Средства и способы элементарных вычислений - Брадис В.М.

Автор: Брадис В.М.

Теги: математика естественные науки вычислительная математика учебное пособие точные науки

Год: 1948

Похожие

Энциклопедия элементарной математики Том 1. Арифметика

Арифметика. Том I

Математика в СССР за тридцать лет. 1917-1947

Теоретическая арифметика

Текст

51 I
Б87 tLEMHfl ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР
ИНСТИТ^. ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
* * ~ “®О - - "
Лроср. В. М. БРАДИС
(СРЕДСТВАМ «СОБЫ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ВЫЧИСЛЕНИЙ
ИЗДА ТЕАЬСТВО
АКАДЕМГИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР
МОСКВА • 1948-ЛЕНИНГРАД
АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФ
ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Б87
ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА УЧИТЕЛЯ
Проф. В. М. БРАДИС
СРЕДСТВА И СПОСОБЫ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
МА ТЕМА ТИКИ И ФИЗИКИ
СЕМИЛЕТНЕЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
ИЗДАТЕЛЬСТВО’
АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР
19 4 8
ПРЕДИСЛОВИЕ
По инициативе покойного методиста-математика А. М. Во-
ронца, я написал в 1928 г. брошюру, предназначенную для
учащихся V класса и содержащую доступные для них све-
дения о приближённых вычислениях. Эта брошюра под за-
главием «Как надо вычислять» была выпущена тремя изда-
ниями (в 1929, 1930, 1932 гг.) и получила распространение
не столько среди учащихся, сколько среди учителей матема-
тики. В дальнейшем были написаны ещё две брошюры, со-
державшие сведения по приближённым вычислениям для
более старших возрастов и вышедшие в свет под тем же
заглавием в качестве выпуска 2 (в 1931 и 1932 гг.) и вы-
пуска 3 (в 1934 г.).
Настоящая книга представляет собой переработку этих
трёх брошюр, предназначенную для учителей математики и
физики средней школы. Моей задачей было дать изложение
того минимума сведений пи вычислительной математике, ко-
торыми, как мне представляется, должен в настоящее время
владеть каждый учитель математики и физики и которых
нельзя найти в стабильных учебниках. Ввиду этого я от-
нюдь не стремился дать исчерпывающее изложение затро-
нутых вопросов. Желающие изучить их шире и глубже мо-
гут это сделать, обращаясь к указанной в конце книги ли-
тературе. С другой стороны, многие вопросы изложены так,
чтобы у читателя не только сложилось представление о су-
ществе дела, но и наметился бы путь, каким можно итти
при рассмотрении этих вопросов в школе.
Правильно ли сделан отбор материала, целесообразна ли
форма его изложения—покажут отзывы учителей, которые
прочтут эту книгу. Буду весьма признателен за всякие ука-
зания на её недочёты и пожелания об исправлении их.
Г. Калинин, Педагогический институт 15.11 1947 г.
В. Б р а д и с
ВВЕДЕНИЕ
К вычислительной математике относится всё, что говорит
о способах выполнения числовых расчётов. В неё входит вся
начальная арифметика, изучаемая с I по V годы обучения,
и ряд разделов математических дисциплин, изучаемых в
средней и высшей школе. Нет нужды доказывать важность
знаний и навыков по вычислительной математике: среди
практических применений математики на первое место сле-
дует поставить простейшие арифметические расчёты с це-
лыми и дробными числами, какими каждый человек поль-
зуется на каждом шагу; доведение до конца, до получения
практически ценного результата каждого математического
вопроса, с которым встречаются инженер, артиллерист, мо-
ряк, лётчик и многие другие, требует выполнения более или
менее сложных числовых расчётов.
Нет сомнения, что одной из задач школьной математики
является выработка у учащихся сознательных и прочных
навыков в возможно более точном и быстром выполнении
числовых расчётов. Однако в работе нашей средней школы
в этом направлении приходится отметить три недостатка.
Во-первых, вырабатываемые еще в I—V классах навыки
в выполнении простейших арифметических операций не
всегда должным образом закрепляются и развиваются в
старших классах. Общеизвестны жалобы со стороны вузов
на слабые навыки у молодёжи в устных вычислениях, на
неумение рационально организовать письменное вычисление,
если оно хоть сколько-нибудь сложно, в частности на беспо-
рядочность записи, на беспомощность в деле обнаружения
и исправления допущенных ошибок.
Во-вторых, школьная математика недопустимо отстала от
жизни, не знакомя учащихся с теми сравнительно новыми
в математической науке вычислительными методами, кото-
рые получили самое широкое применение на практике,
позволяя существенно экономить время и силы. Достаточно
указать на такой зияющий пробел в школьной математике,
как отсутствие изучения счётной логарифмической линейки,
давно уже ставшей постоянным спутником каждого инже-
нера, на полное отсутствие знакомства с изготовленными на
советских заводах и широко распространёнными у нас ариф-
4
мометрами, на далеко не достаточное использование учащи-
мися математических таблиц, даже тех, что имеются у ка-
ждого девятиклассника, на абсолютное игнорирование графи-
ческого метода вычислений, так хорошо используемого в но-
вой отрасли математики—в Номографии. Школьная вычи-
слительная математика находится на уровне математической
науки XVII века, того века, который дал человечеству ло-
гарифмы. Но логарифмический метод вычисления, который
был когда-то передовым, прогрессивным, в настоящее время
оттесняется на задний план счётной линейкой (в вычисле-
ниях обычного рода, целью которых бывает получение лишь
первых трёх-четырёх значащих цифр результата) и счёт-
ными машинами (в тех вычислениях, где эта точность не-
достаточна), не говоря уже о номограммах. Господство ло-
гарифмического метода в старших классах средней школы
является в настоящее время несомненно анахронизмом.
В-третьих, в школьном курсе математики совершенно не-
достаточно уделено внимание вопросу об особенностях вы-
числений с приближёнными числами. Учащиеся не умеют
оценить точность получаемых ими результатов действий над
приближёнными данными, тратят много времени на бесцель-
ное получение и выписывание «нелепых хвостов ненужных
цифр» (по меткому выражению одного из наших советских
методистов-математиков, покойного И. Н. Кавуна).
Борьба за устранение этих трёх недостатков школьной
вычислительной математики есть прежде всего борьба за по-
вышение вычислительной культуры учителя. Цель настоя-
щей книги—помочь учителю повысить свою квалификацию
в этом направлении.
По методу вычисления различают три основных их вида:
вычисления устные, когда либо ничего не записывается, либо
записываются только данные и результат (в последнем слу-
чае часто применяется термин полуписьменные вычисления);
вычисления письменные, проводимые по усвоенным в школе
обычным правилам на основе заученных наизусть таблиц
сложения и умножения однозначных чисел; вычисления с
применением вспомогательных средств, к которым относятся
математические таблицы, счетные приборы, графики.
По характеру данных и искомых вычисления разделяются
на точные и приближённые.
Первая глава предлагаемой вниманию читателя кнйги
содержит сведения о некоторых простых, но выгодных осо-
бых приёмах устного и письменного вычисления над точными
(преимущественно целыми) числами. Приёмы эти пользуются
популярностью в начальной школе, но их безусловно следует
культивировать везде. Вторая глава даёт весьма важные пра-
вила действий над приближёнными данными, применимые
всегда, когда не требуется точной оценки точности получае-
мых результатов. Материал этой главы, как и главы I, дол-
жен находить себе применение во всех классах школы, на-
чиная с V. Более специальный характер имеет глава III, рас-
сматривающая вопрос о получении при приближённых дан-
ных таких результатов, которые были бы свободны от какой
бы го ни было неопределённости («вычисления со строгим
учётом погрешностей»). Глава IV содержит важнейшие све-
дения об основном вспомогательном средстве вычисления—
математических таблицах, сведения, дополняющие то, что
учащиеся узнают по этому вопросу в школе. В главе V под-
робно освещается вопрос об устройстве и употреблении счёт-
ной логарифмической линейки, этого важнейшего современ-
ного счётного прибора.
Что касается других вспомогательных средств вычисле-
ния, то некоторые сведения о палочках Непера и об ариф-
мометре читатель найдёт в гл. I. Графические же способы
вычисления не затронуты вовсе—им должна быть посвящена
особая книга.
Глава I
ТОЧНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
§ 1. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
1. Сложение дцух целых чисел, не превосходящих 100, а
также вычитание таких чисел делаются всегда устно. Это
правило обычно соблюдается в начальной школе; недопу-
стимо, чтобы о нём забывали в семилетней и средней школе.
Действия выполняются отдельно над десятками и единицами,
но в случаях, когда требуется «переход через десяток», лучше
применять разложение второго данного числа (второго сла-
гаемого или вычитаемого) на удобные слагаемые. Например:
38 + 47 = 38 + (2 + 45) = (38 + 2) + 45 =
= 40 + 45 = 85,
74 — 38 = 74 — (4 + 30 + 4) = (74 — 4) —
_ (30 + 4) = (70 — 30) — 4 = 40 — 4 = 36.
Само собой разумеется, что никакой записи здесь не
должно быть, всё делается в уме. Если учащийся V класса
уверенно складывает и вычитает в уме двузначные числа,
применяя какой-либо другой прием, переучивать его, ко-
нечно, не надо. Но требовать, чтобы он безошибочно, быстро
и сознательно выполнял эту нехитрую операцию, надо всегда.
2. Необходимо добиться, чтобы в надлежащих случаях
учащиеся применяли округление и пользовались бы переме-
стительным и сочетательным свойствами суммы. Например:
28 + 49 = 28 + 50 — 1 = 78 — 1 =77,
74 — 38 = 74 — (40 — 2) = (74 — 40) + 2 =
= 34 + 2 = 36,
7 + 48 4- 13 + 12 = (7 + 13) + (48 + 12) =
= 20 + 60 = 80.
Эти же прёмы должны применяться и в более сложных
вычислениях, нередко делая ненужными письменные выклад-
ки. Например:
85167 + 9997 = 85167 + 10000 — 3 = 95164,
з4 +>+ + 4 + 4 = (з4 + <4 + 4) +
15± = 45 + 15^ = 6оА.
7
Эффектное применение переместительного и сочетатель-
ного свойств имеем при вычислении суммы всех натуральных
чисел от 1 до некоторого числа, например 1000 включительно
(для учащихся, ещё не знакомых с арифметической прогрес-
сией):
х=1+243 ... 4 999 +1000 = (1 + 1000) +
-L (2 + 999) + (3 + 998) +„. + (500 + 501) =
= 1001 + 1001 + 1001 + ... + 1001 = 1001.500 = 500500.
Если число слагаемых нечётно, среднее (или последнее)
слагаемое прибавляется отдельно. Обобщая этот приём, при-
ходим к известной формуле суммы членов арифметической
прогрессии.
3. Когда складываются или вычитаются два многознач-
ных десятичных числа, целых или дробных, результат можно
писать сразу слева направо. Это нетрудно и выгодно.
4. Складывая несколько слагаемых, близких друг другу,
выделяют в каждом из них некоторую постоянную часть.
Например, для вычисления суммы 12 слагаемых:
3,154; 3,148; 3,110; 3,131; 3,142; 3,139;
3,146; 3,128; 3,160; 3,135, 3,120; 3,140
исходят сумму 12 двузначных чисел 0,054 4 0,048 4...-1-0,040,
равную 0,453, и, прибавляя к ней 3,1 . 12 = 37,2, получают
всего 37,653.
Можно также взять 3,14.12 = 37,68 и прибавить сумму
0,014 4 0,008 -'-(- 0,030) 4 (-0,009)4 0.002 4 (-0,001)4
-ь 0,006 4 (- 0,012) 4 0,020 4 (-0,005) 4 (- 0,020) 4 0,000 =
= —0,027; получаем опять 37,653.
5. Складывая и вычитая письменно («в столбик») не-
сколько многозначных чисел, надо очеЬь аккуратно подпи-
сывать их друг под другом (чтобы цифры одного разряда на-
ходились в одном вертикальном столбце). Данные вычитае-
мые удобно заменять разностями с какими-нибудь удобными
уменьшаемыми (как 1, 10, 100 и т. д.). Тогда многозначное
число приходится уже не отнимать, а прибавлять, а вычи-
тается (в уме) только каждое из этих удобных уменьшаемых.
Так, если требуется найти х — 0,2547 + 3,0485 —1,1646, то
заменяем 1,1646 через 10—8,8354 и находим сумму 0,2547 +
+ 3,0485 4 8,8354 = 12,1386, которую остаётся уменьшить на
10 : х — 2,1386. Этот «способ дополнения» постоянно приме-
няется при вычислениях посредством логарифмов, но его ре-
комендуется применять всегда, когда имеются три или более
чисел, из которых некоторые нужно прибавить, другие отнять.
6. Удобнее всего сложение и вычитание производить на
всем известных русских торговых счётах, с успехом конкури-
8
рующих при выполнении этих действий даже с такой несрав-
ненно более сложной и совершенной машиной, как арифмо-
метр распространённой у^нас системы Однера (см. § 6). Счёты
имеются чуть ли не в каждом доме, научиться пользоваться
ими для сложения и вычитания—дело пятнадцати минут.
Непростительно, если учитель математики не культивирует
навыков в работе с ними во всех классах средней школы.
Необходимо иметь в классной комнате, по крайней мере, один
экземпляр счётов, лучше специальных демонстрационных, но
можно и обыкновенных конторских, чтобы прибегать к ним
всегда в случаях, когда встречаемся со сложением и вычи-
танием, трудно выполнимых в уме. Для пропаганды этого
очень нехитрого и столь полезного прибора поьТезно провести
соревнование на скорость и точность вычисления, разделив
класс на две группы и предложив провести одно и то же
вычисление учащимся одной группы на счётах, а другой —
письменно. Оказывается, что при условии предварительной
тренировки работа на счётах выполняется в 3—4 раза бы-
стрее, и ошибки в результатах встречаются гораздо реже.
Особенно рекомендуется использовать счёты при выполнении
вычислений посредством таблицы логарифмов.
7. Выполняя даже такую простую операцию, как сложе-
ние или вычитание, надо всегда производить проверку пра-
вильности результата. Следует принять за правило либо-
применять какой-нибудь особый приём проверки (напрнмёр,
проверять вычитание сложением), либо ту же операцию вы-
полнять вторично, причём обязательно иным способом (чтобы
не повторить незамеченную ошибку). Например, складывая
несколько многозначных чисел письменно, полезно первый
раз складывать цифры каждого разряда сверху вниз, а вто-
рой раз снизу вверх; результат, полученный каким-нибудь
особым приёмом, хорошо получить вторично другим особым
или хотя бы общим приёмом. Пока не сделано проверки,
вычисление нельзя считать законченным.
Упражнения
1. Добейтесь беглости в устном выполнении вычислений следующего'
рода:
75+16 = ; 13 + 54 + 29 = : 95 + 75 — 83 + 49 — 35 = ;
43 — 27= ; 89 4-41—57 = ; 13 + 17 + 21 + 23 + 25 + 27 = .
Всё делается в уме, записывается только окончательный результат
Для контроля каждое вычисление производится двумя различными спо-
собами (например, один раз все числа прибавляюгся и отнимаются после-
довательно по порядку, другой раз сперва берутся только единицы, по-
том десятки), или же результат устного вычисления проверяется на
счётах.
2. Укажите приёмы, быстрее всего дающие результаты в следующих
вычислениях (выполняются устно):
О
1593 + 2998 - ;
3 + 6 + 9 +12+• . . + 297 -г 300 ~
1 2 3 о
82144+7975 -2144= ; 3 + + 7Т + 2Т + 9’8“ = ’
3772+1241 + 759 = ; 31 + 28 4- 31 + 30 -р 31 + 30.+ 31 + 31 +
-1-30 + 3130-1-31 =
3. Применяя способ дополнения, найдёте письменно х — 84158 +
+ 15340 - 64169, у = 1753440 - 304567 — 857123, z = 3,1518 - 1,9876 +
= 2,1998 — 0,1030 — 0,1987.
§ 2. УМНОЖЕНИЕ
1, Сложение н вычитание однозначных и двузначных чисел
производится всегда устно, усгно же (или, по крайней мере,
полуписьменно, т. е. записью одного лишь окончательного
результата) следует производить и их умножение.
При умножении двузначного числа на двузначное
сперва перемножаются единицы обоих сомножителей, потом
берётся сумма произведений единиц первого на десятки вто-
рого и десятков первого на единицы второго, затем произве-
дение десятков обоих, наконец все три частных произведения
складываются. Например, чтобы получить произведение 57.84,
умножаем 7 на 4 и, получив 28, цифру 8 записываем как
цифру единиц искомого числа; далее находим 5.4 + 7.8 — 76
и прибавляем сюда 2 (десятки первого частного произведе-
ния); получив 78, цифру 8 записываем как цифру десятков
искомого числа; наконец, перемножив 5 на 8, прибавляем к
произведению 7 (десятки второго частного произведения) и
найденное число 47 записываем перед уже написанным
числом 88. Полученное четырёхзначное число 4788 и есть
искомое произведение. Если твёрдо держаться этого правила,
не допуская никакой записи при умножении двузначного
числа на двузначное, кроме записи данных и результата,
хороший навык быстро вырабатывается.
Понятно, как упрощается это правило при умножении
двузначного чпсла на однозначное.
2. Во многих частных случаях умножения двузначного
числа на однозначное или двузначное следует использовать
особые приёмы. Вот важнейшие из них:
а) Чтобы умножить двузначное число на 11, надо взять
сумму цифр множимого, записать цифру единиц этой суммы,
справа приписать цифру единиц множимого, а слева цифру
его десятков, увеличивая её на 1, когда сумма цифр множи-
мого больше 9; например, 52 . 11 = 572, 59 . 11= 649. Это
правило вытекает из выкладки:
(10а + Ь) 11 = 110а + 11 b = 100а + 10 (а -]-Ь) + Ь.
б) Чтобы перемножить два двузначных числа, заключён-
ных между 10 и 20, используем формулу
10
(10 + аПЮ + &)= 100 4-10 (а + £) + at,
говорящую, что сумму единиц обоих сомножителей надо уве-
личить в 10 раз, а затем прибавить к результату произведе-
ние единиц и увеличить результат ещё на 100. Так, чтобы
найти 18 . 14, берём последовательно:
8 + 4 =12, 12.10 =- 120, 8.4 = 32, 120 + 32 = 152,
152+ 100 = 252.
о) Чтобы перемножить два двузначных числа, у которых
поровну десятков, а единиц в обоих числах вместе 10, надо
записать произведение этого числа десятков на следующее
за ним натуральное число и приписать справа двузначное
число, представляющее собой произведение единиц сомножи-
телей. Например,
36.34 = 1224, 95.95 = 9025, 71.79 = 5609.
Объяснение правила даётся выкладкой:
(Юл 4- b) (10а — с) = 100а2 -- \0ab - 10 ас + Ьс =
= 100а2 -т- Юа (b с) + Ьс = 100а2 — 10а • 10 — tc —
— 100 а (а-г 1)-'гЬс.
г) При умножении на 37 полезно использовать легко за-
поминаемое произведение 3.37 = 111, из которого получаем
'6.37 = 222, 9.37 = 333 и т. д. до 27.37 = 999. Например,
23.37 = (24 — 1) .37 = 24.37 — 37 = 888 — 37 = 851.
д) Умножение, например, на 31 сводится к умножению на
сумму 30+1. Аналогично умножение на такие числа как
9, 99, 19, 29,... выгодно выполнять как умножение на разность
10 — 1, 100 — 1, 20 — 1, 30 — 1,... Например,
53 . 99 = 5300 — 53 = 5247; 72 . 48 = 72 . (50 — 2) =
= 72.50 — 72.2 = 3600—144 = 3456 (способ «округле-
ния»).
<?) Умножение на 5 выгодно заменять умножением на 10
с последующим делением пополам, умножение на 25 — умно-
жением на 100 с последующим делением на 4, умножение
на 15 — умножением на 30 с последующим делением пополам
и т. д. Например,
86.5 = 860 : 2 = 430; 86.25 = 8600 : 4 = 2150;
86 . 15 = 86.30 : 2 = 2580 : 2 = 1290.
ж) В некоторых случаях полезно применять простейшие
алгебраические формулы сокращённого умножения. Так, умно-
жение 72.68 можно выполнить как умножение суммы чисел
70 + 2 на их же разность 70 — 2, что даст 702 — 22 = 4896;
вычисление 712 можно выполнить по формуле квадрата суммы
(70 + I)2 = 4900 + 2.70.1 + 1= 5041; вычисление 692 — по
формуле квадрата разности (70—1)2 = 4900 — 2 . 70 +1 =
= 4761.
II
3. Требуя всегда устного выполнения умножения однознач-
ных и двузначных чисел, мы иногда с выгодой используем
рассмотренные приёмы и для умножения многозначных чисел.
Вот несколько примеров, где либо всё вычисление проводится
устно, либо частично письменно:
85637 . 25 = 8563700 : 4 = 2140925;
85637 . 125 = 85637000 : 8 = 10704625;
о 1
85637 . 16 у = 8563700 : 6 = 1427283^-;
85637 . 99 = 8563700 - 85637 - 8478063.
9992 . 9998 = 99900016 (см. правило в);
8,3252 = 69,305625 (здесь находим письменно
8,32. 8,33 = 69,3056);
3096 . 3104 = 31002 — 42 = 9610000 — 16 - - 9609984.
4. Нередко уже простое изменение порядка выполнения
умножения, т. е. использование переместительного и сочета-
тельного свойств произведения, существенно упрощает ра-
зыскание произведения нескольких чисел. Например,
125 . 3579 . 16 = 125 . 16 . 3579 = 2000.3579 = 7158000;
5-J . 647 . 653 . 40 = (5 . 40) . (647 . 653) =
= 230 . (6502 - З2) = 230.422491 = 97172930.
5. Отметим один любопытный случай умножения, часто
используемый при проверке исправности арифмометра:
12345679 . 9-- 111111111.
Здесь множимое изображается всеми цифрами, за исклю-
чением 0 и 8, записанными в последовательном порядке.
Легко сообразить, что получится от умножения того же
восьмизначного числа на 18, 27, 36,..., 81.
6. Относительно письменного умножения многозначных
чисел отметим, во-первых, необходимость самого аккуратного
подписывания друг под другом частных произведений (чтобы
цифры одинаковых разрядов оказывались всегда в одном
вертикальном столбце) и, во-вторых, удобство выбора в ка-
честве множителя того из двух данных чисел, в котором мень-
ше различных цифр; так, умножая 3,73 на 85,46, надо ум-
ножать второй сомножитель на все цифры первого, а не
наоборот.
7. Особого упоминания заслуживает следующий приём,
вовсе устраняющий умножение на 6, 7, 8, 9 и широко исполь-
зуемый при работе с арифмометром. Заменяя каждое из
этих четырёх чисел разностью 10—4, 10—3, 10—2, 10—1,
12
Вот пример такого примене-
которые удобно записать в виде сумм, обозначая отрицатель-
ные числа знаком минус сверху, 10-4-4, 10-J-3, 10 4-2,
10 4-1, мы можем любое натуральное число записать, не
употребляя цифр 6, 7, 8, 9. Делая это с множителем, мы бу-
дем иметь частные произведения как обыкновенные положи-
тельные, так и отрицательные.
ния «отрицательных» цифр:
82467
х 2984
329868
659736
744203
164934
246081528
82467
Х 3024
329868
164934
247401
246081528
При обычном письменном вычислении этот приём вряд ли
принесёт заметную пользу, но при работе с арифмометром,
часто имеющем специальные красные (отрицательные) цифры,
получается большой выигрыш в числе оборотов рукоятки;
так в рассмотренном примере обычная запись множителя
требует 24-9 4-8-}-4 = 23 оборота, применение же отрица-
тельных цифр сокращает это число до 3 4- 2 4- 4 = 9, в том
числе 3 4-4 = 7 в одну сторону и 2 в обратную.
8. При выполнении умножения большую пользу приносит
применение специальных таблиц. Если какое-нибудь число
много раз является сомножителем, выгодно составить ма-
ленькую табличку произведений этого числа на все однознач-
ные числа. Вот пример.
Положим надо рассчитать зарплату 12 рабочих по ставке
3 руб. 87 коп. за день, если первый проработал 23 дня, вто-
рой 17 дней, третий 31 день и т. д. Нужно сделать 12 раз
умножение 3 руб. 87 к. = 387 коп. на числа дней. Составим
предварительно следующую маленькую табличку: _
Дни Плата в коп. Дни Плата в коп.
1 ь.387 6 2322
О 0774 7 2709
3 1161 8 3096
4 1548 9 348.3
5 1935 1.) 3870
Эту табличку легче всего составить последовательным
сложением: 387 4- 387 = 774, 387 4- 774 = 1161, 387 4~ 1161 =
13
= 1548 и т. д., обязательно доводя вычисление до получения
десятикратного значения исходной величины,так как получе-
ние числа, действительно в 10 раз превосходящего 387, даёт
проверку правильности всей таблички. Для получения после-
довательных сумм нет надобности писать слагаемые ещё раз
где-то на стороне: можно либо складывать 387 с каждым из
последующих чисел таблицы через промежуточные числа,,
либо написать 387 на нижнем краю бумажной плоскости и
прикладывать его к каждому вновь полученному числу сверху.
Желательно, чтобы все произведения в такой маленькой
табличке имели цифр поровну; слева, когда надо, приписы-
ваем нули. Это уменьшает шансы ошибки при записи после-
довательных частных произведений, а также при применении
счётов, о чём будет сказано дальше.
Имея табличку произведений, мы располагаем готовыми
частными произведениями для умножения числа 387 на лю-
бое число. Всякое умножение сведётся теперь только к записи
нужных частных произведений, взятых из таблички, и к сло-
жению их. Например,
387 . 23 387 . 17 387 . 31
1161 2709 0387
0774 0387 1161
8901 6579 ‘ 11997
и т. д.
Если под руками имеются торговые счёты, то процесс ум-
ножения, при наличии таблички произведений, механизируется
почти полностью: каждое частное произведение берётся из
таблички и кладётся на счётах, записывается же только окон-
чательный результат (и притом сразу в соответствующей
графе платёжной ведомости)1. Выполнив все умножения,
необходимо, в целях проверки, найти сумму полученных
произведений и сумму всех чисел дней (опять на счётах!),
и проверить соответствие этих двух сумм (ещё одно умно-
жение посредством таблички).
Убедившись в выгоде применения табличек произведений,
естественно поставить вопрос: нельзя ли составить раз на-
всегда таблички произведений всех чисел (до некоторого,
конечно, предела) и пользоваться ими при всяком умноже-
нии? Подобные собрания табличек произведений действи-
тельно составлены р напечатаны. Из этого рода изданий от-
метим весьма распространённые и удобные «Таблицы умно-
жения», составленные инженером О’Рурком и изданные
1 Чтобы не сбиться при откладывании на счётах последовательных
частных произведений, полезно передвигать вдоль длинной стороны
рамки счётов какой-нибудь маленький предмет (например, пуговицу),
отмечая, таким образом, ту проволоку, на которой положена последняя:
(или, лучше, первая) цифра каждого частного произведения.
14
Государственным Техническим издательством. Они дают го-
товые произведения всех трёхзначных чисел на все двузнач-
ные; их применение заметно сокращает работу умножения
любых многозначных чисел. Научиться пользоваться табли-
цами, имея их в руках, совсем легко.
9. Еще большую пользу при выполнении умножения при-
носит применение различных счётных приборов и машин.
Откладывая до § 6 рассмотрение арифмометра, скажем здесь-
о палочках Непера. Это небольшой и очень простой прибор,
который совсем легко устроить самому. Палочки Непера дают
произведения любого многозначного числа (в некоторых гра-
ницах, определяемых числом палочек) на любое однозначное,
и заменяют, таким образом, обширную таблицу произведе-
ний. Чтобы их устроить, надо взять кусок плотной бумаги
или тонкого картона п расчертить его так, как показано на
чертеже 1.
Разрезав этот чертёж на полоски по вертикальным пря-
мым линиям, мы и получаем палочки Непера. Следует сде-
лать по крайней мере иетыре десятка таких полосок, начер-
тив четыре таких фигуры, причём две из них можно поместить
на оборотной стороне двух других. Всего у нас тогда будет
20 двусторонних полосок.
Каждая палочка Непера представляет собой табличку
произведений одного из чисел 0, 1, 2,..., 9 на числа от 1 до 9,
причём в каждом произведении цифра десятков отделена от
цифры единиц наклонно^ чертой.
К
ч
Черт. 1
5. в
1Г9
Черт. 2
з?Ж
Л
6
Г О рб
з
0.

