Ж. ДАЛАМБЕР
(1717 — 1783)
КЛАССИКИ
ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
КЛАССИКИ
ЕСТЕСТВО ЗНАНИЯ
МАТЕ МАТИКА
МЕХАНИКА
ФИЗИКА
АСТРОНОМИЯ
*
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХН ИКО'ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА >1950* ЛЕНИНГРАД
Ж.ДАААМБЕР
Ol	ХП
ДИНАМИКА
ТРАКТАТ,
В КОТОРОМ ЗАКОНЫ РАВНОВЕСИЯ
И ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ СВОДЯТСЯ к воз-
можно МЕНЬШЕМУ ЧИСЛУ И ДО-
КАЗЫВАЮТСЯ НОВЫМ СПОСОБОМ,
И В КОТОРОМ ИЗЛАГАЕТСЯ ОБЩЕЕ
ПРАВИЛО ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИ-
ЖЕНИЯ НЕСКОЛЬКИХ ТЕЛ, ДЕЙСТ-
ВУЮЩИХ ДРУГ НА ДРУГА ПРОИЗ-
ВОЛЬНЫМ ОБРАЗОМ
Jlepeeoq с французского
и прим,е.1.ания
В.П. ЕГОРШИНА
ГОСУДАРСТВЕН НОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА »1950» ЛЕНИНГРАД
12-5-4
ПРЕДИСЛОВИЕ
К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Имя знаменитого французского ученого Жана Далам-
бера (1717—1783) знает каждый инженер, каждый физик,
механик и математик. Даламбер стоит в одном ряду
с основателями механики — Ньютоном, Эйлером и Лагран-
жем. Принадлежа к передовой группе французских энцик-
лопедистов, сотрудничая с материалистом Дидро, Даламбер
хотел поставить механику и математические науки на
службу хозяйственному прогрессу и техническому обновле-
нию, в котором так нуждалась Франция, находившаяся в то
время в тисках феодализма.
Среди работ Даламбера основное значение имеет пред-
лагаемая читателю в переводе на русский язык книга «Ди-
намика». В этой книге развивается широко известный «прин-
цип Даламбера». Однако, как увидит читатель, формули-
ровка этого принципа, принадлежащая самому Даламберу,
сильно отличается от принятой ныне в учебниках.
«Динамика» Даламбера имеет особый интерес потому,
что она вводит нас в круг методологических споров, ко-
торыми отличалась механика первой половины XVIII в. Да-
ламбер был видным общественным деятелем эпохи кануна
буржуазной революции во Франции. Дыхание этой револю-
ции чувствуется в его публицистических выступлениях, и
6
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
официальные круги феодальной Франции едва терпели
Даламбера, сотрудника Дидро и Вольтера.
До Даламбера механика развивалась в условиях анта-
гонизма между картезианским (декартовским) и ньютониан-
ским направлениями, а также в условиях борьбы между кар-
тезианским и лейбницевским направлениями. Декарт в фи-
лософии механики стоял ближе к материализму, чем Ньютон,
но он не сумел или ему не удалось построить на своих
принципах все здание механики. Ньютону удалось дать си-
стему механической науки ценой отказа от наиболее прин-
ципиальных вопросов и ограничения формальной стороной
дела. Даламбер был слишком математиком, чтобы соглашаться
с Декартом, и слишком философом, чтобы соглашаться
с Ньютоном. И тем не менее он не сумел синтезировать
лучшие стороны ньютонианства и картезианства путем пре-
одоления ограниченности того и другого. Для этого нужно
было быть материалистом-диалектиком.
Даламбер не соглашался с крайними формалистами,
желавшими растворить механику в математике, он был бли-
зок к техническим задачам своего времени, но в споре
между картезианцами и лейбницианцами по вопросу о мере
движения Даламбер занял такую позицию, что сущность
спора оказалась у него * потопленной в формальной стороне
дела. Вопроса о двух мерах движения в механике он не
решил, — он как бы снял его с очереди. Прочтя в настоя-
щей книге «Введение» самого Даламбера, читатель, конечно,
вспомнит замечательный анализ этого вопроса у Ф. Энгельса
в его «Диалектике природы».
Механика как наука в капиталистических странах
в методологическом отношении не только не поднялась
выше Даламбера, но шагнула далеко назад. Вопросы, по-
ставленные Даламбером в его «Динамике», сохраняют свой
интерес и в наши дни, причем не только для лиц, зани-
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
мающихся историей механики, но и для исследователей,
занимающихся разработкой обоснования механики как науки.
Эти обстоятельства и побудили издательство выпустить
книгу Даламбера в переводе на русский язык.
Только советская наука, основывающаяся на марксист-
ско-ленинской теории познания, сумеет правильно понять
Даламбера, усвоив у него все положительное и отсеяв его
заблуждения.
В. П. Егор шин
D E
D YNA MIQUE,
DANS LEQUEL LES LOIX DE L'EOUILIBRE
& du Mouvement des Corps font reduites au plus petit nombre pof-
fible, & demontrees d’une manicre nouvelle , & ой Гоп donne un
Principe general pour trouver le Mouvement de plufieurs Corps qui
agiflent les uns fur les autres, d’une maniere quelconque.
Par M. ^'Alembert , de PAcadtmie Roy ale des Sciences»
A PARIS,
Chez David 1’aine, Libraire, rue Saint Jacques, Д la Plume d*or.
M D С С X L I I I.
APEC APPROBATION ET PRIVILEGE DU ROI.
JK.. AAAAM S EP
«4.	 ——-.	..
ДИНАМИКА
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА р] КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ *)
Настоящее второе издание увеличено более, чем на
одну треть.
Во введении добавлены некоторые соображения по во-
просу о живых силах и разбирается новый важный вопрос,
предложенный Прусской королевской академией наук: «яв-
ляются ли законы статики и механики необходимой, или
случайной истиной»? [2].
В первой части настоящего сочинения значительно по-
дробнее, чем это было сделано в первом издании, изложен
вопрос об измерении и сравнении ускоряющих сил и добав-
лены по этому поводу некоторые замечания, которых нигде
в другом месте найти нельзя. Далее, в первую часть вклю-
чено несколько новых исследований, относящихся к законам
равновесия.
Основные добавления, сделанные во второй части, сле-
дующие: некоторые предложения о центре тяжести несколь-
ких тел, действующих друг на друга; полное решение
одной динамической задачи, которая до сих пор была ре-
шена не полностью, потому что в уравнениях не умели
разделять переменные (эта проблема разбирается в п° 97
и сл.); гораздо более простое решение задачи V о дви-
жении нити, нагруженной несколькими грузами, — решение,
с которым связан ряд любопытных соображений; более
полное ив то же время более простое решение задачи
*) Цифры в квадратных скобках указывают на примечания пе-
реводчика, помещенные в конце книги.
12
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
о телах, качающихся на плоскости; наконец, новые иссле-
дования и немаловажные замечания по поводу соударения
упругих тел. Я не отмечаю многих иных, менее значитель-
ных добавлений, разбросанных по всей книге. Они, по боль-
шей части, служат более детальному изложению того, что,
по моему мнению, нуждалось в этом.
Я не могу, однако, не отметить того, что я весьма при-
знателен Безу, члену королевской академии наук, который
любезно снабдил настоящее издание большим количеством
примечаний, имевших своей целью сделать книгу доступ-
ной большему кругу читателей, чем это было в первом
издании. Эти примечания, число которых превышает шесть-
десят, помещены подстрочно.
Хотя настоящее издание и так уже сильно возросло,
я намеревался дополнить его еще различного рода статьями,
относящимися к динамике, но составленными большей частью
гораздо раньше. Эти статьи относятся к следующим раз-
делам.
1)	Исследования движения тела, вращающегося вокруг
подвижной оси. Эта задача — того же рода, как и задача
«о предварении равноденствий», которой я посвятил сочи-
нение, вышедшее в свет в 1749 г. и содержащее все необ-
ходимые принципы для решения этой задачи в общем
виде [8]; исследования, о которых я говорю здесь и ко-
торые я хотел присоединить к настоящему трактату, суть
не что иное, как применение этих принципов.
2)	Несколько добавлений к тому совершенно новому
гидродинамическому исследованию, которое было дано»
мною в главах VIII и IX моей «Теории сопротивления жидко-
стей» [4], опубликованной в 1752 г. Этими добавлениями
я хотел показать, что указанное гидродинамическое иссле-
дование при всей его краткости заключает в себе метод
настолько общий, насколько можно желать для того, чтобы
подчинить математическому анализу движение жидкостей
и в то же время определить то небольшое число случаев,
в которых к исследованию этого рода движения можно
строго применять анализ.
3)	Теория колебаний плавающих тел, служащая допол-
нением к тому, что было намечено мною в главе VI толь-
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
13
ко что указанного моего сочинения «О сопротивлении
жидкостей» [5].
4)	Довольно объемистое сочинение о колебаниях струн —
в ответ на те возражения, которые были мне сделаны по
этому вопросу на страницах <M£moires de TAcactemie de
Berlin» (1753) двумя крупнейшими математиками, г.г. Бер-
нулли и Эйлером. Эти авторы, кстати сказать, расходятся
между собою даже в тех вопросах, по которым они воз-
ражают мне: один согласен со мной в том, что другой
отрицает [в].
5)	Наконец, доказательство правила сложения сил, —
правда, не столь простое, как доказательство, помещенное
в п° 28 настоящего сочинения, но, как я полагаю, не
безынтересное для математиков благодаря тому приему,
который я нашел для упрощения замечательно остроумного
доказательства этого правила, помещенного в первом томе
петербургских «Commentarii» [7].
Однако, как ни интересны все эти дополнения по их
замыслам, они сильно увеличили бы объем данной книги.
Поэтому я решил опубликовать их в другой раз, все вместе
или по отдельности.
ВВЕДЕНИЕ [8]
Достоверность математики является тем ее преиму-
ществом, которым она обязана главным образом простоте
своего предмета. Более того, нужно признать, что по-
скольку не все отделы математики имеют одинаковый по
простоте предмет, постольку и достоверность в собст-
венном смысле слова,—достоверность, основывающаяся
на принципах, являющихся необходимо истинными и
очевидными сами по себе, — присуща различным ее отде-
лам не в одинаковой степени и не одинаковым образом.
Многие отделы математики, опирающиеся или на физиче-
ские принципы, т. е. на опытные истины, или же на
простые гипотезы, обладают, так сказать, лишь достовер-
ностью опыта или даже достоверностью чистого допуще-
ния. Строго говоря, обладающими полной очевидностью
можно считать только те отделы математики, которые
имеют дело с исчислением величин и с общими свой-
ствами пространства: таковы алгебра, геометрия и меха-
ника [9]. Даже и здесь в степени ясности, которую наш ум
находит в этих науках, можно заметить своего рода гра-
дацию и, если можно так выразиться, те или иные оттенки.
Чем шире тот предмет, который ими обнимается, и чем
более обща и абстрактна та форма, в которой он в них
рассматривается, тем больше их принципы избавлены от
неясностей и тем более они доступны для понимания.
Именно по этой причине геометрия проще механики, а
они обе'менее просты, чем алгебра.
16
ВВЕДЕНИЕ
Этот парадокс перестает казаться парадоксом для тех,
кто изучал эти науки как философ: для них наибольшей
ясностью обладают именно те наиболее абстрактные поня-
тия, которые обычно считаются наиболее недоступными.
Наоборот, нашими мыслями овладевает мрак по мере того,
как мы сталкиваемся в том или ином объекте с чувствен-
ными свойствами. Так, прибавляя к понятию протяженности
-непроницаемость, мы, мне кажется, лишь увеличиваем
тайну; природа движения является загадкой для филосо-
фов; не менее скрыто от них и метафизическое начало законов
соударения. Одним словом, чем более углубляют они
образующееся у них понятие о материи и о свойствах,
ее представляющих, тем более это понятие затемняется,
как будто стремясь ускользнуть от них, и тем более они
убеждаются, что о внешних объектах наименее несовер-
шенным образом мы знаем лишь одно, — это их сущест-
вование, да и оно опирается на сомнительное свидетель-
ство наших чувств.
Из этих соображений следует, что наилучший метод
в любом отделе математики (можно даже сказать: в любой
науке) состоит в том, чтобы не только вводить туда и
максимально применять знания, полученные из более абст-
рактных, а следовательно, и более простых наук, но и
самый объект данной науки рассматривать наиболее абст-
рактным и наиболее простым из всех возможных способов,
ничего не предполагать и ничего не приписывать объекту
данной науки, кроме тех свойств, из которых, как из
предпосылки, исходит сама данная наука. Отсюда вытекают
два преимущества: во-первых, принципы получают всю
возможную для них ясность; во-вторых, эти принципы
оказываются сведенными к наименьшему числу, выигрывая
тем самым в своей общности, так как, поскольку пред-
мет науки необходимо определен, принципы этой науки
тем плодотворнее, чем меньше их число.
С давних пор намеревались, и даже не без успеха,
выполнить по отношению к математике некоторую часть
того плана, который нами только что намечен: алгебру
удачно применяли к геометрии, геометрию к механике и
каждую из этих трех наук ко всем остальным наукам,
ВВЕДЕНИЕ
17
основанием и фундаментом которых они являются. Однако
при этом не заботились ни о сведении принципов этих
наук к наименьшему числу, ни о том, чтобы придать этим
принципам всю ту ясность, которой можно было бы
желать. Особенно пренебрегали этой задачей, мне кажется,
в механике: большинство ее принципов или неясных самих
по себе, или неясно сформулированных и доказанных,
давали повод к ряду трудных вопросов. Вообще до сих
пор занимались больше увеличением здания, чем осве-
щением входа в него. Думали, главным образом, над тем,
как бы возвысить его, не заботясь о том, чтобы придать
необходимую прочность его основанию.
В настоящем сочинении я поставил себе двойную цель:
расширить рамки механики и сделать подход к этой нау-
ке гладким и ровным. При этом я больше всего забо-
тился о том, чтобы одна задача разрешалась с помощью
другой, т. е. я стремился не только вывести принципы
механики из наиболее ясных понятий, но и расширить
область их применений. Наряду с этим я стремился пока-
зать как бесполезность многих принципов, употребляв-
шихся до сих пор в механике, так и выгоды, которые
можно получить для прогресса этой науки от объединения
остальных. Одним словом, я стремился расширить область
применения принципов, сокращая в то же время их число.
Таковы были мои намерения в настоящем сочинении. Для
того чтобы ознакомить читателя со средствами, при по-
мощи которых я старался осуществить эти намерения,
может быть будет не лишним заняться логическим анали-
зом науки, которую я взялся излагать.
Движение и его общие свойства — таков первый и
главный объект механики. Механика предполагает, что
движение существует, и поскольку в этом ни у кого из
физиков никаких сомнений нет, мы будем также исходить
из этой предпосылки. Что же касается природы движения,
то здесь, напротив, философы резко расходятся друг с
другом. Правда, нет ничего более естественного, чем пред-
ставлять себе движение как последовательное приложение
движущегося предмета к различным частям безграничного
пространства, мыслимого нами в качестве места тел. Но
2 ж Даламбер
18
ВВЕДЕНИЕ
такое представление предполагает пространство, части
которого проницаемы и неподвижны, а между тем всякий
знает, что картезианцы (секта, которая ныне, правда, почти
уже не существует) совершенно не признают пространства,
отличного от тел, отождествляя материю и протяженность.
Необходимо признать, что если исходить из подобного
принципа, то движение становится вещью очень трудной
для понимания; картезианцам, может быть, лучше вовсе
отрицать существование движения, чем пытаться опреде-
лить его природу. Впрочем, хотя мнение этих философов
и представляется нам абсурдным и хотя в тех метафизиче-
ских принципах, из которых они стремятся вывести свое
учение, весьма мало ясности и строгости, мы не собира-
емся здесь заниматься его опровержением. Мы ограничимся
лишь следующим замечанием. Для того чтобы у нас было
ясное представление о движении, необходимо различать
два рода протяженности: одну, рассматриваемую как непро-
ницаемая и составляющую то, что называют собственно
телами, и другую, рассматриваемую просто как протяжен-
ность— безотносительно к тому, проницаема она или нет,
и являющуюся не более как мерой расстояния одного
тела от другого: части этой последней протяженности
мыслятся нами закрепленными и неподвижными, и с по-
мощью их мы можем судить о покое или движении тел.
Таким образом, мы будем всегда считать себя вправе рас-
сматривать безграничное пространство в качестве места
тел, реального или только воображаемого, а движение
рассматривать как перенос движущегося тела из одного
места в другое место.
Рассмотрение движения иногда встречается и в исследо-
ваниях по чистой геометрии: так, часто представляют ли-
нии,— прямые или кривые, — как образующиеся путем не-
прерывного движения точки; поверхности — как образующи-
еся путем движения линии; наконец, тела — как образую-
щиеся путем движения поверхности. Однако есть раз-
ница между геометрией и механикой: эта разница со-
стоит не только в том, что образование тех или иных
фигур путем движения носит, так сказать, произвольный
характер и о нем говорят просто в целях изящества изло-
ВВЕДЕНИЕ
19
женил, но еще и в том, что геометрия, говоря о движе-
нии, ограничивается рассмотрением пройденного простран-
ства, в то время как механика рассматривает кроме того
и время, затрачиваемое движущимся телом на прохожде-
ние этого пространства.
Нельзя сравнивать между собой две вещи различной
природы, какими являются пространство и время, но можно
сравнивать отношение частей времени с отношением частей
пройденного пространства. Время по своей природе течет
равномерно, и механика исходит из этой равномерности.
Поскольку мы, однако, не знаем времени, как такового, и
не обладаем точной мерой времени, мы не можем соста-
вить себе более ясного представления об отношении час-
тей времени иначе, чем при помощи отношения отрезков
неограниченной прямой линии. Отношение же между час-
тями такого рода линии может быть связано с отношением
между частями пространства, пройденного телом, движу-
щимся произвольным образом, при помощи некоторого
уравнения, а именно: можно представить себе кривую,
абсциссы которой будут соответствовать частям времени,
протекшего с начала движения, а ординаты — пространст-
вам, пройденным за эти части времени. Уравнение этой
кривой будет выражать не соотношение между простран-
ством и временем, а, если можно так выразиться, соотно-
шение между отношением частей времени к единице вре-
мени и отношением частей пройденного пространства к
единице пространства. В самом деле, уравнение кривой
можно рассматривать или как соотношение между орди-
натами и абсциссами, или как уравнение, связывающее
отношения ординат к единице ординат с отношениями
соответствующих абсцисс к единице абсцисс.
Очевидно, что достаточно одного применения геометрии
п анализа, чтобы, без помощи каких бы то ни было иных
принципов, найти общие свойства движения, меняющегося по
какому-нибудь закону. Но каким образом получается, что
движение тела подчиняется именно тому или другому закону
в частности? Одна геометрия ничего не может сказать по
этому поводу. Это и есть то, что можно рассматривать как
первую задачу, относящуюся непосредственно к механике.
2*
20
ВВЕДЕНИЕ
Прежде всего совершенно очевидно, что никакое тело
не может сообщить движения самому себе. Оно может
быть выведено из состояния покоя только в результате
действия какой-либо внешней причины. Но будет ли оно
само по себе продолжать свое движение, или для его
движения необходимо повторное действие этой причины?
Как бы мы ни решали этот вопрос, одно несомненно: если
сделано раз предположение о существовании движения
без какого-либо другого особого допущения, то простей-
шим законом, которому может следовать тело в своём
движении, будет закон равномерности; поэтому именно
такому закону тело и должно следовать, как это будет
показано ниже, в первой главе настоящего сочинения. Движе-
ние, таким образом, является равномерным вследствие своей
природы. Правда, те доказательства, которые давались
этому принципу до сего времени, были, может быть, не-
достаточно убедительными; в настоящем сочинении указы-
ваются возникающие здесь трудности, как равно и путь,
избранный мною для того, чтобы уклониться от обяза-
тельств их разрешить.
Мне кажется, что указанный закон равномерности, при-
сущий движению, как таковому, дает нам одно из лучших
оснований, на которое может опираться измерение времени
при помощи равномерного движения. Я счел необходимым
осветить этот вопрос несколько подробнее, хотя может
показаться, что в сущности эти рассуждения выходят из
рамок механики.
Поскольку установлена «сила инерции» [10], т. е. свой-
ство тел неизменно пребывать в их состоянии покоя или
движения, ясно, что если для начала движения необхо-
дима та пли иная причина, то и для ускорения пли
замедления этого движения также необходима внешняя
причина. Что же это за причины, способные произвести
или изменить движение в телах? К настоящему времени
нам известны только два рода этих причин: одни прояв-
ляются для нас вместе с производимыми ими действиями
пли, вернее, с действиями, причиной которых они явля-
ются. Эти причины имеют своим источником осязаемое
действие тел друг на друга, обусловленное их непроница-
ВВЕДЕНИЕ
21
емостью; они сводятся к удару и к некоторым другим
производным от него действиям. Все другие причины мы
познаем лишь по их действию, природа же их самих нам
совершенно неизвестна: такова причина, заставляющая
тяжелые тела падать к центру земли, причина, удержива-
ющая планеты на их орбитах, и т. п.
Мы вскоре увидим, каким образом можно определить
результаты удара и те причины, которые могут сюда от-
носиться. Что же касается причин второго рода, то оче-
видно, что поскольку вопрос заключается в действиях,
вызванных этими причинами, эти действия должны всегда
задаваться независимо от знания причины, так как их нельзя
вывести из самих причин. Так, не зная причины тяжести,
мы на опыте убеждаемся, что пути, пройденные падающим
телом, пропорциональны квадрату времени. Вообще в не-
равномерных движениях, причины которых неизвестны,
действие, произведенное причиной,—или в течение конеч-
ного времени, пли в течение одного мгновения,—оче-
видно, должно быть задано при помощи уравнения, свя-
зывающего время и пространство. Раз известно это дей-
ствие и раз мы допускаем принцип силы инерции,—-
свойства этого рода движений могут быть найдены с по-
мощью только одной геометрии и анализа. Для чего же
тогда нам прибегать к тому принципу, которым сейчас
все пользуются, — а именно, к принципу, что сила,
ускоряющая или замедляющая, пропорциональна элементу
скорости? Принцип этот опирается только на расплывчатое
п неясное положение, что действие пропорционально своей
причине. Мы не будем вдаваться в рассмотрение того,
принадлежит ли этот принцип к числу необходимых истин.
Мы отметим лишь, что дававшиеся до сих пор доказатель-
ства этого принципа не кажутся нам безупречными; мы не
примем его, подобно некоторым геометрам, и в качестве
случайной истины: это разрушило бы достоверность ме-
ханики и сделало бы ее просто опытной наукой. Мы
ограничимся лишь замечанием, что этот принцип, —
истинный он пли сомнительный, ясный или темный, — в
механике бесполезен, и потому он должен быть из нее
исключен.
22
ВВЕДЕНИЕ
До сих пор мы говорили лишь об изменениях скорости
движущегося тела под влиянием причин, могущих изменить
движение, и совершенно не исследовали, что должно про-
исходить, если движущая причина стремится двигать тело
в направлении, отличном от того, которое имеет тело.
Принцип силы инерции в данном случае нам говорит лишь
то, что тело будет стремиться описывать прямую линию и
притом описывать равномерно; но отсюда нельзя узнать ни
скорости тела, ни его направления [п]. Здесь необходимо
прибегнуть к другому принципу, который называют сложе-
нием движений и при помощи которого определяют единое
движение тела, стремящегося двигаться с заданными ско-
ростями по различным направлениям одновременно. В на-
стоящем сочинении дается новое доказательство принципа
сложения движений, где я ставил себе целью избежать
всех тех трудностей, которые присущи обычным доказа-
тельствам данного принципа, ив то же время стремился
к тому, чтобы не выводить его из большого числа слож-
ных предпосылок: этот принцип, один из первых принци-
пов механики, необходимо должен опираться на простые и
легкие доказательства.
Поскольку движение тела, меняющего свое направление,
можно рассматривать как движение, составленное из пер-
воначального движения тела и из движения вновь им по-
лученного, постольку и первоначальное движение тела можно
рассматривать также как движение, составленное из нового,
воспринятого телом, движения и из некоторого другого
движения, им утраченного. Отсюда следует, что законы
движения, изменяющегося благодаря тем или иным препят-
ствиям, зависят исключительно от законов движения, уни-
чтоженного этими самыми препятствиями. В самом деле,
легко видеть, что достаточно разложить движение, которым
тело обладало до встречи с препятствием, на два таких
движения, из которых одному препятствие ни в какой мере
не является помехой, а другое им уничтожается. С помощью
этого метода можно не только получить законы движения,
изменяющегося благодаря непреодолимым препятствиям (эти
законы только и были найдены данным методом), но также
определить, в каком случае этими препятствиями движение
ВВЕДЕНИЕ
23
будет уничтожено. Что касается законов движения, изме-
няющегося благодаря препятствиям, которые сами по себе
непреодолимыми не являются, то по тем же основаниям оче-
видно, что вообще для нахождения этих законов необхо-
димо лишь твердо установить законы равновесия.
Каков же должен быть общий закон равновесия тел?
Все геометры сходятся на том, что два тела с противопо-
ложными направлениями уравновешиваются в том случае,
когда их массы обратно пропорциональны скоростям, с ко-
торыми они стремятся двигаться. Однако, доказать этот
закон со всей строгостью и притом так, чтобы не остава-
лось никакой неясности, повидимому, не так легко. Поэтому
большинство геометров предпочитает это положение рас-
сматривать в качестве аксиомы, не давая себе труда дока-
зывать его. Между тем, при внимательном рассмотрении
можно заметить, что имеется только один единственный
случай, когда равновесие проявляется ясно и четко: это —
тот случай, когда массы обоих тел равны, а скорости их
равны и противоположны. И мне кажется, единственный
путь, который можно избрать для доказательства равнове-
сия в других случаях, должен заключаться в том, чтобы,
если это возможно, привести их к указанному случаю,
простому и очевидному самому по себе. Это я также ста-
рался осуществить в настоящем сочинении. Насколько мне
это удалось, пусть судит читатель.
Принцип равновесия вместе с принципом силы инерции
и принципом сложения движений позволяют находить ре-
шение всех задач, относящихся к движению одного тела,—
поскольку оно может быть изменено непроницаемым и под-
вижным препятствием, т. е., вообще говоря, каким-нибудь
другим телом, которому данное тело необходимо сообщает
движение, сохраняя по меньшей мере часть своего движе-
ния. Из совокупности этих принципов можно легко вы-
вести и законы движения соударяющихся каким-либо обра-
зом тел или тел, из которых одно тянет другое посред-
ством того или иного промежуточного тела, скрепленного
с ними.
Если принцип силы инерции, принцип сложения движе-
ний и принцип равновесия существенно отличаются друг от
24
ВВЕДЕНИЕ
друга,— ас эиьм нельзя не согласиться,—и если, с другой
стороны, этих трех принципов достаточно для механики, то
это и значит, что данная наука приведена к минимальному
числу принципов и что все законы движения тел при каких
угодно условиях могут быть получены из этих трех принци-
пов. Это я п пытался осуществить в настоящем сочинении.
Что касается доказательств самих этих принципов, то,
для тою, чтобы придать этим доказательствам всю ту яс-
ность и простоту, какая только в данном случае казалась
мне возможной, я старался вывести их лишь из рассмотре-
ния движения, причем это рассмотрение должно быть
опять-таки наиболее простым и наиболее ясным. В дви-
жении любого тела весьма отчетливо мы видим лишь то,
чго тело проходит известное расстояние и что на это тра-
тится известное время. Из этой одной идеи и надлежит
вывести все принципы механики, если мы хотим их дока-
зать с необходимой ясностью и строгостью. Поэтому чи-
татель не должен удивляться, если я, исходя из этих сооб-
ражений, так сказать, игнорирую «движущие причины» и
рассматриваю исключительно движение, которое произво-
дится ими. Я полностью изгоняю присущие движущемуся
телу силы, как понятия неясные и метафизические, спо-
собные лишь распространить мрак над ясной самой по
себе наукой.
По этой причине я считал ненужным вдаваться в рас-
смотрение нашумевшего вопроса о «живых силах». Этот
вопрос, который уже тридцать лет разделяет геометров,
заключается в следующем: чему пропорциональна сила
движущегося тела — произведению массы на скорость или
же произведению массы на квадрат скорости? Например,
если одно тело в два раза больше другого [12], а скорость
его в три раза больше скорости последнего, то во сколько
раз сила первого тела больше силы второго — в восемна-
дцать раз или только в шесть раз? Какие бы споры этот
вопрос ни вызывал, полнейшая бесполезность его для ме-
ханики заставила меня совершенно не упоминать о нем в
настоящем сочинении. Однако, я полагаю, нельзя совершенно
обойти молчанием мнение, которое Лейбниц считал возмож-
ным ставить себе в заслугу, как открытие, которое затем
ВВЕДЕНИЕ
25
столь искусно и столь удачно развил великий Бернулли *),
которое изо всех сил старался опровергнуть Маклорен[14]
и к которому привлекли интерес широкой публики статьи
большого числа известных математиков. Не желая обре-
менять читателя детальным изложением всего того, что
было сказано по этому поводу, я считаю не лишним изло-
жить вкратце те принципы, которые могут помочь в раз-
решении данного вопроса [1б].
Когда говорят о силе движущихся тел, то пли с про-
износимым словом вовсе не связывают никакой ясной идеи,
пли под ним понимают лишь свойство движущихся тел
преодолевать встречаемые ими препятствия или сопротив-
ляться этим препятствиям. Поэтому силу надо непосред-
ственно измерять вовсе не расстоянием, равномерно про-
ходимым телом, не временем, употребляемым телом на это
движение, и, наконец, не массой и скоростью тела, взя-
тыми в их простом, голом и абстрактном рассмотрении, а
исключительно темп препятствиями, которые тело встре-
чает, и техМ сопротивлением, которое ему оказывают эти
препятствия. Чем значительнее то препятствие, какое тело
может преодолеть пли против какого оно может устоять,
тем больше, скажем мы, его «сила». Если не желают под-
разумевать под этим словом какую-то мнимую сущность,
находящуюся в теле, то пользуются им просто как крат-
ким выражением некоторого факта, — примерно, подобно
тому, как говорят, что у одного тела «скорость» в два
раза больше, чем у другого, вместо того, чтобы сказать,
что одно тело проходит за определенное время вдвое боль-
ший путь, чем другое тело: никто этим не хочет утвер-
ждать, будто термин «скорость» представляет некоторую
сущность, содержащуюся в теле.
Если это твердо усвоить, то очевидно, что движению
тела можно противопоставить три рода препятствий: пре-
*) См. его «Рассуждение о законах передачи движения», за-
служившее похвальный отзыв Академии в 1726 г., когда Мазьер
получил премию. Почему сочинение Бернулли не удостоилось
премии, объяснено мною в похвальном слове, посвященном этому
великому геометру вскоре теле его емзргн, происшедшей в на-
чале 1748 г. [13].
26
ВВЕДЕНИЕ
пятствия непреодолимые, совершенно уничтожающие всякое
движение; далее, препятствия, оказывающие как раз такое
сопротивление, какое лишь необходимо для того, чтобы
уничтожить движение тела, и уничтожающие его мгно-
венно,— это случай равновесия; и, наконец, препятствия,
уничтожающие движение постепенно, — это случай замед-
ленного движения.
Поскольку непреодолимые препятствия одинаково уни-
чтожают любое движение, они не могут служить для оп-
ределения силы. Поэтому меру силы надлежит искать лишь
в равновесии или в замедленном движении.
Всеми признано, что между двумя телами существует
равновесие, если у них одинаковы произведения масс на
виртуальные скорости, т. е. на скорости, с которыми
тела стремятся двигаться. Поэтому в случае равновесия
произведение массы на скорость, или, что то же самое,
количество движения, может служить выражением силы.
Всеми признается также и то, что в случае замедлен-
ного движения число преодоленных препятствий пропор-
ционально квадрату скорости: тело при известной скорости
сжимает, например, одну пружину; при удвоенной скорости
оно может сжать, одновременно или последовательно, уже
не две, а четыре пружины, подобные первой; при утроен-
ной скорости — девять пружин и т. д. Отсюда сторонники
живых сил заключают, что вообще сила тел, находящихся
в действительном движении, пропорциональна произведению
массы на квадрат скорости.
В сущности, какое неудобство могло бы произойти от
того, что мера силы в случае равновесия, с одной стороны,
и в случае замедленного движения, с другой, различна?
Ведь если мы хотим иметь дело только с отчетливыми по-
нятиями, то под «силой» мы не должны понимать ничего
кроме эффекта, произведенного при преодолевании препят-
ствия или при сопротивлении препятствию. В то же время
нужно признать, что мнение тех, которые рассматривают
силу, как произведение массы на скорость, может быть
справедливым не только в случае равновесия, но и в слу-
чае замедленного движения, если в последнем случае из-
мерять силу не числом препятствий, а суммой величин их
ВВЕДЕНИЕ	27
сопротивления. И в самом деле, не подлежит никакому
сомнению, что эта сумма сопротивлений пропорциональна
количеству движения, так как всякому известно, что ко-
личество движения, теряемое телом в каждый элемент вре-
мени, пропорционально произведению сопротивления на
бесконечно малую продолжительность этого элемента; сумма
же этих произведений даст, очевидно, полное сопротивление.
Вся трудность, таким образом, сводится к тому, чтобы
определить, следует ли измерять силу числом препятствий,
или же суммой сопротивлений этих препятствий. Может
показаться более естественным измерять силу именно по-
следним способом, так как всякое препятствие является
таковым лишь постольку, поскольку оно оказывает сопро-
тивление, так что, собственно говоря, сумма сопротивлений
и представляет собой преодолеваемое препятствие. К тому
же при таком измерении силы мы имели бы то преимуще-
ство, что у нас была бы одна общая мера силы как
для случая равновесия, так и для случая замедленного дви-
жения. И тем не менее, поскольку в слове «сила» не со-
держится никакого ясного и точного смысла помимо соот-
ветствующего ей действия, я полагаю, что нужно каждому
предоставить свободу решать данный вопрос по его усмо-
трению. К тому же затронутый вопрос представляет собой
не более, как совершенно бесплодный метафизический спор
или спор о словах, недостойный внимания философов.
Сказанного достаточно для того, чтобы читателю дать
почувствовать это. Но есть еще одно весьма естественное
соображение, которое убедит его окончательно. Тело может,
во-первых, обладать лишь стремлением двигаться с извест-
ной скоростью, но это стремление уничтожается тем или
иным препятствием; во-вторых, оно может действительно
двигаться равномерно с этой скоростью; в-третьих, оно может
начать движение с этой же самой скоростью, но эта ско-
рость в дальнейшем постепенно может уменьшаться и нако-
нец уничтожиться вследствие той или иной причины. Во
всех этих случаях тело будет производить различные дей-
ствия; но тело само по себе ничего не имеет в одном случае
сверх того, что оно имеет в другом. Здесь лишь по-разному
проявляется действие причины. В первом случае действие
28
ВВЕДЕНИЕ
сводится к простому стремлению, у которого, собственно
говоря, никакой меры не г, поскольку не возникает никакого
движения. Во втором случае действием служит то расстоя-
ние, которое проходится равномерно в течение данного
времени: этого рода действие пропорционально скорости.
В третьем случае действие выражается тем расстоянием,
которое проходится вплоть до полного поглощения движе-
ния, и это действие пропорционально квадрату скорости.
Но ведь все эти различного рода действия происходят,
очевидно, от одной и той же причины. Следовательно, как
те, которые утверждают, что силы пропорциональны ско-
рости, так и те, которые считают, что силы пропорциональны
квадрату скорости, говорят лишь о действиях различного
рода. Кстати заметим, что это различие действий, проис-
ходящих от одной и той же причины, может служить до-
казательством недостаточной правильности и точности мни-
мой аксиомы, которой так часто пользуются: аксиомы о
пропорциональности причины своему действию.
Наконец, те, кто окажется не в состоянии подняться
до метафизических начал по вопросу о живых силах, легко
могут убедиться в том, что спор идет лишь о словах, если
они учтут, что оба течения нисколько не расходятся между
собой по поводу основных принципов равновесия и движения.
Предложите решить одну и ту же задачу из механики двум
геометрам, из которых один является противником живых
сил, а другой их сторонником. Решения обоих этих гео-
метров, если вообще они верны, совпадут друг с другом.
Следовательно, вопрос об измерении сил совершенно бес-
полезен для механики, он даже не имеет реального смысла.
Если бы к данному вопросу подходили, различая в нем
ясное и темное, то он, без сомнения, не породил бы такую
огромную литературу: решение его потребовало бы всего
нескольких строк. Но мне сдается, однако, что большинство
писавших об этом вопросе словно боялись говорить о нем
в немногих словах.
Достигнутое нами сведение всех законов механики к трем
основным, а именно: к закону силы инерции, закону сло-
жения движений и закону равновесия, послужит нам для
решения важной метафизической проблемы, предложенной
ВВЕДЕНИЕ
29
недавно одной из знаменитейших академий Европы, — «яв-
ляются ли законы статики и механики необходимой или
случайной истиной?». Чтобы установить наши взгляды по
этому вопросу, необходимо прежде всего придать ему тот
единственный разумный смысл, который он может содержать.
Дело здесь вовсе не в том, чтобы выяснить, мог ли бы
создатель природы дать природе другие законы, отличные
от тех, которые мы в ней наблюдаем. Как только мы до-
пустим наличие некоторого разумного существа, способного
воздействовать на материю, нам должно быть ясно, что это
существо сможет в любой момент по своему желанию при-
водить материю в движение и останавливать ее или по
неизменным законам, или же по законам, меняющимся для
каждого мгновения и для каждого элемента материи. По-
вседневные наблюдения над движениями нашего собствен-
ного тела нам ясно показывают, что движущаяся материя,
подчиненная воле мыслящего начала, может отклоняться от
тех движений, которые она, наверное, имела бы, если бы
она была предоставлена самой себе. Следовательно, пред-
ложенный вопрос сводится к тому, чтобы выяснить, отли-
чаются ли наблюдаемые в природе законы равновесия и
движения от тех законов, которым подчинялась бы материя,
предоставленная самой себе?
Разовьем нашу мысль. Совершенно очевидно, что если
ограничиться только предположением существования мате-
рии и движения, то из одного этого двойного существова-
ния (материи и движения) с необходимостью должны вы-
текать некоторые действия: тело, приведенное той или иной
причиной в движение, должно или остановиться по истече-
нии некоторого времени, или продолжать движение вечно;
тело, стремящееся двигаться одновременно по двум сторо-
нам параллелограмма, с необходимостью должно описывать
или диагональ, или какую-то другую линию; когда несколько
движущихся тел встречаются друг с другом и соударяются,
то вследствие взаимной непроницаемости тел с необходи-
мостью должно произойти какое-то изменение состояния у
всех этих тел или, по крайней мере, у некоторых из них.
Но будь то движение одного изолированного тела, или
движение нескольких тел, действующих друг на друга, —
30
ВВЕДЕНИЕ
из всех возможных эффектов имеется один такой эффект,
который в каждом отдельном случае должен непременно
быть и вытекает из одного только существования мате-
рии,— при сделанном допущении об отсутствии всякого
другого начала, могущего изменить или исказить этот
эффект.
Итак, вот путь, по которому должен следовать фило-
соф, чтобы решить вопрос, о котором идет речь. Сначала
он должен постараться выяснить при помощи рассуждения,
каковы были бы законы статики и механики в материи,
предоставленной самой себе. Затем с помощью опыта он
должен исследовать, каковы законы во вселенной. Если
окажется, что одни отличаются от других, то он отсюда
заключит, что законы статики и механики в той форме,
как они нам даны опытом, являются истиной случайной,
так как они будут тогда вытекать из особой, специально
выраженной, воли высшего существа. Если же, наоборот,
законы, найденные в опыте, будут совпадать с теми зако-
нами, к которым приводит чистое размышление, то он
заключит, что наблюдаемые законы являются необходимой
истиной, — не в том смысле, что творец не мог установить
совершенно иных законов, а в том смысле, что он не нашел
нужным устанавливать законов, отличных от тех, какие вы-
текают из самого существования материи.
В настоящем сочинении мы, думается, доказали, что
тело, предоставленное самому себе, неизменно должно пре-
бывать в своем состоянии покоя или равномерного движе-
ния. Мы, думается, доказали также, что если тело стре-
мится двигаться одновременно по двум сторонам какого-
нибудь параллелограмма, то направлением, которое должно
принять движение тела самого по себе, которое, если можно
так выразиться, тело выберет из всех других, будет диа-
гональ. Мы, наконец, доказали, что все законы передачи
движения от одного тела к другому сводятся к законам
равновесия, а законы равновесия, в свою очередь, сводятся
к законам равновесия двух равных тел, обладающих двумя
равными и противоположно направленными виртуальными
скоростями. В этом последнем случае движения обоих тел,
оче видно, уничтожат друг друга. Отсюда уже с геометрической
ВВЕДЕНИЙ
31
необходимостью будет вытекать, что равновесие будет иметь
место и в том случае, когда массы обратно пропорциональны
скоростям. Остается только выяснить, единственный ли это
случай равновесия, т. е. обязательно ли одно тело заставит
двигаться другое тело, если отношение масс не равно об-
ратному отношению скоростей. Легко сообразить, что по-
скольку существует один возможный и необходимый слу-
чай равновесия, никаких других случаев быть не может:
в противном случае законы удара тел, которые необходи-
мым образом сводятся к законам равновесия, стали бы не-
определенными, что невозможно, так как в результате удара
двух тел непременно должен возникать какой-то единствен-
ный эффект, как необходимое следствие существования и
непроницаемости данных тел. Впрочем единственность закона
равновесия можно доказать и при помощи другого рассуж-
дения, но оно имеет слишком математический характер,
чтобы развивать его здесь во введении. Однако, я старался
сделать его осязательным в своем сочинении, к которому
я и отсылаю читателя *).
Из всех этих соображений следует, что законы ста-
тики и механики, излагаемые в настоящей книге, это — те
законы, которые вытекают из существования материи и
движения. Но опыт показывает нам, что эти же законы
наблюдаются и в действительности в окружающих нас
телах. Следовательно, те законы равновесия и движения,
которые даны нам в наблюдении, являются необходимой
истиной. Какой-нибудь метафизик для доказательства
этого положения, пожалуй, ограничился бы ссылкой на то,
что из мудрости творца и из простоты его взгля-
дов вытекало то, что не установлены другие законы рав-
новесия и движения кроме тех, которые вытекают из са-
мого существования тел и из их взаимной непроницае-
мости. Мы, однако, сочли необходимым воздержаться от
такого способа рассуждения, так как нам кажется, что он
опирается на слишком неясное начало. Природа верхов-
ного существа слишком скрыта от нас, чтобы мы могли
непосредственно знать, что соответствует его мудрости
*) См. п° 46, в конце третьего случая, и п° 47.
32
введение
и что не соответствует. Мы можем лишь мельком видеть
результаты этой мудрости при наблюдении законов при-
роды, в то время как математическое рассуждение пока-
зывает нам простоту этих законов, а опыт — их примене-
ния и их границы.
Только что приведенные соображения, мне кажется,
могут служить для оценки тех доказательств законов
движения, которые давали некоторые философы, исходя
из принципа конечных причин, т. е. из тех целей, кото-
рые творец мира должен был ставить себе, устанавливая
эти самые законы. Подобные доказательства могут иметь
силу лишь в тОхМ случае, когда они опираются на пред-
шествующие им прямые доказательства, полученные из прин-
ципов, более доступных нашему пониманию. В противном
случае, как это нередко бывает, они могут приводить нас к
ошибочным заключениям. Именно потому, что Декарт сле-
довал этому пути, именно потому, что он полагал, что
по мудрости создателя во вселенной сохраняется всегда
одно и то же количество движения, он ошибся в законах
удара. Кто будет подражать в этом Декарту, тот рискует
пли впасть в такую же ошибку, или выдать за общий
принцип то, что справедливо лишь в определенных случаях,
или, наконец, счесть за первичные законы природы то,
что является лишь чисто математическим следствием из
тех или иных формул [16].
После того, как читатель получил общее представле-
ние о цели, которую я поставил перед собой в настоящем
сочинении, мне остается сказать лишь несколько слов о
той форме, которую я считал нужным придать этому со-
чинению.
В первой части я пытался изложить принципы механики
так, чтобы они были, насколько возможно, доступны для
начинающих. В теории неравномерного движения я не мог
избежать употребления дифференциального исчисления:
к этому меня принуждал самый характер предмета. В этой
первой части у меня заключено на немногих страницах
довольно большое количество вопросов, и если я не вхо-
дил при этОхМ во все подробности, приличествующие той
или иной проблеме, то только потому, что, поставив
ВВЕДЕНИЕ
33
в центре внимания изложение и доказательство основных
принципов механики и поставив своей целью дать в настоя-
щем сочинении лишь то, что может представить в той
или иной области нечто новое, я не считал возможным
увеличивать его объем множеством частных предложений,
которые легко можно найти в другом месте.
Гораздо более значительна вторая часть сочинения,
посвященная изложению законов движения тел, взаимо-
действующих друг с другом. Это и побудило меня дать
всей книге название «Динамика» [17]. Может показаться,
что это название, обозначающее буквально науку о силах,
или о причинах движения, не подходит к данной книге,
в которой я рассматриваю механику, как науку, скорее,
о действиях, чем науку о причинах. Поскольку, однако,
за последнее время слово «динамика» часто употреб-
ляется учеными для обозначения науки о движении тел,
тем или иным образом действующих друг на друга, я счел
необходимым оставить это название, чтобы самым назва-
нием этого трактата показать геометрам, что главной целью
своей я ставлю усовершенствование и развитие именно
этой части механики.
Эта ветвь механики столь же интересна, сколь и трудна
для исследования, и к ней относится огромное количество
задач. Весьма крупные геометры, в особенности за по-
следние годы, оказывали ей особенное внимание. Тем не
менее, до сих пор решено лишь весьма небольшое число
задач этого рода, и притом задачи эти относятся лишь
к частным случаям. Помимо этого, большая часть предла-
гавшихся до сих пор решений опирается на такие принципы,
которые в общей форме еще не доказаны: примером мо-
жет служить принцип сохранения живых сил. Потому я и
считал необходимым подробнее остановиться на этой проб-
леме и показать, каким образом все задачи динамики
можно решать одним и притом весьма простым и прямым
методом. Этот метод состоит лишь в том сочетании прин-
ципов равновесия и сложения движений, о котором мы
говорили выше. Применение данного метода я показываю
на небольшом числе отдельных задач, из которых одни
уже были решены раньше, другие решены только нами,
3 Ж. Даламбер
34
Введение
а третьи решались ошибочно даже самыми известными ма-
тематиками.
Изящество в решении какой-либо задачи достигается,
главным образом, тем, что при этом используются только
прямые принципы, и притом в очень небольшом числе [18].
Поэтому не нужно удивляться, что единообразие во всех
моих решениях, к которому я больше всего стремился,
достигается иногда тем, что решение получается более
длинное, чем в том случае, если бы оно основывалось
на менее прямых принципах. Впрочем, доказательства, ко-
торые мне тогда пришлось бы давать этим принципам,
только удалили бы меня от той краткости, которой я с
их помощью мог бы добиться. И наиболее значительная
часть моей книги представляла бы собой тогда лишь бес-
форменную груду задач, недостойную появления в свет,
несмотря на все разнообразие этих задач и несмотря на
трудность всех этих задач.
Вторая часть предназначается, главным образом, для
лиц, которые уже знают дифференциальное и интегральное
исчисление, уже освоились с принципами, установленными
нами в первой части, и имеют уже опыт в решении обыч-
ных механических задач. Поэтому во второй части я часто
пользуюсь неясным термином «сила» и некоторыми другими
терминами, обычно употребляемыми, когда говорят о дви-
жении тел. Предупреждая об этом во избежание недоразу-
мений, я должен сказать, что с этими терминами я нигде
не связываю никаких представлений, отличных от тех, ко-
торые вытекают из принципов, установленных мною как
здесь, во введении, так и в первой части трактата.
Наконец, из того же самого принципа, который по-
зволяет решить любую задачу динамики, я вывожу и неко-
торые свойства центра тяжести, из которых одни совершенно
новы, а другие доказывались лишь неясным образом. За-
канчиваю я свое сочинение доказательством принципа,
обычно называемого «сохранением живых сил».
Прием, который был оказан этому первому опыту,
появившемуся в свет в 1743 г., побудил меня в 1744 г.
опубликовать другое сочинение, где тем же самым мето-
дом рассматривается гее касающееся движения и равновесия
ВВЕДЕНИЕ
35
жидкостей р9]. Но как ни трудны задачи, относящиеся
к этой области, ими, однако, не исчерпывается сфера
применения нашего принципа. Наиболее важные применения
указаны мною в сочинении «Исследования о предварении
равноденствий»!20], посвященном задаче, решения которой
долго и безуспешно добивались крупнейшие геометры и ре-
шение которой мною найдено впервые; далее, в сочинении
«Опыт о сопротивлении жидкостей», основывающемся
целиком на нашей новой теории [21]; наконец, в сочинении
«Рассуждения о причине ветров» [22], где речь идет об
определении колебаний, которые должны вызываться в на-
шей атмосфере действием Солнца и Луны, — задаче, за ко-
торую до того никто еще не брался.
В заключение я смею сказать, что чем к большему
числу случаев я применял методы, излагаемые и развива-
емые в настоящем сочинении, тем больше я убеждался
в простоте, общности и плодотворности этих методов.
3*
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ.
I.
Если две подобные и равные части пространства непрони-
цаемы, т. е. если нельзя представить себе их соединенными,
слившимися одна с другой так, чтобы они образовали
одну часть пространства, меньшую, чем сумма их обеих,
то каждая из этих частей пространства есть то, что назы-
вают телом. Непроницаемость является главным свойством,
с помощью которого мы отличаем тела от частей безгра-
ничного пространства, в котором мы их мыслим располо-
женными.
Место тела есть та часть пространства, которую это
тело занимает; другими словами,—та часть пространства,
с которой совпадает объем данного тела.
II.
Тело находится в покое, если оно остается в одном и
том же месте. Оно движется, если оно переходит из од-
ного места в другое, т. е. если оно последовательно, без
перерывов, занимает части пространства, непосредственно
соприкасающиеся друг с другом.
III.
Поскольку тело не может занимать одновременно не-
сколько мест, оно не может за одно мгновение перейти
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ПОНЯТИЯ 37
из одного места в другое место. Следовательно, движе-
ние может осуществляться лишь в течение известного
времени.
IV.
Пространство, проходимое движущимся телом, делимо
до бесконечности; следовательно, и время также делимо
до бесконечности. Если тело, движущееся прямолинейно,
не претерпевает никаких изменений, кроме перемены места,
то оно в равные промежутки времени проходит равные
пространства. В таком случае говорят, что тело движется
равномерно. Если пространства, проходимые за равные
промежутки времени, возрастают или убывают, то движе-
ние называется ускоренным или замедленным.

ЧАСТЬ I.
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ.
1.	Все принципы механики можно свести к трем, а именно
принципу силы инерции, принципу сложения движений и
принципу равновесия. По крайней мере, я надеюсь дока-
зать в настоящем сочинении, что вся механика может быть
выведена из указанных трех принципов. О каждом из этих
принципов, в частности, я буду говорить отдельно в сле-
дующих главах.
ГЛАВА I
О силе инерции
и о вытекающих из нее свойствах движения.
2.	Силой инерции я вместе с Ньютоном называю свой-
ство тел сохранять то состояние, в котором они находятся.
Это свойство и нужно здесь доказать. Но тело необходимо
находится или в состоянии покоя, или в состоянии движения.
Поэтому необходимо доказать следующие два закона.
Первый з а к о в.
3.	Тело, находящееся в покое, будет неизменно пре-
бывать в покое, пока какая-нибудь внешняя причина не
выведет его из этого состояния.
О СИЛЕ ИНЕРЦИИ
39
В самом деле, тело не может само себя привести
в движение, потому что нет никакого основания к тому,
чтобы оно двигалось предпочтительнее в одну сторону,
чем в другую.
Следствие.
4.	Отсюда вытекает, что если вследствие какой-либо
причины тело получило движение, оно не сможет само по
себе ни ускорить, ни замедлить этого движения.
5.	Все то, что побуждает тело к движению, называют
вообще силой, или движущей причиной.
Второй закон.
6.	Тело, приведенное однажды какой-либо причиной
в движение, должно неизменно пребывать в состоянии
равномерного прямолинейного движения, пока на него не
подействует какая-нибудь новая причина, отличная от той,
которая привела его в движение. Другими словами, до тех
пор, пока на это тело не подействует какая-либо внешняя
причина, отличная от движущей причины, оно будет, неиз-
менно двигаться по прямой линии и за равные промежутки
времени проходить равные расстояния.
В самом деле, пли достаточно мгновенного и неделимо-
го действия движущей причины в начале движения для
того, чтобы заставить тело пройти определенное расстоя-
ние, или для движения тела необходимо постоянное дейст-
вие движущей причины.
В первом случае очевидно, что пройденный путь может
быть только прямой линией, описываемой движущимся
телом равномерно. Действительно (по предположению), по
прошествии первого мгновения действие движущей причины
уже не существует, однако, движение еще происходит.
Но так как тело само по себе не может ни ускорить,
ни замедлить своего движения (п° 4), то движение необхо-
димо будет равномерным. Кроме того, нет никакого осно-
вания для того, чтобы тело отклонялось вправо скорее,
чем влево. Следовательно, в этом первом случае, когда
предполагается, что тело способно двигаться в течение
40
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
известного промежутка времени само по себе, независимо
от движущей причины, оно будет двигаться в течение
этого промежутка времени равномерно и прямолинейно.
Но тело, которое может двигаться само по себе рав-
номерно и прямолинейно в течение известного промежутка
времени, должно продолжать двигаться таким же образом
вечно, если только ничто не будет нарушать этого дви-
жения. В самом деле, пусть тело выходит из А (фиг. 1)
и оно способно само по себе
f .	 1 пройти равномерно линию АВ.
А	СИ В G Возьмем на линии АВ две
-	<	произвольные точки С и D,
лежащие между А и В. На-
ходясь в D, тело пребывает
в точно таком же состоянии, в каком оно пребывало в С,
с той лишь разницей, что оно теперь находится в другом
месте. Следовательно, с этим телом здесь должно проис-
ходить то же самое, что и в С. Но, находясь в С, тело
(по условию) может двигаться само по себе равномерно
до В. Поэтому, и находясь в £), оно также сможет дви-
гаться само по себе равномерно до точки (?, взятой так, что
DG = CB.
Таким же образом можно рассуждать и дальше.
Итак, если первое и мгновенное действие движущей
причины способно привести тело в движение, то тело
будет двигаться равномерно и прямолинейно, пока это
движение не будет нарушено какой-либо новой причиной.
Во втором случае предполагается, что на тело не дей-
ствует никакая внешняя причина, отличная от движущей
причины, и потому ничто не вызывает ни увеличения, ни
уменьшения движущей причины. Отсюда следует, что
непрерывное действие этой причины будет все время оди-
наковым и постоянным и, таким образом, пока действует
эта движущая причина, тело будет двигаться прямолинейно
и равномерно. Но если движущая причина, действию ко-
торой ничего не противополагается, остается в течение
данного промежутка времени равной себе и постоянной,
то на том же самом основании всегда одним и тем же
О СИЛЕ ИНЕРЦИИ
41
будет, очевидно, оставаться и действие этой причины,
производя всегда один и тот же результат. Отсюда сле-
дует, и т. д.
Итак, вообще, тело, приведенное в движение какой
бы то ни было причиной, будет неизменно двигаться рав-
номерно и прямолинейно, пока на него не подействует
какая-либо новая причина [23].
Прямая линия, которую тело описывает или стремится
описывать, называется направлением этого тела.
Замечание I.
7.	Я даю несколько пространное доказательство второму
закону по той причине, что были, а может быть и до
сих пор имеются, такие философы, которые утверждали,
что движение тела само по себе должно мало-помалу замед-
ляться, как это, видимым образом, показывает опыт. Впро-
чем, нужно признать, что все доказательства, которые до
сих пор давались сохранению движения, вовсе не обладают
той степенью очевидности, какая необходима для убежде-
ния разума. Почти все эти доказательства основываются
либо на приписывании материи силы, вследствие которой
материя сопротивляется всякому изменению состояния, либо
на безразличии материи к движению и покою.
Первый из этих двух принципов, помимо того, что он
предполагает в материи такую сущность, о которой никто не
имеет ясного представления, нельзя признать достаточным
для доказательства того закона, о котором здесь идет
речь. В самом деле, когда тело движется, хотя бы и рав-
номерно, движение, которым оно обладает в тот пли иной
момент, отлично и как бы изолировано от движения, ко-
торым оно обладало в предшествующие моменты или ко-
торым оно будет обладать в последующие моменты. В каж-
дый момент тело находится в некотором смысле в новом
состоянии, которое не имеет ничего общего с предыдущим
состоянием. Тело, если можно так выразиться, только и
делает, что непрерывно начинает движение; и можно,
пожалуй, думать, что если бы та же причина, которая вы-
42 общие законы движения и равновесия тел
вела однажды его из состояния покоя, не продолжала его
каким-то образом снова приводить в движение, то тело
неуклонно стремилось бы вернуться в состояние покоя.
Что касается безразличия материи к движению и покою,
то, мне кажется, этот принцип дает нашему разуму лишь
ту отчетливую идею, что материи не присуще ни нахо-
диться всегда в движении, ни находиться всегда в покое.
Но следует ли отсюда с очевидностью, что движущееся
тело не может стремиться неизменно к покою? Это
не значит, что телу более присущ покой, чем
движение; а можно, скажем, полагать, что для того,
чтобы находиться в состоянии покоя, телу достаточно
быть просто телом, тогда как для движения необ-
ходимо еще нечто, так сказать, непрерывно воспроизводя-
щееся в нем,—до некоторой степени так мы ощущаем
движение нашего собственного тела, для движения которого
необходимы непрерывные усилия, тратящиеся и возобнов-
ляющиеся каждое мгновение. Мы совсем не настаиваем
на правильности аналогии между телами одушевленными
и неодушевленными. Но эта параллель может, по крайней
мере, заставить думать, хотя это и неправильно, что
в движущемся теле якобы имеется нечто такое, чего нет
в теле покоящемся. Следовательно, этой параллели уже
достаточно для того, чтобы признать несостоятельным то
самое доказательство, о котором мы сейчас говорим.
Доказательство сохранения движения, данное нами выше,
имеет ту особенность, что оно сохраняет свою силу, дей-
ствует ли движущая причина на тело беспрерывно, или
нет. Это не значит, что я считаю необходимым беспрерыв-
ное действие этой причины для движения тела, ибо что
за эффект имело бы это действие, если бы недостаточно
было мгновенного действия? Ведь если бы мгновенное дей-
ствие не имело никакого эффекта, то каким образом могло
бы иметь тот или иной эффект непрерывное действие?
Однако, поскольку при решении какого-нибудь вопроса
нужно ограничиваться наименьшим количеством принципов,
я счел необходимым ограничиться доказательством того,
что движение сохраняется безразлично как при том, так и
при другом допущении.
О РАВНОМЕРНОМ ДВИЖЕНИЙ
43
Правда, наше доказательство предполагает, что движе-
ние существует и тем более, что оно возможно. Но отри-
цать существование движения, значит, отказываться признать
факт, который никем не подвергается сомнению.
Замечание II.
8.	В согласии с приведенными рассуждениями опыт
также подтверждает принцип силы инерции. Во-первых, мы
видим, что окружающие нас тела остаются в покое,
пока что-нибудь не выведет их из этого состояния.
И если иногда нам кажется, что тела движутся без видимой
причины, то по аналогии, а также на основании единооб-
разия законов природы и вследствие неспособности материи
самой по себе приходить в движение мы вправе заключить,
что причина здесь не менее реальна, хотя она и скрыта
от нас. Во-вторых, хотя и не существует таких тел, ко-
торые бы вечно сохраняли свое движение, — всегда ведь
существуют причины, как, например, трение и сопротив-
ление воздуха, которые постепенно замедляют движение, —
тем не менее мы видим, что движущееся тело тем дольше
сохраняет движение, чем меньше эти причины, замедляю-
щие движение. Отсюда мы можем заключить, что движение
никогда бы не кончилось, если бы никаких замедляющих
причин не было*}.
О равномерном движении.
9.	Мы только что видели, что когда на тело не дей-
ствует никакая внешняя причина, оно будет двигаться рав-
номерно и прямолинейно. Отсюда следует, что то же тело
может двигаться также равномерно и в том случае, если
на него действуют одновременно две равные причины, одна
ускоряющая, а другая замедляющая движение тела. (Именно
поэтому, заметим мимоходом, падающие тела начинают
*) В «Encyclopedic") под словим «Еогсе» (Сила) можно найти
ряд других замечаний о принципе силы инерции. Поскольку эти
замечания выходят из рамок данной темы, мы отсылаем читателя
туда р4].
44
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
двигаться равномерно, когда сопротивление той жидкости,
в которой движутся эти тела, стремится уменьшить их
движение ровно настолько, насколько вес их стремится его
увеличить.) Во всех других случаях движение может быть
только или ускоренным, или замед-
ленным.
10.	Если две какие-либо части АВ
и АС (фиг. 2) неограниченной прямой
АО представляют два промежутка
времени, истекшего с момента начала
движения, а линии BD и СЕ — пути,
пройденные за эти промежутки времени
равномерно движущимся телом, то
точки D и Е будут лежать на одной
прямой ADE.
В самом деле, так как равномерно
движущееся тело за равные промежутки
времени проходит равные пути, то точки D и Е должны
лежать на такой линии, что при произвольных, но равных
между собой АВ и ВС мы всегда будем иметь
BD = FE.
А этим свойством обладает только прямая линия. Отсюда
следует, и т. д.
Следствие.
11.
BD\CE = AB'.AC\^
т. е. при равномерном движении пути относятся между
собой как промежутки времени, затраченные на их про-
хождение.
Замечание по поводу измерения времени.
12.	Так как отношение промежутков времени самих по
себе нам не известно, то единственный способ, который мы
можем применить, чтобы определить это отношение, это —
найти какое-то другое, более доступное нашим чувствам
и лучше нам известное отношение, с которым мы могли
ЗАМЕЧАНИЕ ИО ПОВОДУ ИЗМЕРЕНИЯ ВРЕМЕНИ
45
бы сравнить первое. Если нам удастся наиболее простым
способом сравнить отношение промежутков времени с ка-
ким-нибудь другим отношением, известным нам лучше всего,
то мы и найдем простейшую меру времени.
Отсюда следует, что простейшей мерой времени яв-
ляется равномерное движение. В самом деле, с одной сто-
роны, легче всего мы воспринимаем отношение отрезков
прямой линии; с другой стороны, вообще нет отношений,
которые было бы легче сравнивать друг с другом, чем
равные отношения. При равномерном же движении отно-
шение промежутков времени равно отношению соответ-
ствующих частей пройденного пути. Таким образом, равно-
мерное движение дает нам одновременно и средство сравнить
отношение промежутков времени с таким отношением, ко-
торое наиболее доступно нашим чувствам, и средство осу-
ществить это сравнение наиболее простым способом. Сле-
довательно, в равномерном движении мы находим наиболее
простую меру времени.
Помимо этого, я утверждаю, что измерение времени
при помощи равномерного движения, независимо от его
простоты, является и наиболее естественным, которое можно
придумать для пользования. Действительно, так как никакое
отношение не известно нам точнее, чем отношение частей
пространства, и так как вообще любое движение, закон
которого нам задан, приводит к отысканию отношения
между промежутками времени, исходя из известной нам
связи этого отношения с отношением частей пройденного
пути, то ясно, что такое движение будет наиболее точной
мерой времени, и потому именно им и надлежит пользоваться
предпочтительно перед всеми прочими.
Поэтому если существует такой частный вид движения,
при котором связь между отношением промежутков вре-
мени и отношением частей пройденного пути известна не-
зависимо от каких бы то ни было допущений, а просто
в силу природы самого движения, и если этот частный
вид является единственным движением, обладающим этим
свойством, то" он, очевидно, и будет наиболее естествен-
ной мерой времени. Обоим этим условиям удовлетворяет
только равномерное движение.
46
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
В самом деле, движение тела само по себе будет рав-
номерным (п° 6): ускоренным или замедленным оно стано-
вится лишь при действии той пли иной внешней причины,
п тогда это движение может подчиняться бесчисленному
множеству различных законов изменения. Закон равномер-
ности, т. е. равенство отношения между промежутками вре-
мени и отношения между пройденными путями, является
свойством этого движения, взятого само по себе. Поэтому
равномерное движение имеет наибольшее соответствие
с длительностью, и вследствие этого оно наиболее пригодно
служить мерой этой длительности, поскольку части послед-
ней следуют одна за другой также неизменно и равномерно.
