Математические методы в физике - Арфкен Г.

Автор: Арфкен Г.
Теги: физика математика математическая физика естественные науки атомиздат
Год: 1970
Похожие
Математические методы квантовой физики
Геометрические методы математической физики
Методы математической физики
Текст
                    Г. АРФКЕН
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ В ФИЗИКЕ
Сокращенный перевод с английского
канд. физ.-матем. наук В. В. Чепкунова
АТОМИЗДАТ
МОСКВА
1970

MATHEMATICAL METHODS
FOR PHYSICISTS
GEORGE ARFKEN
DEPARTMENT OF PHYSICS
MIAMI UNIVERSITY, OXFORD OHIO
ACADEMIC PRESS New York and London
A p ф к е н f\ Математические методы в физике.
Перев. с англ. М., Атомиздат, 1970.
В монографии изложены разделы математики*
к которым наиболее часто приходится обращаться при
решении различных физических задач. Построение
книги приближает ее к справочному пособию, одна-
однако материал изложен значительно подробнее и содер-
содержит много примеров из физики; которые необходимы
для пояснений.
Книга состоит из 17 глав, в которых рассмат-
рассматриваются векторный анализ, системы координат,
тензорный анализ, матрицы и определители, бесконеч-
бесконечные ряды, функции комплексного переменно^), диф-
дифференциальные уравнения второго порядка, теория
Штурма — Лиувнлля, специальные функции, ряды
Фурье, интегральные преобразования, интегральные
уравнения, вариационный принцип.
Автору удалось найти оптимальную форму изло-
изложения, не перегруженную сложными математически-
математическими выкладками и доказательствами.
Книга рассчитана на студентов-физиков, инже-
инженеров, а также может быть полезна расчетчикам.
Рисунков — 158, таблиц — 9, библиография —
67 наименований*

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
Современное состояние науки и темпы ее развития
показывают, что ни одна из ее отраслей не может обойтись
без помощи математики, методы и приемы которой про-
проникают в такие, казалось бы, далекие и «чуждые» ей области,
как биология, медицина, гуманитарные науки и т. п. Что
же касается астрономии или теоретической, физики, то эти
науки (а первая из них существует уже тысячелетия)
вообще немыслимы без математики. Более того, математика
обязана им если не зарождением, то, по крайней мере,
развитием таких разделов, как векторный и тензорный
анализ, вариационное исчисление и т. д.
Однако с сожалением приходится констатировать, что
общий уровень математизации многих отраслей науки,
в том числе и технических, остается весьма низким, хотя
уже сейчас накопилось достаточно примеров блестящего
использования математических методов в самых необычных
разделах. Уже давно известно, что на стыках различных
наук исследователя всегда ждут неожиданные и интересные
результаты. Так вот, математика да еще, пожалуй, логика
в ее строго научном понимании всегда готовы к «стыковке»
с любой другой* наукой.
С этой точки зрения предлагаемая читателю книга
1\ Арфкена «Математические методы в физике» представ-
представляется весьма ценной. Широта охвата различных разделов
математики в сочетании с ясным, достаточно строгим
и в то же время «неотпугивающим» изложением делает
ее очень полезной. Многочисленные примеры еще более
облегчают пользование книгой, так как конкретно иллю-
иллюстрируют возможности рассматриваемых математических
методов.
Общение читателя с этой книгой можно сравнить с кон-
консультацией, которую сведущий человек получает у знаю-

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
щееоу т. е. у читателя предполагается наличие определен-
определенного математического фундамента. После первого и неотлож-
неотложного совета автор рекомендует в нужных случаях обра-
обращаться к специальной литературе.
Как пишет автор в своем предисловии, материалом для
книги послужили лекции, прочитанные для студентов.
Однако подбор и изложение материала свидетельствуют
не только просто о желании автора обучить студента мате-
математике, а, скорее, о том, чтобы человек, окончивший учеб-
учебное заведение, сумел бы воспользоваться этой математикой.
И в этом, на наш взгляд, главное достоинство книги.
Допущенные при переводе сбкращения, главным обра-
образом за счет несущественных упражнений, приводимых
в конце разделов, не затронули ни существа содержания,
ни общей конструкции книги. При переводе были -устра-
-устранены замеченные опечатки.
В. Чепкунов

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
В основу этой книги положены два курса лекций по мате-
математике, прочитанные автором для физиков за последние
14 лет; один из них читался для младших курсов, а другой
для выпускников. Книга является пособием по совершен-
совершенствованию в области математики для студентов, которые в
дальнейшем будут специализироваться по теоретической фи-
физике. Автор надеется, что на этой математической основе у
читателя выработаются определенные навыки и искусство
расчета.
Книга построена с учетом двух основных принципов.
Во-первых, текст составлен таким образом, чтобы помочь
в проведении самостоятельных выкладок. Во-вторых, хотя
по тексту часто приводятся перекрестные ссылки, каждую
главу можно изучать отдельно, независимо от других.
Язык математики и методы этой науки, как в этом
убедится читатель, имеет свою красоту и изящество. К сожа-
сожалению, эту красоту способен увидеть не каждый: ее в пол-
полной мере может оценить знаток, тогда как для начинаю-
начинающего она останется незамеченной. Поэтому, стараясь,
насколько это возможно, обратить внимание именно
на внутреннюю стройность и изящество математических
выкладок, автору приходилось намеренно жертвовать ими
с тем, чтобы изложение приобрело большую гибкость
и ясность именно для студентов.
То же самое можно сказать и о математической стро-
строгости. Автор не ставил перед собой цели довести логику
и строгость изложения до такого уровня, который затруд-
затруднял бьгпрактическое использование математического аппа-
аппарата, В книге везде приводятся объяснения вводимым
ограничениям и делаются предупреждения против сле-
слепого и неосмысленного применения математических фор-
формул.

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Второй основной принцип построения книги заклю-
заключается в том, чтобы дать возможность читателю обоснованно
подходить к решению различных задач и проиллюстри-
проиллюстрировать взаимосвязь математики с теоретическими и при-
прикладными науками.
Этот же принцип сыграл также основную роль при
подборе и расположении материала. Например, в главе
о ди4ференциальных уравнениях основной упор делается
не на ряд абстрактных и сравнительно малопонятных
доказательств, которые для непосвященного имеют харак-
характер математических головоломок, а на решения и общие
свойства этих уравнений, с которыми студенты чаще всего
сталкиваются на практике.
Безусловно, при написании книги такого типа автор
пользовался помощью и испытывал на себе влияние многих
людей. Я весьма благодарен профессорам, которые были
моими учителями по физике и математике и воспитали
во мне любовь к этим наукам. Я благодарю также моих
коллег за их помощь и ценную критику. Особенно хочется
отметить критические замечания и реакцию студенческой
аудитории, которой я читал лекции, послужившие основой
для этой книги.
Г, Лрфкен

ГЛАВ|А 1
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
В науке и технике часто встречаются величины, которые
вполне определяются одним числом, так называемой
абсолютной величиной, например масса, время, темпера-
температура и т. д. Эти величины называют скалярными. Однако
многие физические величины определяются не только чис-
числом, но и направлением, например перемещение, скорость,
ускорение, сила, импульс и момент количества движения.
Эти величины называют векторными. Чтобы отличать век-
векторные величины от скалярных, в дальнейшем будем обо-
обозначать их прямым жирным шрифтом (V.)
Интересно заметить, что все перечисленные векторные
величины заимствованы из механики, однако при развитии
механики векторный анализ не был использован; более
того, он еще не был создан. Потребность в векторном ана-
анализе возникла после того, как Максвелл разработал элек-
электромагнитную теорию и. стала ясна векторная природа
электрического и магнитного полей.
Графически любую векторную величину (в дальнейшем
будем называть ее вектором) удобно представлять стрелкой,
длина которой пропорциональна величине вектора, а направ-
направление определяет направление вектора. За положительное
принято направление, указанное этой стрелкой. При таком
определении сумма векторов
С = А + В A.1)
означает совмещение начала вектора В с концом векто-
вектора А. Стрелка, соединяющая начало вектора А с концом
вектора В, определяет вектор С. Эта процедура сложения
векторов по правилу треугольника — уравнение A.1)—
проиллюстрирована на рис. 1.1, Дополняя полученный
треугольник до параллелограмма, видим (рис. 1.2), что
A.2)

8
ГЛАВА 1. 'ЙЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Правило параллелограмма сложения векторов можно
наглядно иллюстрировать следующим образом. Пусть груз
Рис. 1.1. Правило треуголь-
треугольника при сложении векторов.
Рис. 1.2. Правило параллело-
параллелограмма при сложении векторов.
подвешен за две веревочки. Если точка подвеса О (рис. 1.3)
находится в покое, то векторная сумма двух сил Fi и F2
уравновешена направленной вниз силой тяжести F3.
Рис. 1.3. Равновесие сил
;F2 = —
В приведенном примере правило параллелограмма про-
проверяется непосредственно *,
Отметим, что под векторами понимаются геометрические
объекты, не зависящие от системы координат. Более того,
* Строго говоря, сложение по правилу параллелограмма вве-
введено как определение. Приведенный пример показал, что если
при построении параллелограмма создано условие равновесия,
а силы — векторы, то результирующая сила равна нулю.

1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
мы даже еще и не. вводили никакой системы координат.
Это свойство независимости вектора от системы координат
более подробно рассматривается в следующем разделе.
Представление вектора А в виде направленной стрелки
дает возможность определить его несколько иначе. Век-
Вектор А (рис. 1.4), направленный из начала системы отсче-
отсче* ( ) С
та
р
*
оканчивается в точке
у и
Следовательно,
Рис. 1.4. Компоненты вектора в декартовой системе
координат.
если мы условимся, что начало вектора совпадает с нача-
началом координат, то положение его конца может быть опре-
определено декартовыми координатами (jc1} yl9 zt) его стрелки.
Символом А можно обозначить любую векторную вели-
величину (импульс, напряженность электрического поля и т. д.),
однако некоторые векторные величины, например расстоя-
расстояние от начала координат до точки (xit yif 2t), обозначают
специальным символом г (его называют радиусом-вектором).
Причем произвольно это расстояние можно обозначать
либо г, либо совокупностью координат (xit у и zt) конца
вектора:
г = (*i, jh.Zi).. A-3)
* Читатель может убедиться, что начало вектора мы могли
поместить в любую точку декартовой системы координат. Начало
системы выбрано из соображения простоты,

10
ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Обозначим символом г абсолютную величину радиуса-
вектора. Легко убедиться (рис. 1.5), что координаты конца
вектора связаны с абсолютной величиной вектора соотно-
соотношениями
= г cos a, i/1 =
A.4)
Здесь cos а, cos p и cos у — направляющие косинусы,
а а, р, у — соответственно углы между данным вектором
Рис. 1.5. Направляющие косинусы.
и положительными направлениями осей х, у, г. Величи-
Величины х{, ух и Zi называются компонентами (декартовыми)
радиуса-вектора г или его проекциями.
Любой вектор А можно разложить на компоненты (или
спроектировать на координатные оси):
Ах = A cos a.
A.5)
Данный вектор можно представлять либо символом А, либо
компонентами (Axt Ayt Л2).
Введем теперь единичные векторы в направлении каждой
из координатных осей. Пусть I, j, k — соответственно век-
векторы единичной длины, направленные вдоль положитель-
положительных полуосей х, у, г. Тогда \АХ — вектор, величина кото-
которого равна Ах, а направление совпадает с положительным
направлением оси х. Согласно операции векторного.

1.2. ПОВОРОТ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ \\
сложения, \
о-в)
откуда следует, что вектор равен векторной сумме своих
компонент. Заметим, что если А = 0, то каждая из его
компонент в отдельности также равна нулю Ах = Ау =
= Аг — 0. В соответствии с теоремой Пифагора абсолют-
абсолютная величина вектора А равна А — (Л? + Л? + Л|I/2.
В гл. 2 будет показано, что разложение вектора на компо-
компоненты можно произвести и в других системах координат.
Здесь ограничимся только декартовыми координатами.
Сложение и вычитание векторов можно выполнить,
используя компонентное представление. Для А = \Ах-\-
-\-\Ay + кЛг и В = \ВХ + \ВУ -f'kBz справедливо
A.7)
Пример. Пусть A=6i-j-4j + 3k, B—2i —3)—3k, тогда
A —B = 4
Упражнения
1. Определить А и В по заданным A-f-B и А—В.
2. Вектор А, длина которого равна 10, составляет равные углы
с осями координат. Найти Ах, Ау и Аг.
3. Определить компоненты единичного вектора, который лежит
в плоскости ху и составляет равные углы с положительными направ-
направлениями осей х и у.
1.2. ПОВОРОТ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Определение вектора заданием его абсолютной вели-
величины и направления не вполне строгое. Есть величины,
например коэффициент упругости и коэффициент прелом-
преломления в анизотропных кристаллах, которые характери-
характеризуются абсолютной величиной и направлением, но тем
не менее не являются векторами. Кроме того, данное
наглядное определение вектора неудобно и не может быть
обобщено на более сложные величины, поэтому дадим новое
определение вектора, используя для этой цели радиус-
вектор г.
Для введения нового определения имеются важные
физические причины. Мы описываем окружающий нас

i2
г л А в A i. векторный
мир с помощью математики, но любое физическое описание
должно быть независимым от математического аппарата.
Иногда сравнивают физическую теорию с сооружением,
а математический аппарат со строительными лесами, без
которых невозможно возвести это сооружение. В конце
•Л'
Рис. 1.6. Вращение декартовой системы координат.
строительства леса убирают и взору открывается закон-
законченное здание.
В дальнейшем будем предполагать, что пространство
изотропно, т. е. отсутствует какое-либо выделенное направ-
направление или, иначе, все направления равноправны. В этом
случае исследуемая физическая система или сформулиро-
сформулированный физический закон не должны зависеть от выбора
или от ориентации системы координат.
Теперь мы вновь обратимся к радиусу-вектору г как
геометрическому объекту, не зависящему от системы коор-
координат. Рассмотрим г в двух различных системах, одна
из которых повернута относительно другой. Для простоты
ограничимся сначала двумерным случаем. Если коорди-
координатные оси х и у повернуты против часовой стрелки на
угол ф и при этом положение радиуса-вектора г фиксиро-
фиксировано, можно записать следующие соотношения, связы-
связывающие компоненты радиуса-вектора в неподвижной систе-

.2. ПОВОРОТ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
ме с компонентами того же вектора в повернутой (рис. 1.6):
х1 — х cos ф + у sin ф, у' = — х sin ф + у cos ф. A.8)
Мы видели в разд. 1.1, что вектор можно представить
с помощью координат его концевой точки, иными словами,
координаты этой точки пропорциональны компонентам
вектора. Следовательно, компоненты вектора должны пре-
преобразовываться при повороте координатных осей так же,
как координаты точки (или как радиус-вектор г). Более
того, если любая пара величин (Ах> Ау), заданных в декар-
декартовой системе координат ху, преобразуется в {Ах, Ау)
поворотом системы координат так, что
А'х — Ах cosy+ АУ sin у, А'у = — Axs\n<$-\-AyQ.osy, A.9)
то мы считаем Ах и Ау компонентами вектора А. Наш
вектор определен теперь законом преобразования его ком-
компонент при повороте системы координат. Если Ах и Ау
преобразуются так же, как компоненты двумерного радиу-
радиуса-вектора, они являются компонентами вектора А. Если
Ах и Ау ведут себя при повороте системы координат иначе,
то из этих величин нельзя образовать вектор.
Чтобы сделать определение вектора более полным,
необходимо выяснить смысл величин Ах и Ау в уравне-
уравнениях A.9). Предположим, что компоненты А — функции
координат и, кроме того, некоторого постоянного век-
вектора с:
Ах = Ах (х, у, сх, су), Ау = Ау (х, у, сх, су). A.10)
В повернутой системе координат А имеет компоненты Ах
к Ау> которые также зависят от координат этого вектора
(в этой же системе) и с:
Л;=Л;(х',г/',4,^), А'у=Ау{х\у',сх,су). A.11)
Используя уравнения A.8), координаты х\ у\ с'х, су можно
выразить через координаты неподвижной системы и угол
поворота ф. Вообще должна4существовать некоторая зави-
зависимость от угла поворота. Однако такая зависимость
от ориентации нежелательна. Она означает, что, вопреки
исходному предположению, можно выделить некоторую
преимущественную систему. Поэтому мы ограничимся
функциями, которые не зависят от ориентации. Очевидно,

14 г л А в A i. векторный
в частном случае, когда ер = 0, Ах = А'х, Ау ~ А'у. Ясно,
что А'х и Ау зависят от *', у'', сх и су так же, как Ах и Ау
от х, у, сх, су.
Пример 1. Дана пара величин (—у, х). Показать, что эти
величины образуют двумерный вектор.
Исследуем, как преобразуются эти величины при повороте системы
на угол ф. Имеем
V'x= — ycosq>-\~xsiny, V =#sin<p~f*cos ф}
где Vx—— у, Vy — х. Используя A.8), получаем V'x=—у\ V'y—x',
т. е. данная пара величин удовлетворяет уравнениям A.9), опреде-
определяющим двумерный вектор. Таким образом, пара (—у, х) представ-
представляет собой компоненты вектора.
Пример 2. Рассмотрим V=i;t—j#-=(#, —у)' Согласно A.9),
V'x = x'~xcosqi-\-ysin<p, ^y~—у' = х&\пу—г/соэф. Подставляя
Vx — x и У^ = — //, получаем
V'x — Vx cos ф—Vy sin ф, V = Ул sin Ф+^ cos ф.
Эти соотношения не удовлетворяют данному определению вектора.
Следовательно, пара (я, —у) не может быть вектором.
Многие авторы предпочитают называть функции Ах и Ау>
удовлетворяющие уравнениям A.9), компонентами (дву-
(двумерного) векторного поля. Однако в отличие от векторных
полей существуют постоянные векторы, например i и j,
которые вообще никак не преобразуются, т. е. зависи-
зависимость Г от х1 и у1 такая же, как и от х и у. Действительно,
вектор i вообще не зависит от х и у и является постоянным.
Для перехода к трех- и «-мерному пространству удобно
воспользоваться более компактной записью. Пусть
"*" ' 12 \ A.12)
у = х2, a2i= — вшф, с
Тогда уравнения A.9) можно переписать так:
Коэффициент ац можно отождествить с направляющими
косинусами (как косинусом угла между х\ и х3)> т. е.
aZi
— cos (х'2, xt) ~ cos (ф + 4М = "" 3^п Ф»

1.2. ПОВОРОТ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 15
Преимущество новой записи * в том, что можно ввести
символ суммирования 2 и переписать уравнения A.13)
в виде
2
« = 1. 2. A.14)
Заметим, что индекс t оставлен здесь как параметр, кото-
который дает первое уравнение, если положить его равным 1,
и второе уравнение, когда он равен 2. Очевидно, / — индекс
суммирования и, так же как и переменная интегрирования,
может быть обозначен любой другой буквой.
Теперь очень легко произвести обобщение на случай
трех, четырех и более измерений. Набор из N величин Vj
определяет компоненты Af-мерного вектора V тогда и только
тогда, когда значения этих величин в повернутой системе
координат задаются с помощью формулы
J, t = l, 2, ..., N. A.15)
Как и раньше, ац есть косинус угла между х\ и Xj.
Исходя из определения ац как косинуса угла между
положительными направлениями осей лч, и xjt можно запи-
запи*
сать в декартовых координатах **
дх\ dxj
- AЛ6)
Подчеркнем, что это частные производные. Подставляя
A.16) в A.15), получаем
^
* Читателя может удивить замена одного параметра ср четырь-
четырьмя: aij. Очевидно, что коэффициенты aij не дают минимального
б В й фф
ij фф ij
набора параметров. В случае двух измерений четыре коэффициен-
коэффициента 4j удовлетворяют трем соотношениям, записанным в форме A.18).
Оправданием для более многословной записи набора направляющих
косинусов служит удобство такой записи. Это станет более очевидным
при чтении гл. 3 и 4.
** Нужно продифференцировать^ = 2а*\7*7 по */'
суждение формулы A.21).

16 ГЛЛВА I. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Направляющие косинусы а^ удовлетворяют условию
ортогональности
^ = bih, A.18)
или, что то же самое,
Здесь бд—дельта-символ Кронекера, определенный как
'* 1 0 для /
Подстановкой ац из A.12) легко убедиться, что уравне-
уравнения A.18) и A.19) справедливы и для двумерного случая.
В результате для j — k имеем хорошо известное тождество
sin2 ф + cos 2ф = I.
Чтобы убедиться в справедливости уравнения A.18)
в общем случае, можно использовать выражение A.16):
дх'{ — Zi ax: dxk ~ dxk *
Последнее равенство в A.21) вытекает из обычных правил на-
нахождения частной производной в предположении, что Xj есть
функция х'1У х'2, x's и т. д. Конечный результат, dxjldxht
равен б/ь, так как Xj и xk (j Ф k) предполагаются взаимно
перпендикулярными (для двух или трех( измерений) или
ортогональными (для любого числа измерений). Очевидно,
если / = ky частная производная равна 1.
В новом определении вектора через закон преобразо-
преобразования его компонент следует обратить внимание на два
момента: Цоно удобно для описания различных физических
явлений; 2) служит основой для перехода к новому разделу
математики — тензорному анализу (гл. 3).
Упражнения
1. Задан постоянный вектор V с компонентами Vx~l и Vy~0.
Показать, что компоненты этого вектора в повернутой системе коор-
координат имеют вид: V'x~cosq>, V'y~—sinq>, что соответствует закону
преобразования векторов. Очевидно, зависимость от угла <р можно

КЗ. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 17
было ожидать заранее. Введя постоянный вектор, мы выделили опре-
определенное направление в пространстве.
2. Определить, удовлетворяют ли закону векторного преобразова-
преобразования A.15) величины: (х—у, х-\-у, 0) при повороте вокруг оси г;
@, 2z-\-y, z—2y) при повороте вокруг оси х\ (#a-f z2, — ху —xz)
при повороте вокруг каждой из координатных осей.
3. Показать, что {хусх-\-уЧу>—хЧх—хусу) образует вектор.
Величины сх я Су являются компонентами постоянного вектора с.
Проделать то же для {хусх—х*су1 у2сх—хусу).
4. Исследовав вращение вокруг любой из координатных осей,
ответить на вопрос, являются ли три функции Vx~ai (xa + #2 + z2),
yy = az{x^~^-y2-\-z2) и Vz~a3(x%~\-y*-\-z*) компонентами вектора
(a t — постоянные).
5. Двумерный вектор V задан в виде {ax~\-by, cx-\-dy)t где а,
Ь, с и d—постоянные. Доказать, что вектор V есть линейная комби-
комбинация радиального вектора r = i*-f~j# и тангенциального вектора
Замечание» Закон векторного преобразования должен соблюдаться для
любых углов и любых точек (дс, )
Г
1.3. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Определив векторы, можно перейти к рассмотрению
их произведения. Законы перемножения векторов должны
быть математически непротиворечивыми. Из всех возмож-
возможных определений перемножения векторов выберем два,
которые представляют интерес как с математической, так
и с физической точки зрения. В гл. 3 будет дано еще одно
определение.
Произведение вида ЛВ cos 0 (в котором Л и В — абсо-
абсолютные величины двух векторов; 0 — угол между ними)
встречается в физике довольно часто. Например, выражение
работа = сила х перемещение X cos 0
обычно рассматривается как произведение перемещения
(пути) и проекции силы на направление вдоль него.
Определим скалярное произведение векторов А и В сле-
следующим образом:
A.22)
Заметим, что из определения A.22) следует А«В= В-А.
Единичные векторы i, j и к удовлетворяют соотношениям
i = j.j = k-H = J,

18
ГЛАВА I. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
тогда как
A.226)
Если переориентировать оси и направить новую ось х
вдоль А* (рис. 1.7), то Ах ~ Л, Ау = О, Az = О и Вх =
= В cos 9. В этом слу-
случае на основании фор-
формулы A.22) получим
соотношение
Рис. 1.7. Скалярное произведение
АВ = АВ cosG.
A.23)
которое можно принять
в качестве второго опре-
определения скалярного про-
произведения. Оно показы-
показывает, что работа есть
скалярное произведение
силы на перемещение.*!
Пример. Используя A,22) для двух векторов, определенных
в примере из разд. 1.1, получаем А*В = A2—12—9) — — 9. "В этом
случае проекция А на В (или В на А) отрицательна. Действительно,
[А| = C6+16 + 9I/2 = 7,82, |В1 = D19 + 9I/2 = 4,70 и cos 9 = 0,408,
0=114,1°.
Если А- В = 0 и при этом известно, что А Ф 0 и В Ф 0,
то на основании A.23) cos 9 = 0 или 6 = 90°, 270° и т. д.
В этом случае векторы А и В должны быть взаимно перпен-
перпендикулярны, иначе говоря, А и В ортогональны. Единичные
векторы i, j и к являются ортогональными векторами.
Для дальнейшего развития понятия ортогональности
предположим, что п — единичный вектор, а г — ненулевой
вектор, лежащий в плоскости ху, т. е. г = he + )у (рис. 1.8).
Если пг — 0 при любых г, то п перпендикулярен (орто-
(ортогонален) к плоскости ху.
Мы еще не убедились в оправданности слова скалярное,
т. е. пока еще не доказано, что скалярное произведение
есть действительно скалярная величина. Для этого нужно
* Инвариантность А-В относительно поворота координат до-
доказывается ниже.

LS. СкАлЯРНбЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
исследовать поведение произведения А-В при повороте
координатной системы. С помощью A.15) представим ска-
п
Рис. 1.8. Нормальный, вектор.
лярное произведение в виде
А?Вь +А'уВу+ A'ZB'Z = 2 (btAt 2
+ 2 OytAt S VvjBj + S aziAi 2 aZJBj.
i 2 г у
Используя индексы k, /, получаем
A.24)
__ A.25)
h I i з
Перегруппировав далее члены, придем к соотношению
2 A'kBrk=222 (auuiMtBj=22 MA=2 ЛА.
к г з I i з i
A.26)
Последние две операции произведены с учетом ортогональ-
ортогональности направляющих косинусов A.19) и определения б-сим-
вола Кронекера A.20), благодаря которому в уравне-
уравнении A.26) суммирование по / исчезло. Конечно, можно
положить i = j и исключить суммирование по i. Уравне-

f Л А в А 1. вйкто*>йый АнАлЙз
иие A.26) приводит к равенству
2 Aft-2 ^А. A.27)
ft i
соответствующему определению скалярной величины, кото-
которая инвариантна относительно поворота системы коор-
координат.
Аналогично рассмотрим произведение вектора С =
= А + В на самого себя, используя инвариантность ска-
скалярного произведения:
B + 2AB. A.28)
Квадрат абсолютной величины вектора С
С-С^С2 A.29)
является инвариантом, следовательно, произведение
А-В--(С2-Л2 —В2) A.30)
инвариантно относительно поворота системы координат,
поскольку инвариантна правая часть уравнения A.30).
Следовательно, А- В — скаляр.
Уравнение A.28) можно записать в иной форме
С2 = Л2 + В2 + 2ЛВ cos 9, A.31)
которая называется1 законом косинусов (рис. 1.9). Сравни-
Сравнивая уравнения A.28) и A.31), мы еще раз проверяем урав-
уравнение A.23) и убеждаем-
убеждаемся в векторной природе
закона косинусов.
Интересно проиллю-
проиллюстрировать геометриче-
_ ъ^. j.— СКИЙ смысл скалярного
произведения на приме-
Рис. 1.9. Закон косинусов. ре из общей теории отно-
относительности. Рассмотрим
четырехмерную сферу х% + у2 + z2 + ш2 = 1 в простран-
пространстве (а:, у, z, w). Поверхность этой сферы может быть
задана вектором г = (х, yt z, w), на который наложено
условие | г | = 1. Построим единичный вектор t, касатель-
касательный к поверхности этой сферы. В качестве одного из
возможных примеров возьмем t = (у, —xt w, —z). Чита-

U. §ек.т6?н6е прОйЗвёДеййё
й\
тель может проверить, что t*t = 1, откуда ясно, что это
единичный вектор; кроме того, t-r = 0, следовательно, это
касательный вектор в любой точке поверхности сферы.
Существует двумерный аналог (см. упр. 1 к разд. 1.1),
однако трехмерного аналога нет.
Упражнения
1. Разложением скалярного произведения показать, что если два
вектора имеют направляющие косинусы at, р4, у4 и а^у Рг» Уг соот-
соответственно, то
cos 8 = ata2 + P1P2+Y1T2»
и B=i
где 6 —угол между двумя векторами.
2. Найти косинус угла между векторами A =
— j-f-k. Ответ: cos 9 = 0, 0 —л/2.
3. Два единичных вектора а* и ау- либо параллельны, либо перпен-
перпендикулярны. Показать, что условие ортогональности направляющих
косинусов A.18) следует из скалярного произведения этих векторов
1.4. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Вторая форма перемножения векторов связана с исполь-
использованием синуса угла, заключенного между двумя векто-
векторами. Например, момент „.
количества движения
определяется как произ-
произведение длины плеча на
импульс или как произ-
произведение расстояния до
тела на импульс и на
sin 0 (рис. 1.10).
Для рассмотрения
различных задач, связан-
связанных с такими величина-
величинами, как момент количе-
количества движения, момент
инерции, угловая ско-
скорость, определим векторное произведение в виде
С = АхВ, A.32)
где С — АВ sin 8. В отличие от скалярного произведения
в данном случае С уже вектор, и мы, по определению, пола-
Рис. 1.10. Момент количества дви-
движения (р — импульс; 1 — длина пле-
плеча; г — расстояние до тела).

ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
гаем, что этот вектор перпендикулярен к плоскости векто-
векторов А и В, а направление его таково, что совокупность
векторов А, В и С образует правую систему коордииат.
При указанном выборе направления имеем
АхВ=—ВхА (антикоммутация). A.32а)
Из определения векторного произведения следует
- k v к — О П 326^
A.32b)
тогда как
ixj-k, jxk = i, kxi = j, ixl= —kt
kVi i Jvk 1
Л J — — 1> 1Лл — J.
Векторное произведение имеет важную геометрическую
интерпретацию, которой мы воспользуемся в дальнейшем.
В sin В
Рис. 1.11. Представление векторного произведения
в виде параллелограмма.
В параллелограмме, образованном векторами А и В
(рис-. 1.11), В sin 9 равно высоте, если вектор А принят
за основание. Тогда | А X В | =-- ЛВ sin 0 — площадь па-
параллелограмма. Итак, вектор Ах В перпендикулярен
к плоскости параллелограмма, образованного векторами
А и В, и по абсолютной величине равен его площади.
Попутно заметим, что уравнения A.32в) и видоизменен-
видоизмененное A.326) стимулировали возникновение нового класса
чисел кватернионов. При этом A.326) переписывают в виде

1.4. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
23
Другое определение векторного произведения С = А х В
связано с записью компонент вектора С:
\jy —
'Z1
A.33)
или
Ci^AjBk — AkBj, i, /, & —все различны, A.34)
с циклической перестановкой индексов i, /, k. Векторное
произведение С удобно записать в виде определителя
(см. разд\ 4.1)
с=
Л Л А
Х Г\у Г\1
Вх By Bj
A.35)
разложение которого по верхней строке дает три компо-
компоненты С, записанные в виде A.33).
Пример. Пусть А = 6i -{- 4j -j- Зк, В = 2i — 3] — Зк. Тогда вектор-
векторное произведение
1 J k
6 4 3
2 —3 —3
=^=1 (—12 + 9) — j (—18—6)-f-k (—18—8) =
—26k.
Чтобы[показать эквивалентность определений векторного
произведения A.32) и A.33), рассмотрим скалярные произ-
произведения А-С и В-С. Исходя из определения A.33), получаем
+ Ау (AZBX - AXBZ) + Az (AxBy - AyBx) = 0. A.36)
Аналогично
= 0. A.37)
Уравнения A.36) и A.37) показывают, что вектор С пер-
перпендикулярен и к вектору А, и к вектору В (cos 6 = 0,6 —
= ± 90°) и, следовательно, перпендикулярен к плоскости,
в которой они лежат. Положительное направление опре-
определяется дополнительным условием, например i x j = k
(С=+АХВУ). . '

24 Г Л А В А I. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Рассмотрим далее произведение
(А х В).(А х В) = Л2В2-(А-ВJ =
= Л2В2-Л2В2со829 = Л2В2зт2е, A.38)
откуда
С = ЛЯ sine. A.39)
В уравнении A.38) мы разлагали векторное произведение
А х В на компоненты в виде A.33) и затем использовали
формулы скалярного произведения A.22). Из уравнений
A.36), A.37) и A.39) следует, что два определения вектор-
векторного произведения A.32) и A.33) эквивалентны.
Остается теперь доказать, что С = А X В действитель-
действительно вектор, т. е. подчиняется закону преобразования векто-
векторов A.15). В повернутой системе координат
C'i = Aj B'k — AbB'j = 2 А/Иг S аЬтВтп — S аМ M 2 ajm Bm —
I m l m
= 2 {ajiajtm—aMajm) АгВт> A.40)
l
где t, /, k берутся в циклическом порядке. Выражение
в скобках исчезает при т = I. Поэтому индексы / и k при-
принимают определенные значения в зависимости от выбора i
и шести комбинаций I я т. Если / = 3, то / = 1, k — 2
(циклический порядок), и мы получаем набор направляю-
направляющих косинусов
A.41)
и соответствующих отрицательных величин. Уравнения
A.41) тождественно удовлетворяются при подстановке
в них направляющих косинусов. Подставив A.41) в урав-
уравнение A.40), получим
-f aszAsBi + а31АгВ3 — йпА^—а32А 4В3 —
-42)
п
Переставляя индексы, получаем С[ и C'2t после этого легко
установить, что условие A.15) выполнено и, следователь-
следовательно, С действительно вектор. Необходимо подчеркнуть здесь,
4TQ векторная природа векторного произведения непосред-

1.4. векторное произведение 25
ственно связана с трехмерностью нашего пространства *.
В гл. 3 показано, что векторное произведение можно трак-
трактовать как антисимметричный тензор второго ранга.
Упражнения
1. Даны векторы A = 2i + 4j-j-6k и В == 3i—3j—5k. Определить
скалярное и векторное произведения А>В и Ах В.
2. Показать, что (А— В).(А4-В) = Л2—В*, (А—В)х
= 2АхВ, Необходимые для этих доказательств формулы
легко проверить, разлагая векторы на компоненты в декартовой
системе координат.
3. Координаты вершин треугольника заданы точками B, 1, 5),
E, 2, 8) и D, 8, 2). С помощью векторного анализа определить
площадь треугольника.
4. Даны три вектора P = 3i+2j — k, Q= —6i—4j+2k, R = i —
— 2j — к. Определить, какие два из них взаимно перпендикулярны
и какие два параллельны или антипараллельны друг другу.
В
Рис. 1.12. Сферический треугольник.
5. Используя векторы P=i cos0~f-jsin0, Q = i costp— jsincp,
R—i cos<p-J-jsin<p, доказать известные тригонометрические формулы
sin (Э + ф) = sin 0 cos <p-{- cos 9 sin <p, cos @ + ф)—cos 0 cos (p—sin 0 sin (p.
* Соотношения A,41) справедливы только для трехмерного
ространства.

26 Г Л А В А 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
6. Определить вектор А, перпендикулярный к векторам
-k, V = i—j + k.
Каким должен быть вектор А, если дополнительно потребовать,
чтобы он по абсолютной величине был равен единице?
7. Четыре вектора а, Ь, с и d лежат в одной плоскости. Пока-
Показать, что (axb)x(cxd)~0. Замечание. Обратить внимание на направ-
направления векторных произведений.
8. Найти стороны и углы сферического треугольника ABC
(рис. 1.12), определенного векторами А=A, 0, 0), B=(l/'j/2,0, l/y'2),
С —@, l/|/2, i/]/2j. Начало каждого вектора совпадает с началом
координат.
9. Магнитная индукция В определена уравнением Лоренца
где V—скорость электрического заряда q, a F—сила, действующая на
заряд.
При выполнении трех экспериментов установлено, что: 1) v=i, F/q —
= 2k—4j; 2) v-j, F/q = 4\ — k; 3) v = k, FJq = \— 2i. По резуль-
результатам этих экспериментов найти магнитную индукцию.
Ответ: В = i-{-2j + 4k.
1.5. СМЕШАННОЕ И ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
ТРЕХ ВЕКТОРОВ
В разд. 1.3 и 1.4 было рассмотрено два типа перемноже-
перемножения векторов. Однако имеются комбинации трех векторов,
А-(В X С) и А X (В X С), которые встречаются довольно
часто, и поэтому их целесообразно рассмотреть дополни-
дополнительно. Комбинация векторов А-(В X С) известна как
смешанное произведение. Произведение В X С дает век-
вектор, который затем умножается на вектор А, в резуль-
результате получается скаляр. Заметим, что (А- В) X С есть умно-
умножение скаляра на вектор, а такая операция еще не опреде-
определена. Поэтому заранее условимся не рассматривать данную
операцию, тогда можно опустить скобки и записать сме-
смешанное произведение в виде А • В X С.
Используя формулу A.33) для векторного произведения
и формулу A.22) для скалярного произведения, получаем
А • В х С = Ах (ByCz - BjOy) + Ау (BZCX - BXCZ) +
= -ACxB=-CBxA= — BAxC и т. д. A.43)

1.5. СМЕШАННОЕ И ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 27
Следует отметить высокую степень симметрии в записи
A.43) через компоненты векторов. Каждый член содержит
множители Л г, Bj и Си- Если индексы i, / и k располагаются
в циклическом порядке относительно х, у, г, то член имеет
положительный знак. Если эти индексы расположены
Рис. 1.13. Представление тройного скалярного
произведения в виде параллелепипеда»
в обратном порядке, то соответствующий член имеет знак
минус. Далее, последовательность скалярного и векторного
умножения можно изменить:
А-ВхС-АхВ-С. A.44)
Удобно представить смешанное произведение через опре-
определитель (см. разд. 4.1):
А-ВхС-
Вх
Сх
'у
в,
A.45)
Из правил замены в определителе строк на столбцы сразу
же следуют перестановочные соотношения A.43), тогда
как симметрия векторов А, В и С в такой записи обеспечи-
обеспечивает выполнение условия A.44).
Смешанные произведения, использованные в разд. 1.4
для доказательства перпендикулярности векторного произ-
произведения А X В к векторам А и В, были лишь частными
случаями общего результата A.43).

( 28 ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Смешанное произведение имеет наглядную геометри-
, ческую интерпретацию. Три вектора А, В и С образуют
параллелепипед (рис. 1.13):
| В X С | = ВС sin 6 = площадь параллелограмма. A.46)
Вектор В х С направлен, конечно, перпендикулярно к пло-
плоскости параллелограмма, лежащего в основании парал-
параллелепипеда. Скалярное умножение А на этот вектор озна-
означает умножение площади параллелограмма на проекцию
вектора А на нормаль к плоскости, или, иначе, умножение
площади на высоту параллелепипеда. Следовательно, А- В X
X С равно объему параллелепипеда, построенного на век-
векторах А, В и С.
Пример 1. Для векторов А = I-f-2j—k, B = j |-k, C=i—j
1 2 -1
A-BxC= Oil. A.47)
I -1 0 ,
Разложив определитель по верхней строке, получим 1@4-1) — 2@—
— 1)—1 @—1)=4. Это объем параллелепипеда, определенного векто-
векторами А, В и С. Читатель должен заметить, что в некоторых случаях
произведение А»ВхС может быть отрицательным.
Рассмотрим теперь двойное векторное произведение, кото»
рое,имеет вид А X (В X С),.В данном случае скобки необ-
необходимо сохранить, в чем можно убедиться, остановившись
на специальном случае:
iX (iX j) = ixk= — j, но (ixi)Xj = 0. -A.48)
Указанное произведение трех векторов само является век-
вектором; это следует из определения векторного произведе-
произведения. Кроме того, мы видим, что результирующий вектор
перпендикулярен к А и В х С. Плоскость, определенная
векторами В и С, перпендикулярна кВхС, и, следователь-
следовательно, вектор А х (В X С) лежит в этой плоскости. Это озна-
означает, что вектор А X (В X С) должен быть линейной ком-
комбинацией векторов В и С. Исходя из сказанного, находим[
соотношение
А х (В х С)«В(А-С)-С(А-В), A.49) >
известное под названием правила ВАС — САБ. Этот резуль-'
тат можно проверить путем прямого, хотя и громоздкого,»
метода разложения векторов на компоненты (см. упр. 1). •

1.5. СМЕШАННОЕ И ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 29
Следует заметить, что как векторы, так и векторное
уравнение также не зависит от выбора системы координат.
Она определяет лишь компоненты вектора. Поэтому если
векторное уравнение записано для декартовой системы
координат, то оно сохраняется и остается справедливым
и в любой другой системе координат (см. гл. 2).
Пример 2. Используя три вектора, заданные в примере 1,
с помощью уравнения A.49) получаем
В подробной записи
ВХС =
t j к
0 1 1
1 —1 О
и
i j к
1 2 —1
1 1 —1
С помощью смешанного и двойного векторного произведе-
произведений можно упростить другие произведения векторов.
Смешанное произведение находит интересное приме-
применение при построении обратной кристаллической решетки.
Пусть a, b и с (не обязательно взаимно перпендикулярные)—
векторы, определяющие кристаллическую решетку. Рас-
Расстояние между двумя точками решетки г = даа+«ьЬ +
.+ псс, где па, пънпс— некоторые целые числа. С помощью
заданных векторов запишем соотношения.
bXc L, сха _, axb n -ЛЧ
г. A.50)
а'
с =
а-Ьхс ' а-Ьхс
Мы видим, что а' перпендикулярен к плоскости векторов
b и с и по абсолютной величине пропорционален а. Дей-
Действительно, легко показать, что
Последние уравнения определяют так называемую обрат-
обратную решетку. Обратная решетка связана с задачами по
рассеянию волн на различных плоскостях кристалла
*
* Подробнее см. Leigton R. В. Principles of Modern Phy-
Physics. N.Y., McGraw-Hill, 1959, p. 440—448.

30 ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Упражнения
1. Доказать формулу Ах(ВхС) = В (А-С)~С(А«В).
2. Показать, что ax(bxc) + bX(cXa)-f cX(axb) = 0.
3. Вектор А разложен на радиальный Аг и тангенциальный вектор
А*» Го—единичный вектор в радиальном направлении. Показать, что
Аг = г0(А-г0) и Af=— ГоХ(гоХА).
4. Доказать, что необходимым и достаточным условием компла-
компланарности трех (ненулевых) векторов А, В и С является равенство
нулю смешанного произведения А»ВхС = 0.
5. Даны три вектора A = 3i — 2j + 2k, B = 6i-Hj —2k, C =
= -3i—2j-4k. Найти A-BxC и Ах(ВхС), СХ(АХВ)иВх
X(CxA).
6. Сила F действует на тело, помещенное в точке г. Показать,
что результирующий момент L относительно любой из осей, прове-
проведенных через начало координат, равен L — rXF-a, где а—единичный
вектор в направлении этой оси.
7. Дано:
и
а ^, b
a-bxc' a
Показать, что
Ь' Хс'
х*У=^ (х> У = а? Ь, с); a'.b'xc^Ca-bxc)-3; a-a,bXc. •
8. Убедиться, что если х'-у^б^ (х, у = а, Ь, с), то а' =
=—. ¦ (задача, обратная предыдущей).
ВХ
9. Убедиться, что первым этапом при перемножении векторов
в уравнении A.38) было применение правила ВЛС—САВ к двойному
векторному произведению.
10, Даны три вектора A = i + j, B = j-hk, C = i — k. Найти сме-
смешанное произведение А«ВхС. Имея в виду, что А = В4-С, дать
геометрическую интерпретацию смешанного произведения для данных
векторов. Найти АХ (В X С). . ,
1.6. ГРАДИЕНТ V
Предположим, что <р (х> у, г) — скалярная функция!
точки пространства, т. е. такая функция, значение которой *
зависит от значений координат (л:, у, г). Как скаляр она1
должна иметь одно и то же значение для данной фиксиро- ^
Эанной точки пространства независимо от вращения систе-'*
мы координат, т. е.

1.6. Градиент v 31
Дифференцируя по х\ и используя уравнения A.16),
получаем
х'2, *з) _ дф (xi} хъ х3) _уг\ ду dxj _
дх[ " дх[ ~ Ь dxj ' дх\ "
A.52)
Сравнение A.52) с законом преобразования векторов A.17)
сразу же убеждает нас, что мы построили вектор с компо-
компонентами dyfdxj. Этот вектор мы назовем градиентом ср.
Удобно перейти к символической записи
ИЛИ
(читается «набла <р») — это градиент скалярной функ-
функции ф, где V (набла) — векторный дифференциальный опе-
оператор, введенный для обозначения операции дифференци-
дифференцирования, которая должна быть проведена над скаляром ф.
Этот оператор обладает свойствами векторов и подчиняется
законам частного дифференцирования.
Пример. Вычислим градиент функции /(/") = / (V*2 + #2Н~z2)*
дх J ду dz
В данном случае / (г) зависит от xt поскольку г зависит от х. Следо-
Следовательно,
df (r) = df (г) _ дг = df х
дх dr дх dr r
Подставляя .это соотношение в уравнение для V/ (г), получаем
х df df
где r0—единичный вектор в положительном направлении радиуса-
вектора.
Одно из непосредственных приложений ^ф связано
с вычислением приращения длины
dr=idx + j<ty + kdz. \ A.55)
Учитывая предыдущую запись, получаем
U1.56)

Г Л А 6 A 1. ЙЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
изменение скалярной функции ф, соответствующее измене-
изменению положения dr. Рассмотрим далее две точки Р и Q на
поверхности ф (х, у, z) = С. Расстояние между этими двумя
точками dr. Тогда при перемещении из Р в Q изменение
функции на поверхности ф (xt у> г) = С равно
^ф = (Уф).^г = От A*57)
так как перемещение происходит по поверхности ф (х, у, г) —
— С. Отсюда следует, что Тф перпендикулярен к dr.
Поскольку dr можно провести в любом направлении от точки
cz>cf
У
Рис. 1.14. Градиент.
Р в Q, лежащую на этой поверхности, а значит, dr всегда
остается на поверхности, 1|^ф должен быть перпендикуля-
перпендикулярен к поверхности ф = const в любой ее точке.
Если предположить теперь, что dr направлен от одной
поверхности ф = d к соседней ф = С2, то
Для данного dq> абсолютная величина | dr \ минимальна,
если dr направлен параллельно Тф (cos 8 = 1), или, наобо-
наоборот, при заданном | dr | изменение скалярной функции ф
максимально для dr, параллельного Vq>. Это определяет
У7у как вектор, указывающий направление максимальной
скорости изменения функцЪи ф (рис. 1.14). Данное опре-

1.6. ГРАДИЕНТ V
33
деление градиента будет использовано в гл. 2 при рассмот-
рассмотрении криволинейных систем координат.
Градиент скалярной величины играет очень важную
роль в физике при установлении связи между полем сил
и потенциальным полем:
, Сила = — V (потенциал). A.59)
Это справедливо и для гравитационного, и для электриче-
электрического поля.
Упражнения
1. Показать, что V (uv) = vVu-\-uVv, где и и v—дифференци-
v—дифференцируемые скалярные функции х, у и г.
2. Дана функция S (х, у, z) = (xa+#2+z2)~3/2. Определить
в точке A,2,3) VS, его абсолютную величину и направляющие коси-
косинусы VS.
3. Дан вектор г12= i (лг!—х2) + j (f/i — f/2) + ^ (г1—^г)• Показать,
что Viri2 (градиент абсолютной величины векора г^ по переменным
хь У и zt) есть единичный вектор, направленный вдоль г^.
4. Доказать, что условие (V#)X(VtO~0 необходимо и доста-
достаточно, чтобы две функции и (х, у, z) и v (х, у, z) были связаны соот-
соотношением f (и, у)=0. Убедиться, что в случае и = и(х, у) и v—
— v(x, у) условие (Vu)X(Vf)—О приводит к двумерному якобиану:
=0.
(—)=
V х, у )
ди
дх
dv
дх
да
ду
dv
ду
Функции и и v предполагаются дифференцируемыми.
5. Доказать, что (Vu)'(Vv)x(Vw)=О—необходимое и достаточ-
достаточное условие того, чтобы три функции и (х, у, z), v (х7 у, z) uw (*, у, z)
были связаны некоторой функцией F (и, v} w) — 0. Показать также,
что смешанное произведение градиентов эквивалентно трехмерному
якобиану
ди
1х
fu,u,w\
\ х, у, z )
dv
1х
dw
~dx~
ди_
ду
dv_
ду
дт
ди
W
dv
dz
dw
~dz
= 0.
Предполагается существование необходимых производных.
6. Доказать, что если векторная функция F зависит от простран-
пространственных координат х, у у z и от времени t, то

34
ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
1.7. ДИВЕРГЕНЦИЯ V*
Дифференцирование векторной функции является обоб-
обобщением дифференцирования скалярных величин. Предпо-
Предположим, что г (t) описывает положение некоторого тела
в пространстве в*момент времени t. Тогда дифференцирова-
дифференцирование по времени дает
dt
где v — линейная скорость. Из рис. 1.15 видно, что эта
производная характеризует наклон кривой, которая пред-
представляет собой траекторию движения тела.
At+0
T(t+At)
Рис. 1.15, Дифференцирование вектора
Если разложить вектор г (t) на его компоненты в декар-
декартовой системе координат, то dxldt всегда сводится к век-
векторной сумме не более чем трех (в трехмерном пространстве)
скалярных производных. В других координатных систе-
системах (см. гл. 2) ситуация несколько сложнее, так как еди-
единичные векторы уже непостоянны гю направлению. В даль-
дальнейшем будет показано, что дЙ|ференцирование по про-
пространственным координатам выполняется точно так же, как
и дифференцирование по времени.
В разд. 1.6 оператор V был определен как векторный
оператор. Теперь, имея в виду его векторные и дифферен-
дифференциальные свойства, мы рассмотрим действие V на вектор.

1.7. ДИВЕРГЕНЦИЯ V- 35
Во-первых, скалярное умножение этого векторного опе-
оператора на вектор приводит к выражению
которое называется дивергенцией вектора V. Дивергенция
есть скаляр в том смысле, как он определен в разд. 1.3.
Пример 1. Начислить V • г.
дх ду дг
дх + ду + дг
\
Пример 2. Обобщая предыдущий пример на случай произволь-
произвольной функции /(г), имеем
^^ -5"l2/(rI=3/ {r)+rlF'
В частности, если /(/¦)=г11, то
Дивергенция этой величины обращается в нуль при п=—2; этот
факт имеет важное значение для обсуждения в разд. 1.14.
Для более ясного представления физической сущности
дивергенции рассмотрим V.(pv), где v (х, у, г) — скорость
течения сжимаемой жидкости; р (#, у, г) — плотность этой
жидкости в точке (х, у, г). Если рассмотреть'некоторый эле-
элемент объема dxdydz (рис. 1.16), то количество жидкости,
поступающей в этот объем в единицу времени через поверх-
поверхность EFGH (положительное направление оси х), выразится
так: (приток)Efgh ~ pvx dy dz. Количество вытекшей из
объема жидкости через поверхность Л BCD (также положи-
положительное направление оси х) равно: (ctok)abcd = Гpfx +
+ ^ (pvx) dx dy dz; производная * учитывает возможность
зависимости неоднородной плотности или скорости, или
* Это разложение дает иервые члены ряда Маклорена (см.
Разд. 5.6) / (h) = /-@) + (df/dx) h + {d?f/dx2) A2/2!+ . . ., в ко-
котором h = dx. Значение каждой производной берется в начальной
точке х ~ 0. .-. :¦ -

36
ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
сразу обеих этих величин от х *. Полный расход жидкости
через эти две поверхности равен просто разности двух пото-
ков или расходу в направлении оси х: j- (pvx) dxdy dz.
D
dz
z
У
E
H
a
F
у ~~у
Рис. 1.16. Дифференциальный прямоугольный парал-
параллелепипед (в первом, или положительном, октанте).
Дополнительный расход жидкости происходит через осталь-
остальные четыре поверхности данного элемента объема, пол-
полный расход (в единицу времени) равен
[д д д 1
if-(pfjc)+-д-(pvy) + -a-(qv2) \dxdydz~V'.(pv)dxdydz.
ox oy oz _j
A.61)
Следовательно, полное количество сжимаемой жидкости,
прошедшей через единицу объема в единицу времени, равно
V.(pv). Отсюда и название дивергенция или расходимость.
Одним из примеров использования дивергенции является
уравнение непрерывности
= 0, A.62)
согласно которому полный расход жидкости через данный
объем равен уменьшению плотности жидкости внутри этого
объема.
* Строго говоря, величина рпх усредняется по поверхности
ABCD, по этой же поверхности нужно усреднять и выражение pvx -j-
-h (д/дх) (pvx) dx. Однако, взяв произвольный элемент объема
достаточно малым, можно от средних величин перейти к тем, которые
использованы выше.

1.8. РОТОР
37
Член V.(/V), в котором / — скалярная функция,
а V — вектор, может быть записан в виде \
дг
df
дг
dVz
дг
V. A.63)
Полученное соотношение имеет тот же вид, что и формула
для производной от произведения. В частном случае, когда
V -В = 0, вектор В называют соленоидальным. Этот термин
заимствован из примера, в котором В представляет собой
магнитную индукцию. Уравнение A,63) оказывается одним
из уравнений Максвелла.
Упражнения
1. Доказать формулу V«(axb) —b-V-a — a-V«b. Замечание.
Рассматривать левую часть формулы как смешанное произведение.
2. Делая поворот системы координат, показать, что V'-V' =
— V«V, и, следовательно, по определению, дивергенция вектора—
скаляр (достаточно рассмотреть двумерный случай).
3. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью ©.
Показать, что линейная скорость v соленоидальна.
4. Электростатическое поле точечного заряда q равно Е =
= -: %-ш ВЫЧИСЛИТЬ V-E.
4яе0 г2
1.8. РОТОР VX
Можно определить операцию векторного умножения V
на вектор формулой
д Jl_ д
дх ду дг
vx vy vz
Ц' A-64)
Полученное выражение называется ротором вектора V.
При раскрытии определителя или при любых других опе-
операциях с V необходимо учитывать его дифференциальную

38 Г Л А В А 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
природу. Специально подчеркнем, что произведение V X V
определяется как новый векторный дифференциальный
Оператор. В общем случае он, конечно, не равен V х V *.
Если V векторно умножается на произведение скаляра
и вектора, можно записать
i
ду ТдуХ* ' dz dz VzJ-
. A.65)
Делая циклическую перестановку координат, легко полу-
получить у- и 2-компоненты. Легко убедиться, что
Vx(fV)=/VXV + (V/)xV. A.66)
Полученное выражение есть аналог выражения A.63).
Пример. Вычислить V Хг/ (г).
С помощьк) формулы A36) имеем
Во-первых,
i
д
Ьх
X
j
д
ду
У
к
д
dz
z
=0.
Во-вторых, пользуясь равенством V/ (г)—т0 (df/dr) (см. пример
из разд. 1.6), получаем
Векторное произведение равно нулю, так как г=го* и roxi"o=O.
Название ротор возникло в связи с тем, что V х V
описывает вращение векторного поля V в точке, в которой
вычисляется ротор. Пусть имеется твердое тело в плоскости
ху, вращающееся вокруг оси z с угловой скоростью «о.
Линейная скорость v в точке, которая задана радиусом-векто-
* Точно так же, если А,—дифференциальный оператор, то
совсем <не обязательно, чтобы А X А == 0. Например, в квантовой
мехйнйке определяется оператор момента количества движения
t'=^ ih(r X V),^ для которого L х L =ihh. ;

1.8. РОТОР \?Х 39
ром г, равна
V=(DX1\ A.67)
Чтобы определить Vxr, рассмотрим
Vxv = Vx(fi)Xr). A.68)
Перегруппировав члены в уравнении A.50) в соответствии
с операторной природой вектора V, получим
Vx(toX r)-:V.r(a — V.©r. A.69)
Здесь V скалярно умножается на первый вектор, но как диф-
дифференциальный оператор он действует на оба вектора, дей-
действительно,
V х (©xr) = ©V.r + r-V<o-rV-o — ю-Vr. A.70)
При постоянной © второй и третий члены в уравнении A.70)
исчезают. Далее, как известно
V.r = 3, A.71)
поэтому •
^ z = (j>. A.72)
Подставляя A.71) и A.72) в A.70), получаем
Vxv = Vx((axr) = 2fi), A.73)
т. е. ротор линейной скорости твердого тела равен удвоен-
удвоенной угловой скорости. Всякий раз, когда ротор вектора V
равен нулю
VxV-0, {1.749
вектор V называют безвихревым.
Наиболее важные физические примеры безвихревые
векторов дают гравитационные и электростатические силы.
В каждом из этих случаев
^ ^ A.75)
где С — постоянная; г0 — единичный вектор, направлен-
направленный вдоль радиуса-вектора. Для закона всемирного тяготе-
тяготения Ньютона (в случае гравитационных сил) С = —От^пь^,
для закона Кулона С — <7^2/4я;е0 (в единицах MKGA).

40 Г Л А В А 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Разлагая на декартовы компоненты, можно убедиться, что
V, заданный в виде A.75)* безвихревой. Иной подход к рото-
ротору дан в гл. 2, в которой он выражен в сферических коорди-
координатах.
Упражнения
1. Показать, что вектор uxv соленоидален, если и и v —безвих-
—безвихревые векторы.
2. Показать, что вектор Ахг соленоидален, если А—безвихревой
вектор. \
3. Поворотом координат показать, что компоненты ротора подчи-
подчиняются закону векторного преобразования. Замечание. Воспользо-
Воспользоваться направляющими косинусами из уравнения A.41).
4. Убедиться, что ротор VxV перпендикулярен к вектору V,
если V— iVx(x, уL-\У7, (*, у) и VxV Ф О.
5. В квантовой механике операторы момента количества движе-
движения определены соотношениями
i •+ ( д д \ т -ь/d д \
I if, I it *t I / in I  ^—^— V I
* V dz dy / y \ dx dz }
.. / д д \
Показать, что LxLy~—LyLx — i%Lz и, следовательно,
6. Проверить векторные тождества
V (A-B) = (B.V) А + (А-V) B + Bx(VxA) + Ax(V X В),
1.9. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАТОРА V
С помощью введенных понятий градиента, дивергенции
и ротора можно получить вектор, скаляр и комбинацию
векторов. Действуя на каждую из введенных величин
оператором V, получаем выражения вида V-Vqp, VxVqp,
VV. V, V-V x V, V х (V х V). Все они содержат вторые
производные и часто используются в дифференциальных
уравнениях второго порядка в математической физике.
Первое из них, V.Vq>, дивергенция градиента, называет-
называется лапласианом * <р. Имеем
J_
* Лапласиан часто обозначают символом Д.— Прим. перев*

1.9. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАТОРА V 41
В случае, когда <р представляет собой электростатический
потенциал, получаем уравнение Лапласа: V.Vtp = 0. Ком-
Комбинацию V-V обозначают V2.
Пример. Вычислить Vg(
Учитывая результаты, полученные в примерах из разд. 1.6 и 1.7,
запишем г
где /(г)—функция из примера к разд. 1.7 имеет вид (\/r)dg/dr.
Если g(r) = rTl* T0 равенство сводится к
правая часть которого обращается в нуль при гс = 0, тогда g (r) = const,
и при п= — 1, т. е. функция g(r)—1/г— решение уравнения Лапласа,
Вторую операцию можно записать как
i J k
д д д
дх ду dz
ду дф aq)
дх ду dz
Раскрывая определитель, получаем
V х V(p^
A.76)
ду
ду
дх дх dz
¦)+
A.77)
Здесь предполагалось, что можно изменять порядок диф-
дифференцирования. Это можно делать только тогда, когда
первые частные производные q> непрерывны. Далее, из урав-
уравнения A.77) следует, что ротор градиента тождественно ра-
равен нулю. Следовательно, градиент — всегда безвихревой
вектор.
Четвертое выражение представляет собой смешанное
произведение, которое можно записать так:
A.78)
д
дх
д
дх
д
dy
д
ду
Уу
а
dz
а
dz
Уг

42 Г Л А В А I. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Снова, предполагая выполненным условие непрерывности
функций, в результате чего порядок дифференцирования
становится несущественным, получаем
V.VxV-0. A.79)
Таким образом, дивергенция ротора равна нулю, т. е. ро-
ротор — всегда соленоидальный вектор. В разд. 1.15 мы уви-
увидим, что с помощью теоремы Гельмгольца любой вектор
можно разложить на соленоидальную и безвихревую состав-
составляющие.
Последнее выражение удовлетворяет соотношению
V х (V х V) - VV.V~V.VV. A.80)
Оно следует из уравнения A.49), которое записывается так,
чтобы С в каждом члене был справа. Член V -VV исключен
из рассмотрения, но его можно определить уравнением
A.80). Если V разложить на компоненты в декартовой систе-
системе координат, то V-W — векторный лапласиан — при-
приводится к векторной сумме обычных скалярных лапласи-
лапласианов:
Разлагая на декартовы координаты, можно показать, что
уравнение A.80) — векторное тождество.
^Важное приложение тождества A.80) связано с волновым
уравнением в электромагнитной теории. В вакууме урав-
уравнения Максвелла принимают вид
а) V.B = 0, в) VXB
б) V.E = 0, г) VXB
Здесь Е — электрическое поле; В — магнитная индукция;
е0 и \i0 — электрическая и магнитная проницаемости (в еди-
единицах МКСА). Предположим, что В определяется из урав-
уравнений A.81в) и A.81г). Это можно сделать, взяв ротор от
обеих частей уравнения A.81 г) и производную по времени
от обеих частей уравнений A.81в). Поскольку простран-
пространственная и временная производные коммутируют, т. е.
, A.82)

1.3. ЙбСЛЕДОВАТЕЛЬМбЕ ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАТОРА V 43
ТО
A.83)
Комбинируя уравнения A.80) и( 1.816), получаем векторное
волновое уравнение электромагнитного поля
. A.84)
Снова, если Е разложить в декартовых координатах, то
A.84) распадается на три скалярных волновых уравнения,
содержащих скалярный лапласиан,
К
Упражнения
1. Доказать, что VX(<pVq>)=0.
2. Доказать, что вектор (V«)X(Vt>) соленоидален, если и и v
дифференцируемые скалярные функции.
3. Скаляр ф удовлетворяет уравнению Лапласа V2cp=O. Пока-
Показать, что вектор Тф соленоидальный и безвихревой.
4. Убедиться, что Ci = Vi|), C2=Vxatj) и С3 =
решения векторного волнового уравнения
Здесь ф удовлетворяет скалярному волновому уравнению |
-[-&2^=0 и а—постоянный вектор. Доказать также, что Cj и С%
ортогональны, вектор Ci безвихревой, а 0% и С3—соленоидальные
векторы.
5. Доказать, что тождество Г.
вытекает из правила ВАС—CAB для двойного векторного произве-
произведения. Объяснить произвольное расположение множителей в членах
ВАС и CAB,
6. Показать, что любое решение уравнения
VxVxA — ?2A=0
автоматически удовлетворяет векторному уравнению Гельмгольца
V2A-}-&2A=0 и условию соленоидальности V-A = 0.
7. Скалярный потенциал «ьм=/ь(^) УьмФ* ф) удовлетворяет
скалярному уравнению Гельмгольца
Используя оператор момента количества движения L=—r
можно построить векторные потенциалы
А

44 Г Л А В А 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Показать, что оба потенциала удовлетворяют уравнению
VxVxA—k*A=0.
8. Зависящее от времени уравнение Шредингера имеет вид
[-Ж™ + У<Ф(Г' ^IT-
ПОЛОЖИМ, ty(r, t) = A(r, t)eiS{r-t)/h.
Показать, что такое представление i|) приводит к двум уравне-
уравнениям (отдельно для реальной и мнимой части):
(VS)« ., fe2 УМ
dt + 2m + 2m * Л
В квантовой механике плотность вероятности обнаружить частицу
в данной точке пространства р определяется величиной Л2, а плот-
плотность тока J —величиной A^VSjm. Показать, что второе из записан-
записанных уравнений эквивалентно уравнению непрерывности
9. Пусть ф—скалярная функция, показать, что она удовлетво-
удовлетворяет уравнению
1.10. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЕКТОРОВ
Вслед за дифференцированием векторов рассмотрим
интегрирование векторов. При этом начнем с линейного
интегрирования, а затем перейдем к поверхностным и объ-
объемным интегралам. В каждом из этих случаев интеграл
от вектора будет сводиться к интегралу от скалярных функ-
функций, причем предполагается знакомство читателя с послед-
последним типом интеграла. Используя приращение длины dr,
можно определить линейные интегралы:
a) fq>dr, б) fv-dr, в) f V x dr, A.85)
ice
где интегрирование ведется по некоторому контуру С,
открытому или замкнутому. Интеграл со скаляром <р сразу

1.10. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЕКТОРОВ 45
же сводится к обычным интегралам
[ q>dr = i \ <p(x,y,z)dx-]-} j q>(*, у, z)dy +
со с
+ k \ ф(я, у, z)dz. A.86)
Такое разбиение первоначального интеграла возможно бла-
благодаря равенству
\ щйх^х Jcpdx, A.87)
которое записано с учетом свойства единичных векторов i,
j и к, остающихся в прямоугольной системе координат посто-
постоянными по величине и направлению. Для прямоугольных
координат это достаточно очевидно, однако для криволиней-
криволинейных координат (см. гл. 2) данное утверждение теряет силу.
Три интеграла в правой части уравнения A.86) представ-
представляют собой обычные скалярные интегралы и, опуская дока-
доказательства, можно принять, что они являются интеграла-
интегралами Римана. Подчеркнем, однако, что интеграл по перемен-
переменной х нельзя вычислять, не зная зависимости у и z от х, то
же следует заметить и относительно интегралов от других
переменных. Это ясно говорит о необходимости точно опре-
определить контур интегрирования С Если только подынтег-
подынтегральная функция не обладает специальными свойствами
(в результате чего интеграл будет зависеть только от поло-
положения конечных точек контура), значение интеграла опре-
определяется особенностями выбора контура С. Например,
для частного случая ср — 1 интеграл A.85а) будет точным
векторным расстоянием от начала контура С до его конеч-
конечной точки; в этом случае значение интеграла не зависит
от выбора пути интегрирования между фиксированными
концами. При &х = Ых + jdy + kdz второй и третий интег-
интегралы, рассмотренные выше, тоже приводятся к интегралам
от скалярных величин и, так же как и интеграл A.85а),
зависят от выбора пути интегрирования. Интеграл A.856)
точно равен интегралу, который определяет работу, произ-
произведенную силой на заданном отрезке пути:
W
= — f F-dr, A.88)

46
Г Л А В А 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
где F — сила, действующая на частицу или на любой дру
гой объект, который перемещается в поле сил (электроста
тических, гравитационных и т. д.).
Пример. Проинтегрируем скалярную функцию r2=
от начала координат до точки A,1), используя приращение длины
; A,1)
т. е. вычислим интеграл
рал примет вид
A,1)
0
@,0)
A» 1)
dr. Если разложить dr, то интег-
A,1)
j
@,0) @,0) @,0)
Интегрирование проведем по контуру, изображенному на рис. 1.17.
Такой выбор означает, что в первом интеграле #=0 и *=1 во вто-
втором. Подставляя указанные значения в интегралы, получаем
A,1) 1 1
@,0) @,у=0) @,я=1)
. 1 , . 4
Читатель может убедиться, что при контуре интегрирования @, 0) —>
—> @, 1) —>¦ A, 1) интеграл оказывается равным i D/3) +j A/3),
тогда как интегрирование по кон-
контуру х—у приводит к значению
A,1) \ B/3)-hi B/3). Таким образом, зна-
значение интеграла зависит от выбора
контура, вдоль которого производят
интегрирование.
Поверхностные интегралы
записываются так же, как
и линейные, только <к заменя-
ют вектором da *. Часто этот
элемент поверхности записы-
Вают в виде ndA, гдеп —еди-
ничный (нормальный) вектор
положительного направления.
Имеется два варианта выбора положительного направления.
Если поверхность замкнута; условимся называть положи-
положительным направление из объема, ограниченного этой поверх-
поверхностью. Для открытых поверхностей будем считать, что
* Напомним, что в разд. 1.4 поверхность параллелограмма
представлена векторным произведением.
@,0)
Рис. 1.17. Контур интегриро-
интегрирования.

1.10. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЕКТОРОВ
47
положительное направление зависит от направления обхо-
обхода периметра этой поверхности. Если пальцы правой руки
расположить в направлении обхода по границе поверх-
поверхности, то направление большого пальца совпадает с поло-
положительным направлением. Например, рассмотрим круг
в плоскости ху (рис. 1.18),
обход по границе которого со-
совершается в последователь-
последовательности дг-> у->—х ->—у -*¦ х,
в этом случае положительная
нормаль параллельна поло-
положительной оси z (в случае
правой системы координат).
Поверхностный интеграл
\ v-de можно интерпретиро-
интерпретировать как поток через данную
поверхность. (В разд. 1.7
с помощью этого потока про- Рис. 1Л8< правило правой
иллюстрирована физическая руки при выборе положитель-
сущность дивергенции. Эта ного направления,
тождественность вновь про-
проявится в разд^. 1.11 при доказательстве теоремы Гаусса.)
Объемные интегралы несколько проще, так как элемент
объема dx — скаляр. В этом случае объемный интеграл
вновь распадается на векторную сумму'интегралов от ска-
скалярных величин
I I 1 1
V V V V
С помощью поверхностных и объемных интегралов мож-
можно определить дифференциальные соотношения иначе:
= lim
= lim
J \da
у x V — lirn
V
A.90)
A.91)
A.92)

48
ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
В этих трех уравнениях \ di — некоторый малый объем
пространства, da — векторный элемент поверхности этого
объема. В разд. 1.7 уже было показано, что выражение
A.91) определяет дивергенцию. Покажем теперь, что выра-
выражение A.90) в действительности соответствует ранее вве-
введенной уравнением A.53) величине Vtp. Для простоты заме-
заменим \dx дифференциальным объемом dx dy dz (рис. 1.19)
н
А
1
1
1 1 c
У
_.t
В
Рис. 1.19. Дифференциальный прямоугольный парал-
параллелепипед jj (начало координат в центре параллеле-
параллелепипеда).
и поместим начало координат в геометрический центр это-
этого элемента объема. Поверхностный интеграл сводится
к шести интегралам по каждой из шести граней параллеле-
параллелепипеда. Помня, что вектор da направлен наружу, имеем
da-i — — | da \ для поверхности EFGH и +1 da | для
поверхности A BCD, поэтому
J
+ 1
J (Ф
EFGH
dx
дх2
ABCD
BFGC
)dydz-\ J
+ k
?>С(?Я
AEHD
ABFE

1.10. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЕКТОРОВ 49
Каждая подынтегральная функция вычисляется в начале
координат, а затем вводится поправка на расстояние до
центра грани. Перегруппировав члены, получаем (с учетом
сказанного)
м ~\ *^ *^
A.93)
Поделив полученное выражение на \ dx = dx dy dz, убеж-
убеждаемся в справедливости A.90).
При доказательстве мы пренебрегли поправочными чле-
членами, содержащими производные более высокого порядка.
Дополнительные члены, которые вводятся в разд. 5.6 в связи
с рассмотрением ряда Тейлора, исчезают в пределе \ dx ->•
-> 0 (dx ->- 0, dy -> 0, dz -»- 0). Безусловно, для более стро-
строгой проверки уравнений A.90), A.91) и A.92) необходимо
совершить указанный предельный переход.
Справедливость уравнения A.92) доказывается анало-
аналогично (используется дифференциальный объем dx dy dz).
Упражнения
1. Поле сил, действующих на двумерный линейный осциллятор,
можно записать как F~—ikx — )ky. Сравнить работу, которая совер-
совершается при движении от точки A,1) до точки D,4) в поле этих сил
в случае трех различных путей перемещения: A,1) •—> D,1) —>
-> D,4), A,1) —» A,4) -* D,4) и A,1) —> D,4) вдоль линии х — у.
D,4)
Для этого оценить интеграл— V F-dr.
A, 1)
2. Задано поле сил F= Г" о А—^—%- • Определить работу,
х ~тУ xz\y*
совершаемую при движении по окружности единичного радиуса против
часовой стрелки от 0 до я и по часовой стрелке от 0 до —я (окруж-
(окружность лежит в плоскости ху). Напомним, что работа зависит от выбора
пути.
1 f
3. Вычислить интеграл -«• \ r-dcr, взятый по поверхности еди-
S >
ничного куба, который определен точкой @, 0) и единичными отрез-
отрезками в положительных направлениях осей jc, у и z. Заметим, что
г-da равно нулю для трех граней, а каждая из оставшихся граней
вносит в интеграл одинаковый вклад.

50 Г Л А В А 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
I d<rxv
S
4. Доказать, что iim—*— = VxV. Замечание. При доказа-
доказало ldx
тельстве пользоваться элементарным объемом dxdydz.
5. Найти работу, которая совершается при перемещении из точки
A,1) в точку C,3). Приложенная сила равна F—i (х— f/)+j {x-\-y).
Определить точно путь перемещения. Заметим, что эта сила некон-
неконсервативна.
Ь- 1.11. ТЕОРЕМА ГАУССА*
В этом разделе мы установим полезное соотношение
между поверхностным интегралом от вектора и объемным
интегралом от производной вектора. Пусть заданы
V и V.V, непрерывные во всей интересующей нас
области. Теорема Гаусса утверждает, что
Г V-do = f V-Vdx. A.94)
S V
При обсуждении уравнения A.61) мы указали, что под
V. V можно понимать количество жидкости, вытекшей из
единичного объема. Следовательно, правая часть уравнения
A.94) равна полному количеству жидкости, вытекшей из
объема К, по которому ведется интегрирование. Убеждаясь,
что левая часть уравнения описывает поток жидкости через
поверхность 5, которая ограничивает данный объем, мы тем
самым доказываем теорему Гаусса. Более детальное и мате-
математически строгое доказательство теоремы Гаусса можно
найти в литературе, рекомендованной к данной главе.
Из теоремы Гаусса вытекает одно полезное следствие,
известное как теорема Грина. Если и vlv — две скалярные
функции, то имеем
V.(«Vu)=:uV.Vt; + (Vw).(Vy), (L95)
V. (vVu) == v V. Vu + (Vy). (Vm). A.96)
Вычитая A.96) из A.95), интегрируя по объему (ut v и их
производные предполагаются непрерывными) и применяя
формулу A.94) (теорему Гаусса), получаем теорему Грина
— vVu).d<5. A.97)
v s
са),
* Более точно следует называть данную теорему теоремой
Остроградского — Гаусса.— Прим. пере$.

1.11. ТЕОРЕМА ГАУССА 51
Уравнение A.95) допускает иную запись:
uVv-do— \ uV.Vvdx+ \ Vu-Vvdx. A.98)
S V V
Несмотря на то что выражение A.94), содержащее диверген-
дивергенцию, является наиболее важной формой записи теоремы
Гаусса, может встретиться и такая форма этой теоремы, ког-
когда объемные интегралы будут содержать градиент и ротор.
Предположим, что
где а — постоянный по абсолютной величине и направлению
вектор (направление выбрано произвольно, но выбранное
направление затем всегда остается фиксированным).
С помощью соотношения A.62а) уравнение A.94) в этом
случае перепишется так:
а 1 Vd° = I V I
V V V
что, в свою очередь, можно представить
= O. A.101)
Поскольку | а ) фО, а направление этого вектора произ-
произвольно (т. е. косинус угла не равен тождественно нулю),
из A.101) следует, что
= VVdx. A.102)
a f
Аналогично, считая, что V = a x P (а —постоянный вектор),
легко доказать
f rfaxP= f TxPflt. A.103)
8 V
Упражнения
1. Доказать теорему Гаусса в форме A.103).
2. Доказать, что I da=0, если S—замкнутая поверхность.

52
ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
1 f
3. Показать, что -q- \ r-<i<y —V (V—объем, ограниченный замк-
s
ну той поверхностью S).
4. Показать, что для любой замкнутой поверхности S \ B-dff = О,
если B~VxA.
1.12. ТЕОРЕМА СТОКСА
Теорема Гаусса связывает объемный интеграл от дивер-
дивергенции некоторой функции с интегралом по замкнутой
поверхности, ограничивающей объем, от той же функции.
х
Рис. 1.20.
Пересечение поверхности S с пло-
плоскостью X = С.
Здесь рассмотрим аналогичное соотношение между поверх-
поверхностным интегралом от дивергенции некоторой функции
и линейным интегралом от той же функции, причем линейное
интегрирование ведется по периметру заданной поверхности.
С этой целью преобразуем поверхностный интеграл от ро-
ротора, применив для этой цели к подынтегральной функции
формулу смешанного произведения
dz
S
dV,, dV
d<57 —
J
S
ду
дх
дг
у)- A-104)

1.12. ТЕОРЕМА СТОКСА
53
Поверхностный интеграл берется по некоторой заданной
поверхности. Ориентируем оси декартовой системы коор-
координат так, чтобы поверхность пересекала плоскость х — с
по линии АВ (рис. 1.20). Граница поверхности совпадает
с линией, лежащей в плоскости х = с, положительное на-
направление на этой линии соответствует направлению от А
У
Рис. 1.21. Проекции d<f на плоскости ху и хг.
к Б, направление da указано на рис. L20. В частности, как
показано на рис. 1.21,
doy — dx dy, doz = — dx dy.
A.105)
Приращение dx соответствует поверхности, заключенной
между плоскостями х = с и $~c + dx. Интегрируя произ-
производные от Vx по указанному приращению поверхности,
получаем
I
s
Поскольку х остается постоянным при интегрировании
от Л до В
дУх
ду
дУх
дг
A.107)

54 ГЛАВА I. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
поверхностный интеграл преобразуется к виду
в
J dx j dVx = j Vx (*, #B, 2B) dx — j Fx (л:, #A, zA) dx.
A.107a)
Указанный выбор направления при обходе границы обла-
области означает, что dx = dXx — в направлении к точке В
и dx = — dkx — в направлении к Л, где d'k — вектор прира-
приращения длины вдоль периметра. Наконец, полагая, что х
при своем изменении охватывает всю заданную поверхность,
получаем
A.108)
Символом ф обозначено интегрирование по замкнутому
пути, в данном случае по периметру заданной поверхности.
Далее, циклической перестановкой координат (или совер-
совершенно аналогично рассматривая производные от VUt пло-
плоскость у = с и т. д.) для производных от Vy и Vz получаются
такие же выражения, поэтому окончательно
(U09)
Это и есть теорема Стокса.
С помощью теоремы Стокса можно установить дополни-
дополнительные соотношения между поверхностными и линейными
интегралами:
dax V<j = (?> ф<Ut A.110)
f
\
(l.lll)
В справедливости A.110) легко убедиться подстановкой
в A.109) V = а<р, где а — вектор, постоянный по величине
и направлению:
\ (V xaq>)-d<y= — \ ах Vcp.da= —a- I Vipxdo. A.112)

1.12. ТЕОРЕМА СТОКСА 55
Для линейного интеграла
(?aq>-c& = a-(?>(pcft,, A.113)
поэтому
%.(ф<рЛ,+ j Vcpx da) = 0. A.114)
8
Поскольку направление а произвольно, выражение в круг-
круглых скобках равно нулю. Таким образом, соотношение
A.110) доказано. Аналогично доказывается соотношение
A.111), в котором нужно положить V = а X Р; вектор а
имеет тот же смысл, что и выше.
Вернемся к уравнению A.109), в котором член ф \-d%
можно рассматривать как поток жидкости, циркулирующей
по замкнутому контуру. Если в качестве поверхности выб-
выбран круг площадью Ы<7, то | у х V \da равно циркуляции
вектора V вдоль замкнутого контура площадью do в пло-
плоскости ху. Это позволяет измерить ротор вектора V враще-
вращением небольшого гребного винта. Если винт не вращается,
циркуляция равна нулю, и, следовательно, на основании
теоремы Стокса, вектор V — безвихревой.
Упражнения
1. Доказать теорему Стокса в форме A.111).
2. Пусть t=— i#-j-j#. Используя теорему Стокса, показать, что
интеграл вдоль непрерывной замкнутой кривой в плоскости ху равен
J tdlfo
где Л—площадь поверхности, ограниченной этой кривой.
3. Интегрированием по периметру поверхности, расположенной
в плоскости ху, показать, что по абсолютной величине интеграл
(Ь гх^г вдвое больше самой поверхности.
4. Показать, что I VxV«d<r — 0, если S—замкнутая поверх-
s
s
ность.
5. Доказать соотношения
f
= f {Vu)X(Vv)-do.

56 ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
6. Указать ошибку в следующих рассуждениях. Запишем урав-
уравнение Максвелла
V«B = 0. A)
Подставляя (I) в выражение A.94), получаем
f V-Bdx^ f Bd<t = Q. B)
Соленоидальный вектор В можно выразить через ротор некоторого
вектора (векторный потенциал)
B^VxA. C)
Подстановкой C) в B) получим
f Bd<r = V VxA-rfff^O. D)
По теореме Стокса
( VxA-d0 = &> А-Л,. E)
Уравнение E) эквивалентно условию для поля консервативных сил
A==Vcp. F)
Подставляя в C), получаем
т. е. все магнитные поля В исчезают (магнитные поля не являются
реальностью).
1 1.13. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
Скалярный потенциал. Если некоторую силу в заданной
области пространства S можно выразить в виде отрицатель-
отрицательного градиента некоторой скалярной функции ф
Р^-Тф, A.115)
то ф будем называть скалярным потенциалом. Сила F,
равная отрицательному градиенту однозначного ск&дяр-
ного потенциала, называется консервативной силой. Опре-
Определим условия существования скалярного потенциал к. Для
этого следует показать, что два соотношения
VxF-0, A.116)
<§F-dr = O (U17)
эквивалентны уравнению A.115). Выражение A.117) спра-
справедливо для любого замкнутого контура в области S. Дока-

1.13. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
57
жем, что каждое из трех записанных выше уравнений экви-
эквивалентно двум другим.
Начнем с уравнения
F=-Vq>,
A.118)
которое сводится к A.116) с помощью соотношения A.77).
Интегральное условие A.117) с учетом A.56) перепишется
в виде
= — ф
A.119)
Интегрирование по dq> дает ф, но так как рассматриваемый
контур замкнут, то его концевые точки совпадают, поэтому
результат интегрирования
будет равен нулю для любо-
любого замкнутого контура в об-
области 5, в которой спра-
справедливо уравнение A.116).
Обратим внимание на сде-
сделанные ограничения: 1) тре-
требование однозначности по-
потенциала; 2) выполнение
условия A.115) во всех точ-
точках 5, Это замечание суще-
существенно в теории скаляр-
скалярного магнитного потенциала
для кругового тока. Как Рис. 1.22. Возможные пути
ТОЛЬКО МЫ выберем контур обхода при совершении работы.
в пространстве, который
окружает линии тока, магнитный скалярный потенциал
перестает быть однозначным, и приведенный анализ при-
применять нельзя.
Продолжая доказательство эквивалентности, полагаем,
что выполнено условие A.117). Если <? F-dr — 0 для любо-
любого контура в Sy то значение интеграла, вычисленного между
двумя точками Л и В, не зависит от пути (рис. 1.22). Дей-
Действительно, поскольку
ACBDA

58 Г Л А В А 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
ТО
j Fdr=- \ Fdr = f, F-dr, A.120)
АСВ BDA ADB
где перемена знака указывает изменение направления инте-
интегрирования. Физически это означает, что работа, соверша-
совершаемая при перемещении из точки Л в точку В, не зависит
от пути, а работа при перемещении по замкнутому контуру
равна нулю. Благодаря этому сила названа консерватив-
консервативной — энергия сохраняется.
Из уравнения A.120) следует, что работа зависит только
от концевых точек Л и В, т. е.
J A.121)
А .
Выбор знака при положительном обходе контура произво-
произволен. В данном случае знак выбран в соответствии с A.115).
Для точек Л и В, отстоящих друг от друга на расстояние
drt уравнение A.121) принимает вид
A.122)
откуда
A.123)
Учитывая, что dt произвольно, получаем из A.123) урав-
уравнение A.115). Если
то A.116) можно получить, применяя теорему Стокса A.109):
? j A.124)
Если в качестве контура интегрирования выбрать периметр
элемента поверхности da, то подынтегральная функция
в поверхностном интеграле обратится в нуль. Следователь-
Следовательно, из A.117) вытекает соотношение A.116).
Наконец, если V х F = 0, то для получения из этого
условия уравнения A.117) необходимо обратить последо-
последовательность доказательства теоремы Стокса [в форме A.124)].
Далее, с учетом A.121) и A.123) получается уравнение

1.13. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
59
A.115). Эквивалентность всех трех соотношений демонст-
демонстрируется следующей схемой:
§V-dr*0 A117)
Суммируя результаты, полученные в этом разделе, можнр
сказать^ что скалярный потенциал <р существует тогда
и только тогда, когда вектор F безвихревой, или работа,
совершаемая при перемещении вдоль любого замкнутого
контура, равна нулю. Гравитационные и электростати-
электростатические силы, заданные уравнением A.75), являются без-
безвихревыми и, следовательно, консервативными, поэтому
гравитационный и электростатический потенциалы суще-
существуют.
Пример 1. Найдем скалярный потенциал для гравитационной
силы, действующей на единичную массу
r% '
Интегрируя A.115) от бесконечности до г, получаем
Г со
<PG(>*) — <PG
= — 1 FG-dr^+ \
A.125)
Полагая, что ?g~—F (F —сила, приложенная к массе), и учитывая
A.88), видим, что потенциал равен работе, которая затрачивается
на перенос единичной массы из бесконечности в точку г. (Можно
определить только разность потенциалов. В данном случае произвольно
полагалось, что на бесконечности потенциал равен нулю.) Интеграл
в правой части уравнения A.125) отрицателен, т. е. значение ()
также отрицательно! Поскольку FG радиальна, то
* . Г k df k Gffi\tti2
(рп(п= l г—=——— = — —~—^— . ч isi
Yb w J г» r r
Г
Знак минус означает, что гравитационная сила есть сила притяжения.

60
Г Л А В А 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Пример 2. Вычислить скалярный потенциал центробежной
силы, действующей на единичную массу. Сила направлена радиально
от центра и равна Fc — coVro- В отличие от примера 1 интегрирова-
интегрирование проводится от начала координат, причем полагаем фс @) = 0.
Потенциал центробежной силы
имеет вид
г
М —J
Если изменить знак и положить
F0CJj= —?г, то потенциал линей-
линейного гармонического осциллятора
?2/2
Рис. 1.23. Зависимость потен-
потенциальной энергии от расстоя-
расстояния:
<P(j — гравитационная, <р„ — центро-
центробежная, Фосд — энергия линейного
гармонического осциллятора,
На рис. 1.23 представлены по-
потенциалы гравитационной и центро-
центробежной силы, а также потенциал
линейного гармонического осцил-
осциллятора. Последний характеризует
устойчивое состояние н описывает
силу возврата, Потенциал центро-
центробежной силы описывает неустойчи-
неустойчивое состояние.
В термодинамике, кото-
которую в свое время называли
наукой о полных дифференциалах, встречаются уравне-
уравнения типа
df = P (x, y)dx + Q (x, у) dy. (H26)
Обычно требуется определить, зависит ли интеграл
ф [Р (xt y)dx^-Q{x, у) dy] только от конечных точек
контура интегрирования, т. е. является ли df полным диф-
дифференциалом. Необходимое и достаточное условие этого
формулируется в виде уравнения
df = -—- dx 4- -д— dy , П. 126а)
ох оу
или 1\
д* л/„ 'A = |L. AЛ266)
Функции Р и Q, удовлетворяющие A.1266), связаны соот-
соотношением
дР {х, у) dQ (х, у)
дх
A.126в)

1.13. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА 61
которое представляет собой точную аналогию условия
A.116), требующего, чтобы F был безвихревым. В самом
деле, z-компонента уравнения A.116) дает
Векторный потенциал. В некоторых областях физики,
особенно в электромагнитной теории, часто вводят вектор-
векторный потенциал А такой, что поле В задают в виде
B = VXA. A.127)
Очевидно, если выполнено A.127), то на основании A.79)
V-B = 0 и, следовательно, В — соленоида ль ный вектор.
Докажем обратное, т. е. если В соленоидален, то векторный
потенциал А существует. Докажем это утверждение прямым
вычислением А. Пусть В = ibi + ]b2 + k&3, а векторный
потенциал А = iai+ja2 + каз- Из уравнения A.127) имеем
&" AЛ28а)
«*»• A-128.)
Предположим далее, что система координат выбрана таким
образом, что А параллелен плоскости yz, т е. а^ = 0. Тогда
Проинтегрируем
X
^ A.130)
X X
XQ XQ
где f2 и /з^-производные функции у и z, не зависящие от х.
Подставляя A.130) в A.128а) и учитывая, что V-B^O,
получаем
X
X
даг _даг__ Г (~db2
д d ~ ) \ д
ду dz ~ ) \ ду ~^ dz j^^ ду ' дг
щ
J дх ™ ' ду
Xfi
A.131)

62 Г Л А В А 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Интегрируя по х, имеем
^^-. A.132)
Поскольку fB и f2—произвольные функции у и z, можно
положить
) A.133)
VQ
после чего в соответствии с A.128а) в правой части A.132)
остается зависимость от одной лишь функции bt (х, уу г).
Взяв /2 и /3, из A.133) можно построить А:
х у х
A — J [Ь3(х, у, z)dx-\-k[ yi(xOi у, z)dy—[bz(x, у, z)dx].
хо уо *о
A.134)
Это определение не является совершенно полным. Можно
прибавить произвольную постоянную, поскольку В запи-
записывается через производную от вектора А. Однако, что
более важно, можно прибавить и любой градиент скалярной
функции Vcp, не изменяя В. Наконец, в силу произволь-
произвольности /2 и /3 возможен другой выбор этих функций.
В разд. 1.15 дополнительно будет определена величина V -А.
Пример 3. Для иллюстрации построим магнитный векторйкй
потенциал. Рассмотрим частный, но очень важный случай постоянной
магнитной индукции
A.135)
где Bz—постоянная. Для этого случая уравнения A.128) принимают
вид
да$ дяг_л да\ да% . да% да^ д , . fi.
ду дг ~~ ' ~дг~~ дх ~~ ' дх ду "** z*
Полагая, как и раньше, ai = 0, получаем из A.134)'
A=rj f Bzdx=\xBz. A.137)
Здесь постоянная интегрирования положена равной нулю. Легко
заметить, что полученное выражение для А удовлетворяет A.127).
Для доказательства того, что условие а^О не является
слишком'жестким, наложим условие а3~0.

1.13. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
Тогда из A.136) получим
— n dui — П дй2
Мы видим, что ах и а% не зависят от г, т. е.
^ / \ / \ /11 ПЛ\
i*i — i*i \Ху у)) t*2 — &2\Xy У)* yi.lOijj
Последнее из условий A.138) будет выполнено, если
положить
f B2dx = pxBz, A.140)
A.141)
где р — произвольная постоянная. Тогда
A = i(p-l)yBz + ipxBz. A.142)
Кроме того, нужно показать, что уравнения A.127), A.135)
и A.142) непротиворечивы. Сравнение A.137) и A.142)
сразу же убеждает нас, что выбор А неоднозначен. Разли-
Различие между уравнениями A.137) и A.142) и наличие пара-
параметра р в уравнении A.142) можно учесть, если переписать
его так:
где*
A.143)
A.144)
Первый член в А соответствует обычной форме
А--(Вхг) A.145)
ДЛЯ ПОСТОЯННОГО В.
Во многих случаях магнитный векторный потенциал
получают исходя из распределения тока, вызванного маг-
магнитным полем В. Это достигается решением векторного
Уравнения Пуассона (см. упр. 1 к разд. 1.14). *
* Очевидно, что <р (х,у) — ху не является скаляром в смысле
разд. 1.3, т. е. произведение ху неинвариантно относительно по-
поворота вокруг оси z. Если потребовать инвариантность, то р необ-
необходимо положить равным 1/2.

64 Г Л А В А 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Упражнения
1. Определить, какие из приведенных сил
F-i -У I | * F-i!ii
F= i*/ (г) +jy/ М + itf М ~W (г),
(здесь /(г), /i (х), /г (у), /з (г) —произвольные функции) носят потен-
потенциальный характер, указать физическую природу поля сил. Найти
потенциал в тех случаях, когда это можно сделать. Указание. Обра-
Обратить особое внимание на поведение F в начале координат.
2. Пусть В = —|- = f —з , -~, -g-J- Определить А так, чтобы
VxA = B. Одно из возможных решений
л \уг}хг
3. Имеется равномерно (по объему) заряженная сфера радиусом а.
Определить электростатический потенциал ц>(г) для 0<^г<^оо. Заме-
Замечание. В разд. 1.14 показано, что кулоновская сила, действующая
на заряд, помещенный в точке г=го, зависит от заряда только для
расстояний, меньших го» и не зависит от него для расстояний, пре-
превышающих го- Подчеркнем, что это справедливо для сферически сим-
симметричного распределения заряда.
4. Показать, что уравнения А = -~-(Вхг), В = V X А описывают
произвольный постоянный вектор В.
1,14. ЗАКОН ГАУССА. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА
Закон Гаусса. Точечный электрический заряд помещен
в начало координат. Он создает электрическое поле Е
A.146)
С помощью A.146) получим закон Гаусса, согласно которому
поверхностный интеграл
О заряд вне F,
где S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем V,
Используя теорему Гаусса в виде A.94) (и опуская мно-
множитель <?/4ле0), получаем, учитывая, что V-r0r~2~0

1.14. ЗАКОН ГАУССА. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА
65
(см. пример 2 к разд. 1.7), для поверхности, не охватыва-
охватывающей ^ начало координат, в котором подынтегральная
функция неопределенна,
-0. A.148)
Это доказывает закон Гаусса для случая, когда заряд лежит
вне объема V.
Если поверхность S охватывает начало координат,
можно построить малую сферу S' радиусом 6 с центром
Рис. 1.24. Исключение начала координат.
в начале координат (рис. 1.24). Чтобы не возникал вопрос,
какая из поверхностей внутренняя, а какая наружная,
шаровой слой, ограниченный сферами 5 и S', имеет разрез,
который связывает сферы S и S', в результате чего обра-
образуется односвязная замкнутая поверхность. Поскольку
разрез можно сделать как угодно малым, вклад в поверх-
поверхностный интеграл, обусловленный разрезом, стремится
к нулю. Теперь уже можно применить теорему Гаусса
к объему, заключенному между двумя поверхностями S и S':
8 S'
= 0.
A.149)

66 ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Можно оценить второй интеграл, полагая d& = —r
где йп — элемент телесного угла. Знак минус, в соответ-
соответствии с разд. 1.10, фиксирует положительное направление
нормали iv В этом случае положительное направление г'й
соответствует отрицательному направлению радиуса-векто-
радиуса-вектора: г'о — —г0. Интегрируя по всем углам, получаем
A-150)
S' S'
С учетом постоянного множителя в A.146)
s
и закон Гаусса полностью доказан. Заметим, что поверх-
поверхность S не обязательно должна быть сферической.
Рассмотрим теперь распределенный заряд
A.152)
Уравнение A.151) справедливо, но под зарядом q нужно
понимать полный заряд, заключенный внутри поверх-
поверхности S:
\ A.153)
V
На основании теоремы Гаусса получаем
j V.Edx= j-?-dx. * A.154)
V V
Поскольку выбор объема произволен, подынтегральные выра-
выражения должны быть равны
AЛ55)
Это соотношение — одно из уравнений Максвелла.
Можно пойти обратным путем и, используя приведен-
приведенное уравнение Максвелла, доказать закон Гаусса.
Уравнение Пуассона. Если в уравнении A.155) Е заме-
заменить на —Тф, то получим уравнение Пуассона
• A.156)

1.15. ТЕОРЕМА ГЕЛЬМГОЛЬЦА 67
При условии р = 0 оно приводится к известному уравнению
Лапласа
= 0. A.157)
Упражнения
1. Используя уравнения Максвелла, показать, что для статичес-
статической системы (постоянный ток) магнитный векторный потенциал А
удовлетворяет векторному уравнению Пуассона V2A = —[ij, если
V-A = 0.
2. Сформулировать закон Гаусса для двумерного случая, для
1иг „ __ Гп
которого ф— — q - , E= — Vq> — qc~—t где q—заряд, отнесен-
ный к единице длины, а двумерная система представляет собой ци-
цилиндрический слой единичной толщины; г—расстояние по радиусу
от точки измерения до осевой линии.
3. Получить закон Гаусса из уравнения Максвелла A.155).
Г Предполагая электрическое поле точечного заряда q сферически
симметричным, показать, что из закона Гаусса следует закон Кулона
Е= qr°
4яе0г2 *
1.15. ТЕОРЕМА ГЕЛЬМГОЛЬЦА
В разд. 1.13 было указано, что выбор магнитного вектор-
векторного потенциала А неоднозначен. Дивергенция А осталась
неопределенной. В этом разделе докажем две теоремы
6 дивергенции и роторе вектора.
Вектор внутри некоторой области можно определить
однозначно заданием его дивергенции, ротора и нормаль-
нормальной компоненты на границе этой области. Положим
V.V, — <j VyV^c (\ 1581
где s — плотность источника (заряд); с — плотность цир-
циркуляции (тока). Кроме того, задана нормальная компонен-
компонента Vn на границе области. Докажем, что сделанные пред-
предположения однозначно определяют вектор V^ Пусть суще-
существует вектор V2, который удовлетворяет уравнению A.158)
и имеет ту же самую нормальную компоненту на границе.
Покажем, что V4 — V2 = 0. Обозначим W = V4 — V2.
Тогда
= 0, A.159)
= 0. A.160)

68 Г Л А В А I. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Можно положить (см. разд. 1.13)
W=—Vq>. A.161)
Подставляя это в уравнение A.159), получаем уравнение
Лапласа
V.*q> = 0. A.162)
Теперь воспользуемся теоремой Грина A.98), полагая и и v
равными ф. Поскольку на границе
-V2n = 0, A.163)
то теорема Грина сводится к
j \ O. A.164)
Величина W-W — W2 неотрицательна, откуда
W^Vj-Va-O A.165)
всюду в заданной области. Следовательно, Vj единствен
и теорема доказана.
Докажем теперь вторую теорему — теорему Гельмголь-
ца. Вектор V, удовлетворяющий условиям A.158), в кото-
которых с и s на бесконечности равны нулю, можно записать
в виде суммы двух векторов, один из которых безвихревой,
а другой соленоидальный. Попытаемся доказать, что данный
вектор V можно записать в виде
V=— VT + VxA, A.166)
причем — Vq> — безвихревая часть, а V х А —• соленоидаль-
ная. В частности, ф, соответствующая скалярному потен-
потенциалу, записывается как
И^ (Ь167)
а А. соответствующий векторному потенциалу, равен
<1Л68>
Здесь Г! указывает координату точки поля (хи #4, 24),
а г2 — координату источника (jc2, y%, z2), тогда как
A.169)

. 1Д5, ТЕОРЕМА ГЕЛЬМГОЛЬЦА
69
Направления векторов гь г2 и г12 = г4 — г2 показаны
на рис. 1.25. В качестве положительного направления
г12 взято направление из точки источника в точку наблю-
наблюдения. Для существования интегралов необходимо, чтобы
s и с на больших расстояниях достаточно быстро стремились
к нулю.
Соотношением A.166) V задан в виде суммы безвихре-
безвихревой и соленоида л ьной частей, причем скалярный и вектор-
векторный потенциалы определены A.167) и A.168). Покажем,
У
Рис. 1.25. Координаты источника (х2, yz, г2)
и точки наблюдения (хи уи )
что V удовлетворяет также условиям AЛ58), тогда на осно-
•вании предыдущей теоремы V будет определен однозначно,
и теорема Гельмгольца доказана.
Во-первых, поскольку дивергенция ротора равна нулю,
дивергенция V определяется первым членом в правой части
уравнения A.166):
= -lSrv-M#^. A-170)
V.V I
Оператор Лапласа V.-V, или V2, действует на коорди-
координаты (xit yiy Zi)> поэтому его можно ввести под знак интег-
интеграла, так как интегрирование ведется по переменным
A.171)
На основании закона Гаусса (см. разд. 1.14)
0.172)

70 ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Тот или иной результат зависит от того, охватывает
ли замкнутая поверхность интегрирования начало коорди-
координат г = 0. Этот результат удобно выразить с помощью
6-функции Дирака 6 (г):
A.173)
Дельта-функция Дирака определена следующим образом :
Ь(г) = О при гф%, A.174а)
"* A.1746)
где f (r) — любая, всюду определенная функция, а объем
интегрирования включает начало координат. В частном
случае уравнение A.174 6) сводится к
J6(r)<fr= U A.175)
Величина б (г) не является функцией в общепринятом
смысле, так как она не определена (бесконечна) в точке
г — 0. По этой причине со стороны математиков иногда
наблюдалось пренебрежительное отношение к этой функ-
функции. Со временем ее стали трактовать как условную запись
предела. Мы будем пользоваться этой функцией в смысле
определения A.174). Несколько подробнее свойства 6-функ-
6-функции обсуждаются в разд. 8.6.
Прежде чем продолжить обсуждение, рассмотрим две
модификации уравнения A.173). Во-первых, пусть задан-
заданный источник расположен в точке г2, которая не совпадает
с началом координат. Отсюда следует, что множитель 4зх
в законе Гаусса появляется в том и только в том случае,
если поверхность охватывает точку г = г2. Чтобы убедиться
в этом, перепишем уравнение A.173):
(JL) A.176)
Перенос источника в точку г2 изменит условия A.174)
fifa-rzHO, r4^r2, A.177а)
J (г±) 6 (г± — г2) ^ГгА = / (г3). A.1776)
Во-вторых, двойное дифференцирование г^1 по переменным
*2» Угу ?2 равносильно двойному дифференцированию

1.15. ТЕОРЕМА ГЕЛЬМГОЛЬЦА 71
по переменным хи yiy z±\
AЛ78)
Нужно заметить, что из определения 6-функции следует
'" «(Г1-г^ = б(г8-г0." A.179)
Подставляя A.176) в уравнение A.171) и проводя интегри-
интегрирование с помощью 6-функции A.178), получаем
A.180)
Последнее равенство следует из A.1776), в котором поме-
поменяли местами индексы 1 и 2. Выражение A.180) показы-
показывает, что принятая форма записи вектора V и скалярного
потенциала <р находится в согласии с первым условием
A.158).
Для полного доказательства теоремы Гельмгольца необ-
необходимо показать, что сделанные предположения согласуют-
согласуются и со вторым условием A.158). На основании уравнения
A.166)
VXV-VxVxA = VV.A-V2A. A.181)
С учетом A.168) первый член
WA = jcOaJ-V^^JdTa. A.182)
Заменяя вновь вторые производные по xit yi} Zi вторыми
производными по #2, у2, %г% проинтегрируем по частям
каждую компоненту уравнения A,182):
Jr \d/l\"]j Г ^ / 1 \
A.183)
Второй интеграл исчезает, поскольку ссоленоидален, а пер-
первый на основании теоремы Гаусса можно преобразовать
в поверхностный интеграл. Если с ограничен в простран-
пространстве или при больших г стремится к нулю быстрее, чем 1/г,

72 ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
то интеграл AЛ 68) существует, и тогда при выборе доста-
достаточно удаленной поверхности первый интеграл в правой
части уравнения A.183) тоже окажется равным нулю.
При условии V-A = 0 уравнение A.181) сводится
к A.171), в котором скаляр s (г2) заменен на вектор с (г2):
ij(L) A.184)
Определяя по-прежнему б-функцию как некоторый закон
интегрирования, можно видеть, что A.184) сводится ко вто-
второму условию A.158). Таким образом, запись V в виде
A.166) и векторного потенциала А в виде A.168) удовлет-
удовлетворяет второму условию A.158), определяющему ротор V.
На этом завершается доказательство теоремы Гельмголь-
ца, утверждающей, что вектор может быть разложен на без-
безвихревую и соленоидальную части. В применении к электро-
электромагнитному полю это означает, что вектор поля V можно
составить из двух компонент: безвихревого вектора электри-
электрического поля Е, определенного скалярным потенциалом ф,
и соленоидального магнитного поля В, которое задается
векторным потенциалом А. Плотность источника s (г) можно
рассматривать как плотность электрического заряда (Делен-
(Деленную на диэлектрическую постоянную е), а плотность цир-
циркуляции с (г) как плотность электрического тока (умножен
ную на магнитную постоянную )
Упражнения
1. Полагая, что P(ri) — -j~ \ ¦—— <2т2 решение эекторногр ура,в«
нения Пуассона
vt? и = - v (Г1),
доказать теорему Гельмгольца A.166), в которой
A=vxP, ф=У'Р.
2. Убедиться, что данное решение Р (ri) при подстановке* в <р
и А приводит к выражениям, которые даны для этих величин
в разд. 1.15.

ГЛАВА 2
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
В гл. 1 мы почти целиком ограничились декартовой систе-
системой координат, в которой предполагалось, что единичные
векторы I, j и к постоянны. Мы ввели радиус-вектор г,
но и его тоже считали функцией х> у и г. Однако не все
физические задачи успешно решаются в декартовой системе.
Например, для центральных сил F = r0F (r) (таких, как
гравитационные или электростатические) декартовы коор-
координаты могут оказаться крайне неудобными, поэтому поль-
пользуются такой системой, в которой одной из координат
служит расстояние в радиальном направлении.
Систему координат следует выбирать из условия наилуч-
наилучшего соответствия поставленной задаче, используя различ-
различные условия и симметрию, характерные для рассматриваемой
проблемы. Правильный выбор системы координат позволяет
быстрее получить решение. Очень часто слово «быстрее»
означает, что дифференциальное уравнение в частных про-
производных в новой системе можно свести к дифференциаль-
дифференциальным уравнениям первого порядка «стандартного» вида мето-
методом разделения переменных (см. разд. 2.5).
Рассмотрим сначала координаты, в которых уравнение
допускает разделение переменных. Уравнение B.1) имеет
гораздо более общий смысл, чем это может показаться
с первого взгляда. Например, при к2 — О оно представляет
собой уравнение Лапласа, при к2 = (+) const — уравнение
Гельмгольца,ь ¦ при к2 = (—) const — уравнение диффузии
(пространственная часть) и при № = const x кинетическая
энергия — волновое уравнение Шредингера.
Показано *, что существует одиннадцать координатных
систем, в которых уравнение B.1) допускает разделение
* Е i s e n h а г t L. P. Phys. Rev., 45, 427 A934).

74 Г Л А В А 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
переменных. Каждую из этих систем можно рассматривать
как частный случай системы софокусных эллипсоидов.
Кроме того, кратко рассмотрим еще три системы, которыми
пользуются при решении уравнения Лапласа.
2.1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
Декартовы координаты образуются тремя семействами
взаимно перпендикулярных плоскостей: х — const, у =
= const я z ~ const. Представим себе, что мы наложили
на эту систему три других семейства поверхностей. Поверх-
Поверхности любого из этих семейств не параллельны друг другу,
и, кроме того, они не должны быть плоскостями. Все три
новых семейства поверхностей не должны быть взаимно
перпендикулярными, однако для простоты мы опустим это
условие. Положение любой точки (х, у, г) можно задать
пересечением трех плоскостей в декартовой системе или
пересечением трех поверхностей, которые образуют новую
систему криволинейных координат. Полагая поверхности
криволинейных координат gt = const, q2 —[const и qz —
~ const, мы тем самым фиксируем положение заданной
точки координатами (qu q2i qs) так же, как и координа-
координатами (а*, у у z). Это означает, что в принципе можно записать
x=:x(qit <72, <?з), y=*y(qi9 q%, <?з), z = z(qu q2y q3), B.2)
где х, у и z заданы через новые координаты q. Возможна
и обратная зависимость:
Й1 = Яг (х, У> z), q2 = ?2 (х, у, z), qz = Яг (х, У, *)* B.3)
Каждому семейству поверхностей qt — const можно поста-
поставить в соответствие единичный вектор а^, нормальный
к поверхности qt = const и направленный в сторону доз*
растания qt.
Квадрат расстояния между двумя точками вычисляется
по формуле
ds* - &х% + dy* + dz* = 2 hh dqt dq,. B.4)
Коэффициенты fuj называют коэффициентами Ламе; их мож-
можно рассматривать как некие параметры, характеризующие
заданную систему координат qu q2t ^3- Совокупность коэф-'
фициентов Ламе определяет метрику системы координат.

li. Криволинейные косФдкнАты 75
Чтобы определить h\jt продифференцируем уравне-
уравнения B.2)
Ч^ B*5)
аналогичные соотношения получаются для dy и dz. Возводя
B.5) в квадратен подставляя затем в B.4), получаем
дх дх ду ду . дг дг
dqt dqj dqt
Ограничимся ортогональными, системами координат (взаид:
но перпендикулярные поверхности); математически это озна-
означает, что
hu = 0, i Ф I B7)
Чтобы упростить обозначения, положим- Нц = hiy тогда
ds* = (M^iJ + (MfcI + (^з^зJ. B.8)
В последующих разделах каждая система координат будет
определяться заданием коэффициентов Ламе hiy /г2 и h3.
И наоборот, для любого заданного dqi} полагая остальные
q постоянными, эти величины удобно определять с помощью
соотношения
dst = hidqt. B.9)
Подчеркнем, что криволинейные координаты qlt q% и q}
безразмерны. Коэффициенты Ламе ht могут зависеть от q
.и могут иметь размерность. Произведение htdqi может иметь
размерность длины.
Из соотношения B.9) немедленно получаются элемен-
элементы поверхности и объема
dotj = dSidsj = hihjdqidqs, B.10)
di = dsids2ds3 == hih2hzdqidq<idqz. B.1.1)
Выражения B.10) и B.11) полностью согласуются с законом
преобразования B.2).
Упражнения
1. Показать, что требованию ортогональности системы коорди-
координат соответствует условие B.7).
2. Показать, что якобиан J \ —^-^ J = Нф,гкг и, следова-
Wi» Яг» Яг!
тельно, элемент объема J I—L^ | dqidqzdq* в согласии с B.11)
Wii <?2, Яг) ч
равен hhhdd

76
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
2.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
В основу рассмотрения операторов градиента, диверген-
дивергенции и ротора в криволинейных координатах мы положим
определение градиента некоторой функции как вектора,
имеющего абсолютную величину и направление максималь-
максимальной скорости изменения этой функции в пространстве
Рис. 2.1. Криволинейный элемент объема.
(см. разд. 1.6). Тогда компонента Тф (qifq2y q3) в направле-
направлении, нормальном к семейству поверхностей <7i = const,
задается в виде *
Уф |t — J?$_ — Jty „ f B.12)
поскольку она характеризует скорость изменения ф при
изменении ^ (^ и ^3 фиксированы). Величина dsf — при-
приращение длины в направлении увеличения цх. В разд. 2.1
был введен единичный вектор а4 для указания этого направ-
направления. Для.переменных qt и q3 получим выражение B.12);
вектор но сложив их, представим градиент в виде
B.13)
* Здесь мы не используем символ ф для обозначения функции,
поскольку под ф в дальнейшем будем понимать азимутальную
координату.

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 77
Оператор дивергенции можно получить, используя урав-
уравнение A.91) или, что эквивалентно, теорему Гаусса. Для
определенности будем исходить из уравнения A.91)
V.V(qifqz,q9)= lim i__, B.14)
где в качестве элемента объема взято произведение
hihihzdqidqzdqz. Положительные направления выбраны так,
что qu цъ q3 или аь а2, а3 образуют правую систему (рис. 2.1).
Как и в разд. 1.7 и 1.10 *, интегрирование по двум
поверхностям q± = const дает:
\ (Vfah) d^ dq2 dq3—
dqtdq2dq3. B.15)
Добавляя аналогичные результаты для двух других пар
поверхностей, получаем
[ У (Ян Яг, Яз)
B.16)
или, после деления на элементарный объем,
hi)], B.17)
где Vi~проекция V на направление аь т. е. Ki — a^V.
Комбинируя уравнения B.13) и B.17), а также учитывая,
что V = Vty (qu qZi qz), получаем лапласиан
1 Г д /Мз ^Ф^ , д (h3hidj>\ д (hjh2d^
А L dqi \ hi dqi ) ~^ Щ% \ h2 dq2 ) dg3 \ hz dq3
_____ B.18a)
* Поскольку рассматривается предел dqi dq2 dq3 ->¦ 0, произ-
производные выше второго порядка можно опустить.

78
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Наконец, с помощью теоремы Стокса (см. разд. 1.12)
выпишем в явном виде V х V и перейдем к пределу, устремив
к нулю площадь поверхности. Рассмотрим дифференциаль-
дифференциальный элемент поверхности на криволинейной поверхности
t
Рис. 2.2. Криволинейный элемент поверх-
поверхности {на рис. 2.1 этот элемент отмечен
цифрами 1, 2, 3, 4),
= const. Из
V х V.do= V х V \ih2h3dqzdqz,
B.186)
s
согласно теореме Стокса,
х V l
= <? V -d%.
B.19)
Здесь линейный интеграл взят по контуру, лежащему
на поверхности qi = const. Проходя последовательно вдоль
участков 1, 2, Зу 4 границы (рис. 2.2), получаем
~
dqz—
— [ V А + щ-
A dqa =
dq, :
B.20)

2.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 79
На участках пути 1 и 2 выбран знак плюс, тогда как
на участках 3 и 4 взят знак минус, поскольку во втором
случае обход совершается в отрицательном направлении.
Из B.19) получаем
Остальные две компоненты V х V можно получить цикличе-
циклической перестановкой,индексов. Как уже отмечалось в гл. 1,
часто удобно записывать ротор в виде определителя
VxV =
dq2 dq3
hV2 h3V3
B.22)
На этом завершается определение операторов V, V», Vx
и лапласиана V2 в системе криволинейных координат.
Упражнения
. Пусть а4 — единичный вектор в направлении возрастания
Показать, что
1
, Vxat-
д?ц
дк*
h3dg3
можно
. Показать, что ортогональные единичные векторы
1 dr D
определить как &i=—~.— . В частности, доказать, что условие
Ч Щ1
а^а^ = 1 приводит к выражению для hu которое согласуется с урав-
уравнением B.6).
Учитывая определение а^, можно получить формулы
3. Обосновать утверждение, что обычные скалярное и векторное
произведения (не содержащие оператор V) в ортогональных криво-
криволинейных координатах раскрываются точно так же, как и в декарто-
декартовых, и не содержат коэффициентов Ламе.
4. Используя векторное тождество V • W = W • V — V X
X (V х V), получить в криволинейных координатах векторный лап-
лапласиан V-VV.

80
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
/'¦ 2.3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.
ДЕКАРТОВЫ (ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ) КООРДИНАТЫ
Как уже отмечалось, выбор системы координат может
зависеть от физической природы и симметрии решаемой
проблемы. Полезно перечислить все 14 систем, классифи-
классифицируя их в соответствии с тем, обладают ли они осью
сдвига (перпендикулярной семейству параллельных плоско-
плоскостей), или осью симметрии вращения.
В табл. 2.1 перечислено 15 систем координат, так как
круговые цилиндрические координаты обладают и осью
Ось сдвига
Декартовы C оси)
Круговые цилиндрические
—
Эллиптические цилиндри-
цилиндрические
—
Параболические цилин-
цилиндрические
Биполярные
—
Т
Ось вращения
—
Круговые цилиндрические
Сферические C оси)
Вытянутого сфероида
Сплющенного сфероида
Параболические
Тороидальные
Бисферические
аб лица 2.1
Системы, не
имеющие осей
Софокусного
эллипсоида
—
—
-г-
—
Конические
Координаты со-
софокусного
параболоида
сдвига, и осью вращения, а потому приведены дважды.
Расположены системы в таблице так, чтобы показать связь
между различными координатами. В результате вращения
двумерной (г = 0) системы с осью сдвига (левая колонка)
вокруг оси симметрии получим систему координат, приве-
приведенную в центральной колонке таблицы. Например, вращая
плоскость (z — 0) эллиптической цилиндрической системы
координат вокруг большой (малой) оси, получаем систему

2.4. СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ 81
вытянутого (сплющенного) сфероида. В третьей колонке
включены три системы координат, у которых нет ни осей
сдвига, ни осей вращения. Заметим, что в этой асимметрич-
асимметричной группе приведена система софокусных эллипсоидов,
которая в некотором смысле является наиболее общей,
и почти все остальные системы * можно получить из нее.
Декартовы координаты. В декартовой системе координат
(гл. 1), простейшей из всех систем,
ht = hx = 1, Л2 = hy = 1, h = hz= 1. B.23)
Семейства координатных поверхностей представляют собой
три набора параллельных плоскостей: х = const, у ~ const
я z = const. Декартова система — единственная, в которой
все коэффициенты Ламе ht постоянны. Это обстоятельство
будет особенно важным при рассмотрении тензоров в гл. 3.
Подчеркнем, что направление единичных векторов аь а2, а3
или 1, j, k фиксировано.
Исходя из уравнений B.13), B.17), B.18) и B.22) можно
получить результаты, рассмотренные в гл. 1:
v=
I I If
I J ft.
jL JL A.
дх ду dz
Vx V, Vz
B.27)
2.4. СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ г, 0, сГ
Обозначая qit цъ q3 буквами г, 6, ф, можно указать
основные семейства поверхностей сферической системы коор-
координат.
1. Концентрические сферы с общим центром в начале
координат: г = (х2 + у2 + z2I/2 = const.
* За исключением биполярной и ее двух вращательных разно-
разновидностей — тороидальной и бисферической.

82
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
2. Концентрические поверхности прямых круговых кону-
конусов с полярной осью z и вершинами в начале координат:
z
0 = arc cos
= const.
3. Полуплоскости, проходящие через ось z: ф =
= arctg (y/x) = const.
В силу произвольного выбора полярного угла 6 и азиму-
азимутального угла ф все привязки производят относительно
Рис. 2.3. Сферические полярные координаты.
оси г. Уравнения преобразования координат, соответствую-
соответствующие уравнениям B.2), имеют вид
х = г sin 6 cos ф, у = г sin 6 sin ф, z = r cos 0. B.28)
Здесь 0 отсчитывают от положительного направления оси
г, а ф в плоскости ху^от положительного направления
оси х (рис. 2.3). Введенные координаты изменяются в пре-
пределах 0<;г<оо, 0<0^яи 0<^ф<!2л;. Из уравне-
уравнения B.6)
hi = hr = 1, h2 = Ае = г, h3 = йф = г sin 0. B.29)
Следует подчеркнуть, что единичные векторы г0, 60 и <р0
меняют направление, которое определено углами 6 и f

2.4. СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
Эти единичные векторы выражаются через фиксированные
единичные векторы декартовой системы координат i, j и к:
г0 = i sin 0 cos ф + j sin 0 sin ф + к cos 0,
90 = i cos 0 cos ф + j cos 0 sin ф — к sin 0,
q>o = — i sin ф + j cos ф.
Полагая в разд. 2.2 at —r0, a2 = 0o, a3 = <p0, получаем
основные соотношения
B.30)
sin в
B.31)
+ 71
sin0
1
/•2 sin 0
г0 г00 г sin 0<po
д д а
дг ае
аф
B.32)
B.33)
Vr rVQ j
Иногда требуется записать векторный лапласиан- V2V
в сферических координатах. Это можно сделать с помощью
векторного тождества A.80):
2 , 2 д , а2 , cose a , i а»
sin e аэ
4-
0
ae
if 2
Ч r2Sm
_2_ дУв 2 cos 0 v _
r2sin0Ke
i
г2 sin2 0
1
B.34)
2^i-.^, B.35)
ra sin в аф v '
2 cos e ave
B.36)

84
ГЛАВА й. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Из уравнения B.31)
Пример 1. Используя уравнения B.30) — B.33), можно прове-
проверить некоторые результаты, полученные в декартовых координатах
в гл. 1. Из уравнения B.30)
B.37)
B.38)
V*rn = n(n-\-\) rn~*, B.39)
/ u/ u/ ~
наконец, из B.33)
VXro/(r) = O. B.40)
Пример 2. Вычисление магнитного векторного потенциала кру-
кругового тока в плоскости ху связано с определением вектора
Из уравнения B.32)
Ф(г, в)].
B.41)
В сферических координатах
v-vx
1
sine
Го r% r sin
дг дв
-Vx
0 0 г sin 0 Лф (г, 8)
(i94) 9(i
sin 6
[го ^g-(rsin
, B.41а)
или
sin 9
го
дг
гв0
ае
Г Sin
I
/¦2 sin 8
I
— (гипвЛф) -—_--(г81пв>4ф) 0
sin 9 дг
B.416)
Разлагая B.416) по первой строке, имеем
1 а г
В гл. 12 мы покажем, что вектор V связан с присоединенным урав-
уравнением Лежандра, а Лф можно представить в виде ряда по присоеди-
присоединенным полиномам Лежандра.

2.4. СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ 85
Упражнения
I. Выразить единичные векторы сферической системы координат
через декартовы. Ответ:
ro=i sin б cosq> + j sin 0 sin cp-|-kcos6,
00 = i^os 9 coscp-f-j cos 0 sin ф—ksin 9,
Фо = — i sin ф -f j cos ф.
2. Получить формулы обратного преобразования
1 = г0 sin 9 cos ф + 0о cos 0 cos ф-— фо sin
9 sin ф + 0о cos 0sin ф-j-ipocos ф
0—do sin 0.
3. Частица перемещается в пространстве. Найти компоненты
ее скорости и ускорения в сферической системе координат:
— r sin
ae = r0-f 2r9 — г sin 0 cos
• * • •
аф = r sin 0ф -f- 2г sin 0ф + 2r cos
4. Движение частицы с массой т под действием центральных
сил определяется вторым законом Ньютона mr = Tof (г). Показать,
что г х г — с = const и геометрическое толкование этого факта при-
врдит ко второму закону Кеплера.
5. Выразить д(дх} д/ду, д/dz в сферических координатах
д . Л 5 . й I д sin ф д
046 ^
^- = Sin0a^x-4cos6CQS<p — '55 ^Ъ
дх т дг г д% г sin 0
д . л • 0 i о • 1 5 , cos ф
^- = Sin 0S1H ф^- + СО5 0 Sin ф — • ^дЧ
— = CCS В -з SI11 »
6. Используя результаты упр. 5, получить формулу
. ( д д \ . д
\ dy v dx ) дф
Это—квантовый оператор, соответствующий z-компоненте момента
количества движения.
7. Доказать эквивалентность трех форм V2i}> (r) (в сферических
координатах)

r л а 6 a 6. сйстёМы K6ot\fltiHAf
Вторая форма особенно удобна для проверки соответствия между
Востановкой задачи в сферических и декартовых координатах.
8. Пусть Vs^o. Показать, что V2y2(r2t) = °-
9. В одной из моделей солнечной короны предполагается, что
поток тепла удовлетворяет стационарному уравнению непрерывности:
V-(&V7) = 0, где k — Т5/2—теплопроводность. Полагая, что темпе-
температура Т — гп, доказать, что это уравнение имеет решение
2/7
0Ы)
10. Проверить векторные равенства
П. Показать, что уравнения Максвелла в сферических коорди-
координатах имеют вид
ТЖё
дЕт 1
r sin 6 аф г дг
1 д (г Ер) 1 дЕг аЯф = 0
л sin в ав v w ' г sin в
К этим уравнениям нужно добавить еще четыре с заменой
Е —> Н и \IqH —> — 8(|Е.
; 2.5. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
»
В декартовых системах уравнение Гельмгольца B.1)
с помощью лапласиана B.26) приобретает вид
Ограничимся случаем постоянного й2. Вероятно, самый
простой путь решения дифференциального уравнения в част-
частных производных типа B.42) состоит в том, чтобы свести
его к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Для этого положим
ф (х9 y,z)=X (x) Y{y)Z (z) B.43)
и подставим в B.42). Как мы узнали, что можно представить
функцию i|? (дг, у, z) в виде BU3)? Ответ очень прост:
мы вообще не знаем, справедливо ли такое представление
искомого решения. Но если наша попытка увенчается

2.5. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ 87
успехом, то представление 1|э в виде B.43) подтвердится.
В противном случае уравнение B.42) следует решать
с помощью функции Грина, интегральных преобразований
или численных методов.
Положим, что представление B.43) справедливо, подста-
подставим его в B.42):
YZ U + XZ^ + XY ™L + k*XYZ = 0. B.44)
L
Разделив на ifr = XYZ и перегруппировав члены, получим
i d*x ,а 1 &Y 1
Таким образом, переменные разделяются: левая часть урав-
уравнения зависит только от х} тогда как правая только от у и г.
Поскольку х, у и z — независимые переменные, поведение
х не может определяться поведением у и z. Следовательно,
остается приравнять каждую часть уравнения некоторой
постоянной, постоянной разделения. Мы выберем * ,
*1
Y dy* Z
Теперь перепишем уравнение B.47):
переменные снова разделены. Приравняем каждую часть
уравнения постоянной:
S--*1'' B-49)
Введенная постоянная п2 позволяет получить симметричный
набор трех обыкновенных уравнений B.46), B.49) и B.50),
которые^заменяют уравнение B.42). Таким образом, исход-
исходное предположение B.43) оказалось оправданным.
* Выбор знака здесь произведен совершенно произвольно,
но в каждом конкретном случае определяется спецификой рассмат-
рассматриваемой задачи и диктуется конкретными граничными условиями.