Чтобы получить произведения какого-нибудь данного
числа, например числа 13248, на все однозначные числа,
возьмём палочки, имеющие в заголовках цифры 1, 3, 2, 4, 8.
и уложим их рядом (черт. 2). Складывая цифры смежных
палочек, оказавшиеся м^жду двумя смежными наклонными1
линиями, получаем, идя сверху вниз, следующие произведе-
ния данного числа 13248:
на 1 .............13248
-------------------„ 2 . . . • • . . 26496
„ 3 ............ 39744
„ 4 ............ 52992
„ 5 ............ 66240
„ 6 ............ 79488
„ 1..............УПУо
„8 ............. 105984
„ 9 . . • .... 119232
Черт. 3
Легко понять, что сложение цифр,
оказавшихся между смежными на-
клонными линиями, есть не что иное,
как перенос десятков, получающихся
от умножения цифры какого-нибудь
разряда, в следующий высший разряд.
Чтобы умножить одно многознач-
ное число на другое, принимают за
множимое то число, в котором боль-
ше значащих цифр, и составляют при
помощи палочек табличку произведе-
ний этого числа на 1, 2, 3 и т. д. до 9.
Записывать эту табличку полностью,
конечно, нет надобности: уложив над-
лежащим образом палочки, берут
с них произведения множимого на
последовательные цифры множителя
и подписывают их друг под другом,
как частные произведения. Остаётся
только сложить эти частные произве-
дения.
Очень удобно объединение отдель-
ных палочек Непера в виде неболь-
шой книжки, изображённое на чер-
теже 3. Десять полосок, образующих
один комплект палочек Непера, поло-
жены друг на друга и прикреплены
своими нижними концами к нижнему
краю переплёта. Другой конец каж-
дой полоски выступает из-под следу-
ющей верхней и имеет цифру, пока-
зывающую, произведение какого числа
помещено на этой полоске. Сверху вся
стопка покрыта белой полоской, не
закрывающей выступающих концов. Отогнув эту полоску, мы
увидим полоску с прри$ве/гс?п»ям11.цуд^^ДОгнув эту послед-
нюю, увидим полоскм с‘гтрбйЗйеденЛйми^единицы; ниже идут
16 G4G&L 1 и.. — .**,
• <>
полоски с произведениями 2, 3, 4 и т. д. до 9. Прибор имеет
десять одинаковых стопок полосок и позволяет получать
произведения любого многозначного числа, имеющего не
более 10 цифр. На фиг. 3 прибор изображён в том положе-
нии, в каком он даёт произведения числа 314159.
Пользуясь одновременно палочками Непера и счётами,
мы почти полностью механизируем действие умножения
многозначных чисел.
10. Как и при сложении и вычитании, при выполнении
умножения необходима проверка. Получив произведение ка-
ким бы то ни было способом, надо найти его ещё раз каким-
либо иным способом и убедиться, что оба раза получается
одно и то же. Так, например, выполнив умножение двух
многозначных чисел обычным письменным способом, следует
поискать какой-либо особый приём, или выполнить то же
действие письменно ещё раз, поменяв местами множимое и
множитель.
। Упражнения
1. Найдите устно следующие произведения, применяя каждый раз
сперва общин способ, потом какой-нибудь подходящий особый приём.:
69.11; 63.67; 28.37; 46.25; 52.15; 53.47; 582; 812.
2. Укажите приёмы, быстрее всего дающие результаты в следующих
случаях (при минимуме записи*);
37 . 168 . 27 . 125; 12345679 . 73.
3. Найдите произведение 341907 па 6789 сперва обычным способом,
потом, устранив умножение на 6, 7, 8, 9, посредством введения отрица-
тельных цифр (во множителе).
4. Составьте таблицу произведений числа 3,1416 на все однозначные
числа и используйте её для получения произведений этого числа на
числа 82,34 и 207,48.
5. Приготовьте палочки Непера и научитесь находить посредством
них произведения многозначных чисел на однозначные. Произведения
берите с палочек сперва справа налево, но потом научитесь читать их
сразу слева направо.
6. Пользуясь одновременно палочками Непера и счётами, выполните
несколько умножений многозначных чисел, заметив потребное для этого
время, а затем проделайте те же вычисления обычным письменным
способом без применения приборов, тоже заметив время. Данные возь-
мите не менее чем с 4 цифрами каждое.
7. Замечая, что 7.11.13=1001, используйте это для устного вы-
числения произведений 77.26; 154.65; 91.88 и т. д.
§ 3 ДЕЛЕНИЕ
1. Деление любого числа на однозвавне^^^^^^лб»^'^
устно; для этого достаточно знать обынную
ния и уметь в уме отнимать двузначные МН'
гозначного числа на двузначное
труднее: приходится держать в уме Й
и четырёхзначные числа. ewlio
е
а
17
2 В. .М. Брадис
Паоле
ПОД-МОД' : .'КТО
иисд у т а
'. (7
однозначное число никогда не сопровождалось никакой за-
писью (кроме данных и результата), при делении на дву-
значное число этого можно требовать только при удобных
делителях таких, как, например, 11, 12, 15, 21, 25, 31 и т. д.
Устное деление выполняется в таких случаях по тому же
правилу, как и письменное; например, чтобы разделить
897508 на 12 делим сперва 89; записав 7 как первую цифру
частного, берём остаток 89—7 . 12 = 5, сносим к нему
(мысленно) третью цифру делимого 7 и делим далее 57
и т. д., пока не придём к частному 74792 и остатку 4 (если
ограничиваемся делением до целых).
2. Отметим следующие особые приёмы устного деления.
а) Деление на 5 рекомендуется выполнять как деление
удвоенного числа на 10: умножив в уме данное число на 2,
отделяют запятой последнюю его цифру. Например,
8572 : 5 = 1714,4.
Аналогично деление на 1-у, 15, 35 и т. д. следует выпол-
нять, как деление удвоенного числа на 3, 30, 70 и т. д.
б) Замечая, что 25 =100:4, 125 =1000:8, заключаем,
что для деления на 25 и на 125 выгодно учетверённое и
соответственно увосьмерённое число делить на 100 и на 1000.
Деление на 16-‘-сводится к делению на 100 ушестерённого
числа, деление на 33-4--к делению на 100 утроенного числа
и т. д.
в) Нередко деление существенно упрощается, если при-
нять во внимание разложение делимого и делителя на мно-
жители и произвести их уменьшение в одинаковое число раз;
например,
2639 : 65 = (203 . 13) . (5 . 13) = 203 : 5 = 406 : 10 =40,6
(все делается в уме). Конечно, если при делении натураль-
ных чисел требуется указать неполное целое частное и оста-
ток, то необходимо помнить, что уменьшение (или увеличе-
ние) делимого и делителя в одно и то же число раз, остав-
ляя неизменным частное, уменьшает (или увеличивает) в та-
кое же число раз и остаток: если а — bq 4- г, то а : с —
= (b :c)-q + (г: с), са — (bc)-q + гс. Заменяя деление 2639 на
65 делением 203 на 5, мы получаем сразу неполное част-
ное 40, а остаток 3 надо еще увеличить в 13 раз, что даст 39.
г) При совместном выполнении нескольких умножений и
делений никогда не следует упускать из виду возможных
.. ' 854 • 78
предварительных упрощении. Так, вычисляя —2,_—?
следует использовать то обстоятельство, что 854 = 427. 2 и най-
ти результат без записей (х = 2.78.4 : 100 = 1,56. 4 - 6,24).
18
3. Относительно письменного деления многозначных чисел
отметим прежде всего, что, как и при других действиях,
неаккуратная запись часто бывает источником ошибок:
цифры частных произведений и остатков должны записы-
ваться на надлежащих местах (правильными вертикальными
столбцами). Отмечать последовательно сносимые цифры де-
лимого запятыми не следует (такую запятую легко смешать
со знаком дробности), лучше ставить какие-нибудь значки
сверху (например, 465'3'2'1'7).
4. При делении многозначных чисел приходится выпол-
нять ряд умножений (последовательно находимых цифр
частного на делитель) и вычитаний (частных произведений
и остатков); здесь часто применимы приёмы, упрощающие
выполнение этих операций. Например, при делении на 988
частные произведения находим в виде разностей (998 . I =
= 1000 — 2, 998.2 = 2000 — 4, 998.3 =3000 — 6 и т. д.),
прибавляя к каждому остатку вычитаемое и отнимая умень-
шаемое. Если приходится делить на одно и то же число
несколько раз, выгодно составить табличку произведений
этого числа на все однозначные, доводя её для проверки до
произведения на 10. При делении на любое двузначное и
любое трёхзначное число существенную помощь оказывают
«Таблицы умножения» О’Рурка, уже упоминавшиеся на
стр. 14, как и любой другой сборник таблиц произведений.
Соединение таблицы произведений и торговых счётов меха-
низирует деление почти полностью: делимое «кладётся» на
счётах и от него последовательно отнимаются частные произ-
ведения, находимые по таблице; надо при этом, однако, очерь
внимательно следить за разрядами, в какие кладутся эти ча-
стные произведения.
5. Палочки Непера, которыми так выгодно пользоваться
при умножении многозначных чисел, оказывают не менее
серьёзную помощь и при делении. На палочках выклады-
вается делитель, и мы имеем готовые произведения всех чи-
сел первого десятка на этот делитель. При делении, напри-
мер, на число 13248 надо уложить палочки так, как показы-
вает фиг. 2. Особенно выгодным оказывается соединение
палочек Непера со счётами.
6. Деление чисел является действием, заметно более
трудным, чем первые три, и ошибки при его выполнении
допускаются особенно часто. Поэтому особенно важно не за-
бывать о необходимости провеоки; лучше всего проверка
деления делается умножением (частное умножается на де-
литель, к произведению прибавляется остаток, сумма должна
быть равной делимому); возможна также проверка делением
же, но выполненным каким-либо другим способом.
2* 19
Упражнения
1. Найдите устно целые частные н остатки в следующих случаях
деления:
111456:7; 12345679:9; 792451:11; 2618407:21.
2. Укажите простейшие способы получения следующих результатов,
отыскивая полные частные:
1
32604 : 5; 46630 : 35; 86007 : 25; 1021 : 125; 465 : 33 -у
3. Найдите кратчайшим путём целые частные и остатки:
847657:40; 54165:99; 77035:14; 3366:77.
4. Вычислить, применяя предварительное упрощение,
985 • 37 . 512 • 243 • 197 . 3,14 • 400
х = 185 ’ у = 81 • 256 ’ z = 157 • 25 •
5. Составьте табличку произведений числа 73 на все однозначные
и, пользуясь ею, найдите периоды, получающиеся при обращении в де-
сятичные следующих дробей:
1.2.3
73 ’ 73 ’ 73' и т‘ д’
6. Возьмите табличку произведений числа 3,1416, составленную
в порядке выполнения упражнения 4 § 2, и используйте её для полу-
чения первых 5 цифр частного 1:3,1416.
7. Пользуясь одновременно палочками Непера и счётами, выполните
несколько делений многозначных чисел, применяя проверку обычным
письменным делением, и заметьте время, которое потребуется для вы-
полнения каждого вычисления.
8. Замечая, что 1001=7.11.13, найдите частное от последователь-
ного деления числа 863863 на 7, 11, 13. Обобщите результат, учитывая,
что вместо этого числа можно взять любое другое шестизначное, по-
лучающееся от двукратной записи одного и того же трёхзначного.
9. Составьте и решите аналогичную задачу, основанную на разло-
жении числа 10101=3.7.13.37.
§ 4. ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ
1. Тот случай умножения двух чисел, когда число а умно-
жается само на себя, встречается в вычислительной практике
столь часто, что получил, как известно, особое название
(«возведение во вторую степень» или «возведение в квадрат»)
и особое сокращенное обозначение Как облегчить вы-
полнение этого действия? Как облегчить выполнение возве-
дения в третью степень (в куб), в любую высшую степень?
Само собой разумеется, что все способы, облегчающие вы-
полнение умножения, применимы и при возведении в сте-
пень; это относится к особым приёмам устного и письменного
умножения, к применению таблиц произведений, к палочкам
Неиера (см. § 2). Но существуют и специальные способы.
2. Мы уже видели, как легко выполняется умножение двух
натуральных чисел, имеющих поровну десятков и в обоих
вместе 10 единиц. Возведение в квадрат любого натурального
числа, оканчивающегося цифрой 5, существенно облегчается,
20
если применять это правило: оно позволяет сразу сказать,
что, например, 752 = 5625, 9952 = 990025, 1552 = 24025
(умножения 7 . 8 = 56, 99 . 100 = 9900, 15 . 16 = 240
легко выполняются в уме). Если умножение а на а + 1
трудно сделать в уме, его делают обычным письменным спо-
собом, и всё же применение рассматриваемого правила дает
существенный выигрыш. Выполним, например, вычисление
84252 двумя способами — без применения этого правила и с
его применением.
8425 842
х8425 х843
42125 2526
16850 3368
33700 6736
67400 709806
70980625 т. е. 84252 = 70980625.
Как показывает подсчет, при втором способе вычисления
пришлось записать 26 цифр, при первом же 36, т. е. на 34%
больше.
3. Другой приём возведения в квадрат, который стоит
заметить, состоит в непосредственном применении формулы
квадрата суммы или разности. Им выгодно пользоваться
всегда, когда известен квадрат числа, близкого к данному.
Например,
5022 = (500 + 2)2 = 5002 + 2.500.2 + 22 =
= 250 000 + 2000 + 4 = 252004;
1999г = (2000 - I)2 = 20002 —2.2000. 1 + I2 =
= 4000000 - 4000+1=3996001; '
8512 = (850 + I)2 = 8502 + 2.850.1 + I2 =
= 722500 + 1700 + 1 = 724201.
4. Полезно заметить, что (а + I)2 = а2 + 2а + 1 = fl2 "Г
4- [л -- (а 4- 1)]; таким образом, чтобы получить (a-f-l)2,
надо к а2 прибавить сумму обоих чисел а и а+1. Это
наблюдение очень упрощает дело составления таблицы квад-
ратов натуральных чисел; дело сводится к одним лишь сло-
жениям, причём прибавляемые числа, представляющие собой
разности последовательных квадратов, являются последова-
тельными нечётными числами: 1+2=3, 2 + 3 = 5,
3 + 4 = 7 и т. д. Если работать вдвоём (один выполняет на
счётах требуемые сложения, другой записывает получаемые
результаты), то составление приводимой ниже таблички
квадратов натуральных чисел от 1 до 109 потребует всего
лишь нескольких минут. С целью проверки рекомендуется
сначала заполнить столбец с заголовком 0, а затем последо-
вательным сложением получить числа каждой строки, доводя
21
вычисление до первого числа следующей строки и убеждаясь,
что получается уже записанное число.
0 1 1 1 2 1 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81
10 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
20 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
30 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
40 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401
50 25001 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
60 3600 3/21 3841 3969 4096 4225, 4356 4489 4624 4761
70 4900 5041 5184 5329 5476 56251 5776 5929 6084 6241
80 6400 6561 6724 6889 7056 7225! 7396 7569 7744 7921
90 8100 8281 8464 8649 8836 9025; 9216 94091 9604 9801
100 10000 10201 10404 10609 10816 11025! 11236| 11449, 11664 11881
Существуют таблицы квадратов натуральных чисел, иду-
щие значительно дальше. Например, в выпущенной Гостех-
издатом в 1933 г. книге «Таблицы Барлоу» имеются точные
квадраты всех натуральных чисел от 1 до 100U0.
5. Лишь немногим более сложным оказывается составле-
ние таблицы кубов последовательных натуральных чисел.
Возьмём кубы чисел первого десятка, найдём их последова-
тельные разности («разности I порядка»), а затем разности
этих разностей («разности II порядка»).
Числа 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Кубы чисел 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000
Разности I порядка 1 7 19 37 61 91 127 169 217 271
Разности 11 порядка 6 12 18 24 30 36 42 48 54
Замечаем, что разности II порядка образуют здесь ариф-
метическую прогрессию, которую очень легко продолжить
как угодно далеко, применяя только прибавление 6. Следова-
тельно, столь же легко продолжить и ряд разностей I порядка
(надо прибавлять последовательно разности II порядка), а
после этого и ряд кубов (надо прибавлять последовательно
разности I порядка). Так, взяв 54 + 6 = 60, 271+60 = 331,
1000 + 331 = 1331, утверждаем, что 113 = 1331; точно так же
имеем: 60 + 6 = 66, 331 + 66 = 397, 1331 + 397 = 1728 = 123
и т. д. Если один вычислитель ведёт сложения, получая раз-
ности II порядка в уме, а I порядка и кубы на счётах (лучше
иметь два экземпляра счётов’), другой записывает указы-
22
саемые первым числа, то составление таблицы кубов идёт
очень быстро. Доходя до кубов таких чисел как 20, 30, 40
и т. д., имеем контроль правильности всего вычисления. Его
обоснование дают формулы:
(а 4- 1 )3 = а3 А (л), А (а) = Заг + За ф- 1,
А (а + 1) - А (а) 4- А2 (а), А2 (а) _ 6а~6,
где
А(н) = (а- I)3- а\ Д'-(а)- А (а 4- 1) — А (а).
Уже упомянутые «Таблицы Барлоу» содержат кубы на-
туральных чисел до 10000.
6. При возведении числа в более высокую степень нет
надобности находить все его степени с низшими показате-
лями. Так, чтобы найти а10, надо взять а2; тогда а4 =
— (а2)2; а8 = (а4)2; а10 = а8. о2, или же а3 и тогда (а3)3 = а9;
а10 — ад. а, используя таблицу квадратов или, лучше, ку-
бов. Чтобы найти ’261, берём последовательно
2’ = 8; 29 = 83 = 512; 227 = 5123 = 134217728;
2>4— (22 ) 2 = 18014398509481984;
2'° = 29 . 2 — 1024;
264 —234 . 2|0 = 18446744073709551616.
Отметим, что в «Таблицах Барлоу» содержится, между
прочим, таблица степеней до Ю-й включительно для всех
натуральных чисел первой сотни, а потому значение 231 =
= (26)9 — 649 можно взять прямо из таблицы. Для проверки
найденного выше значения 264 можно взять:
260 — (26)10 --6410 = 1152921504606846976; а затем
261 =_ 2ю 2’ = 26с. 16.
Следует заметить, что действие возведения в степень тре-
бует при сколько-нибудь значительных показателях большой
вычислительной работы, если ограничиваться рамками школь-
ной арифметики. Его обычно предпочитают выполнять с
помощью логарифмов.
Упражнения
1. Найдите в уме 125’; 99995’; 89’; 91’; 299’; 602’.
2. Продолжите таблицу квадратов, помещенную на стр. 29, до 120’,
применяя только сложение.
3. Составьте таблицу кубов натуральных чисел от 1 до 109, поль-
зуясь только сложением. Таблицу расположите в «два входа» (по об-
разцу таблицы квадратов на стр. 29).
4. Укажите кратчайший путь для вычисления а1000, предполагая, что
имеется достаточно полная таблица квадратов или кубов.
§ 5. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ
Пусть дано произвольное натуральное число а. Как изве-
стно, если ограничиваться точностью до 1, что мы и будем
делать, то извлечь из него корень степени п, где п нату-
23
ральное число большее 1, значит найти такое натуральное
число х, п-ая степень которого не больше а, а л-ая степенз
числа х 4- 1 уже больше а. Так, корень пятой степени ич
10 000 равен 6, так как
65 = 6s • 62 = 216 • 36 = 7776< 10000,
7s = 7s • 7s = 343 • 49 = 16807.
Корень любой степени л из любого числа а можно найти
систематическими пробами: сперва берём л-ые степени
чисел 1, 10, 100, 1000........потом постепенно сужаем
з__
интервал. Так, чтобы найти х — Vа, где а = 876543210, бе-
рём: Is = 1, 10s - 1000, 100s - 1000000, 1000s = 1000000000 и
замечаем, что искомый корень находится в интервале между
100 и 1000 (получилась, как говорят артиллеристы, „вилка").
Дальше „уполовинивае.м" эту вилку, испытав число 500(500’ =
— 125 • 10ь < а), и убеждаемся, что х в интервале между
500 и 1000. Затем проводим последовательно испытания:
800s - 512 • 10е, 900’ = 729 • 10G, 950s = 857 375 000, 960’ =
= 884 736 000, 9553 = 870 983 875 , 957s = 876 467 493, 958J =
= 879 217 912 и устанавливаем, что х — 957.
Как видим, эта операция, не представляя по существу
ничего особенно трудного, отнимает много времени. Её можно
упростить, применяя таблицы степеней, а также не производя
вычислений полностью (можно ограничиться получением
лишь немногих первых цифр каждой степени, т. е. проводя
вычисление степеней приближённо).
Еще большие упрощения даёт применение логарифмов.
Извлечение квадратного корня, встречающееся на прак-
тике особенно часто, выполняется либо посредством таблицы
квадратов или специальной таблицы квадратных корней, либо
с помощью особого правила, изучаемого в VIII классе сред-
ней школы. Как показывает опыт, учащиеся средней школы
обычно удовлетворительно владеют техникой применения
этого правила, но не знают его объяснения, не понимают,
почему это правило даёт правильный результат. Поэтому не
будет излишним, если мы выведем это правило, основываясь
на некоторых простых и наглядных геометрических сообра-
жениях.
Пусть имеется, например, 5793 квадратика, каждый со
стороной в 1 мм, и нужно уложить их в виде одного боль-
шого квадрата. Замечая, что 5793 кв. мм - 57 кв. см
93 кв.мм, уложим сначала в виде одного большого квадрата
57 кв см. (черт. 4). Взяв 72 = 49, убеждаемся, что получится
большой квадрат со стороной в 7 см, заключающий 49 кв. см,
и 57 — 49 — 8 кв. см останутся неуложенными. Раздробляя
этот первый остаток в кв. мм и присоединяя те 93 кв. мм,
21
которые у нас вовсе не были пока взяты, получаем всего
800 -J- 93 = 893 кв. мм, которые надо добавить к уже уло-
женным. Это добавление к квадрату со стороной в 7 см
будем производить, наращивая справа и снизу по полоске
в 1 мм шириной. На одну такую двойную полоску пойдёт
всего 2.7. 10= 140 кв. мм, имея же 893 кв. мм, мы можем
уложить 6 таких двойных полосок (частное от деления 893
на 140) и 893— 140.6 = 893 — 840 = 53 кв. мм останутся
неуложенными. Однако мы построили не квадрат, а непра-
шийся незаполненным справа внизу. На него пойдёт ещё
6.6 = 36 кв. мм. Теперь мы получили большой квадрат со
стороной в 76 мм, и неуложенными остались 53 — 36 =
= 17 кв. мм. Ясно, что увеличить построенный квадрат уже
нельзя: пришлось бы добавить ещё 2.7.10 + 1 = 141 кв.мм,
а у нас в остатке имеется лишь 17 кв. мм.
Для получения числа добавляемых двойных полосок мы
брали первый остаток (8 кв. см), раздробляли его в кв. мм
(8.100 = 800), прибавляли 93 (число кв. мм, нехвошедших
в кв. см) и полученную сумму 893 делили на 140 = 2.7. 10.
Тот же результат (6) получится, если мы возьмём первый
остаток (8), припишем к нему справа две последние цифры
данного числа 5793, в полученном числе 893 отделим справа
одну цифру, т. е. уменьшим его в 10 раз, и это новое число
25
89 будем делить уже не на 140, а только на 14 = 2.7. Это
даст в частном 6.
Вычисление окончательного остатка (17 кв. мм) мы вы-
полнили в два приёма: сперва от остатка 893 отняли
140.6 = 840 квадратиков, образующих 6 добавленных двой-
ных полосок, затем от нового остатка 893 — 840 — 53 отняли
6? = 36 квадратиков, заполняющих угловой квадрат. Всего,
таким образом, отнято 140 . 6 + 62 или (140 + 6) . 6 или
146 . 6 =— 876 квадратиков. Это число получается по про-
стому правилу: надо взять удвоенное число сантиметров
в стороне первого построенного квадрата, т. е. 2.7 = 14,
приписать к нему справа найденную цифру 6, выражающую
число добавляемых двойных полосок, и полученное число 146
умножить на его же последнюю цифру (6). Остаётся из
893 отнять это произведение 876, и окончательный остаток
(17) будет получен.
Хорошо разобравшись в рассмотренном примере, чита-
тель увидит теперь, в чём смысл каждого шага, который
приходится делать при извлечении квадратного корня из лю-
бого трёх или четырёхзначного числа обычным способом
(когда разбивают подкоренное число на грани по две цифры,
извлекают корень из первой слева грани, содержащей одну
пли две цифры, и т. д.). С надлежащими вполне понятными
изменениями это же объяснение сохраняет силу и при из-
влечении квадратного корня из числа с любым числом цифр.
Заметим, что при извлечении квадратного корня из наи-
большего точного квадрата, заключающегося в данном числе
ч. остаток г всегда бывает не больше удвоенного корня.
Действительно, обозначив корень буквой Ь, имеем b- -I- г — а,
(Ь - I)2 - Ь- 4- 2b + 1 >п. bz г r<bz — 2b-'- 1, r<2ft+l,
г 2b. Появление остатка, большего, чем удвоенный корень,
указывает на ошибку. Равняться же удвоенному корню
остаток может; например, извлекая квадратный корень из 168,
получаем число 12 с остатком 24 (122 = 144, 132 = 169).
Упражнения
J ___________________ т___________
1. Найдите систематическими пробами > 194104539; у 52523350144.
2. Найдите гЛ2295 с полным объяснением каждого шага, основываясь
на геометрическом истолковании задачи.
3. Тот же вопрос для у 338724-
4. Вычислите уг300763. пользуясь следующим геометрическим истол-
кованием задачи: найти ребро куба, вмещающего 300763 куб. мм.
§ 6. АРИФМОМЕТР
Торговые счёты частично механизируют труд выполнения
действий сложения и вычитания, палочки Непера — умноже-
ния и деления. Механизация всех четырёх действий в го-
26
раздо более полной форме осуществляется посредством бо-
лее сложных счётных машин —арифмометров. Из большого
числа арифмометров различных систем, употребляющихся в
настоящее время в вычислительной практике, рассмотрим
только арифмометр системы Однера, как единственный,
имеющий широкое распространение у нас в СССР и изготов-
ляемый па наших заводах. Работа на арифмометрах этой
системы очень проста; научиться выполнять четыре основных
арифметических действия можно в каких-нибудь 15—20 ми-
нут. Скорость, с которой арифмометр выполняет вычисления,
раз в 10—12 превосходит скорость обычного вычисления на
бумаге: вычисление, требующее без применения арифмо-
метра целого часа работы, с его помощью выполняется в
5—6 минут, притом с несравненно меньшими шансами сде-
лать ошибку.
На черт. 5 изображён арифмометр «Феликс», выпускае-
мый Московским государственным заводом счётных машин
имени Дзержинского. Верхнюю часть машины составляет
Черт. 5
установочный механизм. На рисунке видны концы
девяти спиц, принадлежащих установочному механизму и
способных перемещаться вдоль девяти прорезов. На левом
краю каждого прореза имеются цифры от 0 до 9 (идут
сверху вниз). Двигая (рукой) спицы, мы можем установить
посредством их любое девятизначное число, целое или
дробное десятичное (знаком дробности служит металли-
ческая «запятая», которую можно устанавливать между верх-
ними концами любых двух соседних прорезов). Направо от
установочного механизма имеется рукоятка с ручкой. Чтобы
повернуть рукоятку, надо сперва оттянуть ручку немного
вправо, сделать далее требуемое число полных оборотов, а
затем обязательно привести рукоятку в то «нормальное» по-
ложение, какое показано на рисунке. Ниже установочного
27
механизма и спереди его находится каретка, снабженная
двумя рядами окошек: справа мы видим 13 окошек, которые
будем называть ответными окошками (в них появляются ре-
зультаты действий сложения, вычитания, умножения), а
слева—8 окошек счётчика оборотов, которые будем называть
счётными окошками. На левом и правом концах каретки
видны две ласточки, вращение которых заменяет нулями
(«гасит») те цифры, какие появляются в счётных и ответных
окошках. По планке под окошками скользят металлические
запятые (знаки дробности), а ниже планки находится при-
способление (транспортёр), позволяющее передвигать ка-
ретку либо на величину одного только интервала между со-
седними прорезами установочного механизма, либо на
несколько таких интервалов сразу.
Прежде чем вращать рукоятку, надо всегда убедиться,
приведены ли обе ласточки каретки в горизонтальное поло-
жение (достигая этого положения, ласточка щелкает) и на-
ходится ли средняя планка транспортёра против промежутка
между двумя зубцами расположённой ниже гребенки (транс-
портёр тоже должен щёлкнуть). Если хотя бы одно из этих
условий не соблюдено, рукоятка вращаться не будет, а по-
пытка всё же повернуть её немедленно поведёт к поломке
машины. На уровне нижних концов прорезов установочного
механизма и несколько левее их видна кнопка, назначение
которой ускорять приведение спиц в нулевое положение:
подвинув эту кнопку влево и одновременно осторожно вра-
щая рукоятку (к себе), мы после возвращения рукоятки к
нормальному положению будем иметь все спицы на нулях.
Надо только помнить, что после одной трети оборота ру-
коятки, когда все спины будут «выравнены», кнопку надо от-
пускать. Правее крайнего правого (первого) прореза на ко-
жухе машины видны две стрелки, направленные в противо-
положные стороны и снабжённые знаками действий (одна и
X, другая — и :). Эти стрелки указывают те направления,
в каких надо вращать рукоятку при выполнении различных
действий. Будем называть эти направления положительными
(из нормального положения ручки к себе) и отрицательными
(ст себя).
Мы рассмотрели все части машины, с которыми прихо-
дится иметь дело во время вычисления. Внутреннего её
устройства рассматривать не будем, укажем только, что
основным её элементом является «зубчатка Однера», изоб-
ражённая на черт. 6. Эта зубчатка имеет переменное число
выступающих наружу зубцов, а именно—столько, на сколько
делений своего прореза опущена соответствующая спица. На
черт. 6 зубчатка имеет шесть выступающих зубцов, осталь-
ные спрятаны. Двигая спицу, мы меняем число зубцов в той
28
зубчатке, которая с этой спицей связана, от 0 до 9. Число
зубчаток равно числу спиц; таким образом, в рассматривае-
мой машине их девять.
Поставив в первом (край-
нем правом) прорезе спицу на
цифру 3 и сделав поворот ру-
коятки в положительном на-
правлении, мы повернём на три
зубца другое колесо, на ободе
которого нанесены цифры, вид-
ные через первое (крайнее
правое) ответное окошко. Вме-
сто цифры 0 в этом окошке
теперь появится цифра 3. Вто-
рой поворот рукоятки в том же
направлении повернёт это ко-
лесо ещё на три зубца, и вместо
Черт. 6
цифры 3 мы увидим в ответном окошке уже цифру б,—мы
выполнили сложение 3 + 3, или, что то же, умножение
3X2. Новый поворот рукоятки даёт уже б + 3 = 9, или
3X3 = 9. При четвёртом повороте рукоятки в первом ответ-
ном окошке пройдут последовательно цифры 9, О, 1,2 (ко-
лесо сделало полный оборот и начинает делать второй), а
затем во втором ответном окошке (рядом) появится цифра 1;
здесь приходит в действие механизм передачи десят-
ков, являющийся самой деликатной частью всякой счётной
машины. В итоге получаем 93 = 12, или 3X4 = 12.
Теперь нетрудно понять, как выполняются на рассматри-
ваемой машине четыре основных действия. Чтобы сложить
два числа, надо- 1) поставить нули в ответных окошках (вра-
щая до щелчка правую ласточку), 2) установить на спицах
первое слагаемое (последнюю его цифру обычно ставят
посредством первой, т. е. крайней правой спицы, но это не
обязательно), 3) перевести это слагаемое в ответные окошки
(одним поворотом рукоятки—к себе), 4) установить на спи-
цах второе слагаемое, 5) сделать ещё один поворот руко-
ятки (к себе). Теперь в ответных окошках появится искомая
сумма. Те же пять операций производятся и для выполнения
вычитания, но рукоятка вращается в обратном направле-
нии — не к себе, а от себя.. Понятно, что к полученной сумме
или разности можно прибавить (или от неё отнять) сколько
угодно новых чисел.
Умножение на однозначное число выполняется как по-
вторное сложение:, чтобы умножить, например, на 9, вращаем
рукоятку 9 раз (к себе). Для умножения на двузначное
число, например, 39, используется возможность перемещения
каретки относительно верхней части машины, содержащей
установочный механизм: переместив каретку посредством
29
транспортёра на один интервал вправо, вращаем рукоятку
3 раза к себе и получаем в ответных окошках произведение
взятого числа на 30. Теперь остаётся вернуть каретку в
нормальное положение (когда первое ответное окошко нахо-
дится под первым прорезом) и сделать ещё девять оборотов
рукоятки (к себе). В ответных окошках получим искомое
произведение на 39.
Число сделанных оборотов рукоятки регистрируется в
счётных окошках (слева). Выполняя умножение, надо пред-
варительно привести к нулю все цифры счётных окошек
(вращением до щелчка левой ласточки). Таким образом
правило умножения можно формулировать так: установив
множимое на спицах, комбинируй движение каретки и вра-
щение рукоятки так, чтобы в счётных окошках получить
множитель; тогда в ответных окошках получишь произведе-
ние. Понятно, что правило это относится не только к дву-
значному, а и к любому многозначному множителю.
Умножение на 39 описанным способом требует 3 + 9 =
= 12 оборотов рукоятки; это число уменьшится до пяти,
если при сдвинутой направо каретке сделать не 3, а 4 обо-
рота, т. е. умножить на 40, а затем, вернув каретку в нор-
мальное положение, сделать 1 оборот в обратную сторону
(от себя). Этот приём постоянно употребляется на практике
и позволяет никогда не вращать рукоятку больше пяти раз
подряд в одну сторону, так как умножение на 9, 8, 7, 6 за-
меняется умножением на 10 и вычитанием 1-, 2-, 3-,
4-кратного множимого. Но нужно иметь в виду, что при
применении этого приёма в счётных окошках делитель будет
появляться в особой форме: так, при умножении на 39 мы
увидим в счётных окошках число 41, где знаком 1 мы услов-
но обозначаем красную цифру 1; при умножении на число
8376 мы получим в счётных окошках число 1 2 42 4, где 2 и 4—
опять условное обозначение красных цифр 2 и 4. Пользуясь
красными цифрами, мы в этом случае должны будем повер-
нуть рукоятку 1-1-2 + 4 + 2 + 4=13 раз, тогда как без
них понадобилось бы 8 + 3 + 7 + 6 - 24 оборота. Здесь мы
имеем то самое использование отрицательных цифр, о ко-
тором была уже речь в § 2, п. 7.
Выполняя на арифмометре умножение как повторное
сложение, мы можем выполнить на нём деление как. повтор-
ное вычитание: разделить, например, 17 на 3—значит узнать,
сколько раз можно отнимать от 17 число. 3 (до получения
остатка, меньшего делителя). Поэтому делимое устанавли-
вают в ответных окошках, делитель — на спицах и начинают
вычитать. Частное как число сделанных оборотов полу-
чается в счётных окошках. При делении многозначного
30
числа, как и при умножении, для уменьшения числа оборо-
тов рукоятки используется движение каретки. Пусть, напри-
мер, требуется разделить 243558 на 913. Устанавливаем де-
лимое 243558 в крайних левых ответных окошках
(конечно, посредством спиц,); в остальных ответных окошках,
как и во всех счётных окошках, должны быть нули. Отделяя
посредством металлической запятой первые три цифры дели-
мого (по числу цифр делителя), мы замечаем, что получи-
лось число 243, меньшее делителя; поэтому берём ещё одну
цифру, т. е. отделяем число 2435. Сдвинув каретку до отказа
вправо, устанавливаем делитель 913 на спицах так, чтобы
его можно было отнимать от 2435 (цифра 9 должна быть
над цифрой 4), и делаем вычитание столько раз, сколько
можно, т. е. пока не получим в остатке числа меньшего де-
лителя. Получив после 2 оборотов рукоятки в остатке число
609, смещаем каретку на одно место влево, а запятую —
на одно место вправо и повторяем операцию последователь-
ного вычитания до тех пор, пока в остатке не получим (на этот
раз после шести оборотов) числа 617, меньшего делителя.
Смещая каретку ещё на одно место влево, а запятую ещё на
одно место вправо, вновь делаем последовательное вычита-
ние, пока не получим (после 6 оборотов) остатка 700. Деле-
ние в целых числах окончено; частное (266) получено в счёт-
ных оцошках, остаток (700)—в ответных окошках. Продол-
жая те же операции, мы получили бы десятые, сотые и т. д.
доли частного.
Выполняя деление, можно не следить за последовательно
получаемыми при вычитании остатками, а крутить рукоятку
(от себя» до звонка, который машина даёт при первом лиш-
нем обороте, и затем делать один оборот (к себе), уничто-
жая сделанный лишний оборот.
Теперь рассмотрим извлечение квадратного корня.
Наиболее употребительный способ извлечения квадрат-
ного корня посредством арифмометра основан на легко про-
веряемом тождестве:
1-3 4-5-г. . . - (2/1—3)4- Г2п—Г) = /г-,
говорящем, что сумма п первых последовательных нечётных
чисел равна квадрату этого числа. Поэтому, чтобы извлечь
из какого-нибудь числа квадратный корень, надо вычитать
из него последовательно числа 1, 3, 5,... до тех пор. пока не
получим в остатке число, меньшее очередного вычитаемого.
Число сделанных вычитаний и будет искомым квадратным
корнем (точнее, квадратным корнем из наибольшего точного
квадрата, заключающегося в данном числе). Надлежащее
перемещение баретки арифмометра и здесь позволяет во
много раз уменьшить необходимое число вычитаний. Рас-
смотрим детали этого способа на примере.
31
Пусть требуется найти 15234096. Установив подкорен-
ное, как делимое при делении, в крайних левых ответных
окошках (в остальных—нули) и погасив имеющиеся цифры
в счётных окошках, смещаем каретку до отказа вправо и от-
деляем запятой старшую грань подкоренного (в данном слу-
чае цифру 5). Начинаем вычитать из 5 нечётные числа и
останавливаемся после двух вычитаний: 5—1—3=1,
дальше вычитать нельзя. Смещаем далее каретку на одно
место влево, а запятую в подкоренном — на два места впра-
во. Последнее вычитаемое (3) увеличиваем на 1 и ближай-
шую справа спицу ставим на 1. Продолжаем вычитать не-
чётные числа, начиная с 41. После двух оборотов останавли-
ваемся, так как получается число 123 — 41 —43 = 39, из ко-
торого следующее нечётное число (45) вычитать уже нельзя.
Опять смещаем каретку на одно место влево, а запятую на
два места вправо; увеличиваем на 1 последнее вычитаемое
(43) и рядом с ним справа ставим 1. Вычитаем далее нечёт-
ные числа, начиная с 441 и кончая 455 (восемь вычитаний).
Смещаем каретку ещё раз на одно место влево, а запятую
на два места вправо (теперь запятая оказывается после
последней цифры остатка 35696) и вычитаем последовательно
числа 4561, 4563,..., 4573. Теперь в ответных окошках мы
имеем окончательный остаток 3727, а в счётных окошках —
искомый корень 2287. Для проверки берём 22 872 + 37 27 =
= 5230369 + 3727 = 5234096 и убеждаемся, что всё пра-
вильно (22882 = 22872 + 2 . 2287 4- 1 = 22872 + 4 575 больше
данного подкоренного числа).
Упражнения
1. Для проверки исправности арифмометра найдите посредством
него при различных положениях каретки произведения: 9а, 18а, 27а,
36а, 45а, 54а, 63а, 72а, 81а где а = 12345679. Должны получаться де-
вятизначные числа, написанные каждое одинаковыми цифрами, так как
9а = 111 111 111.
2. Найдите посредством арифмометра сумму:
х = 5437 -г 5438 + 5439 4-... + 5446.
сперва непосредственно, чтобы приобрести навык в сложении, потом по
формуле суммы членов арифметической прогрессии (для проверки).
Тот же вопрос для суммы членов геометрической прогрессии со зна-
менателем — 3:
у = 1 —3 + 9 — 27 + 81—243 + 729 — 2187 + 6561 — 19683 +
д- 59049 — 177147 + 531441 — 1594323 + 4782969
(возможно пользование отрицательными числами, получающимися после
звонка).
3. Для приобретения навыка в умножении найдите квадраты не-
скольких многозначных чисел, проверяя себя по таблице квадратов.
4. Вычислите сумму произведений z — ab -г- i'll ef при а = 365;
Q— 127, с = 408, d~ 159, е=577, /=204, не находя отдельно значений
cd и ef.
32
5. Для приобретения навыка в делении воспользуйтесь числами,
представляющими собой различные степени 3 (см. упражн. 2); напри-
мер, при делении 3м = 4782969 на З6 = 729 должно получиться частное
311—6 — 3е — 6561 п остаток 0.
6. Испробуйте способ деления через набор делимого умножением:
чтобы разделить а на Ь, очистите ответные окошки и, установив в уме
старший разряд частного, берите в этом разряде последовательные
произведения b . I, b . 2, b . 3,... пока не получите первого числа, пре-
восходящего а; повернув рукоятку один раз в обратную сторону, сме-
стите каретку на одно место влево и крутите рукоятку вперёд, пока не
получите в ответных окошках первого числа, превосходящего а, и т. д.
В конце концов в счётных окошках получим частное, в ответных остаток.
Сравните этот способ с указанием в тексте.
7. Дайте объяснение всех деталей процесса извлечения квадратного
корня на арифмометре.
§ 7. ПРИЁМЫ ПРОВЕРКИ. ОБЩИЕ ПРАВИЛА ПРОИЗВОДСТВА
ВЫЧИСЛЕНИЙ
Есть старинная латинская пословица: „еггаге homims est“
(«человеку свойственно ошибаться»). Но надо уметь, во-пер-
вых, замечать свои ошибки и, во-вторых, во время исправ-
лять их. В вычислительной практике этот вопрос о разыска-
нии и исправлении ошибок стоит особенно остро: ценность
имеет только то вычисление, которое приводит к правильному
результату; ошибка, допущенная в одном месте вычисления,
может сделать всю последующую работу, может быть весьма
значительную, совершенно бесполезной. Чтобы не ошибаться,
надо работать самым внимательным образом, тщательно про-
думывая каждый свой шаг. Вычислительная работа требует
большего напряжения внимания, чем большинство других, и
выполнять её следует по возможности на свежую голову:
утомлённый человек гораздо чаще допускает вычислительные
ошибки. Много значит аккуратность записи; уже небрежное
начертание цифры часто приводит к ошибкам; например,
небрежно написанные цифры 6 и 4 часто бывают похожи на
цифры 0 и 7 и смешиваются с ними; более или менее длин-
ное вычисление, записанное без определённого плана, в бес-
порядке, редко бывает свободным от ошибок.
Внимательное отношение ко всякой выполняемой опера-
ции, пусть самой мелкой и простой, неторопливая и вдумчи-
вая работа, её прекращение при первых признаках утомле-
ния с тем, чтобы возобновить её после отдыха, хотя бы крат-
кого, применение счётных приборов и других вспомогатель-
ных средств вычисления, облегчающих и ускоряющих вычи-
слительную работу, — всё это весьма способствует устране-
нию ошибок, но, к сожалению, как показывает опыт, ещё
отнюдь не гарантирует полного их отсутствия. Без особой
проверки результат вычисления ненадёжен — этого никогда
не следует забывать. Поэтому проверка является совершен-
но необходимой частью всякого вычисления. Пока проверка
не произведена, вычисление нельзя считать законченным.
3 В. М. Бра дне 33
Каждое из трёх обратных действий (вычитание, деление,
извлечение корня) хорошо проверять посредством соответ-
ствующего прямого: найдя разность, складываем её с вычи-
таемым и смотрим, получилось ли уменьшаемое; найденное
частное умножаем на делитель и прибавляем остаток, кото-
рый должен быть меньше делителя; должно получиться де-
лимое; получив квадратный корень, возводим его в соответ-
ствующую степень и, прибавив остаток, который должен
быть не больше удвоенного корня, мы смотрим, получилось
ли подкоренное число.
Любое действие как прямое, так и обратное, можно про-
верить, выполняя его повторно каким-либо иным способом;
простое повторное его выполнение тем же способом менее
надежно, так как нередко допускается та же ошибка. Сло-
жив несколько чисел письменно („в столбик1*), можно сло-
жить их ещё раз в ином порядке, например, двигаясь не
сверху вниз, а снизу вверх, или прибегнуть для проверки к
счётам. На арифмометре, где вычитание выполняется ничуть
не труднее, чем сложение, правильность суммы можно про-
верить, отнимая от неё каждое слагаемое последовательно.
Любопытный и довольно удобный способ проверки всех
действий над натуральными числами представляет собой
способ проверки девяткой. Он основан на следующей ариф-
метической теореме: если некоторое число х является ре-
зультатом выполнения действий сложения, умножения, возве-
дения в степень над данными натуральными числами а, Ь,
с,..., то, заменяя каждое из этих чисел его остатком а', b . с',...
от деления на некоторое число k и производя те же действия,
мы получим вместо х новое число у, дающее при делении на
k тот же остаток, что и х.
Действительно, если
х = а + b, а = a}k 4- a', b — b}k 4- b',
у = а1 Ь‘ y}k • у', 0 • у' < k — 1,
х — х^г + х', 0<=л'<=£ — 1,
то
х = (atk + а) 4- (btk -т-b') =
— (П] 4-)k 4 4 b' — (а] 4-&,) k + у,
x^k 4- х' — (а, + Ь}) k + y}k Ч- у,
х'—у' — (п, 4- б, 4- V) х,) 1г.
Разность двух натуральных чисел х' и у\ каждое из ко-
торых меньше k, является таким образом, целым числом,
кратным k, это возможно лишь при наличии равенства
х' = у'.
Аналогичное доказательство легко провести и для слу-
чаев x~nb и х = а Легко понять, что теорема верна для
любой комбинации трёх прямых арифметических действий.
Из этой теоремы следует, что различие остатков от деле-
34
ния х и у на k указывает на ошибку. Конечно, равенство'
этих остатков ещё не даёт полной гарантии правильности
всего вычисления: бывают виды ошибок, различные в зави-
симости от выбора числа k, не обнаруживаемые этой про-
веркой.
В качестве числа k удобно брать 9, так как остаток от де-
ления на 9 любого натурального числа равен остатку от де-
ления на 9 суммы его цифр. При 6 = 9 этот способ проверки
не обнаруживает таких ошибок, как перестановка цифр, за-
мена 0 цифрой 9 или наоборот. Остаток от деления любого
натурального числа на 11 равен остатку от деления на 11
суммы его цифр, взятой с чередующимися знаками (цифра
единиц минус цифра десятков плюс цифра сотен и т. д.; если!
в конце концов получается отрицательное число, увеличи-
ваем его на 11); поэтому проверка «одиннадцатью» прово-
дится столь же просто, как и проверка «девяткой». При про-
верке одиннадцатью остаются необнаруженными ошибки
иного рода, чем при провеке девяткой, а потому соединение
обеих проверок делает весьма высокими шансы обнаружения
любой допущенной ошибки.
Для примера проверим правильность произведения:
5 764 801 . 1 977 326 743 = 11 398 895 185 373 143.
Заменяя эти три числа их остатками отделения на 9, имеем
в левой части 4 . 4—16, в правой 7; при делении на 9 оба
числа дают остаток 7; никакой ошибки проверка девяткой
не обнаруживает.
Остатки от деления на 11 равны соответственно: 1 —0 +
8 - 4 -L 6 — 7 + 5 = 9, 3 — 4 + 7 — 6 + 2 — 3 + 7 — 7 +
-у 9 _ 1 — 7, 3 — 4+1— 3 7-3 + 5 —8 + 1—5 + 9 —
— 8 + 8 — 9 + 3—1 + 1= — 3 или, после добавления II,
число 8. После замены данных чисел остатками имеем
в левой части 9.7 = 63 и остаток от деления на И, рав-
ный 8, а в правой части тоже 8. Никакой ошибки -про-
верка одиннадцатью не обнаруживает, к результату можно
отнестись с весьма высоким доверием (эти числа взяты из
таблицы Барлоу, здесь 78 . 7||=719). Однако бывают
ошибки, которые остаются не обнаруженными даже при вы-
полнении обеих рассмотренных проверок (например, пере-
становка двух цифр, стоящих обе на чётных пли обе на не-
чётных местах).
Всё сказанное о необходимости проверки каждого от-
дельного арифметического действия сохраняет силу и при
вычислении, содержащем ряд действий: работу нельзя счи-
тать законченной, пока мы тем или иным способом не убе-
димся, что найденып ответ правилен. В условиях школьной
работы такая проверка чаще всего сводится к простому за-
глядыванию в конец учебника, где обычно приводятся вы-
3* ;'5
веренные ответы. Наличность готовых ответов весьма облег-
чает работу по приобретению необходимых вычислительных
навыков, но необходимо приучать учащихся обходиться и
без готовых ответов. Нередко бывает, что данный в книге
ответ неверен (ошибка в ответе или в условии задачи). Как
убедиться, что это действительно так? Вычисления, которые
приходится выполнять не с целью упражнения, а для ответа
на тот или иной практический вопрос, никогда не имеют го-
товых ответов. Как проверить в таких случаях правильность
найденного результата?
Обучая математике, школа не только даёт ряд нужных
фактических сведений, но и воспитывает учащихся. Одной из
важных сторон этой воспитательной работы является выработ-
ка у детей-подростков чувства ответственности за то, что они
утверждают, и вычислительная работа является в этом отно-
шении весьма ценной. Указывая тот или иной найденный им
ответ, учащийся должен быть уверен в его правильности,
а это невозможно без приобретения навыка в проверке
(«самопроверка»). Как правило, надо требовать двукратного
выполнения каждого вычисления, причём второе вычисление
желательно выполнить каким-либо иным путём, чем первое.
Если произведенная проверка указывает на наличность
ошибки, надо уметь найти эту ошибку и исправить её. Здесь
мы имеем тоже важный воспитательный момент; не следует
спешить с указанием на ошибку, гораздо полезнее доби-
ваться, чтобы учащийся самостоятельно нашёл её. Для этого
он должен либо просмотреть внимательнейшим образом всё
вычисление, либо провести его заново. Первый способ тре-
бует меньше работы, зато он менее надёжен: допущенную
ошибку легко проглядеть. Если, несмотря ни на что, ошибка
не обнаруживается, следует заподозрить правильность дан-
ных (возможны ошибки при переписке!), или правильность
тех табличных данных, какие участвовали в вычислении, или
исправность применяемых счётных приборов, пли, наконец,
правильность самого указания на ошибку. Если есть уверен-
ность в том, что ошибка где-то имеется, но найти её никак
не удаётся, полезно отложить работу до другого дня и
взяться за неё снова со свежими силами. В крайнем случае
рекомендуется обращение за помощью к другому лицу,
сперва к товарищу, а в случае неудачи к учителю.
Обнаружив ошибку, надо её исправить. Вся испорченная
ошибкой часть вычисления либо выполняется заново либо
исправляется; поправки делаются аккуратно, неверные цифры
зачёркиваются и сверху записываются верные; применяется
также заклеивание испорченных частей тщательно вырезан-
ными полосками бумаги с последующей записью по этим
полоскам правильного решения.
Глава II
ПРИБЛИЖЁННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ БЕЗ СТРОГОГО
УЧЁТА ПОГРЕШНОСТЕЙ
§ 8. ЧИСЛА ТОЧНЫЕ И ПРИБЛИЖЁННЫЕ. ОКРУГЛЕНИЕ
Всякое вычисление состоит в том, что мы, имея некото-
рые данные числа, находим посредством их некоторые дру-
гие, искомые числа. Так, желая вычислить, сколько листов
стекла надо купить для застекления дома, мы должны
прежде всего сосчитать, сколько в доме рам, сколько в
каждой раме стёкол, затем должны узнать длину и ширину
каждого стекла, а также длину и ширину продажного листа.
Как видим, некоторые данные получаются путём счёта, не-
которые — путём измерения. Считая предметы, мы иногда
узнаём число их вполне точно. Так мы точно узнаём число
стекол в одной раме (положим, 6) и число рам во всём доме
(положим, 12). Но так бывает лишь тогда, когда числа сравни-
тельно невелики. Пересчитывая же какое-нибудь более зна-
чительное собрание предметов, мы большей частью'узнаём
число их только приближённо. Один кружок юных натура-
листов захотел выяснить, сколько деревьев растёт на буль-
варах и в садах их города. Сосчитали, оказалось 2183 дерева.
Другой кружок (в том же городе) выполнил эту же работу
и получит число 2217. Тогда первый кружок, чтобы узнать,
кто же сосчитал верно, ещё раз пересчитал деревья, и полу-
чил уже число 2168. В заключение решили, что в городе
растёт приблизительно 2200 деревьев, и новых подсчётов
больше не производили. Легко понять, что установить точное
число всех деревьев, растущих в городе, очень трудно, даже,
быть может, невозможно. Как тщательно ни организуй ра-
боту, всегда остаётся опасность что некоторые деревья при
счёте будут пропущены, а некоторые сосчитаны дважды. Не-
которые засохшие или полузасохшие деревья один счётчик
будет считать, другой нет. В отношении некоторых деревьев,
расположенных на окраине города, трудно будет решить,
считать их в черте города, или нет. Различая деревья и кусты,
мы часто будем затрудняться при решении вопроса о том,
считать ли данное растение деревом или кустом. Подобные
затруднения, а также многие другие встречаются При счёте
37
всякого большого собрания. Поэтому, при счёте большого
числа предметов получаются обыкновенно только приближён-
ные значения этого числа или, как говорят короче, прибли-
жённые числа. Сосчитать, сколько на руке пальцев, или
сколько человек находится сейчас в той комнате, где мы за-
нимаемся, можно совершенно точно. Но сосчитать сколько
человек живёт в городе, или сколько зёрен ржи идёт на 1 кг,
можно только приближённо.
Кроме счёта данные для вычисления доставляет нам, как
мы видели, также измерение: измерение длины, веса, вре-
мени и т. д. Измерение никогда не даёт точных чисел, а
всегда только приближённые. Положим нужно узнать,
сколько весит железный гвоздь. Поместив его на одну чашку
весов, постепенно загружаем другую чашку гирьками. Ока-
залось, что 18 г мало (перетягивает гвоздь), а 19 г много
(перетягивает чашка с гирьками), причём при 18 г стрелка
коромысла отклонена меньше, чем при 19 г. Если у нас нет
гирек меньше 1 г, то на этом и придётся закончить взвеши-
вание: мы установили, что вес гвоздя приближённо равен
18 г. Имея гирьки для долей грамма, мы можем взвесить
гвоздь точнее, если только наши весы эти доли грамма
чувствуют. Имея гирьки в дециграммы (сотни миллиграм-
мов), мы могли бы установить, что гвоздь весит, положим,
больше 18,2 г и меньше 18,3 г. Если во втором случае стрелка
отклонена меньше, чем в первом, то мы скажем, что вес гвоздя
приближённо равен 18,3 г. Теперь мы знаем вес гвоздя
с большей точностью, чем раньше: тогда мы имели вес до
граммов, теперь до десятых долей грамма. Взяв гирьки ещё
мельче и весы более чувствительные, мы могли бы узнать
вес гвоздя ещё точнее: до сотых и даже до тысячных долей
грамма. Но мы никогда не получим совершенно точного веса
уже по той простой причине, что сами гирьки не вполне
точны. Так, продажная гирька в 1 г считается верной, если
она имеет вес, отличающийся от 1 г не более, как на 3 мг.
Гирька же в 10 мг (самая мелкая из тех, какие
приходится применять в школе) допускается к упот-
реблению, если имеет вес больше 9 и меньше 11 мг.
Заметим ещё, что при самых точных взвешиваниях,
производимых в специальных лабораториях со всеми
мерами предосторожности, обнаруживается, что вес предмета
несколько изменяется при каждом его перекладывании: ве-
щество предмета стирается, к предмету пристают пылинки
и т. д. Это обстоятельство ясно показывает, что узнать вес
предмета можно лишь приближённо даже в том случае, если
бы гирьки были совершенно точны. Так же обстоит дело и
с измерением других величин: длины, ёмкости, времени, силы
тока и т. д. Например, измерив длину и ширину прямоуголь-
38
ника посредством линейки с делениями на сантиметры и
миллиметры, мы устанавливаем, что эта длина приближённо
равна, положим 57,3 см, а ширина приближённо же равна
35,8 см. Здесь мы узнали длину и ширину прямоугольника
до десятых долей сантиметра или до миллиметра. Другими
словами: мы узнали целые сантиметры и десятые доли сан-
тиметра, т. е. миллиметры, сотые же доли сантиметра, равно,
как и тысячные, десятитысячные и т. д. доли сантиметра
остались неизвестными.
Производя вычисления с приближёнными данными, мы
получаем, конечно, только приближённые же значения
искомых величин. Эти найденные приближённые значения,
в свою очередь, могут служить данными в других за-
дачах. Легко поэтому понять, что громадное большинство
данных в разного рода задачах — числа приближённые.
Точные данные встречаются гораздо реже.
Получая для вычисления какие-либо данные, мы прежде
всего должны подумать о том, точные ли они, или прибли-
жённые.
Так, в задаче: сколько весят 5 кирпичей, если вес 1 кир-
пича 4,1 кг, мы имеем два данных числа, из которых первое
(5) точное, второе (4,1) приближённое.
Имея многозначные числа, точные или приближённые,
мы часто должны бываем округлять их, т. е. отбрасывать
одну или несколько последних их цифр. Напомним правило
округления. Если первая из отбрасываемых цифр есть 5 или
более 5, то последнюю из оставляемых цифр надо усилить,
т. е. увеличить на одну единицу. Усиления не делают, если
первая из отбрасываемых цифр меньше 5. Так, округляя
до целых числа 82,37 и 75,62, мы получаем числа 82 и 76.
Усиление делают для того, чтобы уменьшить так называемую
погрешность округления, т. е. разницу между первоначаль-
ным и округлённым числами. Действительно, заменив число
75,62 числом 75, мы имеем погрешность округления, равную
75,62 — 75 — 0,62; заменив же его числом 76, мы имеем
погрешность округления, равную только 76 — 75,62 — 0,38
Следовательно, здесь усиление полезно. Но, заменяя число
82,37 числом 82 или 83, мы получаем погрешность округле-
ния. равную 82,37 — 82 = 0,37 (в первом случае) или 83—
— 82,37 = 0,63 (во втором). Здесь усиление не нужно. Гово-
рят, что округление сделано по недостатку или по избытку,
смотря по тому, оставлена ли последняя цифра без измене-
ния или она усилена.
Особого упоминания требует случай, когда округление
состоит в отбрасывании одной только цифры 5. Здесь по-
грешность округления оказывается одинаковой в обоих слу-
чаях, т. е. при усилении последней цифры и без такого уси-
39
ления. Так, округляя до целых число 28,5, мы можем взшь
либо 28, либо 29: погрешность округления в обоих случаях
равна 0,5. В таком случае применяют правило чётной цг.ф ы:
если отбрасывается одна только цифра 5, то последняя
сохраняемая цифра оставляется без изменения, если она
чётная, и усиливается, если она нечётная. Например, округ-
ляя по этому правилу числа:
17,5; 18,5; 19,5; 20,5; 21,5; 22,5; 23,5
до целых единиц, получаем числа,-
18; 18; 20; 20; 22; 22; 24.
При соблюдении этого правила округление примерно оди-
наково часто будет увеличивать значение первоначального
числа и уменьшать его. Чётные же цифры предпочитают не-
чётным единственно в виду того, что иногда (например, при
делении на 2) чётные цифры более удобны, чем нечётные.
Числа округляют до целых, до десятых, до сотых и т. д.»
а также до десятков, до сотен и т. д. Это значит, что послед-
ней сохраняемой цифрой должна быть цифра целых, деся-
тых, сотых и т. д., или цифра десятков, сотен и т. д. Так,
округляя число 0,30851 до тысячных, получим 0,309, а
округляя число 86435 до сотен получим 86400. Отбрасывая
цифры в целой части числа, всегда заменяют их нулями.
Вместо «округлить до десятых» говорят «округлить до пер-
вого десятичного знака», вместо «округлить до сотых» —
округлить до второго десятичного знака». «Округлить до
шестого десятичного знака» значит то же, что «округлить
до миллионных долей».
Термин «десятичные знаки» не следует смешивать с тер-
мином «значащие цифры». Десятичными знаками числа
называются все его цифры, расположенные правее знака
дробности. Значащими цифрами числа называются все его
цифры, кроме нулей, стоящих левее первой отличной от нуля
цифры, и нулей, стоящих в конце числа, если они стоят вза-
мен неизвестных или отброшенных цифр. Так, число 84,036
имеет 5 значащих цифр, но только 3 десятичных знака. Число
0,0078 имеет 2 значащих цифры, но 4 десятичных знака.
Число 86400, которое мы получили выше при округлении до-
сотен числа 86435, имеет три значащих цифры, так как нули
в конце числа поставлены взамен отброшенных цифр и в счёт
значащих цифр не идут. Но, говоря, что 1 м — 1000-мл, мы
имеем в числе 1000 четыре значащих цифры. Здесь нули
поставлены не взамен неизвестных или отброшенных цифр,
а обозначают отсутствие единиц некоторых разрядов: метр
содержит одну тысячу миллиметров и ни одной сотни, ни
одного десятка, ни одного отдельного миллиметра.
Теперь становится понятным выражение «округлить до
40
стольких-то значащих цифр». Так, округляя число 71,12 до
двух значащих цифр, получим число 71, до трёх 71,1, до
одной 70. Округляя число 0,02974 до трёх значащих цифр,
получим число 0,0297, до двух—0,030, до одной — 0,03.
Как видим, цифра нуль, находящаяся в конце целого
числа, может иметь два смысла. Либо она означает отсут-
ствие единиц некоторого разряда и является значащей
цифрой, либо она поставлена взамен неизвестной или отбро-
шенной цифры и значащей цифрой не считается. Хорошо бы
было употреблять нуль только в первом смысле, т. е. как
знак отсутствия единиц, а для обозначения неизвестных или
отброшенных цифр взять какой-нибудь другой знак, напри-
мер, знак вопроса (?). Тогда, округлив число 71,12 до одной
значащей цифры, мы получили бы в результате число 7?
Запись: в городе 7??? жителей означало бы тогда, что нам
известно число тысяч жителей (7), но неизвестны цифры со-
тен десятков, единиц. Такая запись, однако, не употреби-
тельна. Мы иногда будем ею пользоваться, но обычно будем
обозначать неизвестные или отброшенные цифры маленькими
нулями. Число 7??? записывать будем в виде 7< ни. Число
65000 означает приближённое число с тремя значащими
цифрами. В нём известны цифры десятков тысяч (6), тысяч
(5), сотен (0). Цифры же десятков и единиц неизвестны.
Упражнения
1. Округлите число 1,06680 до десятых долей, до сотых долей, до-
тысячных долей, до десятитысячных долей, до целых.
2. Округлите число 0,505805 до 1, 2, 3, 4, 5 значащих цифр.
3. Округлите число 409,51241 до сотых долей, до целых, до десят-
ков, до сотен.
4. Округлите число 6356,909 (расстояние от центра Земли до её
полюса в километрах) до 1. 2, 3, 4, 5, 6 значащих цифр.
§ 9. О ТОЧНОСТИ ПРИБЛИЖЁННЫХ ЧИСЕЛ
Взвешивая гвоздь (см. § 8), мы получили приближённое
значение его веса с двумя значащими цифрами, а именно
18 г. Затем, применяя более мелкие гирьки, мы получили
другое приближённое значение, а именно 18,3 г, имеющее
уже три значащих цифры. В первом случае мы установили
цифры десятков граммов (I) и единиц, т. е. целых граммов
(8), но ничего не могли сказать о долях грамма. Во втором
случае мы к первым двум ранее полученным цифрам при-
соединили ещё цифру десятых долей (3), но цифры сотых,
тысячных и т. д. долей грамма остались неизвестными. Взяв
гирьки ещё мельче и весы более чувствительные, можно было
бы узнать и цифру сотых долей грамма. Положим, при этом
получили число 18,27 г. Три найденных числа: 18; 18,3;
18,27 — представляют собой приближённые значения одной
•II
'.1 той же величины (веса гвоздя), взятые с разной точностью,
а именно с 2, 3, 4 значащими цифрами. Чем больше знача-
щих цифр имеет приближённое число, тем точнее оно выра-
жает соответствующую величину. Заметим, что в школьной
практике редко встречаются приближённые числа, имеющие
больше 4 значащих цифр. При научных измерениях, когда
принимаются все меры к тому, чтобы добиться наибольшей
точности, удаётся получать приближённые числа до 8 знача-
щих цифр, и лишь в исключительных случаях более.
Сделаем два важных замечания о записи приближённых
чисел, касающиеся употребления цифры 0.
Во-первых, получая (в результате счёта, измерения или
округления) приближённое число с нулями в конце дробной
части, мы не должны этих нулей отбрасывать, так как иначе
наш результат будет искажён. Так установив, что некоторый
‘предмет весит 8,30 г, мы узнали, сколько целых граммов (8),
десятых долей грамма (3) и сотых его долей (0) содержит
его вес. Неизвестными остались более мелкие доли грамма,
начиная с тысячных долей. Вес найден приближённо с 3 зна-
чащими цифрами. Зачеркнув же цифру 0 на конце, мы по-
лучим приближённое значение веса (8,3 г) с 2 лишь знача-
щими цифрами: о цифре сотых долей мы уже ничего не
знаем. Таким образом, зачёркивание нулей в конце дробной
части приближённого числа равносильно его округлению.
Понятно, далее, что приписывание нулей в конце дробной
части приближённого числа совершенно недопустимо, так как
давало бы неверное представление о точности этого прибли-
жённого числа. Узнав, например, что некоторый отрезок (на
чертеже) имеет длину 26,5 мм, мы не имеем права сказать,
что он имеет длину 26,50 мм, так как это означало бы, что
мы сумели узнать не только десятые доли миллиметра, кото-
рых оказалось 5, но и сотые его доли, которых оказалось 0,
тогда как в действительности мы о цифре сотых ничего не
знаем. Конечно, в точном числе нули приписывать можно.
Например, вместо того, чтобы сказать, что 1 мм = 0,1 см,
мы можем сказать, что 1 мм = 0,10 см или 0,100 см и т. д.
Во-вторых, напомним ещё раз о необходимости различать
двоякий смысл цифры 0, находящейся в конце целого числа.
Как мы уже указывали в конце предыдущего параграфа,
такой 0 может быть значащей цифрой, но может быть по-
ставлен взамен неизвестной или отброшенной цифры. В по-
следнем случае будем писать цифру 0 в уменьшенном раз-
мере. Так, желая выразить, что стакан вмещает 2 сотни ку-
бических сантиметров, причём десятки и единицы кубических
сантиметров остаются неизвестными, мы будем писать так:
«стакан вмещает 2оо куб. см». Запись «стакан вмещает
200 куб. см» означала бы, что нам известны не только сотни
42
кубических сантиметров (2), но и десятки (0) и единицы их
(тоже 0). Отметим, что употребления маленьких нулей часто
можно бывает избежать, выражая приближённые числа в
единицах высшего разряда. Например, вспоминая, что
1000 куб. см — 1 литру, можем вместо 200 куб. см написать
0,2 л. Вместо того, чтобы писать, что население города
2650 человек, можно написать 2,65 тысячи человек. Запись
«такое-то расстояние равно ЗОоо м» означает, что это рас-
стояние известно с двумя значащими цифрами (цифры де-
сятков и единиц остаются неизвестными). Вместо ЗОоо м
можно написать 3,0 км-, смысл от этого не изменится.
Упражнения
1. На одном плане, приложенном к проекту устройства водопровода,
указано, что одна указанная на плане точка расположена выше другой
на 8,00 м. Объясните, зачем здесь поставлены в конце два нуля.
2. Какая разница между двумя записями: «температура 37°» и
«температура 37,0°»?
3. Какая разница между записями 8<го, 8Ооо, 8000?
4. Запишите без маленьких нулей следующие приближённые числа,
пользуясь более крупными мерами: 146оо г, 32о мм, 27ооо кв. м.
§ 10. КАК НАДО СЧИТАТЬ И ИЗМЕРЯТЬ
Если, считая какие-либо предметы, мы не надеемся узнать
число их точно, то счёт надо произвести несколько раз, по
крайней мере три раза, а затем взять арифметическое сред-
нее из всех полученных чисел. Положим, например, нам дано
некоторое количество ржи и предложено узнать, сколько
зёрен приходится на каждые 10 г веса. Конечно, отвесив 10 г,
мы могли бы сосчитать совершенно точно, сколько здесь зё-
рен, но так как зёрна не вполне одинаковы, да и отвесить
10 г вполне точно нельзя, то другие 10 г могут содержать
несколько иное число зёрен. Интерес представляет среднее
число, а потому возьмём несколько, скажем, 5 «навесок» ржи
по 10 г каждая, причём взвешивание будем вести по воз-
можности точнее, по крайней мере до десятых долей грамма,
т. е. берём не по 10, а по 10,0 г. Сосчитав число зёрен в
каждой навеске, мы получим, положим, такие числа:
308, 332, 326, 341, 305.
Берём сумму этих чисел (300 . 5=1500, 8 + 32 26-|-
—41 5 — ] 12, всего 1612) и делим её на число чисел.
Деление 1612 на 5 даёт 322,4. Остаётся выяснить, какие
цифры в этом среднем надёжны, какие нет, и надлежащим
образом округлить результат. Каждый раз, считая число зё-
рен, мы получали по 3 сотни. Цифра сотен (3) поэтому
безусловно надёжна. Цифра же десятков получалась не
43
одна и та же, она колебалась от 0 до 4. Следовательно^
в среднем арифметическом цифра десятков не вполне на-
дёжна. Что же касается цифры единиц и тем более цифры
десятых долей, тс при не вполне надёжной цифре десятков
они уже никакого доверия не заслуживают и являются
безусловно ненадёжными. Надёжную цифру сотен и не
вполне надёжную цифру десятков мы сохраним, остальные
же две отбросим, заменив цифру единиц маленьким нулём.
Итак, приходим к окончательному заключению, что каждые
10 г ржи из данного образца содержат в среднем приблизи-
тельно 32о зёрен. Здесь мы получили результат в виде при-
ближённого числа с двумя значащими цифрами.
Именно так обыкновенно и поступают: определив среднее
арифметическое, его округляют, сохраняя в нём все надёж-
ные и одну не вполне надёжную цифру, все же последующие
цифры отбрасывают.
Подобным же образом надо поступать и при измерении.
Желая, например, найти расстояние от школы до почты, от-
мечают прежде всего те точки от которой и до которой бу-
дут измерять, а также выясняют ту линию, вдоль которой
будут измерять, и делают измерение несколько раз. Такое
измерение удобнее всего делать рулеткой. Положим, измере-
ние сделано 4 раза и получены такие числа,-
2805,8 м, 2889,3 м, 2895,0 м, 2830,5 м.
Здесь среднее равно 11420,6 34:4 = 2855,15 м. Цифры
тысяч и сотен во всех измерениях получились одинаковые,
цифра же десятков колеблется. Поэтому среднее округляем
до десятков и получаем для искомого расстояния число
268о м, или 2,86 км.
Если цифра какого-нибудь разряда в результатах изме-
рений (или счёта) колеблется очень мало, то цифру соот-
ветствующего разряда в среднем арифметическом можно
считать вполне надёжной. В таких случаях удобнее найти
уклонения результатов отдельных измерений от среднего
арифметического, т. е. разности между этими результатами
и средним. Пусть некоторое измерение было проделано три
раза и дало такие результаты:
3997, 4002, 4005.
Здесь среднее равно 12004 : 3 = 4001,3..J. Как его округ-
лить? С первого взгляда может показаться, что здесь мы
не имеем ни одной вполне надёжной цифры и только одну
1 Многоточие, поставленное после последней цифры числа, показы-
вает, что это число написано не полностью. В настоящем случае, про-
должая деление, мы получим ещё сколько угодно троек (в частном—
периодическая дробь).
44
не вполне надёжную—первую цифру 4. Но посмотрим, как
велики уклонения результатов отдельных измерений от сред-
него арифметического.
Результаты отдельных измерений: Уклонения:
3997 4001,3 ... - 3997 = 4,3 . .
4002 4002 — 4001,3. . . =0,7. .
4005 4005 — 4001,3 . . . = 3.7 . .
Уклонения, как видим, достигают нескольких единиц, но
не достигают одного десятка. Это позволяет нам считать
первой не вполне надёжной цифрой среднего арифметиче-
ского—цифру единиц. Поэтому среднее округляем до целых
н получаем в окончательном результате число 4001 (прибли-
жённое число с 4 значащими цифрами).
При вычислении среднего арифметического в большинстве
случаев в частном получается периодическая дробь. Полезно
принять за правило всегда округлять это частное, сохраняя
в нём лишь одну цифру сверх тех, какие имеются в резуль-
татах отдельных измерений, а потом уже находить уклоне-
ния.
Рекомендуем записывать все вычисления, как показано
ниже.
Результаты отдель- ных измерений (в метрах) Уклонения от среднего
51,63 0,352
52,12 0,1.38
52,20 0,218
51,87 0,112
51,91 0,072
52.16 0,178
Сумма..........311,89
Среднее .... 51,982
Окончательный результат 52,0 м.
В некоторых случаях можно и не делать повторных изме-
рений, так как в результате сразу получается приближенное
’исло, все цифры которого надёжны, кроме последней, кото-
рая может быть либо надёжной, либо не вполне надёжной.
Например, измеряя длину карандаша посредством линейки
с делениями на миллиметры, мы легко установим прибли-
45
жённое значение этой длины до миллиметров. Так, получив
для длины карандаша число 134 мм, мы имеем здесь все
цифры надёжные. Длину отрезка прямой, начерченного на бу-
маге, можно найти даже до десятых долей миллиметра, если
пользоваться линейкой со скошенным краем или применить
колючий циркуль. Десятые доли миллиметра оцениваются
при этом на-глаз, и цифра десятых долей получается не
вполне надёжная. Измеряя угол посредством обыкновенного
школьного транспортира, мы получим значение угла до гра-
дусов, а при некоторой тщательности и до десятых долей
градуса. При этом целые градусы будут вполне надёжны,
цифра десятых долей — не вполне надёжна.
Итак, все приближённые результаты счёта и измерения
будем всегда округлять так, чтобы в них оставались только
надёжные цифры и лишь одна не вполне надёжная. Тогда
по самому виду приближённого числа, без каких бы то ни
было дополнительных указаний, можно судить о его точно-
сти. Например, если написано, что предмет весит 241,0 г, то-
это значит, что взвешивание дало целые граммы и десятые
доли грамма, неизвестной остаётся цифра сотых долей, т. е.
что взвешивание было произведено до десятых долей грамма.
Запись «предмет весит 241 г» означала бы, что взвешивание
произведено до граммов, т. е., что десятые доли грамма
остаются неизвестными.
Как мы увидим далее, это же основное правило округле-
ния применяется ко всем вообще приближённым числам.
Упражнения
1. Желая узнать, сколько человек пришло в школу на собрание,
четверо учащихся принялись считать всех находящихся в зале. Один
насчитал 187 человек, другой 192, третий 191, четвёртый 185. Найдите
среднее и округлите его надлежащим образом.
2. Взвешивая один и тот же кусок металла 5 раз, получили числа?
31.16 г, 31.57 г, 31,33 г, 31,41 г. 31,27 г. Найдите среднее и округлите
его.
3. Измеряя расстояние между двумя телеграфными столбами, по-