Напротив, всякий закон ускорения или замедления движе-
ния, так сказать, произволен и зависит от внешних обсто-
ятельств. Неравномерное движение не может быть, поэтому,
естественной мерой времени. Действительно, во-первых,
у нас не было бы никакого основания для того, чтобы
какой-нибудь один вид неравномерного движения взять
первичной мерой времени предпочтительно перед другим.
Во-вторых, при помощи неравномерного движения невоз-
можно было бы измерять время, не зная откуда-нибудь
заранее, какая связь между отношением времен и отно-
шением пройденных путей соответствует данному движению.
А откуда же можно знать эту связь, как не из опыта?
А не предполагает ли опыт, что уже имеется вполне опре-
деленная мера времени?
Но, скажут, каким образом можно убедиться в том,
что данное Движение является в точности равномерным?
Прежде всего я на это отвечу, что ни у какого неравно-
мерного движения мы также не знаем точно закона этого
движения. Поэтому приведенное возражение доказывает
только то, что мы не можем определить со всей точностью
и строгостью отношения между промежутками времени.
Но отсюда вовсе не следует, что равномерное движение
не является по своей природе единственной первичной и
простейшей мерой времени. Если у нас нет возможности
найти точную и строгую меру времени, то мы должны
искать, по крайней мере, приближенную меру, — среди
движений примерно равномерных. Для установления того,
ЗАМЕЧАНИЕ ПО ПОВОДУ ИЗМЕРЕНИЯ ВРЕМЕНИ
47
что движение приближенно равномерно, у нас есть три
способа.
Во-первых, движение тела можно считать приближенно
равномерным в том случае, если тело проходит одинаковые
пути за такие промежутки времени, которые мы можем
считать одинаковыми. Промежутки же времени мы можем
считать одинаковыми в том случае, если многократные
наблюдения показывают, что в течение их происходят оди-
наковые события, которые можно считать длящимися оди-
наково долго. Так, мы можем считать, что пз одной и той
же клепсидры [26] вода вытекает всякий раз за одно и то
же время. Если, поэтому, за такие промежутки времени
тело проходит одинаковые пути, то мы можем считать, что
движение этого тела является равномерным.
Во-вторых, движение можно считать приближенно рав-
номерным, когда мы вправе полагать, что действие уско-
ряющей или замедляющей причины,—если таковая имеется,—
может быть только неощутимым. На основании первого и
второго критерия вместе полагают, что движение Земли
вокруг ее оси является равномерным, и это предполо-
жение не только ни в какой степени не было опровергнуто
другими небесными явлениями, но даже, повидимому, на-
ходится с ними в полном согласии.
В-третьих, движение можно считать приближенно рав-
номерным, когда мы, сравнивая его с другими движениями,
замечаем, что все они управляются одним и тем же законом.
Так, если несколько тел движутся таким образом, что пути,
проходимые ими за одно и то же время, всегда находятся
(точно или приближенно) в одном и том же отношении
друг к другу, то считают движение этих тел равномерным
или по меньшей мере весьма близким к равномерному.
В самом деле, пусть какое-нибудь движущееся равномерно
тело А за произвольно взятый промежуток времени Т про-
ходит путь £, а другое тело В, движущееся также рав-
номерно, за то же время Т проходит путь е. Тогда неза-
висимо от того, одновременно ли начали двигаться эти два
тела или нет, отношение Е к е будет всегда одним и
тем же. И этим свойством обладает лишь равномерное
движение. Вот почему, если промежуток времени разделить
48 ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
на произвольные равные или неравные части, и если при
этом окажется, что пути, проходимые обоими телами за
одну и ту же часть этого промежутка, находятся между
собой всегда в одном и том же отношении, то чем больше
будет число частей, на которые разделен данный про-
межуток времени, тем с большим правом можно будет
заключить, что движение обоих тел является равномерным.
Правда, ни один из этих критериев не удовлетворяет
требованиям геометрической строгости. Однако, они доста-
точны для того, чтобы сделать законное заключение, если
не об абсолютной, то по крайней мере о приближенной
равномерности движения,—в особенности если этими кри-
териями пользоваться по нескольку раз и в комбинации
друг с другом.
13.	Говорят, что тело, движущееся равномерно, дви-
жется тем быстрее, чем больше путь BD, проходимый им
в определенное время АВ. Так, если пути, пройденные
двумя равномерно движущимися телами за одно и то же
время АВ, равны BD и Bd, то говорят, что скорости этих
тел относятся друг к другу, как BD к Bd.
Следствие.
14.	Отношение BD к Bd равно
BD Bd _BD .Се
АВ : АВ “ АВ : АС '
Это значит, что вообще скорости двух тел находятся друг
к другу в том же отношении, как и пути BD и Се, про-
ходимые этими телами за произвольные промежутки вре-
мени, деленные на эти самые промежутки времени*).
*) Поскольку путь и время являются величинами разного
рода, как это указывалось во введении, всякому ясно, что путь
нельзя делить на время. Поэтому, когда говорят, что «скорости
находятся в том же отношении, как пути, деленные на проме-
жутки времени», этим кратко выражают то, что скорости про-
порциональны отношениям расстояний к общей мере расстояний,
деленным на отношения времен к общей мере времен. Другими
словами, если, например, взять за общую меру расстояний фут,
а за меру времен — минуту, то скорости двух тел, движущихся
ОБ УСКОРЕННОМ ИЛИ ЗАМЕДЛЕННОМ ДВИЖЕНИИ
49
Итак, вообще скорость равномерно движущегося тела
пропорциональна пути, деленному на время. Скорость пред-
ставляет собой лишь относительное понятие, и потому она
вовсе не имеет абсолютной меры; никогда не судят о ско-
рости тела самой по себе, а сравнивают ее со скоростью
какого-нибудь другого тела. Поэтому, способ выражения,
столь обычный у механиков, что «скорость равна пути,
деленному на время», является лишь сокращенным выра-
жением того, что скорости двух тел, движущихся равно-
мерно, относятся друг к другу так, как пути, проходимые
телами, делённые на промежутки времени, затраченные на
это прохождение. При этом последнее выражение надо
понимать в том смысле, как это указывается в сноске.
Об ускоренном или замедленном движении.
15.	Если концы линий BD и СЕ, представляющих пути,
пройденные за промежутки времени АВ и АС, лежат не на
прямой, а на кривой ADE (фиг. 3 и 4), то это значит, что
равномерно, находятся друг к другу в том же отношении, как
числа пройденных футов, деленных на числа затраченных на это
минут, а вовсе не как футы, деленные на минуты. См. по этому
поводу «Encyclopedic», конец статьи «Equation» (Уравнение) [27].
(Примечание Безу,)
4 Ж, Даламбер
50
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
данное движение не равномерное, а ускоренное или замед-
ленное,— смотря по тому, будет ли кривая ADE обра-
щена к АС своей выпуклостью или вогнутостью. В самом
деле, если, например, движение ускоренное, то пути DX
и РЕ (фиг. 5), пройденные за равные промежутки вре-
мени BQ и ВС, возрастают. Таким образом,
PE>DX.
Это возможно лишь в том случае, когда кривая ADE об-
ращена к АС своей выпуклостью. Подобное непрерывное
изменение может иметь место только при какой-нибудь по-
стоянно действующей внешней причине, ускоряющей или
замедляющей движение тела (п°6).
При ускоренном или замедленном движении скорость
тела меняется в каждый момент и не может измеряться
постоянной величиной, как при равномерном движении.
Однако, нетрудно понять, что для данного момента ее вы-
ражение должно быть таково же, каким оно было бы, если
бы движение в этот момент перестало быть ускоренным
или замедленным. Предположим, например, что тело дви-
жется ускоренно и пусть в тот момент, когда оно прошло
ОБ УСКОРЕННОМ ИЛИ ЗАМЕДЛЕННОМ ДВИЖЕНИИ
51
путь BD, оно начинает двигаться равномерно с той самой
скоростью, какую оно имело в Л В таком случае ясно,
что, во-первых, линии TZ и PN (фиг. 5), представляющие
те пути, которые тело будет дальше проходить за какие-то
конечные промежутки времени ВМ и ВС, оканчивались бы
на прямой линии DN*, во-вторых, эти отрезки PN и TZ
должны быть больше, чем отрезки DX и Dx, которые
тело проходило перед этим за время Вт=ВМ и за время
BQ=BC\ в-третьих, те же отрезки PN и TZ должны
быть меньше отрезков РЕ и TQ, которые тело прошло бы
за время ВС и за время ВМ, если бы оно продолжало
двигаться ускоренно. Но для этого необходимо, чтобы пря-
мая DN была касательной *). То же самое можно доказать
и для случая замедленного движения. Отсюда в общем
случае следует, что если провести касательную ZW
(фиг. 3 и 4), то за время ВС тело при равномерном дви-
жении прошло бы не отрезок РЕ, а отрезок РЛГ, Тогда
(б?) бУдет выРажать СК°РОСТЬ тела (п° 14). Но отноше-
ние ZW и DP равно отношению приращения линии BD
к приращению линии АВ, так как DN является касатель-
ной. Итак, если в общем случае через t обозначить время,
через е — пройденный телом путь, через а — скорость
в конце времени t, то мы будем иметь
Продолжим касательную DN (фиг. 3 и 4) до пересе-
чения с АВ в точке F. Тогда BF будет представлять
время, которое тело должно было бы затратить на то,
*) Очевидно, нельзя предположить, что тело при равномер-
ном движении пройдет отрезок РО, меньший чем отрезок PN,
отграниченный касательной DN*. в противном случае РО было бы
меньше DX, так как
PO — Dy.
Нельзя также предположить и того, что тело пройдет отрезок PR>
больший чем PN, так как в противном случае всегда можно вооб-
разить такую точку Т, что отрезок ТС9, проходимый равномерно
за время DT, будет больше отрезка ТО, оканчивающегося на кри-
вой, а это невозможно. (Примечание Безу.)
4*
52
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
чтобы пройти BD, двигаясь равномерно с той скоростью,
какую оно имеет в точке D. Следовательно, если из точки А
провести Ad параллельно FD, то Bd будет тем расстоя-
нием, которое это тело прошло бы за время АВ, двигаясь
равномерно с этой самой скоростью.
Отсюда мы получаем, что если, скажем, ADE (фиг. 3)
является параболой, т. е. если расстояния BD и СЕ про-
порциональны квадрату времен, то
АВ = <2ВЕ[2*]
и
Bd — ^BD.
Следствие L
16. Тело за времена ВС и Вс (фиг. 3 и 4) проходит
расстояния большие или меньшие, чем расстояния PN
и рп, которые оно прошло
(фиг. 6). Через точку 7V
бы, двигаясь равномерно с той
скоростью, которой оно обла-
дает в D, на отрезки NE и пе.
Если предположить промежутки
времени ВС и Вс беско-
нечно малыми, то линии NE и
пе будут относиться друг к
другу так же, как квадрат ВС
относится к квадрату Вс.
В самом деле, при беско-
нечно малой величине дуги DE
эту дугу можно рассматривать
как дугу круга. Возьмем на
касательной к дуге круга
бесконечно малый отрезок DN
и через другую произвольную
точку л, лежащую на этом отрезке, проведем какие-нибудь
параллельные прямые NQ и nq. Тогда на основании (из-
вестных) свойств круга мы будем иметь
NE*NQ — DN2,	пе* nq=Dn2.
ОБ УСКОРЕННОМ ИЛИ ЗАМЕДЛЕННОМ ДВИЖЕНИИ
53
Ввиду того, что отрезки NQ и nq следует считать равными
друг другу, мы получим
NE\ne = DN2:Dn*.
Но (см. фиг. 3 и 4)
DN-.Dn=BC\Bc
и потому в общем случае
NE\ne — BC2\Bc2.
Следствие II.
17.	Ясно, что отрезки NE и пе представляют собой
те расстояния, которые телом проходились бы за элементы
времени ВС и Вс под действием ускоряющей причины,
если бы оно в начале этих элементов времени находилось
в покое. Отсюда следует, что пути, проходимые телом под
действием ускоряющей причины, в начале движения про-
порциональны квадрату времени.
Следствие III.
18.	Считая ВС, пли dt, постоянным, можно будет положить
ВС2 —
где F—некоторая величина, если угодно, изменяющаяся
с изменением абсциссы АВ, но которую можно считать
постоянной при бесконечно малом изменении АВ*).
*)Из пропорции
NE-ne = BC*-.Bc*
мы получаем
NE____________________________ пе
ВС2 Вс* ’
NE	пе
Если g&r обозначить буквой F, то будет также равно F.
Следовательно, величина F остается неизменной при бесконечно
малых изменениях АВ. (Примечание Безу.)
54
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
Следствие IV.
19.	Если в круге RDQ (фиг. 6) провести бесконечно
малые хорды RD и DE, которые или равны между собою,
или отличаются друг от друга на величину, бесконечно
малую по сравнению с ними самими; если, далее, продол-
жить хорду RD до точки О, так что DO=RD\ если,
наконец, через точки О и Е провести прямую OQ, а через
точку D — касательную DN, пересекающуюся с OQ
в точке Nt то по известному свойству круга мы будем
иметь
DN* = NE-NQ
и
OD-OR, или 2DO2 — ОЕ-OQ.
Так как линии DN и DO должны рассматриваться как
линии, равные между собою, и точно так же должны рас-
сматриваться линии NQ и OQ, то мы получим
0E=2NE*).
Если, следовательно, элемент дуги DE произвольной
кривой ADE (фиг. 3 и 4) считать малой дугой круга, — а
это всегда можно предположить, не делая ошибки,—то
вторая разность ОЕ от пройденного пути [29] будет в два
раза больше действительного пути ДГ£, который тело про-
ходит за элемент времени ВС под действием ускоряющей
или замедляющей силы, хотя на первый взгляд линии ОЕ
*)Если линии OD и DE равны между собою, то можно строго
доказать, что
0E—2NE.
В самом деле, треугольник DOE будет тогда равнобедренным,
угол ODE измеряется половиной дуги RDE, а угол NDE—поло-
виной дуги DE. Отсюда следует, что линия DN делит угол ODE
пополам; а так как
DO^DE.
то мы будем иметь
0E—2NE,
Приведенное в тексте доказательство распространяется и на тот
случай, когда OD и DE отличаются друг от друга на величину,
бесконечно малую по сравнению с ними самими, и следовательно,
не в точности равны между собою. {Примечание Безу,)
ОБ УСКОРЕННОМ ИЛИ ЗАМЕДЛЕННОМ ДВИЖЕНИИ 55
и NE кажутся равными друг другу в кривой, рассматри-
ваемой как ломаная: касательная DN тогда совпадает
с продолжением DO весьма малого звена RD кривой.
Следствие V.
20.	Если путь пройденный за время обозначить
через е, то на основании изложенного мы будем иметь
d2e = 2NE
и, так как
ВС2 1 ’
то
~=2F.
dt*
Следовательно, вообще для кривой ADE можно взять
дифференциальное уравнение второго порядка в виде
ydt2 = ± d2et
где (f представляет собой некоторую функцию от е и /,
пли от t и их дифференциалов. При этом знак будет
соответствовать ускоренному движению, т. е. тому случаю,
когда кривая ADE обращена к АС своей выпуклостью, а
знак — будет соответствовать замедленному движению,
т. е. тому случаю, когда кривая ADE обращена к АС
своей вогнутостью.
Следствие VI.
21.	Так как
de
и — —
dt
(n° 15), то при постоянном dt мы будем иметь
d2e — dudt.
Отсюда предыдущее уравнение
у di2
принимает вид
ydt — -4- da,
или
yde — Л- adu.
56
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
Замечания по поводу ускоряющих сил и сравнения их
между собою»
Замечание L
22.	Равномерное движение тела может быть изменено
лишь внешней причиной. Но из всех причин, оказывающих
влияние на движение тела, только удар, как это мы уви-
дим во второй части, обладает тем свойством, что его
действие мы в состоянии определить, исходя из известной
нам причины. Все остальные причины остаются совершенно
нам неизвестными; вследствие этого они проявляются для
нас только своим действием, ускоряя или замедляя движе-
ние тел; и мы можем отличить одни причины от других
только при помощи закона и известной величины их дей-
ствия, т. е. при помощи закона и величины производимого
ими изменения движения.
Следовательно, в том случае, когда причина нам не-
известна,— а лишь об этом случае здесь у нас и будет
птти речь,—нам должно быть непосредственно дано урав-
нение кривой ADE, либо в конечной, либо в дифференциальной
форме. Если движение ускоряется или замедляется, следуя
некоторому произвольному закону, носящему характер чисто-
го допущения, то уравнение обыкновенно имеет дифференци-
альную форму. Если же закон, связывающий пространство
и время, известен нам из опыта, то это уравнение, напро-
тив, обыкновенно бывает дано в конечных величинах.
Предположим, например, что ускоряющая сила такова,
что тело за одинаковые мгновения получает одинаковые
приращения скорости. Тогда, так как dt постоянно, du
также будет постоянно. Постоянной будет и величина у.
Уравнение
ydt = du
в данном случае вытекает непосредственно из сделанного
допущения.
Предположим теперь, что в каком-то частном случае опыт
показал, что конечные расстояния, пройденные с начала
ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ УСКОРЯЮЩИХ СИЛ
57
движения, пропорциональны квадрату затраченных времен.
Тогда уравнение кривой ADE будет иметь вид
где а — путь, пройденный за какое-то определенное время Г.
Отсюда следует, что
Мы видим, что при данных предположениях приращения
скорости в каждый элемент времени одинаковы. Это выра-
жают иначе, говоря, что ускоряющая сила ср постоянна.
В данном случае, как и в других, ему подобных, диффе-
ренциальные уравнения
ydt2 — +^d2e
(fdt—^zdu
мы получаем из заданного конечного уравнения кривой
ADE.
В том случае, когда причина нам неизвестна, очевидно,
должно быть задано уравнение
®dt = ±du *).
*)Мы только что видели, что каково бы ни было ускорение
или замедление движения, кривая будет иметь дифференциальное
уравнение одного и того же вида, а именно:
ydt2= + d2e.
Однако, для того, чтобы из этого уравнения, а равно из уравне-
ний
ydt = zt.du
yde = z£udiL
найти для данного движения то или иное соотношение между tz, t
и нужно знать у. Можно было бы думать, что для этого не-
58
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
Большинство геометров рассматривает уравнение
ydt = du,
связывающее время и скорость, с другой точки зрения.
То, что по-нашему есть лишь допущение, ими возво-
дится в принцип. Поскольку увеличение скорости есть
действие ускоряющей причины и поскольку, по их мнению,
действие всегда пропорционально своей причине, они рас-
сматривают величину ср не просто как выражение отноше-
ния du к dt'. по их мнению, она, кроме того, является
выражением ускоряющей силы, которой, как они утвер-
ждают, при постоянном dt должно быть пропорционально
du. Отсюда они получают общую аксиому, что произведе-
ние ускоряющей силы на элемент времени равно элементу
скорости.
Даниил Бернулли в петербургских «Commentarii» (том 1)
утверждает, что принцип этот является лишь случайной
истиной, поскольку мы не знаем природы причины и спо-
соба ее действия и потому не можем знать, действительно
ли действие пропорционально своей причине, пли же оно
обходимо знать, в чем заключается та причина, которая ускоряет
или замедляет движение. Цель настоящего замечания заключается
в том, чтобы показать, что на самом деле это не так: всегда
задано самим характером рассматриваемого движения. Так, со-
гласно этому замечанию, для того чтобы определить зависимость
между путем, скоростью и временем при заданном законе дви-
жения, нужно воспользоваться уравнениями
ydt rzz^du
и
yde = zt п du.
В эти уравнения достаточно подставить вместо ф ту величину,
которая выражает закон увеличения или уменьшения скорости.
Предположим, например, что уменьшение скорости за любое мгно-
вение пропорционально квадрату скорости. В таком случае мы
можем записать
gu2dt = — du,
gtt-de — — и du,
где g—постоянный коэффициент. Таким же образом нужно по-
ступать и в других случаях. (Примечание Безу.)
ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ УСКОРЯЮЩИХ СИЛ
59
пропорционально какой-нибудь степени, или вообще какой-
нибудь функции от своей причины [30].
Напротив, Эйлер в своей механике старается доказать,
что данный принцип представляет собой необходимую исти-
ну [«].
Что касается нашего мнения по вопросу о необходи-
мости или случайности этого принципа, то мы, не желря
разбирать здесь этого вопроса, ограничимся тем, что дан-
ный принцип примем за определение ускоряющей силы:
термином «ускоряющая сила» мы будем обозначать просто
величину, пропорциональную приращению скорости. Так,
вместо того, чтобы говорить, что приращение скорости
в любое мгновение постоянно или что это приращение
пропорционально квадрату расстояния тела от некоторой
неподвижной точки и т. д., мы в целях краткости, а так-
же в целях согласия с принятой терминологией, будем
просто говорить, что ускоряющая сила постоянна или что
она пропорциональна квадрату расстояния и т. д. Вообще
под отношением двух сил мы всегда будем понимать про-
сто отношение их действий, не вдаваясь в рассмотрение
того, пропорционально ли действие своей причине или же
оно пропорционально какой-то функции от этой причины, —
рассмотрение совершенно излишнее, поскольку действие
всегда задается независимо от причины либо на основании
опыта, либо в качестве допущения.
Итак, под движущей причиной вообще мы будем пони-
мать произведение движущейся массы на элемент ее ско-
рости или, что то же самое, на малый отрезок пути, кото-
рый эта масса прошла бы в течение данного элемента
времени под действием ускоряющей или замедляющей
причины. Под ускоряющей же силой мы будем понимать
просто элемент скорости [32].
После подобных определений нетрудно видеть, что
любая задача, относящаяся к прямолинейному движению
тел, обладающих некоторыми силами [33], направленными
к какому-нибудь центру, или тел, притягивающих друг
друга по тому или иному закону, будет задачей, по край-
ней мере, столь же геометрической, сколь и механической,
ц трудности, встречаемые в задачах этого рода, будут
60
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
лишь трудностями вычислительного порядка, если только
движущееся тело можно рассматривать как точку.
Можно, пожалуй, подумать, что уравнение ydt—±duy
рассматриваемое не как гипотеза, а как принцип, будет по
крайней мере необходимым для вычисления действий, при-
чины которых известны, как, например, удар, в особенно-
сти когда этот удар состоит из повторяющихся маленьких
толчков. Я надеюсь, что из второй части настоящего труда
будет видно, что этот мнимый принцип не только бесполе-
зен и в этом случае, но что применение его будет недо-
статочным и может привести даже к ошибкам.
Замечание П.
23.	Небесполезно будет заметить, что в тех случаях,
когда задано уравнение между е и t в конечном виде
и когда при помощи дифференцирования из него полу-
чается обычное уравнение
d2e — ydf\
значение d2e, определяемое из этого уравнения, будет как
раз равно О£, истинной второй разности от BD. На пер-
вый взгляд может показаться, что на основании самой
природы дифференциального исчисления можно усумниться
в том, действительно ли величина d2ey найденная при
помощи дифференцирования, представляет собой истинную
длину отрезка ОЕ или какого-либо другого отрезка, ска-
жем, NE. Однако, с помощью этого самого исчисления
можно убедиться в том, что найденная величина ydt2 рав-
на ОЕ*).
*)Для того чтобы указанное сомнение возникло, достаточно
вспомнить то правило, по которому находится вторая разность.
Предположим (фиг. 8), что AM=t и МР представляет какую-то
функцию от t, которую я обозначу ф(£). Для того чтобы найти
величину ZD, предположим, что t переходит в t-{-dt9 и тогда,
так как
BD~v(t±dt),
мы получим
если пренебречь бесконечно малыми величинами второго и бо-
ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ УСКОРЯЮЩИХ СИЛ
61
Замечание III.
24.	Выше (п° 15) мы видели, что если пройденные
пути пропорциональны квадратам соответствующих времен,
то тело, проходящее за время Т путь Е (фиг. 7), про-
шло бы равномерно за то же время путь 2f, если бы
оно обладало той скоростью, какую оно имеет в конце
пути Е. Но и при любой ускоряющей или замедляющей
силе пути пе и NE, проходимые телом под действием этой
силы в течение элемен-
тов времени Вс и ВС,
относятся между собой,
как квадраты этих эле-
ментов времени. От-
сюда следует, что в
кривой, рассматривае-
мой в качестве лома-
ной [85], величину
ОЕ или d2e = 2NE,
рассматриваемую как
действие ускоряющей
или замедляющей силы,
следует представлять
как расстояние, которое
проходится телом при равномерном движении с бесконечно
малой скоростью, приобретенной телом в конце элемента
лее высоких порядков. Затем, чтобы найти величину £0, нужно
в ID предположить, что t перешло в t-\-dt, и на этот раз пре-
небречь бесконечно малыми величинами третьего и более высоких
порядков: мы получим тогда величину RE. За величину d2e при-
нимают разность между этой величиной RE и величиной ID, най-
денной ранее. Однако нужно отметить, что, поскольку при
определении величины ID мы отбрасывали величины второго
порядка, это отбрасывание может повлиять на искомую разность
отрезков ID и RE, представляющую собой бесконечно малую вели-
чину второго порядка. Следовательно, мы не вправе делать за-
ключение о том, что ОЕ равно величине d2e, если не будет пока-
зано, что то отбрасывание, о котором идет речь, дает лишь
бесконечно малую ошибку порядка выше второго.
Для того чтобы убедиться в этом, докажем одно предложи-
62
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ П РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
времени ВС. Отсюда явствует, каким образом мгновенное
действие ускоряющей или замедляющей силы можно свести
к равномерному движению.
Замечание IV.
25.	В кривой, рассматриваемой в качестве ломаной
(фиг. 8), действия ускоряющей силы в течение элементов
времени Вс и ВС будут пред-
ставлены отрезками О'Е' и ОЕ.
Эти отрезки, очевидно, пропор-
циональны временам Вс и ВС
вследствие подобия треуголь-
ников DE'CT и DEOy что как
раз и подтверждает то, что мы
только что отметили, а именно,
что расстояние ОЕ можно рас-
сматривать как проходимое рав-
номерно за время ВС. Ведь если
пути О'Е' и ОЕ находятся друг
к другу в том же отношении, как и затраченные времена
Вс и ВС) то движение—равномерное.
ние, приводимое нашим автором в его «Исследованиях о системе
мира».
Пусть (z 4- ?) есть некоторая функция от z -f- 5, где 8 — очень
малая величина, на которую по условию возрастает z. Тогда мы
имеем
?(г4-Э=?Ю + Щг)+^--{- и т. д.,
где A (z) есть коэффициент при dz> получающийся при нахождении
дифференциала от ф(г)[м1> а Г (z) — коэффициент при dz* по-
лучающийся при нахождении дифференциала от А (г). В самом
деле, пусть
ф(г + Е)==Ф(г)-|-и;
найдем дифференциал от этой функции, считая z постоянным
(это сделать возможно, так как мы считаем, что в данном слу-
чае изменение z сводится к изменению 8). Тогда мы будем иметь
Полагая
d$A (z-±$ = du.
A(^ + S) = A(4+r,
ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ УСКОРЯЮЩИХ сил
63
Отсюда следует, что, поскольку в случае кривой, рас-
сматриваемой в качестве ломаной, действие ускоряющей
силы выражается при помощи равномерного движения, при
мы точно так же получим
Полагая, далее,
мы получим
d^(z + ^) = dr.
Г(г + ') = Г(г)-Н,
йШ (« + ?)== ds.
Продолжая поступать таким же образом и дальше, мы будем
иметь
? (г + 5) = т (г) + j	(z) + ( d* j (z) +
+ j d'- § dl § dtfl (z) и т, д.,
что будет равно
?(г)+Щ*)+у Г(.г) + -^М+ и т. д.
Установив все это и имея в виду, что
МР == ср (t),
мы будем иметь
BD = y(t-\-dt) =<р(0Ч-ЛД(0 + ~^-4- и т. д.
C£'=<P(< + 2rft) = 'f(04-2rf^(0 + 2^2r(i)4- и т. д.
Следовательно,
Q
/?E=dtA(t) + ^-rft2r(f)
и
RE—ID или —ОЕ или —d2e dt2V (t).
С помощью обычных методов дифференциального исчисления мы
получим
ID — dt Д(0
и
RE= dt Д (f + dt) ^dtb (t) + dt2 Г (0,
откуда
RE—ID или —ОЕ или — d2e = dt2 Г (t).
Следовательно, d2e> получаемое методами дифференциального
исчисления, действительно равно величине ОЕ, (Примечание
Безу,)
64
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
таком предположении отнюдь нельзя считать, что скорость
возрастает постепенно в течение элемента времени ВС, а
нужно полагать, что тело, пройдя путь BD, в начале эле-
мента времени ВС сразу, скачком, получит все то увели-
чение или уменьшение скорости, которое оно в действи-
тельности получает только к концу этого самого элемента
времени.
Для подтверждения этого достаточно указать, что в
случае кривой, рассматриваемой в качестве ломаной, тело
в действительности проходит в течение элементов времени
Вс и ВС расстояния ТЕ' и RE (фиг. 8), пропорциональные
временам. Таким образом, скорость в течение элемента
времени ВС можно считать постоянной, и она относится к
скорости за предыдущий элемент времени ВМ, как RE
относится к ID. Отсюда следует, что в начале элемента
времени ВС скорость меняется скачком в отношении RE
и ID.
Напротив, в случае подлинной кривой действия уско-
ряющей или замедляющей силы в течение элементов вре-
мени Вс и ВС выражаются отрезками пе и NE (фиг. 7),
пропорциональными квадратам времен. В этом случае ско-
рость увеличивается или уменьшается равномерно в тече-
ние всего элемента времени ВС в результате действия уско-
ряющей силы, производящей на тело в течение этого
элемента времени ряд равных повторяющихся весьма малых
толчков. Сумма этих малых толчков должна быть равна
тому одному удару, который в случае кривой, рассматри-
ваемой в качестве ломаной, сообщается телу, как мы
полагаем, в начале элемента времени ВС.
Здесь возможно возражение, которое мы хотим преду-
предить. Найденное нами уравнение
d2e — ydt2
относится как к случаю подлинной кривой, так и к случаю
кривой, рассматриваемой в качестве ломаной. Поскольку у
в течение элемента времени ВС можно считать постоянной,
величина d2e или ОЕ должна быть пропорциональной dt2,
т. е. квадрату ВС, и это справедливо даже в случае кри-
вой, рассматриваемой в качестве ломаной. Но мы только
ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ УСКОРЯЮЩИХ СИЛ
65
что видели, что отрезки Е'О' и ЕО пропорциональны Вс
и ВС. Как же совместить эти два положения? Ответ очень
простой: дело в том, что Е’О’ не равно величине (Ре. соот-
ветствующей элементу времени Вс9. в этом нетрудно убе-
диться из простого рассмотрения фиг. 7*).
Замечание V.
26.	Геометры не должны забывать об этом различии, суще-
ствующем между подлинной кривой и кривой, рассматриваемой
в качестве ломаной, при оценке действия ускоряющих сил
и при сравнении этих действий между собою. Если одно
из действий вычислено исходя из подлинной кривой, то и
другое действие необходимо вычислять также, исходя из
подлинной кривой. В противном случае можно получить
отношение сил,—т. е. отношение действий этих сил,—
вдвое большее против того, которое есть на самом деле **).
*) Необходимо заметить, что отрезок ЕО в качестве второй
разности от линии МР определяется на основании того допуще-
ния, что три точки Р, D и Е лежат на подлинной кривой. Но
рассматривая PD и DE как хорды этой кривой, мы видим, что
Е' не может лежать на кривой, и потому отрезок Е’О’ вовсе не
есть d2e. соответствующее Вс. Если ЕО есть d2e. соответствую-
щее ВС. то для того, чтобы найти d2e. соответствующее Вс.
нужно взять Вт. равное Вс. и, проведя тр параллельно BD до
пересечения с кривой в точке р. провести затем прямую pDo до
встречи в точке о с линией сео. параллельной BD. Тогда отрезок
ео и будет d2e. соответствующим Вс. Разница получится та, что
кривая, рассматриваемая в качестве ломаной, будет иметь теперь
в качестве смежных сторон линии Dp и De вместо DP и DE.
Следовательно, если DN является касательной к подлинной кривой
в точке D и если ое вдвое больше пе. то из пропорции
ПЕ\пе = ВС2, Вс2
вытекает пропорция
ОЕ:ое —ВС2*.Вс2 •
Итак, d2e всегда пропорционально dt2. а отрезки ОЕ и O'E*.
заключенные между кривой, рассматриваемой в качестве ломаной
и ее касательной, пропорциональны dt. (Примечание Безу.)
**) Действие ускоряющей причины можно определить двумя
способами: или с помощью расстояния, которое она действительно
заставляет тело проходить в течение некоторого элемента времени
или с помощью того расстояния, которое тело прошло бы в те-
б щ. Даламбер
66
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
Замечание VI.
27.	Если нам задана постоянная ускоряющая сила р, —
скажем, тяжесть,—и под действием этой силы тело про-
ходит конечный путь z за конечный промежуток времени О,
то мы будем иметь
d2e 2z *)
dt* V
ИЛИ
NE
Ф-Р — dt*
е Z
:02 •
Но вместо отношения можно взять отношение конечных ве-
личин, имея в виду, что пути, пройденные под действием посто-
чение равного элемента времени, двигаясь равномерно со ско-
ростью, приобретенной в течение первого элемента времени.
В первом случае это действие выражается отрезком NE (фиг. 3 и 4),
причем DN есть касательная к подлинной кривой. Во втором
случае действие будет выражаться отрезком ОЕ,— вдвое большим,
чем NE,— причем DO будет касательной к кривой, рассматривае-
мой в качестве ломаной. От нас зависит, каким именно способом
определять действие ускоряющей причины. Но при сравнении
двух ускоряющих причин нужно помнить, что если одно дей-
ствие выражено через NE, отнесенное к кривой, изображающей
пути, пройденные под действием одной причины, то и действие
другой причины должно быть выражено через аналогичный от-
резок, отнесенный к соответствующей кривой, изображающей пу-
ти для второй причины. Это и имеют в виду, когда говорят,
что если одно из действий вычислено, исходя из подлинной кри-
вой, то и другое действие необходимо вычислять, также исходя
из подлинной кривой, и т. д. (Примечание Безу.)
*) В данном замечании указывается, каким образом любую
ускоряющую силу можно сравнивать с весом. Это сравнение ос-
новывается на следующих соображениях. Уравнение
ydt2 = d2e
дает
d2e
Таким же образом мы получим
ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПОВОДУ УСКОРЯЮЩИХ СИЛ
67
Из предыдущего равенства следует
pd2e-№
© dt2 =	,
4	2z ’
пли
рО2
II
NE=^.
р02
Следует остерегаться писать
d?e==^,
к чему можно притти, положив d2e, равным NE. В самом
деле, легко видеть, что тогда мы получили бы только по-
янной ускоряющей силы, пропорциональны квадратам времен.
Таким образом, мы получим
(мы взяли в данной пропорции -у- вместо d2z ввиду того, что,
как уже было сказано, d2z означает удвоенное расстояние по
сравнению с действительным расстоянием, которое сила застав-
ляет тело пройти в течение элемента времени (ffi). Отсюда следует
d2z __2z
d№ ~ 02
и, далее,
_ d2e t 2z
dt2 : Q2 •
Это же можно показать и иначе. Интегрируя уравнение
pd№ = d2z,
мы получим
р02 = 2z.
Сопоставляя последнее равенство с уравнением
d2e = <pdt2t
мы получаем то же самое соотношение. (Примечание Безу.)
б*
68
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
ловину величины равной 2Л/£\ и после интегрирова-
ния мы получили бы лишь половину величины е.
Убедимся в этом на простом примере. Пусть
ъ—р\
другими словами, пусть будет сила постоянна и равна
весу. В таком случае, как известно, пути е и г пропор-
циональны квадратам времен /2 и О2. Следовательно,
Это как раз и получается (в результате интегрирования)
из уравнения
лге —
ае~~ р«2 ’
ИЛИ
,, dt2
d e = —«г- •
тогда как уравнение
привело бы нас к равенству
_ ^2
е 2«* ’
т. е. к половине величины е.
ГЛАВА».
О сложении движений.
Теорема.
28.	Если на тело или на точку А (фиг. 9) действуют
одновременно две какие-либо силы так, что под дейст-
вием одной из них тело за известный промежуток вре-
мени прошло бы равномерно путь от А до В, а под
О СЛОЖЕНИИ ДВИЖЕНИЙ
69
действием другой оно за тот же промежуток времени
прошло бы равномерно путь от А до С, причем на АВ
и АС можно построить параллелограмм ABDC, то я
утверждаю, что тело А пройдет равномерно диагональ
AD за то же время, за какое
оно прошло бы расстояния АВ
или АС.
Пусть Ag—неизвестная нам
линия, которую будет описывать
тело А. Не подлежит сомнению,
что эта линия будет прямой (п° "6)
и что тело А будет описывать ее
равномерно. Не менее очевидно и
то, что прямая эта будет располо-
жена в той же самой плоскости, в
которой лежат линии АВ и А С, так
как нет никакого основания для
того, чтобы она вышла из этой плоскости в одну сторону ско-
рее, чем в другую. Предположим теперь, что когда тело
приходит в некоторую точку g этой прямой, на него на-
чинают действовать две силы, из которых одна стремится
сообщить телу движение по прямой gc, параллельной АС,
с такой скоростью, какую оно имело в точке А по направ-
лению АС, но в обратную сторону, а другая стремится
заставить тело пройти путь go, равный и параллельный АВ,
но в противоположную сторону, и за то же время, за ко-
торое тело прошло бы путь АВ. Легко видеть, что при
этих условиях тело будет оставаться в покое в точке g;
ведь скорость данного тела в точке g и его направление
таковы, как будто оно обладает здесь двумя силами, рав-
ными и параллельными силам, направленным по АВ и АС,
и, следовательно, равными и противоположными силам,
направленным по go и gc.
Установив это обстоятельство, представим себе, что
тело А, описывающее линию Ag, находится на плоскости
KLMH, которая может свободно скользить вдоль двух на-
правляющих KL и IM, параллельных АС. Заставим эту
плоскость двигаться между направляющими таким образом,
чтобы все ее точки g описывали линии gc, равные и
70
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
параллельные ЛС, за то же время, за какое тело А описало
бы линию АС. В то же время пусть обе направляющие
движутся параллельно АВ, но в противоположную сторону,
со скоростью, какой тело А обладало бы по направлению
АВ. При этом своем движении направляющие увлекают
с собой и плоскость. Очевидно, что при этих условиях
все точки g плоскости будут двигаться равномерно и опи-
сывать пути ga, равные и параллельные диагонали AD
параллелограмма ВС. Очевидно также и то, что движу-
щееся тело или точка А в данном случае будет все время
находиться под действием четырех сил, попарно равных
и противоположных друг другу, вследствие чего тело в
абсолютном пространстве должно будет оставаться в покое.
Отсюда вытекает, что когда движущееся тело, или точка А
приходит в точку g плоскости, эта точка g должна нахо-
диться в том самом месте, которое тело занимало в начале
движения. Но это возможно лишь при том условии, если
линия Ag совпадает с диагональю AD, а точка g — с точ-
кой Z)*). Отсюда следует, и т. д. [86].
Замечание.
29.	Доказательство, обычно даваемое настоящей теореме,
состоит в следующем. Принимается, что точка А'движется
равномерно вдоль линейки АВ с той скоростью, какой она
обладает по направлению АВ, а линейка АВ в то же вре-
мя движется по направлению АС с той скоростью, какой
обладает тело А по направлению АС. При такого рода
предположении очень хорошо доказывается, что точка А
описывает диагональ AD.
*) Так как точка А в абсолютном пространстве должна оста-
ваться в покое, необходимо, чтобы движение плоскости, на кото-
рой по условию находится точка, переносило ее в противополож-
ную сторону ровно настолько, насколько она продвинулась бы
в том случае, если бы плоскость оставалась неподвижной. Поэтому,
когда точка опишет линию Ag, точка плоскости, находившаяся
в начале движения в g должна описать линию gA и очутиться,
следовательно, в Л. С другой стороны, эта точка должна описать
линию, параллельную диагонали AD. Отсюда следует, что линия
Л# должна совпадать с этой самой диагональю. (Примечание Безу.)
О СЛОЖЕНИИ ДВИЖЕНИЙ	71
Вообще большинство обычных доказательств этой тео-
ремы основывается на том допущении, что обе силы, дей-
ствующие одна по направлению АВ, а другая по направле-
нию ЛС, действуют на тело А в течение всего времени
движения, а это, строго говоря, не отвечает существу
дела. Ведь по условию тело А в первый момент стремится
одновременно двигаться по направлениям АВ и АС, и
требуется определить направление и скорость, которые
оно должно получить в результате совместного дей-
ствия обеих сил. Как только тело приняло некоторое сред-
нее направление AD, так оба стремления, направленные
по АВ п АС, перестают существовать: существует лишь
стремление, направленное по AD.
Я счел необходимым предупредить такого рода возра-
жение и показать, что путь тела А не меняется ют того,
действуют ли на него данные две силы только в первый
момент, или же они действуют на него непрерывно и од-
новременно в течение всего времени движения. И я пола-
гаю, что в только что приведенном доказательстве я этой
цели достиг.
Следствие I.
30.	Пусть тело проходит или стремится пройти отрезок
прямой АС (фиг. 10) с произвольной скоростью. Возьмем
какую-нибудь точку В на пря- ________________
мой АС или на ее продолже- в 2	5 С В
нии. Тогда скорость АС мож-
а	Фиг. 10.
но рассматривать как бы со-
ставленной из скорости АВ и скорости ВС. В самом деле,
линию АС можно рассматривать как диагональ параллело-
грамма со сторонами АВ и ВС. Отсюда следует, и т. д.
Замечание.
31.	Возможно, что кое-кто из читателей будет удив-
ляться тому, что для доказательства столь простого, пови-
димому, предложения я прибегаю к значительно более
сложному случаю. Мне кажется, однако, что иначе данного
предложения доказать нельзя, если не принять в качеств#
72
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
бесспорной той аксиомы, что совместное действие двух
причин равно сумме действий этих причин, взятых отдельно;
другими словами, что две причины действуют совместно
так же, как они действуют по отдельности,—принцип, на
мой взгляд, ни достаточно очевидный, ни достаточно про-
стой. К тому же это положение тесно связано с вопросом
о живых силах и с принципом ускоряющих сил, о котором
мы говорили выше (п° 22). На этом основании я считал
необходимым избегать пользоваться этим положением, не
говоря уже о том, что я в настоящем сочинении задался
целью свести механику к возможно меньшему числу прин-
ципов и все эти принципы получить из одного понятия
движения, т. е. из пройденного пути и из затраченного на
него времени, совершенно не вводя никаких сил и движу-
щих причин.
Следствие II.
32.	Если тело приводится в движение какими-либо
двумя ускоряющими силами по направлениям АВ и АС
р b	R (фиг. 11), то направлением тела
1——у будет диагональ параллелограмма,
/	/ построенного на сторонах АВ и
J	/ АС, пропорциональных данным ус-
/	\	/ коряющим силам. Ускоряющая же
/	\	/ сила данного тела, направленная
/	\ / по AD, будет так относиться к
/ __________\/ любой из данных ускоряющих сил,
направленных по АВ и АС, как
фиг 11 AD относится к АВ и АС. В са-
мом деле, пусть АЬ и Ас — пути,
которые тело А прошло бы в начале движения под дей-
ствием данных сил, взятых по отдельности. Тогда мы будем
иметь
АЬ:Ас — АВ:АС
(п° 22). Отсюда следует, что линии bd и cd, параллель-
ные линиям АС и АВ, пересекутся в точке d диагонали AD.
Точно так же, если А$ и Ах представляют собой какие-
либо другие пути, которые тело проходит за одинаковые
промежутки времени под действием тех же самых сил, то
О КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ
73
отношение АЬ к будет равно отношению квадрата вре-
мени, затрачиваемого на АЬ или на Ас, к квадрату времени,
затрачиваемого на или на Ах. Другими словами, это
отношение будет равно отношению Ас к Ах. Отсюда сле-
дует, что точка пересечения 8 линий ^5 и хо будет также
лежать на диагонали AD. Поэтому, если предположить, что
тело А в первый момент движется по линейке АВ с той
ускоряющей силой, которую оно имеет по направлению АВ,
и что в то же время на линейку действует ускоряющая
сила, направленная по АС и переносящая линейку от А
к С, то точка А будет описывать диагональ* Ad за то же
самое время, за которое она описала бы АЬ или Ас; при
этом ее ускоряющая сила, направленная по AD, будет так
относиться к каждой из сил, направленных вдоль сторон,
как диагональ относится к этим самым сторонам.
Отсюда нетрудно видеть, каким образом можно заменить
любую ускоряющую силу другими ускоряющими силами,
взятыми в каком угодно количестве.
Выше (п° 24) мы видели, каким образом мгновенное
действие произвольной силы можно свести к равномерному
движению. Теперь легко понять, что комбинацию действий
любого числа сил и отыскание единого действия, происхо-
дящего от этих сил, можно свести к законам сложения
равномерных движений.
О криволинейном движении и о центральных силах.
33.	Так как тело, предоставленное самому себе, стре-
мится двигаться прямолинейно, то кривую линию оно может
описывать только при действии какой-либо силы, беспре-
рывно отклоняющей его от его естественного направления.
Из только что изложенного можно вывести принципы дви-
жения тела по кривой линии.
Доказано, что бесконечно малую дугу произвольной
кривой можно рассматривать как дугу круга с радиусом,
равным радиусу кривизны данной дуги. Поэтому движение
тела по любой кривой сводится к движению того же тела
по некоторому кругу, радиус которого изменяется в ка-
ждый момент.
74
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
Сила, удерживающая тело на кривой, называется цен-
тральной силой в том случае, когда она направлена всегда
к какой-нибудь одной неподвижной точке. Мы, однако, бу-
дем называть эту силу центральной силой независимо от
того, направлена ли она к неподвижной точке, или нет.
По своей природе эта сила есть не что иное, как уско-
ряющая или замедляющая сила, направление которой
отлично от направления тела. На основании всего того, что
было сказано выше (п° 24 и 32), мгновенное действие
этой силы можно свести к некоторому равномерному дви-
жению: для этого кривую, описываемую телом в результате
ее действия, нужно рассматривать как ломаную с бесконеч-
ным числом звеньев. При этом действие силы будет в два
раза больше по сравнению с действием центральной силы
в случае подлинной кривой в строгом смысле слова.
Предположим, например, что тело описывает бесконечно
малую дугу RDE окружности (фиг. 6) в результате дей-
ствия некоторой силы, отклоняющей тело в точке D от
прямой линии, по данному направлению. Если рассматривать
окружность как многоугольник, то хорда RD будет ли-
нией, описанной телом в предшествующий элемент вре-
мени, а линия DO, равная RD и являющаяся ее продол-
жением, будет той линией, которую тело стремится опи-
сать в последующий элемент времени. Поэтому, если про-
вести ОЕ параллельно направлению центральной силы в
точке D, то отрезок ОЕ и будет мгновенным действием
этой силы.
Если теперь мы будем рассматривать окружность в ка-
честве подлинной окружности, то линией, которую будет
стремиться описать тело в данном случае, будет служить
касательная DN, действие же силы, удерживающей его
на кривой, будет теперь выражаться линией NE.
Отрезок NE, деленный на квадрат времени, затрачен-
ного на его прохождение, выражает ускоряющую силу, в
результате действия которой тело описывает кривую
(п° 18, 22 и 26). Но линия NE равна квадрату линии DN,
или дуги DE, или RD, деленному на NQ. Линия же NQ
так относится к диаметру окружности, как синус угла, об-
разованного центральной силой с кривой, относится к пол-
О КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ	75
ному синусу*). Наконец, так как линия DE, деленная на
время, затраченное на ее прохождение, выражает скорость
тела (п° 15), то отсюда следует, что для произвольной
кривой действие центральной силы пропорционально квад-
рату скорости, деленному на радиус кривизны и умножен-
ному на отношение полного синуса к синусу угла, образо-
ванного силой с данной кривой [88].
Вообще, если считать элемент времени постоянным, то
центральная сила будет выражаться отрезком ОЕ в случае
кривой, рассматриваемой в качестве ломаной, и отрезком
NE в случае подлинной кривой. Поэтому при сравнении
действий двух каких-нибудь центральных сил нужно пом-
нить об этом различии в выражениях силы: необходимо
или обе кривые рассматривать в качестве ломаных, или же
обе кривые считать подлинными кривыми. В противном
случае одно действие окажется вдвое большим против того,
что должно быть по сравнению с другим действием.
Центральные силы, да и вообще все ускоряющие силы
(под словом «сила» мы будем понимать лишь ее действие),
пропорциональны тем малым расстояниям, которые тело
проходит за одинаковые элементы времени в результате
действия этих сил. Все эти силы обычно сравнивают с по-
стоянной ускоряющей силой, известной нам лучше всего,—
я говорю о тяжести. Если Е есть расстояние, которое тя-
~ Edt2 *
желое тело проходит за конечное время /, то будет
тем расстоянием, которое оно пройдет за время dt. Если
мы теперь предположим,, что за то же время dt тело опи-
сывает дугу DE, то центральная сила будет так относиться
к тяжести, как NE относится к или как 0E=z2NE
2Edt2
ОТНОСИТСЯ К —^2—•
Пусть г будет радиус кривизны кривой в точке 2V;
пусть, далее, S будет синус угла, образованного направле-
нием центральной силы с кривой, А — полный синус,
*) Это вытекает из того, что линия NQ или EQ в два раза
больше синуса угла NED [87J. (Примечание Безу.)
76
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
е—то расстояние, которое прошло бы тело за время Г,
двигаясь равномерно со скоростью, которой оно обладает
в D. Тогда
гл о edt
_ DE2 А ___ e2dt2A
~ г ‘ S ~ T2Sr *
Это значит, что мгновенное действие тяжести так отно-
сится к мгновенному действию центральной силы, как 2Е
относится к , или как Е относится к Таким об-
разом, отношение этих двух действий, которое большин-
ство геометров принимает за отношение самих причин, вы-
ражено нами в конечном виде*).
ГЛАВА Ш.
Об уничтожении или изменении движения
теми или иными препятствиями.
34.	Движущееся тело может встретиться с теми или
иными препятствиями, которые могут изменить или даже
полностью уничтожить его движение. Препятствия эти или
являются непреодолимыми, или же они могут оказывать
сопротивление как раз настолько, чтобы уничтожить лишь
движение, которым обладает тело.
Непреодолимое препятствие может быть такого рода,
что оно не допускает никакого движения тела: примером
может быть случай, когда тело тянет прямолинейный стер-
жень, закрепленный в неподвижной точке. Далее, непрео-
*) В «Encyclopedic» под словом «Force» читатель найдет ряд
теорем и замечаний, касающихся меры центральной силы. Для
той цели, которую мы для себя ставили здесь, достаточно того,
что нами только что сказано.
ОБ УНИЧТОЖЕНИИ ИЛИ ИЗМЕНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ
77
долимое препятствие может быть и такого рода, что оно
не мешает телу двигаться в каком-то направлении, но
только не в том, какое оно имело: примером может слу-
жить случай, когда тело встречает жесткую неподвижную
плоскость.
35.	Если встречаемое телом препятствие, — непреодоли-
мое или нет, —только изменяет его движение, не уничтожая
его целиком, так что тело, имея, например, до встречи с
препятствием скорость а, вынуждено в дальнейшем дви-
гаться со скоростью Ь, отличной от прежней по величине
и по направлению, то очевидно, что скорость а, которой
тело обладало в момент встречи с препятствием, можно
рассматривать как составленную из скорости b и некоторой
другой скорости Су утраченной благодаря препятствию.
36.	Отсюда следует, что неупругое тело, ударив-
шееся о неподвижную и непроницаемую плоскость перпен-
дикулярно к этой последней, должно после удара остано-
виться и притти в состояние покоя. В самом деле, пусть
данное тело после столкновения с плоскостью будет иметь
движение. Тогда это может быть только движение назад,
по направлению перпендикуляра к плоскости. Положим,
скорость тела до столкновения была я, а после столкно-
вения v. Пусть
V — ти,
где т — какое-то неизвестное число. Тогда мы будем иметь
и — — тиита
(п° 30 и 35). Отсюда следует, что скорость, утраченная
телом при столкновении его с плоскостью, равна и-^-ти.
Однако, ведь нет никакого основания для того, чтобы т
было каким-нибудь определенным числом предпочтительно
перед другим числом. Единственным условием, из которого
можно найти скорость u-^-mUy является то, что эта ско-
рость уничтожается плоскостью. Но так как плоскость жест-
кая и неподвижная (по условию), то нет никакого основа-
ния к тому, чтобы она уничтожила именно скорость u-^-tniiy
а не какую-нибудь другую скорость,—скажем, и-]-пи.
Поэтому число т и не может быть каким-либо определен-
78
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
ным числом предпочтительно перед другим числом. Отсюда
следует, что это число должно равняться нулю. Действи-
тельно, если, как мы предположили, скорость и-\-ти
может быть уничтожена благодаря столкновению с пло-
скостью, то с гораздо большим основанием при этом
столкновении уничтожится скорость и. Поэтому она и на
самом деле будет уничтожена. Следовательно, ти, а зна-
чит и v, будет равно нулю. Отсюда следует, и т. д.
Следствие I.
37.	Пусть тело А (фиг. 12) движется по направлению АВ,
встречается с неподвижной и непроницаемой плоскостью BD
и вынуждено дальше дви-
А	гаться в этой плоскости.
_________________d р Тогда скорость тела по на-
1 правлению BD будет так
/ относиться к скорости его
/ по направлению АВ или ВС,
как синус угла, . дополни-
Е________________с тельного к углу CBD, от-
носится к полному сину-
фиг-	су [39]. В самом деле, ско-
рость ВС можно рассмат-
ривать как составленную из двух скоростей: одной, BE,
перпендикулярной к плоскости BD, и другой, BD, лежа-
щей в этой самой плоскости. Но так как скорость BE
уничтожается плоскостью, то тело А будет обладать только
скоростью BD, которая так относится к ВС, как синус
угла BCD, дополнительного к CBD, относится к полному
синусу.
Следствие II.
38.	Пусть тело движется по нескольким плоскостям
АВ, ВС, CD и т. д. (фиг. 13). Тогда продолжим АВ, ВС,...
до какой-то точки F, Е,... , затем, произвольным ра-
диусом GL (фиг. 14) опишем дугу LM и построим угол LGM,
равный углу СВР. Опустив затем перпендикуляр МК, опи-
шем радиусом ОК дугу ДТ/Г, так чтобы угол КОМ равнялся
О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА ПО КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
79
углу DCE. Потом опустим перпендикуляр NI и так далее.
Я утверждаю, что если скорость по направлению АВ вы-
разить линией GL, то линия GI будет выражать скорость
по направлению CD. Это с очевидностью следует из пре-
дыдущего следствия.
Следствие III.
39.	Отсюда следует, что сумма потерянных скоростей
от А до D равна £/, т. е. равна сумме синус-верзусов уг-
лов CBF, DCE и т. д., — если полными синусами считать
соответственно линии GL, GK и т. д. [40].
Следствие IV.
40.	Поэтому, если для всех синус-верзусов взять один
и тот же полный синус, а именно OL, то потерянная ско-
рость будет меньше суммы этих синус-верзусов.
О движении тела по кривой поверхности.
Лемм а.
41.	Если к кривой ABCDR (фиг. 15) провести каса-
тельные AY и RY и затем вписать в эту кривую ло-
маную ABCDR так, чтобы у этой ломаной внешние
углы BAY, CBF, DCE и т. д. были равны между собой,
80
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
то я утверждаю, что можно вообразить эту ломаную
со столь большим числом звеньев, что сумма синус-вер-
зусов углов BAY, CBF, DCE, RDS и т. д. будет меньше
любой заданной величины.
Сумма углов BAY, CBF, DCE и т. д. равна углу RYZ,
образованному касательными RY и AY. Поэтому, если
построить угол ryz
(фиг. 16), равный
RYZ, и угол гуп,
равный одному из
углов ВЛ Гили CBF,
Фиг. 15.	Фиг. 16.
и если, затем, число этих углов обозначить через п, то
мы будем иметь
arc т X п = arc rz
и
п — сумме синус-верзусов [41 ].
Но
(хорда гл)2	(аге гп)2-п (arerz)2
rh	rfo	n>rh ’
Положив
^-2==п.г/
rh
(где тг будет известным числом, поскольку линии rh и rl
и дуга rz заданы), мы найдем, что
<к*г/
—
Но так как к и rl суть постоянные числа, то число п
О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА ПО КРИВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
81
можно взять настолько большим, что будет меньше
любой заданной величины. А в таком случае сумма синус-
верзусов будет и подавно меньше этой заданной величины.
Т е о р е м а.
42.	Если тело, движущееся по прямой ХА (фиг. 15),
встречается с кривой поверхностью AR} касающейся ли-
нии ХА в точке А, и затем это тело вынуждено дви-
гаться по этой поверхности, то я утверждаю, что оно
на пути от А до R ничего не потеряет из своей скорости.
В самом деле, в кривую можно вписать ломаную ABCDR
с таким большим числом звеньев, что сумма синус-верзу-
сов ее внешних углов будет меньше заданной величины (п°41),
и потому утраченная на пути от А до R скорость может
быть сделана и подавно сколь угодно малой (п°40). От-
сюда следует, что если эта ломаная будет совпадать с кри*
вой, то скорость, утраченная телом на пути от А до
будет равна нулю.
Следствие.
43.	Отсюда следует, что когда тело движется- по кри-
вой, скорость его в каждой точке данной кривой, при
прочих равных условиях, меняется точно таким же образом,
как будто это тело движется по касательной к данной кри-
вой в этой точке.
Замечание.
44.	Обычно эта теорема доказывается так, что кривая
рассматривается в качестве ломаной ABCDR с бесконечным
числом звеньев. Тогда внешние углы CBF этой ломаной
будут бесконечно острыми и синус-верзусы этих углов бу-
дут бесконечно малыми второго порядка. Отсюда делается
тот вывод, что в каждый элемент времени тело теряет из
скорости лишь бесконечно малую величину второго порядка,
так что вся потеря от А до R будет лишь бесконечно ма-
лой первого порядка.
6 ж. ДаламЗер
82 ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЙЛ
Хотя мое доказательство, может быть, и длинновато,
но, мне кажется, оно все же яснее, поскольку в нем ско-
рость, потерянная от А до /?, действительно и точно ока-
зывается равной нулю, а не бесконечно малой величине.
Если мы хотим доказать свойства кривых со всей стро-
гостью, то по необходимости приходится мириться с не-
сколько более длинными доказательствами. Правда, метод
бесконечно малых сильно сокращает эти доказательства, но
этот метод не так строг. Кроме того, он имеет еще и то
неудобство, что начинающие читатели, у которых понятие
бесконечно малых величин не дошло еще до сознания,
могут усвоить привычку смотреть на эти величины как на
какие-то реальности. Этой ошибки необходимо остерегаться
тем более, что в нее впадал кое-кто из великих людей, и
она послужила поводом для скверных книг, направленных
против достоверности математики*). Метод бесконечно ма-
лых есть не что иное, как метод первых и последних от-
ношений [43],— другими словами, метод отношений преде-
лов конечных величин**). Кто понял смысл и принципы
этого метода, тот может с большой пользой применять его
для получения изящных решений.
О равновесии.
45.	Если препятствия, встречаемые телом в своем дви-
жении, обладают сопротивлением как раз настолько, на-
сколько необходимо оно для того, чтобы помешать дви-
жению тела, то говорят, что имеет место равновесие между
телом и данными препятствиями.
*) Сочинение Маклорена под заглавием «А Treatise on flux-
ions» было опубликовано в связи с одной английской книгой
«The Analyst etc.», направленной против достоверности матема-
тики, причем большая часть аргументов в этой книге направлена
против метода бесконечно малых [42].
**) См. «Encyclopedic», слова «Differential» и «Fluxion». Ме-
тафизика дифференциального исчисления изложена в первой из
этих статей, — притом таким образом, что для каких-либо возра-
жений не остается места [44].
О РАВНОВЕСИЙ
83
Теорема.
46.	Если два тела, обладающих скоростями, обратно
пропорциональными их массам, имеют противоположные
направления, так что одно тело не может двигаться,
не сдвигая с места другое тело, то между этими те-
лами будет иметь место равновесие.
Первый случай.
Если оба тела равны между собой и скорости их также
равны, то совершенно очевидно, что оба тела будут оста-
ваться в равновесии. В самом деле, нет никакого основа-
ния для того, чтобы одно тело предпочтительно перед дру-
гим двигалось в своем прежнем направлении. Кроме того,
на основании п°36 ясно, что данные тела не могут дви-
гаться в противоположную сторону. Отсюда следует, и т. д.
Для того чтобы данное доказательство было свободно
от всяких возражений, я здесь предполагаю, что данные
два тела не только равны между собою, но что они и со-
вершенно подобны друг другу,—например, это могут быть
два шара, два прямоугольных параллелепипеда и т. д. Для
случая неподобных друг другу тел эта теорема будет до-
казана ниже (п°57).
Второй случай.
Если оставить одно из тел без изменений, у другого
же тела массу увеличить в два раза, а скорость уменьшить
в два раза, то также будет иметь место равновесие.
В самом деле, скорость меньшего тела можно рассмат-
ривать как скорость, состоящую из двух скоростей, каж-
дая из которых равна скорости большего тела (п°30).
С другой стороны, массу большего тела можно рассмат-
ривать как массу, составленную из двух равных масс,
обладающих той же скоростью. Следовательно, вместо
заданных масс можно представить себе с каждой стороны
по две массы, равные и обладающие одинаковыми скоро-
стями. Но > при таких условиях должно быть равновесие
(случай 1). Отсюда следует, и т. д.
6*
84
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
Данное предложение можно доказать еще и следующим
образом. Пусть т — масса меньшего тела, 2т — масса
большего тела, и — скорость большего тела и, следова-
тельно, 2и— скорость меньшего тела. Массу 2т большего
тела я рассматриваю как бы состоящей из двух масс, т и т',
каждая из которых равна массе меньшего тела. Далее,
вместо того, чтобы считать, что каждая из введенных нами
масс, т и т', обладает скоростью и, я предполагаю, — что
приводит к тому же,—что передняя масса /п', — та, кото-
рая приходит в соприкосновение с меньшим телом,—обла-
дает скоростью 2и вперед и скоростью — и назад, в то
время как задняя масса т сохраняет свою скорость а.
Очевидно, что масса т', обладающая скоростью — и, урав-
новесится равной ей массой т, обладающей скоростью и.
Остается, следовательно, масса/п', обладающая скоростью 2и,
и масса меньшего тела т, обладающая скоростью 2и. Эти
две массы должны уравновесить друг друга (случай 1).
Для того чтобы данное доказательство было свободно
от возражений, я в этом втором случае, как и в двух сле-
дующих, делаю допущение, что тела являются прямоуголь-
ными параллелепипедами с равновеликими и подобными осно-
ваниями, но обладающими различной длиной, и что данные
параллелепипеды сталкиваются друг с другом своими осно-
ваниями. Из такого допущения я исхожу и в следствиях
из данного предложения. Для тел же произвольной формы
настоящая теорема будет доказана ниже (п°57).
Третий случай.
Пусть массы обоих тел относятся друг к другу, как
некоторые два рациональных числа. Положим, М и т бу-
дут эти массы, V и v— их скорости, р—масса, служащая
общей мерой масс М и т, v — скорость, являющаяся
общей мерой скоростей V и v. Тогда мы будем иметь
m — y,pt М=]1Р,
v=vPt	V = vp,
где P и p — целые числа. Введя эти обозначения, можно,
аналогично предыдущему случаю, доказать, что каждую из
О РАВНОВЕСИИ
85
масс с ее скоростью можно заменить Р*р массами g, обла-
дающими скоростью V, так что эти массы будут уравнове-
шиваться. Отсюда следует, и т. д.
Прежде чем перейти к четвертому случаю, заметим, что
если во всех трех приведенных случаях MV больше или
меньше tnv, то равновесия быть не может. Предположим
на один момент, что тела М и т при этих условиях урав-
новешивают друг друга. Представим себе, что тела М и т
находятся на некоторой плоскости, и предположим, что
плоскость движется с некоторой скоростью х, увлекая с собой
оба тела. При этом скорость х имеет направление или
одинаковое с V, или ей противоположное; величина же х
такова, что
MV ± Мх = mv -~F тх*
Легко видеть, что тела М и т, увлекаемые таким образом,
будут сталкиваться друг с другом, обладая в абсолютном
пространстве скоростями У + х и v^x, обратно пропор-
циональными массам. На основании уже доказанного тела
должны в этом абсолютном пространстве оставаться в покое.
Однако, в покое они оставаться не могут, поскольку, как
мы предположили, они уравновешивают друг друга, обладая
скоростями V и v. Действительно, скорости V и v по усло-
вию взаимно уничтожатся при столкновении, и тогда у них
останется лишь общая скорость х, а с этой скоростью дви-
гаться телам ничто не мешает.
