/
Автор: Ильясевич С.А.
Теги: строительство строительные конструкции строительные материалы металлические конструкции
Год: 1934
Текст
i В Ж Ш I
А. ИЛЬЯСЕВИЧ
ОСНОВЫ
ДИНАМИ.ЧЕСКОГО РАСЧЕТА
БАЛОЧНЫХ
МЕТАЛЛИЧЕСКИХ МОСТОВ
Сканировал и обрабатывал
Лукин А. О.
$
19 3 4
ОНТИ НКТП СССР
Г ОС МАШ МЕТИ 3 ДАТ
МОСКВА • ЛЕНИНГРАД
Книга инж.С. Ильясевича,Основы динамического расчета металлических балочных
мооггов* представляет собой исследование законов динамического воздействия под-
вижной нагрузки на металлические балочные мосты, т. е. проблемы, до сих пор
еще чрезвычайно слабо освещенной в нашей литературе. Автор дает анализ влия-
ния на мост таких основных динамических факторов, как скорости движения,
периодичности сил, развиваемых подвижной нагрузкой, ударов, и приводит соответ-
ствующие решения для ряда случаев и условий динамической работы металлических
постов, имеющих место в практике нашего мостостроения.
Ценность этих исследований заключается в том, что результаты их позволяют
подойти к теоретически обоснованному, уточненному и подтвержденному соответ-
ствующими опытными данными динамическому коэфициенту, до сих пор принимае-
мому в наших расчетах по очень грубым эмпирическим формулам, получаемым на
базе случайных, смешанных, несравнимых между собой результатов тех или иных
испытаний мостов.
Совершенно очевидно, что подобная возможность более точного учета при рас-
чете мостов такого серьезного фактора, как динамика, всецело отвечает проблеме
максимального уточнения методов расчета наших сооружений, т. е. проблеме, справед-
ливо рассматриваемой в качестве одного из основных факторов, способствующих
экономии материалов в нашем строительстве вообще и в мостостроении в частности.
1-я Журнальная тип. ОНТИ НКТП СССР, Москва, Денисовский пер., 30,3ак. 3769
ПРЕДИСЛОВИЕ
До настоящего времени при расчете всех мостов, в том числе и ме-
таллических, временная полезная нагрузка вводится в расчет по существу
в статической форме; динамический же характер фактического ее воз-
действия учитывается умножением соответствующих статических давлений
нагрузки на так называемый динамический коэфициент. Этот коэфициент
определяется в разных странах по самым разнообразным эмпирическим
формулам, имеющим сходство лишь в одном, а именно в том, что все они
дают один и тот же характер зависимости динамического коэфициента от
пролета моста: с увеличением пролета динамический коэфициент умень-
шается.
Все эти эмпирические формулы обычно выводятся путем проведения
огибающей кривой на графике, на котором нанесены опытные значения
динамических коэфициентов, определяемых для мостов различных пролетов.
Метод этот отличается большой приближенностью по целому ряду со-
ображений.
Прежде всего он совершенно не учитывает таких индивидуальных осо-
бенностей мостов, как тип главных ферм, соотношение между генераль-
ными их размерами, весами и т. д. По существу в упомянутых выше гра-
фиках смешиваются в одну кучу самые разнообразные по своим динами-
ческим характеристикам мосты. Это сообщает получаемым таким методом
кривым динамических коэфициентов случайный характер, более или менее
справедливый лишь для данной серии мостов, подвергнутых опытным ис-
следованиям. Именно этой случайностью и можно объяснить тот несом-
ненный факт, что кривые динамических коэфициентов очень часто меняются
и, в частности, у нас в СССР с 1921 по 1931 гг. мы имеем уже третью
кривую динамических коэфициентов для расчета железнодорожных мостов.
Далее, следует отметить, что подобный метод построения кривой дина-
мических коэфициентов делает ее резко зависящей от условий опытов
и, в частности, от характера той подвижной нагрузки, под действием ко-
торой эти опыты производились. Поэтому принимаемые нами в качестве
нормативных кривые динамических коэфициентов являются случайными
и с точки зрения характера подвижной нагрузки;обычно же схемы расчет-
ной нагрузки заметно отличаются от схемы нагрузок, в действительности
имеющихся на железных дорогах, и опытные динамические коэфициенты
лишь с большой натяжкой могут служить нормативными для расчета мос-
тов под новые нагрузки. В результате вполне естественно, что при назна-
чении указанным методом кривой динамических ко^фициентоа ей дают
довольно заметные запасы по отношению к фактическим значениям опыт-
ных динамических коэфициентов, учитывая тем самым большую случай-
ность последних.
1*
3
Совершенно очевидно, что такое положение дела, с одной стороны, аб-
солютно не отвечает нашим установкам в области проектирования соору-
жений, где необходимо применение уточненных методов расчета, приводя-
щих обычно к более экономному расходованию материала. С другой сто-
роны, оно не вполне отвечает и современному состоянию наших знаний
в области динамики металлического моста, особенно сильно развившихся
в результате обширнейших опытных исследований, произведенных как раз
у нас, в СССР.
Во всяком случае на базе имеющихся у нас в данный момент знаний
можно уже приступить к работе по установлению схемы и норм динами-
ческого расчета металлических мостов.
Настоящей своей работой мы и хотели начать это большое и ответствен-
ное дело, причем вполне естественно, что в первую очередь мы попытались
изложить основы этого динамического расчета и рассмотрели влияние та-
ких генеральных факторов динамики, как скорость движения, действие пе-
риодических сил и ударов. При этом, ввиду того что изучение влияния
этих факторов невозможно без знания законов собственных свободных
колебаний мостов, нами предварительно была изложена теория подобных
колебаний для мостовых брусьев и приведены данные по опытным иссле-
дованиям действительных свободных колебаний мостов, подтверждающие
соответствующие теоретические выводы.
В результате нам удалось дать решения для ряда случаев, имеющих
место в действительных условиях динамической работы металлических мо-
стов. Правда, решения эти, как правило, имеют еще в достаточной сте-
пени сложный вид, не позволяющий рекомендовать их в качестве норма-
тивных. Для того чтобы можно было сделать последнее, формулы должны
быть упрощены введением в них тех или иных приближений, обоснован-
ных, с одной стороны, практической приемлемостью получаемых при этом
ошибок, с другой стороны, результатами соответствующих опытных иссле-
дований. Отсюда совершенно ясно, что для окончательного установления
динамического расчета металлических мостов необходимо начатую нами
работу еще продолжить и дополнить целым рядом и опытных и теорети-
ческих исследований, характер которых непосредственно вытекает из всего
содержания настоящей работы.
В заключение считаю своим долгом выразить глубокую благодарность
проф. Н. Стрелецкому и инж. С. Бернштейну, взявшим на себя
труд прочитать рукопись настоящей работы и давшим мне целый ряд
ценных указаний.
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие * 3
Глава первая
Теория свободных колебаний мостовых брусьев
1. Свободные и вынужденные колебания 7
Z Теория свободных вертикальных колебаний простого бруса —
а) Вертикальные свободные колебания весомого бруса без учета трений. —
б) Вертикальные свободные колебания весомого бруса с учетом трений.. 13
3. Свободные горизонтальные поперечные колебания бруса 19
4. Теория свободных колебаний боковой' качки бруса 23
а) Свободные колебания боковой качки бруса без учета трений —
б) Свободные колебания боковой качки бруса с учетом трений 36
6. Свободные вертикальные колебания бруса, загруженного временной нагрузкой. 33
Ь. Зависимость между периодом свободных вертикальных колебаний и проги-
бом бруса 40
Глава вторая
Экспериментальные исследования свободных колебаний металлических
мостов
7. Задачи и методы экспериментальных исследований свободных колебаний
мостов 41
8. Приборы, служащие для регистрации колебаний металлических мостов . . 44
а) Виброграф Гейгера 43
б) Прогибометр Гейгера 55
в) Виброграф фирмы Майак 57
9. Общий характер свободных колебаний металлических мостов 59
10. Периоды свободных колебаний мостов 66
а) Вертикальные колебания . . . . • —
б) Горизонтальные поперечные колебания . . • • —
в) Колебания боковой качки 80
11. О природе скорости затухания свободных колебаний мостов 83
Глава третья
Влияние скорости движения
12. Общие соображения о динамическом воздействии подвижной нагрузки нг .
мосты ,s 95
13. Проход по идеальному мостовому' брусу груза Q со скоростью v. ... . %
14. О динамическом коэфициенте в случае идеального моста 101
15. Проход груза Q со скоростью v по мосту, обладающему сопротивлениями.. 108
16. О динамическом коэфициенте в случае моста с сопротивлениями 115
17. Проход по идеальному мостовому брусу сплошной равномерной нагруздки р
со скоростью v 119
18. Построение теоретической диаграммы динамического прогиба 121
5
ГЛАИЛ ЧК1ВЕРТАЯ
Теория действия на мостовой брус периодически меняющихся по
величине сил
19. Периодичность вертикальных сил в паровозах 134
20. Действие на идеальный мостовой брус движущейся со скоростью v перио-
дически меняющейся силы 139
21. Построение динамической диаграммы прогиба при движении Q sin Д/ no
идеальному мостовому брусу. . 140
22. Зависимость прогиба у от соотношения между Д и а в случае идеального
мостового бруса. ... 142
28. бвободные колебания после прохода Q sin &t по идеальному мостовому . .
брусу . 145
24. Динамические коэфициенты при проходе по идеальному мосту силы Q sin Д*. 147
36. Вывод формулы прогиба для случая действия подвижной нагрузки вида
Q sin bt на мостовой брус, обладающий сопротивлениями. . 151
26. Построение диаграммы прогиба пол действием подвижной силы Q sin Д/ при
учете явления затухания колебаний • 156
27. Динамические коэфициенты при проходе груза Q sin Д* при учете затухания
колебаний 159
28 Периодичность вертикальных сил, возникающих при ходьбе и беге толпы
людей % . . 163
29. Действие на мостовой брус сплошной толпы людей, ступающей в ногу. . . 165
Глава пятая
Опытное исследование мостов под действием периодически меняющейся
по величине нагрузки
30. Проход по мосту одного паровоза. . 170
31. Проход по мосту паровоза с составом 175
32. Пробег по мосту одного человека 176
Глава uifxtah
Ударное действие нагрузки
33. Проход железнодорожной нагрузки по рельсовым стыкам. . . : 180
34. Динамические коэфициенты при проходе колеса по рельсовому стыку. . . 181
35. Необходимость опытного изучения работы рельсовых стыков на мосту. . . 187
35. Динамические коэфициенты мостов различных пролетов от удара в стыке при
одновременном нахождении равномерно распределенной|$иагрузки 193
37. Удары при проходе колес нагрузки по неровностям настила в мостах под
обыкновенную дорогу 195
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ТЕОРИЯ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ МОСТОВЫХ БРУСЬЕВ
1. Свободные и вынужденные колебания
Колебательным движением называется, вообще говоря, такое движение,
при котором материальная точка или материальное тело проходят периоди-
чески через положение своего устойчивого равновесия. При этом различа-
ются два типа подобных колебательных движений: 1) колебания, совершае-
мые в отсутствии каких-либо внешних воздействий на колеблющееся тело,
или при наличии таковых воздействий, но не меняющих своей величины
в течение всего колебательного процесса; такие колебания называются
свободными колебаниями материального тела или системы, состоящей
из этого тела и постоянных внешних воздействий; 2) колебания, совершае-
мые материальным телом в результате действия на него переменных по ве-
личине внешних сил и называемые вынужденными.
По существу разница в природе обоих указанных типов колебаний за-
ключается в том, что характер свободных колебаний материального тела,
вообще материальной системы, зависит исключительно от самого колеблю-
щегося тела, от самой колеблющейся системы. Между тем вынужденные
колебания зависят не только от самой колеблющейся системы, но и от
характера тех переменных внешних воздействий, в присутствии которых
происходят указанные вынужденные колебания.
Так как нас далее будут интересовать балочные мосты, то прежде, чей
приступить к ним, считаем необходимым предварительно дать теорию ко-
лебаний простого бруса, опертого двумя своими концами, причем рассмо-
трение вопроса начнем с наиболее простых, свободных колебаний брусьев.
2. Теория свободных вертикальных колебаний простого бруса
а) Вертикальные свободные колебания весомого бруса без учета трений.
Представим себе, что мы имеем простой брус, свободно лежащий двумя
своими концами на опорах. Рассматривая сначала вопрос в упрощенном
виде, предположим, что брус—идеальный, не обладающий никакими ни
внутренними, ни внешними сопротивлениями. Вертикальные свободные
колебания этого бруса можно вызвать, например, отведя среднюю его
точку вниз на некоторую величину и быстро отпустив ее; брус придет
в колебательное движение, которое будет совершаться при наличии
постоянной по существу внешней силы — веса бруса. По приведенной выше
терминологии эти колебания будут называться свободными. Выясним харак-
тер рассматриваемых колебаний, для чего напишем уравнение их для се-
редины пролета / бруса. В каждый момент времени t в рассматриваемой
7
точке бруса будут действовать следующие силы: 1) инерция массы бруса;
2) сопротивление бруса изгибу в середине пролета, которое прямо пропор-
ционально величине прогиба в этой точке; 3) собственный вес бруса; при
этом нетрудно себе представить, что направление действия последней,
третьей силы при прогибе бруса вниз обратно направлению первых
двух сил.
Теперь нам необходимо выяснить вопрос о том, каким образом вводить
в уравнение колебаний середины пролета массу и собственный вес бруса.
Для того чтобы иметь возможность решить задачу в достаточной сте-
пени просто, приводят рассмотрение вопроса о колебании весомой балки
»с вопросу о колебании невесомой балки путем искусственного, вспомога-
тельного приема сосредоточения всей массы, всего собственного веса бруса
в той точк%, колебаниями которой интересуются; в данном случае за
эту точку мы принимаем середину пролета бруса. Здесь делается, таким
обдезом, чрезвычайно важное допущение о том, что общий характер вер-
тикальных колебаний весомого и указанного фиктивного бруса один и
тот же. Каким же образом привести собствен-
ный вес бруса в середину ею пролета? Во-
прос этот достаточно сложен и по существу
точного решения задачи здесь мы еще не
имеем. Наиболее удобно сделать интересую-
r rfn- J&z mee нас приведение веса бруса в середину его
к£~°5 е пролета, исходя из условия, чтобы та сосредо-
точенная сила, которая, будучи приложена
• в середине пролета бруса, заменит действие
всего его собственного веса, вызовет в сере-
дине пролета такой же статический прогиб, что и действительный собствен-
ный вес, распределенный равномерно по всему пролету бруса. В этом слу-
чае, следовательно, делается второе существенное допущение о*том, что
закон изменения статических и динамических прогибов бруса один и тот же,
что, конечно, фактически не вполне верно. Практически, однако, последнее
обстоятельство не играет существенной роли. Во всяком случае на характере
общих законов динамического воздействия нагрузки это допущение не
отражается, и действительная картина колебаний мостов вполне соответст-
вует, как увидим ниже, излагаемой здесь теории колебаний мостового
ёруса.
На основании сделанных основных допущений определим величину упо-
мянутой выше сосредоточенной силы, приложенной в середине пролета
бруса и заменяющей действие собственного его веса. Пусть инфлюентная
линия прогиба середины бруса выражается синусоидой вида:
Ч = * sin j} (I)
где 5—ордината инфлюентной линии посередине бруса, /—пролет его
и х — расстояние от левой опори до рассматриваемого сечения. Если р —
погонный собственный нес бруса, то, умножая р на площадь этой сину-
соиды, т. е. на
i
* Г п.* я (% Ы
i \ sin — dx=*'2 — (2)
J I тг
получим прогиб середины пролета от этого собственного веса в следующею
виде:
2Ыр
Так как от сосредоточенного груза Р, стоящего в середине пролета»
статический прогиб будет равен Р5, то из равенства
рь,Л'£
определяем интересующую нас силу Р, заменяющую действие собствен-
ного веса бруса:
Р=*р. (3>
Пользуясь этим последним выражением, можно определить и инерцию-
ыассы тх бруса, сосредоточенной в середине его пролета:
d2V lip d'-v
где у — вертикальное перемещение середины бруса в процессе колебаний,,
/—момент времени и g—ускорение под действием силы тяжести.
Таким образом, применяя этот метод приведения массы бруса в одну
точку, в середину пролета, мы имеем коэфициент приведения, равный
— = 0,637.
я
Несколько более сложным является другой метод приведения, основан-
ный на равенстве соответствующих кинетических энергий: с одной стороны —
того груза, который, будучи приложен в середине пролета, должен заме-
нить собственный вес этого бруса, с другой стороны — той равномерно^
распределенной нагрузки, которая представляет этот собственный вес бруса»
Если обозначить расстояние от элемента pdx бруса до опоры через х„
а вертикальное перемещение груза Р через уу то перемещение элемента pdx
будет, как известно, равно
Зх12 — 4*з
у—— •
Кинетическая же энергия всего бруса определится как
I
2
mv* l> / ,3х/2 — 4*з\ 17 ,у»
Pyf*
Так как кинетическая энергия груза Рири перемещении у будет -77—»
то из условия равенства обоих количеств энергии получаем:
P=]gPL (4a)
Следовательно, здесь уже коэфициент приведения массы бруса в сере-
дину его пролета будет равен
^ = 0,486.
2
•что на 23% меньше —.
Однако полученные коэфициенты приведения не вполне сравнимы по той
«простой причине, что в первом случае мы принимали инфлюентную линию
•прогиба середины бруса в виде синусоиды, во втором же случае она имеет
совсем иное очертание, котррое может быть выражено уравнением:
Если применить первый метод приведения веса бруса в середину про-
лета при указанной параболической инфлюентной линии прогиба, то по-
лучим cwnv"-i"e условие:
i_
2
rt-2'j(-£+£*)*•
о
«ричем Ь — ордината инфлюентной линии прогиба середины бруса при
«нахождении груза в середине пролета, т. е.
48
Пользуясь написанным выше условием, получаем:
i
рр
48~~
48~~
ми
0
= 2? 16^48 /4;
Таким образом коэфициент приведения в даннем случае оказывается
равным
;-§=„.«»
ДО
вместо 0,637 при синусоидальной инфлюентной линии прогиба. Следует
отметить, что метод приведения массы бруса в данную точку по эквива-
лентным прогибам является весьма грубо приближенным. Однако распро-
странение этого метода на подвижную нагрузку позволяет, как увидим
ниже, сравнительно просто проанализировать основные законы динамиче-
ского воздействия подвижной нагрузки на мосты, не искажая характера
и природы изучаемого явления. При этом нужно иметь в виду, что и вто-
рой метод также не является точным. В то же время применение его для
случая подвижней нагрузки приводит к чрезвычайно сложным выкладкам,
не дающим возможности получить достаточно ясное окончательное решение.
Что касается сопротивления изгибу середины бруса, то оно может быть
выражено, как
Кху,
где Кх—сила, вызывающая в рассматриваемой точке бруса вертикальный
прогиб, равный единице.
Теперь можно уже приступить к написанию уравнения интересующих
нас свободных колебаний бруса. В самом деле, в каждый момент времени /
указанные выше три силы, действующие в середине бруса, будут нахо-
диться в равновесии; следовательно,
или, деля обе части ур-ния (5) на постоянную величину ту получаем:
-4 + — у — — = о, (в)
принимая
(7)
и
вместо ур-ния (6) получаем:
К 2
тх
р _р_
тх Р_
g
—с 4-а2 v=e.
(8)
Общий интеграл этого диференциального уравнения имеет следующий вид:
у = Сл sin a J -f- C2 cos ax t + £ • (9>
X
где CjH C2 — постоянные интегрирования. Значения их могут быть опре-
делены по следующим двум начальным условиям: 1) в начальный момент
времени t = 0 — прогибу середины пролета бруса будет равен тому на-
чальному прогибу ух, который эта точка получила после того, как мы
прогнули брус книзу с целью приведения его в колебательное движение;
2) в тот же начальный момент времени £ = 0 скорость движения сере-
11
dy
дины бруса, т. е. -^, должна быть равна нулю. Эти два условия дают:
•Q;
X
Вставляя полученные значения С, и С2 в ур-ние (9), имеем:
g
g
cosa /.
(10)
(12)
Нетрудно показать, что - 2 есть не что иное, как статический про-
ах
гиб у середины бруса от действия его собственного веса. В самом деле,
принимая во внимание выражение (7), можно написать:
Р
g_=g^x
но ясно, что К—-г-, где 5, как указано выше, есть средняя ордината
о
инфлюентной линии прогиба середины бруса, а Кх — сила, вызывающая
в этой же точке прогиб, равный единице. Следовательно,
/, = £ = «=*,•
После этого выражение (12) можно переписать так:
y=yp + (yx—yp)^saxt. (13)
Природа выражения (13) весьма ясна: середина бруса, получив по-
стоянный прогиб у от действия собственного веса, совершает движение
по закону, определяемому вторым членом право- части, т. е. (ух— у ) cos axt.
Так как этот член является правильной периодической функцией г, то,
следовательно, середина балки дей-
ствительно будет совершать правиль-
ные периодические колебания, изо-
браженные на фиг. 2. При этом
осью этих колебаний, т. е, осью,
около которой середина бруса будет
перемещаться в крайние свои поло-
жения— то вниз, то вверх, служит
положение этой точки, определяемое
положением оси бруса, изогнутой
на величину^ под действием собственного веса бруса. Нетрудно, кроме этого,
видеть, что максимальное абсолютное отклонение рассматриваемой середины
бруса от указанной оси равно (ух — ур),т. е. начальному упругому прогибу,
сообщенному брусу с целью приведения его в колебательное движение,
при этом на фиг. 2 и других следующих далее фигурах значение ух при
дг=0 обозначается через у0. Полный размах этих колебаний (от крайнего
нижнего положения до крайнего верхнего положения), равный 2 (у —у ),
называется амплитудой колебаний. Тот промежуток времени, по прошествии
12
Фиг. 2.
которого у получает и по абсолютной величине и по знаку предыдущее
свое значение, называется полным периодом колебаний. В нашем случае
величина этого полного периода, обозначаемая через Тх% равна
X
Процесс, протекающий за время, соответствующее одному полному пе-
риоду Тх% называется полным колебанием. Из выражения (14) между про-
чим следует, что а есть не что иное, как число колебаний, совершаемых
в рассматриваемом колебательном движении серединой бруса в 2тг секунд.
Это число а будем условно называть частотой колебаний. Вообще же
говоря, правильнее называть частотой колебаний число их, соответствую-
щее единице времени (секунде).
Обращаем внимание на связь между выражениями (7) и (14), из кото-
рых получаем такую зависимость между величинами Кх и Тх:
огкуда имеем
Н")'
.-*/?
7,-2111/ Ul. (15)
Выражение (15) дает возможность определять величину периода свобод-
ных вертикальных колебаний бруса по его вертикальной жесткости и массе,
т. е. весу. Отсюда же, между прочим, вытекает, что период этих колеба-
ний тем больше, чем больше масса (вес) бруса и чем меньше его верти-
кальная жесткость. Кроме этого, из того же выражения (15) видно, что
период Тх не зависит от амплитуды колебаний.
Еще раз подчеркиваем, что весь приведенный выше вывод сделан в пред-
положении существования идеального бруса, лишенного сопротивлений.
Между тем в каждом материальном брусе имеются различные силы трения,
как внутренние (внутренние силы трения между частицами самого мате-
риала бруса, а также во взаимных соединениях, если брус состоит из не-
скольких частей, связанных в одно целое), так и внешние (трение в точках
опирания бруса, сопротивление воздуха). Эти силы трения, представляя
собою, по существу, внешние воздействия на брус, оказывают, как уви-
дим ниже, весьма заметное влияние на характер колебательного движения
точки бруса.
б) Вертикальные свободные колебания весомого бруса с учетом трений.
Выше уже было указано, какова природа тех внутренних и внешних сия
трения, которые должны сказываться на характере свободных колебаний
бруса. Для выяснения типа рассматриваемых колебаний в этом случае на-
пишем опять уравнение колебаний средней точки бруса, причем здесь уже
нам придется иметь дело, кроме учтенных в предыдущем разделе а) трех
сил, еще с дополнительной силой, характеризующей действие внутренних
и внешних сил трения бруса. Для того чтобы ввести эту дополнительную
силу в основное уравнение, необходимо задаться тем или иным законом
ее изменения, так как действительный закон нам неизвестен. Можно лишь
думать, что он в достаточной степени сложен, так как сама сила состоит,
как указано выше, из ряда разнородных трений и сопротивлений. Для
13
упрощения задачи будем считать, что величина ее изменяется прямо про-
порционально первой степени скорости перемещения рассматриваемой сред-
ней точки. Вообще же заметим, что весьма многие сопротивления, имею-
щие место в самых разнообразных физических явлениях при движении
тела, оказываются функциями скорости движения. Если обозначить коэфи-
циент пропорциональности через \ixJ то величину силы трения можно при-
нять при сделанном допущении равной
*xdt
Направление действия этой силы будет то же, что и силы инерции и со-
противления бруса упругой деформации изгиба.
Принимая во внимание изложенное, уравнение свободных колебаний
середины бруса может быть написано в следующем виде:
d-v dv
или
Обозначим
dt*^тх at ' ау & {U)
£ = *„ (18)
причем нетрудно себе представить, что по природе своей 2ех есть не что
иное, как сила трения, приходящаяся на единицу скорости перемещения
середины бруса и на единицу его массы, приведенной в эту точку. После
этого ур-ние (17) перепишется следующим образом:
Общий интеграл этого диференциального уравнения имеет такой вид:
y=£ + C1eb<+Cte>«, (20)
где С, и С2 — постоянные интегрирования, а кг и k2 — корни квадратнее
уравнения вида:
т. е.
*!,»=-«,±lA, - о*.
Так как обычно е<а, то можно принять
*Ъ2 = -е,±'У*Р1!=~е,±у, (21)
где
*, = V4-«£- (22)
14
Кроме этого, из предыдущего параграфа известно, что
х
следовательно, ур-ние (20) может быть переписано в следующем виде:
у =ур -f С2е (—*+VK -f C,/( -** - >•*>'-,
или
у^Ур + е-ь^Сге+и^ С2е~х*»). (23>
Постоянные интегрирования Сг и С2 определим из двух начальных усло-
вий: 1) для начального момента времени t — 0 — прогиб середины бруса»
равен ух и 2) для того же момента времени t = 0— скорость движе-
ния ~- рассматриваемой точки бруса равна нулю. Применение этих двух.
условий к ур-нию (23) дает
н
откуда получаем
ci(M~sx)=^(V+g,
Г — ( v — у ) — —- I
с-.л-^Нх^ j
Преобразуем, имея в виду ур-ние (24), сумму С1е+-Х«'/ -f" ^2e"Xxit* стоящую*
1 правой части ур-ния (23), следующим образом:
2Х /
Ух—Ур
2 л/
T-?[\xi(e+x*it + e-x*ir)-\-Bx(e + x*" — *-V)] =
так как
Г + t 2 J'
2 - = созХЛ*
и
2T =**К*>
то далее имеем:
кх
Последнее выражение может быть приведено к несколько иному виду,
если коэфициент 1, стоящий перед cosV^, выразить так:
1 =л sin у^,
15
а у5 — через те же п и ух в такой форме:
Тогда
причем
Ix = ncosvr.
:os lx t + Ь sin ^ / = л sin (kj -f- yr), (26)
(27)
1
sinY*
Bx
/1+l ./-
2.
41-3
К ~
.. ax
'K'
(28)
Имея в внау выражения (22), (25), (26) и (28), выражение (23) можн*
«аписать в следующем виде:
У =УР + (Ух-Ур) ТР=тг, е~"'sinС/«i-e^ + Уж)- (29)
Нетрудно показать, что выражение (29) при гх=0, т.е. в случае от-
сутствия сил трения в брусе, превращается в выведенное нами выше в § 2
выражение (13). В самом деле, в этом случае g"^»l, a
УЛ- = arc tg -* = arc tg оо = —,
в связи с чем при £х = 0
sin (j/a£ - sx + Yx)= cos дх '•
•и вместо (29) получаем:
.У =>V + (Ух—У J cos a* '•
т. е. известное нам уже выражение (13).
Останавливаясь на выражении (29), прежде всего нетрудно себе пред-
ставить, что и здесь так же, как и в первом разобранном нами случае ко-
лебаний бруса без учета сопротивлений, середина бруса, получив постоян-
ный прогиб ур от действия собственного его веса, совершает правильные
периодические колебания по закону, определяемому вторым членом правой
части выражения (29). Однако между первым и вторым колебаниями боль-
шая разница: свободные колебания бруса без сопротивлений совершались,
как известно, с постоянной амплитудой равной 2 {ух — у ); между тем, при-
сутствие в выражении (29) коэфициента е~**', уменьшающегося со време-
нем, говорит о том, что амплитуды колебаний бруса, обладающего сопро-
тивлениями, уменьшаются со временем, причем закон этого уменьшения бу-
дет логарифмический. Построим графически рассматриваемые колебания,
упростив предварительно выражение (29) следующим образом: величина гх
обычно ничтожно мала по сравнению с величиной а# вследствие чего
можно допустить, что
Va* — e2 ^ а;
Y,=arctg — = arctg ^у.
Тогда вместо (29) получаем
у=ур-\- (yx—yp)e—'tcosaxt.
(30)
Нетрудно себе представить, что, пользуясь выражением (30), мы, во-пер-
вых, несколько уменьшаем величину у, так как стоящее в выражении (29)
отношение
Gt-&e
-65
V а2— е2
w X X
вообще говоря, больше еди-
ницы; во-вторых, период ко-
лебаний, выражаемых урав
«ением (29), будет
(31)
Фиг. 3.
« колебаниях же, характеризуемых урнием (30), этот период принимается
равным
* «/
т. е. несколько меньше действительного. Изображая графически второй
член правой части выражения (30), получим интересующие нас колебания
в виде представленной на фиг. 3 кривой, у которой вершины волн коле-
баний располагаются на кривой (ух—yp)e~**t. в начальный момент вре-
мени t = 0 середина бруса будет прогнута по отношению к искривлен-
ной под действием собственного веса бруса оси на величину (ух—у ).
Последующие значения амплитуд1 рассматриваемого колебательного движе-
2тг 4тг бтг
ния можно получить при значениях t, равных —, —, — ,... и т. д.,
OL OL 0L
*х *"х х
причем величины самих амплитуд для этих моментов времени будут соот-
ветственно выражаться так:
Ул=2(у*—уР)е "***;
_ 6*
Уз = 2(Ух— УР)е -"•>
Уг=2(Ух—УР)е~
2гк
* Здесь под амплитудами условно подразумеваются удвоенные перемещения в
данном направлении точки бруса до крайнею положения.
"Ь С. А. Иоьясевжч 17
2тг _
или, принимая во внимание, что—=*х:
У1 = 2(Ух—Ур)е-Га*в;
У2 = 2(Ух—Ур)е~2Т*я'>
Уз = 2(Ух—Уг)е'гТя^
У,= 2(Ух—Ур)е~тТх%*-
Иначе говоря, последовательные амплитуды рассматриваемых колебаний
изменяются по закону убывающей геометрической прогрессии, имеющей
знаменатель е—т*г*. Подобные колебания называются затухающими, при-
чем нетрудно заметить, что разность между натуральными логарифмами
каждых двух последовательных амплитуд будет равна величине ъхТх. В са-
мом деле,
Уг-\ 2(vx—yp)e-<r-VT*** е-С-иъ»,
>— rTxf-x р — ?!х 1я
откуда
У г 2(УХ—Ур)е
InJV-i — 1пЛ= — (г— ]) Т'А + '^А— тх*х
Эта постоянная для затухающих колебаний величина Тхех называется
логарифмическим декрементом затухания, дающим представле-
ние о том, насколько быстро уменьшаются амплитуды свободных колеба-
ний. Ясно, чем больше эта разность логарифмов, т. е. декремент затуха-
ния, тем скорее уменьшаются амплитуды колебаний, тем скорее они
зчтухают.
Если бы мы на приведенной выше фиг. 3 попытались нанести кривую
колебаний по неупрощенному выражению (29), то получили бы кривую,
изображенную пунктиром, т. е. получили бы примерно такую же кривую,
что и при построении колебаний по выражению (30), но только с боль-
шим, как указывалось выше, периодом
т — 2тт
и несколько меньшими амплитудами. Последнее, между прочим, является
непосредственным следствием (фиг. 3) большей величины периода, так как
совершенно очевидно, что начальные точки обеих кривых, соответствую-
щие моменту времени £ = 0, должны совпадать. Само собой разумеется,
что декремент затухания колебаний, определяемых неупрощенным выраже-
нием (29), будет
т* = 2п
Здесь следует еще обратить внимание на то, что величина периода сво-
бодных вертикальных колебаний бруса, обладающего сопротивлениями, за-
висит от этих сопротивлений, т. е. от коэфициента ел, причем из выраже-
ния (31) видно, что чем больше гх, т. е. чем больше указанные сопроти-
вления, тем больше период. Величина ех влияет не только на величину
периода свободных вертикальных колебаний бруса, но и на величину ампли-
18
туд их. Если, пользуясь ур-нием (29), построить кривые свободных коле-
баний середины бруса для различных значений $Л, то получится картина,
изображенная' на фиг» 4. Сплошной линией обозначена кривая колебаний
для случая, соответствующего большему значению 6^, точками — кривая
колебаний для случая, соответствующего меньшему значению ех, пунктир-
ная же линия соответствует колебаниям для случая среднего значения е^
В общем из фиг. 4 ясно видно, что с возрастанием ех, т. е. с возраста-
нием сопротивлений в брусе, вершины волн колебаний, с одной сторовы^
Фиг. 4.
постепенно отодвигаются вправо (вследствие увеличения периода колеба-
ний Тх)у а с другой стороны, приближаются к оси колебаний (вследствие
соответствующего приближения кривой (ух— yp)e"taU огибающей вер-
шины волн колебаний).
3. Свободные горизонтальные поперечные колебания бруса
Кроме рассмотренных свободных вертикальных колебаний брус может
испытывать подобные же колебания и в горизонтальной плоскости в попе-
речном по отношению к продольной оси бруса направлении. Если, поль-
зуясь примененным выше методом приведения бруса в состояние свободных
колебаний, оттянуть его середину в горизонтальном поперечном направле-
нии и затем быстро отпустить, то брус придет в этом направлении в ко-
лебательное движение. Аналогичное предыдущему уравнение получившихся
таким образом свободных колебаний может быть написано для бруса без
сопротивлений в следующем виде:
^S+v=°> (32)
где m —приведенная к середине пролета масса моста, действующая при
рассматриваемых поперечных горизонтальных колебаниях, а Ку—горизон-
тальная поперечная жесткость бруса, т. е. сила, приложенная в середине
пролета бруса и вызывающая в этой точке в поперечном горизонтальном
направлении прогиб, равный единице.
Заметим, что входящая в написанное выше выражение (32) масса myf
участвующая в горизонтальных свободных колебаниях бруса, имеет вполне
конкретное, реальное значение, определяемое, с одной стороны, собствен-
2* 19
ным весом бруса, а е другой стор<ига> — ускоренней в горизонтальной
плоскости. При этом, если допустить, что инфлюентная линия поперечного
горизонтального изгиба середины бруса будет иметь ту же форму (сину-
соиду), что и инфлюентная линия вертикального прогиба середины бруса,
то коэфициент приведения массы бруса в рассматриваемую точку, как не-
трудно себе представить, в обоих случаях будет один и тот же. Таким
образом в этом частном случзе можно считать, что mt=^my. Имея ввиду
последнее, ур-нне (32) заменим уравнением:
т
dly
at1
или
fV=0, (33)
&У Kv d*y
-— + — У = 0; —-4-а2у = 0, (34)
где
л
(35)
Решение ур-ни* (34) получим из выражения (12), положив в нем^=0:
у=уусо*а/, (36)
где yv есть тот начальный прогиб середины бруса в поперечном горизон-
тальном направлении, который был сообщен брусу с целью получения
в нем свободных колебаний в рассматриваемом направлении.
Таким образом свободные поперечные горизонтальные колебания сере-
дины бруса буду г происходить по тому же закону, что и вертикальные
колебания, и разница будет лишь в величине периода. В данном случае
он будет выражаться через период Тх свободных вертикальных колебаний
следующим образом:
i/5 i/*r*T * к* * *г хУ v
V mv V kSmv
211 - - - - — ~ (37,
* I у г / ww .V Ъ/ IS Ш/ IS X В/ IS ^ *
Из выражения (37) видно, что соотношение между Т и Тх опреде-
ляется соотношением между вертикальной и горизонтальной жесткостямн
бруса. Д™ мостовых брусьев (обычных металлических сквозных пролетных
строений), представляющих для нас наибольший практический интерес, Кх
значительно больше Ку. Поэтому периоды Т свободных горизонтальных
поперечных колебаний металлических мостов должны быть заметно больше
периодов Тх свободных вертикальных их колебаний.
Для сквозных пролетных строений металлических мостов теоретическое
соотношение между Кх и К может быть определено лишь весьма прибли-
зительно, так как точное определение значения Ку весьма затруднительно.
Это приблизительное соотношение можно, например, вычислить, восполь-
зовавшись следующим выражением жесткости сквозной фермы:
48 е/
ff=-»^. (38)
2*
где £—модуль упругости металла, / — момент инерции поясов фермы
относительно нейтральной ее оси в середине пролета, / — пролет фермы
и ij — специальный коэфициент, определяемый Каригом (Kfliig)l * таком
виде:
т)= 1,10 + 0,05 [£sec»¥ + £tg»?j^ ,
(39)
где F — площадь сечения брутто того пояса посередине пролета фермы,
прогиб которого рассматривается; Fd—площадь сечения брутто раскоса
крайней панели; F —площадь сечения стойки; h—высота фермы; к1 —
проекция на нормальное к поясам направление расстояния между центрами
прикрепления раскоссв; d — величина панели (фиг. 5).;
*¥ = 4г ™*=у 1+(т)*9
Очевидно, что для подсчета Ку и Кх величины коэфицнентов 7]
различны, различны будут также и моменты инерции /, так что
будут
f
r-tf-i
V
И*/
ч
-«*!
7Г = ТГ' (40)
Если, приняв ширину
моста равной Ь, допус-
тить, что горизонтальная
поперечная его жесткость
в первом приближении определяется поясами соответствующих продоль-
ных ветровых связей и величиной bt то можно считать, что
Фиг. 5.
F»
2
',=
F»
Вставляя эти значения / и / в выражение (40), получаем
Кх h\
К, *V
Выражение (37) для периода Т может быть теперь перевммше так
А "~
<U)
(42)
Еще раз подчеркиваем, что выражение (42) есть весьма приближенное
решение задачи, дающее лишь ориентировочное представление о возмож-
ной величине соотношения между Тх и Г . Ф-ла (42) указывает на то,
что в металлических мостах, действительно, 7\, значительно больше Тх.
F
В самом деле: 7) должно быть всегда больше rijc, так как отношение ~-
*а
в выражении 7) будет значительно больше соответствующего же отноше-
* См. Karig, Wiikung wagerecnter Krafte auf eiserne Briicken. Можно было бы
в данном случае воспользоваться и формулой Качуринд.
21
с и
ния — в выражении т\х. Кроме того, - - обычно заметно больше единицы.
_ d
В закрытых мостах с ездою понизу величина указанного отношения,
грубо говоря, колеблется от 1,5 до 3,0, причем с увеличением пролета
моста она увеличивается.
Нетрудно себе представить, в какую сторону мы ошибаемся, опреде-
ляя отношение между Тх и Т по выражению (42): принимая горизон-
тальную поперечную жесткость моста равной
т. е. совершенно пренебрегая сопротивлением в указанном горизонтальном
поперечном направлении решетки вертикальных главных ферм, мы заве-
домо уменьшаем величину 1' Поэтому в действительности между 1 х и Т
должна существовать несколько меньшая разница, чем это следует из
выражения (42).
В случае бруса, обладающего сопротивлениями, мы тоже легко можем
получить выражение для амплитуды свободных горизонтальных гоперечных
колебаний из формулы (29), выведенной для свободных вертикальных ко-
лебаний бруса с сопротивлениями, положив в ней у =0:
у =уу ^^__ е-V sin (/*P^ + bh (43)
где з —коэфициент затухания рассматриваемых горизонтальных колеба-
ний, a yv, по аналогии с ур-нием (27), имеет такой вид:
]/а2 — е2
y^ = arctg 2- ?. (44)
у
Смысл остальных обозначений, входящих в ур-ние (43), уже известен.
Общая картина свободных колебаний, выражаемых ур-нием (43), та же,
что и соответствующих свободных вертикальных колебаний; различаться
они будут лишь по периоду и коэфициенту затухания. Из ур-ния (43)
можно видеть, что период горизонтальных поперечных колебаний в дан-
ном случае выражается следующим образом:
v у у
причем связь между Т и Тх здесь уже будет более сложной; в самом
деле:
/<
*-е* V Kv-
~mfl
тя.
* у
или
Т*-Т>у «,-«£'
(46)
Для бруса без сопротивлений, т. е. для случая ех = $ =0, выражение
(46) обращается в известное уже нам выражение (37).
22
4. Теория свободных колебаний боковой качки бруса
а) Свободные колебания боковой качки бруса без учета трения. До сих
яор, рассматривая свободные колебания простого бруса, мы интересова-
лись только одним его геометрическим размером — пролетом. Между тем
те брусья, с которыми практически нам приходится иметь дело, в частно
сти, мостовые металлические пролетные строения, обладают еще значи-
тельными размерами и в горизонтальном поперечном и в вертикальном
направлениях. Учитывая это обстоятельство, мы можем в брусе получить
свободные колебания и более сложного типа, чем разобранные выше вер-
тикальные и поперечные горизонтальные. В самом деле, представим себе
поперечное сечение рассматриваемого прямого бруса в виде четырехгран-
ной трубы ABCD, изображенной на фиг. 6а и имеющей две оси симмет-
рии*. Обозначим их через хх и уу. Приведем этот брус в состояние сво-
бодного колебательного движения следующим образом: среднюю по длине
грани CD точку бруса прогнем вниз на некоторую определенную вели-
чину, а затем быстро ее отпустим; брус в результате придет в колеба-
тельное движение, кото-
рое будет совершаться а |у
в отсутствии каких-либо о)
переменных по времени
внешних воздействий и
которое будет поэтому
по нашей терминологии
называться свободным.
Выясним характер этих
колебаний. Прежде всего
укажем, что, прогнув упо-
мянутым выше образом
гра \ъ CD бруса, мы, во-
первых, дадим всему бру-
су в целом некоторый вертикальный прогиб, во-вторых, повернем поперечные
сечения бруса так, как показано на фиг. 66, причем наибольший угол поворо-
та ср будет иметь место в среднем сечении, к концам же бруса он посте-
пенно уменьшается до нуля. Интересуясь колебаниями середины грани CD,
мы можем рассматривать их, как суммарные колебания, образованные вер-
тикальными колебаниями всего бруса в целом, и колебаниями, вызывае-
мыми поворотом сечений вокруг центра тяжести и называемыми коле-
баниями боковой качки1. С первым родом колебаний мы уже
познакомились, причем для бруса, не обладающего никакими сопротив-
лениями, вывели для подобных колебаний такое уравнение:
У =УР + (Ух —Ур) со* <*А *>
которое можно переписать в более простом виде, если отсчитывать ампли-
туды колебаний не ог горизонтали, а от искривленной под действием соб-
ственного веса оси бруса. В этом случае вместо написанного уравнения
«юлучим:
y=yxzosaxt,
4 Термин этот предложен инж. С. Бернштейном, осветившим вопрос о боковой
качке мостов в своей работе .Теория боковой качки мостов", помещенной в сбор-
ямке трудов Инст. инж. исследов. ЦНИУ НКПС, № 28, 1930 г., Москва.
Фиг. 6.
23
причем .у*—начальный упругий вертикальный прогиб, сообщенный сере-
дине пролета бруса.
Что касается колебаний второго рода, т. е. колебаний поворотов сече-
ний бруса, то закон их может быть выведен тем же самым методом, что
и закон вертикальных колебаний бруса.
Обозначим через т приведенную к середине пролета массу бруса,
инерция которой преодолевается при указанных выше колебаниях боковой
качки. Кроме того, попрежнему через тх обозначим подобную же массу
бруса, действующую при вертикальных колебаниях, и через ту — дейст-
вующую при колебаниях поперечных горизонтальных. Из этих трех масс
средняя из них, тх, имеет, как уже указывалось выше, конкретное, реаль-
ное значение, определяемое, с одной стороны, собственным весом брусаг
а с другой стороны, — ускорением под действием силы тяжести; массы же
т и т могут быть выражены через тх. Прежде всего на основании из-
ложенных ранее соображений можно допустить, что тх=т . Тогда и*
выражения (37) имеем:
>-$.-№
(47>
Отношение Тх:Т может быть определено для мостовых пролетных
строений или теоретическим путем по формуле (42) или опытным путем*
Поэтому величину коэфициента р можно считать известной. Для опреде-
ления массы m мы можем воспользоваться той связью, которая сущест-
вует между кинетической энергией колебаний боковой качки и кинетиче-
ской энергией тех вертикальных и поперечных горизонтальных колебаний,
на которые разлагается боковая качка. При этом величина первой энер-
гии равна сумме двух вторых, т. е.
/ЛрУ ЛМ2 /dx\*
где, как нетрудно заметить на фиг. 66:
dy=^db (49)
dx = — d<f.
Вставляя (49) в (48), а также принимая тг=ж , получаем:
(50)
Уравнение интересующих нас свободных колебаний боковой качки сере-
дины бруса может быть написано по аналогии с вертикальными колеба-
ниями в таком виде:
где /С — момент, вызывающий поворот среднего поперечного сечения
бруса ьокруг его центра тяжести на угол, равный единице. В правой ча-
сти ур-ния (51) влияния собственного веса бруса уже не будет, так как
24
он, будучи приложен в центре тяжести сечения бруса, никакого момента»
не даст. Ур-ние (51) может быть приведено к виду:
rf2<P К л
_LJ ?<р = 0
ф
или
-^ + a.*f = 0, (52>
где
^ = ~' (53>
Ур-ние (52) аналогично ур-нию (8), у которого свободный член g ра-
вен нулю. Решение (52), следовательно, дает выражение вида (36), т. е.
<p = <p0cosa9f, (54>
где <р0— сообщенный среднему сечению бруса начальный поворот вокруг
его центра тяжести.
Так как из (49) следует, что
2у
* = 1Г'
то вместо (54) можем написать:
b
у = "2<Ро cos <V- <55^
С другой стороны, начальный угол поворота среднего сечения може?
быть выражен через соответствующее вертикальное перемещение у9 сере*
дины грани CD:
2У,
Тогда (55) представится в следующем виде:
^=^cosa^' <56>
Таким образом приходим к выводу, что если рассматривать вертикаль-
ные колебания средней грани CD, вызванные оттяжкой ее вниз на веди»
чину ух и быстрым затем отпуском, то эти колебания будут определяться»
суммой вертикальных колебаний, совершаемых с одной стороны по закону:
y=yxcosaxt
с периодом
Т ——
х~ а
и, с другой стороны, по закону:
y=y9cosa,t
с периодом
г,-Г- <">
Последнее выражение, имея в виду (50), может быть написано еще так
■/
2тт
' /5
= = 2тг"
t>* -f- ^2 JL
4 шк
(58)
Нам остается еще выяснить значение величины К9, т. е. значение того
яомента, который необходимо приложить для поворота среднего сечения
бруса вокруг его центра тяжести на угол, равный единице. Точное реше-
ние этой задачи чрезвычайно сложно. Воспользуемся поэтому приближен-
ным методом, предложенным для мостсвых брусьев инж. С. Бернштейном
* его работе „Теория боковой качки мостов*. Основными допущениями,
принятыми инж. Бернштейном при рассмотрении вопроса по отношению
к мостам, имеющим параллельные пояса, являются следующие: 1) мост
считается состоящим из четырех плоских ферм, представляющих собой
>'|
ж
Фиг. 7
«аждая брус на двух опорах; в действительности, конечно, ни верхняя,
«и нижняя из этих четырех ферм не являются таковыми, причем верхнюю
•ферму (т. е. верхние связи моста) следует рассматривать, как брус, лежа-
щий на двух упругих опорах, а нижняя ферма (нижние связи моста) на
одном конце будет заделана, а на другом свободно оперта; 2) предпола-
гается, что всякая плоская ферма способна сопротивляться изгибу только
от действия сил, расположенных в ее плоскости; иначе говоря, считается,
что вертикальные фермы могут сопротивляться лишь изгибу в вертикаль-
ной плоскости, а фермы горизонтальных ветровых связей — лишь изгибу
в горизонтальной плоскости в поперечном по отношению к продольной
оси моста направлении. Если, кроме этого, допустить, что вертикальная
жесткость обеих горизонтальных ферм одинакова, то это будет равно-
сильно расположению центра тяжести поперечного сечения моста в сере-
дине его высоты. Приложим в середине пролета моста внецентренную
в поперечном направлении вертикальную силу Р (фиг. 7) на расстоянии
— от оси ууу проходящей через центр тяжести сечения, причем Ъ —
ширина моста, [5 — коэфициент, характеризующий степень внецентренности
приложения указанной силы Р. При [J = 1 эта сила будет приложена
к одной из ферм; при fi = 0 она становится центральной. Действие силы Р
26
можно заменить действием той же силы Р, но приложенной посередине
ширины моста (т. е. центральной), и момента
М = рЦ. (Щ
Р вызывает вертикальный прогиб всего моста в целом, момент М —
поворот поперечных сечений бруса вокруг центра тяжести.