лучили числа: 39,85 м, 40,04 м, 39,79 м, 39,98 м. Как оценить это рас-
стояние (Найдите среднее и округлите его.)
4. Начертите квадрат со стороной в 10,00 см, и измерьте как можно
точнее его диагональ.
5. Начертите прямоугольник со сторонами 8.00 см и 12,00 см, про-
гедите в нём диагональ и измерьте (транспортиром) как можно точнее
углы, которые диагональ составляет со сторонами прямоугольника.
6. Начертите на клетчатой бумаге (каждое деление около 5 льи)
круг радиусом в 10,0 деления (как можно точнее) и сосчитайте, сколько
квадратиков оказалось внутри круга. Когда квадратик находится на
самой границе, то считайте его, если внутри круга находится больше
половины квадратика, и нс считайте, если внутри круга находится
меньше половины его. Повторите счёт несколько раз, каждый раз вы-
черчивая новый круг, и возьмите среднее. Подумайте, как облегчить
подсчёт, рассматривая возможно большие прямоугольники со сторонам»
в целое число делений, расположенные внутри ijpyra.
^6
§ 11. ВЫЧИСЛЕНИЯ С ТОЧНЫМИ И ПРИБЛИЖЁННЫМИ
ДАННЫМИ
В руководстве по арифметике подробно рассмотрены дей-
ствия над точными числами как целыми, так и дробными.
Теперь мы займёмся вычислениями с приближёнными числа-
ми, о которых в руководстве по арифметике говорится
очень мало. При этом мы будем рассматривать только дей-
ствия над приближёнными целыми числами и приближён-
ными десятичными дробями, совершенно оставляя в стороне
дроби обыкновенные. Дело в том, что любую обыкновенную
дробь простым делением числителя на знаменатель можно
обратить в дробь десятичную, действия же над десятичными
дробями вообще выполняются проще, чем над дробями обы-
кновенными. Поэтому обыкновенными дробями на практике
пользуются только тогда, когда знаменатели этих дробей
л „ 1 1 2 3 5
малы, как, например, у дробей у , — , у , — , s и т. д.
Встречая же дробь с многозначным знаменателем, вроде
, заменяют её десятичной дробью)^ = 0,17209...) . При
обращении обыкновенной дроби в десятичную большей частью-
получается бесконечная периодическая дробь, и в каждом от-
дельном случае надо сообразить, со сколькими цифрами следу-
ет брать приближённое частное. В дальнейшем выяснятся те
правила, какими при этом приходится руководствоваться,
а пока решим одну простую задачу.
Книга имеет 248 страниц и толщину (без переплёта)
13 мм. Другая книга имеет 326 страниц и толщину (тоже
без переплёта) 15 мм. Требуется вычислить, в какой книге
бумага толще, и на сколько.
Первая книга содержит 248 страниц, т. е. 124 листа, вто-
рая 326 страниц, т.е. 163 листа. Толщина листа первой книги
13 ..15 т 1 «г
равна, следовательно, -у, мм, а второй — мм. Чтобы срав-
нить эти дне обыкновенных дроби, их надо либо привести
к одному знаменателю, либо обратить в десятичные. Послед-
ний способ проще, его и применяем:
13: 124 =0,1048... 15: 163 = 0,0920...
Ограничиваясь тысячными долями миллиметра, заклю-
чаем, что в первой книге бумага имеет толщину листа при-
близительно в 0,105 мм, а во второй 0,092 мм, т. с. на
0,013 мм меньше, чем в первой. Правила, о которых речь
будет дальше, говорят, что в этом ответе последняя цифра
(3) ненадёжна. Её следует отбросить, и формулировать
ответ так: во второй книге бумага тоньше, чем в первой,
приблизительно на 0,01 мм.
47
§ 12. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ПРИБЛИЖЁННЫХ ЧИСЕЛ
Положим, требуется найти сумму $ десяти дробей:
„ 1 I j 1 , I I 1 1 1 1
- ’з' 1 "* 9 И 13 ' 15 г 17 ' 19 ' 21 23’
обратив предварительно каждую из них в десятичную дробь
с точностью до сотых долей. Выполняя такое обращение,
получим:
S ~ 0,33 -t- 0,14 + 0,11 <0,09 + 0,08 +
+ 0,07 + 0,06 + 0,05 +0,05 + 0,04.
Итак,
1,02.
Здесь, как и в дальнейшем, мы будем пользоваться зна-
ком • = , чтобы показать, что равенство только приближён-
ное.
В каждом из 10 слагаемых было два десятичных знака;
с двумя же десятичными знаками мы получили и сумму.
Естественно возникает вопрос, насколько надёжен второй
десятичный знак в этой сумме. В каждом слагаемом мы
отбрасывали цифру тысячных долей (и все последующие),
усиливая, согласно правилу округления, цифру сотых, если
цифра тысячных есть 5 или больше. Не повлияло ли это
десятикратное отбрасывание тысячных на цифру сотых в
сумме, не произошло ли накопления погрешностей? Вспом-
нив, что некоторые слагаемые округлены по недостатку, дру-
гие по избытку, мы в праве высказать предположение, что
погрешности одних слагаемых по крайней мере отчасти
исправляют погрешности других слагаемых, и что в резуль-
тате, в силу этого, цифра сотых всё же должна быть сохра-
нена, хотя она и не вполне надёжна. Чтобы проверить спра-
ведливость такого предположения, проведём вычисление '
ещё раз, обращая все слагаемые в десятичные дроби уже не
е двумя, а с четырьмя десятичными знаками. Тогда получим:
S » 0,3333 + 0,1429 0,1111 - 0,0909 + 0,0769 +
+ 0,0667 + 0,0588 + 0,0526 + 0,0476 + 0,0435,
S « 1,0243.
Как видим, первое вычисление дало точную цифру
сотых долей суммы. Наше предположение вполне подтверди-
лось. В других случаях последний десятичный знак суммы
приближённых слагаемых, имеющих поровну десятичных
знаков, может оказаться и не вполне точным. Можно искус-
ственно подобрать даже и такие примеры, где он будет сов-
сем неверен. Однако более глубокие соображения, понимание
которых возможно лишь при знании высшей математики,
показывают, что складывая или вычитая приближённые
числа, получаемые в результате счёта или измерения и
имеющие одинаковое число десятичных знаков, мы можем
с доверием отнестись и ко всем десятичным знакам резуль-
тата, если только число слагаемых не слишком велико.
Иначе обстоит дело в тех случаях, когда приближённые
данные имеют разное число десятичных знаков. Положим, нам
известно, что стеклянный пузырёк весит 52,3 г пробка к
нему 4,75 г. Мы влили в него 35 г воды, отмерив её мен-
зуркой. Каков общий вес пузырька с водой и пробкой?
В первом слагаемом мы знаем десятые доли, но не знаем
ни сотых ни тысячных. Во втором знаем десятые и сотые,
но не знаем тысячных. В третьем знаем только целые. Пере-
пишем все слагаемые, заменив неизвестные их цифры зна-
ками вопроса, и выполним сложение;
52,3??
4,75?
35,???
92,05?
Чтобы получить цифру сотых суммы, нужно сложить
неизвестную цифру сотых первого слагаемого с цифрой 5
второго слагаемого и неизвестной же цифрой третьего сла-
гаемого. Мы написали в сумме цифру 5, но совершенно ясно,
что никакого доверия она не заслуживает. Так же обстоит
дело и с цифрой десятых. Необходимо отбросить совсем не-
надёжные цифры десятых и сотых долей суммы. Получаем
число 92 г, которое и даёт ответ на поставленный вопрос.
Подобным же образом приходится поступать и при вычи-
тании. Отнимая, например, из приближённого числа 2,8 при-
ближённое же число 1,248, мы получаем в результате число,
в котором только цифры целых и десятых заслуживают до-
верия, остальные же должны быть отброшены:
2,8???
— 1,248?
1,552?
1,’б ’
Рассмотренные примеры убеждают нас в целесообраз-
ности такого правила: при сложении и вычитании чисел в
результате следует сохранять столько десятичных знаков,
сколько их имеет наименее точное данное, причём менее
точным данным считается то, в котором меньше десятич-
ных знаков.
Заметим, что точные данные, если они имеются, в расчёт
принимать вовсе не надо, так как в точном числе можно
приписать сколько угодно нулей справа. Так, вычисляя
сумму:
2,4+ 13,85 + 0,047,
4 В. М. Брадис
49
где первое слагаемое точное, второе — приближённое, имею-
щее два десятичных знака, и третье — приближённое, имею-
щее три десятичных знака, мы должны округлить результат
до СОТЫХ:
2,4000
13,85??
0,047?
16,2970
16,30
При сложении и вычитании целых приближённых чисел
приходится руководствоваться теми же соображениями, как
и при сложении и вычитании дробных приближённых чисел.
Пусть нам приближённо известна численность населения че-
тырёх городов: в первом 26 тысяч человек или 26000, во вто-
ром 38)0, в третьем 2990, в четвёртом 113о. Таким образом,
численность населения первого города известна с точностью
до тысяч, второго и третьего до сотен, четвёртого до десят-
ков (понятно, что чем меньше город, тем точнее можно
сосчитать число жителей). Желая узнать численность насе-
ления всех четырёх городов вместе, складываем данные
числа и замечаем, что в результате только две первых
цифры надёжны. Только их и сохраняем, отбрасывая все
последующие:
26???
38??
29??
ИЗ?
3383?
3 4 0 0 0
Итак, население всех четырёх городов вместе составляет
34 тысячи человек.
Служащий одного музея уверял, что хранящаяся в этом
музее статуя сделана 4008 лет тому назад, и доказывал это
лицам, сомневавшимся в возможности столь точного опре-
деления возраста статуи, следующим образом: «Когда я
поступил на службу в музей, говорил он, директор музея
сказал мне, что статуе — 4000 лет. Я служу в музее уже
8 лет. Значит, теперь статуе 4000 -|- 8 = 4008 лет». Служа-
щий, очевидно, не понтмал, что число 4000 лет — приближён-
ное, имеющее, повидимому, лишь одну надёжную значащую
цифру (4). Число это, таким образом, правильнее было бы
писать в виде 40:;0 или 4 тысячи. Сумму 4008 надо, следо-
вательно, округлить, сохраняя в ней только одну цифру ты-
сяч, что даст опять то же самое число 4000 или 4 тысячи.
Служащий мог бы служить в музее не 8, а 80 лет, и всё же
50
возраст статуи оставался бы всё время один и тот же, 4 ты-
сячи лет.
Чтобы покончить со сложением и вычитанием прибли-
жённых чисел, упомянем об одном неприятном для вычисли-
теля явлении — о так называемой «потере точности при вы-
читании» (правильнее было бы говорить «потеря значащих
цифр»). Чтобы понять это явление, рассмотрим пример. Рас-
стояние от центра земли до любой точки на экваторе равно
6378,4 км, а до каждого из полюсов 6356,9 км (земля, таким
образом, немного сплющена). На сколько первое расстояние
больше второго? Производя вычитание, находим, что раз-
ность равна 21,5 км. Число десятичных знаков в разности
одинаково с числом десятичных знаков в каждом из дан-
ных—везде по одному. Но число значащих цифр резко изме-
нилось: в каждом из данных было по 5 значащих цифр, раз-
ность же их имеет только 3. Это обстоятельство, как мы уви-
дим далее, имеет большое значение, если над полученным
результатом придётся выполнять ещё другие действия, кроме
сложения и вычитания.
Подобная «потеря значащих цифр» (или»«потеря точ-
ности») имеет место всегда, если приходится производить
вычитание приближённых чисел, близких друг к другу.
Упражнения
111111
1. Найдите значение х — —*4 — "8” — Тб ^32— (^.обращая
все дроби в десятичные с 3 десятичными знаками. Для поверки сделайте
вычисление ещё раз, уже в обыкновенных дробях, и сравните резуль-
таты.
2. В стену каменного дома заделан нивелировочный знак (репер),
относительно которого известно, что он находится выше уровня моря
на 62,342,и. Конёк крыши дома, согласно нашему измерению, находится
выше репера на 15,3 .w. Найти высоту конька крыши над уровнем моря.
3. Обрезок стальной оси представляет собой цилиндр с цилиндри-
ческой же головкой и выступом. В цилиндре сделан канал (дырка) для
шпильки. Найти объём обрезка, зная, что, согласно произведенным из-
мерениям и вычислениям, объём цилиндра равен 161,7 куб. см, объём
головки—21,9 куб.см, объём выступа — 0,287 куб.см и объём капала—
2 90 куб. см.
4. Найдите значение х по формуле:
I 1 1 1 1 1 1 1
Х ~ 1 . 2 + 2.3‘ + 3.4 + 4 . 5 + 5 . 6 6 . 7 + 7 . 8 8.9’
обращая каждое слагаемое в десятичную дробь с тремя десятичными
знаками. Затем, заменяя каждое слагаемое разностью двух дробей (до-
гадайтесь, каких), сообразите, каким значительно более простым спо-
собом можно найти х, и вычислите х этим способом с 5 десятичными
знаками (в настоящей задаче все данные считаем точными).
§ 13. УМНОЖЕНИЕ ПРИБЛИЖЁННЫХ ЧИСЕЛ
Положим, имеется прямоугольник, стороны которого равны
приближённо 45,6 см и 21,8 см; надо найти его площадь.
Как известно, для этого надо перемножить числа, выражаю-
4* 51
шие длины сторон. Выполнив умножение, получаем число
994,08 кв. см. Какие же цифры этого произведения надёжны
и какие ненадёжны и должны, следовательно, быть отбро-
шены?
При сложении и вычитании приближённых чисел мы
смотрим, сколько десятичных знаков имеет каждое прибли-
жённое данное, и сохраняем в результате столько десятич-
ных знаков, сколько их имеет наименее точное данное, при-
чём менее точным данным считается то, в котором меньше
десятичных знаков. При умножении же количество десятич-
ных знаков никакого значения не имеет, так как при изме-
нении положения запятой во множимом (или во множителе,
или в обоих вместе) в произведении изменяется лишь поло-
жение запятой, цифровой же состав произведения остаётся
неизменным. То правило, какое мы получили для определе-
ния числа надёжных цифр в сумме и разности, для произве-
дения, очевидно, совершенно непригодно.
Рассмотрим подробно умножение двух данных выше
приближённых сомножителей, поставив знак вопроса вместо
неизвестной цифры сотых долей в каждом:
У 45,6?
21,8?
>?? ??
36 48 ?
45 6?
912 ?
994,08??
От умножения множимого 45,6? на неизвестную цифру
множителя (?) получается первое частное произведение, со-
держащее либо 4, либо 5 цифр. Например, при умножении
на 2 получилось бы четырёхзначное число (91,2?), при умно-
жении на 5 — уже пятизначное (228,0?). Однако пятая с
конца цифра, если она есть, не может быть очень большой.
Чтобы это обстоятельство отметить, эта пятая цифра обозна-
чена маленьким знаком вопроса.
Рассматривая, как произошла каждая цифра окончатель-
ного произведения, видим, что две первых его цифры вполне
надёжны, третья же, происшедшая от сложения маленького
знака вопроса с цифрами 6, 5, 2, уже не вполне надёжна,
тем более, что в неё должны перейти десятки, получаемые
при сложении цифр ближайшего справа столбца. Четвёртая
и пятая цифры произведения (0 и 8) уже вовсе ненадёжны.
Отсюда заключаем, что в произведении следует сохранить
три первых цифры, последние же две надо отбросить. Итак,
искомая площадь прямоугольника приближённо равна
994 кв. см. Здесь, перемножая два приближённых числа
52
с 3 значащими цифрами каждое, мы получили произведение
тоже с 3 значащими цифрами. Выразив данные в милли-
метрах, мы получили бы в произведении 99400 кв. мм. Вы-
разив их в дециметрах, мы получили бы в произведении
9,94 кв. дм.
В рассмотренном примере два трёхзначных числа дали в
произведении (до его округления) число пятизначное. Чаще
бывает, однако, что произведение двух трёхэначных чисел
есть число шестизначное. Например, умножая 95,6 на 21,8,
получаем в произведении 2084,08. Здесь уже первые три
цифры произведения надёжны, четвёртая и последующие
ненадёжны, в чём легко убедиться, рассматривая происхож-
дение каждой цифры окончательного произведения:
95,6?
х 2£,8 э
??? ??
7 648 ?
9 56?
191 2? _
2084,08??
В первом частном произведении либо 4, либо 5 значащих
цифр, причём пятая с конца цифра может быть уже довольно
значительной, поэтому мы изображаем её уже не маленьким
знаком вопроса, как в предыдущем примере, а большим.
Как видим, в результате получилось опять три надёжных
значащих цифры. Остальные цифры отбрасываем и получаем
в произведении число 2080.
Рассматривая разные другие примеры умножения трёх-
значного приближённого числа на другое тоже трёхэначное
приближённое число, мы встретим случаи, когда даже в
третьей значащей цифре произведения будет довольно зна-
чительная погрешность, а также случаи, когда не только
первых три, но и четвёртая цифра произведения оказываются
надёжными. Однако оказывается, что такие случаи встре-
чаются редко, а в громадном большинстве случаев произве-
дение двух трёхзначных приближённых чисел имеет как раз
три надёжных цифры, которые только и следует сохранять,
отбрасывая все последующие. Точно также при умножении
двух двузначных приближённых чисел получаются две надёж-
ных цифры в произведении, двух однозначных — одна
цифра, двух четырёхзначных — четыре цифры и т. д.
Вообще получаем следующее практическое правило умноже-
ния приближённых чисел:
При умножении двух приближённых чисел, имеющих по-
ровну значащих цифр, в произведении следует сохранять
столько значащих цифр, сколько их было в каждом сомно-
жителе.
53
Как уже замечено выше, при применении этого правила может
получиться число, последняя цифра которого имеет довольно значитель-
ную погрешность, а именно, доходящую до 6 единиц, но не выше.
Пусть, например, имеются точные сомножители 10,49 и 9,949, дающие
точное же произведение 104,36501. Округляя эти сомножители до 2 зна-
чащих цифр, получаем приближённые числа 10 и 9,9, имеющие по 2
значащих цифры каждое. Их произведение 99,0 округляем, согласно пра-
вилу, до 2 значащих цифр и получаем приближённое произведение 99.
Сравнивая его с точным произведением (104,36501), убеждаемся, что оно
имеет погрешность около 572 единиц (разряда последней цифры). Однако
такая большая погрешность может встретиться лишь при исключи-
тельно неблагоприятном стечении обстоятельств, что бывает крайне
редко. Действительно, более глубокие соображения показывают, что
в среднем на каждые 100 умножений двух приближённых чисел, имею-
щих равное число (например, по три) значащих цифр и полученных
путём округления точных чисел, 92 раза встречается погрешность, не
превышающая одной единицы разряда третьей значащей цифры произ-
ведения, 6 раз—погрешность, большая 1 и меньшая 2 единиц этого раз-
ряда, 2 раза—погрешность, большая 2 и меньшая 3 единиц. Погреш-
ность от 3 до 4 единиц встречается в среднем 5 раз на каждую 1000
умножений, а погрешность от 4 до 6—лишь 6 раз на каждые 10 000
умножений. Погрешности, большие 6 единиц, не могут встретиться
никогда.
Чтобы получить эти числа («числа частот»), необходимо применение
высшей математики. Однако нетрудно сделать опыт, который прибли-
зительно подтвердит правильность этого расчёта. Такой опыт требует
большой вычислительной работы и труден, если его производить одному.
Но при коллективной работе группы в 20—30 человек, сделать его
можно в 15—20 минут. Пусть каждый участник группы возьмёт несколько
пар совершенно произвольных трёхзначных чисел (цифры пишутся
каждым наудачу) и проделает с ними такие операции: 1) перемножит
числа каждой пары и поставит запятую после двух первых значащих
цифр произведения (эти произведения будем считать точными);
2) округлит все взятые произвольные трёхзначные числа до 2 знача-
щих цифр (конечно, соблюдая правила округления, рассмотренные
в § 8); 3) перемножит округлённые числа каждой пары и поставит
запятую после первых двух значащих цифр каждого произведения (эти
произведения—приближённые): 4) найдёт разницу между точным и
приближённым произведениями. При этом каждый записывает свои вы-
числения по следующей схеме:
I пара 11 пара III пара IV пара
Произвольные трёхзначные числа (Д и В) 195 и 927 747 и 853 331 и 252 684 и 122
Их произведение АВ (запятая после 2 цифр) 18’0765 63’7191 83’412 83’4-18
Те же числа А и В после их округления до 2 значащих цифр (а и Ь) ............ 20 и 93 75 и 85 33 и 25 68 и 12
Их произведение ab (запятая после 2 цифр) 18'60 63’75 82’5 81’6
Разница между АВ и ab (по- грешность ab) ........ 0.5235 0,0309 0,912 1,848
54
Здесь сделано 4 умножения, причём погрешность три раза оказа-
лась меньше 1 и один раз между 1 и 2.
Вот результат такого действительно проделанного «массового»
опыта, когда было взято 200 пар чисел:
Погрешность меньше 1 встретилась 186 раз, или в среднем 93 раза
на 10О.
Погрешность от 1 до 2 встретилась 10 раз, или в среднем 5 раз
на 100.
Погрешность от 2 до 3 встретилась 3 раза, или в среднем 1,5 раза
на 100.
Погрешность от 3 до 4 встретилась 1 раз, или в среднем 0,5 раза
ь:а 100.
Погрешностей больше 4 не было.
Всего 200 умножений.
Сопоставляя результаты этого опыта с теми «числами частот», ка-
кие были приведены выше, замечаем, что опыт подтверждает теорию.
Некоторое расхождение между результатами опыта и теорией объяс-
няется тем, что теория даёт только средние числа, к которым резуль-
таты опыта тем ближе, чем больше было проделано умножений.
s *
Рассмотрим ещё два примера на применение правила
умножения приближённых чисел.
3 1
Надо найти произведение 1 — • -45, обращая каждый
сомножитель в десятичную дробь с четырьмя значащими циф-
рами.
1у= 1,4285... = 1,429; -^- = 0,022222... « 0,02222;
1,429.0,02222 = 0,03175238 ~ 0,03175.
Здесь мы округлили произведение до четырёх значащих
цифр, так как столько их имеет каждый сомножитель. Для
поверки найдём произведение данных обыкновенных дробей,
не обращая их в десятичные, но обращая в десятичную
дробь результат:
31 101 9
14 ~ = 0,031746...
7 45 / . 4о 63 ’
Сравнивая это точное произведение с неокруглённым
произведением приближённых сомножителей, замечаем, что
в этом последнем три первых значащих цифры (3, 1, 7)
точны, четвёртая же не вполне точна (надо 4, а там 5).
Поэтому мы сделали правильно, округлив это произведение
приближённых сомножителей до четырёх значащих цифр.
Округление точного произведения до четырёх значащих цифр
даёт тот же результат 0,03175.
Найдем еще произведение 1-^ • 1-jr-, обращая каждый
сомножитель в десятичную дробь с двумя значащими циф-
рами:
55
145.= 1,909... = 1,9; 1|-= 1,833... = 1,8;
1,9. 1,8 = 3,42 = 3,4.
Здесь сделано округление произведения до двух значащих
цифр, так как каждый приближённый сомножитель имеет
две значащих цифры. Для поверки берём опять точное про-
изведение и обращаем его в десятичную дробь:
.10 . 5 _ 21 . 11 _ 7 _ _
*11 ' 1 6 “11.6“ 2“ °’0,
Правильность сделанного округления числа 3,42 до двух
значащих цифр подтверждается.
Теперь посмотрим, сколько надёжных цифр имеет произ-
ведение, получаемое от умножения двух приближённых чи-
сел, данных с разным числом значащих цифр. Найдём произ-
ведение -[у- на 2 y , обращая первую дробь в десятичную
с двумя значащими цифрами, а вторую —с четырьмя знача-
щими цифрами:
-£- = 0,4545... = 0,45; 2 4- = 2,1428... = 2,143;
0,45 • 2,143 = 0,96435.
Чтобы узнать, какие цифры этого приближённого произ-
ведения следует сохранить и какие отбросить, найдём точное
произведение и обратим его в десятичную дробь:
I 1'1 7'.
— • 9_ — - — — — о 9740
11 “ 7 — 11.7 77 U,J/ и ..
Как видим, уже вторая значащая цифра приближённого
произведения не вполне точна. Следовательно, в данном слу-
чае в произведении (двузначного приближённого числа на
четырёхзначное приближённое число) следует сохранить две
значащих цифры, а остальные отбросить:
0,45.2,143 = 0,96435 = 0,96.
К тому же заключению приходим, рассматривая произве-
дение -^-наб— и обращая первый сомножитель в десятич-
ную дробь, например, с двумя значащими цифрами, а вто-
рой с тремя:
-£- = 0,4545... = 0,45; 6-J- = 6,1428... = 6,14;
0,45.6,14 = 2,7630 = 2,8.
Проверка:
5 fi_l_ _ 5 . 43 _ 215 _ о 7Q
11 ° 7 — 11.7 — 77 —
Рассматривая произведение двух неравноточных прибли-
жённых чисел, можно опять воспользоваться знаками
вопроса
56
2,143? 6,14?
х 0,45? Х 0,45?
?????? ’????
10715? 3070?
8572? 2456?
0,96435?? 27630??
0,96 2,8
Мы приходим таким образом к правилу:
при умножении приближённых чисел в результате
следует сохранять столько значащих цифр, сколько их
имеет менее точное данное, причём менее точным считает-
ся то число, у которого меньше значащих цифр.
Более детальное рассмотрение показывает, что, применяя
это правило, мы большей частью будем иметь лишь незначи-
тельную погрешность в последней значащей цифре округлён-
ного произведения. Только в крайне редких, исключительных
случаях погрешность может оказаться в несколько единиц
разряда последней цифры, но во всяком случае она будет
меньше 6. Проверить это можно посредством массового
опыта, подобного тому, какой описал выше.
Это же правило применяется и в случае умножения
приближённого числа на точное (или наоборот). Действи-
тельно, всякое точное число можно считать имеющим неогра-
ниченное число значащих цифр (возможно приписывание
сколько угодно нулей справа). Так, желая узнать периметр
правильного восьмиугольника, каждая сторона которого ока-
залась по измерении равной 6,57 см, мы должны прибли-
жённое число 6,57 умножить на точное число 8 — 8,000...
Здесь приближённое число с тремя значащими цифрами есть
менее точный сомножитель, а потому и в произведении надо
сохранить тоже три значащих цифры:
6,57 см . 8 = 52,56 см » 52,6 см.
Упражнения
1 4 5 8 8 11
1. Узнайте, чему равны произведения: 5 g-• 2-у-; 4-р: • ' Т8
двумя способами: во-первых, обращая каждую обыкновенную дробь
в десятичную, перемножая десятичные дроби и округляя результат;
во-вторых, перемножая обыкновенные дроби и обращая результат в де-
сятичную дробь. При обращении чисел первой пары, возьмите по 4 де-
сятичных знака, второй — по 3, третьей — по 2. Сравните результаты,
полученные обоими способами.
2. В рассказе, переведённом с английского, читаем, что отряду
пришлось пройти 216 миль. Зная, что английская миля составляет
1,609 км, найти, сколько километров прошёл отряд.
3. Сторона правильного шестиугольника приближённо равна
2,82 см. Найти его периметр.
4. Зная, что сторона квадрата а -2,13 м, найти, сколько квадрат-
ных метров содержит его площадь.
5. Земля в своём движении вокруг солнца делает приблизительно
30 км в ! сек. Какой путь проходит Земля в L час?
6. Объём стеклянной пластинки i1 156 куб. см. Найти её вес,
если плотность стекла 2.5.
7. Поперечник колеса d -»67 см. Зная, что длина всякой окруж-
ности в -« 3,14 раза больше её поперечника, найти длину окружности
колеса.
8. Если растягивать железную проволоку, то она разорвётся при
нагрузке около 4 кг на каждый квадратный миллиметр сечения. При
какой нагрузке разорвётся проволока с сечением в 18 кв. мм?
§ 14. ДЕЛЕНИЕ ПРИБЛИЖЁННЫХ ЧИСЕЛ
При делении приближённых чисел применяются те же са-
мые правила, что и при умножении, а именно: при делении
двух приближённых чисел, имеющих одинаковое число
значащих цифр, в частном следует сохранять столько
значащих цифр, сколько их в каждом из данных; если же
данные имеют не поровну значащих цифр, то в частном
следует сохранять столько значащих цифр, сколько их в
менее точном данном, причём менее точным считается
число, имеющее меньше значащих цифр.
Положим, мы установили (измерением длины и взвеши-
ванием), что железная полоса длиной в 2,18 м весит 9,36 кг,
и желаем узнать, сколько весит I м этой полосы. Для этого
надо разделить 9,36 (приближённое число с тремя знача-
щими цифрами) на 2,18 (тоже приближённое число с тремя
значащими цифрами). Выполняем деление, поставив вместо
неизвестной четвёртой цифры каждого числа знак вопроса:
936^ ?; 218? = 4,29.
872; ?
64; ??
43; 6?
20;4??
19;62?
; 78?
Все цифры правее вертикальной пунктирной черты со-
вершенно ненадёжны, а потому производить деление дальше
нельзя. Как видим, при делении двух приближённых чисел,
имеющих по три значащих цифры каждое, оказалось в на-
стоящем случае возможным получить три значащих цифры
1В частном, но не более.
9 1
Сделаем ещё двумя способами деление числа 2-^-на З-у- •
Первый способ:
2 -у = 2,6666...» 2,667; 3-|- = 3,1428... 3,143;
2,667 : 3,143 —0,84855... ~ 0,8486.
.58
В т'о р о й способ:
2 : 3-~ = 0,848484... 0,8485.
Выполняя деление первым способом, мы округлили ча-
стное до четырёх значащих цифр, так как каждое из данных
имело по четыре значащих цифры. Сравнивая полученные
обоими способами результаты, замечаем, что наше правило
подтвердилось и здесь: при делении двух четырёхзначных
приближённых чисел четвёртая значащая цифра частного
оказалась не вполне точной. Сохранить эту четвёртую цифру
частного, однако, стоит, так как погрешность в ней невелика
(1 единица), брать же последующие цифры частного нет ни-
какого смысла.
Рассмотрим теперь пример на деление приближённых
чисел, имеющих разное число значащих цифр.
Кусок алюминия весит 654,7 г. Зная, что плотность алю-
миния 2,6, найти объём этого куска алюминия.
Здесь нам надо выполнить деление числа 654,7 (прибли-
жённое число с четырьмя значащими цифрами) на 2,6 (при-
ближённое число с двумя значащими цифрами). Поступаем
согласно правилу, т. е. берём в частном столько значащих
цифр, сколько их имеет менее точное данное, а именно две:
654,7 : 2,6 = 6547 : 26 = 251,8... 25о.
Итак, вода в объёме взятого куска алюминия весит 25о г
или 0,25 кг, а потому объём куска 25о куб. см или 0,25 куб.дм.
Чтобы убедиться в том, что здесь действительно можно
получить лишь две заслуживающих доверия цифры в ча-
стном, выполним деление со знаками вопроса:
654,7? : 2,6? 65 47? : 26 ? = 25.
52 ?
13' 47
13; О?
47?
Цифры, написанные правее пунктирной вертикальной
черты, вовсе ненадёжны, деления дальше продолжать нельзя.
Вычислим еще частное от деления -у- на -у- двумя спосо-
бами.
Первый способ: -у- = 0,1428... ~ 0,143;
=0,42857... 0,4286;
0,143 :0,4286 - 0,3336... ~ 0,334.
59
Здесь в частном от деления трёхзначного приближённого
числа на четырёхзначное приближённое число сохранены,
согласно правилу, три значащих цифры.
Второй способ: 1 : -2- = — = 0,3333 * 0,333.
Сравнение результатов подтверждает целесообразность
округления, сделанного над частным при решении по пер-
вому способу.
♦ -
Как и произведение приближённых чисел, частное двух прибли-
жённых чисел, округлённое согласно правилу, может в исключительных
случаях иметь довольно значительную погрешность в последней цифре.
Теория приближённых вычислений устанавливает, что при делении,
например, двузначного приближённого числа на другое двузначное
приближённое число (предполагая, что оба этих числа получены путём
округления точных чисел) на каждые 100 делений мы получим в сред-
нем 93 раза частное с погрешностью, не превосходящей 1 единицы раз-
ряда второй значащей цифры, 6 раз — с погрешностью от I до 2, и
только 1 раз—с погрешностью больше 2. При этом погрешность больше
2 и меньше 4 встречается в среднем 13 раз на 1000 делений, больше 4
и меньше 6 — 7 раз на 10 000 делений, больше 6 и меньше 10—2 раза
на 10 000 делений. Погрешность больше 10,5 единиц разряда второй
значащей цифры частного встретиться никогда не может.
Проверить (приблизительно) правильность этого расчёта можно
посредством опыта, производимого целой группой, Вот образец вычисле-
ния, какое должен проделать каждый участник такой работы:
I пара П пара III пара IV пара
Произвольные трёхзначные числа (Я и В) 79,2 и 1,28 82,2 и 5.01 55,1 и 3,54 672 и 8,71
Частное от деления А на В (запятая после 2-п значащей цифры; 61,87... 16,407... 15,56... 77,06-
Те же числа А и В, округ- лённые до 2-х значащих цифр (а и Ь) 79 и 1.3 82 и 5,0 55 и 3.5 670 и 8,7
Частное от деления а на b (запятая после 2-й значащей цифры) 60,77... 16,400 15,71... 77,01...
А а Разница между -g~ и -у- . 1,10... 0,007 0,15... 0,05...
Проделав такой опыт с большим (не менее 100) числом пар чисел,
убедимся, что действительно в частном от деления двух двузначных
приближённых чисел следует сохранять две первых значащих цифры,
но не более.
60
Упражнения
I 11 13 7
1. Найдите частные от деления 4 у на 12—; 7у на 8 у; 1-^ на
двумя способами (во-первых, обращая каждое данное в десятичную
дробь и производя деление десятичных дробей; во-вторых, производя
деление в обыкновенных дробях и обращая частные в десятичные
дроби). Числа первой пары обратите в десятичные дроби с двумя зна-
чащими цифрами, второй — с тремя, третьей — с четырьмя. Результаты,
полученные обоими способами, сравните.
2. Отвесив 250.0 г свинцовой дроби и высыпав эту дробь в мензурку
с водой, заметили, что объём этой дроби равен приблизительно
22 куб. см. Сколько граммов весит 1 куб. см свинца?
3. Измерив окружность С круглого бревна и его поперечинка <!.
получили числа ЮН см и 34 см. Каково отношение С к rf?
4. Зная, что отношение длины окружности к её диаметру, обычно
I
обозначаемое буквой г., приближённо равно 3.1', найдите значение —.
5, Чтобы найти диаметр проволоки, её намотали на палку, укла-
дывая витки рядом друг с другом. Оказалось, что 22 витка заняли
9,0 мм по длине палки. Найдите диаметр проволоки
6. Поезд прошёл расстояние в 166 к.и = 166ооо м за 3 час. 48 мни. =
= 228 мин. Найти среднюю скорость поезда в метрах в секунду.
7. Находясь на расстоянии 2,0 км от фабрики, мы замечаем, что
между моментом появления облачка пара над гудком на фабричной
трубе и моментом, когда мы слышим звук гудка, проходит около 7 сек.
Найти скорость звука.
8. Какой ширины должна быть полоса земли, чтобы при длине
в 164 м она имела площадь 860 кв. м?
9. Железная трубка, имевшая при температуре в 16" И длину
1000.0 мм, при пропускании через неё паров кипящей воды удлинилась
до 1001.0 мм. Найти удлинение, вызываемое нагреванием на 1° (темпе-
ратура паров кипящей воды 100° Ц).
§ 15. ОКРУГЛЕНИЕ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
Если для получения искомого числа надо выполнить
несколько действий, то окончательный результат мы полу-
чаем после выполнения последнего действия, все же осталь-
ные действия дают результаты промежуточные. Округляя
каждый промежуточный результат согласно рассмотренным
выше правилам, мы к погрешности от неточности данных
присоединяем ещё погрешность округления. Эти погрешности
округления накопляются, и могут в конце концов оказать
заметное влияние на окончательный результат. Оказывается,
что влияние это можно устранить почти целиком, если во
всех промежуточных результатах брать не столько цифр,
сколько указывают рассмотренные выше правила, а одной,
цифрой больше. Эту запасную цифру, как ненадёжную, бу-
дем писать в уменьшенном размере. В окончательном ре-
зультате её, конечно, надо отбрасывать.
Поясним это правило округления промежуточных резуль-
татов парой примеров.
Пскложим, надо вычислить сумму произведений
х = 2,18 . 3,6 4- 3,74 . 1,8 4- 4,06 . 2,4 + 8,61 . 0,90,
61
где первый сомножитель каждого произведения — прибли-
жённое число с тремя значащими цифрами, второй же — с
двумя.
Проведём это вычисление: 1) без запасной цифры в про-
межуточных результатах, 2) с одной запасной цифрой,
3) с двумя запасными цифрами (умножения выполняются
в стороне):
Без запасной цифры С одной запасной цифрой С двумя запасными цифрами
2,18 • 3,6 - 7,8 7,85 7,848
3,74 • 1,8 - 6,7 6,7з 6,7з2
4,06 • 2,4 - 9,7 9,74 9,744
8,61 • 0,90- 7,7 7.75 7,749
Сумма х~31,9 32,07 32,073
х -31,9 32,1 32,1
Как видим, сохранение одной запасной цифры в данном
случае оказало заметное влияние на окончательный резуль-
тат. Вторая же запасная цифра оказалась бесполезной.
Узнаем ещё, сколько граммов весит 1 куб. см дубового де-
рева, если измерения показали, что находящийся в нашем рас-
поряжении дубовый брусок в форме прямоугольного паралле-
лепипеда имеет размеры 4,3 см на 5,8 см и на 12,7 см, а вес
его 260 г.
Проведём вычисления, как и в предыдущей задаче, три
раза. Площадь основания:
4,3.5,8^25, 4,3.5,8^24,9, 4,3.5,8^ 24,94.
Объём бруска,-
25.12,7^ 320, 24.9.12,7 ^ 316, 24,94 . *2,7 316,7
Вес 1 куб. см:
260:320^ - 0,81, 260 : 316 0,82, 260:316,7^0,82.
Здесь, как и в предшествующей задаче, сохранение одной
запасной цифры в промежуточных результатах оказало не-
которое влияние на* последнюю цифру окончательного ре-
зультата, вторая же запасная цифра ничего не изменила.
Иногда, особенно прп решении задач в 2—3 действия,
бывает, что вычисление с одной запасной цифрой в проме-
жуточных результатах приводит к тому же окончательному
результату, что и вычисление без запасной цифры. Однако
осторожности ради, будем всегда брать эту одну запасную
цифру. При решении особенно сложных вычислительных за-
ддч лучше брать даже две запасных цифры.
Упражнения
1. Зная, что ребро куба имеет длину 2,54 см, узнать его объём.
Вычисление произвести три раза (без запасной цифры в промежуточ-
ных результатах, с одной запасной цифрой, с двумя запасными
цифрами).
62
2. Найти произведение разности чисел 18,94 и 17,5 на число 65,.
считая все данные приближёнными числами. Вычисление провести два
раза (без запасной цифры и с одной запасной цифрой).
§ 16. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ОКРУГЛЕНИЕ БОЛЕЕ ТОЧНЫХ ДАННЫХ
Пусть требуется сложить 4 приближённых числа:
2,4; 7,1645; 1,2517; 0,8813.
Так как первое приближённое слагаемое имеет один де-
сятичный знак, остальные же по четыре десятичных знака,
то, согласно правилу сложения приближённых чисел, в сумме
сохраняем только один десятичный знак:
2,4
, 7,1645
+ 1,2517
0,8813
11,6975
И,7
Здесь более высокая точность трёх последних слагаемых
оказалась бесполезной, и лишние десятичные знаки доста-
вили только лишнюю вычислительную работу. Естественно
возникает вопрос: нельзя ли заранее округлить эти более
точные слагаемые с таким расчётом, чтобы точность оконча-.
тельного результата от этого не пострадала и чтобы беспо-
лезной работы делать не приходилось? Оказывается, такое
предварительное округление более точных данных вполне
возможно, надо только, чтобы не ввести заметной погрешно-
сти, сохранить в каждом более точном слагаемом один лиш-
ний десятичный знак сравнительно с наименее точным (по
числу десятичных знаков) слагаемым. В самом деле, сде-
лаем сложение указанных выше приближённых слагаемых
ещё раз, предварительно округлив последние три слагаемых
до одного десятичного знака (запасной цифры нет), а затем
повторим сложение, округлив предварительно каждое более
точное слагаемое до двух десятичных знаков, т. е. удержи-
вая одну запасную цифру:
2,4 2,4
, 7,2 . 7,16
1,3 “1,25
0,9 0,88
11,8 11,69
11,7
Как видим, предварительное округление данных с сохра-
нением одного запасного десятичного знака привело к тому
же самому результату, как и сложение без предварительного
округления. Предварительное же округление без запасной
63..
цифры дало результат, немного отличающийся от первона-
чального (11,8 вместо 11,7).
То же самое приходится делать и в отношении действий
умножения и деления, если данные имеют разную точность
(припомним, что при этих действиях точность данных оцени-
вается не по числу десятичных знаков, а по числу значащих
цифр). Те данные, которые имеют больше значащих цифр,
чем другие, надо предварительно округлять, сохраняя в них
только одну лишнюю («запасную») значащую цифру.
Встречая в старых книгах данные в дореволюционных
русских мерах, мы часто вынуждены бываем переводить их
в метрические. Положим, требуется перевести в килограммы
вес, равный 3 пудам 18 фунтам или 138 фунтам. Известно,
что 1 фунт — 0,40951241 кг. Для решения задачи надо
умножить это последнее число (приближённое число
с восемью значащими цифрами) на 138 (приближённое число
с тремя значащими цифрами). Согласно правилу умножения
приближённых чисел, результат нам надо будет округлить
до трёх значащих цифр. Сделаем это умножение: 1) без
предварительного округления более точного сомножителя,
2) с предварительным его округлением до четырёх значащих
цифр, т. е. с сохранением одной запасной цифры, 3) с пред-
варительным его округлением до трёх значащих цифр, без
сохранения запасной цифры. Получаем после округления
результата числа 56,5, 56,5, 56,6. Как видим, предваритель-
ное округление более точного данного с сохранением одной
запасной цифры привело к тому же самому результату (при
значительном уменьшении вычислительной работы), что и
умножение без предварительного округления. Предваритель-
ное округление без сохранения запасной цифры дало резуль-
тат, немного отличающийся от первоначального.
Узнаем ешё, чему равен поперечник круглого цилиндра,
длина окружности которого оказалась при измерении равной
87 см. Как известно, всякая окружность длиннее своего по-
перечника в -— 3,1415926... раз. Итак, для решения нашей
задачи надо разделить 87 (приближённое число с двумя зна-
чащими цифрами) на число ~ (выше указано приближённое
значение' ". с восемью значащими цифрами). Сделаем это
деление три раза, округляя к до 2, 3, 4 значащих цифр:
87 : 3,1 = 870 : 31 = 28,0... 28:
87 : 3,14 = 8700 : 314 = 27,7... 28;
87 : 3,142 — 87000 : 3142 = 27,6... 28.
Как видим, здесь даже при отсутствии запасной цифры
результат получился тот же, что и при одной или двух за-
пасных цифрах. Итак, искомый поперечник равен 28 см.
Осторожности ради, мы всегда, делая предварительное
64
округление более точных данных, будем сохранять в них
одну запасную цифру.
То число с которым мы сейчас имели дело, встре-
чается в вычислениях очень часто. Смотря по тому, какова
точность других данных, входящих в ту же задачу, это
число ~ приходится брать с различной точностью. Так, при
умножении или делении " на число, имеющее лишь одну
надёжную цифру, для ~ следует брать значение 3,1. В дру-
гих случаях ~ приходится брать с 3, 4, 5 и т. д. значащими
цифрами (3,14; 3,142; 3,1416 и т. д.).
Упражнения
1. Найдите сумму 186оо 372о + 4145-|-1839 три раза (с предва-
рительным округлением более точных данных без запасных цифр,
с одной запасной цифрой, с двумя запасными цифрами).
2. Найдите, скольким лошадиным силам раина мощность электро-
станции с объявленной мощностью в 4О<юо киловатт, если известно,
что 1 киловатт 1,361 лошадиной силы. Вычисление проведите, как и
в предшествующей задаче, три раза.
3. Найдите вес чугунной отливки объёмом в 9364 куб. см, зная, что
1 куб. см чугуна весит 7,3 г.
4. Город с населением в 12 465 человек занимает площадь в 9,6 кв. км.
Сколько человек живёт в среднем на 1 кв. км.?
§ 17. ПРИМЕРЫ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
С ПРИБЛИЖЁННЫМИ ЧИСЛАМИ
Решим несколько задач, применяя все установленные
правила действий над приближёнными числами.
1. Вычислим выражение
(2-г - 4-) •
оЧ
“12
двумя способами: 1) обращая все обыкновенные дроби
в десятичные с двумя десятичными знаками и проводя вы-
числение в десятичных дробях; 2) проводя вычисление
в обыкновенных дробях и обращая в десятичную дробь лишь
окончательный результат.
Первый способ.
1) 2-|- = 2,833... ~ 2,83; 2) 1 = 1,875 1,88;
3) 23-^- = 23,333... ~ 23,33; 4) 2-|i = 2,916... 2,92;
5) 2,83- 1,88 = 0,95; 6) 0,95.23,33-0,95.23,3 =
= 22,135 - 22,1; 7) 22,1 : 2,92 = 7,568... - 7,6.
Итак, ответ мы получили только с двумя значащими
цифрами, хотя все приближённые данные мы имели с тремя
и даже четырьмя значащими цифрами. Причиной этому —
5 в. М. Брадис 65
потеря одной значащей цифры при вычитании в действии
(5). В действии (6) мы должны были умножить приближён-
ное число с двумя значащими цифрами на приближённое
число с четырьмя значащими цифрами и применили предва-
рительное округление последнего до трёх значащих цифр.
Второй способ.
no5 _lL—О20 _ I2! 23. ОЧ23 од 1 23 • ~0 _ 805
' ’ ~ б 8 ' - 24 1 24 — 24 ’ “ ' 24 "ЛГ 24 . 3 “ 36 ’
805 . о 11 _ 805 . 12 _ 23 „2
” 36 ’ ~ 12 — 36.35 — '3 - Z‘3 •
Итак первый способ дал число 7,6 (приближённое число
с двумя значащими цифрами), второй же — число 7
(точное). Чтобы сравнить эти результаты, обращаем послед-
нее число в десятичную дробь. Получаем 7-3-= 7,666... Оба
способа, таким образом, дали согласные результаты. Заме-
тим, что неокруглённый окончательный результат, получен-
ный первым способом, имел третью значащую цифру, вовсе
неверную, и мы сделали совершенно правильно, округлив
его, согласно правилу деления приближённых чисел, до двух
значащих цифр.
2. Желая найти высоту дерева (х), измерили длину его
тени, оказавшуюся равной 12,7 м, и одновременно длину
тени, падающей от отвесно поставленного шеста длиной
165 см. Длина тени шеста оказалась равной 143 см.
Для решения задачи узнаем, во сколько раз шест длин-
нее своей тени. Для этого делим 165 на 143. Делимое и де-
литель—приближённые числа, каждое имеет три значащих
цифры. Поэтому в частном (промежуточный результат!)
берём четыре значащих цифры (последняя цифра — сомни-
тельная!:
165:143 =1,154-
Остаётся увеличить в 1,15; раза длину тени дерева. Здесь
мы имеем умножение двух приближённых трёхзначных чисел
и сохраняем в результате (окончательном!) только три
цифры:
12,7 . 1,154 = 14,6558= 14,7.
Ответ: х = 14,7 м.
3. На паровой машине установлен измеритель давления
пара в котле (манометр), показывающий давление в старых
русских мерах: фунтах на 1 квадратный дюйм. Выразить
в метрических мерах, а именно в килограммах на 1 квад-
ратный сантиметр, давление, равное, согласно показанию
этого манометра, 80 фунтам на квадратный дюйм.
Из справочника узнаём, что 1 дюйм = 2,540 см и 1 фунт =
= 0,4095 кг.
66
Решение:
1) 8о фунтов в килограммах: 0,41, 8о 32,8о«^33;
2) 1 кв. дюйм в кв. сантиметрах: 2,5 . 2,5 = 6,25^6,2;
3) искомое давление:... Зз . 6,2 = 5,3 ...== 5.
Ответ. Давление в 8о фунтов на 1 кв. дюйм равно
давлению в 5 кг на 1 кв. см.
При решении этой задачи мы имели одно приближённое
данное (80) с одной значащей цифрой и два приближённых
данных (2,540 и 0,4095) с четырьмя значащими цифрами
каждое. Эти последние более точные данные мы округлили,
сохраняя в каждом лишь по две значащих цифры.
4. Желая узнать, сколько граммов весит 1 куб. см ке-
росина, взяли небольшой стеклянный пузырёк и взвесили
его три ваза- первый раз пустым (оказалось 24,8 г), второй
раз — с водой (оказалось 74,6 г), третий раз — с керосином
(оказалось 64,9 г). Водой и керосином пузырёк наполняли
до одного и того же уровня (до чёрточки на горлышке).
Пользуясь этими данными, легко вычислить, сколько граммов
весит 1 куб. см керосина. Надо только помнить, что 1 куб. см
воды имеет вес 1 г, причём это последнее данное считаем
точным, пренебрегая, следовательно, тем небольшим изме-
нением веса 1 куб. см воды, какое, как известно, вызы-
вается изменением температуры.
Приводим ход решения и результаты, получаемые в каж-
дом действии:
вес керосина в пузырьке — 64,9 г — 24,8 г = 40,1 г;
вес воды в пузырьке — 74,6 г24,8 г = 49,8 г;
объём пузырька (до чёрточки)—49,8 куб. см;
вес 1 куб. см керосина — 40,1 г •’ 49,8 = 0,8052...г w 0,805 г.
Ответ: 1 куб. см керосина весит 0,805 г.
5. Имеется прямоугольный кусок листового железа и нужно
по возможности точнее найти его толщину. Непосредственное
измерение линейкой с делениями даёт эту толщину весьма
неточно: она оказывается равной приблизительномм =
=0,05 си (приближённое число с одной значащей цифрой, да
и то не вполне надёжной). Лучший результат даёт приме-
нение особого прибора («толщемера» или «мерки Паль-
мера»), позволяющего найти эту толщину с точностью до
сотых долей миллиметра. Но такой точности можно достичь
и без этого прибора, а именно, определяя сперва вес куска
(взвешиванием), затем его объём (вычислением, пользуясь
тем, что вес 1 куб. см железа известен и равен 7,8 г), потом
его площадь (находя длину и ширину непосредственным из-
мерением) и, наконец, его толщину (рассматривая кусок
листа, как прямоугольный параллелепипед с очень малой
высотой, которая и является толщиной листа).
5* 67
Вот запись всего решения:
вес куска железного листа—149,3 г (найдено взвешива-
нием);
вес 1 куб. см железа — 7,8 г (взято из справочника);
объём куска железного листа — 149,3:7,8=19,14...^
19,1 куб. см;
длина и ширина этого куска — 32,3 см и 12,7 см (найдено
измерением);
площадь куска (площадь основания параллелепипеда) —
32,3 см . 12,7 см = 410,21 кв. см ^ 410,2 кв. см;
толщина куска (высота параллелепипеда) — 19,1 : 410,2 =
—= 0,0465... >--• 0,047 см.
Ответ: толщина данного куска железного листа
0,047 см пли 0,47 мм.
Итак, косвенный способ измерения толщины дал значи-
тельно более точное приближённое её значение, чем способ
непосредственного её измерения линейкой. Теперь мы знаем
толщину с двумя значащими цифрами.
6. Имеется кожаный ремень, и надо выяснить, какое на-
тяжение он может выдержать, не разрываясь. Из справоч-
ников известно, что ремень разрывается, если на каждый
квадратный сантиметр поперечного сечения приходится
«нагрузка» от 240 до 280 килограммов. Измерения показали,
что толщина нашего ремня колеблется от 3 до 4 мм, а ши-
рина его составляет приблизительно 25 мм. Примем сред-
нюю толщину ремня равной 3,5 мм или 0,35 см (приближён-
ное число с одной надёжной значащей цифрой), ширину
равной 25 мм = 2,5 см (приближённое число с двумя на-
дёжными значащими цифрами), разрушающую нагрузку
равной 260 кг на 1 кв. см (приближённое число с одной
надёжной значащей цифрой). Отсюда площадь поперечного
сечения ремня:
0,35 -2,5=0,373 = 0,88 кв. см,
нагрузка, разрывающая ремень:
26о • 0,88 = 228,80^'230 кг.
Если мы будем считать допустимой нагрузку, составляю-
щую одну третью часть той, при которой происходит разрыв
ремня, т. е. примем, как говорят, «трёхкратный запас проч-
ности», то нам останется разделить число 230 на 3. Получая
в частном 76,6, округляем это число до одной значащей
цифры и получаем в окончательном ответе число 8о кг.
Итак, допустима нагрузка ремня до 8о кг (приближённое
число с 1 значащей цифрой).
68
Упражнения
1. Вычислите выражение
5— — 4 Л-
° 3 1 1 6 , п 2
двумя способами: 1) обращая все обыкновенные дроби в десятичные
с тремя десятичными знаками и проводя вычисление в десятичных дро-
бях: 2) проводя вычисление в обыкновенных дробях и обращая в де-
сятичную дробь только окончательный результат. Все данные считаем
точными
2. Желая узнать вес 1 куб. см железа, взяли прямоугольную же-
лезную пластинку, нашли её длину, ширину и толщину, и потом её
взвесили. Оказалось, что длина пластинки 12,3 см, ширина 8,4 см,
толщина 3,2 см, вес 2576 г. Найти вес 1 куб. см.
3. Латунную гирю в 500 г взвесили, погрузив её в воду (привязав
её предварительно на тонкой нитке в чашке весов), и оказалось, что
в воде она весит только 442 г. Припоминая, что всякое тело теряет
при погружении в жидкость столько, сколько весит жидкость в его
объёме и что I куб. см воды весит 1 г, найти вес 1 куб. см латуни,
из которой сделана гиря.
4. Медную прямоугольную пластинку покрыли тонким слоем ни-
келя (с одной стороны). Желая найти толщину слоя никеля, пла-
стинку взвесили перед никелированием (оказался вес 48,7 г) и после
него (оказался вес 49,5 г), а также нашли её длину (11,3 см) и ши-
рину (6,5 с.и). Согласно справочнику, плотность никеля 8,9, т. е.
1 куб. см никеля весит 8.9 г. Пользуясь всеми этими данными, найти
толщину слоя никеля.
5. Принимая, что Земля движется вокруг Солнца по кругу ра-
диуса 149 миллионов километров и совершает полный оборот в 365,26
суток, вычислить, какой путь проходит Земля в 1 секунду (окружность
длиннее своего поперечника в 3,14159... раза).
6. Сколько горячей воды (температуры 98,6’) надо прибавить
к 8,3 кг холодной воды (температуры 14,2°), чтобы получить смесь
температуры 38,0 ? Для решения этой задачи составьте уравнение.
§ 18. ВЫЧИСЛЕНИЯ С НАПЕРЁД НАЗНАЧЕННОЙ
ТОЧНОСТЬЮ
В задачах на вычисление нередко бывает наперёд ука-
зано, с какой точностью (т. е. с каким числом значащих
цифр пли с каким числом десятичных знаков) надо полу-
чить окончательный результат, данные же при этом можно
бывает взять с произвольной точностью (по крайней мере,
до известной степени). Пусть, например, требуется найти
значение х по формуле:
v _ J_____1 J______1 . J____1 _1_ 1
“ 3 5 7 9 7 II Тз ’ 15 ’17"
до сотых долей, обращая каждую из данных обыкновенных
дробей в десятичную. Со сколькими десятичными знаками
вести это обращение? Очевидно, не меньше, чем с двумя,
так как, взяв значения дробей с одним десятичным знаком,
мы и значение х получим тоже только с одним десятичным
69
знаком. Однако здесь, как и в других подобных случаях,
выгодно брать один лишний (запасной) десятичный знак,
который в окончательном результате отбрасывается, и вести
вычисление не с двумя, а с тремя десятичными знаками.
Действительно, проводя вычисление с двумя, тремя, четырь-
мя десятичными знаками, получаем, после округления до
сотых, числа 0,18; 0,19; 0,19. Как видим, вычисление с одной
запасной цифрой дало результат несколько более точный,
чем без неё. Большее же число запасных цифр ничего бы не
дало в смысле точности, но потребовало бы более сложных
вычислений. Итак, одну запасную цифру брать стоит, более
же, чем одну — бесполезно.
Если наперёд указано число значащих цифр результата,
а получить его надо путём сложения или вычитания, то при-
ходится сперва грубо-приближённо оценить этот результат
(«прикинуть» его), чтобы выяснить, сколько в нём должно
быть десятичных знаков, а потом уже делать действие обыч-
ным способом. Так, если требуется найти разность а—b
с тремя значащими цифрами, где а 6378,200, b6356,818,
то прежде всего замечаем, что при вычитании исчезнут ты-
сячи и сотни, п разность начнётся с цифры десятков. Сле-
довательно, третьей значащей цифрой будет цифра десятых
долей. Итак, мы должны получить разность до десятых до-
лей, а потому берём данные до сотых долей, т. е. с одной
запасной цифрой:
6378,20
6356,82
21,38
21,4
Выполняя действия умножения и деления с наперёд
назначенной точностью, мы должны брать в данных по одной
запасной цифре. Пусть, например, надо найти с двумя зна-
чащими цифрами число кубических метров в объёме куба,
ребро которого 2,1336л1. Проведём вычисление без запасной
цифры, а потом с одной, двумя, тремя запасными цифрами:
ребро 2.1 2,13 2.134 2,1336
площадь грани . . . 4.41 4,537 4,554о 4,55225
объём v 9.26 9,664 9,718г 9.71267
v по округлении до 2-х значащих цифр 9,3 9.7 9,7 9.7.
Итак, в рассматриваемом кубе содержится 9,7 куб. м,
Здесь, как и раньше, оказалось, что одну запасную цифру
брать стоит, а больше, чем одну — бесполезно.
Рассмотрим, далее, более сложную задачу на вычисление
с наперёд назначенной точностью.
70
Требуется разложить плату за электрическое освещение
в сумме 10 руб. 27 коп. между тремя живущими в одном
доме семьями, причём известно, что первая семья имеет
три лампочки по 15 ватт, вторая — 1 лампочку в 15 ватт
и 1 лампочку в 25 ватт, третья—1 лампочку в 50 ватт и
1 лампочку в 15 ватт. Плата взимается в зависимости от
мощности и должна быть найдена с точностью до копеек.
Решим задачу двумя способами.
Первый способ. Подсчитаем количество ватт в лам-
почках каждой из трёх семей, затем узнаем плату за один
ватт, наконец, плату, причитающуюся с каждой семьи.
У первой семьи 15 . 3 = 45 ватт, у второй 15 + 25 = 40 ватт,
у третьей 50+ 15 =65 ватт, а всего 150 ватт.
Чтобы найти плату за 1 ватт, надо 10 руб. 27 коп.
разделить на 150. С какой точностью вести это де-
ление? Чтобы получить в ответе вполне надёжные цифры
копеек, надо вычислить его до десятых долей копейки (одна
запасная цифра!). Так как последнее (дающее окончательный
ответ) действие есть умножение, то надо выяснить, сколько
же значащих цифр должен содержать этот окончательный
ответ. Для этого сделаем грубо приближённый расчёт платы
с той семьи, которой придётся платить больше всего. Округ-
ляя число ватт (150) до 200, а плату (10 руб. 27 коп.) до
10 руб. = 1000 коп., замечаем, что плата за 1 ватт состав-
ляет приблизительно 5 коп. За 65 ватт придётся уплатить
около 5 . 65 = 325 коп. Итак, ответ должен иметь три зна-
чащих цифры и одну запасную. Следовательно, плату за
1 ватт надо вычислить с четырьмя значащими цифрами.
Плата 1 ватт 1027 : 150 = 6,8466... = 6,847 коп.;
I семья платит: 6.847 . 45 308,115 « 3 руб. 08 коп.;
II семья платит: 6,847.40 = 273,880 г 2 руб. 74 коп.;
111 семья платит: 6.847.65 = 445.055 =г 4 pv6. 45 коп.
Всего... 10 руб. 27 коп.
Второй способ. Записав плату за один ватт в виде
дроби делаем умножение в обыкновенных дробях, а
I эи
потом уже делением находим плату с каждой семьи.
I семья платит 1027.45 3081 оло 1 □ л «о ISO --1О--30’'1 =3рув. 08Х.;
11 семья 1027.40 = 2108_ 2739 150 15 •
Ill семья 1027 . 65 13351 а 4 . „ = = 44о,0 - 4 руо. 4э к. 150 30 _ Всего 10 руб. 27 к.
71
В данном случае второй способ приводит к ответу, как
будто скорее, чем первый. Но он требует большего коли-
чества действий: второй способ требует трёх умножений и
трёх делений, первый способ — одного деления и трёх умно-
жений. Если в задачах, подобных этой (в так называемых
«задачах на пропорциональное деление»), данные имеют
мало цифр (одну—две), то выгоднее второй способ. Если
данные—числа многозначные, то выгоднее первый.
Упражнения
1. Найдите до сотых значение выражения
II I I 1
1 1.2 ' 1 . 2 . 3 " 1 . 2 . 3.4 [ 1 . 2 . 3 . 4.5
-_______!______4- _______!______
1.2.3.4.5.6 1.2.3.4.5.6.7'
2. Артель из 4 человек заработала 58 руб. 30 коп., причём один
участник работал 14 часов, второй—17,5, третий—18,25, четвёртый—13.
Считая эти данные точными, распределите заработанную сумму про-
порционально числу часов работы каждого.
§ 19. ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ
Возведение в квадрат данного приближённого числа а
есть частный случай умножения. В § 13 мы видели, что
число надёжных цифр в произведении одинаково с числом
надёжных цифр менее точного сомножителя, причём
менее точным считается тот сомножитель, у которого мень-
ше значащих цифр. При возведении в квадрат мы имеем два
сомножителя с одинаковым числом значащих цифр. Следо-
вательно, столько же надёжных значащих цифр имеет и ре-
зультат. Итак, возводя в квадрат приближённое число с k
значащими цифрами, где k= 1, 2, 3, 4,..., в результате по-
лучим приближённое число, в котором лишь k первых зна-
чащих цифр будут надёжны, остальные же сомнительны.
Если этот результат — окончательный, то его следует округ-
лить, сохраняя только надёжные значащие цифры и отбра-
сывая все сомнительные. Если же этот результат—промежу-
точный, т. е. если с ним надо будет производить ещё дей-
ствия, то при округлении следует сохранить, кроме всех
надёжных, ещё и первую сомнительную цифру как «запасную»
(§ 15).
Рассмотрим два примера.
1) Нужно начертить квадрат со стороной в 5 см, разде-
лить его стороны пополам, соединить середины смежных
сторон прямыми, измерить одну из сторон полученного впи-
санного квадрата и вычислить его площадь.
Выполнив самым тщательным образом требуемое построе-
ние и измерив сторону вписанного квадрата посредством
миллиметровой линейки, получаем для длины этой стороны,
пренебрегая долями миллиметра, значение 3,5 см (прибли-
72
жённое число с двумя значащими цифрами). Для получения
площади вписанного квадрата остаётся возвести в квадрат
это приближённое число 3,5. Полученное число 12,25 содер-
'жит только две надёжных значащих цифры. Результат здесь
окончательный, поэтому округляем его, сохраняя только две
первых цифры. Итак, искомая площадь вписанного квадрата
с точностью до двух значащих цифр равна 12 кв. см.
Если бы мы при измерении воспользовались хорошей
масштабной линейкой со скошенной кромкой, мы могли бы
отсчитать не только целые миллиметры, но и десятые доли
миллиметра. Тогда для длины стороны получилось бы
число 3,53 см (приближённое число с тремя значащими
цифрами). Возведение в квадрат дало бы для площади зна-
чение 12,4609 кв.см. Округляя его согласно правилу, найдём,
что искомая площадь с точностью до трёх значащих цифр
равна 12,5 кв. см.
Наши заключения о точности обоих полученных резуль-
татов в данном случае легко проверить, если обратить вни-
мание на то, что вписанный квадрат своими диагоналями
разделяется на четыре равных прямоугольных треугольника,
равных тем, какие отрезаны от первоначального квадрата.
Поэтому искомая площадь равна как раз половине площади
данного квадрата, т. е.• 52 = 12,5 кв. см. Таково точное
значение площади вписанного квадрата при условии, что
сторона данного квадрата содержит точно 5 см. Найденные
выше в результате вычисления (с приближёнными значе-
ниями стороны квадрата) значения площади 12,25 кв. см
и 12,4609 кв. см, как видим, имеют лишь 2 и 3 надёжных
значащих цифры, и мы сделали правильно, округлив эти
значения до 12 и 12,5 кв. см.
2) Найти объём V призматического бруска с квадратным
основанием, если измерения показали, что каждая сторона
основания а 8,4 см, а длина бруска h -- 136 см.
Решение: V — a2h.
1) 8,4. 8,4 2) 70,6.136
336 4236
6 72 2118
70,56; 706
а2 -70,6 кв. см. 9601,6;
a2h & 96оо см3.
Ответ: У — 96оо куб. см или 9,6 куб. дм.
Возводя в квадрат числа а (приближённое число с 2 зна-
чащими цифрами), мы сохранили в результате две надёжных
цифры и одну сомнительную как запасную, так как этот ре-
зультат—промежуточный. Во втором действии приближённое
73
число с 2 значащими цифрами (70,6) умножено на прибли-
жённое число с 3 значащими цифрами (136) и результат
(окончательный) округлён до 2 значащих цифр.
Чтобы проверить правильность наших округлений, по-
смотрим, какой результат получился бы, если бы нам уда-
лось измерить сторону основания не до десятых, а до сотых
долей сантиметра. Ниже записаны все возможные значения
стороны а (первая строка), затем их квадраты (вторая
строка), округлённые до 4 значащих цифр, и, наконец, соот-
ветствующие значения объёма V — a-h , тоже округлённые
до 4 значащих цифр. Длину бруса Л считаем точно равной
136 см, так как нас интересует только влияние погрешности
числа а.
а 8,35 8,36 8,37 | 8,38 1 8,39 1
а2 69,72 69,89 70,06 70,22 1 70,39 1
V 9482 9505 9528 9550 9573
а 8,40 8,41 8,42 8,43 8,44 8,45
а2 70,56 70,73 70,90 71,06 71,23 71,40
V 9596 | 9619 9642 9664 9687 9710
Как видим, небольшое колебание имеет место даже во
второй значащей цифре результата (4 — 5 — 6 — 7). Поэтому
мы сделали совершенно правильно, округлив его до двух зна-
чащих цифр.
Заметим, что, сохраняя в квадрате ^-значного при-
ближённого числа k первых значащих его цифр, мы отнюдь
не можем ручаться за точность последней цифры этого
округлённого квадрата. В ней возможна погрешность, и до-
вольно значительная (как можно доказать, до 4 единиц),
но малые значения этой погрешности встречаются гораздо
чаще, чем большие. Вот пример возведения в квадрат
с большой погрешностью. Возьмём х = 31,551, х2 =
= 995,465601. Считая х числом точным, округлим его до
трёх цифр и найдём квадрат этого приближённого числа.-
а = 31,6, а2 — 998,56. Как видим, третья значащая цифра
числа а2 уже не совсем верна, и разность а2 — х2 составляет
больше 3 единиц разряда 3-й значащей цифры.
То же самое правило округления применяется и при
74
возведении в куб: при возведении в куб приближённого числа
с k значащими цифрами результат следует округлять, со-
храняя в нём тоже лишь k значащих цифр (если результат
окончательный) и одной больше (если он промежуточный).
Однако здесь k ая значащая цифра значительно менее на-
дёжна- погрешность её может доходить уже до 8 единиц.
Ещё худшее положение имеем при возведении в степень
с более высоким показателем. Пусть, например, дано прибли-
жённое число а = 2,3 с двумя надёжными значащими
цифрами, и надо найти а10. Если а есть результат округления
неизвестного числа х до двух значащих цифр, то имеем не-
равенство 2,25 < х <С 2,35, откуда 3323 < х10 < 5147, Но
а1& — 4142,65..., и уже первая значащая цифра этого ре-
зультата не вполне надёжна. Этот пример показывает, как
осторожно нужно относиться к результатам возведения при-.
ближённых чисел в степень с большим показателем.
Совершенно иное положение мы имеем при извлечении
корня из приближённого числа: если подкоренное число
имеет k точных значащих цифр (т. е. является результатом
округления до k значащих цифр некоторого точного числа),
то квадратный корень из него имеет погрешность, не пре-
восходящую 1, 3 единицы £-ой значащей его цифры, а ку-
бический корень ещё меньше. В противоположность возве-
дению в степень извлечение корня не понижает, а повышает
точность результата, притом тем значительнее, чем показа-
тель корня больше. Извлекая, например, корень 10-ой степени
из приближённого числа а — 2,3, являющегося результатом
округления до двух значащих цифр неизвестного точного
числа х, мы имеем: *
ф а — 1,086...,
причём
2,25 < х < 2,35, }''2у25 < Ух < {’2,35 ;
1,084... < 1 х < 1,089...
Таким образом найденное значение I <1 = 1,086... имеет
три заслуживающих доверия значащих цифры; можно счи-
тать, что ф = 1,09.
Упражнения
|. Найдите двумя способами площадь квадрата, построенного на
гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 23 мм и 48 мм.
сперва возводя в квадрат приближённое число, выражающее длину
этой гипотенузы и найденное измерением по чертежу, затем точно,
применяя теорему Пифагора. Сопоставление обоих результатов под-
твердит целесообразность указанного выше правила округления квад-
рата приближённого числа.
75
2. Пусть х есть некоторое неизвестное число с 3 значащими цифрами
и а — 5,7 результат его округления до 2 значащих цифр. Найдя а~; а3,
______ 3 _
у а; у а и, рассматривая все возможные значения л, проверьте на этом
примере целесообразность указанных выше правил округления квадрата,
куба, корней квадратного и кубического.
Используйте таблицы степеней и корней!
3. Определите диаметр круглого медного провода, кусок которого
длиной I — 915 см весит р л, 2.54 г, считая плотность меди равной 8,8
(приближённое число с 2 значащими цифрами).
4
4. Зная, что объем шара вычисляется по формуле V=-^-zr3, где
г—радиус шара, найдите V для г 6,8 см. Как изменится результат, если
принять г = 6.8 — 0.05 — 6,75 см и г — 6,8 0,05 = 6,85 см?
5. Принимая плотность железа равной 7,8, найдите ребро железного
куба весом р 432 г.
§ 20. СВОДКА ПРАВИЛ ОКРУГЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ
ДЕЙСТВИЙ НАД ПРИБЛИЖЁННЫМИ ЧИСЛАМИ, ЗАДАЧА
ИХ ОБОСНОВАНИЯ
Подводя итог)! всему сказанному в настоящей главе, мы
приходим к следующим простым правилам, которых следует
держаться при всех вычислениях с приближёнными числами.
1. Необходимо различать, какие данные точны, какие
приближённы. Приближённые числа надо округлять, сохра-
няя в них только надёжные цифры и не более одной не
вполне надёжной, и отбрасывая все последующие.
2. Особое внимание надо обращать на цифру нуль, если
она находится в конце приближённого числа, непременно
выясняя, является ли этот нуль значащей цифрой, или он
поставлен взамен неизвестной цифры.
3. При сложении и вычитании приближённых чисел в ре-
зультате следует сохранять столько десятичных знаков,
сколько их в приближённом данном с наименьшим числом
десятичных знаков.
Примечание. «Десятичными знаками» числа на-
зываются те цифры, которые расположены справа от
знака дробности.
4. При умножении и делении в результате следует со-
хранять столько значащих цифр, сколько их имеет прибли-
жённое данное с наименьшим числом значащих цифр.
Примечание. «Значащими цифрами» числа на-
зываются все его цифры, кроме нулей, расположенных
левее первой отличной от нуля его цифры.
5. При возведении в квадрат и куб в результате следует
сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возво-
димое в степень приближённое число.
76
Примечание. Последняя цифра квадрата и осо-
бенно куба при этом менее надёжна, чем последняя
цифра основания.
6. При извлечении квадратного и кубического корней в
результате следует брать столько значащих цифр, сколько
их имеет подкоренное (приближённое) число.
Примечание. Последняя цифра квадратного и
особенно кубического корня при этом более надёжна,
чем последняя цифра подкоренного числа.
7. При вычислении промежуточных результатов следует
брать одной цифрой более, чем реквмендуют предыдущие
правила.
Примечание. В окончательном результате эта
«запасная цифра» отбрасывается. Писать её рекомен-
дуется в уменьшенном размере.
8. Если некоторые данные имеют больше десятичных
знаков (при действиях 1 ступени) или больше значащих
цифр (при действиях II и III ступеней), чем другие, то их
предварительно следует округлить, сохраняя лишь одну
лишнюю цифру.
9. Если данные можно брать с произвольной точностью,
то для получения результата с k цифрами данные следует
брать с таким числом цифр, какое даёт, согласно правилам
3 — 6, k + 1 цифру в результате.
Знакомясь на протяжении настоящей главы с этими пра-
вилами (их иногда называют «правилами подсчёта цифр»),
мы убеждались в их целесообразности, рассматривая ча-
стные примеры выполнения действий над приближёнными
числами. Строгое обоснование этих правил требует весьма
длинных рассуждений и выкладок, и мы ограничимся только
самыми краткими указаниями на их сущность.
Если данное число а является приближённым значением
некоторого неизвестного числа х, то разность х — а назы-
вается истинной абсолютной погрешностью этого числа а,
а всякое число Да, удовлетворяющее условию |х — а|<Да,
называется границей абсолютной погрешности или предель-
ной погрешностью числа а. Так, например, если число
а — 3,72 есть результат округления до сотых какого-то не-
известного числа х, то А а — 0,005. Вообще, если число а
есть результат округления числа х до Л-ого десятичного
—k
знака, то Д а — 0,5 10
Отметим, что границу абсолютной погрешности Да числа
а, которое рассматривается, как приближённое значение не-
которого неизвестного числа х, можно определить, как число,
удовлетворяющее двойному неравенству а — Да < х < а + Да.
77
К этому второму определению, более пригодному для школы,
мы ещё вернёмся в § 23 (стр. 92).
Для обоснования правил подсчёта цифр надо прежде
всего выяснить зависимость между предельными погрешно-
стями данных и предельными погрешностями результатов
действий над этими данными. Так, если речь идёт о сумме
трёх приближённых слагаемых s = а — Ь4- с, причём предель-
—Л
ная погрешность каждого из них равна 0,5 .10 , то пре-
___________________________________________k
дельная погрешность суммы равна 3.0,5 . 10 . Вообще, пре-
дельная погрешность суммы п приближённых слагаемых,
являющихся результатом округления до &-ого десятичного
знака некоторых точных чисел, равна 0,5 . п единиц этого
знака. Таблица, приведённая ниже, показывает значения пре-
дельных погрешностей для результатов различных действий,
вычисленных в предположении, что данные являются резуль-
татом округления до некоторого десятичного знака (в слу-
чае суммы и разности) или до некоторой значащей цифры
(в остальных случаях).
Однако знания одной лишь предельной погрешности для
практических вычислений мало: значения истинной погреш-
ности, близкие к предельной,встречаются столь редко, что на
практике, кроме случаев самых ответственных вычислений,
с ними не считаются. С вопросом об этом «распределении
погрешностей» мы уже встречались, рассматривая правила
умножения и деления (§§ 13, 14). Это распределение по-
грешностей удобнее всего характеризовать посредством так
называемой «средней квадратической погрешности», обозна-
чаемой буквой з.
Чтобы понять, что это такое, рассмотрим следующий при-
мер. Пусть имеется число а — 3, полученное от округления
до целых числа, содержащего только целые и десятые, при-
чём все возможные значения этого числа равновероятны.
Всего возможны 11 случаев — число х может иметь любое
из 11 значений. 2,5; 2,6; 2,7,..., 3,5. Всего здесь 11 значений
погрешности, а именно 0,5 -j- 0,4,..., — 0,5. Возьмём квад-
раты этих 11 погрешностей; найдём их сумму, разделим на
число их, т. е. на 11, извлечём из частного квадратный
корень.
Результат, равный
У 2 (0,25 + 0,16 • 0,09 + 0,04 + 0,01) :ТТ = ]/оТ=^ 0,316,
и есть средняя квадратическая погрешность округления для
данного случая.
Если округление состоит в отбрасывании не одного, а двух
десятичных знаков, т. е. если неизвестное число х имеет
с одинаковой вероятностью любое из значений 2,50; 2,51;
78
Предельная Средняя
Действие Результат погреш- квадрати- ческая по-
ность грешность
Сложе- Алгебраическая сумма п слагае-
ние и мых. округлённых до k-vo десятич-
вычита- ного знака 0,5 п 0,280у п
ние
О Произведение двух 6-значных 0,626
к приближённых чисел 5,5
X
1) Произведение 6-значного прибли-
i€ жённого на точное 5,0 0,442
о
X Произведение 6-значного прибли-
жённого на (k+1) -значное при-
>> ближённое 5,05 0,445
Частное от деления k - значного
приближённого числа на k - значное приближённое число 10,0 0,576
Частное от деления 6 -значного
х приближённого числа на точное . . 5,0 0,389
Ьа Частное отделения k -значного
V приближённого на (6 + 1) - значное приближённое 5,5 0,391

