать любое всегда ложное утверждение. Пустое
множество является подмножеством каждого множе-
множества А, ибо каждый элемент множества А (таких нет)
принадлежит А. Включения ЛсгЛ П ВаАсА US выпол-
выполняются для любой пары множеств А и В. Говорят, что
множества А и В не пересекаются, или дизъюнктны,
тогда и только тогда, когда АГ\В = А; иными словами,
ни один из элементов множества А не принадлежит В.
Множества А и В пересекаются тогда и только тогда,
когда существует хотя бы одна точка, принадлежащая
им обоим; в этом случае АПВфЛ. Пусть ?! —семей-
—семейство множеств (элементами 9( являются множества);
говорят, что Щ.— дизъюнктное семейство, тогда и только
*) Это — принятое у нас обозначение; в книге Келли для обо-
обозначения пустого множества употребляется обычный нуль, что мо-
может привести к путанице. (Прим. перев.)
16 ГЛ. О ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
тогда, когда никакие два множества, являющихся его
элементами, не пересекаются.
Абсолютное дополнение множества А есть {д:: х(? Л};
обозначается *) оно через \Л. Относительное допол-
дополнение множества А по отношению к множеству X есть
множество ЛТ1\/4, обычно обозначаемое через Х\А.
Последнее множество называется также разностью X и
А. Для любого множества А имеет место ~^Л = Л. Со-
Соответствующее соотношение для относительных допол-
дополнений чуть сложнее; оно выписано в формулировке тео-
теоремы 0.2.
Следует очень тщательно различать «элементы» и
«подмножества». Множество, единственным элементом
которого является х, называется одноточечным и обозна-
обозначается через {х}. Обратите внимание, что множество {Л}
не пусто, ибо Л?{Л}. Следовательно, Аф{А}. Вообще,
лг?Л в том и только в том случае, когда {х}сА.
В формулировке следующих двух теорем (мы их до-
доказали пока лишь частично) выписаны наиболее часто
применяющиеся соотношения между определенными вы-
выше понятиями. Это •— основные соотношения, часто мы
будем пользоваться ими, не оговаривая этого специ-
специально.
1. Теорема. Пусть А и В — подмножества множе-
множества X. Тогда AczB в том и только в том случае, когда
выполняется какое-нибудь (и тогда любое) из следую-
следующих условий:
А[)В = А, В = А[)В, X\BczX\A,
А(}Х\В = А или (X\A)(JB = X.
2. Теорема. Пусть А, В, С и X — любые множе-
множества. Тогда:
(а) Х\{Х\А)=А Г\Х.
(б) (коммутативность) AU B = B UA и А Л В = В П А.
*) У Келли обозначение ~Л Однако уже запись X—'А была
бы двусмысленной — обычно она понимается как утверждение экви-
эквивалентности. {Прим. перед.)
ПОДМНОЖЕСТВА И ДОПОЛНЕНИЯ 17
(в) (ассоциативность) A U (В U С) = (Л U В) U С и
А П (В П С) = (А П В) П С.
(г) (дистрибутивность) Л П (В1)С) = (ЛПВ) 1)(Л ПС)
и Ли (ВПС) = (ЛиВ) П (Л U С).
(д) (формулы де Моргана) Х\(А[) В) = (Х\А) П
П (*\Я) ы Х\(Л ПВ) = (Х\Л) U(X\S).
Доказательство. Доказательство (а): х является
элементом Х\(Х\Л) тогда и только тогда, когда х?.Х
нхф Х\А. Так как х Ф Х\А тогда и только тогда, когда
Т— г**
х(?Х или х€Л, то соотношение х?Х\(Х\А) выпол-
выполняется в том и только в том случае, когда х?Х и либо
х(? Х% либо хб А. Первая из этих альтернатив невозмож-
невозможна, значит, х( Х\(Х\А) тогда и только тогда, когда
xd X и xfA, т. е. когда х( ХГ\А. Следовательно,
J\ (Х\Л) —А П X. Доказательство первой половины (г):
точка х является элементом множества А П (В U С) экви-
эквивалентно тому, что xf А, и х 6 В или х ( С. Так будет в
том и только в том случае, когда х принадлежит и А, и
В или х принадлежит и Л, и С. Значит, х (А Г\ (BU С)
тогда и только тогда, когда х? (Л П fi) U (А П С), что и
требовалось
Пусть Ль Л2, • • ¦ , Ап — множества; через А{ U Л2 U ...
... 1)Л„ обозначается их объединение, а через Л4 П
ПЛ2П ... ПЛ„ — их пересечение. Как группируются
члены при вычислении объединения или пересечения —
безразлично в силу законов ассоциативности. Нам при-
придется иметь дело также с объединениями элементов
бесконечного семейства множеств; чрезвычайно удобно
иметь специальное обозначение для таких объединений.
Рассмотрим следующую ситуацию: предположим, что
для каждого элемента а множества Л, которое мы будем
называть индексным множеством, или множеством ин-
индексов, задано некоторое множество Ха. Тогда объеди-
объединение всех таких Ха, обозначаемое через И{Ха : а? А},
определяется как множество всех точек х таких, что
х 6 Хо хотя бы для одного а из Л.
Аналогично пересечение множеств Ха по всем а из А
определяется как {х: х € Ха для каждого а из А}; обо-
обозначается оно через П{Ха : й € Л}. Очень важен случай,
2 Дж. Л. Келли
18 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
когда индексное множество само является некоторым
семейством 91 множеств и ХА есть множество Л для каж-
каждого Л из St. Тогда предшествующие определения пре-
превращаются в II {А : А 6 21} = {л: : х с Л для некоторого А
изЩ и П {А : А ?Щ = {х: x<zA для каждого А изЩ-
Есть много теорем, алгебраических по своему харак-
характеру, об объединениях и пересечениях элементов се-
семейств множеств, но нам понадобится только следующий
результат, доказательство которого опускается.
3. Теорема. Пусть А — индексное множество и для
каждого а из А Ха является подмножеством некоторого
фиксированного множества Y. Тогда:
(а) Для любого подмножества В множества А
U{Xb:b?B}^U{Xa:a€A) и П {Хь : 66 В}^ П{*а : а 6 Л}.
(б) {Формулы де Моргана) Y\[){Xa: а ?А} =
= П{К\^„:а€Л} и Y\U{Xa:a?A}= \}{Y\Xa:a?A}.
Словесное описание формулы де Моргана: дополне-
дополнение к объединению является пересечением дополнений,
и дополнение к пересечению является объединением до-
дополнений. Подчеркнем, что необходимо добиться разум-
разумной легкости при проведении такого рода теоретико-мно-
теоретико-множественных вычислений. В Добавлении дан длинный
перечень теорем; рекомендую начинающему читателю по-
поупражняться в их доказательстве. (См. параграф, касаю-
касающийся элементарной алгебры классов.)
4. Замечания. В большинстве ранних работ по
теории множеств объединение множеств Л и В обозна-
обозначалось через А+В, а пересечение — через АВ по анало-
аналогии с обычными операциями над вещественными чис-
числами. Некоторые из алгебраических законов, касающих-
касающихся операций над числами, остаются при этом верными и
для множеств. Однако есть серьезная причина отка-
отказаться от такой системы записи — часто теоретико-мно-
теоретико-множественные вычисления выполняются в группе, поле или
линейном пространстве. Если Лий — какие-нибудь под-
подмножества множества элементов группы, в которой опе-
операция записывается аддитивно, то {с: с — а + Ь для неко-
некоторого а из А и некоторого b из В} — естественный пре-
претендент на обозначение А+В; столь же естественно
обозначить множество {х:—х? А) через —Л. Так как
эти множества систематически появляются в тех же вы-
ПОДМНОЖЕСТВА И ДОПОЛНЕНИЯ 19
числениях, в которых участвуют объединения, пересече-
пересечения и дополнения, наш выбор обозначений представ-
представляется более обоснованным.
Способ задания множеств, принятый нами здесь, наи-
наиболее широко распространен; однако обозначение
«Ех» — «множество всех х таких, что» тоже употреби-
употребительно. Слабое место принятого обозначения таково: не
всегда ясно, что является переменной. Поясним на при-
примере. Множество квадратов положительных чисел весьма
естественно было бы обозначить через {х2 : х>0}; дей-
действуя в том же духе, можно было бы написать
{х2 + а2 : х<\ + 2а}. К сожалению, последнее выражение
имеет три различных толкования, а именно: {г : для не-
некоторого х и некоторого а г = х2 + а2 и х<1+2а}, {г: для
некоторого х г = х2 + а2 и х<.1 + 2а} и {г : для некоторого а
z = x2 + a2 и х<\+2а}. Все эти множества совершенно
различны, ибо первое не зависит ни от х, ни от а, второе
зависит от а, а третье зависит от х. Технический выход
из затруднения: сказать, что в первом случае ш, и а —
связанные переменные, что во втором случае связанной
переменной является только х, а связанной переменной
в третьем — только а. Чтобы избежать языковых слож-
сложностей, условимся при каждом появлении скобочных обо-
обозначений ставить на первое место после скобки перед
двоеточием связанную переменную, обозначающую точку
определяемого множества.
Наконец, интересно отметить еще один момент, свя-
связанный с системой обозначений. Читая выражение типа
Л П (fill С), нам неизбежно приходится вставлять до-
дополнительные слова. Этого, однако, можно было бы из-
избежать, чуть-чуть видоизменив обозначения. Если бы
вместо A U В мы условились писать UAB, соответственно
ПАВ вместо Л Л В, никаких словесных дополнений при
чтении не потребовалось бы. (Это — общий метод исклю-
исключения вспомогательных слов; он хорошо известен в ма-
математической логике.) В измененных таким образом обо-
обозначениях первый дистрибутивный закон и первый ассо-
ассоциативный закон запишутся так: П A U ВС = U П АВ пАС
и [}A\JBC=U\JABC. Сокращенная запись удобна и
для чтения: например, U АВ читается как объедине-
объединение А и В.
2*
20 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЙ
ОТНОШЕНИЯ
Наше изложение основывается на понятии множе-
множества*). Это ставит перед нами задачу определения
остальных понятий через понятие множества. В частно-
частности, это относится к понятиям упорядочения и функции.
Оказывается, что последние можно трактовать как не-
некоторые отношения, причем отношения можно естествен-
естественным образом определять как множества со специальной
структурой. В связи с этим в настоящем параграфе
вкратце излагаются определения и элементарные тео-
теоремы из алгебры отношений.
Предположим, что задано некоторое отношение (в
интуитивно ясном смысле) между определенными па-
парами объектов. Основная идея состоит в том, что это от-
отношение можно реализовать в виде множества всех пар
связанных им объектов. Например, множество всевоз-
всевозможных пар, состоящих из числа и его куба, можно
было бы назвать кубическим отношением**). Ясно, что
для того, чтобы пользоваться описанным методом реали-
реализации, мы должны располагать понятием упорядоченной
пары. Последнее тоже можно определить в терминах
множеств***). Основные нужные нам факты таковы: ка-
каждая упорядоченная пара состоит из первой и второй
координат, и две упорядоченные пары равны (совпа-
(совпадают) тогда и только тогда, когда совпадают их первые
координаты и совпадают их вторые координаты. Упоря-
Упорядоченная пара, первой координатой которой является х,
а второй у, обозначается через (х, у). Таким образом,
(х, у) — (и, и) в том и только в том случае, когда х=-и
и y = v.
*) Автор имеет в виду, что понятие множества не определя-
определялось, так как оно считалось элементарным. (Прим перев.)
**) В русском переводе книги Бурбаки «Теория множеств» мно-
множество пар, реализующих отношение, разумно названо графиком
(см. стр. 80—88 и далее). (Прим.. перев.)
***) Честное изложение вопроса дано в Добавлении, где фигу-
фигурирует определение упорядоченной пары, принадлежащее Винеру.
Остроумная идея представлять отношения описанным образом при-
принадлежит Пирсу. Очень хорошее изложение элементарной алгебры
отношений можно найти в книге Тарского [1].
6ТН0ШЕНИЯ 2)
Удобно распространить правило для задания мно-
множеств на случай пар; таким образом, {(х, у) : . . .} — мно-
множество всех пар (х, у), для которых ... Можно было
обойтись без этого соглашения — то же множество опи-
описывается так: \z: для некоторого х и некоторого у
Z= (X,y) U . . .}.
Отношение*) — это множество упорядоченных пар.
Таким образом, отношение — это некоторое множество,
каждый элемент которого — некоторая упорядоченная
пара. Если R — отношение, то записи xRy и (х, у) € R
эквивалентны. Мы говорим, что х находится к у в отно-
отношении R, в том и только в том случае, когда xRy. Об-
Областью определения отношения R называется множество
всех первых координат входящих в R элементов, а обла-
областью значений называется множество их вторых коорди-
координат. Формально область определения R = {x : для неко-
некоторого у (х, у) ? R) и область значений R = {y -.для не-
некоторого х (х, у) ? R}. Одним из простейших отношений
является множество всех пар (х, у), где х — элемент не-
некоторого фиксированного множества А и у — элемент
некоторого фиксированного множества В. Это — так на-
называемое декартово произведение множеств А и В; обо-
обозначается оно через АхВ. Таким образом, АхВ =
= {(х, у) :х?А и у€В}. Если В не пусто, то областью
определения отношения АхВ служит А. Очевидно, вся-
всякое отношение является подмножеством декартова про-
произведения его области определения и области значения.
Обратное отношение к отношению R, обозначаемое
через R'\ получается, если изменить порядок координат
внутри каждой из пар: R'l = {(x, у) : (у, х) ? R) и xRy
тогда и только тогда, когда yR~^x. Например, (АхВ)~[ =
— ВхА для любых множеств А и В. Область определе-
определения обратного к R отношения всегда совпадает с обла-
областью значений отношения R, а область значений R~l со-
совпадает с областью определения R. Композицией отно-
отношений R и S называется отношение R°S (иногда
обозначаемое через RS), состоящее из всех пар (л:, г)
таких, что для некоторого у (х, у) 6S и (у, г) 6/?. Опе-
Операция композиции, вообще говоря, не коммутативна.
*) См. сноску на стр. 20. (Прим. перев.)
22 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Например, если # = {A, 2)} и S = {@, 1)},то R °S = {@, 2)),
a SoR пусто. Тождественное отношение на множестве X
(тождество на X) —это множество всех пар вида (х, х),
где х?Х. Обозначается оно через А или Д(^). Название
объясняется тем фактом, что k°R = R °Д = /? для любого
отношения R, область определения и область значений
которого являются подмножествами множества X. То-
Тождественное отношение называется также диагональю;
это наименование подсказано его расположением в
XXX.
Пусть R — отношение и Л — некоторое множество;
тогда R[A], множество всех /^-образов точек из А, опре-
определяется как [у : xRy для некоторого х из А}. Когда А —
вся область определения R, R[A] совпадает с областью
значений R. Если /?cS, где R и S — отношения, то
R[A]czS[A] для любого А.
Алгебра отношений широко разработана; ей принад-
принадлежит следующая теорема.
5. Теорема. Пусть R, S и Т — отношения, а А и
В — множества. Тогда:
(а) (/?-')-• = /? и (RoS^^S-toR-i.
(б) Ro(S°T) = (RoS)oT и (RoS)[A] = R[S[A][.
(в) R[A[)B] = R[A]UR[B] и R[A П B]aR[A]f] R[B].
Более общее утверждение: если для каждого эле-
элемента а непустого множества индексов А задано неко-
некоторое множество Ха, то:
(г) R[U{Xa:aZA}]=[){R[Xa]:a?A} и
R[n{Xa:a?A}]<zn{R[Xa]:a€A}.
Доказательство. Докажем, например, равенство
(R °S)~1 = S~1 о /?-'. Пара (z, x) является элементом
(RoS)~x тогда и только тогда, когда (х, z)dR°S, а по-
последнее имеет место в том и только в том случае, когда
для некоторого у верно, что (х, у) 6S и (у, г) 6 R- Сле-
Следовательно, (г, х) 6 (R°S)~l тогда и только тогда, когда
(г, y)?R~l и (у, x)dS'1 для некоторого у. Но это — в
точности условие принадлежности (z, x) композиции
Несколько специальных типов отношений встречается
так часто, что им даны собственные имена. Кроме упо-
упорядочений и функций, которые будут рассмотрены де-
детально в следующих параграфах, к числу наиболее по-
ОТНОШЕНИЯ 23
лезных отношений относятся, вероятно, следующие.
Удобно заранее договориться, что всюду ниже R яв-
является отношением, а X — множеством всех точек, входя-
входящих в область определения или область значений R, т. е.
Х= (область определения R) U (область значений R). От-
Отношение R рефлексивно в том и только в том случае,
когда каждая точка из- X находится в отношении R
к себе*). R симметрично, если из xRy следует yRx и
наоборот. Алгебраически выразить это требование можно
так: R = R~l. С другой стороны, отношение R называется
антисимметричным тогда и только тогда, когда xRy и
yRx никогда не выполняются одновременно. Иными сло-
словами, R антисимметрично в том и только в том случае,
когда Rf\R~l пусто. Отношение R транзитивно тогда и
только тогда, когда из xRy и yRz следует xRz. В терми-
терминах композиции отношение R транзитивно в том и толь-
только в том случае, когда R°Rc:R. Следовательно, если R
транзитивно, то R~l °R~i= (R °R)'1aR-1 и, значит, обрат-
обратное к транзитивному отношение тоже транзитивно. Если
R и транзитивно, и рефлексивно, то RvR^Rok и, зна-
значит, R oR = R. Обычно в этом случае говорят, что отно-
отношение идемпотентно относительно композиции.
Отношение эквивалентности — это рефлексивное, сим-
симметричное и транзитивное отношение. Устроены отноше-
отношения эквивалентности очень просто — мы сейчас опишем
как. Пусть R — отношение эквивалентности и X — его
область**). Подмножество А множества X называется
классом эквивалентности (классом R-эквивалентности)
тогда и только тогда, когда существует элемент х?А
такой, что А совпадает с множеством всех у, для кото-
которых xRy. Иными словами, А является классом эквива-
эквивалентности в том и только в том случае, когда имеется х
в А, для которого A = R[{x}]. Фундаментальный резуль-
результат об отношениях эквивалентности состоит в том, что
семейство 21 всех классов эквивалентности дизъюнктно
и что точка х находится к точке у в отношении R в том
*) Это, конечно, не означает, что она находится в отноше-
отношении R только к себе. (Прим. перев.)
**) Когда R — отношение эквивалентности, область определения
и область значений, очевидно, совпадают. (Прим. перев.)
24 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
и только в том случае, когда и х, и у принадлежат
одному и тому же классу эквивалентности. Множество
всех пар (х, у), для которых х и у принадлежат неко-
некоторому классу А, есть просто АхА; это позволяет дать
следующую краткую формулировку основного резуль-
результата.
6. Теорема. Отношение R является отношением
эквивалентности тогда и только тогда, когда существует
дизъюнктное семейство 91 такое, что R= 1){АхА : А?
6?Х}.
Доказательство. Раз R — отношение эквива-
эквивалентности, оно транзитивно: если xRy и yRz, то xRz.
Иными словами, если xRy, то R [{y}]aR[{x}]. Но R сим-
симметрично (xRy есть yRx), отсюда следует, что если xRy,
то R [{x}] = R [{у}]. Далее, если z входит и в А* [{.г}], и в
#[{#}]> то R [{*}] = Я К2)] = Я [{«/}] и- следовательно, любые
два класса эквивалентности либо совпадают, либо не
пересекаются. Если у и z принадлежат классу эквива-
эквивалентности R [{х}], то, так как R [{у}] = R [{х}], получаем,
что yRz; иными словами, R[{x}]XR [{x}]cz/?. Следователь-
Следовательно, объединение множеств АхА по всем классам экви-
эквивалентности А является подмножеством множества R,
а из рефлексивности следует, что если xRy, то (х, у) 6
€ R [Ml X R [{х}]. Значит, R = U {А X А : A <v- Я}.
Прямое доказательство обратного утверждения опу-
опускается.
Часто нас будет интересовать, как ведет себя отно-
отношение на точках, принадлежащих некоторому подмно-
подмножеству его области определения; для таких точек отно-
отношение может обладать некоторыми дополнительными
свойствами, которые в прочих точках могут и не выпол-
выполняться. Для заданных множества X и отношения R мо-
можно построить новое отношение Rf)(XxX), областью
определения которого является подмножество множе-
множества X. Удобно условиться говорить, что отношение R
обладает некоторым свойством на X или что сужение R
на X обладает этим свойством, тогда и только тогда,
когда им обладает отношение ^ Л (ХхХ). Например, R
транзитивно на X в том и только в том случае, когда
Rf\(XxX)—транзитивное отношение. Уместно при
этом говорить, что определяемое свойство выполняется
функции 25
для точек из X; в нашем примере это точно отражает
ситуацию: если х, у и z — такие точки из X, что xRy и
yRz, то xRz.
ФУНКЦИИ
Теперь нам надлежит определить понятие функции
в терминах уже введенных понятий. Все возможные
здесь затруднения снимаются, как только мы замечаем,
что, чем бы ни была функция, график ее очевидным об-
образом определяется как некоторое множество упорядо-
упорядоченных пар. Более того, нет такой информации о функ-
функции, которую нельзя было бы извлечь из ее графика.
Короче говоря, нет причин проводить различие между
функцией и ее графиком.
Функция — это такое отношение, первые координаты
любых двух различных элементов которого различны *).
Таким образом, / является функцией тогда и только
тогда, когда элементами / служат упорядоченные пары,
и коль скоро (х, у) и (х, z) являются элементами /, то
y = z. Мы не отличаем функцию от ее графика. Термины
соответствие, преобразование, отображение, оператор и
функция имеют для нас одинаковый смысл. Пусть / —
функция их — точка из ее области определения (т. е. х
принадлежит множеству всех первых координат элемен-
элементов из /), тогда через f(x), или fx, обозначается вторая
координата того единственного элемента множества f,
первой координатой которого служит х. Точка f(x) на-
называется значением f в точке х, пли образом х при /; мы
говорим при этом также, что f сопоставляет х значение
f(x), или что f переводит х в f(x). Говорят, что функ-
функция f (определена) на X тогда и только тогда, когда X
является ее областью определения, и говорят, что f
отображает X на Y тогда и только тогда, когда Y являет-
является областью значений / (множеством вторых координат
элементов из f). Если область значений функции / со-
составляет подмножество множества У, то говорят, что /
*) В русской, да и в американской, литературе с давних пор
весьма популярно понятие многозначной функции (set-valued fun-
function); оно эквивалентно общему понятию отношения. См. В. И. По-
Пономарев [4], [5]; Майкл [4]. (Прим. перев.)
26 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
является отображением в Y. Вообще говоря, функция
многие элементы может переводить в один и тот же
элемент — может существовать много пар с одинаковой
второй координатой или, что эквивалентно, много точек,
на которых / принимает одинаковое значение. Функция /
называется взаимно однозначной, если образы различ-
различных точек различны; иначе говоря, если обратное соот-
соответствие /~* тоже является функцией.
Функция — это множество, следовательно, две функ-
функции fug совпадают в том и только в том случае, когда
они состоят из одних и тех же элементов. Ясно, что так
будет тогда и только тогда, когда область определения /
совпадает с областью определения g и f(x)=g(x) для
каждого х из этой области. Следовательно, функцию
можно задать, указав ее область определения и зна"'>
ние в каждой точке области определения. Если f--
функция на X в У и А — подмножество множества X, то
f(](AxY) тоже является функцией. Последняя назы-
называется сужением функции f на (множество) А и обозна-
обозначается через f\A; ее областью определения служит А, и
(f\A) (x) =f(x) для каждого х из А. Функция g является
сужением функции f на некоторое множество в том и
только в том случае, когда область определения g
является подмножеством области определения/ и g(x) =
= f(x) для каждого х из области определения функ-
функции g; иными словами, когда gczf. Функция / называется
продолжением функции g тогда и только тогда, когда
gcf. Таким образом, f является продолжением g тогда
и только тогда, когда g является сужением / на некото-
некоторое подмножество области определения /.
Пусть А — множество и / — функция; тогда в соот-
соответствии с определением, данным нами для произволь-
произвольных соответствий, f\A] = {y: (x,y)df для некоторого х
из А}. Эквивалентно этому такое описание: f[A] есть
{у .y = f{x) для некоторого х из А). Множество f[A) на-
называется образом А при f. Для любых множеств А и В
имеем f[AUB] = f[A]\if[B] и f [А П B]cf [А] П/ [В]. Анало-
Аналогичные формулы имеют место для любых объединений
и пересечений. Не верно, вообще говоря, что f[Af\B] =
= f[A]Clf[B], ибо образы непересекающихся множеств
могут пересекаться. Пусть / — функция; множество
ФУНКЦИИ
27
f-1 [Л] называется прообразом множества А при /, Опе-
Операция перехода к прообразу удовлетворяет следующим
алгебраическим правилам.
7. Теорема. Пусть f — функция, А и В — множе-
множества, тогда:
(a)
(б)
(в) Г[АПВ] = Г[А]ПГ[В].
Более общее утверждение: если для каждого элемен-
элемента с из непустого множества индексов С задано некото-
некоторое множество Хс, то:
(г) /~4U{Zc:c6C}]=U{f-4^c]:c€Q,
(д) f-4n{X:c€C}Hn{f-TO:c€C}.
Доказательство. Мы докажем только (д). Точ-
Точка х является элементом множества f'1 [ Г) [Хс : с 6 С}]
в том и только в том случае, когда f(x) принадлежит
стоящему в скобках пересечению, а так будет тогда и
только тогда, когда f(x)€Xc для каждого с из С. Но
последнее условие эквивалентно тому, что x^f~l[Xc] для
каждого с из С, т. е. эквивалентно соотношению
Предшествующая теорема обычно формулируется
так: переход к прообразу перестановочен с переходом
к относительному дополнению и операциями объедине-
объединения и пересечения. Следует заметить, что выписанные
в теореме 7 формулы справедливы для любых множеств
А и В, а не только для подмножеств области значе-
значений функции /. Конечно, f~l[A] совпадает с прообразом
пересечения А с областью значений f, однако удобно
не ограничивать наше обозначение (и соответствую-
соответствующее обозначение для образов при /) случаем подмно-
подмножеств области значений (соответственно области опре-
определения).
Композиция двух функций — снова функция, это до-
доказывается прямым рассуждением. Для любой функ-
функции f соответствие f~iof является отношением эквива-
эквивалентности, ибо (х, у) € f~l °f в том и только в том случае,
когда f(x)—f(y). Композиция f of является функцией —
тождеством на области значений функции f.
8. Замечания. Иногда значение функции / в точ-
точке х обозначают по-другому. Помимо f(x) и fx, пишут
28 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
(f. x), (x,f), fx, xf и -fx. Первые два из последних четы-
четырех обозначений особенно удобны, когда сталкиваются<
с двойственностями, — если речь идет о семействе F
функций, определенных на фиксированном множестве X,
и мы хотим трактовать F и X симметрично. Обозначения
fx и xf суть очевидные сокращения принятых нами обо-
обозначений; при этом писать f слева или справа от х—
дело вкуса*)- У обозначений xf, fx и f(x) есть общий
недостаток: в определенных, довольно сложных, ситуа-
ситуациях они могут вызвать недоразумения, если не пользо-
пользоваться обильно скобками. При работе с последним обо-
обозначением, применяемым А. П. Морсом (А. Р. Morse),
никаких затруднений этого рода не возникает. Оно не ве-
ведет к двусмысленностям и не нуждается в скобках. (См.
замечания по поводу объединений и пересечений, сде-
сделанные в 0.4.)
Необходимо уметь записывать некоторые функции
в терминах связанных переменных. Например, функция,
определенная на множестве всех вещественных чисел со
значением х2 в х, должна иметь какую-то краткую
запись. Для рассматриваемого частного случая выход
может заключаться в том, чтобы согласиться, что х обо-
обозначает тождественную функцию на множестве веще-
вещественных чисел, тогда х2 разумно было бы понимать как
квадрат этой функции. Классический прием состоит в
том, чтобы использовать х2 как для обозначения самой
функции, так и для обозначения ее значения в точке х.
Менее сомнительный подход— записывать функцию, со-
соответствующую возведению в квадрат, как x^-.v2. Обо-
Обозначения этого рода весьма соблазнительны; они сейчас
быстро входят в общее употребление. Однако они не
универсальны; например, утверждение (х-+х2) (t) =l2
потребовало бы разъяснений. Наконец, следует заметить,
что хотя стрелочные обозначения, вне всякого сомнения,
станут стандартными, ^-соглашение Чёрча (A. Church)
*) Известно, что обозначение xf обладает определенными пре-
преимуществами перед fx; например, пусть X-L-*-Y, У ?->Z— ото-
отображения, тогда их композиция X->Z только при выборе первого
обозначения записывается естественно — через jg. {Прим. перев.)
УПОРЯДОЧЕНИЯ 29
имеет перед ними технические преимущества. (Возведе-
(Возведение в квадрат как функция может быть записано в виде
Кх : х2.) При этом можно не употреблять никаких ско-
скобок, не опасаясь двусмысленностей *).
УПОРЯДОЧЕНИЯ
Упорядочение (частичное упорядочение, квазиупоря-
квазиупорядочение) — это транзитивное отношение. Говорят, что
отношение < упорядочивает (частично упорядочивает)
множество X тогда и только тогда, когда оно является
транзитивным отношением на X. Когда < — упорядоче-
упорядочение и х<у, обычно говорят, что х предшествует у, или
что х меньше у (относительно <), и что у следует за к,
или что у больше х. Пусть А — подмножество множе-
множества X, упорядоченного отношением <. Элемент х?Х
называется верхней гранью множества А в том и только
в том случае, когда для любого у из А либо у<х, либо
у = х. Аналогично элемент х?Х называется нижней
гранью множества А, если х предшествует любому яе
равному ему элементу из А. Конечно, у множества мо-
может существовать много различных верхних граней.
Элемент х называется наименьшей верхней гранью (su-
premum) множества А тогда и только тогда, когда он
является верхней гранью А и предшествует любой не
равной ему верхней грани множества А. (Иными сло-
словами, наименьшая верхняя грань — это верхняя грань,
являющаяся нижней гранью множества верхних граней.)
Подобным же образом наибольшая нижняя грань, или
infimum, определяется как нижняя грань, которая ма-
мажорирует прочие нижние грани. X называется полным
упорядоченным множеством**) (относительно <), то-
тогда и только тогда, когда у каждого непустого подмно-
*) По поводу обозначений Чёрча и связанных с этим проблем
см. Curry H. В. and Feys R., Combinatory Logic, Amsterdam,
1960, а также Curry H. В., Foundations of Mathematical Logic,
1963, гл. III. (Прим. ред.)
**) Сравните эту терминологию с терминологией, принятой в пе-
переводе книги Н. Бурбаки «Теория множеств», стр. 383 и дальше.
(Прим. перев.)
30 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
жества X, обладающего в X верхней гранью *), есть наи-
наименьшая верхняя грань. Может показаться удивитель-
удивительным, что сформулированное условие для верхних граней
полностью эквивалентно соответствующему условию для
нижних граней, а именно:
9. Теорема. X является полным упорядоченным
множеством относительно заданного на нем упорядоче-
упорядочения в том и только в том случае, когда у каждого его
непустого ограниченного снизу **) подмножества есть
наибольшая нижняя грань.
Доказательство. Предположим, что X — полное
упорядоченное множество относительно заданного упо-
упорядочения и Л — его непустое подмножество, ограничен-
ограниченное снизу. Обозначим через В множество всех нижних
граней множества А. Множество В не пусто, и, очевид-
очевидно, каждый элемент непустого множества А является
верхней гранью множества В. Следовательно, у В есть
наименьшая верхняя грань; пусть, например, это будет
элемент Ь. Тогда b меньше произвольной не равной ему
верхней грани множества В, в частности, Ь предшествует
произвольному не равному ему элементу из А. Значит,
b — нижняя грань множества А. С другой стороны, b
является верхней гранью В, т. е. b больше или равно
произвольной не равной ему нижней грани множества А.
Следовательно, b — наибольшая нижняя грань множе-
множества А.
Обратное утверждение доказывается аналогично;
впрочем, можно просто применить полученный только
что результат к отношению, обратному для <.
Следует отметить, что данное нами определение упо-
упорядочения не очень ограничительно. Например, упорядо-
упорядочением множества X, правда малоинтересным, является
ХхХ. При этом упорядочении каждый элемент множе-
множества X является верхней гранью (даже наибольшей
верхней гранью) произвольного подмножества множе-
*) Такие подмножества мы будем называть ограниченными
сверху. {Прим, перев.)
**) Ограниченными снизу называются такие подмножества упо-
упорядоченного множества, у которых есть хотя бы одна нижняя
грань. (Прим. перев.)
УПОРЯДОЧЕНИЯ 31
ства X. Более интересные упорядочения получаются,
если наложить следующее условие: если х меньше у, а у
меньше х, то у=х. В этом случае у множества может
быть не более одной наименьшей верхней и не более од-
одной наибольшей нижней грани.
Линейным упорядочением (или совершенным упоря-
упорядочением) называется упорядочение, для которого:
(а) из х<у и у<х следует, что х=у, и
(б) каковы бы ни были различные элементы х и у из
объединения области определения и области значений
отношения <, выполняется х<^у или у<х.
Стоит отметить, что линейное упорядочение может и
не быть рефлексивным. Однако можно условиться писать
х *С у в том и только в том случае, когда х<у или х = у.
Тогда, если <—линейное упорядочение, то <^ — ре-
рефлексивное линейное упорядочение. В соответствии с при-
принятым нами соглашением мы говорим, что отношение
задает линейный порядок на X, тогда и только тогда,
когда его сужение на X является линейным упорядоче-
упорядочением. Множество вместе с линейно упорядочивающим
его отношением называется цепью. Ясно, что в цепях
наибольшие нижние и наименьшие верхние грани мно-
множеств, если они существуют, единственны. Остальные
утверждения этого раздела касаются цепей; впрочем,
будет ясно, что многие рассмотрения можно было бы
провести и для случая более общих упорядочений.
Функция /, определенная на упорядоченном отноше-
отношением < множестве X со значениями в множестве Y,
упорядоченном отношением <[, называется возрастаю-
возрастающей (сохраняющей порядок, монотонной, изотопной) то-
тогда и только тогда, когда из и ^ v, где и, vdX, следует,
что /(и) </(у) или f(u)=f(v). Если заданное на Y упо-
упорядочение ¦<[ есть просто YxY или если упорядочение
<, заданное на X, является пустым отношением, то / не-
непременно сохраняет порядок. Поэтому не следует ожи-
ожидать, что обратная к взаимно однозначной возрастаю-
возрастающей функции будет всегда возрастающей функцией.
Однако если X и У—цепи, а /—взаимно однозначная
монотонная функция, то и /~* обязательно монотонна,
ибо если f(u) </(у) и f{uL=f(v), то v<u невозможно,
так как порядок сохраняется.
32 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Полные цепи *) обладают одним очень специальным
свойством. Предположим, что X и У — цепи, Хо — под-
подмножество множества X и /— сохраняющее порядок
отображение Хо в У. Возникает вопрос: существует ли
монотонная функция, являющаяся продолжением функ-
функции f на все X? Если на / не налагать никаких ограни-
ограничений, то ответ, вообще говоря, отрицателен. В самом
деле, пусть X — множество всех положительных веще-
вещественных чисел, Jo — его подмножество, образованное
числами, меньшими 1, Y=X0 и f является тождественным
отображением. Легко видеть тогда, что / нельзя продол-
продолжить до монотонного отображения множества X в У.
(Предположим, что / — такое продолжение; что есть
тогда f(l)?) Этот пример, однако, выявляет и природу
затруднения: у А'о в А' есть верхняя грань, а у /[Хо] в У
нет верхней грани. Если монотонное продолжение f
функции f существует, то оно, несомненно, переводит
верхние грани множества А в верхние грани множе-
множества f[A]. Аналогичное утверждение имеет место для
нижних граней, следовательно, если подмножество А
множества А'о ограничено в X (т. е. у него в X есть и
нижняя и верхняя грани), то его образ f[A] ограничен
в Y. Следующая теорема утверждает, что это условие
является и достаточным для существования монотонного
продолжения.
10. Теорема. Пусть /-—монотонное отображение
подмножества Хо цепи X в полную цепь У. Тогда у {
есть монотонное продолжение на все X в том и только
в том случае, когда / переводит ограниченные множе-
множества в ограниченные множества. (Точнее, условие та-
таково: если А — подмножество А'о, ограниченное в X, то
множество f[A] ограничено в У.)
Доказательство. Уже отмечалось, что сформу-
сформулированное условие необходимо для существования мо-
монотонного продолжения. Остается доказать его доста-
достаточность. Нужно построить монотонное продолжение
заданного отображения /. Заметим, прежде всего, что
если подмножество А множества А'о имеет в X нижнюю
*) Имеются в виду цепи, порядок на которых полон. (Прим.
перев.)
УПОРЯДОЧЕНИЯ 33
грань, то и у f[A] есть нижняя грань Y. Ибо, выбрав в А
произвольную точку х, мы получаем ограниченное в X
множество {у : у? А и у -*С х}, образ которого при / тоже,
следовательно, ограничен. Нижняя грань этого образа
является и нижней гранью множества f[A]. Аналогичное
утверждение имеет место и для верхних граней. Для
каждого х из X обозначим через Lx множество всех эле-
элементов из Хо, меньших или равных X; таким образом,
Lx = {y : у ^С х и у?Ха]. Если Lx пусто, то х является
нижней гранью множества Хо и, значит, у f[X0] есть наи-
наибольшая нижняя грань v; положим в этом случае f(x) =
— v. Если множество Lx не пусто, то из того, что х слу-
служит верхней гранью Lx, вытекает, что и у множества
f[Lx] есть верхняя грань. Следовательно, у f[Lx] есть и
наименьшая верхняя грань. Положим f(x) =sup/[Lj.
Без каких-либо затруднений доказывается, что f
является монотонным продолжением отображения /.
В определенных ситуациях монотонное продолжение
функции единственно. С одним таким случаем мы встре-
встретимся при рассмотрении десятичного разложения веще-
вещественного числа. Не стремясь к формулировке наилуч-
наилучшего положительного результата в этом направлении,
мы дадим сейчас простое достаточное условие един-
единственности продолжения; впоследствии оно нам приго-
пригодится.
11. Теорема. Пусть f и g — монотонные отобра-
отображения цепи X в цепь Y, Хо — некоторое подмножество,
на котором fug согласуются, и Y0=f[X0]. Тогда для
f=g достаточно, чтобы Yo пересекало каждое множество
вида {у : u<y<v, уфи и уфи), где и и v — произвольные
элементы из У такие, что u<v.
Доказательство. Если ^g, то f{x)фg(x) для
некоторого х из X; можно при этом считать, что /(*)<
<?(л:). Каждый элемент множества Хо, меньший или
равный х, отображается посредством / в элемент, мень-
меньший или равный f(x), в силу монотонности f, и каждый
элемент, больший или равный х, отображается посред-
посредством g в элемент, больший или равный g(x), в силу
монотонности g. Следовательно, ни одна точка множе-
множества Хо не отображается в множество {у :f{x)<y<g(x),
f(x) Фу и yфg(x)}¦, этим теорема доказана.
34 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
12. Замечания. Каждую цепь можно естествен-
естественным образом вложить в некоторую полную цепь; это
достигается обобщением дедекиндова построения веще-
вещественных чисел на основе множества рациональных чи-
чисел. Соответствующий процесс можно применить и к бо-
более общим упорядочениям, как это показано Мак Ней-
лом (Н. М. Mac Neille), см. Биркгоф [1], стр. 58. Он
напоминает процедуру бикомпактного расширения топо-
топологических пространств (глава 5).
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
В этом разделе приводится несколько определений
из элементарной алгебры. Определяемые понятия встре-
встречаются в основном в упражнениях. Терминология стан-
стандартная; естественно собрать немногие нужные понятия
вместе.
Группа — это пара (G, •), где G— непустое множе-
множество, а • — групповая операция, т. е. такое отображение
множества GxG в G, что (а) операция • ассоциативна,
т. е. х • (у ¦ z) = (х • у) • z для всех х, у и z из G; (б) су-
существует нейтральный, или единичный, элемент е, для
которого е • х = х- е = х, какова бы ни была точка х из G,
и (в) для каждого х из G в G есть обратный элемент х'1
такой, что х • х = л: • х = е. Когда групповая операция
обозначается через +, элемент, обратный к х, обозна-
обозначается обычно через —х. В соответствии с общеприня-
общепринятой системой значение функции • на элементе (х, у) обо-
обозначается через х • у; следуя обычным правилам записи
значения функции, мы должны были бы написать • (х, у).
Когда никаких недоразумений не ожидается, символ •
можно совсем опускать; групповой операции соответ-
соответствует тогда просто запись элементов рядом. Иногда
(допуская вольность речи) мы будем говорить, что G
является группой. Пусть А и В — любые подмножества
множества G; тогда А • В, или просто АВ, — множество
всех элементов вида х-у, где х?А и у?В. Множество
{я}-Л обозначается также через х-А, или просто через
хА; аналогичное соглашение принимается для умноже-
умножения справа. Группу называют абелевой, или коммутатив-
коммутативной, тогда и только тогда, когда х-у — у-х для всех х и
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ 35
у из G. Группа Я является подгруппой группы G в том
и только в том случае, когда HaG и групповая опера-
операция на Я получается сужением на ЯхЯ групповой опе-
операции, заданной на G. Подгруппу Я называют нормаль-
нормальной (нормальным делителем) тогда и только тогда, ко-
когда х • Н = Н • х для любого х из G. Левым классом
смежности группы G по подгруппе Я, или левым комно-
жеством по Я, называется любое множество вида X • Я,
где X — какой-нибудь элемент из G. Семейство всех ле-
левых классов смежности группы G по Н обозначается
через G/H. Если Я — нормальный делитель, А и В —
элементы множества G/H, то А • В тоже является эле-
элементом множества G/H. При таком определении группо-
групповой операции GJH становится группой; называется она
фактор-группой группы G по Я. Отображение f группы G
в группу Я называется гомоморфизмом, или представле-
представлением, в том и только в том случае, когда f(x-y) —
=f(x) 'f(y) Для любых х и у из G. Ядро гомоморфизма f
есть множество f~l[e]. Ядро всегда является нормальным
делителем. Пусть Я — нормальный делитель группы G.
Отображение, переводящее x(iG в х-Н, является гомо-
гомоморфизмом. Этот гомоморфизм обычно называют про-
проектированием, или фактор-отображением, группы G в
группу GjH.
Кольцом называется тройка (R, +, •)• гДе (¦/?» +) —
абелева группа и • — отображение множества RXR в R,
удовлетворяющее ассоциативному и дистрибутивному за-
законам,— последнее означает, что (u + v) • (х + у) —
= и • х+и • y + v • х + и • у для всех х, у, и и v из R. Под-
кольцо— это подмножество кольца, само являющееся
кольцом относительно ограничений на него операций
кольца. Кольцевым гомоморфизмом, или представле-
представлением, называется такое отображение f одного кольца в
другое, что f(x+y)=f (x)+f {у) и f (х- у) =f (x) -f(y) для
всех элементов х и у из области определения f. Аддитив-
Аддитивная подгруппа / кольца R называется левым идеалом в
том и только в том случае, когда xlczl для любого х
из R; говорят, что / — двусторонний идеал, тогда и
только тогда, когда xlczl и Ixd для каждого х из R.
Если / — двусторонний идеал, то R/I по отношению к
соответствующему сложению и умножению является
36 ГЛ. О, ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
кольцом; проектирование R на R/I тогда представляет со-
собой кольцевой гомоморфизм. Поле — это такое кольцо
(F, + , •), что (a) F содержит по крайней мере два раз-
различных элемента и (б) (FXjO}), где 0 — нейтральный от-
относительно операции + элемент, является коммутативной
группой. Операция + называется при этом сложением,
операция ¦ — умножением, а нейтральный относительно
умножения элемент называется единицей кольца и обо-
обозначается через 1. Принято, когда бояться нечего, заме-
заменять знак • обычной записью рядом и говорить, что F
является полем (вместо «F вместе с операциями + и •»).
Линейным, или векторным, пространством над полем F
(полем скаляров пространства) называется четверка
(X, ф, •, F), где (X, ф) — абелева группа, а —ото-
—отображение FxX в X такое, что для всех х и у из X и
всех a, b из F выполняются соотношения: а-(Ь-х) =
= (а-Ь)-х, (а+'о) • х = а -xQ)b • х, а • (xQ)y) =а- хфа- у
и I • х — х. Вещественным линейным пространством на-
называется линейное пространство над полем веществен-
вещественных чисел. Можно дать чуть-чуть другое определение
линейного пространства. Семейство всех гомоморфизмов
произвольной абелевой группы в себя, вместе с опера-
операцией сложения, определенного по точкам, и умножения,
определенного как переход к композиции гомоморфиз-
гомоморфизмов, образует кольцо, называемое кольцом эндоморфиз-
эндоморфизмов рассматриваемой группы. Линейное пространство
над полем F — это четверка (X, ф, •, F), где (л, ф) —
абелева группа и —некоторый кольцевой гомоморфизм
поля в кольцо эндоморфизмов группы (X, ф), переводя-
переводящий единицу, 1, в тождественный гомоморфизм.
Линейное пространство (У, ф,©, F) называется под-
подпространством линейного пространства (X, + •, F) тогда
и только тогда, когда YczX и операции + и • согла-
согласуются с ф и © там, где последние определены. Семей-
Семейство X/Y классов смежности пространства X по его под-
подпространству У превращается в линейное пространство,
если в X/Y очевидным образом определить сложение и
умножение на число. При этом для проектирования / X
на X/Y имеет место f {а • х + Ь • у) =а- f (x) +b •/(«/), ка-
каковы бы ни были х, у из X и а, Ъ из F. Отображения
линейных пространств, удовлетворяющие такому уело-
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА 37
вию, называются линейными преобразованиями (или ли-
линейными отображениями). При этом множество /~f[0]
называется нуль-пространством *) преобразования /; оно
всегда является линейным подпространством области оп-
определения преобразования (относительно индуцирован-
индуцированных в f [0] операций сложения и умножения на число).
Предположим, что / — линейное преобразование X
в У и g — линейное преобразование X на Z такие, что
нуль-пространство f содержит нуль-пространство g. То-
Тогда существует единственное линейное преобразование
h Z в У, для которого f — h°g (а именно, h(z) является
единственным элементом множества f°g~ilz])- (Говорят
при этом, что преобразование h индуцировано преобра-
преобразованиями f и g.) Из отмеченного обстоятельства, в ча-
частности, следует, что каждое линейное преобразование
можно представить как композицию проектирования
в фактор-пространство и последующего взаимно одно-
однозначного линейного преобразования.
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
Этот раздел посвящен доказательству нескольких важ-
важнейших результатов, касающихся вещественных чисел.
Упорядоченное поле — это поле F, в котором выде-
выделено некоторое подмножество Р, называемое множе-
множеством положительных элементов, такое, что
(а) если х и у — элементы Р, то х+у и ху тоже
принадлежат Р и (б) для любого элемента х из F вы-
выполняется в точности одно из следующих трех соотно-
соотношений: х?Р,—х?Рилих = 0.
Легко проверяется, что отношение <, определенное
правилом: х<у в том и только в том случае, когда
у — х?Р, является линейным упорядочением множе-
множества F. Справедливы обычные предложения о сложении
и умножении неравенств. Элементы х из F, для которых
—х?Р, называются отрицательными.
Будем предполагать, что вещественные числа обра-
образуют упорядоченное поле, полное относительно заданного
на нем порядка, в том смысле, что каждое его непустое
") Чаще /"'@) называют ядром преобразования f.
38 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ограниченное сверху подмножество имеет наименьшую
верхнюю грань, или supremum. В силу 0.9 последнее
требование эквивалентно условию, что у каждого непу-
непустого ограниченного снизу подмножества есть наиболь-
наибольшая нижняя грань, или infimum.
Докажем, прежде всего, несколько предложений
о натуральных числах. Множество Л вещественных чи-
чисел называется индуктивным, если 06 Л и, коль скоро
х?Л, то и Х+16А Вещественное число х называется
неотрицательным целым числом тогда и только тогда,
когда оно принадлежит каждому индуктивному множе-
множеству. Иными словами, множество со неотрицательных
целых чисел определяется как пересечение всех индук-
индуктивных множеств. Каждый элемент из со действительно
неотрицателен, ибо множество всех неотрицательных
чисел индуктивно. Очевидно, со само индуктивно и
является подмножеством любого другого индуктивного
множества. Отсюда следует (принцип математической
индукции), что каждое индуктивное подмножество мно-
множества со совпадает с со. Доказательства, опирающиеся
на этот принцип, называются доказательствами по ин-
индукции. Докажем в качестве примера следующую ма-
маленькую теорему: если р и q — неотрицательные целые
числа и p<q, то q — р?со. Заметим сначала, что мно-
множество, содержащее 0 и все числа вида р+\, где р€со,
индуктивно; следовательно, каждый ненулевой элемент
из ш можно представить в виде р+\. Далее, пусть А —
множество всех неотрицательных целых чисел р таких,
что q — рбсо для любого большего элемента q из со.
Ясно, что 0 € Л. Пусть р — какой-нибудь элемент из А
и q — произвольный элемент множества со, больший
р+\. Тогда p<q — 1, и из р? Л и <?— 1 € со следует, что
q— 1 — р ?со. Следовательно, р+ 1 ? Л, т. е. Л — индук-
индуктивное множество. Значит, Л = со. Так же легко показать,
что сумма любых двух элементов множества со принад-
принадлежит со. А из этих двух утверждений следует, что мно-
множество {х:х?со или —х?со} является группой. Это — ¦
группа целых чисел.
Часто бывает удобна другая форма принципа мате-
математической индукции: в каждом непустом подмноже-
подмножестве А множества со есть наименьший элемент. Для
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА 39
доказательства этого утверждения рассмотрим множе-
множество В всех элементов множества со, являющихся ниж-
нижними гранями множества А; таким образом, В = {р : р 6 со
и р ^q для всех q из А). Множество В не индуктивно,
ибо если q<zA, то q+\ (? В. Из 0?? следует, что в 8
существует элемент р, для которого р+\ (? В. Если
р?Л, то ясно, что р является наименьшим элементом
множества А. Если же р (? А, то в А найдется элемент q
такой, что p<q<p+\. Но тогда q — р — ненулевой эле-
элемент множества со и, значит, q — р — 1 — отрицательный
элемент, принадлежащий со, что невозможно.
Можно определять функцию по индукции в следую-
следующем смысле. Для каждого неотрицательного целого чи-
числа р положим coj> = {<7: q ?co и q^Cp). Предположим, что
мы хотим определить на всем множестве со некоторую
функцию, значение а которой в нуле уже задано, и пусть
для каждой функции g, определенной на сор, задано
F(g), которое должно служить значением искомой функ-
функции для р+\, если ее сужение на сор совпадает с g. Та-
Таким образом, значение определяемой функции для р+\
может зависеть от ее значений на всех меньших целых
числах. В описанной ситуации существует единственная
функция f на со такая, что f(O)=a и f(p+ I) =F(f|cop)
для каждого р из со. (Через /|соР здесь согласно приня-
принятому нами условию обозначено сужение функции f на
множество сор.) Обычно это утверждение считается оче-
очевидным, но доказательство его не вполне тривиально.
13. Теорема. Предположим, что заданы а и F(g)
для любой функции g, областью определения которой
служит множество сор, где р — любой элемент множе-
множества со. Тогда существует единственная функция f, для
которой f(O)=a и f(p+l)=F(f\ap) при любом р€ со.
Доказательство. Пусть § — семейство всех
функций g, каждая из которых определена на некото-
некотором множестве вида сор, где р? со, и удовлетворяет усло-
условиям: (a) g@) =a и (б) для каждого q из со такого, что
q*Cp—1, непременно g(q+ I) =F(g\aq). (Интуитивно
ясно, что элементы семейства 3—это начальные куски
искомой функции.) Семейство S обладает важным свой-
свойством: если g, ft?3> то либо gah, либо hag. Для дока-
40 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
зательства достаточно обнаружить, что g(q)=h(q) для
всех q, принадлежащих области определения как той,
так и другой функции. Предположим, что написанное
равенство выполняется не всегда, и пусть q — наимень-
наименьшее целое число, для которого g{q)=f=h(q). Тогда q4=0,
ибо g@)=h@) =а; следовательно, g(q)=F(g\aq-i). Но
F(g\aq-i) =F(h\(dq-i), так как g и h согласуются на эле-
элементах, меньших q. Значит, g{q) = F(g\ wg_i) =
= F(h\(Oq-i) —h(q), что ведет к противоречию. Пусть f=
— U{g : ,gf€§}- Элементами множества f являются, оче-
очевидно, упорядоченные пары. Далее, если (х, у) <Lg ? g и
(х, z)(zh?%, то пары (х, у) и (х, г) принадлежат обе
либо g, либо h и, следовательно, y = z. Значит, / является
функцией. Надо показать, что эта функция искомая.
Прежде всего, так как {@, а)}€§. то f(O)—a. Далее,
если q+\ принадлежит области определения функции f,
то q+\ является элементом области определения неко-
некоторой функции g?% Поэтому f (q+ 1) =g{q+ 1) =
~F(g\o)q) =F(f\ag). Наконец, покажем, что областью
определения функции f является все множество со. Пред-
Предположим, что q — первый элемент из со, не принадле-
принадлежащий ей. Тогда а—1—последний элемент области
определения функции f. В то же время функция /U
U{(<7. F(f))} является элементом семейства 5s. Значит,
q принадлежит области определения функции f, что ве-
ведет к противоречию *).
Предшествующей теоремой можно систематически
пользоваться при доказательстве элементарных свойств
вещественных чисел. Например, если b —положительное
число яр — целое число, то Ьр определяется следующим
образом. Положим в условии предшествующей теоремы
а = \, и пусть для каждой функции g с областью опре-
определения ар будет F(g) =bg(р). Тогда/@) = 1 и/(/7+1) =
= bf(p) для всех р из со, если в качестве f взять функ-
функцию, существование которой гарантируется доказанной
теоремой. Положим h" = f(p). Тогда Ь°=\ и Ьр+] = ЬЬр,
откуда по индукции можно вывести, что Ъ'р^ч—Ь'рЬч для
всех р и q из со. Если Ь~т определить как \\Ьт для всех
неотрицательных целых р, то обычным элементарным
*) Единственность искомой функции очевидна. (Прим. перев.)
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА 41
рассуждением устанавливается, что Ьр+ч = Ьр -Ъч для
всех целых р и q.
Пока в наших рассуждениях о вещественных числах
мы не пользовались тем, что заданное упорядочение
полно. Докажем теперь простое, но достойное внимания
следствие полноты порядка. Прежде всего, множество
неотрицательных целых чисел не ограничено сверху. Ибо
если бы элемент х был наименьшей верхней гранью
множества со, то элемент х — ! не был бы верхней
гранью этого множества. Тогда было бы х— Кр для
некоторого р из со. Отсюда х<р+1, что противоречит
тому, что х является верхней гранью со. Значит, для
любых положительных вещественных чисел х и у най-
найдется целое положительное р такое, что рх>у, так как
существует pd со, большее у/х. Упорядоченное поле, удо-
удовлетворяющее этому условию, называется архимедовым
упорядочением.
Нам полезно будет знать, что каждое неотрицатель-
неотрицательное вещественное число обладает 6-адическим разложе-
разложением для любого целого Ь, большего единицы. Говоря
нестрого, мы хотим записать число х в виде суммы сте-
степеней числа Ь, используя неотрицательные целые числа,
меньшие Ъ, в качестве коэффициентов (разрядов). Ко-
Конечно, 6-адическое разложение числа не всегда опреде-
определено однозначно — при десятичном разложении 0,999...
(всюду девятки) и 1,000... (всюду нули) являются раз-
разложениями одного и того же вещественного числа. Раз-
Разложение фиксированного числа — это функция, которая
ставит в соответствие каждому целому числу некоторое
целое число, заключенное между 0 и b—I, такая, что
(поскольку мы хотим, чтобы до запятой стояло лишь
конечное число ненулевых членов) имеется первый не-
ненулевой разряд. Формально а является b-адическим раз-
разложением*) тогда и только тогда, когда а — функция,
определенная на множестве всех целых чисел, областью
значений которой служит множество ooh-i( = {<7 : q ? со и
q <[ Ъ — 1}), такая, что имеется наименьшее целое р, для
которого ар(=а(р)) отлично от нуля. 6-адическое
*) В русской литературе принято также название «разложение
по основанию 6». (Прим. перев.)
42 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
разложение а называется рациональным в том и только
в том случае, когда существует наибольший ненулевой
разряд (т. е. если для некоторого целого р ад = 0 при
q>p). С каждым рациональным 6-адическим разложе-
разложением а можно весьма просто связать некоторое веще-
вещественное число г(а). Для всех — за исключением ко-
конечного множества — целых чисел р число apb~p равно
нулю; тогда сумма чисел apb~P, где р пробегает упомя-
упомянутое конечное множество, и есть вещественное число
г (а), соответствующее а. Мы пишем при этом: г(а) =
= S {apb~P : р — целое число}. Каждое вещественное
число, представимое в таком виде, называется Ь-адиче-
ским рациональным (рациональным по основанию Ь).
Таковы числа вида qb~v, где р и q— целые числа. Обо-
Обозначим через Е множество всех 6-адических разложе-
разложений. Его можно лексикографически упорядочить, а имен-
именно, 6-адическое разложение а предшествует 6-адическому
разложению с при словарном порядке {лексикографи-
{лексикографическом порядке) тогда и только тогда, когда для наи-
наименьшего целого р такого, что арфср, имеет место
аР<ср. Легко видеть, что, как и в случае обыкновенного
словаря, отношение < упорядочивает множество Е ли-
линейно. Описанное нами соответствие г сохраняет поря-
порядок; в этом — ключ к следующему предложению.
14. Теорема. Пусть Е — множество всех Ь-адиче-
ских разложений и R — множество всех рациональных
разложений; положим для каждого а из R г(а) =
= 1>{арЬ~Р : р — целое число}. Тогда существует един-
единственное монотонное продолжение f отображения г, опре-
определенное на всем Е, при котором множество E\R
взаимно однозначно отображается на множество всех
вещественных положительных чисел.
Доказательство. Согласно теореме 0.10 моно-
монотонное продолжение г отображения г будет существо-
существовать, если г переводит каждое подмножество множе-
множества R, ограниченное в Е, в ограниченное подмножество
множества вещественных чисел. Но, очевидно, для ка-
каждого at E существует элемент b€.R такой, что by а.
Если а — верхняя грань подмножества А множества R,
то г(Ь) является верхней гранью множества f[A]. Ана-
Аналогичное рассуждение проходит для нижних граней;
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА 43
следовательно, г переводит ограниченные множества в
ограниченные множества. Поэтому у г есть монотонное
продолжение г, определенное на всем Е.
Для доказательства единственности достаточно в силу
теоремы 0.10 убедиться, что, каковы бы ни были неот-
неотрицательные вещественные числа х и у, из х<у следует,
что для некоторого a^R х<г(а) <у. Так как Ь?>р, ка-
каково бы ни было неотрицательное целое число р (это
легко доказать по индукции), и так как множество не-
неотрицательных целых чисел не ограничено, то суще-
существует целое р, для которого &р>1/(?/— х). Тогда Ь~р<.
< (у — х). Существует целое число q такое, что qb~p > у,
ибо упорядочение архимедово. Так как среди таких q
есть наименьшее, то можно предположить, что
(q—\)b~p<y. Тогда (q—l)b~p>x, ибо Ь"р меньше
(у-—х). Этим доказано, что существует fr-адическое ра-
рациональное число, а именно (q— l)b'P, являющееся
образом некоторого элемента из R и лежащее между к
и у. Следовательно, монотонное продолжение г един-
единственно.
Покажем теперь, что отображение г взаимно одно-
однозначно на подмножестве E\R. Непосредственно видно,
что г взаимно однозначно на R; этот факт будет дальше
использован. Пусть а?Е, c?E\R и а<с. Тогда для
первого из тех р, для которых av и ср различны, непре-
непременно ар<ср. Разложение d, определенное следующим
образом: dq — aq при q<p, dq=0 при q>p и dp = ap + \,—
является элементом множества R, большим а. Так как
у с нет последнего ненулевого разряда, то a<d<c. По-
Повторяя рассуждение, найдем в R элемент е, для кото-
которого a<.d<e<.c. Тогда из взаимной однозначности ото-
отображения г на R вытекает, что r(a) <^ r(d) <r(е)*Сг(с).
Значит, г взаимно однозначно на E\R.
Наконец, надо показать, что образ множества E\R
при отображении г представляет собой все множество
положительных чисел. Заметим сначала, что для ка-
каждой пары элементов с и d из R, для которой c<d,
найдется такое a(zE\R, что c<a<.d. Следовательно,
для любых положительных вещественных чисел х и у,
где х<у, можно найти в E\R такой элемент а, что
х<г(а) <у. Пусть теперь х — некоторое вещественное
44 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
положительное число, не являющееся образом никакого
элемента из E\R при отображении г. Положим F=
= {а : а 6 E\R и г (а) <х}. Если у множества F есть верх-
верхняя грань — элемент с, то при г(с)<х ни одна точка из
E\R не может отобразиться в интервал (F(c), я), а при
г(с)>х (так как г сохраняет порядок) ни одна точка из
E\R не может отобразиться в интервал (х, г (с)). В лю-
любом случае имеем противоречие. Таким образом, тео-
теорема будет доказана, если мы обнаружим, что каждое
ограниченное сверху непустое подмножество множества-
E\R имеет верхнюю грань, т. е. что E\R полно в рас-
рассматриваемом упорядочении.
Пусть F — произвольное непустое ограниченное
сверху подмножество множества E\R. Тогда среди чи-
чисел р таких, что арф0 для некоторого а из F, суще-
существует наименьшее. Положим по определению, что cq
равно нулю при q<p; пусть Fv — множество всех эле-
элементов а из F, /7-й разряд ар у которых отличен от нуля,
и Ср —max {av : a(zFv}. Определим Fp+i как множество
всех элементов a(zFp, для которых aq — cg при q=p, и
положим ср+1 = тах {ap+i: a € Fp+1); продолжим построе-
построение по индукции. Ни одно из множеств Fv не может
быть пустым. Легко видеть, что разложение с, к кото-
которому приводит описанная конструкция, является верх-
верхней гранью множества F — в действительности его наи-
наименьшей верхней гранью — и что c?E\R.
Предшествующая теорема будет применена в случаях
6 = 2, 6 = 3 и 6 = 10. Соответствующие 6-адические разло-
разложения называются двоичным, троичным и десятичным.
СЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА
Множество называется конечным тогда и только то-
тогда, когда можно установить взаимно однозначное соот-
соответствие между его элементами и элементами некото-
некоторого множества вида {р:р?а> и p<q}, где q ? со. Мно-
Множество А называется счетно бесконечным в том и только
в том случае, когда можно установить взаимно одно-
однозначное соответствие между его элементами и элемен-
элементами множества со всех неотрицательных целых чисел.
СЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА 45
Говорят, что множество счетно, тогда и только тогда,
когда оно либо конечно, либо счетно бесконечно.
15. Теорема. Произвольное подмножество счетно-
счетного множества само счетно.
Доказательство. Пусть А — счетное множество,
f — взаимно однозначная функция, определенная на со,
областью значений которой является А, и В с: А. Тогда
сужение функции f на f~][B] язляется взаимно однознач-
однозначным отображением подмножества /"'[б] множества ш
на В, и если мы сможем показать, что /~![^] счетно, то
взаимно однозначное отображение множества со на В
можно будет получить, взяв композицию. Итак, доказа-
доказательство теоремы свелось к тому, чтобы установить, что
произвольное подмножество С множества со счетно. Обо-
Обозначим через g{Q) первый элемент множества С и, дей-
действуя по индукции, обозначим через g{p) первый эле-
элемент множества С, отличный от g@), g(l),..., g(p — 1).
Если осуществить такой выбор для некоторого р невоз-
невозможно, то построенная до этого функция g будет ото-
отображением множества {q :q€(?> и q<p} на С, т. е. С то-
тогда будет конечным множеством. В противном случае
(применив теорему 0.13), мы получаем функцию ?, опре-
определенную на со, причем для любого р € со g(p) является
первым элементом множества С, отличным от ^@),
gA),..., g{p —1). По индукции легко проверяется, что
g(p)^p для всех р. Из определения g(p+l) тогда
следует, что каждый элемент множества С имеет вид
g(q) для некоторого q *C р. Значит, областью значений
функции g является все множество С.
16. Теорема. Если область определения функции
счетна, то и область ее значений тоже счетна.
Доказательство. Достаточно показать, что если
f — функция, отображающая некоторое подмножество Л
множества со на множество В, то В счетно. Обозначим
через С множество всех элементов х?А, для которых из
у?А и у<х вытекает, что f{x)=?f(y). Таким образом,
множество С образуют наименьшие элементы всевоз-
всевозможных множеств вида f~:[y], где yd В. Тогда f\C ото-
отображает С на Л взаимно однозначно. Так как множе-
множество С в силу теоремы 0.15 счетно, то и В счетно.
46 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
17. Теорема. Пусть 91—счетное семейство счет-
счетных множеств. Тогда множество \]{А : А ? Щ тоже
счетно.
Доказательство. Из счетности семейства % сле-
следует, что можно отобразить со на f( посредством неко-
некоторой функции F. Так как множество F(p) для любого
рбсо счетно, то существует функция Gp, отображающая
некоторое подмножество множества {/?}Хсо на множе-
множество F(p). Следовательно, существует функция (объеди-
(объединение функций Gp), определенная на некотором подмна-
жестве множества соХсо, областью значений которой
является множество и{Л:Л?91}. Задача сводится, та-
таким образом, к доказательству того, что множество со Xсо
счетно. Ключом к этому доказательству служит замеча-
замечание, что если мы будем представлять себе множество
соХсо лежащим в правом верхнем квадранте плоскости,
то диагонали, идущие вправо вниз, содержат лишь ко-
конечное число элементов из соХсо. Точнее, для произволь-
произвольного п из со положим Вп = {(р, q) : (p,q) 6 coXw и p + q =
= п}. Множество Вп состоит ровно из (п + 1) элементов,
и объединение [}{Вп : я?со} есть все соХсо. Перебирая
сначала элементы из Во, затем из Bi и т. д., можно по-
получить функцию, отображающую множество со на мно-
множество соХсо. Дать точное определение такой функции
мы предоставляем читателю.
Функция / называется характеристической функцией
подмножества А множества X, если f(x) = 0 прих ?Х\Л
и f(x) = l при х?А. Любая функция, определенная на X
и принимающая только значения 0 и 1, называется ха-
характеристической функцией,— она является, очевидно,
характеристической функцией множества /~'[1]. Функция,
тождественно равная нулю, является характеристиче-
характеристической функцией пустого множества, а функция, тожде-
тождественно равная 1, является характеристической функ-
функцией всего X. Характеристические функции множеств
совпадают тогда и только тогда, когда совпадают сами
эти множества. Следовательно, между семейством всех
характеристических функций, определенных на X, и се-
семейством всех подмножеств множества X существует
взаимно однозначное соответствие.
СЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА 47
Семейство всех характеристических функций, опре-
определенных на множестве со всех неотрицательных целых
чисел, можно поставить во взаимно однозначное соот-
соответствие с множеством F всех двоичных разложений
а таких, что ар = 0 при р<0. Семейство всех конечных
подмножеств множества со взаимно однозначно соответ-
соответствует подсемейству G семейства F, образованному
рациональными двоичными разложениями. Мы докажем
сейчас с помощью классического диагонального процес-
процесса Кантора, что множество F несчетно.
18. Теорема. Семейство всех конечных подмно-
подмножеств счетного множества счетно, но семейство всех его
подмножеств несчетно.
Доказательство. В силу замечаний, предше-
предшествовавших формулировке теоремы, достаточно пока-
показать, что множество F всех двоичных разложений а, для
которых ар=0 при отрицательных р, несчетно и что
подмножество Gc=/\ образованное рациональными раз-
разложениями, счетно. Предположим, что задана какая-
нибудь взаимно однозначная функция f, отображающая
множество со на множество F. Рассмотрим элемент a t F
такой, что ар = \ —f(p)P для каждого неотрицательного
целого р. Таким образом, р-и разряд элемента а равен
единице минус р-и разряд элемента f (p). Ясно, что а ?/\
Очевидно, для каждого р d со a = f(p), ибо а и f(p) отли-
отличаются в р-и разряде. Отсюда следует, что а не при-
принадлежит области значений функции f, что приводит
к противоречию. Значит, F несчетно.
Остается доказать, что множество G счетно. Поло-
Положим Gp = {a :cl(lG и aq—Q при q>p). Множество Go со-
состоит ровно из двух элементов, и поскольку Gp+i содер-
содержит в точности в два раза больше элементов, чем Gp,
то каждое множество Gp конечно. Следовательно, мно-
множество G= U {Gp : p 6 to} счетно.
Естественное соответствие между множеством F и
подмножеством множества вещественных чисел взаимно
однозначно на F\G в силу теоремы 0.14. Так как G
счетно, то F\G должно быть несчетно. Имеем, таким
образом,
19. Следствие. Множество всех вещественных чи-
чисел несчетно.
48 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Многие теоремы о счетных множествах являются ча-
частным случаем более общих теорем о кардинальных чис-
числах. Выше особую роль играло множество со неотрица-
неотрицательных целых чисел. В более общем контексте роль
множества натуральных чисел выполняют множества,
называемые кардинальными числами (со — одно из них).
Согласимся считать множества А и В равномощными,
если существует взаимно однозначная функция, отобра-
отображающая множество А на множество В *). Оказывается,
что для каждого множества А существует единственное
равномощное с ним кардинальное число С. Различные
кардинальные числа С и D не равномощны, но в одном
из них обязательно есть подмножество, равномощное
другому. Пусть для определенности С равномощно ча-
части множества D. В этом случае говорят, что карди-
кардинальное число С меньше кардинального числа D, и пи-
пишут C<D. При таком определении порядка семейство
всех кардинальных чисел становится линейно упорядо-
упорядоченным множеством, удовлетворяющим дополнительно-
дополнительному условию: в каждом непустом его подмножестве есть
наименьший элемент. (Эти утверждения доказываются
в Добавлении.)
Приняв временно на веру перечисленные в предыду-
предыдущем абзаце факты, мы можем заключить, что, каковы
бы ни были множества А и В, либо существует взаимно
однозначная функция, отображающая множество А на
подмножество множества В, либо можно взаимно одно-
однозначно отобразить множество В на подмножество мно-
множества А, ибо есть кардинальные числа С и D такие,
что С равномощно А и В равномощно D. Предположим
теперь, что заданы взаимно однозначная функция, ото-
отображающая множество А на некоторое подмножество
множества В, и взаимно однозначная функция, отобра-
отображающая множество В на некоторое подмножество мно-
множества А. Тогда С равномощно подмножеству карди-
*) В дальнейшем мы будем в этом случае писать также, что
между Л и В имеется взаимно однозначное соответствие. (Прим.
Перед.)
КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 49
нального числа D, D равномощно подмножеству кар-
кардинального числа С. Отсюда, поскольку рассматривае-
рассматриваемое упорядочение класса кардинальных чисел линейно,
следует, что C — D. Значит, множества А и В равномощ-
ны. Это — классическая теорема Шредера — Бернштей-
на. Мы дадим сейчас ее прямое доказательство, не зави-
зависящее от общей теории кардинальных чисел, ибо в этом
доказательстве содержится нетривиальная дополнитель-
дополнительная информация.
20. Теорема. Если существует взаимно однознач-
однозначная функция, отображающая множество А на подмно-
подмножество множества В, и взаимно однозначная функция,
отображающая множество В на подмножество множе-
множества А, то множества А и В равномощны.
Доказательство. Предположим, что f взаимно
однозначно отображает А в В ц что g взаимно одно-
однозначно отображает В в А. Можно считать при этом, что
А и В не пересекаются. При доказательстве множества
А и В будут разложены на классы элементов следую-
следующим образом. Точка х (из А или В) называется предше-
предшественником точки у в том и только в том случае, когда у
можно получить из х в результате последовательного
применения fug (или g и f). Разложим теперь А в три
множества: через АЕ обозначим множество всех точек
из А, общее число предшественников каждой из которых
четно, через Ао — множество тех точек г/6 Л, у каждой
из которых нечетное число предшественников, и пусть
Aj — множество всех точек с бесконечным числом пред-
предшественников *). Разложим аналогичным образом мно-
множество В и заметим следующее: f отображает АЕ на Во
и Ai на Bj, a g'1 отображает Ао на ВЕ. Следовательно,
функция, согласующаяся на Ля 1М7 с f и на Ао с g~\
является взаимно однозначным отображением множе-
множества А на множество В.
21. Замечания. Приведенное выше доказательство
теоремы 20 не опирается на аксиому выбора; это любо-
любопытно, хотя и не очень важно. Важно другое — что
") Число различных предшественников может быть при этом ко-
конечным — предшественники могут как бы «зацикливаться» в беско-
бесконечную последовательность из конечного числа точек, (Прим. перев.)
4 Дж. Л. Келли
50 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
нужное отображение было построено на основе задан-
заданных отображений в результате счетной процедуры.
А именно, положим E0 = A\g[B], En+l=g °f[En] для ка-
каждого п и Е= [){Еп : nd со}. Тогда соответствие h, совпа-
совпадающее с / на Е и с g~l на А\В, является взаимно одно-
однозначным отображением множества А на множество В.
(Точнее, h= (f \E) U (g~l \A\E).) Нас этот факт может
интересовать, ибо с его помощью удается доказывать,
что если fug обладают определенными хорошими свой-
свойствами (например, являются борелевскими функциями),
то и h ими обладает *).
Элегантное доказательство теоремы 20, приведенное
нами, принадлежит Биркгофу и Маклейну.
ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА
Порядковые числа в этой книге понадобятся нам
только при построении отдельных примеров. Так как
ряд очень интересных примеров основывается на совсем
элементарных свойствах порядковых чисел, стоит сооб-
сообщить немногие необходимые сведения прямо сейчас.
(Порядковые числа строятся в Добавлении, и их свой-
свойства там доказываются.)
22. Сводка сведений. Существует несчетное
множество О,', линейно упорядоченное некоторым отно-
отношением < так, что:
(а) В каждом, непустом подмножестве множества Q,'
есть наименьший элемент.
(б) В Q' есть наибольший элемент Q.
(в) Если x?Q' и хфп, то множество тех элементов
из Q', которые предшествуют х, счетно.
Q' — это множество всех порядковых чисел, меньших
или равных Й, первого несчетного порядкового числа.
Каждое линейно упорядояенное множество, в любом не-
непустом подмножестве которого есть наименьший эле-
элемент, называется вполне упорядоченным. В частности,
каждое непустое подмножество вполне упорядоченного
*) Не следует переоценивать общность этого утверждения. Если
f и g— гомеоморфизмы, то гомеоморфизма h может не существо-
существовать. {Прим. перев.)
Декартовы Произведений 51
множества имеет наибольшую нижнюю грань. Так как
любое множество из Q' ограничено сверху, а именно,
элементом Q, то из теоремы 0.9 вытекает, что у каждого
непустого подмножества множества Q' есть наименьшая
верхняя грань*). Один из любопытных фактов, относя-
относящихся к Q', состоит в следующем.
23. Теорема. Если А — счетное подмножество мно-
множества Q' и Q (? Л, то наименьшая верхняя грань мно-
множества А меньше Q.
Доказательство. Из того, что А счетно и не со-
содержит Q, следует, что множество {х : х^Са} для любого
а € А счетно. Значит, счетно и объединение множеств
такого вида: множество {х : х ^ о для некоторого а из А}.
Наименьшая верхняя грань Ъ последнего множества
ограничивает сверху множество А. Множество элемен-
элементов, предшествующих Ь, счетно, следовательно, ЬфО,.
Отсюда следует, что наименьшая верхняя грань множе-
множества А меньше Q.
Один из элементов множества Q' заслуживает спе-
специального внимания. Это — первый элемент из Q', для
которого множество предшествующих элементов беско-
бесконечно; он называется первым бесконечным порядковым
числом и обозначается через со. Символ со уже употреб-
употреблялся для обозначения множества неотрицательных це-
целых чисел. При построении порядковых чисел выяс-
выясняется, что первое бесконечное порядковое число и
является в действительности множеством неотрицатель-
неотрицательных целых чисел.
ДЕКАРТОВЫ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Декартово произведение множеств А и В опреде-
определяется как множество всех упорядоченных пар (х, у),
где х?А и у?В. Полезно распространить определение
декартова произведения на любые семейства множеств;
напомним, что ранее мы сделали это для операций
*) Конечно, наименьшая верхняя грань подмножества вполне
упорядоченного множества может уже этому подмножеству не при-
принадлежать (в отличие от наибольшей нижней грани). (Прим,
перев.)
4*
52 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЙ
объединения и пересечения. Предположим, что для каж-
каждого а?А, где А — множество индексов, задано некото-
некоторое множество Ха- Декартово произведение множеств Ха,
обозначаемое П{Ха : ad А), определяется как множество
всех функций х, определенных на множестве А и таких,
что х(а) ?Ха для каждого а из А. Принято при этом
аргумент записывать как индекс; таким образом,
П{Ха : а ? Л} = {х : х— функция, определенная на А, та-
такая, что ха€.Ха для каждого а из А}. Сначала это опре-
определение кажется немного странным; в действительности
оно точно выражает интуитивно ясную концепцию: точка
произведения является набором точек сомножителей,
в котором каждый сомножитель представлен ровно од-
одной точкой. Множество Ха называется а-м координат-
координатным множеством, а точка ха называется а-й координа-
координатой точки х произведения. Функция Ра, которая точкех
произведения ставит в соответствие ее а-ю координату
ха, называется проекцией на а-е координатное множе-
множество. Таким образом, Ра(х) =ха.
Один специальный случай декартова произведения
особенно важен. Пусть каждое координатное множество
Ха совпадает с некоторым фиксированным множеством У.
Тогда П{Ха : а €Л} = П{У : а? А} = {х : х является функ-
функцией, отображающей множество А в Y). Итак, декартово
произведение в этом случае есть в точности множество
всех функций, отображающих множество А в Y; это
множество иногда обозначают через YA. Хорошо извест-
известный пример такого рода произведения представляет
п-мерное евклидово пространство. Его точками являются
всевозможные вещественные функции, определенные на
множестве первых п натуральных чисел: 0, 1, ..., п— 1;
при этом i-я координата элемента х есть Х{.
Интересен еще один специальный случай. Предполо-
Предположим, что множество индексов само является некоторым
семейством ЭД множеств и что для каждого А из Ж А-е
координатное множество есть А. В этом случае декар-
декартово произведение П{Л:Л?1>1} является множеством
функций х на! таких, что хА?А для каждого А из St.
Эти функции — элементы декартова произведения — на-
называются иногда функциями выбора, соответствующими
семейству 31, ибо интуитивно ясно, что каждая функ-
ПРИНЦИП МАКСИМАЛЬНОСТИ ХАУСДОРФА 53
ция х осуществляет некоторый «выбор» по одному эле-
элементу хА из каждого А. Если среди элементов семей-
семейства 21 есть пустое множество, то у 21, очевидно, нет
функций выбора. Значит, декартово произведение в этом
случае пусто. Если все элементы семейства являются
непустыми множествами, то все же еще не вполне оче-
очевидно, что декартово произведение не пусто. В действи-
действительности вопрос о существовании функции выбора для
такого семейства оказывается чрезвычайно деликатным.
Следующий параграф посвящен нескольким предложе-
предложениям, каждое из которых эквивалентно положительному
ответу на возникший вопрос. Самое удобное из них мы
примем за аксиому. (В приложении предпочтение от-
отдается другому из этих предложений. Вместе с материа-
материалом следующего параграфа результаты приложения
означают эквивалентность предложений, которые будут
сейчас приведены.) Нам стоит большого труда воздер-
воздержаться от обсуждения философских аспектов вопроса.
ПРИНЦИП МАКСИМАЛЬНОСТИ ХАУСДОРФА
Пусть 21— семейство множеств (или семейство се-
семейств множеств). Его элемент А называется наиболь-
наибольшим элементом семейства 91, если семейство А содержит
любое другое семейство, принадлежащее 9Г (т. е. А
больше любого другого элемента из 21).
Аналогично А называется наименьшим элементом
семейства 21, если элемент А содержится в каждом дру-
другом элементе семейства 21. Часто бывает важно знать,
есть ли в семействе наибольший или наименьший эле-
элемент. Ясно, что наибольший и наименьший элементы,
если они существуют, определены однозначно. Однако
даже когда в семействе 91 нет наибольшего элемента,
в нем может существовать элемент А, который не
является частью никакого другого элемента из 21. При
этом в 21 могут быть элементы, которые одновременно-
не содержат А и сами в Л не содержатся. Говорят тогда,
что А является максимальным элементом семейства.
Формальное определение: А называется максимальным
элементом семейства 91 тогда и только тогда, когда ни-
никакой элемент из 21 не содержит Л в качестве собственной
54 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
части. Подобным же образом А называется минималь-
минимальным элементом семейства Ш в том и только в том слу-
случае, когда никакой элемент из % не содержится в ка-
качестве собственной части в А. Очень легко построить
примеры семейств без максимальных элементов, равно
как и примеры семейств, в которых каждый элемент
является максимальным и минимальным элементом од-
одновременно (в качестве последнего годится семейство,
состоящее из попарно непересекающихся множеств).
Чтобы обеспечить существование максимальных элемен-
элементов, надо, вообще говоря, наложить на семейство неко-
некоторые специальные ограничения.
Семейство %1 называется цепью (иногда башней, гнез-
гнездом*)) тогда и только тогда, когда для любых его эле-
элементов А и В либо ЛсВ, либо BczA. Это условие в точ-
точности равносильно утверждению, что семейство W ли-
линейно упорядочено по включению или — в принятой
нами терминологии — что семейство Ш вместе с отноше-
отношением включения является цепью. Если -ЭТсЭД и Ш —
гнездо, то говорят, что Ш является гнездом в 21. Мы
знаем, что семейство может не иметь максимального
элемента. Есть ли максимальный элемент в семействе
всех гнезд, лежащих в фиксированном семействе 2[, т. е.
в каждом ли семействе 21 есть гнездо Ш, которое не со-
содержится ни в каком другом гнезде, образованном эле-
элементами семейства 91? Будем считать аксиомой следую-
следующее утверждение.
24. Принцип максимальности Хаусдор-
ф а. Для любого семейства множеств 21 и любого гнезда
W, образованного элементами семейства 91, существует
максимальное гнездо Ш в 21, содержащее Ш.
В следующей теореме выписан ряд важных следствий
принципа максимальности Хаусдорфа. Прежде чем ее
сформулировать, скажем несколько слов о сложившейся
здесь терминологии. Говорят, что характер семейства 21
конечен, тогда и только тогда, когда каждое конечное
подмножество любого элемента из f( принадлежит 21, и
каждое множество А, все конечные подмножества кото-
*) Иногда говорят еще в этом случае, что семейство имеет
ранг 0. (Прим. перев.)
ПРИНЦИП МАКСИМАЛЬНОСТИ ХАУСДОРФА 55
рого принадлежат?!, само принадлежит 21 . Пусть < —¦
упорядочение на множестве А. Каждое подмножество В
множества А, которое отношением < упорядочивается
линейно, называется цепью в А. Элемент х множества А
называется максимальным, если х следует за каждым
сравнимым с ним элементом из А, т. е. если всегда, ко-
когда г/€Л, либо у предшествует элементу х, либо х не
предшествует элементу у. Говорят, что отношение <
вполне упорядочивает множество А, тогда и только то-
тогда, когда < является таким линейным упорядочением
множества А, что каждое непустое множество имеет
первый элемент (элемент, который меньше любого дру-
другого элемента этого множества). Если такое отношение
< на множестве А существует, то говорят, что множе-
множество А можно вполне упорядочить.
25. Теорема, (а) Принцип максимального
элемента. Максимальный элемент в семействе %
множеств существует, если для каждого гнезда, лежа-
лежащего в 21, в % найдется элемент, который содержит
произвольный элемент этого гнезда.
(б) Принцип минимального элемента.
Минимальный элемент в семействе 21 существует, если
для каждого гнезда, лежащего в %, в 21 найдется эле-
элемент, содержащийся в каждом элементе этого гнезда.
(в) Лемма Тьюки. В каждом семействе мно-
множеств конечного характера есть максимальный эле-
элемент.
(г) Лемма Куратовского. Каждая цепь в (ча-
(частично) упорядоченном множестве содержится в некото-
некоторой максимальной цепи.
(д) Лемма Ц о р н а. Если каждая цепь некоторого
частично упорядоченного множества ограничена сверху,
то в этом множестве есть максимальный элемент.
(е) Аксиома выбора. Пусть Ха — непустое мно-
множество для каждого элемента а из множества индек-
индексов А. Тогда на А существует функция с такая, что
с (а) € Ха для каждого а из А.
(ж) Постулат Цермело. Для любого семей-
семейства 21 непересекающихся непустых множеств суще-
существует такое множество С, что Аи С для каждого А из %
состоит ровно из одной точки.
56 ГЛ 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
(з) Принцип вполне упорядочения. Ка-
Каждое множество можно вполне упорядочить.
Доказательство. Мы дадим наброски доказа-
доказательств всех этих предложений, предоставив подробно-
подробности читателям.
Доказательство (а). Возьмем какое-нибудь макси-
максимальное гнездо № в Я, и пусть А — элемент семей-
семейства 91, содержащий множество U {М : М ? Щ. Тогда
А — максимальный элемент семейства Й, ибо если бы
множество А являлось собственной частью множества
В ? 21, то семейство Ш \J{B} было бы гнездом в *й, стро-
строго *) содержащим Ш, что ведет к противоречию.
Доказательство (б). Ясно, что утверждение (б)
можно доказать приблизительно так, как мы доказали
утверждение (а). Однако можно вместо этого просто
применить утверждение (а). Положим Х= [}{А : А?Щ
и обозначим через € семейство дополнений в X до эле-
элементов семейства 91. Заметим, что в силу формул де Мор-
Моргана семейство й удовлетворяет посылкам утвержде-
утверждения (а). Следовательно, в (Е есть максимальный эле-
элемент М. Тогда Х\М, очевидно, будет минимальным
элементом семейства 21.
Доказательство (в). Доказательство основано на
принципе максимального элемента (а). Пусть 91 — се-
семейство конечного характера и Ш — гнездо в 91. Поло-
Положим А= \}{N : N ? Щ. Каждое конечное подмножество F
множества А непременно является подмножеством неко-
некоторого элемента гнезда Ш. В самом деле, можно найти
конечное семейство элементов из У?, в объединении ко-
которых содержится F. В этом конечном семействе есть
наибольший элемент — он и содержит F. Следовательно,
А 6 91. Значит, семейство 91 удовлетворяет посылкам
утверждения (а) и потому имеет максимальный элемент.
Доказательство (г). Рассмотрим произвольную цепь
В в частично упорядоченном множестве А. Обозначим
через 9t семейство всех цепей в А, содержащих В. Мо-
Можно непосредственно проверить, что U {N : N6Щ для
*) Скажем, что множество (или семейство множеств) строго
содержит некоторое множество (или семейство множеств), если по-
последнее является собственной частью первого. (Прим. перев.)
ПРИНЦИП МАКСИМАЛЬНОСТИ ХАУСДОРФА 57
любого гнезда Я в I тоже является элементом семей'
ства 21. Значит, 21 удовлетворяет посылкам утвержде-
утверждения (а) и потому имеет максимальный элемент.
Доказательство (д). Возьмем элемент, ограничиваю-
ограничивающий сверху какую-нибудь максимальную цепь.
Доказательство (е). Напомним, что функцией назы-
называется такое множество упорядоченных пар, что первые
координаты различных пар различны. Обозначим через
$ семейство всех функций f, областью определения ка-
каждой из которых служит некоторое подмножество мно-
множества А, удовлетворяющих условию f(a) ?Ха для
каждого а из области определения функции f. (Элемен-
(Элементы семейства $ — это «фрагменты» искомой функции.)
Мы сейчас покажем, что (S — семейство конечного ха-
характера. Если f — элемент семейства $, то каждое под-
подмножество множества /, в частности каждое конечное
его подмножество, тоже является элементом семей-
семейства $". С другой стороны, если каждое конечное под-
подмножество некоторого множества f принадлежит семей-
семейству 5", то элементами f служат пары, причем любые две
различные пары имеют различные первые координаты.
Следовательно, f — функция. Более того, если а принад-
принадлежит области определения функции f, то {(a, /(а))}6 g,
откуда следует, что f(a) € На-
Назначит, f€B- Так как ^—семейство конечного ха-
характера, то в ^ существует максимальный элемент с и
нужно проверить только, что областью определения
функции с является все множество А. Предположим,
что а — элемент множества А, не принадлежащий об-
области определения функции с. Тогда, так как Ха — не-
непустое множество, в Ха можно выбрать некоторый эле-
элемент у. Множество с [}{(а, у)} тоже является функцией
и входит в качестве элемента в-семейство $, что проти-
противоречит тому, что с—максимальный элемент этого се-
семейства.
Доказательство (ж). Применим аксиому выбора
к случаю, когда 21 служит множеством индексов и!л =
= А для каждого А из 51.
Доказательство (з). Пусть К — непустое множество,
которое надлежит вполне упорядочить. Обозначим через
51 семейство всех непустых подмножеств множества X,
58 ГЛ. 0. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
и пусть с — некоторая функция выбора на семействе^.
Иными словами, с — такая функция на 21, что c(A)(LA
для каждого А из 21. Идея доказательства состоит в оп-
определении такого упорядочения <1 на множестве X, что
для любого его «начального отрезка» А первой точкой,
следующей за А, является точка с^ХЛ). Вот точные
формулировки. Скажем, что множество А является от-
отрезком (сегментом) по отношению к упорядочению <,
тогда и только тогда, когда каждая точка, которая
предшествует какому-либо элементу из А, сама принад-
принадлежит А. В частности, сегментом является пустое мно-
множество. Обозначим через (? класс всех рефлексивных
линейных упорядочений ^, удовлетворяющих условиям:
областью D упорядочения <1 является подмножество
множества X и для каждого сегмента А, отличного от D,
первый элемент множества D\A есть с(^\Л). Почти
очевидно, что каждый элемент семейства S является
вполне упорядочением, ибо если В — непустое подмно-
подмножество из области определения некоторого такого упо-
упорядочения -^ и А = {у : у ^Сх и уфх для каждого х из В},
то с(^\Л) есть первый элемент множества В. Пусть <!
и si — какие-либо элементы из 8 с областью определе-
определения соответственно D и Е. Обозначим через А множе-
множество всех точек х таких, что множества {у : у -^ х) и
{у : у ^э х} совпадают и что совпадают упорядочения,
индуцированные на этом множестве рассматриваемыми
упорядочениями. Тогда А является сегментом по отно-
отношению к каждому из упорядочений -< и si. Если А не
совпадает ни с D, ни с Е, то с(Х\А) в каждом из мно-
множеств D и Е является первым элементом, не принадле-
принадлежащим А. Но тогда с(Х\А)?А в силу определения Л.
Это означает, что либо A = D, либо А=Е. Значит, любые
два элемента семейства E находятся в следующем от-
отношении друг к другу: область определения одного из
них является сегментом по отношению к другому, и на
этом сегменте оба упорядочения согласуются. Опираясь
на этот факт, нетрудно убедиться, что объединение <^
элементов семейства & снова является элементом семей-
семейства К— наибольшим его элементом. Область опреде-
определения F упорядочения <^ должна непременно совпадать
с X, в противном случае точка c(X\F) могла бы быть
ПРИНЦИП МАКСИМАЛЬНОСТИ ХАУСДОРФА 59
поставлена в конец упорядочения < (такое упорядоче-
упорядочение «<U (FX{c(X\F)}) было бы элементом семейства ?,
строго содержащим -О. Теорема доказана.
26. Замечания. Каждое из выписанных выше
утверждений в действительности эквивалентно принципу
максимальности Хаусдорфа, и для каждого из них есть
различные основания именно его принять за аксиому.
В приложении принцип максимальности выводится из
аксиомы выбора. Вывод принципа вполне упорядочения
из аксиомы выбора, данный выше, по существу, совпа-
совпадает с доказательством Цермело [1]. Вполне осуще-
осуществимо также доказательство этого принципа, основан-
основанное на утверждении 0.25 (д). Стоит отметить, что объ-
объединение элементов гнезда вполне упорядочений,вообще
говоря, не будет вполне упорядочением, так что прямое
применение принципа максимальности к семейству впол-
вполне упорядочений невозможно.
Необходимо оговориться, что названия утверждений
из 0.25 в значительной мере произвольны. Принцип ма-
максимальности Хаусдорфа был независимо применен Ку-
ратовским, Мором и Цорном в формулировках, близких
к данным выше.
Наконец, можно сказать, что, хотя приведенная нами
формулировка леммы Тьюки более или менее стандарт-
стандартна, она еще недостаточна для обычных применений этой
леммы, в частности для доказательства того, что ка-
каждая группа содержит максимальную абелеву подгруп-
подгруппу. Есть более общая формулировка леммы Тьюки. Го-
Говоря нестрого, она состоит в следующем: если семейство
31 множеств определено условиями (их может быть
бесконечно много), касающимися лишь конечных мно-
множеств точек, то в 31 есть максимальный элемент.
Глава 1
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ
ПРОСТРАНСТВА
ТОПОЛОГИИ И ОКРЕСТНОСТИ
Топология — это семейство 3 множеств, удовлетво-
удовлетворяющее двум условиям: пересечение любых двух эле-
элементов семейства 3 является элементом семейства 3 и
объединение элементов любого подсемейства семейства
3 принадлежит 3- Множество Х= (_!{?/: ?/? 3} всегда
является элементом 3, ибо само 3 является своим под-
подсемейством. Каждый элемент семейства 3 является под-
подмножеством множества X, Множество X называется
пространством топологии % и 3 есть топология на X.
Пара (X, 3) называется топологическим пространством.
Когда не может возникнуть недоразумений, разрешается
просто писать: «X есть топологическое пространство».
Там, где это необходимо, мы будем пользоваться точ-
точным обозначением (например, если речь идет о двух раз-
различных топологиях на одном и том же множестве X).
Про элементы топологии 3 говорят, что они открыты
относительно 3' или 3-открыты, или, если речь идет
только об одной топологии, элементы семейства 3 просто
называют открытыми множествами. Пространство X
топологии всегда открыто. Открыто всегда и пустое мно-
множество, ибо оно является объединением элементов пу-
пустого подсемейства семейства 3- Может случиться, что
этими двумя множествами исчерпывается вся тополо-
топология — ведь семейство, единственными элементами кото-
которого являются множество X и пустое множество, обра-
образует топологию на X. Эта топология не представляет
большого интереса; однако она встречается достаточно
часто, чтобы заслуживать специального наименования.
Ее называют антидискретной (или тривиальной) топо-
топологией на X; говорят при этом, что (X, 3) — антиди-
антидискретное топологическое пространство. Другой край-
ТОПОЛОГИИ И ОКРЕСТНОСТИ 61
ностью является семейство всех подмножеств множе-
множества X. Оно называется дискретной топологией на X
((X, 3) при этом называют дискретным топологическим
пространством). В дискретном пространстве каждое под-
подмножество открыто.
Дискретная и антидискретная топологии на множе-
множестве X являются соответственно наибольшей и наимень-
наименьшей из всех возможных топологий на X. Мы имеем в
виду, что каждая топология ка X содержит антидискрет-
антидискретную топологию и содержится в дискретной топологии.
Пусть 3 и U — какие-нибудь топологии на X. Следуя
соглашению, принятому для произвольных семейств мно-
множеств, скажем, что 3 меньше U и что U больше 3, то-
тогда и только тогда, когда 3^U. Иными словами, 3
меньше U тогда и только тогда, когда каждое 3-откры-
тое множество U-открыто. В этом случае говорят также,
что 3 грубее U и что U тоньше 3- (К несчастью, эта
же ситуация описывается в литературе еще двумя вы-
выражениями: говорят, что 3 сильнее U и что 3 слабее
U*).) Вообще говоря, для заданных на X топологий
3 и U может случиться, что ни одна из них не больше
другой; в этом случае, следуя терминологии частично
упорядоченных множеств, говорят, что топологии 3 и И
несравнимы.
Очень интересное топологическое пространство обра-
образуют вещественные числа с естественной топологией. Это
едва ли удивительно, так как само понятие топологиче-
топологического пространства возникло в результате абстрагиро-
абстрагирования, исходя из некоторых замечательных свойств ве-
вещественных чисел. Обычная топология на множестве ве-
вещественных чисел — это семейство всех тех множеств,
которые вместе с каждой своей точкой содержат некото-
некоторый интервал около нее. Иными словами, подмноже-
подмножество А множества вещественных чисел открыто в том
и только в том случае, когда для каждой точки х
из А существуют такие числа а и Ь, что а<.х<.Ь и что
множество {у: a<t/<?} является подмножеством
*) Справедливости ради отметим, что выражение «3> слабее
U» употребляют в рассматриваемом случае гораздо чаще. (Прим.
перев.)
62 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
множества А. Конечно, мы еще должны проверить, что
указанное семейство множеств действительно является
топологией, однако это не вызывает никаких затрудне-
затруднений. Удобное совпадение: открытый интервал является
открытым множеством.
Подмножество U топологического пространства (X, 3)
называется окрестностью C -окрестностью) точки х то-
тогда и только тогда, когда в U лежит открытое множе-
множество, содержащее х. Окрестность точки не обязана быть
открытым множеством, но каждое открытое множество
является окрестностью любой своей точки. Каждая
окрестность точки содержит открытую окрестность этой
точки. Если 3— антидискретная топология, то един-
единственной окрестностью произвольной точки х простран-
пространства X является все пространство X. Если 3—дискрет-
3—дискретная топология, то каждое подмножество пространства
является окрестностью любой своей точки. В случае,
когда X — множество вещественных чисел и 3—обыч-
3—обычная топология, окрестностью точки является любое мно-
множество, содержащее какой-нибудь открытый интервал,
которому принадлежит рассматриваемая точка.
1. Теорема. Множество А открыто тогда и только
тогда, когда оно содержит окрестность каждой из своих
точек.
Доказательство. Объединение U всех открытых
подмножеств множества А является, очевидно, откры-
открытым подмножеством множества А. Если А содержит
окрестность каждой своей точки, то каждая точка х мно-
множества А принадлежит некоторому его открытому под-
подмножеству. Поэтому xdU, откуда следует, что Л = ?/,
т. е. что А — открытое множество. С другой стороны,
если множество А открыто, то каждая точка х яз А вхо-
входит в А вместе с некоторой своей окрестностью (таковой
является, например, все множество А).
Из теоремы 1 следует, что множество открыто тогда
и только тогда, когда оно является окрестностью ка-
каждой входящей в него точки.
Системой окрестностей точки называется семейство
всех окрестностей этой точки.
2. Теорема. Пусть U — система окрестностей
точки. Тогда пересечение конечного множества эле-
ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА 63
ментов из U принадлежит U и каждое множество, ко-
которое содержит некоторый элемент из \\, само вхо-
входит в U.
Доказательство. Пусть U и V—окрестности
точки х. Тогда существуют открытые окрестности Uo и
Vo точки х, лежащие соответственно в U и V. Тогда мно-
множество U П V содержит открытую окрестность (Jo П Vo
точки х и, значит, само является окрестностью точки х.
Итак, пересечение двух (а следовательно, и любого ко-
конечного семейства) элементов системы U снова является
элементом системы U. Если множество U содержит
окрестность точки х, то оно содержит и некоторую от-
открытую окрестность этой точки, а потому и само являет-
является окрестностью точки х.
3. Замечания. Фреше [1] первый рассматривал
абстрактные пространства. Развитие концепции тополо-
топологического пространства в последующие годы сопрово-
сопровождалось широким экспериментированием с определения-
определениями и фундаментальными процессами. Эти теоретические
изыскания в большей части отражены в классической
работе Хаусдорфа [1] и в вышедших несколько
позже томах журнала Fundamenta Mathematicae. В дей-
действительности они привели к двум фундаментальным
понятиям: топологического пространства и равномерно-
равномерного пространства (глава 6). Последнее понятие, форма-
формализованное сравнительно недавно (А. Вейль [1]), воз-
возникло в значительной мере благодаря изучению тополо-
топологических групп.
Вот стандартные руководства по общей топологии:
Александров и Хопф [1] (первые две главы),
Бурбаки [1], Вайдьянатасвами [1], К у р а т о в-
ский [1], Лефшец [1] (первая глава), Р. Мор [1],
Ньюмен [1], Серпинский [1], Тьюки [1], У а й-
берн [1]иФреше [2].
ЗАМКНУТЫЕ МНОЖЕСТВА
Подмножество А . топологического пространства
(X, 3) называется замкнутым тогда и только тогда, ко-
когда относительное дополнение Х\А открыто. Дополне-
Дополнение к дополнению множества А есть снова А; следова-
64 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
тельно, множество открыто в том и только в том случае,
когда дополнение к нему замкнуто. Если 3—антиди-
3—антидискретная топология, то дополнение к X и дополнение
к пустому множеству являются единственными замкну-
замкнутыми множествами; таким образом, только пустое мно-
множество и все X в этом случае замкнуты. Все простран-
пространство и пустое множество замкнуты (и одновременно от-
открыты) в любом топологическом пространстве; как мы
видели, может случиться, что они будут единственными
замкнутыми множествами. Если 3— дискретная тополо-
топология, то любое множество замкнуто и открыто. Если /Y —
множество вещественных чисел и 3— обычная тополо-
топология, то ситуация совсем иная. Замкнутый интервал
(т. е. множество вида \х : а^.х^СЬ}) замкнут — нам по-
повезло!
Открытый интервал не замкнут, и полуоткрытый ин-
интервал (т. е. множество вида {х : а < х ^С Ь) или вида
{х : a 4lx<b}, где а<6) не открыт и не замкнут. В дей-
действительности (см. задачу 1.К) единственными множе-
множествами, открытыми и замкнутыми одновременно, яв-
являются в этом случае все пространство и пустое множе-
множество.
Согласно формулам де Моргана @.3) объединение
(пересечение) дополнений к элементам семейства мно-
множеств является дополнением к пересечению (соответ-
(соответственно к объединению). Следовательно, объединение
конечного семейства замкнутых множеств есть замкну-
замкнутое множество и пересечение любого семейства замкну-
замкнутых множеств является замкнутым множеством. Эти
свойства характеризуют семейства замкнутых множеств,
как показывает следующая теорема. Простое ее доказа-
доказательство опускается.
