Текст
В. Д. Черненко
Ж ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА
в примерах
и задачах
дх ду ду дх
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВУЗОВ
I
В. Д. Черненко
ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА
в примерах
и задачах
В трех томах
н
том
ПОЛИТЕХНИКА
ИЗДАТЕЛЬСТВО
Санкт-Петербург 2003
УДК 517 (07)
ББК 22.11
4-49
Рецензенты:
К. Ф. Черных, доктор физико-математических наук,
профессор Санкт-Петербургского государственного университета,
Я. В. Югов, член-корреспондент Центра прикладной математики
и механики Академии наук РФ
Черненко В. Д.
4-49 Высшая математика в примерах и задачах: Учебное пособие
для вузов. В 3 т.: Т. 1.— СПб.: Политехника, 2003.— 703 с.: ил.
ISBN 5-7325-0766-3 — общ.
ISBN 5-7325-0767-1 — Т. 1
Предлагаемое учебное пособие содержит краткий теоретический материал по
определителям и матрицам, системам линейных уравнений, векторной и линейной
алгебре, аналитической геометрий на плоскости и в пространстве, функциям и
вычислению, пределов, дифференциальному исчислению функций одной и несколь-
ких переменных, приложениям дифференциального исчисления к геометрии, нео-
пределенному и определенному интегралам и приложениям определенного интег-
рала к задачам геометрии, механики и физики, а также большое количество при-
меров, иллюстрирующих основные методы решения.
УДК 517(07)
ББК 22.11
УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ
Черненко Владимир Дмитриевич
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В ПРИМЕРАХ
И ЗАДАЧАХ
В трех томах
Том 1
Заведующая редакцией Е. В. Шарова. Переплет художника М. Л. Черненко.
Корректор А. Н. Пятницкая. Макет Т. Л. Пивоваровой.
Компьютерный набор и верстка В. А. Чернявского, М. М. Пивоварова, Т. Л. Пивоваровой
ЛР№010292 от 18.08.98
Сдано в набор 22.05.03. Подписано в печать 13.08.03. Формат 60x90 V . Бумага офсетная.
Печать офсетная. Гарнитура Times New Roman. Усл. псч. л. 44.0 \'ч.-изд. л. 43,2.
Тираж 3000 экз. Зак 2848.
ФГУП «Издательство “Политехника”». 191023, Санкт-Петербург, Инженерная ул., 6.
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ГУП «Республиканская типография им. П. Ф. Анохина». 185005, г. Петрозаводск, ул. «Правды», 4.
ISBN 5-7325-0766-3 — общ.
ISBN 5-7325-0767-1 — Т. 1 © В. Д. Черненко, 2003
Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ............................................8
Глава 1
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ..........................11
1.1. Определители. Способы вычисления............... —
1.2 Системы линейныых уравнений.
Правило Крамера...............................22
1.3. Основные определения теории матриц.
Сложение и умножение матриц..................3 1
1.4. Транспонирование матрицы.......................39
1.5. Обратная матрица...............................41
1.6. М атричный метод решения системы
линейных уравнений............................45
1.7. Решение системы линейных уравнений методом
исключения (метод Гаусса).....................46
1.8. Рангматрицы....................................50
1.9. Решение системы линейных уравнений.
Теорема Кронекера-Капелли......................55
Глава 2
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА....................................6 3
2.1. Векторные и скалярные величины.
Линейные операции над векторами................ —
2.2. Разложение вектора по координатным осям........72
2.3. Скалярное произведение.........................78
2.4. Векторное произведение.........................85
2.5. Смешанное произведение векторов................89
4
Глава 3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ........................................95
3.1. Координаты точки на прямой
и на плоскости. Длина и направление отрезка......... —
3.2. Деление отрезка в данном отношении. Площадь
треугольника и многоугольника. Центр тяжести........99
3.3. Уравнения прямой линии. Геометрическое истолкование
неравенства и системы неравенств первой степени.....106
3.4. Задачи на прямую линию.......................116
3.5. Уравнение линии как геометрического места точек.132
3.6. Кривые второго порядка.......................136
3.7. Преобразование декартовых координат..........153
3.8. Полярная система координат. Уравнения кривых.161
3.9. Параметрические уравнения плоских кривых.....170
Глава 4
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ................173
4.1. Системы координат............................. —
4.2. Плоскость....................................175
4.3. Прямаялиния..................................182
4.4. Прямая и плоскость...........................186
4.5. Поверхности второго порядка..................191
4.6. Геометрический смысл уравнений
с тремя неизвестными в пространстве..........203
4.7. Параметрические уравнения пространственных кривых ..207
Глава 5
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ...............................209
5.1. Линейные преобразования....................... —
5.2. Разложение векторов по базису.
Арифметические векторы.......................214
5.3. Собственные числа и собственные векторы матрицы.220
5.4. Квадратичные формы и их приведение
к каноническому виду.........................223
5
Глава 6
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ...................227
6.1. Множествам операции над ними................227
6.2. Логическая символика........................229
6.3. Понятие о функции...........................230
6.4. Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей.239
6.5. Непрерывность и точки разрыва функции.......252
Глава 7
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ...................................265
7.1. Вычисление производных....................... —
7.2. Производные функций, не являющихся явно заданными .. 279
7.3. Производные высших порядков.................284
7.4. Дифференциал функции........................296
7.5. Приложения производной к задачам геометрии и физики... 304
7.6. Теоремы о среднем...........................315
7.7. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.320
7.8. Возрастание и убывание функций..............325
7.9. Максимум и минимум функции..................329
7.10. Наибольшее и наименьшее значение функции...336
7.11. Решение задач на максимум и минимум........340
7.12. Направление выпуклости кривой. Точки перегиба..354
7.13. Асимптоты кривой...........................357
7.14. Исследование функции и построение графиков.....365
7.15. Формула Тейлора и Маклорена................378
Глава 8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ......................387
8.1. Понятие о функции нескольких переменных.
Область определения......................... —
8.2. Предел функции нескольких переменных.
Непрерывность..............................392
8.3. Частные производные первого порядка.........394
6
8.4. Дифференциал функции и его применение
к приближенным вычислениям....................399
8.5. Частные производные и дифференциалы
высших порядков...............................404
8.6. Дифференцирование сложных функций.............411
8.7. Дифференцирование неявных
и параметрически заданных функций.............415
8.8. Замена переменных в дифференциальных выражениях... 429
8.9. Экстремум функции.............................435
8.10. Наибольшие и наименьшие значения функций......443
8.11. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.450
Глава 9
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ..............................457
9.1. Касательная и нормаль к плоской кривой......... —
9.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.460
9.3. Кривизна плоской кривой.......................470
9.4. Особые точки плоских кривых...................483
9.5. Касание кривых между собой....................488
9.6. Производная вектор-функции....................493
9.7. Естественный трёхгранник пространственной кривой.
Касательная и нормальная плоскость
к пространственной кривой.........................500
9.8. Кривизна и кручение пространственной кривой...508
Глава 10
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ............................513
10.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл.
Свойства неопределенного интеграла. Таблица
основных интегралов и простейшие примеры........... —
10.2. Непосредственное интегрирование...............520
10.3. Интегрирование методом замены переменной......524
10.4. Интегрирование по частям......................531
10.5. Интегралы от функций, содержащих
квадратный трехчлен...............................538
7
10.6. Интегрирование рациональных дробей..........547
10.7. Интегралы от иррациональных функций.........560
10.8. Интегрирование тригонометрических функций...572
10.9. Интегрирование гиперболических функций......578
10.10. Задачи, приводящие к понятию
неопределенного интеграла.........................581
Глава 11
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.............................583
11.1. Определение определенного интеграла. Свойства.
Формула Ньютона-Лейбница........................... —
11.2. Замена переменной в определенном интеграле..587
11.3. Интегрирование по частям....................591
11.4. Теоремы об оценке определенного интеграла...594
11.5. Определенный интеграл как функция верхнего предела . 597
11.6. Несобственные интегралы.....................599
Глава 12
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА К ЗАДАЧАМ ГЕОМЕТРИИ,
МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ.................................611
12.1. Общая схема применения определенного интеграла
к вычислению различных величин..................... —
12.2. Площадь плоской фигуры......................614
12.3. Объем тела..................................626
12.4. Длина дуги кривой...........................638
12.5. Площадь поверхности вращения................645
12.6. Вычисление статических моментов
и моментов инерции.................................651
12.7. Координаты центра тяжести...................669
12.8. Приложение определенного интеграла
к задачам механики и физики.......................682
ЛИТЕРАТУРА...........................................704
ПРЕДИСЛОВИЕ
В плане изучения высшей математики наибольшие трудно-
сти возникают при решении конкретных задач и примеров, кото-
рые требуют знание определенных методов и приемов.
Цель книги — помочь студентам научиться самостоятельно
решать задачи по курсу высшей математики. Изучение теории
должно производится по рекомендованному в программе или
учебным заведением учебнику.
Каждый параграф начинается с краткого теоретического
введения, приводятся основные определения, теоремы без дока-
зательств, главнейшие формулы, методы и способы решения за-
дач. Решение типовых примеров и задач в параграфе, как
правило, расположено по возрастающей трудности.
Одной из отличительных от существующих изданий осо-
бенностей пособия является отсутствие задач для самостоятель-
ного решения, что позволяет при одном и том же объеме
рассмотреть более широкий спектр методов и приемов реше-
ния, охватить больший диапазон задач и разнообразие приме-
ров. Для самостоятельного решения, по мнению автора, имеется
в настоящее время достаточное количество прекрасных сбор-
ников задач по математике для различных форм и профилей
обучения.
ПРЕОИСПОВИЕ
9
Другой характерной особенностью является включение ре-
шений задач вычислительного характера, что позволяет охва-
тить шире круг пользователей. Кроме того, значительное
внимание уделено методам решения прикладных задач.
При написании пособия автор опирался на многолетний опыт
преподавания курса высшей математики в различных вузах
Санкт-Петербурга. Часть задач была составлена автором, а
часть заимствована из сборников: Берман Г.Н. Сборник задач
по курсу математического анализа, 1975; Минорский В.П. Сбор-
ник задач по высшей математике, 1972; Задачи и упражнения по
математическому анализу, под редакцией Б.П. Демидовича, 1968;
Гюнтер Н.М. и Кузьмин P.O. Сборник задач по высшей матема-
тике, т. 1-3,1959; Сборник задач по математике для вузов. Под
редакцией А.В.Ефимова, ч.1-2, 1993-1994; Будак Б.М., Самар-
ский А. А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической фи-
зике, 1980; Бугров Я.С., Никольский Я.С. Высшая математика.
Задачник, 1982; Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по
теории вероятностей и математической статистике, 1998; Сбор-
ник задач по теории вероятностей, математической статистике и
теории случайных функций, под редакцией А.А.Свешникова,
1970.
Книга предназначена для студентов технических и эконо-
мических вузов. Может служить учебным и справочным посо-
бием лицам, желающим самостоятельно повторить курс высшей
математики.
В книге принята следующая индексация: внутри рассмат-
риваемой главы используются двойные индексы (2.3), где пер-
вая цифра указывает номер главы, вторая — номер параграфа
в главе. Номера формул в каждом параграфе свои. Номера за-
дач — двойные индексы (3.4). Здесь первая цифра указывает но-
мер параграфа, вторая — номер задачи в параграфе. Каждый
параграф разбивается по темам на разделы «жирными» цифра-
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
ми с индексом 2°. Номера рисунков — двойные (4.6). Здесь пер-
вая цифра указывает номер главы, вторая — номер рисунка в
главе.
Содержание всего учебного пособия определяется програм-
мой курса математики для вузов. Первый том (главы 1-12) со-
держит материал, соответствующий программе 1-го курса вуза.
Второй том (главы 13-20) содержит материал, соответствующий
программе 2-го курса вуза. Третий том (главы 21-34) содержит
материал, изучающийся на старших курсах и связанный в той
или иной степени со специальными дисциплинами и профилями
образования различных вузов.
Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую
признательность коллективу кафедры высшей математики СЗТУ
за ряд ценных замечаний, направленных на улучшение настоя-
щего пособия и подготовку его к изданию. Особенно автор бла-
годарен доц. Смирнову В.Н. за помощь в компьютерном наборе
и редактирование ряда глав, а также доц. Карповой Е. А. и проф.
Гурецкому В.В. за просмотр глав 1-9 в рукописи. К сожалению,
автор смог лишь частично учесть сделанные ими замечания.
Глава 1
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
1.1 .Определители.
Способы вычисления
1°. Определителем 2-го порядка называется число, обозна-
чаемое выражением
= оД -a2bt.
а2
ь2
(1)
где ар а2, Ьр Ь2 — элементы определителя.
Определителем 3-го порядка называется число, обозначае-
мое выражением
г?, с,
а,
b2 с2 =alb2c}+a2b}ct+a3blc2-a3b2cl—a2blcJ—alb3c2.
(2)
Определителем п-го порядка называтся число
12
Глава 1
^11 °12 ••• °1л
det4 = °2' °22 -
(3)
а. а„, ... а,
711 П2 Г
где — элемент определителя, находящийся на пересечении
i -й строки и j -го столбца.
2°. Свойства определителей.
1. Величина определителя не изменится, если заменить стро-
ки столбцами, а столбцы — строками, не меняя их порядка.
2. Если поменять местами две строки (столбца) определите-
ля, то определитель изменит знак.
3. Чтобы умножить определитель на число, достаточно ум-
ножить на это число все элементы какой-нибудь строки (столб-
ца), т. е. общий множитель, содержащийся во всех элементах
строки (столбца), можно вынести за знак определителя.
4. Определитель равен нулю, если все элементы какой-ни-
будь строки (столбца) равны нулю.
5. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (или стро-
ками) равен нулю.
6. Если элементы некоторого ряда определителя представ-
ляют сумму двух слагаемых, то определитель может быть пред-
ставлен в виде суммы двух определителей
о, fy+c, _ а, Ь\ о,
Oj b2 +с2 а2 b2 Oj с.
(4)
7. Величина определителя не изменится, если к элементам
одного ряда прибавить элементы параллельного ряда, умножен-
ные на одно и то же число
о, bt _ a, b+ka,
a, b2 а2 b2 + ka2
(5)
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МА ТРИДЫ. СИСТЕМЫ
13
3°. Вычисление определителей.
1. Значение определителя второго порядка находится по фор-
муле (1).
2. Правило Саррюса. а) Для вычисления определителя
3-го порядка приписывают к нему снизу две первые строки и
берут сумму произведений трех элементов расположенных на
главной диагонали и «прямых», параллельных главной диаго-
нали, со знаком минус берут сумму произведений элементов,
расположенных на побочной диагонали, и «прямых», параллель-
ных ей
а\ С1
а2хЬ^ с2^~
а^'Ь^с.
bt с, Ч<+
^2 Ь2Хс2 3 Ч+
= а,Ь2с3 + а2Ь3с] +а3Ь^с2 —aib2ci —ахЬ3с2 —а2Ьхс3.
б) Правило Саррюса имеет еще и другой вид. К определи-
телю приписывают справа два первых столбца и вычисляют сум-
му произведений элементов расположенных на главной
диагонали и «прямых» параллельных ей и со знаком минус вы-
числяют сумму произведений элементов, расположенных на по-
бочной диагонали, и «прямых», параллельных ей
а
а,
а
3. Правило треугольников. Определитель равен алгебраи-
ческой сумме произведений элементов, расположенных на глав-
14
Г пава 1
ной и побочной диагоналях и в вершинах треугольников с ос-
нованиями параллельными диагоналям. Произведения элемен-
тов, расположенных на побочной диагонали и в вершинах
треугольников с основаниями параллельными ей, берутся со
знаком минус
4. Разложение определителя по элементам какой-либо стро-
ки или столбца.
а) Минором некоторого элемента определителя называется
определитель, получаемый из данного путем вычеркивания стро-
ки и столбца, на пересечении которых этот элемент находится.
Так для элемента а- минор обозначается Mf..
б) Алгебраическим дополнением некоторого элемента опре-
делителя называется его минор, взятый со знаком плюс, если сум-
ма номеров строки и столбца, на пересечении которых находится
этот элемент—число четное и со знаком минус, если эта сумма—
число нечетное. Алгебраическое дополнение элемента будет
в) Всякий определитель равен сумме произведений элемен-
тов какого-либо ряда на алгебраические дополнения этих эле-
ментов
п
detA=^a/..,
/=i
(6)
Данное свойство справедливо для определителей любого по-
рядка и может быть использовано для их вычисления. Так опре-
делитель 4-го порядка может быть, к примеру, разложен по
элементам 2-й строки в виде
ОПРЕЛЕПИТЕПИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ
15
сообразно, используя 7-е свойство определителей (2°), добить-
ся того, чтобы все элементы какого-либо ряда, кроме одного,
стали нулями. В этом случае определитель будет равен про-
изведению этого элемента на его алгебраическое дополне-
ние, т. е. на определитель, на один порядок меньший
исходного.
5. Метод приведения к треугольному виду. Суть метода
заключается в таком преобразовании определителя с помощью
его свойств, когда все элементы, лежащие по одну сторону од-
ной из его диагоналей, равны нулю. В этом случае определи-
тель равен произведению элементов, расположенных на этой
диагонали.
4° . Теорема аннулирования. Сумма произведений элементов
какой-либо строки на соответствющие алгебраические допол-
нения другой строки равна нулю
апАр +ааАр+ •• +д, А=0 при гУу-
Отсюда следует фундаментальное тождество теории опре-
делителей
«Иу1+а,.242+ ... +ainAjn=
А при i - j
О при i# j
16
Гпава 1
Аналогичные тождества справедливы и в отношении
столбцов
„ „ [А при i = j
a,lA..+a-,.A-,.+ ... +a Л <
21 2j n,ni [0 при i*j
5°. Произведение определителей. Произведение двух опре-
делителей одинакового порядка равно определителю того же
порядка с элементами равными сумме произведений i-й строки
на соответствующие элементы у-го столбца
a,i Ojj ... aln b,t bl2 ... b}n
oij! a22 ... a2n b2l b22 ... b2rl
cH c12
c2, c22
C2„
an2
a„„ b„, b2
nn ni n2
c, С о
nl n2
где
сч = X a^i + anb2j + + ainbni
*=i
6°. Определитель
1 Oj O]2 ... O]'1"1
1 a,2 ...
‘~П • • • • •
1 4, a2 ...
образованный элементами a;,a2, .... ,a„ называется определи-
телем Вандермонда или степенным. Определитель равен нулю,
если какие-либо два элемента а; и а. равны между собой.
Вычислить опредлитель Вандермонда позволяет метод ре-
куррентных соотношений, который выражает данный опреде-
литель, разлагая его по элементам столбца или строки, через
определители более низкого порядка
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ
17
1.1. Вычислить определители:
а) 3 —4
6) sinx cosx
2 5 ’ -cosx sinx
Решение, а) По формуле (1) имеем:
=3-5-(-4)-2=23.
2 5
б)
sinx
-cosx
cosx
sinx
= sin2x+cos2x=l.
1.2. Вычислить определители:
1
5
О х
х 1
-1 X
по правилам Саррюса и треугольников.
Решение, а) Используем первую схему Саррюса, т. е. при-
пишем первые две строки снизу
2
3
1
2
3
1
—2
3
1
—2
=2-1-3+3- 5- 1+1Н)(-2)-1-1-1-2- 5(-2)-3(-4)3=84.
—4
1
5
—4
1
б) Используем вторую схему Саррюса, т. е. припишем пер-
вые два столбца справа
а 1 —a al
1 а 1 1 а = а-а(-а)+1-1(-а)+(-а)1-1-(-а)а(-а)-
-а 1 -а -а 1
-1-1- а-(-а) 1 • 1 =-2а(а2+1).
18
Глава 1
в) Используем правило треугольников
1 0 х
2 х
О -1
= 1 хх+0-
10+2(-1)х-0- хх-1(-1) 1-2- 0х=
X
=х2-2х+1=(х-1)2.
1.3. Упростить и вычислить определитель
А = 4 3 2 6 -8 5 1-2 3 4 2 3 4-2-1 1
Решение. Проще всего получить три нуля в третьем столб-
це. Для этого прибавим элементы второй строки к элементам
четвертой
А = 4 3 2 6 -8 5 1-2 3 4 2 3 -4 3 0 -1
Теперь умножим элементы первой строки на(-1) и сложим с
элементами третьей строки
А = 4 3 2 6 -851-2 -110-3 -4 3 0 -1
Умножая элементы второй строки на (-2) и складывая с эле-
ментами первой строки,получим
ОПРЕЛЕПИТЕПИ И МА ТРИ ЦЫ. СИСТЕМЫ
19
20 -7
-8 5
-1 1
-4 3
Складывая второй столбец с первым, будем иметь
13 —7 10
Д = (—1) 0 1 -3
-1 3 -1
Умножим второй столбец на 3 и сложим с третьим
Д = (-1)
13 —7
0 1
-1 3
-11
о
8
= (-1)
13 -11
-1 8
= -93.
1.4. Вычислить определитель и-го порядка
1 1 1 ... 1
1 0 1 ... 1
1 1 0 ... 1
1 1 1 ... 0
Решение. Воспользуемся свойством 7 и прибавим элементы
первой строки, взятые со знаком минус, к элементам всех дру-
гих строк, тогда, разлагая по элементам 1-го столбца, получим
1 1 1 . . 1 -1 0 .. 0
0 -1 0 . . 0 0 -1 .. 0
0 0 -1 . . 0 =(-1)1+1 0 0 .. . -1 =(-!)"-
0 0 0 . . -1
20
Гпава 1
1.5. Перемножить определители
2 -3 1
4 0 5
1 -2 3
Решение.
1 3 4
4 1 5
-2 4 3
2 -3
4 0
1 -2
1 13 4
5-415
3-243
2-1+(-3)-4+1(-2) 2-3+(-3)-1 + 1-4 2-4+(-3)-5 + 1-3
4-1 + 0-4 + 5(-2) 4-3 + 0-1 + 5-4 4-4 + 0-5 + 5-3
1-1+(2)-4 + 3(—2) 1-3+(-2)-1 + 3-4 1-4+(—2)-5 + 3-3
-12
-6
-13
7
32
= -363.
Если вычислить непосредственно данные определители, то
получим тот же результат
= 0.
-11,- 33 (-11) = -363.
Решение. Раскроем определитель:
А = Зах + х1 -1х + ах1 = х(3а + х - 2 + ах) - 0.
Откуда х = (2-За)/(а + 1), х = 0.
ОПРЕНЕПИТЕПИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ
21
1.7. Вычислить определитель Вандермонда
1 а а2 а3
1 b Ь2 Ь3
1 с с2 с3
1 d d2 d3
Решение. Вычтем первую строку из остальных строк, тогда
получим
1 а а2 а3
О b-а Ь2-а2 Ь3-а3
О с-а с2-а2 с3-а3
О d-а d2-a2 d3-а3
b-a
= (-1) с-а
(&-а)(& + а) (b-a)(b2 + ab + a2}
(с-а)(с + а) (с-а)(с2+ас + а2}
(d-a)(d + a) (d-a)(d2 + ad + a2]
d-a
1 b + a b2 + ab + a2
= (d - a)(c - a}(b - a) 1 c + a c2 + ac + a2
1 d + a d2 + ad + a2
Снова вычтем первую строку из остальных
Д4 =(d-a)(c-a)(b-a) 0 с + а-Ь-а
О d+a-b-a
b2 +ab + a2
с2 +ac-b2 —ab
d2 +ad-b2-ab
1 Ь + а
= (-l)1+1 (d-d)(c-d)(b—d)
c-b (c-&)(c + &) + a(c-&)
d-b (d-b')(d + b') + a(d-b')
22
Глава 1
= (d-a)(c-a)(&-a)(c-&)(d-6)
1 a + b + c
1 a + b + d
Вычитая из второй строки первую, получим
Д4 - (d-a)(c-a)(&-a)(c-&)(d-&)
1 a + b + c
О d — с
= (d-a)(c-a)(&-a)(c-&)(d-&)(d-c).
1.2 Системы линейныых уравнений.
Правило Крамера
1°. Решение системы двух линейных уравнений с двумя не-
известными
а^. + Ьу -с},
а^х + Ь^с.,
по формулам Крамера имеет вид
(2)
где
_ а, с,
Ь2 а2 с2
основной и дополнительные определители системы.
При решении системы могут встретиться три следующих
случая:
а) А Ф 0 — система совместна, имеет единственное реше-
ние;
б) Д = 0, но Дх ф 0 или Д ф 0 — система несовместна, не
имеет решения;
ОПРЕПЕПИТЕПИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ
23
в) Д = Дх = Ду = О — система неопределена, т. е. имеет бес-
численное множество решений (система сводится к одному урав-
нению).
2°. Система двух однородных линейных уравнений с тремя
неизвестными
axx. + biy + cxz = 0,
a2x + b2y + c2z = 0
имеет ненулевые решения, определяемые формулами
x = k
ь2
(3)
(4)
где к — произвольное число.
Если все определители (4) окажутся нулями, то система сво-
дится к одному уравнению.
3°. Однородная система трех линейных уравнений с тремя
неизвестными
a^x + ^y + c^z — O,
a2x + b2y + c2z = 0,
а,х + Ь2у + с3г = 0.
(5)
При решении системы возможны три случая:
а) Основной определитель системы
ci
д = «2 ьг С2 ФО.
О, Ь3 Сз
Система имеет только нулевое решение.
б) Д = 0, но, по крайней мере, найдется один элемент, ми-
нор которого отличен от нуля. В этом случае уравнение, в кото-
ром данный элемент является коэффициентом при неизвестной,
24
Глава 1
является следствием двух других уравнений и задача сводится к
решению этих уравнений.
Таким образом, задача сводится к решению системы (3) и
имеет бесчисленное множество решений.
в) А = 0, и все его миноры равны нулю. В этом случае два
уравнения являются следствием одного, т. е. система сводится к
одному уравнению с тремя неизвестными, совместна и имеет
бесчисленное множество решений.
4°. Система трех линейных неоднородных уравнений с тре-
мя неизвестными
alx + </ + c1z = rf1,
OjX + b2y + c2z = d2,
aix + b3y + c3z = cLl.
При решении возможны три случая:
а) А Ф 0, система имеет единственное решение, определяе-
мое по формулам Крамера аналогично решению (2)
б) А = 0, но найдется, по крайней мере, один элемент, ми-
нор которого не равен нулю. Если в главном определителе за-
менить столбец, где находится этот элемент, столбцом из
свободных членов и дополнительный определитель не будет
равен нулю, то система несовместна. Если же дополнительный
определитель будет равен нулю, то уравнение в котором дан-
ный элемент является коэффициентом при неизвестной, будет
следствием двух других уравнений и система имеет бесчислен-
ное множество решений.
в) А = 0, и все его миноры равны нулю. Если хотя бы один
минор дополнительных определителей отличен от нуля, то си-
стема несовместна. Если же все миноры дополнительных оп-
ОПРЕПЕПИТЕПИ И МА ТРИПЫ. СИСТЕМЫ
25
ределителей равны нулю, то система сводится к одному урав-
нению, совместна и имеет бесчисленное множство решений.
2.1. Пользуясь определителями 2-го порядка решить сис-
темы:
3x + 2t/ = 12; 'Зх.-'ly = 4; x+t/ = 3;
с)\
4х — у = 5; 6х-4у = 9; 1х + 1у — 6.
Решение, а) Главный определитель системы
Дополнительные определители
Отсюда по формулам Крамера
= 2*0; Ду =
= 3*0.
Система несовместна.
Второе уравнение системы есть следствие первого; система
имеет бесчисленное множество решений.
2.2. Найти решения системы
2х — у + 5г = 0;
3x-4y-7z = 0.
26
Гпава 1
Решение. Ненулевые решения находим по формулам (4)
где к — произвольное число.
Задаваясь различными значениями к получим бесчисленное
множество решений.
2.3. Решить системы:
а)
3x + 2z/ + 4z = 0; б)
- 5x + z/-8z = 0;
4x + 2z/ + 3z = 0,
x + 2z/-4z = 0;
- 2x + 3z/ + z = 0;
3x + 5z/-3z = 0.
Решение, а) Главный определитель
3 2 4
A = 5 I -8 = -13*0.
4 2 3
Система имеет только нулевое решение х = у = z = 0.
б)
1 2 -4
А = 2 3 1 =-9-40 + 6 + 36-5 + 12=0.
3 5-3
Минор первого элемента первой строки не равен нулю, сле-
довательно, система сводится к двум уравнениям (третье урав-
нение есть сумма первых двух). Решая первые два уравнения по
формулам (4), получим
x = k
2 -4
3 1
= 14k; у = -k
= —9k;
1
2
z = k
1
2
2
3
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ
27
2.4. Решить системы:
б) 2x + y + z-2;
х + y + 2z = 2;
3x + 2y + 3z = 4,
в) fx+2y + z = l;
x + 2y + z = l;
x + 2y + z = l,
2x + y + z = 3;
2x + у + z = 2;
2x + у + z = 3,
Решение, а) Находим главный определитель
2 -3 1
Д = 5
4
и дополнительные
1 -3 =4+15+36-4+30+18=99.
По формулам Крамера
198 „ А 198
---= —2; z = — =-----
99 А 99
3 2
Третье уравнение есть сумма первых двух и система сво-
дится к решению первых двух уравнений
2x + y + z = 2; \2x + y = 2 — z;
x + y + 2z = 2, [ x + y = 2-2z,
28
Гпава 7
где z — произвольно, т. е. система имеет множество решений.
в)
1 2 1
А= 1 2 1 =0
1 2 1
и все миноры равны нулю.
Поскольку все миноры дополнительных определителей рав-
ны нулю, то система сводится к одному уравнению
х = l-2j-z,
гдер, z— произвольны.
г)
2 1 1
А= 2 1 1 =0
2 1 1
и все миноры равны нулю.
Поскольку миноры дополнительных определителей отлич-
ны от нулей, то система несовместна.
2.5. Определить значение коэффициента а, при котором
система линейных однородных уравнений имеет ненулевое
решение
ax + 4y-5z = 0,
• 9х + 81/-7г = 0,
Зх + 4т/-Зг = 0.
Решение. Поскольку система однородная, то она ненуле-
вое решение имеет только в том случае, когда определитель си-
стемы А равен нулю
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ
29
«4-5
Д= 9 8 -7
3 4-3
= 0.
Разрешая определитель относительно а, получим -24а-
-180=84+120+28а+108 = 0, откуда а = 9. Подставим найденное
значение а = 9 в систему.
Поскольку определитель системы Д = 0, а среди миноров
второго порядка имеются отличные от нуля, к примеру,
8
4
м> =
—7
-3
= 4*0,
то одно из уравнений является следствием двух других, и си-
стема равносильна системе двух уравнений с тремя неизвест-
ными
9x + 8t/-7z = 0,
3x + 4t/-3z = 0.
Решение находим по формулам (4)
8
4
или х = 1к,у = Ik, z = 6к, где к — произвольное число.
Задаваясь различными значениями к, получаем бесчислен-
ное множество решений.
2.6. Решить систему:
2х + у = 4,
4t/ + 3z = 17,
• 5z + 2u = 19,
u + 7v = 9,
6u + 5x = 11.
30
Главе 1
Решение. Найдем главный определитель системы
2 1 0 0 0 4 3 0 0
0 4 3 0 0 0 5 2 0
0 0 5 2 0 = 2 0 0 1 7 +
0 0 0 1 7 0 0 0 6
5 0 0 0 6
1 0 0 0
+5(-1Г 4 3 0 0 2-4- 5-1 6 + 5 1-3 •2-7 = 450.
0 5 2 0
0 0 1 7
Для нахождения неизвестной х найдем вспомогательный
определитель Дх
Дх
4 1 0 0 0 4 3 0 0 17 3 0 0
17 4 3 0 0 0 5 2 0 , \2+1 19 5 2 0
19 0 5 2 0 = 4 0 0 1 7 +(-1) 9 0 1 7
9 0 0 1 7 0 0 0 6 11 0 0 6
11 0 0 0 6
19 2 0
= 4-4-5-1-6—17-5-1-64-3 9 1 7 =450.
И 0 6
Отсюда по формуле Крамера х = = 1. Остальные неиз-
Д
вестные находятся подстановкой х = 1 в систему уравнений
у = 2, z = 3, и = 2, v= 1.
Последнее уравнение может служить проверкой найденно-
го решения.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МА ТРИПЫ. СИСТЕМЫ
31
1.3. Основные определения теории матриц.
Сложение и умножение матриц
1°. Матрицей называют таблицу, состоящую из элементов
ац, расположенных в т строках и п столбцах, и обозначают
012 ••• ат '
л= о21 а22 - агп
ат2 ' ’' атп ?
Если т = п, то матрицу называют квадратной; если т = 1,
то получим матрицу — строку
(а„ а|2 а13
если n = 1, то получим матрицу - столбец
«21
\ т1 7
Если элементы квадратной матрицы удовлетворяют усло-
вию atj = ajt, то матрица называется симметрической.
Единичной матрицей порядка п называется квадратная мат-
рица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все ос-
тальные элементы равны нулю
Ч 0 ••• (Р
О 1 ••• О Г1 если i = j;
Еп= . . . • а, = у
: : : 4 [0 если i^j.
<° 0 - U
Нетрудно заметить, что определитель единичной матрицы
любого порядка равен единице det En = 1.
32
Глава 1
Две матрицы Лий называются равными, если они имеют
одинаковую размерность и все соответствующие элементы мат-
риц равны между собой, т. е. - btj
2°. Суммой двух матриц одинаковой размерности А иВ на-
зывается матрица С такой же размерности, получаемая из этих
матриц сложением соответствующих элементов
С - А+В.
Например, сумма матриц третьего порядка имеет вид
a,! Oj2 а|3 ^11 ^12 ^13 '<*11+^1! «12+^2 <*13 +V
а21 а22 а23 + &21 Ь22 Ь23 = <*21 +^21 <*22 “*“^22 <*23 + ^23
<*31 <*32 “ЗЗ' Ь» Ь32 Ь33 , Ц32 + b32 a^+byi'
Свойства суммы матриц:
1. Сочетательный закон
(А+В) + С—А + (Д+С).
2. Переместительный закон
А+В = В+А.
3°. Разность матриц есть действие обратное сложению, т.
е. чтобы найти разность двух матриц одинаковой размерности,
следует произвести вычитание соответствующих элементов
4°. Умножение матрицы на число. Под произведением мат-
рицы А на число к понимается матрица В, получаемая из матри-
цы А умножением всех ее элементов на это число = kat.
В=кА.
Свойства: 1. Распределительность относительно суммы чисел
(к1+к2) А - kjA + к?А.
2. Распределительность относительно суммы матриц
к (А+В)- кА + кВ.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ
33
5°. Умножение матрицы на матрицу. Под произведением
матрицы А размерности (тхл) на матрицу В размерности
(nxfe) понимается матрица С размерности (mxk), получаемая
перемножением элементов матрицы А на элементы матрицы В
по правилу
с,7 =ai^j + ailblj+... + ainbnj =^airbrj,
т. е. по правилу «строки на столбец».
Таким образом, произведение матриц А В имеет смысл
только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу
строк матрицы В. В итоге получается матрица С, у которой чис-
ло строк совпадает с числом строк матрицы А, а число столбцов
с числом столбцов матрицы В :
А- В = С [(mxn)(nxfe) = (mxfe)].
Например, произведение двух матриц третьего порядка име-
ет вид
Свойства:
&|2
&22
&32
623
ь„
XL^a XLm'
XL^ XL^ XL^&«
XLM XL XLa\
1. A(B+C) — AB+AC;
2. (B+QA = BA+CA;
3. (A+B) (C+D) = AC+AD+BC+BD;
4. (AB)C = A(BQ.
Здесь предполагается, что матрицы А,В, С,D допускают пе-
ремножение.
6°. Если размерность матрицы А равна (т х п), то ЕтА = А
и АЕП - А, т. е. умножение матрицы А на единичную матрицу
есть та же самая матрица А, если порядок единичной матрицы
позволяет перемножение.
34
Глава 1
3.1. Найти сумму матриц
А = 3 5
Решение.
С=А+В= 7 3
I3 9J
3.2. Найти разность матриц
( 2 1 4^ (4 0 1
Д = , fi =
|^-2 3 7 J I3 5 —2
Решение.
'3 4 7 Г
3.3. Найти произведение матрицы А = 2 3 5 2 на
4 1-23
число к = 3. ' '
Решение.
(9 12
B = kA = 6 9
21 3"
15 6
12 3
3.4. Доказать равенство
1 -1 2) (1 -1 2^ fl -1 2)
= 2 +3
4 35 ^4 3 5 J ^4 3 5
Решение. Выполним указанные действия
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МА ТРИЦЫ. СИСТЕМЫ
35
fl -1 2) (5 -5 10
5
^4 3 5) ро 15 25
1 -1 2А р -1 2W2 —2 4W3 -3 6
4 3 5 J+ (р 3 5 6 10]+[12 9 15
5 -5 10'
15 25
3.5. Перемножить следующие матрицы:
в)
'2
Решение.
а)р 3V4
2-2 5
к )\
1-4 + 3-5
2-4 + f-2/5
г) 3 (2
3);
5ДЗ 2
' С
5) -1
3
1-1 + 3-2
2-1 + f—2/2
6 5
' 2
к
Г
2
5
7
7
к /
б)
2 -4V 4 3 Г
3-1 5-123
2 3 2 -2 4 5
к 7к /
f\^ + 2(-\) + (-A.)(-l) 1-3 + 2-2 + 6-4М 1-1 + 2-3 + f—4^)5'
3-4 + f-lX- l> + 5f-2> 3-3 + f-i;2 + 5-4 3 • 1 + f-1>3 + 5 5
2-4 + 3f-l> + 2f-2J 2-3 + 3-2 + 2-4 2-1 + 3-3 + 2-5
'10 -9 -13'
3 27 25
1 20 21
36
Гпава 1
<2
4
1
6
J 3
3 1
I 4
5 1
2
2
5
'2-3 + 4-4 + 3-2
1-3 + 6-4 + 5- 2
1-1 + 6-2 + 5-5
2-1 + 4-2 + 3-5
35
38
37
28
г)
3 (2
7
'2-2
3)= 3-2
2-ЗА
3-3
7-2
7-3
( 4
6
14
6
9
21
( 6А
(3
3
3.6. Даны матрицы
А =
5 4 2
В =
-1
4^
-1
6'
2
2
3
С =
5
2
5
3
Найти: а) А(В+С); б) АВ+АС.
Решение, а)
2
5
-2
10
2-10 + 1-7 + 3-5
5-10 + 4-7 + 2-5
<34
42
27
88
1
4
2
б)
<2 1
АВ+АС=\
5 4
-1
-1
2
1
4 А
3
2
1
2
3
юА
6А
5
2
5
4
2
5
7
5
4
3
2-4 + 1-3 + 3-3
5-1 + 4<-1> + 2-5
5-6 + 4-3 + 2-2
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ
37
2 2 +1 (-1) + 3-5
5 2 + 4(—1) + 2 5
2 6 +1 • 4 + 3-3
5-6 + 4-4 + 2-3
16 17
11 36
К 18
16
25
52
Н34 42
27 88
3.7. Даны матрицы
А =
3
2
-13 (4 53
; В =
4 12 6
; С=\ 1
5
4
3
Найти: а) (АВ) С\ б) А (ВС).
Решение, а)
(АВ)С=
-пр 4>|_p'4+<-u2
4Д2 6J [ 5 ЗД 24+4-2
3-5+f-lJ6V-1 4
2-5+4-6 5 3
10 9 Y-l 43С 10(—1) + 9 5 10-4 + 9-3
16 34 II 5 3 ]“1 16(—1) + 34 5 16 4 + 34-3
10 9 ЗД1 43 ( lOr-U + 9-5 10-4 + 9-3 W35 67 '
16 345 зД 16f-l> + 34-5 16-4 + 34-3J [154 166
6)
-13Гр 5V-1
4> б| 5
4
3
3 -13p(-l)+5-5 4-4 + 5-33 p -Др1 31
2 4l[2(-1)+6 5 2-4 + 6-ЗГ|2 4 II 28 26
3-21 + (-l)28 3-31 + (-l)26>l_f 35 67
2-21 + 4-28 2-31 + 4-26 J~[154 166
3.8. Умножить матрицу A =
6'
4
/
на единичные мат-
38
Главе 1
fl
рицы F =
I °
Решение.
О А
и
1
О
1
О
О'
о
1
„ ГЗ 1 6А
Л £. =
3 2 5 4
О
О
О
1
О
О'
о
1
3
2
1
5
6 |=А
4
3.9. Доказать, что для матрицы
Отсюда следует, что АЕ4 = EjA.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ и матрины. СИСТЕМЫ
39
3.10. Найти А3, А =
[з 2
Решение. Находим
A 4V1 4W1 + 12 4 + 8 W13 12
3 2ДЗ 2 J (3 + 6 12 + 4J [9 16
'13 12 Y1
<9 16 Л3
4W13 + 36 52 + 24^/49 76'
2J ^ 9 + 48 36+32]Д57 68/
3.11. Найти значение матричного многочлена 2Л2+4Л+ЗЕ,
П -1 П
если А = 2
3 1 , Е — единичная матрица.
I1 -1 2)
-10 4 '
12 14
-12 8
-14 8 '
27 18
-16 19
7
1.4. Транспонирование матрицы
Транспонировать матрицу А — значит все ее строки i сде-
лать столбцами j с теми же порядковыми номерами а/у. = .т.
Свойства: 1. Если матрица А имеет размерность (т хп), то
матрица Ат, будет иметь размерность (яхт);
2. (Am)m= А;
40
Гпава 1
3. (А +В)т - Ат+ Вт — сумма (А +В) предполагает, что мат-
рицы А и В имеют одинаковую размерность;
4. (АВ)т - ВтАт—из возможности перемножения матриц А
и В, следует возможность перемножения матрицы В"1 на Ат.
5. Ет = Е — операция транспонирования не изменяет еди-
ничную матрицу.
(2 4"
4.1. Дана матрица А = 3 6 . Найти Ат и {Ат)т.
Решение. Меняя строки на столбцы, получим
Если еще раз поменять строки на столбцы, то получим
(4
т. е. исходную матрицу А.
'2 4'
3 6
5 1
\ 7
4.2. Даны матрицы
(А+В)т и Ат+Вт.
Решение.
г2
6
3
в=
-Г
2
5
Найти
Л =
4
1
1
2
(2 6 3> f 3 1 2>
________________
3 4 1’ -1 2 5 ’
\ / к /
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ
41
отсюда
Ат+Вт =
7 5"
6 6
7
4.3. Даны матрицы А = Р
2
зать, что (АВ)т-В'пА'п.
. Дока-
2 Ч
Решение. Находим, АВ =
2 -2"
14 11
Отсюда (АВ)"1 = 2
14
11
7
( 1 2А
Находим Ат =
-1 3
иВ" =
'2
4
1
\
Что и требовалось доказать.
1.5. Обратная матрица
Обратной матрицей по отношению к заданной квадратной
матрице А называется такая квадратная матрица, обозначаемая
А-1, которая удовлетворяет равенствам
АА^ - Е и А~1А=Е.
Теорема. Для того, чтобы квадратная матрица А имела об-
ратную матрицу А~\ необходимо и достаточно чтобы матрица
А была неособенной (det А Ф 0), тогда обратная матрица опре-
деляется формулой
42
Гпава 1
Ч А, - А,'
«-1 1 Аг Аг ” Аг
или А =------ . . . . .
detA •. :
<Ап Ап Ап у
Таким образом, для получения обратной матрицы Л-1 сле-
дует все элементы матрицы А заменить их алгебраическими до-
полнениями, полученную матрицу транспонировать и разделить
на det Л.
Свойства: 1. Не существует двух различных обратных мат-
риц для данной матрицы А.
2. Определители прямой и обратной матрицы взаимно об-
ратны
det Л-' = —!—
det Л
3. Обращение обратной матрицы дает исходную матри-
цу (л-1)-1.
4. Обратная матрица произведения матриц равна произве-
дению обратных матриц в обратной последовательности
(АВ)"' = В~'А~\ detA* 0, detB*0.
5. Операция обращения не изменяет единичной матрицы
£-* = £.
6. Транспонирование и обращение матрицы не зависит от
последовательности этих операций (Лт)_| = (Л-1)"1.
<4 -5>
5.1. Дана матрица А =
, найти А '•
ОПРЕДЕПИТЕПИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ
43
Решение. Находим определитель det Л =
4
2
алгебраические дополнения Л,, = (-1)2 1 = 1,- Л12 = (-1)3 -2 = -2,-
Аг, = (-1)3(-5)=5; Агг =(-])4-4 = 4.
Отсюда
1=_m ~2T=J_f1 5>
14 5 4 1 14 -2 4
\ ) \ )
5.2. Дана матрица А =
4 -3'
2 5 , найти Л-1.
5
3
Решение. Находим
1 4 -3
detA = 5 2 5 =22.
3 1 2
Поскольку detA Ф о, то А ' существует
} ГА, А, А,'
А 1 =----- А. 7 А?? А. 7
detA 22 32
чАз Аз Аз j
Находим алгебраические дополнения
= -11; А22=(-1)4
Аз=Н/
= 11; А,=(-1)4
= 26;
44
Гпава 1
Отсюда
1 -3
5 5
a~‘ =
= -20; Д3=(-1)
'5
4
2
=-18.
I
22
5
-I
-И
П
П
26^
-20
-18
' 2
Доказать, что: а) (ЛВ)~1 -
5.3. Даны две матрицы А =
1 0"
4 -3>’
б) (Лт)-* = (Л-‘)т.
3"
1 ’
в=
Решение, а) Находим произведение матриц АВ
'14
3
-9\
-3 ’
±(-3
15^—3
Находим обратные матрицы
detfABJ = -l5; (АВ)
отсюда
д-' =
if1 -3>|
5 1
2 ’
В
9\
14 '
; detA = 5;
detB = -3.
lf-3
0"
1 ’
9^
14
-3'
2
i Г-з
оу1
1 Л1
Что и требовалось доказать,
б) Транспонируем матрицу Л;
т Г2 -П
Ат= ; detA = 5;
3 1
= -
—Г-3
15 -3
; detA = 5;
(Ат)~'
-f 1
5-3
Г'
2
Находим обратную матрицу А
ГА-/=-[ 1
7 5^-3
Что и требовалось доказать.
= -Р
5V
И
2 )
-31
I отсюда
2
ОПРЕПЕПИТЕПИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ
45
1.6. Матричный метод решения системы
линейных уравнений
Пусть дана система линейных уравнений
а11х1+а12х2+...+а1„х„ =Ь};
a2{x{+a22x2+... + a2nxn=b2;
а ,х, + а ,х, +... + а х =Ь .
(_ nl l ' wn2 2 ' ”• 1 п‘
Если ввести матричные обозначения
шение системы матричным методом определяется соотношени-
ем X = Л-1 В; detA Ф 0.
6.1. Решить матричным методом систему уравнений
4x + 3z/ + 2z = 16;
- 2x-3z/ + z = 17;
5х + у - 3z = -2.
Решение. Запишем исходные матрицы
46
Глава 1
Находим обратную матрицу
А~'
1
99
' 8
11
17
к
11 9'
-22 О
11 -18
7
Отсюда
Г8
Х = = — 11
99
17
к
11
-22
И
9 Y16A
О 17
-18 -2
Л 7
1
99
' 297'
-198
495
' 3'
-2
Таким образом х - 3; у = -2; z - 5.
1.7» Решение системы линейных уравнений
методом исключения (метод Гаусса)
Решение системы линейных уравнений с помощью формул
Крамера целесообразно для систем двух и трех уравнений. Для
определителей четвертого и высших порядков было бы много
повторяющихся вычислений, поэтому гораздо удобнее пользо-
ваться методом Гаусса.
Суть метода исключения неизвестных заключается в сле-
дующем. Пусть дана система
а11х1+а12х2 + ... + а|Л=61,
a2lXl +a22X2 +--- + а2пХп ~^2>
а ,х, + а -,х-, +.. + а х —Ь.
Сначала делим первое уравнение на j. Затем умножаем
его на а2| и вычитаем из второго. Далее умножаем уравнение на
а31 и вычитаем из третьего. Продолжая процесс, приходим к си-
стеме, где только первое уравнение содержит хг Первое урав-
нение оставляем в покое.
ОПРЕПЕПИТЕПИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ
47
Аналогично исключаем из оставшихся уравнений х2 и, про-
должая вычисления, преобразуем систему к ступенчатому виду
X] + Ьпх2 +... + Ь1пхп = а,,
х2+... + с2пх„ = а2,
хп=ап-
Из полученной системы видно, что все неизвестные нахо-
дятся последовательно из последнего выражения.
7.1. Дана система уравнений
2Xj - х2 - х3 = 4,
< Зх, + 4х2—2х3 =11,
3Xj -2х2 + 4х3 = 11.
Доказать ее совместность и решить: а) методом Гаусса;
б) методом матричного исчисления.
Решение. Составим и вычислим определитель
следовательно, система совместна.
а) Решение методом Гаусса. За ведущее уравнение примем
первое уравнение. Исключим х, из второго и третьего уравне-
ний, прибавив ко второму и третьему уравнению ведущее, умно-
3 п
женное на —. Получим
2
2х, - х2 - х3 = 4,
11 1
—х, —х, = 5,
2 2 2 3
1 и
—х, ч—х, = 5.
2 2 2 3
48
Гпава 1
Второе и третье уравнения образют первую подсистему. За
второе ведущее уравнение примем второе уравнение. Исключая
х2 из третьего уравнения, получим
2Xj - х2 - х3 = 4,
11 1
—х, —х, = 5,
2 2 3
60 60
11 3 11
Отсюда имеем: х,=3, х2=1, х3=1.
б) Матричный метод. Запишем исходные матрицы
Найдем det А
det4 =
-1
4
-2
-1
—2
4
= 60*0.
2
3
3
Находим обратную матрицу
д-‘=—
60
12
6
6
-18
11
1
-18
1
11
1
60
' 12
-18
-18
6
11
1
6
1
11
Х = А-'В = —
60
' 12
-18
-18
6
11
1
1
11
11
11
1
60
'180'
60
60
'3"
1
1
Отсюда: х}=3, х2=1,
з’
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ
49
7.2. Решить систему методом Гаусса
х+ у+ z + t = 0,
4x + 5z + 2t - 3,
2x-y + z + t =1,
2x + y + 4z =1.
Решение. Умножим первое уравнение на 4 и вычтем из него
второе, затем умножим первое на 2 и вычтем из него третье и
четвертое уравнение. Приходим к системе, где только первое
уравнение содержит х
х+ y + z + t = O,
4y-z+2t = -3,
Зу + z + t =-1,
y-2z + 2t =-1.
Далее умножаем последнее уравнение на 4 и на 3 и вычита-
ем его из второго и третьего уравнения
х + y+z + t = O,
y-2z + 2t = -\,
lz-6t =1,
7z—5t = 2.
Наконец, вычитаем из последнего третье уравнение
x+y+z + t=Q,
y-2z+2t=-1,
7z-6t=l,
t=l.
Отсюда t = 1, z = 1, у = -1, x = -1.
50
Гпава 1
1.8. Ранг матрицы
Если в матрице взять какие-либо к строк и столбцов и со-
ставить определитель из элементов, которые окажутся на их пе-
ресечении, то этот определитель называется минором к-го
порядка данной матрицы.
Из строк и столбцов матрицы можно составить определи-
тели различных порядков, не превышающих наименьшего из
чисел т или п.
Рангом г матрицы называют наибольший из порядков оп-
ределителей этой матрицы, отличных от нуля.
Матрицы, имеющие одинаковый ранг, называются экви-
волеитиьшм.Эвивалентность матриц обозначается знаком ~ меж-
ду ними. Элементарными преобразованиями называются такие
преобразования, при которых миноры матрицы либо не меняют
своей величины, либо, меняя величину, не обращаются в нуль.
Элементарные преобразования матриц позволяют:
1. Переставлять местами между собой строки (столбцы).
2. Прибавлять к какой-либо строке (столбцу) другую стро-
ку (столбец), умноженную на любое число.
3. Умножать строку (столбец) на число, отличное от нуля.
4. Вычеркивать строки (столбцы), состоящие из одних нулей.
Элементарные преобразования позволяют получить матри-
цу, эквивалентную исходной, для которой легко установить ранг.
Для этого необходимо с помощью элементарных преобразова-
ний привести исходную матрицу к диагональному виду
ч Ц,2 «в . «и .
0 а22 а2з a2k aln
0 0 а33 a3k Озп
0 X 0 0 . akk ’ amn ,
где а'1 = 0 при i > j; 0 при i — j.
ОПРЕДЕПИТЕПИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ
51
Ранг этой матрицы равен к, так как она имеет отличный от
нуля определитель к-го порядка.
Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок кото-
рого равен рангу матрицы, называется базисным минором этой
матрицы.
Теорема о базисном миноре. Если матрица имеет отличный
от нуля минор порядка к, а все миноры порядка &+1, содержа-
щие данный минор (окаймляющие миноры), равны нулю, то ранг
матрицы равен к.
Метод окаймляющих миноров. Находим минор второго по-
рядка отличный от нуля, если такой существует, и вычисляем
окаймляющие его миноры третьего порядка, пока не найдем сре-
ди них отличного от нуля и т. д.
Если найден отличный от нуля минор порядка к, то вычис-
ляем окаймляющие миноры к+1 порядка. Если все они равны
нулю или таких миноров вообще нет (в случае, когда матрица
содержит к столбцов или к строк), то ранг матрицы равен к,
иначе этот процесс продолжаем.
8.1. Найти ранг матрицы
Решение. Поскольку минор второго порядка
Мг =
= -1*0,
а оба окаймляющие его миноры третьего порядка равны нулю
2 1 4 2 1 1
1 0 3 = 0, 1 0 -1 = 0,
5 2 11 5 2 1
52
Гпава 1
то ранг матрицы А равен двум, а базисным минором является,
например, Мг
8.2. Найти ранг матрицы:
а) р 2 -1 8 П б) f 1 ~7 5 -f
7 4 -2 1 5 ’ -1 4 2 -3
V4 2 1 2 37 17 9
Решение, а) Переставим первый и второй столбец местами
Чтобы иметь дело с меньшими числами, умножим первый
' 1
столбец на —
'12-1 8 Г
2 7-2 15
J 4 -1 -2 \
Первую строку прибавляем ко второй и третьей, умножая
при этом ее на (-2) и (-1), соответственно
fl 2 -1 8 П
О 3
О 2
О -15 3
О -10 2
7
Умножим вторую строку на —, получим
'12-1 8 Г
01 0-51
0 2 0 -10 2
\ 7
ОПРЕДЕПИТЕПИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ
53
Умножим вторую строку на (-2) и прибавим ее к третьей
строке
'12-1 8 Г
~ 0 1 0-51-
0 0 0 0 0,
Вычеркиваем третью строку
'12-1 8 Г
0 1 0-51'
к /
Отсюда видно, что ранг матрицы равен г - 2.
б) Поменяем местами первую и вторую строку
'3-11
1 7 5
-14 2
7 1 7
7 5-1'
-1 1 5
4 2-3
1 7 9
Умножим первую строку на 3
и вычтем из второй, затем
прибавим ее к третьей, а к четвертой прибавим первую строку,
умноженную на (-7)
'17 5 -Р
0 -22 -14 8
0 11 7-4
0 -48 -28 16,
Умножим вторую строку на
1 A fl
— I, а четвертую на1 —
'17 5 -Г
0 И 7 -4
0 11 7 -4
0 -12 -7 4
\ /
54
Глава 1
Поменяем местами второй и четвертый столбец
'1 -1 5 -Г
0-47 11
0-47 11
0 4-7 -12
\ /
Умножим второй столбец на
и вычтем вторую стро-
ку из третьей, а к четвертой ее прибавим
( £ ( £
1 5 7 1 5 7
4 4
0 1 7 11 — 0 1 7 11
0 1 7 11 0 0 0 0
-1 —7 -22 0 0 -1
Вычеркнем третью строку и поменяем местми третий и чет-
вертый столбец
4
0 1
0 0
Отсюда следует, что ранг матрицы г = 3.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ
55
1.9. Решение системы линейных уравнений.
Теорема Кронекера-Капелли
Рассмотрим систему т линейных уравнений с п неизвест-
ными
ац-^1 ~f~a]2-^2 + +
a2lxt+a22x2+... + a2nxn =b2,
<
а .х, +а„,2х2 +...+а„„х„ =Ь„.
ml 1 ml z тп п т
Введем в рассмотрение матрицу системы
<2ц д12 а1п
д_ ^21 а22 а2п
&т2 ^тп >
и расширенную матрицу
х а12 а,пЬ, '
а2\ а22 ” а2п^2
а., &т-> ’**
у ml m2 тп п у
Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система была
совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А си-
стемы равнялся рангу расширенной матрицы В, т. е. г (А) = г (В).
Система называется несовместной, если она не имеет ни
одного решения. В зтом случае ранг матрицы А меньше ранга
матрицы В.
Совместная система называется определенной, если она
имеет единственное решение, и неопределенной, если решений
более одного. Совместная система будет определенной, если ранг
системы равен числу неизвестных, т. е. г(А) = пи неопределен-
ной, если ранг системы меньше числа неизвестных, т. е. г(А) < п.
56
Гпава 1
Если все свободные члены равны нулю Ь} = Ь2= ... = Ьп= О,
то система линейных уравнений называется однородной и все-
гда совместна.
Пусть, в общем случае, ранг совместной системы меньше чис-
ла неизвестных или числа уравнений г < (nv т), причем базисный
минор располагается в г строках и столбцах матрицы Л. Эти г не-
известных^, ... ,хг назовем базисными неизвестными, а хг+1,... ,хп
назовем свободными неизвестными и перенесем их в правую часть
системы уравнений. Решая полученную систему уравнений (по фор-
мулам Крамера), определяем базисные неизвестные через свобод-
ные. Придавая свободным неизвестным произвольные значения,
находим, что решений у этой системы бесконечно много.
Если ранг матрицы А равен рангу матрицы В и г < т, то
выбираем из системы какие-нибудь г уравнений, матрица коэф-
фициентов которых имеет ранг г.
Решение этих г уравнений будет являться решением и ос-
тальных т - г уравнений системы. Если же в этом случае г < п,
то система имеет бесчисленное множество решений.
9.1. Исследовать систему
х, + х2 -х3 = 5,
2х, + х, + Зх3 = 4,
2х, +х2 -4х3 =11,
х, + 2х2 + х3 = 4,
2х, + 3х2 -7х3 =16.
Решение. Запишем расширенную матрицу системы
/1 1
-1 5 "
3 4
-4 11
1 4
—7 16
ОПРЕДЕПИТЕПИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ
57
Прибавим вторую строку к пятой, а третью к четвертой
Г1 1 -1 5 л
2 1 3 4
В~ 2 1 -4 11
3 3 -3 15
4 4 -4 20
\ /
Разделим четвертую строку на 3, а последнюю строку на 4
А 1 -1 5^
2 1 3 4
в~ 2 1 —4 11
1 1 -1 5
1 к 1 -1 5 /
Вычтем первую строку из четвертой и последней
Со 1 А 1 -1 5Л 2 1 3 4 11-26 0 0 0 0 0 0 0 0 к /
Вычеркнем четвертую и пятую строки
1 0Q А 1 -1 5' 2 13 4 11-26 к 7
Отсюда матрица системы
И 1 -П
А~ 2 1 3
1 1 —2
\ 7
58
Гпава 1
Найдем определитель последней матрицы
1 1 -1 1 1 -1
2 1 3 = 2 1 3 = 1*0.