ГЛАВА 2, СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Решение должно иметь индексы в соответствии с выбором
постоянных /, т и п:
(*, У, г) = Хг (х) Ут (у) ZA (z), B.50а)
где /, т и п — любые числа, удовлетворяющие условию
&2 ~ i% _^ m2 _|_ п% фуНКцИЯ B.50а) должна быть решением
уравнения B.1), если Хг {х) — решение уравнения B.46),
Ут (у) —решение B.49), Zn — решение B.50). Общий вид
решения уравнения B.1) можно представить как линейную
комбинацию решений %mn
?= 2 alMT$lmn. B.506)
1, т, п
Постоянные коэффициенты aimn выбираются так, чтобы
выполнялись граничные условия задачи.
Каким образом можно добиться этого и почему можно
записывать решение в виде B.506)? Такое представление
основано на том, что V2 + k2 — линейный дифференциаль-
дифференциальный оператор. По определению, линейный оператор X обла-
обладает двумя свойствами:
где а — постоянная.
Следствием этих свойств является то, что любая линей-
линейная комбинация решений линейного дифференциального
уравнения также будет его решением. Из явного вида
оператора V2 + k% вытекает, что он линейный. Таким*
образом, решение уравнения B.42) можно записать
в форме B.506).
Рассмотренный метод разделения переменных дейстауед;
и в том случае, когда ' j
& = f (л) + g (у) + h(z) + k'\ B.50b)
где k'2 — новая постоянная.
Уравнение B.46) теперь принимает вид
Решения X, Y и Z будут уже иными, однако преобразова-
преобразование дифференциального уравнения и построение линейной
комбинации решений остаются прежними.
Читате^» не должен удивляться, почему в этом разделе,
мы разбирали метод разделения переменных дифференциала-¦

2.5. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ 89
ного уравнения в частных производных. Этот пример приве-
приведен здесь в качестве иллюстрации полезности различных
систем координат. Методы решения обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений, получающихся после разделения пере-
переменных, изложены в гл. 8—13.
Попытаемся разделить переменные в уравнении B.1)
с постоянным #% записав это уравнение в сферической
системе координат. Используя формулу B.32), получаем
r2sin0 L дг V дг / ' <Ю \ дб / ' sine d(p2j v
B.51)
Положим теперь
¦ф (г, 8, ф) ¦= Я (г) 6 (9) Ф (ф). B.52)
Подставим B.52) в уравнение B.51) и разделим на
dr. Г dr У + e^sine dB lsino de j ¦
Заметим, что вместо частных производных в уравнении
появились обычные, Умножив на л2 sin2 6, выделим член
_ 2 б' 2ft Г Ь2 l d (
~Г sin и L~ ~1W'!F
Уравнение BТ54) связывает функцию Ф, зависящую только
от ф, с функцией» которая зависит от г и 6. Поскольку
переменные г, 6 н ф независимы, можно .приравнять обе
части этого уравнения некоторой постоянной. Следует заме-
заметить, что почти во всех физических задачах ф играет роль
азимутального угла, поэтому более вероятно, что решение
будет иметь периодический характер, а не экспоненциаль-
экспоненциальный. Учитывая это, полагаем постоянную разделения рав-
равной —т2, тогда .
Л '**»Ф(Ф)-. т2 /9 55}
2 dR \ , 1 d ( . ft dB
~dr + lslnO
Ш2
8
B.56)

90 Г Л А В А 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Умножив B.56) на г2 и перегруппировав члены, получим
R dr \ dr ) ' в sm 0 dB V dQ ) ' sin2 0
B.57)
Переменные снова разделились. Приравняем каждую часть
уравнения постоянной А,2, тогда окончательно
Нам снова удалось свести дифференциальное уравнение
в частных производных к системе трех обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений. Решение этих уравнений обсуж-
обсуждается в гл. 11 и 12. Например, в гл. 12 уравнение B.58)
классифицируется как уравнение для присоединенных поли-
полиномов Лежандра, в котором X2 = / (I + 1), где / — целое
число. Полное решение имеет вид
Ьт (Г, 6, ф) = 2 %1 {Г) ®lm Ф) Фт (ф). B.60а)
I, m
Величина k2 может быть и переменной. Разделение перемен-
переменных возможно, если k2 выражается формулой
В случае атома водорода k2 = / (г). Уравнение B.59), запи-
записанное для атома водорода, сводится к уравнению дли
присоединенных полиномов Лежандра. Разделение перемен-
переменных и исследование полученных при этом обыкновенных
дифференциальных уравнений проведено в разд, 8.3, а здесь
мы вновь возвратимся к изучению систем координат.
Упражнения
I. Подействовать оператором V2-f k2 на сумму flj%(x, у, z)-j-
^2 (*> У: z) и доказать линейность этого оператора, т. е.
k)
2. Проверить, что уравнение

2.6. КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
91
допускает разделение переменных (в сферических координатах). Функ-
Функции /, ? и h зависят только от указанных переменных, № = const.
3. Атомная (квантовомеханическая) частица помещена в прямо-
прямоугольный ящик со сторонами a, b и с. Частица описывается волно-
волновой функцией ij>, которая удовлетворяет уравнению Шредингера
Волновая функция должна исчезать на каждой- стенке ящика (но не
должна быть равной нулю тождественно). Это требование влияет
на константы разделения и, следовательно, на энергию Е. Каково
наименьшее значение ?, для которого можно найти такое решение?
„ яЧ* /1,1.1
Ответ: Е =
2.6. КРУГОВЫЕ * ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ р, <р, z
Легко получить соотношения, которые определяют связь
между декартовыми и круговыми цилиндрическими коор-
координатами (рис. 2.4):
х = р cos ф, у = р sin ф, 2 = 2,
B.61)
где р — расстояние по нор-
нормали от оси z, a r по-преж-
по-прежнему обозначает расстояние
от начала отсчета в декар-
декартовой системе. В соответствии
с этими формулами коэффи-
коэффициенты Ламе оказываются
равными
= hz = 1.
B 62)
v ; . Рие. 2Л. Круговые цилин-
Эта система координат обра- дрические координаты,
зована следующими семей-
семействами координатных поверхностей на рис. 2.4:
1) правильные круговые цилиндры с осью г в качестве
общей оси: р = (х2 + У2I/2 — const;
2) полуплоскости, проходящие через ось z: q> =
~- = const;
В дальнейшем круговые цилиндрические координаты будем
называть просто цилиндрическими, если не .будет специальных
оговорок.- Прим. перев. ' - '" *

ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
J
3) плоскости, параллельные плоскости ху: z = const.
Переменные р, ф и z изменяются в пределах 0<р<оо,
0<ф<2я, — oo<z<oo. Из уравнений B.13), B.17),
B.18) и B.22) имеем
B.63)
B.64)
B.65)
B.66)
р dp
~~ р ар v до )
dVz
дг
Ро РФо к
A JL JL
до (рд дг
Наконец, для задач, в которых рассматриваются цилин-
цилиндрические волноводы или объемные резонаторы, необходимо
знание компонент векторного лапласиана V2V в цилиндри-
цилиндрических координатах:
2
1 тг
ф
ф
B.67)
Вид 2-компоненты лапласиана определяется тем, что оси
в декартовой и цилиндрической системе совпадают, т.
V2
= Ро
Оператор V3 действует на единичные векторы р@, %
лежащие в плоскости рофо. Это свойство оператора рас-
распространяется на любые цилиндрические системы. j/\>
Пример. Пространственная часть амплитуды электромагнитной
волны в цилиндрическом волноводе подчиняется волновому уравнению
Волновод с абсолютно проводящими стенками не ослабляет волну,
а потому нет зависимости от z (центральная ось волновод^Й

2.6. КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ 93
дает с осью г). Тогда, используя выражение B.65), получаем
± (pt)+^.a+t4=,0. B.68)
р dp V dp / р2 дц>% т v '
Пусть
() Р()Ф() B.69)
тогда
Умножая B.70) на ра, выделяем член, зависящий только от ф:
Здесь постоянная равна—т2, так как <р—азимутальный угол, и ожи-
ожидаемое решение должно иметь зависимость sin mq> или cos лир.
Уравнение для радиальной части представляет собой уравнение Бес-
Бесселя (подробнее см. гл. 11):
1 *{&) + (»-!*) рв0. B72)
Упражнений
1. Разложить единичные векторы цилиндрической системы на ком-
компоненты в декартовой системе координат
po~lcQ$<p-f-jsUit<p, фо= — i sin<p~j-jco3(p, ko=k.
2. Разложить единичные векторы декартовой системы на компо-
компоненты в цилиндрической системе координат
i=P0Ces<p—<posin<p, ]=posmq)-j-q)(vcos q>, k = ko.
3. Частица движется в пространстве. Найти компоненты ее ско-
скорости и ускорения в цилиндрической системе
•• • •
4. Проводник, по которому течет ток /, расположен вдоль оси г.
Векторный магнитный потенциал равен A = k-j?~ In (— I . Показать,
zJt v p /
что магнитная индукция В равна В —ф0^— .
5. Решить уравнение Лапласа V2t})=0 в цилиндрических коор-
координатах для случая tj>=i|)(p). Ответ: \^kln[plp^,
6. В цилиндрических координатах задана векторная функция
v (Р. ф) = РоУр (р, ф) -f Фо^ф (р, ф). Показать, что V X V имеет только
г-компоненту. Заметим, что этот результат справедлив для любого
вектора на nogepxaqcra ?3 = const, если только произведения /У
и ^2^2 не зависят от gs.

94
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
7. Задана сила F=
У
+l
. Выразить в цилин-
# у
дрических координатах F, V X F. Определить работу, совершаемую
под действием силы F, при однократном перемещении по окружности
единичного радиуса против часовой стрелки. Как согласовать полу-
полученные результаты? *
8. Доказать, что в уравнении Гельмгольца V2i|>-f-?2\|>=0 пере-
переменные разделяются в цилиндрических координатах, если
^ 2.7. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ и, ф, z
Логично начать классификацию систем координат,
допускающих разделение переменных, с софокусной эллип-
Рис. 2.5. Эллиптические цилиндрические координаты.
соидальной системы (см. разд. 2.15), а все остальные рас-
рассматривать как ее частные случаи *i Будем рассматривать
свойства симметрии систем координат, которые обусловли-
обусловливаются осью сдвига.
* Подробнее см. М о р с П. М., Фешбах X. «Методы мате-
математической физики». Перев. с англ. М., Изд-во иностр. лит.,-195&

2.8. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ 95
Для эллиптической цилиндрической системы имеем
х = a ch и cos vt у — a sh и sin t>, z = z. B.73)
Софокусную эллипсоидальную систему образуют следующие
семейства координатных поверхностей (рис. 2.5):
1) эллиптические цилиндры: и = const, О <С и <; оо;
2) гиперболические цилиндры: v = const, 0 <; а <С 2я;
3) плоскости, параллельные плоскости ху: г = const,
—оо < 2 < оо.
Возводя в квадрат формулы B.73), получаем
х2 = a2 ch2 и cos2 о, B.74)
у2 = л2 sh2 a sin2 у, B.75)
откуда
+ — 1' B.76)
a2 cos* o cfl&iiflv B.77)
При фиксированном и уравнение B.76) описывает семейство
эллипсов с осью х в качестве главной оси. При v = const
уравнение B.77) дает гиперболы с фокусами, расположен-
расположенными по оси х.
Коэффициенты Ламе равны
,}
Упражнение
Пусть ch « = <7i, cos c=<72» 2^^3. Определить новые коэффи-
коэффициенты Ламе Ag и hq2
2.8. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ |, ц, г
Формулы преобразования
{ 2 = г B.79)
описывают две системы ортогональных параболических
цилиндров (рис. 2.6). Разрешив уравнения B.79) относи-
относительно g и ц, получим семейства этих поверхностей:

71 = COflSt
Рис. 2.6. Параболические цилиндрические
координаты (а) и их аксонометрия (б)

2.9. БИПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ 97
1) параболические цилиндры: ? — const *, —оо < ?
< оо;
2) параболические цилиндры: т) = const, O^Jti < оо;
3) плоскости, параллельные плоскости ху: z = const.
Из уравнений B.6) находим коэффициенты Ламе
B-80)
/2
7 Аз = Л=
2.9. БИПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ §,
Эту систему координат можно назвать нечетносфериче-
ской. Ее нельзя рассматривать как частный случай софо-
кусной эллипсоидальной системы координат. В этой системе
даже для № = -0 (см. упр. 2) переменные полностью не раз-
разделяются, и здесь она приведена для иллюстрации того,
как нужно выбирать систему координат для решения конк-
конкретной задачи.
Формулы преобразования записываются так:
Разделив первое уравнение на второе, получим
---?Цг. B.82)
Теперь исключим \ из первого уравнения
(х~а cth -лK + у2 = a2 csh21^. B.83)
Аналогично исключим т| из второго уравнения
х2 + (у — ctg |J = a2 cosec21. B.84)
С помощью соотношений B.83) и B.84) находим семейство
координатных поверхностей этой системы (рис. 2.7):
1) круговые цилиндры: I — const, 0<[ ?<^ 2я с цент-
центром в точке у — a ctg |;
2) круговые цилиндры: t] =* const, —оо <; т| < оо
с центром в точке х — a cth tj;
* Параболическая цилиндрическая поверхность ^ = const ин-
инвариантна относительно знака. Для отрицательных \ (или т)) сле-
Дует брать со знаком минус.
7-1257

ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
3) плоскости: z — const, —оо < z <, оо, параллельные
плоскости ху.
Если г\ -> 0, то cth Tj ->- 1 и csh tj ->- 0. Тогда уравнение
B.83) имеет решение х = а, у = 0. С другой стороны, при
tj -> оо решением является * = —а, # = 0» круг вырож-
вырождается в точку, а цилиндр — в' линию. Все окружности
Рис. 2.7. Биполярные координаты.
(в плоскости ху), описываемые уравнением B.84), проходят
через обе эти точки, поскольку х = ±я, у = 0 — решения
уравнения B.84) при любых ?.
Коэффициенты Ламе для биполярной системы координат
равны
—cos|* d г
Пусть заданы три точки (а, 0), (—^а, 0) и (х, у) и два радиуса-
вектора р4 и р2, расположенных под углами 9t и Э2 к поло^
жительному направлению оси х. Из чертежа (рис. 2.8)
следует
• B.86,

2.9. БИПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ
99
И
x—a
Введем обозначения
B.87)
B.88)
Найдем tg|12, воспользовавшись для этого уравнениями
B.87)
._yl(x—a)—yi(x+a)
Из этого соотношения легко получить B.84). Это показы-
показывает, что ? совпадает с ?i2 = 0i — 62. Разрешая первое
из уравнений B.88) относи-
относительно p2/pi и учитывая B.86),
получаем
А _ А -
" Pi ~
B.90)
Умножая на е1*2 и пользуясь
определением гиперболиче-
гиперболического синуса и косинуса, при-
приходим к уравнению B.83),
что также указывает на тож-
дественносты] ит|12 ^I(/)
Приведем пример ИСПОЛЬЗО- рис. 2.8. Радиусы-векторы pt
вания этой тождественности.
И р2.
Пример. По бесконечному проводнику течет ток / в отрица-
отрицательном направлении z (рис. 2.9). Во втором бесконечном провод-
проводнике, который параллелен первому, направление тока / совг
с положительным направлением оси г. Пользуясь определением
4n
B.91)
найти магнитный векторный потенциал А и магнитную индукцию В.
Согласно уравнению B.91), А имеет только г-компоненту. Инте-
Интегрируя вдоль каждого проводника от 0 до Р и переходя к пределу
при Р—> оо, получаем
dz
—2
Г
Г
I Ур!-
2
B.92)

100
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
^Ы Игл
An
Р2
B.93)
Последнее соотношение приводится к
B.94)
До сих пор биполярные координаты не были нужны. Сейчас, однако,
нам потребуется определить магнитную индукцию В по формуле
Рис. 2.9. Антипараллельные электрические
токи.
. Из уравнений B.22) и B.85)
I-COS |J
дц дг
0
= -5о
а
I * ''* *
B.95)
Магнитное поле имеет только z-компоненту. Читателю предлагается
вычислить В в других системах координат.

2.10. КООРДИНАТЫ ВЫТЯНУТОГО СФЕРОИДА
Упражнения
1. Проверить ортогональность поверхностей % = Ь( и ч\~су.
а) показать, что наклон одной поверхности (по линии пересечения
с плоскостью, z — const) противоположен наклону другой; б) вычис-
вычислить Л|л.
2. Показать, что, в биполярных координатах переменные в урав-
уравнении Лапласа V2ij?E,17, z) = 0 разделяются не полностью. Показать\
что полное разделение возможно в двумерном случае, т. е. когда
)
3. Найти емкость на единицу длины двух параллельных беско-
бесконечных проводящих цилиндров с радиусами Ь и с; расстояние между
осями равно d.
Ответ: С = 2я80/(%.—Лг)-
4. Найти емкость на единицу длины, если система состоит
из бесконечных проводящих цилиндра и плоскости (ось цилиндра
параллельна плоскости). Ответ'. С2
1 2.10. КООРДИНАТЫ ВЫТЯНУТОГО СФЕРОИДА щ V, <р
Обратимся к двумерной системе эллиптических коор-
координат (см. разд. 2.7). Можно образовать трехмерную систе-
систему, вращая двумерную вокруг большой или малой осей
эллипса и вводя азимутальный угол ф (рис. 2.10). Вращение
вокруг главной'оси приводит к системе координат вытяну-
вытянутых сфероидов *со следующими координатными поверх-
поверхностями:
1) вытянутые сфероиды: и = const, 0 -< и < оо;
2) двуполостные гиперболоиды: v == const, 0 ^ v <[ я;
3) полуплоскости» проходящие через ось г: ср = const,
0 < ф < 2л.
Уравнения преобразования:
х = a sh и sin v cos ф, у = a sh и sin v sin ф,
г = а сЙ и cos v.
B.96)
Отметим, что оси в декартовой системе расположены так,
что осью вращательной симметрии будет ось г. Коэффи-
Коэффициенты Ламе в такой системе равны:
cosat;I/2 I „
w«a(ch2tt-cosat;I/2, I 2
i/2, А3 = Аф = a sh м sin t?. J
Координаты вытянутого сфероида играют важную роль
в физике, главным образом в исследовании проблемы
«двух центров». Два центра соответствуют двум фокальным

Рис 2Л0. Координаты вытянутого сфероида.
Поперечный разрез.

2.10. КООРДИНАТЫ ВЫТЯНУТОГО СФЕРОИДА
103
точкам @, 0, а) и @, 0, —а) эллипсоида и гиперболоида
вращения. В соответствии с рис. 2.11 пусть rt — расстоя-
расстояние от точки (z, х) до левого фокуса, а г2 — расстояние
Рис. 2.11. «Два центра».
до правого фокуса, причем при фиксированном и гх +
+ г2 = const. Точка (z, x) в переменных и и v описывается
уравнениями B.96). Азимутальный угол в данном случае
не учитывается. Из свойств эллипса и гиперболы известно,
что
ri-\-r2— const прк фиксированном а,
rt — тг = const при фиксированном
Учитывая соотношения
V. J
B.98)
и уравнения B.96), мы находим
г4 = a (ch и + cos и), r2 = a (ch и — cos v)
или
спм,
2fl
—cos v.
B*99)
B.100)
B.101)
Это означает, что и зависит от суммы расстояний до двух
ценэров, а v — от, разности этих расстояний.
Чтобы было удобнее пользоваться этой системой коорди-
координат, сделаем замену переменных
B.102)
Специально подчеркнем, что тогда изменятся и коэффициен-
коэффициенты Ламе» т. е.
B.103)

104 * Г Л Л В А 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Пример. Молекулярный ион водорода состоит из двух прото-
протонов, которые расположены в фокальных точках, и одного электрона.
Запишем уравнение Шредингера для данной системы:
Переменные г\ и г% определены в соответствии с рис. 2.И, а г^~
— 2а—расстояние между двумя протонами. Задача заключается в раз-
разделении переменных в уравнении B.104).
В избранной системе координат вытянутого сфероида первый этап
связан с вычислением коэффициентов Ламе
~al"P—г » нь
Ah~al"P—г » нь=а\1
B.105)
Используя полученные коэффициенты и уравнение B.18), находим
Из уравнения B.100)
t^l B106)
pi рЪ fa?.
Подставляя B.106) и B.107) в уравнение B.104) и считая, что
^AиЫЫ = !лA1)к(Ы!з(Ы, B.108)
выделяем азимутальную зависимость
2Ma U!-!
= __: ! lL . B.109)
2Ma (б?—1)A —^1) /3 ^^з
Здесь E' — E—ezlri2 — const. Как и в разд. 2.5 и 2.6, положим
^^—-. B.П0)
После этого равенство B.109) упрощается:

2.11. КООРДИНАТЫ СПЛЮЩЕННОГО СФЕРОИДА Ю5
Проверка убеждает нас, что переменные ?t и |г разделяются. Итак,
получается одно дифференциальное уравнение второго порядка для
определения Mil), а другое—для /2(У-
Упражнения
щ
I. Вычислить Л|, 1щ и Л<р(?, т), ср) для | —chu и T] =
2. Показать, что huv — О (координаты вытянутого сфероида).
3. В квантовомеханическом рассмотрении молекулы водорода
по методу Гайтлера — Лондона встречается интеграл
nal J
e-(ri+r2)/a0
в котором интегрирование ведется по всему пространству. Ввести
координаты вытянутого сфероида и вычислить этот интеграл.
Ответ: / = A + 2а/ао + 4а2/За§) е~2а/а°.
4. Полагая | = ch«, r| = cos0, показать, что элемент объема
в координатах вытянутого сфероида получается непосредственно
из выражения
dT = a3(sh2 к-f sin2 о) sh м sin vdudvdy
и равен d% = — a3 (|2 —tJ) d?,dr\dip. (Знак минус выбран для перемены
местами пределов интегрирования по т|.)
5. В системе координат вытянутого сфероида с помощью объем-
объемного интеграла вычислить объем заданного эллипсоида, для чего
использовать поочередно переменные и, v, ф и ?, т], ф. Показать, что
полученные результаты совпадают с обычной формулой объема эллип-
соида, в которую входят его полуоси: V = — Jtag&o» гДе °о и ^о —
о
малая и большая полуоси.
2.11. КООРДИНАТЫ СПЛЮЩЕННОГО СФЕРОИДА и, т, ц
Вращая эллиптическую систему координат (см. разд. 2.7)
вокруг малой оси эллипса, получаем другую трехмерную
систему — систему координат сплющенного сфероида
(угол ф по-прежнему азимутальный угол). Координатными
поверхностями являются:
1) сплющенные сфероиды: и = const, 0 ^ и < оо;
2) однополосные гиперболоиды: v = const *. — у^
У;
* Область изменения v равна л, а в эллиптических цилиндри-
цилиндрических координатах она составляет 2л. Отрицательные значения v
приводят к отрицательным значениям г.

106
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
3) полуплоскости, проходящие через ось z: ф = const,
0 < ф < 2л.
Уравнения перехода к декартовым координатам можно
записать так:
х ~ a ch и cos v cos ф, у = a ch и cos у sin ф,
г = sh и sin о.
Рис. 2.12. Координаты сплющенного сфероида. Поперечный
разрез (стрелкой указано вращение вокруг оси симметрии).
Коэффициенты Ламе равны:
h^hv^a (sh2 и + sin2 uI/2 = a (cha и - cos2 v)i/2t I
/j2 = /j0=a(sh2« + sin2uI/2, Л3 = Лф = асЬисо5и. 1
Поверхность и — const описывает сплющенный сфероид,
который с хорошим приближением соответствует планетар*
ной поверхности, поэтому эта система координат при-

2.12. Параболические координаты
меняется при описании гравитационного поля Земли *.
Системы координат вытянутого и сплющенного сфероида
встретятся далее в разд. 12.10 при рассмотрении функций
Лежандра второго рода.
Существенно заметить, что если вести отсчет угла ф,
как обычно, от оси х в направлении оси у и требовать
порядок (и, v, ф), то получается левая система. Это повлечет
появление множителя (—1) в выражении для ротора. Чтобы
система осталась правой, необходим такой порядок: (v, м, ф),
тогда (рис. 2.12) v0 xuo= -f <Poi или в уравнениях преобра-
преобразования заменить v на (л/2) — v.
Упражнения
1. Разделить переменные в уравнении Лапласа в координатной
системе сплющенного сфероида. Решить дифференциальное уравнение
с зависимостью от ф.
2. Тонкий проводящий металлический диск радиусом а имеет
общий электрический заряд Q. Найти электростатическую емкость
диска и распределение заряда на его поверхности.
Ответ: С = 8яео, а = ф/4яа ~\/аг—г2 (на каждой стороне).
1 2.12. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ с, ц, <[
В разд. 2.8 описаны два семейства ортогональных софо-
кусных парабол. Представим себе, что мы имеем семейство
парабол, лежащих в плоскости ху (см. рис. 2.6), и вращаем
их вокруг оси у, которая служит осью симметрии для
обоих семейств кривых. В результате будут образованы
два семейства ортогональных софокусных параболоидов.
Делая такую циклическую перестановку координат, чтобы
ось z стала осью вращения, мы получаем:
1) параболоиды | = const, 0 ^ ? < оо вокруг положи-
положительного направления оси г\
2) параболоиды т) = const, 0 ^ ц < оо вокруг отрица-
отрицательного направления оси z;
3) полуплоскости ф — const, 0 ^ ф ^ 2л, проходящие
через ось г.
Как обычно, угол ф будем отсчитывать от оси х в плос-
плоскости ху, тогда
4 B.113)
* Vinti J. P. Phys. Rev. Letters, 3, 8 A959).

Г Л А 6 A 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Из уравнения B.113) находим
B.114)
Из рис. 2.13 видно, что |0Х %= — фо, т. е. параболиче-
параболическая система при заданном здесь , порядке переменных
? л, -Ф является левой. В соответствии с уравнениями
J-const
Рис. 2.13. Параболические (координаты (стрелкой указано
вращение вокруг оси симметрии).
B.113) S и rj имеют размерность корня квадратного из длины.
По этой причине некоторые авторы предпочитают исполь-
использовать ?1/2 и T|V2 вместо I и ц.
Параболическими координатами пользуются для анализа,
эффекта Штарка * при описании расщепленных энергети-
энергетических уровней атома, помещенного в электрическое поле.
* Бете Г., Солпитер Э. Квантовая механика атомов
с одним и двумя электронами. Перев. с англ. М., Физматгиз, I960.

2.12. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ 109
Эффект Штарка. Наличие внешнего электрического
поля Ео вдоль положительного направления оси г добавляет
к потенциальной энергии в волновом уравнении Шредингера
дополнительный член —eEoz:
Требуется разделить переменные в этом уравнении. Исполь-
Используем уравнения B.18) и B.114):
+ |2^2'аф2"* B.116)
Кроме того,
r = i!±nl. B.117)
Подставим в исходное волновое уравнение B.115) два
последних выражения и функцию ф = / (|) g (ц) Ф (ф):
If d$ \*dl) ' T|g df\
I ОЛ/f ?2r»2 ffl //m2 I K2 _L Y12 ' 9 V ' e / "I *-" ^•
B.118)
Положим
тогда уравнение B.118) можно легко свести к двум новым:
Постоянные Л и Б произвольны, но удовлетворяют условию
ЛБ 22

ПО г л л в л ч. one it-ми координат
Упражнения
1. Рассмотрим свойство четности (свойство волновой функции
оставаться четной или нечетной при инверсии координат). В декарто-
декартовой системе координат инверсия, выраженная в операторной форме как
действие оператора четности Я, имеет вид
1 (X U Х\ —~ --, . y — [J —— 2
Записать соответствующие операторные уравнения в следующих систе-
системах координат: 1) в сферической системе г, 0, (р; 2) в круговой
цилиндрической системе р, ср, z\ 3) в координатах вытянутого сферо-
сфероида и, v, q>; 4) в координатах вытянутого сфероида |, т), (р; 5) в коор-
координатах сплющенного сфероида и, v, ср; 6) в параболической системе
?> т), ф.
2. Тяжелая частица движется внутри параболоида, ось которого
вертикальна, а вершина покоится на земле. Показать с помощью
множителей Лагранжа, что давление частицы на поверхность пропор-
пропорционально кривизне параболы в этой точке. Замечание. Постановка
данной задачи и множители Лагранжа обсуждаются в гл. 17.
3. Волновое уравнение для водородоподобпого атома имеет вид
где V= — Ze2/г—потенциальная энергия электрона, а ?—-полная
энергия. Показать, что в параболических координатах это уравнение
допускает разделение переменных. Показать, что переменные можно
разделить и в координатной системе вытянутого сфероида, если ядро
атома поместить в один из фокусов.
4. В волновом уравнении, описывающем процесс кулоновского
рассеяния, V —(ZZ'e2)lr, где Ze и Z'e—заряды первой и второй частиц.
Рассматривая задачу в параболической системе координат, показать,
что функция u = eiliZf(l) определяет решение уравнения, в котором
/ (?) удовлетворяет вырожденному гипергеометрическому уравнению.
9 9 9
5. Определить h$, кц и Ц, если параболические координаты
связаны с обычными декартовыми координатами соотношениями
n cos ф, г/ = T/fnsin ф, 2 = -^-(g—tj).
6. Исследовать трехмерную систему координат, образованную
вращением плоской параболической системы |, т) из разд. 2.8 вокруг
оси х.
2.13. ТОРОИДАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ g, п., <f
Эта система координат получается при вращении плос-
плоскости ху биполярной системы (разд. 2.9) вокруг оси у
(см. рис. 2.7). Окружности, центры которых расположены
по оси у (I = const), при таком вращении образуют сферы,
а окружности с центрами по оси х (r\ = const) — тороиды
(рис. 2.14). Обозначим координаты так, чтобы ось вращения

рис, 2.14. Тороидальные координаты. Поперечный разрез.

112 ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
совпала с осью z, тогда формулы преобразования
a sh т] cos
B.122)
х —
] — cos
Отсюда
a sh т] sin ф _ asin?
~ chr)—cos? ' ch т|—cos
ь = /ь - -.—-—=, I
1 6 CllT]—COS? |
ft2==A =_Л—- B.123)
й ' chr]—cos ? ' v '
, , a sh л
h9 = hm —
"'З ф
ch т|—
Координатными поверхностями, образованными при враще-
вращении, служат:
1) сферы с центрами в точках @, 0, a-ctg l) и радиу-
радиусами а\ cosec #1:
I = const, 2az ctg % ~ x2 -\- у2 -\- z2 — a2,
0<?<2я; B.124)
2) тороиды
т) = const, 0< ?< 2я.
Центры кругов
4a2 (x2 + у2) cth2 т] = (л:2 -f у2 -f г2 + a2),2 B.125)
возникающих в поперечном сечении тороидов, расположены
на расстоянии a-cthr] от оси г и имеют радиус a*csh ц;
3) полуплоскости: ф = const, 0 ^ ф ^ 2л, проходящие
через ось г.
В тороидальных координатах переменные в уравнении
Лапласа полностью разделяются. Эта система\координат
встречается довольно редко, однако она все же исполь-
используется в некоторых физических приложениях (например,
при описании вихревых колец).
Отметим, что переменные ?,*!, ф образуют левую систему.
Чтобы сделать систему правой, нужно избрать для коор-
координат ПОрЯДОК 1], |, ф.

2.H. БИСФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
ИЗ
Упражнение
Показать, что площадь поверхности тороида равна Bпа) • {2nb) —
= 4я2а&, где а—радиус тора, b—расстояние от центра до оси.
2.14. БИСФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ |, л. Ф
Обратимся вновь к биполярным координатам (разд. 2.9)
и будем вращать плоскость ху (см. рис. 2.7) вокруг оси х,
Рис. 2.15. Бисферические координаты (стрелкой указано враще-
вращение вокруг оси симметрии).
при этом возникнут два семейства ортогональных пересе-
пересекающихся сфер (рис. 2.15). Дополненные плоскостями

114 Г Л А В А 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
постоянного азимута, они образуют бисферическую систему
координат, характеризующуюся уравнениями преобразо-
преобразования:
a sin ? cos ф a sin ? sin ф a sh т\ .~ . „_
ch t]—cos | * " ch г] — cos |' ~~спт| — cos ? ' ^ ' '
Опять за ось вращения примем ось г. В этом случае
а
cose '
B.127)
-г
СП Ц — COS
, а { _, _ a sin
ц hYj s^' J ф
ch т] —
Тороидальная система характеризуется следующими коор-
координатными поверхностями:
1) поверхность вращения четвертого порядка (вращение
вокруг оси г)
-~ , «ВОрОИКИ» ВДОЛЬ ОСИ Z,
= const
1 = j , сфера,
3^-t^jr острые выступы вдоль
2 ' оси z, напоминающие
рог Луны;
2) сферы радиусом а | csh т] | с центрами в точках
(О, 0, a cth г)): r\ = const, — оо < т) < оо;
3) полуплоскости: <р = const, 0 <1 ф <С 2я, проходящие
через ось z.
В уравнении Лапласа переменные частично разделяются
в этой системе, хотя в уравнении B.1) в общем виде (при
к,2=Ф0) нельзя произвести такого разделения. Бисфериче-
ская система координат используется в специальных зада-
задачах электростатики, например при вычислении электроста-
электростатической емкости между проводящим шаром и проводящей
плоскостью (см. упражнение).
Упражнение
Определить электростатическую емкость системы, состоящей
из проводящего шара и проводящей плоскости (шар и плоскость
не пересекаются).

2.15. СОФОКУСИЫЕ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫ!: КООРДИНАТЫ 1 E
2.15. СОФОКУСНЫЕ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ |lf h, h
Эта обобщенная система координат образована тремя
семействами поверхностей:
1) эллипсоиды (все оси различны), ^ = const:
J
L
Z2
2) одиополостные гиперболоиды,
= 1*
3) двуполостные гиперболоиды, ?3 = const:
B.128)
B.129)
B.130)
Постоянные a, b uc — параметры, характеризующие эллип-
эллипсоиды и гиперболоиды и удовлетворяющие неравенствам
а2 > |3 > Ь2 > U > с* > Ь.
B.131)
Отрицательные знаки перед некоторыми членами в уравне-
уравнениях B.128) — B.130) появились благодаря этим неравен-
неравенствам.
Переход от общих эллипсоидальных координат к декар-
декартовым осуществляется по формулам
2г_
(а2-б2)(&2_с2)
(а2__с2)F2_с2)
B.132)
В результате громоздких выкладок получим коэффициенты
Ламе:
-Л -
2 - Чг ~ 2
F8~ii)Fs-62)
B.133)
8*

116 ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Как и в уравнениях координатных поверхностей, симмет-
симметрия этих соотношений нарушена требованием, чтобы каж-
каждый из полученных коэффициентов имел знак плюс.
Из уравнений преобразования B.132) видно, что некото-
некоторой заданной точке Р (?ь |2> 1з) соответствует восемь
возможных точек (+*, ±y, +z) в декартовой системе. Эта
восьмизначность ликвидируется введением соответствующих
условий, которые налагаются на знаки |ь ?2 и 1з-
Несмотря на то что рассматриваемая система координат
может найти применение в различных задачах математиче-
математической физики, пользоваться ею трудно вследствие слишком
общего характера, поэтому в дальнейшем мы ограничимся
эллипсоидами с осью вращательной симметрии.
2.16. КОНИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
Эта система координат представляется одним из наиболее
необычных (и наименее распространенных) вырожденных
случаев софокусной эллипсоидальной системы координат.
Координатные поверхности:
1) сферы с центром в начале координат и радиусом
|i = const:
*ЧуЧг* = Й; B.134)
2) эллиптические конусы (вершины конусов совпадают
с началом координат, а оси —с осью z, ?2 = const):
4??• B
8 '
3) эллиптические конусы (вершины конусов совпадают
с началом координат, а оси —с осью х, ?3 = const):
Х% t/2 2&
"Р" ~ М — Р*^~ r% — tt ' B.136)
ьз ° 5з с ъз
Как и в разд. 2.15, параметры b и с подчиняются условию
с2>Ц>Ь2>Ц. B.137)
Разрешая уравнения B.134) —B.136) относительно х2, у2
и z2, получаем формулы преобразования
ЫгЬу „,__Н(Вь)(Ь
Ьс } ' У ЬЦО-Ы)
С2B

2.17. СОФОКУСНЫЕ ПАГ-АЬОЛОЙДАЛЬИЫЕ КООРДИНАТЫ Ц7
— L _ . .
С помощью полученных формул и уравнения B.6) вычислим
коэффициенты Ламе:
и и \ \
•Ч "'Si ~~ * »
B.139)
и и r_IiMzil)_l1/2
Эта нечетносферическая система координат почти нигде
не использовалась. Однако в этой системе удалось описать
собственные функции момента количества движения в задаче
об асимметричном роторе *.
2.17. СОФОКУСНЫЕ ПАРАБОЛОИДАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ §i, c
2,
За исключением биполярных, тороидальных и бисфери-
ческих систем координат, все остальные можно получить
из софокусной эллипсоидальной системы (разд. 2.15). Пос-
Последней в ряду этих вырожденных систем стоит система
координат софокусных параболоидов. Для нее координат-
координатными поверхностями являются:
1) софокусные параболоиды с эллипсом в сечении
(направление осей совпадает с отрицательным направлением
оси z, ?i = const):
+ + 2г + |=0; B.140)
2) гиперболические параболоиды, \г — const:
^^ 2=0; B.141)
3) софокусные параболоиды с эллипсом в сечении,
направление осей совпадает с положительным направлением
оси г, ?з =--¦ const:
х \ У 2г ?.. —О f2 149\
Как и в разд. 2.15 и 2.16, параметры а2 и Ь2 и независи-
независимые переменные подчиняются неравенствам
B.143)
S р е п s e R. D. Amer. J. Phys., 27, 329 A959).

ГлАвА 2. системы
Уравнения преобразования имеют вид
У
Отсюда коэффициенты Ламе равны
—6t) Fз~
i/2
B.144)
B.145)
Эта система используется в электромагнитной теории *.
* Maxwell J» С. A Treatise on Electricity and Magnetism.
Vol. I. 3rd ed. Oxford, Oxford University Press, 1904, Ch. X.

ГЛАВА 3
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
3.1. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Тензоры играют важную роль во многих областях физи-
физики, в частности в общей теории относительности и электро-
электромагнитной теории, широко используются при изучении
анизотропных (упругих, оптических, электрических и маг-
магнитных) свойств твердого тела. Здесь же в качестве примера
рассмотрим закон Ома в обычной форме
C.1)
где j — плотность тока; Е — электрическое иоле; о —элек-
—электропроводность. Если изучаемая среда изотропна, то а -
скаляр и, например, для х-компоненты тока выпoлняeтq
равенство
U = a?i. C.2)
Однако, если среда анизотропна, как, например» во многих
кристаллах, плотность тока в ^-направлении может зависеть
от электрических полей в у- и г-направлениях. Предполагая
линейную зависимость, можно переписать уравнение C.2)
в виде
/i = an?i + ai2?2 + спз^з, C.3)
или, в общей форме,
В обычном трехмерном пространстве скалярная электропро
водность задается набором девяти элементов oik:
or12 a13
021 022 <*23
В разд. 3.3 показано, что эта таблица из девяти элементов
определяет тензор.

120 Г Л А В А 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Величины, которые не изменяются при повороте системы
координат, т. е. являются инвариантными, в гл. 1 были
определены как скаляры. Величины, компоненты которых
преобразуются по тем же законам, что и компоненты радиу-
радиуса-вектора (уравнение A.13), разд. 1.2), были названы
векторами. Это свойство принято за определяющую харак-
характеристику вектора. Однако такое определение вектора
^ C.6)
i
в котором коэффициенты а^ представляют собой набор коси-
косинусов угла между осями х\ и Xj, содержит некоторую неоп-
неопределенность.
Возьмем наш радиус-вектор г, тогда
-Е7*- <3-7>
7
3
Если определить производные как
то уравнения C.6) и C.7) окажутся идентичными. Любой
набор величин Aj, преобразующихся по закону
дх'
^4 C.9)
i
определяет контравариантный вектор.
Однако мы уже знакомы с несколько иным типом вектор-
векторного преобразования. Градиент скаляра, определенный как
(для х, у и г использованы обозначения хи xz, и х3)} пре-
преобразуется по закону
ftp' __ v а(Р dXj И 1П
j
где ф = ф (х, у, z) — ф (*', у'} zr) = ф' — скаляр. Заметим,
что уравнение C.11) отличается от C.9), поскольку вместо
dxlldxj имеем dxjldxi Уравнение C.11) определяет ковари-
антный вектор. Примером такого вектора служит градиент
скаляра.

3.1. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 121
В декартовых координатах
п /о
дх'1
и, следовательно, контравариантные и ковариантные преоб-
преобразования совпадают. В других системах координат соот-
соотношение C.12), вообще говоря, не имеет места, поэтому
в них контравариантные и ковариантные величины различ-
различны, что необходимо учитывать. Мы будем отмечать компо-
компоненты контравариантного вектора индексом сверху Л1,
а компоненты ковариантного — индексом снизу At. Чтобы
избавить читателя от некоторой боязни и неуверенности
перед словом тензор, назовем скаляр тензором нулевого
ранга, а вектор — тензором первого ранга.
Теперь определим контравариантные, смешанные и кова-
ковариантные тензоры второго ранга с помощью соотношений
dx'i дх';
hi
J!llJl^. h
I dxh bx\ D
hi
-JL^i.5«; J C.13)
dxh bx. *f « v '
dxk dxi
dx'i dXj W*
hi
Мы видим, что Akl контравариантен по обоим индексам,
Chi ковариантен по обоим индексам, a Bj* преобразуется
контравариантно по первому индексу k, но ковариантно
по второму индексу /. В декартовых координатах все три
типа тензоров второго ранга — контравариантные, смешан-
смешанные и ковариантные — совпадают.
Тензор второго ранга А (с компонентами Лы) удобно
представить, записав его компоненты в виде квадратной
таблицы C X 3 в случае трехмерного пространства):
<Ап А12 Л13\
1 Л22 Л23]. C.14)
УЛ31 Л32 Л33/
Это не означает, однако, что любая квадратная таблица
чисел или функций образует тензор. Существенное условие,
налагаемое на компоненты тензора, состоит в том, что они

122 Г Л А В А 3. ТР.НЗОРНЫЯ АНАЛИЗ
преобразуются по закону C.13). Это требование можно про-
проиллюстрировать подробным изучением двумерного тензора
\ х2 ху,
В повернутой системе координат компонента Tw должна
равняться —х'у'. Проверим, преобразуется ли Ги по зако-
закону C.13):
/ *~~*"* ^— ? SJ ' " ^ • - i I ¦—— ^ ft. * ft t t I
hi hi
где t\ /= 1. Записывая левую часть уравнения в явном
виде в неподвижной системе координат и подставляя вместо
Gife, аи и Tkl их действительные значения, получаем
— (х cos 0 4 у sin 0) (—х sin 0 -f У cos 0) =
= cos2 0P1 + cos 0 sin 0T12 4 sin 0 cos 0T214 sin2 0T22 =
— —xy cos2 0—y2 cos 0 sin 0 4- x2 sin 0 cos 0 4- xy sin2 0.
Возникло тождество, показывающее, что условие C.13)
выполнено для Т11'. Аналогичные выкладки с другими ком-
компонентами показывают, что все они преобразуются по зако-
закону C.13), т. е. Т — действительно тензор второго ранга.
Указанное свойство преобразования нужно проверять
каждый раз заново. Например, если изменить знак у компо-
компоненты Т22 и считать ее равной — ху, то Тш Ф 2 aihauTh\
hi
и поэтому таблица
¦ху -У2\
х2 -ху)
не определяет тензора, так как ее элементы не удовлетво-
удовлетворяют требуемым условиям преобразования.
Сложение тензоров определим аналогично сложению век-
векторов:
А + В = С, C.15)
если AiJ -f Bij = Си'. При этом, конечно, тензоры Л и В
должны иметь один и тот же f ранг и оба должны быть
заданы в пространстве одинаковой размерности.

3.1. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 123
Обычно в тензорном анализе для упрощения суммирова-
суммирования уравнения C.13) записывают в более компактной форме.
Поскольку мы различаем контравариантный и ковариант-
ный тензоры, условимся, что если два одинаковых индекса
встретились в одной части какого-то выражения, причем
один индекс верхний, а другой нижний, то по этим индексам
производится суммирование. Поэтому второе выражение
из C.13) можно переписать в виде
где подразумевается суммирование по к и /. Этим опреде-
определено правило суммирования.
Для иллюстрации этого правила и в какой-то мере
самой техники тензорного анализа покажем, что б-символ
Кронекера бй/ в действительности представляет собой сме-
смешанный тензор второго ранга б*. Во-первых, необходимо
установить, преобразуется ли б? в соответствии с C.13),
т. е. является ли он тензором. По определению символа
Кронекера с учетом правила суммирования, имеем
dxi dxt _ dxi dxk
причем .
Щ dxk
т4-- (ЗЛ8)
/"I V
Однако х] и xi — независимые координаты, и, следовательно,
производная в C.18) равна
ПОЭТОМУ
т. е. 6? — действительно смешанный тензор второго ранга.
Символ Кронекера обладает еще одним интересным свойст-
свойством: он имеет одинаковые компоненты во всех вращающихся
системах координат, и поэтому его можно назвать изотроп-
изотропным. В разд. 3.4 мы встретимся с изотропным тензором
третьего ранга.

124 ГЛАВА 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Вообще говоря, Атп не зависит от Апт, поэтому важен
порядок, в котором проставлены индексы тензора. Однако
имеется несколько интересных специальных случаев; так,
если
Атп^Апм, C.20)
то тензор называют симметричным', если же
А™ = -Апт, C.21)
то тензор антисимметричен. Очевидно, всякий тензор
(второго ранга) можно разложить на симметричную и анти-
антисимметричную части:
± U C.22)
Первый член в круглых скобках в правой части — симмет-
симметричный тензор, а второй — антисимметричный. Это свойство
тензора распадаться на симметричную и антисимметричную
части используется в теории упругости (разд. 3.5). Анало-
Аналогичное разделение функции на симметричную и антисим-
антисимметричную части играет исключительно важную роль
в квантовой механике.
Упражнения
1. Доказать, что
~~\—ху х* ) ~\—у ху
являются тензорами, а
¦* —ху
нет.
2. В общей теории относительности четырехмерный тензор кри-
кривизны четвертого ранга Rtkim (Римана —Кристоффеля) удовлетворяет
условиям симметрии Rmm~'-Rihmi—*~Rhiim- Показать, что число
независимых компонент при этом условии снижается с 256 до 36,
а условие Rihim—Rlmik дополнительно уменьшает число независимых
компонент до 21 (индексы принимают значения от 1 до 4). Наконец,
показать, что если справедливо тождество Rikim-^-Riimh^-Rimhl2^®,
то число независимых компонент равно 20. Замечание. Последнее
соотношение можно считать дополнительным условием только в .том
случае, когда все четыре индекса различны. Тогда число независимых
компонент уменьшается на одну треть.
2 1 на симметричную и антисим-
антисимметричную части.

3.2. СВЕРТЫВАНИЕ. ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 125
4. Доказать, что если компоненты тензора произвольного ранга
равны нулю в заданной системе координат, то они равны нулю и во
всех остальных системах координат.
5. Компоненты тензора А равны соответствующим компонентам
тензора В в некоторой заданной системе координат, т. е. Aji~Bij.
Показать, что тензор А равен тензору В во всех системах коор-
координат, т. е. Aij = Bij.
3.2. СВЕРТЫВАНИЕ, ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Изучая векторы, мы определили скалярное произведение
(разд. 1.3) как сумму произведений соответствующих ком-
компонент:
к-Ъ = {АгВх). C.23)
Обобщением этого выражения в тензорном анализе служит
операция свертывания. Два индекса, один ковариантный,
а другой коитравариантный, полагаются равными друг дру-
другу и затем (в соответствии с правилом суммирования) про-
производится суммирование по этому повторяющемуся индек-
индексу. Например, свернем смешанный тензор второго ранга в)
с учетом уравнений C.18) и C.19)
в;*=а?в?=д?. C.25)
»
Таким образом, свернутый смешанный тензор второго ранга
инвариантен и, следовательно, является скаляром. Это
в точности соответствует тому, что мы получили в разд. 1.3
для скалярного произведения двух векторов и в разд. 1.7
для дивергенции вектора. Вообще, операция свертывания
уменьшает ранг тензора на два.
Компоненты ковариантного и контравариантного векто-
векторов (тензоров первого ранга) можно умножить одна на дру-
другую, в результате чего получится член atb\ Согласно опре-
определению C.13), полученное произведение есть тензор второ-
второго ранга
p pp C.26)
\ dxi дх{ dxt ч '
Производя свертывание, как и в уравнениях C.24) и C.25),
получаем обычное скалярное произведение
C.27)

126 ГЛАВА 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Приведенная операция называется прямым произведе-
произведением. В случае двух векторов прямое произведение пред-
представляет собой тензор второго ранга. Именно в таком
смысле можно понимать величину VE, которая не была
определена в рамках векторного анализа. И вообще, прямое
произведение двух тензоров есть тензор, ранг которого
равен сумме рангов двух первоначальных тензоров, т. е.
4flw = <:}", C.28)
где С) —тензор четвертого ранга.
До сих пор мы сохраняли различие между ковариантным
и контравариантным преобразованиями, поскольку оно
имеет место в неевклидовом пространстве и играет большую
роль в общей теории относительности. В связи с этим
мы отсылаем читателей, интересующихся этим вопросом,
к большому числу превосходных специальных курсов,
а сами ограничимся в оставшейся части этой главы декар-
декартовыми координатами. В дальнейшем мы не будем разли-
различать ковариантные и контравариантные тензоры, поэтому
примем систему нижних индексов. Кроме того, будем .поль-
.пользоваться правилом суммирования и операцией сверты-
свертывания.
Правило суммирования. Если индекс (буква, но не число)
встречается дважды на одной стороне уравнения, то но этому
индексу подразумевается суммирование.
Свертывание. Свертывание заключается в приравнива-
приравнивании двух различных индексов друг другу и в последующем
применении правила суммирования.
Упражнения
1. Задан тензор п-го ранга Т л. Доказать, что дТ jjdxj—
тензор (n-f 1)-го ранга (в декартовых координатах). Замечание. В лю-
любой другой системе координат коэффициенты aij, вообще говоря,
зависят от координат, и производная тензора n-го ранга не есть тен-
тензор, за исключением специального случая п = 0, когда производ-
производная C.11) —ковариантный вектор, т. е. тензор первого ранга.
2. Задан тензор п-го ранга Tiih,.., доказать, что 2 дТцк _ (дх}-
теизор (л —1)-го ранга (в декартовых координатах).
3. Величина L —скалярная функция иедекартовых переменных qi,
их производных по времени qt и, кроме того, в явном виде зависит
от времени t, т. е. V (#, q\, 0-=M?i» qit t). Показать, что

3.3. ПРАВИЛО ЧАСТНОГО 127
rr j —— 1—-к— представляют собой компоненты вектора. Замечи
\ dqi 1 4i
ние. Считается, что qt и qi независимые переменные. Однако
*
dqj/dqj Ф 0.
4. Задана скалярная функция L, которая представляет собой
лагранжиан L—T—V частицы или системы частиц (разность кинети-
кинетической и потенциальной энергии). Показать, что вектор -тг (—^-Л —
V dqj /
dL
—л— равен нулю в декартовой системе координат и, следовательно,
он равен нулю и во всех других системах, подчиняющихся соотно-
соотношению qi = atjXj. Поскольку предполагается, что qt не являются
декартовыми переменными, коэффициенты преобразования aij не будут
направляющими косинусами.
3.3. ПРАВИЛО ЧАСТНОГО
Если At и Bj ~ векторы, то легко доказать (см.
разд. 3.2), что AiBj -— тензор второго ранга. Рассмот-
Рассмотрим теперь ряд обратных зависимостей. Пусть заданы
уравнения
KiAt^B, C.29а)
C.296)
C.29в)
C.29г)
C.29д)
В каждом из этих уравнений А и В — известные тензоры,
ранг которых определен числом индексов и, кроме того,
А произволен. В каждом случае К— неизвестная величина.
Нам необходимо установить поведение величины К при
ее преобразовании. Согласно правилу частного, если интере-
интересующее нас уравнение выполняется в любой вращающейся
(повернутой) декартовой системе координат, то К — тензор
указанного ранга. В качестве иллюстрации остановимся
на уравнении C.296). Учитывая векторные свойства преоб-
преобразования В, можно записать, что в неподвижной системе
координат
и' Л1 п' л п a ic\\
I\ijAj = Di= ClikDif \O.oV)
Уравнение C.296) справедливо в любой вращающейся

128 . Г Л А В А 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
декартовой системе координат, поэтому
A C.31)
В последнем уравнении вновь запишем Л во вращающейся
системе координат* {см. уравнение C.9)]:
U C.32)
тогда
Q. C.33)
Последнее равенство выполняется при любом i и в любой
вращающейся системе. Поскольку Aj произвольно **, то
C.34)
что совпадает с определением тензора второго ранга.
Аналогично можно рассмотреть другие уравнения
C.29) и получить соответствующие варианты выражения
C.34). В заключение следует предостеречь от неправильного
применения правила частного. Оно может не выполняться,
если В = 0. В этом случае свойства преобразования
не определены.
3.4. ПСЕВДОТЕНЗОРЫ
До сих пор все преобразования системы координат огра-
ограничивались чистым вращением. Рассмотрим теперь опера-
операцию отражения, или инверсии. Если заданы коэффициенты
преобразования ац = — би, то из уравнения C.7)
*i=—Jti. C.35)
Полученная зависимость характеризует инверсию. Сущест-
Существенно, что это преобразование заменяет первоначальную
правую систему координат на левую. Радиус-вектор г
с компонентами (xi, х2, *3) трансформируется в г=(х[, хг, х'3) —
* Существенно обратить внимание на порядок индексов на-
направляющих косинусов aji в этом обратном преобразовании
i
*
** Можно, например, положить Ai — 1, a Am = 0 для т Ф 1.
Из этого условия сразу получаем уравнение Км—п^пц Kki>
О C34)
у ру у ур Км^ц Kki
Остальные компоненты уравнения C.34) получаются при другом
специальном выборе Aj.

3.4. ПСЕВДОТЕНЗОРЫ
129
= (—*ь —*2> —*3). Этот новый вектор имеет отрица-
отрицательные компоненты относительно новых преобразованных
осей. Как видно из рис. 3.1, одновременное изменение
знаков как у осей, так и у компонент не меняет вектора
(направление в пространстве). Радиус-вектор г и все другие
Ук
Рис. 3.1. Инверсия декартовых координат. Полярный вектор.
векторы, которые ведут себя аналогичным образом при
отражении, или инверсии системы координат, называются
полярными векторами.
Совершенно по-другому ведет себя вектор, равный век-
векторному произведению двух полярных векторов. Пусть
С = А х В, где А и В — полярные векторы. Уравнение
A.33) определяет компоненты С:
Ci = А2В3 — Л3В2 C.36)
и т. д. После инверсии системы координат At-*—Ait
iBj^h —Bjy но Cft-> —Cki т. е. С при инверсии ведет себя
не так, как полярный вектор. Чтобы различать их, мы назо-
назовем вектор С псевдовектором или аксиальным вектором
(рис. 3.2). Аксиальные (осевые) векторы часто используются
потому, что они возникают при описании процессов, связан-
связанных с вращением. Например, угловая скорость <о=г X V,
момент количества движения L = rxP, момент вращения
L = r X f, магнитное поле В, для которого dH!dt= — VxE.
Как видно, аксиальные векторы часто используются в
физике* хотя это обычно не подчеркивается. В правой
системе координат вектор С характеризует вращение, кото-
которое связывают с правилом правой руки (см. разд. 1.4).
В левой, инвертированной системе, вращение изменяется
на левое. Это показано круглыми стрелками на рис. 3.2,
9-1257

130
Tin а в а з. Тензорный анализ
Вообще говоря, псевдовекторы и псевдотензоры преобра-
преобразуются по формулам
h A'ij = |а\aikanAhh C.37)
где | а 1 — есть определитель, составленный из элементов
таблицы для коэффициентов атп. В случае инверсии опре-
0- X'
Рис. 3.2. Инверсия декартовых координат. Аксиальный вектор.
делитель имеет вид
10 0
0-1 0
О 0-1
1
— *"¦""" 1 <
C.38)
При инверсии одной лишь оси х
-10 0
а[= 0 10
0 0 1
1
C.39)
и снова определитель | а | = — 1. С другой стороны, для
любого чистого вращения определитель | а | всегда равен +1.
На этом мы подробнее остановимся в разд. 4.3. Величины,
которые преобразуются в соответствии с C.37), часто назы-
называют тензорными плотностями. Они ведут себя как обыч-
обычные тензоры при вращениях, однако при инверсии коорди-
координат возникает дополнительный отрицательный знак перед
определителем \а\, что является единственной отличитель-
отличительной особенностью.
В гл. 1 мы видели, что смешанное произведение
5 = А х В С ведет себя подобно скаляру (при вращениях).

3.4. ПСЕВДОТЕИЗОРЫ
Однако при инверсии координат C.35) 5 -»- — S, т. е. в дей-
действительности 5 — псевдоскаляр. Это свойство смешанного
произведения затемняется его геометрической трактовкой
как объема параллелепипеда. В самом деле, если все три
параметра объема — длину, ширину и высоту — заменить
на отрицательные, то произведение этих трех величин будет
отрицательно. Псевдоскалярная природа элемента объема
раскрывается еще в одном интересном примере. В уравнении
Максвелла V «Е = —р/е0 будем считать V и Е полярными
векторами, а е0 — скаляром. Тогда объемная плотность
заряда р должна быть скалярной величиной, однако только
что было показано, что объем является псевдоскаляром.
Следовательно, электрический заряд также псевдоскаляр.
Для дальнейшего удобно ввести трехмерный символ
Леви — Чивита е^д, определенный как
C.40)
Пусть псевдотензор третьего ранга 6\-д в некоторой системе
координат равен е^{. Тогда, по определению псевдотензора,
C.41/
= ^231 ~
8132 — 8213 = 8321 = — 1,
все остальные ег «ь = 0. .
Раскрыв определитель и показав, что Ь'т= |а|а=1,
из C.41) получим
= \а\. C.42)
Рассмотрев другие возможности, найдем, что для вращений
и инверсий
C.43)
Отсюда следует, что eijft — псевдотензор. Более того, оче-
очевидно, он должен быть изотропным псевдотензором с оди-
одинаковыми компонентами в любой вращающейся декартовой
системе координат.
Любому антисимметричному тензору второго ранга Сц
(в трехмерном пространстве) можно сопоставить дуальный
псевдовектор Ci} определенный как
C C.44)
9*

132
ГЛАВА 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Антисимметричный тензор
(О
— С12 О
задан таблицей
23
C.45)
Двойное свертывание (псевдо-) тензора пятого ранга
показывает, что при вращениях системы координат величи-
величина Ci должна вести себя как вектор, но наличие псевдотен-
псевдотензора eijh приводит к тому, что в действительности Ct
является псевдовектором. Компоненты С заданы как
/Q С Сч) = (С'уч С d1) C 461
Заметим, что циклический порядок индексов возник из-за
цикличности компонент tiih. Эта дуальность, зафиксирован-
зафиксированная в C.46), означает, что трехмерное векторное произве-
произведение простым буквенным обозначением можно записать
либо в виде псевдовектора, либо в виде антисимметричного
тензора второго ранга.
Если задать три (полярных) вектора А, В и С, то можно
определить
Вг Сг
C.47)
Уин =
A
В,
Bk
Очевидно, в соответствии с содержанием разд. 3.1 каждый
член ApBqCr должен быть тензором третьего ранга, а сово-
совокупность всех членов определяет тензор третьего ранга Vijk.
Поскольку определитель C.47) полностью антисимметричен,
то при перестановке любых двух индексов, или, другими
словами, при перестановке любых двух строк произойдет
изменение знака. Очевидно, дуальная величина
* — ~чГ ^iik* ijk
3!
C.48)
есть исевдоскаляр. Раскрывая в явном виде определитель
Аг В, С,
А2 В2 С2 , C.49)
А3 53 С3

3.4. ПСЕВДОТЕПЗОРЫ 133
легко убедиться, что это — смешанное произведение.
Для доказательства ковариантности уравнений Максвел-
Максвелла необходимо распространить данный результат на четы-
четырехмерное пространство и, в частности, показать, что четы-
четырехмерный элемент объема dxidxzdx3dxi — псевдоскаляр.
Введем четырехмерный символ Леви — Чивита б до,
аналог трехмерного &ijh. По определению, бдо полностью
антисимметричен по всем четырем индексам. Если порядок
(ijkl) получен четным числом перестановок из совокупности
чисел A, 2, 3, 4), то бда полагается равным +1, если нечет-
нечетным, то b^i = —1. Аналогично тому, как это было проде-
проделано для ем, можно показать, что б до — псевдотензор
четвертого ранга.
Введя тензор четвертого ранга
t Bt d Dt
j Bj Cj Dj
Hi i
ijhl
Dl
C.50)
элементами которого служат компоненты полярных векто-
векторов А, В, С и D, можно определить дуальную величину
bH C.51)
Здесь подразумевается четырехкратное суммирование, кото-
которое снижает ранг тензора до нуля. Поскольку б до имеет
псевдотензорную природу, Н тоже псевдоскаляр. Предпо-
Предположим теперь, что А, В, С и D имеют бесконечно малую про-
протяженность вдоль четырех координатных осей (пространство
Минковского)
А =* (dxu 0, 0, 0), В = @, йхг, 0, 0),..., C.52)
а четырехмерный элемент объема
H — dxi dxz dx3 dxk, C.53)
как мы теперь видим, является псевдоскаляром. Это можно
было предсказать заранее, имея в виду результаты специ-
специальной теории относительности. Лоренцево сокращение
dxidxzdx3 в точности компенсируется удлинением времен-
временного интервала dxk.
Мы перешли к четырехмерному пространству простым
математическим обобщением трехмерного пространства.

134 ' ГЛАВА 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Аналогично можно рассмотреть 5-, б- и W-мерные прост-
пространства. В физике четырехмерное пространство обычно
называют пространством Маяковского, причем
(xit х2, *з, **) = (*. У* z> И. C.54)
где t — время. Указанное объединение пространства и вре-
времени проводится в специальной теории относительности.
Преобразования, которые в специальной теории относитель-
относительности описывают вращение в четырехмерном пространстве,
называются преобразованием Лоренца.
В некоторых приложениях, особенно при квантовомеха-
ническом рассмотрении момента количества движения,
не совсем удобно пользоваться тензорами в декартовой
системе координат. В математическом смысле общий тензор
второго ранга А ц можно разложить на тензоры более низко-
низкого ранга. Действительно, мы уже прибегали к такому прие-
приему. В соответствии с уравнением C.25)
C.55)
есть скаляр — след тензора Ац. Антисимметричная часть,
± C.56)
как было показано, эквивалентна псевдовектору, т. е.
В и — Ch (циклическая перестановка i, /, k). C.57)
Вычитая скаляр А и вектор Си из первоначального тензора,
получаем неприводимый симметричный тензор второго ран-
ранга Stj, который имеет пять независимых компонент с нуле-
нулевым следом:
После этого первоначальный тензор, заданный в декартовых
координатах, можно окончательно записать в виде
Aij = jAbu + Ck + Su. C.59)
Три величины А, С& и 5у образуют сферические тензоры
нулевого, первого и второго рангов соответственно и пре-
преобразуются подобно сферическим функциям Yl (гл. 12)
с L = 0, 1 и 2.

3.5. АФФИНОРЫ 135
Упражнения
1. Задана антисимметричная таблица, элементы которой (Сь С2, С3)
образуют псевдовектор,
/О С3 -С2\ / О С12 С13\
-С3 О С4 = -С12 О С23 .
\ с2 -с4 о/ \-с13 -с23 о /
Предполагая, что соотношение С| = A/2!)е^-^С^ выполняется во всех
системах координат, доказать, что Сд— тензор (здесь в другом виде
сформулирована теорема частного).
4
Id2 ^1 а2
2. Оператор V2 «--з-г можно записать в виде суммы >. -зт »
i=i г
в которой x^—ict. Этот четырехмерный лапласиан, обычно называе-
называемый даламбертианом, обозначают символом Q2. Показать, что Q2—
скалярный оператор.
3. Показать, что 6^ — 3, дг;*едо
4. Показать, ЧТО bijk~bpqk — bi
5. Проверить, что каждый из следующих тензоров четвертого
ранга: btjbkit б^б^ + б^б^, б^б^—б^бд изотропен, т. е. форма
каждого из них не зависит от вращения системы координат.
6. Применив инверсию, доказать, что изотропный тензор в дей-
действительности имеет псевдотензорную природу.
3.5. АФФИНОРЫ *
Аффинор введен с целью распространить правила обыч-
обычного векторного анализа на тензоры второго ранга. Возь-
Возьмем два вектора i и j и образуем комбинацию ij. Эта комби-
комбинация и называется аффинором. Умножение (скалярное или
векторное) слева заключается в перемножении левого мно-
множителя на первый множитель из пары, записанной справа.
A'\)-[(\Ax + }Ay + kAz)'i])=Axl C.60)
Умножение справа предполагает обратный порядок, т. е.
\i'\ = \[i'{iAx + jAy + kAz)U = \Ay. C.61)
Отсюда видно; что, вообще говоря, операция умножения
не коммутативна. Нужно четко представлять, что i и j,
образующие аффинор ij, не взаимодействуют друг с другом.
; * Иногда, особенно в старой литературе, аффиноры называют
диадами.— Прим. перев.

136 . Г Л А В А 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Если они имеют скалярные коэффициенты, то эти коэффи-
коэффициенты перемножаются, сами же единичные векторы не обра-
образуют ни скалярного, ни векторного произведения. Итак,
порядок имеет существенное значение, т. е. ij Ф ji. При
изучении матриц (гл. 4) н комплексных чисел (гл. 6)
мы вновь встретимся с такой же зависимостью. Комплекс-
Комплексное число фактически представляет собой упорядоченную
пару вещественных чисел.
Теперь образуем комбинацию двух векторов А и В:
= \\АХВХ +1 )AXBV -f \kAxBz + ]\AVBX н-
+ jjAyBy + \kAyBz + kiAZBX -[- k]AtBy + ккДА. C.62)
Величина Т= АВ представляет собой аффинор, образован-
образованный, как показано выше, из комбинации аффиноров. Было
установлено (см. разд. 3.2), что произведение двух векто-
векторов АВ — тензор второго ранга. Следовательно, аффиноры
тоже являются тензорами второго ранга, записанными
в форме, которая подчеркивает их векторное происхож-
происхождение, но, с другой стороны, такая форма записи несколько
затемняет тензорные свойства преобразования.
Уже отмечалось, что операция умножения вектора и
и аффинора не коммутативна, однако существует один
важный частный случай, когда эта операция обладает свой-
свойством коммутативности. Возьмем аффинор АВ и положим
а-АВ = АВ-а, C.63)
где а —произвольный вектор. Если a = i, то АХЪ — АВХ1
т. е.
iAxBx + )АхВу -{- ЫХВ2 - \АХВХ + ]АУВХ + kAzBx. C.64)
Приравнивая отдельные компоненты друг другу, получаем
АХВХ = AxBXt AXBV - АУВХ1 AXBZ = AZBX, C.65)
т. е. А = сВ, где с — постоянная. Иначе, если умножение
на произвольный вектор коммутативно, то аффинор должен
быть симметричным. И наоборот, при симметричном аффи-
аффиноре операция умножения коммутативна.
Одно из наиболее важных свойств симметричного аффи-
аффинора заключается в том, что специальным выбором коорди-
координатных осей его всегда можно представить в нормальной

3.5. ЛФФШЮРЫ 137
или диагональной форме
, C.66)
поскольку все недиагональные коэффициенты равны нулю.
Преобразование координат, которое приводит аффинор
к диагональной форме, называется приведением к главным
осям (см. разд. 4.5).
Интересно и полезно дать геометрическую трактовку
симметричного аффинора. Для простоты предположим, что
симметричный аффинор Т задан в диагональной форме. Тог-
Тогда с помощью радиуса-вектора г запишем уравнение
г-Г-г-1, C.67)
которое накладывает ограничение на абсолютную величину г
в зависимости от его ориентации. Раскроем уравнение C.67):
(\х + )у +кг) • (\\ТХХ + \\Tyy + ккТгг) X
C.68)
Последнее равенство определяет эллипсоид с полуосями
хх )У — * уу > С — I гг
Следовательно, диагонализация аффинора соответствует
ориентированию аффинерного эллипсоида таким образом,
чтобы его оси совпали с осями координат.
Если задан антисимметричный аффинор U, т. е. 1/^ = 0,
1)ц= —V'ji(i Ф /; i, j~-x, у, z), то для любого вектора а
а-?/=-?/-а. C.70)
Иначе говоря, умножение вектора на антисимметричный
аффинор подчиняется правилу антикоммутации (см. упр. 1).
Формализм аффиноров гораздо менее удобен по сравне-
сравнению с обычным тензорным анализом. Представление
с помощью аффиноров тензоров третьего и более высокого
ранга крайне затруднительно, поэтому мы вновь возвра-
возвратимся к тензорному анализу и в дальнейшем не будем
делать никаких ссылок на аффиноры.

138 ГЛАВА 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Упражнения
1. Даны антисимметричный аффинор U и вектор V. Доказать,
2. Пусть [/—симметричный аффинор, а—единичный вектор в на-
направлении радиуса-вектора г. Показать, что конец радиуса-вектора
скользит по поверхности эллипсоида, когда г=?/«а.
3. Двумерные векторы т = \х-\-)У и t = — iy-H* могут быть
связаны уравнением xU~ t. Определить тензор ?/, используя для этой
цели обычное тензорное представление. Найти U и дать его опреде-
определение с точки зрения аффиноров.
4. В теории взаимодействия молекул используют аффинор, обра-
образованный из единичных векторов относительно расстояния между
молекулами, эти векторы определяются как ei2 = -~ Ц-. Показать,
I Г2~Г11
что для данного U=I— Зе^е^. Здесь /—единичный аффинор, т. е.
5. Показать, что /=ii-f jj + kk есть единичный аффинор в том
смысле, что для любого вектора V
3.6. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
Когда на упругое твердое тело действует внешняя сила
оно либо деформируется, либо внутри него возникают
некоторые напряжения. Наше рассмотрение теории упру-
упругости с применением тензорного анализа естественным обра-
образом распадается на три этапа: 1) описание деформации
упругого тела; 2) описание сил, которые вызывают (обычно
эти силы называют напряжениями) деформацию; 3) запись
обобщенного закона Гука в тензорной форме.
Деформация упругого тела. Деформацию упругого тела
можно охарактеризовать изменением в расположении отдель-
отдельный его частей относительно друг друга, когда на тело
действуют некоторые внешние силы. Рассмотрим точку Ро
(рис. 3.3), находящуюся на расстоянии г от начала коорди-
координат, и вторую точку QOt которая находится на расстоянии
бх от Ро. Обозначим 6xt координаты точки QQ относитель-
относительно Ро в недеформированном твердом теле; при наличии
деформации, когда точка Ро сместится на расстояние и
в точку Pi, а точка Qo — на расстояние v в точку Qif коор-
координатами точки Qi относительно Р{ будут 6yt — bxt -j- &ui-
Следовательно, изменение в относительном расположении

3.6. ТЕОРИЯ УПРУ 1 ОСТИ
139
точек Р и Q равно б«г. Пренебрегая дифференциалами вто-
второго и более высокого порядков, получаем
^ C.71)
= u(r-| 6x)-«(r)-Fx-V)u,
Поскольку ut — компонента вектора, производная
представляет собой элемент тензора второго ранга Vu.
Рис. 3.3. Упругая деформация.
Разложим этот тензор на симметричную и антисимметрич-
антисимметричную части
dxh ' dxt ) 0Xh 2 [~дх7~~ dxh ) 0Xh-
C.72)
Антисимметричную часть lik можно отождествить с чистым
вращением.
В соответствии с разд. 3.4 установим связь аксиального
вектора 1 с 1и:
5=4* X и. C.73)
Смещение 6и, соответствующее антисимметричной части
равно
C.74)

140
г л л в л з. rnuaopiibif'i анализ
Это вращение вокруг мгновенной оси, которая проходит
через точку Ро в направлении Еектора V х и, а угол вра-
вращения, измеренный в радианах, равен | V х и |/2. Остав-
Оставшаяся симметричная часть цу называется тензором чистой
Рис. 3.4. Напряжения.
деформации. Диагональные элементы тензора ца характе-
характеризуют удлинение, а недиагональные элементы — деформа-
деформацию сдвига.
Если точка Qo сдвинута относительно Ро только в направ-
направлении оси х, то бх — i8*i. Тогда из уравнения C.72)
Ьи{ = ЦцЬх{, бм2 = Л21^1» бм3 —rj3i^i- C.75)
Отсюда при наличии деформации смещение окажется рав-
равным
C.76)
При заданном начальном расположении, бх = i6jci, диаго-
диагональный элемент г}И вносит вклад в первую компоненту бу
(удлинение), а т]21 и ц31 соответственно в Ьу2 и Ьу3, которые
характеризуют сдвиг.
Напряжение. Напряжения, или силы, необходимо опре-
определять с особой тщательностью. Обратимся к рис. 3.4,
на котором показан элемент объема, и обозначим символом
6у2=

3.0. t ПОРИ Я УПРУГОСТИ
141
PijdA силу, действующую в направлении xt на площадку dA,
перпендикулярную к направлению Xj. Рц имеет смысл
давления (сила/площадь). Необходимо помнить, что, как
только речь идет о силе, величина Ptj должна умножаться
на соответствующий элемент поверхности. Эти силы, дейст-
действующие на малый параллелепипед, показаны на рис. 3.4.
Чтобы не загромождать рисунок, на нем представлены
11
Х1
Рис. 3.5. Однородные напряжения. Противопо-
Противоположное направление сил.
только те силы, которые действуют на три ближайшие
фронтальные грани. Если предположить, что напряжения
изотропны, то силы, приложенные к противоположным
поверхностям, будут иметь обратные знаки (рис. 3.5).
Заметим, что Р2у характеризует сдвиг грани в направле-
направлении х2. При изотропных напряжениях на внешнюю среду
со стороны поверхности действует та же самая сила P2i.
В свою очередь сила, приложенная к поверхности В, направ-
направлена в отрицательном направлении оси х2 и также равна Р21.
В основе этих выводов лежат три положения, которые нуж-
нужно выделить отдельно: 1) напряжения изотропно передают-
передаются в твердом теле; 2) существует статическое равновесие;
3) отсутствуют внутренние силы (например, гравитацион-
гравитационные) и вращающие моменты (внешнее магнитное поле, дей-
действующее на магнитные домены).

Г Л Л ft Л 3. ТвнЗбРПЫЙ АНАЛИЗ
Эти допущения позволяют наложить дальнейшие ограни-
ограничения на Рц. Рассмотрим вращающий момент, который
вызывает вращение параллелепипеда, изображенного на
рис. 3.4 и 3.6, вокруг оси х3. Нормальные силы Рц
не создают момента. Силы сдвига P3i и Рп также не создают
момента, так как имеют нулевое плечо. Силы сдвига Рп
и Р2з уравновешены
равными, но противопо-
противоположно направленными
силами на нижней грани
(х3 = 0). Остались два
вращающих момента
P2i {dx2dx3) dxif
dx2, C.77)
I
i2
dx,
которые, если вращения
нет, надо приравнять
друг другу:
Рис. 3.6. Однородные напряжения. _-_р
Равновесие крутящих моментов.
т. е. Р21 = Р12.
Проведя аналогичные рассуждения в случае отсутствия
вращения вокруг осей Xi и x2i получим общее соотношение
р р.. C 79^
которое подчеркивает равенство абсолютной величины,
а не направления, заданного первым индексом.
Таким образом, таблица элементов, описывающих силы
(давление) Ри симметрична. Теперь мы видим, что этой
таблицей определен тензор. Образуем далее бесконечно
малый тетраэдр с наклонной гранью, площадь которой
равна dA и перпендикулярна к направлению х), как пока-
показано на рис. 3.7. Силы, приложенные к наклонной грани,
равны Pi} dA. Силы, действующие на остальные грани
xt = 0, х2 = О и х3 = 0, равны соответственно Pmi (ajidA),
Pmz (fyzdA), Ртг (aj4A); ujkdA — площадь грани xk — 'О,
которая задана как проекция наклонной грани dA на пло-
плоскость xh — 0. Величина ajk представляет собой обычный
направляющий косинус, т. е. косинус угла между осями
х) и xh.

3.G. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ
из
Сила PmidjidA направлена вдоль х1П. Ее проекция
на направление х[ равна aimajiPmidA (суммирование не про-
производится). Если затем просуммировать по индексу т, то это
выражение определит сумму лч-компонент трех сил, при-
приложенных к задней грани лг4 = 0 в лч-направлении. Нако-
Наконец, просуммировав по всем трем граням, получим полную
Рис. 3.7. Бесконечно малый тетраэдр. Равновесие сил.
силу, действующую вдоль xi, при условии статического
равновесия:
A C.80)
Поскольку элемент площади dA выбран произвольно, можно
перейти к соотношению
C.81)
которое в соответствии с определением показывает, что
Pmk — тензор.
Закон Гука. Во-первых, будем предполагать, что упру-
упругое твердое тело изотропно. В дальнейшем мы возвратимся
к общему случают анизотропии. Рассмотрим однородный
стержень, параллельный оси х*. Если растягивающая сила
* Такой специальный выбор в конечном итоге приведет нас
к системе главных осей (гл. 4), характерная особенность этой си-
системы заключается п исчезновении деформаций сдвига,

144 гллв л з. тензор цып анализ
Рп невелика то
Ег\ц = Ян, ?т]22^ —oPiu Ецм = —оРц, C.82)
где Е — модуль Юнга; а — отношение Пуассона. Добав-
Добавление дополнительных малых Р22 и Р3з приведет первое
уравнение C.82) к виду
и = Рп - оР22 - аР33. C.83)
Здесь мы ограничились малыми силами и деформациями,
поэтому эти величины будут связаны линейной зависи-
зависимостью. Перепишем уравнение C.83)
Ег\н = A +.а) Рц - а (Р„ + Ргг + Язз). C.84)
Аналогичные выражения получаются для ?т]22 и Ец53-
Как было показано, х\ц и Рц являются тензорами.
Вследствие симметрии выбранной системы недиагональные
элементы этих тензоров равны нулю. Для обобщения урав-
уравнения C.84) на произвольно ориентированную декартову
систему координат мы произведем вращение системы
т|у — aihajf{r\kh, Pij=^aihajhPhk' C.85)
Если умножить уравнение C.84) на пцп^ а уравнения
для ?i]22 и Я^зз соответственно на а^а^ и а^а^ и сло-
сложить полученные уравнения, то
Eaikajky\kk •-= A + о) atkCtjiiPkh — о1 (Р,т) aihujk- C.86)
Используем C.85) и C.18), тогда
?ilii - A -h а) Рц - а (Рпт) Ьи, C.87)
где тензор
(Р'тт) = (Р,ш)---Рц~1Рп + Рп C.88)
представляет собой свернутый (и, следовательно, инвари-
инвариантный) тензор Ptj.
Часто бывает удобнее разрешить последнее уравнение
относительно Рц. Это можно сделать, положив i — j
и произведя свертывание:
Ец» = A + а) Ри - ЗоРи = A - 2а) Р„. C.89)
Подставим обратно в уравнение C.87):
? б,-; C.90)

3.G. ТНОР11Я УПРУГОСТИ
МГ)
или
где X и fi —коэффициенты Ламе — имеют вид
оЕ Е
C.91)
C.92)
'v~(l + a)(i-2<j)' t*-2 (Не-
(Непостоянную [X можно связать с модулем сдвига. Рассмотрим
параллелепипед (рис. 3.8), жестко закрепленный на плос-
скости Хг — 0; на этот параллелепипед действует танген-
тангенциальная сила Р12. Смещение равно (г)*2, 0, 0). Переходя
Рис. 3.8. Напряжение и деформация сдвига.
на тензорный язык, запишем, что все i]i;-, за исключением
f)i2 = T]2i = r]/2, равны нулю. Тогда из C.91) получим
откуда видно, что ft —отношение напряжения сдвига к мо-
модулю сдвига т).
Если деформация сферически симметрична, как при
гидростатическом сжатии, то
Ли ~ Л22 ~ ЛзЗ» "П12 == Л13 " ^23 == "• (o.J4j
В этом случае
Рц — 3biu -\- 2\хцп = 3^»]ц, C.95)
где
C.96)
ч
10—19S

146 ' Г Л Л В А 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Поскольку в первом приближении 3i)n представляет собой
относительное изменение объема, постоянную k можно отож-
отождествить с коэффициентом объемного расширения.
Обобщение на случай анизотропных свойств твердого
тела получается с помощью обобщенного закона Гука и все
той же линейной зависимости между напряжением и дефор-
деформацией
C.97)
где в соответствии с теоремой частного с\щ — тензор
четвертого ранга. В силу симметричности тензора напря-
напряжений Ptj и тензора деформации
C.98)
поэтому число независимых компонент уменьшается с 81 =
= 34 до 36. Далее можно показать*, что
Cijhi = Chuj, C-99)
после чего число независимых компонент снизится до 21.
В случае применения общего тензорного соотношения
C.97) к изотропному телу тензор упругости сцм должен
быть линейной комбинацией более общих изотропных тен-
тензоров четвертого ранга. Использовав результаты упр. 5
(разд. 3.4), получим
ctjki = abifiki + Ь [bikbji + bnbjh] -f c \bikbn — ЬцЬ^]. C.100)
Подставим это в уравнение C.97):
Рц = abiftkk Н- Ь (т]0- -f i\a) + с {г\ц — 1\л). C.101)
Поскольку r\ij симметричны, то, в полном согласии с C.91),
Упражнение
Трехмерный тензор четвертого ранга Cijki Удовлетворяет усло-
условиям: Cijki~Cjiki = Cijih = CjHk. Показать, что эти условия приводят
к уменьшению числа независимых компонент, или элементов,
с 81 до 36. Далее, показать, что при выполнении условия
число независимых компонент сокращается до 21.
* См. S о к о 1 n i к я f I 1. S. Mathematical Theory of Elasti-
Elasticity. N.Y., McGraw-Hill, 19.%,

1?. КопЛриаптпА'я фоШК урлмш-пий мЛкаи-ллЛ
3.7. КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
Как известно из специальной теории относительности,
преобразования Лоренца, связанные с пространством и вре-
временем, эквивалентны вращению в четырехмерном простран-
пространстве Мииковского *, в котором четвертая координата
*4 = Ш. Мнимая единица i введена для того, чтобы в этом
пространстве четырехмерный аналог теоремы Пифагора
имел такой же вид, как в трехмерном пространстве. Запи-
Запишем уравнения Максвелла в тензорном виде в пространстве
Минковского. Если это возможно, то благодаря свойствам
преобразования тензоров автоматически будет достигнуто
согласие со специальной теорией относительности. Урав-
Уравнения Максвелла в вакууме (е = е0, \i = м<о) имеют вид
VxE--~, C.102а)
VxH| C.1026)
V D = p, C.102b)
V.B = 0, C.102г)
где
D = e0E, B-fx0H. C.103)
Привлекая скалярный и векторный потенциалы, можно
записать
B = VxA, E=-U--Vq>. C.104)
В уравнение C.104) входит ротор А; дивергенция А пока
еще не определена (см. разд. 1.13 и 1.15). Однако для
удобства можно наложить новое ограничение на вектор-
векторный потенциал А —условие Лоренца:
^- = O. C.105)
Из уравнений C.102в) и C.104) следует, что
=-i- ' <3-106)
* Го л детей н Г. Классическая механика. Перев. с англ.
М., Гостехтеориздат, 1957, глава 6. Тензорное уравнение для фо-
фотонов У\ х|= 0 приводит к преобразованиям Лоренца.
10*

ГЛАВА 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
а из уравнений C.1026), C.104) и A.80) получим
i^. C.107)
»¦¦„ v '
Воспользуемся условием Лоренца C.105) и зависимостью
Гт-2 1 д*
•C.108)
l d2
Дифференциальный оператор jj2- V2—:2 • ^ в простран-
4
стве Минковского равен 2 "л~г • Здесь использованы
индексы, принятые в специальной теории относительности.
Легко показать, что Q2 —скалярный оператор (см. упр. 2
к разд. 3.4).
Для удобства положим
Л, -= -4 - св0Дт, Л2 - ~ ¦ ceQA,h
|lot ^ " C.109)
Если теперь обозначить
то уравнение C.108а) можно переписать в форме
dv ** ~ "~ ^** C.111)
я '*
Это уравнение по внешнему виду напоминает тензорное
уравнение, однако простое сходство — еще не доказатель-
доказательство. Чтобы это доказать, прежде всего рассмотрим свойства
преобразования обобщенного тока /^. Элемент электриче-
электрического заряда de — инвариантная величина:
de — pdxidx2dx3. C.112)
Мы видели в разд. 3.4, что четырехмерный элемент объема
dXidxidxzdXb также инвариантен. Поэтому, сравнивая урав-
уравнения C.53) и C.112), можно заключить, что плотность
электрического заряда р должна преобразовываться так же,

3.7. КОЙЛРИЛНТИЛЯ ФОРМА УРА1МШШП MAKCUIiJUlA
как и dxk, четвертая компонента четырехмерного вектора
dx%. Компонента /4 вектора /V равна ip. Другие компоненты
из C.110) можно выразить через /V
. _pvx р dxi _ ¦•() dx\ . dx\
Поскольку /4 преобразуется по тому же закону, что и
то /i преобразуется Kandxi. Аналогичные результаты полу-
получаются для /2 и /3. Следовательно, ji и dx% преобразуются
по одному и тому же закону, т. е. /\ — четырехмерный
вектор в пространстве Минковского.
Уравнение C.111), которое вытекает непосредственно
из уравнений Максвелла C.102), предполагается выполнен-
выполненным во всех декартовых системах координат. В этом случае
на основании теоремы частного заключаем, что А^ — вектор
и уравнение C.111) действительно тензорное.
Теперь, возвращаясь к уравнениям C.104), можно напи-
написать
dA
/-1,2,3,
\ioc
д _ дЛь
dAj
, 2,3)
C.114)
(циклическая перестановка по i, /, k).
Определим новый антисимметричный тензор второго
ранга (так как Л ь —вектор):
Перепишем
с
(»>
его в
явном
/ °
~сВг
сВу
\ iEx
виде
сВг -
0
-сВх
iEv
-сВу — Шя>
Cljx —lEy
U i i ih
iEz 0 J
C.115)
С помощью этого тензора два уравнения Максвелла C.1026)
и C.102в) можно записать в тензорном виде
/х. C.116)
dx,
В левой части этого уравнения стоит четырехмерная дивер-
дивергенция тензора, т. е, вектор. Это, конечно, эквивалентно

ГЛАВА 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
свертыванию тензора третьего ранга df^/dx? (см. упр. 1 и 2
к разд. 3.2) Оставшиеся два уравнения Максвелла также
запишем в тензорной форме. Имеем для уравнения C.102г)
C.117)
и для C.102а) три уравнения вида
C.118)
(Второе уравнение имеет индексы 1, 2, 4, а третье 1, 3, 4.)
Поскольку dfx^/dxy, =s ^nv — тензор (третьего ранга), соот-
соотношения C.102а) и C.102г) можно выразить тензорным
уравнением
O« C.119)
Из C.117) и C.118) легко увидеть, что индексы К, [х и v
предполагаются различными, ибо в противном случае при
совпадении любых двух индексов уравнение C.119) авто-
автоматически вырождается в тривиальное тождество 0 — 0
(см. упр. 4).
Получив соотношения C.116) и C.119), мы полностью
завершили вывод уравнений Максвелла в ковариантной
форме, однако представляется интересным исследовать еще
тензорные свойства Дц C.115). «Направляющие косинусы»
в преобразованиях Лоренца, соответствующих движению
вдоль оси г (ось дг3) со скоростью v, имеют вид *
C.120)
f\
0
0
0
1
0
0
0
У
0
0
Фу
где
\0 0 -фу у I
= o/cf 7 = (l-P
/f. C.121)
Используя закон преобразования тензоров, можно выразить
электрическое и магнитное поле в движущейся системе через
соответствующие величины в неподвижной системе отсчета.
См. сноску на стр. 147.

3.7. КОВЛРИЛИТПЛЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 151
Из уравнений C.113), C.115) и C.120) получаем
?; J (Ex-vB4)t ?y= J {Ev + vBx),
—P* Vb=T2V y М C.122)
F' — F •
C.123)
Полученную зависимость между Е и В можно было
ожидать заранее. В самом деле, рассмотрим, например, слу-
случай нулевого электрического поля в неподвижной системе
Ех = Еу = Ег — 0. Очевидно, на покоящуюся заряжен-
заряженную частицу не будут действовать никакие силы. Когда
частица движется с малой * скоростью v вдоль оси z, наблю-
наблюдатель, движущийся вместе с частицей, зафиксирует наличие
поля (потому, что оно действует па заряженную частицу)
Ex = ~~vBy, Еу = vBx. Здесь В — магнитное иоле в непод-
неподвижной системе. ЭтимГравенствам можно придать вектор-
векторную форму
E = vxB или F = gvxB, C.124)
которая обычно и служит определением магнитного поля.
Наконец, тензорные (или векторные) свойства позволяют
строить различные инвариантные величины. Одной из наибо-
наиболее важных является скалярное произведение двух четырех-
четырехмерных векторов Ля и д:
= cbq Ax &L + сг0Ау -^ + св0Аг
+ с0Ау ^ + св0г +
+ 18офф = ео(А-1 — рф), C.125)
где А — векторный потенциал; j — плотность тока. Послед-
Последний член рф описывает обычную электростатическую связь
и имеет размерность энергии на единицу объема. Следова-
Следовательно, новый построенный скалярный инвариант представ-
представляет собой плотность энергии. Динамическое взаимодейст-
взаимодействие поля и тока дается произведением A-j. Другие возмож-
возможные инварианты электромагнитного поля рассматриваются
в упр. 3.
* Если скорость не мала, так что и2/с2 нельзя пренебречь,
необходимо пользоваться релятивистскими соотношениями,,

152 ГЛАВА 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Упражнения
1. Тензор В можно определить через дуальный четырехмерный
тензор второго ранга В':
Показать, что В' преобразуется при вращении как тензор второго
ранга, а при инверсии как псевдотензор.
2. С помощью тензора /, элементы которого заданы выраже-
выражением C.115), построить дуальный тензор/'.
О — 1Ег iEy cBxy
iEz 0 -iEx cBy
Ответ: f = *o\_iEy iEx 0 еВ\
-сВх —сВу —cBz О
Построение гензора/' соответствует замене сВ —> /Е, — № —» сВ.
Это преобразование, называемое иногда «дуальным», оставляет инва-
инвариантными уравнения Максвелла в вакууме (р = 0).
3. Показать, что &B*—E2 и В>Е инвариантны.
4. Показать, что при совпадении хотя бы двух индексов %, ц и v
уравнение C.119) вырождается в тривиальное тождество 0=0.
б. Записать условие Лоренца C.105) в виде тензорного уравне-
уравнения в пространстве Минковского.
6. Показать, что выражение \~й—~® соответствует условию
г*
непрерывности заряда и тока (см. разд. 1.7). Если известно, что это
уравнение справедливо во всех лоренцевых системах отсчета, то
почему нельзя утверждать, что /ц—вектор?
7. Калибровочное преобразование состоит в том, что скалярный
и векторный потенциалы (pi и Ai можно брать в виде
ду
_A-, A2=Ai
При этом новая функция % удовлетворяет однородному волновому
уравнению V2%— ЧРо-*?- — $• Доказать, что 1) преобразование
Лоренца остается без изменения; 2) новые потенциалы удовлетворяют
тем же неоднородным волновым уравнениям, что и первоначальные:
3) поля Б и В не изменяются.

ГЛАВА 4
(У
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
4.1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Мы начнем изучение матриц с обобщения некоторых
свойств определителей, поскольку они применяются в мате-
математическом аппарате матриц, а также отчасти из желания
выяснить, что вообще можно называть матрицами.
Свойства определителей. Определитель записывают
в виде квадратной таблицы чисел или функций, которая
состоит из п строк и п столбцов
й2 Ь2 с2
D.1)
ап Ьп
Величина п называется порядкдм определителя. Выражен-
Выраженный через свои элементы определитель имеет вид
D.2)
Где бщ..., аналогично символу Леви — Чивита (разд. 3.4)
равно +1 для четного числа перестановок индексов
A, 2, 3, . . ., п)у — 1 для нечетного числа перестановок
и нулю в случае повторения любых двух индексов. В част-
частности, для определителя третьего порядка
Щ
а2
аз
D.3)
уравнение D.2) дает
D =
a3btc2 —
D.4)

154
Г'Л А В А 4. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Таким образом, определитель третьего порядка представ-
представляет собой обычную линейную комбинацию произведений
трех сомножителей. Каждое произведение содержит один
и только один элемент из каждой строки и из каждого столб-
столбца, причем оно положительно, если число перестановок,
которым достигнут порядок индексов в этом произведении,
четно (относительно перестановки столбцов a, b и с или
чисел 1, 2 и 3), и отрицательно, если число перестановок
нечетно.
Некоторые свойства определителей п-то порядка следуют
уже из уравнения D.4), поэтому воспользуемся им для
иллюстрации этих свойств.
Представление определителя с помощью миноров. Урав-
Уравнение D.4) можно (разложение Лапласа) переписать так:
D = at (b2c3—Ь3с2)—аг (bic3 — b3c{) + а3 (Ь,с2 — Ьгс{) =
b2 Сч
lh с.
— a*
b\ c{
bi c{
D.5)
И вообще, определитель n-ro порядка можно представить
в виде линейной комбинации произведений элементов любой
строки (или любого столбца) и определителей (п — 1)-го
порядка, образованных вычеркиванием t-й строки и /-го
столбца, на пересечении которых стоит элемент а^
определителя. Полученный таким образом определитель
(п — 1)-го порядка (в данном случае второго) называют
минором и обозначают М^-. Минор, взятый со знаком
(—l)t+J, называют алгебраическим дополнением к элементу,
который находится на пересечении пц, и обозначают С^-.
Теперь уравнение D.5) можно переписать так:
2
t=i
В данном случае разложение произведено по первому стелб-
НУ> / ~— 1, а суммирование производится по i.
Такое представление называют разложением Лапласа.
Оно удобно для оценки определителей высокого порядка,
в которых большое число элементов равно нулю. Например,

4.1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
I5f)
определитель
если разложить
D
D--
его но
--¦(-II
0
-1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
— 1
0
0
1
0
верхней строке
О
_ \
0
0 ¦
0
0
-1
, 1
0
1
0
D.6)
D.7)
Повторное разложение но верхней строке даег
0 1
1 О
О 1
¦1 О
I
¦¦-"¦" J, •
D.8)
Вычисленный определитель D образован из элементов одной
из матриц Дирака, рассматриваемых в релятивистской
теории электрона.
Антисимметрия. Определитель изменяет знак на обрат-
обратный, если поменять местами любые две строки или любые
два столбца — это свойство антисимметричности следует
из четно-нечетного характера множителя б в уравнении
D.2); более ясно это видно из уравнений D.3) и D.4) *.
Оно использовано в разд. 3.4 в связи с построением анти-
антисимметричной линейной комбинации. Кроме того, им часто
пользуются в квантовой механике при записи волновой
функции системы многих частиц, которая в соответствии
с принципом Паули должна быть антисимметрична при
перестановке любых двух одинаковых частиц со спином V2
(электроны, протоны, нейтроны и т. д.).
Имеют место следующие утверждения:
1) определитель с двумя равными строками (столбцами)
равен нулю;
* Изменение знака совершенно очевидно при перестановке
двух соседних строк (или столбцов); ясно, что в этом случае пере-
перестановка нечетна. Читатель может убедиться сам, что перестановка
двух любых строк также нечетна.

I5G
ГЛАВА <1. МАТРИЦЫ I! ОЦрЦДГЛ ИТПЛИ
2) если каждый элемент в строке (столбце) равен нулю,
то определитель также равен нулю;
3) если все элементы строки (столбца) умножить на неко-
некоторую постоянную, то весь онределитель умножится на ту
же постоянную;
4) величина определителя не изменится, если к элемен-
элементам одной из его строк (столбцов) прибавить соответствующие
элементы другой строки (столбца), умноженные на некото-
некоторую постоянную.
Мы имеем
а2 с?2 с2
аъ Ьг съ
а2 -| - kb2
с2
D.9)
Используем разложение Лапласа
Ь\
ь2
Ьг
с{
с2
Сг
—
а2
аъ
Ь\
ь2
Ьг
Ci
с2
Cz
+ k
bi
b2
Ьг
bi
b2
Ьг
Ci
Сг
Сг
. D.10)
На основании свойства антисимметрии второй определитель
в правой части равен нулю. Из свойства антисимметрии
и свойства 3 следует, что определитель равен нулю, если
две его любые строки или два столбца пропорциональны.
Это доказывает соотношение D.9).
Решение системы однородных уравнений. Одно из глав-
главных применений определителей связано с отысканием усло-
условия существования нетривиального решения системы линей-
линейных однородных алгебраических уравнений. Пусть имеется
система трех однородных уравнений с тремя неизвестными
(или п уравнений с п неизвестными):
О, 1
0.
DЛ) ,
Необходимо установить, имеет ли эта система любое, отлич-
отличное от тривиального х = 0, у — 0, г ~ 0, решение.

4.1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
157
Образуем определитель из коэффициентов системы D.11),
затем умножим его на х и воспользуемся свойством 4:
агх
а3х
сг
Съ
V ЬгУ 1-
У +
а2х
аъх
c2z
съг
X
Ьг
Сг
Сг
с.
Сз
D.12)
В последнем определителе каждый элемент первого столбца
в силу D.11) равен нулю. т. е.
х
а{ Ь{
а2 Ы
а3 Ь3
0 bi Ci
0 b2 c2
0 b3 c3
-0.
D.13)
Отсюда следует, что для существования нетривиального
решения системы уравнений D.11) определитель, составлен-
составленный из коэффициентов этой системы, должен равняться
нулю. И наоборот, можно показать, что если определитель,
составленный из коэффициентов некоторой системы, равен
нулю, эта система должна иметь нетривиальное решение.
Этим мы воспользуемся в разд. 7.6 при изучении линейной
зависимости системы функций.
Упражнении
1. Вычислить определители
1
0
1
0
1
0
1
0
0
*
1
3
0
2
1
3
0
2
1
2. Исслсдошнъ систему однородных уравнений
x — y-\-z--0,
и установить, имеет ли она нетривиальное решение.

158 ГЛАВА •!. МАТРИЦЫ Л ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
3. Дано алгебраическое дополнение Qj элемента aij. Доказать,
что ^ aijCij — 2 ajiCji — I Л |, где | А | — определитель, составлеи-
i г
ный из элементов а^-, кроме того, доказать, что ^ aijCih =
i
4.2. МАТРИЦЫ
Основные определения. Матрицу можно определить как
квадратную или прямоугольную таблицу чисел или функций,
которые подчиняются определенным условиям. Такое опреде-
определение представляется логическим развитием хорошо извест-
известных математических понятий. В арифметике мы сталкиваем-
сталкиваемся с простыми числами. В теории комплексной неременной
(гл. 6) имеем дело с определенными парами чисел A,2) =
— 1 + 2t, для которых важен порядок их написания.
Теперь займемся числами (или функциями), составляющими
квадратную или прямоугольную таблицу. Для удобства
числам присвоены два индекса, первый указывает номер
строки, а второй — номер столбца, которым принадлежит
данное число. Например, а1Л — матричный элемент первой
строки и третьего столбца. На основании вышесказанного
матрица А из т строк и п столбцов записывается в виде:
ап at2,
#21 #22
\tttni
D,14)
Особенно важно отметить, что каждый матричный элемент
atj не является комбинацией других элементов. Матрицу
нельзя отождествлять с определителем, который равен про-
просто числу, матрица — эта таблица упорядоченных чисел.
Поэтому теряет всякий смысл операция сложения (или умно-
умножения) всех матричных элементов а^ с каким-либо числом.
Как таблица чисел матрица Л обладает определенными
свойствами, о которых условливаются заранее. Мы посту-
постулируем, что матрицы Л у В и С с элементами atjf btj и ctj
соответственно подчиняются следующим правилам.
Равенство матриц. Матрицы А и В равны тогда и только
тогдаДкогда а^ = btj при любых i и / (при этом, конечно,

4.1 матрицы 159
предполагается, что А и В имеют одинаковое число строк
и одинаковое число столбцов).
Сложение матриц. А -\- В = С в том и только в том
случае, если а^ -\- btj — ctj при любых i и / (сложение ма-
матричных элементов происходит по обычным законам алгебры
или арифметики, если в качестве элементов служат простые
числа). Это значит, что А + В = В — А, т. е. сложение
обладает свойством коммутативности. Кроме того, выпол-
выполняется и ассоциативный закон: (Л Н- В) -\- С = А +
+ (В + С).
Умножение (на скаляр). Под умножением матрицы А
на скаляр а понимают операцию аА — (аЛ), где элемента-
элементами матрицы аА служат ааи, иными словами, каждый элемент
матрицы А умножается на скалярный множитель. Этим
матрицы существенно отличаются от определителей, у кото-
которых умножение на а соответствует умножению только
на один столбец или одну строку, а не на каждый элемент
всего определителя в целом. В соответствии с этим умно-
умножение на скаляр также коммутативно, аА — Аа.
Произведение матриц. Матрица С является произведе-
произведением матриц А и В
С D.15)
в том и только в том случае, если сц — ^aikbhj.
h
Элемент матрицы С с индексом // образован как скаляр-
скалярное произведение i-и строки матрицы А с /-м столбцом
матрицы В (при этом требуется, чтобы число столбцов ма-
матрицы А совпадало с числом строк матрицы В). Немой
индекс k пробегает все значения 1, 2, ..., п, т. е. для
п ~ 3
ai2b2j + aisb3j. D.16)
Очевидно, немой индекс k можно заменить на любой другой,
который еще не использовался, уравнение D.15) от этого
не изменится. Возможно, дополнительное пояснение внесет
замечание, что уравнение D.15) фиксирует способ перемно-
перемножения заданных матриц. Этот способ сочетания матриц на-
называется матричным умножением. В качестве иллюстрации

160 ГЛАВА 4. МАТРИЦЫ II ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
рассмотрим произведение матриц
)" "-(o-iI D17)
о
. . /0-1 + 1-0 0-0+1-(-1)\ /0 -1
°л=(ы+оо io+o(i)j = li oj- D18)
+о-о i
Здесь (GiGa)ij^ViH%jiuii2ahy Непосредственное вычис-
вычисление с помощью правила перемножения матриц дает
-1 о) • DЛ9)
а из уравнения D.15) имеем
ад =-сод. D.20)
Таким образом, за исключением специальных случаев,
операция перемножения матриц некоммутативна*
АВФВА. D.21)
Тем не менее по смыслу определения операции перемноже-
перемножения матриц можно видеть, что ассоциативный закон выпол-
выполняется: (АВ)С~А {ВС). Справедлив также и дистрибу-
дистрибутивный закон: А {В + С) = А В -f AC.
Интересно остановиться на некоторых специальных
матрицах. Если матрица содержит один столбец и я строк,
она называется вектор-столбцом {х} с компонентами xt,
i — 1, 2, . . ., я. Аналогично, если матрица состоит из
одной строки, в которой содержится я элементов, она
называется вектор-строкой \х) с компонентами xt, i ~~ 1,
2, . . ., я. Очевидно, если А представляет собой квад-
квадратную яхя-матрицу и при этом заданы я-компонент-
ный вектор-столбец {х} и я-компонентная вектор-строка
[дг], то А {х} и [дг] А определены уравнением D.15), в то
время как А [х] и {х} А не имеют смысла:
В оставшейся части этой главы мы сконцентрируем
главное внимание на вектор-столбцах, вектор-строках и
и квадратных матрицах. Единичная матрица в качестве
* Коммутацию принято обозначать специальным символом,
квадратными скобками: [А, В] = АВ — ВА. В этом обозначении
уравнение D.21) выглядит как [А,В]фО.

4.2. МАТРИЦЫ
161
матричных элементов имеет символ Кронекера 6ijy и ее
свойства таковы, что IA — А1 — А для любых А.
i
f\ О О О
0 10 0
0 0 10
0 0 0 1
D.22)
Если все элементы матрицы равны нулю, то такая матри-
матрица называется нулевой или нуль-матрицей и обозначается
символом О. Для всех А имеем О А — О А = О, поскольку
О
^0 0 0 ...\
о о о ...
о о о ...
D.23)
Любопытно, что в результате перемножения двух матриц
можно получить нулевую матрицу, хотя ни одна из пере-
перемножаемых матриц не является нулевой. Например, если
то АВ^О.
Диагональные матрицы. Имеется один важный специаль-
специальный случай, когда в квадратной матрице все недиагональ-
недиагональные элементы равны нулю. В частности, если 3 х 3-матри-
ца А диагональна, то
0 0
0
Физическое толкование таких диагональных матриц и метод
приведения матриц к диагональной форме рассматриваются
в разд. [4.5. Здесь же мы просто отметим важное свойство
диагональных матриц: диагональные матрицы коммутируют
т. е. ЛД= В А, если А и В диагональны.
\
П-1257

162 ГЛ.АВА 4. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
След матрицы *. В любой квадратной матрице сумма
ее диагональных элементов называется следом этой матрицы.
Одно из интересных и полезных свойств состоит в том, что
след произведения двух матриц А и В не зависит от порядка
сомножителей:
S3Ми = 2 {ВА)и = Тт (ВА).
3 i i
Это выполняется даже в том случае, когда АВФВА.
Упражнения
I. Даны спиновые матрицы Паули
* /0 1\ . /О -i\ . /1 0
tfl=(i о) Н ) И
\ . /О -i\ . /1 0 \
)' *Н о)' <Ио -i)"
Показать, что с?=/, ai(fj=i(tfii OiGj-\-uj<Ti = 2&tjI (*\ /\k) = (\, 2,3),
B, 3, I), C, 1, 2).
Эти матрицы были использованы Паули в нерелятивистской тео-
теории электрона.
2, Даны три матрицы
, /-1 0 \ п /0 1\ „ / 0 -1\
Но -•)• В=(« о)' с=(-. о)'
Найти все возможные произведения А, В и С, в том числе и их
квадраты. Выразить ответы через Л, В и С и единичную матрицу /.
Эти три матрицы наряду с единичной матрицей образуют математи-
математическую группу.
3. При описании частицы со спнном 1 пользуются матрицами
(О 1 0\ /0 -/ О
1 0 1 , М^Ц, 0 -i
0 10/ \0 г 0
Показать, что: 1) [Мх, My]=iMz и т. д. (циклическая перестановка);
2) M^^MH-M2y-\-Ml=2[t где /-единичная матрица; 3) [М\ Af|] =
= 0, [Мг, L+]=L+, [L+, L~] = 2MZf где ?,± s Мх±Шу.
* Обычно обозначается символами Sp или Тг. Мы используем
второе обозначение.— Прим. перев.

4. 2. МАТРИЦЫ
103
Показать, что соотношения 1)—3) справедливы для двух наборов
матриц М:
/0 0 0
= .0 0 -
\0 j 0
\
'¦ . *,=
/
/
1
\
j 0
i
Уг
Уз
0
\ о
я«=т1
\
/
\
V
0
Уз
0
0
'3
0
.0
^0
0 0
0 0
-i 0
Уз
0
2
0
-V5
0
2
0
0 0
1 0
0 -
0 0
°'
o/
0
2
0
Уз
0
о
0
Уз
0
0
1 0
/
\
о \
0
Уз
»
о /
о \
0
-Уз,
о /
\
1
J/
0
/
-i 0
0 0
0 0
Второй набор используется при описании частиц со спином 3/2.
4. Используя матрицы Паули из упр. 1, показать, что
(ста) (<ьЬ)=а.Ь-)-мг-(ахЬ).
Здесь с да 1<7Л-Ь jffjf-j-Ktfzl а и Ь—обычные векторы.
5. Доказать, что перемножение матриц ассоциативно: (А В) С=
=Л {ВС).
6. Матрица Л диагональна, причем все ее диагональные эле-
элементы различны. Доказать, что если А и В коммутируют, то В диа-
диагональна.
7. Доказать, что если матрицы А и В диагональны, то они
коммутируют.
8. Убедиться, что след каждой из двух несингулярных анти-
коммутирующих матриц равен нулю. (Несингулярность означает, что
определитель, составленный из матричных элементов, не равен нулю.)
9. Показать, что Tr {ABCD)—Tr (DABC).
10. Дана матрица А-1 с элементами а^—С^ЦА^ где Cij—
алгебраическое дополнение \А |. Показать, что А~1'А=1. Следова-
Следовательно, А~1—обратная матрица (| А \ ф 0).
П. Проверить тождество Якоби
, В]].
11*

JG4 ГЛАВА А. МАТРИЦЫ II ОПРПДЕЛИТПЛИ
Оно встречается в теории элементарны* частиц. В качестве мнемони-
мнемонического правила читатель может взять известную формулу ВАС—CAB
из разд. 1.5.
12. Матрица С образована в результате перемножения Лий.
Показать, что определитель матрицы С равен произведению опреде-
определителей матриц А и В
4.3. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
Обычное трехмерное пространство можно описать,
используя хорошо известные декартовы координаты х, у, г.
Рассмотрим вторую систему декартовых координат х\ t/,z\
начало которой совпадает с началом первой системы, однако
оси ориентированы иначе. В этом разделе будут повторены
некоторые результаты гл. I и 3, но в несколько отличном
виде и с другими целями. В гл. 1 и 3 все внимание фокуси-
фокусировалось на векторе или тензоре. Здесь же основной упор
сделан на вращении системы координат.
Направляющие косинусы. Ндшшчнып вектор, направ-
направленным по оси х' (Г), можно разложить на компоненты
этого пек гора вдоль осей х} у и г:
Г --- i cos (*', х)-b j cos (*', у) -t k cos(x\ г). D.25)
Для удобства введем обозначения
cos(x\ x)=allf cos(*', #) = fl|2, cos(*', z) = a13 D.26)
и соответственно
cos(f/', x) = fl2i («21^12), cos(*/', y) = u2z и т. д. D.27)
Теперь уравнение D.25) и аналогичные выражения для j',
к' перепишутся в виде
к' = ia3i Ч- ja32 + ка3з- /
С другой стороны, можно выразить векторы через их ком-
компоненты в повернутой системе координат:
1
(' ]
Поставив индекс I в соответствие векторам i и Г,
индекс 2 — векторам j и j', а индекс 3— векторам к и к'

4.3. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
1G5
(рис. 4.1), замечаем, что в каждом случае первый индекс
относится к единичным векторам повернутой системы
Г, j', k', а второй — к векторам первой системы i, j, k.
Рис. 4.1. Декартовы системы координат.
Векторы. Если рассматривается вектор, компоненты
которого являются функциями положения в пространстве,
то
/;,, D.зо)
поскольку точку в пространстве можно задать как
с помощью координат х, у, 2, так и с помощью координат
х'', у', г'. Подставив вместо i, j и к их выражения из D.29),
можно разбить уравнение D.30) на три отдельных скаляр-
скалярных уравнения:
Vy> =^2j Vx
z>
Z1
D.31)

166 ГЛАВА 4. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
В частности, эти соотношения выполняются и для коор
динат точки (х, у, z) и (х\ у\ г'):
г'=
D.32)
Удобно обозначить координаты этой точки следующим
образом:
*-»*i, У~*Хг, z->xs. D.33)
Аналогичные обозначения введем для координат поверну-
повернутой системы. Тогда систему трех уравнений D.32) можно
записать в форме
з
t = l,2,3. D.34)
Мы не будем пока касаться этих результатов и попытаемся
решить ту же проблему плаче. Рассмотрим две координат-
координатные системы лгь хъ хг и x'v х[, x'z с общим началом отсчета
и некоторой заданной точкой, которая в неподвижной
системе имеет координаты х{, х2, дг3, а в подвижной
(x'v x'2, дгд). Следует отметить обычную двойственность обо-
обозначений. Та же самая буква х относится и к координатной
оси и описывает расстояние вдоль этой оси. Поскольку
заданная система линейна, х\ можно выразить в виде
линейной комбинации переменных хг:
з
D.35)
Здесь коэффициенты а^ можно отождествить с направляю-
направляющими косинусами. Ниже, при исследовании двумерного
случая, это будет проделано строго.
Если в двух системах координат заданы два набора
величин (Vi, К2, Уз) и (V'v V2, V'3), связанных между собой
по закону, аналогичному закону D.35)
\
о \
Vi = S atjVj, D.36)
то (см. разд. 1.2) величины (Уь К2> Уз) представляют
собой компоненты вектора, т. е. при вращении системы

4.3. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ Ю7
координат они подчиняются законам преобразования ком-
компонент вектора. В известной степени координаты точки
являются прототипом вектора. Целесообразность и удобст-
удобство этого определения стали ясными в гл. 3, где оно было
распространено на псевдовекторы и тензоры.
Из уравнения D.34) можно извлечь интересную информа-
информацию о коэффициентах ац, которые характеризуют ориента-
ориентацию координатной системы xi, x'2t x'z относительно системы
Х{, х2, х3. Расстояние от начала отсчета до заданной точки
одинаково в обеих системах. Рассмотрим для удобства
квадрат расстояния
г
i.ft
j ft
i
D.37)
Последнее справедливо для всех точек в том и только
в том случае, если
^auaik = bjk, j, k = 1, 2, 3. D.З8)
Проверить это условие можно, подставляя в уравнение D.37)
значения дг» A, 0, 0), @, 1, 0), @, 0, 1), A,1,0) и т. д.,
после чего процедуру мы вправе делать, так как уравнение
D.37) должно выполняться при всех хдля данного набора %.
Таким образом, условие D.38) требует, чтобы длина остава-
оставалась постоянной (инвариантной) при вращении системы
координат, это условие называется условием ортогональ-
ортогональности. Элементы а^ образуют ортогональную матрицу Л.
Отметим, что в D.38) нет никакого перемножения матриц.
Скорее, его можно истолковать как скалярное произведе-
произведение двух столбцов матрицы Л.
В матричной форме уравнение D.34) имеет вид *
{х') = А{х}. D.39)
Условия ортогональности, двумерный случай. Чтобы
яснее представить себе смысл элемента а^ и понять условие
ортогональности, подробно исследуем вращение двумер-
двумерной системы. (Такая ситуация соответствует вращению
* Заметим, что индексы / и k независимы.

168 Г Л А В А 4. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
трехмерной системы вокруг оси л:3.) Геометрические построе-
построения на рис. 1.6 приводят к соотношениям
х\ = х{cosгр + х2sin ф, х'ъ = — х{sin ф + х2cosф. D.40)
Следовательно, с учетом D.39)
/ COS<p SinqA
V— БШф СОЭф/
Из того же рисунка видно, что
alt = cos ф = cos (x'v x{), al2 = sin ф =
= cos (~ — ф] — cos (x'v x2), ... . D.42)
Сравнение D.41) и D.42) показывает, что матричные эле-
элементы совпадают с направляющими косинусами. Условие
ортогональности D.38) сводится в данном случае к уравне-
уравнениям
si и2 ф | cos2 ф - -1, sin rp cos ф — 0. D.43)
Распространение полученных результатов на трехмерный
случай (поворот системы координат вокруг оси х3 на угол ф
против часовой стрелки) дает
(cos ф sin ф 0\
—эшф соэф 01. D.44)
0 0 1/
Равенство а33 — 1 означает, что х'2 = х3, так как поворот
осуществлялся вокруг оси х3. Нулевые матричные элементы
обеспечивают независимость х\ и х'2 от дг3, а х'9 от Xi и дг2.
Обратная матрица А. Обратную матрицу определяют
формулой
{x} = A-1{xfy D.45)
Матрица А~1 описывает обратный поворот, определенный
матрицей Л, и возвращает координатную систему в ее перво-
первоначальное положение. Символически комбинация уравне-
уравнений D.39) и D.45) дает
{х} = А-1А{х}. D.46)
Поскольку {х} произволен, то
^Г. D.47)

4.3. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ 169
Аналогично
ЛЛ-/. D.48)
Транспонированная матрица А. Элементы введенной
обратной матрицы Л можно определить с помощью усло-
условия ортогональности D.38). Оно не согласуется с данным
определением произведения матриц, однако это противоре-
противоречие устраняется, если ввести новую матрицу А, такую, что
ац = ал. D.49)
Составленная из элементов aJf матрица А называется транс-
транспонированной. Как видно, она отличается от А заменой
строк на столбцы. Теперь условие ортогональности D.38)
можно переписать в новой форме
АА=1, D.50)
которую можно взять в качестве определения ортогональ-
ортогональности матриц. Умножив D.50) на Л справа, получим
с помощью D.48)
А^А'1. D.51)
То, что обратная матрица равна транспонированной, справед-
справедливо только для ортогональных матриц, поэтому D.51)
можно считать новым условием ортогональности матриц.
Умножив уравнение D.51) на Л слева
=1 D.52)
или
= бд, D.53)
t
получим еще одну форму условия ортогональности. Теперь
становится ясным, почему эти матрицы названы ортогональ-
ортогональными.
Пусть в общей форме
= I «21 «22
где матричные элементы а.ц представляют собой косинусы
углов между х\ и х}-. Следовательно, аи, aI2 и ai3 ~- направ-
направляющие косинусы, которые характеризуют расположение

170 Г Л А В А 4. МАТРИЦЫ II ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
оси х[ относительно осей хи х2 и л'3 и определяют единицу
длины вдоль оси х[, т. е. единичный вектор
i' = ton + jaia + kaft3-
Условие ортогональности D.53) просто устанавливает, что
единичные векторы i\ j' и к' взаимно перпендикулярны
или ортогональны. Заданная ортогональная матрица Л пре-
преобразует одну ортогональную систему координат в другую
ортогональную систему.
Инверсия неортогональной матрицы (если только обрат-
обратная матрица существует) определена уравнением D.47) или
эквивалентным ему уравнением D.48). Необходимые и доста-
достаточные условия существования обратной матрицы заклю-
заключаются в том, чтобы исходная матрица была квадратной
размером п X п и чтобы ее определитель был отличен
от нуля (см. упр. 10 к разд. 4.2).
Необходимо отметить, что до сих пор подход к матрицам
был двояким: они рассматривались с помощью компонент-
компонентного представления и как нечто единое целое. Каждый
из этих подходов обладает собственными преимуществами.
Рассмотрим (ST)'1, где ST — матрица, имеющая
обратную матрицу. Тогда ясно, что
(S^iST)'1^!. D.54)
Умножим слева это равенство последовательно сначала
на S, а затем на Г, откуда
(ST-^^T^S-K D.55)
Таким образом, инверсия прозведения матриц равна произ-
произведению обратных матриц, перемноженных в обратном
порядке. Этот результат легко обобщить на любое коли-
количество сомножителей.
С другой стороны, оценку, (ST) лучше производить,
используя компонентное представление. Согласно определе-
определению транспонирования,
= 2 Sijtjk = 2 hisjh D.56)
з
НО
uu = ukh D.57)

4.3. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ 171
поэтому предыдущее уравнение можно записать в виде
D.58)
Следовательно, в результате транспонирования произведе-
произведения двух матриц получается произведение транспониро-
транспонированных матриц, перемноженных в обратном порядке. Заме-
Заметим, что ни в одном из двух приведенных примеров не тре-
требовалось, чтобы S или Т были ортогональными.
Свойства симметрии. Для определения свойств симмет-
симметрии пользуются транспонированной матрицей. Если
Л —Л, т. е. uij — uju D.59)
то матрица называется симметричной. Если же
А= — Л, а# = —ап, D.60)
то она называется антисимметричной или кососимметрич-
ной, и ее диагональные элементы равны нулю. Легко видеть,
что любую квадратную матрицу можно записать в виде
суммы симметричной и антисимметричной матрицы. Рас-
Рассмотрим тождество
lA + A) + lAA] D.61)
Здесь матрица А + А симметрична, а А — А — антисим-
антисимметрична. Последнее выражение является матричным ана-
аналогом тензорного уравнения^{3.22).
Последовательные повороты,\умножение матриц. Обра-
Обратимся вновь к ортогональным матрицам и рассмотрим пово-
поворот системы, заданный матрицей А:
{х'} = А{х} D.62)
и последующий поворот, заданный матрицей /?, такой, что
{х"}=:В{х'}. D.63)
В компонентной форме это запишется так:
х\ = S bijx'j = 2 btjjj ajkxk =2B btjujk) xh. D.64)
i j ь k j
Суммирование по индексу / означает умножение матриц,
в результате которого получается новая матрица С= В А,
такая, что
D.65)

172
Г Л А 6 A 4. МАтИИцЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
У
Мы опять видим, что умножение матриц полезно, а это
уже само по себе оправдывает введение такой операции.
Фактически умножение
двух матриц означает
двойной поворот, кото-
который переводит первона-
первоначальную систему коор-
координат в новую. Таким
образом, мы ставим в
соответствие поворот си-
системы координат, кото-
который изменяет компонен-
компоненты фиксированного век-
вектора (вектор остается
Рис. 4.2. Поворот вектора в непод- неподвижным При ПО-
вижной системе координат. вороте системы, см.
рис. 1.6). Однако урав-
уравнение D.62) можно интерпретировать и как поворот век-
вектора в противоположном направлении (рис. 4.2).
Предположим, мы считаем, что А переводит вектор г
в новое положение Tt
г^Ат. D.66)
Далее с помощью матрицы В произведем поворот системы
координат, при котором (х, у, г)—>(лс', у', г'):
Ви = ВАт = ВА (В'гВ) г - [В А В'1) Вт, D.67)
где ВТ{ есть как раз г4 в новой системе координат, то же самое
справедливо и для Вт. Следовательно, в этой новой системе
(Вт) в результате действия матрицы ВАВ'1 повернут
в положение (Вт,), или, другими словами, в новой системе,
координаты которой соответствуют повороту, заданному
матрицей В, матрица А равна
А'-ВАВг1. D.68)
Преобразование подобия. Преобразование, заданное
выражением D.68), в котором В — любая матрица, не обя-
обязательно ортогональная, известно как преобразование подо-
подобия. В компонентной форме оно перепишется как
а'ц =
D.69)

4.3. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ 173
1,1 _
Если же /? — ортогональная матрица, то
Ьт1=Ъ1$-=Ьп D.70)
и
^ D.71)
ki
Связь с тензорами. Сравнивая D.71) с уравнениями
из разд. 3.1, замечаем, что оно определяет тензор второго
ранга. Следовательно, матрица, которая преобразуется
ортогональным преобразованием подобия, есть, по опреде-
определению, тензор. Тогда очевидно, что любая ортогональная
матрица Л, вызывающая поворот вектора [уравнение D.66I,
может быть названа тензором. Однако если мы имеем дело
с ортогональной матрицей, матричными элементами которой
служат фиксированные направляющие косинусы, опреде-
определяющие новую ориентацию координатной системы, то такая
матрица не определяет тензорного преобразования.
Симметрия и антисимметрия матриц сохраняется при
ортогональных преобразованиях подобия. Пусть задана
симметричная матрица А, т. е. А = А, и, кроме того,
А'^ВАВК D.72)
Тогда в силу ортогональности В
, D.73)
но А = А, поэтому
А'=ВАВ~1 = А'. D.74)
Отсюда видно, что симметрия матрицы сохраняется при
ортогональном преобразовании подобия.
Упражнения *
1. Записать матрицу, которая определяет поворот (правой)
системы координат около оси х2 против часовой стрелки.
2. Показать, что произведение двух ортогональных матриц орто-
ортогонально.
3. Показать, что Тг (АВС)=*Тг (СВА), если любые две из этих
трех матриц коммутируют.
* Все матричные элементы предполагаются вещественными
числами.