Частное от деления точного на 6-значное приближённое 5,22 0,425

Частное от деления (k + 1)-знач-
ного приближённого на k - значное приближённое 5-5 0,427
Возве- Квадрат k - значного приближён-
дение в ного числа 3,5 0,705
степень Куб k - значного приближённого
числа 7,13 1,059
Извле- Квадратный корень из 6-значного 0,81 0,221
чение приближённого числа
корня Кубический корень из 6-значного приближённого числа 0,70 0,185
79
2,52;...; 3,49; 3,50, то средняя квадратическая погрешность
равна
1'2 (0,2500 ; 0,2401 - . . . -4-0,0001): 101 = ]/0Д)85« 0,292.
При её вычислении выгодно воспользоваться формулой
124-22 + 32- . . . - л’ = 4 п (л- 1)(2«4- 1).
Если округление состоит в отбрасывании k цифр, то сред-
няя квадратическая погрешность равна 1' 0,5 . (0,5 4- 10 к):3
и при стремится к пределу У 3 :6 = 0,289. Такова сред-
няя квадратическая погрешность округления до целых, если
считать равновероятными все значения числа х.
Приведённая на стр. 79 таблица даёт значения средней
квадратической погрешности результатов действий над приб-
лижёнными числами, вычисленных в предположении, что все
истинные значения данных равновероятны. Значения пре-
дельной и средней квадратических погрешностей выражены
в единицах k-ro десятичного знака (для сложения и вычита-
ния) или А-ой значащей цифры (в остальных случаях).
Сопоставление приведённых в этой таблице значений
предельной и средней квадратических погрешностей пока-
зывает полную целесообразность указанных выше правил
подсчёта цифр. Исходить при этом можно из следующего
«основного принципа обыкновенных вычислений»: «прибли-
жённое число надо писать так, чтобы в нём все значащие
цифры, кроме последней, были верны, и лишь последняя
цифра была бы сомнительна, и притом в среднем не более,
как на одну единицу».
Если результаты действий над приближёнными числами
округлять согласно правилам подсчёта цифр, то предельные
погрешности увеличиваются ещё на 0,5 единицы последнего
разряда.
Отметим в заключение, что в случаях, когда требуется
абсолютная гарантия точности всех цифр результата дей-
ствия над приближёнными числами, правила подсчёта цифр
неприменимы. Здесь нужен «строгий учёт погрешностей»,
к рассмотрению которого и переходим.
Глава III
ПРИБЛИЖЁННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ СО
СТРОГИМ УЧЁТОМ ПОГРЕШНОСТЕЙ
§ 21. СТРОГИЙ УЧЁТ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПО СПОСОБУ
ГРАНИЦ
Имея дело с приближёнными числами, мы соблюдаем
основное правило их округления: сохранять в приближённом
числе все надёжные цифры и одну не вполне надёжную
(первую из сомнительных). Мы не знаем, как велика по-
грешность приближённого числа, округлённого согласно пра-
вилам подсчёта цифр, но знаем только, что в большинстве
случаев погрешность эта бывает незначительной. В громад-
ном большинстве вычислений такая неполная определён-
ность ответа никаких неудобств не представляет. Однако
бывают случаи, когда желательно получить ответ вполне
определённый. Если по существу дела оказывается невоз-
можным дать ответ точный, то довольствуются ответом
приближённым, но указывают, совершенно определённым
образом, между какими границами заключается неизвестный
точный ответ, т. е. указывают два числа, из которых одно
заведомо меньше искомого (его низшая граница или, сокра-
щённо, НГ), а другое заведомо больше искомого (его выс-
шая граница или, сокращённо, ВГ). Например, мореплава-
тель, желая определить долготу и широту того пункта зем-
ной поверхности, где в данный момент находится его судно,
старается получить не только приближённые значения этих
координат, но и совершенно определённое указанно на то,
как велика может быть при самом неблагоприятном стече-
нии обстоятельств разница между истинными значениями
долготы и широты и вычисленными им приближёнными их
значениями. Зная эту наибольшую возможную разницу,
легко найти и границы (НГ и ВГ). Так, проходя с курсом
на восток мимо опасного места, указанного на карте под
широтой 16°38' к северу от экватора, и установив прибли-
жённое значение широты корабля в 16° 36', мореплаватель
выясняет, как велика может быть разница между неизве-
стным истинным значением широты корабля и найденным
приближённым её значением. Если окажется, что эта разница
6 В.М. Брадис 81
может доходить до 2', но не более, то неизвестное точное
значение широты корабля заключается между 16° 36' — 2' =
= 16°34' и 16° 36' -т- 2' = 16° 38', и он, конечно, сейчас же
изменит курс корабля, а именно повернёт к югу, чтобы
устранить всякий риск. Если же оказалось бы, что эта раз-
ница не превосходит 1', то неизвестное точное значение ши-
роты корабля заключалось бы между 16°35' и 16 37', и в из-
менении курса корабля надобности нет: до опасного места
остаётся расстояние во всяком случае большее, чем Г (по
шпроте), т. е. больше 1,85 км (один градус по широте ра-
вен 1000 : 90 = 111,1 км, а одна минута 111,1 : 60 = 1,852 км).
Устанавливая границы неизвестного точного значения
искомой величины, мы, как говорят, производим вычисление
со строгим учётом погрешностей. Вычисления же, какими мы
занимались до сих пор и в результате которых мы получали
приближённые значения, имеющие некоторую неизвестную,
но небольшую погрешность в последней цифре, можно
назвать вычислениями без строгого учёта погрешностей (но
с применением правил подсчёта цифр).
Посмотрим сперва, как производится строгий учёт по-
грешностей в результатах измерений.
Во многих случаях, выполняя то или иное измерение, мы
бываем в состоянии сразу указать границы измеряемого зна-
чения. Так, измеряя отрезок на чертеже посредством мил-
лиметровой линейки, мы легко устанавливаем, что этот от-
резок, положим, больше 53 мм и меньше 54 мм. Если концы
отрезка указаны достаточно определённо, лучше всего тон-
кими поперечными штрихами, то эти границы возможно бы-
вает ещё более сблизить, уменьшая разницу до 0,5 мм и
даже до 0,2 мм. Ещё легче установить НГ и ВГ при взве-
шивании: если при нагрузке чашки с разновесками в 16 г
перевешивает чашка с взвешиваемым телом, а в 17 г — пе-
ревешивает чашка с разновесками, то эти числа 16 г и 17 г
н являются НГ и ВГ искомого веса Чем чувствительнее
весы и чем мельче имеющиеся в нашем распоряжении
разновески, тем более удаётся сблизить границы и тем
точнее, следовательно, произведено взвешивание.
Труднее найти НГ и ВГ в тех случаях, когда измерение
приходится повторять несколько раз, получая в силу неиз-
бежных случайных погрешностей каждый раз новый резуль-
тат. Так бывает, например, при измерении значительных
расстояний (рулеткой или мерной цепью). Тогда находят
среднее результатов всех отдельных измерений, затем укло-
нения этих результатов от среднего, т. е. разности между
каждым из этих результатов и средним (см. § 10), и, нако-
нец, среднее из этих уклонений или среднее уклонение (все
уклонения берутся со знаком+). Вычитая это среднее укло-
82
нение из среднего результата, получим НГ искомой вели-
чины. Прибавляя среднее уклонение к среднему результату,
получим её В Г.
Рассмотрим ещё раз задачу, уже решённую ранее без
строгого учёта погрешностей (см. § 10): некоторая длина
измерена 6 раз, результаты отдельных измерений таковы
(в метрах):
51,63, 52,12; 52,20; 51,87; 51,91; 52,16.
Найдя среднее (51,982) и вычислив уклонения, опреде-
ляем среднее уклонение (1,070:6 = 0,178). Отсюда заклю-
чаем, что НГ искомой длины есть 51,982 — 0,178 = 51,804,
а её ВГ есть 51,982 + 0,178 = 52,160. Замечая, что расхо-
ждение между НГ и ВГ начинается уже со второй значащей
цифры, округляем обе границы до трёх значащих цифр и
получаем окончательно, что искомая длина больше, чем
51,8 м и меньше, чем 52,2 м. Для сравнения напомним, что
при вычислении без строгого учёта погрешностей мы получили
в ответе число 52,0 м.
Округлять низшую границу можно только по недостатку,
г.ысшую — только по избытку. Действительно,—если мы
уверены, что, например, НГх=15,7, то и подавно можно
считать, что НГ х = 15. Принять же НГх = 16 нельзя, так
как может случиться, например, что точное значение х
есть 15,8.
Описанный способ получения границ для измеряемой ве-
личины довольно прост, но, к сожалению, даёт результаты
не вполне надёжные. При измерениях, требующих наивыс-
шей возможной точности, вычисляют не среднее уклонение,
а среднее квадратическое уклонение (см. § 20). Однако на
зтом способе, имеющем сравнительно специальный характер,
мы вовсе не будем останавливаться.
Переходим теперь к вопросу о том, как произвести стро-
гий учёт погрешностей в результатах вычисления с прибли-
жёнными числами. Такой строгий учёт погрешностей дости-
гается тем, что все вычисления проводятся два раза: первый
раз с таким расчётом, чтобы получить число, заведомо
меньшее искомого, т. е. низшую границу этого искомого;
второй раз так, чтобы получить число, заведомо большее
искомого, т. е. его высшую границу.
Рассмотрим несколько простых примеров.
1. В стену дома заделан нивеллировочный знак (репер).
Известно, что его высота h над уровнем моря больше, чем
62,340 м, и меньше, чем 62,344 м. Наши измерения пока-
зали, что конёк крыши этого дома выше этого репера на
h\ м, где А, больше 15,2 и меньше 15,4. Какова высота Н
конька крыши над уровнем моря?
6* 83
Ясно, что Н — h + Ар Таким образом, если бы были из-
вестны точные значения А и Л1( нужно было бы только сло-
жить их. Не зная этих точных значений, возьмём НГЛ —
= 62,340 и HTAj = 15,2 и сложим их. Так как с уменьшением
каждого слагаемого сумма тоже уменьшается, то сложение
ИГА и НГА[ даст нам число, заведомо меньшее Н, т. е. НГЛ/,
равную 62,340+ 15,2 — 77,540 м. Точно так же сложение
ВГЛ = 62,344 и ВГА1 15,4 даст ВГЯ- 77,744 м.
Обе найденных границы отличаются друг от друга на
число, имеющее три значащих цифры (77,744 — 77,540 =
= 0,204). Округлим границы так, чтобы их разность выра-
жалась однозначным числом. Получаем НГ// = 77,5, ВГ// =
= 77,8. Итак, хотя искомая высота конька крыши над уров-
нем моря остаётся неизвестной, но мы установили с полной
определённостью, что эта высота больше, чем 77,5 м и
меньше, чем 77,8 м.
Для сокращённой записи границ удобно пользоваться
двойным неравенством. Только что полученный результат
можно записать так:
77,5 м<Н <77,8 м.
Решая настоящую задачу, мы воспользовались правилом:
чтобы найти НГ суммы, надо найти сумму НГ слагаемых;
чтобы найти ВГ суммы, надо найти сумму ВГ слагаемых.
Конечно, здесь имеется в виду сумма в арифметическом,
а не в алгебраическом смысле. Правило это верно для лю-
бого числа слагаемых.
2. Найти площадь S прямоугольника, длина которого а
больше 14,8 см и меньше 14,9 см, а ширина b больше
2,5 см и меньше 2,6 см.
Здесь дело сводится к вычислению произведения S = ab.
Легко сообразить, что тут надо руководствоваться таким
правилом: чтобы найти НГ произведения, надо найти про-
изведение НГ сомножителей; чтобы найти ВГ произведения,
надо найти произведение ВГ сомножителей.
НГ5= НГа - НГА= 14,8 см . 2,5 см = 37,00 кв. см;
ВГ5 — ВГа - ВГй = 14,9 см . 2,6 см — 38,74 кв. см.
Округляя границы, получаем, что 37 кв. cm<S<59 кв. см.
3. Вес бутылки с водой р, вес пустой бутылки р,. Найти
вес х воды, если известно, что 158 г <.р< 158,5 г и что
35,5 г < < 36 г.
Искомый вес воды получается по формуле х — р— р{.
Как получить НГх, т. е. число, заведомо меньшее х? Раз-
ность убывает при уменьшении уменьшаемого и увеличении
вычитаемого, а потому для получения НГх надо от НГр
отнять ВГ/?|. Точно также, принимая во внимание, что раз-
84
ность растёт с увеличением уменьшаемого и уменьшением
вычитаемого, замечаем, что для получения ВГх надо взять
ВГр и вычесть НГрь
НГх = НГр — ВГр! - 158 г - 36 г - 122 г.
ВГх = ВГр - НГр, = 158,5 г — 35,5 г 123 г.
Итак, 122 г <х<123 г.
Правило вычисления границ разности формулируется так:
чтобы получить НГ разности двух чисел, надо взять НГ
уменьшаемого и вычесть ВГ вычитаемого; чтобы получить
ВГ разности надо взять ВГ уменьшаемого и вычесть НГ
вычитаемого.
4. Поперечник d круглого абажура больше 28,0 см и
меньше 28,5 см. Длина С его окружности, измеренная гиб-
кой тесьмой, оказалась больше 88,5 см и меньше 89,0 см.
Найти отношение длины окружности к её поперечнику, т.е.
число ”.
Для решения задачи надо разделить Сна d. Замечая, что
частное убывает при уменьшении делимого и увеличении
делителя, устанавливаем такое правило: чтобы найти НГ
частного двух чисел, надо взять НГ делимого и разделить
его на ВГ делителя; чтобы найти ВГ частного, надо взять
ВГ делимого и разделить его на НГ делителя.
Руководствуясь этим правилом, находим такие границы
для it:
НГ- = НГС : ВГ</ — 88,5 :28,5 = 3,105...,
ВГт; = ВГС : НГ(/ _ 89,0 :28,0 = 3,178...
Округляя найденные границы до сотых долей получим,
что искомое отношение больше 3,10 и меньше 3,18. Заметим,
что обычно указываемое в учебниках приближённое значе-
ние числа ”, а именно 3,11, находится как раз посредине
этих границ.
Теперь мы знаем, как находить НГ и В Г суммы, разно-
сти, произведения и частного приближённых чисел.
Аналогичные правила имеем для степени и корня с нату-
ральным показателем; чтобы получить НГ степени (или
корня) с натуральным показателем, надо возвести в эту
степень НГ данного числа (извлечь корень этой степени
из НГ данного числа); чтобы получить ВГ степени (или
корпя), надо возвести в эту степень его ВГ (извлечь ко-
рень этой степени из ВГ данного числа). Действительно,
при уменьшении числа уменьшается и его степень н его
корень, а при возрастании числа и степень и корень воз-
растают.
Упражнения
, .. it it
I. Наити границы суммы х — у +‘<у и разности у — тр, обращая ка-
1 1
ждую из дробен у и -д- в десятичную до тысячных. Для проверки выра-
85
зить х и у в виде обыкновенных дробей и обратить эти числа в деся-
тичные до десятитысячных.
2. Указать границы веса р тела, объём которого v больше 550 см3
и меньше 560 см:1, а плотность Д заключается между 8,4 и 8,7.
3. Кусок алюминия имеет объём v и вес р. Найти плотность Д алю-
миния, если известно, что 61 куб. cm<v< 67 куб. см и что 165 г<р-
<166 г.
4. Ребро куба больше 10,2 си и меньше 10,3 см. Найти границы
объёма этого куба.
5. Объём куба больше 1250 куб. см и меньше 1260 куб. см. Ука-
зать границы для его ребра.
§ 22. ПРИМЕРЫ БОЛЕЕ СЛОЖНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ ПО
СПОСОБУ ГРАНИЦ
Умея находить НГ и В Г результата каждого действия,
мы легко найдём п границы числа, получающегося в резуль-
тате нескольких действий над числами, границы которых
известны.
Рассмотрим несколько примеров.
. г, , (а — М . г
1. Вычислить х по формуле х = -—, если изве-
стно, что 2,83 <а< 2,84, 1,87 <_Ь < 1,88, 23,33 < с 23,34,
2,91 <с/<2,92.
Для решения задачи последовательно применяем правила
разыскания границ разности, произведения, частного. Запись
решения располагаем по схеме, содержащей три столбца:
в первом столбце записываются вычисляемые буквенные вы-
ражения, во втором — соответствующие низшие границы, в
третьем — высшие границы. Те арифметические действия,
которые трудно выполнить в уме, записаны вне схемы, причём
умножения и деления сделаны посредством таблицы О'Рурка.
НГ ВГ
а 2,83 2,84 0,95. 23 = 21,85;
ь 1,87 1,88 0,95.0,33 = 0,3135
(!) а—Ь 0,95 0,97 22,1635
С 23,33 23,34 0,97. 23 = 22,31;
(а—Ъ) с d 22.1 2,91 22,7 2,92 0,97.0,34 = 0,3298 22,6398
V» л ti 7,56 7,81
86
22,1 : 2.Q? 2210 : 292 = 7,568... 22.7 : 2,91 2270 : 291 = 7,800.
22100 22700
21900 22698
— —
20000 200
19856
144
Ответ: 7,5 <х <7,9.
Восклицательный знак (!) на строчках (3) и (7) постав-
лен для того, чтобы напомнить, что на этих строчках при-
ходится написанные выше числа соединять, согласно пра-
вилам вычисления границ, крест-накрест: для вычисления
НГ(а—Ь) надо взять НГа и отнять ВГ/> и т. д.
Итак, вычисление со строгим учётом погрешностей пока-
зывает, что искомое значение х больше 7,57 и меньше 7,81.
Округляя эти результаты так, чтобы разность границ выра-
жалась однозначным числом, получим окончательно, что х
заключается между 7,5 и 7,9.
Эта самая задача была уже решена без строгого учёта
погрешностей (см. § 17), причём был получен ответ 7,6.
Заданы были точные значения букв a, b, с, d в виде обыкно-
венных дробей, которые после обращения в десятичные (до
сотых) дали указанные выше границы. Поэтому здесь воз-
можно сравнение найденного приближённого решения, а
именно 7,57 <х< 7,81 или 7,5 <х <7,9 с точным зна-
чением х, вычисленным без обращения обыкновенных дробей
2
в десятичные и равным, как мы уже видели, 7 у = 7,666...
Таким образом точное значение х действительно заключается
между этими границами.
2. Требуется найги вычислением диагональ с прямоуголь-
ного пола комнаты, измерив его длину а и ширину Ь. Изме-
рения, сделанные посредством рулетки, показали, что
6,80 м < а < 6,85 м и что 4,35 м <Ь <4,40 м.
Применяя теорему Пифагора, замечаем, что искомая
диагональ с вычисляется по формуле с = I а- Ь- . Для
вычисления границ квадрата, очевидно, можно воспользо-
ваться правилом вычисления границ произведения. Далее
применим правило вычисления границ суммы, а затем при-
дётся вычислить границы корня.
87
Вычисление (по схеме) приведено ниже. Никаких допол-
нительных выкладок не требуется, так как действия возве-
дения в квадрат и извлечения квадратного корня выполня-
ются посредством таблицы, а сложение выполняется на са-
мой схеме.
НГ ВГ
о 6.80 6,85
Ь 4,35 4,40
Л2 46.24 46,92
№ 18.92 19,36
а-+Ь2 65,16 66,28
с = л2 । № 8,072 8,141
Ответ: 8,07 м < с < 8,15 м.
Таким образом, не узнав точного значения с, мы можем,
однако, с полной достоверностью утверждать, что с больше,
чем 8,07 м, и меньше, чем 8,15 м. Чтобы проверить правиль-
ность этого заключения, диагональ была измерена непосред-
ственно (рулеткой). Оказалось, что 8,10 м <С с < 8,15 м, что
вполне подтверждает правильность нашего расчёта: истинное
значение с, заключённое где-то между 8,10 и 8,15, тем
самым, наверное, заключено между 8,07 и 8,15.
3. Имеется а куб. см холодной воды (температуры Г);
в неё хотят влить b куб. см горячей воды (температуры Т°).
Вычислить температуру, какую будет иметь смесь, если из-
вестно, что 850 < а < 860, 310& .< 320, 12,4 <' t < 12,6,
75,0 <7’<75,5.
Обозначая искомую температуру смеси через х и пред-
полагая, что всё тепло, имеющееся в холодной и горячей
воде, без какой бы то ни было потери переходит в смесь,
составляем уравнение:
Ч- ЬТ — х (а + &),
которое даёт, что
Qt + bT
а + b •
Вычислим теперь числовое значение х. Вспомогательные
вычисления (справа) выполняем, опять применяя таблицу
О’Рурка.
88
НГ ВГ
а 850 860
t 12.4 12,6
ь 310 320
т 75,0 75,5
at 10540 10840
ЬТ 23250 24160
at + ЬТ 33790 35000
а + b 1160 1180
(9 х 28,6 30.2
Ответ: 28.6 < х 30,2
12,4 . 850= 10540.0;
12.6 . 860- 10836,0;
75,0 . 310 = 23250,0;
75,5 . 320 = 24160,0;
33790 : 1180;
3379 : 118 = 28,63...
3304
7500
7434
66
35000 : 1160;
3500: 116 = 30,17...
3480
2000
1972
28
Как показало непосредственное измерение, температура
смеси оказалась в действительности равной 28,7°, т. е. хотя
и внутри установленных границ, но очень близкой к НГ.
Это обстоятельство легко объясняется тем, что в промежуток
времени между измерением температуры горячей воды и из-
мерением температуры смеси горячая вода, а также и смесь
успели несколько остыть. Вычисляя границы для х, мы не
учли этого добавочного источника погрешности, и не было
бы ничего удивительного, если бы действительная темпера-
тура смеси оказалась даже ниже вычисленной НГ.
4. Куплено р — 250 г голого медного провода диаметром
d — 0,4 мм. Не разматывая мотка, найти (вычислением)
длину купленного провода.
Сперва решим задачу без строгого учёта погрешностей,
применяя правила подсчёта цифр. Данное значение веса
можно считать приближённым числом с 3 значащими циф-
рами, данное значение диаметра — приближённым числом с
2 значащими цифрами (0,40). Плотность меди Д, т. е. вес в
граммах 1 куб. см меди, согласно справочнику, равна 8,9 —
приближённое число с 2 значащими цифрами. Сперва по
весу провода р и плотности а находим объём V по формуле
V = p;a, затем но формуле объёма цилиндра V --^T.d2h,
где d означает поперечник основания цилиндра, т. е.
диаметр провода, находим высоту h, т. е. искомую длину
провода, для чего надо разделить V на у nd2. Соглас-
но правилу предварительного округления более точных
данных (см. § 16), ограничиваемся приближённым значением
к с 3 значащими цифрами (n»3,14). Промежуточные ре-
89
зультаты берём с 3 значащими цифрами, окончательный с 2.
Ниже приводим всё вычисление полностью (умножения и
деления опять посредством таблицы О'Рурка).
Р
А
V : А
d
d2
h=V : — r.d2
4
25о г
8,9
28,1 куб. см
0,40 мм = 0,040 см
0,0016 кв. см
0,00010 кв. см
0,00Г2б кв. см
22ооо см
250 : 8,9;
2500 : 89 = 28,08;
2492
800
3,14.0,00040 = 0.0012560;
28,1 :0.00126;
2810'00 0 : 126 = 22301,...
2772
3800
3780
200
£26
74
Ответ: h ~ 22о м.
Итак, вычисление показывает, что длина купленного про-
Еода составляет около 220 м. Цифра единиц осталась со-
вершенно неизвестной, цифра же десятков, будучи послед-
ней сохранённой значащей цифрой приближённого оконча-
тельного ответа, как всегда при округлениях, согласно пра-
вилам подсчёта цифр, может иметь в себе некоторую по-
грешность, но, вероятно, небольшую.
Теперь проведём вычисление со строгим учётом погреш-
ностей, которое должно дать совершенно опредёленное ука-
зание на те границы, в которых содержится искомая длина.
Прежде всего надо установить границы для веса р и тол-
щины провода d. Взвешивание на лабораторных весах с при-
менением разновеса до грамма показало, что р больше 252 г
о меньше 253 г: магазин отпустил провод с небольшим
«походом». Чтобы определить поточнее диаметр провода,
наматываем кусок его на круглый карандаш, укладывая витки
в один слой и как можно плотнее друг около друга, и изме-
рим место, занятое 20 витками. Оказалось, что эти 20 витков
заняли по длине карандаша немного больше, чем 8,0 мм,
но меньше, чем 8,5 мм. Таким образом диаметр провода d
больше 8,0 : 20 = 0,40 мм, или 0,040 см, но меньше 8,5 : 20 =
— 0,425 мм, или 0,0425 см. Для плотности меди в справоч-
никах указывают иногда число 8,8, иногда число 8,9. При-
мем эти два числа за её границы. Для числа п возьмём
границы 3,14 и 3,142.
90
Теперь у нас есть всё, что нужно для вычисления гра-
ниц Л, которое и проводим, опуская все вспомогательные
выкладки:
НГ ВГ
р 252 253
А 8.8 8,9
(!) V — p : А 28.3 28.8
d 0,040 0,0425
d'i 0,0016 0,00181
Т-Л! 0,00040 0.000453
4 0.00125 0,00143
(!) h V : — 4 19700 23100
или в метрах . . 197 231
Ответ: 197 м < Л < 231 м.
Итак, сделанное вычисление позволяет утверждать, что
длина купленного провода заключается между 197 м и 231 м
или, по округлении, что она между 190 м и 240 м. Измеряя
его длину, с целью поверки, непосредственно (мы это сде-
лали, вбив на полу два гвоздя на расстоянии 5 м друг от
друга и наматывая провод на эти гвозди), мы установили,
что Л в действительности близко к 227 м, т. е. находится
внутри указанных границ.
В заключение этого параграфа отметим ещё раз, что
строгий учёт погрешностей применяется на практике сравни-
тельно редко, в громадном большинстве случаев достаточно
бывает того результата, какой даёт вычисление без строгого
учёта погрешностей, но с применением правил подсчёта цифр.
Упражнения
1. Вычислите границы суммы .’> = > 2 + > 8 + > 18 +у 32. установив
предварительно границы каждого слагаемого в виде чисел с 3 значащими
цифрами (целые, десятые, сотые). Для поверки воспользуйтесь тем, что
сумма эта. как легко показать, равна 10>- 2 или j 200-
2. Кусок дерева имеет форму прямоугольного параллелепипеда с
квадратным основанием. Сторона основания а больше 5.6 см и меньше
5,7 см. Высота h больше 8.0 см и меньше 8,1 см. Вес куска р заключён
между 155.0 г и 155,5 г. Найти границы для плотности А этого куска
дерева
91
3. Гипотенуза с прямоугольного треугольника больше 44,2 см и
меньше 44,3 см. Один из катетов а больше 25,6 см и меньше 25,7 см.
Найти границы второго катета Ь.
4. Желая найти высоту дерева х. измерили длину его тени и одно-
временно длину тени а, падающей от отвесно поставленного шеста дли-
ной с. Оказалось, что 12,6 м < а < 12,8 м, 141 см < b < 145 см, 164 см<
< с < 166 см. Найти границы для х.
§ 23. ПОНЯТИЕ О ГРАНИЦЕ АБСОЛЮТНОЙ И ОТНОСИТЕЛЬНОЙ
ПОГРЕШНОСТИ
При вычислениях со строгим учётом погрешностей вместо
того чтобы указывать низшую и высшую границы, употреб-
ляют другой способ, тоже дающий вполне определённые ука-
зания о точности приближённых результатов, но несколько
более удобный на практике.
Пусть, например, установлено, что 25 < * < 29, т. е. что
число х заключается между 25 (НГх) и 29 (ВГх). Берём
полусумму этих границ, т. е. число у (25 ± 29) = 27, и при-
нимаем это число за приближённое значение х, что сокра-
щённо записываем так: х = 27. Далее замечаем, что для по-
лучения НГх надо из 27 вычесть 2, а для получения ВГх
надо к 27 прибавить 2. Такое число, отнимание которого от
приближённого значения а неизвестного числа х даёт НГх,
а прибавление его к этому же приближённому значению
х даёт ВГх, называют границей абсолютной погрешности
данного приближённого значения а. Итак, в рассматривае-
мом примере мы имеем приближённое значение х, равное
27, и границу его абсолютной погрешности, равную 2. За-
писывается это так:
х » 27 (± 2)
и читается: х приближённо равен 27 с погрешностью в ту
или другую сторону, не превосходящей 2.
Итак, зная НГ и ВГ некоторой величины, легко найти
приближённое значение этой величины и границу её абсо-
лютной погрешности: надо взять полусумму обеих границ и
их полуразность; полусумма принимается за приближённое
значение величины х, а полуразность является границей
абсолютной погрешности этого приближённого значения.
Например, если НГх = 29,7 и ВГх^30,1, то находим:
(30,1 + 29,7) : 2 = 59,8 : 2 = 29,9 и (30,1 — 29,7) : 2 =
= 0,4 : 2 = 0,2.
Полученный результат сокращённо записываем в виде:
х^29,9 (±0,2).
Иногда в качестве приближённого значения для х при-
ходится брать не полусумму границ, а какое-нибудь близкое
92
к этой полусумме круглое число. Тогда и граница погреш-
ности уже не равна полуразности границ, а становится не-
сколько больше. Возьмём, например, результат, полученный
в задаче 2 § 21: НГз= 37,00, ВГ$ = 38,74. Поступая, как
указано выше, найдём, что
з^ 37,87 (4-0,87).
В этом приближённом значении (37,87) две последние
цифры сомнительны. Его необходимо округлить, сохраняя
лишь одну сомнительную цифру, т. е. до десятых. Получаем
s *-• 37,9. Какова же граница абсолютной погрешности этого
нового приближённого значения. Прежняя граница (0,87)
уже не годится, так как разность 37,9 — 0,87 — 37,03 уже
несколько больше НГ. Очевидно надо взять в качестве новой
границы абсолютной погрешности число 0,9. Действительно,
тогда разность 37,9 — 0,9 даст как раз НГз=37, а сумма
37,9-|-0,9 даст 38,8, что несколько больше BEs = 37,87, а
потому может быть принята за новую BTs (напомним, что
НГ можно только уменьшать, а ВГ только увеличивать).
Легко убедиться в справедливости такого правила: если
приближённое значение неизвестного точного числа отли-
чается от полусуммы НГх и ВГх, то границей абсолютной
погрешности числа служит наибольшая из разностей
а — НГх и ВГх — а.
Если имеется несколько приближённых значений одной и
той же величины вместе с соответствующими границами аб-
солютных погрешностей, то чем меньше эти границы, тем
точнее соответствующие приближённые значения, так как тем
меньше соответствующие разности между ВГ и НГ. Поло-
жим, например, что один раз получили для длины отрезка
значение 264(4 8) см, а другой раз—значение 266(4.- 1) см.
Ясно, что второй раз измерение произведено гораздо точнее,
чем первый. Таким образом, граница абсолютной погрешно-
сти представляет собой удобное средство для сравнения
точности нескольких приближённых значений одной и той же
величины.
Однако для сравнения точности приближённых значений
различных величин граница абсолютной погрешности оказы-
вается недостаточной. Пусть, например, измерены длина ка-
рандаша, причём в результате получено 20 (4-1) см, и дли-
на фасада здания, причём в результате получено
10,00 (+0,01) jh= 1000 (4у 1) см. Границы абсолютных по-
грешностей в обоих случаях одинаковы и равны 1 см. Тем не
менее каждый скажет, что первое измерение выполнено
очень грубо, а второе довольно точно. Для сравнения точ-
ности приближённых значений различных величин пользу-
ются границей относительной погрешности: так называют
93
частное от деления границы абсолютной погрешности на
само приближённое значение и выражают его обыкновенно
в процентах. Так, в нашем примере граница относительной
погрешности при измерении карандаша равна , или 5%’,
а при измерении длины фасада ТЦбб > или 0.1%. Следова-
тельно второе измерение выполнено в 50 раз точнее, чем
первое.
Ясно, что как границу абсолютной погрешности, так и
границу относительной погрешности можно только увели-
чивать и нельзя уменьшать: если мы ручаемся, что данное
приближённое значение а отличается от истинного значе-
ния х меньше, чем. например, на 3,5, то и подавно можно
утверждать, что а отличается от х меньше, чем на 4, но
нельзя утверждать, что а отличается от х меньше, чем на 3.
Заметим, что иногда границу относительной погрешности
определяют как частное от деления границы абсолютной
погрешности на точное (неизвестное) значение рассматри-
ваемой величины. На практике это приводит к тем же ре-
зультатам, что и наше определение, а потому мы и берём
границу относительной погрешности так, как указано в дан-
ном нами определении.
Итак, зная НГ и ВГ неизвестного значения какой-ни-
будь величины х и взяв приближённое её значение а, мы
легко найдём сперва границу абсолютной его погрешности,
обозначаемую обыкновенно символом До (читается: „дель-
та а"), а затем и границу его относительной погрешности
или . 100 %. Рассмотрим несколько примеров.
1. Всякая выпускаемая в продажу гирька с надписью
„10 лег“ имеет действительный вес более 9 мг и менее И мг.
Обозначая неизвестный истинный вес гирьки через х, имеем
НГх — 9, ВГа = 11, а — 10. Составляя разности а — НГх = 1
и ВГх — а — 1, видим, что граница обсолютной погрешности
Да = 1. Остаётся разделить До на а, и мы получаем, что
граница относительной погрешности указанного приближён-
ного веса гирьки есть или 10%. Итак, х = 10 (+ 1) мг,
или х^+10 ( + 10%) мг.
2. Взвешивание показало, что некоторый груз весит
больше 346,5 г и меньше 347 г. Если в качестве прибли-
жённого значения веса груза х взять а = — (346,5+ 347) г =
= 346,75 г, то получим Дп = 0,25, и а будет иметь две сом-
нительных цифры. Поэтому, округляя, берём а — 346,8 (пра-
94
вило чётной цифры). Составляя разность 346,8 — 346,5 =0,3
и 347 — 346,8 = 0,2, находим, что Да = 0,3 и
^._121 = оо9%
а — 346.8 C'.wo-
3. При решении задачи 4 § 22 мы установили, что НГй =
= 197 м, ВГй = 231.и. Указать приближённое значение h и
границы его погрешности.
Вычисляя полусумму и полуразность границ, получаем
h^z 214 (± 17) м. Если необходимо округление, то принимаем
h = 21о м. Сравнивая разности 210 — 197 = 13, 231 —210 = 21,
видим, что Да = 21, и тогда:
• 100= 10%, h 210 (+ 10%) м.
Если известно приближённое значение (а) величины х и
его граница относительной погрешности' , а нужно ука-
зать НГх и ВГх, то сперва находим Да (умножением - " на а),
а затем НГх = а — Да и ВГх = аз-Да.
Пусть, например, измерение дало для некоторой длины
приближённое значение 624,72 ;.t, причём известно, что при-
менёный способ измерения даёт результат с погрешностью
до 0,5%, но не выше. Каковы границы для х ? Здесь
а = 624,72, Да = 0,5% от 624,72 = <3,13. Следова-
тельно, НГх = 624,72 — 3,13 = 621,59, ВГх = 624,72 4-
+ 3,13 = 627,85. Найденное значение указывает на необхо-
димость округления данного приближённого значения а:
в нём три сомнительных цифры. Округляя его до целых и
соответственно увеличивая Да, получаем х 625 (+4)
Отметим, что тот способ учёта погрешностей результа-
тов повторных измерений, о каком шла речь в начале § 21,
сразу даёт границу абсолютной погрешности среднего ариф-
метического: за Да принимают среднее уклонение от ариф-
метического среднего. Здесь граница абсолютной погреш-
ности Да вычисляется раньше, а НГх и ВГх лишь посред-
ством Да.
Решим в заключение настоящего параграфа одну задачу,
требующую применения границ абсолютной и относительной
погрешностей, а также применения способа границ.
Коэффициент х полезного действия трансформатора можно
найти двумя способами: либо по формуле х = а:Ь, либо по
95
формуле х = а : (а + с) = 1 : (1 + -у) . где а — количество по-
лезной энергии, получаемой от трансформатора, b — коли-
чество энергии, подведённой к трансформатору, с —количе-
ство энергии, потерянной в трансформаторе (всё за один и
тот же промежуток времени). Измерения показали, что
а st 359 (+ 1 %) ватт, 373 (± 1 %) ватт, с st 12 ( + 20%) ватт.
Найти Xj = а :Ь и х2 — 1 :(1 4-у) со строгим учётом погреш-
ности.
Заметим, прежде всего, что значение с можно получить
и без особого измерения — простым вычитанием по формуле
с — Ь — а. Результат, однако, будет очень неточен (потеря
точности при вычитании, см. § 12). Действительно,
Да = 1 % от 359 я 3,6; Д!> = 1 % от 373 ss 3,8.
НГ ВГ 21,4 6,6
ь 369,2 376,8 28,0 : 2 = 14.0 14,8 : 2 — 7,4
а 355,4 362,6 с ~ 14.0 (+ 7,4)
(!) с = Ь—а 6,6 21,4 или с ~ 14,0 (± 53%)
Поэтому, хотя непосредственное измерение даёт с очень
неточно (граница относительной погрешности, как указано
выше, составляет 20%!), но всё же с меньшей погрешностью,
чем вычисление с через а и Ь.
Переходим к вычислению х, и х2.
л, — а : Ь
НГ ВГ
а 355,4 362,6
ь 369,2 376,8
^Х1 = а-.Ъ 0,943 0,983
0,983
0,943
1,926 : 2 = 0,963,
0,040 : 2 = 0,020;
Ж] ~ 0,963 (± 0.020), или
х, =s 0,96 (± 0,023)
Ответ: Л'1 = 0,96 ( ±2,4%).
х2 — 1 : (1 + —).
а
96
НГ ВГ х,= |:(1 + 4-) Дс = 20% от 12 = 2,4. 0,975 0.960 1,935 : 2 = 0,9675; 0.015 : 2 =0,0075, х* % 0,9675 ( ± 0 0075).или х2 0.968 (± 0.008)
С а (?) с : а 1 +с : а (!) х2 = 1 : (1 + £_) а 9,6 355,4 0,026 1,026 0,960 14,4 362.6 0,041 1,041 0,975
Ответ: х2 = 0.968 (±0,8%).
Получился довольно неожиданный результат: вычисление
во второй формуле посредством менее точного числового дан-
ного дало более точный результат, чем по первой. Отметим,
что так будет всего при высоких значениях коэффициента
полезного действия, т. е. при значениях, близких к 100%.
Итак, мы ознакомились с двумя способами характеризо-
вать точность приближённых результатов. Можно указывать,
во-первых, НГ и ВГ неизвестного точного значения и, во-вто-
рых, указывать а и Да (или а и -у-)- Оказывается, что вто-
рой способ имеет некоторое преимущество и употребляется
на практике чаще первого. Особенно важно то, что, зная
границы погрешностей всех данных приближённых значе-
ний, мы можем вычислить и границу погрешности резуль-
тата, не находя его НГ и ВГ. С этим вторым способом
строгого учёта погрешностей мы ознакомимся в § 25.
Упражнения
1. Зная, что некоторый угол а больше 24°30' и меньше 24°50', ука-
зать приближённое значение а этого угла и границу его погрешности
(абсолютной и относительной).
2. Найти приближённое значение х и границы его погрешности, если
известно, что НГх - 841,8 и ВГх - 844,5.
3. Мощность UT паровой машины, вычисленная посредством индика-
торной диаграммы, равна 16,473 лошадиной силы. Зная, что этот способ
измерения мощности даёт результаты с погрешностью до 5 %, указать
границы для 1Г и надлежащим образом округлить указанное выше при-
ближённое значение IV'.
4. Электрическая лампочка накаливания с номинальной мощностью
в’25 ватт (надпись на цоколе 25 w) должна иметь силу света (согласно
стандарту) от 15,60 до 19,00 свечей*. Указать приближённое значение
силы света такой лампочки и границу его погрешности.
5. Ребро куба имеет длину, равную, согласно измерению, 12,0 см с
относительной погрешностью не выше 1%. Вычислите по способу границ
объем этого куба V и сравните границу его относительной погрешности
с границей относительной погрешности данного значения длины ребра.
* Общесоюзный стандарт ОСТ 195.
7 В. М. Брвдис 97
§ 24. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИБЛИЖЁННЫЕ ФОРМУЛЫ
Числа, мало отличающиеся от 1, имеют замечательную
особенность: более трудные действия над ними, а именно
умножение, деление, возведение в степень и извлечение
корня, можно производить упрощённым способом, дающим
достаточно точные результаты значительно быстрее, чем
обычный способ. Этот упрощённый способ состоит в приме-
нении нескольких приближённых формул, вывод которых
основан на двух следующих фактах.
А. Всякое число, меньшее 1 по абсолютной своей вели-
чине, при возведении в степень (квадрат, куб и т. д.) стано-
вится ещё меньше. Равным образом произведение двух та-
ких чисел есть число, абсолютная величина которого меньше
абсолютной величины каждого из сомножителей.
Нередко случается, что числа а, Ь, с,..., принимаемые во
внимание при вычислении, настолько малы (по абсолютной
своей величине), что их квадратами, кубами и их произведе-
ниями уже можно пренебречь. Например, если вычисление
ведётся до сотых долей, то числами 0,02, 0,03, 0,04 пре-
небречь нельзя, а квадратами их (0,0004, 0,0009, 0,0016), их
произведениями попарно (0,0006 и т. д.) и тем более их
кубами (0,000008 и т. д.) пренебречь вполне возможно.
Такие числа мы будем называть весьма малыми числами.
Ясно, что вопрос о том, какие числа являются весьма
малыми, приходится решать при каждом вычислении отдель-
но, принимая во внимание его точность.
Б. Всякое число, близкое к 1, можно представить в виде
1 а, где а есть положительное или отрицательное число,
малое по своей абсолютной величине. Если, принимая во
внимание точность вычисления, мы установим, что а есть
число весьма малое (в указанном выше смысле), то будем
говорить, что 1 а есть число, весьма близкое к I.
Итак, числа 1 -j- а, 1+&, . мы будем называть
весьма близкими к 1, если числа а, Ь, с,..., которые могут
быть и положительными, и отрицательными, настолько малы
по своей абсолютной величине, что их квадратами, кубами,
произведениями можно (при требуемой точности вычисле-
ния) пренебрегать.
Переходим к выводу формул.
Перемножая 1 а и 1 4- Ь, получаем произведение 1’4- а —
+ b + ab. Отбрасывая произведение ab, получаем прибли-
жённую формулу для произведения двух чисел, весьма
близких к 1 :
(1 +а) (1 + &)~1 +a+b. (1)
Применяя эту формулу, мы допускаем погрешность, рав-
ную отброшенному произведению ab. Погрешность будем
обозначать греческой буквой е (читается «эпсилон»).
98
Пример 1. Найти р — 1,092 • 1,026, q = 0,997 -0,995, г =
= 0,996 - 1,024378.
Применяя формулу (1), прикидываем (в уме) грубо-при-
ближённую величину погрешности е = и в зависимо-
сти от её величины либо округляем полученный приближён-
ный результат с таким расчётом, чтобы в нём оставались
лишь заслуживающие доверия цифры, либо добавляем нули,
чтобы характеризовать действительную его точность. Все
данные числа будем для простоты считать точными, т. в.
б^дем учитывать исключительно погрешности от употребле-
ния приближённой формулы.
1 +0,092 0,026= 1,118;
е 0,09 - 0,03 = 0,0027 < 0,003.
Найденное значение для р (1,118) оставляем без округ-
ления, так как в нём лишь небольшая погрешность в по-
следней цифре (меньше 3).
q 1 4 (- 0,003) 4 (- 0,005) = 0,992;
0,003 - 0,005 = 0,000015.
Найденное значение q имеет погрешность лишь в пятом
десятичном знаке, и то небольшую, а потому может быть
переписано так: q^ 0,99200.
г 1 4 (- 0,004) 4- 0,024378 = 1,020378;
0,004 - 0,02 = 0,00008.
Здесь надо произвести округление до четвёртого деся-
тичного знака, так как найденное значение г имеет боль-
шую погрешность в пятом десятичном знаке: 1,0204.
Формула (1)'верна для всех весьма малых значений а и Ь.
Полагая а — Ь, получим новую приближённую формулу
(1 и- а)’х 1 42а, (2)
погрешность которой $ — а*.
Взяв далее (1 4 aY = (1 + а)2(1 + а) и применяя сперва
формулу (2), потом формулу (1), получим приближённую
формулу
(14 а)3 =14 За (3)
с погрешностью е = 3а2. Чтобы убедиться в последнем, доста-
точно применить формулу куба суммы:
(1 1 а)3 = 1 +3а <-Заг 4 а3
и принять во внимание, что, в силу ничтожности величины
а3, погрешность, равную сумме За2 4 а3, можно прибли-
жённо оценивать членом За2.
♦ Напоминаем, что две вертикальных чёрточки, поставленные околе
числа, означают, что берётся его абсолютная величина, например:
|-5| = 5; |45|=5.
7* 99
Пример 2. Известно, что длина всякого предмета, отли-
ваемого из чугуна некоторого определенного сорта, умень-
।
шается при затвердевании на gg- его длины в расплавлен-
ном состоянии(так называемая «линейка усадка» при отлив-
ке). Выясним, какова усадка при отливке из чугуна по площа-
ди и по объёму, т. е. установим, на какую часть своей пер-
воначальной величины (в расплавленном состоянии) умень-
шается поверхность и объём отливаемого предмета.
Положим, для простоты, что отливается квадратная пла-
стинка, каждая сторона которой имеет (в расплавленном
состоянии) длину / см. После затвердевания каждая сто-
рона станет на X I см короче, т. е. будет иметь тлину
I — ,— 1 = / (1 — Площадь пластинки будет равна в рас-
плавленном состоянии:
I -I- /2 см\
а после затвердевания
' О-«У '•('-A)=;’(i - я)-««
или, согласно формуле (2), /2(1— кв. см. Уменьшение
площади при затвердевании (усадку по площади) найдём вы-
читанием:
= М1 -яг)] = ' [> -1 + i]“
2 /9
— -7 Кв. СМ.
Уо
гт 2
Итак, уменьшение площади равно первоначальной
площади.
Предлагаем читателю самостоятельно установить, что
усадка по объёму, т. е. уменьшение объёма при затвердева-
3 . ..
нии чугунном отливки, составляет первоначального объема.
Для этого надо рассмотреть изменение объёма куба и вос-
пользоваться формулой (3).
В справочниках для литейщиков всегда помещают таб-
лицу линейных усадок для разных металлов (для железа
79- , для меди -дг и т. д.) и добавляют примечание: усадка
по площади равна двойной, по объёму — тройной линейной
усадке.
В справедливости этого замечания по отношению к чу-
гуну мы уже убедились. Если вместо него возьмём другой
металл, линейная усадка которого тоже выражается малой
дробью, то получим те же заключения с тем меньшей по-
100
грешностью, чем меньше линейная усадка. Сравнительно
большую линейную усадку, равную ч>, имеет сталь. Следова-
2 3
тельно, усадка по площади равна —, по объёму-------Вы-
числяя усадки по площади и по объёму точно, получаем:
Z2-/2 (1 - i)2 = /! [1 - 0,982] = Г- [1 - 0,9604] =
= /2 - 0,0396,
/3 _/30 =/3[1 —0,98’] =
= /’[1 - 0,941192] = /’ • 0,058808.
2 3
Обращая найденные выше значения и , в десятич-
ные дроби, 0,04 и 0,06, убеждаемся, что они отличаются
от соответствующих точных значений 0,0396 н 0,058808 при-
близительно на 1% и на 2%. Для других металлов эта раз-
ница ещё меньше.
Чтобы получить приближённые формулы для деления,
вернёмся к формуле (1). Полагая в ней Ь = — а, получаем
любопытную формулу: (1 -I а)(1 — а) ~ 1, которая после де-
ления сразу же даёт
1 :(1 + а) •= 1 — а. (4)
Чтобы оценить погрешность этой формулы, будем делить
1 на 1 + а по обычному правилу деления многочленов: по-
лучим в частном I — а а2 — а3 а4 —... Итак, точное
частное 1 : (1 -1-а) содержит бесчисленное множество чле-
нов, из которых в приближённую формулу (4) вошли первые
два, и погрешность этой формулы есть е=а2 — а3 + а4—...
Каждый последующий член при малом а значительно меньше
предыдущего, а потому погрешность можно оценивать при-
ближённо формулой
Теперь легко получить и приближённую формулу для
деления двух чисел, весьма близких к 1; применяя формулы
(4) и (1), имеем:
(1 + а) :(1 +/») = (! + а) [1 :(1 + *)] ~ (1 + а) (1 -Ь) *
= 1 4- а — Ь.
Итак,
(1 + а):(1 +b) = 1 -\-a-b. (5)
Погрешность этой формулы равна в ~ &2 — ab.
Пример 1. Железный вал пои обработке нагрелся по80°
и имеет длину 1235 мм. Какова будет его длина х после
охлаждения до 15°?
Известно, что коэффициент линейного расширения железа
равен 0,000012, т. е. что при нагревании на 1° железо удли-
ни
няется на 0,000012 своей длины при 0°. Поэтому для вычи-
сления х имеем формулу:
х 1235 : [I + (80 - 15) . 0,000012] = 1235 : (1 +0,00078),
которая после применения формулы (4) даёт:
1235 (1 —0,00078) 1235 — 0,96 1234 мм.
Пример 2. Зубчатое колесо, имеющее А = 120 зубцов,
сцеплено с другим зубчатым колесом, имеющим В = 96 зуб-
цов, а потому второе колесо вращается быстрее первого
в число раз, равное 120:96 = 1,25. Выяснить, как изменится
это отношение скоростей, если число зубцов первого (веду-
щего) зубчатого колеса увеличить на а = 1, второго (ведо-
мого) на &= 2.
После такого увеличения числа зубцов отношение скоро-
стей станет равно:
(Л + 0) :(В + »)=+. » £+1-4) _ +
а АЬ
+ ~ ’
т. е. увеличится на величину, равную
а_АЬ_± 120 • 2 _ /, £ 1 ___!_ _ПЛ1А
В В« “ 96 ~ 962 — 96 • и 2 ! ~ 61 ~
т. е. уменьшится на 0,016 и станет равным
1,25 - 0,016= 1,234.
Выведенная формула годится для любых как положи-
тельных, так и отрицательных значений а и Ь, значительно
меньших по абсолютной величине, чем А и В.
Переходим к формулам для извлечения корня.
Извлекая квадратный корень из обеих частей формулы (2),
получим формулу 1 -р а =У 1 + 2а. Заменяя в ней а через
у а и 2а через а и ставя левую часть на место правой,
получим приближённую формулу для извлечения квадрат-
ного корня из числа, весьма близкого к 1 :
У 1 + а к 1 + 4 а- (6>
Поступая подобным же образом с формулой (3), выведем
приближённую формулу для извлечения кубического корня:
]/Г~а 1 + |а. (7>
Можно показать, что эти две формулы дают приближён-
ное значение корней всегда по избытку, причём погреш-
ность близка Куа! для формулы (6) и к у а2 для форму-
лы (7).
102
Проверим это замечание на нескольких примерах, из-
влекая корни посредством этих формул и посредством таб-
лиц и сравнивая результаты.
1 У 1Д48 = У 1 + 0,048 = 1 + 0,024 = 1,024.
Здесь ' а2-~ 4--0.0482 < 0,0003, а потому точное значе-
Во
ние корня отличается от найденного приближённого его
значения меньше, чем на 3 единицы четвёртого десятичного
знака. Действительно более точное вычисление даёт:
У ТД48 ~ 1,02371,
2 . 1'67995 =* 1 -4-0-005 -0,9975.
Здесь а2 — -Т'0,005- * 0,000003, и полученный резуль-
тат надо переписать так:
У Д995 » 0,997500
(сохранена одна сомнительная цифра) или, принимая во
внимание, что формула (6) всегда дает приближённые зна-
чения по избытку, 0,997497. Более точное вычисление даёт
у0Д95 з? 0,9974968.,,
3 р— « 1 4 •0,1-1,0333...
Здесь -±-а2 == у . 0,01 « 0,001, а потому в результате,
полученном по приближённой формуле, надо сохранить три
десятичных знака, но не больше.
Итак,
/Т/Г » 1,033.
Более точное извлечение даёт
У~ « 1,0322...
Ограничиваясь рассмотрением только что выведенных
семи приближённых формул для действий над числами,
весьма близкими к 1, отметим, что, комбинируя их разными
способами, мы можем получить ещё ряд новых формул.
Вот несколько примеров (числа а, Ь, с, везде предполагают-
ся весьма малыми):
1) (1 + а)(1 4-&)(1 +с) « (1 — а 4-д)(1 4-с) = 1 / а Ь + с;
2) 1 :(1 ± а)2 » 1 :(1 + 2а) = 1 -2а;
3) 1 :УГ+а 1 :(1 +4- Я)й1-|а;
и V
103
4)j/o+лш^ « у 1+iXt ,VT+^Ь-с. 1
+ ~ (а + b — с).
Приводим ещё формулу, дающую приближённое значение
десятичного логарифма числа, близкого к 1:
1g /1 + а) — Ма,
где 44 = 0,434294..., а любое весьма малое число. Прибли-
жённое значение М, округлённое до 4-й значащей цифры,
легко запоминается (44 = 0,4343).
Если а по абсолютному значению не превосходит 0,015,
то, как легко проверить по таблице логарифмов, формула
даёт 4 точных десятичных знака логарифма.
Упражнения
1. Найти х = 1,05.0.994, у = 1,008 :0,97, / = 1.OO223, z-0,982, оценивая
точность получаемых результатов и надлежащим образом округляя их.
2. Если в прямоугольном треугольнике один из катетов (а) значи-
тельно меньше другого (Ь). то гипотенузу (с) можно вычислить по приб-
а2
лижённой формуле с — b -• . Выведите эту формулу и проверьте её
при а — 5 см, b =65 см.
3. Зубчатое колесо с 60 зубцами сцеплено с зубчатым колесом
с 72 зубцами. Выяснить, как изменится отношение скорости вращения
второго колеса к скорости вращения первого колеса, если число зуб-
цов первого увеличить на один, а второго уменьшить на один. Выч -
сления проведите двумя способами (посредством приближённых фор-
мул и без них)
4. При точном взвешивании (в лабораториях) применяют способ
«двойного взвешивания», состоящий в том, что предмет взвешивается
два раза: сперва на одной, потом на другой чашке весов. Если коро-
мысло весов имеет плечи в точности одинаковой длины, оба взвешива-
ния должны дать одинаковый результат. Если же, как это обычно
бывает, плечи имеют разные длины, то результаты немного отличаются
друг от друга. Обозначим их через pi и ръ истинный вес—через х,
длины плеч—через/] и /2. Вспоминая из курса физики, что равновесие
весов наступает при равенстве «моментов» грузов, что бывает при
равенстве произведений груза на соответствующее плечо, получаем два
уравнения:
x/j - р J-г. xl2=p2li.
Перемножая эти два уравнения почленно и производя сокращения,
получаем, что __
*2 = Pi?2- /Р1Р2-
Таким образом, искомый вес предмета есть среднее геометрическое
из результатов обоих взвешиваний. Между тем всегда берут среднее
арифметическое из них, т. е. полагают х х А. /р2у Убедитесь б-
возможности такой замены, взяв /^ = 9,9 и р2 — 10,0, а затем выведите
,--- 1
приближённую формулу у Pip2 ~~ (Pi + Р2)> считая числа р] и р2 весь-
ма близкими друг к другу.
Указание. Надо временно положить рг = Р1(1-га), где а
весьма малое число.
104
§ 25. СТРОГИЙ УЧЁТ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПО СПОСОБУ ГРАНИЦ
ПОГРЕШНОСТЕЙ
Пусть х « а( + Да), у ~ b (+ Ай), и мы имеем, следова-
тельно, два двойных неравенства:
а — Ла < ха ~ Да, b — ДЬ < у < Ь + Дд. (1 >
Складывая их почленно, получим:
а b — (Да + ЛЬ) < х 4- у < а-{- Ь-*~ (Ла -I- ЛЬ),
х + у а — Ь[± (Ла + Д&)].
Таким образом, граница абсолютной погрешности суммы
равна сумме границ абсолютных погрешностей слагаемых
(теорема I).
Если второе из двух неравенств (1) переписать в виде
— Ь — ЛЬ С — у < — b ~ ЛЬ и снова сложить его почленно с
первым, получим новое двойное неравенство:
а — Ь — (Да ЛЬ) < х — у < а — Ь + (Ла + ЛЬ)
или, записывая его по-другому,
х — у ~а — Ь[± (Ла -I Д&)].
Следовательно, граница абсолютной погрешности раз-
ности тоже равна сумме границ абсолютных погрешностей
данных (теорема II).
Теоремы / и II легко обобщаются на любое число сла-
гаемых и вычитаемых: граница абсолютной погрешности
алгебраической суммы любого числа членов равна ариф-
метической сумме границ абсолютных погрешностей их
всех.
Допустим теперь, что числа Да и ЛЬ настолько малы по
сравнению с а и Ь, что отношения Да: а и ЛЬ : Ь являются
числами „весьма малыми' в том смысле, в каком этот тер-
мин был введён в предыдущем параграфе, а числа а и Ь
положительны; почленное умножение обоих неравенств (1)
приводит в формуле:
ab — (аЛЬ 4- ЬЛа) ' ЛаЛЬ < ху < ab + (аЛЬ 4- ЬЛа) + ЛаЛЬ
или, после вычитания ab и деления на ab,
(Да , lib I Да bb ху — ab . /Да ДА \ Да ДА
'а ' b / ' a b " ab ^' a'bl’a'b
и, наконец, после отбрасывания произведения весьма малых-
Да ДА .
чисел — и -у , к формуле
/Да ДА\ ху — ab Да Д6
\ а ' b ab а b '
Последнее двойное неравенство выражает теорему III:
граница относительной погрешности произведения равна
сумме границ относительных погрешностей сомножителей.
10S
Переписав второе из двойных неравенств (1) в виде:
1 1 1_____________________________
А -{- ДА < у < Ь — Ла
и умножив его почленно на первое из них, получим но-
вое двойное неравенство
а — Да х а Да
Ь + ДА < у <~ Ь — ЛЬ '
или, после деления на а:Ь,
I Да _х j . Да
______а у __________а
1 ’ — а < 1 ЛЬ '
‘ ’ Т ~Ь 1 ~~~Ь
или, применяя формулу 4 § 24,
. Да ДА лг а . Ла . ЛЬ
а Ь у ’ Ь а ‘ Ь ’
или, наконец,
х а
/Да . ДА ) Ь Ла ЛЬ
\ а Ь ) а а Ь ’
Т
Последнее неравенство выражает теорему IV: граница
относительной погрешности частного равна сумме границ
относительных погрешностей делимого и делителя.
Как легко видеть, теоремы /// и IV можно обобщить и
объединить: граница относительной погрешности одно-
членного выражения вида х — — равна арифметиче-
ской сумме границ относительных погрешностей всех со-
множителей его числителя и знаменателя.
Как следствие теоремы III имеем теорему V: граница
относительной погрешности степени с натуральным пока-
зателем п равна л-кратной границе относительной по-
грешности основания.
п
Имеях=]/ а , пишем равенство хп ~ а и, в силу теоре-
. , Дх Да Дх 1 Да ~
мы V. заключаем, что п — — —, откуда — = ---•-• 1аким
jc л * * л я я
образом, граница относительной погрешности корня с на-
туральным показателем п равна границе относительной
погрешности подкоренного числа, уменьшенной в п раз
(теорема VI).
Имея формулу, выражающую некоторое неизвестное в
зависимости от приближённых данных, границы погрешностей
которых известны, мы можем найти границу погрешности
результата, применяя рассмотренные теоремы. В этом и за-
ключается способ границ погрешностей. Если формула, кроме
.106
знаков шести первых арифметических действий, содержит
ещё такие знаки, как If?, sin и другие, то нужны ещё неко-
торые теоремы, легко устанавливаемые с помощью матема-
тического анализа
Ограничимся одним примером применения способа границ
погрешностей.
Задача. Найти плотность 8 материала, из которого сде-
лан круглый цилиндр весом р 17,1 (± 0,05) кг, если ра-
диус окружности его основания г «12,3 (± 0,05) см, а его
высота h «43,8 (±0,1) см.
Вычисляя 8 по формуле '> = p:v, где у-кг-К, получаем
8« 0,822. Применяя теоремы IV, III, V, находим, что
До Др Air . 2Дг . Ah
о р г. г Л
Подставляя данные и выражая все относительные по-
грешности в процентах, имеем:
у . 100 — 0,29% -±0,02% -0,82% . 0,23% = 1,36%,
что даёт А;< — 0,0113. Окончательно имеем о «0,822 ( + 0,012)
или 8« 0,82 (±0,014).
Как видим, наибольшее влияние на точность результата
имела погрешность приближённого значения /(0,82%).
Чтобы повысить точность определения надо прежде всего
повысить точность значения г.
Сравнивая два рассмотренных нами способа строгого
учёта погрешностей, а именно способ границ и способ гра-
ниц погрешностей, можно отметить у того и другого свои
преимущества. Однако большая теоретическая простота спо-
соба границ, его универсальность, его безусловная строгость
делают его значительно более подходящими для изучения в
средней школе, где и рекомендуется его применять во всех
случаях, когда нужен строгий учёт погрешностей.
Глава IV
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ
§ 26. ТАБЛИЦА КВАДРАТОВ
В § 4 мы уже имели дело с маленькой таблицей квадра-
тов, содержащей квадраты всех натуральных чисел от 1 до
109, и видели, как легко составляется такая таблица — при-
бавлением последовательных нечётных чисел. Подобная
таблица квадратов тем полезнее, чем она обширнее.
Рассмотрим устройство и употребление таблицы квадра-
тов, помещённой на стр. 109—110 и позволяющей весьма
просто находить первые четыре значащих цифры квадрата
любого десятичного числа, имеющего не больше четырёх
значащих цифр. Эта таблица содержит квадратны десятичных
чисел от 1,00 до 9,99, изменяющихся черео 0,01, округлённые
до 4 значащих цифр. В крайнем левом столбце выписаны две
первых цифры возводимых в квадрат чисел, в самой верхней
строке слева—третьи их цифры, квадраты помещены на пе-
ресечении соответствующих строк и столбцов. Таким обра-
зом, например, на «сороковой» строке, т. е. строке, имеющей
в заголовке (слева) число 4,0 в «нулевом» столбце, т. е.
столбце, имеющем в заголовке (сверху) цифру 0, должен
находиться квадрат числа 4,00, т. е. 16,00, который мы там
и видим; в «первом» столбце—квадрат числа 4,01, равный
(4,00 + 0,01)2 = 16,00 + 0,08 + 0,0001 = 16,0801.
Именно это число, округлённое до четырёх значащих
цифр, а именно 16,08, там и находится. Во «втором» столбце
должно быть число 4,022 — 16,1604, или, по округлении,
16,16. Именно это число там и видим. Продолжая вычис-
ление и выполняя только сложения (последовательно при-
бавляются числа 0,0801, 0,0803, 0,0805 и т. д.), получаем
4,032 = 16,2409, 4,042= 16,3216, 4,052 = 16,4 0 25
и т. д.
Именно эти числа, округлённые до четырёх значащих
цифр, и находятся на соответствующих местах таблицы.
108
Таблица квадратов чисел 1,0—5,39
.V 0 ’ 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 ylelg
1.0 1,000 ’.□го 1,0*0 1.061 1.062 1,105 i,i г4 1.145 1.166 1,188 2 4 6 8 10 <31’5 17 <9
1.1 1,2’0 ’.2)2 1,254 1,277 1,300 ’.323 1.346 1,369 1.39г i.4i6 2 5 7 9 91 i4j 46 18 21
1.2 1 ,*.4.0 1.464 1.488 ’ЛИ 1.536 1,567 ’,588 1,6» 3 ’.636 1,664 2 *) 7 40 12 15 '7 20 ->
1.3 1.690 ’Z’0 1,742 1.769 ’,796 1.623 1.650 1.877 1,904 1.932 3 5 6 12 ’3 16 19. 22 :4
14 1.960 ’.986 2.0'6-; 2,045 2.074 2/0} 2.432 2,<61 2,190 2.220 3 6 Q 12 14 17 20i 2 } -6
1.S 2,250 2jd0 1 2.5Ю 2.J41 2,372 2.40} 2,454 2.*65 2,496 2,528 3 6 1 о iZI'5 ’9 22 25,2d
1.0 2,560 2,502 2.624 г,6571 г.690 2,72} 2.756 2,789 2.822 1.856 3 7 10ИЭ '6 20 2), 26'30
1 1.1 2.dqo 2.Q24 2.958 2.993 З.огб 3.063 3.098 З.’ЗЗ 3.168 }.2O4 3 7 »OI14|17 2» 2* 28 3’
1.0 >,2-0 5.270 3.3’11 3.3*9 5.386 3.423 j,46o 3.*97 3.534 3,572 4 7 > 1» 22 26 30,33
1.9 }.6ю 5.646 3,686 I 3.725 1 3.764 З.ЙО) 5.642 З.881 3.920 3.960 4 8 12 t61923 27 3’ 35
г.« 4,000 4,o4oi 4,ОЙО 4,121 4,162 4.203 4.244 4,285 ^4,326 4.368 4 3 4116120125 29 3)1)7
2,1 4.410 4.452 4.494 4.5И 4,560 4,623 4,666 4.709 4,752 4,796 4 9 t - П117 21 '16:)0 )4 )9
2.2 4,840 4.664 4,926 4,973 5,0’6 5.063 I 5.100 5.’53 5.198 5.244 4 9 1} 16112127 3’ }6l40
2.3 5.290 5.556 5.382 5,419 5,*7б 5,523 5.570 5.617 5,664 5.712 5 9 i4 i9l2)|18 33 )8 41
2 4 5.760 j.fiod 5.б5б 5.905 5.954 6.003 6.052 6.Ю1 6,150 6.100 5 10 15 20124 20 )4 39 44
2.3 6.250 6,300 6.55» 6,*0’ 6.452 6.503 6.55* 6.605 6,656 6.708 5 10 I15 10125 31 )6l4i 46
2.6 6.7001 6.012 6.664 6.9’7 6,970 7,015 7.076 7,i2Q 7,'81 7.2)6 5 11 I16 21 261 321 37142 46
2,1 7.290 7.544 7.39® 7, *53 7,5°8 7.565 7,6’8 7,673 7.718 7.784 5 41 16’1Z 27 35 38 4*» 4Q
2.2 7.640 7.896 7.952 8,009 8,066 8.12) &/60 8,257 8,204 8,352 6 11 17 13 18,34 40 46 5’
2.1 6.410 8,468 0,516 8,565 8,644 e.705 8,76г 8,821 6.68c 6,9*0 6 12 i8'Z4 29 )5|41 47 53
*,® 9,000 9,060 9,120 9,101 9,14г 9.303 9.364 9.425 9,406 9.546 T 12 18 24'jO }7 43I49 55
3.1 9.6ю 9.672 9.73*19.797 9,860 9.925 9j986 6 ’3 1911531 38,44 50 56
3,1 Ю.О} 40,41 10,18 1 4 2 3 3 4 5 5
3,2 10,24 1030 ю,37 10,4} 10,50 ’O.56 10,65 10,69 10,76 10,8г 4 1 2 3 3 4 5 5 6
3,3 10.69 10.96 11,02 и,09 44,l6 '1,22 41,29 ”,56 4 4,42 ”Л9 1 1 2 3 4 5 5 6
>.4 ”,56 11.6) ’1,70 ”,7б ”,6) 11,90 11,97 i?,o4 42,44 12,18 4 1 2 3 3 4 5 6 6
з.з 12,25 12.32 ’2.39 <г,4б 12.53 112.60112.67 11.74 12,82 11,69 1 4 2 3 4 4 5 6 0
3.6 12,96 13.03 13,10 ’З.’Й ’3.25 15.32 ’5,4o ’3.47 13.54 ’3,61 4 1 2 3 4 4 6 7
з.т С.69 13,76 '3.64 ’3.9’ ’5.99 i4.o6 14,<4 44,21 ’4,19 >4,)6 4 2 2 3 4 5 5 6 7
зг 14.44 14.52 <4.59 ’4,67 ’4,75 I ’4,82 14,90 <4,98 15,05 15.13 1 2 2 3 4 5 5 b 7
3,6 ’5.21 15.29 ’5.37 ’5,44 15,52 115.60 15.68 15,76 ’5,84 <5,91 1 2 1 3 4 5 6 6 7
6,0 16,00 16.06 16,16 ’6,24 <6,52 <6,4o <6.40 ’6,56 ’6,65 16.73 1 2 1 2 1 3 4 5 6 6 7
4,1 16.81 16,89 ’6,97 ! 17.06 4 7'14 17,22 17,31 ’7,59 17,47 17.56 1 2 2 3 5 5 6 7 7
4,2 ’7,64 17.72 ’7.8’ 17.69 17,96 I 16.06 ’8,15 16.25 16,32 i8,4O 1 г 3 3 4 5 6 7 6
4,3 18.49 16,58 «6.66 '8,75 <8,64; <6,92 19,01 I 19,10 19.18 | 19,17 1 2 3 3 * 5 7 7 8
4,4 19.36 19.45 ’9.54 119,62 19.71 19.80 19.89! 19.98 20.07 20,l6 1 2 3 4 5 5 6 7 0
4.3 20.25 20,34 20,43 20,52 20,61 i 20.701 20.79 20.00’ 20,90 21.07 1 2 3 4 5 5 6 7 8
4,6 2’.’0 2425 2<,341 21,44 21.53 I 21.02 21.72 21.01 21.90 22,00 1 2 1 4 5 6 7 » 0
4,7 22,09 22,’в | 22.20 22.37 22,47 22.56I 22,66i 22,75 22,85 22,94, 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4.0 23.04: 2 5,14 | 23,23 33.331 23.4) 23.52 2},62l 25.72 23.81 2 3.9’ 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 3 24,01,24,11 24.2 1 24,)О| 24,401 24.50 24.60' 24,70 14,80I 24,90 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3,0 25,00 25.1О| 25,20 25,30 25,4o 25.50 25.60 25.70 25.01 i 25,91 1 2 3 4 5.6 7 0 9
0.1 26.01 гб,” 26.21 26,32 26.42 16,52 26.63 16.73 26.83 16.94 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3.2 27.04 27,’4 27,25 I 27.35 27.46 27.5б| 27.67 27,771 27.85 27.98 2 3 4 5 6 7 6 9
3,3 26,09 28.20 28,30 гб.41 28.52 18.62 26.73 i 18.641 26.9*1 29.05 1 2 3 4 3 6 7 9 10
Л' 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4|5 6 7 8 9
10g
Таблица квадратов чисел 5,40—9,99
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5,4 29,16 29.27 29.38 29,48 29,59 29,70 29,81 29.92 30,03 30,’* 1 2 3 4 6 7 8 9 10
5,5 30.25 ЗО.Зб 30.47 30,58 30,69 30,80 30.91 }1,02 31, i4 3’.25 4 2 3 4 6 7 3 9 10
9,6 31.36 31,*7 31.58 31,70 31.81 31,92 32.04 32,15 32,26 32,38 1 2 3 5 6 7 8 9 10
5.7 32/.д 32,6о 32,72 32,83 32,95 33.06 33.18 33.29 33.4’ 33.52 1 2 3 5 6 7 8 9 10
3,6 33,6* 33.76 33.87 35,99 1 34.22 34,34 34,46 3*,57 >4.69 1 2 4 5 6 7 8 9 11
3.9 34,81 3*.93 35.05 35,i6 35,26 35.40 35.52 35.64- 35.76 35,88 4 2 4 5 6 7 8 10 11
6,0 36,00 Зб,<2 36.24 36.36 36,48 36,60 36,72_j 36.84 ЗО.97 37.09 4 2 4 5 6 7 9 10 11
6.1 37,21 37,33 37,45 37,58 37,70 37,82 37,95 38,07 38.19 38.32 4 2 4 5 6 7 9 10 11
6.2 38,44 38,56 38.69 38.81 38.94 39.06 39. i9 39.31 39.44 39.56 4 3 4 5 6 8 9 10 11
6,3 39.6g 39.82 39.9* *0.07 40.20 40,32 | 40,45 40,^0 *0.70 4о,8з 1 3 4 5 6 8 9 10 11
6.4 Ао.фб 41,09 41,22 41,3* 41.47 41,60 *1,73 4i,86 *1.99 42,12 4 3 4 5 6 8 9 10 12
6.5 *2,25 42,38 42,51 42.6* | 42.77 I 42,90 1*3.03 43,i6 43.30 43,43 44,76 4 3 4 5 7 8 9 10 12
6.6 *3,56 *3.69 43.82 43,96 44,09 44,22 44,э6 -^4^9 44,62 4 3 4 5 7 fl 9 11 12
6,7 44,89 *5.02 45.l6 45,29 45.43 45,56 45,70 45,83 *5,97 46.10 4 3 4 5 7 fl 9 11 12
6.8 46,24 4б.з8 46,51 46,65 46.79 46,92 47,o6 47,20 47.33 47,47 4 3 4 5 7 8 10 11 12
6.9 47.61 *7.75 47,8g 48,02 48,16 48,30 48,44 48,53 48,72 48,86 4 3 4 6 7 8 10 11 ’3
7,0 49,00 4g, 14 49,28 *9,42 *9.56 *9,70 49,84 49,98 50,13 50,27 4 3 4 6 7 IT 10 11 13
7,1 5°,*’ 50,55 50,6g 50,8* 50,98 51,12 51,27 51,41 51.55 51.70 4 3 4 6 7 9 10 11 n
7.2 51,84 51,98 52.13 52,27 52,*2 52,56 52,71 52,85 53.00 53,1* 5*.6i 4 3 4 6 7 9 10 12 <3
7.3 53^9 53,4* 53.58 53,73 53,88 54.02 5*.17 54,32 54,46 4 3 4 6 7 9 10 12 13
7,4 5*.7б 5*,9’ 55.o6 55,20 55,35 55,50 55,65 55,80 55,95 56,10 1 3 4 6 7 9 10 12 13
7.5 56,25 56,*0 56,55 56.70 56.85 57.00 57,15 57,30 57,46 57,6i 2 3 5 6 8 9 11 12 14
7.6 57,76 57,91 | 56,06 58,22 58,37 58.52 58,68 58,83 58,98 59.1* 2 3 5 6 8 9 11 12 i4
7,7 59,2g 59,** 59.6o 59,75 59,91 60,06 6o,22 60,37 6o,53 60,68 2 3 5 6 6 9 11 12 i4
7.8 6о,8* 61,00 61,15 61,31 61,47 61,62 61,78 6i,9* 62.09 62,25 2 3 5 6 8 9 11 13 14
7.9 6г,*1 62,57 62,73 62,88 63,0* 63,20 63.36 63,52 63,68 63,64 2 3 5 6 8 10 11 13 14
6,0 64,00 64,i6 64,32 64,48 64,6* 6-4,00 64,96 65,12 65.29 65,45 2 3 5 6 6 10 11 <3 14
8.1 65,61 65.77 65,93 66,10 66,26 66,42 166,59 66,75 66,g 1 67,08 2 3 5 7 8 10 11 13 15
8.2 67,24 67.4o 67.57 67,73 67,90 68,06 68,23 68,39 68,56 68.72 2 3 5 7 8 10 12 ’3 15
8.3 68,69 69,06 69,22 69.З9 69.56 69.72 69,89 70,06 70,22 70,39 2 3 5 7 6 10 12 П 15
8.4 70.56 70,73 70,90 71,06 71,23 71,*O 7S57 71.74 71.91 724>6 2 3 5 7 t> 10 12 14 15
8.5 72.25 72,42 72,59 72,76 72,93 73,10 73,27 73.44 73.62 73,79 2 3 5 7 9 10 12 14 15
8,6 73,96 74,13 74,30 74,48 74,65 74,82 75.00 75,17 75,34 75,52 2 3 5 7 9 w 12 14 16
8,7 75.69 75.86 76,04 76,21 76.З9 76,56 76,74 76,91 77.09 77^6 2 4 5 7 9 12 14 16
8.8 77.** 77,62 77,79 77.97 78.15 78,32 78,50 78,68 78.85 79.03 2 4 5 7 9 11 12 14 16
>,9 79.21 79,39 79.57 79,7* 79.92 80,10 80,28 80,46 flo,64 80,82 2 4 5 7 9 11 13 i4 16
9,0 fll.OO 81,18 81,36 81,54 81,72 81,90 82,08 82,26 82,45 вг/»з 2 4 5 7 9 11 ’3 14 16
9.1 82,81 82,99 83,17 83,36 83.5* 83,72 83,91 04;og 84,27 8*.46 2 4 5 7 9 11 13 15 16
9,2 64,64 84,8г 85,01 85,19 85,30 85,56 85,75 85.93 86,12 86,30 2 4 6 7 9 11 n 15 V
9.3 86,4g 86,68 86,86 87.05 87,2* 87,42 87,61 87,80 87,98 88,17 2 4 6 7 9 11 13 15 <7
9.4 6836 88.55 86,74 88,92 89,11 89,30 89,49 89,68 89,87 90,06 2 4 6 6 9 11113 15 ’7
9,5 90,25 90,44 90,63 90,82 95,01 91,20 91.39 9’,58 91.78 9Ъ97 2 4 6 8 10 1' <3 <5|i7
9,6 92,16 92.35 92,5* 92,74 92,93 93.12 93,32 93,51 93.70 93-9° 2 4 6 8 10 12 1* 15 <7
9.7 94,09 94,28 9^,48 94,67 I 94,87 95.06 95,26 95,45 95,65 95,84 2 4 6 8 10 12 i4 16 18
9,< 96,04 дб.24 96,43 96,63 96,83 97,02 97.22 97,42 97.61 97,81 2 4 b fl 10 12 |14 |16 ifl
9.9 98,01 98,21 98,41 98.60 98,80 99>oo 99.20 99,*o 99.60 99,8o 2 4 6 8 10 12 16 18
Л 0 I 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
ПО
Составив таблицу для значений /V от 1,00 до 9,99, мы
будем в состоянии почти моментально возводить в квадрат
любое трёхзначное число, имеющее знак дробности после
первой своей значащей цифры, т. е. содержащее цифры це-
лых, десятых и сотых. Результат при этом получается при-
ближённый, а именно округлённый до четырёх значащих
цифр.
Теперь выясним устройство и употребление столбцов
«поправок», помещённых в таблице справа.
Положим, надо возвести в квадрат уже не трёх-, а четырёх-
значное число, например, 4,065. Конечно, его можно пред-
ставить в виде суммы 4,06 4- 0,005 и воспользоваться, как
и раньше, формулой квадрата суммы двух чисел. Однако
оказывается более выгодным иной путь. Замечая, что при
увеличении числа W с 4,06 до 4,07 число № возрастает от
16,48 до 16,56, т. е- на 8 (сотых), а при увеличении W с
4,07 до 4,08 число № возрастает от 16,56 до 16,65, т. е. на
9 (сотых), заключаем, что при равномерном возрастании
числа N его квадрат: №, округлённый до сотых, возрастает
почти равномерно. Эти табличные разности 8 и 9 (сотых)
представляют собой приближённые значения приращений
квадрата, точными же значениями этих приращений явля-
ются в данном случае числа 4,072 — 4,Об2 — 0,0813 и 4,082 —
— 4,072 = 0,0815. Далее рассуждаем так: если при увеличе-
нии числа ,V на 0,01, или десять тысячных, число Д'- уве-
личивается (почти равномерно) на 8 сотых, то при увеличе-
нии У на одну тысячную № увеличится на число, в 10
раз меньшее, т. е. на 0,8 (сотых), а при увеличении N не
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 (тысячных)
число /V2 должно увеличиться на
0,8; 1,6; 2,4; 3,2; 4,0; 4,8; 5,6; 6,4: 7,2 (сотых)
или, по округлении, на
1; 2; 2; 3; 4; 5; 6; 6; 7 (сотых).
А это и есть не что иное, как те поправки, какие мы ви-
дим на «тридцать второй» строке таблицы справа.
В действительности они вычислены несколько иначе.
Дело в том, что табличные разности на протяжении строки
немного меняются. Так, в начале «тридцать второй» строки
табличная разность равна 4,012— 4,00’=0,0801, в конце же её
уже 4,102 —- 4,092 0,0819. Поправки для данной строки вы-
числяются, исходя из средней табличной разности, равной
для рассматриваемой строки половине суммы 0,0801 0,0819,
т. е. 0,0810, и равны (в сотых долях): 0,810; 1,620; 2,430;
3,240; 4,050; 4,860; 5,670; 6,480; 7,290; или, по округлений,
1; 2; 2; 3; 4; 5; 6; 6; 7 (сотых).
Н V
Говорят, что наша таблица квадратов расположена в «три
входа»; третий вход образуют эти поправки на четвёртую
цифру.
Выяснив, как вычислены поправки, возвращаемся к во-
просу о том, как найти посредством таблицы квадрат четы-
рёхзначного числа, например, 4,065. Взяв из таблицы квадрат
числа 4,06 («сороковая» строка, «шестой» столбец), равный
16,48, идём по той же строке в столбцы поправок и берём
ту поправку, какая стоит в столбце, имеющем в заголовке
четвёртую цифру данного числа, т. е. 5 ( в «пятом» столбце
поправок), а именно поправку 4. Остаётся прибавить её
к последней цифре табличного квадрата (16,48), и получаем
•окончательно, что 4,065’= 16,48 + 0,04 = 16,25. Для про-
верки возводим 4,065 в квадрат непосредственным умноже-
нием и получаем число 16,524225, которое по округлении
до 4 значащих цифр и даст как раз найденное выше число,
г. е. 16,52. Заметим, что иногда таблица даёт результат,
отличающийся от истинного значения на единицу разряда
последней цифры (сказывается влияние округлений и сред-
них табличных разностей).
Поправки иногда выгоднее не прибавлять, а отнимать.
Так, чтобы найти 4,3282, можно взять из таблицы 4,32’ =
— 18,66 и прибавить поправку на 8, равную 7 (сотым); по-
лучаем в результате 18,66 + 0,07 = 18,73. Но лучше взять
ближайший больший табличный квадрат, а именно 4,332 =
- - 18,75 и отнять поправку на недостающие 2 тысячных
(4,33 — 4,328 — 0,002). Поправка на 2 равна 2 (сотым), а
литому 4.3282 = 18,75 — 0,02 = 18,73.
Таким образом, поправки на 6, 7, 8, 9 являются в сущности
ненужными: вместо прибавления к ближайшему меньшему
табличному квадрату поправок на цифры 6, 7, 8, 9, можно
брать поправки на 4, 3, 2, 1 и вычитать их из ближайшего
большего табличного квадрата. Иногда случается, что оба
•пособа дают результаты, отличающиеся друг от друга на
одну единицу (разряда последней цифры). Например,
1.3372 1 8,75 + 0,07 =18,82; с другой стороны, 4,337’
18,84 - 0,03 - 18,81. В таких случаях большего доверия
заслуживает результат, полученный посредством меньшей по-
правки, т. е. вторым способом. Действительно, в paccMoipen-
иом примере непосредственное умножение даёт 4,337' --
18,809569, или, по округлении, 18,81.
Итак, мы теперь знаем, как получить посредством таб-
лицы квадрат четырёхзначного числа, большего 1 и мень-
шего 10. Легко сообразить, что таблица поможет и при воз-
ведении в квадрат любого четырёхзначного числа как мень-
шего 1, так и большего 10. Пусть, например, нужно найти
квадрат числа 42,(8. Напишем это число в виде произведе-
J 12
ния, 4,218 . 10. Вспомнив правило: чтобы возвести в сте-
пень произведение, надо возвести отдельно каждый сомно-
житель и перемножить результаты, возведём в квадрат от-
дельно 4,218 (по таблице) и отдельно 10 (в уме). Полу-
чаем 17,79 . 100, т. е. 1779. Действуя подобным же образом,
найдём посредством таблицы квадрат любого четырёхзнач-
ного числа.
Ещё проще воспользоваться правилом: при перенесении
запятой в числе N на одно место, запятая в числе №
переходит в ту же сторону на два места. Чтобы уяснить
справедливость этого правила, достаточно заметить, что
при увеличении (уменьшении) числа W в десять раз число
№ увеличивается (уменьшается) в 100 раз.
Положим, надо найти 43,152. Берём из таблицы квадрат
числа, изображаемого теми же цифрами, что и данное, т. е.
4,3152= 18,62. Замечая, что для получения данного значе-
ния Л/ (43,15) надо в табличном значении N (4,315) пере-
нести запятую направо на одно место, переносим в най-
денном посредством таблицы значении JV2 (18,62) запятую в
ту же сторону, т. е. направо, на два места, и получаем
43,15* = 1862.
Вот ещё примеры.
417,95 = 174600 (по таблице 4,1792 = 17,46, запятая в чи-
сле N переносится направо на 2 места, в числе № на 2.2 = 4
места, недостающие неизвестные цифры заменяются нулями);
0,4179- — 0,1746 (по таблице опять 4,1792 — 17,46, запя-
тая в числе 7V переносится налево на одно место, в числе
№ на два места);
0,04179г—0,001746 (опять 4,179! = 17,46, запятая в числе
Л7 переносится налево на два места, в числе № на четыре
места).
Приближённые данные, с какими приходится иметь
дело в задачах практического хаоактера, редко имеют
больше 2—3 надёжных значащих цифр, а потому при возве-
дении их в квадрат почти всегда можно ограничиться 3—4
значащими цифрами. Таким образом,’рассмотренная таблица
четырёхзначных квадратов оказывается достаточной для
громадного большинства практических вычислений. В слу-
чаях же, когда 4 значащих цифр в результате мало, надо
обратиться либо к более подробным таблицам, либо выпол-
нить возведение в квадрат непосредственным умножением.
Применение таблицы квадратов, как мы уже видели
в § 5, весьма облегчает выполнение действия извлечения
квадратного корня. Рассмотренная выше четырёхзначная
таблица квадратов позволяет находить квадратные корни
с четырьмя значащими цифрами рз любого десятичного
8 В. М. Брадис 113
числа. Действительно, пусть требуется найти квадратный
корень из какого-нибудь десятичного числа Л', заключён-
ного между 1 и 100 и изображаемого четырьмя значащими
цифрами. Пользуясь таблицей, легко и быстро подбираем
десятичное число, заключающееся между 1 и 10, квадрат
которого равен /V (с точностью в четыре значащих цифры).
Если данное положительное число Лг больше 100 или
меньше 1, его предварительно умножаем на степень 10 с та-
ким (непременно чётным) показателем, чтобы произведение
оказалось между 1 и 100, и применяем таблицу.
Вот два примера.
1)/84560 = /8-456 • 107 = /8,456 . /Ю4 = 2,908 - 10г =
— 290,8;
2) /0^6517 = /65,17 . 10-’- = ) '65ГГ7 • I КГ* -
= 8,073 • 10“’ = 0,8073.
Если данное число имеет более четырёх значащих цифр,
его предварительно округляем до 4 значащих цифр. Пра-
вила подсчёта цифр, относящиеся к возведению в квадрат
и к извлечению квадратного корня (см. § 19), показывают,
что при разыскании первых 4 значащих цифр квадрата и
квадратного корня это допустимо.
Упражнения
1. Составьте табличку значений квадратной функции у = 2х-—
— 7х-|-15 для значений х от—1 до 4- 10 через 1, вычисляя у непо-
средственно лишь для х =— 1; 0; 4-1, а все остальные значения по-
лучая посредством сложения, основываясь на том, что у всякой квад-
ратной функции вторые разности постоянны.
2. Возьмите 5 произвольных четырёхзначных чисел и найдите их
квадраты с точностью до первых 4 значащих цифр сперва по таб-
лице, приведённой на страницах 10^ — 110. потом непосредственным ум-
ножением, заметив по часам время, какое оба раза потребуется. Какую
экономию даёт применение таблицы?
3. Тот же вопрос для действия извлечения квадратного корня.
§ 27. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЛОГАРИФМОВ
С таблицей логарифмов знаком каждый учащийся IX и X
классов средней школы. Применение таблицы логарифмов,
как известно, чрезвычайно облегчает работу вычисления, так
как заменяет более трудные действия (над числами) более
лёгкими действиями (над их логарифмами): действия II сту-
пени, т. е. умножение и деление, — действиями I ступени,
т. е. сложением и вычитанием, а действия III ступени, т. е.
возведение в степень, извлечение корня и разыскание лога-
рифма— действиями II ступени. Предполагая, что читатель
хорошо знаком с теорией и практикой логарифмических вы-
114
числений в том объёме, в каком эти вопросы изучаются в
средней школе, рассмотрим некоторые дополнительные све-
дения о логарифмических таблицах, В настоящем параграфе
выясним, как вычисляют логарифм любого данного положи-
тельного числа b по произвольному основанию а, считая это
число а большим 0 и отличным от 1.
Полагая Lognft = х, имеем в силу определения логариф-
ма, что ах = Ь, и дело сводится к решению этого „показа-
тельного" уравнения. Если в нашем распоряжении имеется
таблица логарифмов, вычисленных по какому угодно осно-
ванию, это уравнение решается очень легко. Допустим, что
у нас уже есть таблица десятичных логарифмов, позволяю-
щая для каждого числа W находить его десятичный лога-
рифм 1g W (запись 1g вместо Log общепринята для логариф-
ма с основанием десять и делает лишним указание основа-
ния). Логарифмируя равенство ах = Ь почленно, имеем:
х lg а — 1g b, откуда заключаем, что х — 1g b : 1g а. Итак,