1 1 -2 0 0 -1
Следовательно, г(А)=3.
Ранг расширенной матрицы также равен г{В)=3, поскольку
только что рассмотренный определитель является минором рас-
ширенной матриы. Следовательно, система совместна.
Для решения системы выберем, например, уравнения
х, + х2 - х3 = 5,
- 2х, + х2 + Зх3 = 4,
х1 + 2х2 + х3 = 4.
Решая систему по формулам Крамера находим, что Xj=3,
х2= 1, х3—1. Нетрудно убедится, что третье и пятое уравниния при
этих значениях неизвестных тождественно удовлетворяются.
9.2. Исследовать систему
2х, + 2х2 + 8х3 - Зх4 + 9х5 = 2,
2х, + 2х2 + 4х3 - х4 + Зх5 = 2,
х, + х2+Зх3-2х4+3х5 =1,
Зх, + Зх2 + 5х3 - 2х4 + Зх5 = 1.
Решение. Найдем ранг матрицы системы и ранг расширен-
ной матрицы системы. Для этого запишем расширенную матри-
цу системы
(2 2 8 -3 9 2^1
2
1
2 4-132
13-231
3 3 5 —2 3 1
ОПРЕДЕПИТЕПИ И МЛ ТРИПЫ. СИСТЕМЫ
59
Вычтем из элементов первого столбца элементы второго
столбца
Со 0 2 8 -3 9 2' 0 2 4 -1 3 2 0 13-231 0 3 5 -2 3 1
Матрица А системы будет
А~ "2 8 -3 9' 2 4-13 13-23 <3 5 —2 3>
Разделим все элементы последнего столбца на 3
'2 8 -3 3'
2 4-11
А ~
13-21
3 5-21
\ /
Прибавим третий столбец к четвертому
'2 8 -3 О'
. 2 4-1 О
1 3 -2 -1 ’
? 5 -2 Л
Отнимаем из последней строки третью
'2 8 -3 О'
2 4-1 О
А~
13-2-1
2 2 О О,
60
Гпааа 1
Рассмотрим определитель
Мз=(-1)7
2 8-3
2 4-1
2 2 0
= -4 1
4 -3
2 -1
1 0
3 -3
1 -1 =0.
о о
1
1
Следовательно, ранг системы г(Л)=1. Вернемся к расширен-
ной матрице, сократив на 3 предпоследний столбец
'28-33 2"
24-112
В ~
13-211
? 5 -2 i 1,
Из первого столбца вычтем последний столбец, а из после-
дней строки вычтем предпоследнюю
'08-33 2'
0 4-112
В ~
03-211
2 2 0 0 0
\ 7
После простейших преобразований получим
'0 1 0
0 4-1
0 3-2
2 0 0
\
0 1 0^
0 0 0
-10 0
0 0 0
/
Рассмотрим определитель
0
Ч.=(-1)5 1
о
о
о
-1
1
0 =1.
о
ОПРЕДЕПИТЕПИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ
61
Следовательно, ранг расширенной системы равен г(5)=3.
Поскольку ранг матрицы А меньше ранга расширенной матри-
цы В, то система несовместна.
9.3. Исследовать систему уравнений
х, -Зх2 +2х3 =-1,
X; + 9х2 + 6х3 = 3,
х,+3х,+4х3 = 1.
Решение. Запишем расширенную матрицу
Разделим второй столбец на 3, а третий столбец на 2
fl -1 1 -П
В= 1 33 3
112 1
\ /
К второй строке прибавляем первую и сокращаем на 2. Да-
лее, из последней строки вычитаем вторую
А
В = 1
1
-1
1
1
-П р -1
1 ~ 1 1
1
2
2
1 о о
/ \
1 -Г
2 1
0 %
Отсюда видно, что ранг расширенной матрицы равен
г (В) = 2. Рассмотрим теперь матрицу системы
fl -3
А = 1 9
1 3
V
Ранг матрицы системы тоже равен 2
62
Гпава 1
fl -1 n
A= 1 12. r(A) = 2.
ООО
n \ J
Поскольку ранг совместной системы меньше числа неизве-
стных, то примем за свободную неизвестную х3 и перенесем ее в
правую часть
Xj -Зх2 = -1-2х3,
х,+9х2= 3-6х3.
Решая полученную систему уравнений по формулам Кра-
мера, определяем базисные неизвестные хр х2 через свобод-
ную х3
-1-2х3 -3
3-6х3 9
1 —1 —2х3
1 3-6х3
Придавая свободной неизвестной произвольные значения,
находим, что решений у этой системы бесконечно много.
Глава 2
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
2.1. Векторные и скалярные величины.
Линейные операции над векторами
1°. Основные определения. Величина называется скалярной,
если она определяется заданием ее числового значения, и вектор-
ной, если для ее определения задается еще и ее направление.
Два вектора считаются равными, если они имеют одинако-
вую длину, параллельны друг другу и одинаково направлены.
Два вектора называются противоположными, если они
имеют одинаковую длину, параллельны и противоположно на-
правлены.
Два вектора называются коллинеарными, если они распо-
ложены на параллельных прямых (или на одной прямой), неза-
висимо от того направлены ли они одинаково или их направления
противоположны.
Если векторы лежат в одной плоскости или в плоскостях,
параллельных между собой, то они называются компланарными.
Вектор, модуль которого равен нулю, называется нуль-век-
тором. Нуль-вектор не имеет направления.
64
Гпава 2
Вектор, модуль которого равен единице, называется еди-
ничным вектором.
Единичный вектор, одинаково направленный с вектором a,
называется ортом вектора a.
2°. Суммой двух векторов а и b называется вектор с , по-
строенный следующим образом: перенесем начало вектора b в
конец вектора с и построим вектор с так, чтобы его начало
совпадало с началом вектора с , а конец — с концом вектора b
(рис. 2.1).
Сумма векторов обладает свойствами сочетательности и
переместительн ости
а) + = a + (b +с); 5)a + b=b+a.
Вектор с называется разностью векторов а и b , если сум-
ма векторов b и с равна вектору a, т. е. если b+c=a.
Если два вектора приведены к общему началу, то их раз-
ность есть вектор, соединяющий их концы и направленный от
вычитаемого к уменьшаемому (рис. 2.2).
ВЕКТОРНАЯ АПГЕБРА
65
Свойства
a) a + [-b} = a-b; б) d-(-b)=d+b.
3°. Произведением вектора а на скаляр Л называется век-
тор b = Л а коллинеарный вектору а, модуль которого равен
|Л||Й|.
Если Л > О, направления векторов а и b совпадают; если
Л < 0 — направления векторов противоположны.
Свойства
а) Л(р.а) = (Л/г)а; б) Ла=йЛ;в) Л(а + б) = Ла + ХЬ.
4°. Отношение вектора к его длине или модулю называется
единичным вектором. Любой вектор а можно представить с по-
мощью единичного ветора а°, того же направления, что и век-
— — |—| -о -о
тор а, т. е. а =|а|-а , откуда а = 737.
|а|
1.1. Даны два вектора а и b (рис. 2.3). Найти их сумму и
разность.
Решение, а) Векторы а и b перпендиулярны. Сложение
выполняем по правилу треугольника (рис. 2.4).
Рис. 2.3
Рис. 2.4
От произвольной точки А отложим вектор а, совместим
начало вектора b с концом вектора а, вектор, идущий от нача-
ла вектора а в конец вектора b, есть вектор-сумма. Модуль
вектор-суммы находим по теореме Пифагора
66
Гпава 2
|Л С| = |а + b | = Va2 + Ь2.
б) Совместим начала векторов а и b и соединим их концы.
Вектор, идущий из конца вектора - «вычитаемого»в конец век-
тора - «уменьшаемого», есть вектор-разность (рис. 2.5).
Длина вектора |СВ| может быть найдена по теореме Пифа-
гора |СВ| = |а -б| - \1а2 + Ь2.
Рассмотрим еще один способ нахождения разности векто-
ров а и b.
Поместим начало вектора b в конец вектора а и построим
вектор -Ь, т. е. вектор противоположно направленный. Посколь-
ку под разностью двух векторов а и b понимают третий век-
тор, равный сумме векторов а и -Ь , то вектор-разность находим
по правилу треугольника, т. е. это вектор идущий из начала век-
тора а в конец вектора -Ь (рис. 2.6).
Нетрудно заметить, что вектора-разности (рис. 2.5 и
рис. 2.6) равны по величине и направлению, следовательно, они
равны.
1.2. Дан вектор а (рис. 2.7). Построить векторы: а) За;
б) --а.
2
Решение, а) Увеличиваем модуль вектора а в 3 раза, со-
храняя его направление.
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
67
180°. Получим искомый вектор ОВ
Получаем вектор |0А| = За (рис. 2.8).
|7м1 2 -
б) Строим вектор |С/Д| — — а ? а затем поворачиваем О А на
а (рис. 2.9). Можно по-
2
строить сначала вектор -а, а затем изменить его модуль в —
раза.
а За в
о
Рис. 2.7 Рис. 2.8 Рис. 2.9
1.3. Доказать, что в произвольном четырехугольнике век-
тор, соединяющий середины диагоналей, равен геометрической
полусумме двух векторов, образующих противоположные сто-
роны четырехугольника.
Решение. Построим четырехугольник и векторизуем сторо-
ны и диагонали, как показано на рис. 2.10. Требуется доказать,
что EF = — (BC + DA) или EF— — (CD + АВ). На основании
правила сложения векторов вектор EF равен сумме векторов
£F = £O + ZM + AF.
в
Рис. 2.10
68
Гпава 2
Представим векторы EF и AF через векторы сторон че-
тырехугольника AF = —АС; ED = —BD; ED = ——{DA + АВ^;
~AF = ^(АВ + ВС).
Подставляя найденные векторы в исходное векторное равен-
ство, получим ££=-^Z)A+AB)+Z)A+^(AB+BC)=^Z)A+BCj,
что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается и второе векторное равенство.
1.4. Разложить высоту DO правильной треугольной пира-
миды (рис. 2.11) по некомпланарным векторам а, Ь,с.
Решение. Поскольку пирамида правильная, точка пересе-
чения высоты DO и основания является точкой пересечения ме-
диан основания. Используя свойство точки пересечения медиан
—. —. — — 2------
треугольника, запишем DO=DA+AO=-AD+—AM.
Поскольку AM =—(АВ+АС), то Z>O=-A£)+^(AB+AC) =
- 1г -
= -а + -Ь+с
3
ВЕКТОРНАЯ АП ГЕБ РА
69
1.5. В параллелограмме ABCD точки M,N,P,Q середины
сторон (рис. 2.12).
Рис. 2.12
Выразить векторы А С, A Q, QD, СР как линейные комбина-
ции векторов АР = а и AN — Ь.
Решение.
А С = А В + A D = 2а + 2b , AQ = ~АВ + BQ = 2а + b ,
QD-QC+ (П5-b-2a , СР = СВ+ ВР = ^2Ь-а
1.6. Однородный треугольник задан радиус-векторами
г\, г2, г3 своих вершин М,,М2,М3. Найти радиус-вектор R
центра тяжести.
Решение. Сделаем чертеж (рис. 2.13).
Центр тяжести однородного треугольника находится в точ-
ке М пересечения его медиан. Векторизуем стороны треугольни-
70
Гпава 2
ка, как показано на рисунке и проведем медиану M}N. Из свойств
медианы следует, что M2N = у Л4,Л43 и NM = — .МЦ .
Радиус вектор 0M = R находим как сумму векторов
R = ОМг + M2N + NM Вектор OMi = f2. Представим выраже-
ния векторов M2N и NM через известные векторы , г2, г} .
Из треугольника ОМ2М3 находим М2М3 =Гз-п , тогда
M2N =—(п~гг). Из треугольника M{M2N находим
NM, = -(м,Мг + м ); из треугольника 0M2Mt находим
—Г1— Г1. Отсюда: МИ, =-1 п -л + -(гз -лг) 1= л (л + л);
If- 1г ' 2 ' 2
NM = - л — л+ гз
3^ 2' ' )
Подставляя найденные значения векторов в выражение суммы
векторов, получим R =гз+^(л -п)+^л ~^(Г2+ГЗ)^=^(Г| +Г2 +Гз)-
1.7. Электрический фонарь весом Зкг подвешен к потолку
на шнуре АВ и затем притянут к стенке веревкой ВС (рис. 2.14).
Определить натяжение шнура и веревки, если известно, что угол
сс =60°, угол Д=135°.
Рис. 2.14
ВЕКТОРНАЯ АПГЕБРА
71
Решение. На точку В действует две силы ТА,ТсиР — вес
лампы. Поскольку система сил находится в равновесии, то рав-
нодействующая этих сил равна нулю.
Построим треугольник сил. В выбранном масштабе строим
вектор Р (рис. 2.14). Через начало этого вектора проведем ли-
нию действия силы f, а через конец — линию действия силы
f Получим треугольник А1В1С1. Векторизуем его сторо-
ны ДС1 = Тс, С, Д = ТА. Модули этих сил найдем по теореме си-
нусов. Для этого определим углы при вершинах треугольника.
По условию задачи угол при вершине A j равен 30°, при вершине
В{ —45°, значит, угол при вершине С} равен 105°.
Учитывая, что sinl05°=sin75°, по теореме синусов имеем
ТА _ Тс _ Р
sin45° sin30° sin75°'
Откуда
„ sin45° „ sin30° ,
T, =3--------2,19кг; Tr = 3--------1,55кг;
sin75° sin75°
1.8. К вершине О прямоугольного параллелепипеда
ABCOGDEF(pnc. 2.15) приложены три силы, изображаемые век-
торами ОЕ, OG, ОВ, найти величину и направление равнодей-
ствующей р.
Рис. 2.15
72
Гпава 2
Решение. Обозначим ОА = а, ОС = b, 0D = с, тогда
OB-a + b, ОЕ = а + с, OD-b + c.
Поскольку F = О В + ОЕ + OG, то
F — a + b+a+c + b +с = 2^a + b +с^=2OF,
т. е. равнодействующая F изображается удвоенной диагональю
параллелепипеда OF
2.2. Разложение вектора
по координатным осям
1°. Всякий вектор в пространстве можно представить как
сумму трех векторов, один из которых расположен на оси Ох,
второй на оси Оу и третий — на оси Oz
a = axi +ayj +azk, (1)
где Г, ], k —единичные векторы координатных осей.
Модуль вектора а равен
|Й|= (2)
Если через а, /}, у обозначить углы, которые вектор а со-
ставляет с положительными направлениями координатных осей,
то формулы
о аи аг
cosa = -~; cosp=T-^; cosy = T-^ /да
|а| |а| |а| _
дают выражения направляющих косинусов вектора а через его
проекции.
Между направляющими косинусами существует зависи-
мость
cos2a + cos2 Р + cos2/ = 1 (4)
ВЕКТОРНАЯ АПГЕБРА
73
2°. Действия над векторами.
1. Сумма векторов
a±b = (ax±bx)i+(ay±by)J+(az±b,)k. (5)
2. Умножение на скаляр
Ха = Xaxi + Xayj + Ха Ji. (6)
3. а) Если и Z?(.v2,y2,z2) — координаты начала и
конца вектора, то проекции вектора
ax=x2-xt, ау= уг-ylf аг=г2-гг (7)
б) Модуль
\d\ = ^(x2-xl)2+(y2-yi)2+(z2-zl)2. (8)
в) Направляющие косинусы
cosa - Х| ; cosfl =^т-~~; cosy = Z2. ,2'. /о\
rl |а| |а| >
г) Если некоторая ось I составляет с координатными осями
углы а, Р,у, то проекция произвольного вектора а на эту ось
определяется равенством
Пр,а =axcosa + aycosfi + azcosy. (10)
3°. Задачи на точку.
1. Расстояние между точками Af^Xp^pZ]) и M2(x2,y2,z2)
определяется по формуле
d = yl(x2-xi)2+(y2-yj2+(z2-z1)2. (П)
Если начало отрезка совпадает с началом координат, то
формула (11) примет вид
d = Jx2 + y2 + z2. (12)
74
Гпава 2
2. Деление отрезка М{М2 в заданном отношении Л. Коор-
динаты точки M(x,y,z) делящей отрезок Л/]Л/'2 в отношении
мм2
находятся по формулам
х _ х, + Лх2 _ у, + Лг/2 _ z, + Лг2
1 + Л 1 + Л 1 + Л
или
rt + Лг2
2
(13)
(14)
Если точка М делит отрезок МХМ2 пополам, то Л =1 и фор-
мулы (13) примут вид
(15)
Х^ п х-1 п
Aw z
У с х-'’ л ’ <'с X"'’п
2^mi
(16)
.-^Х1+Х2 2=Л±£2
2 ’ у 1 ' 1
3. Координаты центра тяжести системы п материальных
точек массы тр расположенных в пространстве, находят по фор-
мулам
У,т-Х-
X"* л
__
2.1. Заданы начало ^4(3,2,—1) и конец 5(1,5,2) вектора АВ.
Найти разложение вектора АВ по координатным осям, его мо-
дуль и направляющие косинусы.
Решение. Найдем по формулам (7) проекции вектора на ко-
ординатные оси
(Л5)х=1-3=-2; (Л5);=5-2=3; (АВ).=2+1=3.
Отсюда вектор равен А В = -2/ + 3/ + 3k , а его модуль
|д5| = yj(—2)2 +32 +32 = VH.
По формулам (9) направляющие косинусы
2 о 3 3
cosa = —т=, cos р= ,—, со57 = —7==-
V22 V22 V22 '
ВЕКТОРНАЯ АПГЕБРА
75
2.2. Найти единичный вектор для вектора
а = hi -5j - 4k
Решение. Находим модуль вектора | а | по формуле (2)
Д = д/з2+<-5/+<-4/ = 5л/2.
Единичный вектор а0 находим по формуле
—о а з т 1 т 4 г
а =;-; = —т=1—-------т=*-
|а| 5V2 V2 5V2
2.3. Найти сумму векторов а=Зг+2/+5/г,
b = 4i - j + 3k, с =-i +2j +2k .
Решение. По формуле (5) находим
a+b+c = (3 + 4-l)i + (2 — 1 + 2)j + ^5 + 3 + 2 )k = 6Z + 3/ +10^.
2.4. Найти разность векторов а^2;4;-1), b(4;-3;5).
Решение. По формуле (5) находим
а-Ь =(2-4)1+(4+3)]+ (-l-5)k=-2i+l]-6k.
2.5. Определить координаты вектора b, если известно, что
\Ь\ = 5, он коллинеарен вектору а = V? i - 5/ + 2k и его направле-
ние совпадает с направлением вектора а.
Решение. Обозначим координаты вектора b через х, у, z,
т. е. b = {x,y,z}. Поскольку векторы коллинеарны, то
6 = Ла = >/7Л/-5Л/+ 2Л£ . Из равенства векторов
xi + yj + zk = \]72.i-52.j + 2Л& следует равенство их координат:
х=л/?Л, у = -5Х, г=2Л. Таккак|&| = 5 ,топоформуле(2) имеем
+ (-5Л)2 + (2Л)2 = 5, откуда Л = ±- Поскольку напрвле-
- _ 5
ния векторов а и Ь совпадают, то следует взять Л >0, т. е. Л = —.
6
Таким образом, координаты искомого вектора будут:
5 25 5
X = ц =----,z = ~.
6 6 3
76
Гпава 2
2.6. На векторах a (3; 1 ;4) и b (—2;7; 1) построен параллелог-
рамм. Найти величину и направления его диагоналей.
Решение. Из точки А отложим векторы а и b и построим
параллелограмм ABCD (рис. 2.16).
Рис. 2.16
Векторизуем стороны и диагонали параллелограмма. Из тре-
угольника АВС диагональ BD - b -а = (-2 -3)i +(7 -4)j +
+ fl-47& = -5i +6j— 3k. Модуль вектора BD равен
|В£>| = у] (-5)2 +62 + (—3)2 = л/70. Направляющие косинусы оп-
ределим по формулам (3)
cosa = —==, со&В — —^=, cosy =—==.
V70 V70 V70
Вектор 'BM-^BD = -2,5i +3j -\,5k. Из треугольника
ABM находим вектор AM: AM -d + ВМ ~^i +4/ + 2,5k.
Отсюда вектор А С = 2АМ равен АС = i + 8/ + 5k. Длина
диагонали Л С равна АС = л/12 +82 +52 = V90, а ее направление
определяется направляющими косинусами
1 о 8 5
cos а. =--, cos В. = —;=, cos у. =---.
Зл/10 3>/10 Зч/Гб
ВЕКТОРНАЯ АПГЕБРА
77
2.7. Даны точки А(1,2,-1) и В (4-3,2). Найти проекции
вектора АВ на ось, составляющую с координатными осями рав-
ные острые углы.
Решение. По условию задачи направляющие косинусы рав-
ны друг другу и из условия cos2a + cos2 Д + cos2/ = 1 следует, что
а 1 —
cosa - cosp - cosy - . Вектор АВ имеет проекции
АВ(3,-5,3). Отсюда по формуле (10) находим, что искомая про-
п д-Б 3 5 , 3
екция на ось равна Пр!АВ = —^—=+—= =—.
2.8. Найти величину и направляющие равнодействующей
R трех сил /j {14,5,4}, F2 {-6,2,7}, 7? {4,2,9} .
Решение. Находим проекции равнодействующей как сум-
му проекций компонентов R = 12i+9j+2Qk. Величина равно-
действующей |й| = л/144 + 81 + 400 = 25 . Направление
равнодействующей определяется направляющими косинусами
12 о 9 4
cosa=—, cosp=—, cos/ = —
25 н 25 5
2.9. Даны точки ^4(1,2,3) и Z?(—1,4,2). Найти длину отрезка
АВ и координаты точки С, делящей отрезок в отношении Л = .
Решение. Применяя формулу (11), находим длину отрезка
dAB = 7(-1-1)2+(4-2)2 + (2-3)2 = 3 -
Координаты точки С находим по формулам (13)
3 + -2 ..
z = ^ = -.
1Д 4
3
|Н) 1
+1 "2>
3
2 + -4 ,
3 5
3
78
Гпава 2
2.10. Отрезок АВ делится точкой Св отношении, равном 2.
Поданным точкам Л (3,4,—1) и С (2,-3,1) найти точку В.
Решение. Используя формулы деления отрезка в данном
отношении (13), выразим координаты точки В (х2, yz, z2)
(1 + Л)х-Х( (l + /l)y-у, (l + A)z-z,
Ч= Л ’ Ь = Л ’ Z2= Л
Подставляя данные условия, получаем
3-2-3 3(-3)-4 3-1 + 1 _
;2=—~— = 1,5; Л =--------= -6,5; z2=—— = 2.
2.3. Скалярное произведение
1°. Скалярным произведением двух векторов а и Ь называ-
ется скаляр (число), равное произведению модулей перемножа-
мых векторов на косинус угла между ними
a b =|a||6|cos<p. (2)
2°. Свойства
1. Переместительность
a-b=b а. (2)
2. Распределительность
(a +b)-c = (а с) + (b с^. (3)
3. Скалярный множитель можно выносить за знак скаляр-
ного произведения
= Л(й-б). (4)
4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля
аа = а2. (5)
5. Скалярное произведение единичных векторов определя-
ется формулами
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
79
i i=i-j=k k=\, ij=jk=ki=O. (6)
3°. Выражение скалярного произведения через проекции
перемножаемых векторов. Скалярное произведение двух векто-
ров равно сумме произведений одноименных проекций перемно-
жаемых векторов
а • Ь - ахЬх + ауЬу +агЬг.
Угол между двумя векторами
ab axbx+a b +ахЬ2
' ' |5||б| Ja2x+a2+a2!y]b;+b2+b2
Условие перпендикулярности двух векторов
axbx + arb + а:Ь_ = 0.
(7)
(8)
(9)
Косинус угла между двумя направлениями в пространстве
равен сумме произведений одноименных направляющих коси-
нусов этих направлений
cos ср = cos a, cos а2 + cos Д cos Д + cos у, cos у2. (10)
Условие перпендикулярности двух направлений
cos a, cos сс2 + cos Д cos Д + cos у, cos у2 = 0. (11)
4°. Работав силы р равна скалярному произведению век-
тора силы на вектор перемещения
A = |F|-|5|cos(0). (12)
3.1. Найти скалярное произведение векторов 25 — 36 и с + 4d.
Решение. Находим (25 — 36 (с + 45 ) = 25 с + 85 • d —
— Збс-126-5.
3.2. Дан ромб ABCD (рис. 2.17). Доказать, что его диагона-
ли пересекаются под прямым углом.
80
Гпава 2
Решение. Векторизуем стороны и диагонали ромба, как по-
казано на рис. 2.17. Тогда имеем ~АС = АВ + ВС, DB = DA + АВ.
Поскольку DA = -ВС, то DB = АВ - ВС. Составим скалярное
произведение векторов АС и DB' AC DB =
= + = = 0, так как в ромбе все
стороны равны и |лв| = |вс|. Поскольку скалярное произведе-
ние векторов—диагоналей АС и DB равно нулю, то эти векто-
ры взаимно-перпендикулярны, что и требовалось доказать.
D С
Рис. 2.17
3.3. Найти косинус угла между векторами a = 2i -3j +5k,
b =i — j + 3k.
Решение. Используя формулу (8), имеем
„ВШ. , ---=
' ' НИ +<>«" 7^+*7!+4’
2-1 +(—3)(—1)+5-3 20
~ 722 +(-3)2 +52д/12+(-1)2+32 ” V418 ’
3.4. Определить углы треугольника АВС с вершинами
Л(1,1,1); В(2,-1,3);и С(0,0,5).
Решение. Найдем координаты векторов АВ и АС :
АВ(1,-2,2), АС (-1-1,4). Угол между ними находим по форму-
ле (8)
ВЕКТОРНАЯ А ПГЕБРА
81
соя А = 1(-1)+(Г2)_(~1)+2'4 = •
д/12 + (—2)2 + 22 7(-1)2 + (-1)2 + 42 2 ’ Л-45°.
Найдем координаты векторов В А (-1,2-2); и ВС (-2,1,2).
Отсюда угол между ними
cosB= , -1(-2) + 2-Ж~2)-2 =0; В = 90’,
7(-1)2 + 22 + (—2)2 7(-2)2 +12 + 22
следовательно, С = 45°.
3.5. Заданы направления /1(45°;45°;90°) и /2(45°;90°;45°).
Найти угол <р между ними.
Решение. По формуле (10) имеем
1
cos<p = cos45°cos450+cos450cos900+cos900cos45° = - .
Отсюда <р=60°.
3.6. В плоскости Оху найти вектор а, перпендикулярный
вектору b {3,-4,12} и имеющий с ним одинаковую длину.
Решение. Пусть вектор d - xl + yj • Из условия перпенди-
кулярности векторов имеем Зх-4у=0. Длина вектора Ь будет
|h | = л/9 +16 +144 = 13, а длина |й| = ^х2 + у2 .
2
Следовательно, х2+_р2=169. Поскольку то
16 2 2 1ГП .39 52 _
—у +у =169=>у = + у,х = ±у. Откуда а = ±у(4г +3;).
3.7. Найти единичный вектор п, одноврменно перпендику-
лярный вектору а {5,-4,3} и оси абсцисс.
Решение. Пусть вектор n=xi +yj + zk Поскольку он пер-
пендикулярен оси абсцисс, то п = п(0, у, z). Для единичного век-
тора имеем |п| = 1 => у1 + z2 = 1. Из условия перпендикулярности
82
Гпавв 2
векторов получим ц-п =-4y+3z=0; V = Отсюда
9 2 2 , 4 3 1 - -
— z + z -1, z-±—, у-±—. Таким образом, п = + — (3j + 4к).
3.8. Найти координаты вектора d = xi + yj + zk, если он
ортогонален векторам a = i-2j+3k vl Ь = 21 + 6к-аскалярное
произведение вектора d и вектора с = i: + j + 2к равно -1.
Решение. Условие ортогональности двух векторов заклю-
чается в равенстве нулю их скалярного произведения. Поэтому
x-2y+3z=0 и 2x+6z=0.
Скалярное произведение вектора d м с запишем в виде
x+y+2z--1.
Полученные уравнения образуют неоднородную систему
трех линейных уравнений стремя неизвестными
x-2y + 3z = О,
- 2x + 6z = О,
х+ y + 2z =—1.
Находим определитель системы
Так как определитель системы отличен от нуля, то она
имеет единственное решение. Воспользуемся формулами Кра-
мера
А Ч Dz
—, у = —z = —
Вычислим определители Dx, Dy и Dz
ВЕКТОРНАЯ АПГЕБРА
83
3
6
2
1 -2 О
= 0; Д = 2
О О
1 -1
Отсюда х — —7 = -3, У = — = 0, z = — = 1.
-4 -4-4
Таким образом, вектор d будет d = -3i +k
3.9. Найти координаты вектора d=xi +yj + zk , если он ор-
тогонален вектору а = 2/ — к ; скалярное произведение вектора
d и вектора Ь = i +j + к равно 1 и проекция вектора d на век-
_ _ 1
тор с = 3j - 4к равна -.
Решение. Из условия ортогональности векторов d и а на-
ходим, что 2x-z = 0. Поскольку скалярное произведение векто-
ров dub равно 1, то x-y+z — 1.
Проекция вектора d на вектор d равна
~ cd 3y-4z 1
Пр d = —гд— = -д===. г = -.
Н 7з2+(-4)2 5
Отсюда 3y-4z = 1.
Таким образом, имеем линейную систему трех уравнений с
тремя неизвестными
2x — z — 0,
x-y + z = 1,
Зу — 4z = 1.
Вычисляем определитель системы
84
Глава 2
D =
2 0-1
1 -1 1
0 3—4
Так как определитель отличен от нуля, то система имеет
единственное решение. Воспользуемся формулами Крамера.
Найдем определители
0 0-1 2 0-1 2 0 0
Dx = 1 -1 1 =-4; 4 = 1 1 1 =-п, Д = 1 -1 1 =-s
1 3 -4 0 1 -4 0 3 1
Таким образом, вектор d будет d = 4i+l 1 j+8k.
3.10. Найти значение коэффициента a, при котором векто-
ры а = аё1+2ё2 и Ь = Зё, - ё, будут взаимно перпендикулярны,
если 1^ 1 = 1, |е2| = 4 и угол между векторами ё1 и ё2 равен у.
Решение. Скалярное произведение перпендикулярных век-
торов равно нулю
а b = (аё, + 2ё2) (3 ё1 — ё2) =
= 3а(ё1 ё2)-а(е1 ё2)+б(е1 ё2)-2(ё1 -ё2) = 0.
Произведения векторов по определению скалярного произ-
ведения будут
(ё,-ё2) = 1; (^2) = №|cosy = l-4| = 2;
(^-ё2) = (ё2-^); (ё2-ё2) = 16.
Таким образом, За-2а +6-2-2-16=0 откуда а =20.
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
85
3.11. Найти работу, производимую силой F ={6,1,2} на
перемещении 5 ={2,4,1 }.
Решение. Составим скалярное произведение этих векторов,
тогда работа будет равна
А = F $ = 6 2 +1 • 4+ 2(—1) = 14(ед.раб.).
2.4. Векторное произведение
1° . Векторным произведением двух векторов а и Ь назы-
вают вектор с , удовлетворяющий следующим условиям:
1. Модуль с численно равен площади параллелограмма,
построенного на векторах а и b ,т. е.
|с |=| а || 6 |sin(5,6). (1)
2. с перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векто-
ры а и b.
3. с направлен так, что векторы а, b и с составляют пра-
вую тройку векторов.
Векторное произведение обозначают с =5x6 или с = [56].
2° . Основные свойства.
1. 5x6=0, если а*0 и 6 =а0 , то данное равенство выра-
жает условие коллинеарности векторов.
2. 5х6=—^6x5). (2)
3. Скалярный множитель можно выносить за знак вектор-
ного произведения
(Л5х6 ) = Л(5хб). (3)
4. Векторное произведение единичных векторов определя-
ется формулами
86
Гпава 2
ixi=Jxj=kxk=O; ixj=k; jxk=i-, kxi—j. (4)
5. Обладает распределительностью
(a + b^xc = axe+bxc. (5)
3°. Выражение векторного произведения через проекции
перемножаемых векторов
(6)
Условием параллельности векторов служит пропорциональ-
ность их одноименных проекций на координатные оси
4°. Приложения. 1. Момент силы F, приложенный к точке
В относительно точки А определяется равенством
M = ABxF. (8)
2. Площадь Д АВС равна половине площади параллелог-
рамма ABDC (рис. 2.18) и равна
Рис. 2.18
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
87
4.1. Даны векторы а (3,4,1)и b (-1,2,5). Найти координаты
векторного произведения [а 6].
Решение. Воспользуемся формулой (6)
axb =
а,
h
а:
ь.
к
Ь,
1 3
5 -1
3 4 -
I
-1 2
к = 181-16; +10£,
4
2
1 _
i
5
тогда координаты векторного произведения будут
[йхй] = {18,-16,10}.
4.2. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(1,0,6),
В(4,5,-2) и С(7,3,4).
Решение. Найдем координаты векторов АВ и АС:
АВ (3,5, -8), АС (6,3,-2) и воспользуемся формулой (9)
So=—\abxac =- 3
2' 1 2
6
J к
5
3 —2
-8 = ||141-42/-2U| =
= уд/(14)2 + (—42)2 +(—21)2 = 24,5.
4.3. Пирамида задана координатами ее вершин А Д1,2,0),
Л 2(—1,2,1), Л3(2,0,5), Л4(-2,5,4). Найти: а) длину ребра Л2Л3;
б) площадь грани Л ]Л2Л3; в) угол между ребрами А} Л2 и А]Л4.
Решение, а) Найдем вектор Л2Л3 по формуле
Л,Л3 = (2 +1)1 + (0-2)} + (5-1)£ = 3i-2j + 4k. Отсюда модуль
вектора Л2Л3 равен |л2Л3| = д/з2+(-2)2+ 42 =д/29.
б) Найдем вектор А,А}: ДД = (1 +1)7 + (2 - 2); + (0 - \)к = 21 - к
88
Гпава 2
Составим векторное произведение
7 к
О —1 =-2f—11/-4Л .
-2 4
Площадь грани находим по формуле (9)
5 = 17(—2)2 + (—11)2 + (—4)2 = 17141.
в) Вектор А^А2 = -44 = -'ll + к • Найдем вектор А1А4:
44 = (“2 “ 1)? + (5 - 2)} + (4 - 0)к = -3i + 3j + 4k-
Косинус угла между ребрами находим по формуле (8) пунк-
та 2.3
(-2)(-3) + 0-3 + 1-4 10
cos (р = . .— = .----= 0,766.
7(-2)2 + О2 +12 7(-3)2 + З2 + 42 л/170
Откуда <р = 40°.
4.4. Найти координаты вектора х , если известно, что он
перпендикулярен к векторам a {1,0,3}, b {-2,4,-3} и образует с
осью Оу острый угол, а его модуль равен 39.
Решение. Поскольку векторы х и 5хЬ коллинеарны, то
Зная модуль вектора х , находим Л
|х| = 39 = |Л| 7144 + 9 + 16, Л = ±3.
Острый угол между векторами х и осью Оу будет
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
89
cos Р = -j—j- > 0 , следовательно, Л =-3.
|х|
Таким образом, х = 361 + 9 j -12k •
4.5. Найти площадь параллелограмма, построенного на
векторах а=3т —2й и b = 5т + 4й, если |m|=2, |й|=3, а угол
л
между векторами т и п равен у.
6
Решение. Площадь параллелограмма находим по формуле
S = | axb |. Используя распределительное свойство векторного
произведения, а также то, что йх/й = 0, йхй = 0, йхй=-йхйг
будем иметь 5x6 = (3йг-2й)х(5йг + 4й) = 15/йхт +
+ 12(йхй) — 10(йх/й) — 8(йхй) = 22(/йхй).
Величина векторного произведения тхп равна
тхп = |лй| |й| sin [тп j = 2-3—3.
Отсюда
5 = 22 |/й х й| = 22 • 3 = 66 кв.ед.
2.5. Смешанное произведение векторов
1°. Смешаным. произведшем трех векторов называется вы-
ражение вида
(axb)-c или abc •
Если векторы заданы своими координатами, то
axb^-c =
Ьх
ау а<
Ьу Ь>
СУ
(1)
90
Гпава 2
2°. Свойства.
1. При перестановке сомножителей смешанное произведе-
ние меняет знак
(axZ>)c=-(hXa)-c=(aXc)-h=—(схй)а. (2)
2. Смешанное произведение обладает свойством
(axb )с = (b хс = (cxa)b. (3)
3. Если два из трех векторов равны или параллельны, то их
смешанное произведение равно нулю.
3° . Смешанное произведение трех векторов численно равно
объему параллелепипеда, построенного на этих векторах
V = (axb )с =abc. (4)
4°. Объем пирамиды, построенной на векторах a,b,c равен
=i(axfo)c=|ahc. (5)
o' о
5°. Условие компланарности. Необходимым и достаточным
условием компланарности трех векторов a,b,c является равен-
ство нулю их смешанного произведения: abc = 0.
5.1. В пространстве даны четыре точки: А (1,1,1),
В (2,4,7),С (—1,2,—3), и D (-3,2,1). Найти объем тетраэдра ABCD
и длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины В.
Решение. Пусть А вершина тетрэдра. Найдем координаты
векторов АВ, АС и AD (рис. 2.19): А8 = {1,3,6},
АС = {-2,1,-4}, АО = {-4,1,0}. Объем тетраэдра находим по
формуле (5)
1
6
1 3
—2 1
-4 1
6
0
32
3 ‘
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
91
Рис. 2.19
Найдем площадь основания
$=-1лСхЛ/)| = 1
21 । 2
= ||4i+16/ + 2^| = >/б9.
О
Поскольку h = —, то h — —т= =--------.
5 3769 69
5.2. Вычислить объем треугольной призмы, построенной на
векторах й{1,-3,2}, h{3,l,-2}, с {2,-1,2}, и определить ори-
ентацию тройки векторов а,Ь,с в пространстве.
Решение. Найдем значение смешанного произведения
Поскольку смешанное произведение векторов положитель-
ное, то они образуют правую тройку.
Объем треугольной призмы равен половине объема парал-
лелепипеда построенного на этих векторах
92
Гпава 2
Кп;,=1|й(йхс)| = 10.
5.3. Доказать компланарность векторов
a{4,3,5}, b{2,2,2}, с{-3,-2,—4}
Решение. Условие компланарности a [bxcj = 0. Откуда
a{bxc ) =
4
2
-3
3 5
2 2
-2 -4
= 0,
следовательно, векторы компланарны.
5.4. Даны векторы а — (-1-1,2) и Ъ = (1,-2,2). Найти неиз-
вестный вектор х = (x,y,z), если скалярное произведение
а х = — 7 > вектор с = а хх перпендикулярен оси Ох, а смешан-
ное произведение xab = 2
Решение. Используя условие g. х — — 7, получим уравнение
—х— y + 2z = —7 или х + у —2z = 1.
Воспользуемся векторным произведением
к
2 =-(z + 2y}i +(2x + z}j + (х — у)к.
z
Поскольку вектор с перпендикулярен оси Ох, то проекция
сх вектора с на ось Ох равна 0, то есть сх= - (2y+z) = 0.
Из условия xab - 2 имеем
х
-1
1
У z
-1 2 =2,
—2 2
т.е.
2х + 4у + 3z = 2 .
ВЕКТОРНАЯ А ПГЕБРА
93
Полученные уравнения объединим в систему
х + y-2z = 7,
2у + z = О,
2x + 4j + 3z = 2.
Решение ищем по формулам Крамера. Находим определи-
тель системы
= 12*0.
Так как определитель системы не равен нулю, то система
имеет единственное решение х = —^, = Z~~D
7 1 -2 1 7 —2
0 2 1 = 24; Dy = 0 0 1 = 12;
2 4 3 2 2 3
1 1 7
0 2 0 = -24;
2 4 2
-24 „
z =---= —2.
12
24 „ 12 ,
х =— = 2, у= — = 1,
12 12
Таким образом, неизвестный вектор х={2,1,—2} .
5.5. На векторах а = 21 + j-k, b-3i-2j+4k и
с =зТ — 4к построен параллелепипед. Найти его высоту, опу-
щенную на грань, образованную векторами 5 и с .
Решение. Объем параллелепипеда по формуле (4) будет
2
V = |ahc| =
1 -1
—2 4
О -4
= |16 + 12-6 + 12| = 34.
3
3
С другой стороны, объем равен V = S h, где S — площадь
94
Гпава 2
грани, образованная векторами а и с
Таким образом,
V_ _ 34 _17>/2
S~ 5Л~ 5
Глава 3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ
3.1. Координаты точки на прямой
и на плоскости. Длина и направление отрезка
1°. Координатой точки М на оси х называется положитель-
ное или отрицательное число, отложенное, соответственно, впра-
во или влево от начала координат в выбранном масштабе.
Декартова или прямоугольная система координат представ-
ляет совокупность двух взаимно-перпендикулярных осей; оси
абсцисс Ох и оси ординат Оу (рис. 3.1).
Рис. 3.1
96
Гпава 3
Декартовыми координатами точки М называются проекции
радиус-вектора ОМ на оси координат (х,у).
Направленным отрезком на оси называется отрезок, у ко-
торого определены начало Л/,(Х]) и конец Л/2(х2). Здесь хрх2 —
координаты начала и конца отрезка.
2°. Величина отрезка на оси равна его длине М1М2=\М1М2\,
если направление отрезка совпадает с осью; в противном слу-
чае величина отрезка равна его длине со знаком минус
М1М2=-\М2М1\. Через координаты величина отрезка опреде-
ляется по формуле
Л/|Л/2=х2-х1, (1)
а длина или расстояние между двумя точками
б/=Л/|Л/2=|х2-х1|. (2)
Длина отрезка на плоскости (рис. 3.1), заданного коорди-
натами своего начала М^Х],^) и конца М2(х2,у2), равна
d = у](х2-х1')2+(уг-у1')2 (3)
Если начало отрезка совпадает с началом координат, то
формула (3) примет вид
d = Jx2+y2. (4)
3°. Пусть (р и i/f — углы, составляемые отрезком с по-
ложительными направлениями осей координат Ох, Оу, тог-
да направление отрезка определится заданием косинусов этих
углов
cos(p = —r- .- -1. ; cost^=-j=^==^===. (54
7(х2 -X))2 + (Л -л)2 ж -*1)2 +(Л ->'1)2
1.1. Построить на числовой оси точки А(-4), В(5), и С(1),
иайти величины отрезков АВ,ВС и А Сна оси, длину отрезка ВС
и проверить равенство АВ+ВС=АС.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
97
Решение. На оси х в выбранном масштабе откладываем от
начала координат соответственно точки А,В и С (рис .3.2). Вели-
чины отрезков находим по формуле (1)
А С В
—4 0 1 5
Рис. 3.2
АВ = хв-х, =5-(-4) = 9, ВС = хг-хв =1-5 = —4,
о Л V / ’ Со "
АС = хс-хА = 1-(-4) = 5.
Длину отрезка ВС находим по формуле (2)
d = \ ВС\=\хс—хв |=|-41=4.
Подставляя найденные величины отрезков на оси в доказы-
ваемое равенство, получим 9+(-4)=5, 5=5.
1.2. Даны точки Л(-1,-3) и 5(4,2). Найти длину отрезка и
его направление.
Решение. Длину отрезка, заданного координатами своего
начала и конца находим по формуле (3)
d =| АВ |= 7(4 +1)2 + (2 + З)2 = V50 = 572 -
Направляющие косинусы находим по формулам (5)
cosp =
4 + 1_ 1
5V2~V2~ 2 ’
2 + 3 у/2
COS 1/ = 7=- =--.
5^2 2
Отсюда угол с положительным направлением оси Ох равен
(р = 45°, а оси Оу равен у/ = 45°.
1.3. Найти точку, удаленную от оси Оу и от точки Л (1,2) на
5 единиц.
Решение. Геометрическим местом точек удаленных от оси
Оу и точки Л будет прямая параллельная оси Оу и отстоящая от
98
Гпава 3
оси на расстоянии 5 единиц (рис. 3.3), т. е. х = 5. Пусть точка
М(5,у) искомая точка, тогда по формуле (3)
5 = 7(5-1)2 + (j’-2)2 ,
откуда 25=16+(у-2)2 или (у-2)2=9.
Л(Л 2)
Рис. 3.3
Решая последнее уравнение, находим у,=5, у2=-1. Таким
образом, искомых точек на прямой две Л/)(5,5), Л/2(5,-1).
1.4. Найти центр и радиус окружности, описанной около
треугольника с вершинами 4(2,1), В(-3,2), С(—1,1).
Решение. Обозначим координаты центра окружности О за
х, у, а радиус за R, тогда по формуле (3) будем иметь
R2 = (х —2)2+(у-1)2,
А2 =(х + 3)2+(у-2)2,
А2 =(х + 1)2+(^ —I)2.
1
Вычитая из первого третье уравнение, находим, что х - —.
1 2
Подставляя х - — во второе и третье и вычитая из второго тре-
2 13
тье, находим, что У - —. Подставляя найденные х,у в любое из
R
трех уравнении, получаем, что R = —-—.
1.5. Доказать, что четырехугольник с вершинами в точках
Л(1,5), В(-2,1), С(1,—2), и .0(10,2) есть параллелограмм.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
99
Решение. Известно, что четырехугольник, у которого про-
тивоположные стороны попарно равны, есть параллелограмм.
Докажем равенство противоположных сторон АВ и CD (ВС и
DA). Найдем длины этих сторон
dAB = ^в-хА)* 2+(ув-уА)2 = V(-2-l)2 + (l-5)2 = 5,
dCD = >/(xD-xc)2 + (yD-yc)2 = л/32+42 = 5.
Следовательно, АВ = CD.
Аналогично: dBC = ^(7+ 2)2 +(-2-Г)2 = Зд/1О,
dDA = у](1-10)2 + (5-2)2 = 3 V10, то есть ВС = DA.
Поскольку противоположные стороны равны, то четыре-
хугольник ABCD есть параллелограмм, что и требовалось до-
казать.
3.2. Деление отрезка в данном отношении.
Площадь треугольника и многоугольника.
Центр тяжести
1°. Координаты точки М(х,у), делящей отрезок МхМг в от-
М\М 1 / , 14 ж
ношении —!— = Л , (рис. 3.1) находятся по формулам
ММ2
х. + Лх, у, + Лу,
х = —---у = —-----—
1 + Л 1 + Л
Если точка М делит отрезок МхМг пополам, то Л = 1 и ко-
ординаты равны
(1)
(2)
Х-Х1+Х2 . У>+У2
2 ’ У 2
Если Л — число отрицательное, то точка М находится на
продолжении отрезка и деление называется внешним.
100
Гпавв 3
2°. Площадь треугольника с вершинами Л/^Х] ,j1),M2(x2,j2)
и Л/3(х3,_р3) вычисляется по формуле
S = ||[х1(^2-Уз) + х2(Уз-у,) + х3(у, - J2)]| . (3)
Если, следуя по контуру треугольника от к М2 и к Му
площадь обходится против часовой стрелки, то число S положи-
тельное, в противном случае — отрицательное. Поскольку пло-
щадь треугольника—величина положительная, то правая часть
формулы (3) берется по абсолютной величине.
Если площадь треугольника равна нулю, то из формулы (3)
следует равенство
Х1<>2-^з)+Х2Оз-3;1)+Хз0'Г^2)=0’ (4)
которое является условием того, что три точки М{ , М2 и М3
расположены на одной прямой.
3°. Площадь многоугольника с вершинами Af^Xpjj),
Л/2(х2,у2), ... ,Л/п(хп,уп) определяется по формуле
(5)
4°. Если в точках МДхр}';), Л/2(х2,у2), М3(х3,у3) помещены
массы шрш2,ш3 соответственно, то координаты центра тяжести
этих масс находятся по формулам
_ т1х1 + т2х2 + m3x3 _ + т2у2 + т3у3
хс — , ус
т]+т2+ т3 + т2 + т3
Отсюда координаты центра тяжести площади однородного
треугольника определяются по формулам
(6)
X, + X, + X, у. + у, + у3
хе=^^-------Ус= ' 32 (7)
Координаты центра тяжести системы, состоящей из п ма-
териальных точек Л/1(Хру1),Л/2(х2,у2), ... ,Мп(хп,уп), соответ-
ственно с массами mpw2,... ,тп, определяются по формулам
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
101
х = т^+т2х2+...+тпх„ . + тгуг+...+тпуп
т1+т2+... + тп с m^+m-i^+...+ т^ ' '
2.1. Найти точку, делящую отрезок между точками Л/, (-1,8)
. _3
и Л/2(3,3) в отношении 4-у.
Решение. Для отыскания координат точки, делящей отре-
. 3
зок в отношении 4 — —; воспользуемся формулами (1)
3 3
-1 + --3 - 8 + --3
2 5 2 <
х =---— = —, У = ilr— = 5.
1 3 7,3
1 + - 1+-
2 2
2.2. Найти точку С, делящую отрезок между точками А (-2)
и 5(4) на оси в отношении Л =-2.
Решение. Считаем, что точки АиВ расположены на оси х,
тогда для отыскания точки С можно воспользоваться первой из
формул (1)
-1-2-4 1Л
х =-------= 10.
1-2
2.3. В треугольнике с вершинами Л (-2,0), 5(6,6), С(1,-4) оп-
ределить длину медианы AD, длину биссектрисы АЕ, вычислить
площадь треугольника и координаты центра тяжести, полагая
его однородным.
Решение. Так как медиана AD делит отрезок ВС пополам (рис.
3.4), то Л = 1 и координаты точки D находятся по формулам (2)
6+1 7 6-4 ,
xD =---= —, yD =------= 1.
D 2 2 D 2
Отсюда длина медианы AD = / 2 + 2)2 + (1 - О)2 = ул/5.
Биссктриса А Е делит сторону ВС на отрезки пропорциональ-
АВ BE .
ные прилежащим сторонам, т. е. —— - ~~ — 4.
АС ЕС
102
Гпава 3
Рис. 3.4
Найдем длины отрезков А В и АС
| Л5|=7(6 + 2)2+62 =10; | АС |= ^(1 + 2)2 + (-4)2 = 5 •
Отсюда Л =2 и координаты точки Е
6 + 2 8 6-2-4 2
xf =---= —; у г =-----= —•
1+2 3 1+2 3
Длина биссектрисы АЕ
, (8 Y ( 2? 10 г-
АЕ — , I —ь2 I +1 — I — — -у2.
VI3 j I 3 j 3
Площадь треугольника находим по формуле (3), полагая
координаты точки А за хр ур точки В за х2, yv С — за хру3
S = 11[—2(6 + 4) + 6(-4- 0) +1(0- 6)]| = 25 кв.ед.
Координаты центра тяжести находим по формулам (7)
-2 + 6 + 1 5 0 + 6-4 2
х =--------= —; у =--------= —.
3 3 3 3
2.4. Даны три последовательные вершины параллелограм-
ма Л(1,1), 5(2,2), С(3,-1). Найти четвертую вершину.
Решение. Диагонали параллелограмма в точке пересечения
£ делятся пополам (рис. 3.5).
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
103
Рис. 3.5
Зная координаты точек А п С, находим по формулам (2)
координаты точки Е
1+3 „ 1-1 Л
х =----= 2; у =---= 0.
2 3
Далее по этим же формулам находим координаты точки D
2 + х 2 + у
2 =----, 0 =----х = 2, у = -2.
2 2
2.5. В точках А(2,1), В(-1,3), С(-2,5) помещены соответ-
ственно массы 50, 20 и 30г. Определить центр масс этой сис-
темы.
Решение. Для нахождения координат центра масс системы
пользуемся формулами (6)
2-50 — 20 — 2-30 50 + 3-20 + 5-30 „ ,
хг = —------------= 0,2, уг =-------------= 2,6.
50 + 20 + 30 с 50 + 20 + 30
2.5. На концы однородного стержня длиной 50 см и весом
100г насажены шары весом 20 и 80г. Найти центр тяжести си-
стемы.
Решение. Пусть ось х проходит вдоль стержня, причем на-
чало координат совпадает с центром шара весом 20г. Коорди-
ната центра тяжести шаров может быть найдена из упрощенной
формулы (6)
104
Гпава 3
т.х.+т^Ху 20 0 + 80-50 ..
х = —L-1---=--------------= 40 см.
mt +т2 20 + 80
Координата центра тяжести стержня находится посередине
стержня на расстоянии 25 см от начала координат. Полагая, что
вэтой точкеХ]=25 см приложен вес стержня т} = 100 г, авточке
х2=40 см вес шаров, по этой же формуле находим центр тяжести
системы
100-25 + 100-40 „„ с
хг =--------------= 3 2,5 см.
100 + 100
2.7. Проверить, лежат ли точки М{(2,\), Л/2(0,5), М3(-1,7)
на одной прямой.
Решение. Воспользуемся формулой (4)
2 (5—7)+0(7—1)—1 (1 — 5) = —4 + 4 = 0.
Поскольку левая часть равенства тождественно равна нулю,
то точки лежат на одной прямой.
2.8. Вычислить площадь пятиугольника с вершинами
М,(2,3), М2(-2,2), М3(-4,-1), М4(-1,-5), М4(4,-2).
Решение. Запишем формулу (5) для пятиугольника
у, х2
у2 х3
у2 + х3
Уз Х4
Л х4 у4 х5
У4 *5 У 5 Х1
Уз
Л
и подставим в нее координаты вершин
2 —2
= ||(4 + 6) + (2 + 8) + (20-1) + (2 + 20) + (12 + 4)| = 38,5 кв.ед.
2.9. Найти координаты центра тяжести фермы (рис. 3.6), со-
стоящей из однородных стержней.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
105
Решение. Поскольку стержни однородны, то масса «г каж-
дого стержня пропорциональна его длине /, то есть mi = р/,, где
р —линейная плотность.
Используя данные рис. 3.6, найдем массу каждого стержня
и его центр тяжести.
Стержень Масса Центр тяжести
ОА w,=3p Л/|(1,5;0)
АВ т2=5р М2(1,5;2)
ВО т}=4 р М3(0;2)
CD т4=1,5 р М4(0,75;2)
EF т5=\,5 р М5(1,5;1)
OD '«6=2,5 р М6(0,75;1)
Центр тяжести системы из шести материальных точек
М}, ... , М6 находим по формулам (8)
_ р(3-1,5+5-1,5+40+1,5-0,75 + 1,5-1,5+2,5-0,75
с (3+5+4+1,5 + 1,5 + 2,5)р
р(3-0+5-2 + 4-2+1,5-2 + 1,5-1 + 2,5-1 ,
Ус = —-----------------------------= 1,43.
с (3 + 5+4+1,5 + 1,5 + 2,5)р
106
Гпава 3
З.З.Уравнения прямой линии.
Геометрическое истолкование неравенства
и системы неравенств первой степени
Прямой линии на плоскости соответствует уравнение пер-
вой степени с двумя неизвестными.
1°. Общее уравнение прямой
Ах + By + С = 0, (1)
здсь А,В, С— произвольные коэффициенты.
2°. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
у = кх + Ь, (2)
здесь к = tg<p — угловой коэффициент прямой, (р — угол на-
клона прямой к положительному направлению оси Ox, b — ве-
личина отрезка, отсекаемая прямой на оси Оу от начала
координат (рис. 3.7).
Пользуясь уравнением прямой (2) можно установить, как
измнится это уравнение, если от данной прямой L перейти к пря-
мой (рис. 3.8), ей симметричной.
При симметрии относительно оси Ох следует изменить знак
коэффициента при х и свободного члена или изменить знак ко-
эффициента при у. На рис. 3.8. эта линия обозначена цифрой 1.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
107
При симметрии относительно оси Оу следует изменить знак ко-
эффициента при х. На рис. 3.8 это линия 2. При симметрии отно-
сительно начала координат следует изменить знак свободного
члена. На рис. 3.8 это линия 3.
3°. Уравнение прямой в отрезках на осях
здесь а, b — величины отрезков, которые прямая отсекает от осей
координат (рис. 3.7).
4°. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
и М2(х2,у2)
у-У1 _ х-х,
’ (4)
Л “Л *2“*1
5°. Нормальное уравнение прямой
xcosa + ysina-р = 0, (5)
здесь р—длина перпендикуляра, опущенного на прямую из на-
чала координат, а —угол, отсчитываемый от положительного
направления оси Ох, против часовой стрелки, до перпендикуля-
ра р (рис. 3.7). Чтобы привести общее уравнение прямой (1) к
108
Гпава 3
нормальному виду, нужно общее уравнение прямой умножить на
нормирующий множитель
м = " г4----(6)
+у!а1+в1
взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена С,
а если С = 0, то знак может быть любой.
6°. Геометрическое истолкование неравенства первой сте-
пени. В общем случае неравенство первой степени Ах+Ву+С^. 0
определяет полуплоскость, которая при С ф устанавливается на
основании знака С. Если при х - 0 и у = 0 знак С совпадает со
смыслом неравенства, то полуплоскость, соответствующая ему
включает начало координат; если же знак С противоречит нера-
венству, то соответствующая ему полуплоскость не включает
начала координат. Если С= 0, то следует ориентироваться на
произвольно выбранную точку.
3.1. Написать уравнение прямой проходящей через точку
4(3,4) и составляющей с Ох угол 45°.
Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициен-
том (2). Угловой коэффициент k=tg(p = tg45°=l. Подставляя в
уравнение (2) координаты точки А и значение к, находим пара-
метр Ь: 4 = 3+Ь, откуда b =1 и уравнение примет вид у = х+1
или в общем виде х-у+1= 0.
3.2. По уравнению прямой у =-2х+3 написать уравнения пря-
мых, симметричных относительно осей и начала координат. Сде-
лать чертеж.
Решение. Для случая симметрии относительно оси Ох бу-
дем иметь уравнение у = 2х-3; для случая симметрии относитель-
но оси Оу — уравнение у - 2х+3; для случая симметрии
относительно начала координат — уравнение у =-2х-3.
На рис. 3.9 эти линии, соответственно, обозначены цифра-
ми 1,2,3.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
109
3.3. Даны точки 0(0,0) и Л (4,0). На отрезке ОА построен па-
раллелограмм, диагонали которого пересекаются в точке 5(0,3).
Написать уравнения сторон и диагоналей параллелограмма.
Решение. Поскольку точка В, точка пересечения диагона-
лей параллелограмма, то, проводя из точки Он А прямые через
точку В и откладывая от нее отрезки равные ОВ и АВ, получим
две другие вершины параллелограмма D и С (рис. 3.10).
Рис. 3.10
Сторона параллелограмма О А совпадает с осью Ох, а диа-
гональ OD с осью Оу, следовательно их уравнения будут у=0,
х=0. Сторона CD параллельна оси Ох и отсекает на оси Оу отре-
110
Глава 3
зок равный 6 единицам, следовательно ее уравнение будет у = 6.