Действие момента М можно заменить действием двух фиктивных пар,
причем одна из них образуется двумя вертикальными силами V, действую-
щими на вертикальные фермы с плечом, равным ширине моста b (фиг. 8)t
другая появляется в результате действия двух горизонтальных сил О
с плечом, равным высоте моста h. Ясно, что
M=V-b-\-0-h. (GO)
Согласно сделанных допущений можем, следовательно, считать, что силы
V и О вызывают соответственно в вертикальных и горизонтальных фер-
мах только плоский изгиб. Если среднее поперечное сечение моста под
действием момента М (или под действием сил V и О, что все равно)
повернулось вокруг своего центра тяжести на угол ср, то середины верти-
кальных ферм переместятся в вертикальном направлении на величину
b
и в горизонтальном направлении на величину
h
С другой стороны, у к х могут быть выражены через соответствующие
жесткости ферм Кх и К„, а именно:
V
о
Х=-гг, (61)
V
откуда имеем:
О_ х Ку_ h Ky_ h
~v^~y "Kxz=zT'K'x=~b!"
?. (62)
Решая полученные таким образом два ур-ния (62) и (60) с неизве-
стными V и О, получаем:
O-^-i^-. (64)
27
или, подставив вместо М его значение по выражению (59):
^=4--V. (65)
р toj
После этого можем определить угол поворота <р через М:
2М
f-£-*!l- ™ . (67)
Интересующая же нас величина момента уИ = /С f вызывающего поворот
среднего сечения моста на угол, равный единице, определяется из ур-ния (67)
при у=1:
(68)
* = *,= %*.[*+&)•
Теперь мы имеем возможность выразить величину периода Т следующим
•браэом:
Гт=2в
/Ь2 + h* 2 _
А .+(4)'
Следовательно, период свободных колебаний боковой качки брусьев,
вообще говоря, отличается от периода свободных вертикальных их коле-
баний Эти периоды оказываются равными лишь в частном случае, соот-
ветствующем равенству единице выражения, стоящего под знаком радика-
ла, т. е. при
■+(4Г .
'+(4Н
28
откуда
нлн
T =Т
ь*
(70)
(71)
Вот при каком условии период свободных колебаний боковой качки
моста будет совпадать с периодом его свободных вертикальных колебаний.
Еще раз подчеркиваем, что все эти выводы будут справедливы лишь
при указанные выше основных допущениях и при параллельных поясах
балки.
а)
^^COSce^
Т
Л
*)
/wvwwwwww:
"Г
.9
1~*^Ъг%-&
*\ *&*- ^y-licosoct+fycosocpl;
Фиг. 9.
После всего изложенного можно считать, что рассматриваемые нами
колебания середины грани CD бруса будут совершаться по закону, выра-
жаемому уравнением:
У=ух cos ax t +J>9 cos <z9i, (72)
где
* V *,
Построим графически ур-ние (72), заметив предварительно, что харак-
тер колебаний будет сильно зависеть от соотношения между периодами
^271 2я „
Тх = — и /« =—. Рассмотрим четыре случая:
37';
Т •
1 X*
Т?—2ТХ; Т— немного больше 7*у
29
'Г
2iL
-J*
^~%>COScCpi
АЛЛЛЛЛЛАЛЛ/З-
^У-UCOSaf
&-ЦЗГ
Г~?"
1
3^COSorf^COScy5
Построение ур-ния (72) для первого из этих случаев выполнено на
фиг. 9, причем сначала была построена кривая v cosa / (на фиг. 9 она
~ обозначена буквой а),
затем кривая ух cos ах t
(на фиг. 9 обозначена
буквой Ь) и, наконец,
в результате сумми-
рования ординатэтих
первых двух кривых бы-
ла получена кривая, со-
ответствующая выраже-
нию (72). Эта послед-
няя кривая и пред-
ставляет те свободные
колебания в вертикаль-
ной плоскости, кото-
рые испытывает сере-
дина грани CD бруса в
H+21L результате действия
I свободных вертикаль-
1 ных колебаний и сво-
бодных колебаний бо-
ковой качки. Характер
Фиг. 10. подобных суммарных
колебаний, как видим,
достаточно сложен. Однако нетрудно заметить, что они образуются путем
наложения на одну из сосгавных синусоидальных кривых, имеющую больший
период, волн колебаний
другой синусоидальной {—""(Р"
кривой, имеющей мень- /\ f\ /\ /\ /\ "}
ший период. Так как в
данном случае больший
период равен трем мень-
шим, то на каждую волну
первых колебаний накла-
дываются три волны ко-
лебаний вторых. Совер
шенно аналогичная кар
тана будет иметь место
и при Т9 = 4ТХ, Т9 =
= ЬТХ и т. д.
Построение колебаний
для случая Т0 = 2ТХ вы-
полнено на фиг. 10, из
которой видно, что ха-
рактер колебаний менее
сложен. Здесь уже на ка-
ждую волну колебаний
большего периода накла-
дываются всего только две дополнительных волны
: A/WWWWl
У- #cos<*£*#coso^4
Фиг. 11.
меньшего периода Т.
X*
причем верхние вершины волн результирующих колебаний оказываются как
30
бы срезанными. Иная картина получается для того случая, когда Т не точе-
но равен 2ТХ. Построение суммарных колебаний для этого случая при Т -=
= 0,55 Г? приведено на фиг. 11, причем характер их более сложен, вернее
более неправилен по
сравнению с колебани- j^tyCOScCyt v—-^-
ями, изображенными ' • у
иа фиг. 10. При вни-
мательном рассмотре-
нии фиг. 11 можно за-
метить, что указанная
неправильность созда-
ется постепенным пере-
мещением вершин ко-
лебаний меньшего пе-
риода Тх по волнам
колебаний большего
периода.
Наконец для самого
простейшего случая
Т{=ТХсуммарная кри-
вая колебаний будет
иметь правильную си-
нусоидальную форму
и тот же период Тх— Фиг. 12.
= Т , Соответствующее
построение дано на фиг. 12. Совершенно другой характер получают сум-
марные колебания в случае очень незначительной разницы между Т w
Тх, На фиг. 13 такие колебания построены для Г—1,117^. Они отли-
'^-^COSoc^COSoc^
AAAA/VVXM/WWVVWVW.fc
y~%C0S<%.t-tyC0SPCf>t.
y=%COScc£+tyCQSCGpt
Фиг. 13.
SL
■чаются периодическим возрастанием и убыванием амплитуд, так что вер-
шины волн колебаний располагаются на некоторой огибающей синусоиде,
имеющей очень большой период Xv Такое явление правильного перио-
дического возрастания и убывания амплитуд колебаний называется бие-
нием. Как увигим ниже, именно этот тип результирующих колебаний и
«меет место при колебаниях металлических мостов, так как для них как
раз между Т9 и Тх существует очень небольшая разница.
Если сравнить между собой результирующие колебания, изображенные
на фиг. 9—.13, то нетрудно убедиться в том, что в первых четырех слу-
чаях периоды составляющих колебаний Тх и Т могут быть определены
непосредственным измерением из кривой результирующих колебаний. Между
тем, при колебаниях с биениями, т. е. при Г?% близком к Тх% значения по-
следних из результирующих колебаний непосредственно не могут быть
определены, так как период этих результирующих колебаний Х% не равен
ни Тх ни Т. В этом случае величины составляющих периодов опреде-
ляются через период Хг огибающей синусоиды и период результирующих ко-
лебаний Х2 после преобразования суммы двух косинусоид разных периодов:
cos ax t -}- cos a91=cos — t -f- cos — / =
\tx±tJ \tx~t9
= 2 cos -£ t cos -£ t, (73)
Л3 Aj
откуда ниееы:
x 9
2 IS.
*2 =
(74)
Решая эту систему относительно Тх и Г, получаем:
^1^2
* хл-х,
(75)
х,х„
т*=х^~х- (76>
Таким образом, имея суммарные колебания типа, изображенного на фиг. 13,
и измеряя по ним периоды Х1 и Х2У мы можем определить периоды 7
и Тх составляющих колебаний. В целях быстрого отыскания в подобных
случаях значений Т? и Тх по ф-лам (75) и (76) инж. С. Бернштейн дает
в упомянутой выше своей работе „Теория боковой качки мостов" специаль-
ную номограмму, изображенную на фиг. 14. Номограмма позволяет
определять сразу интересующие нас значения Т и Тх помощью линейки,
приложенной к соответствующим значениям Хг и Х2, указанным на осях Хг
и Х2 номограммы, причем Гф и Тх получаются на пересечениях линейки
82
с осями Т и Тх номограммы. Из выражений (74), а также из номограммы
фиг. 14 видно, что с уменьшением разности между Т и Тх период Xt
биений увеличивается, а период Х2 результирующих колебаний умень-
шается, приближаясь к значениям периодов составляющих.
Все разобранные нами колебания вида
у =ух cos ax t + У9 cos af t
относились к середине грани CD рассматриваемого бруса. Нетрудно себе
представить, что середина противоположной грани А В в то же время бу-
дет совершать колебания по закону:
у =ух cos ax t —y^ cos аф L
(77)
«5 # т т to
,X,DC2
..&**
г* jr-X, ' V O^aC,
Ф
J- ОС^ н
Пример.
X,-q?4 T£«Qj40.
х^гдо
Т^-Цза
М | I М I | ! I М 11 I ! ! { I « I I 1 I м I [ I И Ц 11 11 | М I f f Ц < 11 f I — CQ
з 4
Фиг. 14.
В
Для наиболее характерного и практически для нас интересного случая,
соответствующего близости значений Тх и Т' мы построили колебания
грани АВ непосоедсткенно под колебаниями грани CD. Общий характер
колебаний получился, конечно, один и тот же. Произошел только сдвиг
одних по отношению к другим, так что в то время, когда для одной грани
амплитуды достигают своего максимального значения, для другой мы имеем
биение, т. е. минимальные амплитуды.
б) Свободные колебания боковой качки бруса с учетом трений. В случае
бруса, обладающего сопротивлениями, ход всех наших предыдущих рас-
суждений остаетс» без изменения. Попрежнему колебания середины
бруса CD будут складываться из свободных вертикальных колебаний и ко-
лебаний боковой качки. Если рассматривать первые колебания относи-
тельно оси бруса, искривленной под действием собственного веса, то,
в случае наличия в последнем сопротивлений, уравнение этих колебаний
будет иметь вид:
y=yQTe—'sin(V-\- у).
(78)
3 С. А Ильяеввнч
33
Ур-ние (78) получается из ур-ния (29), в котором ур принято равным нулю»
лричем у0 здесь будет представлять собою начальный упругий прогиб се-
редины бруса, отсчитанный от упомянутой искривленной его оси. Для ко-
лебаний боковой качки основное уравнение, повидимому, напишется в та-
ком виде:
где jx —коэфициент пропорциональности между теми сопротивлениями»
которые участвуют в процессе боковой качки, и скоростью колебаний
качки. Остальные обозначения те же, что и раньше; ур-ние (79) может
быть переписано в таком виде:
^4-2е ^4-а2ф = 0, (80>
где
Имея в виду ^19) и (29), получаем решение для (80) в той же форме»
что и (78):
причем
, Jl
\=Уа\ —е* и Y9 = arctgf-
Рассматривая для середины грани CD бруса вертикальные составляющие
поворотов (р, получим по аналогии с предыдущим вместо (81):
У =Л т е- У sin (к 14 у,). (82>
Следовательно, суммарные свободные колебания боковой качки сере-
дины грани CD бруса, обладающего сопротивлениями, будут происходить,
по такому закону:
причем период первых колебаний, вертикальных, будет
Т = —==
* /a* —i»1
а вторых, собственно боковой качки,
7-= 2Я . (84)
34
Здесь уже связь между периодами Тх и Т более сложна и будет зави-
сеть от коэфициентов s и е . В самом деле:
причем под Т подразумевается период свободных вертикальных колебаний
бруса, не обладающего сопротивлениями,, а под £ — коэфициент, стоящий
под радикалом в выражении (69), дающем соотношение между Тх и 7,,
в случае отсутствия в брусе сопротивлений.
Фиг. 15.
Построение ур-ния (83) для наиболее интересного для нас соотношения
между Тх и Т_, т. е. для случая существования очень незначительной раз-
ницы между этими величинами, приводит к результатам, изображенным
на фиг. 15. Здесь первая кривая, обозначенная буквой а, есть вертикаль-
ная составляющая свободных колебаний боковой качкн, т. е. второй член
правой части ур-ния (83). Вторая кривая б дает свободные вертикальные
колебания всего бруса в целом, т. е. графическое выражение первого члена
правой части того же ур-ния (83). Наконец кривая в представляет собою
результирующие колебания. Последние получились опять с биениями, чего,
конечно, и следовало ожидать. Разница с колебаниями бруса, не обла-
дающего сопротивлениями, заключается только в том, что амплитуды пуч-
ностей (участков с повышенными амплитудами) постепенно уменьшаются,
а в связи с этим затухают и амплитуды той огибающей синусоиды, на ко-
торой располагаются вершины волн результирующих колебаний.
3* 35
5. Свободные вертикальные колебания бруса, загруженного
временной нагрузкой
Выше мы рассматривали свободные вертикальные колебания бруса, на-
ходящегося под действием только собственного веса, т. е. под действием
нагрузки, равномерно распределенной по всему пролету бруса. Теперь
представим себе, что на брус действует, кроме этого, некоторая сплошная
равномерная временная нагрузка погонной интенсивностью q, расположен-
ная на участке длиною а, считая от левой опоры (фиг. 16). Будем рас-
сматривать брус, обладающий как внутренними, так и внешними сопро-
тивлениями.
Основное уравнение свободных вертикальных колебаний интересующей
нас середины бруса напишется попрежнему в следующем виде:
т
d2y
dy
dt*
*+VxT>+KJ-p=0'
iiiiiiiiiiiiiiiiiHiiiiiiiiiiiiiiiiiiuiiiiiiiiiiiiiiuit
'dsin^
' dt
только заесь тх представляет сумму двух
масс, из которых одна есть приведенная
к середине пролета масса самого бруса
(выражение 4я), равная
17 1р_
35' g *
Фиг. 16.
а другая — приведенная к середине же
пролета масса временной нагрузки. Поль-
зуясь изложенным ранее методом, определим эту вторую массу через
величину той силы, которую необходимо приложить в середине бруса для
того, чтобы она вызвала здесь тот же прогиб, что и нагрузка q при дан-
ном ее расположении на пролете. Так как прогиб этот будет равен
(86)
о
то интересующая нас сила будет иметь следующее значение:
ql Л ^ тш\
а следовательно, тх в уравнении колебаний напишется так:
Шр xgl Л тга\ /Г 17 q / ъа\Л •
'"*=r57+^(1-cosT) = FU5^T(1-cosT)J' <87>
причем
Ma' + vO—•")]• <88>
Ясно, конечно, что для решения будем иметь прежнего вида диферен-
циальное уравнение, т. е.:
dv i 2
d2v
:dt
Ю
нужно только иметь в виду, что ах здесь будет выражаться следующим
•бразом:
Общий характер рассматриваемых свободных вертикальных колебаний
бруса будет тот же, что и при действии только .одного его собственного
веса, т. е. будет определяться выражением (29), в котором только вместо у
придется вставить суммарный статический прогиб середины бруса от дей-
ствия собственного его веса и нагрузки q, т. е. yp+Q, а вместо
1/ ll £l V 17 Р1
У 35 #
— выражение (89). Исходя из последнего, можно для периода вертикаль-
ных свободных колебаний бруса, нагруженного на участке длиною а
(от левой опоры) нагрузкой qy дать следующую формулу:
т _* V'[a'+f('-~7)
т^-тх=2пУ ж
(90)
Из рассмотрения этой формулы можно видеть, что период Т тем
больше, чем больше интенсивность загружения q и чем больше длина за-
гружен ия а.
Выясним, как будет меняться Т в зависимости от этих двух факто-
ров. Обозначив соотношение между q и р через v, т. е. положив q = p^y
можем выражение (90) переписать так:
где
j/e + v {
па)
со>
тга\
Т)'
]/7Г
(91)
gKx
есть величина постоянная для данного бруса пролетом /. Закон измене-
ния Т в функции v и а (для данного пролета) может быть изобра-
жен графически путем построения величины
/17 v / тш\
для различных значений v и а. Для примера мы выполнили это построе-
ние для v, равных соответственно 5,1; 3,0; 2,0 и 1,0 и при изменении а
Ы
от О до /. Следует заметить, что указанные значения отношения v имеют
иесто в наших новых железнодорожных мостах, рассчитанных под на-
грузку по схеме Н 1925 г.
в°| 1 1 i i l I I Для этих мостов v изменя-
ется в зависимости от про-
лета моста по кривой, изо-
браженной на фиг. 17 и
дающей сильное падение v
с пролетом. Результаты по-
строения приведенного выше
радикала представлены на
фиг. 18 в виде четырех кри-
вых, характеризующих изме-
нение периодэ Т по мере
увеличения длины загружен-
ного участка и интенсивности самой нагрузки. Кривые Т имеют синусои-
дальный характер, причем по мере уменьшения v они приближаются к горизон-
тальной прямой, соответствующей периоду для случая действия только од-
ного собственного веса бруса. Таким образом с увеличением v, т. е. увеличе-
5Р
-» 40
i
1 3>
§ id
§ 0
20 40 60
Пролет моста б ж
Фиг. 17.
80
СО
со
МО
210
1,50
тпп
ЦП
аз
0
0 {
\ i
\ i
К i
\ *
' l
■""v^o
v-v
V-ID
< 1
г е
Алина загруЖения а Ь долях пролета
Фиг. 18.
нием разницы между постоянной и временной нагрузками, увеличиваются
также и расхождения между величинами соответствующих периодов сво-
бодных вертикальных колебаний бруса. Для большей ясности на фиг. 19
3*
построена кривая зависимости от v отношений между периодами при дей-
ствии суммы обеих нагрузок — постоянной и временной (при загруженин
всего пролета бруса) и при действии только одной постоянной. Получи-
лась, как видим, параболиче-
ская кривая с ординатами, воз-
растающими с увеличением v.
Нетрудно себе представить,
что при рассмотрении случая
бруса, подвергаемого действию
движущейся погонной нагр\з-
ки, в каждый данный момент
времени величина периода сво-
бодных вертикальных колеба-
ний системы, образованной из
бруса и нагрузки q, будет из- о ■ г з 4 5 в \
меняться по изображенным выше Фиг 19.
на фиг. 18 кривым.
При загруженин нагрузкой q всего пролета / бруса, г. е. при а = /, пе-
риод Т будет иметь следующее выражение:
20
Ф
2И.
Гр
[
1
Iх
Р+Я
—/%э
(92)
При отсутствии же нагрузки q тот же период будет
ip_
Таким образом отношение между ними:
==|/ 1 Н- 1,31 v
(93)
Нетрудно себе представить, что в случае приведения и нагрузки q, распо-
ложенной по всему пролету /, по энергии, т. е. с коэфициентом приведе-
17
ния ^з, отношение периодов Т и Т будет
p+q
:|/l+V.
(93с)
Так как периоды Т и Т свобод <ых поперечных горизонтальных коле-
баний и колебаний боковой качки, определяемые соответственно по ф-лам(37)
и (69), прямо пропорциональны V гпх, то закон изменения этих периодов,
в случае загружения бруса нагрузкой q будет тот же, что и для верти-
кальных колебаний. Выражение (93), дающее отношение между вертикаль-
ными периодами загруженного временной нагрузкой и не загруженного ею
бруса, остается справедливым и для случая горизонтальных поперечных
колебаний и для случая колебания боковой качки.
39
6. Зависимость между периодом свободных вертикальных
колебаний и прогибом бруса
Поставим такой вопрос: как определить прогиб середины бруса от сплош-
ной равномерно распределенной по всему его пролету нагрузки qf экая соб-
ственный вес бруса р и период собственных его свободных вертикальных
колебаний Тр?
При синусоидальной инфлюентной линии прогиба середины бруса про-
гиб в этой точке от нагрузки q> имея в виду ур-ние (2), будет
2д Ы
где I — средняя #рдината инфлюентной линии прогиба середины бруса.
Так как i
то Qql
Но, с другой стороны, Кх может быть определено через период Т соб-
ственных свободных вертикальных колебаний бруса следующим образом:
№тх 4тг2 17/?/ 2тт2 pi
Kx—-j2- — Т^'з^^Т^Г'
р р о р о
nocie чете получаем:
/-^-^-«■•^
причем Гр выражается в секундах, а / получается в сантиметрах.
Из ф-лы (94) следует, что при данных /у q и Тр мы можем определить
постоянную нагрузку р, т. е. собственный вес бруса
а по данным /, /? и Т —ту нагрузку qy под действием которой брус по-
лучил в середине пролета прогиб /:
*=зшх • (96>
Выражения f)4), (95) и (96) имеют большое практическое значение при
производстве испытаний балочных мостов, могущих быть отождествлен-
ными с рассматриваемыми бруаями. В частности, выражение (94) позво-
ляет определять прогиб моста от данной нагрузки в тех случаях, когда
непосредственное измерение его по тем или иным причинам не предста-
вляется возможным.
Ввиду того что изложенная теория свободных колебаний построена
на целом ряде не вполне точных допущений и, кроме того, имеет дело
с мостовыми брусьями, а не мостовыми пролетными строениями, большой
интерес представляет вопрос о том, в какой мере эта теория подтвержда-
ется результатами тех опытных исследований, которые производились над
мостами в этой области. Именно поэтому мы сочли необходимым в сле-
дующей главе ознакомить читателей с основными данными, полученными
при упомянутых опытах.
40
ГЛАВА ВТОРАЯ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ СВОБОДНЫХ
КОЛЕБАНИЙ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ МОСТОВ
7. Задачи и методы экспериментальных исследований свободных
колебаний мостов
Наиболее полно и систематично экспериментальные исследования свобод-
ных колебаний металлических мостов производились в течение ряда лег
в СССР б. отделом инженерных исследований Научно-технического коми-
тета НКПС, преобразованным впоследствии в Институт инженерных иссле-
дований (в настоящее время — конструкторский сектор Центрального инсти-
тута транспортного строительства НКПС). Можно без преувеличения сказать,
что именно в результате работ этого Института картина колебательных,
процессов, имеющих место в металлических мостах, в данный момент вре-
мени является весьма хорошо выясненной. Здесь Институту, несомненно,,
принадлежит одно из первых мест среди других исследователей мостов.
Необходимость постановки специальных экспериментальных исследований
свободных колебаний мостов выявилась не сразу. Естественно почему: наи-
больший практический интерес представляют, конечно, не свободные коле-
бания мостов, а колебания вынужденные, колебания, вызываемые в мостах,
подвижной нагрузкой — поездом, толпой, автомобилями и т. д. Вот почему*
когда в порядке дня был поставлен вопрос о необходимости эксперимен-
тального изучения динамического воздействия подвижной нагрузки на мосты,,
это изучение сразу же начали с организации соответствующих динамиче-
ских испытаний мостов под различными типами подвижной нагрузки, т. е..
приступили сразу к изучению вынужденных колебаний мостов, колебаний,,
вообще говоря, более сложных и по своей природе и по своему характеру.
В дачном случае эта сложность усугублялась еще чрезвычайной сложностью
самой вынуждающей колебания подвижной нагрузки, так как первые ис-
пытания производились под железнодорожной нагрузкой. Нельзя забывать,
конечно, и того, что инструментарий, которым приходилось пользоваться
в то время (1924—1926 гг.) при производстве экспериментальных иссле-
дований мостов, не был в достаточной степени совершенен. Все эти об-
стоятельства привели к тому, что результаты, получившиеся от упомянутых,
динамических испытаний, не оправдали возлагавшихся на них надежд. Они
не дали возможности выявить ни достаточно четкой общей картины коле-
бательных процессов, которые происходят с мостом при проходе по нему
подвижной нагрузки, ни достаточно надежных значений так называемых
динамических коэфициентов, т. е. отношений между наибольшим значением
измеряемой в мосту деформации под динамической нагрузкой и наиболь-
41
шим значением этой деформации при статическом действии той же нагрузки.
Именно эти, не вполне благоприятные, результаты дали повод проф. Стре-
лецкому написать в заключительной части своей статьи „О методике дина-
мических исследований мостов*, опубликованной в 1927 г. *, следующее:
ЛОднако по неоднократным исследованиям выяснилось, что результаты всех
этих исследований являются весьма нечеткими, и только самые суммарные
выводы, как различие в воздействиях тепловозов и паровозов вообще, как
заглушающее влияние вагонов на суммарное воздействие поезда, могут быть
сделаны на основании них достаточно определенно. Детали и тонкости уплы-
вают, от внимания, растворяясь в общем хаосе точек: в первую очередь
все это должно быть объяснено весьма своенравным поведением самого
моста во время испытания, сбившим все результаты". После подобных ре-
зультатов, получившихся по первым динамическим испытаниям кйэстов,
встал вопрос о необходимости изменения метода изучения воздействия по-
движной нагрузки на мосты путем расчленения всего процесса на отдель-
ные факторы, определяющие это динамическое воздействие. Первым, ос-
новным из этих факторов является, конечно, собственная колебательная
способность металлических мостов, характер свободных колебаний, свой-
ственных этим мостам. С изучения именно этого основного фактора и сле-
довало, конечно, начинать, приступая к исследованию динамической работы
металлических мостов.
Какие же главнейшие вопросы при этом должны нас интересовать? Во-
лервых, выяснение общей фактической картины свободных колебаний
мостов и сопоставление этой картины с результатами изложенного выше
теоретического исследования свободных колебаний простого бруса с целью
установления между ними соответствия; во-вторых, установление действи-
тельных величин периодов свободных колебаний мостов и сравнение их
с теоретическими периодами, выведенными для простого бруса; в-третьих,
выяснение скорости затухания свободных колебаний и величины коэфи-
циента этого затухания. Вот те три генеральных вопроса, на которых при-
ходится останавливать внимание при изложении результатов произведенных
экспериментальных исследований свободных колебаний мостов. Но прежде
скажем несколько слов о тех методах, с помощью которых можно сообщать
свободные колебания металлическим мостаи, т. е., вообще говоря, весьма
крупным сооружениям. Обычный метод заключается в пропуске по ним
подвижной нагрузки в виде или железнодорожного поезда — для железно-
дорожных мостов, или тех или иных экипажей, автомобилей и т. п.—для
шоссейных мостов. В большинстве случаев после схода подобных подвиж-
ных нагрузок с моста он не сразу приходит в состояние равновесия, а
продолжает еще в течение некоторого времени колебаться; эти колебания
совершаются в отсутствии каких-либо неременных по времени внешних
воздействий, следовательно, здесь мы имеем дело с собственными свобод-
ными колебаниями моста. Подобный метод приведения моста в состояние
свободных колебаний отличается, конечно, большой громоздкостью и дорого-
визной, так как требует наличия специальной подвижной нагрузки. Кроме
того, не каждый заезд такой подвижной нагрузки способен сообщить мосту
достаточно заметные по величине амплитуд, г. е. достаточно показательные
для целей последующего изучения, свободные колебания. Исходя из этих
соображений, Институт инженерных исследований НКПС впервые предложил
4 См. Вып. 66 Научно-техн. комит. НКПС. Сб. 14-й. Отд. инж. иссл. 1927, стр. 120
42
перейти на более искусственный, но в то же время менее сложный спо-
соб приведения мостов в состояние свободных колебаний путем ударного
на них воздействия. Сначала этот метод был испробован в 1926 г. в Москве
на одном из пешеходных станционных мостов над железнодорожными пу-
тями, а затем в 1^27 г. вполне успешно был перенесен и на обычные
железнодорожные мосты. Само ударное воздействие на мост осуществлялось
путем сбрасывания на него 10-пудовой железной бабы, подвешивавшейся
на блоке; в закрытых мостах с езд< ю по низу эта баба подвешивалась
к распорке верхних ветровых а язей (фиг. 20); в открытых мостах с ез-
дою по низу — к брусу, укладывавшемуся на верхние пояса главных ферм
(фиг. 21); в мостах с ездою по верху —
к горизонтальной перекладине специальных
деревянных козел, устанавливавшихся на на-
стиле (фиг. 22); место удара на настиле во
избежание порчи последнего, а также про-
Фиг. 20. Испытание закрытою моста Фиг. 22. Испытание моста с ездою по верху
с ездою по низу ударом чугунной ударом чугунной бабы, сбрасываемой с
бабы, сбрасываемой с определенной определенной высоты на проезжую часть
высоты на проезжую часть моста.
моста.
вала бабы (в железнодорожных мостах) защищалось специальной деревянной
подушкой из брусьев, прикрепленных неподвижно к настилу. Высота сбра-
сывания бабы менялась для мостов различных пролетов, причем в среднем
была равна 1 — Р/2, максимум 2 м. Такой ударный метод сообщения мостам
свободных колебаний, кроме своей простоты, обладает еще одним весьма
большим преимуществом: так как удар можно направлять в любое место
по ширине моста, то здесь представляется возможным изучать свободные
колебания боковой качки; между тем при пропуске железнодорожной на-
грузки по однопутным мостам, представляющим наибольший практический
интерес, образование явления боковой качки будет иметь более случайный
характер; по отношению к двупутным железнодорожным мостам, а также
мостам шоссейным, указанное преимущество ударных испытаний уже не
имеет такого значения.
Прежде чем приступить к изложению самих результатов эксперименталь-
ных исследований свободных колебаний металлических мостов, мы считаем
необходимым предварительно познакомить читателей с теми измерительными
приборами, с помощью которых можно регистрировать в настоящее время
интересующие нас KO/;e6aifr**
Фиг. 21. Испытание открытого моста с ездою ио низу ударом чугунной оабы, сбрасы-
ваемой с определенной высоты на проезжую часть моста.
8. Приборы, служащие для регистрации колебаний металлических
мостов
а) Виброграф Гейгера. Наиболее удобными и приспособленными для
регистрации колебаний металлических мостов в настоящее время следует
признать приборы Гейгера (Geiger, фирмы Lehman und Michels в Германии).
« уществуют два типа этих приборов: так называемый виброграф, сконструи-
рованный исключительно для целей регистрации колеоаний, и экстензо-
метр — для целей регистрации удлинений между двумя интересующими нас
точками (иначе говоря, для регистрации величин, характеризующих при
известном модуле упругости материала напряжение в нем).
Виброграф изображен на фиг. 23. Он состоит из двух основных частей:
часового механизма, заключенного в закрытую металлическую коробку А
(фиг. 23), и маятникового типа приспособления в виде грузика В, соединен-
ного с пружиной С и могущего на шарикоподшипниках вращаться вокруг
некоторой оси. Пружина С и грузик В помещены внутри специальной ци-
линдрической коробки Z), открытой с одной стороны и прикрепленной
к задней стенке основной коробки А. Коробка D может вращаться no от-
44
ношению к А, причем ось вращения, имеющая полый продольный канал,
проходит внутри основной коробки А. Положение D закрепляется помощью
гайки и контргайки, для завинчивания которых необходимо предварительно
отнять переднюю стенку прибора вместе с часовым механизмом и всем
пишущим приспособлением.
В указанный полый продольный канал, имеющийся в оси вращения
коробки D, помещается игла, своим концом упирающаяся в плечо коленча-
того рычага, находящегося в плоскости, проходящей через упомянутую ось
вращения; другим своим плечом этот рычаг упирается в плечо второго
коленчатого рычага, лежащего в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
Свободное плечо второго рычага упирается в специальный штифтик, при-
крепленный к маятнику, вращающемуся, как указывалось выше, на шарико-
подшипниках, В результате описанного устройства тангенциальные пере-
мещения маятника одним из рычагов переводятся сначала в радиальные,
а затем другим рычагом — в продольные по отношению к оси вращения. Эти
продольные перемещения с помощью иглы £, связанной с пишущим пером F
посредством специальной вилки, регистрируются на движущейся бумаж-
ной ленте //, которая сматывается с барабана /С, идет по специальному
столику / и наматывается на барабан L.
С целью ограничения амплитуд колебаний маятника в теле его к стороне,
обращенной к крышке коробки D, привернут винт, входящий в соответ-
ствующий вырез, сделанный в указанной крышке; длина этого выреза и
определяет пределы возможных амплитуд колебаний маятника. Последний,
как указывалось выше, связан со спиральной пружиной С, одним своим
концом скрепленной с телом маятника, а другим — с шайбой, надетой на
ось и удерживаемой от вращения на ней круглой гайкой. Эта пружина
служит для уравновешивания груза маятника в том случае, когда послед-
ний, располагаясь не в вертикальной плоскости, регистрирует колебания,
происходящие в наклонной плоскости. Маятник путем вращения коробки D
может быть установлен в любом направлении в плоскости этой коробки,
причем для удержания последней в данном положении устроен специальный
ленточный тормоз М, охватывающий цилиндрическую поверхность коробки
« натягиваемый болтом с гайкой.
Принцип работы прибора в достаточной степени прост: помощью спе-
циальных струбцинок он неподвижно прикрепляется к мосту, причем при
колебаниях последнего тяжелый маятник вследствие своей значительной
инерции остается на месте, в связи с чем образуются соответствующие
тангенциальные смещения между маятником и коробкой прибора, передаю-
щиеся затем указанным выше способом на движущуюся бумажную ленту.
Совершенно ясно, конечно, что при регистрации колебаний чрезвычайно
большое значение имеет при этом и регистрация времени, позволяющая
определять такой важный фактор, как частота записываемых прибором ко-
лебаний. Значение этого фактора можно получить помощью особого гру-
зика^М насаженного на упругую стальную плоскую пластинку, прикреплен-
ную к коробке А; находящийся внутри последней электромагнит при про-
пуске через него электрического тока притягивает к себе пластинку вместе
с грузиком; при размыкании же тока грузик отскакивает и, находясь на упру-
гой пластинке, приходит в свободное колебательное движение, регистрируе-
мое прикрепленным к низу пластинки пишущим пером. По частоте этих
свободных колебаний грузика, имеющей вполне определенное постоянное
.значение, можно определять и частоту интересующих нас колебаний, запи-
45
Фиг. 23. Виброграф Гейгера.
сываемых пером F. Таким образом для возможности использовать этот ме-
тод необходимо лишь включить коробку А прибора в электрическую цепь,
снабженную прерывателем; это включение осуществляется помощью зажим-
ных винтов S, имеющихся сверху коробки А.
Пользуясь той же пластинкой, можно несколько иначе получать на
диаграмме интересующих нас колебаний элементы времени. Для этого не-
обходимо в электрическую цепь включить специальный автоматический
прерыватель тока, снабженный часовым механизмом, дающим замыкание
и размыкание тока через определенные промежутки времени (1, 1/2 и даже
а/10 сек.) Нетрудно себе представить, что при этом перо, прикрепленное
к пластинке, будет давать соответствующие отметки времени в виде
линии такой формы | | | | .
Следует отметить, что второй способ получения на диаграмме колебаний
координаты времени, как показал опыт, дает более надежные показания
(при достаточно точно выверенном автоматическом прерывателе), так как
свободные колебания грузика зарисовываются не всегда достаточно четко,
а при незначительной скорости движения ленты диаграммы эти колебания
сплошь и рядом настолько смазываются, что не дают возможности пользо-
ваться ими, как материалом для измерения частоты колебаний, зарегистри-
рованных в данный момент прибором.
Основными характеристиками, определяющими свойства описанного виб-
рографа Гейгера как измерителя колебаний мостов, следует признать:
1) период собственных колебаний прибора, 2) степень чувствительности
его и 3) величину трений, имеющихся в движущихся частях прибора.
Для теоретического определения периода собственных колебаний прибора
инж. Н. Максимов в своем исследовании * вибрографа, рассматривая дви-
жущийся механизм этого прибора в виде маятника длиною rs (фиг. 24) и
приведенной массой Ж, уравновешенной спиральной пружиной с коэфициен-
том упругости Md% дает следующее выражение для периода собственных
свободных колебаний этого маятника:
°~ у Md-\-Mgrscos$ у Md-t-Mgrscosy { }
где Is — момент инерции маятника относительно его центра тяжести; rs—
расстояние от центра тяжести маятника до оси вращения; Id — момент инер-
ции маятника относительно его оси вращения;/И^ — коэфициент упругости
спиральной пружины, т. е. момент, развиваемый ею относительно оси вра-
щения при перемещении свободного конца пружины на величину одного
радиана; следовательно, Л4^ = —, где Е — модуль упругости материала
пружины, /—момент инерции ее сечения и / — длина пружины; j$ — угол,
образуемый осью маятника с вертикалью; иначе говоря, угол, определяющий
ту плоскость, в которой регистрируются колебания; ^ — ускорение под
действием силы тяжести.
Следует отметить, что выражение (97) выведено при наличии следующих,
двух основных допущений:
* Исследование это не опубликовано. См. также: Dr. Ing. H. Steuding, .Messung;
mechanischer Schwingungen*, стр. 54—60.
47
1) в приборе отсутствует трение, и коэфициент затухания собственных
«колебаний маятника равен нулю;
2) собственные колебания маятника определяются синусоидальным законом.
Соответствующий подсчет величин, входящих в выражение (97), дает
следующие их значения:
g 981 см
г, = 4,47 см;
МА = 4820 г -см;
I=10,543 гсм-се/с*;
1=1 4-Л1г2=10,543+1,049.4,472 = 31,502г.^.г^в.
I
и
I 05
« 0.
-*—"*"""
1
¥
1
Фиг. 25. Зависимость периода собственных коле-
«Фиг. 24. Схема маятника вибро- баний маятника вибрографа Гейгера от угла, обра-
графа Гейгера. зуемого осью маятника с вертикалью.
Для случая (5 = 0, т. е. для случая, соответствующего измерению коле-
баний в горизонтальной плоскости, по выражению (97) имеем:
)=2.3,14|/-
31,502
: 0,364 сек.
4820+1,049-981.4,47
Для случая р=- —, соответствующего измерению колебаний в верти-
«сальной плоскости, получаем:
г»=2'з',4/35Р==0'509
сек.
Вообще же при изменении [5 от 0 до — закон изменения периода Ть
будет определяться кривой, изображенной на фиг. 25. Кривая эта указы-
вает на рост периода собственных свободных колебаний вибрографа с уг-
лом f>, т. е. с приОлижением плоскости исследуемых колебаний к верти-
кальной.
Вторая характеристика прибора — его чувствительность — может быть
определена в виде величины той ординаты (в миллиметрах), которую при-
бор способен зарегистрировать на бумажной ленте при перемещении
■43
маятника на одну угловую секунду. Обозначая подобную чувствительность
через Е, Максимов дает для нее, в случае отсутствия трения в приборе,
такое выражение:
VL
206265
(98)
где V—масштаб увеличения вибрографа на конце пишущего пера; fi_ —
величина угловой секунды, выраженная в радианах.
Что касается масштаба увеличения V, то он прежде всего определяется
геометрическим увеличением тех рычагов, с помощью которых перемеще-
ния маятника передаются к пишущему перу. Обозначим это увеличение
через Vw. Кроме того, само пишущее перо также дает уве-
личение на своем конце величиной Vн. Затем необходимо
иметь в виду следующее: при измерении колебаний виб-
рографом происходит смещение оси вращения О маятника
в плоскости колебаний на некоторую
величину (фиг. 26) и поворот прямой,
соединяющей указанную ось вращения с
центром тяжести, на угол а.
Точка пересечения R первоначального
направления OS с последующим — 0]S\
не изменяющая в процессе измерения ко-
лебаний своего положения, отстоит от
центра тяжести маятника на величину г,
определяемую Максимовым при отсутствии
в приборе трения и при синусоидальных
колебаниях, по формуле:
До)2 — Mgrs cos ft — Md
/Wu>2r
(99)
где а) — угловая скорость или частота (в
2тт сек.) исследуемых колебаний; смысл остальных обозначений — прежний.
Зная Vw, VH и z, а также расстояние /у (фиг. 27) от оси вращения
маятника до точки соприкасания его с плечом передаточного рычага, можем
величину масштаба увеличения прибора на конце пишущего перышка вы-
разить следующим образом:
V--
7
■ + *
VwVh-
(100)
Окончательно для чувствительности Е вибрографа получаем выражение
такого вида:
£ =
rfVwVHId
(', + *
/г<|>2 — Mgrs cos 3 — Md
Мш2гг
\ ( ^+Mrs cos p ). 206265
.(101)
Таким образом E зависит от частоты ш исследуемых колебаний, причем
чем больше о, тем меньше чувствительность Е.
4 С. А. Илмссвич 49
Одределим Е для различных ю и Р и для VH=6t при Vw=0,947 и
/у=6,55 с*.
Результаты расчета приведены в табл. 1.
Таблица 1
(!)
Е при р = 0 в мм . . .
R— *
• • р~" 8
• . P — f » » • • •
. . Р=у В JLK. . .
20
0,00350
0,00326
0,00286 ,
0,00264
0,00278
25
0,00169
0,00169 -
, 0,00174
0,00190
0,00228
30
0,00132
0,00134
0,00143
0,00167
0,00207
40
0,00108
0,00111
0,00122
0,00145
0,00190
50
0,00100
0,00104
0,00114
0,00140
0,00183
Для большей наглядности по данным табл. 1 нанесены на графике
фиг. 28 кривые зависимости чувствительности Е от частоты колебаний для
Iff5 350
20 - 30 „„,- 40
Частота Колебаний о 2JIсек
50
Фиг. 28. Зависимость чувствительности вибрографа от частоты исследуемых
колебаний.
различных углов {$, т. е. для случаев исследования колебаний в различных
направлениях по отношению к горизонту. Из графика фиг. 28 видно, что
все полученные кривые — гиперболического типа, причем ординаты их
обращаются в бесконечность при различных значениях (о, приведенных,
в табл. 2.
5Q
[
1 Е = оо при <о
0
1,7,3
Таблица
i
8 !
16,9 !
2
т
16,0
3
14,4
т
1
При значениях а>, меньших приведенных в табл. 2, величина Е полу-
чается отрицательной. Таким образом при каждом ft существует определен-
ная предельная частота <о исследуемых колебаний, при которой рассматри-
ваемым вибрографом по существу пользоваться нельзя. Нетрудно показать,
что такой случай соответствует равенству частоты ш исследуемых колеба-
ний частоте собственных свободных колебаний движущегося механизма
прибора. В самом деле, выше было определено, что периоды этих соб-
ТГ
•ственных свободных колебаний прибора при 3=0 и ft = —соответствен-
но равны 0>364 и 0,509 сек. По последним цифрам находим интересую-
щие нас частоты (в 2тт сек.), которые, оказывается, имеют следующие зна-
чения: 17,3 и 12,4; сравнивая эти значения с данными, приведенными
в табл. 2, видим, что действительно при 8—0 и ft = — чувствитель-
ность Е обращается в бесконечность при равенстве частот собственных
свободных колебаний прибора и колебаний исследуемых. Однако тот же
цывод можно получить и в более общем виде. Обозначая частоту соб-
ственных свободных колебаний прибора через <о0 (в 2гс сек.), можем на-
писать, имея в виду (97):
(ол
2тг /~Md + Mgr,cos$
(102)
С другой стороны, пользуясь выражением (101), получаем следующее
условие обращения Е в бесконечность:
iy — Mgrszos$— Md_n
r* i TT^Z —U>
yWwV
откуда имеем
(0
/Mrf-h Afgrt cos ft
(103)
Сравнивая выражения (102) и (103), видим, что
Кривые фиг. 28, таким образом, показывают, что чувствительность Е
вибрографа падает с увеличением частоты исследуемых колебаний. Как
увидим ниже, частота свободных колебаний мостов увеличивается с умень-
шением пролета моста, и.поэтому можно считать, чтр чувствительность
вибрографа возрастает с падением пролета исследуемых мостов. Из фиг. 28.
кроме этого, можно видеть, что наибольшую чувствительность приобретает
этот прибор при исследовании колебаний, происходящих в горизонталь-
ной плоскости (Р = 0).
4* oJ
Необхошмо еще раз подчеркнуть, что все изложенные выводы как
в отношении периода собственных свободных колебаний прибора, так и
в отношении его чувствительности В сделаны при наличии следующих
допущений: 1) угол а (фиг. 26) поворота оси OS, соединяющей центр
тяжести маятника с осью его вращения, незначителен; 2) исследуемые
колебания совершаются по синусоидальному закону; 3) в колебаниях отсут-
ствует затухание, а силы трения в приборе равны нулю.
Фиг. 29.
Последнее, конечно, явно не верно; трение в движущихся частях при-
бора является, как мы уже упоминали выше, третьей его характеристикой.
Переходя к ней, можно считать, что величина трения в механизме при-
бора определяется той ординатой, на которую способна отклоняться ну-
левая линия от положения своего равновесия. Для величины этой ординаты
Максимов дает следующее выражение:
Md +Mgrscosy
(104)
где MR—момент постоянной силы трения в механизме прибора; смысл
остальных обозначений — прежний. Из ур-ния (104) видно, что г тем меньше,
чем меньше |1, т. е. чем ближе исследуемые колебания к горизонтальным;
для большей наглядности на фиг. 29 дана кривая зависимости ординаты г0,
соответствующей моменту трения MR—\y от угла g (при изменении (J от 0
тг
дот);
кривая построена при
1029,5 г-см; г=\,\1см\ V
w~
r/==6,55^; Л^ = 4820гсл*; Mg=
= 0,947 и Уя=6, при которых
37,2
и 4820 -f- 4600 cos 0 #
Таким образом влияние трений, имеющихся в вибрографе Гейгера, имеет
заметно меньшее значение при исследовании колебаний в горизонтальной
плоскости, нежели в вертикальной. Что касается определения величины г
при действительном MR% то она может быть получена только опытным
путем — соответствующим исследованием прибора. Подобных исследований
нл\ прибором до сего времени выполнено не было.
52
Из выражения (104), кроме этого, следует, что влияние трения возрастает
с возрастанием увеличений Vw и Vн. Следовательно, с точки зрения по-
лучения наиболее надежных результатов пользование большими масштабами
увеличения прибора не рекомендуется.
Исследуя далее влияние отдельных деталей прибора (пишущего пера,
передаточной иглы, рычажков, а также пружины, прижимающей пишущее
перо вместе с передаточной иглой к рычагам) на его увеличение V, Ма-
ксимов дает зависимость этой величины от частоты исследуемых колебаний
в виле гиперболической кривой, изображенной на фиг. 30, из которой
1 I
1 I
!
\
\
t
! > (-3-!-
!!
ЦТ
if
о ч
частота исспёдуемйа колебаний со.
Фиг. 30. Зависимость увеличения V вибрографа от часто ;ы и> исследуемых
колебаний.
видно, что: 1) увеличение V стремится к бесконечности при приближении
частоты исследуемых колебаний к частоте (о0 свободных колебаний прибора;
2) увеличение V сохраняет почти постоянное значение при частотах ис-
следуемых колебаний, превышающих частоту собственных колебаний при-
бора в четыре раза. Первый вывод говорит о том пределе, до которого
еще можно пользоваться прибором; второй вывод устанавливает границу
частот исследуемых колебаний, до которой достаточно просто и точно
можно пользоваться определенным постоянным увеличением прибора. Не-
трудно себе представить, что оба вывода указывают на желательность по-
лучения в приборе как можно меньшей частоты <о0 собственных свободных
колебаний, так как, с одной стороны, при этом уменьшается та предель-
ная частота исследуемых колебаний, до которой еще возможно пользоваться
прибором, а с другой стороны, увеличивается тот участок значений частот
исследуемых колебаний, на протяжении которого увеличение прибора ос-
тается почти постоянным.