чтобы найти логарифм любого числа по любому основанию,
достаточно, при наличии таблицы десятичных логарифмов,
двух подысканий в таблице и одного деления. Если числа
а и b больше 1, деление можно свести к вычитанию, лога-
рифмируя последнее равенство: lg х — lg lg b — lg lg а (легко
сообразить, как быть в случае, когда одно из чисел 1gа и 1g &
меньше 0).
Но дальше совершенно естественно возникает вопрос:
как были найдены значения десятичных логарифмов чисел,
составившие таблицу?
Математическая теория даёт несколько способов вычи-
сления логарифмов по любому основанию, а история мате-
матики показывает, что все эти способы действительно были
использованы, в большей или меньшей мере, при составлении
логарифмических таблиц. Рассмотрим три способа, в том
числе два совершенно элементарных, вполне доступных по-
ниманию ученика IX класса.
Первый способ основан на том, что уравнение ar ~b
с точностью до целых легко разрешимо путём последова-
тельных проб, особенно простых при а_ 10. Действитель-
но, пусть b десятичное число, имеющее в целой части (ле-
вее запятой) п -|-1 цифру. Наименьшее из таких чисел есть
10", т. е. 1 в сопровождении п нулей, наибольшее изобра-
жается п 4 1 девятками и равно 10л + 1 —1. Двойное нера-
венство 10л; b < 10л+1 переписываем в виде 10" < 10х <10л+1
и, логарифмируя по основанию 10, имеем, что л<х<л+1,
п lg b < п + 1. Таким образом, простой подсчёт цифр в
целой части числа b позволяет легко найти lg b с точно-
стью до целых. Если же предварительно возвести обе части
8* 115
равенства ах ~b в степень с достаточно высоким показа-
телем k и найти число цифр т — 1 в целой части числа b* t
то будем иметь двойное неравенство m<_\gb <т + 1 или
. . . , т . т-г-1
которое показывает, что у < lg b < у—
т. е. даёт приближённые значения искомого логарифма чи-
сла b с точностью до -i- по недостатку и по избытку. При
этом способе вся трудность сводится к возведению данного
числа b в степень с большим показателем k. Используя
таблицу квадратов, приведённую выше на стр. 109—110, или
подобную же таблицу кубов, можно и эту операцию сде-
лать не слишком тягостной.
Для примера вычислим до тысячных десятичный лога-
рифм 2. Замечая, что 28 = 256 = 2,56 . 10®, обращаемся к
таблице квадратов и последовательно находим: 216 = 6,554 .
. 2104; 232 = 4,295 . 109; 264 = 1,844 . 1019; 2128 = 3,401 . 10";
22 66 = 1,157 . Ю77; 2512 = 1,339 . 10154; 21U?4 = 1,793 . 103°
2 048 = 3,214 . 10616; 24096 = 1,033.1012”. Следовательно ’
1233<4096 1g 2 <1234, откуда 0,3010... < 1g 2 <0,3012.
Таким образом, искомый 1g 2 с точностью до тысячных
равен 0,301. Цифра десятитысячных остаётся несколько
сомнительной (она может быть либо 0, либо 1, либо 2), но
за первые три десятичных знака мы ручаемся. И действи-
тельно, более точное вычисление даёт,- 1g 2 -- 0,301029996...
Чтобы сделать наше рассуждение безупречным, следо-
вало бы принять во внимание, что использованная таблица
квадратов даёт лишь приближённые результаты и позво-
ляет находить НГ и ВГ последовательных степеней числа 2.
В рассматриваемом примере, как легко убедиться, мы при-
ходим к тому же результату и при учёте этого обстоятель-
ства.
Второй способ, который мы рассмотрим, основан на том
соображении, что, зная логарифмы двух каких-либо чисел,
а именно Log bl=x1 и Log b2 — х2 (по произвольному осно-
ванию <i), мы можем легко найти число, логарифмом кото-
рого служит среднее арифметическое этих двух логариф-
мов: этим числом является среднее геометрическое (среднее
пропорциональное) данных чисел. Действительно, из ра-
! г г 4 X —И. ' ».»-
венств а ' — blt a‘ = b2 имеем: а ' ‘ ~ btb2; а 2
= Log J/ b,b2 = -j- (л, —x2) = (Log bt 4- Log b2).
Таким образом, всякую таблицу логарифмов можно уплот-
нить, вставляя между каждыми двумя её числами их сред-
нее геометрическое, а между соответствующими логариф-
мами их среднее арифметическое. Чтобы реализовать это
116
соображение, возьмём десятичные логарифмы чисел 1 и 10,
равные, как известно, 0 и 1, и произведём первое уплот-
нение, найдя ф1 . 10 — 3,162 и (0 Ч- 1) :2 = 0,5, дающее
1g 3,162 = 0,5, затем второе уплотнение, найдя У 1 . 3,162 =
= 1,778 с логарифмом (0 н 0,5) :2 — 0,25 и У 3,162 . 10 — 5,623
с логарифмом (0,5 j- 1): 2 — 0,75, далее третье, вычисляя
)1. 1,778=1,333 с логарифмом (0 + 0,25): 2 — 0,125,
} 1,778 . 3,162 —У 5,6220 = 2,371 с логарифмом (0,25 —
+ 0,5): 2 = 0,375, /3,162 . 5,623 = уТ7~780 = 4,217 с лога-
рифмом (0,5 + 0,75): 2 =0,625, /5,623 . 10 = >Л56^3 = 7,499
с логарифмом (0,754-1) :2 = 0,875. Теперь мы имеем сле-
дующую маленькую табличку логарифмов:
1 1,333 1,778 2,371 3,162 4,217 1 5,623 । 7,499 10
1к Л- 0 0,125 0,250 0,375 0,500 0,625 0,750 1 0,875 1,000
Поставим себе задачей найти хотя бы с небольшой точ-
ностью десятичные логарифмы всех чисел от 1,0 до 10,0
через 0,1. Мантиссы десятичных логарифмов этих чисел
одинаковы с мантиссами логарифмов натуральных чисел 10,
11, 12,..., 99, 100. Чтобы получить их, можно либо продол-
жить последовательные уплотнения уже имеющемся таблицы,
получая логарифмы чисел, всё меньше и меньше отличаю-
щихся от интересующих нас, либо применить следующий
графический способ.
Возьмём кусок миллиметровой (клетчатой) бумаги и про-
ведём на ней две оси: одну горизонтальную для значений
N, которые будем откладывать от левого конца (начала)
этой оси (точки О) направо, принимая отрезок в 1 см за
единицу, и другую вертикальную, проходящую через ту же
точку О перпендикулярно к первой. По вертикальной оси
будем откладывать значения 1g N от точки О вверх, считая
0,1 единицы в 1 см. Каждую пару соответствующих значе-
ний N и 1g N нашей последней таблицы изображаем на чер-
теже точкой пересечения двух перпендикуляров, восстав-
ленных к осям в точках, изображающих соответственно зна-
чения N и 1g N (черт. 7).
Получив на чертеже 9 точек, отмеченных кружками,
соединяем их плавной кривой, проводимой от руки или
посредством надлежаще подобранного лекала. Ясно, что
дальнейшее уплотнение нашей таблицы приведёт к точкам,
расположенным на этой же кривой, а потому кривая позво-
117
лит нам определить интересующие нас логарифмы. Взяв на
оси N, например, точку 2, поднимемся от неё вверх (по
перпендикуляру к оси N) до пересечения с кривой и заме-
тим, что длина этого перпендикуляра составляет приблизи-
тельно 30 мм. Так как lg N у нас отложен в масштабе 0,1
в 1 см или 0,01 в 1 мм, то заключаем, что 1g 2 равен 0,30
с точностью до сотых. Точно такими же отсчётами легко
получим и все интересующие нас логарифмы: 1g 1,1 =0,04;
1g 1,2 = 0,08 и т. д.
Итак, простое чтение нашего чертежа позволит нам со-
ставить таблицу логарифмов чисел первой сотни, причём
каждый логарифм получается с двумя десятичными знаками.
Вот эта таблица, расположенная „в два входа", т. е. так,что
мантисса логарифма каждого числа находится в пересечении
соответствующих строки и столбца.
118
Сравнивая эту «самодельную» таблицу двухзначных де-
сятичных логарифмов с печатной таблицей (например, че-
тырёхзначных логарифмов) убеждаемся в её правильности:
при аккуратном выполнении чертежа оба десятичных знака
взятых с него значений логарифма совпадают с тем, что даёт
округление до двух десятичных знаков более точных таблич-
ных логарифмов.
Продолжив несколько дальше последовательные уплотне-
ния исходной таблички и выполняя график в более крупном
масштабе, можно этим способом получить и логарифмы с
большим числом десятичных знаков, а именно с тремя и
даже четырьмя.
Третий способ вычисления логарифмов, который мы рас-
смотрим, основан на использовании следующего ряда, уста-
навливаемого в курсе математического анализа:
lg (а + b) — 1g а 2Л1-г -\-Г’ , -—г 4- ... I ,
t = „ Ь~, , Л/ = 0,434294482...,
где а и Ь произвольные положительные числа, 1g — знак де-
сятичного логарифма, многоточие здесь означает, что даль-
ше без конца идут члены, образованные по тому же закону,
как и первые три. Например, первый незаписанный член
1 / ь v I / ь \э
есть Т{2^Гь/ ’ следующий и т- д-
Вывод этого ряда, доступный учащимся средней школы,
затруднителен, но понять, как им пользоваться, не состав-
ляет никакого труда. Он позволяет, зная десятичный лога-
рифм какого-либо числа а, найти десятичный логарифм лю-
бого другого числа а -Н b с произвольно высокой точно-
стью. Действительно, отбрасывая все члены ряда, на-
1 / Ь \п
чиная с ’ мы отбрасываем меньше, чем сумму
' 119
членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии
I / * ? I ь г
с первым членом—z—и знаменателем -—~ , т. е.
г л ' 2а п ' v 2а -f- b '
} h I h ? 1
меньше чем —Ц—~ I ' Н ~ ~li b а это число при
достаточном увеличении п становится сколь угодно малым.
Вычисление проводится тем проще, чем меньше дробь,
так как можно ограничиться меньшим числом членов (ряд
лучше „сходится").
Для примера найдём 1g 2 с 7 десятичными знаками.
Можно взять а — 1. b= 1, т—но лучше восполь-
зоваться тем, что 210 = 1024 мало отличается от 1000. При-
мем а — 1000, b — 24, тогда yqy — = 0>011857707... По-
смотрим, что даст вычисление со строгим учётом погреш-
ностей по способу границ, если ограничиться только двумя
первыми членами ряда, т. е. воспользоваться формулой:
lg 210 = 1g 103 + 2М (х + -ух3 + г) ,
где
ь I
л = ^ух’.Д!-хД
НГ ВГ | 1
х 0,01185770 0.01185771
Л-2 1-1060 14061
лЗ 166 1 167
Л5 ° 1 1
1 тх5 0 ; i 1
1 - лД 0,98814229 | 0,98814230
г 0 2
1 "3 А'3 55 ! 56
1 л + 3 л» + г 0,01185825 0.01185829
М 0,43429448 0,43429449
2М (х -1- —лэ — 0.01029994 0,01029996
\ 3 |й 2” = 10 lg2 3.01029994 3,01029996
i i 0,:Ю1029994 0.301029996 г 1
120
Как видим, можно ручаться, что округление 1g 2 до 7 де-
сятичных знаков даёт 0,3010300 — поставленная задача ре-
шена. Любопытно отметить, что наше вычисление дало во-
семь точных десятичных знаков и несколько сомнительный
девятый (либо 4, либо 5, либо 6», но результат округления
до 8 десятичных знаков определился не вполне. Более точ-
ное вычисление даёт 1g 2 = 0,3010 2999 5663 9811 9521...
Упражнения
1. Исходя из равенства 3я = 93 = 729, найдите последовательным
возведением в квадрат или в куб (с использованием таблицы квадратов
или кубов) 1g 3 с тремя десятичными знаками.
2. Найдите посредством ряда 1g 3 с 4 десятичными знаками, применяя
строгий учёт погрешностей по способу границ и приняв а — 23 = 8,
6=1 (воспользоваться найденным выше значением 1g 2). Выяснить, не
будет ли выгоднее воспользоваться тем, что 3< = 81 близко к 80 = 23 . 10.
3. Составьте графическим способом таблицу трёхзначных логариф-
мов чисел от 1,00 до 1,33 через 0,01, исходя из значений 1g 1 = 0;
0
1g = lg 1,333 = 0,125 и построив график в масштабе в 10 раз более
крупном, чем это сделано выше в тексте (трёхкратным уплотнением обес-
печить 9 опорных точек графика).
§ 28. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УСТРОЙСТВЕ И УПОТРЕБЛЕНИИ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТАБЛИЦ
Теперь мы сделаем несколько замечаний об устройстве и
употреблении математических таблиц вообще, а потом рас-
смотрим некоторые полезные таблицы.
Различают таблицы функций одного, двух и большего
числа аргументов. Так, таблица О’Рурка даёт произведения
в зависимости от значений двух сомножителей. Здесь эти
два сомножителя являются аргументами, а их произведе-
ние — функцией, а именно функцией двух аргументов. Чаще
встречаются таблицы функций одного аргумента. Таковы все-
таблицы, уже рассмотренные выше, и только о них и будет
идти речь в дальнейшем. Так, в таблице квадратов аргумен-
том является число /V, а его квадрат ('V1) есть функция,,
притом функция одного только аргумента.
Как мы видели на примере таблицы квадратов, всякая ма-
тематическая таблица позволяет решать два вопроса: во-
первых, по заданному значению аргумента находить соот-
ветствующее значение функции (прямой вопрос), и, во-вто-
рых, по заданному значению функции находить соответствую-
щее значение аргумента (обратный вопрос). Так, таблица
квадратов позволяет не только находить квадрат (функция)
по данному значению основания (аргумент), но и обратно—
по данному значению квадрата позволяет находить соответ-
ствующее значение основания, т. е. извлекать квадратный
корень.
121
— I
На практике употребляется расположение таблиц «в один
вход», «в два входа», «в три входа» и т. д. При расположе-
нии таблицы «в один вход» каждое значение аргумента
выписывается полностью, а рядом с ним (или под ним) вы-
писывается полностью же соответствующее значение функ-
ции. Так, например, устроена помещённая ниже маленькая
табличка для перевода долей дюйма в миллиметры.
Дюймы 1 16 1,59 1 _8 3,18 3 1 5 16 3 8 Тб 1 2 12,70
16 4,76 4 6,35
ММ 7,91 9,52 11,11
Дюймы 9 16 5 8 11 16 2 4 13 16 7 '8 15 Тб 1
ММ 14,29 15,88 17,46 19,05 20 61 22,22 23.81 25,40
Расположение таблицы «в два входа» мы имели в табли-
це квадратов натуральных чисел от I до 109 в § 4 (стр. 2?'
и в таблице двузначных логарифмов в §2/ (стр. 119). Легко
видеть, что такое расположение позволяет существенно эко-
номить место, занимаемое таблицей, не усложняя сколько-
нибудь заметно работу с нею.
Ещё большую экономию доставляет расположение таб-
лицы «в три входа», один из примеров которого доставляет
четырёхзначная таблица квадратов, приведённая в § 26
(стр. 109—110). Существуют и разные другие таблицы с 3 и
более входами, но они более сложны, и мы останавливаться
на них не будем.
Разность между двумя соседними значениями аргумента
называется ступенью таблицы, а разность между двумя со-
седними значениями функции — табличной разностью. Так,
в помещённой выше табличке для перевода долей дюйма в
।
миллиметры ступенью таблицы была дюйма, а табличная
разность равнялась то 1,59 мм, то 1,58 мм. Конечно, в дан-
ном случае небольшое колебание табличной разности яв-
ляется просто следствием округлений, произведённых при
составлении таблицы. В таких случаях, когда на протяжении
всей таблицы табличная разность остаётся постоянной, гово-
рят, что здесь таблица с равномерным изменением функции.
В таблице квадратов (стр. 22) ступень равна 1, а табличная
разность меняется от I2 — О2 = 1 в самом начале таблицы
до 1092 — 1082 = (109 4- 108) (109 — 108) = 217 в её конце.
Как видим, табличная разность увеличилась во много раз.
Однако для нескольких соседних значений аргумента таб-
Г.2
личная разность меняется сравнительно незначительно: два
соседних значения табличной разности отличаются друг от
друга каждый раз на 2 единицы. Можно сказать, что здесь
таблица с почти равномерным изменением, функции. Так мы
будем говорить в тех случаях, когда соседние значения таб-
личной разности отличаются друг от друга не более чем на
4 единицы.
Следующая маленькая табличка кубов представляет со-
Всякая таблица даёт значения функции лишь для неко-
торых определённых значений аргумента, и при пользовании
таблицей неизбежно возникает вопрос: как получить значе-
ние функции для значения аргумента, содержащегося
между двумя соседними табличными его значениями ? Задача
эта носит название задачи интерполяции. Можно сказать,
что интерполяция состоит в чтении между строками таблицы.
Рассматривая четырёхзначную таблицу квадратов (стр.10У -
110), мы уже имели дело с этой задачей. Нам надо было
найти квадрат числа 4,065, имея таблицу квадратов трёх-
значных чисел 4,06, 4,07, 4,08 и т. д. Способ, каким мы там
воспользовались, носит название способа линейной интер-
поляции. Он применим всегда, когда функция меняется рав-
номерно или почти равномерно. Возьмём, например, следую-
щий отрывок таблицы натуральных синусов:
А 60’ 61’ 62’ 63° 64’
sin А 0.8660 0,8746 0,8829 0,8910 0.8988
и найдём sin 61° 36'. Здесь ступень таблицы 1° = 60', таблич-
ная разность 86; 83; 81; 78, и можно считать, что функция
меняется почти равномерно. Данный угол 61° 36' лежит
между 61° и 62°. Увеличению угла на 60'здесь соответствует
увеличение синуса на 83 (десятитысячных), увеличению угла
на 1 —увеличение синуса на—, увеличению угла на 36 —
увеличение синуса на =49,8^50 (десятитысячных).
Прибавляя эту поправку к sin 61° = 0,8746, получаем:
sin 61° 36'= 0,8796. Справка в более подробной таблице на-
1.4
туральных синусов показывает, что sin 61° 36', вычисленный
с 4 десятичными знаками, действительно равен 0,8796.
Называя разницу между данным значением аргумента
(61° 36') и ближайшим меньшим табличным его значением
(61°) избытком этого данного значения аргумента, можно
установить такое правило: искомая поправка во столько раз
меньше табличной разности, во сколько раз избыток данного
значения аргумента меньше ступени. Действительно, согласно
этому правилу, пишем пропорцию х : 83 = 36 : 60, решая ко-
83 . 36
торую, приходим к тому же значению поправки х - ,
что и выше.
Вместо того, чтобы брать избыток данного значения аргу-
мента над ближайшим меньшим табличным его значением
п прибавлять поправку, можно брать недостаток этого зна-
чения аргумента сравнительно с ближайшим большим таб-
личным его значением и соответствующую поправку отнимать.
В рассматриваемом примере этот недостаток равен 62° —
83 24
— 61° 36' ---24', а поправка у == — ^33. Следовательно,
sin 61° 36' = 0,8829 — 0,0033 = 0,8796.
Очевидно, недостатком пользоваться выгоднее, если он
меньше избытка, т. е. когда данное значение аргумента
ближе к ближайшему большему табличному его значению,
чем к ближайшему меньшему.
Заметим, что избыток и недостаток аргумента часто на-
зывают его приращением (положительным или отрицатель-
ным), а поправку — соответствующим приращением функции.
Во всех рассмотренных до сих пор таблицах с возраста-
нием аргумента возрастала и функция. Если же функция
убывает, то поправку, найденную посредством избытка аргу-
мента, надо отнимать, а посредством недостатка — прибав-
лять. Возьмём, например, отрывок таблицы обратных значе-
ний:
п 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4
1 п 0.2000 0,1961 0,1923 0,1887 0,1852
и найдём посредством него число, обратное 5,24. Здесь сту-
пень 0,1, или 10 сотых, табличная разность 39;' 38; 36; 35.
Функция изменяется почти равномерно, линейная интерпо-
ляция допустима. Составляем пропорцию х : 36 = 0,04 : 0,1,
откуда х 14. Остаётся отнять эту поправку от 0,1923, и по-
лучается искомое число 0,1923 — 0,0014 = 0,1909. Для по-
верки найдём 1 :5,24 непосредственным делением и полу-
чим 0,19083...
124
Какова точность результатов, получаемых посредством
таблиц с применением линейной интерполяции? Табличные
значения функции почти всегда представляют собой прибли-
жённые числа, вычисленные до единиц некоторого опреде-
лённого разряда и имеющие погрешность не больше полу-
единицы этого разряда. Вычисляя поправку, мы её округляем
тоже до единиц этого разряда. Прибавляя или отнимая по-
правку, мы получаем в результате приближённое число,
1 1 1
погрешность которого может доходить уже до 7, -- у —
(разряда последней цифры). Остаётся ещё один источник
погрешности: применяя линейную интерполяцию, мы пред-
полагаем, что функция менятся равномерно, тогда как в
действительности в большинстве случаев она меняется только
почти равномерно. Однако можно показать, что при соблю-
дении указанного выше условия, а именно, когда соседние
табличные разности отличаются друг от друга не более, как
на 4 единицы, эта погрешность ст неравномерного измене-
ния функции сколько-нибудь заметного влияния на резуль-
тат иметь не может. Итак, можно считать, что всякое таб-
личное значение функции имеет погрешность не выше по-
луединицы разряда последней его цифры, всякое интерполи-
рованное — не выше целой единицы того же разряда.
Необходимо твёрдо помнить, что линейная интерполяция
возможна лишь при соблюдении указанного выше условия:
в таблице с резко неравномерным изменением функции она
может привести к весьма неточным результатам. Например,
если мы, зная, что 53 = 125 и 6’= 216, попробуем найти
91 5
линейной интерполяцией 5,53, то получим поправку -‘ =45.5.
что даст 5,53 = 125 + 45,5 = 170,5, тогда как на самом деле
5,5’ = 166,375. Столь большая погрешность результата
линейной интерполяции объясняется резко неравномерным
изменением функции: 6’ — 5Э = 91, а 73 — 6’= 127.
Мы рассмотрели задачу прямой интерполяции (определе-
ление значения функции по данному значению аргумента).
Переходим к задаче обратной интерполяции. Если задано
значение функции и требуется найти соответствующее зна-
чение аргумента, могут встретиться два случая: либо данное
значение функции имеется в таблице, т. е. совпадает с одним
из табличных сё значений, либо оно заключается между
двумя соседними табличными её значениями. В первом слу-
чае дело сводится к тому, что выписывают из таблицы соот-
ветствующее значение аргумента, во втором приходится
интерполировать. В таблицах с равномерным или почти рав-
номерным изменением функции опять пользуются пропор-
циональностью между приращением аргумента и прираще-
125
нием функции; говорят, что здесь применяется обратная ли-
нейная интерполяция.
Вернёмся к отрывку таблицы синусов, помещённому выше
(стр. 123). и положим, что требуется найти угол, синус кото-
рого равен 0,8910. Просмотр таблицы показывает, что
искомый угол равен 63°. Данное значение функции, оказа-
лось, совпадает с одним из табличных её значений, а потому
мы просто выписываем из таблицы соответствующее значе-
ние аргумента. Найдём далее угол, синус которого равен
0,8899. Как видим, данное значение функции лежит между
sin62° — 0,8829 и sin63° = 0,8910, а потому нужно интерпо-
лировать. Здесь табличная разность равна 0,8910 — 0,8829
или 81 (десятитысячных), соседние же разности 83 и 78.
Функция меняется почти равномерно, линейная интерполя-
ция допустима. Рассуждаем так: возрастание синуса на 81
единицу разряда последней цифры, т. е. 81 десятитысячную,
соответствует увеличению угла с 62° до 63°, т. е. на 1° = 60',
возрастание синуса на 1 соответствует увеличению угла
(в силу допущения равномерности роста функции) на 60:81,
60'
или gj- минуты. Нам нужно довести синус до данного зна-
чения 0,8829, т. е. увеличить его на 0,8899 — 0,8829, или 70
(десятитысячных). Такое возрастание синуса соответствует
увеличению угла уже не на gy минуты, а в 70 раз больше,
т. е. на '\|7(1 минуты, или 51,8'...’ 52'. Итак, искомый угол
равен 62° 52'. Здесь, как и раньше, можно сразу написать
пропорцию 70:81— х : 60, которую можно прочесть теперь
так: избыток данного значения функции сравнительно с бли-
жайшим меньшим табличным её значением во столько раз
меньше табличной разности, во сколько раз искомая по-
правка аргумента меньше ступени таблицы.
Если избыток данного значения функции велик, а именно,
если он больше половины табличной разности, то лучше
пользоваться недостатком этого данного значения функции,
т. е. разностью между ближайшим большим табличным
значением функции и данным её значением. Конечно, соот-
ветствующую поправку придётся тогда уже не прибавлять,
а отнимать (предполагается, что функция возрастающая).
Так, в только что рассмотренном примере избыток 70, таб-
личная разность 81. Лучше взять недостаток: 0,8910—0,8899
или 11 (десятитысячных). Составляем пропорцию {недоста-
ток данного значения функции сравнительно с ближайшим
большим её значением во столько раз меньше табличной
разности, во сколько раз искомая поправка меньше
ступени) 11:81= у: 60, откуда у= - или 8,1... ^8'.
Остаётся отнять эту поправку от ближайшего большего
Г.Ч>
табличного значения аргумента (63°), и искомое значение
аргумента (63° — 8' = 62° 52') будет получено.
Предоставляем самому читателю разобраться в тех из-
менениях, какие приходится внести в описанный процесс
обратной линейной интерполяции в случае, если функция
убывает (как, например, в таблице обратных значений,
отрывок которой приведён на стр. 124).
Как велика бывает погрешность в результате обратной
линейной интерполяции? Она получается в силу трёх причин.-
11 если даже данное значение функции точно, избыток его
(сравнительно с ближайшим меньшим табличным значением
функции) определяется только приближённо, так как таб-
личные значения функции почти всегда числа приближён-
ные; 2) вычисленная поправка аргумента округляется до
единиц некоторого разряда (чаще всего до одной или, самое
большее, двух значащих цифр;; 3) предполагается, что
функция меняется равномерно, тогда как в действительности
она меняется лишь почти равномерно. Последняя причина
при соблюдении поставленного выше условия (соседние таб-
личные разности должны отличаться друг от друга не боль-
ше как на 4 единицы разряда последней цифры) сколько-
нибудь заметного влияния не производит. Влияние второй
причины (округление поправки аргумента) тоже незначи-
тельно, а именно всегда меньше полуединицы разряда по-
следней сохранённой её цифры. Наибольшее значение имеет
первая причина — неточность в определении избытка дан-
ного значения функции — притом тем большее, чем меньше
табличная разность. Положим, имеются два следующих от-
рывка таблицы синусов:
А 10 11° 12’ 13’
sin А 0,1736 17 0,1908 17 0,2079 1 । 0,2250 71
А 87’ 88’ 89’ 90’
sin А 0,9886 0,9994 0,9998 1,0000
8 2
Как показывают напечатанные мелким шрифтом таблич-
ные разности, линейная интерполяция в обоих случаях до-
пустима. Найдём угол, а синус которого равен0,1789, а также
угол в, синус которого равен 0,9995, считая эти данные зна-
чения синусов имеющими погрешность не выше полуеди-
127
ницы разряда последней цифры каждое. Избыток 0,1789 —
— 0,1736 = 0,0053, поправка х определяется из пропорции
х : 60' 53 : 172, откуда х = 18 ’,4 9... -= 18 ,5. а потому а
= 10°18,5. Во втором случае избыток 0,9995 — 0,9994 =
= 0,0001, и поправка у определяется из пропорции у : 60' =
= 1:4, что даёт у = 15' и [<=88с15'. Попробуем теперь
учесть погрешности (от 1-й и 2-й причин) по способу границ:
НГ ВГ НГ ВГ
Данное значение функции . . 0,17885 0,17895 0,99945 0,99955
Ближайшее меньшее таблич- ное её значение 0,17355 0,17365 0,99935 0,99945
Избыток 0,0052 0,0054 0,0000 0,0002
Табличная разность 0,071 0,0173 0,0003 0,0005
Отношение избытка к таблич- ной разности 0,301 0,316 0 0,7
Поправка 18,Г 19,0' 0' 42’
Если принять поправку в первом случае равной 18,5', то
её погрешность будет меньше полминуты. Итак, угол
з - 10° 18,5' найден с погрешностью, меньшей полминуты.
Во втором же случае, если поправку взять равной 15', то
погрешность будет доходить до 27'. Следовательно, угол
г» 88° 15' определён с погрешностью, не превосходящей
полградуса. Столь значительная разница в точности полу-
ченных результатов объясняется единственно разницей в ве-
личине табличной разности: 172 в первом случае и только
4 во втором.
На практике наибольшее значение имеют те погрешности
чисел, полученных посредством таблиц, которые обусловлены
погрешностями данных. Положим, надо найти sin А, зная,
что А 12° 30' ( : 15'). и применяя четырёхзначную таблицу
синусов. Здесь табличная погрешность (т. е. погрешность,
вносимая в окончательный результат благодаря применению
таблиц) совершенно незаметна по сравнению с погрешностью,
получаемой в результате благодаря неточности данного зна-
чения утла А. Действительно, вычисляя границы, имеем:
НГ ВГ
А 12’15' 12’45' sin А ~ 0,216 (± 0,005)
sin А 0,2122 0,2207
128
Здесь табличные погрешности не учтены, да их и не стоит
учитывать, так как на окончательный результат они не
влияют. Действительно, погрешность интерполированного
значения функции, найденного посредством таблицы с равно-
мерным или почти равномерным изменением, не превосхо-
дит, как мы видели выше, единицы разряда последней цифры,
а потому, учитывая табличные погрешности, мы должны
будем полученные выше границы для sin А заменить таки-
ми: 0,2121 и 0,2208. После округления до тысячных необхо-
димого в силу большого расхождения между НГ и ВГ, по-
лучим опять тот же результат 0,216 (+0,005).
Теперь остаётся сказать несколько слов о вспомогатель-
ных средствах линейной интерполяции. Очень часто в табли-
цах помещают так называемые пропорциональные части
[partes proportionales (Р.Р.)]. Это не что иное, как таблич-
ки произведений табличных разностей, весьма облег-
чающие труд вычисления поправок. Для приведённого выше
отрывка таблицы синусов Р. Р. имеют такой вид:
171 172
Г 2,8 Г 2,9
2' 5,7 2' 5,7
3' 8,6 3' 8,6
4' 11,4 4' 11,5
5' 14,2 5' 14,3
6' 17,1 6' 17,2
7' 20,0 7' 20,1
8' 22,8 8' 22,9
9' 25,6 9' 25,8
В заголовке каждого столбца ставится соответствующая
табличная разность. Ниже пишется поправка, соответствую-
щая избытку в Г, т. е. 171 : 60 = 2,85 ==« 2,8. Далее — произ-
ведения этой поправки на 2Г (2,85 . 2 = 5,70), на 3'
(2,85 . 3 = 8,55 8,6) и т. д. до 9'.
Если требуется, скажем, поправка на 38' при табличной
разности 172, берём из таблички Р.Р. с заголовком 172 по-
правку на 3' и поправку на 8'. Увеличив первую в 10 раз и
сложив её со второй, получим искомую поправку на 38':
30'...........86
8'............23
109
Табличка Р. Р. полезна и при решении обратного вопроса.
Положим, надо найти при тон же табличной разности по-
правку угла, соответствующую избытку синуса, равному 65
(десятитысячным). Пробегая глазами табличку Р.Р., заме-
чаем, что искомая поправка больше 9', а потому мысленно
9 в М. Брадис 129
увеличиваем все числа таблички в 10 раз. Теперь замечаем,
что поправка больше 20' и меньше 30', так как 20' и 30'
соответствуют числам 57 < 65 и 86 > 65. Вычитая из 65
ближайшее меньшее табличное значение, т. е. 57, получаем
остающийся избыток 65 — 57 = 8 и замечаем, что ему
ближе всего соответствует на той же табличке Р. Р. поправ-
ка в 3'. Окончательно получаем поправку в 20' -j- 3' — 23'.
Те готовые поправки, какие мы видели в четырёхзначной
таблице квадратов (см. стр. 109—НО), представляют собой
именно пропорциональные части, вычисленные для среднего
значения табличной разности (на данной строке) и располо-
женные не вертикально, а горизонтально. Готовые поправки
являются удобнейшим вспомогательным средством линейной
интерполяции, хотя применение их несколько повышает
погрешности интерполированных значений (вводится погреш-
ность от замены табличных разностей средней табличной
разностью).
Существует большое количество различных таблиц, су-
щественно упрощающих вычислительную работу. В техни-
ческих справочниках обычно помещают таблицы квадратов,
кубов, корней квадратных и кубических, длины окружности
и площади круга, обратных значений, а также таблицы на-
туральных синусов и тангенсов. Очень полезно иметь также
таблицу для перевода градусной меры дуги в радианную
меру, так как этим существенно облегчается решение задач,
связанных, например, с длиной дуги окружности и с площадью
кругового сектора. Математические таблицы — лучшее вспо-
могательное средство вычисления, дающее огромную эконо-
мию времени и сил.
Следующий параграф посвящён вопросу о таблицах,
имеющих особо широкое употребление, — о таблицах лога-
рифмов.
$ 29. РАЗЛИЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ ЛОГАРИФМОВ. ТОЧНОСТЬ
РЕЗУЛЬТАТОВ, ИМИ ДОСТАВЛЯЕМЫХ
Так как характеристики десятичных логарифмов легко
определяются по известному правилу, то в таблицах лога-
рифмов помещают только их мантиссы. Значения аргумента
берутся обычно только целые, притом на протяжении только
одного десятичного разряда, т. е. от 10 до 99, пли от 100 до
999, или от 1000 до 9999, вообще от 10п 1 до 10л— 1, так
как при увеличении числа в 10 раз меняется одна лишь ха-
рактеристика его логарифма. Отвлекаясь от второстепенных
деталей, можно сказать, что различные таблицы десятичных
логарифмов отличаются одна от другой по точности, характе-
ризуемой числом k десятичных знаков, с каким даны таблич-
ные мантиссы, и по объёму, характеризуемому номером и
130
табличка логарифмов, которую мы
того десятичного разряда, для которого даны табличные ло-
гарифмы (десятичный
ральные числа от 10п
туральные числа).
Та «самодельная»
рассмотрели в § 27 (стр. 119), является таблицей двузнач-
ных логарифмов (k—2) и содержит мантиссы логарифмов
всех двузначных натуральных чисел (п — 2). Просмотр её
показывает, что линейная интерполяция в ней всюду допусти-
ма, так как соседние табличные разности или равны, или раз-
личаются на одну единицу. Начиная с третьей строки, интер-
поляция не нужна, так как табличные разности не превосхо-
дят единицы. С помощью этой таблицы неизвестное число
определяется по данному его логарифму с двумя значащими
цифрами без интерполяции. Третья значащая цифра опреде-
ляется, и то не вполне надёжно, лишь в случае, когда его
первая значащая цифра есть 1.
Вычисляя логарифмы несколько точнее, легко составить
следующую таблицу трёхзначных логарифмов чисел от 10
до 99 (/г=3, п—2), расположенную, как и таблица на
стр. 119, в два входа.
разряд с номером п образуют нату-
го 10я — 1, т. е. все п - значные на-
Единицы Десятки 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 ООО 041 079 114 146 176 204 230 255 279
2 301 322 342 362 380 398 415 431 447 462
3 477 491 505 5)9 531 544 556 568 580 591
4 602 613 623 633 643 653 663 672 681 690
5 699 ! 708 716 724 732 740 748 756 763 771
6 778 | 785 792 799 806 813 820 826 833 839
7 845 851 857 863 869 875 881 886 892 898
8 903 1 908 914 919 924 929 934 940 944 949
9 954 959 964 968 973 978 982 987 991 996
здесь равны 41; 38; 35
д., посте-
и т.
разности
Табличные
пенно уменьшаясь до 4 и 5. Линейная интерполяция всюду
допустима (и всюду нужна). Таблица позволяет находить
две первых значащих цифры числа по его логарифму без
интерполяции, третью, а в начале таблицы (хоть и не совсем
точно) и четвёртую — посредством линейной интерполяции.
Если при А—3 взять п — 3, т. е. дать таблицу трёхзначных
логарифмов всех трёхзначных чисел, то такие же результаты
мы будем получать без интерполяции. Такая таблица содер-
жится, например, в сборнике «Трёхзначные математические
таблицы для школьного употребления и для технических
9* 131
расчётов», составленном В. Брадисом и выпущенном Учпед-
гизом в 1932 г.
Ни двузначные, ни трёхзначные логарифмы на практике
не употребляются, так как результаты с тремя значащими
цифрами гораздо скорее получаются с помощью счётной ло-
гарифмической линейки, которую мы рассмотрим в главе V.
Всем известная школьная таблица четырёхзначных ло-
гарифмов содержит мантиссы логарифмов чисел от 100 до
999 (k — 4, п — 3) и допускает линейную интерполяцию,
имея близкие друг к другу табличные разности 43; 43; 42;
42; 42; 41 и т. д., постепенно уменьшающиеся до 4 и 5. Ин-
терполяцию облегчают «готовые поправки», приведённые для
каждой строки. Таблица позволяет находить результаты
с 4 значащими цифрами (вначале даже с 5, но пятая цифра
не вполне надёжна). Взяв k - 4, п ~ 4, получаем таблицу,
имеющую значительно больший объём, но более удобную для
обращения (не надо интерполировать!). Таковы, например,
«Таблицы логарифмов с четырьмя десятичными знаками»,
составленные Н. Каменыциковым и напечатанные в 1919 г.
(издательством «Просвещение»).
Таблицы пятизначных логарифмов составляются обычно
для чисел от 1000 до 9999 (6—5, п =4); так, в сборнике
Е. Пржевальского, имеющем у нас широкое распростране-
ние, даны мантиссы логарифмов всех натуральных чисел
до 10009. Табличные разности для чисел от 1000 и выше
меняются настолько медленно (43; 44; 43 и т. д. до 5 и 4),
что линейная интерполяция всюду допустима. Результаты
получаются с 5, а в начале таблиц, когда первая значащая
цифра числа есть 1, даже с 6 значащими цифрами. Чтобы
не надо было интерполировать, таблицы пятизначных лога-
рифмов должны быть очень обширными (должны содержать
числа от 10000 до 99999). Таковы, например, английские
таблицы Е. Scott’a, Tables of logarithms and antilogarithms to
five places, London, 1912.
При том же объёме (n=5) таблицы шестизначных лога-
рифмов позволяют, если применить интерполяцию, находить
результаты уже с 6 значащими цифрами. Таковы «Лога-
рифмотригонометрические таблицы» В. Иордана (Гос. на-
учно-техническое издательство, 1931).
Чтобы получить результаты с 7 значащими цифрами,
пользуются семизначными логарифмами. Весьма распро-
странён сборник Вега «Логарифмическо-тригонометрическое
руководство» (одно пз новейших изданий выпущено у нас
Горным издательством в 1932 г.). Он содержит семизнач-
ные мантиссы логарифмов всех пятизначных чисел; таблич-
ные разности велики (от 434 до 44), но меняются настолько
медленно, что линейная интерполяция всюду допустима.
132
В вычислительной практике, хотя и редко, но всё же
встречаются случаи, когда нужны логарифмы с числом зна-
ков, большим семи. Для таких случаев рекомендуется книга
М. Ф. Субботина «Многозначные таблицы логарифмов», вы-
пущенная издательством Академии Наук СССР в 1940 г.
Наиболее точные логарифмы, а именно с 61 десятичным
знаком, можно найти в книге Callet, Tables portatives de
logarithms (выпущенной в Париже впервые в 1793 г. и
с тех пор много раз переиздававшейся). Она содержит как
добавление к основной таблице семизначных логарифмов
десятичные логарифмы с 61 десятичным знаком для всех на-
туральных чисел от 1 до 99 и для всех простых чисел от
101 до 1097. Тот ряд, какой был рассмотрен в § 27 (стр. 119),
дает возможность получить десятичный логарифм любого
числа с произвольно высокой точностью.
Все значения логарифмов, какими мы пользуемся при
вычислении, представляют собой приближённые числа.
Поэтому результат вычисления, выполненного посредством
логарифмов, является приближённым даже в том случае,
когда все данные точны. Можно руководствоваться следую-
щим простым правилом, оправдывающимся для громадного
большинства обычных вычислений: таблица k- значных ло-
гарифмов дает результат с k значащими цифрами, причём
последняя не вполне надёжна. Другими словами, вычисли-
тельная погрешность, вносимая в результат самим примене-
нием таблицы k-значных логарифмов, делает не вполне
надёжной k-ую значащую его цифру. Это правило перестаёт
быть верным в таких особых случаях, когда для получения
результата требуется возведение числа в степень с большим
показателем, когда приходится производить вычитание двух
близких друг другу чисел и т. д. Точно учесть эту вычисли-
тельную погрешность в каждом отдельном случае можно по
способу границ.
Вычислительная погрешность, обусловленная неточностью
логарифмов, становится совершенно незаметной, если вести
вычисление с одной лишней (запасной) цифрой, т. е„ если
для получения двузначного результата пользоваться табли-
цей трёхзначных логарифмов, для получения трёхзначного
результата — таблицей четырёхзначных логарифмов и т. д.,
отбрасывая последнюю цифру найденного окончательного
результата. Однако эта вычислительная погрешность вообще
настолько невелика, что ею пренебрегают и вычисляют
£-значиый результат посредством таблицы А’-значных лога-
рифмов. При этом нужно всё же помнить, что последняя
цифра может содержать ошибку в несколько единиц, хотя
такая большая ошибка встречается редко.
До сих пор шла речь о вычислении с точными данными,
133
когда в результате имеется лишь вычислительная погреш-
ность. Но на практике сами данные обычно выражены прибли-
жёнными числами, и их погрешности сказываются на окон-
чательном результате. Последний имеет в таком случае
некоторую погрешность от неточности данных, и эта погреш-
ность прибавляется к вычислительной погрешности. Погреш-
ность от неточности данных учитывается на основании из-
вестных правил подсчёта цифр. Между точностью данных и
точностью взятой для вычисления логарифмической таблицы
должно быть некоторое соответствие. Если, например, при
наличной точности данных результат имеет лишь четыре на-
дёжных цифры, а вычисление мы ведём посредством семи-
значных логарифмов, то в полученном окончательном ре-
зультате три последних цифры придётся отбросить, и труд,
потраченный на их получение, окажется напрасным. G другой
стороны, вычисляя этот же результат по таблице трёхзнач-
ных логарифмов, мы сможем получить в нём лишь три зна-
чащих цифры — такая таблица в этом случае оказывается
слишком грубой. Здесь следует применить таблицу четырёх-
значных логарифмов или, чтобы сделать последнюю цифру
более надёжной, пятизначных.
От этого общего правила иногда приходится несколько
отступать. Так, для получения степени с более высоким
показателем приходится пользоваться логарифмами с повы-
шенным числом знаков1. Обратно, при извлечении корня с
высоким показателем логарифм подкоренного числа можно
брать с меньшим числом знаков.
Большие осложнения иногда получаются при вычислении
выражения, содержащего разность двух близких друг другу
чисел: чтобы получить результат с некоторым определённым
числом знаков, уменьшаемое и вычитаемое приходится вы-
числять с несколькими запасными цифрами.
Вообще при вычислениях с применением логарифмов, как
и при всяком вычислении, необходимо постоянно давать себе
отчёт в том, какие цифры, участвующие в вычислении, на-
дёжны, какие нет, и не оставлять в числах более, чем по
одной сомнительной цифре.
Рассмотрим в заключение два примера (данные считаем
точными).
1) Вычислить посредством логарифмов х= 104 : 11.
Применяя таблицы логарифмов с k = 2, 3, 4, 5, 6, 7 де-
1 В школьном сборнике четырёхзначных таблиц, кроме основной
таблицы четырёхзначных логарифмов, помещена ещё небольшая допол-
нительная таблица семизначных логарифмов чисел вида l-J-0,0!/)
для значений р от 0,25 до 12,50 через 0,25, используемая при решении
задач на сложные проценты, когда приходится иметь дело с формулой
Л = а(1 4-O.Olp)1.
134
сятичными знаками, получаем, вместо точного значения
х— 9,454545..., следующие приближённые его значения:
при k — 2, 3, 4, 5, 6, 7
х = 9,6; 9,46; 9,454; 9,4545; 9,45453; 9,454544.
Отмеченное выше общее правило вполне подтверждается.
2) Вычислить посредством логарифмов к = а100, где
а = 1,056.
k 4 5 6 7
lg а 0,0237 0,02366 0,023664 0,0236639
1g х = 100 lg а 2,3700 2.36600 2,366400 2,366.3900
X 234,4 232,27 232,487 232,4824
Здесь £ -значные логарифмы дают результат не с k, а лишь
с k — 2 значащими цифрами. Общее правило здесь не при-
менимо из-за возведения в высокую степень. Проводя вы-
числение границ, что в таких случаях весьма желательно,
имеем для k = 4-.
НГ ВГ
lg а 0,0236 0,0238
Igx = lOOIga 2,3600 2,3800
x ?29 240
X = 2)0(4; И)
В действительности это приближённое значение (х 230)
имеет погрешность около 2,5.
Глава I/
СЧЁТНАЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙКА
§ 30. ОСНОВНОЙ ПРИНЦИП СЧЁТНОЙ ЛИНЕЙКИ
Если мы возьмём две обыкновенных миллиметровых ли-
нейки длиной, например, по 30 см каждая, то без труда по-
лучим прибор для механического производства сложения н
вычитания целых чисел не выше 300, при условии, что и ре-
зультат действия не превосходит этой границы. В самом
деле, расположив линейки так, чтобы их кромки со штри-
хами совпали, изменим нумерацию штрихов нижней ли-
нейки, написав 0 вместо 30, 1 вместо 29 и т. д.
Мы получим теперь две совпадающие миллиметровые шкалы,
лены лишь около штрихов, означающих целые сантиметры,
мы можем говорить о метке каждого штриха каждой шкалы,
и даже о метке каждой точки, расположенной между двумя
смежными штрихами. Так, метка длинного штриха, располо-
женного между штрихами с метками 2 и 3, есть 2,5; ближай-
шего справа 2,6, следующего 2,7; метка точки, находящейся
на середине расстояния между этими двумя штрихами, есть
2,65, и т. д. Таким образом, метка каждой точки выражает
в сантиметрах её расстояние от начала шкалы. Краткости
ради, вместо «точка с меткой а» мы будем говорить просто
«метка а».
136
Сдвинув одну из двух полученных совпадающих шкал
(положим! нижнюю) вправо так, чтобы её начало оказалось
против, например, метки 2,8 верхней шкалы [черт. 8 (Б)], мы
будем иметь против каждой метки а нижней шкалы метку
а -|- 2,8 верхней шкалы, и выполним, следовательно, сложе-
ние 2,8 с любым числом (в пределах шкалы). Например,
взяв метку 4,6 на нижней шкале, читаем на верхней шкале
метку 7,4, дающую сумму 4,6 4- 2,8; взяв метку 5,9 на ниж-
ней шкале, читаем на верхней шкале метку 8,7 = 5,9 4- 2,8
и т. д.
Если, далее, требуется вычесть, например 3,7 из 8,2, до-
статочно найти метку 8,2 на верхней шкале и установить
против неё метку 3,7 нижней шкалы. Начало нижней шкалы
окажется при этом против метки 4,5 верхней шкалы, дающей
разность 8,2 — 3,7.
Таким образом, имеем следующие два правила: 1) чтобы
найти сумму с—а-\-Ь, надо взять метку а на одной шкале,
поставить против неё начало второй шкалы, взять на этой
второй шкале метку b и прочесть противостоящую ей метку
с первой шкалы; 2) чтобы найти разность d и- -Ь, надо
взять метку а на одной шкале, поставить против неё меткую
второй шкалы, перейти к началу этой второй шкалы, про-
честь противостоящую ме1ку d первой шкалы.
Действия сложения и вычитания так просты сами по себе
и так хорошо выполняются посредством торговых счётов,
что только что рассмотренный прибор, который можно
назвать счётной метрической линейкой, вряд ли может иметь
какое-нибудь практическое значение. Однако развитие его
основной идеи сопоставления двух шкал приводит к ряду
других форм счётной линейки, из которых одна, носящая
название «счётной логарифмической линейки», оказалась
имеющей громадную практическуто ценность и получила за
последние десятилетия самое широкое распространение среди
всех, кому приходится производить какие бы то ни было
числовые расчёты.
В счётной метрической линейке мы имели две метрических
шкалы, где расстояние каждой точки от начала шкалы про-
порционально метке этой точки. Если, сохраняя метки штри-
хов, передвинуть самые штрихи по шкале так, чтобы рас-
стояние каждого штриха от начала шкалы стало пропорцио-
нально логарифму соответственной метки (при некотором
основании), то мы получим так называемую логарифмическую
шкалу. Обозначая буквой а метку штриха, поставленного на
расстоянии в а мм от начала шкалы, имеем формулу а - m 1g а,
которую называют «уравнением логарифмической шкалы»
(здесь гп — коэффициент пропорциональности, который будем
именовать «модулем» данной шкалы). При любом m метка I
137
находится в начале шкалы, так как т 1g I ~ 0. метка 10 на
расстоянии т мм от начала, метка 100 на расстоянии
2т мм и т. д. Отрезок такой шкалы при т = 100 мм со
штрихами, соответствующими значениям а от 1 до 10 через
0,5, показан на черт. 9 (А).
Штрих с меткой 1,5 находится на расстоянии 100 1g 1,5 =
= 17,6 мм, штрих с меткой 2 — на расстоянии 1001g 2 =
= 30,1 мм от начала и т. д. Штрихи продолжены и вверх, и
вниз, чтобы, разрезав эту двойную шкалу по её оси, получить
I 2 г * S 6 Т В 9 10
» 1
С 7
I I
В 10
. ' I
I I ' I 1 I Г 1
Черт. 9
две тождественных логарифмических шкалы. Сдвигая одну
из них относительно другой так, чтобы её начало, т. е. точка
с меткой 1, оказалось, например, против метки 2 другой
шкалы [см. черт. 9 (Б)}, мы увидим, что против каждой
метки а нижней шкалы теперь находится метка b = 2а верх-
ней шкалы. Мы, таким образом, выполнили умножение лю-
бого числа (в пределах шкалы) на 2.
Легко понять, почему это так. Если против метки а
верхней шкалы поместить начало нижней, то против метки b
нижней шкалы окажется какая-то метка с верхней (см. черт.
10 Д). Отрезки а, Ь, с, взятые от начала соответствующей
шкалы до меток а, Ь, с, связаны соотношением а +Ъ = с,
а самые метки — соотношением т lg а + т lg b — т 1g с или
Б
Черт. 10Д
Черт. 10£
lg а + lg b = lg с, или lg ab — 1g с, или ab —с. Если же против
метки а верхней шкалы поместить метку b нижней (см. черт.
10 Б), то против начала нижней шкалы окажется метка с
верхней, причём связь между отрезками выражается соот-
ношением а — Ь — с, а между метками — соотношением
т lg а — т lg b — т 1g с или а : b = с.
Теперь можно формулировать правила выполнения дей-
ствий умножения и деления посредством пары тождествен-
ных логарифмических шкал, совершенно аналогичные
правилам сложения и вычитания посредством пары метри-
ческих шкал, формулированным выше: 1) чтобы найти произ-
ведение с = ab, надо взять метку а на одной шкале, по-
ставить против неё начало второй шкалы, взять на этой
второй шкале метку b и прочесть противостоящую ей метку
с первой шкалы;' 2) чтобы найти частное с — а : Ь, надо
взять метку а на одной шкале, поставить против неё
метку b второй шкалы, перейти к началу этой второй
шкалы, прочесть противостоящую метку с первой шкалы.
Как видим, эта пара логарифмических шкал, представ-
ляющая собой логарифмическую счётную линейку, позво-
ляет механически производить' умножение и деление с той
же лёгкостью, с какой метрическая счётная линейка позво-
ляет производить сложение и вычитание.
Выяснив основную идею счётной логарифмической линей-
ки (будем называть её впредь просто «линейкой»), мы в
дальнейшем легко разберёмся во всех деталях устройства и
употребления этого несложного, но очень полезного счётного
прибора.
Логарифмическая линейка фабричного изготовления отли-
чается от только что описанной самодельной, во-первых, тем,
что её шкалы исполнены очень тщательно и содержат боль-
шое число штрихов, и, во-вторых, тем, что, кроме одной
пары тождественных логарифмических шкал, она имеет ещё
несколько шкал, позволяющих, кроме умножения и деления,
выполнять ещё целый ряд математических операций: возве-
дение в степень, извлечение корня, решение треугольников,
разыскание логарифмов и антилогарифмов и т. д.
Изобретение логарифмической линейки связано с име-
нами двух англичан, живших в эпоху изобретения логариф-
мов (начало XVII в.); Hunter’a, впервые построившего ло-
гарифмическую шкалу, которая иногда так и называется
«Гантерова шкала», и Wingate’a, указавшего принцип счёт-
ной линейки. Начало фабричного изготовления линеек отно-
сится только к 1815 г. (во Франции). Широкое распростра-
нение они получили, однако, лишь в конце XIX в. в связи
с очень к этому времени возросшей потребностью техники
в таком приборе, который позволил бы ускорить и упростить
вычислительную работу. Интересно отметить, что идея шкалы
с числовыми метками, расположенными по определённому
закону (так называемой «функциональной шкалы»), при-
ведшая, с одной стороны, к созданию счётной логарифми-
ческой линейки в современном её виде, привела, с другой
стороны, через ряд обобщений, к целой отрасли прикладной
139
математики, так называемой «Номографии», детально разра-
ботанной в работах современного французского математика
Оканя (Maurice d’ Ocagne) и получившей широкое и с каж-
дым годом всё расширяющееся применение во всех областях
точных наук и техники.
Счётные линейки изготовляются различных размеров
(карманные, длиной 125 мм и 250 мм, настольные длиной
500 мм, демонстрационные, длиной до 2 м и другие) и раз-
личных систем как общего назначения для действий умноже-
ния, деления и других, так и специального назначения—для
электротехников, артиллеристов и т. д. Наибольшее распро-
странение и значение имеют «нормальные» линейки с 6 или
7 шкалами длиной в 250 мм на лицевой стороне; такие ли-
нейки изготовляются в СССР под несколькими марками
(«Прометей», «Металлометр» и др.). Именно об этих линей-
ках и будет итти речь в дальнейшем (некоторые сведения
о линейках других систем будут даны в § 40).
Нормальные линейки позволяют находить результат
обычно с тремя, иногда с четырьмя значащими цифрами.
В подавляющем большинстве технических расчётов эта точ-
ность вполне достаточна. При умелом использовании ли-
нейка даёт огромный выигрыш и во времени, требуемом для
выполнения вычислений, и в надёжности результатов (слу-
чайные просчёты при работе с линейкой встречаются реже,
чем при обычном письменном вычислении), и в затрате сил
(работа на линейке не так утомляет). Поэтому линейка за-
воевала себе громадное распространение-, ни один инженер
или техник, ни один студент технического вуза не может
обойтись без этого вспомогательного средства вычислений.
Правда, работа на линейке предъявляет высокие требования
к глазам: лицам со слабым зрением она не рекомендуется;
пользование линейкой при плохом освещении недопустимо.
Предполагается, что читатель, желающий изучить линейку
с помощью настоящей книги, обзавёлся счётной линейкой
(нормальной) отечественного или заграничного производства.
Однако и при неимении таковой, работу всё же можно
вести, пользуясь самодельной линейкой, изготовленной в по-
рядке выполнения упражнения 1 настоящего параграфа,
или приложенной к этой книге бумажной моделью линейки
(см. „Приложение"). Такие суррогаты дают, конечно, пони-
женную точность и очень быстро приходят в негодность, но
всё же существенно помогают сознательно усвоить приёмы
работы на линейке.
Этот путь оказывается плодотворным и в школе. Как по-
казывает опыт, учащиеся, заинтересовавшись линейкой и ов-
ладев основами её теории на самодельной линейке,
достают, преодолевая все трудности, линейки фабричного из-
140
готовления и в дальнейшем постоянно ими поль-
зуются, экономя время и силы и вызывая под-
ражание товарищей.
Упражнения
1. Взяв полоску плотной бумаги, лучше всего милли-
метровой, размером 230 и X 60 мм, проведите посредине
прямолинейный отрезок длиной в 200 леи («ось» изгото-
вляемых логарифмических шкал) и нанесите_ перпен-
дикулярные оси штрихи по уравнению а = lOOlga
(а — метка штриха, а — его расстояние от начала шка-
лы в мм, 1g —знак десятичного логарифма) с метками,
указанными ниже.
Длинные штрихи (по 4 мм вверх и вниз' от оси)
с цифровыми метками 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10.
Длинные же штрихи (тоже по 4 4-4=8 мм) без
цифровых меток для значений а—1,5; 2,5; 3,5; 4,5.
Штрихи средней величины (3 4 3 = 6 мм) для зна-
чений
1.1; 1.2; 1.3; 1,4; 1,6; 1,7; 1,8; 1.9;
2,1; 2.2; 2,3; 2,4; 2.6; 2,7; 2,8; 2,9,
3,1; 3,2; 3.3; 3,4; 3,6; 3,7; 3,8: 3,9;
4,1; 4,2; 4,3; 4,4; 4,6; 4.7; 4,8; 4,9.
5,5; 6,5; 7,5; 8,5; 9,5;
При хорошем навыке в черчении и хороших чертёж-
ных инструментах можно нанести и короткие штрихи (по
2 + 2 = 4лгл<) для значений от 1,02 до 1,98 через 0,02
для значений от 2,05 до 4,95 через 0,05, для значений от 5,1
io 9,9 через 0,1. Без этих коротких штрихов получается
двойная логарифмическая шкала, изображённая на черт. 11.
Её продолжение за метку 10 получается простым копи-
рованием: если
а . 10=42,, то a! = 1001g(10a) = 100+ 100 lg a= 100 4 а.
Надо разрезать двойную шкалу по её оси и сдвинуть
одну шкалу, например, на 100 мм вправо, т. е. совме-
стить начало (метку 1) нижней шкалы с меткой 10 верх-
ней шкалы и продолжить штрихи, нанесённые на нижней
шкале, на верхнюю шкалу, увеличив в 10 раз значе-
ния цифровых меток.
Вместо того, чтобы определять положение каждого
штриха расчётом (по уравнению a =100 1g а), можно про-
сто аккуратно скопировать шкалы фиг. 11.
Добавление коротких штрихов доводит логарифмиче-
ские шкалы до того вида, в каком они даны на нор-
мальной линейке фабричного изготовления (см. шкалы
А и В в „Приложении").
2. Пользуясь изготовленной парой тождественных
логарифмических шкал, проделайте с их помощью ряд
умножений и делений, выбирая такие данные, которые,
как и результат, изображаются наличными штрихами,
например, 5 . 8 = 40, 2,6 . 5 = 13, 75 : 3 = 25, *8 : 8 = 6
и т. д.
§ 31. УСТРОЙСТВО ЛИНЕЙКИ, ЧТЕНИЕ МЕТОК. ПЕРИОДИЧ-
НОСТЬ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ШКАЛ
Ознакомимся с устройством нормальной счётной линейки
фабричного изготовления, изображённой в натуральную ве-
личину на прилагаемой таблице (см. „Приложение"). Такую
линейку иногда называют линейкой «системы Риц».
Линейка состоит из трёх частей: корпуса, движка и ви-
зира (или ползунка). Корпус имеет продольный паз, поме-
щённый на лицевой стороне параллельно длинным рёбрам.
В этом пазу находится, свободно в нём двигаясь, вторая,
более узкая линейка — движок. Плоскости верхних поверх-
ностей корпуса и движка совпадают. По этой их общей по-
верхности свободно перемещается визир, состоящий из пря-
моугольного кусочка стекла в оправе с пружинкой, скрытой
внутри оправы.
На лицевой стороне корпуса нанесены четыре шкалы,
показанные в натуральную величину в „Приложении”. Свер-
ху находится шкала кубов (ZC-шкала); это — логарифми-
250 . ,
ческая шкала с модулем т — —мм\ ее осью служит реб-
т 250 , , .
ро корпуса, ее уравнение k — lg k, метки идут от 1 до
1000 (конечные нули в цифровых метках опущены). Ниже
идёт шкала квадратов (Л-шкала) с уравнением а — 125 1g а
и метками от 1 до 100 (нули тоже опущены, осью служит
верхнее ребро паза). Ещё ниже (с осью на нижнем ребре
паза) идёт основная шкала (D-шкала) с уравнением
d — 250 lg d и метками от 1 до 10. Ниже всех, с осью на
нижнем ребре корпуса, расположена шкала логарифмов
(/.-шкала); это уже не логарифмическая, а равномерная
(метрическая) шкала с полумиллиметровыми делениями
и уравнением / = 250/; метки идут от 0 до 1, знак дроб-
ности и нуль перед ним везде опущены; вместо цифровых
меток 0,1; 0,2; 0,3; . . . написано просто 1; 2; 3; . . .
На лицевой стороне движка имеются две шкалы, тоже
показанные в натуральную величину в „Приложении”; шка-
ла В с уравнением b — 1251g/», тождественная шкале А,
и шкала С с уравнением с =250 1g с, тождественная шкале D.
Таким образом, на лицевой стороне линейки имеется всего
6 шкал. Буквы К, А, В, С, D, L, которыми мы их обозна-
чили, на линейке отсутствуют (полезно написать их каран-
дашом).
Если вынуть движок из паза и посмотреть на оборот-
ную его сторону (см. „Приложение”), то там мы увидим
ещё три шкалы: сверху шкалу синусов (S-шкалу) с урав-
нением s = 250 1g 10 sin s, снизу шкалу тангенсов (Т-шка-
142
лу) с уравнением t — 250 1g 10 1g t, между ними шкалу
радианной меры малых дуг (шкала S&T) с уравнением
а = 250 1g 100^.
1 ои
На оборотной стороне корпуса помещена таблица наибо-
лее употребительных в инженерной практике постоянных. На
его узких боковых гранях—миллиметровые деления (иногда
дюймовые).
На стекле визира мы видим индекс — тонкий штрих,
располагающийся перпендикулярно осям шкал корпуса и
движка.
Приобретая линейку, надо обратить внимание на ясность
делений, на совпадение меток шкал Л и В и шкал С и D
при вдвинутом движке, на правильность хода движка. Он
должен входить в паз достаточно плотно, без заметной щели,
но двигаться в нём плавно и без усилий. Так же плавно и
легко должен двигаться визир, пружина которого должна
быть достаточно сильной, чтобы не допускать самопроизволь-
ного его перемещения. При перемещении движка визир дол-
жен оставаться в полном покое, а при перемещении визира
индекс должен перемещаться перпендикулярно к осям шкал,
что проверяется наведением индекса на начальные и конеч-
ные штрихи шкал К и L. Индекс должен быть очень тонок
и нанесён на нижней (прилегающей к линейке) поверхности
стекла.
При работе с линейкой надо так располагать её относи-
тельно источника света (окна, лампы), чтобы индекс не да-
вал тени, сильно понижающей точность отсчётов. Для этого
линейку надо держать перпендикулярно к вертикальной
плоскости, проходящей через источник света и глаз вычисли-
теля.
Перемещая движок, надо избегать сжимать боковые грани
корпуса линейки, так как иначе движок защемляется и туго
ходит. Корпус линейки следует брать так, чтобы большой
палец руки оказывался внутри паза, а другие придерживали
корпус снизу.
Линейка представляет собой очень точный прибор и тре-
бует бережного обращения. Её нельзя ронять, поверхность
её нельзя царапать. Пользоваться ребром счётной линейки
для проведения линий ни в каком случае не следует. Дер-
жать линейку нельзя ни во влажном, ни в очень сухом
месте. Загрязнившуюся поверхность линейки можно проти-
рать влажной тряпочкой или, лучше, винным спиртом, но не
бензином, от которого сходит краска. Если движок ходит
слишком туго, полезно посыпать поверхность трения тальком',
если это не помогает, надо осторожно пройтись по тем
местам, где «заедает», стеклянной шкуркой.
143
При бережном обращении линейка служит много лет и
остаётся, как новая. В плохих же руках она скоро начинает
давать результаты с пониженной точностью, а то и вовсе
отказывается служить.
Рассмотрим подробнее основную шкалу D (или, что то
же, тождественную ей шкалу С). Это — логарифмическая шкала
с модулем 250 мм и уравнением </ = 250 lg d. На ней мы ви-
дим начальную метку 1, или «начальную единицу», и конеч-
ную метку 10, в которой нуль опущен, или «конечную еди-
ницу», на расстоянии 250 lg 10 = 250мм от начальной. Да-
лее замечаем крупные цифровые метки 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8, 9,
а левее крупной метки 2 мелкие цифровые метки 1; 2; 3; 4;
5; 6; 7; 8; 9, означающие числа 1,1; 1,2,...; 1,9. Каждая из
этих цифровых меток d находится от начала шкалы на рас-
стоянии, равном 250 lg d (например, мелкая метка 1, т. е.
метка 1,1, на расстоянии 2501g 1,1 =250 . 0,0414 = 10,4мм,
а крупная метка 5 на расстоянии 2501g5 = 250 . 0,6990 =
= 174,8 мм), что легко проверяется. Кроме этих 19 цифровых
меток, поставленных около длинных штрихов, шкала D со-
держит ряд «немых» меток, а именно (подразумеваемые)
метки 2,5; 3,5; 4,5; 5,5; 6,5; 7,5; 8,5; 9,5 (длинные штрихи),
метки 1,05, 1,15; 1,25;...; 1,95; 2,1; 2,2; 2,3; 2,4; 2,6;...; 9,9
(штрихи средней величины), метки 1,01; 1,02;...; 9,95 (корот-
кие штрихи). Всего на шкале D имеется 321 штрих (не счи-
тая штрихов с особыми метками^, &"• pj pH, о которых
речь будет ниже), и необходимо приобрести навык в точном
и быстром чтении меток как цифровых, так и не.мых всех
этих штрихов.
Разность между метками двух соседних штрихов назы-
вается ценой деления шкалы. В то время как на равномер-
ной шкале цена деления всюду одинакова, на логарифми-
ческой шкале она различна на разных участках. На шкале С
цена деления от метки 1 до метки 2 равна 0,01, от 2 до
4 она составляет уже 0,02, от 4 до 10 уже 0,05.
Имея в руках линейку, фиксируем различные метки шкалы,
совмещая с ними индекс визира. Надо научиться читать
метку любого штриха, фиксированного визиром, а также
устанавливать индекс визира на штрих с любой данной мет-
кой. На первых порах не следует заботиться о быстроте вы-
полнения этой операции (быстрота придёт сама собой в ре-
зультате последующих упражнений).
Умея прочесть метку каждого штриха шкалы, легко про-
честь и метку любой точки промежутка между двумя сосед-
ними штрихами, подразделяя этот промежуток на-глаз на
десятые доли там, где он соответствует одной или двум со-
тым, т. е. при отсчёте в левой части шкалы (между метками
1 и 4), и на пятые доли там, где он соответствует пяти сотым,
144
т. е. при отсчёте в правой части шкалы (между метками
4 и 10). При этом начинают всегда с того, что выясняют, ка-
кие метки имеют ближайшие штрихи (слева и справа).
На черт. 12 изображены в увеличенном виде три отрезка
шкалы D и три положения индекса. В первом случае он на-
ходится между штрихами с метками 1,12 и 1,13, немного
Черт. 12
6,55. I 6.60
ближе ко второму, чем к первому. Промежуток между мет-
ками 1,12 и 1,13, соответствующий одной сотой, делим на-
глаз на 10 равных частей, из которых каждая соответствует
уже одной тысячной. Метка индекса есть в этом случае 1,126.
Во втором случае промежуток между двумя соседними штри-
хами соответствует уже двум сотым, и индекс установлен
между штрихами с метками 2,08 и 2,10. Промежуток этот
делим на-глаз на 10 равных частей, причём каждая часть
соответствует одной десятой от двух сотых, т. е. двум тысяч-
ным. Оценивая в данном случае расстояние от левого штриха
(метка 2,08) до индекса в три десятых промежутка, полу-
чаем для метки индекса число 2,086. В третьем случае про-
межуток между двумя соседними штрихами соответствует
пяти сотым, пятая его часть — одной сотой. Индекс находит-
ся между штрихами с метками 6,55 и 6,60. Оценивая его рас-
стояние от левого штриха в четыре пятых промежутка, имеем
для него метку 6,59.
То, что мы сейчас делали, есть не что иное, как хорошо
нам известная линейная интерполяция, притом интерполяция
на-глаз.
Научившись правильно читать метки основных шкал
С и D и выполнять на них интерполяцию на-глаз, надо перейти
к такому же освоению шкал квадратов А и В. Здесь модуль
уже вдвое меньше (не 250 мм, как на шкалах С \\Dt а лишь
125 мм, уравнение а — 125 1g а). Шкала А состоит из двух
тождественных подшкал, одной с метками от 1 до 10, другой
с метками от 10 до 100. Действительно, уравнение а — 125 1g а
даёт для метки Юа расстояние от начала, равное 125 1g 10а —
— 125’lg 10 4- 125 Iga — 125 -|- а. Таким образом, все штрихи
первой подшкалы смещены вправо на 125 мм и имеют метки,
в 10 раз большие. Нули в цифровых метках опущены, и вто-
рая подшкала оказывается вполне тождественной первой.
В этом легко убедиться, сдвигая движок вправо так, чтобы
начальная единица шкалы В оказалась против средней еди-
Ю В. М. Брздис 145
ницы шкалы А (средняя единица шкалы В окажется при
этом против конечной единицы шкалы Л).
На шкалах А и В цена деления на участке от 1 до 2
равна 0,02, на участке от 2 до 5 уже 0,05, на участке от 5
до 10 уже 0,1. На второй подшкале на участке от 10 до 20
цена деления 0,2, на участке от 20 до 50 — 0,5, а на участке
от 50 до 100 — 1.
Рассмотрение шкалы кубов К, имеющей модуль втрое
меньшии, чем основные (уравнение k — -у 1g л), показывает,
что на ней мы имеем три тождественных подшкалы (от 1 до
10, от 10 до 100, от 100 до 1000), из которых вторая полу-
250
чается сдвигом первой направо на -у мм, а третья сдвигом
второй на столько же. Здесь цена деления равна 0,02 на
участке от Г до 2; 0,05—от 2 до 5; 0,1—от 5 до 10; 0,2 —от
10 до 20; 0,5 —от 20 до 50; 1—от 50 до 100; 2—от 100
до 200; 5 —от 200 до 500; 10—от 500 до 1000.
Шкала L, расположенная на нижней кромке корпуса
линейки, не логарифмическая, а равномерная, с полумил-
лиметровыми делениями. Читая цифровые метки этой шкалы
как цифры десятых долей, мы можем представить уравнение
этой шкалы в виде / = 250/, где / — любая метка, I— её
расстояние от начала шкалы в миллиметрах.
Научившись свободно читать метки логарифмических
шкал, надо ознакомиться со свойством их периодичности. На
шкале А мы имеем две внешне тождественных (благодаря
отбрасыванию нулей в цифровых метках) подшкалы, одну
для меток от 1 до 10, другую для меток от 10 до 100. Пред-
ставим себе, что шкала А продолжена направо для меток,
больших 100, и налево, для меток, меньших 1 (но больших
нуля). Эта бесконечная логарифмическая шкала будет со-
стоять из бесконечного ряда последовательных подшкал с
метками от 100 до 1000, от 1000 до 10000 и т. д., если иттн
направо, и с метками от 0,1 до 1, от 0,01 до 0,1, от 0,001 до
0,01, от 0,0001 до 0,001 и т. д., если итти налево. Каждая
подшкала имеет длину 125 мм, каждая получается из бли-
жайшей слева, если все её штрихи сдвинуть направо на
125 мм, увеличив в 10 раз их метки. Мы считали, что из реа-
лизованных на линейке двух подшкал этой бесконечной пе-
риодической шкалы одна имеет метки от 1 до 10, другая
от 10 до 100. Но ничто не препятствует считать начальную
метку шкалы за 10, или 0,1, или 100, или 0,01 и т. д. Если,
например, считать эту начальную метку за 100, то первая
подшкала содержит метки от 100 до 1000, вторая от 1000 до
10000; если же считать её за 0,1, то первая подшкала выра-
жает числа от 0,1 до 1, вторая от 1 до 10. Конечно, уравне-
146
ния шкалы А в этих двух случаях придётся брать в несколько'
изменённом виде, а именно: а~ 1251g 0,01а, что даёт а = 0
при а = 100, или a — 1251g10а; здесь а —0 получается при
а = 0,1.
Таким образом, каждая метка шкалы А имеет не одно
определённое значение, а бесконечное их множество: её
можно читать и как а, и как 10а, и как 0,1а, и как 100а,
и как 0,01а и т. д. Цифровой состав всех этих чисел одина-
ков, но положение знака дробности различно. Если, напри-
мер, а = 5,46, то эту же метку можно читать и как 54,6 и
как 0,546, и как 546, и как 0,0546 и т. д. Поэтому, читая
метки шкалы А, как и любой другой логарифмической шкалы,
лучше не обращать внимание на положение знака дробности,
а называть по очереди все цифры числа, начиная с первой
слева значащей его цифры. Так, говоря «пять—четыре—
шесть», мы называем любое из чисел 5,46; 54,6; 546;
5460;...; 0,546; 0,0546;..., не предрешая, где в этом числе бу-
дет поставлена запятая. Желая отметить, что речь идёт
только о цифровом составе метки, но не о положении запятой
в ней, мы будем разделять цифры чёрточками. Так, запись
5—4—6 означает цифровой состав любого из этих чисел,
запись 4—0—0 — любого из чисел 4; 40; 400; 4000;..., 0,4 ;
0,04; 0,004; 0,0004 и т. д.
Итак, мы будем пользоваться двумя способами чтения
меток логарифмических шкал. Если сделан определённый
выбор значения начальной метки (начальной единицы)
шкалы, то каждая метка имеет значение, вполне определён-
ное и по цифровому составу, и по положению знака дроб-
ности. Если же такой выбор не сделан, то определённым
является только цифровой состав каждой метки, ио не^ поло-
жение знака дробности. Так, если считать начальную метку
шкалы D за 1, то на фиг. 12 фиксированы метки 1,126:
2,086; 6,59. Считая начальную метку за 10, мы прочтём эти
фиксированные метки как 11,26; 20,86; 65,9; считая её за 0,1,
мы будем иметь уже 0,1126; 0,2086; 0,659 и т. д. Если же
выбор значения начальной метки не сделан, мы обязаны
прочесть эти три метки, как 1 — 1—2—6, 2—0—8 — 6,
6—5—9 («один — один — два — шесть» и т. д.).
Отметим ещё раз, что приобретение навыка в правильном
и быстром чтении меток логарифмических шкал является
задачей первостепенной важности при изучении линейки.
Для выработки такого навыка надо:
1) хорошо разобраться в цене деления на разных уча-
стках каждой шкалы;
2) научиться безошибочно читать метку индекса каждого
имеющегося на шкале штриха;
3) научиться безошибочно читать метку индекса, установ-
ку- 147
ленного произвольным образом между штрихами, т. е. выпол-
нять интерполяцию на-глаз (рекомендуется сперва прочесть
метки двух соседних штрихов, ближайшего слева и ближай-
шего справа, затем установить цену деления, потом на-глаз
определить расстояние от индекса до ближайшего штриха
в десятых или пятых долях деления, наконец, сделать в уме
окончательный расчёт).
При работе над настоящим параграфом следует доби-
ваться не столько большой скорости чтения меток, сколько
правильности результатов. Скорость придёт сама собой при
выполнении последующих упражнений.
Упражнения
1. Считая начальные метки шкал А, В, С, D за 1, прочтите метки
имеющихся на них специальных штрихов п и М (на шкалах А и В), а
также штрихов с, q, р', р", р,; (на шкалах С и О). Должны получиться
первые 3—4 значащих цифры следующих точных значений этих меток:
к-3,14159..., М = = 0,3183..., с =|Л-£ = 1,1283..., q =3,568,
р' — число минут в одном радиане, а именно =3437,7... (уменьше-
но в 103 раз), л
, 180.60.60
р — число секунд в одном радиане, а именно-------z---- = 206264,8...
(уменьшено в 105 раз),
рл — число секунд в одном радиане при десятичном делении прямого
угла (прямой угол делится на 100 градов, град на 100 минут, минута на
200 . 100 . 100 2 . 10®
100 секунд), а именно-------------= —-— =636619,7... (уменьшено
в 10® раз).
Примечание. Чтобы дать себе отчёт в точности полу-
чаемого посредством линейки результата, полезно в тех случаях,
когда более точное его значение известно, сопоставлять его с этим
более точным значением, выражая разницу в единицах разряда
четвёртой значащей цифры (для нормальной линейки), ведя сле-
дующую примерную запись:
Метка Отсчёт по линейке Более точ- ное значе- ние Разница в еди- ницах разряда» указанного римской циф- рой
На шкалах А и В
Г. 3,14 3,142 2 IV
м 31,8 31,83 3 IV
На шкалах С и D
С 1,128 1,1283 3 V
О 3,57 3,568 2 IV
р' 3,438 3,4377 3 V
р’ 2,063 2,0626 4 V
р„ 6,365 6,3662 12 V
141
Более точное значение рекомендуется брать с одной лишней зна-
чащей цифрой по сравнению с полученным по линейке.
2. С целью упражнения в чтении меток наведите индекс последова-
тельно на штрихи шкалы D, указанные ниже в первой строке, и чи-
тайте соответствующие метки шкалы А. При этом должны получаться
числа, указанные во второй строке, с округлением до 3—4 значащих
цифр. Что это за числа — выяснится в следующем параграфе.
d 1,10 1.11 1.12 1,13 1,14 1,15 2,56
а 1,2100 1,2321 1,2544 1,2769 1,2996 1,3225 6,5536
d 2,57 2,58 2,59 5,6 5,7 5,8 5,9
а 6,6049 6,6564 6,7081 31,36 32,49 33,64 34,81
3. Наводите индекс последовательно на штрихи шкалы А, указан-
ные ниже в первой строке, и читайте соответствующие метки шкалы D.
При этом должны получаться числа, указанные во второй строке, с
округлением до 3—4 значащих цифр. Что это за числа — выяснится
в следующем параграфе.
а 2,40 2,45 2,50 2,55 5,1
d 1,5492 1,5652 1,5811 1,5969 2,2583
а 5,2 5.3 11.2 11,4 26,0 26,5
2,2804 2,3022 3,3466 3.3764 5,0990 5,1478
§ 32. ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ
КВАДРАТНОГО КОРНЯ. ВОЗВЕДЕНИЕ В КУБ И
ИЗВЛЕЧЕНИЕ КУБИЧЕСКОГО КОРНЯ
Займёмся теперь совместным рассмотрением шкал А и £).
игнорируя пока шкалы В и С. Движок можно совсем вы-
нуть из паза и отложить, или привести его в начальное
положение, т. е. совместить шкалы А и В. Установив ин-
декс на метку 2 шкалы D, видим, что на шкале А индекс
даёт метку 4. Будем говорить, что метке 2 шкалы D про-
тивостоит метка 4 шкалы А. Передвигая визир, убедимся,
что меткам 3; 4; 5; 6,... шкалы D противостоят соответ-
ственно метки 9; 16; 25; 36;... шкалы А, и что вообще метке
149
d шкалы D противостоит метка а — d2 шкалы А. Объяснить
это обстоятельство легко, если исходить из уравнений обоих
шкал и принять во внимание, что начальные их единицы
противостоят друг другу. Если*.метки d и а противостоят
друг другу, то их расстояния от начала шкал равны: d = а.
Но d = 250 lg d, а — 125 1g а, а потому 250 lg d=- 125 lg а,
или 2 lg d — lg а, или lg d2 — lg а, или d2 — a.
Теперь мы имеем правило для возведения в квадрат лю-
бого числа: чтобы возвести в квадрат числом, надо найти
на шкале D метку d и прочесть противостоящую метку а
шкалы А. Если при этом данное число имеет только одну
значащую цифру левее запятой, т. е. заключается между
1 и 10, то его квадрат заключается между 1 и 100; метки
первой подшкалы А читаются как единицы, второй — как
десятки. Если же данное число d меньше 1 или больше 10,
его предварительно представляют в виде произведения чис-
ла, заключённого между 1 и 10, и надлежащей степени 10,
и возводят в квадрат каждый сомножитель отдельно (один —
посредством линейки, другой — в уме). Так, чтобы возвести
в квадрат число а — 455, пишут его в виде 4,55. I02, затем
узнают квадрат 4,55 посредством линейки (20,7), квадрат 10* —
в уме. Искомый квадрат равен 20,7. 10000 = 207 000. Здесь
точное значение 4,552 есть 20,7025, разница не достигает
даже единицы IV разряда. Если требуется вычислить
0,001392, поступаем так:
0,001392 = (1,39 . 10-3)2 = 1,930.10"6 = 0,000001930.
Здесь точное значение искомого квадрата равно
0,0000019321, ошибка найденного по линейке результата со-
ставляет около двух единиц разряда IV значащей цифры.
При небольшом навыке промежуточные результаты мож-
но не писать, сразу записывая окончательный результат.
Выведенная выше формула d = а2 для противостоящих
меток шкал А тл D после почленного извлечения квадрат-
ного корня даёт формулу d=~\/~ а, приводящую к правилу
извлечения квадратного корня: чтобы извлечь квадратный
корень из числа а, надо найти метку а на шкале А и про-
честь противостоящую метку d шкалы D. Случай, когда