Отсюда следует, что если две какие-либо соизмеримые
массы уравновешивают друг друга, то с увеличением
или уменьшением скорости одной из этих масс равновесие
будет нарушено. Если же у одного из тел увеличиваются
или уменьшаются сразу и скорость, и масса, то равно-
весие нарушится и подавно.
Четвертый случай.
Предположим, наконец, что массы М и т несоизмеримы
между собою, так что
т — щ) и
86
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
где Р и р — целые числа и ,г<^ри Я утверждаю, что если
т. v = М • 1Z,
то равновесие также будет иметь место.
Предположим, что равновесия не будет и что для рав-
новесия необходимо к массе М прибавить или отнять
какую-то добавочную массу /. В таком случае масса
z + обладающая скоростью V, будет уравновеши-
вать массу
/n = ]ip,
обладающую скоростью v. Величина t должна быть непре-
менно меньше pi.
В самом деле, если бы t было больше pi, то мы имели бы
}1Р-[-£-Р>|аР4-Ц.
Для того чтобы масса р^-]- pi могла уравновесить массу /п,
обладающую скоростью и, она должна обладать сама ско-
ростью -Tri— • Но так как

то
mv mv
или
Следовательно, на основании замечания, сделанного в
конце предыдущего случая, масса piP-|-^ + ^ будучи
больше цР-j-pi и обладая скоростью V, большей -уьуу ,
не будет уравновешивать массу /п, обладающую скоростью v.
Итак, t должно быть непременно меньше pi. Поскольку,
однако, pi может быть сделано сколь угодно малой вели-
чиной, мы можем сделать заключение, что t должно рав-
няться нулю. Отсюда следует, и т. д.
Если величину t нужно отнимать, то, предполагая, что
мы будем иметь
и	|1Р4-г —/<цР
V-P
О РАВНОВЕСИИ
87
Отсюда следует, и т. д. Что и требовалось доказать.
Произведение массы тела на его скорость называется
количеством движения.
Изложенное приводит нас к аксиоме, что если два тела
имеют равные и прямо противоположные количества движе-
ния, то они уравновешивают друг друга.
Замечание.
47.	В конце третьего случая предыдущего п°, когда
массы М и т были соизмеримы, было доказано не только
то, что имеет место равновесие при условии
MV—mv,
но и то, что равновесие невозможно, если MV не равно
mv. Приведенное там доказательство нетрудно применить
и к случаю несоизмеримых масс.
Отсюда следует, что данный закон равновесия является
единственным. Это значит, что равновесие возможно только
в том случае, если массы обратно пропорциональны ско-
ростям и если притом тела стремятся двигаться в проти-
воположных направлениях.
Следствие I.
48.	Положим, три тела, Л, В и С (фиг. .17), прикреп-
лены к стержню или нити 2WV произвольной длины и пусть
в
Фиг. 17.
этим телам сообщаются по направлениям AM, ВМ и C7V
скорости такой величины, что сумма количеств движения
тел А и В равняется количеству движения тела С. В таком
случае будет иметь место равновесие. В самом деле, ско-
рость тела С можно рассматривать как бы состоящей из
двух скоростей, в сумме равных его полной скорости. Тогда
88
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
в теле С можно представить себе два количества движения,
одно из которых будет равно и противоположно количеству
движения тела А, а другое — равно и противоположно коли-
честву движения тела В. Отсюда следует, и т. д.
Следовательно, вообще, при каком угодно числе тел
равновесие будет иметь место в том случае, если
сумма количеств движения тел, тянущих в одну сто-
рону, равна сумме количеств движения тел, тянущих
в противоположную сторону [45].
Следствие II.
49. Пусть три тела, В, С и F (фиг. 18), прикреплен-
ные к нитям или стержням АВ,
Фиг. 18.
АС и AF, находятся в рав-
новесии. Найдем отноше-
ния количеств движения
данных тел.
Заметим прежде всего,
что действие тел В и
С на точку А будет такое
же, как будто бы тела В
и С находятся в точке А.
Пусть, далее, отношение
отрезков АН и АР рав-
няется отношению ско-
ростей тел В и С. Раз-
ложим каждую из ско-
ростей АН и АР на две
скорости: АО и AN, с
одной стороны, и AQ и
AL, с другой. Направле-
ния этих последних ско-
ростей мы выбираем таким образом, чтобы скорости АО
и AQ имели взаимно противоположные направления, а дру-
гие две скорости, AN и AL, были направлены по продол-
жению FA.
Поскольку имеет место равновесие, можно сделать за-
ключение, что
B-AO — C-AQ
О РАВНОВЕСИИ
89
и, кроме того, количество движения тела F должно рав-
няться
B-AN^C-AL.
Через какую-нибудь точку Е на продолжении линии FA
проведем ЕК, параллельно АС, и ED, параллельно АВ.
Тогда я утверждаю, что отрезки АЕ, AD и АК будут от-
носиться между собою как количества движения тел F, С
и В. Другими словами, должна соблюдаться пропорция [46]:
(Л/П	[В-АН]
Ае-\4о}^С-“ + В^-\с.Лр\-
В самом деле,
(АК ]	(АК1
АН- ДГЛЬ
__AL-OD . AN-КМ . АО
~ PL Г АО : \AP-OD
I PL .
Ввиду равенства
OD = KM.
последнее отношение будет равно
Заменяя АО и PL пропорциональными им величинами С и
В, мы найдем, что это отношение равно
(АН-В
(AL-C-{-AH.B)-.{Ap с
Что и требовалось доказать.
90 общие законы Движения и равновесия тел •
Следствие III.
50.	Все то, что было сказано в предыдущих предло-
жениях по поводу равновесия, останется справедливым и
в том случае, если вместо сообщаемых находящимся в рав-
новесии телам конечны/ скоростей мы будем брать уско-
ряющие силы, пропорциональные этим конечным скоростям
или, наконец, следуя вышеприведенным определениям (п°22),
движущие силы, пропорциональные соответствующим ко-
личествам движения. Равновесие будет иметь место и здесь:
для доказательства в данном случае нужно лишь восполь-
зоваться следствием II главы II, вместо следствия I той
же главы.
Замечание.
Об употреблении слова «сила» в статике.
51.	Силы, или причины, движущие тела, могут взаимо-
действовать друг с другом лишь через посредство тех
самых тел, которые они стремятся приводить в движение.
Отсюда следует, что взаимодействие сил есть не что иное,
как взаимодействие самих тел, обладающих скоростями,
которые сообщаются им этими силами. Таким образом,
под действием сил и под самим словом «сила», которым
обычно пользуются в статике, нужно понимать лишь про-
изведение тела на скорость или на его ускоряющую силу.
На основании этого определения и предыдущих п°п°
легко притти к заключению, что две равные и прямо про-
тивоположные силы друг друга уравновешивают; что две
силы, действующие в одну сторону, производят то же
самое действие, как и сумма этих сил; что если три силы,
действующие на одну и ту же точку, находятся в равно-
весии, то, построив на направлениях двух из этих сил па-
раллелограмм, мы получим, что диагональ этого паралле-
лограмма служит продолжением третьей силы, а отношения
данных трех сил равны отношениям диагонали и сторон,
и т. д. Мы получим ряд подобных теорем, обычно дока-
зываемых в статике. Только в статике это делается, может
быть, с меньшей строгостью, чем это достигнуто нами: со
словом «сила» там обычно не связывается того ясного по-
нятия, какое даем здесь мы.
О РАВНОВЕСИИ
91
Следствие IV.
52.	Пусть две равные силы приложены к концам А и В
прямолинейного жесткого стержня АВ (фиг. 19). Пусть
эти силы действуют в направлении стержня в противопо-
ложные стороны и потому находятся в равновесии. Пред-
ставим себе, кроме того, другой стержень АСВ произволь-
ной формы. Очевидно, равновесие от этого не нарушится,
даже если этот второй стержень будет закреплен в какой-
нибудь точке С. Равновесие, очевидно, не нарушится и
тогда, когда силы будут приложены не в точках А и В,
а в каких-нибудь других точках, лежащих на продолже-
нии стержня АВ в сторону А или в сторону В. Отсюда
следует, что если предположить, что стержня АВ нет
вовсе, а есть только стержень АСВ, то силы, приложен-
ные в точках А и В, будучи равными и противоположно
направленными, будут взаимно уравновешиваться.
Следствие V, содержащее правило рычага.
53.	Положим, линии АН и BE суть направления двух
сил, находящихся в равновесии на рычаге АСВ, и пусть
отрезки АН и BE относятся друг к другу так же, как
эти силы. Я разлагаю силу АН на две силы, направления
которых АК и AG при своем продолжении проходят соот-
ветственно через точку В и через точку С. Силу BE я
92
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
также разлагаю на две силы: направление ВР одной из них
должно проходить через точку А, а направление ВР дру-
гой— через точку С. Проведя перпендикуляры CM, CV
и CL к линиям АН, BE и АВ, мы будем иметь
АК
_АН-СМ
~~ CL
И
пр__BE-СУ *)
CL ‘
Но вследствие равновесия
АК — РВ
и поэтому
CM-AH=BE-CV.
Это значит, что силы АН и BE обратно пропорциональны
расстояниям направлений этих сил от неподвижной точки**).
*) Равенство
АН- СМ
ak=—cl~
вытекает из того, что стороны АН и АК треугольника АКН от-
носятся друг к другу как синусы Гуглов АКН и АНК или как
синусы равных им углов CAL и САМ. Если СА принять за ра-
диус, то
AH:AK=CL:CM.
(Примечание Безу.)
**) Уравнение
CM-AHz=BE-CVj
или
СМ-АН — BE-CV—0,
показывает, что если две силы, приложенные к рычагу, находятся
в равновесии, то должно выполняться следующее условие: умно-
жив каждую силу на расстояние ее от опоры, мы получим два
произведения, разность которых должна равняться нулю. В об-
щем случае, для того, чтобы имело место равновесие произволь-
ного числа сил, расположенных в одной плоскости, необходимо,
чтобы сумма произведений всех сил на расстояния их от опоры
равнялась нулю. При этом силы, действующие в разные стороны,
нужно брать с противоположными знаками. Хотя это предложе-
О РАВНОВЕСИИ
93
Следствие VI.
54.	Если точка С не закреплена (фиг. 19), то для того,
чтобы узнать, какую силу нужно приложить в точке С,
чтобы уравновесить силы AG и BF, необходимо восполь-
зоваться вышеприведенным следствием II. Силу AG можно
рассматривать как бы составленной из сил АН и Ak>
ние и доказывается в любой книге по статике, тем не менее, по-
скольку мы им будем пользоваться в дальнейшем и желая изба-
вить читателя от труда прибегать к другим источникам, мы дадим
здесь его доказательство. Мы ограничимся при этом случаем трех
сил, но легко видеть, что это доказательство можно распро-
странить и на случай большего числа сил.
Пусть у нас имеется рычаг APLE (фиг. 20) с опорой в точке .
L и пусть в трех точках, Л, Р и Е, приложены силы, выра-
женные отрезками ЛС, PQ и ЕН. Силу PQ разложим на две
силы, PV и PR. первая сила проходит через опору, а вторая —
через точку Е. Эту последнюю силу разложим снова на две силы,
EF и ЕЦ одна из которых имеет направление линии АЕ, а другая
направлена к опоре. Силы АС и ЕН также можно разложить
каждую на две силы, из которых одна направлена к опоре, а
другая имеет направление линии АЕ.
Силы, направленные к опоре, будут уничтожены этой опорой.
Отсюда следует, что должны уничтожаться и силы ЛР, EF и ER
94 ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
а силу BF— из сил BE и Вр. Но силы Ak и Вр равны
между собою и должны поэтому взаимно уничтожиться.
Отсюда следует, что силы АО и BF будут уравновешивать-
ся такой же силой, какую мы найдем, если вместо данных
сил АО и BF мы предположим силы АН и BE, приложен-
ные в точке С и имеющие прежние направления.
т. е. должно соблюдаться равенство
ad^ke—ef.
Но, во-первых,
PQ'.PR (или EG)=zLS:LM
и
EG-.EF~LT-.LS,
откуда
PQ-.EF~LT-.LM,
или
pp^PQ-LM
1 ~ LT *
Во-вторых,
AC-.AD~LT-.LN
и
EH-.EK~LT-.LO,
откуда
,n АС-LN	EH-LO
ad=~lt~ и
Следовательно, уравнение
AD — KE—EF
принимает вид
AC-LN —EH-LO PQ-LM
LT LT LT 9
или
АС • LN + PQ • LM — ЕН • L О = 0.
Что и требовалось доказать.
Следуя тому же методу, который применяется в следствиях
V и VI, можно было бы доказать, что силы, приложенные в точ-
ках А, Р и Е, действуют на опору L точно таким Же образом,
как если бы они были приложены непосредственно в точке опоры.
{Примечание Безу.)
О РАВНОВЕСИИ
95
Замечание относительно случая
прямолинейного рычага.
55.	Предыдущее доказательство правила рычага пред-
полагает, что линии АС и СВ образуют между собой
какой-то угол. Может показаться поэтому, что это дока-
М
р АР
И
Фиг. 21.
зательство не применимо к тому случаю, когда рычаг пря-
молинейный, а направления сил параллельны. Однако дан-
ное предположение справедливо, какой бы тупой угол АСВ
ни был. Поэтому ясно, что оно должно быть справедливо
и в том случае, когда угол АСВ сде-
лается равным 180 градусам
Впрочем, можно дать и более строгое
доказательство для указанного случая.
Пусть АР и AR (фиг. 21) — плечи рычага,
а линии PD и /?S суть направления двух
сил, которые, как я предполагаю, уравно-
вешивают друг друга. Прежде всего оче-
видно, что если плечи рычага равны между
собою, то должны быть равны между собою
и силы Р и R. Положим теперь, что плечи АР и AR не равны
между собой. Проведем тогда произвольным образом ли-
нию AS и представим себе, что эта линия является жест-
ким стержнем и что к концу 5 этого стержня приложены
две равные и противоположные силы 5 и S', направленные
по той же линии, что и сила R. Предположим, наконец,
что одна сила S', тянущая вниз, уравновешивает силу Р
на рычаге PAS. Очевидно, что противоположная ей сила S
будет уравновешивать силу R, а это значит, что силы S
и R равны друг другу (п° 52). Отсюда следует
R — S— ar
(п° 53), откуда
R\P^=AP\AR.
Что и требовалось доказать.
Свойства прямолинейного рычага выводятся из свойств
рычага криволинейного не только мною одним. Ньютон
в своих «Principia.», идя, правда, другим путем, ноль-
96
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
зуется тем же приемом, и можно думать, что этот вели-
кий математик чувствовал те трудности, которые возни-
кают в том случае, если действовать иначе.
Свойства криволинейного рычага я вывожу из равнове-
сия двух равных и противоположных сил, а так как эти
две силы в случае прямолинейного рычага исчезают, то
для этого частного случая доказательство можно вывести
из общего случая лишь непрямым путем.
Свойства прямолинейного рычага с параллельными друг
другу силами можно вывести, приводя мысленно эти силы
к одной силе, направление которой проходит через точку
опоры. Этим способом воспользовался Вариньон в своей
«Механике» [47]. Этот метод, наряду с другими преимуще-
ствами, характеризуется изяществом и единообразием. Но
не обладает ли он, наравне с другими методами, тем не-
достатком, что это — непрямой метод и что он выводится
не из истинных принципов равновесия? Здесь приходится
представлять себе, что направления сил при своем про-
должении пересекаются в бесконечности, а затем путем
разложения приводить эти силы к одной силе и, наконец,
показывать, что направление последней проходит через
точку опоры. Следует ли прибегать к такому способу для
того, чтобы доказывать равновесие двух равных сил, име-
ющих параллельные направления и приложенных к равным
плечам рычага? Мне кажется, что понять равновесие в та-
ком случае столь же легко и просто, как и равновесие
двух прямо противоположных сил или равновесие одной
силы, сдерживаемой закрепленной точкой, и что у нас нет
никакого прямого средства для сведения одного случая
к другому. И если метод доказательства равновесия ры-
чага, даваемый Вариньоном, является непрямым в одном
случае, то он будет непрямым и в применении к общему
случаю.
Следствие VII.
56.	Если, оставив все условия предыдущего п°, мы пред-
положим вместо закрепленной точки А некоторую силу,
уравновешивающую силы Р и /?, то очевидно, что направ-
ление этой силы будет параллельно и противоположно на-
. О РАВНОВЕСИИ
97
правлению данных сил, величина же уравновешивающей
силы будет равна сумме данных сил. В самом деле, если
мы принимаем, что некоторая сила уравновешивает две
силы, Р и 5', то она должна быть равна
Отсюда следует, что она будет равна и P-\-Rt так
как
5' = /?*) **).
Замечание I.
57.	Когда тело движется или стремится двигаться
в каком-либо направлении, это тело можно представить
себе как бы составленным из бесчисленного множества
малых прямоугольных параллелепипедов одинаковой плот-
ности, стороны которых параллельны направлению тела.
Эти параллелепипеды будут двигаться или стремиться дви<
гаться в продольном направлении с одинаковыми скоро-
стями. Тогда на основании правила рычага движение дан-
*) В самом деле, на основании следствия VI силы, приложен-
ные в точках Р и S', действуют на точку А так, как будто бы
они были приложены в самой точке А. Но в таком случае точка А
находилась бы под действием одной силы, равной P-j-S'. (При-
мечание Безу.)
**) Из всей этой теории рычага нетрудно сделать тот вывод,
что для того, чтобы произвольное число сил, действующих на
рычаг по параллельным направлениям и находящихся в одной
плоскости, привести к одной силе, достаточно найти на рычаге
такую точку, чтобы, прикладывая к ней силу, параллельную за-
данным силам и равную их сумме (если они все тянут в одну
сторону), или равную разности между суммой сил, тянущих
в одну сторону, и суммой сил, тянущих в другую сторону, мы
получили бы такое соотношение, что сумма произведений всех
данных сил на их расстояния от любой точки рычага равна про-
изведению найденной полной силы на ее расстояние от той же
точки.
Вообще, если произвольное число сил, параллельных друг
другу и перпендикулярных некоторой плоскости, находятся в равно-
весии, то сумма произведений всех этих сил на расстояния их
до произвольной плоскости, расположенной произвольным обра-
зом, всегда равна нулю.
Оба эти предложения легко доказываются с помощью пра-
вила рычага и их можно найти во многих сочинениях. (Приме-
чание Безу.)
7 Ж. Даламбер
98
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
ного тела всегда можно свести к движению одного такого
параллелепипеда, имеющего скорость, равную сумме ско-
ростей всех параллелепипедов, т. е. равную скорости тела,
умноженной на число параллелепипедов. Отсюда легко
видеть, каким образом равновесие двух тел приводится
к равновесию двух параллелепипедов с равными основа-
ниями и, следовательно, каким образом теорему п°46
можно распространить на тела любой формы.
Замечание II.
58. Пусть линии Ее и Zz (фиг. 22) взаимно перпен-
дикулярны, а линия СЕ' перпендикулярна к их плоскости.
Вообразим силу (7, параллельную линии Се. Расстоя-
ние этой силы до плоскости EZze пусть будет равно $,
а до плоскости Е'Се равно Вообразим и вторую
О РАВНОВЕСИИ
99
силу F, параллельную Cz, и пусть ее расстояние до
плоскости EZze будет равно С, а расстояние до пло-
скости E'Cz пусть будет 0. Наконец, вообразим и
третью силу II, параллельную СЕ', и ее расстояние до
плоскости Е'Се пусть будет равно pi, а расстояние до
плоскости E'Cz равно у. Действие этих трех сил можно
свести к действию трех других сил. Одна сила будет
равна и параллельна силе О и будет действовать
на точку Z' плоскости E'Cz (фиг. 23), такую, что, про-
ведя Z'L параллельно СЕ' и Z'L' параллельно CZf мы
будем иметь
Z'L=^-b
н
7*
100 ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
Вторая сила будет направлена по параллельно СЕ*
в плоскости E’CZ и будет равна П. Наконец, третья сила
будет направлена параллельно Zz в той же плоскости E’CZ,
будет равна F и будет действовать на таком расстоянии
от Zz, которое нетрудно определить.
Все эти утверждения нетрудно было бы доказать, опи-
раясь на п°п° 20, 21 и 22 моих «Исследований о пред-
варении равноденствий» *).
*) Положим, сила О (фиг. 22) пересекает плоскость E'Cz
в точке Q, а сила F пересекает плоскость Е'Се в точке G. Про-
ведем QP' параллельно СЕ', QD параллельно Cz, GE' парал-
лельно Се, GR' параллельно СЕ’. Проведем, наконец, CQ, кото-
рая в точке F пересечется с линией E'F, параллельной Cz.
Вместо силы О, действующей на точку Q, можно взять две па-
раллельные ей силы, действующие одна в С, а другая в F. Сумма
этих сил должна равняться G и отношение их должно быть равно
отношению FQ и CQ, или, что сводится к тому же самому, ка-
ждая из них должна так относиться к силе G, как FQ, или CQ,
относится к CF,— другими словами, как DE’, или CD, относится
к СЕ'. Таким образом, сила, действующая в С, будет равна
О—	, а сила, действующая в F, будет равна . Но так как
вторая из этих сил пересекается в некоторой точке К с силой F,
направленной по QK то обе эти силы, складываясь вместе, дадут
одну силу, направленную по Л7г. Продолжение этой силы пере-
сечет в точке N плоскость E’CZ, и можно считать, что она дей-
ствует на точку N. Проведя NO’ параллельно FK легко видеть,
что на точку N действует такая сила, как будто бы к ней были
приложены две силы, направленные по NF и по NO',— а это
суть силы, которые только что действовали по направлениям
ОК и FK Итак, наши две силы приведены к трем: одна из них
равна F и действует по направлению NF, другая равна G — ~
Gi
и действует по Се и, наконец, третья равна и действует по
NO' параллельно Се. Но две последние силы, как мы видели,
могут быть приведены к одной силе, равной их сумме, т. е. рав-
ной G, и проходящей через В — точку пересечения QD и CN.
В самом деле, CB\CN = CQ:QF =^:G —	а последнее от-
ношение равно обратному отношению сил, приложенных в С
и N. Далее, так как две силы, направленные по FK и ОК соз-
дают вместе силу, направленную по NKn, то очевидно, что если
первую из этих сил выразить отрезком FK то вторая сила бу-
О РАВНОВЕСИИ
101
Указанный прием позволяет находить закон равновесия
какого угодно числа сил, действующих в любых плоско-
стях и по любым направлениям. Каждую силу нужно раз-
дет выражаться отрезком FN, так что F: у =» FN; FR, или GE't
или 0. Отсюда
РЛГ ™
С другой стороны, из треугольников CDQ и CE'F мы имеем
откуда
NE>-™_£
Следовательно,
Таким образом, две данные силы, G и F, приведены к двум дру-
гим силам, также G и F: одна действует в точке В параллельно
Се на расстоянии @ — у от СЕ', а другая действует по направ-
лению NF в плоскости E'Cz на расстоянии СЕ'.
Пусть теперь в точке V (фиг. 23) сила П пересекается с
плоскостью eCz. Проведем через точку В, где теперь при-
ложена сила (7, линию BL параллельно СЕ'. Тогда BL будет
равно 5.
Проведем LV. Силу, приложенную в точке В, можно раз-
ложить на две силы: одну действующую по ВТ, являющейся про-
должением BD, и другую —по BR параллельно IV. Последняя
сила при своем продолжении пересечется с направлением VO
силы П. Проведем, далее, VR параллельно Се. Из подобия тре-
угольников LRV и SBK мы получим, что 5ЛГ, т. е. сила, действу-
ющая по ВТ, равна , а сила, действующая по BR, равна
R V
G-LV
-гиг-. Вторая из этих сил совместно с силой П, направленной
KV
по VO, создает одну силу. Продолженное направление OZ' этой
силы пересекается с BL в некоторой точке Z', и поэтому ее
можно мыслить приложенной к этой точке Z'. Если теперь силу,
направленную по В К, выразйть отрезком ВО, то сила, направ-
102 ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
дожить,-—что всегда возможно,— на три силы, параллель-
ные линиям Се, Cz и СЕ'. Обозначим эти силы через О,
F и П. Для равновесия необходимо:
ленная по VO, бужч выражаться отрезком Z'B, так что
В2':5О = П:^^.
Отсюда (так как ВО = LV) мы имеем
д_,
BZ=-Q-
Но вместо силы, направленной по Z'O, можно вообразить
в точке Z' силы ВО и Z'B, направленные параллельно В% и VO,
так что сила Z'B, или П, будет действовать по направлению Z'B,
а' сила ВО — по направлению Z'Q параллельно LV. Последнюю
силу можно разложить на две силы: одну, направленную по Z'Af
параллельно Се, и другую, направленную по Z'N параллельно Cz.
Из рассмотрения подобных треугольников Z'NQ и LRV мы най-
дем, что сила, направленная по Z'Af, равна (7, а сила, направлен-
G-LR
ная по Z'jV, равна -7577—.
KV
Таким образом, данные три силы приведены нами к пяти си-
лам: первая равна G и действует в точке Z' перпендикулярно
к плоскости E'CZ на расстоянии
Пу
Z'L = BL-BZ'=^ — -~~
от CZ; вторая равна -^7-, и ее можно считать приложенной
в точке Z' и действующей по направлению Z'L1', третья равна
G* LR	—
 и ее можно считать приложенной в точке D и действую-
щи
щей по направлению DB', четвертая равна F и действует по на-
правлению E'F; наконец, пятая равна П и действует по направ-
лению Z'B, или LB, на расстоянии
Но силы, приложенные в £', D и Е', будучи параллельными
О РАВНОВЕСИИ
103
1)	если закрепленной точки нет, то должны соблю-
даться следующие равенства:
Jg=o,*)
f u=o
и, кроме того,
fax—11(1=о,
JgS— IIv = 0,
jFft_Ox = 0;
2)	если имеется закрепленная точка,— положим, точка С
(это всегда можно предположить), — то для равновесия не-
обходимо лишь, чтобы соблюдались три последних равен-
ства, каждое в отдельности.
Для того чтобы доказать последние три уравнения,—
а они только и нуждаются в доказательстве,— заметим,
что, поскольку силы Q перпендикулярны к плоскости E'Zz,
тогда как остальные силы лежат в этой самой плоскости,
силы G должны находиться в равновесии сами по себе,
между собою, приводятся к одной силе, равной
G-LR G-LR . „	„
~RV-------
Ее расстояние СХ до С должно быть таково, что
—^g^-CD + F-CE' ^F-CX.
Отсюда мы получаем
r II / , F0 \
СХ—G ’
{Примечание Безу).
♦) Следуя оригиналу, мы сохранили здесь знак J вместо S—
символа, введенного позже. (Примечание переводчика.)
104
ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
независимо от всех других сил. Отсюда следует, что не
только сумма этих сил должна равняться нулю, но и сумма
их моментов относительно линий CL и CL' также должна
равняться нулю. Таким образом,
— ^=0
J \ V/
и
ИН-
Но отсюда
— IIv = 0
и
JfQ —Ох=0.
Поступая точно таким образом с силой F, перпендикуляр-
ной к плоскости Е'Се> мы получим
JfC — IIjjl = O
И
Jg/ — fo=o.
Наконец, для силы П, перпендикулярной к плоскости Zez%
мы будем иметь
Jllv —G$ = 0
И
УFC — Пц=0.
Мы получили шесть уравнений, которые приводятся к трем,
приведенным выше.
Следует заметить, что уравнения
Jg = O,
?(5-Э-’)=о
И
О РАВНОВЕСИИ
105
каждое в отдельности необходимы для равновесия. Пусть
мы имеем, например, три силы: А, В и О (фиг. 24), пер-
пендикулярные к плоскости LCL', и пусть эти силы нахо-
дятся в равновесии. Для равновесия необходимо:
1) чтобы
А В -|- О = 0, .
2) чтобы точки Л, В и G лежали на одной прямой,
что дает два уравнения
A-AD + B-BE-\- G-QF=0
и
A-AK-\-B-BM^G-GO==0 .
Если точки Л, В и G не лежат на одной прямой, если,
например, точка В будет находиться в Q на продолже-
нии BE, то второе уравнение будет справедливо, первое
же нет, и равновесия в таком случае не будет.
Замечание III.
59.	Я не буду здесь, в первой части, распространяться
дальше по поводу законов равновесия. Я буду еще иметь
случай говорить о них во второй части настоящего сочи-
нения. Общий закон равновесия состоит в том, что силы
обратно пропорциональны скоростям, измеряемым по на-
правлениям этих сил. На этот общий закон, о котором
106 ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ. И РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
весьма кратко упоминает Ньютон в начале своих «Prin-
cipia» [48], опирается доказательство сохранения живых
сил, как это мы увидим во второй части настоящего
сочинения.
Что касается подробностей, относящихся к различным
машинам, о которых обычно упоминается в статике, — та-
ким, как блок, ворот и т. д.,— то я, не имея по этому
поводу сказать чего-либо нового, ограничиваюсь тем, что
отсылаю своих читателей к тем книгам, в которых эти
вопросы разбираются. В частности, я сошлюсь на вышед-
шую несколько лет назад «Механику» члена королевской
академии наук Камюса и на сочинение Трабо, озаглавлен-
ное «Принципы, касающиеся равновесия и движения» [49].
В этих книгах данный материал излагается с достаточной
строгостью и ясностью.

ЧАСТЬ IL
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
НЕСКОЛЬКИХ ТЕЛ, ПРОИЗВОЛЬНЫМ ОБРАЗОМ
ДЕЙСТВУЮЩИХ ДРУГ НА ДРУГА, А ТАКЖЕ
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ЭТОГО ПРИНЦИПА*).
ГЛАВА L
Изложение принципа»
Нам известны лишь три различных способа, которыми
тела действуют друг на друга: это или непосредственный
толчок, как при обычном ударе; или действие при по-
средстве некоторого промежуточного тела, к которому
данные тела прикреплены; или, наконец, действие в силу
взаимного притяжения, как Солнце и планеты в системе
*) Настоящий принцип, как и большинство последующих за-
дач, содержался в моем мемуаре, зачитанном в академии в конце
1742 г., хотя первое издание настоящего сочинения вышло в свет
лишь в 1743 г. В тот самый день, когда я начал читать этот
мемуар, Клеро представил свой мемуар, озаглавленный «Некото-
рые принципы, облегчающие решение большого числа задач ди-
намики»^0]. Этот мемуар, напечатанный в томе за 1742 г., был
зачитан после моего мемуара, с которым он к тому же не имеет
ничего общего.
108 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Ньютона. В виду того, что действия последнего рода ис-
следовались достаточно, я ограничусь здесь рассмотрением
движения тел, во-первых, соударяющихся произвольным
образом, и во-вторых, тех тел, которые тянут друг друга
при помощи нитей или жестких стержней [б1]. Я тем более
охотно останавливаюсь на этом вопросе, что до сих пор
(1742) только небольшое число задач этого рода разре-
шено наиболее крупными математиками. И я надеюсь, что
с помощью излагаемого мною общего метода каждый, вла-
деющий анализом и принципами механики, окажется в со-
стоянии решать самые трудные задачи указанного рода.
Определение.
Скорость тела с учетом ее направления я буду в даль-
нейшем называть движением этого тела. Под количест-
вом движения я буду понимать, как обычно, произведе-
ние массы на скорость [б2].
Общая задача.
60.	Дана система тел, расположенных друг отно-
сительно друга произвольным образом. Каждому из этих
тел передается некоторое движение, которое оно, од-
нако, не может воспринять вследствие действия прочих
тел. Найти движение каждого из данных тел.
Решение.
Пусть система состоит из тел А, В, С и т. д., и пред-
положим, что им передаются движения а, Ь, с и т. д.,
которые, вследствие взаимного действия тел, последние
изменяют в а, 5, с и т. д. Ясно, что передаваемое телу А
движение а можно рассматривать как составленное из вос-
принятого им движения а и из некоторого другого движе-
ния а. Точно так же и движения Ь, с и т. д. можно рас-
сматривать как составленные из движений b и р, с и х
и т. д. Следовательно, движение действующих друг на
ИЗЛОЖЕНИЕ ПРИНЦИПА
109
друга тел Д, В, С и т. д. будет точно такое же, как
если бы вместо импульсов а, Ь, си т. д. им передава-
лись сразу по два импульса: а и а, b и [J, с и х и т. д.
Но, по предположению, тела А, В, С и т. д. сами по
себе восприняли движения а, Ь, с и т. д. Отсюда следует,
что движения a, [J, х и т. д. должны быть таковы, чтобы
нисколько не нарушались движения а, Ь, с и т. д ; дру-
гими словами, если бы тела получили только эти движе-
ния а, р, х и т. д., то эти движения взаимно уничтожи-
лись бы, и тела оставались бы в покое.
Отсюда вытекает следующее правило для нахождения
движения нескольких тел,- действующих друг на друга.
Нужно движения а, Ь, с и /п. д., передаваемые этим
телам, разложить каждое на два движения: а и а,
b и р, с и х и т. д., причем эти последние движения
должны быть таковы, что если телам будут переданы
лишь движения а, Ь, с и т. д., то тела могут сохра-
нить эти движения, не мешая друг другу; если же
телам будут переданы лишь движения а, р, х и т. д.,
то тела будут оставаться в покое.
Ясно, что а, Ь, с и т. д. и будут теми движениями,
которые будут восприняты телами вследствие их взаим-
ного действия друг на друга. Что и требовалось найти [б3].
Следствие.
61.	Если какое-нибудь из передаваемых движений равно
нулю, то, очевидно, оно разлагается на такие два движе- '
ния, которые равны и противоположны друг другу. Напри-
мер, если
а —О,
то движение а будет равно по величине и противополож-
но по направлению движению а. В самом деле, а есть диа-
гональ параллелограмма, сторонами которого служат а и а.
Но если диагональ равна нулю, то стороны равны друг
другу и друг другу прямо противоположны. Отсюда сле-
дует, и т. д.
по
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
ГЛАВА II.
Свойства общего центра тяжести нескольких тел,
выведенные на основании предыдущего принципа.
Определение I.
Центром тяжести двух тел я в дальнейшем буду
называть такую точку, которая лежит на прямой, соединя-
ющей эти тела, и которая удалена от них на расстояния,
обратно пропорциональные массам тел. И вообще под
центром тяжести нескольких тел я буду всегда понимать
то, чго обычно обозначается этими словами в механике,
а именно: такую точку, что если через нее провести про-
извольную плоскость, то сумма произведений масс, распо-
ложенных по одну сторону от этой плоскости, на соот-
ветствующие расстояния этих масс до плоскости будет
равна сумме произведений масс, расположенных по другую
сторону, на расстояния их до той же плоскости.
Примечание.
62.	В том случае, когда веса тел пропорциональны их
массам, центр тяжести, как мы его только что определили,
будет также той точкой, за которую должна быть подвеше-
на система для того, чтобы она оставалась в равновесии,—
если бы все тела были соединены друг с другом жесткими
стержнями. Этого нельзя было бы сказать в том случае,
если бы движущие силы или веса тел не были пропорцио-
нальны массам.
То, что мы здесь называем центром тяжести, лучше
было бы поэтому назвать центром масс *). Мы, однако, будем
пользоваться термином центр тяжести для того, чтобы
не расходиться с принятыми обычаями в отношении тер-
минологии.
*) Термин центр масс употребляет Даниил Бернулли. См. его
«Трактат о приливах и отливах», глава III, § III [54].
СВОЙСТВА ОБЩЕГО ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ НЕСКОЛЬКИХ ТЕЛ 111
Определение II.
Если несколько сил действуют совместно, то силу,
равную и прямо противоположную той, которая может их
уравновесить, я буду называть равнодействующей совмест-
ного действия данных , сил или, короче, равнодействую-
щей этих сил.
Так, например, если AM (фиг. 21) есть направление
силы, уравновешивающей силы Р и 7? на рычаге PAR, то
AN будет направлением равнодействующей сил Р и R,
и эта равнодействующая сила будет равна силе, направлен-
ной по AM.
Следствие.
63.	Если каким-либо образом уравновешиваются не-
сколько сил, то в том случае, если нет закрепленной
точки, равнодействующая должна быть равна нулю. Если
же имеется закрепленная точка, то равнодействующая про-
ходит через эту точку.
В первом случае, поскольку все силы уравновешивают
друг друга сами собой, постольку должна равняться нулю
та сила, которая способна уравновесить все эти силы.
Поэтому (согласно последнему определению) равнодейст-
вующая данных сил также должна равняться нулю.
Во втором случае закрепленная точка, очевидно, заме-
няет собой ту силу, которая сдерживает действие всех
других данных сил. Поэтому, если устранить закрепленную
точку и затем отыскивать силу, способную уравновесить
все данные силы, то направление этой силы непременно
будет проходить через эту точку. Отсюда следует, что
направление равнодействующей также будет проходить
через эту самую точку.
Под «закрепленной точкой'» здесь и в нижеследующих
леммах я буду понимать не только математическую
точку (как, например, опора рычага, точка подвеса
стержня или нити), но и вообще любое непреодолимое
препятствие, способное своим сопротивлением уничто-
жить действие сил и установить их взаимное равновесие.
112
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Лемма I.
64.	Если произвольное число тел движется равно-
мерно по параллельным направлениям в одной плоскости
или в различных плоскостях, то направление общего
центра тяжести этих тел будет параллельно направ-
лениям этих самых тел, а скорость центра тяжести
будет равна сумме количеств движения всех тел, де-
ленной на сумму масс.
Это предложение доказывается во многих сочинениях
и чрезвычайно просто выводится из правила рычага.
Лемма II.
65.	Пусть в одной
а и а (фиг. 25) ила
плоскости находятся три тела А,
вообще произвольное число тел.
Пусть точка Q бу-
дет общим центром
тяжести этих тел.
Пусть, наконец, GM
будет тем отрезком,
3----- С который проходится
/	этим центром тя-
I жести за то время, за
4 D какое данные тела
проходят равномерно
фиг 25	какие-то отрезки АС,
ас и ах. В таком слу-
чае я утверждаю, что
если скорости АС, ас и ах разложить каждую на две
скорости, АВ и AD, ab и ad, ар и aS, так, чтобы ли-
нии АВ, ab и ар были между собой параллельны, а линии
ВС, Ьс и fix были также параллельны между собой, и если
найти отрезок GN, проходимый центром тяжести G
в том случае, когда тела А, а и а имеют скорости
и направления АВ, ab и а$, а также отрезок GO, про-
ходимый им в том случае, когда тела А, а и а имеют
скорости и направления AD, ad и aS, то диагональ
параллелограмма, построенного на отрезках GN и GO,
СВОЙСТВА ОБЩЕГО ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ НЕСКОЛЬКИХ ТЕЛ ИЗ
даст нам тот отрезок GM, который проходит центр,
когда тела А, а и а имеют скорости и направления АС,
ас и ах.
В самом деле, предположим, что когда тела Л, а и а
достигли В, Ь и [}, а центр Q поэтому (согласно условию)
достиг N, им сообщаются по направлениям ВС, Ьс и
скорости, равные и параллельные скоростям, направленным
по AD, ad и aS. Ясно, что данные тела достигнут точек
С, с и х линий АС, ас и ах. Но, по предположению,
когда тела А, а и а будут в С, с и х, центр G будет
в М. Поэтому, в то время как телами А, а и а прохо-
дятся отрезки ВС, Ьс и fix, центр тяжести будет проходить
отрезок NM. Этот отрезок NM (согласно лемме I) будет
параллелен линиям ВС, Ьс и fix и будет равен
А • ВС а • -|~ а 4х
Л-|-^ + а
Отрезок же GO, проходимый центром тяжести G в то
время, когда тела А, а и а описывают линии AD, ad и
а$, параллельные и равные линиям ВС, Ьс и fix, этот
отрезок GO будет параллелен линиям AD, ad и ао и равен
A*AD-}-a-ad-\-<k ао_ Л-ВСЦ-'
ЛЦ-аЦ-а — Л + a + a —
Отсюда следует, что отрезок GO равен и параллелен NM.
Следовательно, MG есть диагональ параллелограмма, по-
строенного на сторонах NG и GO. Что и требовалось
доказать.
Примечание.
66.	Легко видеть, что настоящее доказательство можно
распространить и на случай любого числа тел, так что
предложение является общим.
Лемма III.
67.	Пусть GM (фиг. 25 и 26) есть отрезок, проходи-
мый центром тяжести G тел А, а и а, в то время
как эти тела равномерно проходят какие-то отрезки
8 ж, Даламбер
114 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
цзвольным ооразом. пусть при
Фиг. 26.
АС, ас и ах. Перенесем эти тела на другие места F,
f и <р в этой же плоскости, причем они могут быть
теперь расположены одно по отношению к другому про-
~~	новом расположении тел
их центр тяжести бу-
дет в точке у. Тогда я
утверждаю, что если
тела будут описывать
отрезки FH, fh и
соответственно равные
и параллельные отрезкам
АС, ас и ах, то отре-
зок уц, описанный цент-
ром тяжести, будет ра-
вен и параллелен от-
резку GM.
В самом деле, пусть
FL, fl и срк соответствен-
но равны и параллель-
ны АВ, ab и ар. Пусть
FP, fp и <рп соответ-
ственно равны и параллельны AD, ad и аЪ. Пусть, далее,
уу будет путь центра у за то время, когда тела описывают
отрезки FL, fl и фХ, и, наконец, yw — путь центра тяжести
за то время, когда тела описывают FP, fp и <рп. Ясно, что
отрезок уу будет равен и параллелен O2V, а усо равен и па-
раллелен 00. Отсюда следует, что отрезок ypi будет равен
и параллелен ОМ. Эти же два отрезка (по предыдущей
лемме) суть как раз те отрезки, которые проходятся цент-
рами тяжести О и у, когда тела А, а и а и тела F,
f и <р проходят отрезки АС, ас и ах и отрезки F/7, fh
и Отсюда следует, и т. д. Что и требовалось дока-
зать.
Лемма IV.
68.	Исходим из тех же предположений, как и в
лемме II, с той только разницей, что отрезки АВ, ab
и ар и отрезки AD, ad и аЬ (фиг. 27) не параллельны
друг другу. Если ОМ есть путь центра тяжести за то
СВОЙСТВА ОБЩЕГО ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ НЕСКОЛЬКИХ ТЕЛ 113
время, когда тела А, а и а равномерно проходят от-
резки АС, ас и ах; GN — путь того же центра за то
время, когда тела описывают линии АВ, ab и оф; и,
наконец, 00 есть путь центра тяжести за то время,
когда тела А, а и а описывают отрезки AD, ad и а9,
Фиг. 27.
то я утверждаю, что ОМ будет диагональю паралле-
лограмма, построенного на сторонах GN и GO.
В самом деле, как и в лемме II, можно доказать, что
NM есть путь центра за то время, когда тела Д, а и а
описывают линии ВС, Ьс и fix. Но так как AD, ad и аЗ
соответственно равны и параллельны ВС, Ьс и (te, то
отсюда следует (согласно лемме III), что линия 00 равна
и параллельна NM. Отсюда следует, и т. д.
Следствие I.
69.	Если каждое из движений АС, ас и ах разложить
на три или вообще на любое число каких-либо движений,
то путь ОМ центра тяжести будет всегда последней диаго-
налью параллелограммов, сторонами которых служат отрезки,
которые центр тяжести прошел бы, если бы тела А, а
и а имели отдельно одно за другим каждое из составля-
ющих движений. Это с ясностью вытекает из предыдущей
леммы.
8*
lie ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Следствие II.
70.	То же предложение будет справедливым и в том
случае, если число составляющих движений не будет у всех
тел одинаковым,—например, если движение одного тела
будет разложено на три, движение другого — на два дви-
жения и т. д. Действительно, последняя лемма вовсе не
перестает быть справедливой, если предположить, напри*
мер, AD равным нулю, т. е. если движение АС не разла-
гается вовсе.
Лемма V»
71.	Пусть некоторое произвольное число тел А, В,
С и т. д. связано каким-либо образом] одно с другим,
причем никакой закрепленной точки в системе не имеется.
Пусть этим телам сообщаются такие движения М, N,
Р и т. д., что в результате тела остаются в равно-
весии. В таком случае я утверждаю, что если бы дан-
ные тела могли свободно получить движения М, N, Р
и т. д., то центр тяжести данных тел оставался бы
в покое.
Разложим каждое из движений Af, Р и т. д. на
два движения, т и pt, п и у, р и тг и т. д., параллельных
двум заданным как угодно расположенным линиям, которые
я назову К и Q. Для того чтобы найти путь центра тя-
жести в результате движений /И, TV, Р и т. д., нужно
найти путь этого самого центра в результате движений пц
л, р и т. д., — это будет (согласно лемме I) отрезок, па-
раллельный К и равный
А-т-\-В-п-\-С-р-\-ъ т. д.
Л + В + С + и т. д. ’
и путь его же в результате движений р, у, пит. д.,—*
это будет отрезок, параллельный Q и равный
Л-иЧ-Д^ + С-гс + и т- Д'
А —[* В —С —|— и т» д.
Диагональ параллелограмма, построенного на этих двух
отрезках, и будет (согласно лемме II) представлять собой
СВОЙСТВА ОБЩЕГО ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ НЕСКОЛЬКИХ ТЕЛ 117
путь центра тяжести. Следовательно, для того чтобы по-
казать, что путь центра тяжести равен нулю, необходимо
доказать, что каждый из двух указанных отрезков равен
нулю, или, что то же самое, нужно доказать, что
А-т-]-В*п-{-С-р-[-п т. д.=0
и
C-Tr-j-и т. д.=0.
Но так как (по условию) тела А, В, С и т. д., полу-
чив движения /И, TV, Р и т. д., находятся в равновесии
И так как в системе нет закрепленной точки, то равно-
действующая сил B*N, С*Р и т. д. будет равна
нулю (согласно п° 63). Силы же А-M, В-И, С-Р и т. д.
у нас разложены на силы и Л-р, В*п и 5-v, С'Р
Й С’П и т. д. Следовательно, равнодействующая этих сил
представляет собой ту силу, которая получается из равно-
действующей сил А *т, В*п, С-р и т. д., с одной сторо-
ны, и из равнодействующей сил Л*pi, C-rt и т. д.,
с другой. Но эти две равнодействующие силы параллельны
двум различным линиям К и Q. Поэтому для того, чтобы
сила, получающаяся из сложения этих сил, равнялась нулю,
нужно, чтобы каждая из этих сил в отдельности равнялась
нулю. Но одна из этих сил равна
А• m —В• п —С *р —и т. д.,
а другая равна
и- т- Д-
Следовательно, каждая из этих величин равняется нулю.
Что и требовалось доказать.
Лемма VI.
72.	Исходим из тех же предположений, как и в пре-
дыдущей лемме, за исключением того, что движения М,
N, Р и т. д. теперь произвольны, т. е. теперь тела
А, В, С и т. д., получив эти движения, могут и не нахо-
диться в равновесии. Кроме того, система может иметь
закрепленную точку. В таком случае я утверждаю.
118
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
что если, отвлекаясь от взаимного действия тел друг
на друга, предположить, что тела А, В, Си т. д.
фактически восприняли движения М, N, Р и т. д.,
то путь центра тяжести будет параллелен направле-
нию равнодействующей сил B-N, С*Р и т. д.
В самом деле, для того чтобы найти направление этой
равнодействующей, нужно (при тех же построениях, как
и при доказательстве предыдущей леммы) провести диаго-
наль параллелограмма, стороны которого параллельны К и
Q, а по величине относятся друг к другу, как
А*т-\- В*п-\-С-р-\- и т. д.
относится к
А• |1 -J-В*v-1-С»п-J- и т. д.
Для того же, чтобы найти путь центра тяжести в резуль-
тате движений М, N, Р и т. д., нужно (согласно лемме II)
провести диагональ параллелограмма, стороны которого па-
раллельны К и Q, а по величине относятся друг к другу,
как
А-т-\-В*п-\-С>р-\- и т. д>
А —В —|— С —|— и т. д.
относится к
Л.р,-[-В.у-|-С.тс-4- и т, д.
+ ит. д.
Следовательно, стороны одного из этих параллелограммов
параллельны сторонам другого параллелограмма, а отноше-
ние сторон одного параллелограмма равно отношению сто-
рон другого параллелограмма. Отсюда следует, и т. д.
Что и требовалось доказать.
Следствие.
73.	Если телам Л, В, С и т. д. сообщить движения
— М, —N, —Р и т. д., то путь центра тяжести будет
параллелен равнодействующей, но только направление его
будет противоположным.
СВОЙСТВА ОБЩЕГО ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ НЕСКОЛЬКИХ ТЕЛ 119
Примечание I.
74.	Все только что доказанные нами леммы будут спра-
ведливы и в том случае, когда тела, по предположению,
находятся в разных плоскостях. Действительно, лемма I
справедлива в этом случае так же, как и в других. Что
касается леммы II, то ее доказательство, строго говоря,
не предполагает того, что тела Л, а и а расположены в
одной плоскости; оно предполагает лишь то, что каждое
из движений ЛС, ас и ах может быть разложено на
два движения, параллельных двум заданным линиям. От-
сюда вытекает, что лемма III будет также справедлива
в том случае, если тела находятся в разных плоскостях,
по крайней мере, при том условии, что движения, сооб-
щаемые каждому телу, могут быть разложены на два дви-
жения, параллельных двум заданным линиям. Но когда
тела расположены в различных плоскостях, каждое движе-
ние, сообщаемое этим телам, может быть разложено на
два движения, из которых одно будет параллельно неко-
торой заданной линии, а другое в свою очередь может
быть разложено на два других движения, параллельных
двум другим заданным линиям. Отсюда вытекает, что
лемма III справедлива во всех случаях. Точно так же спра-
ведливы во всех случаях и леммы IV, V и VI, поскольку
они опираются только на первые три леммы и поскольку
они вовсе не предполагают, что тела находятся в одной
плоскости.
Заметим между прочим, что в приведенных леммах мы
предполагали справедливым предложение, доказанное Нью-
тоном, а именно, что центр тяжести нескольких тел, дви-
жущихся равномерно и прямолинейно и не действующих
друг на друга, движется также равномерно и прямолинейно.
Однако нетрудно видеть, что это предложение было, бы
также чрезвычайно легко доказать с помощью разложения
данных движений на составляющие движения, параллель-
ные заданным линиям. Таким образом, наш метод имеет
то преимущество, что он дает возможность доказать, что
центр тяжести нескольких тел движется равномерно ц
120 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
прямолинейно как в том случае, когда тела действуют
друг на друга, так и в том случае, когда они друг на
друга не действуют.
Примечание II.
75.	Добавим к этому, что если несколько тел, рассма-
триваемых как точки, движутся прямолинейно в среде,
сопротивляющейся пропорционально скорости, то и центр
тяжести этих тел будет двигаться прямолинейно с замед-
лением движения, пропорциональным скорости. В самом
деле, если сопротивление пропорционально скорости, то
пути, описываемые телами за любой элемент времени,
уменьшаются в отношении этих самых путей. Следовательно,
путь центра тяжести остается и в данном случае прямо-
линейным, расстояние же, которое проходится этим цент-
ром, теперь уменьшается за каждый элемент времени на
величину, пропорциональную этому самому расстоянию.
Отсюда следует, и т. д.
Теорема I.
76.	Состояние движения или покоя центра тяжести
нескольких тел нисколько не меняется от взаимного
действия этих тел друг на друга, если только система
совершенно свободна, т. е. если она не вынуждена дви-
гаться вокруг какой-либо неподвижной точки.
Действительно, так как движения а, Ь, с и т. д. сла-
гаются из движений а и а, b и (J, с и х и т. д. (п° 60),
то движения а, Ь, с и т. д. можно рассматривать как со-
ставленные из движений а и —а, b п —р, с и —к
и т. д. Отсюда следует, что когда тела обладают движе-
ниями а, Ь, с и т. д., путь центра тяжести будет таков,
как будто тела сначала имели движения а, Ь, с и т. д.,
а затем движения —а, — —х и т. д. (согласно лемме IV).
Но так как, по предположению, в системе нет неподвижной
точки и так как в том случае, если бы телам были пере-
даны лишь движения a, [J, х и т. д., система находилась
бы в покое, то (согласно лемме V и следствию из леммы VI)
СВОЙСТВА ОБЩЕГО ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ НЕСКОЛЬКИХ ТЕЛ 121
путь центра тяжести благодаря движениям —а, ——%
и т. д. будет равен нулю. Отсюда следует, что когда тела
обладают движениями а, Ь, с и т. д., путь центра тяжести
будет таков же, как если бы тела имели движения я, 6, с
и т. д., если бы таковые им были сообщены.
Замечание.
77.	Если в системе имеется какая-либо закрепленная
точка, то тела, обладающие движениями a, [J, х и т. д.,
могут находиться в равновесии и без того, чтобы равно-
действующая этих движений равнялась нулю: в данном
случае достаточно будет того, чтобы направление равно-
действующей этих движений проходило через закреплённую
точку. В этом случае путь центра тяжести благодаря дви-
жениям— а, —р, —к и т. д. будет (согласно следствию
из леммы VI) параллелен направлению этой равнодействую-
щей, но направлен в противоположную сторону. Поэтому
он не будет равен нулю. Отсюда следует, что в данном
случае взаимное действие тел будет нарушать состояние
центра тяжести системы.
Теорема II.
78.	При тех же предположениях, что и в теореме I,
если на данные тела действует по параллельным линиям
тяжесть или какая-либо иная ускоряющая сила, посто-
янная для каждого тела, но могущая быть различной
для различных тел, общий центр тяжести или, вернее,
центр масс будет описывать такую же кривую, какую
он описывал бы в том случае, если бы тела были сво-
бодными.
Для доказательства возьмем лишь два тела А и В
(фиг. 28) и предположим, что Да и В$ суть те малые
отрезки, которые эти тела проходят естественным образом
вследствие первоначально сообщенных им скоростей Аа
и ВЬ, с одной стороны, и вследствие ускоряющей силы,
направленной по аа и с другой стороны. Пусть С бу-
дет центр масс тел А и В, т. е. такая точка, расстояния
122 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
которой до А и до В обратно пропорциональны массам А
и В (но не весам А и В, которые могут быть не пропор-
циональны массам). Пусть тела А и В, вместо того чтобы
проходить линии Аа и В$, проходят линии Аа и ВЬ. Ясно
(согласно п° 76), что путь центра тяжести Сх в первое
мгновение не будет отличаться от того, какой был бы в
том случае, если бы тела А и В описывали линии Аа и
В$ (п° 76). В следующее мгновение тела будут стремиться
описать
ав = Ла и bS = Bb,
центр же тяжести С будет стремиться пройти прямую линию
хК—Сх
— тот же путь, который был бы им пройден в том слу-
чае, если бы тела продолжали двигаться по направлениям
Аа и 73р. Но так как, благодаря ускоряющей силе, тела
А и В описывали бы в этом последнем случае параллель-
ные друг другу линии ef п dg, а в первом случае—линии
гр и Sy, соответственно равные и параллельные первым
двум линиям, то путь xk центра масс будет один и тот
же, описывают ли тела линии af и pg, или же линии ар
и by. Однако, какую бы линию вместо ар и by, ни опи-
сывали тела вследствие их взаимодействия, путь центра
тяжести С всегда будет одним и тем же (согласно тео-
СВОЙСТВА ОБЩЕГО ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ НЕСКОЛЬКИХ ТЕЛ 123
реме I). Отсюда следует, и т. д. Легко видеть, что дан-
ное доказательство можно распространить и на случай
большего количества тел. Что и требовалось доказать.
Замечание I.
79.	Настоящее доказательство теряет силу в том слу-
чае, если ускоряющие силы не постоянны для того или
иного тела и если направления их действий не параллельны
друг другу. В самом деле, тогда нельзя считать ef равной
и параллельной ау и dg равной и параллельной Зу, и по-
тому путь xk центра не будет одним и тем же в обоих
случаях.
Замечание И.
80.	Отсюда, однако, следует исключить один случай,
а именно: когда ускоряющая сила направлена к неподвиж-
ной точке и когда эта сила действует пропорционально
расстоянию. В самом деле, в этом случае, как легко до-
казать и как это показали многие математики, центр тя-
жести совпадает с центром масс, и этот центр притягивается
или отталкивается от неподвижной точки с силой, пропор-
циональной расстоянию до этой точки. На этом основании
нетрудно показать, что предыдущая теорема будет спра-
ведлива и в данном случае.
Действительно, так как взаимное действие тел друг на
друга ни в какой мере не нарушает состояния центра масс,
совпадающего в данном случае с центром тяжести, послед-
ний поэтому будет находиться в каждое мгновение на та-
ком же расстоянии от неподвижной точки, на каком он
находился бы без этого взаимодействия. Следовательно, он
также будет притягиваться с такой же силой. Его направ-
ленная скорость также будет одинаковой в обоих случаях.
Огсюда следует, и т. д.
Итак, в этом последнем случае, согласно известной тео-
рии центральных сил [55], центр масс, или центр тяжести,
будет описывать эллипс, центр которого будет совпадать
124 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
с данной неподвижной точкой независимо от того, будут
ли тела действовать друг на друга.
В том же случае, который рассмотрен в теореме, центр
масс будет описывать параболу.
Следствие.
81.	Последние две теоремы дают в наши руки очень
простые средства находить движение неизменяемых тел.
В дальнейшем мы покажем некоторые применения этих тео-
рем.
Примечание.
82.	Если тела рассматриваются в качестве точек и если
они движутся в среде, сопротивляющейся пропорционально
скорости, то 1° в случае, если на тела не действует уско-
ряющая сила, центр масс будет двигаться прямолинейно и
движение его будет замедляться пропорционально скоро-
сти,— точно так же, как если бы тела были свободны;
2° центр тяжести будет описывать одну и ту же линию и
с одним и тем же законом скоростей независимо от того,
действуют ли тела друг на друга или нет,—лишь бы тя-
жесть тел была постоянной или была направлена к неко-
торой неподвижной точке и в этом случае была пропор-
циональна расстоянию от этой точки. Все это с очевидностью
следует из доказанных выше предложений п°п° 75, 79 и 80.
Теорема III.
83.	Если произвольное число тел каким-либо образом
связано друг с другом и если одно или несколько из этих
тел вынуждены двигаться в некоторой плоскости или
в параллельных плоскостях, то я утверждаю, что дви-
жение центра тяжести параллельно этим плоскостям
будет равномерным.
[Так, например, — чтобы конкретно это себе пред-
ставить,— если тело Р (фиг. 38), вынужденное двигать-
ся по прямолинейному жолобу PS, из которого оно
СВОЙСТВА ОБЩЕГО ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ НЕСКОЛЬКИХ ТЕЛ 125
выйти не может, тянет за собой при помощи стержня
РМ другое тело М, то центр тяжести g обоих тел
будет описывать такую кривую, что части прямой KS,
соответствующие дугам, пройденным за одинаковые про-
межутки времени центром g, будут равны между со-
бою [б6]].
В самом деле, если все потерянные данными телами за
каждый элемент времени движения привести к одной рав-
нодействующей, то в общем случае очевидно, что вслед-
ствие взаимного уравновешивания этих движений направле-
ние равнодействующей должно быть перпендикулярно к
данным плоскостям. Следовательно, центр тяжести будет
беспрерывно отклоняться от прямой линии силой, напра-
вление которой (согласно лемме VI и п° 77) будет перпен-
дикулярно к этим плоскостям и действие которой поэтому
будет параллельно данной линии. Отсюда следует, и т. д.
Следствие.
84.	Настоящее предложение будет справедливо и в том
случае, если тела обладают какими-либо ускоряющими си-
лами, постоянными или непостоянными безразлично, лишь
бы эти силы были направлены перпендикулярно к данным
плоскостям. Отсюда следует, что если тела движутся под
действием одних этих сил без всякого первоначального им-
пульса, то центр масс будет описывать прямую, перпен-
дикулярную к данным плоскостям. В самом деле, в последнем
случае, если бы тела были свободны, центр тяжести опи-
сывал бы прямую, перпендикулярную к данным плоскостям.
Но его движение будет изменяться только силой, направле-
ние которой перпендикулярно к этим плоскостям. Следова-
тельно, центр тяжести никогда не отклонится от перпенди-
куляра.
Если тела притягиваются к какой-либо неподвижной
точке пропорционально расстоянию и если прямая, прове-
денная из центра тяжести к неподвижной точке в первый
момент движения, перпендикулярна к плоскости, то можно
таким же образом доказать, что центр тяжести также ни-
когда не отклонится от перпендикуляра.
126 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Примечание I.
85.	Предыдущие предложения (п°п° 76 и 78) будут
справедливы и в том случае, когда тела действуют друг
на друга силой взаимного притяжения. В самом деле,
пути, которые эти тела проходят, приближаясь друг к
другу вследствие этого притяжения, будут обратно про-
порциональны массам, и потому сумма движений, если брать
их в одну сторону, будет равна нулю. Следовательно, путь
центра тяжести нисколько не изменится благодаря взаим-
ному действию этих тел друг на друга.
Впрочем, здесь можно применить доказательство, дан-
ное для теоремы I, представляя все эти тела скрепленными
при помощи жестких стержней. Действительно, в этом слу-
чае, если принимать во внимание только их взаимное при-
тяжение, очевидно, они будут оставаться в равновесии.
Отсюда следует, и т. д.
Примечание II.
86.	Мне кажется, с помощью установленных нами прин-
ципов можно доказать или, лучше сказать, объяснить тот
знаменитый закон механики, согласно которому в системе
тяжелых тел, находящихся в равновесии, центр тяжести
занимает наинизшее положение. В самом деле, предполо-
жим, что система находится в положении В, бесконечно
близком к положению равновесия. Очевидно, в каждом
теле возникнет тогда малое движение, чтобы привести тела
к положению равновесия, и усилие тяжести каждого тела
нужно рассматривать как бы составленным из этого малого
движения и из движения другого, уничтожаемого. Но так как
положение В бесконечно близко к положению равновесия,
уничтожаемые движения будут бесконечно мало отличаться
от полного усилия тяжести; последнее полностью уничто-
жается в положении равновесия. Таким образом, действи-
тельные движения любого тела будут представлять собой
бесконечно малую величину по сравнению с теми движе-
ниями, которые имели бы тела, движущиеся свободно бла-
годаря своей тяжести. Движение центра тяжести будет
СВОЙСТВА ОБЩЕГО ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ НЕСКОЛЬКИХ ТЕЛ 127
также бесконечно малым по сравнению с тем движением,
которое имело бы место в том случае, если бы тела дви-
гались свободно. Это не было бы так, если бы из двух
рассматриваемых здесь бесконечно близких положений одно
не было бы положением равновесия. Отсюда следует, что
можно считать, что от положения В до положения равно-
весия центр тяжести не меняет своего места вовсе; дру-
гими словами, между тем и другими положениями опуска-
ние центра тяжестй равняется нулю. А отсюда следует,
что в положении равновесия опускание центра тяжести
представляет собой максимум, в некоторых же случаях —
минимум. Оно представляет собой, например, максимум в
случае цепи и минимум в случае
шариков, образующих свод и та-
ким образом поддерживающих
друг друга; это будет, как из-
вестно, не что иное, как перевер-
нутая «цепь».
Может быть, точнее было бы
сказать просто, что в случае рав-
новесия дифференциал опускания
центра тяжести равен нулю. Как
известно, равенство нулю диф-
ференциала не всегда указывает
нескольких одинаковых
на максимум или минимум.
Этого замечания вполне достаточно, чтобы показать,
что не правильно было бы, как это делают некоторые ав-
торы, выводить законы равновесия жидкостей из того мни-
мого закона, что центр тяжести массы жидкости, находя-
щейся в равновесии, должен занимать наинизшее положе-
ние. Действительно, если жидкость DOSPE (фиг. 29), все
части которой притягиваются к точке Q пропорционально
расстояниям, находится в равновесии в сосуде MDEN*
то центр тяжести этой жидкости не будет находиться,
в наименьшем расстоянии от центра Q. В самом деле,
пусть
MNDE=DOSPE.
Тогда, очевидно, 1° центр тяжести каждой из этих частей
128
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
будет совпадать с центром масс этой же части; 2° части
KNP и MOL, взятые вместе, будут равны LSK, и общий
центр масс частей KNP и MOL, более близких к точке Q,
должен быть ниже MN и потому ближе к Q, чем центр
масс LSK, расположенный выше AKV. Отсюда следует, что
так как часть DOLKPE является общей для DOSPE и для
DMNE, то при условии, что
QT — или QG,
центр масс жидкости DMNE будет расположен ближе к Q,
чем центр масс жидкости DOSPE. Между тем последняя
находится в равновесии, первая же — нет.
Отсюда следует, и т. д.
Такого рода замечание мною было уже сделано в моем
«Трактате о равновесии и движении жидкостей», п°13[57].
Здесь оно представлено в еще более убедительной форме
с целью предостеречь математиков от такого рода ошибоч-
ных применений принципов механики, которым иногда при-
дают излишнюю общность.