174 'ГЛАВА 4. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
4. Показать, что след произведения симметричной и антисим-
антисимметричной матриц равен нулю.
5. Показать, что ЕА — /, если АВ = 1.
6. Суммируя тройное произведение ортогональных матричный
элементов
доказать, что А—А'1. Здесь й^ —матричный элемент обратной
матрицы Л.
7. Убедиться, что операции инверсии и транспонирования ком-
коммутируют: (М)~1=(М~1).
8. Пусть матрица имеет обратную, доказать, что обратная
матрица единственна.
9. Пусть А антисимметрична, убедиться, что гЛг=0, где г~
вектор-столбец.
10. Показать, что след матрицы инвариантен относительно преоб-
преобразования подобия.
П. Показать, что сумма квадратов матричных элементов инва-
инвариантна относительно ортогонального преобразования подобия.
12. Обобщить результат упр. 11 и показать, что
jk lm
где матричные элементы в повернутой и первоначальной системах
связаны ортогональным преобразованием подобия. Этот результат
используется при выводе инвариантов электромагнитного поля (см.
разд. 3.7).
13. Проверить, что определитель матрицы остается инвариантным
при преобразованиях подобия.
14. Показать, что свойство антисимметрии инвариантно относи-
относительно ортогонального преобразования подобия.
15. Убедиться, что симметрия матрицы автоматически влечет за
собой ее ортогональность, если АЛ—/.
16. Показать, что ортогональность матрицы автоматически влечет
за собой ее симметрию, если А А — /.
17. Пусть А ортогональна, проверить, что ее определитель равен
единице.
4.4. ЭРМИТОВЫ И УНИТАРНЫЕ МАТРИЦЫ
Определения. До сих пор мы предполагали, что матрич-
матричные элементы вещественны. В большинстве вопросов клас-
классической физики предположение о вещественности матрич-
матричных элементов вполне достаточно. Однако в квантовой
механике вследствие вида основных коммутационных соот-
соотношений (или формы уравнения Шредингера) неизбежно
появляются комплексные переменные. В связи с этим обоб-

4.4. ЭРМИТОВЫ И УНИТАРНЫЕ МАТРИЦЫ 175
щим матричный анализ на случай комплексных матричных
элементов. Введем следующие определения.
1. Комплексно-сопряженная матрица А* получается
при комплексном сопряжении (i ->¦ —i) каждого матричного
элемента.
2. Матрица А^ получается при транспонировании А*
А* = А*^А*. D.75)
3. Матрица А эрмитова (или самосопряженная), если
А = А\ D.76)
В квантовой механике (или в матричной механике) матрицы
обычно эрмитовы.
4. Матрица U унитарна, если
и* = и-г. D.77)
Понятие унитарности служит дальнейшим развитием поня-
понятия ортогональности матриц D.51).
Если подвергнутая преобразованию подобия матрица
унитарна, то преобразование называется унитарным:
А' = UAU*. D.78)
Покажем, что произведение двух унитарных матриц
унитарно. Пусть матрицы [ft и U2 унитарны. Тогда
/= (UiU2) (UiUtf* = UMUJU? = UiU*U\u\. D.79)
Поскольку операция присоединения совпадает с транспо-
транспонированием (за исключением комплексного сопряжения),
то
= U\U\ D.80)
(см. упр. 2). Подставив D.80) в D.79), получим
l={UiUMUiUtf. D.81)
Умножим это соотношение слева на (UJJ^f1
(UtiKT^WtUtf. D.82)
Полученный результат и доказывает наше утверждение.
Другие свойства унитарных матриц рассмотрены в упраж-
упражнениях.
Матрицы Паули. В релятивистской теории электрона
широко используются комплексные 4 х 4-матрицы. Однако

176
ГЛАВА 4. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
сначала рассмотрим набор трех 2 х 2-матриц Паули
О 1\ л /О -i
Матрицы Паули введены для описания частиц со спином 1/2
(нерелятивистская теория). Легко показать (см. упр. 1 к
разд. 4.2), что они удовлетворяют соотношениям
антикоммутация, D.84)
циклическая перестановка индексов, D.85)
= /. D.86)
Матрицы Дирака. В 1927 г. Дирак дополнил три матри-
матрицы Паули единичной матрицей и получил набор четырех
антикоммутирующих матриц, который является полным
в том смысле, что любую постоянную 2 х 2-матрпцу М
можно записать как
М = со/Н
с2о2-f
D.87)
где с0> Си с2 и сз — постоянные. Следовательно, система
матриц Паули была неполной, поскольку не было четвер-
четвертой антикоммутирующей матрицы. Можно показать, что
3 X 3-матрицы не могут образовать полного набора четы-
четырех антикоммутирующих матриц.
Обратимся вновь к 4 X 4-матрицам и построим полный
набор из матриц Паули. Положим
о* О
D.88)
каждый матричный элемент этих матриц представляет
собой 2 х 2-матрицу. Например,
'i —
Pl=
/0 0 1
0 0 0 1
10 0 0
1 0 0/
D.89)

4.4. ЭРМИТОВЫ И УНИТАРНЫЕ МАТРИЦЫ 177
Первоначально Дирак выбрал набор следующих четырех
матриц:
1 0 0 0\
0 10 01
,1=1,2,3. D.90)
.0 0 0 -1/
Если же добавить матрицу р2, заданную в виде
0 0 -i 0\
О -il\ 10 0 0-i
(
i О О О
О i О О/
D.91)
то можно показать, что эти 4 X 4-матрицы удовлетво-
удовлетворяют соотношениям
* Л [ (антпкоммутацня) D.92)
^0 (коммутация) D.93)
А А Л Л
И
QiQj^iQk, piPj — ipk—циклическая перестановка индексов.
D.94)
В табл. 4.1. сведены матрицы Дирака, образованные пере-
перемножением рассмотренных матриц. Обозначим эти 4x4-
матрицы Дирака Ец — рг Oj. Имея в виду, что р0 = а0 = /
(единичная матрица), можно сказать, что индексы i, j =
— 0, 1, 2,3. Эти 16 матриц обладают интересными свой-
свойствами:
1) Eli = /;
2) Eij = E\jt т. е. все эти три матрицы эрмитовы
и, следовательно, на основании свойства 1, унитарны;
3) шестнадцать матриц Eij почти образуют математи-
математическую группу * (в результате умножения любых двух
из этих матриц получается третья, принадлежащая тому
* Eij можно видоизменить так, чтобы они в точности удовлет-
удовлетворяли определению группы, но тогда они потеряют свойства
эрмитовости и унитарности.
12-1257

178
ГЛАВА 4. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
же набору матриц, с точностью до множителя —1 или
±0;
4) все матрицы Ей линейно независимы, т. е. ни одну
из них нельзя представить в виде линейной комбинации
остальных 15 матриц;
Таблица 4.1
Мат-
Матрица
'0 1 О (Г
10 0 0
0 0 0 1
0 °)
0\
о
о
-1
Pi
Pi. -
0 0 0 1
0 0 10
0 10 0
10 0 0
«1
л
о
о,
Р2
Yt
0 0 0
О 0 1
О 1 О
-10 0
Y2
О -i
о
о
Y3
О i
о о
о о
Рз
I О О 0N
О -I 0 0
О О -I О
,0001
5) шестнадцать матриц Ец образуют полную систему,
т. е. любую 4 X 4-матрицу (с постоянными элементами)
можно записать в виде линейной комбинации данных
16 матриц

4.4. ЭРМЙ-ГОЙЫ И УНИТАРНЫЕ МАТРИЦЫ 179
If I - ... ,
где коэффициенты cij (вещественные или комплексные)
постоянны.
Наборы антикоммутирующих матриц. Из указанных
16 эрмитовых матриц можно получить шесть наборов
антикоммутирующих матриц по пять матриц в каждом.
Используя обозначения табл. 4.1, выпишем эти наборы:
1. а1? о2, «31 «4, «s; 4. olf Yii
ЛЛЛ/ЧЛ Л
2- Yi» Y2, Y3, Y4, YsJ 5. а2,
3;
/ * C\?L\
3. olf 62, о3, р,, р2; 6. а3, Y3, ©з, ^i» ^-
Наряду с набором а-матриц в релятивистской квантовой
механике широко используются у"матРИ1*Ь1-
Обсуждение ортогональных матриц в разд. 4.3 и уни-
унитарных матриц в этом разделе следует рассматривать
только как некоторое введение. Дальнейшее развитие мат-
матричный анализ получил в современной теории элементарных
частиц. На основе матриц Паули и Дирака можно построить
спиноры, которые используются в теории электронов, про-
протонов и других частиц со спином 1/2. Поворот систем коор-
координат описывается группой вращения 3), составленной
обычно из матриц, элементы которых зависят от углов,
определяющих данное вращение. Очень плодотворным ока-
оказалось применение специальной унитарной группы SU{n)
в теории тяжелых частиц — мезонов и бозонов.
Упражнения
1. Показать, что ()
2. Даны эрмитовы матрицы А и В. Показать, что матрицы
{АВ-\-ВА) и i{AB—BA) также эрмитовы.
3. Доказать унитарность обратной матрицы, если исходная матрица
унитарна.
4. Показать, что эрмитовость матрицы сохраняется при унитар-
унитарных преобразованиях подобия.
5. Дана матрица C = S^S. Показать, что след матрицы С поло-
положителен, если только S — ненулевая матрица, в последнем случае
ТгС=0.
6. Показать, что все 4х4-матрицы (элементами которых служат
комплексные числа) можно представить в виде линейной комбинации
матриц /, Yi» Y2» Уз» Y4 и их произведений.
7. Обозначив 16 матриц Дирака Eij—pj tf/ (po —<*<> = /), пока-
показать, что E\j = f для всех i и / и, кроме того, Еи=Е\у Замена-
ние. Воспользоваться известными свойствами матриц pj и О у
12*

180 Глава i матрицы и определители
8. Проверить справедливость уравнений D.92) — D.94) для
4х4-матриц 6" и р.
9. Воспользоваться уравнениями D.93) и D.94) и показать, что
матрицы набора D.95), образующие шесть различных систем, деистип-
тслыю антикоммутиругот.
10. С помощью уравнений D.93) и D.94) показать, что
^^-Н, Yi Y2 Уз Y^Ys^-bi-
Y^Ys^-bill. Доказать, что М2-М, если М— {/-{¦ у$)/2.
Отметим, что матрицу v-, можно заменить на любую другую
матрицу Дирака (на любую матрицу Eij из табл. 4.1).
4.5. ДИАГОНАЛИЗАЦИЛ МАТРИЦ
Матрица момента инерции. Во многих задачах физики,
требующих привлечения матричного анализа для приве-
приведения матрицы к диагональной форме, желательно про-
произвести ортогональное преобразование подобия или уни-
унитарное преобразование, которое все недиагоналыше мат-
матричные элементы делает пулевыми. Проиллюстрируем этот
метод на известном примере матрицы момента инерции J
твердого тела. По определению момента количества дви-
движения,
L-yw, D.96)
где (о —угловая скорость. Диагональные элементы./ равны
Jxx = %mt(r}-4) и т. д. D.97)
г
Индекс i относится к массе тг. Для недиагональных эле-
элементов имеем
JxV = — S miXiHi - Jyx. D.98)
Проверка показывает, что матрица J симметрична. Кроме
того, поскольку / входит в уравнение D.96), которое спра-
справедливо для любых ориентации системы координат, ее мож-
можно считать тензором.
Задача состоит теперь в том, как ориентировать коор-
координатные оси в пространстве, чтобы Jxy и другие недиа.го-
нальные элементы стали нулевыми. Следствием и призна-
признаком такой ориентации является параллельность векторов
угловой скорости и момента количества движения в том
случае, если угловая скорость направлена вдоль одной
из таких переориентированных осей.

4.5. ДМАГОПАлЙЗАцНЯ МАТРИЦ 181
f- - ¦ — - . „I . , ... -
Геометрическая трактовка — эллипсоид. Умножим мат-
матрицу J справа и слева на единичный вектор переменного
направления п = (а, р, -у):
[n] J {п}-1. D.99)
Здесь I —число (скаляр), величина которого зависит
от выбора направления п. Выполним умножение
I = ;,,««-|- Jyyp . |- Jzzf -|- 2Ухг/аC + 2Jxzay -|-
+ 2JvJfo. D.100)
Введем обозначение
P = n//I, D.101)
где р изменяется по величине и направлению. Тогда урав-
уравнение D.100) примет общую форму уравнения эллипсоида
1 =¦- JxxPl + Jvvp\ + JzzPl + 2/xypfp2 + 2/хгр,р3 + 2Juzp2p3
D.102)
в переменных pi,p2 и р3. Из аналитической геометрии изве-
известно, что координатные оси всегда можно повернуть таким
Рис. 4.3. Эллипсоид момента инерции.
образом, чтобы они срвпали с главными осями эллипсоида
(рис. 4.3). Тогда
где pj, рз и рз образуют новый набор координат.

(82 ГЛАВА 4. МАТРИЦЫ Й ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Эрмитовы матрицы. Начнем с важной теоремы о диа-
диагональных элементах и главных осях. В уравнении
Л г Яг D.104)
число X (скаляр) — собственное значение, соответствующий
вектор г — собственный вектор *. Мы докажем сейчас, что
если А —эрмитова матрица **, то ее собственные значе-
значения вещественны, а собственные векторы ортогональны.
Пусть Kit %j — собственные значения, rt и ^ — соответ-
соответствующие собственные векторы эрмитовой матрицы А.
Тогда
D.105)
D.106)
Умножим уравнение D.105) на rt:
D.107)
(Заметим, что если г — вектор-столбец, то г* — вектор-
строка.) Уравнение D.106) умножим на rt:
г\Аг^Щг3. D.108)
Применим к этому уравнению операцию комплексного
сопряжения:
г}л*Г| = Л*г|г,, D.109)
или, в силу эрмитовости Л,
г}Лг! = ^гя. D.110)
Подставив D.110) в уравнение D.107), получим
(Х« — XJ) rjt t = 0. D.111)
Это соотношение носит общий характер и выполняется для
всех возможных комбинаций I и /. Положим сначала i — j.
Тогда из последнего уравнения имеем
= 0- D.* 112)
* Уравнению D.96) можно придать такой же вид, если взять ю
в направлении одной из главных осей. Тогда L = Хю и Лв = Я,©.
** Если матричные элементы матрицы А вещественны, то тре-
требование эрмитовости заменяется требованием симметрии.

4.5. ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ МАТРИЦ 183
Поскольку | г i | = 0 представляет собой тривиальное
решение уравнения D.112), мы вправе записать, что
Xi=rXf, D.113)
т. е. Xt — вещественные числа при любых i.
В случае 1Ф\ и Х
или
г}г» = 0, D.115)
а это означает, что собственные векторы, соответствующие
разным собственным значениям, ортогональны; уравне-
уравнение D.115) служит обобщением свойства ортогональности
на комплексное пространство.
Если Xt = Xj (вырожденный случай), rf не может авто-
автоматически быть ортогональным Tj, но его можно сделать
ортогональным. Обратимся вновь к матрице момента инер-
инерции. Если Xi совпадает с осью вращательной симметрии,
то л-2 = л-з- Оба собственных вектора г2 и г3 перпендикуляр-
перпендикулярны к оси симметрии гь однако их положение произвольно
в плоскости, перпендикулярной п; таким образом, любая
линейная комбинация г2 и г3 — также собственный вектор.
Рассмотрим а2г2 + а3г3, где а2 и а3 постоянны. Тогда
Л {а2г2 + а3г3)^а2Х2г2 + а3Х3г3 = Х2(а2г2-\-а3г3), D.116)
что и следовало ожидать, так как Xi — ось вращательной
симметрии. Следовательно, если п и г2 фиксированы, г3
можно просто выбрать перпендикулярным г2 и лежащим
в плоскости, перпендикулярной п. Общий метод получения
ортогональных решений, так называемый метод Шмидта,
применительно к функциям изложен в разд. 9.3.
Все, о чем говорилось выше, по существу представляет
собой теорему существования. Для нахождения собствен-
собственных значений Xt и собственных векторов г{ обратимся
к уравнению D.104). Предполагая, что г умножен на еди-
единичную матрицу, перепишем уравнение D.104)
(Л-Д/)г = 0, D.117)
здесь / — единичная матрица. Мы получили систему
однородных линейных уравнений. Как установлено
в разд. 4.1, она имеет нетривиальные решения только
в том случае, если определитель из коэффициентов этой

184
ГЛАВА 4. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
системы равен нулю
Л-А/1-0.
D.118)
Остановимся на случае, когда А представляет собой эрми-
эрмитову матрицу из девяти элементов. Тогда
-A an
Я 22 — X #23
#32
-0.
D.119)
Это уравнение часто используют в астрономии, поэтому
его обычно называют секулярным или вековым уравнением.
Выражение D.119) сводится к кубическому уравнению
относительно л-, которое, конечно, имеет три корня. Из
D.113) мы знаем, что эти корни вещественны. Подставляя
конкретные значения корней в уравнение D.117), можно
найти соответствующие собственные векторы.
II p им
Секулярное
с р I. Пуст
ь
А
уравнение имеет
-Л
1
0
/0
/
='
\о
вид
1
——л
0
1
0
0
0
0
0
0
0
¦к
D.120)
=0
или
— Ь(\2_1) = 0.
D.121)
D.122)
Корни этого уравнения к=— 1, 0, 1. Для нахождения собственного
вектора, соответствующего А,= ~-1, подставим это значение в урав-
уравнение D.117)
-X 1 0
1 -К
о
о -
при 1 ~ — 1 это дает
= 0, 2 = 0.
D.123)
D.124)
С точностью до произвольного множителя п произвольного знака (или
фазы) Г1 —A, — 1, 0). Отметим, что (для вещественных г в обычном
пространстве) собственный вектор определяет линию в пространстве,

4.5. ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ МАТРИЦ
185
Однако его знак произволен. Эту неопределенность можно было ожи-
ожидать заранее, если вспомнить, что уравнение D.1*17) однородно отно-
относительно г. Для простоты мы потребуем, чтобы собственные векторы
были нормированы на единицу jri| —1. При таком выборе
Для
rj = (l/V2, — 1/1/2, 0).
уравнение D.117) приводит к
у-0, * = 0,
D.125)
D.126)
откуда второй собственный вектор Г2=@, 0, 1). Наконец, для к=
получим
*+0=О, z=0
D.127)
или
Легко убедиться в ортогональности ri,
собственным значениям.
Пример. 2. Рассмотрим матрицу
Л 0 (
0 I
о 1 о
Секулярное уравнение имеет вид
1-Я 0 0
.0). D.128)
и Гз, соответствующих трем
D.129)
о
о
-%
1
1 -к
=0
D.130)
или
A-Х) (Л«-1) = 0, Я= —1, 1, 1, D.131)
т. е. мы имеем вырожденный случай. Если А,= —1, то уравнение
для собственных значений D.117) дает
2* = 0, у + г = 0. D.132)
Соответствующий нормированный собственный вектор равен
П = @, 1/1/2, -1/У2). D.133)
Для Х—\ получим
-У+г=0, D.134)
никакой дополнительной информации относительно переменной х
не имеется. Мы получили бесконечное число возможных значений.
Допустим, что один из возможных вариантов—
г«=@,1/V2, 1/1/2), D.135)
который удовлетворяет уравнению D.134). Поскольку гз должен быть
перпендикулярен fj и его можно выбрать перпендикулярным Гг, поло-

186 ГЛАЙА 4. МЛТМЩЫ И ОПМ-ДПЛИТЕЛН
жим его равным
г3 = г1хг2=A, 0, 0). D.136)
Диагонализация. Для получения матрицы преобразова-
преобразования, которая приводит эрмитову матрицу А к диагональ-
диагональному виду, можно воспользоваться уравнениями, выведен-
выведенными при доказательстве теоремы единственности. Пусть
R — матрица, образованная из трех ортонормированных
вектор-столбцов rlf r2 и г3, расположенных в требуемом
порядке,
(
У, Уг уХ DЛ37)
в которой каждый столбец [xiy yt, z{[ представляет собой
собственный вектор г*. Поскольку
D.138)
матрица R унитарна (или просто ортогональна, если А
и, следовательно, г* вещественны). Тогда, преобразуя R*
имеем
D.139)
Отсюда видно, что R*AR — диагональная матрица с соб-
собственными значениями Xtt порядок собственных значений
соответствует порядку вектор-столбцов rf в R. Чтобы
дать геометрическую трактовку, возьмем в качестве при-
примера вещественную (симметричную) матрицу А с веще-
вещественными собственными значениями и собственными век-
векторами. Матрица R соответствует В'1 из уравнения D.68)
или, что лучше, R соответствует В; R составлена из соб-
собственных векторов ri} записанных в виде вектор-строк:
ft гД /Ьи Ь{1 Ь
[г2! 1 = 1 лг2 Уг г21 = UZi bZ2 Ь»\. D.140)
Уз zj \b3l b32 bj

4.5. ДИЛГ011ЛЛ113ЛЦИЯ МАТРИЦ 187
Далее, строка \biit biZ, b^], которая определяет единичный
вектор гг в первоначальной системе координат, задает три
направляющих косинуса, характеризующих расположе-
расположение Г| относительно осей этой системы. Поскольку В осу-
осуществляет поворот системы координат, причем в новой
системе матрица А диагональна, новая система определена
с помощью трех собственных векторов rt — (xiy t/j, zt).
Они являются единичными векторами, направленными
вдоль главных осей, т. е. тех осей, относительно которых
матрица Л диагональна.
Содержание этого раздела дает представление о диаго-
нализации матриц. Однако для матриц размером более
чем 3x3 процесс диагонализации становится настолько
затруднительным, что гораздо целесообразнее использовать
вычислительные машины и итерационные методы.
Упражнения
1. Показать, что собственные значения матрицы не изменяются
при преобразовании подобия.
2. Предполагая, что унитарная матрица U удовлетворяет .уравне-
.уравнению для собственных значений ?/г—Хг, показать, что собственные
значения унитарной матрицы равны единице.
3. Две матрицы диагонализируются с помощью одного и того же
преобразования подобия. Показать, что исходные матрицы должны
коммутировать. Замечание. Это свойство особенно важно в матричной
(гейзенберговской) формулировке квантовой механики.
4. Две эрмитовы матрицы А и В имеют одинаковые собственные
значения. Показать, что эти матрицы связаны унитарным преобразо-
преобразованием подобия.
б. Найти матрицу преобразования, которая связывает матрицы
единичного спина из упр. 3 и 4 к разд. 4.2 (преобразование подобия).
Замечание. Необходимо помнить, что мы можем по своему усмотре-
усмотрению распорядиться фазовым множителем.
6. Найти собственные значения и построить матрицы /? и R'1.
которые будут приводить матрицу А к диагональному виду А'~
= /?~М/?. Считать, что А равно tfj или аг из набора спиновых мат-
матриц Паули (упр. 1 к разд. 4.2).
7. Определить собственные значения и найти систему соответст-
соответствующих ортонормированных (ортогональных и нормированных) собст-
собственных векторов для матриц из упр. 3, 4 и 5 к разд. 4.2.
8. 1^айти собственные значения и соответствующие ортонормиро-
ванные Собственные векторы для следующих матриц:
-1 0 1\ /2 4 -6 ч / 1 1/2 0>
2) \ 4 3 -6 ), 3) A/2 0 0
0 0 0>

188
ГЛАВА 4. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
4)
7)
Omee/n: 1) X=0, 1, 2; 2) X=-17, -1, 10; 3) X= — 1, 0, 2; 4) b=
= - 1, 1, 2; 5) X = - 3, 1, 5; 6) % = 0, 1, 2; 7) X = - 1, 1, 2;
8) %=-Y2t 0, 1/2; 9) X=0, 2, 2.
9. Твердое тело задано тремя точечными массами mi = l в точке
A,1, —2); /«2=2 в точке ( — 1, —1, 0); т3=1 в точке A,1, 2).
Найти матрицу инерции, диагонализировать ее и определить собствен-
собственные значения и главные оси (ортонормированные собственные векторы).
10. Показать, что недиагональную матрицу с вещественными
матричными элементами нельзя диягоиализнровать ортогональным пре-
преобразованием подобия.
П. Квадратная матрица, определитель которой равен нулю, назы-
называется сингулярной.
Показать, что необходимым и достаточным условием существова-
существования для сингулярной матрицы Л, по крайней мере одного ненулевого
вектор-столбца v, является равенство
Лу=0.

ГЛАВА 5
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
00
Выражение вида 2 at = a4 -f аг + а3 + . . . + ап
t=i
4- • •• • называется бесконечным рядом, в котором сумми-
суммируется бесконечное число членов. В основе теории функций
часто лежит представление исследуемых функций рядами.
С помощью рядов вычисляют точные значения трансцен-
трансцендентных констант, функций и интегралы (разд. 5.6 и 5.7),
решают дифференциальные уравнения (разд. 8.4 и 8.5),
рядами Фурье (гл. 14) наряду с интегральными представ-
представлениями пользуются для описания большого числа спе-
специальных функций (гл. 11—13).
Определим значение суммы бесконечного числа членов.
Для этого обычно начинают с частичных сумм. Пусть
задана последовательность бесконечного числа членов
Мь щ, Из, «4» «5» • • • Определим г-ю частичную сумму
как сумму конечного числа членов
t
2
n= i
Если частичные суммы sx сходятся к конечному пределу
при i—>oo
5, E.2)
i—yoo
со
то говорят, что бесконечный ряд 2 пп сходится к S.
Важно отметить, что мы вполне разумно, но пока еще про-
произвольно определили равенство суммы ряда величине 5.
Кроме того, следует помнить, что необходимое условие схо-
сходимости заключается в равенстве нулю предела \\тип = 0,
4
Однако это условие не является достаточным.
П->00

190 Г Л А В А 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Частичные суммы s$ могут осциллировать, а не сходиться
к определенному пределу, например:
У у =51 1-4-1 1 + 14- + ( IV1-4- E 3^
Очевидно, для четных i s« = I, а для нечетных $,- = 0.
В данном случае ряд не имеет предела, подобные ряды
н азывают осциллирующими.
Для ряда
00
\1 „ ilQlQl ImJ IK A\
^/jfI=l-f-Z-}-«j-}-...-j-»t-г... \^'*/
71=1
мы имеем
/1(йт1) /г г\
Sn~—2—• 15-Ь)
При п —> оо
. = 00. E.6)
tt-ЮО
Всякий раз, когда последовательность частичных сумм
расходится (стремится к ± оо), бесконечный ряд назы-
называется расходящимся. Часто расходящимся называют
и осциллирующий ряд.
Поскольку мы оценивали частичные суммы по правилам
обычной арифметики, сходящиеся ряды, определенные как
пределы частичных сумм, предполагают существование точ-
точной верхней границы. Два следующих примера помогут
выяснить главные свойства сходящихся и расходящихся
рядов, а также послужат основой для дальнейшего рас-
рассмотрения.
Геометрическая прогрессия, первый член которой равен
а, а знаменатель г (г^О), имеет вид: a, ar, ar2, at*, . . .,
аг11, . . . Частичная сумма прогрессии равна
Переходя к пределу при п—>оо, получаем
Дляг<1. E.8)

6.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 191
Следовательно, бесконечный ряд, образованный геометриче-
геометрической прогрессией, сходится при г<1 и имеет своей суммой
оо
<5Э)
С другой стороны, если г ;> 1, необходимое условие ип -> О
не выполняется, и бесконечный ряд расходится.
В качестве второго, более сложного примера, рассмотрим
гармонический ряд
оо
2 т» = l+i + i + i-|-...+-J-+... E.10)
n=i
Мы имеем \\тип — Пт — = 0, но этого недостаточно
п-юо
для сходимости ряда. Если сгруппировать члены ряда
(не изменяя их порядка) так:
то можно заметить, что в каждых скобках содержится р
членов вида
Образуем частичные суммы последовательным сложением
сгруппированных членов:
, _ 3 4
E.13)
Теперь очевидно, что гармонический ряд безусловно рас-
расходится. В разд. 5.2 мы проведем другое независимое
от этого доказательство его расходимости.
Используя биномиальную теорему * (разд. 5.6), можно
разложить функцию A + х)'1:
—г=1—лг + х2 —х3+ ... +(—л:)п-1+... E.14)
* Действительно, уравнение E.14) можно рассматривать как
тождество! которое, проверяется умножением его обеих частей
на A + х).

192 ' Г Л А В А 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Если положить х —> 1, то это разложение перейдет в ряд
1-И-1-1-1 -1-1-1-..., E.15)
который выше мы назвали осциллирующим. Несмотря
на то что он не сходится в обычном смысле, ему можно
приписать определенное значение. Эйлер, например, на
основании соответствия этого ряда хорошо известной функ-
функции A + х) приписывал сумме этих осциллирующих
чисел значение 1/2. Однако такое соответствие между
рядом и функцией неоднозначно, поэтому здесь требуется
уточнение. Разработаны и другие методы определения зна-
значения расходящихся или осциллирующих рядов.
5.2. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
В некоторых специальных случаях (см. разд. 5.10)
можно использовать и расходящиеся ряды, однако мы
обычно будем требовать, чтобы ряды были сходящимися,
поэтому важно знать заранее, сходится ли данный ряд.
Мы исследуем несколько признаков сходимости, начиная
с простых и сравнительно грубых и кончая более слож-
сложными и совершенно строгими. Для начала будем полагать,
что члены ряда — положительные числа: ап >0.
Сравнительный признак. Если для любого члена ряда
выполняется неравенство iin<an, причем ^ап сходится,
п
то ряд 2wn также сходится. Если для любого члена
п
ряда выполняется неравенство vn>bn, причем ^Ьп рас-
п
ходится, то и ряд ^]vn расходится.
п
В качестве сходящегося ряда ап мы уже рассматривали
геометрическую прогрессию, тогда как гармонический ряд
служил примером расходящегося ряда. Наряду с другими
сходящимися или расходящимися рядами их можно исполь-
использовать для исследования сходимости заданных рядов
с помощью сравнительного признака.
Пример 1. Исследуем сходимость ряда ^п~Р при р—0,999.
п
Очевидно, /го,999 > rt-i5 а \}п — п-1 образует расходящийся гармони-
гармонический ряд, следовательно, на основании сравнительного признака

5.2. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ 193
ряд 2 п~°!999 расходится. Вообще, очевидно, ряд 2 п"Р расходится
п и
при любых р .-^ I.
Признак Коши. Если а?\/п ¦ .'г< 1 для все* достаточно
больших я, причем г не зависит от п, то ряд 2 Ял схо-
п
дится. Если a{jn > 1 для всех достаточно больших п, то ряд
п расходится.
п
Первую часть этого признака легко доказать, возводя
й[/п<г'в степень п. В результате получим
пп<Гп<\.
Поскольку г11 в точности равен я-му члену сходящегося
ряда (геометрическая прогрессия), ряд 2а« сходится
п
на основании сравнительного признака. И наоборот, если
ai/n> 1, то ап> 1, и ряд расходится. Этот признак особенно
удобен при исследовании сходимости степенных рядов
(см. разд. 5.7).
Признак Даламбера. Если ап+1/а,г<г<1 для всех
достаточно больших п, причем г не зависит от п, то
ряд 2 ап сходится. Если anJrilan > I для всех достаточно
п
больших п, то ряд 2^ расходится.
п
Сходимость доказывается прямым сравнением с гео-
геометрической прогрессией ап A -f г + г2 +...). Вторая
часть признака означает, что an+t ^ ап, в силу чего расхо-
расходимость должна быть достаточно очевидной. Хотя признак
Даламбера не является таким чувствительным, как признак
Коши, однако он относится к числу наиболее удобных
и поэтому используется очень часто. Запишем этот признак
сходимости в предельной форме:
< 1 ряд сходится,
>1 ряд расходится, E.16)
П-+ОО
. = 1 неопределенность.
Вследствие неопределенности, возникшей в третьем вариан-
варианте, признак сходимости Даламбера может привести к ошиб-
ошибке в точках поворота, поэтому необходимы более тонкие
13-1257

194 , Г Л А В А 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
и чувствительные признаки. Возникает вопрос: откуда
появилась эта неопределенность. В действительности же
она содержалась уже в первом условии ап-и/ап^г< 1.
Можно столкнуться с таким положением, когда ап+\1ап < 1,
но нельзя выбрать г< 1, независимое от а, так, чтобы
ап+1/ои -^ г для всех достаточно больших п. Поясним
это на примере того же гармонического ряда
4
- ап гс-Н
Вследствие того что
^ = 1, E.18)
п->оо
нельзя найти такое г < 1, чтобы при любых п выполнилось
исходное требование признака, т. е. в этом случае указан-
указанным признаком пользоваться нельзя.
Пример 2. Исследуем сходимость ряда У) JL
fln.fi >-Н)/2п" 1 М-1 «,р.
Поскольку
fln+i/fln<3/4 для /г^2, E.20)
указанный ряд сходится. С другой стороны,
Um (ап+1/аЛ)=1/2, E.21)
и мы вновь получим подтверждение сходимости ряда.
Интегральный признак Коши. Пусть f (х)—непрерывная
монотонная функция, такая, что f(n)~an. Тогда ряд
с»
Яп сходится, если интеграл \ f(x)dx конечен, и рас-
{
ходится, если этот интеграл бесконечен.
Этот признак представляет собой разновидность срав-
сравнительного признака сходимости, в нем ряд сравнивается
с интегралом. С геометрической точки зрения мы сравни-
сравниваем суммарную площадь прямоугольников единичной
ширины с площадью, ограниченной кривой.
Для i-й частичной суммы
г i
=2а*=2 /(л). E-22)

5.2. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
195
но
i+l
f(x)dx,
E.23)
если f(x) монотонно убывает (рис. 5.1, а). С другой сто-
f(x)k
x
Рис. 5.1. Приближение интеграла прямо-
прямоугольниками, площадь которых больше (а)
и меньше (б) площади, ограниченной кри-
кривой f(x) и осью х.
рОНЫ (рис. 5.1,6),
flt <
j / (х) dx.
E.24)
13"

196 ' Г Л А В А 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Переходя к пределу I—>оо, получим
00 СО 00
f(x)dx< ^ ап< J f(x)dx-\-al. E.25)
1 n=l 1
Отсюда следует, что данный бесконечный ряд сходится
или расходится в зависимости от сходимости или расхо-
расходимости соответствующего интеграла.
Пример 3. Дзета-функция Римана определена рядом
?(р)=2'гР- E'26)
71=1
Мы можем взять f(x) — x~p и тогда
00
л ил •-"
1
со
РФ U
1 E.27)
\ ^ 1п*|?\
Интеграл, а следовательно, н ряд расходится при /> <! I и сходится
при р>1. Мы получили еще одно независимое доказательство, что
гармонический ряд расходится (р— 1), причем расходится логарифми-
логарифмически. Сумма первого миллиона членов гармонического ряда равна
14,392726...
Рассмотренный интегральный признак помогает также
определить верхний предел постоянной Эйлера С, опре-
определенной формулой
C = limB m —In/?). E.28)
n-+oo m=i
Обратимся к частичным суммам
11 П
sn- S m~l — lnn< f — — Inn f-1. E.29)
m={ 1
Оценивая интеграл справа, мы видим, что sn < 1 при любых
п, и поэтому С<1. Действительно, постоянная Эйлера
равна 0,57721566490...
Признак сходимости Куммера. Можно показать, что
не существует такого сходящегося ряда, который харак-
характеризовался бы наименьшей скоростью сходимости, в равной
мере нельзя указать и такого расходящегося ряда, кото-
который отличался бы самой медленной расходимостью, т. е.

5.2. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
197
признаки сходимости, включая и признак Куммера, могут
иногда не дать желаемого результата.
Мы рассмотрим ряд из положительных uh а также ряд,
составленный из ограниченных положительных констант at.
Если
"п+1
E.30)
для всех rc>Af, где N —некоторое фиксированное число,
00
то ряд 2 Ui сходится. Если же
i
On-r1 Яп+1<0
и
E.31)
со
оо
и ряд 2 ail расходится, то и ряд 2 ut пшкже рас-
ходите я.
Доказательство этого весьма чувствительного признака
чрезвычайно просто. Из неравенства E.30), в котором
С — некоторая положительная постоянная, имеем
E.32)
Сложив эти выражения и разделив их на С(С^О), полу-
получим неравенство
п
2 «.
i=/V-fl
C~ '
которое позволит оценить частичную сумму
- <5-34)
Справа стоит константа, не зависящая от п. Следовательно,
частичные суммы ограничены сверху. Очевидно, нижняя
граница ряда ^щ — нулъ, и этот ряд сходится.

198 ' ГЛАВА 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Расходимость доказывается следующим образом. Из со-
соотношения E.31)
апип > ап-{ип-\ > ... > aNuN, E.35)
т. е,
ип> п 1 E.3b)
И
00 00
2 Ut>aNuN '2 ап1> E.37)
На основании сравнительного признака сходимости ряд
2 Щ расходится.
г
Условия E.30) и E.31) часто задают в предельной форме
- С. E.38)
Следовательно, при С>0 ряд сходится, в то время как
для С<0 (и ряд 2а^ расходится) расходится. Можно
доказать эквивалентность предела E.38) и неравенств E.30)
и E.31) и проследить характер неопределенности в случае,
когда С—О. По определению предела,
ип п Г <г^и (Х> ЗОЛ
,, un+i vj \ ь to.oj)
«n+i
для всех л># и любых как угодно малых е>0. Если
ликвидировать знак модуля, то
;. E.40)
Далее, если С > 0, то соотношение E.30) следует из E.40)
при достаточно малом е. С другой стороны, если С<0,
то получается условие E.31). Однако если С = 0, то
ап (ujun+i) — an+i может быть положительной или отри-
отрицательной, поэтому доказательство теряет силу. В основ-
основном признак сходимости Куммера служит для доказатель-
доказательства других признаков, например признака Раабе (см. так-
также упр. 12).
Положив в признаке сходимости Куммера ап = п, полу-
получим признак сходимости Раабе.

5.2. Признаки сходимости 199
Признак сходимости Раабе. Если ип > 0 и, кроме того,
п(ип/ип+1—\)>Р>\ E.41)
при любых n>iV, где N — положительное целое число,
которое не зависит от п, то ряд 2 ut сходится. Если
i
n(ujun+i-\)<l, E.42)
то ряд 2 щ расходится.
Этот признак можно записать так:
\\тп(ип/ипН~-\)^Р. E.43)
П-КХ5
При Р > 1 ряд сходится, при Р < 1 — расходится, а при
Р — 1, так же как и в предыдущем случае, возникает
неопределенность. Именно этот случай рассмотрен в упр. 13,
где приводится как сходящийся, так и расходящийся
ряд, причем для обоих рядов Р из равенства E.43) равно
единице.
Признак Раабе более чувствителен по сравнению с при-
оо
знаком Даламбера, так как ряд 2 /г~*1 расходится гораздо
п=1
00
медленнее ряда 2 п- Мы получим еще более тонкий при-
п=1
знак (Гаусса) (и еще менее удобный для практического
использования), если выберем ап — п\х\п.
Признак сходимости Гаусса. Если ап>0 для всех ко-
конечных п и
Un = 1 | h | в М t E.44)
где В (п)—функция у ограниченная при д^оо, то ряд
2 Щ сходится для h > 1 и расходится для h < 1.
{
При значениях h > 1 или h < 1 доказательство следует
непосредственно из признака сходимости Раабе:
] E.45)
П-УСО
При h = 1 признак Раабе нарушается. Однако если
возвратиться к признаку Куммера и положить ап = п,

200 г Л л в А Г). пискоипчмыЁ
то из условия E.31) получим
П->ОО
= Пт(л+1)Г1п/1-1пл-1п(Ц--I. E.46)
n->co L V n IJ
Воспользуемся результатами разд. 5.6 (которые получены
независимо от признака сходимости Гаусса)
) E.47)
т. е. при h — 1 ряд расходится. Приведенное доказатель-
доказательство служит примером успешного применения признака
Куммсра в том случае, когда признак Раабе не работает.
Пример 4. Рекуррентная формула, которая помогает найти
решение уравнения Лежандра в виде ряда (см. разд. 8.6), записывается
в форме отношения
a2j+2 2/By-j-l) — n(n-f-l) ._ .„.
Это эквивалентно отношению И2/+г/у "Ри * = +1 • Для / > п
= 1+4-. E.49)
Учитывая условие E.44), замечаем, что ряд расходится. В дальнейшем
мы потребуем, чтобы ряд по полиномам Лежандра был конечным
при х~\.
В этом разделе мы изучали сходимость как чисто мате-
математическое свойство. На практике же очень часто большое
значение имеет скорость сходимости. Мы можем, например,
попытаться оценить предел сходимости. Для улучшения
сходимости ряда Куммер разработал специальный метод.
Если имеется (медленно сходящийся) ряд S и известный
ряд 5', то можно записать
5 = 5' + E-5').
Смысл этого несложного преобразования состоит в том,

5.2. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ 201
что после подбора S' иоиыи ряд (S — 5') может сходиться
быстрее заданного ряда S.
Пример 5. Дан ряд 5 • \ п~'л. Рассмотрим
п= \
00
(n—1)п(п-И) " '
n=2
S' .2j (n-l)n(ft4
Тогда ряд
со оэ со
5
н=1 п=2 п=1
сходится как П, т. е. быстрее, чем заданный ряд, скорость сходи-
сходимости которого пропорциональна п~3.
Метод Куммера может оказаться очень полезным при
численных оценках рядов.
Упражнения
со
1. Доказать, что при lim п^ип -> А < оо, где р> 1, ряд ^ ип
сходится, а при lim пип = Л^> 0 расходится. Этот признак сходимо-
П-voo
сти не действует при Л = 0.
Приведенный признак может оказаться удобным для исследования
сходимости ряда. Привлекая ряд У} rr(i, 1<<7<«, его можно рас-
рассматривать как сравнительный признак.
2. Исследовать сходимость рядов
оо оо оо ио
00
п=\
So»»:
п=2
1
2лBп—
Г1.
1) '
п=1
оэ
n=i
п=1 п=0
оо оо
n=2
оо со
1
П=1 П=1
оо
1
3, При каких значениях р и q сходится ряд ^ ~jwl—\р '
2

202 ГЛАВА 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Ответ:
1, любые 9,
Г р > 1, любые
сходится при -! _. .
Г р < 1, любые о,
расходится при < , .,
I P— I» 9"^ '•
4. Определить область сходимости гипергеометрического ряда
Гаусса
Замечание. Признак сходимости Гаусса был разработан им специально
для исследования сходимости этого ряда. Ответ: сходится для
1 — < х < 1 и при х — 1, если у > a -f В.
100
5» Прямое вычисление на счетной машине дает ^ п~ъ~ 1,202007.
п=1
00
Показать, что 1,202056 < ^ Л <! 1,202057. Замечание. Воспользо-
п=1
пяться интегралами для определения верхней и нижней границ суммы
00
2 »-••
=Ю1
6. Доказать, что предел
п
lim Г У -4 !пAппI
n->oo L n rn In m '}
конечен. Выяснить, можно ли приблизительно указать верхнюю и ниж-
нижнюю границы.
7. Члены ряда Лежандра У uj(x) удовлетворяют рекуррент-
i(четн)
ному соотношению Uj+z (х) — Т. iч /• 1 0\—-x2Uj{x), в котором
индекс / пробегает четные значения (в данном случае неотрицательные
четные числа не рассматриваются), а п есть некоторая постоянная.
Определить область изменения х, в которой этот ряд сходится. Особое
внимание обратить на граничные точки этой области. Ответ:
8. С помощью признака Коши исследовать сходимость ряда
2
со
9. Доказать, что ряд ^ п\пп\\п\пп\г сходится ПРИ г
и расходится при г<1.

6.3. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЙ 1>яДЫ 20,'{
10. Показать, что признак Даламбера представляет собой частный
случаи признака Куммера, если в последнем положить с^ = 1. На при-
примере двух рядов показать, что признаком Раабе нельзя пользоваться
в случае Р=\. Для этого положить Р — \ и исследовать расходя-
расходящийся ряд «n=l/rt!n/i, а также сходящийся K,t= 1/л (In лJ.
11. Признак Гаусса часто задают в форме отношения
«
л
Un+i П*-
При каких значениях параметров а± и Ъц У ип сходится (расходится)?
12. Исследовать сходимость ряда
00
2Г1-3-5 ... Bп—1)"|2_ 1 ^ jtf
L 2.4-6... Bл) J ~4+64 + 256+"*
п=1
13. Показать, что У Ьп сходится или расходится в зависимости
от сходимости или расходимости У ап, если lim &п/ал=/С, где
П->оо
0</<"<оо (К— постоянная). Указание. Рассмотреть ряды с членами
Ь'п — Ьп/2К [Ь"п = 2Ьп/К) в случае, когда ряд У^д сходится (рас-
(расходится).
00
14. Показать, что У, т=— .. /п—гт. — 'К" Указание. Показать
ZJ Bп— 1) Bл-|- 1) 2
n=l
(методом математической индукции), что sn — л/Bл-}-1).
15. Показать, что
с» оо
1 1 1
р
n=i
5.3. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
Рассмотрим бесконечные ряды со знакопеременными
членами. Частичное взаимное уничтожение членов, обу-
обусловленное противоположными знаками, улучшает сходи-
сходимость ряда. Докажем теорему Лейбница, которая уста-
устанавливает общее условие сходимости знакопеременных
рядов.
со
Теорема Лейбница. Знакопеременный ряд ^(—
п=1
в котором ага>0, сходится, если его члены монотонно
убывают для достаточно больших п и, кроме того,
Tim ап = 0.
П-+0О

204 ' ГЛАВА 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Дли частичных сумм этого ряда
S2n = п\ — «2 -\~ #3 ~ • • • ~" а2п, } /г г 1 ч
f E-51)
hn (-2 -- S2n" i" (G2n-H — а2п (-2)• J
Поскольку a2n+i>am+2, имеем
$2п+2 ^> $2п* E.52)
С другой стороны,
Szn+2 ~п1 — (аг — а3) — (аь — п5)—...— а2п+2. E.53)
Легко видеть, что а2р — Я2/ш>0> и поэтому частичная
сумма E.53) остается ограниченной сверху:
i. E.54)
Из ограниченности четных частичных сумм сверху и снизу
S2n <C s2n+2 < di и монотонного стремления fln к нулю
следует сходимость данного знакопеременного ряда.
Образуем теперь разность между суммой ряда S и час-
частичной суммой sn
— Q-n+2
^/г+з) — (ап+4"— ^?14б) — • • • E.55)
ИЛИ
5 — sn<an+l- E.56)
Неравенство E.56) показывает, что ошибка, вносимая обре-
обрезанием знакопеременного ряда на /г-м члене, меньше ап+\,
т. е. меньше первого следующего члена.
Таким образом мы получили метод оценки ошибки, что
очень важно при расчетах.
Абсолютная сходимость. Пусть 2ип —знакопеременный
сходящийся ряд, тогда если ряд 2 | ип | сходится, то ряд
2ип сходится абсолютно] если ряд %ип сходится, а 2 \ ип\
расходится, то исходный ряд сходится условно, или неабсо-
неабсолютно.
Примером условно сходящегося ряда может служить
знакопеременный гармонический ряд. На основании .тео-
.теоремы Лейбница ряд
со
2 (-о-»»-'-. 1—1+4—J-+...+-—•¦•¦
n=i

6.4. АЛГЕБРА РЯДОО 205
сходится, тогда как ряд
оо
2 п-' =-¦ 1 +у + { + |+ ... +|+ ... E.58)
71=1
расходится.
Отметим еще раз, что все признаки сходимости, полу-
полученные в разд. 5.2, предполагали положительность членов
ряда, поэтому они гарантируют абсолютную сходимость.
Упражнения
1. Исследовать ряд ]>](—\)k kaek& на сходимость (абсолютную
к
или условную) для всех значений параметров аир.
2. Показать прямым вычислением, что сумма первых десяти чле-
оо
нов ряда lim In A гЬ*) = 'п 2= У] (— l)" л отличается от точного
ряда lim In A гЬ*) = 'п 2= У] (— l)" л
значении 111 2 менее чем на величину одиннадцатого члена In 2 =
=¦=0,0931471806...
5.4. АЛГЕБРА РЯДОВ
Можно доказать, что абсолютно сходящийся ряд под-
подчиняется обычным, хорошо известным правилам алгебры
или арифметики, поэтому для любого заданного ряда
важно выяснить, является ли он абсолютно сходящимся
или нет.
Имеют место следующие теоремы.
1. Если бесконечный ряд сходится абсолютно, то его
сумма не зависит от последовательности сложения членов
ряда.
2. Ряд можно умножить на другой абсолютно сходя-
сходящийся ряд. Сумма ряда, получившегося в результате
перемножения, равна произведению сумм двух исходных
рядов, а сам ряд, называемый двойным, также сходится
абсолютно.
Этого нельзя утверждать для условно сходящихся
рядов. Рассмотрим знакопеременный гармонический ряд.
Сгруппируем его члены следующим образом:
~Т+ 1~V~3J U Ь)
E.59)

200
i Ji A li A 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ |>ЯДЫ
Очевидно, что сумма этого ряда удовлетворяет неравенству
_!)«-!n-i<l. E.60)
Теперь перегруппируем члены ряда так:
+ ) ( ) + (+ +++
+Т+  ) ~ ( 2") + (у+ "9+ТТ+13+Т5)"" (т)
E.61)
Считая, что члены, сгруппированные в отдельных скобках,
образуют некоторые новые члены, имеем частичные суммы
5, = 1,5333; s2 - 1,0333; s3 = 1,5218; s4 = 1,2718; s5 =
= 1,5143; s6 = 1,3476; s7 = 1,5103; s8 = 1,3853; s9 - 1,5078.
1,5
1,4
1,3
V
123456 78 9 10 п
Рис. 5.2. Сходимость перегруппированного зна-
знакопеременного гармонического ряда к 1,5.
Графики зависимости значения sn от числа членов п
(рис. 5.2) ясно показывают, что ряд сходится к 1,5. Как
видим, члены перегруппированы так, что сумма положи-
положительных членов равна или превосходит 1,5, последующее
добавление отрицательного члена делает следующую час-
частичную сумму меньше 1,5 и т. д. Поскольку ряд беско-
бесконечен, все его члены при такой операции окажутся

Б.4. АЛГЕБРА РЯДОВ
207
просуммированными, но частичные суммы перегруппирован-
перегруппированного знакопеременного гармонического ряда будут стре-
стремиться к 1,5.
Таким образом, члены условно сходящегося ряда можно
перегруппировать так, чтобы ряд сходился к любому тре-
требуемому пределу (или даже расходился). Это утверждение
называют теоремой Римана. Очевидно, операции с условно
сходящимися рядами требуют осторожности.
В двойных рядах мы встречаемся с другими свойства-
свойствами, которые являются следствием перестановки членов
со оо
2 2 а"> т- Введем новые индексы: n=q > 0, т=р — q > 0,
7<р. Это приводит к тождеству
00
л
Подстановка п -¦- s
со
S
тп=О
оо
2<
1п=0
>0,
00
/п ¦---
п, т "
оо р
\1 VI
- г — 2s >
со [г/2]
VI VI
~ Zj Zj
9»P~Q' \
.62а)
0 (s<r/2) приводит к
#s,r-2st E.
.626)
где [г/21 равно г/2 для четных г и (г -— 1)/2 для нечетных.
Эти ряды получены перестановкой членов исходного ряда
ат> п, а сама перестановка возможна только при абсолют-
абсолютной сходимости.
Иллюстрировать суммирование двойного ряда можно
следующим образом:

208 'ГЛАВА 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Здесь вертикальные линии означают суммирование
по п\ первый индекс у коэффициентов относится к ряду
по п, второй — к ряду по т.
Комбинация рядов E.62а) и E.62в) использована
в разд. 12.1 при определении полиномов Лежандра.
Упражнение
Х2 х9 *4
Дан ряд In (l-\-x)~x jr—J—- т-*«« Показать, что
2 о 4
(
Последним рядом пользуются для получения второго решения диффе-
дифференциального уравнения Лежандра (см. разд. 12.9).
5.5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Обобщим понятие бесконечного ряда и будем полагать,
что каждый его член ип может быть представлен функцией
некоторой переменной ип — ип (х). В этом случае ряд
2 ип {х) называют функциональным, а его частичные
суммы в этом случае являются функциями переменной х
sn (х) = щ (х) + иг (х) + ... + ип (х) E.63)
так же, как и сумма всего ряда, которая определяется сле-
следующим образом:
сю
2 ип(х) = S (х) = lim sn (л:). E.64)
П—1 П-Юо
Для функциональных рядов надо исследовать их пове-
поведение в зависимости от х. Главный вопрос при этом связан
с равномерной сходимостью ряда.
Равномерная сходимость. Если для любого сколь угод-
угодно малого в > 0 существует N, не зависящее от х на отрез-
отрезке [а, Ь], такое, что условие
E.65)
выполняется для всех п^> N, то ряд называется равномерно
сходящимся на отрезке [а, Ь.] Если такого N указать

5.5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
209
нельзя, то ряд 2 "п (х) не сходится равномерно на отрез-
отрезке [а, Ь\.
Условие E.65), с помощью которого определена равно-
равномерная сходимость, проиллюстрировано па рис. 5.3.
SCO
S(x)+e
х=а
x=b
Рис. 5.3. Равномерная сходимость.
Пример 1. Рассмотрим ряд
со
оо
n=i
[{n-\)x+l][nx+l) '
E.66)
Установим методом математической индукции, что его частичные
суммы равны sn{x) — nx(nx-\-i). Действительно, sn(x)~
= пх(лд:-)-1)"'1 при п=1, 2. Предположим, что оно справедливо
для п-то члена. Покажем теперь, что для (п-{-\)-го члена оно также
справедливо:
nx
[пх+\][[п+\)х+\]
х (п+\)х
[nx + \y [nx-\-\][{n+l)x-\-\\
Итак, sn {x) — nx(nx-\-1). Устремим п к бесконечности, тогда
E.67)
S@)=lim sn@) = 0,
П-voo
)=!. E.68)
14-1257

210 ГЛАВА 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
В точке х — 0 функция 5 (х) имеет разрыв. Однако sn (x) на от-
отрезке 0<х< 1 есть непрерывная функция х при любых конечных п.
При достаточно малом е условие (о.65) нарушается для всех конеч-
конечных п. Следовательно, наш ряд не является равномерно сходящимся.
Признак сходимости Вейерштрасса. Это наиболее общий
признак равномерной сходимости, который формулируется
следующим образом: если члены функционального ряда при
любых х из отрезка [а, Ь] удовлетворяют неравенству
Mi > | iii (х) |, где Мг — члены некоторого сходящегося ряда
00 00
2 Mi, то ряд 2 ui W сходится на [а, Ь] равномерно.
Доказательство признака Вейерштрасса несложно. В силу
сходимости ряда 2^* обязательно найдется такое Af, что
i
при п -(-1 > W
оо
2 Mi<z. E.69)
|1
Последнее следует из определения сходимости. Поскольку
из условия теоремы | щ (х) \ < Ми для всех х из [а, Ь], имеем
оо
J2 IM*)l<e. E.70)
откуда
оо
_<г (у\\ — I У u.(y\\<*~p {Ъ7\\
оо
следовательно, по определению, ряд 2 ut M равномерно
сходится на [a, b). При доказательстве признака Вейер-
Вейерштрасса мы пользовались абсолютными значениями, поэтому
00
ряд 2 ui (x) сходится еще и абсолютно.
Читатель должен четко представлять, что равномерная
сходимость и абсолютная сходимость — независимые свой-
свойства; из существования одного не следует существование
другого. В двух специальных случаях
оо
— оо<л:<оо E.72)

5.S. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ 1>ЯДЫ
И
00
п=1
ряды сходятся- равномерно (указаны интервалы сходимо-
сходимости), но эти ряды не сходятся абсолютно. Однако ряд
1 при 0<*<1, 4)
«-о
сходится абсолютно, но не сходится равномерно в замкну-
замкнутом отрезке.
Из определения равномерной сходимости следует, что
любой ряд
со
f (х) = S ип (х) E.75)
п=1
не может сходиться равномерно в интервале, на котором
функция / (х) имеет разрывы.
Признак Вейерштрасса устанавливает как равномер-
равномерную, так и абсолютную сходимость, поэтому он всегда
нарушается в случае равномерно, но условно сходящегося
ряда.
Более тонкий признак равномерной сходимости — при-
признак Абеля- если ип (х) = anfn (x) и ряд 2 #п = Л сходится,
а функции fn (x) монотонны и ограниченны 0<^.fn(x)^M
для всех х на [а, Ь], то ряд ^ип (х) сходится равномерно
на la, b].
Этот признак применяется при анализе степенных
рядов. (Подробное доказательство признака Абеля и дру-
других признаков равномерной сходимости см. в специальной
литературе, рекомендованной к этой главе).
Полезно обратить внимание на следующие свойства
равномерно сходящихся рядов:
1) если отдельные члены ряда ип (х) непрерывны, то
сумма ряда
со
2
также непрерывна]

Г Л А В А 5. BFXKOtlE^HblE РЯДЫ
2) если отдельные члены ряда ип (х) непрерывны, то ряд
можно интегрировать почленно, причем сумма интегралов
равна интегралу от суммы:
Ь со Ь
j/(*)d*=2 \un(x)dx; E.77)
a n=i о
если ип(х) и ц*р непрерывны на [а, Ь] и, кроме того,
d РавН0МеРН0 сходится на [а, Ь), то производная
оо
суммы ряда f(x) равна сумме производных каждого члена
в отдельности:
00
n=i
Почленное интегрирование ряда предполагает только
равномерную сходимость и непрерывность всех его членов.
Как правило, в различных физических приложениях эти
условия почти всегда выполняются. Почленное дифферен-
дифференцирование ряда зачастую нельзя производить из-за более
жестких условий, которые должны при этом выполняться
(см., например, гл. 14).
. Упражнения
1. Определить область равномерной сходимости рядов
00 ОО
2 (—l)n"Vn*H 2 V»*- Ответ: 1<*<оо и l<s<x<oo.
i n=i
2. Можно убедиться, что два ряда Фурье
'Jnw. „ _21„ B sin D) ) -
п \ \2 })
n=l
равномерно сходятся в области s<*<2ji—s, где s>0.
Можно ли почленно дифференцировать и интегрировать эти ряды?
со
3. Для каких х геометрическая прогрессия У) хп сходится рав-
номерно? Ответ: —1<—s<jf^s<[l.

S.6. РАЗЛОЖЕНИЕ ТЕЙЛОРА
со
4. Для каких *>0 ряд ^ 1/0-Ь*п) сходится, сходится рав-
п=0
номерно?
5. Ряды ^ ап и 2 ^п сходятся абсолютно. Доказать, что ряд
Фурье 2 {ап cos nx-{-bn sin пх) равномерно сходится в области
—-<»<*< оо.
5.6. РАЗЛОЖЕНИЕ ТЕЙЛОРА
Разложение Тейлора представляет собой разложение
функции в бесконечный ряд либо в ряд с конечным числом
членов, к которому добавляется остаточный член. Коэффи-
Коэффициенты членов ряда содержат производные этой функции,
порядок которых равен порядковому номеру соответствую-
соответствующего члена. Мы уже пользовались разложением Тейлора
при выяснений физического смысла дивергенции (см.
разд. 1.7) и в других разделах гл. 1 и 2. Теперь получим
само разложение.
Будем предполагать, что заданная функция f (х) имеет
непрерывную производную /i-го порядка * на отрезке
а ^ х ^ Ь. Проинтегрируем п-ю производную п раз
\ /<n) (x) dx = f<*-» (x) * = р»-1* (х)
а
х х
j ( ( /(П) (х) dx)
^2) (x)
a a
=^ [f<n) (x)
а
/<n) (а) -(х-а) {
"-" (a),
(a)] dx =
E.79)
X
(x) - f (n'3) (a) -
a) /(n) (a)
1} (а).
E.80)
* Разложение Тейлора можно получить при несколько менее
жестких условиях (см. Jeffreys H. S., J e f f r e у s В. S.
Methods of Mathematical Physics. Cambridge, Cambridge University
Press, 1950).

'ГЛАВА 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Наконец, после /i-кратного интегрирования
лс
J J
E.81)
а
Г {a)-...-
Заметим, что это выражение точное. Оно содержит все
члены, и при его получении не делалось никаких предпо-
предположений. Разрешая E.81) относительно /(л:), получаем
Остаточный член Rn задан в форме n-кратного интеграла
X
J j. E.83)
Привлекая из дифференциального исчисления теорему о сред-
среднем значении, его можно представить в более удобной форме
х
E.84)
где а < I < х. После гс-кратного интегрирования имеем оста-
остаточный член в форме Лагранжа
i^ E.85)
В разложении Тейлора в форме E.82) не возникало вопроса
о сходимости бесконечного ряда, так как он конечен. Задача
заключается только в выяснении величины остаточного чле-
члена. Если f (х) такова, что
\\mRn = Q, E.86)
П-+ОО
то разложение E.82) переходит в ряд Тейлора:
(x-a)f'(a) +
оо
i / (о) - E.87)
п=0
По определению, 0! = 1 (см. разд. 10.1).

5.6. РАЗЛОЖЕНИЕ ТЕЙЛОРА 215
Ряд Маклорена. Если функция разложена в начале
координат (а = 0), то ряд E.87) сводится к ряду Маклорена:
oo
*2 — vn
n=0
Непосредственное применение ряда Маклорена (или ряда
Тейлора) связано с разложением различных трансцендент-
трансцендентных функций в бесконечный ряд.
П р'и м е р 1. Пусть / (х) = ех, тогда
/<*>@)=П, «=1,2 E.89)
Из уравнения E.88) получаем известное разложение экспоненциаль-
экспоненциальной функции
00
^~г . E.90)
п=0
Иногда рядом E.90) пользуются для определения экспоненты.
Очевидно, этот ряд сходится для любых х, однако необходимо
все же проверить остаточный член Rn. Из E.85) имеем
поэтому
tfn<jtnex/nl E.92)
и
Iim Rn = 0 E.93)
П-УОЭ
для всех конечных значений х, откуда следует, что разложение Мак-
Маклорена для функции ех справедливо во всей области —oo<jk<oo.
Пример 2. Пусть / (х) = In (l-|-x). Дифференцируя, получаем
)"n- E.94)
Разлагаем в ряд Маклорена
п
-V /_np-i_Wlj_D E 95)
JkmJ О
Р=1

216 ГЛАВА 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
В этом случае остаточный член записывается как
E.96)
хп
п
Остаточный член стремится к нулю при п —> оо для О
поэтому бесконечный ряд
оо
(_l)«-lll E.97)
п=1
сходится для — 1 < х <1 1. Сходимость в области — 1 < jc < 1 легко
проверяется с помощью признака Даламбера (см. разд. 5.2). Сходи-
Сходимость ряда в точке х — 1 вытекает из теоремы Лейбница (см. разд. 5.3).
В частности, при х = 1 мы имеем условно сходящийся знакоперемен-
знакопеременный гармонический ряд
оо
in 2= 1-i + i—... = 2 (-I)"-1»- E-98)
Биномиальный ряд. Второе чрезвычайно важное при-
применение разложений Тейлора и Маклорена связано с бино-
биномиальным рядом для отрицательных и (или) нецелых сте-
степеней.
Пусть / (х) = A -f x)m, где т — любое вещественное
число, отличное от нуля и от всех натуральных чисел.
Из уравнения E.88) имеем
A + д;Г-Л-|--тх--^^-х2-Ь...+^, E.99)
где остаточный член
E.100)
Для п~>т величина (\-\-%)т~п максимальна при ? = 0,
поэтому
Rn<^-m(m—\) ...(m—/i-И). E.101)
Заметим, что множители, зависящие от т, не обращаются
в нуль, так как т —нецелое отрицательное число; Rn —
стремится к нулю при п—»оо для 0<1
* Эту область легко расширить до —1 < х <J 1, точка х,=?
^= —1 исключается.

s.6. |>азложёпие Тейлора
Таким образом, биномиальный ряд имеет вид
E.102)
Несмотря на то что остаточный член исчезает для 0 ^ х -^ 1,
в действительности можно показать, что ряд E.102) схо-
сходится в интервале — 1 <*< 1.
Пример 3. Полная энергия релятивистской частицы равна
? = mc2(l_o2/c2)-i/2. E.I03)
Сравним ее с классическим выражением для кинетической энергии
Положим в формуле E.103) x = — v2jc2, a т= —1/2 и восполь-
воспользуемся биномиальным рядом E.102), тогда
или
1 Ч п2 К / ti2 \ 2
+ ... . E.105)
Первый член тс2 соответствует энергии массы покоя, тогда
+.-] ¦ E.106)
При v « с выражение jb квадратных скобках стремится к единице,
откуда следует, что кинетическая часть полной энергии в реляти-
релятивистском приближении совпадает с классическим выражением для
кинетической энергии.
Биномиальное разложение обобщается на случай поли-
полиномов
где суммирование проводится по всем различным комбина-
т
циям Яд, п2, .*.,ят, причем 2^ = я, где щ и я—все
г=1
целые числа. Этот ряд широко используется в статисти-
статистической механике.

218 ' ГЛ]АВА 5. ВЕСКОНЕЧНЫЕ 1>ЯДЫ
Если f зависит он нескольких переменных, например
f--f(x,y), то разложение Тейлора приобретает вид
JL Г(Х
3! L1
В этом выражении все производные взяты в точке (a, b).
Обозначив ajt = Xj — Xj0, можно записать разложение Тей-
Тейлора для функции т независимых переменных в символи-
символической форме:
оо m
n=0
Упражнения
1. Показать, что разложение Тейлора в окрестности точки 8 = л/2
записывается как sin I — -f в j =
| • 2. Показать, что при п > 1
1П ( : < О И 1П [ —— > 0.
п у п.— 1 / ^ п \ п } '
Воспользоваться этими неравенствами для доказательства ограничен-
ограниченности постоянной Эйлера.
3. Используя биномиальное разложение, сравнить три формулы
(v \-~*
I =F — 1 —движущийся источник;
б) v' = v A ± — I —движущийся наблюдатель; в) v' =v I 1 ±— ГХ
XI 1 g-l —релятивистская формула.
^3 Заметим, что релятивистская формула совпадает с классической,
если пренебречь членами порядка v2jc2.

5.6. РАЗЛОЖЕНИЕ ТЕЙЛОРА 219
4. Сумма двух скоростей w с релятивистском приближении дается
формулой
w
~^ 1-1-
Разложить, w/c по степеням а до члена а3, если «/с —ы/с=-1—а,
0<а<1.
5. Смещение х для частицы с массой покоя т$ под действием
постоянной силы /nog, действующей вдоль оси *, с учетом реляти-
. , & Г Г, , / t \211/2 V
вистских эффектов равно х —— < 1 + 1 g—) ~ * г •
Разложить х по степеням t. Сравнить с классической формулой
6„ Показать, что признак Раабе нельзя применять к ряду
(л Inn), так как lim n \-— , —!—-—\ 1 = 1.
V п-уоо L П\ПП J
7. Разлагая в ряд, доказать, что In J^-r=arccthTio. Этим тож-
Щ— 1
деством пользуются при получении второго решения уравнения
Лежандра (см. разд. 12.9).
1
1 п
Jdx
2=arctgx
о
о" 4
Разложим подынтегральную функцию в ряд и почленно проинтег-
проинтегрируем. В результате получим формулу Лейбница для я:
Сравнить сходимость в точке * = 1 ряда для подынтегральной функ-
функции и ряда, полученного почленным интегрированием.
Сходимость ряда в формуле Лейбница настолько плоха, что
делает эту формулу совершенно непригодной для вычислений. Значе-
Значение я до 100000,десятинных знаков вычислялось по формулам*
f 8arctgf 4arctg
я==48 afctg Jq'+32 arctg g^—20 arctg^^ .
9. Разложить неполную факториальную функцию \ e~Hndt в ряд
* См.. Shanks D., Wreftch J. ,W; 3. Mathematics of Com-
Computation, 16, 76 A962).;/;,

220 ГЛАВА 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
по степеням х для малых значений х. Какова область сходимости
этого ряда? Почему переменная должна быть малой?
X
Ответ:
I
*
X
1
1
(n+2)+2!(n+3) •••pl(
10. Формула тонкой структуры в релятивистском приближении
Дирака имеет вид
-1/2
t
(||т *=±1, ±2, ±3, ...
Разложить эту формулу по степеням у2 ДО члена порядка у*(у2—
= Ze2fhc, Z—заряд ядра). С помощью полученного разложения
обычно сравнивают выводы теории электрона Дирака с выводами
релятивистской теории электрона Шредингера. Экспериментальные
результаты говорят в пользу теории Дирака.
II. Показать, что для 0-<fc< 1 ряд
A —ft* sin фГ1/2 = 1 +4- & sin2 ф+ ]Л k* sin4
равномерно сходится при всех (вещественных) значениях угла (р.
\2. Период маятника с угловой амплитудой а и длиной / равен
я/2
/ / \ 1/2 р И®
Г=4 — \ i — , где fe2 = sin2(a/2). Разложить Г
J
по степеням ^2. (Интеграл относится к типу эллиптических интегра-
я/2
ч ., f . •« j 1-3.5... Bп—1) я
лов первого рода.) Указание. \ sin2nq)a9= 0 . —¦ Q "ir —
0
Bд)! _я_
'" ' 2 '
13. Разложить A—2/2 + /2)-1/2 в рЯД по степеням /. Считая,
что t мало, получить коэффициенты при /°, Д и №.
Ответ: а0 — Ро (г) = 1, <ц=Pi (г)=г,
Pn{z) — n-й полином Лежандра.
14. Доказать, что
СО 00
Еу2
(-1)п12
1й)
п=0 п=0

5.6. РАЗЛОЖЕНИЕ ТЕЙЛОРА 221
15. Перемножая ряды для sin л: и cos л: показать, что
sin 2х=2 sin*-cos x.
1 ооо ооо
16. Определить верхнюю и нижнюю границы суммы
п1
предполагая, что: 1) постоянная Эйлера известна; 2) постоянная
Эйлера неизвестна.
1 ооо ооо
Ответ: 14,392726 < 2 п < 14,392727.
п=1
1000
17. Известно, что ^J п'1 — 7,485480. Найти верхнюю и нижнюю
п=1
границы постоянной Эйлера.
Ответ: 0,5767 < С < 0,5778.
18. В общей теории относительности существуют несколько
выражений, которые связывают скорость расширения Галактики
с красным смещением 6. Модель Милна (кинематическая модель) даёт
Показать, что при б < 1 (Уз/С С 1) все три формулы сводятся
к v=tcb. Сравнить все три скорости с учетом членов порядка б2.
19. Нейтроны генерируются внутри полой сферы радиусом R.
Родившиеся нейтроны равномерно распределены в сферическом
объеме. Предполагая, что все направления равновероятны, определить
среднее расстояние г, которое пройдет нейтрон прежде, чем достигнет
поверхности сферы. Движение предполагается прямолинейным, столк-
столкновения отсутствуют.
Показать, что
1 я
II
о о
7----- ^ R [ [ T/l-#3sin2 0 Jfe2 dk sin
Разложив подынтегральную функцию в ряд и проинтегрировав
его, получить
оо
]•
Bл —I) Bn-hl) B/i+3)
n—i
Показать, что сумма этого бесконечного ряда равна 1/12, а г=
=3/?/4. Указание. Путем индукции получить частичную сумму
sn=l/12—[4B/t-J-l) Bп-\-3)]~1, а затем сделать предельный переход
п-»-оо.

222 ГЛАВА 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
20. Пусть х с некоторой погрешностью Дх является корнем / (х).
Получить, пренебрегая членами порядка (АхJ, формулу Ньютона
«a f (х)
для отыскания корней: ах=—,, \ . .
/ (х)
21. С помощью представления \ f(x)dx~arf {— 1) -f а$\ @)
Л
, получить формулу интегрирования Симпсона
1
j /(x)dx=i
Указание. Разложить обе части уравнения в ряд Тейлора (Маклорена).
5.7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Степенным рядом называется бесконечный ряд вида
00
f (х) - «о + а{х + azx2 -f а3х3 + ... = 2 апхп, E.109)
п=0
в котором коэффициенты ап — постоянные, не зависящие
от х *.
Сходимость. Сходимость ряда E.109) можно исследо-
исследовать с помощью признака Коши или признака Даламбера
(см. разд. 5.2). Если
lim-^i!-/?-1, E.110)
n-кю ап
то ряд сходится для —R < х < R. Величина R называется
радиусом сходимости. Оба признака перестают работать,
если R — 1, поэтому концы интервала требуют дополни-
дополнительного исследования. Пусть, например, ап = /г, тогда
R = 1, и (см. разд. 5.1 — 5.3) ряд сходится при х = — 1,
но расходится при х — +1. Если же ап = /г!, тогда R = О
и ряд расходится для всех х ф 0.
Равномерная и абсолютная сходимость. Предположим,
сходимость ряда E.109) установлена для интервала
—/?<*< #; в этом случае ряд будет сходиться равномерно
и абсолютно в любом внутреннем интервале — S ^ x ^ S,
где 0 < S < R.
* Соотношение E.109) можно переписать, заменяя х на г =
== х -f ty. Ниже исследуется равномерная сходимость, интегрируе-
интегрируемость и дифференцируемость иа комплексной плоскости.

5.7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 223
Это утверждение можно доказать непосредственно
с помощью признака Вейерштрасса, положив Mt = \at |.
Непрерывность. Поскольку каждый член ип (х) = апхп —
непрерывная функция х и / (х) — 2 апХп равномерно схо-
сходится в интервале — S^J x ^ S, функция f (х) должна
быть непрерывной в интервале равномерной сходимости.
Дифференцируемость и интегрируемость. Если ип (х) —
непрерывные функции и 2fln*n равномерно сходится,
то этот ряд можно дифференцировать и интегрировать,
причем полученный ряд также будет степенным с непре-
непрерывными членами, кроме того, он будет равномерно схо-
сходиться в том же интервале, что и первоначальный. Само
по себе дифференцирование или интегрирование не нару-
нарушает признаков сходимости. Поэтому степенной ряд можно
дифференцировать и интегрировать в интервале равномер-
равномерной сходимости (см. упр. 9).
В связи с различными ограничениями, налагаемыми
на дифференцируемый ряд (см. разд. 5.5), последний
вывод представляется довольно неожиданным и весьма
ценным.
Теорема единственности. Выше, воспользовавшись рядом
Маклорена, мы разложили е* и In (I -f x) в бесконечный
ряд. В дальнейшем мы часто будем иметь дело с функ-
функциями, представленными бесконечными рядами, или будем
отыскивать ту или иную функцию в виде ряда. Докажем,
что представление в виде степенного ряда единственно.
Предположим, что
. со
2л &пХ » — Да "^ X <С Ац
Г E-111)
2 Ьпхп, ~Rb<x<Rb
¦п=0
внутри перекрывающихся интервалов сходимости, включаю-
включающих начало координат. Докажем, что для всех п
ап^Ьп. E.112)
Из E.111) следует
со со
2j &пХ = ^j bnx , —R<C.x<cRt E.113)
n—0 n=0
= <

Г Л А В А 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
где R меньше Ra и /?&. Полагая дс = О, получаем
ao = bQ. E.114)
Далее воспользуемся дифференцируемостью степенного ряда
и продифференцируем уравнение E.113):
оо со
папх11-1 = 2 nbnxn-\ E.115)
1 п=1
Опять, полагая x — Q, найдем
Gi-6,. E.116)
Повторив эту операцию п раз, убедимся, что
ап = Ьп. E.117)
Этим доказывается совпадение двух заданных рядов. Сле-
Следовательно, представление степенным рядом единственно.
Представление функции степенным рядом часто оказы-
оказывается полезным при раскрытии неопределенностей, особен-
особенно в тех случаях, когда неудобно пользоваться правилом
Лопиталя (упр. 1).
Пример. Вычислим предел
lim 1-cos*, E. И8)
о *2
Разложим cos* в ряд Маклорена
тогда ясно, что
,. 1 —cosx 1
1ш 72 =Т
Инверсия степенного ряда. Предположим,
- 2М*-хо)п, E.1-21)
п=1
однако часто требуется выразить х—х0 через у—у о.
Мы можем разрешить уравнение E.121) относительно х — х0,

5.7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 225
делая инверсию заданного ряда. Допустим, что
E.122)
с коэффициентами bn, определенными через известные ап.
Очевидный подход к отысканию коэффициентов, связан-
связанный, однако, с большой затратой сил и времени, состоит
в подстановке выражения E.121) в E.122). Учитывая,
что после такой подстановки уравнение E.122) становится
тождеством, и приравнивая затем коэффициенты при одина-
одинаковых степенях, имеем:
1 Яо ^
1 ~~ а{ ' 2 ~~ а\ '
Ь3^^'Bа1 — а1а3), E.123)
L 1 /Г 2 С 34
bk = —- (Ьаха2а3 — a\ak — 5аД, ...
Однако такой метод определения коэффициентов Ьп при-
пригоден только для вычисления первых нескольких коэффи-
коэффициентов. Несколько больше коэффициентов приведено
в книге Двайта *. В разд. 7.3 предложен более общий
и изящный метод, основанный на использовании комплекс-
комплексных переменных.
Упражнения
1. Вычислить
.. sin igx—tg sin a: ,. _. . ч „
lim 2—_-s и hm jrn/n(jc) для и = 3,
где /„ (х)~сферическая функция Бесселя (см. разд. 11.6), опреде-
определяемая формулой
Отвт: т" 135 'Bпн) "тводля "=3-
(н)
2. Классическая теория парамагнетизма Ланжевена приводит
к следующему выражению для магнитной поляризации:
shx
х )
* Д в а й т| ,Г. Б. Таблицы интегралов и другие математиче-
ские формулы. М., «Наука», 1966.— Прим. перев.
15-1257

226 ГЛАВА 5. ВЕСКОНЕЧНЫЕ{РЯДЫ
Разложить Р (х) в степенной ряд для малых х (слабые поля, высокая
температура).
3. При исследовании дифракции от круглого отверстия встре-
2л
чается интеграл / = \ cos (с cos <p) d(p. Разложить подынтегральную
О
функцию в ряд и проинтегрировать, используя формулы
2л 2л
f cos2» tp rfrp = -J^jL- 2л, f cos2«+i ф d(P ^ 0.
о о
Интеграл / равен удвоенной функции Бесселя Jq (л).
4. Согласно теории переноса нейтронов, для обратной длины
диффузии k имеем arcth—=1. Представить № в виде ряда
R, (л
по степеням b/а. Привести первые два члена ряда.
Ответ: №=3ab( 1— ~
5. Получить разложение arcsh* по степеням х, разлагая в ряд
Маклореиа и производя инперсию ряда для sh у.
6. Найти первые три члена ряда, в виде которого отыскивается
решение § (| ^ г) уравнения
возникающего при вычислении силы, действующей на точечный заряд
со стороны проводящей заряженной сферы.
Ответ: ? =
7. Коэффициент деполяризации L для сплющенного эллипсоида
в однородном электрическом поле, параллельном оси вращения
(см. разд. 12.10), равен
ео
где параметр ?о определяет сплющенный эллипсоид в системе коор-
координат сплющенного сфероида |, ?, (р. Показать, что для сферы
lim L = 1/Зво, для тонкой пластины Mm L = l/eo.
8. Соответствующий коэффициент деполяризации (предыдущее
упражнение) для вытянутого эллипсоида равен
Показать, что для сферы lim L = 1/Зео, для длинной нити
lim L = 0.

5.8. ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ 227
со
9. Степенной ряд f (х) = 2 апхП сходится в интервале —
0
Показать, что ряды, полученные дифференцированием
и интегрированием этого ряда, имеют тот же самый интсрпал сходи-
сходимости (концы интервала x = ±.R исключаются).
10. Сечение фотоионизации водорода в состоянии 15 содержит
функцию
где l = <x-\)U\ а ^ Энергия_фотона_ ^ разложим функцню
b v ' ' Пороговая энергия
f (х) по отрицательным степеням х1/2 (фотоны высокой энергии)
и по положительным степеням (*—\) = 1~2 (энергия близка к поро-
пороговой). Получить только первые три члена разложения.
Ответ: /(*)=¦! -ядГ1/2 + (у + j) *~H • • •¦
5.8. ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ
Числа Бериулли определяются несколькими эквива-
эквивалентными способами, причем различные авторы опреде-
определяют их по-разному. Один из сравнительно простых спо-
способов'опредедения чисел Бернулли связан с разложением
в ряд функции
со
ел— 1
Т7=0
E.124)
Дифференцируя этот степенной ряд и полагая затем я =
получаем
в частности
-dl х \
- dx \е*-\)
Этот результат получается после разложения в ряд знаме-
знаменателя. Производные неудобны для вычислений, поэтому
15*

228 ' Г Л Л В А 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
преобразуем E.124):
E.127)
Воспользовавшись теоремой единственности и положив коэф-
коэффициент 50~ 1, а коэффициенты при х11 равными нулю,
получим
2 '
$rB*-TiuBi-\--t =0. B2—g
E.128)
Продолжим эту процедуру:
_ 5 д __ 691
Bi°- 66 f ^12 ~ ~ 2730"' ••"'
о . _ п м — 1 • 9 Ч
Другое (эквивалентное) определение 52п задается выра-
выражением
" Г П«Я BхJП к<~х<^л К ПО)
Используя теорию вычетов или представление sin л; в виде
бесконечного произведения (см. разд. 5.9), получаем пред-
представление чисел Бернулли, найденное Эйлером:
00
Г*,п=1ДЗ... E.131)
Из E.131) очевидно, что \ В2п I неограниченно возрастают
при я->'оо. Чтобы проиллюстрировать расходимость
чисел Бернулли, приведем значения
В20 = 5,29Ы02, Б20о = 3,647.10215. E.132)
Некоторые авторы предпочитают определять числа Бер-
Бернулли в такой форме:
E-133)

5.8. ЧИСЛА БЕРПУЛЛИ 229
Здесь индекс числа в два раза меньше и все знаки положи-
положительны. Вновь обращаем внимание читателя на то, что
при работе с литературой нужно знать, каким образом
определены числа Бериулли.
Числа Бернулли часто встречаются в теории чисел.
Теорема Штандта — Клаузена утверждает, что
Pi Рг Рз Рк v }
где Ап — некоторое целое число, а ри p2i . . ., Pk — про-
простые числа, такие, что р — 1 является делителем 2/г. Легко
проверить, что это выполняется для
#е (А3 = 1, р = 2; 3, 7), В8 (Л, = 1, р = 1, 3, 5),
= 1, р = 2, 3, 11),... E.135)
Числа Бернулли возникают также при суммировании
N
целых степеней натуральных чисел 2 /р» Р — целое, а так-
же, в разложениях трансцендентных функций tgjc, ln| cos лг|,
ctg jc, In | tg x I, cosec x, th x, In | sin x j, cth x, csh x.
В разд. 10.3 мы вновь встретимся с числами Бернулли
при представлении гамма-функции асимптотическим рядом.
Числа Бернулли возникают в таких разложениях благо-
благодаря определяющим уравнениям E,124) и E.130), а также
благодаря их связи с дзета-функцией Римана
со
С Bл) = S р-*п. E.136)
оо
Дзета-функция Римана. Ряд 2 р~2П мы уже использо-
использовали в сравнительном признаке сходимости (см. разд. 5.2),
а также в уравнении E.131) для определения чисел Бер-
Бернулли. Этим же рядом задается и дзета-функция Римана
со
= 2 п~\ s>l. E.137)
n=l
На рис. 5.4. представлена зависимость С (s) —1 от s. Инте-
Интегральное представление дзета-функции Римана рассмот-
рассмотрено в разд. 10.2 как часть общей теории гамма-функции.

230
ГЛАВА 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Другое интересное представление дзета-функции Рима-
на можно получить так:
0,0001
I I I I
2 4 6 в 10 12 s
Рис. 5.4. Дзета-функция Римаиа.
Здесь со знаком минус взяты все п s, в которых п умно-
умножено на 2. Далее,
| -1-
JL
"-)' E.139)

5.8. ЧИСЛА БЕ!>НУЛЛИ 23i
здесь вычитаются все члены, в которых п умножено на 3.
Продолжим эту операцию и образуем произведение ? (s) x
X A - 2"*) A - 3-s) A - 5"s)... A - Р"8), где Р - простое
число; все члены /г, в которых п умножено на любое целое
число, меньше или равное Р, взаимно уничтожаются. При
Р-»оо
CD
= t(s) U(l-P-) = 1. E.140)
P=2
где Р — простое число, откуда
оо
?(*)=[ II A-ПГ1. E.141)
Р=2
Полученная формула определяет функцию ? (s) в виде бес-
бесконечного произведения по всем простым числам.
Таблица значений дзета-функции Римана приведена
в разд. 10.2.
Упражнения
1. Показать, что
1 а
1 «./лч .. f In A —
^B) hm \
11n(l-f-*) 1 (*
X 2 о->1 J
О О
Как следует из упр. 2, ? B) = я2/6. Заметим, что подынтегральная
функция во втором интеграле расходится при а = 1, однако проинте-
проинтегрированный ряд сходится.
2. Для «малых^ значений х
со
П=2
где С—постоянная Эйлера, а ?—дзета-функция Римана. При каких
значениях х этот ряд сходится? (Ответ: —1 <х<!1.) Заметим, что
при д: = 1 с помощью этого ряда определяется постоянная Эйлера
2
п=2
3. Показать, что ряд для функции 1п(х!) (см. упр. 2) можно
записать в виде
Сх-
п=1

232" i" л А в А 5. бесконечные ряДЫ
In *!)=—In —^-in I -j—^— ] +A —Q
v 2 Vsinju / 2 V 1 —* /
00
n=l
Определить область сходимости этих рядов.
1
4. Интеграл \ [1пA — х)]* — встречается в поправке четвертого
О
порядка к магнитному моменту электрона. Показать, что интеграл
равен 2? C). Указание, Положить 1 — х = е~*.
5. Закон излучения черного тела Планка содержит интеграл
оо
!—~—— . Показать, что он равен 6? D).
6. Показать, что уравнение E.124) (из обеих частей которого
вычли В\) совместно с E.130). Исходя из уравнения Вгд —(—1)Х
2 BпI
X ,о чап I B/г), показать, что
я8
7. Доказать, что
со
и
Интегрированием по контуру (гл. 7) можно убедиться, что этот
интеграл равен я3/8.
8. В приближении Блоха —Грунайссена сопротивление одновалент-
одновалентного металла равно
е/г
р сть [ хЧх
и
где в —характеристическая температура Дебая для данного металла.
С Т Т5
Показать, что р «к -г~• — при Т ~-> со и р % 5? E) С-р- при Т—>0.

5.9. ВПГЛСОИГ.ЧПЫП ПРОИЗП1-Д1-111151 233
5.9. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Рассмотрим последовательность положительных множи-
множителей /"г/г'/з'А • • • fm (ft >0). Использовав для обозна-
обозначения произведения знак П, запишем
Л/Л-../п-iifi- EЛ42)
г=1
По аналогии с частичной суммой sn введем частичное произ-
произведение рп:
п
Pn=--Ufi E.143)
t=i
и затем исследуем предел
limp,,-Р. E.144)
п-и»
Если Р конечно (но не равно нулю), мы можем сказать,
что бесконечное произведение сходится. Если Р бесконечно
или равно нулю, то бесконечное произведение называют
расходящимся.
Произведение стремится к бесконечности, если
Пт/„>1, E.145)
п=оо
или к нулю, если
Пт/П<1 (и больше нуля), E.146)
П=оо
«
поэтому удобно записать бесконечное произведение как
00
[J A + Яд)| причем условие ап —» 0 — необходимое (но не
1
[J
достаточное) условие сходимости.
Логарифмируя бесконечное произведение, можно уста-
установить его связь с бесконечным рядом:
00 ОО
- S ln(l+fln). E.147)
n—i n=l
Сходимость бесконечного произведения. Бесконечные
ОО ОО
произведения Ц A + ап) и Ц A — ап) при 0 < а < 1 схо-

234 ' ГЛАВА 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
оо
дятся, если сходится ряд 2 ат и расходятся, если этот
ряд расходится.
Выделим множитель A+а,,). Учитывая E.90), можно
записать, что
A4-виХеЧ E.148)
Следовательно, частичное произведение рп
рп<е\ E.149)
При п —» оо получим
00 . ОО
[J A+а„)<ехр S ап- E.150)
Этим установлена верхняя граница для бесконечного про-
произведения.
Для выяснения нижней границы заметим, что
и п я
Р/1-1+ 2!я| + 2! )jflity+...>s»i E.151)
i=i г=1 j=i
так как аг>0. Отсюда
с» оо
II (\ + ап)> 2««. EЛ52)
n=l n=i
Если сумма бесконечного ряда остается конечной, то бес-
бесконечное произведение тоже будет конечным. Если же ряд
расходится, то произведение тоже расходящееся.
Произведение [] A — ап) усложнено наличием отрица-
отрицательных знаков, однако теорема доказывается и в этом
случае, если учесть, что для ап < 1/2 (вспомним, что схо-
сходимость требует условия ап ->• 0)
A + 2ад)-1<A~а?1)<A + а71Г1. E.163)
В дальнейшем читатель узнает, что полином Рп (х) п-то
порядка с п вещественными корнями записывается в виде
произведения п множителей
п .
Xi). E.154)
Представление sin x, cos x и гамма-функции бесконеч-
бесконечным произведением. В большинстве случаев можно ожи-

S.9. БЕСКОНЕЧНЫЙ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
дать, что функция, которая имеет бесконечное число кор-
корней, представима бесконечным произведением, где каждому
корню соответствует один множитель. Действительно, это
утверждение выполняется для тригонометрических функ-
функций. Существует два очень полезных представления в виде
бесконечных произведений
со
E.155а)
со
cos х = П [! - B,,-W] • <5-' 55б>
П=1
Наиболее простой и, вероятно, самый изящный вывод этих
формул связан с использованием комплексных переменных
(см. разд. 7.3). Согласно теореме сходимости, бесконечные
произведения E.155) сходятся для всех конечных значе-
значений х. Например, для произведения E.155а), полагая
ап ••-.хЧп2п2, получаем
со со
n=l n=i
откуда следует, что произведение E.155а) сходится. Ряд,
соответствующий E.1556), ведет себя аналогично.
Из формулы E.155а) следуют два интересных резуль-
результата. Во-первых, если положить х ---¦¦ л/2, то
со со
JL\\ h L-I-ILY ГB/гJ~Ч Г5 15
" 2 11 L B/1H" 2 Ь L BnJ J' W-i0
l l
ГB/гJ~
L (H L
откуда получается известная формула Валлиса
со
п—1
]•
Второй результат связан с гамма-функцией (см. гл. 10).
Одна из форм записи этой функции имеет вид
со
-1
Г (Jt) = [*ес* Д A + -f) е-/'"] ', E.159)
п=1

236 ' Г Л А В А 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
где С —постоянная Эйлера (см. разд. 5.2). Образуем про-
произведение двух функций Т(х) и Г( — х), тогда
сю
Г(х)Г(-х)---\хеСх
00 ОО
X
r=l r=l
Воспользуемся уравнением E.155а), в котором сделана
замена х = лх. Тогда
Г(*)Г(-х)= ~—. E.161)
w \ / х sin пх ч '
Используем рекуррентное соотношение — хТ(—х)~
= ГA— х), полученное в разд. 10.1. Окончательно будем
иметь
(х) Г ( — ; -. . E.162)
Эта формула полезна при рассмотрении гамма-функции.
Упражнения
СО 00
1. С помощью тождества In j[ A ±ап)~ ^ 1пA гЬал) и раз-
ложения Маклорена функции 1пA±а?г) показать, что бесконечное
произведение сходится или расходится в зависимости от сходимости
со
или расходимости ряда ^ ап.
2. Показать, что представление sin* и cos л: в виде E.155а)
и E.1556) не противоречит тождеству 2sinjccosx~sin2x.
3. Определить предел, к которому сходится произведение
ОО
п=2
со
4. Показать, что П I ;———-=-—
XL \_ п (П-\- I) J 6
п=2

S.9. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОЙЗЬеДЕНИЯ 23?
5. Используя представление E.155а), показать, что *ctgx =
со
I — ) , и найти из этого соотношения числа Бернулли
т, п=
где ? Bл) — дзета-функция Рнмана. Указание. Записать бесконечный
ряд для In sin л: и затем продифференцировать его.
6. Задан интеграл
я/2
С . и . 1-3-5... (-1) . ч
\ sinn хах ——_ . .—- -п (п — четное).
J 2-4-6...Л v
-я/2
„ „ л 1-3-5... (я—1)
Что произойдет с бесконечным произведением —п . с , когда
z'4•о ... п
д—^оо?
Обосновать ответ, используя: а) теорему сходимости бесконечного
произведения или ряда; б) заданный интеграл.
7. Можно доказать, что интеграл
j
4.6.8 Bp+2)
Выразить это отношение, используя символ произведения П, и иссле-
исследовать его поведение при р—> оо. Полученный результат объяснить,
рассматривая подынтегральную функцию на отрезке [0, 1]прир—> оо.
Замечание. Этот интеграл применяется при построении полиномов
Чебышева (см. разд. 9.3).
8. Основываясь на представлении E.155а), показать, что
это совпадает с уравнением E.131); 52п — числа Бернулли, а ? Bп)—
дзета-функция Римана. Указание, —г- In (sin x) = dgx.
9. Убедиться в справедливости тождества Эйлера
00
п
ОО 00

,Г Л Л ft Л 5. БЕСКОНЕЧНЫЙ. РЯДЫ
5.10. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ИЛИ ПОЛУСХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ
Неполная гамма-функция. Природа асимптотических
рядов хорошо иллюстрируется следующим примером. Пусть
задана интегральная показательная функция *
X
Ei(x)= \ ~du, E.163)
— 00
или
оо
E.164)
X
.значение которой необходимо вычислить для больших х.
Наряду с этим рассмотрим обобщение неполной гамма-
функции (см. разд. 10.5):
оо
, р)= \ e'Wfo, E.165)
X
где х и р положительны. Вновь оценим ее для больших
значений х. Интегрируя по частям, получаем
оо
X
оо
Продолжая последовательное интегрирование по частям,
имеем
оо
\Р
\ e^tr^du. E.167)
* Эта функция часто встречается в астрофизике, когда рас-
рассматривается газ с энергетическим распределением по Максвеллу —
Больцману.

5.10. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ИЛИ ПОЛУСХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ 239
Этот ряд замечателен тем, что, исследуя его сходимость
по признаку Даламбера, получаем
HmlfcHi^llm, |Р+Я)||%,-L= lim-^^^oo E.168)
П-voo I «II I n-yoo(P + 't-1)I * n->co ^
для всех конечных значений х. Следовательно, ряд, если
его рассматривать как сумму бесконечного числа членов,
расходится всюду! Однако не будем торопиться с выводами
и считать уравнение E.167) бесполезным. Выясним прежде,
насколько точно данная частичная сумма описывает непол-
неполную гамма-функцию
~~ sn(x, р) =
00
= (_ i)»+i -|±|[ J е-ии-р-п-Чи. E.169)
X
По абсолютной величине
00
| / (х, р) - sn (х, р) | < |±|- J и-^-Ча <
X
(р+п-\)\ 1 /ч i7m
^ (р-1)! 'W&' EЛ70)
Это означает, что при достаточно большом х частичная
сумма со сколь угодно хорошим приближением описывает
функцию / (х, р). Следовательно, расходящийся ряд E.167)
очень удобен для вычислений. По этой причине его иногда
называют полусходящимся рядом. Остаточный член
Rn (x, р) является знакопеременным, поэтому последо-
последовательностью частичных сумм задаются попеременно верх-
верхняя и нижняя границы для / (х, р). Для р = 1 имеем
00
U
-4--f-'- E.171)
Оценим эту функцию при х = 5. Для данного значения х
последовательные верхняя и нижняя границы, определяе-
определяемые частичными суммами, сначала стремятся к некоторому
пределу, а затем начинают расходиться (рис. 5.5). Опти-
Оптимальное значение е* ?\ (х) получается при наибольшем
сближении верхней и нижней границ, т. е. для х ~ 5 оно
лежит между s4 = s6 = 0,1664 и s5 — 0,1741. Следовательно,
0,1664<е*?! (х) | Л=5 < 0,1741. Действительно, табличное

240
ГЛАВА 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
значение e*?i (х) | я=5 — 0,1704 заключено в пределах, уста-
установленных асимптотическим разложением. Учет дополни-
дополнительных членов в разложении сверх установленного
оптимума снижает томность представления. По мерс
увеличения х разброс между наименьшим и наибольшим
Su(x-5)
01 2345 67 89 10 П
Рис. 5.5. Поведение частичных сумм гхЕх{х) \ х_ь.
значениями соответственно верхней и нижней границ
уменьшается. Поэтому при достаточно больших х функция
ехЕ{ (х) может быть вычислена с любой требуемой точно-
точностью.
Следуя Пуанкаре» запишем
где
= xn[f(x)-sn(x)h
E.172)
с I v\ — п Л. fll
Sn{X)~- ^0 + —
*.+ ...+^. E.173)
Асимптотическое разложение f(x) обладает свойствами
lim xnRn (x) - 0 при фиксированном /г, E.174)
lim;cn/?n(;t) = oo при фиксированном jc*. E.175)
п—>оо
* Здесь исключены сходящиеся ряды по обратным степеням.
Некоторые авторы считают это ограничение искусственным
и не необходимым.

5.10. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ИЛИ ПОЛУСХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ 241
При выполнении E.174) и E.175) можно записать
оо
f (y\ ~ V п v~n (Ъ 17fV\
Подчеркнем, что здесь использован знак приблизительного
равенства вместо знака точного равенства. Функция / (х)
равна ряду только в предельном случае x-voo.
Асимптотические разложения двух функций можно
перемножать, в результате чего получается асимптотиче-
асимптотическое разложение произведения этих функций.
Асимптотическое разложение функции / (х) можно инте-
интегрировать почленно (точно так же, как и равномерно сходя-
сходящийся функциональный ряд) в пределах х<^<«>;
результат такого интегрирования будет представлять собой
асимптотическое разложение интеграла
\ / (/) dt.
X
Почленное дифференцирование асимптотического ряда
можно проводить только при выполнении очень специфи-
специфических условий.
Функция может и не иметь асимптотического разложе-
разложения, например, е*. Однако если такое разложение суще-
существует, то оно единственно, хотя многие функции могут
иметь одно и то же асимптотическое представление.
В заключение отметим, что в гл. 7 мы разработаем один
из наиболее распространенных и плодотворных методов
асимптотического разложения — метод перевала. Вывод
формулы Стирлинга в теории гамма-функции (см. разд. 10.3)
и асимптотические формулы различных функций Бесселя
(см. разд. 11.5) также основаны на асимптотических разло-
разложениях.
Упражнения
1. Формула Стирлинга для In (х\) имеет вид
где /?2/i — числа Бернулли (см. разд. 5.8). Показать, что эта формула
представляет собой асимптотическое разложение.
16-1257

242 ГЛАВА Б. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
2. Интегрируя по частям, получить асимптотическое представле-
представление интегралов Френеля
X X
С (х) — \ cos —~— du и S (х) = \ sin —=— du.
о и
Эти интегралы встречаются в теории дифракции.
3. Получить асимптотическое разложение интеграла ошибок
Гаусса
1-3
О
Эта функция играет важную роль в теории вероятности. Указание.
оо оо
Erf{x)= [ е~г* dt— i e~lidt.
о
оо
f -»
г
4. Излучение абсолютно черного тела в интервале частот 0
описывается формулой
оо
где xo = h\o/kT, Показать, что
Является ли это разложение асимптотическим?

ГЛАВА 6
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО!
[аналитические свойства, конформное отображение)
6.1. УСЛОВИЯ КОШИ-РИМАНА
Комплексное число представляет собой упорядоченную
пару двух обычных чисел (а, Ь)> или а + ibt где i =
= У — 1, а комплексная переменная — пару двух J веще-
вещественных переменных, расположенных, в определенном
порядке:
г = (х, у) = х + iy. F.1)
Из дальнейшего станет ясно, что в данном случае важен
порядок записи и, вообще говоря, а + ib не равно b -f ш,
а х + iу не равно у + ix.
Довольно часто комплексную переменную представляют
в графическом виде. Приняв в качестве абсциссы пере-
переменную х, реальную часть г (обозначается Re z), а в каче-
качестве ординаты — переменную у, мнимую часть z (Im z), мы
получим комплексную плоскость (рис. 6.1). Если теперь
задать определенные значения х и у, то z будет соответ-
соответствовать точке (х, у) на этой плоскости. Из приведенной
диаграммы становится ясным замечание относительно поряд-
порядка написания комплексного числа, так как точка (х, у),
вообще говоря, не совпадает с точкой (у, х).
Из рис. 6.1 очевидно, что
х — г cos 0, у = г sin 6, F.2)
z - г (cos 6 + i sin 9). F.3)
Используя результат, полученный в разд. 5.6*, перейдем
к часто встречающемуся полярному представлению ком-
* Строго говоря, содержание гл. 5 ограничено вещественными
переменными. Однако и для комплексного z можно определить ez
со
как 2 2П- Разложение комплексных функций в ряд рассматривается
п=о
в разд. 6.4.
16*

244 Г ЛАЙА 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1
плексного числа
г ег
F.4)
где г — модуль комплексного числа z, а угол 9 — аргу-
аргумент или фаза z. Следует отметить большую аналогию
между комплексными
числами и двумерными
векторами (см. гл. 1),
которые тоже можно
определять заданием
точки (х, у). Это сход-
сходство использовано в
разд. 6.2 в интеграль-
интегральной теореме Коши.
По аналогии с ком-
комплексной переменной за-
записываются комплек-
Рис! 6.1. Комплексная плоскость. сиые ФУНКЦИИ f (г) или
w (г). Эти функции
тоже можно разбить на реальную и мнимую части
w (z) = а (х, у) + iv (x, у),
F.5)
где и (х, у) и v (х, у) — функции действительных аргу-
аргументов. Например, если / (z) = z2, то
2 - у2) + 2ixy.
/ (z) = (x + iyf -
Для всех введенных понятий (комплексное число,
переменная, функция) операция замены i на —i называется
комплексным сопряжением. Величина, полученная ком-
комплексным сопряжением г, обозначается как z*, где
x — iy.
F.6)
Комплексно-сопряженная z* является зеркальным отраже-
жением относительно оси х комплексной переменной z или
инверсией координаты у (рис. 6.2). Произведение
zz* = (x + iy) (x — iy) -=x2-\-y2 = r2,
отсюда }/rzz*^\z\.
Определим теперь операцию дифференцирования. По ана-
аналогии с обычными функциями производная функции f(z)

&.). Условия кошй -Лимана
245
определяется как
при условии, что предел не зависит от способа приближе-
приближения к точке z.
Рис. 6.2. Комплексно-сопряженные точки.
Рассмотрим приращения бдг и Ьу переменных х и у, тогда
Sz — Sx+iby, F.8)
Ц = б« + /6у, F.9)
кроме того,
так что
61
Предельный переход, указанный в F.7), можно осу-
осуществить двумя различными способами. Во-первых, при
фиксированном бу = 0 берется предел бх ->• 0, тогда урав-
уравнение F.7) имеет вид
б/
= lim
Ьи , . би \ ди , . dv
би \
х- ~
дх
• И)
Здесь предполагается существование частных производных.
Во вторых, положим бдс = 0, а бг/ —» 0, тогда
б/ . би . бо \ . ди . dv
Ьу[Ьу} ду ду

246 Г л А в А, б. функции комплексного переменного I
Чтобы производная dfldz была определена, нужно
потребовать тождественность уравнении F.11) и F.12).
Приравняв соответственно реальные и мнимые части (подоб-
(подобно компонентам векторов), получим условия Коши —
Римана
ди __ dv ди _ dv ,~ «о\
дх ~~ ду ' ду ~ дх \ ' )
Эти условия были сформулированы Коши и широко исполь-
использовались Риманом в теории аналитических функций. Усло-
Условия Коши — Римана являются необходимыми для суще-
существования производной функции f (z), т. е. если dfldz суще-
существует, то условия Коши — Римана выполняются.
Обратно, если условия Коши — Римана выполнены
и частные производные непрерывны, то производная суще-
существует. Докажем это. Пусть
ди , . до \ 6 . / ди , . ди \ s /с , .ч
+')**+Ьи)в1' FЛ4)
Образуем теперь отношение bf/bz и поделим числитель
и знаменатель на дх:
+ Цду/дх) Г, >ду_( до/ду—i {ди/ду) \ 1 „. ,г,
(бу/бл) L б^ \ ди/дх -f / (Л»/дл) j J' ^ '
В силу условий Коши —Римана F.13)
dvldy-i{du/dy)_ .
ди/дх+ i{dvfdx)~~
и 70
откуда видно, что lim^f/дг не зависит от пути перемеще-
б2->0
ния в комплексной плоскости, если частные производные
непрерывны.
Условия Коши — Римана обеспечивают ортогональ-
ортогональность семейства кривых и = Ci и v = с2 (см. разд. 2.1).
Этот вывод имеет фундаментальное значение в теории
потенциала. Если, например, и = с4 — линия электриче-
электрического поля, то v = с2 представляет собой эквипотенциаль-
эквипотенциальную линию (поверхность), и наоборот. В упр. 3 приведен
пример на дальнейшее развитие этой концепции в теории
потенциала.

6.1. УСЛОВИЯ КОШИ - РИМАНА 247
Аналитические функции. Функция f (z), дифференци-
дифференцируемая в точке г = z0 и в некоторой малой окрестности
этой точки, называется аналитической в точке г = г0.
В современной физике понятие аналитичности встречается
очень часто, например в дисперсионной теории элементар-
элементарных частиц. Значение этого понятия очень велико. Если
f (г) не имеет производной в точке г — z0, то z0 называется
особой точкой (см. разд. 7.1).
Для иллюстрации условий Коши — Римана рассмотрим
два очень простых примера.
Пример 1. Пусть f(z)—z2. Тогда и(х, #) = *2—#2, а
v (х, у) — 2ху. Из условий Коши—Римана
ди/дх=2х^= dvfdy, ди/ду = — 2у = — dvfdx.
Очевидно, f(z) = z* удовлетворяет условиям Коши—Римана всюду
на комплексной плоскости. Из непрерывности частных производных
вытекает аналитичность функции f(z)=z2.
Пример 2. Пусть f(z)~z*. Теперь и—х, a v=—y, откуда
ди(дх=:\ ф dvfdy, т. е. условия Коши—Римана не выполнены,
и поэтому f(z) = z* не является аналитической функцией.
Упражнения
1. Используя выражение / (re*0) = R (г, 9)efe(r'0), где #(г, 9)
и в (г, 0) — вещественные функции, показать, что условия Коши—
Римана в полярных координатах имеют вид
jp дв
дг ~т ' ао ' гае ~ вг '
2. Пусть A — d2w/dx2, B — dfiw/dxdy, C — d^wfdy2. Как известно,
функция двух переменных w (x, у) имеет седловую точку, если
д2—4ЛС>0. С помощью условий Коши—Римана показать, что
ни и{х, у), ни v(x, у) не имеют экстремума в любой ограниченной
области комплексной плоскости, причем f(z)~u(x, y)-\~iv(x, у).
3. Функции и (х, у) и v (х, у) представляют соответственно
реальную и мнимую части аналитической функции до (г). Предполагая
существование нужных производных, показать, что
дх ду ' дх ду
Дать геометрическую интерпретацию.
4. Убедившись сначала, что реальная и мнимая части и{х, у)
и v(xt у) аналитической функции w{z) каждая в отдельности удо-
удовлетворяет уравнению Лапласа, показать, что и {х, у) и v {x, у)
не могут иметь ни максимума, ни минимума внутри любой области
аналитичности функции w (г) (но могут иметь седловые точки). •

248 ГЛАВ Л 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО I
5. Записать в явном виде аналитическую функцию ic>(z) —
= и (х, y)-\-iv (х, у), для которой и (х, у) =--• х3—Зх;/2, и (х, y)---c~vsinx.
6. Выделить реальную и мнимую части функций г2-|-2г-[-1, 1/z,
7. Показать, что комплексные числа имеют квадратные корни,
расположенные на комплексной плоскости.
8. Функции в?1 = к(х, y)-\-iv (*, у) и W2=*wf — u{x, y)~iv(x, у)
имеют некоторую общую область аналитичности. Показать, что
и (х, у) и v (х, г/) постоянны.
9. Взяв за основу полярное представление комплексных величин,
вывести формулу Муавра (cosO-|-/sinO)n—cosnO |-/sin лО, п--целое.
10. Пусть тригонометрические и гиперболические функции ком-
комплексного аргумента определены с помощью степенных рядов
гте
п=1, нечет n=(), чет
CO
^ zn , \\ z"
n=l, нечет п=0,чет
Доказать, что / sin z — sh /z, sin iz~i sli z, cos z-=ch iz, cos iz- ch z.
Убедиться, что в комплексной плоскости имеют место известные
функциональные зависимости
, ег+е-2 . , , , .
ch г = —¦? , sin (Z| -f Z2)= sm 2i cos г2 + sin
giz _L. е^г е^2 е*г
11. Тождества cos z = т , sin z — — , можно полу-
At At
чить сравнением степенных рядов. Показать, что
sin (x -f- iy) — sin x ch y ~\~ i cos x sh y,
cos (x -}- iy) = cos x ch //— / sin x sh //,
| sin г |2 = sin2 x -f sh (/, | cos z |2 = cos2 x + sh2 </.
12. Определить нули функций sin z, cosz, sh z, ch z.
13. Показать, что
arcsin z = i In (iz ± Vu1^), Arsh z= In (г+
arccosz——i\n(z± Уг2 —l), Arch z = In (г+Уг2 — l),
Указание. Выразить тригонометрические и гиперболическиеГфунк-
ции через показательную, а затем решить алгебраическое уравнение
относительно этой функции,

6.2. интегральная tfoi>ema коши 249
.14. Доказать, что
sinA^2>co.4V-l)-l,
sin Лг" (a:/2) . /a. t. x
sin n x — 5-i-i- sin (N— 1) ТГ-.
. л; v 2
n-o sin -j
Эти ряды встречаются в анализе многощелевой дифракции.
15. При условии — 1 < р < 1 доказать, что
оо со
Е 1— pcos* XI « • р sin л:
Рп COS ПХ— -. —- ; = I / Р Sin ПХ-- -f
п=о п=0
Эти ряды возникают в теории интерферометра Фабри—Пьеро.
16. Комплексные величины a~u~\-iv и b~x-\-iy можно пред-
представить в виде двумерных векторов a=i«-)-io, Ъ = [х~\-\у. Показать,
что a*b = a-b-|-t j a X b j.
17. Записать в явном виде аналитическую функцию w(z)~
= и (х, у) + iv (а-, у), если и (дг, //) = In {x* -f ^)!/2.
18. Доказать тождество, которое встречается в квантовой теории
фотоионизации:
ia— \yb _ 2barcctga
— С ь
19. Доказать, что |zt-f-г2 | <!|2j |-f | гг |. Объяснить этот резуль-
результат, используя правила сложения векторов.
6.2. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ
Это первая из двух основных теорем в теории функций
комплексного переменного. Мы докажем ее при сравни-
сравнительно грубых допущениях, которые не совсем корректны
с точки зрения строгой математической теории, но которые,
как правило, сопутствуют различным физическим задачам.
Если функция f B) аналитична (следовательно, одно-
однозначна) в некоторой односвязной * области R (рис. 6.3)
* Область называется односвязной, если любой замкнутый кон-
контур в этой области содержит внутри себя только точки, принадле-
принадлежащие этой области. В противном случае область называется мно-
многосвязной. Примером многосвязной области может служить пло-
плоскость г, из которой исключен круг единичного радиуса.

250 ГЛАВА 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЮ ПКРЕМЕИПОЮ I
и имеет в ней непрерывные частные производные, то для
всех замкнутых кривых С в R линейный интеграл, взятый
Рис. 6.3. Замкнутый контур С внутри
односвязной области.
от функции f (z) no кривой С, равен нулю:
-0.* F.18)
о с
В такой форме интегральную теорему Коши можно дока-
доказать с помощью теоремы Стокса. Представим / (z) =
= u(x,y)-{-iv(x, у), тогда
ф f (z) dz = ф (и -|- iv) (dx + idy) =
с с
= &{udx~-vdy)-{-i&(vdx-\-udy). F.19)
с с
По теореме Стокса два последних линейных интеграла
можно свести к поверхностным, если частные производные
непрерывны внутри контура С. Обозначив V — \VX
запишем
В первом интеграле из правой части уравнения F.19)
положим Vx=-u, Vy= — v, а во втором интеграле Vx^=v,
* Символ & подчеркивает, что интегрирование ведется
по замкнутому контуру.

6.2. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ 251
Vv~-и. Тогда на основании условий Коши —Римаиа, кото-
которые в данном случае выполнены, поскольку f(z) анали-
тична, имеем
$/(«>*=-!(?+?)**+
0- F-20)
Интегральная теорема Коши доказана. Однако с тео-
теоретической точки зрения оно проведено несколько некор-
некорректно из-за требования непрерывности первых частных
производных. На самом деле это требование не является
обязательным. Разбивая всю область, ограниченную кон-
контуром С, на бесконечно малые прямоугольники и рассма-
рассматривая линейные интегралы по их границам, Гурса пока-
показал, что теорема Коши выполняется и в том случае, когда
функция / (z) просто аналитична внутри этой области,
причем
§f(z)dz^O. F.21)
с
Строгое доказательство этой теоремы в более общей форме
можно найти в других книгах, рекомендованных к этой
главе. Фактически теорему Коши можно доказать для
функции, аналитической внутри контура С и непрерывной
на нем.
Из теоремы Коши следует, что линейный интеграл от
аналитической функции определяется только концевыми
точками контура интегрирования
J / (г) dz ---- F (г,) -F (zt) - - j f (z) dz. F.22)
Одно из исходных условий доказанной теоремы состояло
в требовании односвязности области. Это ограничение
можно легко снять, сделав соответствующий разрез на
плоскости z. Рассмотрим многосвязную область R (рис. 6.4),
о которой известно, что f (z) не определена внутри R'.
Интегральная теорема Коши уже не выполняется для кон-
контура С; однако можно задать такой контур интегрирова-
интегрирования С\ для которого теорема окажется справедливой.
Соединим разрезом внутреннюю область R' с областью,

252 Г Л А В А '6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО f
лежащей за пределами контура С, и затем выберем новый
контур интегрирования С, как показано на рис. 6.5.
Рис. 6.4. Замкнутый контур С внутри мно-
многосвязной области.
Новый контур С (ABDEFGA) нигде не пересекает линию
разреза, который делает область R односвязной. Анало-
Рис. 6.5. Превращение многосвязной обла-
области в одиосвязную.
гичная процедура использована в разд. 1.14 для доказа-
доказательства трехмерного закона Гаусса. Сближая отрезки,
интегрирования на основании F.22), получаем
D
Е
F.23)

б.З. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ
253
Тогда с учетом интегральной теоремы Коши, примененной
теперь уже к односвязной области i?, мы вправе записать
§f(z)dz = J f{z)<k+ j f(z)dz. F.24)
С' ABD EFG
Обратимся вновь к уравнению F.22), в котором положим
ABD->C[ и EFG->-C2. Тогда
<?/(z)dz = \f(z)dz. F.25)
Здесь обход контуров С\ и Сг совершается в одинаковом
(против часовой стрелки) направлении.
Упражнения
1. Используя одни лишь условия Коши — Римана (без ссылок
на интегральную теорему Коши), показать, что для окружности С
единичного радиуса
У*
B-\-2)-Ulz 0.
@,0)
2. Показать, что ф-=—:— = 0.
J г2 + z
Контур С—окружность, заданная
условием |z| = /?>l. В разд. 7.2
показывается, что при R < 1 этот
интеграл равен 2ш\ —
3. Проверить, что* интеграл
A, 1)
iz* dz имеет разные значения рис. 6.6. Два контура
интегрирования.
для двух контуров интегрирования,
показанных на рис. 6.6. Напомним, что f{z) = z* не является
аналитической функцией, поэтому интегральная теорема Коши в дан-
данном случае неприменима.
6.3. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ
Пусть функция f (z), аналитическая как на самом зам-
замкнутом контуре С, так и внутри области, ограниченной
этим контуром, тогда
l^Ldz = 2mf(z0), ' F.26)
Z— Zo
с
где z0 — некоторая точка, лежащая внутри контура С.

254 ГЛАВА 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО I
Это вторая из двух основных теорем, о которых гово-
говорилось в разд. 6.2. Докажем ее. Хотя f (г) предполагается
аналитической, сама подынтегральная функция, которая
имеет вид f (z)/(z — z0), неаналитична в точке z = z0.
Если выбрать контур интегрирования так, как показано
П
Рис. 6.7. Исключение особой точки.
на рис. 6.7 (или на рис. 6.5), то можно воспользоваться
, интегральной теоремой Коши. С учетом F.25)
z—z0
e $-IW
г—г0
F.27)
где С — первоначальный наружный контур, ajC^— окруж-
окружность малого радиуса с центром в точке z0, по которой
совершается обход против часовой стрелки. Учитывая, что
интегрирование ведется по окружности, положим z —
= z0 + r eie и воспользуемся представлением комплекс-
комплексного числа в полярных координатах. Здесь г мало и в даль-
дальнейшем произвольным образом будет устремлено к нулю.
Тогда
гег
Полагая г—>0, имеем
—zo
== if (Zq)
= 2nif (z0),
F.28)

6.3. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ 255
поскольку / (z) аналитична и, следовательно, непрерывна
в точке г = z0. Это и доказывает интегральную формулу
Коши.
Мы получили замечательный результат. Действительно,
определив функцию / (z) на границе области С, можно
затем найти ее значение для любой внутренней точки
z ~ zQ из этой области. В этом отношении отмечается
большое сходство с двумерным законом Гаусса (см.
разд. 1.14), где величина линейного заряда определяется
интегралом по цилиндрической поверхности от электри-
электрического поля Е.
Исходя из интегральной формулы Коши, можно полу-
получить выражение для производной / (г). Если / (г) анали-
аналитична, то из F.26) следует
It Кг) с _Щ_ч
V J z—z0—oz ^ z—zq }
8z
Тогда, по определению производной F.7),
1 ?. bzfiz)
(г-го-61) (г-
При внимательном чтении можно заметить, что этот резуль-
результат получается прямым дифференцированием F.26) под
знаком интеграла по z0. Такой формальный подход вполне
оправдан, и его доказательство содержится в приведен-
приведенных выкладках. Продолжая процесс дифференцирования,
в конечном итоге получаем
Следовательно, требование аналитичности функции f (z)
гарантирует существование не только первой производной,
но и производной любого порядка, иными словами, из
аналитичности функции / (z) автоматически следует анали-
аналитичность ее производных. Необходимо обратить внимание
читателя на то, что это утверждение основано на трактовке
Гурса интегральной теоремы Коши.
Теорема Морера. Применим интегральную теорему
Коши для доказательства теоремы Морера, обратной теоре-
теореме Коши. Теорема Морера утверждает следующее: если

256 ГЛАВА б. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1
функция f (z) непрерывна в односвязной области R и интег-
интеграл &f(z)dz==O для любого замкнутого контура С из
с
этой области, то f (z) аналитична в R.
Проинтегрируем f(z) от zv до z2. Поскольку &f (z) — О
с
для любого замкнутого С, его значение не зависит от пути
и определяется только начальной и конечной точками
интегрирования. Обозначая результат интегрирования
F (z), имеем
F(z,)-F(z,)=\f(z)dz. F.31)
ч
Образуем тождество
где / — новая переменная интегрирования. Перейдем к пре-
пределу Zz-^Zy. Тогда в силу непрерывности f(t)*
? \f{t)~f{4)\dt
= 0. F.33)
Следовательно, по определению производной F.7),
р
2 l
Мы доказали, что F' (z) существует в точке z ~ z{ и равна
в ней f fo), а поскольку z4 — произвольная точка из области
R, то F (z) аналитична в R. Следовательно, на основании
интегральной формулы Коши F.30) можно утверждать,
что F' (z) — f (z) также аналитична в R. Теорема Морера
доказана.
Обращаясь еще раз к электростатике, можно воспользо-
воспользоваться функцией f (z) для описания электростатического
* Здесь можно сослаться на теорему о среднем значении из ма-
математического анализа.

6.3. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ
257
поля Е. Если суммарный заряд внутри любой замкнутой
области из R равен нулю, то плотность заряда всюду в R
также равна нулю. С другой стороны, рассматривая / (г)
в смысле разд. 1.13, мы можем считать ее консервативной
силой, откуда сразу же вытекает, что она всегда выражает-
выражается через производную потенциальной функции F (г).
Проверка обратного преобразования Фурье. Пусть функ-
функции f (z) и g (z) — аналитические в некоторой области,
причем
а
el™g(w)dw.
F.35)
—а
В гл. 15 функция f (z) названа фурье-образом функции g (w) *.
Используя интегральную формулу Коши, докажем, что
F.36)
—оо
Во-первых, поскольку g(w) — аналитическая, контур
интегрирования можно деформировать. На рис. 6.8 пока-
-й
и
Рис. 6.8. Деформированные контуры инте-
интегрирования на ад-плоскости.
заны два возможных варианта деформированного контура.
Подставим теперь fa (z) в F.36) и оценим полученное выра-
выражение (обозначим его /):
оо
= 2^Г \ e~iztdz \
—оо а
* Следует в формуле F.35) положить а ->¦ оо.
17—1257

258 ГЛАВА 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЮ ПЕРЕМЕННОЮ I
Интеграл по г разобьем па дна и изменим порядок инте-
интегрирования:
а О
/ - -~ [ g (w) dw \ eu <"ь 1Ыг } •
C)
-oo
a oo
-{— j g(w)dw jeiz <«"'<> dz. F.37)
-a(C2) 0
В круглых скобках под знаком интеграла мы показываем,
по какому контуру ведется интегрирование. Интегрируя
сначала по г (поскольку это можно сделать), получаем
=гЬ5 8{w)dw
w — t
2ni J
w—t
00
Ci C2
F.38)
Экспоненциальный множитель можно записать как е"гуегг <""'>,
где сделана замена w = w + ш. Далее, благодаря выбору
контура интегрирования в до-плоскости Imw — и отрица-
отрицательна на Ci и положительна на С2. Выбор такого контура
интегрирования обеспечивает стремление множителя eiz (ш~'>
к нулю, как е~°°, при z~>-±oo. Уравнение F.38) пере-
переходит в
W— t
Ci Ст.
Применив интегральную формулу .Коши при условии
(t лежит внутри замкнутого контура), получим
ОС»
1 Г ._,.** у_ч л. -/-л F.39)
-оо
Этот результат (при а -> сю) доказывает обратное преобра-
преобразование Фурье.
Упражнения
1. Доказать, что
г 2ш л= — 1,
, О

6.4. РЯД ЛОРАНА 259
где контур С—окружность с центром в топке z = zo, обход контура
совершается в положительном направлении (против часовой стрелки),
/г—целое.
2. Доказать, что | /п (г0) | <Л1/г!/Яп, где R~ радиус окружности
с центром н точке z~zq, a M~\mx\f{z)\ на этой окружности.
Предполагается, что / (z) аналитична внутри круга и на его границе.
3. Доказать, что / (z) должна быть постоянной при любых z,
если она аналнтнчиа и ограничена [f(z)<!M] (теорема Лиувилля).
4. Рассмотреть упр. 2 к разд. 6.2, разбив подынтегральную
функцию на части и применив затем интегральную теорему Коши
к многосвязнон области.
5. Вычислить интеграл ф -dz при положительном обходе
любого контура С, включающего начало координат.
6. Предполагая, что / (z)~аналитическая внутри замкнутого
контура С, а точка zq лежит также внутри этого контура, показать, что
с с
7. Показать, что для всех точек, лежащих внутри замкнутого
контура С, \1(г)\^>М, если / (z) аналнтична и отлична от нуля
в этой области (и непрерывна на С), и, кроме того, |/(z)|>M
на контуре С. Указание. Рассмотреть w(z) = \/f (z). Показать, что
для f(z) = O всюду внутри области это утверждение теряет силу.
Приведите конкретный пример аналитической функции, которая ведет
себя подобным образом,
8. Доказать, что символ Кронекера Ьтп представляется интегралом
j7—; <Т) z
2nt ;j
m и п—целые.
Обход контура Интегрирования, внутри которого содержится начало
координат, совершается против часовой стрелки.
6.4. РЯД ЛОРАНА
Ряд Тейлора. Интегральная формула Коши, получен-
полученная в разд. 6.3, дает возможность для нового подхода к ря-
рядам Тейлора (см. разд. 5.6), однако в этом случае иссле-
исследуемые функции должны зависеть уже от комплексных
переменных. Попытаемся разложить функцию f (z) в окре-
окрестности точки г — zOt причем известно, что г = z{ — бли-
ближайшая точка на комплексной плоскости, в которой f (г)
неаналитична (рис. 6.9). Проведем окружность С с центром
в точке z = z0 радиусом | z' — z0 | < | zt — z0 |. Посколь-
Поскольку по условию Zi есть ближайшая точка, в которой функция
17*

260 ГЛАВА 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1
(г) неаналитична, / (z) должна быть аналитической внут-
внутри С. Из интегральной формулы Коши F.26) следует:
f{z')dz' 1 ? Hz'Ydz'
F.40)
z' — z
с
1 С*
2ni§ {? — ;
С
С
f(z')dz'
где z' — точка, лежащая па контуре С, а г — любая точка
внутри С. Поскольку биномиальная теорема для комплекс-
комплексного переменного еще не
доказана, с ее помощью
нельзя разложить знаме-
знаменатель подынтегрального
выражения в соотношении
F.40). Вместо этого вос-
воспользуемся тождеством
1
^j-1-М-ИМ-/
оо
+ ...== 2 Г, F.41)
п=0
Рис. 6.9. Область аналитичности которое легко проверяется
функции f (г): | z — 2ь| < | zi~ z<>\. умножением обеих его ча-
частей на 1 — /. Очевидно (см.
разд. 5.2), что этот бесконечный ряд сходится при | / |< 1.
Для точки г, лежащей внутри контура С, | г — г0 | <
< | z'—г0, поэтому с учетом F.41) выражение F.40)
принимает вид
со
(z-zo)nf(z')dz'
С п=0
Изменив порядок интегрирования и суммирования (это
можно сделать, так как ряд F.41) равномерно сходится
при | / | < 1), получим '
оо
п=0
F.43)

6.4. РЯД ЛОРАНА 261
Учитывая F.30), исключаем интеграл из последнего выра-
выражения:
со
fn
F.44)
п=0
Это и есть искомое разложение в ряд Тейлора. Отметим,
что оно получено только в предположении аналитичности
/ (z) в круге | z — z0 | < | z, — z0 |. Как и в случае степен-
степенного ряда для функции вещественной неременной (см.
разд. 5.7), полученное разложение единственно в данной
точке z0.
Аналитическое продолжение. В предыдущем изложении
предполагалось, что функция / (г) имеет изолированную
точку г = Zj, в которой она неаналитична или сингулярна,
(см. рис. 6.9). Рассмотрим функцию
=TTi- ! F-45)
которая обращается в бесконечность в точке z = — 1.
Следовательно, f (z) неаналитична в точке zt = — 1 или,
иными словами, z4 = — 1 есть особая точка функции f (z).
Воспользовавшись разложением F.44) или биномиальной
теоремой для комплексных функций, которая вытекает
непосредственно из этого разложения, получим ряд
00
V
V, F.46)
сходящийся в круге | г \ < 1 (рис. 6.10). Обозначим гра-
границу этого круга сходимости Си тогда функция / (z) пред-
представима рядом F.46) в области, которая ограничена Сх
и которую мы обозначим 54. Функцию f (г) можно разло-
разложить в ряд в окрестности начала координат только в обла-
области Si (и на границе Си исключая точку Zj -¦- — 1), однако
из самого вида f (z) ясно, что она определена и аналитична
на всей комплексной плоскости вне области Si. Аналити-
Аналитическое продолжение функции заключается в расширении
области, в которой эта функция представима рядом F.46).
Например, мы разложили f (z) в окрестности точки г ~ i:

262 ГЛАВА 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО I
С помощью формулы F.44) находим ряд
•]• <6-48)
сходящийся в области | z — i \ < | 1 -ft I — | \^2 |. Обоз-
Обозначим границу круга сходимости С2, а область внутри нее
У
Рнс. 6.10. Аналитическое продолжение.
52. Функция f (z) задана рядом F.48) в области 52, которая
перекрывается с Sit поэтому / (z) может быть продолжена
в комплексной плоскости *. В этом и заключается смысл
* Один из наиболее важных результатов теории функций комп-
комплексного переменного состоит в том, что две аналитические функции,
совпадающие в некоторой области, например в области перекры-
перекрывания Si и S2 или на некотором отрезке прямой, представляют
собой одну и ту же функцию в том смысле, что они будут совпадать
всюду в областях определения этих функции. В этом случае соот-
соответствие разложении F.46) и F.48) в области перекрывания 54
и Sz говорит о тождественности функций, которые представлены
этими разложениями. Следовательно, выражение F.48) будет ана-
аналитическим продолжением функции / (г) в той области, которая
не охватывается разложением F.46), поэтому можно утверждать,
что функция / (z) = 1 /A -j- г) есть аналитическое продолжение
рядов F.46) и F.48).

6.4. РЯД ЛОРАНА
263
аналитического продолжения, причем, если функция имеет
только изолированные особые точки, это продолжение мо-
может быть бесконечным. Например, в гл. 10 мы воспользу-
воспользуемся рекуррентным соотношением для аналитического про-
продолжения гамма-функции в окрестности изолированных
особых точек г — — п, п ~ 1, 2, 3... .
Все элементарные функции, ez, sin z и т. д., могут быть
разложены в комплексной плоскости (см. разд. 6.1, упр. 10).
Например, для экспоненциальной функции это разложение
имеет вид степенного ряда
оо
,п
rt!
F.49)
Такое задание этой функции совпадает с ее определением
на вещественной оси х для случая вещественной перемен-
переменной и поэтому является аналитическим продолжением
экспоненты в комплексной плоскости.
Ряд Лорана. Часто приходится иметь дело с функциями,
аналитическими в кольце г < | г — z0 | < R (рис. 6.11).
Рис. 6.1Ь Область аналитичности f (z)
на z-плоскости г < | z — zo\ < R.
С помощью воображаемого разреза превратим кольцо
в односвязную область, а затем применим интегральную

264 г л А в А 6. функций комплексного переменного I
формулу Коши к двум окружностям С2 и Ci с центром
в точке г — z0 и с радиусами соответственно г2 и г,, при- ,
чем r<r2<ri<R *: Ц^% тр
Важно подчеркнуть, что знак минус, введенный в уравне- .
нц?.F.50), выбран из соображений положительного (про- /
thjb часовой стрелки) обхода контура С2 (и d). Применим I
к уравнению F.50) ту же процедуру, какой мы пользовались J
раньше, когда из выражения F.40) получали разложе-1
ние Тейлора. Запишем каждый из знаменателей в подын-1
тегральных функциях в виде (z' — z0) — (z — zQ) и с по-Г
мощью биномиальной теоремы для комплексного перемен-
переменного, вытекающей из формулы F.44), произведем разло?,
#ение
ГГ\
2л/
n=0 i
S 1*-ьГ§ Р-гЛя-ЧЮ<я? F-51)
тг=1
Знак минус в уравнении F.50) исчез после подстановки
биномиального разложения. Обозначим первый ряд-из этого
уравнения Si, а второй 52:
00
n==0
Ряд S{ представляет собой обыкновенное разложение Тей-
Тейлора, сходящееся при \z — zo|<|z' — zQ\-ru т. е. для
всех точек г, которые лежат внутри большого круга Ct.
Второй ряд из уравнения F.51)
оо
F-53)
* Мы можем взять г2 как угодно близко к г, а г\ как угодно
близко к R, увеличив максимально область между Ci и С2.