число а заключается между 1 и 100 и имеет, следовательно,
одну или две значащих цифры левее запятой, является са-
мым простым. Результат имеет одну значащую цифру ле-
вее знака дробности. Подкоренное число, меньшее 10, бе-
рётся на первой подшкале А, большее 10 (но меньшее 100) —
на второй подшкале А. Если же подкоренное число меньше
1 или больше 100, его надо предварительно представить в
виде произведения числа, заключающегося между 1 и 100,
и степени 10 с чётным показателем. Например, чтобы найти
квадратные корни из чисел 85620 и 8562, поступаем так:
150
/85620 =/8,562 . 10’ = /8,562 . /И)4 = 2,924 . 10s = 292,4;
/8562 = /85,62 7102 =/8ЁГб2 ./102 = 9,25 . 10 = 92,5.
Более точное извлечение даёт: 292,62..., 92,53... Необ-
ходимость записей промежуточных результатов уже при не-
большом навыке отпадает, и окончательный результат пи-
шется сразу.
Сопоставление логарифмических шкал А п D привело к
уравнению а — d\ Подобным же образом сопоставление
шкал К и D с уравнениями k: = (250:31 lg fe, d — 250 1g d
приводит к уравнению k = </’, где k и d противостоящие
метки этих двух шкал (начальные их метки принимаются за 1).
Отсюда получаем следующие два правила: 1) чтобы воз-
вести в куб число, заключающееся между 1 и 10, надо найти
его метку на шкале D и прочесть противостоящую метку
шкалы К; 2) чтобы извлечь кубический корень из числа,
заключённого между 1 и 1000, надо найти его метку на
шкале К и прочесть противостоящую метку шкалы D.
Напоминаем, что начальные метки шкал Он К принимаются
при этом за 1.
Например, если d = 6,70, то линейка даёт d* — 301 (вместо
300,7...); если k = 2,5, то по линейке находим /~£ = 1,357
з _________________________________________
(вместо 1,3572...); если k = 25, то / k =2,925 (вместо
з______________________________
2,9240...); если k = 250, то/^ =6,30 (вместо 6,2996...).
При возведении в куб числа, меньшего 1 (но большего 0)
или большего 10, представляем его предварительно в виде
произведения числа, заключенного между 1 и 10, на степень
10 с надлежащим показателем. Так, желая найти кубы чи-
сел 0,65 и 650, поступаем так:
0,65’ = (6,5 . 10-1)3 = 650’ = (6,5 . 102)3 =
= 6,5’. (10-1)’= = 6,5’. (102)’=
= 275 . 10“э = = 275. 105 -
= 0,275 (вместо 0,274625) = 275000000 (вместо
274625000).
Конечно, такие преобразования надо привыкнуть выпол-
нять в уме и сразу писать окончательный результат.
При извлечении кубического корня из положительного
числа, меньшего 1 или большего 1000, его надо предвари-
тельно представить в виде произведения числа, заключаю-
щегося между 1 и 1000, на степень 10 с показателем, крат.-
вым 3. Например,
151
3 3 3
у 8100 = V 8,1 . 103 = 10 /8 J = 10.2,005 = 20,05
(вместо 20,082...);
3 3 3
/81000 = /81 . 10’=10/81 = 10.4,325 = 43,25
(вместо 43,267...);
/810000 = /810. Ю3 = 10/810 = 10.9,31 = 93,1
(вместо 93,216...);
з_____ з______________ 3___________
У 0,21 = / 210.10-3 = IO~'/21O = 10-1 . 5,94 = 0,594
(вместо 0,5943...);
з_____ _ з____________ з _
/0,000021 = V 21 . 10’6= 10’2/21 = IO"2.2,76 = 0,0276
(вместо 0,027589...).
Цена делений на шкале Л" уже не та, что была на шкале
D или А, а потому для успешной работы на этой шкале надо
сперва хорошо ознакомиться с метками всех её штрихов.
Упражняясь в применении линейки для выполнения дей-
ствий возведения в квадрат и куб и извлечения корней
квадратного и кубического, читатель должен приобрести хо-
роший навык в чтении меток. Необходимо добиться, чтобы
результаты получались с 3—4 верными значащими цифрами.
Если после выполнения всех указанных упражнений такого
навыка ещё не получилось, надо задержаться на упражне-
ниях этого рода, задаваясь произвольными значениями п и
3_
находя л2, л3,/л,/ п, а затем проверяя результаты по табли-
цам и устанавливая разницу. При хорошей линейке и умелом
с ней обращении эта разница, т. е. погрешность полученного
3
на линейке результата, должна быть для n!Jz л, 1 л мень-
ше единицы 111 разряда, считая слева, т. е. меньше 10
единиц разряда IV значащей цифры, а для л3 меньше двух
единиц этого разряда. Приводим пример такого упражнения
(табличные значения взяты с 4 значащими цифрами, разница
указана в единицах разряда IV значащей цифры).
п л2 л3 / Л /л"
<9 п «5 <9 <4 Я я 3 Я я Я Я
>Х X 1 »X X X X X S X
ю 3 X «о X хО СП X \6
г; и Ч си е? 1- е. е; н сх
1,47 2.16 2,161 1 3.18 3.177 3 1,213 1.212 1 1.137 1.137 0
2,62 6.87 6.864 6 18.0 17.98 2 1.618 1,619 1 1,377 1,379 2
4,35 18.95 18,92 3 82.5 82.31 19 2.085 2,086 1 1.630 1.632 2
5,88 34,6 34,57 3 204 203.3 7 2,423 2,425 2 1,804 1.805 1
9.24 85.4 85,38 2 790 788,9 11 3.040 3,040; 0 2,095 2,098 3
152
Упражнения
1. В целях упражнения в возведении в квадрат посредством ли-
нейки, а также, и это главное, в целях приобретения навыка в чтении
меток линейки, возведите в квадрат посредством линейки числа, поме-
щённые ниже в первой строке, а затем сравните полученные результаты
с соответствующими числами второй строки, представляющими собой
квадраты чисел первой строки, вычисленные с 5 точными значащими
цифрами. Линейка даёт трёх- или четырёхзначные числа, совпадающие,
или почти совпадающие, с теми, какие получаются при надлежащем
округлении точных квадратов.
d 1,47 2,16 3,02 3,48 4,35 4,70 5,95 2,18
2,1609 4,6656 9,1204 12,110 18,922 22,090 35,402 4,7524
d 3,28 4,95 5,09 6,53 9,81 1,465 1,204 1,163
dt 10,758 24,502 25,908 42,641 96,236 2,1462 1,4496 1,3526
d 2,057 2,685 3,17 4,56 5,346 6,13 8,55 52,3
di 4,2312 7,2092 10,049 20,794 28,580 37,577 73,102 2735,3
d 496 1,128 7670 0,81 0,0916 0,00339
d2 246020 1,2724 58829000 0,6561 0,0083906 0,000011492
153.
2. Найдите посредством линейки квадратные корни из чисел, по-
мещённых ниже в первой строке, и сравните результаты с соответ-
ствующими числами второй строки, представляющими собой квадратные
ворни из этих чисел, найденные с 4 точными значащими цифрами:
а 2,5 3.20 0,037 5,5 7.6 8,9 11
у/Г<г 1,581 1,789 0.1924 2,345 2,757 2,983 3,317
а 170000 35,5 0,0078 1,985 617 6170 1,062
Г а 412,3 5.958 0,08832 1,409 24,84 78,55 1,031
а 0,771 29,3 9,25 3,14 567 8760
0,8781 5,413 3,041 1,772 23,81 93,59
3. Найдите посредством линейки кубы чисел, записанных ниже
ю строке d, и сравните их с соответствующими числами строки d3.
d 2,8 9,5 16,5 532 0,27
d3 21,952 857,3... 4492,1... 1,5056 . 108 0,019683 '
d 0,032 j 44 53 0,92
d3 3,2768 . 10~9 I 85184 148877 0,7786...
4. Найдите пос >едством линейки кубические корни из чисел, запи-
санных ниже в строке k, и сравните их с соответствующими числами
строки
k 35 350 0,262 0,0387 19.68
a 3,271... 7,047... 0,6398... 0,3385... 2.699...
k 5310 53100 531000 845
3 /Г 17,446... 37/8.. 80,97... 9,454...
154
§ 33. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ
Приобретя навык в чтении меток на шкалах линейки,
вернёмся к важнейшим, чаще всего выполняемым посред-
ством линейки, действиям — к умножению и делению. Их
можно выполнять как на нижних (основных) шкалах С и /9,
так и на верхних шкалах (шкалах квадратов) А и В. Ниж-
ние шкалы дают несколько повышенную точность, верхние
немного упрощают сами операции (реже требуется «пере-
кидывание» движка).
Вспомнив то, что было сказано об умножении и деле-
нии в § 30, и пользуясь сперва верхними шкалами (А и В),
получаем следующее правило умножения: чтобы найти
произведение abс, надо взять на шкале А метку а,
установить против неё единицу шкалы В, найти на шкале В
метку Ь, прочесть противостоящую метку с шкалы А. При
этом, в силу периодичности шкал А и В, безразлично, ка-
кими подшкалами воспользоваться. Точно так же безразлич-
но, которую из трёх единиц шкалы В — начальную, сред-
нюю или конечную — противопоставлять метке множимого
а. Всё дело сводится к тому, чтобы на шкале А отложить
сумму отрезков, длины которых пропорциональны логариф-
мам сомножителей. Взяв на шкале А метку а, мы получаем
отрезок от начала соответствующей подшкалы до этой мет-
ки длиною 125 1g а миллиметров. Противопоставив метке а
шкалы А одну из единиц шкалы В и найдя на шкале В
метку Ь, мы получаем на шкале В отрезок длиною 125 Igb,
а на шкале А — сумму отрезков 125 1g а + 125 lg b
= 125(lg а + lg b)~ 125 lg (ab). Метка с шкалы А у правого кон-
ца этого отрезка-суммы и даст искомое произведение ab.
При установке множимого перемещают только движок,
устанавливая единицу шкалы В против метки а шкалы А
(визир в покое). Далее перемещают визир, устанавливая
индекс против метки b шкалы В (движок в покое), и читают
метку с — ab шкалы А, оказавшуюся под индексом. Таким
образом, при умножении работает сперва движок, затем
визир.
Очень важно научиться пользоваться различными комбина-
циями подшкал, так как иногда при решении более слож-
ных задач одни комбинации значительно выгоднее других.
Выполнить (на шкалах А и В) умножение чисел 2 и 3 мож-
но семью различными способами: 1) метка 2 на первой под-
шкале А, против неё начальная единица шкалы В, метка 3
на первой подшкале В; 2) то же самое, только метка 3 на
второй подшкале А; 3) против метки 2 на первой подшка-
ле А средняя единица шкалы В, метка 3 на второй под-
шкале В (метка 3 на первой подшкале В за пределами кор-
пуса линейки); 4) против метки 2 на второй подшкале А
155
начальная единица шкалы В, метка 3 на первой подшкале
В; 5) и 6) против метки 2 на второй подшкале А средняя
единица шкалы В, метка 3 либо на первой, либо на второй
подшкале В; 7) против метки 2 на второй подшкале А ко-
нечная единица шкалы В, метка 3 на второй подшкале В.
Заметим, что замена одной какой-нибудь единицы шка-
лы В следующей справа равносильна умножению произве-
дения, отсчитываемого по шкале А, на 10, так как прибав-
ляет к сумме отрезков, уже полученной на шкале А и рав-
ной 125 lg ab, ещё отрезок 125 1g 10, что даёт 125 (\g ab+
1g 10)— 125 1g 10 ab. Точно так же замена какой-нибудь
единицы шкалы следующей слева равносильна делению
произведения на 10 (отрезок 125 1g 10 здесь отнимается). В
обоих случаях цифровой состав произведения (а только его
и даёт линейка) не изменяется.
Положение запятой в произведении получается путём
грубо приближённой его оценки, производимой с округле-
нием сомножителей до первой значащей цифры (конечно,
в уме). Вычисляя, например, произведение х — 560.0,00123,
находим по линейке цифровой его состав 6—8—9, а затем,
замечая, что множимое близко к 600, а множитель — к 0,001,
получаем (в уме), что произведение близко к 0,600. Следо-
вательно, х = 0,689.
Деление чисел, как уже было выяснено в § 30, сводится
к вычитанию отрезков логарифмических шкал. Чтобы най-
ти частное а :Ь -с, надо взять на шкале А метку а, уста-
новить против неё метку b шкалы В, перейти к одной из
единиц (безразлично, какой именно) шкалы В, прочесть
противостоящую метку с шкалы А. Выбор подшкал здесь
как и при умножении, совершенно произволен.
При установке делимого пользуются визиром, устанавли-
вая индекс на метку а (движок в покое), затем перемещают
движок, подводя метку b под индекс (индекс в покое). После
этого, не трогая ни движка, ни индекса, читают метку с
шкалы Л, оказавшуюся против единицы шкалы В. Итак, при
делении работает сперва визир, потом движок — обратно
тому, что бывает при умножении.
Линейка даёт цифровой состав частного, а положение
знака дробности определяется грубо приближённой оценкой
результата, производимой в уме. Например, для получения
частного с = 84,5 : 0,025, находим по линейке его цифровой
состав 3—3—8, а затем делаем в уме «прикидку» (80:0,02 —
8000 : 2 = 4000) и заключаем, что х — 3380.
Умножение и деление можно делать не только на верхних
шкалах А и В, но и на нижних С и D; множимое и делимое
берутся при этом на шкале D, множитель п делитель — на
шкале С, произведение и частное — опять на шкале D. При
Г.ь
этом умножение и деление каждых двух чисел выполняется
здесь уже только одним определённым способом. Так, при
умножении 2 на 3 метке 2 шкалы D противопоставляется на-
чальная единица шкалы С, и движок оказывается выдвину-
тым из корпуса линейки направо, при умножении же 2 на 8
метке 2 шкалы D противопоставляется уже конечная едини-
ца шкалы С, и движок оказывается выдвинутым налево.
Умножение и деление на нижних шкалах выполняется
с несколько большей точностью, чем на верхних, но зато при
умножении нередко приходится применять перекидывание
движка на всю его длину: выдвинув движок направо и убедив-
шись, что метка множителя оказалась за пределами корпуса
линейки, мы должны искать произведение, выдвигая движок
налево, и наоборот. При вычислении по болею сложным фор-
мулам приходится выполнять умножение и деление как на
верхних, так и на нижних шкалах, а потому надо приобрести
навык в работе с обеими парами шкал.
Умножение и деление на нижних шкалах имеет ещё и то
преимущество перед верхними, что здесь возможно примене-
ние особых правил, позволяющих определять положение за-
пятой в результате без грубо-приближённой его оценки. Пра-
вила эти рассмотрены ниже (§ 35).
На практике нередко встречаются случаи, когда одно и
то же число приходится умножать на ряд других чисел. Та-
кое серийное умножение совершается на линейке особенно
выгодно, так как оно требует лишь одной установки движка, всё
же остальное сводится лишь к чтению результатов (переме-
щается лишь индекс). Например, желая найти значенье
у — 1,27х при х ~ 6; 6,5; 7; 7,5; 8; 8,5; 9; 9,5, противопостав-
ляем начальную единицу шкалы С метке 1,27 шкалы D и
наводим индекс последовательно на метки 6; 6,5 и т. д.
шкалы С. Противостоящие метки шкалы Г) дадут искомые
значения для у, а именно: 7,62; 8,25; 8,89; 9,52; 10,16; 10,80;
11,43; 12,06. После получения первых четырёх значений здесь
пришлось выполнить «перекидывание» движка. Убедившись,
что метка 8 шкалы С оказалась за пределами шкалы D,
фиксируем индексом начальную единицу шкалы С и подводим
под индекс конечную единицу этой шкалы.
Серийное деление может быть двух видов: 1) при посто-
янном делимом и 2) при постоянном делителе. Пока рассмот-
рим только последнее, т. е. вычисление по формуле у — х : а
при ряде заданных значений х (серийное деление при посто-
янном делимом рассмотрено в § 37). Переписав эту формулу
в виде у — (1 : а) .хи найдя частное 1 : а, мы опять встре-
чаемся с серийным умножением. Значение 1 -.а надо найти
посредством линейки, но его не надо прочитывать, ни тем
более записывать. Противопоставляем метку а шкалы С одной
157
из единиц шкалы D. При этом против метки 1 шкалы С на
шкале D окажется метка I : а. Не читая ее, отыскиваем на
шкале С метки данных значений х, а против них на шкале О
читаем искомые значения у. Например, чтобы получить зна-
чение у — х : 565 при х = 400; 500; 600; 700; 800, ставим
метку 565 шкалы С против конечной единицы шкалы О и
читаем метки шкалы D против меток 400, 500,... шкалы С.
Получив числа 708, 885,..., перекидываем движок так, чтобы
метка 565 шкалы С оказалась против начальной единицы
шкалы D, и продолжаем отсчёты. Грубо-приближённая
оценка результатов показывает, что искомые значения у
имеют запятую сперва левее первой значащей, затем правее
её: у = 0,708; 0,885; 1,062; 1,239; 1,416.
Упражнения
1. Выполните следующие умножения сперва на основных шкалах,
потом на шкалах квадратов. Указанные здесь произведения имеют п&
4 точных значащих цифры. Линейка должна давать 3, а в некоторых
случаях все 4 цифры.
12,71.8,92 =113,4; 1,838.4790 = 8804;
1276.0,00492 = 6,278; 14,16 . 0,3641 = 5,156;
21,76.29,75 = 647,4; 0,3966.0,953 = 0,3780;
0,2016.67,3 = 13.57; 11,85.0,683 = 8,091;
0,03265.4,74 = 0,1548; 205,7.40,6 = 8351.
Та же задача, но на деление:
480 : 36 = 13,33; 8,22 : 50,1 = 0,1641;
66.6:185 = 0,3600; 37,2 : 0,00069 = 53910;
7000 : 4375 = 1,600; 997,8 : 2,69 = 371,0;
8,66 : 2,236 = 3,873; 0,782 : 12,9 =0,06062;
0,1594 : 0,0729=2,187; 6720 : 0,875 = 768".
3. Вычислите длины С окружностей диаметров, указанных ниже в стро-
ке d, применяя формулу С = - d. Воспользуйтесь особой меткой для
3,14'2, нанесённой на каждой из шкал Д, В. С, D. Работайте сперва
на шкалах А и В (одна установка двнжка), затем проделайте те же вы-
числения на шкалах С и D (опять одна установка двнжка, но затем пере-
кидывание его).
d 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3.3 3,4
С"а‘ 7,854 8,168 8,482 8.796 9.111 9,425 9,739 10,05 10,37 10,68
4. Вычислите одной установкой движка 15,5% чисел: 268: 4570;
85100; 194600.
5. Составьте таблицу значений функции у = х: 5,76 для значений х
от 5 до 7 через каждые 0,2 (одна установка движка!).
6. Вычислите значения функции у = 2,18х + 0,52 для значений хг
от 2.5 до 3,2 через 0,1. На линейке выполняются, конечно, только умно-
жения.
158
§ 34. ВЫПОЛЧРНИГ РЯДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ
УМНОЖЕНИЙ И ДЕЛЕНИЙ
До сих пор речь у нас шла лишь об отдельных операциях
умножения и деления. На практике, однако, очень часто при-
ходится выполнять целый ряд этих действий так, что резуль-
тат первого действия является одним из данных для второго,
результат второго — одним из данных для третьего и т. д.
На линейке все эти действия приходится выполнять порознь,
но промежуточные результаты вовсе не читаются (и тем бо-
лее не записываются). Кроме того, целесообразный выбор
порядка действий во многих случаях позволяет уменьшить
количество установок движка и тем самым ускорить вычи-
сление
Если требуется вычислить произведение нескольких со-
множителей, например, х = abcde..., то сперва получают рас-
смотренным выше способом, хотя бы на верхних шкалах,
произведение ab Затем, не читая соответствующей метки
шкалы А, противопоставляют ей одну из единиц шкалы В в
находят на шкале В метку с. Противостоящая ей метка
шкалы А даст произведение abc. Не читая соответствующей
метки, опять устанавливают против неё одну из единиц
шкалы В и находят на этой шкале метку d. Противостоящая
ей метка шкалы А даст уже произведение abed. Повторяем
эти операции до тех пор, пока все множители произведения
не будут исчерпаны. Последнюю полученную метку запи-
сывают, грубо-приближённая оценка результата (с округле-
нием всех данных до первой значащей цифры) даёт поло-
жение знака дробности.
Это последовательное умножение можно выполнять также
на нижних шкалах. Точность результата будет несколько
выше, но зато каждый раз необходимо делать определённый
выбор единицы шкалы С (во избежание перекидывание
движка).
Если приходится вычислять выражение вида ab : с, то
выгоднее сперва сделать деление а на с, затем умножение
а: с на b [или сперва найти b - с, затем— (&:с)и]. Действи-
тельно, при делении а на с устанавливаем движок так, чтобы
частное получилось, например, на шкале А (против одной из
единиц шкалы В). Далее, не читая этого частного и не тро-
гая больше движка, находим на шкале В метку b (множи-
тель!) и читаем противостоящую метку шкалы А. Это и бу-
дет искомое значение выражения • /* : с, получаемое, как
легко убедиться на любом примере, посредством одной уста-
новки движка и двух установок индекса. Если же выполнять
сперва умножение а на Ь, затем деление ab на с, то потре-
буется две установки движка и одна установка индекса.
150
Соответственно этому и вычисление более сложных выра-
жений вида:
<ihcd...
Л ------
•7А'-
выгоднее вести так, чтобы сперва шло действие деления,
после него умножение, далее опять деление и т. д., пока та-
кое чередование будет возможно.
Вычислим для примера значение выражения
4.8 . 12,5.0,64
2,5.0,128 . 15 ‘
Установив индекс на метку 48 на шкале А, противо-
поставляем ей метку 25 на шкале В. Переводим индекс так,
чтобы он совпал с меткой 125 шкалы В. Не трогая индекса,
передвигаем движок так, чтобы под индексом оказалась
метка 128 шкалы В. Далее опять переводим индекс, совме-
щая его с меткой 64 шкалы В. Остаётся подвести под ин-
декс метку 15 шкалы В и прочесть на шкале А против любой
из единиц шкалы В метку 800, дающую цифровой состав
окончательного результата. Грубо-приближённая оценка ре-
/5.10.0,6 _. _ „
зультата ' ——g-j—= / I показывает, что искомое равно 8,00.
Если при подобном вычислении воспользоваться не верх-
ними, а нижними шкалами, то иногда оказывается необхо-
димым перекидывать движок вправо или влево.
Как видим, выполнить комбинированное умножение и де-
ление на линейке легче, чем „чистое" умножение при том
же числе данных. Так, вычисление выражения ab : с требует
одной установки движка, тогда как вычисление выражения
abc требует двух его установок. Вычисление выражения
требует трёх установок движка, выражение x.tabcdefg—
целых шести. При выводе формул, вычисление по которым
предполагается вести на линейке, отнюдь не надо стремиться
к получению целых выражений; наоборот, если имеется
к тому возможность, надо превращать целые одночлены
в одночленные дроби, заменяя множители обратными значе-
ниями в знаменателе. Так, при вычислении поверхности ци-
линдра с диаметром d и высотой Л по формуле S = ~dh
выгодно заменить я = 3,1415... числом п и вычислять
v,<jlouU
S по формуле: 5 — Значение 0,3183 =4“ часто отме-
чают на линейке особым штрихом и буквой М.
Упражнения
1. Вес Р (в граммах) стойки с сечением в виде эллипса выражается
формулой P = nabhd, где а и Ь — полуоси эллипса, h — высота стойки
(в сантиметрах), d — плотность материала. Вычислить Р при а = 2,65;
Ь = 1,25: h = 93; d = 7,85.
160
2. Вычислить W=spfy при s—1700; р =0,5; f— 1,125; _y=0,G67.
„ „ 5 , 82 . 43,5 48,2.16 0,036,2,7
3. Наити х — -217 5- У — —ГДД—, z ~ —JTg— (разными спо-
собами. учитывая число потребовавшихся установок движка и визира).
2250
4. Вычислить Р —---- при г — 67; N = 24: п •- 45.
к гп 1
„ „ 13,99 . 55 . 6,7 . 5.4.0.75
5. Вычислить х =)-,7- .—уз----•
§35. ПРАВИЛО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛОЖЕНИЯ ЗАПЯТОЙ
В РЕЗУЛЬТАТАХ ВЫЧИСЛЕНИЯ НА НИЖНИХ ШКАЛАХ
Как мы убедились на ряде примеров, положение запятой
в результате легко определяется посредством грубо-прибли-
жённой его оценки. Однако при работе на шкалах С и D
можно пользоваться особым правилом, делающим такую
оценку ненужной. Правило это основано на понятии порядка
десятичного числа.
Порядком' десятичного числа, большего 1, называется
число его цифр налево от запятой. Порядком десятичного
числа, меньшего 1 (но большего 0), называется отрица-
тельное число, равное по абсолютной величине числу нулей
между запятой и первой значащей цифрой числа. Например:
ПорядокД,802 есть 1, Порядок 0,1802 есть 0,
18,02 „ 2, 0,01802 —1
180,2 „ 3, 0,001802 —2,
1802-1 я 4, 0,0001802 , -з,
18020 . 5 0,00001802 , -4
и т. д. и т. д.
Как видим,порядок числа есть не что иное, как характе-
ристика его логарифма (десятичного), увеличенная на 1.
Выясним теперь, чему равен порядок произведения двух
чисел в зависимости от порядка его сомножителей. Несколько
простых примеров: 30 . 20 - 600; 30 . 80 = 2400 и т. д. сразу
показывают, что порядок произведения двух чисел равен
либо сумме порядков его сомножителей, либо на 1 меньше
этой суммы.
Для доказательства этого предложения возьмём два числа
а и Ь, представим их в виде; a —at . 10а и b — . 1(? , где
1 < и, < 10, К Ь, < 10, К a, bt < 100. Следовательно, произ-
ведение aib, является числом либо первого порядка (если
аД < 10), либо второго (если atbt 10). Но ab — atbt
является числом либо порядка а -|- 0 1 (если «Д<10),
либо порядка а 4-р-L 2 (если ctJZ>1>10). Так как порядок
числа а — at . Ю* есть a -j- 1, а числа b — й, . Ю^есть0 4- 1,то
11 В. М. Браднс 161
a+p + I ^(а+ 1)+(?4- 1) - 1;а+? + 2^(а+ !) + (?+ 1),
и наше предложение доказано.
При умножении чисел а ^ а, . 10* иЬ~Ь, . 10? на шкалах С
и D линейки метке а шкалы D противопоставляется началь-
ная единица шкалы С, если аД<Ч0. При этом метка про-
изведения оказывается правее метки множимого. В случае
же > 10 метке а шкалы D приходится противопостав-
лять конечную единицу шкалы С, и метка произведения
получается левее метки множимого.
Теперь легко сделать такой вывод; если произведение
двух сомножителей, разыскиваемое посредством шкал С
и D, получается левее метки множимого, то порядок про-
изведения равен сумме порядков множимого и множителя,
если же правее,—то этой же сумме, уменьшенной на 1.
Об этом правиле напоминает знак Р— 1, поставленный
у правого конца шкалы D. Буква Р — первая буква немец-
кого слова Produkt (произведение).
Разобрав во всех подробностях правило знаков для умно-
жения, предоставляем читателю самому доказать справед-
ливость следующего „правила знаков“ для деления; если
частное двух сомножителей, разыскиваемое посредством
шкал С и D, получается правее меток делимого и дели-
теля, то порядок частного равен разности порядка дели-
мого и делителя, если же левее, — то этой же разности,
увеличенной на 1.
Об этом же правиле напоминает знак Q-- 1, поставлен-
ный у левого конца шкалы D. Буква Q есть первая буква
слова Quotient (частное).
При вычислении на нижних шкалах значения выражения
вида х— при котором выгоднее, как мы видели в §33,
делать сперва деление, а потом умножение, для определе-
ния положения знака дробности рекомендуется пользо-
ваться следующим правилом:
1) если при выполнении на нижних шкалах одной уста-
новкой движка пары действий (одного деления и одного
умножения) перекидывания движка не было, то порядок
результата х равен алгебраической сумме порядков данных
(порядок а плюс порядок b минус порядок с) без каких бы
то ни было поправок;
2) если при этом было такое перекидывание движка,
при котором его конечная единица ставится вместо началь-
ной, то нужна поправка -|-1;
3) если перекидывание было сделано в обратную сто-
рону, т. е. начальная единица была поставлена вместо
конечной, то нужна поправка —1.
Чтобы не смешивать случаев 2) и 3), достаточно запом-
162
бить искусственное слово «конаплю» (сокращение фразы:
конец вместо начала даёт йлюс единицу).
Правила эти выгодно употреблять и при вычислении бо-
лее сложных выражений, сперва исчерпывая все пары деле-
ний и умножений,а затем доканчивая вычисление, применяя
правило знаков для умножения и деления.
Упражнения
1 Выполните ещё раз упражнения, указанные в § 33 и 34, поль-
зуясь исключительно нижними шкалами и применяя правила настоя-
щего параграфа.
§ 36. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ, ПРЯМО ПРОПОРЦИОНАЛЬНО
ДАННЫМ
Сдвинем движок влево настолько, чтобы метка 15 первой
подшкалы В оказалась против начальной единицы шкалы А.
Метки первых подшкал А н В будем читать как единицы,
вторых — как десятки. Выпишем несколько наудачу взятых
меток шкалы А, а под ними — противостоящие метки шка-
лы В. Получаем:
1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 19,4; 28; 44; 65;
1,5; 3; 4,5; 7,5; 9; 13,5; 15; 22,5; 29,1; 42; 66; 97,5.
Как видим, отношение каждой метки шкалы А к противо-
стоящей метке шкалы В имеет постоянное значение, рав-
2
ное в данном случае -у .
Перемещая движок, изменим это отношение, но оно всё
же будет каждый раз постоянным для всех пар противо-
стоящих меток шкал А и В. Действительно, возьмём на
шкале А две произвольные метки и а2, а на шкале В —
две противостоящих им метки bt и Ь2. Длины отрезков
шкалы А от до а2 и шкалы В от Ь} до Ь2 таким_образом
одинаковы. Но отрезок а}а2 имеет длину, равную а2 — а, =
= 125 1g «;> — 125 1g aY -- 125 1g у’, а отрезок btb2 — длину
1251g г-. Отсюда заключаем, что:
Ь\
1 ос 1 ^2 1 ос 1 ^2 ^2
125 1g -- = 125 lg и - -= ~ , или -г- = гН
ьа, ь ft, at b, ’ b, b2
откуда следует равенство отношений каждой метки шка-
лы А к соответствующей метке шкалы В при любом по-
ложении движка. Дело обстоит так, что метки шкалы А,
находящейся выше, можно считать числителями, а метки
шкалы В, находящейся ниже, — знаменателями дробей, рав-
ных между собой при любом положении движка. Линия
соприкосновения движка и корпуса линейки, т. е. общая
ось шкал А и В, служит при этом как бы той чертой, ко-
11* 163
торая применяется при записи обыкновенных дробей и от-
ношений.
То же самое имеет место и со шкалами С и D. При лю-
бом положении движка метки шкалы С являются числи-
телями, а противостоящие метки шкалы D — знаменате-
лями бесчисленного множества равных между собою дро-
бей.
Это свойство логарифмических шкал используется преж-
де всего для решения пропорций. Конечно, найти неизве-
стный член пропорции a:b = c-.d по трём данным её членам
можно по известному правилу (требуется одно умножение
и одно деление). Но следующий способ скорее приводит к
цели. Положим, требуется найти значение неизвестного х
х 12 *
из пропорции = ту • Приведём движок в такое положе-
ние, чтобы отношение любой метки шкалы А к противо-
стоящей ей метке шкалы В равнялось отношению 12:17.
Для этого установим индекс на метку 12 шкалы А и под-
ведём под индекс метку 17 шкалы В. Теперь на шкале В
отыскиваем метку 59. Противостоящая ей метка 4 —1 — 6
шкалы А и даст цифровой состав искомого значения х. За-
мечая, что в правой части данной пропорции стоит отно-
шение, несколько меньшее 1, заключаем, что х несколько
меньше, чем 5,9. Определяя из этого соображения положе-
ние запятой, имеем окончательно: х = 4,16. Решая пропор-
цию обычным способом и не применяя линейки, мы получим
х - 4,1647.
п . 0,0406 0,000542 „
Решим еще пропорцию ’8ь<0 — —-— . Противопоставив
метке 4 — 0 — 6 шкалы Л метку 1—8 — 9 шкалы В, против
метки 5 — 4 — 2 шкалы А читаем метку 2 — 5 — 2 шкалы В.
Таков цифровой состав х. Замечая, что первый член второго
отношения данной пропорции приблизительно в 100 раз мень-
ше первого члена первого отношения, убеждаемся, что и
х должен быть приблизительное 100 раз меньше, чем 1890.
Следовательно, запятую в числе 252 надо поставить после
второй значащей цифры, и х = 25,2.
Этот способ решения пропорций так удобен, что вычис-
„ ас
ление выражений вида х = выгодно сводить к решению
X с
пропорции — — — .
В силу периодичности логарифмических шкал выбор под-
шкал А и В, на которых берутся данные члены пропорции,
совершенно безразличен, только бы нужная метка движка
не оказалась за пределами корпуса линейки.
Решая пропорции этим способом на шкалах С и D, мы
иногда встретимся с необходимостью перекидывания движка.
164
_ 245 х
Так, решая на нижних шкалах пропорцию б) — — и устано-
вив против метки 61 шкалы D метку 245 шкалы С, против
метки 2,14 шкалы D, имеем пустое место: движок смещён
вправо. Фиксировав индексом начальную единицу шкалы
С, перекидываем движок налево так, чтобы под индексом
оказалась конечная единица шкалы С и против метки 214
шкалы D читаем теперь метку 860. Заметив, что левое
отношение близко к 4, заключаем, что х имеет одну знача-
щую цифру левее запятой и равен 8,60.
Перекидывая движок, мы здесь опять-таки использовали
периодичность логарифмической шкалы- мы просто продол-
жили шкалу С влево ещё на одну подшкалу длиной 250 мм,
тождественную с той, какая у нас уже имеется.
Рассмотренный способ решения пропорций широко при-
меняется при решении посредством линейки всевозможных
задач на прямую пропорциональность. Решим две такие
задачи.*
За 5,23 кг товара уплачено 82 руб. 70 коп. Предполагая
пропорциональность между количеством товара и его стои-
мостью, найти стоимость 16,5 кг; 25,1 кг; 30 кг, а также ко-
личество товара, какое можно приобрести за 38 руб.,
за 52 руб. 50 коп.
Здесь мы имеем прямую пропорциональность между ко-
личеством товара х килограммов и его стоимостью у рублей,
и вопрос заключается в разыскании неизвестных членов
в следующем ряду равных отношений:
5,23 _ 16,5 25,1 _ 30 _
82,7 — _у, у2 ~ у3 — 38 — 52,5 '
Установив против метки 827 шкалы D метку 523 шкалы
С, читаем метки 261; 397; 474 на шкале D против меток
165, 251, 30 шкалы С, а также метки 240 и 332 на шкале С
против метки 38 и 525 шкалы D, и, принимая во внимание
положение запятой в данных, получаем ответы: jj =261 руб.;
уг — 397 руб.; у3 — 474 руб.; xt = 2,40 кг; х6 = 3,32 кг.
Важно то, что как бы ни был длинен ряд неизвестных,
все они получаются сразу путём перемещения одного только
визира при одной и той же установке движка (не считая
его перекидывания, в котором иногда при работе на нижних
шкалах может встретиться надобность).
Узнаем ещё, сколько процентов их общей суммы состав-
ляет каждое слагаемое: 2; 6; 18; 54; 72. Здесь сумма
2 4-6+184-54 + 72=152, и мы имеем такой ряд равных
отношений:
£=_6_ 18 _ 54_ 72_ _ 152
Pi Рз~ Рз ~~ Pi ~ Рь — 100 ‘
165
Установив против начальной единицы шкалы D (метка
100) метку 152 шкалы С, читаем метки на шкале D,
противостоящие меткам 2; 6;... шкалы С. Принимая во вни-
мание положение запятой, получаем:
^ = 1,32%; р2 = 3,95%; р3 = 11,84%; р4 = 35,5%;
р. = 47,4%.
Для поверки находим сумму всех найденных значений р.
Получаем 100,01% вместо 100%, что вполне допустимо для
линейки. Если все результаты желательно дать с одним и
тем же числом десятичных знаков, возьмём;
Pi = 1,3%; р2 -4,0%; р3= 11,8%; р4 = 35,5%;
рБ = 47,4%; pi + р2 +р3+р^ + Ръ = 100%-
Такое вычисление значений, прямо пропорциональных
данным, есть по существу не что иное, как вычисление зна-
чении функции у — — х по ряду данных значении перемен-
ного х при постоянных а и Ь, т. е. то самое серийное ум-
ножение, о котором шла речь в конце § 33. Разница лишь
в том, что коэффициент пропорциональности там предпо-
лагался известным, здесь же он даётся как частное двух
данных чисел. Как мы только что видели, находить это
частное не требуется, а надо лишь представить данную зави-
симость у — х в виде пропорции, притом такой, чтобы
известные постоянные (а и Ь) составляли одно из её отно-
шений, переменные же, из которых значения х даны, а
значения у разыскиваются, — второе.
Отметим ещё, что для устранения случайной ошибки от
смешения шкал полезно шкалы выбирать соответственно
записи, а именно, если разыскиваются значения у по данным
у а ,
значениям х из пропорции -у — — , то значение b и х нуж-
но брать на шкале В (или D), т. е. ниже, а значения
а и у на шкале А (или С), т. е. выше.
Упражнения
1. Отрезки 2,65 см\ 3.62 см; 4,11 см; 10,80 см; 14,69 см надо уве-
личить в отношении 28:13.
Эта задача, как и три последующих, решается одной установкой
движка.
2. В августе было 14 солнечных дней, 8 пасмурных, 9 с дождём.
Вычислить в градусах центральные углы секторов, изображающих сол-
нечные, пасмурные и дождливые дни на круговой диаграмме, если весь
месяц изображается полным кругом.
3. Имеется 35,9 т товара, на который сделаны заявки четырьмя
покупателями: А на 12,5 т, В на 16,0 т, Q на 8,75 m, D на 6,8 т. Распре-
делить между ними товар пропорционально заявкам.
4. Сколько процентов их общей суммы составляют числа 324, 810,
165, 902, 617?
Каждую из приведённых четырёх задач желательно решить два
раза—сперва на шкалах квадратов, потом на основных.
166
§ 37. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ, ОБРАТНО ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫХ
ДАННЫМ
Решим задачу: переменные р и v связаны зависимостью
pv = с, где с постоянное; известно, что v = 0,36 при р = 15,3.
Найти значения v, соответствующие значениям р-- 1; 2; 3;
4; 5; 6; 7; 8; 9; 10.
Здесь дело сводится к решению уравнения pv — 15,3.0,36
относительно v при данных значениях р. Это уравне-
ние легко преобразуется в пропорцию. Но сделать так,
чтобы в одном отношении были только постоянные, в дру-
гом только переменные, — невозможно. Поэтому способ,
рассмотренный в предыдущем параграфе, здесь неприменим,
нужно составить столько пропорций, сколько значений неиз-
вестного разыскивается, и сделать столько же установок
движка. Между тем, если воспользоваться шкалой обрат-
ных значений R, то и эта задача будет решена одной уста-
новкой движка.
Такая шкала обратных значений R есть не что иное, как
шкала D, расположенная „задом наперёд": вынув движок
совсем из паза, вставим его другим концом (но той же
стороной); в таком „перевёрнутом" положении ось шкалы
В совпадает с осью шкалы D, цифровые метки шкалы В
будут „вверх ногами", метки этой шкалы будут возрастать
не слева направо, как раньше, а справа налево. Считая нача-
лом шкалы В в этом новом („перевёрнутом") положении
крайнюю левую её метку и читая эту метку как 100, а
крайнюю правую её метку, следовательно, как 1, убеждаемся,
что уравнение этой шкалы R есть г = 125 1g — (оно полу-
чается из равенства г—125—125 1g г).
Отметим, что на некоторых линейках имеется особая
шкала R обратных значений, нанесённая на лицевой стороне
движка между шкалами В и С. Но надобности в ней, в
сущности, нет, так как операция перевёртывания движка
превращает шкалу В в шкалу R.
Сопоставим две произвольных метки гх и г2 шкалы R и
противостоящие им метки flj и а2 шкалы А. Отрезки г1г2 и
равны, а потому 125 1g — 125 Ig= 125 1g а., —
' 3 'I
— 125 1g а, и, значит, а^ — а2г2 или : а2 = г2 : Таким об-
разом, при каждом положении движка произведение всех
меток шкалы А, на противостоящие метки шкалы R равны
между собою (при изменении положения движка значения
этих произведений меняются, но все они попрежнему будут
равны друг другу), или, иными словами, противостоящие
метки шкал А и R обратно пропорциональны.
Совместим, например, метку 2,4 шкалы А с меткой 100
шкалы R. Против метки 3 шкалы А при этом окажется
167
метка 80 шкалы А*, против меток 4; 5; 6; 8; 10; 15; 20 и
т. д. шкалы А метки 60; 48; 40; 30; 24; 16; 12 и т. д. шкалы
R- Произведения соответствующих меток равны в данном
случае 240.
Легко видеть, что при перевёрнутом движке шкала С,
ось которой совпадает теперь с осью шкалы А, тоже яв-
ляется шкалой обратных значений. Её метки обратно про-
порциональны меткам шкалы D.
Вернёмся теперь к задаче, поставленной выше. Чтобы
по уравнению pv — 15,3 . 0,36 найти серию значений v при
ряде данных значений р, найдём на шкале метку D 153 и
противопоставим ей метку 36 шкалы R. Теперь остаётся
только последовательно наводить индекс на метки 1; 2; 3;...
шкалы D и читать противостоящие метки шкалы R. При
этом метки 6; 7; 8; 9; 10 шкалы D оказываются правее пра-
вого конца движка, и его надо перекинуть вправо: фиксиро-
вав посредством индекса конечную единицу шкалы R, пе-
редвинуть движок так, чтобы под индексом оказалась на-
чальная единица этой шкалы (опять используется периодич-
ность логарифмической шкалы!). После этого перекидывания
движка доводим отсчёты до конца и, замечая, что при воз-
растании р значения v убывают, определяем положение за-
пятой. В результате получаем, что:
при р — 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10;
-и = 5,51; 2,754; 1,837; 1,377; 1,102; 0,918; 0,787; 0,688; 0,612;
0,551.
Таким образом, шкала R позволяет находить значения
обратно пропорциональных величин так же просто, как
обыкновенные шкалы — значения прямо пропорциональных
величин. Надо только не забывать, что метки шкалы R
идут в обратном порядке, и не ошибаться в их чтении и в.
интерполяции на-глаз.
Вычисляя значения, обратно пропорциональные данным,
мы тем самым выполняем серийное деление при постоян-
ном делимом и переменном делителе, т. е. вычисляем значе-
ния У = при ряде данных значений х (х._у = а.1).
Упражнения
1. Найдите значения i/ = 30:x для значений х, изменяющих от
2 до 3 через 0,1, сперва посредством шкалы А и перевёрнутой шкалы В,
потом посредством шкалы D и перевёрнутой шкалы С. Вопрос ре-
шается одной установкой двнжка.
2. Найдите обратные значения чисел от 3 до 4 через 0,1 (дело-
сводится к вычислению значений у = 1 : х; тоже одна установка
движка).
3. Укажите способ получения значений функции у = ab: х одной
установкой движка и примените его к вычислению у при а= 1,45 н
£•=7,33 для х, изменяющегося от 6 до 16 через 1.
168
4. На вал насажен шкив для приводного ремня диаметром в 324 мм,
вал делает 152 оборота в минуту. Какое число оборотов даст вал
при диаметрах шкива в 200; 250; 300; 350; 400 мм?
§ 38. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ, ВЫПОЛНЯЕМЫЕ ПО-
СРЕДСТВОМ ЛИЦЕВОЙ СТОРОНЫ ЛИНЕЙКИ
1. Сопоставление шкал А и С (или, что то же, шкал В и
D) даёт возможность удобно решать задачи на вычисление
значений, прямо пропорциональных квадратам или корням
квадратным из данных. Выдвинув движок налево или на-
право, возьмём пару любых меток а, и шкалы А и пару
противостоящих меток с, и с2 шкалы С- Выражаем равен-
ство отрезков шкал между этими метками: 125 1gа2 — 125 1g а1 =
= 250 1g с2 — 250 lg Cj и получаем соотношение аг: с? — а2: с%,
которое показывает, что все дроби, числителями которых
служат метки шкалы А, а знаменателями — квадраты
противостоящих меток шкалы С, имеют одну и ту же ве-
личину. Если, например, установить движок так, чтобы мет-
ка 2,00 шкалы С оказалась против начальной единицы шка-
лы А, то против меток: 1; 4; 6,25; 9; 10; 16; 20 шкалы А
окажутся метки: 2; 4; 5; 6; 6,32; 8; 8,94 шкалы С, и мы по-
лучаем равенства:
г_1_ _ 4 _ 6д25 _ 910 _ 16 _ 20
2« ~ 42 — 52 — 62’ — 6.322 — 82 — 8,942 •
Напомним, что значения меток двух подшкал шкалы А
связаны друг с другом. Сейчас мы читали метки первой под-
шкалы как единицы, второй как десятки. Если бы мы читали
метки первой подшкалы как десятки или десятые, метки вто-
рой подшкалы пришлось бы читать как сотни или как единицы,
и т. д. Произведённое сопоставление шкал Ан С позволяет по-
лучать одной установкой движка целые серии значений функ-
ций:у = ах1-, у = -^-х2; у — а^х; у = a j/^-, так как эти.
соотношения между х и у можно представить в виде:
а _ v . а _ .у . 1 __ х b _____х
J2 - л2 1 £2 хг ’а2 _у2 ’ а2 у3
Возьмём пример. Надо найти путь s в метрах, проходи-
мый свободно падающим в пустоте телом за первые t се-
кунд, придавая t значение от 3 до 7 через 0,5. Переписы-
вая формулу s = или s = 4,9^2 в виде пропорции
4,9 :12 = s :Z2, берём метку 4,90 на первой подшкале шкалы
А и противопоставляем ей начальную единицу шкалы С,
затем находим на шкале С метки: 3; 3,5; 4; 4,5 и читаем по
шкале А соответствующие значения s, равные: 44,1; 60,0;.
78,4; 99,2; дальше приходится перекинуть движок налево
(фиксируем индексом его начало и подводим под индекс
169-
его конец) и, рассматривая первую подшкалу А как про-
должение её направо, т. е. как третью её подшкалу, читаем
её метки уже как сотни. Для меток: 5; 5,5; 6; 6,5; 7 шкалы
С имеем теперь противостоящие им метки шкалы А: 122,4;
148,0; 176,5; 207; 240. Точные значения s, полученные без
линейки, таковы: 44,1; 60,025; 78,4; 99,225; 122,5; 148,225;
176,4; 207,025; 240,1.
Положим далее, что требуется определить время t в се-
кундах, в течение которого свободно падающее в пустоте
тело пройдёт указанное ниже в графе s число метров. Поль-
зуясь той же установкой движка, что и в предыдущем при-
мере, получаем числа, указанные в графе t. Рядом указаны
соответствующие значения t, вычисленные посредством че-
тырёхзначных логарифмов, и ошибки найденных по линейке
результатов, выраженные в единицах разряда четвёртой зна-
чащей цифры.
$ f по ли- нейке t по таб- лице Раз- ница
7,5 1,237 1,237 0
20 2,02 2,020 0
40 2.86 2,858 2
60 3,50 3,499 1
$ t по ли- нейке t по таб- лице Раз- ница
80 4,04 4,040 0
100 4,52 4,518 2
150 5,53 5,533 3
200 6,39 6,389 1
Для получения двух последних значений t здесь тоже
потребовалось перекидывание движка влево.
К задачам рассмотренного типа относится задача на оп-
ределение площади круга по его радиусу или диаметру и
обратные им, так как формулы К - ~г2 и К — 0,25-tZ2 пре-
образуются в пропорции К : г2 г : I2 и К: d- — т. : 2- или
K:d- — \:c-, где с = ]/'4 :~ = 1,128. Это последнее число
с = 1,128 указывается особым штрихом шкалы С.
Установив движок так, чтобы метка 2,00 шкалы С про-
тивостояла метке - первой подшкалы шкалы А или, что то же,
чтобы метка с =1,128 шкалы С противостояла начальной
единице шкалы А, мы получаем на шкалах А и С таблицу для
площади круга-, метки шкалы С рассматриваем как значения
диаметра d от 1 до 10, противостоящие им метки шкалы
А дают соответствующие значения площади круга от 0,785 до
78,5 (для значений d от 1 до с — 1,128 нужно перекидыва-
ние движка направо).
Положим, требуется найти площадь круга диаметра 85 см
и диаметр круга с площадью в 600 кв. см. Для диаметра
.8,5 см линейка даёт площадь 56,8 кв. см, а потому площадь
крупа с диаметром 85 см получается равной 5680 кв. см (по
таблице 5675). Данную площадь круга в 600 кв. см умень-
шаем в 100 раз, чтобы привести её в указанный выше ин-
Л70
тервал от 0,785 до 78,5, и для площади в 6 кв. см получаем
отсчётом по линейке значение диаметра 2,765 см, а потому
площадь 600 кв. см соответствует диаметру 27,65 (таблица
даёт 27,64). Отметим, что данную площадь круга надо изме-
нять, перенося в ней запятую на 2, 4, 6,..., вообще на чётное
число мест (тогда запятая в значении диаметра переносится
на I, 2, 3,... мест).
Решим ещё такую задачу. Требуется найти вес Р кг
круглого железного цилиндра диаметром d 15,2 см и вы-
сотой h — 8,6 см, считая плотность железа с = 7,78.
Установив метку 2,00 шкалы С против метки - первой
подшкалы шкалы А, фиксируем индексом метку 1,52 шка-
лы С. Теперь под индексом на шкале А находится метка,
выражающая площадь круга с диаметром 1,52. Не читая
её, выполняем умножение её последовательно на 8 — 6 — 0
и на 7 — 7 — 8, и приходим к метке 1 — 2 — 1 — 5. Остаётся
определить положение запятой. Округляя данные до пер-
вой значащей цифры, получаем грубо-приближённые значе-
ния искомого результата:
Р = 0;25~d-hl: 1000 « 0,25.3.200 . 10 . 10 :1000 - 15.
Итак, окончательно имеем Р ж 12,15 (вычисление посред-
ством четырёхзначных логарифмов даёт 12,13).
При решении всех задач на вычисление значений, про-
порциональных квадратам данных, вместо шкал А и С мож-
но пользоваться шкалами В и D.
2. Если точно так же сопоставить шкалы К и С, придём
к пропорции :с3 4 — k2:c^, говорящей, что все дроби, чис-
лителями которых служат метки шкалы кубов, а знамена-
телями — кубы соответствующих меток основной шкалы,
равны между собою. Это обстоятельство позволяет легко
выполнять серийное вычисление по формулам:
3 - ’т
у = ах3-, у = хэ; у = а ]/~х ; у = а |/ у- .
3. Сопоставление шкал К и А приводит к пропорции
:а3— б*:а3, которая даёт удобное правило серийного
з _ __
вычисления по формулам: у — а ]/ хг, у — a Yx3 и несколь-
ким другим.
4. Сопоставление шкал корпуса линейки: основной (£>) и ло-
гарифмической (/-)даёт, если принять во внимание их урав-
нения d = 250 lg d и I — 250/, соотношение I - lg d, говоря-
щее, что десятичный логарифм любого числа d между
1 и 10 получается переходом от метки d шкалы D к мет-
ке / шкалы Обратный переход даёт значение числа по
значению его десятичного логарифма.
Мы далеко но исчерпали всех возможностей, какие даёт
сопоставление различных шкал линейки. Можно сопоставлять
171
любые две шкалы, движок можно брать и в нормальном и
в перевёрнутом положении. Каждое такое сопоставление
приводит к некоторой пропорции, обеспечивающей возмож-
ность серийного вычисления при одной установке движка.
Далее можно одновременно пользоваться не только двумя,
но и тремя и большим числом шкал. Таким образом, полу-
чается возможность удобного вычисления на линейке (при
одной установке движка) по весьма большому числу разнооб-
разных формул. Всякий раз, когда надо выполнить серию
вычислений по некоторой формуле при разных значениях
входящих в неё букв, выгодно поискать способ вычисления
на линейке с одной установкой движка. Так, например, если
дана формула
то вычисление и по данным х, у, z выгодно вести на ли-
нейке по схеме, указанной на черт. 13, в которой нетрудно
разобраться.
F
* 1
ГГ
LL
гг
LL
Черт. 13
Большое количество аналогичных схем работы на линейке
разобрано в книге П. С. Радецкого и В. А. Никитина «Ло-
гарифмическая счётная линейка» («Научное химико-техни-
ческое издательство», Л., 1925).
5. В заключение настоящего параграфа рассмотрим вопрос
о применении линейки при решении системы линейных урав-
нений.
Пусть дана система:
2,70х -4- 0,35у - 3,75, 0,78х - 1,33_у = 0,47.
Умножив все коэффициенты первого уравнения на-
одна установка движка!), получаем новую систему:
- 0,78л-0,101_у = - 1,081, 0,78х- 1,33^-0,47.
Почленное сложение даёт:
- 1.431J/ = — 0,611,
откуда
у = -+- 0,427.
При той же установке движка, которая дала это значе-
ние у, работая только визиром, находим значение 0,35 у —
172
= 0,35 . 0,427 = 0,149, подписываем его под свободным чле-
ном первого данного уравнения и после вычитания полу-
чаем: 2,70х = 3,601, откуда х= 1,333.
Для проверки находим одной установкой движка произ-
ведения: 2,70 . 1,333 = 3,601 и 0,78 . 1,333 = 1,038, другой
установкой: 0,35 . 0,427 = 0,149 и 1,333 . 0,427 = 0,570, а за-
тем (в уме) сумму 3,601 -f- 0,149 = 3,750 и разность 1,038 —
— 0,570 = 0,468. Как видим, значения обеих частей первого
данного уравнения оказались тождественными, а между ле-
вой и правой частями второго данного уравнения получилась
допустимая разница, равная 0,002 (две единицы разряда
третьей значащей цифры).
Аналогично решается и система трёх линейных уравнений
с тремя неизвестными: выполняем пропорциональное изме-
нение коэффициентов первого и второго данных уравнений
так, чтобы их коэффициенты при х стали противоположны
коэффициенту при х в третьем уравнении, затем сложением
получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными,
которую решаем так, как только что было показано. Ясно,
что этот приём можно применять к системе любого числа
уравнений с таким же числом неизвестных.
Заметим, однако, что могут встретиться случаи, когда
точность линейки окажется недостаточной даже для полу-
чения этим способом корней системы с самой скромной точ-
ностью. Так, решая посредством линейки систему: 128х 4-
-4- 45у = 897,46 и 91х + 32у = 638,05, корни которой точно
выражаются числами 6,47 и 1,54, мы придём к неправильному
выводу о неопределённости этой системы: в пределах той
точности, с какой можно находить отношения на линейке,
мы не заметим разницы в отношениях пар чисел: 128 и 91,
45 и 32. Здесь определитель системы равен 128 . 32 —
— 45 . 91 =4096 — 4095= I, т. е. является малым числом,
получающимся в результате вычитания двух близких друг
другу больших чисел. Это та самая потеря точности при вы-
читании, о которой была речь в § 17.
Упражнения
1. Площадь треугольника с высотой 12,3 см равна 87,8 см?. Найти
площади треугольников, подобных данному, высоты которых соответ-
ственно равны: 15,4 см; 29,6 см; 48,4 см; 75,0 см; 84,4 см.
2. Вычислить высоты треугольников, подобных треугольнику с вы-
сотой 12,3 см и площадью 87,8 см?. если их площади равны соответ-
ственно: 5,50 см?-, 80 см7\ 150 см7\ 600 сл?; 1500 слг; 32000 см7.
3. Найти площади кругов, диаметры которых равны: 2 см; 4 см;
6 см; 8 см; 12 см, а также диаметры кругов с площадью: 8 см7\
15 см7-, 50 см7; 120 см1-, 180 см7.
4. Найти вес голого цилиндрического медного провода диаметра
5 мм и длиной 24 м, считая плотность меди равной 8,9.
5. Какой диаметр имеет железная проволока, кусок которой длиной
в 38 м весит 5,4 кг? Плотность железа 7,78.
173
5
6. Вычислить посредством линейки: 2,138s; 1,14в; 8,50,472; -)Л|4,7 ; 0,0352 /3
(использовать шкал}' L).
7. Найти натуральные логарифмы целых чисел первого десятка (связь
между десятичным и натуральным логарифмами числа выражается фор-
мулой 1пх —- 2,303 1g х).
8. Некоторая деталь машины весит 5,60 кг. Каков будет её вес, если
все линейные её размеры увеличить на5%; 10%; 15%: 20%; 25%, сохра-
няя форму детали и материал, из которого она сделана?
9. Сопоставьте шкалы А и С при перевёрнутом движке и докажите
формулу: я,г2 — где ai и <*2—пР0ИЭВ0ЛЬНЫе метки шкалы А, г, и г2 —
соответствующие метки перевёрнутой шкалы С, затем укажите способ
серийного вычисления по формулам: у = ab- : х2 и у =-^/~ab2 : х.
10. Решить системы;
3,21.с — 1,743/ - 4,68,
2.58х + 6,14/ = 10,31;
2,86х — 4,74/ -|- 3,19г = 1,375,
6,32х + 2,47/ — 4,64г 4.12,
З.ОЗх - 5,91/ -I- l,553z == 1,362.
11. Указать способ вычисления х = 52 по данным а и b
при котором сложение сводится к прибавлению 1. всё же остальное даёт
линейка.
§ 39. ВЫЧИСЛЕНИЯ С ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
1. Оборотная-сторона движка содержит три шкалы (см.,
приложение), а именно шкалу синусов (шкалу S) с уравне-
нием s = 250 1g (10 sin $), шкалу тангенсов (шкалу Г) с урав-
нением t = 250 1g (10 tg t), шкалу радианной меры (шкалу
S&r) с уравнением а = 250 1g (100 аге к), где аге а — " а : 180,
s, t, а выражены в градусах.
Сопоставляя шкалу S со шкалой С, имеем для двух
противостоящих меток s и с этих двух шкал зависимость
10 sin s - с или sin s — 0,1с. Следовательно, если читать циф-
ровые метки шкалы С как десятые, то каждая метка шка-
лы С даст значение синуса угла, градусная мера кото-
рого равна противостоящей метке шкалы S. Чтобы осуще-
ствить это противоставление меток шкал С и S, находящих-
ся на разных сторонах движка, пользоваться визиром нельзя.
Здесь прибегают к особому вырезу, сделанному на задней
стороне корпуса линейки у правого его конца. На вырезе
имеются сверху и снизу штрихи, находящиеся в одной пло-
скости (перпендикулярной к плоскости лицевой стороны кор-
пуса) с конечными единицами шкал А и С. Повернув ли-
нейку оборотной стороной и выдвинув движок направо на-
столько, чтобы верхний штрих выреза оказался против метки
шкалы S, выражающей данный угол в градусах, поворачи-
ваем линейку лицевой стороной и читаем ту метку шкалы С,
которая окажется при этом против конечной единицы шкалы
D. Так, установив против верхнего штриха выреза метку
30 шкалы S, видим, что против конечной единицы шкалы D
находится метка 5 шкалы С, и заключаем отсюда, что
sin 30° = 0,500. Точно так же легко находим, что sin 40’ = 0,643»
174
sin 12°30' =0,216 и т. д. Конечно, надо внимательно отно-
ситься к чтению штрихов шкалы S, выясняя цену деления
на разных её участках. При решении обратного вопроса,
т. е. при разыскании угла, имеющего данный синус, мы долж-
ны против конечной единицы шкалы D поставить метку
шкалы С, выражающую данный синус, а затем, перевернув
линейку, прочесть метку шкалы S, оказавшуюся против
верхнего штриха правого выреза. Так, если sin s = 0,450,
то S — 26°40', если sin S —0,885, то s -62°15'.
Этот способ разыскания синусов неприменим, если дан-
ный угол меньше 5°44', так как этим значением заканчи-
вается слева шкала S и так как эта шкала непериодиче-
ская. Но у таких малых углов как синус, так и тангенс весьма
мало отличаются от их радианной меры (arc а = irx : 180),
притом тем меньше, чем меньше угол, а потому для разы-
скания синуса и тангенса угла, меньшего 5°44', пользуются
шкалой радианной меры, находящейся на оборотной сторо-
не движка и обозначенной буквами S&.T. Сопоставляя урав-
нение этой шкалы а — 250 1g (100 аге а) с уравнением шкалы
С, выводим соотношение area - 0,01с. Таким образом, чтобы
найти радианную меру данного угла а, меньшего 5°44', надо
метку а шкалы S&T поставить против нижнего штриха пра-
вого выреза и прочесть метку шкалы С, оказавшуюся против
конечной единицы шкалы D (теперь цифровые метки шкалы
С читаются уже как сотые'). Так аге 3° — 0,0524, а потому
можно считать sin 3° = 0,0524 (точнее sin 3° - 0,052335...).
Но и этот способ отказывается служить, если данный
угол меньше 0°34'23", так как этим углом оканчивается
слева шкала S&71. Радианную меру, а следовательно, и си-
нус таких весьма малых углов находят на линейке посред-
ством меток р' 3438 и р"- 206265, имеющихся на шкалах
С и D и дающих число минут и секунд в одном радиане.
Поэтому узнать радианную меру угла любого числа минут
или секунд можно одним делением, выполняемым на ниж-
них шкалах линейки. Так радианная мера угла 0°16'30"—
16,5' есть 16,5 :р' —0,00480, а угла в 0'0'8" будет равна
8 :р" = 0,00000388.
Кроме меток р' и р", на шкалах С и D имеется ещё мет-
ка р, = 6366, выражающая число минут в одном радиане
при десятичном делении квадранта, когда квадрант делится
на 100 десятичных градусов („градов“), а каждый град на
100 десятичных минут. Иногда этот знак р, стоит у метки
5730 и выражает число минут в одном радиане при смешан-
ном делении квадранта (квадрант делится на 90 обычных
градусов, градус на 100 десятичных минут).
Теперь мы знаем, как находить посредством линейки си-
нус любого острого угла. Косинус находят как синус допол-
нительного угла.
175 .
Переходим к разысканию тангенсов и котангенсов. Для
углов, меньших 5°44', тангенс, как и синус, принимается
равным радианной мере угла. Для получения тангенса угла,
заключённого между 5°44' и 45°, обращаются к шкале Т.
Её сопоставление со шкалой С приводит к соотношению
щ / = 0,1с, показывающему, что если читать метки шкалы
С как десятые, то каждая метка этой шкалы даст значе-
ние тангенса угла, градусная мера которого равна противо-
стоящей метке шкалы Т. Для сопоставления меток шкал
Г н С пользуются штрихом в левом вырезе корпуса линей-
ки. Чтобы найти, например, tg 20°, поворачивают линейку
обратной стороной и сдвигают движок влево до тех пор,
пока против этого штриха левого выреза не окажется метка
20 шкалы Т. На лицевой стороне линейки, а именно на
шкале С, читают против начальной единицы шкалы D мет-
ку 0,364, дающую tg 20°. Одновременно получают и ctg20° —
= 2,75 на шкале D против конечной единицы шкалы С;
если против начальной единицы шкалы D находится метка
c = 10tga, то метка d шкалы D, находящаяся против ко-
нечной единицы шкалы С, определяется из уравнения
250 lg d — 250 — 250 1g с, дающего d = 10 :с = 1 :tg a = ctg а.
Если острый угол а больше 45°, то разыскание его тан-
генса сводится к разысканию котангенса дополнительного
для него острого угла, уже меньшего 45°. Так, имея a =
= 65°30', берём 90° — a = 24°30' и находим: tg 24°3(У =
= ctg 65°30' = 0,456 и ctg 24°30' = tg 65°30' =2,19.
Вместо того чтобы пользоваться вырезами на задней
стороне корпуса линейки, можно вынуть движок вовсе из
паза и вставить его лицевой стороной внутрь паза, а
обратной (со шкалами S и Г) наружу, но так, чтобы де-
ления шкал S и Т возрастали слева направо. Такое поло-
жение движка будем называть „опрокинутым" (его не сле-
дует смешивать с „перевёрнутым", когда снаружи шкалы
В и С, а метки возрастают справа налево, а также с „пере-
вёрнуто-опрокинутым", когда снаружи шкалы S и Т, а мет-
ки возрастают тоже справа налево). Совместив начальные
единицы шкал S, Т н D, произведём сопоставление шкал с по-
мощью визира и читаем по шкале D значения: sin s, аге a,
tg t-
2. Мы выяснили, как находить посредством линейки значе-
ния тригонометрических функций. Здесь линейка является
заменой таблиц (трёхзначных), но её применение в триго-
нометрии далеко не ограничивается такой заменой. Комби-
нируя шкалы 5 и Т оборотной стороны движка со шкалами
лицевой стороны линейки, можно одной установкой движка
решать целый ряд разнообразных тригонометрических задач.
Рассмотрим простейшие из них.
176
Рассмотрим сперва 4 основных случая решения прямо-
угольных треугольников, причём катеты будем обозначать
буквами а и Ь, противолежащие острые углы - буквами
а и р, гипотенузу — буквой с.
Первый случай. Даны катет п и гипотенуза с. Най-
ти 2, 3, Ь.
Чтобы найти а по формуле sin а а :с одной установкой
движка, мы должны выполнить деления а на с так, чтобы
частное изображалось меткой шкалы С, противостоящей конеч-
ной единице шкалы Z), а для этого перепишем формулу в виде
пропорции а : с — sin а : ]. Теперь ясно, что метку с надо
взять на шкале D, противопоставить ей метку а шкалы С
и, не читая частного, перевернуть линейку и прочесть мет-
ку шкалы S, оказавшуюся против верхнего штриха правого
выреза. Эта метка и даст искомый угол а. Так надо посту-
пать, если а: с >0,1 и а>5°44'. Если же 0,01 О <^0,1,
то з получается не на шкале S, а на шкале S&.T. Если, на-
конец, а : с 0,01 • то а определяется из пропорции а : с — а : р'
(в минутах) или пропорции а :с 2(в секундах) без при-
менения тригонометрических шкал.
Найдя а, определяем другой острый угол по формуле
р —90° -2 (без линейки), а затем другой катет по формуле
b — с sin ,3, которой придаём вид пропорции b' с-- sin р: 1.
Установив метку р шкалы 5 (пли, если 0°35' < 3 < 5°44', то
шкалы S&T) против штриха правого выреза, устанавливаем
индекс на метку с шкалы D и читаем противостоящую мет-
ку шкалы С, которая и даст искомое значение Ь. Если р<0°35 ,
то пользуемся одной из пропорций b : c-~'i : о или b : с —р : р".
Пример. Даны катет а - 24 и гипотенуза с 41.5. Про-
порция 24 : 41,5 = sin я : 1 даёт 2 = 35’20'. Дальше находим
В 89с60' — 35°20'=54°40 , а из пропорции b : 41,5~sin 54°40' : 1
получаем b 33,9.
Если при той же гипотенузе с - - 41,5 катет а равен не
24, а 2 4. то sin 2 — 2,4 : 41,5 меньше 0,1, но больше 0.01,
а потому 2 читаем на шкале S&T. При этом оказывается
2 - 3°18 ,5, р —- 86°4Г ,5. Так как синус угла, близкого к 90°,
определяется по шкале S очень неточно, то катет b лучше
определить через разность между ним и гипотенузой.
, Л • 1 I / •»
с — Ь с — с cos я —с. 2 sin- у ~ -ус(агс я/ - •
В данном случае 41,5 6 = 0,0691, а потому 6 = 41,4306.
Если, наконец, при той же гипотенузе с = 41,5 катет а =0,24,
0.24 .1
то 2 определяется из пропорции , дающей (на
шкалах С и D) а 19 ,88'' = 0° 19'53'' (положение запятой
определяется на основании грубо-приближённой оценки:
0,24 примерно в 160 раз меньше 41,5, а потому а во столько
12 В. М. Бралис । 77
же раз меньше =3438), р = 89°40'7", b = 41,5 — 2 = —
-0,000694 = 41,499306.
Конечно, брать так много цифр есть смысл лишь в том
случае, если данное значение гипотенузы 41,5 точно. Если
же, как это обыкновенно и бывает, число 41,5 есть при-
ближённое число и цифры сотых, тысячных и т. д. неизве-
стны, то следует просто принять b ~~ с.
Разобрав во всех подробностях первый случай решения
прямоугольных треугольников, ограничимся в остальных
более беглыми указаниями.
Второй случай. Даны катеты а и Ь. Найти a, р, с.
Пусть а<_Ь, но ^>0,1. Угол я определяется по фор-
муле 1ця - , которую переписываем в виде пропорции
- , после чего находим b на шкале D, а — на шкале С,
л - в левом вырезе после перекидывания движка. Второй
острый угол р = 90 — а. Гипотенуза с-=а cosec а определяет-
а sin а
ся из пропорции —------— , после чего находим а — в пра-
вом вырезе, а - на шкале С, с - на шкале D.
Если а ' -Ь, то сперва определяется 3 по формуле tgp^ — •
Если отношение катетов меньше 0,1. то один из углов
меньше 5°44' и его тангенс можно принять равным его ра-
дианной мере, а для его определения воспользоваться, как
и выше, шкалой S&T или, если отношение катетов меньше
0,01, то меткой '/ или р".
Третий случай. Даны гипотенуза с и один из острых
углов а.
Найти р, а, Ь.
Катет а определяется из пропорции ‘‘ ; угол а — на
шкале S или шкале S&T в правом вырезе, с -- на щкале D,
а — на шкале С. После определения р по формуле 3= 90 — а,
таким же порядком получается катет Ь.
Четвёртый случай. Даны катет а и один из острых
углов. Найти Ь, с и другой острый угол.
Определив неизвестный острый угол по уравнению
а-р 3 =- 90°, находим гипотенузу из пропорции = S"J “
(установка та же, что и в третьем случае), а затем катет 1>
b sin з , ,
из пропорции — = •—j— (опять та же установка).
3. Прежде чем перейти к решению косоугольных треу-
гольников, выясним, что даёт сопоставление шкал S н D
при опрокинутом движке, сдвинутом направо или налево. На-
помним, что при опрокинутом движке шкала S непосред-
178
ственно прилегает к шкале А, а шкала Т — к шкале D,
и цифровые метки шкал S и Т идут слева направо в воз-
растающем порядке.
Употребим и здесь уже много раз использованный приём:
обозначив любые две метки шкалы S буквами s. и s2,
а противостоящие им метки шкалы D — буквами а, и dt,
пишем уравнение, выражающее равенство отрезков шкал
S и D между этими метками:
250 1ц (10 sin $2) — 250 1g (10 sin Sj) = 250 lg J, — 250 lg d.x,
откуда получаем пропорцию:
sin S, Sin Sj
rf, ’
позволяющую решать задачи на применение теоремы синусов
sin я sin Р_sin 7
а Ь ~ с ’
где а, р, f — углы, а, Ь, с — стороны треугольника.
Точно так же сопоставление шкал Т и D даёт пропорцию
•к ' lg /»
rf, * и,
позволяющую решать задачи на применение теоремы тан-
генсов
а -4- b а -*“4 •
tg —
4. Теперь рассмотрим 4 основных случая решения косо-
угольных треугольников.
Первый случай. Даны два угла а и р и одна из
сторон. Найти третий угол и две другие стороны.
Найдя третий угол 7 из равенства а + р 1 7 = 180е, уста-
навливаем метку, изображающую данную сторону на шкале/?,
против той метки шкалы 5 опрокинутого двнжка, которая
изображает противолежащий угол. Против меток двух дру-
гих углов на шкале S читаем на шкале D метки противо-
лежащих сторон. В случае надобности применяется пере-
кидывание движка, и тем самым используется периодич-
ность шкалы D. Шкала же S, как мы уже отмечали, не-
периодична. Её продолжением налево служит шкала S&7,
которую используют, если в треугольнике есть угол, мень-
ший 5°44'. Продолжением же шкалы S направо служит та
же шкала S, но перевёрнутая: движок опрокинут и пере-
вёрнут, цифровые метки идут, убывая слева направо, и за-
меняются возрастающими метками пополнительных углов:
вместо 80° берётся 180° —80° — 100°, вместо 70°бёрется НО’
и т. д. Однако в случае, когда один из углов треугольника
12* 179
тупой, лучше заменить его пополнительным и вычислять при
том же (опрокинутом, но не перевёрнутом) движке.
Для примера решим треугольник по данным углам
а. = 38°,6 и р = 64°,5 и данной стороне а = 54,8 см. Найдя
угол 7= 180° — 38°,6 — 64°,5 = 76°,9, разыскиваем метку 54,8
на шкале D, все цифровые метки которой читаем, следова-
тельно, как десятки, и противоставляем ей метку 38°,6 = 38'36’
шкалы 5 (при опрокинутом движке). Далее против метки
64°,5 = 64’30' шкалы 5 читаем на шкале D метку 7 — 9 — 3,
а против метки 76°,9=76'54' шкалы 5 читаем метку 8—5 — 6
на шкале D и заключаем отсюда, что искомые стороны
равны ft = 79,3 см и с = 85,6 см.
Решим ещё треугольник с одним очень малым и одним
тупым углом. Пусть а =131’0, р = 44’30', д = 68,5 мм. Нахо-
дим 7= 180° — а — р = 4°30' и берём в] =49’0', пополнительный
для данного тупого угла а. Против метки а = 685 шкалы/),
цифровые метки которой читаются, следовательно, как сотни,
устанавливаем метку а]=49°0/ шкалы S (при опрокинутом
движке) и против метки р = 44’30' этой шкалы 5 читаем на
шкале D метку 636, откуда Ь = 636 мм. Метку 7=4'30' берём
уже на шкале S&.T и читаем против неё метку 712 шкалы
D. Представив себе шкалу S&.T перенесённой налево так,
что правый её конец совмещён с левым концом шкалы 5.
а шкалу D продолженной влево ещё на одну подшкалу,
цифровые метки которой читаются, следовательно, как десят-
ки, заключаем, что третья сторона треугольника с = 71,2 мм.
Второй случай. Даны две стороны треугольника а
и ft и угол против одной из них, например а. Найти с, р, 7.
Эта задача решается, как и предыдущая, посредством со-
поставления шкал D и S при опрокинутом движке: против
метки а шкалы D устанавливают метку а шкалы S, затем
читают метку р шкалы 5, оказавшуюся против метки ft шка-
лы D, далее находят третий угол 7 по формуле 7=180° —
— а — р и против метки 7 шкалы 5 читают метку с шкалы D.
Надо иметь в виду известную из тригонометрии возмож-
ность получить в некоторых случаях одно решение, в не-
которых — два решения, в некоторых — ни одного решения:
найдя посредством линейки острый угол р, надо взять так-
же угол р] = 180° — Р, и дальнейшее решение вести для обоих
этих углов (один из них или даже оба могут оказаться не-
пригодными).
Например, при а =13 см, ft=15 см, а=36'0' находим
Р = 42'45', pj = 180°—р= 137'15', откуда 7= 180°- а - Р= 101'15',
71 = 180° — а — 0, = 6°45'. Далее при той же установке движ-
ка определяем с = 21,7 см (берём метку 217 шкалы D, про-
тивостоящую метке 180° — 7 = 78’45’ шкалы 5), а перекиды-
вая движок направо, находим ct = 2,60.
180
Если же при а = 18 см, а = 36°0', b — 15 см, то получается
лишь одно решение (ft = 29’20'; 7=114’40'; с = 27,8 см).
При а — 3 см, а = 36’0', b — 15 см не получается ни одного
решения.
Решая задачи этого типа, полезно иметь в виду изве-
стную теорему: против большей стороны треугольника лежит
и больший его угол и обратно. Так, получив в последней
задаче р = 16°30' и р] — 163 30', сразу отбрасываем первый ре-
зультат как непригодный, так как угол р, противолежащий
большей из двух сторон « = 3 см и Ь — 15 см, должен быть
больше угла а=36°. Но второй результат тоже не годится,
так как приводит к отрицательному значению угла t: 7= 180°—
-36° = 163’30'.
Третий случай. Даны две стороны треугольника а и b
и угол между ними 7. Найти третью сторону с и два дру-
гих угла аир.
Задачи этого типа можно решить подбором, т. е. систе-
матическими пробами, на тех же шкалах D и S, что и за-
дачи первых двух типов. Покажем, как осуществляется этот
подбор на примере.
Пусть дано: а =18 см, Ь= 15 см, f= 114’40'. Най-
дём сумму двух других углов а + р = 180° — 114°40'=
= 65’20' и установим опрокинутый движок так, чтобы начала
шкал D и S оказались друг против друга. Тогда против
меток 18 и 15 шкалы D находятся метки 10’25' и 8’38',
сумма которых равна 19°3', что значительно меньше найден-
ного выше значения суммы углов аир (65'20'). Передви-
гаем движок влево, чтобы увеличить метки углов, противо-
стоящие меткам данных сторон, равным 15 и 18, хотя бы
настолько, чтобы против 15 оказалась метка 30°. Тогда про-
тив 18 оказывается метка 36°50', и сумма 30° + 36’50'=
= 66’50' оказывается уже слишком большой, но близкой
к требуемому значению 65’20'. Ещё две пробы, указанные
ниже, и мы у цели:
а 10’25' 36’50' 35’10’ 36’0’
р 8’38’ 30’0' 28’40’ 29 20'
’ * - 19’3‘ 66’50' 63’50’ 65 20'
Установив, что а = 36 0' и р = 29’20’, находим из пропорции
sin <1______________________ sin 7
а " с
при той же установке движка значение с = 27,8 см.
181
Прежде чем начинать пробы, полезно произвести грубо-
приближённую оценку искомых углов в уме. Так, в данном
случае при сторонах а = 18 см и b ~ 15 см угол а должен
быть несколько больше угла р, а потому, зная их сумму
а 4-Р = 65’20', можно было бы начинать испытания сразу со
значения р — 30’0'. В начале испытаний отсчёты делаются
грубо, без использования всей точности линейки, но по мере
приближения к данному значению суммы а р точность
растёт.
Вместо подбора, можно решить систему уравнений:
4-(а4-₽) = 9О’-4-т,
а — b a -f- b
причём сперва определяем (без линейки) -^-(а 4- р), а затем
из последней пропорции, пользуясь шкалами Т и D при
опрокинутом движке, по известным значениям: а — Ь, а + Ь,
-|-(а4- Р) находимся—Р). Зная же полусумму и полураэность
углов аир, легко получаем и самые углы.
Решим этим способом ту же задачу, которую мы только
что решали подбором. Здесь а = 18, bi=15, 7=114’40',
а потому
±(а + р) = 90* -57’20' = 32’40', а + &=33, а-Ь = 3.
Найдя на шкале D метку 33 (цифровые метки шкалы D
читаем, следовательно, как десятки), противопоставляем ей
метку 32’40' шкалы Т опрокинутого движка. Теперь надо
взять метку 3 шкалы D. Так как здесь нужна ближайшая
слева подшкала шкалы D (использованная подшкала имеет
цифровые метки, выражающие, как мы только что видели,
десятки, нам же нужна теперь метка 3 единицы), то пере-
кидываем движок вправо. Но отсчёта сделать нельзя, так
как против метки 3 шкалы D теперь нет движка. Следова-
тельно, значение -|-(а—р) не достигает 5’44', и нам надо
воспользоваться продолжением шкалы Т налево, а этим
продолжением является, как и для шкалы S, шкала S&7".
Перекидывая движок обратно (налево), читаем против мет-
ки 3 шкалы D метку 3°20' шкалы S&.T. Теперь имеем:
-L (а 4-Р) = 32°40',
-у (а - р) = 3’20'.
Складывая эти два уравнения почленно, получим а = 36’0’,
а вычитая их, получим р = 29’20'. Решение задачи заканчи-
182
вается, как и выше, определением стороны по теореме си-
нусов. В данном случае мы напрасно „гоняли** движок (два
перекидывания движка сначала направо, потом налево): мож-
но было сразу усмотреть необходимость перехода от шка-
лы Т к шкале S&.T и сделать отсчёт при первой же уста-
новке движка.
Четвёртый случай. Даны три стороны треугольника.
Найти его углы.
Эту задачу тоже можно решить подбором: сопоставив
шкалы D и S при опрокинутом движке, систематическими
пробами определяем такое положение движка, при котором
сумма трёх меток шкалы 5, противостоящих трём меткам
(данных сторон) шкалы D, равна как раз 180°0'.
Так, если даны стороны а = 54,8 см, Ь = 79,3 см, с — 85,6 см,
то для начала испытаний можно взять значение а — 50’0':
если бы три данных стороны были равны, каждый из углов
был бы по 60°0', поэтому против наименьшей стороны бе-
рём угол, несколько меньший, чем 60°. Весь ход последо-
вательных испытаний показан ниже.
а = 54.8: а = 50’0'; 40’0’; 39’0'; 38’40'; 38’35';
5 = 79.3; ?= — 68’30'; 65’30'; 64’45'; 64’30';
с = 85,6; I = — - 79’30'; 77’30'; 77’0';
а + М-7= - - 184’0’; 180’55'; 180’5'.
Взяв а —50°0', сразу видим, что для £ и f получаются
значения, большие 90°, и что это значение для а надо умень-
шить. Взяв а=40°0', находим р = 68’30' и -[>>90°, сумма
а + р + 1 оказывается слишком большой, а потому значение а
надо взять ещё меньше.
На последних значениях углов, дающих сумму лишь на
5' больше, чем надо, и останавливаемся, так как сделать
отсчёт угла, близкого к 39°, точнее, чем на 5', затрудни-
тельно (цена деления здесь 20'), а взяв для а угол 38'30',
мы получим сумму, уже на 30' меньшую, чем надо.
Легко сообразить, что при наличии в треугольнике одного
или двух очень малых углов нужно наряду со шкалой .V
использовать также шкалу S&.T, а при наличии тупого угла
брать вместо угла -у, определяемого той меткой шкалы 5, кото-
рая противостоит метке наибольшей стороны треугольника,
угол пополнительный.Догадаться же о присутствии в треуголь-
нике такого очень малого или очень большого угла можно по
сравнительной величине его сторон. Так,треугольник со сто-
ронами 5 см-, 5,1 см\ 9,2 см имеет два очень малых и один
тупой угол; треугольник со сторонами 5 см\ 5,1 см; 0,2 см
имеет один очень малый угол, и возможна наличность од-
ного тупого угла и т. д. Заметим, что иногда приходится,
выполняя такие испытания, прибегать к продолжению шкалы
5 вправо, т. е. к употреблению опрокинутого и перевёрну-
того движка.
183
Решить треугольник по трём сторонам можно и бее
испытаний, производя посредством линейки вычисление тан-
генсов половин углов по известным формулам:
Г (р-Ъ)(р-с)
р(р — а)
JL й = 1 /"-<•)(/'-«)
* •» »• F Р(Р-Ь)
iu _L т = 1 /'JJL~ а) QLiA?
* 2 1 I р(р -с)
где р — -%-(а + Ь + с).
Ход вычисления по этим формулам таков. Сперва (без
линейки) определяем 2р, р, р — а, р - Ь, р — с, причём для
контроля находим сумму трёх последних чисел, равную
3/> — (а + b -|- с) р. Далее посредством шкал А и В ли-
нейки (конечно, при нормальном положении движка) находим
подкоренное количество и сразу же извлекаем из него ко-
рень, переходя от шкалы Л к шкале D. При этом, чтобы
правильно выбрать подшкалу /1, надо произвести грубо-
приближённую оценку подкоренного количества. После из-
влечения корня найденное его значение устанавливаем на
шкале С против начальной единицы шкалы D, и в левом
вырезе задней стороны линейки читаем значение половин-
ного угла, вычислив таким способом все три половинных
угла, для контроля находим их сумму, которая должна быть
близка к 90*0'.
Проводим ту запись, какую нужно сделать при решении
этим способом задачи, уже решенной выше способом под-
бора:
1 - ч 19*17'
а .54,8 /> — а 55.05 1 32’14
ь 79.3 р — ь 30,55 -н