ГЛАВА Ш.
Задачи, в которых указывается, как пользоваться
вышеприведенным принципом.
§ 1. О телах, соединенных между собою
при помощи нитей или стержней.
Задача I.
87. Найти скорость стержня CR, закрепленного в
точке С (фиг. 30) и нагруженного произвольным коли-
чеством тел А, В, R, предполагая, что если бы этим
телам не препятствовал указанный стержень, они в
ЗАДАЧИ
129
равные промежутки времени описывали бы бесконечно
малые линии АО, BQ, RT, перпендикуляр- с
ные к стержню.	А-
Вся трудность сводится к тому, чтобы /\
найти линию RS, которую какое-либо из тел / I
R пройдет за тот же промежуток времени, / I
за который оно в свободном состоянии Аь-ЛМ
прошло бы линию RT; тогда будут известны i \
скорости BG, AM и всех остальных тел. J\
Будем рассматривать передаваемые ско- / Л.
рости RT, BQ, АО как составленные (со- I
гласно п°п° 30 и 60) из скоростей RS и ST, fit------L-y
BG и— GQ, AM и—МО. В силу нашего
принципа рычаг CAR должен оставаться в фиг*
покое, если телам R, В, А передать только движения
ST, — GQ, — МО. Отсюда следует
A-MO-AC~[~B'GQ-BC — R-ST-CR*),
т. е., вводя обозначения
АО—a,	BQ — b,	RT = c,
CA = r, CB = r, CR = ? и RS — z,
мы получим
R(c-z)?==Ar[^-a}-]-Br	,
откуда
___________________Aar? 4- Bbr? + Rc?*
4r2_[_£r2_|_£p2	•
Следствие I.
88. Пусть F, f, <p будут движущие силы тел А, В, R.
Тогда ускоряющую силу тела R мы найдем, подставляя
вместо а, Ь, с их значения ~ ~	(п° 22). Она будет
*) См. сноску**) на стр. 92. При этом необходимо заметить,
что силами здесь являются величины А>МО, B-GQ и т. д. (При-
мечание Безу.)
9 Ж Даламбер
130
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
равна
Гг-МтЦ-?? „
Лг2 + Вг2+/?р2
Обозначая через ds элемент дуги, описываемой радиусом
CR, и через и — скорость тела 7?, мы в общем случае по-
лучим
+ . ods^udu
Лг2 4-Вг24./?Р2 ?as —иаи'
каковы бы ни были силы F, /,	*). Таким путем нетрудно
решить задачу о центре качания при произвольных усло-
виях.
Предположим, например, что маятник качается в среде,
сопротивляющейся пропорционально любой степени ип от
скорости. Тогда мы будем иметь ф — kun вместо у, далее
ganrn	hunrn
F—------- вместо F и, наконец, f------— вместо /**).
р/1	7	7 J	рп	J I
Подставим эти значения в последнее уравнение. Обозначая
далее через х длину изохронного маятника, через М — его
массу и через П — его вес или, вернее, ту часть его веса,
которая действует перпендикулярно к стержню, мы полу-
*) Нужно принять во внимание, что АО, BQ, RT представ-
ляют собой мгновенные импульсы, сообщаемые телам Л, В, R
ускоряющими силами. И так как тело R сохраняет лишь RS или
z, то отсюда следует, что для нахождения движения этого тела
нужно в формулу
— udu
(п°21) подставить z вместо и ds вместо de. См. сноску на
стр. 57. (Примечание Безу.)
♦*) Пусть т будет то сопротивление, которое испытывает со
стороны среды тело R, движущееся со скоростью р. Если это
тело будет двигаться со скоростью и, то сопротивление станет
равным , так что движущая сила тела будет равна всего
тип	т
только ф------. Очевидно, что величина Л, заменяющая —,
г рп	рп7
зависит от объема, от плотности и от формы тела R. То же са-
мое можно сказать и о величинах g, h, I, (Примечание Безу,)
ЗАДАЧИ
131
чим уравнение движения этого маятника в
II xds	lunxn xds Мх2 udu
~ Р" ’ Р	~Р1
виде
*),
откуда
Пр ds lunxn-^ds .
--------г — udu-
Mx Mpa 1
Сравнивая это уравнение почленно с уравнением движения
сложного маятника, мы найдем значения х
что величина I зависит от объема тела /И,
и /. Заметим,
от его формы
т. д. вместо ср,
„	gllnrn
*) После подстановки ср — kun и F—-----и
1	рЯ
F и т. д. мы получим уравнение в виде
(Р + Qun) ds = udu.
Уравнение же движения простого маятника имеет вид
(П — lu'n) ds' = Ми’du',
где ds' представляет собой малую дугу, описываемую маятником
за какой-либо элемент времени, а и' — его скорость. Но так как
этот маятник, как обычно принимается, описывает дуги, подобные
дугам сложного маятника, мы будем иметь
. . xds	. хи
ds' —— и и'=—.
Р	Р
Следовательно, проделав все сокращения, мы получим
/Пр Zrzw~1\ ,	,
-----Г ds = udu.
\Мх Мрп 1 J
В этом уравнении и и s обозначают те же самые величины и ns,
которые мы встречали в уравнении сложного маятника. Поэтому
оба уравнения должны быть совершенно тождественными, и со-
ответственные члены обоих уравнений должны быть равны друг
другу. Вследствие этого
Пр
Мх
и
1x^-1 п
Q-
(Примечание Безу.)
9*
132
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
и плотности. Поэтому нельзя считать все эти величины из-
вестными *).
Кроме того, следует заметить, что когда некоторые
авторы говорят, что расстояние х центра качания не зави-
сит от того, сопротивляющаяся ли среда или нет, — это не
совсем точно. Дело в том, что величины F, <р, /, II и т. д.,
зависящие от веса, сохраняют свое значение только в пу-
стоте, так как вес тела уменьшается на вес жидкости и
уменьшается в различной степени в зависимости от плот-
ности, объема и формы того или иного тела. Поэтому зна-
чение х, полученное из сравнения первых членов обоих
уравнений, будет одинаковым только при k, g, h, I, рав-
ных нулю.
Следствие IL
89. Из того, что
A-OM-AC^B-QG-CB=R-ST-CRi
следует, что
А. (AM — АО)*СА-\-В- (BG—BQ) -CB = R- (RT—RS)• С/?,
откуда
А-AM-СА-\-В'BG • СВR-RS-CR —
= д.АО-САД-В' BQ-СВ + RT-CR.
Иначе говоря, силы A-AM, B-BG, R»RS будут эквива-
лентны силам А-АО, B-BQ, R-RT. Отсюда следует, что
последнюю задачу можно было бы решить также, беря
так, чтобы
r.rs-cr+b.!Q^+
*) Очевидно, что если М известно, то зависящее от него /,
как мы только что видели в сноске**) на стр. 130 , будет также
известным. Поэтому, имея одно неизвестное х и два" уравнения
Мх
мы не всегда можем удовлетворить этим уравнениям. См. «Мё-
moires de I’Acaddmie», 1738. (Примечание Безу.}
ЗАДАЧИ
133
равнялось
R-RT-CR + B-BQ-CB~}~A-AO-CA,
К этому сводится метод, которым пользуется Бернулли
для нахождения центров качания и который состоит в том,
что в какой-нибудь точке Р стержня нужно поместить тело,
масса которого равна
R*CR2 jB-CB2 jA-CA*
СР2 "Г" СР2 * СР2 ’
а ускоряющая сила такова, что момент этого груза равен
моментам грузов Л, В, R, обладающих их естественными
весами АО, BQ, RT, а скорость равна скорости точки Р
стержня. Отсюда вытекает, что ускоряющая сила тела Р
RS-CP
будет равна , так что мы будем иметь
СР (R-CR2 t В-СВ2 ! А-СА2\ гр_
CR \СР2 ' СР2 * СР2 )
— A*AO-CA-\-B-BQ'CB-\-R*RT-CR.
Очевидно, что первый член этого равенства представляет
собой не что иное, как сумму моментов
A-AM-CA-^B'BQ'CB + R-RS-CR.
Таким образом, мы показали, что при помощи основного
принципа Бернулли можно решить задачу о центрах кача-
ния гораздо проще, не прибегая к точке Р и не вводя
новых масс.
Только что описанным способом я вначале полагал ре-
шать данную задачу, осуществил же это Эйлер в своем
мемуаре, напечатанном в VII томе «Записок Петербургской
академии», где автором используется то положение, что
силы R-RS; B-BG; А-AM должны быть эквивалентны си-
лам R-RT; B-BQ; А-АО, Однако это положение у Эйлера
никак не доказывается, и доказать его можно, как мне ка-
жется, только с помощью нашего принципа. Помимо это-
го, указанный автор ограничивается применением этого по-
ложения лишь к решению небольшого числа задач, отно-
сящихся к колебаниям изменяемых и неизменяемых тел,
и к тому же, его решение одной из задач этого рода не
134 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
совсем верно, как это мы будем иметь случай показать в
дальнейшем.
Уже из этого видно, насколько наш принцип заслужи-
вает предпочтения и притом не только для решения задач
этого рода, но и вообще всех вопросов динамики.
Лемма VII.
90. Если две бесконечно малые линии Рр и Mtn (фиг. 31)
соединить конечными линиями РМ и рт и затем провести
рк = Рр и тр. = Мт,
то я утверждаю:
1°. Разность РМ — пр,
будет равна удвоенной
разности РМ—рт ми-
нус квадрат угла, обра-
зуемого РМ и рт, умно-
женный на РМ.
2°. Угол, образуе-
мый ttjx и рт, равен уг-
лу, образуемому РМ
и рт, умноженному на
. . 2 (РМ-г-рт)
”» РМ
Проведем линии Ма, пе и р/ параллельно рт, затем
проведем Mb, aPd, cnf и p.eg перпендикулярно к рт.
Тогда мы получим
Pd — nc.
Отсюда
g£=n/=Pa.
Но бесконечно малые углы РМа и епр, радиусы которых
РМ и пр отличаются друг от друга на бесконечно малую
величину (при равенстве бесконечно малых линий Ра
и £р), отличаются между собой на бесконечно малую
второго порядка малости, так как разность синусов
ЗАДАЧИ
135
будет равна
|i£	Ра  Ра (РМ — я*)
«Ji	РМ РМ-тщ ’
т. е. равна бесконечно малой второго порядка. Умножив
последнее выражение на Ра, мыпол)чим бесконечно малую
третьего порядка. Но
РМ—рт — РМ —Ма 4- Ма—рт =	— dp.
Z л /VI
Точно так же мы найдем:
к/2 г
рт — итт = — -J—^mg—ср.
Пренебрегая третьими разностями, мы получим
Ра*
PM — ^ = 2(bm — dp) = 2 (PM—pm) — ^ =
= 2 (РМ—рт)—(угол аМР)2-РМ.
3°	. Угол ^тгр, т. е. угол, образуемый рт и щл, равен
_________Ра___ ________Ра_______
пе рт — (Ьт — dp)	Ма —2 (Ьт—dp) ’
__Ра । 2 (Ьт — dp) Ра
Ма ‘ Ма * Ма ’
что, если пренебречь третьими разностями, будет равно
углу аМР, умноженному на
Г	, 2(РМ-рт)^
L	‘ РМ ]’
Что и требовалось доказать.
Следствие I.
91.	Если линии РМ и рт равны между собою, то
РМ — пр.—— (угол аМР)2. РМ
и
угол еър. — аМР,
136 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Следствие II.
92.	Если линии Mtn и ту. (фиг. 32) будут равны нулю,
то
И
угол рМп — РМр — —~~ • РМр.
Задача II.
93.	Стержень GA (фиг. 33), имеющий неподвижную
точку О и находящийся в горизонтальной плоскости,
нагружен двумя телами А и D. Тело А наглухо скре-
плено со стержнем, а тело D может свободно сколь-
зить вдоль него при помощи кольца. Требуется найти
скорость каждого тела в любое мгновение, а также
найти кривую, описываемую телом D.
Пусть АВ и DE будут бесконечно малые линии, опи-
сываемые телами А и D в течение одного и того же эле-
мента времени. Если провести дугу ВС, равную АВ, и
ЗАДАЧИ
137
линию Ei, равную ED и имеющую то же самое направле-
ние, то ясно, что именно эти линии были бы описаны обо-
ими телами в течение следующего элемента времени, если
бы им не мешал в этом стержень. Правда, тело А по необхо-
димости опишет дугу ВС, но оно опишет ее не за такой же
элемент времени, как дугу АВ. Пусть BQ — малая линия,
бесконечно мало отличающаяся от ВС, представляет ту
линию, которую описало бы тело А за тот же элемент
времени, за которое оно при своем несвободном движении
проходит линию ВС, если бы оно продолжало после точ-
ки В двигаться далее равномерно с той скоростью, какую
оно имело в В. Пусть за то же время тело D в равно-
мерном движении описало бы линию Ео. На самом же деле
тело вследствие сопротивления стержня описывает ли-
нию Ер. Будем рассматривать движения BQ и Ео как сло-
жные движения, состоящие из движений: первое из ВС и
CQ, второе из Ер и Е1. В таком случае ясно, что если бы
тела А и D обладали лишь движениями CQ и Е1, то ры-
чаг оставался бы в равновесии. А так как тело D может
скользить вдоль стержня (по условию), то для равновесия
необходимо, чтобы Е1 было перпендикулярно к рычагу QB.
Кроме того, должно соблюдаться равенство
A-CQ*GA — D*El-QE.
Установив это, введем следующие обозначения: пусть
QA = a,
AB = dx, GD—y, FD = ~,	FE = dy,
CQ = a.
Предположим, что линия BQ описывается с такой же ско-
ростью, как АВ, а линия Ео — с такой же скоростью, как
DE. В таком случае линии BQ и АВ, и точно так же линии
Ео и DE, относятся друг к другу как времена, затраченные
на их прохождение. А так как линии BQ и Ео описыва-
ются за одно и то же время (по условию), так же как за
одно и то же время описываются линии АВ и DE, то мы
получим
BQ'.AB (или BC) = Eo\DE (или Ei).
138
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
BC-.CQ=DE:io.
. CQ-DE
Отсюда
Следовательно,
Далее, из равенства
A-CQ-GA = D-El-GE
мы получаем
pt Л Ааа
П1—рО = -=— .
r Dy
Но угол IGE равен
EGD (1 —=EGD — 2-£^-
\ GD /	ау
(п° 92). Если к углу IGE прибавить угол iGo, равный
io DF_CQ-DF_CQ DF_CQ_^)
Gi * DE~ Gi-BC ~ GD * AB~ GA~~ a ’
и угол oGp, равный
ро __льа
GD — Dy2'
то мы
получим
2dydx I a । Aza
угол pQE=EGD-------
как этот угол pGE равен углу EGD (по построению),
будем иметь
А так
то мы
2dydx I а . Ааа
' ay ‘ а ‘ Dy2
откуда _
л__________________2Dydydx
а — Aa^Dy2'
*) Если из центра G описать дугу is, то мы получим угол
is
iGo = vq. Вследствие же подобия треугольников DFE и sio мы
будем иметь
(Примечание Безу.)
io-DF
ls— DE '
ЗАДАЧИ
139
Разность Gi— GD равна
2dy
 y2dx2
' a2y
(n° 92). С другой стороны, представляет собой раз-
ность между Gp (или Go) и Gi. Следовательно,
Gp-GE = dy+y-^^,
г	। а‘ 1 dx ’
откуда
 ady
аУ~ а2 ' dx '
или, если подставить вместо а найденное значение, мы по-
лучим уравнение кривой DEp в виде
ягv __^£2 । 2Pydy2
а У — а2 "ГАа2-\-Ру2'
Для отделения переменных предположим, что
dx=J^,
а ’
и, вследствие этого,
d^=_^yt
Р
Тогда мы будем иметь
_	_ Ъуйу-аЧ) _ .
. /Я	р2(ла2 + ру>)—ДЧУ-
w	1
Умножая это уравнение на (дд21рТ)у2)2 и затем интегРиРУя>
мы получим
а4 ______________________с	1
2р2(Лд2_^ Ру2)2 ~~~	2Р(Аа2 + Ру2)'
где G—-такая постоянная, что -- в начале кривой
140 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
dx *)	.
делается равным данному отношению jp 1аким обра-
зом, мы получим уравнение кривой DEp в следующем виде:
dx —	—	adyVD
о- У {Aay-\-Dy^){2GD (Ла24-П>2)— 1|-
Что касается скоростей обоих тел, то, обозначая через и
скорость тела Л, мы будем иметь
du__CQ
и ВС
CQ
так как равно отношению второго элемента времени к
первому**). Отсюда следует
__du  2Dydy
и	Aa2-{-Dy2
и
и___Aa2-]-Db2
g Аа2 4- Dy2 *
где g—начальная скорость тела А и где, кроме того,
предположено
У — Ь
*) Пусть тело D вначале получает импульс по направлению
РЕ (фиг. 34), и пусть тела А и D вследствие первоначальных им-
пульсов стремятся за некоторый элемент времени описать линии
АК и Ei. Пусть вместо этих линий они на самом деле описы-
вают линии АВ и Ер. Отношение АВ к Fp следует прирав-
нять отношению dx к dy в начале координат, а отношение
АВ к Ер — отношению g к Л, где через g и h обозначены началь-
ные скорости. Следуя в точности тем правилам, которые приве-
дены в задаче, нетрудно найти все эти величины, — как это ука-
зывает и чертеж. (Примечание Безу.)
**) Мы имеем
AB — tidt,
откуда, так как АВ постоянно, мы получим
dudt-\-ud2t = 0,
или
и ~ di “ АВ~ ВС*
(Примечание Безу.)
ЗАДАЧИ
141
в начале кривой DEp. Точно так же, если скорость тела D
обозначить через v, мы будем иметь
dv Ер — Ео po-FD
v Ео DE2
_____Aaa-ydx
Dy2-a(dy24-y2^-
Однако скорость v можно получить и более изящным
способом, на основании принципа сохранения живых сил,
доказательство которого мы даем ниже.
Этот принцип нам дает
Dv2 4- Au2 — const.
Отсюда, обозначая через h начальную
скорость тела £>, мы получим
2 Dh2Ag2 — Аи2
D
Замечание I.
94.	При решении этой задачи я не
предполагал элемента времени dt по-
стоянным, так как я хотел получить
уравнение кривой, не зная выражения скорости. Последнее
было бы необходимым, если бы мы считали dt постоянным,
так как
dx
и
и dt можно исключить только в том случае, если известно и.
В подобных случаях я буду поступать таким же образом
и в дальнейшем. Это не значит, что и не может быть по-
лучено тем или иным способом. Я лишь полагал, что не-
лишне будет показать, каким образом при решении такого
рода задач можно обойтись без этого.
142 ОБЩИЙ ПРИНЦИП для нахождения движения
Замечание II.
95.	Предыдущая задача была бы немногим труднее,
если бы тела А и D обладали ускоряющими силами р и f
произвольного направления и произвольной величины. Чтобы
дать пример необходимых в данном случае вычислений, я
буду считать обе ускоряющие силы постоянными и направ-
ленными параллельно вертикали VA. При этом мы должны
представить себе нашу систему движущейся в вертикальной
плоскости. Идя тем же путем, как и в п° 93, мы положим,
сверх того, что тело А вследствие своего веса р проходит
линию QN за такой же элемент времени, за который оно
описывает несвободным движением линию ВС. Так как этот
элемент времени отличается от первого на величину, бес-
конечно малую, мы будем иметь
GV dx2
Q7V—п.—Г . — *
r GA и2
Точно так же
oz —
fdx2
u2
A-CN-GA _ Aa f < pzdx2\
Zn~~ D-DG ~Dy\' atfi J
*) Мы имеем
QN=ydt2t
где ср — ускоряющая сила по направлению QN. Если разложить
тяжесть р на две силы, из которых одна перпендикулярна к QN,
а другая как раз имеет направление QNt то последняя будет
равна . Так как, кроме того,
'	dx = udtt
то
QN
___p»GV dx2
~~~GA~' u2 *
(Примечание Безу.}
ЗАДАЧИ
143
где через z обозначено GV*). Затем, как в п° 93, мы
получим
2ydxdy Г । pzdx2\ . Аа . а . fdx2. z
—-	уа"Г" аи2 ) ’ Dy2\ а • и2 ау
и
2 _ ydx2 . ady . fdx2V a2 —z2
и У ~ а2 dx' аи2
Кроме того,
du______________________________ а
и dx*
Подставив в первое уравнение на место а его значение,
а именно;
dxdu	ududx
-------ИЛИ---------5— .
мы (после интегрирования) получим значение и2. Подставив
это значение точно так же, как и найденное уже ранее
значение а, во второе уравнение
ydx2
(ру — £-— и т. д..
мы получим уравнение кривой DEp. В этом уравнении мы
заметим, что
и это даст нам возможность легко исключить z*
*) Здесь предполагается, что к является точкой, куда прихо-
дит D во второй элемент времени. Оно приходит в it вместо z,
где оно очутилось бы вследствие его собственного движения и
тяжести. Разложим (как это показано) вынужденное движение.
Тогда nz должно быть перпендикулярно к GC
и
Отсюда следует, и т. д. (Примечание Безу.)
144
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Замечание III.
96. Пусть сила, приложенная к телу Л, заставляет его
двигаться по кривой AN с какой-то скоростью, закон ко-
торой для всех точек нам известен. Требуется найти траек-
торию тела D и его скорость. Эта задача приводится
к предыдущей, если мы будем искать ту ускоряющую
силу, которой должно обладать тело А для того, чтобы,
двигаясь в связи с телом D, оно в каждой точке В обла-
дало заданной скоростью.
В первом из четырех уравнений предыдущего п° нужно
pz
подставить ср вместо — и, так как и является известной
*	а
функцией от х, то можно положить
и = Х.
и тогда
__da  dX  а
и	X	dx*
Отсюда
dXdx
X ’
Сравнивая это выражение для а с выражением, полученным
из первого уравнения предыдущего п°, мы найдем выраже-
ние для <р и найдем уравнение кривой DEp.
Пусть, например,
/=0
и
и = постоянной g.
Тогда мы будем иметь
а —О
и
2dydx ydx2 Аа
ay	g2 Dy21
откуда
2£)g2ydy
Aa2 dx
И
a2
ЗАДАЧИ
145
Следовательно,
. аЛу
x~~Yocfl^^
и
?=^j/^+F-
При 0 = 0 мы будем иметь [б9]
х
у—Са
и	2£
2Dg*c а
Тело D в данном случае будет описывать логарифмическую
спираль, так как
dx______________________dy
~а У ’
Если в точке А нет никакого тела, а скорость точки А
в направлении АВ в результате действия некоторой силы,
приложенной к стержню, задана, то задачу можно решить
точно таким же способом. Нужно только представить в точ-
ке А тело произвольной массы и найти, какой ускоряющей
силой должно обладать это тело для того, чтобы, двигаясь в
связи с телом D, оно имело в любой точке В скорость,
подчиняющуюся данному закону.
Этот метод применим вообще всякий раз, когда тела
как-то связаны друг с другом при помощи нитей или стерж-
ней и когда одна или несколько точек нитей или стержней
движутся с данной скоростью и по данному направлению.
Я допускаю, что эти задачи можно решить и более простым
способом, не определяя, какова должна быть ускоряющая
сила у тела с заданной скоростью в результате действия
других тел. Однако, хотя наше решение и длиннее, тем
не менее оно исходит из истинных принципов, заложенных
в самом предмете, так как совершенно несомненно, что
сила, приводящая тело в движение с заданной скоростью,
отличается от той силы, которая была бы нужна, если бы
были устранены все тела: часть этой силы идет на то, чтобы
10 Ж- Даламбер
146
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
преодолеть действие этих самых тел. Наше решение и оп-
ределяет разность двух указанных сил и именно в этом и
состоит, как мне кажется, истинная метафизика данной
проблемы.
Замечание IV.
97. В том случае, если стержень нагружен двумя те-
лами, которые могут свободно скользить вдоль этого
стержня, кривые, описываемые обоими телами, можно найти
следующим образом.
Чтобы сохранить аналогию с предыдущим решением,
мы будем предполагать, что тело А всегда существует,
однако оно должно быть бесконечно мало по сравнению
с данными двумя телами. Мы будем иметь
__2dydx । я । ро____q
ay ' а' у 1
и если через z обозначить радиус-вектор другого тела,
которое я обозначу буквой Е, мы также получим
__2dzdx . я____ро-Ру___
az	Ez2
Это нам даст
я  2Dydy -\-2Ezdz
dx Dy2-\-Ez2
Но
я__________________________d4_
dx dt
Следовательно,
d2t_____________________2Dydy 2Ezdz
~di Dy2-\-Ez2
и
bdt — {Dy2 E.z2} dx.
Кроме того, уравнения
И
d*z=zdx*-\-a^
ЗАДАЧИ
147
(d2t	а Д
если исключить dx2 и подставить — вместо 1 дают
yd2z— zd2y d2t
ydz — zdy dt '
Вследствие этого
ydz — zdy=fdt
и потому
ydz-zdy=fdx™+E’X
Положив
z—yu,
мы получим
du ______________fdx
D-\-Eu2~ b
Мы сможем найти у, если мы найдем еще одно уравнение
с разделяющимися переменными относительно dt и dx. Но
1°. Принцип сохранения живых сил нам дает уравнение
g dt2 = [Dy2 + Ez2) dx2 + Ddy2-\-E dz2>
или уравнение
g dt2 = b dt dx D dy2 -|- E dz2,
получающееся также и непосредственно из нашего решения.
2°. Уравнение
(Ez2 + Dy2) dx — bdt
после дифференцирования приводит к уравнению
[2Ez dz + 2Dy dy) dx = bd2t
и, затем, после нового дифференцирования
(2 Ez d2z + 2Dyd2y + 2E dz2 + 2D dy2) dx = b dH.
Подставим в это уравнение вместо
2Ddy2-^2Edz2
IO*
148
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
равную величину
2 g dt2— 2bdtdx>
вместо d2y подставим его значение
, 2 । d2tdy
ydxi+~dF ’
вместо d2z— его значение
. , । d2tdz
и вместо
(Dy2Ez2) dx и (2Dy dy-\-2Ezdz}dx
также их значения Ь dt и b d2t. Мы будем тогда иметь
2b dt dx + Ь~. 4- 2gdt2 — 2b dt dx =^b~ ,
1 dxdt 1 6	dx ’
или
bd4
dxdt dxdt & '
Интеграл этого уравнения будет иметь вид
bd2t
dxdt
— 2gdt-\-m,
откуда
b dt x= gt2 dx -|~ mt dx -p h dx.
Таким образом, мы получим величину dx как функцию dt.
Отсюда следует, и т. д.
Не нужно опасаться того, что уравнения
f dx _ du
^T~D+Eu2
и
,	b dt
ax~ gt^ + mi + h
смогут оказаться одним и тем же уравнением! для этого
было бы нужно, чтобы du равнялось ndt, где п — постоян-
ная величина. В таком случае, ввиду того, что
У du ’
ЗАДАЧИ
149
величина у должна была бы быть постоянной, что невоз-
можно, так как тело D не закреплено (по условию).
В «Memoires de I’AcadSmie» за 1742 г. (стр. 31) ре-
шение не идет дальше того, что находится уравнение,
связывающее dx и dt и тем самым определяющее поло-
жение стержня в каждый момент.
Однако построения кривых, описываемых обоими те-
лами, там не дается или, если и дается (стр. 35), то оно
производится таким способом, который нельзя признать
геометрическим, поскольку оно не опирается на разделение
переменных. Тем не менее, можно заметить, что уравнения
d2y —у dx2
и
d2z — zdx2,
получающиеся при постоянном rf/, приводят к уравнению
d2y________________________d2z
откуда
yd2z — zd2y = 0,
или
у dz — zdy ^fdt\
отсюда можно получить то же самое построение, которое
нами только что приводилось.
Зная кривую, описываемую телом Z), мы найдем и
кривую, описываемую телом Е, так как
z~yu.
Замечание V.
98.	Если мы имеем три тела Z), Е и //, которые могут
свободно скользить вдоль стержня, то тем же путем, как
и выше, мы найдем уравнение с разделяющимися перемен-
ными относительно dx и dt*t далее, таким же способом мы
получим
у dz — zdy=* fdt
и
у d s — s dy^=kdt}
150
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
где через <$ обозначено переменное расстояние от тела Н
до центра, т. е. до неподвижной точки G, a k предпола-
гается некоторой постоянной величиной, отличной от /.
Из этих двух уравнений мы получаем
у dz—zdy-~-(у ds — sdy),
что, после деления на у2 и после интегрирования, дает
У ky 1
Если положить
z=yu>
то мы получим
у=Р»+т.
где р и у — постоянные.
Далее тем же методом, как и раньше, мы получим
bdt = (Dy2 + Ez2 + Hs2) dx-.

у dz — zdy _f dx
Dy2 + Ez* + Hs*~ b
или, иначе,
что дает
du	_f dx
D 4. eU2	и (f и + у j2 ~ ~ ’
Имея эти уравнения, можно построить кривые, описы-
ваемые телами D, Е и Н в этом случае.
Очевидно, задача не будет труднее, каково бы ни было
число тел D, Е, Н и т. д.
ЗАДАЧИ
151
Замечание VI.
99.	Если тело А жестко скреплено со стержнем, будучи
удалено от точки О на расстояние а, принимаемое мною
за единицу, а два других тела D и Е могут свободно
скользить вдоль стержня, то мы, идя тем же путем, что
п в п° 97, получим
1°. (Dy2Ez2A) dx = b dt.
2°. ydz— zdy—fdt.
3°.d(^]==2gdt-~£?.
\dxdt J	dt
Положим в последнем уравнении
dx=p dt.
что даст
dt p *
Тогда из третьего уравнения мы будем иметь
d (-^)==2gdt-2Apzdt.
Если положить, далее,
к
то вместо этого мы получим
, ( bk\ 2g dp	2 Ар2 dp
й\ P2J k k '
или
2g dp 2Ap2 dp । bdk 2bk dp ______~
~~k	k \~p2	p3 —u
Умножая
k
это на -X
P2
и интегрируя, мы получим
Д ——2X/>4-L = 0,
2/;4 р г 1
где L — постоянная.
152 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Отсюда мы найдем выражение dt и dx в виде функции
от р и dp:
dt = Udp
и
dx — Ч; dp,
где П и Ф суть известные функции от р, причем
Ф=рП.
В таком случае
2+ez2=^-a=jw-А’
и тогда
у dz — z dy_ f dt _ /П dp
Dy2 + Ez2 ~ЬЪ “HI . *
-------------— — Л *— — A
ф	ф
Полагая
мы получим уравнение с разделенными переменными
du  fpU dp
D + Eu2	b — Ар'
Таким образом, и в этом случае можно также построить
кривые, описываемые обоими телами, и найти положение
стержня для любого момента.
Замечание VII.
100.	Если к стержню жестко прикреплены два тела А
и В, а два других тела могут свободно скользить вдоль
этого стержня, то задача решается все тем же способом.
Вообще задача может быть решена при любом числе
прикрепленных к стержню тел, если предположить, что
кроме того имеются еще два тела, могущих скользить
свободно вдоль данного стержня.
Следовательно, задача может быть решена и в том
случае, если число жестко скрепленных со стержнем тел
станет бесконечным,—другими словами, если принимают
в расчет массу стержня. Легко видеть, что в данном слу-
ЗАДАЧИ
153
чае выкладки будут те же самые, что и в предыдущем п°,
если мы вместо величины А возьмем сумму произведений
всех частиц стержня на квадраты их расстояний от непо-
движной точки G.
Наконец, если вдоль стержня могут скользить тела в
числе, большем двух, то, как можно видеть из п° 97 и
из предыдущего, задача решается теми же самыми способами.
Итак, в общем случае, если произвольный прямолиней-
ный стержень, находящийся в горизонтальной плоскости,
будет нагружен произвольным числом тел, из которых
одни могут свободно скользить вдоль стержня, другие же
прикреплены к стержню, то всегда можно найти положение
стержня для любого момента, а также можно найти кривые,
описываемые каждым из
свободных тел. При этом
можно, если угодно, учи-
тывать и массу стержня.
Задача эта до сих пор
решена не была.
Задача III.
101.	Тело Р опу-
скается по кривой СВ
(фиг. 35) и тянет за
собой тело F при по-
мощи нити PCF, про-
ходящей через блок С.
Найти скорость каж-
дого тела.
Пусть тело Р за некоторый элемент времени проходит
элемент пути Рр, а другое тело в течение того же эле-
мента времени проходит элемент пути
Ff=pV.
В следующий элемент времени, если бы телам ничто
не мешало, они прошли бы элементы пути
ри — Рр
и

154
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Однако вследствие сопротивления нити и вследствие
ее нерастяжимости линия /?тг будет пройдена телом Р
в течение элемента времени, отличного от предыдущего
элемента. Тело F за то же время придет в точку со та-
кую, что
об? —|— Сп = fC —|— Ср.
Предположим теперь, что в течение того времени,
за которое тело Р проходит /пт, оно естественным обра-
зом [60] прошло бы путь pi, а тело F естественным обра-
зом прошло бы путь /<о. Далее, допустим, что вес тела F
заставил бы его за то же время пройти расстояние оу
по вертикали, часть же веса тела Р, которая действует
по направлению pi, заставляет его пройти путь И. Если
взять
ро = тг/,
то, согласно нашему принципу, тело F, обладающее одной
только ускоряющей силой, представленной линией шу,
должно уравновешивать тело Р, обладающее силой ро,
частью своего веса и своей центробежной силой, перпен-
дикулярной к кривой Ср, т. е. направленной по pZ. Про-
водя из точки о прямую оа до пересечения в точке а
с продолжением Ср и проведя аи, легко видеть, что, так
как остаток силы по направлению pZ уничтожается вслед-
ствие сопротивления кривой поверхности, равновесие будет
иметь место при условии
F -7»у = Р>ра.
Итак, пусть скорость тела Р будет и, абсолютный вес
его р, абсолютный вес тела F будет g. Далее, пусть будет
Ff=dx, NP=y, Pp—ds,
тг/ = a.
Тогда мы будем иметь:
<_pdy-ds\
11 ~ a2ds *
С другой стороны,
yw.Ff—iTV.Pp,
ЗАДАЧИ
155
откуда	a dx	
	= 4	ds ’
и, наконец,		
	O)V =	gds2 u2 •
Обозначив еще		
	(DV =	/2,
мы найдем		
(pa) —	— d2x =	a dx । gds2 	 ds * и2 П
Кроме того, так как
F*w — P-pa,
мы будем иметь
F ~ ppo-ds _ Pds (pdy-ds2	\
п~и dx ~~ dx \ tfids	a) •
Отсюда мы получим
PH2 I Fgds2 । Fa dx_______Pa ds . Ppds2dy
u2 ' ds	dx ' u2dx
и, следовательно,
a —
Ho
_ FWx — Fgds2 I PPds*dy
------ы Ло^г-- —
Fdx2 + Pds2
a  du
ds	и
Отсюда
—Fu2dxd2x—Fgds2dx-\-Ppds2dy  ,
Fdx2 + Pds2	— uau,
или
?«“!£= Wy -
Pds2 1 Pds2	P •
Полный интеграл этого уравнения (в предположении, что
м=0 при у и х, равных нулю) будет иметь вид:
Ц2.(Р^2 + Fdx2) _	2Fgx
Pds2	РУ Р ’
156
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Полагая
и2 = 2pk,
мы получим
d^.(py—
k — . Р )
Pds2-{-Fdx2
udx	„
Следует отметить, что есть скорость тела г, так
как при нерастяжимости нити путь тела F за тот или иной
элемент времени так относится к пути тела Р, как dx
относится к ds.
Следствие I.
102.	При g=p мы будем иметь
У___ds2' (Ру — Fx)
П Pds2-\-Fdx2 *
что совпадает с формулой, приводимой Бернулли (том II
петербургских «Commentarii») без доказательства[61]. Эта
формула легко может быть получена на основании прин-
ципа сохранения живых сил.
Следствие II.
103.	Если р и g равны нулю, т. е. если оба тела
вовсе не имеют веса, то
u2(Pds2 4- Fdx2)	„
—i----------- = постоянной величине.
Pds2
Следствие III.
104.	С не меньшей легкостью решалась бы предыдущая
задача и в том случае, если бы оба тела были тяжелыми
и если бы они, к тому же, двигались в среде, сопротив-
ляющейся пропорционально некоторой функции скорости.
В самом деле, тогда, беря всюду в выкладках
* Величина (и) обозначает вообще некоторую функцию
от н[62)].
ЗАДАЧИ
157
вместо и, в уравнениях задачи,
вместо g, мы получим уравнение, в котором переменные
могут быть разделены в некоторых случаях,— например, при
у (и) = а-\-Ьи2,
где а и b — произвольные постоянные.
Действительно, если известно место тела F, то из-
вестно и место тела Р. Поэтому для любого положения
тел F и Р мы будем иметь отношение dx к ds. Кроме
того, исходя из природы кривой СРр, мы можем знать
отношение dy к ds. Наконец, если положить
dx = qds}
то мы будем иметь
d2x == dqds,
и нам будет известно отношение dq к ds. Поэтому, полагая
dy = rds
и
dq—Zds,
мы в данном случае будем иметь
«= 2ds {рг — а—but) — Zftyls.	а _|_
В этом уравнении переменные могут быть разделены из-
вестными способами, причем мы предполагаем, что квадра-
туры кривых возможны.
Следствие IV.
105.	В том случае, если оба тела движутся по кривой,
введем обозначения (фиг. 36):
Ffmdt, Fu=^dx и FN^dz.
158 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Тогда мы будем иметь
adt
gdz ds2
Вместо Fn тогда нужно будет взять	а вместо
а dx 1 и2
нужно будет написать
«2 •
Fndt
gds2
С этими незначительными изменениями задача
решается,
и мы получим

2Fgdz
Р
♦) По той причине, что тело Р будет уравновешивать теперь
тело F, обладающее не скоростью <ov, а скоростью, теряемой
им по направлению нити, в то время как остаток скорости уничто-
жается сопротивлением кривой. (Примечание Безу.)
ЗАДАЧИ
159
Это уравнение можно получить также воспользовавшись
принципом сохранения живых сил. Если начальное значе-
ние и равно нулю, то при у —А и z = 0 мы будем иметь
u2(Pds2 + Fdt2)	2Fgz
Pds2	p •
Следствие V.
106.	Если в предыдущем п° положить
и2 = 2pk
и
Р = £,
то
Pds2±Fdt2
Можно, если угодно, положить
Л = 0
в предположении, что тело Р опускается из точки С
и тогда
,_(Py—Fz)ds2
Pds2-j-Fdt2 ’
Герман (в томе II петербургских «Commentarii») [63]
дает решение задачи, решаемой нами в п° 105. Формула
Германа (при А = 0) сводится к следующему:
Г D С Fdx2dzl , 9
Pds2-{-Fdx2
а если положить
dt2 = dx2-\-dq\
то
к	Pds2-{-Fdx2
В нашем же решении (при g=p) мы нашли
. 2р [(Ру — Fz) ds2 — Fu2 dq2]
2p (Pds2-{-Fdx2)	’
160 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
что к выражению Германа приведено быть не может, так
как отрицательная величина
— Fu2 dq2
не может быть равной положительной величине
( f F dz dq2\ . «
Поскольку результат нашего решения совпадает с резуль-
татом, полученным с помощью принципа сохранения живых
сил, и поскольку оно опирается лишь на принципы исклю-
чительной ясности, мы можем считать, что в решение
Германа вкрался какой-то недосмотр *).
Примечание,
107.	Решение задачи III может показаться несколько
длинным. Но я счел целесообразным показать, как в дан-
ном случае применяется мой принцип. Если же кто желает
*) Решение Германа ошибочно в двух отношениях. Во-первых,
он приравнивает произведение ~ на мгновенный эффект движу-
щей силы одного из данных тел сумме количеств движения, полу-
ченных обоими телами за элемент времени, — вместо того, чтобы
приравнивать его, как это показано в п° 107, количеству движе-
ния, получаемому тем телом, движущая сила которого рассматри-
вается.
Во-вторых, обозначая через а скорость тела Р по направле-
нию Рр и через v скорость тела F по направлению FC, он пред-
полагает, что
dtr.dv = ds'.dx.
Правда,
tr.v = ds'.dx,
потому что эти малые отрезки, по предположению, описываются
ва один и тот же элемент времени с постоянными скоростями.
Но то следствие, которое отсюда Герман получает, справедливо
лишь при условии, что ds и dx постоянны, или, по крайней мере,
если
d2s:d2x = ds:dx.
А принимать это нет никаких оснований. (Примечание Безу.)
ЗАДАЧИ
161
решать эту задачу иным способом, тот может поступить
следующим образом.
Пусть Т будет натяжение нити, одинаковое по направле-
нию СР и по направлению CF, Тогда в качестве силы,
ускоряющей тело Р по направлению Рру мы должны взять
Рр dy___Tdx
ds ds ’
а в качестве силы, ускоряющей тело F по направлению Fft
мы будем иметь
Т dx Fg dz
"dt dF *
Тогда мы получим
(Ppdy	Tdx\ . п .
---йт ] ds — Pu du
\ ds	ds J
п
\ dt dt J 2	\ ds2 j
Складывая эти два уравнения и затем интегрируя, мы будем
иметь
9 , и2 F dt2 о 2Fgz
Ui+-Pd^=2py---------F
Это решение, несомненно, проще, чем то, которое было
приведено в п° 105. Однако я полагаю, что оно далеко
не такое же ясное и не такое прямое. Дело в том, что,
строго говоря, нить на тела не действует: она обладает
лишь силой сопротивления, а не силой импульса.
Задача IV.
108*). Тело Р движется по жалобу АРрп (фиг. 37)
и обладает какой-то ускоряющей силой <р. Это тело
тянет за собой два других тела М и М при помощи
*) Хотя эта задача в отношении своего содержания располо-
жена в надлежащем месте, тем не менее, если кому-нибудь она
покажется чересчур сложной, ее можно разбирать после задачи VII
• и после следствий из этой последней.
11 Ж. Даламбер
162 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
жесткого стержня МРЖ. Найти скорость тела Р и
кривые, описываемые телами М и М.
Пусть тела Р, М и М в течение какого-то элемента
времени описывают линии Рр, MR и MR. Я провожу
рп = Рр = р<о
и предполагаю, что за тот элемент времени, за который
Фиг. 37.
тело Р в своем несвободном движении проходит линию /лт,
оно естественным образом и равномерно прошло бы отре-
зок pf, а под влиянием силы ср, кроме того, отрезок fq.
Провожу, далее,
Ri — MR и Ri = MR.
ЗАДАЧИ
163
Я также предполагаю, что за то же время, за которое
тело Р проходит ртг, тело М прошло бы отрезок RK,
а тело М — отрезок RK. Согласно нашему принципу нужно
разложить силу, направленную по RK, на две силы, RZ
и Re, а силу, направленную по RK, разложить также на
две силы, RZ и Re; при этом эти силы нужно взять таким
образом, что если бы тела Р, М и М обладали только
силами nq, RZ и RZ, они находились бы в равновесии и
система оставалась бы в покое, а если бы эти тела обла-
дали лишь движениями рп, Re и Re, они сохраняли бы
эти движения, нисколько не мешая друг другу. Иначе
говоря, должны соблюдаться равенства:
тг£ = РМ, тге — РМ
и
ге = Л1М.
Сначала я разлагаю силу, направленную по RZ, на две
силы, из которых одна, RV, должна лежать на продолже-
нии pR*, силу, направленную по RZ, я, далее, разлагаю на
две силы, из которых одна, RV, должна лежать на продол-
жении pR. Кроме того, силы RV и RV я беру такими, что
если бы тела Р, М и М обладали лишь силами nq, RV
и RV, то они находились бы в равновесии: это возможно
в том случае, если, мысленно сложив эти силы в р, мы
получим одну равнодействующую, перпендикулярную к жо-
лобу. Другими словами, должно иметь место равенство
™7 РМ -Г РМ '•
*) Силы, направленные по RV и RV, разлагаются здесь на
силы, перпендикулярные к рп, и на силы, направленные по npV.
Первые уничтожаются жолобом. Следовательно, вторые силы
должны уничтожаться силой nq. Но эти силы равны
RV-GP KN-gP
РМ И РМ ’
так как, очевидно, pR можно считать параллельной РМ. Отсюда
следует, что
P*nq з= и т. д,
(Примечание Безу.)
11*
Г64 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
У тел М и М остаются лишь силы RX и RX. Эти силы
должны уничтожать друг друга, а это возможно лишь в том
случае, когда линии RX и RX лежат на одной прямой Z?R
и котдэ	A1-/?A'=M-RX *).	(В)
Пусть
РМ=а, GM=y, gNl — y, PNi = b
и постоянный перпендикуляр
PQ = c.
Пусть, далее, линия /ИМ или /?R будет обозначена через е,
скорость в точке Р по направлению Рр — через и. Пусть,
наконец,
Pp = dx,	RX—z и RX —z .
Тогда мы будем иметь
-	© dx*
и	. ф dx*
Если из центра р описать дугу тг(о и затем провести
линии ш и пК и, кроме того, Ro параллельно VK, то ое
будет равна и параллельна RX **). Обозначая через г радиус
кривизны в точке р, мы получим:
*) Можно задать вопрос, нельзя ли сразу предположить, что,
поскольку силы RZ и RZ должны уничтожаться, они совпадают
по направлению с RV и RV и уравновешивают силу, направлен-
ною по га/. Для того, чтобы ответить на этот вопрос, следует
заметить, что подобное предположение повлекло бы за собой
другое предположение , а именно, что тела М и М никак не дей-
ствуют друг на друга, — однако сущность дела не позволяет
сделать такое допущение. В самом деле, так как стержень жест-
кий и угол ЛТРМ постоянный (по условию), то тела М и М ведут
себя так же, как если бы они были соединены друг с другом
жестким стержнем ЛШ. (Примечание Безу.)
**) В самом деле, проведя линию ZK мы найдем, что эта
линия будет равна и параллельна Re вследствие разложения,
которое здесь имеет место. Кроме того, линия Ro параллельна VK
по условию, и их можно считать равными друг другу вследствие
того, что Ко и RV можно считать параллельными друг другу, а
по величине они бесконечно малые второго порядка. Отсюда сле-
дует, что треугольник VZK можно считать подобным и равным
треугольнику Reo и потому линию VZ или RX можно считать
равной и параллельной ое. (Примечание Безу.)
ЗАДАЧИ
165
1°. Угол, образуемый pR и РМ, будет равен
dy . , dx
У а2 — д/г “Г г
Но
а
равно квадрату этого угла (п° 91). Следова-
тельно,
(о/ — pR — а
dy I dx~\2
Уа2—j/2 ‘ У]
2°. Мы будем иметь, далее,
где г означает радиус кривизны кривой АРр в точке р.
♦) Величина — - есть дифференциал угла GPM и она
у а2 —у2
должна быть равна YpR—GPM, так как угол GPM мы рас-
сматриваем не как угол, образуемый линией РМ и линией PG
в различных ее положениях, а как угол, образуемый линией РМ
со всеми последовательно описываемыми линиями Рр, так что
угол GPM в следующий момент превращается в VpR и потому
Кроме того, угол ГрР равен —, так как угол между двумя
элементами кривой равен углу между соответствующими радиу-
сами кривизны. Угол же между pR и РМ равен
VpR — GPM+VpP.
Отсюда следует, и т. д. (Примечание Безу.)
♦*) Мы можем записать
потому что прямоугольный треугольник с прямым углом в
подобен треугольнику MGP, поскольку линию можно считать
параллельной РМ. (Примечание Безу.)
166 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
3°. Описывая из центра L дуги MN и РТ, а из центра тг
дугу /У, мы будем иметь
. rz IK-RN
YK или ttz — тт7<=-	 - *).
JVlf\
Ввиду того, что
iK:MR = nf:Pp,
это нам дает
Д“" Рр ~ Рр ~ МР ~ а *
4°. Наконец,
TtK—no = Ko = RV
Отсюда следует, что
пе— pR или ые — РМ= — ~С------------RV —
г	а
__ ^У^-У2 I УЛх2 I а Г dy t dx\2
а ~l~ аг ~Г [у а2_уг I" г J
*) Угол я/Х бесконечно мало отличается от острого угла PMR,
несмотря на то, что из чертежа этого совсем не видно: чтобы
избежать неясности, на чертеже мы вынуждены были бесконечно
малые, по условию, линии MR и RI делать довольно большими.
Дуга iY должна упасть дальше /ТС, если смотреть из точки к, и
треугольник iY% будет подобен тИ/?М
*♦) Мы можем записать
oe-MQ
В самом деле, проведя et перпендикулярно к ко, мы можем
разность ко и Kt, равную to, принять за разность ко — ке. Но
to^ss
oe>MQ
мР
так как треугольник oet подобен треугольнику MQP вследствие
того, что, как доказано, линия ое параллельна RX или ЛТМ, а
линия ot параллельна РМ, (Примечание Безу,)
ЗАДАЧИ
167
Но линия те должна быть равна РМ. Следовательно,
гра2 —с2 । у । а/дг —_
= ^ + 4 *L= + ^P • (Q
ar Lj^fl2—j2 1 r J
Точно так же для другого тела М мы получим
г У62 -С2	, Rv .
b "rRV+ Ь
^_У^ + дГ_^У------------**1». (D)
Ъ2__у2 r J
Далее, я замечаю, что величина
MN — РТ
РМ
равна углу, образуемому pR и РМ. Но, как мы видели,
этот угол равен
Лу _ , dx
Уа2— у2 1 г
Следовательно,
^ = Р7’4-/эуИ- Г	1 =
1	[у а2 —у2	г .
_ ydx  ady adx
a -’”|/'a2_j,2_r r
Угол между <вг и pR равен углу между pR и РМ (п° 91);
угол между ш/ и п/ равен
Я<0 • PQ е
~ РМ2 ’
угол между п/ и п/< равен
iY _ iK^MN _ vf-MM .
РМ ~MR-PM Рр-МР 9
угол между ттЛ\ или по, и пе равен
oe-PQ zc
168 ОБЩИЙ принцип ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Отсюда следует, что угол между тге и wz (т. е. вторая
разность от угла между pR и РМ) будет равен сумме
всех этих углов, взятых с соответствующими знаками.
Таким образом, мы будем иметь
dy । dx~]__________dx2- V а2 —у2
]/а2_ д/2~Г’7~
	ydx х	I	ady ।	adx~	ZC
1 adx	а ।	1 У а2—>2 1	г	а2
(Е)
Точно так же мы получим
rfy	dx~
У b2 — у2	Г
~ bdx
dx2 Уь2 — у2
b2r
ydx . bdy______________bdx^[ zc
Ь * J/- у2	r b2 ’
(F)
Если в уравнения (А) и (В) вставить вместо входящих
в них линий соответствующие аналитические выражения,
то мы будем иметь
(G)
а	‘	b	'
М___ z
(Н)
и, наконец,
а __— du
dx и
(L)
Вследствие жесткости стержня угол /ИРМ будет непз-
у	у
менным, так что будет известной функцией от —.
Исключая из последних семи уравнений a, zz, RV, RV, z
и z, мы получим в конечном счете одно уравнение, со-
держащее лишь dx, у, dy и d2y. Это и будет уравнение
одной из кривых. Уравнение другой кривой после этого
найти будет нетрудно.
Для того, чтобы упростить выкладки, относящиеся
к данной задаче, обозначим угол MPG через [}, а посто-
ЗАДАЧИ
169
янный угол /ИРМ через А. Тогда мы получим
у = а sin
У а2—у2 = а cos
d(A — ₽)=— rffr
кроме того,
у = Z? sin (А — {?)
и
|/Т?2 У2 = ft COS (Л  Р),
или, что то же,
у = b sin A cos р — b sin cos А
и
j/#2 — у2 — Ь cos A cos р Ц- b sin A sin fj.
Установив все это, вставим сначала во все уравнения
вместо а его значение
dudx
и~~ ’
а вместо z его значение Затем, из уравнения (Е) опре-
делим z и, подставив его в уравнения (С) и (D), найдем
RV и RV. Подставив полученные значения RV и RV
в уравнение (G), мы получим уравнение, которое после
интегрирования даст нам значение и. Подставляя это значение
и в уравнение (F), мы придем к окончательному уравнению,
содержащему лишь dx и с его разностями и d2p.
Если <р —0, то уравнения обеих кривых можно найти
и без уравнения (L). Последнее в таком случае становится
необходимым лишь для нахождения и.
Замечание I.
109. Если ТИР и РМ представляют собой нити, то силы,
направленные по RX и RX становятся равными нулю, и
мы будем иметь
z — 0	и	z = 0.
170 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Но так как нам тогда неизвестна зависимость между у
и у, у нас будет в таком случае шесть уравнений и четы-
ре неизвестных a, RVy RV и и, подлежащих исключению.
В результате останется два уравнения.
Следствие I.
ПО. Для упрощения задачи предположим, что
г=оо, Ь = 0 и у = 0.
Это значит, что тело Р находится в прямолинейном жолобе
и оно тянет за собой единственное тело М при помощи
стержня или нити, —в данном случае это безразлично.
Тогда мы будем иметь
___ Pad _______ ___d У а2—у2 . ady2
~~ МУ а2 — у2~	а ~^а2—у2'
Отсюда мы находим
Mady2	а
CL = - ,	----------------
У а2—у2 Ра2-]~М(а2—у2)
и
Л dy 1  d , Vydx । ady  
ya2 — j/2 j	adx * a "• у
____________Ma2dy2	Г У_ l
~ У a2—y2 [/>a2_]_ Af (й2_‘ [ a2 ' dx / a2 —/2] ’
Пусть
dx=P^.,
a
После подстановок мы будем иметь
— dp . ydy_______________________Mydy___________
p у а2--у2 ‘ (a2 — у2)3/s Уа2—у2 [Pa2 ±M(a2 — y2)] ~
Masdy
~~p (а2 — у2)[Pa2+M(a2 — j/2)] •
Умножая это уравнение на
р(д2__у2)
У Ра2±М(а2—у2)
8АДАЧИ
171
и, затем, интегрируя, мы получим
_ л , _____________W___________
УРа^ + М(^-у^	-Г" /7>«2+ М (аг—уг) (М+Р)'
где А обозначает некоторую постоянную, взятую при том
условии, что отношение dx к dy, выраженное через ,
равно данному отношению этих дифференциалов в тот
момент, когда тела начинают свое движение.
Следствие И.
111. Пусть в предыдущем следствии постоянная А
равна нулю. Тогда
__ М ау
Р — ~м-ур  у a2_yi
И
dx =________Mydy
(M-\-P)Va? — y*'
Последнее уравнение
показывает, что в данном случае
искомая кривая есть геометрическая
чтобы построить эту кривую,
предположим, что СР (фиг. 38)
представляет собой положение
нити в начальный момент.
Описав из центра Р дугу СМК
и опустив из произвольной
точки М перпендикуляр MG,
отложим
NS=GP и =
М-\-Р
Проведя затем линию ОТ,
кривая [64]. Для того
равную и параллельную РМ,
мы получим точку Т в качестве одной из точек кривой.
Найдем уравнение относительно координат NQ и QT. Для
этого прежде всего заметим, что
QT—MQ^y.
172 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Обозначив, далее, NP через f и NQ через /, мы найдем,
что
ктг\_оу___/-)о P-SP ___NG-P___
NQ—BT=
Следовательно,
И
/ 4- fP —_______________. 1/а2____ V2
l^M+P М±Р уа у-
Это есть не что иное, как уравнение эллипса, центр кото-
рого D мы найдем, полагая
NP-P
ND = M+p>
а оси которого суть
а-Р
DE=a и DX=Cg=1^p.
Отсюда следует, что если начальный импульс тел Р
и М будет таков, что начальное dx так относится к на-
чальному dy, как
____—Му_______
(Af+Р) У а*—у*
относится к единице, то тело М будет описывать эллипс, —
такой, как мы только что определили.
Следствие III.
112. Если положить
то общее выражение для dx примет вид
__ydy  А УМ dyV (1 -fm) а2 —у2
У аг—у2
(l-f-zn)/a2— yz
ЗАДАЧИ
173
Отсюда видно, что если А не равно нулю, то хотя кривая
и не будет геометрической, но она может быть построена
с помощью спрямления эллипса. В самом деле,
Ут) а2—у2 йуУ(\ут)-да2—ду2
У а2—у2	Уд . У а2—у2
Но так как общая формула элемента дуги эллипса имеет вид
r2
У а* —у2
TO, положив
(1 4-да) <7 = 1 И —0 =	1,
откуда
1	р т
q — —— и	= т—i— ,
2	1 -\-т 2а 1 -\-т *
мы получим, что
dy ~И(1 -|-/п) а2 — у2
— у2
есть элемент дуги эллипса, абсцисса которого равна у,
большая ось равна 2а, а отношение параметра к большой
оси равно
т
1 ’
Притом эта дуга должна быть разделена на ^q, или же
умножена на ]/ 1	,п- Это значит, что указанное выраже-
ние является элементом дуги эллипса, большая ось кото-
рого равна
2а ]Л1
абсцисса равна
у ]/1	tn,
а отношение параметра к этой оси равно
т
1 -ут ‘
174 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Замечание II.
113. То, что мы только что сказали в последних двух
следствиях и что вытекало у нас из общей задачи, можно
получить более просто из двух теорем, приведенных в
начале второй части (п°п° 83 и 84), а именно — что центр
тяжести g тел Р и М (фиг. 39)
опускается по прямой, перпенди-
кулярной к жолобу PQ, или, по
крайней мере, что его движение,
параллельное PQ, является рав-
номерным. В самом деле, когда
центр тяжести g опускается по
прямой sgV, точка /И, как это
известно из учения о кониче-
ских сечениях, будет описывать эллипс. И в других
случаях нужно лишь представить себе, что точка g опу-
скается по прямой,, перпендикулярной к жолобу, в то время
как точка Р движется от Р к Q, а точка Л4 описывает
эллипс, и вообразить, что мы заставляем затем всю систему
двигаться параллельно PQ, с той постоянной скоростью,
какую должен иметь центр тяжести параллельно PQ. От-
метим, что все это будет справедливо и в том случае,
когда тела Р и М имеют вес: тогда нужно лишь взять жо-
лоб горизонтальным.
Пусть PQ и MN суть начальные скорости, сообщен-
ные телам Р и М. Разложим скорость MN на две ско-
рости, из которых одна, перпендикулярна к жолобу, а
другая, MS, параллельна ему. Отложим на RN такую часть
чтобы соблюдалось равенство
M-RT = P-PQ.
Тогда
ТМ-М
М±Р
будет скоростью центра тяжести параллельно PQ, и задача
будет полностью решена, если, отвлекаясь от общей ско-
рости
TN-M
М±Р>
ЗАДАЧИ
175
мы найдем скорость точки М по своему эллипсу и ско-
рость точки Р. Найти это нетрудно с помощью принципа
сохранения живых сил, который ниже нами будет дока-
зан. Как видим, метод решения подобных задач довольно
простой.
Замечание III.
прежде всего абсолют-
114. Если вместо того, чтобы предполагать, что тело
Р обладает ускоряющей силой <р, мы предположим, что
оно вынуждено двигаться по кривой АРр (см. фиг. 37) со
скоростью, изменяющейся по данному закону, то задача
всегда разрешается тем же самым
способом. Весь вопрос будет за-
ключаться только в том, чтобы
найти силу (см. выше, п° 96).
Задача V.
115. Нить СтМ, закреплен-
ная в С (фиг. 40) и нагружен-
ная двумя грузами т и М, бес-
конечно мало удалена от вер-
тикали СО. Найти продолжи-
тельность колебаний этой нити.
Пусть за первый элемент вре-
мени тело т проходит дугу ти,
а тело М за то же самое время —
дугу Mv. Можно считать, что
тело М имеет одновременно два
движения: движение MV, рав-
ное и параллельное движению ти
тела /и, и движение Vv, пред-
ставляющее собой вращение во-
круг центра т или и. Разложим
ное усилие веса тела т [65], направленное по mQ, на два
усилия: одно из них пусть будет способно заставить тело т
пройти за первый элемент времени линию ти, а другое
пусть будет направлено по линии mR, положение которой
неизвестно. Второе усилие должно уничтожиться, так как
176
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
тело т может двигаться только по ши (по условию). Раз-
ложим также абсолютное усилие веса тела М, направлен-
ное по Л4£, на два усилия: одно из них пусть будет спо-
собно заставить тело М пройти линию MV\ а другое, AW,
пусть будет снова разложено на два усилия, из которых
одно способно заставить тело М пройти линию Vv, а дру-
гое должно уничтожиться или, что сводится к тому же
самому, должно уравновешиваться с усилием, которое на-
правлено по mR и которое также должно уничтожиться.
Для этого необходимо, во-первых, чтобы то усилие тела М,
которое должно уничтожиться, было направлено по МР,
в сторону продолжения /п?И, и во-вторых, чтобы это уси-
лие так относилось к усилию, направленному по mR,
как бесконечно малый угол SmR (образуемый линией mR
И продолжением Ст) относится к углу MmS*): дело в том,
что для равновесия необходимо, чтобы равнодействующая
этих двух усилий была направлена по mS.
Установив всё это, положим
Ст = /;
вес тела т пусть будет р, вес тела М пусть будет Р,
Mm = L, тК—х, MQ—y
и ускоряющая сила по направлению ти пусть будет у.
Тогда 1° сила у будет так относиться к весу р, как угол
RmQ относится к синусу прямого угла Rmu- Поэтому,
обозначая полный синус через единицу, мы будем иметь
угол RmQ = ~.
*) Равнодействующая сила и две составляющие силы, как мы
видели, могут быть представлены диагональю и сторонами па-
раллелограмма, построенного на направлениях последних. Отсюда
нетрудно заключить, что любая из этих трех сил может быть
представлена также синусом угла, образуемого направлениями
двух других. В случае же бесконечно малых углов ринусы будут
пропорциональны самим углам. Отсюда следует, и т. д. (Приме-
чание Безу.)
ЗАДАЧИ
177
2°. Точно так же мы получим, что
угол NML = ~.
Отсюда
угол PMN=~ —	,
и ускоряющая сила по направлению Vv равна
Усилие тела М по направлению МР бесконечно мало от-
личается от усилия этого тела по направлению ML, по-
этому его можно выразить произведением М-Р. Но это
усилие будет так относиться к усилию тела т по направ-
лению tnR (равному т-р\ как угол RmS, равный
JL
/ р ’
относится к углу MmS, равному
У____£
L I ‘
Следовательно,
откуда
рх М-Р( у х\
/ m\L	I /
Таким образом, усилие по направлению Vv будет равно
Ру	рх >М-Р/ у	х \
L I ‘ т \L	I )*
Если обозначить через t время, протекшее с начала
движения, то мы получим (см. п° 20) следующие урав-
12 Ж. Даламбер
178
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
нения:
и
_rf2J=F^.AHjn_x / +ЛЬР^ #
L L т I \	' т )\	'
(К)
(N)
С помощью этих двух уравнений можно определить дви-
жение каждого тела.
Следствие I.
116.	Если, по условию, начальные силы по направле-
ниям та и Vv относятся одна к другой, как тК к MQf
т. е., другими словами, если
рх . МРх___МРу л уР	М-\-т___х/	. М-Р\__
~Т I" lm	Lm * L	’ т	Ту т J	Х‘У’
(О)
то я утверждаю, что тела М и т окажутся на вертикали
СО одновременно. В самом деле, для этого нужно, чтобы
дуги MQ и тК были пройдены за одно и то же время.
Но если указанная пропорция имеет место, то малые части,
на которые за первый и последующие элементы времени
уменьшаются дуги тК и MQ, будут пропорциональны этим
дугам, а ускоряющие силы будут пропорциональны дугам,
которые остается пройти до положения равновесия. Отсюда
следует, и т. д.
Пропорция (О) приводит к уравнению
рху । МРху	МРу2 ухР М-[~т	х2/ i М-Р\
~~1	। Тт Lm L * т	I у ‘ т~ )'
откуда
у М-}-т	pLm	L .
~х~~ 2М	2МР1	2Г —
. 1 jTpLm । Z . 1М-{-т	pLm	£ V
— V MPl "I I \ 2Л/	2МР1	21) ’
♦) Выражениям d2x и d2y придан здесь знак минус, хотя дви-
жение и ускоренное. Но нужно заметить, что когда t увеличи-
вается, х и у уменьшаются. (Примечание Безу.)
ЗАДАЧИ
179
или
У-\~х
— т-[-М । pLm । L .
2Л4	' 2РМ1 ‘ ~21~
/рЬт । L	pLm	L V
MPl ‘ I "1“	2MPI	2Г) ’
Следствие II.