. Диагональ АС и сторона AD отсекают на координатных
осях отрезки равные а=4, Ь=Ъ, и а-4, Ь=6 единицам, подставляя
которые в уравнение прямой в отрезках на осях (3), получим
£+Z = 1> i+Z = 1
4 3 4 6
или в общем виде Зх+4у-12 = 0 и Зх+2у-12 = 0.
Сторона ОС проходит через начало координат и имеет урав-
нение у=кх, где угловой коэффициент к= tg<p =
tg(y+ZCOZ>) = -ctg(ZCOD) = -^ = -|. Отсюда, У = ~~х
или 3x4-21—0.
3.4. Написать уравнение прямой, проходящей через точку
Л (4; 2) и отсекающей от координатного угла треугольник пло-
щадью, равной 2 кв. единицам.
Решение. Пусть прямая, проходящяя через точку А, отсека-
ет на координатных осях отрезки а и b (рис. 3.11), тогда уравне-
х У ,
ние прямой примет вид — ч-= 1.
а —Ь
Рис. 3.11
С другой стороны известно, что ^а-Ь = 2 или д-6 = 4-Так
как прямая проходит через точку А, то ее координаты обращают
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
111
4 2 1
уравнение прямой в тождество —Ь — — 1. Решая эти уравнения
а —Ь
относительно а и Ъ находим
b2-b-2 = 0, Ъх=2, Ь2=-1 и а}=2, а2=-4.
Подставляя а{, Ьх в уравнение искомой прямой, получим
х у
—+ —= 1 или х-у-2 = 0 .
2—2
х у
Подставляя а2, Ь2, будем иметь-н — = 1 или х — 4у + 4 = 0.
Таким образом, прямых удовлетворяющих условию, две.
3.5. В треугольнике с вершинами Л(-2;0), В(5;3), С(1;-1)
найти уравнение стороны ВС и медианы AD.
Решение. Пользуясь уравнением прямой, проходящей через
две данные точки (4), находим уравнение стороны ВС
х-5 _ у-3
или х-у-2 = 0.
Медиана делит противоположную сторону пополам, поэто-
му координаты точки В
_ ХВ +ХС _ + 1 _ т. _ У в Ус _ 3—1 _ 1
D~ 2 ~ 2 ~ ’ Уо~ 2 " 2
Еще раз пользуясь уравнением (4), находим уравнение ме-
дианы AD
х+2 у—0
572=7^- ™ «-sj-+2 = o.
3.6. Написать уравнение прямой, проходящей через точку
А(1, VJ) и удаленной от начала координат на расстояние рав-
ное 2 единицам.
Решение. Подставим координаты точки А и значениер = 2 в
нормальное уравнение прямой (5), получим cos а + sin а-2 — 0
112
Гпава 3
1 л/3 .
или -cosa + — sina = 1. Откуда sin30°cosa+ cos30°sina =
= sin(30°+a) = 1 и a = 60°.
1
Tогда уравнение прямой х— +у---2 = 0 или х+ у-4 = 0.
2 2
3.7. Составить уравнение прямой, проходящей через точки
Л(3;4) и 5(3;8).
Решение. Используя уравнение прямой, проходящей через
у-4 х-3 „
две точки (4), получим -—— =----. Данное уравнение имеет
смысл, если х-3 = 0. Итак, уравнение прямой есть х = 3. Это пря-
мая, параллельная оси Оу и отсекающая по оси х три единицы.
3.8. Найти полуплоскости, соответствующие неравенствам:
а) х-Зу+2<0; б) 2х+у+5>0; в) 4x-3v>0.
Решение, а) Так как свободный член не удовлетворяет не-
равенству при х - 0 и у = 0, то определяемая неравенством по-
луплоскость не содержит начала координат. Штриховка
указывается направлением от прямой х-3г+2 = 0 в сторону про-
тивоположную началу координат (рис. 3.12).
Рис. 3.12
4х - Зу = 0
б) Поскольку при х = 0, у — 0 знак свободного члена не на-
рушает неравенсвтво, то соответствующая полуплоскость от пря-
мой 2х+у+5 = 0 включает начало координат.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
113
в) Изобразим прямую на рис. 3.12. Для определения полу-
плоскости возьмем произвольную точку с координатами Л/(0; 1),
тогда получим -3>;0. Поскольку знак неравенства показывает,
что искомая полуплоскость не включает выбранной точки М, то
штриховка от прямой должна быть направлена в сторону, про-
тивоположную точке М. Следует заметить, что в данном случае
полуплоскость включает и точки граничной прямой.
3.9. Найти области, соответствующие неравенствам:
Jx-2y + 3> 0, Гх-2у + 3> 0, Гх-2у + 3< О,
а) [х-2у-3< 0; 6) |х-2у-3> 0; [х-2у-3> 0;
Решение. Построим прямые х-2у+3 = 0 и х-2у-3 = 0, соот-
ветствующие заданным неравенствам (рис. 3.13). Прямые парал-
лельны. Полагая х - 0, у = 0, строим полуплоскости по знаку
свободного члена. В зависимости от сочетаний знаков неравенств
пересечение соответствующих плоскостей существует: а) в виде
части плоскости между двумя параллельными прямыми, причем
прямая х-2у+3 = 0 включается в искомую область; б) при одина-
ковых знаках в системе общая часть совпадает с полуплоскос-
тью, которая не включает другой граничной прямой, то есть
геометрическим изображением служит полуплоскость х-2у-3>0
(рис. 3.14); в) в данном случае полуплоскости не имеют никакого
пересечения, то есть общей области вовсе не существует (рис. 3.15).
Рис. 3.13
Рис. 3.14
114
Гпава 3
Рис. 3.15
3.10. Построить область, координаты точек которой удов-
х у
летворяют системе неравенств у > 2х+4, х > -5, —+ у<1.
Решение. На плоскости Оху строим сначала прямую
у = 2х+4. Для этого полагаем х = 0, у = 0, находим точки пере-
сечения прямой с осями координат у = 4, х = -2 и проводим че-
рез эти точки прямую (рис. 3.16). Неравенство у > 2х+ 4 будет
представлять область, координаты точек которой расположены
выше построенной прямой, причем сама прямая в искомую об-
ласть не включается. Неравенство х > -5 представляет область
расположенную правее прямой х = -5. Последнее неравенство
напоминает уравнение прямой в отрезках на осях.
У
Рис. 3.16
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
115
Откладывая по осям Ох, Оу точки а = 5иА = Зи проводя
через них прямую, находим, что область удовлетворяющая это-
му неравенству расположена ниже прямой. Из построений вид-
но, что искомая область представляет треугольник АВС, где
отрезок А В принадлежит области.
3.11. Найти область, координаты точек которой удовлетво-
ряют системе неравенств:
[2х-у + 4 > О,
а) [ х < 0;
6)
Зх-у + 4 > 0,
х + у — 2 > 0,
х — 2у — 6 > 0.
Решение, а) Поскольку из первого неравенства при х=0, у=0
=> 4>0, то полуплоскость включает начало координат (рис. 3.17).
Неравенству х<0 соответствуют все точки левой полуплос-
кости. Решением является общая часть или пересечение этих по-
луплоскостей, ограниченная прямыми 2х-у+4=0, х=0
пересекающимися под углом а.
б) При х = 0, у = 0 из первого неравенства следует, что по-
луплоскость включает начало координат (рис. 3.18); из второго
— следует, что полуплоскость не включает начало координат;
из третьего, что не включает. Следовательно, имеются лишь три
изолированных пересечения двух полуплоскостей, обозначаемых,
соответственно, углами а, /5, у между прямыми Зх-у+4 = 0,
х+у- 2 = 0 и х - 2у - 6 = 0.
116
Глава 3
Рис. 3.18
ЗЛ. Задачи на прямую линию
1°. Точка пересечения двух прямых. Пусть прямые заданы
уравнениями
yljX + В.у + — 0; А2Х + В2 у + С*2 = 0. (1)
Координаты точки пересечения находятся из решения этой
системы
С2В.-С.В2 _А2С.-А.С2
А.В2 - А2В. ’ А.В2 - А^В.
(2)
При этом возможны следующие случаи:
4 В
а) Л, 5, - А2В, ф 0 или —- ф —-прямые пересекаются в
Л ^2
определенной точке.
4 В, С,
б) А.В2-А,В,=0 и С,В. -С,В2 *0 или — = — Ф--------
' 2 ' 2 112 А2 вг сг
прямые параллельны, точек пересечения нет.
. 4 в. с, _
в) А1В2-А2В1 -0 И C2Bt-CtB2 =0 или — = — -77--°бе
А В2 С2
прямые сливаются в одну, система уравнений сводится к одно-
му уравнению, точек пересечения бесчисленное множество.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
117
2°. Под углом между двумя прямыми (рис. 3.19)
(L1) y=k}x+bx; (L2) y=k2x+b2, (3)
понимают угол (р, отсчитываемый от прямой Lx, против часо-
вой стрелкии, до прямой L2
Рис. 3.19
Если прямые заданы общими уравнениями (1), то формула
(4) принимает вид
44 - 44
form —L
44+44-
Условие параллельности прямых
кх к2 или .
Условие перпендикулярности прямых
(5)
(6)
кх=-^~ или 44+44=0. (7)
3°. Уравнение пучка прямых. Пучком прямых, проходящих
через данную точку М(х0,у0), называют совокупность всех пря-
мых, проходящих через эту точку
У~Уо = к(х-х0).
(8)
118
Гпава 3
Точка М(х0,у^) называется центром пучка. Угловой коэф-
фициент к в уравнении пучка прямых неопределен.
Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересе-
чения двух данных прямых (1), имеет вид
4х+В, у -f-Cj + Л(Л2х + В2у + С2) =0. (9)
Здесь параметр Л неопределен.
4°. Расстояние от данной точки до данной прямой. Чтобы
найти расстояние от точки Л/Дхр}']) до прямой, нужно в левую
часть нормального уравнения прямой вместо текущих коорди-
нат подставить координаты точки Мt и взять абсолютную вели-
чину получившегося числа
iZ^XjCosa + ^sina-pl. (10)
Если прямая задана общим уравнением, то формула (10)
принимает вид
d =
AX' + By, + С
л/Аг + В2
(П)
5°. Уравнения биссектрис углов между прямыми (1)
Дх + Bty + С, _ А}Х + В2у + С,
yl^+B* ~ ^А^+В2 (12)
6°. Из уравнения прямой проходящей через две точки сле-
дует условие расположения трех точек Mj(X],yt), М2(х2,у2),
М3(х3,у3) на одной прямой
У3-.У, _х3-х,
х2-х,- 1 >
4.1. Написать уравнения прямых проходящих через точку
Л (-3,4) параллельно и перпендикулярно к прямой 2х-у-3=0.
Решение. Воспользуемся уравнением пучка прямых (8) и
запишем уравнение пучка прямых с центром пучка в точке А
у- 4 = к(х + 3).
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
119
Приводим уравнение прямой к уравнению прямой с угловым
коэффициентом у = 2х - 3, отсюда угловой коэффициент прямой
к=2. Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты
равны (6). Выбирая из уравнения пучка прямую с угловым коэф-
фициентом к—2 находим уравнение прямой параллельной данной
2х-у + 10 = 0.
Используя условие перпендикулярности прямых (7), нахо-
1
дим угловой коэффициент перпендикулярной прямой к = .
Подставляя этот коэффициент в уравнение пучка, получим урав-
нение прямой перпендикулярной данной
х + 2у — 5 = 0.
4.2. Найти прямую, параллельную прямым 2х+у-2 = 0 и
2х+г-5 = 0, расположенную между ними и делящую расстояние
между ними в отношении 1:5.
Решение. Возьмем на первой прямой точку А, абсцисса ко-
торой равна, например, нулю. Тогда ордината точки А из урав-
нения прямой равна 2. Проведем из этой точки перпендикуляр
до пересечения со второй прямой в точке В (рис. 2.20).
Рис .2.20
Угловой коэффициент прямой равен к = -2, следовательно,
1
угловой коэффициент перпендикуляра кАВ= —. Подставляя его
120
Гпава 3
и координаты точки в уравнение пучка прямых (8), находим урав-
1
нение перпендикуляра у-2 = — (х-0) или х-2у+4 = 0.
Решая уравнение перпендикуляра совместно с уравнением
6 13
второй прямой, находим точку их пересечения В ( —, —).
Пусть точка С делит отрезок АВ в отношении Л = , тогда
ее координаты
2 + ^
-^- = 2,1.
1+-
5
Так как искомая прямая параллельна данным прямым, то
ее угловой коэффициент к=-2. Подставляя его и координаты
точки С в уравнение пучка прямых, находим уравнение искомой
прямой v-2,1 =--2(х-0,2) или 2x+j-2,5=0.
4.3. Определить вершины и углы треугольника, стороны
которого заданы уравнениями х-Зу~3-0,7х-у+19—0, Зх+у+1 =0.
Решение. Координаты вершин треугольника А, В, С являют-
ся точками пересечения прямых и находятся из совместного ре-
шения систем уравнений
fx-Зу-З = 0, J х—Зу—3 = 0, f7x — j + 19=0,
[7х —j> + 19 = 0; [Зх + у +1 = 0; [Зх + j +1 =0;
Обозначим решение первой системы за координаты точки
Л(-3;-2), второй — В(0;1) и третьей — С(-2;5). Из построения
д АВС (рис. 3.21) видно, что прямой АВ соответствует первое урав-
нение, прямой АС—второе и прямой ВС—третье.
При определении угла А пользуемся формулой (5), полагая
за А{, В{ коэффициенты при переменных в уравнении прямой
АВ, а за А2, В2 коэффициенты в уравнении прямой А С
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
121
Рис. 3.21
1(-1)-7(-3)
1-7 + (-3)(-1)
При определении угла В за А2, В2 в формуле (5) принимаем
коэффициенты в уравнении прямой ВС
Ь1-3(-3) =оо АВ = ”
1-3 + (-3)-1 2'
Так как сумма углов в треугольнике равна я, то угол
п 1
ZC =—- arctg 2 = arctg—.
4.4. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения
высот треугольника, вершины которого А(7;4), В(-9;-8), С(-2; 16).
Написать уравнение биссектрисы внутреннего угла В.
Решение. Медианы пересекаются в одной точке, делящей
их в отношении 1:2 от противоположной стороны, которую они
делят пополам. Построим треугольник (рис. 3.22) и проведем ме-
диану из точки С. Координаты точки D будут
._х,+хд_7-9_ -Тл+Тд _3-8_
D~ 2 ~ 2 ’ 2 “2
DE 1
Зная координаты точек С и D и отношение Л = — —,
находим координаты точки пересечения медиан
122
Гпава 3
_4. =УО + Лус_ 2+2(16)_4
3 1 + Л 1 + 1
2
х + Лх -Ц(-2)
1+л ’ 1+1
2
Пользуясь уравнением прямой, проходящей через две точ-
ки, запишем уравнения сторон АВ и ВС
у-4 _ х-7
-8-4~-9-7’
16 + 8 -2 + 9’
3 5
—х —,
4 4
24 160
--ХЧ-----
7 7
У~Уа = х-хА
Ув~Уа хв-ха
У~Ув = х~хв
Ус~Ув хс—хв
Угловые коэффициенты перпендикуляров к этим сторонам
находим по формулам (7)
, __2_
АВ 3 ’ вс 24
Подставляя найденные угловые коэффициенты и коорди-
наты точек С и А в уравнение пучка прямых (8), находим пер-
пендикуляры к прямой АВ и ВС
4
.у-16-—(х + 2) или 4х + Зу-40 = 0,
7
у-4 — (х-7) или 7x + 24j-145 = 0.
Решая эти уравнения высот совместно, находим координа-
ты точки их пересечения (7;4), а это координаты точки А, т. е.
71
угол А равен ~ и треугольник прямоугольный.
Запишем уравнения сторон АВ и ВС в общем виде:
Зх-4^ —5 = 0, 24х — 7j +160 = 0.
Биссектрису BF угла В находим по формуле (12)
Зх-4у-5 24х-7у + 160
^576 + 49 ’ 9^W85=0.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
123
4.5. Составить уравнение прямой, параллельной прямой
Зт+4у-7=0 и удаленной от точки Л(3;-1) на три единицы.
Решение. Найдем угловой коэффициент прямой
3 7 , _ 3
У , к — ~. Воспользовавшись уравнением (8), про-
ведем через точку А прямую параллельную данной прямой
j + 1 =—3), 3t + 4j — 5 = 0.
Пусть х, у текущие координаты точки на искомой прямой,
тогда расстояние от этой точки до прямой, проходящей через
точку А, находится по формуле
Ах + By + С
у/а' + В2
Подставляя сюда значение <7=3 и коэффицинты А, В, С, на-
_ Зт+4у-5
ходим 3 =--------
5
15 = Зт - 4у + 5 .
или, раскрывая модуль, 15 = Зт + 4j — 5 и
Отсюда имеем Зт + 4у - 20 = 0 и Зт + 4у +10 = 0.
4.6. Через точку пересечения прямых 2т-у+3 = 0 и х+у-2 = 0
провести прямую, перпендикулярную прямой Зт - 4у - 7 = 0.
Решение. Пользуясь уравнением (9), запишем уравнение
пучка прямых, проходящих через точку пересечения данных пря-
мых
2х — у + 3 + Л(х + у — 2) — 0 или (2 + Л)х + (Л —1)у + 3 —2Л —0.
, 2 + Л
Угловой коэффициент пучка прямых к - —-—- а угловой
Л — 1
, _3
коэффициент перпендикулярной прямой к, — —. По условию пер-
, 1 2 + Л 3 „
пендикулярности к =--, откуда ---= — , а Л = Ю. Подстав-
кх Л-14
124
Глава 3
ляя найденное значение Л в уравнение пучка, получаем уравне-
ние искомой прямой 12х + 9j - 17 = 0.
4.7. Даны две вершины треугольника А (~4;2) и В(2;-5) и точ-
8
ка пересечения высот М( —; -2). Найти третью вершину С и рас-
стояние ее от биссектрисы угла А.
Решение. По уравнению прямой, проходящей через две точ-
ки А и В, находим
у-1 л + 4 7 8
-----=-----, у =—х—.
-5-2 2 + 4 6 3
Используя условие перпендикулярности (7), из уравнения
пучка прямых (8) находим уравнение перпендикуляра МС к пря-
6 8 А
мойЛД проходящего через точку Л/(рис. 3.23) у+2 = чх-- I,
6x-7j-30 = 0.
Уравнение перпендикуляра ВМ к прямой АС находим по
уравнению прямой проходящей через две точки ВнМ
у + 5 х-2 9
—----------, у = -х-14.
-2 + 5 8_2’ Л 2
3
Учитывая, что прямые АС и ВМ перпендикулярны (7)..из
уравнения пучка прямых, проходящих через точку А, находим
уравнение стороны А С
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
125
у-2 = -^(х+4), 2х + 9у-10 = 0.
Решая совместно уравнения прямых АС и МС, находим ко-
ординаты точки С(5;0). Подставляя уравнения сторон АВ и АС в
формулу (12), находим уравнение биссектрисы угла А
7х + бу +16 _ 2х + 9у —10
х/49 + 36 74 + 81
Зх + 5у+ 2 =0.
Расстояние точки С от биссектрисы находим по формуле (11)
d =
3-5 + 5-0 + 2
-V9 + 25
4.8. Пересечение медиан в точке Л/(3;3), а х-у-2 = 0 и
7x-j-8 =0 — уравнения двух сторон треугольника. Найти
уравнение третьей стороны.
Решение. Найдем точку пересечения известных сторон тре-
угольника и обозначим ее за А (рис. 3.24)
Рис. 3.24
J х-у-2 = 0,
1-7 о а Х=1, У = -1.
[7х-7-8 = 0, ’ z
Точка пересеченйя медиан делит их в отношении 2:1, поэто-
му AM:MD = 2:1, отсюда Л = 2
126
Гпава 3
_(1 + ЛК-х, _ 3-3-1 _(1 + Л)л,-л, _3-3 + 1_
° Л 2 ’Уо Л 2
Координаты точек Си В удовлетворяют уравнениям пря-
мых АС и АВ
7хс-ус-& = 0, и хв-ув-2 = 0.
Точка D делит отрезок СВ пополам
*с+Ч> = xD =8, yc + yB=2yD=10.
Решая эти четыре уравнения относительно хс, ус, хв, ув,
находим координаты точек Си В. хс = 2, ус = 6, хв = 3,ув = 4.
Используя уравнение прямой, проходящей через две точки,
находим уравнение прямой ВС
у —4 х — 6
^-^6’ х+2У-14 = 0-
5
4.9. Через точку ЛД-З; —) провести прямую так, чтобы се-
редина ее отрезка между прямыми 2х+у -3 = 0 и 2х+у -5=0 ле-
жала на прямой 2х-у -1=0.
Решение. Проведем параллельные прямые на плоскости Оху
(рис. 3.25) и найдем точки пересечения А,В с третьей прямой.
Для этого решим системы уравнений
|2х + у —3 = 0,
[2х-7-1 = 0,
2x + j-5 = 0,
2х-у-1 = 0,
хл=1> тл=1;
3
хв~ 2 ’ Ув~2-
Поскольку середина отрезка искомой прямой между парал-
лельными прямыми лежит на прямой АВ, то из равенства треу-
гольников ACN и BDN следует, что точка пересечения N делит
прямую Л В пополам. Найдем ее координаты
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
127
_ х, + хв _ 5 _Ул+Ув _3
2 4’ yN 1 2'
Рис. 3.25
Подставляя координаты точек М и N в уравнение прямой,
проходящей через две точки, получим
3 5
у— х —
2 4
5 3“ 8х + 34у-61 = 0.
2~2 ~3-4
4.10. Даны уравнения двух сторон параллелограмма
7 7
2х+у+9 = 0 и х-у-З = 0 и точка М(~~, —) пересечения его ди-
агоналей. Составить уравнения двух других сторон паралле-
лограмма.
Решение. Поскольку заданные стороны параллелограмма
не параллельны, то найдем точку А их пересечения (рис. 3.26)
Рис. 3.26
128
Гпава 3
lx+y+<) = О,
y ——V ~—5
х-у-З = О, ’ )а
Диагонали параллелограмма при пересечении делятся по-
полам. Отсюда координаты точки С
7 7
хс=2хм ~хл = ~2-- + 2 = -5, ус=2ум -уА = 2—4-5 = 12.
Уравнения прямых ВС и CD находим из уравнения пучка
прямых проходящих через точку С. Прямая ВС параллельна AD,
угловой коэффициент которой k=— 2, следовательно
у-12 = 2(х + 5), 2х + у — 2 = 0.
Прямая CD параллельна АВ, угловой коэффициент кото-
рой к=\
у—12=х+5, х-у+17=0.
4.11. Даны две вершины треугольника Л (5; 1), В(1;3) и точ-
ка ЛДЗ;4) пересечения его медиан. Составить уравнения сторон
треугольника.
Решение. Построим заданные точки (рис. 3.27). Медиана
проходит через точку М и делит сторону АВ пополам в точке
D. Зная координаты точек А и В, находим координаты точки D
_хА+хв _5 + 1 _^+Л_1 + 3_
хо~—Уо~-------------------"----
Рис. 3.27
Рис. 3.28
АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
129
Известно, что в треугольнике, точка пересечения медиан
делит их в отношении 2:1. Если обозначить за С третью вершину
СМ 2 .
треугольника, то будем иметь - у - Л. ®тсюда’110 Ф°РМУ~
лам деления отрезка в заданном отношении, имеем
_xc + /x:D
См~ 1+Л ’
„ _Ус+Ауо
1+Л
Откуда хс=(1+Л)хл/-Лхд=3-3-2-3=3,
ус =(1+Л)улу-Луо-3-4-2-2 = 8.
Итак, получили С(3;8). Используя уравнение прямой, прохо-
дящей через две точки, находим уравнения сторон треугольника
у-1 х-5
АВ: 3-1 - ~——, откуда х+2у-7=0,
у-8 х-3
АС: 1-8 -~—откуда 7х+2у-37=0,
у-8 х-3
ВС: 3-8 - -—~, откуда 5х-2у+1 =0.
4.12. Даны уравнения х+у-8=0, х-у-2=0 двух медиан треу-
гольника и координаты одной из его вершин Л(4;6). Найти урав-
нения сторон треугольника.
Решение. Координаты точки Л(4;6) не удовлетворяют задан-
ным уравнениям, следовательно, точка А не лежит на медианах.
Решая систему заданных уравнений, находим координаты точ-
ки М пересечения медиан хм = 5, ум - 3.
Проведем две медианы, отметим точку М их пересечения и
точку А (рис. 3.28).
Пусть, например, координаты вершины B(xffyB) удовлет-
воряют первому уравнению, т. е. медиана проходит через вер-
шину треугольника В, а координаты вершины С удовлетворяют
второму из заданных уравнений. Тогда хв+ув- 8=0, хс~ус-2=0.
Имеем два уравнения с четырьмя неизвестными. Составим еще
два уравнения с теми же неизвестными. Медиана, проведенная че-
130
Гпава 3
рез вершину А, пройдет через точку М и разделит сторону ВС по-
АМ _ 2 _
полам в точке D. Найдем координаты точки D'. ~7 ’
._^+2хр _Ул+2Уд _2хи-2хл _ 3-5-4 _ И
м 1 + 2 ’ Ум 1 + 2 ’ D 2 2 2 ’
v _ 3-3-6 _3
Уо 2 2 2
ТЛ т>( 11 3 'I
Итак, имеем DI —•— .
I 2 2 J
Точка D делит ВС пополам, следовательно,
х„ + хг у н + уг
хо = —’ Уо ~ —2— ’ откуда хв+*с-11 =0’ Ув+Ус~3=(у
Составим систему
хв + хс = 11,
_ Ув+Ус = 3,
Хв+Ув = 8>
хс~Ус = 2
и найдем ее определитель
110 0
0 0 11
А= =-2
10 10
0 10-1
Составим определитель д хв
11 1 0 0
3 0 11
1Ахв = = -14.
8 0 10
2 10-1
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
131
_Аха -14 _
Находим хв — — —— — 7. Подставляя хв в первое из
уравнений системы, находим хс=4. Из остальных уравнений на-
ходим, что ув=1,ус=2.
Зная координаты точек В(7;1) и С(4;2), находим уравнения
сторон треугольника
у-6 х -4
АВ: 1-6 откуда 5.К+З7-З8 =
у-6 х-4
АС: 2-6 - -—~, откуда х - 4, 4-4
7-1 х-7
ВС: 2-1 --—откуда х+37~10 = 0.
О,
4.13. Даны вершины Л(-3;-2), В(4;-1) и С(1;3) трапеции
A BCD (АВ || ВС). Известно, что диагонали трапеции взаимно пер-
пендикулярны. Найти координаты вершины D.
Решение. Прямая ВС || AD, следовательно, их угловые ко-
эффициенты равны. Воспользуемся уравнением прямой, проходя-
щей через две точки. Отсюда уравнение прямой ВС примет вид
7 + 1 _ х-4
3 + 1 " 1-4 ’
4 13
3у+4х=13, у = -ул + У’
3
Для записи уравнения прямой AD воспользуемся уравнени-
ем пучка прямых, проходящих через точку А и условием парал-
лельности ВС || AD
у -уА = к(х — хА), у + 2 = (х + 3), 4х + Зу + 18 = 0.
Координаты точек А и С известны. Из уравнения прямой,
проходящей через две точки находим, что уравнение прямой Л С
имеет вид
у+2 х+3 57,5
---=----, У-—Х + -, к=—.
3+2 1+3-44 4
132
Глава 3
Из условия перпендикулярности диагоналей трапеции на-
, 1 , 4
ходим угловой коэффициент диагонали BD: К - к, - .
Из уравнения пучка прямых, проходящих через точку В,
находим уравнение прямой BD
4
у+^Л^х-Д), у+1 = -~(х-4), 4х+5^-11-0.
Решая уравнения прямых BD и AD совместно, находим ко-
ординаты точки D
4x + 5j-ll = 0,
4x + 3j + 18 = 0.
29
2у-29=0, У= —
5-29
4х + —— —11 = 0,
2
123
( 123 29
Ответ: D\------—
8 2
3.5. Уравнение линии
как геометрического места точек
Линии на плоскости соответствует уравнение с двумя пере-
менными. Уравнение с двумя переменными, которому удовлет-
воряют координаты любой точки, лежащей на линии, называется
уравнением данной линии.
Всякому уравнению первой степени с двумя неизвестными
на плоскости соответствует прямая линия.
Кривыми второго порядка называются кривые, уравнения
которых в прямоугольных координатах представляют уравне-
ния второй степени с двумя неизвестными
Ах2+2Вху + Су2+2Dx+2Ey +F = 0. (1)
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
133
Существуют три типа таких кривых: если АС—В2 > 0, кри-
вая эллиптического типа, если А С-В2 <0 — гиперболического
типа, если А С-В2 = 0 — параболического типа.
Если в общем уравнении второй степени (1) коэффициенты
при квадратах текущих координат равны между собой А = С,
член с произведением текущих координат отсутствует В = 0 и
D2+E2 > AF, то это уравнение представляет окружность.
Координаты точек при А > 0, лежащих внутри окружности
определяются неравенством Ах2+Ay2+2Dx+lEy+F < 0, коорди-
наты точек, лежащих вне окружности, — неравенством
Ах2+Ay2+2Dx+2Ey+F > 0.
Если алгебраическая линия, т. е. линия уравнение которой
можно представить в виде многочлена, определяется в декарто-
вой системе координат уравнением и-й степени относительно х и
у, то она называется линией «-го порядка.
Геометрическим местом точек на плоскости называют ли-
нию, все точки которой обладают одним и тем же определен-
ным свойством.
При составлении уравнения линии можно пользоваться сле-
дующей схемой:
1) определить линию как геометрическое место точек;
2) выбрать систему координат;
3) предположить, что некоторая точка М(х,у) принадлежит
данному геометрическому месту точек, причем точка должна
иметь самое общее положение;
4) записать в геометрических символах условие, связываю-
щее точку М с какими-либо элементами (точками), известными
из определения данного геометрического места;
5) записать это условие, пользуясь формулами аналитичес-
кой геометрии, по возможности, упростить.
Зх2-4
5.1. Принадлежат ли точки Л(0;4), Z?(l ;-2) линии у = —-— ?
134
Гпава 3
Решение. Если точка принадлежит данной линии, то ее ко-
ординаты удовлетворяют уравнению данной линии. Подставля-
ем в уравнение заданной линии вместо текущих координат х, у
А 3 02 -4 л
координаты точки А. Получим 4 = -у-—— = 4. Равенство вы-
полняется, следовательно, точка А принадлежит данной линии.
Подставляя координаты точки В в уравнение линии, полу-
э 3~4
чим _2 Ф ——- - -1. Следовательно, точка В не принадлежит дан-
ной линии.
5.2. Найти точки пересечения парабол у2=4х, у= ~ х2.
Решение. Так как точка пересечения принадлежит обеим
линиям, то ее координаты удовлетворяют каждому из этих урав-
нений. Это значит, что координаты точки пересечения являются
решением системы
У2 = 4х,
1 2
Откуда находим, что %j= 0, х2= 4 и 0, у2- 4. Следова-
тельно, данные линии пересекаются в точках О(0;0) и А(4;4).
5.3. Даны уравнения двух линий: (х - З)2 + у2 = 1 — окруж-
ности и х + у = 0 — биссектрисы второго координатного угла.
Найти точки их пересечения.
Решение. Для нахождения всех точек пересечения данных
линий необходимо решить уравнения совместно. Подставим в
первое уравнение у =-х, получим х2-Зх+4= 0. Отсюда
3±>/-5 „ г—
Xj 2 =-----. Поскольку у]-5 есть мнимое число, то система
не имеет вещественных решений и , следовательно, данные ли-
нии не пересекаются.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
135
5.4. Составить уравнение геометрического места точек, рав-
ноудаленных от точек Л(3;5) и В(1 ;-4).
Решение. Построим точки А и В (рис. 3.29).
Рис. 3.29
Известно, что геометрическим местом точек, равноудаленных
от двух заданных, является перпендикуляр к середине отрезка, со-
единяющего заданные точки. Возьмем точку М(х,у), предполагая,
что она лежит на этом перпендикуляре, тогда АМ=ВМ. Но
AM = a/(x-3)2+(j-5)2 и ВМ = д/(л-1)2+(у + 4)2 , откуда
уравнение линии д/(х - З)2 + (у - 5)2 = -1)2 + (j + 4)2 - Воз-
водим в квадрат обе части этого равенства и упрощаем
4х+18у - 17= 0. Искомая линия — прямая.
5.5. Найти уравнение траектории точки М, которая в каж-
дый момент движения находится вдвое ближе к точке Л(1;1), чем
к точке В(7;-2).
Решение. По условию 2АМ = ВМ. Обозначим через х, ко-
ординаты точки М, тогда AM = у](х-1)2 + (j -1)2 или
4((х —I)2+(у-1)2) = (х —7)2+(j + 2)2
Раскрывая скобки и упрощая, получим (х+1)2+(у-2)2 = 20,
т. е. траектория точки М есть окружность с центром в точке
О'(-1 ;2) и радиусом, равным 2 ^5
136
Гпава 3
3.6. Кривые второго порядка
1°. Окружностью называют геометрическое место точек,
равноудаленных от одной точки, называемой центром окружно-
сти. Уравнение окружности имеет вид
(х — а)2 + (у — b)2 = R2, (1)
где a,b — координаты центра окружности; R — радиус окруж-
ности.
Частные случаи уравнения окружности:
1. Если b = 0; а - R, то x2+y2-2Rx. Центр окружности рас-
положен на расстоянии R по оси х (рис. 3.30).
2. Если а = 0; b = R, то х2+у2 = 2Ry. Центр окружности рас-
положен на расстоянии R по оси у (рис. 3.31).
3. Если а = b = 0, то х2+у2 — R2 — каноническое уравнение
окружности. Центр окружности радиуса R в начале координат.
2°. Эллипсом называется геометрическое место точек, сум-
ма расстояний которых до двух данных точек плоскости, назы-
ваемых фокусами эллипса, есть величина постоянная Г]+г2=2а,
а— const (рис. 3.32).
Каноничекое уравнение эллипса имеет вид
^ + £ = 1
2 Т 12 1 ’
а b
а,Ь — большая и малая полуоси эллипса.
(2)
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
137
Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокус-
_ с
ного расстояния эллипса с к его большой оси £ - ~.
а
Поскольку у эллипса с < а, то эксцентриситет любого эл-
липса меньше единицы. Если е = 0, то с = 0 и уравнение эллип-
са принимает вид х2 + у2 = а2, а это есть уравнение окружности.
Если фокусы эллипса расположены на оси Ох, то
Ь2 — а1 -сг\ если же на оси Оу, то а2 =Ь2-с2.
Директрисами эллипса называются прямые d{, <7,, парал-
а
лельные его малой оси и отстоящие от нее на расстоянии —, то
. а
есть х = ± — .
£
Отношение расстояния любой точки эллипса до фокуса к
расстоянию ее до соответствующей этому фокусу директрисы
есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса
Г1 Г2
— = — = £
d, d2
Фокальные радиусы ^и г2 некоторой точки М могут быть
найдены по формулам
г}=а—х, г2=а + х, (3)
где х — абсцисса точки М.
Диаметром эллипса а', сопряженным с некоторым на-
правлением, называют геометрическое место середин хорд
138
Глава 3
эллипса, параллельных этому направлению (рис. 3.33)
Ь1
У = --ТГХ,
а к2
где к2 = tg (р2 — угловой коэффициент хорд.
(4)
(5)
Угловой коэффициент диаметра к], сопряженного хордам,
связан с угловым коэффициентом хорд зависимостью
а к2
Два диаметра а', Ь', каждый из которых делит пополам хор-
ды, параллельные другому, называют сопряженными между со-
бой диаметрами. Так, оси симметрии эллипса являются его
сопряженными диаметрами и их называют главными диамет-
рами.
Угловые коэффициенты к2 и /^входят в формулу (5) равно-
правно, поэтому, если бы исходить из хорд с угловым коэффи-
циентом кх, то пришли бы к диаметру с направлением к2.
Теоремы Аполлония. 1. Сумма квадратов, построенных на
двух взаимно-сопряженных диаметрах эллипса, равна сумме
квадратов, построенных на его осях (a')2+(b')2—a2+b2.
2. Площадь параллелограмма, построенного на двух вза-
имно- сопряженных диаметрах эллипса, равна площади прямо-
угольника, построенного на его осях
ab = a'b'sin (р.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
139
3°. Гиперболой называется геометрическое место точек,
абсолютная величина разности расстояний которых до двух дан-
ных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная
г2- г,= 2а, а — const (рис. 3.34).
(6)
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
2 2
а2 Ь2 ’
где а—действительная полуось; b—мнимая полуось гиперболы.
Прямые, проходящие через центр симметрии, такие, что если
точка М двигаясь по гиперболе, неограниченно удаляясь от вер-
шины неограниченно приближается к одной из них, называются
Ь
асимптотами гиперболы. Уравнения асимптот у =±—х .
а
Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фо-
кусного расстояния гиперболы с к ее действительной оси, то есть
с
£— —.
а
Поскольку у гиперболы а < с, то эксцентриситет гипербо-
лы £ > 1.
Если фокусы гиперболы расположены на оси Ох, то
Ь2 = с2-а2, если же на оси Оу, то а2 = с2 -Ь2.
140
Гпавв 3
Директрисами гиперболы называются прямые d,, d2, парал-
а
лельные мнимой оси и отстоящие от нее на расстоянии —. Урав-
, а
нения директрис х - X - .
Отношение расстояния любой точки гиперболы до фокуса
к ее расстоянию до соответствующей этому фокусу директрисы
у г
есть величина постоянная, равная эксцентриситету — = -у- = £ .
J, d2
Фокальные радиусы некоторой точки М(х,у) могут
быть найдены по формулам
г,=±(£х-а), г2=±(я + ех). (7)
Если полуоси гиперболы равны, то гипербола называется
равносторонней и ее уравнение имеет вид
х2-/=а2. (8)
Асимптотами равносторонней гиперболы служат биссект-
рисы координатных углов у = + х.
Уравнение равносторонней гиперболы, отнесенной к своим
асимптотам, как к осям координат, имеет вид
к
У=-, (9)
где к= —.
Каждая ветвь гиперболы (9) имеет вершину с равными по
абсолютной по величине координатами и удаленную от начала
координат на расстояние а = 41к
Уравнение равносторонней гиперболы с асимптотами, па-
раллельными осям координат, имеет вид
ах + Ь
У =----7’
cx + d
где а, Ь, с, d—постоянные коэффициенты.
(Ю)
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
141
Уравнение (10) по формулам параллельного ереноса коор-
динатных осей может быть приведено к виду (9).
4°. Параболой называется геометрическое место точек,
равноудаленных от данной точки, называемой ее фокусом и от
данной прямой, называемой ее директрисой (рис. 3.35).
Каноническое уравнение параболы имеет вид
у2 =2рх, (11)
где р — параметр параболы, равный расстоянию от фокуса до
директрисы.
Фокальный радиус любой точки параболы М(х,у) вычис-
р
ляется по формуле г=х+~. У параболы один фокус, следова-
Р „ ,
тельно и одна директриса х—у. Эксцентриситет параболы равен
отношению расстояния любой ее точки от фокуса к расстоянию
до директрисы. На основании определения параболы имеем, что
эксцентриситет любой параболы равен единице £ — у=1.
Общее уравнение параболы, ось симметрии которой парал-
лельна оси ординат, имеет вид
у = ах2 + Ьх + с,
где а, Ь, с — постоянные коэффициенты.
(12)
142
Гпава 3
6.1. Найти координаты центра и радиус окружности
х2+у2-2л-+8у+13 = 0.
Решение. Дополняя левую часть уравнения до полных квад-
ратов, получим х2-2х+1+у,2+8у’+16 = 4 или (х-1)2+(у+4)2 = 4.
Следовательно a = 1,6 = -4, R = 2.
6.2. Составить уравнение окружности, проходящей через три
данные точки Л(1; 1), В(0;2) и С(2;-2).
Решение. Уравнение искомой окружности содержит три
неизвестных параметра a,b и R, которые следует определить.
Подставляя координаты точек А, Ви С в уравнение окружно-
сти (1), получим систему трех уравнений относительно неиз-
вестных
(1-а)2+(1-6)2 =R\
(0-а)2+(2-6)2 =R\
(2-а)2 + (2-6)2 =R\
Вычтем из последнего уравнения сначала первое, потом —
второе уравнение, тогда получим: 2а-66 = 6, 4а-86 = 4, откуда
а - -3, Ь = -2. Из первого уравнения находим, что R2 - 25. Сле-
довательно, уравнение искомой окружности имеет вид
(х+3)2+(у+2)2 = 25.
6.3. Составить уравнение окружности, проходящей через
точку Л(7;9) и касающейся оси Ох в точке В(4;0).
Решение. Делаем схематический чертеж (рис. 3.36).
Рис. 3.36
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
143
Замечаем, что ОВ = а = 4, ВС = b = R, так как перпенди-
куляр ВС к касательной Ох параллелен оси Оу и проходит че-
рез центр окружности С (а, Ь). Уравнение искомой окружности
примет вид (л'-4)2+(у-Я)2 = 7?2. Подставляя в это уравнение ко-
ординаты точки Л(7;9), получим (7-4)2+(9-Л)2 = R2, откуда
R = 5. Следовательно, уравнение окружности примет вид
(х-4)2+(у-5)2= 25.
6.4. Не выполняя построения, установить, как расположе-
ны относительно окружности x2+j2+8x-4j,-29 = 0 точки: Л(4;3),
В(-1;2), С(-4;9).
Решение. Подставля координаты точки А в уравнение ок-
ружности, получим 16+9+32-12-29 = 16, следовательно, точка
А лежит вне окружности.
Подставляя координаты точки В, будем иметь 1+4—8-8-
-29 = -40, следовательно, точка В лежит внутри окружности.
Подставляя координаты точки С, получим 16+81—32—36—
-29 = 0, следовательно, точка С лежит на окружности.
6.5. Составить уравнение эллипса, зная, что он проходит че-
рез точки М( >/з ; -2) и У(-2 ; 1) и его оси симметрии совпада-
ют с осями координат. Найти уравнения его директрис,
координаты вершин и фокусов, вычислить эксцентриситет и ве-
личины фокальных радиусов точки М.
Решение. Уравнение эллипса имеет вид (2). Точки М и N
принадлежат эллипсу, значит их координаты удовлетворяют его
уравнению. Подставляя их в уравнение эллипса, получим систе-
му двух уравнений относительно а2 и Ь2
(7з)2 (_2у (-2V3)2 j
/ +* / =1, -----;-^- + -+ = 1, откуда д =15, Ь =5-
а- Ь- а1 Ъг
х2 у1
Следовательно, искомое уравнение — + — — 1.
Величину с найдем из соотношения с2 = а2-Ь2 = 15-5 = 10.
144
Гпава 3
Итак, a = J\5 , h = ~Js и с =710. Эксцентриситет будет
Tio Тб .. .2710
Е = . Уравнения директрис: х = ± —-— . Вершины эл-
липса (рис. 3.37): Л/715,0) А2(-715 ,0), 5/0,75), 5/0,-/5),
его фокусы: 5/710,0), 5/-Т10 ,0). Фокальные радиусы точки
М находим по формулам (3): г, = 717 - 72, г2 = у/15 + 72 .
6.6. Расстояния одного из фокусов эллипса до концов его
большой оси, соответственно, равны 8 и 2. Составить канони-
ческое уравнение эллипса.
Решение. Данные расстояния могут быть представлены фор-
мулами a-с = 2 и а+с = 8. Отсюда 2а = 10,2с = 6 или а - 5, с = 3.
Так как 62 = а2-с2, то Ь2 = 25-9=16. Следовательно, уравнение
2 2
х У ,
искомого эллипса —Ч----= 1.
25 16
х2 у2
6.7. Один из диаметров эллипса-1-= 1 имеет уравне-
9 16
ние у—2х. Найти уравнение сопряженного ему диаметра.
Решение. Здесь а2 =9, Ь2 — 16, - -1. По формуле (5) на-
, 16 8
ходим, что л2 _ = Уравнение искомого диаметра име-
8
етвид у =~^х-
АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
145
6.8. Оси эллипса совпадают с осями координат и равны:
а = 10, b = 1. Определить длину сопряженных полудиаметров а'
и Ь'и направление диаметра 2Ь', если известно, что диаметр 2а'
образует с осью 2а угол 20°.
%2 у2 1
Решение. Уравнение эллипса Jqq+~ = 1 Пусть уравне-
ние диаметра имеет вид у= к} х. Решая эти уравнения совмест-
но, находим точки пересечения
10 ЮЛ.
X, , = ±~J - =, у, 2 = + , =
Vioo^+i 7100^+1
Учитывая,что Л, = tg<p, =tg20° —0,3 64, длину первого полу-
диаметра находим по формуле расстояния между двумя точками
1 + (°’364)2 = 2,82.
— ь 1+^’2 — 10
~Уа2к2+Ь2~ 100(0,364)2+1
Длину второго полудиаметра находим по теореме Аполло-
ния (b')7=a1+b7-(a')\ откуда Ь' = Л/100 + 1-(2,82)2 - 9,59
Угловой коэффициент сопряженного диаметра находим по
формуле (5)
п 1
к2= —=----------------= -0,0275, tg<p = k2, <р = 178°25'
2 а2к{ 100 0,364
6.9. Составить уравнение гиперболы, зная, что ее оси со-
впадают с осями координат и гипербола проходит через точки
Л/(5;-2) и У(3 д/2 ; д/2 )• Найти уравнения директрис и вычислить
эксцентриситет гиперболы.
Решение. Координаты точки М и Nдолжны удовлетворять
каноническому уравнению гиперболы (6). Подствляя их в урав-
нение гиперболы получим систему уравнений
146
Гпава 3
25_J_
а2 b2 ~ ’ a2 b2
11 1 _ 1
Решая систему относительно — и 77 , находим —у — —,
a b all
17 , 2 22
77 Откуда a-11, b- —. Составляем уравнение гипер-
b 22 7
2 -2
Л х 1у 1
болы------= 1.
11 22
2 2 2 2 _,, 22 _ 99
Поскольку для гиперболы с =a+b , то с -11 + — -—.
c
Тогда эксцентриситет будет равен £ — —
a
Ж +а ^77
Уравнения директрис находим по формуле х — +— =---.
Е 3
6.10. Гипербола проходит через точку ЛТ(12;Зл/з) и имеет
1
асимптоты У — ^—х . Составить уравнение гиперболы.
Решение. Запишем уравнения асимптот в общем виде
b bl
у = +—х, тогда — = — . Обозначим b- у и a = 2у, где у —
а а 2
коэффициент пропорциональности.
Так как точка М принадлежит гиперболе, то подставляя ее
координаты и значения а и b в каноническое уравнение (6), полу-
144 27
чим —z------- = 1. Откуда у2 = 9, следовательно, a - 6, 6 = 3.
4У У2 2 2
х У
Уравнение гиперболы примет вид — - — = 1.
6.11. Вычислить площадь трапеции, вписанной в гиперболу
ху=6, если вершинами трапеции являются точки пересечения этой
гиперболы с прямыми х+у+5 = 0, и х+у-7= 0.
Решение. Строим чертеж (рис. 3.38) и определяем координа-
ты вершин трапеции. Система уравнений ху = 6, х+у+5 = 0 дает
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
147
значения координат точек А(—3;—2), В(-2;-3). Вторая система ху = 6,
х+у-1= 0 дает значения координат точек С(6;1) и 7)(1;6).
Отсюда длина большего основания
С7Э = ^/(6 -1)2 + (1 - 6)2 = 5>/2 ; длина меньшего основания
АВ = ^+ З)2 + (-3 + 2)2 = >/2 • Высоту трапеции представляет
отрезок MN биссектрисы координатного угла, заключений меж-
ду основаниями трапеции. Совместное решение уравнения
у=х с каждым из уравнений х+у+5 = 0 определяет координаты
5 5 7 7
точек М(-~ 2 ) и М 2’ 2^' ®тсюда Длина высоты
17 5 7 5
AW = J( - + ~ )2 + (- + -)2 = 6>/2 . Таким образом, площадь тра-
„ Эл/Z +VZ
пеции равна S =-------------бу 2 = 36 кв.ед.
2
4х — 3
6.12. Преобразовать к простейшему виду уравнение у = —
и построить гиперболу, определяемому этим уравнением.
Решение. Выполним преобразование заданного уравнения
параллельным переносом осей по формулам х-х'+а, у=у'+Ь.
148
Гпава 3
5 4
Преобразуем уравнение3xi’+5j'-4a' =-3 илиху+ — у-—х=-\.
5 4
Используем подстановку (х ‘+а)(у '+/>)+ у (У ’+Ь) ~ ~ (х'+«)- -1, от-
4 5 4 5
кудах^'+х^-— )+>’'(«+ —) = —a --b—ab-l. Условия преобра-
4 5
зования требуют, чтобы Ь~—=0 и а+~ =0, тогда координаты
5 4
нового начала координат равны а = , b - —. При этом свобод-
, 4 5Л 54 t 5 4 29
ныи член принимает значение £=-(-—) -- — — ) — -1= ——.
29
Заданное уравнение в системе х'О'у' имеет вид х 'у - —— и
гипербола располагается во 11 и IV четвертях (рис. 3.39). Вер-
шины гиперболы находятся на биссектрисе 11 и IV координат-
них углов на расстоянии a = J— от О'.
6.13. Составить уравнение гиперболы, если известны точка
пересечения ее асимптот О'(2;-3) и одна из вершин А(4;-1).
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
149
Решение. Относительно системы координат с началом в точ-
ке О'(2;-3) пересечения асимптот условию соответствует урав-
к
некие гиперболы у'=~. Воспользуемся формулами
параллельного переноса начала координат х' - х-2, у' = у+3. Тог-
_ „ к
да уравнение гиперболы примет вид у + 3 =-. Квадрат рас-
х-2
стояния от начала координат до вершины А находим по формуле
а2
а2=(4-2)2+(-1+3)2 = 8, тогда по формуле к - — находим, что
к = 4. Следовательно, уравнение гиперболы примет вид
4 -Зх + 10
У + J ----- или у =------.
х-2 х-2
6.14. Написать уравнение параболы, зная, что ось симмет-
рии ее совподает с осью Ох, а вершина — с началом координат и
расстояние от вершины до фокуса равно 5.
Решение. Каноническое уравнение параболы имеет вид
р
у2 - 2рх- По условию задачи — =5, откуда р =10. Уравнение
примет вид j2=20x.
6.15. Составить уравнение параболы, если парабола сим-
метрична относительно оси Оу, вершина совпадает с началом
координат, а фокус находится в точке F(0;3).
Решение. Поскольку парабола симметрична относительно
оси Оу, то каноническое уравнение имеет вид х2 =2ру По ус-
Р , ,
ловию — = 3, р = 6.
2
Отсюда уравнение параболы х2 = 12>\
6.16. Для параболы х2 — 2ру найти длину хорды, перпенди-
кулярной к оси Оу и проходящей через фокус.
р
Решение. Фокус параболы имеет координаты /ДО; у). Пусть
150
Гпава 3
р
точка М имеет координаты М(х~) и принадлежит параболе
(рис. 3.40), тогда х2 = р — или хм=р. Отсюда длина половины
искомой хорды равнар, следовательно, длина всей хорды MN
равна 2р.
6.17. Определить координаты вершины параболы, величи-
ну параметра и уравнение оси симметрии, если парабола задана
уравнением у2-8л'-4у+12=0.
Решение. Дополним левую часть уравнения до полного квад-
рата переменной^
у2-4у+4-8х+12-4 = 0 или (у-2)2 = 2-4(л-1).
Следовательно, вершина параболы имеет координаты хь= 1,
уь= 2. Параметр р = 4, а ось симметрии параллельна оси Ох и
имеет уравнение у = 2.
6.18. Найти уравнение параболы, симметричной относитель-
но оси ординат, если известно, что парабола проходит через точ-
ки Л/(-3;6) и ЛД2;—4).
Решение. Искомое уравнение параболы примем в виде
у=ах2+с. Подставляя координаты точек, будем иметь 6= 9а+с, -
4 = 4а+с. Решая эту систему, находим, что а =2, с —12. Следова-
тельно, условиям задачи удовлетворяет парабола у =2л2-12.
6.19. Найти уравнение параболы, симметричной относитель-
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
151
но оси ординат, если известно, что парабола проходит через точ-
ки (1;2), (2;4) и (3;8).
Решение. Подставляя координаты точек в общее уравнение
параболы, получим систему
а+ Ь + с = 2,
4а+ 2Ь +с = 4,
9а + ЗЬ + с = 8.
Из решения системы находим, что а = 1, b =-1, с — 2. Таким
образом, условиям задачи удовлетворяет парабола^ =х2-х+2.
6.20. Найти координаты вершины, написать уравнение оси
симметрии и построить параболу, заданную уравнением
у = 5+4х-х2.
Решение. Преобразуем правую часть уравнения, выделив в
ней полный квадрат у = 5-(х2-4х+4)+4=9-(х-2)2. Вершина пара-
болы находится в точке, которая имеет наибольшую ординату,
т. е. в точке х =2, у = 9. Отсюда уравнение оси симметрии х = 3.
Перенос начала координат в вершину при параллельном
перемещении осей по формулам х =х'+2иу =у'+9 даету' — (х')2.
Знак минус указывает, что ветви параболы направлены вниз.
Помещая в системехОу новую систему х'О'у 'с началом в точке
О'(2;9), строим параболу у' - -(х )2 (рис. 3.41).
Рис. 3.41
152
Гпава 3
6.21. Построить параболу по заданному уравнению
у2- 8у - 6х+ 4= 0.
Решение. Первые два члена дополняем до полного квадрата,
а остальные члены переносим в правую часть у2-8у+16=6x-^l+16
или (у-4)2=6(х+2). Отсюда видно, что вершина параболы имеет
координаты (-2;4) и ось симметрии определяется уравнением у-4= 0.
Переходя по формулам у =у'+4, х =х'-2 к новой системе ко-
ординат х'О'у'с началом (?'(-2;4), находим, что (у)2=6х'. Таким
образом, парабола имеет вид (рис. 3.42).
6.22. Определить площадь трапеции, вписанной в параболу
у =х2-4х-12, если одно из оснований трапеции лежит на оси Ох,
а второе основание проходит через точку пересечения параболы
с осью Оу.
Решение. Полагая х = 0, находим точку пересечения пара-
болы с осью Оу, то есть Л(0;-12) (рис. 3.43). Высота трапеции
А О = 12. Длины оснований определим по абсциссам точек пере-
сечения параболы с прямыми у — 0иу = -\2.
Абсциссы концов основания DC находим из уравнения
х2-4х-12= 0, откуда Xj =-2, х2= 6, а концов основания АВ из урав-
нения л'2^1л'= 0, откуда Х]= 0, х2= 4. Таким образом, верхнее ос-
нование DC= 8, а нижнее АВ= 4. Площадь трапеции равна
S = —-12 = 72 кв.ед.
2
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
153
6.23. Определить область, ограниченную линиями у — л2-1,
х = 2, и осью абсцисс.
Решение. В системе координат Оху строим параболу
у = х2-1 и прямую х = 2 (рис. 3.44). Координаты точки С нахо-
дятся из решения системы у =г2-1, х=2 и равны С(2;3). Ось абс-
циссу = 0 замыкает искомую область по прямой АВ.
3.7. Преобразование декартовых
координат
1°. Параллельный перенос осей. Оси двух систем коорди-
нат параллельны и одинаково направлены (рис. 3.45). Коорди-
наты точки М в этих системах связаны зависимостью
х = х' + а, у = у+Ь, х' = ха у = yb, (1)
154
Гпава 3
где х,у — координаты точки М в системе Оху; х',у'— коорди-
наты точки Мв системе О'х'у'; a,h — координаты начала коор-
динат О'системы О'х'у'в системе Оху.
У
O'(a,b)
М(х,у)
(х',У^
х'
О
Рис. 3.45
2°. Поворот осей. Обе системы координат имеют общее
начало и различаются направлением осей. Если положение сис-
темы О'х'у'определяется относительно системы Оху углом по-
ворота осей О! (рис. 3.46), то зависимость между координатами
точки М определяется по формулам
Рис. 3.46
х = /cosа-у'sin а, у = x'sina + y'cosa,
, , . (2)
х = х cos a+у sin a, у =xsin+ycosa. v ’
3°. Общий случай. Если системы Оху и О'х'у' имеют раз-
личные начала и различно направленные оси (рис. 3.47), то за-
висимость между координатами точки М определяется по
формулам
х = х'cosa-y'sina + a, y = x'sina + у cosa + b. (3)
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
155
Новые координаты выражаются через старые по формулам
х'=(х-а) cosa + (y-b) since,
у'=-(х-а) sina + (y-b) cosa- (4)
7.1. Точка М имеет координаты х = 3, у =-1. Найти ее ко-
ординаты, если начало координат перенесено в точку О'(-2;5).
Решение. По условию х =3, у =-7, а =-2, Ь=5. Координаты
точки М в новой системе будутх -х-а=3+2=5, у'=y-b—1-5—12.
7.2. Найти координаты точки М
если оси ко-
ординат поворачиваются на угол (X — 45°.
Решение. Координаты точки М даны в системе Оху. Вос-
пользуемся формулами (2)
Из решения системы находим, чтох—— ,у--~ .
7.3. Найти координаты точки М(\;2), если начало коорди-
нат перенесено в точку и оси координат были поверну-
ты на угол а =30°.
Решение. По условию задачи х = 1, у =2, а—1,Ь=1, а = 30°.
Воспользуемся формулами (3)
1 '<3 '! 1
1 = Х------V-----1,
2 2
156
Гпава 3
, 1 + 2>/з , Л-2
Из решения системы находим, что х = —-—, у = —-—.
7.4. Путем параллельного переноса осей координат найти
координаты вершины параболы у = 2х2-4х+9 и привести ее урав-
нение к виду у - аХ2
Решение. Воспользуемся формулами (1). Подставив их в
уравнение параболы, получим у'+ b = 2(х'+ а)2 - 4(х'+ а) + 9
или у' = 2хл + А(а-\)х'+2а2-4а + 9-&.
Координаты нового начала координат неизвестны. Нахо-
дим их из условия равенства нулю свободного члена в новом
уравнении параболы и коэффициента при х', то есть
2а2-4а + 9-& = О и а—1 = 0. При этих условиях имеем а =1,
Ь-1. Уравнение параболы в новых осях О'х'у' имеет вид
у' = 2х'2 График параболы показан на рис. 3.48.
7.5. Составить уравнение равносторонней гиперболы, при-
няв ее асимптоты за оси координат.
Решение. Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид
х2 - у2 = а2. Уравнения асимптоту = + х. Здесь tgtz = + 1, то есть
а - + 45°.