Какими же мерами можно уменьшить частоту собственных колебаний <о0?
Из ф-лы (102) видно, что прежде всего такое уменьшение мы получим,
если возьмем предельно малое Md, т. е. возможно более слабую с точки
зрения упругости спиральную пружину. Другой способ уменьшения частоты
5J
<£$ai
<£iCM
собственных колебаний прибора заключается в увеличении момента инер-
ции маятника /rf=/, + ^^ и уменьшении произведения Mrs\ это непо-
средственно следует из той же ф-лы (102); удовлетворить обоим приве-
денным условиям мож-
^ но, придав маятнику
форму кольца, имею-
щего центр тяжести
как можно ближе к
оси вращения. Именно
такую форму и при-
дал Гейгер тому допол-
нительному грузу, ко-
торый прикладывается
к вибрографу и, бу-
дучи привинчен к ос-
новному маятнику, со-
здает уменьшение ча-
стоты собственных ко-
лебаний прибора.
Этот дополнительный груз изображен на фиг. 31, а. Однако по исследо-
ваниям Максимова оказалось, что принятые Гейгером размеры груза яв-
Фиг. 31. Дополнительные грузы к маятнику вибрографа
Гейгера; л—существующий, (Г—предложенный Макси-
мовым.
I
v.—
S s
:??"* s
фопетЬдм
8 * 8
Н !> 1 h
40 50 Ш
Частота CJ
М
90
100
Фиг. 32. Зависимость увеличения V вибрографа от частоты <о исследуемых колеба-
ний в случае принятия для маятника дополнительного груза по схеме фиг. 31, tf.
ляются недостаточными, так как дают возможность производить измерения
колебаний для мостов пролетом не свыше 80 с небольшим метров. Макси-
мов предлагает дать дополнительному грузу размеры, приведенные на
фиг. 31, бу которые позволят применять прибор для мостов пролетом до 123 м.
В случае принятия этого груза кривая изменения масштаба увеличения
прибора в функции частоты исследуемых колебаний при тяжелом пере
и слабой пружине для вертикальных колебаний будет иметь (по Ма-
54
ксимову) вид, изображенный на фиг. 32. На самой кривой здесь отмечены
примерные величины тех пролетов мостов, которым соответствуют отло-
женные по оси абсцисс частоты вертикальных колебаний. В мостах обычно
оперируют не с частотами, а периодами колебаний; поэтому ниже на
фиг. 33 дана кривая увеличения прибора в функции периодов вертикаль-
I
Периоды в сек
Фиг. 33. Зависимость увеличения вибрографа от периодов исследуемых колебаний;
сверху кривой надписаны соответствующие пролеты мостов.
ных колебаний мостов, причем пролеты последних (в метрах) надписаны
сверху кривой.
Исследования Максимова, кроме этого, показали, что увеличение прибора
зависит не только от частоты, но и от амплитуды исследуемых колебаний;
для каждой частоты существует определенная величина предельной ампли-
туды, при превышении которой прибор регистрирует колебания с искажен-
ными амплитудами. Это обстоятельство делает рассматриваемый прибор —
виброграф Гейгера чрезвычайно неудобным и мало подходящим прибором
для измерения амплитуд исследуемых колебаний. По существу, применяя
его в мостах, им пользуются лишь как прибором, дающим возможность,
с одной стороны, изучать общий характер исследуемых колебаний, а с дру-
гой стороны, определять их частоту.
Вообще же для получения действительных данных как по увеличению
прибора, так и по влиянию отдельных его деталей на работу прибора,
необходимо поставить исследование этой
работы на специальном вибрационном сто-
лике, способном приходить в совершенно
точно известные по амплитуде и частоте
колебательные движения.
б) Прогибомер Гейгера. Другой своР
прибор — экстензометр Гейгер создавал,
вообще говоря, не для измерения прогибов
или колебаний, а для регистрации на ис-
следуемом элементе удлинений между двумя
определенно зафиксированными точками
<т. е. напряжений). Прибор этот состоит Фиг. 34. Схема установки экстензе-
из двух главных частей: 1) коробки с метра Гейгера,
часовым механизмом и приспособлением
для записи диаграммы изменения удлинения; 2) штанги с двумя зажи-
мами для прикрепления к исследуемому элементу. Схема установки при-
бора изображена на фиг. 34. Штанга / прибора длиной в 250 и 500 мм
55
''Г*0Щ]
представляет полую трубку с внутренней нарезкой, одним своим концом
штанга навертывается на ось одного из зажимов 2, неподвижно относи-
тельно штанги; в другой конец штанги ввертывается конус 3, который
Лвоим острием упирается в коленчатый рычаг 4У имеющий ось вращения
во втором зажиме 5 штанги. На конце рычага 4 имеется углубление,
в которое вставлена игла 6, другим своим концом упирающаяся в углу-
бление рычага 7; последний своим концом прижимается к игле #, проходя-
щей через отверстие в коробке 10 часового механизма, снабженной пру-
жиной н соединенной
с пишущим перыш-
ком 9. Нетрудно ви-
деть, что при измене-
нии расстояния между
зажимами 2 и 5 штан-
ги с помощью указан-
ной выше системы ры-
чагов эти изменения
передаются в известном
масштабе иа конец
пишущего перышка.
Как зажимы штанги,
так и коробка с часо-
вым механизмом при-
жимаются к исследуе-
мому элементу с по-
мощью специальных
струбцинок 11. Короб-
ка, содержащая часо-
вой механизм прибора
и снабженная пишу-
щим приспособлением>
изображена отдельно
на фиг. 35.
. Эта коробка ничем
не отличается от соот-
ветствующей коробки
вибрографа. С по-
мощью этой коробки
экстензометра Гейгера
и возможно произво-
дить измерение под ди-
намическим действием
нагрузки прогибов, а следовательно, и возникающих при этом соот-
ветствующих вертикальных колебаний мостов.
Институт инженерных исследований НКПС с успехом применял при этом
СП0906, схематично изображенный на фиг. 36. К мосту прикрепляется
упомянутая выше коробка прибора с коленчатым рычагом 7; между мостом
и неподвижной по отношению к нему точкой (дном реки) натягивается
помощью пружины 17 вертикальная проволока, имеющая на уровне колен»
чатого рычага прибора отросток, входящий в углубление этого рычага.
Так как в проволоке все время действует постоянное натяжение, равное
56
Фиг. 35. Головка экстензометра Гейгера.
натяжению пружины, то при вертикальных перемещениях моста, происхо-
дящих вместе с прибором, происходит одновременно и поворот рычага 7,
передающийся затем иглой 8 на ленту.
Именно эти-то два прибора Гейгера и дали Институту возможность
экспериментально осветить и общую картину свободных колебаний метал-
лических мостов и динамическое воздействие на них (по прогибам) по-
движной нагрузки.
Совсем не нашел себе у нас пока применения описываемый ниже вибро-
граф фирмы Майак (Н. Maihak).
в) Виброграф фирмы Майак. Принцип работы этого вибрографа, служа-
щего для регистрации колебаний; может быть уяснен из схемы, изобра-
женной на фиг. 37. Прибор состоит из груза С, могущего вращаться и
вокруг вертикальной оси / (в плоскости, перпендикулярной плоскости чер-
тежа) и вокруг горизонтальной оси /?.
Груз С находится под действием специ-
альной пружины Sj сила натяжения ко-
торой может меняться действием винта а.
Таким образом груз С обладает способно-
стью перемещаться в разных плоскостях.
Со стороны, противоположной месту при-
при креплен к мосту*
Прикреплен к ^1
мосту ее
Неподвижная точка
Фиг. 36. Схема измерения прогиба мис-
та головкой от экстензометра Гейгера.
Фиг. 37. Схема работы вибрографа
Майака.
крепления пружины S, груз С в центре снабжен отростком Т, оканчивающимся
шариком, входящим в вилку пишущего пера ЛЛ Перышко представляет собой
рычаг первого рода с осью вращения, перпендикулярной плоскости бумаж-
ной ленты, на которой записывается диаграмма. Очевидно, вращение пера Ny
т. е. запись диаграммы, может происходить только от тех составляющих
перемещений груза С, которые расположены в плоскости, перпендикуляр-
ной оси вращения перышка N; под влиянием же составляющих в другой
плоскости шарик отростка Т будет только скользить в обойме (вилке)
перышка, не вращая его. Так как та часть прибора, в которой располо-
жено пишущее приспособление вместе с перышком, может вращаться
в плоскости, перпендикулярной продольной его оси, а весь прибор в це-
лом— около вертикальной оси, то получается возможность регистрации
колебаний в самых разнообразных плоскостях.
Более подробно устройство прибора видно на фиг. 38, изображающей
его конструкцию. Для большей ясности, кроме этого, даем на фиг. 39
фотографию вибрографа. Груз С с пружиной S расположены в коробке 7,
часовой механизм — в коробке 29. Шкала 33 служит для измерения пово-
ротов всего прибора вокруг вертикальной оси; вторая шкала, перпенди-
кулярная первой, дает возможность отсчитывать углы поворота пишущей
57
части прибора; для поворотов в этой же плоскости служит и микромет-
ренный винт 5; винтом 6 пишущая часть прибора закрепляется в требуе-
мом положении, соответствующем плоскости исследуемых колебаний;
в частности, в положении, изображенном на правой фотографии, прибор
регистрирует проекцию колебаний на вертикальную плоскость. Электро-
магнитные перышки 21 и 22 служат, с одной стороны, для проведения
58
нулевой линий, с другой стороны, для получения отметок времени.
Перо 23 имеет своим назначением регистрацию колебаний.
Большим достоинством прибора является наличие возможности менять
натяжение пружины S, связанной с грузом С, так как это обстоятельство
позволяет изменять и частоту собственных колебаний прибора, что, как
мы знаем, имеет большое значение с точки зрения максимального приспо-
собления этого прибора к исследуемым колебаниям. На фиг. 39 циф-
Фиг. 39. Фотография прибора Майака.
рой 31 обозначен как раз тот указатель, передвижением которого дости-
гается изменение натяжения пружины S, а следовательно, и частоты
собственных колебаний груза С. Последняя может изменяться от 22
до 65 колебаний в минуту; размах, как видим, достаточно значителен.
В заключение следует отметить, что по своим основные качествам
и достоинствам виброграф Майака имеет все основания для более значи-
тельного распространения при производстве исследований колебаний
мостов.
9. Общий характер свободных колебаний металлических мостов
Выше мы уже указывали на то, что свободные колебания мостов могут
быть получены или в результате пропуска по ним той или иной временной
подвижной нагрузки или в результате искусственного ударного воздейст-
вия на них. В первом случае регистрируемая прибором диаграмма состоит
59
«
1)
из двух разнородных частей, из которых одна
представляет собою вынужденные колебания мо-
ста, т. е. колебания, являющиеся следствием
динамического воздействия подвижной нагруз-
ки, а другая — интересующие нас свободные
колебания моста, происходящие уже в отсут-
I ствии подвижной нагрузки. Во втором случае
регистрируемые прибором колебания полностью
§, представляют собою свободные колебания мо-
ста. Для примера на фиг. 40 изображе ы две
£ диаграммы: поперечные горизонтальные ». вер-
з тикальные колебания середины железнодорож-
& ного моста, снятые прибором Гейгера при про-
cL ходе железнодорожного поезда; при изучении
g^ свободных колебаний моста из этих диаграмм
"§ могут быть использованы только концевые
м (хвостовые) их участки, начиная от момента
§ схода нагрузки с моста. Значительно более
S « ценными с этой точки зрения являются диа-
° g граммы, получаемые при ударе; примером та-
g^S кой диаграммы может служить диаграмма
о § фиг. 41 вертикальных колебаний середины про-
0 £ лета железнодорожного моста, снятая прогибо-
о я мером Гейгера, установленным так, как описано
i g выше. Здесь лишь самое начало диаграммы
§Ls нельзя рассматривать, как свободные колебания
g g* моста, так как сбрасываемая при испытании
m ? металлическая баба, подпрыгивая, сообщает мо-
|чэ сту не один, а несколько ударов, вызывающих
« « соответствующие вынужденные колебания.
3 g Переходя к рассмотрению общего характера
5^ действительных свободных колебаний мостов,
о«о поставим себе задачу провести рассмотрение
° под углом зрения соответствия этих колеба-
* ний изложенной выше теории свободных ко-
g лебаний простого бруса.
"S Весьма нетрудно показать, что регистрируе-
§ мые свободные поперечные горизонтальные и
и вертикальные колебания металлических мостов
а имеют общий характер, вполне согласующийся
<£ с обпшм характером разобранных выше соот-
в ветствующих теоретических колебаний простых
с брусьев, как это видно из диаграмм фиг. 40
з и 41. Однако для большей убедительности
| ниже на фиг. 42 и 43 мы даем серию подоб-
ен ных же диаграмм свободных колебаний метал-
g лических железнодорожных и шоссейных мостов:
^ на фиг. 42 изображены вертикальные, а на
§ фиг. 43 горизонтальные поперечные колебания.
с Все приведенные диаграммы были получены
Ф приборами Гейгера, частично в результате про-
A/yww.
хода по мосту подвижной нагрузки, частично в результате ударного
воздействия.
Из рассмотрения фиг. 42 и 43 можно видеть, что зарегистрированные
свободные колебания во всех случаях имеют правильный синусоидальный
характер с постепенно затухающими амплитудами. Совершенно такого же
типа колебания мы получаем и при теоретическом рассмотрении свобод-
ных колебаний простого бруса, обладающего внутренними и внешними
сопротивлениями.
Большой интерес, несомненно, представляет вопрос о действительном
существовании колебаний боковой качки мостов. С этой точки зрения
важно установить те признаки, наличие которых в регистрируемых свобод-
ных колебаниях мостов позволяет говорить о существовании в данном
случае колебаний боковой качки. Из разобранной выше теории боковой
качки простого бруса
прежде всего вытека-
ет, что при наличии
ее, регистрируя прибо-
ром свободные верти-
кальные колебания, мы
можем получить явле-
ние так называемого
биения, изображенного
на фиг. 13 и 15. Го-
ворим „можем полу-
чить" потому, что яв-
ление это образуется,
как известно, лишь в
частном случае, соот-
ветствующем наличию
и ебольшой разницы
между периодами свободных вертикальных колебаний и колебаний боковой
качки, что не всегда имеет место. Кроме того, совершенно ясно, что при
наличии боковой качки в случае обнаружения биениЯ на одной ферме
должны иметь место подобные же биения и на другой ферме при обяза-
тельном, однако, существовании между ними сдвига в — периода биений.
Иначе говоря, в тот момент времени, когда одна ферма будет иметь
наибольшие амплитуды колебаний, у другой в этот же момент времени
должны быть нулевые амплитуды.
Таким образом, для того чтобы установить существование действитель-
ных колебаний боковой качки, следует, прежде всего, постараться обна-
ружить в зарегистрированных свободных вертикальных колебаниях мостов
указанные выше два признака. Следуя именно по этому пути, мы приво-
дим на фиг. 44 диаграмму прогиба одного из железнодорожных мостов
при проходе поезда, полученную прибором Гейгера. Концевая часть диа-
граммы, начинающаяся от момента схода нагрузки с моста и представляю-
щая свободные вертикальные его колебания, обладает как раз первым
признаком наличия в данном случае колебаний боковой качки, т. е. ясно
выраженными биениями, вполне соответствующими виду теоретической
диаграммы фиг. 15, построенной для случая бруса, обладающего сопро-
тивлениями.
Фиг. 41. Диаграмма вертикальных поперечных колеба-
ний середины железнодорожного моста, полученная при-
бором Гейгера под действием удара от сброшенной на
мост чугунной бабы.
01
62
Следует обратить внимание на то, что явление боковой качки может
возникать только при наличии нагрузки, прикладываемой эксцентрично
по отношению к середине ширины моста. Между тем приведенная
на фиг. 44 диаграмма была получена при иссле-
довании однопутного железнодорожного моста при
проходе железнодорожного поезда, т. е. нагрузки,
как будто вполне симметричной относительно обеих
ферм моста. Однако эта симметричность имеет место
только в первом приближении, в действительности
же проход железнодорожной нагрузки с некото-
рой скоростью связан с образованием моментов в
вертикальной поперечной по отношению к продоль-
ной оси моста плоскости. В частности, подобные
моменты, образуются при движении паровозов вслед-
ствие несимметричного расположения противовесов
на колесах обеих его сторон. В результате явление
боковой качки, вообще говоря, может иметь место
на однопутных железнодорожных мостах при дей-
ствии обычного железнодорожного поезда. На шос-
сейных мостах, подвергающихся, как правило, дей-
ствию нагрузок, несимметричных относительно се-
редины ширины моста, для развития явления бо-
ковой качки имеются, конечно, более благоприят-
ные условия, тем более что и сама ширина шоссей-
ных мостов больше, чем железнодорожных, в свя-
зи с чем эксцентричное приложение нагрузки со-
здает и большие моменты.
На фиг. 45 даем ряд диаграмм свободных верти-
кальных колебаний как железнодорожных, так и шос-
сейных мостов, полученных от обычной для этих
мостов подвижной нагрузки и отличающихся на-
личием биений. Минусом приведенных диаграмм яв-
ляется то, что по ним весьма затруднительно уста-
новить наличие второго признака колебаний боко-
вой качки, а именно сдвига в биениях левой и
правой ферм. Необходимое для этой цели сравне-
ние соответствзгющих диаграмм колебаний сильно
осложняется отсутствием в них в большинстве слу-
чаев точных отметок моментов схода нагрузки с
моста; техника получения на диаграммах подобных
отметок еще недостаточно совершенна. Более ценными
с этой точки зрения приходится признать диаграм-
мы, снимаемые в результате искусственного ударного
воздействия. Прежде всего здесь мы имеем возмож-
ность создавать явление боковой качки моста, напра-
вляя удар не на середину его ширины, а непо-
средственно на одну из ферм. Кроме того, при ударе можно без осо-
бого труда произвести сравнение диаграмм колебаний обеих ферм.
Наконец, имея дело только с одним ударом, мы получаем возможность
снимать интересующие нас колебания в более наглядном виде — с большим
увеличением. Между тем при пропуске по мосту обычной для него под-
63
о
и
О
1
о с*
с* О
ее О
а«
1= К
См
О)
о
О.
с
ее
5
2
<t>m. 45. Диаграммы вертикальных колебаний мостов, полученные при проходе по-
Л. движной нагрузки и имеющие следы биений.
<Фяг. 46. Диаграммы вертикальных колебаний мостов, полученные под действием
несимметричного удара с ярко выраженными следами биений.
«4
движной нагрузки приходится регистрирующему прибору давать меньшие
увеличения, вследствие того что, как правило, амплитуды вынужденных
колебаний заметно превосходят амплитуды колебаний свободных. Большая
яркость и выразительность диаграмм колебаний, снимаемых под действием
удара, ясно вытекает из соответствующего сравнения колебаний, изобра-
женных на фиг. 42 и 43.
Далее, на фиг. 46 приведен ряд диаграмм свободных вертикальных
колебаний, снятых на мостах под действием несимметричного удара, при-
ложенного к одной из ферм; колебания имеют ясно выраженные биения.
На фиг. 47 дано сравнение двух диаграмм колебаний, полученных в одно
и то же время под несимметричным ударом на разных фермах моста.
°)
гн'о
*4Л <*8
1$&*ил/1/^^
Фиг. 47. Сравнение двух диаграмм вертикальных поперечных колебаний середины
ферм одного и того же моста, полученные под действием несимметричного удара;
диаграммы имеют ярко выраженные биения со сдвинутыми фазами в периодах
биений.
Диаграммы эти могут быть сравнены между собой с интересующей нас
точки зрения путем соответствующей нумерации вершин волн колебаний,
из рассмотрения которой нетрудно заметить, что максимальным амплиту-
дам одной диаграммы отвечают минимальные амплитуды другой; последнее
ясно указывает на наличие сдвига в биениях между обеими фермами,
являющегося, как указывалось выше, вторым признаком наличия в мостах
колебаний боковой качки.
До сих пор, говоря о признаках боковой качки, мы имели в виду
только признаки, отражающиеся в вертикальных колебаниях мостов.
Оанако нетрудно себе представить, что влияние боковой качки должно
сказаться и на горизонтальных поперечных колебаниях, причем общий
характер последних при наличии боковой качки должен измениться сле-
дующим образом. Простые свободные поперечные горизонтальные колеба-
ния бруса представляют собой, как известно, правильные синусоидальные
колебания, имеющие период, заметно превышающий по своей величине
период свободных вертикальных колебаний. Вследствие этого при наличии
Ь С. А, Ильясвич 65
боковой качки, обладающей, как извест-
но, периодом, мало отличающимся от пе-
риодов вертикальных колебаний, мы, ре-
гистрируя поперечные горизонтальные ко-
d лебания, будем фактически иметь дело с
g суммой двух типов колебаний, сильно раз-
SL личающихся по величине периодов. Так
Я как в мостах обычно соотношение между
■§ этими периодами оказывается равным не
jg точно двум, то в результате упомянутое
2 сложение дает суммарные колебания ви-
g» да, изображенного на фиг. 11, где как
4 раз произведено теоретическое построе-
я ние двух колебаний, соотношение ме-
2 жду периодами которых равно 1,82; по-
за лучаются сложные двойного периода (двух-
я_ тонные) колебания. Подобного типа коле-
н бания весьма часто приходится регистри-
§ ровать при исследовании поперечных го-
3 ризонтальных колебаний мостов. Для при-
s мера на фиг. 48 изображен ряд таких диа-
^ грамм двухтонных колебаний, снятых ви-
8 брографом Гейгера при производстве ди-
« намических испытаний железнодорожных
я мостов под действием поезда. Диаграммы
"8 эти обычно получаются на тех мостах, на
о которых одновременно на диаграммах
и вертикальных колебаний мостов регистри-
§ руются и биения, что указывает на несо-
g мненное существование во всех данных слу-
£ чаях явления боковой качки.
| Таким образом в результате сделанного
£ нами обзора общего характера диаграмм
действительных свободных колебаний мо-
§ стов и сопоставления его с характером
? подобных же диаграмм, полученных Tec-
s' ретически для простого бруса, можно
§ констатировать наличие между ними до-
и статочного соответствия, позволяющего
Л рассматривать свободные колебания ме-
% таллических мостов, как колебания прос-
§* тых брусьев. В дальнейшем этот вывод
е| будет подкреплен еще и наличием достаточ-
Д5 ного соответствия между периодами сво-
^ бодных колебаний мостов и брусьев.
£ 10. Периоды свободных колебаний
мостов
а) Вертикальные колебания. Для воз-
можности установления степени соответ-
ствия между действительными периодами
собственных свободных вертикальных колебаний мостов и теоретическими
периодами подобных же свободных колебаний соответствующих брусьев
возьмем ряд железнодорожных и шоссейных мостов, для которых были
произведены измерения величин периодов действительных собственных
свободных вертикальных колебаний, и определим теоретическую величину
этих периодов, пользуясь изложенной выше теорией свободных колеба-
ний простых брусьев. Для расчета можно применить ф-лу (15); последняя,
правда, дана для случая бруса, не имеющего сопротивлений, и было бы
правильнее в данном случае пользоваться ф-лой (31), учитывающей вли-
яние на период свободных вертикальных колебаний коэфициента зату-
хания е. Однако это влияние, как увидим ниже, настолько ничтожно, что
практически вполне возможно отказаться от его учета.
В табл. 3 помещены результаты интересующего нас расчета для семи
железнодорожных и четырех шоссейных металлических балочных мостов.
Таблица 3
Пролет моста
в м
Железнодорожные
мосты
1 Шоссейные
мосты ,
33,2
55,1
65,9
87,6
109,2
126,0
158,4
22,0
53,5
85,2
106,7
Собствен-
ный вес
моста р
в mJM
3,18
3,67
4,00
4,95
5,68
6,35
8,80
1,50
2,00
3,20
4,00
» *7pl
65 g
в т'Сек*
м
5,23
10,00
13*09
21,50
30,70
40,90
69,00
1,63
| 5,30
13,50
21,20
Вертикаль-
ная жест-
кость
моста К
в т\м
8 600
10 000
7 300
10 370
11000
9 900
9 700
2700
1820
4260
ЗЬ40
Период собственных 1
свободных вертикальных!
колебаний в секундах 1
теорети-
ческий
0.156
0,199
0,259
0,288
0,334
0,405
0,535
0,156
0,342
0,356
0,482
действи- 1
тельный 1
(измерен- 1
ный) 1
0,140
0,200
0,250
0,290
0,350
0,400
0,500
0,310
1 0,280
0,450
Заметим, что приведенные в табл. 3 как железнодорожные, так и шос-
сейные исследованные мосты отличаются большой однородностью и одно-
типностью: все железнодорожные мосты с ездою по низу рассчитаны под
одну и ту же нагрузку (по нормам 1907 г.) и имеют главные фермы или
с треугольной с дополнительными стойками и подвесками или с раскосной
со шпренгвлями решеткой. Все три шоссейных моста также рассчитаны
иод одну и ту же нагрузку, имеют езду по низу и главные фермы с тре-
угольной с дополнительными стойками и подвесками решеткой. В таблице
приведены не только определенные по ф-ле (15) величины теоретических
периодов свободных вертикальных колебаний мостов, но и действительные
их величины, измеренные по соответствующим диаграммам, снятым при-
борами Гейгера.
5* 67
Табл. 3 интересна с трех точек зрения: во-первых, она устанавливает
соответствие между теоретическими и действительными величинами перио-
дов свободных колебаний балочных металлических мостов; во-вторых, об-
наруживает определенную разницу между величинами периодов одинако-
вых по пролету железнодорожных и шоссейных мостов; в-третьих, дает
возможность выяснить хотя бы приближенно закон изменения интересую-
щего нас периода в функции пролета мосха.
Для более наглядного выяснения всех этих трех весьма важных вопро-
сов мы построили соответствующий график, изображенный на фиг. 49.
По оси абсцисс его отложены пролеты исследованных мостов, а по оси
ординат — теоретические и действительные измеренные периоды их верти-
кальных свободных колебаний. Из графика видно, что теоретические и
Фиг. 49. Зависимость периода собственных свободных вертикальных колебаний
железнодорожных и шоссейных мостов от пролета моста.
действительные периоды чрезвычайно близки между собой (особенно для
железнодорожных мостов), чем еще раз подтверждается сделанный выше
вывод о полной аналогии законов действительных свободных колебаний
мостов и теоретических свободных колебаний простых брусьев. Среднее
расхождение между величинами этих периодов в исследованных железно-
дорожных мостах оказалось раедьш всего лишь 4,2 °/0. Заметно большее
расхождение имело место в исследованных шоссейных мостах, которое было
равно приблизительно 13°/0, причем для моста пролетом 85,2 л/ расхо-
ждение дошло до 21,5 °/0. Здесь необходимо отметить, что при расчете
теоретических периодов железнодорожных мостов входящая в формулу
величина Кх вертикальной жесткости моста определялась из величины
действительного его прогиба, измеренного под данной нагрузкой. Таким
образом приведенные в табл. 3 теоретические периоды свободных верти-
кальных колебаний железнодорожных мостов, рассматриваемых в виде про-
стых брусьев, фактически являются не строго теоретическими. Однако мы
считали более правильным в данном случае иметь дело с действительной
вертикальной жесткостью интересующих нас мостов, так как в конце
концов практически наибольшее значение имеет установление законов
колебаний реальных мостов. Между тем известно, что, вообще говоря, ве-
личины теоретических и действительных прогибов мостов, а следовательно,
и вертикальных их жесткостей, заметно различаются. Что же касается
мостов шоссейных, то ввиду отсутствия данных о величине действительной
вертикальной их жесткости таковая определялась теоретически (по Мору),
68
т. е. принималась заведомо пониженной по сравнению с действительной
(обычно конструктивная поправка прогиба, т. е. отношение между дей-
ствительным и теоретическим прогибом, бывает меньше единицы). Это об-
стоятельство как раз могло явиться следствием повышения величин теоре-
тических периодов для шоссейных мостов и отмеченного выше, более
значительного расхождения между ними и действительными периодами. Но,
кроме этого, указанное более чем 20-процентное расхождение получилось
как раз для пролетного строения, имевшего не вполне нормальное состояние
подвижных опорных частей, упиравшихся в шкафную стенку устоя. Это
обстоятельство, создавая значительное увеличение внешних сопротивлений
в мосту, должно было отразиться повышающим образом на действительном
периоде (§ 2, выражение 31). Таким образом для данного частного слу-
чая расхождение в 21,5°/0 не характерно; для других же двух шоссейных
мостов оно было равно 9,5 и 7°/0.
Второй вывод, вытекающий из рассмотрения данных табл. 3 и графика,
изображенного на фиг. 49, касается различия величин периодов железно-
дорожных и шоссейных мостов, причем обнаруживается заметно ббльшая
величина периодов у шоссейных мостов. Это ясно следует из соответствую-
щего сравнения периодов, измеренных для трех железнодорожных и трех
шоссейных мостов примерно одного и того же пролета. Разница (по дей-
ствительным периодам) оказалась равной 55°/0 для пролета около 55 м,
12°/0 для пролета около 90 м и 20°/0 для пролета около 110 л.
Здесь сказалась меньшая вертикальная жесткость шоссейных мостов по
сравнению с железнодорожными, что непосредственно вытекает из соот-
ветствующего сравнения величин К, приведенных в табл. 3. Эта меньш'ая
вертикальная жесткость шоссейных мостов объясняется применением в их
главных фермах заметно меньших высот; в последнем можно убедиться,
сравнив приведенные ниже в табл. 4 отношения — для упомянутых трех
железнодорожных и трех шоссейных мостов.
Табл ица 4
1 Пролеты мостов
' в м
1 Отношение у . . .
Железнодорожные
55,1
1|
6,45
87,6 | 109,2
1
6,35
1|
,'6,13
Шоссейные
53,5
И
|Ю,21
85,2
(8,47
106 7
Х1
|10,02
Таким образом есть все основания считать, что существование больших
периодов собственных свободных вертикальных колебаний у шоссейных
мостов является следствием заметно меньшей их вертикальной жесткости.
Переходя, наконец, к закону изменения рассматриваемых периодов в функ-
ции пролета, из графика, изображенного на фиг. 49, замечаем, что закон
этот как для теоретических, так и для действительных измеренных перио-
дов не отличается достаточной правильностью, но все же в первом при-
ближении близок к прямолинейному; во всяком случае для исследованных
семи железнодорожных мостов различных пролетов соответствующие точки
расположились почти на прямой линии. Для шоссейных мостов закон не
р.полне ясен, так как нам были известны результаты исследования мостов
всего лишь трех различных пролетов, причем один из этих мостов (про-
69-
*сэ b
1U
E 50
О—j 1 \ j j
TV °
rs~~T i
_J—I—qs^—i—
_J J !
60
70 80 90 100
Пролет моста Ом
Фиг. 50. Зависимость частоты свободных
вертикальных колебаний мостов от их
пролета (по данным Е. Патона).
летом 85,2 м) выделяется своей повышенной вертикальной жесткостью по
сравнению с двумя другими, что ясно видно из табл. 4 и что сказалось
на графике фиг. 49: точка, соответствующая этому пролету 85,2 му ока-
залась заметно выделенной — сниженной. Справедливость почти прямоли-
нейного закона зависимости перио-
дов собственных свободных верти-
кальных колебаний от пролета мо-
ста подтверждается результатами и
других многочисленных эксперимен-
тальных исследований (правда, ис-
ключительно железнодорожных мо-
стов), выполненных различными ис-
следовательскими организациями. На-
пример проф. Е. Патон и инж. Яцы-
на еще в 1927 году в 11 сборнике
НО трудов отдела инженерных исследо-
ваний НТК НКПС опубликовали
статью, посвященную свободным ко-
лебаниям металлических мостов, в
которой приводят график измене-
ния в зависимости от пролета мо-
ста величины, обратной величине периода, т. е. так называемой частоты
собственных свободных вертикальных колебаний исследованных ими метал-
лических железнодорожных мостов; график этот приведен на фиг. 50.
Если, пользуясь им, построить интересующую нас зависимость периода от
пролета моста, то получится достаточно близкая к прямой законность
(фиг. 51). Еще более показательными с этой точки зрения являются резуль-
таты исследований, произведенных Московским экспериментальным бюро
Института инженерных иссле-
дований. Результаты эти, опу.
бтшкованные в 1929 г. инж.
С. Бернштейном в 21 сборнике
трудов Института в статье „Ис-
следование свободных попереч-
ных колебаний пролетных стро-
ений", касаются 33 штук же-
лезнодорожных металлических
пролетных строений н также
дают довольно близкую к пря-
мой зависимость периода сво-
бодных вертикальных колеба-
ний этих мостов от их про-
лета (фиг. 52). Указанная пря-
мая довольно хорошо выража-
ется следующим эмпирическим
уравнением:
Однако, учитывая по позднейшим данным более точно распределение
опытных точек на графике, изображенном на фиг. 53\ инж. С. Берн-
* См. инж. С. Бернштейн, .О работе металлических мостов под динамической
нагрузкой*. Сборник ЦИС, 1931.
Ту
■' Ъу^х
о | J£r ;
о I ] I
о
го
40 60 80
Пролет моста б м
too
\20
Фиг. 51. Зависимость действительных периодов
свободных вертикальных колебаний мостов от
пролета моста.
Г, = 39-10-4/, (104)
70
штейн предлагает для определения величины периода Тх пользоваться не-
сколько более сложной зависимостью, определяемой следующей эмпириче-
ской формулой:
7* = (47 — 0,10/)/. Ю-* (105)
и дающей уже не прямолинейный, а слабо параболический закон измене-
ния Тх в функции /.
Заметим, что почти все изложенные выше экспериментальные данные,
касающиеся величин перио-
дов свободных вертикальных о.5г
колебаний мостов, были по-
лучены в результате обра-
ботки концевых участков ди-
аграмм прогибов и верти-
кальных колебаний, снимав-
шихся приборами Гейгера
при динамических испыта-
ниях мостов под обычной
железнодорожной нагрузкой.
Для выяснения зависимо-
сти интересующего нас пе-
риода от загружения моста
временной нагрузкой Мос-
ковским экспериментальным
бюро Института инженерных
исследований были организо-
ваны в 1927 г. специальные
ударные испытания ряда же-
лезнодорожных мостов. Во
время этих испытаний пролетным строениям сообщались свободные верти-
кальные колебания при различных положениях на мосту статической железно-
дорожной нагрузки.
Как известно, период свободных вертикальных колебаний простого бруса
пролетом /, загруженного равномерно распределенной по всему пролету
нагрузкой ду выражается так (ф-ла 93а):
1Р + Я
ал
аз
02
0.1
8>
о уГл
л*
да
о
О л
jS
О
/^
о
го
40
60
80
юо
izo
Пролет моста бм
Фиг. 52. Зависимость действительных периодов
свободных вертикальных колебаний мостов от
пролета моста (по данным С Бернштейна).
Q6
<Н
'03
-*&*
***
'
• •
•*•
•г
••
—s""~*
--Н
20 40 80 80
Пролет моста в м
100
120
МО
Й0
Фиг. 53. Зависимость действительных периодов свободных вертикальных поперечных
колебаний мостов от пролета моста (по последним данным С. Бернштейна).
71
где Тр —период собственных свободных вертикальных колебаний незагру-
женного временной нагрузкой бруса; р — погонный собственный вес бруса;
q— равномерно распределенная по всему пролету бруса погонная временная
нагрузка. Пользуясь этой формулой, можно определить для исследованных
указанным выше ударным методом мостов периоды Тр+д, если привести
временную нагрузку к равномерно распределенной по всему пролету экви-
валентной (по моменту в середине пролета). Результаты этого расчета при-
ведены в табл. 5; значения Тр брались из опытных диаграмм. В той же
таблице даны величины и действительных периодов Тр+ду измеренных при
данном загружении моста.
Табл ица 5
Пролет
моста
м
43,7
44,40
{ 54,98
| 65,74
1 8048
109,7
Р
тп\п. м.
моста
2,92
2,70
3,64
3,50
4,30
5,10
'рдейств
Р
сек.
.
0,175 \
'
0,175 |
}
0,185 }
)
\
0,280 1
J
)
0,265 1
J
^i
0,350 I
1
mjп. м.
моста
0,30
1,01
1,86
2,97
5,22
0,69
1,52
4,13
0,93
2,23
3,80
0,29
1,05
2,32
4,06
0,53
1,29
2,21
3,65
0,74
1,76
3,26
3,92
V'-f\
1,05
1,16
1,28
1,42
1,67
1,12
125
1,59
1,12
1,27
1,43
1,04
1,14
1.29
1,47
1,06
1,14
1,23
1,36
1 1,07
1,16
1,28
1,33
Т —
'р + Я —
сек.
0,184
0,203
0,224
0,249
0,292
0,196
0,219
0,278
0,207
0,235
0,265
0,291
0,319
1 0,361
0,412
0,28*1
0,302
0,326
0,360
0,375
0,406
0,448
0,466
jdeucme
Р + Я
сек.
0,181
0,220
0,270
0,270
0,290
0,180
0,265
0,320
0,212
0,250
0,270
0 290
0,320
0,350
0,380
0,270
0,295
0,330
0,355
0,380
0,410
0,460
0,480
jdeucme. К
Р + Я
Т 1
1Р + Я |
0,98
1,08
1,07
1,08
0,99
0,92
1,21
1,15
1,02
1,06
1,02
1,00 I
1,00
0,97
0,92
0,96 1
0,98 I
1,01
0,99
1,01 1
1,01
1,03
1,03
jdeucme
Соответствующее сравнение периодов, определяемое отношением !£_+_£_,
ТР + Я
оказывается весьма близким к единице, что дает возможность говорить
о полном соответствии между действительным законом изменения Tp+q
в функции q и теоретическим законом, определяемым приведенным выше
ур-нием (93), выведенным для простого бруса. Особенно наглядно этот
вывод вытекает из фиг. 54, дающей для двух мостов графическое изобра-
жение действительного и теоретического законов изменения периода Тр+Я
в функции г/; соответствующие линии весьма близки между собою.
?,
^
«>»
»51
м
£
$
§
^с
^
§
<ч
~<
ct
к?
*
,s
s?
£
^
№
Ц40
GL30
Ц20
СЦО
0
Г^^^
Г ~л
i
-,^*"^
~Щ1ж
£»43;4*
интенсивности феменной нагрузки 6 як*.
Фиг. 54. Зависимость периодов вертикальных коле-
баний мостов от интенсивности временной па-
грузки.
Следует отметить одно интересное обстоятельство *, обнаруженное в про-
цессе исследования общего вида диаграмм свободных колебаний, получен-
ных при упомянутых выше ударных испытаниях. Оказывается, что для не-
которых мостов небольших
пролетов диаграммы свобод-
ных колебаний, снятые при
ударе, заметно различаются
по своему характеру в зави-
симости от того, был ли
поезд в момент удара на
мосту или нет. Диаграммы,
заснятые в присутствии по-
езда, имеют менее правиль-
ный и спокойный вид; они
отличаются наличием вибра-
ций большой частоты на вол-
нах основных свободных ко-
лебаний моста и быстрым
затуханием. В качестве при-
мера на фиг. 55 изображены
подобные диаграммы, полу-
ченные на двух мостах про-
летом 22 и 33 м. Там же для
сравнения приведены и диа-
граммы, снятые на тех же мостах, но при отсутствии поезда; разница, как:
видим, заметная. Причина кроется в том влиянии, которое способны оказывать
колебания надрессорного строения подвижного железнодорожного состава
на колебания моста. Возник-
новение же колебаний над-
рессорного строения, стоя-
щего на мосту, в момент
удара по последнему неиз-
бежно. Совершенно ясно
также, что влияние этих ко-
лебаний на колебания моста»
должно быть тем больше*
чем меньше пролет моста,
ибо с уменьшением пролета
уменьшается и масса моста.
Между тем относительна*
энергия колебаний надрес-
сорного строения подвиж-
ного состава одна и та же и
не загисит от пролета моста.
И действительно, если взятьг
например, один из исследо-
ванных железнодорожных мо-
стов пролетом 66 м, то на-
/«22
->J\jVv~4,
ф
6)
Фиг. 55. Диаграммы вертикальных колебаний се-
редины мостов малых пролетов под действием
удара при отсутствии и при наличии поезда на
мосту; а—при отсутствии поезда, б— при наличии
поезда.
1 См. инж. Ю. Николаев, „Энергетические процессы колебаний лролетцых строе-
ний мостов", 21-й сборник трудов Инст. инж. исследов., 1929.
73
Табл
о
2
О
Схема главных ферм |^х| л I ^ I h
и с в я з е й I сек. \ м \ м \ b
F_
Для
S*3?
33,2
0,14
4,50
5,50
0,82
0,93
3,18
55,1
/^^l^N^/^
-SS.f
Ixcxixixixixixixixixl
3
0,20
8,56
5,50
1,56
1,29
6,29
109,2
,4™^
J-с™
-/092-
1ЖМХ1Ж^^
0,35
17,82
6,10
2,92
1,05
5,31
3,80
158,4
88
-/584-
0,50
24,00
8,00
3,00
1,82
3,10
4,25
<5>
74
||ЦЛ 6
**-
Ч* j
tg8f
-
■—
1,72
1,68
h'
h !
0,93
0,89
0,93
0,95
4x
1,24
1,39
1J1
1,72
Д Л Я 7)y
IF ]
^ !
8,31
13,20
10,6
12,90
F
1,08
1,64
2,76
16,90
Sc* ю
4,61
2,82
2,05
2,46
'g8?'
1,74 1
1,00
0,48
0,75
b'
b
0,90
0,90
0,86
0,87
U„ !
2,92
2,85
i 2,09
3,04
1,54
1,46
1,10
1,33
r=—T if**
0,180
0,456
1,120
2,000
75
личие подвижного состава на нем в момент удара не отразилось сколько-
нибудь заметно на правильности волн соответствующих свободных верти-
кальных колебаний, что непосредственно видно из фиг. 56; из изображен-
ных для упомянутого моста двух диаграмм свободных вертикальных коле-
баний одна была снята при отсутствии поезда на мосту, а другая при
наличии поезда. Существенной разницы в общем характере диаграмм в
данном случае уже нет.
Резюмируя все изложенное выше в отношении периодов свободных вер-
тикальных колебаний балочных металлических мостов, можем и здесь кон-
статировать наличие весьма близкого соответствия между этими мостами и
простыми брусьями, причем соответствие распространяется как на величины
периодов, так и на закон изменения их в функции различных переменных
(пролета моста, интенсивности загружения временной нагрузкой).
б) Горизонтальные поперечные колебания. Результаты экспериментальных
исследований периодов свободных горизонтальных поперечных колебаний
Фиг. 56. Диаграммы вертикальных колебаний середины моста среднего пролета при
отсутствии и при наличии поезда на мосту; я—при отсутствии поезда, 6—при нали-
чии поезда.
мостов интересны прежде всего с точки зрения выяснения соответствия их
действительной величины величине теоретической, определяемой выведен-
ной выше ф-лой (42); эта формула имеет следующий вид:
где Ту — искомый период, Тх—период свободных вертикальных колеба-
ний, h — расчетная высота фермы, b — расстояние между осями ферм, т\х
и 7] —специальные коэфициенты, характеризующие жесткость вертикаль-
ных и горизонтальных ферм пролетного строения; выражения этих коэфи-
циентов даны в § 3 (см. ф-лу 39). Там же мы указывали, что выведенная
формула для периода Т не претендует на достаточно большую точность,
так как определение поперечной горизонтальной жесткости пролетного
строения (коэфициента 7) ) может быть выполнено весьма приближенно.
Однако сравнение действительных периодов Т с соответствующими теоре-
тическими, определенными указанным выше методом, представляет несом-
ненный интерес. Считаясь с последним, мы проводим ниже это сравнение
для ряда железнодорожных мостов с ездою по низу различных пролетов.
В табл. 6 помещены для указанных мостов все данные, необходимые
для расчета Ту по ф-ле (42), а также и сами значения ТуУ причем входя-
щая в выражение (42) величина Тх определялась для каждого из поме-
щенных в табл. 6 мостов по соответствующим опытным диаграммам.
Сравнение теоретических значений Т с действительными периодами, из-
меренными на тех же мостах вибрографами Гейгера, показывает (табл. 7)
наличие между ними в некоторых случаях заметных расхождений, вызы-
ваемых, главным образом, упомянутой выше неточностью ф-лн (42), выве-
76
денной для величины теоретического периода Ту. Однако для некоторых
мостов соответствие между действительными и теоретическими периодами Ту
оказалось в достаточной степени удовлетворительным (расхождения в этих
случаях колебались от 6 до 18°/0).
Пролет моста /
м
1 -гд
1 х
Тд:Тд
1 У *
33,2
0,18
0,27
0,14
1,93
Таблица 7
55,1
0,46
0,43
0,20
2,14
87,6
0,68
0,29
2,34
109,2
1,12
0,92
0,35
2,62
126,0
_
1,05
0,40
2,62
158,4
2,00
1,23
0,50
2,46
65,9
_
0,50
0,25
2,00
Из табл. 7 можно видеть, что соотношение между величинами действи-
тельных периодов свободных поперечных горизонтальных и вертикальных
колебаний железнодорожных однопутных мостов в среднем довольно
близко к 2, колеблясь от 1,93 до 2,62. При этом нетрудно заметить,
что для мостов меньших пролетов это соотношение определенно меньше,
чем для мостов ббльших пролетов, что вполне соответствует природе
ф-лы (42), дающей заметную зависимость Ту от отношения —, имеющего
большее значение для мостов ббльших пролетов.
Приведенные в табл. 7 отношения Тд\Тдх нанесены на график, изобра-
женный на фиг. 57, из которого наглядно следует возрастание этого от-
ношения примерно до 100-метро-
вого плолета, после которого рост
прекращается, так как прекраща-
h
ется и рост отношения —, что
видно из данных табл. 6.
Если отложить по оси абсцисс
пролеты приведенных в табл. 6
мостов, а по оси ординат вели- ^
чины теоретических и действитель- ^
ных периодов Т' то получается
(фнг. 58) весьма близкая к прямо-
линейной законность. Чрезвычайно
убедительными с точки зрения
подтверждения существования пря-
молинейной зависимости между
пролетом моста и периодом соб-
ственных его поперечных горизон-
До
2р
IP
1 1 |
oi^T^H-————
40 80 120
Пролет bi моста о м
too
Фиг. 57. Зависимость отношения периодов
собственных горизонтальных (Ту) и верти-
кальных (Тх) свободных колебаний мостов
от пролета моста.
тальных колебаний являются результаты опытных исследований, произведен-
ных Московским экспериментальным бюро Института инженерных иссле-
дований в период 1927—1929 гг. над весьма значительным количеством
железнодорожных однопутных мостов. Результаты этих исследований при-
77
ведены в цитированной выше работе инж. С. Бернштейна: „О работе
металлических мостов под динамической нагрузкой", опубликованной в
сборнике трудов ЦИС НКПСстроя. Автор дает как раз очень показательный
график зависимости ог пролета
& _ моста измеренных на 72 мостах
периодов свободных попереч-
ных горизонтальных колебаний.
На этом графике, изображен-
ном на фиг. 59, большинство
точек весьма хорошо укладыва-
ется на прямую, для которой
инж. С. Бернштейн дает сле-
дующее уравнение:
7V = 8(M0-4/. (106)
Интересно отметить, что на
указанную прямую попадают
точки, относящиеся к мостам
как с ездою по низу, так и
с ездою по верху, что доста-
точно убедительно говорит о существовании одинаковой поперечной го-
ризонтальной жесткости у обоих типов мостов. Необходимо, однако,
иметь в виду то, что сделанные выводы справедливы лишь в отношении
исследованных мостов, т. е. однопутных железнодорожных. Для двухпутных
0 20 40 60 80 100 120 140 \Ы
Пролет моста б м
Фиг. 58. Зависимость периода Ту свободных
поперечных горизонтальных колебаний мостов
от пролета моста.
ir
—с—*
к
Л
\*
•
•
/4
•
Л
ш .
• А
\У
^г •
U iu CU OU t<J OU UU 'U OU XJJ 1V-AJ UU \CXJ IOU HU IJU tUU
Пролете люстоЬ б м*
Фиг. 59. Зависимость действительных периодов Ту свободных поперечных горизон-
тальных колебаний мостов от пролет! моста (по данным Бернштейна).