117.	При P=p, т. e. если тела M и т имеют оди-
наковый удельный вес, мы получим
у-{-х Ml— ml-\~ML-\~mL ।
х ~	2М1	—
, , /\MmLl + Ш2Ы +(тИ/ + ml—ML— тЦ*
— V	2М1
Выражение, стоящее под знаком корня, может быть преоб-
разовано, и мы получим другой корень
+ (ml + 2ИЛ + Ml — mL)2.
Мы нашли точно такое же отношение у-^х к х, какое
получено только для данного случая Даниилом Бернулли
(петербургские «Commentarii», том VI, стр. 111) [66]. До-
казательство было дано им же после, в томе VII того же
издания [67]. Решение той же самой задачи дал и Эйлер
в томе VIII [68]. Я счел необходимым показать, как в дан-
ном случае применяется мой принцип, во-первых, ввиду
того, что это интересно само по себе, и во-вторых, ввиду
того, что он может быть пригоден для решения многих
других задач подобного рода.
Я дальше покажу, что имеются и другие случаи, когда
оба тела достигают вертикальной линии СО одновременно.
Следствие III.
118.	Если положение нити СМт в начале движения не
таково, как указано в предыдущем следствии, или если
вообще это положение произвольное, то для того, чтобы
найти движение тел т и М, необходимо в данном случае
12*
180 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
прибегнуть к интегрированию уравнений (К) и (N), приве-
дённых в п° 115. Сначала, для того, чтобы выкладки были
возможно проще, мы предположим, что не только
но
М—т и l = L.
Далее, для того чтобы уравнения (К) и (N) сделать одно-
родными, мы условимся, что время, в течение которого
ускоряющая сила р заставляет тела т и М пройти путь /,
равно 7'[в9]. Таким образом, уравнения (К) и (N) принимают
вид
~-d*x = (2x-y)2-^.	(Р)
И	1
=	(Q)
(см. п° 27).
Для интегрирования полученных уравнений я восполь-
зуюсь методом, указанным мною в «Memoires de 1’Acade-
mie des Sciences de Berlin» за 1748 г. и также в другом
месте.
Второе уравнение я умножаю на неопределенный мно-
житель у и складываю с первым. Я получаю
— d*x — vPy = 2^. [(2 — 2v) х 4- (2> — 1) j].	(R)
Я добиваюсь того, чтобы
(2 — 2v)x + (2v — 1)j/
было кратным—х — уу. Это нам дает
2 —=
V
откуда
ЗАДАЧИ
181
Следовательно, вводя обозначения
х-\-уу — и,	т. е.	х-\--~= — а
мы получим два уравнения:
-^ = (2-/2) —
—d3«'=(24-/2).2^.
Умножая первое уравнение на du, мы получим интеграл
= (4 — 2 V~2) —,
Л2__ц2 V* * V Ч тг ,
откуда
^= = ^/4-2/2,
/Л2—и*	Т V
потому что, когда t увеличивается, и уменьшается. Отсюда
следует:
. t "К4 —2><2
и = A cos----—
и
Это будут полные интегралы, так как, поскольку при /=0
величины dx и dy равны нулю, необходимо, чтобы при
/ = 0 величины du и du1 также обращались в нуль. Из
полученных равенств мы определим х и у, а зная вели-
чины х и у при / = 0, мы найдем постоянные А и В.
182 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Замечание I.
119. Если в только что разобранном случае, т. е. когда
Р=р, М—т и L — 1,
требуется определить, каково должно быть отношение ли-
ний X и Y для того, чтобы тела т и М оказались на
вертикали одновременно, то мы находим (п° 116)
2Х—У _ X
2У-2Х-* У ’
откуда
У2 = 2Л?,
или
Мы получили то же значение, что и для -1. И в самом
деле, стоит лишь немного вдуматься в сущность вопроса,
и мы увидим, что если даны два тела т и М, то для
того, чтобы грузы т и М оба оказались на вертикали од-
.	к *	1
повременно, необходимо, чтобы оба значения — равнялись
___________Y
значениям Действительно, поскольку оба тела при-
ходят на вертикальную линию одновременно, отношение х
к j, отношение dx к dy и отношение d1 2x к d2y должны
быть неизменными и должны равняться отношению X к Y.
Придадим же в таком случае неопределенной величине v
такое значение, чтобы имело место равенство
1 Y
V=—т-
Тогда очевидно, что в уравнении
— d*x — vd*y = [(2 — 2v) • х 4- (2у — 1) ._у]
ЗАДАЧИ
183
левая часть обратится в нуль и правая часть поэтому также
равна нулю. Но это возможно лишь в двух случаях: или
когда
2 — 2*_	у _ У _ 1
2v - 1"	х X	у ’
или когда одновременно
2 — 2v=0
и
2v—1=0.
Поскольку, однако, последняя возможность содержит
в себе противоречие, отсюда следует, что когда
£______У
у ~ X ’
величина у определяется уравнением
2 —2v_ 1
2v—1— у *
Это уравнение ничем не отличается от уравнения, полу-
ченного нами выше в общем случае, когда отношение У
к X было произвольным. Следовательно, отрицательное
значение из последнего уравнения должно быть равно
положительному значению отношения У к X, полученного
из предыдущего уравнения, и, обратно, положительное зна-
чение первого должно быть равно отрицательному значению
второго.
Замечание II.
120.	Нетрудно видеть, что рассуждения предыдущего
п° могут быть применены и в том случае, когда ни одно
из равенств
Р=р, М—т и L = l
не имеет места. Действительно, если взять на себя труд
провести нужные выкладки, то можно убедиться в том,
что уравнение относительно-^- отличается от уравнения от-
Y
носительно -гг только знаком во втором члене,
184 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
В самом деле, уравнения (К) и (N) п° 115 в общем
случае могут быть представлены в виде
d2x = (ах	by) dt2
и
d2y — (ex еу) dt2.
Но для того, чтобы тела приходили на вертикаль одно-
временно, необходимо, чтобы соблюдалась пропорция
ах-[-by______________________х
<	сх 4- еу	у ’
С другой стороны, для определения у необходимо иметь
। b 4-ev
V
Расположив эти уравнения — одно относительно , а
1
другое относительно —, мы увидим, что они отличаются
лишь знаком во втором члене.
Легко видеть, что корень в выражении ~ всегда бу-
дет вещественным числом (см. п° 116). Таким образом,
корни приведенного там уравнения не равны друг другу.
Отсюда следует, что и уравнение относительно у, имею-
у
щее те же самые корни, что и уравнение относительно^- ,
но только с обратными знаками, также не может иметь
двух одинаковых корней. Кроме того, совершенно нетрудно
убедиться в том, что радикал будет всегда больше выра-
жения, стоящего вне радикала. А отсюда следует, что ни
у
, ни > не могут обращаться в нуль.
X
Замечание Ш.
121.	В решении данной задачи я рассматриваю движение
груза М как бы составленным из двух движений, — одного
MV, общего с грузом /л, и другого Vv, являющегося вра-
щением вокруг точки т, как центра,—только для того,
ЗАДАЧИ
185
чтобы подготовить читателя к решению последующих за-
дач, решение которых при подобном рассмотрении сильно
облегчается. Можно было бы разложить действие тяжести Л4,
направленное по ML. сначала на два действия: одно дол-
жно создавать движение Mv тела М. а другое, направ-
вленное по МР, должно уничтожаться. Таким путем мы
найдем ускоряющую силу, направленную по Mv и равную
p-sinLMP=^'t
угол SmR будет равен
SmM'P'M fy	х\Р-М
р-т	\L	I J P'tn
Отсюда
п х \( У х\ Р*М1
угол	—
а следовательно, ускоряющая сила по направлению ши
будет равна произведению р на это последнее выражение.
Таким образом, так как х есть то расстояние, которое
эта ускоряющая сила стремится заставить пройти тело zn,
а х-\-у есть то расстояние, которое полная ускоряющая
спла стремится заставить пройти тело М, мы будем иметь
LI т \L I )\
И
— d*x — d*y= [у^2-
Первое из этих уравнений есть не что иное, как уравне-
ние (К) из п° 115, а второе является не чем иным, как
сочетанием уравнений (К) и (N) из того же п°. Отсюда
следует, что новое решение приводит нас к тому же, что мы
уже имели в п° 115.
Замечание IV.
122. Если расстояния данных двух тел от вертикали,
обозначенные нами в предыдущем п° через х и
обозначить теперь через х и у. то мы получим уравнения
движения обоих тел, подставив у вместо х-\-у и, следо-
вательно, у — х вместо у.
186 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Положим, что
P=p,
и введем еще следующие обозначения: пусть расстояние,
проходимое свободно падающим тяжелым телом за время Т,
будет равно а; далее, пусть
д = 2» (‘ + «+2“’),
\ I 1 1т 1 Lm J ’
р_________________2аМ
Lm ’
2а
п=т*
Тогда в качестве общих уравнений движения данных тел
мы получим
— </2Х==(ДХ-|-Г^)^
— d1y = (^x-!rUy)^
(см. п° 118).
В точности
найдем два значения у, а именно:
- Д + П±/(П-Д)2 + 4Г?
2?
Обозначив эти значения через у и у', мы будем иметь
и' = В cos уУ Д -f-
и — и9
Р значения х и у при / = 0,
следуя методу, указанному в п° 118, мы
u = A cos у Уд
v'tl — VII1
х— --------------
Отсюда, обозначив через а и
мы получим

(y'<x4-*v'?)C0S	У А 4- — (va4~ W'P) cos уУА-|-у'ср
v'--V
(a 4. yp) cos -y]/ A 4- vcp — (a 4- v'f) cos -^-УA 4- Vх cp
ЗАДАЧИ
187
Отсюда простым построением можно определить х и у.
В самом деле, пусть
х = G cos pt 4- rG cos qt,
y — Hcos pt -{-Af cos qt*
Опишем дуги окружностей радиусами
CA = G,	CD = H и	CB = N
(фиг. 41). Построив угол ACL, равный pt9 и угол ACF,
равный qt, мы будем иметь
x = CZ-\-r-CG
CZ-CD . CG-CB
СА' 4- со.
В первом издании настоящего сочинения мною было
дано другое решение этой задачи. Решение, приводимое
здесь, гораздо проще.
Если
« + =0.
или
а-|_у'р = О,
т. е. если
что соответствует случаю, рассмотренному в п° 116 и
120, то величины х и у будут состоять только из одного
188
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
члена, и отношение х к у будет равно постоянному числу.
Это совпадает с тем, что было замечено в п° 116.
Можно еще заметить, что это единственный случай,
когда величины х и у состоят из одного только члена.
В самом деле, невозможно ни одно из следующих ра-
венств:
v = 0,	у'=0, у —у'
(см. п° 120). Следовательно, один из членов в выражении
х может обратиться в нуль лишь в том случае, если
a4-v{J = 0	или a-[-y'jj = o.
То же самое можно сказать и о выражении для у.
Так как V и у' никогда не могут быть равными друг
другу (см. п° 120), отсюда вытекает, что если выражения
для х и у состоят из двух членов, т. е. если ни одно
из равенств
a-j-vp = O,	— 0
не имеет места, то отношение х к у никогда не может
быть постоянным.
Наконец, можно отметить, что ни один из членов в
выражениях для х или у не может быть постоянным числом.
В самом деле, для этого необходимо было бы, чтобы
0, или	Д-|- у'(р = О.
Но это означало бы, что имеет место равенство
1—г
ф 1Г *
или
что невозможно.
£ i . Л£_ м
I 1т ‘ т т 9
Замечание V.
123. Читатель может сравнить наше решение с реше-
нием такой же задачи, приведенным Даниилом Бернулли в
<M6moires de I’Acaddmie Royale des Sciences de Berlin»
за 1753 г. [70], и судить о том, какое решение проще и
в особенности какое из них — более прямое.
ЗАДАЧИ
189
Здесь я ограничусь лишь указанием, что в вышеприве-
денных выражениях для х и у легко узнать те самые
двойные колебания, которые в рассматриваемом движении
маятника заметил Бернулли. Каждое из колебаний пред-
ставлено одним из двух членов, входящих в выражения
X и у.
В самом деле, уравнение движения простого маятника
длиной 1 имеет вид
— d2z =
2azdt2
\Т2 ’
или
„ *
Z = /<COSy
Отсюда нетрудно видеть, что движения тел М и ш скла-
дываются из двух движений, каждое из которых синхронно
с движением некоторого простого маятника. За подробно-
стями, если они будут необходимы, можно отослать к статье
Бернулли.
Что, однако, необходимо здесь отметить и что, мне
кажется, должен был отметить Бернулли, это то, что те
два «колебания», о которых здесь идет речь, могут быть
названы колебаниями только не в собственном смысле. Дело
в том, что одно из этих колебаний совершается относи-
тельно движущейся точки,— точки, которая сама совер-
шает колебания. В силу этого оба колебания будут взаимно
изменять друг друга,— так сказать, искажать друг друга.
Вследствие этого какая-нибудь бесконечно малая часть ко-
лебания, происходящая, например, слева направо относи-
тельно подвижной точки, в действительности в абсолютном
пространстве будет происходить справа налево,— если в
данный момент скорость колебания этой подвижной точки
будет больше и направлена справа налево. Вот почему по
отношению к абсолютному пространству в маятнике, соб-
ственно говоря, вовсе нет двойного колебания, а есть только
одно единственное колебание. Правда, абсолютные коле-
бания тел не всегда будут происходить одновременно, так
что одно тело может в течение данного времени сделать
190
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
больше колебаний, чем другое. Но при этом каждое тело
в отдельности будет совершать в действительности про-
стые колебания.
Замечание VI.
124. Колебания тела т кончаются тогда, когда dx
становится равным нулю, а колебания тела М — тогда,
когда dy становится равным нулю: скорость тогда де-
лается равной нулю.
Таким образом, колебания тела т кончаются, во-первых,
в том случае, когда одновременно будут осуществляться
равенства
sinyj/Д -уу = 0
и
sin у]/ Д Ц- /у — 0.
Но это будет иметь место в том случае, когда отношение
Уд_[_7(р к рСД-f-v'y будет равно отношению двух целых
чисел и t будет таково, что у УД-f-уу и
будут кратными 180 градусов: тогда синусы обоих углов
будут равны нулю.
Во-вторых, колебания тела т кончаются, когда будет
соблюдаться равенство
sin у УД 4~ v'?	У Д + v? •*'•(« + >₽)
sin у ]/ Д + v'f	УД-|~ (а+ v'?)
Это последнее равенство будет иметь место только в
том случае, когда отношение Уд у'ср к Уд -j- уу не бу-
дет равно отношению двух целых чисел.
Точно так же и колебания тела М кончаются, во-пер-
вых, когда t принимает значения, указанные в первом из
только что приведенных двух случаев; во-вторых, когда
sin уУД +	У Д + vcp (а v?)
sin у УДvcp КД + *'<Р (а-|-/р)
ЗАДАЧИ
191
Отсюда следует
1°. Если мы имеем
и
что сводится к равенству
то колебания обоих тел кончаются одновременно. Тот же
результат мы будем иметь и в том случае, если
а	y'{J = 0.
Легко видеть (см. п° 120), что эти два случая соответ-
ствуют случаю, указанному в п° 116.
2°. Если отношение |/Д -|-у<р к У Л у'ср не равно
отношению двух целых чисел, то колебания тел М и пг
никогда не будут кончаться одновременно. В самом деле,
значение
sin у У"Д +v'?
sin у )^A-|-VCP
для тела пг будет относиться к значению того же выраже-
ния для тела /И, как у' к у. Но у' никогда не может рав-
няться у (п° 120). Отсюда следует, что ни при каком зна-
чении t величины dx и dy не могут одновременно обра-
титься в нуль.
3°. Если |/”Д-|-У(р и р^Д-j- у'у относятся между собой
как два целых числа, то некоторые колебания обоих тел
будут кончаться одновременно: это будет иметь место тогда,
когда выполняются одновременно два равенства
sin у V ДЦ-^У =0
и
sin yV ~Ь = 0.
192
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Если же оба уравнения, определяющие значение
sin — У A-|-v'cp
sin
имеют одно возможное решение, или, по крайней мере,
таковым будет одно из этих уравнений, тогда все колеба^
ния обоих тел не будут кончаться одновременно.
Следует заметить, что решение указанных уравнений
будет невозможно не только в том случае, когда неиз-
вестное является мнимым, но и в том случае, когда оно
(безразлично, положительное или отрицательное) больше
единицы: ведь синус любого угла не может быть больше
полного синуса.
Если лишь одно из двух уравнений имеет одно возмож-
ное решение, то то тело, к которому это уравнение относится
(скажем, тело /и), будет совершать колебаний больше, чем
другое тело. И всякий раз тогда, когда кончается колеба-
ние тела 7И, будет кончаться и одно из колебаний тела tn.
4°. Наконец, все колебания обоих тел будут кончаться
одновременно, если отношение "ИД-}-vcp к	равно
отношению двух целых чисел и если оба уравнения, опре-
деляющие значения
sin -у VД + v'cp
sin	Д +
вовсе не имеют возможных решений. Пусть, например,
j/" А	vcp
Тогда
t /д	v'<p = 2/ У A -f- vp,
sin	V A + v'<p
--------------= 2 cos-~ ]/д 4- va.
sin -4	+	1
ЗАДАЧИ
193
Отсюда следует, что мы будем иметь одновременно два
равенства
1	COS у-УД-НТ-2v(a + »'₽)
II
2	cos у vtp — 2	•
Но так как величины а и £ совершенно не зависят от
уравнения
V Д4-',>? = 2
У А Ц- vcp	’
поскольку они не входят в это уравнение, то очевидно,
что	можно предположить столь малым (однако не
равным в точности нулю), что оба выражения
« + и	(<* + *?)
2 (a + v'₽)	2v (a + v'p)
могут быть больше 2 и, следовательно, больше
2 cos -у VД -|~
Отсюда с очевидностью вытекает, что первый из указанных
случаев, соответствующий случаю п°116, не единственный
случай, когда колебания обоих тел синхронны, т. е. начи-
наются и кончаются в одно и то же время.
Настоящее замечание тем более важно, что до сего
времени, кажется, предполагали обратное.
Замечание VII.
125. Точно таким же образом, приравнивая нулю вы-
ражения для х и у, мы определим, когда оба тела будут
находиться на вертикали, а также и те случаи, когда они
придут туда одновременно. Легко можно убедиться, что
эти случаи не исчерпываются случаями, указанными в п° 116,
когда полуколебания обоих тел (так я называю колебания,
13 Ж. Даламбер
194 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
заканчивающиеся на вертикали) всегда будут кончаться
одновременно.
Действительно, если, например,
/A-l-v'tp_____________________з
А -|- уу
то мы имеем
t г----------------------- 3f г—,-----------
COS -j? у Д -------COS j, у Д —[— уу.
Следовательно, если
COS -у Д уу =.
ТО
cos	У д-|_ур — 4и3 — За;
в этом случае, если
t г-----------------------------
cos -yr j/ д = О,
то и
t г_____________________________
COS У']/ Д_]_у'(р—0.
И для того, чтобы все полуколебания кончались одновре-
менно, нужно, чтобы
4я2 —3
не было равно ни
(«+»?)
v (аЦ-v'p) ’
НИ
а+ур
Но это будет иметь место в том случае, если, например,
а и р мы возьмем такими, что	будет весьма ма-
лым, но не окончательно равным нулю. И уже этот один
пример показывает, что имеется бесчисленное количество
других подобных случаев, не менее возможных.
ЗАДАЧИ
195
Первый из четырех случаев п°124 точно так же — не
единственный случай, когда и колебания, и полуколебания
синхронны. Пусть, например,
У
где т — целое нечетное число. Ясно, что если
siny]/A-f-v?> =0,
то и
sinyFA + v'^O,
так как в таком случае
f ----------------------------
Т V Д + v?
равно некоторому целому числу полуокружностей, и по-
тому
у У Д —р	или	у V А Ц- ,
будет также равно некоторому целому числу полуокруж-
ностей.
В таком случае легко видеть, что если
cos-^p^Zp^ — 0,
ТО и
cosy |/ д_|_у'?==о.
В самом деле,
t ;---------------------------
у И A + >?
тогда будет равно 90 градусам, взятым нечетное число
раз, и то же самое можно сказать и о
mt ----;---
Т У А у vy.
13*
196
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Отсюда следует, что в данном случае как полные колеба-
ния, так и полуколебания всегда будут оканчиваться од-
новременно, если соблюдаются другие условия, указанные
выше, в настоящем и предыдущем п°,— если, например,
аЦ-'/р очень мало и т. д.
Замечание VIII.
126. Если оба тела обладают некоторой начальной ско-
ростью, так что
dt s
- =£ = >•
то уравнения интегрируются с неменьшей легкостью. Тогда
нужно принять во внимание, что так как
,	/rftz — vdu*	, du — du*
dx — —;------ и dy —-------— ,
--V	V — v'
„	du du* ,	~
то отсюда мы найдем значения и при г —0, и эти
значения будут очень просто выражаться через g и А.
Пусть при / = 0 мы будем иметь
— du*
и —=Ч'
—.du

dt
Из уравнения
— d2u = Kudt2
мы получим
где А есть заданное нам значение и при / = 0. Отсюда
следует, что
dtVK= ~da
откуда, если обозначить через 8 угол, косинус которого
равен Д, а синус равен , мы получим
a=cos (/Ktf-H) = c°s& cos/]/7<—sin §
ЗАДАЧИ
197
что, как легко видеть, дает
и. — A cos t VК-sin i V~K.
Vk
Точно таким же образом мы можем найти и значение и*.
Следствие IV.
127. В общем случае, когда нить CMmji (фиг. 42) на-
гружена произвольным числом
бесконечно мало удален-
ных от вертикали, всегда
можно определить ускоря-
ющую силу любого из
этих тел, воспользовав-
шись одним из двух спо-
собов, указанных в п° 115
и в п°121 для случая
двух тел.
Предположим, напри-
грузов 2И, pi и т. д.,
мер, что мы имеем три
тела /14, т и pi, веса ко-
торых Р, р и тг, направ-
ленные по МА, та и jxct,
разложены каждый на две
составляющие; первыми
из этих двух составляю-
щих пусть будут уско-
ряющие силы тел М, т
и pi, направленные по
а
Фиг. 42.
MV, та и рю; вторые
же, направленные по MB, mb и piZ, должны уравновеши-
ваться. Продолжая СМ, Мт и znpi, проведем линии MR,
тг и piZ. Ясно, что силы, направленные по piZ и mb, сле-
дует считать равными весам тел pi и т, и ясно, что их
можно привести к одной силе, направленной по тг, эту
силу можно рассматривать как сумму данных сил. Таким
же образом силу, направленную по тг, или по Мт, и силу,
направленную по МВ, которую можно считать равной весу
198
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
тела Af, можно привести к одной силе, направленной по
MR. Поэтому ускоряющая сила тела pt будет равна
тг*угол Zpa;
ускоряющая сила тела т будет равна
[я • и
угол гта — угол rmp
наконец, сила тела М будет равна
Р* £угол RMA— угол RMin-m^^--
В общем случае очевидно, что если для упрощения
выкладок все веса предположить равными одной и той же
величине g, принятой за единицу, и если буквами р, q, г, s
п т. д. обозначить углы МСО, mMR, pjnr и т. д., а бук-
вами В, С, D, Е и т. д. обозначить последовательно все
массы, идя сверху вниз, то ускоряющие силы всех тел,
начиная с самого нижнего, будут равны
/>+? + '•+«,	Р-Уч + г—
	E-L-D4-C
p + q-r-^-,	p-q.-t^ .
Это совпадает с результатами, полученными Д. Бернулли
(см. том VII петербургских «Commentarii», стр. 170) [71].
Следствие V.
128.	Предположим, что нить нагружена только тремя
телами, равными между собой, и пусть их расстояния от
вертикали будут равны (если итти сверху вниз) х, у и z.
Пусть, кроме того, части нити, заключенные между этими
телами, равны между собою. Тогда для того, чтобы данные
тела одновременно достигали вертикали, необходимо, чтобы
соблюдались пропорции
х:у=(р— 2q):(p-\-q — г)
И
г: У=(Р + Ч + г): (р + q — г),
ЗАДАЧИ
199
или, беря вместо р, q, г пропорциональные им величины
х, у — 2х и z —	мы будем иметь
х \у = (5х — 2у): (3j> — 2х — г)
и
z;y — (z—у):(3у— 2х — г).
Отсюда
(Зу— 2х — z)z — (z—у) у
и
(Зу — 2х — z) х — (5х — 2у) у.
Следовательно,
Z = - 5у 4-	+ Зу — 2х =	— 2у - 2х
и
Отсюда мы получаем
^=_3>,_2л=-а'+¥+^л«-'о>.-1ох.
Деля все члены полученного уравнения на х и располагая
у
их по степеням — , мы получим
Это уравнение совпадает с уравнением, полученным Д. Бер-
нулли (см. петербургские «Commentarii», т. VI, стр. 112) [72],
который принимает за единицу то, что мы здесь обозначали
через х, а буквой х обозначает то, что у нас выра-
у
жается отношением
Замечание IX.
129.	Вообще, если при произвольном числе тел и при
произвольных расстояниях между ними нужно, чтобы все
тела приходили на вертикаль одновременно, то расстояния
третьего, четвертого и т. д. тела от вертикали будут
200
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
у
всегда выражаться линейно через Далее, степень урав-
нения, расположенного по степеням ~ , будет равна числу
тел, и все корни этого уравнения будут вещественными.
Действительно, легко видеть, что если, например, в слу-
чае трех тел допустить, что тело, расположенное выше
всех, отстоит от вертикали на весьма малое расстояние, то
для каждого из остальных двух тел могут быть указаны
три положения, при которых они оба приходят на верти-
каль одновременно с первым: одно положение, когда оба
эти тела находятся по ту же сторону от вертикали, что
и первое тело, и два положения, когда одно тело нахо-
дится по одну сторону с первым телом, а другое — по
другую сторону. Вообще, при заданном положении первого
тела второе и остальные тела будут иметь всегда столько
возможных положений, сколько имеется тел. Отсюда сле-
V
дует, что ~ имеет столько вещественных значений, сколько
существует тел, а потому у уравнения, расположенного
у
по степеням все корни должны быть вещественными.
Отсюда следует, что при заданном бесконечно малом
расстоянии верхнего тела от вертикали каждое из остальных
тел может иметь столько различных положений, сколько
всего имеется тел.
Следствие VI.
130.	Если при тех же предположениях, что и в след-
ствии V, требуется определить движение каждого тела
в отдельности, не заботясь о том, чтобы все тела при-
ходили на вертикаль одновременно, то мы получим три
уравнения:
— d2x	= (5х-2^).^,	(S)
— d2y	= (3y-2x-z).^,	(T)
— d2z	= (z-y).^.	(U)
ЗАДАЧИ
201
Для интегрирования этих уравнений я умножаю второе
уравнение на у, третье — на |1 и складываю все три урав-
нения. Я получаю тогда
— d2x — у d2y — g d2z —
=[(5-2y)x+(3>-2-|X)j +(И_»г].^_2.
Полагаю
5 —2> = ~?+3v~tl. = ^,
что дает
JX=— 2	3> — 5> 4- 2v2 = 2V2 — 2V — 2
И
(5 —2у).(2>2 —2v —2) = 2v2 —3> —2.
Отсюда мы получаем уравнение
5 + J-72 + 4^0-
Располагая последнее уравнение по степеням у, мы найдем,
что оно имеет точно такой же вид, как и уравнение
4^W + 3,
Xs X2 1 X ‘	’
полученное нами выше, в п° 128, и что все корни этого
уравнения будут вещественными (п° 129). Впрочем, мы это
докажем иным способом в следующем п°.
Пусть у, у' и у" будут три корня этого уравнения.
Тогда
pi = 2у2 — 2у —2,
|i' = 2y'2 —2у' —2,
pi" = 2у"2 — 2у" — 2.
Полагая
= «,
х “Ь
х+v"y Ч~ =а">
202
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
мы получим три уравнения
— Лги = (5 —2v)- -у^-,
-dV = (5-2/).2^\
— d2u” = (5 — 2v’) •
Отсюда можно, как в п°118, определить значения я, и'
и if и, следовательно, х, у и г.
Таким же образом решается задача и при любом числе
тел, каково бы ни было отношение масс этих тел.
Замечание X.
131.	В том случае, когда у того уравнения, из кото-
рого определяется v, не все корни вещественны, решение
задачи, как нетрудно убедиться, также возможно. В самом
деле, так как переменные х, у. z и т. д. должны, очевидно,
иметь вещественные значения, зависящие от /, то мнимые
величины, если они и есть, должны взаимно уничтожиться
в выражениях этих переменных. Действительно, как я по-
казал в другом месте, любое заданное мнимое выражение
и любой мнимый корень какого-либо уравнения может быть
приведен к виду	___
а+р/-1,
где а и р — вещественные величины. Отсюда следует, что
даже в том случае, если у у все корни мнимые, уравнения
относительно и, и1 и т. д. можно привести к виду
— d2u = ( + а + Р У —1 ) и dt2.
Это уравнение имеет интеграл •*)
•*) См. «Mdmoires de Г Academic de Berlin» за 1748 я
1750 rr.psj.
ЗАДАЧИ
203
Но, как известно,
CZyr"”1=COS<2?2b V--- 1 *sinz
и	___
C~zV~X =cos	У— 1 .sin z.
Отсюда следует, что
u — Acli (cos — 1 -sin s0 +
4~ &c (cos HH V — 1 • sin e/).
Такой же вид будут иметь и выражения для и’, if и т. д.
Следовательно, в х, у, z и т. д. могут входить только
выражения вида с5/, sin е/ и cos zt с вещественными или
мнимыми коэффициентами. А так как х, у, z и т. д.
должны быть вещественными величинами и так как в силу
того, что данное решение является общим решением и по-
тому непременно должно дать эти величины, то отсюда
следует, что мнимые величины (если только они будут)
непременно должны уничтожиться.
Однако из самого выражения для и нетрудно показать,
что мнимых величин не будет. В самом деле, уравнения
х-|- Уу-}~№ — # и т. д.
показывают, что выражения для я, я' и т. д. получаются
из выражений для х, у, z. Но при / = 0 должны иметь
место равенства
dx = 0, dy = 0, dz — 0,
так как, по условию, тела выходят из состояния покоя.
Отсюда следует, что при i — 0 мы будем иметь
du — 0, du' — О и т. д.
Следовательно,
?Д — SB ± s А й= е В — 0,
откуда или
А = В,
или
5 = 0 И 8 = 0.
204 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ движения
Можно показать, что 8 должно равняться нулю. Действи-
тельно, величины х, у, z и т. д. должны всегда быть
чрезвычайно малыми по характеру самой задачи: ясно, что
каждое тело может совершать лишь колебания небольшого
протяжения. Поэтому выражения для х, у, z и т. д. не
могут содержать величин вида с8/, так как в таком случае
они возрастали бы до бесконечности. Вследствие этого и и
не должно содержать такого рода величин. Поэтому
8 = 0.
Отсюда следует, что
и — (Л В) cos s/ + (Л — В) ]/ — 1 • sin е/.
И так как и не должно содержать мнимых величин, то
(Л — В) sin ei=0,
откуда
Л = 5.
В результате, так как
и = (Л -[- В) cos е/,
мы будем иметь
—— 62
Поэтому дифференциальное уравнение относительно и ни-
когда не будет содержать мнимых величин; а так как
коэффициент при и в этом уравнении содержит лишь одну
неопределенную величину у, то отсюда следует, что и v
будет всегда вещественным.
Когда мы имеем больше двух тел, об их движениях
ц колебаниях можно было бы, очевидно, сделать несколько
замечаний, аналогичных тем, которые мы сделали по поводу
движения нити, нагруженной двумя телами. Но эти по-
дробности увели бы нас слишком далеко.
Замечание XI.
132.	Если предположить, что тела, прикрепленные
к нити, движутся в среде, сопротивление которой про-
порционально
ЗАДАЧИ
205
где у и 3 — некоторые постоянные, а и — скорость, то и
в этом случае уравнения можно проинтегрировать.
Предположим, например, для простоты выкладок, что
у нас имеется всего только два одинаковых тела. Тогда
мы получим (см. п° 118):
/72V— (2РХ~~РУ	Г I *dx\ 21 dt*
“ V I	Af *MdtJ рТ2 ’
(2ру — 2рх	ч' ! t'dy\2ldt2
а	I	Mdt) рТ2 •
Эти уравнения можно интегрировать различными спосо-
бами,— их я изложил в «M6moires de PAcademie de Ber-
lin» за 1748 и 1750 гг. Поэтому я больше на этом не
останавливаюсь.
Следствие VII.
133.	Пусть кривая нагружена бесконечно малыми оди-
наковыми грузами, расположенными на бесконечно малых
расстояниях друг от друга, и пусть все эти грузы бес-
конечно мало удалены от вертикали. Пусть х— бесконечно
малые абсциссы этой кривой, у—ординаты, 5 — дуги,
бесконечно мало отличающиеся от х, / — длина нити. Из
п° 127 следует, что ускоряющая сила любого из этих
малых грузов будет пропорциональна сумме синусов углов
смежности, начиная сверху, за вычетом произведения угла
смежности на отношение суммы весов всех нижних грузов
к весу рассматриваемого груза. Следовательно, эта сила
для любой точки равна
cd2y (l — s)-d2y*}
J ds ds2 >'
*) В качестве угла смежности здесь берется величина
хотя общее выражение этого угла имеет вид
dxd2y 1
ds ' ds*
Но так как все точки нити бесконечно мало удалены от верти-
кали, то dx и ds могут заменяться одно другим. (Примечание
Безу.)
206 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Эго совпадает с тем, что приводится Даниилом Бер-
нулли (см. т. VII петербургских «Commentarii», стр. 171) [74].
Отсюда Даниил Бернулли вывел уравнение, которое
должна иметь кривая, обладающая тем свойством, что все
ее части одновременно приходят на вертикаль (см. там же,
стр. 171).
Уравнение этой кривой в общем случае имеет вид
dy _ (I — ?) d2y _ у -
ds ds2 n
Полагая
I — s = xt
y = C^pdX
и
pX—Z,
мы получаем уравнение
, । uz2 dx ,
ndz~\---------------------— = — dx.
Это — не что иное, как уравнение Риккати, которое не
интегрируется известными методами. Это тем более любо-
пытно, что если положить
х — kum,
где k и т — произвольные постоянные, то мы получим
пи dz -}~ ntnz2 du -f- ktnum du = 0.
Это уравнение немногим сложнее предыдущего уравнения
и тем не менее я не мог отделить в нем переменные,
*) Уравнение кривой имеет вид
dy (/ — s) d2y у
ds ds2	n ’
потому что ускоряющая сила выражается в виде
dy (/ — s) d2y t
ds ds2 ’
и так как эта сила, по условию, пропорциональна расстоянию у,
которое остается пройти до вертикали, то все точки кривой при-
дут на эту вертикаль в одно и то же время. (Примечание Безу.)
ЗАДАЧИ
207
несмотря на то, что величины k и т могут быть какими
угодно, кроме нуля.
Если кривая не выражается этим уравнением, то ее
уравнение будет меняться от одного момента к другому,
и общее значение ординаты у может быть тогда выражено
лишь в виде функции дуги или соответствующей абс-
циссы х, и времени /, протекшего с начала движения. Эта
функция при / = 0 даст значение у в функции от 5, задан-
ной уравнением кривой в начале движения *).
Пусть поэтому в общем случае
y = y(t-s)**)
и
dy = р dt 4“ q ds.
*) Если, по условию, все точки кривой должны приходить
на вертикаль одновременно, то достаточно знать начальную форму
этой кривой, заданную вышеуказанным уравнением, и мы будем
иметь все формы, которые она будет последовательно принимать.
В самом деле, ординаты точек кривой в какой-нибудь из ее форм
находятся всегда в одном и том же отношении к соответствую-
щим ординатам в начальном положении. Поэтому достаточно опре-
делить величину одной из этих ординат в конце промежутка
времени f, для чего достаточно проинтегрировать уравнение
п
где у' обозначает ординату, соответствующую для данной кривой
той точке нити, которой в первоначальной кривой соответствует у.
Однако, если не вводить условия, что все точки кривой приходят
на вертикаль в одно и то же время, то при заданной начальной
форме кривой нельзя с такой же легкостью найти последующие
формы кривой. Тем не менее, нетрудно видеть, что положение
какой-либо точки нити в конце некоторого промежутка времени t
может зависеть только от следующих трех данных: от длины той
части кривой, на конце которой расположена эта точка, от вре-
мени, которое истекло с начала движения, и от начальной формы
кривой. Отсюда следует, что общее уравнение, из которого можно
определить  j>, должно обнимать собою уравнение кривой в перво-
начальном виде, и потому оно должно быть таково, что если по-
ложить
то уравнение начальной кривой должно получиться отсюда, если
положить £ = 0. (Примечание Безу.)
*♦) Выражение ср (t •$) обозначает в общем виде некоторую
функцию от t и л
208
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Пусть, далее, —(Ру обозначает вторую разность от у
в предположении, что s остается постоянным (я беру —d2j>,
потому что при возрастании t уменьшается у и увеличивается
скорость), a d2y обозначает вторую разность в предполо-
жении, что t остается постоянным.
Тогда
или
=*=7_(z_s).g.
Ясно, что dp нужно здесь взять при изменении одного /,
a dq — при изменении одного $. Пусть
dp — adt-\- yds,
dq = b dt-\-m ds.
*) Выше указывалось, что ускоряющая сила любой точки
кривой равна
ds [	> ds*'
Отсюда следует, что для определения движения этой точки нужно
величину
Lds ' ds2J
приравнять тому малому пути, который сила стремится заставить
пройти точку за время dtt — другими словами, приравнять второй
разности от ординаты у. При этом указанная разность должна
быть взята в предположении, что 5 постоянно, потому что точка,
движение которой рассматривается, не меняет, по условию, своего
места на нити. Наоборот, в выражении
dy (/ — s) d*y
ds ds*
разности dy и d2y должны быть взяты в предположении меняю-
щегося 5 и постоянного t, потому что это выражение обозначает
ускоряющую силу любой точки нити для определенного момента
времени и для определенного положения этой нити. (Примечание
Безу.)
ЗАДАЧИ
209
Так как
р dt -{- q ds
представляет собой полный дифференциал, имеет место
равенство
dp dq е
ds	dt ’
иначе,
b = v.
Далее, из уравнения
-~dP_n (l — s)-dq
-aF—Q---------аГ~
вытекает равенство
— а = q — (I — s) tn,
откуда
,	q ds -I- a ds
Htds=^.....
I — s
Прибавляя к обеим частям этого равенства bdt или
мы получим
nids-^b dt или	dq = —4~ v
Отсюда
dq-(l — s) — qds = vdt-(l — s) -|~ a ds
и
q(l—$) = j vdt-(l — s)-[-ads.
Это уравнение должно соблюдаться в том случае, если
все изменяющиеся кривые, о которых идет речь, обни-
маются общим уравнением
y = ^(t.s).
Замечание XII.
134.	Можно заметить любопытное сходство между функ-
цией ср (t>s), выражающей величину у, и дифференциалами
этой функции различного порядка до бесконечности. Пусть
I — s = u.
14 я<. Даламбер
210
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Тогда, во-первых, выражение
pdt—qdu
будет полным дифференциалом; во-вторых, мы будем иметь
равенство
dt	du ’
или, иначе,
— dp_______________________d (qu)
dt du *
Из последнего равенства следует, что
qu dt—р du
является полным дифференциалом. Далее, полагая снова
/ — s = u,
мы из последнего следствия получим, что выражения
adt — v du
и
vudt — a du,
из которых последнее равно
d[q (I — s)] — d(qu),
являются полными дифференциалами. Отсюда следует, что
если положить
dy=pdt— qdu,
dp = adt— vdu,
da = p dt — a) du
и т. д. до бесконечности, то мы будем иметь всякий раз
по паре полных дифференциалов:
pdt — qdu	и	qu dt — р du,
adt — vdu	и	vudt — a du,
pdt — &du	и	w>udt — pdu
и т. д. до бесконечности.
ЗАДАЧИ
211
Таким образом, если будет найден какой-либо один
случай интегрируемости, то путем обратного восхождения
можно будет найти и другие, до бесконечности. Пусть,
например,
р = А —Bt
и
со = С —|— Du ~ 1.
Тогда мы найдем, что
р dt — a) du
равно полному дифференциалу и что
®udt—pda
также является полным дифференциалом, если только
С= — В.
Далее, подобно тому, как мы нашли, что
d (qu) = wdt — a du,
мы получим также
d (уи) = ®udt — р du.
Следовательно,
pdt— о) du — At — Ви -f-D-log и E
и
и	1 и
Таким же образом, зная а и у, можно найти р и q\ и все
остальные величины, которые можно найти попарно путем
восхождения и которые мы обозначим вообще через Р
и Q, будут таковы, что
Pdt—Qdu	и Qudt — Pdu
будут полными дифференциалами.
Вследствие этого данная задача решается аналити-
чески для бесконечного числа случаев. Я говорю анали-
тически, а не в отношении к рассматриваемому вопросу,
так как нужно признать, что ни одно из этих решений не
14е
212 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
может дать искомой кривой. Причина этого заключается
в том, что, во-первых, эти решения содержат в себе члены,
в которые входит только одно /, и потому по мере воз-
растания t растет до бесконечности и у, чего не должно
быть по условию. Во-вторых, эти решения содержат также
члены вида D-logtf, обращающиеся в бесконечность, при я,
равном нулю, т. е. когда 5 равно всей длине нити.
Замечание XIII.
135.	По тем же основаниям нельзя положить
= 5 +	и т. д.,
где 5, 5', S" и т. д. суть некоторые неопределенные
функции от $. В самом деле, хотя аналитически довольно
легко найти величины S, S', S" и т. д., тем не менее
величина у, получающаяся отсюда, была бы также непод-
ходящей в качестве решения рассматриваемой задачи *).
Если положить
y=T-s,
где Т — некоторая неизвестная функция от /, a S—неко-
торая также неизвестная функция от 5, то уравнение
—	„ (l — s)dg
dt	ds
*) Если в уравнение

подставить вместо у эту величину, соблюдая вышеуказанный
способ дифференцирования, и затем приравнять нулю члены,
содержащие какую-нибудь определенную степень f, то мы найдем,
что уравнение, из которого можно определить S", имеет вид
d2S” _ ds
dS" I —s'
Другие допущения, сделанные в тексте относительно у, будут
оправданы несколько ниже. (Примечание Безу}
ЗАДАЧИ
213
примет вид
d*T ~_TdS (l — s)Td*S
dt*'^ ds ds2
Отсюда мы получим
— d2T _ 1
Т dt* ~ n
и
S__dS_ ,< v d*S
n~ ds "	S) ds* *
Второе уравнение является уравнением нити, все точки
которой приходят на вертикаль одновременно, первое же
дает
T=Acos~,
У п
так как dT при ^ = 0 обращается в нуль. Таким образом,
это уравнение еще ничего не дает, так как оно позволяет
найти колебания только в том случае, когда нить имеет
такую форму, что все точки ее приходят на вертикаль
в одно и то же время.
Можно было бы положить также
и, далее, положить
^-d*T _
T"dt2	m'
— d2T" „
Tdt2 m '
где m и nf— некоторые неопределенные положительные
постоянные, и, наконец,
ds v ' ds*
и
s,n =dt-v-s’-d0'
Но таким путем мы пришли бы к дифференциальному
уравнению четвертого порядка относительно 5". Далее,
214
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
величины Т и Тп должны быть таковы, чтобы, во-первых,
у было всегда весьма малым; во-вторых, чтобы при $.= О
у обращалось в нуль; в-третьих, чтобы dy при /=0
также обращалось в нуль. Но нетрудно убедиться в том,
что величины Т и Т", найденные из уравнений
мт"
m"
и
r -—d*T"
m” dt* *
не могут удовлетворять всем этим условиям одновременно.
Действительно, проинтегрировав первое из этих уравне-
ний методом, указанным в берлинских <M£moires> за
1748 и 1750 гг. [7б], мы увидим, что Т" содержит выра-
жения вида си, где 8 — вещественное число. Отсюда сле-
дует, что все указанные до сих пор методы не позволяют
найти значение у.
Замечание XIV.
136.	Однако есть метод, который во многих случаях
ведет к цели. Положим
y^TS^T'S' + rS'' и т. д.,
и пусть
— d*T	— d2T'	— d*T"
Т dt* я» p at2	T" dt* Г и т’ д*’
причем /z, m, г суть какие-то различные величины. Тогда
мы будем иметь
^зА^соз/р^Г-{-BS' cos/Vm-j-CS" cos/j/V и т. д.
Величины S, S', S" и т. д. определяются из следующих
уравнений, которые могут быть проинтегрированы с по-
мощью рядов:
ds	'	' ds* ’
с/	<*S'	z,	xd*S'
~	dS"	,,	, d2S"
ит-д-
ЗАДАЧИ
215
Однако в таком случае необходимо, чтобы первоначальное
уравнение кривой при /, равном нулю, имело вид:
y==A-S + B-S' + C-S" и т. д.
Таким образом, этим способом задача может быть решена
лишь в некоторых частных случаях.
Замечание XV.
137.	Для того чтобы только что указанные выкладки
провести со всей точностью, необходимо взять уравнение
в виде
— d2v=r^ —(/ —-2—
где 9 — время, в течение которого тяжелое тело спускается
с высоты а. Тогда мы будем иметь
ЛГ, t У п 1	tVт
y — AStGS-—----к- BS cos—— и т. д.
у	О'	о
dS	п	ч d2S
2a==lds	1	' ds2
и т. д.
Даниил Бернулли («M6moires de l’Acad£mie de Berlin> за
1753 г., стр. 194[76]) утверждает, что колеблющаяся
струна никогда не будет возвращаться в первоначальное
положение за исключением единственного случая, когда
. е tV~n	'
У яет Д. 5 COS  й »
о
т. е. того случая, когда (говоря языком этого прославленного
геометра) все колебания простые и одного и того же вида.
Для того чтобы в этом положении можно было не
сомневаться, необходимо доказать, что, во-первых, числа
/п, п и т. д., до бесконечности, не соизмеримы между
собой,— чего Бернулли, кажется, не доказал. Правда, он
нашел, что эти числа являются корнями некоторого слож-
ного уравнения с бесконечным количеством членов, но
216 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
этого, мне кажется, недостаточно для того, чтобы утвер-
ждать, что они между собой несоизмеримы. Если же эти
числа не являются несоизмеримыми и если, например,
Vln — q V п ,
где q— произвольное, целое или дробное, число, то легко
видеть, что цепь будет принимать свою первоначальную
форму всякий раз, когда
t /й „ qt V*
о	в
становятся оба кратными 360 градусов.
Во-вторых, необходимо, кроме того, доказать, что
уравнение
y = T-S-^~ T'-S' и т. д.,
или
лсл	tVп । п о>	tV т
У = А>$^Уъ -------к В • 5 COS-— и т. д.,
является единственным уравнением, которое может выра-
зить колеблющуюся струну. Однако, в этом никак нельзя
быть уверенным.
Замечание XVI-
138. Нами было показано (п° 125), что случай п° И6
не является единственным случаем, когда все грузы, ко-
торыми нагружена нить, приходят на вертикаль в одно
и то же время и совершают колебания за одно и то же
время. Вполне возможно, что найденное нами (п° 133)
уравнение — не единственное, делающее колебания цепи син-
хронными. Однако об этом трудно высказываться, не
обладая общим методом и полным уравнением колеблю-
щейся цепи,
ЗАДАЧИ
217
Лемма VIIL
139. Пусть мы имеем тело CRM (фиг. 43) произ-
вольной формы с центром тяжести G. Для большей
простоты я буду это тело рассматривать в качестве
плоской фигуры. Пусть все частицы V этого тела обла-
дают силами VM, направления
которых перпендикулярны к
линии VC, проведенной из
точек V к неподвижной точ-
ке С, взятой произвольно в
теле, и пусть эти силы про-
порциональны расстояниям VC.
Д утверждаю, что направ-
лением равнодействующей бу-
дет служить какая-то ли-
ния KL, перпендикулярная к
прямой CG, Проведенной через
точку G и через точку С.
Разложим каждую силу VM
на две силы: одну, напра-
вленную по VW, параллель-
но CG, и другую, направлен-
ную по VP, перпендикулярно
к CG. Легко видеть, что
силы, направленные по VW, будут пропорциональны рас-
стояниям CQ этих сил от линии CG и, таким образом,
суммы этих сил будут равны сумме произведений каждой
частицы на ее расстояние до линии CG. Но так как ли-
ния CG проходит через центр тяжести G, то эта сумма
равна нулю. Отсюда следует, что равнодействующая сил,
направленных по VN, равна нулю. Следовательно, напра-
влением и величиной той силы, которую мы ищем, будет
направление и величина равнодействующей сил, направлен-
ных по VP, перпендикулярно к CG. Отсюда следует, что
направлением этой силы может быть только какая-то ли-
ния OKL, перпендикулярная к CG.
Что касается величины этой силы, направленной по OL,
то эта величина будет равна сумме всех сил, направлен-
ных по VP, умноженных на соответствующие малые массы V.
218
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Так как силы VP пропорциональны VQ, и так как на осно-
вании свойств центра тяжести сумма
j V-VQ
равна CG, умноженному на массу MRC, то отсюда сле-
дует, что если ускоряющую силу точки G обозначить че-
рез то сила, направленная по OL, будет равна y-MRC.
Расстояние СК линии OL от С равно
Ч-MRC =CQ-MRC '
Действительно, так как все силы ф приводятся к одной силе,
направленной по OKL, то это значит, что такая же сила,
направленная в противоположную сторону по LKO, будет
эти силы уравновешивать. Если же равновесие имеет ме-
сто, то оно не нарушится от того, что точка С будет
взята закрепленной. Но в этом случае момент силы
действующей по направлению LKO, должен быть равен
сумме моментов сил VM (по правилу рычага). Первый
момент будет равен
y-MRC-CK,
а второй
Отсюда следует, и т. д.
Следствие 1.
140.	Из сказанного следует, что положение линии OKL
всегда дано и не зависит от величины ср.
Следствие II.
141.	Если совершенно свободное тело CRM обладает
произвольной силой К9 направленной по некоторой ли-
нии GB, проходящей через центр тяжести rkG, и если, в
то же время, это тело стремится вращаться с некоторой
ЗАДАЧИ
219
скоростью вокруг своего центра тяжести G, то, как в
предыдущей лемме, можно доказать, что равнодействую-
щая сила будет равна К и будет направлена по некоторой
линии OKL, параллельной QB. Отсюда следует, что такая же
сила, направленная по LKO, будет уравновешивать силу К,
проходящую через центр О, и те силы, которые стре-
мятся вращать тело. Следовательно, момент этой силы
относительно точки G должен быть равен моменту силы К
относительно той же точки Q и моменту всех вращатель-
ных сил. Отсюда вытекает, что если через Ф обозначить
силу, которая стремится вращать вокруг точки G какую-то
произвольную точку, расположенную на расстоянии ft, а
через а обозначить сумму произведений частиц на квадрат
их расстояний от точки G, то мы будем иметь
ИЛИ
™=K.GK.
Следует заметить, что для того, чтобы сила, направленная
по OKL, действовала в ту сторону, как это мы допустили
на чертеже, вращательная сила должна действовать в ту же
сторону. В противном случае между силой, действующей
по LKO, и вращательной силой равновесия быть не может.
При противоположном условии величина G/С будет
отрицательной, и мы будем иметь
—-у,
или
4-^=о.
Следствие III.
142.	Отсюда, заметим мимоходом, нетрудно заклю-
чить, что если свободное и покоящееся тело будет толкать
некоторая произвольная сила К, направленная по OKL, то
центр тяжести G этого тела придет в движение по GB
220
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
параллельно OKL,— как будто сила К проходила через
центр О,—и, кроме того, тело будет вращаться вокруг
этого самого центра G по направлению OKL с такой ско-
ростью Ф, что
'~ = K-GK,
т. е. с той же скоростью, с какой оно вращалось бы в
том случае, если бы центр О был, по условию, непо-
движен и если бы сила К действовала на точку К по направ-
лению OKL для того, чтобы заставить тело вращаться.
В самом деле, тело должно получить движение такого
рода, что если бы ему это движение сообщить в обратную
сторону, оно уравновесило бы силу К (п° 61). Отсюда,
на основании предыдущего п°, следует, что тело должно
получить именно такое движение, какое мы только что
указали.
Пусть М есть масса тела. Все части этого тела будут
ух
двигаться параллельно GB со скоростью, равной и,
кроме того, они будут обращаться по направлению OKL
вокруг точки О со скоростью, равной
Фх____K-GK-x
Ъ а 1
где х обозначает расстояние частицы от точки G. Отсюда
нетрудно видеть, что все точки линии СО будут иметь
скорость параллельно GB, равную
К K'GK'X
М а
Отсюда следует, что если на линии CG взять такую
точку Н, чтобы
то скорость этой точки Н будет равна нулю. Это значит,
что эта точка будет находиться в покое и, следовательно,
она будет тем, что Бернулли называет самопроизвольным
центром вращения тела. Этот центр, очевидно, меняется
в каждый момент, потому что в каждый момент меняет
свое положение линия GK>
ЗАДАЧИ
221
Задача VL
143. Тело CRV (фиг. 44) произвольной формы с цен-
тром тяжести в G подвешено на нити АС, причем ли-
нии АС и СО бесконечно мало отклоняются от вертикали.
Найти скорость точек С и G для какого-либо времени /*).
Все части тела CRV имеют
раллельное движению точки С,
обращаются вокруг этой точки
С со скоростями, пропор*
циональными расстояниям от
этой точки. Обозначим че-
рез р абсолютный вес какой-
нибудь произвольной частицы V,
направленный по вертикали VQ.
Разложим это усилие для
каждой частицы на два со-
ставляющих усилия, из кото-
рых одно, будучи направлено
по Vu, должно быть равно
и параллельно ускоряющей
силе точки С, направленной
по СР, а другое пусть будет
направлено по Vn. Это уси-
лие Vn, направление которого
нам еще не известно, будет
одинаковым по величине и по
движение, равное и na-
il в то же время они
направлению для всех
частиц. Вследствие этого все усилия Vn можно рассма-
тривать как бы соединенными в центре G и действующими
по направлению GN, параллельному Vn. Разложим, далее,
это усилие Vn для каждой частицы на два составляющих
усилия, из которых одно будет заставлять частицу V
обращаться вокруг точки С, а другое будет уничтожаться.
Это последнее усилие я обозначу через 5, и так как все
эти усилия s должны уничтожаться, их равнодействующая
должна быть направлена по АС.
*) Предполагается, что точки Л, С, G находятся в одной и
той же вертикальной плоскости. (Примечание Безу.)
222
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Мы уже нашли, что линия CW, параллельная линиям Vn,
положение которой нам не известно, есть направление рав-
нодействующей сил Vn. Можно найти положение линии ЛД
направление равнодействующей всех сил частиц V, стре-
мящихся заставить их обращаться вокруг точки С, хотя
нам и не известна еще величина этой равнодействующей
(п° 140). Ввиду того, что сила, направленная по G7V, сла-
гается из силы, направленной по #£, и из равнодействую-
щей сил 5, эта последняя должна проходить через точку L
пересечения линий GN и KL. Кроме того, она должна
лежать на продолжении АС. Отсюда следует, что точка L
лежит на продолжении АС. Следовательно, линия GN
должна проходить через ту точку, в которой пересекаются
линия KL и продолжение линии АС. Линия CL даст нам
при этом направление равнодействующей сил 5.
Пусть тг есть сила точки С по направлению СР', она
будет общей для всех частиц. Пусть (р есть сила точки G,
заставляющая ее обращаться вокруг точки С. Проведем GZ
параллельно СР и GM параллельно АР. Введем обозна-
чения: пусть
ЛС = /, CG = a, GK=b, СР=х,
пусть т обозначает массу тела /п, и — — угол, образован-
ный линией СО с вертикалью *). Линии GK и GL можно
будет считать равными, и мы будем иметь
г>г лл GCL'CG (у х\ а
угол
И
х	(У х\ а
угол LGM—-,-------г-) -г-.
J	I \а I J b
Но
сила it=p*LGM—p Г# — f “г
г	\ a I J Ь
♦) Расстояние точки Q от вертикали, проведенной через
точку С, принято за у. Тогда угол, о котором идет речь, будет
у
равен —, так как он бесконечно мал. (Примечание Безу.)
8адАчй
223
и, с другой стороны, отношение силы, направленной по KL
(равной ср«/п), к силе, направленной по GL (равной р*т),
юяжво быть равно отношению угла GLM к полному сину-
су *). Отсюда следует, что
(у х \ а
f=P \a~TjT'
откуда
Г	(У1	\ а1 2^2
— а2х = 1х—  ------х -г-
L	\ а	) b \ Т2
и
Эти уравнения можно интегрировать методом, аналогич-
ным тому, которым мы уже пользовались в подобных
случаях в п°п° 118 и 122.
Следствие.
144.	Если нам нужно, чтобы точки С и О приходили
на вертикаль в одно и то же время, мы должны положить
Х-У— i ь~^ ЬГ b Ы >
откуда
ху	ах2 ху	у2 । аху
~Ь	bl	Т	Ь1~ЬГ'
Это нам даст
£=_1+£z±+ i/СГТПЕЕТТу
у 2 ‘ 2а ~ V а^ \ 2а 2 J ”
Если I весьма велико по сравнению с а и bt то мы будем
иметь
у/
х = ~ и х = —у.
а	z
Первое из этих равенств дает
£ —£ .
I а
*) Угол SLO рассматривается как прямой. В следующем урав-
нении Т взято в том же смысле, как и в п° 118. (Примечание
Безу.)
224
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Это значит, что если нить достаточно длинна, то для того,
чтобы точки С и G приходили на вертикаль одновременно,
линии CG и АС должны лежать почти точно на одной
прямой. Второе равенство дает нам углы, образуемые ли-
ниями АС и CG с вертикалью: эти углы следует брать в
одну и ту же сторону, и отношение их должно быть об-
ратным отношению АС к CG. Другими словами, для того
чтобы точки С и G приходили на вертикаль одновременно,
на основании первого равенства нужно, чтобы линии CG п
АС составляли одну прямую, а на основании второго ра-
венства центр G в первый момент должен быть на верти-
кали АР или, по крайней мере, очень близко к этой вер-
тикали.
Так как настоящая задача совершенно аналогична задаче
о нити с двумя грузами, то по поводу ее можно сделать
такого же рода замечания, какие были сделаны нами выше.
Мы предоставляем их сделать читателю.
§ 2. О телах, качающихся на плоскости.
Задача VII.
145.	Произвольная фигура СКО (фиг. 45) расположена
ча горизонтальной плоскости MCS таким образом, что
Фиг. 45.
гуры, — скольжение вдоль
или к S. Поэтому прежде
вертикаль GF ее центра тя-
жести G не проходит через
точку касания С. Спраши-
вается, что произойдет с
данной фигурой.
Данная фигура может иметь
только два движения: одно —
вращение вокруг точки каса-
ния С, меняющейся в каждый
момент, и другое — движение,
общее для всех частей фи-
плоскости по направлению к М
всего нужно определить, в ка-
кую сторону будет направлено это последнее движение, в
сторону М или в сторону S. Во-вторых, нужно определить
ЗАДАЧИ
225
величину силы, производящей это движение, которую я
обозначу через тг. В-третьих, нужно определить вращатель-
ную силу центра тяжести G, создающую вращение вокруг
точки С, которую я обозначу через ср. Наконец, нужно
определить, в какую сторону эта последняя сила будет
поворачивать точку G, вправо или влево.
Каковы бы ни были силы всегда, как известно, можно
определить направление ZNO равнодействующей этих сил
(п° 140): линия NO будет перпендикулярна к продолжению
линии CG. Далее, равнодействующая абсолютных усилий
всех частиц вследствие тяжести этих последних будет на-
правлена по NGF и будет равна/ъ/n, где т — масса тела,
а р — абсолютная тяжесть. Точно так же линия KGR, парал-
лельная MS, будет направлением равнодействующей всех
сил тг, равной 1Г-/П.
Согласно нашему принципу, силу, направленную по NF,
можно разложить на три силы: одна из них будет равно-
действующей сил другая — равнодействующей сил тг,
третья же должна уничтожаться. Но она может уничтожиться
только в том случае, если она направлена по линии CD,
перпендикулярной к плоскости в точке С. Отсюда, просто
рассматривая чертеж, легко видеть, во-первых, что равно-
действующая сил <р направлена по NO, а не по NZ, и по-
тому фигура будет поворачиваться слева направо; во-вторых,
что сила, направленная по WG, составляется из силы, на-
правленной по NO, и силы, направление которой NL про-
ходит через точку N и через точку L пересечения линий
CD и KR; в-третьих, что фигура будет скользить от G к
К, а не от О к R; в-четвертых, что если нам дана сила,
направленная по NF, и даны положения линий NL и NO,
то тем самым нам дана сила, направленная по NO, —другими
словами, дана сила <р. Точно так же нам дана и сила, на-
правленная по NL. А так как отношение последней силы к
силе тг‘/п равно отношению LQ к QC, то сила тг нам также
дана. Таким образом,, задача решена, и нам известно, каково
будет движение фигуры в первый момент.
Выше (п° 84) мы показали, что центр G опускается по
вертикальной прямой. Для того, чтобы определить ту ско-
рость, с которой он будет опускаться в первый момент,
15 Ж. Даламбер
226
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
найдем начальную ускоряющую силу, т. е. ускоряющую
силу в первый момент спуска. Пусть (фиг. 46)
CF = x,
ускоряющая сила точки (7, заставляющая ее обращаться во-
круг точки С, равна ср и масса тела равна т. Тогда, во-
первых, сила, направленная по NO, равна <р •/п (см. п° 139).
Далее, поскольку линия GF нам дана, мы можем, зная вид
кривой, найти GC, которую я обозначаю через X, и GP,
обозначаемую через z. Сила, направленная по N/?, бу-
дет так относиться к силе, направленной по NO, как
синус угла PNG к синусу угла GNR. Отсюда следует, что
сила, направленная по NR, равна
Ч-m'GP RN
GN ‘ CF ’
а сила, направленная по RL, равна силе, направленной по
кт	л RG
NR, умноженной на т. е. она равна
ср• т• GP	ср»/л»GF
GN ~~ ~CG '
Отсюда следует, что сила точки G, направленная по GL,
так относится к силе ср, поворачивающей вокруг С, как
ЗАДАЧИ
227
GF относится к GC. С другой стороны, сила, направленная
по OF, так относится к силе у, как CF относится к СО*).
Следовательно, сила, направленная по OF, будет равна
cp-CF
СО ‘
Далее, сила, направленная по 2VO (равная р«/п), относится
к силе, направленной по NO (равной <р*/п), как синус угла
RNk к синусу угла RNG, т. е. как Rk к CF. Отсюда
Следовательно, сила, направленная по OF, равна
p*CF2
Rk*CG •
И так как величины CF, СО и Rk нам даны в виде функ-
ции от х, то, очевидно, и начальная сила, направленная по
OF, может быть выражена через х.
Аналогичным путем может быть определена скорость и
в последующие моменты. Однако следующий п° даст нам
более простой метод.
Примечание I.
146.	Согласно п° 84 ясно, что не только в первый
момент, но и в последующие моменты центр тяжести О
будет опускаться по вертикальной прямой. Но отсюда сов-
сем нетрудно, без всяких вычислений, определить движение
фигуры.
*) Сила, с которой центр G приближается к плоскости, не
равна весу, потому что, как мы видели, часть веса уничтожается
в точке С. Центр G приближается к плоскости только вследствие
своего вращательного движения вокруг точки С. Каково бы ни
было это движение, называемое в тексте буквой %>» результирую-
щее усилие, с которым центр G приближается к MS, будет равно
cp-CF
CG
(как это нетрудно видеть из операции разложения). Следовательно,
все дело в том, чтобы определить ср. Величина же этой силы ср
может быть найдена из того условия, что часть веса тела унич-
тожается в точке С. {Примечание Безу.)
15*
228 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ движения
В самом деле, в произвольной точке Е (фиг. 45) про-
ведем касательную BE и опустим на нее перпендикуляр
GB. Когда центр G будет находиться от плоскости на рас-
стоянии, равном GB, точка Е будет лежать в данной пло-
скости.
Если точка С не является точкой касания (фиг. 47),—
например, если данная фигура представляет собой треуголь-
ник и точка С является одной из его вершин,—то в тот
момент, когда центр тяжести очутится в точке У, точка С
окажется в Еу так что
VE — GC,
Остается только определить время, в течение которого
фигура достигает того или иного заданного положения.
Довольно простой метод для решения этого вопроса
заключается в следующем. Пусть центр тяжести G (фиг. 48)
за произвольное время t опустился до точки V, причем
GV = u.
Расстояние х центра тяжести от плоскости в это время
пусть будет равно VF'. Тогда ясно, что
du^ — dx
и
— d2u d2x.