6.4. ряд лорлпл 2G5
сходится при | г — z01 > | z' — z0 \ — г2, т. е. для всех точек z,
которые лежат вне малого круга С2. Полученные ряды
можно объединить в один (ряд Лорана)
an(z-z0)\ F.54)
п=—оо
где
Здесь С — произвольный контур из кольца г < | г — г0 | <
< R, обход контура С с точкой г0 внутри него совершается
против часовой стрелки. Если предположить существо-
существование такого кольца сходимости, то выражение F.54) будет
представлять собой ряд или разложение Лорана для функ-
функции / (г).
Многочисленные примеры рядов Лорана приводятся
в гл. 7. Здесь же ограничимся только одним примером, кото-
который поможет проиллюстрировать соотношение F.54).
Пример. Пусть / (z) — [z {г— \)\"х. Если положить zo = O,
то г = 0, a R~\; функция / (z) расходится в точке г=1. Из уравне-
уравнений F.55) и F.41) имеем
оо
1С dz' 1 С Yi , „м dz'
'_U- 2ЫУ A v ' (;
Вновь изменим порядок суммирования и интегрирования (ряд сходится
равномерно)
оэ
1 vi С 'dz'
Если перейти к полярной форме записи комплексных чисел, как
это сделано в F.30), то
1 С r/eiod0 1
или
Г _1 для Л>-1,
0дляп< 1. F'59)

266 ГЛАВА 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЮ ПЕРЕМЕННОГО I
С учетом F.59) ряд Лорана приобретает вид
оо
F.60)
Разложение Лорана для этой простой функции можно, конечно,
получить непосредственно из биномиального разложения.
Ряд Лорана отличается от ряда Тейлора наличием чле-
членов с отрицательной степенью (z — z0). Поэтому он будет
всегда расходиться, по крайней мере, в точке г ~ z0 и,
возможно, в некоторой окрестности этой точки радиуса г
(см. рис. 6.11).
Упражнения
1. Разложить в ряд Лорана функцию f (z) = [z(z—\)]-i в окре-
окрестности точки z~\ при малых и больших значениях модуля \г—1 |.
Определить точно область, для которой справедливо такое разложе-
разложение, имеющее смысл аналитического продолжения функции F.60).
2. Функция / (г) аналнтичиа внутри единичного круга и па его
границе. Кроме того, |/(г)|<1 для|г|<1 и f@) — 0. Показать,
что \f (z)|<jz| для jzj<l.
3. Разложить функцию In(l-fz) в ряд Тейлора.
00
Ответ: ^ (~-\)n~1zn/n.
4. Доказать единственность разложения Лорана некоторой функ-
функции в окрестности данной точки. Указание. Воспользоваться инте-
интегральной формулой Кошн.
5. Разложить ctgz и {ez — 1) в ряд Лорана в окрестности
начала координат. Записать первые три ненулевых коэффициента.
6. Получить биномиальное разложение
для любого вещественного т.
7. Функция / (г) может быть разложена в ряд Лорана в окре-
окрестности начала координат, причем коэффициенты такого разложения
вещественны. Показать, что
/*(*) = /(**).
Проверить это для функций f(z)~zn, n—целое; /(z) = sii?2.
Показать, что утверждение теряет силу, если f(z) = iz (aj = /).
8. Задана вещественная функция комплексного переменного / (z),
причем в разложении Лорана f (z) = 2 апгП в окрестности начала
все коэффициенты ап — 0 для n<—N. Доказать, что все коэф-
коэффициенты ап вещественны.

с;.п. ОТОГ.ГЛД1-ПШ-. 207
6.5. ОТОБРАЖЕНИЕ
Обратимся теперь к геометрическим свойствам функций
комплексного переменного, которые позволят более отчет-
отчетливо уяснить смысл интегральных операций из гл. 7 и,
кроме того; представляют интерес для решения уравнения
Лапласа в двумерном случае.
В обычной аналитической геометрии можно задать функ-
функцию у =¦¦- [ (х), а затем начертить график у (х). В данном
случае проблема оказывается более сложной, поскольку г
зависит от двух переменных — х и у. В дальнейшем будем
пользоваться обозначением
w = f{z) = u(x, y) + iv{x,y). F.61)
Теперь точке на z-плоскости (заданной значениями хну)
могут соответствовать определенные значения и {х} у)
и v (х, у), которые зафиксируют некоторую точку на w-
плоскости. Поскольку точки на z-плоскости преобразуются
или отображаются в точки на до-плоскости, то линии или
области, лежащие в плоскости z, будут отображаться в ли-
линии или области, расположенные в «/-плоскости. Наша цель
состоит в том, чтобы выяснить, каким образом с помощью
элементарных функций линии или области на z-плоскости
преобразуются в линии или области па до-илоскости.
Параллельный перенос. Функция w равна сумме пере-
переменной z и некоторой постоянной z0 = х0 + i
до = z + z0. F.62)
Из уравнений F.1) и F.61) следует, что
и = х + xOt v = у + у9. F.63)
Эти формулы преобразования характеризуют простой сдвиг
координатных осей (рис. 6.12).
Поворот.
w = zz0. F.64)
В полярном представлении
ш = реЧ z = re*, zo = roeie<\ F.65)
откуда
^0в F.66)

268 ГЛАВА 6. ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО'!
ИЛИ
F.67)
Анализируя последние формулы, можно высказать сле-
следующие .соображения. Во-первых, модуль комплексного
и
Рис. 6.12. Параллельный перенос.
числа г либо растягивается, либо сжимается в зависимости
от множителя г0. Во-вторых, аргумент числа увеличи-
увеличивается на дополнительную постоянную 0О (рис. 6.13).
У\
A,0)
р-гг0
и
Рис. 6.13. Поворот.
Это означает поворот комплексной переменной на угол 0О.
В случае zo= i мы имеем чистое вращение на угол я/2.
Инверсия.
F.68)
W-— .
г

6.5. ОТОБРАЖЕНИЕ
269
Снова воспользуемся полярной формой записи
откуда
i, Ф=-е.
г
F.69)
F.70)
Первое из полученных соотношений описывает чистую инвер-
инверсию. Внутренность единичного круга отображается во
Рис. 6.14. Инверсия.
внешнюю область, и наоборот. Второе соотношение показы-
показывает, что полярный угол меняет знак. Следовательно, пре-
преобразование F.68) содержит в себе отражение оси у, какое
имеет место при комплексном сопряжении (рис. 6.14).
Чтобы выяснить, как линии на z-плоскости отражаются
на а>-плоскость, удобно использовать запись комплексного
числа в декартовых координатах:
u-\-iv — -
1
F.71)

270 ГЛАВА 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО I
Умножим числитель и знаменатель в первой части послед-
последнего равенства на z* и затем приравняем реальные и мни-
мнимые части
У
и
v
F.72)
Как известно, окружность на z-плоскости с центром
в начале координат описывается уравнением
v2 J_ yi2 _ r2 /fi 7Q\
которое с помощью F.72) приводится к виду
«2
(а'Но2J +
Упростим это соотношение:
F.74)
F.75)
Последнее уравнение описывает на мьплоскости круг, центр
которого тоже совпадает с началом координат.
Горизонтальная линия у = с{ трансформируется в
V
или
Bci)
а *
F.76)
F.77)
Уравнение F.77) описывает окружность в до-плоскости ра-
радиусом 1/2 d и с координатами центра м —0, о— — 1/2с1
(рис. 6.15). Читателю предлагается самостоятельно рас-
рассмотреть три других варианта.
Вообще говоря, любая прямая линия или окружность
в z-плоскости преобразуется в окружность в до-плоскости
(см. упр. 2).
Все три рассмотренных преобразования дают взаимно
однозначное отображение точек z-плоскости на точки до-
плоскости. Однако возможны и другие преобразования.
Остановимся сначала на двузначном преобразовании
до = z2, F.78)
которое приводит к
р = /*,
-20.
F.79)

6.5. ОТОБРАЖЕНИЕ
271
Очевидно, это преобразование нелинейно, так как модули
связаны квадратичной зависимостью, но существенная осо-
особенность выражения F.79) состоит в том, что фазовый угол,
или аргумент, удваивается. Это означает, что имеется сле-
следующее отображение:
первый квадрант z-плоскости @ <! 9 < л/2) —» верхняя
ад-полуплоскость @ < ф < я);
верхняя z-полуплоскость (О <С 0 < п) ->• вся ад-плоскость
@<ср<2л).
Нижняя полуплоскость г также отображена на всю
плоскость .ад, т. е. отображение оказалось наложенным
Ук
Рис. 6.15. Инверсия, прямая линия-*-*- круг. Цифрами /, 2, 3 отме-
отмечены точки, соответствующие друг другу на г- и ©-плоскостях.
на плоскость ад дважды. Таким образом, возникло двузнач-
двузначное соответствие, при котором две противолежащие точки
г0 и zoein = —zo в плоскости z соответствуют одной точке
ад = z\.
В декартовом представлении
u + iv=(x+ iyf = x2 — у2 + 2ш/, F.80)
откуда
и = х2 — у2, о = 2ху.* F.81)
Следовательно, прямые и = с^ и v — с2 в ад-плоскости соот-
соответствуют равнобочным (и ортогональным) гиперболам

272 Г Л А В А 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО I
х2 — у2 = си 2ху = с2 на z-плоскости (рис. 6.16). Каждой
точке гиперболы х2 — у2 = С\ в правой полуплоскости
#>0 соответствуют одна точка на прямой и — Си и наобо-
наоборот. Однако любой точке на прямой и -- С\ соответствует,
кроме того, точка на гиперболе х2 — у2 = сх из левой полу-
полуплоскости х < 0.
В разд. 6.6 покажем, что ортогональные линии на до-пло-
до-плоскости отображаются в ортогональные линии на z-
плоскости. Прямые и — сА и v ~ с2 взаимно перпендику-
перпендикулярны, поэтому соответствующие гиперболы в z-плоскости
2ху=с2 у
а
Рис. 6.16. Отображение, гиперболические координаты.
ортогональны. Таким образом, мы построим новую ортого-
ортогональную систему гиперболических кривых (или поверх-
поверхностей, если взять дополнительно ось, перпендикулярную к
х и у). В упр. 4 к разд. 2.1 эта система уже рассматривалась.
Преобразование
до - е2 F.82)
F.83)
приводит к
или
р
= ех ф =
= У-
F.84)
Если у изменяется в пределах 0 < у < 2я (или —п <;
< у < я), то ф перекрывает ту же область. Но это есть вся
до-плоскость. Иными словами, горизонтальная полоса в z-
плоскости шириной 2я отображается на всю до-плоскость.
Более того, все точки х + i (у + 2пп)} где п — целое,
отображаются на одну и ту же точку [по закону F.84I

6.5. ОТОБРАЖЕНИЕ 273
на до-плоскости. Следовательно, здесь мы имеем многознач-
многозначное (бесконечнозиачное) соответствие.
Преобразование, обратное преобразованию F.78), имеет
вид w z1/2, F.85)
откуда
* */2*в2 F.86)
F.87)
т. е. две точки в пу-плоскости с аргументами ф и ф-[-л;
соответствуют одной точке в z-плоскости (исключением
является точка г — 0). Или, иначе, 0 и 0-f 2л соответст-
соответствуют ф и ф-f-ji — двум различным точкам в пу-плоскости.
Здесь мы столкнулись с ситуацией, аналогичной для урав-
уравнения у2 — х, в котором одному вещественному значению х
соответствуют два вещественных значения у (со знаком
плюс и минус).
Отметим одно важное обстоятельство: двузначную функ-
функцию до из уравнения F.85) можно сделать однозначной, если
ограничить 0 областью 0 <^ 0 < 2л. Это достигается с по-
помощью разреза плоскости вдоль линии 0 = 0. Конечная
точка разреза (здесь г — 0) для многозначных функций
называется точкой ветвления. Это и есть один из видов
особых точек (см. разд. 7.1), функция f (z) неаналитична
в точке z = 0.
Разрез можно сделать и по любой другой бесконечной
линии, которая проходит через точку 2 = 0. Разрез нужен
для того, чтобы ограничить аргумент г. Точки z0 и z0e2jli
совпадают в z-плоскости, но соответствуют двум различным
точкам w и дое*я — —до в до-плоскости, поэтому если разрез
не делать, то функция до = z1/2 будет неопределенной.
В заключение остановимся на преобразовании, обратном
преобразованию F.82):
до = in г. F.88)
Запишем его иначе:
u + iv = In reQ = In r + i0. F.89)
Для данной точки z0, расположенной в z-плоскости, аргу-
аргумент 0 определен с точностью до значений, кратных 2л, т. е.
i/ = 0 + 2mi, F.90)
и, следовательно, как и в случае экспоненциального отоб-
отображения, получаем бесконечнозначное соответствие,

274 ГЛАВА 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Преобразование F.88) имеет наглядную интерпретацию.
Если перемещаться в z-плоскости вдоль единичной окруж-
окружности, то на основании F.89) и =
= In г — О, но v — G, причем 9 моно-
монотонно возрастает сначала до 2л,
а затем продолжает непрерывно
расти и сверх этой величины. При
последовательном перемещении по
окружности в г-плоскости полу-
получается движение, аналогичное дви-
движению вращающегося винта или
движению по спирали (рис. 6.17).
Вследствие многозначности In г
интеграл <6 — == 2л/ Ф 0. Внутри
^~~=? ~~^~ контура интегрирования содер-
содержится начало координат. Этот
Рис. 6.17. Многознач- результат уже встречался в разд. 6.3
ность функции In z. (упр. 1 и 8), в гл. 7 он используется
для вычисления вычетов.
Упражнения*
1. Показать, что отрицательные числа имеют логарифмы в ком-
комплексной плоскости. В частности, убедиться, что In (—1) = ш.
2. Во что отображаются окружности с центром в начале коор-
координат 2-плоскости преобразованиями
^i(*)=z+T, wz(z)=z—- (гфО).
Рассмотреть случай | z J —> 1.
3. Рассмотреть преобразования
w (z) = sin г, w (г) *= sh г, w (г) = cos г, w (г) = ch г.
Найти отображение прямых х=с^ ц — сч на ш-плоскость (отметим,
что последние три преобразования получаются из первого переносом
или вращением).
4. Почему функции i0{z) = z1/r2 и w{z)~lnz не могут быть
разложены в ряд Лорана в окрестности начала координат?
б. Показать, что функция ш (г) = (z2—1L^2 аналитична, если
разрезать плоскость вдоль линий — 1<х<<1,
= 0 или
— 1 и
, у=0.
* Дополнительные примеры на отображение приведены
в гл. 11-13.

fi.6. КОНФОЙМИОП ОТОПРАЖ&ПЙ1-
275
6. Какая* часть z-плоскостн соответствует внутрен!юсти единич-
единичного круга в ю-илоскости, если
г— 1
г—1
—т-r
z + i
Рис. 6.18. Контур интегрирования в интегральном
представлении функции Бесселя.
7. Интеграл, представляющий функцию Бесселя, берется по кон-
контуру (рис. 6.18) в ^-плоскости. Отобразить этот контур на 8-пло-
скость, если f=e6.
6.6. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
В разд. 6.5 мы установили, что гиперболы отображаются
в прямые линии, а прямые линии — в окружности. Однако
все эти преобразования были аналитические. В силу ана-
аналитичности w = f (z) имеем
df dw ,. Ддо
-r=~r= lim -r- .
dz dz дг+о Az
F.91)
Применяя полярную форму записи этого уравнения, при-
приравняем отдельно друг другу модули и аргументы *, напри-
* В дальнейшем аргумент функции f будем обозначать arg /.
18*

276 г л А и А 6. функций Комплексного nizpnMiifiiioi о
мер для аргумента (при условии
arg lim ?? = lim arg fz~
Az-й)
= lim argAoy— lim arg Дг~arg
Дг->()
— a,
F.92)
где аргумент производной, a может зависеть от z, но при
фиксированном z он постоянен и не завнсит от способа приб-
приближения Дг к нулю. Чтобы убедиться в важности послед-
последнего замечания, рассмотрим две кривые, Сг в г-плоскости
AW
Рис. 6.19. Конформное отображение. Свойство сохра-
сохранения углов.
и Cw в до-плоскости (рис. 6.19). На этом рисунке прираще-
приращение Az расположено под углом 0 к вещественной оси х,
а соответствующее ему приращение Aw образует угол (р
с вещественной осью и. Из уравнения F.92) следует, что
~ O-f-ct,
F.93)
т. е. любая линия в г-плоскости поворачивается на угол a
в до-плоскости, если только преобразование аналитично
и производная отлична от нуля *. Этот результат справед-
справедлив для любой линии, проведенной через z0, поэтому его
можно применить и к двум линиям, тогда угол между ними
равен
+ а) - @, + а) = 02 - 0Ь F.94)
* Если производная dfldz = 0, то ее аргумент является неопре-
неопределенной величиной и преобразование (аналитическое) может
не сохранять углов.

6.6. КОНФОРМНОЕ ОТОВРАЖЁНИП
577
откуда видно, что аналитическое преобразование не меняет
угла. Преобразования, которые не изменяют углов, назы-
называются конформными. Угол поворота а, вообще говоря,
зависит от z. Кроме того, | /' (г) | — также функция г.
Следовательно, хотя углы и сохраняются, сами коорди-
координатные линии могут деформироваться. Именно это свойство
положено в основу введения новых координатных систем.
I
—г—I—
—t—r—
4_—±___
J X-
I
Рис. 6.20. Конформное отображение, гиперболические
координаты.
В связи с широким применением конформных отображений
при решении уравнения Лапласа в задачах электростатики,
гидродинамики, теплопередачи и т. д. указанные преобра-
преобразования имеют исключительно важное значение в науке
и технике. Предположим, что мы решаем физически абсурд-
абсурдную, но математически простую задачу определения линий
электрического поля и эквипотенциальных линий (поверх-
(поверхностей) между двумя гиперболическими поверхностями,
2
сечения которых заданы в виде: хг — у* — ct с потенциалом
V\ и х2 — у2 --= с2 с потенциалом У2 * (рис. 6.20). Известно,
что эквипотенциали и линии электрического поля взаимно
перпендикулярны (см. рис. 6.20), но при таких необычных
* Комплексное исчисление связано с плоскостью, т. е. явля-
является двумерным. Электростатические силы трехмерны. Мы ликви-'
дируем это несоответствие, рассмотрев поперечный разрез ци-
цилиндрической системы, т. е. условившись, что в направлении третье-
третьего измерения /, перпендикулярного к х и у, картина не меняется.

278 ГЛАВА 6. функции комплексного переменного f
граничных условиях нельзя определить конкретные ана-
аналитические выражения для эквипотенциален и линий элект-
электрического поля. Данное утверждение означает, что нам
неизвестно решение уравнения Лапласа V2^ = 0, удов-
удовлетворяющее этим граничным условиям.
С помощью преобразования до = z2 перейдем на до-
плоскость [см. уравнение F.78) и т. д.], тогда эквинотен-
циали Vi и V2 окажутся в этой плоскости вертикальными
линиями и — с^ и и =-= с2. Проверкой можно убедиться,
что в новой комплексной до-плоскости в качестве решения
уравнения Лапласа для эквипотенциален можно взять
систему прямых и — cha для линий электрического поля —
систему прямых v = Cj, причем прямые линии этих двух
систем взаимно перпендикулярны. Делая обратное преоб-
преобразование на г-плоскость, убеждаемся, что все прямые углы
сохраняются, поскольку преобразование г — до1/2 анали-
тично (за исключением точки до — 0). Запишем полученный
результат в явном виде:
и — х2 — Ф = с» — эквипотенциали, )
Cj — линии электрического поля. J ¦ '
Итак, задача, которую было трудно решить на г-плоско-
сти, с помощью отображения на оу-плоскости легко решает-
решается благодаря специально выбранной системе координат.
Наконец, полученное решение обратным преобразованием
было перенесено на первоначальную плоскость [см. выра-
выражение F.95)].
Рискуя проиграть в наглядности, докажем, что реше-
решение уравнения Лапласа Y (и, и) в до-плоскости после обрат-
обратного отображения на 2-плоскость остается решением этого
уравнения, если только функция w = f (z) аналитична.
Вместе с тем на конкретном примере еще раз убедимся,
насколько важны условия Коши — Римана. На z-плоско-
сти с координатами *, у и на до-плоскости с координатами
и, v введем обозначения
* = if (х, у), V = ? («, v), F.96)
причем кривая Ч (a, v) — а на до-плоскости соответствует
кривой ф (х, у) = а на z-плоскости, т. е.
? (и, v) = V [и (х, у), v (х, у)] = $ (х, у). F.97)

6.6. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 279
Дифференцируя Ч' (и, v) по х, получаем
дУ{и, у) _ ди дУ ди
дх ~ дх ди дх
дх ~ дх ди дх dv '
ах ах аидо^дх2 ay + \ ax j ao2 • J
Аналогично для д2У?/ду2. Теперь
дЩх, у) . дЦ {х, у) _д*Ч{иу у) аау (ц, о)
)
9 (~ — 4- —
I а а + а
В правой части уравнения F.99) первые два члена равны
нулю, так как и и v удовлетворяют уравнению Лапласа,
если w аналитична (см. упр. 3 к разд. 6.1). Остальные члены
исчезают в силу условий Коши — Римана. В результате
получаем
[(|J (fJ]=O, F.100)
в котором учтено, что ? (и, v) удовлетворяет уравнению Лап-
Лапласа в до-плоскости. Отсюда следует, что функция, которая
является решением уравнения Лапласа, после аналитиче-
аналитического преобразования также удовлетворяет уравнению
Лапласа.
Рассмотрим задачу о проводящем круглом цилиндре,
параллельном бесконечной т металлической пластине
(рис. 6.21). Читатель может проверить *, что переменные 2
* Проверить эту формулу несложно, но вот как «догадаться»,
каким должно быть преобразование? Некоторые из преобразований
можно получить в виде комбинации элементарных функций. Выра-
Выражение F.101) из комбинации экспоненциальных и тригонометриче-
тригонометрических функций получить сравнительно трудно. Обычно о той или
иной нужной формуле отображения «догадываются» с помощью
специальных справочников. Из числа наиболее полных справочни-
справочников можно указать книги: N е h а г i Z. Conformal Mapping. N.Y.,
McGraw-Hill, 1952; К о b e r |H. Dictionary of Conformal Repre-
Representations. N.Y., Dover, J1952,

1
6
v=-va1 4
Рис. 6.21. Бесконечный цилиндр, парал-
параллельный пластине.

6.6. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 281
и w связаны -в этом случае следующим преобразованием:
F.101)
shy s\nu
х— —aа
СП У — COS И и СП У—COS И J
Исключив м, получим круг с центром в точке х = d —
~ —a cth vn, у — 0 и радиусом г = —a csh vn. Это зна-
значит, что vn — Arch (dlr) (взят знак минус, поскольку vn
отрицательно). Можно убедиться *, что электростатичес-
электростатический потенциал в оу-плоскости равен
к Ы<»<0. F-Ю2)
Далее, из уравнения F.101) выразим v через z, для этого
запишем w = — 2 arctg (— izla), откуда
^)] F.103)
Подставляя полученное выражение в F.102), имеем
потенциал в правой полуплоскости z(x'^0)
!Т} F. км)
\. Arch (d/a) J
поскольку отрицательные знаки взаимно уничтожаются.
К этой задаче можно подойти иначе и записать полученные
выражения в более компактной форме. Обратившись к ре-
результатам разд. 2.9 и сравнив их с уравнением F.101),
легко установить, что оно задает биполярную систему коор-
координат. В этом случае эквипотенциали выражаются как
(х + a cth vf + г/2 = a csh2 v. F.105)
На этом завершается первая часть задачи, однако можно
пойти дальше. Рассмотрим электростатическую емкость
между двумя эквипотенциальными поверхностями (на еди-
единицу длины в направлении нормали к плоскости ху). Мы
имеем
w (г) = и (х, у) + to (x, у), F.106)
* Все граничные линии (поверхности) в плоскости w огра-
ограничены, — зх<и<л. Однако точкам и= ^я, v = v' в пло-
плоскости z соответствует одна и та же точка, так что краевые эф-
эффекты отсутствуют. Координата и определена только на отрезке
—я -^ и ^ я.

282 Г Л А В А 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО I
где и (х, у) описывает эквипотенциали, а функция v (x,y) —
линии электростатического поля или наоборот. Этот
выбор произволен, но он согласуется с выражением F.103),
которое представляет собой специальную форму уравне-
уравнения F.106); пусть v (х, у) описывает эквипотенциали,
а комплексно-сопряженная функция относится к линиям
поля.
Электростатическая емкость на единицу длины, по опре-
определению, равна
р Заряд на единицу длины __ д ,„ 1луч
~~ Разность потенциалов ~i>2—°1 *
Определим заряд на единицу длины (на один проводник),
исходя из закона Гаусса:
= е0 f
= -e0 j Vvds. F.108)
Из условий Коши —Римана находим:
^='ж+*|г-^+^- F109)
Если записать элемент поверхности ds через
ds=-kxdK F.110)
где d'k совпадает с направлением увеличения и (рис. 6.22)
a k = i х j, то
«2
J
«2
/ Я.. Ли \
F.111)
Подставляя полученное выражение для заряда на единицу
длины (между и{ и и2) в формулу F.107), получаем
С = ео-^=^-. F.112)
Применим соотношение F.112) к задаче с плоскостью и про-
проводящим цилиндром, тогда электростатическая емкость

6.6. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
283
на единицу длины окажется равной
г> 2л
"-°°"FI?~ Arch(rf/r) ' <6Л13)
Рассмотрим теперь такую задачу. Между двумя полу-
полукруглыми в сечении поверхностями (рис. 6.23) существует
\ \ у
Рис. 6.22. Электростатическая емкость.
разность потенциалов 2V0. Необходимо определить потен-
потенциал в любой точке между этими поверхностями.
-со
-V»
-f
-DO
7
а
Рис. 6.23. Заряженные проводящие полукруглые цилиндры.
Полуокружности, лежащие в z-плоскости (*2-f уг — 1,
единичный радиус), могут быть отображены на параллель-

284 ГЛАВА 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО I
ные прямые липни в иьплоскости, причем
F.114)
Мы имеем
\±I±loL^±±^. F.115)
Заменим {\-x<1-y2 + 2xyi)/{\-2x-{-x2-\-y2) на Rtia:
«4-iu = ln/? + «a» F,116)
где
Отображение верхней и нижней полуокружностей проис-
происходит в соответствии со следующими соотношениями
(см. рис. 6.23):
Потенциал оказывается равным
0<г<1. F.119)
Эта задача легко решается методом разделения переменных
в цилиндрических координатах. Искомый потенциал полу-
получается в виде бесконечного ряда. Преимущество метода
конформного отображения заключается в том, что решение
в этом случае отыскивается в замкнутой форме.
Читатель может убедиться, что переменная и изменяется
в пределах — оо < и < оо, а это означает, что электроста-
электростатическая емкость бесконечна.

6.7. ПРПОБРАЗОВАПИЕ ШВЛРЦА — КРИСТОФФЕЛЯ 285
Упражнения
1. Показать, что преобразование w~ez-]-z отображает бесконеч-
бесконечные прямые //-¦-= dz я на полубесконечные прямые м<^/0, v- -А: п.
Это эквивалентно преобразованию бесконечного или ограниченного
плоскопараллельного конденсатора (в z-плоскости) в плоскопарал-
плоскопараллельный конденсатор (в до-плоскости). Нарисовать расположение
эквипотенциален вблизи краев пластин конденсатора.
Определить линии электрического поля как функции и в пло-
плоскости, нейтральной по отношению к пластинам конденсатора (при
2. Каким образом преобразование ег = (а — w)f{a-\-w) трансфор-
трансформирует координатные оси комплексной г-плоскости? Какая коорди-
координатная система из гл. 2 вводится таким преобразованием?
3. В электростатике эквнпотенциали задают уравнениями
и (х, (/) = с j т причем u — Rew(z). Показать, что электрическое поле Е
определяется как | Е | = | dw (z)/dz |.
4. Функция ю (z) аналитнчпа и имеет отличную от нуля произ-
производную в точке w0 — w(z0). Доказать, что существует функция
z = z(w)t обладающая свойствами
. v dz I dw
z = z[w{z)}.
5. Проводящий цилиндр единичного радиуса помещен в однород-
однородное электрическое поле Ео. Ось цилиндра перпендикулярна к направ-
направлению поля. Используя преобразование w = zJr\jz, определить возму-
возмущенный электростатическим потенциал. Как изменится закон преобра-
преобразования, если радиус цилиндра гоф№
6. Тонкая, плоская проводящая полоса шириной 2а имеет потен-
потенциал относительно земли Vq. Определить линии постоянного потен-
потенциала, линии электрического поля, распределение электрического
заряда в зависимости от расстояния до осевой линии проводника.
6.7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ШВАРЦА-КРИСТОФФЕЛЯ
Преобразование Шварца — Кристоффеля реализует
отображение вещественной оси ку-плоскости на любой тре-
требуемый многоугольник в z-плоскости, причем верхняя полу-
полуплоскость w (v > 0) отображается на внутренность этого
многоугольника. Обратное преобразование в этом случае
отображает многоугольник из плоскости z на верхнюю
полуплоскость w. С помощью этого преобразования обычно
производится конформное отображение многоугольных фи-
фигур, включая различные вырожденные случаи.

286 ГЛАВА 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО I
Чтобы получить преобразование Шварца
феля, рассмотрим функцию
Крнстоф-
F.120)
где А — некоторая комплексная постоянная; fa — вещест-
вещественная постоянная; W\ — некоторая точка на веществен-
вещественной оси и. Аргумент производной определяется так:
aw I яга A W^>Wi
при перемещении w вдоль вещественной оси; arg (w — Wi) —
~ n для w < Wi и arg (w — wt) — 0 для w > wi} т. е. при
Рис. 6.24. Преобразование Шварца — Кристоффеля.
перемещении w вдоль оси и в положительном направлении
аргумент dzldw скачком переходит через величину fan
(рис. 6.24), когда w проходит точку W\. Вспоминая резуль-
результаты разд. 6.6, в частности рис. 6.19, мы замечаем, что
arg ^w - 0. Следовательно,
F.122)
w<wu
л ^
argi4, w>w{.
Поскольку А постоянно, arg A — также постоянная вели-
величина. Поэтому в z-плоскости получаем два прямолинейных
отрезка, которые образуют внешний угол а! = fan.
Множитель (a; — wtyhl в уравнении F.120) соответст-
соответствует одной вершине многоугольника. Взяв п множителей

6.7. ПРПОБРАЗОЬАНИЕ Ш&АРЦА - кРЙСТОФФЁЛЯ 287
такой формы, можно построить /г-угольник:
•%?= A{w-wt)-ki{w — ш2)-&2... (w — Wn)-** F.123)
при ограничивающем условии
= 2, F.124)
п
благодаря которому сумма внешних углов оказывается
равной 2л. Интегрируя уравнение F.123), получаем
to
2 — А \ (w—Wi)-ki(w—W2)-ki ... (w — Wrl)-hndw-\-B.
F.125)
Комплексная постоянная А позволяет поворачивать и ори-
ориентировать требуемым образом многоугольник в г плоско-
плоскости, а комплексная постоянная интегрирования В обес-
обеспечивает необходимый сдвиг в этой плоскости. Многоуголь-
Многоугольник в плоскости г можно определить заданием п его вер-
вершин, что означает задание 2п фиксированных постоянных.
Однако уравнение F.125) имеет 2п+4 параметра: п для
wu n для к\, 4/Bя + 4) для А я В. Благодаря условию
F.124) число параметров уменьшается на единицу, так что
остается 2п-\-3 параметра. Следовательно, три особые
точки wt можно выбрать произвольно, тогда остальные
параметры оказываются однозначно определенными. Обыч-
Обычно три произвольные wt выбирают таким образом, чтобы
упростить вычисление интеграла F.125).
На рис. 6.25 проиллюстрировано отображение вещест-
вещественной оси в ш-плоскости на «треугольник». Из этого рисун-
рисунка очевидно, что
п
Я
F.126)
(Xg —> П, ^g > 1 . >
. Для удобства положим w\ = — 1, o>2 = +1 и
->- oo, постоянную Л выберем такой, чтобы скомпенси-
скомпенсировать w3. В этом случае интеграл Шварца — Кристоффеля

288 ГЛАВА 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОЮ !
F.125) примет вид
W
г- А \ (w-\-\)-V>(w-\)-*'*dw-\-В---¦
w
-Л f (w*-\)-l'2dw + B. F.127)
Проинтегрируем
z = A Arch до + В, ro=ch(~p)A F.128)
Постоянные Л и Б вычисляются после подстановки зна-
значений до = — 1, 2 = ш и до = -|-1» 2 = 0. Последнее условие
У\
SZ
*,*»
Рис. 6.25. Отображение вырожденного треугольника с по-
помощью преобразования Шварца — Кристоффеля.
означает, что В = 0, поэтому
ia a
s
F.129)
откуда следует, что А —а/п. Окончательно
лг
— ch
а
F.130)
Верхняя полуплоскость w отображена на внутренность1
полубесконечной полосы.
На рис. 6.26 показано отображение вещественной оси|
в до-плоскости на «треугольник». Снова с помощью рисунка5

Ъ.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ШВАРЦА - К.РИСТОФФЁЛЯ 289
задаем параметры
\\
F.131)
И, кроме того, поскольку а2 ->- 0, /е2 -*• 0, один множитель
в интеграле F.125) полагаем равным 1. Учитывая это и по-
0
1 2^3
-1
V
4
H
0
7
и
Рис. 6.26. Отображение дважды вырожденного тре-
треугольника с помощью преобразования Шварца — Кри-
стоффеля.
лагая, как и в предыдущем примере,
получаем
= —1,
-И»
V)
FЛ32)
Постоянные А и В вычисляются при условии w = 0, кото-
которое соответствует г = 0, или
F.133)
Таким образом, z=ia при w—>oo, откуда
А
Следовательно,
w
F.134)
F.135)
19-1257

290 ГЛАВА 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО I
Отметим, что выбор особых точек (w3 — —1, Wi~-\-\)
приводит к такому соответствию:
— 1 < и < 1, о = 0и — оо<х<оо, # = 0;
— оо < и < — 1, и = 0 и — с© < * < 0, у = а\
1оо, и = 0и 0<х<оо, у = а.
Другое задание особых точек дает другое преобразование
и другое соответствие. В некоторых задачах можно восполь-
воспользоваться соотношением F.135) и применить преобразо-
преобразование Шварца — Кристоффеля для отображения много-
многоугольника на две параллельные бесконечные линии. Этот
способ пригоден для решения уравнения Лапласа.
Упражнения
1. Получить преобразование w=ez-\-z для илоскопараллельного
конденсатора (см. упр. 1 к разд. 6.6), используя преобразование
Шварца — Кристоффеля.
2. Используя преобразование Шварца—Кристоффеля, отобразить
«многоугольник», ограниченный тремя линиями*= —а, у = 0, х= -{-а,
на «-ось (сеьплоскость) с особенностями в точках и = ± 1, v — 0.
3. В z-плоскости на вещественную ось между точками у=—а,
у= -\-а подан потенциал 100 в. Остальная часть оси заземлена.
Определить потенциал в любой точке j/=0. Какова электрическая
емкость (на единицу длины) этой системы?
4. С помощью преобразования Шварца—Кристоффеля получить
преобразование ш=22, которое реализует отображение первого
квадранта плоскости z на верхнюю полуплоскость ю.

ГЛАВА 7
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО II
(теория вычетов)
7.1. ОСОБЫЕ ТОЧКИ
Разложение Лорана обобщает разложение Тейлора на
случай существования особых точек. Условимся называть
точку z0 изолированной особой точкой функции / (г), если
существует некоторая окрестность этой точки (с исключен-
исключенной точкой z0), в которой / (г) аналитична.
Полюс. Если в разложении Лорана функции / (z)
в окрестности точки z0
оо
= 2 Мг-го)п, G.1)
П——0О
ап = О для п < — т < О, а а_т Ф О, то точка zff назы-
называется полюсом порядка т. Например, если т = 1, т. е.
если a_1/(z — z0) есть первый неисчезающий член в разло-
разложении Лорана, то в точке z0 мы имеем полюс первого поряд-
порядка, который часто называют простым полюсом. Если же
суммирование производится до п = — оо, то точка z0
является полюсом бесконечного порядка и называется
существенно особой точкой.
Эти точки обладают многими отличительными свойства-
свойствами, характерными только для них. Например, можно пока-
показать, что в произвольной малой окрестности существенно
особой точки функции / (-г) эта функция может быть сделана
как угодно близкой любому наперед заданному комплексно-
комплексному числу до0. Короче говоря, вся до-плоскость отображается
на окрестность точки z0. Одно из фундаментальных разли-
различий между полюсом конечного порядка и существенно осо-
особой точкой заключается в том, что полюс порядка т можно
устранить, умножив функцию f (z) на (z — zo)'n. Оче-
Очевидно, этого нельзя сделать в случае существенно особой
точки.
19*

292 ГЛАВА 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО П
Вместо поведения функции / (z) при z -+ со можно изу-
изучать поведение f {lit) при t-+0. Рассмотрим функцию
П=0
Сделаем замену z = \lt:
00
sin 1 -г) — У 0 n. ,2n+1 . G.3)
(+)
Из G.2) ясно, что sin z имеет существенно особую точку
на бесконечности. Такой вывод следует и из разд. 6.1
(упр. 10), поскольку при х — 0 sin г — sin iy = ish t/, т. е.
функция sin z стремится экспоненциально к бесконечности
при у -^ оо.
Точки ветвления. Существует еще один важный тип
особенности, который подробно освещается в последующих
разделах этой главы. Рассмотрим функцию/ (z) = za, гдеа —
нецелое *. При перемещении вдоль границы единичного
круга (от е° до е2я<) и нецелом а оказывается, что
/ (г) -> e2mi ф eoi.
Как и в разд. 6.5, мы здесь имеем дело с точкой ветвления.
Точки е°* и е2я{ в z-плоскости совпадают, но эти совпадающие
точки приводят к разным значениям функции / (z), т. е.
эта функция многозначна. Задача решается построением
такого разреза, чтобы функция f (t) была однозначно опре-
определена для данной точки z-плоскости. Важно подчеркнуть,
что функция, имеющая точку ветвления, не будет непре-
непрерывной на линии разреза. Отсюда линейный интеграл вдоль
одной стороны линии разреза, вообще говоря, отличается
от интеграла, взятого вдоль другой стороны.
Пример. Рассмотрим функцию
Множители (г+1I^2 и (г —1I/2 имеют точки ветвления соответ-
соответственно при г~ —1 и z= + I. Сделаем разрез вдоль отрезка, соеди-
соединяющего точки г=-И и г = — 1, и исследуем аргументы этих даух
* Точка z— 0 есть специальная особая точка для функции 2°,
которая имеет только конечное число производных, аналитическая
же функция подразумевает существование производной любого
порядка (см. разд. 6.3).

7.1. ОСОБЫЕ ТОЧКИ
293
множителей при перемещении по контуру, который показан на рис. 7.1.
В точке / аргументы функций (г+1) и B — 1) равны нулю. При
перемещении от / к 2 аргумент множителя (г— 1) возрастает до я,
У
Рис. 7.1. Контур в г-плоскости.
т. е. (г—1) становится отрицательным. Затем аргумент множителя
(г—1) остается постоянным вплоть до точки 6, начиная от которой
и до полного замыкания круга в точке 7 аргумент изменяется еще
на л. Аргумент множителя (г+1) изменится аналогичным образом,
Таблица 7.1
Положение
на
контуре
1
2
3
4
5
6
7
*
0
0
0
п
2я
2я
2л
Значения
2- 1
0
л
я
я
я
я
2я
аргумента
B+ 1>V2<2_ !)V2
0
л/2
л/2
я
Зл/2
Зл/2
2я
увеличиваясь на 2л при движении от точки 3 к точке 5. Значения
аргументов для B—1), B+1) и функций/(г) = B + 1I/2B—1I/2
приведены в табл. 7*1. Заметим, что
Из табл, 7.1 видно, что: 1) аргумент в точках 5 и 6 не совпа-
совпадает с аргументами функции в точках 2 и 3 (такое поведение функ-
функции на линии разреза ^можно было ожидать заранее); 2) аргумент
в точке 7 превышает аргумент в точке / на 2я, и, следовательно,

294 ГЛАВА 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1]
функция / (г) = B2—1)*/2 однозначна на контуре, вдоль которого
производится обход обеих точек ветвления.
Таким образом, если разрезать z-плоскость вдоль оси х от точки
— 1 до точки -fl,. функция I (z) окажется однозначной.
Заканчивая рассмотрение особых точек, приведем теоре-
теорему Лиувилля (см. разд. 6.3, упр. 3):если функция — анали-
аналитическая во всей плоскости и ограниченная, то она постоян-
постоянна. Эту теорему легко доказать с помощью интегральной
формулы Коши. В то же время любое отклонение ана-
аналитической функции от постоянного значения означает»
что во всей плоскости изменения комплексного переменного
имеется по крайней мере одна особая точка. Оставляя
в стороне тривиальные постоянные функции, заметим,
что особые точки встречаются во многих задачах. Мы
используем их для разработки теории вычетов.
Упражнения
1. Функция f(z), разложенная в ряд Лорана, в точке z=zo
имеет полюс m-ro порядка. Показать, что коэффициент при множи-
множителе (г—го) определяется по формуле
причем в случае простого (т— 1-го полюса) a_i=[(z—г0) / (z)]2=2o.
2. Функция f{z) — fi{z)lfz{z), где f\{z) и h{z)~аналитические
функции, а /2(г) = 0 в точке ;z~z0. С .другой стороны, известно,
что fi(z) Ф 0 и fr2{zo) — O. Показать, что коэффициент а_\ в разло-
разложении Лорана функции f (z) в точке z = Zo равен a_t = /^ (го)//2(го)«
7.2. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
Проинтегрировав почленно функцию, разложенную
в ряд Лорана, по замкнутому контуру, охватывающему
одну изолированную особую точку z0, против часовой
стрелки, получим
- zo)n dz = ап ^^Г ? = 0 G.4)
лля п Ф — 1. Однако если п — — 1, то
fl-i Ф (* — z^dz — a_j ф —щ dQ = 2wa.|. G.6)

7.2. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
295
Сложим уравнения G.4) и G.5):
G.6)
Постоянная а_ь которая служит коэффициентом в разло-
разложении Лорана при члене (z — Zq), называется вычетом
функции / (г) в точке г = z0.
Рис. 7.2. Исключение изолированных особых
точек.
Для функции с несколькими изолированными особыми
точками контур следует деформировать, как показано на
рис. 7.2. Учитывая интегральную теорему Коши (см.
разд. 6.2), получаем
...=0. G.7)
•J *J %}
С Со Ci C2
Значение криволинейного интеграла, взятого по малой
окружности вокруг любой из изолированных особых точек,
дается выражением G.6)
G.8)
где предполагается, что функция f (z) разложена в ряд
Лорана в окрестности особой точки г — zt. Отрицательный

?96 г Л А в а 7. функций комплексного Переменного П
знак в последнем выражении возникает при интегрировании
по часовой стрелке (см. рис. 7.2). Комбинируя уравнения
G.7) и G.8), получаем важную теорему о вычетах
= 2л/-(сумма вычетов). G.9)
Изолированные полюсы первого порядка могут иногда
располагаться непосредственно на контуре интегрирования.
В этом случае контур можно деформировать так, чтобы
включить или исключить данную особенность, делая обход
Рис. 7.3. Обход особых точек, лежащих на контуре.
по полуокружности бесконечно малого радиуса (рис. 7.3).
Интегрирование по полуокружностям дает лш_4 при обходе
против часовой стрелки и —яш_1 при обходе по часовой
стрелке. Полученный дополнительный вклад со знаком плюс
или минус нужно приписать к левой части уравнения G.9).
При обходе по часовой стрелке вычет не учитывается и в пра-
правой части уравнения G.9) отсутствует соответствующий
член. Однако при обходе против часовой стрелки особая
точка попадает внутрь контура С, поэтому в правой части
уравнения G.9) появляется член 2nia^. Во всех случаях,
как при обходе по часовой стрелке, так и против, простой
полюс, расположенный на контуре, приводит к допол-
дополнительному члену в уравнении, причем вклад этого члена
равен половине того, который мог бы быть, если бы этот
полюс располагался внутри контура.
Другой способ решения заключается в том, что полюс
смещают с контура интегрирования, а затем переходят к пре-
пределу, при котором он возвращается в старое положение.
Этот способ использован при вычислении интеграла G.27).
Вычислим интеграл
оо
—с»

7.2. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ 297
В комплексной плоскости
=—оо
В данном примере и во всех примерах аналогичного харак-
характера необходимо ответить на два вопроса: 1) где находятся
полюсы подынтегральной функции и 2) как выбирать кон-
контур интегрирования.
Для определения полюсов запишем
J
Как видно, в точках г — i и z = — i подынтегральная
функция имеет простой полюс (первого порядка). Наличие
простого полюса в точке z — z0 определяет форму разло-
разложения Лорана
00
f (у\ z= 1 п -4-^ el (z z Y1 G 19я^
Вычет a_i легко определить, умножив f(z) на (г — г0):
flLi = B-Zo)/B)|«,. G.126)
Воспользовавшись этим соотношением, можно установить,
что вычет в точке z = i равен 1/2/, а вычет в точке г = —*'
равен —l/2t.
Замкнутый контур интегрирования выберем так, чтобы
дополнительный линейный интеграл давал либо извест-
известный вклад, либо, что еще лучше, оказался равным нулю.
Как известно, замкнутость контура есть необходимое усло-
условие для выполнения теоремы о вычетах. Для интеграла
G.11) контур можно замкнуть с помощью полуокружно-
полуокружности радиусом R в верхней или нижней полуплоскости
(рис. 7.4). Тогда
§dz .. Г dx .v Г i#eied0 ,-
-Т-Г-5-—ШП \ -j-r—r-f-lini \ 57а" • G-
J
Здесь выбрана верхняя полуокружность. Перейдем затем
к пределу при #->оо, тогда второй член справа, равный
криволинейному интегралу по полуокружности бесконеч-

298 Г Л А В А 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И
ного радиуса, обратится в нуль, поскольку подынтеграль-
подынтегральная функция стремится к нулю.
Применяя теорему о вычетах G.9), получаем
—оо
dx
G.14)
— 00
Здесь мы воспользовались тем, что вычет в точке z = it
которая оказалась внутри контура интегрирования, равен
Ч
-R
\
>-/
\
Рис. 7.4. Замыкание контура полуокружно-
полуокружностью бесконечным радиусом.
я-1 = l/2t. Читатель может самостоятельно убедиться,
что при замыкании контура в нижней полуплоскости инте-
интеграл по-прежнему равен я.
Рассмотрим более сложный интеграл
00
G.15)
Указанный интеграл равен половине мнимой * части инте-
интеграла
s
—со
G=16)
* Можно взять и интеграл J [(е*2 — е iz)l2iz] dz, но тогда
для двух разных экспонент нужно будет использовать два различ-
различных контура, как это сделано при вычислении интеграла G.27),

?.2. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
239
Подынтегральная функция имеет только один простой полюс
в точке 2 = 0, вычет в которой в соответствии с G.126)
равен a_i = 1. В качестве контура интегрирования выберем
контур, показанный на рис. 7.5. Такой контур позволяет
изолировать особую точку, кроме того, в контур входит
вещественная ось, по которой производится интегрирование
в искомом интеграле G.15), и, наконец, подынтегральная
+R
Рис. 7.5. Контур интегрирования при вычислении инте-
интеграла G.15).
функция становится исчезающе малой для г = iy при у
->оо. Отметим, что в этом примере замыкание контура
в нижней полуплоскости не приведет к нужному резуль-
результату. Интеграл по контуру на основании теоремы о выче-
вычетах равен нулю
-R Cx г Сг
В пределе при г—>0 и /?—>оо получим
со я Я
f ll^L= f t^e —lim ( eiflcos9e-flslnG
J X J Я-юо J
. G.18)
— 00
В последнем интеграле подынтегральная функция стремится
к нулю при R -»- оо в открытом промежутке 0 < 0 < п
(концы интервала, 0 и я исключаются). Поскольку подын-
подынтегральная функция только в бесконечно малой области
достигает своего максимального значения, равного еди-
единице, этот интеграл равен нулю. Выделим в выражении

300 Г Л A BvA 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ГШЙЁМЁННОГО И
G.18) мнимую часть, тогда
оо
(
—оо
оо
sin a:
= nt или
sin х
л
= -?-. G.19)
Отметим, что процедура с предельными переходами вновь
понимается в смысле вычисления главного значения.
В частности, можно убедиться, что
оо
i
_0О
COS X
X
G.20)
Контур, изображенный на рис. 7.5, не единственный.
В упр. 11 к этому разделу для вычисления интеграла G.15)
использован другой контур.
Вычислим интеграл
00
= j
dx,
G.21)
— 00
Ограничение параметра а необходимо (и достаточно) для
сходимости интеграла при х-+ ± оо. Этот интеграл можно
Рис. 7.6. Контур интегрирования при вычислении интеграла
G.21).
вычислить, заменяя вещественную переменную х комплекс-
комплексной г и затем интегрируя по контуру, показанному на
рис. 7.6. Предельный переход R -> оо вдоль вещественной
оси даст требуемый интеграл. Обратный путь вдоль линии
А, = 2л; выбран с таким расчетом, чтобы знаменатель подын-
подынтегральной функции остался неизменным, а в числителе
появился постоянный множитель ei2lto. В комплексной

1.2. ТПОРИЯ ВЫЧНТОВ 301
»- • ¦ ¦ I -—¦ ———'¦ ¦——¦ -—
плоскости .
Н R
§puz
-R -R
00
in<lX
jj^dx- G-22)
Кроме того, имеется еще два вертикальных отрезка пути
@^.у^.2п), интеграл по которым исчезает (экспонен-
(экспоненциально) при /?->оо.
Определим полюсы подынтегральной функции и вычеты
в них:
er = e*ei?' — — I G 23^
Это уравнение удовлетворяется при z = 04- in. Разложив
затем функцию в ряд Лорана по степеням (г — in), убеж-
убеждаемся, что особая точка должна быть простым полюсом
с вычетом—е*яа в ней. Тогда, применив теорему о вычетах,
получим
!епх
UAY — 9тт/ ( p«tn\ /7 94.^
— 00
Отсюда сразу следует, что
i
—оо
л
G.25)
Используя бета-функцию (см. разд. 10.4), можно показать,
что интеграл G.25) равен произведению (а—1)! (—а)!
Это приводит к интересному и полезному соотношению
из теории гамма-функции:
. G.26)
sin na v ;
Результат G.25) справедлив для вещественного а из области
0<а< 1, однако с помощью аналитического продолже-
продолжения соотношение G.26) можно распространить на любые
а, вещественные и комплексные, за исключением целых
вещественных значений.

302 ГЛАВА 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО llEt>EMEHHOl О 11
В квантовой теории рассеяния встречается функция
оо
1 И" J *2_О2 '
—оо
где а — вещественное и положительное. Из физических
условий следует, что функция / (а) должна иметь форму
ei0, так как это — расходящаяся рассеянная волна. Вос-
Воспользуемся соотношением
j ± z G.28)
= jstm = ± e-e
и перепишем интеграл G.27) в комплексной плоскости
в виде
/(о) = /, + /,, G.29)
где
ОО 00
'•--И •ra
—оо —оо
Интеграл /j аналогичен интегралу G.15). Для 1{ допол-
дополним контур интегрирования полуокружностью бесконеч-
бесконечного радиуса в верхней полуплоскости. Подынтегральная
функция в /2 содержит отрицательную экспоненту, поэтому
мы замкнем контур интегрирования полуокружностью
в нижней полуплоскости (рис. 7.7). Как и в случае интегра-
интеграла G.15), интегрирование по этим полуокружностям не
вносит никакого вклада в интеграл.
Подынтегральная функция имеет полюсы в точках
г = 4- а и z — —а, которые лежат непосредственно на кон-
контуре интегрирования. Вычеты в этих точках для U равны
соответственно ei0/2 и e~io/2, а для /2 равны e~ia/2 и ei0/2.
Совершая обход особых точек, как показано на рис. 7.7
(снизу или сверху — несущественно), и пользуясь теоремой
о вычетах, получаем
~ia / 1 \eia / 1 \ela
причем особенность в точке z — а при обходе попала внутрь
контура, а особенность в точке г — а оказалась исключен-

7.2. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
303
ной. Аналогичным образом, но учитывая, что обход контура
совершается по часовой стрелке, запишем для интеграла /2:
Сложим уравнения G.31) и G.32) и окончательно получим
/ (о) = /t + /а = -у- (е*0 + е~*а) = я ch иг = я cos a. G.33)
В математическом смысле мы получили точное выражение
для интеграла G.27), однако косинусоидальная зависимость
Рис. 7.7. Контур интегрирования при вычи-
вычислении интеграла G.27).
соответствует стоячей волне, тогда как нам необходимо
выделить в решении расходящуюся рассеянную волну.
Попытаемся получить решение требуемой формы, кото-
которое удовлетворяло бы физическим условиям задачи. Вместо
обхода особых точек сместим их с вещественной оси,
В частности, если заменить а -> а + iy, — <т ->¦ — а — iy,
где положительный параметр у мал по величине и в конеч-
конечном результате полагается равным нулю, т. е,
lim/(a + fy), G.34)

304 ГЛАВА 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО I!
то после указанной замены и применения теоремы о выче-
вычетах получим для первого интеграла
()^-, G.35)
аналогично
(^M-j—. G.36)
Сложим G.35) и G.36) и перейдем к пределу
. G.37)
Этот результат соответствует граничным условиям задачи
о рассеянии.
Интересно проследить, каким образом подстановка
g _> а — iy приводит к значению интеграла
/ (о) = яе-<*, G.38)
которое соответствует падающей волне. Очевидно, резуль-
результат G,33) представляет собой среднее арифметическое урав-
уравнений G.37) и G.38), которое является главным значением
интеграла. Отметим, что различные возможности G.33),
G.37) и G.38) возникли как следствие того, что заданный
интеграл — несобственный. Он не может быть однозначно
определен до тех пор, пока не введены дополнительные
ограничивающие условия (или не проведено усреднение).
Рассмотрим теперь числа Бернулли (см. разд. 5.8):
оо
х
п=0
Заменив х на z, получим ряд Тейлора, в котором
п п\ с z dz
G
Со
Здесь внутри контура интегрирования Со находится начало
координат, причем | г |< 2л.
При п = 0 в точке z — 0 имеется простой полюс с выче-
вычетом + 1. Отсюда из уравнения G.9)
^ = 1. G.41)

7.2. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
305
При п = 1 особенность в точке z — 0 является полю-
полюсом второго порядка. Разлагая показательную функцию
в ряд, можно показать, что вычет в этом случае равен —1/2.
Следовательно,
При п ^ 2 эта процедура становится значительно более
громоздкой, поэтому разумнее прибегнуть к другим мето-
методам вычисления интеграла G.40). Деформируем контур,
Рис. 7.8. Контур интегрирования при вы-
вычислении чисел Бернулли.
как показано на рис. 7.8. Новый контур С, так же как и кон-
контур Со, содержит внутри себя начало, но, кроме того, внут-
внутри контура С имеется бесконечное множество особых
точек, расположенных вдоль мнимой оси в точках г —
= ± р2зи, р — 1, 2, 3,... Интегралы вдоль оси ху взятые
в противоположных направлениях, взаимно уничтожаются,
а интеграл по окружности бесконечного радиуса (jR ->¦ оо)
оказывается равным нулю (напомним, что п > 2). Следо-
Следовательно,
оо
= ±р2ш). G.43)
Со
20-1257

306 Г Л А В А 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО II
В точке z = р2т функция имеет простой полюс с вычетом
(p2ni)-n. При нечетном п вычет в точке z — p2ni равен с про-
противоположным знаком вычету в точке z — —p2niy поэтому
Вп = 0, п — 3, 5, 7 и т. д. При четном п вычеты скла-
складываются, поэтому
00
1
00
Bл)п
р=1
где ?(п) — дзета-функция Римана (см. разд. 5.8). Послед-
Последнее выражение соответствует уравнению E.131) в разд. 5.8.
Упражнения
I. Определить тип особых точек и найти вычет для каждой
из следующих функций (а>0):
е+'2
sinA/z) ге+*г z~fe
2, Применяя теорему о вычетах, найти значения следующих
несобственных интегралов:
00 00 00 СО ОО
dx f x*dx f x*dx Г dx f sin2 x
) J X2 X'
00 00 00 СО ОО
f dx f x*dx f x*dx Г dx f
—00 —OO —OO . — CO —00
Ответ: я/2я3, я/2а, я/8а3, я/У2а3, я/2
со
3. Показать, что 1 —-—jdx = - , 0<я<1. Этот интеграл поз-
—00
воляет иначе определить соотношение G.26). Указание. Поскольку есть
точка ветвления, необходимо сделать разрез. Напомним, что функция
z~a = w в полярных координатах записывается в виде [re*<е+2яп)]-а =
= ре*ф, откуда следует, что—аО—2агся=<р. Нужно ограничиться
нулевым значением п (или любым другим целым п), тогда ф опреде-
определяется единственным образом. Контур интегрирования показан
на рис, 7.9, а.

7.2. ТЕОРИЯ ЙЫЧЕТОЙ
4. В квантовой теории атомных столкновений встречается инте-
00
isin t
—r—tWdt, в котором р—вещественное. Показать, что
—оо
/ = 0 для | р | > 1, и / = л для | р |< 1. Чему равен интеграл, когда
00
5. Показать, что I f (х) dx — 2ш 2 вычеты (г/>0), если /(z)
—со
аналитична при #>0, за исключением изолированных полюсов при
</>0 и lim z/(z) = O, причем 0<^argz<]ji. Этот вывод непосред-
|г|->оэ
ственно применим ко всем интеграл м из упр. 2.
6. Показать, что при а > О
00 ОО
icosx , _ Г *sin*
&l-*dX~ ' хЩ
yv I U •/ I
— 00 — CO
Как изменится значение этих интегралов, если сделать замену
cosx~c»skxt а sin x = sin foe?
7. Используя теорему о вычетах, показать, что
s
W2' «=0,1,2...
0
8. С помощью теоремы о вычетах убедиться, что
f сШ 2л Л . ..
J 1+ecosO T/i__e2 '
о к
9. Доказать, что при R —> оо
оо
Г sin*
—со
Контур интегрирования показан на рис. 7.9, 6.
10. Показать, что
00
Г *а ла
-flJ sinna'
о
Здесь приведен еще один способ вывода соотношения G.26). Указа-
Указание. Воспользоваться контуром, который изображен на рис. 7.9, в,
имея в виду, что точка г —0 является точкой ветвления и разрез
сделан вдоль оси х.
20*

-R+LR
У,
-г
г
R+iR
R
в
~R+iJt
-R
У,
R+ilt
Я
» X
Рис. 7.9. Контуры интегрирования при
вычислении интегралов:
а—из упр. 4; б — из упр. 11; в — из упр. 12:
г — из упр. 14.

?.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИЙ ВЫЧЕТОВ
М. Вычислить интеграл (V)e~z2dz по контуру, который ограничи-
ограничивает сектор 0<6<я/4 с радиусом R~>oo. Показать, что
00 00
f f
i COS л ?t%^zz 1 SI
J J
и о
ys
Здесь представлены известные интегралы Френеля. Указание. Пока-
Показать что
оо
J
2 '
7.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
Инверсия степенного ряда. В разр. 5.7 рассматривалась
задача, каким образом из известного ряда
z -f • ¦ ¦
получить новый ряд вида
.... ' G.46)
Прямой подстановкой было выражено несколько первых
коэффициентов bi через известные коэффициенты а^ Опре-
Определим эти коэффициенты более простым и изящным мето-
методом. Запишем равенство
г(ш) '{'Ш.й, G.47)
х ; 2ш J m{t) — w{z) ' v '
с
где / — комплексная переменная интегрирования. Для
проверки G.47) вычислим вычет в точке t = z. Воспользо-
Воспользовавшись результатом, полученным в разд. 7.1 (упр. 1),
положив в немт = 1 и разложив функцию w (t) в ряд Тей-
Тейлора в окрестности точки t = г, найдем, что вычет подынтег-
подынтегральной функции равен
а'-
—z)z{dw/dt) ПАЯ,)
w {z)+{t~-z){dw/dt)+[{t-z)z/2\\(d*w/dl*) + w(z)'
В пределе при t -> г, получим a_i = г, что и доказывает
справедливость формулы G.47).

310 ГЛАВА' 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 11
Контур интегрирования С в интеграле G.47) выбирается
таким, чтобы w ф 0 внутри и на самом контуре, за исключе-
исключением нулевого значения w (t) в начале координат. Тогда
на всем контуре z ограничено условием \w (г) | < | w (/) |.
При таком ограничении подынтегральную функцию можно
разложить в ряд
00
п=0
оо
it. G.49)
Из выражений G.46) и G.49) получим
- G-50)
Теперь вопрос сводится к вычислению последнего интегра-
интеграла. Учитывая G.45), его подынтегральную функцию можно
записать так:
В точке / = 0 эта функция имеет полюс /i-го порядка.
Поскольку точка t = 0 является единственным нулем функ-
функции w (t) в замкнутой области, ограниченной контуром С,
можно воспользоваться результатом упр. 1 к разд. 7.1,
откуда
! d"-i г № (dw/dt) -I -
Можно поступить иначе и проинтегрировать выражение
G.50) по частям:
, _ 1 С t (dwidt) . _
L (? ^ • G.53)
Здесь отсутствует проинтегрированная часть, поскольку,
однозначную функцию интегрировали по замкнутому кон-
контуру. Применяя далее теорему о вычетах, получим
- <7-54>

7.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
311
Этот метод инверсии ряда особенно удобен, когда функция
представима в замкнутой форме, так что уравнения G.52)
и G.54) можно продифференцировать непосредственно.
Определенные таким образом коэффициенты bt можно
выразить через известные коэффициенты at. Выпишем
несколько первых коэффициентов:
Ьг = - ojflf1, &з = ai3 (Ча\а\2 -
ba\ai*+ Ьа2п3а1*-- а^Г1)»
что согласуется с результатом, полученным в разд. 5.7.
Бесконечные произведения. На основании интегральной
формулы Коши и теоремы о вычетах
Ьг = а'1,
Г1) .1
J
00
<7-56>
Cm
k=l
Здесь / (г) — функция, аналитическая всюду, за исключе-
исключением изолированных (первого порядка) полюсов z = zk,
Рис. 7.10. Исключение изолированных особых точек.
к = 1, 2, 3, . . ., т. Индекс k выбран так, что ||
< I *2 К | ?з К • • . Контур Ст представляет собой
окружность с центром в начале, причем все полюсы z —
— Z\, г2, z3 попадают внутрь контура. Формула G.56) полу-
получается после интегрирования по деформированному
контуру, который показан на рис. 7.10. Вычет функции

312 ГЛАВА 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И
/ (z)/(z — z0) в точке г = zh равен
^ = llm {z"Zk)f{z) = -^^> , G.57)
где fr_t — вычет функции f (z) в точке г = г&. С помощью G.57)
формулу G.56) можно записать так:
/(го)= I &lELd2 + V»zlii=M. G.58)
Для исходного интеграла справедливо тождество
U*L. G.59)
zo) v '
2айУ г-гъ 2m'^, z '
Cm Cm Cm
Подставляя G.58) в первый интеграл в правой части G.59)
и полагая zo = O, получаем
m
Далее, если при | z \ -> ею / (z)/z2 спадает быстрее, чем г,
то второй интеграл в правой части уравнения G.59) будет
стремиться к нулю по мере бесконечного увеличения ра-
радиуса контура Ст(т-+ оо). Затем, подставляя G.60)
в уравнение G.59), а полученный результат — в уравнение
G.58), будем иметь
СО
^5
Следующий шаг состоит в замене / (z) функцией, более удоб-
удобной для вычислений. Пусть g (z) — функция, аналитическая
всюду в комплексной плоскости, с простыми нулями в изо-
изолированных точках z — zft. Построим функцию
= ]С, G.62)'
Эта функция будет удовлетворять условиям, при которых
справедливо уравнение G.56). Вычеты b.i функции g'lg
равны единице во всех полюсах zft, поэтому уравнение G.61)

7.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
переходит в.
00
g
G.63)
Нулевой индекс при z0 здесь опущен, поскольку в нем уже
нет необходимости. Проинтегрируем G.63) от 0 до е:
со
i]- G-64)
Переходя к экспоненциальной форме, запишем
Где g (z) выражена в виде бесконечного произведения.
Этот окончательный результат иногда называют беско-
бесконечным произведением Вейерштрасса. При использова-
использовании этой формулы следует помнить, что функция g (г)
должна быть аналитической во всей комплексной пло-
плоскости и иметь простые корни в точках z = z^. Кроме того,
отношение g' (z)lzg (г) должно стремиться к нулю при
|г|->оо.
Пример. Представим функцию
— G.66)
в виде бесконечного произведения. Предварительно заметим, что
g (z)=sin z/z не имеет особенностей в любой конечной области
комплексной плоскости, простые корни этой функции равны z — ±kn,
k — 1,2, 3,... Следовательно, г& = ± kn. Поскольку g @) = 1
Hg'(O) = O, уравнение G.65) приобретает вид
Это более общая запись уравнения E.155).

314 ГЛАВА 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО II
Устойчивость усилительного контура. На рис. 7.11
схематически показан усилитель с обратной связью. Вход-
Входной и выходной сигналы равны соответственно Es и Ео.
Некоторая часть выходного сигнала р?0 (р может быть
Рис. 7.11. Усилитель с обратной связью.
комплексной величиной) подается опять на вход, где скла-
складывается с входным сигналом Es. Сумма Eg представляет
собой действительный входной сигнал, подаваемый на уси-
усилитель,
?g = ?s + P?0. G.68)
Кроме того,
Ео = AEgt G.69)
где А — коэффициент усиления. Так же как и р, А может
быть комплексным. И Л, и р могут зависеть от круговой
частоты со входного и выходного сигналов. Подставим
в G.69) конкретное значение Eg из G.68):
Е0 = АЕа + А$Е0. G.70)
Неустойчивость работы контура (колебания и т. д.) харак-
характеризуется наличием некоторого сигнала на выходе без
подачи какого-либо сигнала на вход, т. е. ?« = 0, а Е0=?0.
Из уравнения G.70) условие неустойчивости запишется так:
1 — Л (со) Р (со) = 0. G.71)
Здесь в соответствии с условием задачи Re о > 0.
Если корень уравнения f (г) — 1 — А (г) р (г) = 0 рас-
расположен на положительной части вещественной оси, мы
имеем экспоненциально возрастающую неустойчивость,
Если это уравнение имеет комплексное решение, распо-
расположенное в правой полуплоскости, неустойчивость будет
осцилляторной.

7.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ 315
РазностЬ между полным числом нулей N и полюсов Р
функции, повторенных столько раз, какова кратность нуля
или полюса, дается интегралом*
где N и Р — нули и полюсы внутри контура С. Для дока-
доказательства G.72) рассмотрим нуль п-то порядка функции
/ (z) в точке г — zt. Тогда
G.73)
Продифференцируем это равенство
/' B) = п (г - г,)"-1 g (z) + (z - z,)n g* (г), G.74)
после чего подынтегральную функцию из G.72) запишем
в виде
Интегрируя по контуру С\ вокруг точки zu получим крат-
кратность нуля в этой точке:
Для полюса порядка m в точке z —г2
G.77)
Подынтегральная функция аналогична выражению G.75)
/'(*)_ ~« . V(г)
7
а интеграл по контуру С2 с точкой z2 внутри него равен
числу полюсов с отрицательным знаком:
Сг
Комбинируя G.76) и G.79), получаем интеграл G.72).
В дальнейшем будем предполагать, что функция f(z) =
= 1—Лр не имеет полюсов в полуплоскости O
* Здесь приведен специальный случай более общего интеграла,
называемого иногда интегралом Кошн.

316 Г Л А В А 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 11
Тогда, если проинтегрировать /' (z)/f (z) в правой части
комплексной полуплоскости, уравнение G.72) укажет
на наличие нулей. Если при этом
0, G.80)
то jV = O, а исследуемая система устойчива. В качестве кон-
контура С взята мнимая ось и полуокружность (бесконеч-
(бесконечного радиуса), замыкающая контур в правой полупло-
полуплоскости.
Для вычисления интеграла G.72), т. е. для проверки
G.80), положим
G.81)
тогда
Подставив это в G.72), получим
dr
G.83)
Поскольку контур С замкнут, первый интеграл справа
исчезает. Второй интеграл дает 2я или нуль в зависимости
от того, содержится внутри контура интегрирования начало
координат или нет. Следовательно, можно утверждать,
что устойчивость усилителя определяется тем, попадает
ли начало координат внутрь графика функции / (z) = 1 —
— А (г) р (г), когда переменная z пробегает значения от
— гоо до -Н"оо *. Если внутри кривой не содержится
начало, то
= 0, G.84)
и в правой полуплоскости нули отсутствуют. Следовательно,
усилитель устойчив. Полученное условие называется кри-
критерием устойчивости Найквиста.
* При w -9- со А -»- 0, поэтому полуокружность бесконечного
радиуса отображается на точку / (г) = 1.

7.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
317
Упражнения
1. В квантовой теории фотоионизации атома водорода встречается
контурный интеграл
() )
где п вещественное, нецелое число. Внутри контура интегрирова-
интегрирования (рис. 7.12) имеются две точки ветвления z = ± 1/2. Обосновать
Рис. 7.12. Контур интегрирования.
выбор удлиненного контура. Использовав этот контур, вычислить
интеграл /.
. Ответ. а.=
итвет. а_{
2. Дзета-функция Римана имеет интегральное представление
00
' ~~?—"пГ \ 1—^х ^х' Re s > 1.
о
Рассмотрев контурный интеграл
a-Z

318 ГЛАВА 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО II
показать, что
-- (-*)'Г (-2>s~le
~ 2m J 1-е"*
dz
выполняется для любых s из комплексной плоскости s, кроме
s=l,2,3, ... Контур С показан на рис. 7.13. Интеграл представ-
представляет аналитическое продолжение функции ? (s) на всю комплексную
плоскость.
3. Показать, что cosx= Д [l- Bn_*Jjt2] •
n=i
4. Произведение zV{z) имеет простые полюса в точках z= — 1,
—2, —3, ..., —п. Получить представление обратной гамма-функции
в виде бесконечного произведения.
¦2т
е
-2т
Рис. 7.13. Контур интегрирования для полу-
получения дзета-функции Римана.
5. Функция g{z)— аналитическая в ограниченной области комп-
комплексной плоскости и имеет простые нули в точках г=г^. Кроме того,
g'{z)(zg(x) обращается в нуль при \z\—>оо. Показать, что g(z) =
= g@) [] A—z2/z?), если g{z)~четная функция. В бесконечное
произведение входит только одна из двух точек zi и —
Показать, что
00
00
g"@H-2 2 •!-,
6. Привлекая результаты упр. 5, получить формулы из разд. 5.8:
00
00

7.4. МЕТОД ПЕРЕВАЛА 319
7.4. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
В математической физике часто необходимо знать пове-
поведение функции при больших значениях переменной, т. с.
ее асимптотическое поведение. Метод перевала представ-
представляет собой один из способов определения асимптотического
поведения функций, которые могут быть записаны в виде
§ (г) es><2> dz. G.86)
с
Для определенности условимся считать здесь параметр s
вещественным. Контур интегрирования выбирается тогда
так, чтобы Re f (z) -> оо на обоих его концах, в результате
чего подынтегральная функция обращается в нуль; иногда
контур берут замкнутым. Предположим также, что мно-
множитель g(z) в подынтегральном выражении мажорируется
в интересующей нас области экспонентой.
При больших значениях положительного параметра
s величина подынтегрального выражения увеличива-
увеличивается, когда Ref(z) возрастает, и уменьшается, когда
реальная часть мала или отрицательна. В частности,
поскольку величина s может быть как угодно большой
(что приводит к асимптотической зависимости), основной
вклад в интеграл вносит область, близкая к той, где
Re / (z) достигает положительного максимального значения.
Вдали от этой области подынтегральная функция сравни-
сравнительно мала. В этом легко убедиться, если представить
Иг) = и (д, у) + to (x, у). G.87)
Тогда интеграл запишется иначе:
/ (s) = I g (z) e8u <*. y>ei81) Iх. »> dz. G.88)
с
Кроме того, ограничимся случаем, когда мнимая часть
показателя экспоненты to (x, у) постоянна в области, в кото-
которой реальная часть принимает максимальное значение, т. е.
v (*> У) ~ v (хо> Уо) ~ Щ> в этих предположениях интеграл
аппроксимируется выражением
/ (s)« eis*° \ g (z) e™ <*• у) dz. G.89)
с

320 Г Л А 6 Л 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЮ ПЕРЕМЕННОГО I!
Вдали от максимума реальной части мнимая часть может
изменяться как угодно, поскольку это почти не влияет
на значение интеграла (изменение фазового множителя
в данном случае не играет никакой роли).
Реальная часть произведения s/ (г) достигает максималь-
максимального значения при заданном s, когда максимально значение
Ref (z). Это означает, что
l-S-o. <7-90>
и, следовательно, с учетом условий Коши — Римана можно
записать
<Ш = 0. G.91)
Обратимся теперь к исследованию этих нулей производ-
производной. Заметим, что максимальное значение и (х, у) дости-
достигается только на заданном контуре. В ограниченной области
ни реальная, ни мнимая части аналитической функции
не имеют абсолютного максимума. В этом можно убедиться,
если вспомнить, что и и v удовлетворяют уравнению Лапласа
4- —-0
Поэтому если cPuldx2 > 0, то d2u/dy2 < 0, следовательно,
ни и, ни v не может достигать абсолютного максимума или
минимума. По условию f (z) — аналитическая функция, сле-
следовательно, особые точки исключаются. Тогда условие G.91)
означает, что мы имеем седловую точку, в которой и (х, у)
может принимать максимальное значение на одном контуре
и минимальное на другом.
При выборе контура интегрирования необходимо выпол-
выполнить условия: 1) на линии интегрирования и (х, у) имеет
максимум в седловой точке; 2) и (х% у) проходит через
седловую точку так, чтобы Im v (x, у) оставалась постоян-
постоянной *. Второе условие приводит к тому, что путь интег-
интегрирования совпадает с линией скорейшего спуска **. Из
* Линия скорейшего подъема также характеризуется
постоянным о, поэтому седловая точка нуждается в дополнительном
исследовании, чтобы отличить линию скорейшего спуска от линии
скорейшего подъема. Этот вопрос обсуждается дальше в двух при-
примерах.
** Метод перевала называют также методом скорейшего спуска
или методом седловых точек.—- Прим. перев.

7.4. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
321
разд. 6.1 (см. упр. 3) и 6.6 известно, что кривые, соот-
соответствующие и = const и v — const, образуют ортогональ-
ортогональную систему. Это означает, что кривые v = Ct всюду каса-
тельиы к градиенту и. Следовательно, кривая v = const
дает линию скорейшего спуска в седловой точке (рис. 7.14).
и(х,у)
Линия скорейшего
спуска, vi= const
Контурные линии, и «const
Рис. 7.14. Седловая точка.
В седловой точке / (г) может быть разложена в ряд
Тейлора
f (г) = / (гь) + 4 (г - ^оJ Г Ы • . • G.93)
В силу условия G.91) здесь отсутствует первая производ-
производная. Первый поправочный член (z ~ z0J/" (zo)/2 представ-
представляет собой вещественное отрицательное число. Последнее
следует из того, что в соответствии с выбором контура
мнимая часть сохраняет на нем постоянное значение,
21-1257

322 ГЛАВА 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И
а поскольку мы движемся по контуру вниз от седловой
точки, то поправка отрицательна. Тогда, предполагая, что
/* (г0) ф О, получаем соотношение
f{z)-f (г„) «-f <г - г»)г/" <г»> = —h '*• <7"94>
которое можно рассматривать как определение новой функ-
функции /. Если далее записать г — z0 в полярной форме
G.95)
(где аргумент а остается постоянным), получаем
^ = —sfBo)ft*e8ia.. G.96)
Поскольку t вещественное*, можно записать
* = ±6|s/"Bo)l1/2. G.97)
Подставим G.97) в уравнение G.86):
со
(s) «g (z0)е8^<го) j e-«2/2^d/. G.98)
Учитывая далее, что
—оо
приведем уравнение G.98) к виду
У М ~ 8 (го)е е f р-B/2Л/ G
\/ I гя / \ I 1 // I V
Обратим внимание, что интегрирование здесь ведется от —оо
до + оо, Это вполне допустимо, так как подынтегральная
функция по существу равна нулю при достаточно больших /.
Полученный интеграл есть интеграл ошибок Гаусса. Окон-
Окончательно,
Аргумент а в уравнении G.95) введен как аргумент контура,
проходящего через седловую точку. Он выбран таким, чтобы
* Аргумент контура а в седловой точке выбирается из условия
Im [/ B) — / B0)] = 0, т. е. [г — z0J /" Bq)/2 вещественно.

7.4. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
323
а было постоянно и Re / (z) — максимальна. Иногда контур
последовательно проходит через две или более седловые
точки. В этом случае необходимо учитывать дополнительный
вклад от каждой седловой точки в общий интеграл.
Напомним о предположении, что существенный вклад
в интеграл вносит только область, расположенная в непо-
непосредственной близости от седловой точки г — г0, т. е.
Re [/ (z)\ = и (х, у) <^ и (хоуо) вдоль всего контура вдали
Рис. 7.15. Контуры интегрирования для функции
Ханкеля.
от точки z0 = xQ + Wo- Это условие нужно проверять для
каждой конкретной задачи.
В разд. 11.3 показывается, что функции Ханкеля, кото-
которые удовлетворяют уравнению Бесселя, можно представить
интегралами
йУ'м-ij
iL.
по С„ G.102а)
о
Я<,2) (s) = Д- J eW*x-i/«> _?_ по с2) G.1026)
— 00
контуры C^ и С2 представлены кривыми в верхней и нижней
полуплоскостях (рис. 7.15). Применим метод перевала
к первой из функций Ханкеля Н™ (s), которую удобно пред-
представить в форме интеграла G.86), если
G.103)
21*

324 ГЛАВА 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И
Возьмем первую производную от f(z):
4. G-104)
В соответствии с уравнением G.91) из условия /' (г) = 0
находим
z= I, -L G.105)
Следовательно, седловые точки совпадают с точками г = -И
иг = —/. Интеграл G.102 а) выбран так, что контур инте-
интегрирования выходит из начала координат по касательной
в направлении положительной полуоси х, затем повора-
поворачивает в обратном направлении и, пройдя через седловую
точку, асимптотически приближается к отрицательной
вещественной полуоси. Можно выбрать линию интегриро-
интегрирования, проходящую через седловую точку г — -Н, так,
чтобы Re (z — 1/z) была максимальной, а аргумент в окрест-
окрестности седловой точки оставался постоянным. Вблизи седло-
вой точки z0 = -К можно записать
z —i = 6c'°, G.10G)
где б — малое число. Тогда
= б cos а -Ь i (б sin а -|-1) — s 8 ... . г-п
1 v ! ; dcosa-f / Fsina-|-l)
6i •/s • , i\ S cos ex—i F sin cs4-1)
а»в + »(в8ШО+1) ,+28;,+6;, .
откуда
ReB-l)=dcosa-6cosa(l4r26sina4r62)-1- G.108)
Учитывая, что б мало, разложим с помощью биномиальной
теоремы' это выражение и отбросим в нем члены более
высокого порядка, чем б3:
Re (e-~)-263cosasin>-b0F3)^62sin2a. G.109)
Мы замечаем, что Refz ] принимает экстремальное зна-
значение в экстремумах sin 2a, т. е. когда 2а равно я/2 или
Зл/2. Следовательно, аргумент а нужно брать равным л/4
ji \ Одна из, этих возможнштей даст путь самого

7.4. МЕТОД ПЕРЕВАЛА 325
крутого подъема, который нужно отбросить. Чтобы разли-
различить эти возможные варианты, подставим указанные значе-
значения а в G.109). Для а=я/4
(|)=62, G.110)
тогда как для а — Зл/А
(|)-62. G-111)
Очевидно, первый вариант приводит к минимальному значе-
значению реальной части в седловой точке F = 0), а второй —
к максимальному. Следовательно, значение аргумента
а = Зл/4 определяет контур, проходящий через седловую
точку и являющийся линией скорейшего спуска.
Непосредственная подстановка в формулу G.101) дает
явное выражение для искомой функции
J
JlS
G.112)
Комбинируя члены, окончательно получаем главную часть
асимптотического разложения функции Ханкеля Я"} (s):
. rG.il3)
В случае необходимости сюда могут быть добавлены допол-
дополнительные члены, которые определяются с помощью "метода
Стокса, рассмотренного в разд. 11.5.
Во многих физических задачах требуется приближенное
значение факториала при очень больших аргументах. Фак-
Факториал можно представить (см. разд. 10.1) интегралом
ОО СО
G.114)
В комплексной плоскости интеграл берется по контуру С.
Для представления этого интеграла в форме, требуемой
уравнением G.86), сделаем в нем замену р = zs. Как и рань-
раньше, будем считать s вещественным и положительным, откуда
сразу же следует, что подынтегральное выражение обра-
щается в нуль на нижнем и верхнем пределах интегриро-

326 Г Л А В А 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЮ ПЕРЕМЕННОЮ II
ваиия при 0 и оо. Продифференцируем но г\
^4 11. G.115)
г
Из этого соотношения следует, что г — 1 — седловая точка.
Положим
2-l = 6eia, G.116)
где б необходимо взять малым, как это требуется для опре-
определения контура вблизи седловой точки. Подставим это
в / (z) и разложим в ряд:
f (z) --= In A -f 5eia) - A + 6eia) =
Apia *¦ A2p2ia_L 1 Apia 1 * A2p2ia /7 117\
¦^ 9 2 \/
Из последнего выражения видно, что подынтегральная
функция достигает максимума, равного е~3, в седловой
точке, если только в качестве контура С выбрать веще-
вещественную ось.
Непосредственная подстановка G.117) в формулу G.101)
са = 0 дает
G.П8)
Таким образом, первый член в асимптотическом разложении
факториала имеет вид
si ttV4nk яVs G11^
Дополнительные члены асимптотического ряда рассмотрены
в разд. 10.3. Формула G.119) называется формулой Стир-
линга. Здесь мы предполагали, что s вещественное. Однако
это условие не является необходимым. Читатель может
убедиться (см. упр. 4), что формула G.119) верна и при
замене s комплексной величиной w, при условии только,
что Re до должна быть большой и положительной.
Упражнения
I. С помощью метода перевала оценить вторую функцию Ханкеля
G.1026).
Ответ: Я«> (s) ««|/-^ е V 4 2}

7А. МЕТОД ПЕРЕВАЛА 327
2. Определить асимптотический вид функции Весселя мнимого
аргумента первого рода
— (
2ш J
(т) Ю
^v f-t
Контур интегрирования начинается и заканчивается в точке * = — оо,
обходит в положительном направлении начало координат и проходит
через две седловые точки.
1 Г
Ответ: /v (x) ^ txly2nx.
3. Определить асимптотический вид функции Бесселя мнимого
аргумента второго рода
00
1 Г "
/Г
Ответ: Kv {х) ^ 1 -тр е"х*
4. Доказать, что формула Стирлинга G.119) справедлива и для
комплексных 5 (при условии, что Re s велика и положительна).
Указание. Для этого необходимо рассмотреть аргумент s, а затем
потребовать, чтобы Im sf (z) оставалась постоянной вблизи седло-
вой точки.
5. Показать, что Re [f {z)] < Re [f (zo)J — 0 для точки z, лежащей
на контуре Cj (см. рис. 7.19), но далекой от точки z~zq~i.
Показать, что /(z)>0 для г = гег0, 0<г<1, я<8<Зя/2.

ГЛАВА 8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
8.1. ТИПЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Дифференциальные уравнения широко используются
в физике, причем в большинстве случаев — это дифферен-
дифференциальные уравнения в частных производных. Перечислим
те из них, которые встречаются наиболее часто.
1. Уравнение Лапласа V2i|) = 0. Это общее и очень важ-
важное уравнение возникает при изучении электромагнитных
явлений, гидродинамики (безвихревое течение идеальной
жидкости), термодинамики и гравитации.
2. Уравнение Пуассона V2ty = —р/е0.
3. Волновое уравнение (уравнение Гельмгольца) и стацио-
стационарное уравнение диффузии V2ij? ± кЦ> = 0.
4. Нестационарное уравнение диффузии
и соответствующие четырехмерные формы этого уравнения,
содержащие даламбертиан, четырехмерный аналог лапла-
лапласиана в пространстве Минковского:
•\(i ЭО ЗО ^0 iW
u_ t% A~ Ci^* См Cf Cl
I—' * ' Лу2 Лу2 ' Л»/2 ' Л-»й Т //,
5. Нестационарное волновое уравнение П
6. Уравнение скалярного потенциала Q2ij) -- — р/е0.
7. Уравнение Клейна— Гордона П'Ч ~ Ц2|Ф и соответ-
соответствующие векторные уравнения, в которых скалярная
функция i|> заменена векторной.
8. Волновое уравнение Шредингера
и модификация этого уравнения для стационарного случая

8.1. ТИПЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 329
9. Уравнениядля упругих волн, вязких оюидкостей и теле-
телеграфное уравнение.
10. Уравнения Максвелла и уравнение Дирака для волно-
волновых функций релятивистского электрона. Их можно запи-
записать в форме
где Н{-^, -щ, -fa, -Щ-, х, у, z) — дифференциальный
оператор; F — известная функция; ^ — искомая скалярная
векторная функция.
Перечисленные уравнения характеризуются двумя
особенно важными свойствами.
1. Они линейны * относительно неизвестной функции г|э.
Наиболее легкие физические и математические задачи имеют
аналитическое решение. Для решения нелинейных диффе-
дифференциальных уравнений обычно привлекают численные
методы, на которых мы не будем останавливаться.
2. Они относятся к типу дифференциальных уравнений
второго порядка. Уравнения Максвелла и Дирака — урав-
уравнения первого порядка, но они содержат по две неизве-
неизвестные функции. Замена одной функции другой приво-
приводит к дифференциальному уравнению второго порядка
(см. разд. 1.9).
В теоретической физике встречаются уравнения более
высокого порядка. В теории медленного движения вязкой
жидкости и теории твердого тела возникает уравнение
Однако уравнения, подобные этому, встречаются сравни-
сравнительно редко.
Перечислим теперь некоторые общие методы решения
дифференциальных уравнений в частных производных.
1. Разделение переменных. Этим методом мы пользова-
пользовались уже в разд. 2.5. Его дальнейшее развитие дано
в разд. 8.2. Метод разделения применим не во всех случаях,
однако там, где им можно воспользоваться, он почти всегда
является простейшим методом решения.
2. Метод* функции Грина. Основные характерные осо-
особенности его приведены в разд. 8.6. Более детальное обсуж-
обсуждение этого метода дано в гл. 16.
* Определение линейности см. в разд. 2.5.

330 ГЛ. 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
3. Другие аналитические методы решения, использую-
использующие, например, интегральные преобразования. Некоторые
из методов этого типа рассмотрены в гл. 15.
4. Численные методы.
8.2. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ.
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Все уравнения математической физики, перечисленные
в разд. 8.1, относятся к типу дифференциальных уравнений
в частных производных. Первый метод решения таких урав-
уравнений, на котором мы остановимся, заключается в расщеп-
расщеплении дифференциального уравнения в частных производ-
производных от п переменных на п обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений. Каждая такая процедура разделения вносит
произвольную константу разделения. Если первоначально
имелось п переменных, то число таких постоянных будет
равно п — 1, все они определяются из физических условий
решаемой задачи.
Метод разделения переменных проиллюстрирован
в разд. 2.5 на примере волнового уравнения, записанного
в декартовых и сферических координатах. В сферической
системе координат волновое уравнение
приводит к уравнению с зависимостью от азимутального
угла
= 0, (8.2)
в котором т2 — постоянная разделения. Чтобы выяснить
ограничения, которые наложены на эту постоянную, будем
исходить из того, что ф — азимутальный угол в сфериче-
сферической системе координат. Если рассматривается классиче-
классическая задача, мы потребуем, чтобы решение, зависящее
от азимутального угла, было однозначным, т. е.
Ф (ф + 2я) = Ф (ф). (8.3)
Это эквивалентно требованию периодичности решения
с периодом 2я (или кратным 2я) *. Следовательно, /и —це-
* Это применимо и к большинству задач квантовой механики,
однако в этом случае доказательство гораздо сложнее.

8.2. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ 331
лое. Конкретный вид целых величин зависит от особенно-
особенностей задачи. Эта проблема обсуждается в гл. 9.
Все координатные системы (см. гл. 2) допускают разде-
разделение волнового уравнения и уравнения Гельмгольца
на обыкновенные дифференциальные уравнения. * Рас-
Рассматривая поочередно каждую из этих четырнадцати систем,
можно заметить, что во всех них разделенные обыкновен-
обыкновенные дифференциальные уравнения в значительной мере
дублированы. В любой из этих систем зависимость от коор-
координаты, соответствующей оси сдвига, или от азимутального
угла в разделенных уравнениях всегда для азимутального
угла выражается в форме
и для переменной z
d^ (8.4)
соответствующей оси сдвига в одной из цилиндрических
систем координат. Решения последнего уравнения имеют
форму sin az и cos az для отрицательной правой части
и sh az и ch az для положительной.
Часто приходится иметь дело с уравнением Лежандра
и присоединенным уравнением Лежандра
Ж9-1E1п91)+/(/+1H-^90 = 0'
16)
Эти уравнения получаются после записи V2 в сферических
координатах (см. разд. 2.5). Координаты сплющенного
* Система биполярных координат и системы тороидальных
и бисферических координат являются исключением. Они рассматри-
рассматривались только для того, чтобы показать, как специальные системы
координат можно использовать при решении некоторых задач.
** Здесь мы имеем две эквивалентные алгебраические формы,
в которых х — cos в.

332 ГЛ. 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
и вытянутого сфероидов также приводят к уравнениям
Лежандра.
Третье очень распространенное уравнение называется
уравнением Бесселя
* +(*2«2) </=<>• (8.7)
В разд. 2.5 и 2.6 мы убедились, что использование сфериче-
сферической и круговой цилиндрической систем координат приводит
к различным формам уравнения Бесселя. Разделяя пере-
переменные в уравнении Лапласа в параболических координа-
координатах, мы также придем к уравнению Бесселя. Необходимо
заметить, что существует множество разновидностей этого
уравнения *.
Другой тип обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений, к которому относится уравнение Лагерра и присоеди-
присоединенное уравнение Лагерра, связан с исключительно важной
в квантовой механике проблемой атома водорода:
0, (8.8)
-Q. (8.9)
В квантовой теории линейного осциллятора получается
уравнение Эрмита
|? |(8.10)
Наконец, довольно часто приходится сталкиваться с диф-
дифференциальным уравнением Чебышева
Перечисленные обыкновенные дифференциальные урав-
уравнения и два более общих типа, включающих эти уравнения,
исследованы и систематизированы в следующем разделе.
Общие свойства, вытекающие из формы дифференциальных
уравнений, обсуждаются в гл. 10.
* Янке Е., Эмде Ф. Таблицы функций с формулами и
кривыми. Изд. 3. М., Физматгиз, 1959.

8.з. особые точки ;Ш
Упражнения
1. Убедиться, что после разделения переменных в уравнении
Лапласа в системе координат вытянутого сфероида (см. разд. 2.10)
зависимость от ими описывается уравнением Лежандра; после раз-
разделения переменных в системе координат сплющенного сфероида
(разд. 2.11) зависимость от переменной v описывается уравнением
Лежандра, а от переменной и—уравнением Лежандра мнимого аргу-
аргумента (замечание: chix = ico$x, shix = is\nx)\ после разделения
переменных в параболических координатах (см. разд. 2.12) зависи-
зависимость от переменной | описывается уравнением Бесселя, а от пере-
переменной т]—уравнением Бесселя мнимого аргумента. (Уравнение по пе-
переменной х\ идентично уравнению из разд. 11.4 для функций Бесселя
мнимого аргумента.)
2. Одномерное волновое уравнение Шредингера для частицы
в потенциальном поле V = kx%/2 имеет вид
Делая подстановку 1 — ах, показать, что
mk \ 1/4
1
/ mk \ 1/4 2? / т \Ш
я™|-хг?-1 ; А—*\~7г) • Uoacthbhr искомую функцию
в виде ^{1) = уA)^2/2, показать, что y(Q удовлетворяет диффе-
дифференциальному уравнению Эрмита.
3. Показать, что уравнение Лапласа V2i|)~0 в полярных коор-
координатах имеет решение
00
2
где ап и Ъп— некоторые постоянные.
4. Показать, что одномерное диффузионное уравнение
(xt t) _ 1 d\j) (х, t)
dx* ~ «2 ' dt
имеет решение
00
*(дс, 0= ^Cncx&inx + Vn)*
n=0
где сп и фп — некоторые постоянные.
8.3. ОСОБЫЕ ТОЧКИ
Введем понятие особой точки, или особенности (приме-
(применительно к дифференциальному уравнению). Значение, кото-
которое придается особым точкам, связано с классификацией

334 ГЛ. 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
дифференциальных уравнений и с исследованием возможно-
ности получить решение уравнения в виде ряда (разд. 8.4).
Во всех обыкновенных дифференциальных уравнениях,
перечисленных в разд. 8.2, можно выделить член (Py/dx2.
Обозначая dPyldx2 = у", можно записать
!Г = Цх,У.Ю. . (8-12)
Теперь, если в уравнении (8.12) у и у' могут принимать
любые конечные значения при х = л> а вторая производ-
производная у" остается конечной, точка х = х0 называется обыкно-
обыкновенной. Если же у" становится бесконечной при любых
конечных у и у', точка л" = л называется особой точкой.
Определить особую точку можно иначе. Запишем диф-
дифференциальное уравнение в форме
y' + P(x)y' + Q{x)y = Q. (8.13)
Теперь, если функции Р (х) и Q (х) остаются конечными
в точке х = xOi to она называется обыкновенной. Однако
если либо Р (x)t либо Q (х) (или обе вместе) расходятся,
когда x-+xOt то точка х0 называется особой.
Запись дифференциального уравнения в форме (8.13)
позволяет различать два типа особых точек.
1. Если Р (х) или Q (х) расходятся при х-*-х0, но про-
произведения (х — х0) Р {х) и (х — xoJQ (x) остаются при этом
конечными, то точка х — х0 называется регулярной особой
точкой или несущественной особенностью.
2. Если Р (х) расходится быстрее, чем \/(х — х0), так
что произведение (х — х0) Р (х) ->¦ оо при x-*-xQt либо
Q (х) расходится быстрее, чем 1/ (х — х0J, так что
(х — xoJQ (х) -> оо при х -> Л"о, то точка х ~ х0 называется
нерегулярной особой точкой или существенной особенностью.
Эти определения справедливы для любых конечных х0.
Анализ точки х ->¦ оо подобен исследованию функции комп-
комплексного переменного (см. разд. 6.5). Нужно положить
х — 1/z, подставить в дифференциальное уравнение, а затем
сделать предельный переход z -> 0. Делая замену незави-
независимой переменной и производных, получаем
*dy{x)_ dyjz-i) dz _ 1 dy (z~i) __ „2 dy
d ~ d 'd~~"W dT~~~Z
dx ~ dz dx~W dT~Z dz '
d2y (x) _ d fdy {x)l dz _ 2 г ? dy (z-i) 2 d»y (r-i)-! _
dx* - dz I dx J dx ~\ Z> L dz Z dz* У
• (8.15)

8.3. ОСОБЫЕ ТОЧКИ 335
С помощью этих результатов преобразуем уравнение (8.13)
+ 12г3 - *2Р (г-1)] § + Q (г) у- ¦= 0. (8.16)
Поведение в точке х = оо (г = 0) зависит теперь
от новых коэффициентов ^—- и -- 4 при z -> 0.
Если обе эти величины остаются конечными, то точка х = оо
называется обыкновенной. Если они расходятся, но не быст-
быстрее чем \}г и 1/г2 соответственно, то точка х — оо является
регулярной особой точкой, в противном случае она будет
нерегулярной особой точкой (существенная особенность).
Пример. Запишем уравнение Бесселя
= 0. (8.17)
Сравнивая его с уравнением (8.13), видим, что Р(х)~ 1 /х, Q(x)~
= 1 — /t2/*2, т. е. точка я = 0—регулярная особая точка. Проверкой
можно убедиться, что других особенностей в ограниченной области
нет. При х->оо(г->0) нужно исследовать поведение коэффициентов
/о 1гч 223 — 22-2 1 — /l2?2
уравнения (8.16) т и j—. Последнее выражение рас-
расходится, как 1/24, поэтому в точке * = оо имеется существенная
особенность.
Особые точки некоторых наиболее важных обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений приведены в табл. 8.1.
Как видно, первые три уравнения —- г и пер геометрическое,
Лежандра и Чебышева — имеют три регулярные особые
точки. Гипергеометрическое уравнение с особенностями
в точках 0,1 и оо может рассматриваться как основное, оно
называется каноническим уравнением. Решения двух дру-
других в таком случае выражаются через гипергеометрические
функции, которые являются решением первого уравнения
(см. гл. 13).
Точно так же вырожденное гипергеометрическое уравне-
уравнение можно считать канонической формой линейного диффе-
дифференциального уравнения второго порядка с одной регуляр-
регулярной и одной нерегулярной особой точками. Вообще говоря,
вырожденное гипер геометрическое уравнение можно рас-

336 ГЛ. 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ. УРЛПНПППЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Уравнение
Гииергеометрическое
у /v l^fi -1 Fif 1 ft I, M v, . л| *
А 1Л к i 14 [ П 1 |Ct| IsJ Л LJ 1
Лежандра *
A —л2) y"—2xi/ -\-n {n-h 1) у =
Чебышева
(l — x*)y' — xy'+n*y = Q
Вырожденное гипергеометрическое
Бесселя
х2у" -|- ху' + {х2 — /i2) у — 0
Ллгсрра *
VII I | I VI II _J 4Л11 —— С1
Л* it 1 1 д, Л J И I *ь И *- — -* \/
Гармонического осциллятора
Эрмита
у" — 2ху' -\- 2а// = 0
* Присоединенные уравнения имеют
Т а б л и
Регуляр-
Регулярная
особен-
особенность
0,1, оо
-1,1, оо
-1,1, оо
0
0
0
—
те же самые особые точки.
ца 8.1
Нерегу-
Нерегулярная
особен-
особенность
—
ОО
оо
00
оо
00
сматривать как частный случай гипергеометрического:
х{х—\)уГ + [{\+а + Ь)х-с]у' + аЬу = О. (8.18)
Полагая bx — z, получаем
Поделим это уравнение на Ь, тогда
Если же перейти к пределу 6—>оо, то
26 ^_
?т-»-0, (8.19)
что с точностью до множителя —1 совпадает с вырожден-
вырожденным гипергеометрическим уравнением. Проведенное преоб-
преобразование приводит к слиянию (вырождению) двух регу-
регулярных особенностей в точках х — 0 и 1 и возникновению
одной особенности в точке г — 0 и превращению регуляр-
регулярной особенности па бесконечности в нерегулярную.

8.4. МЕТОД ФРОБЕННУСА 337
Упражнения
1. Показать, что уравнение Лежандра имеет регулярные особен-
особенности и точках .V— — 1, 1 и оо.
2. Показать, что аналогично урапненшо Воссели уравнение Лагсрра
"имеет регулярную особенность в точке а--0 и нерегулярную в точ-
точке х~ оо.
3. Показать, что подстановка а* -*¦ A — х)/2, а~ — /, Ь — / -j-1,
с—1 сводит гипергеометрическое уравнение к уравнению Лежандра.
4. Оператор момента количества движения в квантовой механике
задается в виде L=— i(rxV). Показать, что операция L-Li|) -
= /(/-f 1) ij) приводит к присоединенному уравнению Лежандра.
8.4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ В ВИДЕ РЯДА.
МЕТОД ФРОБЕНИУСА
Линейное дифференциальное уравнение второго порядка
можно записать в форме
^ (8.20)
где F (х) описывает источник (например, электростатиче-
электростатический заряд) или вынуждающую силу (в случае осциллятора,
который совершает колебания под действием некоторой
силы). При F (х) Ф 0 уравнение (8.20) называют неодно-
неоднородным. Решение неоднородных уравнений рассмотрено
в разд. 8.6, 15.10 и в гл. 16. Здесь же будем предпола-
предполагать, что дифференциальное уравнение однородное, т. е.
F (х) = 0.
Попытаемся получить решение линейного однородного
дифференциального уравнения второго порядка в виде
степенного ряда с неопределенными коэффициентами. Кроме
того, в качестве параметра зададим показатель степени
низшего нулевого члена этого ряда. Применим указанный
метод к двум важным дифференциальным уравнениям.
Для линейного осцилляториого уравнения
(8.21)
решения известны: они имеют вид у — sin m, cos со*.
Положим,
со
у (х) = xk (а0 + а& + а2*2 -\- а3х3 + • • •) ~ 2 й%хк+к, а0 Ф О,
(8.22)

338 ГЛ. 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
где показатель степени k и все коэффициенты а% пока неиз
вестны. Дифференцируя дважды, получаем
00
2
Подставим полученные производные в уравнение (8.21):
оэ оо
S ax(HA,)(fc + A.-l)*fc+x-2 + e> S a^ft+x = 0. (8.23)
На основании единственности степенного ряда (см. гл. 5)
коэффициенты при каждой степени х в левой части уравне-
уравнения (8.23) должны каждый в отдельности равняться нулю.
Член с низшей степенью х в уравнении (8.23) возникает
в первой сумме; если положить X = О, этот член содержит
xk~2. Итак, aok (k — 1) = 0. Постоянная а0 выбрана в каче-
качестве коэффициента при первом неисчезающем члене с низ-
низшей степенью х в уравнении (8.22); таким образом, по
определению, а0 ф 0. Поэтому
k (k - 1) = 0. (8.24)
Это уравнение, полученное с помощью коэффициента при
низшей степени х, мы назовем определяющим. Определяю-
Определяющее уравнение и его корни имеют решающее значение для
всего дальнейшего анализа. Очевидно, в данном примере
нужно потребовать, чтобы k = 0 или к — 1.
Прежде чем рассмотреть возможные значения k, возвра-
возвратимся к уравнению (8.23) и потребуем, чтобы оставшиеся
коэффициенты, скажем коэффициенты прих*-И (/!>0), обра-
обращались в нуль. Положим, к — / + 2 в первой сумме
и X = j -f I во второй. (Суммирование в них производится
независимо, а X есть немой индекс.) В результате получим
k + / + 2) (k + / + 1) + oJa,. = 0 или
Это соотношение отражает рекуррентную связь между двумя
коэффициентами. По заданному а.; можно определить а,-+3,

8.4. МЕТОД ФЮБЕЙИУСА 339
а затем а,+ъ fy+e и т. д. до требуемого коэффициента. Чита-
Читатель, конечно, обратил внимание, что для этого примера,
если только начать с коэффициента аОу уравнение (8.25)
позволяет определить коэффициенты только с четными индек-
индексами аъ ак и т. д., тогда как коэффициенты пи из, аь остают-
остаются неопределенными. Поскольку можно по своему усмотре-
усмотрению распорядиться произвольным коэффициентом аь поло-
положим его равным нулю, откуда с помощью (8.25) получим
Яз = «5 = я7 = • . . = 0, т. е. все коэффициенты при нечет-
нечетных степенях исчезают. Однако это не должно вызывать
беспокойства, поскольку мы должны получить решение,
а не возможно большее число коэффициентов.
Возвращаясь к исходному уравнению (8.24), мы сначала
остановимся на одном из значений k = 0. Для этого случая
рекуррентное соотношение (8.25) примет вид
(О2 ОL ,,
откуда fl2~—-нг^О) fl4"-7]-flo» ••• Методом математиче-
математической индукции получим
§5г«о- (8-27)
Теперь решение имеет вид
М
2
(8.28)
Если в качестве корня, определяющего уравнения, выбрать
значение &==1, то рекуррентная формула запишется иначе:
(8.29)
Подставляя сюда последовательно / = 0, 2, 4, получаем
__ СО2 _ @*
откуда снова можем записать, что
22*

;Я0 1*л. 8- диффр.рпнцилльпьн- урами-пНя второго Порядка
При таком выборе k получаем
и (Ли -аЛ\ {шУ14 <ш)' (Ш)Г> ! 1
У\Х)ь=1~ вох [1 зГ '~~5! у]—'" * " " J
°0
Метод подстановки ряда, называемый методом Фробениу-
са, позволяет получить два решения уравнения линейного
осциллятора в виде ряда. Однако в связи с таким представ-
представлением решения дифференциального решения следует осо-
особенно подчеркнуть следующее:
1. Решение, полученное в виде ряда, нужно всегда про-
проверять подстановкой в уравнение, чтобы не возникало алгеб-
алгебраических и логических ошибок. Если после подстановки
уравнение тождественно удовлетворяется, то найденный ряд
будет решением.
2. Возможность представления решения рядом зависит
от его сходимости (включая асимптотическую сходимость).
Указанный метод вполне допускает, что можно получить
ряд, который удовлетворяет дифференциальному уравне-
уравнению, но расходится в интересующей нас области. Приме-
Примером такого поведения может служить дифференциальное
уравнение Лежандра.
Читатель, безусловно, отметит, что мы получили одно
симметричное решение yi (x) — у^ (~х) и одно антисиммет-
антисимметричное у2 (х) = ~у2 (—х). Это произошло не случайно,
а явилось прямым следствием формы дифференциального
уравнения. Записав дифференциальное уравнение в общем
виде
X{x)y(x)r-,Q, (8.32)
где X (х) — дифференциальный оператор, мы видим, что для
линейного осцилляторного уравнения (8.21) оператор
X (х) — четный, т. е.
(8-33)
Всякий раз, когда дифференциальный оператор обладает
определенной четностью, четной или нечетной, или симмет-
симметрией, можно поменять местами -\-х и —х, а уравнение (8.32)
переписать так: ^
±Х{х)у{-х) = 0, (8.34)

8.4. Метод фронкПиусА 341
причем берется знак плюс, если оператор X (х) четный,
и знак минус, если нечетный. Очевидно, если у (х) — реше-
решение дифференциального уравнения, то и у (—х) тоже будет
решением. В таком случае любое решение можно разло-
•жить на четную и нечетную части:
ly{x) + y(x)] + ±ly(x)y{x)] (8.35)
Здесь первая скобка справа дает четное решение, а вторая —
нечетное.
Отметим, что дифференциальные уравнения (или диффе-
дифференциальные операторы) Лежандра, Чебышева, Бесселя,
Эрмита и простого гармонического осциллятора являются
четными. Решение каждого из этих уравнений может быть
представлено рядом по четным и рядом по нечетным степе-
степеням х. Дифференциальный оператор Лагерра не имеет
определенной симметрии, поэтому и его решение не будет
характеризоваться четными иЛи нечетными свойствами.
¦ Рассмотрим теперь уравнение Бесселя
, = 0, (8.36)
где у' — dy/dx, a y" — dry/dx2. Снова будем искать решение
00
в форме у(х)= 2 а%хк+х. Продифференцируем и подставим
этот ряд в уравнение (8.36):
ОО 00
оо со
+ 2 akxk-\ *+2 _ 2 ацп*хк+к - 0. (8.37)
Положим X = 0, тогда, приравняв нулю коэффициент при
низшей степени л:'1 в левой части уравнения, получим
а0 Ik {k - I) + k - пЧ = 0, (8.38)
снова, по определению, а0 ф 0. Следовательно, из последне-
последнего выражения получится определяющее уравнение
tf-n«'=O (8.39)
КОрНЯМИ k'-'± П.

342 ГЛ. 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Исследуем коэффициент при xh+1. В этом случае
ffi Ik (k + 1) -|- k + 1 — пЦ - 0, или
a{ (k+\— n) {k+l+ n) - 0 (8.40)
при k — ± ti ни k + 1 — //, ни /г + 1 -h л не могут обра-
обращаться в нуль, поэтому мы должны потребовать, чтобы
а, = 0*. '
Переходя к коэффициенту при х**', где k = /i, мы
положим А, = / в первом, втором и четвертом членах урав-
уравнения (8.37) и Л, = / — 2 — в третьем члене. Вновь потре-
потребуем равенства нулю коэффициента при .tft+J:
^ \(п + j) (п + j — 1) -I- (п + /) — п2] + cij _2 == &
Сделав замену / -> / Ь 2, получим рекуррентную с})ормулу
а
Использование этой формулы приводит к следующим зна-
значениям коэффициентов:
п _ „ L - go»!
2 а°2B/г-|-2) "" 221! (n+1)! '
п*~ ~uk 6 B/2 + 6)" ~~ 2«3!
и в общем виде
°
2Р(Р/2I(п+Р/2). ' Р
Подставим эти коэффициенты в предполагаемое решение
Если положить 2/ = р, то решение примет вид:
оо
S
2iy! («+/)!
* Исключение составляют значения ft—±/i=—1/2.

8.4. МЕТОД ФРОБЕНИУСА 343
В гл. И последняя сумма отождествлена с функцией Бес-
Бесселя Jn (x). Заметим, что это решение Jn (x) не имеет опре-
определенной симметрии *, как это и можно было ожидать
из формы уравнения Бесселя.
i \ Когда к — — п, а само п — нецелое, мы можем обра-
образовать второй специальный ряд, обозначаемый символом
J-п (*)• Однако при п целом и отрицательном возникают
затруднения. Рекуррентное соотношение для коэффициен-
коэффициентов uj по-прежнему задано формулой (8.41), в которой
2п заменено — 2п. Тогда если / + 2 — 2/1 или / = 2 (п — 1),
то коэффициенты О/+2 не определены и нельзя образовать
ряда, который был бы решением уравнения. В гл. И будет
получено соотношение
J _п (х) = (_ l)n Jn (x)t n — целое. (8.45)
Второе решение просто повторяет первое. Таким образом,
при целом п мы не можем построить второе независимое
решение уравнения Бесселя, используя метод Фробеииуса.
Но с помощью этого метода удалось получить два реше-
решения дифференциального уравнения линейного осциллятора
и только одно решение уравнения Бесселя (два, если п —
нецелое). Таким образом, этот метод работает не всегда,
поскольку представить решение уравнения рядом не всегда
возможно. Успех или неудача применения этого метода
зависит от корней определяющего уравнения и характера
особенностей коэффициентов дифференциального уравне-
уравнения. Для более ясного представления о том, какое влияние
оказывают коэффициенты, рассмотрим четыре простых
уравнения:
(а) у"—^« = 0, (б) у"—%-у = 0,
+ iy_i!l0==O, (8.46)
. 1 , о>
(Ч ft I J t
Г) U -\-—тгЦ
Легко убедиться, что для (8.46а) определяющим уравне-
уравнением является k2 — к — 6 = 0, откуда к = 3, —2. Посколь-
* Функция Jn {х) четная, если п — четное целое число, и не-
нечетная, если п — нечетное целое. Для нецелых п функция хп не
имеет такой простой симметрии.

3-jI гл. s. дпффпррлщплльпьн; урапьжния второгопорядка
ку дифференциальное уравнение однородно по х (d2ldx2
рассматривается как дг2), для него нельзя получить рекур-
рекуррентного соотношения; а} — 0 для i > 0. Однако остаются
два вполне подходящих решения, г} и А'. Уравнение
(8.466) отличается от уравнения (8.46а) только одной сте-
степенью х, но это приводит к определяющему уравнению
вида — 6я0 =0, что противоречит исходному предполо-
предположению, ибо, по предположению, а0 Ф 0. Подстановка ряда
была возможна для уравнения (8.46а), которое имеет
только регулярную особенность, по для уравнения (8.466)
с нерегулярной особенностью в начале координат она
не подходит.
В уравнении (8.46в) добавлен член уЧх. Определяющее
уравнение имеет вид k2 — а2 = 0, но с его помощью снова
нельзя получить рекуррентной формулы. Очевидно, оба
решения уравнения (8.46в) у = ха, х~а могут рассматри-
рассматриваться как один из членов ряда.
Изменение показателя степени х в коэффициенте при
у' в уравнении (8.46г) от —1 до —2 приводит к коренным
изменениям в решении. Определяющее уравнение (с вкла-
вкладом только от члена у') имеет вид k — 0, а рекуррентное
соотношение записывается так:
*м--^ ж •
Вообще говоря,
lim
следовательно, ряд, который представляет решение исход-
исходного уравнения, расходится (только специальным подбо-
подбором а можно ограничить ряд). Здесь снова метод представ-
представления решения в виде ряда (метод Фробениуса) оказался
неподходящим, как только особенность уравнения (8.46г)
стала нерегулярной.
Теорема Фукса. В окрестности обыкновенной или,
в худшем случае, регулярной особой точки можно получить
по крайней мере одно решение, представленное степенным
рядом. Эта теорема отвечает на вопрос, когда метод Фро-
беииуса оказывается успешным. Разложение вблизи нере-
нерегулярной или существенно особой точки, как показано
к уравнениях (8.466) и (8.46г), ие приводит к нужному

8.4. МГ.ТОД ФРОВР.ПИУС.Л 3/if)
результату.- К счастью, большинство важных уравнений
математической физики, перечисленных в разд. 8.3, не
имеют нерегулярных особенностей в конечной области.
От корней определяющего уравнения зависит, сколько
независимых решений можно получить методом Фробе-
ниуса.
J. Если два корня определяющего уравнения равны
друг Другу, то решение, представимое в виде ряда, одно.
2. Если два корпя отличаются друг от друга на неце-
нецелое число, то можно получить два независимых решения.
3. Если два корня отличаются друг от друга на целое
число, то больший из них определяет решение. Получение
решения с помощью меньшего корня зависит от поведения
коэффициентов. Так, уравнение линейного осциллятора
имеет два решения, а уравнение Бесселя — только одно.
Упражнения
При решении упражнений использовать метод Фробениуса,
I. Решить уравнение Лежандра (см. табл. 8.1). Показать, что
k(k—1) = 0—определяющее уравнение. Получить ряд по четным
степеням д:(с = 0, ai = O):
где
(Ж) (/ + 2)
и ряд но нечетным степеням x(k—\, ai = l
а [У (п-1)(п + 2) а (д-1) (я-3) (д+2) (д + 4) . , 1
где
Показать, что оба решения расходятся в точках х = ± 1, если
в полученных рядах взять бесконечное число членов.
Показать, что при соответствующем выборе один ряд может быть
превращен в полином, в результате чего решение нерасходящееся.
2. Получить решение гипергеометрического уравнения (8.18).
Исследовать сходимость решения.
3. Получить два независимых решения вырожденного гипергео-
гипергеометрического уравнения (см. табл. 8.1). Исследовать сходимость рядов.

$46 М. в. дифференциальные уравнения второго порядка
4. Получить два решения дифференциального уравнения Эрмита
(см. табл. 8.1).
Ответ: Определяющее уравнение k(k—1)*=0.
Для к = 0, аН2 = 2аj —1=^L~ (/ _ четное)
и -л Гц 2(~*)*2 ¦ 22(-g)B-(x)^ -1
Учет~~«о Mi 2| ' 4! *" '" I
Для k = 1, aj+2- 2аj {jj^^d) (/- четное)
Г , 2A-а)^з 22A — а)C-а)*5 л
Уиеч~ао \х п 2J ' 51 J *
Показать, что оба ряда сходятся и ведут себя аналогично разложе-
разложению для функции еж2. Показать, что соответствующим выбором а
найденные решения можно упростить и превратить в полиномы с ко-
конечным числом членов. Эти полиномы, нормированные соответствую-
соответствующим образом, называются полиномами Эрмита (разд. 13.1).
5. Квантовый анализ эффекта Штарка (в параболической системе
координат) приводит к дифференциальному уравнению
d /t du \ . ( 1 rf. . m* 1 „
где а—константа разделения; Я—полная энергия; F—постоянная,
которая входит в выражение для потенциальной энергии Fz, добав-
добавляемой к системе при включении электрического поля.
Используя наибольший из корней определяющего ^уравнения,
получить решение в окрестности точки | = 0 в виде степенного ряда.
Выразить первые три коэффициента через яо-
Ответ: Определяющее уравнение /г2—/72/4 = О,
¦ Г
1
4(m+2) J5 ^" f '
Заметим, что возмущение F никак не проявляется, пока мы не учи-
учитываем аз.
6. В частном случае отсутствия азимутальной зависимости
квантовомеханическое рассмотрение молекулярного иона водорода
приводит к уравнению (см. разд. 2.10)
Получить функцию и (tj) в виде степенного ряда. С помощью
вычислить первые три неисчезающих коэффициента.
Ответ: Определяющее уравнение k (k—1) = 0,
2—a о , Г B—a)A2-a) P  i , 1

8.5. ВТОРОЕ PI-IHEHHR 347
7. С хорошим приближением взаимодействие двух ядер можно
описать потенциалом мезониых сил V = yle~0~/*, притяжению соот-
соответствует отрицательное А. Решить волновое уравнение Шредингера
2т
Получить первые три ненулевых коэффициента.
Ответ: фь=1 = «о{*-гу Л'**+j [у Л'2-Я'~аЛ']*з+.. Л,
где штрих означает умножение на 2m/Jt2.
8. Вблизи ядра сложного атома потенциальная энергия одного
электрона записывается как V = (Ze2/r) A4-birH-&2r2)» где коэффи-
коэффициенты b{ и &2 описывают действие экранировки. Показать, что в слу-
случае ненулевого момента количества движения первые три члена реше-
решения уравнения Шредингера имеют ту же формулу, что и соответ-
соответствующие члены в упр. 7. С помощью преобразования коэффициентов
или параметров записать первые три члена в разложении волновой
функции.
9. Решить дифференциальное уравнение
выбрав такой корень определяющего уравнения, чтобы решение пред-
представляло собой ряд по нечетным степеням х. Поскольку ряд будет
расходящимся в точке *=1, подбором п превратить его в полином.
Отет: *(*_1) = 0.Пр„ *-1 gj42=«+')(W)-+H«4-2)gj
10. Построить решение дифференциального уравнения Лагерра
(см. табл. 8.1), а затем подобрать параметр п так, чтобы получить
из этого ряда полином.
11. Решить уравнение Чебышева (см. табл. 8.1). Каким условиям
должен удовлетворять параметр л, если потребовать, чтобы найден-
найденный ряд сходился при х в= +1 ?
8.5. ВТОРОЕ РЕШЕНИЕ
В разд. 8.4 методом Фробениуса мы получили решение
однородного дифференциального уравнения второго поряд-
порядка. Мы установили, что в соответствии с теоремой Фукса
такое представление решения возможно в окрестности
обыкновенной или несущественно особой точки *. Однако
нет гарантии, что этот метод позволит получить оба неза-
независимых решения, которые должны существовать в случае
дифференциального уравнения второго порядка. Более того,
с помощью этого метода мы смогли найти только одно
решение уравнения Бесселя (при п целом). Изложим теперь
* Классификация особенностей в разд. 8.3 имеет исключительно
важное значение.

348 ГЛ. 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫ!- УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
два метода получения второго независимого решения:
интегральный метод и метод разложения в степенной ряд,
содержащий логарифмический член. Однако сначала рас-
рассмотрим вопрос о независимости системы функций.
Линейная независимость решений. Пусть задана сис-
система функций срх. Будем считать ее линейно зависимой,
если в соотношении
2 few = 0 (8.47)
не все k%. равны нулю. Если соотношение (8.47) имеет
место лишь когда k% равны нулю, то система функций щ
называется линейно независимой.
Предположим, что функции щ дифференцируемы нуж-
нужное число раз. Тогда, продифференцировав соотноше-
соотношение (8.47), получим систему уравнений
O, (8-48)
2
2<Г31 = О, ... (8.49)
Таким образом, получилась система однородных линейных
уравнении с неизвестными коэффициентами k%. Решение
этой системы отлично от нуля kx?=0 в том, и только том
случае, если определитель, составленный из коэффициен-
коэффициентов при k%, равен нулю:
ф1 ф2 • • • фп
ф! ф2 -.. фп
Ф(Г1)
= 0. (8.50)
Определитель (8.50) называется определителем Вронского.
1. Если определитель Вронского не равен нулю, то
уравнение (8.47) не имеет иного решения, кроме k% — 0.
Следовательно, щ образуют систему независимых функций.
2. Если определитель Вронского обращается в нуль
при некоторых изолированных значениях аргумента, то это
не обязательно означает линейную зависимость. Однако
если он равен нулю в некоторой области изменения пере-
переменной, то функции линейно зависимы внутри этой обла-
области * (см. упр. 1 с простым примером двух функций).
* Доказательство см. в книге Lass H. Elements of Pure and
Applied Mathematics. N.Y., McGraw-Hill, 1957.

8.5. ВТОРОЙ PKIlll-IlUE
Пример. 1. Решениями урпвиепия линейного осциллятора (8.21)
являются функции с{4== sin to.v, ц>2 — coswx. Определитель Вронского
sin сод: cos сод:
со cos сох —cosmtox
Следовательно, решения rpj и фг линейно независимы. В случае двух
функций это означает, что ни одна не может быть получена из другой
простым умножением на постоянную.
Пример 2. Для иллюстрации линейной зависимости рассмотрим
решение одномерного диффузионного уравнения. Мы имеем (pi — ох,
(р2 = е~а", добавим к ним срз = ch .v, которая также является решением.
Определитель Вронского
ex *
e* -<
ex
\rx ch л;
г~х ch x
2~x Ch A'
для всех лг, поскольку первая и третья строки совпадают. Следова-
Следовательно, функции ех, е~ж, ch* линейно зависимы, и они связаны
соотношением вида (8.47):
e*-f e-*—2chx = 0.
Обратимся вновь к линейному однородному дифферен-
дифференциальному уравнению второго порядка в общей форме:
if + Р (х) у' + Q(x)y = 0. (8.51)
Пусть */i и у2 — два независимых решения. Тогда, по опре-
определению, определитель Вронского
W = yiy'2-y[y2. (8.52)
Продифференцируем его:
W' - у[у'г 4- \цу\ - У1У2 - у\у'г =¦-¦ yd-P{x)y'i—Q M Ы -
Выражение в скобках равно определителю Вронского W,
поэтому is
W'^-P(x)W. (8.54)
Если Р(х)~0, т. е.
y' + Q(x)y~Q, (8.55)
то определитель Вронского
W = У1У2- у[уг=- const. (8.56)
Исходное дифференциальное уравнение однородно, поэтому
его решения t/i и г/2 можно умножить на любые постоянные,

350 гл- 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
которые мы выберем так, чтобы определитель Вронского
оказался равен единице (или —1). Случай с Р (х) — О
встречается гораздо чаще, чем это кажется на первый
взгляд. Читатель помнит, что оператор V2 в декартовых
координатах не содержит первой производной. Точно так
же отсутствует она и в радиальной части V2 (п|?) в сфери-
сферических координатах. Наконец, любое линейное дифферен-
дифференциальное уравнение второго порядка можно привести к ви-
виду (8.55) (см. упр. 4).
Предположим далее, что уже имеется одно решение
уравнения (8.51), которое мы получили, например, методом
Фробениуса (или просто угадали его). Получим второе,
независимое решение. Для этого перепишем (8.54)
и проинтегрируем полученное выражение от х{ = а до xi = *,
тогда
х
W(x) = W (а) ехр Г - \ Р (х{) йхЛ . (8.57)
а
Но
Комбинируя уравнения (8.57) и (8.58), получим
х
ехр [- J P
fM\-.W(a\
dx
[J ]
(МЛ = w(а) Ц . (8.59)
Наконец, интегрирование (8.59) от хг — Ь до хг — х окон-
окончательно дает
х ехр[— J(]
Уг (х) = Ui (X) W (a) J ^ур dxt. (8.60)
Здесь а и Ь — произвольные постоянные; член
У\ М Уг (fylyi (b) опущен, так как он не дает ничего нового.
Поскольку определитель Вронского W (а) равен неко-
некоторой постоянной, а решения однородного дифференциаль-

8.5. Второе решение з51
ного уравнения всегда содержат неопределенный норми-
нормировочный множитель, положим W (а) ~ 1, тогда
A
} ехр [—( P(xi)dxi\
Уг(х) = У1 (х) j [y.tJp W (8-61)
Отметим, что здесь опущены нижние пределы интегриро-
интегрирования xi = а п х2 — Ь. Если их сохранить, то они при-
приведут просто к возникновению дополнительного постоян-
постоянного множителя при известном первом решении у\ (х),
В частном случае Р (х) = 0 формула (8.61) сводится к сле-
следующей:
Это значит, что с помощью (8.61) или (8.62) можно инте-
интегрированием одного известного решения получить второе
независимое решение уравнения (8.51). Этим методом
в разд. 12.9 найдено второе решение дифференциального
уравнения Лежандра.
Пример 3. Уравнение (8.21) с Р(*)=0 имеет одно решение:
*/i = sin*. После подстановки в формулу (8.62) мы получим второе
решение
х
, , . Р dx2 . . . ч
tк. / у\ __ с 1 И V 1 С1 П VI nrrf VI —— . Ллс V
«2 \Х) — 8111 л I ——j — 5111л I — ^Ift а) — — члM л.
J Sin'2 Х4
которое, очевидно, не зависит (не может быть получено умножением)
от sin,г.
Второе решение дифференциального уравнения можно
получить следующим образом.
1. Запишем коэффициенты уравнения (8.51) Р (х) и Q (х)
в виде
оо оо
я**1» QW= S я^. (8.63)
i j2
* Нижние пределы суммирования выбираются исходя из тре-
требований теоремы Фукса.
2. Методом Фробениуса получим несколько первых
членов этого ряда.