железнодорожных и шоссейных мостов, имеющих совсем иные соотноше-
ния между высотой и шириной, эмпирическая ф-ла (106) для периода сво-
бодных поперечных горизонтальных колебаний оказывается, вообще говоря,
уже неприменимой; другим должно получаться также и соотношение
7S
между Ту и Тх. К сожалению, исследований подобных типов мостов было
сделано очень мало, так что установить для них интересующие нас зави-
симости периодов свободных колебаний не представляется пока возмож-
ным. Для исследованных же двух шоссейных мостов периоды горизонталь-
ных поперечных свободных колебаний, приведенные в табл. 8, оказались
случайно примерно теми же, что и для соответствующих пролетов железно-
дорожных мостов; тем же оказалось и соотношение между горизонталь-
ными и вертикальными периодами (2,22 для обоих приведенных в табл. 8-
шоссейных мостов). Теоретические периоды горизонтальных колебаний,
подсчитанные в табл. 9, получились довольно близкими к измеренным
(расхождения были равны 17 °/0 в обоих случаях).
Таблица 8
Пролет моста
м
7\,:/-2* .
\ У м
7' : Т
У *
ь
85,2
0,62
0,0073
0,28
2,22
1,55
106,7
1,07
0,0100
0,45
2,22 |
1.63 j
Выше мы указывали, что соотношение между Т и Тх есть вообще пере-
менная величина, зависящая в однотипных мостах от пролета моста, при-
чем, чем меньше пролет, тем меньше и указанное соотношение. Этому
выводу вполне соответствуют данные инж. С. Бернштейном эмпирические*
ф-лы (105) и (106) периодов свободных поперечных вертикальных и гори-
зонтальных колебаний мостов. Пользуясь этими формулами, получаем такое-
соотношение между Ту и Тх:
80-Ю-4/
Т„
(47 — 0,10/)-10-*/
80
47 — 0,10/'
(107)
зависимость которого в функ-
ции пролета графически изо
бражается кривой, приведенной
20 40 60 80 100 120 W0 *60
Пролет моста ом
v , о/ч ' ti Фиг. 60. Зависимость отношения периодов Т^
на фиг. 60 и дающей возраста- и ^ от пр0лета моста по данным БернштейнаГ
ние рассматриваемого отноше-
ния с увеличением пролета моста. Однако если сравнить кривую фиг. 60
с соответствующей же кривой, приведенной на фиг. 57 и дающей зависи-
мость отношения между действительными периодами Т и Тх для ряда
однородных однопутных железнодорожных мостов, то получается опреде-
ленная разница в общем характере кривых: в первом случае (фиг. 60)-
имеем кривую, обращенную выпуклостью вниз, и во втором случае (фиг. 57)—
выпуклостью вверх. Здесь, вероятно, сказалась массовость тех опытов,
79
Табл
с
Е
Схема главных ферм
и связей
Т
1 х
сек.
h
м
Ъ
м
Ь
Для
F
Sc*i
85,2
в S3
-6S2-
Ixixixixixixixixixixl g
0,28
10,06
6,50
1,55
1,52
2,77
106,7
ШГ
"в
5
-Ю67-
Ixixixixixixixixixixis
0,45
10,651 6,53 I 1,63
1,40
2,89
в результате которых отношение Ту:Тх определяется эмпирической
ф-лой (107); эта массовость, смешавшая в одну кучу мосты, разнородные
■по своим геометрическим соотношениям
(т. т)«
весам, затушевала
влияние имевшейся между ними с этих точек зрения разницы.
в) Колебания боковой качки. Исследование опытных диаграмм вертикаль-
ных колебаний со следами боковой качки интересно, прежде всего, с точки
зрения определения по ним величины периодов этой качки. Это, как указы^
валось выше, можно сделать, измерив в опытной диаграмме период суммар-
ных колебаний Х2 и период биений ХЛУ по которым интересующий нас пе-
риод колебаний боковой качки Т определяется по ф-ле (76), имеющей
•следующий вид:
хлх2
(76)
а также период свободных вертикальных колебаний — по формуле (75):
Т =
"*1 — Х2
(75)
Вычисленные таким образом значения Т и Тх для ряда мостов различных
пролетов приведены в табл. 10; в этой же таблице дано и соотношение между
S0
И11А 9
*ж
ltg«?
I —
1 —
h' !
Л
0,89
0,89
1*
1.29 i
1,28
ДЛЯ T]y
F
8,30
11,81
F
F
г Р
2,67
3,49
Sc*<f
1,99
1,61
tg3?
0,44
0,23
V \
b
0,90
0,88
Tiy
1,90
1,97
Г Ъх
1,21
1,24
0,53 1
t
0,91 1
I
T9 и 7*, оказавшееся, как и следовало ожидать, весьма близким к единице.
В связи с этим можно считать, что и закон изменения периода боковой
Табл и ца 10
Пролет моста
м
Т в сек
\ т1
7\ : Тт
87,6
0,33
0,,9
1,14
109,2
0,38
0,35
1.08
126,0
0,40
0,40
100
158,4
0,59
0,50
1,18
качки Г? в функции пролета моста почти тог же, что и периода вертикаль-
ных колебаний Тх. Последнее подтверждается графиком 2, изображенным
на фиг. 61 и дающим для ряда мостов опытную зависимость Т от пролета
моста. Зависимость эта, как видим, весьма близка к прямолинейной. Замет-
1 График заимствован из статьи инж. С. Бернштейиа „Колебания и динамический
расчет железнодорожных металлических мостов*. Вып. 143, Инст. трансп. строитель-
ства НК11С, 1930.
6 С. А. Илг.ясевич Q-
иыя интерес далее представляет сравнение приведенных в табл. 10 значе-
ний опытных периодов Т для исследованных мостов с соответствующими
теоретическими их значениями, определенными по выведенной выше ф-ле (69),
дающей непосредственно соотношение между Т и Тх в следующем
виде:
+(i)
2 1 +
ш
(69)
где р — отношение между поперечной горизонтальной и вертикальной жест-
костями пролетного строения, которое может быть определено по отноше-
нию квадратов периодов соответствующих свободных поперечных вертикаль-
ных и горизонтальных колебаний, т. е.
Р= т-
Пользуясь приведенными выражениями, мы определили для мостов, фигу-
рировавших выше в табл. 10, теоретические периоды Г; входящие в ф-лу (69)
значения перио-
~" дов Тх брались
из опытных дан-
ных (из табл. 3).
Результ аты
расчета сведены
в табл. 11, из
которой можно
видеть, что опыт-
ные значения Т^
достаточно близ-
ки к теоретиче-
ским, так что наи-
большее расхож-
дение для иссле-
дованных мостов не превосходило 14 °/0. Эту цифру следует признать
вполне удовлетворительной, если принять во внимание определенную при-
ближенность ф-лы (69), при выводе которой, как известно (§ 4), был
сделан ряд существенных допущений.
—I j ^^г—»
I « I I I—^ 1 I j
ЭД 3D 40 50 60 70 80 90 100 \Ю 120 130 140 150 160
пролет моста о л
Фиг. 61. Зависимость периодов Гф свооодных колеоаний ооко-
вой качки от пролета моста (по данным Берн штейна).
Мосты
7L по ф-ле (69) в сек. . . .
Т измеренное , ...
Отношение Тдейсг1в': Ттеор' .
1 ? ф
Таблица 11
i " |
Железнодорожные 1
87,6
0,29
0,33
1.14
109,2
0 36
0,38
1,03
126,0
0,42
0,40
0,95 ''
158,4
0,52 \
0.59
1,13
82
Резюмируя все изложенное относительно опытных значений периодов
свободных колебаний мостов, можно притти к выводу, что и здесь имеет
место весьма близкая аналогия между балочным мостом и соответствующим
простым пространственным брусом, свободно опертым по концам. Расхож-
дения объясняются, с одной стороны, вынужденной приближенностью выве-
денных формул, с другой стороны, неточностью измерений периодов в про-
цессе опыта (неточность отметок времени на диаграммах колебаний, неточ-
ность производства самого измерения). Следует, однако, отметить, что
более серьезная роль принадлежит все же первой причине.
11. О природе и величине скорости затухания свободных
колебаний мостов
Как указывалось выше, свободные колебания моста, как и всякого мате-
риального тела, всегда обладающего теми или иными сопротивлениями —
внутренними и внешними, совершаются не с постоянными, а с постепенно
уменьшающимися, затухающими амплитудами. Внутренние сопротивления
это, главным образом, те силы трения, которые имеют место, с одной
стороны, во взаимных соединениях элементов (в клепанных металлических
мостах — в заклепочных соединениях), а с другой стороны, в самом мате-
риале, в данном случае — в металле. К разряду внешних сопротивлений
следует отнести трение, существующее в точках опирания главных ферм
(трение качения в подвижных опорах — при Катковых опорных частях,
трение в шарнирах при повороте концов ферм), к разряду же внешних
сопротивлений необходимо отнести также и лобовое сопротивление воздуха.
При рассмотрении свободных колебаний простых брусьев мы указывали,
что затухание этих колебаний определяется так называемым декрементом
затухания, представляющим произведение периода Т на коэфициент е. По-
следний характеризует собою приведенную к середине пролета силу, экви-
валентную действию имеющихся в мосту внутренних и внешних сопроти-
влений и отнесенную к единичной скорости колебаний и единичной массе
моста. Там же мы отметили, что чем больше декремент затухания 7>,
тем скорее затухают колебания и наоборот. Бернштейн, пользуясь суще-
ствованием установленной им прямолинейной зависимости между периодом
свободных поперечных горизонтальных и вертикальных колебаний однопут-
ных железнодорожных мостов и пролетом последних, предлагает •преде-
лять для исследуемых мостов не декременты затухания Ге, а произведения
z = /е, которые он называет скоростью затухания. Так как е измеряется
1 / сила \
в — (— ) , то величина z имеет измерение скорости.
сек \ скорость х масса/
Вопрос об экспериментальном изучении затухания свободных колебаний
мостов встал перед Институтом инженерных исследований в тот момент,
когда он должен был перейти к установлению более надежных характеристик
общего состояния мостов. Это было вполне естественно, если принять во
внимание, что именно скорость затухания свободных колебаний есть при-
знак, так или иначе оценивающий величину имеющихся в мосту сопро-
тивлений, причем в последние, как указывалось выше, входят и силы трения
в заклепочных соединениях, т. е. те силы, которые являются, несомненно,
весьма важными с точки зрения состояния самих заклепочных соединений,
а следовательно, и всего моста. Впервые подобный взгляд на возможности,
стоящие перед изучением затухания свободных колебаний мостов, был вы-
6* 88
сказан инж. И. Рабиновичем в докладе, прочитанном им на съезде мосто-
испытателей в 1927 г. и посвященном выяснению связи между динамикой и
состоянием моста1. В этом докладе И. Рабинович останавливается на из-
вестных опытах F6ppl, посвященных изучению так называемой поглощаю-
щей способности металла. Природа этого понятия определяется фактом
существования сравнительно быстрого затухания тех колебаний, которые
получает, например, металличес ий брус в результате того или иного на
него воздействия. Этот факт затухания колебаний говорит о том, что со-
общенная металлическому брусу в форме указанных колебаний энергия
в конце ю 1Цов остается в нем, поглощается им. Во что жг обращается
эта попкщзнная металлом энергия? В работу сил трения, имеющихся
в брусе, которая, в свою очередь, переходит в теплоту, выделяющуюся за-
тем в окружающее пространство.
Foppl удавалось в своих опытах даже измерять количество этой выде-
ляющейся теплоты на образцах, подвергавшихся колебаниям кручения. В
результате подобных исследований оказалось, что различные сорта стали
выделяют, вообще говоря, различное количество тепла.
Далее Fuppl установил, что поглощающая способность металла возрастает
с увеличением тех напряжений, при которых происходят колебания, и
с увеличением числа колебаний, сообщенных образцу. Последнее обстоятель-
ство и было, повидимому, одним из главных оснований, позволивших
инж. Рабиновичу высказать предположение о том, что в металле старых
мостов, испытавших в продолжение своей жизни значительное (порядка
сотен миллионов) число колебаний, последние должны затухать быстрее,
чем в более молодых по возрасту мостах. Красной нитью в упомянутом
выше докладе Рабиновича, представляющем, несомненно, громаднейший ин-
терес с точки зрения выяснения тех путей, по которым должно быть на-
правлено изучение проблемы связи между динамической работой моста,
его конструкцией и состоянием, проходит мысль о колоссальной роли за-
клепочных соединений в этой проблеме. Он вплотную ставит в порядок
дня исследователей динамической работы мостов вопрос об эксперименталь-
ном изучении сравнительного распределения поглощающейся мостом энер-
гии между металлом, как материалом, и заклепочными соединениями, при-
чем на основании имеющихся данных о статической работе последних
Рабинович считает вполне вероятным, что ббльшая часть указанной энер-
гии должна восприниматься заклепочными соединениями, особенно стыко-
выми и прикрепляющими. В самом деле, ведь именно в этих местах, как
известно, даже при статическом действии нагрузки имеются весьма большие
напряжения, превышающие предел пропорциональности. При динамическом
действии нагрузки эти напряжения должны быть еще больше. Но, как упо-
мянуто выше, F6ppl показал, что поглощающая способность металла воз-
растает с увеличением напряжений. С этой точки зрения вполне естественно
сделанное Рабиновичем предположение о наличии большей поглощающее
способности в заклепочных соединениях. Кроме этого, работа заклепочных
соединений отличается от работы металла в целом его, монолитном виде
еще одним чрезвычайно важным признаком. В настоящее время уже довольно
хорошо известно, что работа заклепочных соединений отступает от зако-
1 Доклад этот напечатан во 2 сборнике отд. инж. исслед. НКП-^ под название л
„Некоторые соображения о связи ме-кду состоянием металлических пролетных строе-
ний и их колебаниями".
84
нов упругости даже в пределах обычных напряжений, что в этой работе
•бнаруживается явление гистерезиса, характеризующее затрату энергии
в необратимой форме. Для примера приводим на фиг. 62 два графика *,
дающие зависимость между усилиями и деформациями, измерявшимися не-
посредственно в стыке (расхождение стыка) и в целой части элемента, вне
стыкового соединения. Из
этих графиков можно ви-
деть, что при полном
цикле изменения усилия
(от нуля до некоторого
максимума и обратно до
нуля) деформация в сты-
ке дает характерную пет-
лю гистерезиса, деформа-
ция же в целой части
того же элемента подоб-
ной петли не дает. Таким
образом в заклепочных
соединениях мы, действи-
тельно, имеем дело с не-
упругой работой, с за-
тратой части ее в необ-
ратимой форме на трение
в заклепочном соедине-
нии. Это обстоятельство
является второй причи-
ной, позволяющей утвер-
ждать, что поглощаемая
мостом в процессе коле-
баний энергия в большей
своей части должна вос-
приниматься его закле-
почными соединениями.
В конце своего сооб-
щения Рабинович, касаясь
общего характера свобод-
ных колебаний, высказы-
вает предположение, что
„по мере увеличения сте-
пени расшатанности мо-
ста работа сил трения в
заклепочных соединениях,
не зависящая от скорости
деформаций, должна возрастать и поэтому должно становиться заметнее, что
свободные колебания обрываются, а не сходят на-нет". Иначе говоря,
в расшатанном мосту скорость затухания должна быть больше. Под опре-
делением „расшатанный мост" следует подразумевать мост с расшатавши-
мися, слабыми заклепочными соединениями.
Усилие JfbmoH
Фиг. 62а.
* Графики взяты из нашей работы: „Сдвиги в заклепочных соединениях мостов*,
помешенной в 31-м сборнике Инст. инж. исследов., 1931.
85
Здесь, однако, возникают некоторые вопросы. В самом деле, ведь инте-
ресующими нас сопротивлениями в заклепочном соединении являются, глав-
ным образом, те силы трения, которые имеют место, с одной стороны, между
поверхностями склепываемых элементов, а с другой стороны, между голов-
ками заклепок и наружными поверхностями тех же элементов; Совершенно
ясно, что эти силы трения будут тем больше, чем лучше поставлены и
лучше сидят заклепки, т. е. чем лучше заклепочное соединение. Отсюда
непосредственно выте-
35J 1 Г I кает, что более удовле-
творительные закле-
почные соединения, да-
ющие большие силы
трения между поверх-
ностями склепываемых
элементов, должны при
прочих одинаковых ус-
ловиях (т. е. при оди-
наковых деформациях
в самих соединениях)
действовать не пони-
жающим, а повышаю-
щим образом на ско-
рость затухания свобо-
дных колебаний, так
как поглощающая спо-
собность ззклепочных
соединений с большей
работой сил трения
выше. Однако тут есть
одно обстоятельство,
которое лишает этот
вывод необходимой
определенности. Дело
в том что при ухуд-
шении заклепочных
соединений пролетное
строение начинает при-
ближаться к характеру
пролетного строения с
болтовыми узлами. Между тем легко себе представить, что свободные
колебания подобных мостов должны совершаться при наличии значительного
затухающего влияния колебаний отдельных стержней, составляющих бол-
товое пролетное строение. Кроме того, при расшатанных слабых закле-
почных соединениях работа сил трения увеличивается за счет увеличения
деформаций в заклепочных соединениях. Пролетное строение с шарнир-
ными (болтовыми) узлами, воэбще говоря, будет менее упругим телом по
сравнению с обычным пролетным строением, имеющим жесткие клепаные
узлы. Таким образом с этой точки зрения худшие заклепочныз соединения,
приближающиеся к упомянутым шарнирным (болтовым), должны также уве-
личивать скорость затухания свободных колебаний. Эга неопределенность
уменьшает, конечно, ценность скорости затухания свободных колебаний,
86
ЧсилияЯбтон
Фиг. 626.
как показателя качественного состояния моста, а если к тому же принят»
во внимание то обстоятельство, что скорость затухания, как отмечалось
выше, зависит не только от сопротивлений, имеющихся в заклепочных
соединениях, но и от внутренних сил трения в самом металле, а также
от внешних сопротивлений в виде трений в опорных частях и давления воз-
духа, то более чем осторожное отношение к скорости затухания свободных
колебаний мостов, как к качественному показателю их состояния, становится
неизбежным. Однако все же первые исследования затухания свободных ко-
лебаний мостов были выполнены под углом зрения установления зависи-
мости между скоростью затухания и состоянием моста. Наиболее характер-
ным в этом отношении является исследование, опубликованное Бернштей
ном в 1929 г. под заглавием: „Свободные поперечные колебания мостов-.
В этой работе автор, подходя к затуханию колебаний, как к показателю
общего состояния моста, дает результаты исследования действительных зна-
чений скоростей затухания свободных поперечных горизонтальных колеба-
ний для значительного количества разнообразных однопутных железнодо-
рожных мостов.
Под скоростью затухания автор, как указывалось выше, подразумевал
произведение:
z = hy
причем коэфициент е он определял следующим образом. Так как при су-
ществовании прямой пропорциональности между сопротивлениями и ско-
ростью колебаний имеет место зависимость:
где к — соотношение между двумя рассматриваемыми амплитудами, принад-
лежащими данным затухающим колебаниям, то
-а£гг
причем (п—г) Г есть не что иное, как промежуток времени, соответствую-
щий уменьшению амплитуды уг в k раз. Задаваясь k = 2 и измеряя на
опытных диаграммах свободных поперечных горизонтальных колебаний про-
межутки времени (п — г) Т, соответствующие уменьшению амплитуды коле-
баний в два раза, Бернштейн определял значение коэфициентов е, а затем
и z = /s. В результате был получен график скоростей затухания рассмот-
ренных горизонтальных колебаний, изображенный на фиг. 63; на графике
величины z для исследованных мостов нанесены в функции пролета. Из
графика можно прежде всего заметить отсутствие какой-либо зависимости
скорости затухания z от пролета моста.
Исследуя далее этот график одновременно с имевшимися характеристи-
ками общего состояния мостов, Бернштейн обнаружил, что наибольшие
скорости затухания имели место в мостах, подвергавшихся ранее, во время
гражданской войны взрывам и затем капитально восстановленным, а также
в мостах, находившихся по данным наружного освидетельствования в не-
достаточно удовлетворительном состоянии (среди этих мостов были резко
проржавевшие, с значительным количеством слабых заклепок). Но в то же
87
время в группу мостов с высокими скоростями затухания попали и совер-
шенно новые, только что собранные мосты, не имевшие никаких дефектов
и находившиеся по данным приемочных освидетельствований в вполне хоро-
шем состоянии. Это последнее обстоятельство делает изложенную картину
результатов опытных исследований скоростей затухания свободных колеба-
ний недостаточно понятной. Здесь можно расс>ждать так: в новом, только
что собранном мосту слабых заклепок в большом количестве быть не может,
следовательно, те силы трения, которые имеются в заклепочных соединениях
и о которых мы говорили выше, должны быть в новом мосту наибольшими;
работа этих сил (при наличии деформаций в заклепочном соединении) будет
значительной, а скорости затухания таких мостов будут более высокими.
Однако рассуждать можно и иначе. Дело в том что достаточно много-
численные данные опытных исследований обнаруживают в только что соб-
ранных металлических мостах наличие относительно больших упругих про-
U)
II
28
24
20
16
12
8
4
0
(
)
t
i
: ,
\ <
> <
(
ч
>
l
)
ъ
1 *
о
•1
22 33 44 55 65 7780 87 ' 109*
Пролет моста
Фиг. 63. График скоростей затухания свободных поперечных горизонтальных коле-
баний железнодорожных мостов различных пролетов и различного состояния.
гибов по сравнению с мостами, прослужившими уже некоторое количество
лет. Это обстоятельство дает основание думать, что состояние заклепочных
соединений этих мостов приближает работу их к работе моста, имеющего
шарнирные узлы. Здесь следует отметить, что как раз только что собран-
ные мосты дают очень часто конструктивные поправки прогибов (т. е. от-
ношение между измеренными и теоретическими прогибами, рассчитанными
для моста шарнирной схемы) весьма близкими к единице '. Это обстоятель-
ство дало повод и Бернштейну и еще ранее инж. Ю. Нилендеру 2 пред-
ложить такую гипотезу: в новых, только что собранных мостах заклепоч-
ные соединения еще не успевают сработаться, настроиться; в первые моменты
жи8ни сооружения заклепки работают резко неравномерно, одни сильно
перегружаясь, другие, наоборот, недогружаясь; в результате деформации
1 См. инж. С. Ильясевич, .Исследование прогибов сквозных ферм*, сб. трудов
Инст. инж. исследов. НКПС.
1- См. инж. Ю. Нилендер, .Вертикальная жесткость мостов-, сб. трудов бюро инж.
исследов. НКПС.
88
в подобных заклепочных соединениях растут, увеличиваются вследствие
этого и прогибы; однако по прошествии того или иного промежутка вре-
мени, зависящегг от интенсивности движения по мосту нагрузки, работа
заклепочных его соединений под влиянием указанной нагрузки приобретает
более нормальный, равномерный характер, деформации в заклепочных сое
динениях, а следовательно, и прогибы, уменьшаются. Таким образом под-
тверждением этой гипотезы могло бы служить обнаружение факта увели-
чения вертикальной жесткости новых мостов по прошествии некоторого
промежутка времени (1—2 года). Подобное явление было, действительно»
обнаружено нами на одном из новых железнодорожных мостов *, в котором
были измерены статические прогибы в момент производства приемочного
испытания и через 2 года после этого. Соответствующее сравнение проги-
бов показало увеличение вертикальной жесткости ферм моста в момент
второго испытания в среднем на 15%. Один мост, конечно, не дает воз-
можности утверждать, что высказанная гипотеза справедлива. Однако мы
имеем аналогичные же данные по другим мостам, полученные другими,
исследователями (инж. Некрасовым, проф. Н. Беляевым).
Таким образом пока оснований к отбрасыванию упомянутой гипотезы не
имеется. В результате приходим к выводу, что высокие значения скорости
затухания свободных колебаний в новых, только что собранных мостах
могут быть объяснены двояко: или за счет большей работы сил трения
в заклепочных соединениях, имеющих очень небольшое количество слабых
заклепок, или за счет приближения нового, только что собранного моста
к шарнирной схеме, к схеме с болтовыми узлами. Как видим, в достаточной
степени яркая неопределенность. Вот почему с весьма большой осторож-
ностью нужно отнестись к выводам Бернштейна относительно тех значений
скорости затухания свободных поперечных горизонтальных колебаний,
которые характеризуют в одном случае, при z до 8 м\сек нормальное
здоровое состояние моста, в другом случае, при z^>S м\сек—ненормаль-
ное, менее удовлетворительное его состояние2. Мы думаем, что вопрос
этот еще требует весьма больших и тонких исследований, поставленных
в таких условиях, при которых можно было бы изучить влияние заклепочных
соединений на скорость затухания свободных колебаний. Мы мыслим себе
это исследование в виде испытания различных балочек, из которых часть
должна быть взята из целого прокатного железа, без единой заклепки,
часть из клепаного металла, но тех же основных размеров. Весьма интересно,,
кроме того, менять в указанных балках число заклепок, так как при этом
будет меняться и величина работы тех сил трения, которые, как указывалось
выше, имеют место в каждом заклепочном соединении и которые непосред-
ственно влияют на величину скорости затухания свободных колебаний балки.
Ввиду того что влияние остальных факторов, определяющих скорость за-
тухания, в данном случае, т. е. в обстановке лабораторных опытов, может
быть сведено к одной и той же величине, имеются все основания пред-
полагать вполне возможным получение таким методом оценки влияния
заклепочных соединений на скорость затухания свободных колебаний балки.
* См. инж. С. Ильясевич. .Исследование прогибов сквозных ферм", сб. трудов
Инст. инж. исследов. НКПС.
* В цитированной выше более поздней своей работе Бернштейн также приходит
к выводу о том, что судить о состоянии ваклепочных соединений по коэфициенту
ватухания колебаний невозможно.
89
Еще более яркой эта оценка должна получиться при сравнении скоростей
затухания балок прокатных и клепаных тех же размеров, имеющих ряд
стыков по длине. Вполне возможна также постановка сравнительных ис-
следований скорости затухания свободных колебаний клепаных балок и балок,
имеющих вместо заклепок болты, причем степень натяжения последних
также можно варьировать, варьируя тем самым и силу трения в соеди-
нении. Вообще, как видим, подобные исследования лабораторного типа
могут дать чрезвычайно ценные опытные материалы, без которых суждения
о природе скорости затухания и о зависимости ее от заклепочных сое-
динений будут носить весьма неопределенный, беспочвенный характер.
С этой точки зрения производство указанных лабораторных исследований
следует рассматривать неизбежной и первоочередной работой того иссле-
дователя, который попытается углубить изучение скорости затухания сво-
бодных колебаний мостов.
К сожалению, до сих пор к этому делу никто еще, насколько нам
известно, не приступил.
В последнее время перед изучением затухания свободных колебаний
мостов была поставлена другая, более простая задача, сводившаяся
к опытному измерению коэфициентов затухания г, входящих, как увидим
ниже, непосредственно в формулы, определяющие динамическое воздействие
нагрузки на мост. Так как практически наибольший интерес представляет
динамическое воздействие нагрузки в вертикальном направлении, то на
соответствующие коэфициенты е и было обращено основное внимание. Для
разрешения задачи Московским экспериментальным бюро Института инженер-
ных исследований были произведены специальные динамические испытания
ряда однопутных железнодорожных и шоссейных мостов; свободные коле-
бания их вызывались как подвижной обычной нагрузкой (поезд, грузовики,
лошади, толпа), так и ударным воздействием, путем сбрасывания на мост
10-пудовой чугунной бабы. Коэфициенты s определялись по приведенному
выше выражению:
_ In fe _ In 2 _ 0,693
*~ (n — r)f~(n— r)l'" in —г) T'
Результаты этих исследований дали возможность прежде всего обнаружить
существование определенной зависимости между коэфициентом s и пролетом
моста. Это ясно следует из прилагаемого при этом графика, изображенного
на фиг. 64а. На нем как раз нанесены полученные указанным выше методом
коэфициенты е в функции пролета мостов, отдельно для железнодорожных
и шоссейных. Картина получилась в достаточной степени показательной:
для исследованных как железнодорожных, так и шоссейных мостов коэфи-
циенты затухания г падают с увеличением пролета моста примерно по
гиперболическому закону. Коэфициент е, как указывалось выше, в конце
концов есть не что иное, как удельное сопротивление, имеющееся в мосту,
т. е. величина такой приведенной к середине пролета моста силы, которая
эквивалентна действующим в нем внутренним и внешним сопротивлениям,
приходящимся на единицу скорости колебаний и на единицу приведенной
к середине пролета массы моста. Поэтому падение е с пролетом говорит
о наличии в мостах ббльших пролетов меньших удельных сопротивлений;
иначе говоря, с увеличением пролета моста влияние сопротивлений на за-
тухание свободных его колебаний уменьшается. При очень больших пролетах
90
характер свободных колебаний моста уже должен приближаться к колебаниям
иаеального моста, не обладающего никакими сопротивлениями.
)!1з рассмотрения того же графика фиг. 64а обнаруживается заметная
разница между величинами коэфициентов затухания железнодорожных и
шоссейных мостов, в последних эти коэфициенты определенно ниже. Таким
образом свободные колебания шоссейных мостов затухают медленнее мостов
железнодорожных (конечно, при сравнении одних и тех же пролетов). Чем
это можно объяснить? Только различной вертикальной жесткостью указан-
ных мостов, создающей в них и разные по абсолютной величине прогибы
и периоды собственных свободных колебаний. По существу выбор пролет*
моста в качестве аргумента при изучении законов изменения 8 нельзя при-
знать удачным; он оказался более или менее удовлетворительным только
потому, что исследованные мосты как
железнодорожные, так и шоссейные
были однородны по своей жесткости. Н
\
•
lO
S
О-Желдф. afaonjiocn
%-шоссейное люсп,
oN
V
V
л
•
ы
ы
ш
02
i
I
л
\ь
.
о-жДмсстЬ/\
%—ш
о
^
сое-
"*""*■" 1
О 20 40 60 80 90 100 «20 140 «60
Пропет моста ом
<Рй1. 64а. Зависимость коэфициентов за-
тухания г свободных вертикальных ко-
лебаний железнодорожных и шоссейных
мостов от пролета моста.
а
калгГгвсек
Фиг. 646. Зависимость коэфициентов
затухания е свободных вертикальных ко-
лебаний железнодорожных и шоссейных
мостов от периодов свободных вертикаль-
ных колебаний Тх мостов.
Правильнее было искать зависимость* от периода свободных колебаний,
в этом случае точки, соответствующие шоссейным мостам, не выпадают из
закона, получаемого для железнодорожных мостов, что ясно видно из гра-
фика, изображенного на фиг. 646. Закон этот примерно тот же, что и закон
изменения в функции пролета моста. Это вполне понятно, так как изве-
стно, что между периодом свободных колебаний и пролетом моста суще-
ствует достаточно близкая к прямолинейной зависимость.
Таким образом приходим к выводу, что коэфициент затухания свободных
колебаний е непосредственно зависит от периода этих колебаний, но пе-
риод Т сам, как известно (выражение [81]), зависит от прогиба моста
(в данном случае прогиба от постоянной нагрузки — собственного веса
моста), причем, чем больше прогиб, тем больше и период. Поэтому можно
считать, что коэфициенты затухания (удельные сопротивления) падают с уве-
личением абсолютной величины прогиба от собственного веса.
91
До сих пор мы интересовались коэфициенюм затухания свободных вер-
тикальных колебаний. Если перейти к подобным же коэфициентам свободных
поперечных горизонтальных колебаний, то здесь прежде всего сразу же
мвжно сказать, что они должны быть по своей величине больше, так как
периоды этих колебаний значительно выше, чем вертикальных, а мы уста-
новили определенную зависимость коэфициента затухания от периода.
И действительно, результаты опыта подтверждают это заключение. Для дока-
зательства приводим в табл. 12 сравнение абсолютных значений коэфициен-
тов с для вертикальных и поперечных горизонтальных колебаний исследо-
ванных выше мостов
Таблица 12
Мосты
Коэфициент tx
(верт.) в . . .
* r J сек.
Коэфициент ty
(гориз.) в . .
1 сек.
1 Пролеты мостов в м
Железнодорожные
t 0,61
0,16
55,1
0,59
0,15
65,9
0,26
0,08
87,6
0,30
0,07
109,2
0,16
—
126,0
0,02
—
158,4
Шоссейные 1
0,18
0,10
53,5
0,16
0,06
85,0
0,06
0,03
109,0
Из табл. 12 видно, во-первых, что коэфициенты е затухания поперечных
горизонтальных колебаний заметно выше коэфициентов гх, полученных
для вертикальных колебаний; во
ВД| | | | II I I I вторых,— что коэфициенты гу
имеют, примерно, ту же зависи-
мость от пролета моста, что и
коэфициенты е . Более ясно это
следует из графика, изображен-
ного на фиг. 65, дающего интере-
сующую нас зависимость гу от
пролета моста; получается, как
видим, такая же гиперболического
вида кривая, убывающая с про-
летом. Однако здесь уже точки,
соответствующие шоссейным мо-
стам, не вылезают сильно из кри-
вой, полученной для железнодо-
рожных мостов. Объясняется это
тем, что поперечная горизонталь-
ная жесткость исследованных шос-
сейных мостов не сильно отлича-
ется от таковой же жесткости
мостов железнодорожных. Это не-
посредственно вытекает из срав-
нения отношений — (где b — ширина, а / — пролет моста), определяющих
указанную поперечную горизонтальную жесткость; из табл. 13, в которой
92
Еу{
fy
voce.
lO
'Ma
люф
«*0
о\
*^
Cfc
чд.м
•ik-
ОЩ
1
а
"* 0 20 40 60 80 100 120 МО Ю0
Пролет люс/va 6м>
Фиг. 65. Зависимость коэфициентов затуха-
ния ty свободных поперечных горизонталь-
ных колебаний ж.-д. и шоссейных мостов
от пролета моста и сравнение гу с ъх (коэфи-
циентом затухания вертикальных колебаний).
далы эти отношения, видно, что для исследованных железнодорожных и
шоссейных мостов одних и тех же пролетов величины -у были, примерно,
одного и того же порядка.
Мосты
1 Пролеты мостов
1 Отношение -у • .
Т
\БЛИЦА 13
Железнодорожные
i 55,1
Чи>
65,9
|П,8
87.6
11
|15,4
109,2
1.
17.9
126.0
1,
|18,5
158,4
|19,8
Шоссейные
53,5
85,2
1!
113.1
106,8
116,4
Изображенная на фиг. 65 зависимость опытных коэфициентов затухания е
от пролета моста в виде кривой гиперболического характера не меняется
и в случае построения зависимости в от периода Ту собственных свободных
поперечных горизонтальных колебаний моста.
100
0.90
ОМ
0.10
0.60
030
оло
0.30
0.20
о. to
000 г ч в в
W V&
1 И
1 и II
1CKI 1 II '7*
Ш\У\
? 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 И"722\
ч| \ Н
10 12 14 16 18 20 22
N* колебаний
2 4 6 8
10 12 14 16 18 20 22
N* колебаний
Фиг. 66.
Здесь уместно отметить, что полученное таким образом определенное
падение козфициента гу в функции пролета и периода Ту моста находится
в соответствии с изложенным выше выводом Бернштейна, касающимся
скорости затухания свободных поперечных горизонтальных колебаний мостов,
т. е. величины z = e/, исследованной им для значительного количества
однопутных железнодорожных мостов. Как указывалось выше, Бернштейн
пришел к заключению, что скорости затухания z не меняются с пролетом мо-
ста; так как 8, как обнаружилось, гиперболически зависит от/, то величина
z = le и не должна меняться с пролетом моста.
В заключение считаем необходимым указать еще на один метод опреде-
ления интенсивности затухания свободных колебаний мостов. Метод этот,
93
предложенный инж. Николаевым *, заключается в построении кривой зави-
симости величин Г-Ч от л, где уп — амплитуда колебания, имеющего
№
номер пу ауг—амплитуда первого (наибольшего) колебания, и в опреде-
лении отношения площади полученной диаграммы (ограниченной указанной
выше кривой и координатными осями) к площади, соответствующей одному
первому колебанию. Нетрудно себе представить, что отношение указанных
площадей, названное Николаевым коэфициентом площади затухания, должно
характеризовать скорость затухания колебаний; чем больше это отношение,
тем меньше скорость затухания. С другой стороны, кривая значений (—J
в функции числа колебаний дает представление о рассеивании кинетической
энергии колебаний.
Ъ"~\
d г
So i
6
Ifl A
noon
о. i
теть
b 6
MOO
о
о
mob
J
о i
t 1С
** J
io" м
0
QlO
a
(
о
X^<
С
120
о
сро
О
Of
Фиг. 67. Зависимость коэфициента
площади затухания k от пролета
моста.
Фиг. 68. Зависимость коэфициента площади
затухания k от периода свободных вертикаль-
ных колебаний мостов.
Для большей ясности на фиг. 66 даны взятые из статьи Николаева кривые
расхода энергии всего процесса колебаний, построенные для двух железно-
дорожных мостов на основании соответствующего исследования диаграмм
свободных вертикальных колебаний, полученных в результате ударных
испытаний этих мостов.
Как видим, получаются гиперболического типа кривые. Если по данным,
приведенным в исследовании Николаева, построить график зависимости
коэфициентов k площадей затухания от пролета подвергнутых испытанию
мостов, то получится в общем (фиг. 67) хотя и не вполне ясная картина,
с некоторой, правда, небольшой, разбросанностью точек, но все же с опре-
деленно выраженной тенденцией роста коэфициента k с пролетом.
Подобная же картина получается и при построении графика зависимости
тех же коэфициентов k от периода свободных вертикальных колебаний
мостов (фиг. 68). Рост коэфициента площади затухания k с пролетом моста
(а также и с периодом свободных его колебдний) находится в полном
соответствии с известным нам падением коэфициента затухания е. Как
первый, так и второй законы характеризуют уменьшение скорости затухания
свободных колебаний мостов с увеличением их пролета.
* См. Г. Николаев, .Энергетические процессы колебаний пролетных строений
мостов"; 21-й сборник отдела ннж. исследов, НКПС, 1929.
94
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ВЛИЯНИЕ СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ
12. Общие соображения о динамическом воздействии подвижной
нагрузки на мосты
Мы уже подчеркивали, что практически наибольший интерес в мостах
представляют не собственные свободные их колебания, а колебания выну-
жденные, вызываемые обычно динамическим воздействием полезной подвижной
нагрузки.
Природа этого динамического воздействия на мосты чрезвычайно сложна.
Она определяется целым рядом факторов, имеющих большее или меньшее
значение. И конечно, как при изучении всякого сложного явления, изучение
и динамического воздействия подвижной нагрузки на мосты наиболее
целесообразно вести синтетическим метолом, исследуя влияние на работу
моста отдельных основных футоров, имеющих место в природе динами-
ческого воздействия подвижной нагрузки.
Какивы же эти факторы? Каковы те основные особенности, которые
отличают динамическое действие нагрузки от статического в мостах? Здесь
прежде всего, конечно, следует назвать скорость движения, т. е. самый
факт подвижности нагрузки, в корне меняющий характер работы моста по
сравнению с его статической работой. Затем идут силовые воздействия
самой нагрузки во время движения, которые даже при идеально ровном
пути резко отличаются от статического воздействия. Основное различие
заключается, во-первых, в том, что вертикальные давления, приходящиеся
на отдельные оси подвижной нагрузки, вообще говоря, переменны по-
времени, и, во-вторых,— в существовании в подвижной нагрузке, кроме
осевых вертикальных сил, еще и горизонтальных поперечных, действующих
нормально к направлению движения. Что касается переменности вертикальных
силовых воздействий подвижной нагрузки по времени, то она создается
главным образом действием инерционных сил неуравновешенных масс
движ]?щихся частей механизмов (например в паровозах — действием про-
тивовесов, кривошипа и т. п.), причем силы эти в большинстве случаев
меняются в зависимости от времени по закону, достаточно близкому
к синусоидальному с периодом, равным времени одного оборота колеса.
Природа и законы изменения горизонтальных поперечных силовых воздей-
ствий, развивающихся при движении* нагрузки, главным образом, железно-
дорожной, еще мало изучены. Они, повидимому, являются следствием,
с одной стороны, горизонтальных поперечных виляний, имеющих место
при движении железнодорожных поездов, а с другой стороны,— набегания
&5
реборд колес на головки рельсов. Можно думать, что величина указанных
горизонтальных поперечных сил не столь значительна и, кроме того, едва
ли эти силы способны обладать правильной периодической переменностью.
Между тем последнее обстоятельство, как увидим ниже, имеет весьма су-
щественное значение с точки зрения возможности сильного развития
динамического эффекта. Во всяком случае нас в дальнейшем будут инте-
ресовать только вертикальные силовые воздействия подвижной нагрузки.
Наконец третий фактор, отличающий динамическую нагрузку от стати-
ческой, это — наличие в ней ударных силовых воздействий, образующихся
прежде всего вследствие несовершенства того пути, по которому обычно
происходит движение нагрузки. В железнодорожных мостах приходится
иметь в виду, главным образом, удары при проходе колесных скатов по
рельсовым стыкам, а в шоссейных — удары при проходе колес автомашин
и других экипажей по углублениям и горбам изъезженного настила, удары
копыт лошадей и ног толпы людей. Как увидим ниже, сама по себе величина
всех этих ударов, взятых в отдельности, весьма незначительна и не способна
вызвать заметного увеличения динамического эффекта. Совсем другая,
однако, картина может получиться в том случае, когда упомянутые удар-
ные воздействия способны приобретать правильный ритм и соответствующую
критическую частоту, обусловливающую образование явления резонанса.
Таким образом природа динамического воздействия подвижной нагрузки
на мосты в вертикальной плоскости определяется следующими тремя основ-
ными факторами: 1) скоростью движения, 2) правильной периодической
переменностью развивающихся в подвижной нагрузке дополнительных
инерционных сил и 3) ударами, образующимися при проходе колес под-
вижной нагрузки рельсовых стыков (железнодорожные мосты) или впадин
и горбов в настиле (шоссейные мосты), причем сюда же должны быть
отнесены и удары, развивающиеся при движении по шоссейным мостам
толпы людей и конной нагрузки.
Из изложенного с достаточной очевидностью следует, что изучение
динамического воздействия подвижной нагрузки на мосты упирается в не-
обходимость изучения величины и характера влияния на работу моста
каждого из указанных выше трех факторов. Начнем с первого из них —
скорости движения, причем исследование будем вести исключительно на
прогибе моста в середине пролета, так как эта деформация характеризует
работу всего моста (пролетного строения) в целом.
13. Проход по идеальному мостовому брусу груза Q со скоростью v
Рассмотрение вопроса о влиянии скорости движения нагрузки на прогиб
моста начнем с простейшего случая, а именно прохода по совершенно
.ровному пути и идеальному мосту, не имеющему ни внутренних, ни внеш-
них сопротивлений, одного сосредоточенного груза Q со скоростью v.
Пренебрегая инерцией массы этого груза и обозначая пролет моста
через /, приведенную к середине пролета массу моста — через пгу верти-
кальную жесткость моста (силу, вызывающую в середине пролета прогиб,
равный единице)—через К, предположим, что инфлюентная линия прогиба
а середине пролета моста представляет собой синусоиду, выражаемую ич-
зестным уже нам ур-нием (2):
*l = $sin —, (2/
S3
где все обозначения прежние. Такое предположение в отношении вида
инфлюентной линии прогиба в середине пролета моста, вообще говоря,
не вполне соответствует истине, так как известно *, что очертание подобных
инфлюентных линий для сквозных ферм балочных мостов, т. е. таких
мостов, которые нас главным образом и интересуют, весьма близко к очер-
танию треугольному. Однако допускаемая при этом ошибка не так велика,
а в то же время синусоидальная инфлюентная линия позволяет, как увидим
ниже, ограничиться рассмотрением только одною диференциального ура-
внения и дать одно выражение для интересующего нас динамического про-
гиба. Между тем в случае треугольного очертания инфлюентной линии
пришлось бы рассмотреть отдельно случаи движения груза Q по одной
и другой половине пролета и, в соответствии с этим,— вывести два выра-
жения для динамического прогиба, что было бы, несомненно, и более сложно
и менее показательно.
При синусоидальной инфлюентной линии прогиба и при расположении
груза Q на расстоянии х от левой опоры (фиг. 69) величина приведенной
к середине пролета силы Р определится из ра-
венства:
откуда
Pi = Q5 sin
их
P=Qsin—,
или, имея в виду, что x = vt:
(109)
Фиг. 69.
•nv
P=Qsin-j-t=Q$\n$t,.
где
nv
*=т
(ПО)
(411)
Диференциальное уравнение движения середины пролета может быть на-
писано в таком виде:
(Ру
т^т +Ky=Qsin^t.
' dt*
(112)
Деля обе части уравнения на /йи обозначая
72
т
т
можно ур-ние (.112) переписать так:
— + агу==Аь[п$,
(113)
причем здесь а, как известно, есть частота (в 2гс секунд) собственных
свободных вертикальных колебаний моста.
* См. инж. Качурин. Сборник трудов отд. инж. исследов. НТК НКПС.
/ С. А. Цльясевич 97
Общий интеграл ур-ния (113) имеет следующий вид:
У^^^пп^ + С^'+С^-*. (114)
Постоянные интегрирования Cj и С2 могут быть определены по двум
начальным условиям:
1) * = 0; у = 0;
2) < = 0; £ = 0.
Первое условие дает
С,+ <?,= <>. (115)
Так как
то второе условие дает
-^j2 + C,ai-C2ai = 0. (116)
Совместное решение ур-ний (115) и (116) приводит к следующим зна-
чениям Сг и С2:
с- А*
1 2а* (а2 — Р2)
и (117)
С- I А*
2 ^2а/(а2—р2)*
Вставляя найденные значения С, и С2 в ур-ние (114), получаем
или
А ■ о, л?
-v=idr^(sin^-!sina')- <118>
Вставляя вместо Л его значение — и вместо та7 — величину К> полу-
ш
При ^=0, т.е. при (5 = 0, выражение (119) принимает следующий вид:
Q • о* ^> • ™х
у — — sin р/ = Qosin—-,
т. е. обращается в выражение статического прогиба.
98
чаем
Вообще говоря, ур-ние (119) есть не что иное, как уравнение линии
изменения прогиба середины моста при движении по нему сосредоточен-
ного груза Q со скоростью v. Интересно тут же сразу отметить, что при
сходе груза Q с пролета моста, т. е. для момента, определяемого условием
* = /,
sin ft = sin — t = sin —- = sin тг = 0
и прогиб у не обращается в нуль, как это было бы при статическом дей-
ствии груза Q, а имеет вполне определенную конечную величину
03 03 al
y=-^^)siaat=~W^)sia v- (,20)
Таким образом после схода груза Q с моста в последнем еще остаются
колебания, которые по принятой терминологии будут носить название сво-
бодных. Нетрудно дать аналитическое выражение для них. В самом деле,
общий интеграл уравнения вертикальных свободных колебаний середины
моста, при условии отсчета амплитуд их от мзогнутой под действием соб-
ственного веса моста оси, будет иметь следующий вид:
у = С7 sin at+ C2cos at. (121)
В рассматриваемом нами случае постоянные интегрирования С, и Cz
определятся по следующим двум начальным условиям: в начальный момент
времени t= О, соответствующий сходу груза Q с пролета моста, прогиб у
по выражению (121) должен быть равен прогибу, определяемому ф-лой (120);
точно так же в этот момент времени должны быть равны и соответствую-
dy
щие первые производные — ур-ний (119) и (121).
Первое условие дает
О? . о/
'a(AT—«P2)sm v
С2=— „ТШГ ~Й2^1П— • О22)
Диференцирование ур-ния (119) приводит к такому выражению:
которое для момента схода груза Q с пролета, т. е. для момента, соот-
ветствующего t=K— и jte = it, превращается в
а-У=- ® (1-1 cos
dt К— m$*[ ■ C0S
!)•
Так как, с другой стороны, диференцирование ур-ния (121) дает для
= 0
dy
-£ = Сга cos at — С2а sin at = CjO,
> 99
то
«—.-5гё=р>('+~т> <ш'
Вставляя полученные значения С, и С, в ур-ние (121), получаем:
.У = ,,, 09> 1+cos —) sin at ,„ 09ч sin — cos at/;
У=- a(/c-V)l-S'n +S1" °S^"+ VCOsa/J;
^=-а(/-1и3'п(^+ё)С03(а'+Ш;
^~a-(^F)sina(^ + 4-)- <124>
Это и есть уравнение свободных вертикальных колебаний моста, обра-
зующихся после схода с него груза Q, имевшего скорость движения v.