Примем а =45° (рис. 3.49). Воспользуемся формулами (2)
_Х~У
x=x'cos45°-y sin45°, х~ гт ,
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
157
у —х' sin45°+y' cos45°,
Подставляя значения х, у в уравнение гиперболы, получим
(х-у)1 (х' + у'У > , а1
---Z--------7---= а’> откуда у =~т~у-
2 2 2х
7.6. Выполнить параллельный перенос осей координат так,
чтобы в новой системе координат уравнение параболы приняло
канонический вид: а) х2-4х+у+1 =0; б) у2-Зх-2у+10=0.
Решение, а) Выделим полный квадрат х2-4х+4+у+1^1=(х-
2)2+у-3=0. Введем теперь новые координаты х',у', полагая
х = х'+2, у = у '+3, что соответствует параллельному перемеще-
нию осей на две единицы по оси Ох и на три по оси Оу. В коорди-
натах х' у'уравнение параболы примет вид: х 12+у -0 или хе=-у
Поскольку правая часть отрицательна, то ветви параболы на-
правлены вниз (рис. 3.50).
б) Выделим полный квадрат у2-2у+1-Зх+10-1 =(у-1)2-
Зх+9=0 и запишем уравнение в виде 9(у-1)2=3(х-3). Введем но-
вые координаты, полагая у=у'+1, х=х'+3, что соответствует
параллельному перемещению осей на 3 единицы по оси Ох и на
1 единицу по оси Оу (рис. 3.51). Тогда получим у <2=3х| — кано-
ническое уравнение параболы.
158
Гпава 3
7.7. Путем преобразования системы координат упростить
уравнение окружности х2+у2+1 Ох-18у+70=0, принимая за новое
начало центр окружности.
Решение. Подставляя формулы (1) в уравнение окружнос-
ти, будем иметь (х' + а)2 + (у'+ Ь)2 + 10(х' + а) -18(у' + Ь) + 70=
=х'2+(2а+10)х'+у2+(26-18)у'+а2+62+10а-186+70= 0. Условия
2а+10=0 и 26-18= 0 определяют координаты центра окружно-
сти а = -5, b = 9. Подстановка этих значений дает уравнение
окружности вновыхкоординатахх'2+у,'2+25+81-50-162+70 = 0
илих'2+у'2= 36.
7.8. Привести к каноническому виду уравнение
8х2+12х7+Зу2-40х-24у+7= 0.
Решение. Прежде всего воспользуемся формулами парал-
лельного переноса координатных осей (1). Перенесем начало ко-
ординат в точку О'(а,Ь). После приведения подобных членов
исходное уравнение примет вид 8х'2+\2х'у'+3у'2+ (16а+126-
40)х'+( 12а+66-24)у '+8а2+12а6+362-40а-246+7=0.
Подберем а, b так, чтобы выполнялись равенства 16а+126-40=0,
12л+66-24=0, тогда в уравнении данной кривой исчезнут члены пер-
вой степени. Решая эти уравнения совместно, находим: а=1,6=2.
Теперь начало координат новой системы находится в точке
О'(1;2). Уравнение кривой в новых координатах имеет вид
8х'2+12х>'+3^'2-13=0.
АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ППОСКОСТИ
159
Чтобы избавится от члена, содержащего произведение коор-
динат х', у', произведем поворот перенесенных осей на некоторый
угол а, согласно формулам (3), тогда получим (8 cos2 Of +
+3 sin2a + i2 cosasinO!)x"2+(-16 sinacosa+6 sinacosa +
+ 12cos2a-12sin2a)x'y'+(8sin20!+3cos20!-12sin0!cos0!)y'2-13 = 0.
Подберем угол Ct так, чтобы коэффициент при х"у" об-
ратился в нуль -10sinacosa+12cos2O!-12sin2O!= 0, откуда
6 tg2a+5 tgoc—6=0.
Решая полученное квадратное уравнение относительно
2 3
tg а, находим: tga-— и tg а Возьмем первое значе-
ние, что соответствует повороту координатных осей на ост-
1 _ 3
рый угол. Зная tg а, находим cos а = /, 2 „ ~~ /Г? , sinCt =
\ 1 + tg Ct VU
tgCC 2
= - I = = —r=. Тогда уравнение кривой в системе x''у "при-
1 if} 1
мет вид -----х - у = 13 или -уу— У = 1 Мы получили кано-
Рис. 3.52
160
Гпава 3
7.9. Привести к каноническому виду уравнение 3х2-6у+3у2-
23
-2х-8у + ~ = 0.
4
Решение. Применяя формулы (1), перенесем начало коор-
динат в точку О\а;Ъ) 3х'2+6х'а+3а2- 6(x'y'+x'b+y'a+ab) +
23
+3yt2+6y'b+3b2- 2х- 2а— 8у- 8/? + ~ = 0.
Чтобы исчезли члены первой степени, приравниваем к нулю
коэффициенты при х', у': За-ЗЬ-1=0, -За+ЗЬ-4- 0. Нетрудно
заметить, что полученная система несовместна, следовательно
данная кривая не имеет центра.
По формулам (3) повернем оси на некоторый угол а, тог-
23
да получим Зх2-6у+ Зу2-2х-8у+ ~ =3х '2cos2 а -6х 'у' cos asina-t-
-t-3y'2sin2a-6(xccoso!sino!-t-x'y'cos2a-x'y' sin2a-y'2 cos2a •
sina)+3x'2 sin2a +6x'y' cosasina +3y'2cos2a-2x' cosa +
23
+2y 'sin a -8x' sin a -8y 'cos a + — = 0.
Подберем угол так, чтобы коэффициент при х'у'обратил-
сявнуль: cos2 a-sin2 а = 0, откуда а = — . Уравнение кривой
4
в этом случае примет вид: Зу '2( sin2 а +2 sin a cos а + cos2 а) -
23
-2х' cos(X-t-2y' sin(Z-8x'sin(X-8y'cosO! + — = 0 или
бу '2-бу' - 5л/2х'+ ~ = 0.
Дальнейшее упрощение уравнения проводится при помощи
параллельного перенесения осей Ох'и Оу'. Выделим полный квад-
( 1Y ( 41}
рат 6 у'— =5л/2 х'-------. Введем новые координаты
I 8 J 2
2
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
161
// л/2 , 1
х =х ч----, у = у + —, что соответствует параллельному пе-
2 8 __
х/2 Л 1
ремещению осей на величину — по оси Ох и на величину —
2 8
по оси Оу'. В координатах х", у "уравнение кривой примет вид
//2 5>/2 „
у =-------х — каноническое уравнение параболы. Ветви па-
6
раболы расположены симметрично относительно оси х"и совпа-
дают с положительным направлением этой оси (рис. 3.53).
Рис. 3.53
Вершина параболы находится в начале координат системы
5х/2
х” у"; параметр параболы р = -----
3.8. Полярная система координат.
Уравнения кривых
1°. Полярными координатами точки М (рис. 3. 54) являют-
ся полярный радиус р и полярный угол (р, для которых приня-
ты следующие интервалы изменения ре [0, и <ре[0,2л[или
(ре [~я,я[.
162
Гпава 3
Рис. 3.54
Если начала координат прямоугольной и полярной системы
совпадают, а полярная ось совмещена с положительным направ-
лением оси Ох, то прямоугольные координаты точки М выра-
жаются через полярные по формулам
x = pcos(p, y = psin<p. (1)
Полярные координаты выражаются через прямоугольные
по формулам
р = ^х2+у2, ф = arctg Д (2)
Вторую из формул (2) иногда удобнее заменить двумя сле-
дующими формулами
sin<P= / / 2 COS<P= I 2Х 2- (3)
yjx +У у]х + у ' ’
Проекции произвольного отрезка на координатные оси вы-
ражаются через его длину и полярный угол формулами:
х2-х, =dcos(p, y2~yi—d sin ср. (4)
Полярный угол отрезка по координатам его конца и начала
определяется по формуле
tg(p = ^^-.
х2 —х,
2°. Если за полюс принять один из фокусов линии второго
порядка (рис. 3.55), то уравнение линии в полярной системе ко-
ординат примет вид
р
Р = -.------’ (5)
1—Е COSip v '
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
163
где £ = — — эксцентриситет, d — расстояние точки М( р, (р) до
d
дирекртис, р — параметр линии второго порядка, равный поло-
вине длины хорды, проходящей через фокус и перпендикуляр-
ной фокальной оси.
Если Е = 0, то уравнению (5) соответствует окружность, если
Е < 1 — эллипс, если Е > 1 — гипербола, если Е = 1 — парабола.
Если полярную ось ориентировать в противоположную сто-
рону, то уравнение линии второго порядка в полярной системе
координат имеет вид
. (о)
1 + £ cos <р v ’
3°. Рассмотрим некоторые линии, уравнения которых зада-
ны в полярной системе координат.
1. <р = а (а — радиан) — геометрическое место точек,
полярный угол которых имеет постоянный) величину, есть луч,
выходящий из полюса полярной системы координат (рис. 3.56).
Рис. 3.56
164
Гпава 3
2. p = a — окружность с центром в полюсе и с радиусом,
равным а.
3. р = la cos <р — окружность, центр которой находится на
полярной оси в точке С (а,0) и радиус которой равен а (рис. 3.57).
4. р = а<р (а — const) — спираль Архимеда (рис. 3.58).
5. р—— (a=const) — гиперболическая спираль ю/0
•Р
(рис. 3.59). Здесь р ± 0 и полюс называют поэтому асимптоти-
ческой точкой кривой, т. е. такой точкой, к которой точки кри-
вой неограничено приближаются, но никогда ее не достигают.
р
Рис. 3.59
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
165
6. р = а9 (а>0)— логарифмическая спираль (рис. 3.60).
Рис. 3.60
Логарифмическая спираль с любой прямой, проведенной
через полюс образует один и тот же угол в. Изменению (р от 0
до -~оо соответствует часть графика спирали, которая изобра-
жена пунктиром (рис. 3.60).
7. р = 2а(1 + cos<p) —кардиоида (рис. 3.61). Это траекто-
рия, которую опишет точка окружности, катящееся без скольже-
ния по окружности равного радиуса, касаясь ее внешним образом.
Рис. 3.61
8. Лемниската Бернулли р2 = 2а2 cos 2(р (рис. 3.62).
Характеристическое свойство 1 -а — const, где
^(-а;0),Г2(а;0).
М У-
Рис. 3.62
166
Гпава 3
8.1. Найти декартовы координаты точек
а[1; — 1 в(з;--1
3 1 2 Г
'l.Tl
Решение. Применяя формулы (1), находим % =2cos— =-1,
3
2тг г- г-
уА=2 sin — = V3 . В декартовой системе получим Д(1; V3) •
i Я I
Декартовы координаты точки В будут: хв = 3cosl 1=0,
( л 1
ув =3sin 1=-3, то есть В (0;-3).
8.2. Найти полярные координаты точек Л (-2;0), В (11).
Решение. Применяя формулы (2), (3), находим координаты
точки А
pA=^-tf+Q2=2,
О п -2
Sln^=y = °> со&(Рл= — = -1-
По численным значениям синуса и косинуса находим, что
(рА = л . Таким образом, в полярной системе А(2;л).
Полярные координаты точки В будут
« f г~ Я )
<Рв ~—Г, то есть В <2;— .
4 I 4 J
8.3. Найти полярные координаты вершин квадрата со сто-
роной а, равной единице, изображенного на рис. 3.63.
Решение. АВ =ВС = CD = DA = 1. Полярные радиусы всех
вершин квадрата равны
V2
Полярные
л Зл 5л 1л
углы: <Рс=у, Фд-тГ’ Фи-“Г> <Рв = ^г- Следовательно:
4 4 4 4
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
167
8.4. Найти проекции отрезка на координатные оси, зная его
длину d = 6 и полярный угол ср = 120 °.
Решение. По формулам (4) находим
X = 6cosl20° = б(--1=-3 , y = 6sinl20° = 6 — = 3х/з.
I 2 J 2
8.5. Найти полярный угол отрезка, направленного из точки
М, (3;2л/з) в точку М2 ^4;л/з).
Решение. Длина отрезка М}М2 равна
d = д/(4-3)2 +(л/з-2л/3)2 = 2.
Применяя формулы (4), находим:
4-3 1 . V3-2V3 л/3 Л
cos (р = —— = —, sin ср =---= —Отсюда следует, что
главное значение (р — 300°.
8.6. Даны точки (1 ;0) и Л/2(3;5). Найти проекцию отрезка
М{М2 на ось, проходящую через точки А (-1 ;2) и В (3;5) и на-
правленную от А к В.
Решение. Обозначим через I данную ось (рис. 3.64), через
(р и (р] — полярные углы отрезков АВ и МуМ2. Из простых
геометрических соображений находим, что Пр.;Л/]Л/2=
168
Гпава 3
= Л/]Л/2 cos (^- (р) = М}М2 ( cos<p, cos <р + sin <jt>j sin <p).
Отсюда, пользуясь формулами (4) и обозначая через
X, Y — проекции на координатные оси отрезка АВ, а через
XlYl — проекции отрезка М{М2, получим: Пр.=
Y, X X,X+Y,Y
М,М2 d ~ d
X, X
М\Мг d
где d — длина от-
резка АВ, равная d = \Jx2 + У2 = = 7(3+ 1)2 + (5-2)2 = 5 .
Таким образом, =
(3 —1)4 + (5-0)3 _ 23
5 ~ 5
8.7. Линия задана уравнением р =---. Требуется:
2 + 2 cos (р
а) построить линию по точкам, начиная от = 0 до ср - 2л, при-
л
давая (р значения через промежуток —; б) найти уравнение
данной линии в прямоугольной декартовой системе координат,
у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полу-
ось абсцисс с полярной осью; в) по полученному уравнению оп-
ределить, какая это линия.
Решение, а) Составим таблицу и строим линию по точкам
(рис. 3.65)
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
169
0 П 4 fee 1 Зтс т П 5я т Зя т 7я 4 2я
COS(p 1 0,707 0 -0,707 -1 -0,707 0 0,707 1
1 2 + 2cos<p 0,25 0,29 0,5 1,7 оо 1,7 0,5 0,29 0,25
б) Между декартовыми и полярными координатами суще-
ствует зависимость у = р sin ф, х = р cos (р, откуда р = -Jx2 +у2,
Подставляя эти значения в данное уравнение, получим
4х2 + 4_у2 =1-4х + 4х2, 4х = 1-4_у2, х- — -у2.
4
1 2
в) Полученное уравнение х = — — у — есть уравнение па-
раболы.
170
Гпава 3
3,9. Параметрические уравнения
плоских кривых
Уравнения x = cp(t), у (/), где t — параметр, называ-
ются параметрическими уравнениями кривой. Для того чтобы
получить уравнение кривой в прямоугольных координатах, из
двух параметрических уравнений нужно исключить параметр.
1. Параметрические уравнения окружности: x = acos?,
у — a sin t, 16 [0,2л ].
2. Параметрические уравнения эллипса: x = acosZ,
у = 6sin?, [0,2л].
В параметрических уравнениях эллипса параметр t есть
угол, образованный радиусом ОМ с осью абсцисс (рис. 3.66).
3. Циклоидой называется кривая, описанная точкой М, ле-
жащей на окружности, если эта окружность катится без сколь-
жения по прямой (рис. 3.67).
Рис. 3.67
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
171
Параметрические уравнения циклоиды: x = a{t — sinz),
у = а (1 — cos t), z е [0,2я ]. При изменении Z от 0 до 2л точка М
опишет одну арку циклоиды.
9. 1. Найти параметрические уравнения окружности
х2 + у2 = 2Лх, если полярная ось совпадает с осью Ох, а полюс
находится в начале координат.
Решение. Между декартовыми координатами и полярны-
ми существует зависимость х = р cos <р, у = р sin <р. В качестве
параметра примем полярный угол (p = t, тогда уравнение ок-
ружности будет р = 27?cos<p = 22? cos Z. Если в формулы пере-
хода вместо р и (р подставить их выражения в функции Z, то
получим
х = p(z)cosZ = 22?cos21, у = p(z)sinz = 22?coszsinz = 2?sin2z.
Откуда x = 2?(l + cos2z), у = 2?sin2z.
9. 2. Найти уравнения кривых в прямоугольных коор-
динатах: a) х = —2 + Z, y = l + 2t; б) x = t2+ 2t + 4, y-t + 1;
в) x = l + 2cosZ, y = -3 + 2sinZ; г) x = acost, у =bsin t;
д) x = 2R cos2 Z, у = R sin 2z.
Решение, а) Найдем из первого уравнения параметр z = х + 2
и исключим его из второго уравнения. Тогда получим
у = 1 + 2(х + 2) или 2х - у + 5 = 0. Это уравнение прямой.
б) Представим первое уравнение в виде х = (z +1)2 + 3, тог-
да х = у2 + 3 . Это уравнение параболы с вершиной, смещенной
на три единицы по оси Ох.
в) Разрешим уравнения относительно тригонометрических
функций 2cost = x — 1, 2 sin Z = у + 3. Возведем в квадрат и сло-
жим 4 = (х -1)2 + (у + З)2 Кривая предсталяет окружность с цен-
тром в точке (1; -3) и радиусом равным 2.
г) Разделим правые части на а и Ь, возведем выражения в
172 Гпава 3
/ \2 / \2 г2 v2
(х 1 ( у 1 , . , х , У
квадрат и сложим — + I ~ I =cos t + sm t или — + —7-1.
Iй J a b
Это уравнение эллипса.
д) Возведем второе выражение в квадрат и преобразуем
у2 = R2 sin2 2t => у1 = 42?2 (l-cos2?)cos21. Найдем из первого
2 х
уравнения cos t = — и подставим, тогда
у2 = 42?2 1-— — ^у2 -22?х —х2 =^(х-Л)2 +у2 =R2.
22? 22? v 7
Уравнение окружности с центром, смещенным по оси Ох
на радиус/?.
Глава 4
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ
4.1. Системы координат
1°. Декартова или прямоугольна система координат пред-
ставляет совокупность трех взаимно-перпендиулярных осей: оси
абсцисс Ох, оси ординат Оу и оси аппликат Oz.
Система координат называется правой, если для каждой
пары осей ху, yz, zx кратчайший поворот первой из них вокруг
начала координат до совпадения с положительным направле-
нием второй виден со стороны положительного направления тре-
тьей оси, совершающимся против часовой стрелки, и левой —
в противоположном случае.
Декартовыми координатами точки М называются проекции
радиус-вектора ОМ (рис. 4.1) на оси координат.
2°. Цилиндрическими координатами точки М являются ее
апликата z и полярные координаты проекции точки М на плос-
кость хОу (рис. 4.1).
Цилиндрические координаты связаны с прямоугольными
координатами формулами (3)
х = pcostp; y = psmcp; z = z. (1)
174
Гпава 4
Из равенств (1) легко находятся формулы обратного пе-
рехода
p-yjx2+y2; tg<p = r; z = z. (2)
х
причем выбор нужного угла (р из двух главных значений мож-
но произвести, например, по знаку координаты у.
3°. В сферической системе координат (рис. 4.2) положение
точки М определяется: ее расстоянием р от начала координат
(радиус-вектором) (0 < р < оо); углом (р, который образует про-
екция радиус-вектора на плоскость хОу с положительным на-
правлением оси Ох (0 < <р < 2л); углом 0, который радиус-вектор
образует с положительным направлением оси Oz (0 < 0 < л )•
Рис. 4.2
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
175
Связь между прямоугольными координатами точки и ее
сферическими координатами устанавливается формулами
х = psin0cos<p; у = psindsincp; z = pcos0. (3)
Решая уравнения (3) относительно р, <р, 0, получим фор-
мулы обратного перехода
р = у]х2 + у2 +Z1; tg <р = —; cos в = . , (4)
х y/x2+y2+z2
причем выбор нужного знака угла (р из двух главных значений
можно произвести, например, по знаку координаты у.
4.2. Плоскость
1°. Основные уравнения плоскости.
1. Общее уравнение плоскости. Всякая плоскость определя-
ется уравнением первой степени с тремя неизвестными
Ax+By+Cz+D = 0. (1)
2. Нормальное уравнение плоскости
гп°-р = 0 или xcosof + у cos Д + zcosy-р = 0, (2)
гдер —длина перпендикуляра, опущенного на плоскость из на-
чала координат; a, ft,у — углы, которые этот перпендикуляр
образует с положительными направлениями координатных осей;
п° —единичный вектор направления ОР (рис. 4.3).
Рис. 4.3
176
Гпава 4
Для приведения общего уравнения плоскости (1) к нормаль-
ному виду нужно это уравнение умножить на нормирующий мно-
1
житель М =—===== при этом знак нормирующего
±7л2+в2 + с2
множителя должен быть противоположен знаку D в уравнении
(1). (Если!) = 0, то знак М может быть любой). Зная общее урав-
нение плоскости, косинусы направляющих углов в нормальном
уравнении плоскости находятся по формулам coset = А-М;
C№^ = B-M' cosy = CM, а длина перпендикуляра
p = \D-M\.
3. Уравнение плоскости в отрезках на осях
х у z
-+т+-=1> (3)
a b с
где a,b,c— отрезки, которые отсекает плоскость на координат-
ных осях (Рис. 4.3).
4. Уравнение плоскости, проходящей через данную точ-
ку (х,,yt,Z]) и перпендикулярной данному вектору
N(A,B,C)
^(x-x1)+B(y-j1)+C(z-z1) = O. (4)
5. Параметрические уравнения плоскости
х = х0 + uax + vbx;
У = У0+чау+сЬу;
z — z0 + uaz + vb.,
где и, v - два параметра; ax,bx,ay,by,az,bz, —проекции векторов
a a Ь удовлетворяющих векторному произведению axb =N.
2°. Основные задачи на плоскость.
1. Точка пересечения трех плоскостей находится из совмес-
тного решения их уравнений.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
177
2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
М, (хрУрг,), M2(x2,y2,z2), М2(х3,у3,г3)
y-y,
У2-У,
Уз-У,
z-Zl
Z2~Z1
Z3-Z!
= 0.
(6)
3. Параметрические уравнения плоскости, проходящей че-
рез три точки, имеют вид
(7)
y = y, + w(y2-y1)+u(y3-yl);
z = z, +w(z2 -z,)+a(z3 -z,).
4. Угол между двумя плоскостями равен углу между нор-
мальными к ним векторами (At,В,,Q) и N2(A2,B2,C2)
У,-У2
COStp = I z-|p.
+ ^1^2 + ^'1^'2
B2+C2' (8)
5. Если две плоскости взаимно-перпендиклярны, то сумма
произведений коэффициентов при одноименных текущих коор-
динатах равна нулю
т4| А2 + В, В, + С,С2 — 0. (9)
6. Если две плоскости параллельны, то коэффициенты при
одноименных текущих координатах пропорциональны
А=А=А
Л2 В2 С2
7. Расстояние от точки (jq, у], z{) до плоскости
(10)
d = |х, cosa + yt cos Д + z, cosy —p| =
Axt + Byt +Cz,+D
±\Ja2 + b2 + c2
di)
178
Глава 4
2.1. Дано уравнение плоскости 9х - Ту + 6z - 11 = 0. Приве-
сти: а) к нормальному виду; б) к уравнению плоскости в отрез-
ках на осях.
Решение, а) Найдем нормирующий множитель
792 + (-2)2 + 62
1
j ] ’ Умножая на М данное уравнение,
получим
9 2 6 , п
—х------уч---z-l = 0,
11 11 11
где coset = —, cos 8=--, cosy = —ид=1.
И И И
б) Перенесем свободный член в правую часть уравнения и
разделим на него уравнение, представив его в виде
9 2 6
И , И 11
Отрезки на осях a =—, b =----, с = —.
9 2 6
2.2. Написать общее и параметрические уравнения плос-
кости, проходящей через три точки Л(1,1,0); В(3,2,-1) и
С(2,-1,4).
Решение. Воспользуемся уравнением (6)
х-1 у—1 z
2 1 -1
1 -2 4
= 0.
Общее уравнение искомой плоскости 2x-9y-5z+7 = 0.
Для получения параметрических уравнений плоскости под-
ставляем координаты точек в формулы (7)
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
179
х = 1 + 2м + и,
у = 1 + и-2и,
z = -u + 4v.
2.3. Через точку (2,1,3) провести плоскость, которая была
бы перпендикулярна к плоскости х+Зу-г+2=0 и проходила бы
через точку (3,-1,5).
Решение. Воспользуемся уравнением плоскости (4), прохо-
дящей через данную точку и перпендикулярной некоторому век-
тору jV(4,B,C)
Л(х-2)+В(у-1)+С(г-3) = 0. (*)
Из условия перпендикулярности (9) этой и данной плоско-
сти имеем А+ЗВ - С = 0.
Поскольку наша плоскость должна проходить через точку
(3,-1,5), то подставляя ее координаты в уравнение (*), получим
А-2В+2С = 0.
Мы получили систему трех линейных однородных уравне-
ний относительно неизвестных А,В, С. Чтобы система имела ре-
шение отличное от нулевого, необходимо и достаточно, чтобы
определитель равнялся нулю
х—2 у-1
1 3
z-3
-1 =0.
1 —2 2
Отсюда уравнение искомой плоскости 4x-3y-5z+10 = 0.
2.4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точ-
ку Мо (2,1,-2) перпендикулярную линии пересечения плоскостей
x+3y+2z+l = 0 и 3x+2y-z+8 = 0.
Решение. Найдем вектор параллельный линии пересечения
плоскостей
180
Гпава 4
Воспользуемся теперь уравнением плоскости, проходящей
через точку Мо, нормальный вектор которой параллелен линии
пересечения плоскостей
-7(х-2) + 7(у-1)-7(г + 2) = 0 или x-y+z + l = 0.
2.5. Через точку (2,-1,3) провести плоскость, параллельную
плоскости x-2y + 4z-5 = 0.
Решение. Уравнение плоскости, проходящей через данную
точку, имеет вид Л(х-2) + 5(у + 1) + С(г— 3) = 0.
Поскольку плоскости параллельны, то, используя условие
параллельности плоскостей (10), подставляем вместо А, В, С зна-
чения коэффициентов из заданного уравнения плоскости (с ко-
эффициентом пропорциональности, равным 1)
x-2-2(i/+l)+4(z-3) = 0
или х - 2у + 4z -16 = 0.
2.6. Вычислить расстояние от точки М (2, —1;3) до плоско-
сти llx-2j/+10z + 6 = 0.
Решение. По формуле (10) имеем
, 11-2-2(-1) + 10-3 + 6 60
d = , v = — = 4.
15
2.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точ-
ку Ml (1,-—1/2) и перпендикулярной вектору N (4;3;-1).
Решение. В соответствии с уравнением (5) имеем
4(x-l) + 3(i/ + l)-(z-2) = 0, откуда 4x + 3i/-z + l = 0.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
181
2.8. Вычислить угол между плоскостями
х + 2у-Зг-4 = 0; 2x-y + z + l = 0.
Решение. Используя формулу (7), получим
1-2+2(—1) + (- 3)1 3
+ 22 + (-3)2 ^22 + (-1)2 + (I)2 2^21
( з
откуда m = arccos-_=
( 2V2T
Следует отметить, что в данном случае получен тупой угол.
Острый угол между этими плоскостями равен я - ср.
2.9. Найти расстояние между параллельными плоскостя-
ми 5х + 2у-Зг-7 = 0 и 5х + 2у-Зг + 4 = 0.
Решение. Искомое расстояние равно расстоянию от любой
точки, лежащей на одной из плоскостей, до другой. Возьмем на
первой плоскости точку, полагая для удобства расчета
7 ( 7
х = 0; у = 0. Тогда г=—. Расстояние от точки Л41 0;0;—— I до
второй плоскости находим по формуле (11)
5-0 + 2-0-з(-^/) + 4| п
л/25 + 4 + 9 >/38'
2.10. Найти уравнения плоскостей, параллельных плоско-
сти х + 2у-2г + 4 = 0 и отстоящих от нее на расстояние d — 3
Решение. Очевидно, что искомых плоскостей - две. Пусть
точка Л4(х,у,г) произвольна и принадлежит какой-либо одной
из искомых плоскостей. Поскольку расстояние от точки до плос-
кости равно трем, то имеем
|x + 2t/-2z + 4[=3
V1+ 22 +22
d =
182
Гпава 4
Откуда следует, что
х + 2г/-2г + 4 х-2г/-2г + 4
3 ” ’ 3 ”
Таким образом, искомые уравнения плоскостей имеют вид
x + 2z/-2z-5 = 0; х-2г/-2г + 13 = 0.
4.3. Прямая линия
1°. Основные уравнения прямой линии.
1. Уравнение прямой линии в общем виде
Цх+Цу+С^ + О, =0;
[л,х+/?,j' + C2z + D2 =0. (1)
2. Уравнение прямой в симметричном (каноническом) виде
Х~Х0 _У~~Уо _Z-Z0
I т п
(2)
где
в2
с, 4 с,
; т = —
с2 4 сг
4 д
4 в2
- проекции направляющего вектора а (J,т,п) прямой, проходя-
щей через точку Мо (х0, у0, z0).
3. Параметрические уравнения прямой, проходящей че-
рез точку М(х0,y0,z0) внаправлении вектора име-
ют вид
x = x0 + /t; y = y0+mt; z-z0 + nt, (3)
где t — параметр.
Если считать, что t — время, то уравнения (3) определя-
ют прямолинейное и равномерное движение точки M(x,y,z) со
скоростью о = д//2 +/и2 +и2 в направлении вектора
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
183
Точка Мо (х0, у0, z0) является начальным положением пере-
менной точки M(x,y,z), то есть положением при t = 0.
2°. Основные задачи на прямую линию.
1. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
^i(x1’Tpzi) и Л/2(х2,у,,г2)
х-х, у —У, z-z,
-----~=’ (4)
Х2~Х1 У2~У1 Z2~Z,
2. Угол между двумя прямыми
, Ц, + т.т, + п.п,
СО&(р = +-Г.-= 12 12
^+m^+n^il+m}+ni &
3. Если две прямые взаимно-перпендикулярны, то сумма
произведений их одноименных направляющих коэффициентов
равна нулю
1,12 + т,т2 + п,п2 = 0. (6)
4. Если две прямые параллельны, то одноименные направ-
ляющие коэффициенты этих прямых пропорциональны
Z, т, п.
12 т2 П2
3.1. Составить симметричные уравнения прямой линии
(8х—4y-z + 6 = 0;
[5x + y-3z + 5 = 0.
Решение. Пусть х0 = 0, тогда
| —4у — z + 6 = 0;
[y-3z + 5 = 0,
откуда у0 =1; z0 = 2.
Воспользуемся теперь формулой (2)
184
Гпава 4
х _ у — 1 _ z — 2
13 ” 17"“~28~'
3.2. Получить параметрические уравнения прямой
х-2 у +1
-------------------= ----= z.
3 4
Решение. Обозначим в симметричном уравнении прямой
равные отношения буквой t
х — 2 у + 1 z
— — — — Л
3------4--1
откуда х = 2 +Зг, у = -1 + 4/, z = t.
3.3. Написать уравнение прямой, проходящей через точки
Мх (2,1,-1) и Л/2(4,-3,2).
Решение. Принимая в качестве элементов, определяющих
прямую, точку Мх и направляющий вектор МХМ2 (2,—4,3), за-
пишем по формуле (4) уравнение прямой
х — 2 _ у — 1 _ z + 1
2 ~ -4 ~ 3
3.4. Написать уравнение прямой, проходящей через точки
пересечения плоскости х+2у — 3z-2 = 0 с прямыми
х-5_ у-3 _ z х-7 у-1 z + 1
-5 1 2 И 5 4 1
Решение. Запишем уравнение первой прямой в параметри-
ческом виде х = 5 — St, у = 3+г, z = 2г. Для нахождения точки
пересечения прямой с плоскостью подставим эти уравнения в
уравнение плоскости и найдем параметр t
5 —5г + 6 + 2г—6г-2 = 0, — 9г = —9, г = 1.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
185
Отсюда координаты точки пересечения х{ = 0, yt = 4,
Z] = 2.
Параметрические уравнения второй прямой будут х - 7+5/,
у= 1+4/, z=-l+/. Подставляя их в уравнение плоскости
7+5/+2+8/+3-3/-2 = 0, находим, что / = -1 и координаты точки
пересечения х2 = 2, у2 = -3, z2 = -2. Используя уравнение пря-
мой, проходящей через две точки, получим
х _ у —4 _ z-2 х _у — 4_z-2
2 “-3-4 ~-2-2 И™ 2~ -7
3.5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
Мй (1,0, —3) параллельно линии пересечения плоскостей х+2у-
- z+З = 0 и Зх - у - 4z+2 = 0.
Решение. Перемножая векторно нормальные к заданным
плоскостям векторы, находим вектор параллельный линии их
пересечения
N = N{xN2 = 1
3
J к
2 -1
= —9/ + j — 1 к.
Уравнение прямой, проходящей через точку Мо паралельно
вектору N, примет вид
х —1 _ у _ z + 3
3.6. Найти угол, образованный прямыми:
х-1_г/ + 3_7. х + 1_г/-5_г-2
~2~-~6~_9’ 2 ~ 6
Решение. Угол между прямыми находим по формуле (5)
2-3 + 6-2 + 9-6
COS (0 = . ' ' - .—.
л/22 + 62 + 92 л/з2 + 22 + 62
72
77
= 0,936,
186
Гпава 4
откуда (р = 20°30'.
3.7. Составить уравнения движения точки М, которая, имея
начальное положение Мо (1; 2; 1), движется прямолинейно и рав-
номерно в направлении вектора а={4;4;2}со скоростью
v = 18m/c .
Решение. Сравнивая модуль вектора а, который равен
|а| = ^42 +42 +22 = 6 с заданной скоростью v = 18м/с , видим,
что в качестве вектора s следует взять вектор в три раза боль-
ший, т. е. s ={12;12;б}. Согласно формулам (3) уравнения
движения будут
х = 1 + 12/; г/ = 2 + 12/; z = l + 6t
4.4. Прямая и плоскость
1. Угол между прямой и плоскостью
А1 + Вт + Сп
уА +В +C2>Jl2 + m +п v 7
2. Условие параллельности прямой и плоскости
А1 + Вт + Сп = 0. (2)
3. Условие перпендикулярности прямой и плоскости
А В С
~1=~т=~п’ <3)
4. Уравнение пучка плоскостей
Atx + В.уCjZ Л(А?х + В2У "Г "Г D2) -- б. (4)
5. Точка пересечения прямой ——— = ——— = ——— и плос-
I т п
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
187
кости Ax+By+Cz+D = 0 находится по формулам х = х0+/7;
Ахп + Ву> + Czn + D
y = yn+tm; z = za+tn, где t = —-—-----У---
Al + Вт + Сп
. , Ji - - х У_2 z + 1
4.1. Наити точку пересечения прямой = — =----- и
плоскости 2х+у- z-1 = 0.
Решение. Запишем уравнение прямой в параметрическом
виде: х = 2г; у = r+2; z = Зг-1.
Подставляя x,y,z в уравнение плоскости, находим соответ-
ствующее значение t: 4Г+/+2-3?+1-7 = 0.
Отсюда t = 2 и координаты точки пересечения х = 4;
у= 4; z = 5.
4.2. Написать уравнение плоскости, проходящей через ли-
нию пересечения плоскостей x+2y-3z - 1 = 0 и 2x+y-3z- 4 = 0 и
через точку (2,-1,3).
Решение. Воспользуемся уравнением пучка плоскостей (4),
проходящих через линию пересечения двух данных плоскостей
x + 2y — 3z — l + A(2x + y — 3z — 4) = 0.
Подставляя координаты точки в уравнение пучка, находим
соответствующее значение Л:
2 + 2(-1)-3-3-1 + Л(2-2 + (-1)-3-3-4) =0.
Отсюда Л =-1. Подставляя значение Л в уравнение пуч-
ка, получим искомое уравнение х -у+3 = 0.
4.3. Написать уравнение плоскости, параллельной оси Ох и
проходящей через точки М} (2,-1,4) и М2 (5,2,—3).
Решение. Уравнение плоскости проходящей через точку
М} будет А(х - 2)+B(y+V)+C(z -4)=0. Так как искомая плос-
кость параллельна оси Ох, то проекция нормального к плос-
кости вектора на эту ось равна нулю, т. е. А = 0. Поскольку
плоскость проходит еще и через точку М2, то получим
ЗА+ЗВ -7С = 0.
188
Гпава 4
Система имеет решение отличное от нулевого, когда опре-
делитель равен нулю
х-2
1
3
у+1 z-4
0
3
о
—7
-0 или 7y + 3z-5 = 0.
4.4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точ-
х+1 у z —1
ку Л/0(3,2,-1) и параллельной прямым -у-=--------~ и
х-1_ у + 2_z + 3
~4 1 3~'
Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку Мй,
будет А(х-3) + В(у - 2) + C(z +1) = 0. Поскольку плоскость па-
раллельна прямым, то из условия (2) имеем 2А + ЗВ-2С = 0 и
4А + В + ЗС = 0 Система этих уравнений может иметь решение,
если определитель равен нулю
х—3 у—2
2 3
4 1
z + 1
-2
3
= 0.
Откуда уравнение искомой плоскости
1 1х-14у-10г-15 = 0.
4.5. Определить угол между прямой, проходящей через точ-
ки Л/,(0,2,6) и М2(3,6,-6), и плоскостью 2x-y-2z-\ = 0.
Решение. Уравнение прямой, проходящей через точки М} и
.. х у —2 z-6
М., примет вид — ---=-----.
2 3 4 -12
Угол между прямой и плоскостью находим по формуле (1)
2-3-1-4+212 26 2
sm т = , . = =------= —.
74 + 1 + 4^9 + 16 + 144 3 13 3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
189
4.6. Найти проекцию точки Af0(l,2,3) на плоскость
x-2y + z-6 = 0.
Решение. Уравнение перпендикуляра, проходящего через
точку Мй к плоскости, имеет вид
х-1 _ у-2 _ z-3
I т п
Поскольку направляющий вектор прямой совпадает с нор-
мальным вектором к плоскости, то на основании условия (3) бу-
дем иметь
х-1 у —2 z-3
----= ----=-----= t.
1 -2 1
Откуда х = 1 + /, у = 2 — 2t, z = 3 + t. Зная параметричес-
кие уравнения прямой, находим точку пересечения прямой и плос-
кости. Для этого подставим эти уравнения в уравнение плоскости
и найдем параметр t: 1 + г-4 + 4/ + 3 + г-6 = 0, Z = l. Отсюда
х = 2, у = 0, z = 4.
4.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через
прямую
J8x + 2у + 3z + 6 = О,
[Зх + 4у + z +1 = О
„ х +1 у-4 z-1
параллельно прямой ---=-----=-----.
2 3-2
Решение. Запишем уравнение пучка плоскостей (4), прохо-
дящих через первую из данных прямых
8х + 2у + 3z + 6 + Я. (Зх + 4 у + z +1)= 0.
Выберем из этого пучка плоскость параллельную второй
прямой, то есть найдем соответствующее численное значение Л.
Представим уравнение пучка плоскостей в виде
(8 + ЗЛ)х+(2 + 4Л)у + (3 + Л)г + 6 + Л = 0.
190
Гпава 4
Используя условие параллельности прямой и плоскости (2),
имеем 2(8+ 32.)+ 3(2+ 42.)-2(3 +Л) = 0, откуда Л = -1. Под-
ставляя найденное значение Л в уравнение пучка плоскостей,
получим искомое уравнение 5x-2y + 2z + 5 = 0.
4.8. Найти проекцию прямой
fx-3y — z + 4 = 0,
12х-4у+ 3z-2 — 0 наплоскость 3x + 2y + z-7 =0.
Решение. Искомая проекция определится, как пересечение
плоскости, проходящей через данную прямую и перпендикуляр-
ной данной плоскости. Составим уравнение пучка плоскостей,
проходящих через данную прямую
х-Зу — z + 4 + Л(2х —4y + 3z — 2) = 0
или
(1 + 2Л)х - (3 + 4Л)у - (1 - ЗЛ)г + 4 - 22. = 0.
Искомая плоскость должна быть перпендикулярна данной
плоскости. Используя условие перпендикулярности двух плоско-
стей для определения неизвестной величины Л, получим уравне-
ние 3(1 + 22.)-2(3 + 4Л)-(1-32.) = 0, откуда Л = 4- Подставляя
найденное значение Л в уравнение пучка, находим уравнение
плоскости, проходящей через заданную прямую перпендикулярно
к данной плоскости 9х-19у + 1 lz-4 = 0.
Проекция данной прямой на данную плоскость определяет-
ся пересечением плоскостей
J9x-19y + l lz-4 = 0,
[Зх+ 2 у + z-7 = 0.
4.9. Найти расстояние от точки М(\, 2,-1) до прямой
х-3 _ у —2 _ г —4
"Т”- 1 “ 2
Решение. Найдем точку пересечения плоскости, проходящей
через заданную точку перпендикулярно данной прямой. Иско-
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
191
мое расстояние будет равно расстоянию от точки М до точки
пересечения плоскости и прямой.
Уравнение плоскости, проходящей через точку М, имеет вид
Л(х -1) + В (у - 2) + C(z +1) = 0. Из условию перпендикулярности
прямой и плоскости
ИДС
1 “ 1 “ 2 ’
полагая множитель пропорцио-
нальности равным единице, находим А = 1, В = 1, С = 2. Следо-
вательно, уравнение искомой плоскости имеет вид
х + у + 2z-l = 0.
Для нахождения точки пересечения плоскости и данной пря-
мой решаем совместно уравнения плоскости и прямой. Запишем
уравнение прямой в параметрическом виде: х = / + 3, у = t + 2,
z = 2t + 4 Подставляя эти выражения в левую часть уравнения
данной плоскости / + 3 + / + 2 + 2(2г + 4) -1 = 0, находим, что па-
раметр t равен t = -2. Следовательно, координаты искомой точ-
ки суть х0 = 1, у0 = 0, z0 = 0 .
Искомое расстояние от точки М до прямой определяем по
формуле расстояния между двумя точками
d = 7(1-1)2+(2-0)2+(-1-0)2 = 75.
4.5. Поверхности второго порядка
Степень алгебраического уравнения, определяющего дан-
ную поверхность, называется порядком этой поверхности.
1°. Эллипсоид. Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид
где а,Ь,с — полуоси трехосного эллипсоида (рис. 4.4).
Эллипсоид, две оси которого равны между собой, например
а = Ь, называется эллипсоидом вращения
192
Гпааа 4
2 *2
a с
(2)
х2 z2
и получается от вращения эллипса —- + — = 1 вокруг оси Oz.
a с2
2°. Однополостный гиперболоид. Каноническое уравнение
имеет вид
(3)
где a,b — полуоси эллипса в плоскости хОу (рис. 4.5).
Рис. 4.5
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
193
Форму поверхности определяют методом сечений. При z=0
х2 у1
в плоскости хОу получают — + —у — 1 — наименьший из всех
а Ъ
возможных эллипсов, который называется горловым. Сечения
поверхности с плоскостями yOz и xOz образуют гиперболы
2 2 2 2
У Z х z
ТУ—Г = 1 и ~—г = 1-
b с а с
Сечение поверхности с плоскостью х = а образует две пря-
У z у Z
мые —h — = 0;----= 0. Можно установить, что через любую
b с b с
точку однопостного гиперболоида проходят две прямые, лежа-
щие на этом гиперболоиде.
Поэтому однополостный гиперболоид называют линейча-
той поверхностью.
Если а — Ь, то уравнение (3) принимает вид
и поверхность, соответствующая этому уравнению, называется
однополостным гиперболоидом вращения. Она образуется вра-
щением гиперболы вокруг ее мнимой оси.
3°. Двухполостный гиперболоид. Каноническое уравнение
имеет вид
а2 Ь2 с2 ' (5)
При х = а получаем точки Л,(а,0,0) и АД—а,0,0) —вер-
шины поверхности (рис. 4.6). В сечении с плоскостями |х| > а по-
верхность образует эллипсы. В сечении с плоскостями хОу и xOz
2 2 2 2
а- Х У 1 Х Z 1 r-r
получаются гиперболы —т—-у = 1; Г—Г = 1* Поверхность
а о ас
(5) симметрична относительно плоскости yOz.
194
Гпааа 4
Рис. 4.6
„ , х у~+z~ ,
При о = с уравнение (5) принимает вид —- — -—-— = 1 и
и О
поверхность, соответствующая этому уравнению, называется
двухполостным гиперболоидом вращения. Она образуется при
вращении гиперболы вокруг оси Ох.
4°. Эллиптический параболоид. Каноническое уравнение
имеет вид
----1----
2р 2q
р > 0; q > 0.
(6)
При пересечении с плоскостями z = h поверхность (6) обра-
зует эллипс (рис. 4.7).
Рис. 4.7
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
195
В сечении с плоскостями xOz и yOz поверхность образует
параболы х2 - Ipz и у1 = 2qz При p=q уравнение (6) прини-
мает вид х1 + у1 = Ipz и поверхность, соответствующая этому
уравнению, называется параболоидом вращения. Она образует-
ся вращением параболы вокруг оси z.
5°. Гиперболический параболоид. Каноническое уравнение
имеет вид
2р
р > 0; q > 0.
(7)
2?
Сечение поверхности (7) с плоскостью хОу образует пару
прямых У — у~^х’ У ~ у!?* (Рис‘ 4'8)' Сечения поверхности с
плоскостями z —h (7i > 0) — гиперболы, у которых действитель-
ная ось параллельна оси Ох. Сечения с плоскостями z = h (h < 0)
— гиперболы, у которых действительная ось параллельна оси
Оу. Сечения поверхности с плоскостями xOz и yOz представля-
ют параболы х2 = Zpz и у2 = -2qz
Если р = q, то уравнение (7) принимает вид х1 + у2 = 2pz,
гиперболы в сечениях будут равносторонними, а параболы бу-
196
Гпава 4
дут иметь равные параметры.
При повороте системы координат вокруг оси Oz на угол
135° уравнение (7) примет вид ху = pz. Сечения поверхности плос-
костями z=h суть равносторонние гиперболы. Плоскость хОу
пересекает эту поверхность по осям координат.
6°. Цилиндрические поверхности. Уравнения, не содер-
жащие какой-либо одной координаты, в пространстве изоб-
ражаются цилиндрическими поверхностями, образующие
которых параллельны отсутствующей координатной оси. Само
же уравнение есть уравнение направляющей кривой этого
цилиндра.
1. Эллиптический цилиндр (рис. 4.9)
2 2
^+4=1-
а1 Ь2
Направляющей, лежащей в плоскости хОу, служит эллипс.
Если а = Ъ, то направляющая есть круг, а цилиндр называется
круговым.
(8)
2. Гиперболический цилиндр (рис. 4.10)
S_£ = 1.
а2 Ь2
Направляющей является гипербола.
(9)
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
197
Рис. 4.10
3. Параболический цилиндр (рис. 4.11)
(Ю)
Направляющей является парабола.
Аналогично записываются уравнения цилиндрических по-
верхностей с образующими, параллельными координатным
осям Ох и Оу.
1°. Поверхность, образованная движением прямой, прохо-
дящей через неподвижную точку пространства и пересекающей
при этом некоторую кривую, называется конической поверх-
ностью.
198
Гпава 4
Неподвижная точка называется вершиной, кривая — на-
правляющей и прямая — образующей конической поверхности.
Каноническое уравнение конуса, когда ось симметрии конуса
совпадает с осью Oz (рис. 4.12), имеет вид
il+£_Z=0.
а2 Ь2 с2
(Н)
Рис. 4.12
Если а = ЪФс — конус круговой; если а=Ъ = с,
то х2 + у2 — z2 — 0 — прямой круговой конус, образующие накло-
нены к плоскости хОу под углом 45°.
5.1. По заданному уравнению/'(х,у?) = 0 определить вид по-
верхности и указать ее расположение в координатной системе:
а) х2 + у2 + z2-2x + 4y-6z + 5 = 0; б) 4х2+4у2+5z2 - 20 = 0;
в) 5х2+ 5у2-4z2-20 = 0; г) 4х2 + у2 -2z = 0; д) х2+z2-у = 0;
ж) у2-4z-5=0; з) у2-8х + 3 = 0-
Решение, а) Дополним до полных квадратов многочлен в
левой части х2-2х + 1 + у2 +4y + 4 + z2-6z + 9-9 = 0 или
(х-1)2 +(.У + 2)2 +(z-3)2 = 32.
Полагая х' = х —1; у' = у + 1; z' = z —3, находим, что в сис-
теме координат х', у', z', смещенной относительно системы х,
у, z параллельным переносом в точку с координатами
х0 = 1; уй = -1; z0 = 3 , данная поверхность имеет простейшее
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
199
уравнение вида х'2 + у'2 + z'2 = 32. Таким образом, данное
уравнение определяет сферу с центром в точке О'(1,-2,3) и
радиусом равным R — 3.
б) Перенесем свободный член в правую часть и разделим
на него, тогда будем иметь
х2 у2 z2
— + — + — = 1.
5 5 4
Данное уравнение представляет эллипсоид вращения вок-
руг оси z с полуосями а = b = V5; с = 2.
в) Пернесем свободный член в правую часть и разделим на
х2 у2 Z2
него, тогда будем иметь —+—----— = 1.
Данное уравнение представляет однополостный гиперболоид
вращения (4) вокруг оси z.
г) Разрешим выражение относительно z, тогда будем иметь
х2 у2
Z .
1 2
2
Данное уравнение представляет эллиптический параболо-
ид (5).
д) Разрешим выражение относительно у, тогда получим
у = х2 + z2 • Нетрудно заметить, что это уравнение предствляет
параболоид вращения с осью вращения у (рис. 4.13).
Рис. 4.13
200
Гпааа 4
ж) Поскольку переменная х отсутствует, то уравнение
1 2 5 К - R
z = —y — представляет параболический цилиндр с образую-
4 4
щими параллельными оси х (рис. 4.14). Сечение параболическо-
го цилиндра с плоскостью Oyz образует параболу, вершина
5
которой находится в точке с координатой z = ——
з) Поскольку переменная z отсутствет, то выражение
представляет параболический цилиндр, образую-
щие которого параллельны оси z (рис. 4.15). Сечение параболи-
ческого цилиндра с плоскостью Оху образуют параболу, вершина
3
которой находится в точке с координатой х = —.
Рис. 4.15
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
201
5. 2. Установить поверхность, определяемую уравнением:
а) 4х2 + 9/ +16z2 — 16х + Збу + 32z + 59 = 0 ;
б) х2-4/ + 4z2 + 2х+8у-7 = 0;
в) х2-16/ —4z2-10x-64y + 24z-48 = 0;
г) 5х2 +2y + 3z2-9 = 0.
Решение, а) Поскольку уравнение не содержит произведе-
ний координат, то приведение его к простейшему виду осуще-
ствляется посредством параллельного переноса. Выделим полные
квадраты
4х2 +9/ + 16z2-16x + 36y + 32z + 59 =
= 4(x2-4x + 4) + 9(/ + 4y + 4) + 16(z2 + 2z + l)-9 =
= 4(х - 2)2 + 9(у + 2)2 +16(z +1)2 -9.
Полагая х' = х—2, у' = у + 2, z' = z + l, находим, что в си-
стеме координат х', у', z' смещенной относительно системы
x,y,z паралельным переносом начала в точку с координатами
а = 2, Ъ = —2, с = —1 данная поверхность имеет простейшее
уравнение вида
(х')2 (/)2 (zx)2 _
4(х’)2+9(/)2+ 16(z')2 =9 или + I2 +Q/)2-1
Таким образом, данное уравнение определяет эллипсоид
(1) с центром в точке О'(2,-2,-1) и полуосями
а = 3/2, Ь = 1, с = 3/4.
б) Уравнение не содержит произведений координат. Преоб-
разуем левую часть до полных квадратов
х2 + 2х +1 - 4(/ - 2у +1) + 4z2 - 4 = (х+1)2 - 4(у -1)2 + 4z2 - 4.
Полагая х' = х+1, у' = y-\,z' = z, получим уравнение по-
верхности в системе координат х \у', z' смещенной относительно
202
Гпавв 4
системы x,y,z параллельным переносом начала в точку
О'(-1Л,0)
(х')2
(х')2-4(^У + 4(z')2 =4 или -^-(/)2 + (г')2=1.
Поскольку в этом уравнении коэффициенты при (х1)2 и (z')2
положительные, а при (у ')2 — отрицательный, то данное урав-
нение определяет однополостный гиперболоид (3), расположен-
ный вдоль оси у
в) Преобразуя левую часть до полных квадратов, прихо-
дим к уравнению (х - 5)2 -16(у + 2)2 - 4(z - З)2 = 0, из которого
после замены х' = х-5, у' = у + 2, z' = z-3 получим уравнение
поверхности в системе координатх',у \z', смещенной относитель-
но системы x,y,z параллельным переносом начала координат в
точку (5,-2,3)
(х1)2-16(/)2-4(z')2 = 0.
Поскольку в этом уравнении свободный член равен нулю и
коэффициенты при квадратах координат разных знаков, то дан-
ное уравнение определяет конус второго порядка (11) с осью вдоль
оси х' и вершиной в точке (5, -2,3).
г) Данное уравнение содержит две координаты во второй
степении одну в первой, следовательно, уравнение определяет
эллиптический парболоид (5). Переписывая его в виде
5х2 +3z2 =-2(_у-9/2), заключаем, что вершина параболоида
расположена в точке с координатами О'(0,9/2,0) и его полость
обращена в сторону отрицательных значений у. Если обозна-
чить х'=х, у' = у — 9/2, z' = z, то получим каноническое урав-
нение параболоида (рис. 4.16)
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
203
4.6. Геометрический смысл уравнений
с тремя неизвестными в пространстве
1°. Рассмотрим уравнение с тремя неизвестными
F(x,y,z) = 0.
Предположим, что уравнение может быть разрешено от-
носительно z, то есть z = f (х,у). Данное уравнение в простран-
стве представляет поверхность и называется уравнением
поверхности.
Если поверхность определена геометрически, т. е. задано
некоторое свойство, принадлежащее всем ее точкам и не при-
надлежащее другим точкам пространства, то можно составить
уравнение этой поверхности. Заданное геометрическое свойство,
выраженное уравнением, связывающим текущие координаты, и
будет уравнением поверхности.
2°. Всякую линию в пространстве можно расматривать как
пересечение двух поверхностей F(x,y,z) = 0 и Ф(х,у, z) = 0. То
есть, линия в простванстве рассматривается как геометричес-
кое место точек, координаты которых удовлетворяют системе
этих уравнений.
6.1. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от
двух данных точек М (2,1,-1) и N(-3,0,3).
204
Гпава 4
Решение. Пусть точка P(x,y,z) будет текущей точкой иско-
мого геометрического места точек. Тогда, по формуле (11, Гл.2.2)
данное условие примет вид
х/(* - 2)2 + (у -1)2 + (z +1)2 = ^(х + З)2 + (у - О)2 + (2 - З)2.
Упрощая, получим уравнение геометрического места то-
чек 5x + y-4z + 6 = 0. Полученное уравнение изображает плос-
кость, перпендиклярную отрезку MN и пересекающую его
посередине.
6.2. Найти геометрическое место точек, удаленных на рас-
стояние 5 единиц от точки С(1, -2,1).
Решение. Пусть точка M(x,y,z) есть текущая точка поверх-
ности. Тогда, воспользовавшись формулой (11,Гл.2.2), по усло-
вию задачи будем иметь (х -1)2 + (у + 2)2 + (z -1)2 = 25. Данное
уравнение представляет сферическую поверхность с центром в
точке С и радиусом R = 5.
6.3. Каков геометрический смысл системы уравнений
x2+y2 + z2 =25,
z = 3.
Решение. Первое уравнение есть сфера, второе представля-
ет в пространстве плоскость. Подставляя z = 3 в первое уравне-
ние, получим х2+у2 =16. То есть пересечение плоскости со
сферой есть окружность, параллельная плоскости Оху, с цент-
ром в точке С(0,0,3) и радиусом равным 4.
6.4. Найти проекцию линии пересечения конуса
х2 + у2—3z2=0 (г>0)исферы (х-1)2 + у2+z2 = 1 на коорди-
натную плоскость Оху.
Решение. Находим уравнение проектирующего цилиндра.
Для этого исключаем из уравнений поверхностей переменную z.
Умножая второе уравнение на 3 и складывая с первым, полу-
чим 4х2 - 6х + 4у2 = 0 Таким образом, проекция линии на плос-
АНАПИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
205
3
кость Оху определяется следующей системой: х2 + у2 ——х = 0;
2 = 0. Выделяя в первом уравнении полный квадрат, получим
3 V 9
х— +у2 =—. Следовательно, проекция линии пересечения
4у 16
поверхностей на плоскость Оху представляет окружность с цен-
тром в точке О, и радиусом, равным —.
6.5. Тело в пространстве задано системой неравенств. Оп-
ределить вид поверхностей, ограничивающих это тело. Указать
по каким линиям и в каких плоскостях пересекаются эти повер-
хности: а) х2 +у2 <(z —2)2, x2+y2<z б) х2 + у2 + z2 <25 ,
х2+/<9;в) x2+y2—9>z2, х2+у2<16.
Решение, а) Уравнение х2 + у2 = (z- 2)2 задает в простран-
стве конус, смещенный вверх по оси Oz на 2. Неравенство
х2 + у2 < (z — 2)2 показывает, что поверхность ограничивает тело
внутри конуса.
Уравнение х2 + у2 = z задает в пространстве параболоид, а
неравенство х2 + у2 < z показывает, что поверхность ограничи-
вает тело внутри параболоида. Объединяя результаты, мы полу-
чим, что тело, ограниченное заданными поверхностями, имеет
вид (рис. 4.17).
Решая совместно уравнения поверхностей x2+y2=z и
х2 +j’2 =(z-2)2, находим, что z = 1, то есть поверхности пере-
206
Гпава 4
секаются по окружности х2 + у2 = 1 в плоскости z = 1.
6) Уравнение х2 + у2 + z2 = 25 задает сферу с центром в нача-
ле координат и радиусом равным 5. Неравенство х2 + у2 + z2 < 25
показывает, что ограничивает тело внутри сферы.
Уравнение х2 + _у2=9 задает цилиндрическую поверх-
ность с осью Oz и радиусом 3. Неравенство х2 + у2 <9 пока-
зывает, что ограничивает тело внутри цилиндра. Таким
образом, тело, ограниченное заданными поверхностями, име-
ет вид (рис. 4.18).
Очивидно, что линиями пересечения поверхностей будут ок-
ружности того же радиуса, что и направляющая цилиндра. Те-
перь определим, в каких плоскостях пересекаются поверхности.
Для этого из системы уравнений исключим х и у. Подставляя
х2 + у2 в уравнение сферы, получим z2 =16, z = ±4. Следова-
тельно, поверхности пересекаются по окружности в плоскостях
z = ±4.
в) Уравнение >9 задет в пространстве однополост-
ный гиперболоид с осью вращения Oz и радиусом окружности в
плоскости Оху равным 3. Неравенство х2 +у2 — 9 > z2 показы-
вает, что тело находится вне поверхности.
Уравнение х2 + у2 = 16 задает цилиндрическую поверхность
радиуса 4 с осью Oz. Неравенство х2 + у2 < 16 показывает, что
тело находится внутри цилиндра. Таким образом, тело находит-
ся между однополостным гиперболоидом и цилиндром (рис. 4.19).