352 ГЛ. 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ!Ы1- УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
3. Отождествим это решение с ijt и, затем почленно
проинтегрировав с помощью формулы (8.61), получим вто-
второе решение уъ которое также будет некоторым рядом.
Начнем с того, что подставим (8.63) в исходное урав-
уравнение
у" + (р^хг1 + Po-\-PiX-\-..-)y' +
+ (<7-2*'2 + q~i*~x + ...) У •= 0. (8.64)
Полученное уравнение в точке х-~0 имеет регулярную
особенность. Если р^ = <7-i = Я-г — 0> то х -¦= 0 ~ обыкновен-
оо
пая точка. Подставив у— 2 ал**+\ получим
Предположим, что p-i=^0 и <7-2 ^ 0, и запишем опреде-
определяющее уравнение
<7-2 = 0, (8.66)
корни которого обозначим к = а и /е — a — «, где я равно
нулю или целому положительному числу. (Для нецелых
/г нетрудно получить оба независимых решения методом
Фробениуса.) Тогда
(k — а) (к — а + п) = 0. (8.67)
Приравняв коэффициенты при к в уравнениях (8.66) и (8.67),
получим
р _i — 1 = п — 2а. (8.68)
Решение, соответствующее значению к ---а, можно записать
<х>
в виде ряда у{ — ха 2 ял**» подстановка которого в фор-
мулу (8.61) дает
лег со
* exi' (- S 2 f1'*'rfJ(»)
J ^=i dx«. (8.69)

8.5. ВТОРОЕ РЕШЕНИЕ 353
Решения ух и у2 нормированы так, что W (о) I. Пред-
Представим показатель экспоненты в виде
Л 2 to со
[ 2 р>х\ d*i - />-> in * ¦ н 21 itt x2+i+/ (°ь <8-70)
откуда
ехр I -
a i
оо
Pk
- ехр [ - f(a)] х~р->ехр
оо
= ехр [ - / (о)] ^р-' [ 1 - 2
оо
(8л1)
Полученное разложение, которое стоит в показателе экспо-
экспоненты, безусловно, сходится, если коэффициент Р (х) пред-
представлен сходящимся рядом.
Преобразуем знаменатель выражения (8.69):
00 ОО 00
(8.72)
Пренебрегая постоянными множителями, которые несуще-
несущественны благодаря условию W (а) — 1, получим
X 00
Уг (х) = у{ (х) [ х;р-1~2а ( 2 схх\) dx2. (8.73)
Из условия (8.68)
у—Р-1—2а __ у—n- i
2 2 »
где в соответствии с предположением /г — целое. Следова-
Следовательно, интегрирование последнего выражения приведет
23-1257

гл. 8. дифференциальный уравнения второго порядка
к такому коэффициенту при у\ (х), который состоит из двух
частей: из степенного ряда, начинающегося с члена х~п,
и логарифмического члена, который появился после инте-
интегрирования х~1 (при % = п). Вообще говоря, этот член
появляется всегда, когда п — целое, если только сп слу-
случайно не окажется равным нулю.
Исходя из сказанного, второе решение^ М уравнения
(8.51) можно записать так:
со
цг (х) = у, (х) In х 4- S dJx*a- (8.75)
Это означает, что необходимо искать логарифмический
член, когда уравнение имеет только одно решение, пред-
ставимое рядом.
Наконец, из вида второго решения (8.75) можно опре-
определить неизвестные коэффициенты d% прямой подстанов-
подстановкой (8.75) в исходное уравнение. Второе решение обычно
расходится в нуле вследствие наличия логарифмического
множителя и членов ряда с отрицательными степенями х.
По этой причине у2 (х) часто относят к нерегулярному
решению. Первое решение у{ (д), которое обычно сходится
в начале, называют регулярным. Поведение решения
в начале координат обсуждается более подробно в гл. 11 и 12.
Упражнения
1. Доказать прямым интегрированием, что функции t/j и у2 ли-
линейно зависимы, если определитель Вронского тождествсчшо равен
нулю.
2. Дифференцированием и прямой подстановкой показать, что
г ехр[-?Р(*)Л]
Уг (*) = У1 (*) \ ..2 ds удовлетворяет уравнению (8.51).
3. С помощью определителя Вронского убедиться, что линейное
однородное дифференциальное уравнение второго порядка (8.51) не мо-
может иметь трех независимых решений. (Допустить существование
третьего решения и показать, что определитель Вронского равен нулю
при любом jc.)
4. С помощью подстановки t/ = zexp —^- 1 Р (t)dt преобразо-
преобразовать уравнение (8.51) к виду
«" + ?(*) 2 = 0,
(где q (x) = Q(x-Pf {x)f2-P*

8.6. ФУНКЦИЯ ГРИНЛ. АНАЛОГИЯ С ЭЛЕКТРОСТАТИКОЙ 355
5. Использооать результат предыдущего упражнения и показать,
что замена \\> (г) на г'ф (г) приведет к исчезновению первой производной
в операторе Лапласа, записанного в сферических координатах.
6. Известно, что R~rm — решение уравнения
Показать, что формула (8.61) дает второе решение R = r~m.
7. Воспользоваться первым решением уравнения для линейного
осциллятора «/t (jc)= ^ (~ 0и+1 (*"/'*') и, применив метод, с по-
п, неч
мощью которого получено уравнение (8.75), убедиться, что со = О,
т. е. второе решение не содержит в этом случае логарифмическо-
логарифмического члена.
8. Показать, что при нецелом п второе решение уравнения Бес-
Бесселя, полученное из (8.61), не содержит логарифмического члена.
9. Первое (или второе) решение дифференциального уравнения
Эрмита {см. табл. 8.1) при а = 0 (или 1) есть ^(х) —1 (или х).
С помощью формулы (8.61) найти второе решение. Убедиться, что
это решение эквивалентно решению унеч {учет) из упр. 4 к разд. 8.4.
10. Показать, что если второе решение записано в виде произве-
произведения двух функции i/2 (x)~ Vi (*) f (x)i To подстановка этого решения
в исходное уравнение (8.51) в согласии с соотношением (8.61) приво-
приводит к выражению
~ттл US.
11. Дифференциальное уравнение Лежандра (см. табл. 8.1) имеет
регулярное решение Рп (х) и нерегулярное решение Qn (x). Показать,
что определитель Вронского равен
Рп (х) Qn (х)~-Рп (х) Qn (х) = Лп/(\~х*I
где Ап не зависит от х.
12. Функция t/i (x) из соотношения (8.61) удовлетворяет уравне-
уравнению (8.51). Функция у2 {х) — второе линейно независимое решение
того же уравнения. Убедиться, что нижние пределы в обоих интегралах
не играют существенной роли, т. е. они обеспечивают дополнительный
вклад во все множители и умножаются на известное решение.
13. Первое решение дифференциального уравнения Лагерра (см.
табл. 8.1) для п = 0 есть yi(x) = \. С помощью формулы (8.61)
получить второе линейно независимое решение. Записать в явном
виде логарифмический член.
8.6. ФУНКЦИЯ ГРИНА.1АНАЛ0ГИЯ С ЭЛЕКТРОСТАТИКОЙ
Для более ясного представления существа метода функ-
функции Грина, разработанного для решения неоднородного
дифференциального. уравнения в частных производных,
23*

356 ГЛ. 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
удобно воспользоваться примером из электростатики. Если
заряд отличен от нуля, то электростатический потенциал
о}) удовлетворяет неоднородному уравнению Пуассона
(см. разд. 1.14)
Vh\> = — р/е0 (единицы МКСА), (8.76)
если электростатических зарядов нет (р = 0), он удовлет-
удовлетворяет однородному уравнению Лапласа
V2i|> = 0. (8.77)
Пусть заряды qi~ точечные, тогда решение
Г '(8-78)
является суперпозицией решений, полученных для каждого
точечного заряда в предположении кулоновского взаимодей-
взаимодействия между двумя точечными зарядами <7i и q%\
Заменив систему дискретных зарядов на непрерывно рас-
распределенный заряд с плотностью р, запишем решение (8.78)
иначе:
а для потенциала в точке г~Х\, обусловленного зарядом
в точке г —г2, имеем
4лео J I ri—r2!
Дельта-функция Дирака. Формальный вывод и обобще-
обобщение решения (8.81) можно облегчить, используя б-функцию
Дирака (см. разд. 1.15). Одномерная 6-функция, по опре-
определению, имеет следующие свойства:
д(*) = 0 для хфО; (8.82)
[b(x)dx=U (8.S3)
—оэ
оэ
\ f(x)b(x)dx = f@). (8.84)
— 00

8.6. ФУНКЦИЯ ГРИМА. АНАЛОГИЯ С ЭЛЕКТРОСТАТИКОЙ 357
Дсльта-фупкция б (л*) — пеаналитичсская, но ее можно
получить, делая предельный переход, с помощью анали-
аналитической непрерывной или кусочно-непрерывной функции.
Чаще всего встречаются такие представления б-функции
(рис. 8.1):
' (8.85а)
а-+о
7=
van
О, х<-
а
2 '
а
a

^ 2 '
(8.856)
О, ~<х;
f
(8.85b)
(8.85г)
Представления (8.85а) — (8.85в) удобны своей наглядно-
наглядностью. Кроме того, представление (8.856) определяет инте-
интегральные свойства б-функции (см. упр. 1). Последнее —
(8.85г) обычно используют в анализе Фурье и его прило-
приложениях в квантовой механике.
Введенная б-функция Дирака весьма необычна. В дей-
действительности она — не функция в общепринятом смысле,
а есть лишь точное отражение функциональных свойств
(8.82) — (8.84). Следует помнить, что б-фуикция Дирака
имеет смысл только как часть подынтегрального выражения
и не имеет самостоятельного значения.
Перемещая особенность в точку х — х', б-функцию
Дирака можно записать как Ь (х — х'). Тогда уравнение
(8.84) имеет вид
со
\ f(xN(x-x')dx^f(x').
(8.86)
~00
Для трехмерной б-функции имеем
2я я оо ; / со
( \ [ б (г) г2 sin 0 d0 rf(pU f f f 6{xN(yN(z)dxdydz=\.
0 0 0
0 0 0
-co
(8.87)

358 ГЛ. 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Это соответствует особенности (или источнику) в начале
координат. Если источник расположен в точке г = п,
а
-а
а
а
Рис. 8.1. Различные представления б-функции Дирака:
a =- е""**/0; б — по формуле (8.856); а
sin ax
уравнение (8.87) примет вид
со
П I б (г2 — г,) r\ dr2 sin 02 dQ2 dy2 =
—00
Как уже отмечалось,
— rj) = 6 (rt — г2).
- 1
(8.88)
(8.89)

fe.6. ФУНКЦИЯ ГРИНА. АНАЛОГИЯ С ЭЛЕКТРОСТАТИКОЙ 359
Вернемся теперь к электростатике. Пусть \\> — потен-
потенциал, соответствующий заданному распределению заряда
и удовлетворяющий уравнению Пуассона:
V2aj)=_p/8o. (8.90)
Потребуем, чтобы функция ср, которую мы назовем функ-
функцией Грина, удовлетворяла уравнению Пуассона с точеч-
точечным источником в точке г2:
(8.91)
Физически это означает, что ср — потенциал в точке гь
соответствующей единичному источнику е0, помещенному
в точку г2. На основании теоремы Грина (см. разд. 1.11)
= \ (+Vq> —q>Vi|>).d0. (8.92)
Предположив, что подынтегральная функция спадает
быстрее, чем г2, можно упростить задачу, взяв объем
настолько большим, что интеграл по поверхности обра-
обратится в нуль:
( фТ*фйт2= |ф^2фс(т2, (8.93)
или, после подстановки в уравнения (8.90) и (8.91),
- j ¦ (г2) 6 (г, - r2) dt2 = - j ф(г"еГо2)р(Г2> dr2. (8.94)
Интегрирование с учетом свойства (8.84) б-функции
Дирака дает
^( (8.95)
Мы использовали уравнение (8.91) для вычисления
9, но при этом сама функция пока еще не известна.
Закон Гаусса утверждает, что
г п * \ \ \ 0 —начало координат вне объема К'
J \~г) Т I —4я — начало координат внутри объема К.
(8.96)

360 ГЛ. 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Этот закон, полученный в разд. 1.13, можно переписать
иначе:
ИЛИ
(8,97)
Второе соотношение соответствует переносу электростати-
электростатического заряда из начала координат в точку г = г2. Здесь
г12 = | г4 — Гг|, и поэтому б(г1 — г2) всюду равна нулю,
за исключением точки rt —г2. Сравнивая уравнения (8.91)
и (8.97), видим, что функция ф (функция Грина) имеет вид
откуда, в полном согласии с уравнением (8.81), решение
уравнения Пуассона записывается как
ф (rt) = -J- С , р (Г2) , йтг. (8.99)
KV v 4яе0 J |г4— г2( л к '
Отметим, что функцию Грина ф (гь г2) часто обозначают
G (п, г2). С ее помощью в интегральной форме записы-
записывается решение дифференциального уравнения. В рас-
рассмотренном примере, взятом из электростатики, функция
Грина G (п, г2) найдена с помощью закона Гаусса путем
сравнения уравнений (8.91) и (8.97). Окончательное реше-
решение (8.99) позволяет дать физическую интерпретацию
функции Грина. Ее можно понимать как весовую функцию
или функцию влияния, которая описывает влияние элемента
заряда р (r2) dr2 в точке наблюдения Г|. Функция Грина
G (п, г2) описывает потенциал в точке наблюдения гь
который создает единичный точечный источник, помещен-
помещенный в точке г2.
Функция Грина обладает важным свойством симметрии
относительно переменных г{ и г2:
, г2)=-(?(г2, п). (8.100)
Это очевидно для только что рассмотренного примера.
Данное свойство можно доказать и при более общих усло-
условиях. Потребуем, чтобы G (гь г2) удовлетворяла уравнению

R.6. ФУНКЦИЯ ГРИМА. АНАЛОГИЯ О ЭЛЕКТРОСТАТИКОЙ 361
с точечным источником в точке г — rt. Здесь р (г) и q (г) —
произвольные непрерывные функции г. Функция Грина
G (ги гг) удовлетворяет тому же самому уравнению,
в котором индекс 1 заменен индексом 2,
V.[p(r)VG(r, rJl + X?(г)G(г, г2)= -d(r-r2). (8.102)
Тогда G(r, г2)~-потенциал в точке г, вызванный точечным
источником, расположенным в точке г2. Умножим первое
уравнение на G(r, r2), а второе на G(r, rt) и вычтем один
результат из другого:
С (г, r2) V.[p(r)TG(r, г4)]-С(г, гО V.[p(r)VG(r, г2)] =
= -G(r, r2N(r-ri)-|G(r, rt)d(r~r2). (8.103)
Применим далее теорему Грина
f [G (г, г2) р (г) VG (г, г,) -G (г, г,) р (г) VG (г, ггI da=
S
(8.104)
Члены в правой части этого уравнения появились при
интегрировании по объему выражения, содержащего
б-функцию Дирака. Так как обе функции Грина G (г, г2)
и G (г, г2) удовлетворяют одним и тем же граничным усло-
условиям на поверхности S, то поверхностный интеграл исче-
исчезает, и мы получаем условие
G(r,, r2) -,G(r2, г,), (8.105)
которое показывает, что функция Грина симметрична.
Отметим, что это свойство симметрии справедливо для
функции Грина, удовлетворяющей любому уравнению
вида (8.101). В гл. 9 уравнения такого типа названы само-
самосопряженными. На свойстве симметрии основаны различ-
различные теоремы взаимности: заряд в точке г2 влияет на потен-
потенциал в точке г{ точно так же, как заряд, помещенный в точ-
точку п, на потенциал в точке г2.
Следует указать, что на применении функции Грина
основан метод решения многих более сложных проблем
математической физики (см. гл. 16).

362 ГЛ. 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Упражнения
I. Положим,
.1 а а
! О ~<*
оо
I*
Доказать, что lim \ / (х) 6а (х) dx — f @), если / (х) непрерывна
— CXD
в точке х = 0.
2. Показать, что О(гь г2) = е1А^Г1"Г2|/4я| г4 — г21 — функция
Грина, удовлетворяющая дифференциальному уравнению:
Показать, что G (ri} г2) удовлетворяет однородному дифферен-
дифференциальному уравнению, если Т\ =^=г2, а для достаточно малого | г4 — гг I
имеет место
3. Доказать, что б
df(x)
-I
6(x—Xq), при условии, что
dx
f(xo) — O. Указание. Воспользоваться тем, что б {f)df = b {x)dx.
4. Убедиться, что в сферических координатах б (rj—r2) имеет вид
—?-6 (Г!— Г2) б (COS 9i — COS 02) б (ф1 — ф2).
Обобщить это выражение на случай криволинейных координат <7i, ^2,
^з с коэффициентами Ламе h\, h%, h$.
5. Используя представление б-функции (8.85а), показать, что
х -г- 6 (х) = — б (х). Этот и другие результаты, относящиеся к б-функ-
С
ции Дирака, могут быть доказаны более строго, но зато и более
сложными методами математической теории распределения.

ГЛАВА 9
ТЕОРИЯ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
9.1. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В гл. 8 мы классифицировали и решали линейные диф-
дифференциальные уравнения второго порядка, соответствую-
соответствующие линейным дифференциальным операторам второго
порядка общего вида
Хи (х) ~ р0 (х) JL и {х) + Pi {X) -Lu{x) + р2 (х) и (х). (9.1)
Функции р0 (х), р{ (х) и р2 (х) не следует путать с постоян-
постоянными pi из разд. 8.5. Сравнение с уравнением (8.51) пока-
показывает, что Р (х) = Pi (х)/р0 (х), a Q (х) = р2 (х)/р0 (х).
Коэффициенты р0 (х), pi (x) и р2 (х) — вещественные
функции х и имеют во всей области а <; х <; b непрерывные
производные B — i)-ro порядка. Кроме того, р0 (х) нигде
не обращается в нуль внутри открытого интервала а<
< х < Ь. Нули функции ро М являются особыми точками
(см. разд. 8.3), поэтому предыдущее утверждение просто
означает, что интервал (а, Ь) выбран так, чтобы внутри
него не было особых точек. Однако вполне возможно,
и часто так и есть на самом деле, что особые точки совпа-
совпадают с концами интервала.
В теории дифференциальных уравнений удобно опре-
определить сопряженный* оператор X:
d2 d d2u
lHl &i [Pi"' + № («) = Ро ^ +
* Сопряженный оператор в некотором смысле связан '^
женной матрицей. Смысл такой терминологии уясняется при срав
нении самосопряженного оператора (с соответствующими границ
ными условиями) с самосопряженной матрицей (подробнее см.
разд. 9.2).

364 Г Л-А В А 9. ТЕОРИЯ ЙТУРМА -ЛИУВЙЛЛЯ
Сравнение уравнений (9.1) и (9.2) дает необходимое
и достаточное условие того, чтобы Х — Х:
=иег=а
При выполнении условия (9.3)
±[р (х) *?L] + д(х)и(*), (9.4)
и оператор X называется самосопряженным. Здесь р0 (х)
заменено на р (х), а р2 (х) — на q (x).
Из дифференциальных уравнений, которые рассматри-
рассматривались в разд. 8.2, уравнения Лежандра и линейного
осциллятора относятся к типу самосопряженных, но дру-
другие уравнения, такие, как уравнения Лагерра и Эрмита,
не обладают этим свойством. Однако теория линейных
самосопряженных дифференциальных уравнений второго
порядка носит общий характер, так как всегда можно
привести несамосопряженный оператор к самосопряжен-
самосопряженному виду. Рассмотрим уравнение (9.1) с р'о = р{. Умножив
X на ~--т^техрГ1 ^уdt\, получим уравнение
По {х
х
О
х
которое, очевидно, самосопряженно. Обратим внимание
на pQ (x) в знаменателе. Именно поэтому мы потребовали,
* Если умножить X на / (х)/Ао W, а затем потребовать, чтобы
V (x) — fPilPQ (тогда новый оператор будет самосопряженным), то
получим /(x) = exp[J ^ л] .

9.1. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ДИф<ЬерёнцИАльНые УрАЙйенИяз65
чтобы р0 {х) Ф 0 на открытом отрезке а < х < Ь. В даль-
дальнейшем везде будет предполагаться, что оператор записан
в самосопряженном виде.
Собственные функции, собственные значения. Рассмо-
Рассмотрим дифференциальное уравнение в форме
Хи(х) + Аа> (х) и (х) = 0. (9.6)
Здесь X — некоторая постоянная, a w (x) — известная
функция х, называемая плотностью или весовой функцией.
Значение этих определений будет ясно из дальнейшего.
Потребуем, чтобы w (х) > 0, исключая, может быть, изо-
изолированные точки, в которых w (х) = 0. Функция их (х),
при некотором X удовлетворяющая уравнению (9.6) с задан-
заданными граничными условиями, называется собственной функ-
функцией, которая соответствует собственному значению X.
Нельзя заранее утверждать, что собственная функция
и\ (х) существует при любом произвольно выбранном
собственном значении X. Более того, требование существо-
существования собственной функции часто ограничивает допусти-
допустимые значения X дискретным набором этих величин. В этом
случае мы имеем дело с математическим отображением
процесса квантования в квантовой механике.
Пример 1. Рассмотрим уравнение Лежандра
{\ — x*)tf—2xy'+n (л + 1)у = 0. (9.7)
Из уравнений (9.1) и (9.6)
(9.8)
Решения уравнения Лежандра (см. разд. 8.4 и 12.9), записанные
в виде рядов, расходятся для нецелых п. Ограничение целыми п
называется квантованием собственных значений.
Приведем уравнения, перечисленные в гл. 8, к само-
самосопряженному виду и запишем в табл. 9.1 значения их
коэффициентов и параметров.
Сформулировав определение собственной функции, мы
подчеркнули, что собственная функция и\ (х) должна
удовлетворять определенным граничным условиям, которые
можно определить тремя способами.

Г Л А В А Й. ТЕОРИЯ ШТУРМА -
I. Граничные условия Коши. На гра-
границе задано значение функции н нормальной производной.
В приложении к электростатике это должно соответство-
соответствовать заданию потенциала и нормальной компоненты элек-
электрического поля Еп.
Таблица 9.1
Уравнение
Лежандра
Лсжандра при-
присоединенное
Чебышева I
Чебышева II
Бесселя
Лагерра
Лагерра при-
присоединенное
Эрмита
Гармонического
осциллятора *
р(х)
1-Х»
1 —Л'2
A _-л;2K/2
X
хе~х
Kk-\r\ t-x
1
q(x)
0
— W2/(l— X2)
0
0
— П2/Х
0
0
0
0
к
ЧЖ)
MH-D
п2
п (л -f 2)
«2
а
a — k
2а
«2
«' (-V)
1
1
A—JC2)-1/»
(l_jt2)V2
X
е~х
xke~x
e~t2
1
* Это уравнение будет отправным в гл. Н при рассмотрении рядов Фур1е.
2. Граничные условия Дирихле. На
границе определено значение функции.
3. Граничные условия Неймана. На гра-
границе задано значение производной функции по нормали
(нормальный градиент). В приложении к электростатике
это должно соответствовать заданию Еп и, следовательно,
поверхностной плотности заряда а.
Отметим, что начальные условия — частный случай
граничных условий. Например, задание начального поло-
положения х0 и скорости vQ при решении некоторой динамиче-
динамической проблемы будет соответствовать граничным условиям
Коши. При рассмотрении одномерных случаев граничное
условия задаются на обоих концах интервала изменения
переменной.
Обычно граничные условия, поставленные в одной
из трех форм на концах интервала (т, е. на его границе),

«J.I. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 367
гарантируют обращение в нуль следующих произведений:
= О. (9.9)
Здесь и (х) — решение обыкновенного дифференциального
уравнения (9.6). Однако можно задать и несколько менее
жесткие граничные условия
в которых и (х) и v (х) — решения дифференциального
уравнения, соответствующие одним и тем же или различ-
различным собственным значениям.
Предвосхищая результаты квантовой механики, рас-
рассмотрим такую возможность, когда уравнение (9.6) может
иметь комплексные решения и (х) ио (х). Заменим усло-
условие (9.10) граничными условиями для комплексных величин
где v* — комплексно-сопряженная функция v (x). При
вещественном v (х), очевидно, v = v* и условие (9.11)
сводится к условию (9.10). Поскольку мы полагаем, что
Ро (х) — вещественная величина, можно взять комплексно-
сопряженное от граничного условия (9.11):
vpu*' \x-a = vpu*' \x=b. (9.12а)
Наконец, так как и(х) и у (а:) —два любых решения, мин
можно поменять местами, поэтому
о*'ра|« = о*'ри|*=ь. (9Л26)
Эрмитовы операторы. Докажем теперь важное свойство
самосопряженного дифференциального оператора второго
порядка [уравнение (9.6)] и решений, удовлетворяющих
граничным условиям типа (9.11) и (9.12). Интегрируя
на отрезке а<^х^Ь и используя уравнение (9.4), полу-
получаем
\ v*Xudx= \ v*(pu')'dx+ J v*qudx. (9.13)
a a a
Проинтегрируем по частям
b * b
f v* (pu')'dx = v*pu' * - \ v*'pu' dx. (9.14)
a a

368 Г Л А В А 9. ТЕОРИЯ ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ
Согласно граничным условиям (9.11), проинтегрированная
часть равна нулю. Снова интегрируя по частям (9.14),
имеем
ь ь
u{pv*')'dx. (9.15)
[
a
С учетом граничного условия (9.12) снова первый член
в (9.15) равен нулю. Комбинируя уравнения (9.13), (9.14)
и (9.15), окончательно получаем
ь ь
(9.16)
a
Оператор $, подчиняющийся соотношению (9.16), назы-
называется эрмитовым по отношению к функциям и (х) и v (х),
которые удовлетворяют граничным условиям (9.11).
Пример 2. Выбор отрезка [a, b]. Оператор %d*ldx
удовлетворяет уравнению
с собственными функциями «n = cos/uc, vm~s\ntnx. Граничное усло-
условие (9.10) для данного случая: — п sin mx sin nx ? = 0, или
т cos mx cos nx \^~0 (с заменой ип на vn). Так как sin mx и cos nx —
периодические функции с периодом 2л (для целых п и т), уравне-
уравнение (9.10) выполняется, если a — xQ, а Ь = х$-\-2п.
Упражнения
1. Показать, что уравнения Лагерра, Эрмита и Чебышева (тип I)
можно привести к самосопряженному виду, умножая их соответст-
соответственно на е~х, е~х , A—х2)~1/'2. Убедиться, что w(x)~e~x, e~"* ,
A —*2)~1//2 — соответствующие весовые функции.
2. Показать, что самосопряженное уравнение
, dy n2y . о _ х
можно получить из уравнения Бесселя. Определить весовую функ-
ь
Г dz •
цию. Используя эти результаты, показать, что \ Zm (z) Zn (z)—=
a
— 0—условие ортогональности для решения уравнения Бесселя
Zn. Функции Zn— ненормированные. Положить а~0} Ь — оэ

9.1. САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ДИФФПРГ-ИЦИЛЛЫ1ЫП УРАВНЕНИЯ 369
и использовать, условие ш-|-п>0 {см. гл. И). Другой пример,
в котором интегрирование ведется но промежутку |0, 1|, рассмотрен
в разд. 11.1.
3. Доказать, что если линейное дифференциальное уравнение
второго порядка выражено в самосопряженной форме, то:
а) определитель Вронского равен некоторой постоянной, делен-
деленной на коэффициент исходного уравнения № = Г
б) второе решение уравнения имеет вид
Уг{*) = СУ1{*)
J Р [yt (OP '
о
4. Дано дифференциальное уравне ше
Привести его к самосопряженному виду; убедиться, что преобразо-
преобразованием z—x2 оно сводится к уравнению Лагерра.
5. Полином Чебышева (тип II) JJn (x) удовлетворяет дифферен-
дифференциальному уравнению
A - *2) U'n (х) -3xU;t (x) + п (п -|- 2) Un {х) --¦. 0.
Выделить особые точки этого уравнения, для чего рассмотреть
всю плоскость изменения переменной, за исключением бесконечно
удаленной' точки. Определить, какие из особенностей регулярны,
а какие нерегулярны. Привести уравнение к самосопряженному виду;
определить собственные значения; найти весовую функцию и условие
ортогональности для Un (x) и Um (x) при пфт.
6. В частном случае, когда X — 0 и q(x)=0, самосопряженное
уравнение сводится к уравнению
d
которое удовлетворяется при du/dx = \/p (х). Воспользовавшись этим,
получить вторые решения уравнении Лежандра (а), Лагерра (б)
и Эрмита {в).
X
Ответ: а) и2 {х) --= -^ In г— ; б) и2 {х)—и2 (х0) -= I е* —— ;
X
в) и2 (х) як \ е<2 dt. Решения иллюстрируют расходимость, которая
о
обычно характерна для второго решения.
7. Известно, что оператор X удовлетворяет условию «5?м--0;
gZu~самосопряженный. Показать, что для сопряженного опера-
оператора X справедливо %(g
24-1257

370 Г Л А В А 9. ТЕОРИЯ ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ
9.2. ЭРМИТОВЫ (САМОСОПРЯЖЕННЫЕ) ОПЕРАТОРЫ
Эрмитов, или самосопряженный, оператор характери-
характеризуется тремя свойствами, которые весьма существенны
в классической и в квантовой физике: 1) его собственные
значения вещественны; 2) собственные функции — орто-
ортогональны; 3) собственные функции образуют полную сис-
систему *.
Докажем первые два из указанных свойств.
Вещественность собственных значений. Пусть
#tti-f-Xiawi = O, (9.17)
(а) Хи3 + Kjwuj = 0, (б) Хи] + Х*ш} = 0. (9.18)
Здесь X — вещественный оператор (р и q — вещественные
функции х)\ w (х) — вещественная функция. Предположим,
что собственные значения Kk и собственные функции иь
комплексные. Умножая (9.17) на и*, а (9.186) на и,- и скла-
складывая полученные результаты, имеем
и*Хщ - UiXtt* --= (Ц - h) wit iti]. (9.19)
Проинтегрируем последнее соотношение на отрезке а < х -Cb:
ъ ъ ь
\ uJXui dx - f щХи* dx = (If - It) \ щи]т dx. (9.20)
a
В силу эрмитовости оператора X левая часть полученного
уравнения обращается в нуль [см. уравнение (9.16I, откуда
ь
Щ-к) \uiU*wdx = Q. (9.21)
a
При i — j интеграл не может равняться нулю (функция
w (х) > 0, за исключением изолированных точек), если
только мы не рассматриваем тривиальный случай щ = 0.
Следовательно,
%f = h, (9.22)
т. е. собственные значения вещественны. Под %i понимается
любое собственное значение, что и доказывает первое свой-
* Утверждение 3 не универсально. Оно не выполняется для
линейных дифференциальных самосопряженных операторов вто-
второго порядка.

0.2. ЙРМЙТОВЫ (САМОСОПРЯЖЕННЫЕ) ОПЕРАТОРЫ 371
ство, которое является точной аналогией свойства собствен-
собственных значений вещественных симметричных (и эрмитовых)
матриц (см. разд. 4.5).
Вещественность собственных значений эрмитовых опе-
операторов играет фундаментальную роль в квантовой меха-
механике. В квантовой механике собственные значения соответ-
соответствуют точно измеряемым величинам, таким, как энергия
и момент количества движения. Если сформулировать тео-
теорию с помощью эрмитовых операторов, то доказательство
вещественности собственных значений гарантирует, что
такая теория будет предсказывать вещественные числа для
этих измеряемых физических величин.
Ортогональность собственных функций. Пусть гф]
и при этом %i Ф Xj} тогда интеграл от произведения двух
различных собственных функций должен обратиться в нуль:
ь
Ui«Jwdj = 0. (9.23)
а
Это условие называют условием ортогональности. Таким
образом, собственные функции ut (x) и щ (х) ортогональны
с весом w (х) на отрезке [а, Ь]. Уравнение (9.23) частично
доказывает второе свойство эрмитовых операторов. Здесь
также очевидна аналогия ортогональности матриц. В самом
деле, можно установить полное соответствие между теорией
дифференциальных уравнений Штурма — Лиувилля и аппа-
аппаратом эрмитовых матриц. Исторически это соответствие
сыграло важную роль в доказательстве математической
эквивалентности матричной механики Гейзенберга и вол-
волновой механики Шредингера. Сейчас эти различные иод-
ходы объединены в квантовой механике, а математический
аппарат в каждом отдельном случае выбирают из сообра-
соображений удобства. Действительно, рассмотренные методы
еще не ограничили число возможных математических прие-
приемов. Интегральные уравнения (см. гл. 16) дают третий
подход, который иногда оказывается более удобным или
более плодотворным.
Проведенное доказательство ортогональности не являет-
является абсолютно полным. В нем содержится неопределенность.
Действительно, хотя и выполнено условие i Ф /, но тем
не менее Xt — Xj. Такой случай называется вырожденным.
Если Xt — Xj} интеграл в уравнении (9.21) может и не рав-
24*

Г л А в A 9. теория шту|>МА - лйувйлЛя
няться нулю. Это означает, что линейно независимые соб-
собственные функции, соответствующие одному и тому же
собственному значению, не обязательно ортогональны,
но в этом вырожденном случае и независимые линейные
функции всегда можно сделать ортогональными. Один
из методов ортогонализации разработан в следующем
разделе.
Из содержания последующих глав станет ясным, что
требование ортогональности данной системы функций так
же естественно, как и требование иметь ортогональную
систему координат. Конечно, можно иметь дело и с неорто-
неортогональными функциями, но этим мы только усложним
задачу.
Третье свойство полноты системы определим и обсудим
в разд. 9.4. Формальное доказательство, основанное на
вариационном исчислении (см. гл. 17), здесь не приводится *.
Ряд Фурье. Ортогональность. Рассмотрим уравнение
которое может описывать либо квантовомеханическую части-
частицу в энергетической яме, либо колебания струны с собствен-
собственными (вырожденными) функциями: cos nx, sin nx.
При п вещественном (здесь оно еще и целое) условие
ортогональности записывается так:
a) \ s\n tnx sin nxdx г: Спдпт; 6) I cos tnx cos nx dx ~
xo-\-2n
= Dnbnm; в) I sin mx cos nx dx — 0.
Интегрирование на отрезке 2л в первом и во утором
случаях дает б-символ Кронекера, третий интеграл обра-
обращается в нуль, так как он содержит вырожденные собствен-
собственные функции. Однако проверка убеждает нас, что этот
интеграл равен нулю всегда при любых целых т и я.-
* Более подробно см. Курант Р. и Гильберт Д.
«Методы математической физики». Перев. с англ. М. — Л., Гостех-
издат, 1951.

9.2. ЭРМИТОВЫ (САМОСОПРЯЖЕННЫЕ) ОПЕРАТОРЫ 3
Теория Штурма — Лиувилля ничего не говорит о вели-
величинах Сп и Dn. Прямое вычисление интегралов приводит
к следующим значениям:
г jx, n^O, / я,
U~l 0, д=0; "~\ 2л, п=0.
Условия ортогональности а) — в) имеют непосредствен-
непосредственное отношение к рядам Фурье (см. гл. 14).
Разложение по ортогональным собственным функциям.
Прямоугольная волна. Свойство полноты означает, что
определенные классы функций (кусочно-непрерывных)
можно представить рядами по ортогональным собственным
функциям с любой требуемой степенью точности. Рассмо-
Рассмотрим волну прямоугольной формы
'<*>=
-о-
Ряд по собственным функциям удобно записать в виде
от
'V in
n=i
Используя условия ортогональности а) —в) (см. выше),
определим коэффициенты этого ряда
я я
ап-— \ f{t)cosntdi, &„ = — ( f{t)s\nntdi,
IT J 3X J
— Я —Я
/t = 0, 1,2,...
Поскольку f(jc) = ±/i/2, имеем ап = 0, этого можно ожи-
ожидать заранее вследствие свойств антисимметрии, кроме того,
. ГО, /1 —четное,
п~ пп * ' ~ I — Ai—нечетное.
Следовательно, разложение / (л:) по собственным функциям
оо
sin
(в ряд Фурье) имеет вид: f (*)=— 2j 2n-H
п—1)

374 г'л АвА 9. теория штурма - лйу билля
Упражнения
1. Функции Ui(x) и «2 (х) — собственные функции одного и того
же эрмитова оператора, соответствующие двум различным собствен-
собственным значениям Х{ и %2> Доказать, что «j {х) и и^ (х) линейно
независимы.
2. Оператор X не принадлежит к типу самосопряженных, причем
ь
= 0. Показать, что \ VjXu[dx~
а
и
если
Ui(Pl-p'o)Bj& = O,
а условие ортогональности собственных функций щ, Vj записывается
ь
в виде I UiVjWdx=0
9.3. 0РТ0Г0НАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ (МЕТОД ШМИДТА)
С помощью этого метода из системы неортогональных
линейно независимых функций * получают систему функ-
функций, ортогональных с некоторым весом внутри заданного
интервала. Для удобства будем предполагать функции
вещественными. Обобщение на комплексный случай не
представляет особых трудностей.
До сих пор мы имели дело с ненормированными функ-
ъ
циями. Это означает, что \ y\wdx = iVf, где Ni~ npo-
а
извольная константа. Поскольку основное уравнение (9.6)
линейно и однородно, решение этого уравнения можно умно-
умножить на любую постоянную; полученное произведение также
будет решением. Теперь каждое решение ф{ (х) умножим
* Такая система функций может возникнуть при решении диф-
дифференциального уравнения в частных производных, в котором
собственное значение не зависит от одной или нескольких констант
разделения. Примером служит задача об атоме водорода (см.
разд. 13.2). Собственное значение (энергия) не зависит ни от орби-
орбитального момента количества движения электрона, ни от его про-
проекции т на ось г.

9.8. ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ (МЕТОД ШМИДТА) 375
на #г\ тогда новая (нормированная) функция <р? будет
удовлетворять условию
(9.24)
а
ИЛИ
f q>i (x) ф^ (x) w(x) dx—bij. (9.25)
a
Условие (9.24) означает, что функции ф нормированы на
единицу. Соотношение (9.25) учитывает еще и ортогональ-
ортогональность функций. Функции, удовлетворяющие условию (9.25),
называются ортонормированными (т. е. они ортогональны
и нормированы на единицу). Возможна и другая нормиров-
нормировка. Действительно, как мы увидим ниже, исторически
получилось так, что специальные функции математиче-
математической физики (см. гл. 12 и 13) нормированы различным
образом.
Предположим, что ип (х), п = 0, 1, 2, . . . образуют
систему линейно независимых, но неортогональных и ненор-
ненормированных функций. Пусть
т. е. ф0 (х) нормирована на единицу.
Определим ненормированную функцию
Ь (х) = йюФо М + wi M» (9-27)
где ai0 — неизвестная постоянная. Потребуем, чтобы
tyi (х) была: 1) ортогональна функции ф0 М и 2) норми-
нормирована на единицу.
Из требования ортогональности получаем
\ i|)^omj dx = ai0 \ %w dx + \ u^oW dx = 0. (9.28)
Далее, поскольку ф0 нормирована на единицу, имеем
#io=— \ u^^s)dx. (9.29)
Нормируя функцию ^>i(x), получим
.к / «л
(9.30)

376 ГЛАВА 9. ТЕОРИЯ ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ
Соотношение (9.30) в общем виде запишется так:
где
i W = аюь+аиф1 + •.. + aii-ivi-i+w<; (^-32)
= — I Ui^jwdx. (9.33)
Заметим, что хотя мы рассмотрели единственно возмож-
возможный способ построения системы ортогональных или орто-
нормированных функций, сами функции q>t (x) не являются
единственными. Для заданных отрезка и весовой функции
существует бесконечное множество возможных систем орто-
нормированных функций. В качестве иллюстрации рас-
рассмотрим два непараллельных вектора А и В в плоскости ху.
Нормируем А на единицу и затем образуем вектор, рав-
равный В' = а В + А, так что В' будет перпендикулярен А.
Построение нормированного вектора В' и есть как раз
ортогоиализация двух векторов. Однако любые два пер-
перпендикулярных вектора, например, такие, как i и j,
можно выбрать в качестве ортонормированной системы.
И опять, бесконечное число возможных поворотов векто-
векторов i и j вокруг оси z дает бесконечное число возможных
ортонормированных систем.
Пример. Образуем ортогональную систему на отрезке — 1 <1
<*<1 из набора функций ип(х)=хп, я,= 0, 1, 2, ... с помощью
весовой функции w{x)—\.
В соответствии с методом ортогонализации Шмидта
во=1, <Ро = -^=, * (9.34)
тогда
ы*ь"Т/1+*' (9'35)
а
J
Пронормировав, получим
(9-37)

9.3. ОГ>ТОГОПАЛИЗЛЦИЯ ФУНКЦИЙ (МЕТОД ШМИДТЛ) 377
Продолжим этот процесс:
Ь (*) - «20 ~1= + «21 ]/| X + Х\ (9.38)
Снова с учетом симметрии
1 1 _
«20-- \^dx= ~^Г ' 1==~ 1 j/|*s <**-<>, (9.39)
откуда
Ы*) = *2-4. (9.40)
После нормировки на единицу
Аналогично
Фз(^) = |/у4Eх3~3х)- (9'42)
Вообще (см. гл. 12),
Фп (х) = УBя+1)/2 />„ W, (9.43)
где Pn(jc)—полином Лежандра л-го порядка. Таким образом, метод
Шмидта позволяет, правда очень громоздким и неудобным способом,
получить полиномы Лежандра.
Ортогональные полиномы. Рассмотренный пример хоро-
хорошо иллюстрирует метод ортогонализации Шмидта. С помо-
помощью этого метода можно построить полиномы Лежандра,
хотя первоначальные функции не являются решениями
уравнения Лежандра и не образуют системы вырожденных
собственных функций. Это просто набор функций, которые
служат основой для получения системы функций, ортого-
ортогональных с данным весом в заданном интервале. То, что
полученные полиномы оказались полиномами Лежандра,
не является неожиданностью, это — прямое следствие выбо-
выбора интервала и весовой функции. В табл. 9.2 приведены
ортогональные полиномы, полученные ортогонализацией
функций ип (х) = хп, для разных интервалов и весовых
функций.
Подробное изучение метода ортогонализации позволяет
установить два важных момента. Во-первых, прежде чем

Таблица 9.2
Полиномы *
Интервал
Весовая функ-
функция w (л:)
Нормировочная постоянная
Лежандра
Чебышева I
Чебышева II
Лагерра
Лагерра, при-
присоединенные
Эрмита
—1
0<*<со
0<*<со
— со <С а* <С
1
— 1
1
—1
оо
О
оо
J'
О
оо
-оо
В гл. 12 и 13 показано, что эти полиномы являются решениями соответствующих уравнений.

9.3. ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ (МЕТОД ШМИДТА) 370
начинать работать с функциями, их необходимо нормиро-
нормировать на единицу. В разобранном примере надо потребовать,
чтобы
1
\ 4>n(x)ym(x)dx= 2n+{ Ьпт, (9.44)
только после этого полученная система функций на самом
деле окажется составленной из полиномов Лежандра.
Во-вторых, знак q>n всегда неопределенен. В этом примере
мы требовали, чтобы знак члена с наивысшей степенью х
в полиноме был положительным. В случае полиномов
Лагерра наивысшая степень должна иметь множитель
Упражнения
1. С помощью метода Шмидта t получить первые три полинома
Лагерра, рассматривая набор функций ип(х) = хп, п = 0, 1, 2, ... на
интервале 0 < х < оо с весовой функцией w {x} = е~х, используя усло-
условие нормировки
со
j Lm (x) Ln (х) е-* dx = 6тп. (9.45)
о
Ответ: Lo = \, Li^l—x, L2 = {2\)j
2. Получить первые три полинома Эрмита, рассматривая те же
функции на интервале — оо < х < оо, если ш (х) = е"^ ,
00
a l Нгп (x) Нп(х) w (x) dx = bmn2mrn\ т\}^ — условие нормировки.
— ОО
Ответ'. #0=1, #1 = 2*, #2 = 4jc2 —2.
3. Получить первые три полинома Чебышева (типа I и II), если
отрезок задан неравенствами: — 1 < х < 1, а условия нормировки
имеют вид для полиномов типа I:
1 ( л, m = n = 0,
\ Tm(x)Tn(x)w{x)dx = bmi
где ()( )
о = 1, Г4=х, Г2 = 2х2—I, (Г3 = 4х3—Зх).
Для полиномов типа II
J f/д (*) t/m (*) v W dx=6mn у , ш(х) = (I-*2

380 ГЛАВА 9. ТЕОРИЯ ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ
Указание.
Г 2 1/2 2п _ ]~2~4.6.8...Bп-Ь2ГП12'3' "'
— п — О
~* . 2' ~
Ответ: Uq—\, Ui = 2x, L/2 = 4лг2— 1.
4. Получить систему функций, ортогональных в интервале 0 ..<
<дс<оо, используя функции ип (х) — е1*, я=1, 2, 3, ... Весовой
множитель ю (х) положить равным единице. Функции ип (х) являются
решениями уравнений и"п—п2ип = 0 и, очевидно, записаны в самосо-
самосопряженной форме. Почему теория Штурма—Лиувилля не гарантирует
ортогональности этих функций?
9.4. ПОЛНОТА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Третье важное свойство эрмитова оператора заключается
в том, что собственные функции этого оператора образуют
полную систему *. Это означает, что любая «хорошая»
функция F (х) (по крайней мере, кусочно-непрерывная)
может быть аппроксимирована ряддм
00
F(x)= 2 <wpn(*) (9.46)
с любой заданной степенью точности**. Точнее, система
фп (х) называется полной ***, если
00
litn f \F (x) - 2 <ВД>л МТ w W dx = °- (9'47)
а п=0
Отметим, что эрмитовы операторы являются самосопря-
самосопряженными линейными дифференциальными операторами вто-
второго порядка.
* Доказательство см., например, Курант Р. и Гиль-
бе р т Д. Методы математической физики. Перев. с англ. М.— Л.,
Гостехиздат, 1951.
** Если в системе конечное число функций, то суммирование
производится по линейно независимым членам этой системы.
*** Часто такие системы называют замкнутыми.

9.4. ПОЛНОТА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 381
Умножая соотношение (9.46) на ц)т (х) w (x) и интегри-
интегрируя полученный результат, получаем для коэффициентов
ь
ат = \ F (x) (pm (x) w (x) dx. (9.48)
Здесь мы использовали свойство ортогональности собствен-
собственных функций.
Если набор функций cpFl (x) не образует полной системы,
может быть, просто из-за того, что в него не включено
требуемое бесконечное множество членов, мы придем
к неравенству Бесселя. Рассмотрим сначала случай с конеч-
конечным числом членов. Пусть А — /г-компонентный вектор:
А = е^ + е2а2 f •• • +е„а„, (9.49)
где е* — единичный вектор, а а* — соответствующая компо-
компонента А, т. е.
а^А-е*. (9.50)
Тогда
BJ>0. (9.51)
Неравенство Бесселя. Если суммирование производится
по всем компонентам, то, очевидно, результат, согласно
(9.49), равен А, и мы имеем равенство. Если, однако, сумма
не включает всех компонент, мы придем к неравенству.
Раскрывая скобки в соотношении (9.51) и учитывая, что
единичные векторы удовлетворяют условию ортогональ-
ортогональности
еге, = ви, (9.52)
получаем неравенство Бесселя
Л2>2«ь (9.53)
7
Чтобы распространить это неравенство на функции,
рассмотрим интеграл
ь
J [/w~Sa^w]2^w^>°- (9-54)

382 ГЛАВА 9. ТЕОРИЯ ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ
При w (х) > 0 подынтегральная функция неотрицательна.
В согласии с (9.46) этот интеграл обращается в нуль, если
система функций — полная, и, вообще говоря, он поло-
положителен. _После возведения в квадрат получим
, (9.55)
а
Воспользуемся равенством (9.48), тогда
ъ
[f (x)]2 w (x) dx> % al (9.56)
т. е. сумма квадратов коэффициентов разложения аь меньше
или равна интегралу от взвешенного квадрата функции
[/ (х)J, равенство выполняется в том, и только в том слу-
случае, если разложение — точное (система функций <рп (х)
полная).
Неравенство Шварца. Рассмотрим квадратное уравнение
п
(9.57)
Поскольку при вещественном х любой член этого уравне-
уравнения больше или равен нулю, решение его может быть веще-
вещественным только в том случае, если bi/at — постоянное.
Если это отношение не равно некоторой постоянной, х
может быть комплексным. Возведем в квадрат
х2 S а\ + 2х 2 aibt + S И - 0; (9.58)
х i %
так как х комплексное (или равно —Ь\1а{), то из квадра-
квадратичной формулы для х* имеем
) (9.59)
Дискриминант комплексный (или равен нулю).

9.4. ПОЛНОТА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
(Равенство выполняется при постоянном Ь}/а,.) При перо
ходе к векторам имеем
(a- bJ = а262 cos2 9 <а262, (9.60)
где 0 —угол, образованный этими векторами.
Неравенство Шварца для функций имеет вид
ъ ъ ъ
[J f{*)g(х)dx]*< j [/iWl2dxj \g{x)\4x. (9.61)
a a a
Здесь знак равенства возможен только тогда, когда
= af(x), где а —постоянная. Неравенство Шварца (9.61)
можно получить из уравнения
JW (*)+*(*)]'<k = 0 (9.62)
так же, как из соотношения (9.57) неравенство для я-ком-
понентного вектора.
Если g (х) — нормированная собственная функция, то
из неравенства (9.61) получим
ь
al< I lf(x)]*dx, (9.63)
результат, который следует из (9.56), здесь w{x)=\.
Дельта-функция Дирака. Система ортонормированных
собственных функций фп (х) обеспечивает еще одно инте-
интересное представление б-функции Дирака. Рассмотрим сумму
со
К (х, t) = K (t, x) = S фп (х) Фп @. (9.64)
71=0
(Для удобства будем полагать, что срп (х) переопределена
таким образом, что включает в себя множитель [w (x)I1/2,
если w(x)=?\.) Записанный ряд (9.64) в {общем случае
не является равномерно сходящимся, однако его можно
использовать в подынтегральном выражении, которое после
интегрирования будет сходящимся (см. разд. 5.5).
Запишем интеграл
j F (t) К (х, t) dt

384 Г Л А В А 9. ТЕОРИЯ ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ
и предположим, что F (t) можно разложить в ряд но соб-
собственным функциям фл@'
оо оо
[ F (/) К (х, t) dt = j 2 ар<Рр @ 2 Я»» W ?« W л =
Р=0 п=0
оо
= 2 apq>p(x) = F(x). (9.65)
р=0
Скалярные произведения <рр<рп (пФ р) в силу условия
ортогональности (9.25) обращаются в нуль. Вспоминая
определение б-функции Дирака (см. разд. 1.15 и 8.6),
мы видим, что уравнение (9.65) означает, что
К (х, t) = б (jc — t). (9.66)
Полагая F (t) = ф0, где <р0 — некоторая постоянная, можно
легко показать, что
| К(х, t)dt= I. (9.67)
Поведение функции К (х, t) в точке х = t исследуем с помо-
помощью неравенства Бесселя. По определению,
оо
/<¦(/,/)= 2 1ф»@12- (9-68)
п = 0
Воспользовавшись неравенством (9.56), получим
оо оо
j [K(t, t)]*dt> 2 (А = 2 1 = о° <9-69)
71 = 0 П = 0
Следовательно, как и ожидалось, /((*,./) расходится
в точке х = /.
Функция Грина. Разлагая функцию Грина по собствен-
собственным функциям соответствующего однородного уравнения,
получаем ряд, подобный в некотором смысле тому, который
представляет К (х, /)• Запишем неоднородное уравнение
Гельмгольца
(9.70)

9.4.ПОЛНОТА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ '• 385
Запишем также однородное уравнение Гельмгольца, реше-
решениями которого являются собственные функции %,
?2фп(г) + ?пфа(г) = 0. (9.71)
Как показано в разд. 8.6, функция Грина (/(п, г2) удо-
удовлетворяет уравнению с точечным источником
V2G(rt, Tij + k*G(rlt r,)= -6(ri-r2). (9.72)
Разложим функцию Грина в ряд по собственным функциям
однородного уравнения (9.71)
00
00 СО
п=0
со
SW() (9.73)
подставляя это разложение в уравнение (9.72), получаем
00
- 2 а* М *пф"
= -2 фп(Г1)фп(г2). (9.74)
Здесь использовано разложение б (ri — г2) по собственным
функциям 1см. уравнения (9.64) и (9.66I. Чтобы выделить
коэффициент ап, воспользуемся ортогональностью функ-
функций фп (п), а затем подставим полученное выражение для
ап в уравнение (9.73), после чего функция Грина приобретет
вид билинейного разложения, симметричного относитель-
относительно п и г2,
00
О (ГЬ Г2)
Наконец, искомое решение ^i? (г4) неоднородного уравнения
получается по формуле
¦ (r,)={G(ri, r2)p(r2)dr2. (9.76)
Если записать неоднородное дифференциальное уравне-
уравнение в общем виде
-р, (9.77)
26-1257

386 ГЛАВА 1 ТЕОРИЯ ШТУРМА - ЛЙУ&ИЛЛЯ
где # —эрмитов оператор, то
ф(гу(9.78)
п = 0
Здесь Хп — собственное значение, а <рп — соответствующая
ортонормированная собственная функция однородного диф-
дифференциального уравнения
Х$ + Ц = 0. (9.79)
Более подробно функция Грина будет рассмотрена
в разд. 16.5.
Упражнения
1. Вместо представления функции F (х) в виде бесконечного ряда
оо Ъ
F (х) — J\ Япфп (*) с ап ~ \ Р (х) Фп (*) w ix) dx воспользоваться
n=0 a
рядом с конечным числом членов
т
п=»0
Показать, что среднеквадратичная ошибка
ь т
a n—0
минимальна, если cn=an.
2. Получить неравенство Шварца из тождества
6 ь ь
[ J / м
а
Ъ Ь
а а
3. Подставив разложение функции Грина (9.75) по собственным
функциям в соотношение (9.76), показать, что этим соотношением
действительно определено решение неоднородного уравнения Гельм-
гольца (9.70).
4. Определенная уравнениями (9.64) и (9.66) 6-функция Дирака
имеет вид
оо
0

9.4. ПОЛНОТА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
387
Показать, что в случае системы ортонормированных функций <рп
уравнение (9.46) вытекает из уравнений (9.64) и (9.66). Указание.
Рассмотреть интеграл F{x)= I F{t)b(x—t)dt.
5. Пусть Я —положительно определенный эрмитов оператор, т. е.
1
а
f*Hf
. Доказать обобщенное неравенство Шварца
о о
f f*Hgdx 2< f f*Hfdx
a

ГЛАВА 10
ГАММА-ФУНКЦИЯ (факториальная функция)
10.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
Гамма-функция возникает при нормировке волновой
функции и вычислении вероятностей в статистической
механике. Однако она в меньшей степени имеет непосред-
непосредственное физическое приложение и истолкование, чем,
скажем, функции Лежандра и Бесселя. Но с ее помощью
можно определять другие функции, которые находят непо-
непосредственное применение в физических задачах.
Предельная форма Эйлера. Впервые гамма-функция
была определена Эйлером в виде предела *
(г) == lim . , tw , m у—г-т/г. A0.1)
оо( ... (г-t-n)
Заменим z на z -f 1:
(z-H)(z+2)(z+3) ... (z-fz+1)
nz l-2«3 ... n
= lim—|—r-7-- , , ,w . O4 r-r—гЛг = гГ(г). (Ю.2)
г + я-f-l 2B+1) (z-f2) ... (г-f-n) w v /
Это основное функциональное соотношение для гамма-
функции. Необходимо заметить, что последнее уравнение —
уравнение в конечных разностях. Показано, что гамма-
функция принадлежит к общему классу функций, которые
не удовлетворяют ни одному дифференциальному уравне-
уравнению с рациональными коэффициентами. Из определения
гамма-функции имеем
* В этой главе под г будем подразумевать либо вещественное,
либо комплексное число.

ЮЛ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 389
Далее, из уравнения A0.2) вытекает, что
Г B) = 1, Г C) - 2Г B) - 2, . . ., Г (я) =(п~~\)\
A0.4)
Интегральное представление Эйлера. Второе определе-
определение гамма-функции также связано с именем Эйлера:
оо
Г (г) = \ e-V Я, Re (z) > 0. A0.5)
о
Ограничение на переменную z необходимо, чтобы интеграл
сходился. В различных физических задачах гамма-функция
встречается либо именно в этой форме, либо в несколько
измененном виде:
оо ,
-2 f е-**2*-1 tf, Re(z)>0, A0.6)
о.
Я, Re(z)>0. A0.7) ;
о
При г = 1/2 уравнение A0.6) точно совпадает с интегра-
интегралом ошибок Гаусса и, следовательно,
Г A/2) =/я. A0.8) :
Для доказательства эквивалентности двух определений
гамма-функций A0.1) и A0.5) рассмотрим функцию двух
переменных
п
F(z, n)= f (l—ijV"^, Re(z)>0, A0.9)
о
где п —целое положительное число*. По определению
экспоненты,
lim f I —i-")" = e-', A0.10)
поэтому в согласии с A0.5)
оо
YimF(z, n) = F(z, «>)= Г е-^Я^Гф. A0.11)
n-юо v
П-vco
* Форма записи F {z,n) предопределена видом бета-функции
A0.60).

390 ГЛАВА 10. ГАММА-ФУПКЦИЯ
Рассмотрим вновь F(z, n) и последовательно проинте-
проинтегрируем по частям. Для удобства положим и —tin, тогда
1
F(z, п) = пг \ (\-и)пи:-Чи. A0.12)
о
Проинтегрируем по частям
1
+ T 5 d-u^u'du. A0.13)
О
Повторяя эту процедуру и учитывая, что проинтегрирован-
проинтегрированная часть на обоих пределах интегрирования равна нулю,
получаем
1
п\- nz ¦¦¦ п^""^ ¦" { [ u*+n-i Ни =
что идентично правой части уравнения A0.1). Отсюда
= F(z, оо)~ГB), 'A0.15)
т. е. утверждение доказано.
Бесконечное произведение Вейерштрасса. Дадим третье
определение (Вейерштрасса) гамма-функции, используя
бесконечное произведение
оо
1 t-r / 7 \ \
Иг)" 11 \['^Т)е ' (шло; ,\.
п=1
где С —постоянная Эйлера:
С = 0,577216... A0.17)
Эта форма записи следует из первого определения A0.1)
гамма-функции, которое можно переписать иначе:
п
Г (г) — lim —7-т-п гп—^ ft = игл — 11 ( Н I ft. ¦
' И->сс2B+1) ... (Z+Л) ,^TO 2 11 \ П Ш ^
A0.18)
Воспользуемся тем, что
>Jv-^ »E

10.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 391
тогда
71
' =zlime(-1nn,z Д (l+-i-). A0.20)
т—1
Умножим и поделим это на
п
т=1
п
X Mim 1 I+? е-/" . A0.22)
Как показано в разд. 5.2, бесконечный ряд в показателе
экспоненты сходится к постоянной Эйлера, и мы приходим
к равенству A0.16).
В разд. 5.9 мы убедились также, что бесконечное произ-
произведение Вейерштрасса, с помощью которого определена
гамма-фушщия, приводит к важному тождеству
A0.23)
Снова полагая г— \/2, получим в согласии с A0.8)
Г A/2) = Vn, A0.24)
(взято положительное значение квадратного корня).
Из определения Вейерштрасса сразу же следует, что
Г (г) имеет простые полюсы в точках z — 0, —1, —2,
—3, . . ., а функция [Г (г)]'1 не имеет полюсов в любой
конечной области комплексной плоскости, иными словами,
у Г (z) нет нулей. Эти же свойства следуют и из соотноше-
соотношения A0.23), в котором jc/(sin n г) нигде не обращается
в нуль,
Факториальное обозначение. До сих пор гамма-функция
рассматривалась с помощью обычных классических обозна-
обозначений. Однако —1 в показателе (z — 1) во втором опре-
определении A0.5) сильно мешает, поэтому перепишем A0.5)
иначе:
со
I
==z!, Re2>-1, A0.25)

Ш •.,. ' Г Л А 6 А №. ГАММА-ФУНКЦИЯ
и определим тем самым факториальную функцию z\ Иногда
для z\ применяется обозначение Гаусса
П B) - z\ A0.26)
Символ Г для обозначения гамма-функции был введен
Лежандром. Факториальная функция из уравнения A0.25)
связана с гамма-функцией соотношением
Г (г) = B — 1)! или Г (г + 1) = 21. A0.27)
Если 2 = п, где п — натуральное число, то мы получим
обычный факториал
г\ = л! = 1-2-3. . .п. A0.28)
Однако необходимо четко представлять, что, поскольку
факториальная функция z\ определена соотношением
A0.25) или эквивалентным ему A0.27), она не ограни-
ограничивается только целыми положительными значениями аргу-
аргумента (рис. 10.1, а). Конечно-разностное уравнение A0.2)
в новых обозначениях принимает вид
(*_ 1)! =2!/г. A0.29)
Отсюда немедленно следует, что
0! = 1 A0.30)
и
п! = ГЬоодля п—целого отрицательного A0.31)
(рис. 10.1,6). Соотношение A0.23) также можно записать
с помощью факториальной функции
г\ (_2)! =* nzlsm п z. A0.32)
Интегральное представление. Интегральное представле-
представление гамма-функции, которым пользуются для асимптоти-
асимптотического представления функций Бесселя рядами, имеет вид
;!, A0.33)
где контур С показан на рис. 10.2. Представление контур-
контурным интегралом обычно применяется, когда v — нецелое,
в этом случае 2 = 0 — точка ветвления. Формула A0.33)

а
Рис. 10.1. Графики (а) факториальнои функции
(In jc! — @,46163...)! = 0,88560) и первых двух
производных In {х\)\ факториальная функция
отрицательного аргумента (б).

394
ГЛАВА 10. ГАММА-ФУИКЦИЯ
легко проверяется для v > — 1 деформированием контура
(см. контур С на рис. 10.2). Интегрирование в направле-
направлении от оо к началу дает vl, причем аргумент z равен нулю.
Интегрирование в обратном направлении до оо (в четвертом
квадранте) дает в результате e2jrivv!, аргумент в этом слу-
случае увеличивается до 2я. В случае v > — 1 обход по малой
+ 00
Рис. 10.2. Контур интегрирования С в интеграль-
интегральном представлении гамма-функции; С— деформиро-
деформированный контур интегрирования (разрез вдоль поло-
положительной оси х).
окружности вокруг начала не дает вклада, и мы получаем
результат A0.33).
Часто удобно представить этот результат в более сим-
симметричной форме
f
A0.34)
Это соответствует такому выбору аргумента z в A0.33)
когда он изменяется в пределах от —п до -f-я.
Проведенный анализ позволил убедиться в справедли-
справедливости A0.33) и A0.34) для v > — 1. Сравнительно нетрудно
распространить эти результаты на любые нецелые v.
Во-первых, мы замечаем, что интеграл существует для
v < — 1, если только начало координат не попадает на кон-
контур интегрирования. Во-вторых, интегрирование по частям
убеждает нас, что уравнение A0.35) приводит к конечно-
разностному уравнению A0.29). Если теперь взять A0.29)
за определение факториальной функции при v < — 1,
то выражения A0.34) и A0.35) окажутся справедливыми
для любых v (исключая' целые отрицательные значения).

10.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 395
Упражнения
1. Используя интегральное представление Эйлера A0.5), получить
рекуррентную формулу Г (г-f-1) = гГ (г).
2. Асимптотическое разложение (см. разд. 5.10) функции ошибок
задается как
- 1.З.5...B/1-1)
A0.35)
Записать этот ряд в виде суммы по и, выразив коэффициент при я-м
члене через факториал.
3. Преобразуя интеграл в гамма-функцию, показать, что
1
4. В статистической физике встречается интеграл I *2ne
2ne aar
—со
Показать, что
00
I x2nt~^-dx = -
—oo
Переписать правую часть этого равенства в общей форме, откуда при
п = 0 мы получим значение (я/аI/2.
5. Показать, что гамма-функцию Г (г) можно определить инте-
интегралами
00
Г (г) = 2 f e-nt2z~l dt% Re (г) > 0;
0
i
=1 [1п(т)Т i(lu
оо
6. Показать, что \ e x dx = A/4I
0

ГЛАВА 10.
7. Проверить равенства
со со
\ e-r!nrdr=-C, [ re~nnrdr=\-C1
о
00 ОО
о
= {n-\)\-\-n f rn"fe-4nrdr, я=1, 2,3, ...
о
Указание. Проинтегрировать по частям или продифференцировать по я
интеграл, с помощью которого задана функция п\
8. Найти полюса функции Г (г). Показать, что Г (z)'имеет только
простые полюса и определить в них вычеты.
9. Показать, что уравнение *! = &, k ф 0 имеет бесконечное
множество вещественных корней.
10. Показать, что
ti=0
Это соотношение используется в теории ^-распада.
П. Во многих задачах электромагнитной теории получаются про-
произведения
2п Bл—2).. .6-4.2 = Bл)!1, Bп+ 1) Bп- 1).. .5-3-1 s {2п +1)!!.
Показать, что Bм)!! = 2?гп!, Bл+1)!! = Bп+1)!/2п/г!.
12. Представление функций Лежандра второго рода степенным
рядом содержит выражение
в котором s — натуральное число. Переписать это выражение через
факториалы.
10.2. ДИГАММА- И ПОЛИГАММА-ФУНКЦИИ
(ПРОИЗВОДНЫЕ ГАММА-ФУНКЦИИ)
Дигамма-функция (логарифмическая производная
гамма-функции). Из различных определений, с помощью
которых ввели гамма-функцию, можно заметить, что они
неудобны для непосредственного вычисления производной
этой функции. Вместо этого обычно берут натуральный
логарифм гамма-функции A0.1), получают* вместо произ-
произведений сумму и затем дифференцируют, т. е.
21 = lim '-¦"'*'?)... (г+я) п* A0'36)

10.2. ДИГАММА- й ПОЛНГАММА-ФУПКЦНИ 397
I!
- In (z!) =.-. lim [In (n!) + z In n - In (z + 1) -
П-У CO
- In (г + 2)--...-In (г + л)Ь (Ю.37)
где логарифм предела равен пределу логарифма. Диффе-
Дифференцируя по г, получаем
A0.38)
которое определяет дигамма-функцию .F(z). Если вновь
воспользоваться постоянной Эйлера (см. разд. 5.2. и 5.6),
то A0.38) можно переписать иначе:
00
О0-39)
Одно из приложений уравнения A0.39) связано с представ-
представлением функции Неймана рядом (см. разд. 11.2). Очевидно,
что
& @)= -С- -0,577215664901 ... * A0.40)
Другая, вероятно чаще встречающаяся, форма записи
(z)} приведена в разд. 10.3.
Полигамма-функция. Повторное дифференцирование
дигамма-функции приводит к полигамма-функции:
оо
S (l+l)ti . m=l, 2, 3, ... A0.41)
П=1
Графики & (х) и &' (х) приведены на рис. 10.1,а. Ряд
из уравнения A0.41) определяет дзета-функцию Римана**
* Постоянная С вычислялась до 1271 знака [К n u t h D. E.f
Math. Сотр., 16, 275 A962)] и до 3566 знака [Sweeney D. W.,
Math. Сотр., 17, 170 A963)]. Интересно, что отношение 228/395
дает эту постоянную с точностью до шестого знака.
** В разд. 5.8 при г Ф 0 этот ряд использовался для получения
обобщенной дзета-функции.

398
ГЛАВА !0. ГАММА-ФУНКЦИЯ
(С 2 = 0)
со
П=1
поэтому
A0.42)
A0.43)
Дзета-функция Римана. В табл. 10.1 приведены значе-
значения дзета-функции для различных аргументов. Характер
изменения этой функции показан на рис. 5.4.
S
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
Us)
,6449340668
,2020569032
,0823232337
,0369277551
,0173430620
s
7
8
9
10
Та
1
1
1
1
блица 10.1
Us)
,0083492774
,0040773562
,0020083928
,0009945751
С помощью дзета-функции Римана можно записать раз-
разложение Маклорена для In (z!)
A0.44)
которое сходится внутри единичного круга \г |< 1; при
z = х областью сходимости будет отрезок — l^Jt^l.
Записанное разложение позволяет вычислять г\ для веще-
вещественных или комплексных z, однако для этой цели удобнее
пользоваться рядом Стирлинга (см, разд. 10.3) и, кроме
того, имеются превосходные таблицы значений гамма-
функции комплексного аргумента, составленные с помощью
ряда Стирлинга и рекуррентной формулы (Ю.29) *.
* Table of the Gamma Function for Complex Arguments, Na-
National Bureau of Standarts, Applied Mathematics Series, No. 34.

10.2. ДИГАММА- И ПОЛИГАММА-ФУНКЦИИ 399
Упражнения
I. Убедиться, что два представления дигамма-функции
ОО
-С и
С и Г(х)=У. .
Г х ' ?1 г {Г-\~х)
i
совпадают, если х—натуральное.
2. Функцию Неймана можно записать как*
с»
r=0
n-i
— 1)! ( X \-n+2r
r!
r=0
n 2л r\
r=0
тогда как у Морса и Фешбаха она записана в форме
^п(х) = 1[21п(|)+С~1|)(л+1)]/пЫ-
2 [l/p+1/ОЧ-л)]
n 2j I l> r\ (n+r)\
r=0
n-i
(Я—Г—1I / x\-n+2r
r=0
Здесь t|) B) =d (In Г {z))ldz. Используя представление рядом, убедиться
в тождественности этих различных представлений функции Неймана.
3. Получить конечно-разностное уравнение для полигамма-
функции
l)" 0 * 2
4. G помощью уравнения A0.39) показать, что
ОО
(
2ГBг) Г (г) Г(г+1/2)
ГBг) Г (г) Г(
¦Jeffreys H., Jeffreys В. S. Methods of Mathenjatica.1
Physics. 2nd Ed, Cambridge University Press, 1950,

400 ¦ ГЛАВА 10. ГЛММА-ФУПКЦИЯ
Интегрируя вторую, формулу, можно иным путем получить формулу
удвоения (разд. 10.4).
оо
d С t е~* е~(Г+1)' \
5. Доказать, что -г-In (zl) = I I — j ^ J dt и, слсдова-
o
тельно, постоянная Эйлера равна
оо
6. Показать, что Г (х—iy) — u — iv, если Г (x-\-iy) = u-\-iv.
7. Полная энергия, излучаемая черным телом, равна
и—
Показать, что интеграл в этом выражении равен 3! ? D) [?D) =
= л4/90= 1,0823...]. Конечный результат представляет собой закон
Стефана — Больцмана.
8. Обобщить результат предыдущего упражнения и показать, что
оо
J-^niT=*lC(*+i)i Kc(s)>o. 0)
о
Доказать, что
оо
Соотношения A) и B) иллюстрируют интегральное преобразование
Меллина (разд. 15.1).
9. Релятивистская волновая функция Дирака для атома водорода
содержит множитель [2A — oc2Z2I/2JI, где постоянная тонкой струк-
структуры а =1/137, a Z—атомный номер. Разложить этот множитель
в ряд по степеням a2Z2.
10. При кваптовомеханическом описании частицы в кулоновском
поле необходимо знать аргумент комплексной факториалыюй функ-
функции. Определить аргумент (l~|-t&)! для малых Ь.
10.3. РЯД СТИРЛИНГА
Для вычисления In (г!) при очень больших г (в статисти-
статистической механике), а также при подсчете этой величины
в случае нецелых значений аргумента требуется разложе-
разложение In (г!) в ряд по отрицательным степеням г. Вероятно,

ю.з. ряд стирлиигл 401
наиболее изящный способ получения такого разложения
связан с применением метода перевала (см. разд. 7.4).
Рассмотрим метод, который не требует проведения контур-
контурного интегрирования и является особенно простым.
Использование формулы Эйлера — Маклорена. Фор-
Формула Эйлера — Маклорена для вычисления определенного
интеграла имеет вид
п
/@) + f(l) + /B)++
j
о
-..., (Ю.45)
где коэффициенты b2n связаны с числами Бернулли В2п
(см. разд. 5.8) соотношением
причем
Во=- 1, Яа-1/6, В4=- — 1/30, Я6-1/42, В8 = 1/30, ...
A0.47)
Применим формулу A0.45) для вычисления определенного
интеграла
00
(тхЦ«=—• A°-48)
О
Для г, не лежащих на отрицательной вещественной полуоси,
имеем
Воспользуемся соотношением A0.46) и разрешим последнее
уравнение относительно JF'(г):
оо
J L--L
z 2z* '
r z'A " 25 "•" ' " ~" z
A0.50)
В силу исключительно сильной расходимости чисел Бер-
Бернулли этот ряд не сходится. Он относится к типу асимпто-
асимптотических рядов и, несмотря на его расходимость, исполь-
используется для практических вычислении (см. разд. 5.10),
26-1257

402 ГЛАВА 10. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Однократное интегрирование последнего выражения
дает дигамма-функцию
(г)-= Ct-|-In 2-| -~—-?р ~
оо
2 щк- A0.51)
Если проинтегрировать A0.51) по z от г — 1 до г и затем
устремить г к бесконечности, то постоянная интегрирова-
интегрирования Ci обратится в нуль.
Таким образом, формула A0.51) дает второе выражение
для дигамма-функции, используемое столь же часто, как
и форма записи A0.38).
Ряд Стирлинга. Неопределенный интеграл от дигамма-
функции A0.51) равен
где С2 — новая постоянная интегрирования. Для опре-
определения С2 удобно воспользоваться формулой удвоения
Лежандра (см. разд. 10.4):
г\ (г- 1/2)! = 2-22л1/2B2I A0.53)
В справедливости этой формулы в случае целых положи-
положительных z можно сразу убедиться, записав Bz)! как про-
произведение четных членов на произведение нечетных членов
и последующего выделения множителя, равного 2, от
каждого члена (см. упр. 4). Подставив A0.53) под знак
логарифма в формуле удвоения, мы найдем С2:
A0.54)
откуда
In(zl) = y In2л+ (* + -!) ln*--z +
+ ~*'f A0.55)

10.1 РЯД СТИРЛИИГА
403
Это асимптотическое разложение называют рядом Стир-
Стирлинга. Абсолютное значение ошибки при использовании
7 8 9 10 $
Рис. 10.3. Точность формулы Стирлинга:
а —
7\
Т\
этого ряда меньше абсолютного значения первого отбра-
отбрасываемого члена.
s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
>wv2e-
s!
0,92213
0,95950
0,97270
0,97942
0,98349 "»
0,98621
0,98817
0,98964
0,99078
0,99170
L i iS
s!
0,99898
0,99949
0,99972
0,99983
0,99988
0,99992
0,99994
0,99995
0,99996
0,99998
26*

404 Глава ю. гамма-фумкция
Постоянные интегрирования d и С2 можно также
определить, сравнивая с первым членом разложения, кото-
которое получается по методу перевала (см. разд. 7.4).
Для более ясного представления масштаба ошибки,
с которой связано пользование разложением Стирлинга,
на рис. 10.3 изображена кривая отношения первого члена
в разложении Стирлинга к величине s! В табл. 10.2 при-
приведены отношения одного первого члена и суммы первых
двух членов к величине s\.
Упражнения
1. Переписать формулу Стирлинга для г!
2. Определить относительную точность ряда Стирлинга для In (г!)
при г = 4 в случае одного, двух, трех и четырех членов.
3. Интегрируя уравнение A0.51) от г—1 до z и затем полагая,
что 2->-аэ, определить постоянную Cj в асимптотическом представле-
представлении дигамма-функции 2F (г).
4. Логарифмируя формулу удвоения, показать, что постоянная Сг
в формуле Стирлинга равна A/2Iп2л.
5. Не используя формулу Стирлинга, показать, что 1п(л!)<
n-f-l п
< 1 \nxdx, 1п(/г!)> \ \nxdx, п—целое > 2. Отметим, что ариф-
1 1
метическое значение этих двух интегралов дает хорошее приближение
разложения Стирлинга.
10.4. БЕТА-ФУНКЦИЯ
Используя интегральное определение A0.25), можно
представить произведение двух факториалов в виде про-
произведения интегралов. Для упрощения возьмем интегралы
в конечных пределах
т\п\ = lim [ e-numdu \e~*undv, Rem>—1,
A0.56)

16.4. Set А-функция
405
Сделав замену // х2 и v -t/2, получим
а? а
т\п\ = lim 4 f e-*Vm+1dx \ e-v*y*n"dy. A0.57)
a-*»
J
Запишем соотношение A0.57) в полярных координатах
а Л/2
ini- lim 4 \ е-'2г2т+2П+3dr \ cos2m+10sin2n+1 вdQ =
я/2
, A0.58)
в котором определенный интеграл вместе с множителем 2
называется бета-функцией:
я/2
s 2 \ cos2m+16 sin2n+18 d& =
о
7щ-=В{п+\, т+1). A0.59)
Здесь аргументами выбраны л + 1 и т + 1, что связано
с традиционными обозначениями.
Рис. 10.4. Переход от декартовых коорди-
координат к полярным.
На переходе от декартовых координат к полярным сле-
следует остановиться особо. Как видно из рис. 10.4, затем-
затемненная часть площади не учитывается при таком переходе.

406 ГЛАВА 16. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Однако максимальное значение функции в этой области
равно еа2а2т Ь2»И-\ откуда видно, что при стремлении а к бес-
бесконечности интеграл по этой области исчезает, поскольку
подынтегральная функция обращается в нуль.
Определенные интегралы, другие формы. Прежде всего
бета-функцию используют при вычислении определенных
интегралов, которые имеют форму интеграла в A0.59).
Подстановка t = cos2 0 сводит бета-функцию к интегралу
i
В{т+\, п+\)= ^ГA-/)я<й, A0.60)
который почти аналогичен интегралу из A0.9). Другая под-
подстановка t = u/(\-\-u) приводит к виду
В(т+\, n+l) = j(| + ^n+2d«. A0.61)
0
Если в интеграле A0.61) положить т — а, п— —а,
— 1 < а < 1, то
оо
A0-62)
Интегрированием по контуру можно показать, что этот
интеграл равен яа/sin па (см. гл. 7); таким образом, мы
иным путем получили формулу A0.32).
Формула удвоения Лежандра. Представление бета-
функции в виде A0.59) позволяет воспользоваться этой
функцией при выводе формулы удвоения (см. разд. 10.3).
Для Re z > — 1
^^ф (ю.63)
о
Сделаем замену t = (\-}-s)/2f тогда
i
г\г\ п«7_. Г
1
f (l-sa)Jds. A0.64)
Изменение пределов интегрирования оказалось возможным
благодаря четности подынтегральной функции. Чтобы

10.4. БЕТЛ-ФУМКЦИЯ 407
вновь привести этот интеграл к виду A0.60), используем
замену и — s2:
г\г\
= 2-22-! A-«)г«
A0.65)
Перегруппировывая члены и учитывая, что (—1/2)! = я1/2,
мы немедленно приводим это уравнение к одной из формул
удвоения Лежандра
г\ (Z + 1/2)! = 2-2*-1я1'2B2+ 1)! A0.66)
Поделив на г +1/2, получим еще одну форму записи этой
формулы:
г\ (г- 1/2)! = 2~2гп^ Bг)\ A0.67)
Хотя интегралы, которыми мы пользовались при получении
формулы удвоения, определены только для области
Rez> —1, формулы A0.66) и A0.67) благодаря изве-
известному методу аналитического продолжения справедливы
для любых z *. \
Упражнения
I. Вычислить интегралы (используя бета-функцию)
Я/2 я/2 Я/2
f (ctg еI/2 rfo, f cos4/3 e sin5/3 e^e, f cos1/2 e <ю,
0 0 0
я/2 я/2
f cosn9rf0= \ sin" 0 rfO.
о о
Ответ-Л '(б)'!»)' '2лK/2
V2 ' 3 VS ' ~Г7Т \ ,-J* ' 2 («/2,!
2. Проверить тождества
а, Ь)~В{а-\-1, Ь)+В{а, b | I), B(tf| /;)-^«(«, Ь-| 1),
zlB(a [-1, 6—1), /i(«, Ь) U(a \-b,c) ^ В(Ь,с) В(а, Ь\с).
* Если 2z — целое отрицательное '.гпсло, получается меоире-
делг.инопть ти.па оо — сю.

408 ГЛАВА 10. ГАММА-ФУНКЦИЯ
1
3. Вычислить интеграл \ A-f--*)a (\—x)bdx, ответ представить
через бета-функцию.
Ответ. 2a+b+ifi («-[-1, b -|-1).
4. Показать, что В(р, р) В ( р-\~-х-, Р + тг ) =
Воспользоваться формулой удвоения.
5. Показать с помощью бета-функции, что
dx Я 0<а<1.
-а/у /\а sin па
Этот результат будет использован в разд. 16.2 для решения обоб-
обобщенного интегрального уравнения Абеля.)
6. Показать, что интеграл Дирихле равен
[
p\q\
{p-\-q-\-2)\
Область интегрирования—треугольник, ограниченный положительными
полуосями х и у и линией jt-j-1- 1.
7. Получить формулу удвоения для факториальной функции,
интегрируя равенство (sin29Jn+i = Bsin8cos 9Jn+1 и используя
бета-функцию.
8. Указать, каким образом построить таблицу гамма-функции для
значений аргумента дс = О, 0,1, 0,2, 0,3 и т. д., используя: 1) извест-
известные значения @,1I, @,2)!, @,5)!; 2) таблицы тригонометрических
функции.
9. Из известных равенств
s=0
Л/2
о
получить
= 2 f sin2m+1Ocos2,lfl0d9
Я/2
2 \V
f sin2v9cosBcos8)d9, Re(v)>—i-.
Здесь Уу (г)—функция Бесселя,

10.5. НЕПОЛНАЯ ГЛММЛ-ФУИКЦИЯ
409
10.5. НЕПОЛНАЯ ГАММА-ФУНКЦИЯ И РОДСТВЕННЫЕ ЕЙ ФУНКЦИИ
Обобщая определение Эйлера гамма-функции A0.5),
введем неполную гамма-функцию (пределы интегрирова-
интегрирования — переменные):
ОЗ
у (а, х) =г I е"'Г"х dt, Re (a) > 0 и Г (а, х)~\ е~{1а~г dt.
о х
A0.68)
Очевидно, |эти функции удовлетворяют равенству
: у [а, х) + Т{а, х) = Т{а), A0.69)
Выбор одной из них целиком определяется соображениями
удобства. Если а — натуральное число, интегралы A0.68)
имеют вид
n-i
у(п, *
8=0
п-:
A0.70)
При нецелых а разложение у (а, х) в степенной ряд и асимпто-
асимптотическое разложение Г (а, х) получены в разд. 5.6, 5.10:
оо
y(a,x)=x«2i(-
п=0
Tin
^ - xa-i
п*=0
(a-f n)
1
(а-1-я)! *п
(_~a)! x
п *
A0.71)
п=0
J
Неполные гамма-функции могут быть записаны через
вырожденные гипергеометрические функции (см. разд. 13.5).
Интегральная показательная функция. Неполная гам-
гамма-функция Г (а, х) в ее общей форме A0.68) сравнительно
редко встречается в решениях физических задач, тогда как
некоторые специальные случаи, соответствующие опре-

410
ГЛАВА 10. ГАММА-ФУНКЦИЯ
деленным частным значениям аргумента, очень распро-
распространены и находят широкое применение. Рассмотрим
0 0,2 0,4 0,6
1,0 1,2 U 1,5 X .
Рис. 10.5. График интегральной показательной
функции Ei(x)= — — Ei (—х).
интегральную показательную функцию (рис. 10.5), опре-
определенную тождеством *
Тогда
оо
X
A0.72)
= \\т[Г(а)-у(а, х)]. A0.73)
о->0
Следует помнить, что интеграл A0.72) имеет логарифми-
логарифмическую особенность при х—>0. Выделим эту особенность
в отдельный член
оо
-]-2Ц?г. <10-74>
а затем, пользуясь правилом Лопиталя и определением
дигамма-функции A0.40), получим выражение для Ei(x)
оо
[— I)" X
п-п\
п
A0.75)
n=i
справедливое при малых х. Асимптотическое разложение
приводится в разд. 5.10.
* Наличие двух знаков минус связано с исторически прииятьш
обозначением.

10.5. НЕПОЛНАЯ ГАММА-ФУНКЦИЯ
411
К другим функциям, которые связаны с интегральной
показательной функцией, относятся интегральные синус,
1ft-
A0.76)
Рис. 10.6. Графики интегрального синуса
и косинуса.
косинус (рис. 10.6) и логарифм, определяемые формулами
00 СЮ
Г> • / \ I djll? # / /"> . у v I L»vO ' it
*vi I y\ ^_ I _^^^_ /if' I 1 |yl I /7Г*
Ol 1ЛI -—¦ ^^ I , itt, VjI l^/ "~" I . U-P j
J * J *
X . X
X
Г du r-%'
Можно показать, что
-•¦:•¦ Si(x) = ^r[E\(ix)-E\(-ix)l A0.77)
a
Складывая эти два равенства, получаем
A0.78)
A0.79)
т. е. связь этих интегральных функций аналогична связи
между функциями eiae, cos x и sin x.

412 ГЛАВА 10. ГАММА-ФУНКЦИЯ
Степенной ряд в окрестности начала, а также асимпто-
асимптотическое разложение для Si (jc), Ci (x) и li (x) могут быть
получены из соответствующих разложений интегральной
экспоненты —Ei (—х).
Упражнения
CO
f e~l
(.Доказать, что интегральная экспонента равна \ —j— dt —
х
оо
S/ \)Ъ Хп
—.— , С—постоянная Эйлера.
n=i
2. Показать, что для неполных гамма-функций у (а, х) и Г (а, х)
справедливы соотношения
со
у (а, х) = ха/2 \ e-lt{a/2-l)Ja B (*/I/2J dt, Re (a) > 0,
0
CO
J I 're/2^[2@1/2J«. Re(e)< 1.
I
0
Указание. Воспользоваться степенным рядом для функции
Ja[2(*/I/2] (см. разд. 11.1). Выразить Ка через /а и использовать
степенное разложение (см. разд. 11.4).
3. Показать, что
dm
[*( )) {\)тат(+, х),
[ху(а, х))
dm Г (а)
4. Доказать справедливость рекуррентных соотношений для непол-
неполных гамма-функций у (а, *) и Г (а, х):
Y(e+li лс) — ау(а» х)—хае~ж, Г(а+Ь х) —аГ(а,
00
5. Показать, что у (а, х)^е"х
Сделать это: 1) интегрируя по частям; 2) приводя записанное выраже-
выражение для у (а, х) к ее определению A0.71).
6. Используя обычную замену переменных, привести функцию
J
CO
1
к интегральной экспоненте A0.72). Показать, что Еп (х) удовлетворяет
рекуррентному соотношению

ГЛАВА 11
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
11.1. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА
Производящая функция. Функции Бесселя интересны
в основном как решения дифференциального уравнения.
Полезно однако рассмотреть совершенно иной способ
определения, используя производящую функцию:
g(x, O^eWW-W. A1.1)
Этот способ позволяет сконцентрировать все внимание
на самой функции, а не на дифференциальном уравнении,
которому она удовлетворяет.
Представление рядом. Разложив производящую функ-
функцию A1.1) в ряд Лорана (см. разд. 6.4)\ получим
оо
Jn{x)tn, A1.2)
П=—ОО
где Jn (x) — коэффициенты при tn — функции Бесселя первого
рода целого порядка п.
Раскладывая в ряд показательные функции, получаем
СО ОО
Г=0 5=0
При заданном s выделим коэффициент при степени tn
из члена
,n+s m+s / v \s /-s
т)
Он окажется равным*
ОО
8=0
* Из способа получения этого ряда и из его свойств сходимости
должно быть ясно, что переменную х в нем можно заменить на г,
где г — любая точка комплексной плоскости.

414
ГЛАВА II. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Функция Бесселя для п<0 определяется рядом
оо
п=0
полученным из A1.5) простой заменой п на —/i. Поскольку
здесь л —целое число, E—л)!—»оо для s = 0, . ..,(п—1).
Рис. 11.1. Графики функций Бесселя J0(x), Ji(x)
и У2(^).
Следовательно, можно считать, что ряд начинается с s = п.
Заменив s на s+л, получим
00
8=0
Л)Ь
откуда немедленно следует, что функции Jn(x) и J.n{x)
связаны друг с другом:
-n (х) = (— 1 )п /n W, п — целое.
A1.8)
Ряды A1.5) и A1.6) можно использовать и при нецелых
п для определения соответствующих функций Бесселя
Jn (х) и /_„ (х) (см. упр. 1). На рис. 11.1 показано пове-
поведение функции Бесселя.
Рекуррентные соотношения. Рекуррентные соотношения
для функции Jn (x) и ее производных можно получить
непосредственно из разложения A1.5), но удобнее вое- [
пользоваться производящей функцией g (x, t), Дифферен-

11.1. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА 4|5
цируя (ИЛ) по t, получаем
00
п~—со
A1.9)
Подставив в соотношение A1.9) разложение экспоненты
A1.2) и приравняв коэффициенты при одинаковых степе-
степенях t*, имеем рекуррентное соотношение
^ (НЛО) <*
Теперь, зная, например, Jo и Ju можно найти /2 (или
любую функцию Jn целого порядка).
Продифференцируем A1.1) по х:
со
Jn\X)l .
П=—oo
»
Снова заменив производящую функцию разложением A1.2)
и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях t,
получим еще одно рекуррентное соотношение
В частности
y;(*)=-j,(x). (U.13)
Сложим уравнения A1.10) и A1.12), а результат поделим
пополам:
. A1.14)
Умножим на хп и перегруппируем члены:
^ \ A1.15)
Вычтем уравнение A1.12) из A1.10), а результат поделим
пополам; окончательно
J()J() A1.16)
* Это возможно благодаря единственности ряда (см. разд. 5.7
И 6.4).

416 ГЛАВА П. ФУНКЦИИ БКССЕЛЯ
Умножив на х~п и произведя соответствующую перегруп-
перегруппировку, будем иметь
^= -x-nJn+i(*)- (П. 17)
Дифференциальное уравнение Бесселя. Предположим,
что имеется набор функций Zv (х), которые удовлетворяют
основным рекуррентным соотношениям A1.10) и A1.12),
при этом v не обязательно заданы в виде ряда A1.5).
Уравнение A1.14) можно переписать так (n->v):
A1.18)
Продифференцируем его по х:
Умножим далее это уравнение на х, а затем вычтем из него
уравнение A1.18), умноженное предварительно на v:
Перепишем A1.16), заменив в нем п на v—1:
;_t = (v— 1) Zv_i —a:Zv. A1.21)
Используя соотношение A1.21) для нахождения Zv-t и Zi_i
из A1.20), окончательно получим
*2z;+*z;+(*2~v2)zv=o. A1.22)
Это и есть уравнение Бесселя. Очевидно, можно утверждать,
что любые функции Zv (х), которые удовлетворяют рекур-
рекуррентным соотношениям A1.10) и A1.12), A1.14) и A1.16)
или A1.15) и A1.17), удовлетворяют уравнению Бесселя,
иначе говоря, неизвестные функции Zv являются функ-
функциями Бесселя. В частности, мы убедились, что функции
Jn (x), определенные с помощью производящей функции,
также удовлетворяют уравнению Бесселя.
Интегральное представление. Особенно, удобно пользр-.s
ваться функциями Бесселя, если представить их в инте-'
тральной форме. Вернемся к производящей функции AЫ)"'
и произведем замену t — eie:
eixsin в = Jo (jc) -f- 2 [/а (x) cos 29 + J4 (*) cos 49 + ... I +
A1.23H

11.1. ФУНКЦИИ ЁЁССЁЛЯ ПЕРВОГО {'ОДА 417
Здесь учтено, что
ie^IWsin0, \
2Wcos201 ... J
В результате, приравняв соответственно реальную и мни-
мнимую части, получим
00 ^
cos(xsin8) = J0W + 2 2 /»М«вBлв),
. ""' \ (П-25)
sin(ArsinG) = 2 2 Jzn-i(x)s\n[Bn—1H].
n=i J
Принимая во внимание свойства ортогональности синуса
и косинуса*
я я
I cosn0cosm0d0 = -^-6nm} I sinrt0sinm0d0 = —б
о
A1.26)
где n и т — натуральные числа (нуль исключается)**,
получаем
1 (• Г j я f jc% /i — четное
cos (* sin 0) cos nv dv — I x ' A1,27)
\ 0, n — нечетное,
я
If., . nv • fljfl f 0, п — четное, ... no.
— \ sin (* sin 0) sin m)a0 = \ A1.28)
n j [Jn(x), я— нечетное.
. Если сложить эти два уравнения, то
я
Jn (х) = -i- f [cos (x sin 0) cos nQ + sin (x sin 0) sin n$] d0 =
0
я
L I crsbtrift ydnflWA и — 0 1 9 4 Ml 9Q\
Я J '
0
*Они являются собственными функциями самосопряженного
уравнения (уравнение линейного осциллятора) и удовлетворяют
соответствующим граничным условиям {см. разд. 9.2 и 14.1).
> ** Условие A1.26) выполняется, когда либо п = 0, либо т — О,
; однако одновременное равенство нулю исключается.
; 27-1257

418
Г Л А В Л II. ФУНКЦИИ BF.CCF
Как частный случай
Л М - ~ [ cos (a: sin 0) с/0. A1.30)
Интегральное представление A1.29) можно получить, при-
применяя * контурное интегрирование (см. ниже упр. 13).
Нужно заметить, что наряду с полученным существует
I I I1 It t л
Рис. 11.2. Дифракция Фраунгофера
от круглого отверстия.
много других интегральных представлений функции Бес-
Бесселя (см. ниже упр. 22). Одно из них рассмотрено в разд. 11.5
специально в связи с применением метода перевала для
получения асимптотических представлений • различных
функций Бесселя.
Дифракция Фраунгофера (от круглого отверстия).
В теории дифракции встречается интеграл
а 2эт
j \eibrsinQdQrdr, A1.31)
о о
где Ф — амплитуда дифрагированной волны; 9 — азиму-
азимутальный угол в плоскости отверстия, а а — угол между

I I.I. ФУНКЦИИ ЬКССКЛЯ МИРНОГО РОДЛ
119
прямой, проходящей через точку на экране и центр отвер-
отверстия, и нормалью к плоскости отверстия. Параметр Ь опре-
определен зависимостью
, 2я .
о ~^г sin a,
A1.32)
где X — длина волны падающего пучка (рис. 11.2). Пере-
Переходя от экспоненциальной к тригонометрической форме
записи и воспользовавшись уравнением A1.30), мы получим
а
Ф~2я \ JQ(br)rdr. A1.33)
о
Применение формулы A1.15) позволяет здесь немедленно
произвести интегрирование
2каЬ т . ,ч Ха т / 2па
Ф
г
sin а
J, -тг— sin a) . A1.34)
Интенсивность света на дифракционной картине пропор-
пропорциональна
A1.35)
sina
J
Из табл. 11.1 следует, что эта функция имеет нуль в точке
-^ sin a-3,8317 ... A1.36)
Таблица 11.1
2,4048
5,5201
8,6537
11,7915
14,9309
Корни функций Бесселя
3,8317
7,0156
10,1735
13,3237
16,4706
J-l (х)
5,1356
8,4172
11,6198
14,7960
17,9598
Корни первых производных функций
3,8317
7,0156
10,1735
• 1,8412
5,3314
8,5363
««
3,0542
6,7061
9,9695
6,3802
9,7610
13,0152
16,2235
19,4094
Бесселя
J' (х)
4,2012
8,0152
11,3459
27*

420 ГЛАВА 11. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
ИЛИ
sin а = 3,8317№ta. (
Для зеленого цвета К = 5,5-10~5 см. Следовательно, если
а = 0,5 см у то
a^sin а=6,7-1(Г5 радяН". A1.38)
Отсюда видно, что отклонение или размытие светового
луча весьма мало. Как известно, этот анализ был проведен
в XVII в. и послужил главным доводом в пользу волновой
теории света.
В середине двадцатого столетия была получена диф-
дифракционная картина при рассеянии частиц атомными
ядрами, и тем самым были продемонстрированы волновые
свойства микрочастиц.
Колебания круглой мембраны. Амплитуда колебаний V
круглой мембраны как функция координат г, 0 и времени
t должна удовлетворять волновому уравнению
=°. с1-39)
где v — (фазовая) скорость волны, определяемая коэффи-
коэффициентом упругости мембраны. Это дифференциальное урав-
уравнение в частных производных можно решить методом раз-
разделения переменных, предположив, что V — S (г, 0) Т (/).
Тогда
Г = е±'в«, A1.40)
где (о —частота.
Пространственная часть 5 амплитуды должна описы-
описываться волновым уравнением, не зависящим от времени:
V*S-\-k2S = Q A1.41)
с
k2 = wVv\ A1.42)
Величина k, называемая обычно волновым числом, связана
с длиной волны X и частотой v следующим образом: .
(ПАЗ)
Предполагая, что
s (г, е) = д (г) е (в), (И.44)

11.1. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА 421
произведем разделение переменных в полярных коорди-
координатах (см. разд. 2.6 и 8.2):
Положим
1Г""Ж=~т2* A1.46)
Отсюда очевидно, что
в = e±im?. A1-47)
Константа разделения выбрана отрицательной, поскольку
при бесконечном росте 0 колебания мембраны не могут
неограниченно возрастать; кроме того, потребуем, чтобы
постоянная т была целым числом, так как смещение точек
мембраны должно быть однозначной функцией 0. Уравне-
Уравнение для радиальной части сводится в этом случае к урав-
уравнению Бесселя
г8 —/и8) Я ¦-= О A1.48)
с решением
R(r)^Jn(kr). A1.49)
С учетом полученных результатов полное решение уравне-
уравнения A1.39) запишется в виде*
U(r, 0. t) = Jm(kr)(aleim* + a&-im*){biei*t + b&--i»t)m (ц.50)
Постоянные аи а2, fri и Ь2 определяются начальными усло-
условиями колебаний. С другой стороны, волновое число к
входит в уравнение в качестве собственного значения
и может принимать только определенные значения в соот-
соответствии с требованием
U (о, 0, /) = 0, A1.51)
где а — радиус мембраны. Следовательно,
= 0 и ka = 2ш!Х A1.52)
m
есть корень /т. Из уравнения A1.43) видно, что частота
может принимать лишь определенные значения (кванто-
(квантована).
* Кроме функций Jm имеются еще и другие функции Бесселя,
однако они все расходятся в точке г = 0 (см. разд, 11.2). Уравне-
ие A1.6) в неявной форме содержит расходимость.

122 Г .'I Л И Л !!. ФУНКЦИИ ПГХС.К.МЯ
Ортогональность. Рассмотрим д»е функции Бссссля пер-
первого рода п-го порядка
и --= Jn (ax), v ¦-¦ J,, (Ьх), A1.53)
которые удовлетворяют уравнениям
и--=О, A1.54а)
xv" + v'-\-xlb2-~)v^0, A1.546) !Р
где
А
и т. д. A1.55)
Уравнения A1.54) — самосопряженные, поэтому на осно-
основании теории Штурма — Лиувилля [см. гл. 9 (X2 = а2, Ь2\
w = x)J можно ожидать, что функции и и v будут орто-
ортогональными и будут удовлетворять определенным гранич-
граничным условиям. Следуя общей теории, изложенной в гл. 9,
умножим уравнение (П.Г>4п) на V, а A1.546) па и, проинте-
проинтегрируем полученные результаты в пределах от 0 до 1,
а, затем вычтем одно из другого
1
B 1л2\ i А /' ' \ ^ /11 ttC\
/I \ I "' \ ' I
О
. Все функции Jn (x) конечны в нуле *, поэтому правая
часть уравнения обращается в нуль при х — 0. Правая
часть уравнения обратится в нуль и при х ~ 1, если
в качестве параметров a a b взять корна функции Jn (x),
Jn(a) = Jn(b) -0. A1.57)
Тогда для афЬ
1
\ Jn (ax) Jn (bx) xdx = 0. A1.58)
4 '
о
Обратим внимание на весовой множитель х. Если положить
а~Ь, то получится нормировочный интеграл
\ [Jn (ax)}'xdx^\ \~ jj(ax) \x==i]\ A1.59)
* В этом легко убедиться, обратившись к ряду A1.5).

ii.i. функций бесселя первого рода 423
Предлагаем читателю самостоятельно доказать последнее
равенство.
Функции Бесселя нецелого порядка. Читатель, вероят-
вероятно, заметит, что производящая функция определяет функ-
функции Бесселя только целого порядка JQt Ju Л и т. д. В этом
существенная ограниченность определения функций Бес-
Бесселя через производящую функцию. Однако можно легко
определить функцию Бесселя первого рода /v (х) для не-
нецелых v, если использовать для этой цели ряд A1.6).
Рекуррентные соотношения проверяются просто под-
подстановкой в них Jv (x) в виде ряда (см. ниже упр. 1).
Из этих соотношений следует уравнение Бесселя. Действи-
Действительно, если v — нецелое, то возможно существенное упро-
упрощение. Известно, что функции /v и 7_v независимы, так
как они не связаны соотношением вида A1.8). С другой
стороны, для целых v — п нам необходимо другое неза-
независимое решение. Отысканию этого второго решения
и исследованию его свойств будет посвящен разд. 11.2.
Упражнения
со
1, Дифференцируя функцию Jv(x)=]>] ^( ^~j \
8=0
показать, что она удовлетворяет двум рекуррентным соотношениям
2v
и дифференциальному уравнению Бесселя
(х)+х/; (х)+(х*- v») J v (х)=о.
2. Рассмотрев произведение двух производящих функций
g{x> 0 &(¦—*> 0» показать, что
и, следовательно, l^oWl^l» a I ^n ix) \ -^ l/"l/2» n— U 2, 3, ...
3. Используя производящую функцию g(x, t) — g{u-{-v, t) =
= ^(и» 0g(u> 0i "оказать, что
со
со
2 J»{u)J-t{v).
Эти равенства иллюстрируют теэремы сложения функций Бесселя.

424 'ГЛАВА 11. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
4. Используя одну лишь производящую функцию
со
= У] Jn ix) in и не применяя представление Jn (x) рядом, показать,
П=—оо
что функция Jn (x) четная или нечетная в зависимости от того, четно
или нечетно л, т. е. Jn (*) = (— l)n Jn (—х).
5. Получить формулы для производных
d Jn {х)]^*^ [х), ~ lx-nJn W] = -r^/n+i (x),
dx
умножая функцию Бесселя Jn (x), представленную рядом, на хп и х~п
и затем дифференцируя это произведение.
6. Доказать, что между двумя соседними корнями функции Jn{x)
расположен один и только один корень функции Jn+i (x). Указание.
Использовать уравнения A1.15) и A1.17).
СХ> 00 00
7. Вычислить интегралы \ /j (х) dx, V /g (*) х~1 ^хч \ ^n+i {A x~ndx%
0 0 О
предполагая, что при *->оо Jn(x) стремится к нулю, как х~
Ответ: 1, 1/2, ]/2пп\.
00 ОО
8. Доказать, что I Jn(x)dx= \ /п+г(х)^> я=0, 1, 2, ...
и о
9. Показать, что дифференциальные уравнения
представляют собой различные формы уравнения Бесселя, и решить их.
10. Доказать, что
я/2 я/2
!Ei= \ JQ (x cos 0) cos 0 d0, -—^i?-= f Ji(xcosQ)dQ.
о о
Указание. Воспользоваться определенным интегралом.
11. Показать, что
1 со
J
0
12. Прямым дифференцированием и подстановкой показать, что
с
или эквивалентная ей функция

11.1. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА 425
удовлетворяет- уравнению Бесселя. (Контур С охватывает начало коор-
координат и всю отрицательную полуось х; обход следует совершать
справа налево. Линия разреза совпадает с отрицательной полуосью л:.)
Показать, что интеграл A) можно привести к виду
2я 2я
ne)dG = -^- f ei(*cos0+n0>de. C)
о
13. Контур С из упр. 12 деформирован следующим образом:
от —оо до — 1, единичный круг от е~гл до егл и, наконец, от — 1
до — оо. Показать, что
Я со
о
Это—интеграл Бесселя. Указание. При отрицательных значениях
переменной интегрирования и использовать замену и =
14. Используя тригонометрическую форму записи, убедиться, что
О
15. Показать, что рекуррентное соотношение J'n (x)~
= -jr [Jn-i {*) — 4+1W1 получается прямым дифференцированием
из формулы A1.29).
оо
16. Показать, что Jq(R)~ ^ Jn (ri) 4 (гг) ein<p, где № — г\-\-
11= — оо
+ г|—2г1Г2СОБф; ф—угол между векторами rt и г2; Р — угол между
Rh n.
Полученный результат можно обобщить:
П=—00
00
cos
17. Изменяя верхний предел в интеграле из уравнения A1.56)
от 1 до Р, показать, что
р
j jn {ax) jn {bx) xdx = P \bJn (aP) Уп (bP)-aJ'n (aP) Jn (bP))t
0
где J'n (aP) = j— Jn {ax) \x=sP.

426 Г Л А 13 Л II. ФУНКЦИИ Б1-СС1-ЛЯ
Сделав замену Ь--а-\-г (е *-()), показать, что
Р
о
Эти интегралы обычно называют первым и вторым интегралами
Лёммеля.
18. Частица (с массой т), когорая находится в круглом цилиндре
радиусом R и высотой Я, описывается волновой функцией, удовлетво-
удовлетворяющей волновому уравнению Шредингера:
чл ч -
где -ф = 0 на поверхности цилиндра. Найти минимальное значение
энергии.
Ответ.
т l\ R
где zpq есть д-и корень 7Р, индекс р определяется азимутальной
зависимостью;
-2ml\R)
19. В анализе излучения антенны встречается интеграл g(u) =
— \ f {г) J о [иг) г dr. Показать, что g{u) — ——Ji(u)y ес^и f(r)=\ — г2.
о
20. Показать, что
Я/2
¦—ГТ- D)V fcos(jrsin9)cos2v9d9, v>~~-
lit
D)
Указание. Разложить в ряд и почленно проинтегрировать.
Привести интеграл D) к различным интегральным представлениям
функции /v (x):
л
Jv{x) = ! г- f4)V \ cos(*cos9)sin2v9d9;
я
-i) ,
ijv f e±bcosesin2ve<m;

11.2.1фупкцип пппмлпл 427
2!. Мпюльлуи шгптр.гпи ./v(\) - I -1 \ / v ' ;;
Xet-xVfddtJv{x) __^_С rv-le(.T/2)(f-i/«)rf<i получить рекур-
рекуррентные формулы J' (х) = ^- Jv (*)—./v+i (*)• J'v W = T Jv-\ (x) —
'^"•'V + l (*)*
22. Получить теорему сложения для функций Бесселя
00
cos Э + Ь2) = /0 (a) Jo (b) + 2 ]g /п(а)Уп(Ь) созяв.
1
23. Вычислить интеграл \ [Jn(ax)]*dxt где а —корень Jn, т. е.
Jo
/ d \n
24. Получить формулу Jn (х) — (— \)п х11 I—-т- I Jq(x).
\ х их /
25. Получить разложение плоской волны в ряд по цилиндри-
цилиндрическим волнам (разложение Якоби—Ангерл).
m=—oo
11.2. ФУНКЦИИ НЕЙМАНА
Из теории дифференциальных уравнений следует, что
уравнение Бесселя должно иметь два независимых реше-
решения. При нецелом v они были найдены с помощью беско-
бесконечного ряда A1.5). При целом же v выполняется усло-
условие A1.8), и мы получаем лишь одно независимое решение.
Второе решение можно найти, привлекая методы, разви-
развитые в разд. 8.5, однако полученный вид отличается от стан-
стандартного.
Определение. Рассмотрим функцию Неймана как линей-
линейную комбинацию Jv (x) и J-v (x):
sinvii
При v нецелом A^v (x)t очевидно, удовлетворяет уравнению
Бесселя, поскольку эта функция — линейная комбинация
известных решений Jv (x) и /_v (x). Однако при целом v,
когда вступает в силу условие A1.8), уравнение A1.60)

428 ГЛАВ А П. ФУНКЦИИ БЕССИЛЯ
становится неопределенным. Способ задания функции
Nv (х) выбран специально с учетом этого обстоятельства.
Оценивая Nn (х) по правилу Лоииталя, получаем
•n sin nnJn (x) 4- fcos nn (dJv/dv—dJ_v/dv)]
n cos nn
v=n
v=n
Представление рядом. Разложение в ряд* имеет крайне
неудобную форму записи
00
. n-1
_1 V (»-'-W f4)-n+2r A1.62)
r=0
с логарифмической зависимостью, которую следовало ожи-
ожидать заранее. Полученное выражение доказывает, конечно,
независимость Jn и Nn. Здесь 3- (г)— дигамма-функция,
которая появилась после дифференцирования факториалов
в знаменателе /v (x) [см. уравнение A0.39I. Учитывая
свойства дигамма-функции (см. разд. 10.2, упр. 2), пре-
преобразуем выражение A1.62) к более удобному виду
п
При /
1
я
1 =
со
г=0
п
0 имеем
' г!
n-i
г=0
2 ,,
:/2)п+2г
(п + г)\
1 V f С
1 Л ~\- U
г
VI [
2j I
р=1
— In \
¦ 1 1
-п+2г
2/
2)+ОМ,
A1.64)
* Для этого применяется формула -г- ху -~ xv In x.

1.2. ФУНКЦИИ НЕЙМАНА 429
а при v>0
±^1(±)Ч...* A1-65)
Чтобы убедиться, что функция Неймана Nv (х), иначе
ее называют функцией Бесселя второго рода, действительно
удовлетворяет уравнению Бесселя для целых /г, поступим
следующим образом. Продифференцируем уравнение Бес-
Бесселя для функций /±v (x) no v:
- <1L66>
Умножая уравнение для /_угна (—l)v, вычитая затем его
из уравнения для Jv [как это требуется для выражения
A1.61)] и переходя, наконец, к пределу v -> /г, получаем
N
(И.67)
При целых v = n правая часть равенства A1.67) в силу
условия A1.8) равна нулю, и тогда функция Nn (x) —
решение уравнения Бесселя. Следовательно, наиболее общее
решение для любых v можно записать как
у(х) = A/v (х) + BNV (x). A1.68)
Из A1.62) видно, что Мп имеет логарифмическую особен-
особенность. Поэтому любое граничное условие задачи, требую-
требующее ограниченности решения в начале координат (как,
например, в случае колебания круглой мембраны), авто-
автоматически исключает Nn (x), и наоборот, если такого требо-
требования нет, необходимо учитывать Nn (x). На рис. 1L3
показано поведение функций No (x), Nt (x) и N2 (x).
Рекуррентные формулы. Подставляя выражение A1.60)
для Nv (x) (v —- нецелое) или A1.61), если v — целое,
в рекуррентные соотношения A1.10) и A1.12) для Jn (x),
мы убеждаемся, что Nv (x) удовлетворяет им. Это еще раз
подтверждает, что Nn (x) — решение. Причем суще-
существенно подчеркнуть, что обратное не обязательно верно.
В разд. 11.4 мы рассмотрим пример, доказывающий это.
* Этот результат справедлив как для целых, так и нецелых
значений индекса v.

4 30
Г ЛАВА II. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ"
Определитель Вронского. Определитель Вронского для
решений уравнения Бссселя имеет вид (см. разд. 8.5)
uv (х) v'v (x) — u'v (x) vv (х) --¦ AJx, (II.69)
где Av — параметр, постоянный в том смысле, что не зави-
зависит от xt определен функциями Бесселя uv (x) и uv М-
Рис. 11.3. Функции Неймана No (х), Nt{x) ъ N2{x).
Остановимся на специальном случае
A1.70)
Поскольку параметр Av не зависит от х} его можно опре-
определить в любой удобной точке, например, в точке х — 0.
Используя первые члены разложений A1.5) и A1.6), полу-
получим
, i;
vx
v-1
2vv!
» » —V
Подставляя A1.72) в A1.69), имеем
(x) J.v (x) - /; (*) Lv (x) = j^^ =
2 sin
(-v)! *
A1.72)
.73)

11.2. ФУНКЦИИ ПЕЙМЛМЛ 431
что с учетом формулы A0.32) дает v! ( —v)!=nv/sin vn.
Подчеркнем, что параметр Av равен нулю, если v — целое;
впрочем, это естественно, поскольку отличие определителя
Вронского от нуля есть условие независимости двух реше-
решений, а из уравнения A1.73) ясно, что Jn и 7_п —- линейно
зависимые решения.
Используя рекуррентные соотношения, легко получить
другие рекуррентные формулы. Приведем некоторые из них:
AJ-v+i + J-vJx-i — 2 sin vnlnx, A1.74)
J4J-v-i + J-vJv+i = — 2 sin vjt/ш:, A1.75)
JvN'v-J'vNv = 2!nx, A1.76)
V= — 2/nx. A1.77)
Цилиндрические волноводы. Одно из применений функ-
функций Бесселя и Неймана связано с распространением элек-
электромагнитных волн в цилиндрических волноводах, для
которых из уравнений Максвелла получаем
Учитывая симметрию, задачу рассмотрим в цилиндрических
координатах. Решение будем искать в виде
Ег = и (г, 9) еЯ»'-21"/**!, Пг = 0, (ТМ—поперечная
магнитная волна). A1.79)
Пусть ось волновода совпадает с осью цилиндрических
координат. Параметр Xg равен эффективной длине волны
вдоль волновода, этот параметр учитывает зигзагообраз-
ность распространения волны.
Подставим A1.79) в уравнения A1.78)
д ( ди \ . дЧ , 91 2л \2
rwVw)+-w+r [т;) "=°- <1L80>
где Хс — другая эффективная длина волны, связанная
с длиной волны в свободном пространстве Хо = 2яс/о> и kg
соотношением
Для разделения переменных положим
*< (г, 9) = /<(г) 8(9), A1.82)

432 ' Г Л А В А П. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
тогда R (г) должна удовлетворять уравнению Бесселя
1 d (гт\л\Bп\2 п2
Г)Щ)
Полное решение уравнения A1.80) запишется в виде
и (г, 0) ¦-= Jn I -т— I (at cosя0 4- bi sin nO) -\-
Bяг \
-r— (a2 cos n0 • •(- Ьг sin «0).
Синусы и косинусы появились в этом решении благодаря
функции в @); из требования однозначности 0 @) сле-
следует, что п — целое.
Исходя из граничного условия для поперечной магнит-
магнитной волны, потребуем, чтобы и = Ег обращалась в нуль
на проводящей поверхности, причем всюду Ег < оо (в этом
случае из решения исключается функция Неймана Nn (x)).
Тогда
Ez (f — г0) ¦--- Jn (~r^-) («i cos /гО 4- Ь{ sin /z0) = 0 для всех 0.
A1.85)
Это значит, что 1С должна быть такой, чтобы отношение
2пго!Хс оказалось корнем функции Jn.
Если нас интересует поперечная электрическая волна
ТЕ, следует записать
с граничным условием Неймана
ди_
дг
дг
-0. A1.86)
Если по центру волновода проходит проводник, функ-
функцию Неймана исключать нельзя, и, вообще гбворя, она
необходима, чтобы удовлетворить граничным условиям как
на внутренней (г = rt), так и на наружной поверхности
(г ~ г2). В этом случае имеем для всех 0
Jn (^И) (fl cos «0 + Ьх sin я8) 4-
4-Nn {^) (а2cosя94-hsin лв) = 0, (И.87)

11.2. ФУНКЦИИ НЕЙМАНА 433
Записанное равенство означает, что можно положить
ajbi — a2fb2, тогда граничное условие па внутренней
поверхности (г — Г\) сводится к выражению
aiJn{2nrJXc) | ihNn {2пг{/кс) ^ 0. A1.88)
Аналогично для наружной поверхности (r — rz):
Bшг!Хс) + azNn Bлг2Мс) = 0. A1.89)
Уравнения A1.88) и A1.89) необходимо теперь разрешить
относительно Хс и отношения aja2.
Заканчивая рассмотрение функции Неймана Nv (х),
отметим, что: 1) функция Неймана представляет собой
второе независимое решение уравнения Бесселя, которое
входит составной частью в общее решение; 2) она встре-
встречается в специальных физических задачах; 3) эта функция
приводит к функции Грина для уравнения Бесселя
(см. разд. 11.4); 4) с помощью функции Неймана опреде-
определяются две функции Ханкеля (см. разд. 11.3).
Упражнения
1. Дифференцированием выражения, которым определена функция
Неймана, проверить правильность разложений
N0(x)—>—(\nx + C-\n2),
()V' v>0, x«l.
(Учтены только основные члены.)
2. Показать, что Yv (x) Z'v{x)~-Y'v(x)Zv {x) = Av/x, где Y и Z—
два решения уравнения Бесселя; Av может зависеть только от v
и не зависит от.дг.
3. Проверить формулы для определителей Вронского A1.74) —
A1.77).
4. Найти нулевые компоненты электрического и магнитного полей
в цилиндрическом волноводе радиусом го или TMoi—поперечной маг-
магнитной волны (Iiz~Hr = EQ—b), и TEoi—поперечной электрической
волны (?>г = Ег = Яе = 0). Индексы 01 указывают, что продольные
компоненты Е2 или Яг содержат функцию Уо, а граничное условие
удовлетворяется первыми нулями функций /0 и Jq.
5. Для данного типа колебания максимальная частота, которая
будет пропускаться цилиндрическим волноводом, равна А,мин=сДс,
где "Кс определяется из граничных условий
(тг)=0 для Wnnu Гп[^Р~)==0 для ТЕпщ-
28-1257

434
ГЛАВА М. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Индекс п указывает порядок функции Бесселя, а т— порядковый
номер пуля. Определить пороговую длину волны %с для трех типов
'IM и ТЕ, которые характеризуются наибольшим значением пороговой
длины волны. Объяснить полученные результаты, исходя из графиков
функций Jo, Ji и Зч (см. рис. 11.1).
6. Проверить интегральное представление для функции Неймана
нулевого порядка
2 Г
Л'о (г) = \ cos (z ch i) dt.
7. Показать, что низшая частота колебаний кольцевой мембраны
с радиусами rA и г о {г\ > г2) определяется наименьшим корнем
уравнения
,/(, (!сг\) /Vu {Itr-j)—Уо (/.vv) Л^о (A'^i) - ^>
где k = (djv~2njX (см. разд. 11.1).
8. Показать, что N..n {х) — (— l)n N1} {x).
9. Показать, чго
у (X)
dv
(x)
v=0
11.3. ФУНКЦИИ ХАНКЕЛЯ
Определения. Используем рассмотренные функции Ней-
Неймана для определения функций Ханкеля Н™ (х) и Н™ (х):
A1.90)
A1.91)
Эти соотношения представляют собой точную аналогию
формулы
е±ш = cos Q±i sine. A1.92)
^га аналогия будет заметна еще отчетливее при изучении
асимптотических форм (см. разд. 11.5).
Комбинируя уравнения A1.5) и A1.63), можно получить
разложение в ряд для функций ЯУ} (х) и Н™ (х). Часто
представляет интерес только первый член:
A1.93)
п
. (v-l)! / 2
v>0.
A1.94)

11.3. ФУНКЦИИ ХАИКЕЛЯ 435
Функции Ханкеля можно записать как линейные комби-
комбинации (с постоянными коэффициентами) функции /v it Nv,
поэтому они удовлетворяют рекуррентным соотношениям
A1.10) и A1.12):
ffv-i (х) - Яу+1 (х) = 2Я; (х), A1.96)
которые выполняются как для Н™(х), так и для Н™(х).
Можно получить и различные формы определителей
Вронского:
//?7/y.i - Н\}Ч^]Л - 4//пх, A1.97)
Jv-iHV- JvHljLi = 2/inx, A1.98)
*ii - Jv-i//v2) = 2/шл-. A1.99)
Пример. Цилиндрическая бегущая волна. Рас-
Рассмотрим распространение волн в плоскости, эта задача аналогична
колебанию круглой мембраны (см. разд. 11.1). Теперь будем пола-
полагать, что волны рождаются н тсТчке г-0и распространяются п ряз-
ные стороны, причем стоячая волна заменяется на бегущую. Диффе-
Дифференциальное уравнение A1.53) остается тем же самым, но граничные
условия изменяются. Потребуем, чтобы решение, описывающее рас-
расходящуюся волну па больших расстояниях, имело пид l/--e'*''l'"(t)'\
где &—волновое число. Заданный вид решения предполагает отсутст-
отсутствие азимутальной зависимости, т. е. отсутствие момента количества
движения или т — 0. В разд. 11.5 показано, что функция Н[Х) (кг)
асимптотически ведет себя как е*'"'. С учетом этого обстоятельства
и граничного условия на бесконечности решение записывается как
U(r, t) = H["{kr)z-i(Al. A1.100)
Оно расходится при г—>0, что вполне естественно при наличии
источника в начале координат.
Выбор плоской задачи для иллюстрации функций
не случаен. Функция Бесселя может возникнуть при
решении самых различных задач, например в задаче,
решение которой связано с разделением переменных в кони-
конических координатах, однако наиболее часто она появляется
в радиальной части уравнения Гельмгольца при разделении
переменных в цилиндрических или сферических координа-
координатах. Если бы решалась задача в сферических координатах
(сферические волны), нам пришлось бы иметь дело с индек-
индексом п -\- 1/2, где п — целое. Этот случай, приводящий
к сферическим функциям Бесселя, обсужден в разд. 11.6.
28*

436
ГЛАВА II. ФУНКЦИИ
Представление функций Ханкеля контурным интегра-
интегралом. Интегральное представление (интеграл Шлефли)
легко проверяется для целых v — п (учитывая, что в чис-
числителе стоит производящая функция A1.1), интегрирова-
интегрирование ведется с обходом начала координат). При нецелом v
подынтегральная функция становится неоднозначной,
00?
П*
Рис. 11.4. Контуры интегрирования:
для функции Бесселя — С; для функции Ханкеля — С\ и
и в комплексной плоскости необходимо сделать разрез.
Выбрав линию разреза по отрицательной вещественной
полуоси и контур С (рис. 11.4), можно распространить
интегральное представление A1.101) и на нецелые v. Под-
Подставим A1.101) в дифференциальное уравнение Бесселя,
тогда подынтегральная функция может быть представлена
полным дифференциалом, который обращается в нуль при
/->• ooe±iJl.
Деформируем теперь контур интегрирования С в кон-
контуры Q и С2. Такое изменение контура обеспечит обра-
обращение полного дифференциала в нуль при t -+ 0 за счет
множителя е~*/2*. Следовательно, каждая раздельная
часть, соответствующая пути интегрирдвания от ooe~iJI
до 0 и от 0 до ooeiJt, есть решение уравнения Бесселя.

П.з. Функций ханкеЛя 43?
Определим
Sr, A1.102)
о
о
Эти выражения особенно удобны в практических прило-
приложениях, поскольку к ним применим метод перевала (см.
разд. 7.4). Функция Н™ (х) имеет седловую точку при
t = + i, а функция #v2) (*) при t = — t.
Остается теперь связать функции Ханкеля A1.102)
и A1.103) с определениями A1.90) и A1.91). Проверкой
можно, убедиться, что комбинация интегралов A1.101)
и A1.102) и A1.103) приводит к
у , A1.104)
поэтому необходимо только показать, что
Nv (х) = ±. [Я?1 W - Я?> (х)]. (П. Ю5)
Это можно сделать с помощью подстановки t = ein/* для
функции #ш и t = e~in/8 для функции Я12>:
A1.106)
A1.107)
Наконец, записав /_v (^) через Яу1} (х) и Н®) (х), можно
выразить правую часть A1.105) через /v и /_v. После
этого уравнение A1.105) сведется к A1.60) и, следователь-
следовательно, получив первоначальное определение функции Неймана,
мы тем самым показали, что два контурных интеграла
A1.102) и A1.103) действительно представляют функции
Ханкеля. Подробности этого доказательства вынесены
в упр. 2.
В заключение приводим соображения, которыми мы
руководствовались, определив функции Ханкеля: 1) они
применяются для описания бегущих волн; 2) позволяют
по-новому (с помощью контурного интеграла) определить
функции Бесселя действительного и мнимого аргумента K

. 1' Л Л U Л II. ФУНКЦИИ П1-ССП.МЯ
Упражненил
1. Проверить следующие формы определителя Вронского:
W- /v (*) «V-
пх
-/2
пх
— 2
пх
-2
пх
Ji-
Jinx
4
inx
J
*
c3
oo-h
О0-Ы
Рис. 11.5. Контуры интегрирования для функции Ханкеля.
2. Показать, что интегральные представления
JL
in
оое
Дя
in
0Ct
о
J,

11.4. ФУНКЦИИ БЕССИЛЯ МНИМОГО АРГУМЕНТА 439
удоплетпоряют. дифференциальному уравнению Всссе.ля. Контуры
интегрирования С± и Сг показаны на рис. 11.4.
3. Используя эти интегралы, показать что
4. Привести их к виду
л/ j lit j
c3 c4
где С3 и С4 показаны на рис. 11.5.
11.4. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ МНИМОГО АРГУМЕНТА
В физике часто встречается уравнение
^ ^ = 0, A1.108)
которое можно привести к уравнению Бесселя, делая замену:
., d . d n (/2 rf2
Y —* . / / у „_ ^, 7 %-- V ~ -^ 7 "
' rfx dt ' dx- d/2
Тогда
^ ^ 0, A1.109)
а у ( — it) — функция Бесселя. Обычно нормировку выби-
выбирают так, чтобы
у (Х) = /v (jc) = i-vJv (ijc). A1.110)
Часто новую функцию записывают в виде
/v (x) = e-v3Ii/2Jv (л:е{я/2). A1.111)
Представление рядом. Такое представление можно
получить, опустив множитель (—1)я в выражении A1.5)
и записывая
оо
1 (L)
fl(s-v)! 12 )
Для целых v
) ?
A1.113)

440 Г Л А В А 11. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Рекуррентные соотношения. Рекуррентные соотношения
для функции /v (*) можно получить, используя представле-
представление этой функции рядом, однако легче применить анало-
аналогичные соотношения для Jv (х). Заменим х на —ix и пере-
перепишем уравнение A1.110):
Jv{x) = i4v(-ix), A1.114)
тогда A1.10) приведется к виду
Р-!/^ (- и) + P+'/v+i (- ix) = ^ tv/v (- ix).
Заменив здесь х на ix, получим рекуррентную формулу
для Iv(x):
^ (П.115)
Уравнение A1.12) переходит в
" A1.116)
Эти рекуррентные формулы уже встречались в разд. 11.1,
упр. 10.
Из уравнения A1.113) следует, что для целого v имеется
только одно независимое решение, точно так же, как
и в случае функций Бесселя Jv. Выбор второго незави-
независимого решения уравнения A1.108) является исключи-
исключительно вопросом удобства. Второе решение, которое здесь
приводится, найдено из условия асимптотического поведе-
поведения, этот метод подробно рассматривается в следующем
разделе. Многие авторы определяют второе решение через
функцию Ханкеля Я?>
К, (х) зз -f- iv+itf?> {ix) = у jv+i [/v (ix) 4- iNv (x)\. A1.117)
Воспользовавшись здесь соотношениями A1.60) и A1.110),
можно привести функцию К?(х) к виду*
1
2 sjnvii
который аналогичен записи A1.60) функции Nv (x). Выбор
выражения A1.117) в качестве определения неудобен
потому, что функция Kv (x) не удовлетворяет тем же рекур-
рекуррентным соотношениям, что и /v (x) (см. ниже упр. 4).
* Для целых п делают предельный переход v

11.4. ФУНКЦИИ БЁССЁЛЯ МПИМОГОЗАРГУМЁНТА 441
Чтобы избежать этого, иногда включают дополнительный
множитель cos tin, в результате чего Kv удовлетворяет
рекуррентным соотношениям для /v; однако новое опре-
определение имеет некоторый недоста-
недостаток, связанный с тем, что /Cv — О
для v = 1/2, 3/2, 5/2, . . .
Представление функции Kv (x)
рядом получается непосредственно
из разложения Hyl) (ix). С точно-
точностью до первых членов
A1.119)
Функция Бесселя мнимого аргу-
аргумента /v связана с обычной функ-
функцией Бесселя Jv так же, как ги-
гиперболический синус с обычным
синусом, поэтому /v и второе реше-
решение Kv иногда называют гипербо-
гиперболическими функциями Бесселя. Рис ц б функции
На рис. 11.6 показано поведе- селя мнимого аргумента,
ние функций /0, /ь Ко и Ki-
Теория диффузии нейтронов. Рассмотрим теорию диф-
диффузии тепловых нейтронов. В стационарном случае урав-
уравнение непрерывности имеет вид
5-0, A1.120)
где первый член описывает диффузию; второй — характе-
характеризует убыль нейтронов за счет поглощения, а третий —
источник. Параметр D = Х5/3 A — 2/ЗЛ); ks — средняя
длина свободного пробега между актами рассеяния; А —
атомное число ядра-рассеивателя. Множитель A—2/3 А)
учитывает анизотропию рассеяния в лабораторной системе
координат. Нейтронный поток <р равен произведению плот-
плотности нейтронов на их среднюю скорость; 2а — макро-
макроскопическое . сечение поглощения, равное произведению
вероятности захвата нейтрона одним атомом оа на число
атомов в единице объема. Предполагается, что вероятность
захвата нейтронов мала по сравнению с вероятностью
рассеяния.

442 глАвл ii. функции
Будем также полагать, что имеется линейный источник
нейтронов, помещенный в бесконечную среду, в которой
происходит диффузия нейтронов. Совместим этот источник
с осью г. Если на единицу длины источника в единицу
времени рождается So нейтронов, то 5 = 50б (г), где
б (г) — б-функция Дирака. Симметрия задачи предпола-
предполагает рассмотрение в цилиндрической системе координат.
Зависимость от г и 0 отсутствует, поэтому уравнение диф-
диффузии имеет вид
и выполняется всюду, за исключением линии источника
(гФО). Обозначив ?2 = 2a/D, где kr1 — длина диффузии,
получим
(П.122)
Коэффициент at необходимо положить равным нулю, так
как функция /0 (kr) экспоненциально растет при больших
kr [см. разложения A1.112) и разд. 11.51, поэтому ф =
= а-гКъ (kr). Поток нейтронов через поверхность do равен
DVy-do. Постоянная интегрирования а2 определяется
из условия, что величина Z), умноженная на интеграл
от отрицательного градиента нейтронного потока через
поверхность некоторого элемента объема, равна числу
нейтронов SOf родившихся внутри этого объема. Чтобы
не учитывать поглощения, возьмем этот объем достаточно
малым (г ->• 0), тогда
A1.123)
Это равенство отражает закон Гаусса в двумерной форме
(см. разд. 1.14). Подставив в него разложение функции
Ko(kr)t получим So — Da2\\m— или
r->U r
a2 = S0/2nD. A1.124)
Подставляя полученный результат в уравнение A1.122),
имеем
So v ,u.\ A1.125) '
Задача о диффузии нейтронов решена.