4. Теорема. Пусть Щ—семейство множеств, объ-
объединение любого конечного подсемейства элементов ко-
которого, равно как и пересечение любого непустого под-
подсемейства элементов из 7\, снова является элементом
семейства ?t, и пусть множество Х = [}{F : /" 3'} принад-
принадлежит семейству. Тогда ?¦, есть в точности семейство
замкнутых подмножеств множества X относительно то-
топологии, образованной дополнениями к элементам се-
семейства §.
ТОЧКИ НАКОПЛЕНИЯ 65
ТОЧКИ НАКОПЛЕНИЯ
Топология топологического пространства описывается
в терминах окрестностей точек. Значит, должен суще-
существовать способ описать и замкнутые множества в тер-
терминах окрестностей. Это приводит, как мы сейчас уви-
увидим, к некоторой новой классификации точек. Множе-
Множество А замкнуто тогда и только тогда, когда ^\Л
открыто, т. е. когда у каждой точки множества Х\А
есть окрестность, лежащая в Х\А или, что эквивалент-
эквивалентно, не пересекающая множества А. Следовательно, мно-
множество А замкнуто в том и лишь в том случае, когда
каждая точка х, любая окрестность которой пересекает
А, принадлежит этому множеству. Это обстоятельство
подсказывает следующее определение.
Точка х называется точкой накопления (или предель-
предельной точкой) подмножества А топологического простран-
пространства (X, 3) тогда и только тогда, когда любая окрест-
окрестность точки х содержит отличную от х точку множества
А*). Тогда можно утверждать, что любая окрестность
точки х пересекает множество А, в том и только в том
случае, когда либо х принадлежит А, либо х является
предельной точкой для А. Поэтому не вызывает сомне-
сомнений справедливость следующей теоремы.
5. Теорема. Подмножество топологического про-
пространства замкнуто в том и только в том случае, когда
оно содержит все свои предельные точки.
Часто, если х — предельная точка для множества А,
то говорят весьма многозначительную фразу: «В любой
близости от х есть точки множества Л». Под впечатле-
впечатлением от этого мы должны признать, что антидискретное
пространство действительно чрезвычайно переполнено,
ибо каждая точка х является точкой накопления любого
множества, отличного от пустого множества и множе-
множества {х}. С другой стороны, в дискретном топологиче-
топологическом пространстве никакая точка не является предель-
предельной ни для какого множества. В случае множества X
вещественных чисел с обычной топологией могут осуще-
*) Заметим сразу, что предельная точка множества А может
не принадлежать множеству А. (Прим. перев.)
5 Дж. Л. к.елли
66 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
ствляться самые разнообразные возможности. Если А —
открытый интервал @, 1), то каждая точка замкнутого
интервала [О, 1] является предельной точкой множе-
множества А. Если А — множество неотрицательных рацио-
рациональных чисел, квадрат которых не превосходит 2, то
множество предельных точек множества А — замкнутый-
интервал [О, У 2]. Если А — множество чисел, обратных
к целым числам, то 0 — единственная предельная точка
множества А. Множество целых чисел вовсе не имеет
предельных точек.
6. Теорема. Если к множеству добавить множе-
множество всех его предельных точек, то получится замкнутое
множество.
Доказательство. Если х не принадлежит А и
не является предельной точкой множества Л, то най-
найдется открытая окрестность U точки х, не пересекаю-
пересекающаяся с А. Так как множество U является окрестностью
любой лежащей в нем точки, то ни одна из точек мно-
множества U не является предельной для А. Следовательно,
объединение множества А и множества всех его пре-
предельных точек является дополнением к открытому мно-
множеству.
Множество всех предельных точек множества А ино-
иногда называют производным множеством множества А.
ЗАМЫКАНИЕ
Замыкание C -замыкание) подмножества А тополо-
топологического пространства (X, 3) есть пересечение всех
замкнутых множеств, содержащих А. Замыкание множе-
множества А обозначается через А или через [А]. Множество
А всегда замкнуто, как пересечение замкнутых мно-
множеств. Очевидно, А содержится в каждом замкнутом
множестве, содержащем А. Следовательно, А — наи-
наименьшее замкнутое множество, содержащее Л; значит,
А замкнуто в том и только в том случае, когда А=А.
Следующая теорема описывает замыкание множеств
в терминах предельных точек.
7. Теорема. Замыкание произвольного множества
есть объединение этого множества и множества его пре-
предельных точек.
ЗАМЫКАНИЕ 67
Доказательство. Каждая предельная точка
множества А является предельной точкой и любого мно-
множества, содержащего множество А. Поэтому она входит
в каждое замкнутое множество, содержащее А. Следо-
Следовательно, множество А и все его предельные точки со-
содержатся в 1. С другой стороны, в силу предыдущей
теоремы множество, состоящее из точек множества А и
всех предельных точек множества А, замкнуто и потому
содержит А.
Функцию, которая произвольному подмножеству то-
топологического пространства ставит в соответствие его
замыкание А, можно было бы назвать функцией замы-
замыкания, или оператором замыкания, относительно топо-
топологии. Этот оператор определяет топологию полностью,
ибо множество А замкнуто тогда и только тогда, когда
А=А. Иными словами, замкнуты те и только те множе-
множества, которые остаются неподвижными под действием
оператора замыкания. Полезно задать вопрос: когда
оператор, определенный для всех подмножеств фиксиро-
фиксированного множества X, является оператором замыкания
относительно некоторой топологии на X? Оказывается,
операторы замыкания характеризуются четырьмя весь-
весьма простыми свойствами. Во-первых, так как пустое
множество замкнуто, то замыкание пустого множества
пусто. Во-вторых, каждое множество содержится в своем
замыкании. Далее, так как замыкание любого множе-
множества замкнуто, то замыкание замыкания множества сов-
совпадает с замыканием этого множества (прибегая к обыч-
обычной для алгебры терминологии, можно сказать, что
оператор замыкания идемпотентен). Наконец, замыка-
замыкание объединения двух множеств есть объединение их
замыканий. В самом деле, А\] В — замкнутое множе-
множество, содержащее как Л, так и В. Следовательно, мно-
множества А и В тоже принадлежат множеству A U В. То-
Тогда их объединение A\JB содержится в A UB. С другой
стороны, AUB — замкнутое множество, содержащее
A U В, и, значит, оно содержит A U В.
Оператор замыкания на X — это оператор, который
ставит в соответствие каждому подмножеству А мно-
множества X некоторое подмножество А€аХ таким образом,
6»
68 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
что выполняются следующие четыре условия, называе-
называемые аксиомами замыкания Куратовского:
(а) если Л — пустое множество, то ЛС=Л,
(б) для каждого А АсАс,
(в) для каждого А АСС=АС,
(г) для любых А и В (Ли В)С=АС U Вс.
Следующая теорема Куратовского показывает, что
эти четыре утверждения в действительности характери-
характеризуют операцию топологического замыкания. Топология,
определенная ниже, называется топологией, ассоцииро-
ассоциированной с оператором замыкания.
8. Теорема. Пусть с—оператор замыкания на X
а % — семейство всех подмножеств А множества X та-
таких, что АС = А. Обозначим через 3 семейство, образо-
образованное дополнениями к элементам семейства %. Тогда
3—топология на X и Ас' = 3 -замыкание множества А
для любого А аХ.
Доказательство. Аксиома (а) показывает, что
пустое множество принадлежит 3, а (г) означает, что
объединение любых двух множеств семейства 5 тоже
является его элементом. Следовательно, и объединение
любого конечного (пустого или непустого) подсемейства
элементов из 5 принадлежит §. В силу (б) ХсХс, так
что Х=ХС. Значит, объединение элементов семейства g
есть все X. В силу теоремы 1.4 будет доказано, что 3 —
топология на X, если мы убедимся, что пересечение лю-
любого подсемейства элементов из g принадлежит g'- За-
Заметим сначала, что если БсЛ, то ВасАс, ибо Ас=
= [(А\В) UB)C = (A\B)CUBC*). Пусть теперь 21-ка-
21-какое-нибудь непустое подсемейство семейства ^ и В —
= П [А.: А ? %}.Множество В содержится в каждом эле-
элементе семейства 21; следовательно, Вс<^(] {Ас: А ? Щ =
= f]{A: А?Щ = В. Так как ВсВс, то В = В° и В 6 %¦
Это показывает, что 3 является топологией. Остается
только доказать, что АС=А, где Л — ^-замыкание мно-
множества А. По определению А является пересечением всех
3-замкнутых множеств, т. е. элементов семейства §, со-
*) Символ [] никогда в этой книге не означает замыкания, он
выполняет обычную роль скобок. (Прим. перев.)
ВНУТРЕННОСТЬ И ГРАНИЦА 69
держащих множество А. В силу аксиомы (в) Лс?$ и,
значит, АсАс. Так как А ? % и А^зА, то А~^эАс; следо-
следовательно, А — Ас.
ВНУТРЕННОСТЬ И ГРАНИЦА
На семействе всех подмножеств топологического про-
пространства определен еще один оператор, тесно связан-
связанный с оператором замыкания. Точка х подмножества А
топологического пространства называется внутренней
точкой этого множества тогда и только тогда, когда А
является окрестностью точки х. Множество всех внутрен-
внутренних точек множества А называется внутренностью мно-
множества А и обозначается через А0 *). (В обычной терми-
терминологии отношение «(точка) является внутренней точ-
точкой (множества)» является обратным к отношению
«(множество) является окрестностью (точки)».) Пре-
Прежде чем рассмотреть примеры, удобно связать введен-
введенное сейчас понятие с ранее определенными.
9. Теорема. Пусть А — подмножество топологиче-
топологического пространства X. Тогда внутренность А0 множества
А есть открытое множество, причем наибольшее откры-
открытое множество из всех, содержащихся в А. Множество А
открыто в том и только в том случае, когда А=А°. Мно-
Множество всех точек множества А, не являющихся пре-
предельными точками для Х\А, есть в точности А0. Замы-
Замыкание множества Х\А совпадает с Х\А°.
Доказательство. Если точка х принадлежит
внутренности множества Л, то х является элементом не-
некоторого открытого подмножества U множества А. Ка-
Каждый элемент множества U тоже принадлежит А0. Сле-
Следовательно, А0 содержит каждую свою точку вместе
с некоторой окрестностью и потому открыто. Если V —
открытое подмножество, лежащее в А, и у 6 V, то А
является окрестностью точки у и, значит, г/6Л°. Следо-
Следовательно, множество А0 содержит каждое открытое под-
подмножество множества А и является, тем самым, наи-
наибольшим открытым подмножеством множества А. Если
*) В русской литературе приняты также термин «ядро» мно-
множества и обозначение <А>. (Прим. перев.)
70 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
множество Л открыто, то оно, конечно, совпадает с наи-
наибольшим своим открытым подмножеством. Значит, мно-
множество Л открыто в том и только в том случае, когда
А = А°. Если точка х?А не является предельной для
Х\А, то у х есть окрестность U, не пересекающая мно-
множества Х\А, т. е. целиком содержащаяся в А. Тогда
множество А является окрестностью точки х и х?Л°.
С другой стороны, множество Л° является окрестностью
каждой своей точки и не пересекается с множеством
^\Л. Значит, никакая точка из Л° не является предель-
предельной для Х\А. Наконец, так как Л° состоит из тех точек
множества Л, которые не являются предельными точка-
точками множества Х\А, то его дополнение Х\Л° состоит
в точности из тех точек, которые либо сами принадле-
принадлежат Х\А, либо являются предельными точками для
множества Х\А. Это означает, что множество ^\Л° сов-
совпадает с замыканием (Х\А) множества Х\А.
Последнее утверждение доказанной теоремы заслу-
заслуживает дальнейшего рассмотрения. Условимся для удоб-
удобства обозначать относительное дополнение Х\А через
А'. Тогда А" — дополнение к дополнению множе-
множества Л — есть снова Л (иногда говорят, что ' является
оператором с периодом два). Можно тогда предыдущий
результат сформулировать так: (Л°)' = Л'. Переходя
к дополнениям, заключаем, что А°=(А')'. Таким обра-
образом, внутренность множества Л есть дополнение к за-
замыканию дополнения множества Л. Если заменить здесь
А на его дополнение, получаем, что А = (А'0)'—замыка-
(А'0)'—замыкание множества является дополнением к внутренности
дополнения этого множества *).
*) Напрашивается забавная и полезная задача. Сколько раз-
различных множеств можно построить, исходя из фиксированного под-
подмножества А топологического пространства, в результате последо-
последовательного применения в любом порядке операторов замыкания,
перехода к внутренности и перехода к дополнению? В силу заме-
замечаний, высказанных в предыдущем абзаце, эта задача сводится к
такой: сколько различных множеств можно получить, отправляясь
от одного множества А, чередованием оператора перехода к допол-
дополнению и-оператора замыкания? Неожиданный ответ на этот вопрос
дается в формулировке задачи 1. Е.
ВНУТРЕННОСТЬ И ГРАНИЦА 71
Если X—антидискретное пространство, то внутрен-
внутренность любого его подмножества, за исключением самого
X, пуста. Если X — дискретное пространство, то любое
его подмножество открыто и замкнуто одновременно и,
следовательно, совпадает со своей внутренностью и со
своим замыканием. Если X — множество вещественных
чисел с обычной топологией, то внутренность множе-
множества всех целых чисел пуста. Внутренность замкнутого
интервала в этом случае есть открытый интервал с теми
же концами. Внутренность рациональных чисел пуста,
а значит, пусто и замыкание этой внутренности. Замы-
Замыкание множества рациональных чисел, как и внутрен-
внутренность этого замыкания, совпадает со всем X. Таким об-
образом, внутренность замыкания множества может силь-
сильно отличаться от замыкания его внутренности. Мы
видим, что оператор перехода к внутренности и опера-
оператор замыкания, вообще говоря, не коммутируют.
Есть еще один оператор, встречающийся достаточно
часто для того, чтобы оправдать его определение. Гра-
Граница подмножества А топологического пространства А'
состоит из всех тех точек, которые не являются внутрен-
внутренними ни для множества А, ни для множества Х\Л. Эк-
Эквивалентное определение: х является точкой границы
в том и только в том случае, когда любая окрестность
точки х пересекает как множество А, так и множество
Х\А. Ясно, что граница множества А совпадает с гра-
границей множества Х\А. Если пространство X антиди-
скретно и Л — его непустое собственное подмножество,
то границей множества А является всё X. В то же вре-
время в дискретном пространстве граница каждого множе-
множества пуста. Граница произвольного интервала веще-
вещественной прямой в обычной топологии вещественных
чисел состоит лишь из концов этого интервала, незави-
независимо от того, открыт этот интервал, замкнут или полу-
полуоткрыт. Границей множества рациональных чисел, так
же как и границей множества всех иррациональных чи-
чисел, служит все множество вещественных чисел.
Нетрудно обнаружить соотношения между границей,
замыканием и внутренностью. Они собраны в формули-
формулировке следующей теоремы, доказательство которой мы
опускаем.
72 *~Л. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
10. Теорема. Пусть А— подмножество топологи-
топологического пространства X и Ь(А) ¦—граница множества А.
Тогда Ь(А)=Лп {Х\А)=А\А°, X\b(A)=A°\i {X\A)°,
A=AUb(A) и A° = A\b(A).
Множество замкнуто в том и только в том случае,
когда ему принадлежит его граница; множество открыто
тогда и только тогда, когда оно не имеет общих точек
со своей границей.
БАЗЫ И ПРЕДБАЗЫ
При определении обычной топологии на множестве
вещественных чисел мы отправлялись от семейства 23
открытых интервалов — из них мы строили элементы
топологии 3. Тот же метод полезен и при других об-
обстоятельствах; поэтому мы сейчас подробно исследуем
соответствующее построение. Семейство 23 множеств на-
называется базой топологии 3 в том и лишь в том случае,
когда 23 содержится в 3, и для каждой точки х про-
пространства и любой ее окрестности U существует такой
элемент V?23, что х? VcU. Таким образом, семейство
открытых интервалов образует базу обычной топологии
на множестве вещественных чисел в силу определения
обычной топологии и того факта, что открытые интер-
интервалы открыты в этой топологии.
Есть простая характеристика базы, которая часто
принимается за ее определение: подсемейство 33 тополо-
топологии 3 тогда и только тогда образует базу этой тополо-
топологии, когда каждый элемент из 3 является объединением
элементов из 23. Докажем это. Пусть 23—база тополо-
топологии 3 и ^63- Обозначим через V объединение всех тех
элементов базы 23, которые лежат в U, и предположим,
что x?U. Тогда в 23 существует такой элемент W, что
xdWczU. Значит, х? V. Следовательно, UcV и так как
V, очевидно, является подмножеством множества U, то
V=U. Докажем теперь обратное утверждение. Пусть
23с=3 и каждый элемент топологии 3 является объеди-
объединением элементов семейства 23. Если ?/?3 и х<^\], то
в совокупности элементов семейства 23, объединением
которых является множество U, найдется такой эле-
БАЗЫ И ПРЕДБАЗЫ 73
мент V, что xdVczU. Следовательно, 23—база тополо-
топологии 3-
Введя понятие базы, мы получили очень удобный
способ построения топологий. Однако необходима неко-
некоторая осторожность, ибо не каждое семейство множеств
может служить базой какой-нибудь топологии. Напри-
Например, пусть множество X состоит из чисел 0, 1 и 2, мно-
множество В состоит из чисел 0 и 1 и Л состоит из 1 и 2.
Семейство ®, состоящее из X, А, В и пустого множества,
не может служить базой никакой топологии. В самом
деле, как убеждает нас прямое вычисление, объединение
каких-либо элементов семейства ® непременно является
элементом <?; таким образом, если бы семейство в слу-
служило базой какой-нибудь топологии, то эта топология
должна была бы совпадать с <?, но ® не является топо-
топологией, так как А[\В (? 3. Положение проясняет сле-
следующая теорема.
11. Теорема. Семейство 23 множеств является ба-
базой некоторой топологии на множестве Х= [}{В : В? 23}
в том и только в том случае, когда для любых двух эле-
элементов U и V этого семейства и каждой точки х из U ftV
существует такой элемент W в 23, что х? W и WczUu V.
Доказательство. Пусть 23—база какой-нибудь
топологии, U и V — элементы базы 23 и x<z U [) V. Тогда,
так как множество U П V открыто, в 23 существует эле-
элемент, содержащий точку х и являющийся подмноже-
подмножеством множества U П V. Докажем обратное утвержде-
утверждение. Пусть 23 — семейство с выделенными нами спе-
специальными свойствами и 3 — семейство всевозможных
объединений элементов из 23. Объединение элементов се-
семейства 3 само является объединением некоторой сово-
совокупности элементов семейства 23 и, значит, принадле-
принадлежит 3- Остается только показать, что пересечение
любых двух элементов U и V семейства 3 снова принад-
принадлежит 3- Если х? U П V, то в 23 можно найти такие эле-
элементы U' и V", что х 6 U'<z.U и хб Ус V. В 23 существует
элемент W, для которого х^ W<=U' П V'czU П V. Следо-
Следовательно, множество U П V является объединением эле-
элементов семейства 23, т. е. 3—топология.
Мы только что видели, что не всякое семейство <3
множеств может служить базой топологии. Не теряя
74 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
терпения, изменим несколько наш вопрос. Можно ли по
произвольному семейству <5 множеств естественно (в ка-
каком-то смысле) и однозначно определить некоторую то-
топологию? Эта топология должна быть определена на
множестве X, являющемся объединением всех элементов
семейства S; каждый элемент семейства 3 должен быть
открыт в этой топологии, т. е. <5 должно быть подсемей-
подсемейством искомой топологии. Это наводит на вопрос: суще-
существует ли наименьшая топология на X, содержащая <5?
Следующий простой пример поможет нам обнаружить
эту наименьшую топологию.
12. Теорема. Пусть ®—произвольное непустое се-
семейство множеств. Тогда семейство всевозможных ко-
конечных пересечений элементов из <3 образует базу неко-
некоторой топологии на множестве Х = [}{S : 5?в}.
Доказательство. Пусть 3 —любое семейство
множеств и 23—семейство всевозможных конечных пе-
пересечений элементов <3. Тогда пересечение любых двух
элементов семейства 23 снова является элементом 23.
Применяя предыдущую теорему, заключаем, что 23 яв-
является базой некоторой топологии.
Семейство <5 множеств называется предбазой топо-
топологии J тогда и только тогда, когда семейство всевоз-
всевозможных конечных пересечений элементов S образует
базу топологии 3 (или, что то же самое, когда каждый
элемент из 3 является объединением конечных пересе-
пересечений элементов семейства ®). В предыдущей теореме
утверждается, что каждое непустое семейство © мно-
множеств является предбазой некоторой топологии. Эта то-
топология, конечно, однозначно определяется семейством
S; она является наименьшей топологией, содержащей ®
(т. е. эта топология содержит ® и является подсемей-
подсемейством любой топологии, содержащей®).
Как правило, у топологии есть много баз и предбаз;
предпочтение может быть отдано той или иной из них
в зависимости от решаемой задачи. Весьма естествен-
естественную предбазу обычной топологии на множестве веще-
вещественных чисел образует семейство всех открытых полу-
полупрямых, т. е. семейство всех множеств вида {х : х>а} и
{х : х<а). Каждый открытый интервал является пересе-
пересечением двух таких множеств, значит, указанное семей-
БАЗЫ И ПРЕДБАЗЫ 75
ство действительно есть предбаза. Менее очевидную
предбазу обычной топологии вещественной прямой обра-
образует семейство всех множеств того же вида, где а при-
принимает лишь рациональные значения. Эта предбаза ин-
интереснее (см. задачу 1.К).
У пространств, топология которых обладает счетной
базой, есть много хороших свойств. Про такие простран-
пространства говорят, что они удовлетворяют второй аксиоме
счетности. (Иногда в этом случае употребляются выра-
выражения сепарабельное пространство и совершенно сепа-
рабельное пространство; мы ими пользоваться не бу-
будем.)
13. Теорема. Пусть А — несчетное подмножество
пространства, топология которого имеет счетную базу.
Тогда в А есть предельная точка для А.
Доказательство. Предположим, что ни одна
точка множества А не является предельной для него, и
пусть 23— какая-нибудь счетная база рассматриваемого
пространства. Для каждой точки х из А найдется ее от-
открытая окрестность, не содержащая точек множества .4,
отличных от х. Так как 23—база, то можно затем вы-
выбрать Бж?23 так, чтобы было ВхпА={х}. Этим устана-
устанавливается взаимно однозначное соответствие между точ-
точками из Л и элементами некоторого подсемейства семей-
семейства 23; значит, множество А счетно.
Более сильное утверждение формулируется в зада-
задаче 1.3.
Множество А называется плотным в топологическом
пространстве X тогда и только тогда, когда замыкание
множества А есть всё X *).
Говорят, что топологическое пространство X сепара-
бельно, в том и лишь в том случае, когда существует
счетное плотное в нем подмножество. Сепарабельное
пространство может не удовлетворять второй аксиоме
счетности. Например, пусть X — несчетное множество,
топология которого состоит из дополнений до всевоз-
всевозможных конечных подмножеств множества X и допол-
дополнения до всего X. В этом пространстве каждое беско-
*) В русских работах пишут в этом случае, что множество А
всюду плотно в пространстве X. (Прим. перев.)
76 ГЛ. !. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
нечное подмножество плотно, ибо оно пересекается с ка-
каждым открытым множеством. Предположим, с другой
стороны, что в X существует счетная база 23, и пусть
х—некоторая фиксированная точка пространства К.
Пересечение всех открытых множеств, содержащих к,
должно совпадать с {*}, ибо дополнение к любой точке,
отличной от х, открыто. Отсюда следует, что пересечение
элементов базы 23, содержащих х, есть {х}. Но дополне-
дополнение этого счетного пересечения является объединением
счетного множества конечных множеств; значит, оно
счетно, что ведет к противоречию. (Позже встретятся
менее тривиальные примеры.) Не представляет труда
доказать, что пространство со счетной базой сепара-
бельно.
14. Теорема. Пространство, топология которого
обладает счетной базой, сепарабельно.
Доказательство. Выберем по точке из каждого
элемента базы, получим в результате некоторое счетное
множество А. Дополнение к замыканию множества А
открыто и не пересекается с А, поэтому оно не содержит
никакого элемента нашей базы и, значит, пусто.
Семейство 51 называется покрытием множества В то-
тогда и только тогда, когда В является подмножеством
объединения []{А : Л С 91}, т. е. когда каждая точка мно-
множества В принадлежит некоторому элементу семей-
семейства 91. Семейство 91 называют открытым покрытием
множества В, если каждый элемент из 21 является от-
открытым множеством. Подпокрытие покрытия 91 —¦ это
такое его подсемейство, которое само является покры-
покрытием.
15. Теорема. (Линделёф). В произвольном откры-
открытом покрытии пространства со счетной базой есть счег-
ное подпокрытие.
Доказательство. Пусть А — множество, У. — его
открытое покрытие и 33—счетная база рассматривае-
рассматриваемой топологии. Так как каждый элемент семейства 91
является объединением элементов 23, то существует под-
подсемейство (? семейства 23, тоже покрывающее Л, каждый
элемент которого содержится в некотором элементе се-
семейства 91. Для каждого элемента покрытия 6 зафикси-
зафиксируем какой-нибудь содержащий его элемент семейства
БАЗЫ И ПРЕДБАЗЫ 7?
Щ. В результате получится некоторое счетное подсемей-
подсемейство S семейства 21. Тогда Ю — покрытие множества А,
ибо (Е покрывает Л. Значит, в 21 есть счетное подпокры-
подпокрытие.
Топологическое пространство называется линделёфо-
вым*) тогда и только тогда, когда в каждом открытом
покрытии этого пространства есть счетное подпокрытие.
Так как мы уже сказали, что такое вторая аксиома
счетности, уместно сообщить, в чем. состоит первая
аксиома счетности. Эта аксиома касается локализован-
локализованного понятия базы. Семейство окрестностей точки х на-
называется базой системы окрестностей **) точки х, или
базой***) в х, если в каждой окрестности точки х содер-
содержится некоторая окрестность из этого семейства. Напри-
Например, семейство всех открытых окрестностей точки всегда
является базой системы окрестностей этой точки. Гово-
Говорят, что топологическое пространство удовлетворяет пер-
первой аксиоме счетности, если система окрестностей произ-
произвольной его точки обладает счетной базой. Ясно, что
каждое топологическое пространство, удовлетворяющее
второй аксиоме счетности, удовлетворяет и первой ак-
аксиоме счетности. С другой стороны, любое несчетное
дискретное пространство удовлетворяет первой аксиоме
счетности (у системы окрестностей произвольной точ-
точки х есть база, состоящая из единственной окрестности—¦
множества {х}) и не удовлетворяет второй аксиоме счет-
счетности (покрытие, образованное одноточечными множе-
множествами {х}, х^Х, не имеет счетного подпокрытия). Вто-
Вторая аксиома счетности является, следовательно, более
сильным ограничением, чем первая.
Достойно внимания то обстоятельство, что если Uit
U2, • • •, Un, • • ¦ — счетная база в х, то можно построить
некоторую новую счетную базу в этой точке: Vit V2,
..., Vn, ¦¦-, для которой Vn^)Vn+i при каждом п. По-
Построение просто: положим Vn = П Фи '¦ k ^С п).
*) В русской литературе такие пространства обычно назы-
называются финально компактными. (Прим. перед.)
**) Говорят иногда — базой топологии в х. (Прим. перев.)
***) Термин автора локальная база двусмыслен - обычно под
локальной базой понимают базу топологии, индуцированной в неко-
некоторой окрестности точки. (Прим. перев.)
78 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Предбазой системы окрестностей в точке х, или пред-
базой в х, называется любое семейство множеств, конеч-
конечные пересечения элементов которого образуют базу то-
топологии в этой точке. Если Uh L/2, . . . , Un, . • ¦ — счетная
предбаза в точке, то семейство множеств V\, V2, • • •
. .., Vn, . . . , где Vn= П{f/fe : k ^C n}, образует счетную
базу в этой точке. Значит, из существования счетной
предбазы в каждой точке вытекает первая аксиома счет-
ности.
ПЕРЕХОД К ИНДУЦИРОВАННОЙ ТОПОЛОГИИ;
ОТДЕЛЕННОСТЬ
Пусть (X, 3) — топологическое пространство и У—
его подмножество. В этом случае можно определить не-
некоторую топологию W на множестве У, называемую
обычно топологией, индуцированной топологией 3 на У,
или сужением топологии 3 на множество У. Индуциро-
Индуцированная топология U определяется как семейство пересе-
пересечений всевозможных элементов 3 с множеством У. Та-
Таким образом, множество U принадлежит индуцирован-
индуцированной топологии U тогда и только тогда, когда U=VV\Y
для некоторого 3-открытого множества V. Легко ви-
видеть, что U действительно является топологией. Про эле-
элементы U индуцированной топологии говорят, что они
открыты в У, а их относительные дополнения Y\U на-
называют множествами, замкнутыми в У. U-замыкание
подмножества пространства Y называется его замыка-
замыканием в У. Каждое множество У пространства X одно-
одновременно открыто и замкнуто в себе, хотя в X оно мо-
может быть и не открыто, и не замкнуто. Топологическое
пространство (У, U) называется подпространством про-
пространства (Л, 3 )• Более формальное определение: топо-
топологическое пространство (У, U) является подпростран-
подпространством другого пространства (X, 3) в том и только в том
случае, когда YaX и U — топология, индуцированная
топологией 3-
Стоит отметить, что если (Y, U) является подпро-
подпространством пространства (X, 3) и (Z, 23)— подпростран-
подпространство пространства (Y, И), то (Z, 33) является подпростран-
подпространством пространства (X, 3)- Это свойство транзитивно-
ПЕРЕХОД К ИНДУЦИРОВАННОЙ ТОПОЛОГИИ 79
сти будет часто применяться без специального на то
указания.
Пусть пространство (У, U ) является подпростран-
подпространством пространства (X, 3) и А — подмножество множе-
множества У. Может случиться тогда, что А 3 -замкнуто или
U-замкнуто, точка у может быть U-предельной точкой
для множества А и может быть 3-предельной точкой
для А*). Соотношения между этими различными поня-
понятиями важны для нас.
16. Теорема. Пусть (X, 3) —топологическое про-
пространство, (У, U) —его подпространство и А — множе-
множество в У. Тогда:
(а) множество А \\-замкнуто в том и только в том
случае, когда оно является пересечением множества У
с некоторым ^-замкнутым множеством;
(б) точка у? У является U-предельной точкой для
множества А в том и только в том случае, когда она
является ^-предельной точкой для Л;
(в) \\-замыкание множества А есть пересечение мно-
множества У и ^-замыкания множества А.
Доказательство. Множество А замкнуто в У
тогда и только тогда, когда его относительное дополне-
дополнение Y\A имеет вид V Г\ У, где V — некоторое 3-открытое
множество. Но последнее имеет место тогда и только
тогда, когда /1 = (Х\У) П У для некоторого V из 3- Этим
доказано утверждение (а). Утверждение (б) непосред-
непосредственно следует из определения индуцированной топо-
топологии и из определения предельной точки. U-замыкание
множества А представляет собой объединение множе-
множества А и множества всех его И-предельных точек; следо-
следовательно, в силу (б) оно является пересечением мно-
множества Y с 3-замыканием множества А.
Если (У, U) — подпространство пространства (X, 3)
а множество У открыто в X, то каждое открытое в У
множество открыто и в X, как пересечение открытого
в X множества с множеством У. Верно и аналогичное
утверждение для замкнутых множеств. Как правило,
однако, то обстоятельство, что множество открыто или
замкнуто в подпространстве, еще очень мало говорит
*) Наконец, всего этого может не быть! (Прим. перев.)
80 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
о расположении этого множества во всем простран-
пространстве X, Если множество X является объединением мно-
множеств У и Z, и А —такое подмножество пространства X,
что А П У открыто в У и A DZ открыто в Z, то, казалось
бы, можно надеяться, что множество А открыто в X.
Однако это не всегда так. В самом деле, пусть У—
произвольное подмножество пространства X и Z = X\Y;
тогда множества У П У и У П Z открыты в У и Z соответ-
соответственно. В одном важном случае наша гипотеза оправ-
оправдывается. Говорят, что подмножества А и В отделены.
в топологическом пространстве X, в том и лишь в том
случае, когда оба множества А П В и А П В пусты. Это
определение отделенности предполагает, что на множе-
множестве X задана операция замыкания. Однако зависимость
от топологии на X в значительной степени иллюзорна:
множества А и В отделены в X в том и только в том
случае, когда ни в А, ни в В не только нет точек другого
множества, но нет и предельных точек другого множе-
множества. Это утверждение можно переформулировать в тер-
терминах индуцированной топологии на А ИВ в силу утвер-
утверждения (б) теоремы 16 следующим образом: оба мно-
множества А и В замкнуты в AUB (или, что эквивалентно,
множество Л (или В) открыто и замкнуто одновременно
в подпространстве Ли В) и не пересекаются. Для при-
примера отметим, что интервалы @,1) и A,2)—отделен-
A,2)—отделенные подмножества пространства вещественных чисел в
обычной топологии, хотя и существует точка 1, при-
принадлежащая замыканию обоих. Однако множество @,1)
не отделено от замкнутого отрезка [1,2], ибо точка 1,
принадлежащая множеству [1, 2], служит предельной
точкой для @,1).
В последующем нам понадобятся три теоремы об от-
отделенности.
17. Теорема. Пусть подмножества Y u Z топологи-
топологического пространства X либо оба открыты в X, либо оба
замкнуты в X. Тогда множество Y\Z отделено от мно-
множества Z\Y.
Доказательство. Предположим, что У и Z—
замкнутые подмножества пространства X. Тогда множе-
множества У и Z замкнуты и в подпространстве YVtZ. Следо-
Следовательно, Y\Z= (Y [jZ)\Z и Z\Y — множества, откры-
ПЕРЕХОД К ИНДУЦИРОВАННОЙ ТОПОЛОГИИ 81
тые в Y[)Z. Отсюда следует, что оба множества: Y\Z и
Z\Y — открыты в подпространстве (y\Z)U(Z\y),
а так как они являются взаимно дополняющими под-
подмножествами этого подпространства, то каждое из них
замкнуто в (Y\Z) U (Z\Y). Следовательно, Y\Z и Z\Y
отделены. В случае, когда Z и Y открыты в X, приме-
применимо двойственное рассуждение.
18. Теорема. Пусть топологическое пространство X
является объединением таких своих подмножеств Y и Z,
что множества Y\Z и Z\Y отделены. Тогда замыкание
в X множества AczX является объединением замыкания
в Y множества Af\Y и замыкания в Z множества A{\Z.
Доказательство. Замыкание объединения двух
множеств является объединением их замыканий. Следо-
Следовательно, !=(Л~ПТ) U (Л nZ\7). Значит, А Л У=
=[(Л~ПУ) ЛУ]и[(ЛЛТ\Т) ПУ]. Множество Т\? не
пересекается с Y\Z; следовательно, (Z\y)cZ, откуда
вытекает, что (ЛГ^\У) является подмножеством мно-
множества (ЛГ^) f|Z. Подобным же образом доказывается,
что множество Af\Z можно представить как объедине-
объединение множества (Л П Z) П Z и некоторого подмножества
множества (Л П У) Л У. Следовательно, А = (А Л У) U
и(ЛЛг)=[(ЛТГУ) Л У]и[(Л7ТУ) nZ]. Теорема доказана.
19. Следствие. Пусть топологическое простран-
пространство X является объединением таких множеств У и Z,
что множества Y\Z и Z\Y отделены. Тогда подмно-
подмножество А пространства X замкнуто (открыто) в том
и только в том случае, когда замкнуто (открыто) мно-
множество Л Л У в У и замкнуто (открыто) множество
AC\Z в Z.
Доказательство. Если множества ЛЛУ и ЛЛZ
замкнуты в подпространствах У и Z соответственно, то
в силу предыдущей теоремы Л непременно совпадает со
своим замыканием и потому замкнуто. Если Л П У и
Л П Z открыты в У и Z соответственно, то множества
УЛХ\Л и Z0X\A замкнуты в пространствах У и Z и,
значит, множество Х\А замкнуто, а множество А от-
открыто.
6 Дж. Л. Келли
82 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
СВЯЗНЫЕ МНОЖЕСТВА
Топологическое пространство (X, 3) называется связ-
связным тогда и только тогда, когда множество X нельзя
представить в виде объединения двух непустых отделен-
отделенных подмножеств. Говорят, что подмножество У про-
пространства X связно, в том и только в том случае, когда
топологическое пространство У с индуцированной топо-
топологией связно. Эквивалентно: множество У связно тогда
и только тогда, когда У не является объединением ника-
никаких двух отделенных подмножеств. Еще один критерий
связности вытекает из рассмотрения отношения отделеп-
ности: множество У связно в том и только в том случае,
когда единственными подмножествами подпространства
У, открытыми и замкнутыми в нем одновременно,
являются все У и пустое множество. Отсюда сразу сле-
следует, что любое антидискретное пространство связно.
Дискретное пространство, в котором больше одной точ-
точки, не связно. Вещественные числа с обычной тополо-
топологией образуют связное пространство (задача 1.К), но
пространство рациональных чисел, топология которого
индуцируется обычной топологией вещественных чисел,
не связно. (Ибо для любого иррационального числа а
множества {х : х<а) и {х : х>а} отделены.)
20. Теорема. Замыкание связного множества
связно.
Доказательство. Пусть У—связное подмноже-
подмножество некоторого топологического пространства и Y —
= А[)В, где каждое из множеств А и В одновременно
открыто и замкнуто в F. Тогда каждое из множеств
А Л У и В П У открыто и замкнуто в У и, так как У связ-
связно, одно из этих двух множеств должно быть пусто.
Пусть BUY пусто. Тогда У является подмножеством мно-
множества А, а значит, и У является подмножеством мно-
множества Л, так как А замкнуто в У. Следовательно, В
пусто, а это означает, что множество У связно.
Есть иная формулировка этой теоремы, которая на
первый взгляд сильнее данной нами. Вот она: если У —
связное подмножество пространства X и Z — такое под-
подмножество, что YcZaY, то Z связно. Однако это утвер-
утверждение получается немедленно, если применить пред-
СВЯЗНЫЕ МНОЖЕСТВА 83
шествующую теорему к пространству Z с индуцирован-
индуцированной топологией.
21. Теорема. Пусть 21 — некоторое семейство связ-
связных подмножеств топологического пространства. Если
никакие два элемента семейства 21 не отделены, то мно-
множество U {А : А 621} связно.
Доказательство. Обозначим через С объедине-
объединение элементов семейства 21, и пусть D — его подмно-
подмножество, одновременно открытое и замкнутое в С. Тогда
для каждого А из 21 множество A 0D открыто и замкну-
замкнуто в А. Так как множество А связно, то либо Лс^, либо
A<=C\D. Если теперь А и В— элементы семейства 21,
то включения AcD и BcC\D не могут выполняться
одновременно, — в противном случае множества А и В,
будучи соответственно подмножествами отделенных мно-
множеств D и C\D, были бы сами отделены. Следователь-
Следовательно, либо каждый элемент семейства 21 является подмно-
подмножеством множества C\D, и тогда множество D пусто,
либо каждый элемент семейства ?( является подмноже-
подмножеством множества D, и тогда множество C\D пусто.
Компонентой топологического пространства назы-
называется любое его максимальное связное подмножество,
т. е. такое связное подмножество, которое не является
собственной частью никакого другого связного подмно-
подмножества. Компонентой подмножества А топологического
пространства называется любая компонента множества
А, наделенного индуцированной топологией. Если про-
пространство связно, то оно является единственной своей
компонентой. Если пространство дискретно, то каждая
его компонента состоит из одной точки. Конечно, суще-
существует много и недискретных пространств, все компо-
компоненты которых одноточечны, — таково, например, про-
пространство рациональных чисел с (индуцированной)
обычной топологией.
22. Теорема. Каждое связное подмножество топо-
топологического пространства содержится в некоторой ком-
компоненте этого пространства, и каждая компонента зам-
замкнута. Различные компоненты топологического простран-
пространства отделены.
Доказательство. Пусть А — непустое связное
подмножество топологического пространства и С — об ь-
84 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
единение всех связных множеств, содержащих Л. В силу
предшествующей теоремы множество С непременно связ-
связно, и если D — какое-нибудь связное множество, содер-
содержащее С, то DczC и тогда D = C. Значит, С — компо-
компонента. (Если множество Л пусто, а пространство не
пусто, то каждое одноточечное подмножество простран-
пространства содержится в некоторой его компоненте, значит, и
А содержится в этой компоненте.) Каждая компонента С
связна, и в силу теоремы 1.20 ее замыкание С тоже
связно. Значит, С совпадает с С, т. е. множество С зам-
замкнуто. Если Л и В — различные компоненты и не отде-
отделены, то их объединение в силу теоремы 1.21 связно, что
ведет к противоречию
Хорошо завершить наши замечания о компонентах
следующим предостережением. Если точки х и у при-
принадлежат одной компоненте топологического простран-
пространства, то они всегда попадают в одну половину любого
разделения пространства, т. е. если пространство являет-
является объединением отделенных множеств Л и В, то либо
обе точки х, у принадлежат А, либо обе они принадле-
принадлежат В. Обратное к этому утверждение не верно. Может
случиться, что две точки всегда попадают в одну поло-
половину любого разделения пространства и тем не менее
лежат в разных его компонентах. (См. задачу 1.Р.)
ЗАДАЧИ
А. Наибольшая и наименьшая топологии
(а) Пересечение любого семейства топологий на X является
топологией на X.
(б) Объединение двух топологий на X может не быть тополо-
топологией на X (если в X больше двух точек).
(в) Для любого семейства топологий на X существует един-
единственная наибольшая из всех топологий, меньших каждой тополо-
топологии из этого семейства, и существует единственная наименьшая из
всех топологий, больших каждой топологии из этого семейства.
Б. Топологии, возникающие из систем окрестностей
(а) Пусть (X, Q)—топологическое пространство; для каждой
точки х ? А' обозначим через \ХХ семейство всех ее окрестностей.
Тогда:
1) Если U ?\ХХ, то x?U.
2) Если U и V — элементы системы Пх, то и U(]V fU,x.
3) Если U^nx и UС V, то V^UX.
ЗАДАЧИ
00
4) Если ?/?Пу, то найдется элемент V ? пх такой, что V с: U
и ^ € ^ц Для каждой у кз V (иными словами, множество V дол-
должно быть окрестностью каждой из своих точек).
(б) Если функция U ставит в соответствие произвольной точке
х^Х некоторое семейство \1Х и удовлетворяет условиям 1), 2)
и 3), то семейство ^ всех таких множеств, что U ?U.V, коль скоро
x^U, есть некоторая топология на X. Если условие 4) тоже выпол-
выполняется, то Их представляет собой в точности систему окрестностей
точки х относительно топологии 8-
Замечание. Различные способы задания топологического
пространства интенсивно исследовались. Три аксиомы замыкания
Куратовского можно заменить одним условием, как показали Мой-
тейро [1] и И сек и [1]. Можно положить в основу также поня-
понятие отделенности (Уоллес [1], Кришна Мурти [1] и Ш и-
ма некий [1]). Понятие производного множества тоже можно
было бы принять за исходное (см. об этом, например, работы Мои-
тейро [2] и Рибейро [3]). Соотношения между различными
операциями исследовались Стофером [1].
В. Задание топологии через оператор ядра
Пусть * — оператор, который переводит подмножества множе-
множества X в подмножества множества X, и 3—семейство всех таких
множеств, что Ai — A.
При каких условиях Q будет топологией, а ' (одновременно) —
оператором перехода к ядру?
Г. Предельные точки в Т[-пространствах
Топологическое пространство называется Т[-пространством тогда
и только тогда, когда каждое его одноточечное подмножество зам-
замкнуто. (Иногда, допуская вольность речи, мы в этом случае го-
говорим, что «точка замкнута».)
(а) На каждом множестве X есть единственная наименьшая
топология й такая, что (X, $)—^-пространство.
(б) Если множество X бесконечно и Q — наименьшая тополо-
топология такая, что (X, Q)—^-пространство, то (X, Q) связно.
(в) Если (X, $)—^-пространство, то множество предельных
точек произвольного его подмножества замкнуто. Более сильный
результат (Янг): для того чтобы множество предельных точек про-
произвольного подмножества было замкнуто, необходимо и доста-
достаточно, чтобы было замкнуто множество предельных точек множе-
множества {х}, где х — любая точка из X
Замечание. Существует возрастающая цепочка ограничений
этого рода на топологию пространства. Топологическое простран-
пространство называется Та-пространством в том и лишь в том случае,
когда для каждой пары различных точек х и у этого пространства
по крайней мере у одной из них есть окрестность, не содержащая
Другой*). Чуть-чуть иначе это можно сказать так: пространство
*) Го-пространства выделены А. Н. Колмогоровым. (Прим.
перев.)
86 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
является Го-пространством тогда и только тогда, когда для любых
различных точек х и у будет либох (р {у}, либо у (? {х}. Позднее мы
определим 7> и 7>пространства. Терминология принадлежит
П. С. Александрову и X. Хопфу[1].
Д. Задача Куратовского о замыканиях
и дополнениях
Пусть А — подмножество топологического пространства. Оказы-
Оказывается, можно построить самое большее 14 множеств, применяя
к А операции замыкания и перехода к (относительному) дополне-
дополнению. Существует подмножество пространства вещественных чисел
(с обычной топологией), из которого можно таким образом полу-
получить ровно 14 различных множеств. (Заметим, прежде всего, что
если А — замыкание открытого множества, то А является замыка-
нием ядра множества А. Значит, для таких А будет Л=(Л')', где '
символизирует переход к дополнению.)
Е. Упражнение, касающееся пространств
со счетной базой
Если топология пространства имеет счетную базу, то каждая
база этого пространства содержит некоторую его счетную базу.
Ж. Упражнение, касающееся понятия плотности
Если множество А плотно в топологическом пространстве, а
множество U открыто, то UaAf]U.
3. Предельные точки
Пусть каждое подпространство топологического пространства X
является линделёфовым пространством, А — некоторое его несчет-
несчетное подмножество и В— множество всех точек х ? А. любая окрест-
окрестность которых содержит несчетное множество элементов множества
А *). Тогда множество А\В счетно и, значит, любая окрестность
произвольной точки множества В содержит несчетное множество
точек из В.
Замечание. Можно классифицировать предельные точки
множества А в соответствии с наименьшей мощностью пересечения
множества А с окрестностями таких точек. Если есть ограничения
на мощность базы пространства, то должны выполняться опреде-
определенные неравенства для мощностей этих множеств. Теоремы 1.13,
1.14 и 1.15 можно обобщить на пространства с базой произвольной
мощности.
И. Порядковая топология
Пусть X — множество, линейно упорядоченное антисимметрич-
антисимметричным отношением < (антисимметричность означает, что соотноше-
соотношение х<х не имеет места ни для какого х).
*) У нас такие точки называются точками конденсации множе-
множества А (Прим. перев.)
ЗАДАЧИ 87
Порядковая топология *) (<-порядковая топология) имеет
предбазой семейство всех множеств вида {х : х<а) и {х: а<х}, где
а пробегает X.
(а) Порядковая топология на X — это наименьшая из всех то-
топологий, относительно которых порядок непрерывен в следующем
смысле: для любых а и Ь из X таких, что а<Ь, существуют окрест-
окрестность U точки а и окрестность V точки Ь, для которых из х ? U и
у? V следует, что х<у.
(б) Пусть У— подмножество множества X, линейно упорядо-
упорядоченного отношением <. Тогда У само линейно упорядочено отно-
отношением <, однако <-порядковая топология на У может не совпа-
совпадать с топологией, индуцированной на У <-порядковой топологией
множества X.
(в) Если пространство X связно относительно порядковой то-
топологии, то порядок на X полон. (Это означает, что каждое ограни-
ограниченное непустое подмножество множества X имеет наименьшую
верхнюю грань.)
(г) Если в X существуют такие точки а и 6, что а<6, и нет
точки с?Х, которая удовлетворяла бы соотношениям а<с<Ь, то X
не связно. Про такое упорядочение говорят, что в нем есть
дыра. Показать, что X связно относительно порядковой тополо-
топологии тогда и только тогда, когда порядок, заданный на X, полон
и в X нет дыр.
К. Свойства вещественных чисел
Пусть R — множество вещественных чисел с обычной тополо-
топологией.
(а) Подгруппа аддитивной группы вещественных чисел, в ко-
которой больше одного элемента, либо плотна в R, либо имеет наи-
наименьший положительный элемент. В частности, множество рацио-
рациональных чисел плотно в R.
(б) Обычная топология множества вещественных чисел совпа-
совпадает с его порядковой топологией. У обычной топологии есть счет-
счетная база.
(в) Замкнутая подгруппа группы R либо счетна, либо совпа-
совпадает с R. Связная подгруппа группы R есть либо {0}, либо R, а лю-
любая открытая подгруппа обязательно совпадает с R.
(г) (Морс). Собственным интервалом называется полуоткрытый,
открытый или замкнутый интервал вещественной прямой, содержа-
содержащий больше одной точки. Пусть 9Г—какое угодно семейство соб-
собственных интервалов. Тогда существует такое счетное подсемейство
S семейства ЗГ, что U {В : В?33} = U {А:А?Щ. (Заметьте, что
семейство непересекающихся интервалов всегда счетно, и покажи-
покажите, что все точки множества U= (J {А : А ?Щ, за исключением счет-
счетного подмножества, являются внутренними точками множе-
множества U).
(д) Семейство @ всех собственных интервалов образует пред-
базу дискретной топологии ?j на R. Пространство (R, 3) не
Можно говорить также «топология порядка». (Прим. перед.)
88 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
является линделёфовым, хотя из каждого его покрытия элементами
семейства @ можно выбрать счетное подпокрытие. (Положение ве-
вещей, противоположное теореме 5.6 Александера.)
Замечание. Дальнейшие свойства вещественных чисел ука-
указаны в формулировке следующей задачи.
Л. Стрелка (пространство полуоткрытых интервалов)
Пусть X — множество вещественных чисел и ^ — топология
на X, базой которой является семейство 33 всех полуоткрытых ин-
интервалов вида [а, Ь)=[х : а^Сх<Ь}, где а и Ь — вещественные
числа. 3 -предельные точки множества называются предельными
точками справа для него; предельные точки слева определяются
аналогично.
(а) Элементы базы 33 одновременно открыты и замкнуты. Про-
Пространство (X, 3) не связно.
(б) Пространство (X, $) сепарабельно, но у § нет счетной
базы. (Для каждой точки х?Х в любой базе должен быть эле-
элемент, наибольшей нижней гранью которого она является.)
(в) Каждое подпространство пространства (X, Q) является
линделёфовым пространством. (См. 1.К(г).)
(г) Пусть А—подмножество множества вещественных чисел;
множество всех его предельных точек, не являющихся предель-
предельными точками справа по отношению к А, счетно. Более общее
утверждение: множество всех точек из Л, которые не являются
предельными для него одновременно и справа и слева, счетно.
(См. 1.3.)
(д) Каждое подпространство пространства (X, 3D сепара-
сепарабельно.
М. Пространство полуоткрытых прямоугольников
Пусть Y = XxX, где X—пространство из предыдущей задачи,
и Ц — топология, базу которой образует семейство всех множеств
вида Ах В, где А и В— элементы топологии 3> описанной в пре-
предыдущем примере.
(а) Пространство (У, U) сепарабельно.
(б) В пространстве (V, U) есть несепарабельное подпростран-
подпространство (например, таково {(х, у) : х + у=\}).
(в) Пространство (У, U) не линделёфово. (Если в каждом от-
открытом покрытии пространства Y есть счетное подпокрытие, то и
любое его замкнутое подпространство обладает тем же свойством.
Рассмотрите множество {(х, у) : х + у= 1}, наделенное индуцирован-
индуцированной топологией.)
Замечание. Пространства, описанные в формулировках за-
задач 1. Л и 1. М, относятся к числу постоянно применяемых проти-
противоречащих примеров общей топологии. Другие патологические черты
этих пространств мы перечисляем, формулируя задачу 4. И. Хал-
мош первым заметил, что произведение (в смысле, который будет
уточнен в главе 3) линделёфовых пространств может не быть лин-
линделёфовым пространством.
ЗАДАЧИ 89
И. Пример, касающийся первой и второй аксиом счетности
Обозначим через Q' множество всех порядковых чисел, мень-
меньших или равных первого несчетного порядкового числа Q; пусть
Х = й'\{й} и со — множество всех неотрицательных целых чисел;
каждое из этих множеств наделим порядковой топологией.
(а) Пространство со дискретно и удовлетворяет второй аксиоме
счетности.
(б) Пространство X удовлетворяет первой аксиоме счетности и
не удовлетворяет второй аксиоме счетности.
(в) Пространство Q' не удовлетворяет ни первой, ни второй
аксиомам счетности; каждое сепарабельное подмножество U про-
пространства Q' само счетно.
О. Условие Суслина
Топологическое пространство удовлетворяет условию Суслина
тогда и только тогда, когда каждое семейство непересекающихся
открытых множеств этого пространства счетно. Каждое сепарабель-
сепарабельное пространство удовлетворяет условию Суслина, но не наоборот.
(Пример: несчетное множество, топологию которого составляют
пустое множество и дополнения до всевозможных счетных подмно-
подмножеств.) Есть более сложные примеры пространств (см., например,
пространство Хелли из 5. Н), удовлетворяющих первой аксиоме
счетности и сепарабельных, но лишенных счетной базы.
П. Евклидова плоскость
Евклидова плоскость — это множество всех упорядоченных пар
вещественных чисел, а обычная топология на плоскости имеет базой
семейство всевозможных произведений Ах В, где А и В — откры-
открытые интервалы с рациональными концами. Эта база счетна; следо-
следовательно, плоскость сепарабельна
(а) Базой обычной топологии плоскости служит семейство все-
всевозможных открытых кругов — множеств вида {(х, у) : (х — аJ +
+ (у — bJ<r2}, где а, Ь и г — рациональные числа.
(б) Пусть X — множество всех тех точек плоскости, хотя бы
одна координата которых иррациональна; наделим X индуцирован-
индуцированной топологией. Тогда X связно.
Р. Пример на понятие компоненты
Через X обозначим следующее подмножество евклидовой пло-
плоскости с топологией, индуцированной обычной топологией этой пло-
плоскости. Для каждого целого положительного числа п положим
Ап = } — > X [0, 1], где [0, 1] — замкнутый интервал; множество X мы
получим, присоединив точки @,0) и @,1) к объединению множеств
Ап. Множества {@,0)} и {@,1)} являются компонентами простран-
пространства X, но любое открытое и замкнутое подмножество пространства
X либо не содержит ни одной из этих точек, либо содержит обе.
С. Теорема об отделенных множествах
Если X — связное топологическое пространство, У — его связ-
связное подмножество и Х\У=Л IJS, где А и В — отделенные множе-
множества, то A (J Y связно.
90 ГЛ. 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Т. Теорема о конечных цепях для
связных множеств
Пусть 31 — семейство связных подмножеств топологического
пространства, удовлетворяющее условию: если А и В принадлежат
91, то существует конечная последовательность Ао, А\, ..., Ап эле-
элементов 81 такая, что А0=А, А„ = В и для каждого i множества At
и Л,+, не отделены. Тогда множество [}{А:А(^Щ связно. Выве-
Выведите отсюда утверждение 1.21.
У. Локально связные пространства
Топологическое пространство называется локально связным
тогда и только тогда, когда для каждой точки х и любой ее окрест-
окрестности U компонента множества U, содержащая точку х, является
ее окрестностью.
(а) Каждая компонента открытого множества локально связ-
связного пространства открыта.
(б) Топологическое пространство локально связно в том и
только в том случае, когда семейство всех его открытых связных
подмножеств образует базу.
(в) Если точки х и у локально связного пространства X при-
принадлежат разным его компонентам, то существуют такие отделен-
отделенные подмножества А и В пространства X, что х?А. у?В и
Х=А US.
Замечание. По поводу многих других свойств локально
связных пространств и обобщений см. У а й б е р н [1] и У а й л-
дер {1].
Ф. Теорема Брауэра о редукции
Обычная формулировка этой теоремы такова. Пусть топологи-
топологическое пространство X удовлетворяет второй аксиоме счетности.
Свойство Р подмножеств пространства X называется индуктивным
тогда и только тогда, когда из того, что каждый элемент счетного
гнезда замкнутых множеств обладает свойством Р, следует, что
им обладает и их пересечение. Множество А называется неприводи-
неприводимым относительно свойства Р в том и только в том случае, когда
никакое собственное замкнутое подмножество множества А не об-
обладает свойством Р. Тогда если замкнутое подмножество А про-
пространства X имеет свойство Р, то в А существует неприводимое
замкнутое подмножество со свойством Р.
Эту теорему можно выразить более формально в терминах се-
семейства множеств (семейства всех множеств, обладающих Р).
(а) Сформулируйте и докажите теорему в этой формулировке.
Предположите, что каждое подпространство рассматриваемого про-
пространства линделёфово.
(б) Верно ли какое-нибудь общее утверждение этого рода для
произвольного топологического пространства (X, Q)? (См. 0,25.)
Глава 2
СХОДИМОСТЬ ПО МОРУ—СМИТУ
ВВЕДЕНИЕ
Эта глава посвящена изучению сходимости по
Мору—Смиту. Мы узнаем, что топологию пространства
всегда можно описать в терминах сходимости, — такому
описанию и посвящена большая часть данной главы.
Мы охарактеризуем также те связанные со сходимостью
понятия, которые можно описать в терминах сходимости
относительно некоторой топологии. Наш проект пресле-
преследует ту же цель, что и теория операторов замыкания
Куратовского; он даст нам удобный и интуитивно есте-
естественный путь выделения определенных топологий. Од-
Однако значение теории сходимости простирается далеко
за пределы этого частного применения — фундаменталь-
фундаментальные конструкции анализа основаны на предельном пере-
переходе. Мы заинтересованы в построении теории, которая
была бы приложима к вопросам сходимости последова-
последовательностей, двойных последовательностей, при сумми-
суммировании рядов, к вопросам, связанным с дифференци-
дифференцированием и интегрированием. Теория, развиваемая ниже,
никоим образом не является единственно возможной,
но она, без сомнения, наиболее естественная.
Понятие сходящейся последовательности образует
основу, на которой строится вся теория; поэтому мы
выпишем немногие определения и теоремы о последова-
последовательностях, чтобы дать эту основу. В дальнейшем эти
теоремы окажутся частными случаями более общих
теорем.
Последовательность есть функция, определенная на
множестве со неотрицательных целых чисел. Последова-
Последовательность вещественных чисел — эта такая последова-
последовательность, областью значений которой служит некоторое
подмножество множества вещественных чисел. Значение
92 гл. 2. сходимость по мору - смиту
последовательности S на элементе п обозначается либо
через S,,, либо через S(n). Говорят, что последователь-
последовательность S является последовательностью в множестве А,
тогда и только тогда, когда S,, ? А для каждого неотри-
неотрицательного целого числа п. Говорят, что последователь-
последовательность 5 с некоторого момента лежит в множестве А,
тогда и только тогда, когда существует такое целое чи-
число т, что Sn? А для всех п^- т. Последовательность
вещественных чисел сходится к числу s относительно
обычной топологии *) в том и только в том случае, ко-
когда, начиная с некоторого момента, она лежит в произ-
произвольной окрестности точки s. При пользовании этими
определениями выясняется, что в пространстве веще-
вещественных чисел (с обычной топологией) точка s тогда и
только тогда принадлежит замыканию множества Л,
когда в А есть последовательность, сходящаяся к s, и
что точка s является предельной для множества А то-
тогда и только тогда, когда в A\{s} существует последо-
последовательность, сходящаяся к s.
Мы хотим строить подпоследовательности последова-
последовательностей. Последовательность 5 может не сходиться
ни к какой точке, и все же может оказаться возможным
выделить из нее сходящуюся последовательность в ре-
результате подходящего построения. Мы желаем так вы-
выбрать целое число Л^ для каждого / из to, чтобы после-
последовательность Sn. сходилась. Это можно сформулиро-
сформулировать иначе: мы хотим найти такую последовательность
Л/ целых чисел, что композиция 5 о N (/) — Sn. = S (N(i)
сходится. Если никаких других ограничений нет, то это
сделать легко: положим А^ = 0 для каждого I. Тогда по-
последовательность S°N сходится к So, так как S°N(i) =
= S0 при каждом L Конечно, надо наложить дополни-
дополнительное условие, которое связало бы поведение подпо-
подпоследовательности с поведением последовательности при
больших номерах. Обычное условие заключается в том,
что последовательность N должна быть строго монотон-
монотонно возрастающей, т. е. если ?>/, то должно быть jVj>
>Nj. Это — неоправданно сильное условие; вместо него
*) Иногда говорят, что последовательность «сходится в обыч-
обычной топологии», (Прим. перев.)
ВВЕДЕНИЕ 93
мы потребуем, чтобы, когда / становилось велико, /V,-
тоже становилось велико. Формально: Т есть подпосле-
подпоследовательность последовательности S тогда и только то-
тогда, когда существует последовательность /V неотрица-
неотрицательных целых чисел, для которой T = S<>N (эквивалент-
(эквивалентно, Ti = Sn. при каждом г), такая, что, каково бы ни
было целое число ш, найдется целое число п со свой-
свойством: N{ ^ m, коль скоро i ^ п.
Точки, к которым сходятся подпоследовательности
заданной последовательности, удовлетворяют условию,
получающемуся ослаблением требования сходимости.
Говорят, что последовательность S часто находится в
множестве А, тогда и только тогда, когда для каждого
неотрицательного целого числа т существует такое це-
целое число п, что п^-т и Sn?A. Это в точности то же
самое, что сказать, что S ни с какого момента не нахо-
находится в дополнении к множеству А. Интуитивно, после-
последовательность часто находится в множестве А, если она
никогда не перестает в него возвращаться. Точка s
является предельной точкой последовательности S тогда
и только тогда, когда S часто попадает в произвольную
окрестность точки s. Если последовательность веще-
вещественных чисел с некоторого момента лежит в множе-
множестве, то это верно и для любой ее подпоследовательно-
подпоследовательности. Следовательно, если последовательность сходится,
то сходится и каждая ее подпоследовательность. Ка-
Каждая предельная точка последовательности *) является
пределом некоторой ее подпоследовательности.
Определения и утверждения, приведенные выше,
сформулированы так, чтобы их можно было применить
к любому топологическому пространству. К сожалению,
однако, соответствующие теоремы в этой общности не
верны. (См. задачи в конце этой главы.) Однако поло-
положение перестает казаться столь неблагоприятным после
того, как мы замечаем, что лишь немногие свойства це-
целых чисел нужны в доказательствах теорем о последова-
последовательностях вещественных чисел. Почти очевидно (хотя
*) Имеются в виду последовательности в пространстве веще-
вещественных чисел. В общих топологических пространствах (неметри-
зуемых) это положение может нарушаться. {Прим. перев.)
94 гл. 2. сходимость по мору —смиту
мы и не дали никаких тому доказательств), что нам
нужны только определенные свойства, связанные с на-
наличием порядка. Строго говоря, в определение сходи-
сходимости последовательностей входит не только понятие
функции S на множестве неотрицательных целых чи-
чисел со. В нем участвует еще и упорядочение «>, заданное
на множестве со. Для удобства, работая со сходимостью,
мы будем пользоваться несколько измененным опреде-
определением последовательности — согласимся, что последо-
последовательность есть упорядоченная пара (S, ^-), где S —
функция на множестве положительных целых чисел; речь
будет идти о сходимости пары (S, >-). (Окажется, что
сходимость пары (S, K-) также имеет смысл, но совер-
совершенно другой.) Когда можно не опасаться недоразуме-
недоразумений, символ, указывающий на упорядочение, будет опу-
опускаться, — сходимость последовательности S всегда сле-
следует понимать как сходимость пары (S, ^>).
Удобно также иметь развернутое обозначение для
последовательности (в терминах связанной перемен-
переменной). В соответствии с этим, если 5 — функция на множе-
множестве неотрицательных целых чисел со, будем понимать
{Sn, п ? со, ^>} как запись пары (?,!>).
После этого длинного введения общее определение
сходимости почти самоочевидно, неясно только одно: ка-
какие свойства упорядочения > нужны? Эти свойства вы-
выписаны ниже. При пользовании ими после небольших
изменений остаются справедливыми обычные рассужде-
рассуждения, касающиеся сходимости последовательностей.
1. Замечания. Предпринятое Э. Мором изучение
суммируемости неупорядоченных рядов (Э. Мор [1])
повело к построению общей теории сходимости (Мор и
Смит [1]). Обобщение понятия подпоследовательности,
которым мы будем пользоваться, тоже принадлежит
Э. Мору [2]. Гаррет Биркгоф [3] применил теорию
сходимости по Мору — Смиту к общей топологии. Форма
нашего изложения теории приблизительно та же, что
у Т ь ю к и [1]. См. работу Мак Шейна [1] — обзор, ко-
который очень хорошо читается.
В задачах в конце главы коротко обсуждается дру-
другая теория сходимости и даются соответствующие
ссылки.
НАПРАВЛЕННЫЕ МНОЖЕСТВА И НАПРАВЛЕННОСТИ 95
НАПРАВЛЕННЫЕ МНОЖЕСТВА И НАПРАВЛЕННОСТИ
Бинарное отношение ^>, заданное на множестве D,
называется направлением на нем, если D не пусто, и
(а) если т, п и р — такие элементы множества D,
что т ^ п и п ^ р, то т ^> р;
(б) если т(?),то m> m;
(в) если тип принадлежат Д то найдется элемент
р в Д для которого р^- т и р^- п.
Мы говорим, что m следует за п при упорядочении ^,
или что элемент п предшествует элементу т, тогда и
только тогда, когда т > п. На обычном языке отноше-
отношений (см. главу 0) условие (а) означает, что отношение
> транзитивно на множестве Д иначе говоря, <> являет-
является частичным упорядочением на Д и (б) означает, что
отношение > рефлексивно на D. Условие (в) носит спе-
специальный характер.
Есть несколько естественных примеров множеств, на-
направленных отношениями. И множество вещественных
чисел, и множество и неотрицательных целых чисел на-
направлены отношением порядка <>. Обратите внимание
на то обстоятельство, что элемент 0 следует за любым
другим элементом из со относительно порядка ^. Стоит
отметить и тот факт, что семейство всех окрестностей
произвольной точки топологического пространства на-
направлено отношением включения с (пересечение двух
окрестностей является окрестностью, которая следует за
каждой из них в смысле упорядочения с). С другой
стороны, семейство всех конечных подмножеств произ-
произвольного множества направлено отношением г>. Любое
множество превращается в направленное, если согла-
согласиться, что х >- у для любых двух его элементов х и у,
так что каждый элемент следует как за самим собой,
так и за любым другим элементом.
Направленное множество — это пара (D, ^>), где
> — направление на множестве D. (Иногда называют
это направленной системой.) Направленностью назы-
называется пара E, >), где 5 — функция и ^ — направле-
направление на ее области определения. (Направленность тоже
96 ГЛ. 2. СХОДИМОСТЬ ПО МОРУ —СМИТУ
иногда называют направленным множеством*).) Если
область определения функции 5 содержит D и множе-
множество D направлено отношением >, то {Sn, n?D, >} есть
направленность (S\D, >), где S\D — это сужение функ-
функции S па множество D. Говорят, что направленность
{Sn, n^D, ^} является направленностью в множестве/!,
тогда и только тогда, когда Sn?A для всех п; говорят,
что направленность находится в множестве А с некото-
некоторого момента, тогда и только тогда, когда существует
m? D, для которого из n?Z) и п ^ пг следует, что Sn 6 Л.
Направленность часто встречается с Л в том и лишь
в том случае, когда для каждого пг из D найдется эле-
элемент n^D такой, что п^-m и Sn ? А. Если направлен-
направленность {Sn, n^.D, ^} часто встречается с множеством Л, то
множество Е всех элементов п из D, для которых Sn€ Л,
обладает следующим свойством: для каждого пг из D
найдется элемент р ?? такой, что р^- пг. Такие подмно-
подмножества множества D называются конфинальными. Ка-
Каждое конфинальное подмножество Е множества D тоже
направлено отношением ^, ибо для любых двух эле-
элементов пг и п из Е найдется элемент p?.D такой, что
р~^- пг и р^- п, а за ним найдется элемент q из Е — он
и будет искомым. Имеем следующую очевидную эквива-
эквивалентность: направленность {Sn, n^D, !>} часто встре-
встречается с множеством Л тогда и только тогда, когда не-
некоторое конфинальное подмножество множества D ото-
отображается посредством S в Л, а так будет в том и лишь
в том случае, когда направленность не находится с не-
некоторого момента в дополнении к Л.
Направленность {S, >} сходится в топологическом
пространстве (X, 3) к точке s относительно топологии 3
тогда и только тогда, когда она с некоторого момента
находится в произвольной 3-окрестности точки s. По-
Понятие сходимости предполагает наличие функции S, то-
топологии 3 и упорядочения >•. Однако в случаях, когда
можно не опасаться недоразумений, мы будем опускать
символ 3. указывающий на топологию, или символ ^-,
или оба эти символа и просто говорить, что «направлен-
*) В русской литературе встречается гакже название «после-
«последовательность по направленному множеству». (Прим. перев.)
НАПРАВЛЕННЫЕ МНОЖЕСТВА И НАПРАВЛЕННОСТИ 97
ность S (направленность {Sn, n6 D}) сходится к точке s».
Если X — дискретное пространство (т. е. каждое его
подмножество открыто), то направленность S сходится
к точке s тогда и только тогда, когда с некоторого мо-
момента S лежит в множестве {s}; это означает, что, начи-
начиная с некоторого момента, все значения направленности
S совпадают с s. С другой стороны, если пространство .Y
антидискретно (т. е. его единственными открытыми под-
подмножествами являются все X и пустое множество), то
любая направленность в X сходится к каждой точке
из X. Таким образом, направленность может сходиться
к многим различным точкам одновременно.
Можно легко описать в терминах сходимости поня-
понятия предельной точки, замыкания множества и тополо-
топологии пространства. Рассуждения здесь отличаются лишь
легкими изменениями от соответствующих рассуждений
о последовательностях вещественных чисел.
2. Теорема. Пусть X — топологическое простран-
пространство. Тогда:
(а) Точка s является предельной точкой подмноже-
подмножества А пространства X в том и только в том случае, ко-
когда в A\{s) есть направленность, сходящаяся к s.
(б) Точка s принадлежит замыканию подмножества
А пространства X в том и только в том случае, когда
в А есть направленность, сходящаяся к s.
(в) Множество А замкнуто в X тогда и только то-
тогда, когда никакая направленность, содержащаяся в А,
не сходится ни к какой точке из Х\А.
Доказательство. Если s—предельная точка
для А, то в любой окрестности U точки s найдется точ-
точка Su множества А, принадлежащая U\{x}. Семейство
U всех окрестностей точки s направлено отношением
включения с, и если U и V — такие окрестности точ-
точки s, что Vet/, то Sr€Vc:?/. Поэтому направленность
{Su, t/€U, с:} сходится к s. С другой стороны, если на-
направленность в ^4\{s} сходится к s, то в каждой окрест-
окрестности точки s содержатся точки этой направленности и
множество ^4\{s}, несомненно, пересекается с любой ок-
окрестностью точки s. Этим утверждение (а) доказано.
Чтобы доказать (б), напомним, что замыкание произволь-
произвольного множества А состоит из всех точек А и предельных
7 Дж. Л. Келли
98 ГЛ. 2 СХОДИМОСТЬ ПО МОРУ — СМИТУ
точек для А. Для каждой предельной точки множества Л
по предыдущему существует направленность в А, сходя-
сходящаяся к ней. Для каждой точки s из А направленность,
которая на любом элементе своей области определения
принимает значение s, сходится к s. Следовательно, для
каждой точки из замыкания множества А в А есть на-
направленность, сходящаяся к этой точке. Обратно, если
в А есть направленность, сходящаяся к s, то каждая
окрестность точки s пересекает множество А. Значит, s
принадлежит замыканию множества А. Предложение (в)
теперь очевидно.
Мы видели, что направленность, вообще говоря, мо-
может сходиться к нескольким различным точкам одно-
одновременно. Существуют пространства, в которых предел
сходящейся направленности определен однозначно: если
направленность S сходится и к точке s, и к точке t, то
s = t. Топологическое пространство называется хаусдор-
фовым (или Т ^-пространством) тогда и только тогда,
когда у любых двух различных точек х и у этого про-
пространства есть непересекающиеся окрестности.
3. Теорема. Топологическое пространство является
хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, ко-
когда никакая направленность в этом пространстве не схо-
сходится к двум различным точкам.
Доказательство. Пусть X — хаусдорфово про-
пространство, s и t—две его различные точки. У них есть
непересекающиеся окрестности U и V соответственно.
Так как никакая направленность не может находиться
с некоторого момента одновременно в двух непересекаю-
непересекающихся множествах, то ясно, что никакая направленность
в X не сходится к s и к t одновременно. Докажем обрат-
обратное. Пусть X — не хаусдорфово пространство. Выберем
точки s и t в X так, чтобы любая окрестность точки s
пересекала любую окрестность точки t. Обозначим через
ц6 семейство всех окрестностей точки s и через lit — се-
семейство всех окрестностей точки t. Тогда l\s и 11, яь
ляются направленными множествами относительно
включения с Упорядочим декартово произведение этих
множеств, согласившись считать, что (Т, U) ^-(V,W),
в том и лишь в том случае, когда TcV и UcW. Ясно,
что отношение >¦ превращает рассматриваемое произве-
НАПРАВЛЕННЫЕ МНОЖЕСТВА И НАПРАВЛЕННОСТИ 99
дение в направленное множество. Для каждого элемен-
элемента (Т, U) произведения 11^ X U, пересечение Т [\U не
пусто. Значит, из каждого множества Т П U можно вы-
выбрать по точке S(T,v)- Если (V, W) > (Т, U), то S(VrW)€.
?VC\Wc:TГ\ U и, следовательно, направленность
{SiT<u), (Т, ?/)?И/Х Ut, >} сходится и к s, и к t.
Пусть (X, 3) — хаусдорфово пространство и напра-
направленность {Sn, n?D, >-} сходится в X к точке s; будем
писать в этом случае 3-Нт{5и, ndD, ^>} = s. Когда нет
оснований для путаницы, можно писать короче:
lim {Sn : n €D} = s, или просто HmSn = s. Употребление
термина «предел» следовало бы ограничить случаем на-
правленностей в хаусдорфовых пространствах. Тогда вы-
выполнялось бы обычное правило транзитивности отноше-
отношения равенства: если lim{Sn : /г? D} = s и lirn{Sn : n ?D} =
= t, то s = t, — ведь мы всегда понимаем равенство как
совпадение. Все-таки иногда мы будем писать HmSn = s,
а
имея в виду направленность S, сходящуюся к точке s
в нехаусдорфовом пространстве.
Прием, примененный нами в последнем доказатель-
доказательстве, часто бывает полезен. Если (Д >•). и (Е, »—
направленные множества, то декартово произведение
DXE превращается в направленное множество отно-
отношением ^>, где (d,e)^> (f, g) тогда и только тогда, ко-
когда d^-f и e^>g. Направленное множество (DxE, S>)
называется направленным произведением направленных
множеств (D, >-) и (Е, ^>). Мы хотим определить также
произведение семейства направленных множеств. Пред-
Предположим, что для каждого а из некоторого множества А
задано направленное множество (Da, >o). Декартовым
произведением U{Da: a(zA} называется множество всех
функций d на А таких, что da( = d(a)) принадлежит Da
для каждого а из А. Направленное произведение есть
пара {U{Da: а?А},^-}, где d и е — элементы произведе-
произведения и rf>e в том и лишь в том случае, когда da>aea
для каждого a dA. Произведение направлений есть >•.
Конечно, следует проверить, что направленное произве-
произведение действительно является направленным множе-
множеством. Пусть d и е — элементы декартова произведения
7*
100 гл. 2. сходимость по мору - смиту
•
U{Da:a€ А). Для каждого а?А в Da найдется элемент
fa, который следует и за da, и за еа относительно упо-
упорядочения >„. Функция f, значение которой в а равно
fa, следует и за d, и за е относительно >-. Важен спе-
специальный случай направленного произведения: когда
все координатные множества Da совпадают и совпадают
заданные на них направления >а, — тогда произведение
H{Da: а ?А] есть просто множество DA всех отображе-
отображений множества А в D, направленное посредством согла-
соглашения о том, что d следует за е в том и лишь в том
случае, когда d(a) следует за е(а) для каждого а 6 А
В точности таково, например, обычное упорядочение
множества всех вещественных функций, определенных
на множестве вещественных чисел.
Следующий результат о пределах связан с аксиомой
замыкания: А=А. Он важен потому, что позволяет за-
заменить двойной предел простым. Ситуация такова: рас-
рассмотрим класс всех функций S, значение которых
S(m, n) определено для всех т из некоторого направлен-
направленного множества D и всех п из некоторого направленного
множества Ет. Мы хотим найти направленность R со
значениями в указанной области определения функ-
функций S, для которой S°R сходится к HmlimS(m, n),—
т п
предполагается, что S является отображением в тополо-
топологическое пространство и указанный двойной предел су-
существует. Интересно отметить, что для решения этой за-
задачи необходимо пользоваться сходимостью по Мору —
Смиту, ибо, обращаясь к двойным последовательностям,
мы видим, что иногда никакая последовательность, об-
областью значений которой служит подмножество множе-
множества соХсо, не обладает этим свойством. Построение, по-
позволяющее решить поставленную задачу, является ва-
вариантом диагонального процесса. Обозначим через F
направленное произведение DХЩЕп : п ? D} и для ка-
каждой точки (т, f) из F положим R(m,f) = (m,f(m)).
Тогда R — искомая направленность.
4. Теорема о повторном пределе. Пусть
D — направленное множество, и каждому m из D соот-
соответствует некоторое направленное множество Ет. Обо-
ПОДНАПРАВЛЕННОСТИ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ Ю1
значим через F произведение DxH{Em: m(zD} и поло-
положим R(m, f) = (m, f(tn)) для произвольного (т, f)
из F. Если для каждой пары mdD, ndEm S(m,n) есть
элемент некоторого фиксированного топологического
пространства, то направленность S°R сходится к
lim limS (/и, n), если только этот повторный предел су-
tn п
ществует.
Доказательство. Допустим, что lim lirn S (m, n) =
m n
= s и что U открытая окрестность*) точки s. Мы
должны найти такой элемент (m, f) из F, что если
(р, g)^-(m,f), то S°R(p,g)€U. Выберем m в D так,
чтобы было lim S(/?, ri)?U для каждого р, следующего
п
за пг, и затем выберем для каждого такого р некоторый
элемент f(p) 6 Ер, удовлетворяющий условию: S(p,n) dU
для всех п, следующих за f(p) в Ер. Если р — элемент
из D, который не следует за пг, то в качестве f(p)
возьмем какой угодно элемент множества Ер. Если
(P. g) ^ (m' f). то Р -^ т- Значит, lim S(p, n)?U и (так
как g(p)>f(p)) SoR(p,g)=S(p,g(p))?U.
ПОДНАПРАВЛЕННОСТИ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ
В соответствии со сказанным во введении к этой гла-
главе, мы дадим теперь обобщение понятия подпоследова-
подпоследовательности и докажем обещанные теоремы.
Направленность {Тт, т€ D} называется поднапра-
вленностью направленности {Sn, n€ E} тогда и только
тогда, когда существует такая функция N на D со зна-
значениями в Е, что:
(a) T=S°N или, что эквивалентно, Ti = Sn для ка-
каждого idD;
*) Существование у точки s открытой окрестности важно для
доказательства. Теорема о повторном пределе, тот факт, что семей-
семейство открытых окрестностей точки образует базу в этой точке, и
аксиома замыкания (А=А) тесно связаны. Сходимость исследова-
исследовалась и в пространствам со структурой, менее ограничительной, чем
топология. См. Р и б е й р о [1].
Ю2 гл. 2. сходимость по мору - смиту
(б) для каждого т?Е найдется элемент «€ D та-
такой, что если р >• п, то Np ^> т.
Так как недоразумений, по-видимому, возникнуть не
может, то мы опустили символ, указывающий на упоря-
упорядочение. Второе условие интуитивно состоит в том, что
«если р велико, то и Np велико». Отсюда сразу ясно,
что если направленность S с некоторого момента нахо-
находится в множестве А, то и ее поднаправленность S°N
тоже с некоторого момента находится в А. Это очень
важное обстоятельство; именно с ним мы согласовали
определение поднаправленности. Обратите внимание на
то обстоятельство, что каждое конфинальное подмноже-
подмножество Е множества D само направлено заданным упоря-
упорядочением и что {Sn :n(iE} является поднаправленностью
направленности S. (Пусть N — тождественное отображе-
отображение на Е; тогда условие (б) превращается в требование
конфинальности множества Е направленному множе-
множеству D.) Это — стандартный способ построения подна-
правленностей; можно только огорчаться, что этот про-
простой тип поднаправленностей годится не для всех це-
целей B.Д).
Есть специальная разновидность поднаправленностей,
которой достаточно почти для всего. Предположим, что
N — изотонная функция на направленном множестве Е
со значениями в направленном множестве D (т. е. /V,- >
^ Nj при i^-j), область значений которой конфиналь-
на D. Тогда, очевидно, S°N является поднаправлен-
поднаправленностью любой направленности S. Поднаправленность.
которая строится в доказательстве следующей лем-
леммы, как раз относится к этому роду (это замечено
Смитом).
5. Лемма. Пусть S — какая-либо направленность и
91 — семейство множеств, с каждым из которых S часто
встречается, и такое, что пересечение любых двух эле-
элементов семейства % содержит некоторый элемент %. То-
Тогда существует поднаправленность направленности S,
которая попадает в каждый элемент семейства %, начи-
начиная с некоторого момента.
Доказательство. Пересечение любых двух эле-
элементов семейства % содержит некоторый элемент этого
семейства; значит, 21 направлено отношением с:. Пусть
ПОДНАПРАВЛЁННОСТИ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ ЮЗ
{Sn, n6 D) — направленность, которая часто встречается
с каждым элементом семейства21, и Е — множество всех
пар (т, А) таких, что m^D, AC% и Sm? А. Тогда Е
направлено произведением направлений на 1>Х21. В са-
самом деле, для любых двух элементов (т, А) и (п, В)
из Е существует такой элемент С в семействе %, что
CczAUB, и элемент p?D, следующий и за т, и за п и
такой, что Sp 6 С. Тогда (р, С) ? Е, причем элемент (р, С)
следует как за (т, А), так и за (и, В). Для произволь-
произвольного (т, А) положим N(m, A)=m. Отображение N, оче-
очевидно, изотонное, а область его значений конфинальна
D (ибо направленность {Sn, n(zD} часто встречается
с каждым элементом семейства 21). Следовательно, S о N —
поднаправленность направленности S. Наконец, если
А — элемент семейства %, т — произвольный элемент
из D, для которого Sm? А, и (п, В) —элемент напра-
направленного множества Е, следующий за (т, А), то
S о N(п, В) =Sn (L ВсА. Значит, направленность S°N,
начиная с некоторого момента, находится в множе-
множестве А.
Применим теперь эту лемму для исследования схо-
сходимости в топологическом пространстве. Точка s про-
пространства называется предельной точкой направленно-
направленности S тогда и только тогда, когда S часто встречается
с каждой окрестностью точки s. У направленности может
быть одна предельная точка, может быть много таких
точек и может не быть ни одной. Например, если со —
множество неотрицательных целых чисел, то {п, «6 со} —
направленность, у которой нет предельной точки в обыч-
обычной топологии вещественных чисел. Другую крайность
представляет случай, когда S—последовательность, об-
областью значений которой является все множество рацио-
рациональных чисел (такая последовательность существует,
так как множество рациональных чисел счетно). Легко
видеть, что эта последовательность часто встречается
с каждым открытым интервалом; следовательно, любое
вещественное число является ее предельной точкой. Если
направленность сходится к некоторой точке, то, конечно,
эта точка является ее предельной точкой. Но может ока-
оказаться, что у последовательности есть только одна пре-
предельная точка, к которой она тем не менее не сходится.
104 ГЛ. 2. СХОДИМОСТЬ ПО МОРУ - СМИТУ
Рассмотрим, например, последовательность —1, 1, —1,
2, —1, 3, —1, ..., получающуюся при чередовании —1
с натуральными числами. Тогда —1 — единственная пре-
предельная точка этой последовательности, хотя последняя
к —1 не сходится.
6. Теорема. Точка s топологического пространства
является предельной точкой направленности S в том и
только в том случае, когда некоторая поднаправленность
последней сходится к s.
Доказательство. Пусть s — предельная точка
направленности S и U— семейство всех окрестностей
точки s. Тогда пересечение любых двух элементов семей-
семейства U снова 'является элементом U и S часто встре-
встречается с каждым элементом семейства 11. Следовательно,
мы можем применить предыдущую лемму, получается
поднаправленность S, которая, начиная с некоторого мо-
момента, лежит в произвольном элементе семейства U,
т. е. сходится к s. Если s не является предельной точкой
направленности S, то у точки s найдется окрестность U,
с которой S не встречается часто, а это означает, что S
начиная с некоторого момента находится в дополнении
к окрестности U. Тогда и каждая поднаправленность на-
направленности S начиная с некоторого момента лежит
в дополнении к U и, таким образом, не может сходить-
сходиться К S.
Следующее утверждение характеризует предельные
точки в терминах замыканий.
7. Теорема. Пусть {Sn, n ?D} — направленность
в топологическом пространстве. Для каждого n?D обо-
обозначим через Ап множество всех точек Sm, для которых
ш>п. Тогда точка s является предельной для направлен-
направленности {Sn, n?D} в том и только в том случае, когда s
принадлежит замыканию множества Ап при каждом'
n?D.
Доказательство. Пусть s — предельная точка
направленности {Sn, n?D}. Тогда, каково бы ни было п,
множество Ап пересекает любую окрестность точки s,
ибо направленность {Sn, n 6 D) часто встречается с ка-
каждой из них. Следовательно, s принадлежит замыканию
каждого из множеств Ап. Если s не является предельной
точкой для {Sn, n ? D), то у s найдется окрестность U,
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 105
с которой направленность {Sn,n^D} не встречается ча-
часто. Значит, для некоторого n^D из т >¦ п следует, что
$т С ^' т- е- множества U и Ап не пересекаются. Сле-
Следовательно, точка s не входит в замыкание множе-
множества Ап.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
И ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Есть определенный интерес в том, чтобы знать, когда
топология может быть описана исключительно в терми-
терминах сходимости последовательностей, — не только по-
потому, что удобно иметь некоторую фиксированную об-
область для произвольных направленностей, но еще и по-
потому, что не все свойства последовательностей удается
обобщить
Наиболее важный класс топологических пространств,
описываемых в терминах сходимости последовательно-
последовательностей, образуют пространства с первой аксиомой счетно-
счетности — топологические пространства, у которых в каждой
точке есть счетная база. Последнее условие означает,
что у каждой точки х пространства X существует такое
счетное семейство окрестностей, что каждая окрестность
точки х содержит некоторую окрестность из этого се-
семейства. Если ограничиться такими пространствами, то
почти во всех предшествующих теоремах слово «напра-
«направленность» можно заменить на слово «последователь-
«последовательность».
Следует отметить, что последовательность может об-
обладать поднаправленностями, не являющимися подпо-
подпоследовательностями.
8. Теорема. Пусть X — топологическое простран-
пространство с первой аксиомой счетности. Тогда:
(а) Точка s является предельной для множества А
в том и только в том случае, когда существует последо-
последовательность в A\{s}, сходящаяся к s.
(б) Множество А открыто в том и только в том слу-
случае, когда каждая последовательность, которая сходится
к некоторой точке из А, находится в А начиная с неко-
некоторого момента.
106 гл. 2. сходимость по мору - смиту
(в) Если точка s является предельной точкой неко-
некоторой последовательности S, то в S есть подпоследова-
подпоследовательность, сходящаяся к s.
Доказательство. Предположим, что s — пре-
предельная точка подмножества А пространства X, и пусть
О о, Uu .. . , Un, ... — счетная база системы окрестностей
в точке s. Положим Vn= Л{?/, : г = 0, 1, . . . , п). Тогда
последовательность Vo, Vu . . ., Vn, ¦ ¦ ¦ тоже образует
базу системы окрестностей в точке s и, кроме того, удов-
удовлетворяет условию Vn+i<^Vn при каждом п. Выберем
для каждого п некоторую точку Sn из множества Vn П
fl(^\{s}). Полученная таким образом последователь-
последовательность {Sn, n 6 со}, очевидно, сходится к s. Этим доказана
половина утверждения (а). Обратная половина его оче-
очевидна. Если А — неоткрытое подмножество простран-
пространства X, то в Х\А найдется последовательность, сходя-
сходящаяся к некоторой точке из А. Такая последователь-
последовательность, разумеется, ни с какого момента не лежит в А,
откуда следует утверждение (б). Предположим, нако-
наконец, что точка s является предельной точкой последова-
последовательности S и что Vo, Vi, ... — база в s, для которой
Vn+icVn при любом п. Для каждого неотрицательного
целого i выберем Ni так, чтобы было N^i и чтобы эле-
элемент Sn. принадлежал множеству V^ Тогда непременно
(S;v., i ? toj — подпоследовательность последовательно-
последовательности S, сходящаяся к s.
КЛАССЫ СХОДИМОСТИ
Иногда бывает удобно задавать топологию, указы-
указывая, какие направленности к каким точкам сходятся.
Например, если §—семейство функций, определенных
на множестве X со значениями в топологическом про-
пространстве У, то естественно сказать, что направленность
[fn, ndD} сходится к функции g, тогда и только тогда,
когда {fn(x), n^D} сходится к g(x) при каждом х?Х.
(Этот тип сходимости более подробно обсуждается в
главе 7.) Согласившись с таким определением, мы, есте-
естественно, приходим к вопросу: существует ли такая топо-
топология на множестве ^, что определенная нами сходи-
сходимость является сходимостью относительно этой тополо-
КЛАССЫ СХОДИМОСТИ 107
гии? Положительный ответ на этот вопрос позволил бы
нам применить технику топологических пространств при
исследовании строения семейства 3-
Формально задача состоит в следующем. Пусть S^
некоторый класс, образованный парами (S, s), где S —
направленность в X и s — точка. В каких случаях суще-
существует топология 3 на X такая, что (S, s) ? (S тогда и
только тогда, когда направленность S сходится к точке s
относительно топологии 3? Из предыдущего обсужде-
обсуждения вопросов сходимости мы знаем, что семейство (S
должно обладать рядом определенных свойств, если та-
такая топология существует. Мы назовем семейство й
классом сходимости на X в том и лишь в том случае,
когда оно удовлетворяет выписанным ниже условиям*).
Для удобства мы говорим, что S сходится D) к точке s,
или что limSn = s((E), тогда и только тогда, когда
(s, s)ta.n
(а) Если S — такая направленность, что Sn = s при
каждом п, то S сходится F) к s.
(в) Если направленность S не сходится ((?) к точке s,
то и любая ее поднаправленность сходится к s.
(в) Если направленность S не сходится F) к точке s,
то существует ее поднаправленность, никакая подна-
поднаправленность которой не сходится F) к s.
(г) (Теорема 2.4 о повторных пределах.) Пусть D —
направленное множество и для каждого m ? D задано
некоторое направленное множество Епг. Обозначим че-
через F произведениеDXЩЕт : m^D}u положим R(m, f) =
= (т, f{m)) для произвольного (т, f)€.F. Если
Hmlimo(m, /&)==$(&), то S ° R сходится ((S) к s.
m n "
Ранее было доказано, что сходимость в топологиче-
топологическом пространстве удовлетворяет условиям (а), (б)
и (г). Легко доказать, что и (в) в этом случае выпол-
выполняется: если направленность {Sn, n?D} не сходится к
*) Первые три из этих условий, с заменой слова «направлен-
«направленность» словом «последовательность», представляют собой принадле-
принадлежащие Куратовскому модификации аксиом Фреше, характеризую-
характеризующих пространства, называемые именем последнего. Gm. К у р а т о в-
ски й [1].
108 ГЛ. 2. СХОДИМОСТЬ ПО МОРУ — СМИТУ
точке s, то она часто встречается с дополнением к произ-
произвольной ее окрестности. Следовательно, для некоторого
конфинального подмножества Е множества D направ-
направленность {Sn, п?Е\ лежит в дополнении. Ясно, что
[Sn, п?Е) является поднаправленностью, никакая под-
направленность которой не сходится к s.
Покажем теперь, что „каждый класс сходимости на
самом деле возникает на основе некоторой топологии.
9. Теорема. Пусть (S, — класс сходимости на мно-
множестве X. Для каждого подмножества А множества X
обозначим через Ас множество всех точек s € X, для каж-
каждой из которых в А существует направленность S, схо-
сходящаяся F) к s. Тогда с — оператор замыкания, и
(S, s) ? 6 в том и только в том случае, когда направ-
направленность S сходится к точке s относительно топологии,
ассоциированной с оператором с.
Доказательство. Надо показать, прежде всего,
что с — оператор замыкания (см. 1.8). Так как направ-
направленность является функцией на направленном множе-
множестве, которое по определению не пусто, то множество
(Л)с пусто. Ввиду ограничения (а) на постоянные на-
направленности, для каждой точки s произвольного множе-
множества А, в А существует направленность, сходящаяся (б)
к s. Следовательно, AczAc. Если s?Ac, то в силу опреде-
определения оператора с имеем s 6 (A U В)с и, значит, Аас
с(Л[| В)с для каждого множества В. Поэтому Ас U Вса
с {А \]В)С. Докажем противоположное включение. Пусть
{Sn,n€D} — направленность в множестве A U В, сходя-
сходящаяся (К) к точке s. Положим DA = {n : ndD и Sn?A}
и DB = {n :ndD и Sn € S}. Тогда DA П DB = D. Значит, либо
множество DA, либо множество DB конфинально множе-
множеству D и, следовательно, либо {Sn, n(~DA}, либо
{5n, n?DB] образует поднаправленность направленности
{Sn, n<^D), тоже сходящуюся в силу условия (б) к точ-
точке s. Следовательно, s?^cUBc. Этим доказано, что
Ас U ?<¦= (A UB)C. Теперь следует показать, что АСС=АС.
Условие (г) — как раз то, что нужно для этого. Пусть
{Тт, /пС О} — направленность в множестве Ас, сходя-
сходящаяся (S) к точке t. Для каждого m^D найдутся на-
направленное множество Ет и направленность {S(m, n),
п?Ет], сходящаяся (й) к точке Тт. Условие (г) поз-
КЛАССЫ СХОДИМОСТИ 109
воляет заключить, что в множестве А существует на-
направленность, которая сходится F) к t; следовательно,
t€ Ac. Значит, АСС=АС.
Осталась наиболее тонкая часть доказательства —
надо показать, что сходимость (Ё) совпадает со сходи-
сходимостью относительно топологии 3, ассоциированной с
оператором с. Предположим сначала, что направлен-
направленность {Sn, n?D} сходится F) к точке s и не сходится
к 5 по топологии 3. Тогда существует открытая окрест-
окрестность U точки s такая, что {Sn, nt D} ни с какого мо-
момента не находится в U. Тогда для некоторого конфи-
нального подмножества Е множества D будет SndX\U
при всех п из Е. Так как {5n, n? E) является поднаправ-
поднаправленностью направленности [Sn, n^D}, то {Sn, n?E) схо-
сходится F) к s в силу условия (б). Значит, Х\1/ф
Ф(Х\и)с и множество U не открыто относительно 3.
что приводит к противоречию.
Наконец, предположим, что направленность Р схо-
сходится к точке г относительно топологии 3 и не сходится
к ней (&). Тогда в силу условия (в) найдется подна-
правленность {Тт, тб D) в Р, никакая поднаправлен-
ность которой не сходится (й) к г. Противоречие будет
получено, если мы все же найдем в {Тт, m^D} подна-
правленность, сходящуюся (©) к г. Для каждого m изД
положим Bm={n-.n?D и п^-т) и через Ат обозначим
множество всех точек Тп, для которых п{ Вт. Так как
направленность {Тт, mi-D) сходится относительно 3
к г, то элемент г должен принадлежать замыканию каж-
каждого из множеств Ат. Следовательно, для каждого т
из D найдутся такие направленное множество Ет и на-
направленность {U(m, n), nd Ет} в Вт, что композиция
{ToU(m, n), п?Ет} сходится (©) к г. Теперь приме-
применимо условие (г) из определения класса сходимости.
Положим R(m, f) = (m, f(m)) для каждого (m, f) из
DxU{Em, tniiD}. Направленность To U о^ сходится F) к
точке г. Далее, если р>т, то U °R(p, f) = U(p, f (p)) €Bm.
Это означает, что U ° R(p,f)^-m. Отсюда вытекает, что
Tо UоR является поднаправленностью направленно-
направленности Г, и теорема доказана.
Предшествующей теоремой установлено взаимно од-
однозначное соответствие между всеми топологиями на
НО гл. 2. сходимость по мору-смиту
множестве X и всеми классами сходимости на X. Это
соответствие обращает порядок в следующем смысле.
Если ©! и Ё2— два класса сходимости и %, %— ассо-
ассоциированные с ними топологии, то Sicr62B том и только
в том случае, когда 32c=3i- (Этот факт непосредственно
вытекает из определения сходимости.) Заметим также,
что пересечение ©i Л 62 — снова некоторый класс схо-
сходимости в силу четырех характеристических свойств
класса сходимости. Легко видеть, что топология, ассо-
ассоциированная с ©1П ^2> есть наименьшая топология из
тех, которые одновременно больше 3i и Зг> и (двой-
(двойственное утверждение) класс сходимости, порождаемый
топологией 3i П Зг' является наименьшим среди всех
классов сходимости, больших ©! и (?2 одновременно.
ЗАДАЧИ
A. Упражнение на последовательности
Пусть X — счетное множество с топологией, которая состоит из
пустого множества и дополнений к всевозможным конечный мно-
множествам. Какие последовательности к каким точкам сходятся?
5. Пример: последовательности не адекватны топологии
Обозначим через О.' множество всех порядковых чисел, мень-
меньших первого несчетного числа Й, вместе с ним. Наделим Q' поряд-
порядковой топологией. Тогда Q является предельной точкой для множе-
множества Q' \ {Я}, но никакая последовательность из Q'\{fl} не схо-
сходится к Q.
B. Упражнение на хаусдорфовы пространства:
дверные пространства
Топологическое пространство называется дверным *) тогда и
только тогда, когда каждое его подмножество либо открыто, либо
замкнуто. В хаусдорфовом дверном пространстве не может суще-
существовать более одной предельной точки, и если х — не предельная
точка, то множество {л;} открыто. (Если U — любая окрестность
предельной точки у, то ?/\ {у} — открытое множество.)
Г. Упражнение на подпоследовательности
Пусть ./V — какая-нибудь последовательность неотрицательных
целых чисел, в которой каждое число встречается не более конеч-
конечного числа раз, т. е. множество {i':JV,- = m} при любом целом m ко-
конечно (быть может, пусто). Тогда, для любой последовательности
{Sn, л^й)}^ \SN , i?a| будет ее подпоследовательностью. Если
*) Так как эти пространства далее почти не встречаются, то мы
сохраняем неудачное название, данное автором. {Прим. перев.)
ЗАДАЧИ 111
{Sn, " ? <»} — последовательность точек топологического простран-
пространства и Л/ — произвольная последовательность неотрицательных це-
целых чисел, то либо {5дг,, г(;<в] будет подпоследовательностью по-
последовательности {Sn, «(;«>}, либо у последовательности JSyy, г?<а|
есть предельная точка.
Д. Пример: конфинальные подмножества не адекватны
Пусть X — множество всех пар неотрицательных целых чисел
со следующей топологией: для любой точки (т, п), отличной от
точки @,0), множество {(ш, п)} открыто. Множество U является
окрестностью точки @,0) тогда и только тогда, когда для всех чи-
чисел /п, за исключением конечного числа, множество|п : (m,n)^U\
конечно. (Представляя множество X лежащим на евклидовой пло-
плоскости, можно сказать, что произвольная окрестность точки @,0)
содержит все (кроме конечного числа) элементы произвольного
столбца, за исключением некоторого конечного числа столбцов.)
(а) X — хаусдорфово пространство.
(б) Каждая точка пространства X является пересечением счет-
счетного семейства ее замкнутых окрестностей.
(в) Построенное пространство линделёфово, т. е. из каждого
его открытого покрытия можно выбрать счетное подпокрытие.
(г) Никакая последовательность точек множества Х\{@, 0)} не
сходится к точке @,0). (Если бы некоторая последовательность S,
лежащая в Х\{@, 0)}, сходилась к @,0), то, начиная с некоторого
момента, она находилась бы в дополнении к произвольному столбцу,
т. е. число ее членов, лежащих в любом фиксированном столбце,
было бы конечно *).) fi
(д) В Л^{@,0)} существует последовательность S, для кото-
которой точка @,0) является предельной точкой и такая, что никакое
сужение последовательности S на конфинальное подмножество мно-
множества целых чисел не сходится.
Замечание. Этот пример принадлежит Арен су [1].
Е. Монотонные направленности
Пусть X — цепь с полным порядком, т. е. X — множество, ли-
линейно упорядоченное отношением >, гакое, что у каждого не-
непустого ограниченного сверху подмножества множества X есть наи-
наименьшая верхняя грань. Будем считать, что X наделено порядковой
топологией (см. 1.И). Говорят, что направленность (S, )>-) моно-
монотонно возрастает (убывает) в X, тогда и только тогда, когда из
m>n следует, что Sm > Sn (Sn > Sm).
(а) Каждая монотонно возрастающая направленность в X, об-
область значений которой ограничена (существует элемент х?Х та-
такой, что x^Sn при всех п), сходится к наименьшей верхней грани
своей области значений.
*) А тогда дополнение к множеству точек этой последователь-
последовательности было бы окрестностью точки @, 0). {Прим. перев.)
112 гл. 2 схолимость по мору- смиту ¦
(б) Пусть X— множество всех вещественных чисел с обычным
порядком или множество всех порядковых чисел, меньших первого
несчетного порядкового числа. Тогда каждая монотонно возрастаю-
возрастающая (убывающая) направленность, область значений которой огра-
ограничена сверху (снизу), сходится к наименьшей верхней грани (наи-
(наибольшей нижней грани) своей области значений.