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
207
Определим, в каких плоскостях пересекаются поверхнос-
ти. Исключая х,у из системы уравнений х2+у2 — 9 = z2,
х2 +у2 =16, находим, что z2 = 7 • Отсюда уравнения плоско-
стей z = л/7.
Рис. 4.19
4.7. Параметрические уравнения
пространственных кривых
1°. Уравнения вида
x = x(t), y = y(i), z = z(t), (1)
где t — параметр, называются параметрическими уравнениями
линии в пространстве.
Исключая из двух любых пар уравнений (1) параметр t,
можно получить уравнение линии в виде двух уранений с тремя
переменными.
2°. Цилиндрической винтовой линией называется линия,
которую описывает точка М, движущаяся по поверхности кру-
гового цилиндра радиуса R, обходя его кругом и одновремен-
но поднимаясь вверх пропорионально углу, описываемому ее
проекцией на горизонтальную плоскость (рис. 4.20).
Параметрические уравнения винтовой линии имеют вид
x = 2?cos t, y — Rsm t, z — kt, (к = Riga > (У). (2)
208
Гпава 4
Если к > 0, то уравнения (2) называют уравнениями правой
винтовой линии, если же к < 0 эти уравнения представляют ле-
вую винтовую линию.
Когда точка М совершит полный оборот, апликата z точки
М увеличится на величину, называемую шагом или ходом вин-
товой линии, равным I = 2л R tg a.
7.1. Определить линию, заданную уравнениями х = (г — I)2,
у = 3(/ + 1) и z = -(t + 2).
Решение. Исключая из второго и третьего уравнения па-
раметр г, получим y + 3z + 3 = 0 —уравнение плоскости. На-
ходя из второго t и подставляя в первое уравнение, будем иметь
9х = (у-2)2 — параболический цилиндр. Следовательно, мы
имеем линию пересечения плоскости с параболическим цилин-
дром.
7.2. Определить линию, заданную уравнениями: х — 3 cos t,
y — 4cost, z = 5sinr.
Решение. Деля первое уравнение на второе, получим
4х - Зу = 0 — уравнение плоскости.
Возводя в квадрат левые и правые части каждого из трех урав-
нений и складывая, получим х2 + у2 + z2 = 25 — уравнение сферы.
Следовательно, мы имеем линию пересечения плоскости со сферой.
Глава 5
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
5.1. Линейные преобразования
Линейное преобразование двух переменных
х = а11х'+а12У,
у = а2,х' + а22у
выражает значения переменных х и у через значения пермен-
ных х ’ и у
Равенство (1) можно рассматривать как линейное преобра-
зование координат точки (или вектора) на плоскости. Линейное
преобразование (1) характеризуется его матрицей
л=р11 «12^
а22 J
Линейное преобразование трех переменных
х — а.,х' + а.2у' +
y = a2!x'+a22y' + a23z', (2)
z = а31х/ + а32У+ a33z/
выражает значения переменных x,y,z через значения переменных
x'j'z'.
210
Гпава 5
Равенства (2) можно рассматривать как линейное преобра-
зование координат точки (вектора) в пространстве. Преобразо-
вание (2) характеризуется матрицей
А-
Если ввести обозначения
а,
а21
а,.
(2) в матричной форме примут вид
R=AR', (3)
т. е. каждому линейному преобразованию векторов F = Аг' со-
ответствует линейное преобразование координат этих векто-
ров. Поэтому вместо линейных преобразований векторов
обычно рассматривают соответствующие преобразования ко-
ординат.
Если вектор х переводится в вектор у линейным преобра-
зованием с матрицей Л, а вектор у переводится в вектор z ли-
нейным преобразованием с матрицей В, то последовательное
применение этих преобразований равносильно линейному пре-
образованию, переводящему вектор х в вектор z . Матрица это-
го линейного преобразования равна С = В А.
1.1. Дано линейное преобразование
x = x’ — y'+z',
y = x+y-z,
z = x'+z'
и даны точки в системе координат x'y'z': (1,-1,2) и (2,-3,0).
Найти координаты этих точек в системе x,y,z.
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
211
Решение. Подставляя координаты точек в данное линейное
преобразование, получим: если х' = 1, у' = -1, z'=2, то х = 4,
у = -2, z = 3; если х' = 2, у' = -3, z' = 0, то х = 5, у =-1, z = 2.
1.2. У каких точек линейное преобразование
х = 2х'+ Зу',
у = 4х'+ у'
не меняет координат?
Решение. Нужно найти х и у, если х = х', у = у'. Отсюда:
х = 2х + Зу, у = 4х + у .
Следовательно, х = х' = О, у = у' = 0.
1.3. Даны два линейных преобразования
у, = Xj + 2х2 + Зх3,
у2=х, — 4х2 + 2х3,
у3 = 2х, +х2 + 2х3.
z, = 3у,+2у2-2у},
< z2 = Зу,+4у2-4у3,
2з= У> + У2~2Уз-
Средствами матричного исчисления найти преобразование,
выражающее zp z2, z3 через х,, х2, х3.
Решение. Первое преобразование определяется матрицей А,
а второе — матрицей В
Искомое преобразование является матрицей, определяемой
произведением данных матриц
'3 2
С = ВА= 3 4
1 1
\
-2V1
~г,3
-4 9'
-14 9
-4 1
/
2
1
( 1
2 = -1
Следовательно, искомое преобразование будет
212
Гпава 5
z, = х, — 4x2 + 9x3,
z2 =-x, -14x2 +9x3,
Zj = — 2x, — 4x2 + x3.
1.4. Дано линейное преобразование координат
у, = х, — Зх2 + Зх3,
у2 = х, — 4х2 + 2х3,
у3 = 2х, — 4х2 + 2х3.
Требуется найти обратное преобрзование.
Решение. Запишем данное линейное преобразование в мат-
ричном виде Y=AX, где
Вычислим
Поскольку det А 0, матрица А невырожденная и поэтому
имеет обратную
, (4i 4i 41
ч4з 4з 4з ,
где Ад — алгебраическое дополнение, соответствующее эле-
менту Лд ,
Найдем алгебраические дополнения
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
213
-4
Отсюда
-1
_2
3
_£
3
1
= 1, Лз = 1
1
£
6
1
Умножив обе части исходного преобразования на
А'1
по-
лучим ^->у = а~'АХ • Поскольку А'1 А = Е , где£ — единичная
матрица, то будем иметь A'Y = X или X = A Y. Подставляя
сюда матрицу А~1, получим
О
3
2
-1
_2
3
1
1
£
6
1
'yt'
У1
Л,
U 3
6 J
Откуда обратное преобразование
*!= -Уз+Уз,
1 2 1
Х2=ТУ1~-У2+-7Уз’
5 5 О
2 1 1
хъ=^Ух-^У1--уУу
5 5 Ь
214
Гпава 5
1.5. Даны два линейных преобразования
x' = 3xt —х2 + 5х3;
• х'2=х} + 2х2 + 4х3;
х3 — Зле, + 2х2 — х3;
х"= 4х|' + 3х' +х3;
• х2=3х' + х2 +2х3;
Средствами матричного исчисления найти преобразование,
выражающее х",х",х" через хх,х2,х3.
Решение. Первое преобразование определяется матри-
цей А, а второе матрицей В
Искомое преобразование является матрицей, определяемой
произведением данных матриц
Ч 3
С=ВА= 3 1
1 Уз
2 1
1 -2
V
-1 5Л
2 4
2 -1
7
16
ЗР
17
4
3
3
Следовательно, искомое преобразование будет
х"= 18х, + 4х2 + 31х3;
х"= 16х, + 3х2 + 17х3;
х3"=4х, -Зх2 -4х3.
5.2. Разложение векторов по базису.
Арифметические векторы
1°. Арифметическим вектором называется всякая упорядо-
ченная совокупность из п действительных чисел х = х (х,, х2,..., хп),
где xi,x2,...,xn —компоненты арифметического вектора х-
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
215
Система арифметических векторов!^,...,хг} называется
линейно зависимой, если найдутся числа Я|,...,ЛГ, не равные од-
новременно нулю, такие, что Л.Х, +... + Лгхг = 0, иначе эта систе-
ма называется линейно независимой.
Система векторов (ё,,...,?.) называется базисом в произ-
вольном множестве Q арифметических векторов, если она ли-
нейно независима и для любого вектора х е Q найдутся числа
Л,,...,Лг такие, что
х = ^кёк, (1)
где Л1,...,Лг —координаты вектора х в этом базисе.
Формула (1) представляет разложение вектора х по бази-
су
2°. Если В(ё1,...,ёп) и В'(ё{,...,ё') два различных базиса в
произвольном н — мерном пространстве, причем каждый из век-
торов базиса В'разложим по базису В : ек =tlk6t + (2кё2 + ... + („кёп,
то матрицей перехода Т от базиса В к базису В' называется
матрица
в которой столбцы состоят из координат векторов / в бази-
се В.
Если х — произвольный вектор, а X и X' — столбцы его
координат в базисах В и В'соответственно, то зависимость
преобразования координат при преобразовании базиса при-
мет вид
X' = Т'Х. (2)
216
Гпава 5
2.1. Выяснить, является ли система арифметических век-
торов х, =(3,1,1), х2 =(1,-1,11), х3 =(1,1,— 5) линейно зависимой
или линейно независимой. Найти ее ранг и какой-нибудь базис.
Решение. Сосгавим матрицу X, вектор-столбцами которой
будут вектора xitx2,х3
р 1 Г
Х= 1 -1 1 .
111-5
\ /
Поскольку определитель матрицы равен нулю, а минор вто-
рого порядка М2 = j = -4 ф 0 отличен от нуля, то ранг мат-
рицы равен 2 и исходная система арифметических векторов
линейно зависима. Принимая минор второго порядка за базис-
ный полагаем, что арифметические векторы х,,х2 образуют ис-
комый базис.
2.2. Показать, что векторы й(2,1,-4), Ь(1,-4,-3), с(3,6,-2)
образуют базис пространства и найти координаты вектора
J(l,-4,3) в этом базисе.
Решение. Составим матрицу из компонент векторов а, Ь, с,
приняв их за столбцы
' 2 1 3"
1-4 6 .
-4 -3 -2
\ /
Для определения ранга этой матрицы вычислим опреде-
литель
2 1 3
1 -4 6
-4 -3 —2
= -27*0.
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
217
Отсюда следует, что ранг матрицы г — 3. Так как ранг мат-
рицы равен числу векторов, то они линейно независимы, а в трех-
мерном пространстве любые три линейно независимых вектора
образуют базис.
Обозначив координаты вектора d в базисе а, Ь, с, через
2,, 2,, 2j, получим векторное уравнение
d = 2,5 + A^b + 2,с,
которое равносильно системе трех уравнений
1— 22,+2з+32з,
<-4 = 2,-425+62;,
3 = -42,-32j-22з
Решаем эту систему относительно 2,,2з,2з. По формулам
Крамера Д = -27.
Координаты вектора d в базисе а,Ь,с будут: 2,=-4,
2j = 3, 2, = 2, т. е. d = -4а + 3Z> + 2с.
2.3. Показать, что векторы ё, (2,4,1), ё2(1,3,6), ё3(5,3,1) об-
разуют базис и найти координаты векторах(24,20,6) в этом
базисе.
Решение. Составим матрицу из компонент векторов ё,, ё2, е3,
приняв их за столбцы
218
Гпааа 5
'2
Т = 4
1
к
1 5^
3 3
6 1
/
Для определения ранга этой матрицы вычислим опреде-
литель
2 1 5
det Т = 4 3 3=74^0.
1 6 1
Отсюда следует, что ранг матрицы г = 3. Поскольку ранг
матрицы равен числу векторов, то они линейно независимы, а в
трехмерном пространстве любые три линейно независимых век-
тора образуют базис. Так как определитель матрицы не равен
нулю, то для нахождения решения используем формулу (2). Вы-
числяем алгебраические дополнения матрицы Т
Окончательно решение примет вид
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
219
1
74
'-15
-1
21
29
-3
-И
-12Y24"!
14
2
20
6
'2'
0
4
базисе
ё,,ё2,ё3, соответственно,
Координаты вектора х в
равны х = 2ё, + 4ё3.
2.4. Показать, что система арифметических векторов
ё, =(1,1,1,1,1) е2= (0,1,1,1,1), ё3= (0,0,1,1,1), ё4 =(0,0,0,1,1),
е5 =(0,0,0,0,1) образует базис и найти координаты вектора
х = (1,0,1,0,1) в этом базисе.
Решение. Составим матрицу из компонентов векторов
ё,,...,ё3, приняв их за столбцы
'1 0 0 0 0'
110 0 0
11 10 0.
11110
11111
\ /
Поскольку определитель этой матрицы равен 1 и не равен
нулю, то ранг матрицы г = 5. Так как ранг матрицы равен чис-
лу векторов, то они линейно независимы и образуют базис.
Обозначив координаты вектора х в базисе ё1,...,ё5 через
Я,, Я,, Яз, Я4, Я5 получим векторное уравнение
х = Л1ё] + A^e2 + Язё3 + Я4ё4 + Я5ё5,
которое равносильно системе пяти уравнений
1-Я,,
0 = Я^ + Я3,
1 — Ау + Я3 + Я^,
0 = Я1 4" Яз + Яд + Л4,
1 = Я1+Яз+Яд+Л4+Я<5.
220
Гпава 5
, я = 1,...,и.
«2„
апп)
в базисе В.
Из решения системы находим, что Л, =1, \ =-1, Л, =1,
Л4 =-1, Л5 =1. Таким образом, координаты вектора х будут
х — ё{ — ё2 + ё3 — ё4 +ё5.
5.3. Собственные числа и собственные
векторы матрицы
1°. Линейным оператором в линейном векторном про-
странстве называется всякое отображение А пространства в
себя, обладающее свойствами А(х + у) = Ах + Ау и
А.Ах = А(Лх). Если А —линейный оператор и В = (ё1,...,ёп) —
некоторый базис, то разложение векторов Аёк (к = по ба-
зису примет вид
Матрица
а21 а22
А= .
^„1 «„2 •
называется матрицей оператора А
Если число Л и вектор х удовлетворяют выражению
Ах = А.х, то число Л называется собственным числом ли-
нейного оператора А, а вектор х — собственным векто-
ром, соответствующим собственному числу Л . В матричном
виде
(А-М)Х = 0, Х*0, (1)
где X — столбец координат собственного вектора, соответству-
ющего собственному числу Л.
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
221
Отсюда следует, что для нахождения собственного числа
оператора А необходимо решить уравнение
det(^-A£) = O.
2°. Характеристическое уравнение матрицы третьего по-
рядка
«12 «13 '
«22 «23
«32 «33 ,
имеет вид
(2)
где Л — называется собственным числом матрицы.
Корни этого уравнения называются характерис-
тическими или собственными числами матрицы. Если исход-
ная матрица симметрическая, то корни уравнения (2)
вещественны.
Система уравнений
(«и + ап^2 + я13^3 = О,
«гД («22— 2.)£2 + «гз'зз = 0’ (3)
«31“=! + «З2*з2 + («зз ~ ^-)£з =
в которой Л имеет одно из значений иопределитель
которой равен нулю, определяет тройку чисел ,£2,£3, соответ-
ствующую данному характеристическому числу. Совокупность
этих трех чисел ^,^2,^3 определяет вектор г =£,i + £2у +^3k ,
который называется собстенным вектором матрицы А.
3.1. Найти собственные значения и собственные вектора
222
Гпава 5
линейного преобразования, заданного в некотором базисе мат-
рицей
Ч
5
6
X
-5
-7
-9
3
4
Решение. Составляем характеристическое уравнение
4-Л
5
6
-5
—7-Л
-9
2
3
4-Л
или -(4-Л)2(7 + Л) + 12(7 + Л) + 52(4-Л)-180 = 0, Л2(Л-1) = 0.
Отсюда собственные значения: Я1 = А1 = 0, Л, = 1.
Найденное собственное значение линейного преобразования
Я, подставим в систему уравнений (3)
4£,-5£2+2£=0,
<5£,-7£2+3£=0,
б£-9£2+4£=0.
Решая систему уравнений методом Гаусса, находим соб-
ственный вектор, соответствующий Я, = 0
Ч-5£ + 2£=0,
^,-^=0, £=2£, £=3£.
Полагаем =а, тогда £2 = 2а и £3 = За.
Следовательно, = r2 = a (i + 2 j + Зк j, где а — любое от-
личное от нуля действительное число.
Находим собственный вектор, соответствующий Aj = 1.
Получим систему
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
223
Х~5£2 + 2£ = О,
-5^,-8^ + 3£ = О,
6^,-9^+3^з=О.
Решая ее методом Гаусса, будем иметь
3£,-5£2+2£з=0,
£-£=о,
£-Чз=о.
Откуда = <^2 = <^3. Полагаем £ = а, тогда £2 = Zj3 = а и
собственный вектор r3 =a(i + J + к), гдеа — произвольный,
отличный от нуля множитель.
5.4. Квадратичные формы и их приведение
к каноническому виду
Квадратичной формой от двух переменных х,,х2 называ-
ется однородный многочлен второй степени
Ф(х|,х2) = а11х12 +2a12x,x2 +а22х2, (1)
где а,!,а^а-р —коэффициенты формы.
Положим а|2 = а21 и запишем квадратичную форму (1) в
виде
Ф (х,, х2) = a, + а|2х,х2 + а12х,х2 + a22xf
или
Ф(х1,х2) = х,у1+х2у2 (2)
где
а„Х|+а|2х2 = у„
1 .ь _ (3)
_а21Х1 а22Х2 У2'
224
Гпава 5
Матрица А =
ЯП Я12 |
определяет выражения (3), а сле-
a2i я22 J
довательно, и квадратичную форму (2) и называется матрицей
квадратичной формы. Квадратичная форма имеет канонический
вид, если она содержит только члены с квадратами переменных,
т. е. если а|2 - а2| = 0.
Заменим базис. Для этого перейдем от переменных xt,x2
к переменным х\,х2, которые выражаются через x15x2 линей-
но.
Квадратичная форма (2) преобразуется к виду
Ф(х',х'2) = х;у; + х'2у', (4)
где
а1Л + я12х2 — >
а21Х1 +а22Х2 = У2-
Теперь матрица А примет вид А' = 1 У .
^a2i а22 J
Если в качестве базиса взять совокупность собственных
чисел и собственных векторов линейного преобразования, то в
этом базисе матрица линейного преобразования примет вид
где Я,, А — собственные числа.
Выражения (5) примут вид у' = Л1х]', у2 =Х2х'2, а квадра-
тичная форма (4) вид
Ф(х|/,х0 = Л1(х1'')2+Л,(х;)2, (6)
который называется каноническим видом квадратичной фор-
мы.
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
225
Методы приведения квадратичной формы к каноническо-
му виду используются при приведении к каноническому виду
уравнений кривых второго порядка.
4.1. Используя теорию квадратичных форм, привести к ка-
ноническому виду уравнение линии второго порядка
5х2 — 8ху + 5_у2 = 9.
Решение. В данном случае матрица старших членов име-
ет вид
Составим характеристическое уравнение матрицы
5-Л 4
= 0, 5-Л = ±4, Л, =9, Л2=1.
4 5-Л ’ ’ 1 ’ -2
Полагая —9, для определения соответствующего соб-
ственного вектора получим систему уравнений
-4£+4£=0,
Ч,-4£ =0.
Отсюда = £2 и + ]. Нормируем вектор г-:
Полагая Aj = 1, для определения второго собственного век-
тора получим систему уравнений
4т7,+4т]2=0,
4jj1+4t]2=0.
Отсюда т]] = -т]2 и r2 = 1 -j . Нормируя, находим
226
Гпава 5
Векторы ё, и ё2 ортогональны: ё, ё2 = 0. Для построения
матрицы преобразования координат используем собственные
нормированные ортогональные векторы
[42 42)
Ds =-1.
Л 1,1, 1 , 1 , э
Отсюда: х = —у=х +—= у , у = —у=х-т=у. Значениями
41 д/2 д/2 41
у подставим в уравнение кривой
уравнение эллипса.
Глава 6
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
6.1. Множества и операции над ними
1°. Для описания совокупности элементов или предметов
принято использовать понятие множества. Обычно множества
элементов обозначаются прописными буквами A,B,N,..., а их
элементы малыми буквами а,Ь,п,....
Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут
ае А . Запись а£ А означает, что элемент а не принадлежит
множеству Л. Если множество не содержит ни одного элемен-
та, то оно называется пустым множеством и обозначается
знаком 0. Множество А называется счетным, если имеет
место взаимно однозначное соответствие между элементами
этого множества и элементами множества всех натуральных
чисел N.
Если множество содержит конечное число элементов, то
можно перечислить эти элементы в фигурных скобках {а, Ь, с}.
Выражение N — {1,2,3,...} обозначает множество натуральных
чисел, a Z 2,—1,0,1,2,...} множество всех целых чисел.
Множество рациональных чисел обозначается отношением
228
Глава 6
Q - "j — г, где m, n g Z, n Ф 0, когда только дробь периодичес-
кая. В противном случае числа иррациональные. Множество
рациональных и иррациональных чисел называется множеством
действительных или вещественных чисел и обозначается через R.
Два множества А и В называются равными, если они состо-
ят из одних и тех же элементов А = В. Если множество В содер-
жит множество А, то множество А называется подмножеством
множества В и обозначается В => А или А с В .
Пересечением множеств А и В называется множество, со-
стоящее из элементов, принадлежащих и множеству А и множе-
ству В и обозначается А п В .
Объединением множеств А и В называется множество, со-
стоящее из элементов, принадлежащих или множеству А или мно-
жеству В и обозначается А и В .
Пусть множество А принадлежит основному множеству Е.
Тогда множество элементов основного множества Е, не принад-
лежащих множеству А, называется дополнением множества А
до множества Е и обозначается А, отсюда А<лА=Е, АпА=0.
Д ля любых подмножеств А и В основного множества Е спра-
ведливы соотношения: Лий = ЛnB, Ac\B = AkjB-
2°. Пусть А — множество действительных чисел. Множе-
ство А называется ограниченным сверху, если существует та-
кое действительное число а, что для всех чисел хе А
выполняется х < а . Наименьший элемент множества верхних
граней ограниченного сверху множества А называется точ-
ной верхней гранью и обозначается sup А. Для множества А,
ограниченного снизу, точная нижняя грань множества обозна-
чается inf А. Множество А называется ограниченным, если оно
ограничено сверху и снизу.
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
229
1.1. Описать перечислением элементов множество
А = |хе 7V|x2 — Зх-4< о}.
Решение. Найдем множество значений переменной х, удов-
летворяющих неравенству х2-Зх-4<0. Так как
х1 — Зх-4 = (х + 1)(х — 4)<0, то хе [-1,4]. Поскольку Л есть
множество натуральных чисел, то А — {1,2,3,4}.
6.2. Логическая символика
1°. Логическую символику обычно используют при записи
математических объяснений. Рассмотрим несколько наиболее
простых символов.
Для обозначения высказываний или утверждений восполь-
зуемся прописными буквами латинского алфавита А, В, С и т. д.
Операция отрицания утверждения Л обозначается «не Л» или Л.
Если высказывание составлено из двух высказываний при
помощи союза «или», то оно является суммой этих высказыва-
ний (дизъюнкцией) и обозначается Av В или (А+В). Если же
высказывание составлено из высказываний при помощи союза
«и», то оно является произведением этих высказываний (конъ-
юнкцией) и обозначается АлВ или (л В )•
Если из высказывания Л следует высказывание В, то имеет
место импликация А=> В. Если из высказывания Л следует выс-
казывание В, а из высказывания В следует Л, то имеет место
эквивалентность, которую обозначают Л <=> В
Знак общности у употребляется вместо слов любой, каж-
дый. Уае Л означает:«для любого элемента ае А». Знак су-
ществования 3 употребляется вместо слова существует. За е Л
означает:«существуетэлемент ае А».
2°. Основные свойства:
1. Коммутативность (переместительность)
АлВ = ВлА; AvB = BvA.
230 Гпава 6
2. Ассоциативность (сочетательность)
Лл(ВлС) = (Лл5)лС; A v(B vC) = (A vBjvC.
3. Дистрибутивность (распределительность)
^a(BvC) = (^aB)v(XaC); A v(BaC>(^ уй)л(Л vC).
2.1. Используя логическую символику, записать утвержде-
ние:«число а есть точная верхняя грань множества X».
Решение. То, что число а есть точная верхняя грань множе-
ства X записывается a = sup X и означает Vxe Х(х < а), при-
чем для сколь угодно малого е справедливо условие
Vfi>03xeX (х>а—е).
6.3. Понятие о функции
1°. Если каждому значению одной переменной х по некото-
рому правилу ставится в соответствие определенное значение
другой переменной у, то говорят, что между переменными суще-
ствует функциональная зависимость^ = f (х).
Переменную х называют независимой переменной или ар-
гументом, а у — функцией. Функция может задаваться анали-
тически, графически и таблично.
Если функция задана уравнением, неразрешенным относи-
тельно у, то говорят, что функция задана неявно, и записывают
/(х,у) = 0.
Если соответствующие друг другу значения х и у выраже-
ны через третью переменную (например f), называемую пара-
метром, то говорят, что функция задана параметрически, и
записывают
y = (p(t).
ВВЕДЕНИЕ В МА ТЕМА ТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
231
Функция может быть задана также различными аналити-
ческими выражениями на разных участках, например функция
Дирихле
^(х) = 1, если х рационально,
/(х) = 0, если х иррационально
или «сигнум х»
sgnx = l, еслих>0;
sgn х = -1, если х < 0;
sgn0 = 0.
2°. Если каждому значению у ставится в соответствие одно
или несколько значений х, то этим определяется однозначная или
многозначная функция х = <р(_у), которая называется обрат-
ной функцией для функции y — f (х). Так для функции у = ах
обратной фунукцией будет х = logo у. В этом случае обратная
функция является однозначной. Для функции у = хг обратная
функция будет двухзначной х = +у[у .
Для обратных функций справедливы соотношения:
ф(/(х))=х; f(<p(y))=y-
Пусть каждому значению переменной х ставится в соответ-
ствие определенное значение переменной и =<р(х), а каждому
уже определенному знчению и ставится в соответствие опреде-
ленное значение у = f (и), тогда соответствие между значения-
ми х и у имеет вид у = и определяет у как сложную
функцию от х, т. е. функцию от функции.
3°. Функция у =f(x) называется четной, если при измене-
нии знака аргумента на противоположный значение функции не
меняется, т. е./(х) =/(- х). График четной функции симметри-
чен относительно оси ординат.
232
Гпава 6
Функция называется нечетной, если при изменении знака
аргумента на противоположный численное значение функции не
меняется, а знак функции меняется на противоположный, т. е.
f (-x) = -f (х). График нечетной функции симметричен относи-
тельно начала координат.
Функция называется периодической, если существует
такое число I, называемое периодом функции, что значе-
ние функции не меняется при прибавлении или вычитании
этого числа к любому значению аргумента, т. е.
/(х) = /(х + /) = f (х + 2/) = ... = f(x + kl), где к — любое
целое положительное или отрицательное число. График пери-
одической функции повторяется через равные интервалы.
4°. Областью определения функции является совокупность
всех значений аргумента, при которых данное аналитическое
выражение имеет смысл.
5°. Преобразование графиков при некоторых простейших
изменениях функции у = f (х):
а) график функции у =/(х - а) получается из исходного пе-
реносом всех точек на а единиц по оси абсцисс вправо, если а
положительно, и влево, если а отрицательно;
б) график функции y=f (x)+b получается из исходного пе-
реносом всех точек на b единиц по оси ординат вверх, если b
положительно, и вниз, если b отрицательно;
в) график функции у = Af(x) (А >0) получается из исход-
ного растяжением его вдоль оси ординат в А раз, если А > 1, а
1
при А <1 сжатием в— раз, если же Л <0, то ординаты меняют
еще и знак;
г) график функции y=f (кх) (к > 0) получается из исходно-
го при к >1 уменьшением абсцисс в к раз, а при к <1 увеличени-
1
ем абсцисс в — раз, если же к < 0, то абсциссы меняют знак и
к
график функции симметричен относительно оси Оу.
ВВЕДЕНИЕ В МА ТЕМА ТИЧЕСКИЙ АНАПИЗ
233
Последовательно выполняя рассмотренные сдвиги и дефор-
мации графика исходной фунцции, можно получить график и
функции более сложного вида /(х) = A f[k(x - а)] + b.
3.1. Дана функция /(х) = 2х3 -х2 ч--3. Найти част-
х + 4
ное значение функции при х - 1.
Решение. Чтобы найти частное значение функции при х = 1,
достаточно это значение аргумента подставить вместо х. По-
лучим
, •> 1-1
/(1) = 2-13-I2+-^—3 = -2.
1 + 4
3.2. Дана функция f (х) = х2 + loga х + sin —. Найти значе-
а
ние функции при х = а.
Решение. Подставляем вместо х ее частное значение
„ , . 2 1 » 7CQ 2 1
j(a) = a +logea + sin — = а +1.
а
3.3. Функция задана параметрически
х = a cos t,
y = bsint.
Требуется записать эту функцию в неявном виде.
Решение. Чтобы записать функцию в неявном виде, следу-
ет исключить параметр t. Возводя в квадрат
х2 = a2 cos21,
у2 = b2 sin2/
х У
и преобразуя, получим ”+7Т = 1-
а о
3.4. Построить графики функций:
234
Гпава 6
а) /(*) = <
х при х < 0;
х2 при х > 0;
б) /(*)= о
—2х + 4
при х < 0;
при 0 < х < 2;
при х > 2.
Решение, а) Строим график функции для х < 0 и для х > О
(рис. 6.1.).
б) Строим график функции последовательно для участков:
х<0; 0 < х < 2; х>2 (рис. 6.2.).
3.5. Найти область определения следующих функций:
a) y = yjl-y/l + x ; б) у = lg(2-V1 -х); в) y = arcsin—!—; г)
X j
1 1 __________________.__
_ л/Гч + Vs=x ’ Д) У = V1Ssinх
Решение. а)Выражения под знаком радикала должны быть
неотрицательны, т. е. 1 + х>0 и l-Vl + x >0- Отсюда х>—1 и
л/1 + х <1; 1 + х < 1; X < 0. Следовательно, хе [-1,0].
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕ МА ТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
235
б) Выражение под знаком логарифма должно быть больше
нуля, т. е. 2-Vl-x > 0; Vl-x < 2; 1-х<4; х>3 и выражение
под знаком квадратного корня 1 - х > 0; х < 1. Поскольку нера-
венства одновременно не могут быть выполнены, то хе 0.
в) Выражение имеет смысл, когда — 1 < —5— <1 и х # 3. От-
х-3
сюда
-х + 3 < 1;
1 < х—3;
или х > 2; х > 4. Таким образом х е [4, °°).
г) Выражение имеет смысл при х-1>0 и 5-х>0. Решая
эту систему неравенств, имеем х >1 и х < 5. Отсюда хе (1,5).
д) В силу свойств логарифмической и степенной функции
имеем следующую систему неравенств: sinx>0 и lgsinx>0.
Решением первого неравенства на периоде 2л является множе-
ство: 0 < х < л, которое с учетом периодичности можно записать
в виде 2лк < х < л (1 + 2&), ке. z . Так как |sinx| < 1, то второму
неравенству удовлетворяет только равенство sin х = 1, откуда
х — — + 2лк Таким образом, область определения функции оп-
ределяется значениями х = у (1 + 4&), ке. z.
3.6. Путем деформации и сдвига графика исходной функ-
ции построить графики функций: a) y = 2sin(3x-2);
.___ 1 2 3 6х —1
б) у = I - 2VT+3; в) У = -х -х--;г) Т = т—т.
Решение, а) За исходную функцию возьмем у = sin х, а дан-
( 2 А
ную функцию представим в виде у = 2sin3 х— . В данном
2 \ 3 /
случае А = 2; к = 3; я = у.
236
Гпава 6
1. Строим одну волну синусоиды (рис. 6.3.).
i/=2sin3x
Рис. 6.3
2. Увеличиваем ординаты всех точек в два раза у = 2sinx.
3. Уменьшаем в три раза абсциссы точек графика и строим
график функции у = 2 sin Зх.
2
4. Переносим точки графика функции у = 2sin3x на — впра-
во по оси абсцисс, получаем график одной волны данной функции.
б) За исходную функцию возьмем у = Jx В данном случае
А = -2; а = -3; b= 1.
1. Строим график функции у = у[х (рис. 6.4.).
Рис. 6.4
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
237
2. Увеличивая ординаты в два раза, строим график функ-
ции у = 2>/х •
3. Меняем знак на противоположный у = -2>/х График этой
функции симметричен графику у = 2у/х относительно оси абсцисс.
4. Переносим точки графика функции у = -2у[х на 3 еди-
ницы влево по оси абсцисс и строим график функции
у = -2>/х + 3 •
5. Поднимаем график функции у = -2\/х + 3 на 1 вверх и
строим график данной функции.
в) Преобразуем данную функцию к виду
у- = |(х2-2х + 1)-2 = |(х-1)2-2.
За исходную функцию возьмем у = хг В данном случае
1. Строим график исходной функции у — х1 (рис. 6.5).
2. Уменьшаем ординаты графика функции в два раза и стро-
, . 1 2
им график функции у = — х
238
Гпава 6
3. Сдвигаем по оси абсцисс на 1 единицу вправо точки гра-
1 1г
фика функции у = — х1 и строим график функции У = — (* ~ 1) .
2
4. Опускаем точки графика функции на 2 единицы вниз и
строим график данной функции.
л j. ,, 10 „ 5
г) Преобразуем функцию к виду у = 3--= 3------— и
2х + 3 х + -
2
. 1 •• 1 5
устанавливаем переход от функции _у = — к заданной: —, —,
х хх
5 5 , 5
х’ 3’ 3'
х+— х+—
2 2
Выполняем следующие последовательные преобразования
(рис. 6.6): строим пока только одну ветвь гиперболы; растягива-
ем по оси Оу в пять раз; заменяем графиком, симметричным от-
носительно оси Ох; строим вторую ветвь гиперболы; делаем
горизонтальный сдвиг координатной системы на
3
— единицы
вправо и вертикальный сдвиг на 3 единицы вниз.
Рис. 6.6
ВВЕДЕНИЕ В МА ТЕМА ТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
239
, _ .. , 4х —9 9+2у
3.7. Показать, что функции у = —-— и х = —-— являют-
ся взаимно обратными.
Решение. Подставим во вторую функцию вместо у его вы-
„ „4х-9
9 + 2------
ражение через х, тогда получим (р (/ (х)) =---= х. Ана-
логично, подставляя в первую функцию вместо х его выражение
4^-9
через у имеем f (<р (у)) =----= у.
6.4. Вычисление пределов.
Раскрытие неопределенностей
1°. Число b называется пределом функции f (х) при х —> а,
если для любого £ > О найдется такое 5 > 0, что |/ (х) - £>| < £
как только |х - а| < 5 . Обозначают предел
lim f(x} = b.
х-+а 4 '
Предел функции f (х), если он существует, при стремлении
х к а справа обозначают lim°/(x).
Аналогично, предел функции при стремлении х к а слева
обозначают
х—>а-0 4
2°. Теоремы о пределах.
1. Предел постоянной равен самой постоянной.
2. lim(w + v) = lim и + lim и.
3. lim(uu) = limw-limu.
и limn _
4 lim— =----, если hmu#0.
v limn
240
Гпава 6
3°. Замечательные пределы.
, „ .. sin х
1. Первый замечательный предел hm----= 1.
х
2. Второй замечательный предел
1 1
lim(l + —)* =lim(l + a)« = е = 2,718....
х—а—»0
4°. Некоторые важные пределы:
log„(l+a) a“—1
hm----------= log e; lim------= in a;
a->0 ft a—>0 ft
lim- +a) lim * = limx* logx = 0, (a>l,£>0).
a-,0 a x-w xk x-,0 °a ' ’
5°. Неопределенность вида раскрывается, как правило,
делением числителя и знаменателя на множитель, стремящийся
к нулю, или с помощью первого замечательного предела.
оо
6°. Неопределенность вида раскрывается делением на х
ОО
в старшей степени.
7°. Неопределенность вида (<»-оо) и раскрывается
_ . 0 °°
путем преобразования функции к неопределенностям — или —.
0 °°
8°. Неопределенность вида (j~) раскрывается посредством
преобразования предела ко второму замечательному пределу.
9°. Бесконечно малые функции а(х) и /?(х) называются
, а(х) „
эквивалентными, если lim—7-7 = 1. При раскрытии неопреде-
0 ~“Д(х)
ленностей — можно пользоваться следующим правилом.
Предел отношения двух бесконечно малых не изменится,
если их под знаком предела заменить на эквивалентные. Обо-
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
241
значая эквивалентность бесконечно малых следующим образом
а (х) - Р (х) при х —> 0, запишем наиболее известные
sina(x)~a(x), arctga(x) ~ а(х), a“w-l~a(x)lna,
tga(x)~a(x), l-cosa(x)~^-a2(x), e“^-l~a(x),
arcsina(x)~a(x), ln(l + a(x))~a(x), ^l+a(x)-1-----—
x -4 .. x +5x + 4
4. 1.Найти пределы: a) hm—----; 6) hm—- ----;
F ^2x2+6x-16 *-*->2x2+x —I
41. x5-x4 + 2x2-5x+3 .. sinx-cosx
в)—л 2 ; r) “ tor-i ’
x3+4x2 —7x + 2 rgx 1
Решение, а) Разложим на множители числитель и знамена-
тель
x2—4 (x-2)(x+2)
hm—-------= hm 7 77 7.
*->z X2 + 6x — 16 x—У2 (x-2)(x + 8)
Сокращая на х - 2, будем иметь lim-= — = 0,4.
«гх+8 10
б) Разлагаем числитель и знаменатель на множители
(х + 1)(х + 4) х + 4
hm -7----------7 = hm----
*-*-• (2х-1)(х+1) *->-'2х-1
3
в) Поскольку при х = 1 многочлены в числителе и знамена-
теле обращаются в ноль, то их можно разложить на множители,
причем одним из сомножителей будет (х - 1). Тогда, деля много-
члены на (х - 1) получим
(х-1)(х4 +2х-3) о
lim 4-= - = 0.
(х-1)(х2+5х-2) 4
242
Гпава 6
г) Выполнив очевидные преобразования, получим
sinx-cosx (sinx-cosx)cosx >/2
lim-----------= lim 3-------------= hm cos x = .
tgx-1 sinx-cosx 2
4 4 4
4.2. Найти пределы: a) lim
1 r) lim
6)
в) lim
^l + tgx-^/l-tgx
sin 2x
Решение, а) Умножим числитель и знаменатель на выраже-
ние, сопряженное числителю
= — lim —,=.==—т г=
3 74-х + V4 + X
£
6'
б) Умножаем числитель и знаменатель на выражения сопря-
женные числителю и знаменателю
lim
(д/х2 +1-1)(>/х2 + l+l)(Vx2 + 2 + V2)
х2 + 2 — 5/2 )(-\/х2 +1 +1 (Vx2 + 2 + 5/2
х2 I yjx2
-lim -
х—»0 2 I Г
= lim
в) Делаем замену t6 = х, тогда при х —> 1 t —> 1 и
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
243
x—>0
г) Умножаем числитель и знаменатель на выражение сопря-
женное числителю
1 + tgx - д/1-tgx )(A/l + tgx + д/1-tgx
sin 2х ^l + tgx + д/1 — tg х j
lim------ — - - = lim--------. —=—=-.
i'iOsin2x(5/l + tgx+A/l-tgxj i_*0cos2x^71+tgx + 5/l-tgxj 2
. X A.
sm- 2tg-
4.3. Найти пределы: a) lim---6) lim---------
x—>0 % x—>0
.2
sin2 (х-2)
lim , ---
х -4х+1
x l-cos2x ... x3 v
в) hm--------------; r) hm---------------; д)
X-»O rt2X •t->o о • 3%
ё 8sin —
4
sin3x + sin4x cosx — cos3x ,. xsin3x
e) hm--------------; ж) hm---------------; 3) hm •
’ ^0 6x ’ *->“ x2 tg 5x
Решение, а) Умножим и разделим знаменатель на 4 и подве-
дем выражение под знаком предела к первому замечательному
пределу
Sin— ! Sin— <
lim---- = — lim-— = —.
мо л x 4 .«о x 4
4- -
4 4
б) Представим тангенс через синус и косинус и воспользу-
емся теоремами о пределах
1
2 sin — sin — .
9 7 1
lim---------— - 2 lim------lim---------
х—»0 у 2 X х—>0 ( х^\ х~2 2
X cos — Л ± cos —
2 2 2
244
Гпава 6
в) По формулам половинных углов имеем
2sin2x 2sinxcosx sinx,.
lim------= hm-----------= 2 hm----hm cos x = 2.
xtgx X X
г) Умножим и разделим числитель на 4 в кубе
.3
4 - -
I 4 I 4
lim—= 81im-^—I— = 8.
x—»0 . •> X x—>0 . X
8 sin - sin —
4 4
д) Сделаем замену х - 2 = t, тогда при х —> 2 (0 и
sin2(x-2) sin2/ ,
hm 1—5-^ = hm —-— = 1.
M0 fx-2'l t
е) На основании второй теоремы о пределах имеем
.. sin3x sin4x 1,. sin3x 2,. sin4x 7
hm------+ hm-------= — hm------+ — hm-------= —.
x->o 6X %—>o 6x 2 *->o 3x 3 ’^° 4x 6
ж) Преобразуем числитель с помощью формул разности
косинусов двух углов и синуса двойного угла
cos х - cos Зх = 2 sin 2х sin х = 4 sin2 х cos x,
тогда
cosx-cos3x ... sin2x
hm-------------= 4 hm —— cos x = 4 hm cos x = 4.
x—>0 ~
.2
з) Умножим числитель и знаменатель нах, тогда получим
(5xVcos25x 3sin3x 3
___c_______lim_______—___
3x 25
,. x2sin3x v—. —- —
hm —5-------= hm-------—5------hm
-m'i tg 5x-x x->0 25 sin 5x
4.4. Найти пределы: а)
,. 3x4-4x2+l
hm-----------
x~”" 2 + 5x — 2x4
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
245
.. 2х3 + х5—5х+1 . 1 + 2х3 + 4х5
6) lim---------------; в) lim-------—
6х2 — х +1 *->“ 4х2 + х6
1 + 2 + 3 + ... + « 1-2" 10"-1
г) 1т / .—’ д) Ит-------г; е) lim---г.
7 л/4п4+3 7 "->~1 + 2"+1 7 1 + 10"+1
Решение, а) Разделим числитель и знаменатель на х4
з-4Ц 3
lim * *
"44-2 2
2 11
т.к. величины —г> ~г, ~г есть величины при х —> бесконечно
х х х
малые.
б) Здесь можно разделить числитель и знаменатель на х2
2х+1--1—- - .
1 • хх 1 • +1
lim------ = lim---= оо.
г 1 1 6
6-Т+4'
° = 0.
1
в) Деля числитель и знаменатель на х6, получим
1 2.4
х6 + х3
lim-—
,ч- 4
ТТ +
г) Здесь числитель есть сумма арифметической прогрес-
сии. Находя в числителе сумму арифметической прогрессии, по-
лучим
1 + и 1 ,
-----И 2 -h 1 1
2 г п + п 1* п 1
11Ш . = lim —. = lim —, - —
"^“л/4и4+3 м"2л/4и4+3 ”""2 14 + А 4
V п4
246
Гпава 6
д) Делим числитель и знаменатель на 2"+1
1 1
е)При п—>—оо ю" и ю"+1 стремятся к нулю и неопределен-
ности в пределе нет
10п-1 0-1
иш-------- =----= -1.
"^-~1 + 10я+1 1 + 0
4.5. Найти пределы: a) lim
п-»1
/ г-т--- \ т. ( ? Sinx
б) lim (л/х2+х-<х +х-1 ; в) hm tg х-----—
/ „_Д1 cos х
2 \
Решение, а) Приведем к общему знаменателю
1____2_\
х2 -1 х-1 I’
lim —-— = lim—-——. При х—>1 знаменатель стремится к
нулю, следовательно, дробь является бесконечно большой вели-
чиной и стремится к оо.
б) Умножим и делим на сопряженное выражение
.. х2+х —х2 -х + 1 1
lim - ---—. = hm . ---===== = 0.
я-*+°° 5/Х2 + Х + >/х2 + X — 1 "_*+о° yl%2 + х + >/х2 + X — 1
в) Раскрываем тангенс и приводим к общему знаменателю
,. sin2x-sinx sinx(sinx-l) sinx 1
hm-----------= hm----------------—--- = - hm-= —.
cos x „_>£ 1-sin x „_,£l + sinx 2
2 2 2
4.6. Найти пределы: a) lim(l-x)tg—; 6) hj^p" tg3 ".
ВВЕДЕНИЕ В МА ТЕМА ТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
247
Решение, а) Депаем замену х = 1 - а, тогда при х —»1 а —> О
и
„ „ acos —а
lim a tg—(1 - а) = lim a ctg—а = lim--—
a—>0 7 ' 7 “-»<> 2 • 7Г
sm—а
2
7Г
~ —а
2,. 2 г 71
= — lim—----limcos—а =
Л а->0 . Л а-»0 2
sm—a
2
2_
7Г
б) Полагая 3" = —; получим
lim3" tg3 "-lim—tgx = lim S*n* =1.
х ’п x M(lxcos.r
4.7. Найти пределы: а) lim
( х + 2 1
; б) lim ---
х+1 I
в) lim
л \2+3x2 z
X +5 ] (х-1
—; ; г) lim
х2+2 } 2х
,3-2х
Решение, а) Разделим почленно числитель на х
Г . з20
( 4 г
lim 1 + — = lim
Если сделать замену х = 41, то при х —»°° t —» °° и
г , з20
-120
lim
= lim
= е20
4
4
t
б) Выделим целую часть и почленно разделим числитель на
знаменатель
248
Гпава 6
lim
J+3x z - \l+3x
I = liml 1 +----------j
Сделаем замену х+1 = t. Тогда при х —> °° t —> °° и предел
приметвид
3
( 1 A3'-2
lim 1 + - = lim
t—»°° I £ I
1 А'
(. 1Y2 з
hm 1 + - =е ,
t—ieo I I I
t
т.к. второй предел неопределенности не представляет и равен
единице.
в) Выделим в скобках целую часть
lim
"x2 + 2 + 3
x2 + 2
z - \2+3x-
= lim I 1 + — -- I
x2+2
Сделаем замену х2 + 2 = 3t. Тогда при х —> <*> t —> °° и пре-
дел примет вид
( 1 A9'-4
lim 1 + - = lim
t 1
i А'
9
t
lim | 1 + - | = e9.
I t I
г) Представим предел в виде
3-2л z чЗ-21 z <3-2х
= liml 1--- lim —
х I *->“! 2 I
1-11
х 12
lim
В первом пределе сделаем замену -1 = Г. Тогда при
г н 0 и предел примет вид
2
r 22* 2]. 22x
lim —7- = e lim------
23 8
2
4.8. Найти пределы: a) lim(l + 5x)*; б) lim
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
249
в) hm------; г) hm------; n)hm(l + 2tg х) ;
х-»0 % x—)Q х 7 х^О ' *
е) lim(sin2x)ts 2х; ж)Нш--------—; з) linix(lnx-ln(x + 2)).
х->4 X
Решение, а) Сделаем замену 5Х = t- При х —> О / —> 0 и
предел примет вид
ю Г П10
limfl + r)' =lim
»->О ' ' 1нО
б) Сделаем преобразования
(1 + тУ =e10.
= 21nlim(l + x)* = 21пе = 2.
в) Полагая е"х -1 = г, получим, что при х —> 0 / —> 0. Пре-
образуем замену ех = —-, х = In —-.
Таким образом,
lim--------= - lim------j- —-----------г = -1.
,_>0 ln(r + l) ’"*° in(/+1)' lnlim(r + l)<
t-»0
г) Полагая а3х -1 = t, получим, что при х —> 0 / —> 0. Пре-
образуем замену
, , ч 1п(7+1)
а3 =Т + 1; Зх1па = 1п(г + 1); х = —--
К ’ 31па
Отсюда
ЗИпа 1
hm —------- = 3 In а-------- = 3 In а.
-01nG + 1) limln(f + l)'
250
Гпава 6
Решение этого примера можно найти и более простым
путем
а3*—1 па3х-1 О1
hm------= hm 3------= 3 In a.
*->» х х->0 Зх
д) Делаем замену tg2 х = t • При х —> О t —> 0 и предел при-
мет вид
limfl + It )< = lim
1->0 х 1->0
• I2
(1 + 2г)2' =е2.
е) Делаем замену sin 2х = 1 +1 При х — t —> 0. Пред-
ставим
2 2х = sin2 2х = (1 + Q2 = (1 + ^)2
l-sin22x 1-(1 + r)2 r(2 + z)’
Тогда
ж) Сделаем следующие преобразования
sin2x __ sinx gs'nx fesin2x si*1* __1'
lim-------------= lim-----------------------
x—>0 x-»0 %
esinx (gsin2x-sinx _ J j (sin 2x — sin x)
= lim-----------—--------------—----------
x(sin2x — sinx)
sin 2x-sinx sin2x sinx ,
= hm-------------= hm--------lim--------= 1.
X—>0 Y X-»0 Y X-»0 Y
з) Воспользовавшись свойствами логарифмов, имеем
/ Y* I / Y I /
limx(lnx-ln(x + 2)) = limln --- =limln --------
ВВЕДЕНИЕ В МА ТЕМА ТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
251
1 1 Г, 2
= In liml 1 + —
= In lim
= lne-2= — 2.
4.9. Найти пределы: a) limxsinx; 6) lim(lnx)*.
x-)0
Решение, а) Неопределенность вида 0°. Обозначая функцию
под знаком предела за у и логарифмируя, будем иметь
, . . sin х ,
In у = sm х In х —--х In x.
X
Отсюда, на основании пункта 4, имеем
г 1 г sinx
lim In у = hm---lim х In х = О,
x—>0 x—>0 % x—»0
следовательно, limxsmjt =1.
x-»0
б) Неопределеность вида oo°. Обозначая функцию под зна-
ком предела за у и логарифмируя, будем иметь In у — — In In х .
х
Отсюда на основании пункта 4° имеем
Inlnxlnx л
hm In у = lim--------— 0,
In X X
следовательно, lim (1пх)* =1.
4.10. Найти пределы: а)
(е2? -l)sin3x
lim—-----------------
In (1 - Зх ) (1 - cos 2х)
б)
lim
х—»0
(Vl + sinx -1 jarctg Зх
-l)arctg2x
252
Гпава 6
Решение, а) Так как при х —>0, 2х3—>0, Зх->0,
-Зх2 —> 0, и 2х —> 0, то имеем неопределенность — .Заменяя
исходные бесконечно малые эквивалентными, получим
lim
х-»0
л3х 2х3-Зх
------= lim------:-----= -1.
cos2x) M0-3^.1(2x)2
0
б) При х —> 0 имеем неопределенность вида —. Заменяем
исходные бесконечно малые эквивалентными и упрощаем
(л/1 + sinx-l )arctg3x — sinx-3x j j
lim —------r---------= lim —-------= lim—cos x = —.
%->o — l)arcsin2x tgx-2x 4 4
6.5. Непрерывность и точки разрыва
функции
1°. Если аргумент функции получает приращение
Дх = х2 -х,, то значение функции при новом значении аргумен-
та равно f (х + Дх) = у + Ду. Отсюда приращение функции
Ду-f (х+Дх)-/(х), т. е. приращение функции равно разно-
сти наращенного значения функции (при наращенном значении
аргумента) и начального значения функции.
Приращение аргумента может быть не только положитель-
ным, но и отрицательным числом.
2°. Определение непрерывности функции:
1. Функция у = /(х) непрерывна в точке х = a, если пре-
делы слева и справа равны и равны значению функции в этой
точке, т. е.
lim /(х)= lim /(х) = f(a).
л-»а-0 ' ’ л->а+0 V V '
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
253
2. Функция у=f (х) непрерывна в точке х — а, если она оп-
ределена в этой точке и если бесконечно малому приращению
аргумента соответствует бесконечно малое приращение функ-
ции, т. е. lim Ду = 0 вблизи точки а.
Сумма, разность и произведение конечного числа непрерыв-
ных функций есть функция непрерывная.
3°. Непрерывная на отрезке [а,6] функция принимает любое
промежуточное значение между ее наименьшим т и наибольшим
Мзначением, то есть т < f(x)<M для всех хе [а,6]. Отсюда
следует, что если в граничных точках отрезка [а, 6] функция име-
ет разные знаки, то внутри отрезка есть по крайней мере одно
такое значение х = с, при котором функция обращается в ноль.
Это свойство непрерывности функций позволяет находить при-
ближенно корни многочленов.
4°. Значения аргумента, которые не удовлетворяют услови-
ям непрерывности, называются точками разрыва функции. При
этом различают два рода точек разрыва функции.
Если при х —> а слева функция имеет конечный предел кх,
а при х —> а справа функция имеет конечный предел к2 и к} Т к.,
то говорят, что функция при х — а имеет разрыв первого рода.
Разность |&! — к21 определяет скачок функции в точке х = а. Зна-
чение функции при х = а при этом может быть равно какому
угодно числу к2.
Если значение функции при х = а равно к{, то говорят, что
функция непрерывна слева; если же к2, то говорят, что функция
непрерывна справа.
Если кх — к2 Ф к3, то говорят, что функция имеет в точке а
устранимый разрыв.
Если при х —> а справа или слева, предел функции не суще-
ствует или равен бесконечности, то есть 1™/(х) = 00, то гово-
рят, что при х = а функция имеет разрыв второго рода.
254
Гпава 6
5.1. Найти приращение функции у = 2х3 -Зх + 1, если аргу-
мент х изменился от х, = 1 до х2 = 2.
Решение. Найдем приращение аргумента
Дх = х2-х, = 2-1 = 1. Вычислим исходное значение функции
у>(х1) = 2-13-31 + 1 = 0. Вычислим новое значение функции
Xx,+Ax) = X1 + 1) = 2-23-3-2 + 1 = 11.
Отсюда приращение функции Ay = у(х, + Ах) - у(х,) = 11.
5.2. Найти приращение функции у = 3х2 -2х + 4 и вычис-
лить его при х = 2 и Ах = -0,1.
Решение. Новому значению аргумента х +Ах соответству-
ет новое значение функции у (х + Ах) = 3 (х + Ах) - 2 (х + Ах) + 4.
Приращение функции равно Ау = у (х +Ах)-у^(х) =
= 3(х +Ах)2 — 2(х + Ах) + 4 — Зх2 — 2х — 4 = (ЗАх+ 6х — 2) Ах.
Прих = 2и Ах = —0,1 получим Ау = (-0,3+12—2)(-0,1) = 0,97.
5.3. Найти множество значений х, при которых функция
у = х3 - 2х непрерывна.
Решение. Найдем приращение функции
Ау = (х+Ах)3 — 2(х+Ах)—(х3 -2х) = Дх(Дх2 +ЗхАх + Зх2 — 2).
При любых значениях х приращение Ау —> 0, если только
Ах —> 0, поэтому функция непрерывна при всех действительных
значениях х.
5.4. Доказать непрерывность функции у =—— в точке х = 3.
х-1
Решение. Для доказательства найдем приращение функции
у при переходе значения аргумента от х = 3 к х = 3 + Ах
„ 1 111 2-2-Ах -Ах
Ду =------------=---------=--------=---------.
З + Ах-1 3-1 2 + Ах 2 2(2 + Ах) 2(2 + Ах)
Найдем предел приращения функции при Ах —> 0
ВВЕДЕНИЕ В МА ТЕМА ТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
255
lim Ay = — lim —------------ = 0.
лг->о ^-><>2 (2 +Ах)
Так как предел приращения функции при Аг —> 0 равен
нулю, то функция при х = 3 непрерывна.
5.5. Найти хотя бы один корень уравнения Зх3 + 2х2 - х -1 = 0.
Решение. Найдем точку пресечения графика функции
у = Зх3 +2х2 -х —1 = 0 с осью Ох, то есть точку, в которой у = 0.
Подберем две произвольные точки, в которых функция имеет
разные знаки. Пусть х = 0, тогда у = -1, у < 0. При х = 1,
у = 3+ 2-1 —1 = 3, у > 0. Значит корень находится между х = 0
их = 1 (в силу свойства непрерывности).
Определим знак функции в середине промежутка [0,1], т. е.
прих =0,5.
Находим у = 3 0,53 + 2 0,52 - 0,5-1 =-0,625; у<0.Зна-
чит корень находится между х = 0,5 и х = 1.
Определим знак функции в середине этого промежутка, т.
3 / 3? ЛЗ Y 3 41
е. при х = —. Находим у = 3 — +2- —--1 =—.
4 У ^4J 4 64
Следовательно, корень находится внутри промежутка
1 2
2’4
Находим знак функции в середине этого промежутка, т.
г-5 5 1 213 71
е.при*- —, у = 3 — +2- —--------1 =---= —
8 8 8 I 8 192 64
Значит корень находится внутри промежутка
1 1
2’8
Можно уже считать, что х = - • Если требуется большая точ-
16
ность, то указанный процесс приближений может быть про-
должен дальше.
256
Гпава 6
5.6. Определить характер разрыва функций: а) у — —-— при
х [2х при х Ф 2
х - 1; б) у =п при х = 0; в) у =
| х| [1 при х = 2;
г) у = а* (а > 1); д) у - arctg — и построить графики.
Решение, а) При х = 1 функция не определена:
lim-----= -оо; lim-----= +°о. Следовательно, при х — 1 фун-
х->1-ох-1 1
кция имеет разрыв второго рода (рис. 6.7).
б) При х < 0 предел равен
X
lim г—г = — 1 = к.. При х > 0 пре-
л i-о Ы
дел равен lim — — \ = к2.. Следовательно, при х = 0 функция
Х->1+0
имеет разрыв первого рода и скачок функции равен
|&1 -Л2| = |-1-1| = 2 (рис. 6.8).
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
257
У
1
-1
Рис. 6.8
в) Функция определена на всей числовой оси, неэлементар-
ная, так как в точке х = 2 аналитическое выражение функции
меняется.
Исследуем непрерывность функции в точке х = 2:
lim 2х = 4, lim 2.x = 4, у(2) = 1, к =к, Ф к,.
х—>2-0 х—>2+0 V '
Очевидно, что в точке х = 2 функция имеет устранимый раз-
рыв (рис. 6.9).
г) Найдем пределы:
1 1
у(+0)= lima* =+°°, у(-0)= lim ах =0.
' ’ х->+0 v ’ х—>-0
258
Гпава 6
В точке х = 0 справа функция имеет разрыв второго рода,
а слева — непрерывность (рис. 6.10).
Рис. 6.10
д) Найдем пределы:
у(+0)=Jt™arctg“=р у=JiHiarctg|="Г
В точке х = 0 с обеих сторон скачки (рис. 6.11).
1
5.7. Дана функция у — 2------- и три значения аргумента
х, = -5, хг = 0, х3 = 1. Выяснить, является ли данная функция не-
прерывной или разрывной для каждого из данных значений х?
Сделать чертеж.
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
259
Решение. Исследуем непрерывность функции в точке
X) = —5:
lim —г-------= -1, lim —-----------= -°°.