Отсюда мы получаем
Х — А — ut
ЗАДАЧИ
229
где А представляет собой значение х при / = 0. Потерян-
ная сила в вертикальном направлении для всех частей тела
будет равна
или, более точно,
md2u
Pm-~dtt-
Л V2 d2u\
рт 1 — 5—-тго I
r \	2а dt2 /
(n° 27). Кроме того, каждая частица тела, расположенная
на расстоянии b от центра G, опишет за время t некото-
рую дугу окружности с центром в точке G. Эта дуга будет
найдена, как функция от А и от и, исходя из формы фи-
гуры, и потому может быть обозначена через V. Потерян-
ная сила этой частицы будет равна
— pd2V-Q2
2а dt* *
Поэтому (п° 141), обозначая через А’ сумму произведений
частиц на квадрат их расстояний от точки О, мы можем
написать равенство
/-	№d2u\	pA'd2V-№	А
рт 1—0-^72 С F —	- = 0.
r	\ 2adt2 )	2abdt2
Величина C'F'	известна, как	функция от А	и	от	я, исходя
из формы фигуры.
Пусть теперь
СТ' = и'
и
d2V=rd2u-\-sdu2,
где г и 5 — известные функции и. Тогда мы получим
, pmufd2u-№ pA’rd2u-№ pA'sdu2‘Q2_______~
pmtt 2а dt2 2abdt2 2abdt2 U'
Полагая
dt = q du
и подставляя вместо d2u его значение
— dg du
Я ’
230
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
гак как d2/ = 0, мы получим следующее дифференциальное
уравнение:
г 4	‘ 2а 1 2ab	2аЬ
Отсюда известными методами нетрудно найти q в функции
и, затем t в функции //*).
В данном случае можно воспользоваться и принципом
сохранения живых сил. Пусть U будет скорость вертикаль-
ного опускания центра О и U' его скорость вращения.
Если массу тела обозначить через Af, весьма нетрудно
найти отсюда, что сумма живых сил всех частиц будет
равна
Так как и есть то расстояние по вертикали, на которое
опустился центр тяжести за время /, то на основании прин-
ципа сохранения живых сил мы будем иметь
2риМ=MU2 4-	.
Но, во-первых,
и—~
и dt *
во-вторых, путь V, описанный за время / при вращатель-
ном движении, известен в функции и и потому
где V есть известная функция и. Таким образом, мы
получим
= I
2ри ‘ 2рМиЬ2
Отсюда мы можем найти / в функции и.
♦) См» сочинения Бернулли, т. I, Acta eruditorum, 1697 etc,
ЗАДАЧИ
231
Примечание И.
147. Если фигура должна совершать лишь бесконечно
малые колебания, то начальное расстояние GF (фиг. 49)
будет отличаться от линии ОС, проведенной к точке каса-
ния С, лишь на бесконечно малую величину второго порядка.
Отсюда нетрудно заключить, что центр О будет опускаться
лишь на бесконечно малую величину второго порядка, тогда
как угол поворота будет
бесконечно малой вели-
чиной первого порядка.
Отсюда следует, что и
можно рассматривать как
нуль по сравнению с V.
В таком случае мы бу-
дем иметь
d2u = 0
и
р/п • СТ'
_jpA'd*VW
2abdt* *
Но, построив бесконечно близкие радиусы кривизны CR и
CR, мы будем иметь угол у или равный ему угол FGF =
= CRC = CGC' -yS). Отсюда, обозначая CR через г, CG
через р, CF через А, мы получим
C'F' или CGF-C'G — (CGF-\-FGF'— CGC’)-CG =
—	‘ b $b J	b b '
Поэтому вышеприведенное уравнение принимает вид
.... 2abdt2 (	. . Vp rmV\
Таково будет уравнение для того случая, когда колеба-
ния бесконечно малы, или, что в действительности сводится
р тому же самому, когда колебания будут весьма малыми,.
232
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Если предположить
К г,
так что т$ — гт оказывается величиной отрицательной,
и если принять во внимание, что при / = 0 мы будем
иметь
17=0 и dV—Q,
то по соображениям, изложенным в другом месте*), мы
получим
__— 2аЬтА Г t ]/^2a«(/nr — mfi) .1 2а (тг—/лг?)
V~ Л'02 ’ [C0S	J 1	Я7®5	'
Поэтому путь, пройденный в круговом движении частицами,
расположенными на расстоянии b от центра G, будет равен
ЬА . Г j _ cos * У2а(тг — т$У
'•-₽ L	оУТ'
Если
то, согласно известным соотношениям, выражение
_____________________ t У2а(т'л — тг) -~tV2a(m$~fnr)
t У2а (тг — т$) с	в У А'	еГд)
C°S 0 VA<	2
будет представлять собой вещественную величину, которая
по мере возрастания I будет возрастать до бесконечности.
Это означает, что колебания не будут уже бесконечно ма-
лыми, как это было нами принято, или, точнее говоря,
предыдущее решение уже неприменимо.
Например, если эллипс поставить перпендикулярно к его
малой оси и насколько возможно мало вывести его из этого
положения, то опыт показывает, что он возвращается или
стремится возвратиться в свое первоначальное положение,
совершая весьма малые колебания, как это и следует из
приведенного уравнения. В самом деле, тогда
___________	К'.
*) См. «Recherches sur le systdme du monde», часть 1, n° 25,
стр. 30 [77].
ЗАДАЧИ
233
потому что, как всякий знает, радиус кривизны на конце
малой оси эллипса больше этой малой оси. Отсюда сле-
дует, что, поскольку косинус любого угла не может быть
больше единицы, величина bV не может быть больше
Ь2А
г-Г
Если, наоборот, эллипс поставить на его большую ось, то
и колебания уже не будут бесконечно малыми. Опытом
это подтверждается, потому что тело «опрокидывается»^
не восстанавливая своего первоначального положения.
Отсюда нетрудно вывести общий метод для решения
вопроса о том, будет ли тело, установленное вначале
в равновесии на плоскости, а затем слегка выведенное из
этого положения, возвращаться в исходное положение или
оно «опрокинется». Весь вопрос сводится к тому, что
больше: радиус кривизны в точке касания или расстояние
центра тяжести от этой точки. Если больше радиус кри-
визны, то тело само при помощи бесконечно малых коле-
баний восстанавливает свое первоначальное положение;
в противном случае тело «опрокидывается».
Примечание III.
148.	Эйлер в VII томе петербургских «Commentarii» [78{
занимается решением задачи VII только для случая, когда
колебания тела на плоскости бесконечно малы. Метод его
состоит в том, что он приравнивает моменты сил, вызы-
вающих поворот частиц вокруг точки С (фиг. 45), момен-
там абсолютной тяжести частиц относительно точки С, при-
нимаемой за неподвижную. Это сводится к разложению
силы, направленной по /VF, на две силы, одна из которых
направлена по 2VO, являясь равнодействующей сил <р, вызы-
вающих поворот вокруг С, а другая проходит через точки W
и С и уничтожается.
Однако сила, направленная по Л/С, может уничтожаться
лишь в том случае, когда NC перпендикулярна к MCSt
234 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ движения
если, по крайней мере, не предполагается, что плоскость
шероховата и шероховатость ее достаточно велика для
того, чтобы уничтожить действие силы NC параллельно
плоскости. Таким образом, для того, чтобы решение Эйлера
имело место, необходимо предположить, что плоскость не
абсолютно гладка. Вероятно, это и хочет сказать автор,
когда он пишет: «In hoc motu vero notandum est planum
super quo fit, aliquantulum asperum esse ponendum, ne
curvae de loco suo inter vacillandum dimoveri queant, quod
eveniret, si planum maxime foret politum» *) [79]. Слова
«ne de loco suo dimoveri queant» («чтобы не могли сдви-
гаться со своего места») без сомнения означают: «чтобы
кривые помимо движения вокруг точки касания не могли
скользить параллельно плоскости».
Мне не известно, что помешало Эйлеру остановить свое
внимание на этом последнем движении. Впоследствии вели-
кий геометр оказал мне честь тем, что уведомил меня
в письме от 2 октября 1746 г., что в то время, когда
он занимался этим вопросом, он не знал, каким образом
учесть в вычислениях поступательное движение.
Наш принцип, как это видно из вышеизложенного,
дает для этой цели весьма простой метод.
Примечание IV.
149.	В том случае, если контур фигуры и та плоскость,
по которой эта фигура скользит, не совершенно гладки,
силы р и п в первый момент могут быть найдены следую-
щим образом.
Будем рассматривать точку С (фиг. 46) как небольшой
бугорок данной массы и предположим, что нам известно,
какой ускоряющей силой g по направлению CS или СМ
должно обладать это тельце для того, чтобы при малей-
шем увеличении этой силы могло быть преодолено сопро-
тивление, вызываемое неровностями плоскости. Прежде
всего разложим абсолютную силу, направленную по 7VG,
на две силы, одна из которых будет искомой силой, на-
♦) Стр. 108,
ЗАДАЧИ
235
правленной по ЛЮ, а другая будет действовать по неизвест-
ной линии NL. Последнюю силу необходимо в свою оче-
редь разложить на две силы: одна из них должна быть
направлена по LK и равняться тип, а другая, направленная
по LC и как бы толкающая точку С по направлению СТ,
будет сообщать этой точке С усилие, направленное по CS
и равное заданному усилию g.
Введем обозначения для известных величин. Пусть
GP — a, GN = b,
GO = c,	CR = e,	RG = f
и пусть неизвестная
GL—y.
Тогда мы можем сказать, что сила, направленная по NL,
будет так относиться к силе, направленной по NG (и рав-
GP
ной р-т), как синус угла GNO, т. е. относится к си-
L Z
нусу угла ZNL, т. е. к
Но
GP _ а
GN~ b ’
Т7___пр 0L _g-(g4-.y)
Д U^‘OG с
и
NL=Vb3+y\
Следовательно, сила, направленная по NL, будет равна
p*m-NL*OG p-m-c^b2-{-у2
GN-OL ~	b(c-±y)
Далее, сила, направленная по LC, будет равна силе, на-
правленной по NL, умноженной на отношение синуса угла
NLG, или ~, к синусу угла RLC, или к Наконец,
^ила, направленная по CS, будет равна силе, направленной
236 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
LR
по АС, умноженной на . Отсюда следует, что сила, на-
правленная по CS, будет равна
p*m-LR*GO	(у — f)-c
—	— или р-т> 7---,- \	•
OL-CR	r (tf-Ry)**
Если обозначить через р. массу небольшого бугорка С, то
должно выполняться равенство
с-(у — f)
р-т>	' — g. н.
Отсюда можно найти у и, следовательно, абсолютные зна-
чения сил, направленных по NL, LK и NO, которые тре-
бовалось найти.
Здесь необходимо сделать одно важное замечание, а
именно: сила точки С, направленная по CS, должна быть
направлена в ту же сторону, в какую части тела CRN
скользят параллельно плоскости. Отсюда вытекает, что
точка L непременно должна быть расположена между точ-
ками /? и Л, где А — точка пересечения прямых NC и RG.
Сила, направленная по С7И, будет тогда равна
р-т-Ц-У)-с
«•(c+j')	*
откуда можно найти у Если найденное значение у больше
GR, пли меньше ОД, или если оно отрицательно, то фи-
гура может только вращаться вокруг точки С, причем эта
точка будет меняться в каждый момент, но в течение дан-
ного момента она может считаться как бы неподвижной.
Значение у равно
pmfc — g\i.ec
gpeArpmc
На нашем чертеже это значение, очевидно, не может быть
больше /, потому что
pmfc—gpec < gpeff^pmfc.
Но оно будет О!рицательным, если
Pmf<gpe,
ЗАДАЧИ
237
и оно будет меньше (ЗА, или > если
pmfc gpec gmcb gmbf.
Если хотят, чтобы была задана не сила, необходимая
для движения точки С, несмотря на сопротивление плоско-
сти, а только ее отношение к давлению этой точки на
плоскость, то нужно сделать так, чтобы отношение RL
к RC равнялось отношению силы трения к силе давления.
Тогда мы получим точку L. Она всегда будет лежать
между R и А: в противном случае фигура никакого движе-
ния параллельно плоскости иметь не будет.
Примечание V.
150.	Для того, чтобы определить движение фигуры
в последующие моменты, можно воспользоваться методами,
аналогичными указанным выше. Все сводится к тому, чтобы
определить движение центра G параллельно и перпенди-
кулярно плоскости и, кроме тбго, вращательное движение
фигуры вокруг этого центра. Обозначим движение цен-
тра G по направлению GK через v. Тогда потерянная сила
по направлению GK будет равна
— pmd2 v	— pmd2 v • О2
df2 ИЛИ 2adZ2
Сохраняя обозначения п° 146, мы должны потребовать,
чтобы равнодействующая потерянной силы
—pmd2v^2
. 2adt2 ’
другой потерянной силы
—pmd2u-G2
2adt2
и потерянной вращательной силы уничтожалась. А для
этого необходимо, во-первых, чтобы эта равнодействующая
проходила через точку касания С; во-вторых, если эту
равнодействующую разложить на две силы, параллельную
238 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ движения
и перпендикулярную к плоскости, так чтобы эти две силы
имели между собой такое отношение, какого требует за-
данный закон трения, то мы получили бы тогда два урав-
нения, из которых можно определить неизвестные и и v.
Подробнее объяснять это нет необходимости.
Если фигура движется по негладкой плоскости и если
трение предполагается пропорциональным известной части
силы давления, то линии CR и CL (фиг. 46) находятся
в постоянном отношении друг к другу. Следовательно,
центр О будет двигаться по кривой так, как будто его
приводит в движение сила, направление которой составляет
всегда один и тот же угол с плоскостью MS.
§ 3.	О телах, действующих друг на друга с помощью нитей,
вдоль которых они могут свободно скользить.
Задача V1H.
151.	Нить ANPM (фиг. 50) данной длины прикреп-
лена в точке А к горизонтальной плоскости и нагру-
А	жена двумя грузами М и Р,
Фиг. 50.
мента времени линии Рр
из которых ооин, а имен-
но М, укреплен неподвижно
на нити, а другой, Р, мо-
жет при помощи колечка
скользить вдоль нити. Тре-
буется определить движе-
ние каждого из этих тел
в предположении, что каж-
дое . из них получило не-
который толчок.
Пусть тела Р и М прохо-
дят в течение некоторого эле-
и Мт. Опишем произвольным
постоянным радиусом AN дугу Nn и пп, равную nN. Вопрос
сводится к тому, чтобы найти величину и положение
отрезка pV, следующего непосредственно за Рр, а также
положение VT другой части нити.
задачи
239
Я буду исходить из того, что в течение того элемента
времени, за который тело Р проходит путь pV, оно же
при равномерном движении прошло бы в направлении пря-
мой Рр отрезок
рр = рТГ	тгр = Рр тср,
а тело М также при равномерном движении прошло бы
отрезок
то = тц -j- цо — Мт Ц- Цо.
В силу нашего принципа каждое из движений рр и то
нужно разложить на два: рх и рУ, с одной стороны, и
mL и тТ, с другой стороны, взяв эти движения таким
образом, что в случае движений pV и тТ тела р и т
нисколько не мешали бы друг другу; т. е. чтобы имело место
равенство
AVVT = Аррт,
а, с другой стороны, в случае движений рх и mL данные
тела оставались бы в равновесии. Отсюда следует:
1)	что линия mL должна лежать на продолжении р/п;
2)	что ввиду того, что тело р может скользить вдоль
нити (по условию), равновесие возможно только в том слу-
чае, если направление рх этого тела будет делить угол Арт
пополам;
3)	наконец, что сила, направленная по mL, должна так
относиться к силе, направленной по рх, как синус поло-
вины угла Арт относится к синусу целого угла Арт.
Так как положение линий Ар, рт и рх задано, нетрудно
видеть, что если будут известны величины отрезков рх и
тгр, то задача будет решена, и все дело будет только
в выкладках. Но, во-первых, линии рх и пр должны быть
таковы, чтобы углы VAp и рАР были равны между собой:
во-вторых, если рх и тгр известны, то отрезки AV и VT
также известны как по величине, так и по направлению,
И сумма этих отрезков должна быть постоянной величиной.
Таким образом, мы имеем два условия, из которых мы
получим два уравнения для нахождения рх и тгр. Проведем
соответствующие выкладки.
240
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Пусть
АМ—\, Nn — dx, АР=у, pQ = dy,
синус половины угла АРМ равен z и длина нити равна г,
1°. Разность угла PAp(dx} плюс разность угла АРМ
2dz
в сумме равны углу, образуемому линией РМ с линией рт.
Таким образом, угол, образуемый РМ и рту равен
,	. 2dz
dx.
г К1—*2
2°. Отношения и ,
Рр Рр ’
т< е. синусы углов pPD
и PpD, даны в виде функции от синуса z и от синуса
угла АрР. Поэтому я их выражу таким образом:
или *)
(ydx \	. / ydx \
z,	и Д г	—
Vdy^-\-y2dx^/	\ Y dy2y2dx2 ]
Отсюда
pD -Pp-to(z, -vrfx —
 \ Ydy2+y2dx2j
и
PD = Pp-b(z, Г
\ Vdy2+y2dx2]
3°. Мы имеем
РМ —pm = dy
и
о ТУ	I 2л?2	\2 с— У
mB-pD=ny-(dx-\-^==^
*) Величины 'f и Д, стоящие перед другой какой-либо вели-
чиной, всегда будут обозначать в дальнейшем некоторую функцию
этой последней.
ЗАДАЧИ
241
4°. Полагая
и
тгр = а,
мы будем иметь (см. п° 92)
.	,	2dу dx
угол тгяр = dx-~,
.	а dx
угол тгДр = - ..	=-
Ydy*+y*dx*
и угол рЛ1/ или угол хАр = у. Отсюда
2dydx______adx_____।	_ q
У Vdy*+y2dx2' У ~	'
5°. Мы имеем
An=y-^2dyу dx2,
др	Дп Ц- у dy2_^yid^
II
AV—Ар —	—Л
Отсюда
AV=y 4- 2dy 4- . *dy 	— 8 KIT?5.
л 1	1	1 Ydy»+y*dx* *
Считая dx постоянным, мы будем иметь
d2y —ydx2 -4- с/ Я	— — В V1 —z2.	(В)
л	'Vd^-\-ydx2 v	'
6°. Далее, мы имеем
Мт
v-°=a-p^>
PM—nii=2dy — [dx 4- (с —У)
(согласно п° 90);
г	а*тВ
TO = TTJA 0/ = TTg-нТ-
16 Ж, Даламбер
242
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
(мы предполагаем, что р/— дуга, описанная из центра п
радиусом ng, и что МВ перпендикулярна Вр). Далее, мы
имеем
ор = тго
। *‘PD
‘ Рр
и
oV = op —	—z2.
Вследствие равновесия
М-оТ-.Ц-=1:У1 — г2,
откуда
Следовательно,
2М/1 —
VT—oV
В итоге мы будем иметь
VT:=c_y^2dy-\-^dx + ^=^2 (с-у)-
а тВ  а-рР	pi/-.	Р?
Рр ' Рр	Р	2ЛГ/1 —
Сложив с полученной величиной VT найденную в п° 5
величину AV, мы должны получить в сумме с. Мы полу-
чим, таким образом, уравнение, из которого совместно с
уравнением (А) можно исключить а и
7°. Мы имеем:
угол AVp = ApP — dx — ppV
и
угол pVT или угол pVo~ppo-{-ppV -\-poV.
Но
угол poV = -^,
а
aPD
угол рро=рю — тор^/шо —	.
ЗАДАЧИ
243
Угол
•	1 р1О*Л1В	. a«M8
Р™ =pw 4- giro =pw +	=p^ +	:
=w + d~7--------? • Гр£> + (с— y)(dx-\—
F Г 1 Pp\C—y) [	1 v	' Y\^Z2)
Но угол /rrrpi равен сумме угла Ppm и угла, образуе-
мого п|1 с рт, а этот последний угол будет равен
(см. п° 90)
dx-\
2dz \ . Л । 2dy \
У 1 — г2/ \
Таким образом,
AVp-{-pVT—АрР-\-Ррт— dx — рр V 4~
2dz
ГП=Т2
+ о—Г----Г \PD + (с — У) (dx+ 7^dZ -
Рр-(с—Д') L	1	* /1— Z‘
Но
a-PD ।	,, । $z
Рр • (с—у) ‘	+ с—у *
АрР^Ррт==АРМ-\-у^===г .
Следовательно,
2dz \ . / 2dy । а \ ।
У1 _^2J \i—y^"Ppj^c—y ’
Если в это уравнение, а также в уравнение (В) вста-
вить значения а и [J, найденные в п° 6, у нас будет всего
два уравнения, содержащих только постоянное dx и пе-
ременные у и z с их разностями. Исключив постоянное dx,
мы получим одно дифференциальное уравнение сдвумяпере-
меннымИ-Уиг. Таким образом, задача сводится лишь к тому,
чтобы разделить переменные.
16*
244 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ движения
Уравнения можно еще упростить, обозначив через k
угол, синус которого равен z. Это нам даст
У1  £2 —cos k
И
2 = sink.
Замечание I.
А
В
Фиг. 51.
чае, если
в полости
152.	Если нить АВС (фиг. 51) закрепить в точках А
и С и если тело В, весомое или невесомое, может сво-
бодно скользить вдоль
нити, АВС, то очевидно,
что тело В будет опи-
сывать эллипс MBN, в
котором точки А и С
будут фокусами.
Но, кроме того, я ут-
верждаю, что это тело
будет двигаться по эл-
липсу точно таким же
образом и в том слу-
нитью, а спускается свободно
самом деле, когда тело дви-
оно не связано
этого эллипса.
с
В
жется свободно по эллипсу, то направление движения,
теряемого им в каждое мгновение, будет перпендикулярно
к эллипсу в той точке, где находится сейчас тело. Когда
же оно движется по нити АВС, направление теряемого в
каждый элемент времени движения лежит на линии BF,
делящей угол АВС пополам, и, как известно из учения
о конических сечениях, оно будет перпендикулярно к эл-
липсу MBN в точке В. Отсюда следует, и т. д.
Замечание II.
153.	Если нить AMBNC (фиг. 52), закрепленная в точ-
ках А и С, проходит сквозь тело KRBQL, которое может
свободно скользить вдоль этой нити, и если все части
ЗАДАЧИ
245
этого тела KRBGL обладают такими скоростями, что тело
находится в равновесии, то я утверждаю, что равнодейст-
вующая сила будет направлена по линии О/?,
угол AGC пополам, причем угол AGC образован
жениями линий АК и CL.
В противном случае тело
KRL начало бы скользить
или в сторону 4, или в
сторону С, т. е. равнове-
сия не было бы, что про-
тиворечит условию.
На основании этого
замечания нетрудно будет
найти кривую, описывае-
мую точками К и А, и
скорости этих точек, если
тело получает какой-ли-
бо толчок. В самом
ле, необходимо для
известных, а именно
направления. Но эти
таковы, чтобы сумма
делящей
продол-
де-
каждого
скорости
скорости
момента найти четыре
точек К и Л, а также
и направления должны быть
не-
их
AK-\-CL
была постоянной величиной так же, как и длина KL. Да-
лее, потерянные силы для всех точек тела KRL должны
быть направлены таким образом, чтобы равнодействующая
была направлена по GR. Последнее условие дает два
уравнения/ Действительно, если потерянную силу для каж-
дой частицы разложить на две силы-—одну параллельную
и другую перпендикулярную к GR, — то сумма последних
должна быть равна нулю, а равнодействующая первых бу-
дет направлена по линии GR. Таким образом, мы будем
иметь всего четыре уравнения и четыре неизвестных, и
задача решена.
Я не привожу здесь соответствующих выкладок, пото-
му что это было бы, очевидно, весьма долго и весьма
сложно, Достаточно привести смысл этих выкладок.
246
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Замечание III.
154.	Я не могу покончить с данным вопросом, не сде-
лав довольно важного замечания относительно решения
задач, в которых тела соединены друг с другом при помо-
щи нитей. Нити предполагаются нерастяжимыми, и потому
тела могут быть удалены друг от друга на расстояние,
не большее длины разделяющей их нити. Однако ничто не
мешает им быть удаленными друг от друга на расстояние,
меньшее этой длины.
Пусть, например, два тела прикреплены к концам нити.
Если этим телам сообщить такие движения, чтобы они
могли фактически иметь эти движения без удлинения нити,
то очевидно, что они будут совершать эти движения
в точности таким же образом, как будто они были совершенно
свободными, и в таком случае никакой задачи, требующей
решения, нет. Поэтому общий принцип, которым мы до
сих пор пользовались, к такого рода .случаям применять
нельзя.
В самом деле, если бы мы захотели применить этот
принцип, то оказалось бы, что. те движения, при которых
тела должны находиться в равновесии, стремятся не удли-
нить нить, а, наоборот, сблизить концы нити. А так как
нить не будет оказывать никакого сопротивления усилию
такого рода, то эти движения и не могут уничтожиться.
Вообще, если тела соединены друг с другом при по-
мощи нитей, то можно следующим образом удостовериться,
будут ли нити все время оставаться натянутыми: предпо-
ложив нити действительно такими, нужно посмотреть, ка-
ково направление сил, которые должны уравновешиваться,
т. е. стремятся ли эти силы удлинить нить или нет. Если
да, то мы вправе полагать, что нити натянуты. Если же
нет, то тела будут двигаться точно таким же образом, как
будто они свободны и друг с другом не связаны.
Во всех этих мерах предосторожности нет необходи-
мости в том случае, если тела соединены друг с другом
при помощи жестких стержней, на которых они закрепле-
ны неподвижно. Действительно, расстояние между телами
тогда будет непременно равно длине стержня, разделяю-
ЗАДАЧИ
247
щего их, и не может быть ни больше, ни меньше» Если
тела соединены между собой при помощи жестких стерж-
ней, которые связаны друг с другом с помощью шарни-
ров, то только что сделанное нами замечание по поводу
случая с нитями также излишне. Однако в остальном этот
случай совершенно аналогичен со случаем нитей.
В самом деле, если тела, соединенные друг с другом
при помощи нитей, движутся таким образом, что нити
вследствие своей нерастяжимости могут изменять эти дви-
жения, то с этими движениями происходят точно такие
же изменения, как будто нити являются жесткими стерж-
нями, соединенными между собой шарнирами.
Общее примечание.
155.	Когда наш общий принцип применяется к решению
какой-нибудь задачи динамики, иногда возможна ошибка,
заключающаяся в том, что мы можем неудачно предполо-
жить, что движения каких-либо тел уменьшаются, тогда
как на самом деле они увеличиваются, пли наоборот.
Но здесь дело обстоит так же, как и во многих дру-
гих задачах, где вычисления сами исправляют ошибочные
допущения, когда мы вначале принимаем за отрицатель-
ное то, что на самом деле является положительным, или
наоборот.
Нужно только в процессе вычислений внимательно
следить за тем, чтобы не делать никаких отступлений от
сделанных вначале предположений и ни в коем случае не
давать уравнениям такой формы, которая бы противоречила
этим предположениям. Например, представим себе, что а,
р, у и т. д. суть силы, потерянные отдельными телами, и
согласно сделанным предположениям и согласно взятому
чертежу эти силы должны быть параллельны друг другу
и направлены в одну сторону. В таком случае, если усло-
вие равновесия требует, чтобы эти силы взаимно уничто-
жались (в предположении, что неподвижной точки не
имеется и тело свободно), нужно взять
248 СБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ движения
а не
“+? = Y
и не
«+W
и т. д. Если же, по сделанному предположению, сила у,
например, направлена параллельно а и [J, но в противопо-
ложную сторону, тогда нужно взять
или
« + ? —Y = °-
Точно так же, если силы а, р, у действуют с помощью
плеч х, Z, у и эти плечи взяты все с одной стороны,
силы же все действуют также в одну сторону, мы будем
иметь
ах $z -|- ХУ = 0.
Если же, например, у взято по другую сторону, чем х и z.
а все остальное по-старому, то мы получим
0*4-^=^,
ИЛИ
ax-\-$z— ЧУ = О,
и так в остальных случаях.
Отсюда вытекает, что в указанных случаях уравнения
или
-	ах-|-^ + хУ = 0,
полностью и в общем виде представляют условия равнове-
сия, если только мы не забудем величинам а, р, у и т. д.,
с одной стороны, и величинам х, у, z и т. д., с другой
стороны, придать знаки согласно сделанным предположе-
ниям и согласно взятому чертежу. То же будет и во всех
остальных случаях.
С такими предосторожностями мы можем совсем не
бояться того, что мы собьемся.
ЗАДАЧИ
249
§ 4. О толкающих друг друга телах, или, иначе,
о телах соударяющихся.
Задача IX.
156.	Тело, масса которого т и скорость и, движется
по одной прямой с другим телом, масса которого М> а
скорость U. Найти скорость обоих тел после удара.
Пусть v будет скорость первого тела после удара и V —
скорость второго тела после удара. Запишем (см. п° 61)
так:
u=zv~Yu — v
и
U= V^U— V.
Согласно нашему принципу должны соблюдаться равенства
V—v
и
т (и — V) м (U— V) = 0.
Отсюда следует, что
Следствие.
157.	Если тело М произвольной массы, обладающее
данной скоростью £7, испытывает удар со стороны беско-
нечно малого тела т, скорость которого равна и, то оно
получит в результате этого удара количество движения,
равное
т (и — U).
Если и будет бесконечно больше, чем U, то это количе-
ство движения будет равно ти, т. е. равно количеству
движения ударяющего тела.
Мы видим, таким образом, что когда движение какого-
либо тела ускоряется или замедляется какой-нибудь пону-
ждающей силой, от которой оно получает, так сказать,
в каждый момент повторяющиеся удары, тогда то коли*
250 ОБЩИЙ ПРИНЦИП для НАХОЖДЕНИЯ движения
чество движения, которое тело теряет или приобретает
в каждый момент, можно полагать пропорциональным по-
нуждающей силе только в том смысле, что сила нами рас-
сматривается как бесконечно малая масса, обладающая ско-
ростью бесконечной по сравнению со скоростью толкаемого
тела. В таком случае действие этой силы всегда будет
одно и то же, движется ли данное тело или оно находится
в покое.
Замечание.
158.	Здесь будет уместно привести доказательство того,
что мы утверждали выше (см. п° 22), а именно того, что
для определения движений, получающихся в результате
толчка, нельзя пользоваться тем положением, что ускоряю-
щая сила пропорциональна элементу скорости.
В самом деле, предположим, например, что какое-либо
тело ударилось о другое тело, находящееся в покое. Коли-
чество движения, получаемое ударяемым телом, будет равно
тМи
*
Поэтому и причина, создающая движение, должна была бы
быть пропорциональной
тМи
М-[-т ’
Но, во-первых, как доказать, что движущая причина тела М
пропорциональна
Мти
М-[-т ’
а не какой-либо другой функции от величин /И, /л, л? Не
столь же ли естественно можно было бы считать величину
та пропорциональной движущей причине? А между тем
последнее предположение неизбежно приводит к ошибке,
так как при прочих равных условиях количество движения
тела М вовсе не пропорционально ти.
Во-вторых, если бы было известно, что движущая при-
чина пропорциональна
Мти

ЗАДАЧИ
251
то отсюда еще ровно ничего не следует, если не считать
того, что количество движения тела Л4, рассматриваемое
в качестве действия этой причины, будет пропорционально
Мти
М-\-т *
При этом вовсе нельзя будет сказать, будет ли эта
величина в точности этим самым количеством движения *).
Таким образом, для того чтобы определить абсолютное
количество движения ударяемого тела, неизбежно прихо-
дится пользоваться иными принципами.
Лемма IX.
159. Пусть по плоскости QR (фиг. 53) может сво-
бодно скользить по направлению
к Q, некоторое тело AKQR про-
извольной формы. И пусть на KQ
в произвольном месте положено
какое-либо другое тело М. Пред-
положим, что тело AKQR
имеет какую-то произвольную
скорость по направлению RQ, а
тело М при этом имеет такую
скорость и такое направление,
от Q к R, или от R
что оно уравновешивается с те-
лом AKQR- Я утверждаю, что это возможно только в том
случае, если, во-первых, направлением тела М будет слу-
жить линия МО, перпендикулярная к KQ', во-вторых, если
сила тела М, направленная по МО, и сила тела AKQR,
направленная по RQ, приводятся к одной силе, направ-
ление которой перпендикулярно к плоскости QR.
Следствие.
160.	Отсюда следует, что сила тела М должна так от-
носиться к силе тела AKQR, как OL относится к LS.
*) См. «Encyclop6die», слово «Cause» (причина) (том IL
стр. 790). См. также слово «Force» (сила) (том VII, стр. 114.
столб. 2) ро].
252
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Примечание.
161.	Направление равнодействующей сил обоих тел
должно быть не только перпендикулярно к плоскости, но
и проходить через основание QR. Отсюда следует, что
если через центр тяжести фигуры AKQR провести прямую,
параллельную Q7?, то эта прямая пересечет линию МО в
такой точке, из которой можно опустить перпендикуляр,
падающий на QR.
Задача X.
162.	Полагая, что тело М обладает какой-то про-
извольной ускоряющей силой, перпендикулярной к осно-
ванию QR, и сохраняя все остальные условия предыду-
щей леммы, найти, каковы будут движение тела М и
движение фигуры.
Фиг. 54.
Пусть АВ и ВС (фиг. 54) будут две рядом лежащие
стороны данной фигуры, причем эти стороны таковы, что
AB = BV.
Предположим, что за то время, пока тело М проходит ли-
нию АВ, фигура проходит линию Аа, так что стороны АВ
и ВС будут занимать положения dQ и BZ). Пусть, далее,
аа = Аа.
ВЬ = ДВ
ЗАДАЧИ
253
и пусть линия Ь5 будет тем расстоянием, которое тело М
прошло бы вследствие своей ускоряющей силы; пусть ли-
нии аа и В5 будут теми линиями, которые описали бы наши
два тела в течение следующего элемента времени, не ока-
зывая никакого действия друг на друга. На самом деле
они вместо этого будут описывать: одно — линию аа, а дру-
гое— линию Вг, оканчивающуюся на стороне bz, парал-
лельной $d.
Согласно нашему принципу масса тела Л4, обладающая
скоростью должна уравновешивать массу т фигуры,
обладающую скоростью аа. Отсюда вытекает, что bz должно
быть перпендикулярно к bz и должна соблюдаться пропорция
m-aa:M>z6 = i'b:z8c
Следовательно,
tn-aa=M-ib.
Но
ib—kz— bo — аа
и
aa = d(aa).
Поэтому, если ввести обозначения
Aa = du и BK—dy,
мы получим
md2a = Md2y — Md2uy
или
d2u (M+m)==Md2y.
Мы получили общее, и притом довольно простое, урав-
нение для нахождения движения обоих тел, какова бы ни была
ускоряющая сила, действующая на тело 2И, лишь бы эта
сила была всегда перпендикулярна к QR.
Примечание I.
163.	Постоянные, которые нужно прибавить при инте-
грировании уравнения
Md2y^(M-Yni)-d2u,
254
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
зависят от dy и du. которые всегда нетрудно найти. Если,
например, направление движения тела М в точке А (фиг. 55)
Фиг. 55.
совпадает с касательной к кривой АВ в точке Л, то нужно
провести касательную АР и отложить
М-\-т
для того, чтобы найти точку О, в которой окажется фи-
гура в тот момент, когда тело М придет в точку №*).
*) Линия zb (фиг. 54) представляет собой ту длину, на кото-
рую убавился путь тела за второй элемент времени по сравне-
нию с путем за первый элемент, причем путь берется параллельно
плоскости. Но величина замедления за любой элемент времени
есть длина, на которую тело продвигается вперед в силу своего
собственного движения параллельно плоскости, минус движение
фигуры, увлекающее и тело. Поэтому
Zb = d2y	d2u,
где d2u обозначает второе, a d2y— первое движение.
При интегрировании уравнения
Md2y = (М+т) d2a
интегралом от Md2y не всегда нужно брать М-КВ, так как
№у
представляет собой здесь сумму всех малых путей, которые тело
М проходит параллельно плоскости в силу своего собственного
движения. Весь же этот путь определяется первоначальным дви-
жением тела. Если тело в первый момент стремится двигаться по
направлению ЛАС, то JaPy будет равен ВАС, так как при отсут-
ствии кривой поверхности оно пришло бы в точку АС. Если же оно
в первый момент стремится двигаться по направлению АР (фиг. 55),
то fdfy будет равен PN, так как в силу одного этого стремле-
ния оно пришло бы в точку Р. (Примечание Безу.)
ЗАДАЧИ
255
Если тело М будет двигаться только вследствие своей
ускоряющей силы без какого бы то ни было первоначаль-
ного толчка, то нужно провести AQ перпендикулярно к BD
и отложить
Впрочем, уже на основании п° 84 явствует, что в по-
следнем случае общий центр тяжести обоих тел будет опу-
скаться по вертикальной прямой.
Примечание II.
164.	Можно было бы дать и другие решения данной
задачи: все они приводят к уравнению
М^у = (М^т) d2u.
Я предпочитаю всем этим решениям то, которое было
только что указано, из-за того, что оно в высшей степени
простое.
Все задачи, аналогичные этой, какие бы они ни были,
можно решать с помощью нашего принципа. Трудности бу-
дут относиться лишь к вычислениям.
Лемма X.
165.	Пусть два шара G и С (фиг. 56) движутся по
GB и CD со скоростями, представленными бесконечно
малыми линиями GB и CD.
Ясно, что если
DB = CG.
т. е. если
DE = BF.	\	J
то движения обоих шаров
не будут мешать одно дру-	фиг< 55
гому.
Отсюда следует вообще, что для того, чтобы данные шары
не мешали друг другу в своих движениях, необходимо,
256 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
чтобы скорость точки касания А по направлению перпенди-
куляра CAG к обоим телам была одна и та же как с той,
так и с другой стороны.
Действительно, тогда мы будем иметь
ED = FB,
откуда
DB = CG.
Следствие.
166.	Если два тела произвольной формы соприкасаются,
то, рассматривая точку соприкосновения этих тел как
малую сферическую поверхность, мы увидим, что для того,
чтобы эти тела не мешали друг другу в своих дви-
жениях, скорость точки соприкосновения, измеренная по
направлению перпендикуляра к обеим поверхностям в этой
точке, должна быть одной и той же для обоих тел.
Лемма XI.
167.	Если произвольное число тел соударяется таге,
что при условии совершенной твердости и отсутствии
упругости они после удара остаются все в покое, то
я утверждаю, что при условии совершенной упругости
они будут возвращаться обратно с теми же скоростями,
какие были у них до удара.
В самом деле, действие упругости будет состоять в том,
что у каждого тела восстанавливается, только в противо-
положную сторону, то движение, которое было утрачено
вследствие действия других тел.
Следствие.
168.	Если произвольное число твердых тел [81] одновре-
менно ударяется друг о друга и если их скорости до удара
были а, b и т. д., а после удара они заменяются скоро-
стями а, b и т. д., то, рассматривая скорости а, b и т. д.
как составленные из скоростей а и а, b и f и т. д., мы
найдем, что скорости тех же самых тел после удара (в слу-
ЗАДАЧИ
257
чае упругих тел) будут составлены из скоростей а и — а,
b и — pi т. д.
Поэтому в последующих задачах мы будем говорить
лишь об ударе твердых тел, поскольку отсюда нетрудно
будет вывести и законы движения упругих тел.
Я здесь не рассматриваю вопроса о том, существуют ли
абсолютно твердые тела. Эта проблема относится скорее
к физике, чем к механике, и я здесь принимаю абсолютно
твердые тела лишь в том смысле, в каком обычно в меха-
нике говорят о несгибаемых рычагах, о машинах, лишен-
ных трения, и т. д. Кроме того, я принимаю как опытный
факт то, что упругость возвращает каждому телу движе-
ние, равное и противоположное тому движению, которое
было потеряно при ударе, не входя в рассмотрение того,
каким образом совершается это восстановление.
Так как довольно хорошо подтверждается то, что упру-
гие тела при ударе сплющиваются и сжимаются, а затем
снова восстанавливают свою первоначальную форму, каза-
лось бы, можно думать, что найти законы движения этих
тел так, как мы это делаем здесь,—а именно предполагая,
что тела несжимаемы, — невозможно. И действительно, как
будет показано в дальнейшем, это обстоятельство неизбежно
вносит те или иные изменения в эти законы. Но тем не
менее, мы можем, по крайней мере, принять, что форма
тел меняется весьма незначительно и что как сжатие, так
и восстановление происходят в течение весьма короткого
времени. В таком случае движение после удара не будет
заметно отличаться от того, какое имело бы место при
условии несжимаемости тел.
Вполне точно эти задачи можно было бы решить в том
случае, если бы нам было известно, по какому закону ме-
няется при сжатии форма тела. Однако об этом можно де-
лать лишь предположения.
Задача XI.
169.	Предположим, что тело А (фиг. 57) только что
ударилось о другое тело BOQ, находившееся до того в
покое. Удар происходил по направлению АС, не прохо-
17 Ж. Да ламбер
258 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ движения
дящему через центр тяжести М ударяемого тела. Спра-
шивается, каково будет движение обоих тел после удара.
Какое бы движение ни восприняло тело BOQ> несом-
ненно то, что его центр /И будет двигаться после удара
прямолинейно, а все части этого тела будут вращаться во-
_____ . круг этого центра (см. п° 76).
Далее, согласно нашему прин-
уд	ципу, если сообщить этому
/	телУ движение, противополож-
/	\ s' \ ное тому, которое оно получи-
[_______________________j ло при ударе, то оно уравнове-
&	~7с	Q сится с телом Л, если бы это
последнее обладало движением,
'	потерянным им при ударе.
Фиг. 57.	Выше (п° 141) было дока-
зано, что если центр тяжести
М какого-нибудь тела движется по некоторому произволь-
ному направлению и если в то же время это тело вра-
щается вокруг своего центра, то направление равнодейству-
ющей силы будет параллельно направлению центра тяже-
сти*). Но направлением этой силы может служить лишь
линия СА, перпендикулярная в точке касания А, вслед-
ствие того, что сила эта должна уничтожаться равной ей си-
лой тела Д, действующей по направлению АС. Отсюда
следует, что движение центра /И должно быть параллель-
ным АС. Далее, скорость вращения должна быть такова,
что если это вращение сложить с движением центра /И,
то тела не будут мешать друг другу, т. е. они будут иметь
одинаковую скорость в одну и ту же сторону. Если опу-
стить на СА перпендикуляр MN> то легко видеть, что дви-
жение точки касания А по направлению AN будет равно
движению точки N. Таким образом, вся трудность сво-
дится к нахождению скорости точки М и скорости враще-
ния точки N,
*) Желающие могут найти более подробное доказательство
этого предложения в наших «Исследованиях о предварении равно-
денствии» («Recherches sur la precession des equinoxes»), ii° 86
и сл. Однако доказательство, приведенное вп° 141 настоящего
сочинения, мне кажется также достаточным.
ЗАДАЧИ
259
Пусть и будет скорость тела А до удара, и — скорость
его после удара, а — скорость центра Af, v — скорость
вращения точки ЛД Тогда мы будем иметь
1° a4-^ = u-
Далее, равнодействующая сила движений частей тела Af в
противоположную сторону должна быть равна
А -(и —и).
С другой стороны, эта сила должна быть равна М • а и она
должна быть направлена по линии СА. Следовательно, мы
будем иметь
2° М-а = А-(и— и).
Наконец, если через р обозначить сумму произведений ча-
стей тела М на квадрат их расстояний до центра М, то
мы будем иметь (см. п° 141)
3°
MN
Таковы три уравнения для определения неизвестных
величин а, и и и. Что и требовалось найти.
Задача XII.
170.	Два шара А и а (фиг. 58) прикреплены к стерж-
ням СА и са, имеющим неподвижные точки Cue. За-
даны скорости этих шаров. Шары ударяются друг о друга.
Требуется найти скорости тел после удара, предполагая*
что до удара они оба двигались в одну сторону.
Пусть и и v будут скорости центров А и а до удара,
п и v — скорости этих центров после удара. Согласно на-
шему принципу необходимо, чтобы скорости и и v были
такими, чтобы тела не мешали друг другу и чтобы, в слу-
чае, если бы центры тел обладали скоростями и — и и v — v,
было бы равновесие. Другими словами, если бы точки А
и а обладали скоростями и — и и v — v, то сида тела А,
рассматриваемая как бы сосредоточенной в точке А и дей-
ствующая по направлению Ад, должна будет равняться силе
17*
260 ОБЩИЙ принцип для НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
тела а, рассматриваемой как бы сосредоточенной в точке а
и действующей по направлению аА.
Если провести к Аа перпендикуляры СО и cgt то пер-
вое условие дает
Далее,
тела А
если через
u-CG____N*cg
СА са
F обозначить сумму произведений частиц
проходящей через точку С, и через f аналогичную
до оси,
величину для тела а, то второе условие нам даст
F-(u — и) । f-(v — v) _п
AC-CG “Г ac-cg ~
Из полученных двух уравнений можно определить зна*
чения и и v.
*) В самом деле, если и —и представляет собой скорость
вращения, потерянную центром Л, то скорость, потерянная вся-
кой другой точкой Л4, будет равна
/ ч см
(а~^СА'
а сила, потерянная этой точкой, будет равна
, ч СМ
(“ — "У Сд'М‘
ЗАДАЧИ
261
Следствие I.
171.	Если тела упруги, то их скорости после удара
(см. п° 168) будут равны
u-j-u — и	и v-j~v —
Сумма живых сил после удара будет равна
= 7^2 +	4~ ^2 (ц2  UW) 4“	(V2 VV)»
AC2 1 ас2 ‘ AC2'	' 1 ас2 v '
Но умножая предпоследний член на
СА CG
CG' СА’
а последний член на
са eg
eg' са1
что, разумеется, не изменит их величины, мы увидим, что
эти члены взаимно уничтожат друг друга, так как .
v-CG___и-eg
С А	са
и
F{u — it) . /-(v — v)_
AC-CG ‘ ас—eg — *
Но вместо этой силы можно взять силу, которая действует по
направлению GA или Аа и которая вследствие правила рычага
(если MCG рассматривать как ломаный рычаг) будет равна
(ц —tp-CAP-M
CA-CG
Отсюда следует, что сумма потерянных сил у тела А будет равна
Г(«-и)-СЛ^-Л1 _ u-u . Гслг A1_(u-u)-F
J CA-CQ ~CA‘CG J	CA-CG ‘
Отсюда следует, и т, д, {Примечание Безу.)
262
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Отсюда следует, что сумма живых сил после удара будет
равна
F«2	/V2
АС2' ас2 ’
т. е., другими словами, сумма живых сил как до, так
и после удара будет одной и той же.
Следствие II.
172.	Если линии СА и са в момент удара параллельны,
то нужно положить
CG — С А и eg = са,
остальные же рассуждения остаются прежними. Задача
в этом случае была решена в VII томе петербургских
«Commentarii» И. Бернулли сыном [82], принимавшим тела
упругими. Мое решение резко отличается от его как по
методу, так и по результатам. В то время как в мемуаре
Бернулли скорости после удара выражаются через радикалы,
у нас, как легко убедиться, не будет никаких радикалов.
Величины F и /, единственные величины, которые могут
ввести радикалы в выражение для скоростей, сами радика-
лов не содержат. В самом деле, обозначая через b и £
радиусы шаров Л и а и полагая
CV=a и
мы получим
F=(a24- 2aZ> + yZ>2J • А
И
(7	\
а2+2а? + -^2).а.
Соответствующие выкладки смотри в указанном мемуаре
Бернулли.
Однако, помимо того, что решение Бернулли — непрямое
решение, так как оно опирается на принцип сохранения
живых сил, оно основывается еще на другом принципе,
который неверен. Принцип этот состоит в том, что тело А}
ЗАДАЧИ
263
приводимое в движение при помощи жесткого стержня С А,
рассматривается так, как будто все части его обладают
движением, равным движению центра А и в то же время
как будто тело А вращается вокруг своего центра, пово-
рачиваясь на угол, равный углу поворота стержня. В ре-
зультате в силу этого принципа получается, что сила
тела А будет такая же, как если бы это тело вовсе не
было прикреплено к стержню и все его части обладали
скоростью, равной скорости его центра без всякого вра-
щения, что, мне кажется, противоречит законам механики.
Бернулли в n° XV своего мемуара ограничивается ука-
занием, что вращается ли тело вокруг точки С или же
все части его движутся со скоростью, равной скорости
центра Д, и в том и в другом случае количество движе-
ния данного тела будет одним и тем же. Против этого
ничего нельзя возразить. Однако в случае, например,
шара, вращающегося вокруг неподвижной точки, количество
движения и сила уже не одни и те же; здесь приходится
учитывать то плечо рычага, при помощи которого дей-
ствует та или иная частица. Силой в данном случае будет
служить сумма произведений каждого элемента на его
скорость и на его расстояние от неподвижной точки, а не
просто сумма произведений каждого элемента на его ско-
рость.
Задача ХП1.
173.	Два тела А и В (фиг. 59), подвешенные на ни-
тях С А и GB, укрепленных в точках Си G, только
что ударились друг, о друга. Найти их движение после
удара.
Пусть и — скорость обращения точки А вокруг точки С
до удара. Эта скорость будет общая для всех частей тела А.
Пусть, кроме того, v будет скорость обращения центра
тяжести тела А вокруг точки А, за которую оно подве-
шено, до удара. Пусть также U и V будут такие же
скорости, относящиеся к телу В до удара, аналогичные
и и v. Пусть, наконец, все эти скорости после удара
переходят в и и v, U и V. При этом эти последние ско-
рости таковы, что тела А и В в момент после удара
264
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
идут вместе, ие мешая друг другу, и, кроме того, таковы,
что если бы данные тела обладали только скоростями
и — u, v — v, U—U и V — V, то оба тела взаимно урав-
новешивались бы.
Рассматривая все части тела А (фиг. 60) как обладаю-
щие скоростью и — и, можно свести все движения к одной
единственной силе, направление которой ОК будет прохо
дить через центр тяжести G
тела А и будет перпендику-
лярно, к линии СА, продол-
женной к точке L. Далее, если
у
li
и
Фиг. 59.
центр тяжести тела А будет обладать скоростью v — v
обращения вокруг точки Д, то мы можем найти направле-
ние NO равнодействующей силы, не зная величины v — v
(см. п° 140). Сила, направленная по ОР, которая, как
я принимаю, является равнодействующей сил, направленных
по ОК и NO, должна уничтожиться. Поэтому она должна
быть такова, чтобы ее можно было разложить на две силы:
одну по направлению PL или СА и другую по направ-
лению Ра, перпендикулярно к поверхности соприкосновения
двух тел в точке а. Но так как положение точек Р и О
определяется линиями аР и СА, с одной стороны, и ли-
ниями NO и КО, с другой стороны, — а расположение всех
этих линий известно, — то отсюда следует, что направление
ОР равнодействующей сил, направленных по ОК и NO,
ЗАДАЧИ
265
также известно, а следовательно, известно и отношение
сил, направленных по ОК и по NO.
Обозначая через т массу тела Л, мы получим, что
сила, направленная по ОК, будет равна tn* (и — и), а сила,
направленная по NO, будет равна m(v— v) (см. п° 139).
Таким образом, отношение и—и к v—v будет известно.
Подобным же рассуждением мы найдем и отношение U—U
к V— V для другого тела. Следовательно, из четырех
неизвестных u, v, U и V можно будет исключить два.
Помимо этого, должны удовлетворяться еще два усло-
вия, а именно: сила, направленная по Ра, должна равняться
силе, действующей в другом теле в противоположную сто-
рону, и, кроме того, оба тела в момент после удара
должны двигаться вместе: другими словами, скорость точки
касания а, направленная по Ра, должна быть одинаковой
для обоих тел. Эти два условия дают еще два уравнения,
из которых можно найти остальные два неизвестные. И эти
уравнения никогда не будут выше первой степени.
О теле, ударяющем несколько тел одновременно.
Задача XIV.
174.	Пусть тело в форме шара А (фиг. 61), движу-
щееся по направлению данной линии AQ с данной ско-
ростью, встречается одновременно с двумя телами В и С,
находящимися в покое. Требуется узнать направления
и скорости всех трех тел после удара.
Пусть AN —и— скорость тела А до удара, AR —
искомое направление этого тела после удара, a AV—v—
скорость его после удара. Пусть, кроме того, BZ и СХ—
скорости, которые получают тела В и С. По условию,
все эти линии, AN, AV, BZ и СХ, представляющие ско-
рости, суть линии бесконечно малой длины.
Скорость BZ тела В и скорость AV тела А должны
быть такими, чтобы соблюдалось равенство
VZ^AB
266
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
(см. п° 165). Точно так же скорость СЛ тела С и ско-
рость AV тела А должны быть такими, чтобы соблюдалось
равенство
УЛ=АС.
Далее, если предположить, что тело А в момент удара
обладает движениями AV и VN, или AV и Ар, а тела В и С
обладают (п°61) равными и противоположными движениями
BZ и Bz, с одной стороны, и СЛ и Сх, с другой сто-
роны, то согласно нашему принципу тела Л, В и С, обла-
дающие движениями Ар, Bz и Сх, должны уравновеши-
вать друг друга.
Пусть нам даны
AQ = a, QS—T, QT— Т;
неизвестные же обозначим следующим образом:
QR = t, AV=v.
Тогда, проведя RO перпендикулярно к AS и Ro перпен-
дикулярно к АТ, мы будем иметь
RO =	(T-t)-a
AR ~	Т2 .	’
Ro =	(Т-НН
AR	*
ЗАДАЧИ
267
Далее, так как
VZ=AB,
мы будем иметь
bz^av.ao	(Т- t).T \
AR к]/ Л2_|_^2	уй2+р.ув2_|_р/ '
Подобными же рассуждениями мы найдем
CX = v(	_	(Т + О-Т	\
^ya2_|_t2	/а2_|_т2-/а2 + /2/‘
Но если из точки V провести перпендикуляр VP
к линии AN, то вследствие равновесия мы будем иметь
A-PN=B-
И
А ,7D__B‘BZ-QS 'C-CX-Qr
A*VH— + АТ •
Вставляя в эти равенства вместо входящих в них линий
соответствующие аналитические выражения, мы сможем
определить v и t.
Если бы мы проделали все выкладки, то мы увидели
бы, что в результате получаются всегда линейные уравне-
ния. В самом деле, из двух уравнений мы определим
величину
у
У «2 4- t2
и, сравнивая полученные два выражения, мы исключим”
радикал jAz2-)-^2 и получим одно уравнение с одним
неизвестным входящим в него в первой степени. Таким
образом, мы легко найдем значение /, а подставив его
в одно из выражений
у
мы найдем и значение
268
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Замечание I.
175.	Я не вхожу в подробности решения этой задачи
и не стараюсь даже упрощать ее ввиду того, что прекрас-
ное решение данной задачи можно найти в сочинении Макло-
рена, носящем заглавие «А Treatise on fluxions».
Впрочем, наш принцип позволяет найти законы удара
и в том случае, когда один шар встречается одновременно
с любым количеством шаров. Эта задача была решена
И. Бернулли, но с помощью принципа сохранения живых
сил и только для того случая, когда ударяемые шары
одинаковы и расположены симметрично относительно на-
правления ударяющего шара [83]. Буге также решил эту
задачу только для такого же случая («Journal des savants»,
апрель 1728 г.) без помощи принципа сохранения живых
сил [84].
Бернулли в «Рассуждении о движении» из своего ре-
шения извлек большое количество изящных следствий,
касающихся движения тел в жидкостях. Там же можно
найти ряд других теорем, им не доказываемых, — доказа-
тельства их приведены мною в моем сочинении «О равно-
весии и движении жидкостей», кн. III, гл. 1 [85].
Замечание II.
176.	Присмотревшись внимательно к характеру общей
задачи о нескольких одновременно соударяющихся телах,
обладающих заданными скоростями и заданными направле-
ниями, можно натолкнуться на ряд трудностей, которые
полезно осветить здесь: это даст нам возможность сделать
некоторые новые замечания по поводу законов удара тел.
Предположим, например, что шар А (фиг. 62), движу-
щийся по направлению AL, встречается одновременно с ша-
рами С, Z), Е и F, симметрично расположенными относи-
тельно линии AL. Пусть шары F и Е находятся в покое,
а шары С и D движутся параллельно AL со скоростями,
равными скорости тела А. Очевидно, тело А не будет
оказывать на шары С и D никакого действия, и все будет
происходить таким образом, как будто тело А задевает
ЗАДАЧИ
269
в чем. Предположим, что
а будет весьма немногим
Фиг. 62.
к полному синусу, и потому
только шары Е и F. Если же шары С и D имеют ско-
рость меньшую, чем скорость тела А по направлению AL,
то тело А будет оказывать действие на эти шары, и на
первый взгляд кажется, что оно сообщит движение всем
четырем шарам.
Однако трудность здесь во
скорость шаров С и D до уд
меньше скорости тела А. Если
эта скорость после удара уве-
личится только весьма незна-
чительно, то, поскольку шары
Л, С и D должны двигать-
ся вместе, скорость шара А
уменьшится весьма мало. Да-
лее, так как шары F и Е
также должны двигаться вмес-
те с шаром Л, то скорость
этих шаров будет так отно-
ситься к скорости тела Л после
удара, как косинус угла BAF
будет как бы бесконечно больше скорости, потерянной
телом Л. Но, согласно нашему принципу, тело Л, обла-
дающее скоростью, которую оно потеряло, должно урав-
новешивать тела Б, F, С и Z), обладающие скоростями,
противоположными тем, которые они приобрели от удара.
Между тем скорость, потерянная телом Л, весьма мала
(по условию) и потому она не может уравновесить конеч-
ных скоростей тел Е и F. Следовательно, скорость шаров
С и D не может увеличиться на весьма малую величину.
Но, с другой стороны, если скорость их увеличивается на
такую величину, которая не является весьма малой, то они
не будут в состоянии двигаться вместе с телом Л, скорость
которого непременно уменьшится.
При производстве вычислений в настоящей задаче встре-
чается еще одна трудность. Выражения для скоростей всех
пяти тел после удара найти весьма нетрудно, хотя со-
гласно только что сделанному нами замечанию может пока-
заться, что это—дело нелегкое. Вычисления основываются
здесь на тех двух условиях, согласно которым все пять
270
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
тел движутся после удара вместе и, далее, на том, что
если они будут обладать скоростями, противоположными
тем, которые оказались потерянными ими или приобретен-
ными, то они будут оставаться в равновесии.
Однако, если посмотреть, каким образом вычисления
удовлетворяют этим условиям, то мы увидим, что послед-
ние выражаются аналитически таким образом, что они не
всегда согласуются с физической стороной задачи, вследствие
чего, если ненадлежащим образом применять в данной задаче
вычисления, они могут привести к неправильным выводам.
Для того, например, чтобы тела двигались после удара
вместе, необходимо, чтобы скорости этих тел в направле-
нии, перпендикулярном к поверхности соприкосновения,
были одинаковыми, — таково условие, которое выражается
аналитически. Но, кроме того, необходимо, чтобы эти ско-
рости были направлены в одну и ту же сторону или в про-
тивоположные стороны, — смотря по условиям задачи. Это
условие не выражается и не может быть выражено анали-
тически.
Точно так же для того, чтобы соблюдалось равновесие
между телами У7, С, D, Е и телом Л, недостаточно того,
чтобы сумма движений, взятых в одну сторону, была равна
нулю,— это только и можно выразить аналитически: нужно
еще, чтобы уравновешивающиеся движения были направ-
лены по АВ, по FA, по С А, по DA и по ЕА. Эти усло-
вия не могут быть выражены аналитически, и лишь найдя
величины скоростей и их направления, можно убедиться,
выполняются ли указанные условия или нет.
Если не выполнены все эти условия, как это имеет
место в только что рассмотренном случае, то это служит
признаком того, что некоторые тела системы не испыты-
вают никакого действия со стороны других тел и по-
тому в движении их не произойдет никаких изменений.
Так, в данном случае, хотя скорость тел С и D меньше
скорости ударяющего тела А, тем не менее эти тела не
будут претерпевать никаких изменений, и все будет про-
исходить таким образом, как будто тело А ударит толь-
ко два других тела Е и F. Действительно, скорость
тел С и D не может уменьшиться от встречи с телом А.
ЗАДАЧИ
271
Они не могут также и получить никакой добавочной ско-
рости благодаря действию тела Л, поскольку, как мы ви-
дели выше, они не могут после удара двигаться вместе
с телом А. Но если тела Л, С и D после удара не будут
двигаться вместе, это значит, что между ними нет ника-
кого взаимодействия. Действительно, в том случае, когда
имеет место взаимодействие между двумя телами, движение
этих тел всегда можно привести к движениям, направлен-
ным в одну сторону — благодаря этим движениям эти тела
нисколько не будут мешать друг другу,—и к движениям
противоположным, которые должны взаимно уничтожиться.
Но противоположно направленные движения могут взаимно
уничтожаться только тогда, когда они, будучи взятыми
в одну сторону, равны между собою. Если первое тело
движется быстрее второго, то между этими телами никакое
взаимодействие невозможно.
Замечание III.
177.	Дело будет обстоять иначе в том случае, когда
тела Л, С, D, Е и F являются телами упругими. Скорость
тела А тогда будет уменьшаться лишь постепенно, незна-
чительными порциями, и так же постепенно это тело будет
действовать на тела С и D, изменяя их движение. Поэтому
в данном случае для определения скоростей после удара
нужно весьма остерегаться пользоваться правилом, приве-
денным нами , в п° 168.
Это обстоятельство навело меня и на другую мысль:
для одновременного соударения нескольких упругих тел
это самое правило может быть совершенно негодным.
Предположим, например, что все пять тел Л, F,E, С
и D (фиг. 62) являются совершенно упругими. В момент
удара в каждом из этих тел будет происходить сжатие,
причем сжатие это будет таково, что ударяемые тела
в каждый элемент времени будут получать бесконечно
малое количество движения назад по направлениям, соот-
ветственно, FA, СА, DA и ЕА, равное тому количеству
движения, которое тела F, С, D и Е получат вперед.
Таким образом, эти тела будут все более и более сплю-
щиваться, пока, наконец, они не смогут двигаться все
272 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
вместе со скоростями, равными в одну сторону. Затем
мало-помалу они начнут восстанавливаться и будут снова
терять или приобретать количества движения, равные тем,
которые они перед тем приобрели или потеряли.
Но так как мы совершенно не знаем, по какому закону
упругость создает в телах ускорение, то мы и не знаем,
все ли пять тел одновременно перестают сжиматься, не
начинают ли, например, тела С и D восстанавливаться
в тот момент, когда тела Е и Р еще полностью не сжаты.
В таком случае наши пять тел вовсе не могли бы дви-
гаться после удара вместе даже при том условии, если
допустить, что упругость не восстанавливает их в их пер-
воначальном состоянии. Но если бы это было так, то для
определения движения после удара не следовало бы поль-
зоваться методом, указанным в п° 168 и основанным на
том, что тела сначала рассматриваются как твердые, так
как метод этот существенно исходит из того, что наши
тела (отвлекаясь от их упругости) будут после удара дви-
гаться вместе.
Что во всех телах сжатие заканчивается одновременно,
в этом можно сомневаться хотя бы уже потому, что есть,
бесспорно, случаи, когда это просто невозможно: это будет
в том случае, когда тела С и £>, по условию, обладают
скоростью, параллельной AL и чуть-чуть меньшей той,
какой обладает тело А по направлению AL,
Если и бывают случаи, когда сжатие всех тел заканчи-
вается одновременно, то при изменившихся каким-то обра-
зом условиях, понятно, сжатие моЯсет и не кончаться в одно
время для всех тел. Например, если шар А встречает че-
тыре одинаковых шара С, D, Е и F, находящихся в по-
кое, и если сжатие в данном случае будет заканчиваться
одновременно для всех шаров (что доказать, однако, было
бы невозможно), то нетрудно себе представить, что при
увеличении массы тел С и D можно достигнуть того, что
эти два шара будут заканчивать свое сжатие или раньше,
или позже, чем шары Ей F. Поэтому абсолютно необходимо
исследовать вопрос, как надлежит поступать в данном слу-
чае для нахождения законов удара. Это будет показано
в следующем п°.
ОБ УДАРЕ УПРУГИХ ТЕЛ
273
Об ударе упругих тел, когда соударяется
несколько тел сразу.
178.	Как и многие другие авторы, я буду рассматри-
вать два соударяющихся упругих шара А и В (фиг. 63 и
64), как будто они сводятся к своим центрам тяжести А
и В и как будто между этими телами помещена пружина,
Фиг. 63.
А а
В b
Фиг. 64.