Ж. Теория интегрирования (начальная ступень)
Пусть / — вещественная функция, А — некоторое подмножество
ее области определения и 9t—семейство всех конечных подмно-
подмножеств множества А. Для каждого элемента F семейства SI поло-
положим Sp = 2 if (a) '¦ а€-^Т Множество % направлено отноше-
отношением з, и \Sp, F?У[, з)—направленность. Если она сходится, то
говорят, что функция / суммируема на А, а число, к которому схо-
сходится эта направленность, называют неупорядоченной суммой функ-
функции f по А. Обозначается последняя через "^ {f (а): а?А], или
просто через 2д /•
(а) Если функция f неотрицательна (неположительна), то f
суммируема в том и лишь в том случае, когда суммы по всевоз-
всевозможным конечным подмножествам множества А ограничены сверху
(ограничены снизу). (Примените предыдущую задачу о монотон-
монотонных направленностях.)
(б) Положим А + = {а : f(а)>0} и А^ = {а : {(а)<0}. Функция f
суммируема на А тогда и только тогда, когда она суммируема и на
Л+, и на Л_. Если / суммируема на А, то 2д f = 2лд- ^ ~^2Сл ^
(в) Функция f суммируема на А в^гом и только в том случае,
когда на А суммируема функция | / I, где | / \{а) =| f(d)\.
(г) Если функция / суммируема на множестве А, то множество
тех точек из А, на которых она отлична от нуля, счетно. (Если бы
это было не так, то для некоторого целого п>0 множество
< а : f (а) > — > было бы несчетно *).)
(д) Если функции { и g суммируемы на множестве А, а г и
s—-какие угодно вещественные числа, то функция rf + sg тоже сум-
суммируема на Л, и 2л (rf + 5^) = г 2д f "+ 2д $¦
(е) Пусть функция / суммируема на множестве А, и В, С—не-
С—непересекающиеся подмножества множества А. Тогда f суммируема и
на В, и на С, и 2Я 11 г / == 2д ^ ~г" Sr ^'
(ж) Упорядоченной суммой последовательности х веществен-
вещественных чисел (суммой ряда) называется предел последовательности
{Sn}, где Sn = 2 {-*^:'=0, 1, ..., п}- Иными словами, упорядо-
*) Здесь есть небольшая неточность: такого несчетного множе-
множества может не существовать, но тогда непременно найдется несчет-
Ное множество вида < а: j (а) <^ - — Ч (Прим. перев).
ЗАДАЧИ ИЗ
ченная сумма есть предел направленности f5^,/г(;33]1 где S3 —
семейство всех множеств вида {т : т^п) для некоторого п. Это —
поднаправленность той направленности, с помощью которой опреде-
определялась неупорядоченная сумма. Последовательность х называется
абсолютно суммируемой в том и лишь в том случае, когда после-
последовательность |x|, где [ х |п = 1 хп\, обладает упорядоченной суммой.
Неупорядоченная сумма функции х на множестве целых чисел су-
существует тогда и только тогда, когда последовательность х абсо-
абсолютно суммируема. В этом случае упорядоченная и неупорядочен-
неупорядоченная суммы равны.
(з) (Фубини). Пусть / — вещественная функция на декартовом
произведении АхВ. Тогда:
1) Если функция / суммируема на А X В, то /] ..., д f =
U (а' Ь): Ъ ?В} : а?А}. (Справа стоит одна из двух мыс-
мыслимых повторных сумм.)
2) Если при каждом фиксированном а из A f(a,b) либо не-
неотрицательно при всех Ь, либо неположительно при всех й, и если
функция F(a) = 2 {{ (а, Ь) : Ь ?В} определена для всех а ? А и
суммируема на А, то функция f суммируема на АхВ.
3) Вообще говоря, обе повторные суммы могут существовать,
а функция f при этом может не быть суммируемой. В действитель-
действительности, если А и В — бесконечные счетные множества, a F и G —
произвольные вещественные функции, определенные на Л и В соот-
соответственно, то найдется функция / на Ах В такая, что
2 U (a, b):aQA} = G(b) и ^ {/ (а, Ь): Ъ ??} = F (а) для всех Ь
из В и всех а из А.
Замечания. Результаты, сформулированные в последней се-
серии задач (з), нужны при построении теории меры на основе не-
неупорядоченного суммирования, которое позволяет избежать обра-
обращения к абсолютно сходящимся рядам. У всех результатов, за
исключением утверждений (г), (ж) и (з), 2), имеются гораздо бо-
более общие аналоги. В главе 7 мы снова вернемся к этим вопросам,
пользуясь понятием полноты. Теоретико-множественный подход,
развитый выше, проливает свет на суть более сложных примеров,
связанных с интегрированием.
Исторически понятие неупорядоченной сходимости предшество-
предшествовало понятию сходимости по Мору — Смиту (Мор [1]).
3. Теория интегрирования (дальнейшее развитие)
Пусть f — ограниченная вещественная функция, определенная
на замкнутом интервале*) [а, Ь] вещественных чисел. Подразделе-
Подразделением S отрезка [а, Ь] называется любое конечное семейство отрез-
отрезков, покрывающее [а, Ь\ никакие два из которых не имеют больше
одной общей точки. Длина интервала / будет обозначаться через | / |.
Мелкостью \\S\\ подразделения S называется наибольшая из длин
*) Мы будем иногда называть замкнутый интервал отрезком,
(Прим. перев.)
§ Дж. Л. Келли
114 гл. 2. сходимость по мору-смиту
интервалов подразделения S. На семействе всех подразделений мы
определим два различных направления:
1) S~$>S' тогда и только тогда, когда S вписано в S' в том
смысле, что каждый элемент из S содержится в качестве подмно-
подмножества в некотором элементе разбиения S';
2) S »S' тогда и только тогда, когда |!S||<I|S'||.
Пусть Mf(I)—наименьшая верхняя грань функции f на от-
отрезке / и m.f(I) —ее наибольшая нижняя грань. Верхняя и нижняя
суммы Дарбу, отвечающие подразделению S, определяются как
Df{S) = ^[ \I\Mf(I):I?S) и d,(S) = 2 { |/|mf(/):/?S} coot-
ветственно. Римановы суммы несколько сложнее. Функция выбора
для подразделения S — это любая такая функция с на S, что
cU)(zJ Для каждого / из S. Множество всех пар (S, с), где S —
подразделение, а с — функция выбора для 5, можно упорядочить
двумя способами: (S, c)^>(S', с') эквивалентно S^-S', и (S, с) ^>^>
>]>- (S', с') эквивалентно S > S'. Для пары (S, с) определяется
риманова сумма: Rf(S, с) = %{\ I \f (с (I)): I ?S}.
Основное вычисление выполняется для упорядочения по вписан-
вписанности.
(а) Направленности (?)/,!>) и (dj, !>) являются соответственно
монотонно убывающей и монотонно возрастающей; значит, они
сходятся.
(б) df(S) *CRf(S,c) <^.Df(S) для всех подразделений S и лю-
любых функций выбора с.
(в) Для каждого положительного числа е существует ^-кон-
финальное подмножество множества пар (S, с) такое, что
Rf(S, с) +е> Df(S). Имеет место также,и двойственное утверждение.
(г) Направленность (/?/, ^>) сходится в том и только в том
случае, когда lim (D^, >) = lim (rf^, >)• Если (Rf, >-) сходится, то
lim (Rf, >) = lim (Df, >) = lim (df, >).
(д) Направленность (/?^, )>) является поднаправленностью на-
направленности (/?f, ^>^*)-
(е) Направленность (/?j, >v>) сходится тогда и только тогда,
когда lim (D^, >) = lim {df, >). Если (/?f, »-) сходится, то
lim (Rf, ») = lim (/?f, >).
Замечания. Интеграл Римана от функции f обычно опре-
определяется как предел направленности (/?f, ^^")- Рассмотрение упо-
упорядочения по вписанности наряду с упорядочением по мелкости
имеет чисто технические преимущества. Если вместо конечных под-
подразделений и длины интервалов взять счетные подразделения и
лебегову меру I / I множества /, то направленность (.к^, )>) будет
сходиться к обычному лебегову интегралу от f, а направленность
(У?г, ») — не обязательно. Далее, определение, основанное на
отношении вписанности, можно применить для интегрирования не-
некоторых функций, значения которых лежат в векторном простран-
пространстве (см. Хилле [1], глава 3). Интеграл типа Дарбу предполагает,
ЧТО область значений функции, подлежащей интегрированию, ча-
ЗАДАЧИ 115
стично упорядочена. К этому типу, по существу, относятся интеграл
Даниеля и различные обобщения (Б у р б а к и [2], Мак Ш е й н [2]
и [3] и М. Стоун [1]). Есть еще один стандартный способ введе-
введения интеграла, обладающий целым рядом преимуществ, — посред-
посредством пополнения по некоторой метрике (X а л м о ш [1]).
И. Максимальные идеалы в структурах
Структура*)—это непустое множество X, на котором задано
рефлексивное частичное упорядочение 1> такое, что, какова бы ни
была пара х, у элементов из X, среди всех элементов X, больших
и х, и у, существует (единственный) наименьший, обозначаемый че-
через х\/у, и среди всех элементов, меньших и х, и у, есть (един-
(единственный) наибольший элемент, обозначаемый через хАу. Эле-
Элементы х\/у и х [\У называются соответственно объединением и
пересечением элементов х и у. Говорят, что структура дистрибу-
дистрибутивна, тогда и только тогда, когда х/\{у\/г) = (х/\у)\/{х/\г) и
хУ(уАг) = (ху у)/\(х\1 г) для всех х, у и г из X. Подмноже-
Подмножество А структуры X называется идеалом (дуальным идеалом)
в том и лишь в том случае, когда из y^s>x и у^А всегда вытекает
х?А и из у?А, z (^А вытекает у\/г(^А (соответственно, если из
х~>у и yd А вытекает х^А, а из у ?А и г?Л вытекает уАг^А).
Пусть А и В— непересекающиеся подмножества дистрибутив-
дистрибутивной структуры X, причем А является идеалом, а В — дуальным
идеалом. Тогда существуют непересекающиеся множества А' и В'%
в сумме дающие все X, из которых первое является идеалом и со-
содержит множество А, а второе является дуальным идеалом и со-
содержит множество В.
Доказательство этого предложения распадается на ряд лемм.
(а) Семейство всех тех идеалов, которые содержат Л и не
пересекаются с В, обладает максимальным элементом А' (см. 0.25).
Аналогичное утверждение: существует дуальный идеал В', который
содержит В, не пересекается с Л' и является максимальным по от-
отношению к этим свойствам.
(б) Наименьший идеал, содержащий идеал А' и элемент с мно-
множества X, определяется так: {х: х^с или х^с\/у для некото-
некоторого у из А'}. Из того, что А' — максимальный идеал,'следует, что
если элемент с не принадлежит ни А', ни В, то с\/х(^В для неко-
некоторого х?А'. (Если z^xQB, то г ? В.)
(в) Если с не принадлежит ни А', ни В', то существуют xQA
и у ?В' такие, что с\/x?B' и сАУ^А'. Тогда элемент (с\/х)АУ—
= (cA</)V(-*A</) входит и в Л', и в В'.
Замечания. Эта теорема принадлежит М. Стоуну [2]; она
в наилучшей форме выражает один из основных фактов теории
упорядоченных множеств. Мы опираемся на эту теорему при ре-
решении следующих двух задач. На ней основан также ряд важных
результатов, касающихся бикомпактное™ (глава 5). Применение
принципа максимума в том или ином виде при доказательстве
*) Этим термином принято в советской литературе переводить
английский термин «lattice», (Прим. перев.)
Иб ГЛ. 2. СХОДИМОСТЬ ПО МОРУ - СМИТУ
теоремы М. Стоуна кажется неизбежным. В литературе писалось о
том, что из теоремы М. Стоуна (или, точнее, из ее следствия, кото-
которое формулируется под видом задачи 2.Л) вытекает аксиома выбора.
Однако мне неизвестно, так ли это на самом деле. Наконец, опре-
определение дистрибутивности, которое дано выше, избыточно: каждое
из фигурирующих в нем двух равенств является следствием дру-
другого (Б и р к го ф [1])
К. Универсальные направленности
Направленность в множестве X называется универсальной
тогда и только тогда, когда для каждого подмножества А множе-
множества X она лг.бо находится с некоторого момента в А, либо нахо-
находится с некоторого момента в Х\А.
(а) Если универсальная направленность часто встречается с не-
некоторым множеством, то она с некоторого момента лежит в этом
множестве. Значит, универсальная направленность в топологическом
пространстве сходится к каждой своей предельной точке
(б) Если направленность универсальна, то и каждая ее под-
направленность универсальна. Если S — универсальная направлен-
направленность в X и f — отображение множества X в множество У, то
f о S — универсальная направленность в У.
(в) Лемма. Пусть S — какая-нибудь направленность в X.
Тогда существует такое семейство 6 подмножеств множества X,
что S часто встречается с каждым элементом из G, пересечение
любых двух элементов семейства S принадлежит Ш и для ка-
каждого подмножества М множества X либо М?(?, либо Х\М?Ш.
(Покажите, что есть семейство 0", максимальное относительно пер-
первых двух свойств, и докажите затем, что оно обладает и третьим
свойством, или примените утверждение 2.И, взяв в качестве А се-
семейство всех множеств М таких, что S с некоторого момента нахо-
находится в Х\ М, в качестве В— семейство всех множеств L, в ка-
каждом из которых S находится с некоторого момента, а в качестве
упорядочения выбрав отношение включения С)
(г) В каждой направленности в X есть универсальная подна-
правленность. (Воспользуйтесь предыдущим результатом и лем-
леммой 2.5.) •
Л. Булевы кольца: существует достаточно
много гомоморфизмов
Булево кольцо — это кольцо (R, +, ¦), в котором r-r=r и
г+г=0 при каждом г из R. Поле целых чисел по модулю 2 обозна-
обозначается через h.
(а) Булево кольцо коммутативно. (Заметьте, что (r + s)'(r + s) =
+ )
)
(б) Если (R, +, •) — булево кольцо, то можно так определить
умножение элементов R на элементы /2, что R станет алгеброй
над /2.
(в) Симметричная разность ААВ двух множеств А и В опре-
определяется как (A U В) \ (А П В). Пусть Ж — семейство всех под-
подмножеств множества X; тогда C1, А, Л ) — булево кольцо с еди-
единицей.
ЗАДАЧИ 117
(г) Пусть X — некоторое множество и /2 — семейство всех
отображений множества X в h- Определим сложение и умножение
таких отображений как поточечное (т. е. (f+g) (х) =f (х) +g{x) и
(f ¦ g) (х) =/(*) -ё(х))- Тогда (l$, +, •)— булево кольцо с едини-
единицей, причем оно изоморфно булеву кольцу (91, Д, П). где 91—се-
91—семейство всех подмножеств множества X.
(д) Естественное упорядочение булева кольца определяется со-
соглашением: r>s тогда и только тогда, когда r-s = s. Отношение^
частично упорядочивает множество R таким образом, что самый
первый элемент, который следует и за г, и за s, есть rV s = r+s +
+ r ¦ s, а наибольший элемент, предшествующий одновременно и г,
и s, есть r/\s = r-s. Каждая из операций V и Л ассоциативна, и
выполняются следующие законы дистрибутивности: /"A(sW) =
= (г AS)\J (r At) и r\J(sAt) = (rys)A(rVt).
(е) Напомним, что 6' называется идеалом в булевом кольце
(R, +, •) в том и лишь в том случае, когда S — такая аддитивная
подгруппа группы R, что r-s(~S, коль скоро r(:R и s ?S. Идеал S
называется максимальным тогда и только тогда, когда ИфБ и ни-
никакой идеал, отличный от всего R, не содержит идеала S в каче-
качестве собственного подмножества. Имеет место взаимно однозначное
соответствие между максимальными идеалами булева кольца R и
нетривиальными гомоморфизмами кольца R в h. (Ядро каждого
такого гомоморфизма есть некоторый максимальный идеал.)
(ж) Критерием того, что S является идеалом в булевом коль-
кольце, может служить следующее условие: r\/s(^S для любых элемен-
элементов г и s из S, и t ? S, коль скоро в S существует элемент, кото-
которому t предшествует в естественном порядке (т. е. если /<^ некото-
некоторого элемента из S). Подмножество Т множества R называется
дуальным идеалом, в том и только в том случае, когда г A s ? Т для
любых г и s из Т и t (; Т, если t следует за некоторым элементом
из Т. Если г ? R, то {s : г !> s} — идеал и {s : s^r} — дуальный идеал.
Если S—¦ некоторый идеал, Т — непересекающийся с ним дуальный
идеал и S\JT=R, то функция, принимающая значение нуль на эле-
элементах S и единицу на элементах Г, является гомоморфизмом
кольца R в h. (В булевом кольце множеств идеалы часто назы-
называют П -идеалами, а дуальные идеалы— U-идеалами.)
(з) Теорема Пусть S — некоторый идеал в булевом кольце
и Т ¦— дуальный идеал, не пересекающийся с ним. Тогда существует
гомоморфизм этого кольца в /2, принимающий значение нуль на
элементах S и значение единица на элементах Т. В частности, если
г — произвольный отличный от нуля элемент кольца, то существует
гомоморфизм h рассматриваемого булева кольца (в /2) такой, что
h(r) — \. (Иными словами, гомоморфизмов булева кольца в /2 до-
достаточно много для того, чтобы с их помощью можно было разли-
различить его элементы. Можно доказать эту теорему, исходя из утвер-
утверждений, сформулированных в 2.И.)
(и) Пусть X — топологическое пространство и SB — семейство
всех его открыто-замкнутых подмножеств. Тогда (S3, Д, П) — бу-
булева алгебра.
П8 ГЛ. 2. СХОДИМОСТЬ ПО МОРУ —СМИТУ
(к) Не всякая булева алгебра изоморфна алгебре всех подмно-
подмножеств некоторого множества. (Покажите это на примере счетно-
бесконечной булевой алгебры.)
Замечание. Это исследование завершается упражнением 5.У.
М. Фильтры
Можно построить теорию сходимости на основе понятия
фильтра. Фильтром f$ в множестве X называется любое семейство
непустых подмножеств множества X такое, что:
1) пересечение любых двух элементов семейства Э принадле-
принадлежит ?у;
2) если А?% н АсВаХ, то и В?$.
В терминологии предыдущей задачи фильтр — это собственный
дуальный идеал в булевом кольце всех подмножеств множества X.
Фильтр ?у сходится к точке х топологического пространства X
тогда и только тогда, когда каждая ее окрестность является эле-
элементом фильтра % (т. е. система окрестностей точки х является
подсемейством семейства §).
(а) Множество U открыто в том и только в том случае, когда
U принадлежит каждому фильтру, сходящемуся к какой-либо точке
множества U.
(б) Точка х является предельной точкой для множества А
тогда и только тогда, когда множество Л\{л:} принадлежит- неко-
некоторому фильтру, сходящемуся к х.
(в) Обозначим через ц>х семейство всех фильтров, сходящихся к
точке х. Тогда П (.Ъ'-Ъ^Ух}— система всех окрестностей точки х.
(г) Если фильтр ?у сходится к точке х и G — фильтр, содер-
содержащий §f, то G сходится к х.
(д) Фильтр в X называется ультрафильтром тогда и только
тогда, когда он не содержится в качестве собственного подмноже-
подмножества ни в каком фильтре в X. Если Э—ультрафильтр в X, и
объединение каких-либо двух множеств является элементом семей-
семейства ??г, то хотя бы одно из этих множеств входит в §. В част-
частности, для любого подмножества А множества X либо А, либо JC\A
принадлежит % (См. задачу 2.И.)
(е) Можно заподозрить, что фильтры и направленности ведут
к эквивалентным по существу теориям. Основания для такого пред-
предположения можно видеть в следующих фактах:
1) Если {хп, n(:D} — направленность в X, то семейство гУ всех
множеств А, в каждое из которых {хп, п ?D) попадает с некото-
некоторого момента, является фильтром в X.
2) Пусть ?у — фильтр в X и D — множество всех пар (х, F)
таких, что x?F и F?$. Направим множество D так: (у, Q)^- (x, F)
в том и лишь в том случае, когда GcF, и положим f(x,F)=x.
Тогда % состоит в точности из всех тех множеств А, в которые
направленность {f(x, F), (x,F)(^D} попадает с некоторого момента.
Замечания. Определение фильтра принадлежит Картану.
Картаново изложение теории сходимости приведено полностью в
книге Бурбаки [1]. Предложение (в) —замечание Готтшалка;
утверждение (е) высказано в устной беседе.
Глава 3
ПРОИЗВЕДЕНИЯ
И ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВА
В этой главе мы рассмотрим два способа построения
новых топологических пространств из старых. Один из
них заключается в определении некоторой стандартной
топологии на декартовом произведении топологических
пространств; этим самым по первоначально заданным
пространствам определяется некоторое новое. Напри-
Например, евклидова плоскость является произведением про-
пространства вещественных чисел (с обычной топологией)
самого на себя, а евклидово «-пространство является
произведением п экземпляров пространства веществен-
вещественных чисел. В главе 4 произведения произвольного мно-
множества пространств вещественных чисел послужат нам
в качестве стандартных пространств, с которыми про-
прочие будут сравниваться. При втором методе построения
нового пространства из заданного начинают с некото-
некоторого разбиения заданного пространства на классы экви-
эквивалентности — эти классы служат точками конструируе-
конструируемого пространства. Грубо говоря, мы «отождествляем»
точки внутри некоторых подмножеств множества X.
В результате получается некоторое новое множество то-
точек, которое затем наделяется определенной фактор-
топологией. Множество классов эквивалентности веще-
вещественных чисел по модулю множества целых чисел при
этом получает топологию, превращающую его в «копию»
единичной окружности, лежащей на плоскости и насле-
наследующей у нее топологию.
Оба способа построения пространств мотивируются
тем, что определенные отображения становятся при этом
непрерывными. Мы начнем поэтому с определения поня-
понятия непрерывности и доказательства нескольких связан-
связанных с ним простых предложений.
120 ГЛ. 3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВА
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Приведем для удобства краткий обзор терминологии
и элементарных предложений, связанных с понятием
отображения (глава 0). Слова «функция», «отображе-
«отображение», «соответствие», «оператор» и «преобразование» яв-
являются синонимами. Говорят, что функция / является
отображением (множества, пространства и т. д.) X, то-
тогда и только тогда, когда область определения функ-
функции / есть X. Говорят, далее, что f является отображе-
отображением в У, в том и лишь в том случае, когда область
значений этого отображения является подмножеством
множества У, и что / — отображение на У, в том и лишь
в том случае, когда область значений f совпадает с У.
Значение / в точке х обозначается через f(x) и назы-
называется также образом точки х при отображении /. Про-
Прообраз подмножества В множества У при отображении f
обозначается через f~l[B]— это множество {х: f(x) ?В).
Прообраз пересечения (объединения) элементов любого
семейства множеств из Y при отображении / совпадает
с пересечением (объединением) прообразов этих эле-
элементов. Иными словами, если Zc — подмножество мно-
множества У для каждого элемента с из некоторого множе-
множества индексов С, то НП {Zc: с ? С}]= П {tx[Z,.]: с? С};
аналогичная формула справедлива для объединений.
Пусть у^ У; в этом случае запись /"'[{#}], обозначающая
прообраз множества, единственным элементом которого
является точка у, будет сокращаться до такой записи:
f~l[y]- Образ f[A] множества А, лежащего в X, представ-
представляет собой множество всех таких у € У, что f(x) =y для
некоторого х из А. Образ объединения множеств из X
равен объединению их образов, но, вообще говоря, об-
образ пересечения не равен пересечению образов. Отобра-
Отображение f называется взаимно однозначным тогда и только
тогда, когда образы любых двух различных точек при
нем различны. В этом случае /-1 является отображением,
обратным к отображению f. (Обратите внимание на то,
как подобраны обозначения: квадратные скобки встре-
встречаются в обозначениях подмножеств из области опреде-
определения и области значений отображения, а круглые — в
обозначениях элементов. Например, если f — взаимно
однозначное отображение на У и у 6 У, то }~г(у) —тот
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 121
единственный элемент из X, для которого f(x)=y, a
Отображение / топологического пространства (X, 3)
в топологическое пространство (Y, 11) называется не-
непрерывным в том и только в том случае, когда прообраз
каждого открытого множества открыт. Точнее, f непре-
непрерывно относительно топологий 3 и U, или 3 — U-не-
прерывно, тогда и только тогда, когда f~l[U]? 3 для
каждого U из И. Непрерывно отображение или нет —
это зависит и от того, какая топология задана на об-
области определения, и от того, какая топология задана
на области значений. Однако мы будем следовать обыч-
обычной практике, опуская все указания на эти топологии,
когда можно не опасаться недоразумений. Есть одно или
два утверждения о непрерывных отображениях, которые
чрезвычайно важны и одновременно почти очевидны. Пер-
Первое: если f — непрерывное отображение пространства X
в Y и g — непрерывное отображение пространства Y
в Z, то композиция gof является непрерывным отображе-
отображением пространства X в пространство Z, ибо (g °f)~t[V\=z
— f~l[§~[W]] Для каждого множества VcZ, откуда, поль-
пользуясь сначала непрерывностью отображения g, а затем
непрерывностью /, заключаем, что если множество V от-
открыто, то открыто и множество (g0})'1^]- Пусть / —
непрерывное отображение пространства X в простран-
пространство Y и А — подмножество пространства X. Тогда су-
сужение отображения f на множество A, f\ А, тоже является
непрерывным отображением относительно топологии, ин-
индуцированной на А топологией пространства X, ибо
если U открыто в У, то (f\A)'l[U] = A f)f~l[U], а последнее
множество открыто в А. Отображение /, для которого
отображение f\A непрерывно, называется непрерывным
на множестве А. Может случиться, что f непрерывно
на А, но не непрерывно на X.
Ниже мы даем список условий, каждое из которых
эквивалентно непрерывности. Так как непрерывность
отображений часто приходится доказывать, этот список
нам будет полезен в дальнейшем.
1. Теорема. Пусть X u Y — топологические про-
пространства и f — отображение X в Y. Тогда следующие
утверждения равносильны:
122 ГЛ 3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВА
(а) Отображение f непрерывно.
(б) Прообраз каждого замкнутого множества за-
замкнут.
(в) Прообраз каждого элемента некоторой предбазы
топологии пространства Y открыт.
(г) Для любой точки xdX прообраз произвольной
окрестности точки f(x) является окрестностью точки х.
(д) Для каждой точки х?Х и любой окрестности U
точки f(x) существует окрестность V точки х такая, что
fM
cU.
(е) Для любой направленности S (или {Sn, «?/)})
в X, сходящейся к некоторой точке s, композиция
f°S (или {f(Sn), ndD}) сходится к точке f(s).
(ж) Образ замыкания произвольного подмножества А
множества X является подмножеством замыкания об-
образа множества А, т. е. ff^JcffA].
(з) Для каждого подмножества В пространства У
Доказательство. (а)*-^(б). Это вытекает непо-
непосредственно из того, что обратное отображение сохра-
сохраняет относительное дополнение: /-1[У\б] = Х\/-1[б] для
каждого подмножества В пространства Y.
(а)-<—>-(в). Если f — непрерывное отображение, то
прообраз произвольного элемента предбазы открыт, по-
потому что предбаза состоит из открытых множеств. Об-
Обратно, так как каждое открытое в Y множество V яв-
является объединением конечных пересечений элементов
предбазы*), то множество /"'[У] является объединением
конечных пересечений прообразов элементов рассматри-
рассматриваемой предбазы. Если эти прообразы открыты, то и
прообраз каждого открытого множества открыт.
(а)->-(г). Если отображение f непрерывно, х?Х и
V—окрестность точки f(x), то в V содержится открытая
окрестность W точки f(x). Тогда /~'[W] — открытая окрест-
окрестность точки х, являющаяся подмножеством множества
/"'[У]. Следовательно, f~[[V] — окрестность точки х.
(г) -*(д). Если U — окрестность точки f(x), то f~l[U]
окрестность точки х, для которой /[/'[?/]]?/
*) Под «конечным пересечением» здесь и в дальнейшем пони-
понимается пересечение конечного числа множеств. (Прим. перев.)
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 123
(д)->(е). Предположим, что условие (д) выполнено,
и пусть 5 — направленность в X, сходящаяся к некото-
некоторой точке s. Для произвольной окрестности U точки f(s)
найдется окрестность V точки 5 такая, что f{V\cU. Так
как направленность S с некоторого момента находится
в V, то направленность /°S с некоторого момента нахо-
находится в U.
(е)->(ж). Пусть дано (е), А — любое подмноже-
подмножество множества X, a s — точка из его замыкания. Тогда
в А существует направленность S, сходящаяся к s.
Тогда направленность f°S сходится к точке f(s), ко-
которая поэтому принадлежит множеству f[A]. Значит,
f[A]cf\A].
(ж)—»-(з). Пусть выполнено условие (ж). Тогда,
если A = f~i[B]y то f[A]czf[A]z3B и, следовательно, 1с
czf-^B]. Таким образом, ^[В]сНВ].
(з)->-(б). Пусть выполнено условие (з), и В — замк-
замкнутое подмножество множества У. Тогда f[fi]c:f[5] =
= f~l[B], откуда следует, что множество ^(В) замкнуто.
Полезен также локальный вариант понятия непре-
непрерывности. Отображение / топологического пространства
X в топологическое пространство Y называется непре-
непрерывным в точке xdX тогда и только тогда, когда прооб-
прообраз каждой окрестности f (х) при отображении f является
окрестностью точки х. Непрерывность в точке легко оха-
охарактеризовать утверждениями, аналогичными 3.1 (д) и
3.1 (е). Очевидно, отображение / непрерывно в том и
лишь в том случае, когда оно непрерывно в каждой
точке своей области определения.
Гомеоморфизм, или топологическое преобразование,
есть непрерывное взаимно однозначное отображение не-
некоторого топологического пространства X на некоторое
топологическое пространство Y, обратное отображение
к которому /-1 тоже непрерывно. Про два пространства
говорят, что они гомеоморфны, или что одно является
гомеоморфом другого, если существует гомеоморфизм
одного пространства на другое. Тождественное отобра-
отображение топологического пространства на себя всегда яв-
является гомеоморфизмом, и обратное к гомеоморфизму
отображение тоже является гомеоморфизмом. Ясно
124 ГЛ. 3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВА
также, что композиция любых двух гомеоморфизмов
снова является гомеоморфизмом. Следовательно, семей-
семейство всех топологических пространств можно разбить на
классы эквивалентности так, что каждое топологическое
пространство гомеоморфно любому пространству, входя-
входящему в его класс эквивалентности, и только таким про-
пространствам. Два топологических пространства тополо-
топологически эквивалентны тогда и только тогда, когда они
гомеоморфны.
Дискретные пространства X и Y гомеоморфны в тех
и лишь в тех случаях, когда существует взаимно одно-
однозначное отображение множества X на множество Y, т. е.
когда равны их мощности. Это действительно так, ибо
любое отображение дискретного пространства непре-
непрерывно, независимо от того, какую топологию имеет его
область значений. Верно также, что антидискретные про-
пространства (в них единственными открытыми подмноже-
подмножествами являются все пространство и пустое множество)
гомеоморфны тогда и только тогда, когда существует
взаимно однозначное отображение одного из них на дру-
другое, ибо любое отображение в антидискретное простран-
пространство непрерывно, независимо от того, какая топология
задана на его области определения. Вообще говоря, мо-
может оказаться очень трудным выяснить, гомеоморфны
ли заданные пространства. Множество всех веществен-
вещественных чисел с обычной топологией гомеоморфно откры-
открытому интервалу @,1), наделенному индуцированной то-
топологией: функция, значение которой на элементе х из
2Х 1
@,1) равно —; 5-г .является, как легко видеть, гомео-
X (X — 1)
морфизмом. Однако интервал @,1) не гомеоморфен про-
пространству @,1) U A,2), ибо если бы функция f была
гомеоморфизмом (или хотя бы непрерывной функцией)
с областью определения @,1) и областью значений
@,1) U A,2), то множество /-1[@,1)] было бы собствен-
собственным открыто-замкнутым подмножеством множества
@,1), в то время как множество @,1) связно. Нам уда-
удалось доказать отсутствие гомеоморфизма в рассмотрен-
рассмотренном случае благодаря тому, что мы заметили, что одно
пространство связно, а другое нет и что пространство,
гомеоморфное связному пространству, непременно связ-
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ 125
но. Свойство топологического пространства, принадле-
принадлежащее каждому пространству, гомеоморфному данному,
называется топологическим инвариантом. Доказатель-
Доказательство того, что два пространства не гомеоморфны, обыч-
обычно заключается в выделении топологического инва-
инварианта, которым обладает одно из них и не обладает
другое. Каждое свойство, которое определяется в терми-
терминах элементов пространства и его топологии, автомати-
автоматически оказывается топологическим инвариантом. По-
Помимо связности, топологическими инвариантами яв-
являются свойства пространства иметь счетную базу
топологии, иметь счетную базу в каждой точке, быть
^-пространством или хаусдорфовым пространством. Го-
Говоря формально, топология — это наука о топологиче-
топологических инвариантах.
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ
На декартовом произведении семейства топологиче-
топологических пространств можно стандартным способом опреде-
определить топологию. Это чрезвычайно важная конструкция,
поэтому мы остановимся сейчас на исследовании свойств
предлагаемой топологии. Пусть X и У — топологические
пространства и 23 — семейство всех декартовых произве-
произведений вида UxV, где U — множество, открытое в X,
и V—множество, открытое в У. Пересечение двух эле-
элементов из 23 есть снова элемент из 23 ибо (UxV) П
П (RxS) = (?/n/?)X(VnS). Следовательно, по теореме
1.11 23 — база некоторой топологии на множестве XxY.
Эта топология называется топологией произведения на
XxY. Подмножество W множества XxY открыто в то-
топологии произведения в том и только в том случае, ко-
когда для каждого элемента (х, у) ? W можно найти
открытые окрестности U и V точек х и у соответственно
такие, что UxVczW. Пространства X и У называются
координатными пространствами, а отображения Ро и Pt,
первое из которых переводит точку (х, y)dXxY в х,
а второе — в у, называются проектированиями на коор-
координатные пространства. Эти проектирования являются
непрерывными отображениями, ибо если U открыто в X,
126 ГЛ. 3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВА
то Pq1[U] = U XY — множество, открытое в XX Y. Не-
Непрерывность проектирований может быть на самом деле
положена в основу описания топологии произведения.
А именно, пусть 3 — какая-нибудь топология на XXY,
относительно которой оба проектирования непрерывны.
Тогда, если U открыто в X, а V открыто в Y, то множе-
множество UXV открыто вЗ, ибо UXV = Po1[U]()PT1[V],
а стоящие справа множества открыты относительно 3 в
силу непрерывности проектирований. Следовательно, 3
больше топологии произведения, т. е. топология произ-
произведения — наименьшая среди тех топологий, относитель-
относительно которых проектирования на координатные простран-
пространства непрерывны.
Не составляет труда распространить данное опре-
определение топологии произведения на случай декартова
произведения любого конечного числа координатных
пространств. Пусть Хо, Хи . . . , Xn-i — топологические
пространства. Базу топологии произведения на декарто-
декартовом произведении ХоXXtX. • . XХп^ образует семейство
всевозможных множеств вида Uo X U\ X. . . X Un-u где
Ui — произвольное множество, открытое в Хг. В частно-
частности, если каждое Xt есть множество вещественных чи-
чисел с обычной топологией, то пространство произведения
есть евклидово п-пространство Еп. Элементами про-
пространства Еп являются всевозможные вещественные
функции, определенные на множестве 0, 1, ..., п — 1;
значение функции х на элементе i обозначается через
Xi(=x(i)).
Теперь будет определена топология произведения на
декартовом произведении произвольного семейства топо-
топологических пространств. Предположим, что для каждого
элемента а из какого-то множества индексов А задано
некоторое множество Ха. Декартово произведение
П{Ха ' О- € А} определяется как множество всех таких
функций х на А, что ха?Ха для каждого а из А. Мно-
Множество Ха называется а-и координатным множеством.
Проектирование Ра произведения на а-е координатное
множество определяется формулой Ра(х)=ха. Предпо-
Предположим, что на каждом координатном множестве задана
некоторая топология За- Конструкция топологии произ-
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ 127
ведения, которая будет описана, мотивируется *) требо-
требованием, чтобы каждое проектирование Ра было непре-
непрерывным отображением. Чтобы обеспечить непрерывность
всех проектирований, необходимо и достаточно, чтобы
были открытыми все множества вида Ра [?/]> где U —•
произвольное множество, открытое в Ха. Семейство всех
таких множеств образует предбазу некоторой топологии.
Ясно, что эта топология — наименьшая среди тех, отно-
относительно которых проектирования непрерывны. Это и
есть топология произведения. Элементы определенной
нами предбаз'ы имеют вид {х : ха 6 U), где U может быть
любым открытым подмножеством пространства Ха. Ин-
Интуитивно они ассоциируются с цилиндрами над откры-
открытыми подмножествами координатных пространств. Ино-
Иногда говорят, что элементы рассматриваемой предбазы
получаются «ограничением а-й координаты некоторым
открытым подмножеством а-го координатного простран-
пространства». Базу топологии произведения образует семейство
всевозможных конечных пересечений элементов указан-
указанной предбазы. Произвольный элемент U этой базы имеет
вид П [P^Wa] ¦ о, ? F\ = [х : ха ? Ua для каждого а из F},
где F — конечное подмножество множества А и Ua — от-
открытое подмножество пространства Ха для каждого а из F.
Отметим, что речь идет о конечных пересечениях**). Во-
Вообще говоря, не верно, что множество вида U{Ua:a?A}
открыто в топологии произведения, если каждое Ua от-
открыто в Ха. Пространство произведения, или произведе-
произведение пространств, — это декартово произведение этих про-
пространств, наделенное топологией произведения.
Проектирования пространства произведения на коор-
координатные пространства обладают еще одним очень по-
полезным свойством. Отображение f топологического про-
пространства X в топологическое пространство У называется
открытым тогда и только тогда, когда образ каждого
открытого множества открыт, т. е. когда из того, что
множество U открыто в пространстве X, следует, что
множество f[U] открыто в пространстве У.
*) Предлагаемое описание топологии произведения принадле-
принадлежит Бурбаки.
**) См. примечание на стр. 122.
128 ГЛ 3 ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВА
2. Теорема. Проектирование пространства произ-
произведения на произвольное его координатное пространство
открыто.
Доказательство. Обозначим через Рс проекти-
проектирование пространства П{Ха:асЛ} на пространство Хс.
Чтобы показать, что отображение Рс открыто, достаточ-
достаточно убедиться, что образ произвольной окрестности лю-
любой точки х произведения является окрестностью точки
Рс(х). Можно при этом предположить, что окрестность,
выбранная в пространстве произведения, принадлежит
описанной выше базе его топологии. Пусть х? V=
= {У'-Уа?иа при а из F}, где F— некоторое конечное
подмножество множества А и Ua — множество, откры-
открытое в Ха для каждого а из F. Мы построим копию про-
пространства Хс, содержащую точку х. Для произвольного
zk.Xc положим f(z)c — z, и пусть при афс будет f(za) =
=ха. Тогда Pc°f(z)=z. Если с (? F, то ясно, что f[Xc]cV
и PC[V] = XC — открытое множество. Если с€ F, то f(z) ? V
в том и лишь-в том случае, когда z? Uc; тогда PC[V\=UC.
Этим теорема доказана. (Заметим, что построенное в
приведенном доказательстве отображение / является го-
гомеоморфизмом, — иногда этот факт бывает полезен.)
Можно было бы подумать, что проекция множества,
замкнутого в произведении пространств, всегда замкну-
замкнута. Однако легко видеть, что это неверно, ибо подмно-
подмножество {(х, у) :ху=\] евклидовой плоскости, будучи
само замкнутым, обладает незамкнутыми проекциями
на координатные пространства.
Есть очень полезная характеристика непрерывности
тех отображений, область значений которых является
подмножеством некоторого произведения пространств.
3. Теорема. Отображение f топологического про-
пространства в пространство произведения U{Xa: ad А] не-
непрерывно в том и только в том случае, когда непрерывна
каждая из композиций Pa°f, где а?А.
Доказательство. Если f — непрерывное отобра-
отображение, то и отображение Pa°f непрерывно, ибо проекти-
проектирование Ра непрерывно. Если отображение Pa°f непре-
непрерывно при каждом а, то для каждого открытого множе-
множества U из Ха множество {Ра ° f)~ '[?/] = f'1 [PZl [(/]]
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ПРОСТРАНСТВ 129
открыто. Отсюда следует, что прообраз при / каждого
элемента выбранной выше предбазы пространства произ-
произведения открыт. Значит, в силу утверждения 3.1 (в) f —
непрерывное отображение.
Сходимость в пространстве произведения можно очень
просто описать в терминах проекций.
4. Теорема. Направленность S в пространстве про-
произведения сходится к точке s в том и только в том слу-
случае, когда ее проекция в произвольное координатное
пространство сходится к проекции точки s.
Доказательство. Так как проектирование на
произвольное координатное пространство непрерывно,
то из сходимости направленности {Sn, n^D} в произве-
произведении ЩХа: а?А] к точке s следует, что направлен-
направленность {Pa(Sn), n^D} сходится к Pa(s). Докажем обрат-
обратное. Пусть {Sn, ndD)—такая направленность, что
{Pa{Sn), n?D} сходится к sa для каждого а из А. Тогда,
какова бы ни была открытая окрестность Ua точки sa,
направленность {Pa(Sn), n?D} находится с некоторого
момента в множестве Ua и, значит, направленность
[Sn, n?D) находится с того же момента в множестве
PZl\Ua\- Но тогда направленность {Sn, n?D} должна
находиться с некоторого момента в любом конечном
пересечении множеств вида PZl [Ua\- Так как семейство
всевозможных таких конечных пересечений образует
базу топологии произведения в точке s, то направлен-
направленность {Sn, n?D} сходится к s.
Сходимость относительно топологии произведения
называется покоординатной, или поточечной, сходи-
сходимостью. Обычно последний термин употребляется, когда
все координатные пространства идентичны. В этом важ-
важном специальном случае декартово произведение
ЩХ-.adA] есть просто множество всех функций, опре-
определенных на А, со значениями в X, и обычно обозна-
обозначается через ХА. Направленность {Fn, n?D} в множе-
множестве ХА сходится к функции f в топологии поточечной
сходимости тогда и только тогда, когда направленность
{Fn(a), n?D} сходится к f(a) при каждом а из А. Этот
факт оправдывает название «поточечная сходимость».
Топологию произведения называют в этом случае еще и
топологией простой сходимости.
130 ГЛ. 3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ФАКТОР-ПРОСТРЛНСТВА
Естественно поинтересоваться, когда произведение
топологических пространств наследует свойства, кото-
которыми обладают координатные пространства? Например,
можно спросить, будет ли пространство произведения
хаусдорфовым или будет ли оно удовлетворять первой
или второй аксиоме счетности, если каждое из коорди-
координатных пространств обладает соответствующим свойст-
свойством? Следующие теоремы содержат ответы на эти вопросы.
5. Теорема. Произведение хаусдорфовых про-
пространств является хаусдорфовым пространством.
Доказательство. Если х и у — разные точки
произведения Yl{Xa:a(zA}, то хафуа для некоторого а
из А. Если каждое координатное пространство хаусдор-
фово, то у точек ха и уа есть непересекающиеся откры-
открытые окрестности U и V соответственно. Тогда Рп \U] и
Pa X \V\ — непересекающиеся окрестности точек хну
в произведении.
Напомним, что антидискретным называется такое
топологическое пространство, в котором единственными
открытыми множествами являются пустое множество и
все пространство.
6. Теорема. Пусть Ха для каждого элемента а из
некоторого множества индексов А — пространство, удов-
удовлетворяющее первой аксиоме счетности. Пространство
произведения ЩХа : а ? Л} удовлетворяет первой аксиоме
счетности в том и только в том случае, когда все, за
исключением счетного множества, пространства Ха анти-
дискретны.
Доказательство. Пусть В—счетное подмноже-
подмножество множества А и все Ха при а?А\В антидискретны.
Рассмотрим произвольную точку х пространства произ-
произведения. Выберем для каждого а из А некоторую счет-
счетную базу На системы окрестностей точки ха в простран-
пространстве Ха. Тогда \1а = {Ха} для каждого а?А\В. Рассмот-
Рассмотрим семейство всех конечных пересечений множеств
вида P~la\U\, где а^А и ?/€lta. Это семейство счетно,
так как Pa1[U] = U{Xb: b 6 А) при а?А\В Но совокуп-
совокупность этих конечных пересечений образует базу систе-
системы окрестностей в точке х. Следовательно, пространство
произведения удовлетворяет первой аксиоме счетности.
ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВА 131
Докажем обратное. Пусть В — такое несчетное под-
подмножество множества А, что для каждого о из В
у точки ха в Ха есть окрестность, являющаяся собствен-
собственным подмножеством множества Х„, и пусть существует
счетная база И топологии в точке х. Каждый элемент U
базы И содержит некоторый элемент стандартной базы,
через посредство которой вводилась выше топология
произведения. Следовательно, Pa[U] = Xa для всех а из А,
за исключением конечного числа. Так как множество В
несчетно, то найдется элемент а в В такой, что Pa[U] = Xa
для каждого U из U. Но у точки х„ есть открытая
окрестность V, являющаяся собственным подмножеством
множества Ха. Ясно, что никакой элемент базы It не
является подмножеством множества РпХ [V], так как
каждый элемент из U проектируется на все Ха. Получи-
Получилось противоречие.
Верно также, что и координатные пространства на-
наследуют определенные свойства пространства произве-
произведения. Если пространство произведения хаусдорфово, то
хаусдорфово и каждое координатное пространство, и
если пространство произведения удовлетворяет в каждой
точке первой аксиоме счетности, то то же можно сказать
и о каждом координатном пространстве. Эти утвержде-
утверждения доказываются легко, мы этого делать не будем.
7. Замечания. Топология произведения была оп-
определена А. Н. Тихоновым. В двух классических рабо-
работах [1] и [2] им были получены важнейшие результаты,
которые ныне стали стандартными инструментами об-
общей топологии (см. также главу 5). До работ Тихонова
много исследований посвящалось сходимости последова-
последовательностей функций относительно топологии поточечной
сходимости. При этом возникало много трудностей, ибо
эту топологию нельзя полностью описать в терминах схо-
сходящихся последовательностей, по крайней мере в самых
интересных случаях (см. задачу 3. И).
ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВА
Начнем с краткого обзора тех рассмотрений, которые
привели к определению топологии произведения. Пусть
f — функция на множестве X со значениями в топологи-
132 ГЛ. 3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВА
ческом пространстве У. На множестве X всегда можно
так определить топологию, чтобы f стала непрерывной.
Одна из таких топологий очевидна и неинтересна — это
дискретная топология. Более интересную топологию,
удовлетворяющую поставленному условию, образует
семейство 3 всех множеств вида f'^U], где U — произ-
произвольное множество, открытое в У. Это действительно
топология, ибо переход к прообразу сохраняет операции
объединения и пересечения. Каждая топология, относи-
относительно которой отображение f непрерывно, содержит то-
топологию 3 . Следовательно, 3 — наименьшая из всех
топологий, относительно которых / непрерывно. Если за-
задано некоторое семейство функций — по одной функ-
функции fa для каждого элемента а из некоторого множе-
множества индексов А, — то топология, предбазой которой
служит семейство всех множеств вида f~ [U], где а?А
и U — открытое подмножество области значений функ-
функции fa, обладает в точности теми же свойствами. Этот
путь как раз и привел к определению топологии произ-
произведения.
Целью данного параграфа является исследовать об-
обратную проблему. Пусть f — функция, определенная на
топологическом пространстве X с областью значений У.
Как задать топологию на множестве Y, чтобы функция/
стала непрерывной? Если подмножество U множества У
открыто в какой-либо из тех топологий, относительно
которых функция / непрерывна, то множество f~l[U] от-
открыто в пространстве X. С другой стороны, семейство U
всех подмножеств U множества У, для которых f~l[U\
открыто в X, образует топологию на У, ибо прообраз
пересечения (или объединения) элементов из этого се-
семейства является пересечением (объединением) их про-
прообразов. Топология U, следовательно, будет наибольшей
из всех топологий на У, относительно которых f непре-
непрерывна; она называется фактор-топологией*) на У (фак-
(фактор-топологией относительно отображения / и тополо-
топологии, заданной на X). Подмножество В множества У
*) Понятие фактор-пространства впервые было определено
в книге П. С. Александрова и Хопфа [1]. (Прим. перев.)
ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВА 133
замкнуто относительно фактор-топологии тогда и только
тогда, когда f[K\S]=Ar\f-1[fi] открыто в X. Следова-
Следовательно, множество В замкнуто тогда и только тогда, ко-
когда его прообраз f~l[B] замкнут.
Без дополнительных жестких ограничений на f о фак-
фактор-топологии можно сказать очень мало*). Поэтому
мы будем рассматривать только отображения, принад-
принадлежащие к одной из двух двойственных категорий. На-
Напомним, что отображение f одного топологического про-
пространства в другое называется открытым в том и лишь
в том случае, когда образ каждого открытого множества
открыт. Отображение / называется замкнутым в том и
лишь в том случае, когда образ каждого замкнутого
множества замкнут. Уже отмечалось, что проектирова-
проектирование евклидовой плоскости на ее первое координатное
пространство является открытым, не замкнутым отобра-
отображением. Беря подпространства плоскости, можно по-
построить замкнутые отображения, которые не открыты, и
непрерывные отображения, не являющиеся ни откры-
открытыми, ни замкнутыми. Подпространство Х={(х, у) : х=0
или у = 0}, состоящее из точек двух осей, отображается
на пространство вещественных чисел посредством проек-
проектирования Р(х, у)—х. Образ малой окрестности точки
(О, 1) состоит тогда из одной лишь точки 0. Следова-
Следовательно, отображение Р на множество X не открыто; но
легко проверить, что оно замкнуто. Если точку @,0) уда-
удалить, то на оставшемся подпространстве Х\{0,0} ото-
отображение Р не будет ни открытым, ни замкнутым (об-
(образ замкнутого множества {(х,у): у = 0 и хфО] не за-
замкнут).
Ясно из определения, что открыто ли отображение
или же замкнуто — это зависит, в частности, от того,
какая топология задана на его области значений. Од-
Однако если известно, что отображение / непрерывно и
либо открыто, либо замкнуто, то топология его области
значений однозначно определяется топологией, заданной
на области определения, и отображением /.
*) Сейчас в этой области достигнут ряд продвижений; см., на-
например, Архангельский [1], Стоун [2], Чобан [1], [2].
(Прим. перев.)
134 ГЛ. 3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВА
8. Теорема. Если отображение f топологического
пространства (X, 3) на топологическое пространство
(У, U) открыто или замкнуто, то И — фактор-топология.
Доказательство. Если отображение f открыто
и U — подмножество множества У, прообраз которого
f~l[U] открыт, то множество U = f\f~1(U)] открыто в топо-
топологии U . Следовательно, если / — открытое отображе-
отображение, то каждое множество, открытое относительно фак-
фактор-топологии, открыто и относительно топологии И.
Если f не только открыто, но еще и непрерывно, то,
поскольку фактор-топология — наибольшая среди тех
топологий, относительно которых отображение / непре-
непрерывно, топология И совпадает с фактор-топологией.
Чтобы доказать нашу теорему для случая замкнутого
отображения f, достаточно заменить всюду в предше-
предшествующем рассуждении слово «открытое» на слово
«замкнутое».
Отображение f топологического пространства в произ-
произведение пространств непрерывно тогда и только тогда,
когда непрерывна композиция отображения f с каждым
проектированием. У этого утверждения есть аналог, ка-
касающийся фактор-пространств.
9. Теорема. Пусть f — непрерывное отображение
пространства X на пространство У, топология которого
является фактор-топологией. Тогда отображение g про-
пространства У в пространство Z непрерывно в том и толь-
только в том случае, когда непрерывна композиция g of.
Доказательство. Пусть U — произвольное мно-
множество, открытое в Z, и отображение g°f непрерывно.
Тогда (g °f)~l[U] = f~1[g~l[U]]—множество, открытое в X.
Значит, и множество g~l[U] открыто в силу определения
фактор-топологии. Обратное утверждение ясно.
Почти очевидно, что, изучая фактор-топологии и свой-
свойства открытых и замкнутых отображений, нам, по суще-
существу, незачем привлекать топологическое пространство,
являющееся областью значений. Действительно, если f —
непрерывное отображение топологического простран-
пространства X на пространство У, имеющее фактор-топологию,
то можно построить топологическую копию простран-
пространства У, исходя из множества X, топологии, заданной на
нем, и семейства всех множеств вида f~l[y], где yd У. По-
ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВА ¦ 135
строение осуществляется следующим образом. Обозна-
Обозначим через X) семейство всех подмножеств множества X,
имеющих вид f~l[y], где у? Y, и пусть Р — отображение
пространства X на множество 351 значение которого на х
есть f~l[f(x)]. Для каждого элемента у из Y положим
g(y) —f~l[y]- Тогда g—взаимно однозначное отображе-
отображение множества У на 35, причем g °f = P и f = g~1 ° P. Если
наделить множество 35 фактор-топологией (относительно
отображения Р), то из предыдущей теоремы будет сле-
следовать, что g — непрерывное отображение (так как
g°f = P) и что g~] — непрерывное отображение (так как
g~[ oP = f) Следовательно, g — гомеоморфизм.
Предшествующие замечания показывают, что про-
пространство значений является, по существу, чем-то посто-
посторонним. Оставшиеся теоремы данного параграфа будут
формулироваться так, чтобы подчеркнуть этот факт. Для
большей четкости рассмотрим предварительно семейства
подмножеств фиксированного множества X. Разбиение
пространства X есть семейство 35 непересекающихся под-
подмножеств множества X, объединением которых является
всё X. Проектирование (фактор-отображение) множе-
множества X на разбиение I) есть функция Р, значением кото-
которой на х служит тот единственный элемент множества 35,
которому принадлежит точка х. Есть равносильный этому
способ описания разбиения. Для заданного разбиения
35 определим отношение/? на множестве Л', согласившись
считать, что точка х /^-связана с точкой у, тогда и толь-
только тогда, когда эти точки принадлежат одному элементу
разбиения. Формально отношение R, отвечающее раз-
разбиению 3D, есть подмножество множества ХхХ, образо-
образованное всеми теми парами (х, у), для которых х и у
принадлежат одному элементу разбиения 35 или, корот-
коротко, R — U {DxD : D ? 35}. Если Р — проектирование мно-
множества X на 35, то R = {(х, у) : Р(х) = Р (у)}. Отношение R
является отношением эквивалентности, т. е. оно рефлек-
рефлексивно, симметрично и транзитивно (см. главу 0). Обрат-
Обратно, каждое отношение эквивалентности на X определяет
некоторое семейство подмножеств (имеются в виду клас-
классы эквивалентности), являющееся разбиением множе-
множества X. Если R — отношение эквивалентности на множе-
множестве X, то множество X/R определяется как семейство
136 ГЛ. 3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВА
его классов эквивалентности. Через R[A] для любого
подмножества А множества X обозначается множество
всех точек, ^-эквивалентных точкам из Л, т. е. /<![Л] =
~{У- (x,y)?R для некоторого х из А} или, что то же
самое, R[A]= U{D : DtX/R и DU А не пусто}. Если х —
точка из X, то запись R[{x}] будет сокращаться до R[x].
Множество R[x] — это тот класс эквивалентности, кото-
который содержит точку х. Если Р— проектирование мно-
множества X на разбиение, то Р(х) =R[x].
Во всей оставшейся части этого параграфа мы будем
предполагать, что X — некоторое фиксированное тополо-
топологическое пространство, R — отношение эквивалентности
на X и Р — проектирование множества X на семейство
X/R классов эквивалентности. Соответствующее фактор-
пространство — это множество X/R, наделенное фактор-
топологией (относительно отображения/3). Если %czX/R,
то Р~ [Щ = U {А : А ? 91}. Следовательно, множество 21
открыто (замкнуто) в фактор-пространстве тогда и толь-
только тогда, когда множество 1){Л:Л?21} открыто (соот-
(соответственно замкнуто) в пространстве X.
10. Теорема. Пусть Р — проектирование топологи-
топологического пространства X на фактор-пространство X/R.
Тогда следующие утверждения равносильны:
(а) Р — открытое отображение.
(б) Если множество А открыто в X, то и множество
R[A] открыто в X.
(в) Если множество А замкнуто в X, то и объедине-
объединение всех элементов из X/R, являющихся подмножествами
множества Л, замкнуто в X.
Если поменять местами слова «открытое» и «замкну-
«замкнутое» в формулировках утверждений (а), (б) и (в), то
снова получатся равносильные между собой утвер-
утверждения.
Доказательство. Покажем, прежде всего, что
условие (а) эквивалентно условию (б). Для каждого
подмножества А множества X пусть Р[Л] = Р~'[Р[Л]]. Если
отображение Р открыто и Л — открытое множество, то
в силу непрерывности Р /Э[/Э[Л]] — открытое множество.
Если множество Я~'[Р[Л]] открыто для любого открытого
множества Л, то в силу определения фактор-топологии
множество Р[А] открыто, т. е. Р — открытое отображе-
ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВА 137
ние. Докажем эквивалентность условий (б) и (в). За-
Заметим, что объединение всех элементов из X/R, являю-
являющихся подмножествами множества А, есть Л'Ч/^ХЧЛ].
Последнее множество замкнуто для любого замкнутого
множества А в том и только в том случае, когда из того,
что открыто множество ^ЧЛ, следует, что открыто мно-
множество /?[ХЧЛ]. Доказательство двойственного утвер-
утверждения получается перестановкой всюду слов «открыто»
и «замкнуто».
Пусть X — хаусдорфово пространство или простран-
пространство, удовлетворяющее одной из двух аксиом счетностп.
Естественно спросить тогда, непременно ли фактор-про-
фактор-пространство X/R наследует эти свойства? Если не налагать
жестких дополнительных ограничений, то ответ будет
«нет». Например, если X — множество всех веществен-
вещественных чисел с обычной топологией и R — множество всех
пар (х, у), для которых разность х — у является рацио-
рациональным числом, то фактор-пространство X/R антиди-
скретно, а проектирование Р пространства X на про-
пространство X/R открыто. Следовательно, открытое ото-
отображение может переводить хаусдорфово пространство
в нехаусдорфово пространство. Замкнутое отображение,
переводящее хаусдорфово пространство в нехаусдор-
нехаусдорфово, и замкнутое отображение, переводящее простран-
пространство с первой аксиомой счетности в пространство без
нее, выглядят чуть более громоздкими, но строятся без
труда (З.Т, 4.Ж). Иногда бывает полезно дополнительно
предположить, что отношение R, являющееся множе-
множеством упорядоченных пар, замкнуто в произведении
ХхХ. Можно это условие переформулировать так: если
х и у — не /?-эквивалентные точки пространства X, то
у точки (х, у) в произведении ХхХ есть окрестность W,
не пересекающаяся с множеством R. Такая окрестность
W содержит окрестность вида UxV, где U и V — окре-
окрестности точек хну соответственно. Произведение Ux V
не пересекается с R тогда и только тогда, когда никакая
точка из U не /^-эквивалентна никакой точке из V. Это
значит, что множество R замкнуто в ХхХ тогда и только
тогда, когда у любых не ^-эквивалентных точек х и у из
X есть окрестности U и V соответственно такие, что ни-
никакая точка множества U не /^-эквивалентна никакой
138 ГЛ 3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВА
точке множества V или, равносильно, что никакой эле-
элемент разбиения X/R не пересекает множества U и V
одновременно.
11. Теорема. Если фактор-пространство X/R хаус-
хаусдорфово, то множество R замкнуто в пространстве про-
произведения ХхХ.
Если проектирование Р пространства X на фактор-
пространство X/R открыто и множество R замкнуто в
пространстве ХхХ, то X/R — хаусдорфово пространство.
Доказательство. Если X/R — хаусдорфово про-
пространство и (х, у) (? R, то Р(х)фР(у) и можно найти
непересекающиеся открытые окрестности U для точки
Р(х), V для точки Р(у). Множества Р~1[С1] и P~l[V] от-
открыты, и, так как их образы при отображении Р не пере-
пересекаются, никакая точка множества Р~1[Щ не /?-экви-
валентна никакой точке множества P-1[V]. Значит,
P-x[U]y^P~l[V\ — окрестность точки (х, у), не пересекаю-
пересекающаяся с множеством R, т. е. R замкнуто. Первое утвер-
утверждение теоремы доказано. Пусть теперь проектирование
Р открыто, множество R замкнуто в ХхХ и Р(х),
Р(у) —различные элементы множества X/R. Тогда точ-
точка х не /^-эквивалентна точке у и, так как множество R
замкнуто, у х и у есть соответственно такие открытые
окрестности U и V, что никакая точка множества U не
^-эквивалентна никакой точке множества V. Следова-
Следовательно, образы окрестностей U и V не пересекаются и,
так как отображение Р открыто, эти образы являются
открытыми окрестностями точек Р(х) и Р(у) соответ-
соответственно.
Замкнутые отображения довольно широко изучались
под иным названием. Разбиение 2) топологического про-
пространства X называется непрерывным в том и лишь в
том случае, когда для каждого D из ?) и любого откры-
открытого множества U, содержащего множество D, суще-
существует такое открытое множество V, что D^VczU и V —
объединение некоторой совокупности элементов семей-
семейства ?) (см. задачу З.Е.).
12. Теорема (П. С. Александров и Хо п ф [1]).
Разбиение 5D топологического пространства X непрерыв-
непрерывно в том и только в том случае, если проектирование Р
пространства X на фактор-пространство 3) замкнуто.
ФАКТОР ПРОСТРАНСТВА 139
Доказательство. В соответствии с теоремой 3.10
отображение Р замкнуто тогда и только тогда, когда
для каждого открытого множества U из X объединение
V тех элементов семейства D, которые являются подмно-
подмножествами множества U, является открытым множеством.
Если отображение Р замкнуто, D ? 35 и DdJ, то V —
искомое открытое множество. Значит, разбиение 35 не-
непрерывно. Докажем обратное утверждение. Пусть 3) —
непрерывное разбиение и U—произвольное множество,
открытое в X. Снова обозначим через V объединение
всех тех элементов разбиения 3), которые являются под-
подмножествами множества U. Если х? V, то x^DczU для
некоторого D из 3). В силу непрерывности разбиения 3)
найдется открытое множество W, являющееся объедине-
объединением элементов семейства 3), такое, что DcWcf/. То-
Тогда W — подмножество множества V и, значит, V —
окрестность точки х. Множество V открыто, ибо оно
является окрестностью каждой своей точки. Из теоре-
теоремы 3.10 вытекает теперь, что Р — замкнутое отобра-
отображение.
Пусть А и В — какие-нибудь непересекающиеся зам-
замкнутые подмножества пространства X. Можно рассмо-
рассмотреть тогда следующее разбиение 35 пространства X: его
элементами служат А, В я все одноточечные множества
{х}, где х? Х\(А{] В). Про фактор-пространство этого
разбиения часто говорят, что оно «получено в резуль-
результате отождествления всех точек множества А и всех то-
точек множества В». Очень легко проверяется, что разбие-
разбиение 35 непрерывно и что если X — хаусдорфово простран-
пространство, то множество R= U{?)X?):?)€35} замкнуто в ХхХ.
Можно было бы предположить, что получающееся при
этом простом построении фактор-пространство насле-
наследует лучшие качества пространства X. К сожалению, это
неверно: X может быть хаусдорфовым пространством
или пространством с первой аксиомой счетности, а полу-
полученное таким образом фактор-пространство не будет
обладать этими свойствами.
13. Замечание. Понятие непрерывного разбиения
было введено П. С. Александровым [9] и Мором
в середине двадцатых годов. Открытые отображения
впервые интенсивно исследовались Ароншайном немного
140 ГЛ. 3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВА
позже (А рои ш айн [2]). Многие результаты предше-
предшествующего параграфа можно найти в книге У а й б ё р-
на [2]*).
ЗАДАЧИ
A. Связные пространства
Образ связного пространства при непрерывном отображении
связен.
Б. Теорема о непрерывности
Пусть А и В— такие подмножества топологического простран-
пространства X, что Х = А\]В и множества А\ В и В\А отделены. Тогда,
если отображение / пространства X непрерывно и на множестве А,
и на множестве В, то / непрерывно и на всем X (см. 1.19).
B. Упражнение на непрерывные отображения
Пусть / и g— два непрерывных отображения топологического
пространства X в хаусдорфово топологическое пространство У.
Тогда множество всех точек х?Х, для которых f(x)—g(x), замкну-
замкнуто. Следовательно, если отображения fag согласуются на плотном
подмножестве в X(^(x) — g(x) для всех х из некоторого плотного
подмножества в X), то f = g.
Г. Непрерывность в точке.
Продолжение непрерывного отображения
Пусть / — отображение, определенное на некотором подмно-
подмножестве ^о топологического пространства X со значениями в хаус-
дорфовом пространстве У Скажем тогда, что отображение f непре-
непрерывно в точке х пространства X, в том и только в том случае, когда
х принадлежит замыканию множества Хо и существует точка У^Х,
прообраз каждой окрестности которой представляется в виде пере-
пересечения множества Хо с некотооой окрестностью точки х.
(а) Отображение f непрерывно в точке х тогда и только тогда,
когда для любых направленностей S и Т, сходящихся к х, напра-
направленности f ° S и j о Т сходятся к одной и той же точке простран-
пространства У.
(б) Обозначим через С множество всех точек, в которых ото-
отображение / непрерывно, и пусть f — функция на С, значением ко-
которой в точке х?С служит тот элемент у области значений У, ко-
который фигурирует в определении непрерывности в точке (точнее,
график функции f является пересечением множества СхУ с замы-
замыканием графика отображения /). Функция f обладает следующим
свойством: если множество U открыто в X, то f'[U]CZf[U]. Функ-
*) Теория отображений последние десять лет бурно развива-
развивалась; естественные дополнения к этой главе увеличили бы ее объем
вдвое. Поэтому мы только укажем литературу; Архангельский
[1], [5], [8], [9], Пономарев [1]—[7], Стоун [2]—[4], Склярен-
ко [1]—[3], Ефимов [1], Майкл [3], [4], Лашнев [1], Пасын-
Пасынков [2], Морита и Ханаи [1], Хенриксен и Исбелл [1],
Ч о б а н [1], [2] и др.
ЗАДАЧИ 141
ция f непрерывна, если пространство Y удовлетворяет условию:
семейство всех замкнутых окрестностей произвольной точки про-
пространства У образует базу топологии в этой точке. (Такие тополо-
топологические пространства называются регулярными. Отказаться здесь
от требования регулярности нельзя, как показано Бурбаки и
Дьедонне [1].)
Д. Упражнение на вещественные непрерывные функции
Пусть / и g — вещественные функции, заданные на некотором
топологическом пространстве, непрерывные относительно обычной
топологии вещественных чисел, и а — фиксированное вещественное
число.
(а) Функция af, значение которой в точке х равно af(x),
непрерывна. (Покажите, что функция, которая переводит число г в
число аг, непрерывна, и воспользуйтесь тем, что композиция непре-
непрерывных функций есть непрерывная функция.)
(б) Функция |/|, значение которой в точке х равно 1/(х)|, не-
непрерывна.
(в) Отображение F(x) = (f(x), g(x)) непрерывно относительно
обычной топологии евклидовой плоскости. (Проверьте, что компози-
композиции отображения F с проектированиями на координатные простран-
пространства непрерывны.)
(г) Функции f+g, f — g и f-g непрерывны, а если g нигде не
обращается в нуль, то и непрерывная функция. (Покажите
сначала, что операции +, — и • задают непрерывные отображения
евклидовой плоскости в пространство вещественных чисел; см.
также З.У.)
д) Функции max [/, g] = у ( | / + g 1 + I f — S I) и min [f, g] =
<\f+\ \f g\) непрерывны.
E. Функции, полунепрерывные сверху
Вещественная функция f, определенная на топологическом про-
пространстве X, называется полунепрерывной сверху тогда и только
тогда, когда {х : f(x)^-a) замкнуто для любого вещественного
числа а. Верхняя топология II на множестве R вещественных чисел
состоит из пустого множества, множества R и всех множеств вида
{t: t<a), где а —любой элемент R. Пусть {Sn,n?D} — какая-ни-
какая-нибудь направленность вещественных чисел, тогда lim sup {Sn, n?D}
определяется как Iim{sup{Sm, m^D u rri^-n}, n^D], где предел
берется относительно обычной топологии вещественных чисел.
(а) Направленность {Sn, rc? D} вещественных чисел сходится
к точке s относительно топологии U в том и лишь в том случае,
когда lim sup{Sn, n?D} <.s.
(б) Вещественная функция f на I полунепрерывна сверху тогда
и только тогда, когда отображение f непрерывно относительно верх-
верхней топологии U, а это будет тогда и только тогда, когда
limsup lf(xn), n?D}^f(x) для любой направленности {хп, n?D}'
сходящейся в X к точке х.
142 ГЛ 3 ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВА
(в) Если функции fug полунепрерывны сверху, а / — какое
угодно неотрицательное вещественное число, то функция f + g и
функция tf полунепрерывны сверху.
(г) Пусть F — такое семейство полунепрерывных сверху функ-
функций, что i(x)=mi{f(x) : f ?F} существует для каждого х из X.
Тогда i(x)—полунепрерывная сверху функция. (Заметьте, что
{x:i(x)>a} = n{{x:f(x)>2}:f ? F}.)
(д) Для любой ограниченной вещественной функции f на X
существует наименьшая полунепрерывная сверху функция /" такая,
что /~!>f. Пусть Э?—семейство всех окрестностей точки х и Sv =
= sup {/((/) :y?V}, тогда j~(x) = lim{Sv, V ?-$, <=.}.
(е) Вещественная функция g называется полунепрерывной
снизу тогда и только тогда, когда функция —g полунепрерывна
сверху. Для ограниченной вещественной функции / положим
/_ = — (—/)- и определим колебание Q/ функции { так: Qf(x) =
= f'(x) —f-(x) для всех х из X. Функция Q/ полунепрерывна
сверху, и функция / непрерывна тогда и только тогда, когда
Qt(x)=0 для всех х из X.
(ж) Пусть / — неотрицательная вещественная функция на X,
R — пространство вещественных чисел с обычной топологией и мно-
множество G = {(x, t) : O^ti^f(x)} имеет топологию, индуцированную
топологией произведения пространств XxR. Обозначим через ®
разбиение пространства G на «вертикальные слои», т. е. на множе-
множества вида ({x}XR)f)G. Если разбиение X) непрерывно, то функ-
функция f полунепрерывна сверху. (Обратное утверждение тоже верно,
но самое простое его доказательство опирается на теорему 5.12.)
Ж. Упражнение на топологическую эквивалентность
(а) Любые два открытых интервала вещественных чисел с то-
топологией, индуцированной обычной топологией вещественных чисел,
гомеоморфны.
(б) Два любых замкнутых интервала гомеоморфны, и каждый
полуоткрытый интервал гомеоморфен любому другому полуоткры-
полуоткрытому интервалу.
(в) Никакой открытый интервал не гомеоморфен никакому
замкнутому и никакому полуоткрытому интервалу, и никакой
замкнутый интервал не гомеоморфен никакому полуоткрытому ин-
интервалу.
(г) Подпространство {(х, у) : х2 + у2= 1} евклидовой плоскости
не гомеоморфно никакому подпространству пространства веществен-
вещественных чисел.
(У одних из предшествующих пространств есть лишь единствен-
единственная точка, дополнение до которой связно, у других таких точек
больше, а у третьих их нет.)
3. Гомеоморфизмы и взаимно однозначные
непрерывные отображения
Если каждое из топологических пространств X и Y можно
взаимно однозначно и непрерывно отобразить на другое, то про-
пространства X и Y могут быть все же не гомеоморфны. Пусть X —
пространство, образованное счетным семейством попарно непересе-
ЗАДАЧИ 143
кающихся полуоткрытых интервалов и счетным множеством изоли-
изолированных точек (т. е. таких точек х, что {х} — открытое множество
в X). Рассмотрим, кроме того, пространство Y, состоящее из счет-
счетного семейства открытых интервалов и счетного множества изоли-
изолированных точек. Заметим, что объединение счетного семейства полу-
полуоткрытых интервалов можно непрерывно и взаимно однозначно
отобразить на открытый интервал. По-видимому, этот пример при-
принадлежит Фоксу.
И. Непрерывность по каждой из двух переменных
Пусть X и У — топологические пространства, XX Y— их произ-
произведение и / — отображение пространства XxY в некоторое третье
топологическое пространство. Говорят, что отображение f непре-
непрерывно по х, тогда и только тогда, когда для каждого у ? Y функ-
функция f( ,у), значение которой в точке х равно f(x,y), непрерывна.
Аналогично отображение f(x,y) непрерывно по у в том и лишь
в том случае, когда для каждого х'-Х функция }(х, ), определен-
определенная условием f(x, ) (y)=f(x, у), непрерывна. Функция f, непрерыв-
непрерывная на произведении, непрерывна и по каждой переменной; однако
обратное не верно. (Классический пример — вещественная функ-
функция /, определенная на евклидовой плоскости следующим образом:
К. Упражнение на евклидово п-пространство
Подмножество А евклидова гс-пространства Е" называется вы-
выпуклым тогда и только тогда, когда для каждой пары хну точек
множества А и каждого вещественного числа t, удовлетворяющего
условию O^J^l, точка tx+(\ — t)y принадлежит множеству А.
(Мы полагаем (tx+(\—t)y)i = tXi+ (I — /);/>.) Любые два откры-
открытых выпуклых подмножества пространства Еп гомеоморфны. Что
можно сказать о ею замкнутых выпуклых подмножествах?
Л. Упражнение на замыкание, внутренность
и границу в произведении
Пусть X и Y — топологические пространства и XxY—их про-
произведение. Границу произвольного множества С условимся обозна-
обозначать через Сь. Пусть А и В — подмножества пространств X и У
соответственно; тогда:
(а) (АХ В) = АХ В,
(б) (А Х#)° = А°Х В0 и
(в) (А X В)ь = (A v В) \ (А X ВH = ((А" П А0) X
X (В6 U В°)) \ (.4° X В0) = (Аь X В") U (Аь X 6°) U (-4° X Вь) =
= (АЬХВ)\}(АХВЬ).
М. Упражнение на топологию произведения
Пусть для каждого элемента множества индексов А задано не
которое топологическое пространство Ха. Пусть В и С — непересе-
непересекающиеся подмножества множества А такие, что А = В[)С. Тогда
144 ГЛ 3, ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВА
пространство произведения П {Хь : Ь ?В}Х Л{ХС : с ?С} гомео-
морфно пространству произведения П.{Ха : а?А]. Для произвольно
фиксированного топологического пространства X произведение ХА
гомеоморфно произведению ХВХХС, и произведение (Хв) гомео-
морфно произведению X х , где все пространства берутся с топо-
топологией произведения.
Н. Произведение пространств со счетной базой
Топология произведения обладает счетной базой в том и только
в том случае, когда топология каждого координатного пространства
имеет счетную базу и все координатные пространства, кроме счет-
счетного множества, антидискретны.
О. Пример на произведения и сепарабельность
Пусть Q — замкнутый единичный интервал и X — пространство
произведения QQ. Обозначим через А подмножество простран-
пространства X, образованное характеристическими функциями точек. Точ-
Точнее, х ? А тогда и только тогда, когда x(q) — \ для некоторого q
из Q и на Q\{q] функция х обращается в нуль.
(а) Пространство X сепарабельно. (Множество всех х из X
с конечной областью значений (их иногда называют ступенчатыми
функциями) плотно в X. Некоторое счетное подмножество этого
множества тоже плотно в X *).)
(б) Множество А с индуцированной топологией дискретно и
несепарабельно.
(в) У множества А есть только одна предельная точка х в
пространстве X, причем для любой окрестности U точки х множе-
множество A\U конечно.
П. Произведение связных пространств
Произведение произвольного семейства связных топологических
пространств связно. (Зафиксируем в произведении точку х, и
пусть А—множество всех точек у, для которых существует связное
множество, содержащее х и у одновременно. Покажите, что А
плотно в произведении.)
Р. Упражнение на Тгпространства
Произведение Ггпространств является ^-пространством. Если
©—разбиение топологического пространства, то фактор-простран-
фактор-пространство является ^-пространством в том и только в том случае, когда
все элементы разбиения ® замкнуты.
С. Упражнение на фактор-пространства
Проектирование топологического пространства X на фактор-
пространство X/R является замкнутым отображением тогда и толь-
*) Плотно в X, например, множество тех ступенчатых функций,
каждая ступенька которых лежит на рациональной высоте над ра-
ционэльным интервалом. Оно счетно. (Прим. перев.)
ЗАДАЧИ 145
ко тогда, когда для каждого подмножества А множества X имеем
/?И] С/?[Л]. Проектирование является открытым отображением в том
и лишь в том случае, когда Л[Л°]с:Л[Л]0 для каждого подмноже-
подмножества Л. (—и ° — это операторы замыкания и перехода к внутрен-
внутренности, соответственно.)
Т. Пример на фактор-пространства
и диагональные последовательности.
Пусть X — евклидова плоскость с обычной топологией и Л —
множество всех точек (х, у), для которых (/ = 0. Рассмотрим разбие-
разбиение 2), элементами которого являются множество Л и все одното-
одноточечные множества {(х, у)}, где (х, у) ф А.
Множество ©, наделенное фактор-топологией, обладает сле-
следующими свойствами:
(а) Проектирование X на фактор-пространство замкнуто.
(б) Существует счетное семейство окрестностей элемента {Л},
пересечение которых есть {Л}.
(в) Для каждого неотрицательного целого числа m последова-
последовательность < I m,—-г-у I, п?со> сходится в фактор-пространстве к
элементу Л. Если {Л/И,я?ш}— какая-либо подпоследовательность
последовательности {я, п ? со}, то последовательность \[п, -j-—т—г)%
/г?»У не сходится к элементу А. (Последнюю последовательность
можно было бы назвать диагональю исходного семейства последо-
последовательностей.)
(г) Построенное фактор-пространство не удовлетворяет первой
аксиоме счетности.
Замечание. Этот пример принадлежит Новосаду.
У. Топологические группы
Тройка (G, •, Q) называется топологической группой тогда и
только тогда, когда (G, •)—группа, (G, 3)—топологическое про-
пространство и отображение, значение которого на элементе (х, у) про-
пространства GXG равно х- у~\ непрерывно относительно топологии
произведения на GXG. Когда недоразумения маловероятны, мы не
будем указывать в обозначениях ни групповую операцию, ни топо-
топологию 3; просто будем говорить, что «G является топологической
группой». Пусть X и Y — подмножества множества G; тогда X ¦ У —
множество всех таких элементов z^G, что z = x-y для некоторого
х(^Х и некоторого у?У. В случаях, когда х — элемент множе-
множества G, записи {х} • Y и У • {х} будут сокращаться соответственно
до х ¦ Y и У • х. Множество У определяется как {х : х~х ? У}.
(а) Пусть X, У и Z — подмножества множества G, тогда
(X-Y)-Z = X- (Y-Z) и (X-Y)-'i = Y-i-X-].
(б) Пусть (G, •)—группа и §—некоторая топология на мно-
множестве G. Тогда (G, •, Q) — топологическая группа тогда и только
10 Дж. Л. Келлн
146 ГЛ. 3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВА
тогда, когда для любых точек х и у из G и произвольной окрест-
окрестности W точки х ¦ (Г1 найдутся окрестность U точки х и окрест-
окрестность V точки у такие, что U-V~laW. Равносильное условие:
(G, •, о) —топологическая группа тогда и только тогда, когда не-
непрерывны отображения i и т, где i(x)=x~l и т(х,у) —х ¦ у,
(в) Пусть G — топологическая группа. Тогда отображение /,
описываемое формулой i(x)=x~\ является гомеоморфизмом про-
пространства G на себя. Гомеоморфизмами являются также отображе-
отображение La и отображение /?„, называемые левым и правым переносами
и определяемые формулами La(x) = a ¦ х и Ra(x) =х ¦ а, где а — про-
произвольный фиксированный элемент группы G.
Очень важное обстоятельство: топология топологической группы
однозначно определяется системой окрестностей какого-либо эле-
элемента группы. Этот факт (точно он формулируется ниже) позво-
позволяет «локализовать» многие понятия.
(г) Пусть G — топологическая группа и П — система всея
окрестностей ее единичного элемента. Тогда множество AczG от-
открыто в том и только в том случае, когда х~1 • А ? И для каждого х
из А или, что эквивалентно, если А ¦ лг1 ?11 для каждого х из А.
Замыканием множества Л является множество П {U • А '¦ ?/? Щ~
= П {А • U : ?/?11}. (Заметьте, что xfU-A тогда и только тогда,
когда множество Fм ¦ x)f\ А не пусто.)
(д) Семейство И окрестностей единицы е произвольной топо-
топологической группы обладает следующими свойствами:
1) если U и V принадлежат 11, то U Г| V ? IV,
2) если UQU и UczV, то V?U;
3) если t/?U, то для некоторого V ?11 имеем V ¦ V cz U и
4) для каждого U из 11 и каждого х из G выполняется
х-и-х^ ей.
Обратно, если заданы группа G и семейство U ее непустых
подмножеств, удовлетворяющее перечисленным выше четырем усло-
условиям, то на G существует единственная топология 3 такая, что
тройка (G, ¦, 3) является топологической группой, а семейство
11 — системой всех окрестностей единичного элемента группы G в
этой топологии.
(е) Каждая группа вместе с дискретной топологией или вместе
с антидискретной топологией является топологической группой.
Пусть G — множество вещественных чисел, тогда (G, +, !у),
где ?s— обычная топология, будет топологической группой, и
(G\{0}, •, Q) тоже является топологической группой. Пусть G —
множество всех целых чисел, р — некоторое простое число и П —
семейство всех таких подмножеств U множества G, что для неко-
некоторого положительного целого числа k каждое целое кратное
числа ph принадлежит U. Тогда U — система окрестностей эле-
элемента 0 в некоторой топологии ^, относительно которой (G, +, §)
является топологической группой.
(ж) Топологическая группа является хаусдорфовым простран-
пространством, коль скоро ее топология удовлетворяет Г0-аксиоме отдели-
отделимости. (То есть для любых двух различных точек х и у по край-
крайней мере у одной из них найдется окрестность, не содержащая дру-
ЗАДАЧИ 147
гой. Заметьте, что если х (t U ¦ у, то х ¦ ух (jt U. и если, кроме того,
V • VdU, то множество V ¦ х f\V ¦ у пусто.)
(з) Если U — открытое, а X — произвольное подмножество то-
топологической группы, то U-X л X-U— открытые множества. Од-
Однако может случиться, что множества X и У замкнуты, а множе-
множество X ¦ Y не замкнуто. (Рассмотрите евклидову плоскость с обыч-
обычным сложением, и пусть X = К = < (х, у) : у = -—- >.
( х ) /
(и) Декартово произведение U{Ga'a?A} групп является
группой относительно следующей операции: (х ¦ у)а = х„ ¦ уа для
каждого а из А. Если декартово произведение групп наделить то-
топологией произведения, то оно становится топологической группой.
Проектирования на координатные пространства -превращаются при
этом в непрерывные открытые гомоморфизмы*).
Замечание. Понтрягин [1], Бурбаки [1] и Вей ль
[2] — основные учебники по leopim топологических групп; см. также
Ш е в а л л е [1].
Ф. Подгруппы топологической группы
(а) Если наделить подгруппу топологической группы индуци-
индуцированной топологией, то получится топологическая группа.
(б) Замыкание подгруппы является подгруппой, а замыкание
инвариантной подгруппы (т. е. нормального делителя) является ин-
инвариантной подгруппой.
(в) Каждая подгруппа, внутренность которой не пуста, открыта
и замкнута одновременно. Произвольная подгруппа Н либо замкну-
замкнута, либо множество Н\Н плотно в Н.
(г) Наименьшая подгруппа, содержащая фиксированное откры-
открытое подмножество топологической группы, образует открыто-замкну-
открыто-замкнутое множество.
(д) Компонента единицы топологической группы является нор-
нормальным делителем.
(е) Каждая дискретная (в индуцированной топологии) нор-
нормальная подгруппа **) связной топологической группы содержится
в ее центре. (Рассмотрите для фиксированного элемента h задан-
заданной дискретной подгруппы Н отображение группы G в Я, которое
переводит хвхч-А' х.)
X. Фактор-группы и гомоморфизмы
Пусть G—топологическая группа, Н — ее подгруппа и GjH —
семейство левых классов смежности группы G по подгруппе Н
(т. е. семейство всех множеств, представимых в виде х ¦ Н для
*) Некоторые авторы пользуются для обозначения непрерыв-
непрерывного гомоморфизма термином «представление», оставляя название
«гомоморфизм» за теми непрерывными гомоморфизмами, которые
являются открытыми отображениями на область значений.
**) Нормальная подгруппа и нормальный делитель — равносиль-
равносильные выражения. (Прим. перев.)
10*
148 гл. з. произведения и фактор-Пространства
некоторого x?G). Множество G/H, наделенное фактор-топологией,
есть однородное пространство. Если Н — нормальный делитель, то
GIH — группа, называемая фактор-группой группы G.
(а) Проектирование топологической группы G на однородное
фактор-пространство G/H открыто и непрерывно. (Покажите, что
объединение всех левых классов смежности, пересекающих фикси-
фиксированное открытое множество U, есть U ¦ Н, и примените утвержде-
утверждение 3.10.)
(б) Если Н — нормальный делитель, то группа G/H, наделен-
наделенная фактор-топологией, является топологической группой. При этом
проектирование является непрерывным открытым гомоморфизмом.
(в) Отображение однородного пространства, при котором эле-
элемент А переходит в элемент а-А, где а — фиксированный элемент
группы G, является гомеоморфизмом.
(г) Пусть f — гомоморфизм топологической группы G в топо-
топологическую группу Н. Отображение / непрерывно тогда и только
тогда, когда прообраз произвольной окрестности единичного эле-
элемента группы Н является окрестностью единичного элемента груп-
группы G.
(д) Пусть /—непрерывный гомоморфизм топологической груп-
группы G в топологическую группу /. Тогда отображение группы G на
группу f[G], наделенную фактор-топологией, является непрерывным
открытым гомоморфизмом, а тождественное отображение множе-
множества f[G], взятого с фактор-топологией, в топологическую группу /
непрерывно. Таким образом, каждый непрерывный гомоморфизм
можно «профакторизовать», представив его в виде композиции неко-
некоторого непрерывного открытого гомоморфизма с последующим непре-
непрерывным взаимно однозначным гомоморфизмом. Если / — непрерыв-
непрерывный открытый гомоморфизм группы G на группу /, то / топо-
топологически изоморфна топологической группе G/K, где К — ядро
гомоморфизма f.
(е) Если Ус//сС, /и Н — нормальные делители группы G,
то #// является подгруппой группы G/J, причем фактор-топология
группы H/J совпадает с топологией, индуцированной на ней фак-
фактор-топологией группы G/J, а отображение группы G/J в группу
G/H, при котором элемент А переходит в элемент А ¦ Н, непрерывно
и открыто. Таким образом, группа (G/J)/(H/J) топологически изо-
изоморфна группе G/H.
Ц. Ящичные пространства
Базой ящичной топологии декартова произведения П {Ха ¦ а. ?А)
служит семейство всех множеств вида Il{Ua : а ? Л}, где Ua для
каждого а аз А — некоторое открытое подмножество пространства
Ха. Таким образом, декартово произведение открытых множеств в
ящичной топологии всегда открыто.
(а) Проектирование в любое из координатных пространств яв-
является непрерывным и открытым отображением в ящичной топо-
топологии.
(б) Пусть У — декартово произведение бесконечного семейства
экземпляров пространства вещественных чисел, т. е. Y=RA, где R —
ЗАДАЧИ 149
пространство вещественных чисел, а А — бесконечное множество.
Пространство У, наделенное ящичной топологией, не удовлетворяет
первой аксиоме счетности, а компонента пространства У, содержа-
содержащая точку у, — это множество всех точек х, для которых множе-
множество {а : ха Фу а} конечно. (Предположим, что координаты точек
х и у пространства У отличаются на бесконечном множестве
по, fli, ••., ар, ... элементов из А. Обозначим через Z множество
всех z ? У таких, что для некоторого k -—-—г——-.—ту- < к для
всех р. Тогда Z — открыто-замкнутое множество, причем x?Z и
(в) Докажите утверждения (б) для случая произведения беско-
бесконечного числа связных хаусдорфовых топологических групп, каждая
из которых содержит по крайней мере два различных элемента. По-
Покажите сначала, что произведение топологических групп, наделенное
ящичной топологией, является топологической группой.
Ч. Функционалы на вещественных
линейных пространствах
Пусть (X, +, •)—вещественное линейное пространство. Веще-
ственнозначная линейная функция, определенная на X, называется
линейным функционалом. Множество Z всех линейных функциона-
функционалов на X при естественном определении сложения и умножения
на число становится вещественным линейным пространством.
Ясно, что Z — подмножество произведения Rx — 1[{R . х (^Х},
где ^? — пространство вещественных чисел. Топология, индуцирован-
индуцированная на Z топологией произведения, называется слабой топологией,
или а>*-топологией (простая топология). (Пространство Z является
подгруппой группы Rx, которая в силу утверждения (и) задачи 3. У
является топологической группой. Однако при доказательстве ниже-
нижеследующих результатов выписанные выше утверждения о тополо-
топологических группах нам не понадобятся.)
Ниже характеризуются а>*-плотные подпространства простран-
пространства Z и а>*-непрерывные линейные функционалы.
(а) Если /, gu gn — элементы пространства Z и f(*)=0,
коль скоро gi(x)=0 при каждом i, то найдутся вещественные числа
пи ..., ап такие, что f = 2 {ai?{ '¦' = 1' ¦ • •¦ ЛЬ (Рассмотрите
отображение G пространства X в евклидово пространство Еп, опре-
определенное формулой (G(x))i = gi(x). Покажите, что тогда суще-
существует некоторое отображение F (см. главу 0), для которого
f = F°G.)
(б) Лемма о плотности. Пусть У — такое линейное под-
подпространство пространства Z, что для каждого ненулевого элемента
х?Х существует функционал g?Y такой, что g(x) Ф0. Тогда про-
пространство Y ш*-плотно в Z. (Чтобы установить, что / ?У, необхо-
необходимо для каждого конечного подмножества xlt ..., хп элементов
пространства X научиться находить элемент пространства X, который
150 ГЛ. 3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВА
приближает f в каждой из точек Х\, ...., хп. Покажите, что
существует такой функционал gt~Y, что g(xi) ={(xt) при каждом
(=1, 2, ..., я.)
в) Теорема о значении. Линейный функционал F на Z
w*-непрерывен тогда и только тогда, когда он представляет собой
значение, т. е. когда для некоторого х из X имеем F (g)=g(x) при
всех g из Z. (Если функционал F ш*-непрерывен, то существуют
набор Х\ хп элементов пространства X и набор положитель-
положительных вещественных чисел п, .. ., г„, для которых из того, что
\g(xi)\<ri при каждом i, следует, что \F(g)\<\. Покажите, что
тогда, если g(xi)=0 при каждом i, то F(g)=0.)
3 а м е ч а и и я. Понятие топологии произведения выросло на-
почве изучения сходимости последовательностей относительно
и*-топологии. Эта последняя исследовалась очень широко (см., на
пример, книгу Банаха [1]). В процессе этого изучения выявился
ряд несуразностей, прояснившихся после развития топологического
подхода. Можно было бы определить секвенциальное замыкание мно-
множества как объединение этого множества и множества пределов
всевозможных сходящихся последовательностей элементов исход-
исходного множества и согласиться затем считать множество секвенци-
секвенциально замкнутым в том и только в том случае, когда оно совпадает
со своим секвенциальным замыканием. Нетрудно убедиться тогда,
что множество может быть секвенциально замкнутым по отношению
к ш*-топологии, не будучи ш*-замкнуто. Это не является серьезным
препятствием, если мы изучаем именно сходимость последователь-
последовательностей. По-настоящему опечаливает, однако, тот факт, что секвен-
секвенциальное замыкание множества может не быть секвенциально замк-
замкнутым, т. е. оператор секвенциального замыкания не является
оператором замыкания Куратовского. Из-за этого техника общей то-
топологии непригодна для изучения оператора секвенциального замы-
замыкания, и для каждого заключения необходимы дополнительные аргу-
аргументы. См. книгу Банаха [1], стр. 208, где дается дальнейшее
обсуждение предмета и приводятся примеры.
Ш. Вещественные линейные топологические
пространства
Вещественное линейное топологическое пространство (в. л. т. п.) —
это четверка (X, +, •, 3), где (А, +, •)—вещественное линейное
пространство, (X, +, $)—топологическая группа, и умножение на
число—¦ операция • — является непрерывным отображением простран-
пространства произведения XX (пространство вещественных чисел) в X. На-
Напомним, что подмножество К вещественного линейного простран-
пространства называется выпуклым тогда и только тогда, когда
tx+ A — t)y ?К для 0«.г«,1 и любых двух элементов х, у?К.
(а) Пусть а — некоторое отличное от нуля фиксированное ве-
вещественное число. Отображение, которое переводит произвольный
элемент х вещественного линейного топологического пространства в
элемент а ¦ х, является гомеоморфизмом.
(б) Декартово произведение вещественных линейных топологи-
топологических пространств, наделенное топологией произведения, является
вещественным линейным топологическим пространством по отноше-
ЗАДАЧИ 151
нию к покоординатному сложению и покоординатному умножению
на число.
(в) Пусть Y — линейное подпространство в. л. т. п. X; если на-
наделить У индуцированной топологией, то оно само станет в. л. т. п.;
X/Y вместе с фактор-топологией тоже есть в. л. т. п.
(г) Пусть К — выпуклое подмножество вещественного линей-
линейного топологического пространства X и f — линейный функционал
на X. Функционал f непрерывен на К тогда и только тогда, когда
для каждого вещественного числа t множество f~][t]{]K замкнуто
в К. (Пусть {*,,, л (;?>}— направленность в К, сходящаяся к неко-
некоторому элементу х из К, такая, что направленность {f(xn), n?D) не
сходится к f(x). Гогда для каждого п из некоторого конфиналь-
ного подмножества множества D можно так выбрать уп, чтобы
f(yn) было константой, не зависящей от л и отличной от f(x).
(д) Вещественная линейная функция / (т. е. линейный функцио-
функционал) на в. л. т. п. X непрерывна в том и лишь в том случае, когда
множество {х : }(х)=0] замкнуто.
Замечания. Понятие линейного топологического простран-
пространства определено сравнительно недавно (Колмогоров [1] и
Нейман [1]). Оно выросло на почве изучения слабой топологии
на банаховом пространстве и слабой топологии на сопряженном к
нему пространстве. Значительная часть элементарной теории линей-
линейных топологических пространств получается непосредственным при-
применением теории топологических групп. Все результаты теории, от-
отличающие ее от теории топологических групп, связаны с понятием
выпуклости. (Это совершенно естественно, ибо умножение ня
числа, — а наличие такого умножения и есть то единственное, что
отличает в. л. т. п. от топологических групп, — применяется исклю-
исключительно в рассуждениях, касающихся выпуклости.)
Немногие результаты теории вещественных линейных тополо-
топологических пространств, изложенные в виде задач в этой книге, не
образуют удовлетворительного введения в эту теорию, ибо нами не
включены утверждения о выпуклости, существенные для серьезного
изучения. Для дальнейшего чтения мы рекомендуем обратиться
к книгам: Б у р б а к и [3], Нахбин [1] и Накано [1]. В первой из
них изучаются линейные топологические пространства над топологи-
топологическим (не обязательно коммутативным) полем.
Глава 4
ВЛОЖЕНИЯ И МЕТРИЗАЦИЯ
Путь, по которому эволюционировала общая тополо-
топология, во многом характерен для математики. Сначала за-
замечается сходство некоторых ситуаций, аналогии и повто-
повторения в рассуждениях. Затем предпринимаются попытки
выделить понятия и методы, общие для различных при-
примеров; при условии, что анализ достаточно глубок, есть
надежда найти теорию, которая охватывает многие или
даже все наши примеры и достойна самостоятельного
изучения. Именно на этом пути после длительного экс-
экспериментирования было получено понятие топологиче-
топологического пространства. Оно — естественный продукт непре-
непрерывного процесса консолидации, абстрагирования и
обобщения. Чтобы избежать формализма в обобщении,
каждую возникающую таким образом абстракцию сле-
следует испытать с целью выяснения, действительно ли цен-
центральные идеи воплощены в ней. Это испытание обычно
заключается в сравнении абстрактно построенного
объекта с объектами, от которых он произошел. В рас-
рассматриваемом нами случае естественно стремиться вы-
выяснить, будет ли топологическое пространство — по край-
крайней мере при некоторых разумных дополнительных пред-
предположениях о нем — гомеоморфно одному из тех
специальных конкретных пространств, от которых прои-
произошло понятие топологического пространства. «Стан-
«Стандартные» пространства, с которыми естественно сравни-
сравнивать все прочие, — это декартовы произведения единич-
единичных интервалов и метрические пространства. В этой
главе выясняются элементарные свойства метрических
и псевдометрических пространств и даются необходимые
и достаточные условия для того, чтобы пространство
было копией метрического пространства. Характери-
СУЩЕСТВОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 153
зуются также подпространства декартова произведения
интервалов.
Предостережение: топологические пространства во-
вовсе не обладают всеми свойствами метрических про-
пространств. В главе 6 описывается другое, более тонкое
обобщение метрических пространств.
СУЩЕСТВОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИИ
В этом параграфе мы докажем четыре леммы. Все
они касаются построения непрерывных вещественных
функций на топологических пространствах. Простран-
Пространство называется нормальным тогда и только тогда, ко-
когда для каждой пары непересекающихся замкнутых мно-
множеств А и В существуют непересекающиеся открытые
множества U и V такие, что AczU и BczV. Т4-простран-
ство — это нормальное ^-пространство (множество {х}
замкнуто при каждом х). Если согласиться называть
множество U окрестностью множества А в том и только
в том случае, когда А содержится во внутренности U°
множества U, то определение нормальности можно пере-
переформулировать так: пространство нормально тогда и
только тогда, когда любые его непересекающиеся замк-
замкнутые подмножества обладают непересекающимися окре-
окрестностями. Есть еще одна удачная переформулировка
определения нормальности. Семейство окрестностей
множества называется базой системы окрестностей этого
множества в том и лишь в том случае, когда каждая
окрестность последнего содержит некоторую окрестность
из нашего семейства. Пусть W — произвольная окрест-
окрестность замкнутого подмножества А нормального про-
пространства. Тогда существуют непересекающиеся откры-
открытые множества U и V такие, что А с U и X\W°czV.
Таким образом, каждая окрестность W замкнутого мно-
множества А содержит некоторую его замкнутую окрест-
окрестность U. Следовательно, семейство всевозможных замк-
замкнутых окрестностей замкнутого множества А является
базой системы окрестностей множества А, если про-
пространство нормально. Обратное тоже верно, ибо если А
и В — непересекающиеся замкнутые множества и W —
замкнутая окрестность множества А, содержащаяся в
154 ГЛ. 4. ВЛОЖЕНИЯ И МЕТРИЗАЦИЯ
множестве X\Bt то W0 и X\ W — непересекающиеся
открытые окрестности множеств А и В соответственно.
Все дискретные пространства и все антидискретные
пространства нормальны. Таким образом, не каждое
нормальное пространство хаусдорфово и не каждое нор-
нормальное пространство удовлетворяет второй аксиоме
счетности (а также и первой). Однако Г4-пространство
G\ и нормальное) непременно является хаусдорфовым
пространством. Замкнутое подмножество нормального
пространства, наделенное индуцированной топологией,
нормально. Однако подпространства, произведения и
фактор-пространства нормальных пространств могут не
быть нормальными пространствами (см. 4Д, 4Е).
Есть условие, занимающее в случае 7\-пространств
промежуточное положение по отношению к требованиям
хаусдорфовости и нормальности. Топологическое про-
пространство называется регулярным тогда и только то-
тогда, когда для каждой его точки х и любой окрестно-
окрестности U этой точки существует замкнутая окрестность V
точки х, содержащаяся в 0. Иными словами, семейство
замкнутых окрестностей произвольной точки должно
быть базой топологии в этой точке. Равносильное усло-
условие: для каждой точки х и каждого замкнутого множе-
множества А, не содержащего этой точки, можно найти непе-
непересекающиеся открытые множества U и V такие, что
х € U и AczV. Регулярное пространство, одновременно
являющееся ^-пространством, называется Т^-простран-
ством. Напоминаем, что линделёфовым называется топо-
топологическое пространство, из каждого открытого покры-
покрытия которого можно выбрать счетное подпокрытие.
1. Лемма (Тихонов). Каждое регулярное линде-
лёфово пространство нормально.
Доказательство. Пусть А и В— произвольные
замкнутые непересекающиеся подмножества простран-
пространства X. В силу регулярности X у каждой точки множе-
множества А найдется окрестность, замыкание которой не пере-
пересекается с множеством В. Следовательно, семейство U
всех открытых множеств, замыкания которых не пересе-
пересекают множества В, покрывает множество А. Аналогично
семейство 33 всех открытых множеств, замыкания кото-
которых не пересекают множества А, покрывает множе-
СУЩЕСТВОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 155
ство В. Поэтому И U 23 U {Х\ (A US)} — покрытие про-
пространства X. Существует последовательность {[/„, п?«}
элементов семейства II, покрывающая А, и последова-
последовательность {Vn, ft^w} элементов семейства 23, покрываю-
покрывающая В. Положим Un = Un \ U {Vр '¦ р <! п) и Уп =
=Vп \ U [Up : /»<«}. Так как ?/^ П Vт пусто при /и ¦<
•ё^п, то и t/n П Ут пусто при т-*С п. Поменяв ролями
множества U и V и повторив наше рассуждение, полу-
получим, что множество Un П V т пусто при всех тип.
Следовательно, множества \]{if'n : п?®} и {){Уп:п?®}
не пересекаются. Наконец, множества VPC\A и GР П В пу-
пусты для всех р. Значит, открытые непересекающиеся мно-
множества [}{и'п : п?а) и \]{У'п : я?со} содержат А и В
соответственно.
В частности, регулярное топологическое пространство,
удовлетворяющее второй аксиоме счетности, непременно
нормально.