11.4. ФУНКЦИИ ППССПЛЯ МНИМОГО АРГУМЕНТА 443
Функция Грина. Возвращаясь к содержанию разд. 8.6,
мы видим, что в предыдущем примере фактически отыски-
отыскивалась функция Грина для диффузионного уравнения
A1.120). В этом легко убедиться, переписав это уравнение
для линейного источника единичной мощности (на еди-
единицу длины), который расположен по оси г.
DV2G(kr)-Dk2G{kr)=-6{r). A1.126)
Интегрируя по некоторому произвольному малому объему,
получаем
\ VW(kr)dv-k* ^ G(kr)
= -¦I.je(r)<fo=—i. A1.127)
Второй интеграл слева исчезает при г -+- 0. Вычисление
первого интеграла в левой части этого равенства можно
произвести с помощью теоремы Гаусса, и функция Грина
G (kr) будет точно совпадать с предыдущим решением
K(k) A1.128)
Обобщим данный результат на случай непрерывно рас-
распределенных параллельных линейных источников, которые
характеризуются радиальным вектором f>. Функция Грина
для них
^ A1.129)
Результирующий нейтронный поток равен
q)(r)-JG(r, p)S(p)^
\ A1.130)
Здесь интегрирование проводится в плоскости, перпенди-
перпендикулярной линии источников, a S (р) — мощность источника
(на единицу длины в одну секунду).
Перечислим характерные особенности функций Бесселя
мнимого аргумента, а также соображения, которыми мы
руководствовались, введя их в данном разделе: 1) эти
функции представляют собой решения часто встречающе-
встречающегося уравнения Бесселя мнимого аргумента; 2) с их помо-
помощью решаются специальные физические задачи, одной

444 ГЛАВАМ. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
из которых является диффузия нейтронов; 3) с помощью
/Cv (x) записывается функция Грина; 4) функция /<v (x)
позволяет получить удобные асимптотические представле-
представления (см. разд. 11.5).
Упражнения
1. Показать, что в параболических координатах уравнение Лапласа
распадается на уравнение гармонического осциллятора, уравнение
Бесселя и уравнение Бесселя мнимого аргумента.
00
2. Показать, что е^2^1^^ 2 М*НП~также ПрОИЗВОДЯ-
Пгя— СО
щая функция для функции Бесселя мнимого аргумента /д(х).
3. Показать, что для v> —1/2 функцию Iv(x) можно предста-
представить как
n1/2(v-1/2I
ш
-1
я'2
«___? l-LY f ch(zcosG)sin2v0d8,
о
4. Убедиться, что Kv ix) удовлетворяет рекуррентным соотно-
соотношениям
2v
X
5. Проверить, что функцию /Cv (x) можно задать соотношением
A1.118), откуда следует, что /Cv (х) = К-v {x).
6. Показать, что определитель Вронского для функций /v (x)
и Kv (*) имеет вид /v {x) K'v (x)—l'v {x) Kv ix) == — I/jc.
7. Показать, что для v > —1/2 функцию /Cv (г) можно пред-
представить как
.1/2
0
<<

11.4. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ МНИМОГО АРГУМЕНТА 445
8. nycTb.rss^-fi/SI^ Доказать, что
со
i- = JL f Cos(xt)Ko{yi)dt.
f я j
0
9. Показать, что функции Jv{x), Nv(x), Iv(x) и Kv(x) удовле-
удовлетворяют дифференциальному уравнению четвертого порядка
d* _2_ _#*
У+ х ' dx* У~~
dx* У+ х ' dx* У~~ & ' dx*
1 x5 dx 3 ' V x4 / y
10. Показать, что —No(kr)l4 есть функция Грина для уравнения
Гельмгольца в цилиндрических координатах (без осевой или азиму-
азимутальной зависимости).
П. Функции Грина для источников в виде плоскости, линии
и точки,'удовлетворяющих уравнению (V2—№) (?(г) = — б (г), имеют
вид G{(x) = e-kx!2k, (?2(р) = /Со(*р)/2я, G3 = ksrkr/4nkr.
Интегрируя, перейти от точечного источника к линейному
и показать, что
оо
или
oo oo
1
Таким же образом перейти от линейного источника к источнику
в виде плоскости, для которого
со
р dp пс~кх
f /CoW
J (рз—x'<
ИЛИ
со
—a
) (a2_i)t/2 " 2а "
1
12. Показать, что
00
JL\~n V (_\\г I z У (п~г~^)- __ п i ы\
2 / /J v \ 2 ) r\ sinnn
dKv_
v=0

446 ГЛАВА I). ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
11.5. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Метод Стокса. Если Zv (х) — решение уравнения Бес-
Бесселя заменить x~i/2y (x), то функция у (х) будет удовлет-
удовлетворять уравнению
{^) = 0. A1.131)
Для больших х (х ^> v) оно имеет вид
Й+й = 0, A1.132)
решениями которого являются
у1 = а0 sin х -|- bQ cos х. A1.133)
Можно улучшить точность (для больших х) заменой
постоянных а0 и Ьо разложениями по отрицательным степе-
оо оо
ням х: а0—> 2 апХ~п, Ьо-> 2 Ьпх~п, это означает, что
решение можно искать в форме
ОО 00
У(*)=* S a^~n sin х + S &n*~n cos x. A1.134)
n=0 n=0
Подставив выражение A1.134) в уравнение A1.131), получим
. (П.135)
Этот процесс можно продолжить и дальше. Существенно
заметить, что эти выражения ограничены и приводят к точ-
точному результату для v = ± 1/2, ±3/2, ±5/2, . . . Най-
Найденные функции представляют собой сферические функции
Бесселя (см. разд. 11.6).
Метод Стокса, связанный с отысканием двух постоян-
постоянных пц и Ьо, позволяет получить общее решение уравне-'
ния Бесселя для больших значений переменной х. Однако
применение этого решения ограничено тем, что решение
оказывается не связанным с функциями Jv(x) и N^(x).
В частности, ничего нельзя сказать заранее об относитель-
относительном вкладе sin x и cos x. Установить связь с обычными
решениями Jv (х) и Nv (x) или определить фазу можно

ti.s. Асимптотические разложения 447
Г I
с помощью метода перевала (см. разд. 7.4), выделяя глав-
главные члены в асимптотических разложениях Js (х). и Nv (х).
Разложение интегрального представления Kv(x)< Рас-
Рассмотрим интегральное представление (см. разд. 11.4)
A1.136)
Для определенности ограничимся вещественными z, хотя
можно доказать справедливость соотношения A1.136) и для
—я/2 < arg г < я/2. Необходимо показать, во-первых, что
функция /Cv в записи A1.136) действительно удовлетворяет
уравнению Бесселя мнимого аргумента A1.108), и, во-вто-
во-вторых, она имеет правильную нормировку.
1. В том, что функция A1.136) есть решение уравнение
Бесселя мнимого аргумента, можно убедиться прямой под-
подстановкой, в результате которой имеем
оо
J dx I * ' 1 —¦ »
1
в этом соотношении подынтегральная функция записана
в виде производной от функции, которая обращается в нуль
на обоих концах отрезка интегрирования. В упр. 1 выне-
вынесен вопрос о том, включает ли данное решение функцию /v.
2. Нормировка проверяется подстановкой х ~ 1 + t/z:
г1/2 /V<? 2 nv-i/2.
(v-l/2)! V2
i
f
J
) e \ *2 ' 2
0
со
Эта подстановка приводит к более удобным пределам инте-
интегрирования и изолирует отрицательную экспоненциальную
зависимость е. Последний интеграл в A1.137) при 2 = 0
дает Bv — 1)!, тогда с помощью формулы удвоения (см.

448 ' ГЛАВА 1). ФУНКЦИИ ВЕССЕЛЯ
разд. 10.4)
= (*-1I 2V~V2\ v>0 A1.138)
в согласии со вторым уравнением A1.119), которым опре-
определена нормировка функции /(v *.
Для получения асимптотического разложения функции
(z) перепишем заново A1.137) (для больших г):
00
J е l
2г (v—1/2)! J е l V ' 2z
о
Разложим A4- //2z)v~1/2 с помощью биномиальной теоремы,
тогда
оо
"z V (v~1/2)! ,\-т v
r| (v—г—1/2)!
r=0
oo
X je-f/v+r-i/2tf. A1.139)
о
Почленное интегрирование (справедливое для асимпто-
асимптотического ряда) приводит к требуемому асимптотическому
разложению
К (z) i/^Vfl I Dv2J I Dv2-l2)Dv2-32) , 1
AvW-(/ 2ze LW life + 2|(8г)« i----J-
A1.140)
Интеграл A1.136), в котором интегрирование ведется вдоль
вещественной оси, сходится только в области — л/2%<
<argz<jt/2; в выражении A1.140) область сходимости
может быть расширена до —л < arg г < л. Бесконечный
ряд A1.140) расходится, однако он является асимптотиче-
асимптотическим в том смысле, что при достаточно больших г функция
Kv (z) может быть аппроксимирована этим рядом с любой
наперед заданной точностью (определение и свойства
асимптотических рядов см. в разд. 5.10).
Опираясь на полученное асимптотическое разложение
Kv (z), можно получить аналогичные разложения всех
других функций Бесселя, в том числе и гиперболических
функций Бесселя.
* При v = 0 интеграл расходится логарифмически, что также
согласуется с логарифмической расходимостью Ко (z) (см. разд. 11.4).

11.5. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 449
1. Из формулы
л
т
имеем
(iz) = tfv(z) A1.141)
— e-f (я/2)
Г .DV2-^j2) DV2_12)Dy2_32)
XL +l 8z 2!(8гJ
A1.142)
2. Вторая функция Ханкеля получается комплексным
сопряжением первой:
V V ' V UZ
Г . Dу2-12) Dу2_12)Dу2_32) "I
L1 8i 2[Жр •••] '
В разд. 7.4 в качестве примера использования метода
перевала приведен другой способ получения асимптотиче-
асимптотических представлений функций Ханкеля.
3. Функция /v (г) представляет собой реальную часть
tfv1} W, поэтому
Dу2-12)Dу2-32)
XL
Г
L
A1.144)
4. Функция Неймана равна мнимой части функции
H{"(z), поэтому
Г Dу2-12)Dу2_32)
XL Щ^ +---
)}. A1Л45)
29-1257

450
ГЛАВА П. ФУНКЦИИ ВЕССЕЛЯ
5. Наконец, регулярная гиперболическая функция или
функция Бесселя мнимого аргумента /%.(г), заданная соот-
соотношением
A1.146)
имеет асимптотический вид
1,B)
Г, 4у2
—12
—12)Dу2_32)
) ¦ 2! (8гJ
A1.147)
На этом мы завершим рассмотрение асимптотических раз-
разложений. Однако отметим следующее. Если отвлечься
от функции з~1/2, то /v и Afv ведут себя соответственно как
косинус и синус. Нули этих функций почти равномерно
отстоят друг от друга на интервалы, равные я; в пределе
при z -> со эти интервалы оказываются в точности рав-
равными я. Функции Ханкеля ведут себя так же, как мнимая
экспонента, а функции Бесселя мнимого аргумента /v
и /Cv — как положительные и отрицательные экспоненты.
Указанное асимптотическое поведение этих функций ока-
оказывается достаточным, чтобы сразу же, исходя из физиче-
физических соображений, исключить одну из них из решения
конкретной физической задачи. Как установлено в разд. 11.2,
асимптотические формы могут быть использованы для
получения определителей Вронского (см. ниже. упр.4).
Упражнения
1. При выборе нормировки интегрального представления /Cv B)
A1.136) предполагалось, что оно не содержит функции /v(z). Как
С2
-1
Рис. 11.7. Контуры интегрирования для функции Бесселя
мнимого аргумента (в ^-плоскости).
убедиться, что это интегральное представление нельзя записать
в виде /Cv (z)-j-e/v (z)f где е Ф О?

Jv(x) НЫ{ (jfWv-
11.6. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 451
2. Показать, что y{z)~-zv \ c~zt (t2—\)v~^2dt удовлетворяет
уравнению Бесселя мнимого аргумента, если контур интегрирования
выбран таким, что t~zl {I2—l)v+'/2 имеет одно и то же значение
в начальной и конечной точках контура. Убедиться, что этим требо-
требованиям удовлетворяют контуры С\ и С2 (рис. И.7).
3. Использовать асимптотические разложения для проверки опре-
определителей Вронского:
/v {х) /_v_i {х) f /_v {х) /v+1 (*) = — -^-
/ tv\ Л/ /v\ I Kl lv\ —
a v \^l ''V+1 \^l » V + 1'" V \^l ' 1
1ПХ
1
v (X) =— .
В последней формуле докязптельстио того, что постоянная р.нчт
единице, не зависит от v. Означает ли это, что /v (x) /(v+2 {*) +
H-^v+2 W^Cv {x) = lfx} Проверить, используя асимптотическое пред-
с+авление. В чем здесь ошибка?
11.6. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Если в уравнении Гельмгольца в сферических (или кони-
конических) координатах переменные можно разделить, то
радиальная часть уравнения приобретает вид
.-0. A1.148)
Параметр k входит в исходное уравнение Гельмгольца,
а п (целое) — константа разделения, которую часто в физи-
физике отождествляют с моментом количества движения. Оче-
Очевидно, A1.148) не является уравнением Бесселя, но подста-
подстановкой R (kr) = Z (kr)l(kr)i/z оно приводится к нему:
=°- A1Л49>
Здесь Z — функция Бесселя порядка п + 1/2 (л — целое).
Вследствие важности и распространенности сферических
координат комбинация Zn_]_i/2 (kr)/(kr)^2 встречается часто.
Определения. Обычно новые функции называют сфе-
сферическими функциями Бесселя и определяют соотноше-
29*

452
Г Л ЛПЛ II. ФУНКЦИИ БЕССПЛЯ
ЛИЯМИ
п(х) = У ^/«+1/2
h{n[) (х) =
hn] (x) -
%. 2 (х) - и (х) +
2}.1/4 (x) = /n(x)-
A1.150)
Эти функции (рис. 11.8, а) можно представить рядами,
аналогичными ряду A1.5) для Jn, заменяя в последнем п
на п +1/2:
00
== у
s=0
г(т)
2e+n+i/2
A1.151)
Из формулы удвоения Лежандра
z\
A1.152)
получаем
оо
-0
'28
rr>
= 2nx
nxn
s=0
s!Bs-f2n+l)!
28
*
A1.153)
Далее, поскольку Wn+i/2 (дс) = (— l)n+1 J-n-1/2 W» из урав-
уравнения A1.5) следует:
с»
(-¦
s=0
* Это возможно, так как cos (n + 1/2) л = 0.

-0,2-
п
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
-0,3
,4
- ЛГ
- / /Cw^;
г / / V\\ /-)Огч
11 i \' \ \/ /х\ i
- / /
- I /
Рис. 11.8. Сферические функции Бес-
Бесселя (а) и Неймана (б),

454 'ГЛАВА 11. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
отсюда
s=0 <
Вновь применим формулу удвоения, тогда
оо
s\Bs-2n)\ X '
8=1
Однако эта формула неудобна для вычислений при целом
положительном п> так как она содержит факториалы
и в числителе, и в знаменателе. Введенные сферические
функции Бесселя тесно связаны с тригонометрическими
функциями, в чем можно убедиться, рассматривая спе-
специальный случай и — 0. Мы имеем
со
s-0
тогда как из уравнения A1.156) получаем
no(jc)^—^^. AI.158)
По определению сферических функций Ханкеля A1.150)
М1) (л:) = — (sin x—i cos я) = — eix,
OV/vV ' v
* \ A1.159)
1 19\ i \ 1 / • i • \ t -it '
^o {*) = v (sm * 4-«cos x) = T e w.
Связь с тригонометрическими функциями, вероятно,
легче проследить, рассматривая асимптотические ряды из
разд. 11.5. При v = ± 1/2, ± 3/2, ± 5/2, . . . асимпто-
асимптотические ряды оказываются ограниченными и представ-
представляют собой просто комбинацию конечного числа тригоно-
тригонометрических функций.
Рекуррентные соотношения. Рассмотрим рекуррентное
соотношения, которые позволят получать сферические
функции Бесселя более высоких порядков. Их можно
ввести с помощью рядов, однако, как и в случае функций
Бесселя мнимого аргумента, воспользуемся рекуррентными

H.6. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
455
соотношениями A1.10) и A1.12):
tn-i (X) + /n+l (X) =
fn (*), A1.160)
. A1.161)
Перегруппировав эти соотношения или сделав подстановку
в уравнения A1.15) и A1.17), получим
d ' ™ ' '" " A1.162)
dx
A1.163)
Здесь под fn можно понимать jn, nn, hff или
Из уравнения A1.163) сразу получим
sin л: cos*
,3 1 \ . 3
I о I OIU Л а^ l-UO A,
. sin*
3 1 \ 3 .
^f—jj cos ^—^-sin x и т. д.
A1.164)
A1.165)
Методом математической индукции можно установить, что
(П.166)
A1лб7)
Заметим, что сферические функции Бесселя /п (х)
и п„ (х) всегда можно выразить через sin* и cos x с коэф-
коэффициентами, являющимися полиномами с отрицательными
степенями х. Для сферических функций Ханкеля имеем
(плев)
?). A1-169)
Ортогональность. Перепишем условия ортогональности
A1.58) и A1.59) для обычных функций Бесселя с помощью

456 г л а в a li. функции впсскля
б-фуикции и соответствующих подстановок для /Fl:
1
± {^ }2. (И.170)
Здесь а и b — корни функции Jn (или /п).
Мы получили условие ортогональности, связанное
с корнями функций Бесселя. Уравнение A1.170) гаранти-
гарантирует ортогональность волновых функций jn (r) при фик-
фиксированном п. (Если п изменяется, то ортогональность
будет обеспечиваться сферической функцией.) Другой тип
ортогональности — ортогональность по индексам, можно
получить следующим образом. Из уравнения A1.148) при
х = кг имеем
/ + 2*/; + [хая(я + 1I/ = 0
Умножим первое уравнение на jm, а второе на jn и вычтем
один результат из другого:
[П (П -J- 1) - Ш (Ш + 1)] /„/я» = *2 (jnjm — jnjm) +
^. (П.172)
Последнее уравнение представляет собой запись уравне-
уравнения A1.148) в форме Штурма — Лиувилля (см. разд. 9.1).
Проинтегрируем его от нуля до бесконечности:
со
[n (n -f 1)—m (m -f 1)] j /m (jc) /„ (*) cto =
о
— \x2(i'Jm — ir,iln)\co (il 173>
Очевидно, при л: = О правая часть обращается в нуль (пред-
(предполагается, что п и т—неотрицательные целые числа).
При х—.>оо она также исчезает, если (/г—т)—четное.
В этом можно убедиться, изучив поведение асимптотических
форм /п(х) —> — sin I л:—~-Л и /J*(*)—> — cos (л:—^
Учитывая сказанное, запишем
X2 (/n/m — Wm)-> COS ^—yj Sin ^ JC— у j —
/ИЯ \ . /-»/ _t\ • Я / \ i л/ -1 \
2~j-f O(jtJ) =siny(/i—m)+O(jc x).

11.6. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУПКШШ БЕССЕЛЯ 457
Следовательно,
/»(X) in М dx = ;i"K«-m)"/21 (j,
00
о
Правая часть последнего равенства обращается в нуль
при четном (п — т). Если (п — т) — нечетное, одна
из сферических функций Бесселя, скажем /т, будет нечет-
нечетной, тогда как другая будет четной:
i (y\ I \\V i ( v\ /11 \7K\
IP \ / == V— / }p\— /* yii.iiO}
Отсюда следует, что при распространении нижнего предела
до —оо
\ /mWy'nM^ = Of тфп, т, я>0; A1.176)
— 00
A1.177)
—го
Частица в сферической яме. Рассмотрим движение кван-
товомеханической частицы в сфере радиусом а. Волновая
функция такой частицы удовлетворяет уравнению
с граничными условиями: if (г ^ а) < оо и -ф (а) = 0. Это
соответствует потенциалу V — 0 при г^ви V = оо при
г > а. Здесь ft — постоянная Планка, деленная на 2я;
m — масса частицы и Е — ее энергия. Определим мини-
минимальное значение энергии, для которого волновое уравне-
уравнение допускает решение. Уравнение A1.178) есть уравнение
Гельмгольца с радиальной частью (см. разд. 2.5):
2dR V2mE д(д
С учетом A1.148) при п = 0 получим
^г]. A1.180)
Мы положили индекс п = 0, так как в противном случае
при любой угловой зависимости энергия будет увеличивать-
увеличиваться. Из физических соображений сферическая функция

458 Г Л А В А П. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Неймана должна быть отброшена, поскольку она расходится
в начале координат. Чтобы удовлетворить второму гранич-
граничному условию (при любых углах), потребуем, чтобы
(V^mElh) а — а, где а — корень /0, т. е. /0 (а) = 0.
Последнее условие ограничивает допустимые значения
энергии определенным дискретным набором, иными сло-
словами, второе граничное условие приводит к квантованию
энергии Е. Первый корень /0 при а — п, поэтому
Е A1.181)
а это значит, что энергия частицы, находящейся в сфери-
сферической яме конечного радиуса, имеет минимальное поло-
положительное значение либо равна нулю. Этот вывод иллю-
иллюстрирует принцип неопределенности Гейзенберга.
Упражнения
1. Показать, что одно из дифференциальных уравнений, полу-
получившихся после разделения переменных в уравнении Гельмгольца
в конических координатах, представляет собой сферическое уравне-
уравнение Бесселя.
2. Получить рекуррентные соотношения A1.160) и A1.161),
в которых fn (х) обозначают сферические функции jn (x), пп (х),
h^{x) и h^ (x). Убедиться, что из этих двух соотношений следует
дифференциальное уравнение для сферической функции Бесселя fn (x)
х% (jc)+2x/; (*) + {x2-n (n-f 1)] fn (х) -0.
3. Методом математической индукции показать, что для произ-
произвольных неотрицательных целых л справедливо соотношение A1.166).
4. В теории дифракции встречаются интегралы Френеля (рис. 11.9, а)
t
, y(t)= \ sln{v*)dv.
Показать, что эти интегралы можно разложить в ряд по сферическим
функциям Бесселя
со
О п-0
8 ОЭ
п=0

У
Рис. 11.9. Интегралы Френеля (а) и сфериче-
сферические функции Бесселя мнимого аргумента (б).

460 ГЛАВА 11. ФУНКЦИЙ БПССЕЛЯ
5. Показать, что функция пп {х) равна (—l)n+1 ~\/n/2x /__п_1/2 (*),
если nn(x) = YnJ2xNn+l/2{x).
6. Показать, что определитель Вронского для функций jn (x)
и пп(х) равен jn (x) п'п{х) — }'п(х) пп (х) = \/х*. Указание. Восполь-
Воспользоваться свойством ортогональности.
7. Доказать, что из уравнения A1.173) следует условие ортого-
ортогональности A1.174), и, кроме того, убедиться в справедливости соот-
соотношения
00
f _ , . . . ч dx 2 sin {(^—v) л/2)
уц[хIу{х)— =*— 1^_^ \
о .
8. Убедиться в справедливости соотношения A1.177).
9. Используя интегральное представление
I
т (Х\ * ( Х Y [ t±ixp(i d9)v~[''2 dn
показать, что сферические функции Бесселя /п (х) выражаются через
тригонометрические функции следующим образом:
. . . sinх . . . sinjc cos*
ftM=-j-.;«W=-j5 —•
10. Считая, что сферические функции Бесселя мнимого аргу-
аргумента (рис. 11.9, б) равны in (х) = "|/я/2л: /n+1/2 (a-), kn (x) —
= "|/2/rtx/<'n + 1/2(Jt)> показать, что
«о W = sh x/x} kQ (х)=<rxjx,
а определитель Вронского имеет следующий вид:
Убедиться, что сферические функции Бесселя мнимого аргумента
удовлетворяют соотношениям:
ъ (y\ — _ ;п1Л i) t;y\ u ,(y\ — _ v« ^v-n^ ^
Л v 7 "*" ^^ ti \ /) 714* 1 \ / —" j V ^71/ j
ft (Х) = (_])пхл /_^_]П?!.
v v \ xdx J x
П. Показать, что in{x) имеет четность (—l)n, a kn{x) не имеет
определенной четности.
12. Записать интеграл ортогональности для функций jb(kr)
в сфере радиусом R при граничном условии ji,(kR)~O. Условие

11.6. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 461
ортогональности используется при классификации электромагнитного
излучения по моменту количества движения.
13. Проверить формулу
14. Показать, что jc^cos У*2 — 2xt и X'1 sin ~\/x^±2xi — произ-
производящие функции для сферических функций Бесселя, т. е.
оо
х-1 cos У*2--2х* --- 2 ~ /„_! (х) ?п,
п=0
со
sin '
п=0
15. Показать, что сферические функции Бесселя in (x) можно
ОЕ1ределить как
00
16. Проверить, что с точностью до множителя п/2х функции /о,
/л, «о и rtj выражаются через асимптотические представления A1.144)
и A1.145) функций Jv и A^v при v=--l/2, 3/2.

ГЛАВА 12
ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
12.1. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ
Физическое обоснование. Электростатика. По аналогии
с функциями Бесселя полиномы Лежандра удобно ввести
через производящую функцию, причем такое определение
поддается прямой физической
интерпретации. Рассмотрим
электрический заряд q, рас-
расположенный на оси z в точке
z = а (рис. 12.1). Электро-
Электростатический потенциал заря-
заряда q в точке А равен (в еди-
единицах МКСА). A2.1)
ф = -!—?.
Рис. 12.1. Электростатический Выразим электростатический
потенциал. Заряд q смещен потенциал В сферических КО-
относительно начала координат, ординатах Г И 6 (ф отсутству-
отсутствует из-за симметрии задачи
относительно оси z). Используя закон косинусов, получаем
-1/2
A2.2)
Полиномы Лежандра. Пусть г > а, или, точнее, г2 >
> | а2 — 2яг cos 6 |. Радикал, входящий в A2.2), можно
разложить в ряд по степеням а/г:
00
где Рп (cos G) — коэффициенты этого ряда при л-й сте-
степени. Функции Рп называются полиномами Лежандра

12.1. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ
463
(рис. 12.2) и могут быть определены из соотношения
g{t% л) = A-2х/+/я)/2= 2 Рп(х)Г\ Н|<1, A2.4)
где g (tf х) — производящая функция. В следующем раз-
разделе будет показано, что | Рп (cos 0) |< 1, т. е. ряд A2.4)
1
-/
м
/
^^ / /
Л r\PsW 1 \\\
щ
-0,5
Рис. 12.2, Полиномы Лежандра Р2 W.
Р4(х) и Р5(х).
сходится при |^|<1*. Разложение A2.4) определяет
полиномы Лежандра Рп (х), поэтому совсем не обязательно,
чтобы этот ряд сходился. Можно получить явное выраже-
выражение для полиномов в том случае, когда ряд сходится. Однако
* Заметим, что ряд из A2.3) сходится при г > а, хотя само
биномиальное разложение справедливо только при г > {а2-\-2аг) '2,
cos 0 = —1.

464 Г Л А В А 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
всегда удобно иметь сведения о сходимости ряда с тем,
чтобы использовать свойства сходимости степенных рядов
(см. разд. 5.7).
Используя биномиальную теорему (см. разд. 5.6),
разлагаем производящую функцию:
00
\ *' '"-' ^". A2.5)
биномиальное разложение множителя Bх( — Р)п приводит
к двойному ряду
оо П
2ini(-i/2)r
Y Bx)(\)l
ni(-i/2)r Ь w i '; ' k\(n~k)\
n=0 fc=O
00 П
(-1/2)! (л—А)! А!
Согласно тождеству E.62в), можно изменить порядок сум
мирования:
оо [п/2]
(^fel/2)!(l)?{B^n-2>t n
71=0 ft=
Здесь переменная t не зависит от индекса k. Далее, при-
приравнивая почленно два степенных ряда, имеем
[п/2]
{tl~k- 1/2I
[n/2]
— V / 1\ft {2n—2k)\ n_2fa
- Zj V l> 2nk\(n~k)\(n-2k)\X '
ft=O
Рассмотрим теперь систему из двух зарядов (ее назы-
называют диполем), поместив один из них ( — q) в точку z— — -a
и q в точку z = a (рис. 12.3). В этом случае потенциал
в точке А равен
(). A2.9)
4зхе0 \ г^ гг} х '

12.1. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ
465
Вновь используя закон косинуса, получаем
A2.10)
Очевидно, второй член в квадратных скобках во всем подобен
первому с той только разницей, что в нем сделана замена
Рис. 12.3. Электрический диполь.
а= —а. Тогда с учетом уравнения A2.4)
СО
00
п=0
п—0
(f
Первый член (он играет главную роль при г > а)
2aq Pt (cos 0)
q> =
A2.12)
где 2aq — момент диполя (см. рис. 12.3), представляет
собой потенциал обычного электрического диполя.
Линейные электрические мультиполи. Проведенный ана-
анализ можно продолжить, поместив дополнительные заряды
на оси z так, чтобы наряду с Ро из разложения исчез член,
содержащий Рг. Например, два заряда q, помещенные
в точках г — а и г — — а, и заряд — Щ в точке ? = О
30—1257

4GG
Г Л Л В Л 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖЛИДРЛ
образуют систему, которую называют линейным электри-
электрическим квадруполем (рис. 12.4, а). Потенциал такого
квадруполя описывается выражением, начинающимся
с Р2 (cos Щ- Два линейных квадруполя можно скомбини-
скомбинировать так, что из выражения для потенциала такой сис-
системы выпадает квадрупольный член, но сохранится окту-
польный член Р3. Возможны и другие конфигурации,
о
в
Рис. 12.4. Линейный электрический квадру-
поль (а), квадруполь (б) и октуполь {в).
например заряды противоположного знака, расположен-
расположенные в вершинах квадрата (или параллелограмма), обра-
образуют квадруполь, а система зарядов разных знаков, поме-
помещенных в вершинах куба — октуполь (рис. 12.4,6 и в).
Полиномы Гегенбауэра. Производящая функция A2.4)
является частным случаем более общей производящей
функции
2т
п
1/2
со
(«-1/2I
2 T%(x)f\ A2,13)
л=0
коэффициенты Тп (х) часто называют полиномами Геген-
Гегенбауэра. При m = 0 выражение A2.13) сводится к A2.4),
т. е. Тп (х) = Рп (х). Случаи, соответствующие m — + 1/2,
рассмотрены в гл. 13,

ill. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ 407
Заканчивая обсуждение мультиполей, подчеркнем сле-
следующее. Во-первых, электрический (или магнитный) муль-
типоль имеет самостоятельное значение только тогда, когда
в разложении потенциала отсутствуют члены более низ-
низкого порядка. Например, потенциал одного заряда qy
помещенного в точку г = а, мы разложили в ряд по поли-
полиномам Лежандра. В этом разложении член, содержащий
Р4 (cos 0),— квадрупольный, однако он появился в раз-
разложении только вследствие выбора системы координат.
В действительности же эта система — монопольная, харак-
характеризующаяся полиномом P0(cosG). Во-вторых, в реаль-
реальных физических системах обычно имеют дело не с чистыми
мультиполями. Например, потенциал диполя конечных
размеров (см. рис. 12.3) содержит член с P3(cos0). Эти
члены более высокого порядка можно исключить, стяги-
стягивая диполь в точку; в этом случае, сохраняя произведение
ца (а ->- 0, q -> <х>) постоянным, дипольный момент оста-
останется неизменным.
Упражнения
I. Показать, что электростатический потенциал заряда q, поме-
оо
идейного в точку z = а, при г<^а равен (р = ~— V I — I Pn(cos0).
2. Пусть Е== —Тф. Определить компоненты электрического
поля, соответствующего (чистому) дипольиому потенциалу A2.12).
Ответ. (Предположить, что г > а.)
_ Aaqcosd __ 2aqs\nQ „
/ir —-— - , /;n — - /^(- Г. : [J,
3. Найти электростатический потенциал линейного электрического
квадруполя, изображенного иа рис. 12.4, а.
4. Построить простую одномерную систему зарядов, потенциал
которой описывается выражением, начинающимся с октупольного
члена.
5. Точечный электрический диполь мощностью /?A> расположен
в точке z=af второй такой же диполь равной, но противоположной
по знаку мощности расположен в начале координат. Сохраняя посто-
постоянным произведение рA)а, перейти к пределу а —> 0. Показать, что
такая система является электрическим квадруполем.
rn+i дп ( I \
6. Доказать, что Рп (cos 9) = (— 1)п —г- • ^ I — 1 . Указание.
Сравнить разложение производящей функции в ряд но полипомам
Лежандра с разложением в ряд Тейлора.
30*

468 f Л А Ё А 12. ФУНКЦИИ
7. Используя гипергеометрические функции, можно получить,
со
что exljo (t ~\/\--x2) =2 Pn (*)~Т • Проверить правильность этого
• n=o
соотношения для степеней t, начиная с i2.
12.2. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА
Рекуррентные соотношения. Получим рекуррентные
соотношения с помощью производящей функции. Для
этого продифференцируем производящую функцию A2.4)
по t
со
ft "~ ., „ ,, ,очЯ/2 Л'" »\"/' • \ИЛ**)
dg(t,x)^ x-t
ti=0
Подставив сюда значение производящей функции из A2.4),
получим
A-2*/-И2) 2 nPn(x)t№-l + (t-x) 2 Рп{х)Г = 0. A2.15)
п=0 п=0
Левая часть этого уравнения представлена рядом по степе-
степеням t. Поскольку этот степенной ряд при всех / равен
нулю, приравняем нулю коэффициенты при любой сте-
степени t (см. разд. 5.7). Эту процедуру легко выполнить,
раздробив суммирование по каждому отдельному члену
и образовав затем новые суммы по различным индексам:
2 тРт (х) Г1 - 2 2пхРп (х) tn + 2 sP8 (х) t'*1 +
т~0 п=0 8=0
+ 2 PiW?*1- 2 хРп(х)(я^0. A2.16)
Положим теперь т — п-\-\ и s — n— 1, тогда
Bя +1) хРп (х) - (п + 1) Яп+1 (*) Н- nPn_i W, n = 1, 2, 3, ...
A2,17)
Данное рекуррентное соотношение подобно (но не иден-
идентично) рекуррентному соотношению для функций Бесселя.
С его помощью можно получить полиномы Лежандра выс-
высших порядков. Если положить /t=l и подставить зна-
значения полиномов Ро (х) и Pt (x) (см. упр. 7 к разд. 12.1)

itu. Рекуррентные соотношения 469
в формулу A2.17), то легко определить явный вид Р2 (х):
Р2(х) = (Зх2 — 1)/2. A2.18)
Этот процесс можно продолжить. Приведем явные выра-
выражения для нескольких первых полиномов Лежандра:
Ро (*) = !, Р, (х) = х\ Р3 (х) = | Eл:3 - Зле),
рь(х) = |F3*5-
A2.19)
Дифференциальные уравнения. Дальнейшие свойства
полиномов Лежандра можно установить, дифференцируя
производящую функцию A2.4) по х:
оо
%^ = 7r-^T^=2Wn A2-20)
дх
Ш Ш Л-J ^ЪЛ ШЛ I ЯЛ Ш
ИЛИ
со со
S P'n(x)tn-t 2 PnW/n-0. A2.21)
n=0 n=0
Как и прежде, коэффициенты при каждой степени t нужно
приравнять нулю, откуда
P'n+i (х) +P;_i (х) = 2*РП (*) + РП (а:). A2.22)
Более удобное соотношение получается после дифферен-
дифференцирования уравнения A2.17) по х и умножения его на два.
К полученному результату затем прибавим уравнение
A2.22), предварительно умножив его на Bп + 1), после
чего член с Р'п исключается. В результате имеем
P'n+i (*) -P;-i W = Bя+ 1) Рп (х). A2.23)
С помощью уравнений A2.17) и A2.23) можно получить
несколько дополнительных соотношений:
Р;+1 (х) = (п + 1) Рп (дс) + *Р; W, A2.24)
P'n-i (х)= -пРп(х) + хРп(х)> A2.25)
A-х2) Р; (*) - лРп-1 (jc) - пхРп (х), A2.26)
D A2.27)

470 ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛПЖАНДРЛ
Продифференцировав соотношение A2.26), исключим
с помощью A2.25) член, содержащий P'n-i (x)> в резуль-
результате получим, что Рпп (х) удовлетворяет линейному диффе-
дифференциальному уравнению Лежандра
(\-х*)Р'п(х)-2хРп (x) + n(n+l)Pn(x) = Q. A2.28)
Итак, полиномы Рп (х), возникшие при разложении в ряд
функции A— 2 xi -\- /2)~1/2, удовлетворяют уравнению
Лежандра, поэтому они и названы полиномами Лежандра.
В уравнении A2.28) дифференцирование производится
по переменной х = cos 0. Часто уравнение Лежандра
записывают в такой форме:
д^(зш8 dP"]ceos9))+n(n+l)Pn(cos9)^0, A2.29)
С помощью производящей функции можно получить
дополнительную информацию о полиномах Лежандра.
Положим х ~ 1, тогда уравнение A2.4) приведется к виду
оо
-~-2r' A2-30)
)
тогда, поскольку
сю
A2.31)
из сравнения двух рядов следует, что Р„A)--1. Анало-
Аналогично можно показать, что
, A2.32)
если положить х—~-1. Если же взять х~0, то с помощью
разложения
'*4
| 2^ .. A2.33)
«
получим
-Д ••» Bл -1) , i\n B/t
Ргп+1@) = 0, /г = 0, 1, 2, ... A2.35)

12.2. РЕКУРРЕНТНЫЙ СООТНОШЕНИЯ 471
Четности Некоторые из полученных результатов можно
считать прямым следствием свойств четности полиномов
Лежандра. Если заменить в производящей функции A2.4)
х на —х, a t на — t, то она не изменится. Следовательно,
ОО 00
2 Pn(-x)(-t)n= 2 Pn(x)f\ A2.36)
n=0 n=0
откуда
A2.37)
ц. е. полиномы являются четными или нечетными функ-
ниями (относительно х = 0, 9 — я/2) в зависимости от чет-
четкости или нечетности индекса п. Это свойство четности,
которое играет важную роль в квантовой механике. Для
ментральных сил индекс п характеризует орбитальный
момент количества движения, следовательно, четность ока-
оказывается связанной с этим моментом.
Проверить закон четности для полиномов Лежандра
можно, используя либо решение, записанное в виде ряда,
либо полиномы A2.19). Отметим, что результат A2.37)
в какой-то мере следует уже из рекуррентной форму-
формулы A2.17). В самом деле, если Рп _4 (х) и хРп (х) четны,
то и полином Pn+i (x) также должен быть четным.
Наконец, производящая функция позволяет установить
верхний предел абсолютного значения | Рп (cos 9) |. Мы имеем
— 2^ cos 0 Ч- /3
A2.38)
Полином Лежандра Рп (cos 9), который служит коэффи-
коэффициентом при (п, можно теперь записать как сумму членов
вида ат cos m 0 с положительными коэффициентами. Оче-
Очевидно, сумма этого ряда достигает максимума, когда 0 --- О,
т. е. cos тд = 1. Но при х = cos 0 =1 Рп A) — 1. Следо-
Следовательно,
|Р»(со8в)|<РлA) = 1. A2.39)

472 Г Л A D A 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Упражнения
1. Показать, что Pn(cos0)> — 1, причем нижняя граница дости-
достигается при нечетном п для cos 0=1.
2. Из уравнения A2.38) выписать коэффициент Р% (cos 0) при *а,
выразив его через cosn0, n<!2.
3. Показать, что, дифференцируя производящую функцию g (/, х)
по 2, затем умножая полученный результат на 21 и прибавляя к нему
g{t, х), можно вывести соотношение
которое используется при подсчете заряда, индуцируемого на зазем-
заземленной металлической сфере точечным зарядом q.
4. Считая заданными Pq и Pi, • с помощью рекуррентной
зависимости между Рл, Pn+i и Рп-\ показать, что Pn(cos0) =
(l)»P@)
()»()
б. Точечный электрический октуполь можно построить, располо-
расположив точечный электрический квадруполь мощностью рB) в точке
z=a, а равный ему, но противоположный по знаку электрический
квадруполь в точке z=0 с последующим переходом к пределу а->-0
при условии рB>а=const. Определить электростатический потенциал,
соответствующий точечному электрическому октуполю. Показать, что
по смыслу построения точечного электрического октуполя соответ-
соответствующий потенциал можно получить дифференцированием потенциала
точечного квадруполя.
в. Исходя из равенства
PL (cos Q) = jp -^77 A—2/ cos 9+<2)~1/2
dt
<=o
L
показать, что Pl A)=1, ^r,(—1) = (—1) •
7. Доказать, что P'n A) = -?— Рд {х)
*=1~2 '
12.3. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ
Дифференциальное уравнение Лежандра A2.26) можно
записать в форме
= 0, A2.40)
откуда ясно видно, что это уравнение самосопряженное.
Известно, что в таком случае при условии выполнения
определенных граничных условии решения Рп (х) будут
ортогональными, Воспользуемся методом теории Штурма —¦

12.3. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ 473
Лиувилля (см. разд. 9.2). Умножим уравнение A2.40)
на Рте (х) и вычтем из него соответствующее уравнение,
поменяв в нем местами индексы тип. Результат про-
проинтегрируем в пределах от —1 до +1:
1
( {Рт (X) i [A-Х») Р; (Х)]-Рп {X) fL [(I-*) Pi (*)]} dx =
1
[pn(x)Pm(x)dx. A2.41)
Интегрируя по частям и учитывая множитель A— х%
получаем
1
-1
тогда для тфп
1 п
[Pn(x)Pm(x)dx = 0, [ Pn(cos0)Pra(cos0)sin6d0 = O,
A2.43)
откуда следует, что Рп (х) и Рт (х) ортогональны на отрез-
отрезке 1—1,11. Ортогональность полиномов Лежандра просто
устанавливается с помощью формулы. Родригеса (см.
разд. 12.4, упр. 1).
Вычислим интеграл в выражении A2.42), когда т = п.
Из определения производящей функции
00
Щ2
-1 = [2 Pn(x)tn]2. A2.44)
Проинтегрируем обе части этого выражения по х от — 1
До +1:
-1 п=0 -1
Перекрестные члены ряда при интегрировании обращаются
в нуль в силу условия A2.43). Сделаем замену переменной

474 ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
у = 1 — 2tx + t2:
A+*)*
1 Г dy I , /1 + *\
dx
-1 (!-*)«
Разложим выражение A2.46) в степенной ряд (см. разд..5.6
и 5.7):
со
fin
Как известно, разложение в степенной ряд единственно,
поэтому
1
'{ [Р» (*)]•&=щ^. A2.48)
Разложение функций в ряд по полиномам Лежандра.
Из теории Штурма — Лиувилля следует, что полиномы
Лежандра ортогональны и, кроме того, образуют полную
систему. На основании этого предположим, что ряд
%anPn(x) = f(x) A2.49)
п=0
равномерно сходится к f-(x) на отрезке [—1,1].. Это озна-
означает, что функция / (х) и ее производная /' (х) на данном
отрезке должны быть, по крайней мере, кусочно-непрерыв-
кусочно-непрерывными. Коэффициенты а^ можно определить, умножая ряд
на Рп (х), а затем почленно интегрируя этот результат.
Учитывая условия ортогональности A2.43) и A2.48),
получаем
i
^am=lf(x)Pm(x)dx. A2.50)
Теперь функцию / (х) можно разложить в ряд по полиномам
Лежандра:
оо 1
/ W = 2 ^ I / @ Рп @ dt Pn (х). A2.51)
п=0 -1

12.3. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ 475
Этот ряд обладает теми же свойствами, что и ряд Фурье
(см. гл. 14). В частности, для доказательства единствен-
единственности разложения в ряд можно использовать свойство
ортогональности A2.43).
Гравитационное поле Земли. Рассмотрим гравитацион-
гравитационный потенциал Земли U (для внешних точек пространства),
пренебрегая азимутальными эффектами. Разложим функ-
функцию U в ряд по полиномам Лежандра
00
U(r, 0) = f [E-- 2 an(|-)n+1Pn(cos9)], A2.52)
n=2
где R = F378,1 ± 0,1) км (экваториальный радиус);
GMIR = F2,494 ± 0,001) кмУсек2. Изучение движения
искусственных спутников Земли позволило установить,
что а2 = A,08279 ± 0,00015) X 10, а3 = (—2,4 ± 03) X
X Ю, д4 = (—1,4 ± 0,2) X 10~б. В этом сказывается гру-
шевидность Земли. Коэффициенты более высоких порядков
в пределах экспериментальной точности равны нулю.
Отсутствие члена с полиномом Р4 объясняется тем, что
он описывает смещение, а не деформацию.
Проводящая сфера в однородном электрическом поле.
Определим теперь возмущенный электростатический по-
потенциал при внесении нейтральной проводящей сферы ра-
радиусом г0 в первоначально однородное электрическое поле.
Электростатический потенциал V * подчиняется уравне-
уравнению Лапласа
= 0. A2.53)
Задача обладает сферической симметрией, поэтому решение
будем искать в сферических координатах (это упростит
граничные условия). Разделим переменные
оэ оо
V = 2 anrnPn (cos9) + 53 Ьп^^. A2.54)
п=0 п=0
Вследствие симметрии зависимость от ср отсутствует (центр
сферы совпадает с началом координат, а ось г параллельна
однородному полю).
• Следует подчеркнуть, что задача заключается не в отыскании
разложения V. в ряд по полиномам' Лежандра. Здесь мы вновь об-
обращаемся х задаче о .граничных значениях. :

476 ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Сформулируем теперь граничные условия Дирихле.
Невозмущенное электростатическое поле равно Ео, потре-
потребуем, чтобы
V(г-*оо) = -Е0(г) = -?orcos9 = -?огР4(cos9). A2.55)
Поскольку разложение в ряд по полиномам Лежандра
единственно, можно приравнять коэффициенты при
Рп (cos, 9) в уравнениях A2.54) при г-»- оо и A2.55), после
чего
п\ =—Ео, а.п = 0 (я> 1). A2.56)
Если для п > 1 коэффициенты а^ отличны от нуля, то при
больших г эти члены будут доминировать, в результате
чего граничное условие A2.55) окажется нарушенным.
В качестве поверхности нулевого потенциала можно выбрать
поверхность проводящей сферы и .плоскость 9 = л/2, это
означает, что
V(r = rQ) = a0+-^+(±r-E(/o)Pi(cosQ) +
• о v * о *
оэ
+ 2^^ёт^=о.; A2.57)
Для того чтобы это условие выполнялось при любых 9,
коэффициенты при полиномах Pre(cos9) должны равняться
нулю*, т. е.
л —h — О** h — О (п">>2\ П2 К8^
тогда как
Окончательно электростатический потенциал (вне сферы)
равен
V = -E/Pi (cos 9) +^Pt (cos 9) =
= ЕогР, (cos 9) A-4)* A2-60>
* Это вновь эквивалентно утверждению, что разложение в ряд
по полиномам Лежандра (или по любому другому полному набору
ортогональных функций) единственно.
** Коэффициент при Ро равен oq + bo/ro. Мы положили Ьо = О
(и, следовательно, а^ = 0), так как сфера не имеет собственного
заряда. Если сфера несет собственный заряд qt то Ьо Ф &

12.4. ДРУГИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛИНОМОВ ЛЕЖАНДРА 477
Решение уравнения Лапласа, которое удовлетворяет
граничным условиям, единственно. Электростатический
потенциал V, записанный в форме A2.60), удовлетворяет
граничным условиям и, следовательно, представляет собой
решение уравнения Лапласа для рассматриваемой задачи.
Можно показать далее, что на поверхности сферы инду-
индуцируется поверхностный заряд плотностью
a = 3e0?0cos9 A2.61)
и электрический "дипольный момент
Р = 4яг08е0?0. A2.62)
Упражнения
1. Заряд q смещен по оси г на расстояние а от центра сфери-
сферической полости радиусом R. Показать, что электрическое поле, усред-
усредненное по объему a </•<#, равно дулю, а электрическое поле,
усредненное по объему 0<r<a, равно E=k?z =—к^/4лв0аа=
= — knqa/Зго (в единицах МКСА). Здесь п— число смещенных в еди-
единице объема зарядов. Указание. Е= — Vq>.
2. В разд. 9.3 по методу Шмидта получена система функций
ип(х)=хп, л=0, 1, 2, ..., ортогональных на отрезке —1<<*<<1
с весом w (х) = 1. Доказать, что ип пропорциональна Рп (х). Указание.
Доказательство провести методом математической индукции.
3. Разложить б-функцию Дирака в ряд по полиномам Лежандра
на отрезке — 1 ^ х •< 1.
4. Доказать, что \ х A — х*) Р'^Р'т d*=0, если т Ф п ± 1.
-Ji
12.4. ДРУГИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛИНОМОВ ЛЕЖАНДРА
Формула Родригеса. Представление полиномов Лежандра
[рядом A2.8)] можно видоизменить следующим образом:
[п/2]
г=0
Для целого п
[п/2]
р*м= 2 <-1)г!*7Г(ЬгШп
г=0
п
-2nn\[dx) 2j r\(n-r)\ X
0
r—0

478 Г Л Л В Л 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖЛПДРЛ
Следует обратить внимание на увеличение верхнего пре-
предела суммирования. Внесение дополнительных (л/2) + 1
членов в сумму не дает никакого вклада. Однако эти члены
позволяют просуммировать выражение A2.64), в ре-
результате чего имеем формулу Родригеса
которая широко применяется для доказательства многих
свойств полиномов Лежандра, в частности их ортого-
ортогональности.
Интеграл Шлефли. Формула Родригеса позволяет
получить интегральное представление Рп (г). Используя
интегральную формулу Коши
/(г) = (г»-1)", A2.67)
получаем
§[]ЪТ-«- <12-68>
Дифференцируя последнее выражение п раз по г и умно-
умножая результат на l/2n/i!, окончательно получаем интеграл
Шлефли
^§|^«. A2.69)
где точка t — г лежит внутри контура интегрирования.
Маргенау и Мэрфи использовали этот интеграл для вывода
рекуррентных соотношений, которые здесь получены
из производящей функции. Непосредственной подстановкой
легко показать, что интеграл Шлефли удовлетворяет урав-
уравнению Лежандра
2я/ ? dt
dt
Для целых п функция (t2 — \)n+1/(t — z)n+2 однозначна,
поэтому интеграл по замкнутому контуру равен нулю.

12.4. ДРУГИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛИПОМОВ ЛЁДАИДРА 479
С помощью интеграла Шлефли можно определить Pv (г)
и для нецелых v, при этом контур интегрирования должен
охватывать точки t = zf t = 1, но не должен пересекать
линию разреза от —1 до —оо (рис. 12.5). Точно так же
внутрь контура интегрирования можно включить точки
/ = z и t = — 1, но это не дает ничего нового. Контурное
/1иния разреза
-1
•Мния
разреза
Рис. 12.5. Контур интегрирования для интеграла Шлеф-
Шлефли п ^-плоскости.
интегрирование вокруг точек / = + 1 и / = —' 1 приводит
ко второму решению Qv (z), о котором пойдет речь
в разд. 12.10. Замена переменной
A2.71)
при условии Re z > 0 включает внутрь контура интегри-
интегрирования точку t = + 1, но оставляет вне его точку t — — 1.
В результате получим первое интегральное представление
Лапласа:
2*
2я
=! cos
A2.72)
В качестве контура интегрирования взят круг радиусом
| У?2 — 1 | с центром в точке t = г (рис. 12.6). Заменив
п на — п — 1 (дифференциальное уравнение инвариантно
относительно такой замены), получим второе интегральное

480
Г Л Л В Л 12. ФУНКЦИИ ЛР.ЖЛПЛРЛ
представление Лапласа
4JI
?2-lcoscp)-n~%. A2.73)
В упр. 3 (см. ниже) поясняется, почему в качестве индекса
взято л, а не — п — 1. До сих пор, несмотря на непосред-
непосредственное и важное физическое толкование, производящая
функция фактически не вошла ни в какие соотношения.
По-видимому, логически это можно сделать только сейчас,
не оставляя никаких неяс-
неясностей. Используем подста-
подстановку
^ —г-f ]/z2—I cos<p,
A2.74)
которая приведет интеграл
A2.73) к виду
Рп (г) -
Рис. 12.6. Контур интегрирова-
интегрирования для интегрального представ-
представления Лапласа.
n — целое. A2.75)
В этом интеграле внутри
контура интегрирования
содержится начало координат. При нецелом п точка t = О
оказывается точкой ветвления, а интегрирование будет про-
проводиться вдоль петли вокруг особых точек t = г ±
-оо
Рис. 12.7. Контур интегрирования
для функции Рф(г) ПРИ нецелом v.
по часовой стрелке (рис. 12.7). После нахождения вычетов
(см. разд. 7.2) оказывается, что интеграл A2.75) является
коэффициентом при tn в разложении производящей функ-

i2.5. IIPilfcOEAlllinmiblK ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА
ции A — 2tz + t2)~i/2, \P — 2fe|<l. Таким образом,
взяв за основу интеграл Шлефли (ранее показано, что
он удовлетворяет уравнению Лежандра), мы пришли к про-
производящей функции для полиномов Лежандра.
Упражнения
1. С помощью формулы Родригеса показать, что полиномы Рп (х)
2
Кроме того, при
ортогональны, причем
t
т < л \ хтРп (х) dx =
Л
2. Показать, что
]
-1
i (*)]2 dx
{х) dx -
2
2л+1
2п+1л! п!
Bл+1)!
Вычисляя интеграл
Шлефли, убедиться, что Рп({)~\.
3. Используя интегральное представление Лапласа, показать, что
Рп (г) = Р_-п-| (г). Указание. Функция P-.^ (г) удовлетворяет урав-
уравнению Лежандра, поэтому она должна быть линейной комбинацией
двух функций Рп (г) и Qn (г):
причем Рп{г) регулярна в точках z—±\, a Qn(z) имеет особенность
в точках 2 = ± 1. Показать, что а2 = ^, aj —1.
п
Е/ d \n
\-т-\ X
r=[n/2J-f I
(— l)rrt!
X i / _ v| *2n~2r обращается в нуль (г и л—целые).
б. Плоскую волну можно разложить в ряд по сферическим волнам
со
(уравнение Рэлея): eiArC0SV= ^l anin{kr)Pn (cos у). Показать, что
( . Указание. Для определения anjn(kr) использовать
ортогональность Рп; продифференцировать п раз по kr и для исклю-
исключения зависимости по г положить г = 0; вычислить оставшийся инте-
интеграл, используя для этой цели результат упр. 2.
1
6. Показать, что jn(kr)^-^r j eifer|iPn fli)<ffi.
-l
31-1257

482 ' ГЛАВА II ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА
12.5. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА
Дифференциальное уравнение. Присоединенные поли-
полиномы Лежандра тесно связаны с обычными полиномами
Лежандра и сводятся к последним, когда т — 0. Для пере-
перехода к присоединенным полиномам Лежандра и дифферен-
дифференциальному уравнению для них возьмем обычное уравнение
Лежандра
n = 0 A2.76)
и, используя формулу Лейбница, продифференцируем его т
раз*, в результате чего имеем
и-0, A2.77)
где
иш?цРп(х). A2.78)
Введем обозначение
^r^ • A2.79)
Разрешим это уравнение относительно и и продифферен-
продифференцируем
(S)m/2> A2.80)
и» Г..» 1 2mxV' 1 Ш I т{т + 2)х*У1(] 2v-m/2
Подставив найденные производные в уравнение A2.77),
получим дифференциальное уравнение, которому удовле-
удовлетворяет новая функция
/1 уЦ г/'_~ Ом'л- In (п-±- П — 1 v — ft (\2 82)
\ / l^'i ?ы I ' *
Это уравнение называется присоединенным уравнением
Лежандра и при т = 0 совпадает с обычным уравнением
Лежандра. Записанное в сферической Системе координат
* Формула Лейбница для п-и производной от произведения
двух функций записывается как
п
-^-[А(х)В(х)]=У, С8п^—ТА(х)-=-аВ(х).
fan I П ^J П dXn-8 I fa* '

12.5. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА
483
присоединенное уравнение Лежандра имеет вид
Присоединенные полиномы Лежандра. Регулярные реше-
решения v присоединенного уравнения Лежандра называют
присоединенными полиномами Лежандра и обозначают Р™ (#).
Тогда
™ Т/2^ A2.84)
Из вида выражения A2.84), следует ожидать, что т не может
быть отрицательным, поскольку операция дифференциро-
дифференцирования отрицательное число раз не определена. Однако если
воспользоваться формулой Родригеса, то это ограничение
на параметр т можно снять, так что т будет меняться в пре-
пределах — л < m < л.
Уравнение A2.83) часто возникает при разделении пере-
переменных в уравнении Лапласа или Гельмгольца в сфериче-
сферической системе координат, если есть азимутальная зависи-
зависимость.
По определению присоединенных полиномов Лежандра,
П(х) = Рп(х). A2.85)
Приведем значения некоторых из присоединенных поли-
полиномов Лежандра:
р?
Pi
= 3A-jk2I/2 = 3 cose sine,
= 3 A — л:2) = 3 sin2G,
Pj
= | E cos2 0-1) sin 0,
«| Gcos80-3 cos 0) sinG,
A2.86)
31*

484
ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
= у G cos2 В -1) sin2 0,
Pi (x) - 105* A - x2f/2 = 105 cos 0 sin3 0,
P\ (x) = 105A -л:2J -105 sin4 0.
A2.86)
Как и обычные полиномы Лежандра, присоединенные поли-
полиномы также имеют производящую функцию:
2mm! A-
/
* >
Однако она более сложна по форме и не имеет ясного физи-
физического истолкования, поэтому применяется сравнительно
редко.
Рекуррентные соотношения. Как и следовало ожидать,
присоединенные полиномы Лежандра удовлетворяют рекур-
рекуррентным соотношениям. Поскольку эти полиномы имеют
два индекса вместо одного, число рекуррентных соотноше-
соотношений для них велико, например:
A2.88)
; A2.89)
Bп
?
Р?
A2.90)
A2.91)
Эти и другие рекуррентные соотношения можно прове-
проверить, используя производящую функцию A2.4), подстав-
подставляя решения в виде ряда в присоединенное уравнение
Лежандра A2.82) или сводя их с помощью зависимости
A2.84) к рекуррентным соотношениям для обычных поли-
полиномов Лежандра. В качестве примера последнего способа

12.5. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА 485
рассмотрим формулу A2.90). Она аналогична рекуррент-
рекуррентному соотношению для обычных полиномов Лежаидра
A2.23). Продифференцируем соотношение A2.23) т раз,
после чего получим
\2n~\~ \)-^Рп(х) — -j-fcPn+i (x)— ^-^rn_i(x) =
A2.92)
Умножая на A — *2)(TO+D/2 и используя определение
Рп (х), получаем рекуррентное соотношение A2.90).
Четность. Закон четности присоединенных полиномов
Лежандра можно установить, изучая уравнение A2.84),
которое определяет эти полиномы. Известно, что замена
х->— %х для обычных полиномов Лежандра Рп(х) при-
приводит к появлению множителя (— 1)п. После т-кратного
дифференцирования возникает аналогичный множитель
(— 1)т. Следовательно,
Р%(-х)Т(-\)п+тР%(х). A2.93)
Явный вид полиномов A2.86) подтверждает свойство A2.93).
Из определения A2.84) следует, что
Р?(±1)=0 для т>0. A2.94)
Ортогональность. Ортогональность полиномов Р\ (х)
вытекает из дифференциального уравнения, которому они
удовлетворяют (как и в случае полиномов Рп (*)); член
—т2!(\ — х2) исчезает, если положить т одинаковым
в обоих случаях. Весьма поучительно продемонстрировать
ортогональность другим способом, с помощью которого
можно получить и нормировочный множитель. Для этого
обратимся к основному определению присоединенных поли-
полиномов Лежандра A2.84) и формуле Родригеса A2.65) для
Рп (х). Тогда
1 i
f Pm (y\ Pm(v\ И* {~l)m f XmJ—- XV dq+m У* Ну
) *p (*)r* (x)dx = 2P+qp]qy j Л -^рттй-л ^ййЛ dx,
A2.95)
где X3fr2- 1).

486 «ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Пусть рФ q, причем, для определенности, р <q-
Отметим, что т одинаков для обоих полиномов (это суще-
существенное условие). Далее снова проинтегрируем по частям,
все проинтегрированные части равны нулю из-за множи-
множителя X = х2 — 1. Проинтегрировав q + т раз, получим
1
\ Рр (х) Я? (х) dx
-1
q\
Г
)
Подынтегральную функцию из правой части этого равенства
раскроем по формуле Лейбница:
= *. 2 ,uy,.f!!lr^!!iy. A2.97)
Поскольку в члене Хт показатель степени х не больше 2т,
имеет место неравенство
q + m — i<2mt A2.98)
т. е. производная равна нулю. Аналогично
/7 + m + i<2/7. A2.99)
Решение этих неравенств относительно индекса I. будет
ненулевым, если
i>q — tn, i^p—m. A2.100)
Но по предположению р < q, поэтому решение отсутствует,
следовательно, и интеграл равен нулю. Очевидно, такой
же результат должен быть и при р> q.
Если р = </, остается один член, соответствующий
i~q~m. Подставив результат A2.97) в уравнение A2.96),
получим
i
-i
1 '!?,X<)dx. A2.101)
— 1

12.5. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА 487
Поскольку
..., A2.102)
A2.103)
уравнение A2.101) сводится к следующему:
. A2.104)
Интеграл справа равен
'-g;;yUI A2.105)
(см. упр. 1 к разд. 10.4). Комбинируя A2.104) и A2.105),
можно записать условие ортогональности
j; sFTg{№ A2.106)
или в сферической систем'е координат
п
(cos 6) Р™ (cos 8) sin в <Ю=^рт • |±3 «„• A2.107)
Условие ортогональности полиномов Лежандра следует
как частный случай из этого результата, если положить
т = 0, при этом из условия ортогональности A2.106)
сразу же вытекают условия A2.43) и A2.48).
Можно сформулировать условие ортогональности для
присоединенных полиномов Лежандра, у которых нижние
индексы одинаковы, а верхние различны. В этом случае
(см. упр. 3)
^^f A2.108)
-1
Обратим внимание на появление нового весового множи-
множителя A -— г5).
Магнитное поле замкнутого тока. Как и другие урав-
уравнения математической физики, уравнение для присоеди-
присоединенных полиномов Лежандра часто возникает совершенно

ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДЙА
неожиданно. В качестве примера рассмотрим магнитное
ноле В и магнитный векторный потенциал А в экваториаль-
экваториальной плоскости от кругового тока (рис. 12.8).
Из электромагнитной теории известно, что элементу
тока I d% соответствует магнитный векторный потен-
потенциал
A2.109)
Беря за основу эту форму-
формулу, а также учитывая сим-
симметрию системы, мы заме-
замечаем, что А имеет только
одну (р0-компоненту, не за-
зависящую от ф:
Из уравнений Максвелла
= J (D:=0, в едини-
единицах МКСА), A2.111)
где J — плотность тока. По-
Поскольку
|i0H = B = VxA, A2.11-2)
имеем
A2.113)
Рис. 12.8. Закон Био — Савара
в применении к круговому току, g этой задаче J всюду рав-
равна нулю, за исключением
проводника, по которому течет ток. Следовательно, вне
проводника с учетом равенства A2.110)
VxVx<PoAp(r, в) = 0. A2.114)
Расписывая ротор в сферических координатах (см. разд. 2.4),
имеем
A2.115)

!2.5. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА 489
Полагая Лф (г, 0) = R (г) в (8) и разделяя переменные, полу-
получаем
^ 0. A2-П6)
= 0. A2.117)
Второе уравнение есть уравнение для присоединенных поли-
полиномов Лежандра A2.83) с т=1, поэтому можно сразу
записать решение:
в @) = Pi (cos 0). A2.118)
Константа разделения положена равной п(п-\-\) с тем,
чтобы обеспечить требуемое поведение решения.
Возьмем R(r) = ra, тогда а — п, — л—1. Первое значе-
значение а следует отбросить, так как решение должно исчезать
при г—>оо, поэтому
и
со
«niH-i™ ,...™ , . л A2.120)
1
Вследствие симметрии задачи Лф должна быть инвариантной
относительно отражения в экваториальной плоскости
Лф(г, cos0) = Ap(r, -cos0), A2.121)
поэтому, учитывая условие A2.93) о четности функции
Рп (cos 0), следует, что сп = 0 для четных п.
Для полного определения постоянных можно взять фор-
формулу A2.109), вычислить компоненту Bz [B2 = Br(r, 0 = 0)]
и сравнить ее с выражением, полученным из закона Био—Са-
вара:
A2.122)

490 , Г Л А В А 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Используя соотношение
i (cos 6) rfPUcosB) 1
n v ;e:n ft n x 'l r>t i
}-P°n A2.123)
и рекуррентную формулу A2>88) с т=1
получаем (для любых 0):
U г>а. A2.125)
со
n=l
В частности, при 0 — 0
00
7п+1
A2.126)
С другой стороны, можно также записать
-2^^^(cos0) r>a.
A2.127)
Закон Био—Савара утверждает, что в единицах МКСА
rfB==j^/rfX_xroe A2.128)
Проинтегрируем теперь по периметру проводника (радиус а);
магнитное поле вдоль оси г равно kBz, причем
На основании биномиальной теоремы
Z\ , п(п-р/2 (л/2I / а \п-1
2 2з ZJ V V [(п—1)/2]!A/2I V 2 )
n=i, неч
г. A2.130)

llg присоединенный полиномы лпжАндра
491
Приравнивая почленно уравнения A2.126) и A2.130)
(с г = г)*, получаем
^т ••••,
(л/2)!
(п+1)
или
Итак,
/г—нечетное
— \~ Ч
A2.131)
я)!
п\
оо
п=0
оо
г (г, в) =^
Bл + D B
п=0
CD
В»(/•. в) =
A2.132)
, A2.133)
sn+1 (cos 8),
A2.134)
. A2.135)
)
Искомые поля могут быть описаны в замкнутой форме
с помощью эллиптических интегралов. Третья возможность
связана с прямым интегрированием формулы A2.109) после
разложения множителя 1/г, считая его производящей
функцией для полиномов Лежандра. Эти методы имеют
то преимущество, что позволяют непосредственно вычис-
вычислить коэффициент сп.
Интересно сравнить поле магнитного диполя кругового
тока с полем электрического диполя конечного размера
(см. рис. 12.3). Для магнитного диполя только что про-
проведенный анализ дает
С4(J] A2Л36)
A2.137)
* Ряд по нисходящим степеням также обладает свойством
единственности.

4<J . v ГЛАВА 12. ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА
В разд. 12.1 получено для поля электрического диполя
A2Л38)
Эти поля с точностью до главных членов сходны по своей
записи, что и послужило основанием назвать их полями
диполя.
Упражнения
1. Доказать тождества для присоединенных полиномов Лежандра
Они встречаются при изучении углового распределения электронов
внутренней конверсии.
2. Присоединенный полином Лежандра Pj* (x) удовлетворяет само-
самосопряженному дифференциальному уравнению
0—j^
Исходя из дифференциальных уравнений для Р™{х) и Р*(*),
1
показать, что. f PJ(jc) Pj (x) -;^2 =Q> * #; «•
f PJ(jc) Pj (x) -;^
3. Доказать условие ортогональности
j55
— 1
4. Записать Р^м' = (cos 6) егМф в декартовых координатах для
L = 0, 1, 2, —L<M<L.
Ответ:
Ро (cos 6) eoi<p = 1, Pfl (cos 6) e±i(P = sin 0 (cos <p ± / sin ф) = - {x±iy),
1 f «
P2 (cos 9) eoitp = |- cos* 9 ~y =

I2.G. СФЕРИЧЕСКИ Г. ФУНКЦИИ 49,1
«.• 3
(cos-O) е*1ф = 3 cos 0 sin 0 (cos <p ± i sin cp) = — z (x ± iy),
5. Доказать, что Р~т (*) = (-0т ||=^ PJ (х), где
1 /о dn+m
~"9"~Т П~*2) л п+т (*2—1)п- Указание. Применить формулу
Лейбница к произведению (jt-j~l)n (х—1)п.
6. Показать, что
< «Р? ^СС 2п(п+1)(я+тI
С / Pi
1—\
J \ sin 6
sm
Эти интегралы встречаются в теории рассеяния электромагнитных
волн сферой.
7. Показать, что Р' @) = i — , если «—нечет-
п {[{п1)/2]!2(п-1)/2}2
мое, и равно нулю, если п — четное; использовать сначала рекуррент-
рекуррентные соотношения или разложение производящей функции.
8. Дифференцируя производящую функцию полиномов Лежандра,
получить формулу A2.86), с помощью которой была определена про-
производящая функция.
9. Вывести рекуррентное соотношение для присоединенных поли-
полиномов Лежандра
A2.140)
10. Показать, что sin 0P^ (cos Q) — P^ (cos 0).
12.6. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Ортогональность. При разделении переменных в урав-
уравнениях Лапласа, Гельмгольца или пространственной части
классического волнового уравнения и волнового уравнения
Шредингера для центральных сил угловая зависимость,
которая целиком обусловлена оператором Лапласа, описы-

494 % ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
вается уравнением
A2.141)
Разделяя переменные в уравнении A2.141), получаем, что
0@) удовлетворяет присоединенному уравнению Лежандра
A2.83) [поэтому 9 (8) = Pn (cos 0I, а Ф (ф) - уравнению
решения которого имеют вид
A2.143)
и, как легко видеть, удовлетворяют условию ортогональности
2я
umv A2.144)
f
о
причем, если положить Фт равным е{тф/2л, то решения
будут ортонормированы. Отметим, что этот интеграл запи-
записывают также в виде произведения Ф%ц (ф) Фт2 (ф)> где
звездочкой отмечена операция комплексного сопряжения.
Решение вида A2.143) часто используется в квантовой
механике. В качестве решений можно также взять функции
Ф —sin/Пф, cos ту A2.145)
и записать для них условие ортогональности, которое
играет существенную роль в теории рядов Фурье (см. гл. 14).
В электростатике и большинстве других физических
проблем параметр т должен принимать только целые зна-
значения, в результате чего Ф (ф) оказывается однозначной
функцией ф. В квантовой механике вопрос гораздо слож-
сложнее, поскольку требуется однозначность величины Ф*Ф.
Однако можно показать, что, по-прежнему, следует
брать целые т, иначе для токов получаются бессмыс-
бессмысленные выражения.
Уравнения A2.142) и A2.83) инвариантны относительно
замены т-+ — т, однако мы еще не определили присое-

12.6. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 495
диненные полщюмы Лежандра Р™ (cos 0) для отрицатель-
отрицательных т. Чтобы определить эти полиномы для отрицатель-
отрицательных т, можно просто положить
Рп (cos9)-PLm|(cos9), m = 0, ±1, ±2, ... A2.146)
Можно также использовать определение присоединенных
полиномов Лежандра A2.84), в котором Рп заменяется
по формуле A2.65), в результате чего имеем
A2.147)
Теперь уже т может принимать отрицательные значения
вплоть до —п. Далее, очевидно, что Р™ (cos 9) — 0 при
яг > п. Следовательно, как и указано, индекс т должен
изменяться в пределах — я < m < я. Такое определение
присоединенных полиномов Лежандра для отрицатель-
отрицательных т позволяет использовать одни и те же соотношения
как для т>0, так и для т < 0.
Пронормировав присоединенный полином Лежандра
с учетом равенства A2.106), получим ортонормированную
функцию
0?(cos9) = Ytfn+m)^
A2.148)
Можно показать (см. упр. 5 к разд. 12.5), что
, A2.149)
поэтому уравнение A2.148) выполняется как для положи-
положительных, так и для отрицательных т.
Функция Фт (qp) ортонормирована относительно ази-
азимутального угла ф, в то время как функция &™ (cos 9)
ортонормирована относительно полярного угла 0. Рас-
смотрим произведение этих двух функций
A2.150)
f Функции Yn (9, ф), зависящие от 9 и ф и от двух индексов,
fj ортонормированы на сферической поверхности; их назы-

496
ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
вают сферическими функциями. Полное условие орто-
ортогональности приобретает вид
2л п
p=o e=o
т* (в,
(9, ф) sin 9 c(9 dy = бПь nAu, mr
A2.151)
Приведем явный вид нескольких функций Y™ (9):
к!(е.Ф)
¦!-sin ее*,
Ф) -
Ф) = -
3 sin2 9e2\
3 Sitl 0 C0S
Ф) = + j/7^ 3 sin 9 cos 9e-«<\
ф) =
sin2 0ei<p-
A2.152)
Заметим, что в соответствии с уравнением A2.149) функции
Yn™ и Fn отличаются друг от друга множителем (—\)т.
Иногда, в квантовой механике, например в кванто*вой
теории момента количества движения, множитель (—1)т
связывают с положительной сферической функцией. Этот
множитель называется фазой Кондона — Шортли. [Очень
часто этот фазовый множитель опускают и определяют
функцию Yum с отрицательным т с помощью уравне-
уравнения A2.150), полагая, что У„w = Yf].
Ряд Лапласа, основная теорема разложения. Сфериче-
Сферические функции обладают свойством полноты, что является

12.6. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 49?
следствием записи уравнения Лапласа в форме Штурма —
Лиувилля. Благодаря Свойству полноты любую функцию
/ (9, ф) (если она обладает нужными свойствами непрерыв-
непрерывности), заданную на поверхности сферы, можно разложить
в равномерно сходящийся двойной ряд по сферическим
функциям* (ряд Лапласа):
A2.153)
, П
Если функция / @, ф) известна, то, воспользовавшись
свойством ортогональности, можно немедленно определить
коэффициенты этого разложения.
Упражнения
I. Доказать, что Kjf @, ф)=Ч 4л )
2. В теории кулоновского возбуждения ядер встречается функция
(я/2, 0). Показать, что
/2 l(L~
2' / V 4я /
{L-M)\\(L+M)\\
для четных L-\-M
= 0 для нечетных L-fM,
где Bn)!! =2n Bn~2)... 6-4-2, Bn+1I! = Bn+ i)Bn— 1)... 5.3-1
3. Выразить элементы тензора квадрупольного момента XiXj в виде
линейной комбинации сферических функций К^г (и Ко).
4. Уравнения Максвелла в сферических координатах имеют решения
д J
L(L+\) '
/со
* Доказательство этой фундаментальной теоремы см. в книге
Hobson E. W. The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics,
N.Y., Chelsea, 1955, Ch, VII,

498 'ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
где \|?(г, 9, ф, 0 = #(r)e(9H>(<p)eiw', а функции R, в и Ф удовле-
удовлетворяют уравнениям
r2 dr \ dr } ' V c2 r2
Показать, что при L = 1 и m = О
ф 2с
r__L L
I kr (kr\
12.7. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Тригонометрическое тождество. В последующем изло-
изложении (8Ь фО я @2, фг) определяют два разных направле-
направления в сферической системе координат, угол между кото-
которыми равен у. Эти углы связаны тригонометрическим тожде-
тождеством
cos у = cos 8t cos 92 -f sin Oi sin 02 cos (ф4 — ф2), A2.154)
которое наиболее просто доказывается с привлечением
методов векторного анализа (см. гл. 1).
Теорема сложения утверждает, что
п
=2^1 S (-ir^(9i,<P.MV(82.<P2). A2.155)
или, что то же самое
п
S У(9Ф)>'™*(в> Ф3). A2.156)

12.7. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Теорему сложения можно записать и через присоединенные
полиномы Лежандра:
Рп '(cos у) = Рп (cos 0j) Рп (cos 62) +
п
+ 2 2 |^||P™(cose1)P?(cose2)cosm(cpI-92). A2.157)
m—i
Доказательство теоремы сложения. Продифференцируем
уравнение A2.156). Пусть g(9, ф)—функция, которую можно
Рис. 12.9. Иллюстрация к теореме сложения.
разложить в ряд Лапласа. Выберем две системы: *,, уи z,
и хъ уъ z2 (рис. 12.9). Тогда
~Уп (9i, Ф1) в системе хи уи гь
» т \ A2.158)
= zj аттУп G» I5) в системе х2, Уг, z2.
=—n
В самом деле, выбор нуля азимутального угла \|) в данном
случае не играет роли. При 7 = 0 имеем
32*

'Г Л А В А 12. ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА
так как Рп A) ~-1, тогда как Р™ A) = 0 (т Ф 0). Умножив
уравнение A2.158) на Уп*(у, ^) и проинтегрировав по сфере,
получим
\ it = ano. A2.160)
\
Учитывая A2.158), перепишем полученный результат
\ V? Fi! фО Vn*(Yi ф)^Й = Дпо« A2.161)
Вновь предположим, что Pn (cos у) можно представить рядом
= 2 W?@i^i), A2.162)
=—п
в котором коэффициенты Ьпт—функции 02 и ф2, т. е. опре-
определяются ориентацией оси г%. Умножим это разложение
на К(ф!, 0[) и проинтегрируем по переменным 0j и ф4
по поверхности сферы:
j Рп (cos y) С* @lf фО d«01i Ф1 - *W A2.163)
С помощью сферических функций выражение A2.163) можно
привести к виду
л
Индексы у элемента телесного угла dfll опущены. Интеграл
берется по всем телесным углам, поэтому выбор полярной
оси не имеет существенного значения. Сравнивая уравне-
уравнения A2.161) и A2.164), получаем
h* - ( 4я W2— 4л
из уравнения A2.159),
A2.165)
из уравнения A2.158).
Здесь произведена замена индексов 0t ->¦ 02, ф4 -*- ф2 для
Y-»-0. Подставим теперь A2.165) в уравнение A2.162),
после чего получается формула A2.156), что и доказывает
теорему сложения.

12.7. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ §01
На основе теории групп формулу A2.156) можно дока-
доказать более изящным способом (используя группы вра-
вращения *).
Теоремой сложения пользуются при построении функ-
функции Грина для трехмерного уравнения Лапласа в сфериче-
сферической системе координат. Если точечный источник распо-
расположен на полярной оси (г = 0, 0 = ф, ф = 0), то на осно-
основании уравнения A2.4) получим
R
1
00
an
pn (cos у) ^й+i- Для г>й,
r-ka|
n=0
IS'-
A2.166)
г<а-
После поворота системы координат источник переместится
в точку (а, 92, фг), а точка наблюдения—в точку (г, 01? ф4).
Тогда
, 9j, щ\а, 92, ф2)=~ =
оо
п
= 2 2
оо
т=—п
п
г>а;
„n
п=-0 т=—п
A2.167)
Упражнения
1. При доказательстве теоремы сложения предполагалось, что
Vj[(9i, фл) можно разложить в ряд по функциям Y™(d2, Фг). в кото-
котором т изменяется от — п до -f n, а п остается фиксированным.
Как обосновать суммирование только по положительным значениям
индекса п? Указание. Исследовать однородность функции Y™, т. е.
возможность выразить KJJ1 через cosn-/H-sin или xn-v-*yvz*Jrn,
* См. например, Rose M. E. Elementary Theory of Angular
Momentum. N.Y., Wiley, 1957.

tvi А в A ia. функции лежАнДрА
или исследовать поведение уравнения Лежандра [V2-j-n (n+ 1)/г2] X
xPn(cos9) = 0 прн повороте системы координат.
2. Электрон в атоме, характеризующийся моментом количества
движения L и магнитным квантовым числом М, описывается волновой
функцией i|) (г, 0, ф) = / (г) К^ (G, ф). Показать, что плотность вероят-
вероятности в полностью заполненной электронной оболочке сферически
L
симметрична, т. е. величина ^ -ф* (г, 0, ф) \|) (г, 0, ф) не зависит
M=-L
от 0 и ф.
3. Потенциал электрона (находится в точке г,,) в поле 1 прото-
Z
нов, расположенных в точках гр, равен ф= — -— У. i Г •
р=1
Показать, что этот потенциал можно записать иначе:
p=l L, M
где re > rp. Как запишется ф при ге < rp?
4. Каждый из двух U-электропов в атоме гелия можно описать
(^з \ 1/2
—51 е~ /а° в отсут-
отсутствие другого электрона. Здесь Z = 2,ao=ft2/me2—радиус Бора.
Найти потенциальную энергию взаимодействия двух электронов,
которая определяется интегралом
Ф (ri) ^ («"г)
^12
Ответ: 5c2Z/8ao.
Замечание. dri = r\drismQidQid(pi, ri2 = I ri — r2 !•
5. Распределение заряда на 2р-оболочке в атоме водорода
характеризуется выражением р = -^—г- r2e~r/a° sin2 0, где a0 —
радиус Бора. Определить электростатический потенциал, соответ-
соответствующий этому распределению заряда.
6. Плотность электрического тока, создаваемого 2р-электроном
в атоме водорода, равна J = <р0 ^—- е /а° г sin 0. Используя
выражение
найти магнитный векторный потенциал, создаваемый этим электро-
электроном. Указание. Воспользоваться теоремой сложения для оценки у,
угла между радиусами-векторами rj и гг. Интегрированием по d
по сфере определить полную кулоновскую энергию.

12.8. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЕХ ФУНКЦИЙ У^ 503
12.8. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЕХ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
В квантовой механике часто встречаются интегралы
вида j Y^Y^Y^dQ или j Y^*PL2Y^dut в которых
интегрирование производится по всему телесному углу.
Первый и третий сомножители в подынтегральном выра-
выражении представляют собой волновую функцию конечного
и начального состояния соответственно, а средний сомно-
сомножитель — оператор, матричный элемент которого необхо-
необходимо вычислить. С помощью методов теории групп можно
найти выражение, общее для таких интегралов. Эти методы
приводят к появлению коэффициентов векторного сложения
или, как их называют иначе, коэффициентов Клебша —
Гордана, для которых составлены специальные таблицы *.
На интегралы наложены три ограничивающих условия
общего характера. Во-первых, интеграл обращается в нуль,
если векторная сумма орбитальных моментов L отлична
от нуля \ Li — L3\ < L2 < Ц H- L3. Во-вторых, инте-
интеграл также равен нулю, если не выполнено условие М2 +
+ Ms — M^ Это положение служит теоретическим обос-
обоснованием векторной модели атомной спектроскопии. Нако-
Наконец, в-третьих, интеграл исчезает, если произведение
Y%*Yl}Yl* нечетное, т. е. если сумма Mt + М2 + М3 +
+ Li + L2 + L3 не равна целому четному числу. Послед-
Последнее условие отражает закон сохранения четности.
Для вычисления многих интегралов, родственных запи-
записанным выше, уже имеются разработанные приемы. Интег-
Интегрирование по азимутальному углу проводится с учетом
соотношения
= 2пЬМг+мъ-ыъ о- A2.168)
s
Физически это соответствует сохранению г-компоненты
момента количества движения.
Применение рекуррентных соотношений. Рассматривая
выражения A2.152), легко убедиться, что зависимость
, а значит, и Рь22 @) от угла 0 можно выразить через
* Кондон Е. иШортли Г. Теория атомных спектров,
Перев. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1949-

504 ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
cos 6 и sin 6. Однако с помощью рекуррентных соотноше-
соотношений для полиномов Лежандра можно рассматривать не
просто cos 0 или sin 6, а комбинацию этих функций с К?33.
Например, из уравнений A2.88) и A2.89) имеем
1
J
BL+l)BL + 3) J
nL~M)(L-M~\)im
L BL-1)BL+1) J
BL+1)Bz#+3) J
-|l/2 м -
В зависимости от нормировки эти соотношения могут содер-
содержать множитель (— 1)м.
Воспользовавшись этими уравнениями, получим
-М + 1П1/2 ' А .
['
LBL-1)
1)BL +
где появился б-символ Кронекера с индексами L, L ± 1
вследствие закона сохранения орбитального момента коли-
количества движения. Интеграл A2.172) встречается в теории
электромагнитного излучения (при описании электрического
диполя). Из него вытекает известное правило отбора,
в соответствии с которым переход на уровень с орбитальным
квантовым числом Li может происходить только из со-
состояний с орбитальными квантовыми числами Lt — 1 или
Lt + 1. Применение рекуррентных соотношений к инте-
интегралам типа \ Yl *Рч (cos 8) Ffdft (описывает квадру-
польный момент) требует больших усилий, однако не вызы-
вызывает никаких принципиальных трудностей,

12.8. Интегралы от произведения трех функций vf
Коэффициенты Слетера. Интегралы от произведения трех
сферических функций возникают также при вычислении
энергии взаимодействия между двумя атомными электронами,
Ф« A) Фа A) — typ B) % B) dx{ dx2,
в котором можно разложить расстояние г12 = | г4 — г2| с по-
помощью производящей функции, в результате чего появятся
полиномы Лежандра Pa (cos у). Если к ним применить тео-
теорему сложения и предположить, что угловая зависимость
волновых функций г|зA) и т|)B) имеет вид соответственно
^jli (9ц <Pi) и Fl22@2. Фг). то первоначальный интеграл рас-
распадается на интеграл от радиальной части и два других
интеграла вида
j
A2.173)
Заменяя в полной волновой функции i|)a(l)—>t|>aB),
i|?p B) —> "фр A), приходим к интегралам вида
\
. A2.174)
Атомные волновые функции вычисляются с помощью соот-
соотношений
ь L2, т2) = акA1, т{)акA21 m2), A2.175)
A2.176)
Коэффициенты ак и Ьк часто называют коэффициентами
Слетера *.
Упражнения
1. Вычислить интеграл I Pjfjf/ (cos в) sin QP% (cos 9) dQ.
2. Показать, что
m)-l, ai = (l,/n) = 0, ai@t 0)^0, a^(l, 0) = -|,
^(l±l)
* Протабулированные значения коэффициентов Слетера см.
в книге Кондон Е., Шортли Г. Теория атомных спектров,
Перев. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1949.

506 ' Г Л А В А 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
3. Проверить, что
V 4я
4я К BL-fi)BL + 3)
Г vMKi
f
J
BL-1)BL + D '
С помошью этих интегралов исследуют угловую корреляцию электро-
электронов внутренней конверсии.
4. Доказать соотношение, которое встречается в теории ядерных
квадрупольных моментов:
J
5. В квантовой механике операторы момента количества движе-
движения задаются в виде
Показать, что
(Lx+iLy)YLM (9, ф) = — V(L—М) (L+M+1) Кь, v+1 (в,
(9, ф) = —V(L+A1)(L—Л1 + 1)К1|,дг_1{в, ф).
Используя фазовый множитель Кондона —Шортли, проверить
знак минус перед квадратными корнями.
12.9. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА ВТОРОГО РОДА
Решение уравнения Лежандра в виде ряда. Чтобы
решить уравнение
A - х2) -^] + п (я -Ь1) у = 0, A2.177)
положим (см. гл. 8)
00
У= 2 аьхк+х*, A2.178)
* Заметим, что х можно заменить комплексной переменной г.

12.9. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА ВТОРОГО РОДА 507
откуда
*, A2.179)
ео
^ S (k-\-^)(k + X-\)axxh^'2. A2.180)
Подставим эти разложения в исходное дифференциальное
уравнение
00
A2.181)
Определяющее уравнение
Дг.(/5— 1) = 0 A2.182)
имеет решения & = (), 1. Пусть k — Q. Попытаемся получить
решение, положив ао=\, а^О. Тогда для коэффициентов
ряда имеем рекуррентное соотношение
A2.183)
из которого следует, что
Обозначим ряд с коэффициентами A2.184) р„, тогда
, (|2Л85)
Пусть теперь k=\ и а0— 1, а! = 0, тогда рекуррентное
соотношение для коэффициентов
flb A2
Обозначив новый ряд qn, получим
^ | (й-3)(в-1)(п+2)(я+4) Б
31 ""¦ 5! "' '
A2.187)
Таким образом, общее решение уравнения A2.177) запи-
запишется в виде
Уп (х) - Апрп (х) + Впдп (х), A2.188)

508 ' Г Л ABA 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
при условии, что ряды, которые определяют это решение,
сходятся.
При целом положительном четном (или нулевом) п ряд рп
ограничен и, введя надлежащий нормирующий множитель,
его можно переписать так:
Bs)! / \ / t\s Bs —1)!!
Bs)!!
для n = 2s. A2.189)
Если и — целое положительное нечетное число, ряд рп обры-
обрывается после некоторого конечного числа членов,, и
-l Ч
Bд+1)М
для n = 2s4-l. A2.190)
Заметим, что эти выражения справедливы не только для всех
вещественных х, но и для любых комплексных значений,
за исключением бесконечно удаленной точки. Постоянные
множители в A2.189) и A2.190) выбраны с таким расче-
расчетом, чтобы функция Рп соответствовала полиномам Лежан-
дра, определенным производящей функцией.
Иногда удобно изменить порядок членов в этих рядах
на обратный. Это достигается подстановкой s = n/2 — X
в A2.189), s = (п — 1)/2 — X в A2.190), после чего урав-
уравнения A2.189) и A2.190) сводятся к одному:
[п/2]
8=0
в котором верхний предел суммирования равен п/2 при
четном п или (п — 1)/2 при нечетном п. Выражение A2.191)
в точности повторяет A2.8), полученное прямо из произво-
производящей функции. Именно из соображения совпадения
A2.191) с A2.8) и были выбраны нормировочные множи-
множители в уравнениях A2.189) и A2.190). Очевидно, что для
очень больших х
5^ A2.192)

12.9. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРЛ ВТОРОГО РОДЛ 509
В разд. 12.10 нам понадобится функция Рп чисто мнимого
аргумента'. Для этого в уравнении A2.191) сделаем замену
* = i?, тогда
[и/2]
p.«tH(-i)""Sa.„ffД-ад»^- A2Л93)
s=0
Функции Лежандра второго рода Qn(x). Подчеркнем,
что мы использовали рп только для четных я, a qn — только
для нечетных п. Теперь определим второе решение урав-
уравнения Лежандра:
для " =
для n = 2s+l. A2.195)
Нормировочные множители выбраны здесь таким образом,
чтобы функции Qn удовлетворяли тем же самым рекуррент-
рекуррентным соотношениям, что и Рп. В этом можно убедиться,
если подставить выражения A2.194) и A2.195) в формулы
A2.17) и A2.26). Применяя признак сходимости Коши
к коэффициентам ряда A2.184) и A2.186), получаем, что
Qn (х) сходится при | х | < 1 и расходится при | х \ > 1.
Чтобы получить второе решение для области х2 > 1,
будем искать решение уравнения A2.177) в форме ряда
по нисходящим степеням. Пусть
со
У = 2i b.Kxk-\ A2.196)
тогда
CO
у^хк~х'{, A2.197)
00
у"= ^ (k-X)(k-%-\)b^xk-b-K A2.198)
А0

510 ГЛАВА !2. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Подставим эти выражения в уравнение A2.177):
oo
A2.199)
Из требования обращения в нуль коэффициентов при сте-
степени xh получим определяющее уравнение
k(k+l)-n{n+\) = O A2.200)
с решениями
k = n, -л-1. A2.201)
При целом л решение k — n (поскольку п>0) приводит
к уже знакомым полиномам Лежандра Рп(х). Из второго
решения k - —я— 1 возникает ряд, коэффициенты которого
удовлетворяют рекуррентному соотношению
_,1-2 = 0 A2.202)
или
Это дает
2Bл+3)
причем
Полученное решение можно также записать так:

12.9. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА ВТОРОГО ?ОДА
Одна из обычных форм записи второго решения получается,
если выбрать
ь°=Щг' A2-207>
откуда следует, что
оо
Q.(х) = Уг"-' g '"it^'ffi)!1 *""¦ *2>L <12208)
8=0
Прямой подстановкой убеждаемся, что Qn (х) для х2 > 1
удовлетворяет тем же самым рекуррентным соотношениям,
что и Рп(х). На рис. 12.10 показано поведение функций
Решение в замкнутой форме. Часто требуется предста-
представить второе решение Qn(z) в замкнутой форме. Это можно
сделать с помощью метода, рассмотренного в разд. 8.5.
Запишем
A2.209)
где постоянная Ап включает в себя значение интеграла
на произвольном нижнем пределе. Обе постоянные, Лп
и Вп, могут быть определены для некоторых специальных
случаев.
Для п = 0 уравнение A2.209) принимает вид с уче-
учетом разложения Маклорена для логарифма
A2'2Ш)
Сравнивая его с решением, записанным в виде ряда A2.187),
получаем
г+..., A2.211)

-0,5-
-1
a
Рис. 12.10. Функции Лежандра второго рода Qn (x)
при 0 < х < 1 (а) и при х > 1 (б).

12.9. Функции лежлидра второго рода
¦ ижжиипт и f ¦ -¦ II. ¦ .
следовательно, Л0 = 0, Во=1. Проделаем аналогичную про-
процедуру для л.~ 1. Тогда
, A2.212)
разлагая его в степенной ряд и сравнивая с Q( (г) =
= —р,(г), получаем, что А = 0, fii=l. Следовательно,
A2.213)
По-видимому, наилучший способ получения функций Qn (г)
более высокого порядка состоит в применении рекуррент-
рекуррентного соотношения A2.17), которое можно проверить как
для х2 < 1, так и для х2> 1, подставляя в него решения
в виде рядов.
Так можно получить
у!7| A2.214)
Последовательное применение рекуррентной формулы дает
Qn (z) = ~2 'п \Ч *П "JTZTz—
2^i|^. A2.215)
Множитель In 1A + z)l A — z)] говорит о том, что при
вещественном г записанные выше выражения справедливы
для | х | < 1. Если необходимо записать решение в зам-
замкнутой форме вне этого промежутка, то для этого нужно
только заменить Вп на Вп1п (—1). В этом случае
l|ni±f, A2.216)
i{*) = Tzto7=T-l> |2|>1ит. д. A2.217)
В самом деле, эти выражения справедливы во всей комплекс-
комплексной плоскости, если ее разрезать вдоль вещественной оси
на отрезке — 1<х<1. В комплексной плоскости, где
33-1257

Г>14 Г ЛАПА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАИДРА
логарифм — многозначная функция, нужно проявлять осо-
особую осторожность. Например,
In (-1) - In ерппга = ,-я + 2mi, A2.218)
где п — любое целое число. Читатель может проверить
сам, что уравнения A2.216) и A2.217) согласуются с A2.208).
Именно из этих соображений и был выбран коэффициент 60.
В следующем разделе нам понадобится функция Qn (у)
чисто мнимого аргумента. Взяв за основу выражение для
этой функции в виде ряда для \z |> 1, можно записать
сю
(ШЫ-О-ЧГГ-1 S '4fBn+?+yV'. A2.219)
3=0
где у заменено на iy. Для этой же функции, но записан-
записанной в замкнутой форме, удобно представить логарифм в виде
In ^Ц- = 2* f —+А-Л+ ...)=-¦ -2/arctgt/.
iy—\ V ?/ 3z/3 5f/5 / . &y
A2.220)
Подставим формулу A2.220) в уравнение A2.215), после
чего получим
Q» (iy) = ~Pn (iy) (- %) arcctg у- ~ Р^ (iy) -
в частности,
QofofH-iarcctgy, A2.222)
Qi{iy)^yarccigy-\. A2.223)
Эти функции имеют разрыв в точке у — 0, поэтому выра-
выражение A2.221) определяет функцию Qn (iy) для всех вещест-
вещественных у, заключенных в промежутке 0<*/<оо.
Для удобства приведем некоторые специальные значе-
значения Qn (z): так, Qn A) = оо вследствие .наличия логариф-
логарифмического члена в выражении A2.215); Qn (оо) — 0, как
это следует из представления рядом A2.208). Из представ-
представления функции Qn (z) в виде ряда можно получить 'Соот-
'Соотношение
откуда вытекает, что Qn@) = 0 для четных п. Кроме того,

12.9. ФУНКЦИИ ЛЕЖАПДРЛ ВТОРОГО РОДЛ 515
из уравнения A2.195), так как р„@)--=1, следует
и Bs)!!
n @) =
л!
для нечетных п ¦— 2s -f- 1.
Для функций (?п(г), так же как и для функций Бес-
Бесселя, можно записать определитель Вронского*:
(\-z*)lPn(z)Q'n(z)-Pn(z)Qn(z)]^ 1, A2.224)
где /г-0, 1, 2, 3, ... Если воспользоваться уравнением
A2.26) для вычисления производных Рп и Q'nj то написан-
написанное выше соотношение сведется к
Pn(z)Qn-iB)-Pn-i{z)Qn(z)=± ¦ A2.225)
Присоединенные функции Лежандра второго рода
Qn (x) можно определить по аналогии с присоединенными
полиномами Лежандра, как это было сделано в разд. 12.5.
Аналогично уравнению (.12.84) можно записать
п М=(-1П1-*Т ;rmQnM, A2.226)
— \<х<\, т>0.
A2.227)
Некоторые авторы опускают множитель (— 1)т. Используя
эти определения, легко получить
Q\(x) -.-(i-^^^j^)
A2.228)
Множитель 1п[A + х)/A—х)] характерен для присоединен-
присоединенных функций QITW как при тфО, так и при т--=0. Для
больших х(х2>1) или для всей комплексной плоскости
с линией разреза — 1 < х < 1 имеем
m>0 A2.229)
и соотношение A2.227) с отрицательным верхним индексом.
* Эта формула использовалсь для получения Qn (z) в фор-
форме A2.209).
33*

516
ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Интегральные представления. Из анализа интеграла
Шлефли (см. разд. 12.4) запишем второе независимое
решение уравнения Лежандра в виде интеграла:
dt.
Интегрирование ведется по «восьмерке» t (рис. 12.11, а),
внутри которой подынтегральная функция однозначна, кроме
-1
н
Рис. 12.11. Контур в виде «восьмерки» (а) и деформированный
контур (б) для Qv(*).
того, такой контур позволяет получить решение, отличное
от Pv(z). Введя нормировочный множитель, запишем
(
с v '
Деформируем контур, как показано на рис. 12.11, б, тогда
^[g^*. v>-l. A2.230)

12.10. СФЕРОИДАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 517
Доказательство тождественности этого интеграла функции
Qv(x) вынесено в упр. 6 (см. ниже).
Подстановка у=(е«Р Vz-\-\—Vz^\)l(^ Vz~\A-\ Vz—\)
после довольно громоздких выкладок сводит интеграл A2.230)
к новому
со
Qv (г) = J
дляу>-1, A2.231)
аналогичному A2.73), с помощью которого представлены
полиномы Лежандра Pn(z). Для аналитичности и однознач-
однозначности функции Qv (z) в плоскости делается разрез от +1
до — оо.
Упражнения
1. Записать соотношение четности для функции Qn (x).
2. Убедиться, что функции Лежандра второго рода Qn {x) удов-
удовлетворяют тем же fрекуррентным соотношениям, что и полиномы
Лежандра Рп (х), как для | х |< 1, так и для | х | > 1
Bn+I) xQn (х) = (п + 1) Qn+i (х) ¦ |- /iQn_i (x),
3. Используя рекуррентные формулы, показать (не прибегая
к определителю Вронского), что
«[Рп М Qn-i (*) - Pn-i W Qn Wl = Pi (x) Qo W - Pq W Qi W.
Непосредственной подстановкой доказать, что правая часть этого
уравнения равна единице.
4. Доказать, что Pn+i (x) <?a~i (Jr)~Pn_i (x) Qn+1 (x) = ? " ¦. дг.
5. Доказать, что <?n(cosG) = (-l)n— ^ ^ In (t+f
i
-; ц-j dt удовлетворяет
уравнению Лежандра (v >—1), показать, что вследствие четкости
из него не могут получаться любые Pv{z). Кроме того, доказать,
что он равен 2V+1QV (г). Указание. Разложить знаменатель по степе-
степеням t/z (для | г О 0 и проинтегрировать с помощью бета-функции
(см. разд. 10.4).
12.10. СФЕРОИДАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Рассмотрим физические задачи о диэлектрическом
и проводящем сфероидах, помещенных в однородное .элек-
.электрическое поле. Для упрощения ось симметрии сфероида
выберем параллельной направлению первоначального

518
ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖЛМДРЛ
электрического поля. Это позволяет исключить азимуталь-
азимутальную зависимость и делает задачу аксиально симметричной.
Координаты сплющенного сфероида. Если сфероид име-
имеет сплющенную форму, систему координат удобно выбрать
W У
Рис, 12.12, Координаты сплющенного сфероида.
так, чтобы координатные поверхности также представляли
собой сплющенный сфероид. Можно задать систему коор-
координат с помощью уравнений *
* = ach«sinocoscp, f/^flchwsinusinq), z — ashucosv,
A2.232)
поверхность и = щ — это сплющенный сфероид, уравне-
уравнение г/ = vо описывает однополостный гиперболоид, а урав-
уравнение ф = ф0 — полуплоскость, проходящую через ось z
(рис. 12.12). Удобнее заменить здесь переменные ы, v, ф
* Эта система называется системой координат сплющенного
сфероида, см. разд. 2.11.

12.10. СФПРОНДЛЛЬПЬП- CilCTI-Mbf КООРДИНАТ
новыми I, ?, rp, которые связаны друг с другом следующим
образом:
l-cosy, ~1<Е<1; С = sh м, 0<?<оо. A2.233)
В новой системе координат поверхность % — 0 представляет
собой круг, тогда как ? = ?0 > 0 — эллипсоид вращения
(сплющенный сфероид). Уравнение ? = 0 определяет
плоскость с круглым отверстием, а %~\ задает линию,
которая перпендикулярна к этому отверстию и кругу ? = 0
и проходит через их общий центр. После новой замены
уравнения A2.232) приобретут вид
= psinq>, z — al^ A2.234)
где
1'1. A2.235)
Координаты J, ?, q> образуют правую систему, причем
1о X Со = фо-
Будем искать решение уравнения Лапласа, которое
в новых переменных имеет вид
ЖLA^2)J+[A + ^Ы
A2.236)
Здесь мы воспользовались коэффициентами Ламе
2 = Р- A2.237)
Пусть решение уравнения A2.236) можно представить
в виде X (|)Z (Q Ф (ф). Затем, разделив переменные
(см. разд. 2.5), можно убедиться, что X (|) и 1 (Q удо-
удовлетворяют присоединенному уравнению Лежандра и при-
присоединенному уравнению Лежандра чисто мнимого аргу-
аргумента соответственно, а Ф (q>) подчиняется обычному урав-
уравнению гармонического осциллятора. Потенциал V запишем
в виде ряда
У F,1 Ф) = 2 Хпп Ш Zmn @ Фт (Ф), A2.238)
т, и

520 ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
где
-I-В'
ф ((р) = С cos тц> 4- D sin
A2.239)
Учитывая аксиальную симметрию задачи, нужно поло-
положить т = О, что будет означать исключение из рассмотре-
рассмотрения всех присоединенных функций Лежандра. Однако
остается еще определить функции Рп и Qn вещественного
и мнимого аргументов.
Запишем граничные условия для самого простого слу-
случая проводящего сплющенного сфероида: V = 0 на поверх-
поверхности сфероида: ? = ?0> V ^ ~^фИ Для ?~*оо, где
Ео — первоначальное невозмущенное электрическое поле.
Чтобы получить зависимость от переменной J, нужно
положить л = 1, а Я — 0 (если Я =й= 0, то при 5=1,
Qn A) = оо), поэтому
A2.240)
Поскольку ?—>оо, функция Qi(/Q->0. Из второго
граничного условия
А' = 1Еоп, A2.241)
после чего получим
^ A2.242)
Первое граничное условие говорит о том, что потенциал V
обращается в нуль на поверхности сфероида ? = ?о или
0 = Е [ — Яоа?о+ В' (Soarcctg Ь—1I, A2.243)
откуда
Окончательно
(XJ^=l) . A2.245)
Таким образом, для получения искомого потенциала мы про-
просуммировали решения уравнения Лапласа. Произвольны

12.10. СФЕРОИДАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 521
постоянные определялись из условия соответствия решения
граничным условиям. В результате мы получили выраже-
выражение A2.245). Наконец, известно, что решение единственно
(см. разд. 1.15).
Аналогичная задача, но уже со сферой (см. разд. 12.3)
представляет собой частный случай рассмотренной. Пре-
Предельный переход ?0 ->- оо, а ->¦ 0 при а?0 = г0 сводит систе-
систему координат сплющенного сфероида к обычной сфери-
сферической.
Если сплющенный сфероид изготовлен из диэлектрика
с диэлектрической постоянной е, первое граничное усло-
условие запишется иначе:
V и Dn= ~-jr—0Г- непрерывны в точке ? = ?о*- A2.246)
Предположим, что электрическое поле внутри диэлектрика
постоянно по величине и параллельно оси симметрии г **,
Наша задача как раз заключается в проверке этого пред-
предположения. Воспользуемся граничными условиями па
бесконечности
•^внутр— ^внутр^ЬЬ* AZ.24/)
В точке ? = ?о условие A2.246) дает
-Явнутра&>= — ЯооЬ + 5' (Ь arcctg Ь, — 1), A2.248)
е? внутра = г^а - чВ' (arcctg Со - -^) , A2.249)
множитель /i? сократился. Исключая из этих уравнений В\
находим, что отношение первоначального электрического
поля Ео к полю внутри диэлектрика Евн равно
-^-«l + fT—OO + raU-barcctgEo). A2.250)
свнутр V со /
Определим коэффициент деполяризации L соотношением
?BHyTp=E0_LP, A2.251)
* Это эквивалентно требованию непрерывности тангенциальной
компоненты Е.
** Другая возможность заключается в представлении потен-
потенциала внутри сфероида в виде суммы решений уравнения Лапласа
аналогично A2.238),

522 Г Л Л В Л !2. ФУНКЦИИ ЛЕЖАПДРЛ
где поляризация Р = ?впутр(8 —е0)- Решая это уравнение от-
относительно L, получаем
/-^(H-gMl-barcctgb,) A2.252)
как функцию геометрии сплющенного сфероида.
В пределе при ^о—»00 получим величину, соответствую-
соответствующую диэлектрической сфере, •
lim L = 1/Зео, A2.253)
а при ?0 —> 0 — величину для тонкой пластины диэлектрика,
перпендикулярной к однородному электрическому полю:
HmL=l/e0. A2.254)
Координаты вытянутого сфероида. Задача о вытянутом
диэлектрическом сфероиде, помещенном в однородное элек-
электрическое поле, решается аналогично предыдущей, но
в системе координат вытянутого сфероида. Используем
формулы преобразования *
л; = рсо5ф, # —рэтф, г = а?т), A2.255)
т)=----с1п/, 1<т]<оо; ? = cosu, —1<?<1;
р = а[A-Н(т12-1)]1/2. A2.256)
Если записать лапласиан в переменных ?, ц, ф (см. урав-
уравнение B.105)], переменные можно разделить. По перемен-
переменным I и "л, возникает присоединенное уравнение Лежандра.
Зависимость от переменной ф выражается уравнением гар-
гармонического осциллятора. Следовательно, V (?, т), ф) имеет
ту же самую форму, что и V (I, ?, ф) [выражения A2.238)
и A2.239)], но аргумент /? заменен на вещественную вели-
величину т|. Положим, т = 0 и воспользуемся свойством ази-
азимутальной симметрии и граничными условиями, тогда
потенциал вне сфероида выразится как
^ij—l)]. A2.257)
«
Предоставив читателю самому проследить промежуточные
этапы по аналогии с предыдущей задачей, которая реша-
решалась в системе координат сплющенного сфероида, мы,
¦ Здесь мы в точности следуем разд, 2.10.

12.го. сфероидальны и сис.ткмы координат 523
наконец, получим коэффициент деполяризации /,:
' A2258)
где поверхность т| = г\0 представляет собой вытянутый сфе-
сфероид. В пределе при Ло-*- 1 вытянутый сфероид переходит
в бесконечно длинную тонкую нить. Как и следует ожидать,
HmL-0. A2.259)
"По-»-!
С другой стороны, при
-lim L = 4~ A2.260)
мы снова получаем сферический случай.
Целесообразно отметить, что рассмотренные задачи
электростатики на практике встречаются не очень часто,
тогда как соответствующие проблемы с магнитным полем
гораздо важнее и имеют большее распространение. Изуче-
Изучение пара- и диамагнитных сфероидов в однородном магнит-
магнитном поле проводится совершенно аналогично. И та и дру-
другая задача основана, на решении уравнения Лапласа.
Упражнения
1. Показать, что коэффициент деполяризации в системе коорди-
координат вытянутого сфероида (т) = Т]о) в однородном магнитном поле равен
1±}
2. Заряженная проводящая изолированная оболочка в форме
вытянутого сфероида 1) = % имеет потенциал Vo. Показать, что
электростатический потенциал снаружи оболочки равен
0
Qo(io)
Какова емкость сфероида? Указание. Исследовать поведение этого
потенциала па далеких расстояниях от оболочки.
3. Заряженная изолированная оболочка в форме сплющенного
сфероида ? = ?о имеет потенциал V = V0. Показать, что электростати-
электростатический потенциал снаружи оболочки равен
V-V JM2--1/
0 (?о№)~~ ° arcctg Co '
В пределе при ^о~*"^ мы получим диск радиусом а. Определить
потенциал диска иа больших расстояниях от него и найти его полный
заряд. Используя этот результат, показать, что емкость диска
в единицах МКСА равна С=8

524 ' ГЛАВА 12. ФУНКЦИИ ЛЕЖАИДРА
12.11. ВЕКТОРНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Магнитное поле замкнутого тока. Обсудим уравнение
для магнитного векторного потенциала
VXVx.A = [A0J. A2.261)
Предположим, что граничные условия сформулированы
применительно к сферическим координатам. Для замкну-
замкнутого электрического контура (см. разд. 12.5) уравнение
A2.261) поддавалось решению, поскольку на А наклады-
накладывались различные ограничения. Вообще, это уравнение
распадается на три скалярных уравнения, каждое из кото-
которых содержит все три компоненты A: Ar, Aq и Лф. Такие
связанные друг с другом дифференциальные уравнения
в принципе можно решить, но при этом возникают громад-
громадные трудности.
Полагая V «А — 0, можно привести исходное уравнение
к векторному лапласиану V2A. В декартовых координатах
он распадается па отдельные уравнения, по одному па каж-
каждую компоненту. К сожалению, граничные условия заданы
в сферических координатах. Чтобы удовлетворить этим
условиям, мы должны перепутать отдельные компоненты
Ах, Ау и Аи что опять приводит к большим затруднениям.
Чтобы облегчить решение уравнения A2.261), а также
и других уравнений (таких, например, как векторное
уравнение Гельмгольца и векторное волновое уравнение),
применяют различные комбинации (скалярных) сфериче-
сферических функций, с помощью которых строят векторы в сфери-
сферических координатах. Одна такая комбинация, встречающая-
встречающаяся в квантовой механике, описана Хиллом *. Три ее век-
векторные сферические функции имеют вид
V -г Г { L+l V/2V*
* Hill E. H. Лтег. J. Phys., 22, 211 A954); см. также
Б л а т т Дж., Вайскопф В. Теоретическая ядерная физика.
Перев. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1954.

12.11. ВЕКТОРНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Й25
ft f ~M vMl
=9° I vAL+m^smQ Y4
^}' <12263>
W
A2.264)
Эти функции удовлетворяют общему условию ортогональ-
ортогональности
J A? A2.265)
J
где величины А и В могут заменяться на V, X или W.
Ортогональность проверяется подстановкой явных выраже-
выражении для V, X и W и сведением интеграла к обычному
интегралу от ортонормированных сферических функций
Уь (в, ф).
При операциях, связанных с изменением четности
(инверсия координат), векторные сферические функции
преобразуются по закону
A2.266)
где
в' = я-в; ф'=я + ф. A2.267)
При проверке этих соотношений следует помнить, что
в сферических координатах единичные векторы г0 и ф0 —
нечетные, а 90 — четный. Эти свойства векторов г0, 0О и ф0
можно установить, если выразить их через единичные
векторы декартовой системы координат i, j и к.
Чтобы продемонстрировать использование векторных
сферических функций, вернемся снова к уравнению A2.261).
Воспользуемся таблицей Хилла для дифференциальных
соотношений:
A2.268)

526 ' г л A b A 12. функции ЛЕЖАНДРА
A2.269)
0. A2.270)
Условие
V.A = 0 A2.271)
исключает функции \LM и WLM, оставляя только XLM.
В отсутствие тока J = 0 (иными словами, вне замкнутого
контура) уравнение A2.261) при выполнении усло-
условия A2.271) сводится к новому уравнению
V2A = 0. A2.272)
Используя другое дифференциальное соотношение с
= R (г) Хьм (9. ф)| получаем
I
4
A2.273)
В согласии с уравнением A2.116) мы имеем
ALM = OLMr-L-'XLM(e, ф). A2.274)
Кроме того, очевидно, что в силу симметрии замкнутого
контура можно исключить азимутальную зависимость (М = 0),
поэтому решение принимает следующий вид: •
\ Цто • ^птЧ <Ро« A2.275)
l[L(L-|-l)l1/2 а0 I Т0 V ;
Полученное уравнение эквивалентно A2.119). Постоянные
aL определяются из граничных условий, как это было сде-
сделано в разд. 12.5 для коэффициентов сп. Магнитное поле
можно определить из уравнения
L
/L+l
12T+T
которое соответствует уравнению A2.122). Здесь F (r) =
= ar~L~i

12.11. RF.KTOPHblE СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 527
Векторные функции введены в этой главе применитель-
применительно к требованиям математического аппарата квантовой
механики, в которой момент количества движения играет
важную роль. Морс и Фешбах описывают другой набор
векторных сферических функций В, С и Р, в котором
радиальная зависимость целиком сосредоточена в Р, а угло-
угловая — в В и С. Эта система сферических векторных функ-
функций с успехом применяется при рассмотрении волновых
функций, когда мы хотим отделить продольную и попереч-
поперечную составляющие волны.
Упражнения
1. В книге Джексона «Классическая электродинамика» функ-
функции XLm заданы уравнением
LKjf (в, ф),
в котором оператор момента количества движения L=—/ (г X V).
Показать, что это определение не противоречит уравнению A2.264).
2. Проверить, что четности функций У^дь %ьм и ^ьм равны
соответственно (— l)^1, (— 1)L и (— 1)L^*. Почему на четность
не влияет индекс М? Указание. Единичные векторы г0 и ф0—нечет-
ф0—нечетные, а 0О—четный.
3. Доказать, что векторные сферические <; упкции VLW,
и Wlm ортонормированы.

ГЛАВА 13
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
13.1. ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА
Производящая функция. Полиномы Эрмита Нп(х) можно
определить с помощью производящей функции
со
A3.1)
Рекуррентные соотношения. Обратим внимание на отсут-
отсутствие верхнего индекса в обозначении полиномов Эрмита,
что отличает обозначение вновь введенных полиномов
от обозначений функций Ханкеля, которые не имеют к ним
никакого отношения. Исходя из производящей функции,
можно установить, что полиномы Эрмита удовлетворяют
рекуррентным соотношениям
Ипн (х) = 2хНп (х) - 2nHn-i (*). ' A3.2)
A3.3)
Формула A3.2) может быть получена дифференцирова-
дифференцированием производящей функции по t\ дифференцирование по х
приводит к формуле A3.3). Прямое разложение производя-
производящей функции позволяет найти значения первых двух поли-
полиномов: Но (х) = 1 и #i (х) = 2х. С помощью этих двух
полиномов и формулы A3.2) легко получить любой требуе-
требуемый полином Нп (х), п — целое. Приведем явный вид
нескольких первых полиномов Эрмита (графики первых
трех полиномов изображены на рис* 13.1):
Но(*) = 1, Нх(х) = 2х, #2(*) = 4*2-2,
#3(х) = 8*3- 12*, tf4W = 16х4-48*2+ 12,
iso*. A3'4)
х) -64x6-480x4-f-720x2- 120.

J3.I. ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА
529
Производящая функция позволяет получить полиномы
Эрмита для некоторых частных случаев
@) = 0. A3.5)
Кроме того, из ее свойств вытекает важное соотношение
четности
Нп{х) = {-\)пНп{-х). A3.6)
Другие представления полиномов Эрмита. Продиффе-
Продифференцируем производящую функцию * п раз по переменной t,
а затем положим t равным нулю:
10
п _
A3.7)
Эта форма записи полиномов
Нп (х) известна как представле-
представление Родригеса. Второе пред-
представление можно получить,
используя теорию вычетов (см. о
гл. 7). Если умножить формулу
A3.7) на t~m~l, а результат за- -2
тем проинтегрировать по зам-
замкнутому контуру вокруг начала Рис. 13.1. Полиномы Эрмита.
координат, то в результате та-
такого интегрирования сохранится только один член сНт (х)\
Нпг W = ^ § t-m-le-»+*txdt. A3.8)
Исходя из соотношения A3.1), полином Эрмита Нп(х)
можно записать в форме ряда
[п/2]
. 1-3-5
8=0
[n/2]
* Перепишем производящую функцию так: g (дг,
A3.9)
Заметим, что ^_ е
dt
-(*-*)«=
34

530 ГЛАВА 13. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
При целом п ряд имеет ограниченное число членов, а его
сумма равна полиному Эрмита.
Ортогональность. Из рекуррентных соотношений A3.2)
и A3.3) получается дифференциальное уравнение второго
порядка
0, A3.10)
которое, очевидно, не является самосопряженным. Для
изучения свойств ортогональности полиномов Эрмита удоб-
удобно ввести набор (ненормированных) функций срп:
A3.11)
Подставляя A3.11) в уравнение A3.10), получаем диффе-
дифференциальное уравнение для функций ф ()
9;(*) + Bn+l-*»)<pft (*):=(), A3.12)
которое описывает простой гармонический осциллятор
в квантовой механике. Оно служит наиболее важным при-
примером практического использования полиномов Эрмита.
Уравнение A3.12) — самосопряженное, а его решения
фп (х) ортогональны в интервале —оо < х < оо.
Нам осталось еще нормировать эти функции. Как
и в разд. 12.3, возведем уравнение A3.1) в квадрат, а резуль-
результат умножим на е~х2. В результате имеем
е_х e_s _|_ SXe_ -f x _ 2^ Q~x Нтп (Х) "п \Х) ^|^| • A3. \о)
m, п=0
После интегрирования по х от — оо до +оо перекрест-
перекрестные члены в двойной сумме обратятся в нуль в силу орто-
ортогональности *
00 00 СО
= J
П=0 —00 —00
00 00
= \
—oo n=0
* Если потребуется, можно сохранить и перекрестные члены
(т Ф п). Затем из равенства коэффициентов при safi доказывается
ортогональность.

ili. ГЮЛЙНОМЫ ЗРМЙТА
831
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях st,
получим "
оо
f z-*2[Hn(x))*dx-',2Vr2n\. A3.15)
— оо
Как отмечалось, полиномы Эрмита используются в кван-
товомеханическом анализе простого гармонического осцил-
Рис. 13.2. Волнопыо функции осциллятора.
лятора. Для потенциальной энергии V = Kz2!2 (сила F =
— —VV = — Kz) % уравнение Шредингера имеет вид
^ A3.16)
где Е—полная энергия осциллирующей частицы с массой т.
Введем обозначения
-az, а -1?,
в которых со---угловая частота соответствующего класси-
классического осциллятора. Тогда с учетом того, что Y(z) =
= Y (xla) = *ф*(х), волновое уравнение перепишется в более
компактной форме:
?|?> + (Х-х»I,М==0, A3.18)
которая совпадает с уравнением A3.12), если положить
Х — 2п-\-\. Следовательно, нормированные функции имеют
вид:
*„ (х) - г-^^л/4 (п\)-^Ч'хУ2Н?} (х). A3.19)
На рис. 13.2 изображены функции ^(х) и г|?2 (л:). Гра-
Граничные условия квантовой системы требуют, чтобы п
34*

532 'ГЛАВА 13. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
было целым:
lini ? B) - 0.
В частном случае, когда п—>v и не равно целому числу,
решение уравнения A3.10), если его представить рядом,
показывает, что при х больших Нп (х) ведет себя, как *ve*2,
поэтому функции tyv(x) и ^v(z) возрастают на бесконеч-
бесконечности, а саму функцию Ч^(г) не удастся нормировать.
С учетом ограничения на п энергия Е окажется равной
Поскольку п пробегает целые значения, энергия квантована,
а ее минимальное значение равно
Ямин^уЙ^ A3.21)
что является следствием принципа неопределенности.
В различных задачах квантовой механики, особенно
в молекулярной спектроскопии иногда необходимо рас-
00
сматривать интегралы вида f xV*2 Нп (х) Нт (х) dx. Потен-
—00
циал осциллятора широко применяется в расчетах струк-
структуры ядра (оболочечная модель ядра).
Уравнение A3.10) имеет второе независимое решение.
Это — функция Эрмита второго рода, которая имеет фор-
форму бесконечного ряда (см. разд. 8.4 и 8.5) и не представ-
представляет физического интереса.
Упражнения*
1, С помощью производящей функции показать, что Нп(х) =
00
/о И л-2з
8=0
2. Используя интегральную теорему Коши, получить интегральное
представление Нп(х), основанное на определении A3.1), если контур
интегрирования содержит точку г=— х. ' . ¦
п\ о е~г3
Ответ: Нп{х)=-;г-^-вх Ф . . %„,, dz.
2Ш О
* Большое количество примеров рассмотрено в книге W i 1
son E. et al. Molecular Vibrations. N.Y., McGraw-Hill, 1955.

13.2. ПОЛИНОМЫ ЛАГЁ*ФА 533
Прямой подстановкой убедиться, что этот результат удовлетво-
удовлетворяет уравнению Эрмита.
3. Вероятность перехода между двумя состояниями осциллятора,
которые характеризуются квантовыми числами тип, определяется
оо
интегралом \ хе~х2Нп {х) Нш (х) dx. Доказать, что этот интеграл
— оо
равен я1/22л-1п16т,л_1 + " 722п{п-\~\)\Ьт, „+1, т. е. такой переход
возможен только между соседними энергетическими уровнями /п =
= я±1. Указание, Возвести производящую функцию в квадрат,
воспользовавшись при этом двумя различными парами переменных
(х, s) и (х, t).
4. Показать, что интеграл, встречающийся при подсчете среднего
квадрата смещения квантового осциллятора,
с»
J x4-x*Hn(x)Hn{x)dx = :
—00
Указание, Воспользоваться соотношением A3.2) и свойством
ортогональности.
оо
5. Показать, что \ хте~~х*п(х)Лх — О для т целого, 0</в<
—00
6. Проверить равенство, связывающее полиномы Эрмита с поли-
полиномами Лежандра:
оо
Указание. Воспользоваться представлением полинома Нп{х) рядом
и почленно проинтегрировать.
7. С помощью производящей функции получить рекуррентные
соотношения A3.2) и A3.3).
13.2. ПОЛИНОМЫ ЛАГЕРРА
Дифференциальное уравнение Лагерра. Полиномы Ла-
Лагерра. Рассмотрим дифференциальное уравнение Лагерра
*tf{x) + {l-x)y'{x) + ny{x) = Q. A3.22)
Попытаемся представить у, или, вернее, yni поскольку у
зависит от п, контурным интегралом

§34
-Г Л AHA i.l. СПЕЦИАЛЬНЫЙ ФУНКЦИЙ
Контур интегрирования (рис. 13.3) охватывает начало коор-
координат, однако точка г— 1 остается вне контура. Учитывая
результаты разд. 6.3, имеем
55
Подставляя эти производные в левую часть
ния A3.22), получаем
A3.24)
уравне-
П
A3.25)
Если проинтегрировать полный дифференциал по выбранно-
выбранному контуру так, что конечное значение будет равно началь-
начальному, интеграл обратится в нуль и тем самым будет доказано,
что функция уп (х) в форме A3.23)—решение уравнения
Лагерра.
Таким образом, полиномы
Лагерра Ln (x) обычно определя-
определяют с помощью соотношения
1 р o-xz/(l-z)
A3.26)
Это в точности соответствует
тому, что мы должны получить,
исходя из ряда
со
2 Ln(x)zn, \z\<\, A3.27)
n=0
Рис. 13.3. Контур инте-
интегрирования для полиномов
Лагерра. если умножим его на z~"~l и
проинтегрируем по контуру
вокруг начала координат. Как и при исчислении вычетов
(см. разд. 7.3), в данном случае сохранится только член
г, поэтому функцию g (x, z) можно отождествить с про-
производящей функцией для полиномов Лагерра.

13.2. ПОЛИНОМЫ .ИЛГР.РРА
535
Введем преобразования
XZ
\-z
== S ~~~ X1
S — X
s
тогда
A3.28)
A3.29)
где новый контур интегрирования из комплексной пло-
плоскости s содержит внутри себя точку s — x. На основании
Рис. 13.4. Полиномы Лагерра. '
интегральной теоремы Коши (для производных)
L»(х)=-'—г--ги(хпе~х), п — целое. A3.30)
Мы пришли к формуле Родригеса для полиномов Лагерра.
Эти представления функции Ln{x) позволяют выразить
ее в виде ряда (для целых п)
П
rn
n-s
8=0
(n-s)!(n—s)l
A3.31)
Приведем несколько полиномов Лагерра (на рис. 13.4
показан вид функций L0M, ^iW и Ц(*)), вычисленных

536 Г Л А В А 13. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
с помощью этого ряда:
2-18x-f6,
_ 1 6jc3 + 72*2—96л:+24,
6!Le (*) = x6- 36jc6 + 450a:4 - 2400a:3 + 5400a:2 -
— 4320*+ 720.
Дифференцируя производящую функцию A3.27) по х
и г, получаем рекуррентные соотношения
Bn+\-x)Ln{x)-nLn_l{x)t A3.33)
(x) = nLn (jc) —/iL^i {x). A3.34)
С помощью той же функции A3.27) находится значение
полиномов для частного случая а; = 0
Ln@) = l. A3.35)
Из формы производящей функции или вида дифференци-
дифференциального уравнения Лагерра следует, что полиномы Лагерра
не имеют определенной четности; это же ясно видно и из
уравнений A3.32).
Дифференциальное уравнение Лагерра не относится
к типу самосопряженных, поэтому полиномы Лагерра
Ln (x) сами по себе не образуют ортогонального набора
функций. Однако связанные с ними функции * q>n (x) =
l2n (х) ортонормированы в интервале 0 ^ х < оо, т. е
оо
( e-*Lm (х) Ln (х) dx = 6m, n. A3.36)
о
Новые ортонормйрованные функции уп(х) удовлетворяют
дифференциальному уравнению
4)=0' A3-37)
которое, очевидно, записано в форме Штурма — Лиувилля,
т. е. является самосопряженным. Заметим, что именно
* Весовой множитель е~х/2 определяется с помощью методов,
рассмотренных в разд. $.\,

13.2. ПОЛИНОМЫ JlArfcPfA 537
граничные условия теории Штурма — Лиувилля фикси-
фиксируют интервал изменения переменной 0 ^ х < оо, внутри
которого функции фп ортогональны. Условие A3.36) про-
проверяется подстановкой в него производящей функции A3.27).
Присоединенные полиномы Лагерра. Во многих задачах,
особенно в квантовой теории, встречаются присоединенные
полиномы Лагерра, определяемые как *
A3.38)
Запись полиномов Лагерра в форме ряда дает
$= 1. /.?(*)=-Jt + ft+1, A3.39)
^(k + 2)X+J*±№±!L. A3.40)
И вообще,
п
= У. (—l)m7 ^t?' ч| , хт (k>-\). A3.41)
Продифференцировав производящую функцию для поли-
полиномов Лагерра k pas, можно получить соответствующую
производящую функцию для присоединенных полиномов.
Изменив индекс у Ln+ft, запишем
п=0
откуда
1п@) = (п + ^)!МШ A3.43)
Рекуррентные соотношения, которым подчиняются при-
присоединенные полиномы Лагерра, легко получаются либо
непосредственно с помощью производящей функции, либо
дифференцированием рекуррентных соотношений для поли-
полиномов Лагерра. Приведем два из них:
A3.44)
xL* (x) = nl\ (x) -(n + k) LL\ (*). A3.45)
* Некоторые авторы пользуются обозначением
b ОтсюДа ^W=(-I)k^i

538 ГЛАВА 13. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Эти формулы или fc-кратное дифференцирование уравнения
Лагерра позволяют получить уравнение для присоединен-
присоединенных полиномов Лагерра
Ln (х) + (k +1 - х) lX (х) -Ь nLl (х) - 0. A3.46)
Присоединенные полиномы Лагерра, выраженные через
формулу Родригеса, записываются так:
l\ (x) ^ ^ *L (e-V+*). A3.47)
Читатель может заметить, что все приведенные здесь форму-
формулы для lX (х) при k = 0 сводятся к соответствующим
выражениям для Ln (x).
Присоединенное уравнение Лагерра A3.46) не является
самосопряженным, однако умножая его на весовую функ-
функцию (см. разд. 9.1) е~*х\ мы приведем его к самосопря-
самосопряженному виду:
00
[ e~xxkLn (x) Lm (x) dx = *п~^ 6т, д. A3.48)
о
Функция tyn(x) = e-*/2xk/2Ln(x) удовлетворяет самосопря-
самосопряженному уравнению
= 0. A3.49)
Наряду с указанной находит применение еще одна
функция *:
Ф? (х) = t-*tWk+W2Lb (x). A3.50)
Подстановка ее в присоединенное уравнение Лежандра
приводит к дифференциальному уравнению для этой функ-
функции
= 0. A3.51)
Соответствующее условие нормировки запишется как
. A3.52)
00
* Она соответствует видоизмененной функции ij) из уравнения
A3.49) (см. упр. 4 к разд. 8.5).