Постоянная амплитуда этих колебаний будет
или, выражая [$ через v:
п= ^ (126)
*(*—=?)
Так как в обычных условиях при обычных скоростях движения вхо-
/тггЛ2
дящая в выражение (126) величина *п>\-г) чрезвычайно мала по сравне-
нию с К, то можно считать, что амплитуда а изменяется почти прямо
пропорционально скорости движения и точно прямо пропорционально ве-
личине груза Q.
Пользуясь выведенным выше ур-нием (119), можно построить графиче-
ски динамическую линию или, правильнее, динамическую диаграмму про-
гиба середины моста.
Для примера проведем такое построение для моста пролетом /==55,1 ж,
имеющего ЛГ= 10 000 т\м и собственный погонный вес р = 3,67 т\м.
Пусть v = 75 км\час = 20,8 м\сек и Q=\ т. Входящие в ур-ние (119)
величины /», а и р в данном случае будут иметь следующие значения:
17р/ 17-3,67-55,1 _ т-сек* ш
m~S5g~ 35-9,81 м ;
1
-1/1-'
1000 = 31,6-
сек'
ях»_ЗП4120^_ 1
Р~ Т~ 55,1 -"*' с«"
Следовательно,
1000
10000
000 / . 3,14-д
— 101,22\8Ш 55,1
1,2 . 31,6л:
зТб8Ш-2а
6лг\
у = 0,1 (sin 0,057 — 0,038 sin 1,52*), (127)
причем 1000 в числителе дроби, стоящей перед скобкой, введена с целью
получения величины у в миллиметрах.
/=55.U , ~
^_^
Фиг. 70. Диаграмма прогиба середины железнодорожного моста /=55,1 м от
прохода по нему груза Q= 1 т ео скоростью и = 75 км\час.
Результаты построения динамической инфлюентной линии прогиба, опре-
деляемой выражением (127), приведены на фиг. 70. Из фигуры можно
видеть, что эта линия представляет собою правильную волнообразную
кривую с концевой частью, остающейся после схода груза с пролета и
представляющей собой упомянутые выше собственные свободные верти-
кальные колебания моста, вызванные проходом по нему груза Q=\m,
с амплитудой, равной
_ 2-Qft _ 2.1.1,2.1000 _ППП7«
а а(к_тр2) — 31,6(10000—10.1,22) '— °'0075 мм'
Для сравнения на той же фиг. 70 нанесена пунктиром статическая
инфлюентная линия прогиба, расположившаяся внутри волн колебаний
динамической линии.
14. О динамическом коэфициенте в случае идеального моста
Нетрудно себе представить, что отношение наибольшей ординаты по-
строенной выше динамической диаграммы к наибольшей ординате статиче-
ской линии прогиба дает достаточно показательную характеристику дина-
мической вертикальной жесткости моста. При этом, чем больше это отно-
шение, тем более сильно реагирует мост на проход груза с некоторой
скоростью, иначе говоря, тем меньше его динамическая вертикальная
жесткость.
101
Величина указанного отношения, имеющего общее название динамиче-
ского коэфициента, определяется в данном случае следующим образом:
£==i=t(/C-mP^)(Sin^-{Sina<)'
Так как
(128)
то
q = (sin Ы - sin at) = ^—т I sin Ы *- sinat \
причем здесь момент времени t соответствует моменту наибольшего дина-
мического прогиба. Аналитически этот момент определяется довольно
сложно. Для решения задачи приходится воспользоваться ур-нием (119),
получить для него первую производную и приравнять ее нулю. Это дает
! = £Z^<P«»P*-Pco.a<> = 0.
откуда имеем
cos(fr==cosa*. (129)
Так как а^Р» то равенство (129) возможно только или при
или при
at = 2mz — {fc,
где п — целое число.
Таким образом для t получается большое количество решений двух типов:
2шг
^ = ^ГТ- (13°)
Нетрудно, однако, показать, что, если один из типов значений t,
определяемых ф-лой (130), соответствует максимуму прогиба у, то другой
соответствует минимуму его. В самом деле, вторая производная ур-ния (119)
имеет следующее значение:
d*y QP
^ = jf=^5(asin<rf~MnP/,f
которое при
2/нг
обращается в
d'y Q% ( 2ето 2ятгВ \
Ж* = Ж=^ \asin 5н? - Рsln 5=?j
^Н^^Ь^Ь
QB , e% . 2лпВ
102
а при
2ятс
та же вторая производная оказывается равной
<Ру Q$ I 2ппа 2штр \
-Ahh-lS)-'-!?»
Следовательно, вторая производная у по t получает разные знаки при
подстановке в нее обоих значений /, что говорит о существовании в одном
случае максимума, а в другом — минимума. Давая п последовательно воз-
растающие целые значения, мы будем получать не абсолютные максимумы
и минимумы прогиба, а относительные, что вполне соответствует синусои-
дальному характеру кривой прогиба.
Задача, как видим, в достаточной степени сложна. Гораздо проще она
решается в результате графического построения линии прогиба, подобно
изложенному выше. В этом случае мы получаем и момент t, соответствую-
щий абсолютно наибольшему прогибу, и самую величину последнего.
Вот почему дальше, при выяснении зависимости динамического коэфи-
циента от скорости движения груза Q и от пролета моста, мы определяли
наибольшие динамические прогиба путем построения указанным выше ме-
тодом соответствующих линий прогибов.
Переходя к зависимости рассматриваемого динамического коэфициента
от скорости движения, прежде всего укажем, что нас как здесь, так и
дальше будет интересовать не непосредственно динамический коэфициент £,
а лишь та часть его, которая является добавкой к единице. Иначе говоря,
£ мы разлагаем на две части, из которых одна равна единице, а другая
может быть определена из следующего выражения:
| sing/ —sinan =
■-ш1 * '
'"-иг' •
sin p* -|- i- (i- _ sin at) — 1
= 1 + g V ° . ., ' = l+So- 031)
Однако для определения этой динамической добавки мы не пользовались
выражением (131), а выясняли наибольший динамический прогиб, поль-
зуясь ф-лой (119). Для выявления достаточно полной картины зависимости
103
указанной динамической добавки, обозначаемой через Sq, от скорости дви-
жения мы рассмотрели два крайних по величине пролета, а именно мост
пропетом 33,2 м и мост пролетом 158,4 j/, причем скорости движения
дали следующие значения: 25; 50; 75; 100 и 125км/час. Результаты
соответствующих вычислений даны в табл. 14.
1
км\нас
25
50
75
100
125
У
м\сек
6,95
13,90
20,85
27,80
34,75
Таблица 14
/=33,2 м\ а —40,5 —
сек
*о
0,014
0,032
0,044
0,069
0,071
T.V
'(-")
0,016
0,034
0 051
0,069
0,088
/=158,4 м
£о
9,013
0,025
0,037
0,050
0,061
а = 10,9 —
сек
ZV \
'(-")
0,013
0,026
0,039
0,053
0,067
Для большей наглядности полученные указанным выше методом значе-
ния £0 нанесены на график, изображенный на фиг. 71. График этот прежде
всего дает, как и следовало ожидать, рост динамической добавки $0 со
скоростью движения v. Однако закон этого роста для рассматриваемых
пролетов не вполне оди-
наков: в то время как
для моста пролетом 33,2л
получилась ясно выражен-
ная ломаная волнообраз-
ная линия, для моста про-
летом 158,4 м подобная
волнообразность хотя и
имеет место, но она
ничтожно мала, так что
в общем рост динамичес-
кой добавки для этого
пролета моннэ считать
прямолинейным. Нетруд-
но представить себе, в чем
тут дело и почему обра-
зовалась такая разница.
Как известно, наибольший
динамический прогиб, во-
обще говоря, не совпадает с моментом прохождения груза через середину
пролета. При разных скоростях движения величина этого несовпадения
различна. Кроме того, ясно, что чем меньше пролет моста, тем чувстви-
тельнее это несовпадение должно сказываться на отношении наибольшего
динамического прогиба к наибольшему статическому. При увеличении
упомянутого несовпадения момента наибольшего динамического прогиба с
моментом прохода груза через середину пролета динамический коэфи-
104
0 Ю 20 30 40 50 60 70 80 90 100 НО 120 130
*Ч скорости движения 6*$g
Фиг. 71. Зависимость динамической добавки от ско-
рости движения для мостов пролетами / = 33,2 м и
/= 158,4 м.
циент должен понижаться. Таким образом в мостах больших пролетов при
обычных скоростях движения с практически достаточной точностью мож-
но считать, что момент наибольшего динамического прогиба совпадает с
моментом прохода груза Q через середину пролета. В этом случае
sin$t = -\-\; sinat = —1
и динамический коэфициент £ выразится следующим образом:
1 /- • П L ,_l L
б«
= !+•
Ы)'
(132)
Воспользовавшись последней формулой, мы подсчитали величину дина-
мической добавки
So--
ТГР
/
(а-т)
для только что рассмотренных двух мостов пролетом 33,2 и 158,4 м. Ре-
зультаты расчета приведены в помещенной выше табл. 14, из которой
-4
100.10 •
200 .
300 ■
400 ■
500
600 ■
700 ■
В00 <
900 J
1000
nnn .
1
1
35 \
5
I
линии г
3
§
1-
\q*u
\
1 _Г Г * . ,, , ,
- - 1 '" 1 о НАЛ ■ ■
и=2В км/ш = Ъ.ЪЬмШ
Перемещение груза Ц=\*в л
*1
1
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55 SO
Фиг. 72. Диаграмма прогиба середины железнодорожного моста /=55,1 м от
прохода по нему груза Q = 1 m со скоростью v = 25 км\час.
видно, что действительно для пролета 158,4 м получилось весьма хорошее
совпадение между динамическими добавками, определенными точно и при-
ближенно по только что указанному методу. Наоборот, для малого пролета
33,2 л/ при некоторых скоростях движения (25, 75 и 125 км/час), соот-
ветствующих как раз наибольшим расхождениям между моментами наиболь-
105
-4|
1ЮЛ0
200 j
400
500
600
700
800
900
«00
1100
Перемещение груза j7»f 16м
О
Фиг. 73.
Ш
15 го
25
30 35
40
4В 50 55 <* 60
Диаграмма прогиба середины железнодорожного моста / = 55,1 м от про-
хода по нему груза Q = 1 т со скоростью v = 50 км\час.
шего динамического прогиба и моментом прохода груза Q через середину
пролета, разница получилась довольно значительной.
Определенный интерес представляет сравнение общего характера очер-
тания динамических диаграмм прогибов, получающихся для различных ско-
ростей движения. На помещаемых ниже фиг. 72 — 74 изображены динами-
ческие диаграммы прогибов, построенные нами для упомянутого выше моста
пролетом /=55,1 м при движении груза Q = lm со скоростями 25, 50
и 100 км\час. Эти диаграммы вместе с приведенной выше (фиг. 70) диа-
граммой, построенной для того же моста для скорости движения 75 км\час>
позволяют произвести интересующее нас сравнение. Результаты последнего
mio-
200
300
400
500 ■
\\
^ V
-S
i
600 *
700
800
900
1000'
uoo 1
^
•s
1
1
Орд
ю
ts
перемещение груза Q^ltSa*
20 "* 25
30
35
40
IS
50
6S
60
Фиг. 74. Диаграмма прогиба середины железнодорожного моста / = 55Д м от про-
хода до нему груза 0 = 1 т со скоростью и== 100 км\час.
106
указывают прежде всего на то, что с увеличением скорости движения
груза Q количество колебаний, испытываемых мостом, уменьшается, но
зато амплитуды этих колебаний увеличиваются. Таким образом в пределе
при приближении скорости движения к нулю число колебаний увеличи-
вается до бесконечности, а амплитуды их уменьшаются до нуля, и дина-
мическая диаграмма прогиба обращается в статическую.
Останавливаясь на зависимости динамической добавки £0от пролета моста,
отметим, что с увеличением пролета входящая в выражение £0 (ф-ла 132)
величина а падает (так как Т=— при этом возрастает). Нетрудно видеть
нз структуры ф-лы (132), что если бы это падение а происходило по пра-
вильной гиперболе, то вследствие незначительности влияния величины — ,
стоящей в знаменателе динамической добавки, последняя мало менялась
*М—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—I—I—I—I—I—I
то
60
Is
30
го
ю
-з
^0 ■ ■ ■ ■ . ■ ■ ■ ■ ■ . .
О С 2D Д) 40 50 80 70 80 90 100 110 120 130 MP «50 t6Q
fponem моста ом.
Фиг. 75. Зависимость динамической добавки £0 от пролета моста в случае отсут-
ствия сопротивлений и при движении груза Q = \ m со скоростью t/ = l(X) км\кас =
= 27,8 м\сек.
бы с пролетом и это изменение происходило бы только за счет расхожде-
ния между моментами наибольшего динамического прогиба и прохода
груза Q через середину пролета. Однако в действительности зависи-
мость а от / менее правильна, а поэтому имеет место и заметная4 зависи-
мость динамической добавки от пролета моста.
Для примера мы определили для скорости v= 100 км\час = 27fi м\сек
значение этих добавок для семи железнодорожных мостов различных про-
летов. Для этих мостов величины а имели значение, приведенные в табл. 15,
в которой даны также и результаты определения интересующих нас дина-
мических добавок, определявшихся точно и по приближенной ф-ле
(132).
Для большей ясности полученные значения £0 нанесены на график, изоб-
раженный на фиг. 75. По оси абсцисс его отложены пролеты мостов, по
оси ординат — £0. Получилась, как видим, кривая с минимумом для про-
лета 109,2 м. В то же время следует отметить, что вообще зависи-
мость £0 от пролета моста выражена не особенно резко. Необходимо
также подчеркнуть прекрасное совпадение значений £0, подсчитанных точно,
с соответствующими величинами, полученными по приближенной фор-
муле.
107
тчР I I I I I I
I—г"° ^г^1— —Ы—"
[III |**^*Ч «*
Табл и ца 15
/
1 м
33,2
55,1
65,9
87,6
109,2
126.0
158,4
а
_1_
сек
40,50
31,62
24,52
22,02
18,97
15,68
10,90
*о
0,069
0,050
0,057
0,046
0,042
0,045
0,050
KV
I
1
■
сек
2,62
1,58
1,33
1,00
0,80
0,69
0,55
KV
f т
l
1
сек
37,88
30,04
23,19
21,02
18,17
14,99
10,35
К V
>(^Щ
0,069
0,053
0,058
0,048
0,044
0,046
0,063
15. Проход груза Q со скоростью v по мосту, обладающему
сопротивлениями
Переходя к мосту неидеальному, обладающему в процессе колебаний
как внутренними, так и внешними сопротивлениями, прежде всего необ-
ходимо или знать или задаться более или менее вероятным законом изме-
нения этих сопротивлений в функции того или иного известного нам ар-
гумента.
Ни величина, ни закон изменения указанных сопротивлений, имеющих
место в металлических мостах, до настоящего времени еще не изучены.
Поэтому обычно приходится допускать, что действующие во время коле-
баний моста внутренние и внешние сопротивления прямо пропорциональны
скорости этих колебаний, т. е. приходится в данном случае поступать
совершенно так же, как это мы делали при изложении теории колеба-
ний простых брусьев.
Судя по результатам опытных исследований затухания свободных коле-
баний мостов, дающим кривую затухания, весьма близкую к логарифми-
ческой, есть основание думать, что сделанное* допущение, вернее ра-
бочая гипотеза, несильно отличается от действительности.
Если мы примем именно этот закон изменения сопротивлений для рас-
сматриваемого случая прохода по мосту груза Q со скоростью v, то ди-
ференциальное уравнение возникающих при этом проходе колебаний сере-
дины пролета моста, обладающего сопротивлениями, напишется в таком
виде:
mw + $+Ky==QalaV'
(133)
где попрежнему \х — коэфициент пропорциональности между величиной
сопротивлений и скоростью колебаний. Уравнение может быть переписано'
так:
d2y p. dy
~dt* ' ~m ~at'
Как известно,
-г- -4- — —- 4- 22у = Л sin £/.
П ' m\ fit ^ r
(134)
-£ = 2..
m
108
И\:ея ввиду последнее равенство, ур-ние (134) окончательно напишется
в следующем виде:
^-^2гш+а?у==А%{а^ (135)
причем
т
Общий интеграл ур-ния (135) имеет такое выражение:
*—Л (')+/, Ю + с^+си*. (136)
где Ь,л и k2 — корни квадратного ур-ния
т. е.
^2 = -s±/s2-a2 = -8±/i/a2-62 = -8±U
С, и С2 — постоянные интегрирования, функции же /х (/) и /а (*) опреде-
ляются следующими выражениями:
/.W-^^+^ft^' + lcos?/); (137)
/»W = + (fe1-fe2H^ + |{2)(^sinP^ + PcosP0. (138)
Сумма их может быть преобразована так:
Но
fe2 ft, _ ft2ft2 + fe2ft2 — kik\ — *iP _ (ki — ki) («2 — P2)
"^+|2 ЩТ¥~ ЩТ¥\Щ+¥) ~(a2—p*)»4-4pv;{139)
1 1 _ fef-f-^g — Л;| — p2_ (ft, —ft,).2e
ftf+P,— ftj_j_p* —(a«_pi)j_j_4p«e« (a2 —^)2H-4^s2' (H0)
поэтому
/»W+/.W~^ [(я,_^4р,.,»1п^- (a,_ff+4p,t,coi^]. (141)
Полагая здесь
a2 —32
K ,=»!*, easy, (142)
(a2— fl2)2-i-4p2s2
2s?
(143)
(a2 — £>)» +4?V~ "islnb
109
получаем
/, W +/, (*) = An, sin fit -ъ), (144)
причем Yi и /ij будут определяться из следующих выражений:
2eft
а2 —р
2«Р -^ !
b=arctg-^zT2; о«)
[(a2 — p2)2-f-4^es]sinyj ~V (а2 — ft2)* + 40V'
(146)
Заметим, что левые части равенств (142) и (143) для мостов всех про-
летов будут положительны, так как а всегда при обычных скоростях дви-
жения значительно больше величины р==—. Поэтому, принимая в выра-
жении (146) для пл знак плюс, будем иметь и siny1 и cosy, также поло-
жительными, т. е. угол Yj в этом случае находится в первой четверти.
Если для /tj взять второе, отрицательное значение, то sin у, и cos ft будут
также отрицательными и угол у здесь уже приходится считать находящимся
в третьей четверти. Повидимому, проще иметь дело с первым случаем.
Для определения постоянных интегрирования С, и С2 воспользуемся
двумя начальными условиями, заключающимися в том, что для момента
времени /=0 и прогиб у и первая производная прогиба по времени бу-
дут равны нулю.
Первое условие, при наличии выражений (136) и (141), дает:
-V_ff+4H^ + C' = 0: ,U7>
применяя второе условие, получаем
, (а2-Р2)Р
+ С,*, + С1А1 = 0. (148)
(а2 — р2)2 -f- 4p2s2
Решая совместно ур-ния (147) и (148) относительно С1 и С2, получаем:
А (д« —p)P + 2efo.
1 А, — А, (а* — р2)2 -J- 4р2е* '
_^4__ (a» —p»)p4-2«pft,
*i — V '« — И2 + 4Р2е2 '
Далее ищем сумму C,eft,,-f-C2e*,':
з.
. (e. _ pa) **,/_ 28V*1'] - /ь _t(r//_8MxiRMi [(a2-W'-^') +-
+ 2s(V*<-V*")] -(.]_.г)|(а,_И^4т [(а2-Р2)(,--,-0 +
ПО
+ Й KW-«)«-ul + ^ + «)e+u/l| =
[(а2—[J2)2+4|J2e2]\ i sinwi-^^2ii(e e ' +
= [(a8_^4m [-J («2-P2-2^)sin^ + 2ecos^ . (149).
Полагая, что, аналогично предыдущему,
(a2 —ft2—2s2) p _
[(а2_|2)з + 4^]1-л*С08Ь <15°)
2еВ
;==n2sinY„ (151)
(a2_ p2)2_(_4^e2'
можем выражение (149) переписать в таком виде:
C1e*«'4-C2e*«' = ^/i2e-''sin(Y2 — M)=—Ап2е-«%т{М — у,), (152)
причем у2 и п2 определяются по следующим формулам:
2еХ
Y2 = arctga2_^_2g2,
2eft
"а ~ [(а? — ft2)2 + 4ft2e2] sin y2 ~~
=Ь [(a2—ft2)2+4ft2e2]2eX
(153),
^ | ft|/(a2-ft2-2£2)2+4S2(a2-ft2)^ + ft
— M(a2 —f52)2+4ft2e2] ""Xy/(a« — ft2)2 + 4p2e2 "
Попрежнему, вследствие обычной незначительности величин ft и е по срав-
нению с а2, левые части равенств (150) и (151) всегда положительны.
Поэтому при я2 положительном sinY2 и cosy2 также больше нуля, т. е.
в этом случае y2 —в первой четверти. При п2 — отрицательном угол у2 —
в третьей четверти.
Таким образом окончательное решение диференциального уравнения
представится в следующем виде:
y = A[n1sin($t-41) — n2e-'sinW-Y2)], (155)
или в более подробной форме:
Q
у—
m V (а2 — р2)2 + 4р2е2
sin(^ —Ya) —Ye~"sin(X< —y2)1 . (156)
Для поверки полученного решения выясним, обращается ли при t = 0
и у в нуль. Для этого необходимо определить при t = 0 значение квадрат-
111.
ной скобки в выражении (156). После подстановки получаем:
sin([U— ут)— -£-*-■* sin (М— у2)= — sinYi +YsinY2 =
— [(a2 — ^)2 4- 4£2e2] пл~+~ X [(a2 — $>)* -f 4£2e2] n9
__ 2sft[/(a2 —ft2)24-4ft?e2 j. .2ф /(a8— ft2)2 + 4fi? =
— (a2 —р2)2 + 4£2з2 + * p [(a2 — p2)2 + 4pe2] —
_, 2sft/(g2 — p»)*-4-4p*s« 2gft)/(a2 — p2)2 + ^2e2 Q
— (a2 — ^)a-f 4?«e2 + (a2 — p2)» + 4|S2e2 — #
Нетрудно, кроме того, показать, что при е = 0, т. е. для случая, со-
ответствующего идеальному пролетному строению, не имеющему никаких
сопротивлений, будем иметь:
2еЗ
\ = j/a2 — е2 = а.
Вставляя все эти значения в выражение (156), получим уже известное
нам выражение:
У= „ Q, [sinit—-^- sinat)
Если даже для этого последнего, более простого выражения аналити-
ческое нахождение момента времени /, соответствующего максимальному
прогибу у, представляет, как мы видели, невполне простую задачу, то ре-
шение той же задачи в отношении выражения (156) уже определенно носит
сложный характер. Здесь, несомненно, более просто вопрос решается гра-
фически, путем построения соответствующей диаграммы изменения дина-
мического прогиба.
Для примера построим подобную диаграмму для разобранного уже выше
моста пролетом / = 55,1 му для скорости движения груза Q=\m
в 100 км Jчас = 27,8 м/сек. Коэфициент затухания свободных вертикальных
колебаний е для этого моста, определенный опытным путем из соответст-
вующей концевой части диаграммы прогиба, снятой под поездом, ока-
зался равным s = 0,65 . Само вычисление е производилось по извест»
сек
ной формуле:
In 2
где (£a —t2)— тот промежуток времени, в течение которого наибольшая
амплитуда упомянутых свободных вертикальных колебаний уменьшалась
в два раза.
ttl ССК^ 1
Для рассматриваемого моста т=\0 и а = 31,62 (табл. 15)#
112
Кроме этого имеем:
. rev 3.U-27.8 1
Р=^Т = 65.1 =1*58
l = j/a» — s2 = K'31,62» — 0,65» ssr 81,62—-I
сек
„ 2eB 4 2.0,66-1,68 t лллп лллп
Ti дМС*5Г^ргда1С<«81,6У-1,582 =»arctg0,002 ^ 0,002;
2sX t 20,65-31,62 . пл,_ лл„
Y,=aretga,_^_2e«-aretg31,622-l,582-2.0,652=3rCtg0'041as0'041^
<? _ 1 =
/п/(а2 — Р*)*-1-4р»«» 10/(31,622 — 1,58«)«-1-4.1,58» • 0,65* в
= Т0^97ТЗ = °'0001Л:
Т-ЗТ62-0,05'
• °.65. = 0,023 J ■
v 27,8 ' л '
± 8^6* ,,,87 1;
v 27,8 ' м '
тг 3,14 лл„ 1
Т=-55Т = 0'057^-
Так как выражение (156) может быть представлено в виде:
то, подставляя в последнее выражение значения указанных выше величин,
а также принимая, ввиду незначительности, ух = 0, получаем для у (а мм)
следующую формулу:
^ = 0,1 [sin 0,057* — 0,05е-°.°23* sin (1,137л: — 0,041)].
Построенная по этому уравнению диаграмма прогиба изображена на
фиг, 76. Сравнивая эту последнюю с фиг. 74, на которой приведена для
того же самого моста подобная диаграмма, построенная для той же ско-
рости г/= 27,8 м\сек движения груза Q=l w, нов предположении отсут-
ствия в мосту каких-либо сопротивлений, можем заметить следующих три
факта: 1) амплитуды колебаний, наложенных на статическую инфлюентную
линию, в случае наличия сопротивлений заметно уменьшаются по м»ре про-
движения вперед груза Q; 2) величины этих амплитуд определенно меньше
амплитуд моста без сопротивлений; 3) амплитуды свободных колебаний
моста, имеющих место после схода груза Q с пролета, уменьшаются с вре-
менем, т. е. постепенно затухают.
Все эти три особенности изображенной на фиг. 76 динамической диа-
граммы могли бы быть сформулированы и в результате анализа, выве-
денного для у выражения (157). В самом деле, так как величина
В С. к Плкярнкп 112
е"^=е v уменьшается с возрастанием дг, то влияние второго члена, со-
держащегося в квадратной скобке выражения (157) и определяющего ве-
личину амплитуд колебаний, возникающих при проходе по пролету груза Q
50 скоростью vy также уменьшается с возрастанием х. Таким образом ука-
занные амплитуды должны уменьшаться по мере продвижения вперед
груза Q. Кроме этого, из сравнения выражений (119) и (156) следует, что
амплитуды колебаний для моста, обладающего сопротивлениями, должны
быть меньше, чем для моста идеального, так как величина е~**=е v всегда
меньше единицы.
60 *9
Фиг. 76. Диаграмма прогиба середины железнодорожного моста I = 55,1 м от
прохода по нему rpysa Q = 1 т со скоростью v = 100 км\час = 27,8 м\сек и при
наличии коэфициента затухания £ = 0,65
сек'
При сходе груза Q с пролета по аналогии с предыдущим прогиб не
обращается в ноль, а имеет вполне определенное конечное значение, ко-
торое может быть получено из выражения (156), если положить в нем
sin^=sm(^^=sln(^.-i) = 0-
Тогда
У*=
m^(a*—yr-t-4p*[
|sin(— у,) — -*-е 'sin
(*-')]
(158)
Так как обычно yt ничтожно малая величина (см. приведенный выше
пример), то можно считать, что sin(-^y1) = 0. В этом случае выраже-
дне (158) упрощается и приводится к виду:
<?р
lm/fa» — И* "Ир
^-•Л(£-Т>). (159)
114
Наличие этого прогиба при сходе груза Q с пролета есть, как и прежде,
результат образования свободных вертикальных колебаний моста. В мо-
стах идеальных, не имеющих сопротивлений, амплитуда этих колебаний,
как известно, — величина постоянная. В данном же случае, т. е. в случае
моста, обладающего сопротивлениями, она переменна по времени и может
быть выражена так:
а = 2°^ «-*, (160)
т. е. убывает с временем по закону логарифмической кривой.
16. О динамическом коэфициенте в случае моста с сопротивле-
ниями
Выведенное выше ур-ние (156) динамического прогиба может быть
упрощено, если принять во внимание обычную незначительность величин
е2, уа и 4р2в2 по сравнению соответственно с a2, $t и (а2 — [$2), что ясно
видно из приведенного выше примера. Пренебрегая влиянием указанных
выше величин, можно ур-ние (156) написать в таком виде:
Q ■ staff — -!-«-■'sin (erf —Y2)] , (161)
У "/я (а2 — р2)
или
Q
■-Y2)]
sin^ — -£-*-'sin (а* — y2)1 . (162)
, . ~ *— й"*{9\r\(at —
К— т$*
Динамический коэфициент £, оценивающий динамическую вертикальную
жесткость моста, в данном случае будет выражаться следующим образом:
е=^=7Г717 [sin^-^-'sin^-Y2)] • (163)
Если, ограничиваясь прибчиженным решением задачи, попрежнему счи-
тать, что максимальный динамический прогиб будет иметь место при на-
хождении груза Q вблизи середины пролета, то можно принять, что
sinp* = sin ^•7j- = ± 1,00;
кроме этого, в момент наибольшего прогиба
sin(a/ —у2) = —1,00.
Вставляя эти значения синусов в выражение (163), получаем для 5 та-
кое приближенное значение:
-№)"
''+!•a ,«>.-'+!•a ,»., =*+*■>• 064)
1 >-(т)' '4D'
lie
Из ур-ния (164) непосредственно вытекает зависимость динамической до-
бавки Eq от коэфициента затухания 8, причем чем больше е, т. е. чем
больше те сопротивления, которые имеют место в процессе колебаний
моста, тем меньше Б0, иначе говоря, тем больше динамическая вертикаль-
ная жесткость моста. Для возможности более подробного суждения о ха-
рактере этой зависимости мы определили значение динамических добавок ^
1фи различных коэфициентах затухания е (от 0,00 до 1,00 I для мо-
ста пролетом / = 55,1 м. Так как влияние величины е v определяется не
только коэфициентом е, но и скоростью движения v, то значения дина-
мических добавок были подсчитаны для четырех различных скоростей дви-
жения (25, 50, 75 и 100 км\час). Результаты расчета приведены в табл. 16.
Для большей наглядности цифры
табл. 16 нанесены на график, изоб-
раженный на фиг. 77; по оси абсцисс
отложены коэфициенты затухания е,
а по оси ординат — динамические
добавки $0. Из рассмотрения этого
бо ю"
S0
40
! 30
20
о еде сую qpo сю . ipo
Коэсрициент запуосаиил tozstc.
Фиг 77 Зависимость динамической до-
бавки от коэфициента затухания для раз-
личных скоростей движения.
V
*Ы
И
V-
v-%
юо±
75^
«
*
20 40 ^ СО I
Скорость адиэкения I
КХ
Фиг. 78. Зависимость отношения динами-
ческих добавок при 6 = 0 и е = 1,0 от
скорости движения нагрузки.
графика можно видеть, что динамические добавки с увеличением коэфи-
циента затухания е резко падают по некоторой кривой, обращенной выпук-
лостью вниз, причем величина выпуклости уменьшается с увеличением
скорости движения. Нетрудно, кроме этого, заметить, что с увеличением
скорости движения уменьшается и величина падения динамической добавки.
Последнее особенно хорошо видно на фиг. 78, на которой дана зависи-
мость отношений динамических добавок, вычисленных дляе = 0 и г =1,0,
от скорости движения: при v = 25 км\кас это отношение было равно
31,5, а при v= 100 /см/час — всего 2,5.
Что касается зависимости динамической добавки с0 от скорости движе-
ния, то заметим, что она должна быть различной для различных значений
коэфициента затухания е, что непосредственно следует из выражения (164).
Для графического изображения этой зависимости мы, воспользовавшись
данными табл. 16, построили кривые изменения динамических добавок от
скорости движения для моста пролетом / = 55,1 м для различных значений
116
Таблица 16
Коэфициент
затухания г
сёк
0,00
0,15
0,30
0,45
0,65
1,00
Скорость движения v в км\час
25
0,0126
0,0071
0,0040
0,0023
0,0011
0,0004
50
0,0256
0,0191
0.0144
0,0109
0,0075
0,0041
75
0,0389
0,0322
0,0265
0,0221
0,0172
0,0114
100
0,0525
0,0456
0,0395
0,0345
0,0289
0,0210
коэфициента затухания. Результаты построения представлены на фиг. 79,
из рассмотрения которой видно, что при 8 = 0 динамическая добавка
растет в функции скорости движения почти по прямолинейному закону,
затем, по мере увеличения е, закон изменения динамической добавки
приобретает более криволинейный
характер. При этом выпуклость кри-
вой увеличивается с возрастанием г
так, что в пределе, при бесконечно
больших сопротивлениях, т. е. при
е=оо, кривая совпадает с осью абс-
цисс (динамические добавки умень-
шаются до нуля).
Переходя к выяснению зависимо-
сти рассматриваемых динамических
добавок от пролета моста, мы дол-
жны прежде всего отметить, что этот
вопрос не может быть разрешен без
знания величин коэфициентов затуха-
ния 6, для определения которых по-
ка существует только один изло-
женный выше экспериментальный
путь. Воспользовавшись установлен-
ным в § 11 законом изменения е в
функции пролета моста (фиг. 64),
мы произвели расчет динамических
добавок по ф-ле (164) для ряда же-
лезнодорожных однопутных мостов.
Результаты этого расчета, выполненного для случая движения груза Q =
— \т со скоростью v =100 км\час = 27£ м\секу представлены в
табл. 17.
Результативные цифры этой таблицы в виде динамических добавок $0 нане-
сены на график фиг. 80, по оси абсцисс которого отложены пролеты мостов,
а по оси ординат — динамические добавки. На этот же график нанесены и
точки графика, изображенного на фиг. 75 и представляющего зависимость
динамических добавок для тех же мостов, но при отсутствии сопротивлений,
т. е. при е = 0. Можно видеть, что общий характер обеих кривых
117
Cfcqpocmu д6иЖенияд{
Фиг. 79. Зависимость динал#ической до-
бавки от скорости движения при различ-
ных коэфициентах затухания е.
Таблица 17
/
м
33,2
55,1
65,9
87,6
109,2
126,0
158,4
а
1
сек
40,50
31,62
24,52
22,02
18,97
15,68
10,90
сек
2,62
1,58
1,33
1,00
0,80
0,69
0,85
а
0,065
0,050
0,054
0,045
0,042
0,044
0,050
Е
1
сек
1,04
0,65
0,50
0,31
0,14
0,10
0,03
2v
0,620
0,644
0,591
0,489
0,275
0,226
0,086
е 2v
0,539
0,526
0,553
0,614
0,760
0,795
0,917
ft -- 1
0,0394
0,0289
0,0328
0,0298
0,0336
0,0370
0,0484
•шА-
>ч
•
О
•
О
_1
II
'
'•—'
"•"г'"1
,*А
— листа с сопротивлениями I
МММ
20
40 60 80,
Пролет моста б м>
100
GO
140
160
Фиг. 80. Зависимость динамической добавки jt пролета моста для мостов с сопроги
влениями и без сопротивлений.
совершенно одинаков, различие — лишь в том, что положение минимума
первой кривой сдвинуто по отношению к положению минимума второй
кривой влево (в сторону мень-
ших пролетов). Таким образом
|зО0.Ю4< в^личина наивыгоднейшего, с точ-
ки зрения динамической верти-
кальной жесткости, пролета ока-
зывается в случае мостов с со-
противлениями несколько мень-
шей. Не следует забывать, что
мы здесь рассматриваем динами-
ческую вертикальную жесткость
при учете только одного фак-
тора динамики—скорости дви-
жения.
Из рассмотрения той же фиг. 80
можно, кроме того, заметить,
что расхождение между обеими
кривыми резко уменьшается с
увеличением пролета, что особен-
но хорошо видно на фиг. 81, на
которой изображена кривая зави-
симости величины указанного расхождения от пролета. Следовательно,
чем больше пролет моста, обладающего сопротивлениями, тем ближе
118
- ~ _ Ю0 120 „140
Пролета/моста 6м.
Фиг. 81. Изменение разности динамических
добавок в мостах с сопротивлениями и без
сопротивлений в зависимости от пролета
моста.
динамическая его работа к подобной же работе моста, лишенного сопро-
тивлений. В пределе, т. е. при очень больших пролетах, соответствую-
щих точке пересечения кривых, приведенных на фиг. 80, динамическая
вертикальная жесткость обоих типов мостов будет почти одинакова.
Так как все расчеты динамических добавок £0 велись по приближенной
ф-ле (164), выведенной в предположении, что максимальный динамический
прогиб имеет место при нахождении груза Q у середины пролета, то мы
сочли не лишним выяснить вопрос о том, насколько все же значительной
получилась бы разница, если бы мы пользовались более точным решением,
заключающимся в отыскании наибольшего динамического прогиба по
формуле, аналогичной приведенной в разобранном выше примере. Резуль-
таты соответствующих исследований, выполненных, само собою разумеется,
для той же скорости движения т= 100 км\часу дали следующие значения
динамических добавок для рассматриваемых семи железнодорожных мостов:
Таблица 18
1 / в м
Динамическая добавка 50 ....
33,2
0,039
55,1
0,028
65,9
0,030
87.6
0,029
109,2
0,035
126,0
0,039
158,4
0,049
Сравнивая цифры табл. 18 с соответственными данными, приведенными
в табл. 17, видим, что разница между динамическими добавками, опреде-
ленными по приближенной формуле и более точно, весьма незначительна;
следует лишь заметить, что во втором случае расчет велся с меньшей
степенью точности. Во всяком случае совер-
шенно я£но, что пользование ф-лой (164)
значительных ошибок дать, повидимому, не
может.
17. Проход по идеальному мостовому
брусу сплошной равномерной нагруз-
ки р со скоростью v
При рассмотрении случая движения со
скоростью v по брусу сплошной равномерной
нагрузки р будем попрежнему считать, что инфлюентная линия стати-
ческого прогиба в середине пролета представляет собой синусоиду. Тогда
величина приведенной к середине пролета силы Р при расположении на-
грузки /?, указанном на фиг. 82, определится из следующего равенства:
X
РЬ =р \ 3 sin ^ dx,
о
откуда имеем
X
п Г . ttjc . pi 11 пх\
PwBtp V sin — dx= — II — cos-r) »
о
119
или
P=r=^-(\— cos В/), (166)
где р имеет прежний смысл.
Диференциальное уравнение движения середины пролета моста, Ht
обладающего сопротивлениями, при наличии выражения (165) напишется
так:
m^ + /Cy=^(1_C0S^ (166>
Здесь уже нет оснований пренебрегать влиянием массы самой движу*
щейся нагрузки. Поэтому под т нам придется подразумевать не только
массу моста, приведенную к середине пролета, но и массу нагрузки, т. е.
массу груза Р. Если обозначим первую через mv а вторую — через /я2,
то
m = m1 + m^m1+^(l-tos^t)i (167)
где g—ускорение под действием силы тяжести.
Интегрирование ур-ния (166) при переменном по времени /я, пред*
ставляя достаточно трудную задачу, приводит в то же время к чрезвы-
чайно сложному решению. Поэтому можно ограничиться решением при-
ближенным, воспользовавшись методом, предложенным Sailer (Салер) а и за-
ключающемся в том, что закон изменения массы /и, в действительности
представляющий собой в фафическом изображении непрерывную плавную
кривую, рассматривается в виде прерывистой ступенчатой линии, имеющей
отдельные горизонтальные участки, на протяжении которых масса т счи-
тается величиной постоянной. Совершенно очевидно при этом, что чем
большее количество будет этих уча.стков, тем более точным получится
решение задачи.
Таким образом указанный метод дает возможность решать ур-ние (166)
при постоянном т. Но получаемое решение, конечно, будет справедливо
только для упомянутых выше отдельных участков пролета.
При т постоянном ур-ние (166) можно переписать в таком виде:
Обозначая отношение — через Л, имеем вместо (168):
/ятг
§ + а*.у = Л (1-cos pf). (169)
Общий интеграл этого уравнения может быть представлен следующим
выражением:
У = А(^-&=$2™*$*)+С1е+а'' + С2е-аи- (170>
* См. D-г Sailer. .Einfluss bewegter Last auf Eisenbahnoberbau und Brticken", 192b
120
Для определения произвольных постоянных С, и С2 воспользуемся на*
чальными условиями для первого участка, для которого при / = 0 прогиб*
у и производная ~ должны быть равны нулю.
Первое условие дает:
^-^) + Ci + C* = °- 071>
Имея в виду, что
%==А j^-j2sin$t + aiCie+«<-aiCte~'>',
второе условие дает:
С, = С2. (172>
Решая ур-ния (171) и (172), получаем:
с -с—±{± l_\_+i e
Ч — Ч— 2 U2 <*' — Р2/ ^ 2 (а* —
г
(173>
Таким образом решение ур-ния (169) может быть представлено в сле-
дующем виде:
ИЛИ
Так как
А = ^- и К=та\
/ятт
то
y==ni^F)[(1-cos^-(l)2(1-cosa/)]- <175>
ttz;
При скорости z> = 0, т. е. при [J ^=---= 0, выражение (175) обращается в-
т. е. в статический прогиб.
18. Построение теоретической диаграммы динамического прогиба*
При построении в этом случае теоретической диаграммы динамического
прогиба необходимо помнить, что в выведенном выше выражении (175) ве-
личина т, а следовательно, и а имеют различные значения для различных
участков пролета. Поэтому для возможности построения интересующей
нас диаграммы прогиба придется поступить следующим образом: разбить
пролет моста на более или менее значительное число равных участков и<
считать, что при движении нагрузки р масса т для каждого из этих уча-
стков остается постоянной, затем для каждого такого участка необходимо
12*
определить приращение &у прогиба, которое можно, имея в виду (175),
выразить так:
ау=„ (КР1 ,^)[(cos &-» ~cos № - (В*(cos а *'-' ~cos a4l' (176)
где /г и /,._., — моменты времени, соответствующие концу и началу уча-
стка г пролета.
Если выразить t через абсциссу х, то выражение (176) можно перепи-
сать в таком виде:
А^-лгЗД-^-»т')-(!)\-^-<^)]-"">
Далее путем последовательного суммирования приращений Дд; будем
получать соответствующие значения величин у, так что для прогиба уча-
стка г необходимо будет взягь сумму
i>,
1
Для примера построим диаграмму динамического прогиба моста проле-
том / = 55,1 м. имеющего а = 31,62 —, /и=10 т»сек2\м и К=
сек '
.= 10 000 т\м% для случая прохода по мосту сплошной нагрузки интенсив-
Фиг. 83. Диаграмма колебаний середины железнодорожного моста /=55,1 м
при проходе по нему бесконечной полосы равномерно распределенной нагрузки
/7 = 8,76 т\м со скоростью v= 100 км\час = 27,Я м\сек.
ностью /? = 8,76 т\пог м моста со скоростью v= 100 км\час = 27,8 м\сек.
Нагрузка в 8,76 т\пог м представляет для данного моста как раз эквива-
лентную нагрузку по моменту в середине пролета от нормального поезда
1907 г., являющегося для упомянутого моста расчетным. Для решения
задачи мы разбили весь пролет на участки длиной в 1 м и для каждого
ш них определили по ф-ле (177) величины Д^у, а затем уже и у = Ъку.
Порядок и ход расчета ясны из табл. 19, в конце которой получены зна-
чения не только динамических, но и статических прогибов. Так как раз-
ница между ними оказалась весьма небольшой, то для большей ясности
на фиг. 83 построены не динамическая и статическая диаграммы прогиба,
з разница между ними, т. е. диаграмма тех колебаний, которые возникли
А 22
в рассматриваемом мосту при движении по нему сплошной нагрузки
р = 8,7б mjnoz. м со скоростью v= 100 км/час. Из фиг. 83 можно ви-
деть, что в результате такого воздействия нагрузки мост получил доволь-
но правильные колебания, обладающие, однако, и различными амплиту-
дами и различными периодами, причем как первые, так и вторые возрастали
по мере продвижения нагрузки р по пролету. Нетрудно себе представить,
что постепенное возрастание периодов колебаний в этом случае может
быть объяснено соответствующим ростом колеблющейся массы, вызывае-
мым постепенным загружением времен-
ной нагрузкой р пролета моста.
Так как обычно нагрузка р имеет не
бесконечную, а конечную длину, то мы
сочли не лишним рассмотреть случай,
изображенный на фиг. 84, т. е. слу-
чай, соответствующий постепенному ос-
вобождению пролета от нагрузки /?.
Ясно при этом, что выведенные выше
формулы здесь уже применить не пред- фкг# 84.
ставляется возможным, так как закон
изменения приводимой к середине пролета массы движущейся нагрузки
будет иной. В самом деле, прогиб середины пролета бруса при располо-
жении нагрузки /?, указанном на фиг. 84, выразится так:
р I 8 sin ^j dx — If
. тс* ,
sin — dx
j^vO^005^1
тглг\
7/
(178)
причем х — расстояние от левой опоры до хвостовой части нагрузки.
Следовательно,
(179)
'-S0+-TD-
а диференциальное уравнение движения середины пролета напишется так:
g. + aV = ^4(l+cosP0, OS0(
где попрежнему
Общий интеграл ур-ния (180) имеет следующий вид:
(181)
Для определения произвольных постоянных Сл и С2 воспользуемся сле-
дующими двумя начальными условиями: при / = 0 прогибу и производная
— должны быть равны соответственным величинам f и q, определяемым
dt
из выражения (175).
123
Табли
кг в м
кхг
т
пхг
cos /
ПХГ_ л КХГ
COS—у-1 — COS—j-
pi {. nxr \ m cer&
/7Zg - — ( 1 — COS —r )
r>g\ I'm
m сек*
M
pMOOO
«K-mp») MM
. = /? JL
r m сек
axr
V
ад:г
cos—-
V
axr- i
cos——-
V
axr_ 4 axr
cos ——- — cos —-
V V
(!)V^-«?)
*У = Уг — Уг-i
у=Ъу
Уст
\
0,507
0,998
0,002
0,031
10,03
9975
15,41
31,58
1,137
0
И-0,418
+ 1,000
-ь 0,582
+ 0.001
0,0154
0,015
0,031
2
0,П4 1
0,994
0,004
0,094
10,09
9975
15,41
31,48
2,267
1,133
— 0,641
+ 0,423
+ 1,063
+ 0,003
0,0154
0,031
0,092
3
0,171
0,986
0,008 j
0,219
10,22
9974
15,41
31,27
3,377
2,251
— 0,972
- 0,62Э
+ 0,343
+ 0,001
+ 0,1080
0,139
0,215
4
0,228 i
0,974
0,012
0,407
10,41
9974
15,41
31,00
4,464
3,348
— 0,246
— 0,97J
- 0,7 ^
— 0,C02
0,2160
0,355
0,400
5 A
0,285
0,960
0,014
0,627
10 63
9973
15,41
30,68
5,522
4,418
0,723
-039
-1,01:2
-0,003
0,25? J
0,617
1 0,615
124
ца 19
г* ' -' ч
6
0,342
0,943
0,017
0,893
[ 10,89
9973
Г
15,41
30,30
6,545
5,454
+ 0.966
+ 0,675
— 0,291
— 0,001
0,278
U —
0,895
L-—
0,876
7
0,399
0,920
0,023
1,254
11,25
9972
15,41
29,82
7,515
6,441
+ 0,334
+ 0,988
+ 0,654
+ 0,002
0,324
1,219
1,230
8
0,456
0,893
0,022
1,598
11,60
9971
15,42
29,36
8,456
7,399
— 0,565
+ 0,441
+ 1,006
+ 0,003
0,294
1,513
1,569
9
0,513
0,870
0,028
2,037
12,04
9970
15,42
28,83
9,341
8,303
- 0,997
- 0,432
+ 0,565
+ 0,002
0,401
1,914
2,000
10
0,570
0,843
0,027
2,460
12,46
9969
15,42
28,34
10,202
9,182
-0 714
- 0,966
- 0,25?