Приступим теперь к построению некоторых непре-
непрерывных вещественных функций. Пусть А и В — непере-
непересекающиеся замкнутые множества. Мы хотим построить
непрерывную вещественную функцию, равную нулю на А
и единице на В, все значения которой принадлежат
замкнутому интервалу [0,1]. Вместо того чтобы строить
функцию непосредственно, мы опишем множества, соот-
соответствующие (приближенно) множествам вида {х : f{x)<
<_t). Следующие ниже две леммы выясняют связь ме-
между некоторыми семействами подмножеств и некото-
некоторыми вещественными функциями.
2. Лемма. Пусть для каждого элемента t некото-
некоторого всюду плотного подмножества D множества поло-
положительных вещественных чисел задано некоторое под-
подмножество Ft множества X такое, что:
(а) если t<_s, то FtczF,;
(б) [){Ft:t?D} = X.
Для каждого х из X положим f(x)=inf{t:xi.F,}. То-
Тогда {х :f(x)<s}= U{Ft:t ?D и t<s} и {х : f (x)<s} =
= П {Ft: t €D u t>s} для каждого вещественного числа s.
Доказательство. Проводится непосредственное
вычисление. Имеем {х : f {x)<s) = {x : inf {t : x? F(t)}<s},
156 ГЛ. 4. ВЛОЖЕНИЯ И МЕТРИЗАЦИЯ
и так как стоящая в скобках наибольшая нижняя грань
меньше s тогда и только тогда, когда некоторый элемент
множества {t:x?Ft} меньше s, то множество {x:f(x)<Ls}
состоит из всех таких х, что t<s и x?Ft для некото-
некоторого t, т. е. совпадает с множеством \J{Ft:t?D и t<.s).
Этим доказано первое равенство. Докажем второе. За-
Заметим, что inf [t : x? Ft) *Cs, если для каждого и, боль-
большего s, найдется такое t<u, что x?Ft. Обратно, если
для каждого / из D, большего s, x€ Ft, то inf {/: х?_ Ft) ¦<
^Cs, ибо D плотно в множестве вещественных чисел.
Следовательно, множество всех х, для которых f(x) =
= inf{t: x (zFt}^Cs, есть {х: если t€D и t>s, то x(zFt} =
= u{Ft:t?D и t>s).
3. Лемма. Пусть для каждого элемента t некото-
некоторого всюду плотного подмножества D множества поло-
положительных вещественных чисел задано открытое под-
подмножество Ft топологического пространства X такое, что
выполняются условия:
(а) если t<s, то замыкание множества Ft содер-
содержится в множестве Fs\
(б) U {F* :*€?>}=*.
Тогда функция f, определенная формулой f(x) =
= inf {t : х?. Ft), непрерывна.
Доказательство. В соответствии с теоремой 3.1
функция непрерывна тогда и только тогда, когда прооб-
прообраз каждого элемента некоторой предбазы топологии
пространства значений открыт. Семейство всех мно-
множеств вида {t: t<s) и {t: t>s}, где s — произвольное ве-
вещественное число, является предбазой обычной тополо-
топологии пространства вещественных чисел. Следовательно,
для доказательства непрерывности функции f достаточ-
достаточно установить, что множество {x:f(x)<Ls} открыто, а
множество {х : f (x) -Cs} замкнуто при любом веществен-
вещественном s. В силу предыдущей леммы первое из этих мно-
множеств, {х : f (x) <s}, является объединением открытых
множеств Ft и потому открыто. Снова в силу предыду-
предыдущей леммы {х : f (x)-*Cs}= П {Ft: t?D и ^>s}. Доказа-
Доказательство леммы 3 будет завершено, если мы покажем,
что_ последнее множество совпадает с множеством
U {Ft : t?D и t>s}. Так как FtcFt при любом t, то не
вызывает сомнений, что u{Ft:t?D и t>s}cz{Ft: t?D и
ВЛОЖЕНИЕ В КУБЫ 157
t>s}. С другой стороны, для каждого t? D, большего s,
найдется r?D такое, что s<r<t\ тогда Frc:Ft. Дока-
Доказано тем самым и обратное включение.
Принципиально важный результат этого параграфа
доказывается теперь легко.
4. Л е м м а (Урысон). Для любых двух непересекаю-
непересекающихся замкнутых подмножеств А и В нормального про-
пространства X существует непрерывная функция f на X со
значениями в интервале [0, 1], равная нулю на А и еди-
единице на В.
Доказательство. Пусть D — множество поло-
положительных двоично рациональных чисел (т. е. множе-
множество всех чисел вида р-2~ч, где р и q—положительные
целые числа). Пусть t? D; при t>l положим F(t)=X,
пусть F(\) =Х\В (случай t=l) и F @) —любое откры-
открытое множество, содержащее А, замыкание которого не
пересекается с В. Если t(z D и 0<^<1, то запишем t в
виде t=Bm+l)-2~n и выберем, применяя индукцию
по п, в качестве F(t) какое-нибудь открытое множество,
содержащее множество FBm-2~n) и такое, что F (t) a
czF{ B/n + 2)- 2~n). Сделать это можно в силу нормально-
нормальности пространства X. Положим f (x) =ml{t: x (LF(t)}. По
предыдущей лемме f — непрерывная функция. Она равна
нулю на А, ибо AcF(t) при каждом t из D, и равна еди-
единице на В, ибо F(t)dX\B при *<1 и F(t)=X при t>\.
ВЛОЖЕНИЕ В КУБЫ
Декартово произведение замкнутых единичных ин-
интервалов, наделенное топологией произведения, назы-
называется кубом. Куб, таким образом, — это множество QA
всех функций, определенных на некотором множестве А
со значениями в замкнутом единичном интервале Q, на-
наделенное топологией поточечной, или покоординатной,
сходимости. Кубы играют роль стандартных пространств.
Мы собираемся описать топологические пространства,
гомеоморфные подпространствам кубов. Способ, кото-
которым это делается, прост, но замечателен*). Он будет
применяться затем при других обстоятельствах.
*) Этот способ, восходящий еще к П. С. Урысону, в полной
общности впервые был развит А. Н. Тихоновым (Прим. перее.)
158 ГЛ. 4. ВЛОЖЕНИЯ И МЕТРИЗАЦИЯ
Пусть F— некоторое семейство отображений, опре-
определенных на одном и том же топологическом простран-
пространстве X со значениями в разных, вообще говоря, про-
пространствах (пространство значений отображения f?F
будет обозначаться через Yf). Тогда имеет место есте-
естественное отображение пространства X в произведение
П{У/: f dF} — точка х?Х переходит при этом отображе-
отображении в элемент произведения,/-я координата которого рав-
равна f(x). Формально отображение вычисления определяет-
определяется так: e(x)f = f(x). Оказывается, отображение е непрерыв-
непрерывно, если непрерывны отображения из F, и е является го-
гомеоморфизмом, если семейство F содержит «достаточно
отображений». Говорят, что семейство F отображений
множества X различает точки, тогда и только тогда, ко-
когда для каждой пары различных точек х и у найдется
такой элемент f ? F, что f{x)=^f{y). Семейство F разли-
различает точки и замкнутые множества в том и только в том
случае, когда для каждого замкнутого подмножества А
пространства X и каждой точки х из Х\А существует
такое отображение f € F, что f(x) не принадлежит замы-
замыканию множества f[A].
5. Лемма о вложении. Пусть F — семейство,
произвольный элемент которого f есть непрерывное ото-
отображение топологического пространства X в некоторое
топологическое пространство Yf. Тогда:
(а) Отображение вычисления является непрерывным
отображением пространства X в пространство произве-
произведения n{Yf:f€F}.
(б) Если семейство F различает точки и замкнутые
множества, то отображение е является открытым ото-
отображением пространства X на пространство е[Х].
(в) Отображение е взаимно однозначно в том и толь-
только в том случае, когда семейство F различает точки.
Доказательство. Последовательно выполняя
отображение е и проектирование Pf на f-e координатное
пространство, мы получаем непрерывное отображение,
ибо Pfoe(x)=f(x). Следовательно, в силу теоремы 3.3
отображение е непрерывно. Для доказательства утверж-
утверждения (б) достаточно установить, что образ при е любой
открытой окрестности U произвольной точки х содержит
пересечение множества е[Х] с некоторой окрестностью
ВЛОЖЕНИЕ В КУБЫ 159
точки е(х) в произведении. Выберем в F элемент f так,
чтобы точка f(х) не входила в замыкание множества
[[Х\Л]. Множество всех точек у произведения таких,
что yf(fcf[X\U], открыто и, очевидно, его пересечение
с множеством е[Х] содержится в ё[Щ. Значит, е — откры-
открытое отображение пространства X на пространство е[Х].
Утверждение (в) ясно без доказательства.
Предшествующая лемма сводит задачу Топологиче-
Топологического вложения пространства в куб к отысканию «бога-
«богатого» семейства непрерывных вещественных функций,
определенных на этом пространстве. Бывают топологи-
топологические пространства, на которых каждая непрерывная
вещественная функция постоянна. Например, таково лю-
любое антидискретное пространство. Есть и менее три-
тривиальные примеры: существуют регулярные хаусдор-
фовы пространства, на которых каждая непрерывная
вещественная функция является константой*). Тополо-
Топологическое пространство X называется вполне регулярным
тогда и только тогда, когда для каждой точки х и лю-
любой ее окрестности U на X существует непрерывная
функция f со значениями в замкнутом единичном интер-
интервале, равная нулю в точке х и тождественно равная
единице на множестве X\U. Ясно, что семейство всех
непрерывных отображений вполне регулярного про-
пространства в единичный интервал [0,1] различает точки
и замкнутые множества в смысле предшествующей лем-
леммы. (Верно и обратное утверждение, но это нам здесь
не понадобится.) Если вполне регулярное пространство
удовлетворяет ^-аксиоме отделимости ({х} — замкнутое
множество для любой точки х), то семейство всех его
непрерывных отображений в отрезок [0,1] различает так-
также и точки. Вполне регулярное ^-пространство назы-
называется тихоновским пространством**). Пусть X — тихо-
*) Первое пространство этого рода было построено П. С. Уры-
соном. См. также Хьюитт [1], Новак [1], ван Эст и Фрей-
Фрейде н т а л ь [1].
**) Заметим, что в журнальной литературе на русском и ан-
английском языках принято называть вполне регулярными лишь впол-
вполне регулярные ^-пространства. Аналогичное замечание относится и
к нормальным пространствам. (Прим. перев.)
160 ГЛ 4 ВЛОЖЕНИЯ И МЕТРИЗАЦИЯ
новское пространство и F — семейство всех непрерыв-
непрерывных вещественных функций на X, значения которых
заключены в отрезке [0,1]. Лемма 4.5 о вложении позво-
позволяет утверждать, что отображение вычисления про-
пространства X в куб QF является гомеоморфизмом. Таким
образом, каждое тихоновское пространство гомеоморфно
подпространству некоторого куба. Это свойство в дей-
действительности характеризует тихоновские пространства,
как мы очень скоро увидим.
Каждое нормальное ^-пространство является тихо-
тихоновским пространством в силу леммы Урысона D.4).
Любое вполне регулярное пространство регулярно, ибо
если U — какая-нибудь окрестность точки х и f — непре-
непрерывная функция, равная нулю в х и единице на X\U,
то V — < у : f (у) < -к- [ — открытое множество, замыкание
которого содержится в множестве < у : f (у)-^. -к [ - а по-
последнее является частью множества U. Есть целая
иерархия аксиом отделимости для ^-пространств: хаус-
хаусдорфовость, регулярность, полная регулярность и нор-
нормальность. За исключением нормальности, все они пере-
передаются по наследству — в том смысле, что если неко-
некоторое пространство обладает одним из перечисленных
свойств, то и любое его подпространство обладает этим
свойством. Произведение пространств, относящихся к
одному из названных типов, снова будет пространством
того же типа; исключение опять составляют нормальные
пространства. Доказать все эти факты, за исключением
одного, описанного ниже, — он понадобится нам те-
теперь — предоставляется читателю в качестве упражне-
упражнений D.3).
6. Теорема. Произведение тихоновских пространств
является тихоновским пространством.
Доказательство. Условимся для удобства го-
говорить, что непрерывное отображение / топологического
пространства X в замкнутый единичный интервал соот-
соответствует паре (х, U), в том и только в том случае, ко-
когда х — точка, U—ее окрестность, /(х)=0 и функция /
тождественно равна единице на множестве X\U. Пусть
функции fi, ..., /„ соответствуют парам (х, Ui), ...
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 161
..., (х, Un), где п — положительное целое число, и
g (у) = sup {f i (у): i=l, ..., т) для любого у; тогда функ-
функция g соответствует паре (х, П{?/{: /=1, ..., п}). Сле-
Следовательно, пространство вполне регулярно, если для
каждой точки х и каждой ее окрестности U из некото-
некоторой фиксированной предбазы топологии найдется функ-
функция, соответствующая паре (х, U). Пусть X—-простран-
X—-пространство произведения ЩХа: а?А} тихоновских пространств,
х — любая его точка, a Ua — произвольная окрестность
точки ха в Ха. Пусть функция / соответствует паре
(ха, Uа), тогда функция f о Ра, где Ра — проектирование
на о-е координатное пространство, соответствует паре
(x,Pal[Ua])- Семейство множеств вида Pal\Ua\ обра-
образует предбазу топологии произведения. Следовательно,
пространство произведения вполне регулярно. Так как
произведение ^-пространств является ^-пространством,
то теорема доказана.
7. Теорема о вложении (Тихонов [2]). Для
того чтобы топологическое пространство было тихонов-
тихоновским, необходимо и достаточно, чтобы оно было гомео-
морфно подпространству некоторого куба.
Доказательство. Замкнутый единичный интер-
интервал является тихоновским пространством. Значит, куб,
будучи произведением единичных интервалов, тоже яв-
является тихоновским пространством. Поэтому и каждое
подпространство куба — тихоновское пространство. Уже
отмечалось, что если X — тихоновское пространство и
F — семейство всех непрерывных отображений простран-
пространства X в замкнутый единичный интервал Q, то (по лем-
лемме о вложении, 4.5) соответствующее отображение вы-
вычисления является гомеоморфизмом пространства X в
куб QF.
МЕТРИЧЕСКИЕ И ПСЕВДОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПРОСТРАНСТВА
Есть много топологических пространств, топология
которых определяется через расстояние. Метрика на
множестве X — это определенная на декартовом произ-
произведении XXX функция d, значениями которой служат
11 Цж Л. Келли
162 ГЛ. 4. ВЛОЖЕНИЯ И МЕТРИЗАЦИЯ
неотрицательные вещественные числа, удовлетворяющая
при любых х, у и z из X следующим условиям*):
(а) d(x, y)=d(y, x),
(б) (неравенство треугольника) d(x, y)+d(y, z)>
> d(x, z),
(в) d(x, y)=0, если х=у,
(г) если d[x, y) =0, то x—y.
Последнее условие для многих целей несущественно.
Функция d, которая удовлетворяет только условиям (а),
(б) и (в), называется псевдометрикой. В этом пара-
параграфе все определения формулируются для псевдомет-
псевдометрик. Само собой разумеется, имеют место аналогичные
определения и для метрик.
Псевдометрическим пространством называется пара
{X, d), где X — множество, ad — псевдометрика на нем.
Число d(x, у), где х и у — элементы из X, называется
расстоянием между хну (d-расстоянием, если возмож-
возможна путаница). Пусть г — положительное число. Множе-
Множество {y:d(x, y)<r} называется открытым шаром d-pa-
диуса г с центром в точке х (около точки х) или, корот-
коротко, открытым r-шаром около х; множество {у : d(x, у) -С
<С/"} — замкнутым r-шаром около х. Пересечение двух
открытых шаров не обязано быть шаром. Однако если
d(x, У) <г и d(x, z)<s, то любая точка w, для которой
d(w, x)<min[r — d(x, у), s — d(x, z)], входит как в
открытый r-шар около у, так и в открытый s-шар около г
в силу неравенства треугольника. Следовательно, каж-
каждая точка из пересечения любых двух открытых шаров
входит в это пересечение вместе с некоторым открытым
шаром около нее. Значит, семейство всех открытых ша-
шаров является базой некоторой топологии на X (см.1,11).
Эту топологию называют псевдометрической топологией,
или топологией, индуцированной на X заданной псевдо-
псевдометрикой. Заметьте, что каждый замкнутый шар замк-
замкнут относительно соответствующей псевдометрической
топологии.
*) Обычно (в частности, в русской, польской и немецкой лите-
литературе) принято расстояние обозначать через р(х, у) (а не через
d(x, у)) (Прим. перев.)
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 163
Пусть X— некоторое множество. Положим d(х, у) =0,
если х — у, и d(x, у) = 1 в противном случае. Тогда d —
метрика на X, а открытый 1-шар около произвольной
точки х совпадает с множеством {х}. Следовательно,
множество {х} открыто в топологии, индуцированной рас-
рассматриваемой метрикой, т. е. топологическое простран-
пространство, порожденное d, дискретно. Замкнутый 1-шар около
произвольной точки из X есть все множество X; таким
образом, замыкание открытого r-шара может сильно от-
отличаться от замкнутого r-шара с центром в той же
точке. Если положить функцию d равной нулю для всех
пар (х, у) из XXX, то d не будет метрикой, но будет
псевдометрикой. В этом случае открытым r-шаром с
центром в произвольной точке служит все пространство,
а псевдометрическая топология совпадаете антидискрет-
антидискретной топологией на X. Пусть X — множество всех веще-
вещественных чисел и d(x, y) = \x — у\\ тогда d будет мет-
метрикой на X — она называется обычной метрикой веще-
вещественных чисел. Топология, индуцированная обычной
метрикой, совпадает, к счастью, с обычной топологией
вещественных чисел.
Расстояние от точки х до подмножества А относи-
относительно псевдометрики d есть D(A, x) =inf {d(x, у) :
:у?А).
8. Теорема. Пусть А—фиксированное подмноже-
подмножество некоторого псевдометрического пространства. Рас-
Расстояние от точки х до множества А является непрерыв-
непрерывной функцией х относительно псевдометрической топо-
топологии.
Доказательство. Из неравенства d(x, z)^.
^Cd(x, y)+d(y, z), беря нижнюю грань левой и правой
части по всем z?A, выводим, что D(A, x)^Cd(x, у) +;
+ D(A, у). Верно также неравенство, которое получится
из этого, если поменять местами х и у. Значит, \D(A,x) —
—D(A,y) \^Cd(x, у). Следовательно, для любой точки у
из открытого r-шара с центром в точке х будет
\D(A,x) —D(A, y)\<r, чем непрерывность доказана.
9. Теорема. Замыкание множества А в псевдо-
псевдометрическом пространстве есть множество всех то-
точек этого пространства, лежащих от А на нулевом рас-
расстоянии.
11*
164 ГЛ. 4. ВЛОЖЕНИЯ И МЕТРИЗАЦИЯ
Доказательство. В силу непрерывности функ-
функции D(A, х) в точке х множество {х : D(A, x) = 0} замкну-
замкнуто и содержит множество А. Поэтому оно содержит и
замыкание А множества А. Пусть у (? А. Тогда у точ-
точки у найдется окрестность, не пересекающая множе-
множества А, которую можно считать открытым /--шаром. При
этом D(A,y) >ги, значит, {х : D(A,x) =0}сЛ. Следова-
Следовательно, А ={х : D(A,x) =0}.
10. Теорема. Каждое псевдометрическое простран-
пространство нормально.
Доказательство. Пусть А и В— непересекаю-
непересекающиеся замкнутые подмножества псевдометрического
пространства X и D(A,x), D(B,x) —расстояния от точ-
точки х до множеств А и В соответственно. Положим ?/ =
= {x:D(A,x)—D(B,x)<0} и V={x : D(A,x) — D(B,x)>
>0}. Функция D(A,x)—D(B,x) непрерывна в точке х,
поэтому множества U и V открыты. Ясно, что множества
U и V не пересекаются; применяя 4.9, мы заключаем,
что AdU и BczV.
11. Теорема. Каждое псевдометрическое простран-
пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности. Вторая
аксиома счетности выполняется в псевдометрическом
пространстве в том и только в том случае, когда оно
сепарабельно.
Доказательство. Множество открыто в псевдо-
псевдометрической топологии тогда и только тогда, когда оно
содержит каждую свою точку вместе с некоторой ее ша-
шаровой окрестностью. Это означает, что семейство откры-
открытых шаров с центром в точке х образует базу топологии
в х. Так как произвольный открытый шар с центром в х
содержит концентрический шар рационального радиуса,
то у системы окрестностей точки х есть счетная база,
т. е. наше пространство удовлетворяет первой аксиоме
счетности. Каждое пространство со счетной базой сепа-
сепарабельно. Значит, осталось доказать, что топология се-
парабельного псевдометрического пространства имеет
счетную базу. Пусть Y — счетное плотное в рассматри-
рассматриваемом пространстве подмножество и 11 — семейство
всех открытых шаров рацион-ального радиуса с центрами
в точках множества Y. Семейство U, несомненно, счетно.
Пусть U — любая окрестность произвольной точки х; при
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 165
некотором положительном г открытый /--шар с центром
в х содержится в U. Пусть s — какое-нибудь положи-
положительное рациональное число, меньшее г, я у — точка
из Y, для которой d(x, у) < -д-. Обозначим через V откры
тый -д--шар с центром в точке у. Тогда x?VcU; зна-
значит, U — база рассматриваемой топологии.
12. Теорема. Направленность {Sn, я? D} в псевдо-
псевдометрическом пространстве (X, d) сходится к точке s
в том и только в том случае, когда направленность
{d(Sn, s), n ? D) сходится к нулю.
Доказательство. Направленность {Sn, n?D)
сходится к точке s тогда и только тогда, когда, начиная
с некоторого момента, она попадает в произвольный от-
открытый r-шар, описанный около s. Однако последнее
имеет место в том и лишь в том случае, когда напра-
направленность {d(Sn,s), n ? D} с некоторого момента нахо-
находится в каждом открытом /--шаре около нулевой точки
множества вещественных чисел, наделенного обычной
метрикой.
Диаметром подмножества А псевдометрического про-
пространства (X,d) называется sup{d(x, у): х 6 А и у?А).
Если наименьшей верхней грани у стоящего в скобках
множества чисел нет, то говорят, что диаметр множе
ства бесконечен. Очевидно, свойство иметь конечный
диаметр не является топологическим инвариантом.
13. Теорема. Пусть {X,d)—псевдометрическое
пространство и е(х, у) =min [I, d(x, у)]. Тогда (Х,е) —
псевдометрическое пространство, топология которого
совпадает с топологией пространства (X, d).
Следовательно, каждое псевдометрическое простран-
пространство гомеоморфно псевдометрическому пространству,
диаметр которого не превосходит единицы.
Доказательство. Для доказательства того, что
е — псевдометрика, достаточно установить, что если не-
неотрицательные числа а, Ь и с удовлетворяют условию
a + b^-с, то min [I, a] + min[l, b] > tnin [1, с]. В самом
деле, последнее неравенство становится неравенством
треугольника, если положить a = d(x,y), b = d{y,z) и
c — d{x,z). Если хотя бы одно из чисел min[l,a],
166 ГЛ. 4. ВЛОЖЕНИЯ И МЕТРИЗАЦИЯ
min [1, 6] равно единице, то проверяемое неравенство,
очевидно, выполняется — ведь min[l,c]-^l. Если ни
одно из них не равно единице, то достаточно сослаться
на неравенство а + b ^ с ^- min [1, с]. Значит, е — псевдо-
псевдометрика на X. Семейство всех открытых шаров радиуса,
меньшего единицы, образует базу соответствующей
псевдометрической топологии. Так как это семейство
одно и то же для псевдометрик d и е, то соответствую-
соответствующие им псевдометрические топологии совпадают. Ясно,
что е — диаметр множества X—равен, самое большее,
единице.
Произведение несчетного множества топологических
пространств не удовлетворяет, как правило, первой
аксиоме счетности (см. 3.6). Не следует поэтому ожи-
ожидать, что на произведении произвольного семейства псев-
псевдометрических пространств удастся так определить псев-
псевдометрику, что соответствующая псевдометрическая то-
топология будет топологией произведения. Гораздо лучше
обстоят дела в случае счетных произведений. В силу
предыдущей теоремы мы ограничимся псевдометриче-
псевдометрическими пространствами, диаметр которых не превосходит
единицы.
14. Теорема. Пусть {(Xn,dn), я € со}— последова-
последовательность псевдометрических пространств, диаметр ка-
каждого из которых не превосходит единицы; положим
d(x, y) = 2 {2~"dn(xll, yn) : я?со}. Функция d является
псевдометрикой на декартовом произведении пространств
Хп, я€со, причем соответствующая ей псевдометрическая
топология совпадает с топологией произведения.
Доказательство. Что d — псевдометрика, дока-
доказывается просто; мы этого делать не будем. (Задача 2.Ж
о суммируемости дает необходимую технику.) Докажем,
что совпадают топологии. Заметим сначала, что если V
есть 2-р-шаровая окрестность около точки х произведе-
произведения и U = {y : dn(xn, yn) <2~p~n~2 при «¦</? +2}, то
Uс V. Действительно, если y^U, то
d(x, у)
+ 2 {2~я : л = /> + 2, .. .} < 2-"-1 + 2~р-1 = 2~р.
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 167
Но U — окрестность точки х в топологии произведения,
значит, каждое множество, открытое в псевдометрической
топологии, открыто и в топологии произведения. Дока-
Докажем обратное. Рассмотрим произвольный элемент U
определяющей предбазы *) топологии произведения. Мно-
Множество U имеет вид {х : хп 6 W), где W — некоторое от-
открытое подмножество пространства Хп. Для каждой точ-
точки х € U можно найти открытый /--шар в пространстве Хп
с центром в хп, целиком лежащий в W. Так как
d(x, y)^-2~ndn(xn, yn), то открытый г-2~"-шар в произ-
произведении с центром в х содержится в U. Значит, каждый
элемент определяющей предбазы, а следовательно и ка-
каждый элемент топологии произведения, открыт в псевдо-
псевдометрической топологии.
Пусть (X,d) и (Y,e)—псевдометрические простран-
пространства, f — отображение X на У. Говорят, что / — изомет-
изометрия (d-изометрия), в том и только в том случае, когда
d(x, у) =e(f (x), f (у)) для всех точек х и у из X. Каждая
изометрия является непрерывным открытым отображе-
отображением (относительно соответствующих псевдометрических
топологий), ибо образ открытого л-шара около х являет-
является открытым /--шаром около f{x). Композиция двух изо-
метрий — снова изометрия, и если изометрия взаимно
однозначна, то обратное к ней отображение тоже являет-
является изометрией. В случае метрического пространства
изометрия непременно взаимно однозначна; каждая
изометрия метрического пространства является гомео-
гомеоморфизмом. Совокупность всех метрических пространств
распадается на классы эквивалентности, образованные
попарно изометричными пространствами. Каждое свой-
свойство метрического пространства, которым обладает так-
также любое изометричное ему метрическое пространство,
называется метрическим инвариантом. Метрический ин-
инвариант может не быть топологическим инвариантом
(примером может служить свойство бесконечности диа-
диаметра).
*) Определяющей предбазой топологии произведения называет-
называется здесь и в дальнейшем предбаза, построенная при определении то-
топологии произведения в этой книге. (Прим. перев.)
168 ГЛ. 4. ВЛОЖЕНИЯ И МЕТРИЗАЦИЯ
Псевдометрические пространства лишь немного отли-
отличаются от метрических; в каком смысле — мы сейчас
точно сформулируем. Удобно согласиться называть
расстоянием между подмножествами А и В псевдоме-
псевдометрического пространства число D(A, В) = dist (А, В) =
= inf {(х, у) : х 6 А и у?В}. Вообще говоря, D — не псев-
псевдометрика, ибо все пространство X лежит на нулевом
расстоянии от каждого своего непустого подмножества
и, значит, не выполняется неравенство треугольника.
Однако D является метрикой на множестве элементов
некоторого разбиения, которое мы сейчас определим.
Пусть (X,d)—псевдометрическое пространство и 33—
семейство всех множеств вида {х}. В силу 4.9 множество
{х} состоит в точности из всех тех точек у, для которых
d(x, у)=0, и разбиение 33 есть фактор-множество X/R,
где R — отношение {(х, у) :d(x,y)= 0}.
15. Теорема. Пусть (X, d) — псевдометрическое
пространство и 3) — семейство всех множеств вида {х},
где х^Х. Положим D(A, В) =dist(A, В) для произволь-
произвольных элементов А и В разбиения®. Тогда C3, D) —мет-
—метрическое пространство, топология которого совпадает
с фактор-топологией на 33; при этом проектирова-
проектирование пространства X на пространство 33 является изо-
метрией.
Доказательство. Точка и принадлежит множе-
множеству {х} тогда и только тогда, когда d(u, x) =0, а по-
последнее выполняется тогда и только тогда, когда х(:{и}.
Если и?{х} и ?>€{#}, то d(u, v) <1 d(u, x) +d(x, у) +
+ d(y, v) =d(x,y). Следовательно, так как в этом случае
*?{"}, i/€M, то d(u,v)=d(x,y). Таким образом, для
любых элементов А и В семейства 23 число D(A, В)
совпадает с расстоянием d(x,y) между произвольной
точкой А' из Л и произвольной точкой у из В. Поэтому
C3, D) —метрическое пространство и проектирование X
на 33 является изометрией. Если U — множество, откры-
открытое в X, и х 6 U, то для некоторого г > 0 U содержит
открытый r-шар с центром в х, а потому содержит и
множество {х}. В силу 3.10 отсюда следует, что проекти-
проектирование пространства X на 33 является открытым ото-
МЕТРИЗАЦИЯ 169
бражением относительно фактор-топологии на ?). Оно
является открытым отображением и по отношению к мет-
метрической топологии, соответствующей метрике D. Сле-
Следовательно, в силу 3.8 эти топологии совпадают.
МЕТРИЗАЦИЯ
Пусть задано топологическое пространство (X, 3);
естественно спросить: существует ли на множестве X
метрика, которая индуцирует на X топологию 3*)? Если
такая метрика существует, то говорят, что она мет ри-
ризу ет рассматриваемое топологическое пространство, ко-
которое в этом случае называется метризуемым. Подоб-
Подобным же образом говорят, что топологическое простран-
пространство псевдометризуемо, в том и только в том случае,
когда на нем существует псевдометрика, псевдометриче-
псевдометрическая топология которой совпадает с топологией этого
пространства. Псевдометрика является метрикой в том
и только в том случае, когда индуцированная ею топо-
топология удовлетворяет 7\-аксиоме отделимости (т. е. когда
множество {х} замкнуто для каждой точки х простран-
пространства). В этом параграфе теоремы формулируются для
случая метризуемых пространств. Аналогичные утвер-
утверждения для псевдометризуемых пространств будут оче-
очевидны сами по себе.
В двух основных теоремах этого параграфа даются
необходимые и достаточные условия для того, чтобы то-
топологическое пространство было соответственно метри-
метризуемо и сепарабельно или просто метризуемо. Первая из
них — это классическая метризационная теорема Уры-
сона. Все части ее доказательства уже подготовлены
нами; осталось только соединить их. Вторая теорема
была доказана лишь недавно (история ее описывается
в замечаниях в конце этого параграфа). Оказывается,
немного изменив процедуру, предложенную Урысоном,
можно доказать достаточность общего метризационного
условия. Однако доказательство необходимости это-
этого условия требует качественно нового построения.
*) Этот вопрос был впервые поставлен и исследован П. С. Але-
Александровым и П. С. Урысоном в их совместных работах [1],
[2] и Урысоном в [2] в 1922—1924 гг. (Прим. перев.)
170 ГЛ. 4. ВЛОЖЕНИЯ И МЕТРИЗАЦИЯ
Определяемые в этом параграфе понятия подвергаются
затем дальнейшему изучению в последнем параграфе
главы 5. Наконец, иная точка зрения на проблему метри-
метризации развивается в главе 7, однако, полученные там
результаты не содержат теорем данного параграфа.
План доказательства условия метризуемости очень
прост. В соответствии с теоремой 4.14 произведение счет-
счетного семейства псевдометрических пространств псевдо-
метризуемо. По лемме о вложении D.5), если F — се-
семейство непрерывных отображений ^-пространства X,
где областью значений отображения f?F служит неко-
некоторое подпространство пространства У/, то отображение
вычисления пространства X в произведение ЩУ/г/6/7}
является гомеоморфизмом, коль скоро F различает точ-
точки и замкнутые множества (т. е. если А — замкнутое
подмножество пространства X и х — точка из Х\А, то
f(x) $ f[A] для некоторого f?F). Проблема метризации
^-пространства X сводится поэтому к отысканию счет-
счетного семейства отображений пространства X в псевдо-
метризуемые пространства, отделяющего точки от зам-
замкнутых множеств. (Ведь псевдометризуемое ^-про-
^-пространство непременно метризуемо.)
Для удобства условимся через Qw обозначать
произведение замкнутого единичного интервала на себя
счетное число раз, т. е. Qa — это семейство всех отобра-
отображений множества неотрицательных целых чисел в зам-
замкнутый единичный интервал, наделенное топологией
произведения.
16. Метризационная теорема (Урысон). Ре-
Регулярное Т ^-пространство со счетной базой гомеоморфна
некоторому подпространству куба Qw и потому метри-
метризуемо *).
Доказательство. Ввиду замечаний, предше-
предшествующих теореме, достаточно доказать, что существует
счетное семейство непрерывных отображений простран-
пространства X в Q, отделяющее точки от замкнутых множеств.
*) На самом деле Урысон формулировал свою теорему для нор-
нормальных пространств со счетной базой. На регулярные простран-
пространства со счетной базой ее распространил впоследствии А. Н. Тихо-
Тихонов. (Прим. перев.)
МЕТРИЗАЦИЯ 1?1
Пусть 93 — какая-нибудь счетная база топологии, задан-
заданной на X. Обозначим через 91 множество всех пар (U, V)
элементов базы 23 таких, что UcV. Ясно, что 91 счетно.
Выберем для каждой пары (U, V) из 91 непрерывную
функцию на X со значениями в Q, равную нулю на U
и единице на XW (такая функция существует в силу
леммы Тихонова 4.1 и леммы Урысона 4.4), и обозначим
через F семейство всех отобранных функций. Семейство
F счетно; остается только показать, что F отделяет точ-
точки от замкнутых множеств. Пусть В — замкнутое мно-
множество и х?Х\В. Выберем Vd 93 так, чтобы было
x€Vc:X\B; далее, выберем {/?23 так, чтобы было
#? UdV. Тогда (U, V) ?31, и для соответствующего этой
паре элемента f € F мы имеем f (х) =0 (? {l}=f(B).
Легко описать класс топологических пространств,
к которым применима предшествующая метризационная
теорема.
17. Теорема. Для любого Тгпространства X сле-
следующие условия равносильны:
(а) X регулярно, и у его топологии есть счетная база.
(б) X гомеоморфно подпространству куба Q®.
(в) X метризуемо и сепарабельно.
Доказательство. Предыдущая теорема показы-
показывает, что из (а) следует (б). Куб Qra метризуем в силу
теоремы 4.14 и удовлетворяет второй аксиоме счетности
(З.Н). Следовательно, и каждое его подпространство
метризуемо и удовлетворяет второй аксиоме счетности
(значит, сепарабельно). Таким образом, из (б) следует
(в). (Предостережение: не верно, что подпространство
сепарабельного пространства непременно сепарабельно.)
Наконец, из (в) следует (а), ибо если X метризуемо и
сепарабельно, то оно обязательно регулярно и в силу
теоремы 4.11 удовлетворяет второй аксиоме счетности.
Метризационная теорема, охватывающая не только
сепарабельные пространства, существенно опирается на
идеи, примененные при доказательстве теоремы Уры-
Урысона. При простом обсуждении методологии мы легко
обнаружим место, где примененная процедура может
быть усовершенствована. Построение метрики на X осно-
основывается на определении подходящего семейства ото-
отображений X в псевдометризуемые пространства. Но
172 ГЛ. 4. ВЛОЖЕНИЯ И МЕТРИЗАЦИЯ
заметьте: до сих пор в качестве пространства значений
фигурировал исключительно единичный интервал Q.
Рассуждая чуть иначе, чем раньше, можно сказать, что
если f — отображение X в Q, то, полагая d(x,y) =
= \f(x)—f{y)\, мы получаем некоторую псевдометрику
на X. В процессе урысоновской ме-ризации участвует
счетное множество таких псевдометрик. Задача состоит
в том, чтобы обобщить это построение. Пусть F — семей-
семейство отображений пространства X в Q; на роль псевдо-
псевдометрики естественно претендует тогда сумма 2{|f(x) —
— f(y) I '-f?F}- Нужно, чтобы эта сумма была непрерыв-
непрерывна по х и у, для того, чтобы тождественное отображение
X на псевдометрическое пространство (X, d) было не-
непрерывно. Это требование выполняется при гораздо бо-
более слабом условии, чем конечность семейства F, — до-
достаточно, чтобы у каждой точки x(LX существовала
окрестность U, на которой обращаются в нуль все эле-
элементы семейства F, за исключением конечного числа.
Иными словами, годится некоторое условие типа локаль-
локальной конечности. Понятие локальной конечности — ключ
к решению задачи.
Семейство 91 подмножеств топологического простран-
пространства называется локально конечным *) тогда и только
тогда, когда у каждой точки пространства есть окрест-
окрестность, пересекающаяся лишь с конечным множеством
элементов семейства 91. Из этого определения немед-
немедленно следует, что точка является предельной для объ-
объединения 1){Л:ЛС91} тогда и только тогда, когда она
является предельной точкой для некоторого элемента
семейства 91. Следовательно, замыкание этого объедине-
объединения равно объединению замыканий слагаемых, т. е.
U {А : А ? 91} = (J {А : А ? 91}. Очевидно также, что замы-
замыкания элементов семейства 91 образуют локально конеч-
конечное семейство. Семейство 21 называется дискретным,
если у каждой точки пространства есть окрестность, пе-
пересекающаяся самое большее с одним элементом семей-
семейства 91. Любое дискретное семейство локально конечно.
Если 91 дискретно, то семейство замыканий элементов
*) Это понятие было введено П. С. Александровым в
1924 г. в работе [1]. (Прим. перев.)
МЕТРИЗАЦИЯ 173
из % тоже дискретно. Наконец, скажем, что семейство 21
а-локально конечно (а-дискретно), в том и только в том
случае, когда оно является объединением счетного числа
локально конечных (соответственно дискретных) своих
подсемейств.
Теперь мы можем сформулировать следующую мет-
метризационную теорему. Ее доказательство распадается
в последовательность лемм.
18. Метризационная теорема. Следующие
три ограничения на топологическое пространство равно-
равносильны;
(а) Пространство метризуемо.
(б) Пространство удовлетворяет Тгаксиоме отдели-
отделимости, регулярно и обладает а-локально конечной базой.
(в) Пространство является регулярным Ti-простран-
ством с а-дискретной базой.
Ясно, что из условия (в) следует (б). Мы докажем,
что из (б) следует (а) и что из (а) следует (в). Первый
этап рассуждения заключается в доказательстве леммы,
являющейся разновидностью леммы Тихонова D.1).
19. Лемма. Регулярное пространство с а-локально
конечной базой нормально.
Доказательство. Пусть А и В— непересекаю-
непересекающиеся замкнутые подмножества пространства X. Тогда
существуют открытые покрытия 11 и 23 множеств А и В
соответственно такие, что замыкание никакого элемента
U не пересекается с В, замыкание никакого элемента 23
не пересекается с А и U, *8 — подсемейства элементов
0-локально конечной базы N. Таким образом, 11 = 11 {U,,:
п?ь>} и 23 = U {23„ : я?ю}, где \Хп, 3?„— локально
конечные семейства. Положим Un = U{W: W ?VLn} и
Vn=U{W: W €$n}. Тогда Un= U{W :W?VLn} и, значит,
множество Un не пересекается с множеством В; анало-
аналогично доказывается, что Vn не пересекается с А. Это —
в точности та ситуация, которая встретилась нам в до-
доказательстве леммы 4.1; как и там, завершим доказа-
доказательство, положив Uя = Un \ U {Vk : k^n), V'n =
=Vn \ U {Uk '¦ k -< n].Объединение множеств?/„ и объеди-
объединение множеств Vn — искомые непересекающиеся окрест-
окрестности множеств А и В соответственно.
174 ГЛ. 4. ВЛОЖЕНИЯ И МЕТРИЗАЦИЯ
Следующая лемма завершает доказательство доста-
достаточности перечисленных в формулировке теоремы 4.18
условий для метризуемости пространства.
20. Лемма. Регулярное Т ^пространство, обладаю-
обладающее а-локально конечной базой, метризуемо.
Доказательство. Будет показано, что на про-
пространстве X существует счетное семейство D псевдо-
псевдометрик, каждая из которых непрерывна на ХхХ, такое,
что, каковы бы ни были замкнутое подмножество А про-
пространства X и точка х?Х\А, d-расстояние от х до А
относительно некоторой псевдометрики d€ D положи-
положительно. Этим метризуемость пространства X будет дока-
доказана. В самом деле, отображение пространства X на
псевдометрическое пространство (X, d) при любом вы-
выборе d из D непрерывно; теперь утверждения 4.5 и 4.14
применяются так же, как при доказательстве теоремы
Урысона. Таким образом, задача состоит в построении
семейства D с нужными свойствами. Пусть 23—а-ло-
23—а-локально конечная база топологии пространства X, и пред-
предположим, что 23= U {23„ : п ? со), где каждое 23„ — локально
конечное семейство множеств. Для каждой упорядо-
упорядоченной пары целых чисел m и п и произвольного элемен-
элемента U семейства 23т обозначим через V объединение тех
элементов семейства 23И, замыкания которых содержат-
содержатся в U. В силу локальной конечности 33„ замыкание
множества V содержится в U. Из теорем 4.19 и 4.4 сле-
следует, что существует непрерывное отображение fu про-
пространства X в отрезок [0,1], переводящее множество U'
в единицу и множество X\U в нуль. Положим d(x, у) =
= I,{\fu{x)—fu(y) |: U ?23™}- Непрерывность функции d
на XXX — непосредственное следствие локальной конеч-
конечности системы 23т. Пусть, наконец, D — семейство всех
псевдометрик, полученных таким образом. Так как ка-
каждой паре целых чисел соответствует ровно одна из них,
то D счетно. Рассмотрим замкнутое множество AczX и
точку х?Х\А. Тогда для некоторого m и некоторого
V'?Sm будет х€ UcX\A, и для некоторого п и не-
некоторого V623n будет x^VczVaU. Ясно, что d-pac-
стояние от точки х до множества А относительно псевдо-
псевдометрики, соответствующей паре 23т, 23Л, не меньше еди-
единицы.
МЕТРИЗАЦИЯ 175
Осталось провести наиболее интересную часть дока-
доказательства метризационной теоремы. Мы должны дока-
доказать, что каждое метрическое пространство обладает
0-дискретной базой. Имеет место более сильный резуль-
результат; позднее он все равно нам понадобится, поэтому мы
его сейчас сформулируем, а для этого введем одно новое
понятие. Покрытие 23 множества X называется измель-
измельчением *) покрытия 91 тогда и только тогда, когда ка-
каждый элемент покрытия 23 содержится в некотором эле-
элементе семейства 21. Например, в метрическом простран-
пространстве семейство всех открытых шаров радиуса половина
является измельчением семейства всех открытых шаров
радиуса единица. Следующая теорема утверждает, что
в любое открытое покрытие псевдометрического про-
пространства можно вписать а-дискретное открытое покры-
покрытие. Отсюда следует, что у каждой псевдометрической
топологии есть а-дискретная база, ибо в каждое покры-
покрытие пространства открытыми шарами радиуса—, п =
= 1, 2, ..., можно вписать cr-дискретное покрытие 23„;
объединение семейств 23„ образует а-дискретную базу.
Этим завершается доказательство метризационной тео-
теоремы 4.18.
21. Теорема. В каждое открытое покрытие псевдо-
метризуемого пространства можно вписать открытое
а-дискретное покрытие.
Доказательство. Пусть U—произвольное от-
открытое покрытие псевдометрического пространства
{X,d). Первый шаг доказательства теоремы заключает-
заключается в разбиении каждого элемента U семейства U на
«концентрические диски». Для каждого положительного
целого числа п и каждого элемента U из it обозначим
через Un множество всех тех точек х ? U, для которых
dist [x, X\U] > 2~п. Из неравенства треугольника ясно,
что dht[Un, X\Un+i]>2-n — 2-n-i = 2-"-!. Вполне упоря-
упорядочим семейство II каким-нибудь отношением < (см. 0.25,
(з)), и для каждого положительного целого числа п и лю-
любого элемента U из U положим U*n = Un\\) [Vn+\ '• V 6 U
*) В русской литературе принято писать в этом случае, что по-
покрытие 33 вписано в покрытие St. {Прим. перев.).
176 ГЛ. 4. ВЛОЖЕНИЯ И МЕТРИЗАЦИЯ
uV<.U). Для любой пары элементов U из V и 11 и
любого целого положительного п верно одно из двух
соотношений: либо UncX \ Vn+\, либо УпсХ \ Un+v
в зависимости от того, предшествует U элементу V или
следует за ним. В любом случае dist [Un, Vn] >- 2~"~ •
Следовательно, если определить Оп как множество всех
точек х, лежащих от Un на расстоянии, меньшем 2~п~3,
то dist [Un, Vn] > 2"и~2.Значит, для каждого фиксирован-
фиксированного п семейство всех множеств вида Пп дискретно.
Обозначим через '-8 семейство всех Пп Для всех целых
п>0 и всех U ? U. Оно является открытым покрытием
пространства X, ибо если U — первый элемент покрытия
U, содержащий х, то непременно xdUn для некоторого
п. Очевидно, Ппс:U, следовательно, 23 — вписанное в U
0-дискретное открытое покрытие пространства X.
22. Замечания. На самом деле есть две метриза-
метризационные проблемы. Топологическая задача только что
была рассмотрена. Задача метризации равномерных
пространств будет рассмотрена в главе 6 (там она фор-
формулируется и дается историческая справка). Любопыт-
Любопытно, что удовлетворительное решение этой второй задачи
было найдено значительно раньше, чем удовлетворитель-
удовлетворительное решение топологической задачи. Хотя теорема Уры-
сона и касалась только специального случая, долгое вре-
время она оставалась наилучшей теоремой этого рода. До-
Достигнутое сейчас решение метризационной задачи,
которое можно признать вполне достаточным*), было
подготовлено двумя работами. Дьедонне [1] начал**)
*) В настоящее время метризационная проблема получила ка-
качественно другое решение по крайней мере в двух различных на-
направлениях. Одно из них дано в работах Джонса [1], Стоуна
[5] и Архангельского [1], [3]. Оно основывается на понятии
звездного измельчения и восходит к самому первому метризацион-
метризационному критерию П. С. Александрова и Урысона (см. [2]),
несправедливо обойденному в этих замечаниях (см. также работы
Бинга [1], Пономарева [2] и П. С. Александрова [7].
Другое решение найдено в работах П. С. Александрова [7] и
Архангельского [2]).
**) Через 20 лет после того, как локально конечные покрытия
были определены П. С. Александровым. См. сноску на стр. 172.
(Прим. перев.)
ЗАДАЧИ 177
изучать пространства, в каждое открытое покрытие
которых можно вписать локально конечное открытое
покрытие (паракомпактные пространства; см. главу 5).
А. Стоун [1] доказал, что каждое метризуемое простран-
пространство паракомпактно (специальный случай этой теоремы
был ранее получен Даукером [1]). Характеристика
метризуемых пространств в терминах о-локально конеч-
конечной базы была затем замечена рядом математиков, в
частности, Нагатой [1] и Ю. М. Смирновым [1]. Ха-
Характеристика посредством о-дискретной базы принад-
принадлежит Бингу [1]. Доказательство необходимости усло-
условий теоремы 4.21, по существу, является начальным фраг-
фрагментом стоуновского доказательства паракомпактности.
Ю. М. Смирнов [2] показал также, что локально
метризуемое паракомпактное пространство метризуемо.
В заключение скажем несколько слов о роли псевдо-
метризуемых пространств. Возникающие в анализе про-
пространства чаще бывают псевдометрическими, чем мет-
метрическими. Даже при решении задачи метризации
оказалось удобным предварительно построить ряд псев-
псевдометрик. Конечно, всегда можно перейти от псевдомет-
псевдометрического пространства к соответствующему метриче-
метрическому (теорема 4.15), однако необходимость все время
обращаться к фактор-пространству быстро утомляет.
К тому же условие: d(x,y)=0 эквивалентно х—у —
чаще всего является излишним. Но работать исключи-
исключительно с псевдометриками тоже не всегда удобно — на-
например, если надо построить топологическое отобра-
отображение.
ЗАДАЧИ
А. Регулярные пространства
(а) Пусть X — регулярное пространство и 5) — семейство всех
его подмножеств вида {х}, где х?Х. Тогда ©—разбиение про-
пространства X, причем естественное проектирование пространства X
на фактор-пространство 5) одновременно открыто и замкнуто, а
само фактор-пространство является регулярным хаусдорфовым про-
пространством. (Если А — открытое или замкнутое подмножество про-
пространства X, то {х}сА для любой точки х из А.)
(б) Произведение регулярных пространств — регулярное про-
пространство.
12 Дж- Л. Келли
178 ГЛ. 4. ВЛОЖЕНИЯ И МЕТРИЗАЦИЯ
Б. Непрерывные отображения метрических пространств
Отображение / псевдометрического пространства (X, d) в псев-
псевдометрическое пространство (У, е) непрерывно тогда и только
тогда, когда для каждой точки х из X и любого е>0 найдется
6>0 такое, что e(f(x),f(y))<e при d(x, y)<6.
В. Упражнение на метрики
Пусть } — непрерывная неубывающая вещественная функция,
определенная на множестве всех неотрицательных вещественных чи-
чисел и удовлетворяющая условиям: f(x)—O тогда и только тогда,
когда х=0, и /(*+{/X }(х) +{(у) при всех неотрицательных х и у.
(Функции, для которых выполняется последнее условие, называются
субаддитивными.) Пусть (X, d)—метрическое пространство,
е(х, у) =f(d{x, у)). Тогда (X, е)—метрическое пространство, топо-
топология которого совпадает с топологией пространства (X, d). (В ли-
х
тературе часто встречается случай, когда / (х) = -=—;
Г. Хаусдорфова метрика на множестве подмножеств
Пусть (X, d)—некоторое метрическое пространство конечного
диаметра и 9[—семейство всех его замкнутых подмножеств. Для
г>0 и Л из 31 положим Vr(A) ={x : dist (x, А) </¦}, и для каждой
пары элементов А и В семейства 81 положим d'(A,B) =
= inf{r : AdVr(B) и BaVr(A)}. Функция d' называется хаусдорфо-
вой метрикой; значение ее на паре множеств далеко не то же са-
самое, что расстояние между ними, которое рассматривалось раньше.
(а) (91, d')—метрическое пространство, причем отображение,
в силу которого точке х ? X соответствует элемент {х} ? 91, является
изометрией пространства X на подпространство пространства St.
(б) Топология, которая порождается хаусдорфовой метрикой
на 91, не определяется метрической топологией на X. Например,
пусть X — множество всех положительных вещественных чисел; по-
у [I ]
ложим d(x, у)~
и пусть e(x,y)=min[l,\x —
. =—:
~ Х- 1 ~т" Л
В этом случае метрические топологии пространств (X, d) и (X, е)
совпадают, но топологии метрических пространств (ЭС, d') и (91, е')
различны. (В (St, d') множество всех положительных чисел яв-
является предельной точкой для семейства всех его конечных под-
подмножеств.)
Замечание. Дальнейшие сведения (и библиографию) можно
почерпнуть в статье Майкла [2].
Д. Пример (порядковые числа) произведения
нормальных пространств
Произведение нормальных пространств не обязательно нормаль-
нормально*). Пусть Йо — множество всех порядковых чисел, меньших пер-
*) Более эффективное решение части этой задачи можно по-
получить, опираясь на методы следующей главы. Однако изложенные
здесь факты вскоре нам понадобятся. Я думаю, что этот пример
был независимо построен Дьедонне и Морсом.
ЗАДАЧИ 179
вого несчетного трансфинита Й, и Q'=UO[){Q}. Каждое из этих
множеств возьмем с порядковой топологией.
(а) Лемма о чередующихся последовательно-
последовательностях. Пусть {xn,n?w} и {уп,п?ш} — две такие последовательно-
последовательности в Qo, что Хп^Уп^Схп+i при каждом п. Тогда обе они сходятся
в Qo, причем к одной точке.
(б) Если А и В — замкнутые непересекающиеся подмножества
пространства Яо, то точка Q не может быть предельной в Q' для
множеств А и В одновременно.
(в) Пространства Qo и Я' нормальны. (Пусть А и В — замкну-
замкнутые непересекающиеся подмножества одного из этих пространств и
первая точка множества А\]В принадлежит Л; найдите конечную
последовательность точек а0, 60, а.\, ¦ ¦ ¦, о-п (или Ьп) такую, что
для каждого ( at?A, b. ?8, между а; и Ьг нет точек из Л, а между
6; и пг+i нет точек из В. Интервалы (а;, Ьг] одновременно открыты
и замкнуты.)
(г) Пусть / — такое отображение пространства Яо в Qo, что
f(x)^x при каждом х Тогда при некотором х (~ Яо точка (х,х) яв-
является предельной для графика отображения f. (Постройте по ин-
индукции последовательность {хп}, удовлетворяющую условию xn+i =
= f(xn); покажите, что i»<!f(:(«K-t»+^ и примените лемму о че-
чередующихся последовательностях.)
(д) Произведение ?20ХЯ' не нормально. (Пусть А — множество
всех точек вида (х, х) и Б = Я0Х{Я}. Рассмотрим произвольную
окрестность U множества А и обозначим через f(x) наименьшее
порядковое число, большее, чем х, для которого (x,f(x))(?u. Те-
Теперь можно сослаться на (г).)
Е. Пример (плоскость Тихонова), касающийся
подпространств нормальных пространств
Подпространство нормального пространства может не быть
нормальным. Пусть Я' — множество всех порядковых чисел, не пре-
превосходящих первого несчетного порядкового числа Я, и пусть о/ —
множество всех порядковых чисел, не превосходящих первого беско-
бесконечного порядкового числа ш. Наделим эти множества порядковыми
топологиями. Произведение fi'Xffl' называется плоскостью Тихо-
Тихонова. Нетрудно непосредственно проверить, что плоскость Тихо-
Тихонова — нормальное пространство. Впрочем, этот факт является не-
немедленным следствием одной общей теоремы из следующей главы.
Положим Х= (Я'Хо/)\{(Я, <и)}, так что X получается из плоскости
Тихонова путем удаления «угловой» точки. Обозначим через Л мно-
множество всех точек пространства X, первая координата которых
есть Й, и через В — множество всех точек пространства X, вторая
координата которых есть со. У множеств Л и В нет непересекаю-
непересекающихся окрестностей в X. (Пусть U — окрестность множества Л;
для каждого х^со обозначим через f(x) первое порядковое число,
для которого из y>f(x) следует, что {y,x)?:U. Наименьшая верх-
верхняя грань значений функции / (в fi'J меньше Я.)
12*
180 ГЛ. 4. ВЛОЖЕНИЯ И МЕТРИЗАЦИЯ
Ж. Пример: произведения фактор-пространств
и нерегулярных хаусдорфовых пространств
Пусть X — какое-нибудь ненормальное регулярное хаусдорфово
пространство и А, В— такие его непересекающиеся замкнутые под-
подмножества, что любая окрестность множества А пересекает любую
окрестностг множества В. Обозначим через А множество всех
(х, х), где х ?Х (Д — тождественное отношение на X).
(а) Положим R=AU(AXA). Множество R замкнуто в ХхХ,
а фактор-пространство X/R хаусдорфово, но не регулярно. (Эле-
(Элементами этого фактор-пространства служат множество А и мно-
множества {х}, где л ^Х\Л.)
(б) Положим S=A[J (AxA) U (ВхВ). Множество S замкнуто
в пространстве ХхХ, однако фактор-пространство X/S не удовле-
удовлетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа. (Элементами простран-
пространства X/S служат множества Л, В и все одноточечные множества
{*}, где х?Х\(А[)В).)
(в) Имеет место естественное отображение пространства ХхХ
на пространство (X/S) X (X/S), которое переводит (х, у) в (S[x],
S[y]). Естественно спросить, будет ли это отображение открытым,
если X/S наделить фактор-топологией, a (X/S) X (X/S) и ХхХ снаб-
снабдить топологией произведения. (Это эквивалентно вопросу о том,
совпадает ли произведение фактор-топологий с соответствующей
фактор-топологией произведения*)). Если S — отношение, опреде-
определенное в (б), то отображение, о котором идет речь, не является от-
открытым. (Рассмотрите окрестность ХхХ\(АхА [JBXB UА) мно-
множества /4x5.)
3. Наследственные свойства, инвариантные
относительно умножения и деления
Свойство Р топологического пространства называется наслед-
наследственным тогда и только тогда, когда каждое подпространство
любого пространства, обладающего свойством Р, само обладает
свойством Р. Говорят, что свойство Р инвариантно относительно
умножения, в том и лишь в том случае, когда произведение двух
пространств со свойством Р обладает свойством Р. Говорят, что
свойство Р делимо, тогда и только тогда, когда фактор-простран-
фактор-пространство каждого пространства со свойством Р обладает свойством Р.
Рассмотрим следующие свойства: Т\, X — хаусдорфовость, Р — ре-
регулярность, ПР — полная регулярность, Т — тихоновость, Н — нор-
нормальность, С — связность, S — сепарабельность, Ci — первая аксио-
аксиома счетности, Сц—-вторая аксиома счетности. М — метризуемость
*) На самом деле эти вопросы не эквивалентны и второй есте-
[1 31
~4 ' 7 '
тогда отображение ХхХ-> Х/АхХ/А не открыто, но замкнуто и
является фактор-отображением. Значит, здесь произведение фактор-
топологий равносильно фактор-топологии произведения.) (Прим.
перев.
ЗАДАЧИ
181
и Л — линделефовость. Следующая таблица заполнена знаками +
и —; они ставились в зависимости от того, принадлежит ли к на-
названному слева типу свойство, возглавляющее соответствующий стол-
столбец. Приведите примеры (большинство нужных теперь примеров
уже встречалось нам в задачах) и доказательства, подтверждаю-
подтверждающие правильность этой таблицы.
Наследст-
Наследственно
Инвариантно
относитель-
относительно умноже-
умножения
Делимо
г,
+
+
—
X
+
+
—
р
4-
+
—
ПР
+
+
—
т
+
+
—
н
—
—
с
—
+
+
S
—
+
+
—
СП
+
—
м
+
—
л
—
+
Таблица будет выглядеть совсем иначе, если мы ограничимся
одними замкнутыми подпространствами или одними открытыми ото-
отображениями.
И. Стрелка (пространство полуоткрытых интервалов)
Пусть X — множество всех вещественных чисел с топологией,
базой которой служит семейство всех полуоткрытых интервалов
[а, Ь); см. 1.Л и 1.М. Тогда:
(а) X регулярно.
(б) X нормально. (Напомним, что каждое открытое покрытие
пространства X содержит счетное подпокрытие.)
(в) Пространство произведения ХхХ не нормально. (Пусть
У—{(Х>У) :Х+У=1}, А— множество всех элементов из Y, первая ко-
координата которых иррациональна, и B=Y\A. Предположим, что U
и V — непересекающиеся окрестности множеств Л и В, и пусть
f (х) =sup {е : [х+е) х[1—x+e)czU} для х из А. Отображение f
можно рассматривать как вещественную функцию, определенную на
множестве всех иррациональных чисел, нигде не равную нулю. Про-
Противоречие получается из-за того, что для некоторого целого га>0
существует рациональная точка, являющаяся предельной для мно-
множества <x:f(x)~^-— >. Последнее немедленно следует из теоремы:
пространство вещественных чисел (в обычной топологии) является
множеством второй категории (см. главу 7). Непосредственное
доказательство нужного нам факта выглядело бы довольно не-
неуклюжим.)
Замечание. Этот пример принадлежит Зоргенфрею [1].
182 гл. 4. вложения и метризация
К. Множество нулей вещественной непрерывной
функции
Подмножество топологического пространства называется мно-
множеством типа Об тогда и только тогда, когда оно является пересе-
пересечением некоторого счетного семейства открытых множеств.
(а) Пусть f — непрерывная вещественная функция на тополо-
топологическом пространстве X; тогда /~'[0]— множество типа Gt>. (Ибо
множество {0} имеет тип Gj в пространстве вещественных чисел.)
(б) Для любого замкнутого множества типа G& в нормальном
топологическом пространстве X найдется непрерывная вещественная
функция f на X такая, что А = }~Щ.
Л. Совершенно нормальные пространства *)
Топологическое пространство называется совершенно нормаль-
нормальным тогда и только тогда, когда оно нормально и каждое замкну-
замкнутое в нем множество имеет тип Gj.
(а) Каждое псевдометризуемое пространство совершенно нор-
нормально.
(б) Произведение несчетного множества единичных интервалов
не совершенно нормально. (Множества типа G{, в этом простран-
пространстве не могут состоять из одной точки.)
М. Характеристика вполне регулярных пространств **)
Топологическое пространство вполне регулярно тогда и только
тогда, когда оно гомеоморфно подпространству произведения
псевдометрических пространств.
Н. Непрерывные разбиения нормальных пространств
Образ нормального пространства при замкнутом непрерывном
отображении является нормальным пространством.
*) Совершенно нормальные пространства были впервые опреде-
определены и исследованы в работе П. С. Александрова и Уры-
с о н а [2] под другим названием (см. стр. 893). (Прим. перев.)
**) Напомним, что в принятой у Келли терминологии вполне
регулярное пространство может не быть ^-пространством, т. е. мо-
может не быть тихоновским пространством. (Прим. перев.)
Глава 5
БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Понятие бикомпактного топологического простран-
пространства (как и многие другие понятия, рассматриваемые
в этой книге) возникло в результате абстракции от не-
некоторых важных свойств пространства вещественных чи-
чисел. Классическая теорема Гейне — Бореля — Лебега
утверждает, что каждое открытое покрытие произволь-
произвольного замкнутого ограниченного подмножества простран-
пространства вещественных чисел содержит конечное подпокры-
подпокрытие. У этой теоремы есть необычайно глубокие след-
следствия. С ней произошло то же, что и с большинством
хороших теорем: заключение ее стало определением*).
Топологическое пространство называется бикомпактным
в том и только в том случае, когда из каждого его от-
открытого покрытия можно выбрать конечное подпокры-
подпокрытие**). Про подмножество А топологического простран-
пространства говорят, что оно бикомпактно, тогда и только тогда,
когда оно бикомпактно в индуцированной топологии, или,
что равносильно, когда каждое его покрытие открытыми
множествами в X содержит конечное подпокрытие.
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ
В этом параграфе бикомпактность характеризуется
в терминах замкнутых множеств, сходимости, баз и
предбаз.
*) Жаль, что автор не отмечает здесь, что совершилось это
не само собой, а при решающем участии П. С. Александрова. На-
Напомним также, что теория бикомпактных топологических про-
пространств впервые построена в работе П. С. Александрова и
У р ы с о н а [2]. (Прим. перев.)
**) Пространство называется компактным, если из любого его
счетного открытого покрытия можно выбрать конечное. Бывают еще
секвенциально-компактные и псевдокомпактные пространства (см.
задачи в конце главы). (Прим, перев.)
184 ГЛ. 5. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Семейство 31 множеств называется центрированным
тогДа и только тогда, когда пересечение любого конеч-
конечного множества элементов этого семейства не пусто.
Формулы де Моргана @.2), касающиеся перехода
к дополнению, помогают установить связь между поня-
понятием центрированной системы и понятием бикомпакт-
ности.
1. Теорема. Топологическое пространство биком-
бикомпактно тогда и только тогда, когда каждая центриро-
центрированная система замкнутых в нем множеств имеет непу-
непустое пересечение.
Доказательство. Пусть 21—некоторое семей-
семейство подмножеств топологического пространства X.
Согласно формуле де Моргана X \ U [А : А? 21} =
= П {X \ А : А ? 21 }. Значит, 2С покрывает X тогда и
только тогда, когда пересечение дополнений к элементам
из 21 пусто. Бикомпактность пространства X равносильна
требованию, чтобы каждое семейство открытых мно-
множеств, никакое конечное подсемейство которого не покры-
покрывает X, само не покрывало пространства X, — а это тре-
требование, очевидно, совпадает с требованием того, чтобы
каждое центрированное семейство замкнутых множеств
имело непустое пересечение.
2. Теорема. Топологическое пространство X би-
бикомпактно тогда и только тогда, когда каждая напра-
направленность в X имеет предельную точку.
Следовательно, X бикомпактно в том и только в том
случае, когда каждая направленность в X обладает под-
направленностью, сходящейся к некоторой точке про-
пространства X.
Доказательство. Пусть {Sn, n?D} — некоторая
направленность в бикомпактном топологическом про-
пространстве X. Для каждого п из D обозначим через Ап
множество всех точек Sm, для которых т^- п. Семей-
Семейство всех множеств Ап центрировано, ибо множество D
направлено отношением Ж Тем более центрировано се-
семейство всех их замыканий — множеств Ап- Так как X
бикомпактно, то существует точка s, общая для всех Ап-
В соответствии с теоремой 2.7 каждая такая точка s
является предельной точкой направленности {Sn,n(zD}.
Докажем обратное утверждение. Пусть X — топологиче-
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ 185
ское пространство, в котором каждая направленность
имеет предельную точку, пусть 21— произвольное цен-
центрированное семейство его замкнутых подмножеств.
Определим 23 как семейство всевозможных конечных
пересечений элементов из 21. Семейство 23 центрировано;
так как 21с=23, то достаточно показать, что п{В :В?23}
не пусто. Пересечение любых двух элементов семей-
семейства 23 принадлежит ему; таким образом, семейство 23
направлено отношением включения с. Если выбрать из
каждого В ?23 по точке SB, то получим направленность
в X. У нее по предположению есть некоторая предель-
предельная точка s. Если элементы В и С семейства 23 таковы,
что СаВ, то Sc(zCczB. Значит, направленность {5В,
В ?23} с некоторого момента находится в замкнутом
множестве В, а потому ее предельная точка s принадле-
принадлежит В. Итак, точка s принадлежит каждому элементу
семейства 23. Значит, пересечение элементов семейства 23
не пусто. Наконец, второе утверждение теоремы 5.2 вы-
вытекает из того B.6), что точка является предельной точ-
точкой направленности в том и только в том случае, когда
некоторая поднаправленность последней сходится к этой
точке.
Иногда оказывается возможным описать бикомпакт-
ность в терминах предельных точек подмножеств. Когда
это бывает — выясняют расположенная ниже последова-
последовательность лемм и заключающая ее теорема. Задачи в
конце главы показывают, что наложенные ограничения
необходимы. Чтобы результаты формулировались луч-
лучше, мы выделим одну разновидность понятия предельной
точки. Точка х называется а-предельной точкой (для)
множества А тогда и только тогда, когда каждая окре-
окрестность точки х содержит бесконечно много точек мно-
множества А. Каждая «-предельная точка множества
является его предельной точкой. Если пространство удо-
удовлетворяет 7\-аксиоме отделимости, то верно и обратное
утверждение.
3. Л е м м а. В топологическом пространстве у ка-
каждой последовательности есть предельная точка в том
и только в том случае, когда каждое бесконечное под-
подмножество этого пространства обладает в нем ^-пре-
^-предельной точкой.
186 ГЛ. 5. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Доказательство. Предположим, что у каждой
последовательности есть предельная точка, и пусть А —
бесконечное множество. Тогда существует последова-
последовательность элементов множества А, все элементы которой
попарно различны (взаимно однозначная последова-
последовательность). Ясно, что каждая предельная точка этой по-
последовательности является со-предельной точкой для
множества А. Обратно, если каждое бесконечное под-
подмножество топологического пространства обладает со-пре-
дельной точкой и {Sn, «€ со} — какая-нибудь последо-
последовательность в этом топологическом пространстве, то верно
одно из двух: либо область значений этой последова-
последовательности бесконечна, — тогда любая со-предельная
точка для этого множества является предельной точкой
рассматриваемой последовательности, — либо область
значений последовательности конечна. В последнем слу-
случае для некоторой точки х будет Sn=x для бесконечного
множества целых положительных п. Тогда х — предель-
предельная точка последовательности {Sn, п?а].
4. Лемма. Если X — линделёфово пространство и
каждая последовательность в X имеет предельную точ-
точку, то X бикомпактно.
Доказательство. Надлежит показать, что ка-
каждое открытое покрытие пространства X содержит ко-
конечное подпокрытие. По условию леммы можно считать,
что рассматриваемое покрытие состоит из множеств
Ао, Аи .. ., Ап, . . . , где п ? со. Будем действовать по ин-
индукции. Положим В0 = А0 и для произвольного р 6 со опре-
определим Вр как первое среди тех множеств Ап, которые
не покрыты совокупностью элементов Ва, Bi BJ0_1.
Если в какой-то момент такой выбор осуществить не-
невозможно, то уже построенные В, образуют искомое ко-
конечное подпокрытие. В противном случае можно в ка-
каждом Вр, рбю, выбрать по точке Ьр так, чтобы было
ЬР^В{ при i<p. Пусть х — какая-нибудь предельная
точка полученной последовательности. Тогда х?Вр для
некоторого р, и так как х — предельная точка, то bq ?ВР
для некоторого q>p. Но это ведет к противоречию.
В формулировке следующей теоремы суммируются
сведения о взаимоотношениях понятий последователь-
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ 187
ности, подпоследовательности, предельной точки и би~
компактности.
5. Теорема. Пусть X — топологическое простран-
пространство. Тогда условия, выписанные ниже, относятся между
собой следующим образом. Для всех пространств (а)
эквивалентно (б) и из (г) следует (а). Для пространств
с первой аксиомой счетности эквивалентны условия (а,),
(б) и (в). Для пространств со счетной базой все четыре
условия равносильны. Если X — псевдометрическое про-
пространство, то из каждого из четырех выписанных усло-
условий вытекает, что X имеет счетную базу, и следуют
остальные три условия.
(а) Каждое бесконечное подмножество пространства
X имеет в X а-предельную точку.
(б) Каждая последовательность в X имеет предель-
предельную точку.
(в) В каждой последовательности элементов про-
пространства X есть подпоследовательность, сходящаяся
к некоторой точке из X.
(г) Пространство X бикомпактно.
Доказательство. Из леммы 5.3 следует, что ус-
условия (а) и (б) эквивалентны, а так как каждая по-
последовательность является направленностью, то теоре-
теорема 5.2 показывает, что из (г) всегда следует (б). Для
пространств с первой аксиомой счетности условия (б) и
(в) эквивалентны в силу теоремы 2.8. Если X удовле-
удовлетворяет второй аксиоме счетности, то из каждого откры-
открытого покрытия можно выбрать счетное подпокрытие.
Применяя лемму 5.4, получаем, что все четыре утвер-
утверждения об X в этом случае эквивалентны. Если X —
псевдометрическое пространство, то в X выполнена пер-
первая аксиома счетности и потому первые три условия
эквивалентны, причем каждое из них следует из биком-
пактности. Поэтому теорема будет доказана, если мы
обнаружим, что псевдометрическое пространство, в ко-
котором для каждого бесконечного подмножества есть
предельная точка, сепарабельно и, следовательно, обла-
обладает счетной базой. Пусть X—такое псевдометрическое
пространство. Для произвольного положительного г рас-
рассмотрим семейство всех множеств А, в которых расстоя-
расстояние между любыми двумя точкамине меньше г. В.силу
188 ГЛ. 5. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
0.25 легко видеть, что в этом семействе есть максималь-
максимальный элемент А,.. Множество Аг непременно конечно, ибо
к- -шар с центром в произвольной точке пространства X
может содержать не более одного элемента множества Ат,
что означает, что у Аг нет ни одной предельной точки
в X. Далее, г-шар с центром в любой точке х?Х непре-
непременно пересекает множество Аг в силу максимальности
Аг; в противном случае точку х можно было бы присо-
присоединить к Аг. Наконец, объединение А множеств Ат, где
г пробегает множество чисел, обратных к целым поло-
положительным числам, несомненно, счетно и плотно в X.
Если 23— база топологии бикомпактного простран-
пространства X и 21—покрытие пространства А' элементами
этой базы, то в 21 найдется конечное подпокрытие.
Обратно, предположим, что 23— база некоторой топо-
топологии на X и что каждое покрытие X элементами базы
23 содержит конечное подпокрытие. Пусть 6— произ-
произвольное открытое покрытие пространства X. Обозначим
через 21 семейство всех элементов базы 23, являющихся
подмножествами элементов покрытия К. Так как 23 —
база, то 51 покрывает X и в 21 по предположению суще-
существует конечное подпокрытие 21'. Для каждого элемента
семейства %' можно в & выбрать содержащий его эле-
элемент. В результате получим конечное подпокрытие, при-
принадлежащее К. Это означает, что «если база топологии
удовлетворяет условию бикомпактности, то пространство
бикомпактно». Это полезный, но не очень глубокий ре-
результат. Глубже и полезнее соответствующая теорема
о предбазах.
6. Теорема (Александер). Если ©—такая пред-
база топологии пространства X, что из любого покрытия
X элементами <5 можно выбрать конечное подпокрытие,
то пространство X бикомпактно.
Доказательство. Условимся ради краткости на-
называть семейство подмножеств пространства X неполно-
неполноценным тогда и только тогда, когда оно не покрывает X,
и конечно неполноценным тогда и только тогда, когда
никакое его конечное подсемейство не покрывает X. То-
Тогда условие бикомпактности пространства X можно пере-
переформулировать следующим образом: каждое конечно
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ 189
неполноценное семейство открытых подмножеств про-
пространства X неполноценно. Заметьте, что класс конечно
неполноценных семейств открытых множеств имеет ко-
конечный характер. Поэтому каждое конечно неполноцен-
неполноценное семейство содержится в некотором максимальном
семействе в силу леммы Тьюки 0.25, (в). Каждое макси-
максимальное конечно неполноценное семейство 21 обладает
специальным свойством *): если С (? 51 и множество С
открыто, то в силу максимальности 21 существует конеч-
конечное подсемейство А,, ..., Ат элементов 21 такое, что
CU /44 U . . . U Ат = Х. Следовательно, никакое открытое
множество, содержащее множество С, не принадлежит
семейству 21. Если D — еще одно открытое множество,
не принадлежащее 21, то в 91 существуют Ви . .. , Вп та-
такие, что D U В4 U ... \JBn — X. При этом, как показывает
простое теоретико-множественное вычисление, (COD) U
U/liU .. . U/lm U Bill . . . [}Вп = Х. Значит, СП/) ^21.
Следовательно, если ни один элемент конечного семей-
семейства открытых множеств не принадлежит 21, то в 21 не
входит и никакое открытое множество, которое содер-
содержит пересечение элементов этого семейства. Иначе го-
говоря, если некоторый элемент из 21 содержит пересече-
пересечение Ci Л ... П Ср конечного числа открытых множеств,
то непременно какое-нибудь из них входит в 21.
Теперь наша теорема доказывается непосредственно.
Пусть®—такая предбаза, что каждое покрытие про-
пространства ее элементами содержит конечное подпокры-
подпокрытие (т. е. каждое конечно неполноценное подсемейство
этой предбазы неполноценно). Рассмотрим произвольное
конечно неполноценное семейство 33 открытых подмно-
подмножеств пространства X. Тогда существует максимальное
конечно неполноценное семейство 21 открытых множеств,
содержащее 23. Достаточно показать, что 21 неполно-
неполноценно. Семейство <В Л 21, состоящее из тех элементов се-
семейства 21, которые принадлежат предбазе <В, конечно
неполноценно и потому не покрывает пространства X.
Следовательно, теорема будет доказана, если мы
установим, что каждая точка множества 1){/1:Л621}
*) Результат задачи 2.1 —в точности то, что нам нужно сейчас.
190 ГЛ. 5 БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
принадлежит множеству U {А : А?<2> П Щ- Так как © —
предбаза, то каждая точка х из произвольного элемента/!
семейства 21 принадлежит пересечению некоторого ко-
конечного множества элементов семейства 3, лежащему
целиком в Л. В предыдущем абзаце мы выяснили, что
тогда некоторый элемент из этого семейства входит
в 21. Значит, [}{А:А?Щ = и{А:А€&пЩ, и теорема
доказана.
БИКОМПАКТНОСТЬ И АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ
В этом параграфе мы изучим следствия бикомпакг-
ности, взятой вместе с той или иной аксиомой отдели-
отделимости. Каждая из доказываемых теорем устроена сле-
следующим образом: ее заключение отличается от посылки
тем, что в нем вместо слова «точка» фигурирует сочета-
сочетание «бикомпактное множество». Из совокупности полу-
полученных результатов извлекается простое, но важное след-
следствие, касающееся непрерывных отображений биком-
бикомпактных пространств в хаусдорфовы пространства.
В заключение мы доказываем теорему Уоллеса об от-
отделимости, содержащую большую часть теорем, полу-
полученных ранее.
Замкнутое подмножество А бикомпактного простран-
пространства X всегда бикомпактно, ибо каждая направленность
в А имеет поднаправленность, которая сходится к неко-
некоторой точке пространства X, непременно принадлежащей
множеству А ввиду его замкнутости. (Почти столь же
просто этот факт выводится непосредственно из опреде-
определения бикомпактности.) Обратное утверждение неверно,
ибо если А — собственное непустое подмножество анти-
антидискретного пространства X (в нем только все X и пу-
пустое множество открыты), то А заведомо бикомпактно,
хотя и не замкнуто в X. Такая ситуация исключена
в случае хаусдорфовых пространств.
7. Теорема. Если А — бикомпактное подмноже-
подмножество хаусдорфова пространства X и х?Х\А} то у точ-
точки х и множества А существуют непересекающиеся
окрестности.
БИКОМПАКТНОСТЬ И АКСИОМЫ ОТДЕЛИМОСТИ 191
Следовательно, каждое бикомпактное подмножество
хаусдорфова пространства замкнуто *).
Доказательство. Так как X — хаусдорфово про-
пространство, то у каждой точки из множества А есть
окрестность U, замыкание которой U не содержит точ-
точки х. В силу бикомпактности А существует конечное
семейство Uo, ?A, ..-, Un открытых множеств, покры-
покрывающих в совокупности множество А и таких, что х (? U\
при г' = 0, 1, ... , п. Положим V— U{?/{ : t = 0, 1, .. . , п}\
тогда AcV и х (? V. Следовательно, XW и V — непере-
непересекающиеся окрестности точки х и множества А.
8. Теорема. Пусть f — непрерывное отображение
бикомпактного топологического пространства X на топо-
топологическое пространство У. Тогда пространство У би-
бикомпактно; если оно удовлетворяет хаусдорфовой аксио-
аксиоме отделимости, а отображение f взаимно однозначно,
то f — гомеоморфизм.
Доказательство. Пусть 21—произвольное от-
открытое покрытие пространства У. Тогда семейство всех
множеств вида /~'И], где /16 21, образует открытое по-
покрытие пространства X; в этом покрытии есть конечное
подпокрытие. Семейство образов элементов последнего
образует конечное подсемейство семейства 21, покрываю-
покрывающее У. Значит, пространство У бикомпактно. Предполо-
Предположим теперь, что Y—хаусдорфово пространство и что
отображение f взаимно однозначно. Произвольное зам-
замкнутое подмножество А пространства X бикомпактно:
поэтому его образ f[A] бикомпактен, а значит, и замкнут
в пространстве У. Таким образом, множество (f~l)~l[A]
замкнуто, если замкнуто А, т. е. /"' — непрерывное ото-
отображение.
9. Теорема. У любых непересекающихся биком-
бикомпактных подмножеств А и В хаусдорфова пространства
X существуют непересекающиеся окрестности.
Следовательно, каждое бикомпактное хаусдорфово
пространство нормально.
*) Эта теорема, как и многие другие результаты данной главы,
впервые появилась в классическом труде П. С. Александрова
и Урысояа [2], посвященном созданной ими теории бикомпактных
пространств. (Прим. персе.)
192 ГЛ. 5 БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Доказательство. Какова бы ни была точка х?
? А, у х и В в силу теоремы 5.7 существуют непересе-
непересекающиеся окрестности. Иначе говоря, у каждой точки
х ?А есть окрестность U, замыкание которой не пере-
пересекается с множеством В, и, так как множество А би-
бикомпактно, найдется конечное семейство Uo, 1)\, . .., Un
открытых множеств такое, что Ui не пересекается с В
при i = 0, 1, .. ., п и A<=V=U{Ui : i = 0, [,..., п}. Тогда
У—окрестность множества А и Z\F — окрестность
множества В, не пересекающаяся с V.
10. Теорема. Если X — регулярное топологическое
пространство, А — его бикомпактное подмножество и
О — окрестность множества А, то существует замкнутая
окрестность V множества А, содержащаяся в U.
Следовательно, каждое бикомпактное регулярное
пространство нормально.
Доказательство. В силу регулярности простран-
пространства X у каждой точки х множества А есть открытая
окрестность W, замыкание которой содержится в U; из
бикомпактности X следует, что найдется такое конечное
открытое покрытие Wo, Wu ... , Wn множества А, что
Wi(=U при каждом i. Тогда V= U{fF, : г = 0, !,...,«} —
искомая окрестность множества А.
11. Теорема. Пусть X — вполне регулярное про-
пространство, А — его бикомпактное подмножество и U —
окрестность множества А. Тогда на X существует непре-
непрерывная функция f со значениями в замкнутом интервале
[0,1], равная единице на А и нулю на X\U.
Доказательство. Для каждого х из А найдется
функция g, равная единице в точке х и нулю на множе-
множестве X\U. Множество |у:^"(у)>^ [ открыто в X; по-
полагая h(y)=m'm[2g(y), 1], мы получаем непрерывную
функцию h со значениями в [0,1], равную нулю на X\U
и равную единице на некоторой окрестности точки х. Так
как множество А бикомпактно, то найдется такое ко-
конечное семейство h0, hu .. ., hn функций, непрерывных
на X, со значениями в [0,1], что Ac U [hj1 [1] : / = 0,
1, ..., п) и каждая Л,- равна нулю на X\U. Функ-
Функция х, значение которой в точке х равно max{hi(x) :
: i — 0, 1, . . ., п), будет искомой.
ПРОИЗВЕДЕНИЯ БИКОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ 193
Две последние теоремы можно сформулировать не-
несколько иначе. Предположение «А бикомпактно и U —
окрестность множества Л» можно заменить на такое:
«если А бикомпактно и В — не пересекающееся с ним
замкнутое множество»; форма заключения меняется при
этом очевидным образом.
Большинство результатов этого параграфа легко вы-
вытекает из следующей теоремы.
12. Те о р е м а (Уоллес). Пусть X u Y— топологиче-
топологические пространства; А, В — бикомпактные подмножества
пространств X и Y соответственно. Пусть, далее, W —
произвольная окрестность множества АхВ в произведе-
произведении ^XF. Тогда существуют такие окрестности U и V
множеств А и В соответственно, что UxVaW.
Доказательство. Для каждого элемента (х, у)
множества АхВ найдутся открытая окрестность R точ-
точки х и открытая окрестность 5 точки у такие, что RxScz
с W. Так как множество В бикомпактно, то, зафиксиро-
зафиксировав х?А, можно найти окрестности Ri точки х и соответ-
соответствующие им открытые множества St, где / = 0, 1, ..., п,
так, чтобы было BczQ— U{S, : / = 0, 1, . . . , п). Положим
Р= П {Rt : i' = 0, 1, . . . , п). Тогда Р — окрестность точки х,
a Q — окрестность множества В, причем они удовлетво-
удовлетворяют условию PxQcW. Так как множество А биком-
бикомпактно, то существуют открытые множества Pi в X и Q,
в У, где i = 0, 1, ..., m, такие, что каждое Q; является
окрестностью множества В, PiXQtczW и /1cU{Pj:; =
= 0, 1, ..., m} = U. Тогда U и V= n{Q,:i' = O, I, .. ., m}—
окрестности множества А к В соответственно и UXV —
подмножество множества W. Теорема доказана.
ПРОИЗВЕДЕНИЯ БИКОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ
Классическая теорема А. Н. Тихонова о произведе-
произведении бикомпактных пространств, несомненно, является
самой полезной теоремой о бикомпактности. Весьма прав-
правдоподобно, что это вообще самая важная теорема об-
общей топологии. Настоящий параграф посвящен теореме
Тихонова и некоторым следствиям из нее.
13 Дж. Л. Келли
194 ГЛ. 5. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
13. Т е о р е м а (Тихонов). Декартово произведение
произвольного семейства бикомпактных топологических
пространств бикомпактно относительно топологии произ-
произведения.
Доказательство. Пусть Q = Il{Xa: a?A}, где
каждое Ха— бикомпактное топологическое простран-
пространство, причем множество Q наделено топологией произ-
произведения. Обозначим через 3 иредбазу топологии произ-
произведения, образованную всеми множествами вида Ра [U],
где Ра — проектирование в а-е координатное простран-
пространство и U — произвольное множество, открытое в Ха.
Чтобы доказать, что пространство Q бикомпактно, до-
достаточно в силу теоремы 4.6 установить, что каждое
подсемейство 51 ев, никакое конечное подсемейство ко-
которого не покрывает Q, само не покрывает простран-
пространства Q. При каждом ad А обозначим через 23а семейство
всех открытых подмножеств U пространства Ха, для ко-
которых Ра [?/]?2(- Никакое конечное подсемейство се-
семейства 23а не покрывает пространства Ха. Поэтому в
силу бикомпактности Ха найдется такая точка ха, что
ха? Xa\U для любого элемента U семейства 23О. Точ-
Точка х, а-я координата которой равна ха*), не принадле-
принадлежит тогда ни одному элементу семейства 91, т. е. 91 не
покрывает пространства Q.
Мы дадим теперь доказательство теоремы Тихонова,
не связанное с теоремой 5.6 Александера.
Другое доказательство (Бурбаки). Будет
доказано, что если 23— центрированное семейство под-
подмножеств произведения, то Г\{В : В(^Щ не пусто. Класс
всех центрированных семейств имеет конечный харак-
характер. В силу леммы Тьюки 0.25, (в) можно, следователь-
следовательно, предположить, что 23—максимальное относительно
центрированности семейство. Из максимальности 93 сле-
следует, что каждое множество, содержащее какой-нибудь
элемент семейства 23, само принадлежит 23 и что пере-
пересечение любых двух элементов 23 входит в 23. Далее,
если множество С пересекается с каждым элементом се-
семейства 23, то С ? 23 в силу максимальности **) 23. Нако-
*) Для каждою а ? А. (Прим. перев.)
**) Мы сейчас, очевидно, передоказываем часть предложения 2. И.
ПРОИЗВЕДЕНИЯ БИКОМПАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ 195
нец, семейство проекций элементов 23 в координатное
пространство Ха центрировано. Следовательно, суще-
существует точка ха(П [Ра[В]: В € 23}. Точка х, а-я координата
которой есть ха, обладает тогда следующим свойством:
каждая окрестность U точки ха пересекает множество
Ра[Щ для каждого В из 23. Этому эквивалентно усло-
условие: Pa1[t/]^23, какова бы ни была окрестность U точ-
точки ха в пространстве Ха. Значит, и конечное пересече-
пересечение множеств этого вида тоже принадлежит 23. Но тогда
каждая окрестность точки х, взятая из определяющей
базы топологии произведения, принадлежит 23 и, зна-
значит, пересекается с каждым элементом семейства 23. Сле-
Следовательно, x(zB для каждого В 6 23, что доказывает
теорему.
С важными применениями теоремы Тихонова мы
встретимся в главе о пространствах отображений. Сей-
Сейчас мы рассмотрим одно очень простое ее следствие.
Подмножество псевдометрического пространства назы-
называется ограниченным тогда и только тогда, когда диа-
диаметр его конечен. Таким образом, подмножество про-
пространства вещественных чисел ограничено в том и только
в том случае, когда у него есть верхняя и нижняя грань.
Следующее утверждение — классическая теорема Гей-
Гейне — Бореля — Лебега.
14. Теорема. Подмножество п-мерного евклидова
пространства бикомпактно в том и только в том случае,
когда оно замкнуто и ограничено.
Доказательство. Пусть А— бикомпактное под-
подмножество пространства Еп. Тогда А замкнуто, ибо ?„ —
хаусдорфово пространство. Из бикомпактности множе-
множества А следует, что его можно покрыть конечной сово-
совокупностью открытых шаров радиуса 1. Так как каждый
шар является ограниченным множеством, то все множе-
множество А ограничено. Пусть А —замкнутое и ограниченное
подмножество пространства Еп, Обозначим через Bi об-
образ множества А при проектировании на i-e координат-
координатное пространство. Заметим, что каждое В{ ограничено,
ибо при проектировании расстояния не увеличиваются.
Тогда ЛсП{В,:1'=0, 1, ..., п—1}, причем справа стоит
подмножество произведения замкнутых ограниченных
13*
196 ГЛ. 5. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
интервалов вещественных чисел. Так как множество
замкнуто в этом произведении, а произведение биком-
бикомпактных пространств бикомпактно, то доказательство
теоремы сводится к тому, чтобы установить, что замк-
замкнутый интервал [а, Ь] бикомпактен в обычной топо-
топологии.
Пусть E — произвольное открытое покрытие отрезка
[а, Ь] и с — верхняя грань множества таких Л'6 [а, Ь], что
в & есть конечное покрытие множества [а, х]. Названное
множество не пусто, так как ему принадлежит точка а.
Возьмем какой-нибудь элемент U семейства <5, содер-
содержащий точку с, и выберем точку d в открытом интер-
интервале (а, с) так, чтобы было [d, c\cU. В E есть конечное
покрытие множества [a, d]. Если присоединить к этому
семейству множество U, то получим конечное покрытие
отрезка [а, с]. Если только с не совпадаете Ь, то послед-
последнее семейство покрывает и некоторый интервал, идущий
вправо от с, что противоречит выбору элемента с. Тео-
Теорема доказана.
Замкнутый единичный интервал бикомпактен. Следо-
Следовательно, каждый куб (произведение замкнутых еди-
единичных интервалов) бикомпактен. Это замечание делает
почти очевидной следующую характеристику тихонов-
тихоновских пространств (т. е. вполне регулярных ^-про-
^-пространств) .
15. Теорема. Топологическое пространство являет-
является тихоновским в том и только в том случае, когда оно
гомеоморфно подпространству бикомпактного хаусдор-
фова пространства.
Доказательство. В силу 4.6 каждое тихоновское
пространство гомеоморфно подпространству куба, а
каждый куб есть бикомпактное хаусдорфово простран-
пространство. Обратно, каждое бикомпактное хаусдорфово про-
пространство нормально и, следовательно (лемма Урысо-
на 4.4), является тихоновским пространством. А каждое
подпространство тихоновского пространства само есть
тихоновское пространство.
Произведение бесконечного множества небикомпакт-
небикомпактных пространств не бикомпактно в очень сильном смыс-
смысле. Подмножество топологического пространства назы-
ЛОКАЛЬНО БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 197
вают нигде не плотным в этом пространстве тогда и
только тогда, когда внутренность его пуста*).
16. Теорема. Если множество небикомпактных ко-
координатных пространств бесконечно, то каждое биком-
бикомпактное подмножество произведения нигде не плотно
в нем.
Доказательство. Пусть в Пр^ : а € А] есть би-
бикомпактное множество В с внутренней точкой х. Тогда В
содержит некоторую окрестность U точки х, принадле-
принадлежащую определяющей базе и, следовательно, имеющую
вид П {Pa1 \Va\ '¦ а б-^}' гДе Р — конечное подмножество
множества А и каждое Va открыто в Ха. Если индекс b
принадлежит множеству A\F, то РЬ[В] = ХЬ и простран-
пространство Хь бикомпактно, как непрерывный образ биком-
бикомпактного пространства. Следовательно, все координат-
координатные пространства, за исключением конечного числа, би-
бикомпактны.
ЛОКАЛЬНО БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА**)
Топологическое пространство X называется локально
бикомпактным тогда и только тогда, когда у каждой его
точки есть хотя бы одна открытая окрестность, замыка-
замыкание которой представляет собой бикомпактное подпро-
подпространство пространства X. Бикомпактное пространство
автоматически локально бикомпактно; каждое дискрет-
дискретное пространство локально бикомпактно, и каждое за-
замкнутое подпространство локально бикомпактного про-
пространства само локально бикомпактно (пересечение за-
замкнутого множества и бикомпактного множества замк-
замкнуто в последнем и потому бикомпактно). Локально
бикомпактные пространства обладают многими хорошими
свойствами бикомпактных пространств. Следующее пред-
*) Обычно называют нигде не плотными множества, замыка-
замыкание которых удовлетворяет сформулированному условию. Именно
так и мы будем поступать в дальнейшем. (Прим. перев.)
**) Понятие локально бикомпактного (как и локально компакт-
компактного) пространства введено и исследовано П. С. Александро-
Александровым в работе [2]; подробное изложение результатов этой работы
включено в работу П. С. Александрова и Урысона [2],
(Прим. перев.)
198 ГЛ. 5. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ложение—удобный инструмент для изучения таких про-
пространств.
17. Теорема. Если локально бикомпактное про-
пространство X удовлетворяет аксиоме отделимости Хаус-
дорфа или регулярно, то семейство замкнутых биком-
бикомпактных окрестностей его произвольной точки образует
базу системы всех ее окрестностей.
Доказательство. Пусть х — любая точка про-
пространства X, С — ее бикомпактная окрестность и f/ —
произвольная окрестность точки х. Если пространство X
регулярно, то у х есть замкнутая окрестность V, содер-
содержащаяся в пересечении множества U с внутренностью
множества С; очевидно V — замкнутое и бикомпактное
множество. Пусть X — хаусдорфово пространство и W —
внутренность множества U ПС. Применяя теорему 5.9
к бикомпактному хаусдорфову пространству W, мы за-
заключаем, что в W содержится замкнутое бикомпактное
множество, являющееся окрестностью точки х в W. То-
Тогда множество V будет окрестностью точки х в про-
пространстве W (мы имеем в виду топологию, индуцирован-
индуцированную в W из W, т. е. из I), а значит, и в простран-
пространстве X.
В частности, мы получаем, что каждое хаусдорфово
локально бикомпактное пространство регулярно. В дей-
действительности имеет место более сильный результат.
18. Теорема. Пусть U — окрестность замкнутого
бикомпактного подмножества А регулярного локально
бикомпактного топологического пространства X. Тогда
существует замкнутая бикомпактная окрестность V мно-
множества А такая, что AaVaU.
Более того, на X существует непрерывная функция f
со значениями в замкнутом единичном интервале, равная
нулю на А и единице на XW.
Доказательство. У каждой точки х 6 А есть
окрестность W, являющаяся замкнутым бикомпактным
подмножеством множества U. Так как множество А би-
бикомпактно, то внутренности некоторого конечного семей-
семейства таких окрестностей покрывают А. Объединение эле-
элементов этого семейства является искомой бикомпактной
окрестностью множества А. Множество V в индуциро-
индуцированной топологии представляет собой регулярное би-
ЛОКАЛЬНО БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 199
компактное и, следовательно, нормальное пространство
(теорема 5.10). Значит, на V существует непрерывная
функция g со значениями в замкнутом единичном интер-
интервале, равная нулю на А и единице на V\ V°, где V0 —
внутренность множества V. Пусть / — функция на X,
равная g на V и 1 на XW. Функция / непрерывна, ибо
множества V0 и XW отделены, а на них она непре-
непрерывна (задача З.Б).
Следовательно, каждое локально бикомпактное ре-
регулярное топологическое пространство вполне регуляр-
регулярно, и каждое локально бикомпактное хаусдорфово про-
пространство является тихоновским пространством.
Вообще говоря, непрерывный образ локально биком-
бикомпактного пространства не обязательно является локально
бикомпактным пространством — ведь каждое дискрет-
дискретное пространство локально бикомпактно, и любое топо-
топологическое пространство является непрерывным образом
дискретного пространства (достаточно взять то же мно-
множество, дискретную топологию и тождественное отобра-
отображение). Если отображение одновременно открыто и не-
непрерывно, то образ бикомпактной окрестности точки
является бикомпактной окрестностью образа этой точки.
Значит, образ локально бикомпактного пространства при
непрерывном открытом отображении является локально
бикомпактным пространством. Этот простой факт и один
из предшествующих результатов позволяют точно опи-
описать те пространства произведений, которые локально
бикомпактны.
19. Теорема. Если произведение локально биком-
бикомпактно, то и каждое координатное пространство локаль-
локально бикомпактно, причем все они, за исключением, быть
может, конечного числа, бикомпактны.
Доказательство. Если произведение локально
бикомпактно, то и все координатные пространства ло-
локально бикомпактны, так как проектирование на любое
из них открыто. Если среди координатных пространств
бесконечно много небикомпактных, то в соответствии
с 5.16 каждое бикомпактное подмножество произведения
нигде не плотно в нем; в этом случае ни у одной точки
произведения нет бикомпактной окрестности.
200 ГЛ. 5. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ФАКТОР-ПРОСТРАНСТВА
В этой главе продолжается исследование фактор-про-
фактор-пространств, начатое в главе 3. Мы интересуемся здесь
результатами, характерными для бикомпактных про-
пространств. Они собраны в единственной теореме пара-
параграфа. Уже отмечалось, что непрерывный образ биком-
бикомпактного пространства бикомпактен. Однако без допол-
дополнительных ограничений образ может все же оказаться
малопривлекательным пространством. Например, пусть
X — замкнутый единичный интервал с обычной тополо-
топологией и 3)—его разбиение на множества вида {х : х — а —
рациональное число}; соответствующее фактор-простран-
фактор-пространство бикомпактно и проектирование на него открыто, но
фактор-топология антидискретна (только все простран-
пространство и пустое множество открыты). Оказывается, од-
однако, что при непрерывном разбиении топологического
пространства X на бикомпактные элементы фактор-про-
фактор-пространству передаются многие свойства пространства X.
20. Теорема. Пусть X — топологическое простран-
пространство и 55— непрерывное разбиение пространства X на
бикомпактные множества, наделенное фактор-тополо-
фактор-топологией. Тогда пространство 35 хаусдорфово, регулярно, ло-
локально бикомпактно, имеет счетную базу, коль скоро
пространство X обладает соответствующим свойством.
Доказательство. Согласимся для удобства на-
называть подмножество пространства X отмеченным тогда
и только тогда, когда оно является объединением эле-
элементов семейства 35. Из определения непрерывности раз-
разбиения 35 следует, что любая окрестность произвольного
элемента А семейства 35 в X содержит некоторую отме-
отмеченную окрестность множества А. Значит, образ лю-
любой окрестности множества А в X при проектировании
является окрестностью точки А в 35. Далее, проектиро-
проектирование переводит замкнутые множества в замкнутые
C.12). Пусть теперь X — хаусдорфово пространство и
А, В — различные элементы разбиения 35. В силу тео-
теоремы 5.9 у множеств А и В существуют непересекаю-
непересекающиеся окрестности в пространстве X; в них содержатся
отмеченные непересекающиеся окрестности, а проекции
последних являются искомыми непересекающимися
БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 201
окрестностями точек А и В в пространстве D. Если X —
регулярное пространство, А ? 3) и U— окрестность точ-
точки А в 3), то объединение U элементов, входящих в U,
является окрестностью множества Л в А'. В силу тео-
теоремы 5.10 в U содержится некоторая замкнутая окрест-
окрестность множества А в пространстве X. Образ последней
при проектировании является искомой окрестностью
точки А в пространстве D. Если X — локально биком-
бикомпактное пространство, то ясно, что у каждого элемента
разбиения 3) есть бикомпактная окрестность в X; образ
ее при проектировании на D является бикомпактной
окрестностью точки А в пространстве 3).
Наконец, пусть пространство X обладает счетной ба-
базой 33. Семейство U всевозможных конечных объедине-
объединений элементов этой базы счетно. Для каждого U € И
обозначим через U' объединение всех элементов разбие-
разбиения 3), являющихся подмножествами множества U, и
через 3— семейство всех множеств U', где U пробе-
пробегает U. Образы элементов семейства 3 при проектирова-
проектировании открыты; мы сейчас покажем, что они образуют базу
фактор-топологии. Достаточно установить, что для каж-
каждого А 6 35 и каждой окрестности V множества А в X
существует такое U € 3, что AczUczV. Но множество А
можно покрыть конечной совокупностью элементов
базы S так, чтобы их объединение W, являющееся эле-
элементом семейства U, содержалось в V. Положим U=W\
тогда [/C и AczUczV, откуда и следует теорема.
У этой теоремы есть интересное следствие. Пусть X —
сепарабельное метрическое пространство; рассмотрим
произвольное его непрерывное разбиение на бикомпакт-
бикомпактные множества. Тогда фактор-пространство хаусдор-
фово, нормально, удовлетворяет второй аксиоме счет-
ности и, следовательно, метризуемо.
БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
Изучая небикомпактное топологическое простран-
пространство X, часто бывает удобно перейти к бикомпактному
пространству, содержащему X в качестве подпростран-
подпространства. Например, иногда полезно присоединить к простран-
пространству вещественных чисел еще две точки, +оо и ¦—оо.
202 ГЛ. 5. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Получающееся пространство часто называют расширен-
расширенным пространством вещественных чисел. Оно стано-
становится линейно упорядоченным, если дополнительно со-
согласиться считать +оо его наибольшим, а —оо—его
наименьшим элементом. При таком продолжении обыч-
обычного упорядочения оказывается, что у каждого непус-
непустого подмножества расширенного пространства веще-
вещественных чисел есть как нижняя, так и верхняя грань
и что в топологии, порожденной порядком, это про-
пространство бикомпактно E.В). Расширенное простран-
пространство вещественных чисел является бикомпактным рас-
расширением пространства вещественных чисел — в каком
точно смысле, сейчас будет сказано. Конечно, все это
нужно лишь для удобства и ничего не прибавляет к на-
нашим знаниям о вещественных числах. Однако мы в ре-
результате получаем возможность применить стандартные
рассуждения, связанные с бикомпактностью; многие до-
доказательства при этом упрощаются.