способная сокращаться и удлиняться, — что будет соответ-
ствовать сжатию и последующему за ним восстановлению
данных тел. Далее, так как сжатие происходит в течение
весьма короткого времени, то я буду считать, что эта
пружина удлиняется и сокращается незначительно и что,
будучи сжатой весьма мало, она обладает уже весьма боль-
шой силой. Эту силу я буду выражать некоторой функцией
той величины, на которую сократилась или удлинилась
пружина. Другими словами, то малое количество движения,
которое в тот пли иной элемент времени одно из наших
тел теряет, а другое приобретает, я буду считать пропор-
циональным этой функции. При этом количество движения,
теряемое одним телом, будет равно количеству движения,
приобретаемому другим телом (см. п° 157), так как пру-
жина будет стремиться спуститься одинаково в обе сто-
роны и притом со скоростью, которую нужно считать
бесконечной по сравнению со скоростью тел, поскольку
масса пружины бесконечно мала по сравнению с массой
наших тел.
Исходя из этого, положим, что тела А и В (фиг. 64)
достигли точек а и Ь. Введя обозначения
Аа = х, ВЬ—у,
а также обозначая через t истекшее время, мы будем иметь
— А12х = & (х —у) • dt2,
.	Bd2y = y (х—y)*dt2.
18 ж. Даламбер
274
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Отсюда мы получим
— Ad2x — Bd2y
и
п dt — Adx — Bdy,
где п — некоторое постоянное число, определяющееся из
следующих соображений. Предположим, что при / = 0
скорости тел А и В равны а и Ь. Это значит, когда х и у
равны нулю,
= а и dy = bdt.
at
Следовательно,
п = Аа 4~ ВЬ.
Интегрирование уравнения дает
nt — Ах — By
и потому
— Ad2x — y ^х—
Полагая
мы (считая dt постоянным) будем иметь
A-Bd2a ( х ,,2
-Т+Л=?<“)Л"
и
A-Bdad2u	.
Отсюда мы получаем
Aqdt* — 2(В^А) =	f dH ? (“)
И	__
Л_-----------'“ГД---------.
/2-(В + Л)  j/ 5“иЭ
179.	Впрочем, если я даю здесь это решение, то не
потому, что оно необходимо для определения движения
ОБ УДАРЕ УПРУГИХ ТЕЛ
275
тел А и В. При данных предположениях с этими телами
происходит точь-в-точь такое же изменение, как будто
сжатие и затем восстановление совершаются мгновенно.
А так как мы ищем главным образом движение после
удара и так как нам не известен закон мгновенного уско-
рения или мгновенного замедления, то очевидно, что'пре-
дыдущее решение нисколько не может пролить свет на
Фиг. 65.
этот особенный случай. Поэтому данное решение является
лишь введением к случаям, более сложным.
180.	Представим себе, что тела А, С, D, Е и F
(фиг 65) суть точки, соединенные при помощи пружин
AC, AD и т. д. Нам достаточно найти скорости тел A, F
и С, так как тела Е и D должны претерпевать в точности
те же изменения, как и тела F и С, Пусть тела приходят
в точки a, f и с. Проведем перпендикуляры ау и ах.
Вследствие того, что пружина AF сокращается весьма не-
значительно, как мы предположили выше, линии Аа и Ff
весьма малы, и мы будем иметь
ср/.
Обозначая через р косинус угла BAF, а через г—косинус
угла ВАС, и вводя обозначения
Аа — х, Ff=y, Cc—z,
18*
276
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
мы получим
— Ad2x — [2р<р (рх —у)	2(гх — г)] dt2 *),
Fd2y = (р (рх —у) dt2,
Cd2z — <p(rx— z)dt2.
В этих уравнениях переменные могут быть разделены в об-
щем случае при одном условии: если
— у) = ГЧрх — у)
II
ф (гх— z) = Q-(rx— z),
где О и F— некоторое постоянные. В этом случае можно
найти х, у и z как функции от t, для чего можно вос-
пользоваться методом, изложенным выше при решении
задачи V, где нами было выяснено, как получить подобные
уравнения.
Сжатие пружины между телами А и F прекратится, ко-
гда pdx сделается равным dy, а между телами А и С —
когда rdx сделается равным dz.
181.	Если тело А ударяет только два тела F и Е,
расположенных симметрично, то, поскольку с телом F бу-
дет происходить точь-в-точь то же самое, что и с телом Е,
этот случай представит не больше трудностей, чем слу-
чай, когда тело А удрряет лишь одно тело F и, говоря
приближенно, все будет происходить так, как будто сжа-
*) Если пружина AF сокращается до л/, ее укорочение равно
AF — af — Ay срЛ — af.
Но, как уже было отмечено,
Следовательно, укорочение пружины будет равно
Лер — Ff=zpx—~ у.
Сила у(рх—у), направленная по /а, развивает по направлению
Аа действие, выражаемое величиной ру(рх— у). То же самое
можно сказать и о пружине АС. Отсюда
— Ad2x~ и т д.
(Примечание Безу.)
ОБ УДАРЕ УПРУГИХ ТЕЛ
277
тие и восстановление совершаются мгновенно. Поэтому
в данном случае предыдущие вычисления будут необходимы
в весьма малой степени. Однако они позволят точно опреде-
лить скорость тела Л, а также траекторию тела F, движу-
щегося теперь не по прямой Ff как мы предполагали и
как можно положить без
ошибки, а по очень малой
кривой.
Предполагая сначала, что
тело F будет двигаться по
линии Г/, и принимая af рав-
ным у/, мы получим уравнения
— АсРх = 2ру (рх —у) dt2
и
Fd2y — <р (рх—у) di2,
откуда, как в п° 178, мы и
найдем х и у как функции
от /. Но, обозначая fo (фиг. 66) через s, мы найдем, кроме
того, что сила, направленная по fo, будет равна силе,
направленной по ао, умноженной на —, или, иначе, умно-
женной на
лер хУ" 1 —р2
FA~ а
(здесь а обозначает FA). Вместо рх—у нужно взять бо-
лее точную величину
1— р2 .
РХ-У-----ЪГ‘Х<
потому что (пренебрегая третьими разностями)
AF-— ao=A?-Ff-gfl
*) Мы имеем равенство
AF—ao = Ay-\-il—1у— Fl — al — lo~Ay— iy— Ff,
так как, как легко видеть,
lo — lf
с точностью до бесконечно малых третьего порядка. Далее, если
278 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ движения
Заметим далее, что в первом из полученных уравнений
вместо 2р, т е. вместо удвоенного косинуса угла BAF,
нужно взять удвоенный косинус угла ВаЦ и потому вместо
него мы получим
*).
Установив это и обозначая через и расстояние между
телами, мы будем иметь уравнения
— Ad2x = 2р<р («). dt2 —	(р («) dt2
и
Fd2y = y(u)*dt2 ♦♦).
пренебречь бесконечно малыми величинами третьего порядка, мы
будем иметь
.	а®2	а®2
—	~2AF'
(Примечание Безу,)
♦) В самом деле,
cos Bal — cos (BAI + Ala) =
= cos BAI • cos Ala — sin BAI • sin Alat
но
cos Ala — 1,
так как угол Ala будет бесконечно малым. Далее,
sin BAI = У1 — р2;
с другой стороны,
sin
al AF a
Отсюда следует, и т. д. (Примечание Безу,)
♦*) Здесь мы предполагаем, что сила, направленная по Г/, для
тела F равна силе, направленной по ао, потому что эти силы от-
личаются друг от друга лишь на бесконечно малую второго по-
рядка. Здесь же мы принимаем во внимание лишь бесконечно
малые первого порядка, которыми мы пренебрегали в предыдущих
первоначальных вычислениях. (Примечание Безу.)
ОБ УДАРЕ УПРУГИХ ТЕЛ
279
Далее, мы будем иметь
,	, xdx(\—р2)	,
— du — pdx----------------—— — dy,
откуда
— (Ри = pd2x — d2y — d	,
ИЛИ
2//_	2p2^(u)-dt* ! 2рх(1--р2)ср(ц).^2_
— а и— д	|
ср (и) dt2 [х dx (1 — р3)“|
F	“ J
Из первого приближенного решения мы найдем х как
функцию от и и, кроме того, мы будем иметь уравнение
с разделяющимися переменными dt и du,—другими сло-
вами, мы будем иметь di в виде функции от и и du и,
следовательно, du в виде функции от и и dt.
Сделав соответствующие подстановки, т. е. подставляя
в члены
2рх (1 -р2) <р («) • dt*	„ d \х dx (1 - р2)]
вместо х его выражение через и, вместо d*x его значение
— 2рср (и) dt*
А
а вместо dx* его значение, которое, как нетрудно убе-
диться, будет равно произведению dt* на некоторую функ-
цию от и, мы получим уравнение вида
_d2u =	, vdt2
A	F *	’
где V есть некоторая функция от и. Но это уравнение
интегрируемо.
Зная же и в виде функции от t, или, вернее, зная i
в виде функции от и, мы очень простым способом найдем
и величины х и у. В самом деле, первое решение нам
даст
х = Д(«),
а второе
dt = duY (а).
280
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Подставляя Д(я) вместо х в выражение
2х (1 —p2)y(u)-dt2
а	’
мы получим
— Ad2x = dt2 Е (и)
и
— Лх4-В/4-С= J dt ^dlz(u).
Отсюда мы получим х в виде функции от и. Величина у
будет найдена еще более простым путем, так как
FyЦ-D/j dt { Лу(й).
В конце концов мы получим уравнение
Pd2s<=?^	• dt2y (рх —у).
И так как х и у суть известные функции от /, то здесь,
очевидно, интегрирование никаких затруднений не пред-
ставляет.
Замечание.
182. Из предыдущего п° вытекает, что когда тело А
ударяет два упругих тела Си/) (фиг. 65), расположенных
симметрично относительно направления АВ ударяющего
тела, скорости этих тел после удара будут если не в точ-
ности такими же, то по крайней мере с большим при-
ближением такими же, как если бы сжатие и восстановление
пружины совершались мгновенно. Этого не будет в том
случае, если ударяемые шары не расположены симметрично
относительно ударяющего тела.
Действительно, пусть твердый шар А (фиг. 67) дви-
жется по направлению АВ и встречает на своем пути твер-
дые шары С и D, находящиеся в покое. Скорость тела А
пусть будет представлена линией Аа. Предположим, далее,
что шар А после удара не меняет своего направления и
скоростью его после удара будет линия Аа. Построив парал-
ОБ УДАРЕ УПРУГИХ ТЕЛ
281
лелограммы АпаХ и Apai и проведя линию ах и ad пер-
пендикулярно к АС и AD. мы будем иметь
С-Ах = А-1Х
и
D-Ad = A-np *).
Отсюда
iX: пр = С • Ах: D • Ad.
Другими словами, линия па так относится к линии Ап.
как косинус угла ВАС. умноженный на С. относится к
произведению тела D
на косинус угла BAD.
Отсюда следует, что
произведение тела С
на синус угла ВАС и
на косинус этого же
угла будет равняться
произведению тела D
на синус угла BAD и
на косинус этого же
угла BAD.
Если тела С и D
равны между собою, то
мы получим, что про-
изведение синуса угла
на косинус этого же
угла будет равняться
произведению синуса
другого угла на ко-
синус этого последнего угла. Это возможно только в том
случае, если эти углы будут дополнять друг друга до
*) Все три шара должны после удара двигаться вместе, и по-
тому тело С должно обладать скоростью Ах (см. п° 165): если
предположить, что тело А будет сохранять скорость Аа. то
в направлении АС оно будет иметь скорость Ах. Но в силу из-
лагаемого здесь принципа, если бы тело С обладало скоростью Ах.
но направленной в противоположную сторону, то оно бы уравно-
весило тело А. обладающее скоростью IX. которую это тело по-
теряло. Отсюда следует, и т. д. Такое же рассуждение может
быть применено и ко второму уравнению. (Примечание Безу.)
282 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ движения
90 градусов, т. е. если угол DAC будет прямым. В таком
случае мы будем иметь
Al :Ах — Ар: Ad.
Следовательно, если линию Аа принять за бесконечно ма-
лую линию, то при том условии, что тела Л, С и D упру-
ги и притом действие пружин АС и AD не пропорци-
онально линиям Ах и Ad, точка А с первого же момента
будет удаляться от прямой Аа и, таким образом, законы
Фиг. 68.
удара этих тел будут сильно отличаться от законов для
того случая, когда сжатие и восстановление совершаются
за одно мгновение.
183. Пусть в общем случае АВ (фиг. 68) будет напра-
влением ударяющего тела и пусть Аа — кривая, которую
это тело описывает во время сжатия и восстановления
пружины. Пусть, далее,
Д/ = х,	ai = z, Сс=у, Db = u
и косинус угла DAC равен г. Тогда мы будем иметь
Ах — Сс=х-\- rz — у
и
Ad— Dl — z-\-rx— и.
ОБ УДАРЕ УПРУГИХ ТЕЛ
283
Мы получим тогда
— Ad2x = <р (х -|- rz—у) • dt2,
— Ad2z = (р (zrx — и)*dt2,
Cd2y = tp(x-\-rz —у) dt2,
Dd2u = (p (z -[- rx — u) dt2,
откуда
— Ad2x — Cd2y
и
—at — Ax — Cy;
и точно так же
— Ad2z — Dd2u
fit— Az —Du.
Таким образом, подставляя в первые два уравнения вместо
у и и их значения, мы будем иметь два уравнения, содер-
жащие лишь два неизвестных х
и z. С этими уравнениями можно
обращаться при помощи методов,
указанных выше, в том случае,
если
<Р (х 4- rz — у) = F- (х 4- rz — у}
И
(р (z-\-rx — u) = G-(z-\- rx — и).
184. Пусть два тела Ама
(фиг. 69), соединенные между со-
бою при помощи пружины Аа,
ударяются друг о друга по на-
правлению AD и ad так, что если
бы эти тела могли двигаться
по направлению AD и ad, то их
центр тяжести С оставался бы в покое. Во время своего
сжатия оба эти тела будут описывать две подобные кривые
284
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
AG и ag, и сжатие закончится тогда, когда линия Gg будет
перпендикулярна к обеим кривым*). Затем при восстано-
влении пружины тела будут описывать кривые GF и gf,
подобные первым двум кривым. Отсюда следует, что дви-
жение тел после удара будет такое же, как будто сжатие
и восстановление происходят мгновенно.
И это будет справедливо в общем случае при любом
ударе двух упругих тел. В самом деле, нетрудно ви-
деть, что так как движение центра тяжести обоих тел ни-
сколько не меняется в результате взаимного действия тел
друг на друга, достаточно найти, каковы будут движения
тел после удара для того случая, когда они соударяются
так, что центр тяжести их находится в покое, а потом
сообщить всей системе движение, которое имеет центр
тяжести **).
В том случае, если оба наши тела будут мягкими, ско-
рости их после удара будут больше, чем в том случае,
когда они являются твердыми. В самом деле, в случае
твердости обоих тел скорости после удара будут отно-
ситься к скоростям до удара, как Cd относится к Са.
В случае же мягких тел, т. е в том случае, когда пру-
жина сжимается и затем восстанавливается, эти скорости
*) Так как в состоянии центра тяжести в результате дейст-
вий самих тел друг на друга не должно происходить никаких
изменений, то центр тяжести при сжатии будет оставаться в по-
кое, если, как это вытекает из условий, без сжатия он покоился.
Но в таком случае расстояния тел от этой неподвижной точки
будут все время обратно пропорциональны данным телам. Отсюда
следует, что кривые AG и ag будут подобны между собой. То же
самое будет иметь место и после сжатия. Далее, нетрудно видеть,
что сжатие закончится тогда, когда линия Gg, соединяющая оба
тела, будет перпендикулярна к кривым, описываемым ими, так как
тела будут тогда находиться на кратчайшем расстоянии друг от
друга. (Примечание Безу.)
**) В самом деле, так как это движение является общим
для всех частей системы, эти части не будут оказывать друг
на друга никакого действия, кроме того, которое проистекает
из тех движений их, в результате которых центр тяжести
остается в покое. Что касается скорости центра тяжести, то спо-
соб ее определения был указан нами выше (см. п° 72). (Приме*
чание Безу.)
ОБ УДАРЕ УПРУГИХ ТЕЛ
285
будут находиться в отношении Cd к Cg. Но
С£<Са.
Отсюда следует, и т. д. *)
Общее примечание.
185. Мы рассмотрели лишь весьма небольшую часть
вопросов, относящихся к соударениям тел. Укажем еще
на некоторые из этих вопросов, заслуживающих внимания
геометров.
I.
В «Encyclopedic», в статье «Elastique» (упругий) (т. V,
стр. 447, столб. 2) нами было показано, что пружина,
восстанавливая полностью соударяющимся телам их форму,
утраченную при соударении, может не восстанавливать
их скоростей, и она и в самом деле их не восста-
навливает. Величина утраченной скорости зависит от формы
и от вещества тела, и эту величину можно определить
лишь путем допущений и догадок.
В самом деле, представим себе ряд точек или абсо-
лютно твердых атомов, расположенных на прямой линии
*) Пусть в случае твердых тел бесконечно малая линия ab
представляет собой скорость др удара. Построим СЬс и проведем
дугу ас* Тогда эта дуга будет представлять собой скорость после
удара, так как, по условию, центр должен оставаться в покое,
а потерянная скорость должна быть направлена по cb. Но
ac:ab~Cd:Ca.
В случае мягких тел скорость после удара будет относиться
к скорости до удара, как Cd относится к Cg, вследствие того,
что скорости всякого тела, описывающего некоторую кривую под
действием какой-то силы, направленной к неподвижной точке, бу-
дут обратно пропорциональны перпендикулярам, проведенным из
этой точки на касательные. Но так как
Cg< Са,
то
Cg > С а *
Отсюда следует, и т. д. (Примечание Безу.)
286 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
и соединяющихся между собой при помощи бесконечно
малых пружин, помещенных между соседними телами.
Такая система абсолютно твердых точек, соединенных друг
с другом указанным образом, довольно точно будет изо-
бражать упругое тело. Положим затем, что эта система
только что ударилась перпендикулярно о некоторую жест-
кую плоскость по направлению линии, проходящей через
все эти малые тельца. Очевидно, первое абсолютно твер-
дое тельце, ударяющееся непосредственно о плоскость,
утратит мгновенно всю свою скорость. Второе тельце,
непосредственно следующее за первым, сможет при этом
продвинуться дальше вследствие сжимаемости маленькой
пружины, находящейся между первым и вторым тельцем.
Но так как эта пружина бесконечно мала (по условию),
так как, далее, она должна будет прекратить свое сжатие,
как только ее части вступят в абсолютное соприкоснове-
ние друг с другом (а это произойдет весьма быстро), и так
как, наконец, второму тельцу достаточно пройти беско-
нечно малый путь, чтобы настигнуть первое тельце, то не
весьма ли вероятно или даже можно ли сомневаться в том,
что второе тельце не сможет утратить свое движение
полностью, прежде чем оно достигнет крайней точки,
дальше которой ему двигаться уже нельзя? А в таком
случае оставшаяся часть его движения или, вернее, его
стремление к движению будет уничтожено сразу так же,
как это имеет место при ударе абсолютно твердого тела
о жесткую плоскость.
То же самое будет происходить и с рядом следующих
телец. Все эти тельца, утратившие при сжатии пружин
лишь часть своего движения и не имеющие возможности
использовать оставшуюся часть его, потом, при восста-
новлении пружины, получат лишь ту часть своего преж-
него движения, которую они утратили в связи со сжа-
тием пружины, и совсем не смогут вернуть той части его,
которая была уничтожена полностью. Между тем каждая
пружина восстановит свое первоначальное состояние, и сле-
довательно, вся система примет лишь свою первоначальную
форму, но не первоначальную свою скорость. Найти ско-
рость каждого тельца после восстановления пружины, а
ОБ УДАРЕ УПРУГИХ ТЕЛ
287
следовательно, и общую скорость тела, равную сумме
частичных скоростей, разделенной на число телец, оче-
видно, очень трудно и даже, может быть, невозможно: ведь
для того, чтобы найти скорость каждого отдельного тельца,
необходимо знать размер и жесткость каждой пружины,
которые будут меняться в каждом отдельном случае.
Что нами было только что сказано об ударе упругого
тела о жесткую плоскость, также будет справедливо и в
случае взаимного удара двух упругих тел: и ими какая-то
часть скорости при ударе будет непременно утрачена.
Обычно принимают, что когда упругое тело ударяет о
жесткую плоскость, только бесконечно малая часть его, на-
ходящаяся около точки соприкосновения, теряет свое дви-
жение сразу, все же остальные части теряют его лишь
постепенно, сохраняя движение и приближаясь к плоскости
до тех пор, пока пружина полностью не сократится. Пре-
дыдущие рассуждения достаточно показывают, насколько
мало соответствует действительности это допущение.
II.
Во всех предыдущих рассуждениях мы принимали, что
когда два упругих тела соударяются друг с другом, обла-
дая скоростями, обратно пропорциональными массам, пру-
жины этих тел сжимаются в каждый момент подобным и
равным образом, так что скорости, теряемые телами за
любой элемент времени, обратно пропорциональны массам,
и точка соприкосновения остается в покое во все время,
пока пружина сжимается и восстанавливается. Если же
пружина данных тел не сохраняется подобной самой себе,
то настоящее допущение уже перестает быть верным, п
это может внести изменение в решения.
Следовательно, предположения, выставляемые рядом
авторов при изложении законов удара упругих тел, являются
слишком ограниченными и мало общими. Они допускают,
что между телами находится пружина и что она одинаково
сжимается как с той, так и с другой стороны, так что оба
тела теряют в каждый элемент времени одинаковые коли-
чества движения, и точка пружины, совпадающая с центром
288
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
тяжести обоих тел, остается в покое. Очевидно, это до-
пущение может соответствовать лишь тому случаю, ко-
гда точка соприкосновения остается в покое как при
сжатии, так и при восстановлении тел.
П1.
Если упругое тело только что ударилось перпендику-
лярно о некоторую жесткую плоскость и если принять, что
данное тело обладает совершенной упругостью, т. е. если
оно способно вследствие своей упругости восстанавливать
ту скорость, которую оно утрачивает при ударе, то оче-
видно, что данное тело после удара отскочит с полной
своей скоростью. Но если в тот момент, когда тело сплю-
щилось до конца и вследствие сжатия пружины утратило
всю свою скорость, вдруг убрать плоскость, то, очевидно,
ввиду того, что пружина станет совершенно свободной,
она будет стремиться восстановиться в обе стороны, и по-
тому взаимно противоположные движения, которые она
будет стремиться сообщить, должны взаимно уничтожиться.
Отсюда следует, что теперь тело отскочит со скоростью
гораздо меньшей, чем в первом случае. Может случиться,
что оно даже вовсе не отскочит: это будет в том случае,
когда форма тела в состоянии сжатия будет такова, что
пружина будет восстанавливаться одинаково в противопо-
ложные стороны.
По тем же основаниям можно утверждать, что если
плоскость убрать в то время, когда пружина восстанови-
лась, но не целиком, то тело отскочит с меньшей скоро-
стью, чем в случае неподвижной плоскости.
Когда пружины обоих тел совершенно подобны друг
другу, так что они сжимаются и затем восстанавливаются
в одно и то же время, то точка соприкосновения остается
неподвижной в течение всего этого времени, и потому
тела служат друг для друга как бы жесткой опорой. По-
этому они, очевидно, будут отскакивать друг от друга со
своими первоначальными скоростями. Но если одна из
пружин восстанавливается раньше другой, то не отделяется
ли соответствующее ей тело от другого и не уменьшится
ли та скорость, с которой отскакивает это последнее?
ОБ УДАРЕ УПРУГИХ ТЕЛ
289
IV.
Каковы законы удара жесткого тела об упругое тело?
Вопрос сводится к тому, чтобы выяснить, что произойдет,
если встретятся одно жесткое и другое упругое тело, при-
чем эти тела обладают взаимно противоположными скоро-
стями, обратно пропорциональными массам. Очевидно, в
данном случае точка соприкосновения не останется непо-
движной, как это было в том случае, когда оба тела были
упругими, а пружины их были подобными. Неподвижная
точка (ведь одна такая точка должна существовать!) будет
внутри упругого тела. Но будет ли такой неподвижной
точкой все время одна и та же точка, или в каждый мо-
мент, пока пружина сжимается и восстанавливается, она
будет меняться? Мне кажется, что она должна менять свое
место.
Действительно, во-первых, в первый момент при сжатии
неподвижная точка должна находиться бесконечно близко,
или, говоря точнее, весьма близко к точке соприкоснове-
ния. В самом деле, если бы эта точка не была весьма
близкой к точке соприкосновения, то некоторая конечная
часть упругого тела между этой точкой и точкой сопри-
косновения должна была бы внезапно изменить свою ско-
рость с положительной на отрицательную, а этого в рас-
сматриваемом упругом теле допустить невозможно, так как
надлежит считать, что любая конечная часть его теряет
свою скорость постепенно. Для того чтобы убедиться в
этом, обозначим через а положительную скорость до удара
и через — b новую отрицательную скорость в той части
тела, о которой идет речь. Отсюда следовало бы, что
эта часть тела теряет скорость а -|- Ь, которая уничтожается
внезапно. Но это в том упругом теле, о котором мы гово-
рим, невозможно. Поэтому неподвижная точка в первый
момент будет как бы бесконечно близка к точке соприко-
сновения.
Во-вторых, поскольку в последующие моменты части
абсолютно твердого тела, двигаясь все вперед, не сме-
щаются одна относительно другой, постольку они, очевидно,
будут заставлять подаваться неподвижную точку: если бы
19 Ж, Даламбер
290 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
эта точка оставалась всегда на одном и том же месте, то
она очутилась бы слишком близко к точке соприкоснове-
ния, а следовательно, и к абсолютно твердому телу.
Поэтому, по мере того как пружина будет сжиматься,
неподвижная точка будет менять свое место.
Далее, когда пружина будет восстанавливаться, непо-
движная точка будет подвергаться всем тем изменениям,
которые она претерпевала при сжатии, но только в обрат-
ном порядке. В каждый момент то и другое тело будет
получать в обратном направлении ту самую скорость,
которой они лишались при соударении. Отсюда следует,
что в последний момент восстановления скорость того и
другого тела будет та же самая (в обратном направлении),
как и в первый момент сжатия.
Таким образом оба тела снова получат всю свою ско-
рость, и потому законы удара абсолютно твердых тел и
совершенно упругих тел будут такими же, как будто оба
соударяющиеся тела были совершенно упругими.
Из этих отрывочных замечаний, которые можно было
бы продолжить, видно, как много еще остается нерешенных
проблем, относящихся к законам удара тел, и как далеко
еще до того, чтобы весь вопрос можно было считать
исчерпанным теми многочисленными геометрами, которые
занимались им до сего времени. Эти геометры, в конце
концов, исследовали лишь наиболее простые и наиболее
редко встречающиеся случаи.
ГЛАВА IV.
О принципе сохранения живых сил.
186.	Если несколько тел действуют друг на друга
посредством нитей или посредством жестких стержней,
соединяющих их друг с другом, или путем соударений тел
друг с другом, — в последнем случае тела непременно
О ПРИНЦИПЕ СОХРАНЕНИЯ ЖИВЫХ СИЛ
291
должны быть совершенно упругими,—то сумма произведе-
ний масс на квадраты скоростей все время остается постоян-
ной величиной. Если при этом тела обладают некоторыми
силами, то сумма произведений масс на квадраты скоростей
в любой момент равна сумме произведений масс на квад-
раты начальных скоростей плюс квадраты тех скоростей,
которые тела приобрели бы в том случае, если бы они,
обладая теми же самыми силами, двигались свободно ка-
ждое по той линии, которую оно описывает. В этих двух
положениях и состоит то, что называют принципом сохра-
нения живых сил.
Насколько мне известно, впервые об этих двух поло-
жениях упоминает Гюйгенс. Применение же их для изящ-
ного и простого решения многих задач динамики впервые
показал Бернулли [8б].
В настоящей главе я собираюсь дать если не общее
доказательство для всевозможных случаев, то по крайней
мере принципы, достаточные для отыскания доказательства
в том или ином частном случае.
187.	Представим себе сначала два тела А и В (фиг. 70)
бесконечно малого объема, прикрепленных к жесткому
стержню АВ. Пусть этим телам сообщаются некоторые
произвольные направления и скорости, изображаемые бес-
конечно малыми линиями АК и BD. По нашему принципу
мы должны построить параллелограммы МС и NL такие,
чтобы соблюдались равенства
LC — AB
и
B-BM — A-AN.
19*
292
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Тогда линии ВС и AL будут скоростями и направлениями
тел А и В. Но
ВС2 = BD2 -2CE-CD — CD2
и
AL2 = АК2 + 2PL • KL — KL2.
Отсюда
B-BC2-yA-AL2 = A-AK2^B-BD2^
+ A (2PL. KL — KL2) — В (2СЕ • CD + CD2).
Так как
CE — PL
и
A-KL = B-CD,
то последнее выражение равно
A*AK2-\-B-BD2 — A-KL2 — B-CD2.
Итак, мы будем иметь
B-BC2-^A-AL2=A-AK2^B-BD2 — A-KL2 — B-CD2.
Следствие I.
188.	В том случае, когда NA и ВМ бесконечно малы,
т. е. если скорости AL и ВС бесконечно мало отличаются
от скоростей АК и BD, имеет место сохранение живых
сил. Действительно, пренебрегая в полученном уравнении
линиями KL и CD, мы получаем
B-BC2^A-AL2 = A-AK2 + B-BD2.
Следствие II.
189.	В том случае, когда NA и ВМ не бесконечно
малы, проведя в противоположном направлении
CF=CD
и
LO — LK,
О СОХРАНЕНИИ ЖИВЫХ СИЛ
293
нетрудно будет доказать, что
BF2 = BD2 — 4CE-CD
и
AO2 = AK2-ir4PL-/<L.
Отсюда
B-BF2^A-AO2 = B(BD2 — 2BM-2CE)-^
^rA(AK2^r2AM-2PL) = B-BD2^A-AK2f
так как
CE=PL
и
A-AN=B-BM.
Следовательно, сохранение живых сил имеет место и
здесь. Но если внимательно рассмотреть этот случай, это
как раз случай удара двух упругих тел (п° 168).
О сохранении живых сил в телах, соединенных
между собою при помощи нитей или жестких стержней.
190.	В предыдущем п° мы видели, что если два
тела укреплены на концах жесткого стержня и если им
обоим сообщаются какие-либо скорости, то сохранение
живых сил будет иметь место лишь в том случае, если
воспринятые телами скорости бесконечно мало отличаются
от тех скоростей, которые им были сообщены. Действи-
тельная начальная скорость того или иного тела может
отличаться от скорости, которая ему по тому или иному
направлению сообщается, на конечную величину. Однако,
когда данные тела начали двигаться каждое по своей кри-
вой, скорость их от одного момента до другого будет
изменяться лишь бесконечно мало *). Таким образом, в
*) Пусть тела А и В, соединенные друг с другом при помо-
щи жесткой линии АВ (фиг. 71), за какой-нибудь элемент времени
описывают малые линии АС и BD, а в следующий элемент вре-
мени вместо того, чтобы описывать
СЕ=СА
и
DF=DB
(как это было бы в том случае, если бы тела были свободными),
294 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ движения
случае, указанном в п° 188, сумма произведений всех масс
на квадраты их скоростей будет равна сумме произведений
всех масс не на квадрат сообщенных им в первый момент
скоростей, а на квадрат действительных начальных скоро-
стей этих масс.
191.	Необходимо теперь доказать в общем случае, что
если тела движутся, будучи соединенными между собою
они будут описывать СИ и DK. Я утверждаю, что линии ЕН и
FTC, представляющие утраченные движения, будут бесконечно
малыми второго порядка.
В самом деле, при всяком положении точек Н и К центр
тяжести g' должен лежать на прямой линии Gg, описываемой им
за первый элемент времени и притом (п° 76) должно быть
g'g = Gg.
Отсюда
g'H=gC= AG.
Но
Eg' —AG,
или (что в данном случае то же самое)
Eg' — g'H
минус бесконечно малая величина второго порядка (п° 91). А так
как
AG=Cg,
то
Eg'-g'H,
а следовательно, и ЕН будет бесконечно малой величиной вто-
рого порядка. Для линии FK доказательство будет такое же.
Отсюда следует, и т. д. (Примечание Безу.)
О СОХРАНЕНИИ ЖИВЫХ СИЛ
295
при помощи нитей или жестких стержней, и если скорость
каждого из них в любой момент изменяется лишь на бес-
конечно малую величину, то сумма произведений масс на
квадраты скоростей будет оставаться величиной постоянной,
если данные тела не обладают никакими силами. Если же
тела обладают силами, то эта сумма будет равна сумме
эффектов движущих сил всех тел [87].
Прежде всего, я замечу, что второй случай непосред-
ственно вытекает из первого. Другими словами, если со-
хранение имеет место в первом случае, то оно необходимо
будет иметь место и во втором случае.
В самом деле, пусть два тела Айа (фиг. 72), соеди-
ненных между собою при помощи стержня Аа, обладают
некоторыми движущими силами, направленными по каким-
нибудь линиям EF и ef, расположенным в каждый момент
каким угодно образом; пусть эти тела за какой-нибудь
элемент времени пройдут, соответственно, пути ВА и ab:
эти линии, поэтому, могут изображать скорости тел. Если
бы тела были свободны, они за следующий элемент вре-
мени прошли бы пути АО и ао, равные и лежащие на
296
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
одной прямой с АВ и ab. Положим, что прямые AD и ad
изображают эффекты движущих сил за этот элемент вре-
мени. Тогда скорости тел изменятся и будут равны AN
и ап. Проведя к линиям АС и ас перпендикуляры ВС и Ьс,
мы будем иметь
AN2 = AB2-\-2*AD-AC
и
ап2 — ab2 -\-2*ad-ac.
Но так как скорости АВ и ab суть действительные ско-
рости, которыми тела обладают в первый момент, и так
как скорости AN и ап от них отличаются бесконечно мало,
то эти самые скорости AN и ап лишь бесконечно мало
отличаются от тех скоростей, которыми тела будут обла-
дать после изменений, вызванных взаимодействием тел.
Обозначив через V и v скорости АВ и аЬ^ через U
и и скорости тел А и а во второй элемент времени, т. е.
скорости, которые они будут иметь вместо AN и ап, мы
получим
А • U2	а • и2 = А • AN2	а • ап2 =
= А (АВ2 -j- 2 ДО • С А) + a (ab2	2а d • са)
= A-V2 + a-v2 + 2A-AD-CA + 2a-ad-ca.
Отсюда
A(U*~ v2)4-a(a2 — v2) = 2A-AD^CAAr2a-ad-ca,
или
2AVdV-{-2av dv = 2A-AD-CA-^a-ad-ca.
Следовательно (принимая в начале движения V = 0 и -у = 0),
мы получим
AV^av^—^A-AD-CA-]- ^2a-ad-ca.
Если бы тела А и а двигались свободно по кривым
GA и ga, то, очевидно, величина
рд.до-сд
О СОХРАНЕНИИ ЖИВЫХ СИЛ
297
f 2a»ad-ca.
выражала бы собою эффект движущей силы тела А от G
до А и точно так же величина
§ 2а-ad-са
выражала бы собою эффект движущей силы тела а от g
до а *). Отсюда следует, и т. д.
Если бы в начале движения мы имели
V=В	и v — Ь,
то, очевидно, мы получили бы
А /2 4- av2 = АВ2 4- ab2 4~ j 2 А • AD • С А
Нетрудно видеть, что настоящее доказательство можно
распространить и на произвольное число тел. В самом
деле, мы исходили здесь лишь из того, что если скорость
от одного момента к другому изменяется лишь бесконечно
мало и если тела не обладают никакими ускоряющими
силами, то сумма произведений масс на квадраты скоро-
стей остается все время постоянной. Это нам и нужно теперь
доказать в общем виде, для чего необходимо предвари-
тельно доказать нижеследующие леммы.
<	*) Если ускоряющая сила в точке А выражается линией AD,
то действие ее по направлению кривой будет равно
AD-AC
АВ ‘
Поэтому если и9 есть скорость тела Л, движущегося свободно по
кривой (7Л, мы будем иметь
AD-AC AD
---тп—• АВ = и9 du,
АВ
откуда
A-AD-AC= Au' du9t
или
2 A.AD-AC = Au'2.
То, что здесь называется эффектом движущей силы, есть про-
изведение массы на квадрат той скорости, которую эта сила может
сообщить. (Примечание Безу.)
298 общий принцип для нахождения движения
Лемма XII.
192. Пусть нам дан произвольный параллелограмм
BVbN (фиг. 73). Я утверждаю, что если из одной из
вершин В этого параллелограмма провести линию BD
любого направления
Фиг. 73.
две силы: ВН и ЬН.
и любой величины и если затем из
точки D провести перпендикуляры
Dnt DK и DG на продолжения
линии Bb, BV и BN, то мы будем
иметь равенство
Bb*Bn = BV*BK-\-BN*BG.
Док азательство.
Проведем из точек N, V и Ь
перпендикуляры NE, VE и ЬН на
продолжение BD. Стороны BV и BN
можно рассматривать как силы, раз-
ложенные каждая на две: BF и VF
и, затем, BE и EN. Точно так же
и диагональ ВЬ можно рассматри-
вать как силу, разложенную на
Так как сила ВЬ эквивалентна силам
BN и BV, то отсюда
BE-\-BF=BH.
Но вследствие подобия треугольников ЬНВ и BDn мы
будем иметь
Bb*Bn = BD*BH=BD>BE-\-BD*BF~
— BN*BG-\-BV*BK.
Что и требовалось доказать *).
*) Это предложение можно доказать из чисто геометриче-
ских начал, не прибегая к помощи механики. Приведенное нами
здесь доказательство показывает, насколько различные отделы
математики взаимно разъясняют друг друга.
О СОХРАНЕНИИ ЖИВЫХ СИЛ
299
Замечание.
193. Нетрудно видеть, что смотря по взаимному рас-
положению точек Е и F и по их положению относительно
точки Н возможно, что вместо суммы произведений BN*BG
и BV*BK придется взять их разность, приравняв ее ВЬ*Вп.
О сохранении живых сил в том случае, когда тела, рас-
сматриваемые как точки, соединены между собою при
помощи нитей.
194. Представим себе, что три тела Л, В и С (фиг. 74)
прикреплены к нити ЛВС, этим телам сообщаются скорости,
Фиг. 74.
Ла, Bf и Сх и что вследствие взаимодействия друг с дру-
гом тела вынуждены изменить эти скорости: пусть их скорости
теперь будут равны ЛА, BD и СС, причем эти последние
скорости должны быть таковы, чтобы выполнялись равенства
AD — AB
DC = BC,
Согласно нашему правилу скорости Ла, BJJ и Сх мы долж-
ны представить как бы составленными из скоростей ЛА,
BD и СС, с одной стороны, и скоростей Ла, ВЬ и Сс,
с другой стороны, причем последние скорости, будучи одни,
оставляют тела в равновесии. Нужно доказать, что
Л-ЛА2 + В.В£>2 + ССС2 = Л.Ла2 + В-В^2 + С-С^;
300
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
другими словами, что
A-Aa-AQ — B-BN-BG-^B-BV-BK—C-Cc-CM=0*).
Но
СМ=ВК
и
C-Cc — B-BV
вследствие равновесия. Точно так же
AQ — BG
и
A-Aa = B-BN.
Отсюда следует, и т. д.
Если вместо тела А взять неподвижную точку Л, во-
круг которой могут вращаться тела В и С, то мы будем
иметь
AQ — 0 и BG = 0
и предположение будет также справедливо. Из существа
доказательства с очевидностью вытекает, что оно может
быть обобщено для произвольного числа тел.
Если точка В не закреплена на своем месте, а может
свободно скользить вдоль нити, то линия ВЬ будет делить
угол. АВС пополам и мы будем иметь
А-Аа = В-ВМ,
В-ВУ=С-Сс,
B-BN = B-BV
и, наконец,
AQ — BG = BK — CM
в силу того, что
+ = +
*) Это уравнение выводится из предыдущего, если вместо
ЛА2, BD2 и т. д. подставить их значения, полученные на основа-
нии известных свойств квадратов сторон треугольника, и если
при этом принять во внимание сказанное в предыдущем п° 193.
Бесконечно малыми величинами второго порядка нужно при этом
пренебречь. (Примечание Безу.)
О СОХРАНЕНИИ ЖИВЫХ СИЛ
301
Отсюда
A-Aa-AQ — В-ВН-ВС^В-ВУ-ВК—С-Сс-СМ=0.
Итак, достаточно ясно видно, что сохранение живых сил
имеет место во всех возможных случаях, когда тела рас-
сматриваются как точки и когда Они соединены между
собой при помощи нитей.
Лемма XIII.
195. Пусть три тела А, В и С обладают некото-
рыми силами AQ, BR и Сс (фиг. 75) и находятся в рав-
новесии на каком-либо рычаге произвольной формы. Пусть
АВ и ВС будут расстояния этих тел друг от друга.
Представим себе рычаг в некотором другом положении,
бесконечно близком к первому, и пусть точки F, G и В
будут тогда положениями тел А, В и С, так что
FG = AB	и GE—BC.
Я утверждаю, что если провести перпендикуляры GK,
FX и EZ, мы будем иметь
В< BR-ВК— A* AQ* АХ -\-С *Cc'CZ.
Доказательство.
Поскольку рычаг АВС не прямолинейный, настоящее
предложение можно доказывать точно так же, как будто
АВС была нитью, потому что каждая сила может быть
302 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
всегда заменена двумя силами, направления которых про*
ходят через точки приложения двух других сил, и таким
образом мы получим шесть сил попарно равных и прямо
противоположных (см. п°п° 192, 193 и 194).
Подобное разложение не может быть произведено
только в одном случае, а именно, когда рычаг АВС пря-
молинейный (фиг. 76). Для этого случая необходимо найти
особое доказательство.
Пусть HQ, BR и Сс перпендикулярны к рычагу АВС.
Тогда мы будем иметь
B-BR-BO^C-Cc-CL-yA-AQ-AY*}.
Но линии ВО и ВК. CL и CZ, А У и АХ отличаются друг
от друга соответственно лишь на величину, бесконечно
малую по сравнению с самими этими величинами. Следо-
вательно,
B-BR-BK=C-Cc-CZ-YA-AQ-AX.
Отсюда следует, и т. д.
Что и требовалось доказать.
*) Вследствие известного свойства моментов нескольких сил,
находящихся в равновесии. (Примечание Безу.)
О СОХРАНЕНИИ ЖИВЫХ СИЛ
303
Замечание.
196. Если рычаг АВС (фиг. 77) закреплен в какой-
нибудь точке, например, в точке Г, и если мы предста-
вим себе рычаг в некотором другом положении FTGE, то
предложение будет также справедливо. Доказывается оно
тогда аналогичным образом.
О сохранении живых сил, когда тела соединены между
собой при помощи жестких стержней и когда эти тела
рассматриваются как точки.
197.	С помощью предыдущей леммы можно, очевидно,
доказать сохранение живых сил, когда тела соединены
между собой при помощи жестких стержней и когда все
тела закреплены на этих стержнях*).
Если одно из тел, скажем В (фиг. 75), может сколь-
зить вдоль стержня, тогда утраченная им скорость BR
будет перпендикулярна к стержню и в следующий момент
оно окажется не в точке G, — такой, что
FG = XB,
а в бесконечно близкой к ней точке g**). Вследствие того,
*) Для этого нужно только линии AQ и AF, BR и BG,
Сс и СЕ (фиг. 75) рассматривать в качестве уничтоженных и остаю-
щихся скоростей тел А, В и С и затем в точности следовать
пути, указанному в п° 195. (Примечание Безу.)
**) Здесь мы принимаем, что рычаг АВС, а также и FGE
представляет собой некоторую кривую, a BR—перпендикуляр
к этой кривой в точке В. Нам казалось ненужным давать для
этого случая особый чертеж.
304
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
что точки В и G бесконечно близки одна к другой и
вследствие того, что линии Gg и ВА следует считать парал-
лельными, линию Gg нужно рассматривать как бы перпен-
дикулярной к линии ВК и, следовательно, линии Bk и ВК
можно заменять одну другой: разность между ними есть
величина бесконечно малая второго порядка.
Итак, сохранение живых сил имеет место и в этом
Случае.
О сохранении живых сил в случае, когда тела
обладают конечными массами и когда они соединены
нитями или жесткими стержнями.
198.	В лемме XIII мы видели, что если три тела Л, В
и С, обладающие силами AQ, BR и Сс произвольного на-
правления, находятся в равновесии, то мы будем иметь
С*Cc-CZ-\-A-AQ'AX — B*BR*BK.
Отсюда следует, что если Вг равно и противоположно BR
(фиг. 75), другими словами, если найти равнодействую-
щую двух сил С-Сс и A'AQ, то выражение
C-Cc-CZ-YA-AQ-AX
всегда можно привести к единственному произведению
В*ВГ'ВК. И каково бы -ни было число тел, прикреплен-
ных к жесткому стержню, всегда можно взять точку В,
через которую проходит равнодействующая сила, предста-
вить эту точку перенесенной в G и вместо суммы всех
этих произведений всегда можно взять произведение ВК
на эту равнодействующую силу.
Но для того, чтобы имело место сохранение живых
сил, необходимо, как мы видели, чтобы сумма этих произ-
ведений равнялась нулю. А для этого необходимо: или
чтобы равнодействующая сила равнялась нулю, или чтобы
линия ВК равнялась нулю. Если неподвижной точки нет,
то должна быть равна нулю равнодействующая сила. Если
же неподвижная точка имеется, то скорость точки В должна
о сохранений живых сил	805
быть равна нулю или, по крайней мере, направление точки
В должно быть непременно перпендикулярно к направлению
равнодействующей силы.
В самом деле, если препятствием является математическая
точка,— скажем, точка опоры у рычага,— то либо направление
равнодействующей силы будет проходить через эту точку
опоры и движение точки В будет вращательным движе-
нием вокруг нее, либо сама точка В будет как раз точкой
опоры и движение ее будет равно нулю. Если препят-
ствием служит неподвижная поверхность, то точка В, через
которую проходит направление равнодействующей силы,
будет непременно лежать на этой поверхности и направле-
ние ее движения в данный момент будет совпадать с на-
правлением самой этой поверхности, в то время как на-
правление равнодействующей силы будет перпендикулярно
к поверхности.
Итак, вообще можно сказать, что когда имеется не-
подвижная точка, тогда
Таким образом, доказано, что когда тела соединены
друг с другом при помощи жестких рычагов, закреплен-
ных или незакрепленных, сохранение живых сил имеет
место.
199.	Если тела соединены между собой при помощи
нитей, то нужно представить на концах каждой части нити
между двумя телами две равные и противоположные силы,
которые должны тянуть в направлении нити, и тогда дока-
зательство нетрудно вывести из сказанного выше (п° 194),
когда тела рассматривались как точки.
20(h Если нить проходит через одно или несколько
тел, так что эти тела могут свободно скользить вдоль
нее, то ввиду того, что направление равнодействующей
силы, соответствующей потерянным движениям, в каждый
момент проходит через точки О пересечения линий CS и
AR (фиг. 78) и делит соответствующий угол пополам
(п° 153), мы должны вместо этой равнодействующей силы
вообразить две равные силы, которые должны тянуть по
направлению Вй и RG> т. е. по-направлению нитей. CS
20 Ж Даламбер
308 ОВЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЁНЙЙ
и AR. Далее, если принять,
путями точек S и /?, и если
что линии SV и RN являютсй
провести перпендикуляры VD
и 2VP, то в силу того, что сумма
AR-]-SC
является постоянной, мы будем иметь
SD — RP.
Пользуясь двумя последними замечаниями, нетрудно
дать доказательство сохранения живых сил во всех случаях.
О сохранении живых сил в случае удара упругих тел.
201. Сохранение живых сил в случае соударения упру-
гих тел можно доказать, рассматривая эти упругие тела
как абсолютно твердые тела и принимая вместе с тем,
что как сжатие, так и восстановление пружины совершается
мгновенно. В п° 189 мы уже дали набросок такого
доказательства. Однако нами было замечено (п° 176 и сл.),
что это допущение может привести к ложным выводам
относительно законов соударения упругих тел. Поэтому
здесь мы. не будем прибегать к этому допущению и будем
доказывать данное предложение, предполагая, что между
телами помещена пружина, сообщающая обоим телам равные
и противоположные движущие силы.
. 202. Пусть А и В (фиг. 79) будут две точки, соеди-
ненные какой-либо пружиной ЛВ, и пусть эти точки, по-
лучив какие-то произвольные импульсы АО и BF, за время
О СОХРАНЕНИИ ЖИВЫХ СИЛ
807
сжатия и восстановления пружины опйшут кривые Ата и
ВМЪ. Пусть будет переменная движущая сила, в любой
момент одинаковая для обоих тел и толкающая их в про-
тивоположные стороны по направлению пружины Мт, Пусть,
наконец, V будет скорость точки М, и — скорость точки
т, О — скорость точки В и скорость точки А. Линию
MV обозначим через dz, а линию та через dx. Тогда мы
будем иметь
В- V2 = BG2 — 2 §(pdz
и
А>и2 = Ag2 2 J у dx.
Но когда
ab — АВ,
тогда
2 § ydx— 2 j ydz — 0,
так как
dx — dz
есть величина сжатия или расширения пружины за данный
элемент времени и при
аЬ = АВ
пружина приходит в прежнее свое состояние. Отсюда
по окончании сжатия мы будем иметь
2Q*
808 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ движения
Очевидно» данное доказательство может быть распро-
странено на случай любого числа точек, соединенных
произвольным образом.
Итак, для точек, соединенных между собой при помощи
пружин, сохранение живых сил, как мы видим, имеет место.
В том случае, когда данные тела имеют конечные размеры,
для доказательства сохранения живых сил достаточно до-
казать, что сохранение имеет место в точке, через которую
проходит направление равнодействующей сил, уравновеши-
. q вающихся друг с другом (п° 198). Такой точкой
в том и другом теле будет точка соприкоснове-
ния обоих тел: эта точка, как мы предполагаем,
за время сжатия и восстановления остается неиз-
менной, а' самое сжатие и восстановление, со-
гласно нашему допущению, заканчиваются в тече-
ние весьма короткого промежутка времени. Мы
должны вообразить, что как раз через эти точки
и проходит пружина, сообщающая им в каждый
момент равные и противоположные движущие силы,
jQ 4 распределяющиеся затем на всю массу тела. Таким
образом, настоящий случай приводится к преды-
дущему.
Фиг 80	203. Если тела Ан В (фиг. 80) соударяются
друг с другом посредством некоторого стержня
СВ А, имеющего в С неподвижную точку, то движущие
силы, приложенные в точках А и В, будут не одинаковы,
будучи обратно пропорциональными плечам СА и СВ,
И так как пути точек В и Л за равные промежутки
времени прямо пропорциональны этим плечам рычага, то
произведения движущих сил на пути точек А и В будут
одинаковы в обеих точках.
Таким образом, и здесь сохранение живых сил можно
доказать либо методом п° 189, предполагая тела несжи-
гаемыми, лйбо воображая одну бесконечно малую пружину
в точке А и другую в точке В. Для толковых читателей
нет нужды разъяснять это подробнее.
гИтак, сохранение живых сил имеет место и в данном
случае. Комбинируя изложенные принципы, мы всегда мо-
Шм доказать его в случае удара упругих тел.
О СОХРАНЕНИИ ЖИВЫХ СИЛ
809
Общее примечание.
204.	Из всего сказанного до сих пор следует, что
сохранение живых сил вообще вытекает из того принципа,
согласно которому при равновесии сил скорости их точек
приложения, измеряемые по направлению соответствующих
сил, обратно пропорциональны самим силам. Этот принцип
давно уже признан геометрами в качестве основного прин-
ципа равновесия. Никто, однако, насколько мне известно,
не доказал этого принципа в общем виде и не показал,
что из него в качестве необходимого следствия вытекает
принцип сохранения живых сил.
Только что упомянутый принцип равновесия легко мо-
жет быть доказан. В самом деле, могут быть три случая:
или силы равны и противоположны, или они приложены
к различным плечам рычага, или, наконец, равнодействую-
щая этих сил проходит через какое-нибудь неподвижное
и непреодолимое препятствие, как это мы видели в зада-
че X. Уже сказанного выше, мне кажется, достаточно для
того, чтобы доказать наш принцип для первого и второго
случая. Что касается последнего случая, то, очевидно,
составляющие силы в направлении, перпендикулярном к
равнодействующей силе, будут равны между собой, ско-
рости же, взятые в одну сторону, будут также равны.
Отсюда нетрудно вывести доказательство для того или
иного частного случая. Например, для случая задачи X
доказательство легко получается.
Если ускоряющей силой тел служит сила тяжести g и
если х, z и т. д. суть вертикальные абсциссы описываемых
телами кривых, то мы будем иметь (п° 191)
AV2-\-av2 и т. д. =*2Agx-\~2agz и т. д.,
если предположить, как и в доказательстве, приведенном
в п° 191, что тела выходят из состояния покоя. Если же
тела начинают движение с начальными скоростями В и Ь9
то мы будем иметь
дуз-j-av3 и т. д. ^AB2-^ab2-[-2Agx-^2agz а т. д.
310
ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Следует заметить,, что если z отрицательно по отношению
к х, т. е. если тело а поднимается, в то время как тело
А опускается, мы должны взять 2agz.
Например, если два равных тела прикреплены к рычагу,
плечи которого суть с и е, и если тело, действующее при
помощи более длинного плеча с рычага, увлекает другое
тело, заставляя его двигаться снизу вверх, то мы будем
иметь
или AV2-{-^^-=*
= 2gAx —2gAz=2gAx —	.
Отсюда
L/9 2jgx(ca--ce)
Это же уравнение нетрудно получить и иначе, поль-
зуясь или нашим принципом, или другими.
Далее, нетрудно видеть, что величина
'	2Agx-[-2agz и т. д.
всегда будет равна произведению суммы весов на удвоен-
ное опускание центра тяжести. В самом деле, опускание
центра тяжести, как это нетрудно доказать методами ста-
тики, равно
Agx + agz и т. д.
Ag+ag и т. д. ’
Таким образом, в том случае, когда тела обладают
весом, сумма живых сил в каждый момент равна сумме
начальных живых сил плюс живая сила груза, равного
сумме всех данных грузов и свободно опустившегося с
высоты, равной той высоте, с которой опустился центр
тяжести.
О сохранении живых сил в жидкостях.
205.	Пусть мы имеем какой-нибудь сосуд произвольной
и неопределенной формы POTQ (фиг. 81). Часть этого
сосуда ADCZ, ограниченная параллелями AD и CZ, на-
полнена жидкостью. Вообразим, что эта жидкость разделена
w & СОХРАНЕНИЙ ЖИВЫХ сил в жидкостях 311
на слои FKQ, параллельные AD, и пусть все точки ка-
ждого слоя обладают некоторой ускоряющей силой, изобра-
женной соответствующей ординатой kf кривой dfb (при
этом ординаты ad будут представлять положительные уско-
ряющие силы, т. е. те силы, которые направлены от L к В,
а ординаты kf—те ускоряющие силы, которые имеют
противоположное направление). Я утверждаю, что если
жидкость в данном состоянии находится в равновесии, то
площадь adnmobc будет равна нулю: это значит, что сумма
положительных площадей будет равна сумме отрицательных
площадей.
В самом деле, для равновесия необходимо, чтобы любой
слой FKG испытывал одинаковое давление как снизу
вверх, так и сверху вниз. Но давление на слой FKQ по
направлению LB будет такое же, как будто бы этот слой
был нагружен цилиндром EHFG. Если обозначить LK через
х, а ускоряющую силу каждого слоя через <р, то вес этого
цилиндра будет равен
FG • f у dx или FG • [adin — nfk)t
и
Точно так же можно доказать, что давление на FG по на-
812 общий принцип для нахождения Двцжбни^
правлению BR будет равно
FG (kfm — mog gcb).
Вследствие того, что оба эти давления должны быть равны,
мы будем иметь
adin — nfk = kfm — mog 4- gcb.
или
adin — nfkm -|- mog — gcb=0.
Отсюда следует, и т. д. Что и требовалось доказать.
Следствие I.
206.	Если, считая время постоянным, вместо ускоряю-
щей силы <р подставить пропорциональную ей малую ско-
рость du, т. е. малую скорость, с которой данный слой,
взятый изолированно, стал бы опускаться в течение эле-
мента времени, то мы получим
j dudx^Q.
Следовательно, если жидкость движется по направлению
к АВ и если du изображает потерянную или приобретен-
ную данным слоем скорость, т. е. ту скорость, обладая
которой данный слой уравновешивался бы другими слоями
(п° 60), то мы будем иметь
j dudxt=G.
Следствие II.
207.	Выше нами было показано (п° 191), что сохранение
живых, сил в том случае, когда тела обладают весом или
какой-либо иной ускоряющей силой, вытекает из сохране-
ния живых сил при отсутствии ускоряющих сил. Поэтому
нам достаточно доказать, что сохранение живых сил имеет
место в том случае, когда жидкость ADCZ, приведенная
вначале в движение какой-нибудь причиной (скажем, порш-
нем), движется в сосуде POTQ при мысленном отсутствии
тяжести.
О СОХРАНЕНИИ живых сил в жидкостях
313
Для этого мы вообразим жидкость, разделенную на
равные бесконечно малые слои массы т, толщины dx и
ширины у. Тогда мы будем иметь
m—ydx.
Обозначим через и скорость данного слоя, а через
u-\-du скорость его в следующий момент. Тогда, согласно
нашему принципу, если бы слои обладали скоростями du,
они находились бы в равновесии, т. е., согласно предыду-
щему следствию, имело бы место равенство
\dudx — 0.
•j
Но для того, чтобы доказать сохранение живых сил, необ-
ходимо доказать, что
mudu = 0*).
j
Так как скорость каждого слоя обратно пропорцио-
нальна ширине слоя, мы имеем
С другой стороны,
т =у dx.
*) Если
f miidu — O
и если мы через и' обозначим скорость данного слоя в следую-
щий элемент времени, то (принимая ydx, или т, постоянным,
на что мы имеем право) мы будем иметь
С ти’2— ти2~
J 2
в силу того, что
та’2 — та2
----2-----" ml1 da-
Следовательно,
ти’2 = у ти2.
(Примечание Безу.)
21 Ж. Даламбер
314 ОБЩИЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Следовательно,
j mu du — [du dx = 0.
Отсюда следует, и т. д.
Указание.
Дациил Бернулли в своем превосходном сочинении под
названием «Hydrodynamica и т. д.» выводит законы движения
жидкости в сосудах из принципа сохранения живых сил,
не доказывая этого последнего. Так как наш общий прин-
цип, изложенный в п° 60, привел нас к доказательству
сохранения живых сил, мы могли бы, очевидно, непосред-
ственно из нашего принципа вывести законы движения
жидкрсти, причем это был бы способ гораздо более ясный
и прямой. Однако, поскольку в нашу задачу не входит
здесь заниматься жидкостями, мы ограничиваемся тем, что
показали в двух словах применение нашего принципа в этой
области,— области, которая до сих пор казалась столь
трудной.
Слегка наметив здесь эти применения, мы этим и огра-
ничимся, отсылая интересующихся подробностями к нашему
сочинению «О равновесии и движении жидкостей», Там мы,
пользуясь нашим общим принципом, получили решение
ряда труднейших задач, какие когда-либо предлагались из
данной области.
Конец.

ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ.
р] (к стр. 11). Даламбер (Jean Le Rond d’Alembert) родился
в 1717 г. как внебрачный сын генерала Детуш и канониссы Танеев,
и был подброшен матерью около одной из парижских церквей.
Воспитывался в бедной семье ремесленника, с которой и связался
на всю жизнь. Мать всячески избегала потом встречаться с сы-
ном, боясь скандала, тогда как отец, узнав о его судьбе, заве-
щал ему ежегодное содержание в 1200 франков. Вскоре отец
умер, поручив заботу о мальчике своим родителям. По их про-
текции Даламбер двенадцати лет от роду поступил в привилеги-
рованный коллеж имени Мазарини (так называемый «коллеж
четырех наций»). Коллеж находился в руках янсенистов, со-
перничавших с иезуитами в деле уловления душ молодых лю-
дей. В коллеже Даламбер пробыл пять лет, получив там свою
фамилию.
Математика в коллеже была не в почете, тем не менее тогда
же Даламбер полюбил эту науку. Воспитатели Даламбера прель-
щали его то адвокатской, то врачебной деятельностью, которая
была несравненно доходнее, чем научная карьера математика.
Некоторое время по выходе из коллежа Даламбер вынужден был
заниматься мало приятными для него дисциплинами: в 1738 г.
он получил звание адвоката, и на этом поприще ему, как пре-
восходному оратору, сулили блестящую будущность. Даламбера,
однако, интересует другое, и он бросает юридические науки.
Тогда его воспитатели пытаются всячески повлиять на него и
заставить заняться медициной. Они добиваются того, что Далам-
бер выбрасывает все свои математические книги и дает обеща-
ние впредь не читать ни одной из них. Но вскоре он нарушает
свое обещание с тем, чтобы окончательно забросить и медицину.
В математике, таким образом, Даламбер был в полном смысле
самоучкой, занимаясь ею, главным образом, в публичной библио-
теке. В своей автобиографии он отмечает, что за эти годы он
испытал немало горечи разочарования от того, что делал много
таких открытий в математике, которые уже давно были сделаны
другими.
Тем не менее занятия математикой идут настолько успешно,
что Даламбер публикует ряд работ по математике и уже в 1742 г.
21*
316
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ
в возрасте 25 лет, добивается избрания в Парижскую академию
наук в качестве «адъюнкта» (adjoint)*), перед этим дважды по-
терпев неудачу.
В том же 1742 г. Даламбер представил в Академию мемуар,
положенный им в основу своего знаменитого сочинения «Дина-
мика» («Traite de dynamique»). Это произведение, вышедшее в
свет в 1743 г., послужило поворотным пунктом в развитии меха-
ники: здесь излагался известный «принцип Даламбера» как уни-
версальный прием решения задач динамики системы со связями.
В трактате Даламбер показывает на ряде трудных примеров при-
менение своего принципа, и то же самое он делает в своих позд-
нейших работах по механике.
В 1744 г. Даламбер опубликовал книгу: «О равновесии и дви-
жении жидкостей» («Traite de 1’equilibre et du mouvement des
fluides»), где гидродинамика получила дальнейшее свое развитие
после исторического труда Д. Бернулли «Hydrodynamica» (1738).
Однако широкую известность Даламбер получил только
благодаря своей книге о причине ветров — «Reflexions sur la
cause generale des vents» (1747). Здесь он показал, как интегри-
руются дифференциальные уравнения в частных производных, и
его можно считать основоположником теории этих уравнений.
В 1746—1748 гг. Даламбер обогащает рядом методов интег-
ральное исчисление (соответствующие мемуары печатались им
в записках Берлинской академии наук).
В 1747 г. в 'записках Берлинской академии наук Даламбер
печатает свой мемуар о колебании струны, вызвавший затем боль-
шую дискуссию **).
В 1749 г. Даламбер опубликовал отдельной книгой свои ис-
следования о предварении равноденствий, привлекшие к себе боль-
шое внимание научной общественности («Recherches sur lapre-
cession des equinoxes et sur la nutation de Гахе de la terre»).
В 1752 г. выходит книга, посвященная вопросу о сопротив-
лении жидкостей («Essai d’une nouvelle theorie sur la resistance
des fluides»).
В 1754 и 1756 гг. выходят его труды по небесной механике
(«Recherches sur les differents points importants du systdme du
monde»), где получает развитие теория возмущения планет и тео-
рия формы Земли как неоднородного тела.
Материальное положение Даламбера, однако, продолжало оста-
ваться необеспеченным. В 1752 г. прусский король Фридрих II
предложил Даламберу место в своей академии наук. Но Даламбер
не желал покидать родную страну и, не смущаясь неизбежными
*) Полноправные члены академии назывались pensionnaires.
Рангом ниже работники академии назывались associes и еще
ниже adjoints. Денежное вознаграждение получали только реп-
sionnaires.
♦*) См. ниже наше примечание.
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ
317
гонениями и репрессиями, уже заключил союз с материалистом
Дидро с целью издания знаменитой 33-томной «Энциклопедии»*),
этого тарана, направленного против феодального гнета, давившего
французский народ.
В 1751 г.выщел первый том «Энциклопедии», в котором напе-
чатано знаменитое предисловие, принадлежащее перу Даламбера.
Это, в сущности, самостоятельное произведение, излагающее
философское кредо Даламбера**). Помимо математических и
физико-математических статей Даламберу принадлежит огромное
количество статей по самым различным вопросам (философия,
история, литература) в первых томах «Энциклопедии». Этими
статьями Даламбер приобрел весьма широкую известность, но
они же создали ему и массу врагов из среды реакционеров.
Даламбер приобрел кличку вольнодумца, друга преследуемых
Дидро и Вольтера. В силу этого он, конечно, не мог рассчитывать
на расположение французского правительства.
Все же в 1754 г. Даламбер, опять-таки после трех провалов,
был избран членом Французской академии***).