- 0,001
0,432
2,346
2,413
11 I 12
0,627
0,809
0,034
2,993
12,99
9968
15,42
27,75
10,989
9,990
— 0,008
— 0,845
- 0,837
-0,003
0,571
2,917
2,980
0,684
0,774
0,035
3,541
13,54
9966
15,42
27,18
11,742
10,733
+ 0,678
- 0,231
- 0,909
- 0,003
0,586
3,503
3,473
1
13
0,741
0,737
0,037
4,121
14,12 '
9965
15,43
26,53
12,416
11,461
+ 0,988
+ 0,448
-0,540
— 0,002
0,602
4,105
4,040
14 1
0,798
0,698 I
0,039
4J32 1
14,73
9963
15,43 1
26,06
13,134
12,196
+ 0,842
4-0,934
+ 0,092
-+- 0,0003
0,602
4,707
4,640
125
xr в и
ъхг
~т
~xr
CCS—j-
cos ——- — cos —£
I I
pi i. Tixr \ m • секЛ
m* = — 1 — cos —£ I
*g\ 11 м
m • сек*
m = nil -\~ Шу
M
1 K-mp 4L
M
1 pl-1000
*(K-mp) MM
. = /« _L
r m сек
ax,
V
q-*r-i
V
axr
cos —-
V
axr-i
cos——-
V
cur_« axr
1 cos — cos —-
V V
(j)'(~^.-~?)
by=yr —Л-i
.v=2.y
JV*
15
0,855
0,656
0,042
5,390
15,39
9961
15,4
25,50
13,770
12,852
+ 0,353
+ 0,959
+ 0,606
+ 0,002
0,618
5,325
5,2<0
1 ___—»«■
16
0,912
0,612
0,044
6,080
16,08
9960
15,43
24,94
14,365
13,468
— 0,228
+ 0,620
+ 0,848
+ 0,003
0,633
5,958
5,960
17
0,969
0,566
0,046
6,801
16,80
9958
15,44
24,39
14,927
14,049
-0,710
-h 0,085
+ «,795
+ 0,003
0,664
6,622
6,660
18
1,026
0,519
0,047
7,54
17,54
9956
15,44
23,87
15,468
14,608
— 0,972
— 0,455
+ 0,517
+ 0,002
0,695
7,317
7,400
1
19 1
1,083 J
0,469
0,050
8,32
18,32
9954
15,44
I
23,37 1
15,985 |
[
15,144 I
— 0,961
— 0,845
+ 0,115
+ 0,001
0,756
8,073
8,160
126
Продолжение табл. 19
20
1140
0,415
0,054
9,16
19,16
9952
15,45
22,85
16,452
15,623
- 0,734
— 0,997
— 0,263
— 0,001
0,850
8/23
9,000
21
1,197
0,367
0 048
9,91
19,91
9950
15,45
22,41
16,942
16,135
- 0,328
- 0,909
-0,581
— 0,003
0,7(9
9,712
9,740
1
22
1
| 1,254
о,з ;з
0,054
10,78
20,78
9948
15,45
21,93
17,369
16,579
+ 0,092
- 0,643
- 0,73.i
- 0,004
0,896
10,608
10,570
23 j 24
i
i
1,311
0,256
0,054
11,64
21,64
9916
15,46
21,49
17,794
17,020
+ 0,495
- 0,255
— 0,750
- 0,004 |
0,896
11,504
11,400
1,368
0,199
0,057
1
| 12,53
22,58 j
9944
15,46
21,05
18,187
17,429
+ 0,783
+ 0,146
— 0,637
-0,004
0,944
12,448
12,270
25
1,425
0,145
0,054
13,40
23,40
9942
15,46
20,66
18,594
17,850
+ 0,967
+ 0,538
— 0,429
— 0,003
0,881
13,329
13,100
i 26
1,482
0,087
0,058
14,14
24,14
9940
15,46
20,35
19,048
18,315
+ 0,930
+ 0,859
-0,121
— 0,001
0,912
14,241
14,000
1 27
1
1,539
0,031
0,056
15,18
25,18
9937
15,47
19,92
19,362
18,645
-»■• 0,872
+ 0,973
+ 0,106
+ 0.001
28
1,596 [
-0,026 I
: 0,057 1
16,08
26,08 |
9935 |
15,47 \
1
19,57 |
19,727 Г
19,022 \
+ 0,641 j
+ 0,986 1
+ 0,345 I
+ 0,002 [
i 1
0,851 | 0,851 [
! 1
15,092
1
14,850 1
1
15,943 |
15,720 [
121
xr в м 1
tur 1
COS—т^
COS—j-* — COS-y
/>/ /, кд:г \ m • сек*
Я1в=-1 1 — COS —г)
1 m-cetf
1 *-mpi £
1 />M000
«(АГ-mp») **
1 r m сек
1 ¥l
1 v
1 v
1 a*r
I COS—r-
1 ^
COS ——*
ajcr_i axr
cos —^-i — cos —-
(±)'(„^ —?)
Ау=л—jv-i
^ = Sj.
Уст
29
1,653
-0,083
0,057
16,99
26,99
9933
15,48
19,26
20.107
19,414
+ 0,313
+ 0,846
+ 0,533
+ 0,004
0,820
16,763
16,60
30
1,710
— 0,139
0,056
17,80
27,80
9931
15,48
18,97
?0,488
19,805
| -0,064
+ 0,578
+ 0,642
+ 0,005
0,789
17,552
17,450
31
1,767
-0,195
0,056
18,71
28,71
9928
15,48 !
18,65
20,813
20,142
— 0,380
+ 0,277
+ 0,657
+ 0,005
0,789
18,341
18,320
32 33
1,824
— 0,250
0,055
19,58
29,58
9926
15,49
18,38
21,174
20,512
-0,682
-0,090
+ 0,592
+ 0,004
0,790
19,131
19,160
1,881
— 0.306
0,056
20,42
30,42
9924
15,49
18,14
21,550
20,897
- 0,903
-0,455
+ 0,448
+ 0,003
0,820
19,951
20,02
128
Продолжение табл. 1$
34
| 1
1,938
- 0,351
0,055
21,32
31,32
9922
15,49
17,86
21,861
21,218
-0,991
-0,713
4- 0,278
+ 0,002
J 0,820
20,771
20,820
35
1,995 J
— 0,414
0,053
22,15
32,15
9920
15,50
17,64
22,226
21,591
— 0,973
— 0,919
+ 0,054
+ 0,0004
0,816
21,587
21,700
36
2,052
— 0,464
0,050
22,93
32,93
9918
15,50
17,44
22,602
21,974
— 0,821
1 - 1,000
— 0,179
— 0,001
0,790
22,377
22,420
37
2,109
- 0,515
0,051
23,72
33,72
9916
15,50
17.23
22,950
22,330
— 0,577
-0,944
-0,367
- 0,003
0,837
23,214
23,220
38
2,166
— 0,563
0,048
24,46
34,46
9914 1
15,51
17,03
23,297
22,684
— 0,264
- 0,772
— 0,508
— 0,004
0,807
24,021
24,С00
39
2,223
— 0,608
0,045
25,15
35,15
9912
15,51
16,88
23,700
23,092
+ 0,135
— 0,455
— 0,590
— 0,005
0,776
24,797
24,620
40
2,280
— 0,652
0,044
25,87
35,87
9910
15,51
16,70
24,048
23,447
+ 0,464
— 0,118
— 0,582
— 0,005
0,761
25,558
25,300
41
2,337
— 0,695
0,043
26,55
36,55
9909
15,51
16,55
24,428
23,832
+ 0,759
+ 0,263
-0,496
-0,004
0,730
26,288
26,000
42 1
2,394
-0,736
0,041
27,19
37,19
9907
15,52
16,40
24,797
24,206
+ 0,943
+ 0,5Э8
-0,345
-0,003
0,684
26,972
26,610
9 С. А. Ильяоевич 129
•
1 хг в м
I TJCr
1 ~
1 *Xr
1 cos—f
1 TLXr i KXr
I COS —у-* — COS -y-
1 /?//, nrr\ m-cet&
1 /По = — 1 1 — COS —p 1
I m • сек*
i w = «it^ —~—
1 K-mp 4L
1 ж
j /7/-1000
J г /п сек
cue,
1 v
1
J aXr-i
1 v
1 a*r
1 COS —-
1 v
1 a*r-1
1 COS ——-
1 v
axr_ i axr
1 cos ——- — cos —-
1 V V
1 — cos——* — cos—-)
±У=Уг—Уг-1
y = ly
Уст
L,
43
2,451
-0,772
0,036
27,78
37,78
9906
15,52
16,28
25,201
24,615
+ 0,998
+ 0,867
- 0,131
- 0,001
0,544
27,516
27,180
44
2,508
- 0,806
0,034
28,28
, 38,29
9904
15,52
16,16
25,597
25,016
+ 0,896
+ 0,993
+ 0,097
+ 0,001
0,513
28,029
27,700
45
2,565
- 0,839
0,033
28,80
38,80
9903
15,52
16,06
26,017
25,439
+ 0,636
+ 0,955
+ 0,319
+ 0,003
0,466
28,495
28,200
46
2,622
- 0,868
0,029
29,22
39,22
9902
15,52
15,97
26,446
25,871
+ 0,258
+ 0,741
+ 0,483
+ 0,005
0,372
28,867
28,620
47
2,679
- 0,895
0,027
29,70
39,70
9901
15,53
15,87
23,852
26,281
— 0,144
4-0,412
+ 0,5Гб
+ 0,005
0,342
29,209
29,08
130
Продолжение табл. 19
48
2,736
1 - 0,919
0,024
30,02
40,02
9900
15,53
15,81
27,320
1 2о,751
1 -0,560
1 -0,044
I -f-0,516
+ 0,005
1 0,326
I 29,535
I 29,400
ш
«9 1 50
1
2,793
— 0,940
0,021
30,40
40,40
98Э9
15,53
15,75
27,783
27,216
— 0,880
- 0,504
■+ 0,376
-f 0,004
0,264
I 29,799
29,760
2,850
- 0,958
0,018
30,63
40,63
9899
15,53
15,68
28,224
27,660
- 0,998
- 0,815
+ 0,183
+ 0,002
0,248
30,047
30,100
51 52
2,906
— 0,972
0,014
30,91
40,91
9898
15,53
15,62
28,678
28,116
— 0,921
— 0,987
— 0,066
— 0,001
0,233
30,280
cO,J50
2,963
— 0,935
0,013
31,10
41,10
9897
15,53
15,59
29,184
28,623
-0,617
- 0,941
— 0,324
— 0,004
0,264
ЗЛ544
30,540
53
3,020
- 0,994
0,009
31,22
41,22
9897
15,53
15,59
29,746
29,184
— 0,099
— 0,617
— 0,518
— 0,005
0,218
30,762
1 30,630
1
LA I 55,1
3,077
- 0,998
0,004
31,30
41,30
9897
15,53
15,56
30,249
29,688
+ 0,388
-0,159
- 0,547
— 0,006
0,155
30,917
, 30,720
3,140
— 1,000
0,002
31,34
41,34
9897
15,53
15,56
30,865
30,249
+ 0,850
+ 0,388
— 0,462
— 0,005
0,109
51,026
30,760
131
Применяя первое условие, получает.
Второе условие дает
^1 ~~~ С»о ~~Г •
Решая совместно ур-ния (182) и (183), получаем:
, I ч л 2а*-Р2
(182)
(183)
4 =
f * л 2а2~Р3
у at (а2 — р')а2
(184)
(185)
Таким образом
С
(186)
разом
+(/-^-^^^))e-w7]=/cosa<+-!sina/-
. 2a2 —p2 , Г 2a2 —p2 "I , , ? . ,
-^(a2-^a2COsaf=L/-^a^^=eHJCOSa< + |s,na/-
Вставляя выражение (186) в ур-ние (181), получаем для у такое решение:
/7/
или, выражая А через — и помня, что К=та2, получаем окончательно:
7ТШ
[ ъ(К-тр)
При v = 0 выражение (188) обращается в следующее:
_^,1+e.M_tf(I+„-).
|ражен^е статического прогиба (ур-ние 178).
cos а/ + — sin <#• (188)
т. е. в вы
132
При tf=0 из выражения (188) получаем:
pi
pi
pl(K — m$*)+plK
/ —
Кп(К—т$*)
а'
+/-
тт(АГ— m'f)
2plK-Kpl
Ки(К-т^)
+/-
*('-&)
я(АГ- «р»)
=/•
Эти две поверки позволяют считать решение, полученное в виде выраже-
ния (188), правильным.
Из разобранного выше примера с достаточной очевидностью вытекает
чрезвычайная незначительность динамического воздействия расчетной под
вижной нагрузки в случае учета только скорости движения, причем вели-
чина последней принималась нами достаточно значительной—100 км\час.
Динамический коэфициент в рассмотренном примере оказался равным всего
лишь около 1,01. При этом надо иметь в виду, что указанный динамиче-
ский коэфициент был получен при 6 = 0, т. е. в предположении идеаль
ного моста, не обладающего в процессе колебаний какими-либо сопроти-
влениями. В действительности же при 6=^0 динамический коэфициент,
заметно зависящий, как известно, от s, будет еще меньше. Вот почему
мы считали не имеющим большого практического смысла теоретическое
исследование динамического воздействия подвижной нагрузки р при е=^=0:
по сравнению с величинами динамических коэфициентов, получаемых в ре-
зультате действия других динамических факторов, динамические коэфици-
енты, характеризующие влияние одной только скорости движения, вслед-
ствие своей незначительности не могут играть сколько-нибудь существенной
роли при обычных скоростях движения полных подвижных нагрузок (даже
железнодорожных).
Именно это обстоятельство является причиной того, что при произ-
водстве экспериментальных исследований динамической работы металличе-
ских мостов величина опытного динамического эффекта, являющегося след-
ствием влияния только скорости движения нагрузки, до сих пор не могла
быть выявлена: она затушевывалась другими факторами динамики (напри-
мер периодическим действием неуравновешенных сил нагрузки, ударным
воздействием), вызывавшими значительно больший по величине динамиче-
ский эффект.
На этом считаем возможным ограничить исследование вопроса о влия
нии скорости движения нагрузки на динамическую работу моста.
133
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
№сцепная
оси
Ъ£сцзпная
ось
Масштаб \мм,-Ъ/&Ьт
ТЕОРИЯ ДЕЙСТВИЯ НА МОСТОВОЙ БРУС ПЕРИОДИЧЕСКИ
МЕНЯЮЩИХСЯ ПО ВЕЛИЧИНЕ СИЛ
19. Периодичность вертикальных сил в паровозах
Как мы уже указывали выше, при действии нагрузки возможно образование
и пей переменных по величине вертикальных силовых воздействий, меняю-
щихся по более или менее
правильному периодическому
закону. Особенно сущест-
венное значение имеют по-
добные вертикальные сило-
вые воздействия, образую-
щиеся при движении паро-
возов, являющихся, вообще
говоря, весьма неуравнове-
шенными в вертикальной
плоскости машинами. Эта
неуравновешенность сводит-
ся к образованию динамиче-
ских перегрузок отдельных
колес паровоза в результате
действия инерционных сил
неуравновешенных масс, при-
чем указанные динамические
перегрузки могут быть, вооб-
ще говоря, и положитель-
ными и отрицательными.
Ясно, конечно, что сте-
пень рассматриваемой не-
уравновешенности паровоза
должна зависеть прежде
всего от скорости движения.
Величина перегрузок отдельных колес паровоза зависит от положения
кривошипа и будет различна для левой и правой сторон паровоза.
Вообще говоря, пользуясь известными трупами проф. Ю. Ломоносова,
можно для каждого паровоза рассчитать для различных положений криво.-
шипа по окружности колеса для данной скорости движения величины
перегрузок от действия инерционных сил неуравновешенных масс движу-
шихся частей. Однако работа эта до настоящего времени выполнена лишь
134
Фиг. 85. Радиальные схемы динамических давлений
колес левой стороны паровоза серии Ов.
в отношении некоторых серий паровозов, для которых инж. В. Николаев
в свое время составил радиальные схемы динамических нагрузок отдель-
ных колес от действия упомянутых выше инерционных сил ]. На фиг. 85
изображены подобные радиальные схемы для колес левой стороны паро-
воза серии Ов (0-4-0). Пользуясь этими схемами, можно для каждого
колеса паровоза построить кривую изменения соответствующей динамиче-
ской перегрузки при полном обороте колеса. Для примера на помещаемой
ниже фиг. 86 даны подобные кривые для колес всех четырех осей каждой
стороны упомянутого выше паровоза серии Ов (0-4-0), построенные
для скорости движения t/ = 67,5 км\ч,ас (5 об/сек). Если просуммировать
соответствующие ординаты кривых для всех колес каждой стороны паро-
воза, то в результате получатся кривые, представляющие собой равнодей-
ствующие динамических перегрузок, имеющих место на каждой стороне
паровоза. Эти суммарные кривые, приведенные на той же фиг. 86, имеют
ясно выраженный правильный синусоидальный характер, причем нетрудно
заметить, что синусоида одной стороны паровоза сдвинута по отношению
к синусоиде другой ровно на0,5тт, что вполне соответствует имеющемуся
в паровозах сдвигу на 0,5 тг противовесов одной стороны по отношению
к противовесам другой. $
Указанные суммарные равнодействующие динамические перегрузки каждой
стороны паровоза передаются на главные фермы; в качестве первого при-
ближения можно считать, что эта передача происходит по закону рычага.
Если суммарную наибольшую динамическую перегрузку левой стороны
паровоза обозначить через Рл, а правой стороны — через Рп, то на ле-
вую ферму однопутного железнодорожного моста будет передаваться, во-
обще говоря, такая перегрузка:
или
где b—расстояние между осями ферм, с — ширина колеи, а 1 = --;,
причем Т—период синусоиды динамической перегрузки, равный
т— —
где D — диаметр колес, a v — скорость движения.
Ниже на фиг. 87 дан закон изменения QA за один оборот колеса для
двух различных значений Ь, а именно 7,0 и 2,3 м.
Из рассмотрения этой фигуры прежде всего можно видеть, что суммар-
ная динамическая перегрузка на ферму действует также по правильной
синусоиде, имеющей период, равный периоду полного оборота колеса па-
ровоза, что вполне соответствует природе написанного выше выражения
(189). Из той же фиг. 87 следует еще и другой вывод, а именно: для
1 См. Труды XXXIV Совещ. съезда инженеров ел. пути жел. дорог. Инж. В. Ни-
колаев, .О динамических нагрузках колес паровозов различных серий*.
135
мостов, имеющих различные расстояния между осями ферм, получаются
заметно разные значения перегрузок. Во всяком случае соответствующая
разница для двух мостов, из которых один — с ездою по верху при ши-
рине 2,3 м, а другой — с ездою по низу при ширине 7,0 м, оказалась
о
А2сцеиая осО
4 d сцепная осо
| | р~"~£ ■£* \я \я г»
35 сцепная оси
"р л р р р 2Я
№ сцепная осо
2&сцепная осб
2 Ъсцепная ocb.
♦QCtf
О
-00
Неценная осо
\£сцзпная осо
0
•qp^
о
•ЗР
-qp
-90
Сумтбсех колес
0 4
^1
1
I
1
ЩЪ
г г
•^"
j
■~ 1
t*
л
я» *
^
1* 1
1,57^
1
|
1
k l
.*
»
Динамические перегрузки от инерцион- .
• ньюссип спя колес паробоза серии O$/0'4Q)
лебая сторона
Сумма всех колес
» \
\ "{
\ 1
^
^ *
1,07-Я
1
1
1
1
7 J
и i
-ж 1
\
■Го &
Динамические перегрузки от инериионнОюс
сил для колес паробоза серии O£f0-4-Q)
прадая сторона
Фиг. 86. Динамические перегрузки от инерционных сил для колес паровоза
серии Ов (0-4-0) для обеих его сторон для скорости движения t/ = 67,5 км\час.
равной около 30°/0. При этом большей ширине моста соответствуют
меньшие динамические перегрузки.
Как указывалось выше, все приведенные кривые построены для скорости
136
г/= 67,5 км\час. При переходе к другим скоростям ординаты кривих
должны быть изменены в отношении квадратов этих скоростей.
Полученные подобным методом значения динамических перегрузок ферм Q
не вполне правильны. Дело в том, что исследования, произведенные
инж. С. Бернштейном, обнаружили существование при внецентренном
(в поперечном направлении) действии нагрузки на мост значительно более
сложного закона передачи ее на отдельные фермы, нежели принимавшийся
нами закон рычага. Объясняется этэ тем, что закон этот не принимает во
внимание участие в работе на закручивающий момент, образующийся при
несимметричном действии нафузки продольных горизонтальных связей
моста.
Учитывая эту работу связей, Бернштейн дает такое выражение для со-
отношения между величинами сил Рг и Р2, передающихся на обе фермы*
моста от силы Я, приложенной
к одной из рельсовых ниток:
Перегрузка на одну ферму
P2_\±Vp_
■\>
где р
Р 1-R*p-
-(ё)'Ч
г
(190)
есть отно-
шение квадратов периодов сво-
бодных вертикальных и попереч-
ных горизонтальных колебаний
мое га,
с
>-7
и В = —
Фиг. 87. Изменение перегрузки на одну ферму
для двух ширин моста b =2,3 м и Ъ = 7,0 м
при одном обороте колеса.
h — высота главных ферм, a b и с имеют прежний смысл.
Принимая во внимание, что
можно, пользуясь написанным выше отношением, получить для Рл и Рг
следующие выражения:
p^o^i + j-L) 1
0
Р. =~ 0.5Р 1
1-И»р/ J
(191>
Нетрудно себе представить, что суммарная динамическая перегрузка,
действующая на левую ферму, при применении этого закона передачи
выразится так:
<?, = 0,5РЛ (^1 +T-L^i smU+0,5РП Л_т_±_\со8^, (192)
а на правую ферму:
Qn = o,5p(l - j-L) slnA, + o,5P„ (l + j-Lj сое Д*. (193>
137
Для сравнения на фиг. 88 даны кривые динамических перегрузок левой
фермы, построенные с применением закона рычага и метода Бернштейна
для мостов, имеющих соответственно
£ = 2,3 л/;
i=2,2.
Разница, как видим, получается достаточно заметной (с/}25°/0) для
мостов малой ширины и весьма небольшой (с/з7°/0) для мостов, имеющих
обычную ширину мостов с ездою по низу (5,7 м), причем всегда приме-
нение закона передачи нагрузки по Бернштейну дает меньшие по величине
лерегрузки.
Перегрузка на одну ферму
Перегрузка на одну ферму
Фиг. 88а и б. Изменение перегрузки на одну ферму для разных ширин Ь моста и
разных отношений Х== -г при применении закона рычага и способа Бернштейна.
Таким образом вопрос об определении суммарных динамических пере-
грузок паровозов не вызывает затруднений в тех случаях, когда имеются
диаграммы, подобные построенным инж. В. Николаевым.
Из всего изложенного с достаточной очевидностью вытекает несомнен-
ный факт образования при движении паровозов на каждой из сторон
периодически действующих сил, передающихся в результате на главные
фермы. Период действия этих сил равен периоду полного оборота колеса
паровоза. Отсюда встает вопрос об исследовании действия на мост пе-
риодически меняющихся по величине сил, как одного из факторов дина-
мического воздействия подвижной нагрузки.
138
20. Действие на идеальный мостовой брус движущейся со ско-
ростью v периодически меняющейся силы
Будем считать, что на мостовой брус пролетом / действует подвижная
периодически меняющаяся сила, пусть при этом последняя возвращается
к своему первоначальному значению Д раз в течение 2тт секунд. В этом
случае закон изменения рассматриваемой силы в функции времени t может
быть выражен через
Q sin Му
причем величина Д есть частота действия полного значения силы Q, зави-
сящая от скорости ее движения и и от диаметра D колес паровоза; зави-
симость эта устанавливается следующей формулой:
»"5-
(194)
Рассмотрим сначала наиболее простой случай, а именно — движение
силы Qsinkt со скоростью v по идеальному мостовому брусу, не обла-
дающему никакими ни внутренними, ни внешними сопротивлениями, мас-
сой же самой силы Q будем пренебрегать. Таким образом поставим во-
прос о получении динамической диаграммы про-
гиба середины пролета под действием подвиж-
ной переменной силы QsinA/.
Если попрежнему считать, что инфлюентная
линия статического прогиба в середине пролета
бруса представляет собой синусоиду с ордина-
тами, равными
* . тгх
о sin— ,
то величина приведенной к середине пролета
силы Р при расположении Qsin At на расстоянии х от левой опоры (фиг. 89)
определится из условия:
TTJC
Pb = bQsinMsin— ,
т. е.
тег
р = Q sin Д* sin — = Q sin Д* sin f$/,
(195)
TZV
где (5, как и прежде, равно —.
Диференциальное уравнение движения середины пролета в данном слу-
чае (т. е. при 6 = 0) напишется так:
dry Q
др-{-а*у=— sin Д^ sin f/,
или
d2y
-л? -f- a?y = Л sin М sin (J/,
(196)
139
где
т
(197)
Общий интеграл ур-ния (196) имеет следующий вид
А I \
~ГЩС0^Л + С1е +С2е ', (198)
где
л2 = л + р.
Для определения постоянных интегрирования Сл %и С2 воспользуемся
прежними начальными условиями, а именно, при £—0 прогибу и произ-
водная -— должны также обратиться в нуль.
Первое условие дает:
Л_ Г_1 1_
2 |^-Д* *^ГЦ
+ с2 + с2 = о.
Второе условие дает:
Слм— С2а/ = 0,
или
Сл — С2.
Из равенств (199) и (200) имеем:
С —Г — —
Ч — Ч — 4
Следовательно,
А_
4
А_
2
а2 — Д* а2
i L_l
_Д2 а»_Д2]-
1 1 / + а// "" а/'\
(199)
(200)
(201)
» 1 1 1
"Б Г, 3 Г* cos a*-
а2 — Д^ а2 — A|J
Вставляя последнее в выражение (198), получаем для у:
У = ~1
(202)
или
У = \
Q
2 т
^—д2 (cos Д2* — cos о/) — £,—д5 (cos V — cos a/)
_J_ (cos Д,/ — cos at) - -^ГЩ (cos V - cos at) 1 • (203>
21. Построение динамической диаграммы прогиба при движении
Qsinkt по идеальному мостовому брусу
Пользуясь выведенным выражением (203), построим для примера дина*-
мическую диаграмму прогиба середины моста пролетом / — 55,1 м, имею-
щего т = 10 т • сек2/м и а = 31,62 , лля случая переменной перно-
сек
140
дической силы, образующейся при движении колеса диаметром D= 1,32 л.
Пусть скорость движения и =37,6 км\час = 10,45 м\сек и сила Q=«l m.
По ур-нию (194) получаем:
20 2-,0'45 = 15,81-1-.
Кроме того,
D 1,32 ' сек
/ 55,1 сек
Д1 = Д —[1 = 15,81;— 0,59=15,22— ;
Д, = Д4-В = 15,81 +0,59=16,40 —;
' сек
1 ! -=0,0013 сек*;
а2—Д* 31,622—15,22^
1 _ 1
а2 —Д^~31,62^—16,402:
: 0,0014 сек2;
А . А,* 15,22
А'< = 1Г = Т^5*=1'46*;
А2^_16,40
V- — -Щб*-1'57*'
. ал: 31,62
а* =— = —— л; = 3,03л:.
v 10,45
Вставляя все эти значения в ур-ние (203), получаем:
j> = —^—[0,0013 (cos 1,46л: — cos 3,03*)—0,0014 (cos 1,57л: — cos3,03a:)]=
= 0,05 [0,0013 cos 1,46л: — 0,0014 cos 1,57л: + 0,0001 cos 3,03л:];
у в последнем выражении получится в метрах; для миллиметров будем
иметь:
3> = 50 [0,0013 cos 1,46л: — 0,0014 cos 1,57л: -f- 0,0001 cos 3,03л:].
Для построения кривой, выражаемой этим уравнением, мы построили
сначала отдельно три косинусоиды, стоящие в квадратных скобках ура-
внения, а затем просуммировали их алгебраически. Результаты построения
приведены на фиг. 90, причем в результирующей кривой прогиб моста
по направлению вниз отложен вверх.
Из рассмотрения фиг. 90 можно прежде всего заключить, что динами-
ческая диаграмма прогиба середины пролета моста при движении по нему
переменной периодической силы представляет собой синусоидальную кри-
вую, расположенную симметрично относительно статической линии про-
гиба моста. Таким образом при проходе подобной периодической силы
мост получает попеременно то увеличение, то уменьшение прогиба. Ча-
стота этих перемен, т. е. частота вертикальных колебаний моста, оказы-
вается равной частоте действующей силы QsinAtf (в данном случае —
141
15,81 в 2тг секк Амплитуды же постепенно возрастают по мере продви-
жения вперед силы QsinM и в данном случае максимального значения
они приобретают в момент нахождения Q sin It у середины пролета.
22. Зависимость прогиба у от соотношения между Д и а в случае
идеального мостового бруса
Нетрудно показать, что величина у, определяемая выражением (203),
чрезвычайно резко зависит от соотношения между Д и а. С целью выя-
снения характера этой зависимости мы указанным выше методом построили
диаграммы колебаний середины того же самого моста пролетом / = 55,1 м
y=5O(0.O013 COS 1.4Б Л -0.0014-CQS.1.57* л
«-Q.0001 COS 3.Q3X)
QZZmja
Фиг. 90. Построение диаграммы прогиба середины моста / = 55,1 м при проходе
груза Q-=i m в виде колеса диаметром Z) = 1,32 м, развивающего периодические
силы.
для различных соотношений между Д и а. Данные для построения при-
ведены в табл. 20.
Результаты построения в виде соответствующих диаграмм изображены
на фиг. 91, из рассмотрения которой можно видеть, что наибольшие амп-
литуды колебаний середина пролета получает как раз при
А
т. е. когда частота действия силы QsinA/ совпадает с частотой собствен-
ных вертикальных колебаний данного моста. Это как раз тот случай, кото-
рый носит название явления резонанса между нагрузкой и мостом. Та
скорость vy при которой возможно образование подобного явления и ко-
торая определяется из выражения
* = ^ = *£. (204)
142
Таблица 20
д
15,81
23,72
25,33
30,04
31,62
31,89
37,94
44,27
д
а
0,50
0,75
0,83
0,95
1,00
1,10
1,20
1,40
дл
10,40
15,65
17,74
19,83
20/.0
22,95
25,04
29,22
'-т
0,59
0,89
1,01
1,13
1,18
1,31
1,43
1,63
д1=д-р
15,22
22,83
25,87
28,91
30, !4
33,47
35,51
42,61
д2=д+?
16,40
24,61
27,8Э
31,17
32,80
33,09
39,37
45,93
1
а*- Д^
0,0013
0.0021
0,0030
0,0031
0,0137
— 0,0083
-0,0030
- 0,0012
1
* " Д2
0.С014
0,0023
0,0015
0,0354
-0,0132
-0,0033
— 0,0018
— 0.С0С9
V
1,46л:
1,46л:
1,46*
1,46*
1,43л:
1,46*
1,45л:
1,4 *
V
1,57л:
1,57*
1,57л-
1,57*
1,57*
1,57л-
1,57*
1,57*
а!
3,04*
2,02*
1,78*
1,5Э*
1,52*
1,33л-
1,26*
1,03л-
2/Я [а* — Aj а* — Д* 1
0 [0,0013 cos 1,46л- — 0,0014 cos 1,57л- -\- 0,0001 cos 3,04*j
50 [0,0021 cos 1,4 5лг - 0,0025 cos 1,57* + 0,0004 cos 2,02*}
c0 [0,0330 cos 1,46л- - 0,0045 cos 1,57* + 0,0015 cos 1,78л:]
0 [0,0061 cos 1,45* - 0,0354 cos 1,57л: -f 0,0293 cos 1,59л:] 1
50 [0,0137 cos 1,45л- -f 0,0132 cos 1,57л- — 0,0269 cos 1,52дг] 1
50 [0,0033 cos 1,57* — 0,0033 cos 1,46* 4- 0,0050 cos 1,33*1 1
50 [0,0018 cos 1,57* — 0,0030 cos 1,43* 4- 0.C012 cos 1,26*] 1
50 [0.0009 cos 1,57* - 0,0012 cos 1,46* + 0,0003 cos 1,08*} J
"-»■■'■ * "■ '" ' ■ ■■ "J i ■' ■ .■■■I'-- !PJ >
называется критической скоростью. Определение это вполне естественно,
«если принять во внимание то резкое повышение величины амплитуды ко-
лебаний, которое, как нетрудно заметить из фиг. 91, имеет место при
-явлении резонанса. При отношениях —, больших и меньших единицы,
амплитуды колебаний значительно меньше. Для большей яркости на фиг. 92
^ -0.50 ; a max=0.2B>cj4
Фиг. 91. Диаграммы вертикальных колебаний середины моста /=55,1 м при проходе
по нему силы Q sin М при Q = l m и при различных отношениях -—.
мы построили график зависимости наибольших амплитуд колебаний, взя-
тых из диаграмм, изображенных на фиг. 91, от отношения —.
a
Характер графика весьма показателен и не требует особых пояснений.
Этот же график фиг. 92 дает в другом масштабе и зависимость отноше-
ния наибольших полных амплитуд колебаний к максимальному статичес-
кому прогибу середины пролета от силы Q = 1; прогиб этот, как видно
из фигуры, был равен 0,1 мм.
При явлении резонанса это отношение в данном случае (фиг. 92) дости-
гает 52. Если же считаться только с амплитудой, расположенной по одну
144
сторону от начального положения моста, то указанное отношение дина-
мического воздействия к статическому (динамический коэфициент) будет
равно 26.
23. Свободные колебания после прохода Q sin It по идеальному
мостовому брусу
Из выражения (203) динамического прогиба середины пролета бруса
при проходе QsiniJ видно, что при сходе последнего с пролета прогибу
Фиг. 92. Зависимость амплитуды вертикальных колебаний середины моста от отно-
шения — .
а
вообще говоря, не обращается в нуль, а имеет некоторое конечное зна-
чение: мост продолжает испытывать колебания, называемые свободными.
Амплитуда этих колебаний, постоянная по времени, определяется из
уравнения:
у = Сг sin at -f- C2 cos a/,
.10 С А. Ильясевич 145
в котором постоянные интегрирования Сг и С2 могут быть известны на
следующих двух начальных условий: при /=» 0 (считая этот момент соответ-
dy
ствующим моменту схода Qsinkt с пролета) ,у и— должны быть соответ-
ственно равны /=у и ^ = -~, определенным из ур-ния (203) для*= — •
Эти два условия дают
поэтому
С2=/и С1 =
v = — sin at -}-/cos at.
а '
(205)
Максимум выражения (205) найдем из условия:
dv
-±- — q cos at — fa sin at = 0,
dt
откуда получаем
tgat =
sin at = -
tgat
fa
<7
cos at =
|/l + tg« at fa у 1 +^-2 fa +/»a«
1 1 /a
1/1 + tg2 a/ |/ 1 + -|^ VV + >2a*
После этого, пользуясь выражением (205), можем получить амплитуду
свободных колебаний рассматриваемого бруса в следующем виде:
f2a
aV q2JrfW W-|-/2a2 a
W^+f2^
(206)
Следует только иметь в виду, что здесь у представляет собою не полную,
а половинную величину амплитуды.
Для примера мы вычислили по ф-ле (206) значения амплитуд свободных
вертикальных колебаний моста пролетом /=55,1 м (см. § 22) для раз-
личных скоростей движения груза QsinA/, соответствующих различным
соотношениям между а и Д. В результате расчета получились следующие
значения полных амплитуд свободных колебаний рассматриваемого моста:
Отношение —
a
т\
0,50
10,022
&БЛ ИЦА 21
0,75
0,034
0,85
0,094
0,95
2,00
1,00
5,324
1,10
0,800
1,20
0,150
1,40
0,066
Для большей ясности приведенные в табл. 21 цифры нанесены на график,
изображенный на фиг. 93 и дающий зависимость интересующих нас ам-
плитуд в функции отношения —.
а
Из графика видно, что наибольшее, резко выделяющееся, значение
амплитуды свободных колебаний имеется в случае прохода по брусу груза
Qs'mht со скоростью, соответствующей равенству а и Д, т. е. в случае
возникновения явления резонанса между нагрузкой и брусом. График,
изображенный на фиг. 93, идентичен
по своему общему характеру гра-
фику фиг. 92.
24. Динамические коэфициенты
при проходе по идеальному мо-
сту силй Q sin Д*
Совершенно очевидно, что зави-
симость динамических коэфициентов
(по прогибу в середине пролета) от
соотношения между частотами а и Д
будет определяться тем же законом,
что и зависимость соответствующих
амплитуд—кривой с резко выражен-
ным Максимумом при а = Д, т. е.
при явлении резонанса (фиг. 92).
Здесь уже абсолютные значения ди-
намических коэфициентов — совсем
иные по сравнению с динамическими
коэфициентами, полученными нами
в предыдущей главе для случая учета
влияния только одного фактора ди-
намики — скорости движения. Для
примера укажем, что для известного
уже моста пролетом /==55,1 м наи-
больший динамический коэфициент*
при проходе по нему груза QsinA/
при Q=l tn достигает 52 (фиг. 92);
между тем для того же моста наи-
больший динамический коэфициент
при проходе по нему груза Q=l m со скоростью т;=100 км/час ока-
зался равным всего лишь 1,050 (табл. 15). Разница, как видим, весьма
существенная, позволяющая утверждать, что действие на мост нагрузки,
меняющейся по величине по правильному периодическому закону, во много
раз серьезнее влияния только одной скорости движения.
Далее выясним, по какому закону меняются рассматриваемые динамические
коэфициенты в функции пролета бруса, для чего исследуем только наиболее
яркий случай, соответствующий явлению резонанса, т. е. равенству а и Д.
В качестве брусьев возьмем аналогичные разбиравшимся выше мосты раз-
личных пролетов. Все необходимые данные для построения соответствующих
диаграмм колебаний приведены в табл. 22.
10* 147
1
|
«G
1
i
i.
1
Li
H.
Отношение-^
1.0
«50
Фиг. 93. Зависимость амплитуд свободных
вертикальных колебаний середины моста
/ = 55,1, образованных в результате про-
хода по нему груза QsinM при Q=i m
\
и при различных отношениях —.
Тавл*
/
м
33,2
55,1
65,9
87,6
109,2
12^,0
158,4
1
1т
м
т. сек »
0,073
0,038
J 0,029
0,018
0,042
0,009
0,006
а = Д
сек
35,48
27,79
21,36
19,20
16,53
13.65
10.35
AD
м/сек
23,42
18.34
14,10
12,67
10,91
9,01
6,83
? = 7
1
сек
2,22
1,05
0,67
0,45
0,31
0,22
0,14
at
1,515л:
1,515л:
1,515jc
1,515jc
1,515л:
1,515л:
1,515л:
1
сек
33,26
26.74
20,69
18.75
16,22
13,43
10,21
д2=д^?
1
сек
37,70
28,84
22,03
19,65
16,84
13,87
10,49
1
<И-Д?
сек1
000655
0,01747
0,03549
0,05856
0,09850
0,16785
0,34742
1
сек*
-0,00669
— 0,01682
— 0,03440
— 0,05720
— 0,09667
— 0,16517
— 0,34275
Однако для определения максимальных амплитуд колебаний мы не строили
в данном случае самих диаграмм, что достаточно кропотливо, а пользуясь
выражением для у> приведенным в последней графе табл. 22, давали х зна-
чение, близкое к величине пролета рассматриваемого моста, но при котором
1,515*= шг,
где п — целое число. В этом случае cos 1,515л: = cos о/, т. е. член, оказы-
вающий наибольшее влияние на величину амплитуды колебаний, обращается
в единицу. Другие два косинуса при том же значении х для мостов всех
пролетов получаются также близкими к единице, но с обратным знаком
по отношению к первому косинусу. В результате все три члена, стоящие
в квадратных скобках выражения _у, при указанном выше значении х скла-
дываются.
Применяя такой метод, мы допускаем, что при нахождении груза QsinAl
на конце пролета моста амплитуда колебаний будет иметь наибольшее
значение, что вполне соответствует характеру построенных нами диаграмм
колебаний для мостов пролетами 55,1; 65,9 и 87,6-к, изображенных на
фиг. 94 — 96.
Для примера определим по такому способу величину у для моста про-
летом 65,9 м. Для этого пролета из табл. 22 имеем:
у = 29 [0,03549 cos 1,467л: — 0,06989 cos 1,515* -f 0,03440 cos 1,562лг].
Полагая, что
пк 31-3,14 ^ Л„0
^ = Т^15 = Т5Т5-=64'263^
получаем:
cos 1,515лг = со831гс =—1,00;
cos 1,467л: = cos 1,467 • 64,263 = cos 0,07 = + 0,9976;
cos 1,562л: = cos 1,5)62.64,263 = cos 0,1 l=-f 0,9939;
у = 29 [0,03549 -0,9976 -f- 0,06989.1,00.00 + 0,03440• 0.9939J = 4,046 ЛМЬ
149
«а 22
'
v
1,420л
1,458л
1,467л
1,480л
1,487л
1,491л
1,495л
&*
1,610л
1,573л
1,562л
1,551л
1,544л
1,539л
1,536л
2m La8—Aj а* —Д* J
73 [0,00655 cos 1,42л — 0,01271 cos 1,515л + 0,00616 cos 1,61л]
38 [0,01747 cos 1,458л — 0,03429 cos 1,515л + 0,01682 cos 1,573л]
29 [0,03549 cos 1,467л - 0,06989 cos 1,515л + 0,03440 cos 1,562л]
18 [0,05856 cos 1,480л — 0,11576 cos 1,515л + 0,05720 cos 1,551л]
12,5 [0,09850 cos 1,487л — 0,19517 cos 1,515л + 0,09667 cos 1,544л]
9,5 [0,16785 cos 1,491л — 0,33302 cos 1,515л + 0,16517 cos 1,539л]
5,5 [0,34742 cos 1,495л — 0,69017 cos 1,515л -4- 0,34275 cos 1,536л[
0.03.429 COS 1.515 X
'001747 COS 1.458 X
/UUl/47U051.4b8X
VVVXA/WWVVVVXA
</=38[0.ОП47 COS 1458JC-QJI3429 C0SUlbX<
»aot682 С05Ш31]
IflSifUt
/-55.U
Фиг. 94. Построение диаграммы вертикальных колебаний середины моста /=ш5б,1 л
от прохода силы Q sin lit при Q = 1 /я, при Д = а и е = 0.
Величина статического прогиба под действием груза Q= 1 /я,
в середине пролета моста, может быть определена по следукгцей
J« К та?'
Динамический же коэфициент будет равен
стоящего
формуле:
4 =
Л/
r0.06989 COS 1.515X
-0.03549 CQS 1.4Б7Х
/u.u4D4a tab \аъ/х
wwvwvwwwwvv
'0.03440 COS 1.5B2 X
^29[0.03549 COS U67X-0.Q6989 CQS1.515X*
♦ 0.03440 COS 1.562X]
tfsiruf
Фиг. 95. Построение диаграммы вертикальных колебаний середины моста / = 65,9 м
от прохода силы Q sin А? при Q = 1 т, при А = а и е = 0.
-0.05856 COS 1.480 X
/-Q.Q5720C0S1.551X
WVWXAA/WVWWWWWV"
r0.1157B COS 1.515 X
y=18[Q.05856COSU80/-0.1157GCOSl.W5X +
♦0.05720 COS 1.551 X]
-^ллЛА,
F
87.6л*
Фиг. 96. Построение диаграммы вертикальных колебаний середины моста /=87,6 .
от прохода силы QsinAf при (?=1 /я, при Л = а и « = 0.
причем под у подразумевается только половина максимальной амплитуды
колебаний, характеризующая положительный прогиб середины пролета
мостового бруса.
Результаты всех этих расчетов в отношении приведенных в табл. 22
мостов даны в табл. 23.
Таблица 23
/ в м
/., — —, мм
v
| ' f's,
33,2 55,1
0,116
1,856
16,0
0,100
2,606
26,1
65,9
0.128
4,045
31.6
87,6
0,096
4,160
43,3
109,2
0,091
4,865
53,5
126,0
0,101
6,288
62,3
158,4 i
0.103
7.550
73,3
80
70
Для большей яркости значения динамических коэфициентов ij
сены в функции пролета мостов на
график, изображенный на фиг. 97,
из которого видно, что 7j резкх),
почти по прямолинейному закону,
растет вместе с увеличением пролета
моста, достигая для моста пролетом
158,4 л* величины 73,3.
Таким образом, чем больше про-
лет моста, тем более серьезным для
него оказывается действие периоди-
чески меняющихся по величине си-
ловых воздействий.
Переходим к исследованию дина-
мического воздействия той же самой
нагрузки, но при учете явления за-
тухания колебаний.
нане-
50
Г 40
'30
\га
25. Вывод формулы прогиба для
случая действия подвижной на-
грузки вида Q sin Af на мостовой
брус, обладающий сопротивле-
ниями
Нетрудно себе представить, что
в этом более сложном случае ос-
новное диференциальное уравнение
б)дет иметь следующий вид:
50 100 . ,
пролет моста 6м.
150
2Х
Фиг. 97. Зависимость от пролета моста
динамического коэфициента, получаемого
от прохода силы Q sin М при Q = 1 м >
при Д==а и е = 0«
Полагая, что
а1У _l~ 2г d/ 4- а2у = A sin At sin it.
dt* * dt ' ^ r
(208)
15J
где А, и k2 — корни уравнения
т. е.
Aj f t = — с ±V e2 — a2 = — e ± 1/,
имеем
Ур-ние (207) примет после этого вид:
**'7i С) (*? + 2в*, + а2) + «*7. W (** + 2б*2 + а2> +
+ [ V*«7| О + V*7a W] = Л sin д< sin Р'»
что сводится к
V*'7i' W + *»«**/! О=А sin Л'sin Р*-
Так как из ур-ния (209) получаем:
*7IW=—«*W).
то ур-ние (210) дает:
/,' (0 = <r-*t'sin Д/ sin р*,
РО»)
/£(') =
*,-*!
*-*»-sinA/sin jtt,
откуда
/, (0 = г-^— [ *_ vsin Д sin $t dt + Cj
- f «r-VSinA*sinp*<«-fCr
/?2 Fl-\
Выполняем интегрирование:
(210)
(211)
f«-VsinA*sinjU<ff=-i (V * [cos(A — f)/ — cos (Д-ffl)/] <# =
= — 1 e_*i'.cos А,/Л — l e-*»'cosД2/<# I;
V e~ *•■' cos Д* а'* = т2-^г~Т2 (Д sin Д< — Л: cos Д/);
Г ъ* • a j - о/^ 1 . , /Д, sin Д,^ — £.. cos Д.* A,siiiAJ—A,cos/LA
j1 с-»*, Д/ sin р« -| г-*■ /*»si" V ~ уos V - А»sin Ag^«» V\ .
152
Таким образом для у имеем такое общее выражение:
А
У =
А / Д, s:n Д^ — /?5 cos Д.,* Дд sin Д2* — ^ cos Д2Л ,
, Л /Д7 sin Д^ — fc2 cos Д^ Дд sin Д„/— k2 cos Д21\
+ 2(*2-*Д Ц+Ц Д§ + *> ) +
+ Сге+**'+С2е+**. (212)
Сумма первых двух слагаемых, стоящих в правой части выражения
(212), может быть преобразована следующим образом:
А /Дт sin Д/ — k, cos Д^ Д3 s«n Д,1— k„ cos Д^\
Дт sin Д/ — k, cos Д^ Д3 s«n Д,1— k0 cos Д^
Д? sin Д2/ — кл cos Д2* Д2 sin X,t — k7 cos Д^^
_
А — (ft2 — АЗД sin Д,* — А2 (ft, — ft„) cos Д,* + k^k2 (ft, — ft,) cos A,t
A IA, sin l2t — A, cos Д2* Д2 sin l.,t — ft2 cos Д,А
'2 (А,-*,) (Д'+А'ИД^А2)
Л — A2 (ft2 — £2) si„ Д^ _ Д2 (^ _ jg cos Д^ _|_ A] Ajj (ft] __ ftj) cog д^
2(«,-A2) (Д2+А*)(Д2 + А2)
Л — (A, -i. fr2) Д7 sin A,* — A2 cos A,/ J- A,ft2 cosA,/
A — (ft, ■+• ft2) Д2 Sin V — ^2 C0S ^ + *1*2 C0S Д»'
"2 A|rA2(ft2 + A2) + /j2A2 —
Л 12Д, e sin Д,* 4- (a2 — Д2) cos A,f 2Д, s sin A2/ -f- (a2 — A2) cos Д/
=41
(a2 — A2)2i-4A2s2
(а2_Д2)2 + 4Д|е2
, (213)
причем
A, -j- A2 = — e-)->/ — e—X/ = — 2e;
£2 _|_ *2=(_ e -f Xi)2 + (— e — X/)2 = e2 — X2 — 2e)i +-
-|- e2—X2 -J- 2eXi=2 (e2 — X2) = 4e2 — 2a2;
A,A2 = (— e-f-Xi)-(-e — Xi) = e2 + X2 = a».