Простейшая конструкция расширения топологиче-
топологического пространства до бикомпактного основана на до-
добавлении одной точки. Эта процедура знакома по ана-
анализу: в теории функций комплексная сфера *) строится
посредством добавления одной точки, обозначаемой сим-
символом оо, к евклидовой плоскости. Окрестностями точ-
точки оо объявляются дополнения до ограниченных под-
подмножеств плоскости. Можно провести подобное построе-
построение для любого топологического пространства; ключ
к определению правильной топологии в расширении
дает следующее замечание: дополнение до произволь-
произвольной открытой окрестности точки оо в комплексной сфере
бикомпактно. Одноточечным бикомпактным расшире-
расширением **) топологического пространства X называется
множество Х* = Х1){оо} с топологией, в которую входят
открытые подмножества пространства X и все такие под-
подмножества U множества X*, что X*\U — замкнутое
*) У нас принято название «сфера Римана». Под комплексной
сферой более естественно понимать сферу в комплексном простран-
пространстве. (Прим персе.)
**) Это определение в действительности не полно, пока не
определен элемент оо. Годится любой элемент, не принадлежа-
принадлежащий X, например само К.
БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 203
бикомпактное подмножество пространства X. Конечно,
следует проверить, что тем самым определена некоторая
топология на X*. Мы делаем это, доказывая следующее
утверждение.
21. Теорема (Александров). Одноточечное би-
бикомпактное расширение X* топологического простран-
пространства X бикомпактно, причем пространство X является его
подпространством. Пространство X* удовлетворяет акси-
аксиоме отделимости Хаусдорфа в том и только в том слу-
случае, когда X — локально бикомпактное хаусдорфово
пространство.
Доказательство. Множество U открыто в X*
тогда и только тогда, когда (a) UUX открыто в А' и (б)
если оо 6 U, то X\U бикомпактно. Следовательно, ко-
конечные пересечения и произвольные объединения откры-
открытых в X* множеств пересекают X по открытым множе-
множествам. Если точка оо принадлежит пересечению двух
каких-нибудь открытых подмножеств пространства X*,
то дополнением к этому пересечению служит объедине-
объединение двух замкнутых бикомпактных подмножеств про-
пространства X, т. е. замкнутое и бикомпактное множество.
Если точка оо входит в объединение некоторого семей-
семейства открытых в X* множеств, то она принадлежит не-
некоторому элементу U этого семейства. Тогда дополнение
к рассматриваемому объединению является замкнутым
подмножеством бикомпактного множества X\U и по-
потому само замкнуто и бикомпактно. Следовательно, X*—
топологическое пространство и X — его подпростран-
подпространство. Пусть U — любое открытое покрытие простран-
пространства X*. Точка оо принадлежит некоторому его эле-
элементу U. Множество X\U бикомпактно, поэтому в U
существует конечное покрытие этого множества. Значит,
пространство X* бикомпактно. Если X* — хаусдорфово
пространство, то X, как его открытое подпространство,
локально бикомпактно и хаусдорфово. Наконец, надо
доказать, что если X — локально бикомпактное хаусдор-
хаусдорфово пространство, то X* — хаусдорфово пространство.
Нужно лишь установить, что у любой точки х^Х и у
точки оо имеются непересекающиеся окрестности. Но
так как X—локально бикомпактное хаусдорфово про-
пространство, то у точки х в X есть замкнутая бикомпактная
204 ГЛ. 5. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
окрестность U. Тогда X*\U— нужная окрестность
точки оо.
Если X — бикомпактное топологическое пространство,
то оо — изолированная точка в одноточечном биком-
бикомпактном расширении (т. е. множество {оо} одновременно
открыто и замкнуто). Обратно, если оо — изолирован-
изолированная точка пространства Х''\ то X замкнуто в X* и, зна-
значит, бикомпактно.
Расширение до бикомпакта посредством добавления
одной точки очень специально; мы хотим рассмотреть
другие способы вложения топологических пространств
в бикомпактные топологические пространства. Оказы-
Оказывается, удобнее говорить о вложениях, чем о подпро-
подпространствах. Поэтому бикомпактное расширение тополо-
топологического пространства X определяется как пара (/, У),
где У — бикомпактное топологическое пространство, а
/ — гомеоморфизм пространства X на всюду плотное
подпространство пространства У. (Для согласования
с ранее сказанным укажем, что одноточечное биком-
бикомпактное расширение пространства X можно понимать
как пару (/, /Y*), где i — тождественное отображение*).)
Бикомпактное расширение (f, У) называется хаусдор-
фовым в том и только в том случае, когда У — хаусдор-
фово пространство. На семействе всех бикомпактных
расширений пространства X можно определить отноше-
отношение порядка по такому правилу: (f, Y)^-(g, Z) тогда и
только тогда, когда существует непрерывное отображе-
отображение h: Y-+Z такое, что hof = g. Равносильное утверж-
утверждение: (f, Y)^(g, Z) тогда и только тогда, когда ото-
отображение g0/ пространства f[X] в Z можно продол-
продолжить до непрерывного отображения всего У в Z. Если
в качестве h можно взять гомеоморфизм, то расширения
(f, У) и (g, Z) называются топологически эквивалент-
эквивалентными. В этом случае выполняются оба соотношения — и
(f, Y)>(g, Z), и (g, Z)>(f, Y), ибо ft-1 — непрерывное
отображение Z на У такое, что / = ft°gr.
22. Теорема. Семейство всех бикомпактных рас-
расширений произвольного топологического пространства
*) Общее понятие (хаусдорфова) бикомпактного расширения
впервые появляется у Тихонова [1].
БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 205
частично упорядочено отношением >•. Если (f, У) и
(g, Z) — хаусдорфовы бикомпактные расширения неко-
некоторого пространства и (f, Y)~^>{g, Z)^(f, У), то расши-
расширения (f, У) и (g, Z) топологически эквивалентны.
Доказательство. Если (f, Y)^-(g, Z)^-(h, U)
для некоторых бикомпактных расширений простран-
пространства X, то имеются непрерывное отображение / про-
пространства У в Z и непрерывное отображение k простран-
пространства Z в U такие, что g = j ° f и h = k °g. Тогда h = k о/ of
и (f, Y)^-(h, U). Значит, >— частичное упорядочение
семейства всех бикомпактных расширений простран-
пространства X. Если (/, У) и (g, Z) — хаусдорфовы бикомпакт-
бикомпактные расширения, каждое из которых следует за другим
относительно упорядочения >-, то у отображения f ° g~*
и у отображения g0}'1 есть непрерывные продолжения
/ и k соответственно на все Z и на все У. Так как k°j —
тождественное отображение на всюду плотном подмно-
подмножестве g[X] пространства Z и Z — хаусдорфово простран-
пространство, то k о у — тождественное отображение простран-
пространства Z на себя. Точно так же j°k — тождественное ото-
отображение пространства У на себя. Следовательно, (/, У)
и (g, Z) — топологически эквивалентные расширения.
Наименьшим бикомпактным расширением биком-
бикомпактного хаусдорфова пространства X является само X
(точнее, пара (i, X), где i — тождественное отображе-
отображение пространства X на себя). Можно было бы ожидать,
что одноточечное бикомпактное расширение небиком-
небикомпактного пространства будет наименьшим относительно
упорядочения ^ среди всех его бикомпактных расшире-
расширений. Если ограничиться хаусдорфовыми бикомпактными
расширениями, то это действительно так (следствие
из 5.Ж), но легко показать, что в общем случае не су-
существует бикомпактного расширения, меньшего всех
остальных. С другой стороны, если у пространства X
есть хаусдорфово бикомпактное расширение (таковы в
силу 5.15 тихоновские пространства), то у X есть и ма-
максимальное хаусдорфово бикомпактное расширение. Сей-
Сейчас мы построим последнее.
Пусть X — произвольное топологическое простран-
пространство. Обозначим через F (X) семейство всех непрерыв-
непрерывных на X функций со значениями в замкнутом единичном
206 ГЛ. 5. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
интервале Q. Куб QF(A) (произведение F(X) экземпля-
экземпляров единичного интервала Q) бикомпактен в силу тео-
теоремы Тихонова. Отображение вычисления е переводит
элемент х пространства X в элемент е(х) куба QFl*\ f-я
координата которого для каждого f из F(X) есть f{x).
Вычисление является непрерывным отображением про-
пространства X в куб QF(X>, а если X — тихоновское про-
пространство, то е — гомеоморфизм X на подпространство
куба QF(X\ (В точности это утверждается в лемме
о вложении 4.5.) Расширением Стоуна—Чеха простран-
пространства X называется пара (е, |3(Х)), где Р(Х)—замыкание
множества е[Х] в кубе QF<~xh Прежде чем сформулиро-
сформулировать основное свойство этого бикомпактного расширения,
докажем одну лемму.
23. Л е м м а. Пусть f — отображение множества А в
множество В и f* — отображение куба QB в куб QA,
определенное формулой f*(y) =У °f для всех у из QB.
Отображение f* непрерывно.
Доказательство. Отображение в пространство
произведения тогда и только тогда непрерывно, когда
непрерывна его суперпозиция с каждым проектирова-
проектированием на координатное пространство C.3). Если а — эле-
элемент множества А, то Pa-f*(y) =Pa(y °f) =y(f («))• Но
y(f(a)) —это просто проекция точки у в f(a)-e коорди-
координатное пространство произведения QB, а отображение
проектирования непрерывно.
Описанная в этой лемме конструкция заслуживает
внимания; она систематически встречается в рассужде-
рассуждениях о пространствах отображений. Отметим, что ото-
отображение /*, индуцированное f, действует в направле-
направлении, противоположном f в том смысле, что / переводитЛ
в В, a f* переводит QB в QA.
После этой леммы доказательство главной теоремы
о бикомпактном расширении Стоуна — Чеха сводится
к стандартному, хотя и не совсем простому, вычислению.
24. Теорема (М. Стоун и Чех). Пусть X — тихо-
тихоновское пространство и f — его непрерывное отображение
на бикомпактное хаусдорфово пространство У. Тогда су-
существует продолжение отображения f до непрерывного
отображения всего бикомпактного расширения $(Х) в Y.
(Точнее, пусть (е, ^(Х)) ~расширение Стоуна—Чеха,
БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 207
тогда f ° е~1 можно продолжить до непрерывного отобра-
отображения пространства Р(Х) в пространство Y.)
Доказательство. По заданному отображению /
определим отображение f*: F(Y) —*F(X), положив
f*\a) = а° f для каждого а из F(Y). Продолжая так же,
определим /**: QF(X) —* QF(Y) правилом f**(q) = q of* для
каждого q из QF(~X\ Обозначим через е отображение вы-
вычисления X в QF(X~> и через g — отображение вычисле-
вычисления У в QF<y). Следующая диаграмма отражает возник-
возникшую ситуацию.
t t
e g
¦ I I
X / -> Y
Отображение е является гомеоморфизмом. Отображение
g — гомеоморфизм пространства У на р(У), ибо У — би-
бикомпактное хаусдорфово пространство. Отображение f**
непрерывно в силу леммы 5.23, и если доказать, что
f** о e = g °f, то будет ясно, что g'1 °f** — искомое непре-
непрерывное продолжение отображения f °е~'. Пусть х — про-
произвольный элемент из X и h — любой элемент из F(Y).
Тогда (/** ое) (х) (h) = (e(x) of*) (ft) =e{x) (A»/) =/z о
of(x) = g(f(x))(h) = (g°f)(x)(h) в силу определений
отображений /**, /*, е и g соответственно. Отсюда сле-
следует заключение теоремы.
Из возможности продолжения отображений, устано-
установленной в предыдущей теореме, следует, что бикомпакт-
бикомпактное расширение Стоуна — Чеха (е, $(Х)) следует за лю-
любым другим бикомпактным хаусдорфовым расширением
пространства X относительно упорядочения >• и являет-
является, таким образом, наибольшим бикомпактным хаусдор-
хаусдорфовым расширением. Если (/, Y) — какое-нибудь би-
бикомпактное расширение, до которого продолжаются все
непрерывные отображения пространства X в бикомпак-
бикомпакты*), то (f, Y) > (е, Р(Х)) и в силу теоремы 5.22 рас-
расширение (f, У) топологически эквивалентно расширению
*) Бикомпактами в русской терминологии называются биком-
бикомпактные хаусдорфовы пространства. (Прим. перев.)
208 ГЛ. 5. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
(е, Р(Х)). Следовательно, возможность продолжения
отображений, установленная в теореме 5.24, характери-
характеризует, бикомпактное расширение (е, $(Х)) с точностью до
топологической эквивалентности.
25. Замечание. Приведенные выше результаты
(М. Стоун [2] и Чех [1]) дают нам максимальное би-
бикомпактное расширение. Много меньших бикомпактных
расширений было построено для различных целей. Ли-
Литература, посвященная этим вопросам, чрезвычайно ве-
велика, и мы в состоянии указать только на немногие из
наиболее важных вкладов. По поводу недавнего допол-
дополнения к одной из самых старых теорий бикомпактного
расширения (теория простых концов Каратеодори) см.
работу Урсела и Янга [1]. Фрёйденталь в ра-
работе [1] исследовал бикомпактное расширение, являю-
являющееся максимальным в классе, гораздо более узком, чем
тот, в котором главенствует $(Х) *). Общее обсуждение
бикомпактных расширений дается в работах Мы ш ки-
киса [1], [2] и [3]. Он делит описания бикомпактных рас-
расширений на «внешние» (таковы описания E(Х) и почти
периодического бикомпактного расширения группы --
последнее намечено в 7.Ф) и «внутренние» (например,
так определяются бикомпактные расширения П. С. Алек-
Александрова **) и Уолмена E.Т)). Во взаимоотношении
между внутренним и внешним описаниями бикомпакт-
бикомпактного расширения часто и кроется главный интерес рас-
рассмотрения последнего. Кое-что***) о внутренней струк-
структуре расширения |3(Х) говорится в работах Ю. Нага-
т а [2], Ю. М. С м и р н о в а [4] и У о л л е с а [2]. Бикомпакт-
Бикомпактное расширени $(Х) также связано с понятием абсолют-
абсолютного замыкания; см., например, работы М. Стоуна [2],
А. Д. Александрова [1], Катетов а [1] и Рама-
н а т а н а [1] ****).
*) См. в связи с этим работу Скляренко [1] о совершен-
совершенных бикомпактных расширениях. (Прим. перев.)
**) Хороший обзор теории бикомпактных расширений дан в
статье П. С. Александрова [4]. (Прим. перев.)
***) В работе Пономарева [6] дано спектральное описание
(Прим. перев.)
****) Основным новым методом, введенным в теорию биком-
бикомпактных расширений и, к сожалению, ускользнувшим от внимания
автора, является созданный П. С. Александровым метод центриро-
ЛЕММА ЛЕБЕГА О ПОКРЫТИИ 209
ЛЕММА ЛЕБЕГА О ПОКРЫТИИ
Очень полезна лемма Лебега, в которой утверждает-
утверждается, что для любого открытого покрытия U замкнутого
интервала вещественных чисел существует такое поло-
положительное число г, что если \х — у\ <г, то в U есть эле-
элемент, содержащий обе точки х и у. В каком-то смысле
можно сказать, что U покрывает рассматриваемый ин-
интервал «равномерно». В этом параграфе высказанное
утверждение будет доказано вместе с его топологиче-
топологическим вариантом, пригодным для произвольных биком-
бикомпактных пространств. Последний результат может рас-
рассматриваться как прелюдия к идеям следующего пара-
параграфа, связанным с паракомпактностью.
ванных систем открытых множеств (П. С. Александров [4]), на
полную универсальность которого впервые указал Фомин [2].
Метод этот широко применялся впоследствии многими матема-
математиками, в том числе Смирновым, Пономаревым, Илиадисом, Ф о-
м и н ы м [2] и др. В частности, П. С. Александров и Пономарев
дали этим методом простроение всех бикомпактных (хаусдорфо-
вых) расширений данного тихоновского пространства, что, по суще-
существу, является лишь новой аранжировкой теоремы Смирнова [5]
о близостях (см. работы: П. С. Александров и Понома-
Пономарев A], И л и а д и с и Фомин [1], а также уже цитированный об-
обзор П. С. Александрова [4]).
Наконец, в связи с понятием бикомпактного расширения нельзя
не указать на понятие Я-замкиутого пространства и связанные с
ним две характеризации бикомпактных пространств.
Хаусдорфово пространство называется Я-замкнутым (П. С. Алек-
Александров), если оно замкнуто во всяком объемлющем его хаусдор-
фово.м пространстве.
В работе П. С. Александрова и Урысона [2] даны сле-
следующие два критерия бикомпактное™, из которых второй во всей
общности доказан впервые М. Стоуном [2]:
1. Хаусдорфово пространство бикомпактно тогда и только
тогда, когда оно регулярно и Я-замкнуто (П. С. Александров и
Урысон).
2. Хаусдорфово пространство бикомпактно тогда и только
тогда, когда всякое его замкнутое подмножество Я-замкнуто.
Дальнейшие сведения об Я-замкнутых пространствах (в част-
частности, построение Фоминым максимального Я-замкнутого расшире-
расширения всякого хаусдорфова пространства) можно найти в новейшей
работе Илиадиса и Фомина [1], где приведена обширная ли-
литература по ряду вопросов общей топологии, разрабатывавшихся
в последнее время. (Прим. перев.)
14 Дж. Л. Келли
210 ГЛ. 5. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
26. Теорема. Пусть U — открытое покрытие би-
бикомпактного подмножества А псевдометрического прост-
пространства (X, d). Тогда существует такое положительное
число г, что открытый r-шар с центром в произвольной
точке множества А содержится в некотором элементе
покрытия U.
Доказательство. Пусть Ui, ..., Un — какое-
нибудь конечное подпокрытие открытого покрытия U
множества А. Положим fi{x) == dist[x, X\Ui] и f(x) =
= max[fi(x) : i=l, . . . , n]. Каждая из функций ft непре-
непрерывна, значит, непрерывна и функция f. Каждая точка
множества А принадлежит некоторому ?/,-; следователь-
следовательно, f(x) ^- fi{x)>0 для любой точки х из А. Тогда f[A] —
бикомпактное подмножество пространства положитель-
положительных вещественных чисел; значит, существует веществен-
вещественное число г>0 такое, что f(x) >r для всех х из А. Следо-
Следовательно, для каждого х?А имеется такое г, что fi(x)>r,
откуда и вытекает, что открытый r-шар с центром в х
лежит в Ut.
У доказанной теоремы есть интересное следствие.
Если А — бикомпактное подмножество псевдометриче-
псевдометрического пространства я U — окрестность множества А, то
для некоторого положительного г U содержит открытый
r-шар с центром в произвольной точке множества А, чго
означает, что расстояние от А до множества X\U по-
положительно *).
Теорему 5.26 можно удачно перефразировать. Пусть
V — множество всех пар (х, у) точек пространства X,
расстояние между которыми d(x,y) меньше г. Тогда
V{x)={y- (х, у) 6 V} — просто открытый шар с центром
в х. Множество V — открытое подмножество произведе-
произведения XXX, содержащее диагональ Д (множество всех пар
вида (х, х), где х?Х). Из предыдущей теоремы тогда
вытекает такой топологический результат: если U — от-
открытое покрытие бикомпактного псевдометрического
пространства, то у диагонали в XXX есть такая окрест-
окрестность V, что для любой точки х?Х множество V[x]
*) См., в связи с этим, Архангельский [7], где показано,
что это свойство псевдометрики топологически эквивалентно акси-
аксиоме треугольника. (Прим. переа.)
ЛЕММА ЛЕБЕГА О ПОКРЫТИИ 211
содержится в некотором элементе покрытия U. Оказы-
Оказывается, что в этой формулировке лемма Лебега справед-
справедлива для любого бикомпактного регулярного простран-
пространства.
Покрытие U топологического пространства назы-
называется однообразным тогда и только тогда, когда
у диагонали в XXX есть такая окрестность V, что для
каждой точки х множество V[x] содержится в некото-
некотором элементе покрытия U. Иными словами, семейство
всех множеств вида V[x] вписано в it. Напомним, что
покрытие 91 именуется вписанным в U в том и только
в том случае, когда каждый элемент из 91 является под-
подмножеством некоторого элемента из И, и что семейство 23
множеств называется локально конечным в том и толь-
только в том случае, когда у каждой точки пространства
есть окрестность, пересекающаяся лишь с конечным чис-
числом элементов этого семейства. Говорят, что семейство
множеств замкнуто, тогда и только тогда, когда каждый
элемент этого семейства замкнут.
27. Теорема. Если в открытое покрытие простран-
пространства можно вписать замкнутое локально конечное по-
покрытие, то исходное покрытие однообразно.
Следовательно, каждое открытое покрытие биком-
бикомпактного регулярного пространства однообразно.
Доказательство. Пусть U—открытое покрытие
топологического пространства X и 91— вписанное в него
замкнутое локально конечное покрытие. Для каждого А
из 91 выберем такой элемент V А в it, что AaUA, и пусть
VA=(UAXUA)U((X\A)X(X\A)). Очевидно, УА —
открытая окрестность диагонали в XXX, причем если
x?A,toVa[x] = Ua. Положим V= [){VA:A ?91}. Тогда для
каждой точки х будет V[x]c:l/A[x] = t/A и, следовательно,
семейство всех множеств вида V[x] образует покрытие,
вписанное в U. Остается доказать, что V — окрестность
диагонали. Для каждой точки (х, х) диагонали найдем
окрестность W точки х, пересекающуюся лишь с конеч-
конечным числом элементов покрытия 91. Если №ЛЛ— пу-
пустое множество,то WczX\A и WxWczVA. Следователь-
Следовательно, V содержит пересечение множества WXW с некото-
некоторым конечным числом множеств VA и потому является
окрестностью точки (х,х).
14*
212 ГЛ. 5. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Наконец, если X — бикомпактное регулярное про-
пространство, то в каждое его открытое покрытие И можно
вписать замкнутое конечное покрытие (возьмем откры-
открытые множества, замыкания которых содержатся в эле-
элементах 11). Следовательно, каждое открытое покрытие
пространства X однообразно.
ПАРАКОМПАКТНОСТЬ *)
Топологическое пространство называется параком-
пактным тогда и только тогда, когда оно регулярно и
в каждое его открытое покрытие можно вписать откры-
открытое локально конечное покрытие. Целью данного пара-
параграфа является доказательство эквивалентности пара-
паракомпактности ряду других условий. Мы пользуемся
при этом методами, тесно связанными с методами
главы 6.
Напомним, что семейство 91 подмножеств топологи-
топологического пространства называется дискретным в том и
только в том случае, когда у каждой точки пространства
есть окрестность, пересекающаяся самое большее с од-
одним элементом этого семейства. Семейство 91 ст-дискрет-
но (а-локально конечно) тогда и только тогда, когда оно
является объединением счетного множества дискретных
(соответственно локально конечных) подсемейств. Мож-
Можно теперь сформулировать основной результат этого
параграфа; доказательство его распадается в последова-
последовательность изложенных ниже лемм.
28. Теорема. Если Х-—регулярное топологическое
пространство, то следующие утверждения равносильны:
*) В обычном определении паракомпактности вместо требова-
требования регулярности участвует требование хаусдорфовости. Нетрудно
показать, что если в любое открытое покрытие хаусдорфова про-
пространства можно вписать открытое локально конечное покрытие, то
это пространство регулярно.
Вообще же свойство паракомпактности, заключающееся в суще-
существовании для каждого открытого покрытия вписанного в него ло-
локально конечного открытого покрытия, логически не зависит от ка-
каких бы то ни было аксиом отделимости (так же как и свойство
бикомпактности). В русской литературе паракомпактные хаусдор-
фовы пространства приняю называть паракомпактами. (Прим.
перев.)
ПАРАКОМПАКТНОСТЬ 213
(а) Пространство X паракомпактно.
(б) В каждое открытое покрытие пространства X
можно вписать локально конечное покрытие.
(в) В каждое открытое покрытие пространства X
можно вписать замкнутое локально конечное покрытие.
(г) Каждое открытое покрытие пространства X одно-
однообразно.
(д) В каждое открытое покрытие пространства X
можно вписать открытое а-дискретное покрытие.
(е) В каждое открытое покрытие пространства X
можно вписать открытое а-локольно конечное покрытие.
Вот план доказательства: (а) —> (б) —¦ (в) —¦ (г) —¦
—¦ (д) —>• (е) —>¦ (б) —*¦ (а). Первое из этих следований
ясно; второе обнаруживает следующая лемма:
29. Лемма. Если пространство X регулярно и в ка-
каждое его открытое покрытие можно вписать локально
конечное покрытие, то в каждое открытое покрытие это-
этого пространства можно вписать и некоторое замкнутое
локально конечное покрытие.
Доказательство. Пусть U—открытое покрытие
пространства X. Тогда существует покрытие 1<, замы-
замыкания элементов которого содержатся в элементах по-
покрытия U, ибо X регулярно. (Если х? U, то у х есть от-
открытая окрестность V, для которой VcU.) Пусть 91 —
какое-нибудь локально конечное покрытие, вписанное
в 23. Тогда семейство 23 замыканий элементов покры-
покрытия 91 локально конечно; при этом каждое такое замы-
замыкание содержится в некотором V, где V623. Следова-
Следовательно, 23— замкнутое локально конечное покрытие
пространства X, вписанное в U.
Если в некоторое открытое покрытие топологического
пространства можно вписать замкнутое локально конеч-
конечное покрытие, то исходное открытое покрытие однооб-
однообразно согласно теореме 4.27. Из утверждения (в), та-
таким образом, следует утверждение (г). Доказатель-
Доказательству дальнейшего следования мы предпошлем две леммы,
которые представляют и некоторый самостоятельный ин-
интерес. Напомним для удобства некоторые факты, кото-
которые нам сейчас понадобятся (см. параграф об отноше-
отношениях в главе 0). Для подмножества U множества Хх^
и точки х?Х через U[x] обозначается множество всех
214 ГЛ. 5. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
у?Х, для которых (х, у) ?U. Если А—подмножество
множества X, то ЩА\ = {у ; (х, у) ? U для некоторого х
из А}, Ясно, что U[A] является объединением множеств
вида U[x] по всем х из А. Множество {(х, у) : (у, х) 6 ?/}
обозначается через U~l. Говорят, что U — симметричное
множество, если U = U~i. Множество U О U'1 всегда сим-
симметрично. Через U о V, где U и V — подмножества мно-
множества XXX, обозначается множество всех таких пар
(х, г), что для некоторого у из X одновременно и
(х, у) 6 V и (у, z) ? U. Иными словами, (х, г) ? U ° V
тогда и только тогда, когда (х, z) € V~'[t/]X U[y\ Для не-
некоторого у. Следовательно, U° V является объедине-
объединением множеств вида V^^X Щу] по всем у из X. В част-
частности, если V симметрично, то V ° V — V{V[y]xV[y]: у € X].
Наконец, для каждого подмножества А множества X
имеет место U ° К[Л] = 6'[1/[Л]].
30. Лемма. Пусть X — топологическое простран-
пространство, каждое открытое покрытие которого однообразно.
Для любой окрестности U диагонали в ХхХ найдется
такая симметричная окрестность V диагонали, что
V.oVczU.
Доказательство. У каждой точки х6 X есть та-
такая окрестность W(x), что W(x) XW(x)czU, ибо U —
окрестность диагонали. Семейство Ш всех множеств вида
W{x) образует открытое покрытие пространства X. По-
Поэтому существует окрестность R диагонали, для которой
семейство R[x] вписано в 2В. Тогда R[x]xR[x](=.U при
каждом х. Наконец, положим У = ^П^~1. Множество
У—симметричная окрестность диагонали, и V[*]XVMc
dU при всех х. Так как V.° V — объединение множеств
вида VMxV[x], то V °VaU.
Интуитивное содержание предшествующей леммы
таково. Скажем, что точки х и у удалены друг от друга
не более чем на U, если (х, у) 6 U. В лемме утверж-
утверждается, что для любого U существует такое V, что коль
скоро точки х, у и точки у, z удалены друг от друга не
более чем на V, то точки х и z лежат одна от другой
не далее чем на U.
Следующая лемма показывает, что паракомпактные
пространства удовлетворяют очень сильному условию
типа нормальности.
ПАРАКОМПАКТНОСТЬ 215
31. Лемма. Пусть X — топологическое простран-
пространство, каждое открытое покрытие которого однообразно,
и 91 — локально конечное (или дискретное) семейство
подмножеств пространства X. Тогда существует окрест-
окрестность V диагонали в XXX такая, что семейство всех
множеств V[A], где А 6 21, локально конечно (соответ-
(соответственно дискретно).
Доказательство. Пусть 21—-локально конечное
семейство подмножеств. Тогда существует открытое по-
покрытие И пространства X, каждый элемент которого
пересекается лишь с конечным множеством элементов
семейства 21. Пусть U — такая окрестность диагонали,
что множества вида U[x] вписаны в элементы покры-
покрытия 11. В силу предыдущей леммы у диагонали есть та-
такая окрестность V, что V°VaU; при этом можно пред-
предположить, что V=V~i. Если множество 1/°У[л:]ПЛ пусто,
то V[x] должно не пересекаться с V[A], ибо если у € V[x] П
П V[A], то (у, х) 6 V'i = V, (г, у) ? V для некоторого z ? А
и, следовательно, (г, х) ? V°V. Тогда г? У°1фс], в чем
и состоит противоречие. Значит, если V[x] пересекает
V[A], то V о V[x] пересекает А, откуда следует, что семей-
семейство множеств вида V[A], где Л ^ 91, локально конечно.
Если в приведенном рассуждении выражение «конечное
число» заменить на слова «не более одного», то полу-
получится доказательство соответствующего утверждения для
случая дискретного семейства.
Если V — открытое подмножество пространства XXX,
то V[x] открыто для каждой точки х?Х, ибо V[x] — про-
прообраз множества V при непрерывном отображении, за-
заключающемся в том, что точке у? X ставится в соот-
соответствие точка (х, y)dXxX. Для любого подмноже-
подмножества А пространства X множество V[A] открыто, ибо оно
является объединением множеств вида V[x\ по всем х
из А. Таким образом, предшествующая лемма позво-
позволяет продолжать локально конечные и дискретные се-
семейства множеств до локально конечных (соответствен-
(соответственно дискретных) семейств открытых множеств. В част-
частности, если в каждое открытое покрытие 11 некоторого
регулярного пространства можно вписать локально ко-
конечное покрытие 91, то применима доказанная лемма
(мы показали, что (б)->(в)->(г) в 5.28). Поэтому
216 ГЛ. 5. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
существует такая окрестность диагонали, что семейство
всех множеств вида V[A], где А ? 21, локально конечно.
Последнее семейство может не быть вписанным в U, од-
однако это затруднение легко преодолеть: выберем вИ для
каждого множества А из семейства 21 какой-нибудь со-
содержащий его элемент UA f II и положим WA = UAC\ V[A].
Построенное описанным способом семейство открыто,
локально конечно, вписано в И и покрывает рассматри-
рассматриваемое пространство; значит, последнее паракомпактно.
Доказано, таким образом, следование (б)->-(а) из 5.28.
Утверждение 5.31 имеет очевидное следствие. Се-
Семейство, состоящее из двух замкнутых непересекаю-
непересекающихся множеств, разумеется, дискретно. Значит,
32. Следствие. Каждое паракомпактное простран-
пространство нормально.
Доказательство теоремы 5.28 будет завершено, если
мы установим два факта. Первый: пусть каждое откры-
открытое покрытие некоторого регулярного пространства одно-
однообразно; тогда в любое его открытое покрытие можно
вписать открытое cr-дискретное покрытие. Второй: если
в каждое открытое покрытие пространства X можно впи-
вписать сг-локально конечное покрытие, то в каждое его от-
открытое покрытие можно вписать локально конечное по-
покрытие. (Отсюда, очевидно, вытекает следование (д)^-(е)
утверждений из 5.28.)
33. Лемма. Если каждое открытое покрытие про-
пространства X однообразно, то в каждое открытое покры-
покрытие пространства X можно вписать открытое а-дискрет-
ное покрытие.
Доказательство. Доказательство этого утверж-
утверждения, подобно доказательству теоремы 4.21, получается
применением одной идеи А. Стоуна. (Можно вывести
данную лемму из утверждения 4.21 и результатов гла-
главы 6.) В силу леммы 5.31 достаточно найти какое-ни-
какое-нибудь а-дискретное покрытие, вписанное в 11, так как
затем это покрытие можно «расширить» до вписанного
в U а-дискретного открытого покрытия. Пусть V — та-
такая окрестность диагонали, что семейство всех множеств
вида V[x], где xfX, вписано в покрытие П. Положим
Vo=V и, действуя по индукции, выберем в качестве Vn
такую открытую симметричную окрестность диагонали,
ПАРАКОМПАКТНОСТЬ 217
что Vn о Vna V„-i при каждом целом положительном п.
Положим Ui=V\, и по индукции пусть Un+i=Vn+i° Un.
Легко видеть, что UncV0 при каждом п. Отсюда сле-
следует, что для каждого п семейство всех Un[x], где х?Х,
вписано в It. Вполне упорядочим множество X с по-
помощью некоторого отношения < (см. 0.25). Обозначим
для каждого х и каждого п через Un(x) множество
Un[x]\\J {Un+i[y]: у<х]. При каждом фиксированном п
семейство \\п всех множеств вида U'„ (х) дискретно; это
можно доказать следующим образом. Ясно, что множе-
множество и*п(х) не пересекается с множеством Vn+i[Un(y)\
при хФу по построению. Если для некоторой точки г € X
окрестность Vn+i[z] пересекает U*n(y), то г? Vn +1 [^п(у)}
и Vn+i[Ul(yj\ является окрестностью точки г, не пере-
пересекающейся ни с одним Un (х), для которого хФу. Следо-
Следовательно, семейство Un дискретно. Остается доказать, что
каждая точка пространства X принадлежит некоторому
элементу некоторого семейства Un. Пусть х^Х и у —
первая точка из X, для которой х принадлежит множе-
множеству Un[y] при некотором п. Тогда непременно x?Un(y)
при том же п.
34. Лемма. Если в каждое открытое покрытие про-
пространства можно вписать открытое о-локально конечное
покрытие, то в каждое покрытие этого пространства
можно вписать и локально конечное покрытие.
Доказательство. Пусть U — открытое покрытие
и ч-8 — вписанное в него открытое а-локально конечное
покрытие, т. е. 93 = U {93„ : «6 ЮЬ гДе каждое 23„ — ло-
локально конечное семейство открытых множеств, содер-
содержащихся в элементах покрытия И. Для каждого п и
каждого V 6 ЙЗп положим V*— V\ U {U : U ?9Jft для не-
некоторого &<«} и обозначим через Ж семейство всех V*.
Семейство Ш покрывает X и вписано в 11. Наконец, пусть
хA и п — наименьшее целое число такое, что х при-
принадлежит некоторому V из Ъп. Тогда V — окрестность
точки х, не пересекающаяся ни с одним элементом се-
семейства 28, за исключением построенных на основе
тех Щ, для которых k4in. Следовательно, покрытие 23
локально конечно.
218 ГЛ. 5. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В теореме 4.21 говорится, что в любое открытое по-
покрытие псевдометризуемого пространства можно впи-
вписать открытое ст-дискретное покрытие. Этот факт вместе
с теоремой 28 настоящего параграфа приводит к сле-
следующему выводу:
35. Следствие. Каждое псевдометризуемое про-
пространство паракомпактно.
В заключение следует отметить, что подпростран-
подпространства, фактор-пространства и произведения паракомпакт-
ных пространств обычно бывают не паракомпактны. Да-
Далее, пространство может быть локально метризуемо, ло-
локально бикомпактно, хаусдорфово, нормально (значит,
удовлетворять первой аксиоме счетности) и все же не
быть паракомпактным. Стандартные примеры можно
найти в упражнениях в конце этой главы.
36. Замечания. Есть еще одна характеристика
паракомпактности, которой можно было бы пополнить
список, данный в 5.28. Для регулярных пространств
паракомпактность эквивалентна звездной нормальности
(см. задачу 5.Ц). Этот критерий принадлежит А. Стоу-
Стоуну [1]*). Эквивалентность утверждений (б), (в), (д) и
(е) теоремы 5.28 была доказана Майклом [2]. Равно-
Равносильность же условия (г) и паракомпактности впервые
была замечена, насколько я знаю, Дж. С. Гриффином и
мной.
Описание паракомпактности в терминах ст-дискрет-
ных открытых покрытий в равной мере естественно при-
принять за определение счетномерности (см. Гуревич и
У о л м е н [1; 32], и Эйленберг [1]) **). Теорема Май-
Майкла (Майкл [2]) о наследовании паракомпактности по
подмножествам типа Fа интерпретируется при этом как
естественный результат теории размерности.
*) Несомненно, теорема Стоуна является самой замечательной
теоремой о паракомпактности. Вообще паракомпактным простран-
пространствам в новейшее время посвящена обширная литература, включаю-
включающая работы Майкла, Исбелла, Пономарева, Архангельского и мно-
многих других. (Прим. перев.)
**) В настоящее время счетномерными считаются пространства,
распадающиеся в сумму счетного семейства нульмерных подпро-
подпространств. В этом смысле не каждое метрическое пространство счет-
номерно. (Прим. перев,)
ЗАДАЧИ 219
ЗАДАЧИ
А. Упраокнение на вещественные функции,
определенные на бикомпактных пространствах
(а) Если А — непустое бикомпактное подмножество простран-
пространства вещественных чисел, то и наименьшая верхняя, и наибольшая
нижняя грань множества А принадлежат А.
(б) Каждая непрерывная функция f, определенная на биком-
бикомпактном пространстве, достигает своего наибольшего и наименьшего
значений, т. е. в этом пространстве существуют такие точки х и у,
что f(x) и f(y) являются соответственно наименьшей верхней и
наибольшей нижней гранями функции / на X.
(в) Пусть f — непрерывная вещественная функция на биком-
бикомпактном пространстве X. Если f везде положительна, то она отгра-
отграничена от нуля в том смысле, что существует такое е>0, что
}(х) >е для всех х из X.
Б. Бикомпактные подмножества
(а) Пересечение двух бикомпактных подмножеств топологиче-
топологического пространства может не быть бикомпактно. Пересечение лю-
любого семейства замкнутых бикомпактных множеств непременно
замкнуто и бикомпактно. (Ясно, что пространство, в котором лежат
бикомпактные подмножества с небикомпактным пересечением, не
может быть хаусдорфовым. Такие множества можно найти в про-
произведении пространства вещественных чисел и антидискретного про-
пространства, состоящего из двух точек.)
(б) Замыкание бикомпактного подмножества топологического
пространства может не быть бикомпактно. Однако в регулярном
пространстве замыкание бикомпактного подмножества непременно
бикомпактно,
(в) Пусть А и В — непересекающиеся замкнутые подмножества
псевдометрического пространства, причем А бикомпактно. Тогда
существует точка х в А, для которой dist(A, б) = dist(x. В) >0.
(Дело в том, что функция d\st(x,B) непрерывна и положительна
во всех х из А.)
(г) Пусть А и б — непересекающиеся замкнутые бикомпактные
подмножества псевдометрического пространства. Тогда существуют
такие точки х?А и у?В, что d(x, у) = dist(Л, В).
В. Бикомпактность относительно топологии порядка
Пусть множество X линейно упорядочено отношением < и на-
наделено порядковой топологией (см. задачу 1.И). Тогда (П. С. Але-
Александров [1]) каждое замкнутое ограниченное подмножество про-
пространства X бикомпактно тогда и только тогда, когда X полно от-
относительно порядка <. (Семейство всех подмножеств X вида
{х : а<х} или {х : х<а] образует предбазу порядковой топологии
на X; можно применить теорему 5.6 Александера о предбазе. Можно
220 ГЛ. 5. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
доказать этот факт, не прибегая к теореме 5.6, рассуждением, по-
похожим на доказательство теоремы 5.14*).)
Г. Изометрии бикомпактных метрических пространств
Пусть X и У — метрические пространства, причем простран-
пространство X бикомпактно, и / — изометрия пространства X на подпро-
подпространство пространства У, a g — изометрия пространства У на под-
подпространство пространства X. Тогда / отображает X на все У.
(Пусть h — изометрия пространства X на его собственную часть и
xCX\h[X]. Положим a = dist(x, h[X]). Определим по индукции по-
последовательность точек, начинающуюся с хо = х, правилом: д:„ + 1 =
= h(xn). Докажите, что при шфп будет d(x,n, хл) >а.)
Д. Счетно компактные и секвенциально
компактные пространства
Топологическое пространство называется счетно компактным
тогда и только тогда, когда каждое его счетное открытое покрытие
содержит конечное подпокрытие. Пространство называется секвен-
секвенциально компактным тогда и только тогда, когда в каждой после-
последовательности его точек есть сходящаяся подпоследовательность.
Следующие свойства Ti-пространства Х эквивалентны его счет-
счетной компактности:
(а) Каждая последовательность в X имеет предельную точку.
(б) Каждое бесконечное подмножество в X имеет предельную
точку (см. 5.3).
(в) В каждом бесконечном открытом покрытии X есть соб-
собственное подпокрытие. (Если А—бесконечное множество, у кото-
которого нет ни одной предельной точки, то каждое подмножество мно-
множества А замкнуто. Определим некоторое открытое покрытие Ц>
взяв у каждой точки множества А открытую окрестность, не содер-
содержащую других точек из А, и присоединив, если нужно, к получен-
полученной системе множеств множество Х\А. Тогда в покрытии U не
содержится никакого меньшего покрытия. С другой стороны, если
в открытом покрытии 58 не содержится никакого меньшего покры-
покрытия, то в каждом элементе V ? 3? есть точка, не принадлежащая
никакому другому элементу покрытия 2*.)
(г) Для пространств с первой аксиомой счетности секвенциаль-
секвенциальная компактность и счетная компактность эквивалентны между со-
собой E.5).
(д) Пространство ?2о всех порядковых чисел, меньших первого
несчетного порядкового числа Q, локально бикомпактно, хаусдор-
фово, удовлетворяет первой аксиоме счетности, секвенциально ком-
компактно, но не бикомпактно.
Замечание. Предложение (в) принадлежит А р е н с у и
Дугунджи [1].
*) В последнее время теория упорядоченных топологических про-
пространств далеко продвинута в работах Мардешича и Папича
[1], Федорчука [1], Лиф а но в а [1] и др. (Прим. перев.)
ЗАДАЧИ 221
Е. Бикомпактность; пересечение бикомпактных
связных множеств
(а) Пусть Ж — такое семейство замкнутых бикомпактных мно-
множеств, что П {А : А ? 81} — подмножество открытого множества U.
Тогда для некоторого конечного подсемейства §f семейства Ж будет
(б) Если Ж—семейство бикомпактных подмножеств хаусдор-
фова пространства X, причем пересечение любого конечного числа
элементов 91 связно, то множество П {-Л: Л ?31} связно.
Ж- Упражнение на локальную бикомпактность
Если X— хаусдорфово пространство и Y — плотное в нем ло-
локально бикомпактное подпространство, то Y открыто в X.
3 Характеристика бикомпактности в терминах гнезд
Топологическое пространство X бикомпактно тогда и только
тогда, когда каждое гнездо его замкнутых непустых подмножеств
имеет непустое пересечение. (Напомним, что гнездом называется
семейство множеств, линейно упорядоченное по включению. Пусть
каждое гнездо замкнутых непустых множеств имеет непустое пере-
пересечение и 31— некоторое центрированное семейство замкнутых мно-
множеств. Обозначим через 33 какое-нибудь максимальное центриро-
центрированное семейство замкнутых множеств, содержащее %, и пусть
Ш — некоторое максимальное гнездо в 58 . Исследуя свойства S3 и
*Jt, мы приходим к доказательству. Совершенно другое доказатель-
доказательство можно дать, прибегнув к вполне упорядоченности, с помощью
процедуры, указанной в следующей задаче.)
И. Точки полного накопления (П. С. Александров)
Точка х называется точкой полного накопления подмножества Л
топологического пространства в том и лишь в том случае, когда
для каждой окрестности U точки х множества А и Af\U имеют
одинаковую мощность. Имеет место следующая теорема П. С. Алек-
Александрова*). Топологическое пространство бикомпактно тогда и толь-
только тогда, когда у каждого его бесконечного подмножества в этом
пространстве есть точка полного накопления. (Пусть X.— небиком-
небикомпактное пространство. Возьмем открытое покрытие Ж простран-
пространства X наименьшей возможной мощности с, не содержащее ника-
никакого конечного подпокрытия. Пусть С — некоторое вполне упорядо-
упорядоченное множество мощности с такое, что множество элементов,
предшествующих произвольному элементу этого множества, имеет
мощность, меньшую с. (В приложении показано, что таково мно-
множество с.) Пусть f — какое-нибудь взаимно однозначное отображе-
отображение множества С на множество St. Тогда, каков бы ни был эле-
элемент 6 ? С, объединение (J {f (а) : а<Ь} не покрывает простран-
пространства X; в действительности дополнение до этого объединения
должно иметь мощность, не меньшую с. Поэтому из каждого
*) Последняя фраза добавлена переводчиком.
222 ГЛ. 5. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
такого дополнения можно выбрать по точке хь так, чтобы было
хафхь при а<Ь. Рассмотрите множество всех хь.)
К. Пример: единичный квадрат в лексикографическом
упорядочении (П. С.Александров и Урысон [2])
Пусть X — декартово произведение замкнутого единичного ин-
интервала Q на себя, упорядоченное лексикографически (т, е. (а, 6)<
< (с, d) тогда и только тогда, когда а<с или а = с и b<d). Мно-
Множество X, наделенное топологией, индуцированной порядком, стано-
становится бикомпактным связным хаусдорфовым пространством. Оно
удовлетворяет первой аксиоме счетности, но не сепарабельно и, сле-
следовательно, не метризуемо.
Л. Примео (порядковые числа) на нормальность
и произведения
Произведение локально бикомпактного нормального хаусдор-
фова пространства и бикомпактного хаусдорфова пространства мо-
может не быть нормально. (Трудная часть доказательства уже изло-
изложена в задаче 4.Д; надо только показать, что Q' и по — бикомпакт-
бикомпактное и локально бикомпактное хаусдорфовы пространства соответ-
соответственно. Здесь Q' — множество порядковых чисел, меньших или
равных Я, и fio — его подмножество, состоящее из порядковых
чисел, меньших Q; оба они берутся в порядковой топологии.)
М. Трансфинитная прямая *)
Пусть А— вполне упорядоченное множество, [0,1)—полуинтер-
[0,1)—полуинтервал с обычной топологией, а произведение Лх[0,1) взято в лексико-
лексикографическом упорядочении и наделено порядковой топологией. Ис-
Исследуйте свойства этого пространства.
N. Пример: пространство Хелли
Пространство Хелли Н состоит из всех неубывающих функций,
определенных на замкнутом единичном интервале Q со значениями
в Q. Будучи подмножеством пространства произведения QQ, оно
наделяется топологией, индуцированной из этого произведения. Про-
Пространство Н обладает следующими свойствами:
(а) Я— бикомпактное хаусдорфово пространство. (Оно замкну-
замкнуто в Q«.) ¦
(б) В Н выполнена первая аксиома счетности; следовательно,
оно секвенциально компактно. (Множество точек разрыва каждой
функции из Н счетно. Это обстоятельство и тот факт, что Q — сепа-
рабельное пространство, следует применить при построении счетной
определяющей системы окрестностей произвольной точки h в про-
пространстве Я.)
(в) Н сепарабельно. (Счетное плотное в нем множество можно
построить, исходя из множества рациональных чисел.)
(г) Н не метризуемо. (Для каждого ( из Q определим ft(x)
как 0 при х<Л, 1 при x>t и положим ft(t) — -n-. Семейство А всех
*) Широко принят термин «прямая Александрова». [Прим, перге.)
ЗАДАЧИ 223
функций вида /( несчетно, и никакая точка множества А не является
предельной для А. В то же время каждое подпрострш1ство биком-
бикомпактного метрического пространства сепарабельно.)
О. Примеры на замкнутые отображения
и локальную бикомпактность
(а) Пусть X— пространство вещественных чисел с обычной
топологией, / — множество целых чисел и Ф — разбиение, элемен-
элементами которого являются множество / и все одноточечные множе-
множества {х}, где х ? Л\ /. Тогда проектирование пространства X на фак-
фактор-пространство замкнуто и непрерывно, но фактор-пространство
не локально бикомпактно и не удовлетворяет первой аксиоме счет-
ности.
(б) Пусть Qo — множество всех порядковых чисел, меньших Q,
с порядковой топологией, А—его замкнутое несчетное подмноже-
подмножество, дополнение к которому тоже несчетно, и © — разбиение, эле-
элементами которого являются А и все множества вида {х}, где
х?йо\Л. Тогда проектирование пространстпа й0 на фактор-про-
фактор-пространство непрерывно и замкнуто, причем фактор-пространство би-
бикомпактно, но первая аксиома счетности в нем не выполняется.
(Примените лемму о чередовании 4.Д.)
П. Канторовы пространства
Канторовым дисконтинуумом {канторовым множеством) назы-
называется множество всех точек замкнутого единичного интервала,
в троичном разложении которых отсутствует единица. (На протя-
протяжении всей формулировки этой задачи удобно пользоваться только
иррациональными троичными разложениями, не равными нулю
тождественно, начиная с некоторого момента. Каждое вещественное
число имеет единственное иррациональное разложение, как отмеча-
отмечалось в 0.14.) Вот простое описание канторова дисконтинуума. От-
Открытый интервал длины -у> лежащий посередине отрезка [0,1],—
о
это в точности множество тех чисел, в троичном разложении кото-
которых на первом месте после запятой стоит единица. Средняя треть
каждого из оставшихся отрезков состоит из точек, в троичном раз-
разложении которых единица стоит не на первом, а на втором месте.
Продолжая рассуждение, мы выясняем, что канторово множество
можно получить, последовательно выкидывая средние трети.
Пространство произведения 2А (т. е. множество всевозможных
отображений множества А в дискретное пространство, единствен-
единственными элементами которого являются 0 и 1, наделенное топологией
произведения) называется канторовым пространством*).
(а) Канторов дисконтинуум гомеоморфен пространству 2е0. (Про-
(Произвольному х из 2ю поставим в соответствие тот элемент f(x)
отрезка fO, 1], в троичном разложении которого на р-м месте
стоит 2х(р).)
*) В русской литературе принято название обобщенный канто-
канторов дисконтинуум. (Прим. перев.)
224 ГЛ. 5. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
(б) Каждая точка канторова множества является предельной
для него, а дополнение к дисконтинууму является открытым
всюду плотным подмножеством пространства вещественных чисел.
(в) Для любого замкнутого непустого подмножества А про-
пространства 2а существует непрерывное отображение г пространства
2м в А такое, что г(х)=х при всех х из А*). (Усмотреть доказа-
доказательство немного легче, если исходить из канторова дисконтинуума,
гомеоморфного пространству 2Ш.)
(г) Каждое бикомпактное хаусдорфово пространство является
непрерывным образом замкнутого подмножества некоторого канто-
канторова пространства (П. С. Александров [3]). (Пусть F — се-
семейство всех таких многозначных отображений множества {0; 1}
в X, что /@) U f A) = Х. f(xf)—замкнутое подмножество про-
пространства X для любого х из 2F и fdF. Пересечение П{/(•*/) -f(z^}
пусто или состоит ровно из одной точки; в последнем случае эта
точка принимается за <р(х). Можно проверить, что областью опре-
определения отображения <р является некоторое замкнутое подмноже-
подмножество пространства 2F. Для каждого подмножества U пространства X
имеем 4>~[[U] = {x: x принадлежит области определения <р и
Л {/(*/) :f?P}<=:U}.)
(д) Каждое бикомпактное метрическое пространство X являет-
является непрерывным образом канторова множества 2Ш (П. С. Але-
Александров [3]). (Вместо семейства F, определенного выше, можно
взять меньшее семейство, способное играть ту же роль. Пусть
Uo, . . ., Uп — база топологии пространства X; положим fn @) =
= пп, fn(\)=X\Un.)
(е) Каждое канторово пространство 2А удовлетворяет отрица-
отрицательной аксиоме счетности: каждое семейство его непересекаю-
непересекающихся открытых подмножеств счетно. (Пусть U — семейство не-
непересекающихся открытых подмножеств пространства 2Л. Можно
предположить, что элементы П принадлежат определяющей базе
топологии произведения. Таким образом, каждый элемент семей-
семейства U является пересечением конечного числа полупространств в
естественном смысле. Тогда для некоторого целого числа п найдется
бесконечное (в действительности даже несчетное) семейство непере-
непересекающихся подмножеств, каждый элемент которого является пере-
пересечением в точности п полупространств. Несложное рассуждение,
учитывающее тот факт, что подмножества семейства не пересе-
пересекаются, завершает доказательство.
Существует более короткое и более формальное доказательство
этого факта. Канторово пространство относительно покоординатного
сложения по модулю 2 образует бикомпактную топологическую
группу. Следовательно, на нем существует мера Хаара (см. Хал-
мош [1], стр. 254) Так как эта мера конечна и положительна на
открытых множествах, то ясно, что отрицательная аксиома счет-
счетности должна выполняться.)
*) Иначе говоря, А является ретрактом пространства 2м-
(Прим. перев.)
задачи 225
(ж) Не каждое бикомпактное хаусдорфово пространство яв-
является непрерывным обра?ом канторова множества. (Расширение
несчетного дискретного пространства до бикомпакта путем при-
присоединения одной точки не удовлетворяет отрицательной аксиоме
счетности.)
Замечание. Предложение (б) принадлежит Кантору, пред-
предложение (д) — П. С. Александрову, а утверждение (е) и (ж) полу-
получены Тьюки. Утверждение (ж) вытекает также из некоторых ре-
результатов Шпильрайна [1].
Замечание переводчика. Хаусдорфовы пространства,
являющиеся непрерывными образами канторовых пространств, вы-
выделены П. С. Александровым под названием диадических биком-
бикомпактов. В настоящее время им посвящена обширная литература,
включающая работы П. С. Александрова, В. И. Пономарева,
Б. А. Ефимова, Энгелькинга, Пелчинского и др. Необходимо упо-
упомянуть и более старые работы Н. А. Шанина и А. С. Есенина-
Вольпина, а также замечательную теорему, доказанную независимо
друг от друга Л. Н. Ивановским и В. И. Кузьминовым и утвер-
утверждающую, что пространство каждой бикомпактной топологической
группы является диадическим бикомпактом.
Р. Характеристика бикомпактного расширения
Стоуна—Чеха
Пусть (f, Y) — такое бикомпактное хаусдорфово расширений
топологического пространства X, что для каждой непрерывной ве-
вещественной функции g на X функцию g ° /"' можно непрерывно
продолжить на пространство У. Тогда расширение (f, У) топологи-
топологически эквивалентно расширению Стоуна—Чеха (е, $(Х)). (Взгля-
(Взгляните на определение fi(X))
С. Пример (порядковые числа) на бикомпактные расширения
Пусть Q' — множество всех порядковых чисел, меньших или
равных Я, и Qo = Q'\{Q}. Каждое из этих множеств наделим топо-
топологией, индуцированной порядком. Оказывается, что тогда биком-
бикомпактное расширение Стоуна — Чеха Р(Й0) гомеоморфно Q'. (Это
будет следовать из результата предшествующей задачи, если дока-
доказать, что каждая ограниченная вещественная непрерывная функ-
функция f на Qo начиная с некоторого момента постоянна *) в том
смысле, что существует x?Q0, для которого f(y)=f(x) при у>х.
Пусть / — ограниченная непрерывная вещественная функция на fi0
и r,s — вещественные числа, r>s. Лемма о чередовании 4.Д пока-
показывает, что хотя бы одно из множеств {х : f(x) !>r} и {х : f(x) <!s}
счетно. Пользуясь этим фактом, нетрудно доказать, что функция f
с некоторого момента постоянна. Предположение о том, что f —
ограниченная функция, в действительности несущественно.)
Замечание. Этот результат принадлежит Смирнову [1].
*) Хьюитт [1] применил это любопытное свойство простран-
пространства Qo при построении регулярного хаусдорфова пространства X,
на котором каждая непрерывная вещественная функция постоянна.
15 Дж. л. Келли
226 ГЛ. 5 БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Т. Бикомпактное расширение Уолмена
Пусть X — 7'1-прострамство, jy — семейство всех его замкнутых
подмножеств и w(X)—совокупность всех максимальных центриро-
центрированных подсемейств ЗС семейства %.
(а) Если 31 ? w(X), го пересечение любых двух элементов се-
семейства % снова является его элементом. Двойственное утвержде-
утверждение: если А и В принадлежат $ \ ?(, то и A U В принадлежит
Q-\ Ж (см. задачу 2. И).
(б) Для каждой точки х ? X положим ц;(х)={А : A ?i$ux?A}
Тогда ср — взаимно однозначное отображение пространства X в
множество w {X).
(в) Для каждого открытого в X множества U положим
U* = {31: 91 ? w (X) и Ac: U для некоторого А из %). Тогда
w (X) \ U* = {% : X \ 1/?Щ- Для любых открытых в Л' мно-
множеств U и V имеем (U fl V)* = U* П V* и (С/ (J К)* = ?У* U V*.
(г) Наделим w(X) топологией, базой которой служит семейство
всех множеств вида U*, где U — любое открытое в X множество.
Пространство w(X) бикомпактно, отображение q1 непрерывно*) и
ф(Х) всюду плотно в w(X) (Для доказательства бикомпактности
пространства w(X) рассмотрите центрированные системы дополне-
дополнений к элементам определенной нами базы.)
(д) Если пространство X нормально, то w(X) —хаусдорфово
пространство.
(е) Если / — ограниченная непрерывная вещественная функция
на X, то / о ф-' можно продолжить до непрерывной функции, опре-
определенной на всем w(X). (Если бы непрерывное продолжение было
невозможно, то можно было бы легко показать, что в пространстве
вещественных чисел существуют такие замкнутые непересекающиеся
подмножества R и S, что множества f~l[R] и /~Ч>>] не пересекаются,
но замыкания их образов при отображении ср пересекаются. Но
если А я В — замкнутые непересекающиеся подмножества про-
пространства X, то множества Щ-.А^Щ и {%:B(Z%} замкнуты в
w(X) и не пересекаются.)
(ж) Если w(X) —хаусдорфово пространство, то оно топологи-
топологически эквивалентно бикомпактному расширению Стоуна — Чеха про-
пространства X (см. 5.Р).
Замечания. Принципиальное значение расширения Уолмена
(У о л м е н [1]) состоит в том, что соответствие U->U* сохраняет
конечные пересечения и объединения. Далее, при этом соответствии
топология на X переходит в базу топологии w(X), а отсюда сле-
следует, что размерности пространств X и w(X) совпадают и что
группы гомологии Александрова — Чеха**) пространств X и w(X)
*) Важно, что не только ф непрерывно, но непрерывно и ф~';
таким образом, ф — «гомеоморфизм в». (Прим. перев.)
**) Эти группы называются еще группами спектральных гомо-
гомологии. Они основаны на фундаментальном понятии нерва, введенном
П. С. Александровым, и для компактов были впервые определены
Александровым. Чех перенес их на общие топологические простран-
пространства. (Автор несправедливо называет эти группы группами гомоло-
гомологии Чеха.) (Прим. перев.)
ЗАДАЧИ 227
изоморфны. См. работу Самюэля [1] по поводу одного построе-
построения, связанного с этой конструкцией *).
У. Булевы кольца: теорема М. Стоуна о представлении
Пусть (R, +, •)—булево кольцо (см. 2.Л) и S' — множество
всех кольцевых гомоморфизмов кольца R в h (фактор целых чи-
чисел по mod 2). Положим S = S'\{0}, где 0 обозначает тривиальный
гомоморфизм всего кольца R в нуль. Множество S' является под-
подмножеством произведения !§¦
Стоуновским пространством кольца R называется множество 5,
наделенное топологией, индуцированной из произведения G2 бе-
берется с дискретной топологией).
Булевым пространством называется хаусдорфово пространство,
в котором семейство всех множеств, одновременно открытых и би-
бикомпактных, образует базу. Каждое булево пространство автомати-
автоматически локально бикомпактно. Характеристическое кольцо булева
пространства — это кольцо всех его непрерывных отображений f
в /2, для которых множество f~'[l] бикомпактно (таким образом,
речь идет обо всех функциях со значениями в /г, обращающихся
в нуль вне некоторого бикомпактного множества, — иногда такие
функции называют функциями с бикомпактным носителем).
(а) Стоуновское пространство булева кольца R является буле-
булевым пространством; оно бикомпактно, коль скоро в R есть единица.
(В этом случае S = {h :h?S' и йA) = 1}.)
(б) Теорема Вейерштрасса — Стоуна по mod 2.
Пусть 3- — характеристическое кольцо булева пространства X и
0 —надкольцо кольца 5, обладающее свойством двух точек (это
означает, что для любых различных х и у из X и любых а, Ь из Is
существует g в 65 такое, что g{x)=a и g(y)=b). Тогда Of = ©.
(Если X бикомпактно, то ?5 обладает свойством двух точек
всегда, когда 1 ? & и ® различает точки в том смысле, что для
любых двух разных точек х, у пространства X существует та-
такое g ?ffi, что g(x) ф g(y). В основе доказательства утвержде-
утверждения (б) лежит стандартное, хотя и вполне содержательное, рас-
рассуждение о бикомпактности. Можно было бы начать с доказатель-
доказательства того, что, каковы бы ни были бикомпактное подмножество У
пространства X и точка x?X\Y, существует функция g в 65, рав-
равная нулю в х я равная единице на Y.)
(в) Теорема о представлении. Каждое булево кольцо
изоморфно (посредством отображения вычисления) характеристиче-
характеристическому кольцу своего стоуновского пространства. (Произвольному
элементу г кольца R соответствует вычисление в г — определенная
на пространстве S функция е(г), значение которой в произвольной
*) Интересный аналог расширения Уолмена построен Поно-
Пономаревым [1] под названием пространства и>к(Х), отличающегося
от w(X) тем, что точками wи (X) являются максимальные центриро-
центрированные системы | = {Са} канонических замкнутых множеств Са—Са
пространства X. Ряд любопытных свойств пространства wn(X) уста-
установил Зайцев [1]. (Прим. перев.)
228 ГЛ. 5. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
точке s?S равно s(r). Эта теорема основывается на теореме о
существовании достаточного числа гомоморфизмов (см. 2.Л) и на
предшествующем утверждении (б).)
(г) Если X — булево пространство, %—его характеристическое
кольцо и 3 — максимальный собственный идеал в 5, то
3 ={f ¦ {(х) —0} для некоторой точки х из X. (Покажите прежде
всего, что если не существует точки, в которой обращаются в нуль
все элементы из Q>- то $ = <?•)
(д) Двойственная теорема о представлении.
Каждое булево пространство X гомеоморфно (посредством отобра-
отображения вычисления) стоуновскому пространству своего характери-
характеристического кольца. (Произвольный максимальный идеал есть мно-
множество нулей однозначно соответствующего ему гомоморфизма в h.
причем каждое такое множество нулей является максимальным
идеалом. Предшествующее утверждение (г), по существу, означает,
что вычисление отображает X на все стоуновское пространство.)
Замечания. Сформулированные выше результаты принад-
принадлежат М. Стоуну [1].
У процесса представления булева пространства есть любопыт-
любопытная разновидность. Пусть X — булево пространство и ?s—кольцо
всех его непрерывных отображении в пространство /г. (Мы не тре-
требуем теперь, чтобы множество /~'[1] было бикомпактно.) Отображе-
Отображение вычисления пространства X в стоуновское пространство S коль-
кольца §f снова оказывается гомеоморфизмом, но S уже бикомпактно и
в действительности гомеоморфно Р(^)—расширению Стоуна —
Чеха пространства X. Мы опускаем доказательство этого факта,
равно как и доказательства характеристик идеалов и подколец бу-
булева кольца в терминах стоуповских пространств.
Наконец, наш подход ко всей этой проблематике дает возмож-
возможность построить по той же схеме рассуждение об алгебре всех не-
непрерывных вещественных функций /, определенных на произволь-
произвольном локально бикомпактном хаусдорфовом пространстве X, таких,
что для любого е>0 множество {х : \j(x)\ !>е} бикомпактно. Самым
трудным шагом в этом рассуждении является доказательство тео-
теоремы Вейерштрасса — Стоуна G.Р), с которой в миниатюре мы
познакомились в утверждении (б). Оказывается также, что если
X — тихоновское пространство, то пространство всех вещественных
гомоморфизмов алгебры О1раниченных непрерывных функций, опре-
определенных на X, гомеоморфно |3(Х), — ситуация здесь очень напоми-
напоминает положение вещей, описанное в предыдущем абзаце.
Ф. Связные бикомпактные пространства
(рассуждения с цепочками)
Пусть (X, й) — бикомпактное псевдометрическое пространство
и е — произвольное положительное число. Назовем е-цепью от точ-
точки х пространства X до точки у?Х любую конечную последова-
последовательность точек, первым элементом которой служит х, последним у
и расстояние между любыми двумя последовательными элементами
которой меньше е. Для каждого подмножества А пространства X
рассматривается множество Се(А), состоящее из всех точек, соеди-
соединимых е-цепью хотя бы с одной точкой множества А. Множе-
задачи 229
ство С(А) определяется как f\{Ce(A) : e>Q}. Эквивалентно этому
такое определение. Положим V0(A)=A, V\(A) ={x : dist (x, A)<e] и
по индукции Vn^(A) = Vt(Vn(A)). Тогда Се(А) = !J {Vn(A) : n ? со}.
(а) Множество С,,(А) для каждого А и е>0 открыто и
замкнуто.
(б) Если А—связное подмножество пространства X, то и мно-
множество С (А) связно. Отсюда следует, что С({х}) для каждой точ-
точки х совпадает с ее компонентой Сх в пространстве X. (Пусть С (А)
является объединением замкнутых непересекающихся множеств В
и D; взяв f = [dist(B, D)]/3 и воспользовавшись утверждением 5.Ж,
покажите, что Ce(A)cz{x : dist(x, B\JD) <f} для некоторого положи-
положительного е.)
(в) Для любого подмножества А пространства X имеем
С(А)= U{Cx:x?A}. (Если х(?С(А), то х фСе (А) при некотором
положительном е.)
(г) Разбиение пространства X на компоненты непрерывно
(П. С. Александров [3]).
(д) *) Пусть X — связное пространство и U — его открытое
подмножество. Тогда замыкание произвольной компоненты множе-
множества U пересекает множество X\U. (Пусть это не так для неко-
некоторой компоненты Р множества U, и пусть х ? Р. Тогда Р замкнуто
в X и лежит целиком в U; поэтому найдется бикомпактная окрест-
окрестность V множества Р в X, содержащаяся в U. Компонента точки х
в пространстве V содержится в Р и потому лежит во внутренно-
внутренности V0 множества V. Так как KW0 бикомпактно, то некоторая
е-компонента точки х в V не пересекается с VW0 и потому ее пе-
пересечение с множеством V является (непустым) открыто-замкнутым
в X множеством.)
(е) *) Никакое замкнутое связное неодноточечное подмножество
пространства X не является объединением счетного семейства по-
попарно непересекающихся замкнутых подмножеств. (Основную роль
в доказательстве этого факта играет утверждение (д). Пусть мно-
множество U {Л и : га (: со} замкнуто и связно и все множества Ап
замкнуты и попарно не пересекаются; возьмем в качестве U допол-
дополнение к некоторой замкнутой окрестности множества Ль не пепе-
секающейся с А2. Тогда замыкание в X компоненты точки х?А2
в U является замкнутым связным множеством, не пересекающимся
с Л, и содержащим точки как из множества А2, так и из множе-
множества ЛЛ А2.)
(ж) Пусть X — подмножество {(х, у) : х2у2=1} евклидовой пло-
плоскости, наделенное обычной метрикой. Пространство X локально
бикомпактно, и любые две его точки можно соединить е-цепью при
любом е>0; однако X не связно.
Замечания. Результаты этого раздела очень естественно
распространяются на любые бикомпакты (бикомпактные хаусдор-
фовы пространства). Теорема 5.27 об однообразии покрытий дает
необходимое средство для этого.
*) Здесь оригинальное изложение несколько туманно. Оно раз-
развернуто мной. (Прим. перев.)
230 ГЛ. 5. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Чтобы читатель не предавался излишнему оптимизму относи-
относительно свойств связных множеств, мы отсылаем его к классиче-
классическому примеру Кнастера и Куратовского [1]. Существует
связное подпространство X евклидовой плоскости и в нем точка х
такие, что в Х\ {х} нет нетривиальных связных подмножеств.
X. Звездно нормальные пространства
Пусть П— некоторое семейство подмножеств множества X и
х — точка из X. Звездой точки х относительно U называется объ-
объединение всех элементов семейства U, содержащих точку х. По-
Покрытие SB называется звездным измельчением покрытия U *) тогда
и только тогда, когда семейство звезд всевозможных точек множе-
множества X относительно 58 вписано в п. Топологическое пространство
звездно нормально в том и лишь в том случае, когда каждое его
открытое покрытие допускает открытое звездное измельчение. За-
Замечательная теорема А. Стоуна [1] гласит, что регулярное топо-
топологическое пространство звездно нормально тогда и только тогда,
когда оно паракомпактно. (Если X паракомпактгго, то свойство
однообразности покрытия вместе с утверждением 5.30 позволяет
легко доказать звездную нормальность. С другой стороны, если
пространство X звездно нормально, II — любое его открытое по-
покрытие и 58— открытое покрытие, звездно вписанное в U, то
U{VXl^: V (;5?} — искомая окрестность диагонали.)
Замечание. Определение звездной нормальности принадле-
принадлежит Тьюки [1], установившему много полезных свойств звездно
нормальных пространств.
Ц. Точечно конечные покрытия и слабо
паракомпактные пространства
Семейство подмножеств множества X называется точечно ко-
конечным тогда и только тогда, когда в X не существует точки, при-
принадлежащей бесконечному множеству элементов этого семейства.
Топологическое пространство слабо паракомпактно в том и лишь
в том случае, когда в каждое его открытое покрытие можно впи-
вписать открытое точечно конечное покрытие.
(а) Пусть U — произвольное точечно конечное открытое покры-
покрытие нормального пространства X. Тогда для каждого U ? И можно
выбрать открытое множество G(U) так, что G(U)dU и семейство
всех G(U) покрывает X. (Возьмите максимальный элемент в классе
всех функций F, удовлетворяющих следующим условиям: областью
определения F служит некоторое подсемейство семейства П, F(U)
для любого U из области определения F — открытое множество,
лежащее в U вместе с замыканием, и [i{F(U) : U ? области опре-
определения функции F}[) U{V: V?H« V(? области определения F} = X.
Точечная конечность семейства U гарантирует существование мак-
максимального F.)
*) У нас пишут в этом случае также, что 58 звездно вписано
в U . (Прим. перев.)
ЗАДАЧИ 231
(б) В каждом точечно конечном покрытии множества содер-
содержится минимальное подпокрытие (т. е. такое подпокрытие, никакое
собственное подсемейство которого не является покрытием).
(в) Для слабо паракомпактных ^-пространств счетная ком-
компактность (см. 5. Д) эквивалентна бикомпактности.
Замечание. Предложения (б) и (в) взяты непосредственно
из работы А р е н с а и Дугунджи [1].
Ч. Разбиение единицы
Разбиением единицы на топологическом пространстве X назы-
называется семейство F непрерывных отображений пространства X в
множество иеотрица rtльных вещественных чисел, удовлетворяющее
двум условиям: 1) ^{j (x) : f (^F) =1 для каждой точки х<~Х\
2) все функции из семейства F, за исключением конечного числа,
обращаются в нуль вне некоторой окрестности каждой точки про-
пространства X. Говорят, что разбиение F единицы подчинено по-
покрытию IX пространства X, тогда и только тогда, когда каждая
функция из семейства F равна нулю вне некоторого элемента покры-
покрытия U. Имеет место следующее утверждение: для каждого локаль-
локально конечного открытого покрытия И нормального пространства су-
существует разбиение единицы, подчиненное U. Можно доказать не-
несколько более сильный результат: пусть U — локально конечное
открытое покрытие нормального пространства: тогда для каждого
U из U можно построить неотрицательную непрерывную функ-
функцию [г.-, равную нулю вне U и везде меньшую или равную единицы,
так, чтобы было 2 [!ц (х)'¦ U(:Щ = 1 Для всех х- (См. 5. Ц, (а).)
Замечание. Насколько мне известно, в близких формули-
формулировках этот результат был независимо доказан Гуревичем, Бохне-
ром и Дьедонне.
Ш. Теорема о промежуточной функции
для полунепрерывных функций
Пусть g и h — вещественные функции на паракомпактном про-
пространстве X, полунепрерывные соответственно снизу и сверху, и
пусть h(x)<g(x) для всех х из X. Тогда существует такая непре-
непрерывная вещественная функция р на X, что h(x) <.p(x)<.g(x) при
каждом х. (Рассмотрим семейство U открытых подмножеств U
пространства X, на которых наименьшая верхняя грань функции h
меньше, чем наибольшая нижняя грань функции g. Пусть F—ка-
F—какое-нибудь разбиение единицы, подчиненное U. Для каждого f из F
выберем kf так, чтобы из f(x) фй следовало, что h(x)<kj<g(x), и
положим р (х) = ^ {kf f(x) '¦ f?F}- Значение функции р в точке
х — среднее значение чисел, заключенных между h(x) и g(x).)
Замечание. Полученный выше результат можно улучшить.
Следует начать с отыскания счетного покрытия, вписанного в се-
семейство U. Ясно, что заключение остается справедливым и для
всех счетно паракомпактных пространств (т. е. таких пространств,
в любое счетное открытое покрытие которых можно вписать ло-
локально конечное покрытие). Верно обратное к усиленному та-
таким образом утверждению. Д а у к е р [2] доказал эквивалентность
232 ГЛ. 5. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
следующих условий: 1) пространство X счегно паракомпактно и нор-
нормально; 2) произведение X и замкнутого единичного интервала нор-
нормально; 3) утверждение, сформулированное выше. Даукер показал
также, что каждое совершенно нормальное пространство (т. е. нор-
нормальное пространство, в котором каждое замкнутое множество есть
GjJ счетно паракомпактно. Неизвестно, каждое ли нормальное хаус-
дорфово пространство счетно паракомпактно*).
Щ. Паракомпактные пространства
(а) Каждое регулярное линделёфово пространство параком-
паракомпактно.
(б) Топологическое пространство называется а-бикомпактным
тогда и только тогда, когда оно является объединением счетного
семейства бикомпактных подмножеств. Каждое 0-бикомпактное про-
пространство линделёфово.
(в) Если регулярное пространство является объединением ди-
дискретного семейства своих открытых линделёфовых подпространств,
то оно паракомпактно. Следовательно, каждая локально бикомпакт-
бикомпактная группа паракомпактна. (Рассмотрите семейство классов смеж-
смежности по наименьшей подгруппе, содержащей какую-либо фиксиро-
фиксированную бикомпактную окрестность единицы.)
(г) Пространство полуоткрытых интервалов (стрелка, см. 1.Л и
4. И) регулярно и линделёфово; следовательно, оно паракомпактно.
Декартово произведение этого пространства на себя не нормально
и, следовательно, не паракомпактно (и не линделёфово).
(д) Множество порядковых чисел, меньших первого несчетного
порядкового числа, не паракомпактно в порядковой топологии.
(Рассмотрите покрытие, состоящее из всех множеств вида {х : x<ia).
Верхняя грань каждого элемента произвольного покрытия, вписан-
вписанного в это покрытие, меньше Q.)
Замечания. Утверждение (а) принадлежит Морит а [1].
Дальнейшие результаты, касающиеся паракомпактности (^-тео-
(^-теорема, произведения и т. п.), содержатся в работе Майкла [2]**).
Б инг [11 изучил условие типа нормальности***), промежуточное
по отношению к нормальности и паракомпактности. В связи с этим
отметим, что достойное внимания свойство типа нормальности, при-
присущее паракомпактным пространствам, устанавливается в лем-
лемме 5.31.
*) Эта задача Даукера оказалась очень трудной: несмотря на
ряд усилий, она не решена до сих пор. (Прим. перев.)
**) См. также работы Пономарева [6], Майкла [3], [4],
Архангельского [2], [5]. (Прим. перев.)
***) Речь идет о коллективной нормальности. (Прим. перев.)
Глава 6
РАВНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Есть несколько.свойств метрических пространств, не
являющихся топологическими, но тесно связанных с та-
таковыми. Мы дадим сейчас примеры такого рода связей,
отложив определения и доказательства. Свойство быть
последовательностью Коши не является топологическим
инвариантом: например, отображение f(x) = —, пред-
представляющее собой гомеоморфизм пространства положи-
положительных вещественных чисел на себя, переводит после-
последовательность Коши < . • я^оо I в последователь-
последовательность {п + \: п? к»}, не удовлетворяющую условию Коши.
Однако, отправляясь от утверждений о последователь-
последовательностях Коши, можно получать топологические резуль-
результаты. Например, подмножество А пространства всех
вещественных чисел замкнуто в том и только в том слу-
случае, когда каждая последовательность Коши в А схо-
сходится к некоторой точке из А. Верны в некотором смысле
обратные утверждения. Так, каждая непрерывная на би-
бикомпактном метрическом пространстве функция равно-
равномерно непрерывна. Здесь из топологической предпосылки
(пространство бикомпактно) мы выводим нетопологиче-
нетопологическое заключение (что функция равномерно непрерывна).
Данная глава посвящена изучению квазитопологиче-
квазитопологических вопросов описанного типа.
При изучении равномерных свойств применяется спе-
специальная математическая конструкция — равномерное
пространство. Краткое обсуждение поможет понять, как
работает это понятие, принадлежащее А. Вейлю [1].
Последовательность {л:,,, п ? со} точек в псевдометри-
псевдометрическом пространстве (X, d) называется последователь-
234 ГЛ. 6. РАВНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ностью Коши тогда и только тогда, когда d(xm, хп)
стремится к нулю с ростом т и п. В случае произволь-
произвольного топологического пространства это понятие не имеет
смысла: чтобы говорить о последовательностях Коши,
надо знать, для каких пар расстояние а\х, у) мало.
Точно сформулировать условие Коши можно так: поло-
положим Vd} r—{(x, у) :d(x, у) <г}\ тогда {хп, ге?со} яв-
является последовательностью Коши в том и только в том
случае, когда (хт, хп) принадлежит \'d. ,- при доста-
достаточно больших тип для каждого положительного г.
Определение равномерной непрерывности тоже можно
дать в терминах семейства всех множеств вида Vd,,- Мы
приходим, таким образом, к рассмотрению множества X
и специального семейства подмножеств произведения
XXX.
Если X — топологическая группа, го последователь-
последовательность {хп, п ? со} можно назвать последовательностью
Коши тогда и только тогда, когда элемент хтхп лежит
вблизи единицы е рассматриваемой группы при доста-
достаточно больших т и п. Чтобы это описание стало опре-
определением, опять-таки нужна информация о парах точек.
Мы должны знать, для каких пар {х, у) элемент ху~х
лежит вблизи единицы е. Для каждой окрестности U
элемента е положим Vu = {(x, у) : хгг1 6 ?/}. Ясно тогда,
что семейство всех множеств вида Vu позволяет опреде-
определить последовательности Коши.
Равномерное пространство определяется как множе-
множество X вместе с некоторым семейством подмножеств
произведения XXX, удовлетворяющим определенным
естественным условиям. Последние получаются при аб-
абстрагировании от обоих рассмотренных выше примеров.
Следует, однако, подчеркнуть, что предлагаемая аксио-
аксиоматизация равномерных пространств отнюдь не един-
единственно возможная. Можно было бы изучать множе-
множество X вместе с некоторым семейством псевдометрик на
нем, на которое наложен ряд ограничений; можно так-
также было бы выделить семейство покрытий множества X,
называемых равномерными (грубо говоря, равномерных
в смысле леммы Лебега о покрытии 5.26). Можно рас-
рассматривать также «метрики» со значениями в структу-
структурах более общих, чем структура вещественных чисел.
РАВНОМЕРНОСТЬ И РАВНОМЕРНАЯ ТОПОЛОГИЯ 235
Возникающие при этом конструкции, по существу, экви-
эквивалентны, как указано в задачах в конце этой главы.
Наконец, следует сказать, что существуют свойства
типа равномерности метрических пространств, по-види-
по-видимому, не распространяющиеся на менее ограничитель-
ограничительные ситуации. Последний параграф посвящен изучению
некоторых таких свойств.
РАВНОМЕРНОСТЬ И РАВНОМЕРНАЯ ТОПОЛОГИЯ
Нам предстоит рассматривать подмножества декар-
декартова произведения ХхХ некоторого множества X на
себя. Эти подмножества являются отношениями в смысле
главы 0, поэтому для удобства мы напомним некоторые
из относящихся сюда определений и результатов, уже
встречавшихся нам ранее. Отношение — это множество,
элементами которого являются упорядоченные пары.
Если U — отношение, то обратное к нему отношение U'1
определяется как множество всех пар (х, у) таких, что
(у, х) С U. Операция перехода к обратному инволютив-
на в том смысле, что (t/-1)^1 всегда есть U. Если U=U~l,
то U называется симметричным отношением. Компози-
Композиция U о V отношений U и V определяется как множество
всех пар (х, г), для которых при некотором у (х, у) ? V
и (у, z) € U. Операция композиции ассоциативна, т. е.
U о (V °W) = (U oV) oW; всегда (U о V)-i = y-i o U~K Мно-
Множество всех пар (х, х), где х?Х, называется тожде-
тождественным отношением, или диагональю, и обозначается
через А(Х) или Л. Для произвольного подмножества А
из X множество U[A] определяется как {у : (х, у) 6 U для
некоторого х из А}; при этом, если х — точка множества
X, то полагаем U[x] = U[{x}]. Для любых U, V и А вы-
выполняется равенство U ° V[/4] = ?/[V[/l]]. Наконец, нам по-
понадобится простая лемма.
1. Лемма. Если отношение V симметрично, то
VoUoV=U{V[x]xV[y]: (x, у) ? U).
Доказательство. Имеем: V°UoV — множество
всех пар (и, и) таких, что (и, х) ? V, (х, у) € ?/ и (у, и) 6 V
для некоторых хну. Так как V симметрично, то это —
в точности множество тех (и, v), для которых u?V[x]
и у € V[y] при некотором (х, у) из U. Но и 6 V[x] и
236 ГЛ. 6. РАВНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
v € V[y] тогда и только тогда, когда (и, v) ?V[x]XV[y];
следовательно, V ° U °V = {(u,v):(u,v) €V[x]xV[y] для
некоторого (х, у) из ?/}= U {V[x]x V[y] : (х, у) 6 Щ.
Равномерность на множестве X — это непустое се-
семейство U подмножеств множества XXX, удовлетво-
удовлетворяющее условиям:
(а) каждый элемент семейства И содержит диаго-
диагональ Л;
(б) если ?/?11, то и~1?\\;
(в) если U ?11, то V °VczU для некоторого V из U;
(г) если U и V входят в II, то и U f[V ?\\;
(д) если ?/?П и UczVczXXX, то К ? П.
Пара (X, Ц) называется равномерным простран-
пространством.
Нетрудно угадать метрические прототипы выписан-
выписанных выше условий. Первое возникло из требования
d(x, x) = 0, второе обобщает условие симметрии d(x, у) =
= d(y, х). Третье — разновидность условия треуголь-
треугольника; грубо говоря, оно отражает требование, чтобы для
каждого r-шара нашелся шар вдвое меньшего радиуса.
Четвертое и пятое условия сходны с аксиомами системы
окрестностей точки; они помогут нам установить соот-
соответствующие свойства системы окрестностей в тополо-
топологии, которую мы сейчас определим.
На множестве X могут существовать разные равно-
равномерности. Наибольшую из них образует семейство всех
подмножеств множества ХхХ, содержащих диагональ;
наименьшую равномерность на X образует семейство,
единственным элементом которого является XXX. На
множестве X вещественных чисел обычная равномер-
равномерность определяется как семейство U всех таких подмно-
подмножеств U произведения ХхХ, что {(х,у):\х—y\<r}czU
для некоторого положительного числа г. Каждый эле-
элемент этого семейства И является окрестностью диаго-
диагонали А (прямой, уравнение которой у=х); но следует
подчеркнуть, что не каждая окрестность диагонали при-
принадлежит семейству U. Например, множество-! (х, у): | х—
— у [ < . . —j [является окрестностью диагонали А, но
оно не входит в U.
РАВНОМЕРНОСТЬ И РАВНОМЕРНАЯ ТОПОЛОГИЯ 237
Вообще говоря, объединение и пересечение двух рав-
номерностей на X может не быть равномерностью. Од-
Однако объединение произвольного семейства равномерно-
стей весьма естественным образом порождает некоторую
равномерность. Подсемейство 33 равномерности И на-
называется ее базой тогда и только тогда, когда каждый
элемент семейства U содержит некоторый элемент се-
семейства 23. Если 33— база равномерности U, то послед-
последняя полностью определяется семейством 33: подмноже-
подмножество U произведения XX X входит в U в том и только
в том случае, когда U содержит некоторый элемент се-
семейства 23. Подсемейство <Э называется предбазой рав-
равномерности U тогда и только тогда, когда конечные
пересечения элементов ® образуют базу U. Эти опреде-
определения вполне аналогичны определениям базы и пред-
базы топологии.
2. Теорема. Семейство 33 подмножеств произведе-
произведения XXX является базой некоторой равномерности на X
в том и только в том случае, когда одновременно выпол-
выполняются условия:
(а) каждый элемент семейства 33 содержит диаго-
диагональ Д;
(б) если ?/?33, то ?/-1 содержит некоторый элемент
семейства 33;
(в) если ?/?23, то V°VaU для некоторого V из 23;
(г) пересечение любых двух элементов семейства 33
содержит некоторый элемент этого семейства.
Доказательство этого утверждения ввиду тривиаль-
тривиальности опускается.
Семейства, являющиеся предбазами равномерностей,
охарактеризовать труднее. Для наших целей достаточен
следующий простой результат.
3. Теорема. Для того чтобы семейство & подмно-
подмножеств множества XXX было предбазой некоторой рав-
равномерности на X, достаточно, чтобы одновременно ьы-
полнялись следующие условия:
(а) каждый элемент семейства <5 содержит диаго-
диагональ Д;
(б) для каждого ?/?6 множество U'1 содержит не-
некоторый элемент семейства S;
238 гл. 6. равномерные пространства
(в) для каждого U ?® существует V^te такое, что
V °VaU.
В частности, объединение любого семейства равно-
мерностей на X является предбазой некоторой равно-
равномерности на X.
Доказательство. Нужно показать, что семей-
семейство S всевозможных конечных пересечений элементов
семейства ® удовлетворяет условиям утверждения 6.2.
Это легко вытекает из следующего замечания: если
Uu . . . , Un и Vu . .. , Vn — подмножества множества
U= n{Uf. j=l, ..., п) и V= Г\{У{, t = l, . .., п},
}
то VaU-t (соответственно, V°VaU), коль скоро VidUT
(соответственно, V{ °VidUi) при каждом I.
Пусть (X, U)—равномерное пространство; тополо-
топологией 3, соответствующей равномерности И , или равно-
равномерной топологией, называется семейство всех таких
подмножеств Т пространства X, что, какова бы ни была
точка х ? Т, существует ?/? II, для которого U[x]aT.
(Это точное обобщение определения топологии, порож-
порожденной метрикой: метрическая топология состоит из всех
множеств, содержащих каждую свою точку вместе с не-
некоторым шаром вокруг нее.) Следует проверить, что 3
действительно является топологией. Это не представляет
никакого труда: в силу определения объединение эле-
элементов 3 непременно является элементом 3- Если Г и 5
входят в 3 и а- ( Г П S, то существуют U и V в U такие,
что U[x]dT и V[x]aS; тогда (U ПУ)[х]аТ (]S. Следова-
Следовательно, Т П 5 ? 3> и 3 является топологией.
Чтобы изучить взаимоотношения между равномерно-
равномерностью и соответствующей ей равномерной топологией,
рассмотрим несколько теорем.
4. Теорема. Внутренность подмножества А про-
пространства X, наделенного равномерной топологией, со-
состоит из всех точек х таких, что U[x]aA для некото-
некоторого U из U.
Доказательство. Достаточно доказать, что мно-
множество В = {х: U[x]dA для некоторого U из U } открыто
в равномерной топологии, ибо В, очевидно, содержит
каждое открытое подмножество множества А. Пусть
х?.В\ тогда существует ?/?11, для которого U[x]aA.
В U есть элемент V такой, что V. »Ус(/, Если у € V[x],
РАВНОМЕРНОСТЬ И РАВНОМЕРНАЯ ТОПОЛОГИЯ 239
то V[(/]czV ° V[x]dU[x]dA, откуда следует, что yd В.
Значит, V[x]cB, т. е. В — открытое множество.
Из теоремы 4 немедленно следует, что U[x] — окре-
окрестность точки х для любого элемента U равномерно-
равномерности U. Следовательно, семейство всех множеств вида
U[x], где U6 U, является базой топологии в точке х.
(Это семейство на самом деле совпадает с системой
всех окрестностей точки х, но последнее не очень важ-
важно.) Теперь ясно следующее утверждение.
5. Теорема. Если 23— база (или предбаза) неко-
некоторой равномерности U, то для каждой точки х семей-
семейство всех множеств U[x], где U ? 23, образует базу (соот-
(соответственно предбазу) топологии в точке х.
Равномерной топологии на множестве X соответ-
соответствует топология произведения на XXX. Как естествен-
естественно было ожидать, элементы равномерности имеют спе-
специальное строение относительно этой топологии.
6. Теорема. Если U — элемент равномерности U,
то внутренность множества U тоже принадлежит П. Сле-
Следовательно, семейство всех открытых симметричных эле-
элементов равномерности U является ее базой.
Доказательство. Внутренность подмножества М
произведения ХхХ состоит из всех таких (х, у), что
для некоторых U и V из U будет U[x]XV[y]aM. Так как
Uf\V(zVL, то внутренностью М является множество
{(х, у) : V[x)xV\y]dM для некоторого V из It}. Для лю-
любого ?/?U в 11 существует симметричный элемент V та-
такой, что V °V °VaU. В соответствии с леммой 6.1
V о V о V= U {V[x]X V[y] : (х, у) € V}. Значит, каждая точ-
точка множества V является внутренней точкой множе-
множества ?/; а раз V принадлежит внутренности множества U,
то последняя сама входит в U.
В силу предшествующей теоремы каждый элемент
равномерности является окрестностью диагонали. Сле-
Следует подчеркнуть, что обратное к этому утверждению
неверно. На X может существовать много разных равно-
мерностей, порождающих одну и ту же топологию, —
семейства окрестностей диагонали в этом случае совпа-
совпадают.
7. Теорема. Замыкание произвольного подмноже-
подмножества А пространства X в равномерной топологии есть
240 ГЛ. 6. РАВНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
П [U[A] : U ? U}. Замыкание подмножества М произведе-
произведения XXX есть n{UeM°U; ?У?11}.
Доказательство. Точка х принадлежит замы-
замыканию подмножества А пространства X тогда и только
тогда, когда U[x] пересекает А при каждом U из II. Но
U[x] пересекает А в том и лишь в том случае, когда
х? и~ЧА]; так как каждый элемент семейства И содер-
содержит некоторый симметричный элемент этого семейства,
то х?Л в том и лишь'в том случае, когда х ? U[A] при
каждом U из П. Первое утверждение этим доказано.
Аналогично, если U—симметричный элемент семей-
семейства U, то l)[x\y,U[y] пересекает подмножество М произ-
произведения XXX тогда и только тогда, когда (х, у) ? 0[и]Х
XU[v] для некоторого (и, v) из М, т. е. когда (х, у) (;
? U{U[u]XU[v] ; (и, v) ? М}. Так как в силу леммы 6.1
последнее множество совпадает с UoM°U, то отсюда
следует, что условие (х, у) ? М равносильно условию
(х, у) 6 (]{U oMoU : ^€11}.
8. Теорема. Семейство всех замкнутых симметрич-
симметричных элементов равномерности 11 является ее базой.
Доказательство. Если ?/?U и V — такой эле-
элемент семейства U, что V ° V о VaU, то V ° V о V содержит
замыкание множества V в силу предыдущей теоремы.
Значит, U содержит замкнутый элемент W равномер-
равномерности И; тогда WHW — искомый замкнутый симмет-
симметричный элемент.
Вскоре мы покажем, что каждое равномерное про-
пространство (точнее, каждое пространство с равномерной
топологией) вполне регулярно. Пока же ясно, что каж-
каждое такое пространство регулярно, ибо произвольная
окрестность точки х содержит некоторую окрестность
вида V[x], где V — замкнутый элемент семейства U; в
этом случае множество V[x] замкнуто. Следовательно,
пространство с равномерной топологией хаусдорфово то-
тогда и только тогда, когда каждое его одноточечное под-
подмножество замкнуто. Так как замыкание множества {х}
есть П{?/[х]: U € It}, то пространство с равномерной то-
топологией хаусдорфово тогда и только тогда, когда мно-
множество Г\{0 : Uf 11} совпадает с диагональю Д. Если
последнее условие выполнено, то (X, 11) называется
РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ 241
хаусдорфовым, или отделимым, равномерным простран-
пространством.
РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ;
ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАВНОМЕРНОСТЕЙ
Пусть / — отображение равномерного пространства
(X, \\) в равномерное пространство (У, 23). Говорят,
что / равномерно непрерывно относительно U и 23, то-
тогда и только тогда, когда для каждого V из 23 множе-
множество {(х, у) : (f(x), f(y)) 6 V} принадлежит П. Это усло-
условие можно перефразировать несколькими способами.
Пусть для произвольного отображения / множества X
в У f2 обозначает индуцированное им отображение про-
произведения Ху^Х в Ух!7, определенное равенством
f2(x, y) = {f(x), f{y)). Отображение / равномерно не-
непрерывно тогда и только тогда, когда для каждого V
из S3 существует U из U такое, что fjJJ]aV. Еще одно
утверждение: пусть 2—предбаза равномерности 23; то-
тогда / равномерно непрерывно в том и лишь в том слу-
случае, когда /^[VJ^jlt для каждого V из ?, ибо f^1 со-
сохраняет объединения и пересечения. Если У—множе-
У—множество вещественных чисел с обычной равномерностью 33,
то из наших определений следует, что отображение /
равномерно непрерывно тогда и только тогда, когда для
каждого положительного числа г существует U?U та-
такое, что \f(x)—f(y)\<r при (х, y)?U. Если я X—
пространство вещественных чисел с обычной равномер-
равномерностью, то f равномерно непрерывно в том и только в
том случае, когда для каждого положительного числа г
найдется положительное число s такое, что \f(x)—f(y) |<
<г при \х — у\ <s.
Очевидно, что если / — отображение множества X в
множество Y и g — функция на множестве У, то (g °/)г =
=g2°f2, а отсюда следует, что композиция двух равно-
равномерно непрерывных отображений снова является равно-
равномерно непрерывным отображением. Если / — взаимноод-
взаимнооднозначное отображение X на У и оба отображения /и/
равномерно непрерывны, то говорят, что/ — равномерный
242 ГЛ. 6. РАВНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
изоморфизм *), а пространства X и У называются при этом
равномерно эквивалентными. Композиция двух равно-
равномерных изоморфизмов, обратное отображение к равно-
равномерному изоморфизму и тождественное отображение
пространства на себя — все являются равномерными изо-
изоморфизмами. Следовательно, семейство всех равномер-
равномерных пространств распадается на классы, состоящие из
равномерно эквивалентных пространств. Если свойство
таково, что, будучи присуще одному равномерному про-
пространству, оно непременно принадлежит и любому про-
пространству, равномерно изоморфному последнему, то это
свойство называют равномерным инвариантом. За не-
небольшими исключениями, все свойства, изучаемые в этой
главе, являются равномерными инвариантами.
Как и следовало ожидать, из равномерной непрерыв-
непрерывности отображения вытекает, что оно непрерывно отно-
относительно равномерной топологии.
9. Теорема. Каждое равномерно непрерывное ото-
отображение непрерывно относительно равномерной топо-
топологии; следовательно, каждый равномерный изоморфизм
является гомеоморфизмом.
Доказательство. Пусть / — равномерно непре-
непрерывное отображение пространства (X, \\) в (Y, Щ и U—
какая-нибудь окрестность точки f(x). Тогда существует
Ve*8, для которого V[f(x)]czU; имеем t][V[f(x)]] =
={У ¦ f(y)?Vlf(x)])= {у : (f(x), f(y)NV} = f;1[V}{x) **),
а это — окрестность точки х. Следовательно, f~l[U] яв-
является окрестностью точки х, чем непрерывность ото-
отображения / доказана.
Вообще говоря, не для любого отображения / мно-
множества X в равномерное пространство (У, Щ семейство
всех множеств вида f^1 [V], где V?23, является равно-
равномерностью на X. Дело в том, что в пространстве ХхХ
может существовать подмножество, которое содержит
*) Или равномерный гомеоморфизм. (Прим. перев.)
**) Множество/^ [V](x) лежит в А' и по определению со
из гех точек у (z X, для которых (х, у)?!ц 1У.|- (Прим. перев.)
РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ 243
некоторое множество f^1 [V], не являясь прообразом
никакого подмножества пространства YXY. Однако это
затруднение несущественно: как мы сейчас проверим,
семейство всех f^1[V] образует базу некоторой равно-
равномерности U на X. Ясно, что /^ сохраняет включения, пе-
переход к обратному элементу ( т. е. f^1 [V~l] = [f [V]])
и пересечения. Следовательно, надо показать только, что
для каждого элемента U равномерности 23 найдется та-
такой элемент 1/?23, что f'1 \V]of~l [Vjcf'1 [U]. Но если
V°VczU,a (х,у) и (y,z) входят в f;1 [V], то (f(x), f (у))
и (/О/), f\z)) принадлежат множеству V и, значит,
(f(x), f(z))(zV°V. Следовательно, семейство всех про-
прообразов элементов семейства 23 действительно образует
базу некоторой равномерности U на X. Ясно, что ото-
отображение f равномерно непрерывно относительно U и 33.
В действительности П является наименьшей среди всех
равномерностей, относительно которых / равномерно не-
непрерывно.
Если (X, П) —равномерное пространство и Y —
произвольное подмножество множества X, то в силу
предшествующего рассуждения существует наименьшая
равномерность 23 на У, относительно которой тожде-
тождественное отображение У в X равномерно непрерывно.
Ясно, что 23 состоит просто из пересечений элементов
равномерности U с множеством Ух У (иногда говорят,
что 23 является следом семейства U на множестве YxY).
Равномерность 23 называется относительной равномер-
равномерностью на множестве У, соответствующей равномерно-
равномерности U; говорят также, что 23 индуцирована равномер-
равномерностью U. Пространство (У, 23) при этом называется
равномерным подпространством пространства (X, U).
Мы опускаем простую проверку того факта, что топо-
топология, соответствующая относительной равномерно-
равномерности 23, индуцируется топологией, порожденной равномер-
равномерностью U.
Мы видели, что всегда существует наименьшая рав-
равномерность, относительно которой заданное отображе-
отображение множества в равномерное пространство становится
равномерно непрерывным. Можно распространить это
244 ГЛ. 6. РАВНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
утверждение на случай семейства F отображений / мно-
множества X в равномерные пространства (Yf, 11/). Семей-
Семейство всех множеств вида /.J1 \U\ = {(х, у) : (/ (х), /(#))?
??/}, где f ? F и U?\\f, образует предбазу некоторой
равномерности II на X, причем П—наименьшая среди
тех равномерностей на X, относительно которой все /
равномерно непрерывны. (Теорема 6.3 показывает, что
семейство всех множеств вида f^ \U\ является предба-
зой некоторой равномерности U; при этом ясно, что каж-
каждое отображение f равномерно непрерывно относитель-
относительно U и U— наименьшая из всех равномерностей на X,
обладающих этим свойством.) В точности этот путь при-
приводит нас к определению произведения равномерностей.
Пусть (Ха, На)—равномерное пространство для каж-
каждого а из некоторого множества индексов А; тогда рав-
равномерность произведения на ЩХа:а?А} есть наимень-
наименьшая из тех равномерностей, относительно которых все
проектирования на координатные пространства равно-
равномерно непрерывны. Семейство всех множеств вида
{(х, у) : (ха, уа) ? U}, где а? А и U € Ua, является пред-
базой равномерности произведения. Пусть х — любая
точка произведения. Предбазу топологии (порожденной
равномерностью) в х можно построить, в частности, от-
отправляясь от выбранной предбазы равномерности произ-
произведения. Значит, семейство всех множеств вида
{У '¦ (ха, Уа) € Щ является предбазой рассматриваемой
равномерной топологии в точке х. Отсюда следует, что
базу топологии произведения равномерностей в точке х
образует семейство всевозможных конечных пересечений
множеств вида {у :</а€ ?Л*а]}. где а?А и U € Ua- Но то
же самое семейство множеств служит также базой топо-
топологии произведения в точке х. Таким образом, топология
произведения и топология, соответствующая равномер-
равномерности произведения, совпадают. Это утверждение со-
составляет первую половину следующей теоремы.
10. Теорема. Топология произведения равномерно-
равномерностей совпадает с топологией произведения.
Отображение f равномерного пространства в произ-
произведение равномерных пространств равномерно непре-
непрерывно в том и только в том случае, когда композиция f
РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ 245
с каждым проектированием на координатное простран-
пространство равномерно непрерывна.
Доказательство. Если / — равномерно непре-
непрерывное отображение со значениями в произведении
ЩХа: а ?А), то каждое проектирование Ра равномерно
непрерывно, и композиция Ра °/ тоже равномерно непре-
непрерывна. Если отображение Pa°f равномерно непрерывно
при каждом а из А и U — какой-либо элемент равно-
равномерности, заданной на Ха, то {(и, и) : (Ра °f{v)) 6 U) —
элемент равномерности Ъ, заданной на области опреде-
определения f. Но последнее множество можно записать в виде
fil [{(х' У) ' (ха' Уа)€ Щ]- Значит, прообраз произволь-
произвольного элемента предбазы равномерности произведения
при /2 принадлежит %i; следовательно, отображение /
равномерно непрерывно.
Следующим предложением мы начинаем изучение
соотношений между равномерностями и псевдометри-
псевдометриками на X.
11. Теорема. Пусть (X, U)—равномерное про-
пространство и d — некоторая псевдометрика на множе-
множестве X. Тогда функция d равномерно непрерывна на
ХхХ относительно равномерности произведения в том
и только в том случае, когда множество {{х, у) : d(x, у) <
<г} входит в it для каждого положительного числа г.