с 2р 85.6 2)9,7 р-С 24,25 1 2 7 .38 28'
р |109,85 сумма 109,85 сумма] 89*59'
а .38’34'
₽ 64 28'
7 < 76 56'
Вычисляя первое подкоренное количество (деление — умно-
жение— деление) на любых подшкалах А и В, результат
получаем на второй подшкале А, так как грубо-приближен-
ная оценка показывает, что он близок к 0,1 j . Не
читая его, переходим на шкалу D, где читаем значение
0,350 искомого тангенса. Выдвинув движок влево настолько,
чтобы метка 3<5О шкалы С оказалась против начальной еди-
ницы шкалУ D, поворачиваем линейку задней стороной и в
184
левом вырезе читаем метку 19°17', дающую — а. Подобным
же образом поступаем и при разыскании и у.
Упражнения
1. Установите цену деления на всех участках шкал S, Т, S&T.
2. Найдите значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов
углов: 0’0'27"; 0’16'; 0 55 ; 2’37 ; 4’18'; 9’42'; 20’15'; 32’30’; 62’45’; 73 О';
80’0'; 85’0'.
3. Найдите углы по следующим данным: sinx = 0,0045; tgy = 0,000097;
sin z = 0,03'^5; sin t = 0,123; sin и = 0,900; tg и = 0,455; ctg w =0.600.
4. Установите удобные правила для получения секансов и косекан-
сов острых углов.
5. Прямоугольный треугольник с катетами, равными 3 см и 4 см,
имеет гипотенузу, равную 5 см, и острые углы, равные 36°52' и 53°8'.
Принимая за данные: 1) один из катетов и гипотенузу; 2) оба катета;
3) гипотенузу и один из острых углов; 4) один из катетов и один из острых
углов, найти каждый раз остальные три элемента (с той точностью, ка-
кую даёт линейка).
6. Та же задача для треугольника с катетами 208,45 см и 533,74 см,
гипотенузой 573.00 см, углами 2Г20' и 68’40'.
7. Та же задача для треугольника с катетами 1,200 см и 23,500 см,
гипотенузой 23,531 см и углами 2’55’23" и 87’4'37'.
8. Найти отклонение х центра чечевицы маятника от вертикальной
прямой, проходящей через точку подвеса, при углах отклонения а от 0’
до 90’ через каждые 10°, если длина маятника (от точки подвеса до
центра чечевицы) / = 86,0 см.
Задача решается одной установкой движка посредством пропорции
sin а ’ sin 90’
—— = —j— на шкалах S к и при опрокинутом движке.
9. Мачта высотой а м укреплена за верхушку оттяжкой, составляющей
с горизонтальной плоскостью, на которой установлена мачта, угол а
Составить таблицу значений расстояния х от основания мачты до ниж-
него конца оттяжки, если а — 87,5 ж. а а меняется от 45° до 60° через
каждые 5°.
Задача решается тоже одной установкой движка с помощью про-
tg (90’ — a) tg 45’ „ ~
порции ------------= —-—на шкалах Т и D при опрокинутом движке.
10. Треугольник со сторонами 13 см; 14 см; 15 см имеет углы 53'8';
59’29' и 67 23’. Принимая за данные: 1) два угла и одну из сторон;
2) две стороны и угол против одной из них; 3) две стороны и угол
между ними; 4) три стороны, найти каждый раз остальные элементы тре-
угольника (с той точностью, какую даёт линейка).
11. Та же задача для треугольника со сторонами 23,81 см; 41,61 см;
56,00 см и углами 22’40'; 42 20'; 115 00'.
12. Та же задача для треугольника со сторонами 6,00 см; 74,52 см;
78,66 см и углами 3’15'; 44’45'; 132 00'.
13. Световой луч входит в воду из стекла. Составить таблицу углов
преломления а для углов падения р от 10’ до 60’ через 10’, а также угол
полного внутреннего отражения, если показатели преломления стекла и
воды равны соответственно |«г = 1,506 и = 1,334.
Задача решается несколькими установками движка по формуле:
Sin а _ sin р
~ И, ’
14. Указать способы удобного вычисления на линейке значений sin2a
. ,о „ nsin2x
и sin*p, а также выражении вида s(n2 ПРИ переменном х.
185
§ 40. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЛИНЕЙКЕ
1. Работая с линейкой, мы много раз имели случай убе-
диться, что она даёт результаты с 3, иногда с 4 значащими
цифрами, причём последняя не вполне надёжна. Результат
получался с 4 значащими цифрами в тех случаях, когда
первой его цифрой была 1 или 2.
Следующие соображения разъясняют причины такого по-
ложения.
Пусть имеется логарифмическая шкала с модулем т мм-,
её уравнение х = т 1g х, где х положительное число, выра-
жающее любую её метку, х — расстояние этой метки от нача-
ла шкалы, выраженное в мм. Замена х через х -I дх, где
Ах положительный или отрицательный отрезок, весьма ма-
лый по сравнению с х, вызывает замену числа х числом
х-|-Дх. Связь между Дх и Дх устанавливается уравнением:
Ax = /nlg(l+ О)
которое получается, если из равенства х [-Дх= т lg(x 4- дх)
почленно вычесть равенство х — т 1g х. Используя форму-
лу lg (1 4-х)^. 0,4343 х (см. §24), имеем:
_ Дх
Дх== 0,4343 т • у • (2)
Желая найти по логарифмической шкале метку точки,
отстоящей от начала на расстоянии х мм, мы, благодаря не-
совершенству исполнения шкалы линейки (конечная толщи-
на штрихов, неточность их расстановки), ошибкам, связанным
с линейной интерполяцией и несовершенству глаза, факти-
чески берём точку на расстоянии, несколько отличном от
х, пусть на расстоянии х 4- Д х. Этот отрезок Дх прини-
мает различные значения, заключённые в некоторых преде-
лах, различных для разных линеек и для разных вычисли-
телей. Будем считать, что Дх имеет некоторое среднее зна-
чение, определяемое качеством линейки и_ искусством вы-
числителя, и будем называть это число Дх средней ошиб-
кой установки. Обычно Дх=к0,1 мм; на очень хорошей
линейке тщательная работа снижает эту среднюю ошибку
установки примерно вдвое; при неблагоприятных условиях
она увеличивается тоже примерно вдвое.
Ошибка установки Дх обусловливает ошибку отсчёта
Дх. Формула (1) устанавливает замечательное свойство ло-
гарифмической шкалы: если, сохраняя постоянным Дх, бу-
дем изменять х, то Дх будет меняться, но отношение Дх :х
остаётся постоянным. Таким образом, постоянной ошибке
установки на логарифмической шкале соответствует по-
186
стоянная относительная ошибка отсчёта. Если принять
среднюю ошибку установки, равной 0,1 мм, то при модуле
т — 250 мм имеем среднюю ошибку отсчёта на шкале D,
как показывает формула (2), равную приближённо 0,1°/°
(точнее 0,092%).
При постоянстве относительной ошибки отсчёта на лога-
рифмической шкале абсолютная его ошибка будет на раз-
ных её участках различной, а именно будет возрастать по
мере передвижения от начала шкалы (метка 1) к её концу
(метка 10), Полагая 4х: х = 0,092%, имеем следующую
зависимость между меткой х логарифмической шкалы и зна-
чением абсолютной ошибки отсчёта Дх, выраженной в еди-
ницах разряда четвёртой значащей цифры:
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 4 5 6 7 8 9
Всякая вычислительная операция данного рода (напри-
мер, умножение двух чисел, их деление и т. д.), производи-
мая посредством линейки, требует выполнения ряда устано-
вок и отсчётов по логарифмическим шкалам, и даёт резуль-
тат с одной и той же относительной средней ошибкой, зави-
сящей от характера операции, от качества линейки, от
искусства вычислителя. Этот вывод, основанный на теорети-
ческих соображениях, подтверждается специально поставлен-
ными опытами. Можно, например, взять некоторое число пар
четырёхзначных произвольных чисел, найти произведения
чисел каждой пары посредством шкал С и D на линейке,
затем найти их же произведения посредством арифмометра
(точно), и установить ошибки, абсолютные и относительные,
приближённых произведений, затем определить среднее зна-
чение относительной ошибки произведения. Один такой опыт,
весьма тщательно проведённый, описан в книге Runge-Komg,
Vorlesungen uber numerisches Rechnen (Berlin. J. Springer,
1924). Средняя относительная ошибка произведения, найден-
ного по шкалам С к D, оказалась близкой к 0,06%.
Средняя относительная ошибка отсчёта по логарифми-
ческой шкале приближённо обратно пропорциональна её
модулю. Если на шкалах С и с модулем в 250 мм она
составляет почти 0,1%, то на шкалах А и В, имеющих мо-
дуль 125 мм, она при тех же условиях достигнет 0,2%, а на
шкале К с модулем (250 :3) мм уже 0,3%.
187
Шкалы S и Т не дают того постоянства средней относи-
тельной ошибки, которое характерно для логарифмических
шкал А, В, С, D. Особенно плохо определяется по своему
синусу угол, близкий к прямому. Такого «неблагополучного»
участка на шкале Т нет, а потому вообще угол лучше опре-
делять по его тангенсу, чем по синусу (есть и другие сообра-
жения в пользу этого заключения).
2. На протяжении §§ 30—39 мы рассмотрели нормальную
счётную линейку, изображённую в «Приложении» (системы
Риц). Существует большое количество линеек других типов,
различающихся между собой некоторыми деталями. Основ-
ной принцип всех таких линеек один и тот же — сопоставле-
ние различных функциональных шкал, большей частью ло-
гарифмических, с разными модулями и разными началами.
Приступая к работе с линейкой иного, нежели описан у нас,
типа, надо прежде всего выяснить уравнения всех её шкал.
Располагая этими уравнениями, легко вывести правила раз-
личного рода вычислений, выполняемых на этой линейке.
При этом большую помощь обыкновенно оказывают поясни-
тельные брошюры, прилагаемые к каждому экземпляру ли-
нейки.
Наибольшее распространение имеют линейки описанной
системы Риц и других типов, отличающихся от линеек си-
стемы Риц лишь некоторыми второстепенными деталями.
Так, часто попадаются линейки без шкалы кубов, линейки со
шкалой R (шкалой обратных значений), расположенной на
лицевой стороне движка между шкалами В и С и имеющей
уравнение г = 250 1g (10 : г).
Есть линейки, отличающиеся от описанной лишь разме-
ром, а именно короткие линейки со шкалами длиной 125 мм
и длинные линейки со шкалами в 500 мм и даже в 1000 мм.
Короткие линейки свободно умещаются в кармане, но дают
меньшую точность отсчётов (иногда деления на них делают
очень мелкими и прилагают к линейке лупу, пользование
которой значительно замедляет работу). Длинные линейки
дают естественно повышенную точность, но зато вовсе не-
псртативны. Работа на них идёт заметно медленнее, чем на
линейках нормальной длины.
В некоторых линейках имеется иное расположение шкал,
нежели в описанной линейке системы Риц. Так, некоторые
линейки имеют равномерную шкалу L не внизу, а вверху
лицевой стороны линейки, некоторые — на обороте движка,
вместо шкалы S&T. Иногда шкала строится так, что
значения синусов получаются путём её сопоставления не со
шкалой С и D, а со шкалой А и В. Бывают линейки спе-
циального назначения: для вычислений, связанных с море-
188
ходным делом (такие линейки имеют две тождественных
шкалы синусов, одна на движке, другая на корпусе, и по-
зволяют быстро решать пропорции вида sina1:sina2 =
= sinPj:sin Р2), для электротехников (на них обычно бывает
так называемая шкала Перри, существенно облегчающая
возведение числа в любую степень), для радиотехников
и многие другие.
3. Когда следует применять линейку, а когда другие вспо-
могательные средства вычисления (счёты, арифмометр, ло-
гарифмические таблицы и т. д.)?
При решении этого весьма важного вопроса о целесооб-
разном выборе вспомогательных средств вычисления надо
учитывать два обстоятельства, а именно требуемую точность
окончательного результата и ту скорость, с какой происхо-
дит вычисление при употреблении данного вспомогательного
средства; точность результата должна быть достаточной и
соответствовать точности данных, а скорость желательно
получить наибольшую. Линейка, к которой для выполнения
сложения и вычитания присоединяются счёты, обеспечивает
очень большую скорость вычисления, во многих случаях
даже большую, чем арифмометр, и значительно большую,
чем любая таблица логарифмов. Поэтому, когда точность
линейки, т. е. три—четыре первых значащих цифры в ре-
зультате, достаточна, её следует предпочесть всем другим
средствам вычисления. Если же нужна большая точность,
то приходится обращаться к таблицам логарифмов. Чем
больше десятичных знаков имеют логарифмы, тем больше
времени уходит на вычисление. Астроном Энке, производив-
ший одни и те же вычисления с помощью таблицы логариф-
мов с 5, 6 и 7 десятичными знаками, говорит, что во втором
случае нужно вдвое, а в третьем втрое больше времени, чем
в первом. Как показывает опыт, вычисление посредством
таблицы четырёхзначных логарифмов с готовыми поправ-
ками требует только около половины того времени, какое
уходит на то же вычисление с применением таблицы пяти-
значных логарифмов. Поэтому при вычислении посредством
логарифмов надо обходиться таблицей с возможно меньшим
числом знаков, дающей требуемую точность результата.
Если точность результатов, доставляемых линейкой, не-
достаточна, часто бывает выгодно комбинировать линейку
с другими вычислительными приборами и приёмами, т. е.
прибегать к так называемому смешанному вычислению. Так,
если требуется найти 6 первых значащих цифр частного от
деления 113 на 237, то обычным способом (письменно) на-
ходим три первых цифры частного и соответствующий оста-
ток, а затем делим остаток на делитель посредством линейки
и получаем три следующих цифры частного:
189
113:237 = 0,476
048
1820
1659
1610
188:237 = 0,793 (на линейке без записи).
Следовательно, ИЗ : 237 — 0,476793.
Если, далее, требуется найти 123 с 5 значащими циф-
рами, то извлечение можно начать обычным способом
(письменно), а по получении трёх первых цифр корня раз-
делить остаток на удвоенное найденное число уже посред-
ством линейки. Частное даст две недостающие цифры корня:
1 23"= 4,79
16
871700
7|609
949 9100
9 8541
----559 559 :958 = 0,584 (на линейке без
записи).
Следовательно, ]/23 = 4,7958.
Число подобных примеров легко значительно увеличить.
§ 41. ИЗУЧЕНИЕ ЛИНЕЙКИ В ШКОЛЕ
Выгоды, доставляемые применением счётной логарифми-
ческой линейки почти во всех вычислениях, так велики, что
она становится серьёзным конкурентом логарифмических
таблиц: если в XIX веке основным средством вычислений
были логарифмические таблицы, то в XX веке мы видим
вытеснение их логарифмической линейкой (для случаев,
когда точность в 3—4 цифры достаточна) и арифмометром
(когда требуется более высокая точность).
Но здесь, как и везде, старое и отживающее уступает
место новому и прогрессивному лишь после упорного сопро-
тивления. Вот характерный эпизод из воспоминаний Героя
социалистического труда академика А. Н. Крылова (Изда-
тельство Академии наук СССР, 1945 г., стр. 116):
«Приступив в 1892 г. к чтению курса теории корабля, я
предпослал этому курсу основание о приближённых вычи-
слениях вообще и в приложении к кораблю в частности, вы-
ставив как принцип, что вычисление должно производиться
с той степенью точности, какая необходима для практики,
причём всякая неверная цифра составляет ошибку, а всякая
лишняя цифра — половину ошибки. Насколько практика
этого дела была несовершенна, я показал на ряде примеров,
190
где 90% было таких лишних цифр, которые без ущерба для
точности результата могли быть отброшены, а в одном вы-
числении, исполненном в чертёжной Морского технического
комитета, такой напрасной работы было 97%. Затем долго-
летней практикой я убедился, что если какая-либо неле-
пость стала рутиной, то чем эта нелепость абсурднее, тем
труднее её уничтожить.
Через 17 лет я стал главным инспектором кораблестрое-
ния, т. е. занял наивысший по кораблестроению пост. Когда
главный корабельный инженер Севастопольского порта Л.
указаний относительно кораблестроительных вычислений не
исполнил, то был уволен по моему представлению от службы».
Очень велики трудности, стоящие на путях введения но-
вых, более рациональных методов вычисления в школе.
Даже такая по существу чрезвычайно скромная реформа,
как замена громоздких семизначных таблиц логарифмов
несравненно более удобными пятизначными, проведённая
в конце XIX века, или замена пятизначных таблиц четырёх-
значными, проведённая у нас в СССР уже в годы Советской
власти, несмотря на совершенно очевидные преимущества
новых таблиц потребовало больших усилий, встретив оже-
сточённое сопротивление в весьма широких кругах. Ещё
труднее даётся введение в школу счётной линейки. Уже
в начале тридцатых годов раздел «Логарифмическая ли-
нейка» появился во многих программах (и для средней
школы, и для техникумов, и для вузов), но производство
линеек не было развёрнуто в достаточной степени, не было
принято достаточно энергичных мер по части подготовки и
переподготовки учителей математики, не было произведено
надлежащих исправлений в ходовых учебниках. В резуль-
тате молодёжь, оканчивающая среднюю школу, логарифми-
ческой линейки не знает. Студенты технических вузов тратят
много времени непроизводительно, пользуясь известными им
со школьной скамьи приёмами вычислений, и в большинстве
случаев приходят к сознанию необходимости изучения счёт-
ной линейки, лишь принимаясь за дипломный проект. При
этом линейка изучается без хорошего усвоения её теории,
чисто эмпирически, без использования многих, заключённых
в ней, возможностей.
В военные годы изучение линейки из программы мате-
матики для средней школы вообще выпало.
Таким образом, в настоящее время имеет место весьма
печальное отставание школы от жизни. Студенты вузов вы-
нуждены самостоятельно изучать линейку, тратя на это мно-
го времени и не всегда рационально организуя это изучение.
Вот сценка с натуры.
Физическая лаборатория вуза. Студент, закончив изме-
191
рения, нужные для его очередной работы, вынимает из
портфеля счётную линейку и выполняет расчёты. Показав
результаты лаборанту, он удовлетворённо заявляет:
— Ну, теперь только переписать!
— Как, неужели всё подсчитали? за 10 минут?—спраши-
вает одна из двух девушек, работающих за соседним сто-
лом.
— Да, всё.
— А я вчера весь вечер просидела за этим вычислением!
Как хорошо, когда есть такая линейка!
— Одной линейки мало, — отзывается соседка. — Вот
брат — инженер подарил мне линейку, да пользоваться ею
я не умею.
— Товарищи, вот в этом шкафу лежат счётные линейки
и руководства к ним, — говорит лаборант, свидетель этого
разговора. — Берите, учитесь, переходите от допотопных
средств вычисления к современным!
— Да ведь пока во всём разберёшься, уйдёт немало вре-
мени, а нам так некогда. Займёмся линейкой перед диплом-
ным проектом: без линейки, говорят, его не сделать. Как
жаль, что нас не учили работать с линейкой в школе!
Для успешного овладения линейкой учащимися (как в
средней школе, так и в техникумах и вузах) необходимы два
условия: нужен руководитель, владеющий нехитрой теорией
линейки и умеющий практически ею пользоваться; нужны
линейки на руках у каждого учащегося. Первое условие
важнее второго. Как показывает опыт, стоит заинтересовать
учащихся линейкой, и многие из них сами начинают добы-
вать линейки у родных и знакомых; кроме того, не следует
пренебрегать и самодельными линейками, изготовляемыми
из полосок миллиметровой бумаги. Такая модель линейки
даёт результат с 2—3 значащими цифрами и с успехом по-
зволяет усвоить её теорию. Юноша, аккуратно изготовивший
модель линейки и поработавший с ней, всегда старается
достать экземпляр линейки фабричного изготовления и, до-
став его, быстро приобретает хороший навык работы с ней.
При работе по изучению линейки с группой учащихся
большую помощь оказывает демонстрационная модель ли-
нейки. Такие модели изготовляются размерами в 1 — 1 -ь- —
2 м.
Усвоение правил работы с линейкой только тогда будет
вполне продуктивным, когда оно сознательно. Поэтому на-
чинать работу по изучению линейки надо с рассмотрения
логарифмической шкалы, с выяснения закона расстановки
сё меток, выражаемого уравнением ч — т Ign, с сопостав-
ления двух тождественных логарифмических шкал. Доступ-
ность изложения заметно выигрывает, если предварительно
192
рассмотреть сопоставление двух тождественных миллимет-
ровых шкал, как это сделано выше, в § 30.
Дальнейшее изложение можно вести по-разному; в каж-
дом руководстве по изучению линейки предлагается какая-
либо своя система. В настоящей книге предлагается порядок
изложения, много раз проверенный на опыте и дающий хо-
рошие результаты. После ознакомления с логарифмической
шкалой (§ 31) рассматриваются сразу действия возведения
в квадрат и куб и извлечение квадратного и кубического
корней (§32). Выполняя эти действия на линейке, учащийся
легко контролирует себя по четырёхзначным таблицам лога-
рифмов и быстро приобретает хороший навык в чтении ме-
ток и в установке индекса на заданную метку. Рекомен-
дуется вести запись результатов по схеме, указанной в конце
§ 32, где разница результатов, полученных по линейке и по
таблицам, выражается всегда в единицах разряда четвёртой
значащей цифры.
Научившись правильно и быстро читать метки, приобретя
навык в интерполировании нз-глаз, учащиеся возвращаются
к действиям умножения и деления (§§ 33—35). Не следует
торопиться с правилом определения положения запятой по
значностям компонентов, т. е. с употреблением значков Р и
Q. Лучше сперва приучить к грубо приближённым оценкам,
работая на верхних шкалах линейки, так как это универсаль-
ный способ, к которому приходится поневоле прибегать во
многих случаях более сложных вычислений и который неза-
меним, как простейшее средство контроля. Изучив действия
умножения и деления, совершенно естественно перейти к ре-
шению пропорций (§§ 36 и 37). Громадный выигрыш, какой
здесь даёт применение линейки, известен далеко не всем,
пользующимся линейкой: одной установкой движка (в пря-
мом или обратном положении) мы обеспечиваем получение
большого числа результатов, и вся дальнейшая работа сво-
дится к их прочтению. Этим и заканчивается первый круг
сведений о линейке. На его изучение уходит примерно 6 ча-
сов лекций и 12 часов упражнений.
Учащиеся, хорошо усвоившие этот первый круг сведений
о линейке, без затруднений и почти полностью самостоя-
тельно овладевают и вторым кругом (§§ 38—40), но на него
тоже приходится затратить 15—20 часов. Однако рассмат-
риваемые здесь действия встречаются на практике несравнен-
но реже, чем действия, рассматриваемые в §§ 32—37,
а потому при недостатке времени добиваться прочного на-
выка в их выполнении не следует. Можно ограничиться,
например, лишь одним или двумя действиями, например,
вычислениями по формулам у - ах2, у- = a sin х, и только по-
ниманием (но не выработкой навыков) в других случаях.
13 В. М. Браднс
193
УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ ПО ВОПРОСАМ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ
МАТЕМАТИКИ (ПРЕИМУЩЕСТВЕННО ЭЛЕМЕНТАРНЫМ)
1. Абрамов Н. М., Технические вычисления. Главнейшие методы
и приёмы технических вычислений и элементарные основы их теории,
М., ГТТИ, 1928.
2. Александров П. С. и Колмогоров А. Н., Свойства не-
равенств и понятие о приближённых вычислениях. Журя. «Математика
в школе», 1941, № 2.
3. Bakst A., Approximate computation (The National Connell of tea-
chers of mathematics, Xll yearbook). New York, 1937.
4. 6 e з и к о в и ч Я. С., Приближённые вычисления. Изд. 5-е, ГТТИ, 1941.
5. Брадис В М. а) Опыт обоснования некоторых практических
правил действий над приближёнными числами. Известия Тверского
педагогического института, вып. 3, 1927. б) Теория и практика вычи-
слений. Изд. 5-е, Учпедгиз, 1937. в) Как надо вычислять, выпуски 1,
2, 3. Изд. 3, 2, 1. Учпедгиз, 1929—1934.
6. В г u n s Н., Grundlimen des wlssenschatichen Rechnens. Leipzig, 1903.
7. Больберг О. А., Влияние округления на распределение по-
грешностей. Известия Тверского педагогического института, вып. 5,
1929.
8. Гаврилов А. Ф., Практика вычислений. М., 1926.
9. Глаголев А. А., Номография для школьника. ОНТИ, 1935.
10. Глаголев Н. А., Теоретические основы номографии. ОНТИ
НКТП, 1936.
11. Голубев В. А., Устный счёт в средней школе. Жури. «Мате-
матика в школе», 1946, № 3.
12. Занден Г., Элементы прикладного анализа. ГТТИ, 1932.
13. Кавун И. Н., Приближённые вычисления. Изд. 2. Госиздат 1923.
14. Крылов А. Н., Лекции о приближённых вычислениях. Изд.
Академии наук СССР, 1933.
15. Кувыркин Н. Г., Практика графических вычислений. Эле-
менты номографии. Госиздат 1929.
16. Лайков А. В., Устный счёт.
17. Liiroth J., Vorlesungen uber numensches Rechnen. Leipzig, 1900.
18. Мартель Ф., Быстрый счёт. Петербург, 1913.
19. Mehmke R., a) Numerisches Rechnen. Enzyklopadle der mathe-
matisthen Wissenschaften, Leipzig, 1900 . 6) Leitfaden zum graphischen
Rechnen. Leipzig und Wien, 1924.
20. Ocagne M. (Maurice d’Ocagne), Traite de Nomographie.
1921, Paris.
21. Панов Д. Д., Счётная линейка, ГТТИ, 1916.
22. Радецкий П. С. и Никитин В. А., Логарифмическая счётная
линейка. Научное Химико-техническое издательство, Ленинград, 1925.
23. Runge С. und Konig Н.. Vorlesungen uber numerisches Rech-
nen. Berlin, 11)24.
24. Семендяев К. А., Счётная линейка. ОГИЗ, Гостехиздат, 1942.
25. Скарборо Дж., Численные методы математического анализа.
ГТТИ, 1934.
26. Уиттекер Э. и Робинсон Г., Математическая обработка
результатов наблюдений. ГТТИ, 1933.
27. Фандерфлит А. П., Арифметика приближённых вычислений.
Прага, 1922.
28. Филиппов А. О., Четыре арифметических действия. Изд.
«Матезис», Одесса, 1909
29. Франк М. Л., Элементарные приближённые вычисления. ГТТИ,
1932.
30. Чуканцев С., Ближе к практике. Журн. «Математика в
школе», 1940, № 4, 5.
31. Щетинин Н. И., Приближённые вычисления. Госиздат, 1926.
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Предисловие з
Введение 4
Глава I. Точные вычисления
§ I. Сложение и вычитание . . . . -
§ 2. Умножение . . -10
§ 3. Деление ... . .... 17
§ 4. Возведение в степень . ... 90
§ 5. Извлечение корня ... ..................23
§ 6 Арифмометр .... ..................26
§ 7. Приёмы проверки. Общие правила производства вычислений 33
Глава II. Приближённые вычисления без строгого учёта
погрешностей
§ 8. Числа точные и приближённые. Округление 37
§ 9. О точности приближённых чисел .... 41
§ 10. Как надо считать и измерять 43
§ 11. Вычисления с точными и приближёнными данными 47
§ 12. Сложение и вычитание приближённых чисел 48
§ 13. Умножение приближённых чисел 31
§ 14. Деление приближённых чисел 38
§ 15. Округление промежуточных результатов 61
§ 16. Предварительное округление более точных данных 63
§ 17. Примеры более сложных вычислений с приближёнными
числами ......... 65
§ 18 Вычисления с наперёд назначенной точностью 69
§ 19. Возведение в степень и извлечение корня 72
§ 20. Сводка правил округления результатов действий над при-
ближёнными числами. Задача их обоснования 76
Глава III. Приближённые вычисления со строгим учётом
погрешностей
§ 21. Строгий учёт погрешностей по способу границ . 81
§ 22. Примеры более сложных вычислений по способу границ. 86
§ 23. Понятие о границе абсолютной и относительной погрешности 92
§ 24. Простейшие приближённые формулы. 98
§ 25. Строгий учёт погрешностей по способу границ погрешностей 105
Глава IV. Математические таблицы
§ 26. Таблица квадратов ... . . 108
§ 27. Вычисление логарифмов ....... 114
§ 28. Общие сведения об устройстве и употреблении различных
математических таблиц 121
§ 29. Различные таблицы логарифмов Точность результатов, ими
доставляемых ......... 130
Глава V. Счётная логарифмическая линейка
§ 30. Основной принцип счётной линейки ... 136
§ 31. Устройство линейки. Чтение меток. Периодичность логариф-
мических шкал...........................................142
§ 32. Возведение в квадрат и извлечение квадратного к' рня
Возведение в куб и извлечение кубического корня . 149
§ 33. Умножение и деление...........................- 1,55
§ 34. Выполнение ряда последовательных умножений и делений 159
§ 35. Правило определения положения запятой в результатах вы
числения на нижних шкалах....................................161
§ 36. Выч (сление значений, прямо пропорциональных данным. 163
§ 37. Вычисление значений, обратно пропорциональных данным 167
§ 38. Некоторые другие вычисления, выполняемые посредством ли-
цевой стороны линейки............................169
§ 39. Вычисления с тригонометрическими функциями. 174
§ 40. Некоторые дополнительные сведения о линейке. 186
§ 41. Изучение линейки в школе ... ... 190
Указатель литературы . .194
Редактор А. В. Зансохов_____________________Техн, редактор В. П. Гарнек
А05405 Подп, к печати 1/V1-1948 г. Уч.-изд. л. 12,93
Печ. л. 12’,4 -f- вклейка ’/8 форм. 60X92’16. Цена 6 р. 50.
Зак. 1023 Тир. 15.000
Типография Изд-ва АПН. Лобковский пер., 5/16.
ПРИЛОЖЕНИЕ
НОРМАЛЬНАЯ СЧЕТНАЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙКА. ИЗОБРАЖЕНИЕ ШКАЛ В НАТУРАЛЬНУЮ ВЕЛИЧИНУ
Общий вид
Шкали лицевой стороны корпуса
| |1А1Ц1111|Ци|ЦИ|ША|1Ш|ЦМ|>Ц^П1|Ш^1 4 £4-4_pM|-L414^*.’|'*|»-k-‘O|-l*H‘*'44UW<V|U4'W^AUl MA£j^LulUll^».HUxi-g^XU.^‘ . в ...(—4. -р"в *•' *** ч u-4‘-u-V
® 1 »||Ц|11|1тЛ»!1п4гПИПпТнп!Нп1|ПН Х>!1*—^т’**^Ячг*ч1*Я***-Л’-1Н^Т Г1*ТТ1ТПТ1 ГП П mil 11 iflTTlI nntm 11 fTH tmi^nilttlirinT"! гМпЬпМпТ7ПГ!:л.! *т! гТ f И 1 1 Г Т Ь ! . а л *- TrtnTrtiHliblrtiiThTititi'-W'r!
Шкалы лицевой стороны движка
I ! ... ..........................................