Если, аналогично предыдущему (§ 15), положить:
a2 - А2
(a2-A2)2 + 4Д262 = П* Sin Yl:
2А,е _
(а2_д^_Н4Д2е2 — "icos Т3;
а2—А2
(а2 — № + Щ& = "* sin Y»:
2А2е
(о2 —A2)2-J-4A2g'
5 = я1со*Т«.
153
то выражение (213) может быть представлено в таком упрощенном виде:
причем
"2 К sin (V + Yi) — пз sin (V + Y2)L
а2 —Д2 a2 — A2
Yl = arCtg~2AT"; Y2 = arctg-9T7-5
2Д,
a2 — A?
1
1
•2 — -!~
V(& — Д?,)2 + 4Д'г2"
Для определения постоянных интегрирования С, и С2 воспользуемся
двумя начальными условиями: 1) при / = 0 прогиб у = 0; 2) при £ = 0
производная -- = 0.
Первое условие дает:
А Г 2Д2е
Т[(а2 — А2)2 + 4Д2е2 ~~
Щг
(а2 — Д2)2 + 4Д2
72]+С1 + С1 = °-
Второе условие дает:
2Д?£
2 [,
2Д|е
(а2 — Д<)2 -|- 4Д28 (а2 — А2)2 -4- 4Д282 j
+ ед + сл = о.
Решая эти два уравнения, получаем:
сг
2(А,-А2)
2Д2г_(а2_Д2)&2 2Д|г-(а2-Д|)*,
(а2 — Д2)* -j- 4 Д2г2 (з* — A2)2 -f Щ
(а2 — Л,') 6, - 2Д2г Га2 — Д2) А, — 212г
[ ^а2 — Д;)2 -f 4Aj's2 (a2 — А2)2 + 4Д2е2
44
И*
]•
Далее имеем:
2 (A,— k2)
Сгек*' -f С2е*.' = е~ " (Сле+и1 -j- Cse~'") =
_ш Г2Д2г-(а2-Д2)А2 ^ (а2-А?)6,-2^3
[ (а2 - A2)2 -f 4Д2$* * "+" (а2 — Д2)2 -j- 4Afs2 *
2А»г-(а» —Д*)й4 (а2_Дг)Л]_2Д2г
(а2 — Д|>2 -{- 4Д|г
(а2 —Д2)2-т-4Д2$2
хд
~~ 2Х/е
(а2-
2A2s
(а2 — Д2)*-4-4Д2е
(в+'л—е-'-") —
а2 — А2
' (Ь «+>Л ь *-W'i _
Af)2 + 4A2s»(V **' '
154
_ А_ ТД, 2Д]£ . Д, 2Д2з .
2в [л '(а*-Д?»,-|-4А*«*811Ш ). '(а'-Д^Т*^ +
а2 —Д?
-1(a2_^)2+;A^l^(£g+"+^+"-sg-u/+x/g-x<<>-
- Ltg, _ ^гЛф-рм(£g+"ч *** ~ "-*+*-">] -
= __е—' Ц-J- л, cos у, — -f «2 cos y2j sintt-j-
-}- -г- л, sin Yt sin it -f- «j sin ya cos \t — n2 sin y2 sin )i —
— n2 sin y2 cos)i I = — — e~e'[y (Vi cos у, — Д2я2 cos y2 -+-
-f б/г2 sin Y! -f" £л2sin Y2) sin^ ~b (nism Yi — n2sin Y->)CQS ki I •
Значения /ilf n2, Yi и ^2 приведены выше.
После всех этих преобразований выражение для у напишется в следую-
щем виде:
А (
У = 2 I Wl Sin (Д^ + Yi) — п2sin 0V + Y2) —
— е"[ у (4i*icos Yi — Д2Л2cos Y2 + Щ sin Yi +
-f s/z2 sin y2) sin )i -f- (л2 sin Ya — л2 sin y2) cos It I . (214)
Ввиду сложности полученного выражения (214) следует убедиться в
его правильности, сделав ту или иную поверку. Если, например, положить
в нем g = 0, то для у должно получиться выведенное выше выражение
<202).
В самом деле, так как при $ = 0
1 1
/(а2 — Д?)2 + 4 Д* s2 a? — AJ'
1 1
2 /(*_.**)» +4^8* а2-if
_ а2 — Д* _ тг
*'"Yl ~ [(а2 — Д*)2 + 442s2]/i1 = *; Yl=T:
а* —Д* тг
-n Yl ~ и*—д^'+щ*ч ^1; Тз=т;
15а
_ 2Д,«
C0S Yl ~~ [(а» — Д2)2 + 4Д2г*] — 0:
_ 2Дг* _А
C°S T* " [(a2 — Д*)2 + 4Д2е2] ~ '
>=/a2- s2 = a,
то выражение (214) в этом случае обращается в
^ 4 |^д"2 (cos ^ ~cos at) ~ ^=т2 (cos A/ ~-cos a,)] •
Как видим, в результате такой поверки мы получили выражение (202).
26. Построение диаграммы прогиба под действием подвижной
силы QsinAt при учете явления затухания колебаний
Для примера возьмем железнодорожный мост пролетом /= 56,1л,
имеющий согласно данных табл. 22 следующие характеристики:
я = 27,79 — ; ^-=0,038 * ,. ; е*=0,61 —.
сек 2/и т-сек* сек
Построим диаграмму прогиба для случая прохода по мосту Q sin Д/ при
Q=sl m со скоростью v, соответствующей образованию явления резонанса,
•&■ е. при о = Д.
При наличии последнего условия для рассматриваемого моста из табл. 22
получаем:
Д. = 26,74 — ; Д, = 28,84 — ;
1 сек z сек
1 =0,01747 сек2; , * А.. = — 0,01682 сек» ;
а? — Д2 ' ' а2-Д^
Д,/= 1,458л:; Д2/= 1,573*; at 1,515л.
Далее имеем:
i = ]/a2 — «2 = VA27,79» —0,61* =27,78 — ;
сек
. Хх 27,78 , _,_
1 1
1 )/10* — Д^,-+-4Д2ба 1(27,79* — 26,742)*-т 4-26,74*.0,61»
- , 1 ~ = -i— =«=0,01612 сек»;
|/4342,5589 62,05
■1М
1 = 1
Via2 —Д|)2-+-44|£* /27,792 _ 28,84»)* -f- 4• 28,84*• 0,61 *
1 1
У 4773,6401 69,09
: 0,01447 сек*;
а* —Д? 27,79*--26,74*
^.=15^Г- 2.26,74.0,61 -1'75* Т,-1.053;
а2_Д2 27,792^-28,842
»*» —ЩГ- 2.28,84.0,61 — *■«** Y2 = -1.037;
/ _0,61* -°£± -0,033*
sin Yj = 0,870; cos yt == 0,492;
sinY2 = — 0,861; cos y2 = 0,509.
Подставляя значение всех этих величин в выражение (214), получаем
для у в миллиметрах:
у = 38 10,01612 sin (1,458л: + 1,053) — 0,01447 sin (1,573* —
_1,037) —г-0-033*]—1— (26,74- 0,01612- 0,492 —
1.27,70
-28,84-0,01447.0,509+0,61.0,01612.0,870-0,6b0,01447.0,861)sinl,515jc+
+ (0,01612.0,870 + 0,01447.0,861)cos 1,515л: 11 =
= 38 {0У01612 sin (1,458л: + 1,053) — 0,01447 sin (1,573л: —
— 1,037) — <г-о,оззл (0,00003 sin 1,515л: + 0,02648 cos 1,515л:)}.
Построение этого выражения можно было бы выполнить графическим
путем сложением синусоид (полных и затухающих), из которых, вообще
говоря, состоит выражение, полученное для у. Выполним построение ана-
литически, определив предварительно значения^ для различных значений х.
Последние мы назначим с таким раЛетом, чтобы удовлетворить условию:
cos 1,515 л: = Ч- 1.
Откуда
3,14
1,515
л = 2,0726/г,
где п — целое число.
Подсчет промежуточных данных и величин у приведен в табл. 24.
По полученным в табл. 24 значениям у была построена диаграмма
колебаний, изображенная на фиг. 98. Принципиальные отличия этой диа-
граммы от соответствующей же диаграммы, полученной для того же моста,
но в предположении отсутствия сил трения (е=0), заключаются в следу-
ющем: 1) в диаграмме фиг. 98 амплитуда колебаний, достигнув максимума
при прохождении груза где-то за серединой пролета (л: = 43,5 л), затем
стала падать; между тем в случае е = 0 максимум амплитуды сохраняется до
конца движения груза Qsinkt по пролету; в первом случае сказалось влияние
157
Таблица 24
1 х
1 м
0
2,073
4,145
6,218
8,290
10,363
12,436
14,508
16.581
[18,653
20,726
22,799
24,871
26,944
29,017
31,089
33,162
35,234
37,307
39,380
41,452
43,525
45,597
47,670
49,743
51,815
53,888
= sin (1,458л: +
+ 1,053)
+ 0,869
— 0,862
+ 0.728
— 0,644
+ 0,548
— 0,446
+ 0,338
- 0,225
+ 0,107
+ 0,029
-0,12?
+ 0,244
— 0,357
+ 0,464
— 0,566
+ 0,659
— 0,743
+ 0,816
— 0,879
+ 0,929
— 0,966
+ 0,990
— 1000
+ 0,995
— 0,978
+ 0,946
- 0,901
= sin (1,573л:—
—1,037)
— 0,861
+ 0,793
— 0,715
+ 0,626
— 0,529
+ 0,423
— 0,309
+ 0,195
— 0,076
— 0.049
+ 0.165
— 0,283
+ 0,395
— 0,472
+ 0,602
— 0,694
+ 0,775
— 0,843
+ 0,903
— 0,948
+ 0,979
— 0,997
+ 0,999
— 0,987
+ 0,961
— 0,922
+ 0,868
0,033 л:
0
0,068
0,137
, 0,205
0,274
0,342
0,410
0,479
1 0,547
0,616
0,684
0,752
0,821
0,889
0,958
1,026
1,094
1,163
1,231
1,300
1,368
'1,436
1,505
1,573
1,642
1,710
1,778
-0,033*
е
1,000
0,934
0,872
0,815
0,760
0,711
0,664
0,620
0,579
0,540
0,504
0,472
0,440
0.411
0,384
0,359
0,335
0,313
0,292
0,273
0,255
0,238
0,222
0,208
0,194
0,181
0,169
0,01612л —
-0,01447£
+ 0,026467
— 0,025370
+ 0,022081
— 0,019440
+ 0,016488
— 0,013310
+ 0,009920
— 0,006449
+ 0,002825
+ 0,001177
— 0,004451
+ 0,008028
— 0,011470
+ 0,014310
— 0,017835
+ 0,021149
— 0,023191
+ 0,025352
- 0,027236
+ 0,028693
— 0,029738
+ 0,030385
— 0,030576
+ 0,030321
— 0,029671
■+■ 0,028591
— 0,027084
0,02648Х
-0,033*
1 -* 0,026480
- 0,024732
+ 0,023091
1 — 0,021581
+ 0,020125
— 0,018827
+ 0,017583
— 0,016418
+ 0,015332
— 0,014299
-t- 0,013346
— 0,012499
+ 0,011651
— 0,010883
+ 0,010168
— 0,009506
+ 0,008871
— 0,008288
+ 0,007732
— 0,007229
+ 0,006752
— 0,006302
+ 0,005879
- 0,005508
+ 0,005137
— 0,004793
+ 0,004475
У
мм 1
1—0,000
+ 0,024
— 0,038
+ 0,081
— 0,138
+ 0,209
— 0,291
+ 0,379
— 0,475
+ 0,588
— 0,676
+ 0,780
— 0,878
+ 0,957
- 1,064
!+ U<5
— 1,218
+ 1,278
— 1,329
+ 1,365
— 1,386
+ 1,394
— 1,385
+ 1,361
— 1,322
+ 1,268
— 1,199
i^ , . %2>.Ь7Ьм >-( L
А " " 4
^ — /« 55! м ->-4
Фиг. 98. Диаграмма вертикальных колебаний середины моста / = 55,1 м от прохзяс
силы Qs'mM при Q=l т, при Д = аи s = 0,61 —.
затухания колебаний, определяемое наличием в выражении для_у члена, содер-
жащего в качестве множителя е~г/; 2) величины амплитуд колебаний, изо-
браженных на фиг. 98, имеют значительно меньшую величину по сравнению*
с диаграммой колебаний моста при е = 0.
158
27, Динамические коэфициенты при проходе груза QsinAf при
учете затухания колебаний
Для определения динамических коэфициентов при проходе груза Q sin At
при учете затухания колебаний мы исследовали железнодорожные мосты
различных пролетов, имеющих характеристики, приведенные в табл. 22.
Рассмотренное выше построение диаграммы колебаний было выполнено
для железнодорожного моста, фигурирующего в той же табл. 22 (пролет
/ = 55,1 м). Пользуясь данными этой таблицы, а также соответствующими
формулами, выведенными в § 25, мы получили для указанных в табл. 22
мостов следующие значения промежуточных величин, входящих в фор-
мулы § 25.
Таблица 25
1
I Проле
1
1 ~ сек
1
л сек
1 ni сек
1 п2 сек
1 tefi
1 sin Yi
1 COS?!
Ti •
tg ь
I sin 7o
1 cos 7.2
1 T2 •
e-**
*M0CTa 1 55,1
.... 0,61
.... 27,78
2 . . . . 0,01612
2 . . . . 0,01447
.... 1755
.... 0,870
. . . . 0,492
1,053
.... —1,690
. . . . _0,861
.... 0,509
. . . —1,037
-0,033*
* * " * \e
65,9
0,59
21,34
0,02828
0,02741
1,362
0,806
0,592
0,937
- 1,320
— 0,79/
0,604
— 0,922
-1.035*
e
87,6
0,33
19,20
0,04742
f),04593
1380
0.811
0,585
0,954
— 1,348
— 0,803
0,596
— 0,932
—0,026*
e
109,2
0,20
16,53
0,08299
0,08104
1,565
0,841
0,539
1,002
— 1,586
— 0,838
0,546
- 0,993
- 0,018*
e
126,0
0,13
13,65
0,14472
0,14306
1,706
0,863
0,505
1,041
— 1,679
— 0,859
0,511
— 1,034
-0,014*
e
158,4
0,04
10,35
0,33445
0,32895
3,524
0,962
0,273
1,294
— 3,477
— 0,961
0,276
— 1,292
-0,006c
e
При этом значения коэфициентов затухания е брались по кривой,,
изображенной на графике фиг. 64а.
По данным табл. 22 и 25 были получены следующие уравнения коле-
баний для мостов различных пролетов при учете затухания колебаний:.
для моста пролетом 1 = 65,9 м:
у = 29 [0,02828 sin (1,467л: + 0,937) — 0,02741 sin (1,562л: —
— 0,922) — е-°.°з5*(_ 0,00084sin 1,515л:-f 0,04464cos 1,515*)];
для моста пролетом / = 87,6л*:
у= 18 [0,04742 sin (1,480л: + 0,954) — 0,04593sin(1,515л: — 0,932) —
_^-ода* (_ о 00о90 sin 1,515л:+ 0,07534 cos 1,515*)];
для моста пролетом /=109,2 м:
-у= 12,5 [0,08299 sin (1,487л: -f 1,002) — 0,08104 sin (l ,544* — 0,993) —
__«r-o,oi8*(__ o,00116 sin 1,515л: + 0,13771 cos 1,515л:)];
для моста пролетом /-—126 м:
у = 9,5 [0,14472sin(1,491 х + 1,041) —0,14306 sin (1,539*—1,034) —
_ ^о.он* (_ 0,00126 sin 1,515х + 0,24778 cos 1,515л:)];
15*
для моста пролетом /=158,4 м:
у = 5,5 [0,33445 sin (1,495дг + 1,294) - 0,32895 sin (1 ,536jc — 1,292) —
_ £-0,006* (_ 0,00193 sin 1, 515л; + 0,63786 cos 1,616*)],
•причем значения у во всех этих уравнениях даны в миллиметрах.
Далее можно было бы поступить совершенно так же, как это мы сде-
лали выше, разбирая мост пролетом /=55,1 .к, т. е. для каждого из
полученных уравнений составить таблицу, соответствующую табл. 24, и
по значениям у определить интересующую нас величину наибольшей
амплитуды колебаний.
Так как нас в данном случае интересует только эта максимальная
амплитуда, а не построение всей диаграммы колебаний, то мы не опреде-
ляли всех значений у, а, зная на основании предыдущего, что максималь-
ная амплитуда будет иметь место при ху большем половины пролета,
«екали у только при этих значениях лг; последние задавались с таким рас-
четом, чтобы cos 1,515л: обращался в ±1. Результаты этих вычислений
даны в табл. 26. Для удобства ее составления квадратные скобки приве-
денных выше уравнений колебаний мостов были представлены в следую-
щем общем виде:
a sin b — с sin d — i (— k sin/-}- gcos ft).
Таблица 26
1 Пролет
1 м
1 65,9
87,6 j
109,2
126,0
158,4 !
X
м
47,670
49,743
51,815
66,324
68,396
70,469
84,977
87,050
j 89,122
101,558
103,631
105,703
132,647
134,720
136,792
sin b
+ 0,976
— 0,993
+1,000
— 0,979
+ 0,991
— 0,998
+ 0,981
— 0,991
1 + 0,997
+ 0,985
— 0,992
+ 0,997
— 0,978
+ 0,985
— 0,992
sind
— 0,969
+ 0,988
— 0,998
+ 0,994
— 1,000
+ 1,000
— 0,995
+ 0,999
— 1,000
— 0,986
+ 0,993
— 0,998
+ 0,997
— 0,999
+ 1,000
/
0,189
0,175
0,163
0,179
0,169
0,160
0,217
0,209
0,201
0,242
0,235
0,228
0,450
0,446
0,441
cos h
— 1,000
+ 1,000
—1,000
+ 1,000
— 1,000
+1,000
— 1,000
+ 1,000
—1,000
— 1,000
+ 1,000
— 1,000
+ 1,000
— 1,000
+ 1,000
a sin b —
— с sin d
+ 0,05416
— 0,05516
+ 0,05564
— 0,09208
+ 0,09292
— 0,09326
+ 0,16205
— 0,16320
+ 0,16378
+ 0,28361
— 0,28562
+ 0,28706
— 0,65506
+ 0,65805
— 0,66072
gicosh
— 0,00844
+ 0,00781
— 0,00728
+ 0,01349
— 0,01273
+ 0,01205
— 0,02988
+ 0,02878
— 0,02768
— 0,05996
+ 0,05823
— 0,05649
+ 0,28704
— 0,28449
+ 0,28130
У
мм 1
4-1,815
— 1,826
+ 1,824
— 1,900
+ 1,901
— 1,895
+ 2,399
1 — 2,400
+ 2,393
+ 3,264
— 3,266
+ 3,263
— 5,181
+ 5,184
— 5,181
Из рассмотрения табл. 26 можно заметить, что мы действительно полу-
чили значение максимальных амплитуд.
Далее определяем значения интересующих нас динамических коэффициен-
тов, пользуясь величинами соответствующих прогибов, приведенных в
табл.23. В результате получаем:
1130
Таблица 27
/ в м
fst в мм
у в мм
Jst
55,1
0,100
1,394|
13,9
65,9
87,6
I
109,2 ( 126,0
0,128
1,824]
14,3
0,096
1,901
19,8
0,091
2,399|
26,4
158,4
0,1011
3,264
32,3
0,103
5,184|
50,3
Следует подчеркнуть, что под у аналогично предыдущему подразумева-
ется положительная полуамплитуда колебаний.
Для большей наглядности значения коэфициентов rj были нанесены на
график фиг. 99 в функции пролета моста. Для возможности соответству-
^
о
\
^
--■
\
\
о ео too m w
Лролетлюстаом.
Фиг. 99. Сравнение динамических коэ-
фициентов, получаемых при проходе силы
Qsinbt при Q = 1 m и Д = а по мостам
различных пролетов для случаев s —0 и
Б=£0.
50 100 150
Пролет моста о м
гоо
Фиг. 100. Зависимость отношения дина-
мических коэфициентов при е = 0 и при
ьфО от пролета моста.
ющего сравнения сюда же перенесен и график фиг. 97, дающий подобную
же зависимость динамических коэфициентов для случая е = 0.
Из графика фиг. 99 видно, что характер зависимости коэфициентов ij от
пролета моста в случае s=^=0 заметно отличается от подобной же зависи-
мости для случая е = 0. Если вторая зависимость очень близка к прямой,
то первая представляет собой вогнутую книзу кривую с резким возраста-
нием ординат вместе с пролетом моста. Вообще, чем больше пролет моста,
тем ближе становятся ординаты кривой к ординатам прямой. Это особенно
11 С. А. Иоьясеши 161
хорошо видно на графике, изображенном на фиг. 100 и дающем зависи-
мость от пролета моста отношения
т. е. отношения между соответствующими ординатами прямой и кривой
графика фиг. 99.
С увеличением пролета моста это отношение резко падает, приближаясь
к единице, по довольно хорошо выраженной кривой. Не уложилась в эту
кривую только одна точка, соответствующая мосту пролетом / = 55,1л.
Однако та же точка не уложилась и в кривую графика фиг. 99. Пови-
димому, здесь имеет место или некоторая неточность в расчете (для про-
лета / = 65,1 м) или по своим характеристикам этот объект не является
однородным с остальными.
Некоторый интерес представляет также положение на диаграммах коле-
баний точки, соответствующей максимальной амплитуде колебаний. Это
положение определяется отношением
ХЛ
I '
где xk —абсцисса, соответствующая максимальной амплитуде колебаний,
а /—пролет. Величина указанного отношения для исследованных мостов
приведена в табл. 28.
Таблица 28
/ в м
\ xkp' • ' •
xkp
I
55,1
43,53
0,79
65,9
49,74
0,76
87,6
68,40
0,78
109,2
87,05
0,80
126,0
103,63
0,82
158,4
134,72
0,85
Для бо?п>шей ясности отношения —р- нанесены в функции пролета моста
на график, изображенный на фиг. 101. Из этого графика можнб видеть,
что рассматриваемое отношение растет с увеличением пролета моста, ука-
зывая тем самым на постепенное перемещение точки с наибольшей ампли-
тудой колебаний по направлению движения груза. Вообще же говоря,
абсолютная разность между рассматриваемыми отношениями, полученными
для различных пролетов, не особенно велика и составляет не более 10%.
Интересно отметить, что и на графике фиг. 101 точка, соответствующая
мосту пролетом / = 55,1 м, вышла из общего закона, что подтверждаег
высказанное выше предположение о вероятной случайности полученных
для указанного моста результатов.
Разобранный нами теоретический случай прохода по мостовому брусу
сосредоточенной нагрузки вида QsinM все же далек еще от того случая,
который имеет место при проходе по мосту поезда с паровозом. Для того
чтобы приблизиться теоретически к такому случаю, следовало бы рассмо-
треть проход по мостовому брусу равномерной нагрузки /?, имеющей
162
впереди себя сосредоточенную нагрузку вида Qsinkt. Правда, даже и
такая схема рассмотрения вопроса все же отличалась бы от интересующего
нас случая прохода по мосту поезда с паровозом, так как в этой схеме
действие динамических перегрузок ряда осей паровоза заменено действием
одной динамической перегрузки, прелставляющей собой сумму перегрузок
всех осей. Однако теоретическое исследование такого прохода по мостовому
брусу равномерной нагрузки /?,
имеющей впереди себя переменную
сосредоточенную силу Q sin Д/,
представляет значительные труд-
ности, связанные с тем, что в
этом случае вместе с t значитель-
но изменяется и загружение мо-
стового бруса, а следовательно, и
колеблющаяся масса; при этом
частота свободных колебаний си-
стемы оказывается также величи-
ной переменной. Исследование это
в настоящее время нами еще не
закончено. Однако сейчас можно
сказать, что при постоянной ско-
рости движения нагрузки пере-
менность частоты свободных ко-
лебаний системы приведет к не-
возможности образования длитель-
ного по времени резонанса между
нагрузкой Qsinkt и колеблющейся
системой, что скажется понижаю-
щим образом на динамическом воз-
действии. Таким образом, если
определять максимальный динами
ФЭг
Q8D
$К
1
1
авО
О J
"1
50
150
200.
100
пропет моста
Фиг. 101. Зависимость от пролета моста
места положения наибольшей амплитуды
вертикальных колебаний, образуемых при
ческий прогиб от действия проходя- проходе груза Q sin М при Q = 1 т и Д = о.
щей по мостовому брусу нагрузки р
с силой Qsinkt впереди в предположении наличия, во-первых, постоян-
ной колеблющейся массы, равной сумме двух масс — моста и нагрузки р,
распространенной по всему пролету бруса, и во-вторых, — явления резо-
нанса между Qsinkt и указанной системой, то такой расчет будет расче-
том в запас прочности, так как даст несомненно повышенные значения
динамических коэфициентов.
28. Периодичность вертикальных сил, возникающих при ходьбе
и беге толпы людей
В предыдущих параграфах мы рассматривали действие на мост силы
Qslnkt, причем предполагали, что в действительности подобные силы мо-
гут развиваться в паровозной нагрузке. Однако опытное изучение процес-
сов ходьбы и бега человека, произведенное в 1926 г. Н. Бернштейном,
показало а, что в обоих случаях давления ног человека меняются по за-
* См. 13-й сборник отдела инж. исслед. НТК, Н. Бернштейн, .Исследования
по биодинамике ходьбы и бега", Москва, 1927.
11*
163
конам, близким к синусоидальному. Для примера на фиг. 102 и 103
изображены кривые опорных реакций при ходьбе и беге человека, полу-
ченные в ревультате упомянутых исследований. Как видим, и при ходьбе
и при беге человека давления от его ног имеют ясно выраженный пра-
вильный периодический синусоидального типа характер, причем при беге
кривые получаются одновершинные, а при ходьбе—двухвершинные. Таким
образом, если в первом случае закон изменения давления можно принять
в виде л • а*
где Д— частота (в 2тс сек.) бега, то во втором случае его приходится вы-
ражать в виде двух синусоид
Q1sinM-{-Q2tos2bt,
из которых одна имеет вдвое меньший период. Таким
образом при ходьбе мы имеем дело с менее ритмичной
нагрузкой, дающей несколько меньший динамический
эффект при наличии явления резонанса между основным
периодом нагрузки и колеблющейся системой, по срав-
нению с динамическим эффектом, имеющим место при
беге, также при наличии
К*
so
80
70
БО
100
•90
80
70
60
60
VAA
Фиг. 102. Кривые вертикальных
опорных реакций при ходьбе
человека.
явления резонанса. Одна-
ко значительно больший
динамический эффект, по-
лучаемый при беге, объ-
ясняется не столько боль-
шей его ритмичностью,
сколько наличием более
значительных при беге
давлений от ног человека.
Упомянутые выше экспе-
риментальные исследова-
ния ходьбы и бега чело-
Фиг. 103. Кривая
вертикальной опор-
ной реакции при
беге человека.
века показали, что верти-
кальная составляющая давления ноги человека при ходьбе может быть вы-
ражена так:
Vi Г 2 ,
•' 1
где Р—вес человека и Тл — период ходьбы. При беге та же вертикаль-
ная составляющая может быть принята равной
1 2
где Т2 — период бега. Так как обычно
7^ =0,4 — 0,5 сек., а Т2 = 0,3—0,4 сек.,
то
Q1 = (0,4 — 0,6) Я
и
Q, = (1,25 — 2,22) Р.
164
Если взять средние цифры, то получим:
Q1==0,5P и 01=1|7Р.
Следовательно, давление ноги человека при беге в 3,5 раза больше, чем
при ходьбе.
29. Действие на мостовой брус сплошной толпы людей,
ступающей вногу
Пусть мостовой брус пролетом / загружен по длине всего пролета
сплошной равномерной нагрузкой, меняющейся по закону
q sin \t,
где Д— частота (в 2тт сек.) ступания толпы вногу, a q — погонная интен-
сивность нагрузки от сплошной толпы.
Прежде всего приведем эту нагрузку в интересующую нас точку — се-
редину мостового бруса. Принимая закон приведения по кинетической энер-
гии, определяем приведенную в середину пролета силу Р по следующему
выражению: 17t
P = -^-s\nM.
So
Уравнение колебаний середины бруса напишется в следующем виде:
d2y dy \llq
тЖ*+*тЛКу=-ъь™^ (215)
причем здесь т — приведенная к середине пролета масса собственного
Ееса бруса и нагрузки (толпы), т. е.
17(р + у)/
причем р — погонный собственный вес моста.
Уравнение (215) можно переписать так:
d2y dy
^+2е ^ + аЪ> = Л sin Д/, (216)
где
17/y35g. qg ^
35-\7(p-\-q)l = p-\-q' l '
а а—частота (в 2тс сек.) свободных вертикальных колебаний системы,
состоящей из моста и нагрузки (толпы).
Ур-ние (216) вполне идентично с уже исследованным нами ур-ннем (135).
Поэтому, имея в виду его решение в ф-ле (155), получаем
y = A[nJsln(M — <h) — n%e-tsin(U — b)], (218j
где аналогично ур-ниям (145), (146), (153) и (154):
1 в Д
Пг ~ /(а2— A*)8-t-4A8e8' "2 ~ I V (а2 — Д8)8-h 4Д»е«;
2еД 2еХ
165
Для наиболее интересующего нас случая наличия явления резонанса
между нагрузкой и колеблющейся системой имеем:
Но так как s по сравнению с а ничтожно мало, то практически можно без
большой ошибки принять, что
Х+j/a2 — е2=^а = Д.
Тогда
Кроме того, при s, незначительном по сравнению с а, величина
будет очень велика, поэтому можно положить, что
, X а тг
Y2 = arctg — = arctg—%—= Tl.
Вставляя все эти значения в (218), имеем
или
[i*(^-f)-i—-(^-T)]-
у = ££_.JL(1-- е—*)и»Ы. (219)
/7 -(- ^ 2Дб
Максимум _у будет иметь место тогда, когда cosA/ = ±l; поэтому
" - ^ -оТГ П-^-0. (220)
гаах Р + <7 2Де
Для определения динамического коэфициента выясним величину стати-
ческого прогиба, приняв при этом во.внимание, что при ходьбе реакция
ног человека может быть определена по приведенной выше формуле
Следовательно, реакция от ног сплошной статической толпы интенсив-
ностью qcm будет
*=?«.ТГ- <221)
Именно это значение q и должно подразумеваться во всех наших предыду-
щих выражениях, причем Т—период шага, равный, в случае явления
резонанса между нагрузкой — толпой и колеблющейся системой, периоду
166
Пользуясь ф-лой (92), получаем для /=85,2 м:
2тс 2тг 1
а = А =
7 o^/]liP±^lL ,/17-(3,20+ 2;
[/ 35-g-K У 35.9,81-4
и для 1=. 106,8 м
а = Д =
/17- 106,8» (4,0
35-9,8Ь3!
= 10,8 —
+ 2,0) сек,
3640
___ == |з 9 *
00)85,2 ' сек1
4260
Из опытных диаграмм собственных свободных вертикальных колебаний
рассматриваемых мостов (табл. 12) имеем следующие значения коэфициен-
тов е для этих колебаний:
для /== 85,2 м s = 0,16 ;
сек
для /=106,8 м е = 0,06
1
сек'
Подставляя эти значения а и г в ф-лу (226), получаем для / = 85,2 м
13,93
и для /= 106,8 м
imax 80-0,16.3,142
10,83
'max SO-0,06.3,142
= 21,2
= 26,6.
Цифры, как видим, весьма значительны, причем следует отметить, что
значительность их объясняется не только принятием /=оо; нетрудно
показать, что и при очень неболь-
шом / коэфициенты 7) оказываются
также весьма серьезными по ве-
личине. Для доказательства на
фиг. 104 даны кривые зависимо-
сти г) от / для разобранных выше
шоссейных мостов. Из рассмот-
рения этих кривых можно видеть,
что уже при /=10 сек. динами-
ческий коэфициент 7) для моста
пролетам / = 85,2 м достигал ве-
личины 16,9, а для моста пролетом
/=106,8 м — величины 11,1. Из
анализа фиг. 104, кроме того, мож-
но заключить, что чем больше
пролет моста, тем больше вре-
мени требуется на образование в
нем динамического коэфициента rif
максимально приближающегося по
величине к предельному значе-
нию rimax. Этот вывод можно получить и из анализа выражения (224).
168
1—^
se-KtM
&И06,&/
^^^
1
a Z 4 6 8 \Qcetc
Bpew-t
Фиг. 104. Кривые динамических коэфициен-
тов для шоссейных мостов / = 85,2 м и
/=Ю6,8 м от действия сплошной толпы,
равномерно ступающей в ногу при условии
Д = а в функции времени действия этой
толпы.
В самом деле, решая ур-ние (224) относительно ty получаем
8QgiT2
— v «з ч»
что, принимая во внимание выражение (225), преобразуется в
'imax
Логарифмируя, окончательно получаем
-к-)
* : imax/
Если брать для мостов различных пролетов одно и то же значение
——, то потребное для получения соответствующих значений tj время t
'imax
меняется обратно пропорционально е, а так как е с увеличением пролета
моста падает, то t должно при этом возрастать.
Полученные выше динамические коэфициенты при наличии на мосту
сплошной нагрузки в виде толпы, ступающей вногу в резонанс со сво-
бодными колебаниями системы, составленной из моста и указанной на-
грузки, настолько велики, что, конечно, не приходится и говорить о воз-
можности ведения расчета шоссейных мостов с учетом такого рода воз-
действия толпы. Иначе говоря, проход толпы по мостам вногу при
отсутствии определенных условий а именно: невозможности образования
явления резонанса и значительности коэфициеша затухания колебаний е,
должен быть признан недопустимым.
16»
ГЛАВА ПЯТАЯ
ОПЫТНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОСТОВ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПЕРИО-
ДИЧЕСКИ МЕНЯЮЩЕЙСЯ ПО ВЕЛИЧИНЕ НАГРУЗКИ
30. Проход по мосту одного паровоза
В одной из предыдущих глав мы уже указывали, что меняющиеся пери-
одически по величине силы возникают в паровозной нагрузке, суммарное
давление отдельных осей которой, как известно, меняется в процессе дви-
жения по синусоидальной кривой. Поэтому большой интерес с точки зре-
ния установления степени соответствия между опытом и теорией пред-
ставляет изучение прохода но мостам одного паровоза. Совершенно оче-
видно, что максимальный эффект в этом отношении можно получить, про-
пуская по мостам наиболее неуравновешенные в вертикальной плоскости
ПдродОЗ серли 0{0-* -О)
ЛаровОЗ серии £//S 0}
V7
4/ /4/ W W IZ l2 '2 /2m
OOOOO 99 99
«M4
M
Ю
Ю Ю 16 /6 16
15 15 15 /5т
Фиг. 105. Схемы паровозов серий О (0-4-0) и Е (1-5 0).
паровозы, так как в этом случае амплитуды колебаний моста будут до-
стигать наибольших величин.
На нашей союзной железнодорожной сети самыми неуравновешенными
паровозами являются товарные паровозы серии О, имеющие схему распо-
ложения осей 0—4—0, паровозы серии Ч, построенные по той же схеме,
что и паровозы О, а также паровозы серии Е (Декапод), имеющие схему
1—5—0. Схемы паровозов серии О и Е изображены на фиг. 105. Для
первого из них, т. е. паровоза серии О, были построены выше суммарные
кривые динамических перегрузок давлений осей паровозов, имеющие до-
статочно правильный синусоидальный характер. Паровоз серии Ч весьма
близок по схеме, конструкции и величине давлений на паровозные оси
к паровозу О; поэтому и динамические перегрузки для них должны быть
примерно одни и те же.
По существу проход одного паровоза по мосту все же отличается по
характеру своего воздействия от теоретически рассмотренного нами случая
170
прохода по мосту груза Qsinkt no той простой причине, что у паровоза
имеется несколько таких грузов (осей) и только при известном приближе-
нии можно, просуммировав действия всех этих грузов, привести их к одному.
Рассмотрим проход паровоза серии Ч по мосту пролетом /=126,0 му
имеющему характеристики, приведенные в предыдущих главах.
Построим теоретическую диаграмму прогиба середины пролетного стро-
ения. При этом отметим, что общий вес паровоза Ч с трехосным тенде-
ром был около 85 /и, а вес рассмотренного моста около 810 т; следователь-
но, масса движущейся нагрузки составляла всего только около 10°/0 от
полной массы всей системы. Это давало достаточное основание считать
Диаграмма статического прогиба
-^МААА
л п п П П
^ и и и UI
ш
Диаграмма ёертикалЬнЫх колебании
м/сек
и=Ым/сек. = 22А км/ш
Диаграмма прогиба середине фермЬ
Фиг. 106. Построение теоретической диаграммы прогиба середины моста /=126 м
от прохода одного паровоза серии Ч (0-4-0) при Д = а.
в процессе прохода паровоза колеблющуюся массу системы постоянной и
определяло метод построения интересующей нас диаграммы прогиба: нуж-
но было построить диаграмму статического прогиба и наложить на нее диа-
грамму колебаний, построенную уже известным нам способом.
При построении диаграммы статического прогиба инфлюентная линия
прогиба фермы в середине пролета принималась в соответствии с преды-
дущими исследованиями в виде синусоиды. Результаты загружения этой
инфлюентной линии, имевшей ординату в середине пролета, равную
5 =-- = ^^ = 0,000101 л//я = 0,101 мм\пи
призедены на фиг. 106 в виде диаграммы статического прогнЛа.
171
Так как диаметр колес паровоза серии Ч равен D—1,32 м, а частота
в 2гс сек. собственных свободных колебаний моста а= 13,65 , то кри-
сек
тическая скорость движения паровоза серии Ч, вызывающая в рассмотрен-
ном мосту явление резонанса, будет
aD 13,65-1,32 .
v=— = ; =9,01 м\сек=Ъ2,4 нм\час.
Из § 27 имеем следующее выражение для колебаний, возникающих при
явлении резонанса в мосту /= 126,0 м от прохода по нему груза Q sin At
при Q= l m:
у = 9,5 [0.М472 sin (1,491л;+1,041) —
— 0,14306.sin (1,539*— 1,034) — *-°,014*(— 0,00126 sin 1,515* +
+ 0,24778 cos 1,515*)].
В нашем случае Q представляет собою величину периодической динами-
ческой перегрузки паровоза. Согласно данных § 19 эта величина для паро-
воза серии О, т. е. весьма близкого к рассматриваемому нами паровозу
г при скорости движения v = 67,5 йм\час равна Q0 = 7 т.
Так как критическая скорость в нашем опыте была
iVp = 32,4 км\час,
то величина перегрузки может быть равной:
V\2 „ /32,4V
«"«o(-fj-7.^j-l,61«.
Поэтому в написанном выше выражении для у множитель перед квадратной
скобкой должен быть принят равным
9,5-1,61=15,3.
Результат построения у изображен в виде диаграммы колебаний на той
же фиг. 106. Сложение обеих диаграмм дает интересующую нас диаграм-
му прогиба, изображенную в конце фиг. 106.
——л/у/уиЛЛЛЛллл^^-^
о= 31 км /час.
8ооо ооо
Паровоз серии t
Фиг. 107. Действительная диаграмма прогиба середины моста /= 126 м от прохода
по нему паровоза серии Ч (0-4-0) при Д = а.
Полученная диаграмма имеет большой интерес, так как мы одновременно
располагаем и соответствующей опытной диаграммой прогиба, снятой при
проходе по тому же мосту пролетом /=126,0 м паровоза серии Ч со.
скоростью ^ = 31 км\час. Диаграмма эта приведена на фиг. 107. Сра-
внивая, можем сделать определенный вывод о том, что теоретическая диа-
172
грамма по общему своему характеру достаточно близко к истине оцени-
вает динамическое действие проходящего по мосту паровоза при наличии
явления резонанса между нагрузкой и мостом, причем упомянутая опыт-
ная скорость движения паровоза оказывается весьма близкой к теорети-
ческой критической. Значительное расхождение получилось только в вели-
чине максимальной амплитуды колебаний, которая в теоретической диа-
грамме была равна 10,5 мм, а в опытной всего только 6 мм. Однако раз-
ница эта могла образоваться за счет неточности определения величины
динамической перегрузки, принятой нами для паровоза серии Ч такой же,
что и для паровоза О. Но неточность заключалась не только в этом. Дело
в том что и самый метод определения суммарной динамической перегруз-
ки, изложенный в § 19, дает весьма приближенное решение, при этом как
раз в сторону преувели-
чения. В результате и
максимальный прогиб мо-
ста по опытной диаграмме
оказался заметно меньше
теоретического: в первом
случае он был равен
10,5 мм, во втором —
14,3 мм.
По существу, имея
опытную диаграмму про- ^
гиба, изображенную на *§
фиг. 107, можно подойти t*qo6
к решению обратной за- f
дачи, т. е. задачи опре- |
деления величины перио- |
дической динамической ^
перегрузки того паровоза,
под которым была полу-
чена опытная диаграмма.
В частности, в нашем слу-
чае при паровозе серии
Ч из опытной диаграммы
имеем максимальную ам-
плитуду колебаний &у0мм,
теоретическая же вели-
чина ее при Q= 1,61 т
оказывается равной 10,5 мм. Следовательно, при Q = 1,61 -^- = 0,92/я
1U,О
теоретическая,и опытная величины амплитуд колебаний совпадут; можно
думать, что второе значение Q ближе к истине, нежели первое. Такая воз-
можность изучения динамики паровоза весьма ценна, так как имеющиеся
данные по динамическим перегрузкам паровозов, подобные приведенным
в § 19, охватывают сравнительно небольшую группу существующих серий
паровозов. Кроме того, все эти данные получены исключительно теорети-
ческим путем, и поэтому в той или иной мере должны расходиться с дей-
ствительной динамической характеристикой паровоза. Учесть теоретически
с исчерпывающей полнотой влияние всех многочисленных факторов на ди-
намическую перегрузку паровоза едва ли вообще возможно.
173
Ц4
ОЮ
rvn
Q06
004
qpe
ODD
Мост
Проход
серии
i
одного п
Efl-5-O)
аробоза
\
К
V
"
Цг
Q4
Об
Qfl
Дали критической скорости
№
Фиг. 108. Изменение действительных динамических
добавок, полученных при испытании моста /= 109,2 м
под действием одного паровоза серии Е( 1-5-0) в
зависимости от скорости движения.
6,0
Следует еще раз подчеркнуть, что чем меньше пролет моста, а следова-
тельно, и его масса, тем больший процент составляет масса паровоза по
отношению к массе всей колеблющейся системы. Поэтому при меньших
пролетах моста (например меньше 100 м) определение теоретических ко-
лебаний вести без учета переменности колеблющейся массы уже не пред-
ставляется возможным.
Опытные динамические исследования, производившиеся над мостами под
действием одного паровоза, весьма убедительно указывают на резкое воз-
растание динамического коэ-
QZ11 1 1 j J \ 1 фициента в случае обра-
зования явления резонанса
между динамической пере-
грузкой и свободными коле-
баниями системы, состоящей
из моста и движущегося по
нему паровоза. Для примера
на графике, изображенном
на фиг. 108, нанесены для
моста пролетом /=109,2 м
опытные динамические коэ-
фициенты в функции скоро-
сти движения пропускавше-
гося по нему паровоза се-
рии Е (1-5-0). По оси
абсцисс графика вместо аб-
солютных величин скорости
движения откладывались от-
ношения их к величине кри-
тической скорости, соот-
ветствовавшей образованию
упомянутого выше явления
резонанса. По общему своему
характеру этот опытный гра-
фик весьма близок подоб-
ному же теоретическому
графику, построенному для
моста пролетом /=55,1 м
в результате теоретического
исследования прохода по
нему груза QsinM.
Такого же характера гра-
фик (фиг. 109) получился
и для другого моста про-
летом / = 66 м, исследо-
ванного под действием того же паровоза серии Е.
Все эти данные, взятые из опытных исследований динамического воздей-
ствия паровоза на мосты, вполне согласуются с изложенными результатами
соответствующего теоретического изучения вопроса, выполненного для
мостового бруса с приведением динамических перегрузок осей паровоза
к одной суммарной перегрузке вида Q sin ДЛ
q? до 'ф Ц8 tp
доли Критической скорости
ЪУкр
Фиг. 109. Изменение действительных динамических
добавок, полученных при испытании моста /= 66 м
под действием одного паровоза серии Е (1-5-0)
в функции скорости движения.
174
31. Проход по мосту паровоза с составом
Значительно более сложным является исследование прохода по мосту па-
ровоза с вагонным составом, так как последний также вызывает заметный
динамический эффект, особенно в том случае, когда состав образован из
нормальных двухосных вагонов, проход которых по мосту сопровождается,
как указывалось выше, ритмичными ударами. Для примера на фиг. ПО
приведена диаграмма прогиба упоминавшегося выше моста пролетом / = 66-к,
полученная при проходе по нему поезда из паровоза серии Е с нормаль-
ными двухосными товарными вагонами со скоростью г; = 42 км/час. По-
езд проходил задним ходом, т. е. вагонами вперед. Характер диаграммы
достаточно ярко указывает на значительность тех колебаний, которые по-
лучил мост при проходе и вагонной и паровозной части нагрузки. Объяс-
няется это тем, что скорость движения была достаточно близка к теорети-
багонЬг паровоз Е
V/МШШШМк О О ОО ОООООВ
ТЩЩ^щ,
Фиг. 110. Действительная диаграмма прогиба середины железнодорожного моста,
полученная от прохода по нему поезда в составе одного паровоза серии Е с товар-
ными вагонами. Скорость движения была почти равна теоретической критической.
ческой критической скорости, соответствующей явлению резонанса между
колеблющейся системой и нагрузкой. В самом деле, для этого моста име-
ем следующие данные:
расчетный пролет моста / = 66,24 м;
погонный собственный вес р= 4,37 т\пог.м моста;
погонная временная нагрузка (паровоз серии Е с товарными вагонами) —
<7 = 4,50 т/пог.м моста, вертикальная жесткость моста К= 10 260 т/м.
Поэтому теоретический период свободных вертикальных колебаний систе-
мы был
Т 2Tn/V"{p+g)-2 3111/17-66,24 (4,37 + 4,50)
l~Zxiy 35g К —**Му 35.9,81-10260 —0>ЛЛ
сек.
Так как диаметр ведущих колес паровоза серии Е равен D=l,32 му
то соответствующая критическая скорость для динамической перегрузки
от паровоза: uD
tcp = -Y=—TwTn—=12,5 м/сек = 45 ft км/нас.
0,33
Для ударов лри проходе рельсовых стыков колесами нормальных двух-
осных товарных вагонов
vKp = —~ = 11,5 л*/шс = 41,5 км/час.
\JyOo
Обе скорости, как видим, достаточно близки друг к другу; скорость
движения поезда, соответствующая диаграмме, изображенной на фиг. ПО,
была около 42 км/час.
175
Для этого же самого моста пролетом / = 66,24 м исследования динами-
ческих прогибов под действием упомянутого выше поезда в составе одною
паровоза и товарных двухосных вагонов производились при самых разно-
образных скоростях, что дало возможность построить и для этого случая
график, подобный графику фиг. 109, изображенный на фиг. 111. Нетруд-
но заметить, что никакой принципиальной разницы между обоими графи-
ками нет. Это прежде всего говорит о том, что при проходе поезда
с составом последний, несмотря на развиваемые им динамические воздей-
ствия, не оказывает существенного влияния на закон изменения динами-
ческого коэфициента со скоростью движения; следовательно, и здесь реша-
ющая роль принадлежит дей-
ствию динамических пере-
грузок осей паровоза.
Все дело только в том,
что при проходе паровоза
с составом значительно бо-
лее резко меняется в про-
цессе колебаний колеблю-
щаяся масса, нежели это
имеет место при проходе
одного паровоза. Однако
последнее замечание спра-
ведливо для мостов средних
и больших пролетов, на ко-
торых, кроме паровоза, спо-
собно помещаться одновре-
менно и более или менее за-
метное количество вагонов.
с;е
■QM
010
1
JK
. i
i
п
' а
Мост £=
иоход гй
оезда с
сериип
ооарног<
паровоз
£Г
1
ом
\ Г
сог
о 0? (# Об qs ■ W
Доли критической сирости.