л^-5-ох2 +4х-5 *->-5+»х +4х-5
Следовательно, при х - — 5 функция имеет разрыв второго
рода (рис. 6.12).
Рис. 6.12
При х = 0 пределы слева и справа равны:
1
lim—г— -----= -1, lim —— ----= -1, j(0) = -l,
*->-°х2+4х-5 +^+ох2+4х-5 ’
следовательно, функция в этой точке непрерывна.
Исследуем непрерывность функции в точке х3 = 1:
lim —--------= lim —--------------=
j-^-ox +4х-5 х +4х-5
Следовательно, при х = 1 функция имеет разрыв второго
рода (рис. 6.12). Точки х = 1 и х = -5 являются вертикальными
асимптотами.
5.8. Найти точки разрыва функции, если они существуют, и
сделать чертеж:
260
Глава 6
—х+5, х>3;
3, х = 0 и х = ±3; 2х —1,
в) У = - 9-х2, 0<|х|<3; г) у = - 9, 1x1 >3, 1 х-1’
Решение, а) Функция неэлементарная, так как задана тре-
мя аналитическими выражениями на различных промежутках
изменения аргумента, определена на всем множестве действи-
тельных чисел.
Исследуем непрерывность функции в точках х — 1 и х — 3
у(1) = lim х2 =1; у(3) = 1; lim (-x+5) = 2 = fc.
Таким образом, в точке х = 1 функция непрерывна, а в точ-
ке х — 3 терпит разрыв первого рода (рис. 6.13.) и имеет скачок,
равный |y(3)-fc| = |l-2| = l.
б) Функция определена на всем множестве чисел и неэлемен-
тарная. Исследуем непрерывность функции в точках х = -1 и х = 0:
_у(-1) = ^-, lim°(x+l) = 0; у(0) = 1; limcosx = l.
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
261
Таким образом, функция в точке х = -1 имеет разрыв пер-
вого рода, а в точке х = 0 непрерывна (рис. 6.14).
Рис. 6.14
в) Функция определена на всей числовой оси, неэлемен-
тарная. Исследуем непрерывность функции в точках х = -3,
х = 0, х = 3:
у(-3) = 3, Jimo(9-x2) = 0; у(-3-0) = 9;
у(°) = 3, lim (9-х2) = 9; lim у (9-х2) = 9;
у(3) = 3, lim(9-x2) = 0; у(3 + 0) = 9.
Таким образом, функция в точках х = -3 и х = 3 имеет раз-
рывы первого рода, а в точке х = 0 устранимый разрыв (рис. 6.15).
Рис. 6.15
262
Глава 6
г) Функция неэлементарная и определена везде кроме точки
х = 1. Исследуем непрерывность функции в точках х = 0 и х - 1:
lim(2x-l) = -l, у(0) = -1, lim—= lim—~ = <*>.
х-»-0х 7 4 7 J х->+0 д; _ |
Таким образом, функция в точке х = 0 непрерывна, а в точ-
ке х - 1 имеет разрыв второго рода (рис. 6.16).
Рис. 6.16.
5.9. Найти точки разрыва функции и построить график в
окрестности точек разрыва: a) f (х) =
б)/(х) = 3^>.
Решение, а) Приравнивая знаменатель к нулю, находим кор-
ни и преобразуем выражение
2|х+1| 2|х+1[
х2-х-2 (х+1)(х-2)
Функция не определена в точках х = -1 и х = 2 и, следова-
тельно, имеет в этих точках разрывы. Находим односторонние
пределы для точки х = -1:
1.При х->-1-0 х + 1<0 и,следовательно,|х+1| =-(х+1).
Отсюда
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАПИЗ
263
/(-1-0)= lim -..- = -2 lim — = -.
V 7 ~-'-о(х + 1)(х-2) ^-i-ox-2 3
2. При x—>-1 + 0 х+1>0, значит |x+l| = x+l и
/(-1 + 0)= lim L = 2 lim — = --.
7 v ’ x-»-i+o(x +1)(x_2) x-»-i+ox_2 3
Поскольку оба предела конечны и не равны, то точка х = -1
— точка разрыва первого рода. Находим скачок функции (рис.
6.17) 5 = /(-1 + 0)-/(-1-0) = -|-| = -1
В окрестности точки х = 2 х+1>0, следовательно,
|х+11 = х+1 и односторонние пределы будут
/(2 -0) = lim -—= 2 hm-----------= -°°,
х-»2-° (х + 1)(х-2) *->2-°х-2
/ (2 + 0) = lim -———- = 2 lim —-— = <*>.
' 7 х—>2+0 (х+1)(х—2) х-»2+0 % — 2
Таким образом, точка х-2 — точка разрыва второго рода.
Рис. 6.17
264
Гпааа 6
б) Данная показательная функция не определена в точках
х = -1 и х - 1 и, следовательно, имеет в этих точках разрывы.
Найдем односторонние пределы, учитывая, что a > 1, то есть
а‘ —> +°° при t -+=+~ и а' —» 0 при t —> — °°.
1. Для точки х = -1 при х -+ -1-0, _1 >0, —-<0 и
X *
——г- 00. Отсюда f(-1- 0) = lim З*2-1 =0.
х-1 V ’ х-»-1-0
Прих-э-1 + 0, х2-1<0, —>0 и —--------->=оо.
х-1 х-1
Следовательно,/(-1 + 0)= lim 3*2_| =+°о.
4 ’ л—>-1+0
Таким образом, точках = -1 — точка разрыва второго рода.
2. Рассмотрим точку х = 1. Находим пределы
/(1-0)= lim 3^=0, /(1 + 0)= lim 37Z'=+oo.
J V ’ +->1-0 ' ’ Ml-0
Функция в точке x = 1 имеет также разрыв второго рода.
Найдем теперь пределы при х —> ±°°
/(-оо)= lim З*2-1 =1, /(<*>) = lim З*2-1 =1. График функ-
ции показан на рис. 6.18.
Рис. 6.18.
Глава 7
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
7.1. Вычисление производных
1°. Производной от функции у = f (х) в точке х0 называется
предел отношения приращения функции к приращению аргумента
/(х0+Дх)-/(х) Ду
hm —------------— = 1пп —.
Д*-»о Дх Д»-»о Дх
Если этот предел конечный, то функция называется диф-
ференцируемой в точке х0.
Производная обычно обозначается у' или у', или /'(*), или
dy
dx ’
Нахождение производной называется дифференцировани-
ем функции.
Частное значение производной при х = а обозначается f'(a)
ИЛИ Л.=а-
Геометрически производная у'(х0) функции у =/(х)пред-
ставляет угловой коэфициент k = tg а = у '(х0) касательной к гра-
фику этой функции в точке х0 (рис. 7.1 ).
266
Гпава7
Числа /_'(х0) = lim °) и /+(х0) = 1*т назы-
V 07 Д«->-0 Дх + V °7 Дг-»+О Дх
ваются соответственно левой и правой производными функции
у = f(x) в точке х0. Для существования производной функции
/(х) в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы ее левая и
правая производные в этой точке существовали и были равны
между собой: f' (х0) = f' (х0).
Если существует (конечный или нет) предел lim f(x) = M,
х-»хо+О 4 '
то такова же будет и производная в точке х0 справа (слева).
Если в точке х0 производная не определена, но функция име-
lim
ет различные односторонние пределы — и
Ау(х0)
пт--------, то в этой точке графика функции существуют две
Дж-нО Дх
различные с соответствующими угловыми коэффициентами
kx, к2, односторонние касательные, составляющие угол (рис. 7.2.),
а точка называется угловой.
Ду(х,)
Если hm——— = ±оо, то есть функция имеет бесконечную
производную, то она не дифференцируема в этой точке. В этом
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
267
случае график функции имеет вертикальную касательную (точ-
ка перегиба).
Если в точке хг функция имеет бесконечные односторон-
ние производные разных знаков, то график функции имеет две
слившиеся вертикальные касательные (точка возврата с верти-
кальной касательной (рис. 7.2)).
2°. Основные правила дифференцирования:
1. (Си) -Си -, 2. (u + ц) = м'+г/;
_ / , (u\ UV — UV
3. (uv) =и v + vu; 4. — =----5—
(у j v
где и, v — некоторые функции от х, а С—постоянная величина.
3°. Таблица производных основных функций:
1. (х")' = пх"~'; 2. у = С, / = 0;
3. (sinx)' = cosx; 4. (cos x)' = — sinx;
5. (tgx) = 2 ; 6. / / 1 (ctgx) =
COS X sin X
7. (a*} =a‘ Ina; a > 0; 8.
9. (logex) ; а*1; а>0; Ю. (1пх) =-;
xlna х
268
Глава 7
11. (arcsinx) = --г-
13. (arctgx) -i + *2;
15. (sh х)' = ch х;
17. (thx) = 1 ; V 7 ch2x
, / 1
12 (arccosx) =—, ;
71^7
14. (arcctgx)
16. (chx)' = shx;
18. (cthx) = —-j-.
sh x
4°. Гиперболический синус, косинус, тангенс и котангенс
определяются выражениями
, ех—е~х , ех+е~х , shx , chx
shx =------; chx =-------; thx =----; cthx =--
2 2 ch x sh x
и обладают свойствами:
1. ch2x-sh2x = l; 2. ch2x + sh2x = ch2x;
3. sh2x = 2shxchx; 4. shO = O; chO = l.
5°. Производная от сложной функции у=f (и), где и = и (х),
равна произведению производной от этой функции по промежу-
точному аргументу и на производную от промежуточного аргу-
мента и по независимой переменной х, т. е.
/=/Х-
1.1. Пользуясь только определением производной, найти
производные от функций:
а) у = х2-Зх + 5; б) y = Jx-, в) y = tg2x.
Решение, а) Находим приращение функции
Ду = у(х + Дх)-у = (х+Дх)2-3(х + Дх) + 5-х2 + Зх-5 =
= х2 + 2хДх + Дх2 -Зх-ЗДх+5-х2 +Зх-5 = 2хДх +Дх2 — ЗДх.
По определению производной имеем
, Ду .. 2хДх + Дх2—ЗДх .. . \ „ -
у = hm — - hm-------»--------= hm (2х-3 + Дх) = 2х-3.
Л«-»0 Дх At-»O Дх Дх—>0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
269
б) Приращение функции равно: Ду = Vx +Дх -
По определению производной имеем:
, Ду л/х+Дх-л/х
у — lim — = lim------------=
л»->° Дх Ах-*° Дх
= lim
Дх—>0
= lim
Дх—>0
1
1
= lim
Дх—>0
в) Находим приращение функции
Ду = tg (2х + 2Дх) - tg 2х -
sin (2х+2 Дх) cos 2х - sin 2х cos (2х+2Дх) sin (2 Дх)
cos(2x+2Ax)cos2x cos(2x+2Ax)cos2x
По определению производной
, sin(2Ax)
у = hm---------— --------=
а»-»о Дх cos (2х + 2 Дх) cos 2х
2 2
= lim--------=—----------= —=---.
zu^°cos(2x + 2Ax)cos2x cos 2х
1.2. Найти производные функций: а) у= |х|, (х^О);
б) у =| 2х-31; в) у = е2М г) у=|х + 1| + |х-1|.
Решение, а) Представим функцию в виде
У =
тогда
, I1-
y=U
270
Глава 7
Следует заметить, что функция у— |х| не имеет производной
в точке ха, так как //(0) = lim —— = -1, а /+(0)= 1™ — = 1-
°’ v ' Л<->-0 Дх +V ’ Лч+ЛДх
б) Представим функцию в виде
2х—3,
-2х+3,
тогда
в) Представим функцию в виде
е2х, х>0;
У ё~2х, х<0.
В этом случае производная будет
, [2е2\ х>0;
У~[-2е-2х, х<0.
г) Представим функцию в виде
2х,
2,
-2х,
У
0, -1<х<1;
-2, х<-1.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
271
1.3. Найти производные у'_ (х0), у' (х0) для функций:
[х, х<1;
а) У = 4 2 „ , х0 = 1;
[-х + 2х, х > 1,
б) у = 71-е"* , хо=0; в) у = |2-х| + |2 + х|, х0=±2.
Решение, а) Находим производную
,_fl, х<1;
? |-2х + 2, х > 1.
и вычислим пределы производной слева и справа в точке х0 = 1:
у'(1) = lim 1 = 1, у'(1) = lim (-2х + 2) = 0.
4 ' л—>1-0 + 4 ' х-»1+04 '
б) Находим производную
х
У~ех14\-ех1
и вычислим пределы производной слева и справа в точке х0 = 0:
у'_ (0) = lim х== = -1 у (0) = lim х== = 1.
v' —77777 v ’ —77777
Касательные к кривой в точке х0 = 0 показаны на рис. 7.3.
Рис. 7.3
272
Глава 7
в) Представим заданную функцию в виде
у = . -2х, 4, 2х, хе]-°о,-2]; хе]-2,2]; хе]2,°о[
и найдем производную -2, хе]-°о,-2];
У = 0, хе]-2,2];
2, хе]2,°о[.
х3 3 г-
1.4. Найти производные: а) У~~^--J-+4ух - 5;
х1 х3
б) y = x3cosx: в) У = —; ; г) f(x\ =----х1 +1, вычислить
х +1 v ' 3
Г(0),/'(1),/'(-1).
Решение, а) Преобразуем функцию к виду, удобному для
дифференцирования. Пользуясь основными правилами диффе-
ренцирования и таблицей производных, имеем
у = -х3 -Зх"2 + 4х2—5,
2
, 3 2 . _3 _ 4 3 2 6 2
у =—х + 6х +2х 2 = —х +-~г + —^.
2 2 х3 Vx
б) Здесь имеет место случай произведения двух функций,
поэтому
_у' = (х3) cosx + x3(cosx) = Зх2 cosx—х3 sinx.
в) Поскольку имеет место частное двух функций, то
,_ (х2) (х2+1)-(х2)(х2+1) _ 2х3+2х-2х3 = 2х
У~ (х2+1)2 " (х2+1)2 "(х2+1)2’
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
273
г) Находим производную /'(х) = х2 -2х и вычисляем ее
значения в точках х = 0, х = 1, х = -1, т. е. находим частные зна-
чения производной в этих точках:
/(0)-0,/'(1) = -1,/'(-1) = 3.
х2 — 4х+4
1.5. Найти производные: а) у = In —--;
х + 4х + 4
6) У - In ,-Х —=; в) у - log2 Vtg2 2х; г) У = In3 cos^.
Vx -х+1 3
Решение, а) Упростим логарифмируемое выражение
х — 2
Полагая у = 2 In и, где и =-, применяем правило диф-
х + 2
ференцирования сложной функции
у - 2 (In и )и • и' - 2
х + 2(х-2) (х + 2)-(х-2)(х + 2)
х—2 (х + 2)2
б) Полагая у = 1пи, где и = - .-=, имеем
ух2 — х+1
_3 1 —х _3 1-х
2 (х + 1)(х2-х + 1) 2(х + 1)3
в) Упростим логарифмируемое выражение
- 2
y = log2tg3 2x = ylog2tg2x. Дифференцируем как сложную
функцию
274
Глава 7
,21 1,81
у —---------------2 =----------.
3 tg2xln2 cos2 2х 3sin4xln2
г) Дифференцируем как сложную функцию
, , , 2 х 1 ( х А1 х, 2 х
у = 31n cos----—sin— — = —tg —In cos—.
3)3 3 3
cos — \ /
3
1.6. Найти производные: a) z = xea + ae a;
h—2х
6) _y = e~3jI(sm3x+cos3x); в) z = lnJ-—г) у-ё^1 +5^.
Решение, а) Дифференцируем как сумму сложных функций
Л X « X / < \ X / X X
, - -1 — ( 1 \ " | , х I
z —е“ +хе“ — + ае ° — l—e" 1 + — 1-е
а а) a j
б) Дифференцируем как произведение сложных функций
у' = е~3х (-3) (sin Зх + cos Зх) + е~3х (cos Зх • 3 + (- sin Зх) 3) =
= -6е~3* sin3x.
1,1 — 2х
в) Упростим функцию у = —In-—Находим производ-
ную как от сложной функции
,_1 1 + 2* 2х1п2(1 + 2х) + (1-2х)2х1п2_ 2х1п2
У "2 Г27 (1 + 2х)2 “^Т'
г) Дифференцируем как сумму сложных функций
1
y' = es'"3j: -3sin2 xcosx+5^* 1п5-—х 5 =
5
4
= 3esi"3*sin2xcosx + 5^~lx 5ln5.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
275
1.7. Найти производные: а) у —
б) и =агсзтд/1-4/; в) г = arccos-г) _y-3arctge .
4
Решение, а) Находим производную как от сложной функции
, 1 If 1-х
У =--7-Т Т —
,2
1
б) Производная равна
' 1 1 (~4) _
1
U
в) Производная равна
1 ( 3^ [ 3
I р-ЗфАЧ 4J \4 + 4ф —Зф2
V I 4 )
г) Производная равна
/ = 3—1.
1 + е
е 3
зГ’
1 + е 3
_ 2 х 2 х
1.8. Найти производные: a) y-sh y + cn 7^
б) _y = thx + cthx.
Решение, а) Дифференцируем как сумму
, _ , х , х 1 _ , х , х 1 ,
у =2sh— сп---i-2ch —sh----= shx.
2 2 2 2 2 2
б) Дифференцируя как сумму и пользуясь свойствами ги-
перболических функций, имеем
1 1 _sh2x —ch2x_ 4
? ch2x sh2x sh2xch2x sh22x
276
Гпава 7
1.9. Найти производные:
построить график функции и производной.
Решение, а) Поскольку функция на разных участках имеет
различный вид, то для этих участков
2х, х < 0;
б) Находим производную на разных участках
, е~Л(1 — х), |х|<0;
У “[О, |х| > 0.
в) Находим производную на разных участках
-1,
2х-5,
1,
-1<х<2;
2<х<3;
3 < х < 4.
Строим график функции и график производной (рис. 7.4).
Рис. 7.4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
277
1.10. Найти производные: a) _y = |sinx|; б) y = |arctgx|.
Решение, а) График функции у — |sinx| показан на рис. 7.5.
Если хе (лк,л(к + \)), то данную функцию можно записать в
виде у = sin (х —Я&). Отсюда производная у = cos (х—лк).
Если х-лк, то
у\(лк}- lim cos(x-flfc)=l.
у (лк)- lim cosfx—л:£)=-1,
У-№}
2к х
Рис. 7.5
б) Представим график функции у = |arctgx| на рис. 7.6 и
запишем функцию в виде
У =
arctg х, х>0;
—arctg х, х<0.
Рис. 7.6
Производная для различных участков будет
276
Глава 7
Производная слева jl(0)= справа
Х(0)- lim—Ц- = 1.
+ v 1 ^»1 + х2
1.11. Найти производные функций, обратных к заданным:
a) y = shx; б) y = chx; в) y = thx; г) _y = cthx.
Решение, а) По правилу дифференцирования обратной фун-
кции получим
(Arshy) =-^ = —^—= , 1
Л chx Vl + sh2x 7/+1
отсюда, переходя к обычным обозначениям, имеем
б) По правилам дифференцирования обратной функции
имеем
(Archy) =-^ = —— = ,..,
л sh* 7/-1
откуда (Arch х) = —, (|х| > 1).
в) Производная обратной функции равна
(Arthy) =“ = ch2x = Ц—= ——=-,
V / 1-tg2x 1-у2
откуда (Arthx) =^—-у,
(|х|<1).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
279
г) Производная обратной функции равна
откуда (Arcthx) -—-—
1.12. Пользуясь результатами предыдущего примера, найти
2х
производные: а) у = Arch In х; б) У = Arcth । •
Решение, а) По правилу дифференцирования сложных фун-
кций имеем
1 1 _ 1
л/1п2х —1 х Хд/1п2Х-1
б) Функция сложная, поэтому
7.2. Производные функций,
не являющихся явно заданными
1°. Пусть функция у задана уравнением f (х,у) = 0, не разре-
шенным относительно у, то есть у есть неявная функция от х.
Чтобы найти производную от неявной функции у аргумен-
та х дифференцируем по х обе части этого равенства, считая у
функцией х. Из полученного равенства определяем искомую
производную у', которая, как правило, будет зависеть от х и у
/ = ф(х,у).
2°. Если функциональная зависимость между переменными
х и у задана параметрически
280
Гпавв 7
X = <p(t\,
y = yr(t).
то производная от у по х равна у = —*, а от х по у: ху ~
х, У,
3°. Логарифмическое диференцирование. Если у=и°, то
у = vuv~'u'+u°v'ln и,
т. е. производная показательно-степенной функции состоит из
двух слагаемых: первое получается, если рассматривать функ-
цию при дифференцировании как степенную, второе как пока-
зательную.
4°. Если основание логарифма log„ и является некоторой
функцией х, то при нахождении производной целесообразно пе-
рейти к натуральным логарифмам
1 1пи t \ < \
y = logow= —, и-и(х), v=v(x).
2.1. Найти производные у'х: а) у = cos(x + y);
б) е^+Дху-х2 =1; ипроизводные х':в) xln_y-_ylnx = l;
г) х2у2-Д1п_у = 21пх.
Решение, а) Дифференцируем обе части по х, считая у слож-
ной функцией, зависящей от х
у =-sin(x+^)(l + y) =—sin(x + ^) — У sin (х+ ^).
Откуда y(l+sin(x+^)) = -sin(x+^) или
, sin(x + ^)
l + sin(x + ^)
б) Дифференцируя обе части равенства по х, получим
еу у + 4 (у + ху) - 2х = 0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
281
Разрешая равенство относительно у', получим
, 2(х — 2у)
У =-------
еу+4х
в) Дифференцируем обе части равенства по у, считая х слож-
ной функцией, зависящей от у
х (, 1 Л «
хшуЧ----шх+у—х 1=0.
У V. х )
Разрешая равенство относительно х', получим
1пх- —
х' =----
1пу-—
X
г) Дифференцируем обе части равенства по у
2хх'у2 + 2хгу - — = 2—х'.
У х
2 2
, ~~Х 3У х(2-хУ)
X
2.2. Найти производные у':
з/
х = cos/2t;
3/
у = sm/2
б)
х = ес“2';
= lnsinz;
и производные х':
в)
t1
l + f
1 ф
у = Ineos—.
2
282
Гпава 7
Решение. а) Находим
и
dy 3 . X
-J- = - sin'2t cos t. Отсюда
dt 2
dx 3 V. .
— = —COS'2 / Sin/
dt 2
— sin'2 / cos/
__2___________
3 X •
—cos'2 / sin/
2
б) Находим — = -2ecos2' sin 2/ и — =----------= ctg /.
dt dt sin/
Отсюда
в) Находим
1
4ecos2' sin2/
dy _ 2/(1 + /)—z2 _ /2+2/
dt (1 + /)2 (1 + /)2
1
dx _ 2y/t _ 1
dt 1 + / 2>//(l + /)
Отсюда
dx _ (1 + /)2 _ 1 + /
dy 2yTt (! + /)/(/ + 2) 2/%(/ + 2)’
, . sin— .
г) Находим — =------— = — tg—
2cos£ 2 2
2
dx _ 1 1
^~2Z^’
2
Отсюда
2
2 cos2 — tg —
2 2
2
simp
2.3. Найти производные: а) у = x'2; б) у = xsm2x;
г) у = x2ex> sin Зх th x.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
283
Решение, а) Прологарифмируем правую и левую часть
In у = х2 In х. Найдем производные от правой и левой части по
х, считая^ сложной функцией, зависящей от х
у . , 2 1
— = 2х1пх + х —.
У X
Отсюда у =(21пх + 1)х*2+1.
б) Логарифмируя правую и левую часть, имеем
In у = sin 2xln х. Откуда
у' _ _ , sin2x , .:„2Г(~ ~ , sin2xA
— = 2cos2xlnx4------, у =х 2cos2xlnx4--------.
J х X )
в) Логарифмируя правую и левую часть, имеем
In у = 21п(х-1) + -^1п(х+2)-31п(х-3).
„ У 1 3
Отсюда — =-----1------------или
у х —1 3(х+2) х—3
,_(х-\)г^+1( 2 1 3 '
у - (х-з)3 [7й+з(х+2)-7^з
г) Логарифмируем правую и левую часть
In у = 21nx + x3 + In sin Зх +In th х.
Берем производные
у 2 _ 2 3cos3x 1 1
у x sin3x thxch x
Откуда
2 3 f 2 2 2
y = x ex sin3xthx —4-3x 3ctg3x4--
lx sh2x
284
Гпава 7
2.4. Найти производные функций: a) б) j^lcg^sinx;
в) y = log?xx.
Решение, а) Перейдем к натуральному логарифму у = —?—,
1пх
тогда у'=--------—.
xln2x
_ч „ . Insinx
б) Представим функцию в виде у =------, тогда
In cos х
cosx, sinx, .
---Incosxd------Insinx . , , . . •
z_ sinx cosx =ctgxlncosx + tgxlnsinx
In2 COS X In2 COS X
xlnx X
в) Перейдем к натуральному логарифму У-—— — от-
31пх 3
сюда у' = —.
3
7.3. Производные высших порядков
1°. Пусть функция у =/(х) имеет производную у', которая
является некоторой функцией от х.
Производной второго порядка называется производная от
первой производной и обозначается у" или f" (х), или —у.
ах
Производная от второй производной называется третьей
производной от функции f (х) и обозначается у или/"' (х), или
<?У
dx3
Аналогично определяются производные четвертого, пятого
и более старших порядков, так _у(п) — производная n-го порядка.
2°. Вторая производная от неявной функции —у находит-
ах
ся дифференцированием функции у ’ = (р (х, у) по переменной х,
учитывая при этом, что}' есть функция от х.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
285
3°. Вторая производная от функции у по х, заданной пара-
метрически, равна
В последнем выражении точки означают дифференцирова-
ние по t.
(у")
Третья производная у"' = ' ит. д.
™ X,
4°. Производную и-го порядка от произведения двух функ-
ций удобнее находить по формуле Лейбница
(uv У"' — u^v +—г/”-'V + +... +
’ 1! 2!
+н(и-/)(И-А:+1) (^w + {п,} ^я) =у»
к] Х*=в "
где С* = п' —биномиальные коэффициенты, и'п> =и, J® =v.
5°. Приведем некоторые общие формулы для производных
любого порядка
1. у = ха; у(п) =а(а-1)...(а-и + 1)х“~п. Если а = -1, то
1) п! _ 1
-—. Если а = —, то
.п+1 2
(-1)Я(2И-1)!!
(2х)" +/х
2. у = (а + йх)“ (а,й-сои5/);
у^ =а(а-1)...(а-п + 1)Ь" (а + Ьх)° "
а) ^a+fex J (a+Z>x)"+1
286
Глава 7
( 1 А(я) (-1)" (2и-1)!!У
б) -Ja+bx . 2" (a+ Ьх)" s/a + bx
3. J=lnjt; yw = <zll'4(”.~1.).'.
x"
4. y = ax; = ax (Ina)”; (ex)(' = ex.
5. _y = sinx;
6. _y = cosx;
(л)
yK 1 = sm
(«) I , 71
у ' =cos х + и —
2
n+1
n
8. _y = e“sinZ>x; = (a2 +b2^eax sin(Z>x + «^),
b a
где sinyx: ^--; cos<p = .
Va'+b' ya +b~
9 y-arctg x; У =(-1)" 1 (и-1)!-----—sin I «arctg—I
(l + x2p I XJ
1 n
где arctg—=----y.
x 2
3.1. Для данных функций найти производные указанного по-
рядка: а)у^-^, у2, б) у-arctg—, у"'2;в) $ = sin2<р, s(4)?;
х a
г) }> = 1пх, у^?', Д) ;y = e~*sinx, у^7
Решение, а) Находим первую производную
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
287
1
х2Т^М‘
Вторую производную находим диференцированием у' по х
б) Находим первую производную
1 1 _ а
х Y а а2+х2'
a )
Дифференцируя у'по х, находим вторую производную
„ —2ах
Дифференцируя еще раз по х, находим третью производную
(а2+х2) -2х(а2 +х2}2х 2а(3х2-а2)
(а2+х2)4 (а2+х2)3
в) Для нахождения четвертой производной дифференциру-
ем последовательно четыре раза по <Р
s'= 2sin<pcos<p = sin2(p; s" = 2cos2(p;
s'" = -4 sin 2<p; s^ = -8 cos 2q>.
г) Для нахождения и-й производной дифференцируем пос-
ледовательно заданную функцию до тех пор, пока не выявим
общую закономерность нахождения последующей производной
У = 1 = х’’; у" = -1х'2; у"' = 1-2х~3; у(4) =-1-2-Зх^ ит.д.
X
288
Гпава 7
Отсюда = (-1)" ' (n-l)lx ". (См. 3. пункт 5°).
д) Поскольку функция у представляет произведение двух
функций и = ех; v = sin х, то применяя формулу Лейбница
j/4) = = u^v + 4u"v' + 6u"v" + 4uv'" + uv^ (4),
получим
У4) = sin х - 4e~x cos x - 6e~x sin x + 4e~x cos x + e~x sin x.
3.2. Найти производные указанного порядка: а) е*’ +ху—е, у"?;
б) y=x+arctg|; /?; в) У = х3+Зху, х"?; г) cos(xy) = x2; х"?;
д)х3+/ = 1; /"?; е) x = tg(x+y); х'"?
Решение, а) Дифференцируем правую и левую часть по х
е^У + у + лУ = 0,
, У
откуда у =— ------.
е +х
Дифференцируем еще один раз по х
У(е’’+х)-у(е,'У+1)
+ х)
Подставляя в последнее выражение значение у’, получим
у
+х) + у1е!>
(e-’’+х) (еу+х)
б) Дифференцируем обе части по х
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
289
, \1^ + у2
откуда у = .....-—-
V4 + / -1
Дифференцируем еще раз по х
в) Дифференцируем правую и левую часть по_у
Зу2 = 3х2х'+3(х'у + х), х' = ——
х +у
Дифференцируем еще раз по _у
„ = (2^-х,)(х2+^)-(/-х)(2хх,+1)
(хМ
Подставляя в последнее выражение х', получим
2у(х2+у)-(/-х)-^^^ 2Х-(/-х)
х" =--------------------------------
(х2+у)
_ 2^(х2+^)2-2(г-х)(х2+^)-2(/-х)2х
(x2+j>)3
г) Дифференцируем обе части по у
. . \, , ч , xsin(xy)
-sm(xy)(x;y + x) = 2xx, откуда х=---
2x + ^sin(xy)
290
Гпава 7
Дифференцируем еще раз по у
х" = (-((x'sin (ху )+ х cos (ху )(х'у + х))(2х + у sin (ху ))-
-xsin (jy)(2x'+sin(jy)+ycos(jy)(xy+x))jj/^(2x + ysin(jy))2
д) Дифференцируем обе части по х
/ \2
Зх2 + Зу2у' = 0, откуда у' = - — | .
V J
Дифференцируем еще раз по х
2х2
, ху + х ,-
„ _ х у-ху _ ___________у_ - _9 ХУ +*
У L 2 Z 3 Z 5
У У У У
Для нахождения у'"дифференцируем еще один раз по х
= (/ + У + ) У5 - 5 {ху3 + х4 ) у4 у' =
у У"
(У+ 3х3)у3+5(у3+х3)х3 _ у6+8х3у3+5х6
у* у*
е) Дифференцируем обе части по у
, х'+1
х =---2 , откуда
cos (х + у)
, 1 COS2(x + }>) 1
cos2 (x + jy) cos2 (x+y)-1 sin2(x + y)
Дифференцируем еще раз noy
x„ = 2 cos(x + y)(x+1) = _2 cos3 (x+y)
sin3(x + y) sin5 (x + y)
Дифференцируя еще раз по у, окончательно получим
х" = -2(-3 cos2 (х+у) sin6 (х + у) (х' +1) - cos3 (х + у)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
291
•5sin4 (x + ;y)cos(x + _y)(x' + l))/(sinl0 (х + ^)) =
= -2
= -2^3 + 2cos2 (x + ^))cos4 (х + у))/sin8 (х + ;у).
3.3. а) ' Найти производные указанных порядков: x=flnf, Jx = 2cosf —cos2z, _y = Z2+l, <&2 6) |j> = sin2f, ^9 dx2 ‘
в) 3 -а и и к >> л9 dy1 ‘ г) х = 2'-1, d2x^ dy2 ‘
[x = acostp, d*y Jx = arcsinf, [y = asin^>, «Л3 е) [^ = lnf, Решение, а) Найдем первую производную <7/ ‘
Jy _ у, _ It
dx x' lnf + 1
Вторую производную находим по формуле
2(lnr + l)-2fJ
</2y_(Z), _ (lnz + 1)2 2Inf
d!x2 x' lnf + 1 (lnf + 1)3
б) Первая производная равна
dy_y'_ 2cos2z _ cos2f
dx x' -2sinf+ 2sin2f sin 2f-sin г
Вторую производную находим по формуле
292
Гпааа 7
d2 у _ ух —ху _
dx2 i3
-4 sin 2/ (-2 sin t + 2 sin 2t) - (-2 cos t + 4 cos 2t) 2 cos 2t
(-2sinz + 2 sin 2z)3
_ 2sin/sin2z + cosZcos2z-2
2(sin2/-sinz)3
в) Находим первую производную
„ <P . <P 1
, ' -2 cos—sin -—
& = x<? _ 2 2 2 _ \
dy y' n • Ф Ф 1
y yf 2 sin — cos — —
2 2 2
Вторая производная равна
d2x _ _______0_________ q
dy2~ у ~ . ф <p 1 "
y yi> 2sm—cos — —
2 2 2
г) Первая производная
dx _2‘~'\n2 _2‘]n2
dy l.2z ‘
4
Вторая производная будет
, 2'In2 2-Z-2'1п2
d2y = (X), = р = 2-1п2(?1п2-1)
dx2 у, t_ е
2
д) Находим первую производную
dy У* acostp
— = -Т =------= -ctg^.
dx xv -a sin ср
дИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
293
Вторая производная равна
1
d2y _ (л)у _ sin2 (р _ _ 1
<7х2 х'^ —a sin ср asin3<p
Третью производную находим по формуле
-3sin2^cos^
d3y _ (Тхх)ф _ asin6y _ 3cos<p
dx3 x'(p —asin<p
e) Находим первую производную
1
dx _ y/l-t2 _ t
dy 1 л/1-r2
t
Вторая производная равна
л—2 1 -2f
л/1-Г-t--------
d2x _\xy\ _ I-/2
1
t
Третью производную находим по формуле
a sin5 (р
/
,2\/2
dy2
dy3
7 О-'2)
3.4. Найти производные указанных порядков:
а) у = х cosx; у^? б) у = (х3 — х2 +1)ех, у^?
1
в) У = -у—£----У(20) ? г) у = е3х sin4х, у(,0) ?
х — 2х — 3
294
Гпава 7
д)у = 1п(2х4-1), у(40)? е) >’W^?
Решение, а) Положим м = х2, y = cosx. Тогда и' = 2х,
и" = 2, um = uw =... = 0, v<n> = cos(x4-«|-).
По формуле Лейбница все слагаемые, кроме трех последних,
равны нулю, поэтому получаем
(5°) =150-49cos| х4-48— |+50- 2xcos| х4-49— |4-х2 cos| х4-50— |=
2 l2J ( 2 J I 2 J
= (1225-х2 )cosx-100xsinx.
б) Положим м = ех, v = х3-х2 +1. Тогда v’-3x2-2x,
у" = 6х-2, v "' = 6, у(4) =и(5> =... = 0, t/”1 =ех. По формуле Лей-
бница все слагаемые, кроме четырех первых, равны нулю. Та-
ким образом,
уз°) _ е* (х3 _х2 +1^+30^ (Зх2 — 2х)+ (6х-2)+
+ 30 29 28gJ 6 = е +89х2 + 2550x4-23481).
в) Преобразуем выражение к виду
_ 1 _ ]_(1_______1_А
(х — 3)(х+1) 4^х —3 Х4-1J
Так как
/ i (-1)”»! Г 1 А(л)_ (-!)"«!
|7<з) “ (х-3)л+‘ И [x-f-l J “(x + lf1’
ТО
У
(20) = И (~1)2020! (-1)20 201Л 201f[
4[ (х-3)2’ (х + 1)2’ 4 Цх-3)
(x + l)2’J
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
295
г) Полагая в формуле (8) а = 3, Ь = 4, будем иметь
12 4
у10) = (32+42)2 e3xsin(4x + 10<p), где sin у - .7.---= или
у32+42
У'°> = 510 е3х sin f 4х +10 arcsin — |
I 5 )'
, 2
д) Находим первую производную у =-----. Рассматривая
х + 1
первую производную как функцию от х, находим (л - 1) произ-
водную по формуле (2,а; пункт 5°)
Г 2 t-0 _ (-I)""’ Q-l)!2"
Ц + 2х J (1 + 2х)”
Таким образом,
у(40)_(-1)39 39!2^ 391р f
(l + 2xf \1 + 2х) '
е) Запишем выражение в виде у(х)(х2 -х + 6) = 2х + 3 и,
применяя формулу Лейбница, продифференцируем п раз. При
и>2 будем иметь
У”’ (х2 - х + 6) + «УлЧ) (2х -1) + Т(л_2) -2 = 0,
откуда при х = 0 получим
6Ул) (0) - «У"-” (0) + и(и - 1)У л~2) (0) = 0
или /’ (0) = -У”-1) (0)-2кУ1ул-2) (о).
6 6
Полученная рекурентная формула, позволяет определить
n-ю производную в точке х = 0 (п > 2). Значения у (0) и у' (0)
находятся непосредственно
296
Гпава 7
Полагая последовательной = 2,3,4, •••, с помощью рекурен-
тной формулы находим значения искомых производных. Так
/(0)Цу(0)-^Я0)Ц[^4]=-
о о 5\5b I I
1
36’
3 zzzA\ 3-2 ,, , if 1 2-15А
У = (°)—7-у(°) = 7
6 о 21 эо эо I
31
72’
7.4. Дифференциал функции
Ду ,
1 . Из определения производной hm^o — = У и предела
Дх
Ду , ,
переменной следует, что — = у +а или Ду = у Ах + аАх, где
Дх
а —> 0 при Дх —> 0, т. е. приращение функции можно разбить на
две части.
Произведение у Ах есть бесконечно малая первого поряд-
ка относительно Ах Произведение же сеДх есть величина беско-
нечно малая высшего порядка относительно Дх, т.к.
Нтлх-,о« = °-
Первое слагаемое приращения функции называется глав-
ной частью приращения. Произведение у Ах называется диф-
ференциалом функции и обозначается dy. Дифференциал
независимой переменной х равен ее приращению, т. е. dx = Ах.
Итак, если функция у = f(x) имеет производную /'(х) в
точке х, то дифференциал функции равен произведению произ-
водной f '(х) на дифференциал независимой переменной, т. е.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
297
dy = f'(x}dx. (1)
2°. Правила дифференцирования:
1. d(Cu) = Cdw, 2. с?(м+и) = ^м±^и;
3. d(uv) = udv + vdu- 4. d(±\vdu-udv
I V J v1
3°. Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал
функции геометрически определяется разностью ординат каса-
тельной к кривой при переходе от точки с абсциссой х0 к точке с
абсциссой х0 + Дг (рис. 7.7 ).
4°. Инвариантность формы дифференциала. Форма диф-
ференциала не зависит от того, является аргумент функции не-
зависимой переменной или функцией другого аргумента. Если
у = /(х), где х = <p(t), то
dy = f'dx = f'cp'dt. (2)
5°. Дифференциалом второго порядка функции у — /(х) в
некоторой точке называется дифференциал в этой точке от ее
первого дифференциала и обозначается
dly — d(dy) = yv dx1. (3)
Аналогично определяются дифференциалы высших по-
рядков
298
Гпава 7
d2y = d{d2y} = ^"dx"';
d"y = d(d"-'y} = y^dx". (4)
6°. Если функция сложная у = f(x), где х = <р (7), то диф-
ференциал второго порядка d2y = d (f'dx) находится по фор-
муле
У = f”dx2 + f'xdx, (5)
где dx = x’ldt.
Дифференциал третьего порядка будет
d2, у = f"'(dx^ + 3 f"dxd2x + f'd2x. (6)
и т. д. Здесь штрихами обозначено дифференцирование по х.
7°. Для дифференцируемой функции у = f(x) из приближен-
ного равенства Ду - dy следует
/(х+Дх) = /(х) + /(х)Дх. (7)
Эту формулу используют при приближенных вычислениях.
8°. Абсолютная величина разности между истинным значе-
нием какой-либо величины а0 и ее приближенным значением а
называется абсолютной погрешностью и обозначается
Д = |а0-а|-
Абсолютная величина отношения абсолютной погрешнос-
ти к истинному значению называется относительной погреш-
ностью и обозначается 5=т^т. Относительная погрешность
ы д
обычно выражается в процентах 8 = ,—, 100%
Ы
Если приращение функции заменить ее дифференциалом, то
получим приближенное значение приращения Ду ~ dy . В этом
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
299
случае абсолютная погрешность равна Д = |Ду-<7у|, а относи-
с- с Ду - dy
тельная погрешность будет 8 = .
&У
4.1. Найти дифференциалы функций: а) у = х3-х + д/х,
б) y = 3ngx, в) у = з +1, г) x = asin3f.
Решение, а) Находим производную данной функции
У = Зх2-1 + —1?=.
1 I
Отсюда дифференциал равен dy = y'dx = Зх2 — 1 ч--LZx.
2~Jx )
б) Находим производную
У = 3ta,gI 1пЗ—---= 2 3' 6 1П3.
tgx cos х sin2x
Отсюда дифференциал
, 2-3ln,gJ,ln3 ,
dy =----------dx.
sin 2x
в) Находим производную
2 6х2
У =
2 ’
Отсюда дифференциал будет dy = ———5- dx.
г) Производная по t равна х' = За sin21 cos t. Отсюда диффе-
ренциал dx = За sin21 cos tdt.
4.2. Найти дифференциалы указанных порядков от фун-
, „ sin2<p ,2 „
кций: a) y = 3ln,gx, d2yT, б) Р = ~dP?
в) у = (х2-х + 1)3, <у? г) х'/з+у'/з =а'/з, fyl
300
Глава 7
Решение, а) Находим дифференциал 1 -го порядка
1 1 -jlntgjc
d_y = 3lnlgxln3----— dr = 2 In 3----dx.
tgxcos x sin2x
Дифференцируя еще раз, получим
3intgxsin2x htgJt
21n3----------2-3 * cos2x
d2j/ = 21n3---sm2x------------------dr2 =
sin22x
= 4 In 3 3ln ,gx bl3~cos2xdr2.
sin 2x
б) Дифференцируя последовательно дважды, имеем
cos 2<р (1 — <р2) + <р sin 2<р
dp = 2--------1----7?-------d4>-
(i-p )
d1 p = 2((-sin2<p -2 (1 -<p2)-cos2<p -2<p + sin2<p + 2<pcos2<p)(l -<p2) +
+2(cos 2<p(l - <p2) + <p sin 2<p)(i - (p1 )4 =
= 2(sin 2<p(5<p2 -1 - 2<p4) + 2<p cos 2<p(l - <p2))d<p2.
в) Дифференцируя последовательно три раза, имеем
d_y = 3(x2 — х + 1) (2х —l)dr,
d2j> = з[2(х2 -х + 1)(2х-1)2 +(х2 -х + 1)2 2)dr2 =
= б(х2 -х + 1)(5х2 -5x + 2)dr2,
d3y = б((2х-1)(5х2 -5х + 2) + (х2 -x + l)(10x-5)jdr3 =
= 6(2x-l)(10x2-10x + 7)dx3.
г) Функция задана неявно. Находим первую производную
' (у I (V V3
У — ,тогда dy--l—l dx.
\х J
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
301
Вычисляем вторую производную
2 ( у । з у 'x — у _
3 I x I x2
2 2 lay , 2
отсюда а у = — з —dx .
3 V х
4.3. Выразить дифференциал сложной функции через неза-
висимую переменную и ее дифференциал: a) у = л]х2—3х,
x = t2 +1; б) z = lnj>, j^ = tgx, x = 2t2+t; в) y-ex, x = tgt, пред-
ставить d2y через: 1) x и dx, 2) t и dt.
Решение, а) Дифференциал сложной функции равен
, , , _ 2х-3 „
dy = y.x.dt. Находим производные Ух ~ г-:-> xi ~ Под-
2<х -Зх
ставляя значение х в ух, окончательно получим
dy =
б) Дифференциал сложной функции в этом случае имеет вид
dz = z' yxx'dt.
тт > 1 ’ 1 ' X 1
Находя производные z =—, ух = —, х,=4/ + 1 ипод-
у cos х
ставляя их значения в выражение дифференциала, окончатель-
но получим
11/ . 2(4/ + 1) dt
dz =---— ( 4/ +1) dt =-J——.
.у cos X sin(2(2/2 +/))
в) Находим дифференциал первого порядка
dy = y'xdx = exdx. Дифференциал второго порядка через х и dx
равен d2y = y'^dx2 = exdx2.
Выразим теперь дифференциал через t и dt. Дифференциал
первого порядка будет dy = y'x'dt = ех-— dt = е'Е< —.
cos t cos t
302
Гпааа 7
Дифференцируя no t, получим
etE'—cos2 t + e‘E'2sintcost . ,
^ = _cosLt-------------------
cos t cos t
Если воспользоваться формулой (5), где f'x —ех, f" = >
, _ dt
ох ~ cos21 ’ Т° пРидем к такомУ же результату
j2 л dt2 *,( dt A ,, l + sin2t 2
d у = e —+e d z- = e8 ----------j— dt .
cos t I cos t j cos t
4.4. Вычислить приближенно: a) arctg 1,05; 6) lg9; в) ^/o, 98 •
Решение, а) Полагаем f (x) = arctg x, тогда /'(x) =——
Отсюда по формуле (7) имеем arctg (х + Дх) = arctg х + 2 Дх.
Пусть х — 1, тогда Дх = 0,05 • Таким образом
arctg (1 + 0,05 ) = arctg 1 + 0,05 = ^- + 0,025.
б) Положим f (х) = 1gх, тогда f (х) = . Отсюда по
формуле(7) имеем lg(x+Ax) = lgx +---.
xlnlO
Пусть х =10, тогда Дх = -1 и lg(10-l) = lgl0 +-----— •
1 ’ 101П10
Отсюда lg9 = l-^^ = 0,956.
InlO
1-^11
—х 5 =—j=
5 5 5/7
5 Л
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
303
Пустьх = 1,тогда Дх = 0,02 и s/i_о 02 = М +— или
5
^098 =1-0,004 = 0,996.
4.5. Для функции у = х2 + Зх +1 найти приращение ордина-
ты касательной и приращение функции при переходе аргумента
х от значения х = 2 к х = 2,1.
Решение. Согласно геометрическому смыслу дифференци-
ала, приращению ординаты касательной соответствует диффе-
ренциал функции dy = (2х + 3) Дс.
Прих = 2и dx=Ax=2,l-2=0,l получим dy=(2-2+3)0,1 = 0,7.
Приращение функции находим по формуле
Ду = /(х + Дх)-/(х) =
= (2,12 +3-2,1 +1) - (22 +3-2 + 1) = 11,71 -11 =0,71.
Следавательно, приращение ординаты касательной равно
0,7, а приращение функции 0,71. Так как \y = dy + akx, то
оДх = 0,71-0,7 = 0,01.
4.6. Найти дифференциал и приращение функции у = х3 - 2х
при х = 2 и Ах = 0,1. Найти абсолютную и относительную по-
грешности при замене приращения функции её дифференциалом.
Решение. Имеем: dy = (Зх2 — 2^dx,
Ду=((х+Дх)3 — 2(х+Дх))— (х3 —2х) =(3х2 +ЗХДХ+ДХ2 —2) Дх.
При х = 2 и Дх = 0,1 получим: dy = (3-22-2)0,1 = 1;
Др = (3-22 + 3-2 0,1 + 0,12 - 2)0,1 = 1,061.
Абсолютная погрешность Д = |Ду-б?_у| = 0,061, а относи-
тельная погрешность 8 = —r 100% = 1 oq% ~ 6% .
|Ду| 1,061
4.7. При измерении сторона куба х оказалась равной 4см,
причём максимально возможная при этом погрешность измере-
304
Гпава 7
ния Ах находится в пределах + 0,01см. Определить абсолют-
ную и относительную погрешности при вычислении объёма куба.
Решение. Объём куба равен V - х3 = 64 ст3 Возможная не-
точность измерения | Ах |= 0,01. Отсюда абсолютная погрешность
| A V | ~ | dV 3x2dx = 3 42 • 0,01 = 0,48. Относительная погреш-
ность
dV
V
= ^^100% =0,75%.
64
7.5. Приложения производной к задачам
геометрии и физики
1°. Уравнение касательной и нормали к кривой. Значение
производной /'(х) в некоторой точке х = х0 геометрически пред-
ставляет угловой коэффииент касательной к графику функции
у — f(x) в точке х = х0.
Из геометрического смысла производной следует, что уг-
ловой коэффициент касательной к кривой у- f(x) (рис. 7.8) в
точке М(х0,у0) М е у равен значению производной в этой точ-
ке, т. е. к — tga = /'(х0). Поэтому, если в уравнение пучка пря-
мых, проходящих через точку М, подставить угловой
коэффициент касательной, то уравнение касательной к кривой в
данной точке примет вид
Нормалью к кривой в точке Л/(х0,у0) называется прямая,
проходящая через точку М перпендикулярно касательной к кри-
вой в этой точке. В силу условия перпендикулярности двух пря-
(> 1 "I
мых к{ —---, уравнение нормали имеет вид
I )
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
305
У-Уо=~,( ,(х-х0), если /'(хо)*О.
./ (хп)
Отрезки y47V = ^octga, 57V = ^0tga называются, соответ-
ственно, подкасательной и поднормалью, а длины отрезков AM
и ВМ—длинами касательной и нормали.
У В х
Рис. 7.8
2°. Углом между кривыми y = fl(x) и у = f2(x) в точке их
пересечения Л/0(х0,у0) называется угол между касательными к
этим кривым в точке Мв. Этот угол находится по известной фор-
муле аналитической геометрии
i+fi'(xo)f'(xoy
3°. Отрезки, связанные с касательной и нормалью, в поляр-
ной системе координат. Пусть кривая задана в полярных коор-
динатах уравнением р = р(<р) (рис. 7.9), тогда угол,
образованный касательной МК и полярным радиусом р = ОМ,
определяется по формуле
р
tga=-5-
Р,
306
Гпава 7
Касательная МК и нормаль MN в точке М вместе с поляр-
ным радиусом ОМ точки касания и перпендикуляром к полярно-
му радиусу, проведённому через полюс О, определяют
следующие четыре отрезка: МК = ^/р2 +(р')2 —отрезок ка-
_. ______ I I 2
сательной; MN - dp2 + (р')2 —отрезок нормали; ОК = ~)— —
1р1
полярная подкасательная; ON =| р'\ —полярная поднормаль.
4°. Средняя скорость движения точки за промежуток време-
ни А? определяется отношением приращения пути А.У ко време-
ни. Чем меньше Д/, тем точнее выражается скорость через
среднюю скорость. Скорость движения точки в момент времени
t определяется пределом, к которому стремится средняя скорость
при Дг —> 0, т. е.
,. AS dS
v= lim — = —.
д'^° At dt
При движении точки по окружности угловой скоростью вра-
Ат
щения о) в момент времени t называют предел отношения —,
Аг
когда At стремится к нулю, т. е.
Am dm
(О = hm —= —- - ф.
4м|1 At dt
ПИФфЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИИ
307
Таким образом, угловая скорость в данный момент равна
производной от угла поворота по времени.
Ускорение точки w, движущейся по прямой, есть первая про-
dv
изводная от скорости по времени w = — или вторая производ-
dt
d О
ная от пути S по времени w — ——
dt
Угловое ускорение точки есть первая производная от угло-
da>
вой скорости Е=---или вторая производная от угла поворота
,6?Г
d <р
по времени £ =—.
dt .
Ад
5°. Сила тока определяется как предел отношения — при
Аг —> 0, где Aq — положительный электрический заряд, пере-
носимый через сечение цепи за время А/, т. е.
Ar dt
Таким образом, сила тока в данный момент времени равна
производной от количества протёкшего электричества по вре-
мени.
6°. Химическое истолкование производной. Пусть Q(t) -
концентрация вещества, получаемого в ходе химической реак-
AQ(t0)
ции в момент времени г. Тогда С (r0)= пт——— — скорость
реакции в момент Го.
5.1. Написать уравнение касательной и нормали к кривой
1 1
У ~ ——j- в точке М{\,—).
«+ О 2 , 2х
Решение. Находим производную у =----;---г и вычисля-
(х +1) j
ем частное значение производной при х = 1: у'(1) = — —.
308
Гпава 7
Таким образом, уравнение касательной будет
1 1
У~~=-—------п или х+2у —2 = 0.
2 2(х-1)
Уравнение нормали к кривой в точке Л/(1,—) имеет вид
= 2(х-1) или 4х-2у-3 = 0.
5.2. Написать уравнение касательной и нормали к эллипсу
—+ —= 1 в точке М(—,4).
9 25 5
2х 2уу 25х
Решение. Находим производную ~ _-О, У - —.
Вычисляем частное значение производной в точке М
,(9 А 25 9 1 5 л
>’1—1=———— = — —. Отсюда уравнение касательной
5 9
у-4 = —(х—) или 5х + 4у-25 = 0.
4f 9^
Уравнение нормали имеет вид у — 4 = — х — J I или
20х —25>’ + 64 = 0.
5.3. На кривой у = Зх2 - 4х +1 найти точку, в которой каса-
тельная параллельна прямой у = 2х.
Решение. Пусть искомая точка касания есть тИ(хп,>’0). На-
ходим угловой коэффициент касательной в точке касания
£ = У(*о) = 6хо-4-
Поскольку касательная и прямая параллельны, то их угло-
вые коэффициенты равны 6х0 —4 = 2, откуда х0 = 1.
Подставляя найденное значение абсциссы искомой точки в
уравнение кривой, находим её ординату _у0 = 3 -12 — 4 -1 -ь 1 = 0.
Итак, точка Мимеет координаты (1,0).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
309
5.4. Найти точку линии у = х2 — 2х + 5, в которой касатель-
ная перпендикулярна прямой Зх + бу-1 = 0, составить уравне-
ние этой касательной. Сделать чертёж.
Решение. Пусть искомая точка есть Л/(х0,у0). Находим
угловой коэффициент касательной у'(хв) = 2хв —2. Угловой ко-
жд - , 1
эффициент прямой kt = -—.
Из условия перпендикулярности прямых , где к2 —
^2
угловой коэффициент касательной, находим абсциссу искомой
точки =---------—, х0 = 2. Ординату точки М находим из
2 2х0 — 2
уравнения линии у0 = хв — 2х0 +5 = 5. Уравнение касательной
будет у - 5 = 2(х - 2) или 2х - у +1 = 0.
Чтобы построить график параболы, преобразуем её урав-
нение у = х2 — 2х + 5 = (х -1)2 + 4, т. е. вершина параболы сдви-
нута на единицу вправо и на четыре единицы поднята вверх (рис.
7.10). Уравнения касательной и прямой, перпендикулярной ка-
сательной, показаны на рисунке.
Рис. 7.10
310
Гпава 7
5.5. Найти длину подкасательной, поднормали и нормали
кривой у1 = х3 в точке х0 = 1.
Решение. Данная кривая представляет полукубическую па-
раболу. Поскольку касательная и нормаль проходят через точку
х0 = 1, у0 = 1, то рассмотрим только одну ветвь кривой (рис.
7.11 ). AN— подкасательная; BN — поднормаль.
Найдём угловой коэффициент касательной в точке М:
Э '12 , 3 х2 , 3
2j/y =3х ; у' = ~—; У(1) = ^=-.
2 у 2
Угловой коэффициент нормали в точке АД 1,1) будет
1 2 3
А:, =--= —. Уравнение касательной у>-1= — (х — 1); нормали
к, 3 2
2
j,-l=--(x-l).
Найдём координаты точек А и В. Поскольку точки лежат на оси
Ох, то у = 0 и из уравнений касательной и нормали имеем А [ , 0 1,
/5 \ 1 2 V
В — 0 Длина подкасательной | AN\ =1 — = —; поднормали
^2 ) 3 3_______
|ВУ| =|-1 =|. Длина касательной | АМ\ +(1-0)2
Fs V ~ V13
длина нормали |/М/1 = J ——1 I+(1—0) =——.
ДИФФЕРЕНЦИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИИ
311
5.6. Под каким углом пересекаются кривые j/ = sinx и
_y = cosx, хе [О,тг]?
Решение. Совместно решив уравнения кривых (рис. 7. 12),
находим абсциссу точки их пересечения: sin х - cos х = 0, tg х = 1,
х0 = —. Продифференцируем уравнения кривых у -cosx и
4
у = — sin х .Найдем угловые коэффициенты касательных к кри-
вым в точке их пересечения (т. е. значения производных при
л , jz , V2
хо=^): /1'(хо) = —, /2Z(xo) = —— Отсюда по формуле (4)
пункта 3.4 имеем:
V2 V2
tg т = —- ......2^.. - -2V2, т - - arctg 2л/2.
2 2
5.7. Под каким углом кривая у = 1п^уЗх—I) пересекает ось х?
Решение. Находим точку пересечения кривой с осью Ох.
Полагая у = 0, получим: 1п(л/3х —1) = 0, х/Зх —1 = 1,
_ 2 _2л/з , Л
x~~7z~ 7 . Находим производную у =—j=-------- и угловой
х/3 3 л/Зх-1
312
Гпава 7
коэффициент касательной к кривой в точке х0 =----------:
, Л д 3
ИХо)=-------/г— = V3.
>/3-2—-1
3
Поскольку угловой коэффициент оси Ох равен нулю, то по фор-
Г -к
муле (4) пункта 3.4: tg<p = >/3 .Следовательно, искомый угол — —.
5.8. Найти длины отрезков полярных касательной, норма-
ли, подкасательной и поднормали, а также угол между касатель-
ной и полярным радиусом точки касания у спирали Архимеда
р = а ср в точке с полярным углом ср = 2л .
Решение. Представим график спирали Архимеда (рис.7.13).
Находим производную р' = а, тогда длина полярной касатель-
ной равна \MK\=-^--Jр1 +{р')1 = ^^-^4л2а2 +а2 = 2ла^\+4л2 ;
|р1 а____________________
длина полярной нормали \MN\= ^р2 +(р'У = у](2ла)2 + а2 =
= а^1\ +4л2 ; длина подкасательной ОК -
длина поднормали ON = | р' | = а.
р2 _ а2 4л2
|р1 а
= 4ал2;
Рис. 7.13
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
313
Угол, образованный касательной МК и полярным радиусом
, р а2п ~
точки касания, находим по формуле tga = -5- =-----= 2л, от-
„ Р* а
куда а = arctg2?r .
5.9. Точка движется вдоль прямой по закону 5 = It3 - Зг + 4.
Найти скорость и ускорение точки в момент времени t = Зс.