13.2. ПОЛИНОМЫ ЛАГЕРРА 539
Читатель может проверить, что функции Фп (х) не образуют
ортогонального набора (без множителя х~х в качестве
весовой функции), так как множитель х'1 записывается
в виде Bri -I- к + l)/2*.
Одним из наиболее важных приложений полиномов
Лагерра служит решение волнового уравнения Шредингера
для атома водорода:
ТЧ>Ч1^* <13'53)
Здесь Z— 1 для водорода, Z = 2 для однократно ионизо-
ионизованного атома гелия и т. д. Разделив переменные, убе-
убедимся, что зависимость ^ от углов выражается функцией
Yl @, ф). Радиальная часть R(r) удовлетворяет уравнению
fti I d BdR\ Ze* p П2 L(L+\) p
г*
A3.54)
Введем обозначения
(?<0) ^ A3.55)
после чего уравнение A3.54) приобретает вид
где Ф(р) — R(p/a). Сравнение с уравнением A3.51) для
функции Фп{х) показывает, что уравнение A3.56) имеет
решение
РФ (р) = e-P/y-+i?x-l-i (р), A3.57)
в котором к заменено на 2L + 1, а п на п + L.
Можно наложить ограничение на параметр % и потребо-
потребовать, чтобы он пробегал целый ряд значений п, п = 1, 2,
3, . . . *. Это необходимо сделать, так как функции Лагер-
Лагерра при нецелом п будут расходиться как рпеР, что противо-
противоречит физическому смыслу рассматриваемой задачи, для
которой lim R (г) = 0. Введенное ограничение на параметр X
Г-ЮО
* Это принятое обозначение для Я,; оно не имеет ничего общего
с индексом п у функции Фп (я).

540 ГЛАВА 13. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
(фактически оно возникло из граничного условия) при-
приводит к квантованию энергии '
Знак минус возник здесь потому, что мы имеем дело со свя-
связанными состояниями (Е — 0 соответствует такому состо-
состоянию, когда электрон удален на бесконечность). С учетом
результата для Еп величина
р*= —г, A3.59)
где а0 = %2!те2 — радиус Бора. Окончательно нормирован-
нормированная волновая функция атома водорода имеет вид
@, Ф). A3.60)
Упражнения
1. Показать с помощью формулы Лейбница, что разложение
функции Ln{x) в ряд A3.32) следует из формулы Родригеса A3.31).
2. Из записи волновой функции в форме A3.60) следует, что
нормированная радиальная часть волновой функции атома водорода
имеет вид
где a=
Определить
со со
:= \ rRnL (<*r) RnL («г) г* dr, г^=\ r-tRnL (a/-) RnL (or) г2 dr,
со со
Г:
о о
где г—среднее расстояние между электроном и ядром, а г1—сред-
г1—среднее значение обратной величины.
Ответ: 7==-^-f3««—L (L + I)], ^=
3. С помощью производящей функции вывести формулу Родригеса

13.2. ПОЛИПОМЫ ЛАГКРРА 541
4. Вычислить обобщенный интеграл
со
f
* (x) L* (х) dx= (* +
и показать, что необходимо требовать, чтобы а>—к—1.
Указание. Отметим, что для целого а справедливо
5. Переписать волновое уравнение Шредингера для атома водо-
водорода в параболических координатах. Разделить переменные и пока-
показать, что ненормированные решения имеют вид
еш«Р, е-0*'2!*'2^**), е-^'У'72^ И) ДОХ»,
Z
где П\ и По —неотрицательные целые числа, а а —
( )
Убедиться в правильном написании нормированной волновой
функции'
Г а»л<1я21 ]/
X ам (|т|)м'2 е-а«+^2^ (а|) Lм (ат|)
Выбор системы координат не может влиять на поведение физи-
физической системы, поэтому должно быть соответствие между г|> (г, 0, ф)
в сферических и \|) (|, tj, ф) в параболических координатах. Показать,
что
^ в, Ф)=Ч»ООО(|, *|» Ф) = ^ЩП2М^' Ч, ф),
* 0, ф) = -г-^-№ою(Е» Ч, ф)+%оо(?, Л, ф)],
, 0, Ф)=
Указание. Между квантовыми числами существует общая зависимость
Слева в уравнениях квантовые числа в сферических координатах,
а справа в параболических. Квантовое число п требуется для опреде-
определения радиальной экспоненциальной зависимости, а М—для азиму-
азимутальной.
6. Волновое уравнение трехмерного гармонического осциллятора
записывается в виде
Показать, что радиальная часть t|? может быть записана через поли-
полиномы Лагерра с аргументом ^

542
ГЛАВА 13. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
7. Используя точную форму записи A3.31), показать, что L'n@) =
~—~п, L"l(Q) = n(n—\)f2. Проверить это с помощью других методов.
8. Радиальная часть решения уравнения Шредингера для атома
водорода в связанных состояниях записывается с помощью полиномов
ер dx 1
Лагерра L%~— г-(е~рр ), где A—rt-f/—целое положительное
A! dp
Рис. 13.5. Контуры интегрирования /, 2 и 3 в ^-плоскости.
число, а р=2 ~\/~2Е r=2Zr/n с ?< 0 для связанных состояний.
Для свободных состояний ?>0 и р —>/р. Изменение знака энергии
означает также, что п—>—iZ/~]/2E—~inf, где /Г — вещественная,
а п—чисто мнимая величина. Показать, что дифференциальное пред-
представление L\ можно распространить на все X (вещественные или
комплексные), используя интегральную формулу Коши, в результате
чего получится
_2
2 л i
_ер f c-ssx
1
2ш
dt.
Контур интегрирования в s-плоскости охватывает точку 5 = р,
а в if-плоскости—начало координат.
9. Радиальная собственная функция в задаче об атоме водор'ода
задается через присоединенные полиномы Лагерра
L, (р),
в которых A,=rt-f L, \l=2L+]. Здесь q—постоянная, куда входят
энергия и момент количества движения электрона.

13.3. ПОЛИНОМЫ ЧЕВЫШЕВА 543
Имея в виду результат упр. 8, показать, что
Показать, что R вещественно, если р и п—чисто мнимые
величины.
Существует три контура для представления радиальной волновой
функции контурным интегралом в комплексной ^-плоскости (рис. 13.6).
Показать, что контуры 1, 2 и 3 служат для описания соответственно
стационарного состояния, асимптотической падающей волны и асимп-
асимптотической расходящейся волны.
13.3. ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА
Производящая функция. В гл. 12 упоминалась произ-
производящая функция ультрасферических многочленов, или поли-
полиномов Гегенбауэра*
которые при Р = 0 переходят в полиномы Лежандра.
В этой главе мы рассмотрим две системы полиномов, воз-
возникающие при р = ± 1/2, они называются полиномами
Чебышева.*
Полиномы Чебышева второгоТрода. Пусть р = 1/2,
тогда уравнение A3.61) переходит в
00
Для дальнейшего удобно изменить обозначение и положить
A3.63)
* Полиномы Гегенбауэра обозначаются С^ ' (х):
№ с

544 , 1'л А в А 1з. специальные функции
Это дает
~~ . A3.64)
1-:
71=0
Функции Un (х), входящие в разложение A—2а/ + Z2),
называются полиномами Чебышева второго рода.
Полиномы Чебышева первого рода. При р = —1/2 воз-
возникает затруднение: в левой части уравнения A3.61)
исчезает зависимость от переменных / и х. Чтобы преодо-
преодолеть эту трудность, продифференцируем A3.61) по t,
а затем положим р --- —1/2, тогда
00
X-t _т/я V „Т-1/2
тог=/? 2
п=0
Умножая уравнение A3.65) на 2t и прибавляя единицу
получаем
00
1-<2 , , -./ Я ^П о .„-1/2, ч,П> A3.66)
71=0
Для /t>0 определим Тп(х) так:
тогда
оо
<13-68»
п=1
При п = 0 для сохранения рекуррентной зависимости A3.70)
положим То (#) = 1. Функции Тп (х) называют полинома-
полиномами Чебышева первого рода. (Обозначение этих функций
различно.)
В полиномах Чебышева первого рода сочетаются харак-
характерные признаки рядов Фурье и ортогональных полиномов.
Эти полиномы широко применяются в численных расчетах.
Например, приближение наименьших квадратов дает
минимальную среднеквадратичную ошибку. Вычисления
с помощью полиномов Чебышева дают более высокое зна-
значение среднеквадратичной ошибки, зато снижают значение
максимальной ошибки.

13.3. ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА 545
Из производящих функций A3.64) и A3.68) вытекают
рекуррентные соотношения
(х) - 2хТп (х) + Tn_v (х) = О, | A3
(х) - 2xUn (х) + ?/„_, (х) = 0. J
Пользуясь производящими функциями для нескольких
первых значений п и этими рекуррентными зависимостями,
которые позволяют получить полиномы более высокого
порядка, найдем явное выражение для первых полиномов
Чебышева первого и второго рода:
То = 11 Тi = х, 7*2 = 2х — 1,
Г3 = 4л:3-Зл:, Г4 = 8*4-8
7в= 16л:6-20х»+5л:, Гв=
A3.70)
и
(/5-32л:5-32л:34-6л:, (/6 = 64л:в~
A3.71)
Поведение полиномов Чебышева первого и второго
рода видно из рис. 13.6.
Некоторые частные значения полиномов Чебышева полу-
получаются непосредственно из производящей функции:
A3.72)
0. A3.73)
Четность полиномов Чебышева Тп и f/n характеризуется
соотношениями
Tn(x) = (-l)nTn(-x)% Un(x) = (-l)nUn(-\). A3.74)
Для этих полиномов существуют представления в виде
формул Родригеса
n l/2/i _у2\ 1/2 dn
) « A *' JL» A3.75)
35-1257

ч \ /
'Л
\ \ "
-1
Рис. 13.6. Полиномы Чебышева первого (а)
и второго (б) рода Тп {х) и Un (x).

13.3. ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА 547
И
Рекуррентные соотношения. С помощью производящих
функций для Тп (х) и (/„ (х) можно вывести различные
рекуррентные соотношения, содержащие производные. К чис-
числу наиболее распространенных относятся
— X") I n \X) ~ —JlXI n \X) ~\~fll n-i \X)i \io.l I)
Комбинируя уравнения A3.69), A3.77) и A3.78), убеждаем-
убеждаемся, что полиномы Чебышева первого и второго рода Тп(х)
и U (п) удовлетворяют дифференциальным уравнениям
/1 у2\ ГР" 1\Л yT" ( y\ Л- ti^T' ( y\ 0 AЯ 7Q^
A-х2) Uun {x)-ZxU'n (x)-\-n (л+ 2) Ua (x) = 0. A3.80)
Уравнение Гегенбауэра
/ = 0 A3.81)
является обобщением этих уравнений и сводится к A3.79),
если р = —1/2, и к A3.80), если р= + 1/2; если р = 0,
то получается уравнение Лежандра.
Иногда вводят новую функцию Vn (x), записав ее через
полиномы Чебышева второго рода:
(х) = УТ=& Un (х). A3.82)
Заметим, что индекс повысился здесь с п до п + 1. Можно
показать, что Vn (x) удовлетворяет уравнению A3.79).
Производящие функции или дифференциальные уравне-
уравнения могут служить основой для получения рядов, которыми
представимы полиномы Тп (х) и Un (x):
in/2]
/ Л\т {П — т— 1)! /р чя_2т
-^)>-..., A3.83)
tn/2]
tn»»0
35*

548
ГЛАВА 13. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Из уравнения A3.82) имеем
Vn (X) =
A3.85)
Комбинируя уравнения A3.83) и A3.85), получаем
}\ \x\<\. A3.86)
Ортогональность. После записи уравнения A3.79) в само-
самосопряженной форме (см. разд. 9.1), возникает весовая
функция ш.= A—лг2)~1/2. Для уравнения A3.80) соот-
соответствующая весовая функция равна A — *2I/2. Оконча-
Окончательный вид интегралов, характеризующих свойства орто-
ортогональности:
^
0, тфп,
, A3.87)
я, т = п = 0]
\vm(x)Vn(x)(l-x*)-i/2dx =
О, п
я, ш = п
, A3.88)
= 0;
A3.89)
]
Величину л/2 можно получить прямо из производящей
функции (по аналогии с разд. 12.3). Отметим изменение
величины интеграла для случая т = п = 0.
Упражнения
1. Воспользовавшись зависимостью
и обозначив x=cos8, убедиться, что
Тп (х) — cos w0=cos (n arccos x), Vn (x)=sin nQ — sin (n arccos *),
sin[(n-f 1)9]_ sin[(rt-j-l)arccosxj
n^
sin 9
sin (arccos x)

HU. ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА 549
Первый результат показывает, что разложение четной функции в ряд
по полиномам Тп (х) эквивалентно представлению Фурье через коси-
косинусы (см, разд. 14.1).
2. Получить формулы
ТпИ М + Гп-i М=2*ГП (х) и Гт+Л (*) + Гт_п (х)=2Тт (х) Тп (х)
из «соответствующих» тождеств для косинуса.
3. Имея в виду, что *~cos9, a Tn (cos 9)=cos П0, разложить
функцию хп = I '-= I и показать, что
ряд в квадратных скобках обрывается на C™Ti{x) для k=2tn-\~\ или
для k—
4. Дано
Показать, что функция Vn{x) подчиняется уравнению Чебышева
б. Показать, что определитель Вронского для полиномов Тп (х)
и Vn (x) имеет вид
Тп (х) V'n (х)-Гп (х) Vn (*) = -»/(!-*У/2.
Этим подтверждается, что Тп и Vn (п Ф 0) — независимые решения
уравнения A3.79).
6. Производящую функцию Чебышева можно записать иначе:
00
\-xt
n=0
Как полиномы Wn (х) связаны с Тп (х) и 1)п (х)?
7. Доказать, что Vn {x) удовлетворяет рекуррентному соотноше-
соотношению A3.69) для Тп(х).
8. Проверить, что представленные рядами A3.83) и A3.84) функ-
функции Тп (х) и Un (х) являются решениями соответствующих уравнений.
9. Несколько уравнений связывают между собой два типа поли-
полиномов Чебышева. Рассмотреть и доказать справедливость двух
уравнений
Тп (x)=Un (x)-xUn.{ (*), A -**) Un (х) = 2Гп+, (х)-Тп+2 (х).

550 ГЛАВА 13. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
10. Показать, что
s\nxy — 2
00
Здесь /n (*) —обычная функция Бесселя, а 1п (x) — функция Бесселя
мнимого аргумента.
11. Проверить интегральные представления
В обоих случаях контуры интегрирования охватывают начало коорди-
координат в положительном направлении, причем нули функции 1— 2zt-\-t2
лежат вне контуров.
12. Кривые, представленные на рис. 13.6, а, показывают, что
I Тп (х)! -С 1 на отрезке — 1 < х <! 1. Доказать это.
13. Используя тригонометрические формы Vn и Тп либо формулу
Родригеса, доказать, что
dVn(x)_ , Тп(х)
dx
13.4. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
В гл. 8 мы ввели гипергеометрическое уравнение *
=O A3.90)
как каноническую форму линейного дифференциального
уравнения второго порядка с регулярными особенностями
на бесконечности и в точках х ~ 0, 1. Одно из решений
этого уравнения имеет вид
ab x
с{с+\)
* Иногда это уравнение называют дифференциальным урав-
уравнением Гаусса, а его решения функциями Гаусса.

13.4. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 551
где с Ф О, —1, —2, —3, .... Его называют гипергеометри-
гипергеометрической функцией или гипергеометрическим рядом. В часто
используемых обозначениях Рохгаммера
(во)=1. (а)„ = а(а-|-1)(а-|-2) ... (а+л-1) A3.92)
гипергеометрическая функция записывается так:
оо
A3.93)
п=0
Смысл индексов вполне очевиден: индексы 1 и 2 указывают
на то, что в числителе символов Рохгаммера два, а в знаме-
знаменателе — один. Вырожденная гипергеометрическая функ-
функция iFt рассматривается в разд. 13.5.
Из представления A3.91) видно, что параметр с не может
быть нулем или целым отрицательным числом. С другой
стороны, если а или Ь равны нулю или целому отрицатель-
отрицательному числу, гипергеометрический ряд обрывается и ста-
становится простым полиномом.
Многие элементарные функции могут быть выражены
через гипер геометрическую *. Мы находим
^ln(l+*H%Fi(l, 1,2; -х). A3.94)
Для полных эллиптических интегралов К и Е
я/2
/с- 5 (i-*2sin*er1/2de^f 2^(±, 1, i;#),
о
A3.95)
я/2
?= J A-и* sin* 6I/2<ЯЭ = ?/,(!, -1,1;^).
о
A3.96)
Гипергеометрическое уравнение как линейное дифферен-
дифференциальное уравнение второго порядка имеет второе незави-
независимое решение. Его обычная форма
\ — c1 b+\ — с, 2-е; х),
, 3, 4, ... A3.97)
* Три параметра а, Ъ и с позволяют получить представление
почти любой функции.

552 ' Г Л А В А 13. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Читатель может проверить, что если с — целое, то либо оба
решения совпадают, либо одно из решений расходится.
В таком случае нужно ожидать, что второе решение содер-
содержит логарифмический член.
Гипергеометрическое уравнение имеет и другие формы:
A3.98)
- Ыу (z2) = 0. . A3.99)
Параметры a, b и с появляются в гипергеометрической
функции совершенно аналогично параметру п в функциях
Бесселя, Лежандра и других специальных функциях. По
примеру этих функций можно ожидать, что указанные
параметры войдут в рекуррентные соотношения, отличаясь
на единицу. Гипергеометрические функции, в которых один
параметр изменен на -|-1 или —1, обычно называют смеж-
смежными функциями. Обобщая это понятие на случай, ког-
когда на единицу изменяется более чем один параметр, най-
найдем 26 функций, смежных по отношению к 2/ч (я, Ь, с; х).
Если теперь одновременно брать по две из них, можно
получить 325 громоздких уравнений, которым удовлетво-
удовлетворяют смежные функции, например:
(а-Ь) {с{а + Ь-1)+ 1 —а2 —62 + [(а—6J— 1] A -*)} х
X/i(c, b, с;х)=(с—а)(а — Ь-\-\)Ь2Р{(а—\, b+ 1, с; ж)+
-\-(с-Ь)(а-Ь-\)а2Р{(а+\,Ь-\,с;х). A3.100)
Уравнение Гегенбауэра A3.61) есть частный случай
уравнения A3.90), поэтому функции Гегенбауэра (а также
полиномы Лежандра и Чебышева) можно выразить через
гипергеометрические функции. Для функции Гегенбауэ-
Гегенбауэра имеем
3.101)

13.4. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 553
Для обычных и присоединенных полиномов Лежандра
A3.102)
или
XaFi(m-/i, m-l-M-1, rn-l-1; -Ц^-) A3.103)
х) = (-\Г^-^(--п,п + ±,\;х*), A3.104)
A3.105)
Полиномы Чебышева через гипергеометрические функции
записываются так:
Tn(x)=2Fi ( -я, л, ±; -bi) , A3.106)
A3.107)
A3ло8>
В приведенных формулах перед гипергеометрической функ-
функцией появились некоторые множители, они определяются
прямым сравнением степенных рядов, т. е. сравнением
коэффициентов при определенных степенях переменной
или оценкой значения ряда в точках х = 0 или 1 и т. д.
Упражнения
1. Если с—целое, а а и Ь—нецелые, показать, что
2Fl(a, Ь, с; х) и *i-c2Fi(a+l— с, b+1—c, 2—с; *)
дают только одно решение гипергеометрического уравнения. Что про-
произойдет, если и а будет целым, скажем а— — 1, a c~—2?
2. Найти рекуррентные соотношения для полиномов Лежандра
и полиномов Чебышева первого и второго рода, которые соответст-
соответствовали бы уравнению, A3.100) для смежных гинергеометрических
функций.
3. Доказать, что
a, Ьх q дг)=г(|-х)-ваР|(а, с-Ь,

554 ГЛАВА 13. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
4. Проверить равенство <tF\ (—«, Ь, с; l)~(c—b)n/(c)n. Указа-
Указание. Здесь представляется возможность применить соотношение для
смежных функций
[2а—с-}-F—a)x]F(a, Ь, с х) =
—a(l— x)F(a-\-l, b, с; *) —(с—я) F (а— 1, Ь, с; х)
и математическую индукцию.
13.5. ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Вырожденное гипергеометрическое уравнение *
' М + (о ~ х)у' (х) ~ау(х) = 0 A3.109)
может быть получено из гипергеометрического, если поло-
положить в нем, что две его особые точки слились, так что
уравнение имеет регулярную особенность в точке х == 0
и нерегулярную в точке х = оо. Одно решение вырожденно-
вырожденного гипергеометрического уравнения определяется функцией
У М = Л (а,с;х)=М (а, с; *) =
где сФ0, — 1, — 2, ..., или в символах Рохгаммера:
-?. A3.111)
00
п=0
Очевидно, функция М (а, с; х) превратится в полином, если
параметр а станет равным нулю или целому отрицатель-
отрицательному числу. Через вырожденную гипергеометрическую
функцию выражаются многие функции, например функция
ошибок
х
erf (х) =-^5-j е-*1 Л =-1гхД<A, |; -*•) A3.112)
и неполная гамма-функция
х
у {а, *)= ^е-Ча-Ч1 = а-1хаМ(а, а-[ 1; -х), Rea>'0.
A3.113)
* Его часто называют уравнением Куммера, а его решения
соответственно функциями Куммера.

13.5. ВЫРОЖДЕННЫЕ ГЙПЕРГЕОМЕТРЙЧЕСКЙЕ ФУНКЦИИ 555
Второе решение уравнения A3.109)
) = х*-еМ{а+\—с, 2-е;*), с=^2,3,4, ... A3.114)
Стандартная форма второго решения уравнения A3.109) есть
линейная комбинация функций A3.110) и A3.114)
\](п п ч _ я Г М {а, с\ х) д!-сд1 (д4-1— с, 2—с; хП
иуи, с, л;- $тпс |_(а_с),(с__1)! (а — 1)! <1—с)! _]'
A3.115)
Другая форма вырожденного гипергеометрического урав-
уравнения, которая встретится в дальнейшем, получается
заменой независимой переменной х на х2:
У" (*2) + [~- ~ 2*] у' (х*) - 4ау (х2) = 0. A3.116)
Как и в случае гипергеометрических функций, существуют
вырожденные функции, в которых параметры а и с отли-
отличаются на +1. Допуская одновременное изменение сразу
двух параметров *, можно получить восемь различных
вариантов. Разнообразные комбинации исходной функции
и пары смежных дают в общей сложности 28 уравнений **.
Функции Бесселя вещественного и мнимого аргументов.
Формула Куммера
М{а, о х) = ехМ(с — а, с\ —х) A3.117)
дает возможность получить новые представления функций
Бесселя вещественного и мнимого аргументов. Эта формула
проверяется обычным сравнением рядов (см. упр. 2).
Из самого вида вырожденного гипергеометрического
уравнения и характера особенностей можно ожидать, что
вырожденные гипергеометрические функции будут входить
в представления многих специальных функций математи-
математической физики. Для функций Бесселя:
2v + l;2i*) A3.118)
M{v
для функций Бесселя мнимого аргумента первого рода
A3.119)
* Слетер называет эти функции присоединенными.
** Рекуррентные соотношения, связывающие функции Бесселя,
полиномы Эрмита и Лагерра, являются частными случаями этих
уравнений.

556 ГЛАВА 13. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Полиномы Эрмита. Полиномы Эрмита удовлетворяют
соотношениям
A3,121)
которые следуют из уравнения A3.116).
Сравнивая дифференциальное уравнение Лагерра с урав-
уравнением для вырожденной гипергеометрической функции,
получаем
Ln(x) = М (—я, 1; х). A3.122)
Параметр с с учетом результата A3.35) для х = 0 положен
равным единице. Для присоединенных полиномов Лагерра
справедливо равенство
A3.123)
которое также проверяется сравнением со степенным рядом
A3.41). Заметим, что в приведенной гипергеометрической
форме параметры пит обязательно должны быть целыми
числами; если они нецелые, то функция L™ (х) перестает
быть полиномом.
Смешанные случаи. Иногда специальные функции удоб-
удобно выразить через гипергеометрические, обычную и вырож-
вырожденную. Если известно общее поведение последних,
то специальные функции исследуются как частные случаи.
Такой метод подходит для изучения асимптотики или
вычисления нормирующих интегралов. Существенно также
и то, что гипергеометрические функции помогают лучше
понять различные соотношения, которыми связаны спе-
специальные функции. Например, анализ уравнений A3.120),
A3.121) и A3.123) вскрывает связь между полиномами
Лагерра и Эрмита (см. ниже упр. 4).
Очевидно, вырожденное гипергеометрическое уравнение
A3.109) не является самосопряженным. В силу этого
и по ряду других причин удобно ввести новую функцию
Mi
; x). A3.124)

13.5. ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 557
Новая функция Мы (функция Уиттекера) удовлетворяет
самосопряженному уравнению
-=0. A3.125)
Это уравнение имеет второе решение
; x) . A3.126)
Упражнения
I. Показать, что определитель Вронского двух вырожденных
гипергеометрических функций М (а, с; х) и U (а, с; х) записывается
в виде
(a-l)!*c*
Что произойдет, если а равно нулю или отрицательному целому
числу?
2. Проверить преобразования Куммера
/г J \\Лв С• л/ ^— С /г J IG ~~~ (/- С% ~~'jQ) я\ v It*. С* Л I -— л С/ [CZ ¦ "¦ С ™|~ \ * ?$ ™~ Gt л # •
3. Проверить интегральные представления
1
Г М f
дцо, с, Ч-Г(а)Г(с_а) J е г (II) ^,
о
оо
1
4. Вырожденная гипергеометрическая функция помогает сфор-
сформулировать некоторые соотношения для специальных случаев. В ка-
качестве примера доказать, что
б. Показать, что функция Бесселя мнимого аргумента второго
рода /Cv (*) представляется в виде
6. Показать, что уравнение для смежных вырожденных гипер-
гипергеометрических функций
(с—а)М(а— 1, с; x)-fBa—с+х)М(а, с\ х)— аМ{а+1, с; х) = 0
приводит к рекуррентной формуле A3.44) для присоединенных поли-
полиномов Лагерра.

558 ГЛАВА 13. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
7. Прямым дифференцированием и подстановкой проверить, что
со
функция у=ах~а I er{ia~ldt удовлетворяет уравнению
8. Проверить представление полинома Эрмита #2n+i (*) A3.121)
через вырожденную гипергеометрическую функцию, показав, что:
1) ^2м+1 (*)/* удовлетворяет вырожденному гипергеометрическому
уравнению, в котором а=—л, с=3/2, а аргументом служит х2;
?W22l)l
ж->-0

ГЛАВА 14
РЯДЫ ФУРЬЕ
14.1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА
Ряд Фурье. Ряд Фурье можно определить как представ-
представление функции рядом по синусу и косинусу:
оо оо
n=i n=i
Чтобы такое разложение было возможным, функция должна
иметь лишь конечное число разрывов, конечное число
экстремумов — максимумов и минимумов, и должна быть
ограниченной *. Функцию, удовлетворяющую этим усло-
условиям (они называются условиями Дирихле), можно назвать
кусочно-регулярной. Существуют, правда, функции, которые
не удовлетворяют условиям Дирихле. Однако в подавляю-
подавляющем числе физических задач, где приходится иметь дело
с рядами Фурье, эти требования обычно выполняются.
Запишем cos nx и sin nx в экспоненциальной форме, тогда
разложение A4.1) приобретает новую форму:
оо
f(y\ — V r pinx /1д о\
п=—оо
где
n>0.
A4.3)
Разложим / (z) в ряд Лорана (см. разд. 6*4) (предполагая,
/ ф
что / (z) — аналитическая функция):
оо
f(z)= S drfn. A4.4)
П=—оо
. * Эти условия необходимы, но не достаточны,

560 ГЛАВА 14. РЯДЫ ФУРЬЕ
На единичной окружности z —eie, поэтому
/ (г) = f (е*е) ;= | dne«*e. A4.5)
=—оэ
Полнота. Ряд Лорана. Разложение Лорана A4.5) в еди-
единичном круге имеет тот же вид, что и ряд Фурье для ком-
комплексной переменной, поэтому можно говорить об их экви-
эквивалентности. Ряд Лорана, являясь степенным, обладает
свойством полноты, следовательно, можно утверждать, что
функции Фурье einx образуют полную систему; иными
словами, функции, кусочно-регулярные в области @, 2л),
представимы рядами A4.1) и A4.2). Эта область и связан-
связанный с ней вопрос периодичности обсуждаются в следую-
следующем разделе.
Разложение в ряд Фурье и свойство полноты можно
было ожидать заранее, поскольку функции sin л-, cos я*,
ein* являются собственными для самосопряженного линей-
линейного дифференциального уравнения
у" + п2у = 0. A4.6)
Получим ортогональные собственные функции, соответ-
соответствующие собственным значениям п, взяв отрезок 10, ря1,
где р — целое, с тем, чтобы удовлетворить граничным
условиям теории Штурма — Лиувилля. Если положить
р = 2, то различные собственные функции для одного
и того же собственного значения могут быть ортогональ-
ортогональными. Имеем
2л , * , _
if ^Y л f"W * т — 11
1 J v \J ТУ1 Я ¦ /1L ™f - \J щ
* • f I n»t i»y / ^^ 7 / 4 м *щ к
1о, ™=о;
2л «,
\ cosmxcosnxdx = \ т'п' ' A4.8)
i \2л, т = п = 0; }
о
2я
i
A4.9)
Здесь п, т — целые числа. Отметим, что любой отрезок
*о -^ х ^ х0 + 2л удовлетворяет поставленным требова-
требованиям. Чтобы получить отрезок —л ^ х ^ я, мы часто
будем полагать xQ — —л, В случае комплексных собствен-

14.1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 56'
ных функций e±tnx ортогональность обычно подразумевает
комплексное сопряжение одной из функций
2я
^',в, A4.10)
что согласуется с трактовкой сферических функций.
Теория Штурма — Лиувилля. Теория Штурма — Лиу-
вилля гарантирует выполнение A4.1) (для функций, удо-
удовлетворяющих условиям Дирихле) и с учетом ортогональ-
ортогональности позволяет определить коэффициенты разложения
2я
О
2rt
fcn = -L f f (t) sin ntdt. A4.12)
0
При этом, конечно, подразумевается существование инте-
интегралов. Это условие выполнено, если функция f (t) кусочно-
непрерывна. Подставим интегралы A4.11) и A4.12) в A4.1),
тогда разложение Фурье имеет вид
оо 2п 2л
-|- — 2 (cos пх \f W cosn*dt Jrsinnx \ f (t) sinntdt\ =
п=0 О
2я со 2я
/(f)cosn(t — х) at. A4.1 о)
О n=i О
Первый (постоянный) член представляет собой среднее зна-
значение f(x) на отрезке [0, 2я].
Пилообразная функция. Рассматривая разложение
функции
п п A4.14)
—2я, л<д:<2л; v ;
в ряд Фурье, можно получить представление о его сходи-
сходимости и об ошибке этого приближения, если число членов
36-1257

562
ГЛАВА 14. РЯДЫ ФУРЬЕ
ряда конечное. Для удобства рассмотрим отрезок [-—л;, я],
на котором / (х) = х. С учетом A4.11) и A4.12) легко убе-
убедиться, что разложение функции / (х) должно иметь вид
== 2
sin 2x , sin Sx
A4.15)
На рис. 14.1 показана функция / (х) на отрезке 0 ^ х ^ я
и ее приближения рядом A4.15), в котором ограничились
10
Рис. 14.1. Представление пилообразной функ-
функции рядом Фурье (числа означают количество
просуммированных членов), j
четырьмя, шестью и десятью членами ряда. Отметим три
характерных особенности: 1) точность представления
постоянно возрастает по мере увеличения числа просум-
просуммированных членов; 2) все кривые проходят через среднюю
точку у = О при х — л; 3) вблизи точки х = я имеется
выброс, который не уменьшается с ростом количества про-
просуммированных членов.
Поведение в окрестности точки разрыва. Поведение ряда
в точке х = я иллюстрирует общее правило, что при ограни-
ограниченности функции в этой точке сумма ряда сходится к сред-
среднему арифметическому. Если точка разрыва совпадает

14.2. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ 563
с х = *0, то сумма ряда приводит к
т. е. к среднему значению, найденному ио величине функ-
функции справа и слева от д: = х0.
Выброс, или своеобразный дефект сходимости, которым
характеризуется приближенное значение суммы ряда при
подходе к точке х = л, называется явлением Гиббса
(см. разд. 14.5).
Упражнение
Функция f (х) (квадратично интегрируемая) должна быть разло-
разложена в ряд Фурье с ограниченным числом членов. Удобно оценивать
точность такого представления, интегрируя квадрат отклонения:
2я р
ДР= ] Г/ (*)—"Y"~~2 (a»cos nx-\-bn sin nx)j dx.
о n=i
Показать, что услопие минимальности Ар
р р
дап Obn
для всех п приводит к выбору коэффициентов ап и Ьп именно в виде
интегралов A4.11) и A4.12).
14.2. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ
Разрывные функции. Одно из преимуществ представле-
представления рядом Фурье по сравнению с другими (например, по
сравнению с представлением в виде ряда Тейлора) заклю-
заключается в том, что его можно применить к разрывным
функциям.
Периодические функции. Ряды Фурье широко исполь-
используются для представления периодических функций. Пусть
функция f(x) имеет период 2л, тогда естественно разло-
разложить ее в ряд по функциям с периодом 2л, 2л/2, 2я/3...
При этом можно утверждать, что если периодическая функ-
функция f (х) разложена в ряд на отрезке [0, 2л] или [ — я, л],
то полученное разложение имеет силу для любых конеч-
конечных х. Учитывая последнее, удобно рассмотреть свойства
симметрии. На отрезке [ — л, я] sin л:—нечетная функция,
а cos #—четная. Отсюда, если f(x) нечетная, все ап, опре-
36*

564 ' Г Л А В А 14. РЯДЫ ФУРЬЕ
деленные интегралом A4.11), равны нулю, если же f(x)
четная функция, то исчезают коэффициенты Ьп*, т. е.
со
f(х) = ~-|- 2 ял cos/ur, если /(л:) —четная; A4.17)
2
оо
f(x)— ^bnSinnx, если /(х) — нечетная. A4.18)
Часто эти свойства оказываются полезными при разложе-
разложении заданной функции.
Следует отметить, что ряд Фурье обладает свойством
периодичности. Это обстоятельство существенно для выяс-
выяснения вопроса, имеет ли силу разложение A4.1) вне ^задан-
^заданного отрезка. Предположим, что задано только следующее:
/(*) = *, 0<л:<я, A4.19)
и необходимо представить f (x) рядом. Остановимся только
на трех из бесконечного числа возможных разложений:
1) ряд Тейлора
/ М = х, A4.20)
т. е. от всего ряда сохранился только один член, и этот ряд
(из одного члена) определен для всех конечных х\
2) ряд Фурье по косинусу
х, — <<0,
о A4.21)
— х, я<л:<2я; v ;
3) ряд Фурье по синусу
Указанные три разложения, ряд Тейлора и ряды Фурье
по косинусу и синусу, абсолютно справедливы на заданном
отрезке [0, я]. Однако вне этого отрезка их поведение
совершенно различно (рис. 14.2). Какому ряду отдать
предпочтение? На этот вопрос нельзя ответить до тех Пор,
пока мы не получим дополнительную информацию о f (x).
Вполне допустимо, что можно выбрать любой из трех,
* Интегрирование в A4.11) и A4.12) в данном случае ;ведется
от —п до +я.

14.2. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЁ
565
но и не исключено, что нельзя пользоваться ни одним
из полуденных представлений. Фурье-разложение выпол*
няется для основного интервала. До тех пор пока мы не
знаем является ли f (x) периодической функцией с периодом,
равным заданному интервалу, или интервал ее периодич-
периодичности равен Мп части от заданного, нет никакой уверен-
уверенности, что можно получить любое значение функции вне
основного интервала.
-2л
Рис. 14.2. Сравнение рядов Фурье по косинусам (/),
синусам B) и ряда Тейлора E).
Предположим теперь, что мы решаем уравнение движе-
движения частицы, совершающей колебания под действием выну-
вынуждающей силы. В этом случае разложение силы в ряд
Фурье представляет собой сумму главного члена и ряда
по гармоникам. Дифференциальное уравнение (линейное)
может быть отдельно решено для каждой из этих гармоник.
Такой путь может оказаться значительно легче, чем попытка
отыскивать решение сразу для всей заданной силы. Следо-
Следовательно, пока мы имеем дело с линейным дифференциаль-
дифференциальным уравнением, для получения конечного решения можно
просуммировать все его отдельные решения, соответству-
соответствующие каждому члену разложения *. В этом заключается
очень плодотворный математический прием. Он соответ-
* Одна из отрицательных характерных особенностей нелиней-
нелинейных дифференциальных операторов заключается в том, что принцип
суперпозиции для них не выполняется.

566 ' Г Л А В А 14. РЯДЫ ФУРЬЕ
ствует определению ответной реакции системы на основную
частоту и на каждую вспомогательную частоту в отдель-
отдельности.
Иногда возникает вопрос: существуют ли все эти часто-
частоты на самом деле или они возникают как следствие анализа
Фурье? В качестве возможного ответа можно сравнить
разложение функции на гармоники с разложением вектора
на прямоугольные составляющие. Отдельные компоненты
существуют в том смысле, что их можно выделить и каким-
то образом охарактеризовать, однако само разложение
отнюдь не единственно. Следовательно, многое говорит
о том, что гармоники возникают только в результате выбора
разложения. Другое разложение по иной системе орто-
ортогональных функций должно давать другие результаты *.
Изменение интервала. До сих пор мы ограничивались
интервалом длиной 2я. Однако если / (х) — периодическая
функция с периодом 2L, мы можем записать
00
n=l
где
пп = Т J /@cos—LЯ, « = 0,1,2,3, ..., A4.24)
-L
L
Л = -^ ^ f(t) sin ^-dt, /г=1,2,3 A4.25)
переменная x из уравнения A4.1) заменена на nxlL, а t из
уравнений A4.11) и A4.12) — на nt/L. (Для удобства выб-
выбран отрезок —п < х < я.)
Прямоугольная волна. Высокая частота. Простой при-
пример использования ряда Фурье дает анализ «прямоуголь-
«прямоугольной» волны, которую необходимо выразить через фурье-
компоненты. Эти волны могут встретиться в электронных'
схемах, предназначенных для работы с импульсами, харак-
характеризующимися крутым подъемом. Предположим, что вол-
* См. Robinson В. L. Amer. J. Phys., 21, 391 A953); Nan
Name F. W. Amer. J. Phys., 22, 94 A954).

14.2. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ <J>VPbE
на задана следующим образом:
0, -п<х<0,
С помощью уравнений A4.11) и A4.12) находим
я
flo = —( hdx=h, A4.27)
о
, _ cos л* dx = 0, «=lf 2, 3, ..., A4.28)
л
1 л ».
6Л = — I /isin/ud* = — (I— cosmt), A4.29)
о
причем
Ьп — 2Шпл, п — нечетное, A4.30)
Ьп — 0, п — четное. A4.31)
Окончательно разложение исходной функции в ряд Фурье
запишется так:
h , 2Д /sins ! sin3x , sin5x
За исключением первого члена, который равен среднему
значению функции / (х) на отрезке I—я, я], все члены,
содержащие cos nx, исчезли. Поскольку функция / (х) —
—Ы2—нечетная, мы получили разложение Фурье по сину-
синусам. Несмотря на то что такой ряд содержит одни нечетные
члены, величина их спадает только как п. Таким образом,
свойства сходимости (или отсутствия сходимости) этого
ряда такие же, как и у гармонического ряда. Физически
это означает, что волна прямоугольной формы содержит
очень большое количество высокочастотных компонент.
Если электронная аппаратура пропускает эти компоненты,
то входящая волна, которая имеет прямоугольную форму,
на выходе окажется более или менее скругленной, а воз-
возможно, будет представлять собой бесформенный всплеск.
Двухполупериодный выпрямитель. Рассмотрим, каким
образом переменный ток преобразуется двухполупериод-
ным выпрямителем в почти постоянный ток. Через выпря-

568 ' ГЛАВА Н. РЯДЫ ФУРЬЕ
митель могут проходить положительные пики начальной
синусоидальной волны и ее инвертированные отрицатель-
отрицательные пики:
^ /^л A4.33)
Из-за четности f(^) нельзя получить ни одного члена вида
sin/totf. Из уравнений A4.11) и A4.12) имеем
о я
о я
^JL Г _SinQtdИ) + -i- \ sin at d(tat) =
— Я
Я
jj[ i-, A4.34)
0
пп==т\sinco/ cosrtarfd (erf) = J ~ я '-l' /г"четное»
"о 10, n—нечетное.
A4.35)
Важно отметить, что отрезок [0, п] не является отрезком
ортогональности, поэтому мы не получим нуля даже для
четных п. Окончательно ряд запишется в виде
f /А __ ^ 4 -^ COS П.Ы
'W-lT~"n h Л2_1 • A4.36)
п=2, 4, ...
Основная частота ш не входит в это разложение. Самая низ-
низкая частота равна 2со. Все высокочастотные компоненты
стремятся к нулю, как /г2, поэтому двухполупериодный
выпрямитель очень хорош для получения постоянного тока.
Степень спрямления тока определяется конкретными требо-
требованиями в каждом отдельном случае. Если оставшиеся
высокочастотные компоненты все же нежелательны, их мож-
можно ликвидировать специальным фильтром.
Рассмотренные задачи иллюстрируют две особенности
разложения Фурье.
1. Если функция f (x) разрывна [прямоугольная волна
A4.26)], можно ожидать, что n-й коэффициент ряда про-
пропорционален \1п (сравнительно медленная сходимость).
2. Если функция f (x) непрерывна (хотя возможны
разрывы производных, как, например, в случае с двух-

14.2. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ 569
полупериодным выпрямителем, можно ожидать, что п-й
коэффициент спадает, как 1/я2.
Бесконечный ряд. Дзета-функция Римана. Рассмотрим
теперь чисто математическую задачу разложения х2. Пусть
/(*) = **, -л<х<я. A4.37)
Вследствие симметрии все Ьп~ 0. Для коэффициентов ап
имеем
я
Qq = — \ х dx — а , A4.38)
-л
л
=i-(-i)nlH-i)n4- A4-39)
Отсюда следует, что
00
-~F-. A4.40)
71=1
Очевидно, само по себе это разложение не особенно важно,
однако если положить* * = jt и учесть, что
C0Smt = (-l)n, A4.41)
то из уравнения A4.40) получаем
оэ
71=1
или
со
-т = 5 B). A4.43)
п=1
Разложение позволяет, таким образом, получить дзета-
, р у
функцию Римана С B) в замкнутой форме. С помощью
полученного разложения функции л'2, а также разложений
других степеней х можно вычислять большое количество
других бесконечных рядов. Несколько таких примеров
приведено в конце главы.
* Заметим, что функция непрерывна в точке х = п-

670
ГЛАВА 14. РЯДЫ ФУРЬЕ
Упражнения
I. Разложить в ряд Фурье функцию
f(t)i 0, -я
П {
Сигнал такого вида формируется на выходе пол у период ного
выпрямителя. Кроме того, эта функция приблизительно описывает
солнечный тепловой эффект, вызванный «приливами» в атмосфере.
Рис. 14.3. Треугольная волна.
со
,/л 1 . 1 . . 2 vi cos жо/
Ответ: f(t)= Ь*тг sin см >, —-—r-.
1 w я ' 2 я ^-1 л2—1
n=2, 4, б, ...
2. Пилообразная функция задается условием f(x) — x, —я
со
я. Показать, что f [х)—2
sinnx.
n=i
3. Функция, график которой имеет вид треугольника (рис. 14.3),
задается так:
Разложить / (х) в ряд Фурье.
ч я 4
Ответ: f (х)=~
п=1, 3, 5, .• >
4. Получить фурье-разложение б-функции Дирака на отрезке
— я<!х<я. Какое значение имеет постоянный член? В какой
области справедливо такое представление?

14.3. СВОЙСТВА РЯДОВ ФУРЬЕ
571
Б. а. Используя функцию /(x)=jc2t заданную на интервале
х|< я, показать, что
n=l
б. Используя ряд Фурье, в который была разложена функция
00
из упр. 3, показать, что
8 '
n—i
в. Разлагая функцию f(x) = xii заданную на интервале
показать, что
n=l
г. Для функции
90
720 '
п=1
я.
получить разложение / (х) = —
sin nx
g
и показать, что
п=1,з, 5, ...
S
n=l, 3, 5, ...
-3-1 Lj_J L
п -1 33 + 53 73
32 '
д. Используя фурье-разложение прямоугольной функции пока-
показать, что
я*» 11 3, 61 ...
14.3. СВОЙСТВА РЯДОВ ФУРЬЕ
Сходимость. Во-первых, отметим, что нельзя заранее
ожидать равномерной сходимости ряда Фурье, если этим
рядом представлена разрывная функция. Равномерно сходя-
сходящийся ряд непрерывных функций (sin я*, cos nx) всегда
непрерывен (см. разд. 5.5). Однако если f (x) непрерывна
на отрезке —я < х < я, причем / (—я) = / (-1-я) и, кро-
кроме того, производная /' (х) кусочно-непрерывна, то ряд
Фурье для функции / (х) сходится равномерно. Эти усло-
условия не требуют, чтобы / (х) была периодической функцией,

572 ГЛАВА 14. РЯДЫ ФУРЬЕ
но они автоматически выполнены для непрерывных диф-
дифференцируемых периодических (с периодом 2л) функций *.
Интегрируемость. Почленное интегрирование ряда
00 00
/(*)=J|L+ 2ancosrcx+ ^bns'mnx A4.44)
дает
j/W<k=f
;.
oo oo
+
n=i
A4.45)
В результате интегрирования в знаменателе каждого коэф-
коэффициента появляется дополнительный множитель п, кото-
который улучшает сходимость полученного ряда по сравнению
с исходным. Следовательно, сходящийся ряд Фурье всегда
можно интегрировать почленно, возникший в результате
такого интегрирования ряд равномерно сходится к инте-
интегралу от первоначальной функции. Более того, почленно
интегрировать можно даже в том случае, когда исходный
ряд A4.44) сам по себе не является сходящимся! Обсужде-
Обсуждение этого свойства можно найти в специальной литературе,
посвященной рядам Фурье.
Строго говоря, разложение A4.45) может и не быть
рядом Фурье, т. е. в случае а0 Ф О ряд все же будет содер-
содержать член а0х12. Однако разность
A4.46)
XQ
будет рядом Фурье.
Дифференцируемое™. В вопросе дифференцируемости
рядов Фурье картина совершенно иная. Здесь уместно
сразу же высказать некоторые предостережения. Рассмот-
Рассмотрим ряд для функции
*, — п<х<п. A4.47)"
* Доказательство равномерной сходимости см., например,
в книгах Churchill R. V. Fourier Series and Boundary Value Problems.
N.Y., McGraw-Hill, 1941. (Ф и х т е н г о л ь ц Г. М. Курс диф-
дифференциального и интегрального исчисления. Т. III. М.-Л., Гос-
техтеориздат, 1949.—Прим. перев.)

14.3 СВОЙСТВА РЯДОВ ФУРЬЕ 573
Этой функции соответствует ряд Фурье
. A4.48)
00
71=1
Дифференцируя почленно, получаем ряд
оо
1 = 2 2 (-l)ncos/i*, A4.49)
который не будет сходиться.
В случае волны треугольной формы (см. рис. 14.3),
для которой ряд Фурье сходится быстрее (и равномерно),
00
т-4 2 с-^-
п=1, 3, ...
После почленного дифференцирования этого ряда возникает
новый ряд Фурье
который представляет собой разложение прямоугольной
волны:
1, 0<Хя,
Изучение графика функции, представленной на рис. 14.3,
убеждает нас, что f (х) действительно ее производная.
Операция дифференцирования, обратная интегрирова-
интегрированию, добавляет дополнительный множитель п в числителе
каждого члена. Это ухудшает сходимость ряда и может,
как мы уже в этом убедились в самом начале, сделать про-
продифференцированный ряд расходящимся. Вообще, почленное
дифференцирование допустимо при тех же условиях, какие
требуются для равномерной сходимости.
Множители сходимости. Дифференцирование опасно еще
и в другом отношении. Во-первых, следует заметить, что
использование бесконечного числа членов в ряде Фурье часто
не представляется возможным. Вместо этого положим
A4.53)

574 ' ГЛАВА 14. РЯДЫ ФУРЬЕ
где функции
т— 1
i A4.54)
придана экспоненциальная форма, что обеспечивает сходи-
сходимость, а под т]т понимается остаточный член, который
в явном виде записывается следующим образом:
f
со
2 c_m_ne"in:c = eiTn3Cpm (jc) + e"imxp_m (x). A4.55)
n=0
В радиотехнике функцию r\m(x) называют модулированной
ЙЛ 93 О О О Т 7^^ ^
несущей волной с несущей высокой частотой е и моду-
модуляцией рт(х). Продифференцируем остаточный член
^?l-tmeimxpm (*) + elm* -^~^-+ ... A4.56)
В результате дифференцирования в правой части появился
крайне нежелательный первый член, который расходится
при т-*-оо. Он соответствует дифференцированию несу-
несущей частоты eimx. Фактически же мы хотим продифферен-
продифференцировать модуляцию рт (*), а эта часть обладает хороши-
хорошими свойствами.
Попытаемся преодолеть трудность, связанную с возник-
возникшей расходимостью, для чего введем новый дифференциаль-
дифференциальный оператор 3)т
ДЦ(«)= /и+я/тЦ<Л:~"/СТ) ' A4'57)
представляющий собой некоторую среднюю производную.
Очевидно,
ах
4
т-юо ах
Подействуем оператором 3)т на остаточный член:
X) -
2л/т '
(X) = -eim*3)mPm (x) -<ГЫхЗ)ш?-т (х). A4.59)

14.3. СВОЙСТВА РЯДОВ ФУРЬЕ 575
Отсюда ясно, что оператор 3)т действует только на моду-
модуляцию рт и не действует на несущую частоту егтх. Расхо-
Расходящийся член вида im etm* pm (х) при этом исчезает. (В по-
последнем соотношении отрицательные знаки возникли из-за
наличия точек х ± я/m, которые сдвигают один полу-
полуцикл eim*.)
Подействуем оператором 3)т на ряд Фурье, записанный
в комплексной форме:
е-^ilnx
nnjm
отсюда
Дополнительный множитель sin (mt!m)((nn!m) называется
коэффициентом сглаживания или множителем сходимости оп
nnjm v '
Включение коэффициента оп в дифференцируемый ряд иногда
улучшает сходимость. Ряд Фурье, в котором суммируется
конечное число членов
m-i
f (x) =*Q+ 2 К cos nx + bnsmnx),. A4.63)
можно записать теперь иначе:
т—1
Sin (/IЛ//И)
nn/m (n C0SПХ + °n Sin
n=i
Как будет ясно из дальнейшего (см. разд. 14.5), коэффи-
коэффициент ап почти целиком уничтожает явление Гиббса.
Упражнения
I. Показать, что в результате интегрирования Фурье-разложения
функции f (х)—х, — я < х < it получается
00
12
п=1

576 ' Г Л А В А 14. РЯДЫ ФУРЬЕ
2. Предполагая, что функция / (я) представлена равномерно
сходящимся рядом Фурье, доказать тождество Парсеваля
Я оо
— Л Т1г=1
Применив тождество Парсеваля, получить в замкнутом виде
дзета-функцию Римана ? D) из разложения
оо
n=i
14.4. ЯВЛЕНИЕ ГИББСА
Явление Гиббса представляет собой специфическое свой-
свойство ряда Фурье и связано с особенностями его поведения
в окрестности простого разрыва (см. рис. 14.1). Рассмот-
Рассмотрим поведение фурье-разложения периодической прямо-
прямоугольной волны
ft/2, 0<д:<я;,
—л<л:<
которое имеет вид (см. разд. 14.2):
2Л (sin х , sin Зх . sin 5x .
l+ + +
- {14.66)
Суммирование ряда*. На рис. 14.1 показан график
суммы нескольких первых членов ряда Фурье для пило-
пилообразной функции. Разработаем теперь аналитический
метод суммирования первых г членов ряда A4.66).
Из уравнения A4.13)
я
апcosnx-\-bnsinnx = — \ f(t)cosn(t—x)dt. A4.67)
— Л
Тогда r-я частичная сумма окажется равной
sr (х) — 2 (ап cos пх + Ьп sin nx) =
п=0
л
= Re-^ J f @ [1+ 2 е-«<'-«)"] Л. A4.68)
—я п=1
* Любопытно, что этот ряд встречается в анализе дифракцион-
дифракционной решетки (г щелей).

14.4. ЯВЛЕНИЕ ГЙББСА 577
Просуммировав ряд с конечным числом экспоненциальных
членов (геометрическая прогрессия), получим
\ dL (I4-69>
-n sin(tx)
Этот интеграл сходится всюду, исключая точку t — х.
Прямоугольная волна. Попытаемся теперь восполь-
воспользоваться полученным результатом и применим его к прямо-
прямоугольной волне A4.66); сумма первых г членов (член
ао/2) в данном случае обращается в нуль) равна
и * sin (г+ 1) («-Д0
1 —V , ' dt-
1 \,.
An .] . 1 ,. . . An J . 1 .. .
n sin-^(l—x)
A4.70)
sin--
Последний результат получается после замены во втором
интеграле t~—t. В первом члене заменим /—х на s.
а во втором t~\- х на s:
2
/ i \
x
sin^-s 5c
л г
sm у s „_* sin у
При jt—> 0 второй интеграл становится пренебрежимо
малым, поэтому можно связать первый интеграл с разры-
разрывом в точке * = 0. Произведя замену г\-\12 = р и р$ = |,
37—.1257

578 ' Г Л А В А 14. РЯДЫ ФУРЬЕ
получаем
рх
JL [ sin
2n J sin(|/2p) p •
0
Частичная сумма sr (x) начинается с нуля, когда х — О
[в согласии с уравнением A4.16I, затем она возрастает,
пока не выполнится условие рх = п, в этой точке числи-
числитель sin g, становится отрицательным. Для большого г
и, следовательно, большого р знаменатель остается поло-
положительным.
Максимальное значение частичной суммы равно
я
h 2 f sin ? ,t ПАПс,к
T-ir J "г *• A4-73)
о
Очевидно, интеграл превосходит я/2, ибо его можно раз-
разбить на части:
оо Зя 5я я
я
Вычисление всплеска. Первый интеграл в левой части
соотношения A4.74), взятый в пределах от 0 до сю, равен
я/2 (см. разд. 7.2). Из этого интеграла вычитается ряд из
отрицательных членов. Разлагая в степенной ряд и почлен-
почленно интегрируя, получаем
я
1 f s-^dl= 1,1789798... A4.75)
о
Это означает, что график суммы ряда Фурье имеет неко-
некоторый положительный выброс, примерно равный 18%,
а вслед за ним, наоборот, впадину почти такой же величи-
величины (рис. 14.4). Учет большего числа членов (увеличение г)
не уменьшает величины горба, а только приближает его
к точке разрыва. Превышение частичной суммы ряда Фурье
над точным значением называют явлением Гиббса, по этой
причине представление рядом Фурье может быть очень
ненадежным для точных вычислений, особенно в окрест-
окрестности точки разрыва.

14.4. ЯВЛЕНИЕ ГИББСА
579
В разд.. 14.4 мы показали, что явление Гиббса удается
в значительной мере подавить, если воспользоваться мно-
0,01
Рис. 14.4. Явление Гиббса для прямоугольной полны
(числа означают количество просуммированных членов).
0,008
0,01 X
Рис. 14.5. Улучшение сходимости для представления прямо-
прямоугольной волны:
f(x) — суммирование 100 членов обычного ряда; fL{x) — суммирование
100 членов ряда при наличии множителя сходимости.
жителем сходимости. Рассматриваемая здесь волна прямо-
прямоугольной формы в математическом смысле является, очевид-
37*

580 ' ГЛАВА 14. РЯДЫ ФУРЬЕ
но, производной треугольной волны. Вновь запишем урав-
уравнение A4.66), положив в нем
m
/(х)-i- 2 5,'Г~')иГ}-5!''Г'",1М • A4-76)
' v ' л ZJ [B/1—I) я]/2m 2n — 1 v '
График суммы этого ряда до т — 100 показан на рис. 14.5.
Всплеск, величина которого раньше достигала 18%, значи-
значительно снизился, но зато скорость нарастания фронта волны
упала почти, наполовину.

ГЛАВА 16
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
15.1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В математической физике мы часто имеем дело с парой
функций, связанных выражением вида
ь
g(*)=[f(t)K(a,t)dt. A5.1)
а
Функция g (а) называется интегральным преобразованием
функции f (t), а К (a, t)—ядром этого преобразования.
Преобразование Фурье. Одним из наиболее распро-
распространенных среди бесчисленного множества возможных
преобразований является преобразование Фурье, опреде-
определяемое соотношением
00
a) = -)=r [ f(l)e«dt. A5.2)
—со
В разд. 15.3 получены две модификации этой формы, кото-
которые называются косинус- и синус-преобразованиями Фурье:
00
gc (а) = yi- J f (t) cos at dt, A5.3)
00
ttdt. A5.4)
Ядром преобразования Фурье служит функция е1а<, реаль-
реальная и мнимая части которой дают отдельно cosotf и sin at.
Кроме того, полезны три ядра е~а', tJn (at), ta~l.
Преобразования Лапласа, Меллина и Ханкеля. Эти
преобразования определяются следующими формулами:
со
преобразование Лапласа g(a)= f f(t)e-atdt, A5.5)

582 Г Л Л 1} Л 15. ШПТ.Н>ЛЛЫ1ЬШ ПРГ-ОКРАЗОПАПНЯ
преобразование Ханкеля (Фурье — Бесселя)
сю
в (a) j f (/)/У„ (а/) Л, A5.6)
00
преобразование Меллина g(a) — \f(t)ta {dt. A5.7)
о
Очевидно, интегральные преобразования могут иметь самую
различную форму. Приведенные преобразования исполь-
используются в математическом анализе и в физических приложе-
приложениях. Мы уже сталкивались с преобразованием Меллина,
не подчеркивая при этом его названия: g (а) — (а— 1)!
есть преобразование Меллина функции / (/) = е~'. Точно
так meg (а) — n!/an+1 — преобразование Лапласа функции
/ (/) = Г. Из всех трех названных преобразований чаще
всего пользуются преобразованием Лапласа. На нем мы
подробно остановимся в разд. 15.7—15.11. Преобразование
Ханкеля, которое фактически является преобразованием
Фурье для функции Бесселя, представленной рядом, есть
частный случай ряда Фурье — Бесселя.
Линейность. Все упомянутые интегральные преобразова-
преобразования ллнейны, т. е.
а
b
- f cji (t) К (a, 0 dt + \ c2f2 (t) К (a, /) dt, A5.8)
ь ь
f cf (t) К (a, 0 dt - c\f (t) К (a, О Л, A5.9)
a a
где С) и c2 - постоянные, а /j (/) и /2 (t) — функции, кото-
которые подвергаются преобразованию.
Перепишем линейное преобразование в операторной
форме, для чего определим оператор X, тогда
гс (*ч\ V f (i\ (\ ?л \С\\
g \(Х) = di> J \1) > \lO.l\J)
Будем предполагать существование обратного оператора Х"г%
такого, что
A5.11)

15.2. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЁ
Оператор X'1 последнего из трех преобразований Фурье
приведен в разд. 15.3. Вообще, отыскание обратного пре-
преобразования составляет главную проблему интегральных
преобразований. Обратное преобразование Лапласа рас-
рассмотрено в разд. 15.11.
Упражнения
!. Преобразование Фурье функции двух переменных определяется
формулами
00
F (w' v) = JZ \ \f {х> у) ellttx+Ky) dx dlJ>
— 00
оо
ЛЬ J J
—00
Пусть /(x, y) = /([*2-}-#2] ' ). Показать, что преобразования Хан-
келя нулевого порядка
оо оо
F (Р) = J rf (r)J0 (pr) dr, f (r) = j pF (p) /0 (pr) dp
0 0
являются частными случаями преобразования Фурье.
2. Проверить преобразования Меллина:
оо
а—1«:*, /и..\ л*, и—а • .». . - •
\
ха~{5'т {kx) dx = k~a (a —1)! sin-^y-, -1 < а <
00
f xa
15.2. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
В гл. 14 показано, что ряд Фурье применяется для пред-
представления некоторой заданной функции либо на ограничен-
ограниченном промежутке [0, 2л], [—L, L] и т. д., либо на бесконеч-
бесконечном интервале (—оо, оо), если функция периодическая.
Теперь рассмотрим представление непериодической функ-
функции рядом Фурье на бесконечном интервале. Физически это
означает разложение одного импульса или волнового
пакета по синусоидальным волнам.

584 глава is. интегральные преобразования
Для промежутка [—L, L] коэффициенты ап и Ьп можно
записать так (см. разд. 14.2):
j^#, A5.12)
L
J/Wsin^tf. A5.13)
С учетом этих коэффициентов ряд Фурье имеет вид
L
L J L
L со
1 I с / /v il I 1
-L n=i -L
со L
п=\ -L
ИЛИ
L со L
= -L ( f(t)dt + 4- 55 f f(Ocos-^.(^-jt)^. A5.15)
Устремим теперь L к бесконечности, трансформируя конеч-
конечный промежуток [ — Z,, L] в интервал бесконечной длины
(— с», оо). Положим rrn/L = ш, n/L — Лю, L —» оо. Тогда
СО 00
f f(t)cosa{t-x)dtt A5.16)
П=1 —со
со со
-=—Ы(о \ f(t)cosа>(t — x)ilt. A5.17)
О -со
Здесь мы заменили бесконечную сумму интегралом по. о.
Первый член (соответствующий а0) обратился в нуль,
со
поскольку предполагается, что \ / (t)dt существует.'
— 00
Следует подчеркнуть, что интеграл A5.17) введен чисто
формально. Проведенный анализ нельзя считать строгим,
однако этот же результат можно получить и совершенно

15.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 585
корректно *.. Заметим только, что в разд. 6.3 мы уже про-
проделали; эту процедуру, причем совершенно другим спо-
способом, воспользовавшись контурным интегрированием
и интегральной формулой Коши. В дальнейшем мы будем
называть интеграл A5.17) интегралом Коши. Функция
f (x) из этого интеграла удовлетворяет условиям Дирих-
со
ле (гл. 14), и, кроме того, интеграл I \f (t) \ dt сходится.
—со
Интеграл Фурье допускает и другую форму записи,
в которой вместо тригонометрической функции фигурирует
экспоненциальная. Действительно,
СО 00
f (х) = 2^; \ dm \ f @ cos <»(*-*) dt, A5.18)
И
со оо
~ [ d® [ /(/)sin<D(/-jc)d/=O A5.19)
2п
V W
—со —со
8 силу четности cos ш (t — x) и нечетности sin o> (t — х)
(по переменной ш).*К интегралу A5.18) прибавим интеграл
A5.19), умноженный на i, тогда
со со
f (х) = JL J e-le* dm J / (/) еш dt. A5.20)
—со —оо
Параметр со ~ произвольная математическая переменная.
Во многих физических задачах под ней понимается угловая
частота ю, поэтому представление функции / (х) интеграла-
интегралами A5.18) или A5.20) можно интерпретировать как набор
бесконечно длинных синусоидальных волн с угловой часто-
частотой ш, которая изменяется в этом наборе непрерывно,
15.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Преобразованием Фурье функции f (t) будем называть
функцию g(®), определенную формулой
со
= -!= Jf (/) е«Л. A5.21)
— СО
* См. Снеддон И. Преобразования Фурье, М., Изд-во
иностр. лит., 1955,

586 ГЛАСА 15. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Из A5.20) и A5.21) легко получить обратное экспонен-
экспоненциальное преобразование
оо
W = -7|- J g(n)<?-dm. A5.22)
— СЮ
Интересно, что выражения A5.21) и A5.22) почти симмет-
симметричны и отличаются только знаком при i.
В зависимости от того, является ли / (х) четной или
нечетной, ее преобразование Фурье записывается в различ-
различной форме. Остановимся сначала на случае, когда / (х) —
четная, т. е. / (х) — / (—*)• Перепишем экспоненциальный
множитель из формулы A5.21) в тригонометрическом виде:
со
1 р
g (ш) = -j= \ f (t) (cos at+/ sin (at) dt
-oo
-]/~ f f (a) cos at dt. A5.23)
о
При интегрировании в симметричных пределах (—оо, оо)
член, содержащий sin©/, обратился в нуль. Аналогично
выражение A5.22) преобразуется в
00
(х) — у — \ g (со) cos mda*. A5.24)
о
Интегралы A5.23) и A5.24) известны как косинус-преобразо-
косинус-преобразования Фурье.
Аналогичная пара синус-преобразований Фурье полу-
получается в предположении, что функция / (х) — нечетная,
т. е. f(x) = —/(—*),
/Aj, A5.25)
= y ~ f g(®)sinfiurd©. A5.26)
о
Последняя форма записи / (х) дает возможность рассматри-
рассматривать эту функцию как континуум синусоидальных волн.
¦ Множитель — I включен в функцию g

16.1 ПРЕОЁРАЗОЙАНМЕ ФУРЬЕ 587
Амплитуда sinw/ равняется Y^lng^), где g (го) — сииус-
преобразование Фурье функции / (х). Отметим, что выра-
выражение A5.26) представляет собой интегральный аналог
суммы A4Л8). То же самое можно сказать и о косинус-
преобразовании.
Если условимся называть формулы A5.21), A5.23)
и A5.25) прямыми интегральными преобразованиями, кото-
которые в уравнении A5.10) обозначались оператором X, то соот-
соответствующие обратные преобразования, обозначаемые X'1,
задаются формулами A5.22), A5.24) и A5.26), которые
называются формулами обращения.
Волновой пакет конечной длины. Важное приложение
преобразования Фурье связано с разложением конечного
импульса синусоидальных волн. Предположим, что беско-
бесконечная синусоидальная волна обрезана с помощью затвора
Керра таким образом, что
a; / О5-27)
Это соответствует N циклам, выделенным из первоначаль-
первоначальной волны (рис. 15.1, а). Поскольку f (t) — нечетная, вос-
воспользуемся' синус-преобразованием Фурье A5.25):
„ Nn/щ
g (о)) = |/ — \ sinwo^sinotf d/. A5.28)
Интегрируя, найдем амплитудную функцию
sin t(e>o—
„ [ 2 (o>o~Q)) 2 (cooH-w) J '
A5.29)
Интересно проследить зависимость g (ш) от частоты. Если
©о велико и о) « щ, то основное значение имеет только
первый член (см. рис. 15.1, б, на котором представлена
амплитудная кривая, соответствующая дифракционной кар-
картине от одной щели). Нули функции совпадают с точками
1 2
щ ' йH # ' ± N

$88 г л Aba is. йнтёгральйЫе преобразований
Поскольку вклад периферийных частей невелик, можно
положить
Aw - соо/А/. A5.31)
Используя A5.31), можно с хорошей точностью измерять
разброс по частоте в волновом пакете. Очевидно, при
fit)
Рис. 15.1. Конечный волновой пакет (а)
и его фурье-преобразование (б).
большом N (длительный импульс) разброс по частоте
невелик. С другой стороны, если из общей синусоидальной

15.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 580
волны выделена короткая часть, т. е. ./V невелико, разброс
по частота^ будет значительным.
Соотношение неопределенности. Существует классиче-
классический аналог известного принципа неопределенности из кван-
квантовой механики. Пусть имеется электромагнитная волна,
причем /ко/2я = Е — энергия (волнового пакета или фото-
фотона), тогда
ЛА©/2я = Д?, A5.32)
где h — постоянная Планка, которая характеризует неопре-
неопределенность в энергии одного фотона. Кроме того, имеется
неопределенность во времени; для прохождения N циклов
волны требуется 2А/зх/соо секунд. Обозначим
Д* = 2Ып/щ A5.33)
и возьмем произведение двух величин
щ =А- С5'34)
В'соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга
. АЕ-М>Ш2л. A5.35)
Очевидно, результат A5.34) не противоречит этому
принципу.
Упражнения
Убедиться, что следующие функции являются фурье-преобразо-
ваниями друг друга:
я"* уtfHtf, » \*\<a>
О, |х|>а, ИУ°М'
О | х |< а,
2. /(*) = < ./ я 1 , ,^ "
2 'у^Г^' 1^>а'
я 1
Как объяснить, что сюда не включена функция 1о{ау)? Указа-
Указание. Функции Jo, No и Ко легко преобразуются с помощью преобра-
преобразования Фурье A5.21), изменения порядка интегрирования и экспонен-
экспоненциального представления б-функции Дирака (см. разд. 15.6).

590 Г Л АЙ А 15. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
15.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Запишем экспоненциальное преобразование Фурье функ-
функции f (х)
оо
1 Г f(x)e»*dx A5.36)
—оо
—ста
и ее производной df (x)/dx
оо
]'e<*xdx. A5.37)
Интегрируя A5.37) по частям, получаем
*И = ^И(х)" -z~\f(x)^dx. A5.38)
Т/2я -оо 1/2зх J
—оо
Если f(x) обращается в нуль при х—>±оо, то
fifj (со) = —icog (со), A5.39)
т. е. преобразование производной равно преобразованию
исходной функции, умноженному на (—ш). Этот резуль-
результат легко обобщается на производную п-го порядка
поскольку f (х) = 0 при лг-ь ± оо.
Волновое уравнение. Рассмотрим колебание свободной
бесконечно длинной струны. Амплитуда (малых) колеба-
колебаний у удовлетворяет волновому уравнению
Будем полагать, что в момент времени ^ = О
y = f(x). A5.42)
Применим преобразование Фурье, которое означаем
умножение на eia* и последующее интегрирование по х:
оэ оо
Г ^(M)etodx=' С ^^;')eia^x A5.43)
— ОО —00

15.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ПРОИЗВОДНОЙ 591
ИЛИ
±Щ^±, A5.44)
где
оо
у (a, t) = -JL [ у (*, t) eiaxdx. A5.45)
Л/2л J
—со
Здесь мы использовали уравнение A5.40). Проинтегриро-
Проинтегрированная часть уравнения A5.38) обратилась в нуль, посколь-
поскольку волна не успела еще распространиться на бесконеч-
бесконечность. В уравнении A5.44) нет никаких производных по а,
поэтому оно представляет собой обыкновенное дифферен-
дифференциальное уравнение, в данном случае — уравнение линей-
линейного осциллятора. Рассмотренное преобразование, в резуль-
результате которого дифференциальное уравнение в частных
производных свелось к обыкновенному дифференциальному
уравнению, существенно упрощает задачу. Теперь остается
решить уравнение A5.44) при соответствующих начальных
условиях. Распространим на функцию A5.45) условие
A5.42), соответствующее моменту t = О, тогда
оо
^= \ f(x)tfdx = F(a). A5.46)
—оо
Общее решение уравнения A5.44), записанное через экспо-
экспоненту, имеет вид
У(а,/)=F(a)e±'w«. A5.47)
Применим теперь формулу обращения A5.22)
оо
у(х, t)-^~ J У (a, t)e-^da A5.48)
о
—оо
и с учетом A5.47) окончательно получим
оо
У (X, 0 =-7= \ F (a) e"iK №° da' A5'49)
оо
Поскольку / (х) является обратным преобразованием Фурье
функции F(a), то
(J5.50)

592 Г Л Л В Л 15. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
что соответствует волнам, распространяющимся соответ-
соответственно в -I-*- и —^-направлениях.
В том случае, когда граничное условие соответствует
условию A5.42), а также задано в виде ограничения, нало-
наложенного на производную dyldt, решение представляет
собой особую линейную комбинацию волн.
Упражнения
1. Одномерное уравнение возраста Ферми (оно описывает диффузию
нейтронов, замедляющихся в некоторой среде, например графите)
d2q(x,%) dqlx, т)
имеет вид— \2 — v' , где q~число нейтронов, которые
при своем замедлении попадают в область энергии, лежащую ниже
заданного значения (за одну секунду в единице объема); т—возраст
Ферми, характеризующий потерю энергии. Получить решение этого
уравнения, полагая, что q (х, 0) == S6 {х) соответствует плоскому
источнику в точке х=0, который испускает в одну секунду 5 нейт-
нейтронов с единицы поверхности. Указание. Вместо q(x, т) рассмотреть
новую функцию
—со
Эта задача аналогична задаче о распространении тепла в бесконечной
среде.
е-д.-з/4пт
Ответ: q = S
2. Ортогональные функции Эрмита ц>п(х) = е~х2^ Нп(х) удовле-
удовлетворяют дифференциальному уравнению (см. разд. 13.1)
С помощью этого уравнения получить фурьс-преобрязование для функ-
функции фп(дг).
15.5. ТЕОРЕМА СВЕРТКИ
Рассмотрим две функции f (x) и g (x), фурье-преобразо-
ваниями которых служат соответственно F (t) и G (t). Назо-
Назовем операцию
00
—00
A5.51)
сверткой двух функций / и g в интервале (—оо, оо). Для
f (у) = е~у графики самой функции / (*/) и / (х — у) пред-

15.5. ТЕОРЕМА СВЕРТКИ
593
ставлены на рис. 15.2. Очевидно, эти графики являются
зеркальным отражением друг друга относительно верти-
вертикальной линии у — х/2, т. е. мы можем получить f (x — у),
Рис. 15.2. Свертка функций f и g.
«свернув» / (у) по линии у = х/2. Видоизменим теперь
интеграл A5.51), введя в него преобразования Фурье
00
— 00
00
00
-l=
J g(y)
—OO
— CO
00
00
OO
= -!== j F(t)e-"*dt j g(y)e<ydy= { F(t)G(t)e-«*dl.)
—00 —OO —00
A5.52)
Здесь мы изменили порядок интегрирования и воспользова-
воспользовались преобразованием функции g(y). Этот результат мож-
можно сформулировать в виде следующей теоремы: если F (/)
и G (t) — преобразования Фурье функций /(/) и g(f), то
обратным преобразованием Фурье произведения F-G являет-
является свертка первоначальных функций f * g.
Если х — 0, имеем
00
00
F(t)G(t)dt= j f(-y)g(y)dy.
—00
—со
Соотношение Парсеваля. Аналогичные результаты полу-
получаются для синус- и косинус-преобразований Фурье (см.
38-1257

594 ГЛАВА 15. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ниже упр. 1 и 2). Формула A5.53) и соответствующие синус-
и косинус-свертки по аналогии с теоремой Парсеваля
(см. упр. 2 к разд. 14.3) часто называются соотношениями
Парсеваля.
Соотношения Парсеваля можно получить и независимо
от обратного преобразования Фурье, а затем использовать
их для строгого определения формулы обращения *.
Упражнения
1. Получить уравнение свертки, соответствующее уравнение
A5.52), для синус- и косинус-преобразований Фурье.
Ответ:
оо со
\ g (У) I (х — у) dy= — \ Fs (s) Gs (s) sin sx dsf
о о
oo oo
j g (У) I (x-y) dy--- j Fc (s) Gc (s) cos sx ds. '
0 . 0
2. Показать, что как для синус-, так и для косинус-преобразова-
косинус-преобразования Фурье соотношение Парсеваля имеет форму
ОО 00
= j f{x)g{x)dx.
3. Функция g (у) равна единице в интервале 0 ^ у ^ а и нулю
для всех остальных значений у. С помощью этой функции и соотно-
соотношения Парсеваля A5.53) получить формулу обращения Фурье A5.22).
Указание. Продифференцировать по а.
15.6. МЕТОД МОМЕНТОВ
В квантовой механике одинаково часто встречаются
понятия импульса и координаты. Сначала рассмотрим
обычное пространственное распределение, а затем перейдем
к соответствующему распределению импульсов. В одно-
одномерном случае волновая функция ф (х), представляющая
собой решение уравнения Шредингера, обладает следую-
следующими свойствами:
* Подробнее см. Морс П. М., Ф ешбах X. Методы тео-
теоретической физики. Перев. с англ. М., Изд-во иностр. лит. 1958.

15.6. Метод моментов 595
*Т»-Тj-'—ц-' "* ^ 1 . ¦_..¦¦¦¦... ill .. —-¦ ¦ I ¦ I I .
1. Произведение ф* (х) ф (х) dx определяет вероят-
вероятность нахождения частицы в интервале (х, х -|- dx).
2. Интеграл
00
[ ф* W ф (х) djc = 1 A5.54)
— (XI
характеризует полную вероятность обнаружить частицу
в любом месте оси х.
3. Кроме того, среднее значение координаты частицы
на оси х равно *
00
* = \ ty{x)xfy(x)dx. A5.55)
—00
Определим функцию g(p), которая будет давать аналогич-
аналогичную информацию об импульсе частицы.
Г. Произведение g*(p)g(p)dp определяет вероятность
того, что импульс частицы лежит в интервале (/;, p-\-dp).
со
2'. I g*{p)g(p)dp--\. A5.56)
— 00
(XI
3'- Р= j g*{p)pg(P)dp. A5.57)
00
Ниже будет показано, что такая функция определяется
преобразованием Фурье пространственной функции
00
g (р) = -pkj- j ¦ (х) е-««/» dx, A5.58)
—оо
00
~[/2nh *
A5.59)
— 00
Для проверки рассмотрим конкретно свойства 2' и 3'.
Запишем подробно условие нормировки
ОО ОО ОО 00
j g*(p)g(P)%dp= J J (-gar j e<»<*-*'>/» ф) x
— CO —CO —00 —CO
A5.60)
* Эта величина часто называется ожиданием и обозначается
38*

596 ГЛАВА 15. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Выражение в круглых скобках—фурье-преобразование
б-функции Дирака (см. ниже упр. 1 и 2), поэтому
СО 00 00
\g*(P)g(P)dp= j j b{x~x'W{x')^(x)dx'dx. A5.61)
—00 —00 —00
Интегрированием по х' доказывается свойство 2. Послед-
Последний интеграл соответствует соотношениям Парсеваля
00 00
j F(t)G*(t)dt= J f(y)g*(y)dy, A5.62)
—00 —00
oo oo
5 \Ht)?dt= j \j(y)fdy. A5.63)
— 00 —00
Для проверки свойства 3' необходимо доказать, что
ОО 00
~~ Г Г К d
J J i dx
— 00 —00
где (%li)(d/dx) — оператор импульса в пространственном
представлении. Заменим функции импульса, после чего
первый интеграл приобретает вид
И
Далее,
00
1
2nk
—оо
Подставляя выражение A5.66) в A5.65) и произведя при
постоянных х' и р интегрирование по частям, получаем
= И
оо оо
П d
—00 —00
A5.67)
Последний результат получен из условия обращения вол-
волновой функции в нуль при х-+ ± оо. Вновь воспользуем-
воспользуемся б-функцией Дирака (см. упр. 1 к разд. 15.6), после чего

15.6. МЕТОД МОМЕНТОВ S9?
выражение A5.67) сводится к A5.64) и импульсное пред-
представление Доказано.
Атом водорода. Атом водорода в основном состоянии
описывается волновой функцией
A5.68)
где aQ — %2lme2 — радиус Бора. Для трехмерного случая
преобразование, соответствующее A5.58), имеет вид
00
1 Г • 'А '"Л /г. A5.69)
— 00
Подставим функцию A5.68) в последний интеграл и с уче-
учетом того, что
00
—00
получим волновую функцию водородного атома в импульс-
импульсном представлении:
Аналогичная функция в импульсном представлении полу-
получается в задаче о комптоновском рассеянии на атомных
электронах; распределение рассеянного излучения по дли-
длинам волн определяется импульсами электронов, на которых
происходит рассеяние.
Связь между пространственным и импульсным пред-
представлениями легко проследить, если обратиться к основным
соотношениям коммутации квантовой механики. Можно
начать с классического гамильтониана и получить затем
волновое уравнение Шредингера, для чего достаточно
потребовать, чтобы имело место коммутационное соот-
соотношение:
[p,x] = (px-xp)--ih, A5.72)
где р — импульс, х — координата. Для многомерного про-
пространства это уравнение запишется так:
lPhXj] = -Mu. A5.73)
Представление Шредингера (пространственное, лс-представ-
ление) получается, если xj-+xjt pt ->¦ — ihd/dxi. Здесь

598 глава 15. ИнТегрАлЬнЫе преобразования
импульс заменяется производной по координате. Легко
проверить, что
A5.74)
Однако условие A5.72) тоже окажется выполненным, если
В этом случае получаем импульсное р-представление,
для которого
A5.75)
Следовательно, ^-представление не единственно, возможно
еще и р-представление.
Вообще, из ^-представления волновое уравнение полу-
получается более естественным путем, так как потенциальная
энергия V обычно записывается как функция координат
V (х, у, г). р-Представление обычно приводит к интеграль-
интегральному уравнению (см. гл. 16), для его иллюстрации рас-
рассмотрим гармонический осциллятор.
Гармонический осциллятор. Запишем классический
гамильтониан
И (/л х) - pV2m ~Ь kxV2 ¦--= Е. A5.76)
В ^-представлении мы получим
A577)
Для полной энергии ?, равной V(k!tn) Й/2, это уравнение
имеет решение
$(х) = е-^™к№)*\ , A5.78)
р-Представление дает
Снова для
Е =
волновое уравнение A5.79), записанное в р-представлении,
имеет решение
*>. A5.81)

15.6. МЕТОД МОМЕНТОВ 599
В зависимости от удобства решения данной конкретной
задачи можно прибегать к любому представлению, простран-
пространственному или импульсному (и вообще к бесконечному
числу других возможных представлений). В упр. 5 (см. ниже)
волновая функция в р-представлении g (р) представляет
собой обратное фурье-преобразование функции A5.78).
Упражнения
I. Найти фурье-преобразование б-функции Дирака, а затем, исполь-
используя обратное преобразование, получить интегральное представление
оо
с, , 1 Г
оо
а-юо
——— е а х в качестве определения б-функции Дирака, показать,
2. Используя соотношения д(х) ~ \imb(x,a), б (х, а) —
а
то
СХ'
— 00
3. В квантовой механике бесконечная плоская волна представля-
представляется функцией ty(*) = eip'*^ Найти соответствующее р-представле-
ние этой функции. Отметим, что $(х) не нормирована.
4. Частица, находящаяся в одномерной потенциальной яме 0<
<!л:<;а, описывается волновой функцией -ф (лг) = sin (ппх/а), где п —
целое. Определить соответствующую волновую функцию в р-представ-
р-представлении и дать ее физическую интерпретацию. Указание. Не учитывать
граничные условия отражения частицы от стенок ямы и считать, что
волновая функция отыскивается во всем пространстве.
5. Волновая функция линейного квантового осциллятора имеет
вид ф (л;) = а~1/'2л;-1/4е~а:2/2а2. Показать, что соответствующая функ-
функция в р-представлении равна g (р)=^а1//2я~1//4й~1;/2е~~а2р2/2й2.
6. Пусть
4 е'
I О,
), *>е.
Выразить б(*, е) через интеграл Фурье и показать, что
00
~ f e~ihxdk.
00

600 ГЛАВА 15. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
7. Используя результаты упр. 1, 2 или 6, получить представле-
_ . , sin ах л
ние о (лс) = lim ——— . Это выражение служило отправной точкой
при строгом разложении в ряд Фурье.
15.7. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
Преобразование Лапласа / ($) или в символической запи-
записи X функции F (t) определяется формулой *
со
f{s) = X {F (t)} = lim \ e-s< F (t) dt = \ e~stF (t) dt. A5.82)
(I—>00 * •*
0 0
Необходимо сделать некоторые замечания о существовании
интеграла. Для выполнения A5.82) совсем не обязательно,
со
чтобы существовал неопределенный интеграл \F(t)dt.
о
Например, сама функция F (i) может расходиться экспонен-
экспоненциально при больших t. Однако если существует некоторая
постоянная s0, называемая показателем роста, такая, что для
достаточно больших t > t0 выполняется неравенство
I е-*'/7 (/) | < Л4, A5.83)
где М > 0, то преобразование Лапласа существует для
любых s> so\ отсюда следует, что F (t) может возрастать
не быстрее показательной функции. Например, F (t) = е'а
не удовлетворяет условию A5.83), т. е. она в указанном
смысле не относится к классу функций экспоненциального
типа, поэтому X {е'2} не существует.
Преобразование Лапласа может не существовать и для
функций, имеющих достаточно сильную особенность в нуле;
* Иногда его называют односторонним преобразованием Лап-
Лапласа, в таком случае интеграл от —оо до -foo будет называться
двусторонним преобразованием. Некоторые авторы вводят допол-
дополнительный множитель s. Обычно берут s вещественным и положи-
положительным, хотя s может быть и комплексным при условии, что Re s>
> 0. (Сама / (s) часто называется изображением функции F (/),
которую, в свою очередь, называют оригиналом. В дальнейшем
мы будем придерживаться этой общепринятой терминологии,—
Прим- перев.)

15.7. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 601
00
например, интеграл I e~4lndt расходится в нуле для
о
я<! —1» поэтому преобразование Лапласа X (tn) не суще-
существует для я< — 1.
^| Поскольку для двух функций F (t) и G (t), для которых
существуют интегралы, выполняется равенство
X {aF (t) + bG (t)} = aX {F (t)} + bX {G (/)}, A5.84)
преобразование Лапласа Х линейно.
Рассмотрим преобразование Лапласа некоторых элемен-
элементарных функций. Во всех случаях будем предполагать, что
F(t) = O для t<0. Пусть F(t)=*l для />0, тогда
00
|е-«*Л = «~, s>0. A5.85)
о
Для показательной функции F(/)=ew п,ри />0 пре-
преобразованием Лапласа будет
оо
{eM} = j е^'ем Л «-^, s>k. A5.86)
Ирпользуя этот результат, легко получить преобразование
Лапласа и других функций. Поскольку chkt = -^ (ew + erht),
= -5-(ew —е-"), имеем для s>k
Рассмотрим функцию cos^ = ch/^, s\nkt= —ishikt, для
которых преобразования Лапласа имеют вид
' A5.89)
A5.90)
Здесь необходимо выполнение условия s>0. (По-дру-
(По-другому получены преобразования Лапласа этих функций

602 ГЛАВА 15. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
в разд. 15.8.) Наконец, для F(t)-=tn имеем X{t"} =
со
— \ e~sttmdt, что совпадает с факториальной функцией.
о
Следовательно,
?к, s>0. A5.91)
Рассмотренные операции сами по себе не имеют смысла
до тех 'пор, пока мы не произведем обратного преобразо-
преобразования, т. е. если X {F (/)} — / (s), то
Вообще говоря, обратное преобразование не единственно,
т. е. две функции Ft (t) и F2 {t) могут иметь одно и то же
изображение / (s). Однако в этом случае F{ (/) — F2 (t) =
= N (t), где N (t) — нулевая функция, такая, что
to
| N (t) dt — 0 для любого t0 > 0. Этот результат известен
о
как теорема Лерча, поэтому на практике во всех физиче-
физических и инженерных приложениях N (t) может быть почти
всегда положена равной ну-
нулю, после чего операция обра-
обращения становится единствен-
единственной. На рис. 15.3 приведен
пример нулевой функции.
Обратное преобразование
можно получить двумя путя-
путями. Во-первых, в разд. 15.11
L развит общий метод опреде-
' ления X'1, основанный на
применении теории вычетов.
Во-вторых, можно построить
Рис. 15.3. Возможная нуле- и ИСПОльзовать для практи-
вая функция. „ С
J ческих вычислении таблицы
оригиналов и соответствую-
соответствующих им изображений точно так же, как, например, поль-
пользуются таблицами логарифмов и антилогарифмов. Исполь-
Использование такой таблицы, в которой собраны оригиналы и
изображения функций, облегчается разложением / (s) на
отдельные части.

15.7. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 603
Часто изображение f (s) задают в форме g(s)lh(s)y где
функции g (s) и h (s) — полиномы, которые не содержат
общего множителя, причем показатель степени полинома
у g (s) ниже, чем у h (s). Если /i (s) может быть представлена
в виде произведения линейных и различных множителей,
то из теории элементарных дробей следует, что
f (s) = -fL- + -^-+ .. • +-^- , A5.93)
где коэффициенты ct не зависят от s. Если один из корней,
скажем аи кратный (т, е. встречается т раз), то f(s)
приобретает форму
п
г f 5J — •—rr -4- —, !— - _1—[-...-( ! \- /. .
г=2
A5.94)
Наконец, если один из сомножителей имеет квадратичную
форму (т. е. s2 + ps 4- (/), то числитель не просто равен
постоянной, но содержит еще и переменную s, а весь член
в целом следует записать в виде (as -f b)/(s2 + ps + q).
Постоянные величины, входящие в числитель простых
дробей, можно определить различными способами. Напри-
Например, умножим разложение A5.93) на (s — ai), тогда
c, = lim (s~-ai)f(s). A5.95)
В элементарных случаях часто гораздо проще прибегнуть
к прямому решению.
Пример 1. Имеется изображение
Приведем правую часть A5.96) к общему знаменателю, а затем при-
приравняем коэффициенты при одинаковых степенях s в числителе:
Имеем с-|-а = 0 (при s2), b—0 (при s1) и c№ — k2 (при so). При
получим с—1, b —0, a= — 1, откуда
и, наконец, воспользовавшись результатами A5.85) и A5.90), оконча-
окончательно
=1 _cos kt. A5.99)

604 ГЛАВА 15. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Пример 2. В качестве примера практического использования
преобразования Лапласа вычислим интеграл
F(t)
со
Ssiri tx
о
dx.
A5.100)
Применим к этому несобственному интегралу преобразование Лап-
Лапласа
A5.101)
о о
Изменим порядок интегрирования, в результате чего
ОО 00 ОО
Г dX
A5.102)
J J о--г*-
0 0 О
поскольку выражение в квадратных скобках представляет собой пре-
преобразование Лапласа sin xt.
С помощью таблиц интегралов
находим, что
ОО
F(tH
Ж
2
Л.
'2
=-§Н<8>- A5Л03)
Рис. 15.4. Функция включения Вновь обратимся к выражению
A5.85), и окончательно
=-?-» <>0- A5-104)
о
sin tx
dx.
в согласии с ранее проделанным
вычислением, выполненным на
основе теории вычетов (см. разд. 7.2). Предполагалось, что аргу-
аргумент F (t) удовлетворяет условию *>0. Для F(—t) заметим
только, что sin (—tx) — — sin tx, поэтому F{ — t)=—F(t). Нако-
Наконец, очевидно, что при t~0 F @) = 0. Следовательно,
О, t = 0, A5.105)
00
intx
о
оо
Интересно, что интеграл \ (sin tx/x) dxf если понимать его как функ-
о
цию i, представляет собой ступенчатую функцию (функцию включе-
включения) со скачком в точке /=0, величина скачка равна я (рис. 15.4).

15.8. ШЧЮВРАЗОВЛПИЕ ЛАПЛАСА ПРОИЗВОДНОЙ 605
Упражнения
I. Доказать, что Hms/(s)= lim F (t). Указание. Предположить,
s_>.0 f|0
что F (t) может быть представлена рядом F @ — 2 °п*П'
2. Показать, что —WmJ6{cosxt}—6{x).
Я 8->0
15.8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ПРОИЗВОДНОЙ
Вероятно, самое важное приложение преобразований
Лапласа — это приведение дифференциальных уравнений
к более простым формам, которые позволяют легко нахо-
находить их решения. Например, система дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами сводится к систе-
системе линейных алгебраических уравнений. Преобразуем
первую производную оригинала F (/)
со .
X {F (/)} = J
е
00
A5.106)
Строго говоря, F @) — F (+0) *, а производная dF/dt
должна быть, по крайней мере, кусочно-непрерывной
в интервале 0</<оо. Естественно, необходимо, чтобы
и оригинал F @Ли его производная были интегрируемы.
Формулу A5.106I можно получить и другим способом
(см. упр. 1 к разд. 15.7). Аналогично
{ t A5.107)
X {F{n) (t)} = snX {F (t)} - s^F (+ 0) -
A5.108)
Любопытно, что начальные условия F (+0), F' (+0) и т. д.
вошли составной частью в формулы преобразования. Форму-
Формула A5.107) позволяет получить изображение sin^. Будем
* Означает приближение к нулю со стороны положительных
ений аргумента.
р
значений аргумента

GOG Г Л Л I! Л 15. !ШТГ.П>ЛЛЫ!ЫГ. ПРПОШ'ЛЗОПЛНИЯ
исходить из тождества
M-smkt, A5.109)
к обеим частям которого применим преобразование Лапласа:
. A5.110)
Поскольку sin 0 = 0, а тт sin kt |*=о = &,
4 A5.111)
и мы вновь приходим к формуле преобразования A5.90).
Простой гармонический осциллятор. Рассмотрим мас-
массу т, осциллирующую под действием идеальной пружины
с коэффициентом упругости k. Трение не будем учитывать,
в соответствии со вторым законом Ньютона
A5.112)
при начальных условиях X@)-XQ, Х'@)~ 0. Подей-
Подействовав преобразованием Лапласа, получим
= 0; A5.113)
учтем далее уравнение A5.107), тогда
ms2x (s) - msXo+kx (s) = 0, A5.114)
С учетом результата A5.90) полученная функция —
изображение cos со/, следовательно, как и можно быЛо
ожидать,
X @ = Хо cos юо/. A5.116)
Нутация Земли. Несколько более сложный пример дает
рассмотрение нутации полюсов Земли. Будем считать Зем-
Землю правильным (сжатым у полюсов) сфероидом, тогда

15-8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ПРОИЗВОДНОЙ 607
уравнения движения Эйлера запишутся так:
=aY, ^=+аХ, A5.117)
где а = [(/*-/*)//*] wz; X¦-= <о*, У = ыу-
компоненты вектора угловой скорости <о = (<йЖ| о,,, coz);
\г — момент инерции относительно оси z, а /у — 1Х
(моменты инерции относительно осей хну). Ось г совпа-
совпадает с осью симметрии Земли и не совпадает с осью суточ-
суточного вращения Земли а>, причем измеренное на полюсе это
отклонение составляет около 15 м. Преобразуем систему
дифференциальных уравнений A5.117)
sx (s) - X @) - -ay (s), sy (s) - Y @) = ax (s). A5.118)
Исключим из уравнений A5.118) функцию у (s)
s2 x (s) — sX @) + aY @) - —tfx (s)
или
*(*) = х<°>1грз-у@);гЬ. A5Л19>
отсюда
X (t) = X @) cos at — Y @) sin at. A5.120)
Аналогично
Y(f) = X @) sin at + Y @) cos at. A5.121)
Мы получили вращение вектора с компонентами X и Y про-
против часовой стрелки (для а > 0) вокруг оси z под углом
0 = at относительно этой оси с угловой скоростью а.
Непосредственную интерпретацию этого эффекта можно
дать, если положить Y @) = 0. Тогда уравнения
X(f) = X@)cosaf, У @ = X @) sin a/ A5.122)
определят в параметрической форме вектор, конец которого
вращается против часовой стрелки по круговой орбите
радиусом X @) с угловой скоростью а.
Для Земли величина X @) составляет примерно 15 м,
а определенная здесь угловая скорость а соответствует
периоду Bл!а)у равному около 300 суток. В действитель-
действительности же наблюдается отклонение от формы идеального

608 ГЛАВА 15. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
сфероида, для которого и были записаны уравнения Эйле-
Эйлера, поэтому на самом деле период оказывается равным
427 суткам.
Если в уравнениях A5.117) положить X (t) = Lx,
У (t) — Ly (здесь Lx н Ly — х- и ^-компоненты момента
количества движения; . а — —gbBZi gh — гиромагнитное
отношение, Вг — магнитное поле вдоль оси г), то урав-
уравнения A5.117) будут описывать прецессию Лармора заря-
заряженного тела, которое помещено в однородное магнитное
поле Bz.
Дельта-функция Дирака. При решении дифференциаль-
дифференциальных уравнений часто используется изображение б-функции
Дирака:
00
О
И
X{6(t)}=\, /0 = 0. A5.124)
Здесь мы исходили из представления б-функции в виде
00
\6{t)dt=\t 6@ = 0 для />0. A5.125)
о
В качестве альтернативного метода рассмотрим 6@ как
предел при 8—»<х> функции ^@, где
О, *<0,
/Ч0={ е, 0<г<е, A5.126)
О, t > e.
Прямым вычислением получим
-Ц^- A5-127)
Перейдем к пределу уже в конечном результате (а не под
знаком интеграла), тогда WmX{F(t)}-\ или X{b(t)}=L
8-*0
Рассмотренную функцию часто называют импульсной,
поскольку она описывает импульсные силы, т. е. силы,
действующие очень короткое время.
Импульсная сила. Запишем второй закон Ньютона,
сформулированный для короткого действующего импульса

15.8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ПРОИЗВОДНОЙ 609
силы, приложенной к массе т:
' A5Л28)
где Р — постоянная. Применим к уравнению A5.128)
преобразование Лапласа
ms2x (s) - msX @) - тХ' @) - Р. A5.129)
Для частицы, .которая в начальный момент покоилась,
X' @) = 0 *. Кроме того, будем полагать, что X @) = 0,
тогда
x(s)=P/ms2, A5.130)
, A5.131)
^Р? = const. A5.132)
Эффект импульсного воздействия силы Рб (?) состоит в мгно-
мгновенной передаче частице импульса величиной Р.
Аналогичным образом рассматривается работа балли-
баллистического гальванометра. Вращающий момент гальвано-
гальванометра задается исходной величиной kj, где /' — импульс
тока, а к — коэффициент пропорциональности. Поскольку
электрический ток / проходит за очень короткое время,
можно обозначить kj = kqb(t), где q — общий заряд.
Тогда, если обозначить момент инерции /,
kqb(f) A5.133)
а затем преобразовать это уравнение, то получим, что
воздействие короткого импульсного тока на гальванометр
заключается в передаче ему вращательного момента вели-
величиной hq.
Упражнения
1. Используя формулу преобразования Лапласа для второй
производной, получить формулу преобразования функции cos И.
2. Если оригинал F (I) может быть разложен в степенной ряд
(Тейлора или Лорана), т. е. если F{t)=^antn и интеграл
п
* Под этим нужно понимать X' (+0). Влияние самого импуль-
импульса учтем таким образом, как будто он включился в момент t = e,
а затем перейдем к пределу 8 -> 0.
39-1257

610 ГЛАВА 15. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
00 00
\ e~9t 2 fln*n^» или 2 йп \ е~8'*п^» существует, то изображение
От п О
/ (s) не содержит степеней s, превосходящих s. Доказать это утверж-
утверждение. Проверить его, взяв преобразование ? {б (*)}, и объяснить
отрицательный результат.
3. Радиоактивные ядра распадаются в соответствии с законом
dN}dt=-—%N. Здесь W—концентрация данных ядер, \—постоянная
радиоактивного распада. Это уравнение показывает, что скорость
распада пропорциональна числу радиоактивных ядер.
Распад радиоактивного ряда, состоящего из п сортов различных
ядер, описывается системой дифференциальных уравнений:
—jf — kn-iNn-i, стабильный изотоп.
Определить для трех сортов ядер функции Ni(t), N2{t) и N9(t)%
удовлетворяющие начальным условиям Ni @) = А/о, #2@)=#з @)—0.
Ответ: Ni{()=N^rXlt4Nt{t)^N0T^-rr{t-'klt^e'kit)t JVS=
2 [ 21
Для малых t найти приближенное значение N2 и Л^з при условии, что
Nn
Ответ: N2 ъ N^t, N3 ^ -у
Для больших t найти приближенное значение N2 и #з, когда
^i » Х2 и Xi « Я2.
Ответ:
4. Найти изображение функции ошибок Гаусса ф (/)=*'
=-1- е$а/4 [l-Ф (
Ответ: #{ф(/)}=-1- е$а/4 [l-Ф (-у

15.9. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 611
15.9. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
Теорема смещения. Если в преобразовании Лапласа
A5.82) сделать замену s—>s — a, то
00 СО
f(s~-a)=\ e-<5-°> < F (t) dt = j e-8 W (/) Л = # {eatF (/)}.
о о
A5.134)
Следовательно, смещение изображения на а равносильно
умножению оригинала F (t) на еа', и наоборот. Этот резуль-
результат оказывается очень полезным для пополнения таблиц
преобразований. Из уравнения A5.90) немедленно следует,
что
x{*'tankt)=(f-i*+»' A5ll35)
а также
s>0. A5.136)
Затухающее колебание. Полученные формулы соответ-
соответствия применяются в теории колебания частицы, которая
тормозится силой, пропорциональной скорости. В этом
случае уравнение A5.112) дополняется членом, который
соответствует торможению:
тХ" (t) + ЬХ' (t) + kX (t) = 0, A5.137)
где Ь — коэффициент пропорциональности. Предположим,
что первоначально частица покоилась, т. е. X @) = Xq
и X' @) = 0. Преобразование Лапласа данного уравне-
уравнения приводит к
m[sx(s)-sXo] + b[sx(s)-X0] + kx(s)^0, A5.138)
откуда
Дополним далее знаменатель до полного квадрата:
s2H—sH— = |s4-s-I + т—•!• A5. НО)
39*

612 ГЛАВА 15. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Если торможение невелико, 6* < 4km, последний член
имеет знак плюс и может быть заменен выражением
s+bfm _
uJ-"-
ЬB)щ
С помощью формулы A5.135) и A5.136) определяем, что
X (t) = ( 2^7 )
^ A5.142)
где tg9 = 6/2moI; wl — klm. Очевидно, когда 6—>0, полу-
полученное решение переходит в решение для гармонического
осциллятора (см. разд. 15.8).
Электрические колебания в замкнутом RLC-контуре
аналогичны затухающим колебаниям осциллятора (сопро-
(сопротивление R, индуктивность L, емкость С, последовательное
включение Rf L, и С). Как известно, согласно закону
сохранения энергии Кирхгофа, суммарная разность потен-
потенциалов по всей цепи в любой момент времени должна
равняться нулю, поэтому
t
^ ^^O. A5.143)
Для исключения из этого уравнения операции интегриро-
интегрирования продифференцируем ток / по времени, тогда
Если мы теперь произведем замену /(/)—>X(f), R-*b,
L-^m, С—»&, то получим уравнение, идентичное урав-
уравнению A5.137). Этот пример интересен тем, что он иллю-
иллюстрирует тесную математическую связь различных разделов
физики *,
* Подробнее см. О 1 s e n H. F. Dynamical Analogies. N.Y.,
Van Nostrand, 1943.

15.9. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
613
Теорема запаздывания. Умножим изображение f(s)
на e"bs,
со
со
o-b«/ (s) - e-b» \ е-8'/7 @ dt=\
о о
dt A5.145)
и положим t-{-b = %, тогда
со
e-bs/ (s) = f e-8TF(x-b) dx. A5.146)
ь
Поскольку по предположению F (t)_= 0 для t< 0,
функция F (t — 6) = 0 для 0 < т < b. Поэтому, не меняя
Fit)
F(f-b)i
t t-b t
Рис. 15.5. Сдвиг.
значения интеграла, можно его нижний предел сдвинуть
до нуля (рис. 15.5). Затем, имея в виду, что т — перемен-
переменная интегрирования, запишем
A5.147)
Электромагнитные волны. Поперечная электромагнитная
волна с Е = Еу или Ez, распространяющаяся вдоль оси х,
описывается волновым уравнением
дх2 —ф'~~д1Г-= Q- A5.148)
Преобразуем это уравнение по переменной t
* dE{x>t]
= 0.
A5.149)

614 Г Л А.В А 15. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Если задать начальные условия в виде
= 0,
/=0
то уравнение (обыкновенное дифференциальное)
A5.150)
имеет решение
X {Е (*, t)} = cje-W')* + с#+м*. A5.151)
Постоянные а и с2 определяются с помощью дополнитель-
дополнительных граничных условий. Из условия ограниченности
электромагнитной волны при х -*• оо следует, что изобра-
изображение тоже должно оставаться конечным, поэтому с2 — 0.
Если значение волны в начале координат Е @, t) обозна-
обозначить F @, то й = f (s) и
A5.152)
Имея в виду результат A5.147), находим
F(t-x!b), t>x!v,
o. t<xh.
Дифференцируя Е (х, t) и подставляя полученный резуль-
результат в уравнение A5.148), убеждаемся, что это решение —
правильное. Оно представляет собой волну (или импульс),
движущуюся в положительном направлении х со скоро-
скоростью v. Обратим внимание, что область, соответствующая
х > vt, отвечает невозмущенному состоянию. За время t
волна еще не дошла до указанной области. Если нас инте-
интересует случай, когда сигнал распространяется в отрицатель-
отрицательном направлении оси х, постоянную d необходимо поло-
положить равной нулю, и тогда
t> -x!v,
t<_xlv A5Л54)
f
будет описывать волну, бегущую в отрицательном направ-
направлении.
Дифференцирование изображения. Выберем параметр s
таким, чтобы произведение функции е~8' на оригинал F (/),

15.9. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 615
который должен быть, по крайней мере, кусочно-непре-
кусочно-непрерывным, экспоненциально исчезало при большом s, а инте-
оо
грал I er'*'F(t)dt равномерно сходился. В этом случае
о
подынтегральную функцию можно продифференцировать
под знаком интеграла по s, тогда
со
A5.155)
Продолжая этот процесс, получаем
f{n) (s) =-%{(-t)nF(t)}. A5.156)
Все такие интегралы равномерно сходятся в силу экспонен-
экспоненциального спада подынтегральной функции e~8t F (t),
В качестве примера применения рассмотренного свойст-
свойства отметим, что с его помощью можно получить форму-
формулы преобразования Лапласа некоторых новых функций.
Действительно,
оо
s>k. A5.157)
Дифференцируя по s (или по k), получаем
5=]g . A5.158)
Уравнение Бесселя. Используя дифференцирование
преобразования Лапласа, будем решать уравнение Бесселя
с п — О, которое можно записать так (см. гл. 11):
х2у" (х) + ху' (х) + х2у (х) = 0. A5.159)
Разделим это уравнение на х и для приведения его в согла-
согласие с принятыми обозначениями положим t — х и F (f) =
— у (х). После этого уравнения Бесселя приобретет вид:
tFn @ + F' (t) + tF (t) = 0. A5.160)
Будем искать регулярное решение этого уравнения при
условии F @) = 1. Кроме того, предположим существо-
существование изображения и искомого оригинала F {t). Применим

616 ГЛАВА 15. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
преобразование Лапласа к этому уравнению и учтем A5.107)
и A5.155), тогда
W(s)s\ + sf(s)\-±f(s) = Q. A5.161)
Поскольку F(Q) ограниченна, из уравнения A5.160) «сле-
«следует, что ' F' @) = 0. Перегруппируем члены в уравне-
уравнении A5.161)
(&*+\)f4&)+sf($) = 0 A5.162)
или
^- A5Л63)
Интегрирование последнего выражения дает
In /'(s) = — A/2) In (s1 + 1) + In Ct A5.164)
откуда следует, что
f(s) = C/VF+\. A5.165)
Для того чтобы иметь возможность применить формулу
A5.91), разложим изображение / (s) в ряд по отрицатель-
отрицательным степеням s, который сходится для s> 1:
__ С Г, 1 , ЬЗ (-1)»BяI . I
~ s L W^B2-21Js* '"~f B«д!Js2n 1" • • • J •
A5.166)
Теперь по заданному изображению перейдем к оригиналу
оо
Из условия F @) = 1 постоянную С нужно положить
равной 1, но в таком случае F (t) совпадает с уже извест-
известной функцией Бесселя нулевого порядка Jo (t). Следо*
вательно,
ф, A5.168)
Напомним, что это справедливо при условии s > 1. Случай
s > 0 нуждается в дополнительном исследовании.

15.9. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 617
Рассмотренное применение преобразования Лапласа ока-
оказалось сравнительно легким, вероятно, только потому, что
в уравнении Бесселя п было положено равным нулю. Это
позволило исключить одну степень х (или t). Если же этого
не сделать, то из-за членов вида t2F (t) появится вторая
производная изображения / (s). Решение окончательного
уравнения при этом усложнится.
Если мы не захотим ограничиваться линейными диффе-
дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициента-
коэффициентами, то по-прежнему сможем пользоваться преобразованием
Лапласа, однако это не гарантирует получение решения.
С приложением разработанного метода к уравнению
Бесселя сп^О. можно подробно ознакомиться в литера-
литературе по преобразованию Лапласа. С другой стороны, раз-
разлагая Jn @ в бесконечный ряд и затем почленно применяя
преобразование Лапласа, можно показать (см. ниже
упр. 5), что
A5.169)
Интегрирование изображения. Если F (f) кусочно-непре-
кусочно-непрерывна, а х достаточно велико, так что функция e~xt F (t)
экспоненциально убывает (когда *->оо), то интеграл
со
f (х) = \ e~xtF @ dt ¦ A5.170)
равномерно сходится по х, поэтому можно изменить
порядок интегрирования в следующем выражении:
b b on со
f(x)dx=\ \ e~xiF (t) dt dx = \ -^ (e~8f - e~b() dt.
s О О
A5.171)
Значение нижнего предела интегрирования s выбрано доста-
достаточно-большим с тем, чтобы"/(s) попадала внутрь интер-
интервала равномерной сходимости. Теперь перейдем к пределу
6—*оо, тогда
со' со
Fit) __.,Л ^.fjP(O| A5.172)

618 ГЛАВА 15. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Из приведенного рассуждения следует, что функция F (t)lt
в точке ? = 0 конечна или расходится не быстрее, чем tl
(таким образом, X{F(t)/t} будет существовать).
Упражнения
1. Решить уравнение для затухающих колебаний A5.137) при
начальных условиях X@)=Xq, X'@)=0 для двух случаев:
\)b2=4km (граница затухания, критическая точка); 2) б2 > 46т
(сильное затухание).
Ответ: Х®=Х& ± '
2. Решить уравнение A5.137) при начальных условиях Х@) = 0,
X' @)=*=ио для трех случаев: 1) 62<4/гт (слабое затухание);
2) 62~ 4km (граница затухания, критическая точка); 3) f2>4?
(сильное затухание).
Ответ: 1) X(t)~^e-<b/2m)isinco/; 2) X @ =
3. «Звенящий» контур. Некоторый контур составлен из парал-
параллельно включенных сопротивления, индуктивности и емкости (рис. 15.6).
Рис. 15.6. «Звенящий» контур.
Параллельно включенный в контур источник поддерживает постоян-
постоянное напряжение на всех его элементах и заряжает конденсатор.
В момент f=0 контур отключается от источника напряжения. Найти
напряжение на всех элементах контура в зависимости от времени.
Предположить, что сопротивление велико. В соответствии с законом
Кирхгофа
=0 и Er =

IS.9. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАЙЛАсА
где
qq—начальный заряд на обкладках конденсатора.
4. Движение свободно падающего тела в некоторой тормозящей
среде можно описать уравнением
udX(t)
b
где сила сопротивления пропорциональна скорости. Определить X (/)
и dX{t)/dt при начальных условиях X (O) = dX/dt\t~o=Q.
5. Доказать, что для v, равного 1 и 2,
(разложением /v в ряд). Какие ограничения наложены на s и v?
Ответ: s > 1, v > — 1.
6. Воспользоваться представлением J0(t) в виде контурного инте-
интеграла, применить преобразование Лапласа, изменить порядок интегри-
интегрирования и показать, что
7. С помощью рекуррентных формул для функций Бесселя полу-
получить из X {/о (t)} преобразование Лапласа функции Jn (t).
8. Показать, что X{/оИ} = («2—а2)~1/2, s>a.
9. Проверить соотношения:
А/2
ai/2(s2_a2)i/2
{n0 (а/)}—не существует,
X {to(at)} — X <—-—}-=—-In—:— = — arccthl—
1 ux n \ at ) 2a s—a a \ a )

620 ГЛАЙА is. ИнтегФаЛьйЫё пр?овЬАЗойанМД
10. Если функция зависит от аргумента "\/1, получаются несколько
необычные изображения этих функций. Показать, что
_ 1 J
¦"' 1 n j n ^
Y>
П. Получить изображение решения уравнения Лагерра
-t)F' @+nf(<)=0.
(Следуем «продифференцировать изображение и применить преобразова-
преобразование Лапласа" к производной. В конечном результате положить л = 0.)
12. Показать, что изображение полинома Лагерра Ln (at) имеет вид:
13. Показать, что
сю сю
e~T dt f erxi
Je~T dx С erxt
= I dx.
i
14. Показать, что X i —-— J- =arcctg I — J .
Положив в этом соотношении Л = 0, доказать, что
15. Если F (t) периодична с периодом а, так что F (t-\-a) = F (t)
для всех *>0, то
а
J e~stF @ dt
где интеграл берется только по первому периоду оригинала F (t).
Доказать эту формулу.
15.10. ТЕОРЕМА СВЕРТКИ
Теорема свертки * — одно из важнейших свойств пре- .
образования Лапласа. Возьмем два изображения
и Ms) = Я {МО}
* Эта же теорема доказывается с помощью интеграла Бром-
вича (см. упр. 7 к разд. 15.11).

15.10. ТЕОРЕМА СВЕРТКИ
621
и умножим их друг [на друга. Для простоты положим
верхние пределы конечными
а—х
h(s)-h(s)-= Hm \ e-«Ft(x)dx \ e-^2(y)dy. A5.174)
Верхние пределы в этих интегралах выбраны так, чтобы
область интегрирования (рис. 15.7, а) представляла собой
треугольник (но не квадрат). Такое изменение оказывает-
оказывается возможным благодаря экспоненциальному спаду двух
(й,0) X
а) б
Рис. 15.7. Замена переменной:
а — плоскость ху\ б — плоскость zt.
подынтегральных функций. В пределе при а ->- оо инте-
интегрирование по светлому треугольнику не будет давать
никакого вклада. Заменой переменных х — t — z, у — z
область интегрирования отображается на треугольник
(рис. 15.7, б). С помощью якобиана преобразуем элемент
поверхности
dxdy —
дх
dt
дх
дг
ду
dt
IF
dtdz =
1
j
0
1
dtdz A5.175)
или dxdy — dtdz. С учетом этого уравнение A5.174) при-
приобретет вид
анко
Г
Fi(i-z)F2{z)dzdt
A5.176)

622 Г Л Aft A 15. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Для удобства обозначим этот интеграл символом
t
Fi(t-z)F2(z)dz~Fl*Fz A5.177)
i
и назовем его сверткой по аналогии со сверткой из теории
преобразования Фурье (см. разд. 15.5). Если сделать замену
w = t—z, то окажется, что,
F^Ft^FfFb A5.178)
здесь очевидна симметричность соотношения. Выполнив
обратное преобразование, найдем также
Это выражение пригодно для получения новых формул
преобразования. Одно из его приложений связано с реше-
решением интегральных уравнений (гл. 16).
Вынужденные колебания с затуханием. Рассмотрим
частицу массой т, которая закреплена на пружине и совер-
совершает затухающие колебания при одновременном действии
вынуждающей силы F (t), тогда уравнение движения
A5.112) примет вид
тХ" @ + ЬХ' @ + kX (t) = F (/). A5.180)
Начальные условия для упрощения решения возьмем
в форме X @) = X' @) = 0, а затем преобразуем уравнение
т*х (s) + bsx (s) + kx (s) = / (s) A5.181)
или
где, как и прежде, coj~^/m — 62/4m2.
На основании теоремы о свертке A5.176)
t
1 Г
——— 1 r It — 7 \ p—(D/<b/H)Z otn f,\.y ny ( IK 1ХЧ'
I Л It it-1 C ' 5111 Wife Uc> \ IUi tvJUi
0

16.10. ТЕОРЕМА СВЕРТКИ 62
Если сила имеет вид F (t) — Р6 (t) *, то
X(t) = — e-w2m» sin щ(, A5.184)
где Р — передаваемый импульс, а постоянная Р/т —
начальная скорость X' @).
Если F (t) — Fo sinw^, снова можно воспользоваться
уравнением A5.183), однако, вероятно, целесообразнее
прибегнуть к разложению на простые дроби. При / (s) =
= FqG>/ (s2 + w2) уравнение A5.182) перепишется иначе:
fpco Га^Н-б' . c's+d'
L i
1
of J •
Коэффициенты а\ b\ 6! и с' не зависят от s. Прямые
вычисления дают
к оэффициенты С и rf' приводят к экспоненциальному росту
членов, поэтому их следует положить равными нулю.
Выполняя операцию обратного преобразования, придем
к установившемуся решению
A5.186)
где tg cp = Ъ(д/т (q)J — и2).
Условие максимальности амплитуды (резонанса) нахо-
находится после дифференцирования знаменателя:
"^--^^-тр-. A5.187)
В резонансе амплитуда становится равной Fq/Ьщ, откуда
очеэидно, что масса т начинает совершать колебания, раз-
размах которых неограниченно возрастает, если торможение
невелико F = 0). Заметим, что мы получили три различ-
различные характеристические частоты:
2 2 Ь2 I 2 2 Ь* i k ,
* Заметим, что б \t) лежит вне отрезка [0, t],

$24 ГЛАВА 15. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Первое соотношение — условие резонанса при вынужден-
вынужденном колебании и наличии торможения; второе — условие
резонанса свободного осциллятора при наличии торможения
и третье — условие для свободного осциллятора в отсут-
отсутствие торможения. Частоты совпадают только в том
случае, если торможение отсутствует.
Таутохрона. Рассмотрим задачу о таутохроне, которая
связана с проблемой брахистохроны (см. разд. 17.2). Она
заключается в отыскании криволинейного пути, по которо-
которому частица, свободно скользя (без трения), независимо
от начальной точки своего движения за один и тот же
отрезок времени попадает в начало координат. В началь-
начальный момент частица покоится.
На основании закона сохранения энергии приращение
кинетической энергии равно убыли потенциальной:
где X — расстояние вдоль кривой от начала координат,
т — масса частицы; g — ускорение силы тяжести. Тогда
A5.189)
Интегрируя вдоль всего пути движения частицы (от мо-
момента / = 0 до момента t — Т), получаем
у-уо
Д 05.190)
По условию задачи время спуска постоянно и не должно
зависеть от у0. Что же касается длины, пути X, то она
является функцией высоты, скажем % — F(y), и :
(f) 05.191)
Отсюда, по определению свертки,
llz A5.192)

15.10. ТЕОРЕМА СВЕРТКИ
625
Изображение свертки двух функций равно произведению
изображений, поэтому с учетом соотношения A5.91)
A5.193)
A5Л94)
Как известно,
= 1/^. Отсюда
Обратное преобразование дает
F'(у) =
A5.195)
Возведем обе части этого уравнения в квадрат
(dx\2 с /1С 1ПСЧ
I -г- I =— , A5.196)
_ »
где c = 2gT2/n2. Разделение переменных приводит к урав-
уравнению
с—у
у
A5.197)
которое выполняется, если
y A5.198)
Эти функции в параметрическом виде определяют тауто-
таутохрону-циклоиду, проходящую через начало координат
(рис. 15.8).
На основе проведенного анализа можно сделать вывод,
что частица, скользящая без трения вдоль кривой вниз
У1
Рис. 15.8. Таутохрона, движение по циклоиде.
в первом квадранте (вверх по отраженной кривой во вто-
втором квадранте), совершает возвратное поступательное дви-
40-1257

626 ГЛАВА 15. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
¦^-^—^———————^—^^___^^__________________ ^
жение с периодом, не зависящим от ее амплитуды. Этим
же свойством характеризуется и маятник с ограничителем, »!
выполненным в форме циклоиды.
Упражнения
!. С помощью теоремы свертки доказать, что —/E) =
S
t
^ (х) dx у где / (s)== X
о
2. Заданы функции F(t) = ta и
1
Показать, что свертка F*G — ta+b+1 \ ya{\—y)bdy.
о
С помощью теоремы свертки доказать, что
1
Если заменим а на (а—1) и Ь на (Ь— 1), то получим формулу Эйлера
для бета-функции (см. гл. 10).
3. На незатухающий осциллятор действует вынуждающая сила
Fosin(fl/. Найти смещение как функцию времени. Решением будет
линейная комбинация двух гармонических колебаний: одного с часто-
частотой вынуждающей силы, а другого с частотой свободного осцилля-
осциллятора щ (предполагается, что Х@) = Х' @) = 0).
Ответ: X(t)— o°'тЛ —sino0f — sin ом .
15.11. ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Выведем формулу, определяющую функцию-оригинал
по ее изображению, иначе говоря, осуществляющую обрат-
обратное преобразование Лапласа:
/7(f) = #-i{f(S)}. A5.199)
i
Для получения этой формулы можно использовать пре-
преобразование Фурье, для которого уже известно обратное
преобразование. Однако здесь имеется некоторая труд-
трудность. Мы требовали, чтобы условием применимости пре-
преобразования Фурье к функции служило подчинение этой

15.11. обратное преобразование лАплАсА 627
*¦ ¦
функции условиям Дирихле. В частности, должно выпол-
выполняться
Пт(?(о)) = 0. A5.200)
©->ОО
Однако, вообще говоря, функция F (t) может даже расхо-
расходиться экспоненциально. Чтобы преодолеть это затруд-
затруднение, выделим экспоненциальный множитель еУ* из (воз-
(возможно) расходящейся функции и запишем ее в виде
F @ = e*G (/). A5.201)
Если F @ расходится как еа*, то надо потребовать,
чтобы параметр у превосходил а так, чтобы функция G (t)
сходилась. Далее, при G (t) — 0 для КО и других соот-
соответствующих условиях, которые позволят представить эту
функцию интегралом Фурье A5.20), запишем
оо оо
= ЪГ ( еШ du\G(v) z~iuvdv. A5.202)
-*оо 'О
Перепишем последний интеграл с учетом A5.201):
оо оо
= j^ \ eiut du^F (v) e-we-^dv. A5.203)
-оо О
После замены переменной
s = y + iu A5.204)
интеграл по переменной v приобретет форму преобразова-
преобразования Лапласа
оо
A5.205)
здесь s — комплексная переменная, причем условие
Res >v гарантирует существование интеграла. Заметим,
что интеграл Лапласа A5.205) определяет изображение
функции в полуплоскости Re s > у.
При постоянном у ds = idu. Подставляя A5.205) в фор-
формулу A5.203), получаем обратное преобразование
= 2H7 J e'ftfds. A5.206)
V—ioo
Выражение A2.206) называется обратным преобразованием
Лапласа. Замена ds = idu вызывает поворот линии инте-
40*

628
Глава is. интегральные преобразования
0
грирования на 90°. В окончательном виде путь интегри-
интегрирования представляет собой вертикальную прямую линию
в комплексной плоскости, постоянная у выбрана так, чтобы
все особенности функ-
функции f (s) были слева от
нее (рис. 15.9).
Интеграл Бромвича.
Интеграл A5.206), опре-
определяющий обратное пре-
преобразование, известен
О . как интеграл Бромвича,
хотя иногда его рассма-
рассматривают в качестве мате-
математической формулиров-
формулировки теоремы Фурье—Мел-
лина или интеграла
О 1 Фурье — Меллина. Этот
интеграл вычисляется
обычными методами кон-
контурного интегрирования
(см. гл. 7). Если /> 0,
то можно замкнуть кон-
контур полукругом беско-
бесконечного радиуса в ле-
вой полуплоскости.
Тогда на основании теоремы о вычетах (см. разд. 7.2).
F @ ~ 2 (вычеты в полуплоскости Res<?). A5.207)
Замыкание контура в левой полуплоскости при вычис-
вычислении интеграла может, вероятно, показаться парадоксаль-
парадоксальным с точки зрения первоначального требования Res>y.
Однако никакого противоречия в этом нет, если учесть,
что требование Res>v обеспечивало сходимость инте-
интеграла Лапласа, который определял функцию-изображе-
функцию-изображение f (s). После того как / (s) уже найдена, можно восполь- .
зоваться ее аналитическими свойствами в любой области
комплексной плоскости. В частности, для отыскания ори-
оригинала мы применяем метод аналитического продолжения
в левой полуплоскости, аналогичный прием был исполь-
использован для распространения определения интеграла Эйле-
Эйлера A0.5) на левую полуплоскость.
Рис 15.9. Особенности
е f(s) (обозначены
функции
круж-

i&.tl. ObPATHOE ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Поясним, смысл формулы A5.206) на следующих двух
примерах.
Пример 1. Пусть / (s) = a/(s2—а2), тогда
*'\ =г-Г^Т *• A5-208)
s2—a2 (S_|.a)(s_a)
Эта функция имеет простой полюс в точке s=a с вычетом е°*/2
и второй полюс в точке s = —ас вычетом е~а*/2
вычетов = (eaf —e-aO/2 = shdf A5.209)
в согласии с выражением A5.88).
Пример 2. Пусть f (s) = (l— e~as)/s, тогда
=-^ е- (-^-) - A5.210)
Первый .член в правой части имеет простой полюс в точке s — Q
с вычетом, равным 1. Тогда на основании A5.207)
Отвлекаясь от знака минус и множителя e~as, находим, что второй
член в правой части также имеет простой полюс в точке s —Ос выче-
вычетом 1. В соответствии с теоремой запаздывания A5.207)
[
1
Следовательно,
О,
0</<а, A5.213)
О, t>a.
Таким образом, мы получили функцию включения единичной высоты
и длительностью а (рис. 15.1U)
Теперь уместно высказать
два общих соображения. Во-
первых, мы убедились в пло- 1
дотворности ¦ обратного пре-
преобразования. В случае более
сложного изображения, кото-
t-a
рое отсутствует ;В таблицах
преобразований Лапласа, рИс. 15.10. Функция включе-
можно всегда воспользоваться ни я конечной длительности,
формулой A5.207).
Во-вторых, проведенный вывод формулы обращения
нельзя признать вполне корректным. Скорее, данный вывод
можно считать только конструктивным, хотя его можно

630
ГЛАВА 15. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
сделать и совершенно строгим. Отыскание обратного пре-
преобразования в какой-то мере аналогично решению диффе-
дифференциального уравнения. При этом процедура весьма
незначительно отличается от той, которой пользуются,
решая уравнение. При необходимости вполне допустимо
попытаться угадать решение, которое всегда можно про-
проверить с помощью обратной подстановки в исходное диф-
дифференциальное уравнение. Точно так же оригинал F (t)
можно (а для проверки возможной ошибки и должно)
проверить, подставляя его в уравнение A5.82):
Скорость электромагнитной волны в дисперсной среде.
Групповая скорость и бегущей волны связана с фазовой
скоростью v уравнением
« = *_**[¦, A5.214)
где X — длина волны. Вблизи линии поглощения (резонанс)
производная dvldk может стать отрицательной (рис. 15.11),
Рис. 15.11. Оптическая дисперсия: / — аномальная область.
в результате чего и > с, поэтому сразу же возникает
вопрос: а не может ли сигнал распространяться со скоро-
скоростью, превышающей скорость света с в вакууме? Этот
вопрос имеет фундаментальное значение в специальной
теории относительности.
Необходимо решить волновое уравнение
A5.215)

15.11. ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
631
которое описывает гармоническое колебание, возникшее
в начале координат в нулевой момент времени. Поскольку
мы имеем дело с рассеивающей средой, скорость v будет
зависеть от угловой частоты. Остановимся, например,
на плоской волне с угловой частотой со, падающей на заслон-
заслонку, которая помещена в начале координат. В момент ( = О
-о
-1@*
-ш
\
t<0
t>0
Рис. 15.12. Возможные варианты замкнутого
контура.
заслонка мгновенно открывается, и волна начинает рас-
распространяться дальше вдоль положительного направле-
направления оси х.
Построим теперь решение уравнения A5.215) в области
х>0. Для этой цели удобно воспользоваться интегралом
Коши (контуры показаны на рис. 15.12):
•у—ioo
f 0,
/>0.
A5.216)
Это выражение в точности совпадает с обратным преобра-
преобразованием Лапласа, в чем можно убедиться, взяв функцию
О,
-{
и применив к ней преобразование Лапласа. Изображение
окажется равным
A5.218)

632 ГЛАВА 15. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Интеграл Коши описывает изменение во времени сиг-
сигнала, возникшего в момент / — 0. Для включения в реше-
решение пространственной зависимости заметим, что функция
es(t-x/u) удовлетворяет волновому уравнению. Учитывая
это, заменим / на t — xlv и перепишем решение в виде
.0-5й J
J +
По самому смыслу вывода обратного преобразования
очевидно, что переменная s соответствует переменной <о из
преобразования Фурье. Следовательно, скорость волны v
становится функцией s, т. е. v — v (s). Однако сейчас
нас интересует лишь свойство
lim v(s)=c — const, A5.220)
которое следует из асимптотического поведения кривой
в правой части на рис. 15.11 *.
Для вычисления контурного интеграла A5.219) с помо-
помощью теории вычетов мы можем замкнуть контур полу-
полуокружностью в правой полуплоскости, что обеспечит
выполнение неравенства t — xlc<. 0. Отсюда следует, что
для / — xlc < 0
т|> (*, 0 = 0, A5.221)
т. е. скорость распространения сигнала не может прево-
превосходить скорости света с в вакууме.
Упражнения
1. Найти i? {s/(s2— кЩ, используя: 1) разложение на простые
дроби и 2) обратное преобразование Лапласа.
2. Найти if{fe2/s(s2+^2)K используя: 1) разложение на про-
простые дроби, 2) теорему о свзртке и 3) обратное преобразование
Лапласа.
Ответ: F(t) = \— coskt.
3. Применив интеграл Бромвича, найти оригинал по заданному
изображению / (s) = s~1/r2. Заметим, что функция f (s) имеет точку
ветвления при s—0 (линия разреза по отрицательной полуоси х).
Ответ: F{t) l/2
* Условие A5.220) доказывается строго в теории аномальной
дисперсии.