Первое денежное вознаграждение Даламбер получил лишь в
1754 г., и оно шло от прусского короля под названием pension
в сумме 1200 ливров (около 430 рублей золотом) в год. Лишь
два года спустя расщедрилось и правительство Людовика XV
и назначило Даламберу такую же плату в 1200 ливров в год.
В том же (1756) году Парижская академия наук со своей стороны
назначила ему плату сверх штатов («pension surnumeraire»).
В 1758 г. вышло второе, расширенное, издание «Динамики».
В том же году вышел седьмой том «Энциклопедии», и внимание
сикофантов было привлечено статьей Даламбера «Женева» («Ge-
neve»). Реакционеры, и в особенности духовенство, были в высшей
степени раздражены утверждением Даламбера, что духовен-
ство Женевы принадлежит к деизму и социнианству. Против
Даламбера и против «Энциклопедии» вообще усилились нападки
со стороны реакционных кругов, и Даламбер вышел из редакции,
оставаясь в то же время сотрудником и другом Дидро.
В 1759 г. Даламбер выпустил в свет сочинение методологи-
ческого характера «Начала философии» («Elements de philosophic»).
*) Полное название: «Энциклопедия, или толковый словарь
наук, искусств и ремесл» («Encyclop6die, ou dictionnaire raisonne
des sciences, des arts et des metiers»).
♦♦) Это произведение Даламбера переведено на русский язык
в сборнике «Родоначальники позитивизма» под заглавием «Очерк
происхождения и развития наук» (Издание «Брокгауз-Ефрон», СПБ,
1910, вып. I, стр. 95—169).
***) Не нужно смешивать Французскую академию с Парижской
академией наук: предметом деятельности первой служили лите-
ратура и язык, а предметом деятельности второй — математика
и естествознание.
318
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ
Живя все еще в условиях материальной необеспеченности и
непрекращающихся нападок и уколов со стороны реакционных
кругов, Даламбер в 1762 г. получил весьма выгодное предло-
жение от русской царицы Екатерины II занять должность воспи-
тателя русского наследника. Через год прусский король Фридрих II,
соревнуясь в меценатстве с русской царицей, предложил Даламберу
должность президента Прусской академии наук. Однако Далам-
бер неизменно отклонял все эти предложения, не желая уезжать
из пределов своей страны, являя тем самым пример демократи-
ческого патриотизма.
Дальнейшие математические исследования свои Даламбер вы-
пускал в свет в виде сборников «Opuscules mathematiques» (пер-
вый том вышел в 1761 г., последний, восьмой, том — в 1780 г.).
В 1765 г., после смерти Клеро, Парижская академия наук
утвердила, наконец, Даламбера полноправным академиком, назна-
чив ему pension Клеро. Но и теперь правительство долгое время
пе утверждало этого решения Академии, пока, наконец, оно не
было вынуждено уступить давлению научной общественности.
В 1772 г. Даламбер был избран секретарем Французской ака-
демии. Здесь он занялся исторической работой и написал био-
графии (eloges) всех академиков, умерших за время с 1700 до 1772 г.
В 1779 г. вышла р свет книга Даламбера «Основы теории и
практики музыки» («Elements de musique theorique et pratique»).
Заслуживает быть отмеченным следующий факт: Даламбер
был настолько известен как философ, что после смерти Вольтера
(1778) он стал первым философом в Академии.
Умер Даламбер в 1783 г., за шесть лет до взрыва рево-
люции во Франции.
Даламбер был первым подлинно французским математиком.
Все свои произведения он писал на французском языке, и он не
переставал думать о благе французской нации.
Первое издание «Динамики» Даламбера вышло в 1743 г.,
второе, значительно дополненное, — в 1758 г. и третье, уже после
смерти Даламбера, в 1796 г. Последнее издание является пере-
печаткой со второго. С этого третьего издания и делался насто-
ящий перевод. (Заметим, кстати, что немецкий перевод из серии
«Ostwald’s Klassiker» сделан с гораздо менее полного, первого,
издания.)
При переводе мы больше всего стремились сохранить в не-
прикосновенности научный метод Даламбера, те понятия, которыми
он оперирует. Там, где терминология Даламбера может быть не-
понятна для современного читателя, мы, сохраняя эту терминоло-
гию в тексте, поясняли ее в примечаниях.
Как правило, мы стремились сохранить не только термино-
логию подлинника, но и его обозначения и символику. Для при-
мера укажем на следующие особенности символики Даламбера.
Когда у Даламбера производная множится на какой-нибудь
одночлен, то Даламбер записывает символ производной так, как
будто это было отношение дифференциалов. Например, выражение
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ
319
dy „	.	xdy ~	.
х -г- Даламбер записал бы так:	Это объясняется тем,
dx	dx
что Даламбер, действительно, смотрел на то, что мы сейчас на-
зываем производной, как на отношение двух дифференциалов.
Мы всюду сохранили обозначения Даламбера.
Даламбер не употребляет совсем слова «отрезок», говоря
всюду вместо него «линия». И здесь мы употребляли терминологию
Даламбера за исключением тех случаев, когда это может привести
к явным недоразумениям.
Даламбер при цитировании журналов весьма неточно ука-
зывает их названия, переводя их, к тому же, на французский язык.
Мы всюду восстанавливали подлинное название журнала, хотя
бы и в сокращенном виде.
Формулы всюду нами выведены в отдельную строку, чего
нет у Даламбера, как и у других авторов его времени.
Другие отступления нами оговариваются в примечаниях.
Опечатки мы исправляли без оговорок.
Все примечания Безу (Bezout, 1730—1783), о которых упо-
минает в предисловии автор, нами включены в настоящее издание
и сопровождены соответствующей оговоркой.
[2]	(к стр. 11). Различие между необходимыми и случайными
истинами ведет свое начало от Лейбница. Последний под необ-
ходимыми истинами понимал рациональные истины, стоящие выше
опыта, независимые от опыта. Случайные истины, по Лейбницу,
суть истины фактические, зависимые от опыта. Первые истины
априорны, вторые апостериорны. Первые истины содержит мате-
матика, вторые — физика.
[3]	(к стр. 12). Сочинение о предварении равноденствий имеет
заглавие: «Исследования о предварении равноденствий и о нутации
земной оси в ньютоновой системе» («Recherches sur la preCession
des Equinoxes et sur la nutation de I’axe de la terre dans le
systerne newtonien», Paris, 1749). Указываемые здесь добавления
вошли потом в сборник статей Даламбера, посвященных различным
вопросам математики, механики, оптики, астрономии и т. д. («Opus-
cules math£matiques, ou memoires sur differents sujets de geometrie,
de mechanique, d’optique, d’astronomie etc. Paris, 1761—1780),
всего вышло восемь томов. Вопросу о движении тела, вращаю-
щегося вокруг подвижной оси, посвящены следующие статьи:
«О движении тела произвольной формы под действием произ-
вольных сил» («Du mouvement d’un corps de figure quelconque,
anime par des forces quelconques», t. 1, 1761, p. 74—103), «Ис-
следования по вопросу об осях вращения тела произвольной
формы без ускоряющей силы» («Recherches sur les axes de rotation
d’un corps de figure quelconque, qui n’est anime par aucune force
acceleratrice», t. IV, 1768, p. 1—31), «О движении тела произвольной
формы» ’(«Du mouvement d’un corps de figure qelconque», ibid.,
p. 32—60), «Замечания по поводу одной особенной трудности,
встречающейся при решении задачи о предварении равнодействий
и некоторые другие соображения по поводу этой задачи» («Remar-
820	ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ
ques sur une difficult^ singuliSre qui se rencontre dans la solu-
tion du ргоЫёте de la prdcession des equinoxes avec quelques
autres reflexions sur ce probleme», 1.1, 1768, p. 251—293) и «О вра-
щении тела произвольной формы» («Sur la rotation d’un corps de
figure quelconque», t. VII. 1780, p. 372—377).
[4]	(к стр. 12)* Речь идет о сочинении Даламбера «Опыт новой
теории сопротивления жидкостей» («Essai d’une nouvelle theorie
de la rSsistance des fluides»), вышедшем отдельной книгой. В ос-
нове этого сочинения лежит принцип самого Даламбера, изложен-
ный им в «Динамике». Глава VIII указанного сочинения посвящена
вопросу о движении жидкостей в сосуде, а глава IX — вопросу
о течении рек. Указываемые здесь добавления вошли потом в сбор-
ник «Opuscules mathematiques», указанный в предыдущем при-
мечании. Там мы находим следующие статьи: «Замечания по
поводу законов движения жидкостей» («Remarques sur les loix
du mouvement des fluides», t. I, 1761, p. 137—168), «О равновесии
жидкостей» («Sur I’equilibre des fluides», t. V, I-re partie 1768,
p. 1—40), «Новые соображения по поводу законов движения
жидкостей» («Nouvelles reflexions sur les loix du mouvement des
fluides», ibid., p. 41—68), «Новый, строгий и прямой, метод опре-
деления движения жидкостей в сосудах» («Methode nouvelle,
rlgoureuse et direct pour determiner le mouvement des fluides
dans les vases», t. VI, 1773, p. 379—390), «Новые соображения
по поводу равновесия жидкостей» («Nouvelle reflexions sur les loix
de I’equilibre des fluides», t. VIII, 1780, p. 1—35) и «Новые исследо-
вания по вопросу о движении жидкостей в сосудах» («Nouvelles re-
cherches surle mouvement des fluides dans les vases», ibid.,p. 52—230).
Во введении к книге о сопротивлении жидкостей Даламбер
борется с самомнением* тех математиков, которые воображают,
что по вопросу о механике жидкостей можно ограничиться одними
математическими выводами. Заканчивается введение такими сло-
вами: «Не нужно думать, что словечки вроде «Теорема» или
«Короллярий» («Следствие».1—В. Е.) обладают какой-то таинственной
доказательной силой и что, заканчивая какое-либо предложение
словами «Что и требовалось доказать», мы делаем доказанным то,
что таковым не является».
р] (к стр. 12). Указанная статья под заглавием «Исследова-
ния по вопросу о колебаниях произвольного тела, плавающего
в жидкости» («Recherches sur les oscillations d’un corps quelcon-
que qui flotte sur un fluide») помещена в т. I «Opuscules math6-
matiques», p. 104—136. Статья представляет собой развитие книги
о сопротивлении жидкостей.
р] (к стр. 13). В 1749 г. в журнале Берлинской академии
наук Даламбер напечатал статью «Исследования по вопросу о кри-
вой, которую образует натянутая струна, приведенная в колебание»
(«Recherches sur la courbe que forme une corde tendue, mise en
vibration») (Histoire de TAcademie Royale des Sciences et belles
lettres, t. Ill, 1747, Berlin, 1749', p. 214—220), и вторую статью, под
заглавием «Продолжение исследований по вопросу о кривой, кото-
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ
321
рую образует натянутая струна, приведенная в колебание» («Suite
des recherches sur la courbe que forme une corde tendue, raise en
vibration», ibid., p. 220—249). Через год в том же журнале появи-
лась статья Эйлера под заглавием «О колебании струн, перевод
с латинского» («Sur la vibration des cordes, traduit du lathi»,
«Histoirede l’Acad6mie», t. IV, аппёе 1748, Berlin, 1750, p. 69—85).
Даламбер выступил с возражениями Эйлеру в статье «Добавление
к мемуару о кривой, которую образует натянутая струна, при-
веденная в колебание» («Addition au memoire sur la courbe que
forme une corde tendue, raise en vibration» «Histoire de 1’Acade-
mie», t. VI, аппёе 1750, Berlin, 1752, p. 355—360). Через три года
после этого по тому же вопросу выступил Д. Бернулли со
статьей «Размышления и разъяснения по поводу новых колебаний
струн, указанных в Записках Академии за 1747 и 1748 г.» («Ref-
lexions et eclaircisseraents sur les nouvelles vibrations des cor-
des exposees dans les MSmolres de TAcademie de 1747 et 1748»,
de FAcademie, t. IX, аппёе 1753, Berlin, 1755, p. 147—172) и,
кроме того, co статьей «О сочетании нескольких родов простых
изохронных колебаний, сосуществующих в одной и той же си-
стеме тел» («Sur le melange de plusieurs espfcces de vibrations
simples isochrones, qui peuvent coexister dans un тёте systfcrae
de corps», ibid., p. 173—195). Сейчас же вслед за этим выступил
и Эйлер с «Замечаниями по поводу предыдущих мемуаров г. Бер-
нулли» («Remarques sur les mdmoires precedents de M. Bernoulli»,
ibid., p. 196—222). В 1758 г. вышло второе издание «Динамики»
Даламбера, а через год по этому же вопросу выступил молодой
Лагранж со статьей «Исследования по поводу природы и рас-
пространения звука» («Recherches sur la nature et la propagation
du son» в «Miscellanea physico-mathematica societatis privatae
Taurinensis», t. I, 1759, p. 112-f-X)- С возражениями Бернулли и
Эйлеру выступил Даламбер в двух своих статьях: «Исследова-
ния по вопросу о колебаниях звучащих струн» («Recherches
sur les vibrations des cordes sonores») и «Дополнение к преды-
дущему мемуару о колеблющихся струнах» («Suppldment au гаё-
moire ргёсёаеп1 sur les cordes vibrantes») (в «Opuscules mathd-
matiques», t. I, 1761, рр. 1—64 и 65—73).
Одновременно с этим была напечатана статья Лагранжа «До-
бавление к первым исследованиям о природе и распространении
звука» («Addition aux premieres recherches sur la nature et la
propagation du son», «Miscellanea physico-mathematica societatis
privatae Taurinensis», t. II, 1760—1761).
[7] (к стр. 13). Вопрос о доказательстве правила параллело-
грамма сил привлекал к себе внимание многих математиков и ме-
хаников XVIII столетия. В первом томе петербургских «Gommen-
tarii» была напечатана статья Д. Бернулли «Исследование о прин-
ципах механики и геометрические доказательства, относящиеся
к сложению и разложению сил» («Examen principiorura mecha-
nicae et demonstrationes geometricae de compositions et reeolu-
tione viriura», t. I ad annum 1726, Petropoli, 1728, p. 126—141).
322
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ
Даламбер выступал по этому же вопросу неоднократно. В его
«Opuscules mathematiques», в 1761 г. была напечатана статья «До-
казательство правила сложения сил» («Demonstration du prin-
cipe de la composition des forces», t. I, p. 169—179). В журнале
Парижской академии наук «Histoire de I’Academie Royale des Scien-
ces. Annee 1769» Даламбер снова выступил по этому вопросу. И,
наконец, в шестом томе «Opuscules mathematiques» (Paris, 1773 г.,
р. 360—370) Даламбер поместил статью «Новое доказательство
параллелограмма сил» («Nouvelle demonstration du parallelogramme
de forces».
Журнал «Commentaril» издавался на латинском языке Петер-
бургской академией наук с 1727 г. Полное его название: «Сот-
mentarii Academiae scientlarum imperialis Petropolitanae». Следует
заметить, что Даламбер всюду при ссылках на этот журнал дает
его название во французском переводе: «Memoires de Petersbourg».
Французское название это издание действительно получило в XIX
столетии («Memoires de I’Academie Imperiale des sciences de
St-Petersbourg»).
[8| (к стр. 15). В подлиннике «Discours preliminaire» (бук-
вально: «Предварительное рассуждение»).
[9] (к стр. 15). Даламбер, следуя рационалистическим схемам,
не в состоянии надлежащим образом связать математические
науки с физической реальностью. К тому же, Даламбер механику
относит к математическим наукам, а не к физическим.
[Ю] (к стр. 20). «La force d’inertie». Было бы ошибкой этот
термин у Даламбера отождествлять по смыслу с современным
понятием «силы инерции». Выражение «сила инерции» (la force
d’inertie, vis inertiae) в XVII и XVIII столетиях употребляли
в том же смысле, как теперь говорят просто «инерция». С другой
стороны, несомненно и то, что инерция тел в представлении
теоретиков XVII и XVIII столетий связывалась с некоторым со-
противлением или даже с активным действием инертной массы.
Окончательное формальное уточнение терминов «сила» и «сила
инерции» в механике произошло позже.
[И] (к стр. 22). Необходимо принять во внимание, что в XVII.
и XVIII столетиях понятие скорости не включало в себе указа-
ния на направление; это была чисто алгебраическая (у Декарта
даже чисто арифметическая) величина. Направление движения было
понятием самостоятельным, не зависящим от скорости, и тогда
употреблялось выражение «направление тела», а не «направление
скорости», как сейчас.
[I2] (к стр. 24). «Un corps double d’un autre». Это нужно
понимать так, что масса одного тела в два раза больше массы
другого тела. У механиков XVII и XVIII столетий понятие массы
тела настолько сливалось с понятием самого тела, что употреблять
всегда слово «масса» считалось излишним: под массой понималось
количество материи в теле.
[!•] (к стр. 24). Сочинение И. Бернулли «Discours sur les
lois de la communication du mouvement» переведено на русский
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ
323
язык под заглавием «Рассуждение о законах передачи дви-
жения». См. И. Бернулли. Избранные сочинения по механике.
Перевод под редакцией В. П. Егоршина, ОНТИ, 1937. В по-
хвальном слове И. Бернулли Даламбер объясняет неполучение
им премии тем, что Академией был поставлен вопрос о законах
соударения абсолютно твердых тел, в то время как И. Бернулли
исследовал законы соударения упругих тел. О сочинении И. Бер-
нулли Академия высказалась как о сочинении «весьма хорошем
и содержащем блестящие исследования».
[и] (к стр. 25). Маклорен (Mac-Laurin) — шотландский ма-
тематик (1698—1746), занимавшийся также и вопросами меха-
ники. В 1724 г. Парижская академия наук премировала его
работу об ударе (когда «не на тему» представил свое сочинение
и И. Бернулли). В 1742 г. в сочинении «Treatise on Fluxions»
Маклорен указал фигуры равновесия для вращающейся одно-
родной жидкости, (так называемый «эллипсоид Маклорена»)
и ввел неподвижные прямоугольные оси координат. Им же
введено в механику понятие поверхностей уровня. После смерти
Ньютона Маклорен считался крупнейшим английским мате-
матиком.
[15] (к стр. 25). Спор о «силе движущегося тела» начался
не за тридцать, а почти за шестьдесят лет до появления первого
издания «Динамики» Даламбера: в 1686 г. в лейпцигском журнале
«Acta eruditorum» появилась статья Лейбница со следующим
(в переводе на русский язык) заглавием: «Краткое указание ошибки
достопочтенного Декарта и других относительно естественного
закона, согласно которому по божьей воле всегда сохраняется
якобы одно и то же количество движения и которым неправильно
пользуются между прочим в механической практике». Сочинение
Лейбница вызвало сразу же страстную полемику, которую
несправедливо осудил Даламбер, признавший самый вопрос
не подлежащим обсуждению, как совершенно бесполезный для
механики.
[16] (к стр. 32). Все эти рассуждения Даламбера по поводу
бога-творца,— этого щекотливого для его времени предмета,—
показывают, что он в сущности отвергал бога и его вмешатель-
ство в механические явления. Правда, по форме эти рассуждения
весьма несмелы и расплывчаты, но следует иметь в виду, что до
выхода в свет «Динамики» Даламбера, основные материалисти-
ческие и атеистические произведения (Ламетри, Дидро и Голь-
баха) еще не были написаны.
р] (к стр. 33). Относительно наименования механической
науки нелишним будет дать следующую историческую справку.
Первоначально (вплоть до конца XVII столетия) словом «меха-
ника» обозначалось лишь учение о равновесии машин, т. е. ста-
тика. Такой смысл вкладывают в это слово Галилей (1638), Ва-
риньон (1687) и отчасти Ньютон (1687). Учение о движении
у Галилея называлось описательно как «наука о пространственном
движении». Лейбниц в противовес механике (т. е. статике) назвал
324
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ
•ту науку динамикой (1690), понимая под этим прежде всего
учение о живых силах. Лейбницу следовал в этом и его последо-
ватель в XVIII столетии И. Бернулли. Ньютон в предисловии
к своим «Математическим принципам натуральной философии»
(1687) расширяет понятие механики, включая в него и учение
о движении и о силах (причем ньютоновские силы — не то, что
силы у Лейбница). В расширенном смысле понимает механику
* также Эйлер (1736). До него Герман озаглавил свое сочинение
о движениях и о силах «Форономия» (1716). Мнение Парижской
академии наук по этому вопросу, очевидно, отражено в редакцион-
ной статье журнала академии «Histoire de FAcademie Royale des
Sciences» (Annee 1741, Paris, 1744, p. 143—145), в статье, оза-
главленной «По поводу одной задачи динамики» («Sur un probleme
de dynamique»). Там говорилось: «Термин динамика с некоторых
пор вошел в употребление среди французских геометров — прежде
всего у Лейбница. Обозначает этот термин спекулятивную (т. е.
теоретическую, В. Е.) и высшую механику, трактующую о дви-
жущих и активных силах тел. По Лейбницу механизм вселенной
и механизм изделий искусства принципиально не отличаются друг
от друга. Вес, говорит он, и упругость,— эти два главных сред-
ства, употребляемых природой при производстве тех или иных
феноменов,— могут быть объяснены механическим образом по-,
добно нашим обычным машинам: объяснение основывается на дви-
жении эфирной материи. Однако, добавляет этот философ, пер-
вичное движение тел, та сила, которая в’ них вложена творцом
и которая в них постоянно действует, определяется и изменяется
различным образом благодаря взаимным соударениям этих тел.
«Динамикой» он обозначил науку о распознавании (demSler)
и исчислении (evaluer) всех этих различий, а также об определе-
нии эффектов. Механика, статика и то, что обычно называется
наукой о движущих силах (des forces mouvantes), изучают силы
лишь со стороны возможности движения,— т. е. как пассивные
силы. Наоборот, истинным объектом динамики, как мы уже ска-
зали, является учение о силах, в действительности, приводящих
в движение».
Примыкая к этому мнению, Даламбер дает своему сочинению
название «Динамика», как знак того, что его главная цель заклю-
чается в том, чтобы изложить законы движения тел, составляю-
щих связанную систему.
Разделение механики как единой науки на статику и дина-
мику мы находим впервые у Лагранжа в его «Аналитической
механике» (1788).
Р8] (к стр. 33). Под «прямыми» методами у Даламбера следует
понимать методы, соответствующие самому существу проблемы.
Р9] (к стр. 34). Здесь Даламбер говорит о своем сочинении
«О равновесии и движении жидкостей» («Trait6 de FSquillbre е
du mouvement des fluides»).
I2®] (к стр. 34). Полное заглавие сочинения: «Исследования
о предварении равноденствий и о нутации земной оси в ньюто-
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ
325
новой системе» («Recherches sur la precession des dquinoxes et
sur la nutation de Гахе de la terre dans le systfcme newtonien»).
Указанное сочинение вышло в 1749 г.
[21]	(к стр. 35). Полное заглавие «Опыт новой теории сопро-
тивления жидкостей» («Essai d’une nouvelle theorie sur la resis-
tance des fluides»). Сочинение вышло в свет в 1752 г.
|22] (к стр. 35); Полное заглавие: «Размышления об общей
причине ветров» («Reflexions sur la cause gdnerale des vents»).
Сочинение вышло в свет в 1747 г. Это сочинение более, чем
какое-либо другое до 1747 г., доставило Даламберу известность.
[23]	(к стр. 41). Легко видеть, что логическое доказательство
принципа инерции у Даламбера является мнимым доказательством,
так как в процессе доказательства Даламбер ссылается на то, что
ему нужно доказать.
[24]	(к стр. 43). В указанной статье Даламбер подчеркивает,
что сила инерции — это не сила, а свойство материи, так как силу
нужно считать понятием метафизическим. «Тело, говорит Даламбер,
сохраняет свое состояние покоя или движения, причем тело
покоящееся не меньше имеет реальной силы, чтобы сохранять
свое состояние, чем тело движущееся».
В статье «Движение» («Mouvement») в «Энциклопедии» Да-
ламбер пишет, что тело сопротивляется как движению, так и покою
в равной мере, и это сопротивление пропорционально массе.
«Сопротивление, которое оказывается телом, когда хотят изменить
его настоящее состояние, представляет собой основание того
общего закона движения, согласно которому действие всегда
равно противодействию. Установление этого закона было необхо-
димо для того, чтобы тела могли действовать друг на друга,
и для того, чтобы движение, будучи однажды созданным, могло
передаваться от одного тела к другому с достаточным основа-
нием. Без этого рода борьбы не могло бы иметь место и дей-
ствие: в самом деле, как бы сила могла действовать на то, что
не оказывает ей никакого сопротивления?»
[2б]	(к стр. 44). У Даламбера, как и у многих других авторов,
процорция записывалась иначе: между отношениями стояло вместо
теперешнего знака равенства два двоеточия. Таким образом,
пропорция имела следующий вид:
BDzCEwAB'.AC.
[2ь] (к стр. 47). В древности для сравнения промежутков
времени употреблялась так называемая клепсидра,— водяные часы,
представляющие собой в основном сосуд с водой, снабженный
внизу отверстием. Количество вытекшей воды и указывало на ве-
личину истекшего времени.
рт] (к стр. 49). Приводим соответствующий отрывок из статьи
«Уравнение» («Equation») в «Энциклопедии»: «Когда говорят что
прямоугольник равен произведению его основания на высоту,
это в более развернутом виде обозначает следующее. Если мы
имеем два прямоугольника и если мы возьмем какую-нибудь ли-
326
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ
нейную величину а в качестве общей меры для оснований и высот
этих прямоугольников и если, далее, В будет числом (целым или
дробным, рациональным или иррациональным), выражающим,
сколько раз а содержится в основании первого прямоугольника,
Н — числом, выражающим, сколько раз то же а содержится
в высоте первого прямоугольника, далее b — числом, выражающим,
сколько раз а содержится в основании второго прямоугольника,
а Л — числом, выражающим, сколько раз а содержится в высоте
этого прямоугольника, то площади данных прямоугольников от-
носятся друг к другу как произведение чисел В и Н к произве-
дению чисел Ъ и h. Точно так же, когда говорят, что скорость
равномерно движущегося тела равна пути, деленному на время,
этим хотят сказать в более развернутом виде следующее. Если
два тела движутся равномерно и одно из них проходит путь
Е за время Г, а другое —путь е за время f, то, взяв отрезок а
за общую меру путей Е и et а время 0. за общую меру времен
Г и f, мы будем иметь, что скорости этих тел будут относиться
Е	Т
друг к другу как число — , деленное на число , относится к
е	t
числу ~, деленному на число у.
[28]	(к стр. 52). Вследствие того, что у параболы
у2 = 2рх,
длина подкасательной равна удвоенной абсциссе точки касания.
[29]	(к стр. 54). В оригинале стоит «1а difference seconde de
fespace parcouru». Выражением «1а difference seconde» обозначали
в XVIII столетии бесконечно малую величину второго порядка
малости, а также дифференциал второго порядка.
[s0]	(к стр. 59). Статья Д. Бернулли в петербургском жур-
нале «Commentarii Academiae scientiarum imperialis* Petropolita-
nae», t. I, ad annum 1726, называется «Исследование о принципах
механики и геометрические доказательства, относящиеся к сложе-
нию и разложению сил» («Examen principiorum mechanicae et de-
monstrationes geometricae de compositione et resolutione viriutn»).
Начало этой статьи посвящено рассмотрению вопроса о случай-
ности или необходимости принципов механики. Д. Бернулли вы-
сказывает ту точку зрения, что принцип статики (параллелограмм
сил) можно причислить к необходимым истинам, а принцип науки
о движении, состоящий в том, что «приращения скорости про-
порциональны элементу времени, умноженному на движущие силы
или давления», является только случайной истиной, так как эта
истина была добыта в результате опытов Галилея. Д. Бернулли
говорит, что можно было бы допустить, что приращения скорости
пропорциональны элементу времени, умноженному на некоторую
функцию от силы или давления. Только опыт, а не разум заставляет
нас взять первую степень от силы.
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ
327
Даниил Бернулли—швейцарский математик и физик (1700—1782),
сын Ивана Бернулли. В течение семи лет работал в Петербург-
ской академии наук. Основное произведение Д. Бернулли, сде-
лавшее эпоху, — это «Hydrodynamica», изданное в 1738 г. в Пе-
тербурге.
[31]	(к стр. 59). Эйлер (Euler) — швейцарский математик
(1707—1783), надолго связавший свою работу с Россией: с 1727
до 1741г. и с 1766 г. до своей смерти работал в Петербургской
академии наук. Работы Эйлера являются основоположными для
ряда отделов математики. В 1736 г. вышла его книга «Mechanica
sive motus scientia analytice exposita» или «Механика, т. e. наука
о движении, изложенная аналитическим методом», замечательная
тем, что здесь впервые в механике систематически применяется
анализ бесконечно малых.
В предложении 19 Эйлер «доказывает», что приращение ско-
рости точки за «промежуточен времени» пропорционально произ-
ведению действующей силы на этот промежуточен времени.
В следствии 2 к этому предложению Эйлер подчеркивает, что
«эта теорема не только правильна, но и по необходимости должна
быть верной, так что если бы мы предположили
'dc~p2dt или p^dt	г
или же равным какой-либо другой функции вместо р, то мы пришли
бы к противоречию». См. русский перевод: Леонард Эйлер. Основы
динамики точки. Перевод с латинского под редакцией В. П. Егор-
шина (ОНТИ, 1938).
[32| (к стр. 59). В соответствии с принятыми тогда обозначе-
ниями (ведущими свое начало от Ньютона) Даламбер различает
движущую силу (la force motrice) и ускоряющую силу (la force
acc616ratrice). Первая соответствует теперешнему понятию силы,
вторая же соответствует ускорению, вызываемому силой в данной
точке. У Ньютона это —vis motrix и vis acceleratrix.
Кроме того, следует заметить, что обе эти величины в пони-
мании математиков и механиков XVII и первой половины XVIII
столетия отличаются от одноименных величин современной ме-
ханики постоянным множителем dt: под движущей силой тогда
часто понимали величину произведения массы на дифференциал
скорости (дифференциал скорости в свою очередь понимался как
приращение скорости за элемент времени dt)\ под ускоряющей
силой (или ускорением) понимали тогда просто дифференциал
скорости.
р3] (к стр. 59). «Тела, обладающие силами»,—этими словами
мы хотели возможно точнее передать смысл французского подлин-
ника «les corps animes par des forces» (буквально: «тела, оду-
шевленные силами») Нельзя этого переводить модернистски:
«тела, находящиеся под действием сил», — так как это исказило
бы мысль Даламбера, считающего, что нет никакой субстанциаль-
ной силы и что сила есть лишь сокращенное обозначение того,
328
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ
что тело получает ускорение. В пользу нашего перевода говорит
и то, что у Даламбера встречается выражение «1е corps ап1шё
d’une Vitesse», которое можно перевести только как «тело, обла-
дающее скоростью».	Я
Р4] (к стр. 62). Безу таким образом называет производную	'1
?'(*)• он, как и другие авторы долагранжевского периода, пред-	1
почитает иметь дело с дифференциалами, а не с производными.	>]
|35] (к стр. 61). «Gourbe polygone» дословно «полигональная	1
кривая». У Даламбера в дальнейшем различаются courbe polygone	1
(полигональная кривая) и courbe rigoureuse (подлинная кривая,	.Я
т. е. кривая в строгом смысле слова). О различии этих двух по-	Я
нятий можно прочесть в статье Даламбера в «Энциклопедии»	Я
под словом «Courbe polygone». Там мы находим следующее:	-1
«В отличие от кривой в строгом смысле слова полигональной	Я
кривой называется кривая, рассматриваемая как ломаная с бес-	I
конечным числом звеньев. Такого рода кривые рассматриваются	Ц
в геометрии бесконечного. Строго говоря, это означает не что
иное, как то, что кривая есть предел ломаных, как вписанных, Я
так и описанных».	Л
l86] (к стр. 70). Данное доказательство правила параллело- S
грамма является, конечно, доказательством мнимым и оно служит Я
лишь свидетельством того, как сильно было желание Даламбера
придать всей механике формально логический вид.
[37] (к СТр. 75). Тригонометрические величины Даламбер, как Ц
и другие авторы того времени, выражает не отношениями от-
резков, а отрезками. Синус угла выражался длиной перпендикуляра, Я
опущенного из конца подвижного радиуса на неподвижный. «Пол- Я
ным синусом» называлась длина самого радиуса в тригонометри-
ческой окружности, т. е. это был синус прямого угла. Для того	j
чтобы перейти к современным обозначениям, связанным с отноше-	Й
ниями, нужно положить «полный синус» равным единице.	w
Для того чтобы понять рассуждение Даламбера, воспроиз- ж
ведем здесь фиг. 6 и проведем на ней диаметр DD\ радиус ОХЕ Ч
и опустим из 01 перпендикуляр ОХК на хорду EQ (фиг. 82).	|
Тогда, считая дугу DE бесконечно малой, из подобия треуголь-	|
ников NED и КО^Е мы будем иметь	J
ЕК'.ОхЕ = DN-.DE,	I
откуда	|
EQ-.DD’ = DN-.DE.	|
Подставляя вместо EQ отрезок NQ, отличающийся от него на
бесконечно малую величину, мы получим
^^EDOl.	j
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ
329
р8] (к стр. 75). Центральная сила пропорциональна
- РЕ* РЕ* _ РЕ*
NQ РР' sin ЕРО± 2 р sin ЕРОХ *
Вставляя последнее выражение в выражение силы, мы
РЕ*
что центральная сила пропорциональна
НЕ Нп
Н
получим,
2 р sin EDO1 dt* ’ а ТаК как
Фиг. 82.
РЕ	. а
— представляет собой скорость v, то центральная сила про-
порциональна
 V2__________У*
2р sin ЕРО± 2р sin (F, 5) ’
или
У*
р sin (F, s) ‘
р] (к стр. 78). Вместо косинуса Даламбер, как и многие
другие авторы его времени, говорил о синусе дополнительного
угла. Обозначения sin и cos в несколько иной, сначала, форме
были введены уже Эйлером, но Даламбер в первой части трак-
тата пользуется еще словесным наименованием тригонометри-
ческих величин, вводя во второй части почти современную
символику.
[40] (к стр. 79). Синус-верзусом угла АОВ (фиг. 83) в сред-
невековой тригонометрии называли отрезок АС. В современных
обозначениях эта величина соответствует разности 1 — cos ср,
отличаясь от нее множителем, равным радиусу окружности.
|41] (к стр. 80). Для того, чтобы в этом убедиться, заметим,
что хорда
rn = 2R sin ,
&
22 Ж. Даламбер
330
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ
где R обозначает радиус круга, а ср — угол пуг. Отрезок rh равен 2Rt
синус-верзус угла ср равен R{\ — cosср). Следовательно, равенство
Даламбера (без умножения на п) принимает следующий вид:
4R2 sin2 ~
----2^----= /? (1 — cos ср).
Производя сокращения, мы получим очевидное тождество:
2 sin2 = 1 — cos ср.
А
[42] (к стр. 82). Книга «The Analyst» вышла из-под пера извест-
ного философа-идеалиста, епископа Беркли в 1734 г. В этой книге
Беркли нападает на математику, и в особенности на исчисление беско-
нечно малых, с точки зрения правоверия. Беркли упрекал мате-
матику бесконечно малых в недостоверности. Ему отвечал Мак-
лорен.
(к стр. 82). Термин «первые и последние отношения»
(primae et ultimae rationes) принадлежит Ньютону, который «ме-
тоду первых и последних отношений» посвятил первую главу
своих «Начал». Так, одна из теорем указанной главы утверждает,
что «последнее отношение» дуги и стягивающей ее хорды равно
единице. А. Н. Крылов, русский переводчик «Начал», в своем
переводе заменяет термин «первые и последние отношения» со-
временным термином «предельные отношения».
[44] (к стр. 82). В статье «Дифференциал» (DiffSrentiel) в «Эн-
циклопедии» Даламбер подчеркивает, что термину «бесконечно
малое» не соответствует реальность: это просто краткий способ
выражения. «В дифференциальном исчислении, собственно говоря,
нет бесконечно малых величин. Там идет речь лишь о таких ве-
личинах, которые называются бескрнечно малыми, и об этих вели-
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ
331
чинах говорят, что они делятся на другие величины, которые так
же считаются бесконечно малыми. В настоящем своем состоянии
эти величины не есть бесконечно малые величины, точно так же
они не являются такими дробями, у которых числитель и знаме-
натель суть бесконечно малые величины: это есть предел отно-
шения конечных величин... В дифференциальном исчислении беско-
нечно малыми величинами пренебрегают, не потому, как это обычно
говорят, что они бесконечно малы по сравнению с теми величи-
нами, которые оставляются, и не потому, что при этом делается
бесконечно малая или ничтожная ошибка,— этими величинами пре-
небрегают потому, что ими необходимо пренебречь для того,
чтобы достичь строгой точности». Другими словами, отбрасывание
бесконечно малых величин есть не приближенная, а точная опе-
рация. «Мы не должны говорить, как это делают многие геометры,
что данная величина является бесконечно малой величиной на том
основании, что она может исчезнуть, или на том основании, что
она исчезнет: мы можем величину назвать бесконечно малой
только в том случае, если она в данный момент исчезает. Ибо
что может дать такого рода псевдо-определение, которое само
в сто раз более непонятно, чем то, что оно должно определить?»
Даламбер далее обвиняет математиков в том, что они сами пода-
вали повод для всяких возражений. «Сами изобретатели ана-
лиза окутывали свое изобретение таким туманом, какой не вы-
текал из его существа. Вообще люди часто питают страсть к не-
понятному, если это приводит в результате к чему-то чудесному.
Шарлатанство это и больше ничего! Истина всегда бывает про-
стой и она может быть понята всяким, кто захочет над ней по-
трудиться».
i45] (к стр. 88). Здесь Даламбер формулирует закон, счи-
тавшийся с теми или иными видоизменениями основным законом
статики, начиная с XVI столетия. Этот закон, или правило, яв-
ляется историческим зародышем современного принципа вирту-
альных работ. Современную формулировку принцип виртуальных
работ получил у Лагранжа (за исключением того, что вместо
термина «работа» Лагранж употребляет «момент» — центральное
понятие механики Галилея).
Что касается долагранжевской эпохи, то тогда вместо вели-
чины работы в аналитическое выражение принципа входило «ко-
личество движения». Принцип равновесия в том виде, как его мы
находим у Даламбера, является первым приближением к отобра-
жению объективного закона природы: для огромного множества
частных случаев он совпадает с современным принципом анали-
тической статики. В самом деле, принцип равновесия у Даламбера
имеет вид
m1v1— m2v2r=z^.
Умножим это равенство на постоянное ускорение силы тяжести £
и на элемент времени Мы будем иметь
— m2gv£t = О.
22*
332
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ
Обозначая mg через Р и vlt через 3/, мы получим
Р13/1 —Р2^2 = 0,
или, иначе,
Pi^i4-P2^2 = 0.
Обратно, можно от последнего равенства притти к равенству
Даламбера.
f46] (к стр. 89). В приводимых дальше пропорциях нами со-
хранен способ обозначения Даламбера целиком. Так как Далам-
беру нужно написать две пропорции, у которых часть членов
одинаковы, то он записывал эти пропорции сокращенно в виде
одной пропорции, в которой различные члены писались друг над
другом и заключались в фигурную скобку. Так, отношения
АЕ-.АК
и
AE-.AD
Даламбер записывает в виде одного символа
Нами сохранен способ обозначения, который был у Даламбера.
Заметим, что при обозначении отрезков двумя буквами тогда
большей частью не обращалось внимания на порядок букв.
[47] (к стр. 96). Вариньон (Varignon) — французский мате-
матик и механик (1654—1722). Он впервые точно сформулировал
закон параллелограмма сил и основы теории моментов сил. В 1687 г.
вышла в свет его книга «План новой механики» («Projet d’une
nouvelle mecanique»). После смерти Вариньона вышла его более
объемистая книга «Новая механика или статика» («Nouvelle тё-
canique ou statique»).
[48] (к стр. 105). В настоящем п° более четко формулирован
принцип виртуальных скоростей, о котором в иной форме гово-
рилось в п° 46. Заметим, кстати, что автором этого закона яв-
ляется отнюдь не Ньютон, который говорит о нем только «весьма
кратко». Ньютон, отрицательно относившийся к закону сохра-
нения движения, не мог уделять достаточно внимания и закону
виртуальных скоростей. Отцом закона виртуальных скоростей
можно считать И. Бернулли (1717), если не говорить о Галилее .
и Декарте, которые вплотную подошли к нему.
l49] (к стр. 106). Камюс (Camus) — французский математик,
механик и астроном (1699—1768). Известен определением длины
секундного маятника и участием в знаменитой лапландской экспе-
диции Мопертюи и Клеро для градусного измерения. Ему при-
надлежат сочинения: «О эйивых силах движущихся тел» (ТгаВё
sur des forces vives des corps en mouvement») (1728), «Гидраз-
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ
333
лика» («Traite d’Hydraulique») (1739), «Основы статической меха-
ники» («Elements de mecanique statique») (1751). В последней книге
второй том посвящен машинам.
Книга Трабо (Trabaud) под заглавием «Принципы, касающиеся
движения и равновесия и могущие служить введением в меха-
нику и физику» («Priticipes sur le mouvement et 1’equilibre, pour
servir d’introduction aux mecanique et a la physique»), вышла
в Париже в 1741 г.
poj (к стр. 107). Клеро (Clairaut)— французский математик
и астроном (1713—1765), в 18 лет уже ставший членом Парижской
академии наук. Некоторые его работы были изданы в Петер-
бурге. Из трудов Клеро по механике должны быть указаны:
«Сборник статей о движении небесных тел» («Recueil de memoi-
res sur les mouvements des corps celestes», 1740), «О форме
Земли с рассмотрением вопроса о равновесии жидкостей» («Traite
de la figure de la terre ou il est traite de 1’equilibre des fluides»,
1743) «Теория Луны, получающаяся лишь на основании принципа
притяжения» («Theorie de la lune, deduite du seul principe detrac-
tion», 1752 и 1765) и т. д.
Статья, о которой говорит здесь Даламбер, помещена в жур-
нале Парижской академии наук «Histoire de I’Academie Royale
des Sciences» (Annee 1742, Paris, 1745, p. 1—52) и носит загла-
вие «Некоторые принципы, дающие решение большого числа
задач динамики» («Sur quelques principes qui donnent la solution
d’un grand nombre de probl£mes de dynamique»).
[5l| (к стр. 108). Здесь Даламбер справедливо определяет
свою динамику, как динамику системы со связями. До Даламбера
динамика системы разрабатывалась лишь спорадически (Гюйгенс,
Я. Бернулли и др.) и систематической наукой была лишь дина-
мика точки (Ньютон, Эйлер), достигшая уже к тому времени
относительного формального совершенства. Додаламберовская
механика отличалась и по своему объекту: это была по пре-
имуществу небесная, а не «земная», не техническая механика.
Даламбера можно считать отцом современной динамики
системы.
[52] (к стр. 108). Остановимся на терминологии Даламбера.
В ней не так трудно разобраться, кай это может показаться на
первый взгляд.
В механике XVII и XVIII столетий понятие скорости не вклю-
чало в себя направления. Поэтому естественно, что для обозна-
чения вектора скорости необходимо было изобрести новый тер-
мин. Различные авторы предлагали различные термины. Даламбер
для этой цели употребляет термин «mouvement» (движение).
Заметим, что у Ньютона термином «движение» (motus) обо-
значалось понятие «количества движения».
[53] (к стр. 109). В настоящем п° Даламбером формулируется
то правило, которое ныне называется «принципом Даламбера».
Как видно, этот «принцип» выглядит у его автора совсем не
так, как оц излагается ныне в учебниках. Форма, близкая к CQ-
334
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ
временной, придана была принципу Даламбера Лагранжем в его
«Аналитической механике».
Даламбер дал изложение своего «принципа» и в «Энциклопе-
дии», в статье «Dynamique» (Динамика). Приведем здесь это
изложение буквально;
«Положим, что нескольким телам передаются какие-то дви-
жения, которые у них не могут удержаться вследствие их вза-
имодействия и которые они вынуждены заменить другими. Из-
вестно, что всякое движение можно рассматривать как сложное
движение, состоящее из двух движений по выбору. Поэтому мы
можем первоначальное движение каждого тела рассматривать как
сложное движение, составленное из двух движений, из которых
одно мы возьмем такое, какое данное тело воспринимает вслед-
ствие действия на него других тел. Но если бы каждое тело
получило это последнее движение вместо своего первоначального,
которое ему было передано, то все тела могли бы сохранить это
самое движение без всяких изменений: это как раз те движения,
которые тела воспринимают сами по себе. Вследствие этого дру-
гие составляющие движения должны быть таковы, что они ни-
сколько не будут нарушать первых составляющих движений.
Другими словами, вторые движения должны быть таковы, что
если бы только их сообщить всем телам и ничего больше, то
система оставалась бы в покое.
Отсюда следует, что для того, чтобы найти движение несколь-
ких тел, действующих друг на друга, нужно разложить полу-
ченные телами движения, т. е. движения, с которыми тела стре-
мятся двигаться, на два других движения. Эти составляющие
движения должны быть подобраны таким образом, что у каждого
тела одно из этих составляющих движений должно уничтожиться,
а другое должно быть таким и так направленным, чтобы дейст-
вие окружающих тел не могло ничего в нем изменить. Отсюда
легко видеть, что все законы движения тел могут быть сведены
к законам равновесия. В самом деле, для решения любой задачи
динамики нужно только разложить движение каждого тела на
два движения. Зная одно из этих составляющих движений, мы
сможем найти другое... Указанные условия всегда дадут все
уравнения. Нет такой ’ задачи динамики, которую нельзя
было бы решить этим приемом или, по крайней мере, привести
ее к уравнению, — а это есть все, что можно требовать от
динамики.
Мне кажется, что данное правило в самом деле приводит все
задачи, относящиеся к движению тел, к более простой задаче, к за-
даче равновесия. Кроме того, этот принцип не опирается ни на какой
вредный или неясный метафизический принцип. Он рассматривает
в движении лишь то, что в нем в действительности имеется, т. е. прой-
денный путь и затраченное на это время. Он не пользуется ни
действиями, ни силами,— одним словом, никаким из тех вторич-
ных начал, которые, может быть, сами по себе и хороши и могут
быть иногда полезными для сокращения и облегчения решения,
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ
335
но которые никогда не будут началами первичными, поскольку
метафизика этих начал никогда не станет ясной».
|64] (к стр. 110). Приводим соответствующий отрывок из
статьи Д. Бернулли. Говоря об обращении Земли и Луны вокруг
некоторой точки, Д. Бернулли пишет:
«При этом обращении оба тела стремятся удалиться друг от
друга. Однако, это стремление уравновешивается их взаимным
тяготением. А так как Земля проявляет такое же стремление
приблизиться к Луне, какое Луна — приблизиться к Земле, то и
центробежные силы их должны быть равны. Отсюда следует,
что ту точку, вокруг которой обращаются эти два тела, нужно
расположить таким образом, чтобы центробежные силы были
равны. Поэтому эту точку лучше называть не «центром тяжести»,
а «центром центробежных сил», или, еще лучше, «центром масс»,
поскольку скорости мы предполагаем находящимися в постоян-
ном отношении. Правда, оба эти названия приводят к тому же са-
мому и можно говорить о центре тяжести в обычном смысле.
Но спрашивается, какую идею можно связать с этим термином,
когда тяжесть в различных частях тела будет неодинакова?
В этом случае не может быть такой точки, которую можно бы-
ло бы назвать центром тяжести, какое бы определение мы ни
давали этому слову. Как бы то ни было, бесспорно то, что рас-
стояния рассматриваемой нами точки от центров Земли и Луны
будут обратно пропорциональны массам или количествам мате-
рии этих тел». («О морских приливах и отливах»,— трактат, направ-
ленный членам Королевской Академии наук на соискание премии
1740 года», «Traite sur le flux et reflux de la mer, adresse a Mes-
sieurs de I’Acaddmie Royale des Sciences, pour concourir au prix
de 1740». Статья эта напечатана в «Recueil des pi£ces qui ont
remportS les prix de TAcademie Royale des Sciences», t. IV,
Paris. 1752.)
рб] (к стр. 123). Речь идет об учении Ньютона, изложенном
в его «Началах». Механика Ньютона это — прежде всего теория
центральных сил.
[б6] (к стр. 125). В такой неуклюжей форме Даламбер гово-
рит о проекции скорости центра тяжести на заданную плоскость.
То же самое в общей форме Даламбер говорит и в самой тео-
реме III.
[57] (к стр. 128). В указанном месте трактата о равновесии
и движении жидкостей («Traite de TequiliDre et du mouvement
des fluides») Даламбер анализирует доказательство того поло-
жения, что если жидкость находится в равновесии, то давление
должно быть перпендикулярно к поверхности жидкости. Доказа-
тельство, анализируемое Даламбером, основано на предполо-
жении, что центр тяжести должен быть в наинизшем положении.
Даламбер считает данное доказательство недостаточным, между
прочим, потому, что его нельзя применять к тем случаям,
когда на частицы жидкости действует не тяжесть, а какие-либо
другие силы, неодинаковые для различных частиц. Нельзя
336
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ
путать, подчеркивает Даламбер, центр тяжести и центр
масс.
Положим, все частицы жидкости a? FE (фиг. 84) притягива-
ются к точке Q. Тогда в равновесии жидкость будет иметь уро-
вень оф — дугу круга с центром Q. Центр масс этой жидкости
не будет в* наинизшем положении. В наинизшем положении он
будет тогда, когда поверхность жидкости будет горизонтальна,
но тогда не будет равновесия. Возьмем прямоугольный сосуд
ADEB (фиг. 85) и в нем круглое жидкое тело FOSPK, все части
которого притягиваются к центру Q круга. Пусть ширина со-
суда такова, что
DE-2QC = yw. FOSPK.
Тогда центр тяжести жидкости MDEN, равной FOSPK, будет
в точке Q, в то время как центр тяжести жидкости FOSPK бу-
дет выше Q. Итак, масса жидкости FOSPK будет находиться
в равновесии, а центр тяжести ее будет выше Q. С другой
стороны, жидкость MDEN не находится в равновесии (так как
поверхность ее горизонтальная, а не сферическая с центром в Q),
а центр тяжести ее расположен ниже.
Таковы рассуждения Даламбера в указанном трактате.
х
р8] (к стр. 143). Даламбер обозначает косинус ~ символом:
( х\
cos — .
\а Г
и поскольку символы sin и cos в те времена были еще редки в
литературе (впервые они были введены Эйлером), Даламбер в
этом месте делает следующее примечание: «Выражения cos f — )
\а J
(х \	х
— } обозначают косинус и синус от —. И вообще всюду
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ
337
в настоящем сочинении я буду обозначать синус и косинус какого-
либо угла £ символами sin f и cos ₽».
Р] (к стр. 145). Буквой с Даламбер обозначает вместе с
прочими авторами своего времени основание натуральных лога-
рифмов. Буква е для этого числа впервые была введена Эйлером.
[60]	(к стр. 154). Naturellement. Это значит: без всяких внеш- '
них сил, т. е. по закону инерции.
[61]	(к стр. 156). Статья И. Бернулли была напечатана в пе-
тербургском журнале «Commentarii Academiae scientiarum Impe-
rialis Petropolitanae», t. II ad annum 1727 (Petropoli, 1729) и
носила заглавие «Избранные теоремы о сохранении живых сил,
подлежащие в дальнейшем доказательству и опытной проверке»
(«Theoremata selecta pro conservatione virium vivarum demonstranda
et experimentis confirmanda»). Ср. И. Бернулли «Об истинном
значении живых сил и их применении в динамике» (Избранные
сочинения по механике. Перевод под редакцией В. П. Егоршина.
М. — Л., 1937, стр. 250 — 260). В указанной статье, относящейся
к 1735 г., Бернулли дал доказательство.
[62| (к стр. 156). Функцию ср (а) Даламбер обозначает иначе:
у него она имеет вид ср и. Символ функции был в то время
слишком новым, поэтому Даламбер и сделал здесь подстрочной
примечание.
[63]	(к стр. 159). Речь идёт о трактате Германа «Общая тео-
рия движений» («Theoria generalis motuum»), напечатанном в пе-
тербургских «Commentarii», т. II, за 1727 г.
Герман (Hermann) — швейцарский математик (1678—1733),
ученик Я. Бернулли.
[64]	(к стр. 171). «Геометрическая кривая», это —такая кри-
вая, точки которой можно построить при помощи циркуля и
линейки (примечание немецкого переводчика А. Корна).
[65]	(к стр. 175). L’effort absolu de la pesanteur.-
«Абсолютный» — значит «полный». Под усилием (L’effort)
Даламбер понимает элемент скорости dv,
[66]	(к стр. 179). Статья Бернулли в петербургских «Commen-
tarii» называется «Теоремы о колебаниях тел, соединенных
гибкой нитью, и вертикально подвешенной цепи», «Theoremata
de oscillationibus corporum filo flexili connexorum et catenae
verticaliter suspensae» (t. VI ad annos 1732 et 1733, Petropoli, 1739,
p. 108—122).
рт] (к стр. 179). Доказательство дано в статье «Доказатель-
ства собственных теорем о колебаниях тел, соединенных гибкой
нитью, и о вертикально подвешенной цепи» (Demonstrationes the-
orematum suorum de oscillationibus corporum filo flexili connexo-
rum et catenae verticaliter suspensae»), помещенной в петербург-
ских «Commentarii», t VII ad annum 1735 (Petropoli, 1740,
p. 162—173).
[68]	(к стр. 179). Статья Эйлера называется «О колебаниях
гибкой нити, нагруженной произвольным количеством грузиков»
«De oscillationibus fill flexilis quotcunque pondusculis onusti» и
338
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ
помещена в петербургских «Commentarii», t. VIII ad annum 1736
(Petropoli, 1741, p. 30—47).
[69J (к стр. 180). Это значит, что
<4
(где p— величина, численно равная ускорению), откуда
Г2
I	Т2
В уравнениях (К) и (N) Даламбер вместо — подставляет •
р	2
р| (к стр. 188). Речь идет о статье Д. Бернулли «О соче-
тании нескольких видов простых изохронных колебаний, кото-
рые могут сосуществовать в одной и той же системе тел» («Sur
le melange de plusieurs especes de vibrations simples isochrones,
qui peuvent coexister dans un тёте systeme de corps»), напеча-
танной в журнале «Histoire de L’Academie royale des sciences
et belles-lettres»), t. X, аппёе 1753, Berlin, 1755, p. 173—175.
pi] (к стр. 198). Речь идет о статье Д. Бернулли, указанной
выше (см. примечание 67).
[72| (к стр. 199). Речь идет о статье Д. Бернулли, указанной
выще (см. примечание 66).
[73]	(к стр. 202). Речь идет о статьях Даламбера «Продол-
жение исследований об интегральном исчислении» (Suite des re-
cherches sur le calcul integral») и «Добавления к исследованиям
об интегральном исчислении» («Additions aus recherches sur
caleul integral»), напечатанных в журнале «Histoire de TAcademie
royale des sciences et belles-lettres», t. IV, аппёе 1748, Berlin,
1750, p. 249—291 и t. VI, аппёе 1750, Berlin, 1752, p. 361—378.
[74]	(к стр. 206). Речь идет о статье Д. Бернулли, указанной
выше (см. примечание 67).
[75]	(к стр. 214). Речь идет о статьях Даламбера, указанных
выше (см. примечание 73).
[76]	(к стр. 215). Речь идет о статье Д. Бернулли, указанной
выше (см. примечание 70).
[77]	(к стр. 232). Полное заглавие сочинения Даламбера, о
котором идет речь: «Исследования по поводу некоторых важ-
нейших вопросов о системе мира» («Recherches sur differents
points importants du systfcme du monde»). Первая и вторая части
этого сочинения вышли в 1754 г., третья часть — в 1756 г. в
Париже.
[78]	(к стр. 233). Речь идет о статье Эйлера, имеющей за-
главие «Новый и несложный метод, относящийся к весьма малым
колебаниям как твердых, так и изменяемых тел» («De minimis
oscillationibus corporum tam rigidorum quam flexililium, methodus
poya et facilis»). Статья была напечатана в журнале «Qomnjenta-
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ
839
rii Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae», t. VII ad
annos 1734 et 1735, 1740, p. 99—122.
[79]	(к стр. 234). «Надо, однако, заметить, что при данном
движении плоскость, на которой оно происходит, по условию,
должна быть в той или иной степени шероховатой, чтобы кри-
вые наряду с качанием не могли сдвигаться со своего места, что
может случиться в том случае, если плоскость будет весьма
гладкая».
Р°] (к стр. 251). Приводим мысли Даламбера из его статьи
«Причина в механике и в физике» («Cause еп mScanique et en
physique»), помещенной в «Энциклопедии».
Пусть тело М движется со скоростью tx, а другое тело т
покоится. После удара общая скорость обоих тел будет равна
Afxx ~	х
. Эта последняя скорость и будет тем, что называется
/И—}—/и
«действием». Что же касается «причины», то причиной здесь слу-
жит масса М обладающая скоростью и. Но какая функция от М
и от и должна быть взята для выражения этой причины? Можно
взять Ми, Ми2, М2а и т. д. Какую бы, однако, функцию здесь мы
ни взяли в качестве выражения «причины», скорость тела т бу-
дет зависеть и от величины т. В таком случае выходит так, что
«причина» не меняется, а «действие» меняется. Впрочем, может
быть, нам скажут, что мы взяли лишь часть «действия» и что
полное «действие» будет равно сумме количеств движения обоих
тел, т. е.
М?и t Мти
Af-4-ях ' М-\-т
В таком случае, можно, сказать, что это «действие» будет пропор-
ционально «причине» Ми. Пусть так. Но ведь это полное «дей-
ствие» состоит из двух слагаемых, т. е. из двух количеств движе-
ния, каждое из которых необходимо знать в отдельности. Как же
мы их можем узнать с помощью указанного знаменитого прин-
ципа, согласно которому якобы «действие пропорционально при-
чине»? Здесь нам пришлось бы «причину» разделить на две части,
чтобы каждому из двух действий соответствовала особая часть
причины. Как же нам найти выход из этого затруднения? Поло-
жение о том, что «причина пропорциональна своему действию»,
не только бесполезно, но и прямо вредно. Нужно пожелать, чтобы
механики отчетливо осознали то, что в движении мы ничего не
знаем кроме одного движения, т. е. пройденного пространства
и затраченного времени. Говорить же о какой-то метафизиче-
ской, об истинной причине мы не можем, так как мы о ней ничего
не знаем.
Может быть, спрашивает далее Даламбер, указанный принцип
пропорциональности надлежит понимать таким образом, что одно
действие так относится к другому действию, как причина первогр
340
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ
действия относится к причине второго действия? Но тут же Да-
ламбер отвечает, что об отношении одной причины к другой
причине говорить нельзя, так как метафизические причины (как
нематериальные действия) сравнивать друг с друго1и не представ-
ляется возможным.
Данная Даламбером критика принципа о пропорциональности
действия и причины справедлива и направлена против мета-
физического толкования «причины» и «действия».
[81| (к стр. 256). «Corps durs». Этим именем Даламбер обо-
значает неупругие, абсолютно твердые тела.
Р2] (к стр. 262). Речь идет о статье И. Бернулли «О дви-
жении соударяющихся тел». «De motu corporum se invicem
percutentium», помещенной в журнале «Commentarii Academiae
scientiarum imperialis Petropolitanae, t. VII ad 1735, Petropoli,
1740, p. 15—34.
[83]	(K стр. 268). Речь идет о сочинении И. Бернулли «Рас-
суждение о законах передачи движения» («Discours sur les lois
de la communication du mouvement»), вошедшем в русское издание:
И. Бернулли. Избранные сочинения по механике. Перевод
под редакцией В. П. Егоршина. ОНТИ, 1937. Указанному вопросу
посвящена у Бернулли глава XII.
[84]	(к стр. 268). Речь идет о статье Буге «Решение задачи
Бернулли об ударе тела, встречающегося с несколькими покоя-
щимися телами, при помощи обычных методов, относящихся
к передаче движений» («Solution, par les seules r£gles ordinaires
de la communication des mouvements, du probleme de M. Ber-
noulli, sur le choc d’un corps qui en rencontre plusieurs autres
qui sont en repos»). Статья была напечатана в журнале, указан-
ном в тексте.
Буге (Bouguer)— французский математик (1698—1758). Участ-
вовал в измерениях дуги меридиана на экваторе в Перу (1735—
1742). Ему принадлежат сочинения: «Беседы о причинах наклоне-
ния орбит планет» («Entretiens sur la cause d’inclinaison des or-
bites des planetes», 1734), «Точная форма земли» («La Figure de
la terre det^rminee», 1749) и др. Главные заслуги Буге — в об-
ласти оптики.
[85]	(к стр. 268). В указанном сочинении Даламбера законы
движения тел в жидкости выводятся из законов удара одного
тела о многие малые тела. Так же поступает и И. Бернулли.
[86]	(к стр. 291). См. на русском языке И. Бернулли, Избран-
ные сочинения по механике. Перевод под редакцией В. П. Егор-
шина, М.—Л., ОНТИ, 1937. Под именем «принципа сохранения жи-
вых сил» у Бернулли указывается лишь первое из двух положений,
о которых говорит здесь Даламбер. Между этими двумя положени-
ями существует принципиальная разница, состоящая в том, что в пер-
вом положении говорится о сохранении лишь живых сил, как та-
ковых, а во втором — о сохранении неизменной суммы живых
сил и потенциальной энергии. Другими словами, хотя Даламбер
и не мог знать о превращениях энергии, тем не менее он, как
ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ
841
мы видим, подходит весьма близко к этому и в математической
форме уже отобразил закон сохранения полной механической
энергии.
[87]	(к стр. 295). Под эффектом силы (Peffet de la puissance)
Даламбер понимает величину, соответствующую современному
понятию работы. Как видно из дальнейшего, Даламбер этот
эффект выражает величиной
j 2A-AD-CA
(фиг. 72),—в чем нетрудно узнать интеграл работы. То, что Даламбер
называет «силой», соответствует теперешнему понятию ускорения.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
От издательства ................................... 5
Предисловие автора	ко	второму	изданию...............И
Введение...........................................15
Предварительные определения	и	понятия..............36
ЧАСТЬ I.
Общие законы движения и равновесия тел.
ГЛАВА I.
О силе инерции и о вытекающих из нее свойствах движения. 38
О равномерном движении.............................43
Замечание по поводу измерения времени..............44
Об ускоренном или замедленном движении.............49
Замечания по поводу ускоряющих сил и сравнения их между
собою........................................  56
ГЛАВА П.
О сложении движений................................68
О криволинейном движении и о центральных силах .... 73
ГЛАВА III.
Об уничтожении или изменении движения теми или иными
препятствиями	.............................76
О движении тела по	кривой поверхности..............79
О равновесии.....................................  82
ЧАСТЬ II.
Общий принцип для нахождения движения нескольких тел,
произвольным образом действующих друг на друга, а также
некоторые применения этого принципа.
ГЛАВА I.
Изложение принципа ...............................107
ОГЛАВЛЕНИЕ
343
ГЛАВА II.
Свойства общего центра тяжести нескольких тел, выведен-
ные на основании предыдущего принципа................110
глава ш.
Задачи, в которых указывается, как пользоваться вышепри-
веденным принципом...................................128
§ 1. О телах, соединенных между собою при помощи
нитей или стержней (128). § 2. О телах, качающихся на
плоскости (224). § 3. О телах, действующих друг на
друга с помощью нитей, вдоль которых они могут сво-
бодно скользить (238). § 4. О толкающих друг друга
телах, или, иначе, о телах соударяющихся (249). О теле,
ударяющем несколько тел одновременно (265)
Об ударе упругих тел, когда соударяется несколько тел
сразу ...........................................273
ГЛАВА IV.
О принципе сохранения живых сил......................290
О сохранении живых сил в телах, соединенных между собою
при помощи нитей или жестких стержней ....... 293
О сохранении живых сил в том случае, когда тела, рассмат-
риваемые как точки, соединены между собою при помощи
нитей ...........................................299
О сохранении живых сил, когда тела соединены между собой
при помощи жестких стержней и когда эти тела рассмат-
риваются как точки...............................303
О сохранении живых сил в случае, когда тела обладают ко-
нечными массами и когда они соединены нитями или
жесткими стержнями..................................*	304
О сохранении живых сил в случае удара упругих тел ... 306
О сохранении живых сил в жидкостях...................310
Примечания к переводу................................315
Редактор Д. В. Жарков.
Технический редактор Р, А. Негримовская.
Подписано к печати 34 1950 г. 21,5 печ.
л. 4- 1 вклейка. 18,76 уч.-изд. л. 34 600 тип. зн.
в печ. листе. Т00201. Тираж 4000 экз. Цена
книги 11 р. 25 к. Переплет 2 р. Заказ № 956.
Отпечатано с матриц Первой Образцовой
типографии имени А. А. Жданова в 4-й
типографии им. Евг. Соколовой Главполи-
графиздата при Совете Министров СССР.
Ленинград, Измайловский пр., 29.