Фиг. 111. Изменение действительных динамических
добавок, полученных при испытании моста / =
=66 м под действием одного паровоза серии Е
с товарными вагонами, в функции скорости дви-
жения.
32. Пробег по мосту
одного человека
Как указывалось выше,
£*^ при беге человека давления
от его ног изменяются по
достаточно правильному си-
нусоидальному закону. По-
этому большой интерес пред-
ставляет опытное изучение
такого пробега человека по
мосту. Такой опыт был проделан на шоссейном мосту пролетом / =
= 85,2 м, фигурировавшему в наших предыдущих исследованиях. На
фиг. 112 приводится как раз диаграмма колебаний середины пролета
этого моста, зарисованная прибором Гейгера при пробеге по мосту одного
человека с ритмом, совпадавшим с ритмом собственных свободных коле-
баний моста. Диаграмма отразила в яркой форме вызванное пробегом
человека явление резонанса. Наибольшая амплитуда колебаний оказалась
равной 2,8 мм, в то время как статический прогиб от человека весом 80 кг%
стоящего посредине пролета, был бы равен около 0,018 мм. Имея диа-
грамму, подобную изображенной на фиг. 112, можно решить задачу
о величине того давления, которое развивается бегущим человеком. Обо-
176
значим это давление через Q. Тогда мы будем иметь случай прохода
по мосту нагрузки QsinA/, т. е. случай, разобранный выше в § 25, даю-
щий следующее решение для определения величины интересующего нас
прогиба у середины пролета (выражение 214):
у=ёп \ni sin (Ai*+Ti) -~щ sin (Д^+Т2)~~ e~bt It (Д,Л1 cos Ti "" Д2/*2 cos Тя+
+ ел4 sin ti + е«2 sin T2) sin ^ + (ni sin Ti — n2 sin T2) cos X* J.
4/2.8**
Фиг. 112. Действительная диаграмма прогиба (колебаний), полученная на шоссейном
мосту /=85,2 м в результате пробега по нему одного человека с ритмом, сов-
падавшим с ритмом собственных свободных вертикальных колебаний моста.
Определим утах для случая явпения резонанса, соответствующего равен-
ству а и Д.
Для рассматриваемого шоссейного моста / = 85,2 м имеем:
а==15,50— ; m=17J0^^i
сек м
v = •
aD 15,50-1,5
= 11,63 Jt/где.
R uv 3,14-11,63 1 m
* = T = 85,2 =M3Ie7;
8 = 0,16
1
сек
Причем 0=1,5л — длина шага при беге человека.
Далее получаем:
Д1 = Д — p = а — р = 15,50 — 0,43=15,07
сек
Д2 = Д -f р = а + р = 15,50 + 0,43 = 15,93—-
сек
1
1
а2 —Д? 15,502 — 15,072
1 1
= 0,07607 сек»;
а2 — Д£ 15,50» — 15,93*
= — 0,07399 сек»;
/ = ^=*1,296лт; Д / = ^ = 1,370лг;
v
v
о* = —= 1,333 ж.
г»
Х==уГв2_82 = /15,50» —0,16» = 15,50 —
\t = at= 1,333 х;
It О. А. Иамммч
I7T
|Ла«—AiV + 4A?e* ]/*(15,502 - 15,072)2 + 4.15,07*.0,162
= 0,07142 сек2;
]/7«2 — Д22)* + 4Д^2 }Л 15,50* - 15,93^ + 4-15,932.0,162
= 0,06925 сек2;
Д2_д2_ 15,502 — 15,072
feYr
^У2 =
2A2e
2.15,07-0,16
22 _ Л2_15,502 — 15,932
~ТЦГ~ 2.15,93-0,16
: 2,726; Yi = 1.219;
= _ 2,651; у2 = —1,210;
e~ei = е~0*16 — — g-o,oi4.*.
sin Yi = 0,939; cosy, =0,345;
81пу2= — 0,936; cos y2 = 0,353.
Подставляя значения всех этих величин в выражение для у, получаем
для Q = 1 гп, переводя в мм:
,у=28,25<[ 0,07142sin(1,296л: + 1,219) — 0,06925sin(1,370х — 1,210) —
1
-0 014 л:
15,50
(15,07 • 0,07142 • 0,345 — 15,93.0,06925 • 0,353 +
+ 0,16.0,07142.0,939 —0,16-0,06925.0,936).sin 1,333 JC +
+ (0,07142.0,939 + 0,05925- 0,936) cos 1,333 х\ \ =
= 28,25 [0,07142 sin (1,296*+1,219) — 0,06925 sin (1,370*— 1,210) —
— ^-о,он*(_о,00114 sin 1,333л: + 0,13188 cos 1,333 л:)].
В табл. 29 приведены значения у, определенные по этому выражению
при значениях х, составляющих около 0,80 и выше величины пролета
= 85,2 м.
Таблица 29
X В М
65,96
—'5,22
68,31
+ 5,27
70,67
- 5,30
73,02
+ 5,29
75,38
-5,27
77,73 I
+ 5 21
Из данных этой таблицы можно видеть, чго наибольшее значение пол-
ной амплитуды рассматриваемых колебаний при Q = 1 т будет равно
5,30 -|-5,29= 10,59 мм. Между тем из приведенной выше опытной диа-
граммы колебаний та же амплитуда оказалась равной 2,8 мм. Соответству-
ющим сравнением можно установить, что во время опытного пробега по
мосту человека развивавшиеся им давления имели величину
1000-2,8 ппл
178
Если определить значение Q, воспользовавшись приведенной в § 29 фор-
мулой, то при
Р = 80кг и Г=—=1%^г = 0,405 сек
а 15,50
получим:
7| 0,40о2
Как видим, разница между двумя этими значениями, определенными двумя
различными способами, довольно велика. В чем же тут дело? Мы думаем,
что приведенная формула для Q, полученная на основании лабораторных
исследований, производившихся над человеком, бегущим по узкому дере-
вянному брусу необходимого пролета, едва ли способна правильно оце-
нить значения давлений от ног человека при нормальном, психологически
нестесненном, его беге. Пожалуй, естественно предположить, что приведенная
формула и должна давать не преувеличенные, а преуменьшенные цифры.
В заключение отметим, что разобранные выше опытные исследования
мостов под действием обычной железнодорожной нагрузки хотя и дают
возможность выяснить характер работы этих мостов под действием перио-
дических сил, возникающих в паровозе, однаьо, все же нельзя не признать,
что постановка подобных опытов не позволяет выделить влияние интере-
сующих нас периодических сил, так как диаграмма прогиба, снятая при
проходе железнодорожного поезда, представляет собой сумму влияний всех
возможных динамических факторов. Кроме того, такая громоздкая сложная
нагрузка, как железнодорожный состав, с большим трудом поддается
в процессе опытных исследований необходимому регулированию с точки
зрения различных условий прохода его по мосту.
Вот почему был поставлен вопрос о создании специальной вибрационной
машины, облгдшщей возможностью сообщать мосту периодически меняю-
щиеся по величине импульсы, имеющие определенную частоту, способную
меняться в достаточно больших пределах по воле экспериментатора.
Вперььи необходимость изготовления подобной машины и ее идея были
сформулированы пфф. И. Рабиновичем. Однако осуществление этих мыслей
принадлежит немцам, которые построили подобную машину в 1928 г. на
заводе Losenhausen Werk в Дюссельдорфе.
В настоящее время подобная вибрационная машина, выписанная с этогс
же завода, имеется в Центральном научно-исследовательском институте
транспортного строительства. Однако систематических опытных исследова-
ний колебаний мостов под действием такой вибрационной машины еще
не было произведено ни в Германии ни у нас в Союзе.
12*
179
ГЛАВА ШЕСТАЯ
УДАРНОЕ ДЕЙСТВИЕ НАГРУЗКИ
33. Проход железнодорожной нагрузки по рельсовым стыкам
Мы уже указывали выше, что одним из факторов, отличающих динами-
ческое действие нагрузки от статического ее действия, является наличие
в первом ударных воздействий; эти ударные воздействия возникают в же-
лезнодорожных мостях в результате прохода колесных скатов железнодо-
рожной нагрузки по рельсовым
стыкам и вследствие наличия в
бандажах колесных скатов выбоин,
могущих достигать по глубине
2 мму а в шоссейных мостах в ре-
зультате прохода экипажей на-
грузки по обычно имеющим место
неровностям настила в виде впа-
дин и горбов, а также в резуль-
тате действия толпы людей, ло-
шадей и т. п.
Касаясь железнодорожных мо-
стов, можно отметить, что здесь наиболее существенное значение имеют
удары при проходе нагрузки по рельсовым стыкам, так как таковые всегда
имеют место; выбоины в бандажах колесных скатов — явление случайное,
вполне устранимое при надлежащем надзоре за состоянием бандажей.
Образование удара при проходе колеса по рельсовому стыку объясняется
характером линии прогиба рельса в районе стыка, имеющей вид, изобра-
женный на фиг. 113. Опускающееся в углубление линии прогиба в стыке
колесо встречается с встречным рельсом, производя при этом удар. Для
возможности определения эффекта последнего, действующего в интересующей
нас вертикальной плоскости, воспользуемся методом, предложенным проф.
И. Рабиновичем при рассмотрении им явления прохода колеса по горбылю,
имеющемуся на настиле моста.
Определим величину соответствующей кинетической энергии.
При опускании колеса по левому участку кривой прогиба скорость
движения центра, N колеса будет
Фиг. 113.
vN=-
cos a
(226)
где v—скорость движения центра колеса TV на горизонтальном участке,
а а — угол, образуемый с горизонталью касательной в точке касания окруж-
180
ности колеса с кривой прогиба. Пусть в момент крайнего пониженного
расположения центра N в углублении линии прогиба, т. е. в момент
нахождения точки N на оси у9 угол я = а0; тогда скорость
cosa0
Если движущееся колесо обладает массой /я, то нетрудно себе предста-
вить, что в рассматриваемый нами момент крайнего пониженного положе-
ния колеса, соответствующего моменту образования удара, теряется кине-
тическая энергия следующей величины:
* = ■? (А- -А=тУ2^~Г^=^а„ (227)
2 ^cos2a0 J 2cos2a0 2 б ° * '
Это и есть энергия интересующего нас удара, причем ее нетрудно
привести к энергии падения той же массы т с некоторой высоты /г.
В самом деле, энергия падения массы т с высоты h выражается, как
известно, следующим образом:
L = hmg, (228)
где g — ускорение под действием силы тяжести.
Сравнивая выражения (227) и (228), получаем:
A = Jtg3a0. (229)
Таким образом вопрос об ударе, возникающем при проходе колеса по
рельсовому стыку, приводится к вопросу о падении массы т с высоты h.
Последний случай изучен достаточно основательно и, в частности, проф.
Тимошенко дает для величины динамического прогиба fy середины балки
сплошного сечения, весом Р под действием падающего в середине пролета
балки с высоты h груза Q, следующее выражение:
/*=/* + •■ //* + -Щгп- (23°)
f-f-X- /> I 2hfs1 '
f ]+35 Q
Вообще говоря, ф-ла (230) приближенна, так как выведена в предполо-
жении, что форма кривой динамического прогиба балки при ударе будет
та же, что и при соответствующем статическом действии (динамические
прогибы пропорциональны статическому).
34. Динамические коэфициенты при проходе колеса по
рельсовому стыку
Вопрос о величине динамических коэфициентов, имеющих место при про-
ходе колес подвижного состава по рельсовому стыку, к сожалению, не мо-
жет быть освещен с достаточной полнотой, прежде всего потому, что сама
* См. О. Тимошенко, Курс сопротивления материалов, 6 изд. Москва, 1928,
стр. 518.
181
кривая прогиба рельса в районе стыка на мостовом настиле до настоящего
времени еще не выяснена, а между тем она может быть выяснена только
соответствующими опытными исследованиями. Поэтому к разрешению за-
дачи можно подойти лишь приближенно.
Так как во всех предыдущих случаях исследования мы начинали с дей-
ствия одного груза Q=\ my то и здесь рассмотрим динамические коэфи-
циенты, получаемые при проходе колеса диаметром D=2r=\>32 .*/,
имеющего вес Q=l т. Для получения более простых выкладок допустим,
что каждая половина линии прогиба в стыке представляет собою половину
дуги сегмента круга с хордой, равной 2а, где а—длина половины линии
прогиба стыка (фиг. 114). Положим, что а = 200 мм, прогиб непосред-
ственно в стыке под действием груза
Q = 1 пг равен 7] = 1,0 мм\ тогда
радиус R линии прогиба может быть
получен из условия:
/?2 = а2+(/?_7])2э
откуда имеем
/? = '
2г,
(231)
Фиг. 114.
После этого имеем возможность
определить и угол а0, который мо-
жет быть по синусу выражен следующим образом:
sin а,
о
/?■+/-
или
tgO(> =
sin30
1/1 — sin2 Oq V {R -M* — a*
Далее, пользуясь ф-лой (229), получаем:
A = o^g2ao = o^
V
а?
2^& ° 2g (R^rf — a? 2g (a* + r? . у
(232)
Подставляя в (232) указанные выше значения для а, г и tj, a также при-
нимая
г; = 50 км\час = —^—=1388,9 см\секу
. меем
h =
1388,92
98,334-937.10-7 = 0,0092 см.
На основе всех приведенных формул и результатов вычислений по ним
промежуточных величин, а также данных табл. 3 и 27, ниже составлена
182
табл. 30 динамических коэфициентов, получающихся в рассмотренных выше
железнодорожных мостах при учете удара от колеса, имеющего г =66 см
и вес 1 т при проходе им со скоростью v = 50 км\час рельсового стыка,
расположенного в середине пролета моста.
Таблица 30
J 1 ъ м
1 А/ Вб'Л
1 Р в т
| /г в см
j т;
33,2
0,0116
105,6
ОД 92
2,0115
55,1
0,0100
201,7
0,0092
2,0070
65,9
0,0128
263,6
0,0092
2,0042
87,6
0,0096
433,6
0,0092
2,0034
109,2
0,0 91
620,3
0,0192
2,0025
126,0
0,0101
815,2
0,0092
2,0019
158,4
0,0103
1393,9
0,0092
2,0010
Полученные в табл. 30 значения динамических коэфициентов 7] нанесены
в функции пролета моста на график, изображенный на фиг. 115. Из гра-
фика видно, что коэфициенты падают по гиперболической кривой с уве-
личением пролета моста, указывая тем самым на то, что чем меньше
пролет, тем он сильнее реагирует на удары, возникающие при проходе
колес подвижной нагрузки по рельсовым стыкам. Что касается абсолютной
величины динамических добавок коэфициентов 7j, то она во много раз
меньше тех динамических добавок, которые мы получили при движении
по мосту груза QsinA/ (при Q=l m). Мы пока выяснили характер за-
висимости динамических коэфициентов при ударе в стыке от пролета
моста. Теперь остановимся на зависимости этих коэфициентов от скорости
движения v колеса, от величины д, т. е. от длины линии прогиба в стыке,
и от величины § — прогиба непосредственно в стыке.
Соответствующий расчет значений для различных скоростей движения
колеса, а именно для г/= 25, 50, 75 и 100 км\часу а также для различ-
ных исследованных выше пролетов мостов дал следующие результаты, при-
веденные в табл. 31.
Таблица 31
1 / в м
I %> • • • ■
1 Т)50 • • • -
| Т)75 ....
I Tjioo • • • •
1
33,2
2,0029
2,0115
| 2,0257
2,0452
55,1
2,0018
2,С070
2,0157
2,0277
65,9
2,0013
2,0042
2,0095
2,0163
87,6
2,0009 •
2,0034
2,0077
2,0137
109,2
2,0006
2,0025
2,0056
2,0102
126,0
2,0005
2,0019
2,0043
2,0076
158,4
2,0002
2,0010
2,002?
2,0040
133
Данные табл. 31 нанесены на график, изображенный на фиг. 116 в виде
Четырех кривых, соответствующих рассмотренным четырем скоростям дви-
жения. Кривые эти дают картину падения динамического коэфициента от
удара в стыке при уменьшении скорости движения.
Что касается зависимости динамического коэфициента 7) от а и 8, то она
имеет интерес постольку, поскольку величины а и 8 характеризуют жесткость
рельсового пути на мосту и, в част-
ности—жесткость рельсов, т. е. тип их.
50 100
Пролет моста дм
SO Ю0 150 2QD
Пролет моста 6 м
Фиг. 115. Кривая динамических коэфи- Фиг. 116. Зависимость ударного динами-
циентов, получающихся в мостах различ- ческого коэфициента от скорости дви-
ных пролетов при проходе колеса D== жения.
= 1,32 м весом в 1 т со скоростью ь =
= 50 км\час по рельсовому стыку, рас-
положенному в середине пролета. Дадим а значения, равные 5, 10,
15, 20, 30 и 40 сму сохраняя для всех
случаев 8 = 0,1 см и v = 50 км [час. Тогда, пользуясь ф-лой (234), будем иметь:
/t5 = 98,334» ,^Л_п 12 ^ ~2 = 98,334-6854.10-7 = 0,0674 см;
Л10= 98,334-■
ю2
52
-=98,334-3123-10-^ = 0,0307 см;
02
Л30= 98,334.
А^ = 98,334 •
184
/г20 = 98,334-993-Ю-7 ==0,0092 см;
302
= 98,334-1778-10~7— 0,0175 см;
/302-4-0 I2 \2
(~2^ + 66) -3°2
402
(-тог-+66J
= 98,334-444. Ю-7 = 0,0044 см;
= 98,334-250-10-7 = 0,0025 см.
•402
По этим значениям А были рассчитаны величины коэфициентов tj для двух
крайних пролетов исследованных мостов, а именно для / = 33,2 м и дл»
/=158,4 м. Результаты этих расчетов приведены в табл. 32.
*)
а в см
/=33,2 м
/=-158,4 м
5
2,0814
2,0073
Габлица 32
10
2,0379
2,0033
15
2,0218
2,0319
20
2,0115
2,0010
30
2,0055
2,0С05
40
2,0031 |
2,0003
Цифры табл. 32 для большей наглядности нанесены на график, изобра-
женный на фиг. 117. Из графика видно, что с увеличением а, т.е. длины
15 20 25
Расстояние а 6 см
35 ,-, 40
Фиг. 117. Кривые ударных динамических коэфициентов дли мостоз пролетами
/ = 33,2 м и /=158,4*.
кривой прогиба рельса в стыке, эффект удара при проходе колеса по стыку
уменьшается. Величина а является одной из характеристик жесткости рель-
сового пути на мосту (причем чем больше а, тем эта жесткость меньше), по-
этому приведенные на графике кривые одновременно указывают и на то„
185»
что с уменьшением жесткости рельсового пути на мосту динамический
эффект действия удара в стыке уменьшается. Однако здесь следует отме-
тить, что вместе с увеличением а обычно увеличивается и прогиб Ь в сты-
ке; последнее обстоятельство, как будет показано ниже, оказывает влияние
на повышение динамического эффекта удара в стыке.
Для выяснения характера зависимости коэфициентов 7j от прогиба Ь рель-
сового стыка дадим Ь значения, равные 1, 2, 3 и 4 мму сохраняя посто-
янными первоначальные данные в отношении v и а, которые примем рав-
ными 50 км\час и 20 см. Тогда будем иметь
hr =0,0092 см\
202
/г2 = 98,334— —р =98,334.3521.10-* =0|0346слг;
(?w:+66) -2°!
202
Л3 = 98,334 — ^ =98,334.9005.10-» = 0,0885<?*;
(-йх-+0-66)-202
Л4 = 98,334 2°2 =98,334-16026.10-» = 0,1576 ел.
(-2^ + 66) -2°2
Определенные по этим значениям h для мостов пролетами 33,2 и 158,4 н
величины динамических коэфициентов т{ приведены в табл. 33.
ТАБлица 33
Ь в мм
-п
/ = 33,2 м
/=158,4 м
1
2,0115
2,0010
2
2,0426
. 2,00-?8
3
2,1057
2,0096
4
2,1316
2,0170
Данные табл. 33 нанесены на график, изображенный на фиг. 118, из
которого можно видеть, что динамические коэфициенты tj возрастают с уве-
личением прогиба в стыке рельсов, т. е. с уменьшением жесткости рель-
сового пути. Так как это возрастание коэфициента 7j заметно больше, чем
уменьшение его, связанное с увеличением а, то в общем можно считать,
что при более жестком основании динамический эффект удара в стыке бу-
дет меньше. Однако это будет справедливо только при однородных по сис-
теме настилах; например при деревянных брусьях и более легком типе
рельсов динамический эффект удара для пролетных строений получится боль-
ше, чем при более тяжелом типе. То же самое будет и при сплошном бал-
ластном корате. При сравнении же разнородных настилов приходится
учитывать то обстоятельство, что пролетное строение воспринимает не всю
энергию удара в стыке, а только часть ее, другая же часть поглощается
упругими и остаточными деформациями в самом настиле.
186
2.18
2.15
2.Ц
| 2.12
i
2.Ю
'В
1
I
2.06
2.04
?.02
2.00
35. Необходимость опытного изучения работы рельсовых стыков
на мосту
Изложенная в предыдущем параграфе теория динамического действия
проходящего по рельсовому стыку колеса требует прежде всего обязатель-
ного знания линии прогиба стыка под проходящим колесом. Не имея этих
данных, приходится пользоваться в отношении характера линии прогиба
в ctbiKe и величин ее ординат совершенно необоснованными данными, по-
добными принятым в преды-
дущем параграфе. 2.20
Но не только знание ли-
нии прогиба в стыке не-
обходимо для определения
динамического эффекта от
стыковых ударов. Не менее
необходимо также и знание
в отношении энергии удара
поглощательной способности
как настила, так и попереч-
ной конструкции моста. Это
вытекает из сделанного в
конце предыдущего пара-
графа замечания, указываю-
щего на то, что не вся
возникающая при ударе энер-
гия воспринимается балками
прэезжей части и главными
фермами. При определении
той части ее, которая пере-
дается на балки проезжей
части, приходится учитывать
поглощение энергии упру-
гими и остаточными дефор-
мациями, имеющими место
при ударе в настиле. При
определении же части энер-
гии удара, передающейся на
главные фермы, приходится
принимать во внимание по-
глощение энергии удара де-
формациями и настила и
поперечной конструкции мо-
ста. Теоретическое разрешение всех этих вопросов хотя и возможно, но
отличается чрезвычайной трудностью и сложностью, усугубляемыми неопре-
деленностью значительного количества входящих в исследование величин.
Во всяком случае делавшиеся в этом направлении неоднократные попытки
не увенчались успехом. Мы думаем, что удовлетворительное разрешение
проблемы удара в рельсовом стыке на мосту может быть получено только
на опытной базе.
На основании изложенных соображений можно сказать, что опытное изу-
чение данного вопроса прежде всего должно поставить перед собой зада-
187
1
)1 *^^
(=33.2*1
Ы5&4*^
1 2 3 4*.
Прогиб стыка 6 6 мм
Фиг. 118. Зивисимость ударного динамического
коэфициента от прогиба в стыке при разных про-
летах моста.
чу установления характера линии прогиба и величины самих прогибов
в рельсовом стыке при различных по жесткости и роду настилах. Опыт-
ные же исследования могут оказать необходимую помощь в разрешении и
второго вопроса проблемы улара в стыке, касающегося распределения
энергии удара между отдельными частями пролетного строения. Однако
если первая задача, поставленная нами для соответствующих опытных ис-
следований, может быть разрешена сравнительно просто непосредственным
измерением статических прогибов рельса в стыке под колесом нагрузки,
то вторая задача оказывается более сложной, так как опытное изучение
деформаций в пролетном строении от удара в стыке при проходе колеса
обычной подвижной нагрузки почти невозможно по той простой причине,
что самый проход обычной железнодорожной нагрузки сопровождается
весьма сложными динамическими воздействиями, вызывающими и сложные
динамические деформации в пролетном строении. Выделение из этих слож-
ных деформаций влияния удара в рельсовом стыке — задача абсолютно не-
разрешимая; этот путь, конечно, перед экспериментатором закрыт и здесь,
повидимому, без создания опытной подвижной оси не обойтись.
Однако и при наличии обычной железнодорожной нагрузки можно пред-
ложить один экспериментальный прием, позволяющий подойти косвенным
путем к определению величины той части энергии удара в рельсовом сты-
ке, которая воспринимается главными фермами.
Дело в том что удары, образующиеся при проходе колес нагрузки по
рельсовым стыкам, приобретают весьма существенное значение в том случае,
когда они действуют с установившимся ритмом, приближающимся по час-
тоте к ритму свободных вертикальных колебаний системы, состоящей из
моста и нагрузки. При этом наиболее яркий случай будет иметь место,
конечно, при совпадении этих ритмов, т. е. при явлении резонанса. По-
добное явление резонанса при проходе рельсовых стыков в наших усло-
виях вполне возможно и наблюдается на очень многих мостах. Объяс-
няется это тем обстоятельством, что существующая на дорогах СССР нор-
мальная вагонная нагрузка (двухосные крытые товарные вагоны) имеет
совершенно одинаковые расстояния между осями одного и того же вагона
и соседними осями двух рядом стоящих вагонов. Нетрудно себе предста-
вить, что в этом случае при проходе колес вагонов по рельсовому стыку
удары будут действовать с частотой, равной
Д = -£, (233)
где v—скорость движения нагрузки и а ==3,8 м — расстояние между
осями наших двухосных нормальных товарных вагонов.
Пусть в середине пролета моста имеется рельсовый стык и скорость
движения поезда, составленного из упомянутых выше нормальных двухос-
ных вагонов, равна критической, вызывающей явление резонанса между уда-
рами в стыке и свободными колебаниями моста вместе с нагрузкой. В ре-
зультате действия этих ударов мост должен получить колебания резонан-
сного характера. Обозначим величину прогиба глазной фермы в середине
пролета от действия первого удара через Л; тогда & моменту второго уда-
ра, т. е. к моменту удара от второго колеса, величина прогиба (полуамп-
литуда колебаний) будет равна уже не уг = А, а
Ае-*т9
188
где гТ—декремент затухания свободных вертикальных колебаний данного
моста. Предполагая давления, приходящиеся на отдельные вагонные оси,
одинаковыми, можем считать, что удар от второго колеса вызовет опять
прогиб главной фермы, равный А. В результате после второго удара про-
летное строение будет иметь прогиб
у2 = А + Ае-*т=А (\+е-*г),
который к моменту третьего удара уменьшится до
А (\+е-*т) е''г.
После третьего удара прогиб, по аналогии с предыдущим, окажется
равным
у3 = А + А (\+е-*т) е-т=А [1 -f(l +<Гв7) е-*т\ =
= А (\-\-е-*т + е-*г),
а после л-ого удара
уп = А (1 -\-е-*т-\-е-*т+... + ^-(л"1)еГ). (234)
Нетрудно заметить, что уп возрастает по закону суммы членов геомет-
рической прогрессии, имеющей знаменатель е~гТ. Таким образом предель-
ное значение уп определится так:
Уш* = A lira ( 1 + ЗУ т) = у^^тт• (235)
При отсутствии сопротивлений (внутренних и внешних), т. е. при е = 0,
величина -утах обращается, как и следовало ожидать, в бесконечность, и
вообще чем меньше е, тем больше у. Для иллюстрации последнего вывода
мы построили кривые изменения у в функции п — числа ударов для ряда
железнодорожных мостов, фигурировавших во всех наших предыдущих ис-
следованиях. Кривые эти приведены на фиг. 119, из которой видно, что
с увеличением пролета моста эффект действия ритмичных ударов в стыке
повышается вследствие соответствующего влияния декремента затухания еТ,
заметно падающего с увеличением пролета моста. Из фигуры также
видно, что в мостах малых пролетов уже после 20—30 ударов, т. е.
после прохода по стыку 10—15 вагонов, амплитуда колебаний получает
близкую к максимуму величину. Предельные значения у для приведенных
на фигуре железнодорожных мостов будут равны:
А
для моста /= 55,1 мутлг= 1 _^-0,61.и,22б=7>7Л
. . /= 87,6 пУт = 1_/о>аз-и>т=10»М
д
» „ /=109,2 я.Утах= 1 _£-a)2o.o,380=14>3i4
А
п , /= 158,4 9ут » 1 _^о,04.о,б07 = 50>ОЛ
189
После 20 ударов в стыке соответствующие значения у для тех же мостов
будут иметь по данным кривых, изображенных на фиг, 119, следующие
значения:
для моста /= 55,1 м У20=== ^,24 Л
„ „ / = 87,6 „ у20= 8,84 Л
„ , /=109,2 . j, =10,89 Л
„ . /=158,4 „ ^=16,67 Л
Если построить график отношений -=^- в функции пролета моста, то
-Утах
получится картина, изображенная на фиг. 120, из которой достаточно ярко
Число ударов в стыкр
фиг. 119. Кривые зависимости прогиба середины моста от числа ударов в стыке,
расположенном в середине пролета. Кривые даны для различных пролетов, имею-
щих различные коэфициенты затухания е и периоды Т.
следует, что чем больше пролет моста, тем дальше при одном и том же
числе удар->в значение наибольшей амплитуды от предельного максимума.
Нетрудно себе представить, что для рассмотренных выше четырех мос-
тов кривые, соответствующие числу ударов выше 20 и до бесконечности,
должны расположиться между кривой, изображенной на фиг. 120, и гори-
зонтальной линией, имеющей на той же фигуре ординату, равную 1,00.
Возвратимся теперь к определению той части энергии удара в стыке,
которая воспринимается главными фермами пролетного строения.
Зная выясненный выше закон возрастания амплитуд резонансных коле-
баний главных ферм в функции числа ударов, образующихся в стыке, а так-
190
же имея опытную диаграмму упомянутых резонансных колебаний главных
ферм моста, нетрудно определить величину Л, т. е. величину прогиба
фермы от одного удара оси или колеса.
Рассмотрим один пример, взятый из динамических испытаний железно-
дорожного моста пролетом /=109,2 м. При проходе по мосту поезда*.
i»
I.Oi
0.8
0.6
0.4
0.2
20 40 60 80 100
Пропет моста в м
120
140
160
Фиг. 120. Зависимость от пролета моста отношения прогиба середины моста после
20 ударов в среднем стыке к прогибу максимальному (от бесконечного числа ударов).
состоявшего из двух паровозов серии О (0-4-0) и 10 товарных крытых
двухосных нормальных вагонов с давлением на каждую ось около 11,5 т
со скоростью г; = 34 км\час, главные фермы моста получили колебания,
зарегистрированные прибором Гейгера в виде диаграммы прогиба середины
фермы, изображенной на фиг. 121. Нетрудно заметить в вагонной части
этой диаграммы ярко выраженные резонансные колебания, явившиеся след-
ствием ударов при проходе колес вагонных скатов по рельсовому стыку,
имевшемуся как раз в середине пролета моста. Что эти колебания явля-
16:Зл1Л1
Фиг. 121. Действительная диаграмма прогиба середины железнодорожного моста,
полученная в результате прохода товарного поезда с большим количеством двухос-
ных нормальных вагонов.
ются действительно резонансными, подтверждается подсчетом критической
скорости, которая, как известно (выражение 233), должна быть равна
vKр = а Д = а • — ,
где Т—период интересующих нас колебаний и а = 3,8 м.
191
Так как из диаграммы фиг. 121 имеем Г=0,41 сек., то
^р==3,8«гг—г==9,25 л/сел; = 33,4 км\час ,
•что почти совпадает с величиной скорости движения, измененной во время
опыта.
Из фиг. 119 имеем для моста пролетом /=109,2 м после 20 удара
в рельсовом стыке: 1ЛЛХ
© то же время из диаграммы колебаний, изображенной на фиг. 121,
««посредственным измерением получаем для той же величины:
У2о=6>3 мм,
следовательно
10,9Л = 6,3,
откуда имеем
Л = -£^ = 0,58 мм.
Таким образом в данном случае величина прогиба середины главной
«фермы от удара, образующегося при проходе колеса вагонного скггга по
рельсовому стыку, расположенному в середине пролета, оказалась равной
0,58 мм. Следует подчеркнуть, что вывод сделан в предположении равен-
ства давлений, приходящихся на отдельные оси вагонной нагрузки. Это
предположение, конечно, не вполне отвечает условиям опыта.
По величине А можно подойти и к определению величины той части
энергии удара, которая передается на ферму. Эта энергия, повидимому,
должна быть эквивалентна работе некоторой силы, приложенной в середине
«пролета моста и вызывающей прогиб середины фермы, равный А. Величина
«еизвестной силы Q может быть определена из условия
Q = KAy
где К—сила, приложенная в середине пролета и вызывающая прогиб
«фермы, равный единице. Так как работа силы Q на перемещении А будет
равна »/,<м.
то величина интересующей нас энергии может быть представлена в следую-
щей форме:
I—ViQ^Vi-»*1- (236)
Для рассматриваемого нами моста пролетом / = 109,2 м имеем:
Л = 0,58 мм = 0,00058 м
т
#=11000 т\м
«(табл. 3); поэтому для этого моста
1 = 0,5-11 000.0,00058» = 0,00185 /**=1,85 кгм.
Вот тот путь, которым можно подходить к определению величины энергии
удара, воспринимаемой главными фермами.
192
Совершенно ясно, конечно, что величина L зависит от скорости движе-
ния, от жесткости настила, от жесткости балок проезжей части, от типа
сопряжения балочной клетки с главными фермами, от пролета моста. Влия-
ние всех этих факторов еще подлежит изучению.
Зная величину энергии удара, можно определить и динамические коэ-
фициенты. В самом деле, ведь L можно рассматривать, как работу неко-
торой статической силы Р, приложенной к мосту в точке, соответствующей
расположению интересующего нас стыка. В случае нахождения рассматрива-
емого стыка, а следовательно, и силы Р в середине пролета прогиб от
действия последней может быть выражен так (при прежних обозначениях)
работа же силы Р на этом прогибе должна быть равна, как указывалось
выше, величине I, т. е.
откуда
и следовательно,
Р=[/ 2KL
bf=^=^JlEl (237)
J К К '
Величина прогиба Д/ и есть величина того динамического прогиба,
который получает пролегное строение от удара в стыке, расположенном
в середине пролета.
36. Динамические коэфициенты мостов различных пролетов от
удара в стыке при одновременном нахождении равномерно рас-
пределенной нагрузки
Определим динамические коэфициенты прогибов для исследованных ранее
железнодорожных мостов различных пролетов от удара в стыке, располо-
женном в середине пролета, причем будем считать, что удар произошел в
момент загрузки всего пролета моста равномерно распределенной нагруз-
кой, соответствующей эквивалентной максимальной по схеме Н 1925 г. норм
НКПС.
Если обозначить максимальную эквивалентную нагрузку по моменту
в середине пролета через q, то статический прогиб от этой нагрузки
в середине пролета моста при синусоидальной инфлюентной линии прогиба
может быть выражен так:
/
.. . пх . 2/8 2lq
f=q\bsm— dx^q- — -
о
От удара в стыке, расположенном в середине пролета, пролетное стро-
ение получает прогиб, выражаемый выведенной выше ф-лой (237); следо-
13 О. А. Ишго«м« 198
иатслыю, суммарный или так называем?.!?! динамический пропс* будет
(238)
/ _/ i к*—Ш L.VJIKL
Величина же соответствующего динамического коэфициента выразится гак:
- /max .
1 +
2lq
(239)
Из выражения (239) можно сделать вывод о наличии обратной пропор-
циональности между величиной динамической добавки и д. Если, кроме
того, принять во внимание, что К и L слабо зависят от пролета моста,
что, повидимому, достаточно близко к истине, то станет очевидным, что
интересующая нас динамическая добавка обратно пропорциональна и
пролету моста.
Определение динамических добавок произведем для скорости v =
= 75 км\час; при г> = 34 км/час величина энергии удара в рельсовом стыке
в разобранном выше примере была £=1,8 кг-му поэтому при принятой
нами скорости движения необходимо считаться уже с величиной
*= 1.8 (-£-)'-в.™
Все необходимые для расчета динамических добавок по ф-ле (239)
величины, а также самый расчет этих добавок приведен в табл. 34.
Таблица 34
/ в м
33,2
55,1
65,9
87,6
109,2
126,0
158,4
К в т\м
8 600
10 000
7 800
10 370
11000
9в00
970G-
q в т\м
13,30
12,50
11,86
10,86
10,06
9,58
9,00
L в тм
0,0088
0,0088
0,0088
0,0088
0,0088
0,0088
0,0088
V2KL
12,30
13,27
11,70
13,50
13,92
13,19
13,08
п/2/а
2/-/
0,044
0,030
0,024
0,022
0,020
0,017
0,014
Значения полученных таким образом динамических добавок нанесены на
график фиг. 122 в функции пролета моста. Из этого графика видно, что
зависимость рассматриваемых динамических добавок от пролета моста имеет
ясно выраженный гиперболический характер. Абсолютная величина их
весьма невелика, особенно в сравнении с динамическими добавками, полу-
чаемыми при действии подвижной периодически меняющейся по величине
нагрузки в случае образования явления резонанса между нею и колеблю-
щейся системой.
Если на основании всего изложенного о динамическом воздействии на
мост удара, образующегося при проходе колеса нагрузки по рельсовому
стыку, попытаться сделать результирующий вывод, то приходится прежде
194
всего отметить, что для более или менее- точного решения вопроса необхо-
димо предварительно произвести исследование рельсового стыка под дей-
ствием подвижной нагрузки (колесных скатов) и исследование величины
энергии удара, передающейся на рассматриваемые элементы пролетного
строения, а также зависимости этой величины от целого ряда факторов,
на нее влияющих. В данный же момент можно говорить только об основных
законах воздействия удара в стыке на динамическую работу моста и об
ориентировочных значениях соответствующих коэфициентов.
0.051 1 1 ■ 1 1 1 1 г 1
0 04
о
«с 0 03
о
f 0.0?
^0.0!
O.ool 1 1 1 1 1 1 1 1
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Пролет моста в м
Фш. 122. Кривая динамических добавок, полученных от одного удара в стыке рельсов
в середине пролета при наличии на мосту равномерно распределенной временной
расчетной нагрузки.
37. Удары при проходе колес нагрузки по неровностям настила
в мостах под обыкновенную дорогу
Ввиду того что неровности в настиле мостов под обыкновенную дорогу
представляют собой достаточно обычное явление, особенно в мостах,
имеющих деревянный настил, влияние ударов, образующихся при проходе
по этим неровностям колес нагрузки, имеет для указанных мостов до-
статочно существенное значение, усугубляемое тем обстоятельством, что
упомянутые неровности имеют сплошь и рядом весьма заметные размеры
по глубине соответствующих ям или высоте горбов.
Теоретический подход к разрешению всей проблемы удара в целом
в данном случае, конечно, также затруднителен, как и в разобранном
выше случае с рельсовым стыком на железнодорожном мосту. Здесь даже
вопрос имеет большую сложность, так как форма возможных выбоин
в настиле моста под обыкновенную дорогу может быть самой произвольной
и неправильной. Опытное изучение вопроса производилось у нас в СССР
на нескольких шоссейных мостах путем пропуска подвижной нагрузки
по искусственным препятствиям, создававшимся на настиле моста в виде
прибитого к нему или горбыля или доски той или иной высоты. Однако
объем этих исследований был совершенно недостаточен для решения всей
13* 195
1 ^4^L—О
задачи, так как опыты производились лишь в плоскости изучения динами-
ческих коэфициентов, получающихся в главных фермах при действии ука-
занных выше искусственных* ударов. Другая же важная часть задачи,
касающаяся распределения энергии удара между отдельными частями про-
летного строения, не подвергалась изучению.
Некоторый интерес представляют данные этих исследований, полученные
при пропуске через препятствия на настиле грузовиков. Опыты производи-
лись в 1926 г. на двух шоссейных мостах с ездою по низу, имевших
пролеты 48 и 50,4 м. Препятствия устраивались в виде горбыля и доски.
Инж. Г. Николаев, опубликовавший в 1929 г. исследование, посвящен-
ное результатам указанных опытов1., дает в нем теоретический анализ
динамического коэфициента при проходе колес грузовика через доску, при-
шитую к настилу моста. Динамическую добавку этого динамического коэ-
фициента он рассматривает как сумму трех динамических добавок, из кото-
рых первая является результатом действия силы, образующейся в рессорах
автомобиля при вкатывании его колес на пришитую к настилу доску, вто-
рая — следствием образования удара при таком вкатывании и третья — в ре-
зультате действия удара, образуемого при сходе колеса с препятствия (с доски).
Если предположить, что при вкатывании колес автомобиля на доску
надрессорное строение сохраняет горизонтальное движение, то в обеих
рессорах одной и той же оси должно возникать следующее усилие:
П = \ /я, h— высота препятствия доски, Ь—прогиб рессоры от действия
вертикальной силы R=\ т. Если Q — полный вес автомобиля, то первая
динамическая добавка оказывается равной
» F+Q
Ъ = —О" •
Величина второй динамической добавки определяется следующим образом.
Живая сила подрессорной части оси при ударе о препятствие будет равна
♦т--
где ф — коэфициент, зависящий от характера препятствия; ft — вес подрес-
сорной части оси; g—ускорение под действием силы тяжести и v — ско-
рость вкатывания колеса на препятствие. Если считать происходящий при
таком вкатывании удар неупругим, то общая скорость с обоих ударяю-
щихся тел определится из уравнения:
откуда
(240)
1 См. 23-й сборник трудов Иист. инжен. исслед. НКПС. Г. Николаев, .Дина-
мическое воздействие автомобиля на мост", 1929.
196
где Р0—приведенный в место удара вес моста, который может быть
определен известным уже нам способом. Зная с, можно определить и живую
силу удара, передающуюся пролетному строению; она будет равна
или, имея в виду (240):
р0±р'
g
1
(241)
Если обозначить приращение динамического прогиба от рассматриваемого
фактора через ул, то соответствующее приращение потенциальной энергии
пролетного строения выразится следующим образом:
РУу Ул
2 Уо
(242)
где У0—прогиб пролетного строения от статического действия веса
подрессорной части оси р\ Приравнивая (241) к (242), получаем
р'у\
:(!)£-г;2
1
g
откуда
Ут =
/
2ф^Уо
4'+2)
(243)
Что касается коэфициента ф, то для случая устройства на настиле препят-
ствия в виде доски высотой h он может
быть определен следующим образом До-
пуская, что тяговое усилие автомобиля
при вкатывании колес его оси на доску
(фиг. 123) остается неизменным, получаем
скорость при вкатывании:
:i;cosa.
Фиг. 123.
Значение угла а ясно из фиг. 123.
Вследствие такого изменения скорости
движения имеем и соответствующую потерю живой силы подрессорной части
оси в следующем размере:
"Wr
p'i? cos2 a\ 1 pf „ . „
-- 1 = тг -~v sin2a.
g I 2 g
Эта живая сила и передается мосту, причем нас интересует только верти-
кальная слагающая ее, равная:
1 rl nf
Ц7 = — с_ ^ sin2 a cos a =- ф -•- vK
v 2 g T g
197
Отсюда вытекает и значение коэфициента ф для данного случая:
ф = —sin2 cos а.
При величине полного статического прогиба от автомобиля, равной у0,
имеем значение динамического коэфициента от рассматриваемого второго
фактора:
у Г Щ%
42=^=1 / ; р\ - (244)
Л
У
8
J*
Переходя, наконец, к третьему фактору — влиянию удара при сходе колеса
с препятствия (доски), нетрудно себе представить, что соответствующее
динами 1еское приращение прогиба будет равно
л_/
2А
1 +
Ъу"
где А — высота доски и у%—прогиб от нагрузки р одной оси.
Соответствующий же динамический коэфициент
Is
= ^ =
(245)
Суммарный же динамический коэфициент
Ч = 4i + 4t + г1з-
Пользуясь всеми этими формулами, инж Ю. Николаев определил теоре-
тические значения полных динамических коэфициентов для двух систем
грузовых автомобилей — НАГ и Комник при проходе их через доску вы-
сотой Л = 2,5 см, пришитую в середине пролета шоссейного моста, имевшего
/ = 50,4 м. Значения этих коэфициентов приведены в табл. 35.
Таблица 35
Автомобиль системы
При J
проходе |
1 передней I
1 оси |
1 задней |
1 оси j
Ненагр уженный
Полугруженый
Груженый
Ненагруженн ift
Полугруженый
Груженый
НАГ
2,63
2,28
2,Ю
3,68
3,06
2,76
Комииь
3,00
2,52
2,29
3,55
2.93
2,62
Ббльшая величина коэфициентов для прохода через препятствия задней
оси машины объясняется большим давлением, приходящимся на заднюю ось;
198
умсчшпение динамических коэфициентов при загружении автомобиля объяс-
няется соответствующим увеличением статического прогиба моста.
Экспериментальная проверка полученных выше коэфициентов достаточно
затруднительна, так как в результате
опыта обычно получается диаграмма
с суммарным воздействием обеих осей
автомобиля, причем на той же диа-
грамме фиксируется влияние и других
динамических факторов (удары при
проходе колес по обычным неров-
ностям настила, колебания кузова
автомобиля и др.). Для примера на
фиг. 124 приведена диаграмма про-
гиба моста пролетом / = 50,4 м,
снятая при проходе грузовика систе-
мы Заузр через горбыль. На этой
диаграмме хотя и обнаруживается
ярко влияние удара при проходе
машины через препятствие, но вы-
делить по ней отдельно влияние
передней и задней осей не предста-
вляется возможным.
Таким образом подобные опытные
исследования позволяют выяснить
значения только суммарных динами-
ческих коэфициентов. Для примера
на фиг. 125 изображен ряд графиков,
дающих зависимость этих значений
в функции скорости движения автомобиля системы Комник: автомобиль
пропускался через доску высотой h ==2,5 см, причем график а соответствует
проходу порожнего грузовика, график б— проходу полугруженого грузовика
Фиг. 124. Действительная диаграмма про
гиба середины шоссейного моста / —
— 50,4 л*, снятая при проходе груэовика
системы Зауэр через горбыль.
З.оо
2.50
2.оо
1.50
\00
1
ОО"
0 1!
о
-i
-%
5 21
а
S8.
О
о
3 2
-<d
о
и
5 3С
в
З.оо
2 50
2.00
1.50
1.00
о
о
о
ОС
\Р
фоб
З.оо
2.50
2.00
1.50
1.00
у/
1 °
о
S
о°
о
ии
*о
о
о
-чР
ТГ
10 15 20 25 30/uf/wac 10 15 20 25 30 ЗЬкм/час Ю 15 20 25 30 км/чл
Фиг. 125. Действительные динамические коэфициенты, полученные при испытании
шоссейного моста /=50.4 м под действием грузовика системы Комник, пропус-
кавшегося через доску высотой h = 2,5 см, уложенную в середине пролета моста;
а — порожний грузовик; б — гру овик полугруженый и в — грузовик груженый.
199
И график ё—-лрохбду грузовики гружёного. Из $тйх графиков видно
следующее:
1) точки, соответствующие значениям динамических коэфициентов, полу-
ченных при различных заездах автомобиля, расположились на графиках
весьма неправильно; если же Заметить на каждом графике линию по центрам
тяжести отдельных групп точек, то получаются линии, не дающие никакого
роста динамических коэфициентов от скорости движения: это свидетельствует
о некоторой случайности точек, обусловливаемой, повидимому, неодинако-
выми условиями прохождения осей грузовика препятствия, что вполне
возможно;
2) абсолютные значения опытных динамических коэфициентов заметно
ниже приведенных выше теоретических цифр, полученных для рассматри-
ваемого грузовика системы Комник; в частности, для случая порожнего
грузовика вместо максимальной теоретической цифры 3,55 наибольшее
значение динамического коэфициента доходило только до 2,20 (график а
фиг. 125).
Резюмируя все изложенное в отношении как теоретического, так и опыт-
ного изучения ударного воздействия нагрузки на мосты, можно признать,
что здесь уже имеются определенные возможности, позволяющие в целом
ряде случаев достаточно обоснованными методами решать задачи динами*
ческого воздействия нагрузки на мосты.
Ре 1акгор В. К. Запорожец. Техн. редактор И. М. Эбене он. Выпускающий В. М. Богдане».
Сдано в набор 22/IX 1933 г. Подпис. к печ. 8/Н 1934 г. Издат. №285. Инд. МС-45-5-4. Тир. 2000 (прот TKK
№ 16). Печ л. 12/1/8 печ. зн. в л. 52 800, форм. бум. 62X94VW- Уполн. Главлита В-76937