Решение. Скорость точки определяется первой производной
по времени v — — = 6t —3. При г = 3 скорость равна
dt
у(Г = 3) = 6-32-3 = 51с~1.
Ускорение точки определяется второй производной
vv = —— -12t. При t = 3 ускорение равно vv(7 = 3) = 12-3 = 36с.
dt
5.10. Угол поворота шкива в зависимости от времени задан
формулой (р = t2 + 2t + 4. Найти угловую скорость и ускорение
при t = 4 с.
Решение. Угловая скорость определяется первой производ-
ной от угла поворота по времени (О = = 2t + 2, а угловое ус-
dt
„ с d2(p э
корение определяется второй: £ = —р = 2.
dt 1
При t = 4 угловая скорость равна <У = 2- 4 + 2 = 10 — , а угло-
с
, 1
вое ускорение постоянно, от времени не зависит, и равно 2 —.
с
5.11. Снаряд выпущен вертикально вверх с начальной ско-
ростью п0 —. Определить скорость и ускорение движения сна-
с
ряда. На каком растоянии от земли и через сколько секунд
снаряд достигнет наивысшей точки? (Сопротивлением воздуха
пренебречь).
Решение. Уравнение движения тела, брошенного вертикаль-
но вверх, имеет вид
314
Гпава 7
где х — высота подъема тела за время t, g — ускорение свобод-
ного падения.
Первая производная от пути определяет скорость движения
снаряда v — v — gt, а вторая производная — ускорение w = -g.
Когда снаряд достигнет наивысшей точки подъема, его скорость
Г- va
будет равна нулю, т. е. о=v-gt, откуда время подъема t =— с.
g
Чтобы найти расстояние снаряда от земли до наивысшей
точки подъема, необходимо в уравнение движения подставить
время подъема
Л ^л I I
g 2[g J 2g-
7.12. Движение точки М определяется уравнениями
lx = acosAz,
|y = 6sinfo.
я
Определить направление скорости в момент времени t = —.
4к
Решение. Скорость направлена по касательной к траекто-
рии. Тангенс угла наклона касательной в момент t = t0 равен
dy
dt
bk cos kt
—ak sin kt
__b^
a
В момент t = — скорость направлена к положительному
4к
( b\ (b\
направлению оси Ох под углом (р = arctg — =-arctg — .
\ \a J
7.13. Количество электричества, протекшее через провод-
ник, начиная с момента времени t = 0, определяется по закону
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
315
q = 3t2 - 2. Найти силу тока в конце второй секунды.
Решение. Сила тока равна первой производной от количе-
ства электричества по времени I = — — 6t. При t =2 сила тока
dt
равна l(t = 2) = 6-2 = 12а.
5.14. Зависимость между количеством q вещества, получа-
емого в некоторой химической реакции, и временем t выражает-
ся уравнением q - А (1 - е~а‘).
Определить скорость реакции.
Решение. Скорость реакции есть производная
dq А ~О1 / \
— -Аае или q = a{A-q).
7.6. Теоремы о среднем
1°. Теорема Ролля. Если функция f (х) непрерывна на от-
резке [а,Ь], имеет конечную производную в каждой внутренней
точке этого отрезка и удовлетворяет условию /(«) = /(6) = 0,
то между а и b найдется такая точка^е]а,б[, что /'(£) = 0.
Геометрически это означает следующее: если крайние ор-
динаты кривой у = /(х) равны нулю, то на кривой найдется точ-
ка, где касательная параллельна оси Ох (рис. 7.14). Теорема
также верна, если/(«) = /(6)^0.
316
Гпава 7
2°. Теорема Лагранжа. Если функция /(х) непрерывна
на отрезке [а, Ь] и имеет конечную производную в каждой внут-
ренней точке этого отрезка, то между ам.Ь найдется такая точка
^e]a,b[, что f(b)-f(a) =(b-a)f'(&). Эта формула называет-
ся формулой конечных приращений.
Геометрически это означает следующее: на дуге АВ (рис.
7.15) всегда найдется по крайней мере одна точка М, в которой
касательная параллельна хорде АВ.
3°. Теорема Коши. Пусть функции <р(х) и 1/<(х) непрерыв-
ны на отрезке [а, Л] и имеют конечные производные в каждой
внутренней точке этого отрезка. Если эти производные не обра-
щаются в нуль одновременно и ср (а) Ф (ft), то между а и b най-
й 1 ьГ ’/'(z?W(a) ’/(О
дется такая точка $е]а,Ь[, что —(-----——если
ч ф(6)-ф(а) <?(£)
<р (х) Ф 0 в промежутке [а, Ь].
6.1. Проверить справедливость теоремы Ролля для функ-
ций:а) у = х2-2х-3 на отрезке [-1,3]; б) у = 1-V? наотрезке
[-1,11-
Решение. а) Функция определена, непрерывна и диффе-
ренцируема при всех значениях х. Значения функции на гра-
ницах отрезка равны между собой у(-1) = у(3) = 0 и функция
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИИ
317
имеет конечную производную у' = 2х-2 в каждой точке это-
го отрезка, следовательно условия теоремы Ролля выполня-
ются. Значение определяем из выражения у = 0, 2х-2 = 0,
т. е. £ = 1.
б) Функция непрерывна на отрезке [-1,1] и на концах этого
отрезка принимает равные значения у(-1) = у(1) = 0. Находим
, 2 1
производную У =~—~гу.Вточке х = 0е [-1,1] производная не
5 ух
существует. Поскольку условия теоремы Ролля не выполнены,
то теорема Ролля к данной функции неприменима.
6.2. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для фун-
кций:а) /(х) = -^х3-х + 1 на[0,1];б) /(xj^^x3-1 на[-1,1]. Если
теорема применима, то найти точку с,.
Решение, а) Даная функция на отрезке [0,1] непрерывна и
имеет конечную производную f\x) = х2 — 1 • Следовательно, ус-
ловия теоремы Лагранжа выполняются. Точку найдем из фор-
мулы конечных приращений /(1)-/(0) = (1-0)/'(^),
1 л/з а/З
—1=£'-1, £|2=±—. Поскольку Л =-------не принадлежит
3 ’3 2
>/з
отрезку [0,1], то искомое значение .
б) Функция непрерывна на отрезке [-1,1] и имеет производ-
ную f'(x) = —. Поскольку производная в точке х = 0е [—1,1]
3 Ух
не существует, то теорема Лагранжа к данной функции не при-
менима.
6.3. В какой точке касательная к параболе у — х2 + 2х па-
раллельна хорде, стягивающей точки А (-2,0) и В (1,3) ? Пояс-
нить графически.
318
Гпава 7
Решение. Наклон хорды А В (рис. 7.16) определяется угло-
вым коэффициентом к = ——— = -—- = 1. По теореме Лагран-
х2 — х, 1 + 2
жа /(1)-/(-2) = (1 + 2)/(^), 3 = 3(2£ +2), £= —Угловой
коэффициент касательной к данной кривой
к = у'(-- |=2х+2| __i = 1.
I 2 I х 2
6.4. Для функций <p(x) = sinx и i/(x) = cosx проверить вы-
д
полнение условий теоремы Коши в интервале [ 0, — ] и найти .
Решение. Найдем производные <p'(x) = cosx;
i//(x) = —sin х. Поскольку производные существуют во всех точ-
ках этого интервала и <р (а) (А); sin 0 + sin у, то условия тео-
ремы Коши выполняются.
По формуле Коши имеем
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
319
cos----cos 0 в
2 _-sm£ к
~ ’ откуда tg <; = I, д = —.
я п cose 4
sin----sm 0 ’
2
6.5. Доказать, что уравнение е1 - х -1 = 0, имеющее корень
х — 0, не имеет других действительных корней.
Решение. Пусть данное уравнение имеет еще один действи-
тельный корень х2, тогда между корнями х — 0 и хг найдется
такая точка , в которой f (<|) = 0. Обозначим левую часть
уравнения за /(х) = ех — х — 1 и найдем производ-
ную f\x) = ех -1 Приравнивая ее нулю, получим е* =1, х = 0
Поскольку это значение х совпадает с корнем уравнения, а дру-
гой точки , где бы f (£) = 0 нет, то данное уравнение не имеет
других действительных корней.
6.6. Многочлен /(х) = х4 -х3 + х2 -х имеет корни х = 0 и
г//
х = 1. Доказать, что-имеет действительный корень, принад-
dx
лежащий интервалу [0,1].
Решение. Находим производную —4х3-Зх2+2х-1.
у_. . dx
Поскольку функция /(х) удовлетворяет на интервале [0,1] ус-
ловиям теоремы Ролля, то приравниваем производную нулю
4х3 — Зх2 + 2х — 1 = 0. Даное уравнение третьей степени, следова-
тельно, имеет, по крайней мере, один действительный корень.
Поскольку многочлен---на концах интервала [0,1] имеет
dx
разные знаки, а производная от него —— 12х2 - 6х + 2 не име-
df *
ет корней, то -на данном интервале имеет один деиствитель-
dx
ный корень.
320
Гпааа 7
7.7. Раскрытие неопределенностей
по правилу Лопиталя
Если при х а функции <р(х) и i/z (х) одновременно стре-
мятся к нулю или оо, то предел их отношения равен пределу от-
ношения их производных, т. е.
iira£fcl=lim5£l
^»1/(х) (х)
При этом предполагается, что (р (х) и ц/' (х) существуют и
конечны.
Если же отношение производных также будет представлять
0 00
случай — или —, можно снова и снова применять правило Ло-
питаля.
Если неопределенности типа 0-°° или оо-оо, то сначала
приводят эти функции к виду дроби, которая представляет нео-
0 °°
пределенность — или — , а затем уже пользуются правилом Ло-
0 °°
питаля.
Нахождение предела функции в случае неопределенностей
типа Г,оо°,0° с помощью логарифмирования также сводится
0 °°
сначала к случаям — или —, а затем уже используется правило
Лопиталя.
7.1. Найти пределы: a) lim-б) lim-—C°S ;
х-*° sin Зх *-»<> 1 — cos Зх
х2 2
. .. е -х -1 Insinx
в) hm——-------; г) hm-------.
sin 2х «о ]пх
0
Решение, а) При х —> 0 имеем неопределенность вида —.
Применяем правило Лопиталя
дИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИИ
321
.. ех-1 ех 1
hm-----= lim----------- —.
*^°sin3x *->°3cos3x 3
О
б) При х —> О неопределенность вида—. Применяем прави-
ло Лопиталя
l-cos2x 2sin2x
hm---------= hm-----------.
x^° 1 - cos 3x x->° 3 sin 3x
0
При x —> О имеем неопределенность вида —. Применяем пра-
вило Лопиталя еще раз
2sin2x 4cos2x 4
hm--------= hm-------= —.
M°3sin3x *->°9cos3x 9
0
в) При x —> О неопределенность вида —. Применяем прави-
ло Лопиталя
2 2 2 х2
.. е — х —1 .. 2хе — 2х хе -х
hm-----т---= hm------------------= hm------------
*-»° sin 2х *-»°4sin 2xcos2x-2 4sin 2xcos2x
Выделим первый замечательный предел и воспользуемся
теоремами о пределах и правилом Лопиталя еще раз
zx\e -1 ех -1 1 ех -1
hm----------------= hm --------= — hm —:—
-M°8sin2xsin2xcos2x *-»°8sin 2xcos2x 8x^°sin 2x
1 2xex 1
- — hm----------------= —
8 j->° 2 sin 2x cos 2x 2 32
oo
г) При x —> О неопределенность вида—. Применяем прави-
OO
ло Лопиталя
Insinx cosxx
hm----------= hm---------= hm cos x = 1.
*-»° Inx x^° sinx x^0
322
Гпава 7
( 1 X г I 1 х
7.2. Найти пределы: a) lim-------; б) пт —-------;;
х^>(1пх х —1J х~*\х xsmx J
х ( 1
в) lim(x-7r)tg —; г) lim xsin — .
' 2 x-»“l х
Решение, а) При x —> I имеем неопределенность вида оо - оо.
Приводим к общему знаменателю и получаем неопределенность
О
-. Применяем правило Лопиталя
х — 1— xlnx Inx
hm —----------= - lim-------- =
*-»' (x-l)lnx *-»i 1пд. ! x-1
xlnx lnx + 1 1
= - lim--------------= - lim----------= —
*-»* xlnx + x-1 *-»• lnx + 1 + 1 2
б) При x —> О имеем неопределенность ( 00—00 ). Приводим к
О
общему знаменателю и получаем неопределенность —. Приме-
няем правило Лопиталя
( 1 1 sinx-x cosx —1
hm —----------= lim —-------= lim----------------
x^°^x xsinx J x-»° x sinx x->°2xsinx + x cosx
и0 2 sin x + 4x cos x - x2 sin x
cosx 1
= - lim-------------------; -----;-----------= .
m02cosx + 4(cosx — xsinx)—2xsinx—x cosx 6
в) При x —> л имеем неопределенность вида (0• °°). Приводим
О
неопределенность к виду — и пользуемся правилом Лопиталя
/ ч х .. х — п .. 1
lim (х - it) tg — = lim--= lim---------= -2.
х-»л x 2 *-»» X 1
Ctg — —
2 2
• 2 x
sin —
2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
323
г) При х ©о имеем неопределенность вида оо-о- Приво-
0
дим эту неопределенность к виду — и пользуемся правилом Ло-
питаля
. 1
I sin —
lim х sin — = lim —= lim
X froo V X—I X—
1 1
---2C0S~ 1
—-—j—— = lim cos — = 1.
___*“>“ x
2
7.3. Найти пределы: a) lim (tg х )'е2* ; б) lim (In х )х; в) lim хх;
Л х—»°° х-»0
г) Нт(х + 2Ж)Х; д) lim(l + sin2x)clg5x.
П
Решение, а) При х -ь — имеем неопределенность 1 .
Прологарифмируем данную функцию y = (tgx)tg2jI
In у = tg 2x In tg x, тогда lim In у = lim tg 2x In tg x, т. e. получим
неопределенность вида оо • о.
Представим эту неопределенность в виде неопределеннос-
0
ти — и применим правило Лопиталя
Х_Д х->- 1 х^- sin2x
4 4 — 4
tg2x
Таккак limlny = —1,то limy = e~‘ =- или limftgx)'82* ——.
я -,я е -,я 4 7 €
Х 4 Х 4 Х 4
б) Неопределенность вида оо°. Прологарифмируем данную
1 ]
функцию y = (lnx)x; In у = — In In х и сведем неопределенность
00 In In X
квиду—: lim In у = lim
324
Гпава 7
Применим правило Лопиталя
1
.. 1п1пх Y n
lim------= lim = 0.
Так как lim In у = 0, то limy = 1 и lim (In х)* =1.
в) Неопределенность вида 0°. Прологарифмируем функцию
у = х1: In у = х In х и представим неопределенность в виде —:
1
Г 1 —Г 1ИХ [лх
nminy-iun Применим правило Лопиталя lim—— = lim
А S'_ьЛ 1 S-_ьЛ I
.2
Отсюда lim In у = 0 и limy = 1. Итак limx* = 1.
г) Неопределенность вида oo°. Положим у = (x + 2X)X и про-
логарифмируем: In у = — ln(x + 2х). Применяя правило Лопита-
х
ля,получим
lim In у = lim
1 + 2х1п2
= lim----------
х + 2х
2Чп22 2х In32 , о
= lim---------— lim----— - In 2,
х-»~ 1-t-2х In 2 2х In2 2
откуда limy = 2.
д) Неопределенность вида Г. Прологарифмируем функцию
у = (1 + sin 2x)ctg5x
lim In у = lim ctg 5x In (1 + sin 2x)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
325
и приведем неопределенность к виду
О
О
.. , In(l + sin2x)
Inn In у = hmcos5x—1
sin5x
Пользуясь теоремами о пределах и правилом Лопиталя, бу-
дем иметь
2 cos 2х
ln(l + sin2x) j , sjn 2y 2 . 1 2
lim In у = hm — ------- = hm _ hm--------= —.
x^o mo sin 5X Mo 5 cos 5% 5 x-»° 1 + sin 2x 5
Tаким образом, lim (1 + sin 2x )c's5* = es.
7.8. Возрастание и убывание функций
При исследовании поведения функции у = f(x) в зависи-
мости от изменения независимой переменной х обычно предпо-
лагается, что во всей области определения функции независимая
переменная изменяется монотонно возрастая, т. е. каждое следу-
ющее ее значение больше предыдущего х2> xt.
Если при этом последовательные значения функции также
возрастают f (х2) > /(%]), то функция называется возрастаю-
щей, а если они убывают f (х2) < / (у), то функция называется
убывающей.
Возрастание и убывание функции характеризуется знаком
ее производной: если внутри некоторого промежутка у > 0, то
функция возрастает, а если у' < 0, то в этом промежутке функ-
ция убывает.
При практическом исследовании функции на возрастание и
убывание находят производную и приравнивают ее к нулю. На-
326
Гпава 7
ходят корни получившегося уравнения, а также точки, в кото-
рых производная не существует. Все эти точки, вместе с возмож-
ными точками разрыва функции, разбивают область
существования функции на ряд промежутков, на каждом из ко-
торых вопрос о возрастании или убывании функции определяет-
ся знаком производной.
8.1. Определить промежутки монотонности функций:
хг
а) у = 3х2-1 ; б) у = log„(x-l) ; а<1; в) у =--------- ;
, х ~ 1
г) у = (х + 1) (х-3) ; д) у = х21 х |.
Решение, а) Функция определена для всех значений х, т. е.
область ее существования (—°0,00). Находим производную
у = Зх2 Очевидно, что при любом х у' > 0, следовательно, фун-
кция возрастает на всем промежутке (рис. 7.17).
б) Функция существует для всех х > 1, т. е. область ее суще-
, 1
ствования (1,°°). Находим производную у ------——. По-
(х — 1) In a
скольку а < 1, то 1па<0 и у’ для всех х > 1 меньше нуля.
Следовательно, данная функция на промежутке (1, °°) убывает
(рис. 7.18).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
327
в) Функция определена для всех х кроме х = 1, где она терпит
разрыв. Находим производную у =^-—и приравниваем ее к
Х\Х~~ 2. ]
нулю------у = 0. Это уравнение имеет два корня: х, = 0, х, - 0.
(х—1)
Учитывая точку разрыва х = 1, разбиваем числовую ось на
промежутки (рис. 7.19) и определяем знак производной на каж-
дом из них. Следовательно, функция возрастает на промежутках
(-оо,0) и (2,0°) и убывает — (0,1) и (1,2). На рис. 7.20 показан
график функции.
Рис. 7.20
328
Гпава 7
г) Функция определена на всей числовой оси х. Находим
производную у' = 3(х + 1)2(х-3) + (х + 1)3 =4(х + 1)2(х-2). Из
уравнения (х + 1)2(х —2) = 0 определяем корни производной
х1>2 и = 2. Корни уравнения определяют три промежутка
]-о°,-1]; ] -1,2] и ]2,°°[. Из выражения производной видно,
что при переходе через корень х12 =-1 производная не меняет
знака. При х < -1 и при —1 < х < 2 имеем: у' < 0, следовательно,
функция убывает. При х > 2 производная у' > 0, следовательно
функция возрастает.
д) Функция у определена на всей числовой оси. Находим ее
производную
, Зх2 при х > 0;
У =1 2
[-Зх при х < 0.
Отсюда следует, что функция при х < 0 убывает, так как
у' < 0 при любом значении х, а при х > 0 возрастает, так как у' > 0.
Г рафик этой четной функции показан на рис. 7.21.
Рис. 7.21
х3
8.2. Доказать справедливость неравенств: a) tg х > — + х при
7Г X3
®<х<~;б) х>1п(1 + х) прих>0;в) х—— <sinx<x прих >0.
о
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
329
Решение, а) Найдем производную функции у = tg х - — — х
для указанных значений х: У —-;--х2 -1 = tg2 х-х2.
cos х
Поскольку tg2x-х2 >0,таккак tg2x>x2, tgx>x,Toy'>0
х3 х3
и функция возрастает, откуда tg х -—-х>0 или tg х > — + х.
б) Найдем производную функции у = х — 1п(1 + х):
1+х х+1
При х = 0 функция имеет минимум, а при
х > 0, у'>0 и функция возрастает. Следовательно,
х - 1п(1 + х) > 0, откуда х > 1п(1 + х).
в) Рассмотрим систему неравенств
х
х----< sinx,
3
sin х < х.
х3
Введем функции /(х) = х —— - sin х, <р(х) = sin х - х и най-
дем их производные /'(х) = 1 - х2 - cos х, <р'(х) = cos х -1. При
х > 0 /'(х) < 0, так как 1 -х2 < cosx, и <р'(х) < 0 или равна
нулю для значений х = 2лк {к =0,1,2,...), так как cosxcl-
х3
Функции убывающие, следовательно х-—-sm х<0 и
х3 .
sinx —х<0, откуда х------<sinx<x.
7.9. Максимум и минимум функции
1°. Значение функции у = /(х) в точке х0 называется мак-
симальным {минимальным), если оно является наибольшим (наи-
меньшим) по сравнению с ее значениями во всех достаточно
близких точках слева и справа от х0.
330
Гпава 7
Максимум и минимум функции называется экстремумом
функции. Значения аргумента, при которых функция имеет эк-
стремум, называются критическими значениями или критичес-
кими точками.
Чтобы найти экстремальные значения функции, надо найти
ее производную f'(x) и, приравняв ее к нулю, решить уравне-
ние /'(х) = 0. Корни этого уравнения, а также точки, производ-
ная в которых не существует, являются критическими точками,
т. е. значениями аргумента, при которых может быть экстремум.
Если знак производной при переходе через точку х0 меняет-
ся с плюса на минус, то х0 есть точка максимума; если знак про-
изводной меняется с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума;
если знак не меняется, то в точке х0 экстремума нет.
Иногда проще исследовать критическую точку по знаку
второй производной.
Если в критической точке, где первая производная равна
нулю, f"(x0) > 0, то х0 есть точка минимума; если f"(xa) < 0,
то х0 есть точка максимума; если /"(хо) = О, то такую точку
исследуют по первой производной.
2°. Если функция задана неявно F(x, у) = 0, то для того что-
бы у'х =——-— = 0, должно выполняться равенство
Fy(x,y)
F'(x,y) = 0. Здесь F' и F' производные от функции F по хну,
найденные в предположении, что у и х не зависят от х и у, соот-
ветственно. Решая совместно F(x, у) = 0 и F'(х, у) = 0, находим
критические точки. Экстремум функции в критических точках
находят по знаку второй производной у'^
F"
. Если в кри-
тической точке у" < 0, то это точка максимума; если у" > 0, то
это точка минимума.
аИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИИ
331
х3 х2
9.1. Исследовать на экстремум функции: а) у - —-— - 2х;
б) у = х(х-2)3.
Решение: а) Находим производную у = х2 - х - 2. Прирав-
ниваем ее к нулю х2 - х - 2 = 0. Корни этого уравнения л, = -1;
л2 =2 являются критическими точками.
Представим производную в следующем виде
_/ = (х + 1)(х — 2) и рассмотрим методом интервалов, как меня-
ется знак при переходе через критические точки (рис. 7.22 ).
Рис. 7.22
При переходе через точку л, =— 1 производная меняет знак
с плюса на минус, а при переходе через л2 - 2 с минуса на плюс.
Значит, при X] =-1 функция имеет максимум, а при л2 = 2 фун-
кция имеет минимум.
7
Находим экстремальные знчения функции: /(—1) = — —
максимум функции; f (2) = — — минимум функции. График
функции показан на рис. 7.23.
Рис. 7.23
332
Гпава 7
б) Находим производную у' = 2(х — 2)2(2х — 1) и приравни-
ваем ее к нулю (х - 2)2 (2х -1) = 0. Корни этого уравнения х, = 2,
'2
1
= — являются критическими точками.
При переходе через точку Xj =2 производная знака не меня-
ет, поскольку данный множитель в квадрате, а при переходе че-
рез точку х2 = — меняет знак с минуса на плюс. Значит, при
1 ,
х2 = — функция имеет минимум.
Находим экстремальные значения функции, а именно ми-
нимум функции f
рис. 7.24.
—. График функции показан на
Рис. 7.24
X4 2
9.2. Исследовать на экстремум функции: а) у = — - 2х +1;
б) у = х3 в) у = 4х-5у[х* .
Решение, а) Находим первую производную у = х3 -4х и
приравниваем ее к нулю х(х2 - 4) = 0. Корни этого уравнения:
X, =0, х2 = 3, х3 = -2 являются критическими точками.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
333
Находим вторую производную у" = Зх2 - 4 и выясним знак
второй производной в критических точках: у" (О) <0 — функ-
ция имеет максимум; у"(2) >0 — функция имеет минимум;
у"(-2) > 0 —функция имеет минимум. Определяем экстремаль-
ные значения функции: /(0) = 1 — максимум функции;
f (2) = —3 — минимум функции; f (—2) = —3 — минимум функ-
ции. График функции показан на рис. 7.25.
Рис. 7.25
б) Находим первую производную у = Зх2 - х3 и приравни-
ваем ее к нулю х2(3 —х) = 0. Корни этого уравнения:
Х( = 0, х2 — 3 являются критическими точками.
Находим вторую производную у" = 3х(2-х) и выясним
знак в критических точках.
При х2 = 3 вторая производная у"(3) < 0 —функция имеет
максимум. При X! =0 вторая производная у"(0) = 0, следова-
тельно, судить об экстремуме нельзя. Проверим наличие экстре-
мума по первой производной. Поскольку при переходе через
точку х, = 0 первая производная знака не меняет, то в точке х, = 0
экстремума нет.
Определяем в точке х2 = 3 максимальное значение функ-
27
ции fO) = ~7~-
4
334
Гпава 7
График функции показан на рис. 7.26.
в) Функция определена на всей числовой оси. Находим про-
изводную у =4-4-^= = -~=-(Vx -1). Приравниваем производ-
ную к нулю (V* -1) = 0 и находим критическую точку х, = 1. При
переходе через точку х, = 1 производная у' меняет знак с мину-
са на плюс, следовательно, в точке х} = 1 функция имеет мини-
мум у(1) = -1.
Приравнивая к нулю знаменатель производной, получаем
э/х = 0. Отсюда находим критическую точку функции х2 = 0,
в которой производная не существует. Очевидно, что в точке
х - 0 производная у' > 0, а в точке х + 0 производная у' < 0. Сле-
довательно, х2=0 есть точка максимума функции у(0) = 0
(рис. 7.27).
9.3. Найти экстремальные значения функций:
а) ху2— х2 у = 2a3; б) х4 +у4-4ху = 0
Решение, а) Функция задана неявно. Находим Fx -у1 - 2ху
и Fv = 2ху - х2 •
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
335
Производная у' = 0 тогда, когда Fx = 0, т. е. у1 - 2ху = 0.
Решая совместно систему
ху1 — х3у = 2а3,
у1 -2ху = О,
находим критическую точку х = а, у = 2а .
„ 2 у
Вычисляем вторую производную уа —----у. В критичес-
2ху — х
„ 4
кой точке уа = — и уа > 0, если а > 0, и ухх < 0, если а < 0.
Таким образом, функция у при а > 0 имеет минимум, а при а < 0
имеет максимум.
б) Находим Fx = 4х3 — 4у, F = 4у3 -4х и приравниваем к
нулю Fx = 0, х3-у = 0 •
Из решения системы
х4 + у4 — 4ху = 0,
х3-у = 0
находим критические точки х = 0, у = 0; х = l/з, у = V27 и
х =
336
Гпава 7
о ,, Зх2
Вычисляем вторую производную уа = —— и определяем
У -X
ее знак в критических точках. Поскольку при х = 0,у = 0 и
F = 0, то в окрестности этой точки уравнение может опреде-
лять у как неоднозначную функцию от х, поэтому точку (0,0)
оставляем в стороне.
П 8Д " 3</3
При х = v3 вторая производная
т. е. при х = д/з функция имеет максимум, равный Vmax = \
3^9 3<5
При х = -д/з вторая производная у'
т. е. функция имеет минимум, равный утах
7.10. Наибольшее и наименьшее
значение функции
Наибольшим значением функции у = f(x) на некотором
отрезке [а,Ь] называется самое большое, а наименьшим значе-
нием — самое меньшее из всех ее значений.
Если функция непрерывна в некотором интервале и имеет
только один экстремум и если это максимум (минимум), то он
будет наибольшим (наименьшим) значением функции в этом ин-
тервале (конечном или бесконечном).
При определении наибольшего и наименьшего значения
функции на отрезке [а,Ь] приравнивают первую производную к
нулю у' = 0 и находят критические точки, лежащие внутри от-
резка [а,6]. Далее вычисляют значения функции в этих точках и
на концах отрезка [а,Ь], т. е. находят f(a) и f (b). Из сравнения
значений функции в этих точках определяют наибольшее и наи-
меньшее значение функции.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИИ
337
10.1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
на отрезке: а) У = ——[-2; 2]; б) у = х + cos 2х, [0;—];
в) у = х3 + 3х2-9х + 20, [-6,2] •
Решение, а) Находим производную функции
, 1 + х2-2х2 1-х2 2 1 л
у = ——--—— = ----— и приравниваем ее к нулю х —1 = 0.
Отсюда критические точки будут х = 1, х = -1. Поскольку кри-
тические точки лежат внутри интервала, то находим значения
функции в этих точках: у(1) = —, у(-1) = -—. Вычисляем значе-
2 2
ния функции на концах отрезка [—2;2]: у(—2) = -—, у(2) = ~.
Теперь сравниваем значения функции в критических точках и в
точках на концах отрезка. Из сравнения видно, что наибльшее
значение функции будет У (1) = —, а наименьшее у(— 1) = ~~. Гра-
фик функции на отрезке [-2;2] показан на рис. 7.28.
б) Вычислим производную у = 1 - 2 sin 2х, приравняем ее к
нулю 1 - 2 sin 2х = 0 и находим критические точки, принадлежа-
щие отрезку [ 0; — ].
„ 3 п
В данном случае имеем только одну критическую точку х =—.
338
Гпава 7
Вычисляем значение функции в критической точке и на кон-
цах отрезка
( л ) л л/З бл/3 + л /лЧ , (л) 2л-3
(12 J 12 2 12 v ’ (3 J 6
Сравнение найденных значений функции показывает, что
л+6а/з
-----------------------------------------------------, а
12
с ( л 1
наибольшее значение в точке экстремума у^— =
наименьшее на конце отрезка у ( — ]= ——-. График функции
I 3 I 6
Л 4 7
на отрезке [0; — ] показан на рис. 7.29.
в) Вычисляем производную у = Зх2 + 6х - 9 и, приравнивая
ее к нулю, находим критические точки
х2 + 2т-3 = 0, %! =1, х2 = —3. Поскольку критические точки ле-
жат внутри отрезка [- 6,2], вычисляем значения функции в кри-
тических точках у(1) = 15, у(-3) = 47 . Находим значение
функции на концах отрезка у(-6) = -34, у(2) = 22.
Сравнивая вычисленные значения функции в критических точ-
ках и на границе отрезка, заключаем, что наибольшее значение
находится в критической точке х = -3и равно у(-3) = 47, а наи-
меньшее в граничной точке х = - 6 и равно у (-6) = -34 (рис. 7.30).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
339
Рис. 7.30
10.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функций:
2 ____________________________________
a) f(x) = e 2 ; б) <р(х) = sin4 х + cos4 х; в) /(x) = Vx2-l.
а) Функция определена на всей числовой оси, а изменение
аргумента х не ограничено каким-либо отрезком, поэтому сле-
дует исследовать значения функции при хе] — оо, оо£ .
х2
Вычисляем производную /'(х) = -хе 2 и, приравнивая ее к
нулю, находим критическую точку х = 0. При переходе через эту
точку производная функции меняет знак с + на -, следователь-
но, х = 0 точка максимума /(0) = 1. При х +°° функция бес-
конечно убывает, но наименьшего значения не имеет (рис. 7.31).
б) Функция определена на всей числовой оси. Изменение
аргумента не ограничено отрезком, поэтому рассмотрим значе-
ния функции при х е ] — оо, °о[.
340
Гпава 7
Находим производную <р'(х) = 4sin3 хcosx-4cos3 xsin х и
приравниваем ее к нулю 2 sin х cos x(sin2 х - cos2 х) = 0, откуда
яп я яп
sin2xcos2x = 0, sin2x = 0, cos2x = 0, +i- — , X2~~^+~2~
Подставляя найденные критические точки в функцию находим, что
7ГТ1
при х = — (п = 0, ± 1, ± 2, ...) функция имеет наибольшие значе-
ния равные единице, а при Х-—(1 + 2л) (л = 0,±1,+2, ...)—наи-
4
1
меньшие значения равные —.
в) Функция задана и определена на всей числовой оси. Ис-
следуем значения функции при хе]-°о,°о[. Найдем производ-
, 2 1
ную f (х) = --j=. В точке х = 0 производная не существует.
3 ух
Значение функции при х = 0 равно-1. При х -> ±°° функция нео-
граничено возрастает.
Следовательно, наименьшее значение функции будет
/(0) = -1, а наибольшего значения функция не имеет (рис. 7.32).
7.11. Решение задач на максимум и минимум
При решении задач на максимум и минимум по условиям
задачи следует составить функцию, приняв одну из переменных
ЛИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
341
за основную и выразив все остальные переменные через нее.
Далее следует исследовать эту функцию на экстремум по иско-
мой переменной, т. е. найти наибольшее или наименьшее значе-
ние полученной функции. Интервал изменения независимой
переменной определяется из условий задачи.
11.1. Объем цилиндра V. Найти радиус основания, при ко-
тором цилиндр имеет наименьшую полную поверхность.
Решение. Полную поверхность цилиндра принимаем за фун-
кцию. 5 = SOCII + S6ak = 2л R2 + 2л RH = 2л (R2 + RH), где Н— вы-
сота цилиндра, R — радиус основания. Объем цилиндра
V = лR2H, отсюда Н = —. Исключая Н из выражения пол-
яг/?2
7 , И
ной поверхности цилиндра, получим 5 = 2^1 R и-. Вычис-
I лR J
, ( И I
ляя производную по R: S =2л1 2R------ и приравнивая ее к
I я/? I
у
нулю 2R------- = 0, находим, что минимум наименьшей полной
лR ____
/И
поверхности будет при радиусе R — / ——.
N 2л
п
Действительно, вторая производная при R = ?— равна
V 2л
, ( 2V \
S =2л 2 + —- = 12л >0.
I J
То есть найденное значение радиуса определяет наимень-
шую полную поверхность.
11.2. В данный шар вписать конус с наибольшим объемом.
Решение. Объем конуса, вписанного в шар (рис. 7.33), ра-
1 2
вен V = —лНг , где Н — высота конуса, г — радиус основа-
ния.
342
Гпава 7
С
Рис. 7.33
Обозначим за R — радиус шара, тогда из дОО'В имеем:
(О5)2 =(ОО')2+(<9'5)2, Л2 =(Я-Л)2+г2, г2 =1HR-H2 От-
сюда V = ^n(2H2R - Я3). Принимая объем конуса за функцию,
наибольшую его величину находим, исследуя эту функцию на
экстремум: = у(4ЯЛ-ЗЯ2), 4HR-3H2 =0, Н = 0, H = ^R-
При Н = 0 функция, естественно, не может иметь наибольшего
4
объема. При H = —R производная VH меняет знак с плюса на
минус, т. е. функция имеет максимум. Следовательно, наиболь-
ший объем конуса, вписанного в шар, при высоте конуса
4 [ЗУ
Н = —R, где радиус шара R = ^1—
г 2
11.3. На эллипсе “ + ~-1 даны две точки а(у/з,— 2) и
В (-2^,1) . Найти на данном эллипсе третью точку С такую,
чтобы площадь треугольника АВС была бы наибольшей.
Решение. Обозначим координаты искомой точки С за
х, у, тогда площадь треугольника по формуле
ОИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИИ
343
S - у I [*1 (У2 ~ Уз)+ х2 (Уз ~ У1) + хз (У} ~ У2)] I будет иметь вид
S = | (х/3(1 - у) - 2х/з(у + 2) + х(-2 -1)) = | (х/з -3^ -4х/з - Зх).
Из уравнения эллипса, как уравнения связи, находим
х = ±715-3/ •
Рассматривая площадь треугольника как функцию, иссле-
дуем ее на экстремум, беря производную по у: S' = ± (-Зх/3 - Зх'),
2хх 2 у , 3 v 1 ( „ гх
-rr+V=°- = s-=7-^+
. При отрицательном
Лл/15-Зу2 -Зу = 0, у =
значении у производная знака не меняет. При переходе через точку
производная S'y меняет знак с плюса на минус,
, то площадь
следовательно, если координаты точки С
треугольника АВС наибольшая.
11.4. Число 64 разложить на два таких множителя, чтобы
сумма их квадратов была наименьшей.
Решение. Обозначим множители за х и у, тогда ху = 64. Сум-
2 2 2 642
му квадратов обозначим за z = x +у,z=x и—— . Найдем
х
642
минимум функции:/=2х-2—у, х4-642=0, (х2-82)(х2+64) = 0.
Производная меняет знак с минуса на плюс при переходе че-
рез точку х = 8 (рис. 7.34), т. е. функция имеет минимум, сле-
довательно, при х = 8, у = 8 сумма квадратов наименьшая.
344
Гпава 7
Рис. 7.34
11.5. Из углов квадратного листа железа со стороной а нуж-
но вырезать одинаковые квадраты так, чтобы, согнув лист по
пунктирным линиям (рис. 7.35), получить коробку наибольшей
вместимости. Какова должна быть сторона вырезанного квад-
рата?
Решение. Если обозначить сторону вырезаемого квадрата
через х, то сторона основания коробки будет равна a - 2х, а вы-
сота — х. Объем коробки выразится функцией V - (а - 2х)2 х,
причем хе [0, —]. Находим максимум этой функции:
V' = (a-2x)(a-6x), (a -2x)(a -6х) - 0. Производная меняет
знак с плюса на минус при переходе через х = — (рис. 7.36). Сле-
6
довательно, наибольшая вместимость коробки будет при сторо-
не вырезаемых квадратов равной
a
6 ’
аИФФЕРЕНИИАПЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
345
11.6. Кусок угля массы т, лежащий на горизонтальной кон-
вейерной ленте, должен быть сдвинут приложенной к нему си-
лой (рис. 7.37). Под каким углом ф к горизонту следует
приложить эту силу, чтобы величина ее была бы наименьшей,
если коэффициент трения угля по резине д = 0,6 ?
Решение. Разложим силу Рна горизонтальную и вертикаль-
ную составляющие: F cos ф и F sin ф. F cos ф — сдвигающая
сила. Прижимающую силу находим, как разность силы веса кус-
ка и вертикальной составляющей mg -Р$тф , где g — ускоре-
ние свободного падения. Согласно закону Кулона сдвигающая
сила равна прижимающей, умноженной на коэффициент трения,
umg
т. е. F cos ф - u(mg - F sinю). Отсюда F —-----.
cos ф + /г sin ф
Наименьшее значение силы будет при наибольшем значе-
нии знаменателя у = cosф + р sin ф. Для отыскания наибольше-
го значения у приравниваем у' к нулю, получим
346
Гпава 7
- sin <р + ц cos <р-0, откуда tg(p = pi, <p = arctg/z при <ре[0,у].
Поскольку у" = - cos <р - /г sin (р < 0 при <р = arctg ц, то знамена-
тель у принимает наибольшее значение, а соответственно, сила —
наименьшее, т. е. прилагать силу под углом <р наиболее выгод-
но. Угол <р — называется углом трения и в нашем случае равен
<p = arctgO, 6.
11.7. Сопротивление балки прямоугольного поперечного
сечения на изгиб пропорционально произведению ширины этого
сечения на квадрат его высоты.
Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной
из круглого бревна диаметром d, чтобы ее сопротивление на из-
гиб было наибольшим?
Решение. Обозначим высоту балки через h, ширину через b
(рис. 7. 38).
Рис. 7.38
Сопротивление на изгиб определяется функцией у - bh2. Так
как h2 =d2 — b2 ,то у = b(d2 —b2). Исследуем эту функцию на эк-
43d
стремум: y' = d2—3b2, d2 —3b2 =0, Z> = ——• Найдем вторую
производную у" = — 6Ь, при b = -^-d, у" = —143 d < 0. По-
>, 4з
скольку у < 0, то сопротивление балки на изгиб при Ь = —d
будет наибольшим, высота балки при этом будет h — d—d.
аИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИИ
347
11.8. Тело движется по закону S = 21r+ 3?2 - Z3. Найти его
максимальную скорость.
dS
Решение. Обозначим скорость v — — за функцию, которую
необходимо исследовать: v = 21 + 6t - 3z2.
Исследуем функцию: v' = 6 — 6/, при t = 1 производная
ц' = 0. Так как v" = -6 для любого t, то при t = 1 функция и
имеет максимум, т. е. цтах — 24 ед.скорости.
11.9. Уравнение движения снаряда, вылетающего из ство-
ла орудия с начальной скоростью v0 имеют вид
х = va cosa t,
где t — время, g — ускорение свободного падения, а — угол
между горизонтом и направлением вылета.
Определить, под каким углом следует произвести выстрел,
чтобы получить наибольшую дальность полета, если орудие стоит
у подножья возвышенности, поверхность которой наклонена под
углом /3 к горизонту (рис. 7.39).
Рис. 7.39
Решение. Поскольку требуется найти наибольшую дальность
полета в зависимости от а, то дальность полета х примем за
функцию, а а — за независимую переменную. Для этого, ис-
348
Гнева 7
ключая из уравнений движения запишем уравнение траекто-
gx2
рии ^ = xtga-———.
2у0 cos a
Из условия равенства ординат в точке А прямой ОА (рис.
7.39) y = xtg/3 и уравнения траектории находим, что
РХ2 rf
xtg/3 =xtga-—--------— или х = — (sin2a-2cos2atg/3).
2у0 cos a g
Находим производную от дальности по a
— = 2—(cos 2a + sin 2a tg В)
da g
и приравниваем ее к нулю cos 2а + sin 2а tg Д = 0 , откуда
ctg2a = -tg/3, 2a = y+/3 или а = + Находим вторую
с/2х , . _ _
производную =4--(-sm2a+cos2atgj3). При а--\—+р
d2x п „
вторая производная--< 0, следовательно, найденный угол а
da2
обеспечивает наибольшую дальность полета.
11.10. Два источника света расположены друг от друга на рас-
стоянии 25м. На прямой, соединяющей эти точки, найти наименее
освещенную точку, если силы света источников относятся, как 27:8.
Решение. Пусть источники находятся в точках А и В, причем
в точке А находится наиболее сильный источник. Считаем, что
точка С наименее освещена и отстоит от точки Л на расстоянии х
(рис. 7.40), тогда СВ = 25 - х. Если силу света более сильного ис-
8
точника принять за I, то сила света другого источника будет — 1.
-о--е--&•
А СВ
Рис. 7.40
ОИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИИ
349
Поскольку освещенность точки прямо пропорциональна
силе света и обратно пропорциональна квадрату расстояния от
точки до источника света, то, учитывая, что выбранная точка
освещается обоими источниками света, функция освещенности
в зависимости от расстояния примет вид
I 8 I
Е — —— ч---------z-.
хг 27 (25-х)2
тт t 16 I
Находим производную £ =-2^-Н--------------г иприрав-
X1 27 (25-х)
8 2
ниваем ее к нулю, откуда (25 —х)3 ——х3 = 0 или 25 — х = —х.
Таким образом, наименее освещенная точка отстоит от ис-
точника Л на расстоянии х = 15м.
Докажем это. Возьмем вторую производную от освещенно-
T-.tr А I 48 I „
сти Е - 6—Ч-------------. Нетрудно заметить, что Е > 0 при
х (25 д.)
х = 15, следовательно, точка С есть точка минимума функции.
11.11. Электрическая лампа висит над центром круглого
стола радиуса г. На какой высоте над столом должна находится
лампа, чтобы книга, лежащая у края стола, была лучше всего
освещена?
Решение. Обозначим высоту через х (рис. 7.41). Зная, что
освещенность Е прямо пропорциональна косинусу угла падения
и обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника
света, составим функцию: Е = к -COS2-, где к = const Из треу-
R
гольника SA О находим: R = \/х2 + r2 , cosa =
= . Тогда
,2
Е = к
350
Гпава 7
, г2-lx2
Находим производную Е =к---------и приравниваем ее
(х2 + г2у
к нулю г2 - lx2 = 0, откуда х = . Чтобы выяснить, имеет ли
функция приданном значении х максимум, находим знак второй
гл/2
2
гл/2 3х(2х2-3г2)
производной при х =----: Е = к---------?—, Е
2 (х2+г2)2 . ,
следовательно, функция имеет максимум и при высоте лампоч-
ки х = книга лучше всего освещена.
11.12. Завод А отстоит от железной дороги, проходящей че-
рез город В, считая по кратчайшему расстоянию, на а км. Под
каким углом а к железной дороге надо провести шоссе с завода
А, чтобы доставка грузов из А в В была наиболее дешевой, если
стоимость перевозок по шоссе в два раза дороже, чем по желез-
ной дороге?
Решение. Обозначим стоимость перевоза груза на расстоя-
ние 1км по железной дороге за т руб., тогда стоимость перевоза
ОИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
351
по шоссе будет 2т руб. За b км обозначим расстояние от В до С
(рис. 7.42). Из треугольника ACD длина шоссе AD = —-— км.
sin а
Длина железной дороги DB = b — a ctga , км.
Отсюда стоимость z перевозки груза с завода А в город В
2та ,,
равна z =-----hm(o-actga).
sin а
Рис. 7.42
IT dz ma(l-2cosa)
Находим производную — =------*— ------- и приравнива-
ла sin2 а
1 7Г
ем еек нулю l-2cosa = 0, cosa = —, а = —. Исследуем функ-
л:
цию на экстремум при а = у по знаку второй производной:
d2z 2am (1-cos а+cos2 а)
da1 sin2 a
Следовательно, функция имеет минимум и, чтобы доставка
груза была наиболее дешевой, то шоссе следует проводить под
п
углом а = —.
11.13. Два самолета летят с одинаковой скоростью
V км/ч, в одной плоскости, прямолинейно и под углом 60° друг
к другу. В некоторый момент один самолет пришел в точку
пересечения линий движения, а второй не дошел до нее на а км.
352
Гпава 7
Через сколько времени расстояние между самолетами будет
наименьшим и чему оно равно?
Решение. По условию, когда один самолет был в точке А,
другой был в точке В, отсюда АВ = а (рис. 7.43). За время t са-
молеты пройдут путь, соответственно: ААХ = vt, ВВ} = vt. Отсю-
да АВ, — АВ — ВВ} — a — vt. Пусть расстояние между самолетами
AXBX=S, тогда по теореме косинусов получим
£ _1_
S = ((vf)2 +(a-vt)2-2y/(a-y/)cosl20°)2 или S = (v2t2-2vt + a2)2.
2v2t — av
Найдем производную 5 =---------------j- и приравняем
2(v2t2 -avt + a2y
ее к нулю: 2v2t — av = 0, t = — . Вторая производная
2v
2v\v2t2-avt + a2)- — (2v2t-av)2 a
S —-------------------—5--------- при t = — больше нуля,
2(v2t2 -avt + a2y
следовательно, функция имеет минимум.
a
Наименьшее расстояние между самолетами через t = —
2v
будет равно
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
353
/ 2
о 2 <3 2
S= v —--av— + а
4у 2v
2 х/3
=—а
2
11.14. Стоимость топлива для судна пропорциональна кубу
его скорости. При какой скорости судна общая сумма расходов
на 1км пути будет наименьшей, если при скорости 20 км/ч рас-
ходы на топливо составляют 40 руб.в час, а остальные расходы
270 руб. в час?
Решение. Обозначим стоимость топлива через q, тогда
q = kv3, где к — коэффициент пропорциональности найдем из
условия 40 = к-203, Л: = 0,005.
Общая стоимость плавания судна в течение часа в рублях
находится по формуле Q = a + q = a + kv3, где а - 270руб. осталь-
ные расходы. Затраты на 1км пути выразятся в виде функции
. . Q а 2
м(у) = — = — + av .
V V
Для нахождения общей наименьшей суммы расходов на 1км
f с*
пути вычисляем производную и =—-+2ки и приравниваем ее к
V
нулю 2ки3-а = 0. Подставляя числовые значения, получим
v = 30 км/ч. Вторая производная
2а 540
и'=~+2£=^——+0,01=0,03>0,
г? 27000
следовательно, при скорости судна v = 30 км/ч общая стоимость
расходов на 1км пути будет наименьшей и составит
270
u=—-t-0,005-302 =13,5 руб.
30
354
Гпааа 7
7.12. Направление выпуклости кривой.
Точки перегиба
Если кривая расположена в некотором интервале ниже лю-
бой своей касательной, то она назыается выпуклой вверх, а если
кривая расположена выше любой своей касательной, то она на-
зывается выпуклой вниз.
Функция у — f(x) выпукла вверх, если /"(х) < 0 и выпук-
ла вниз, если /"(х) > 0. Если f"(x0) = 0 в некоторой точке х0,
бесконечна или вовсе не существует и /"(х) меняет знак при
переходе через точку х0, то график функции в точке х0 имеет
перегиб. Если же f"(x) сохраняет знак, то перегиба нет.
Чтобы исследовать кривую у = f(x) на направление вы-
пуклости, надо найти вторую производную и приравнять ее к
нулю /"(х)=0. Корни этого уравнения, а также возможные точки
разрыва функции и второй производной разбивают область оп-
ределения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом
из интервалов определяется знаком второй производной.
12.1. Исследовать на направление выпуклости и найти точ-
ки перегиба кривой: а) у = Зх4 - 8х3 + 6х2 - 9;; б) у = х4 - х +1.
Решение, а) Функция определена для любого значения х.
Находим производные: у = 12х3 - 24х2 +12х; у" = 3 6х2 - 48х +12
и приравниваем вторую производную к нулю (х — 1)(х-^=0.
Корни этого уравнения х, = 1 и х2 = разбивают область опре-
деления функции на три интервала. Определяем методом интер-
валов (рис. 7.44) знак у" на каждом промежутке.
Поскольку у" при переходе через эти точки меняет знак, то
в точках х = ^ и х-1 функция имеет перегибы. На интервалах
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
355
и ]1,°о[ кривая выпукла вниз, а на интервале ]—, 1 [
выпукла вверх.
Рис. 7.44
б) Найдем вторую производную и приравняем ее к нулю:
у=4хъ-1; у" = \1х2', 12х2=0; х = 0.
При х = 0 вторая производная у" = 0. Поскольку вторая
производная при переходе через точку х - 0 знака не меняет и
при любом значении х положительна, то кривая на всей число-
вой оси направлена выпуклостью вниз.
12.2. Исследовать направление выпуклости и найти точки
5 2
перегиба кривой: а) у = 1 + (х-3)3; б) у = х3; в) у = 1— | jc3 -11.
,5 - „ 10
Решение, а) Находим: у = —(х-3)3, у = у. Вторая
производная не существует в точке х = 3 и не обращается внуль
ни при каких значениях х. При переходе через точку х = 3 вторая
производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точ-
ка (3,1) является точкой перегиба. Поскольку при хе]-°°,3[
у " < 0, то в этом интервале кривая выпукла вверх. При х е ] 3, °° [
у" > 0, следовательно, кривая выпукла вниз.
2 —
б) Найдем вторую производную: у' = — х 3,
3
2 4 2
У — х -—ТгТ' Производная у нигде в нуль не обра-
356
Гпава 7
гцается. При х — 0 вторая производная не существует. При пере-
ходе через точку х = 0 вторая производная знака не меняет:
у"(0-Е)>0, _/'(0+е)>0, £ >0. При хе]-оо,°о[ у"<0, сле-
довательно, кривая выпукла вверх на всей числовой оси.
в) Находим точки х, в которых у" = 0 или не существует:
у' = ±3х2, у" = ±6х, где знак плюс соответствует значениям
хе]-°о,1[ (х3-1<0), а минус—хе]1,°°[ (х3-1>0).
Поскольку при х = 0 вторая производная у " = 0, а при х — 1
не существует, то эти значения х могут быть абсциссами точек
перегиба. Знак у" слева и справа от точек х = 0 и х = 1 показан
на рис. 7.45. Так как у" при переходе через точки х = 0 и х = 1
0 1
Рис. 7.45
меняет знаки, то х = 0 и х = 1 — абсциссы точек перегиба. При
хе]-°о,0] у"<0 — кривая выпукла вверх, при
х е]0,1] у" > 0 — кривая выпукла вниз, при х е]1, °°] у" < 0 —
кривая выпукла вверх. Определяя ординаты точек перегиба
у(0) = 0, у(1) = 1, строим кривую (рис. 7.46).
Рис. 7.46
аИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
357
7.13. Асимптоты кривой
1°. Прямая у — кх + b называется наклонной асимптотой
для кривой у = f(x) при х -=> ±°°, если lim [/(х) - (кх + й)] = 0,
X—Э±О°
т. е. если расстояние от точки кривой до прямой стремится к
нулю. Параметры к и b находятся с помощью пределов
/(х)
к = lim---- и b = lim (f (х) - кх). Если хотя бы один предел
х—х х—
бесконечен, то асимптот нет.
Если lim f(x) = b, то кривая у — f(x) имеет горизонталь-
х—
ную асимптоту у = Ь.
Если lim f(x) = оо , то кривая у = f(x) при приближении х
к а будет безгранично приближаться, уходя в бесконечность, к
вертикальной прямой х = а. Прямую х — а называют вертикаль-
ной асимптотой. Как правило, это точки разрыва.
2°. Если кривая задана параметрически х = <р(/),
то исследуют, нет ли таких значений параметра t, при которых
функции (/>(/), </(/) или одна из них обращается в бесконеч-
ность.
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид у = кх + b, где
£ = lim^^y, b = lim(ip(t)-k(p(г)),причем <р(?0)=,/(/о)-00-
Если при i/a(/0) = <p(t0) = С, то кривая имеет вертикаль-
ную асимптоту х = С. Если при <р(/(|) = y(t0) = С, то кривая
имеет горизонтальную асимптоту у = С.
3°. Если кривая задана уравнением р = р(<р) в полярной
системе координат, то, преобразовав уравнение кривой к пара-
метрическому виду по формулам х = pcos<p = p(<p)cos<p,
у = р sin <р = р (<р) sin <р, ее асимптоты находят по предыдущему
правилу.
358
Гпава 7
4°. Если кривая задана уравнением F(x,y) = 0 (т. е. неяв-
но), то для отыскания асимптот в ряде случаев удобнее пред-
ставить ее в полярных координатах или перейти к
параметрическому виду.
Для алгебраической кривой aklxk у = 0, где суммирова-
ли
ние идет по всем целым к и /; (0 < к <п; 0 < / <п), наклонная
асимптота у-kx + b находится подстановкой ее в уравнение
кривой и приравниванием к нулю, в получившемся многочлене
относительно х, коэфициентов при двух старших степенях х.
Из решения этой системы относительно к и b находим парамет-
ры наклонной асимптоты.
Вертикальная асимптота алгебраической кривой нахо-
дится из приравнивания к нулю коэффициента при старшей
степени у.
, .. „ , х2+3х + 6
13.1, Наити асимптоты кривых: а) у =-------
х —1
_. х . sin х
б) у=~г~?; в) у=------•
х -1 X
Решение, а) При х = 1 функция терпит разрыв, причем
.. х2+3х + 6 х2 +3х + 6
пт------------= —«о, а пт--------------= °°.
х-Я-° х—>1+0 Х-1
То есть прямая х = 1 является вертикальной асимптотой.
Находим параметры к иЬ наклонной асимптоты
к — lim
х2 +3х + 6
х(х —1)
= 1;
b = lim
х—
х2 +3х + 6
х — 1
Следовательно, уравнение наклонной асимптоты имеет
вид у = х + 4 . График кривой и асимптоты показаны на рис.
7.47.
аИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
359
б)
Так как lim—------
*->±' х-1
= , то прямые х = 1
и х = -1 будут
вертикальными асимптотами.
Так как при х —» предел lim f (х) = lim —— = 0, то пря-
X —>±о° х—>±“ |
мая у - 0 будет горизонтальной асимптотой.
X
Поскольку k = lim----------= 0 и Ь — 0, то наклонных
*->*” х(х -1)
асимптот нет. Г рафик функции и асимптоты показаны на рис. 7.48.
Рис. 7.48
360
Гпавв 7
в) Функция определена на всей числовой оси х, бесконеч-
ных разрывов не имеет, поэтому не имеет и вертикальных асим-
птот.
Определяем наклонные асимптоты:
... у sin х sin х
к = lim — = lim —— = 0 b = hm (у-kx) = hm------= 0,
X—>±o» X—>±o» X—»±oo x—
следовательно, у = 0 будет ее горизонтальной асимптотой.
Данная кривая бесчисленное множество раз пересекает свою
асимптоту у = 0, переходя с одной ее стороны на другую в точ-
ках х = кл (к = ±1, ±2,...) и неограниченно приближаясь к ней
(рис. 7.49).
13.2. Найти асимптоты кривых: а)/(х) = ех;
б) Лх) = JA-.
V х-1
Решение, а) Найдем горизонтальную асимптоту
lim/(x) = limex =1, lim /(х)= lime* =1,
следовательно, горизонтальная асимптота имеет вид у — 1.
Найдем теперь вертикальную асимптоту:
1 1
lim f (х) = lim е* = °° lim f (х) = lim е* = 0,
х-»+0 х->+0 х->-0 х->-0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
361
следовательно, х = 0 — вертикальная асимптота (рис. 7.50).
Рис. 7.50
б) Функция определена при х е ] — 0] и ]1, +<"[. Посколь-
ку lim
j->1+0
оо, то прямая х = 1 является верти-
кальной асимптотой кривой. Так как lim
lim
00, то горизонтальных асимптот кривая не имеет.
Найдем наклонные асимптоты:
1
следовательно, наклонная асимптота имеет вид У - х + —.
и
362
Гпава 7
Сделаем замену: x = -t, х —> t —> , тогда:
следовательно, наклонная асимптота имеет вид у - —х—. Гра-
фик функции и асимптоты показаны на рис. 7.51.
Рис. 7.51
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
363
Z
13.3. Найти асимптоты кривых: а) х~^ —1’
_ е‘ te' , а
б)х = 7~Т’ У = Т~^’ в> р=~-
1-Г 1—1 (р
Решение, а) При t —> 0 х —> у = ^2— = 0, следователь-
но, кривая имеет горизонтальную асимптоту у = 0. При t —> 1
х —> 1; у —> °°, следовательно, кривая имеет вертикальную асим-
птоту х = 1.
б) При t —> ±1 функция обращается в бесконечность. Ищем
уравнения наклонных асимптот:
te‘
Л = Нш^=А = ±1
*->±» е
h, =lim
е' .. г е‘ е
---7 = lim---V-;—= -lim-----= —
l-t (l-t)(l + t) 1 + t 2’
2 ~ 2е ’
_ е
следовательно, наклонные асимптоты имеют вид J - х - —,
1
у = -х ч--
2е
в) Приведем уравнение заданное в полярных координатах
a cos (р a sin (р
к параметрическому виду: х =----—, у =---------, где ср —
(р <Р
„ .. asinp „
параметр. При ср—> 0 х—><*>, у = а, т. к. hm---— = а Сле-
(Р->О (р
довательно, кривая имеет горизонтальную асимптоту у = а
(рис. 7.52).