। Л
Ш1ШН1ШШ111111ПШ111 IIIIIHIIIIIIIIIinillllllllHIIIIIinHIIH I
umutMwmiiiiu
Шкалы оборотной стороны движка
НОРМАЛЬНАЯ СЧЕТНАЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙКА. ИЗОБРАЖЕНИЕ ШКАЛ В НАТУРАЛЬНУЮ ВЕЛИЧИНУ
ПРИЛОЖЕНИЕ
TV гг *»нь;.ч.ц.| rnff1 ^-•ПГ-i-'T-'l. Ч ш; г. . . ^1L... . f. . -j ; ’ *?--|-п»уНгч1-''*гтЛтаТпЛ1.1- , ..•-?,*.*.|т.-‘-I-. >,-,• -j...— t
с
• ъ •!’1 т|т г 1 .! V и т1> rtmilnv'tiH I’ll!’ . .. пн»ПТ’!гТГг1ттн*птптт1гт:Лп.Ми1, .,1 ——| Д । J ; | J_ _, .. ,
£ у —JU .фр г* 1 -i— ,.. —1""| .'ti"l""Ll|".||., ffl,rql»l,hlll|ll,.lllTul,lllll>lli,,i|l,iitiili|il,l[i!.lli,l.ll..lTmiW1|1lll1''felTlITtff!nilhlltHITI!1I^Mll^ V^lllllllllIlllllinitlllhlllllinlllllklllllllllllllllllllllllllllLtolllll^^^^ ₽•’ 0 I
Общий лид
11111^ д 111| 111 111|| 111^111Ц1111^1111 j, 1.1^, । <<||1| |^>иц1|||^п|||||||^1и||>г^.|^|>л^| < |.|и. ' | 1 I ' I ' I • |' I 1 ' 1 ]
niiiuiiiii4inliiiHimiiiiiliwAiin*nгiww iitinffi'iitiii^rmtiiimiiiniiffirwniiiriiiifiinmmiii^i'iiniirtinri'iffiiiini'w. iruiftii.iTiiiitiii4.iin' iiiiiiniiifniin.11*11 f । il imniwiivifr'iiin <-.r.;'iiir>l'’4ll^l"T I < ‘ ' fI 11
Шкалы лицевой (тороны корпуса

:iilnilihiliiiilrnihiiilnillliiii1iiN':ii;;;»ft 1 1 1 *' 11! i ll 1111111Л1111
1111111 rli irh?UitilJhlHlhlil?lhl<Htiiilililit^,it't'i •' **'*

0 —
0
Шкалы лицевой стороны движка
Шкалы оборотной стороны движка
О ПЕЧАТКИ
Стр. Строка Напечатано Должно быть
СВ. | сн.
10 23 23 35 39 57 78 82 90 95 100 100 105 112 116 119 128 137 143 5 5 II 10 17 21 5 13 15. 16. 17 5 6 12 21 1 7 11 20 8 11 16 на ст ст + до па 4 10 28 Н< о.с ме t = Идёте р. 29 р. 29 5 = 9 МИЛЛЬ ры, во 0,5 -Н 00:90 = 10’00’0 шденнс указыв '||- |М = 12 | 1 ха + 16,25 Треб 36 52 63 ’ 171 тку g = 250 Ц метра зьмите ),4 - = 111,1 126 = >е знач ает -Г 96 / 1-2 96 -1 + уют ИС ь J 10 1R -0,5. км, енке кв. см || 96 ] = правде I конце 40 54 65 t, НИЙ ка на ст ст + пр до па t 10 28 На ион ждо 0,0 ме t = идите р. 22 р. 22 5 = — ибавле милли ры воз 0,5, -t- 000:90 10’00’00 йденнс указыв /2(1 - = /3 - к < а -|- 16,52 азател й стро< 36 52 63 171 тку b = 250 1 2 или НИЯ 11. метров ьмите 0,4 - = 111 »: 126 = >е зна» ает -Г 96/ о 1 - * 96 [-' и в н тки 38 53 64 , пос число -0,5. 1 км, ьение кв. см +^1 1чале 40 54 65 t ле 9, Sa
156 168 180 181 181 14 2 13 7 10 Частного С = 84,5; 0,025 изменяющих а = 68,5 b = 29020'; — 360 . 163030’ частного х — 84,5 :0,025 изменяющихся а = 685 з = 29020' - 360 - 1630 30'
Б р а д и с. .Средства и способы элементарных вычислений"