Доказательство. Положим Vd: r={{x, у): d(x, (/)<
<г}. Мы должны показать, что Vd, r€U при каждом г
тогда и только тогда, когда функция d непрерывна от-
относительно равномерности произведения на XXX. Для
любого элемента U равномерности U множества
{((*, У), (и, v)) :(x, u)tU) и {((х, у), (и, о)) : («/,»)€
^ U) принадлежат равномерности произведения; легко
видеть, что семейство всех множеств вида {((х, у),
(и, v)) : (х, и) € U и (у, и) (Ц!) образует базу равно-
равномерности произведения. Следовательно, если функ-
функция d равномерно непрерывна, то для каждого положи-
положительного числа г существует такой элемент (/ в 11, что
если (а:, и) и (у, v) принадлежат U, то \d(x, у) —
•—d(u, и)|<г. В частности, полагая (и, v) = (y, t/), мы
получаем, что если (х, y)?U, то d(x, y)<r. Тогда
UaVd.r и, следовательно, Va, r? U. Докажем обратное
246 ГЛ. 6. РАВНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
утверждение. Заметим, что если (х, и) и (у, v) входят
в Vdir, то \d(x, y)—d(u, v)\<2r, ибо d(x, у) ^С
<rf(.r,' u)+d(u, v)+d(y,v) и d(u,v)^Cd(x,u)+d(x,"y) +
+d(y, v). Отсюда следует, что если VdyT?.\\ при каж-
каждом положительном г, то функция d равномерно непре-
непрерывна.
МЕТРИЗАЦИЯ
Целью этого параграфа является сравнение равно-
равномерных пространств с псевдометризуемыми. То, как про-
протекает это сравнение, является примером стандартной
процедуры для проверки эффективности нового обобще-
обобщения. Объект, полученный в результате обобщения, срав-
сравнивается с обобщаемым математическим объектом с
целью установить, в какой мере сохранены основные
концепции. В рассматриваемом случае (как и во мно-
многих других) сравнение приводит к представлению об-
общего объекта через посредство его предшественника.
С каждым семейством псевдометрик на множестве А'
будет связана некоторая равномерность. Главный ре-
результат этого параграфа заключается в том, что каж-
каждую равномерность можно получить таким способом из
семейства всех псевдометрик, равномерно непрерывных
относительно нее. Будет показано также, что равномер-
равномерность описывается одной псевдометрикой в том и только
в том случае, когда эта равномерность обладает счет-
счетной базой.
Каждая псевдометрика d, заданная на произвольном
множестве X, порождает на нем некоторую равномер-
равномерность по следующему правилу. Для каждого положи-
положительного числа г положим Vd}T = {(x, у) :d(x, у) <г}.
Ясно, что (Vd,r)'1 = Vd,r, Vd, гП Vd, s=Vd, и где t = min[r,s],
и Vd, r о ]/dy ,.c Vd, 2r- Отсюда следует, что семейство всех
множеств вида Vd, r образует базу некоторой равномер-
равномерности на X. Эта равномерность называется псевдометри-
псевдометрической равномерностью, или равномерностью, порожден-
порожденной псевдометрикой d. Равномерное пространство (X, Щ
называется псевдометризуемым (метризуемым) в том и
только в том случае, когда существует псевдометрика
(соответственно метрика) d, порождающая равномер-
МЕТРИЗАЦИЯ 247
ность И. Равномерность, порожденную псевдометри-
псевдометрикой d, можно описать иначе. В соответствии с теоре-
теоремой 6.11 псевдометрика d равномерно непрерывна
относительно равномерности $S (точнее, относительно
равномерности произведения) в том и только в том слу-
случае, когда Vd, r?^ при каждом положительном г. Равно-
Равномерность 11, порожденная псевдометрикой d, характе-
характеризуется как наименьшая из тех равномерностей, отно-
относительно которых функция d равномерно непрерывна на
ХхХ. Стоит отметить, что псевдометрическая топология
совпадает с равномерной топологией, соответствующей
равномерности 11. В самом деле, множество Vd, ,[x]
является открытым r-шаром вокруг точки х, причем се-
семейство всех множеств этого вида образует базу в х
каждой из топологий, о которых идет речь.
Решающим шагом при построении метризационной
теоремы для равномерных пространств является доказа-
доказательство следующей леммы.
12. Метризационная лемма. Пусть {Un,
«? со}— последовательность подмножеств произведения
ХхХ такая, что U0 = XxX, каждое Un содержит диаго-
диагональ и Un+i о Un+i о Un+ldUn при любом п. Тогда суще-
существует неотрицательная вещественная функция d на
ХхХ, удовлетворяющая условиям:
(а) d(x, у) +d(y, z)^d(x, z) при всех х, у и z;
(б) ипс{(х, у) :d(x, у) <2~™}c:?/n_i при каждом по-
положительном целом п.
Если каждое Un — симметричное множество, то су-
существует псевдометрика d, для которой выполняется
условие (б).
Доказательство. Определим вещественную
функцию / на множестве ХхХ следующим образом:
f(x, y) = 2~n тогда и только тогда, когда (х, у) €
6t/»\t/n-i, и f(x,y)=O тогда и только тогда, когда
(х, у) принадлежит каждому Uп. Искомая функция d
строится на основе функции /, являющейся ее «первым
приближением», в результате рассмотрения конечных
цепочек точек. Для каждой пары точек х, у множе-
множества X обозначим через d(x, у) нижнюю грань значений
суммы X {/ (xh xit,) : / =- 0, ..., /} по всем конечным
последовательностям х0, хи ..., xi+l, в которых х = х0 у
248 ГЛ. 6. РАВНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
y=xi+i. Ясно, что d удовлетворяет неравенству тре-
треугольника, и из d(x, y)^Cf (х, у) следует, что Uпа
а{(х, у) :d(x, y)<2~n}. Если каждое ^„ — симметрич-
симметричное множество, то f(x, y)=f(y, x) для любой пары
(х,у). Значит, в этом случае d является псевдометри-
псевдометрикой. Доказательство будет завершено, если мы пока-
покажем, что f(x0, xi+i) <C2H{f (xt, Xj+i): i = 0, ..., /}, ибо от-
отсюда следует, что если d(x, y)<2~n, то f(x, у) <2~п+]
и, значит, (x,y)?U, т. е. {(х, у): d(x, у) <2~™}cr Un-i.
Доказательство проведем индукцией по длине цепочки /.
При 1 = 0 неравенство ясно. Для удобства условимся на-
называть величину H{f(xit xl+i) :i = r, ..., s} длиной це-
цепочки от г до s + 1, и пусть а — длина цепочки от О
до / + 1. Обозначим через k наибольшее целое число та-
такое, что длина рассматриваемой цепочки от 0 до k не
превосходит -у. Заметим, что длина цепочки от k+l
до /+1 также не больше -к- В силу предположения
индукции каждое из чисел f(x0, xh) и f (xk+1, Xi+i) не пре-
превосходит 2-g-~ а; при этом, f(xk, xk+i) тоже не боль-
больше а. Если т — наименьшее целое число, для которого
2~т<а, то (*0, xk), (xk, xh+i) и (xh+u xl+i) принадле-
принадлежат Um и, значит, (х0, a';+i) ^ f/m_i. Следовательно,
f(x0, x(+1)^2~m+1^2a; лемма доказана.
Если равномерность И на X обладает счетной базой
Vo, Vi, . . . , Vn, . . . , то можно построить по индукции
семейство симметричных множеств Uo, Uu . . . , Un,
где для любого целого положительного п Un o(Jn о Uncz
aUn^ и UnaVn. Семейство множеств Un образует то-
тогда базу равномерности \\. Применяя метризационную
лемму, мы заключаем, что равномерное пространство
(X, U) псевдометризуемо. Итак, доказана
13. Метризационная теорема. Равномерное
пространство псевдометризуемо в том и только в том
случае, когда его равномерность обладает счетной базой.
Из этой теоремы, очевидно, вытекает, что равномер-
равномерное пространство метризуемо тогда и только тогда, ко-
когда оно хаусдорфово и его равномерность обладает
счетной базой.
МЕТРИЗАЦИЯ 249
14. Замечания. Насколько мне известно, эта тео-
теорема впервые появилась в статье П. С. Александро-
Александрова и Урысона [1]. Ее авторы искали решение тополо-
топологической задачи метризации (см. 4.18); полученный ими
результат звучит (приблизительно) так: хаусдорфово то-
топологическое пространство (A', J) метризуемо тогда и
только тогда, когда существует равномерность со счетной
базой, равномерная топология которой совпадает с 3-
Это — малоудовлетворительное*) решение топологиче-
топологической проблемы метризации. Однако если чуть усилить
заключение, то получается в точности наша метриза-
метризационная теорема для равномерных пространств. Чит-
тенден [1] первым доказал теорему 6.13 в «равномер-
«равномерной» формулировке. Позднее его доказательство было
сильно упрощено в работах Фринк [1] и Ароншай-
н а [2]. Нами было приведено выше доказательство
Фринк в обработке Бурбаки. Впервые теорема 6.13 в
том виде, в каком она сформулирована выше, появилась
в классической монографии Андре В ей л я [1], в которой
им было введено понятие равномерного пространства.
Отправляясь от семейства Р псевдометрик на мно-
множестве X, можно следующим образом определить рав-
равномерность на X. Положим VP:T — {(x, у): р(х, у)< г}.
Семейство всех множеств вида VPt r, где р — любой эле-
элемент Р и г — произвольное положительное число, яв-
является предбазой некоторой равномерности 33 на X. Эта
равномерность 23 и называется равномерностью, порож-
порожденной семейством, Р. Можно дать несколько полезных
описаний построенной равномерности. Согласно тео-
теореме 6.11 псевдометрика р равномерно непрерывна на
ХхХ относительно равномерности произведения, соот-
соответствующей 3$, тогда и только тогда, когда VPfT^.^ при
каждом положительном г. Следовательно, равномерность,
*) Здесь автор повторяет высказывание П. С. Александрова и
Урысона более чем сорокалетней давности. Ныне не те времена: по-
понятие паракомпактности позволило Б и н г у [1] и затем Понома-
Пономареву [2] без труда изготовить из теоремы Александрова — Урысона
безукоризненный топологический метризационный критерий: для
метризуемости топологического пространства необходимо и доста-
достаточно, чтобы оно было паракомпактом (у Бинга — коллективно нор-
нормально) и обладало измельчающейся последовательностью покры-
покрытий. (Прим. перев.)
250 ГЛ. 6. РАВНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
порожденная семейством Р, — наименьшая равномер-
равномерность, относительно которой равномерно непрерыв-
непрерывна на XXX каждая функция р? Р. Другое описание: при
фиксированном р из Р семейство всех множеств VP,,-,
где г — любое положительное число, является базой
равномерности, порожденной псевдометрическим про-
пространством (X, р). Если '-У— какая-нибудь равномер-
равномерность на X, то тождественное отображение пространства
(Х,ЬИ) в пространство (X, р) равномерно непрерывно
в том и только в том случае, когда Vp,r^ '-У при каждом
положительном г. Отсюда следует, что Ъ — наименьшая
среди тех равномерностей на X, относительно которых
при каждом р из Р тождественное отображение X в
(X, р) равномерно непрерывно. Этот факт приводит еще
к одному описанию. Обозначим через Z произведение
ЩХ:р?Р) (т. е. произведение стольких экземпляров
множества X, сколько элементов в семействе Р). Пусть
f — отображение X в Z, определенное правилом: f(x)p = x
при каждом х из X и р из Р. Предположим теперь, что
р-е координатное пространство рассматриваемого произ-
произведения наделено равномерностью, порожденной псевдо-
псевдометрикой р, и пусть Z имеет равномерность произведе-
произведения. Проектирование пространства Z на р-е координат-
координатное пространство есть тождественное отображение
множества X на псевдометрическое пространство {Х,р).
Из теоремы 6.10 следует, что равномерность, порожден-
порожденная семейством Р, — наименьшая среди всех, для которых
определенное выше отображение / множества X в про-
пространство Z равномерно непрерывно. Но / — взаимно
однозначное отображение; значит, оно является равно-
равномерным изоморфизмом пространства X на подпростран-
подпространство произведения рассматриваемых псевдометрических
пространств.
Понятно, что хорошо было бы знать, какие равно-
равномерности порождаются семействами псевдометрик, —
эту задачу можно было бы назвать обобщенной метри-
метризационной проблемой для равномерных пространств.
Решение ее получается непосредственным применением
предшествующих результатов. Пусть (X, U) — равно-
равномерное пространство и Р — семейство всех псевдомет-
псевдометрик на X, равномерно непрерывных на XXX. Порожден-
МЕТРИЗАЦИЯ 251
ная Р равномерность меньше И в силу теоремы 6.11. Но
метризационная лемма 6.12 показывает, что для каж-
каждого U из 11 существует псевдометрика р ? Р такая, что
множество {(х, у) :р(х, у) <1} содержится в U; значит,
равномерность 11 меньше равномерности, порожденной
семейством Р.
Таким образом, имеет место
15. Теорема. Каждая равномерность на X порож-
порождается некоторым семейством псевдометрик, равномерно
непрерывных на XX X.
Эта теорема имеет интересное следствие. Уже отме-
отмечалось, что если равномерность U на X порождается не-
некоторым семейством Р псевдометрик, то пространство
(X, 11) равномерно изоморфно некоторому подпростран-
подпространству произведения псевдометрических пространств. За-
Заключение можно усилить, если (X, 11) —хаусдорфово
пространство. Как мы знаем, равномерность 11 — наи-
наименьшая среди тех, относительно которых при каждом р
из Р равномерно непрерывно тождественное отображе-
отображение пространства X на пространство (X, р). В силу тео-
теоремы 4.15 пространство (X, р) изометрично некоторому
метрическому пространству (Хр, р*) посредством неко-
некоторого отображения hp. Следовательно, U—наимень-
U—наименьшая из равномерностей, при которых каждое из отобра-
отображений hp равномерно непрерывно. Определим отображе-
отображение h множества X в ЩХР : р <: Р} правилом h(x)p =
= hp(x). Тогда в силу теоремы 6.10 11 — наимень-
наименьшая из равномерностей, для которых отображение h
равномерно непрерывно. Если пространство (X, U
хаусдорфово, то отображение h непременно взаимно
однозначно; тогда h — равномерный изоморфизм. Из
предыдущей теоремы вытекает поэтому такой результат
(А. Вейль [1]).
16. Теорема. Каждое равномерное пространство
равномерно изоморфно подпространству произведения
псевдометрических пространств, и каждое равномерное
хаусдорфово пространство изоморфно подпространству
произведения метрических пространств.
Эта теорема позволяет уяснить, когда топология по-
порождается некоторой равномерностью, — ведь топологи-
топологическое пространство вполне регулярно в том и только
252 гл. 6. равномерные пространства
в том случае, когда оно гомеоморфно подпространству
произведения псевдометризуемых пространств D.М).
17. Следствие. Топология ^ на множестве X яв-
является равномерной топологией некоторой равномерно-
равномерности на X в том и только в том случае, когда топологиче-
топологическое пространство (X, 3) вполне регулярно.
Остальная часть этого параграфа посвящена выясне-
выяснению взаимоотношений между равномерностями и псев-
псевдометриками. Семейство Р псевдометрик на множестве X
называется комплектом тогда и только тогда, когда на X
существует такая равномерность U, что Р — семейство
всех псевдометрик, равномерно непрерывных на XXX
относительно равномерности произведения, соответ-
соответствующей U. Семейство Р называется комплектом рав-
равномерности U, и U называется равномерностью комп-
комплекта Р (И порождается семейством Р в силу теоре-
теоремы 6.15). Каждое семейство псевдометрик порождает
некоторую равномерность; мы будем говорить, что оно
порождает и комплект псевдометрик этой равномер-
равномерности. Можно дать прямое описание комплекта, порож-
порожденного семейством Р псевдометрик. Семейство всех
множеств вида Vp,r, где р€ Р и г — положительное чис-
число, является предбазой равномерности комплекта. По-
Поэтому псевдометрика q равномерно непрерывна на произ-
произведении тогда и только тогда, когда для каждого поло-
положительного числа 5 множество Vq, s содержит пересече-
пересечение некоторого конечного семейства множеств вида VPt,-,
где р?Р. Этим замечанием установлена справедливость
следующего утверждения.
18. Теорема. Пусть Р—некоторое семейство псевдо-
псевдометрик на множестве X и Q — комплект, порожденный Р.
Псевдометрика q принадлежит Q в том и только в том
случае, когда для каждого положительного числа s най-
найдутся положительное число г и конечное подсемейство
Pi, . . . , рп элементов Р такие, что Л [Vр., т: i = 1,
..., n}<=Vq, s-
Каждое понятие, основанное на понятии равномер-
равномерности, можно описать в терминах комплекта, так как
каждая равномерность вполне определяется своим комп-
комплектом. Следующая теорема представляет собой список
наиболее распространенных описаний этого рода. На-
полнота 253
помним, что p-dist (х, А) = inffp (лг, у): у €Л} — р-рас-
стояние от точки х до множества А.
19. Теорема. Пусть (X, \\) —равномерное про-
пространство и Р — комплект псевдометрик равномерно-
равномерности U. Тогда:
(а) Семейство всех множеств Vp.r, где р^Р и г —
положительное число, является базой равномерности U.
(б) Замыкание подмножества А пространства X в
равномерной топологии состоит из всех тех х, для кото-
которых p-dist (л:, А) = 0 при каждом р из Р.
(в) Внутренность множества А состоит из всех тех
точек х, для которых VPf1{x]c:A при некотором выборе р
из Р и некотором г>0.
(г) Пусть Р' — подсемейство семейства Р, порож-
порождающее Р. Направленность {Sn, n?D} в X сходится к
точке s в том и только в том случае, когда {p(Sn, s),
fi? D} сходится к нулю при каждом р из Р'.
(д) Отображение f пространства X в равномерное
пространство (Y, 33) равномерно непрерывно в том и
только в том случае, когда для каждого элемента q комп-
комплекта Q равномерности 23 будет q • /2 € Р. (Напоминаем,
f f
Ы ) ( ())
Эквивалентное утверждение: f равномерно непрерыв-
непрерывно в том и только в том случае, когда для каждого q
из Q и каждого положительного числа s найдутся р в Р
и положительное число г такие, что из р(х, у) <г выте-
вытекает неравенство q(f(x), f(y))<s.
(е) Пусть (Ха,1\а) — равномерное пространство при
каждом а из множества индексов А и Ра — комплект
равномерности \\а. Тогда комплект равномерности произ-
произведения на П{Ха: а?А} порождается всеми псевдомет-
псевдометриками вида q(x,y)=pa(xa,ya), где ad А и ра?Ра.
Доказательство опускается. Оно заключается в пря-
прямом применении полученных раньше результатов.
ПОЛНОТА
В этом параграфе излагается ряд элементарных тео-
теорем, основанных на понятии направленности Коши. Рав-
Равномерное пространство будет называться полным тогда
и только тогда, когда в нем каждая направленность
Коши сходится к некоторой точке. Два самых полезных
254 гл. 6. равномерные пространства
результата этого параграфа заключаются в том, что
произведение полных пространств полно и что каждое
равномерно непрерывное отображение f в полное хаус-
дорфово пространство можно распространить на замы-
замыкание области определения f.
Всюду будет молчаливо предполагаться, что X —
множество, И—равномерность на X и Р — ее комплект
псевдометрик (т. е. Р — семейство всех псевдометрик
на X, равномерно непрерывных на ХхХ). Определения
будут даваться как в терминах U, так и в терминах Р;
в доказательстве используется каждый раз та формули-
формулировка, которая удобнее в рассматриваемом случае. Мно-
Множество {{х,у) : р(х,у) <г\ будет обозначаться через Vp, ,-
Направленность {Sn, n?D} в равномерном простран-
пространстве (X, 11) называется направленностью Коши тогда
и только тогда, когда для каждого U ?11 существует
элемент N в D такой, что (Sm, Sn) 6 U при любых tn
и п, следующих за ^ в заданном на D упорядочении.
Можно перевести это определение на язык направлен-
ностей в ХхХ. Именно, направленность {Sn, n?D} яв-
является направленностью Коши в том и лишь в том слу-
случае, когда направленность {(Sm, Sn), (m, n) ? DxD} ле-
лежит в произвольном элементе семейства U, начиная с
некоторого момента. (Предполагается, что DxD наде-
наделено упорядочением произведения.) Семейство всех мно-
множеств вида VVi,,, где р принадлежит комплекту Риг —
положительное число, является базой равномерности U.
Отсюда следует, что {Sn, n?D} является направлен-
направленностью Коши тогда и только тогда, когда направленность
{(Sm,Sn), (tn, п) (. DXD}, начиная с некоторого момен-
момента, находится в произвольном множестве вида VPir. Ины-
Иными словами, {Sn,n(iD} — направленность Коши в том и
только в том случае, когда направленность {p(Sm, Sn),
(m,n)(iDxD} сходится к нулю при любом выборе
псевдометрики р из комплекта Р.
Следующая простая лемма о направленностях Коши
применяется весьма часто.
20. Лемма. Направленность {Sn, n? D} в равномер-
равномерном пространстве (X, 11 ) является направленностью
Коши в том и только в том случае, когда выполняется
какое-нибудь из следующих условий:
полнота 255
(а) направленность {E„„ S,,), (m, n)(:DxD} лежит
в произвольном элементе какой-либо предбазы равно-
равномерности U, начиная с некоторого момента;
(б) направленность {p(Sm, Sn), (m, п) ?DxD} схо-
сходится к нулю при каждом р из некоторого семейства
псевдометрик, порождающего комплект Р.
Доказательство. Если Q — семейство псевдо-
псевдометрик, порождающее комплект Р, то семейство всех
множеств вида VPi >-, где pd Q и г — любое положитель-
положительное число, образует предбазу рассматриваемой равно-
равномерности, так что доказательство утверждения (б)
сводится к доказательству утверждения (а). Для доказа-
доказательства (а) заметим, что если какая-нибудь направ-
направленность (например, {(Sm, 5„), (m, n) ?DXD}) начиная
с некоторого момента лежит в каждом элементе некото-
некоторого конечного семейства множеств, то она с некоторого
момента находится и в их пересечении.
Следующее предложение выясняет соотношение ме-
между направленностями Коши и сходимостью относитель-
относительно равномерной топологии.
21. Теорема. Каждая направленность, сходящаяся
относительно равномерной топологии, является направ-
направленностью Коши. Направленность Коши сходится к каж-
каждой из своих предельных точек.
Доказательство. Если {Sn, n?D} сходится к
точке s, то {d(Sn, s), nf D} сходится к нулю при любом
выборе d из комплекта Р. Так как d(Sm, Sn)^d{Sm, s) +
+ d(Sn, s), то отсюда следует, что {d(Sm, Sn), (m, n) ?
dDxD} сходится к нулю и, значит, исходная направ-
направленность является направленностью Коши. Предполо-
Предположим теперь, что {Sn, n 6 D} — направленность Коши и
s — ее предельная точка. Тогда при любом выборе d
из Р и г>0 найдется N в D, для которого из m > N и
г
п~^> N следует, что d(Sm, Sn) < -к-. Так как s — предель-
предельная точка, то существует p?D, для которого d(Sp, s) <^j
и p>N. Тогда d(Sn, s)*Cd(Sn, Sp)+d(Sp, s) <r при
n>p. Следовательно, рассматриваемая направленность
сходится к s.
256 гл. 6. равномерные пространства
Равномерное пространство называется полным тогда
и только тогда, когда в нем каждая направленность
Коши сходится к некоторой точке. Очевидно, каждое
замкнутое подпространство полного пространства (X, И)
само полно. Если (X, II) —хаусдорфово пространство,
(У, 33)—его полное подпространство, то Y замкнуто
в X, ибо любая направленность в Y, сходящаяся к неко-
некоторой точке xdX, непременно является направленностью
Коши, и х — ее единственная предельная точка. Этот
очевидный результат — один из наиболее полезных фак-
фактов, касающихся понятия полноты.
22. Теорема. Замкнутое подпространство полного
пространства полно, и полное подпространство хаусдор-
фова равномерного пространства замкнуто.
Прежде чем двигаться дальше, вероятно, полезно
привести несколько примеров равномерных пространств.
Пусть U—наибольшая из всех равномерностей для X
(она состоит из всех подмножеств произведения XXX,
содержащих диагональ); тогда (X, Ц)—полное про-
пространство. Наименьшая равномерность на X также дает
полное пространство. Если равномерное пространство
(X, U) бикомпактно в равномерной топологии, то оно
и полное, ибо у каждой направленности в этом про-
пространстве есть тогда предельная точка и, следовательно,
в силу теоремы 6.21 каждая направленность Коши схо-
сходится к некоторой точке. Пространство вещественных
чисел полно относительно обычной равномерности. В этом
легко убедиться, заметив, что каждая направленность
Коши с некоторого момента находится в ограниченном
подмножестве А пространства вещественных чисел и,
значит, с некоторого момента лежит в бикомпактном
множестве А.
Существует характеристика полноты, навеянная по-
понятием бикомпактности. Напомним, что семейство мно-
множеств называется центрированным в том и лишь в том
случае, когда пересечение любого конечного множества
элементов этого семейства не пусто. Топологическое
пространство бикомпактно тогда и только тогда, когда
каждое центрированное семейство замкнутых множеств
имеет непустое пересечение. При описании полноты на
центрированные семейства налагается еще одно ограни-
полнота 257
чение. Говорят, что семейство 3t подмножеств равно-
равномерного пространства (X, U) содержит мелкие множе-
множества, в том и только в том случае, когда для каждого U
из U в 21 найдется элемент А, содержащийся в качестве
подмножества в U[x] при некотором выборе точки х.
Другая формулировка: для каждого С/ из It суще-
существует А в 3t такое, что AxAczU. В терминах комплек-
комплекта Р псевдометрик равномерного пространства семей-
семейства, содержащие мелкие множества, характеризуются
тем, что при каждом положительном г и любом d из Р
найдется элемент Д в 31, d-диаметр которого меньше г.
Мы опускаем доказательство равносильности этих трех
утверждений.
23. Теорема*). Равномерное пространство полно
в том и только в том случае, когда каждое центрирован-
центрированное семейство его замкнутых подмножеств, содержащее
мелкие множества, имеет непустое пересечение.
Доказательство. Пусть (X,U)—полное рав^
номерное пространство и 3t — произвольное центриро-
центрированное семейство его замкнутых подмножеств, содержа-
содержащее мелкие множества. Рассмотрим семейство 3 все-
всевозможных конечных пересечений элементов из ?Х; оно
направлено отношением включения с:. Из каждого эле-
элемента F семейства % можно выбрать по точке xF. На-
Направленность {xF, F € S} является направленностью
Коши, ибо если А и В следуют при упорядочении с: за
элементом F из $ (т. е. если AczF и BczF), то точки хА
и хв входят в F, а й' содержит мелкие множества. Сле-
Следовательно, направленность {xF : F €3} сходится, а так
как она с некоторого момента находится в любом напе-
наперед заданном элементе семейства 5", то точка, к которой
она сходится, должна принадлежать каждому элементу
семейства §". Значит, пересечение П {А : А 6 31} не пусто.
Докажем обратное утверждение. Пусть {хп, n?D} — не-
некоторая направленность Коши и при каждом п из D
Ап — множество всех точек хт, для которых т^> п.
*) Фильтр называется фильтром Коши, если он содержит мел-
мелкие множества. При этом соглашении нашу теорему можно сфор-
сформулировать так: пространство полно в том и только в том случае,
когда каждый фильтр Коши сходится к некоторой точке.
17 Дж. л. Келли
258 гл. 6. равномерные пространства
Семейство 91 всех множеств вида Ап центрировано, атак
как рассматриваемая направленность является направ-
направленностью Коши, то 91 содержит мелкие множества. Сле-
Следовательно, существует точка у, принадлежащая пере-
пересечению замыканий всех множеств, входящих в 31, т. е.
множеству Г\{Жп '¦ п €D}. В силу 2.7 точка у является
предельной для направленности {хп, n^D}. Так как
{х„, n^D)— направленность Коши, то она сходится к у.
Кое-кто мог бы предположить, что равномерное про-
пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счетности,
будет полным, если каждая последовательность Коши
в этом пространстве сходится к некоторой его точке.
К сожалению, эта гипотеза не оправдывается; однако
верен следующий более слабый результат.
24. Теорема. Псевдометризуемое равномерное про-
пространство полно в том и только в том случае, когда
каждая последовательность Коши в этом пространстве
сходится к некоторой его точке.
Доказательство. Если равномерное простран-
пространство X полно, то каждая направленность Коши в X и,
в частности, каждая последовательность Коши в X схо-
сходятся. Обратно, предположим, что (X, d) — псевдометри-
псевдометрическое пространство, в котором каждая последователь-
последовательность Коши сходится, и пусть 91—произвольное цен-
центрированное семейство замкнутых в X множеств, содер-
содержащее мелкие множества. Для каждого целого неотри-
неотрицательного числа п выберем в 91 элемент Ап, диаметр
которого меньше 2~п, а в Ап выберем произвольную точ-
точку хп. Если m и п велики, то d(xm, xn) мало, ибо точки
хт и хп принадлежат, соответственно, пересекающимся
множествам Вт и Вп малого диаметра. Значит {хп,
п ? со} — последовательность Коши, поэтому она сходится
к некоторой точке у пространства X. Каков бы ни был
элемент В семейства 9t, dist (xn,B) <2~п, ибо В пере-
пересекается с Ап. Отсюда следует, что точка у принадлежит
замыканию множества В. Так как все элементы се-
семейства 9t — замкнутые множества, то у принадлежит
им всем.
Обычный путь доказательства полноты заключается
в обнаружении того, что рассматриваемое пространство
полнота 259
равномерно изоморфно замкнутому подпространству
произведения полных пространств, с последующей ссыл-
ссылкой на теорему, идущую ниже. В ее доказательстве мы
пользуемся тем, что образ направленности Коши при
равномерно непрерывном отображении является напра-
направленностью Коши, — фактом, с очевидностью вытекаю-
вытекающим из определений.
25. Теорема. Произведение равномерных про-
пространств полно в том и только в том случае, когда ка-
каждое координатное пространство полно.
Направленность в произведении является направлен-
направленностью Коши в том и только в том случае, когда каждая
ее проекция в кординатное пространство является напра-
направленностью Коши.
Доказательство. Пусть (Ya, По)—полное рав-
равномерное пространство при каждом а из некоторого
множества индексов А. Проекция произвольной напра-
направленности Коши в пространство Ya является направлен-
направленностью Коши при любом а и, следовательно, сходится
к некоторой точке, скажем, к точке уа. Тогда направлен-
направленность, рассматриваемая в произведении, сходится к точ-
точке у, а-й координатой которой служит уа. Следователь-
Следовательно, произведение полно. Простое доказательство обрат-
обратного утверждения опускается.
Если направленность {хп, п ? D] в произведении тако-
такова, что ее проекция в любое координатное пространство
является направленностью Коши, то для каждого U из
Ua направленность {(xm,xn), (m,n)?DxD) с некото-
некоторого момента находится в прообразе множества U отно-
относительно проектирования. Иными словами, {(хт, хп),
(т, п) 6 (DxD)} с некоторого момента находится в мно-
множестве {(х, z): (ха, za) (zU). Так как семейство множеств
этого вида образует предбазу равномерности произведе-
произведения, то отсюда следует (лемма 6.20), что {хп, n(LD} яв-
является направленностью Коши.
Отображение / равномерно непрерывно на подмно-
подмножестве А равномерного пространства (X, U) тогда и
только тогда, когда его сужение на A, f\A, равномерно
непрерывно по отношению к равномерности, индуци-
индуцированной на А. Если пространство значений полно и
17*
260 ГЛ. 6. РАВНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
хаусдорфово *), а отображение f равномерно непрерывно
на своей области определения Л, то его можно единствен-
единственным способом продолжить до равномерно непрерывного
отображения, определенного на замыкании множества .4.
26. Теорема. Пусть f — функция, областью опреде-
определения которой служит подмножество А равномерного
пространства (X, U) со значениями в полном хаусборфо-
вом равномерном пространстве (У, Щ. Если f равномер-
равномерно непрерывна на А, то существует и единственно равно-
равномерно непрерывное продолжение f функции /, областью
определения которого служит замыкание множества А.
Доказательство. Функция / — это подмноже-
подмножество произведения XxY (мы отождествляем здесь функ-
функцию с ее графиком); искомое продолжение — это замы-
замыкание / множества / в XxY. (Пара (х, у) принадлежит
/ тогда и только тогда, когда в А существует направлен-
направленность, сходящаяся к х, образ которой сходится к у.)
Областью определения функции / является, очевидно,
замыкание множества А. Мы покажем, что если W —
элемент семейства i<, то существует U в U, для которого
из (х, у) €/, (и, v) ?/ и х 6 И[и] следует, что у 6 Щи]. Так
как пространство Y хаусдорфово, то эго будет означать,
что / — функция, причем равномерно непрерывная. Вы-
Выберем в i* замкнутый и симметричный элемент V, для
которого V°VaW, и в U выберем открытый и симмет-
симметричный элемент U такой, что /[()[л:]]с: V[/(a;)] при каждом
х из А. Пусть (х, у) и (и, v) входят в f и xd U[u]. Пере-
Пересечение множеств U[x] и U\u] открыто; следовательно,
существует такая точка z в А, что и х, и и принадлежат
множеству U[z]. Точки у и v принадлежат замыканию
множества /[^М] п0 определению /; значит, как у, так и
v входят в множество V[f(z)]. Следовательно, (у, v) ?
? V° VczW и y?W[v].
ПОПОЛНЕНИЕ
Цель этого параграфа — показать, что каждое рав-
равномерное пространство равномерно изоморфно всюду
*) Чтобы продолжение существовало, не обязательно требовать
хаусдорфовости, однако хаусдорфовость является необходимым
условием единственности продолжения,
ПОПОЛНЕНИЕ 261
плотному подпространству полного равномерного про-
пространства. Иными словами, можно присоединить к про-
произвольному равномерному пространству «идеальные
элементы» так, что получится полное равномерное про-
пространство. Процедура этого присоединения напоминает
процесс бикомпактного расширения из пятой главы*);
но есть одно существенное отличие: пополнение равно-
равномерного пространства определено, по существу, одно-
однозначно.
Для любого метрического пространства X можно
найти такое полное метрическое пространство X*, что X
изометрично (а не только равномерно изоморфно) неко-
некоторому всюду плотному подпространству простран-
пространства X*. Общую конструкцию пополнения мы построим,
отправляясь от этого предварительного результата.
27. Теорема. Каждое метрическое (или псевдомет-
псевдометрическое) пространство можно взаимно однозначно и
изометрично отобразить на всюду плотное подмножество
полного метрического (соответственно псевдометриче-
псевдометрического) пространства.
Доказательство. Достаточно доказать теорему
для случая псевдометрического пространства (X, d); со-
соответствующий результат для метрических пространств
будет следовать тогда из теоремы 4.15. Обозначим через
X* класс всех последовательностей Коши в X и для
произвольных S и Т из X* определим d*(S,T) как пре-
предел числовой последовательности d(Sm, Tm) при неогра-
неограниченном росте m (формально речь идет о пределе на-
направленности {d(Sm, Tm), тбсо}). Легко проверяется, что
d* является псевдометрикой на X*. Обозначим через F
отображение, переводящее произвольную точку х про-
пространства X в постоянную последовательность со значе-
значением х. Таким образом, F(x)n=x при всех п. Очевидно,
что F — взаимно однозначная изометрия; остается дока-
доказать только, что F [X] всюду плотно в X* и что простран-
пространство X* полно. Первое из этих утверждений очевидно:
если S ?Х* и п достаточно велико, то точка F(Sn) лежит
вблизи от точки S. Покажем, что пространство X* полно.
*) Она гораздо больше напоминает классическое построение по-
пополнения метрического пространства! (Прим, перев.)
262 ГЛ. 6. РАВНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Достаточно в силу плотности подпространства F[X] в про-
пространстве X* доказать, что каждая направленность Коши
в F[X] сходится к точке из X*. Но каждая последо-
последовательность Коши в F[X] имеет вид F ° S = {F(Sn), n^co},
где S — последовательность Коши в X; ясно, что после-
последовательность FoS сходится в X* к точке S.
Каждое равномерное пространство равномерно изо-
изоморфно подпространству произведения псевдометриче-
псевдометрических пространств; при этом каждое хаусдорфово равно-
равномерное пространство равномерно изоморфно подпро-
подпространству произведения метрических пространств в силу
теоремы 6.16. Предыдущая теорема означает, что про-
произвольное метрическое или псевдометрическое про-
пространство равномерно изоморфно подпространству
полного пространства того же типа. Отсюда сразу
вытекает
28. Теорема. Каждое равномерное пространство
равномерно изоморфно всюду плотному подпространству
некоторого полного равномерного пространства. Каждое
хаусдорфово равномерное пространство равномерно изо-
изоморфно всюду плотному подпространству полного хаус-
дорфова равномерного пространства.
Пополнением равномерного пространства (X, II) на-
называется любая пара (/, (X*,U*)), где (X*, U*) —пол-
—полное равномерное пространство и / — равномерный изо-
изоморфизм пространства X на некоторое всюду плотное
подпространство пространства X*. Пополнение называют
хаусдорфовым тогда и только тогда, когда (X*, Ц*) —
хаусдорфово равномерное пространство. Предыдущую
теорему можно теперь переформулировать так: каждое
(хаусдорфово) равномерное пространство обладает
(хаусдорфовым) пополнением.
Для хаусдорфовых пополнений имеет место утвер-
утверждение о единственности. Если / и g—равномерные
изоморфизмы пространства X на всюду плотные подпро-
подпространства полных хаусдорфовых равномерных про-
пространств X* и X** соответственно, то каждое из отобра-
отображений go/ и f °g~l обладает равномерно непрерывным
продолжением на X* (соответственно на X**) в силу
теоремы 6.26. Отсюда следует, что продолжение отобра-
отображения g°f~l является равномерным изоморфизмом про-
БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 263
странства X* на пространство X**. Говоря попросту,
хаусдорфово пополнение хаусдорфова равномерного про-
пространства единственно с точностью до равномерного изо-
изоморфизма.
БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Каждая вполне регулярная топология J на множе-
множестве X является равномерной топологией, соответствую-
соответствующей некоторой равномерности И; однако такая равно-
равномерность в большинстве случаев не единственна. Если
же пространство (X, 3) бикомпактно и регулярно, то,
оказывается, существует в точности одна равномерность,
порождающая топологию 5- В этом случае топология
определяет равномерность, топологические инварианты
являются равномерными инвариантами и вся теория
приобретает особенно простой вид. Этот параграф по-
посвящен доказательству только что сформулированной
теоремы о единственности и еще двух утверждений. Как
и раньше, в зависимости от того, что удобнее, мы будем
оперировать либо равномерностями, либо комплектами
псевдометрик.
29. Теорема. Пусть (X, U ) — бикомпактное равно-
равномерное пространство. Тогда каждая окрестность диаго-
диагонали Л в произведении ХхХ принадлежит Н и каждая
псевдометрика, непрерывная на ХхХ, принадлежит ком-
комплекту равномерности U.
Доказательство. Обозначим через 93 совокуп-
совокупность всех замкнутых элементов семейства 11, и пусть
V — произвольная открытая окрестность диагонали Л.
Если (л:, у) € C\{U : U 693}, то, так как 95 является базой
равномерности U, точка у принадлежит произвольной
окрестности точки х и, значит, (х, у) входит в каждую
окрестность диагонали Л. Следовательно, множество
П{?/:[/?93} является подмножеством множества V.
Так как каждый элемент U семейства 23 бикомпактен,
а V—открытое множество, то пересечение некоторого
конечного множества элементов семейства 93 тоже
является подмножеством множества V; значит, V€U.
Если псевдометрика d. заданная на X, непрерывна
на ХхХ, то множество {(х, у) : d(x, у) <г} при каждом
264 ГЛ. 6. РАВНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
положительном г является окрестностью диагонали.
Значит, функция d равномерно непрерывна; поэтому она
принадлежит комплекту равномерности U.
Каждое бикомпактное регулярное топологическое
пространство вполне регулярно; его топология является,
следовательно, равномерной топологией некоторой рав-
равномерности, — последняя только что была указана.
30. Следствие. Если (X, 3) —бикомпактное ре-
регулярное топологическое пространство, то семейство всех
окрестностей диагонали Л образует равномерность на X,
равномерная топология которой совпадает с %
Вот другое следствие.
31. Теорема. Каждое непрерывное отображение
бикомпактного равномерного пространства в равномер-
равномерное пространство равномерно непрерывно.
Доказательство. Если / — непрерывное отобра-
отображение X в Y, то /2, где f2(x, y) = (f(x) ,f(y)), — непрерыв-
непрерывное отображение пространства ХхХ в пространство
YXY. Следовательно, если d входит в комплект псевдо-
псевдометрик, отвечающий пространству Y, то композиция d°/2
непрерывна на ХхХ. Из теоремы 6.29 следует тогда, что
d°f2 принадлежит комплекту псевдометрик простран-
пространства X; значит, отображение f равномерно непрерывно.
Каждое бикомпактное равномерное пространство
(X, U) можно представить в виде объединения конеч-
конечного семейства мелких множеств — точнее, для каждой
псевдометрики d из комплекта равномерности U и лю-
любого положительного числа г существует конечное по-
покрытие пространства X множествами, й?-диаметр каждо-
каждого из которых меньше г. Это вытекает непосредственно
из бикомпактности пространства X: его можно покрыть
г
конечным числом -о-шаров; диаметр каждого такого
шара меньше г. Равномерное пространство (X, U) назы-
называется вполне ограниченным (или предкомпактным) то-
тогда и только тогда, когда X является объединением ко-
конечного семейства множеств rf-диаметра, меньшего г,
при любом выборе псевдометрики d из комплекта рав-
равномерности U и положительного числа г. В терминах U
это условие можно сформулировать так: для каждого U
из U множество X представляется в виде объединения
БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 265
конечного числа таких множеств В, что BxBczU, или,
что эквивалентно, при каждом U из 11 существует ко-
конечное подмножество F в X, для которого U[F]=X. Под-
Подмножество Y равномерного пространства называется
вполне ограниченным тогда и только тогда, когда Y, на-
наделенное индуцированной из (X, 11) равномерностью,
вполне ограничено.
Есть одно простое, но очень полезное соотношение
между бикомпактностью и вполне ограниченностью.
32. Теорема. Равномерное пространство (X, U)
вполне ограничено в том и только в том случае, когда
каждая направленность в X обладает поднаправлен-
поднаправленностью Коши.
Следовательно, равномерное пространство биком-
бикомпактно в том и только в том случае, когда оно вполне
ограничено и полно.
Доказательство. Пусть S — произвольная на-
направленность во вполне ограниченном равномерном про-
пространстве (X, U). Существование в ней поднаправлен-
ности Коши, очевидно, вытекает из утверждения зада-
задачи 2.К. Однако мы дадим здесь набросок доказательства
интересующего нас факта, не опирающегося на этот
предшествующий результат. Обозначим через 21 семей-
семейство всех подмножеств А пространства X, в каждое из
которых S попадает часто. Тогда {^}с: 21 и в силу прин-
принципа максимальности 0.25 существует максимальное
центрированное подсемейство 23 семейства 2t, содержа-
содержащее {X}. Из максимальности 93 следует, что если объеди-
объединение конечного числа элементов Ви . . . , В„ семейства 21
принадлежит 23, то В*?В при некотором i (подробное
рассуждение можно найти в 2.И). Так как простран-
пространство X вполне ограничено, его можно покрыть конечным
семейством мелких множеств. Отсюда следует, что 23
содержит (как угодно) мелкие множества. Наконец, из
2.5 вытекает, что в S существует поднаправленность,
которая, начиная с некоторого момента, находится
в произвольно выбранном элементе семейства 23; оче-
очевидно, она является поднаправленностью Коши.
Если пространство (X, U) не вполне ограничено, та
U[F]i=X для некоторого ?/?U и любого конечного под-
подмножества FcX. Следовательно, по индукции можно
266 ГЛ. 6. РАВНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
построить последовательность {хп, п 6 со} такую, что
хп С *Л*р] при р<п. Ясно, что последовательность {хп,
и 6 со} не имеет поднаправленности Коши.
Наконец, если пространство (X, 11 ) полно и вполне
ограничено, то каждая направленность в X обладает-
поднаправленностью, сходящейся к некоторой точке
множества X. Значит, пространство (X, 11) бикомпактно.
Ранее уже отмечалось, что каждое бикомпактное про-
пространство полно.
Есть еще одна очень полезная лемма о бикомпакт-
бикомпактных пространствах. Она обобщает лемму Лебега о по-
покрытии E.26). Покрытие подмножества А равномерного
пространства (X, 11) называется равномерным покры-
покрытием тогда и только тогда, когда существует такой эле-
элемент U равномерности It, что множество U[x] является
подмножеством некоторого элемента рассматриваемого
покрытия для каждого х (т. е. семейство множеств U[x]
вписано в заданное покрытие). В терминах комплекта
псевдометрик равномерности И это условие звучит так:
покрытие множества А равномерно в том и только в том
случае, когда существует элемент р комплекта и поло-
положительное число г такие, что открытый шар rf-радиуса г
с центром в произвольной точке множества Л содержится
в некотором элементе этого покрытия.
33. Теорема. Каждое открытое покрытие биком-
бикомпактного подмножества равномерного пространства
является равномерным покрытием.
В частности, каждая окрестность бикомпактного под-
подмножества А содержит окрестность вида U[A], где U —
некоторый элемент равномерности.
Доказательство. Пусть 31 — открытое покрытие
бикомпактного подмножества А равномерного простран-
пространства (X, U). Для каждого х?А найдется такой элемент
Udil, что U[x] содержится в качестве подмножества в
некотором элементе семейства 21. Поэтому существует
V? U, для которого KoKfx] является подмножеством не-
некоторого элемента из 3t. Выберем конечное семейство
точек Xi, . . ., хп множества А и конечное семейство эле-
элементов Vi, .. . , Vn равномерности U так, чтобы множе-
множества Vi[xi] покрывали в совокупности множество А и при
ТОЛЬКО ДЛЯ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 267
каждом i V,-о Vi[X{] было подмножеством некоторого эле-
элемента семейства Я. Наконец, положим W=n{V,-:i =
= 1, ..., п]. Тогда для каждой точки у множества А
у принадлежит Vi[xi] при некотором i; значит, W[#]cr
czWo Vi[Xi]czVi ° V,{xi]. Следовательно, W[y] является
подмножеством некоторого элемента из 51-
ТОЛЬКО ДЛЯ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
Этот параграф посвящен двум утверждениям про
полные метрические пространства. Эти утверждения сле-
следует отнести к числу наиболее полезных следствий пол-
полноты; к несчастью, обобщить их на полные равномерные
пространства не представляется возможным. Первое
из них — это классическая теорема Бэра о множе-
множествах второй категории. Эта теорема и один или два
связанных с ней результата занимают большую часть
параграфа. В последней теореме параграфа устанавли-
устанавливается, что образ полного метрического пространства
при непрерывном равномерно открытом отображении
является полным пространством в предположении, что
пространство значений хаусдорфово. Доказательство
этой теоремы основано на лемме, которую мы формули-
формулируем в значительно более общем виде, чем это необхо-
необходимо для самой теоремы. Из этой леммы (по существу,
формализующей рассуждение Банаха) непосредственно
получаются и теорема о замкнутом графике, и теорема
об открытом отображении из теории нормированных ли-
линейных пространств (см. задачу 6.Т).
34. Теорема (Бэр). Пусть X — либо полное псев-
псевдометрическое пространство, либо локально бикомпакт-
бикомпактное регулярное пространство. Тогда пересечение счетного
семейства открытых подмножеств, всюду плотных в X,
само всюду плотно в X.
Доказательство. Рассуждение ведется для слу-
случая локально бикомпактного регулярного пространства,
а в скобках указывается, какие надо сделать изменения
в случае полного псевдометрического пространства.
Пусть {Gn, п ? (о} — последовательность открытых всюду
плотных подмножеств пространства X и U — произволь-
268 ГЛ. 6. РАВНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ное непустое множество, открытое в X. Надо показать,
что U Л fl{Gn : n?co} не пусто. С этой целью начнем ин-
индуктивный процесс, выбрав такое открытое множество
Vo, что Vo является _бикомпактным подмножеством мно-
множества U Л Go (что Fo содержится в U Л Go и имеет диа-
диаметр, меньший единицы), и затем для каждого целого
положительного п найдем Vn так, чтобы Vn было под-
подмножеством множества Vn^if]Gn (и чтобы диаметр Vn
был меньше — )• Возможность такого выбора следует из
того, что все Gn — открытые всюду плотные множества.
Семейства всех Fn, где п — любое целое неотрицатель-
неотрицательное число, центрировано и состоит из замкнутых
множеств; при этом Vo бикомпактно (семейство со-
содержит мелкие множества). Следовательно, множество
П {Vn :nt со} не пусто. Так как Vn+iczU П Gn, то отсюда
следует, что U Л П {Gn : n t со} не пусто.
Отметим, что теорема Бэра носит смешанный харак-
характер: топологическое заключение (пересечение счетного
семейства открытых всюду плотных подмножеств всюду
плотно) выводится из нетопологических посылок (что
пространство полное псевдометрическое). Есть чисто то-
топологическое утверждение, эквивалентное теореме Бэра.
Если (X, 3) — топологическое пространство, полное от-
относительно некоторой псевдометрики d, согласующейся
с топологией 3, то имеет место то же заключение. (То-
(Топологические пространства, на которых существует пол-
полная метрика, можно охарактеризовать и совсем по-дру-
по-другому — как указано в 6.Л.)
Для обсуждения вопросов, связанных с теоремой
Бэра, выработана очень удобная терминология. Подмно-
Подмножество А топологического пространства X называется
нигде не плотным в X тогда и только тогда, когда вну-
внутренность замыкания множества А пуста. Иными сло-
словами, А нигде не плотно в X тогда и только тогда, когда
открытое множество Х\А всюду плотно в А'. Очевидно,
что объединение конечного семейства нигде не плотных
множеств нигде не плотно. Подмножество А называется
худым в X, или первой категории в X, в том и только
в том случае, когда А можно представить в виде объеди-
объединения счетного семейства множеств, нигде не плотных
ТОЛЬКО ДЛЯ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 269
в X. Теорему Бэра можно теперь сформулировать так:
дополнение к худому подмножеству полного метриче-
метрического пространства всюду плотно в последнем. (Допол-
(Дополнение к худому множеству называют иногда существен-
существенным в X.)
Говорят, что множество А нехудое в X, или что оно
второй категории в X, тогда и только тогда, когда оно
не является худым в X. Следующий результат предста-
представляет собой разновидность локализационной теоремы.
Из того, что множество А нехудое, мы выводим суще-
существование точки х, с любой окрестностью которой мно-
множество А пересекается по нехудому множеству. При
этом иногда говорят, что А — второй категории в такой
точке х.
35. Теорема. Пусть А — какое-нибудь подмноже-
подмножество топологического пространства X и М(А) —объеди-
—объединение всех открытых множеств V, для которых V Л Л —
худое множество в X. Тогда АПМ(А)—худое множе-
множество в X.
Доказательство. Пусть U — семейство попарно
непересекающихся открытых множеств, максимальное
относительно следующего свойства: если U(zl\, то
U Л А — худое множество. Такое семейство U существует
в силу принципа максимальности 0.25. Положим W =
= l){U:U?l\}. Доказательство теоремы сводится к про-
проверке того, что W С\ А является худым множеством. В са-
самом деле, если последнее верно, то AflW — худое мно-
множество, ибо множество W\W нигде не плотно. Из мак-
максимальности семейства U следует, что W содержит
любое открытое множество V, пересекающееся с Л по
худому множеству. Чтобы доказать, что множество
1^ЛЛ худое, представим множество U пА для каждого U
из U в виде U{?/n : я ? со}, где каждое 1/„ — нигде не
плотное множество. Из того, что множества семейства U
попарно не пересекаются, следует тогда, что множество
[){Un : U? И} нигде не плотно для каждого целого числа
п > 0. Значит, W П А — худое множество.
Важным следствием предшествующей теоремы яв-
является тот факт, что если А — нехудое подмножество то-
топологического пространства, то существует непустое от-
открытое множество V такое, что пересечение множества
270 ГЛ. 6. РАВНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
А с произвольной окрестностью произвольной точки
множества V является нехудым множеством.
Заключительная теорема этой главы показывает, чго
полнота сохраняется при отображениях определенного
сорта. Отображение равномерного пространства (X, 11)
в равномерное пространство (У, 33) называется равно-
равномерно открытым тогда и только тогда, когда для каждо-
каждого U из И существует элемент V из 23 такой, что
f[G[x]]rDV[/(x)] при каждом х?Х. Не верно, что равно-
равномерно открытые отображения сохраняют полноту в клас-
классе произвольных равномерных пространств. Кёте [1]
построил пример полного линейного топологического
пространства и такого замкнутого подпространства в
нем, что соответствующее фактор-пространство не полно.
Теорема, которую мы собираемся установить, касается,
подобно теореме Бэра, лишь псевдометрических про-
пространств.
Доказательство ее, данное здесь, основано на лемме,
у которой есть и другие глубокие следствия (см. 6.Т).
Эта лемма касается некоторого отношения R между точ-
точками псевдометрического пространства (X, d) и равно-
равномерного пространства (У, 23) (таким образом, R являет-
является подмножеством произведения XXУ)- Положим ?/,.=
= {{х, у) : d(x, у) <г}; при этом Ur[x] — просто г-шар
с центром в х.
36. Лемма. Пусть R— замкнутое подмножество
произведения полного псевдометрического пространства
(X, d) на равномерное пространство (У, 23). Предполо-
Предположим, что для каждого положительного г существует та-
такой элемент V?23, что R[UT[x]]zDV[y] при любом (х, у)
из R. Тогда для любых г>0 и е>0 имеют место соотно-
соотношения
R[Ur+e[x]]^R[Ur[x]]z,V[y].
Доказательство. Основной факт, нужный для
доказательства, таков: если v(R[A], где А — подмно-
подмножество множества X, то существует множество В сколь
угодно малого диаметра такое, что v d R[B] и Af)B не
пусто. Это вытекает из следующих соображений. Если
г — произвольное положительное число, V — симметрич-
ТОЛЬКО ДЛЯ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 271
ный элемент семейства S такой, что R[Ur[x}]zD V[y] для
любого элемента (х, у) множества R, и' — такая точка
множества R[A], что v' ? V[v] и точка и множества А удо-
удовлетворяет условию (и, v')?R, то и? V[v']czR[Ur[u]],
причем диаметр множества U,[u] не превосходит 2г.
Обратимся теперь к доказательству леммы. Пред-
Предположим, что v(LR[Ur[x]}. Будет показано, что и€
6. R[Ur+e{x]], на чем доказательство и закончится. Поло-
Положим Ао=Ог[х] и построим по индукции для каждого це-
целого «>0 подмножество Ап множества X такое, что
v?R[An], АпГ\Ап+1 не пусто и диаметр множества Ап
меньше, чем е • 2~". Так как пространство X полно, то
в нем существует точка и, произвольная окрестность W
которой содержит некоторое Ан (отсюда следует, что
v(:R[W]). Ясно, что d(x,u) <г + е. Каковы бы ни были
окрестность W точки и и окрестность Z точки v, множе-
множество R[W] пересекается с множеством Z. Следовательно,
существует такой элемент (и', и') ? R, что u'(z W н v' ? Z;
заключение можно выразить иначе, сказав, что множе-
множество RC\ (WXZ) не пусто. Так как множество R зам-
замкнуто, то (и, v) ?R. Доказательство проведено пол-
полностью.
Пусть теперь / — равномерно открытое непрерывное
отображение, X — полное псевдометризуемое простран-
пространство, Y — хаусдорфово равномерное пространство и У* —
хаусдорфово пополнение пространства У. Тогда f (гра-
(график отображения /) является замкнутым подмножеством
произведения ХхУ* в силу непрерывности f. Так как
отображение /: X-^-Y равномерно открыто, то выпол-
выполняется условие предыдущей леммы. Применяя ее, за-
заключаем, что отображение f:X-*Y* равномерно открыто.
Наконец, так как f[X]zz V[f[X]] для некоторого V из 33, то
множество f[X] непременно должно быть замкнуто (и
открыто) в пространстве У*. Значит, f[X] — полное про-
пространство.
37. Следствие. Пусть f — непрерывное равномер-
равномерно открытое отображение полного псевдометризуемого
пространства в хаусдорфово равномерное пространство.
Тогда значения отображения f образуют полное подпро-
подпространство.
272 ГЛ. 6. РАВНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ЗАДАЧИ
A. Упражнение на замкнутые отношения
Пусть X и У— топологические пространства, R— замкнутое
подмножество произведения XXY. Если А — бикомпактное подмно-
подмножество пространства X, то R[A] — замкнутое подмножество про-
пространства У.^Если y(^R[Al то АХ{у} содержится в открытом мно-
множестве (XXY) \ R. Теперь можно применить теорему 5.12.)
Б. Упражнение на произведение двух
равномерных пространств
Пусть (X, U) и (Y, Щ — равномерные пространства; для каж-
каждого U из Ни каждого V из 93 положим W(U, V) ={((x, у), (u,v)):
(х, u)?U и (у, V) ? V).
(а) Семейство всех множеств вида W(U, V) образует базу рав-
равномерности произведения на XXУ.
(б) Пусть R — любое подмножество произведения XXY. Тогда
W(U, V)[R]=V ° R о U->= U W[x]xV[y]: (х, у) ? R}.
(в) Замыкание подмножества R произведения XxY есть
П {VoRoU^-.U^ll и V?SB}.
B. Дискретное неметризуемое равномерное пространство
Следует иметь в виду, что равномерное пространство (X, U)
может быть не метризуемо, в то время как топология, порожден-
порожденная Ц, метризуема. Пусть Qo — множество всех порядковых чисел,
меньших первого несчетного порядкового числа Q. Для каждого
a?Q0 положим Ua={(x, у) :х = у или х^а и у <!а}. Семейство всех
множеств вида Ua является базой некоторой равномерности U на)
fia (заметим, что Ua = UaoUa = U~ ). Этой равномерности соот-
соответствует дискретная, а значит, метризуема я топология, хотя рав-
равномерное пространство (Qo. U) и не метризуемо.
Г. Упражнение: равномерные пространства
с базой, образующей гнездо
Пусть (X, U ) — хаусдорфово равномерное пространство. Пред-
Предположим, что равномерность 11 обладает базой, линейно упорядо-
упорядоченной отношением включения. Тогда либо пространство (X, Щ
метризуемо, либо пересечение каждого счетного семейства откры-
открытых в X множеств открыто.
Д. Пример: очень неполное пространство
Пусть Qo — множество всех порядковых чисел, меньших пер-
первого несчетного порядкового числа Q, и Q—порядковая топология
на Qo. Существует только одна равномерность на Qo, индуцирую-
индуцирующая топологию Q, причем пространство Qo не полно относительно
этой равномерности. (Пользуясь приемами из задачи 4. Д,
покажите, что если U — открытое в произведении QoXflo множе-
множество, содержащее диагональ, то существует такой элемент
X'z fio, что (у, г) ? U при у>х и г>х. Покажите затем, что
ЗАДАЧИ 273
равномерность, порождающая топологию Q, должна совпадать с
равномерностью индуцированной из бикомпактного пространства
Q'={x:x^.Q}.)
Замечание. Указанное свойство было замечено Дьедонне
[2]. Д о с с [1] охарактеризовал топологические пространства, кото-
которые, подобно Qo, имеют лишь одну равномерность.
Е. Теорема о предбазах для вполне
ограниченных пространств
Аналог теоремы 5.6 Александера, характеризующей бикомпакт-
бикомпактные пространства в терминах предбаз, для равномерных про-
пространств формулируется так. Пусть (X, U) —равномерное про-
пространство, причем для каждого элемента U некоторой предбазы
равномерности U существует такое конечное покрытие Аи .... Л„
пространства X, что AtXAidU при каждом I. Тогда пространство
(X, U.) вполне ограничено.
Следовательно, произведение равномерных пространств вполне
ограничено в том и только в том случае, когда каждое координат-
координатное пространство вполне ограничено.
Из предшествующего утверждения и теоремы 6.32 можно вы-
вывести теорему А. Н. Тихонова о произведении E.13) для случая,
когда все сомножители — вполне регулярные пространства.
Ж. Некоторые экстремальные равномерности
(а) Если (X, ^5) —тихоновское пространство, то равномерность,
индуцированная на X равномерностью бикомпактного расширения
Стоуна — Чеха пространства X, является наименьшей из всех рав-
номерностей, относительно которых равномерно непрерывна каждая
непрерывная на X ограниченная вещественная функция.
(б) Пусть (X, 3)—вполне регулярное пространство. Тогда
среди равномерностей на X, порождающих топологию 3, суще-
существует наибольшая равномерность $8. Эту равномерность можно
описать иначе — как наименьшую из тех, которые делают равно-
равномерно непрерывным каждое непрерывное отображение пространства
(X, !^) в произвольное метрическое, или в произвольное равномер-
равномерное, пространство. А именно, V(J$8 в том и лишь в том случае,
когда множество V является окрестностью диагонали в произведе-
произведении XXX и существует такая последовательность {Vn,n(^(j>} сим-
симметричных окрестностей диагонали, что Vo С V и Vn+loVn+l<Z Vn
прн каждом га из ш.
Замечание. Эти два построения иллюстрируют метод, уже
применявшийся раньше. Пусть F — произвольное семейство опреде-
определенных на множестве X отображений; элемент f?F отображает
пространство X в равномерное пространство У/. Тогда существует
наименьшая равномерность на X, относительно которой все эти
отображения равномерно непрерывны (или, что эквивалентно, рав-
равномерно непрерывно естественное отображение пространства X и
произведение П {У/ ¦ f 6 И) ¦
Дальнейшие сведения об экстремальных равномерностях можно
почерпнуть из работы Широта [1],
J8 Дж. л. Келли
274 ГЛ. 6. РАВНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
3. Равномерные системы окрестностей
В понятие равномерной системы окрестностей на множестве X
входят соответствие V и упорядочение !> , подчиненные следующим
ограничениям:
1) множество Va(x) содержит точку х и само содержится
в множестве X для каждого элемента а множества индексов А и
любой точки х из Х\
2) множество индексов А направлено отношением !>;
3) если а^Ь, то Va(x)cVb(x) для всех х\
4) для каждого элемента а множества А существует такой
элемент Ь ? Л, что у ? Va(x), если х ? Vb(</);
5) для каждого элемента а множества Л существует такой эле-
элемент Ь ? Л, что г ? Va (а-), если у ? 1Л, (*) и г ? V& (г/).
(а) Если (V, !>)—равномерная система окрестностей на X,
то семейство всех множеств вида {(х, у) :у? Va(x)}, где а — любой
элемент из Л. образует базу некоторой равномерности П на мно-
множестве X. Эта равномерность называется равномерностью, соответ-
соответствующей заданной равномерной системе окрестностей. Она обла-
обладает следующим свойством: для каждого а(^А найдется такое
?/?П, что U \x] d Va (х) при всех х?Х, и для каждого U из U
найдется такой элемент а?А, что Vn (а") с: U[x] при всех дс ^ X.
(б) Пусть U - некоторая равномерность на X. Положим
Vi-(x) = U[x] для каждого элемента U равномерности П и произ-
произвольной точки х множества X. Множество И направлено отноше-
отношением включения С Тогда (V, С)—равномерная система окрестно-
окрестностей на множестве X; соответствующая ей равномерность совпадает cU.
(в) Пусть Р — комплект псевдометрик равномерности It, за-
заданной на множестве X, и А—декартово произведение множества
Р и множества положительных вещественных чисел. Направим мно-
множество Л, согласившись, что (q, s) >(p, r) тогда и только тогда,
когда s^> и q(x, г/)> р{х, у) для всех точек хну множества X.
Положим Vp, г(х) ={у : р(х, у) <г}. Тогда (V, ;>)—равномерная си-
система окрестностей на X и U — соответствующая ей равномерность.
Замечание. После всего сказанного выше очевидно, что
в основу концепций равномерной топологии можно было бы поло-
положить «снабженные индексами» системы окрестностей; при этом по-
получилась бы теория, эквивалентная теории равномерных про-
пространств.
И. «Отклонения» и метрики
«Отклонением» на множестве X называется неотрицательная
вещественная функция с, определенная на множестве XXX и удо-
удовлетворяющая условиям:
1) е(х, </)=0 в том и только в том случае, когда х = у, и
2) для каждого положительного числа s существует такое по-
положительное число г, что если е(х,у) и е(у,г) меньше г, то
е(х, z)<s.
Для любого отклонения е на X существует такая неотрицатель-
пая функция р на множестве ХхХ, что выполняются условия:
1) р(х,у)—0 тогда и только тогда, когда х = у;
2) р(х, у) + р(у, г)^р(х, г) для всех х, у и г из X;
задачи 275
3) для каждого положительного числа s существует такое по-
положительное число г, что если е(х, у)<г, то p(x,y)<s, и если
р(х,у)<г, то е(х, y)<s.
Если е(х, у)=е{у, х) для всех х и у, то от функции р можно
потребовать, чтобы она была метрикой.
Замечание. По существу, это — метризационная теорема
Читтендена (см. 6.14). «Метризация» топологических пространств
посредством функций, удовлетворяющих всем аксиомам метрики,
кроме аксиомы симметрии: «d(x,y)=d(y,x)>>, изучалась Рибейро
[3] и Б а л а н ц а т о м [1].
Термин «отклонение» некоторыми авторами употреблялся для
обозначения расстояния со значениями в более общих структурах,
чем вещественные числа (например, в частично упорядоченном
множестве). О подходе к равномерной топологии на этой основе
можно узнать из работ Апперта [1], Го м ее а [1], Калиша [1],
Колме [1], Л. Коэна и Гофмана [1] и Ласа л я [1].
К. Системы равномерных покрытий
Пусть Ф — семейство покрытий множества X такое, что:
1) для любых покрытий 91 и S3 из системы Ф найдется по-
покрытие в Ф, вписанное ив 9Г, и в 58;
2) если ЭС^Ф, то в Ф найдется покрытие, звездно вписанное
в Ж;
3) если 9С — покрытие множества X и некоторое вписанное в 91
покрытие множества X принадлежит семейству Ф, то и 31 вхо-
входит в Ф.
Пусть 9С—равномерность на X, базой которой служит семей-
семейство множеств вида (J {АУ( А: А^Ж}, где % пробегает все Ф.
Тогда Ф — семейство всех равномерных покрытий равномерного
пространства (X, %).
Замечание. Описание равномерности в терминах покрытий
очень эффективно применялось Тьюки [1]*). Очень рано общая
конструкция этого рода была создана П. С, Александровым
и Урысоном [1].
Л. Топологически полные метризуемые пространства
Топологическое пространство (X, Q) называется метрически то-
топологическим полным тогда и только тогда, когда существует такая
метрика d на множестве X, что (X, d) — полное метрическое про-
пространство, топология которого совпадает с 3- Топологическое про-
пространство (X, 3) называется абсолютной G(, в том и лишь в том
случае, когда оно метризуемо и является множеством типа Об (пе-
(пересечением счетного семейства открытых множеств) в каждом мет-
метрическом пространстве, в которое оно топологически вкладывается.
Теорема П. С. Александрова [1]: топологическое простран-
пространство метрически топологически полно в том и только в том слу-
случае, когда оно является абсолютной G(,'
*) Позднее широкое исследование равномерных пространств на
языке семейств покрытий осуществил Ю. М. Смирнов [5], [6]
и др. (Прим. перев.)
18*
276 ГЛ. 6. РАВНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Доказательство распадается в ряд лемм.
(а) Пусть (X,d)—полное метрическое пространство, V — его
открытое подмножество. Для точек х ? U положим f (x) =
= dist (лг, X \ U) ' и ПуСТЬ d*^y)=d(x'y)+^^~f^- Тогда
d* — метрика, (U, d*) — полное метрическое пространство, причем то-
топологии, порожденные метриками d и d* на множестве U, совпадают.
(б) Множество типа G(, в полном метрическом пространстве
само гомеоморфно некоторому полному метрическому пространству.
(Пусть U= f] {Un '¦ п (:«>}: рассмотрите естественное отображение
пространства U в произведение полных метрических пространств
(ип, d*n\ где dn строится по d и 1)п так, как указано в (а).)
(в) Если всюду плотное подпространство У хаусдорфова про-
пространства X можно гомгоморфно отобразить на некоторое полное
метрическое пространство Z, го У является множеством типа G§
в X. (Обозначим через 11 п Для каждого целого числа я>0 множе-
множество всех точек пространства X, обладающих окрестностью, диаметр
образа которой меньше —'• Заданный гомеоморфизм f можно не-
непрерывно продолжить до некоторого непрерывного отображения f
пространства Г\{ип:п?е)} в пространство Z; при этом/ of — не-
непременно тождественное отображение.)
М. Топологически полные пространства;
униформизуемые пространства
Топологическое пространство (X, 3) называется топологически
полным тогда и только тогда, когда на X существует такая равно-
равномерность U, что пространство (X, п) полно и его равномерная то-
топология совпадает с 3-
(а) Пусть U в$- равномерности на множестве X, причем
11 С $8. Если пространство (X, U) полно и равномерная топология,
порожденная U, совпадает с равномерной топологией, порожден-
порожденной 58, то и пространство (X, SB) полно. Следовательно, вполне
регулярное пространство топологически полно тогда и только тогда,,
когда оно полно относительно наибольшей равномерности, совмести-
совместимой с топологией 3-
(б) Пусть (X, U) —полное равномерное пространство, F — мно-
множество типа Fa в нем (счетное объединение замкнутых множеств)
nx?X\F. Тогда существует непрерывная вещественная функция
на X, положительная на F и равная нулю в х. Следовательно, су-
существуют открытое множество V и равномерность SB на V такие,.
что Уэ/'.дг^ V, пространство (V, 58) полно, и топология, порож-
порожденная равномерностью SB, совпадает с топологией, индуцированной
на V топологией равномерности И. (Напоминаем про прием, при-
примененный в задаче 6. Л, (а).)
(в) Пусть (X, 11)—полное равномерное пространство и У —
его подмножество, являющееся пересечением некоторого семейства
множеств типа Fa. Тогда У топологически полно в топологии, инду-
индуцированной равномерной топологией пространства (X, 11) (см. 6. Л).
ЗАДАЧИ 277
(г) Каждое паракомпактное пространство X топологически пол-
полно. (Рассмотрим равномерность, образованную всеми окрестностями
диагонали. Пусть некоторая направленность Коши в X не сходится
ни к какой точке пространства X. Тогда для каждой точки х?Х
она с некоторого момента должна находиться в дополнении к не-
некоторой ее окрестности. Пользуясь тем, что произвольное открытое
покрытие паракомпактного пространства однообразно, получаем
противоречие.)
Замечание. Проблема топологической полноты изучалась
Дьедонне [1]. Он показал, в частности, что каждое метризуемое
пространство топологически полно (это следует как из (в), так и
из (г)—утверждений, приведенных выше). Широта [2] доказал
несколько интересных и глубоких теорем о топологической полноте,
идущих в направлении работы X ь ю и т т а [2]. См. также статью
У м е г а к и [1] *).
Вполне регулярное пространство X может не быть параком-
пактным и тем не менее удовлетворять следующим двум условиям:
1) семейство всех окрестностей диагонали является равномер-
равномерностью;
2) X — топологически полное пространство**).
Непаракомпактное пространство, удовлетворяющее условию 1),
описано в задаче 6. Д. Из свойства 1) вытекает нормальность.
(Пусть А и В — замкнутые непересекающиеся множества. Выберем
симметричное множество U так, чтобы было U°U а (X \ А) X
X (X \ A) U (X \ В) X {X \ В), и рассмотрим множества U[A] и
U[В]. Похожим рассуждением можно доказать более сильное свойство
нормальности, как показал Г. Коэн в [1].) В то же время произ-
произведение несчетного множества экземпляров пространства веществен-
вещественных чисел полно и нг нормально (А. Стоун [1]).
Сформулированное в пункте (в) /^-условие подсказано статьей
Смирнова [4] о нормальных пространствах.
И. Рассуждения, связанные с дискретными
подпространствами; счетная компактность
(а) Если подмножество А равномерного пространства (X, U)
не вполне ограничено, то существуют U^U и бесконечное подмно-
подмножество В множества А такие, что U[x] не пересекается с U[y] для
любых двух различных точек х и у множества В. Эквивалентное
условие: в комплекте равномерности U существует такая псевдо-
псевдометрика d, что d(x,y)%\ для любых различных точек хну мно-
множества В. (Множества, подобные В, можно было бы назвать рав-
равномерно дискретными.)
(б) Подмножество А топологического пространства (X, $>) на-
называется относительно счетно компактным тогда и только тогда.
*) Существует икая концепция топологической полноты, раз-
развитая Чехом: тихоновское пространство полно, если оно является
множеством типа Gf, в некотором содержащем его бикомпакте,
Это — тоже обобщение метрической полноты. (Прим. перев.)
**) Это доказал Исаак Намиока.
278 гл. 6. равномерные пространства
когда каждая последовательность точек множества А обладает пре-
предельной точкой в X. Каждое относительно счетно компактное под-
подмножество вполне регулярного пространства (X, Q) вполне ограни-
ограничено в наибольшей равномерности, совместимой с ?$• В топологи-
топологически полном пространстве (X, iy) подмножество относительно
счетно компактно тогда и только тогда, когда его замыкание биком-
бикомпактно, а замкнутое подмножество бикомпактно в том и только в
том случае, когда оно счетно компактно.
О. Инвариантные метрики
Псевдометрика р, заданная на множестве X, называется инва-
инвариантной относительно некоторого семейства F взаимно однознач-
однозначных отображений множества X на себя, или просто F-инвариант ной,
тогда и только тогда, когда р(х, у) = p(f(x), /(</)) для всех х и у
из X и всех / из F.
Элемент U равномерности U, заданной на X, называется F-uh-
вариантным, если (х, у) ?U эквивалентно (f(x),f(y)) ?U, при всех/
из F. Тогда семейство всех f-инвариантных псевдометрик, равно-
равномерно непрерывных на XXX, порождает равномерность U в том
и только в том случае, когда семейство всех /^-инвариантных эле-
элементов равномерности IX образует ее базу (см. 6.12).
Замечание. Это — непосредственное обобщение метризаци-
метризационной теоремы для топологических групп, формулируемой в следую-
следующем упражнении.
П. Топологические группы:
равномерности и метризация
Пусть (G, 3)—топологическая группа. Для каждой окрестно-
окрестности 0 единицы положим UL = {(x, у) : х~1у ?Щ и UR={(x, у) :
: ху~{ ? U]. Рассмотрим следующие равномерности на G: левую рав-
равномерность 8— ее базой служит семейство всех множеств UL, где
U — любая окрестность единицы, правую равномерность Ш, база
которой состоит из всех UR, и двустороннюю равномерность U,
предбазой которой является семейство 8(j9t
(а) Топология ?5 порождается любой из равномерностейй, Ш, УХ.
(б) Равномерность 8 (соответственно fR) порождается семей-
семейством всех левоинвариантных (правоинвариантных) псевдометрик,
непрерывных на GXG (см. 6.0).
(в) Пусть / — семейство всех окрестностей единицы группы G,
инвариантных относительно внутренних автоморфизмов. Семей-
Семейство / является базой системы окрестностей элемента е тогда и
только тогда, когда совокупность всех псевдометрик, лево- и право-
правоинвариантных одновременно, а также непрерывных на GXG, по-
порождает равномерность, топология которой совпадает с §. (Если
U—-инвариантная окрестность единицы е, то множество UL = UR
инвариантно относительно левых и правых переносов одновременно.
Если псевдометрика р лево- и правоинвариантна, то р(е,у) =
=р(х~1ех,х-'ух).)
(г) Пусть G — множество всех вещественных функций вида
g(x)=ax+b, где афО. Оно образует группу по отношению к one-
ЗАДАЧИ 279
рации композиции. Группу G можно топологизовать, согласившись,
что g лежит близко к единице тогда и только тогда, когда а близко
к единице, а |й| близко к нулю. Для этой группы 8 ф 9i'; для нее
не существует двусторонне инвариантной метрики. (То, что 2 ф 4R,
устанавливается непосредственным наблюдением определяющих баз.
Чтобы убедиться, что не существует инвариантной метрики, пока-
покажите, что при каждом g и а ф 1 существует f?G, для которого
свободный член функции f~l °g° f как угодно велик.)
Замечание. Пользуясь изложенными выше соображениями,
можно доказать, что лево- и правоинвариантные метрики на G су-
существуют в том и только в том случае, когда у системы окрест-
окрестностей единицы е есть счетная база (Б и р к г о ф [1] и К а к у т а-
ни [1]). Специальная теорема о двусторонне инвариантной метрике
принадлежит Кли [1].
Следует отметить, что метризуемость топологической группы
двусторонне инвариантной метрикой является очень сильным усло-
условием. В частности, на каждой локально бикомпактной группе с этим
свойством существует мера Хаара, инвариантная относительно ле-
левых и правых переносов*).
Р. Почти открытые подмножества топологической группы
Говорят, что подмножество А топологического пространства X
является почти открытым в X, или что оно удовлетворяет условию
Бэра, тогда и только тогда, когда существует такое худое множе-
множество В, что симметрическая разность. (/4\fi)U(S\ А) открыта.
(а) Множество А почти открыто в X в том и лишь в том слу-
случае, когда существуют худые множества В и С, для которых мно-
множество (Л \ S) (JC открыто. Счетные объединения почти открытых
множеств и дополнения до почти открытых множеств почти от-
открыты. Каждое борелевское множество почти открыто. (Семейство
борелевских множеств является наименьшим семейством, содержа-
содержащим все открытые множества и замкнутым относительно перехода
к дополнениям и счетным объединениям**).)
(б) Теорема Банаха — Куратовского — Петтиса.
Если множество А содержит нехудое почти открытое подмножество
топологической группы X, то АА~Х—окрестность единичного эле-
элемента (Если множество А нехудое, то и все X нехудое. Так как
X — топологическая группа, то каждое непустое открытое подмно-
подмножество пространства X тоже является иехудым. Для каждого почти
открытого подмножества В пространства X обозначим через В*
объединение всех открытых множеств U, для которых U(](X\B) —
худое множество. Тогда (хВ)* = хВ* и FA С)* = б*Г| С*, если С —
тоже почти открытое множество. Значит, хА*[\А* = (хА Г)Л)* и,
*) М. И. Граевым (УМН 5, № 2 C6) A950), 3—56) разобран
простой пример локально бикомпактной группы со счетной базой, на
которой нет двусторонне инвариантной непрерывной метрики. (Прим.
перев.)
**) Последнее условие означает, что дополнение к множеству
принадлежит семейству и объединение любого счетного множества
элементов семейства снова является его элементом. (Прим. перев.)
280 ГЛ. 6. РАВНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
если *Л*П'4* не пусто, то и хА f]A не пусто. Тогда А*(А*)-* =
= {х : хА*[\А* не пусто}с {х : хА П А не пусто} = АА-1.)
(в) Почти открытая подгруппа нехудой топологической груп-
группы X либо является худым множеством в X, либо открыта и замк-
замкнута в X.
(г) Требование почти открытости в формулировке утверждения
(в) нельзя опустить. Существует подгруппа Y группы вещественных
чисел X, для которой фактор-группа XIY бесконечна и счетна. Так
как для каждого Z^X/Y имеется гомеоморфизм пространства X на
себя, отображающий множество Y на множество Z, то множество
У нехудое в X. (Пусть В — базис Гамеля пространства X относи-
относительно рациональных чисел, С — счетное бесконечное подмножество
множества В и Y — множество всех конечных линейных комбина-
комбинаций элементов из б\ С.)
Замечание. Историческую справку и ссылки, относящиеся
к теореме (б), можно найти в статье Петтиса [1]. Конструкция,
описанная в (г), проходит не только для вещественных чисел, но и
в гораздо более широких предположениях. Основная идея принад-
принадлежит Хаусдорфу. Самые сильные результаты этого направления
изложены в работе Петтиса [1]; в последней также сообщается
история и даются дальнейшие ссылки.
С. Пополнение топологических групп
Пусть (G;f$)—топологическая группа, 8—ее левая равно-
равномерность, 9т— ее правая равномерность и U — двусторонняя рав-
равномерность (U — наименьшая равномерность, большая и 8, и 9т.). От-
Отмечалась, что 3 является равномерной топологией каждой из рав-
номерностей 8, 9? и U.
(а) Пространство (G, 8) полно тогда и только тогда, когда
полно пространство (G, 9?). Направленность в G является направ-
направленностью Коши относительно равномерности И в том и только
в том случае, когда она является направленностью Коши и по от-
отношению к 9?, и по отношению к 8. Если (G, 8) полно, то и (G, U)
полно. Равномерное пространство (G, 8) будет полным, если
(G, U) полно и группа G обладает следующим свойством: коль
скоро {xn,n<~D) является направленностью Коши по отношению
к 8, то и {(хп)~',п? D} — тоже направленность Коши по отноше-
отношению к 8. (Последнее равносильно требованию, чтобы у 8 и 9т бы-
были одни и те же направленности Коши.) Левый перенос на фик-
фиксированный элемент группы ОС-равномерно непрерывен, правый
перенос Э^-равномерно непрерывен, а инверсия (отображение х в
дг1) U-равномерно непрерывна. Умножение (пара (х,у) переходит
в элемент ху), как правило, не бывает равномерно непрерывно.
(б) Теорема. Пусть (G, ¦, 3)—хаусдорфова топологическая
группа, (Я, 95) — хаусдорфово пополнение равномерного простран-
пространства (G, U) и © — равномерная топология равномерности 58. В этом
случае групповую операцию можно единственным образом продол-
продолжить на Н так, что (И, ¦, ©) станет топологической группой с дву-
двусторонней равномерностью SB.
(в) Описанная в предыдущей теореме топологическая группа Н
будет пополнением рассматриваемой группы по правой равномер-
ЗАДАЧИ 281
мости, если направленности Коши у 8 и Ш одни и те же. Но в
силу сказанного в пункте (а) последнее условие необходимо для
существования «правого пополнения». Оно не всегда выполняется.
Например, пусть G — группа всех гомеоморфизмов замкнутого еди-
единичного интервала [0, 1] на себя с композицией в качестве группо-
групповой операции и с топологией (правоинвариантной) метрики:
d(f, g) =sup{|f (х) —g(x)\ : х ? [О, 1]}. В G существует последователь-
последовательность {/„,я?ю}, равномерно сходящаяся к не взаимно однозначному
отображению отрезка. Тогда последовательность {(/п), я? ю} не
удовлетворяет условию Коши относительно левой равномерности.
Группа G в двусторонней равномерности U уже полна, ибо U —
равномерность, порожденная метрикой d(x, у) +d(x~i, у1).
(г) Теорема. Пусть (G, •, 30—метризуемая топологическая
группа, d — метризующая ее правоинвариантная метрика и
d*(x, у) = d(x, у) +d(x~l, у). В этом случае двусторонняя равно-
равномерность U совпадает с равномерностью, порожденной метрикой
d*. Равномерное пространство (G, U) полно тогда и только тогда,
когда пространство G полно в какой-нибудь метрике, порождающей
топологию Q. (Равносильное утверждение: тогда и только тогда,
когда G является множеством типа G(> в каждом топологически
содержащем его метризуемом пространстве.) Если у 8 и ffi одни и
те же последовательности Коши, и G полно в некоторой метрике,
порождающей топологию iy, то G полно относительно каждой пра-
правоинвариантной метрики, совместимой с $ (см. 6. Л и 6. Р).
Замечание. Есть два важных специальных случая, когда
«правое пополнение» достижимо. Если у единичного элемента
группы есть вполне ограниченная окрестность или если инверсия
(отображение, переводящее х в х~[) равномерно непрерывна на не-
некоторой окрестности единицы, то каждая правая направленность
Коши является также и левой направленностью Коши и двусторон-
двустороннее пополнение дает также и правое пополнение. Эти результаты
доказываются без большого труда непосредственно; они есть в кни-
книгах Бурбаки [1] и Вейля [2]. Пример (в) принадлежит Дье-
донне [5], а утверждение (г) принадлежит К л и [1].
Часть утверждения (г) — вывод о полноте на основании метри-
метрической топологической полноты — нельзя распространить на неме-
тризуемые группы (см. 7. Н).
Т. Непрерывность и открытость гомоморфизмов;
теорема о замкнутом графике
На всем протяжении этого упражнения G и Я будут хаусдор-
фовыми топологическими группами, U будет обозначать семейство
всех окрестностей единицы в G, 23 будет обозначать соответствую-
соответствующее семейство в Н.
(а) Теорема о замкнутом графике. Пусть G — топо-
топологическая группа, Н — метризуемая топологическая группа, полная
относительно правой равномерности, и f — такой гомоморфизм груп-
группы G в группу Н, что:
1) график отображения f является множеством, замкнутым в
GXH, и
282 ГЛ. 6. РАВНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
2) замыкание множества f~l[V] принадлежит семейству И, если
Тогда отображение f непрерывно.
Двойственное утверждение: гомоморфизм g группы Я в группу
G открыт, если:
1*) график отображения g является множеством, замкнутым в
,
2*) замыкание множества g[V] принадлежит И, если V ? SB-
(Доказывается эта теорема применением леммы 6.36 к отно-
отношениям /"' и g. Воспользуйтесь правоинвариантной метрикой на Я.
Пространство Я полно относительно любой метризующей его право-
инвариантной метрики.)
(б) Если в посылки предшествующей теоремы включить пред-
предположения о том, что Я—линделёфово пространство (т. е. что
каждое открытое покрытие пространства Я содержит счетное под-
подпокрытие) и что G — нехудое пространство, то условие 2) будет
выполняться автоматически. Если, кроме того, g[H] = G, то усло-
условие 2*) тоже будет выполняться автоматически. Если G и Я — ли-
линейные топологические пространства, / и g — линейные отображе-
отображения, g[H]—G и пространство G — нехудое, то непременно выпол-
выполняются условия 2) и 2*). (Пусть V ? SB, тогда f[G]CZ Vf[G] и, если
Я — линделёфово пространство, то f[G] покрывается счетным семей-
семейством множеств, каждое из которых получается из V посредством
переноса на некоторый элемент множества f[G]. Замыкания про-
прообразов при f элементов этого семейства попарно гомеоморфны, и
их внутренности непременно не пусты, если пространство G неху-
нехудое. Следовательно, в множестве f~l[V\ содержится открытое мно-
множество и (/-'[V-1 vj^t'jy^y-'iv^FW^]• F\Y]= (FWT)'¦ JFWi)-
Отсюда вытекает, что f~l[V\ ?11 для каждого V из SB. Аналогичное
рассуждение проходит для отображения g. В случае линейного то-
топологического пространства вместо переносов элементов семейства
58 можно прибегнуть к умножению их на числа.)
(в) Теорема о замкнутом графике верна и в случае, когда Я —
локально бикомпактная топологическая группа: из 1) и 2) выте-
вытекает непрерывность; справедливо и двойственное утверждение.
(Этот результат проще изложенного выше. Его доказательство ба-
базируется на лемме 6. А.)
Замечание. Теорема о замкнутом графике для случая пол-
полных нормированных линейных пространств была доказана Бана-
Банахом [1], стр. 41 Во всех известных вариантах этой теоремы по-
посылки включают сильные ограничения на Я типа счетности или
компактности. Пример, опровергающий множество заманчивых ги-
гипотез, можно построить следующим образом. Пусть G —• какое-ни-
какое-нибудь бесконечномерное полное нормированное линейное пространство
и Я — это же линейное пространство G, наделенное тополо-
топологией, базой которой в нуле служит семейство всех выпуклых мно-
множеств, содержащих отрезки каждого направления*). Тождествен-
*) В терминологии Бурбаки множества, удовлетворяющие по-
последнему условию, называются поглощающими. (Прим. перев.)
ЗАДАЧИ 283
ное отображение g пространства Н на пространство G непрерывно
и удовлетворяет условиям 1) к 2), сформулированным выше (см,
6.Х, (а)).
Пространство Я обладает многими хорошими свойствами. На-
Например, оно полно, и для него выполняется теорема 6. X, (а) о рав-
равномерной ограниченности. Тем не менее отображение g, очевидно,
не открыто.
У. Суммируемость
Пусть f — функция со значениями в полной абелевой хаусдор-
фовой топологической группе и Л — некоторое подмножество ее
области определения. Обозначим через 91 семейство всевозможных
конечных подмножеств множества Л. Для F (~ ЭС определим SF как
сумму элементов f(a) по всем а из множества F. Семейство Ж на-
направлено отношением Z3 и {5^., /•'(JSt, ZD] — направленность в G.
Если эта направленность сходится к некоторому элементу s(^G, то
говорят, что функция f суммируема по Л, а элемент s называют
суммой f по А; при этом мы пишем s = ^ [f (а): а? А] = 2д f-
(а) Критерий Коши для суммируемости. Функция /
суммируема по А тогда и только тогда, когда для каждой окрест-
окрестности 0 элемента 0 группы G существует такое конечное подмно-
подмножество В множества Л, что для любого конечного множества
C(Z.A\B имеет место 2с ^ ^' Следовательно, функция, сумми-
суммируемая по А, суммируема по каждому подмножеству множества А.
(б) Если fag суммируемы по А, то f + g (где (f + g)(x) =
= f(x) +ё(х)) тоже суммируема по Л, причем У, (f -f- g) = ^ f +
^ ZiAg-
(в) Если f определена и суммируема на Л и SB — любое семей-
семейство попарно непересекающихся подмножеств множества Л, покры-
покрывающее А, то 2л ^= 2B^F) ••&€?}: В ?58). Однако из су-
существования повторной суммы еще нельзя заключить, что { сум-
суммируема по Л. (См 2. Ж по поводу специального случая, в котором
из существования повторной суммы следует суммируемость по Л,)
Ф. Равномерно локально бикомпактные пространства
Равномерное пространство (X, И) называется равномерно ло-
локально бикомпактным тогда и только тогда, когда существует такой
элемент U равномерности U, что множество U[x] бикомпактно для
каждой точки л: из X. В частности, каждая локально бикомпактная
топологическая группа равномерно локально бикомпактна относи-
относительно ее левой и правой равномерностей.
(а) Пусть (X, IX)—равномерное пространство, U — элемент
равномерности U, U0 = U и tfn = f/o(/n_( при каждом положитель-
положительном целом п. Тогда для каждого подмножества Л пространства X
множество [} WnlA]: п?ы] одновременно открыто и замкнуто.
(б) Пусть U — замкнутая окрестность диагонали в произведе-
произведении XXX, А — бикомпактное подмножество пространства X и мно-
множество U ° U[x] бикомпактно для каждого х из Л. Тогда множе-
множество 0[А] бикомпактно. (Множество U[A] замкнуто в силу 6. А.)
284 ГЛ. 6. РАВНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
(в) Каждое связное равномерно локально бикомпактное про-
пространство (X, U) а бикомпактно (т. е. X является объединением
счетного семейства бикомпактных подмножеств).
(г) Каждое равномерно локально бикомпактное пространство
является объединением семейства попарно непересекающихся откры-
открытых 0-бикомпактных подпространств. Значит, каждое такое про-
пространство паракомпактно.
(д) Пусть (X, 3) —топологическое пространство. Совместимая
с топологией 3 равномерность 11, для которой пространство (X, U)
равномерно локально бикомпактно, существует тогда и только
тогда, когда пространство (X, Q) локально бикомпактно и пара-
компактно (см. 5.28).
Замечание. Утверждение (а) вытекает, по существу, из рас-
рассуждения о цепочках, содержащегося в 5. Ф. Можно отметить, что
сформулированные в 5. Ф утверждения о компонентах и связных
множествах не распространяются на равномерно локально биком-
бикомпактные пространства.
X. Теорема о равномерной ограниченности
(а) Пусть X — вещественное линейное топологическое простран-
пространство, нехудое в себе, и К—некоторое замкнутое выпуклое подмно-
подмножество пространства X, удовлетворяющее условию К= ~К и содер-
содержащее отрезок каждого направления (т. е. для каждого к из X
существует такое положительное г, что sx ? К при О-^s^^). Тогда
К—окрестность нуля. (Покажите, что К — нехудое множество в X.
В силу б Р отсюда следует, что К — К является окрестностью нуля;
пользуясь выпуклостью, заключаем, что 2 К является окрестностью
нуля.)
(б) Теорема. Пусть F — некоторое семейство непрерывных
линейных отображений нехудого линейного топологического прост-
пространства X в нормированное линейное пространство У. Предполо-
Предположим, что sup{||/(jt)|| '¦ {?F] конечен для каждой точки х из X. Тогда
для некоторой окрестности U нуля в X имеем, что sup{||f(x)|| :x?U
и }?F} конечен. (Воспользовавшись предыдущим утверждением, по-
покажите, что если S — единичный шар около нуля в У, то множе-
множество fl {/~'[S]: f (zF) является окрестностью нуля в X.)
Замечание. Утверждение (б)—классическая теорема Ба-
Банаха — Штейнгауза. (Банах [1], стр. 80.) Приведенная формули-
формулировка, очевидно, можег быть еще обобщена. Основную идею обоб-
обобщения подсказывает утверждение (а). В терминологии следующей
главы заключение теоремы (б) можно было бы сформулировать
так: семейство F равностепенно непрерывно в нуле.
Ц. Булевы а-кольца
Булево кольцо (В, +, •) называется а-кольцом тогда и только
тогда, когда каждое ею счетное подмножество имеет наименьшую
верхнюю грань в естественном упорядочении множества В (см.
2. Л). Вот естественные примеры булевых 0-колец:
1) Кольцо B, Д, П). где 8— семейство всех измеримых по Ле-
Лебегу подмножеств отрезка [0, 1], или то же кольцо 1' по модулю се-
семейства 9i всех множеств меры нуль, является а-кольцом. (Здесь
ЗАДАЧИ 285
Д — симметрическая разность. Семейство 9? является в действитель-
действительности 0-идеалом в очевидном смысле.)
2) Кольцо (St/iW, А, П)> гДе 9t —семейство всех борелевских
подмножеств отрезка н Ш— его подсемейство, состоящее из худых
борелевских множеств.
В этом упражнении мы хотим установить теорему о представ-
представлении типа 2) для произвольного булева о-кольца. Через 33 всюду
будет обозначаться семейство всех бикомпактных открытых под-
подмножеств некоторого локально бикомпактного булева пространства
X. Мы ничего не потеряем в общности, если ограничимся кольцами
типа (S3, А, Л)- (См. теорему Стоуна о представлении, 5. У.)
(а) Если C3, A,f| )—булево о-кольцо, то замыкание объеди-
объединения счетного множества элементов семейства 33 снова является
элементом 33 (т. е. замыкание объединения счетного семейства от-
открытых бикомпактных подмножеств пространства X бикомпактно и
открыто).
(б) Пусть Ж — наименьшее объемлющее 33 семейство подмно-
подмножеств пространства X, содержащее вместе с любым счетным на-
набором своих элементов их объединение и вместе с любыми двумя
элементами их симметрическую разность. Обозначим через Ш се-
семейство всех худых подмножеств пространства X. Тогда для каж-
каждого элемента А семейства Ж существует единственный элемент В
семейства 33 такой, что ЛАЙ ?5Ш (см. задачу 6. Р, (а)).
(в) Теорема. Определенное выше а-кольцо 81 является пря-
прямой суммой кольца 93 и о-идеала Ж (~1 Ш- Следовательно, 33 изо-
изоморфно булеву а-кольцу 91 по модулю а-идеала Э1ПЗК-
Замечание. Результаты этого упражнения принадлежат
Л ю м и с у [1]. Пространства, в которых замыкание каждого откры-
открытого множества открыто (такие, как стоуновское пространство бу-
булева о-кольца, удовлетворяющее условию Суслина—см. задачу 1.0),
иногда называют экстремально несвязными*). Пространство всех
вещественных ограниченных борелевских функций на бикомпактных
пространствах этого типа разлагается по аналогии с фактом, изло-
изложенным в пункте (в), на пространство непрерывных функций и про-
пространство функций, равных нулю вне худого множества. По поводу
этого и других результатов см. статью М. Стоуна [4], а также
статью Д и к с м ь е [1].
*) Экстремально несвязные тихоновские пространства весьма
замечательны. Онн являются проективными объектами в категории
тихоновских топологических пространств и их совершенных непри-
неприводимых отображений. Если пространство отделимой бикомпактной
группы экстремально несвязно, то оно конечно. В экстремально не-
несвязных пространствах не существует нетривиальных сходящихся
последовательчостеи. (Отображение f : Х-ъ-Y совершенно и неприво-
димо, если оно непрерывно, замкнуто, прообразы всех точек биком-
бикомпактны и не существует замкнутого в X множества X'. отличного от
X, для которого fX'=Y.) Читайте прежде всего: Глисон [1] и
Пономарев [3], [6], [7]. (Прим. перев.)
Глава 7
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА
(ПРОСТРАНСТВА ОТОБРАЖЕНИЙ)
Эта глава посвящена функциональным простран-
пространствам. Элементами функциональных пространств слу-
служат функции, определенные на фиксированном множе-
множестве X со значениями в фиксированном топологическом
или равномерном пространстве У. Почти всюду речь
идет о функциях, непрерывных относительно некоторой
топологии на X. Вкратце, наша цель состоит в том, что-
чтобы определить топологии и равномерности на множе-
множествах непрерывных функций и выяснить свойства типа
компактности, полноты и непрерывности получившихся
пространств.
У большинства результатов этой главы есть прото-
прототипы в классической теории функций действительной
переменной. Однако теоремы о совместной непрерыв-
непрерывности и бикомпактно открытой топологии относятся к
недавнему времени. Они по преимуществу принадлежат
Фоксу [1]. Дальнейшие сведения о пространствах ото-
отображений можно найти в работах Аренса [1], Бур-
баки [1], Майерса [1] и Тьюки [1].
ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ
Один тип топологии функциональных пространств
нами исследован уже довольно широко. Если F — семей-
семейство отображений множества X в топологическое про-
пространство У, то F содержится в произведении Ух =
= П{У: x(i X). Топология Щ поточечной сходимости (по-
(покоординатной сходимости, простой сходимости), или
просто поточечная топология на F, — это топология,
индуцированная топологией произведения. Направлен-
Направленность {/п, n€.D) сходится к g тогда и только тогда, ко-
ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ 287
гда направленность {!п(х), n?D} сходится к g(x) при
каждом х из X (см. 3.4). Предбазу топологии 4j> обра-
образует семейство всех подмножеств вида {f'-f(x)? Щ, где
х — произвольная точка из X и U — любое множество, от-
открытое в X. Для каждой точки хб X определено отобра-
отображение ех множества F, называемое вычислением в точ-
точке х (или проектированием в х-е координатное простран-
пространство), описываемое формулой ex(f) —f(x) при всех f из F.
Вычисление в х непрерывно (и открыто, если F — Y*) по
отношению к s$ (теорема 3.2), и Щ—наименьшая топо-
топология на F, относительно которой каждое отображение
вычисления непрерывно. Отображение g топологического
пространства в множество F непрерывно относительно
топологии S$ тогда и только тогда, когда ex°g непре-
непрерывно для каждой точки х из X (теорема 3.3). Пото-
Поточечная топология зависит только от рассматриваемого
семейства отображений и от топологии, заданной на
множестве У. Топология на X, если она там и имеется,
не влияет на определения и теоремы. Если У — хаусдор-
фово или регулярное пространство, то пространство F
обладает тем же свойством C.5 и 4.А), но, вообще го-
говоря, пространство У может быть локально бикомпакт-
бикомпактным или удовлетворять первой, либо второй, аксиоме
счетности без того, чтобы пространство F обладало теми
же свойствами C.6 и 5.19).
Описание функциональных пространств, бикомпакт-
бикомпактных в поточечной топологии, немедленно вытекает из
теоремы Тихонова E.13) о произведении бикомпактных
пространств. Прежде чем сформулировать результат, в
целях удобства согласимся называть семейство F ото-
отображений множества X в топологическое пространство У
поточечно замкнутым тогда и только тогда, когда F яв-
является замкнутым подмножеством пространства про-
произведения Yx. Если А — подмножество множества X, то
f[A] определяется как множество всех точек f(x), где
х? А и f (z F. В случае х 6 X запись F[{x}) сокращается до
F[x]. Если ех — вычисление в х, то, очевидно, ex[F] — F[x].
1. Теорема. Для того чтобы семейство F отобра-
отображений множества X в топологическое пространство У
было бикомпактно относительно топологии поточечной
сходимости, достаточно, чтобы выполнялись условия:
288 ГЛ. 7. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
(а) семейство F поточечно замкнуто в Yx\
(б) замыкание множества F[x] бикомпактно для ка-
каждой точки х(: X.
Если Y — хаусдорфово пространство, то условия (а)
и (б) также и необходимы.
Доказательство. Семейство F содержится не
только в Yx, но и в H{F[x]: x(i X}. Если условие (б) вы-
выполняется, то последнее множество является бикомпакт-
бикомпактным подмножеством произведения Yx в силу теоремы
Тихонова о произведении. Если F поточечно замкнуто,
то F бикомпактно. Достаточность условий (а) и (б) тем
самым доказана. Если Y — хаусдорфово пространство и
множество F бикомпактно в топологии поточечной схо-
сходимости, то F замкнуто в силу теоремы 5.7. Множество
F[x] бикомпактно и замкнуто, ибо вычисление в произ-
произвольной точке х является непрерывным отображением
пространства F в хаусдорфово пространство У.
Предшествующая теорема важнее, чем можно было
бы думать на основании одних лишь ее применений к
изучению топологии поточечной сходимости. Топология
поточечной сходимости во многих отношениях неесте-
неестественна. Например, пусть X — множество; для каждого
его конечного подмножества А обозначим через СА ха-
характеристическую функцию множества А (т. е. СА{х) = \
при х?А и СА(х)=0 при х (? А). Семейство 51 всех ко-
конечных подмножеств множества X направлено отноше-
отношением :э, следовательно, {СА, А^_%} — некоторая направ-
направленность отображений множества X в замкнутый еди-
единичный интервал. Эта направленность сходится к ото-
отображению е, тождественно равному единице, ибо {х}(_ 2?
для каждой точки х, и если Azd{x}, то Са(х)=\. Ясно,
что топология, при которой характеристическая функция
конечного множества оказывается лежащей «близко»
к единичной характеристической функции, для многих
целей неудобна. Интереснее топологии, сходимость отно-
относительно которых подчинена более сильным ограниче-
ограничениям, т. е. большие топологии. Но заметьте: если про-
пространство (F, 3) бикомпактно и топология 3 больше,
чем топология ^ поточечной сходимости, то тождествен-
тождественное отображение / пространства (F, 3) на пространство
ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ 289
(F, Щ) непрерывно, и если (F, Щ —хаусдорфово про-
пространство, то i— непременно гомеоморфизм. Следова-
Следовательно, если (F, 3) —бикомпактное хаусдорфово про-
пространство, причем 3 больше, чем топология поточечной
сходимости, то 5 совпадает с последней. Это простое
замечание указывает стандартный путь доказательства
бикомпактности функционального пространства F отно-
относительно топологии 3- Сначала показывают, что F
бикомпактно относительно топологии поточечной сходи-
сходимости, и доказывают затем, что из ^-сходимости направ-
направленности в F следует ее J-сходимость. Если Y— хаус-
хаусдорфово пространство, то мы ничего не потеряем в общ-
общности, если ограничимся проверкой этих двух условий,
ибо если не выполняется хоть одно из них, то простран-
пространство F в топологии 3 не бикомпактно.