15.11. ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 633
4. С помощью обратного преобразования Лапласа показать, что
4(s2+iri;Wo(o.
5. Произвести обратное преобразование Лапласа
= h И. %~х {E
6. Показать, что JS* {(Ins)/s} = — In*—С, где С = 0,5772—
постоянная Эйлера.
7. Доказать теорему свертки, используя обратное преобразование
Лапласа.

t
ГЛАВА 16
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
16.1. ВВЕДЕНИЕ
Уравнения, в которых неизвестная функция содержится
под знаком интеграла, называются интегральными, при-
причем, если пределы интегрирования фиксированы, будем
называть такое интегральное уравнение уравнением Фред-
Фредгольма; если фиксирован только один предел — уравне-
уравнением Вольтерра. Кроме того, если неизвестная функция
содержится в уравнении только под знаком интеграла,
будем считать его уравнением первого рода, если же она
входит в уравнение еще и помимо интеграла, то оно назы-
называется уравнением второго рода.
Определения. Запишем основные типы интегральных
уравнений. Уравнение Фредгольма первого рода:
ь
fix)~ \ К (х, t) у (t) dt\ A6.1)
а
уравнение Фредгольма второго рода:
а
A6.2)
уравнение Вольтерра первого рода:
X
f(x)-JK(x,Of(Q*; A6.3)
а
уравнение Вольтерра второго рода:
ф (*) = j
Во всех четырех случаях q> (t) — неизвестная функция;
К {х, /) — ядро интегрального уравнения, причем К (х} t)

16.1. ВВЕДЕНИЕ 635
и f (х) предполагаются известными. Если / (х) — О, урав-
уравнение называется однородным.
Может возникнуть вопрос: зачем понадобились инте-
интегральные уравнения? Существует две причины, по которым
необходимо рассмотреть интегральные уравнения. Во-пер-
Во-первых, мы делали особое ударение на решении дифферен-
дифференциальных уравнений с определенными граничными услови-
условиями. Например, из-за граничного условия в нуле в решении
уравнения Бесселя функции Неймана Nn (г) не уча-
участвуют. Граничное условие при г->- оо отвечает на вопрос,
нужно ли в решении уравнения Бесселя мнимого аргумента
сохранить функцию /п (г). Интегральное уравнение свя-
связывает неизвестную функцию не только с ее значениями
в соседних точках (производные), но также и с ее значе-
значениями во всей области, включая границу. Есть прямой
смысл ввести граничные условия прямо в интегральное
уравнение, а не подключать их на последней стадии реше-
решения. Из дальнейшего, когда мы построим ядра уравнений
(см. разд. 16.5), станет ясным, что форма ядра зависит
от значений на границе. Далее, интегральное уравнение
компактно и в конечном итоге может оказаться более удоб-
удобной и плодотворной формой записи по сравнению с диффе-
дифференциальным уравнением. Во-вторых, независимо от того,
нравится нам это или нет, некоторые проблемы, например
диффузия и явления переноса, нельзя описать с помощью
дифференциальных уравнений. Для решения этих проблем
необходимо прибегать к интегральным уравнениям.
Теория переноса нейтронов. Уравнение Больцмана.
Уравнение баланса выражает основное уравнение теории
переноса нейтронов: рождение = потери -f утечка. Под
«рождением» понимается источник S (v, Q, r) dvd п —
функция, которая описывает число нейтронов 5, возникших
в 1 см* за 1 сек, имеющих скорость в интервале от v до
v + dv и летящих в направлении Й внутри телесного
угла d Q.
Дополнительным источником служат столкновения ней-
нейтронов с ядрами среды, в результате которых рассе-
рассеянный нейтрон попадает в заданный интервал перемен-
переменных. Число актов рассеяния определяется величиной
2e (v, v\ fi, Q') ф (»', fl', г), где 2S —- (макроскопиче-
(макроскопическая) вероятность того, что нейтрон, который характери-
характеризуется скоростью v\ и направлением Q', после рассеяния

636
ГЛАВА 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
будет иметь скорость v и перемещаться в направлении
й; <p (u\ Q', г) — нейтронный поток. Направление ней-
нейтронного потока как вектора ф = Q<p совпадает с направ-
направлением скорости нейтрона, а его абсолютная величина
равна числу нейтронов, пересекающих за ! сек под углом Й
со скоростью v единичную площадку, которая расположена
в точке г (рис. 16.1).
Интегрируя по всевозможным значениям скорости v'
и по всем направлениям Q', получаем интеграл, который
описывает второй член с рождением нейтронов:
\ \ 2а (и, и', Q, О') ф (и', й\ r) dv'
Потери нейтронов из-за утечки равны ^.ф(у, Q, г).
Кроме того, общее число нейтронов в заданном интервале
Рис. 16.1. Нейтронный поток.
скорости и направления уменьшается за счет их поглоще-
поглощения и рассеяния в другой интервал скорости, это дает
[2О (v) -f 2e (о)] ф (у, й, г). Если среда, в которой пере-
перемещаются нейтроны, не является однородной и изотроп-
изотропной, величины 2 помимо указанной зависимости от скорости
или энергии нейтрона могут также зависеть от координат
и углов.
Запишем уравнение баланса нейтронов в окончательном
виде:
J J 2а (о, V, й, Я') ф(у', Q', r)do'dQ' + S(vt Q, г) ='
==Т.ф(о,0,г)Н-[2а(о)Н-2.(о)]ф(о,0|Г). A6.5)
Таким образом, мы получили стационарное интегро-диффе-
ренциальное уравнение Больцмана. В этой форме урав-

16.1. ВВЕДЕНИЕ 637
нение Больцмана почти не поддается решению. Большин-
Большинство разработанных методов теории переноса основано
на компромиссе между физической картиной и математиче-
математическими возможностями *.
Импульсное представление в квантовой механике. Урав-
Уравнение Шредингера (в обычном пространственном представ-
представлении) имеет вид
V1*W + VW*W?*W A6.6)
или
A6.7)
где аг = - 2тЕ/П\ v (г) = - Bm/h2) V (г). Мы можем
обобщить уравнение A6.7):
= j tJ(r, г')«ф(г')^г'. A6.8)
Для специального случая
и (г, г') = о(г') б (г-г'), A6.9)
которое описывает локальное взаимодействие, уравне-
уравнение A6.8) сводится к уравнению A6.7). Применим теперь
к уравнению A6.8) преобразование Фурье (см. разд. 15.6)
A6.10)
Здесь для краткости введено обозначение
p/H = k Bях волновое число). A6.11)
Умножим обе части уравнения A6.8) на eikr и проин-
проинтегрируем по г:
f (- V2 + a2) ф(г) e-ik-'dr= И о (г, г'Жг1) e-*k"dr' dr.
A6.12)
Подчеркнем, что оператор V2 действует только на -ф (г).
Теперь нужно к левой части уравнения применить инте-
интегрирование по частям, а в правую подставить функцию
* См. М а р ч у к Г. И. Методы расчета ядерных реакторов.
М., Госатомиздат, 1961.— Прим, перев.

638 ГЛАВА 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ф(г') в виде A6.10):
( (k2 + а2) ф (г) е~'к •г dx = BлK/2 (?2 + а2) Ф (к) =
'. A6.13)
Если обозначить
I J ° <г- Ое-^"-11'"'»*'^ A6.14)
уравнение A6.13) сведется к уравнению Фредгольма вто-
второго рода
j, к')Ф(к')А'. A6.15)
где параметр а2 соответствует собственному значению.
Для специального, но важного случая локального взаи-
взаимодействия применение соотношения A6.9) дает искомое
импульсное представление
/.(k,k') = f(k-k')f A6.16)
которое эквивалентно обычному потенциалу статистиче-
статистического взаимодействия в обычном пространстве. Функция
Ф (к) в импульсном пространстве удовлетворяет интеграль-
интегральному уравнению A6.15). Следует подчеркнуть, что здесь
предполагалось только существование интеграла Фурье.
В случае потенциала линейного осциллятора V (г) = г2
требуемый интеграл не существует. Решение уравнения
A6.10) должно давать расходящиеся колебания, и Мы
не сможем получить уравнение A6.15).
Часто физическая задача может быть сформулирована
как с помощью дифференциального, так и с помощью инте-
интегрального уравнений. Предположим, что задано дифферен-
дифференциальное уравнение, которое мы хотим преобразовать
в интегральное. Начнем с линейного дифференциально^
уравнения второго порядка
A6.17)
с начальными условиями вида
У W = Уо, У' (а) = у'9.

16.1. ВВЕДЕНИЕ 639
Проинтегрировав это уравнение, получим
XXX
у>=: _ j Ay'dx- J Bydx+ j gdx+y'o. A6.18)
a
После интегрирования по частям первого интеграла справа
будем иметь
ас х
у' = -Ay- j (B-A')ydx+ \gdx+A (a)yo + yf,. A6.19)
a
Интересно проследить, в каком виде начальные условия
попали в уравнение A6.19). Проинтегрируем уравнение
еще раз, тогда
X XX
y=-\Aydx- \ f [B(t)-A'(t)]y(t)dtdx-\-
х а а ,
х х
g (t)dtdx-\- [А(а)уо~\-у'о] (х—а) \-у0. A6.20)
а а
Для приведения полученного уравнения к более компакт-
компактному виду воспользуемся соотношением
XX X
\ ^f(t)dtdx=^(x-t)f(t)dt. A6.21)
а а
Оно может быть проверено дифференцированием обеих
частей. Действительно, в силу равенства производных
исходные выражения могут отличаться друг от друга
только на некоторую постоянную. Если теперь сделать
предельный переход х -*- а, то эта постоянная обратится
в нуль, и уравнение A6.21) доказано. Применим это соотно-
соотношение к уравнению A6.20), тогда
X
у (х) = - j {А @ + (x-t) [ВIf)-А (/)]}у @ dt +
. A6.22)

$40 ГЛАВА 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Введем обозначения
f (*)= j (*-*)* (t) dt + lA (a) yo+y'o] (x-a)
A6.23)
после чего уравнение A6.22) приведется к новому:
X
= f{x)+\K{x,t)y(t)dt, A6.24)
а
которое представляет собой уравнение Вольтерра второго
рода.
Пример 1. Рассмотрим уравнение линейного осциллятора
0 A6.25)
с условиями t/@)=0, у'@)=\. Для этого уравнения А{х) = 0,
В) = (й2, g{x)=Q, и исходное уравнение сведется к интегральному
х
(*)=*+»« ^{t-x)y{t)dt.
Можно проверить, что решением его служит функция
— A/ю) sin юж.
Возвратимся к уравнению линейного осциллятора A6.25),
но теперь при граничных условиях
0@) = 0, уF) = 0. A6.26)
Производная у' @) не задана, поэтому следует изменить
порядок действий. Первое интегрирование дает
A6.27)
Проинтегрируем второй раз и опять воспользуемся фор-
формулой A6.21):
X
\ . A6.28)

16.1. ВВЕДЕНИЕ
641
Теперь наложим условие у (Ь)~ О, тогда
©a f (b-t)y(t)dt = by'(O).
A6.29)
Этот результат подставим опять в уравнение A6.28)
и получим
х Ъ
= -©« J (x-t)y(t)dt + ®*± J (b-t)y(t)dt. A6.30)
о о
Теперь разобьем отрезок [О, Ь] на два [0, #1 и [х, Ь].
b t
Рис. 16.2. Ядро К(х, t).
Поскольку
находим
=@\(
A6.31)
j(b-t)y(t)dt. A6.32)
Наконец, если определить ядро следующим образом
(рис. 16.2):
t
, t<x,
-г- (Ь — Л, х< ty
^ о
A6.33)
то
A6.34)
Итак, мы получили уравнение Фредгольма второго рода.
1/2 41—1257

642 ГЛАВА 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Новое ядро /С (х, t) обладает некоторыми интересными
свойствами: оно симметрично, т. е. К (х, t) — К (t, x)f
и непрерывно в том смысле, что (tlb) (b — х) \t=x =
— (x!b) (b — t) \t=x\ его производная по / терпит разрыв:
при переходе в положительном направлении через точку
t = х, производная дК (*, t)ldt имеет скачок, равный — 1.
Мы вновь вернемся к этим свойствам в разд. 16.5, где
будет установлена тождественность ядра К (х, t) и функ-
функции Грина.
Упражнения
1. Получить интегральное уравнение Вольтерра для случаев:
1) у'(х)—у{х)=0 с граничными условиями t/@) = 0, t/'(O) = l;
2) у" (х) — у (х)=0 с граничными условиями у @) = 1, у' @) = — 1.
X X
: 1) у=* [ (x-t)y{t)dt+x; 2) у= f (x—t)y{1)dt—x+L
2. Получить интегральное уравнение Фредгольма, соответствующее
дифференциальному уравнению у" (х)—у (х)=0 с граничными усло-
условиями у A) = 1, у(—1) = 1| двойным интегрированием и с помощью
функции Грина.
1
Ответх у(*) = 1— f К (х, t)y{t)dt, К {х, 0 =
3. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с по-
постоянными коэффициентами в общем виде записывается как у" (х) -f
¦\-a\i)' (х)-\-п2У(х)=0. При заданных граничных условиях {/@) =
— t/(l)=0 произвести двойное интегрирование и получить интеграль-
интегральОтвет
ное
уравнение у {х)= \ К (х, t) у @ dt с ядром
о
Обратим внимание, что К{х, t) симметрично и непрерывно, если
at = 0. Каким образом это свойство связано с самосопряженностью
дифференциального уравнения?

16.2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ФУНКЦИИ 643
16.2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ПРОИЗВОДЯЩИЕ
ФУНКЦИИ
Не существует общего метода решения интегральных
уравнений, однако в некоторых специальных случаях очень
полезны методы интегральных преобразований (см. гл. 15).
Перечислим здесь типы интегральных преобразований. Если
00
1 I*
—т= A eixty(t)dty то преобразование Фурье
—со
00
ф(*) = ^ J *-'*Ч(О<й- A6-35)
—oo
oo
Если iE (х) — \ е~*'ф (t) dt, то преобразование Лапласа
V+ioo
1 f exli|>(/)<tt. ' A6.36)
V-ioo
oo
Если ty (x) — I f* хф (/) c(/, то преобразование Меллина
V+i°°
it. A6.37)
V—ioo
со
Если -ф (дг) = \ ^ф (t) Jv (^) d/, то преобразование Ханкеля
0
oo
j t. A6.38)
о
В действительности же аппарат интегральных преобразо-
преобразований не исчерпывается перечисленными четырьмя доволь-
довольно специфическими формами.
Решение с помощью преобразования Фурье. Рассмотрим
уравнение Фредгольма первого рода с ядром типа k(x—t):
00
f(x)= j k(x-()ip(t)di, A6.39)
—со
41*

644 ГЛАВА 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
где ф (t) — неизвестная функция. Предположив существо-
существование необходимых интегралов, применим теорему свертки
(см. разд. 15.5)
со
f(x)= \ K(t)<&(t)<rixldt. A6.40)
л'
— 00
Функции K(t) и Ф@~ фурье-изображения функций k(x)
и ф(*) соответственно. Применив обратное преобразование
к уравнению A6.40), с помощью формулы A6.35) получим
00
—-OO
, A6.41)
тогда
1 П ii\
A6.42)
и, применив еще раз обратное преобразование,
—00
Корректный вывод этого выражения с помощью интегриро-
интегрирования в комплексной плоскости проведен в книге Морса
и Фешбаха. Решение в форме A6.43) в дальнейшем будет
использовано в упр. 1 к разд. 16.2.
Обобщенное уравнение Абеля. Теорема свертки.
В разд. 15.10 для решения интегрального уравнения, кото-
которое возникло в задаче о таутохроне, мы пользовались пре-
преобразованием Лапласа. Запишем это уравнение в несколько
более общем виде
<16-44>
:-tf
и применим к обеим частям этого уравнения преобразова-
преобразование Лапласа
. A6.45)
u-

16.2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ФУНКЦИИ 645
Здесь на последнем этапе мы воспользовались теоремой
свертки (см. разд. 15.10). Из соотношения A6.45) следует
Поделим обе части этого равенства на s:
х\Х\\{к)\
-A6.47)
Объединим факториалы с помощью соотношения A0.32)
и вновь применим теорему свертки, в результате чего
получим уравнение
а:
^тЫ - A6-48)
которое можно обратить с помощью формулы A5.179)
j ^j^L^, A6.49)
о о '
и, наконец, продифференцировав, получим
^sjnna d*C /@ dt 165
п dx ] (jc — O v '
Решение уравнения Абеля (см. гл. 15) есть частный случай
(а = 1/2) этого более общего решения.
Производящие функции. Иногда встречаются интеграль-
интегральные уравнения, в которых под знаком интеграла содержится
производящая функция. Пусть задано уравнение специаль-
специального вида
f(x)= j _2j/%i/2^' -\<x<\. A6.51)
—i
Обратим внимание на два важных обстоятельства: 1) под
знак интеграла входит производящая функция для поли-
полиномов Лежандра A —2xt-{- *2)~I/2; 2) область интегри-
интегрирования [—1, II совпадает с областью ортогональности
полиномов Лежандра.
Если теперь разложим знаменатель в ряд (свойство 1)
и предположим далее, что неизвестная функция ф (/) может
42-1257

646 ГЛАВА 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
быть также представлена рядом по полиномам Лежандра
1 00 00
f м=] SаЛ w 2 ^ (о *т ^ A6-52)
-I п=0 г=0
то, учитывая ортогональность полиномов Рп (свойство 2),
можно записать, что
00
<16-53)
Коэффициенты ап определятся, если продифференцировать
функцию / (х) п раз, а затем положить х — 0:
Окончательно
Оя I 1 fftl> (ft\
A6.55)
Аналогичные результаты получаются и для других произ-
производящих функций.
Упражнения t
1. Ядро уравнения Фредгольма второго рода A6.2) имеет форм
k(x — t)*. Предполагая, что требуемые преобразования существуют
со
1 f F (t) erlxt
показать, что q> {х) — —7=^ \ у-~ , где F (t) и /((/) —
фурье-преобразования функций / (х) и k (x) соответственно.
2. Ядро уравнения Вольтерра первого рода A6.3) имеет форму
k(x — t). Предполагая, что требуемые преобразования существуют,
показать, что
¦y+ioo
. . 1 f F (s) .. .
у—ioo
где F{s) и К (s) — изображения (Лапласа) оригиналов f {х) н k(x),
соответственно.
3. Ядро уравнения Вольтерра второго рода A6.4) имеет форму
k (х — t). Предполагая, что требуемые преобразования существуют,
* Это ядро и интервал 0 -^ х < оо характерны для интеграль-
интегральных уравнений Винера — Хопфа. Подробнее см. в книге Морса
и Фешбаха.

16.3. РЯД НЕЙМАНЛ, ВЫРОЖДЕННЫЕ ЯДРА 647
показать, что
Y+ioo
F
y—ico
4. Используя решение, найденное с помощью преобразования
Лапласа (см. упр. 3), решить уравнения
X
Ф (x) = a:+ I (t — х)ф
о
г
J
/, где ф(*)=
()ф(), где ф(х) =
о
Проверить полученные результаты подстановкой в исходные инте-
интегральные уравнения.
5. Уравнение Фредгольма первого рода A6.1) имеет ядро е~*х~ ' .
00
Показать, что оно имеет решение у{х)——-=¦ /! . Нп {х),
Т/я ^ rt!
; п=о
где Я„ {х)~ полиномы Эрмита n-го порядка.
6. Решить уравнение Абеля f(x)—\ —^-*-—dtt 0<а<1:
J (jc—i)
о v '
1) умножая обе части уравнения на (г—х)а~1 и интегрируя по х
в области 0<.я<;2; 2) изменяя порядок интегрирования и вычисляя
интеграл по х в правой части уравнения с помощью бета-функции.
Замечание.
z
I __ __щ1__а> а) —(—
16.3. РЯД НЕЙМАНА, ВЫРОЖДЕННЫЕ ЯДРА
Большинство интегральных уравнений нельзя решить
с помощью интегральных преобразований, о которых шла
речь в предыдущем разделе. Разработаем два более общих
метода решения этих уравнений. Первый, развитый Ней-
Нейманом, Лиувиллем и Вольтерра, основан на разложении
искомой функции ф (х) в ряд по степеням X, где X — задан-
заданная константа. Метод пригоден всегда, когда ряд сходится.
Второй способ решения несколько ограничен по своим
возможностям, поскольку для него требуется, чтобы две
переменные, которые входят в ядро К (х, t), разделялись.
Однако имеются два благоприятных обстоятельства: во-пер-
во-первых, существует очевидная связь между интегральным
42*

648
ГЛАВА 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
уравнением и системой линейных алгебраических урав-
уравнений, и, во-вторых, этот метод сводится к определению
собственных значений и собственных функций, т. е. к зада-
задаче, которую мы уже решали в разд. 4.5.
Ряд Неймана. Будем решать линейное интегральное
уравнение второго рода методом последовательных при-
приближений; рассмотрим, например, уравнение Фредгольма
ь
<Р (х) = I (х) + X J К {х, t) ф (О Л, A6.56)
а
в котором / (х) Ф 0. В случае переменного верхнего пре-
предела (уравнение Вольтерра) последующий анализ сохра-
сохранит силу, однако потребуются незначительные изменения.
Попытаемся (ибо нет никакой уверенности, что это будет
именно так) аппроксимировать искомую функцию следую-
следующим образом:
ф(*) «Фо (*) = /(*). A6.57)
Этот выбор совершенно не обязателен. Если мы сможем
с первого раза предложить лучший выбор, безусловно, ему
нужно отдать предпочтение. Первое приближение, выра-
выраженное соотношением A6.57), фактически означает, что
значение интеграла или постоянной % невелико. Для улуч-
улучшения первого грубого приближения функцию ф0 {х) нужно
подставить обратно в интеграл, тогда
ь
^t. A6.58)
Повторяя указанный процесс подстановки новых функций
фд(*) в уравнение A6.56), в конце концов получаем после-
последовательность
ъ ъ
lK(x,tt)K(t{J2)f(t2)dt2dtu
а а
п
i=0
A6.59).

16.3. РЯД НЕЙМАНА. ВЫРОЖДЕННЫЕ ЯДРА
649
где
"о М = / (*); щ (х) = j /((ж, f,) f (/,) Л4;
b b
= [ JKMi)K(<.
а о
11 A6.60)
... K(tn-i> tn)• f (tn)dtn ... d*i.
Мы ожидаем, что искомое решение будет равно
п
Ф (дг) = lim ф„ (дг) == lim
(х)
A6.61)
n->oo i=
при условии сходимости бесконечного ряда. Сходимость
этого ряда удобно проверить по признаку сходимости Коши,
для чего запишем неравенство
(х) | < | Я|» | /макс
Г| Ь-а \п. A6.62)
Здесь fMaKc ~ максимальное значение функции f(x) на от-
отрезке [а, 6], а /Смаке — максимальное значение ядра K(x,t)
в области, в которой оно определено в плоскости xt. Ряд
сходится, если
. A6.63)
Обратим внимание, что произведение 1ип макс — член
мажорантного ряда. Если этот ряд сходится, то ряд A6.61)
тем более будет сходиться. Если же данное условие не
выполнено, ряд A6.61) может быть как сходящимся, так
и расходящимся, поэтому необходим более тонкий признак
сходимости. Что же касается собственно решения урав-
уравнения, то может оказаться, что оно определяется другими
методами, даже в тех случаях, когда ряд Неймана расхо-
расходится.
Пример 1. Рассмотрим интегральное уравнение
1
A6.64)

650
ГЛАВА 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Для него последовательные приближения дают
Фо (*) = *,
q>i (*) = *+1/3,
фг (л:)-=д:4-1/3 —л:/3
ф3 (л:)-=л:+ 1/3 —лг/3—1/32,
A6.65)
8=1 8=1
Перейдем теперь к пределу п—»оо и окончательно
Отметим, что полученный ряд сходится, хотя для него
условие A6.63) и не выполняется. Действительно, это
неравенство скорее определяет верхнюю границу X. Можно
показать, что необходимым и достаточным условием схо-
сходимости ряда является требование | X | < | Хе I, где Хе —
наименьшее собственное значение, соответствующее одно-
однородному уравнению при f (х) — 0. В рассматриваемом
примере Хе — "Кз/2, что заведомо больше 1/2.
Решение уравнения Фредгольма методом Фредгольма
состоит в разбиении интервала интегрирования и замене
интеграла суммой. При этом одно интегральное уравнение
заменяется большим числом (в принципе бесконечным)
совместных линейных алгебраических уравнений.
Вырожденное ядро. Замена исходного интегрального
уравнения системой алгебраических уравнений применяется
всегда, когда переменные в ядре разделяются, а само ядро
записывается в виде w
п
A6.67)
где верхний предел суммы п конечен. Ядра, обладающие ука-.
занным свойством, называются вырожденными. К типу
вырожденных ядер принадлежат полиномы и многие эле-
элементарные трансцендентные функции, например:
cos (t -— х) — cos t cos x + sin t sin x. A6.68)

16.3. РЯД НЕЙМАНА. ВЫРОЖДЕННЫЕ ЯДРА 651
Будем считать условие A6.67) выполненным, тогда подста-
подстановка в уравнение Фредгольма второго рода дает
n
я> (*) = /(*)+а, 2 Mi W \ N* W ф W л- (]6-69)
2
В последнем уравнении мы поменяли порядок интегриро-
интегрирования и суммирования. Теперь интеграл по переменной
tf —постоянная величина:
^t = c}. A6.70)
а
С учетом этого уравнение A6.69) дает искомое решение
Ф (х) = / (х) + X | cjMj (x). A6.71)
Остается только определить постоянные коэффициенты ct.
Они определяются умножением уравнения A6.71) на Nt (x)
и интегрированием по х, что позволяет исключить зави-
зависимость от этой переменной. С помощью уравнения A6.70)
получим
п
A6.72)
где
b b
bt = J iVf (*) / (jr) Лс, alV =\Nt (x) Mj (x) dx. A6.73)
a a
Полезно записать уравнение A6.72) в матричной форме
с помощью матрицы 4 = (а^):
с-%Ас = Ь = (\-ХА)с, A6.74)
или
с = (\-Щ-гЬ. A6.75)
Такая запись эквивалентна системе совместных линейных
алгебраических уравнений
— ^22) C2 — ^-23^3—...=62,
— A.a33) c3 — ... = 63,

652 ГЛАВА 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Если исходное интегральное уравнение однородно, т. е.
f (х) = О, то Ь — 0. Для отыскания решения приравняем
нулю определитель, составленный из коэффициентов ct
(см. разд. 4.5):
|/-ЯЛ| = 0. A6.77)
Корни уравнения A6.77) и определят искомые собствен-
собственные значения. Подставив их в A6.75), найдем коэффициен-
коэффициенты сь а затем с помощью A6.71) —и искомое решение.
Пример 2. Проиллюстрируем на простом примере технику
определения собственных значении и собственных функций однород-
однородного уравнения Фредгольма:
1
) ф @ dt, A6.78)
j
где Afi = l, Mz(x)=x] Ni{t)~t, #2 = 1. Из уравнений A6.73) имеем
ац —а22~0, 012=2/3, «21 — 2. Секулярное уравнение A6.77) запишем
в явном виде через определитель
1 ~зуз
— /LK 1
из которого
1— 4X2/3=0, Х = ± 1/3/2. A6.80)
Найденные собственные значения Х=± ~|/3/2 подставим теперь
в уравнение A6.75), тогда
?f -F ^г/ К «j=U. (lo.ol)
Наконец, положив Ci = l, из уравнения A6.71) получим
Ф1(*ЫУЗ/2)A + УзД Х = 1/3/2; A6.82)
Ф2(*)=—(Уз/2)A —УЗх), Яг= —1/3/2. A6.83)
В данном случае нормировка ф(х) несущественна, так как мы рас-
рассматривали однородное уравнение.
Упражнения
1. С помощью ряда Неймана решить уравнени (ф (х) = е~х2)
X X

16.4. ТЕОРИЯ ГИЛЬБЕРТА - ШМИДТА 653
2. Используя метод вырожденного ядра, решить уравнение
1
(t + x)y(t)dt
1
\
и сравнить полученный результат с решением, которое записано
через ряд Неймана (см. разд. 16.3).
Ответ: <р (х) = (Зх+ 1 )/2.
3. Найти собственные значения и собственные функции уравнений:
1 2Я
ф(*) = Х f (t—x)y{t)dt, y{x) =
-i
l
ф(х) = Ь f (x-t*)q
Указание. Для решения последнего уравнения можно воспользоваться
методом вырожденного ядра или разложением в ряд Лежандра.
16.4. ТЕОРИЯ ГИЛЬБЕРТА—ШМИДТА
Симметризация ядер. Исследуем свойства линейных
интегральных уравнений (типа Фредгольма) с симметрич-
симметричными ядрами
К (*, t) - К (U х). A6.84)
Однако прежде*чем вплотную заняться теорией таких
уравнений, следует особо остановиться на некоторых спе-
специальных случаях уравнений с несимметричными ядрами,
которые могут быть симметризованы. Пусть задано урав-
уравнение
Ф (х) = f (х) + ^ \ К (*, 0 р (О Ф (О Л, A6.85)
а
в котором полное, ядро K(x,t)p(t) несимметрично, если,
конечно, функция К (х, t) симметрична. Однако если умно-
умножить уравнение A6.85) на Vp{x) и сделать замену
A6.86)
то можно получить уравнение
ь
а

654 ГЛАВА 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
в котором полное ядро
К {х, t) Vp (x) p (/) A6.88)
окажется уже симметричным. В дальнейшем функция
р (х) будет называться весовой.
Ортогональные собственные функции. Рассмотрим одно-
однородные уравнения Фредгольма второго рода
ь
Ф(*) = Я ( К(х% t)y(t)dt. A6.89)
Будем предполагать, что ядро /( (х, t) симметрично и веще-
вещественно. По-видимому, математик прежде всего спросит:
«Существует ли собственное значение X, удовлетворяющее
этому уравнению?» Показано *, что существует по край-
крайней мере одно такое собственное значение (а возможно,
и бесконечно много), если К (х, t) непрерывно.
Сейчас мы докажем, что собственные значения X веще-
вещественны, а соответствующие им собственные функции
ортогональны. Возьмем два разных собственных значе-
значения Хг и Xj и соответствующие им собственные функции
Ф» (х) и фу (х). Они удовлетворяют уравнению A6.89)
ь ъ
ф1 (х) = Я| Г К (х, t) ф* (t) dt, фУ (х) = Xj[ К (х, 0 фу @ dt.
A6.90)
Умножим первое из них на л.,ф7- (х), а второе на л.^ (х)
и полученные результаты проинтегрируем по х, тогда **
ь ъ ь
Xj [ ф| (х) ф^ (х) dx = XtXj [ [ К (*, 0 Фг @ Ф; (х) dt dx,
a a a
A6.91a)
b b b
Xt [ yt (jc) фу (x) dx = XtXj f Г /С (jc, 0 Фу @ ф« (jc) Л rf^. •
a a
A6.916)
* Доказательство см. в книге Гильберт Д. и Ку-
Кура н т Р. Методы математической функции. Перев. с англ.
М.-Л., Гостехиздат, 1951. , .
** Предполагается, что нужные интегралы существуют-

16.4. ТЕОРИЯ ГИЛЬБЕРТА - ШМИДТА
В силу симметричности ядра К (х, t) перепишем уравне-
уравнение A6.916)
b b b
%i \ cpj {x) фу (a;) dx — kikj \ 1 К (x, t) ф; (t) tpj (x) dt dx.
a a
A6.92)
Имея в виду A6.91а), заменим правую часть этого уравне-
уравнения
- h) \ Ф« (х) фу (х) dx - 0. A6.93)
а
Поскольку %i=?kj, то
b
J A6.94)
*
и ортогональность доказана. Подчеркнем, что дли сим-
симметричного ядра в уравнении A6.94) не нужно производить
операцию комплексного сопряжения. Самосопряженное,
или эрмитово, ядро рассмотрено в упр. 1 (см. ниже).
При вырожденном собственном значении * соответствую-
соответствующие функции ортогонализуются по методу Шмидта (см.
разд. 9.3). Ортогональные собственные функции всегда
могут быть нормированы, поэтому в предположении, что
уже сделано, запишем
ь
\ Ф* М Ь {x)dx = 6ij. A6.95)
а
Чтобы доказать вещественность собственного значения А,*,
возьмем уравнение комплексно-сопряженное первому урав-
уравнению A6.90)
ъ
ф? (х) = Я? j К {х, t) фГ @ dt, A6.96)
а
в котором учтено, что ядро К {х, t) вещественно. Анало-
Аналогично тому, как было выведено соотношение A6.93), полу-
* Собственное значение называется вырожденным, если ему
соответствует несколько различных собственных функций, удовле-
удовлетворяющих уравнению A6.89).

656 Г Л X В А 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
чим уравнение
ь
М-М ^ Ф* (JC) ф! (jc) Лс --= 0. A6.97)
Интеграл в этом уравнении отличен от нуля (тривиальное
решение ср$ = 0 не рассматривается), поэтому X* = Klt
откуда следует, что собственное значение Xt вещественно.
Собственные функции интегрального уравнения обра-
образуют замкнутую систему в том смысле, что любая функция,
заданная с помощью интеграла,
g (х) — \ К (х, t) h (t) dt, A6.98)
где h (t) — кусочно-непрерывная функция, может быть пред-
представлена рядом по собственным функциям
причем этог ряд сходится равномерно и абсолютно.
Распространим этот результат на ядро К (х, t), пред-
предположив, что
00
,t) = 2 Опфп@.
п=1
где ап — ап (х). Подставив это разложение в исходное
интегральнее уравнение A6.89) и воспользовавшись орто-
ортогональностью, получим
срг(х) = К1а1(х). A6.101)
Таким образом, ядро однородного уравнения Фредгольма
второго ро^а можно выразить через собственные функции
и собственные значения:
/С(JC, 0 = S 2ui?L?sJ0 {Хпф0). A6.102)
n=l
Может случиться так, что разложение A6.100) не суще-
существует. Чтобы убедиться в возможности такой ситуации,-
читателю Предлагается применить разработанный анализ
к интегральному уравнению
00
A6.103)

16.4. ТЕОРИЯ ГИЛЬБЕРТА - ШМИДТА
Важно подчеркнуть, что в теории Гильберта — Шмидта
изучаются свойства собственных значений (вещественность)
и собственных функций (ортогональность, полнота), т. е.
тех свойств, которые могут иметь наибольший интерес
и значение. Указанная теория не дает алгоритма для реше-
решения однородного интегрального уравнения. Способы реше-
решений интегрального уравнения рассмотрены в разд. 16.2
и 16.3 (кроме того, возможно применение обычных числен-
численных методов).
Неоднородное интегральное уравнение. Требуется ре-
решить неоднородное интегральное уравнение
ь
4>(x) = f(x)-\-l^K(xJ)y(t)di. A6.104)
а
Будем предполагать, что решения соответствующего одно-
однородного интегрального уравнения известны. Собственные
функции фл(*) удовлетворяют уравнению
ь
Фп (х) = К j К (*, t) ф„ @ dt A6.105)
с соответствующим собственным значением. Разложим ф (х)
и f (x) в ряд по собственным функциям
00
. ф(*)= 2 ЯпфпМ, A6.106)
со
= 2 **Фп (*) A6.107)
и подставим эти разложения в уравнение A6.104):
ш со Ь оо
п=1 п=1 а п=1
A6.108)
Поменяв порядок суммирования и интегрирования, можно
с помощью A6.105) вычислить интеграл в правой части
00 ОО 00
2 M>*w=2 M>nW+* 2 ajj^L'
n=l n=l n=l

658 ГЛАВА 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Если теперь умножить уравнение A6.109) на ф{ (х) и про-
проинтегрировать по х от а до 6, то с учетом ортогональности
собственных функций получим
ai = bt + hiAh A6.110)
или
после чего окончательное решение примет вид
ь
оэ J f (х) ф/ (/) dt
A6.112)
Подчеркнем, что для f (х) = 0 решение отсутствует, если
только ХфХь т. е. однородное уравнение не имеет реше-
решения (за исключением тривиального ф (х) = 0), если X не рав-
равно собственному значению Xt.
Может оказаться, что % для неоднородного уравнения
A6.104) равно одному из собственных значений Xv для
однородного уравнения, тогда полученное решение A6.112)
теряет силу. Чтобы распространить формулу A6.112)
и на этот случай, нужно специально исследовать выра-
выражение A6.110) с V
Г=^р + аР. A6.113)
р
Очевидно, ар взаимно уничтожаются и уже не могут быть
определены через Ьр, а сам коэффициент 6р = 0. Это озна-
означает что \ / (х) фр (х) = 0, т. е. функции / (х) и фр (х)
ортогональны.
Уравнение A6.111) остается в силе при 1Фр, поэтому
следует умножать на q>f (лг) и суммировать по I Aфр):
ъ
о» I f @ q)i (i) dt
г=1
здесь член i = p пропущен. В этом решении ар остается
неопределенной постоянной *.
* Аналогичное положение возникает в неоднородном линейном
дифференциальном уравнении. К решению этого уравнения можно
прибавить любую постоянную, умноженную на решение соот-
соответствующего однородного дифференциального уравнения.

16.5. ФУНКЦИИ ГРИНА 659
Упражнения
1. В уравнении Фредгольма A6.89) ядро К{х, 0—самосопряжен-
0—самосопряженное, или эрмитово, т. е. К{х, /)=/(*(*, t). Показать, что собствен-
собственные функции ортогональны, т. е. :
,ь
\ ф^г (х) фп (х) Ах = 0, т ф п {Хт ф %п),
а
а собственные значения вещественны.
2. Решить интегральное уравнение
i
Ht)dt
методом Гильберта—Шмидта. Вообще говоря, в данном случае это
нецелесообразно, поскольку уравнение легко решается с помощью
разложения по полиномам Лежандра.
i
3. Дано уравнение y{x) = x-{-'k \ xty(t)dt.
о
Найти у(х) в виде ряда Неймана. Определить область изменения X,
в которой ряд Неймана сходится. Сравнить эти значения К со зна-
значениями, найденными из условия | X \\ КМЯКС |< 1.
Найти собственное значение и собственную функцию соответ-
соответствующего однородного интегрального уравнения.
Разделяя переменные rf ядре, показать, что решение имеет вид
()ЗCХ)
4. Для ядра К(х, /)== cos(x—t) собственными функциями (ненор-
(ненормированными) являются cos* и sinx (см. упр. 3 к разд. 16.3).
Показать, что существует функция h (t), такая, что ядро К {х, s),
рассматриваемое как функция s, может быть представлено интегра-
интегралом /С(дг, s)=f K{s, t)h(t)dt.
2
Доказать, что /С{х, t)= J\ . '.
n=l
16.5. ФУНКЦИИ ГРИНА
Уравнение Пуассона из электростатики
*2<Р(гН-р(г)/е0 A6.115)
имеет решение (см. разд. 8.6)

GGO Г Л А В А 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В разд. 8.6 был рассмотрен бесконечный случай, когда
интегрирование распространено на все пространство. Одна-
Однако, вообще говоря, потенциал ф (г) можно отыскивать
и для ограниченной области пространства, для чего необхо-
необходимо ввести соответствующее распределение заряда на гра-
границе *.
Уравнение A6.116) представляет собой интегральное
уравнение относительно р (г'), если потенциал ср (г) задан
и требуется определить распределение заряда р (г').
Однако если известно распределение заряда р (г'), то
уравнение A6.116) можно решать относительно потен-
потенциала ф (г).
Рассмотрим вторую задачу, которая встречается чаще,
при этом под величиной р (г') будем понимать «причину»,
а под величиной ф (г) —«следствие», поскольку распре-
распределенный заряд порождает потенциальное поле. Значение
потенциала определяется расстоянием между элементом
заряда р (г') dx' и точкой наблюдения г', или, иначе говоря,
влиянием элемента заряда, которое задается функцией
Dл | г — г' I).
По этой причине функцию Dл | г — г'I) называют
функцией влияния или функцией Грина.
Для простоты ограничимся одномерным случаем. Снача-
Сначала рассмотрим однородное уравнение Штурма — Лиувил-
ля (см. гл. 9)
ЯУМ + /(*) = О, A6.117)
где ^ — самосопряженный дифференциальный оператор,
причем
>)A6Л18)
Функция у (х) должна удовлетворять определенным гра-
граничным условиям (см. разд. 9Л) на концах отрезка [а, Ь].
Действительно, отрезок можно выбрать так, чтобы соот-
соответствующие граничные условия были удовлетворены..
Определим довольно необычную и достаточно произ-
произвольную функцию Грина G на отрезке [а, Ь] следующим
образом:
1. G (х) = G, (х) для а < х < t и G {х) = G2 (x) для
* См. Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. Перев.
с англ. М.— Л., Гостехиздат, 1948.

IG.5. ФУНКЦИИ ГРИН Л
2. Функции Gt (х) и G2 (х) каждая в отдельности удов-
удовлетворяет однородному (относительно искомой функции)
уравнению Штурма — Лиувилля:
= 0 для a<ix<t, XG?(x) = 0 для
A6.119)
3. Gi (x) удовлетворяет граничным условиям задачи
в точке х = a, a G2 (лг) в точке х — Ъ. Для простоты возь-
возьмем однородные граничные условия, т. е. при х — а
у (а) = 0, у' (а) = 0 или ay (a) -f fty' (a) = 0, аналогич-
аналогичные условия заданы в точке х = &.
4. G (л:) непрерывна *, т. е.
A6.120)
5. -Производная G' (х) разрывна *:
d п (г\ . ?л (y\ —- __J_ Hfi 19П
^ W! ^ И/! 0@ V '
Подчеркнем, что первая производная имеет разрыв, а вто-
вторая не существует вовсе.
Все эти требования в конце концов приводят к тому,
что G становится функцией двух переменных G (x> f).
Кроме того, G (#, t) зависит как от вида дифференциаль-
дифференциального оператора X, так и от граничных условий, которым
должно удовлетворять решение у (х). Свойства функции G
будут логически обоснованы, а смысл ее станет совершенно
очевидным.
Предположим далее, что мы нашли функцию Грина
G (x, t), обладающую всеми перечисленными свойствами,
тогда решение уравнения A6.117) запишется в виде инте-
интеграла
y{x)^G(x,t)\(t)dt. A6.122)
а
Построим функцию Грина G (xy t). Пусть и (х) — реше-
решение однородного уравнения Штурма — Лиувилля, кото-
которое удовлетворяет граничным условиям в точке х = а,
a v (х) — решение, удовлетворяющее граничным условиям
* Строго говоря, под этим понимается предел х ->• t.
43-1257

662 ГЛАВА 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
в точке х = Ь. Тогда положим
{с{и(х), x<t}
VW, К, <16Л23>
Из условия непрерывности A6.120) в точке х = t следует,
что
c2v @ - CiU (t) = 0. A6.124)
Наконец, скачок первой производной, согласно условию
A6.121), дает
c2v' (t) - с{и' (t) = - Up (t). A6.125)
Как известно, для коэффициентов а и с% существует един-
единственное решение (см. разд. 8.5), если
Пусть и(х) и v (х) — линейно независимые функции.
Если и (х) удовлетворяет граничным условиям на обоих
концах отрезка, требуется обобщенная функция Грина.
Строго говоря, функция Грина не существует, если и (х)
и v (х) линейно зависимы. То же самое можно сказать, если
X — 0 — собственное значение однородного уравнения. Тем
не менее «обобщенную» функцию Грина все же можно
определить.
Для независимых и (х) ии (х) получаем определитель
Вронского
и (t) v' (f) - v {t)uf (t) = Alp (/), A = const. A6.126)
Соотношение A6.126) иногда называют формулой Абеля.
С учетом A6.125) запишем
d =-о (О/Л, сг =¦ - и (t)IA. A6.127)
Очевидно, такие значения коэффициентов удовлетворяют
уравнению A6.124). После подстановки их в A6.123) полу-
получаем функцию Грина
G(x, *)=<
-~u(x)v{t), x<t,
—Tu(t)v(x), t<x.
A6.128)
Важно подчеркнуть, что G (x, t) = G (t, x), т. е. функция
Грина обладает свойством симметрии. Объяснение этого

16.5. ФУНКЦИИ ГРИНА 663
факта связано с принципом взаимности, в соответствии
с которым причина и следствие совершенно равноправны
относительно переменных х и t. Взяв пример из электро-
электростатики, можно утверждать, что функция влияния зависит
только от абсолютной величины расстояния между двумя
точками.
Нам удалось построить функцию Грина G (х, t), однако
мы еще не доказали, что интеграл A6.122) с построенной
функцией Грина будет решением исходного дифферен-
дифференциального уравнения A6.117). Это можно проверить прямой
подстановкой функции Грина A6.128) в уравнение A6.122).
Имеем
X
а
Ъ
—L^u(x)v(t)f(t)dt. A6.129)
X
Дифференцируя, получаем
X
а
Ъ
-~-^u'(x)v(t)f(t)dt, A6.130)
х
производные пределов интегрирования взаимно уничтожи-
уничтожились. Продифференцируем еще раз:
х Ъ
о х
-±[u(x)v'(x)-v(x)u'(x)]f(x). A6.131)
С учетом A6.125) и A6.127) последнее выражение можно
переписать так:
а
b
-^1»@/(ОЛ-Ш-. A6.132)
43
*

664 глава 16. Интегральные уравнения
Теперь подставим A6.132) в уравнение A6.118)
X
[?u{x)]
[v(t)f(t)dt~f(x). A6.133)
x
Поскольку по условию и (х) и v (х) выбраны такими, что
они удовлетворяют однородному уравнению Штурма —
Лйувилля,, выражения в квадратных скобках равны нулю*
поэтому члены с интегралами исчезают. Перенеся / (х)
в :левую часть, получаем в точности уравнение A6.117).
Постараемся теперь удовлетворить граничным усло-
условиям для функции у (х). В точке х==а с учетом постоян-
постоянства определенного интеграла
, A6.134)
а
Ь
У' (а) = -?&¦ J v(t)f(t)dt = cu' (a). A6.135)
a
Возьмем функцию и(х) такой, чтобы
от (ct) -|-|Зм' (fl) = 0. A6.136)
Умножая данное уравнение на постоянную с, видим, что
у (х) тоже удовлетворяет уравнению A6.136). Эта операция
иллюстрирует удобство однородных граничных условий,
так как в этом случае нормировка не имеет значения.
В задачах квантовой механики граничное условие, кото-
которому должна удовлетворять волновая функция, часто
задается в виде отношения о|/ (лг)/-ф (х) = d [In^ (x)](dx,
эквивалентного уравнению A6.136). Удобство такой запи-
записи состоит в том. что волновая функция не нуждается в нор-
нормировке.
Резюмируя, можно утверждать, что уравнение A6.122)
определяет функцию у (х), которая удовлетворяет диффе-
дифференциальному уравнению A6.117) и граничным условиям,
которые учтены в самой функции Грина G (x, t).

1б.5. ФУНКЦИИ ГРИНА 66&
По существу мы воспользовались решениями однород-
однородного линейного уравнения Штурма — Лиувилля и с их
помощью построили решение неоднородного уравнения.
Для примера снова обратимся к уравнению Пуассона.
Его решение A6.116) представлено комбинацией решений
соответствующего однородного уравнения Лапласа с весом
Р (г')-
До сих пор на / (х) не налагалось никаких ограничений.
Теперь предположим, что f (х) = Хр (х) у (х), тогда
ь
у(х)--=Х \ G(x, t)p(t)y(t)dt A6.137)
а
будет решением уравнения
%У(х) + Ьр(х)у(х) = 0 A6.138)
с соответствующими граничными условиями. Уравнение
A6.137) является однородным уравнением Фредгольма
второго рода, а уравнение A6.138) — уравнением Штур-
Штурма — Лиувилля на отыскание собственных значений
(см. гл. 9).
Чтобы завершить обсуждение последующего дифферен-
дифференциального уравнения, докажем его эквивалентность инте-
интегральному уравнению, иными словами, докажем, что
решение дифференциального уравнения A6.138) с соот-
соответствующими граничными условиями удовлетворяет инте-
интегральному уравнению A6.137). Для этого умножим урав-
уравнение A6.138) на соответствующую функцию Грина G (x, t)
и проинтегрируем по х от а до Ь:
ъ ъ
j G (*, t) Ху (х) dx+X \ G (х, t) р (х) у (х) dx = 0. A6.139)
а а
Благодаря виду функции Грина первый интеграл распа-
распадается на два:
t ь
- j G{(x, t)Xy{x)dx~^G2(Xi t)Xy(x)dx =
a
и
= X [ G (x, t) p (x) у (х) dx. A6.140)

ббб ГЛАВА 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
Применим к левой части последнего уравнения теорему
Грина, или, что эквивалентно, проинтегрируем по частям,
тогда
t
= -1G, (x, 0 p (x) y' (x) |i+ j G; (x, 0 p (x)!/' W dx-
a
~\Gi(x,t)q(x)y(x)dx; A6.141)
a
точно такое же выражение получается для второго инте-
интеграла. Повторное интегрирование по частям дает
.*¦.
— [ G{ (x, t) Xy (x)dx= — \ у (х) XG{ {x, t) dx—
a a
— |Gt(jc, t)p(x)y'(x)\ta~\-\Gl(x, t)p(x)y(x)fa. A6.142)
Интеграл справа равен нулю, так как XGi = 0. Сгруппи-
Сгруппируем проинтегрированные члены с соответствующими чле-
членами, которые содержат G2, тогда
-р@[G,(t, t)у'(t)-G[(t,t)y(t)-G2(f, 0y' (t) +
[6i(a, /)/(a)-<5t(a, t)y{a)]-
, t)y'(b)-G'2(b, t)y(b)]. A6.143)
Оба последних выражения в квадратных скобках равны
нулю, поскольку G (x, t) и у (х) удовлетворяют одинако-
одинаковым граничным условиям. С другой стороны, первое выра-
выражение с помощью уравнений A6.120) и A6.122) приводится
к у (t). Подставив затем в уравнение A6.140), мы придем
к уравнению A6.137), и, таким образом, эквивалентность
интегрального уравнения дифференциальному с соответ-
соответствующими граничными условиями доказана.
*
Пример 1. Линейный осциллятор. Рассмотрим урав-
уравнение линейного осциллятора
= 0 A6.144)
с граничными условиями у(О) — у(\) = О (пружина закреплена на обоих
концах). Теперь, чтобы построить функцию Грина, необходимо решить

16.5. ФУНКЦИИ ГРИНА
667
однородное уравнение Штурма—Лиувилля JSy(x) = Q, которое имеет
вид у" (х) = 0: Мы удовлетворим граничным условиям, если потребуем,
0(х,Щ
t(i-x)
Рис. 16.3. Функция Грина линейного осцил-
осциллятора.
чтобы одно решение обращалось в нуль в точке х — 0, а второе в точке
х—1. Такими решениями (ненормированными) являются функции
A6.145)
A6.146)
— \— дг,
для которых
uv'—vu' ——\.
Из сравнения последнего соотношения с A6.126) следует, что р{х)~ 1,
Л = 1, а искомая функция Грина имеет вид (рис. 16.3)
6 (х, t) =
A-х), t<x.
A6.147)
Следовательно, в силу A6.137) движение пружины с закрепленными
Концами описывается функцией
i
, t)y{t)dt.
A6.148)
Читатель может убедиться самостоятельно, что решения уравнения
A6.144) у=sin nnx (К = п2п2) удовлетворяют также и уравнению
A6.148).
Чтобы характеризовать функцию Грина с новой стороны,
рассмотрим уравнение Пуассона с точечным зарядом
(г) - - рточ/ео. A6.149)
Решение этого уравнения с помощью функции Грина полу-
получено в разд. 8.6. Здесь для удобства ограничимся одно-
одномерным аналогом
0, A6.150)

668 ГЛАВА 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
где f(*)T04 описывает точечный заряд или импульсную
силу и может быть представлена самым различным обра-
образом, наиболее удобно задать ее так (см. разд. 8.6):
l/9p / P <r" У <Г" / 4-P
О в остальных точках.
/W™= n ..„„„ A6.151)
Проинтегрируем уравнение A6.150) и учтем определение
/(*)точ, тогда
\ Xy(x)dx=- j f(x)T04dx=-l. A6.152)
t-e, t-e,
Остановимся подробнее на операторе Ху(х). Имеем
j ^ j q(x)y(x)dx =
t-e t-в
¦ *+e
= | p (x) y' (x) ft±l + \q (x) у (x) dx = - 1. A6.153)
В пределе при е -> 0 можно удовлетворить этому уравне-
уравнению, если потребовать, чтобы у' (х) в точке х = t имела
скачок величиной —1/р (х), а сама функция у (х) остава-
оставалась непрерывной *. Теперь мы замечаем, что именно эти
свойства были использованы для определения функции
Грина G(x, t). Кроме того, в пределе при е->-0
A6Л54)
где б (х — t) — б-функция Дирака (см. разд. 8.6). Следо-
Следовательно, уравнение A6.150) приобретает вид
XG{xt /) = —б(* —0 A6.155)
(напомним, что в разд. 8.6 и 11.4 с помощью этого соотно-
соотношения определялись функции Грина).
* Функции р (х) и q {x), входящие в оператор ?, непрерывны',
поэтому интеграл \q {x)y {x) dx, взятый от непрерывных функ-
функций, также непрерывен. Следовательно, интегралы из выражения
A6.153), взятые на отрезке длиной 2е, обращаются в нуль при
0

16.5. ФУНКЦИИ ГРИНА . 669
Полученный результат обобщается на n-мерное про-
пространство
#G(ri, r2)--6(rt-r2), A6.156)
где rt и г2 —n-компонентные векторы. В /г-мерном простран-
пространстве оператор X становится оператором в частных произ-
производных. Для трех измерений
AбЛ57>
В заключение приведем функции Грина для наиболее
часто встречающихся случаев.
I. Уравнение Пуассона
V2<p(r)=-p(r)/e0, A6.158)
в котором ф (г) конечна или имеет только логарифмическую
расходимость при г ->¦ оо.
1. Одномерный случай. Функция Грина не существует
во всем интервале (—оо, оо).
2. Двумерный случай. Интегрируя по поверхности
круга с центром в точке г\ = г2, получаем
lim \ ( V2G(r1} rj)di4=-l. A6.159)
Применение теоремы Гаусса (двумерный случай) сводит
поверхностный интеграл от оператора Лапласа к линей-
линейному от градиента
lim <SvG(rlf r2)r12d9--l, r12 = |rt-r2|. A6.160)
Этому интегральному соотношению удовлетворяет выра-
выражение
VG= — 1/2яг«= — i/2jt|rt—r,| A6.161)
и, следовательно,
hliil A6.162)
В таком случае решение двумерного уравнения Пуассона
имеет вид
In | г±—г21 р (ra) rfr2. A6.163)

670 Г Л А В А 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3. Трехмерный случай (см. разд. 1.14 и 8.6)
1 /4jx | г4 — г2|, A6.164)
f ,Р(Г2) , dr2. A6.165)
4ле0 J | г4—г21 v '
II. Уравнение Гельмгольца (пространственная часть
волнового уравнения)
= /(г), A6.166)
—6(ri-r2). A6.167)
1. Одномерный случай
G(rlf r2) = ^-eift'ri-r2l. A6.168)
2. Двумерный случай
C(rlf г») = —- /ff* (Л | rt— гя |)- A6.169)
3. Трехмерный случай
A6.170)
В одномерном случае функция G (rif r2) удовлетворяет
однородному уравнению Гельмгольца всюду, за исключе-
исключением точки ri = г2, и имеет разрывную первую производ-
производную. В двумерном и трехмерном случаях функции имеют
особенности типа In r и г, характерные для оператора
X = \2. И вообще, функция Грина для двумерной зада-
задачи, которая описывается линейным дифференциальным
уравнением второго порядка, имеет вид
C«(rlf r2)= -^-lnlfi-nl + ftfr!, r2), A6.171)
где #2(rt, r2) — регулярная функция, зависящая от формы
дифференциального уравнения и граничных условий. В со-
соответствующем трехмерном случае
i A6Л7?)
где Иг (п, г2) также регулярна. Приведем функции Грина
для модифицированного уравнения Гельмгольца, чтобы
яснее представить, как Я2 и Я3 изменяются в зависимости
от формы дифференциального уравнения.

165. ФУНКЦИИ ГРИНА 671
III. Модифицированное уравнение Гельмгольца
= /(г), A6.173)
—d(ri —г2). A6.174)
Решения, ограниченные при г—>оо:
1. Одномерный случай
2. Двумерный случай
б(Г1,г,) = -^г/Св(Л|г1-г1|). A6.176)
3. Трехмерный случай, мезонный потенциал
Все три формы функции Грина представляют собой изве-
известные ядра уравнения диффузии из гл. 11/которые играют
весьма важную роль в элементарной теории диффузии
нейтронов.
Отметим, что здесь и во всех рассмотренных примерах
особенность б (rt — г2) и функция Грина G (гь г2) были
связаны с радиальной частью дифференциального уравне-
уравнения. Физически это означает, что взаимодействие (функция
влияния) зависит только от расстояния между точками
г12 = | f4 _ r21 и не зависит от ориентации.
Если дифференциальный оператор оказывается само-
самосопряженным (и, следовательно, ему соответствует полная
система собственных функций), то с помощью выкладок,
которые привели к выражению A6.103), функцию Грина
можно разложить в ряд по этим функциям. Исключением,
как это видно из формулы A6.103), является случай, когда
одно из собственных значений равно нулю или же после-
последовательность Хп сходится к нулю. Разложение по соб-
собственным функциям используется в упр. 8—12 (см. ниже).
Квантовое рассеяние частиц. Падающий пучок частиц,
который описывается функцией eift°z, частично рассеивает-
рассеивается. Рассеянная (расходящаяся) волна имеет асимптотиче-
асимптотический вид
J A6.178)

672 ГЛАВА 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Полную волновую функцию запишем в виде суммы падаю-
падающей и рассеянной волн:
ф(г) = е1Л»Ч-Ф(г). A6.179)
Далее, предполагая, что вероятность рассеяния гораздо
меньше единицы, сведем волновое уравнение Шредингера
к некоторому приближенному
(V2 + k20) Ф(г) = и (г) eift°z, A6.180)
где
Ц (г) = V (г) — рассеивающий (возмущающий) потенциал;
A6.181)
^ k\ = E — полная энергия. A6.182)
Задача свелась к решению неоднородного дифферен-
дифференциального уравнения A6.180). Дифференциальному опера-
оператору V2 соответствует непрерывная система собственных
функций
A6.183)
где
ij)k(r) = Bjt)-3/2eikr. A6.184)
Они обладают свойством ортогональности, т. е.
] A6.185)
(см. упр. 1 и 2 к разд. 15.6). Воспользуемся этими соб-
собственными функциями для построения функции Грина.
Разложим Ф(г) в интеграл Фурье
Ф(г)= [АиМг)*, A6.186)
подставив который в уравнение A6.180), получим, восполь-
воспользовавшись результатом A6.183):
\ Ак (Щ - k2) tyk (г) dk = U (r) eife»z. A6.187)

16.5. ФУНКЦИИ ГРИПЛ 673
Умножим на *фк' (г) и проинтегрируем по пространственным
координатам, после чего
^ j tk' (г) 1ъ (г) * =
= Лк- (ifej-ife'9)= ( tfr (г) (/ (г) е1** rfr. A6.188)
Получим отсюда в явном виде коэффициент Ак> и подста-
подставим его в интеграл A6.186)
Ф(г')= j [Wl"*") J # (г) (/(г) е^* dr] i|v (r')dk'.
A6.189)
Тогда, заменяя к' на к, а г на г', в согласии с уравне-
уравнением (J6.186)
Ф (г) = J *к (г) (AJ-tf)-1 ^k j ipj (r') t/ (r')
A6.190)
Изменим порядок интегрирования:
Ф (г) = - j Gho (r, r') t/ (г') e*fto2' dr'f A6.191)
здесь Gk0 (г, г')—функция Грина, определенная интегралом
A6Л92)
аналогичным полученному для дискретного набора собствен-
собственных функций ряду (9.75). Интеграл A6.191) нужно срав-
сравнить с функцией Грина из уравнения Пуассона A6.165).
Для вычисления этого интеграла воспользуемся гранич-
граничными условиями. Возьмем собственные функции уравне-
уравнения A6.183), поскольку
A6.193)
получим
го я 2п ., rt
> r') = BSMj J j ^гщ-dysmfJdWdk. A6.194)
Здесь к • (г — г') = kp cos 8, где р = г4 — г' определяет поляр-
полярную ось в ^-пространстве. Интегрирование по (р дает 2л,

674
ГЛАВА 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
а после интегрирования по 0 получим
00
A6.195)
Подынтегральная функция — четная по k, поэтому
00
—00
A6Л9б)
Im*
Последнее понадобилось нам для подготовки вычисления
функции Грина Gk0 (г, г') с помощью контурного инте-
интеграла. Под k и а (ог>0) пони-
понимаются соответственно kp и kop.
Разобьем интеграл на два,
причем каждый из них можно
записать в виде интеграла по
соответствующему контуру:
Су
1тк
A6
Контуры Ci и С2 показаны на
рис. 16.4. При интегрировании
мы сместим сначала особые точки
с вещественной оси, заменив о
на cr-f/y, а затем уже после
вычисления интеграла перейдем
к пределу у—>0.
При положительном у внутрь
контура Ct попадает особая точка
fe = a-Hy, и получаем, что пер-
первый интеграл равен У<+*/
С2
Рис. 16.4. Контуры инте-
интегрирования для вычисления
функции Грина.
Второй интеграл с особенностью в точке к = — (a-f iy) равен
2niei<0+iv>/2. Тогда, переходя в уравнении A6.197) к пределу
у—>0, в полном согласии с результатом A6.165) имеем
1 <Л е 0|Г"Г , A6.198)
4лр 4л |г—г' |
Этот результат зависит от выбранного знака у (в данном
случае положительного). Если бы мы взяли у < 0, искомая

16.5. ФУНКЦИИ ГРИНА 675
функция Грина содержала бы множитель e~ia, который
соответствует падающей волне. Выбор у > О диктуется
граничными условиями.
Нужно подчеркнуть, что выражения A6.191) и A6.198) —-
точное решение уравнения A6.180). Однако это уравнение,
записанное, как часто говорят, в борцовском приближении,
является только первым приближением к реальной физи-
физической картине.
Упражнения
1. Найти функцию Грина оператора J?=d2/dx2 с граничными
условиями i/@) = 0, у'(\) — 0.
2. Найти функции Грина для операторов
d2y(x) , ч / \
= j \ ~У W> У (х) конечна всюду.
3. Найти функции Грина для операторов Бесселя
ч d
Ответ:
= s
4. Построить функцию Грина для задачи
5. Электростатический потенциал (в системе МКСА) ср (г) =
==(Z/4jieo) (с-аг//-). Найти распределение электрического заряда.
Потенциал ф (г) стремится экспоненциально к нулю для больших г.
Показать, что полный заряд равен нулю.
Za е
Ответ: р (г) — Z6 (г) — -j .
6. Преобразовать дифференциальное уравнение

676 ГЛАВА 16. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
решение которого удовлетворяет граничным условиям у @) = у (оо) = 0,
в интегральное уравнение Фредгольма вида
оо
о
Величины Vq и k2 постоянны. Дифференциальное уравнение получается
из волнового уравнения Шредингера с мезонным потенциалом.
— р-Ы sh hr r <f I
~т~ С oil КГ» / <L If
k
Ответ: X = Vq, G(r, /)--- <
]-e'hrshkt, ^<r.
v k
ь
7. Найти решение уравнения Фредгольма f(x)=\2 \ G(x, t)y{t)dt,
а
p (x) ф (/)
для которого G{x, t)= x' v(" "' '
n
n=l
*1 г
^ ч-*1 г
Ответ: ф (дс) = >j —J?— Ф». <*) J / <0 Фи
J
n=i a
8. Однородное уравнение Гельмгольца V29-f Я2ф = 0 имеет соб-
собственные значения 1? и собственные функции фг\ Показать, что функ-
функция Грина, которая удовлетворяет уравнению
может быть представлена рядом
сю
г=1 г
Такой ряд называется билинейным. Если функцию Грина можно полу-
получить в замкнутой форме, то это дает возможность получить произ-
производящую функцию.
9. Воспользовавшись результатами предыдущего упражнения, пока-
показать, что функция Грина уравнения Лапласа в сферических координатах
равна
n,m
1
Г2
ГиГ'
п
2

16.5. ФУНКЦИИ ГРИНА
677
10. Учитывая полученное в разд. 12.1 соотношение
00
и разложение 1/Я по собственным функциям (см. упр. 9), сформулиро-
сформулировать теорему сложения для полиномов Лежлндра или' сферических
функций (рис. 16.5).
Рис. 16.5. Теорема сло-
сложения для полиномов
Лсжандра.
Ь
II. Исходя из.разложения функции Грина по собственным функ-
функциям, показать, что
со
П2 = {
П^1
<U-*). t<
Г х
12. Имея в виду, что %Дг) = е к"г/BяK/2—собственная функция
уравнения (V2 + fe2)^ 0") = 0 [выражения A6.183) и A6.184)], пока-
показать, что функцию Грина для оператора if = V2 в неограниченном
пространстве можно представить интегралом
1 L f Pik(ri-r2)^
4л|гд—гг| "BлK J & '

и . ГЛАВА 17
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
17.1. ОДНА ЗАВИСИМАЯ И ОДНА НЕЗАВИСИМАЯ ПЕРЕМЕННЫЕ
Понятие вариации. Вариационное исчисление рассма-
рассматривает задачи, в которых необходимо сделать минималь-
минимальным (или максимальным) значение некоторого интеграла.
В качестве простейшего примера возьмем интеграл
J=\f(y,yx,x)dx. A7.1)
Здесь J — величина, которая принимает экстремальное
значение. Под знаком интеграла стоит известная функция /,
зависящая от переменных у, ух* и х, однако зависимость
у от х не фиксирована, т. е. функция у {х) не известна.
Это означает, что хотя интеграл и берется между точками
*! и х2> точный путь интегрирования мы не знаем (рис. 17.1).
Выберем путь таким, чтобы интегрирование между точками
(*i, yi) и (*2> #г) приводило к минимальной величине J.
Строго говоря, будем определять экстремальные зна-
значения J: минимум, максимум или седловые точки. В боль-
большинстве физических задач приходится разыскивать мини-
минимальное значение. Эта проблема гораздо труднее соответст-
соответствующей проблемы дифференциального исчисления. Иногда
решения может не оказаться вовсе. В дифференциаль-
дифференциальном исчислении минимум ищут, сравнивая у (х0) с у (х),
где х — расстояние между двумя соседними точками.
Здесь же будем предполагать существование оптимального
пути (для которого J экстремально), а затем сравнивать J
для этого (неизвестного) оптимального пути со значения-
значениями У, полученными после интегрирования по соседним
путям. На рис. 17.1 показаны два возможных варианта.
* Здесь и в дальнейшем всегда будем полагать, что ух = dyldx,
Ухх = (Pyfdx* и т. д. .

17.1. ЗАВИСИМАЯ И НЕЗАВИСИМАЯ ПЕРЕМЕННАЯ
679
(Очевидно, существует бесконечное множество таких воз-
возможностей;) Разница между ординатами этих двух кривых
при фиксированном х называется вариацией у и обозна-
обозначается символом Ьу; для ее описания удобно ввести новую
Рис. 17.1. Вариация пути интегрирования.
функцию т) (х), которая определяет произвольную дефор-
деформацию пути, а также масштабный множитель а, задающий
величину вариации.
На произвольную функцию т| (х) накладывается только
два ограничения. Во-первых,
= т| (х2) = О,
A7.2)
откуда следует, что все возможные пути должны проходить
через фиксированные концевые точки. Во-вторых, как вско-
вскоре это будет очевидно, т| (х) должна быть дифференцируема,
т. е. нельзя пользоваться функцией
X — Xq,
A7.3)
правда, в качестве г\ (х) можно выбрать любую из функций,
с помощью которых в гл. 8 и 16 выражалась 6-функция
Дирака (т| (х) будет отлична от нуля в бесконечно малой

680 ГЛАВА 17. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
области). Тогда с помощью а и т] (х) запишем путь
y(x,a)=y(x,Q) + m\(x), A7.4)
а
&У ~ У (*> а) — У (*i 0) = ат1 М« ' A7.5)
Выберем в качестве неизвестного пути, который мини-
минимизирует У, путь у (х, а = 0). Тогда # (х, а) будет описы-
описывать соседний путь, а интеграл J окажется теперь функ-
функцией нового параметра а:
ее»
«f (а)= J f [yfe а). ^x(Jf, а), *Id*, A7.6)
и, следовательно, условие экстремальности по аналогии
с таким же условием из дифференциального исчисления
запишется как
rww-i =0 A77)
Зависимость интеграла от параметра а определяется
величинами у(х, а) и ух(х, а), поэтому
да
Из уравнения A7.4) имеем
^ A7.9)
дух (х, а) _ dr\(x) A7 10)
da dx ' V • /
с учетом которых уравнение A7.8) сведется к следующему:
Интегрируя второй член по частям, получаем
f dr\(x) df , / \ df xi Г , ч d df , /iViov
\ a 'T-^^iWy- ™ PIWt-t-^- A7.12)
J dx dyx iy ' dyx xi J IW rf.t ауя v ;
При этом нужно учитывать, что в силу условия A7.2)
проинтегрированная часть равна нулю, и уравнение A7.11)

17.1. ЗАВИСИМАЯ И НЕЗАВИСИМАЯ ПЕРЕМЕННЫЕ 6dl
приобретает более компактную форму:
для которой параметр а можно положить равным нулю.
Иногда уравнение A7.13) представляют так:
Поскольку функция т] (л:) произвольна, ее можно выбрать
с тем же знаком, какой имеет выражение в скобках, когда
оно отлично от нуля. Тогда подынтегральная функция будет
всегда, положительной. Благодаря этому условие A7.13),
которое обеспечивает существование экстремума, может
выполняться только в том случае, если выражение в скоб-
скобках тождественно равно нулю. Таким образом, можно
окончательно записать условие экстремума в виде диффе-
дифференциального уравнения в частных производных:
V'-g-^Q. A7.15)
ду dx дух v >
Это условие называют уравнением Эйлера.
" Формы уравнения Эйлера. Уравнение Эйлера часто
записывают так:
В задачах, в которых f — f(y, yx), т. е. функция не зави-
зависит явно от х, уравнение A7.16) упрощается:
или
f^ = const. A7.18)
Очевидно, условия A7.15) или A7.16) удовлетворяются
при экстремальном значении J, т. е. в этом случае условие
A7.14) тоже окажется выполненным. Условие A7.15)
является необходимым, но не достаточным. Курант и Роб-
бинс очень остроумно иллюстрируют это, рассматривая
44-1257

682
ГЛАВА 17. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
расстояние по поверхности сферы между двумя точками А
и В, лежащими на этой сфере (рис. 17.2). Пусть / как часть
большого круга определяется из условия A7.15) (см. ниже
упр. 3). Однако оставшаяся
часть большого круга, путь 2,
также удовлетворяет уравне-
уравнению Эйлера. Путь 2 макси-
максимален при условии, что он
совпадает с большим кругом,
который можно обходить лишь
один раз; иначе говоря, путь
2 -f n полных оборотов по
большому кругу — тоже ре-
решение. Если не требовать,
чтобы измеряемое расстояние
совпадало с частью большого
круга, любое отклонение от
Рис. 17.2. Экстремальные пути
на сфере.
пути 2 будет увеличивать рас-
расстояние между точками А и В.
На этом примере видно, как
важно исследовать свойства решений уравнения A7.15)
и ясно представлять, удовлетворяют ли полученные
решения физическим условиям поставленной задачи.
Упражнения
1. Доказать эквивалентность двух форм уравнений Эйлера
iL_±i?o —±
ду dxdy*' дх dx
2. Вывести уравнение Эйлера, соответствующее уравнению A7.15)
при условии, что f~f{yxx, Ух> У* х).
Ответ:
& t df } d (df\ a/
d*2 \dyxx ) dx UyJ* dy U'
Ц (xq) = ti Ы = П* (x\) = % (*г) = 0.
3. Показать, что кратчайшим расстоянием по поверхности сферы
между двумя точками на ней служит дуга большого круга.
4. Вывести уравнение Эйлера, разлагая подынтегральную функцию
I
= I f[y{x, а), ух{х, а), x]dx в ряд по степеням а. Замечание:
XI
Использовать ряд Тейлора для двух переменных (см. разд. 5.6).
Можно положить а=0 (после дифференцирования по а).

17.2. ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА 683
17.2. ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
Прямая линия. Простейшим примером использования
уравнения Эйлера служит задача о нахождении кратчайшего
расстояния между двумя точками в плоскости ху. Элемент
расстояния равен
ds=l(dx)* + №*]l* = ll + tfx]i/2dx. A7.19)
Полное расстояние J записывается через интеграл
(*2,У2) Х2
J= j ds= j[l+^]1/2ck. A7.20)
(»Ь Vl) *1
Сравнение с уравнением A7.1) показывает, что
Подставим функцию f в уравнение Эйлера A7,16)
* Г
Ах L
или
L==c = const. A7.22)
Это условие выполняется, если ух~а~ const, отсюда
у = од: + Ь. A7.23)
Таким образом, получено уравнение прямой линии. Посто-
Постоянные а и b выбирают так, чтобы линия проходила через
две заданные точки (*ь yt) и (*2, t/г)- Следовательно, урав-
уравнение Эйлера предсказывает, что кратчайшее расстояние
между двумя фиксированными точками — прямая линия *.
Поверхность вращения. Теперь рассмотрим поверх-
поверхность, образованную вращением кривой у (х) вокруг оси х
(рис. 17.3). Известно, что концы кривой зафиксированы
в точках (xit у\) и (х2, у?). Вариационная задача заклю-
заключается в отыскании такой кривой у (х), чтобы поверхность
вращения оказалась минимальной. Для элемента поверх-
поверхности (см. рис. 17.3) имеем
dA =2nydsr=2ny (I +^I/2 dx, A7.24)
* Очевидно, в этом случае мы имеем экстремум. Проверка
показывает, что это минимум.
44*

684
ГЛАВА 17. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
тогда
Х2
A7.25)
Опуская множитель 2я, запишем
f(y,yx,x)=y(\+yl)u\ A7.26)
Производная df!dx — Q, поэтому прямое использование
У1
Рис. 17.3. Поверхность вращения, задача о мыль-
мыльной пленке.
уравнения A7.1N) дает
или
Возведем в квадрат A7.28):
У
v
откуда
(у*)-1 =
dx
I II ЧШ —
dy
A7.27)
A7.28)
A7.29)
A7.30)

17.2. ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА 685
Интегрируя, получаем
x^Ci Arch (y/Ci) -f c2. A7.31)
Разрешим A7.31) относительно у
^)f A7.32)
где постоянные с{ и с2 определяются из условия прохожде-
прохождения графика гиперболического косинуса через точки
(*ь У\} и (*2> Уъ)- Таким образом, минимальная поверхность
вращения имеет цепную линию (в результате вращения
образуется- катеноид).
Мыльная пленка — минимальная поверхность. Полу-
Полученную формулу следует применять с очень большой осто-
осторожностью. В этом отношении весьма полезными оказы-
оказываются конкретные примеры, которые помогают лучше
почувствовать некоторые тонкости. Рассмотрим эту же
проблему минимальной поверхности при концевых точках
(*i> Уд = (—*о> 1)> (*2» Уг} = (*о> О- Минимальной поверх-
поверхностью в этом случае оказывается мыльная пленка, натяну-
натянутая на два кольца единичного радиуса, центры которых
совпадают с точками х = ± х0. Задача заключается в оты-
отыскании кривой*/ (х). Вновь возвращаясь к формуле A7.32),
видим, что вследствие симметрии задачи постоянную с2
нужно положить равной нулю. Если взять *0= 1/2, то полу-
получится трансцендентное уравнение для определения ct
1 = d ch (l/2ct), A7.33)
которое имеет два решения: значение сл — 0,2350 приводит
к «глубокой» кривой, а значение с2 = 0,8483 дает «пло-
«плоскую» кривую. Какое из этих двух значений нужно взять,
чтобы поверхность была минимальной? Какая кривая
соответствует мыльной пленке? Прежде чем ответить на эти
вопросы, положим, что кольца раздвинуты друг от друга
так, чтобы х0 = 1. Тогда уравнение A7.32) сведется к
1 = Clch A/d), A7.34)
которое не имеет вещественных решений] Физическая
сущность процесса заключается в том, что кольца раздви-
раздвигают до тех пор, пока не достигается точка, в которой
мыльная пленка не может больше удерживаться горизон-
горизонтальной силой и разрывается (необратимый процесс), так

G86 ГЛА'ВА 17. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
что вместо нее образуются пленки на каждом из колец
(с общей поверхностью 2я = 6,2832. . .). Это условие
разрыва Гольдшмидта.
Поставим вопрос: насколько большим может быть х0,
чтобы уравнение A7.32) еще имело вещественное решение?
Положим с~\ — р, тогда из A7.32) следует
р = chpx0. A7.35)
Из требования dxoldp — 0 вытекает
1 = xQshpx0. A7.36)
Из A7.35) и A7.36) получим
рх0 = cthpATo A7.37)
с корнем рх0 = 1,200. После подстановки в уравнение
A7.35) или A7.36) имеем р~ 1,811 (сг = 0,5523) и *Омакс"—
= 0,663.
Вернемся теперь к решению уравнения A7.33), которое
описывает поверхность мыльной пленки, и рассчитаем
поверхность, соответствующую каждому решению:
A7.38)
Для х0 = 1/2 уравнение A7.33) приводит к следующим
значениям: сх = 0,2350 -* Л - 6,8456; с, = 0,8483 -^ Л =
= 5,9917, откуда следует, что первое из этих решений
может иметь только местный минимум. Более подробное
исследование показывает, что эта поверхность не имеет
даже местного минимума. При х0 = 1/2 мыльная пленка
описывается «плоской» кривой
у - 0,8483 ch (jt/0,8483). A7.39)
Этот «плоский», или мелкий, катеноид имеет абсолютный
минимум в интервале 0 <[ х0 < 0,528. Однако в области
0,528 < х < 0,663 его поверхность превышает поверх-
поверхность, соответствующую разрывному условию Гольдшмидта
F,2832), поэтому указанный минимум является только
относительным.

Брахистохрона. Исторически первой задачей вариаци-
вариационного исчисления была задача о брахистохроне, или про-
проблема кратчайшего времени. Она формулируется следую-
следующим образом: среди всех кривых, соединяющих точку
(хи tjt) с началом координат, найти ту, по которой тяжелая
точка, двигаясь из точки (*ь tji) без трения, под влиянием
силы тяжести с начальной скоростью, равной нулю, попа-
попадает в кратчайший срок в начало координат. В этой задаче
время движения тяжелой точки равно интегралу
'= J т- <17-40>
О
Поскольку по закону сохранения энергии mv2l2 = mg (yi —
то v = Y2g (у{ — у) , и, следовательно,
2 A7.41)
Опуская постоянную 2g, запишем функцию f в виде
= 1±П*-\ . A7.42)
Снова df!dx = O, поэтому, исходя из уравнения A7.16),
имеем
/14Ы2 \1/2 Ф
(t)^= с A7.43)
или l/[(t/i~«/)(l + ^)]I/2 = ^ откуда
A7-44)
где а = f/t," 6 == 1/с2 — ^!. Введем новую переменную
. A7.45)
Тогда, исходя из A7.44), получаем
siiiOdO--^-(H-cosO)dO,
A7.46)
и, наконец, имеем известные уравнения циклоиды
jc + d = .?±L(G-!-sin0), # + b--?±^(l-cos0). A7.47)

688
Г Л A BJA 17. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Постоянные интегрирования bad определяются из требо-
требования прохождения циклоиды через начало координат
Ук
Рис. 17.4. Брахистохрона, движение частицы по циклоиде (а)
и циклоидальный маятник с ограничителями (б).
и точку (xit i/i), параметр а фиксируется в зависимости
от координаты yit которая задает начальное условие зада-
задачи. В частном случае, когда Xi = (n!2)yif b = d — О, тогда
^^(l-cosB), A7.48)
z

!7.3. НЕСКОЛЬКО ЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 689
т. е. циклоида вычерчивается точкой, расположенной
на ободе колеса радиусом j/i/2, катящегося вдоль линии
у — У\ (рис. 17.4, а). Отсюда получаем интересное след-
следствие. Время скольжения по циклоиде, заданной уравне-
уравнениями A7.48), из точки (х2, Уг) равно
Т, ' bl-±&y*dx*{lLy>* A7.49)
V2g J \У2—У I 2 V 2g / v >
и не зависит от начальной точки (см. гл. 15, задача о тауто-
таутохроне). Любопытно сравнить движение по циклоиде с дви-
движением по круговому пути (обычный маятник). Указанное
свойство циклоиды учитывается при конструировании маят-
маятника, период колебания которого не зависит от амплитуды.
Поскольку разверткой круга служит циклоида, мы можем
сделать маятник с некоторым ограничителем /, имеющим
форму циклоиды (рис. 17.4, б), тогда подвес маятника
начнет огибать этот ограничитель, и его движение будет
напоминать движение частицы, скользящей свободно без
трения по циклоиде.
Упражнения
1. Мыльная пленка натянута между двумя кольцами единичного
радиуса с центрами п точках ± *о 1|а оси х и перпендикулярными
к этой оси. Найти такое значение ± х0, чтобы поверхность вращения
оказалась равной площади двух торцовых колец (разрывное решение
Гольдшмидта).
2. Под действием силы тяжести частица без трения скользит
по циклоиде, заданной формулами х~с @+sin9), у — с(\ — cos 9).
Показать, что время, затрачиваемое частицей на весь путь от исход-
исходной точки до начала координат, равно Г = (я/2) ~\/cfg и не зависит
от положения исходной точки на кривой@<9<я).
17.3. НЕСКОЛЬКО ЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Уравнение A7.1) допускает обобщение. Рассмотрим
случай, когда подынтегральная функция f определяется
сразу несколькими зависимыми переменными уг (х), у2 (х),
Уз(х), . . ., которые являются фнукциями одной независи-
независимой переменной х.

690 ГЛАВА 17. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Для нескольких зависимых переменных уравнение A7.1)
перепишется в следующем виде:
j yix(x), ...,ynx(x), x]dx. A7.50)
Как и в разд. 17.1, будем определять экстремальное зна-
значение, сравнивая соседние пути. Положим,
yt (x, а)-=уг(х, 0) + ar)t (x), i = 1, 2, . . ., п, A7.51)
где t]i не зависят друг от друга, но в остальном удовлетво-
удовлетворяют тем условиям, о которых говорилось в разд. 17.1.
Поскольку уравнение A7.7) в данном случае тоже остается
в силе, продифференцируем выражение A7.50) по а, а затем
положим а == 0:
A7.52)
Снова каждый из членов типа (df/dyiX)n]iX проинтегрируем
по частям. Проинтегрированные части равны нулю, и из
A7.52) получаем
ffrib0- A7-53)
В силу того что r\t произвольны и не зависят друг от
друга * каждый из членов этой суммы должен независимо
от других равняться нулю. Тогда
Таким образом, возникла система уравнений Эйлера, каж-
каждое из которых выполняется при наличии экстремума.
Самое важное практическое приложение уравнения
A7.50) связано с лагранжианом L, который заменяет в нем
функцию /\ Лагранжиан определяют как разность между
кинетической и потенциальной энергиями системы
LsT-K. A7.55)
* Например, можно положить г|2 = г|3 = т]4 — . . . == 0 и тем
самым уничтожить все члены суммы, за исключением первого,
а затем действовать в соответствии с разд. 17.1,

1?.3. НЕСКОЛЬКО ЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 691
Принцип Гамильтона. Выберем в качестве независимой
переменной время tf тогда х будет функцией t, и сделаем
замену переменных в системе уравнений Эйлера A7.54):
* -» Л Уг -» хг (/), yix -» Xi (i). A7.56)
Здесь xt (i) — смещение, a jcj (tf) -- dj^/cft — скорость i-й час-
частицы. В принятых обозначениях уравнение 6J = О отра-
отражает математическую формулировку принципа Гамильтона
в классической механике:
!• • •
L (*4, *21 • • •»*n» *i> *2» • ¦ •» л:п; t)dt=Q. A7.57)
*i
Иными словами, принцип Гамильтона говорит о том, что
движение системы с момента времени ^ до момента t2 про-
происходит таким образом, что линейный интеграл от лагран-
лагранжиана L сохраняет постоянное значение
at dxi t
Эти уравнения для лагранжиана системы можно получить
из уравнений движения Ньютона, и наоборот. Указанные
системы уравнений называют фундаментальными. Однако
формулировка Лагранжа имеет определенные преимущест-
преимущества по сравнению с уравнениями, которые отражают обыч-
обычные законы Ньютона. Если уравнения Ньютона связывают
векторные величины, то уравнения Лагранжа записаны
для скаляров. Координаты хи х2, х3, ... понимаются
в широком смысле и не обязательно характеризуют раз-
размеры. Обычно их выбирают, исходя из требований конкрет-
конкретной физической задачи. Наконец, уравнения Лагранжа,
хотя они и записываются не в столь наглядной форме,
гораздо удобнее для описания сложных систем и легче
переносятся из механики в другие области физики (напри-
(например, в .квантовую механику).
Пример 1. Движение частицы в прямоугольных
координатах. Построим лагранжиан A7.55) для частицы с ки-
кинетической энергией
A7.59)
и потенциальной энергией V (х). Сила, как обычно, задана с помощью
отрицательного градиента потенциала:
F(x)=~dV(x)/dx. A7.60)

692
ГЛАВА 17. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Из A7.59) получаем второй закон Ньютона
A7.61)
Пример 2. Д в и ж .е и и е частицы в цилидрической
системе координат. Поставим теперь перед собой аналогичную
задачу и рассмотрим движение частицы в цилиндрической системе
координат в плоскости г=0. Кинетическая энергия движущейся час-
частицы
i m
A7.62)
а потенциальная равна нулю. Уравнения Лагранжа в этом случае
запишутся так:
жшж
- mp<p2 = 0, -^-
- 0.
A7.63)
Второе уравнение отражает закон
сохранения момента количества
движения, а первое можно понимать
как равенство радиального ускоре-
ускорения центробежной силе. В этом
смысле центробежная сила являет-
является реальной силой.
Упражнения
1. Записать уравнения Лагран-
Лагранжа движущейся частицы в сфери-
сферической системе координат, потен-
потенциал V считать постоянным. Выде-
Выделить члены, соответствующие цент-
центробежной силе и силе Кориолиса.
2. Имеется сферический маят-
маятник, в котором смещение массы т,
подвешенной на нити длиной /, характеризуется полярным и азиму-
азимутальным углами 0 и ф (рис. 17.5).
Записать лагранжиан этой системы, получить уравнение движе-
движения в форме Лагранжа.
3. Показать, что лагранжиан L = m0c2 I 1— у 1 г~/ ^ (г)
приводит к релятивистской формулировке второго закона Ньютона
/77
Рис. 17.5. Сферический маят-
маятник.
где Ft— —

.4. несколько независимых ппреАшшЫх 693
17.4. НЕСКОЛЬКО НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Подынтегральная функция / в уравнении A7.1) может
содержать только одну неизвестную функцию w, которая
зависит, однако, от нескольких независимых переменных,
например в трехмерном случае: и = и {х, у, z). Уравнение
A7.1) приобретает тогда форму
z== i И^М| "*'Wyj "zj Xi Уу z^dxdydz- A7-64)
Необходимо найти такую функцию и(х, у, z), для которой
величина J постоянна, т. е.
dJ_
да
-0. A7.65)
Обобщая результат разд. 17.1, полагаем
и (х, у, г, а) = и (х, у, z, 0) + at| (x, yt z). A7.66)
Здесь и (х, у} z; a - 0) — неизвестная функция, для кото-
которой выполняется условие A7.65); т) (х, у, z) — произвольное
отклонение, характеризующее функцию и (х, у, z, a). Как
и раньше, потребуем, чтобы отклонение ц (х, у, z, a) было
дифференцируемой функцией и обращалось в нуль в кон-
концевых точках. Из уравнения A7.66) получаем
их {х, у, г, а) - их (х, у, z, 0) + <щх. A7.67)
Аналогичные выражения записываются для иу и uz.
Продифференцируем интеграл A7.64) по а, а затем
положим a — 0:
dJ
f f f
a=o"" J J J
df df df
т1 + ^ +
A7.68)
Вновь проинтегрируем по частям каждый из членов
(dfldui)r\i Проинтегрированные части после подстановки пре-
пределов обратятся в нуль (так как по условию отклонение
г) равно нулю в концевых точках):
Г f Г
J J J
__ _j[
du дх дих ду диу
^0. A7.69)

694 ГЛАВА 17. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В силу произвольности вариации т) (х, у, г) выражение
в круглых скобках можно приравнять нулю. В результате
получим уравнение Эйлера для трех независимых пере-
переменных:
д[ d_Jf_ ±д[ <L_iL^0 A7.70)
ди дх дих ду диу дг диг ' \ • )
Уравнение Лапласа. Плотность энергии электростати-
электростатического поля равна е?2/2. Здесь Е — обычное электро-
электростатическое поле сил. То же самое можно записать и через
статический потенциал: плотность энергии = е (VcpJ/2.
Потребуем теперь, чтобы электростатическая энергия была
минимальной для данного объема (при этом необходимо
учесть еще граничные условия для величин Е и ф)..В соот-
соответствии с поставленной задачей запишем
= j И(ч4н ч4+ф!)^*^, A7.71)
в котором функция из уравнения A7.70) заменена на
f (ф» Ф«» Фу» Фи *. Уэ z) = ф! + Й + Ф»- A7.72)
Уравнение Эйлера определяет соотношение
* + Ъу + Ц>гг) = 0 или Т2ф (*, у,г) = 0, A7.73)
которое совпадает с уравнением Лапласа из электростатики.
Более подробное исследование показывает, что найден-
найденный экстремум является минимумом. Таким образом, тре-
требование минимальности энергии поля приводит к уравне-
уравнению Лапласа.
17.5. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
В некоторых случаях подынтегральная функция / содер-
содержит более чем одну зависимую и более чем одну независи-
независимую переменную. Рассмотрим функцию
= flP* Pxj Ру> Рх* Я* Qxj qVy Яг, г, rxt гу, гг% х, у> г].
A7.74)

17.6. МНОЖИТЕЛИ ЛАГРАНЖА 695
Потребуем, как и раньше,
р(х% у, г, а) = р(х, у, г, 0)+.«?(*. у, г), '
q(x, у, г, a)=q{xt у, г, Q) + ai\(xt у, г),
, у, г, a)=r(*f #, г, 0) + а?(*, у, г),
Учитывая, что 5, т] и ? независимы (аналогичному усло-
условию подчинялись T|i из разд. 17.3), и проведя дифферен-
дифференцирование с . последующим интегрированием по частям,
получаем
ЛП
др дх дрх ду дру дг dpz u
и такие же уравнения для функций q и г. Заменяя р, G,
г, ... на i/j а *, ^/т z, ... на *,-, мы можем переписать
уравнение A7.87) в более компактной форме
dxj \ dytj} х
з
где уи === dyjdxj.
17.6. МНОЖИТЕЛИ ЛАГРАНЖА
В этом разделе мы введем понятие связей. Чтобы не за-
загромождать изложения, будем подразумевать под связью
некоторую простую функцию. В нашу задачу пока не
входит исчисление вариаций, в котором используются
множители Лагранжа. Сейчас же мы определим эти мно-
множители.
Рассмотрим функцию трех независимых переменных
f (а*, у% г). Она имеет максимум (или экстремум), если
df ~ 0. Необходимым и достаточным условием для этого
является равенство нулю частных производных
дк~ ду~ дг~{)>
причем
i^ A7-79>

696 ГЛАВА 17. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В различных физических задачах переменные х, у, z
часто оказываются взаимосвязанными, т. е. не являются
независимыми. Можно, по крайней мере в принципе,
использовать каждую связь для исключения одной пере-
переменной и продолжить дальнейший анализ с новым умень-
уменьшенным набором переменных.
Метод множителей Лагранжа применяется в тех случа-
случаях, когда такое исключение переменных оказывается
неудобным или нежелательным. Запишем уравнение связи
0, r A7.80)
из которого следует, что
d* = &dx + %dy + *-<b = 0. A7.81)
Из условия df — 0 уже не следует соотношение A7.78),
поскольку есть только две независимые переменные. Если
в качестве независимых переменных взять х и у, то dz уже
не может быть произвольным. Умножим теперь уравнение
A7.81) на некоторый множитель А, и сложим это уравне-
уравнение с A7.79):
Множитель Лагранжа X выбран так, чтобы
.#_!_ А, *?-=<), A7.83)
dz ' dz v '
причем предполагается, что dy!dz=?O. Уравнение A7.82)
при выполнении условия A7.83) упрощается:
=0- <17-84>
Однако при произвольных dx и dy
|L + л *L = O.42-+*¦?. = <). A7.85)
дх ' дх ду ' ду
При выполнении условий A7.83) и A7.85) df = 0, а / име-
имеет экстремум. Теперь уже имеется четыре неизвестные:
х, у, z и X. В качестве четвертого уравнения, конечно,
можно взять уравнение связи A7.80). В действительности

17.6. МНОЖИТЕЛИ ЛАГРЛНЖА 697
же определять параметр X не нужно, поэтому X иногда назы-
называют неопределенным множителем Лагранжа. Этот метод
теряет силу, когда все производные дц/дх, дц/ду и dyfdz
равны нулю.
Частица в потенциальном ящике. Проиллюстрируем
метод множителей Лагранжа на примере задачи из кванто-
квантовой механики, в которой рассматривается частица т в потен-
потенциальном ящике. В качестве ящика взят прямоугольный
параллелепипед со сторонами a, b и с. Энергия частицы
в основном состоянии равна & = -g\— -у ^ \ —А Необ-
Необходимо найти такую форму ящика при постоянном объеме,
для которой энергия Е окажется минимальной; условие
постоянства объема дает уравнение связи
V(a, b,c) = abc^k. A7.86)
При /(а, b, с) — Е(а, b, с) и ср(а, b, c)=abc — ? = 0
дЕ , . 3V А*
A7<87)
Умножим первое из выражений на а, второе на 6, а третье
на с и сложим их:
If, h2 H2 № /17 ОО\
Xabc — -.—г = тт5-= ~а—г- A7.88)
4/па2 4mb2 4mc2 v ;
Следовательно, искомым решением будет а = b — с,
т. е. куб.
Ядерный реактор в форме цилиндра. Предположим, что
ядерный реактор на тепловых нейтронах имеет форму
правильного кругового цилиндра радиусом R и высотой Я.
В теории диффузии нейтронов возникает соотношение,
которое представляет собой уравнение связи:
2,4048 \2 / зх \ .* /17 от
' j +[)nst • A7.89)
Найдем минимальный объем реактора f(R, И) — я/?2Я.
Применим уравнения A7.85):
B4048J _
^=0. A7.90)
* Величина 2,4048 — первый корень функции Бесселя Ур

698 ГЛАВА 17. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
После умножения первого из этих уравнений на /?/2, а вто-
второго на Н получим nR2H = X B,4048)W = №п*/Н* или
// |/!яЯ/2,4048 .1,847/?. A7.91)
Следовательно, при такой высоте объем цилиндрического
реактора будет минимальным.
Строго говоря, мы нашли только экстремум. Отождест-
Отождествление этого экстремума с минимумом следует из рассмот-
рассмотрения исходного уравнения.
Упражнения*
!. Энергия основного состояния частицы в правильной круговой
цилиндрической яме равна
B,4048J
'-_?! I B,4048J ла \
~ 2т \ #2 +#2 ) >
где R — радиус; Я —высота цилиндра. Определить отношение R/H,
для которого при фиксированном объеме цилиндра энергия будет
минимальной.
Ответ: R/H = 0,5414.
2. Определить отношение радиуса R к высоте Я, при котором
для фиксированного объема правильного кругового цилиндра его
поверхность будет минимальной.
3. Частица скользит без трения во внутренней стороне параболоида
вращения. Показать, что сила F^ (сила связи), удерживающая части-
частицу на поверхности, пропорциональна кривизне поверхности /С =
= с/A2+'П2Iу'2- Указание. Воспользоваться параболическими коор-
координатами. Уравнение связи # = ?—?о—0.
Ответ: F(c) = XVq>|6 = ty(|g+tl2I/2.
4. Приведенная масса \i определена соотношением 1/ц,= 1/тН-
/. Найти максимальное значение |х при фиксированной сумме
+m2.
5. Вероятность распределения для тождественных частиц, под-
подчиняющихся (не подчиняющихся) принципу Паули, равна
(m+gi—Щ
Показать, что требование максимального значения величины W
приводит к распределению Ферми—Дирака (Бозе—Эйнштейна):
д.... ei (nt-?i\
Здесь %{ = — EoJkT, %2=\!kT. Указание. Взять lnlFj и воспользо-
воспользоваться формулой Стирлинга (предположить что gt > 1). Замечание.
* Упражнения выполнить с помощью множителей Лагранжа,

\1.1. ВАЕЙАЦИЯ ПРИ НАЛИЧИИ СВЯЗЕЙ
Квантовомеханнческая система характеризуется gi различными кванто-
квантовыми состояниями, в которых она может находиться, если ее энергия
заключена в интервале (Et, Ei-\-dEi). Обычно решают следующую
задачу: каким образом я/ частиц распределены по энергетическим
состояниям, если иыполиепо дна услопшс I) числе» частиц фпкснцоиа-
но 2ni==n' ^) полпая энергия фиксирована ^HiEi — Ii.
х i
17.7. ВАРИАЦИЯ ПРИ НАЛИЧИИ СВЯЗЕЙ
Определим «путь», для которого интеграл
A7.92)
постоянный. Здесь интеграл представлен в общей форме,
в которой Xj описывает набор независимых, a yt — набор
зависимых переменных. Снова б/ = 0. Введем одну или
более связей. Как и в разд. 17.6, связь представим в виде
4>k(yuXj) = 0. A7.93)
Уравнение A7.93) умножим на некоторую функцию *,-,
скажем на ik (х/), и проинтегрируем в тех же пределах,
что и A7.92):
f h (xj) ер* (yh Xj) dxj = 0. A7.94)
Ясно, что
fl J h (Xj) щ (Уи xj) dxj = 0. A7.95)
С другой стороны, связь можно задать и в форме интег-
интеграла
'] фь (Уь Xj) dxj = const. A7.96)
Можно ввести любой постоянный множитель Лагранжа
и снова получить уравнение A7.95), теперь уже с посто-
постоянным А..
В любом случае, сложив б/ = 0 с уравнением A7.95),
получим
h
Если уХУь хз) задано в форме A7.93), множитель Лаг-
Лагранжа %k может зависеть от *,.
45*

t* Л А В А 17. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Считая подынтегральное выражение из A7.97) некоторой
новой функцией g(yu dytldXj, Xj), т. е.
3 h
находим, что функция g должна удовлетворять обычным
уравнениям Эйлера
dg у dg dg ^Q A799)
dijt *J dxj d{dtji}dxj) v ч
з
(по одному такому уравнению на каждую зависимую пере-
переменную yt) [см. уравнения A7.70) и A7.76I. Затем, решая
совместно уравнения Эйлера и уравнения связей, находим
экстремум.
Уравнения Лагранжа. В отсутствие связей уравнения
движения Лагранжа A7.58) принимают форму -ir-—~
dqt
_L :- ot Где / (время) — независимая переменная,
qt (t) (положение частицы) — набор зависимых перемен-
переменных. Обобщенные координаты qt обычно выбирают из усло-
условия исчезновения влияния связей, однако эта процедура
не является необходимой, да и не всегда она возможна.
При наличии связей <pft принцип Гамильтона формули-
формулируется следующим образом:
b qu 0 + 3Ла@Фа(^0]^ = 0, A7.100)
к
а уравнения Лагранжа записываются так:
Обычно связь ф^ — cpft (qt, t) не зависит от обобщенной
скорости qt. В таком случае коэффициент aik ~ dyjdqi.
Если qt — длина, то произведение aikXk представляет собой#
силу со стороны 6-й связи в направлении qit и в уравне-
уравнение A7.101) эта сила входит в виде производной —dVldqt.
Простой маятник. Рассмотрим простой маятник, имею-
имеющий массу т, которая подвешена на нити длиной / (влия-
(влияние нити отождествляется со связью). При наличии связи

17.7. ПЛРИАЦИя ПРИ НАЛИЧИИ СВЯЗЕЙ ?01
ф, = г _ / == 0 имеется две обобщенные координаты г и 0
(движение в вертикальной плоскости). Запишем лагранжиан
L - Т- V - 4- т (г2 !- г2б2) |- mjrr cos9. A7.102)
Исходя из уравнений Лагранжа A7.101), получим уравне-
уравнения движения
d Ы Ы
или
d
A7.103)
(mr) — tnrW — mg cos 0 — lit -rp (mr2Q) -|- m^r sin 0 = 0.
A7.104)
Подставляя в уравнение связи (г = /, г = 0), получаем
=-O. A7.105)
Второе уравнение, решенное относительно 0 (rf) при малой
амплитуде (sin0 = 0), описывает простое гармоническое
движение, тогда как первое уравнение характе]ризует натя-
натяжение нити — Xi.
Скольжение частицы по цилиндру. С задачей о колеба-
колебании маятника тесно связана задача о скольжении частицы
по цилиндрической поверхности. Необходимо определить
критический угол 0ft, при котором частица сорвется с поверх-
поверхности цилиндра. Это произойдет в той точке поверхности,
где радиальная сила связи окажется равной нулю. Мы имеем
L = T-V=-i-m(r2 + r202)-mgrcos9 A7.106)
и одно уравнение связи у{ = г —1 — 0. Проделав те же
выкладки, что и в задаче о маятнике, получим с учетом
того, что ап= 1,
mr- mrfc + mg cos 0 = A,, @), A7.107)
= O. A7.108)

702 гла'вА it. Вариационное исчисление
В уравнении A7.107) влияние связи А^ F) есть функция
• • •
угла 9*. В силу г — /, г —г— 0 уравнения A7.107)
и A7.108) упрощаются:
— m/вЧ-год cos 8 = МО), A7.109)
т№ - mgl sin 9 = 0. A7.110)
Дифференцируя уравнение A7.109) по времени и вспоми-
вспоминая, что ,' = ,д 8, получаем — 2m/6 — mgsin6 =
=—4М- . Комбинируя это уравнение с уравнением A7.110)
и интегрируя, имеем Х± (8) = 3mg cos 9 + С. Поскольку
X{(Q) = mg, то С= —2mg.
Частица т будет удерживаться на поверхности, пока
влияние связи неотрицательно, т. е. до тех пор, пока поверх-
поверхность цилиндра не перестанет воздействовать на связь
I (8) = 3mg-cos8 — 2mg> 0. A7.111)
Критический угол соответствует условию A, (Qh) — 0, т. е.
сила связи равна нулю. Из уравнения A7.111) имеем
cos8ft = 2/3 или 8fe = 48°1Г. При таком угле (если пре-
пренебречь трением) происходит срыв частицы с поверхности.
Уравнение Эйлера в квантовой механике. В квантовой
механике встречаются уравнения Эйлера
1
Уу г)Я*(*' У* z)dxdydz=--Q A7.112)
с ограничивающим условием
ydxdydz=\. A7.113)
f
Из уравнения A7.112) следует, что энергия системы посто-
постоянна, Н = — к-^2 + V (х, у, г) — квантовомеханиче-
ский гамильтониан частицы с массой т. Условие связи
A7.113) означает, что мы имеем только одну частицу;
зависимая переменная г|э — обычная волновая функция,
* Подчеркнем, что Xt представляет собой радиальную силу,
действующую со стороны цилиндра на частицу. Из физических сооб-
соображений ясно, что Xt должна зависеть от угла 8. Мы положим К =
~ X (/), а затем заменим зависимость от времени на неизвестную
зависимость от угла.

17.7. ВАРИАЦИЯ ПРИ НАЛИЧИИ СВЯЗНЙ 703
а ее комплексно-сопряженная ty * рассматривается в каче-
качестве второй (см. разд. 6.1) зависимой переменной.
Интегрируя по частям, получаем
Будем предполагать, что граничные условия либо периодич-
периодичны (как в теории Штурма — Лиувилля, гл. 9), либо область
интегрирования настолько велика, что функции i|) и ф *
обращаются на границе в нуль (limr1/2 ty (г) = 0). При таких
Г-+ОО
предположениях проинтегрированная часть обращается
в нуль, и уравнение A7.112) приводится к виду
===0. A7.115)
Функция g, которую мы ввели в уравнение A7.98), в рас-
рассматриваемом случае равна
(¦?¦ + Г% 4 *?¦*) + V +4 - М>> A7.116)
Уравнение Эйлера A7.99) окончательно принимает форму:
-S-v'*T-Vt = X^ A7.117)
Сравнение с гамильтонианом Н показывает, что параметр X
должен быть отождествлен с энергией квантовомеханиче-
ской системы. Тйким образом, мы получили известное
волновое уравнение Шредингера. Такой вывод волнового
уравнения A7.117) имеет не только академический интерес,
но дает ёозможность разработать плодотворный метод при-
приближенного решения волнового уравнения (метод Ритца).
Упражнения
1. Частица с массой т под действием связи движется без трения
по горизонтальной поверхности по закону 6 = o>f. Начальные условия:
»
/ = 0, г = го, г = 0. Определить положение частицы как функцию вре-
времени и силу влияния связи, действующую на частицу.
Ответ: r(O=rochu)/,

704 ГЛАВА 17. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2. Гибкий кабель подвешен между двумя точками. Его длина
фиксирована. Найти кривую, для которой характерно минимальное
значение общей потенциальной энергии кабеля в поле силы тяжести.
Ответ: гиперболический косинус.
3. Определить максимальное значение производной по направлению
функции ф (х, у, z)
d® dtp дФ Q , дф
—г- = -~ cos a---~- cosfH——cosy,
ds dx ' ду dz '
если cos2 а + cos2 p -|~ cos2 у = 1.
Ответ: (-—-1 =
Ъ
4. Показать, что требование /== \ [р (х) у%х — q (x) у2] dx — const
а
наряду с иормиропкон I y'2w (x) dx — 1 приводит к Сравнению- Штур-
а •
ма—Лиувилля (см. гл. 9):
• Замечание. Граничное условие удобно1 задать в
> б. Определенное количество воды враД?ается в цилиндре с постоян-
постоянной угловой скоростью о. Найти кривую поверхности воды из усло-
условия минимальности ее полной потенциальной энергии с учетом сил
тяжести и центробежных сил.
Ответ: парабола.
6. Вариационный метод Рэлея—Ритца. Пробная функция t/ =
— 00+ 2 с*Уг пРи^лиженно описывает собственную функцию основ-
ного состояния г/о- Коэффициенты cj малы. Показать, что у (х)
позволяет получить приближенное значение Xq, отличающееся от
истинного на величину второго порядка малости.
Воспользоваться приближением Рэлея—Ритца для оценки низшего
собственного значения уравнения d2y/dx2 + Ху = 0 при граничных
условиях y(Q) = y (l)~0. Указание. В качестве пробной функции
удобно взять у {х) = х A-х).
Ответ: Х^ 10 или точно Я = л2 = 9,8696.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Гильберт Д., "К у р а н т Р. Методы математической физики.
Перев. с англ. М.— Л., Гостехиздат, 1951.
Irving J., Mullineux N. Mathematics in Physics and
Engineering. N.Y., Academic Press, 1959. >
Jeffreys H. S., J e f! r e y's B. S. Methods of Mathematical
Physics. 2nd ed. Cambridge, Cambridge University Press, 1950.
Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs
and' Mathematical Tables. Applied Mathematics Series 55 (AMS-
55), National Bureau of Standards, U.S. Department of Com-
Commerce, 1964.
Морс П. М., Фешбах Х. Методы теоретической физики.
Перев. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1958.
Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного
анализа. Перев. с англ. М., Физматгиз., 1963.
К главе 1
Kellogg О. D. Foundations of Potential Theory. N.Y., Dover,
1953.
Lass H. Vector and Tensor Analysis. N.Y., McGraw-Hill, 1950.
Schwartz M., Green S., Rutledge W. A. Vector Ana-
Analysis.with Applications to Geometry and Physics. N.Y., Harper
and Row, I960.
W r e d e R. С introduction to Vector and Tensor Analysis. N.Y.,
Wiley, 1963.
Та мм И. Ё. Основы теории электричества. М. — Л., Гостех-
издат, 1954.
К о ч и н Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчис-
исчисления. М., Изд-во АН СССР, 1951.
Ком пан ее ц А. С. Теоретическая физика. М., Гостехтеор-
издат, 1957.
К главе 3
Гайтлер В. Квантовая теория излучения. Перев. с англ. М.,
Изд-во иностр. лит., 1956.
Jeffreys H. Cartesian Tensor. Cambridge, Cambridge Uni-
University Press, 1952.
L a w d e n D. F. An Introduction to Tensor Calculus and Relati-
Relativity. N.Y., Wiley (Methuen monograph), 1962;

706 ' РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
»
М о I 1 е г С. The Theory of Relativity. Oxford, Oxford University
Press, 1955.
Па но bc кий В., Фи л л и пс М. Классическая электроди-
электродинамика. Перев. с англ. Под ред. С. П. Капицы. М., Физматгиз,
1963.
Sokolnikoff I. S. Tensor Analysis — Theory and Applica-
Applications. N.Y., Wiley, 1951.
Spain B, Tensor Calculus, 3rd ed. N.Y., Interscience Publi-
Publishers, I960.
S t r a t t о n J. A. Electromagnetic Theory, N.Y., McGraw-Hill,
1941.
Temple G. Cartesian Tensor. N.Y., Wiley (Methuen monograph),
1960.
К главе 4
A i t k e n A. C. Determinants and Matrices. N.Y., Interscience
Publishers, 1956.
Bickley W. G., Thompson R. S. H. G. Matrices-Their
Meaning and Manipulation. Princeton, New Jersey, Van Nost-
rand, 1964.
Michael A. D. Matrix and Tensor Calculus with Applications
to Mechanics, Elasticity and Aeronautics. N.Y., Wiley, 1947.
В и г не р Е. Теория групп и ее приложения к кваитовомехаин-
ческой теории атомных спектров. Перев. с англ. М., Изд-во
иностр. лит., 1961.
К главе 5
Hardy G. H. Divergent Series. Oxford, Clarendon Press, 1956.
H у si о p J. M. Infinite Series. 5th ed. N.Y., Interscience Publi-
Publishers, 1959.
К n о p p K. Theory and Application of Infinite Series. Ld, Blackie
and Son, 1946.
S m a i 1 L. L. Elements of the Theory of Infinite Processes. N.Y.,
McGraw-Hill, 1923.
Sokolnikoff I. S., Redheffer R. M. Mathematics of
Physics and Modern Engineering. N.Y., McGraw-Hill, 1958.
W i d d e r D. V. Advanced Calculus, 2nd ed. Englewood Cliffs.
New Jersey, Prentice-Hall, 1961.
К главе 6
Churchill R. V. Complex Variables and Applications. 2nd ed.
N. Y. McGraw-Hill, 1960.
Lass H. Elements of Pure and Applied Mathematics. N. Y. McGraw
Hill, 1957.
Smith L. P. Mathematical Methods for Scientists and Engineers.
N. Y., Prentice-Hall, 1953.
Sokolnikoff I. S. Redheffer R. M. Mathematics of
Physics and Modern Engineering. N.Y., McGraw-Hill, 1958.
Watson G. N. Complex Integration and Cauchy's Theorem.
N. Y., Hafner, 1917.
См. также ссылки к гл. 15.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 707
К главе 8
Bateman H. Partial Differential Equations of Mathematical
Physics . N. Y., Dover, 1944.
I n с e E. L. Ordinary Differential Equations. N. Y. Dover, 1926.
Murphy G. M. Ordinary Differential Equations and Their So-
Solutions. Princeton, New Jersey, Van Nostrand, 1960.
К главе 9
Miller К. S. Linear Differential Equations in the Real Domain.
N. Y., Norton, 1963.
Titchmarsh E. C. Eigenfunction Expansions Associated with
Second Order Differential Equations. Ld., Oxford University
Press, Vol. I. 2nd. ed. 1962; Vol. II. 1958.
К главе 10
A r t i n E. The Gamma Function. (Translated by Michael Butler).
N. Y., Holt, Rinehart and Winston, 1964.
К главе 11
Watson G. N. A Treatise on the Theory of Bessel Functions.
2nd ed. Cambridge, Cambridge University Press, 1952.
R e 1 t о n F. E. Applied Bessel Functions. Ld., Blackie and Son,
1946.
См. также литературу к гл. 13.
К главе 12
Н о b s о n E. W. The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmo-
Harmonics. N. Y., Chelsea, 1955.
См. также литературу к гл. 13.
К главе 13
Abramowitz M., Stegunl. A., eds. Handbook of Mathe-
Mathematical Functions. Washington, D.C., National Bureau of Standards,
Applied Mathematics Series-55, 1964, ch. 22.
Magnus W., Oberhettinger F. Formulas and Theorems
for the Special Functions of Mathematical Physics. N. Y., Chel-
Chelsea, 1949, ch. 10—13.
R a i n v i 1 1 e E. D. Special Functions. N.Y., Macmillan, 1960.
Sansone G. Orthogonal Functions. N.Y., Intenscience Pub-
Publishers, 1959.
Slater L. J. Confluent Hypergeorhetric Functions. Cambridge,
Cambridge University Press, 1960.

708 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
К главе 14
С а г s I a w Н. S. Introduction to the Theory of Fourier's Series
and Integrals. 2nd ed. Ld., Macmilian, 1921.
Lanczos C. Applied Analysis. Englewood Cliffs. New Jersey,
Prentice-Hall, 1956.
Z у g in u n (I A. Trigonometric Series, Vol. 1 and II. Cambridge,
Cambridge University Press, 1959.
К главе 15
С a r s 1 a w II. S., J eager J. C. Operational Methods in Applied
Mathematics. 2nd ed. Oxford, Oxford University Press, 1947.
E r d e 1 у i A. Tables of Integral Transforms. Vol. I and II. Bate-
man Manuscript Project. N. Y., McGraw-Hill, Vol. I: Fourier,
Laplace, Mellin Transforms. Vol. II: Hankel Transforms and
Special Functions.
LePage W. R. Complex Variables and the Laplace Transform
. for Engineers. N.Y., McGraw-Hill, 1961.
Scott E. J. Transform Calculus with an Introduction to Complex
Variables, N.Y., Harper, 1955.
Sneddon I. N. Fourier Transforms. N.Y., McGraw-Hill, 1951.
Titchmarsh E. С Introduction to the Theory of Fourier In-
Integrals. Oxford, Oxford University Press, 1948.
Tranter С J. Integral Transforms in Mathematical Physics.
2nd ed. Ld., Methuen, N.Y., Wiley, 1951.
Van der Pol В., Bremmer H. Operational Calculus Based
on the Two-sided Laplace Integral. 2nd ed. Cambridge, Cam-
Cambridge University Press, 1955.
К главе 16
В о с h e г М. An Introduction to the Study of Integral Equations.
Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics,
No. 10. N.Y., Hafner, 1960.
Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. Перев.
с англ. М., Физматгиз, 1961.
Lovitt W. V. Linear Integral Equations. N.Y., Dover, 1950.
К главе 17
Bliss G. A. Calculus of Variations. The Mathematical Association
of America, Open Court Publishing Company. Illinois, LaSalle,
1925.
Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? Перев.
с англ. М., «Просвещение», 1967ч.
S a g a n H. Boundary and Eigenvalue Problems in Mathematical
Physics. N.Y., Wiley, 1961.
Weinstock R. Calculus of Variations. N.Y., McGraw-Hill,
1952.
Yourgrau W., Mandelstam S. Variational Principles
in Dynamics and Quantum Theory. 2nd ed. N.Y., Pitman, 1962.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие переводчика 3
Предисловие автора 5
Глава 1. Векторный анализ
1.1 Основные понятия 7
1.2. Поворот системы координат И
1.3. Скалярное произведение 17
1.4. Векторное произведение . * 21
1.5. Смешанное и двойное векторное произ-
произведение трех векторов •< 26
1.6. Градиент v • •' 30
1.7. Дивергенция \7> v. ¦ 34
1.8. Ротор v X 37
1.9. Последовательное применение операто-
оператора \7 40
1.10. Интегрирование векторов ...... 7 44
1.11. Теорема Гаусса 50
1.12. Теорема Стокса 52
1.13. Теория потенциала 56
1.14. Закон Гаусса. Уравнение Пуассона 64
1.15. Теорема Гельмгольца . ,¦ • • . .67
Глава 2. Системы координат
42.1 - Криволинейные координаты 74
2.2. Дифференциальные векторные операторы 76
2.3. Специальные системы координат. Декар-
Декартовы (прямоугольные) координаты ..... 80
2.4. Сферические координаты г, 9, ф .... 81
2.5. Разделение переменных 96
2.6. Круговые цилиндрические координаты р,
ср, z • .. . : 91
2.7. Эллиптические цилиндрические координа-
координаты и, v, z 94
2.8. Параболические цилиндрические коорди-
координаты ?, г), z 95
2.9. Биполярные координаты Е, г), г . . . . 97
2.10. Координаты вытянутого сфероида ы, v, ф 101
2.11. Координаты сплющенного сфероида к,
v, ф 105
2.12. Параболические координаты |, ц, ф 107
2.13. Тороидальные координаты ?, г), ф . . . ПО
2.14. Бисферические координаты |, г), ф ... 113

710 СОДЕРЖАНИЕ
2.15. Софокусные эллипсоидальные координа-
координаты It, ?2, 1з 115
2.16. Конические координаты ?ь ?г, 1з • • • П6
2.17. Софокусные параболондальиые координа-
координаты ii, ?2, !з II7
Глава 3. Тензорный анализ
3.1. Введение. Основные понятия 119
3.2. Свертывание, прямое произведение . . . 125
3.3. Правило частного 127
3.4. Псевдотензоры 128
3.5. Аффиноры 135
3.6. Теория упругости 138
3.7. Ковариантная форма уравнений Максвелла 147
Глава 4. Матрицы и определители
4.1. Определители 153
4.2. Матрицы 158
4.3. Ортогональные матрицы 164
4.4. Эрмитовы и унитарные матрицы .... 174
4.5. Диагонализация матриц 180
Глава 5. Бесконечные ряды
5.1. Основные понятия . ; 189
5.2. Признаки сходимости 192
5.3. Знакопеременные ряды 203
, 5.4. Алгебра рядов 205
5.5. Функциональные ряды 208
5.6\ Разложение Тейлора 213
5.7. Степенные ряды 222
5.8. Числа Бернулли . 227
5.9. Бесконечные произведения 233
5.10. Асимптотические или полусходящиеся
ряды 238
Глава 6. Функции комплексного переменного I (аналити-
(аналитические свойства, конформное отображение)
6.1. Условия Коши — Римана 243
6.2. Интегральная теорема Коши 249
6.3. Интегральная формула Коши 253
6.4. Ряд Лорана 259
6.5. Отображение \ 267
6.6. Конформное отображение 275
6.7. Преобразование Шварца — Крмстоффеля 285
Глава 7. Функции комплексного переменного II (теория
вычетов)
7.1. Особые точки 291
7.2. Теория вычетов . . 294
7.3. Применение теории вычетов 309
7.4. Метод перевала -319
Глава 8. Дифференциальные уравнения второго порядка
8.1. Типы дифференциальных уравнений . . . 328
8.2. Разделение переменных. Обыкновенные диф-
дифференциальные уравнения 330
8.3. Особые точки 333
8.4. Представление решения уравнения в виде
ряда. Метод Фробениуса 337

СОДЕРЖАНИИ 711
8.5. Второе решение 347
' 8.6. Функция Грина. Аналогия с электростати-
электростатикой 355
Глава 9. Теория Штурма — Лиувилля. Ортогональные
функции
9.1. Самосопряженные дифференциальные уран-
нения 363
9.2. Эрмитовы (самосопряженные) операторы 370
9.3. Ортогонализация функций (метод Шмидта) 374
9.4. Полнота собственных функций 380
Глава 10. Гамма-функция (факториальная функция)
10.1. Определение, основные свойства .... 388
10.2. Дигамма- и полигамма-функции (произ-
(производные гамма-функции) 396
10.3. Ряд Стерлинга 400
10.4. Бета-функция 404
10.5. Неполная гамма-функция и родственные
ей функции 409
Глава 11. Функции Бесселя
11.1. Функции Бесселя первого рода .... 413
11.2. Функции Неймана 427
11.3. Функции Ханкеля 434
11.4. Функции Бесселя мнимого аргумента 439
11.5. Асимптотические разложения 446
11.6. Сферические функции Бесселя .... 451
Глава 12. Функции Лежандра
12.1. Производящая функция 462
12.2. Рекуррентные соотношения и специаль-
специальные свойства 468
12.3. Ортогональность 472
12.4. Другие определения полиномов Лежанд-
дра 477
12.5. Присоединенные полиномы Лежандра 482
12.6. Сферические функции 493
12.7. Теорема сложения для сферических
функций "... 498
12.8. Интегралы от произведения трех сфе-
сферических функций 503
12.9.' Функции Лежандра второго рода 506
12.10. Сфероидальные системы координат . . 517
12.11. Векторные сферические функции . . . 524
Г лава 13. Специальные функции
13.1. Полиномы Эрмита 528
13.2. Полиномы Лагерра 533
13.3. Полиномы Чебышева 543
.. 13.4. Ги пер геометрические функции 550
13.5. Вырожденные гипергеометрическне функ-
функции 554
Глава 14. Ряды Фурье
14.1. Общие, свойства 559
14.2. Применение рядов Фурье 563
14.3. Свойства рядов Фурье 571
14.4. Явление Гиббса 576

712 ' СОДЕРЖАНИЕ
Глава 15. Интегральные преобразования
15.1. Интегральные преобразования .... 581
15.2. Интеграл Фурье 583
15.3. Преобразование Фурье 585
15.4. Преобразование Фурье производной 590
L 15.5. Теорема свертки 592
15.6. Метод моментов ' 594
15.7. Элементарные преобразования Лапласа 600
15.8. Преобразование Лапласа производной 605
15.9. Свойства преобразования Лапласа ... 611
15.10. Теорема свертки 620
15.11. Обратное преобразование Лапласа . . 626
Глава 16. Интегральные уравнения
16.1. Введение 634
16.2. Интегральные преобразования, произво-
производящие функции 643
16.3. Ряд Неймана, вырожденные ядра . . .
16.4. Теория Гильберта — Шмидта 653
16.5. Функции Грина 659
Глава 17. Вариационное исчисление
17.1. Одна зависимая и одна независимая
переменные ' 678
17.2. Приложения уравнения Эйлера . . . 683
17.3. Несколько зависимых переменных . . . 689
17.4. Несколько независимых переменных 693
17.5. Функции многих переменных .... 694
17.6. Множители Лагранжа 695
17.7. Вариация при наличии связей .... 699
Рекомендуемая литература 705
Г. Арфкея
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ФИЗИКЕ
Редактор Т. С. Л им
Художественный редактор А. С. Александров Художник Е. В. Терехов
Технический редактор Н. А. Власова Корректор Е.П.Пьянкова
Сдано в набор 28.X 1969 г. Подписано к печати 13.Ш '1970 г.
Формат 84xiO8/a2- Бумага типографская Н° 1. Усл. печ. л. 37,38.
Уч.-изд. л. 3G,03. Тираж 12 000 экз. Цена 3 р. 42 к. Зйк. нзд. 1984.
«Чаи. тип. i257
Атомиздат, Москва, К-31, ул. Жданова, 5/7.
Московская типография № 16 Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР Москва, Трехпрудный пер., 9