Иногда оказывается удобным рассматривать пото-
поточечную сходимость на точках из некоторого подмноже-
подмножества области определения функций. Пусть F — некото-
некоторое семейство отображений множества X в топологиче-
топологическое пространство У и Л — подмножество множества X.
Существует естественное отображение R пространства F
в пространство произведения УА, получающееся посред-
посредством сужения каждого /С F на множество А, т. е.
R(f)=f\A для каждого / из F. Наименьшая тополо-
топология ^а на множестве F, относительно которой отобра-
отображение R непрерывно, состоит, очевидно, из прообразов
открытых подмножеств пространства YA при R. Эта то-
топология называется топологией поточечной сходимости
на А. Предбазу топологии ^Л образует семейство всех
множеств вида {f'¦ f (х) ? U}, где х?А и U — множество,
открытое в Y. Направленность {/„, n^D) в F сходится
к g относительно топологии ^л тогда и только тогда, ко-
когда направленность {fn(x), n(i D) сходится к g(x) при
каждом х из А. Отображение R взаимно однозначно в
том и лишь в том случае, когда для любых различных
элементов fug семейства F существует такая точка
х?А,что f(x)i=g{x). Если подмножество А множества^
удовлетворяет этому условию, то говорят, что оно раз-
различает элементы семейства F.
2. Теорема. Пусть F — некоторое семейство ото-
отображений множества X в хаусдорфово пространство Y
19 Дж. Л. Келли
290 ГЛ. 7. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
и А — подмножество множества X. Семейство F, наде-
наделенное топологией ЩА поточечной сходимости на А, яв-
является хаусдорфовым пространством в том и только в
том случае, когда А различает элементы семейства F.
Если F бикомпактно в топологии поточечной сходимости
на X, а множество А различает элементы семейства F,
то топологии *>$ и ^А совпадают.
Доказательство. Пространство произведения
YA хаусдорфово. Из определения топологии ^а следует,
что F хаусдорфово относительно нее в том и только в
том случае, когда отображение сужения R взаимноодно-
взаимнооднозначно. Последнее условие эквивалентно тому, что А
различает элементы семейства F. Тождественное ото-
отображение i пространства (F, '>$) на пространство (F, ЩА)
непрерывно всегда, ибо всегда ^лс^. Если (F, Щ) би-
бикомпактно и (F,^A)—хаусдорфово пространство, то / —
гомеоморфизм и Щ = ЩА.
Если пространством значений служит равномерное
пространство, то топология поточечной сходимости со-
совпадает с топологией, порожденной равномерностью
произведения.
Пусть F — семейство отображений множества X в
равномерное пространство (Y, 23). Тогда F можно рас-
рассматривать как подмножество произведения Yl{Y:xdX};
равномерность, индуцированная на F равномерностью
произведения, называется равномерностью поточечной
сходимости (или равномерностью простой сходимости).
Часто полное название будет заменяться термином
«^-равномерность». Свойства этой равномерности нами
уже изучены (см., например, теорему 6.25).
Если А — подмножество множества X, то равномер-
равномерность поточечной сходимости на А, или просто ^л-рав-
номерность, определяется как наименьшая равномер-
равномерность, относительно которой отображение сужения R
пространства F в семейство всех отображений множе-
множества А в пространство Y равномерно непрерывно. Ниже
выписан без доказательства ряд простых фактов, свя-
связанных с ^А-равномерностью.
3. Теорема. Пусть F — некоторое семейство ото-
отображений множества X в равномерное пространство
(Y, 23) и А — подмножество множества X. Тогда рае-
БИКОМПАКТНО ОТКРЫТАЯ ТОПОЛОГИЯ 291
номерность поточечной сходимости на А обладает сле-
следующими свойствами:
(а) Семейство всех множеств вида {(f, g) : (f{x),
g(x))? V}, где V ? 23 и х?А, образует предбазу равно-
равномерности %А.
(б) Топология ^А-равномерности совпадает с топо-
топологией поточечной сходимости на А.
(в) Направленность {/„, n?D} является направлен-
направленностью Коши в том и только в том случае, когда на-
направленность {fn(x), n?D} является направленностью
Коши при каждом х?А.
(г) Если пространство (У, 98) полно, а множество
R[F] замкнуто в YA относительно топологии поточечной
сходимости на А, то множество F, наделенное % А-рй-вно-
мерностью, полно.
БИКОМПАКТНО ОТКРЫТАЯ ТОПОЛОГИЯ
И СОВМЕСТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Если на семействе F отображений топологического
пространства X в топологическое пространство У за-
задана топология, то естественно возникает вопрос, непре-
непрерывно ли зависит элемент f(x) от совокупности f и х.
Чуть более формальная постановка вопроса такова: при
каких топологиях на F будет непрерывным отображение
множества FxX, наделенного топологией произведения,
в пространство К, заключающееся в том, что точке (f, x)
ставится в соответствие точка f(x)? Данный параграф
посвящен краткому обсуждению этого вопроса. Оказы-
Оказывается, существует специальная топология на функцио-
функциональном пространстве, тесно связанная со сформулиро-
сформулированной задачей. Мы начнем с определения этой тополо-
топологии и выяснения некоторых ее элементарных свойств.
Весь параграф посвящен топологическим вопросам.
Связи с некоторой равномерностью на функциональном
пространстве будут установлены позднее. Всюду на про-
протяжении параграфа F будет некоторым семейством ото-
отображений топологического пространства X в топологи-
топологическое пространство У.
Удобно следующее обозначение: для каждого подмно-
подмножества К пространства X и каждого подмножестБа U
19*
292 ГЛ. 7. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
пространства У определим W(К, U) как множество всех
элементов семейства F, отображающих К в U. Таким
образом, W(K, U) ={f:f[K]aU}. Семейство всех мно-
множеств W(K, U), где К— любое бикомпактное подмноже-
подмножество пространства X и U — произвольное множество,
открытое в У, является предбазой бикомпактно откры-
открытой топологии & на множестве F. Следовательно, се-
семейство всевозможных пересечений конечного числа мно-
множеств вида W(K, U), где К и U таковы, как выше, обра-
образует базу бикомпактно открытой топологии. Произволь-
Произвольный элемент этой базы имеет вид П {W(KU иг): i = 0, 1,...
...,«}, где каждое Кг — бикомпактное подмножество про-
пространства X, а каждое ?/,-— открытое подмножество про-
пространства У. Тот факт, что каждое одноточечное множе-
множество бикомпактно, позволяет очень просто сравнить би-
бикомпактно открытую топологию с топологией поточечной
сходимости.
4. Теорема. Бикомпактно открытая топология К со-
содержит топологию ^3 поточечной сходимости. Простран-
Пространство (F, 6) хаусдорфово, если пространство значений У
хаусдорфово, и (F, К) регулярно, если У регулярно, a F
состоит из непрерывных отображений.
Доказательство. Для каждой точки х 6 X и
каждого открытого подмножества U пространства У
множество W({*}, U) ={f : f (x) ? U} принадлежит семей-
семейству К, ибо {х} — бикомпактное множество. Следова-
Следовательно, ^с(?, ибо семейство множеств вида ^({х}, U)
образует предбазу топологии поточечной сходимости %\
Если У — хаусдорфово пространство, то и (F,^) —хаус-
—хаусдорфово пространство в силу теоремы 3.5; каждые непе-
непересекающиеся ^-окрестности U и V элементов семей-
семейства F являются также и К-окрестностями. Следователь-
Следовательно, (F, S) —хаусдорфово пространство.
Наконец, предположим, что пространство У регуляр-
регулярно. Следует показать, что каждая окрестность произ-
произвольного элемента f семейства F содержит некоторую
его замкнутую окрестность. Достаточно доказать, что
это выполняется для каждой окрестности, принадлежа-
принадлежащей некоторой предбазе топологии 6, ибо произвольная
окрестность элемента / содержит пересечение некоторого
конечного множества элементов предбазы. Предполо-
БИКОМПАКТНО ОТКРЫТАЯ ТОПОЛОГИЯ 293
жим, что f?W(K, U), где К — бикомпактное множе-
множество, a U — открытое множество. Множество f[K\ биком-
бикомпактно, и так как пространство У регулярно, то из тео-
теоремы 5.10 следует, что существует такая замкнутая
окрестность V множества f[K], что- VaU. Конечно, fC;
eW(K,V)aW(K,U). Ясно, что W(K, V)— окрестность
элемента f. Остается показать, что множество №7(/(, V)
замкнуто. Но W(K, V) является пересечением множеств
W(M, У) по всем х из К, каждое из которых ^-замк-
^-замкнуто и, значит, Е-замкнуто.
Безнадежно пытаться показать, что если простран-
пространство У нормально или удовлетворяет первой аксиоме
счетности, то теми же свойствами обладает простран-
пространство (F, К). В самом деле, когда X — дискретное про-
пространство, бикомпактны лишь конечные множества, и,
значит, в этом случае S совпадает с топологией пото-
поточечной сходимости. Произведение нормальных про-
пространств, равно как и произведение пространств с пер-
первой аксиомой счетности, может не обладать названным
свойством сомножителей. Значит, и семейство F, наде-
наделенное топологией E, может его не иметь.
Обозначим через Р отображение множества FXX в
пространство У, состоящее в том, что точке (f, x) соот-
соответствует точка f(x). Топологии на F соответствует то-
топология произведения на FxX; естественно спросить:
когда отображение Р непрерывно относительно этой то-
топологии произведения? Топология, заданная на множе-
множестве F, называется совместно непрерывной тогда и толь-
только тогда, когда отображение Р пространства FXX в про-
пространство У непрерывно. Очень легко сообразить, что
топология поточечной сходимости обычно бывает не со-
совместно непрерывной. Дискретная топология совместно
непрерывна, ибо если U — открытое подмножество про-
пространства У, то P-1[U] = {(f,x):f(x)^U}=\i{{f}Xf-l[U\-
:f?F}, где справа стоит объединение открытых мно-
множеств (мы предполагаем, что F состоит из непрерывных
функций). Если некоторая топология на F совместно не-
непрерывна, то и каждая большая ее топология тоже со-
совместно непрерывна. Возникает естественная задача:
найти наименьшую совместно непрерывную тополо-
топологию, если таковая существует. Оказывается, что обычно
294 ГЛ. 7. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
наименьшей совместно непрерывной топологии не суще-
существует. Однако небольшое ослабление условия совмест-
совместной непрерывности приводит в точности к бикомпактно
открытой топологии. Топология, заданная на семействе F
функций, называется совместно непрерывной на множе-
множестве А тогда и только тогда, когда отображение Р, где
P(f, x)=f(x), непрерывно на пространстве FxA. (Пре-
(Предостережение: это условие не означает, что отображе-
отображение Р непрерывно в точках множества FxA; наложен-
наложенное нами ограничение заключается в требовании непре-
непрерывности сужения Р\ (FxA).) Говорят, что заданная на
семействе F топология совместно непрерывна на биком-
бикомпактных множествах, тогда и только тогда, когда она
совместно непрерывна на каждом бикомпактном под-
подмножестве области определения. Каждый элемент f та-
такого семейства F непременно является функцией, непре-
непрерывной на каждом бикомпактном подмножестве К про-
пространства X (т. е. f\K непрерывна).
5. Теорема. Каждая топология, совместно непре-
непрерывная на бикомпактных множествах, больше биком-
бикомпактно открытой топологии К. Если пространство X ре-
регулярно или хаусдорфово и F состоит из функций,
непрерывных на бикомпактных подмножествах простран-
пространства X, то топология К совместно непрерывна на биком-
бикомпактных множествах.
Доказательство. Пусть заданная на F тополо-
топология 3 совместно непрерывна на бикомпактных множе-
множествах, U — произвольное открытое подмножество про-
пространства У, К — бикомпактное подмножество простран-
пространства X и Р — отображение, описываемое правилом:
P(f, x)=f(x). Следует показать, что подмножество
W(K, U), где W(K, U)={f: f[K\<=U}, 3-открыто. Мно-
Множество V= (FxK) UP~l[U] открыто в произведении FxK,
ибо топология 3 совместно непрерывна на бикомпакт-
бикомпактных множествах. Если f€W(K, U), то {f}xKaV, и так
как множество {f}XK бикомпактно, то существует такая
3-окрестность N элемента f, что NxKcP~l[U] в силу
теоремы 5.12. Иными словами, каждый элемент 3-окрест-
ности N элемента f принадлежит множеству W(K, U).
Отсюда следует, что W(K, U) 3-открыто, и первое
утверждение теоремы доказано. Докажем второе утвер-
БИКОМПАКТНО ОТКРЫТАЯ ТОПОЛОГИЯ 293
ждение Пусть К — бикомпактное подмножество про-
пространства X, xd К, U— множество, открытое в У, и
(f, х)^Р~\и]. Тогда, так как / непрерывна на К, то
существует такое бикомпактное множество М, являю-
являющееся окрестностью точки х в пространстве К, что
f[M]czU (напоминаем, что пространство X либо хаусдор-
фово, либо регулярно). Тогда W(M, U)XM — окрест-
окрестность элемента (/, х) в произведении FxK, содержа-
содержащаяся в множестве Р~\Щ. Совместная непрерывность
на множестве К доказана.
Можно заметить, что если пространство X локально
бикомпактно, то топология совместно непрерывна на
бикомпактных множествах тогда и только тогда, когда
она совместно непрерывна. Следовательно, если X —
локально бикомпактное регулярное пространство, то би-
бикомпактно открытая топология на семействе непрерыв-
непрерывных отображений является наименьшей совместно не-
непрерывной топологией*).
Если топология 3 на семействе F совместно непре-
непрерывна на бикомпактных множествах, то ЗзКз^р, где
й — бикомпактно открытая топология и Ц — топология
поточечной сходимости. Если пространство (F, 3) би-
бикомпактно, а пространство значений хаусдорфово, то
(F, Щ) — хаусдорфово пространство и, следовательно,
3 = 6 = ^?- Этим доказана необходимость одного из ус-
условий G-бикомпактности, сформулированных в следую-
следующей теореме. Весьма любопытна сама формулировка ре-
результата; она приспособлена для прямого применения
при решении одной дальнейшей задачи.
6. Теорема. Пусть X — топологическое простран-
пространство, либо регулярное, либо хаусдорфово, Y — хаусдор-
хаусдорфово пространство и С — семейство всех отображений X
в Y, непрерывных на каждом бикомпактном подмноже-
подмножестве пространства X, Пусть й й |- соответственно би-
бикомпактно открытая топология и топология поточечной
сходимости. Тогда подсемейство F семейства С 6 -би-
-бикомпактно в том и только в том случае, когда:
(а) /¦ является множеством, ^-замкнутым в С;
*) Это утверждение верно для произвольных хаусдорфовых
ft-пространств. (Прим. перев.)
296 ГЛ. 7. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
(б) замыкание множества F[x] бикомпактно для каж-
каждой точки х из X;
(в) топология ^ на ^-замыкании множества F в Yx
совместно непрерывна на бикомпактных множествах.
Доказательство. Предположим, что семейство
F 6-бикомпактно. Пространство (С, (V) хаусдорфово, ибо
пространство Y хаусдорфово; следовательно, F является
множеством, E,-замкнутым в С. Вычисление в точке х
является ^-непрерывной и тем более К-непрерывной
функцией. Следовательно образ F (х) множества F биком-
бикомпактен. Топологии Ё и $ на F совпадают, ибо F 6-биком-
пактно и ^-хаусдорфово. Следовательно, F ^-замкнуто
в \'х; в силу теоремы 7.5 топология К (а значит, и топо-
топология %) на F совместно непрерывна на бикомпактных
подмножествах. Этим доказательство необходимости
условий (а), (б) и (в) завершено.
Пусть условия (а), (б) и (в) выполняются. Обозна-
Обозначим через F ^-замыкание множества F в Yx. Условие (б)
состоит в том, что множество F[x] бикомпактно для каж-
каждой точки х; так как F — замкнутое подмножество ^-би-
^-бикомпактного множества Щ/"!*]: х 6 X), то отсюда сле-
следует, что семейство/^ Ч*-бикомпактно. В сил^ условия (в)
топология ^ на F совместно непрерывна на бикомпакт-
бикомпактных подпространствах. Следовательно, каждый элемент
семейства F непрерывен на каждом бикомпактном мно-
множестве, т. е. FczC. Из теоремы 7.5 вытекает, что топо-
топология ^р на F больше топологии 6; значит, на F эти
две топОоТогии совпадают. В силу условия (а) семей-
семейство F 6-замкнуто в С. Тем более F будет К- (а значит,
и ^-)замкнутым в подпространстве F пространства С.
Значит, F = F, и множество F S-бикомпактно.
7. Замечания. Семейство С всех функций, непре-
непрерывных на каждом бикомпактном подмножестве, совпа-
совпадает с семейством всех непрерывных функций, если про-
пространство локально бикомпактно или удовлетворяет
первой аксиоме счетности (см. теорему 7.13 и пред-
предшествующее ей обсуждение). Обычно представляет ин-
интерес именно семейство всех непрерывных функций. Од-
Однако появление класса С вызвано структурой матема-
математики (а не капризом автора). Этот класс встретится
РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 297
также несколько позже при обсуждении вопроса пол-
полноты.
Взаимоотношения бикомпактно открытой топологии
и совместной непрерывности первым изучал Фокс [1].
Он показал, что бикомпактно открытая топология на се-
семействе непрерывных функций меньше каждой совмест-
совместно непрерывной топологии и что она сама совместно
непрерывна, если отображаемое пространство локально
бикомпактно. Доказательство того, что в общем случае
не существует наименьшей совместно непрерывной топо-
топологии, можно найти в статье Аренса [1].
РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
Этот параграф посвящен изучению одной равномер-
равномерности на семействе F отображений множества X в рав-
равномерное пространство (УД?). Она не зависит от топо-
топологии на множестве X. Однако один из важных резуль-
результатов заключается в том, что семейство всех отображе-
отображений, непрерывных относительно некоторой топологии
на X, замкнуто в множестве всех отображений X в У, на-
наделенном топологией этой равномерности. Иными слова-
словами, предел непрерывных функций по равномерной топо-
топологии является непрерывной функцией.
Равномерность равномерной сходимости — наиболь-
наибольшая из тех, которые будут рассматриваться, а равномер-
равномерность поточечной сходимости — наименьшая. Обе эти
равномерности можно считать вариантами равномерно-
равномерности, соответствующей равномерной сходимости на эле-
элементах некоторого семейства % множеств. Эта концеп-
концепция исследуется вкратце: для каждого семейства 21 под-
подмножеств множества X строится некоторая равномерность
и устанавливаются элементарные свойства последней.
Пусть F — некоторое семейство отображений множе-
множества X в равномерное пространство (У, 23). Для каж-
каждого элемента V равномерности 23 обозначим через
W(V) множество*) всех пар (/, g) таких, что
*) Множество W[V\ очень просто описывается в терминах обыч-
обычных обозначений для отношений: W(V) ={(/, g) :g'o/~1cV}. Это —
понятное утверждение: g°f~' — в точности множество всех пар
(f(x), g(x)), где xfX Ясно также, что W(V) ={(f, g) : gc:V°f} и
W(V)lf] = {g : gcz Vo /}={g, : g(x) ? V[f (x)] для каждого х из X).
298 ГЛ. 7 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
(f(x)> g(x)) €V ПРИ каждом х?Х. Множество ()[f]
тогда состоит из всех g, для которых g(x)d V[f(x)] при
каждом х из X. Легко видеть, что W(V~l) = (W(V) )~l,
W(UVlV)=W(U) nW(V) и W(UoV)=>W(U) oW(V) для
всех элементов V и V равномерности 33. Следовательно,
семейство всех множеств вида W(V), где VC'-У, обра-
образует базу некоторой равномерности П на множестве F
в силу теоремы 6.2. Это семейство И называется равно-
равномерностью равномерной сходимости, или просто р. с.-рав-
с.-равномерностью. Топология, порожденная II, называется
топологией равномерной сходимости, или р. с.-топологией.
Ясно, что II больше равномерности поточечной схо-
сходимости. В самом деле, пусть у — произвольная точка
множества X и V6 33. Тогда {(/, g) : (/(*), g(x))i. V для
всех х dX}c:{(f, g): (jiy), g(l/))fcV'} и, значит, каждый
элемент определяющей предбазы равномерности II яв-
является подмножеством некоторого элемента определяю-
определяющей предбазы поточечной равномерности. Отсюда выте-
вытекает, что р. с.-топология больше*) топологии поточеч-
поточечной сходимости. Легко усмотреть также, что из равно-
равномерной сходимости вытекает поточечная сходимость, ибо
направленность {/п, «С D) в F сходится к g относи-
относительно р. с.-топологии тогда и только тогда, когда она
с некоторого момента находится в множестве №(V)[g]
для каждого V из 2$. А последнее условие эквивалентно
существованию такого элемента m(- D, что при п^> m
будет fn(x) ¦¦ V[g(x)] для всех х из X. В следующей тео-
теореме перечисляются другие элементарные свойства рав-
равномерности И.
8. Теорема. Пусть F — семейство всех отображе-
отображений множества X в равномерное пространство (Y, Щ
и U — равномерность равномерной сходимости. Тогда:
(а) Равномерность U порождается семейством всех
псевдометрик вида d*(f, g) =sup {d(f(x), g(x)): xd X},
где d — произвольная ограниченная псевдометрика из
комплекта равномерного пространства (У, 33).
*) Напоминаем, что термин «больше» в подобном контексте
всегда следует понимать как «больше или совпадает». [Прим.
перев.)
РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
(б) Направленность {/„, ndD) в F сходится равно-
равномерно к g в том и только в том случае, когда она яв-
является направленностью Коши относительно it и {/«(*)•
n(zD) сходится к g(x) при каждом х из X.
(в) Если равномерное пространство (У, 23) полно, то
полно и равномерное пространство (F, И).
Доказательство. Для доказательства утвержде-
утверждения (а) заметим, что семейство всех множеств вида
[(у, z): d(y, 2)О}, где г>0 и d — любая ограничен-
ограниченная псевдометрика из комплекта равномерности 23, об-
образует базу равномерности №. Это так, ибо если е —
произвольная псевдометрика на У, то псевдометрика
af = min[l, e] ограничена и порождает ту же равномер-
ность, что и е. Но {(/, g): d*(f, g)<r} = {(f,g): d(f (x),
g(x))*Cr при каждом х из X}= W({(y, z): d(y, z)O}),
где W — соответствие, участвовавшее выше в определе-
определении р. с.-равномерности. Отсюда следует, что d* принад-
принадлежит комплекту равномерности Ц и что псевдометрики
вида d* порождают этот комплект.
Половина утверждения (б) очевидна; надо только
показать, что если направленность Коши {/„, ndD) по-
поточечно сходится к g, то она равномерно сходится к g.
Пусть V — произвольный замкнутый симметричный эле-
элемент равномерности 23. Выберем m(z D так, чтобы при
п^-m и /)>т было fP(x) ?V[fn(x)] для каждой точки х
пространства X. Такой выбор возможен, ибо предпола-
предполагается, что рассматриваемая направленность является
направленностью Коши относительно it. Так как множе-
множество V[fn(x)] замкнуто и направленность fP(x) сходится
к g(x), то g(x) dV[fn(x)] и, значит, fn(x)t V[g(x)] при
каждом п~^> т и любом х из X. Этим утверждение (б)
доказано. Предложение (в) немедленно следует из (б)
в силу того замечания, что произведение полных про-
пространств полно.
Следующей теоремой выясняются принципиальные
свойства равномерности U в случае семейства непре-
непрерывных отображений.
9. Теорема. Пусть F — семейство всех непрерыв-
непрерывных отображений топологического пространства X в рав-
равномерное пространство (Y, Щ и U— равномерность
равномерной сходимости. Тогда:
300 ГЛ. 7. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
(а) Семейство F замкнуто в пространстве всех ото-
отображений множества X в Y и, значит, если (Y, Щ пол-
полно, то и (F, U) полно.
(б) Топология равномерной сходимости совместно
непрерывна.
Доказательство. Предложение (а) будет дока-
доказано, если мы установим, что множество всех разрывных
отображений образует открытое множество в простран-
пространстве G всех отображений множества X в (У, И). Если
функция / разрывна в точке х?Х, то существует такой
элемент V ? iU, что множество /~'[У[/(х)]] не является
окрестностью точки х. Возьмем такой симметричный
элемент W равномерности i\ что W - W = Wcz V. Мы до-
докажем, что если функция g удовлетворяет условию
(ё(У)> f(y)) ? W при каждом у, то множество
g-i[U7[g(x)]] не является окрестностью точки х, и, значит,
функция g в этом случае разрывна. Отсюда будет сле-
следовать, что множество G\F открыто в топологии равно-
равномерной сходимости. Если (g(y),f(y))?W при каж-
каждом у, то gczW °f и ^'df ° W'l = f~l о W и, следователь-
следовательно, g-1 о W о g-cf oW oW cW о faf-i о V о f. Значит, множе-
множество g^'t^Ig"!^)]] является подмножеством множества
f~'iyif (*)]]. и потому не может быть окрестностью точки х.
Остается доказать утверждение (б). Для доказатель-
доказательства непрерывности в точке (f, x) естественного отобра-
отображения Р пространства FxX в Y нужно только для
произвольного V 6 i* проверить, что если у С f'^Vif {х)]\
и g(z)? V[f(z)] при всех г, то g{y) 6 V\f(y)]cz V о V[f(x)].
При рассмотрении равномерной сходимости на эле-
элементах того или иного семейства 21 подмножеств об-
области определения возникает ряд полезных равномерно-
стей. Точнее, пусть F — некоторое семейство отображе-
отображений множества X в равномерное пространство (Y, Щ и
31— какое-нибудь семейство подмножеств множества X.
Равномерность равномерной сходимости на элементах
семейства 31, сокращенно U|2l, имеет предбазой семей-
семейство всех множеств вида {(/, g) : (f{x), g(x)) dV при
всех х из А], где V ? i* и Л?2(. Можно описать эту рав-
равномерность иначе. Для каждого А из 31 обозначим че-
через RA отображение, переводящее f в сужение / на мно-
множество А; таким образом, RA(f)=f\A. Семейство F под
РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 301
действием отображения RA переходит в некоторое се-
семейство отображений множества А в пространство Y.
Последнее семейство отображений можно наделить рав-
равномерностью равномерной сходимости. Теперь равно-
равномерность 11| 21 можно описать как наименьшую среди тех,
относительно которых все отображения RA равномерно
непрерывны.
Из доказанных выше утверждений о равномерной схо-
сходимости вытекают соответствующие результаты для равно-
равномерности И(9(. Простые доказательства их опускаются.
10. Теорема. Пусть X— топологическое простран-
пространство, (Y, SB)—равномерное пространство, 21—некото-
21—некоторое семейство подмножеств множества X, покрывающее X,
G — семейство всех отображений множества X в про-
пространство Y и F — множество всех отображений, непре-
непрерывных на каждом элементе семейства 91. Тогда:
(а) Равномерность \\\% равномерной сходимости на
элементах семейства 91 больше равномерности поточеч-
поточечной сходимости и меньше равномерности равномерной
сходимости на X.
(б) Направленность {/„, п( D] сходится к g относи-
относительно топологии U|9X в том и только в том случае, ко-
когда она является направленностью Коиш (по отношению
к U [91) и сходится к g поточечно.
(в) Если пространство {Y, 9J) полно, то и множе-
множество G полно относительно равномерности U|9I.
(г) Семейство F замкнуто в G относительно тополо-
топологии равномерности U|9l; следовательно, если (У,93) пол-
полно, то и (F, П | 91) полно.
(д) Топология, порожденная на F равномерностью
U|9l, совместно непрерывна на каждом элементе семей-
семейства 91.
Следует подчеркнуть, что семейство всех непрерыв-
непрерывных отображений может не быть полным в равномер-
равномерности U|9l. Если 91 — семейство всех множеств {х}, где
х?Х, то UJ9I— просто равномерность поточечной схо-
сходимости, а семейство всех непрерывных отображений
обычно не полно по отношению к этой равномерности.
Если семейство 91 таково, что из непрерывности ото-
отображения на каждом его элементе вытекает, что это
отображение непрерывно на всем X, то из выписанного
302 ГЛ. 7. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
выше утверждения (г) следует, что семейство всех не-
непрерывных отображений множества X в полное про-
пространство полно относительно равномерности lt|2l.
В частности, таковой будет ситуация, когда у каждой
точки есть окрестность, принадлежащая семейству 21.
РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ НА БИКОМПАКТНЫХ
МНОЖЕСТВАХ
В этом параграфе соединяются воедино два направ-
направления исследований. Пусть F — некоторое семейство не-
непрерывных отображений топологического пространства
X в равномерное пространство (У, Щ. Равномерность
равномерной сходимости на бикомпактных множе-
множествах— это равномерность U|S, где Й — семейство всех
бикомпактных подмножеств пространства X. Топологию
равномерности U|S иногда называют топологией биком-
бикомпактной сходимости. Будет доказано, что эта топология
совпадает с бикомпактно открытой топологией, построен-
построенной, исходя из топологии пространства X и топологии,
порожденной равномерностью 23. Таким образом, равно-
равномерность U | & зависит от равномерности 23, заданной
на У, но топология равномерности Ц| (S зависит только
от топологии равномерности 23. Равномерность U | (S осо-
особенно полезна, когда пространство X обладает «бога-
«богатым» набором бикомпактных подмножеств. В конце па-
параграфа мы вкратце рассмотрим один такой класс про-
пространств.
11. Теорема. Пусть F — некоторое семейство не-
непрерывных отображений топологического пространства X
в равномерное пространство (У, 23). На F топология рав-
равномерной сходимости на бикомпактных подмножествах
совпадает с бикомпактно открытой топологией.
Доказательство. Пусть К — бикомпактное под-
подмножество пространства X, U — множество, открытое
в У, /? F и f[K\czU. Множество f[K] бикомпактно; в силу
теоремы 6.33 существует VC23, для которого V[f[K]]czU.
Ясно поэтому, что если функция g удовлетворяет усло-
условию g(x) dV[f(x)] для каждой точки х множества К,,
то g[K]<=U. Следовательно, каждое множество вида
{/ : f[K]<=U} открыто в топологии равномерностиU|6, т. е.
СХОДИМОСТЬ НА БИКОМПАКТНЫХ МНОЖЕСТВАХ 303
бикомпактно открытая топология меньше топологии рав-
равномерности П | (S.
Докажем обратное утверждение. Мы должны уста-
установить, что, каковы бы ни были бикомпактное подмно-
подмножество К, пространства X, элемент V равномерности 23
и непрерывная функция /, найдутся бикомпактные под-
подмножества Ki, . ¦ ¦ , Кп пространства X и открытые под-
подмножества Ui, . . . , Un пространства X такие, что f[Ki]cz
czUi, причем если g[/(;]cz[/; при каждом i, то g(x)(z
dV[f(x)] при всех х из К. Выберем такой замкнутый
симметричный элемент W6 23, что W°W<>WcV. Найдем
точки xit . . ., хп в множестве К так, чтобы множества
W\f(Xi)] покрывали в совокупности /[/(]. Положим К% =
~Kf)f~l[W[f(Xi)]] и обозначим через Ui внутренность
множества W°W[f(x{)]. Если g[/(,-]c=L/,- при каждом i, то
для каждого х? К, существует такое i, что x?Ki- Тогда
для этих i и х g{x) ^ W о W[f(xt)] и, так как f(x) 6
eW[f(Xi)], то (g(x), f(x))eWoW°Wc:V.
Если равномерное пространство (У, 33) полно и 21 —
некоторое семейство подмножеств топологического про-
пространства X, то семейство всех отображений X в У, не-
непрерывных на каждом элементе семейства 91, образует
в соответствии с теоремой 7.10 U|9l- полное простран-
пространство. Поэтому для того, чтобы множество всех непре-
непрерывных функций было полно в равномерности U| 91, до-
достаточно, чтобы семейство 21 удовлетворяло следующему
условию: функция непрерывна, если она непрерывна на
каждом элементе семейства 91. Пусть / обозначает произ-
произвольную функцию, отображающую X в Y, и В — произ-
произвольное подмножество У. Сформулированное выше усло-
условие заведомо будет выполняться тогда, когда из замк-
замкнутости множества А П /-1[В] для каждого А B1 выте-
вытекает, что замкнуто множество f~J[B]. В частности, про-
пространство всех непрерывных функций, отображающих
X в У, полно относительно равномерной сходимости на
бикомпактных множествах, если каждое подмножество Л
пространства X, пересечение которого с любым замкну-
замкнутым бикомпактным множеством замкнуто, само замкну-
замкнуто в X. Топологические пространства, удовлетворяю-
удовлетворяющие последнему условию, называются k-пространствами.
Ясно, что семейство й всех замкнутых бикомпактных
304 ГЛ. 7. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
подмножеств ^-пространства полностью определяет его
топологию: множество А замкнуто тогда и только тогда,
когда Af\C^d для каждого С 6 6. Переходя к дополне-
дополнениям, заключаем, что подмножество U ^-пространства
открыто в том и лишь в том случае, когда U П С от-
открыто в С для каждого замкнутого бикомпактного мно-
множества С.
Следующая теорема с очевидностью вытекает из
определения /г-пространства и предшествующих заме-
замечаний.
12. Теорема. Семейство всех непрерывных отобра-
отображений k-пространства в полное равномерное простран-
пространство полно относительно равномерной сходимости на би-
бикомпактных множествах.
С двумя самыми важными классами пространств,
охватываемыми классом ^-пространств, знакомит нас
13. Теорема. Если хаусдорфово пространство X
локально бикомпактно или удовлетворяет первой аксио-
аксиоме счетности, то оно является k-пространством*).
Доказательство. В обоих случаях доказатель-
доказательство начинается с предположения, что В — не замкнутое
подмножество пространства X, и заключается в отыска-
отыскании замкнутого бикомпактного множества СаХ, для ко-
которого В П С не замкнуто. Пусть х — предельная точка
для множества В, не принадлежащая ему. Если про-
пространство X локально бикомпактно, то у точки х есть
бикомпактная окрестность U. Пересечение В П U незамк-
незамкнуто, ибо х — предельная точка для множества В П U,
не принадлежащая ему. Если X удовлетворяет первой
аксиоме счетности, то существует последовательность
{Уп, п 6 со} в В\{х}, сходящаяся к х. Объединение мно-
множества {х} и множества всех точек у„ этой последова-
последовательности, очевидно, бикомпактно, но его пересечение
с множеством В не замкнуто.
*) Теория /^-пространств была в последнее время продвинута,
см. Архангельский [4] В указанной работе доказано, что все
пространства, полные в смысле Чеха, и даже все ^-пространства
(см. Архангельский [5]), являются /г-пространствами. Любо-
Любопытны результаты де Гроота, Нобла, Уотгела. (Прим. перев.)
БИКОМПАКТНОСТЬ И РАВНОСТЕПЕННАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ 305
БИКОМПАКТНОСТЬ И РАВНОСТЕПЕННАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Это — первый из двух параграфов, посвященных
отысканию условий бикомпактности семейства функций
относительно бикомпактно открытой топологии. Желае-
Желаемое заключение топологическое; самые сильные резуль-
результаты получаются при чисто топологических посылках.
Однако для равномерностей рассуждения проще; этот
параграф касается отображений в равномерное про-
пространство. В последнем параграфе главы рассматри-
рассматривается чисто топологическая задача.
Пусть F — некоторое семейство отображений тополо-
топологического пространства X в равномерное пространство
{У, 23). Семейство F называется равностепенно непре-
непрерывным в точке х в том и только в том случае, когда
для каждого элемента V равномерности 23 существует
такая окрестность И точки х, что f[U]c^V[f(x)] при каж-
каждом f? F. Эквивалентное условие: F равностепенно не-
непрерывно в х тогда и только тогда, когда Л {/"'[^[/(x)]] :
f € F) является окрестностью точки х при каждом
V? 23. Попросту говоря, семейство F равностепенно не-
непрерывно в точке х в том и лишь в том случае, когда
у точки х существует окрестность, образ которой при
любом отображении из семейства F мал.
14. Теорема. Если семейство F равностепенно не-
непрерывно в точке х, то замыкание F по топологии Щ по-
поточечной сходимости тоже образует равностепенно не-
непрерывное в х семейство.
Доказательство. Пусть V — замкнутый элемент
заданной на У равномерности. Класс всех отображе-
отображений /, удовлетворяющих условию f[U]aV[f(x)], очевид-
очевидно, замкнут в топологии ^ поточечной сходимости,
ибо он совпадает с множеством П{{/: (/(у), /(*))€ V] :
у^Щ. Следовательно, замыкание множества F в то-
топологии поточечной сходимости равностепенно непре-
непрерывно.
Семейство F функций называется равностепенно не-
непрерывным тогда и только тогда, когда оно равносте-
равностепенно непрерывно в каждой точке. В силу предшествую-
предшествующей теоремы замыкание равностепенно непрерывного
семейства по топологии поточечной сходимости само
20 Дж. Л. Келли
306 ГЛ. 7. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
образует равностепенно непрерывное семейство. Это озна-
означает, в частности, что все отображения, принадлежащие
упомянутому замыканию, непрерывны. Топология пото-
поточечной сходимости по отношению к равностепенно непре-
непрерывным семействам обладает и другими достойными
внимания свойствами.
15. Теорема. На каждом равностепенно непрерыв-
непрерывном семействе F топология поточечной сходимости со-
совместно непрерывна; поэтому она совпадает на F с топо-
топологией равномерной сходимости на бикомпактных мно-
множествах.
Доказательство. Докажем, что естественное
отображение Р пространства FxX в пространство К не-
непрерывно в (f,x). Пусть V — произвольный элемент рав-
равномерности, заданной на V, и U — такая окрестность
точки х, что g[U]aV[g(x)] для всех g из F. Если g при-
принадлежит ^-окрестности (h:h(x) € V[f (x)]} функции f
и у? U, то g(y) 6 V[g(x)] и g(x) 6 V[f(x)]. Следователь-
Следовательно, g(y) ?V°V\J(x)], откуда и вытекает совместная не-
непрерывность рассматриваемой топологии на F. Каждая
совместно непрерывная топология в силу теоремы 7.5
больше бикомпактно открытой топологии, а по тео-
теореме 7.11 бикомпактно открытая топология совпадает
с топологией, отвечающей равномерной сходимости на
бикомпактных множествах.
Из предыдущей теоремы вытекает, что если равно-
равностепенно непрерывное семейство функций бикомпактно
в топологии поточечной сходимости ^?, то оно биком-
бикомпактно и в топологии равномерной сходимости на би-
бикомпактных множествах. Напомним, что теорема Тихо-
Тихонова дает достаточные условия ^-бикомпактности. Рас-
Рассуждая таким образом, можно установить, что из
равностепенной непрерывности семейства функций, под-
подкрепленной некоторыми другими условиями, следует его
бикомпактность. Утверждение, идущее в обратном на-
направлении, дано ниже.
16. Теорема. Если семейство F отображений топо-
топологического пространства X в равномерное простран-
пространство (У, 33) бикомпактно относительно некоторой со-
совместно непрерывной топологии, то F равностепенно не-
' прерывно.
БИКОМПАКТНОСТЬ И РАВНОСТЕПЕННАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ 307
Доказательство. Пусть х— некоторая фикси-
фиксированная точка пространства X и V — симметричный
элемент равномерности 23. Теорема будет доказана, если
мы установим, что существует такая окрестность U точ-
точки х, что g[U]czV о V[g(x)] для всех g 6 F. Поскольку то-
топология, заданная на F, совместно непрерывна, суще-
существуют окрестность G произвольного элемента f(zF и
окрестность W точки х такие, что образ множества
GxW содержится в множестве V[f(x)]. Если g^G и
wd W, то точки g(x) и g(w) принадлежат множеству
(A-)]; значит, g(w) € V ° V[g(x)]. Это означает, что
V о V[g(x)] при каждом g из G. В силу биком-
пактности F существуют конечное семейство Gi, .. . , Gn,
покрывающее F, и семейство соответствующих окрест-
окрестностей Wu . .. , Wn точки х такие, что gft^JczV ° V[g(x)]
при каждом g из Gi. Ясно, что если в качестве U взять
пересечение окрестностей W{, то будет g[U]aV о V[g(x)]
при каждом g (zG.
Теорема Асколи для локально бикомпактных про-
пространств немедленно вытекает из предыдущих результа-
результатов. Она получается заменой в формулировке теоре-
теоремы 7.6 условия «топология поточечной сходимости
^5 на ^-замыкании множества F совместно непрерывна
на бикомпактных множествах» на такое: «семейство F
равностепенно непрерывно». Первое условие следует из
второго (теоремы 7.14 и 7.15), а из бикомпактности в
силу теоремы 7.16 вытекает равностепенная непрерыв-
непрерывность. (Легко дать и доказательство теоремы Асколи,
не зависящее от теоремы 7.6.)
17. Теорема Асколи. Пусть С — семейство
всех непрерывных отображений регулярного локально
бикомпактного топологического пространства X в хаус-
дорфово равномерное пространство, наделенное тополо-
топологией равномерной сходимости на бикомпактных множе-
множествах. Тогда подсемейство F семейства С бикомпактно
в том и только в том случае, когда
(а) F замкнуто в С,
(б) замыкание множества F[x] бикомпактно для каж-
каждой точки х^Х,
(в) семейство F равностепенно непрерывно.
20*
308 ГЛ. 7. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Есть вариант теоремы Асколи, касающийся отобра-
отображений произвольного ^-пространства (пространства, в
котором множество замкнуто, если его пересечение с
каждым бикомпактным замкнутым множеством замк-
замкнуто). В основе его лежит модификация понятия равно-
равностепенной непрерывности. Семейство F отображений на-
называется равностепенно непрерывным на множестве А
тогда и только тогда, когда семейство всех сужений эле-
элементов F на А равностепенно непрерывно. Семейство
отображений, равностепенно непрерывное в каждой
точке множества А, равностепенно непрерывно на А;
однако обратное утверждение неверно. Но каждое рав-
равностепенно непрерывное на множестве А семейство ото-
отображений равностепенно непрерывно в каждой внутрен-
внутренней точке множества А.
Доказательство следующей теоремы опускается. Она
сразу вытекает из теоремы 7.6, результатов этого пара-
параграфа и того факта*), что отображение ^-пространства,
непрерывное на каждом его бикомпактном подмноже-
подмножестве, непрерывно на всем пространстве**).
18. Теорема Асколи. Пусть С — семейство всех
непрерывных отображений k-пространства Х, либо хаус-
дорфова, либо регулярного, в хаусдорфово равномерное
пространство Y и пусть С наделено топологией равно-
равномерной сходимости на бикомпактных множествах. Тогда
подсемейство F семейства С бикомпактно в том и только
в том случае, когда выполняются условия:
(а) F замкнуто в С,
(б) замыкание множества F(x) бикомпактно при
каждом х 6 X,
(в) F равностепенно непрерывно на каждом биком-
бикомпактном подмножестве пространства X.
*) Очевидно, ограничение «X есть ^-пространство» можно
исключить из посылок теоремы, если семейство С всех непрерыв-
непрерывных функций заменить семейством всех функций, непрерывных на
каждом бикомпактном подмножестве. Впрочем, этот результат
можно вывести из нашей теоремы, применив ее к множеству X с
такой топологией 3: множество А ,у -замкнуто тогда и только
тогда, когда в исходной топологии А[\В замкнуто для каждого
замкнутого бикомпактного множества В.
**) Последнее условие определяет /л-пространства. Они могут
не быть й-пространствами (см. стр. 316). {Прим. перед.)
ОДНООБРАЗНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ 309
ОДНООБРАЗНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Этот параграф посвящен доказательству разновид-
разновидности теоремы Асколи для топологических пространств.
Ход мысли тот же, что и в предыдущем параграфе, толь-
только равномерный вариант равностепенной непрерывности
заменяет ее топологическая концепция. Соотношения
между этими двумя понятиями кратко обсуждаются в
конце параграфа.
Пусть F — некоторое семейство отображений тополо-
топологического пространства X в топологическое простран-
пространство Y. Концепция однообразной непрерывности интуи-
интуитивно может быть выражена условием: для каждых
х(: X, у ?Y и f ? F, если f(x) лежит близко к у, то точки,
расположенные вблизи от х, переходят под действием /
в точки, лежащие вблизи от у. Точная формулировка:
семейство F называется однообразно непрерывным тогда
и только тогда, когда, каковы бы ни были точка х?Х,
точка у ? У и окрестность U точки у, найдутся окрест-
окрестность V точки х и окрестность W точки у такие, что если
f(x)(~W, то f[V\cU. Тесная связь введенного понятия
с понятием совместной непрерывности подчеркивается
следующей формулировкой: F однообразно непрерывно
в том и только в том случае, когда для любых точек
х?Х, у 6 Y и окрестности U точки у существуют окрест-
окрестность W точки у и окрестность V точки х такие, что об-
образ множества {/ : f(E F u f(x) ? W}X V при естественном
отображении содержится в U. Легко устанавливается
главное свойство однообразно непрерывных семейств
отображений.
19. Теорема. Пусть F — некоторое однообразно
непрерывное семейство отображений топологического
пространства X в регулярное пространство Y и ty— то-
топология поточечной сходимости. Тогда ^-замыкание F
множества F однообразно^ непрерывно и топология ty
совместно непрерывна на F.
Доказательство. Последнее утверждение тео-
теоремы с очевидностью вытекает из второй формулировки
определения однообразной непрерывности, ибо, когда W
открыто в V, множество {f:f?F и f(x) ?W\ ^j-открыто.
Покажем, что ^-замыкание множества F однообразно
310 ГЛ. 7. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
непрерывно. Пусть х?Х, у (; У и U — окрестность точ-
точки у. В силу регулярности пространства У можно пред-
предположить, что множество U замкнуто. Выберем окрест-
окрестность V точки х и открытую окрестность W точки у так,
чтобы из f?F и f(x)?W следовало, что f[V]cU. Пред-
Предположим теперь, что {gn, n?D}— направленность в F,
поточечно сходящаяся к некоторому отображению g,
причем g(x)?W. Направленность {gn{x), n?D} с неко-
некоторого момента находится в множестве W. Следователь-
Следовательно, для каждого z из V направленность {gn(z), n(_D)
с некоторого момента находится в множестве U и, зна-
значит, g(z) 6 U. Этим доказано, что g[V]cU.
Достаточные условия бикомпактности однообразно
непрерывного семейства отображений более или менее
очевидны в силу предшествующего результата и теоре-
теоремы 7.6. Следующим утверждением устанавливается
необходимость условий, участвующих в теореме Ас-
коли.
20. Теорема. Если семейство F непрерывных ото-
отображений топологического пространства X в регулярное
хаусдорфово пространство У бикомпактно в некоторой
совместно непрерывной топологии, то F — однообразно
непрерывное семейство.
Доказательство. Тождественное отображение
заданного бикомпактного пространства F в множество/7,
взятое с топологией поточечной сходимости, непрерывно,
а так как последняя топология хаусдорфова, то задан-
заданная топология совпадает с ней. Значит, на семействе F
топология поточечной сходимости совместно непре-
непрерывна. Пусть теперь х^Х, yd У и U — любая окрест-
окрестность точки у. Обозначим через W какую-нибудь замк-
ную окрестность точки у, содержащуюся в U, и заме-
заметим, что множество К всех таких f(zF, что f(x)?W,
замкнуто в топологии поточечной сходимости и потому
бикомпактно. Пусть Р — естественное отображение, опи-
описываемое формулой P(f, x)=f(x). Бикомпактное мно-
множество Кх{х} содержится в множестве P~\U\. Из непре-
непрерывности отображения Р, применив теорему 5.12, мы
выводим, что существует окрестность V точки х, для ко-
которой KXVczP'^U]. Это означает, что если v?V и
f?W /()?/
ОДНООБРАЗНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ 311
21. Теорема Ас кол и. Пусть С — семейство всех
непрерывных отображений регулярного локально би-
бикомпактного пространства X в регулярное хаусдорфово
пространство Y. Предположим, что С наделено биком-
бикомпактно открытой топологией. Тогда подмножество F мно-
множества С бикомпактно в том и только в том случае,
когда:
(а) F замкнуто в С,
(б) замыкание множества F[x] бикомпактно для
каждой точки х 6 X,
(в) семейство F однообразно непрерывно.
Доказательство. Если множество F биком-
бикомпактно относительно бикомпактно открытой топологии,
то утверждения (а), (б) и (в) вытекают из теорем 7.6
и 7.20. Если условия (а), (б) и (в) выполняются для F,
то в силу теоремы 7.19 замыкание множества F в топо-
топологии поточечной сходимости является однообразно не-
непрерывным семейством, на котором топология поточеч-
поточечной сходимости совместно непрерывна. Бикомпактность/7
следует теперь из теоремы 7.6.
Предшествующую теорему можно распространить на
случай ^-пространств таким же образом, как это было
сделано для теоремы 7.17. Говорят, что семейство F
функций однообразно непрерывно на множестве А, то-
тогда и только тогда, когда семейство сужений всех эле-
элементов F на А однообразно непрерывно. Приняв это
определение, мы можем доказать теорему Асколи G.21)
для произвольных ^-пространств, заменив в ее форму-
формулировке условие (в) на такое: «F однообразно непре-
непрерывно на каждом бикомпактном подмножестве про-
пространства X». Прямое доказательство получающегося
утверждения опускается.
В заключение данного параграфа мы приведем два
предложения, поясняющих соотношение между однооб-
однообразной непрерывностью и равностепенной непрерыв-
непрерывностью.
22. Теорема. Каждое равностепенно непрерывное
семейство отображений топологического пространства в
равномерное пространство однообразно непрерывно.
Доказательство. Пусть F — некоторое равно-
равностепенно непрерывное семейство отображений X в У,
312 ГЛ. 7. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
х? X, y?Y, и U—окрестность точки у. Можно считать,
что U—шар d-радиуса г с центром в точке у, где d —
некоторая псевдометрика из комплекта пространства У
и г>0. Так как семейство F равностепенно непрерывно
в точке х, у х есть такая окрестность V, что если z? V,
то d(f(x), f (z)) < -к при всех / из F. Следовательно,
если 26 V и f(x) лежит в шаре с центром в у d-радиуса
~, то f(z)?U.
В определенном смысле можно сказать, что равно-
равностепенная непрерывность получается из однообразной
непрерывности при подходящем задании равномерности
на пространстве значений. Как можно было ожидать,
равностепенная непрерывность вытекает из однообраз-
однообразной непрерывности в присутствии подходящего условия
типа бикомпактности.
23. Теорема*). Пусть F — однообразно непрерыв-
непрерывное семейство отображений топологического простран-
пространства X в равномерное пространство У и для некоторой
точки х 6 X замыкание множества F[x] бикомпактно. То-
Тогда F равностепенно непрерывно в х.
Доказательство. Пусть d — некоторая псевдо-
псевдометрика из комплекта равномерного пространства У и
г>0. Для каждой точки y?F[x] существуют ее окрест-
окрестность W и окрестность V точки х такие, что если f(x) 6 W,
то f[V] содержится в шаре d-радиуса -ту с центром в у.
Так как множество F[x] бикомпактно, то существуют ко-
конечное семейство окрестностей Wt точек у{ множества
F[x] и семейство соответствующих окрестностей Vt точ-
точки х, где 1 = 1, . . ., п, такие, что Wt в совокупности по-
покрывают F[x], и если f(x)?Wit то f[Vt] содержится в
шаре d-радиуса -к с центром в у,-. Следовательно, если
г 6 7"= fl{Vj : i = 0, I, ...,«} и /€ F, то f(x) лежит в не-
некотором Wu и так как^(Г) — подмножество некоторого
*) Теорема перестает быть верной, если условие «замыкание
множества F[x] бикомпактно» заменить на такое: «множество F[x]
вполне ограничено».
ЗАДАЧИ 313
шара rf-радиуса^-, d(f(x), f(y))<r при каждом у€Т.
Значит, семейство F равностепенно непрерывно в точке х.
Замечания. Результаты этого параграфа принадле-
принадлежат А. Р. Морсу и мне. В другой форме теорема Асколи для
топологических пространств была получена Гей л ом [1].
ЗАДАЧИ
A. Упражнение на топологию поточечной сходимости
Множество всех непрерывных вещественных функций на тихо-
тихоновском пространстве К плотно относительно топологии поточечной
сходимости в множестве всех вещественных функций, определен-
определенных на X.
Б. Упражнение на сходимость функций
Пусть / — непрерывная вещественная функция па замкнутом
единичном интервале [0, 1], обращающаяся в нуль на концах его и
не равная тождественно нулю. Положим, gn(x)=f(xn) при каждом
неотрицательном целом п. Последовательность {gn,n?o)} сходится
поточечно (но не равномерно) к функции h, тождественно равной
нулю. Объединение множества всех gn с {/г} бикомпактно в топо-
топологии поточечной сходимости, но не бикомпактно в топологии рав-
равномерной сходимости.
B. Поточечная сходимость на всюду плотном подмножестве
Пусть F — равностепенно непрерывное семейство отображений
топологического пространства X в некоторое равномерное простран-
пространство и А — подмножество, плотное в X. Тогда равномерность пото-
поточечной сходимости на X совпадает с равномерностью поточечной
сходимости на А.
Г. Диагональный процесс и секвенциальная компактность
До теоремы Тихонова о произведении стандартным средством
доказательства бикомпактности того или иного семейства отображе-
отображений служил диагональный процесс; ниже приводятся примеры осно-
основанных на нем рассуждений. Напомним, что топологическое про-
пространство называется секвенциально компактным, если каждая по-
последовательность его точек содержит подпоследовательность, сходя-
сходящуюся к некоторой точке этого пространства.
(а) Произведение счетного семейства секвенциально компакт-
компактных топологических пространств секвенциально компактно*). (Пусть
*) А. Стоун недявно доказал, что произведение !!] секвенци-
секвенциально компактных пространств счетно компактно (из любого счет-
счетного открытого покрытия последнего можно выбрать конечное по-
покрытие), и поставил задачу: верно ли, что произведение любого
множества секвенциально компактных пространств счетно ком-
компактно? П. Кендеров показал, что ответ положителен, когда произ-
произведение — нормальное пространство, (Прим. перев.)
314 ГЛ. 7. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
{У,„,т(; со} — последовательность секвенциально компактных про-
пространств и {fn,n?a}— некоторая последовательность точек в произ-
произведении П{Ут : т ? со}. Выберем в со бесконечное подмножество Ао
такое, что последовательность {fn@), nfzАо) сходится к некоторой
точке пространства Уо, и, рассуждая по индукции, найдем такое
бесконечное подмножество Аи+\ множества Лй, что последователь-
последовательность {/„(?+1), n(zAk+i] сходится к некоторой точке пространства
Yk+i. Пусть Nk — k-й элемент последовательности Ah\ тогда \fN
k ?со} — искомая подпоследовательность.)
(б) Пусть У — секвенциально компактное равномерное про-
пространство, X—сепарабельное топологическое пространство и F—
некоторое равностепенно непрерывное семейство отображений X в
У, замкнутое в Ух относительно топологии поточечной сходимости.
Тогда F секвенциально компактно относительно топологии поточеч-
поточечной сходимости (а также и относительно бикомпактно открытой то-
топологии). (Примените 7. В; убедитесь, что у каждой последователь-
последовательности Коши в У есть предельная точка.)
Замечание. Несколько очень красивых результатов, касаю-
касающихся счетной компактности функциональных пространств, получил
недавно Гротендик [1]. Результаты Гротендика непосредственно
применяются при решении ряда интересных задач о линейных топо-
топологических пространствах.
Д. Теорема Дини
Если монотонно возрастающая направленность {fn,ti?D} не-
непрерывных вещественных функций на топологическом пространстве
X сходится поточечно к некоторой непрерывной функции /, то на
бикомпактных множествах эта направленность сходится к / равно-
равномерно. (Это — типичное рассуждение про бикомпактные множества.
Пусть С — какое-нибудь бикомпактное подмножество пространства
X и Ан = {(х, у) : х f С и fn(x)^y^f(x)}. Заметим, что пересечение
множеств Ап по всем п из D есть попросту график функции f\C.)
Е. Непрерывность индуцированного отображения
Пусть X и У—множества, а ?(и 58— соответственно семейства
их подмножеств. Пусть, далее, F — семейство всех отображений
множества X в равномерное пространство (Z, U) и G — семейство
всех отображений множества У в (Z, II). Пусть Г — отображение
X в У; тогда индуцированное отображение Т* семейства G в семей-
семейство F определяется так. T*(g)=g°T для всех gfG. Если для
каждого элемента А семейства ?( множество Т[А] содержится в не-
некотором элементе семейства S3, то отображение Т* равномерно не-
непрерывно относительно равномерностей И | ?С на F и П | Ш на G
(отвечающих равномерной сходимости на элементах семейства %,
соответственно, на элементах семейства 58). В частности, Т* всегда
равномерно непрерывно относительно равномерностей равномерной
сходимости и Г* равномерно непрерывно по отношению к равномер-
равномерности поточечной сходимости на F и равномерности % | 93 на G,
если семейство 83 покрывает У. Если X и У — топологические
пространства и отображение Г непрерывно, то Т* — равномерно
ЗАДАЧИ 315
непрерывное отображение относительно равномерной сходимости
на бикомпактных множествах*).
Замечание. Условия непрерывности других естественно ин-
индуцированных отображений изучались Аренсом и Дугунджи [2].
Ж. Равномерная равностепенная непрерывность
Семейство F отображений равномерного пространства (X, Ц)
в равномерное пространство (У,??) называется равномерно равно-
равностепенно непрерывным тогда и только тогда, когда для каждого
$8 существует U ? U такое, что если / (~F и (х, у) ? U, то (f(x),
N V.
(а) Семейство F равномерно равностепенно непрерывно в том
и лишь в том случае, когда оно равномерно совместно непрерывно
в том смысле, что естественное отображение множества FXX, наде-
наделенного равномерностью произведения, соответствующей равномер-
равномерности равномерной сходимости на F и равномерности, заданной на
X, в равномерное пространство У равномерно непрерывно.
(б) Замыкание равномерно равностепенно непрерывного семей-
семейства в топологии поточечной сходимости равномерно равностепенно
непрерывно.
(в) Если X бикомпактно и F равностепенно непрерывно, то F
равномерно равностепенно непрерывно.
Замечание. Доказательства предшествующих утверждений
не требуют применения никаких новых методов. Подробнее эта про-
проблематика рассмотрена в статье Аренса [1] и в книге Б у р б а-
ки [1].
3. Упражнение, касающееся равномерности U | 81
Пусть X — множество и ?С—некоторое его покрытие, направ-
направленное отношением 3 (последнее означает, что для любых А и В
из Ж найдется С ?Ж такое, что С=> A U В). Пусть, далее, (У, Щ —
некоторое равномерное пространство и F — семейство всех отобра-
отображений X в У, наделенное равномерностью II | 91 равномерной сходи-
сходимости на элементах семейства 91. Наконец, предположим, что S —
некоторая направленность в F, причем для каждого элемента А ? 91
задана ее поднаправленность {So TA (m), m (;?д), равномерно схо-
сходящаяся на множестве А к некоторому элементу s семейства F.
Выпишите точную формулу поднаправленности направленности S,
сходящуюся к s по топологии равномерности U | 91.
И. Непрерывность отображения вычисления
Пусть F — некоторое семейство отображений множества X в
множество У. Посредством вычисления X отображается в семейство
G отображений множества F в множество У. А именно, вычисление
*) Если отображение Т: X -* У непрерывно и удовлетворяет
условию: для каждого бикомпакта ФСУ существует такой биком-
бикомпакт FcX, что fFZD<I) (^-накрывающее отображение), а B, U) —
числовая прямая, то Т* является гомеоморфизмом относительно би-
бикомпактно открытых топологий при очень широких предположениях
о X и У. (См, Архангельский [8].) (Прим. перев.)
316 ГЛ. 7. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Е(х) в точке х множества X определяется правилом: Е(х) (f) =f (x)
при всех f<zF. Пусть (А", II) и (К, S3)— равномерные пространства
и множество G наделено равномерностью равномерной сходимости
на элементах некоторого семейства % подмножеств множества F.
Тогда отображение вычисления Е множества X в G непрерывно,
если каждый элемент семейства % является равностепенно непре-
непрерывным семейством отображений. Отображение вычисления равно-
равномерно непрерывно, если каждый элемент семейства ЭГ является рав-
равномерно равностепенно непрерывным множеством отображений.
К. Подпространства, произведения
и фактор-пространства k-пространств
(а) Существуют тихоновские пространства, не являющиеся
/г-пространствами. Так как каждое тихоновское пространство можно
вложить в некоторое бикомпактное хаусдорфово пространство, то
это означает, что не каждое подпространство ^-пространства яв-
является ^-пространством (см. задачу 2. Д).
(б) Произведение несчетного множества экземпляров веще-
вещественной прямой не является ^-пространством. (Обозначим через А
подмножество произведения, состоящее из всех таких х, что для
некоторого целого неотрицательного числа п каждая координата
элемента х, за исключением не более п из них, равна п, причем
остальные координаты х равны нулю. Множество А не замкнуто,
хотя А(]С бикомпактно для каждого бикомпактного множества С*).)
(в) Пусть X — ^-пространство, R — отношение эквивалентности
на X, и множество XJR наделено фактор-топологией. Если простран-
пространство X/R хаусдорфово, то оно будет ^-пространством.
Л. k-расширение топологии
Пусть (X, Q) — хаусдорфово пространство; k-расширение топо-
топологии Q определяется как семейство Зь всех таких подмножеств О
пространства X, что U[\С открыто в С, каково бы ни было би-
бикомпактное множество С CZ X (эквивалентное условие: множество А
5й-замкнуто тогда и только тогда, когда А П С 3-бикомпактно
для каждого бикомпактного множества CcJf).
(а) Если С—^-бикомпактное подмножество пространства X,
то сужение ^ на С совпадает с сужением ^ на С. Таким обра-
образом, множество ^ тогда и только тогда ^-бикомпактно, когда оно
За-бикомпактно.
(б) Пространство (X,$k) является ^-пространством.
(в) Отображение множества X тогда и только тогда ^-непре-
^-непрерывно, когда оно ^-непрерывно на каждом бикомпактном подмно-
подмножестве пространства X.
(г) Топология ^ --• наибольшая из тех, которые согласуются
с топологией ^> на бикомпактных множествах.
М. Характеристика однообразной непрерывности
Семейство F отображений топологического пространства X в
топологическое пространство У однообразно непрерывно в том и
*) Но наше пространство является /^-пространством (стр. 308j.
(Прим. перев.)
ЗАДАЧИ 317
только в том случае, когда из того, что направленность {(/,,, хп),
n(^D] в FXX удовлетворяет условиям: {xn,n?D} сходится к х и
{fn{x),n(zD} сходится к у, следует, что направленность {/„(х„),
п ? D] сходится к у.
Н. Непрерывная сходимость
Пусть F — некоторое семейство непрерывных отображений про-
пространства X в пространство У. Говорят, что направленность {/,,,
nCD} непрерывно сходится к элементу f семейства F, тогда и толь-
только тогда, когда для любой направленности {xn,n?D} в X, сходя-
сходящейся к х, направленность {/„ (хп), п С D} сходится к f(x).
(а) Топология ,^ на F тогда и только тогда совместно непре-
непрерывна, когда из того, что направленность в F Q-сходится к /, не-
непременно следует, что она сходится к f непрерывно.
(б) Если последовательность в F сходится к / относительно би-
бикомпактно открытой топологии, то она сходится к / непрерывно.
(в) Предположим, что пространство X удовлетворяет первой
аксиоме счетности и чти в семействе F, наделенном бикомпактно
открытой топологией 6, тоже выполняется эта аксиома. Тогда то-
топология G совместно непрерывна и последовательность в F G-схо-
G-сходится к / тогда и только тогда, когда она сходится к f непрерывно.
О. Сопряженное к нормированному
линейномц пространству
Пусть X — вещественное нормированное линейное пространство
и X* — сопряженное к нему пространство всех непрерывных веще-
вещественных линейных функций на X. На X* определяется норма (а по
ней — топология нормы) следующим образом: il/!i = sup{!/(x)| : \\x\\ <!
<" 1}. Топология поточечной сходимости на X* называется йу*-топо-
логией. Подмножество F множества X* называется w*-ограниченным
в том и только в том случае, когда для каждой точки х?Х мно-
множество всех }(х). где f (~ F, ограничено.
(а) Пространство X* не полно относительно ^-равномерности,
если только не всякая линейная функция на X непрерывна. (См.
3. Ч. Предположите, что существует достаточно непрерывных линей-
линейных функционалов, чтобы различить точки пространства X; что это
так, вытекает из теоремы Хана — Банаха, Банах [1], стр. 27.)
(б) Теорема (Алаоглу). Единичный шар в X* бикомпактен
относительно w*-топологии. Следовательно, каждое ограниченное по
норме w*-замкнутое подмножество пространства X* w*-бикомпактно.
(Единичный шар замкнут в произведении П{[—!!х||, ||х||] : х ? X}.)
(в) Пространство X* в о)*-топологии паракомпактно и, значит,
топологически полно (см 5. Щ и 6. М) *).
(г) Если подмножество F пространства X* равностепенно не-
непрерывно, то его а1*-замыкание тоже равностепенно непрерывно.
*) Любопытно, что X* — не ^-пространство и не полно в смы-
смысле Чеха (не типа Gft в бикомпакте), даже когда X имеет счетную
базу. Однако в последнем случае единичный шар в ш*-топологии
метризуем. (Прим. перев.)
318 ГЛ. 7. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Если F равностепенно непрерывно, то его замыкание ш*-бикомпакт-
но. Если ш*-замыкание множества F ш*-бикомпактно, то F ш*-огра-
ничено. (Заметим, что F равностепенно непрерывно тогда и только
тогда, когда оно ограничено по норме.)
(д) Если пространство X нехудое*), в частности, если оно
полно, то каждое ш*-ограниченное подмножество F пространства
X* равностепенно непрерывно. (Воспользуйтесь утверждением 6. X,
(б) или примените 6. X, (а) к множеству {x:|f(x)|^l при каждом
f?F})
})
(е) Предположение «пространство X нехудое» нельзя исклю-
исключить из посылок утверждения (д). (Рассмотрим пространство X
всевозможных вещественных последовательностей, равных нулю
всюду, за исключением конечного множества, с нормой !UI! =
=^{\хп\ : п?а>}. Положим fn (x) =пхл\ последовательность {/п,я?а}
сходится к нулю в ш*-топологии.)
Замечание. Главные результаты, изложенные в этой задаче,
более или менее классические. Некоторые из них, очевидно, остают-
остаются верными при более широких предположениях. Однако эквива-
эквивалентности, вытекающие из (г) и (д), не имеют места для произ-
произвольного полного линейного топологического пространства. В связи
с (е) интересно отметить, что ш*-бикомпактное выпуклое подмно-
подмножество сопряженного к произвольному нормированному линей-
линейному пространству X всегда равностепенно непрерывно. Доказа-
Доказательство этого факта не вполне тривиально.
П. Теорема Титце о продолжении **)
Пусть X — нормальное топологическое пространство, А — его
замкнутое подмножество и f — непрерывное отображение А в замк-
замкнутый интервал [—1, 1]. Тогда у f есть непрерывное продолжение g,
определенное на всем X, со значениями в [—1, 1]***). (Воспроизво-
(Воспроизводим схему доказательства Урысона ****). Пусть C—{x:f(x)^.—7з}
*) Заметим, что пространство X* непременно худое, если
X бесконечномерно. (Прим. перев.)
**) История этой теоремы такова. Для плоскости X она была
доказана Лебегом в начале текущего столетия, а для случая, когда
X есть n-мерное евклидово пространство, — немного позже Брау-
эром. Титце обобщил теорему на случай любого метрического про-
пространства. Урысон впервые доказал ее для любого нормального про-
пространства, и это обобщение, очевидно, является окончательным
(если теорема верна для пространства X, то X нормально). Тео-
Теорему естественно называть теоремой Лебега — Урысона или Брау-
эра — Урысона, но никак не теоремой Титце. (Прим. перев.)
***) Эта теорема помещена именно здесь потому, что ее дока-
доказательство опирается на то обстоятельство, что предел равномерно
сходящейся последовательности непрерывных отображений является
непрерывным отображением. Честно говоря, следует признаться,
что в предшествующих главах есть еще три задачи, в которых
этим фактом надо пользоваться.
****) Выделенная курсивом фраза добавлена мной. (Прим.
перев.)
ЗАДАЧИ 319
и D = {x : f (x) !> Уз}- В силу леммы Урысона существует непрерыв-
непрерывное отображение ft пространства X в отрезок »-, -^ , равное
1 1 2
^ всюду на С и + ¦д" всюду на D. Очевидно, \f(x) — M*)K""q-
при всех х из Л. Ясно, что проведенное рассуждение можно повто-
повторить для функции f — fi-)
Замечание. Дугунджи [1], Даукер [3] и Ханнер [1]
доказали интересные обобщения теоремы о продолжении.
Р. Лемма о плотности для линейных подпространств
пространства С(Х)
Пусть X— топологическое пространство, С(Х) —пространство
всех ограниченных непрерывных вещественных функций на нем, на-
наделенное топологией равномерной сходимости (она индуцируется
следующей нормой на С(Х) : ||/|| = sup{[f (х)\ : х ?Х}). Говорят, что
подмножество L пространства С(Х) имеет свойство двух множеств,
тогда и только тогда, когда, каковы бы ни были замкнутые непере-
непересекающиеся подмножества пространства X и замкнутый интервал
[а, Ь], существует отображение f (~L, переводящее X в [а, Ь], множе-
множество А в точку а и множество В в точку Ь. Каждое линейное под-
подпространство пространства С(Х), обладающее свойством двух мно-
множеств, плотно в С (А'). (Пусть g— любой элемент пространства
С(Х). Предположим, что dist (g, L) >0. Выберем h в L так, чтобы
disi(g,L) приблизительно равнялось \\g — h\\. Положим k=g — h,
тогда dist(k, L) — dist(g, L), а последнее равно приблизительно \\k\\.
Покажите, что существует такой элемент f?L, что |] k—/|] < —=— . ]
" /
С. Лемма о квадратном корне для банаховых алгебр *)
Вещественная (или комплексная) банахова алгебра — это ал-
алгебра А над вещественными (комплексными) числами вместе с нор-
нормой, относительно которой она является полным нормированным
линейным пространством, причем предполагается, что умножение
удовлетворяет условию \\xy\\ -dUII \\y\\- Пользуясь понятием нормы
оператора, банахову алгебру А можно описать как банахово про-
пространство с ассоциативным умножением, удовлетворяющим усло-
условию: умножение слева на фиксированный элемент х?А является
линейным оператором, норма которого не превосходит ||;е||. В даль-
дальнейшем всюду А обозначает некоторую фиксированную (веществен-
(вещественную или комплексную) банахову алгебру.
Отображение f множества D в некоторое нормированное линей-
линейное пространство называется абсолютно суммируемым тогда и толь-
только тогда, когда существует ^ (II/ (л) II: п 6 DY
*) Эта задача подготавливает нас к теореме Вейерштрасса —
Стоуна. Однако формулируемая лемма играет определенную роль
и в более общих предположениях; поэтому она устанавливается
для произвольных банаховых алгебр.
320 ГЛ. 7. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
(а) Каждое абсолютно суммируемое отображение в А сум-
суммируемо. Если последовательности {*„,«(; со} и {ут, mQ to} абсолют-
абсолютно суммируемы, то и последовательность {хпут, (/га, п) ? шХсо} абсо-
абсолютно суммируема, причем^] {хп : л j^co}^ [ут ; т f со} = ^{хпут:
(т, n)fa>\ со}. (Этот результат хорош тем, что последнюю
сумму можно вычислять, группируя слагаемые более или менее про-
произвольно. См. 6. У.)
(б) Пусть ап—п-й коэффициент разложения в ряд Тейлора
функции A —tL2 в точке 0. Тогда ао=1, ап отрицателен при поло-
положительных п, 2 \ап ¦ и6м) =0 и сумма ^ {апар-п'- п?ь} и
п^Р) равна 1, —1 и 0 при р = 0, р=\ и р>1 соответственно.
(Можно было бы определить коэффициенты ап рекурсивно, потре-
потребовав, чтобы выполнялось последнее условие. Проверив, что ап<0
при положительных п, мы замечаем, что частичные суммы
2 {ant": п < р] монотонно убывают с ростом п и ограничены
снизу функцией A — t) "при 0^^<1, а значит, также и при t=\.)
(в) Если алгебра обладает единичным элементом и и \\х — и!!<1,
то в алгебре есть элемент у такой, что у2 = х, А именно, в каче-
качестве у можно взять ^ [ап (и — х)п:п?(о}, где ап — те же, что и
в (б). Мы принимаем здесь, что х° = и. Элемент у можно предста-
представить также в виде у = ^{а„ [(и — х)п—и]:п>1}. Итак, у — предел
полиномов от х без свободных членов.
Замечание. Очевидно, пользуясь методами, примененными
выше, можно получить еще много информации. (Например, если
||я||<1, го ^ (хп : п ? со} — элемент, обратный к и — х*).)
Т. Теорема Веперштрасса — Стоуна
(а) Пусть X — бикомпактное топологическое пространство и
С(Х) — алгебра всех непрерывных вещественных функций на X, на-
наделенная нормой: i|/|| = sup {|/(х)| : х^Х). Тогда если подалгебра R
алгебры С(Х) обладает свойством двух точек: для любых различ-
различных элементов х и у пространства X и произвольной пары веще-
вещественных чисел а и Ь существует такая функция f?R, что f(x)=a
и !(у)=Ь, то множество R плотно в С(Х).
В частности, подалгебра R плотна в С(Х), если ей принадле-
принадлежат все постоянные функции и она различает точки (в том смысле,
что если х Ф у, то f (х) Ф!(у) для некоторого f из R)
Доказательство распадается в последовательность лемм.
1) Если f^R, то |/| принадлежит замыканию R подалгебры R
где !/|(л) =!/(х)|. (Воспользовавшись утверждением 7. С, извлеките
квадратный корень из р.)
*) В основном теория банаховых алгебр (нормированных ко-
колец) создана И. М Гельфандом. Читайте о ней в книге: М А. Н а й-
м а р к. Нормированные кольца, Гостехиздат, 1956. (Прим. перев.)
ЗАДАЧИ 321
2) Если fug принадлежат рассматриваемой подалгебре, то
функции max [/, g] и min [f, g] тоже принадлежат ей. (Здесь
max[/, g](x)=max[(f(x),g(x)]. Заметим, что шах [а, Ъ]=-^ [(а-\-Ь) +
+ | а — Ъ | ] и min [а, Ь\=-^\(а-\-Ь)—\а — Ь\
3) Если подалгебра R обладает свойством двух точек, f?C(X),
х^-Х и е>0, то существует такая функция g?R, что g(x)=f(x) и
g(i/) </(У)+е ПРИ всех .'/ из ^- (Воспользовавшись бикомпакт-
ностью X, возьмите минимум подходящего конечного семейства
функций.)
Завершает доказательство теоремы переход к максимуму неко-
некоторого конечного семейства функций, подобранных с помощью 3).
(б) Если X — топологическое пространство и семейство С(Х)
всех непрерывных вещественных функций на X наделено тополо-
топологией равномерной сходимости на бикомпактных множествах, то
каждая подалгебра алгебры С(Х), обладающая свойством двух
точек, плотна в С (Л7).
Замечание. Это, несомненно, самое полезное из известных
свойств алгебры С(Х). Соответствующее утверждение о комплексно-
значных функциях неверно (рассмотрите, например, функции, непре-
непрерывные на круге единичного радиуса, аналитические внутри него).
См. статью М. Стоуна [5], в которой дано детальное обсуждение.
У. Строение С(Х)
На всем протяжении этого упражнения X, У и 2 будут обозна-
обозначать бикомпактные хаусдорфовы пространства, а С(Х), C(Y) и
СG.) будут алгебрами всех непрерывных вещественных функций
над X, У и Z соответственно. Вещественным гомоморфизмом алгеб-
алгебры называется любой ее гомоморфизм в алгебру вещественных
чисел.
(а) Для каждого непрерывного отображения F пространства А'
в пространство У обозначим через F* индуцированное отображение
алгебры С(У) в алгебру С(Х), описываемое правилом: F* (h)=h° F
при всех h из C(Y). Тогда:
1) F* — гомоморфизм алгебры С (У) в алгебру С(Х);
2) F отображает X на У тогда и только тогда, когда F* яв-
является изоморфизмом алгебры C(Y) на некоторую подалгебру ал-
алгебры С(Х), содержащую единицу;
3) F взаимно однозначно в том и только в том случае, когда
F* отображает С (У) на С(Х)\
4) если G — непрерывное отображение пространства У в Z, то
{G°F)* = F*oG*;
5) если F — топологическое отображение*) пространства X на
пространство У, то (F~l)*= (F*)~l.
(б) Топология банаховой алгебры С(Х) полностью определяется
алгебраическими операциями. Подробнее: />g тогда и только
тогда, когда f — g является квадратом некоторого элемента из С (X)
*) То есть F — гомеоморфизм. (Прим. перев.)
21 Дж. Л. Келлн
322 гл. 7. функциональные пространства
и ||/j| = inf {?:—ku <. /<; ku}, где и — функция, тождественно равная
единице. Для любого вещественного гомоморфизма ф алгебры С(Х)
имеем 1ф(/I <С И/И, и если ц, не равен тождественно нулю, то
(в) Пусть S — множество всех вещественных гомоморфизмов ф
алгебры С(Х), для которых ф(«) = 1, наделенное топологией пото-
поточечной сходимости, и Е — отображение вычисления X в S (т. е.
Е(х) (/) =/(*)). Тогда Е—топологическое отображение простран-
пространства X на пространство S. (Покажите, что S бикомпактно, пока-
покажите с помощью теоремы Вейерштрасса — Стоуна, что отображе-
отображение вычисления D пространства С(Х) в пространство C(S) является
изоморфизмом алгебры С(Х) на алгебру C(S), проверьте, что
Я* = Д-1 и воспользуйтесь утверждением (а).)
(г) Пространство X метризуемо в том и только в том случае,
когда пространство С(Х) сепарабельно. (Этот результат не понадо-
понадобится в оставшейся части задачи. Он приведен просто для трени-
тренировки на применение сказанного в (в).)
(д) Для любого гомоморфизма Н алгебры C(Y) в алгебру
С(Х), переводящего единицу алгебры С(У) в единицу алгебры
С(Х), существует и единственно непрерывное отображение F про-
пространства X в пространство Y, для которого H = F*. (Просто гомо-
гомоморфизм Н индуцирует отображение вещественных гомоморфизмов
алгебры С(Х) в вещественные гомоморфизмы алгебры C(Y).)
(е) Пусть R — замкнутая подалгебра алгебры С(Х), причем
u?R,F— отображение пространства X в произведение Щ/[Х] : /?R},
определенное формулой F(x)f = j(x), и Y—пространство значений
отображения F. Тогда R является множеством значений индуциро-
индуцированного изоморфизма F* алгебры С(У) в алгебру С(Х).
(ж) Пусть / — замкнутый идеал в С(Х) и Z = {x : /(х) — 0 при
всех { из /}. Тогда / состоит из всех элементов алгебры С(Х), тож-
тождественно равных нулю на Z. (Если множество Z пусто, то в /
существует элемент, не обращающийся в нуль ни в одной точке
пространства X; у этого элемента есть обратный. Рассмотрим под-
подалгебру С + /, где С — множество постоянных функций. Из непу-
непустоты Z вытекает, что множество C + I замкнуто, теперь можно
применить (е).)
Замечания. О строении С(Х) известно совсем немного.
Дальнейшие сведения и ссылки можно найти в обзоре, написанном
на эту тему Майерсом [2]. См. также работу Хьюитта [2]*).
Ф. Бикомпактные расширения групп;
почти периодические функции
Естественно пытаться отобразить произвольную топологическую
группу в бикомпактную топологическую группу так, чтобы образ
был всюду плотен в последней, — на манер вложения тихоновского
пространства в его бикомпактное расширение Стоуна —Чеха. Топо-
Топологического вложения обычно не существует — полная группа замк-
замкнута в каждой хаусдорфовой группе, топологически и изоморфно ее
*) См. также Г и л м а н и Джерисон [1]. (Прим. перев.)
ЗАДАЧИ 323
содержащей. Однако можно получить ряд интересных результатов;
следующие ниже предложения надо рассматривать как вступление
к ним. Развитие темы мотивировано таким наблюдением: если ф —
непрерывный гомоморфизм топологической группы G в бикомпакт-
бикомпактную группу Н и g—непрерывная вещественная функция на Н, то
множество всех левых сдвигов функции g ° ср вполне ограничено
(относительно равномерности равномерной сходимости).
Всюду в этой задаче предполагается, что G — некоторая
фиксированная топологическая группа. Для каждой ограниченной
вещественной функции / на группе G и каждого x^G определим
левый сдвиг Lx(f) функции f на элемент х правилом: Lx(f)(y) =
= f(x~'y). Пространство всех ограниченных вещественных функций
метризуется: d(f, g) = sup{|/(x) — g(x)\ : x(^X}. Левая орбита Xf
функции f определяется как замыкание множества всех левых сдви-
сдвигов функции / в метрической топологии. Функция / называется
почти периодической слева тогда и только тогда, когда множество
Xf бикомпактно.
Обозначим через А множество всех непрерывных почти перио-
периодических слева функций на G Тогда для каждого x(~G левый
сдвиг Lx отображает А в А. Наделим множество всех отображений
пространства А в себя топологией поточечной сходимости и обозна-
обозначим через a[G] замыкание множества всех левых сдвигов относи-
относительно этой топологии.
(а) Лемма. Пусть (X, d) — бикомпактное метрическое про-
пространство и К — группа (по отношению к операции композиции)
всех изометрий пространства (X, d) в себя. Топология (на К) рав-
равномерной сходимости на X совпадает с топологией метрики
d*(R,S)=sup{d(R(x),S(x)):x?X], а последняя совпадает с топо-
топологией поточечной сходимости на X. Группа К в этой топологии
является бикомпактной топологической группой.
(б) Пространство a,[G] бикомпактно (заметим, что os[G]C
Х1?А})
,1?}
(в) Каждый элемент из a[G] представляет собой некоторую
изометрию, отображающую каждую левую орбиту саму на себя.
Естественное отображение топологического пространства группы
cc[G] в пространство произведения Il{Kf:f(~A}, где Kf— группа
всех изометрий пространства Xf, является топологическим изомор-
изоморфизмом. Следовательно, a[G] — топологическая группа.
(г) Если А наделить топологией поточечной сходимости на G и
на а[д] (являющемся подмножеством множества АА) взять топо-
топологию, индуцированную топологией произведения, то получится та
же топология, что и выше. Значит, Rn -> R в <x[G] тогда и только
тогда, когда Rn(j) (x) -> R(f) (x) при всех / из А и всех х из G.
(д) Отображение L группы G в группу a[G], переводящее x?G
в Lx, является непрерывным гомоморфизмом. Наименьшая тополо-
топология на G, относительно которой L непрерывно, совпадает с наи-
наименьшей топологией, относительно которой непрерывны все / ? А.
(a[G] можно описать также как пополнение группы G, взятой по
модулю подгруппы, образованной теми ее элементами, которые
не отделяются функциями из А от единицы группы, относительно
324 ГЛ. 7. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
наименьшей равномерности, при которой все f ? А равномерно непре-
непрерывны.)
(е) Пусть g— непрерывная вещественная функция на a[G].
Тогда g°L?A. Если f?A и g — функция на т. [G], определенная
правилом g(R)=R~'({) (e), то f = g°L, причем функция g непре-
непрерывна. Семейство всех непрерывных вещественных функций на
a[G] изометрично (и изоморфно) А.
(ж) Для любого непрерывного гомоморфизма ф группы G в
бикомпактную топологическую группу Н существует такой непре-
непрерывный гомоморфизм 0 группы a[G] в Н, чтоф = 0°/-. (Более общий
факт: в случае любой группы Н гомоморфизм ф индуцирует есте-
естественный гомоморфизм 0 группы a[G] в группу а[Н] такой, что
QoL= Z-оф. См. определение а.)
Из предшествующего с очевидностью вытекает ряд следствий.
Например, функция почти периодична слева тогда и только тогда,
когда она почти периодична справа (и обратно); класс А является
банаховой алгеброй, изоморфной алгебре всех непрерывных функ-
функций на бикомпактной группе a[G].
(з) Название «почти периодическая» возникло на основе дру-
другого описания класса А. Элемент x?G называется левым е-перио-
дом вещественной функции / в том и лишь в том случае, когда
\f(x~iy)—f(y)\<e при всех y?G. Обозначим через Ае множество
всех левых е-периодов непрерывной функции f. Тогда следующие
утверждения эквивалентны:
1) Существует гомоморфизм ф группы G в некоторую биком-
бикомпактную группу Н и непрерывная вещественная функция h на Н
такие, что f=h°i(.
2) Множество всех левых сдвигов функции f вполне ограни-
ограничено относительно равномерности равномерной сходимости.
3) Для каждого положительного числа е существует конечное
подмножество В множества G такое, что G = BAe.
(Связь между условиями 2) и 3) проясняет такое наблюдение:
\Lx(f) (z) —Ly(J) (z)\<e при всех г тогда и только тогда, когда
у~1х является левым е-периодом.)
Замечания. Приведенные выше результаты принадлежат в
первую очередь А. В е й л го [2]. Эквивалентность утверждений 2) и
3) из (з) —это классическая теорема Бохнера. Люмис в [2] иссле-
исследует почти периодические функции, показывая сначала, что множе-
множество всех почти периодических слева функций на группе удовле-
удовлетворяет условиям, характеризующим банахову алгебру функций, и
затем определяя a[G] как множество всех вещественных гомомор-
гомоморфизмов этой банаховой алгебры.
Предложение (а) подсказывает общую задачу построения на
группе гомеоморфизмов топологии, относительно которой эта груп-
группа была бы топологической. Результаты, идущие в этом направле-
направлении, и ссылки можно найти в работах А р е н с а [2] и Дьедон-
н е [5].
Добавление
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Это добавление посвящено элементарной теории мно-
множеств. Здесь строятся порядковые и кардинальные числа
и доказываются наиболее часто применяемые теоремы.
Затем определяются неотрицательные целые числа и как
теопемы доказываются постулаты Пеано.
Предполагается, что читатель обладает практиче-
практическим знанием элементарной логики, но знакомство с
формальной логикой для нас несущественно. Однако
понимание природы математических систем (в техниче-
техническом смысле) будет способствовать прояснению и моти-
мотивировке всего обсуждения. В замечательной книге Т а р-
ского [1] такие системы описываются очень прозрачно;
книга Тарского особенно рекомендуется в качестве об-
общей основы.
Изложение теории множеств ведется таким образом,
чтобы его можно было без труда перевести на полно-
полностью формализованный язык*). Чтобы облегчить как
формальное, так и неформальное восприятие, вводный
материал разбит на два параграфа, второй из них пред-
представляет собой, по существу, точную переработку части
первого. Его можно опустить, не разорвав изложения.
Принятая система аксиом является разновидностью
системы аксиом Сколема и А. Морса; многое в ней исхо-
исходит от системы аксиом Гильберта — Бернайса — фон
*) То есть чтобы теоремы можно было записать в терминах ло-
логических констант, логических переменных и констант системы, а их
доказательства получить в терминах правил вывода из аксиом. Ко-
Конечно, для подобного изложения понадобилась бы некоторая база
в формальной логике. Когда мне привелось осуществлять такого
рода редакцию данного ниже материала для курса лекций, я поль-
пользовался (в основном) метааксиомами логики в изложении К у-
айна [1].
326 ДОБАВЛЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Неймана в формулировке Гёделя. Выбор формального
подхода, данного ниже, определялся желанием быстро
и естественно построить фундамент математики, свобод-
свободной от наиболее очевидных парадоксов. По этой причине
в основу положена не конечная система аксиом, а во-
восемь аксиом и одна схема аксиом *) (последнее озна-
означает, что все утверждения некоторого определенного
типа принимаются за аксиомы).
Оказалось удобным назвать теоремами многие утвер-
утверждения предварительного характера. Это привело к пе-
переполнению списка теорем, но позволило в то же время
опустить многие доказательства и сократить другие. Ис-
Используемые соглашения в большинстве своем более или
менее ясны из вида определений и теорем.
КЛАССИФИКАЦИОННАЯ СХЕМА АКСИОМ
Равенство всегда понимается как логическое тожде-
тождество: «1 + 1=2» следует воспринимать как утверждение
о том, что «1 + 1» и «2» — названия одного и того же
объекта. Кроме обычных аксиом равенства, предпола-
предполагается выполненным без каких-либо ограничений пра-
правило подстановки; в частности, заменяя в теореме объект
равным ему, мы снова получаем теорему.
Кроме « = » и других логических констант, есть две
первоначальные (неопределяемые) константы. Первая из
них — это « ? ». Ее следует читать, как «является эле-
элементом (чего-то)» или «принадлежит (чему-то)». Вторая
константа обозначается довольно странно: «(...:.. .}» и
читается как «класс всех ... таких, что . . .». Это класси-
классификатор. Замечание об употреблении термина «класс»
может прояснить дело. Этот термин не встречается ни
в одной аксиоме, ни в одном определении и ни в одной
*) В действительности без точной формулировки принимается
также некоторая схема аксиом для определения. Именно, утвержде-
утверждения определенного вида, включающие одну новую константу и яв-
являющиеся либо эквивалентностью, либо тождеством, принимаются
в качестве определений; с ними затем обращаются как с теоре-
теоремами. Эта схема аксиом для определения удачна, ибо допускает
проверку: определения, согласующиеся с предписанными правилами,
не могут привести ни к новым противоречиям, ни к по-настоящему
новым результатам, как показано Лесневским.
КЛАССИФИКАЦИОННАЯ СХЕМА АКСИОМ 327
теореме. Он возникает при основной интерпретации *)
наших положений как утверждений о классах (совокуп-
(совокупностях, семействах). Таким образом, назначением тер-
термина «класс» в предстоящем обсуждении является под-
подсказывать эту интерпретацию.
Маленькие латинские буквы обозначают (логиче-
(логические) переменные. Разница между константой и пере-
переменной целиком заключена в правилах подстановки.
Например, результат замены переменной в теореме дру-
другой переменной, в этой теореме не встречающейся, снова
будет теоремой. Для констант это далеко не так.
I. Аксиома объемности**). Для каждых х и у
х=у в том и только в том случае, когда для каждого z
z^lx тогда и только тогда, когда z(i у.
Таким образом, два класса совпадают тогда и только
тогда, когда каждый элемент любого из них является
элементом другого. Часто в формулировках теорем и
определений мы будем опускать выражения «для каж-
каждого х» или «для каждого у». Если, например, перемен-
переменной «х» в формулировке не предшествуют выражения
«для каждого» или «для некоторого», надо читать это
место теоремы или определения как «для каждого х».
Следующим определением дается специальное наи-
наименование тем классам, которые сами являются элемен-
элементами классов. Причины, которыми вызвано это разделе-
разделение классов на два сорта, объясняются немного позже.
1. Определение, х является множеством в том
и только в том случае, когда для некоторого у будет
х?у.
Следующая задача — описать, как пользоваться клас-
классификатором. Первый пропуск в классификаторе надле-
надлежит заполнить переменной, а второй — формулой; на-
например, так: {х : хк.у). Мы принимаем за аксиому утвер-
утверждение: и^{х : xdy] в том и лишь в том случае,
*) Допускается, что возможны и другие интерпретации.
**) Можно было бы принять это за определение, покончив тем
самым с одной аксиомой и всеми логическими предложениями о
равенстве. Это было бы совершенно законно. Однако, поскольку не
было бы никакого неограниченного правила подстановки для равен-
равенства, мы должны были бы принять такую аксиому: если х ? г и
у = х, то у?г.
328 ДОБАВЛЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
когда и — множество и и С у*). Более общо, каждое
утверждение следующего вида полагается аксиомой:
и с {х : . .. х . . .} тогда и только тогда, когда и — множе-
множество и ...и... Здесь предполагается, что «...х...»—
некоторая формула, и «... м ...» — формула, получаю-
получающаяся из последней, если в ней всюду «х» заменить на
«и». Таким образом, ud{x:x(:y и z<zx\ тогда и только
тогда, когда и — множество, и?у и z ?и.
Эта схема аксиом точно отражает обычный интуи-
интуитивно ясный способ построения классов, за исключением
требования: «и есть множество». Совершенно очевидно,
что это — очень неестественное и интуитивно абсолютно
нежелательное требование. Однако если от него отка-
отказаться, то можно построить противоречие, отправляясь
от одной аксиомы объемности (см. теорему 39 и пред-
предшествующее ей обсуждение). Это усложнение, ведущее
в свою очередь к большой технической работе, касаю-
касающейся существования множеств, — плата за избежание
очевидных несуразностей. Очень возможно, что менее
очевидные несуразности при этом остаются.
КЛАССИФИКАЦИОННАЯ СХЕМА АКСИОМ
(ПРОДОЛЖЕНИЕ)
Для точной формулировки классификационной схе-
схемы аксиом следует условиться, что такое формула.
Принято считать, что **):
*) Эта и следующая фраза могут внести некоторую путаницу:
в первой условие «и есть множество» можно отбросить, ибо в силу
определения 1 оно вытекает из второго условия «ы ? у». Однако
этого нельзя сказать про второе утверждение, ибо из «... и ...»
еще не следует, вообще говоря, что и — множество. Именно ко вто-
второй фразе следует отнести все комментарии автора, (Прим. перев.)
**) Этот напоминающий круг способ выражаться, к сожалению,
неизбежен. Согласимся имена писать в кавычках: например, «Бос-
«Бостон»— название Бостона. Тогда если 91—формула и S3—формула,
то «2С->83» — не формула. Например, если ЭС есть «=г/» и 8 есть
«г/ = г», то «,,х = у' -> „y — z"» не есть формула. Формула (например,
«х — у») не должна содержать внутри себя кавычек. Вместо
«2С -> S» мы желаем рассматривать результат замены «а» на 31 и
«р» на S3 в «а -> р». Всех этих околичностей можно было бы из-
избежать, воспользовавшись соглашением об употреблении «уголков»
Куайна.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА КЛАССОВ 329
(а) Результат замены «а» и «р» переменными в лю-
любом из следующих соотношений есть формула
(б) Результат замены «а» и «р» переменными, а «Л»
и «в» — формулами в любом из следующих соотноше-
соотношений есть формула:
если А, то В А -«-*• В не верно, что А
А и В А или В
для каждого а, А при некотором а, А
Рб{а:Л} {а:Л)бР {а : А] ? {?>: В}.
Формулы строятся рекурсивно, начиная с первона-
первоначальных формул (а) путем применения конструкций,
разрешенных (б).
II. Классификационная схема аксиом.
Мы получаем аксиому, если в выписанной в конце фор-
формулировке заменить «а» и «р» переменными, «А» — не-
некоторой формулой 91 и «В» — формулой, возникающей
из 91, если заменить каждую переменную, подставлен-
подставленную вместо а, переменной, подставленной вместо р:
Для каждого р р ?{а : А) в том и только в том слу-
случае, когда р — множество и имеет место В.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА КЛАССОВ
Сформулированные до сих пор аксиомы позволяют
вывести ряд теорем прямо из логических результатов.
9. Определение. x\J y = {z : z€,x или z (¦ х].
3. Определение, хп y = {z : z? x и zdy).
Класс х U у называется объединением классов хну,
а хГ\у называется пересечением хну.
4. Теорема. zdxUy в том и только в том случае,
когда г € х или zdy, и z(i хп у в том и только в том слу-
случае, когда zdx и z(iy.
Доказательство. В силу классификационной ак-
аксиомы zd хUу тогда и только тогда, когда z (~x или zCy
и г — множество. Но в силу определения множества
330 ДОБАВЛЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
(определение 1) z(Lx или zdy и z — множество тогда и
только тогда, когда z?x или z€y. Аналогично доказы-
доказывается утверждение о пересечениях.
5. Теорема. x\J х = х и х П х = х.
6. Т е о р е м a. x\J у—у U х и х П у = у П х.
7. Теор ем a*). (x\Jy) Uz = x\J (yUz) и (хГ\у) Пг=
= хП (yuz).
Этими теоремами утверждается, что операции объ-
объединения и пересечения коммутативны и ассоциативны в
обычном смысле. Законы дистрибутивности выписаны
ниже.
8. Теорема, х П (у U z) = (х П у) U (х П z) и *U
U (г/ П г) = (* U у) П (* U z).
9. Определение, *(?г/ в том и только в том слу-
случае, когда не верно, что х?у.
10. Определение. \х = {у : у (? х).
Класс \х называется дополнением (класса) х.
11. Теорема. \(\х)=х.
12. Теорема (де Морган). \ (х U у) = (\х) П (\у)
и \(хПу) = (\х)[)(\у).
Доказательство. Будет доказано только пер-
первое из этих двух утверждений. Для каждого z
z ? \ (х U у) тогда и только тогда, когда z — множество
и не верно, что z?x\Jy, в силу классификационной ак-
аксиомы и определения 10. В силу теоремы 4 формула
z ?хUу эквиналентна формуле: z€x или z?y. Следо-
Следовательно, z? \(х[)у) в том и лишь в том случае, ко-
когда z — множество, z(? х и z(fcy, т. е. когда z?\x и
z € \у. Снова применив теорему 4, заключаем, что
z €\(x\J у) эквивалентно z? (\x) П (\у). Значит,
\(x\J у) = (\х) П (\у) в силу аксиомы объемности.
13. Определение. х\у=х П (\у).
Класс х\у называется разностью (классов) х и у,
или дополнением у относительно х.
*) Скобок не понадобилось бы, если бы в определении 2 кон-
константа «U» стояла на первом месте, т. е. вместо «!_)(/» было бы
написано «.\}ху». В этом случае первая часть теоремы выглядела
бы так: U \Jxyz= [)х1)Уг- [Эта идея лежит в основе так называемой
бесскобочной системы обозначений, предложенной польским логи-
логиком Лукасевичем. (Прим ред.)]
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА КЛАССОВ 331
14. Теорема, xfl (y\z) = (х П у) \z.
Предложение «,vU (y\z) = (х U у) \z» кажется подо-
подозрительным, но на данной стадии противоречащего при-
примера построить нельзя. Точнее, с помощью принятых до
сих пор аксиом отрицание этого предложения невозмож-
невозможно доказать: существует модель, в которой выполняется
эта начальная группа аксиом и такая, что х(?у при лю-
любых х и у (нет множеств). Доказать отрицание нашего
предложения можно будет после аксиом, которые мы
вскоре сформулируем.
15. Определение. 0 = {х : хфх}.
Класс 0 называется пустым классом, или нулем.
16. Тео р е м а. х(?0.
17. Теорема. 0U х = х ц 0Пх = 0.
18. Определение. \\ ={х : х = х).
Класс 11 называется универсумом.
19. Теорема. лс? U в том и только в том случае,
когда х — множество.
20. Теорема. х\]\\ = \\ и х[\1\ = х.
21. Теорема. \0 = U и \11=0.
22. Определение*), п x = {z: для каждого у, если
у^х, то zky].
23. Определение. U x = {z: для некоторого у zdy
и у^х).
Класс Г\х называется пересечением элементов клас-
класса х. Заметим, что элементами класса Г\х служат эле-
элементы элементов класса х; они могут как принадлежать,
так и не принадлежать классу х. Класс U х называется
объединением элементов класса х. Заметим, что множе-
множество z принадлежит П х (или U х) тогда и только тогда,
когда z принадлежит каждому (соответственно некото-
некоторому) элементу класса х.
24. Теорема. П 0=11 к U0 = 0.
Доказательство. г( ПО эквивалентно тому, что
z — множество, и z принадлежит каждому элементу
класса 0. Так как (теорема 16) элементов класса 0 не
*) Обозначение для пересечения элементов семейства в тер-
терминах связанной переменной в этом Добавлении не нужно.
Здесь принято более простое обозначение, чем то, которым мы поль-
пользовались в остальной части книги.
332 ДОБАВЛЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
существует, г?П0 эквивалентно тому, что z—множе-
z—множество. Отсюда в силу теоремы 19 и аксиомы объемности
следует, что ГH=11. Второе утверждение тоже доказы-
доказывается легко.
25. Определение, xczу тогда и только тогда, ко-
когда для каждого z, если z(zx, то zdy.
Класс х является подклассом класса у, или содер-
содержится в классе у, в том и лишь в том случае, когда xczy.
Чрезвычайно существенно не путать «с» с « ?». Напри-
Например, 0с0, однако не верно, что 0? 0.
26. Теорема. Оах и xczll.
27. Теорема, (х—у) эквивалентно (xczy и yczx).
28. Теорема. Если xczy и yczz, то xczz.
29. Теорема, (xczy) эквивалентно (х\}у=у).
30. Теорема, {xczy) эквивалентно (х(]у = х).
31. Теорема. Если xczy, то U xcz U у и П ycz П л;.
32. Теорема. Если х ? у, то xcz (] у и Л yczx.
Предшествующие определения и теоремы применяют-
применяются очень часто, — нередко без точного на то указания.
СУЩЕСТВОВАНИЕ МНОЖЕСТВ
Этот параграф посвящен вопросам существования
множеств и первым шагом в построении отображений и
других первоначальных отношений теории множеств.
III. Аксиома подмножеств. Если х — мно-
множество, то существует такое множество у, что при каж-
каждом z, если zczx, то z^y.
33. Теорема Если х — множество и zczx, то z —
множество.
Доказательство. В соответствии с аксиомой
подмножеств для любого множества х существует та-
такое у, что если zczx, то z?.y. Значит, в силу определе-
определения 1 z является множеством. (Заметим, что в этом до-
доказательстве аксиома подмножеств используется не в
полную силу — нам не понадобился тот факт, что у —
множество.)
34. Т е о р е м а. 0 = П И н U = U U-
Доказательство. Если х € П И , то х является
множеством, и так как Qczx, то в силу теоремы 33 0 бу-
будет множеством. Значит, 0?11, и каждый элемент клас-
СУЩЕСТВОВАНИЕ МНОЖЕСТВ 333
са П U принадлежит классу 0. Следовательно, в ПИ нет
элементов. Ясно (если иметь в виду теорему 26), что
UUcll. Если х? II, то х — множество и в силу аксиомы
подмножеств существует такое множество у, что если
гсх, то г 6 г/. В частности, х€у, и, так как г/?И, полу-
получаем, что х€ UU. Следовательно, UczUU; отсюда сле-
следует искомое равенство.
35. Теорема. Если хфО, то Пх является множе-
множеством.
Доказательство. Если хфО, то для некото-
некоторого у у?х. Но у — множество, и так как в силу тео-
теоремы 32 Г\хау, то из теоремы 33 вытекает, что Пл: бу-
будет множеством.
36. Определение. 2х = {у : у ах)
37. Теорема. 11 = 2".
Доказательство. Каждый элемент класса 2
является множеством и, следовательно, принадлежит U.
Каждый элемент класса U является множеством и со-
содержится (теорема 26) в U, а значит, принадлежит
классу 2".
38. Теорема. Если х — множество, то 2х — множе-
множество и для каждого у у ах эквивалентно у ?2Х.
Интересно отметить, что на базе до сих пор провоз-
провозглашенных аксиом еще нельзя доказать существования
множеств, но уже можно доказать, что существует класс,
не являющийся множеством. Положим R = {х : х (? х].
В силу классификационной аксиомы, R? R тогда и толь-
только тогда, когда R (? R и R является множеством. От-
Отсюда вытекает, что R не является множеством. Заметьте.
что если бы в классификационной аксиоме отсутство-
отсутствовали слова «. . .является множеством», то возникло бы
явное противоречие: R?R эквивалентно R (? R. Это —
парадокс Рассела. Из этого рассуждения следует, что II
не будет множеством, ибо Rail и можно применить тео-
теорему 33. (Из аксиомы регулярности будет следовать,
что i? = U. Эта аксиома позволит также по-другому дока-
доказать, что II не является множеством.)
39. Т е о р е м a. U не является множеством.
40. Определение. {л:} = {г: если х? U, то г=х}.
334 ДОБАВЛЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Одночленный класс элемента х — это \х\.
Данное определение служит примером очень удоб-
удобного технического соглашения. Если х — множество, то
{х} — класс, единственным элементом которого являет-
является х. Однако если х-—не множество, то {х} = 11 (это
утверждается в теоремах 41 и 43). В действительности
наиболее интересен случай, когда х — множество; здесь
тот же результат достигается более естественным опре-
определением: за {х} принимается {z : z = x}. Однако фор-
формулировки результатов существенно упрощаются, если
вычисления построены таким образом, что при их
применении за пределами естественной области дей-
действия получается U.
41. Теорема. Если х — множество, то при каждому
y(z {x} эквивалентно у=х.
42. Теорема. Если х — множество, то и {х} — мно-
множество.
Доказательство. Если х — множество, то {х}с
<=2Ж, причем 2х — множество.
43. Теорема, {л} = 11 в том и только в том случае,
когда х не является множеством.
Доказательство. Если х — множество, то {х}—
множество; поэтому {л} не равно U. Если х не являет-
является множеством, то х (? U и {л:} = U по определению.
44. Теорема. Если х — множество, то [\{х} — х и
\]{х} — х. Если х не является множеством, то П{л;} = 0 и
U{x} = U.
Доказательство. Примените теоремы 34 и 41.
IV. Аксиома объединения. Если х — множе-
множество и у — множество, то и xUy — множество.
45. Определение, {ху} = {л:} U {у}.
Класс {ху} называется неупорядоченной парой.
46. Теорема. Если х — множество и у — множе-
множество, то {ху} — множество и z ? {ху} тогда и только
тогда, когда z=x или z=y; {ху}=\\ в том и толь-
только в том случае, когда х или у не является множе-
множеством.
47. Теорема. Если х и у — множества, то Г\{ху} =
= хГ\у и U {ху} = х U у. Если либо х, либо у не является
множеством, то Г\{ху}-=0 и U{xy}=\\.
УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПАРЫ; ОТНОШЕНИЯ 335
УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПАРЫ; ОТНОШЕНИЯ
Этот параграф посвящен свойствам упорядоченных
пар и отношений. Характерное свойство упорядоченных
пар обнаруживает теорема 55: если х и у— множества,
то (х, у) = (и, v) тогда и только тогда, когда х = и и
y = v.
48. О п р е д е л е н и е. (х, у) ~{{х}{ху}}.
Класс (х, у) называется упорядоченной парой.
49. Теорема, (х, у) является множеством в том и
только в том случае, когда х — множество и у — множе-
множество; если (х, у) не является множеством, то (х, у) = U.
50. Теорема. Если х и у — множества, то U (х, у) =
={ху), П (х, у) ={х), U П (х, у) = х, П П (х, у) =х,
U U (х, у)=х[)у и flU {х,у)=хПу.
Если либо х, либо у не является множеством, то
U П (х,у)=0, П П (x,y)=i\, U U (*,«/) =П и П [}(х,у)=0.
51. О п р е д е л е н и е. 1-я коорд. 2= П uz.
52. Опре дел ен и е. 2-я коорд. z=(MUz)U
U ((UU2)\U Пг).
Этими определениями мы будем пользоваться только
тогда, когда г — упорядоченная пара, за одним лишь
исключением. Первая координата класса г есть 1-я коорд.
z и вторая координата класса z есть 2-я коорд. г.
53. Теорема. 2-я коорд. U == U.
54. Теорема. Если х и у — множества, то 1-я
коорд. (х, у)=х и 2-я коорд. (х, у)—у. Если либо х,
либо у не является множеством, то 1-я коорд. (х, у) = II
и 2-я коорд. (х, у) = И.
Доказательство. Если х и у — множества, то
искомое равенство для 1-й коорд. немедленно вытекает
из 50 и 51. Искомое равенство для 2-й коорд. сводится
в силу 50 и 52 к доказательству того, что y=(xf]y) U
U ((х U у) \х). Непосредственно видно, что (х\)у)\х =
=у\х, а в силу закона дистрибутивности (уПх)И
U (у П \х) есть у П (* U \х) =у П 11 =у. Если хотя бы
один из классов х и и не является множеством, то I -я
корд. (х,у) и 2-я коорд. (х, у) легко вычисляются с по-
помощью теоремы 50.
336 ДОБАВЛЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
55. Теорема. Если х и у — множества и (х, у) =
= (и, v), то х = ц и y = v.
56. Определение, г является отношением в том
и только в том случае, когда для каждого элемента z
класса г существуют такие х и у, что z=(x, у).
Отношение — это класс, элементами которого являют-
являются упорядоченные пары.
57. Определение, г ° s = {u: для некоторого х, не-
некоторого у и некоторого z будет и—(х, z), (х, у) ? s и
(У, г) ? г}.
Класс ro.s называется композицией классов г и s.
Чтобы избежать излишних обозначений, условимся
отождествлять {(х, г): .. .} с {и: для некоторого х, неко-
некоторого z имеет место u={x,z) и . . .}. Таким образом,
г о s = {(x,z): при некотором у (x,y)dsu (y,z)dr).
58. Теорема, (г °s) ot = r о (s ot).
59. Т е о р е м а г о (s U t) = (г о s) U (r ° t) и r° (sHt)c:
c(r°s) П (rot).
60. Определение. rl={(x, у): {у, х) ?г}.
Если г — отношение, то г~1 называется отношением,
обратным к г.
61. Теорема. (г1)~1 = г.
62. Теорема, (г °s)~1 = s-1 »г'.
ФУНКЦИИ
Интуитивно функция отождествляется с классом упо-
упорядоченных пар, образующих ее график. Здесь рассма-
рассматриваются только однозначные функции; следовательно,
любые две различные упорядоченные пары, принадле-
принадлежащие некоторой функции, должны отличаться первыми
координатами.
63. Определение. / является функцией в том и
только в том случае, когда f представляет собой отно-
отношение и для каждого у, каждого у и каждого z, если
(х,у) €f и (x,z) ?f, то y^z.
64. Теорема. Если f — функция и g — функция, то
a f°g->функция.
65. Определение. (Область определения /) =
= {х: для некоторого у (х,у) 6 [}.
66. Определение. (Область значений f) ={г/: для
некоторого х (х,у) €/}.
функции 337
67. Теорема. (Область определения U) = 11 и (об-
(область значений 11)=^11.
Доказательство. Если ж €11, то (х, 0) и @, х)
принадлежат 11 и, значит, х принадлежит как области
определения II, так и области значений U.
68. Определение. / (х) = П {у : (х, у) 6 /}.
Значит, zdf(x), если z принадлежит второй коорди-
координате каждого элемента из /, первой координатой кото-
которого служит х.
Класс f(x) называется значением f в х, или обра-
образом х при f. Следует обратить внимание на то, что если
х — подмножество области определения /, то f(x) — это
вовсе не {у: при некотором z z ?x и y = f(z)}.
69. Теорема. Если х (? (область определения /),
то f(x) = 11; если х 6 (область определения f), то f(x) Qt-
Доказательство. Если х (? (область определе-
определения f), то {у:(х,у) €f} = 0 и f(x)= 11 (теорема 24). Если
хб (область определения f), то {у:(х,у) €f}=pO и (тео-
(теорема 35) f(x) является множеством.
В предшествующей теореме не предполагается, что
f — функция,
70. Теорема. Если f — функция, то f = {(x, у) :у =
= /(*)}.
71. Теорема*). Если f и g — функции, то f = g в
том и только в том случае, когда f(x)—g(x) для каж-
каждого х.
Следующие две аксиомы **) придают новые черты
классу всех множеств.
*) Эта теорема не была бы верна, если бы мы определили
f(x) как объединение вторых координат тех элементов из f, пер-
первая координата которых есть х. Ибо тогда, если у?11и(/(? (область
определения /), то/((/)=0 и, если g=f\}{(y, 0)}, то g(x)=f(x) для
каждого х, хотя / не равно g.
**) Эти две аксиомы можно заменить одной: если f — функция
и область определения f представляет собой множество, то (J (об-
(область значений f) тоже является множеством. (В прежних обозна-
обозначениях это предложение формулируется весьма естественно: если
d — множество, х(а)—множество для каждого а из d, то
\]{х(а) :aQ d] — множество.) Чтобы вывести отсюда V и VI, можно
поступить в общих чертах так. Доказываем V. По заданному f
строим новую функцию, элементы которой имеют вид (x,{f(x)}).
Доказываем VI. Для заданного х рассмотрим функцию, элементы
которой имеют вид (и, и), где и^х.
22 Дж. л. Келлц
338 ДОБАВЛЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
V. Аксиома подстановки. Если f — функция
и область определения f — множество, то и область зна-
значений f тоже является множеством.
VI. Аксиома соединения. Если х — множе-
множество, то и U х — множество.
72. Определение. xXy = {(u,v):udx и и ? у).
Класс хХу называется декартовым произведением
классов х и у.
73. Теорема. Если и и у — множества, то и {и}Ху—
множество.
Доказательство. Ясно, что можно построить
функцию (а именно, {(w, г): до€ г/ и z=(u, w)}), область
определения которой есть у, а областью значений яв-
является {и}Ху. Затем примените аксиому подстановки.
74. Теорема. Если х и у — множества, то и хХу —
множество.
Доказательство. Пусть / — функция (область
определения f) =x и f(u) ={и}Ху при и из х (есть только
одна такая функция, а именно, f = {(и, z): и? х и z =
= {и}Ху})¦ В силу аксиомы подстановки область значе-
значений / является множеством. Прямое вычисление показы-
показывает, что (область значений /)={г: для некоторого и
и?.х и z = {u}Xy}. Следовательно, U (область значе-
значений f) — класс, который в силу аксиомы соединения яв-
является множеством, — есть хХу.
75. Теорема. Если /— функция и область опреде-
определения f является множеством, то f — множество.
Доказательство. В самом деле, fc (область
определения f) X (область значений f).
76. Определение. yx={f:f — функция (область
определения /) =х и (область значений /) с:у}.
77. Теорема. Если х и у — множества, то и ух —
множество.
Доказательство. Если /€ ух, то faxXy, при-
причем справа стоит множество; следовательно, f?2XXIJ
(теорема 38) и 2ХХу—множество. Так как уха2ХХ!>, то
из аксиомы подмножеств следует, что ух — множество.
Для большего удобства дадим еще три определения.
78. Определение, f задана на х в том и только
в том. случае, когда f — функция и х= (область опреде-
определения f).
ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ 339
79. Определение, f является функцией в у в том
и только в том случае, когда f — функция и (область
значений /) ау.
80. О п р ед ел ен и е. / является функцией на у в
том и только в том случае, когда f — функция и (об-
(область значений /) =у.
ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ
Многие результаты этого параграфа не понадобятся
при последующем построении целых, порядковых и кар-
кардинальных чисел. Мы их включили, ибо они интересны и
сами по себе; кроме того, в их доказательствах приме-
применяются упрощенные варианты тех конструкций, которые
понадобятся в дальнейшем.
Так как основные конструктивные результаты уже
доказаны, можно двигаться дальше несколько быстрее.
81. Определение, хгу в том и только в том слу-
случае, когда (х, у) ? г.
Если хгу, то говорят, что х находится в отношении г
к у или что х r-предшествует у.
82. Определение, г связывает х в том и только
в том случае, когда из того, что и и v принадлежат х,
следует, что либо urv, либо vru.
83. Определение, г транзитивно в х в том и толь-
только в том случае, когда из того, что и, v и w — элемен-
элементы класса х и имеют место urv и vrw, следует, что urw.
Если г транзитивно в х, то говорят, что г упорядочи-
упорядочивает х. Выражение «и r-предшествует и» особенно удач-
удачно, когда и и v принадлежат х и г упорядочивает х.
84. Определение, г асимметрично в х в том и
только в том случае, когда из того, что и и v — элементы
класса х и верно urv, следует, что vru неверно.
Иначе говоря, если udx, v?x и и r-предшествует v,
то v не r-предшествует и.
85. Определение, хфу в том и только в том слу-
случае, когда неверно, что х — у.
86. Определение, z есть r-первый элемент клас-
класса х в том и только в том случае, когда zdx и из у?х
при гфу вытекает, что yrz ложно.
22*
340 ДОБАВЛЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
87. Определение, г вполне упорядочивает х в том
и только в том случае, когда г связывает х и из того, что
усх и уфО, следует, что в классе у есть r-первый элемент.
88. Теорема. Если г вполне упорядочивает х, то г
транзитивно в х и г асимметрично в х.
Доказательство. Если «? х, v С х, urv и vru, то
{uv}czx и, следовательно, в {uv} существует r-первый эле-
элемент z. Верно либо z—u, либо г = у, и, следовательно,
либо ложно, что vru, либо ложно, что urv. Это противо-
противоречие показывает, что г асимметрично в х. Если г не
транзитивно в х, то для некоторых элементов и, v и w
класса х будет urv, vrw и wru, так как г связывает х. Но
тогда в множестве {п} U {?>} U {да} нет r-первого элемента.
89. Определение, у есть r-секция класса х в том
и только в том случае, когда yczx, r вполне упорядочи-
упорядочивает х и из того, что «? х, v ? у и urv, следует, что и? у.
Следовательно, подмножество у класса х называется
его r-секцией в том и лишь в том случае, когда г впол-
вполне упорядочивает х и никакой элемент из х\у не /"-пред-
/"-предшествует никакому элементу класса у.
90. Теорема. Если пФО и каждый элемент клас-
класса п является r-секцией класса х, то U п и Л п — г-сек-
ции класса х.
91. Теорема. Если у — r-секция класса х и уфх,
то у={и : и 6 х и urv} для некоторого v из х.
Доказательство. Если у — r-секция класса х
и уфх, то в х\у есть r-первый элемент v. Если и 6 х
и urv, то, так как v — r-первый элемент класса х\у,
имеет место и (? х\у и, значит, и ? у. Следовательно,
{u:udx и urv}czy. С другой стороны, если и?у, то, так
как v (? у и у — r-секция, vru ложно; значит, имеет мес-
место urv. Отсюда вытекает доказываемое равенство.
92. Теорема. Если х и у — r-секции класса г, то
xczy или уах.
93. Определение*), f r — s-сохраняет порядок
в том и только в том случае, когда f — функция, г впол-
*) В этом Добавлении нет необходимости рассматривать сохра-
сохраняющие порядок функции с не вполне упорядоченными областью
определения и областью значений (как мы делали в главе 0). Ради
простоты прежняя терминология модифицирована.
ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕНИЕ 341
не упорядочивает область определения /, 5 вполне упо-
упорядочивает область значений f и для любых элементов
и и v области определения f, удовлетворяющих условию
urv, имеет место f(u)sf(v).
94. Теорема. Если xczy и f является г — г-сохра-
няющей порядок функцией в у, заданной на х, то для
каждого и из х ложно, что f(u)ru.
Доказательство. Следует показать, что класс
{и:и?х и f(u)ru) пуст. Если бы это было не так, то в
этом классе нашелся бы r-первый элемент v. Тогда
f(v)rv и, если urv, то urf(u) или u = f(u). Так как f(v)rv,
то f(v)rf(f(v)) или f(v) = f{f(v)), но раз / г — л-сохра-
няет порядок, то f(f{v))rf(v), что приводит к противо-
противоречию.
Таким образом, г— r-сохраняющая порядок функция
не может перевести никакой элемент ее области опреде-
определения в r-предшествующий ему.
Доказательства, которые подобно теореме 94 осно-
основываются на рассмотрении r-первого элемента, для ко-
которого нарушается утверждение теоремы, называются
доказательствами по индукции.
95. Определение. / является 1 — l-функцией в
том и только в том случае, когда и f и f — функции.
Это эквивалентно требованию, чтобы / было функ-
функцией и для любых двух различных элементов х и у ее
области определения имело место \(х)ф1(у).
96. Теорема. Если f r — s-сохраняет порядок, то f
является 1 — I-функцией, причем \~х s — r-сохраняет по-
порядок.
Доказательство. Если f(u)=f{v), то невоз-
невозможно, чтобы было urv или vru, ибо тогда было бы
f(u)sf(v) или f(v)sf(u). Значит, u = v и / является
1 — 1-функцией. Пусть f(u)sf(v); тогда ифи и, если vru,
то f(v)sf(u), что приводит к противоречию. Значит,
f-1 s — r-сохраняет порядок.
97. Теорема. Если f и g r — s-сохраняют порядок,
область определения f и область определения g являются
r-секциями класса х, а область значений f и область зна-
значений g являются s-секциями класса у, то fag или gcf.
Доказательство. В силу теоремы 92 либо
(область определения /) с (область определения ?),либо
342 ДОБАВЛЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
(область определения g)cz (область определения /). Тео-
Теорема будет доказана, если мы установим, что f(u)=g(u)
для всех и, принадлежащих и области определения f, и
области определения g. Если класс {z :г 6(область оп-
определения f) Л (область определения g) и g(г) ф{(г)} не
пуст, то в нем существует r-первый элемент и. Тогда
f(u)=hg(u), и можно предположить, что f(u)sg(u). Так
как область значений g является s-секцией, rog(v) =f(u)
для некоторого v из х, причем верно vru, поскольку g'1
сохраняет порядок. Но и — r-первая точка среди тех, в
которых функции отличаются, значит, f(v)=g(v)=f(u),
что приводит к противоречию.
98. Определение, f г —• s-сохраняет порядок в х
и у в том и только в том случае, когда г вполне упоря-
упорядочивает х, s вполне упорядочивает у, f r — s-сохраняет
порядок, область определения f является r-секцией клас-
класса х и область значений f является s-секцией класса у.
Согласно теореме 97, если fag r — s-сохраняют по-
порядок в х и у, то fcg или gczf.
99. Теорема. Если г вполне упорядочивает х и s
вполне упорядочивает у, то существует такая функция f,
г — s-сохраняющая порядок в х и у, что либо (область
определения /)=•*.', либо (область значений f)=y.
Доказательство. Положим / = {(«, v):u?x и
для некоторой функции g, которая г — s-сохраняет поря-
порядок в х и у, и € (область определения g) и (и, v) ?g}.
В силу предыдущей теоремы / — функция, причем легко
видеть, что ее область определения является г-секцией
класса х, а область значений является s-секцией клас-
класса у. Значит, f г — s-сохраняет порядок в х и у; остается
показать, что либо (область определения f) =x, либо
(область значений /) =у. Пусть ни одно из этих условий
не выполняется. Тогда существует r-первый элемент и
в классе х\ (область определения /) и s-первый эле-
элемент v в классе у\ (область значений /). Легко видеть,
что функция /U{(«, v)} г — s-сохраняет порядок в х и у.
Тогда (u,v) €f в силу определения / и, значит, и€ (об-
(область определения f). В этом заключено противоречие.
Можно в одном случае точно установить, какая из
альтернатив, указанных в заключении предшествующей
теоремы, выполняется: если х — множество, а у не яв-
ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА 343
ляется множеством, то в силу аксиомы подстановки ра-
равенство «(область значений /)=?/» невозможно.
100. Теорема. Если г вполне упорядочивает х, s
вполне упорядочивает у, х — множество и у не является
множеством, то существует единственная г — s-coxpa-
няющая порядок в х и у функция, областью определения
которой является х.
ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА
В этом параграфе определяются порядковые числа и
устанавливаются их основные свойства. До обсуждения
порядковых чисел принимается еще одна аксиома.
Может a priori случиться, что класс х является един-
единственным элементом класса у, а класс у является един-
единственным элементом класса х. Вообще говоря, возможен
класс z, каждый элемент которого содержит элементы
класса z и только элементы этого класса. Следующая
аксиома как раз и исключает эту возможность: накла-
накладывается требование, чтобы в каждом непустом классе г
существовал элемент, никакой элемент которого не при-
принадлежит классу z.
VII. Аксиома регулярности. Если х = 0, то
в классе х есть такой элемент у, что х(]у=0.
101. Теорема, х (?х.
Доказательство. Если х?х, то х — непустое
множество, причем х является единственным элементом
класса {х}. В силу аксиомы регулярности существует
у? {•*}, Для которого уГ\{х} = 0; непременно у=х. Но то-
тогда у?уГ\{х), откуда следует противоречие.
102. Теорема. Ложно, что х? у и у€ х.
Доказательство. Если х^у и у?х, то х и у —
множества, причем они являются единственными эле-
элементами класса {х;г = х или z = y). Применив аксиому
регулярности к последнему классу, получаем противоре-
противоречие так же, как при доказательстве предыдущей тео-
теоремы.
Можно, конечно, обобщить последнюю теорему на
случай более чем двух множеств. В действительности из
аксиомы регулярности вытекает следующий сильный
344 ДОБАВЛЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
результат (интуитивное описание): не существует та-
такой последовательности, что xn+i(:xn при каждом п.
Точную формулировку этого результата приходится
отложить.
103. Определение. ? = { (а:, у) : ж ? у\.
Класс Е называется 6 -отношением. Заметьте, что
если х 6 у ну не является множеством, то (х, у) = U в
силу теоремы 54 и (*, у) (? Е.
104. Теорема. Е не является множеством.
Доказательство. Если ?"?11, то {Е} ?1\ и
(Е, {?)) 6 ?. Напоминаем, что (я, г/) = {{х}{-п/}} и, если
(ж, г/) —множество, то г6 (х, у) тогда и только тогда,
когда г = {х} или z={xy). Следовательно, ?€{?}?
^{{fJtfff}}}^ E. Итак, имеем a?bdc?a; применив ак-
аксиому регулярности к классу {х:х = а, или х = Ь, или
х = с}, мы получаем противоречие.
Неформальное обсуждение строения нескольких пер-
первых порядковых чисел может прояснить соответствую-
соответствующие общие концепции*). Первым порядковым числом
будет 0, следующим 1 =0 U {0}, следующим 2=1 U{1} и
еще следующим 3=2 U{2}. Заметьте, что 0 — единствен-
единственный элемент класса 1, 0 и 1—единственные элементы
класса 2 и 0, 1, 2 — единственные элементы класса 3.
Каждое порядковое число, предшествующее 3, является
не только элементом, но и подмножеством класса 3. По-
Порядковые числа определяются так, что этот весьма спе-
специальный тип строения сохраняется.
105. Определение**). Класс х наполнен тогда
и только тогда, когда каждый элемент класса х являет-
является его подмножеством.
Иными словами, х наполнен в том и лишь в том слу-
случае, когда каждый элемент произвольного элемента
класса х является элементом класса х. Другое эквива-
*) Наше обсуждение не совсем аккуратно — не доказано еще,
что 0 является множеством. В действительности, это и нельзя вы-
вывести из имеющихся в нашем распоряжении аксиом. Существова-
Существование множеств (и тот факт, что 0 является множеством) вытекает
из аксиомы бесконечности, формулируемой в начале следующего
параграфа.
**) Обычно говорят «полон», а не «наполнен», но термин «по-
«полон» раньше уже употреблялся в другом смысле.
ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА 345
Лентное утверждение: л- наполнен тогда и только тогда,
когда Е транзитивно в х.
Следующее определение принадлежит Р. Робинсону.
106. О п р е д е л е н и е. х является ординалом в том
и только в том случае, когда Е связывает х и класс х
наполнен.
Это означает, что из любых двух элементов класса х
один является элементом другого и каждый элемент
произвольного элемента класса х принадлежит х.
107. Теорема. Если х — ординал, то Е вполне упо-
упорядочивает х.
Доказательство. Если и и v — элементы клас-
класса л: и uEv, то (теорема 102) ложно, что vEu\ следова-
следовательно, Е асимметрично в х. Пусть у — непустое под-
подмножество класса х. Существует такой элемент «6 г/,
что иГ\у=0. Тогда ни один элемент класса у не принад-
принадлежит и и и является ?-первым элементом класса у.
108. Теорема. Если х — ординал, усх, уфх и
класс у наполнен, то у € ж.
Доказательство. Если uEv и vEy, то иЕу, ибо
класс у наполнен. Значит, у — ?-секция класса х. Следо-
Следовательно, по теореме 91 в х существует такой элемент v,
что у = {и : и? х и uEv}. Так как каждый элемент клас-
класса v является элементом класса х, то y={u:u(zv) и
У = v.
109. Теорема. Если х — ординал и у — ординал,
то хсу или усх.
Доказательство. Класс хПу наполнен; в силу
предшествующей теоремы либо хГ\у=х, либо хГ\у?х.
В первом случае хсу. Если х[)у?х, то xf]y^y, так
как в противном случае было бы хпу? х[)у. Так как
хГ\у (?у, то из предшествующей теоремы вытекает, что
хГ\у=у. Значит, усх.
110. Теорема. Если х — ординал и у — ординал, то
либо х? у, либо у^х, либо х — у.
111. Теорема. Если х — ординал и у^х, то у —
ординал.
Доказательство. Ясно, что Е связывает у, —¦
ведь х наполнен, а Е связывает х. Отношение Е тран-
транзитивно на у, ибо Е вполне упорядочивает х, а усх.
346 ДОБАВЛЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Следовательно, если uEv и vEy, то иЕу и, значит, класс у
наполнен.
112. Определение. R = {x : х — ординал)
113. Теорема*)./? — ординал и R не является мно-
множеством.
Доказательство. Из двух последних теорем сле-
следует, что Е связывает R и что класс R наполнен. Значит,
R—ординал Если R—множество, то /s" € /?, что невозможно.
В силу теоремы ПО R — единственный ординал, не
являющийся множеством.
114. Теорема. Каждая Е-секция класса R яв-
является ординалом.
Доказательство. Если Е-секция х класса R не
равна R, то в силу теоремы 91 существует такой эле-
элемент v? R, что x = {u:u?R и и 6 v). Так как каждый
элемент класса v является ординалом, то х = {и : «? v} — v.
115. Определение, х — порядковое число в том
и только в том случае, когда х (; R-
116. Определение. х<.у в том и только в том
случае, когда х? у.
117. Определение. х^Су в том и только в том
случае, когда х 6 у или х=у.
118. Теорема. Если х и у — ординалы, то х^Су
в том и только в том случае, когда xczy.
119. Теорема. Если х — ординал, то x = {y:y^R
и у<х).
120. Теорема. Если xcR, то U х — ординал.
Доказательство. Е связывает []х в силу тео-
теорем 110 и 111. Класс Ux наполнен, так как наполнены
элементы класса х.
Нетрудно усмотреть, что если х—подмножество
класса R, то Ux — первый ординал, больший каждого
не равного ему элемента класса х, и что U х будет мно-
множеством тогда и только тогда, когда х является множе-
множеством. Впрочем, эти результаты нам не понадобятся.
121. Теорема. Если xcR и хфО, то Пх^ж.
В действительности, в этой ситуации их является
?-первым элементом класса х.
*) Эта теорема составляет, по существу, содержание парадокса
Бурали-Форти — исторически первого парадокса наивной теории
множеств.
ПОРЯДКОВЫЕ ЧИСЛА 347
122. Определение. х+ 1 = х U {х).
123. Теорема. Если х ? R, то х+\ — Е-первыйэле-
Е-первыйэлемент класса {у : у? R и х<_у\.
Доказательство. Легко проверяется, что ? свя-
связывает х +1 и что класс х+1 наполнен и, значит, яв-
является ординалом. Если существует такой класс и, что
х<_и и ы<х+1, то, так как х — множество и и?х{]{х},
либо и dx и х? и, либо и = х и х? и. Однако ни одно из
этих заключений выполняться не может (теоремы 101
и 102). Теорема доказана.
124. Теорема. Если xdR, то U (х+ 1) =х.
125. Определение. f\x = ft)(xXVL).
Мы будем пользоваться этим определением только
тогда, когда / — отношение. В этом случае f\x — тоже
отношение; оно называется сужением f на х.
126. Теорема. Если f — функция, то f\x — функ-
функция, областью определения которой служит хП (область
определения f), причем (f\x)(y)=f(y) для каждого у
из области определения f\x.
Заключительной теоремой параграфа об ординалах
утверждается, что (интуитивно) можно задать функцию
на ординале посредством правила, указывающего ее
значение на каждом элементе области определения по
ее значениям на предшествующих элементах. Несколько
точнее, для произвольно заданной функции g существует
единственная функция /, заданная на ординалах, такая,
что f(x)—g(f\x) для каждого порядкового числа х. Зна-
Значение f (х) вполне определено, таким образом, функ-
функцией g и значениями функции / на порядковых числах,
предшествующих х.
Применение этой теоремы называется определением
функции по трансфинитной индукции.
Доказательство выписанного выше утверждения по-
похоже на доказательство теоремы 99; ту же роль играет
предварительная лемма.
127. Теорема. Пусть f — функция, областью опре-
определения которой является некоторый ординал, причем
f(u)=g(f\u), когда и € (область определения /). Если
h — тоже такая функция, что область определения h
есть некоторый ординал и h(u) =g (h\u), когда и?(об-
ласть определения h), то hczf или fan.
348 ДОБАВЛЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Доказательство. Так как и область определе-
определения /, и область определения h являются ординалами, то
можно предположить, что {область определения f) cz (об-
(область определения п) (иначе имеет место противополож-
противоположное включение в силу теоремы 109). Остается доказать,
что f(u) =h(u), когда и 6 (область определения /). Пред-
Предположим противное, и пусть и — ?-первый элемент из
области определения f, для которого l(u)=/=h(u). Тогда
f (v) =h(v) для каждого ординала v, предшествующего и.
Следовательно, f\u=h\u. Тогда f(u)~g(f\u)=h(u), что
ведет к противоречию.
128. Теорема. Для каждого g существует един-
единственная функция f такая, что область определения f
есть ординал и f(x)=g(f\x) для каждого порядкового
числа х.
Доказательство. Пусть / = {(и, и): и €/? и су-
существует такая функция п, что область определения h
есть ординал, h(z)—g(h\z), когда z ? (область опреде-
определения /г), и (и, и) ?/г}. Из предыдущей теоремы выте-
вытекает, что f— функция. Очевидно, область определения /
является ^-секцией класса R и, значит, есть ординал.
Далее, если h — функция, заданная на некотором орди-
ординале, для которой h(z)=g(h\z), когда г? (область оп-
определения h), то ftczf и, если г € (область определения f),
Tof(z)=g(f\z).
Наконец, предположим, что x?R\ (область опреде-
определения f). Тогда f(x) = l\ по теореме 69 и, так как об-
область определения f является множеством, то / •— мно-
множество (теорема 75). Если g(f\x)=g(f) = U., то выпол-
выполняется равенство f(x)—g(f\x). В противном случае,
g(f) будет множеством (снова теорема 69). Тогда, если
у — ?-первый элемент класса /?\ (область определе-
определения f) и h = f U{(у, g(f))}, то область определения h яв-
является ординалом и h\z)=g(h\z), когда г?(область
определения h). Следовательно, hczf и у € (область оп-
определения f), откуда получается противоречие. Следова-
Следовательно, g(f) = U, и теорема доказана.
Механика этой теоремы заслуживает комментария.
Если область определения / не есть R, то g(/) = U и
Дд:) = идля каждого порядкового числа х такого, что
(область определения f)^Cx. Если g@) = U, то /=0.
ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА 349
ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА *)
В этом параграфе определяются целые числа и в виде
теорем доказываются постулаты Пеано. Исходя из этих
постулатов, можно на основе целых чисел построить ве-
вещественные числа (см. Ландау [1]). При этом мы
опираемся на два факта:
1) класс целых чисел является множеством (теоре-
(теорема 138),
2) законно определение функции на целых числах
по индукции (теорема 0.13; последний факт можно пред-
представить также как следствие из теоремы 128).
Нужна еще одна аксиома.
VIII. Аксиома бесконечности. Для некото-
некоторого у верно, что у — множество, 0 € t/ и х U{x}? у все-
всегда, когда х^у.
В частности, 0 является множеством, так как 0 со-
содержится в множестве.
129. Определение, х является целым числом в
том и только в том случае, когда х — ординал, и Е'х
вполне упорядочивает х.
130. Определение, х является Е-последним эле-
элементом класса у в том и только в том случае, когда х
является Е~1-первым элементом класса у.
131. Определение. (?> = {х;х — целое число).
132. Теорема. Произвольный элемент целого чис-
числа является целым числом.
Доказательство. Каждый элемент целого чис-
числа х является ординалом и подмножеством класса х,
причем Е'1 вполне упорядочивает х.
133. Теорема. Если y?R и х — Е-последний эле-
элемент класса у, то у—х-\-\.
Доказательство. В силу теоремы 123 х+\ яв-
является Е-первым элементом класса {г : z? R и x<z]. От-
Отсюда дт+1-^г/, ибо t/€ R и х<у. Так как х является
Е-последним элементом класса у и х<х+\, то ложно,
что х+Ку.
134. Теорема. Если х? со, то х + \ 6 м-
*) Имеются в вид) неотрицательные целые числа.
350 ДОБАВЛЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
135. Теорема. Оби, и если х ?со, то 0=?^А'+ 1.
Иными словами, 0 не является преемником никакого
целого числа.
136. Теорема. Если х и у — элементы класса со
и х+1=у+\, то х=у.
Доказательство. В силу теоремы 124, если
x?R, то U (х + 1)=х.
Следующая теорема представляет собой принцип ма-
математической индукции.
137. Теорема. Если jccb, 0?x и и+1?х всегда,
когда и б х, то х = со.
Доказательство. Пусть хфа>. Обозначим че-
через у ?-первый элемент класса со\л: и заметим, что уФО.
Так как yczy+\ и у+\ — целое число, то в у существует
^-последний элемент и; ясно, что и 6 х. Тогда в силу тео-
теоремы 123 у = и+1\ значит, у?х. Получили противоречие.
Теоремы 134, 135, 136 и 137 представляют собой ак-
аксиомы Пеано для целых чисел. Следующая теорема
означает, в частности, что со — множество.
138. Теорема, со € /?.
Доказательство. В силу аксиомы бесконечно-
бесконечности существует такое множество у, что 0€t/, и если
х?у, то х+\?у. По принципу математической индук-
индукции (т. е. по предыдущей теореме) соГ)г/ = со. Значит, со—
множество, ибо aczy. Так как класс со состоит из по-
порядковых чисел, то Е связывает со; класс со наполнен,
поскольку каждый элемент целого числа является це-
целым числом.
АКСИОМА ВЫБОРА
Мы сформулируем теперь последнюю аксиому и вы-
выведем два сильных следствия.
139. Определение, с является функцией выбора
в том и только в том случае, когда с—функция и с(х) ?х
для каждого элемента х из области определения с.
Интуитивно, функция выбора реализует выбор по эле-
элементу из каждого множества, принадлежащего области
определения с.
Следующее условие — постулат Цермело в сильной
формулировке, или аксиома выбора,
АКСИОМА ВЫБОРА 351
IX. Аксиом а в ыбор а. Существуем функция вы-
выбора с, областью определения которой является It \{0}.
Функция с выбирает по элементу из каждого непус-
непустого множества.
140. Теорема. Для любого множества х суще-
существует взаимно однозначная функция, областью значе-
значений которой служит х, а областью определения является
некоторое порядковое число.
Доказательство. Доказательство состоит в по-
построении искомой функции по трансфинитной индук-
индукции. Обозначим через g функцию, для которой g(h) =
= с (х\ (область значений h)), где h — любое множе-
множество, а с — функция выбора, описанная в аксиоме выбо-
выбора. В силу теоремы 128 существует такая функция /, что
область определения f есть некоторый ординал и f(u) =
— S(f\u) Для каждого порядкового числа и. Тогда /(«) =
= с (х\ (область значений (f\u)), и если и 6 (область оп-
определения f),TO f(u) ?x\ (область значений (f\u)). Но f
является взаимно однозначной функцией, ибо если
f(v)=f(u) и и<у, то f(v) € (область значений (f\v)), a
это противоречит тому, что )(v)(z х\ (область значений
(f\v)). Так как / — взаимно однозначная функция, то
равенство «(область определения /)=/?» невозможно.
В самом деле, f — функция, область определения ко-
которой является подклассом класса х, а значит, множе-
множеством. Отсюда следует, что область значений /-1 является
множеством в силу аксиомы подстановки, a R не яв-
является множеством. Следовательно, (область определе-
определения /) ? R. Так как (область определения /) (^(область
определения /), то /(область определения /) = U *) и,
значит, с(х\(область значений f)) = \\. Так как область
определения с есть U\{0}, то х\(область значений /) =
= 0. Отсюда сразу следует, что функция f искомая.
141. Определение, п является гнездом в том и
только в том случае, когда из того, что х и у являются
элементами класса п, следует, что хсу или усх.
Следующий результат понадобится в доказательстве
теоремы 143.
*; См. определение 68 и теорему 69. (Прим. перев.)
352 ДОБАВЛЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
142. Теорема. Если п — гнездо и каждый элемент
класса п является гнездом, то U п — гнездо.
Доказательство. Если xd m, m?n, г/6 р и р? п,
то либо raczp, либо pczm, ибо п — гнездо. Предположим,
что niczp. Тогда х?р и у?р и, так как р — гнездо, то
либо хсу, либо усх.
Следующая теорема—принцип максимальности
Хаусдорфа. Утверждается существование максимального
гнезда в любом множестве. Доказательство ее тесно свя-
связано с доказательством теоремы 140.
143. Теорема. Для любого множества х суще-
существует такое гнездо п, что nczx, и если m — гнездо,
max и пет, то гп = п.
Доказательство. Доказательство будем вести
по трансфинитной индукции. Интуитивное его описание;
мы берем какое-нибудь гнездо, затем большее гнездо и
продолжаем действовать таким образом в уверенности,
что, поскольку R не является множеством, множество
всех гнезд, содержащихся в х, истощится раньше, чем
класс R ординалов. Для каждого h положим g(h) —
— c({rn : m — гнездо, mczx и для р из области значений h
pcm и рфпг}), где с — функция выбора, удовлетворяю-
удовлетворяющая аксиоме выбора. (Интуитивно, в качестве g(h) возь-
возьмем какое-нибудь гнездо в х, содержащее в качестве соб-
собственной части любое ранее выбранное гнездо.) В силу
теоремы 128 существует такая функция /, что область
определения / представляет собой некоторый ординал и
f(u)=g(f\u) для каждого порядкового числа и. Из оп-
определения g вытекает, что если и? (область определе-
определения f), то f(u)cx и f(u)—гнездо, причем если и и v —
такие элементы области определения f, что u<v, то
f(u)af(v) и f{u)=f=f(v). Следовательно, f — взаимно од-
однозначная функция, f — функция, и так как х—мно-
х—множество, то (область определения f)?R. Раз / (область
определения f) = \l, то g(/)=U. Следовательно, не суще-
существует гнезда т, содержащегося в х я строго содержа-
содержащего каждый элемент области значений }. Наконец,
U (область значений f) — гнездо, которое содержит каж-
каждый элемент области значений /. Следовательно, не су-
существует гнезда т, содержащегося в х и строго содер-
содержащего U (область значений /).
кардинальный числа 353
КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
В этом параграфе определяются кардинальные числа
и доказываются их наиболее часто применяемые свой-
свойства. Доказательства очень тесно связаны с предше-
предшествующими результатами.
144. Определение. х~ у в том и только в том
случае, когда существует взаимно однозначная функ-
функция /, для которой (область определения f) —x и (об-
(область значений f) —у.
Если х^у, то говорят, что (класс) х эквивалентен
(классу) у или что х и у равномощны.
145. Теорема, х^х.
146. Теорема. Если х » у, то у *» х.
147. Теорема. Если х^у и y^z, то х^г.
148. Определение, х является кардинальным
числом в том и только в том случае, когда х — порядко-
порядковое число и из того, что y^R и у<х, следует, что х^у
ложно.
Таким образом, кардинальное число — это такое по-
порядковое число, которое не эквивалентно никакому мень-
меньшему порядковому числу.
149. О п р е д е л е н и е. С = {х : х—кардинальное число].
150. Теорема. Е вполне упорядочивает С.
151. О пр едел ен и е. Я = {(х, у) : х^у и у?С).
Класс Р состоит из всех пар (х, у), где х — множе-
множество ну — кардинальное число, эквивалентное х. Карди-
Кардинальное число Р(х), где х — любое множество, назы-
называется мощностью множества х, или кардиналом этого
множества.
Основные факты, лежащие в основе следующего ряда
утверждений, уже сообщены нами.
152. Теорема. Р является функцией, (область оп-
определения Р) = \\ и (область значений Р)~С.
Доказательство. Решающую роль в доказа-
доказательстве играет теорема 140.
153. Теорема. Если х — множество, то Р(х)~х.
154. Теорема. Если х и у — множества, то х^у в
том и только в том случае, когда Р(х) — Р
155. Теорема. Р(Р(х)) =Р(х).
354 ДОБАВЛЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Доказательство. Если х не является множе-
множеством, то Р(х) = 11 в силу теоремы 69 и Я(П) —11.
J56. Теорема. х? С в том и только в том случае,
когда х — множество и Р(х)=х.
157. Теорема. Если у ?R и xczy, то Р(х)^Су.
Доказательство. В силу теоремы 99 суще-
существует взаимно однозначная функция f, которая Е — Е-
сохраняет порядок в х и R и такая, что либо (область
определения f) =х, либо (область значений /) = R. Так
как х — множество, a R не является множеством, то
(область определения f) = х. В силу теоремы 94 f(uLLu,
когда и?х; следовательно, х эквивалентно некоторому
порядковому числу, меньшему у или равному у.
158. Теорема. Если у — множество и хсу, то
Р(х)<Р(у).
Следующее утверждение — теорема Шредера — Берн-
штейна*). Ее можно доказать прямо, не пользуясь ак-
аксиомой выбора (теорема 0.20).
S59. Теорема. Если х и у — множества, исх, vczy,
x~v и у~и, то х~и.
Доказательство. В силу теоремы 157 Р(х) =
P()^P()P()<P()
()(y)()()
160. Теорема. Пусть f — функция, причем f —
множество; тогда Р (область значений f)-^.P (область
определения f).
Доказательство. Пусть функция f отображает х
на у и с — функция выбора, удовлетворяющая аксиоме
выбора. Тогда существует такая функция g, что (об-
(область определения g)=y и g (v) = с ({и : v = f (и)}) для
vQy. Следовательно, у эквивалентно подмножеству
множества х.
Ниже излагается классическая теорема Кантора.
161. Теорема. Для любого множества х имеет
место Р (х) <Р Bх).
Доказательство. Функция, область определе-
определения которой есть х, а значение на произвольном элемен-
элементе и класса х равно {и}, является взаимно однозначной
функцией. Следовательно, х эквивалентно некоторому
*) Эта теорема чаще называется теоремой Кантора — Берн-
штейна. (Прим, перев.)
КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 355
подмножеству множества 2х и Р(х)^СРBх). ЕслиР(л:) =
= РBХ), то существует взаимно однозначная функция /
с областью определения х и областью значений 2х. Най-
Найдется такой элемент и класса х, что f(u)=[v:v?x и
}- Но тогда «€/(«) тогда и только тогда, когда
tf в чем заключается противоречие.
Предшествующее рассуждение похоже по построе-
построению на парадокс Рассела.
162. Теорема. С не является множеством.
Доказательство. Если С — множество, то
U С ^множество, Я B ис) 6 С и, следовательно, РBиС)с
cUC. Значит, ЯBиС)<Р( UC), что ведет к противо-
противоречию.
После некоторых приготовлений мы разобьем кар-
кардинальные числа на два класса: конечные карди-
кардинальные числа и бесконечные кардинальные числа — и
докажем для каждого класса несколько специальных
свойств.
163. Если *€ со, у (но и х+1~г/+1, го х^у.
Доказательство. Пусть f — взаимно однознач-
однозначная функция, отображающая х+\ на у+\; тогда суще-
существует взаимно однозначная функция g, отображаю-
отображающая х+\ на у+\ и такая, что g(x)=y\ в качестве g
годится, например, (f\ ({(x,f (*))}U {(f~'(y), у)})) U
U {(/"'(У), /W)}U{(a:, г/)}. Тогда g|* — взаимно одно-
однозначная функция, заданная на х, с у в качестве множе-
множества значений.
164. Теорема, со с С.
Доказательство. Доказательство ведется по
индукции. Применим предыдущую теорему к первому
целому числу, эквивалентному меньшему целому числу,
и получим противоречие. Это означает, что каждое це-
целое число является кардинальным числом.
165. Теорема. и?С.
Доказательство. Если со — л: и х?со, то хсх +
'+1сш и, значит, Р(х+1)=Р(х). Это противоречит пре-
предыдущей теореме, в которой утверждается, что каждое
целое число является кардинальным числом.
166. Определение. Класс х конечен в том и толь-
только в том случае, когда Р(х) ? со.
356 ДОБАВЛЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
167. Теорема. Класс х конечен в том и только в
том случае, когда существует такое г, что как г, так и гх
вполне упорядочивает х.
Доказательство. Если Р (х) ? со, то и Е и Е~[
вполне упорядочивают Р(х), а так как х^Р(х), то не
составляет труда найти такое г, что г и г1 вполне упо-
упорядочивают х. Обратно, если г и г~х вполне упорядочи-
упорядочивают х, то в силу теоремы 99 существует взаимно одно-
однозначная функция /, которая г—^-сохраняет порядок вх
и R и такая, что либо (область определения f)=x, либо
(область значений f)=R. Если сое (область значений f),
то г не вполне упорядочивает х, ибо в со нет Е-послед-
него элемента. Следовательно, (область значений f) ? со,
(область определения f) —х, откуда и вытекает наша
теорема.
Каждую из следующего ряда теорем о конечных мно-
множествах можно доказать по индукции относительно
мощности множества или построением подходящего
вполне упорядочения с последующей ссылкой на теоре-
теорему 167. Будут даны примеры доказательств каждого из
этих типов.
168. Теорема. Если х и у конечны, то x\J у конечно.
Доказательство. Пусть г и г вполне упоря-
упорядочивают х, a s и s вполне упорядочивают у. Беря г
на точках из х, s на точках из у\х и полагая, что каж-
каждый элемент класса у\х следует за каждым элементом
класса х, можно построить подходящее упорядочение
на х U у.
169. Теорема. Если х конечен и каждый элемент
класса х конечен, то и класс U х конечен.
Доказательство. Можно провести рассуждение
по индукции относительно Р(х). А именно, рассмотрим
множество s всех таких целых чисел и, что если Р(х) =и
и каждый элемент класса х конечен, то и класс [}х ко-
конечен. Ясно, что 0 принадлежит множеству s. Если u?s,
Р(х)=и+\ и каждый элемент класса х конечен, то
можно разбить х на два множества, одно из которых
имеет мощность и, а другое содержит лишь один эле-
элемент. Из предположения индукции в силу предшествую-
предшествующей теоремы следует, что класс Ux конечен. Значит,
КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 357
170. Теорема. Если х и у конечны, то и класс хХу
конечен.
Доказательство. Класс хХу является объеди-
объединением элементов некоторого конечного класса; эти
элементы имеют вид {v}XyJ где vdx.
171. Теорема. Если класс х конечен, то и класс 2х
конечен.
Доказательство. Пусть у — целое число. Тогда
подмножества множества у + \ можно разбить на два
класса: те, которые являются подмножествами множе-
множества у, и те, которые являются объединением некото-
некоторого подмножества множества у и {у}. Это дает необ-
необходимую основу для индуктивного доказательства тео-
теоремы.
172. Теорема. Если класс х конечен, у ах и Р(у) =
— Р(х), то х = у.
Доказательство. Достаточно рассмотреть слу-
случай, когда х — целое число. Предположим, что г/сх,
уфх, Р(у) =х и х? со. Тогда хфО и, значит, х = и + \ для
некоторого целого числа и. Так как y=t=x, то найдется
подмножество класса и, эквивалентное у; значит, Р(у)*С
¦*Си. Но Р(у)—х = и+\, а это противоречит тому, что
каждое целое число является кардинальным.
Обнаруженный теоремой 172 факт неэквивалентности
конечного множества никакому его собственному под-
подмножеству в действительности характеризует конечные
множества.
173. Теорема. Если х — множество, причем не ко-
конечное, то существует такое подмножество у множе-
множества х, что уфх и х^у.
Доказательство. Так как х—множество, при-
причем не конечное, то (ааР(х). Существует функция /, за-
заданная на Р(х), такая, что f(u) =и + \ при ы? <а и f (и) =
— и при и?Р(х)\и. Это взаимно однозначная функция,
причем (область значений f) =Р(х)\{0}. Так как Р(х) «
~х, то утверждение теоремы ясно.
174. Теорема. Если х? #\со, то Р(х+\)=Р(х).
Доказательство. Ясно, что Р(х)*СР(х+\). Так
как множество х не конечно, то в нем найдется такое
подмножество и, что ифх и и~х. Следовательно, суще-
существует взаимно однозначная функция / на х+l такая,
358 ДОБАВЛЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
что f(y)?u при ydx и f(x)?x\u. Значит,
Главная из оставшихся нам теорем связана с поряд-
порядком, который предстоит задать на декартовом произве-
произведении RXR- Может оказаться полезным интуитивное
описание этого порядка. Это вполне упорядочение с тем
свойством на соХсо, что класс всех предшественников
произвольного элемента (х, у) из мХсо конечен (неко-
(некоторое обобщение этого факта представляет собой ключ
к объяснению ценности предлагаемого порядка). Изо-
Изобразим соХсо как подмножество евклидовой плоскости
и разобьем его на классы: пары (х, у) и (и, v) отно-
относятся к одному классу, если максимум хну совпадает
с максимумом и и v. Тогда каждый класс представ-
представляется двумя сторонами квадрата; упорядочение устрое-
устроено так, что точки меньших квадратов предшествуют
точкам больших. На точках, принадлежащих сторонам
одного квадрата, упорядочение соответствует движению
по верхнему краю вплоть до угловой точки, но исключая
ее, с последующим перемещением снизу вверх по второй
стороне до угловой точки включительно.
Когда х и у — ординалы, наибольшим из них являет-
является х\]у. Этим мотивируется следующее определение.
175. Определение, max [*, у] = х[)у.
176. О п р е д е л е н и е. <С ={2: для некоторого (и, v) €
€RXR и некоторого (х, у) ? RxR z=((u,v), (x,y)) и
max [и, u]<max [х, у], или max [и, v] — max[x, у] и и<х,
или max [и, c/] = max[jc, у] и и = х и v<y}.
177. Теорема, ^вполне упорядочивает RxR-
Доказательство заключается в прямом, но гро-
громоздком применении определения и того факта, что <
вполне упорядочивает R.
178. Теорема. Если (и, v)<^(x, у), то (и, у) ?
€ (max[jc, y]+\)X(max[x, y] + l).
Доказательство. Ясно, что max[u, v]-С
<max[x, у]; значит, max [и, v]czmax[x, у]. Ординалы и
и v являются подмножествами класса max [x, у], поэтому
они являются элементами класса max [л:, у]+\.
179. Т е о р е м а. Если х € С\ со, то Р(хХх) =х.
Доказательство. Будем рассуждать по индук-
индукции. Пусть х — первый элемент класса С\со, для кото-
КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 359
рого теорема неверпа. В силу теоремы 99 существует
функция /, которая <с—/^-сохраняет порядок в хХх и R
и такая, что либо (область определения })=хХх, либо
(область значений f)=R. Так как хХх — множество, а
R множеством не является, то (область определения f) =
= ххх. Мы покажем, что если (и, v)?xXx, то
f{(u, v)) <x, откуда и будет следовать теорема. В силу
предыдущей теоремы класс всех элементов, предше-
предшествующих (и, v), является подмножеством класса
(max [и, v]+l) X (max [и, v]+l). Если x = co, то и и v
конечны, ибо max [и, и]<л; в силу теоремы 170. Множе-
Множество (max [и, v]+ 1) х (max [и, v]+\) конечно; следова-
следовательно, у f((u, и)) есть только конечное число предше-
предшественников и f((u,v))<x. Если хфа> и max [и, о] не
конечен, то P(max [и, и]+ 1) = P(max[u, v]) <x в силу
теоремы 174. Значит, P(f ((и, v))) <х и /((и, v)) <x.
180. Теорема. Пусть хотя бы один из элементов х
и у класса С не принадлежит со. Тогда Р(хху) =
= max[P(x), Р(у)].
Элементы класса С\ы называются бесконечными,
или транс финитными, кардинальными числами.
Кардинальные числа являются объектом многих
важных и полезных теорем, не нашедших места в этой
книге. Дальнейшие сведения и ссылки можно найти, на-
например, в книге Френкеля [1]. Наше обсуждение за-
завершается краткой постановкой одной из классических
нерешенных проблем теории множеств.
181. Теорема. Существует единственная <—<-со-
храняющая порядок функция с областью определения R
и областью значений С\со.
Доказательство. В силу теоремы 99 существует
единственная функция /, < — <-сохраняющая порядок
в R и С\со, такая, что либо (область определения f) =R,
либо (область значений f) =С\ы. Так как каждая ?-сек-
ция класса R и каждая ?-секция класса С\ы является
множеством и ни R, ни С\со не являются множествами,
то невозможно, чтобы было (область определения f) =?R
или (область значений 1)фС\ш.
Однозначно определенная <—<-сохраняющая поря-
порядок функция, существование которой гарантирует пре-
предыдущая теорема, обычно обозначается через N ¦ Таким
360 ДОБАВЛЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
образом, кЧ @) (или tfo) есть со. Следующее кардинальное
число Ki часто обозначается через Q: это первое несчет-
несчетное порядковое число. Так как /3BS') > ц0, то отсюда
следует, что ЯB'ч<1);> X,- Равенство последних двух кар-
кардинальных чисел — чрезвычайно привлекательная гипо-
гипотеза. Она называется гипотезой континуума. Обобщен-
Обобщенная гипотеза континуума состоит в следующем: если
а-— порядковое число, то Р\2 х) — цх + 1. Ни одна из
этих гипотез не доказана и не опровергнута. Однако
Гёдель [1] доказал прекрасную математическую тео-
теорему: если, отправляясь от континуум-гипотезы, можно
прийти к противоречию, то можно построить противоре-
противоречие и не прибегая к континуум-гипотезе Таково же в
основном положение с обобщенной гипотезой континуу-
континуума и аксиомой выбора*).
*) Недавно {1963 г.) П. Коэн [1] доказал независимость конти-
континуум-гипотезы и чксиомы выбора в системе аксиом Цермело —
Френкеля теории множеств. (Прим. перев.)
БИБЛИОГРАФИЯ
Александров А. Д.
[1] О расширении хаусдорфова пространства до Я-замкнутого,
ДАН СССР 37, № 4 A942), 138—141.
Александров П. С.
[1] Sur les ensemble? de la premiere classe et les espaces ab-
straits, Compt. Rend. Acad. Sci., Paris 178 A924),
185—187.
[2] Ober die Metrisation der im kleinen kompakten Raume, Math.
Ann. 92 A924), 294—301.
[3] Ober stetige Abbildungen kompakter Raume, Math. Ann 96
A927), 555—571
[4] О бикомпактных расширениях топологических пространств,
Матем. сб. 5 D7) A939), 403—424.
[5] О понятии пространства в топологии, Успехи матем. наук 2,
№ 1 A947), 5—57.
[6] Введение в общую теорию множеств и функций, Гостехиз-
дат, 1948.
[7] О метризации топологических пространств, Бюлл. Польской
акад. наук 8 A960), 127—135.
[8] О некоторых результатах в теории топологических про-
пространств за последние 25 лет. Успехи матем. наук 15, № 2
A960), 25—95.
[9] О некоторых основных направлениях в общей топологии,
Успехи матем. наук 19, № 6 A964), 3—46.
Александров П. С. и Пономареве. И.
[1] О бикомпактных расширениях топологических пространств,
ДАН СССР 121 A958), 575—578.
[2] О бикомпактных расширениях топологических пространств,
Вестн. МГУ, сер. матем., № 5 A959) 93—108.
Александров П. С. и УрысонП. С.
[1] Une condition necessaire et suffisante pour qu'une ciasse (L)
soil une classe (?>), Compt. Rend. Acad. Sci., Paris 177A923),
1274—1276.
362 БИБЛИОГРАФИЯ
[2] Memoire sur les espaces topologiques comparts, Verh. kon.
Acad. Wctensch. Amsterdam 14 A929), 1—96. [Русский
перевод: О компактных топологических пространствах,
в кн. Урысон П. С, Труды по топологии и другим об-
областям математики, т. 2, Гостехиздат, 1951.]
Александров П. С. и Xoncp(Hopf H.)
[1] Topologie I, Berlin, 1935.
Антоновский М. Я., Болтянский В. Г. и С а р ы м с а-
к о в Т. А.
[1] Метрические пространства над полуполями, Тр. Ташк. ун-та,
191 A961).
[2] Топологические алгебры Буля, Ташкент, 1963.
Апперт (AppertA.)
[1] Ecart partielement ordonne et uniformite, Compt. Rend. Acad.
Sci., Paris 224 A947), 442—444.
Anne p г (AppertA.) и К и Фан (К у Fan)
[1] Espaces topologiques intermediares. Probleme de la distan-
ciation, Actualites Sci. Ind. 1121, Paris, 1951.
Арене (А г е п s R.)
[1] A topology for spaces of transformations, Ann. of Math. B)
47 A946), 480—495.
[2] Topologies for homeomorphism groups, Amer. J. Math. 68
A946), 593—610.
[3] Note on convergence in topology, Math. Mag. 23 A950), 229—234.
Арене (ArensR.) и Дугунджи (DugundjiJ.)
[1] Remark on the concept of compactness, Portugaliae Math. 9
A950), 141 — 143.
[2J Topologies for function spaces, Pacific J. Math. 1 A951), 5—31.
Ароншайн (Aronszajn N.)
[1] tber ein Urbildproblem, Fund. Math. 17 A931), 92—121.
[2] Quelques remarques sur les relations entre les notions d'ecart
regulier et de distance, Bull. Amer. Math. Soc. 44 A938),
653—657.
Архангельский А. В.
[1] О метризации топологических пространств, Бюлл. Польской
акад. наук, сер. матем. 8, № 9 A960), 589—595.
[2] Новые критерии паракомпактности и метризуемости произ-
произвольного ^-пространства, ДАН СССР 141, № 1 A961),
13—15.
[31 Некоторые метризационные теоремы, Успехи матем. наук 18,
№ 5 A963), 139—145.
БИБЛИОГРАФИЯ 363
[4] Бикомпактные множества и топология пространств, Труды
Моск. матем. о-ва 13 A965), 3—55.
[5] Об одном классе пространств, содержащем все метрические
и все локально бикомпактные пространства, Матем. сб. 67
A09), № 1 A965), 55—85.
[6} Замкнутый образ метрического пространства уплотняется на
метрическое, ДАН СССР 170, № 1 A966), 9—13.
[7] О замкнутых отображениях, бикомпактных множествах и од-
одной задаче П. С. Александрова, Матем. сб. 69 A11), № 1
A966), 13—34.
[8] Отображения и пространства, Успехи матем. наук 21, № 4
A966), 132—184.
[9] Отображения открытые и близкие к открытым, Труды Моск.
матем. о-ва 15 A966), 181-223.
Баланцат (Balanzat M)
[1] On the metrization of quasi-metric spaces, Gaz. Mat.. Lis-
boa 12, № 50 A951), 91—94.
Банах (BanachS.)
[1] Theorie des operations lineaires, Warsaw, 1932.
Бегл ь (Begl e E. G.)
[1] A note on S spaces, Bull, Amer. Math. Soc. 55 A949),
577—579.
Бессага (BessagaC.)
[1] On topological classification of complete linear metric spaces.
Fund. Math. 56, № 3 A965), 250—288.
Б и нг (В i n g R. H.)
[1] Metrization of topological spaces, Canad. J. Math. 3 A951),
175-186.
Биркгоф (Birkhoff G.)
[1] A note on topological groups, Compositio Math. 3 A936),
427—430.
[2] Moore-Smith convergence in general topology, Ann. of Math.
B), 38 A937), 39—56.
[31 Lattice Theory (Revised Ed.), A. M. S. Colloquium Pub). XXV,
New York, 1948. [Русский перевод: Биркгоф Г., Теория
структур, ИЛ, 1952.)
Бурбаки (BourbakiN.)
[1] Topologie generale, Actualites Sci. Ind, Paris 858 A940),
916 A942), 1029 A947), 1045 A948), 1084 A949). [Русский
перевод части этих изданий см. Бурбаки Н., Общая топо-
топология, Физматгиз, 1958.J
364 БИБЛИОГРАФИЯ
И Integration, Actualites Sci. Ind.. Paris 1175 A952) [Русский
перевод. Б у р б а к и Н., Интегрирование, «Наука», 1967.]
[3] Espaces vecloriels topologiques, Actualites Sci. Ind.. Paris
1189 A953). [Русский перевод: Бурбаки Н., Топологи-
Топологические векторные пространства, ИЛ, 1959.]
Бурбаки (В о u r b a k i N ) и Дьедонне (D i e n d о п п е .1.)
[1] Note de teratopologie, II. Revue Scientifique 77 A939),
180—181.
Вайдьянатасва.ми (V a i d у а п a t h a s w a m у R.)
[1] Treatise on set topology. I, Madras, 1947.
Вайнштейн И. А.
[1] О замкнутых отображениях. Учен. зап. МГУ 155 A952),
3—53.
ван Эст (van Est W Т.) и Фрейденталь (Freuden-
t h a 1 Н.)
[1] Trenmtng durch stetige functionen in topologische Raumen,
Indagationes Math. 13 A951), 359—368.
Вейль (Weil A.)
[1] Sur les espaces a structure uniforme et sur la topologie gene-
rale, Actualites Sci. Ind., Paris 551 A937).
[2] L'integration dans les groupes topologiques et ses applica-
applications, Actualites Sci. Ind., Paris 869 A940). [Русский пере-
перевод: Вейль А., Интегрирование в топологических группах
и его применения, ИЛ, 1950.]
Г ей л (Gale D.)
[1] Compact sets of lunctions and function rings, Proc. Amer.
Math. Soc. l A950), 303—308.
Гёдель (Godei K.)
[1] The consistency of the continuum hypothesis, Ann. of Math.
Studies 3 A940).
Гил май (Gil! man R.) и Джерисон (Jerison M.)
[1] Rings of continuons functions, Princeton, 1960.
Глисон (GleasonA. M.)
[1] Projeeiive topological spaces, Illinois Math. J. 2, № 4a
A958), 482—489.
Г о м е с (G о m e s A. P.)
[1] Topologie induite par un pseudodiametre, Compt. Rend. Acad.
Sci., Paris 227 A948), 107—109.
Грейвз (Graves L. M.)
[1] The theory of functions of real variables, N. Y., 1946.
БИБЛИОГРАФИЯ 365
Гроте иди к (GrothendieckA.)
[1] Criteres de compacite dans les espaces fonctionells generaux,
Amer. J. Math 74 A952), 168—186
Гуревич (Hurevvicz W.) n Уолмен (W a 11 m a n H.)
[1] Dimension theory, Princeton, 1941. [Русский перевод: Гуре-
Гуревич У. и Уолмен Г., Теория размерности, ИЛ, 1948.]
Г у с т и н (Q u s t i n W.)
[1] Countable connected spaces, Bull. Amer. Math. Soc. 52 A946).
Даукер (DowkerC. H.)
[1] An embedding theorem for paracompact metric spaces. Duke
Math. J. 14 A947), 639—645.
[2] On countably paracompact spaces, Canad. J. Math. 3 A951).
[3] On a theorem of Hanner, Ark. Mat. 2 A952), 307—313.
Дей (D ay M. M.)
[1] Convergence, closure and neighborhoods, Duke Math. J. 11
A944), 181 — 199.
Джонс (J о n e s F. В.)
II] R L. Moore's Axiom Г and metrisation, Proc. Amer. Math.
Soc. 9 A958), 487.
Диксмье (DixmierJ.)
[1] Sur certains espaces consideres par M. H. Stone, Summa
Brasil. Math. 2 A951), 151 — 182.
Досс (Doss R.)
[1] On uniform spaces with a unique structure, Amer. J. Math. 71
A949), 19—23.
Д у г у н д ж и (Dugund ji J.).
[1] An extension of Tietze's theorem, Pacific J. Math. 1 A951),
353—367.
Дьедонне (D i e u d о n n ё J.)
[1] Sur les espaces uniformes complete, Ann. Sci. Ecole Norm.
Sup. 56 A939), 227—291.
[2] Un exemple d'espace normal non susceptible d'une structure
uniforme d'espace complet, Compt. Rend. Acad. Sci., Paris 209
A939), 145—147.
[3] Sur la completion des groupes topologiques, Compt. Rend.
Acad. Sci., Paris 218 A944). 774—776.
[4] Une generalization des espaces compacts, J. Math. Pures
Appl. 23 A944), 65—76.
[5] On topological groups of homeomorphisms, Amer. j. Math. 70
A948), 659—680.
366 БИБЛИОГРАФИЯ
[6] Sur un espace localement compact поп metrisable, Anais do
Acad Bras. Ci. 19 A947), 67—69.
Ефимов Б. А.
[1] Диадические бикомпакты, Труды Моск. матем. о-ва 14
A965), 211—247.
Зайцев В.
[1] Проекционные спектры и бикомпактные расширения, ДАН
СССР 171, № 3 A966).
Зарелуа А. В.
[1] О теореме Гуревича, Матем. сб. 60 A02), № 1 A963),
17—28.
Зоргенфрей (SorgenfreyR. H.)
[1] On the topological product of paracompact spaces, Bull.
Amer. Math. Soc 53 A947), 631—632.
ИлиадисС. и ФоминС. В.
[1] Метод центрированных систем в теории топологических про-
пространств, Успехи матем. наук 21, № 4 A966), 47—76.
И сек и (I sek i К.)
[1] On definitions of topological space, J. Osaka Inst. Sci. Tech. 1
A949), 97—98.
Кадец М. И.
[1] Топологическая эквивалентность всех сепарабельных про-
пространств Банаха, ДАН СССР 167, № 1 A966), 23—25.
Какутани (KakutaniS.)
[1] Ober die Metrization der topologischen Gruppen, Proc. Imp.
Acad. Japan 12 A936), 82—84.
К а л и ш (К а 1 i s с h G. К.)
[1] On uniform spaces and topological algebra, Bull. Amer. Math.
Soc. 52 A946), 936—939.
Кантор (Cantor G.)
[1] Учение о множествах, перевод с немецкого, СПб., 1914.
Катетов (Katetov M. G.)
[1] On W-closed extensions of topological spaces, Casopis Pest.
Mat. Fys. 72 A947), 17—32.
Келдыш Л. В.
[1] Монотонные отображения куба на куб большей размерности,
Матем. сб. 41(83) A957), 129—158.
[2] Нульмерные открытые отображения, Изв. АН СССР 23
A959), 165—184.
Келли (Kelley J. L.)
11] Convergence in topology, Duke Math. J. 17 A950), 277—283.
БИБЛИОГРАФИЯ 367
[2] The Tychonoff product theorem implies the axiom of chuice,
Fund. Math. 37 A950), 75—76.
Кёте (Кб-the G.)
[1] Die Quotientenraume eines linearen vollkomrnenen Raumes,
Math. Z 51 A947), 17—35.
Кли (К lee V. L.)
[1] Invariant metrics in groups (Solution of a problem of Ba-
nach), Proc. Amer. Math. Soc. 3 A953), 484—487.
Кнастер (Knaster В.) и Куратовский (Kuratow-
ski С.)
[1] Stir les ensembles connexes, Fund. Math. 2 A921), 206—255.
Колме (С о 1 m e z J.)
[1] Espaces a ecart generalise regulier, Compt. Rend. Acad. Sci.,
Paris 224 A947), 372—373.
Колмогоров А. Н.
[1] Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen linearen
Raumes, Studia Math. 5 A934), 29—33.
Коза Г. (Cohen H. J.)
[1] Sur un probleme de M. Dieudonne, Compt. Rend. Acad. Sci.,
Paris 234 A952), 290—292.
Коэн Л. (Cohen L. W.)
[1] On topological completeness, Bull. Amer. Math. Soc. 46
A940), 706—710.
Коэн Л. (Cohen L. W.) и Гофман (G о f f m a n C.)
[1] On the metrization of uniform space, Proc. Amer. Math. Soc. 1
A950), 750—753.
Коэн П. (Cohen P. J.)
[1] The independence of the continuum hypothesis, 1, II, Proc.
Nat. Acad. Sci. USA 50, № 6 A963), 1143—1148; 51, № 1
A964), 105.
Кришна Мурти (Krishna Murti S. B.)
[1] A set of axioms for topological algebra, J. Indian Math. Soc.
(N. S.) 4 A940), 116—119.
К у а и н (Q u i n e W V. O.)
[1] Mathematical logic, Cambridge (USA), 1947.
Куратовский (Kuratowski C.)
[1] Une methode d'elimination des nombres transfinis des raison-
nement mathematiques. Fund. Math. 3 A922), 76—108.
f2] Topologie. I Bnd. Ed.), Warsaw, 1948. [Русский перевод: Ку-
Куратовский К., Топология, т. 1, «Мир», 1966.]
[3] Topologie. II, Warsaw, 1950,
368 БИБЛИОГРАФИЯ
Ландау (Landau E)
[1] Grundlagen der Analysis, Amer. Ed., N. Y., 1946.
Л а с а л ь (L a s a I I e J. P.)
[1] Topology, based upon the concept of pseudo-norm., Proc. Nat.
Acad. Sci. USA 27 A941), 448—451.
Л а ш н е в Н. С.
[1] О непрерывных разбиениях и замкнутых отображениях метри-
метрических пространств, ДАН СССР 165, № 4 A965), 756—758.
Лефшец (Lefschetz S)
[1] Algebraic topology, AMS Colloquium Publ. XXVII, N. Y., 1942.
Лифанов И. К.
[1] О двух задачах Мардешича, ДАН СССР 162, № 5 A965),
997—1000.
Локуциевский О. В.
[1] Пример открытого отображения одномерного компакта на
гильбертов параллелепипед, Учен. зап. МГУ 165, .№> 7 A954),
118—130.
[2] Одна теорема о неподвижной точке, Успехи матем. наук 12,
№ 3 A957), 171—172.
[3] Об одной проблеме П. С. Урысона, ДАН СССР 151, № 4
A963), 775—777.
[4] Пространство относительной топологии, ДАН СССР 157,
№ 5 A964), 1035—1038.
[5] К топологии континуумов, ДАН СССР 164, № 6 A965),
1235—1238.
Л юм и с (Loomis L. Н.)
[1] On the representation of o-complete Boolean algebras, Bull.
Amer. Math Soc. 53 A947), 757—760.
[2] Abstract harmonic analysis, N Y., 1953. [Русский перевод:
Л. Л ю м и с. Введение в абстрактный гармонический анализ,
ИЛ, 1956.1
Майерс (My ers S. В.)
[I] Equicontinuous sets of mappings, Ann. Math. B) 47 A946),
496—502.
[2] Normed linear spaces of continuons functions, Bull. Amer.
Math, Soc. 56 A950), 233—241.
[3] Functional uniformities, Proc. Amer. Math. Soc. 2 A951),
153—158.
Майк л (M i с h a e 1 E.)
[1] Topologies on spaces of subsets, Trans. Amer. Matii. Soc. 71
A951), 151-182.
БИБЛИОГРАФИЯ 369
[2] A note on paracompact spaces, Proc. Amer. Math. Soc 4
A953), 831—838.
[3] Another note on paracompact spaces. Proc. Amer. Math Soc.
8 A957), 822—828.
[4] A theorem on semi-continuous set-valued functions, Duke
Math. J 26, № 4 A959), 647—656.
[5] Yet another note on paracompact spaces, Proc. Amer Math
Soc. 10, № 2 A959), 309—324.
[6] The product of a normal space and a metric space need not
be normal, Bull. Amer. Math. Soc 69, № 3 A963), 375—376.
M а к Ш е и н (М с S h a n e E. J.)
[1] Integration, Princeton, 1944.
[2] Partial orderings and Moore-Smith limits. Amer. Math.
Monthly 59 A952), 1—11.
[3] Order-preserving maps and integration processes, Ann. of
Math. Studies 31, Princeton 1953
Мардешич (MardesicS.) иПапич (PapicP.)
[1] Диадические бикомпакты и непрерывные отображения упоря-
упорядоченных бикомпактов, ДАН СССР 143 A962), 529—531.
Мищенко А. С.
[1] О бикомпактах с точечно «четной базой, ДАН СССР 144,
№ 5 A962), 985—987.
Моитейро (Monteiro A.)
[1] Characterisation des espaces de Hausdorff au moyen de
1'operation de derivation, Portugaliae Math. I A940),
333—339.
[21 Caracterisation de 1'operation de fermeture par une seul axi-
ome, Portugaliae Math. 4 A945), 158—160.
Mop P. (Moo re R. L.)
[1] Foundations of point set theory, AMS Colloquium Publ. XIII,
N. Y. 1932.
Mop Э. (Moore E.)
[1] Definition of limit in general integral analysis, Proc. Nat.
Acad. Sci. USA 1 A915), 628.
[2] General analysis I, Pt. II, Philadelphia, 1939.
M о р Э. (М о о г е Е. Н.) и С м и т (S m i t h H. L.)
[1] A general theory of limits, Amer. J. Math. 44 A922),
102—121.
Морита (Morita K.)
[1] Star-finite coverings and the star-finite property, Math. Jap. \
A948). 60—68.
370 БИБЛИОГРАФИЯ
М о р и т а (Мо г i t а К.) и X а и а и (Н a n a i S.)
[1] Closed mappings and metric spaces, Proc. Japan Acad. 32
A956), 10—14.
M ы ш к и с А. Д.
[1] К понятию границы, Матем. сб., н. с. 25, № 3 A949),
387—414.
[2] Введение границы при помощи непрерывных отображений,
Матем. сб.. н. с. 26, № 2 A950), 225—227.
[3] Об эквивалентности некоторых способов введения границы,
Матем. сб., н. с. 26, № 2 A950). 228—236.
Н а г а т a (N a g a t a J.)
[1] On a necessary and sufficient condition of metrizability, J.
, Inst. Polytech. Osaka City Univ. 1 A950), 93—100.
[2] On the uniform topology of bicompactifications, J. Inst. Poly-
Polytech. Osaka City Univ. 1 A950), 28—39.
Макано (Nakano H.)
[1] Topology and linear topological spaces, Tokyo, 1951.
H a x б и н (N а с h b i n L.)
[1] Topological vector spases, Rio de Janeiro, 1948.
Нейман (von Neumann J.)
[1] On complete topological spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 37
A935), 1—20.
H о в а к (Novak J.)
{1] Regular space on which every continuous function is constant,
Casopis Pest. Mat. Fys. 73 A948), 58—68.
Ньюмен (NeumanM. H. A)
[1] Elements of the topology of plane sets of points, Cambridge,
1939.
Пархоменко А. С
[1] О взаимно однозначных и непрерывных отображениях,
Матем. сб. 5 A439), 197—210.
Пасынков Б. А.
[1] О почти метризуемых группах, ДАН СССР 161, № 2 A965),
281.
[2] Частичные топологические произведения, Труды Моск. матем.
о-ва 13 A965), 136—245.
Петт и с (Pettis В. J.)
[1] On continuity and openess of homomorphisms in topological
groups, Ann. of Math. B) 51 A950), 293—308.
[2] A note on everywhere dense subgroups, Proc. Amer. Math.
Soc 3 A952), 322—326.
БИБЛИОГРАФИЯ 371
Пономарев В. И.
[1] Новое пространство замкнутых множеств и многозначные
непрерывные отображения бикомпактов, Матем. сб., н. с. 48
A959), 211—232.
[2] Аксиомы счетности и непрерывные отображения, Бюлл.
Польской акад. наук 8, № 3 A960), 127—134.
[3] Нормальные пространства как образы нульмерных, ДАН
СССР 132 A960), 1269—1272.
[4] О свойствах топологических пространств, сохраняющихся
при многозначных непрерывных отображениях, Матем. сб.,
н. с. 51, №4 A960), 515—536.
[5] О продолжении многозначных отображений топологических
пространств на бикомпактные расширения, Матем. сб., н. с.
52, № 3 (I960), 847—862.
[6] Паракомпакты, их проекционные спектры и непрерывные
отображения, Матем. сб., н. с. 60 A963), 89—119.
[7] О пространствах, соабсолютных с метрическими, Успехи ма-
матем. наук 21, № 4 A966), 101—132.
Понтрягин Л. С.
[1] Непрерывные группы, Гостехиздат, 1954.
Произволов В. В.
[1] О взаимно однозначных непрерывных отображениях топологи-
топологических пространств, Матем. сб., н. с. 68, № 3 A965), 417—431.
[2] О конечнократных открытых отображениях, ДАН СССР 166,
№ 1 A966), 38—40.
Раманатан (Ramanathan A.)
[1] Maximal Hausdorff spaces, Proc. Indian Acad. Sci. Sect. A 26
A947), 31—42.
Рибейро (Ribeiro H.)
[1] Caracterisations des espaces reguliers normaux et complete-
ment normaux аи moyen de l'operation de derivation, Portu-
galiae Math. 2 A940). 1—7.
[2] Une extension de la notion de convergence, Portugaliae Math.
2 A941), 153—161.
[3] Sur les espaces a metrique faible, Portugaliae Math. 4 A943),
21-40, 65-68.
Самюэль (Samuel P.)
[1] Ultrafilters and compactification of uniform spaces, Trans.
Amer, Math Soc. 64 A948), 100—132.
Серпинский (Sierpinski W.)
[1] General topology Bnd. Ed.), Toronto, 1952.
372 БИБЛИОГРАФИЯ
[2] Sur les ensembles complets d'un espace (D), Fund. Math. II
A928), 203—205.
Скляренко Е. Г.
[1] Некоторые вопросы теории бикомпактных расширений. Изв.
АН СССР, сер. матем. 26 A962), 427—452.
[2] О топологическом строении локально бикомпактных групп
и их фактор прострар.ств, Матем. сб. 60 A963), 63—88.
[3] О некоторые приложениях теории пучков в общей тополо-
топологии, Успехи матем. наук 19, № 6 A964), 47—70.
Смирнов Ю. М.
[1] К теории вполне регулярных пространств, ДАН СССР 62
A948), 749—752.
[2] Необходимое и достаточное условие метризуемости тополо-
топологического пространства, ДАН СССР 77 A951), 197—200.
[3] О метризации топологических пространств, Успехи матем.
наук 6, № 6 A951), 100—111.
[4] О нормально расположенных множествах нормальных про-
пространств, Матем. сб. 29 G1) A951), 173—176
[5] О пространствах близости, Матем. сб. 31 A952), 543—574.
[6) О полноте пространств близости. I, Труды Моск. матем.
о-ва 3 A954), 271—308.
[7] О полноте пространств близости. II, Труды Моск. матем.
о-ва 4 A955), 421—438.
[8] О метризации бикомпактов, разлагаемых в сумму множеств
со счетной базой, Fund. Math. 43 A956), 387—393.
[9] О сильно паракомпактных пространствах, Изв. АН СССР 20
A956), 253—274.
Стоун A. (Stone A. H.)
[1] Paracompactness and product spaces, Bull. Amer. Math. Soc.
54 A948), 977—982.
[2] Metrizability of decomposition spaces, Proc. Amer. Math. Soc.
7 A956), 690—700.
[3] Sequences of coverings, Pacific J. Math. 10, № 2 A960),
689—691.
[4] Non-separable Borel sets, Panstwowe wydamnictwo naukowe,
Warszawa, 1962.
[5] On o-discreteness and Borel isomorphism, Amer. J. Math. 85,
№ 4 A963), 655—666.
Стоун M. (Stone M. H.)
[1] The theory of representations for Boolean algebras, Trans.
Amer. Math. Soc. 40 A936), 37—111.
БИБЛИОГРАФИЯ 373
[2] Applications of the theory of Boolean rings to general topo-
topology, Trans. Amer. Math Soc. 41 A937), 375—481.
[3] Topological representations of distributive lattices and Bro-
werian logics, Casopis Pest Mat. Fys. 67 A937), 1—27.
[4] Boundedness properties in function lattices, Canad. J. Math I
A946), 176—186.
[5] The generalized Weierstrass approximation theorem. Math.
Mag. 21 A948). 167—184.
[61 Notes on integration I, II. Ill, IV, Proc. Nat Acad Sci. USA
34 A948), 336-342, 447—455, 483—490; 35 A949),
50-58
Стофер (Stop her E. С, Jr.)
[1] Point set operators and their interrelations. Bull Amer. Math.
Soc. 45 A939), 758—762.
Тарский (Tarski A.)
[1] Introduction to modern logic Bnd Amer. Ed.), N. Y., 1946.
Тихонов А. Н.
[1] Ober die topologische Erweiterung von Raumen, Math- Ann.
102 A929), 544—561.
[2] Ober einen Funktionenraum, Math. Ann. ill A935), 762—766.
To н г (Т on g H.)
[1] On some problems of Cech, Ann. of Math. B) 50 A949),
154—157.
Тьюки (Tukey J. W.)
[1] Convergence and uniformity in topology, Ann. of Math Stu-
Studies 2 A940).
yaft6epH(WhyburnQ. T.)
[11 Analytic topology, A. M. S. Colloquium Pub! XXVIII, N Y.,
1942.
[2] Open and closed mappings, Duke Math. J. 17 A950), 69—74.
Уайлдер (Wilder R. L.)
[1] Topology of manifolds, AMS Colloquium Publ. XXXII, N. Y.. 1949.
Умегаки (Umegaki H.)
[I] On the uniform space, Tohoku Math. J. B) 2 A950), 57—63.
Уоллес (Wallace A. D.)
[1] Separation spaces, Ann. of Math. B) 42 A941), 687—697.
[2] Extensional invariance, Trans. Amer. Math. Soc. 70 A951),
97—102.
Уолмен (W a 11 m a n H.)
[1] Lattices and topological spaces, Ann. of Math. B) 42 A941),
687—697.
374 БИБЛИОГРАФИЯ
У р с е л (U r s е 11 Н. D.) и Я н г (Y о u n g L. С.)
[1] Remarks oh the theory of prime ends. Memoirs Amor. Math.
Soc. 3 A951).
У р ы с о н П. С.
[1] Uber die Machtigkeit der zusammenhangenden Mengen, Math.
Ann. 94 A925), 262—295.
[2] Труды по топологии и другим областям математики, тт. I
и II, Гостехиздат, 1951.
Федорчук В. В.
[1] Об упорядоченных пространствах, ДАН СССР 169, № 4
A966), 777—780.
Филиппов В. В.
[1] О совершенном образе перистого паракомпакта, ДАН СССР
176, № 3 A967), 777—780.
Фокс (Fox R. Н.)
[1] On topologies for function spaces, Bull. Amer. Math. Soc. 51
A945), 429—432.
Фомин С. В.
[1] К теории расширений топологических пространств, Матем.
сб. 8 E0) A940), 285—294.
[2] Extensions of topological spaces, Ann. of Math. 44 A943),
471—480. (См. также Илиадис и Фомин.)
Фор т (Fort M. К.. Jr.)
[1] A note on pointwise convergence, Proc. Amer. Math. Soc. 2 A951).
Френкель (Fraenkel A.)
[1] Einleitung in die Mengenlehre (Amer. Ed.), N. Y., 1946.
Фреше (Frechet M.)
[1] Sur quelques points du Calcul Fonctionnel (These), Rendiconti
di Palermo 22 A906), 1—74.
[2] Les espaces abstractes, Paris, 1926.
Фрёйденталь (Freudenthal H.)
[1] Neuaufbay der Endentheorie, Ann. of Math. BL3A942), 261—279.
Фринк (F rink A. H.)
[1] Distance functions and the metrization problem, Bull. Amer.
Math. Soc. 43 A937), 133-142.
Ф р о л и к (F г о 1 i k Z.)
[1] On the topological product of paracompact spaces, Bull. Acad.
Polon. Sci., Ser. Math. 8, № 11—12 A960), 747—750.
X а л м о ш (Н a 1 m о s P. R.)
[1] Measure theory, N. Y., 1950. [Русский перевод: Халмош П.,
Теория меры, ИЛ, 1953.]
БИБЛИОГРАФИЯ 375
X а н н е р (Manner О.)
[1] Retraction und extension of mappings of metric and non-
metric spaces, Ark. Math. 2 A952), 315—360.
Хаусдорф (HausdorffF.)
[1] Gmndzuge der Mengenlehre, Leipzig, 1914. [Русский перевод:
Хаусдорф Ф., Теория множеств, ОНТИ, 1937.]
[2] Die Mengen Gfl in vollstandigen Raumen, Fund. Math. 6
A924), 146—148.
[3] Ober innere Abbildungen, Fund. Math. 23 A934), 279—291.
Хенриксен (Henriksen M.) и Исбелл (Isbell J. R.)
[1] Some properties of compactifications, Duke Math. J. 25 A958),
83—106.
Хилле (Hi lie E.)
[1] Functional analysis and semi-groups. AMS Colloquium Publ.
XXI, N. Y., 1948. [Русский перевод: Хилл Э., Функциональ-
Функциональный анализ и полугруппы, ИЛ, 1951.]
Ху (Ни S. Т.)
[1] Archimedean uniform spaces and their natural boundedness,
Portugaliae Math. 6 A947), 49—56.
Хыоитт (Hewitt E.)
[1] On two problems of Urysohn, Ann. of Math. B) 47 A946),
503—509.
[2] Rings of real-valued continuons functions, I, Trans. Amer.
Math. Soc. 64 A948), 45—99.
Хьюитт (HewittE.) и Росс (R о s s К. А.)
[I] Abstract harmonic analysis, vol. 1, Berlin, Springer-Verlag, 1963.
Цермело (Zermelo E.)
[1] Neuer Beweis fur die Wohlordnung, Math. Ann. 65 A908),
107—128.
Чернавский А. В.
[I] Крнечнократные открытые отображения многообразий, Матем.
сб. 65 A964), 357—369; дополнение, там же 66 A965), 471 —
472.
Чех (Cech E.)
[1] On bicompact spaces, Ann. of Math. B) 38 A937), 823—844.
Читтенден (Chittenden E. W.)
[1] On the metrization problem and related problems in the
theory of abstract sets, Bull. Amer. Math. Soc. 33 A927),
13—34.
Ч о б a ii M. M.
[1] О поведении метризуемости при факторных S-отображенивд,
ДАН СССР 166, № 3 A966), 562—565.
376 БИБЛИОГРАФИЯ
[2] Повеление метризуемости при факторных монотонных ото-
отображениях. ДАН СССР 168, № 3 A966), 535—538.
Ш е в а л л е (С h e v а 11 е у С.)
[1] Theory of Lie Groups, f, Princeton, 1946. [Русский перевод:
Ш е в а л л е К., Теория групп Ли, 1, ИЛ, 1948.]
Ill и м а н с к и и (S г у m a n s k i P.)
[1] La notion des ensembles separe comme terme primitif de la
topologie, Mathematica Timisoara 17 A941), 65—84.
Широта (ShirotaT.)
[1] On systems of structures of a completely regular space, Osaka
Math. J. 2 A950), 131—143.
[2] A class of topological spaces, Osaka Math. J. 4 A952),
23—40.
Шпильрайн (Szpilrain E.)
[1] Заметка о декартовых произведениях топологических про-
пространств, ДАН СССР, а. с. 31, № 6 A941), 525—527.
Э й л е н б е р г (Eilenberg S.)
[1] Sur le theoreme de decomposition de la theorie de la dimen-
dimension, Fund Math. 26 A936), 146—149.
Энгелькинс (EngelkingR.)
[1] Cartesian products and dyadic spaces, Fund. Math. 57, № 3
A965), 287—304.
Энгелькинг (E n g e 1 k i n g R.) и Ефимов Б. А.
[1] Remarks on dyadic spaces. 11, Colloq. Math. 13, № 2 A965),
181—197.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная Ge 275
Аксиом схема классификацион-
классификационная 329
Аксиома бесконечности 349
— выбора 351
— объемности 327
— подмножеств 332
— подстановки 338
— регулярности 343
— соединения 338
— счетности вторая 75
— — первая 77
Аксиомы замыкания Куратовско-
го 68
— метрики 162
База топологии 72
— — в точке 77
— равномерности 237
— системы окрестностей 77, 153
Банахова алгебра 319
Бикомпактность локальная рав-
равномерная 283
Булево кольцо 116
— а-кольцо 284
Вложение 161, 251. 261, 262
— в кубы 157, 161
Вполне упорядочение 50, 339
Гнездо 54, 351
Гомеоморфизм (топологическая
эквивалентность) 123
Гомоморфизм (представление)
35, 147
— кольцевой 135
—. ядро 35
Грань верхняя 29
— — наименьшая 29
— нижняя 29
— — наибольшая 29
Группа 34
— абелева (коммутативная) 34
— топологическая 145
— —, подгруппа 147
— —, пополнение 280
— —, равномерность двусторон-
двусторонняя 278
— —,— левая 278
— —, — правая 278
— целых чисел 38
Диагональ 22
Диагональный процесс 313
Диаметр 165
Доказательство по индукции 38.
341
Дополнение 16, 329
— абсолютное 16
— относительное 16
Гипотеза континуума 360
•— — обобщенная 360
Евклидова плоскость 89
Евклидово и-пространство 52,
126
378
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Задача Куратовского 8G
Звездная вписанность 230
— нормальность 230
Звездное измельчение 230
Лемма Куратовского 55
— Лебега о покрытии 209
— Тыоки 55
— Урысона 157
— Цорна 55
Идеал 35, 115, 117
— двусторонний 35
— дуальный 115, 117
— левый 35
— максимальный в структуре 115
Изометрия 167
Изоморфизм равномерный 242
Инвариант метрический 167
— равномерный 242
— топологический 125
Индукция математическая 38
— трансфинитная 341, 347
Интеграл Римана 114
Интервал замкнутый 64
— полуоткрытый 64
Кардинал 353
Категория 267
Класс 13
— конечный 355
— наполненный 344
— сходимости 107
— эквивалентности 23
Классификатор 326
Классы, объединение 329, 331
— равномощные 353
—, разность 330
Коллективная нормальность 232
Кольцо 35
— нормированное 320
— характеристическое 227
— эндоморфизмов группы 36
Компактность секвенциальная
313
— счетная 277
Комплект псевдометрик 252
— равномерности 252
Композиция отношений 21
— функций 27
Компонента 83
Критерии метризационные 173,
177
Куб 157
Метрика 161
— вещественных чисел обычная
163
— двусторонне инвариантная 279
—¦ левоинвариантная 279
— правоинвариантная 279
— Хаусдорфа 178
Метрики инвариантные 278
Множества, декартово произве-
произведение 21, 51
— направленные, направленное
произведение 99
— отделенные 80
— равномощные 48
—,разность 16
—, сумма 15
Множество 13
— вещественных чисел индук-
индуктивное 38
—, внутренность 69
—, внутренняя точка 69
— вполне упорядоченное 50
— , секция 340
— выпуклое 150
—, граница 71
— замкнутое 63, 78
—, замыкание 66, 78
— канторово (канторов дискон-
дисконтинуум) 223
— — обобщенное (обобщенный
канторов дисконтинуум) 223
— конечное 355
— координатное 52
— линейно упорядоченное (цепь)
31
—, мощность 353
—, направление 95
— направленное 95
— нигде не плотное 197, 268
— нулей непрерывной вещест-
вещественной функции 182
— ограниченное 32
—. окрестность 153
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
379
Множество открытое 60
— почти открытое 279
— предельная точка 65
— производное 66
— пустое 15, 331
— счетно бесконечное 44
— счетное 45
— упорядоченное 31
— — полное 29
Направленность 95
— Коши 254
— монотонная 111
—, предел 99
—, предельная точка 103
— сходящаяся 96
— универсальная 116
Непрерывность в точке 140
— однообразная 309, 311
— равностепенная 305, 308
— — равномерная 315
Неравенство треугольника 162
Нормальный делитель 35, 147
Образ 25, 26, 120
Объединение 15
Оператор 25
— замыкания 67, 68
— — Куратовского 68
Определение по индукции 39
— функции по трансфинитной
индукции 347
Ординал 345
Отношение 21
— антисимметричное 23
— асимметричное 339
—, область значений 21
—, — определения 21
— обратное 21, 336
— рефлексивное 23
— симметричное 23
—, сужение 24
— тождественное 22
— транзитивное 23
— эквивалентности 23
Отображение 25
— в 120
Отображение взаимно однознач-
однозначное 120
— вычисления 158, 287
— замкнутое 133
— индуцированное 26
-- линейное 37
— —, нуль-пространство 37
— многозначное 25
— монотонное 31
— на 120
— непрерывное 121
— открытое 127
—, продолжение 26
— равномерно непрерывное 241,
259
— — открытое 270
—.сохраняющее порядок 31
—, сужение 26
— факторное (фактор-отображе-
(фактор-отображение) 135
— А-накрывающее 315
Пара неупорядоченная 334
— упорядоченная 335
Парадокс Бурали—Форти 346
— Рассела 355
Паракомпакт 212
Пересечение 15, 115, 329, 331
Плоскость Тихонова 179
Подгруппа 34
— инвариантная 35, 147
— нормальная 35, 147
— топологической группы 147
Подмножество 14
— вполне ограниченное 265
— всюду плотное 75
— конфинальное 96
— нигде не плотное 197, 268
— одноточечное 15
— связное 82
— собственное 16
Поднаправленность 101
Подпокрытие 76
Подпоследовательность 93
Подпространство 78
— линейное 36
Покрытие 76
— однообразное 211
— открытое 76
380
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Покрытие равномерное 266
— точечно конечное 230
Поле 36
— упорядоченное 37
Полнота топологическая метри-
метрическая 275
Порядок линейный (простой) 31
— словарный (лексикографиче-
(лексикографический) 42
Последовательность 91, 106
— абсолютно суммируемая ИЗ
— по направленному множеству
96
Постулат Цермело 55
Предбаза равномерности 237
— системы окрестностей в точке
78
— топологии 74
— — произведения стандартная
127
Предел направленности 99
— повторный 100, 101
Преобразование топологическое
123
Принцип вполне упорядочения
56
— максимального элемента 55
— максимальности Хаусдорфа
56, 352
— математической индукции 38
— минимального элемента 56
Проектирование на координатное
множество 52, 125
— — разбиение 135
Произведение направлений 99
— псевдометрических пространств
166
— равномерностей 244
— равномерных пространств 244
— топологических пространств
— упорядоченных множеств 42
Прообраз 27, 120
Пространства равномерно экви-
эквивалентные 242
Пространство абсолютно замкну-
замкнутое (//-замкнутое) 208, 209
— бикомпактное 183
— булево 227
, характеристическое коль-
кольцо 227
Пространство векторное 36
— дверное ПО
— координатное 125
— линделёфово 77
— линейное 36
— — вещественное 36, 150
— — нормированное 317
— локально бикомпактное 197
связное 90
— метризуемое 169
— метрическое 162
— нормальное 153
— однородное 148
— отображений (функций) 2Ь6
— паракомпактное 212
—, подмножество нехудое 269
—,— худое 269
— полное в смысле Чеха 277
— — топологически 276
— полуоткрытых интервалов
(стрелка) 88, 181
— псевдомегризуемое 169, 246
— псевдометрическое 162
— — полное 261
— —.пополнение 261
— равномерное 236
— — вполне ограниченное 264
, метризация 247
— — метризуемое 246
— — отделимое 241
полное 256
— —, пополнение 262
предкомпактное 264
— разбиения 135
— регулярное 154
— с первой аксиомой счетности
77
— связное 82
— сепарабельное 75
— слабо паракомпактное 230
— со счетной базой 75
— совершенно нормальное 182
— сопряженное к нормирован-
нормированному 317
— счетномерное 218
— тихоновское 159
— топологически полное 276
— топологическое 60
— — антидискретное 60
дискретное 61
линейное 150
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
381
Пространство топологическое, ме-
метризация 169
— — метризуемое 169
— —, плотное подмножество
75
регулярное 154
— финально компактное 77
— хаусдорфово 98
— Хелли 222
— худое 269
— экстремально несвязное 285
— ящичное 148
Прямая Александрова 222
— трансфинитная 222
Псевдометрика 162
—, комплект 252
Равномерность 236
— вещественных чисел обычная
236
— относительная 243
¦—, порожденная псевдометрикой
246
—, —- семейством псевдометрик
249
— поточечной сходимости 290
— произведения 244
— псевдометрическая 246
— равномерной сходимости 298,
300
—, сужение 243
Разбиение 135
— единицы 231
— непрерывное 138, 182
Разложение двоичное 44
— десятичное 44
— по основанию 44
— троичное 44
Разность симметричная 116
Расстояние 162, 168
Расширение бикомпактное 204
одноточечное 203
Стоуна—Чеха 206
— — Уолмена 226
Расширения бикомпактные то-
топологически эквивалентные
204
Ретракт 224
Свойство двух точек 320
— делимое 180
— индуктивное 90
— наследственное 180
— неприводимое 90
Семейство 13
— множеств дизъюнктное 15
— — дискретное 172
— — замкнутое 211
— — конечного характера 54
— — локально конечное 172
— —, максимальный элемент 53
— —, минимальный элемент 54
— —, наибольший элемент 53
— —, наименьший элемент 53
— отображений поточечно замк-
замкнутое 287
Система окрестностей точки 62
— центрированная максимальная
194, 226
Совокупность 13
Соответствие 25
— взаимно однозначное 120
Сравнение топологий 61
Стрелка 88, 181
Структура 115
— дистрибутивная 115
—.объединение элементов 115
Сумма Дарбу верхняя 114
нижняя 114
— множеств (логическая сумма
множеств) 15
— неупорядоченная 112
— упорядоченная 112
Сходимость непрерывная 317
— по Мору—Смиту 90
— покоординатная 129
— поточечная 129, 286
— равномерная 297
— — на бикомпактных множе-
множествах 302
семействе множеств 300
Теорема Александера о предба-
зе 188
— Александрова об одноточечной
бикомпактификации 203
— Александрова—Урысона о ме-
метризации 249
382
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Теорема Асколи 307, 311
— Банаха—Штейнгауза 284
— Брауэра о редукции 90
— Бэра о категории 267
— Вейерштрасса—Стоуна 320
— Гейне—Бореля—Лебега 183,
195
— Дини 314
— Кантора 354
— Кантора—Бернштейна (Шрё-
дера — Бернштейна) 49, 354
— о замкнутом графике 281
-- Стоуна о представлении 227
— Тихонова о вложении 161
— произведении 194
— Уоллеса о произведении
193
— Урысона о метризации 170
Теория интегрирования 112
Топология 60
— антидискретная 60
— бикомпактно открытая 292
— бикомпактной сходимости
302
— более сильная 61
• слабая 61
— вещественных чисел обычная
61
— дискретная 61
— индуцированная на подмно-
подмножестве 78
— метризуемая 169
— метрическая 169
— относительная 78
— порядковая 87
— поточечной сходимости 289
— произведения 125, 127
— псевдометрическая 162
— равномерная 238
— равномерной сходимости 298
— слабая сопряженного к нор-
нормированному пространству
149
— совместно непрерывная 293,
294
—, сужение 78
— тривиальная G0
Точка 13
—, звезда 230
— изолированная 143
— накопления 65
Точка, окрестность 62
— полного накопления 221
Ультрафильтр 118
Универсум 331
Упорядочение 29
— архимедово 41
— линейное (совершенное) 31
— полное 29
— частичное 29
Условие Суслина 89
Фактор-группа 35, 147
Фактор-отображенне 135
Фактор-пространство 136
Фактор-топология 132
Фильтр 118
— Коши 257
— сходящийся 118
Формулы де Моргана 18
Функционалы на линейных про-
пространствах 149
Функция 25, 336
— вещественная полунепрерыв-
полунепрерывная сверху 141
снизу 141
— возрастающая 31
— выбора 52, 350
—, график 25
—, значение 25, 337
—, колебание 142
— линейная 37
— многозначная 25
— монотонная 31
—,область значений 336
—, — определения 336
—, определение по трансфинит-
трансфинитной индукции 347
— полунепрерывная сверху, сни-
снизу 141
— почти периодическая 322
—, продолжение 26
—, сужение 26
— суммируемая 112
— характеристическая 46
Цепь 54
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
3S3
Числа кардинальные 48, 353
— бесконечные (трансфннит-
ные) 359
— порядковые 50, 346
— целые 349
Шар замкнутый 162
— открытый 162
Элемент 13
^-пространство 304
'/а-пространство 85
7*[-пространство 85
7YnpocTpancTBO (хаусдорфово)
98
^-пространство (регулярное
+ 7\) 154
Г4-пространство (нормальное
+ 7",) 153
0-дискретное семейство множеств
173
0-кольцо 284
cr-локально конечное семейство
множеств 173