364
Гпава 7
Рис. 7.52
13.4. Найти асимптоты кривых: а) у3 = 6х2 + х3;
Решение, а) Поскольку коэфициент при старшей степени у
(т. е. при у3) равен 1, то вертикальных асимптот нет. Для на-
хождения наклонных асимптот подставим в данное уравнение
у = кх + b, тогда получим
А3х3 +3k2x2b+3kxb2 +Ь3 -6х2 -х3 = 0 •
Приравнивая к нулю коэффициенты при старших степенях
х (т. е. при х3 и х2), получим систему
А3-1 = 0;
ЗА2Ь-6 = 0.
Из решения системы имеем к = 1, b = 2 . Таким образом, кри-
вая имеет одну наклонную асимптоту у = х + 2 .
б) Так как функция непрерывна на всей числовой оси, кро-
ме точки х = 0, то прямая х = О является вертикальной асимпто-
той кривой. Найдем наклонные асимптоты:
к = lim
х—>±оо
= 0,
b = lim
-Ох = 1,
b= lim
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
365
Сделаем замену: x = —t, х —> t—><*>, тогда
b = lim —-----= -1.
— t
Зх2 — 2
Если найти вторую производную /"(я) =---------у и
учесть выпуклость, вогнутость и точки перегиба x-±J—, то
можно построить асимптоты и график функции (рис. 7.53).
7.14. Исследование функции
и построение графиков
При исследовании функции и построении ее графика реко-
мендуется примерная схема:
1. Определить область существования функции. Найти
точки разрыва функции и односторонние пределы в точках
разрыва.
366
Гпава 7
2. Выяснить, не является ли функция периодической, четной
или нечетной, т. е. не симметричен ли график относительно оси
ординат или начала координат.
3. Найти точки пересечения графика функции с осями коор-
динат и интервалы знакопостоянства функции.
4. Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убы-
вания функции. Определить значения функции в точках экстре-
мума, если такие существуют.
5. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогну-
тости графика функции. Определить значения функции в точках
перегиба.
6. Определить асимптоты функции.
7. Построить график функции, используя все полученные
данные.
По мере построения графика бывает очевидным, какие воп-
росы исследования целесообразно опустить, а какие добавить.
Если данных для построения недостаточно, то следует найти еще
несколько точек графика функции, исходя из ее уравнения. Ре-
зультаты исследования функции целесообразно заносить сразу
же на рисунок, тогда к концу проведения исследования график
будет практически построен.
14.1. Исследовать функции и построить их графики:
х — 2
а) у = х4-8х2-9; б) у = ---в) у = 1п------; г) у = х2е~х',
3-х х+1
д)
Решение, а) Областью существования функции является вся
числовая ось. Функция четная, следовательно, график функции
симметричен относительно оси ординат.
Полагая х = 0, находим точку пресечения графика с осью
ординат у = -9.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИИ
367
Приведем функцию к виду у = (х2 + 1)(х2 - 9), тогда, решая
уравнение (х2 + 1)(х2 -9) = 0, точки пересечения с осью абсцисс
будут х = ±3.
Находим производную у' = 4х3 — 16х и приравниваем ее к
нулю 4х3 -16х = 0. Из решения уравнения х(х2 — 4) = 0 находим
критические точки х, = 0, х2=2, х3=-2. Находим вторую про-
изводную у" = 12х2 —16. Так как у"(±2) > 0, то точки х2 = 2 и
х3 = -2 есть точки минимума функции, а так как у"(0) < 0, то
точка х = 0 есть точка максимума. Значения функции в экстре-
мальных точках равны: у(0) = — 9; у(+2) = — 25.
Чтобы отыскать возможные точки перегиба, решаем урав-
2
нение: у" = 0; 12х2 -16 = 0, откуда х = +—^ . Так как у" ме-
няет свой знак при переходе через эти точки, то при этих
значениях х график функции имеет перегиб. Находим ординаты
. (+ 21 161
точек перегиба: у I ± I = ——.
При неограниченном возрастании х по абсолютной величи-
не функция стремится к бесконечности lim (х4 -8х2 -9) = °° .
График функции показан на рис. 7.54.
Рис. 7.54
368
Гпава 7
111
.2
lim ---------
->-7з-о 3-х
б) Функция существует всюду, кроме точек х = ±л/з . Пря-
мые х = >/з и х = —>/з являются вертикальными асимптотами
функции. Найдем односторонние пределы в точках разрыва
х3
lim ----г = ~°°;
л->7з+оЗ-х
X3
lim ----7 = -о».
х-»-7з+оЗ-х
Функция нечетна, следовательно, ее график симметричен
относительно начала координат. При х — 0 имеем у = 0, следо-
вательно, график функции проходит через начало координат.
„ , х2(3-х)(3 + х)
Находим производную у = ——- и приравнива-
ем ее к нулю х2(3-х)(3 + х) = 0. Корни этого уравнения
х, = —3, х2 = 0, х3 = 3.
Рассмотрим методом интервалов изменение знака у'при пе-
реходе через эти точки (рис. 7.55 ). Следовательно, в точке х — — 3
функция имеет минимум у(-3)=4,5, а в точке х = 3 имеет макси-
мум }'(3) = - 4,5. При переходе через х = 0 производная знака
не меняет, следовательно, в точке х = 0 экстремума нет.
Рис. 7.55
тт » 6х(9 + х2) _
Находим вторую производную у =—-—“тоРая ПР°"
изводная у" = 0 при х = 0 и меняет знак с минуса на плюс при
переходе через эту точку, следовательно, и точка х = 0 есть точка
перегиба.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
369
Находим асимптоты кривой:
х3 ( х3 А Зх
fc = lim---— = -1; 6 = lim ------ + х =lim---- = О,
^-х(З-х ) *->~^3-х J *->“3-х2
следовательно, кривая имеет наклонную асимптоту у = -х. Гра-
фик функции показан на рис. 7.56.
в) Находим область существования функции. Функция
х — 2
существует при ----->0,т. е. при хе] — <*>,—1[ и хе]2,оо[
х +1
(рис. 7.57).
Рис. 7.57
х-2
Находим односторонние пределы lim In-----
х — 2
lim In-----= - о». Следовательно, прямые х = —1 и х - 2 явля-
z->2+0 х + 1
ются вертикальными асимптотами.
370
Гпвва 7
обращается в нуль ни при каком значении х, значит экстрему-
мов нет.
Найдем вторую производную у" =----Ц------—г и прирав-
(х + 1)2(х-2)2
. _ . 1 1
няем ее к нулю 1 — 2х = 0, х — —, но точка х — — не входит в об-
2 2
ласть существования функции. При х<— 1 имеем у">0 —
кривая выпукла вниз; при х > 2 имеем у" < 0 — кривая выпук-
ла вверх.
Находим при х—»±°о предельное значение функции
х — 2
lim In---= 0, следовательно, прямая у = 0 есть горизонталь-
х + 1
ная асимптота. График функции показан на рис. 7.58.
Рис. 7.58
г) Областью существования функции является вся число-
вая ось. При х = 0 функция равна нулю. Так как х2 > 0 и е~х > 0,
то у > 0 при любом х.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
371
Находим производную у = хе~х (2 — х) и приравниваем ее к
нулю хё~х (2 - х) = 0.
Решая это уравнение, находим критические точки х, =0
и х2 = 2. Поскольку производная меняет знак согласно схеме
(рис. 7.59), то в точке х = 0 функция имеет максимум, рав-
4
ный нулю, а в точке х = 2 минимум, равный ^(2) = —.
е
0 2
Рис. 7.59
Находим вторую производную у" = е~х(2 — 4х + х2) и при-
равниваем ее к нулю е~х (2 - 4х + х2) = 0 , откуда х, 2 = 2 + л/2 .
Поскольку вторая производная меняет знак согласно схеме
(рис. 7.60), то в точках х12 =2±х/2 функция имеет перегиб и
при х < 2 - >/2 кривая выпукла вниз, при х е ]2 - 42,2 + V2[ кри-
вая выпукла вверх, при хе]2 + >/2,°о[ кривая выпукла вниз.
2-42 2+42
Рис. 7.60
Находим пределы:
г2 2х 2
lim х2ё~х =оо, limx2e~* =lim — = lim — = lim —= 0,
X ) оо X—>oo X~X—>°o X—g
t. e. прямая у = 0 есть горизонтальная асимптота. График функ-
ции показан на рис. 7.61.
372
Гпава 7
д) Функция существует для всех значений х, кроме х = 1.
При х = 1 функция терпит разрыв. При х — 0 функция равна
нулю. При х Ф 0 имеем у > 0, т. е. функция не отрицательна.
и > 2х
Находим производную у =--------и приравниваем ее к
„ „ „ 2(2х+1)
нулю х = 0. Находим вторую производную у = —^—и оп-
ределяем ее знак при х — 0. Поскольку у"(0) > 0, то при х = 0
функция имеет минимум, равный у(0) = 0.
Вторая производил у = 0 при х = —— и меняет свой знак с
минуса на плюс при переходе через эту точку, следовательно,
при х = -— кривая имеет перегиб, ордината которого равна
Г П 1
Л 2-9'
X2
Находим предел lim-------- - °°, т. е. прямая х = 1 есть вер-
r-il ( ~
..х2
тикальная асимптота. При х —» ±°° предел lim------------- = 1, т. е.
х->±~ (х —1)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
373
прямая у = 1 есть горизонтальная асимптота. График функции
показан на рис. 7.62.
14.2. Исследовать функции и построить их графики:
a) x = acos3r, y = asin3r, ?е[0,2я[; б) x = a(Z-sinZ),
3at 3at2
y = a(l—cost), Ге[0;2я];в)
Решение, а) Функции определены для любого значения t.
Поскольку функция х четная, а у нечетная, то график функции
симметричен относительно оси ординат и начала координат, т. е.
относительно координатных осей.
V. п _ л Зл
Полагая х — 0, находим, что cos t = 0 и t = —, —.
2 2
При этих значениях t из выражения у = a sin31 находим,
что у = +а.
Полагая у = 0, находим, что sin t = 0 и t = 0, л . При этих
значениях t из выражения у — a cos31 находим, что х = +а. Та-
ким образом, график функции пересекает координатные оси в
точках (а,0); (0,а); (-а,0); (0, -а).
Найдем производные х' = -За cos21 sin t, у'-За sin21 cos t,
у rr (у' Y 1
у = —£ = - tg t, yM = —7х ~---4----• Из выражения для
х'. х. За cos ?sin7
374
Гпавв 7
производной у'определяем критические точки. При t = 0, 1=Л
71 Зл
производная равна нулю, а при t = —, t = — не существует.
Таким образом, область изменения параметра t разбивается на
Л я А (л ") (_ Зл [3^ ?|
четыре интервала I О,— I; I —,л I; I I и I 2 ,Z7t I-
При t е 0,— производная ух < 0, а уа > 0, т. е. функция
убывает и график функции направлен выпуклостью вниз. При
/ л \ „
t е I ;л I у'х > 0 и уа > 0, т. е. функция возрастает и график
направлен выпуклостью вниз.
( Зл \ ,i
При ге 1^,—-I /<0и уи<0, т. е. функция убывает и
(Зл А ,
график направлен выпуклостью вверх. При t е —, 1л I ух > 0,
а у" < 0 >т-е- функция возрастает и график направлен выпукло-
стью вверх. Кстати, пользуясь симметрией графика функции, этот
анализ можно было ограничить изменением параметра только
(п л А
одним интервалом, например, te I 0, — I.
При t = {О, д} производная у'х = 0, у = 0 и касательные со-
впадают с осью х, т. е. точки (а,0) И (-а,0) будут точками воз-
„ л Зл
врата. При г = у’~у проиводная ух не существует, а при
х = 0, касательные совпадают с осью у и точки(0,а), (0,-а) бу-
дут также точками возврата. Учитывая все это, представим
график функции (рис. 7.63). Полученная кривая представляет
траекторию движения точки подвижного круга, катящегося из-
нутри по неподвижному кругу радиуса а, и называется астро-
идой.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
375
б) Функция определена при любом значении параметра t из
интервала t е [0,2л]. Найдем точки пересечения графика с осями
координат. При х = 0, sin t -1, ? = 0.Приу = 0, cos? = l,? = 0,
t = 1л . Отсюда следует, что кривая при t = 0 проходит через на-
чало координат, а при t = 1л пересекает ось Ох в точке х = 1л а
Найдем производные х' = а(1 — cos?), y(/ = asin?,
, sin? „ _ cos ?(1-cos?)-sin2? _ 1
1-cos?’ a(l-cos?)3 a(l-cos?)2
Приравнивая y'x к нулю, из уравнения sin ? = 0 находим зна-
чения параметра в критических точках ? = {0; л; 1л }. Первая про-
изводная не существует при 1 — cos ? = 0, т. е. при значениях
параметра ? = {0;2я}. При переходе параметра через критичес-
кие значения ? = {0;2л}, т. е. в окрестности
(О—Е, 0 + е), (1.71 —£, 1л + е), где |е| > 0, производная у'х меняет
знак с минуса на плюс. Отсюда следует, что касательная к графи-
ку функции в точках х = {0; 1л а} параллельна оси Оу. При ? = л
вторая производная у^ < 0, т. е. точка х = Tta точка максимума
функции у = 1а. Более того, поскольку у'^ < 0 на всем интерва-
ле ?е [0;2я], то кривая на этом интервале выпукла вверх.
376
Гпава 7
При изменении t от 0 до д производная у'х > 0, следова-
тельно, кривая возрастает. При изменении t от д до 1л произ-
водная у' < 0, следовательно, кривая убывает. Все сказанное
позволяет представить график в виде (рис. 7.64). Полученная
кривая представляет траекторию точки круга радиуса а катя-
щегося без скольжения по прямой Ох за время одного оборота
круга и называется циклоидой.
У
2a
р a 2pa х
Рис. 7.64
в) Функция определена при всех значениях t, кроме t = -1.
При t - 0 координаты х = 0, у = 0 и при t —> ±°° координаты
х, у —> 0, т. е. начало координат служит особой точкой и в нем
кривая сама себя пересекает.
Найдем наклонную асимптоту. Угловой коэффициент равен
Параметр
b = lim (ХО -kx(f)) — lim
Отсюда уравнение асимптоты х + у + a - 0.
При изменении t от -°о до -1, точка (х,у) из начала ко-
ординат удаляется в бесконечность, причем значения х — по-
ложительны, а у — отрицательны, т. е. ограничены
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
377
асимптотой, расположенной в четвертом квадранте.
При изменении t от -1 до 0 точка (х,у) из бесконечности воз-
вращается к началу координат, причем значения х — отрица-
тельны, а у — положительны, т. е. ограничены асимптотой,
расположенной во втором квадранте. При изменении t от 0 до
—оо точка описывает против часовой стрелки петлю, располо-
женную, судя по значениям х,у, в первом квадранте.
Обозначая t = —, нетрудно перейти к уравнению функции в
х
неявном виде F(x, у) = х3 + у3 — Заху = 0. Находим производные
// = 3(х2 - ay), F' = 3(у2 -ах), ух = -~± = -Х 2 °У . Прирав-
, ' Fy У ~ах
нивая ух = 0 и решая это уравнение совместно с уравнением
F(x,y) = 0, находим критические точки х = 0, ^ = 0 и
х = а 1/2, у = al/4 . Вычислим у'^ при х = atfl по формуле
" F2 6х „ „
уа — —— —-----------. Так как в исследуемой точке уа < 0,
Fy Цу ~ах)
то это точка максимума утах =а\/4; х = а>/2 .
В точке (0,0) Fx = 0 и F' = 0, поэтому можно утверждать,
что касательными в этой точке служат оси координат. Учиты-
вая все это, представим график функции (рис. 7.65). Полученная
кривая называется декартовым листом.
Рис. 7.65
378
Гпава 7
7.1 5. формула Тейлора и Маклорена
1°. Если функция f(x) определена и дифференцируема n+1
раз в некоторой окрестности точки х0 = a, то она может быть
представлена в виде суммы многочлена и-ой степени и остаточ-
ного члена Rn (формула Тейлора)
/(х)=/(а)+^(х-а)+^(х-а)2 + ... +/^(х-ц)"+^, (1)
1! 2! и!
/’<”+1)lcl(x-a¥’+l
где Rn =------------; c = a + 0(x-a); О<0<1 —оста-
(«4-1)!
точный член в форме Лагранжа.
Формула Тейлора (н-го порядка) позволяет представить
функцию f (х) в виде многочлена н-ой степени и оценить с по-
мощью остаточного члена Rn возникающую при этом погреш-
ность, которая может быть сделана сколь угодно малой.
2°. При a = 0 формула (1) принимает вид
Ж = /(0)+®х+/®^+...+Т®х-+й., (2)
1! 2! п\
где Rn ------ х"+1; 0< 0 < 1, и называется формулой Макло-
(«4-1)1
рена. К этому частному случаю формулу Тейлора можно свести
с помощью перехода к новой независимой переменной = х - a.
Остаточный член в формуле Тейлора иногда записывают в
форме Пеано Rn = О((х - а)"), которая в ряде случаев бывает
более удобна (вычисление пределов). Остаточный член в форме
Пеано для формулы Маклорена имеет вид Rn = О(х").
15.1. Для функций а) е*; б) sinx; в) cosx; г) (1 + х)т;
д) 1п(1 + х), написать формулу Маклорена н-го порядка и оце-
нить погрешность.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
379
Решение, а) Если f (x) = ex, то и (x) = ex при любом
n= 1,2,3, ...
Tак как /(0) = 1, и /("’ (0) = 1, то по формуле (2)
_ „2
Оценим погрешность. Так как
3
"+1, то, например, при х = 1, | /?„(1) |<--; при
(и + 1)!
1! 2! п!
Точность разложения определяется остаточным членом
евх
R =-------*
° (п + 1)!
Ю<7^
(н+1)!
10- 2”+1
х = 2, | Rn (2) |<-и т. д. При любом значении х при п —>
(п +1)!
остаточный член стремится к нулю и чем больше п, тем точнее
разложение. Прих = 1 можно получить формулу для приближен-
ного вычисления числа е
,111 1
1! 2! 3! и!’
б) Пусть /(х) = sinх,тогда /(0) = 0;
/'(х) = cos х = sinj х + у j, /'(0) = 1;
/"(х) = — sin х = sin [ х + 2 у I, /"(0) = 0•
f '"(х) = cosx = sin Г x + Зу j, = -1;
/(’) = sin^x + ny j, /’"’(О) = sinny
Разложение примет вид
380
Гпавв 7
2т-\
п •
x3 x5
sinx = x----+-----... +(-l)m4—--------+ R
3! 5! (2m-l)!
Остаточный член
2m+l __ I i2m+l
R„ = —------sin(0x + (2m +1) -) < -*—!---
(2m+l)! 2 (2m+l)!’
t. к. |sin ct| < 1 и при n —> oo стремится к нулю независимо от зна-
чения х.
в) Если /(x) = cosx,to f (0) = 1
z’/z \ I 7С А
J (х) = — sin X = cosl x + y I,
Г(о) = о;
ч Г _ к ।
j (х) = -cos х ~ cosl х + 2 — I,
/"(0) = -1;
f'"(x) = sin х = cos I x + 3 у I,
/'"(0) = 0;
/(Л)(х) = COS^X + Пу j, /<Л)(0) = COS Пу
Разложение примет вид
х2 х4 x2m
cosx = l--+------... +(-l)m-----+ Rn
2! 4! (2m)!
Остаточный член
2m+2 2m+2
Rn =-------cos(0x + (2m + 2)-)<---------
" (2m + 2)! 2 (2m+2)!’
т. к. |cos ot| < 1 и при n —> oo стремится к нулю независимо от зна-
чения х.
г) Рассмотрим степенную функцию (1 + х)т, где т—любое
вещественное число.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
381
Разложим (1 + х)"' по степеням х, т. е. в окрестности точки
хо=О
/(х) = (1 + хГ,
/'(х) = л1(1 + хГ-',
Г(х) = л1(л1-1)(1 + хГ2,
Л1) = ш;
/"(!) =
= ... (т-£ + 1)(1 + х)”~‘,
= ... (т-к+1).
Разложение примет вид
(1+,)-=1+^+2<^/ + ... ^^-1) -
1! 2! я!
Где (0<в<]).
Здесь Rn —> 0 с возрастанием и только при хе]-1,1[, т. е.
погрешность может быть сколь угодно малой величиной только
для значений из указанного интервала.
д) Находим производные и их значения в точке х = О
Лх) = -!-, Л0) = 1;
1 + х
rw=-^F’ Л0,=Ч’
1-7
rw=0W’ Г(0)=Ь2;
= Л’(4) = -1-2-3;
(1 + х)4
382
Гпава 7
Подставляя в формулу Маклорена, получим
г2 г3 у4 у"
1п(1 + х) = х—- +—-^-+ ... +(-1Г1— + Яя,
2 3 4 п
„ (-i)V п г1
п + 1 7 + J
Погрешность вычисления логарифма Rn —> 0 с возрастани-
ем п только при хе]-1,1], т. е. в полуоткрытом интервале.
15.2. Разложить многочлен х4 - 2х3 + х2 + Зх — 5 по степеням
двучлена х + 2.
Решение. Введем обозначение /(х) = х4 — 2х3 + х2 + Зх - 5 и
найдем производные:
f'(x) = 4х3-6х2+2х + 3, f"(x) = 12х2-12х + 2, /"'(х) =24х-12,
/(4)(х) = 24, =0 для п>5. При х = -2 имеем:
/(-2) = 25, /'(-2) = -57, /"(-2) = 74, =36, /(4)(-2) =24.
Отсюда х4 -2х3 + х2 +Зх-5 = 25-57(х+ 2) + 37(х + 2)2 -
-10(х + 2)3+(х + 2)4.
15.3. Пользуясь формулой Тейлора, разложить функцию
f (х) = (х3 + 2х -1)2 по степеням х.
Решение. Находим производные и их значения при х = 0
/'(х) = 2(х3 + 2х -1)(3 х2 + 2), /'(0) = - 4;
/"(х) = 2((3 х2 + 2)2 + 6х4 + 12х2 - 6х), /"(0) = 8;
f'”(x) = 12(2(3 х2 + 2)х + 4х3 + 4х -1), /"'(0) = -12;
/4>(х) = 12(30х2 +8), /(4)(0) = 96;
/<5)(х) = 720х, /(5)(0) = 0;
/(6)(х) = 720, /(6)(0) = 720.
аИФфЕРЕНИИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИИ
383
Подставляя значение /(0) = 1 и значения производных в фор-
мулу Тейлора при х = 0, получим
(х3+2х-1)2 =1-4х + 4х2-2х3+4х4 + х6.
15.4. Представить функцию Vx в виде многочлена четвер-
той степени относительно х - 1.
Решение. Находим значения функции и ее производных в
точке а = 1:
1 . 1 — , 1
/(х) = х4; /(1) = 1; Г(х) = 7х3; /'(1) = -;
4 4
1 3
Г(х) = --7х
44
£3
44’
13 7
f <х> =777х
4 4 4
1 3 7
J 444
444 4
^<4)W = -777T
4 4 4 4
По формуле (1) имеем
4 44 2! 43 3!
1-3-7-11 (х-1)4
44 4!
где k2(x_i)5; с = 1 + 0(х —1); О<0<1.
15.5. Написать разложение функции: a) е““ до члена с х4;
б) In cos х до х6.
Решение, а) Пользуясь уже известным разложением (15.1 ,а)
и принимая cos х за новую переменную, запишем
384
Гпава 7
e“SJI
1 + COS X +
cos2 X
2
cos3 X
+-------
6
COS4X _/ 4 \
H------+ O(cos x)
24 V 7
x2 x4 5
Так как по формуле (15.1,в) cosx = l—— + —+ О(х5), то
окончательно имеем
ec°sx
= — Гб5-32х2+— х41+О(х5).
24^ 6 ) V ’
б) Представим логарифм в виде In cos х = In (1 + (cos х -1))
и воспользуемсяразложением(15.1,д), принимая cosx-1 зано-
вую переменную
lncosx = cosx-l-^-(cos X“l)2+~(cos х—1)3+О(х6).
Здесь остаточный член Rn = О(х6), так как бесконечно ма-
лые хи sin х эквивалентны и, следовательно, 1 - cos х = 2 sin —
2
одного порядка с х .
С другой стороны имеем
cosx — 1 = -—х2 +—х4 —— х6 +О(х7)
2 24 720
Отсюда
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
385
15.6. Вычислить с точностью 0,001 приближенные значения
следующих чисел: a) sin 20°; б) cos 65°.
Решение, а) Воспользуемся формулой разложения sin х по
степеням х (15.1,6), подставляя в нее радианную меру угла
sin — =-------Н------— ... +(—1) -----------—- + R
9 9 З!93 5!95 (2т-1)!92"”'
При определении числа первых членов в данном разложе-
нии, необходимых для обеспечения требуемой точности вычис-
лений, оценим величины последовательных остаточных членов
7г3 ТЕ
|Л|<----г<0,006, |Я,|<-----<0,00003.
3!9 5!9
Поскольку | R21< 10~3, то для получения требуемой точнос-
ти достаточно взять первые два члена разложения, предшеству-
ющих R2
sin- = -—^ = 0,3491-0,0071 = 0,342
9 9 З!93
Здесь значения числа к — 3,14159 и результатов промежу-
точных вычислений взяты с одним лишним знаком, т. е. с точно-
стью до 10".
б) Представим функцию cos х по формуле Тейлора в виде
( л\х — а cos х = cos а + cos а-\— 1 2 J 1! ( o7rVx-a)2 + cos а+ 2— г 1 2 J 2!
386
Гпава 7
( я\(х-а)п
+ ... +cos a + n— P——--FT? ,
2 ) и!
R = cos| a + 0(x — a) + (« + !) — 1————,
I 2 I (n + l)l
(O<0<1)
i n I (x —a)”+I
Поскольку | cos a |< 1, то |л„ | s-и по мере увеличе-
(и +1)!
ния числа членов погрешность неограниченно убывает, стремясь
к нулю. Причем чем меньше по абсолютной величине разность
х — a, тем меньше потребуется первых членов разложения для
обеспечения требуемой точности вычислений.
л
Пусть 6z = 60° или в радианной мере a = -j-^60, тогда
х — a = ^^(65-60) = -^, отсюда
,.о 1 V3 п 1 л2 V3 л* п
cos 65 =-------------------7 +--------7+ ... +R„.
2 2 1!36 2 2136 2 3!36э
Поскольку | 1< Ю^1, то для получения требуемой точнос-
ти достаточно взять первые три члена разложения, тогда
cos 65 =0,4221-
Глава 8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
8.1. Понятие о функции нескольких
переменных. Область определения
1°. Если в силу некоторого закона каждой совокупности п
чисел (x,y,z, ... ,1) из некоторого множества Еставится в соов-
ветствие определенное значение переменной и, то и называется
функцией от п переменных х,у,z, ... ,t, определенной на множ-
стве Е, и обозначается и = f(x,y,z, ... ,t).
Переменные x,y,z, ... ,t называются аргументами функ-
ции, множество Е— областью определения функции.
Частным значением функции называется значение функ-
ции в некоторой точке M0(x0,y0,z0, ... ,t0) и обозначается
f(M0) = f(x0,y0,z0, ... ,/0).
Областью определения функции называется множество всех
значений аргументов, которым соответствуют какие-либо дей-
ствительные значения функции.
2°. Функция двух переменных z = f(x, у) в пространстве
представляется некоторой поверхностью. То есть, когда точка с
388
Гпава 8
координатами х.у пробегает всю область определения функции,
расположенную в плоскости хОу, соответствующая простран-
ственная точка, вообще говоря, описывает поверхность.
Функцию трех переменных и = f(x, у, z) рассматривают
как функцию точки некоторого множества точек трехмерного
пространства. Аналогично, функцию п переменных
и = f(x,y,z, ... ,t) рассматривают как функцию точки некото-
рого n-мерного пространства.
Линией уровня функции и = f(x, у) называется совокуп-
ность точек плоскости хОу, в которых функция имеет одинако-
вые значения, и обозначается f (х, у) = С. Различным постоянным
значениям С соответствуют различные линии уровня.
Поверхностью уровня функции и= f(x,y,z) назыается
совокупность точек пространства, в которых функция имеет
одинаковые значения, и обознчается f(x,y,z) = C . Различ-
ным значениям С соответствуют различные поверхности
уровня.
XV
1.1. Пусть f (х, у) = —--. Найти а) частные значения фун-
х + у
(1 1 А
кциивточках Л/(1,1); А(3,-4); б)/(х-1,х + 1), f —, — .
XJ
Решение, а) Чтобы найти частные значения функции
f (х, у) в точках М и N, необходимо подставить координаты
этих точек в выражение функции. Тогда частное значение фун-
кции в точке М будет f (1,1) = * = —,
/(AT) = -2tlL. = -13.
32+(-4)2 25
а в точке N будет
б) Чтобы найти требуемые значения функций, необходимо
переменным х,у присвоить значения х -1, х +1, соответствен-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
389
но, в первом случае и —,---во втором. Тогда будем иметь
У х
Нх _ 1 х + и = (х-1)(х + 1) = х
' (х-1)2+(х + 1)2 2(х2+1)’
.( 1 1 ух _ ху
v х J (1 f (1Y *2+у2
(Т J Iх)
1.2. Найти f(x,y), если a) f — ,х-у |=х2-у2;
I х J
б) f(2x +у,2х —у) = ху.
Решение, а) Обозначим u-—, v-x-y. Разрешая эти
х
v uv
уравнения относительно х,у, будем иметь х =-, у =----.
1 — и 1—и
Представим заданную функцию через новые переменные
.. . v2 u2v2 и2(1-м2) п2(1 + и)
f(u, и) =------------ = — -
(1-u)2 (1-w)2 (1-м)2 1-u '
Если переименовать переменные u,v в х,у, то получим
1 + х 2
ЛХ,У) = -.--У .
1-х
б) Обозначим и = 2х + у, v = 2x-y. Откуда
lz lz
x = — (u + v), у — -^(и — и).
Запишем заданную функцию через новые переменные
= |(«2-V2).
О
Если переименовать переменные и,и в х,у, будем иметь
/(Х,у) = |(х2-/).
о
390
Глава 8
1. 3. Найти область определения функций:
a) z = In (х2 + у2 -1); б) z = . .- ==; в) z = arcsin —;
L*______у х
V 4 3
г) z = -Jx + y + Jx-y ; д) z = In ху; е) f (р,(р) - p^/sinip .
Решение, а) Функция определена, если х2+у2-1>0 или
х2 + у2 > 1, т. е. областью существования данной функции явля-
ется часть плоскости вне единичного круга с центром в начале
координат.
б) Функция z принимает вещественные значения при усло-
х2 у2 х2 у2
вии -------ИЛИ ’ Т" е' °®ластью существова-
ния функции является открытый эллипс. Граница эллипса не
входит в область существования функции.
в) Функция определена, если х^О и —1<—<1 или
х
-х < у < х. Областью существования функции является часть
плоскости, заключенная между двумя биссектрисами у = х и
у = -х и содержащая ось Ох, за исключением начала координат
0(0,0).
г) Функция определена, если х + у>0 и х — у > 0, т. с. об-
ластью существования функции является внутренняя час- ь пра-
вого вертикального угла, образованного биссектрисами, включая
сами биссектрисы.
д) Функция определена, если ху > 0, т. е. областью суще-
ствования функции является часть плоскости, лежащая внутри
первого и третьего координатных углов, исключая границы.
е) Функция принимает вещественные значения при условии
sin (р > 0, т. е. О < (р < к, р — любое. Областью определения
будет верхняя полуплоскость.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ
391
1.4. Найти область определения функций:
I ? ?
а) и = ln(z - х2 - у2};б) и = . 1-^—^Т~~Т
х \ а о с
. Р + у2
в) и = arc sin —--.
z
Решение, а) Функция зависит от трех переменных и прини-
мает вещественные значения при z — х2 — у2 > 0, или z> х2 + у2,
т. е. областью существования функции и является часть простран-
ства, заключенная внутри параболоида, исключая сам парабо-
лоид.
б) Функция зависит от трех переменных и принимает
2 2 2
, X у Z
вещественные значения при 1---------------^-^0, или
а2 b с2
х2 у2 Z2
—т-Ч—т-ч—^<1, т. е. областью существования функции и
а b с~
является часть пространства, заключенная внутри трехосно-
го эллипсоида, включая границу.
в) Функция зависит от трех переменных и определена, если
, Jx2+y2 , , , -
z Ф 0 И -1 < -----< 1, или о < X + у < Z
z
1.5. Найти линии и поверхности уровня функций:
a) z = х2 — у2; б) и = х2 + у2 + z2.
Решение, а) Уравнение линий уровня имеет вид
х2 — у2 = С, т. е. линии уровня равносторонние гиперболы. При
С > 0 вершины гиперболы расположены на оси Ох, при С < 0 —
на оси Оу.
б) Уравнение поверхностей уровня имеет вид
х2 + у2 + z2 = С, т. е. поверхности уровня — это семейство сфе-
рических поверхностей с центром в начале координат.
392
Гпаев 8
8.2. Предел функции нескольких
переменных. Непрерывность
1°. Число А называется пределом функции f(M) при
М Мо, если для любого числа £ > 0 всегда найдется такое
число S > 0, что для любых точек М, отличных от Мо и удов-
летворяющих условию | ММй |< 8 , будет иметь место неравен-
ство | f (,\Т) - А |< £ .
Предел обозначают lim f (М) = А В случае функции двух
переменных lim f(x,y) = А-
X-^Xq
У—^Уо
2°. Теоремы о пределах. Если функции f(M) и f2(M) при
М —> Ма стремятся каждая к конечному пределу, то
a) J™ CA(M) + /2W) = J™ + ^(M);
6) lim (/;(M)/2(M)) = lim ft(M) lim f2{M);
f(M. lim f(M)
в) lim ; lim/2(M)*0.
M^M°f2(M) lim fAM)
3° . Функция f (M) называется непрерывной в точке Мо,
если она удовлетворяет следующим трем условиям:
а) функция f (М) определена в точке Мй;
б) существует предел lim f (М);
Л/—»Л/0
в) lim ДМ) = /(М0).
М
Если в точке Мй нарушено хотя бы одно из этих условий,
то функция в этой точке терпит разрыв. Точки разрыва могут
образовывать линии разрыва, поверхности разрыва и т. д. Фун-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ
393
кция f (М) называется непрерывной в области G, если она не-
прерывна в каждой точке этой области.
Из определения непрерывности функции в точке следует,
что бесконечно малым приращениям аргументов соответствует
бесконечно малое приращение функции.
Jxy + 1-1
2.1. Найти пределы функций: а) hm------;
х + у
у->0 у
2 2 1
б) 1ш^; в) lirn У г) lim(l + x2+y2) .
;-2 у £°о
Решение, а) Преобразуем предел следующим образом
^ху + 1-1 ху
hm----------= пт-------1 ----
£°0 х+у ~°0 U+умху+1 +1)'
кх2
Пусть у = кх, тогда lim-----. - ----— 0.
м0 x(l + A:)(Vb2 + l+l)
б) Воспользуемся первым замечательным пределом
sina sinxv sinxy „ , _
hm-----= 1. Тогда hm---- = hmx------- = 2-1 = 2-
a—>0 CC x—>2 -у x—>2 xv
y-*0 Z y—>0
в) Пусть у = кх, т. е. рассмотрим изменение х и у вдоль пря-
мой. Тогда
х2(1-£2) 1-Г
lim ——=- = hm —-7--= =-----
м’х +у (1 + к ) 1 + к
у—»0 у у—>0 \ /
Таким образом, предел имеет различные значения в зависи-
мости от выбранного к, т. е. функция не имеет предела.
г) Воспользуемся вторым замечательным пределом
2^
Нт (1 + Д)Л - е. Тогда
394
Гпава 8
2.2. Найти точки разрыва функций: a) z = ln(x2 + y2);
1
б)« = ~т—j—Г-
X +у —Z
Решение, а) Функция z = 1п(х2 + у2) терпит разрыв в точке
х = 0, у = 0.
Следовательно, точка 0(0,0) является точкой разрыва.
б) Функция не определена в точках, в которых знаменатель
обращается в нуль, т. е. х2 + у2 - z2 - 0. Следовательно, поверх-
ность конуса х2 + у2 = z2 является поверхностью разрыва.
8.3. Частные производные первого порядка
1°. Пусть (х0,у0) — некоторая произвольная фиксирован-
ная точка из области определения функции z = z(x, у). Прида-
вая переменной х приращение Ах, находим приращение функции
z = z(x,y) в точке (х0,у0) по переменной х:
Az
Az = z(x0 + Ах, у0) — z(xg, у0). Предел отношения lim — называ-
Л*->0 Ду
ется частной производной 1-го порядка от функции z по пере-
3z /
менной х в точке (х0,у0) и обозначается —— или zx(x,y).
дх
Аналогично определяется и обозначается частная производная
dz ,, . „ , , .
от z по у: — = z (х, у). Производная от функции z = z(x, у) по х
ду - «
находится, в предположении, что у остается постоянной, по обыч-
ным правилам и формулам дифференцирования. Если функция
зависит от нескольких переменных z = z(x,,x2,... ,х„), то част-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ
395
Эг
ная производная — находится в предположении, что все пере-
Эх;
менные (кроме х,) постоянные величины.
2°. Функция z = z (х,, х2,..., хл) называется однородной фун-
кцией степени т, если для некоторого действительного числа
Л # 0 справедливо выражение
2(Лх,,Лх2, ... ,Лхл) = Zmz(x1,x2, ... ,хп).
Теорема Эйлера. Если однородная степени т функция
z = z (х,, х2,... ,хп) имеет частные производные по каждой из пе-
ременных х(, то справедливо равенство
mz(x.,x2, ... ,хл) = x,z' (х,,х2,...,хл) +
+x2z'2 (х, ,х2,...,х,) +... + х„/ (х,, х2,...,хл).
- , Т, „ ху
3.1. Наити частные производные: a) z = —------
д) z = lntgly-— ; е) z = xye'
б) z = xysin(2x + 3y); в) z — ^/cos(2x-y) ; г)
,1°3-х ; ж) 7 =--!--- _
arctg —
z = 2y
Решение, а) Полагая у постоянной величиной, находим про-
изводную по х:
dz _ у(х2 + у2)-ху2х _ у(у2 —х2)
дх (х2+у2)2 (х2+у2)2
Полагая х постоянной величиной, находим производную по у:
dz _ х(х2 + у2)-ху2у _ х(х2 —у2)
fy ~ (х2+у2)2 " (х2+у2)2 •
б) Полагая у постоянной величиной, находим
396
Гпава 8
2
в)
3z
— = Xs*n(2* + 3y) + 2xcos(2x + 3y)). Полагая х постоянной ве-
dx
3z
личиной, находим — - x(sin(2x + 3у) + 3у cos(2x + Зу)).
ду
dz 1 “l/i ч о
— = —cos 3(2х-у)-2 =—. .. =,
dx 3 3^/cos2 (2х- у)
1 -- 1
= -cos 3(2х- у)(-1) =-/—=—
3^/cos2(2x- у)
г) — = 2V xln2|-+42У 1п2'2"’
dx I у х I х у
dz
ду 3
dz (
— = 2У х1п2 —
ду J
dz 1
Д дх (х у
dz _ 1
Эу (X у А 2
Г tg — COS .
I3 4J I3
e) = y(e,Ov-x +xe10>'“x(-l)) = х‘^“х(1-х),
dx
dr
— = x(e10j“x + ye10j,“x) • 10 = xe'Oy-x (1 +1 Oy)
dy
dz 1 11
ж) V- = “7---------v—Z'v-- =-----------------:
dx I X ] , (x ] У / 2 2U x
arctg— 1+ — (x +y ) arctg —
у) V-v) v у
1 1 ( X 1 X
Х 1п2-2у
ху2
cos2
2
( 2х у V
I 3 2 J
_________1
~ . (2.x у
2sin------—
3 2
dz
ду
arctg —
( У
1+|-
2 (
У ' (х2+у2)| arctg —
I У
1
У
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
397
3.2. Найти частные производные: а) и =хЗу2 + —;
б) и = ф — х2 - у2 - z2 .
Решение, а) Полагая у, z постоянными величинами, нахо-
ди -,2 2
дим производную по х: — = 3х у .
Эх
Полагая х, z постоянными величинами, находим
ди „ , 1
— = 2х3у + -
ду z
ГТ ди у
Полагая х, у постоянными, имеем — = —=у.
dz z
^ди 1 х
б) — = —, = (~2х) = —. =,
дх 2ф-х2-у2-г2 jt-x2-y2-z2
ди _ I 2 у
ду 2^-x2-y2-z2 Jt-x2-y2-z2 ’
= _______(-2г) = —,___2—,
dz 2ф-х2-у2-г2 4t-x2-y2-z2
du _ 1
d7-2//-x2-/-z2’
3.3. Найти: a) _4'(1;2),/,'(1;2), если f(x,y) = x3y-xy3 +1;
б) и' (1; 0; 2), u'y (1; 0; 2), и. (1; 0; 2), если u = ln(x2 + у2 + z2).
Решение, а) Находим частные производные и вычисляем их
значения в точке (1;2)
fx=3x2y-y\ f;^x}-3xy2, /;(1;2) = -2, f\\-2) = -11.
б) Находим частные производные и вычисляем их значения
в точке (1 ;0;2)
398
Гпава 8
, _ 2х , _ 2у , _ 2z
Мх — 2 , 2~, Г’ Uv ~ 2 , 2~, 2 ’ “ 2 . 2 ,
X + у + Z X + у + Z X + у + z
. 2 , 4
w,(l;0;2) = —, u'=0, и - —
’ 5 y 5 '
„ 2 9z 2
3.4. Показать, что: a) x---------xy-----by =0, если
Эх dy
У2 . , . 3z 3z , у
z -----barcsm(xy); 6) x--by— = z, если z = xln .
3x dx dy x
Решение, а) Находим частные производные
3z _ у2 ! у dz _ 2у х
Эх Зх3 д/1-х2у2 ’ Эу Зх Л/1-х2у2 '
Подставляя их в уравнение, получим
у2х2 х2у 2ху2 х2у
^+/-х2у2 ~~зГ~/1-х2у2
= 0
сч „ dz у dz х
б) Находим частные производные — =1п----1, — — —.
Эх х Эу у
Подставляя производные в уравнение, будем иметь
, у х , у
xln^—х + у—= Х1П —= z
X у X
3.5. Проверить теорему Эйлера для функций:
a) z = х3-ху2+у3; б) z = arctg-.
Решение, а) Для функции двух переменных теорема Эйлера
имеет вид xz'+yz'=mz. Находим частные производные
— = Зх2 - у2, — = -2ху + 3 у2. Таким образом,
Эх Эу
х(3х2 -у2) + у(-2ху + 3у2) =3(х3 -ху2 +у3) =3z.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
399
б) Находим частные производные — = —
дх х + у
dz х ху ху
— = :-----7.1 аким образом, —т-5---:-7 = 0, поскольку
ду х2+у2 х2 + у2 х2+у2
заданная функция однородная степени т = 0.
8.4. Дифференциал функции и его
применение к приближенным вычислениям
1°. Пусть изменение функции z = f(x, у) вызвано измене-
нием только одной переменной, например, х. Тогда приращение
Axz = f(x + Ах, у) - f(x, у) называется частным приращением
функции по х. Частным диференциалом функции z по х называ-
ется главная часть частного приращения, линейная относитель-
но приращения Ах . Частный дифференциал от функции z по х
равен произведению частной производной по х на дифференци-
ал независимой переменной, т. е.
, dz ,
<z = —dx. (1)
dx
Аналогично,
, dz
d’z-^dy- <2)
Если функция многих переменных и = f (х{,х2, ... ,х„), то
частные дифференциалы будут
d u = -- dx., d и = —-dx2, dtu = ~dx (3)
Л| dx, 1 dx2 2 ’ x" dx„ " V ’
2°. Если независимые переменные получают приращения
Ах, Ду, то полное приращение функции z = /(х,у) определяет-
ся выражением
400
Гпавв 8
А? = /(х + Ах,.у + Ду)-/(х,.у)-
Полным дифференциалом функции называется главная
часть полного приращения, линейная относительно приращений
Ах, Ду.
Полный дифференциал от функции z равен сумме ее част-
ных дифференциалов,т. е.
, dz , dz ,
dz = —dx-\---dy. (4)
dx dy
В случае функции многих переменных и = f (х,,х,, ... ,х„)
полный дифференциал определяется по формуле
, du , du , du , ...
du = -—dxi+-—dx2 + ... +-—dxn. (5)
dX] ox2 dxn
3°. При достаточно малых приращениях независимых пере-
менных, полное приращение функции приблизительно равно ее
полному дифференциалу Au—du. Это равенство используется
для приближенного вычисления значения функции в точке
M(x,y,...,z), если проще найти значения функции и ее частных
производных в достаточно близкой точке М0(х0,у0, ... ,z0)
и(Л/)= u(M0) + u's(M0)dx + u'y(M0)dy + ...+u'z(M0)dz, (6)
где х — x0=dx, y — y^-dy, ... , z — za=dz.
4.1. Найти частные дифференциалы: a) z = д/х2 + у ;
б) u=ln(x2+y2-2z2).
Решение, а) Находим частные производные
dz _ 2х dz _ 1
Эх Зу](х2+у)2 ’ ду 3^х2+у)2 '
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ
401
Умножая на соответствующие дифференциалы аргументов,
получим
2xdx
^(х2+у)2’
У 3^х2+у)2 •
б) Функция трех переменных. Находим частные производ-
ные
ди _ 2х ди _ 2у
х2+у2-2z2’ х2+у2-2z2’
Отсюда, частные дифференциалы
du 4z
dz x2 + у2—2z2
. 2xdx
а и =—:---:---7,
х х2 + у2—2z2
dyu =
^ydy
x2+y2—2z2 ’
Azdz
x2 + y2-2z2
4.2. Найти полный дифференциал функции:
a) z = arctg; б) и=ху'.
1 + ху
Решение, а) Находим частные производные
dz _ 1 1 + ху - (х — у)у _ 1 + у2
дх (1 + ху)2 \ + х2—ху + у2’
1+ --—
I 1 + ху I
dz = 1 -i-xy-(x-y)y = _ 1 + у2
dy (x-v^ (1 + ^/ 1 + х2-ху + у2
1+ ----—
I 1 + ху I
Полный дифференциал находим по формуле (4)
(1 + у2 )dx — (1 + х2 )dy
~ ГТ 2 Т 2
1 + х — ху + у
б) Находим частные производные
Эк г ди - 2Ч ди .
— = ух- , — = х3 In x-zy Z— = X} Inxj’ lnj’.
дх ду ’ dz
402
Гпавв 8
Отсюда, полный дифференциал
du = yzxy ~'dx + xy yz~,zlnxdy + xy y: lnxlnydz =
z s( dx z In х
= у х-----1----dy + In х In ydz
Ix У J
4.3. При помощи полного дифференциала вычислить при-
Решение, а)Рассмотрим функцию z = In(Цх + ^/у -1J. Тре-
буется найти значение функции в точке Л/(0,97; 1,04). Однако про-
ще найти значение функции в вспомогательной точке Мо (1; 1).
Найдем сначала дифференциалы аргументов
dx-x-x0 = 0,97 — 1 = —0,03 , dy = y-y0 =1,04-1 = 0,04 и вос-
пользуемся формулой (6)
1
1
z(M) = z(Ma) +
dx +
dy
1
4</l
(-0,03) +
1
3^1
0,04 = -— + — = 0,326
4 3
б) Требуется найти значение функции и — x4y3z2 в точке
Л/(1,02; 0,98; 2,03). Пусть Мо (1 ;1;2) будет вспомогательной точ-
кой. Найдем дифференциалы аргументов dx = x-x0 =0,02;
dy = у — уй=— 0,02; dz — z — z0 = 0,03 и воспользуемся форму-
лой (6)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
403
= 141322 + 4-131322 0,02 + 3 I41222 (-0,02)+ 2 14132• 0,03 =
= 4 + 0,16-0,24 + 0,12 = 4,04.
4.4. Стороны прямоугольного параллелепипда равны:
а — 2 см, b = 3 см, с = 6 см. Найти приближенно величину изме-
нения длины диагонали паралллепипеда, если а увеличивается
на 3 мм, b — на 1мм, а с уменьшается на 2 мм.
Решение. Диагональ параллелепипеда равна
1 = ^а2 +Ь2 + с2 = 7. Изменение длины заменим приближенно
дифференциалом
А, ,, 2ada 2bdb 2cdc
M-dl= , = + . = + . = =
\la2+b2+c2 yja2+b2+c2 y]a2+b2+c2
= . 2 (ada+bdb+cdc) = . 2 (2 • 0,3+3 0,1+6 (-2)) =
\la2+b2+c2 yja+b2+c2
2
= ±(-0,3) = -0,0857,
t. e. длина уменьшилась на 0,857мм.
4.5. Дана функция z = 4ху + 5х — 2у и две точки Л(1;3),
2?(1,04;2,97). Требуется:
а) вычислить приближенное значение функции в точке В;
б) вычислить точное значение функции в точке В и оценить
в процентах относительную погрешность, возникающую при за-
мене приращения функции дифференциалом.
Решение, а) Формула (6) для нашего случая примет вид
z(B) — z(A) + z'x(A)dx + z'y(A)dy .
Найдем: z(l;3) = 4-1-3+5 1 -2-3 = 11; zx=4y+5, z'(l;3) = 17,
404
Гпава 8
z^=4x-2, z'(l;3) = 2, dx = x~x0 = 1,04-1 = 0,04, dy = y—y0 —
= 2,97-3 =-0,03.
Отсюда приближенное значение функции в точке В
z(B) = 11 +17 0,04 + 2(- 0,03) = 11,62.
б) Найдем точное значение функции в точке В
г(Д) = 4-1,04-2,97+5-1,04-2-2,97 = 11,6152.
Если а есть приближенное значение числа а°, то относи-
, е а° — а ,
тельная погрешность § определяется по формуле о =----|.
11,61-11,62
Таким образом, 8 =
= 0,00086.
11,62
Принимая приближенное число 11,62 за 100 %, находим, что
относительная погрешность в процентах равна 0,007%.
8.5. Частные производные
и дифференциалы высших порядков
1°. Частные производные первого порядка от функции мно-
гих переменных и = f(x,y,...,t) обычно зависят от тех же пере-
менных и их можно еще раз дифференцировать.
Частными производными второго порядка называются ча-
стные производные от частных производных первого порядка
Э ( ди ) д2и
Эх^Эх J Эх2 “
д f ди ] д2и „
— — =т—
ду I дх I ЭхЭу
Э Г ди Э2и „
— — =—~ = и„г
Эх I Эу ЭуЭх
Смешанные частные производные, отличающиеся только
последовательностью дифференцирования, равны между собой,
если они непрерывны, т. е.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
405
Э2к _ Э2»
дхду дудх'
Частными производными третьего порядка называются ча-
стные производные от частных производных второго порядка
д 'д2и _ д3и _ д f д2и Эх Эх2 , Эх3 1X1 ’ Эх^ЭхЭу J Э (д2и 5 _ Э3и _ Э f д2и ду Эх2 Эх2Эу 111 ’ ду ЭхЭу j _ д3и _ ~дх2ду Uxxy’ _ д3и _ дхду2
Частные производные других высших порядков определя-
ются аналогично.
2°. Дифференциалом второго порядка от функции двух не-
зависимых переменных и = f{x, у) называется дифференциал от
ее полного дифференциала
d(du) = d2ir,
,2 д2и ,2 _ Э2м , , д2и 2
d u = ^rrdx +1^rrdxdy+^dy (1)
дх дхду ду
Аналогично определяется дифференциал третьего порядка
d(d2u) = d3u;
d3u =^-~rdx3 + 3-^U—dx2dy + 3 --dxdy2 +^-ydy3. (2)
Эх3 дх2ду У дхду2 ду3 ' '
В общем слчае для дифференциалов высших порядков спра-
ведлива символическая формула
d"u = —dx-\----dy I 17. (3)
I Эх ду I
где сначала выражение в скобках формально возводится в сте-
пень п, а затем при символе д" подписывается и.
406
Гпава 8
В многомерном случае и = /(хрх2,...,хя) имеет место ана-
логичная символическая формула
d"u
п д V
= У—dxi и .
(4)
5.1. Найти частные производные второго порядка
a) z = 1п(х2 + у2 ); б) и — ху + yz + zx.
Решение, а) Найдем частные производные первого порядка
3z _ 2х dz _ 2у
dx х2 + у2’ dy х2 + у2
Отсюда вторые частные производные
d2z _ 2(х2 +у2)-2х-2х _ п у2— х2
а? “ (х2+у2)2 ’" (х2+у2)2 >
d2z = 2(х2+у2)-4у2 _2(х2~У2)
ду2~ (х2+у2)2 ~(х2+у2)2’
d2z _ 4ху d2z 4ху
dydx (х2 + у2)2’ dxdy (х2 + у2)2
Последние два выражения наглядно доказывают, что сме-
шанные производные не зависят от порядка дифференцирова-
ния.
б) Находим сначала частные производные первого порядка
du du du
— = y+z; — = x + z; ~— = y + x
dx dy dz
Отсюда частные производные второго порядка
d2u d2u d2u d2u d2u d2u _
—— — 0; —— — O' —— — 0; ----— Ij -----— 1; ---— 1.
dx dy dz dxdy dxdz dydz
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ
407
„ Э3 z Э3и
5.2. Наити: а) , если z = cos(xy); б) - --......-, если
ахоу ахдудг
u-^xyz)3-
Решение, а) Поскольку смешанная производная не зависит
от порядка дифференцирования, то последовательно дифферен-
цируя, получим
3z d2z 2
— = -xsin(xy); —т = cos(xy);
ду ду
33z
= - (2х cos(xy) - х2у sin(xy)) = х2у sin(xy) - 2х cos(xj’)
дхду
б) Функция от трех независимых переменных. Смешанная
производная по переменым будет
= 3(xyz)2xy = 3*У z2,
dz
д и Q 3 2 2 9 и 2 2 2
= 9х у z --= 2 lx у z
дудг----------------------’ дхдудг
5.3. Найти: a) z"'.(0;l); б) z'" (0;1) , если z = ех у .
Решение, а) Требуется найти значение частной производной
третьего порядка в точке (0,1). Находим сначала частную про-
изводную z'y = х2 ех у,
z" = 2хех у +х2ех У2ху = 2х(1 + х2у)ех у ,
z'"y = 4х2у(1 + х2у)ех у + (2 + 6х2у)ех у.
Отсюда z"'(0,l) = 2.
б) Используя результат предыдущего примера z", находим
z'"y = 2х3е*2> + 2х(1 + х2у)х2ех1у. Отсюда значение производной в
точке z'"(0;l) = 0.
408
Гпава 8
5.4. Показать, что функции удовлетворяют уравнениям:
а) и = AsinAxcosaAt, и = e-“s<“'+x), -^- = а2^-^-', б) z = e^,
dt dx
z = y
Эх2 У ду2 '
Решение, а) Найдем частные производные второго порядка
от первой функции
1^- = — AaA sin Ах sin aAt, = — А(аА)2 sin Axcos aAt
dt dt2
= AA cos Ax cos aAt, = -AA2 sin Ax cos aAt.
dx dx
Подставляя вторые производные в уравнение, получим
-Aa2A2 sin Ах cos aAt = -Aa2A2 sin Ах cos aAt ,
что и требовалось доказать.
Найдем теперь частные производные от второй функции
= a sin(a/ + x)e'cos(“'+x>
dt
= (a2 cos(at + х) + а2 sin2 (at + x))e"cos(°'+x>,
dt
~ = sin(a/ + x)e’c“s<°'+<)
dx ’
= (cos(ar + x) + sin2 (at + x)XC0S(e'+x).
dx
Подставляя вторые производные в уравнение, получим
a2(cos(at + х) + sin2 (at + x))e~“s(",+x) =
= a2(cos(at + x) + sin2(aZ + x))e"cos(a'+x) •
что и требовалось доказать.
б) Находим вторые частные производные от функции
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
409
Dz xv d Z 2 xv xv Э Z 2 x)*
Z = e^, — =yexy, yT = /e ’ -^ = xe ’ ^ = xe '
dx dx dy dy
Подставляя вторые частные производные в уравнение, по-
лучим х2у2е*’ - у,2х2еЛ’’ = 0, что и требовалось проверить.
Найдем вторые частные производные для z = у
_1 з
dz _ 1 1 (У V
dx 2 I х I х2 2lxl
£
dz _ 3 Г у V d2z
dy 2^х J dy2
d2z _ 3 f у 4 у
dx2 4 x J x2 ’
3 1
4 1
<Л>’)2
Подставляя вторые частные производные в уравнение, по-
лучим
4^х J х2 Л 4 1
v 7 (ху)2
’4--4=о
4 л 4 л
что и требовалось проверить.
5.5. Найти: a) d2z, если z = xln —; б) d2u, если u=exyz;
х
в) d2z , если z = ех sin у.
Решение, а) При нахождении дифференциала второго по-
рядка воспользуемся формулой (1). Для этого найдем частные
производные второго порядка
dz ] у d2z 1 d2z _ 1
Эх х Эх2 х dxdy у
Dz _ х 32z _ х
dy у’ dy2 у2'
410
Гпава 8
„ , ,г dx1 2dxdy xdy
Таким образом, d z =----1---------y-.
x У У
б) В данном случае функция трех переменных. Пользуясь
формулой (4), запишем дифференциал второго порядка
,, d2u , 2 Э2п , , d2u ,2
d~u=—-dx + —^dy~J,--d z +
dx2 dy2 dz2
„ d'u , , „ d2u , , „ d2u , ,
+2-----dxdy + 2-----dxdz + 2---dydz
ЭхЭ;- dxdz dydz
Найдем частные производные второго порядка
du du ч,г du
дх у ду dz ’
= ^4 = (xz)2^z, ~ = (ху)2е^
dx2 dy dy
du . 2 \ xvz du 2 \ xvz
—— = (z + xyz )e , —— = (y + xy z)e
dxdy dxdz
^-(x + x2yz)eJ}’\
aydz
Отсюда имеем
d2u — ^((yzdx)2 + (xzdy)2 + (xydz)2 +
+(z + xyz2 )dxdy + (y + xy2 z)dxdz + (x + x2yz)dydz)
в) Воспользуемся формулой (2). Найдем частные производ-
ные третьего порядка
dz х . dz х d2z х .
— = е sin у, — -е cos у, —т- — е sin у
dx У dy dx2 У ’
d2z х d2z . Э3z х .
—— = е cosy, —- = -е siny, — = е siny
dxdy dy dx
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
411
Э3г л d3z х . d3z х
—= е cosj/, —— = -е sinj/, т-у = -е cosy-.
Эх Эу ЭхЭу ду
Окончательно получим
d3z = ех sin ydx3 + Зех cos ydx3dy — Зех sin ydxdy2 —
-ex cos ydy3 = ex (sin ydx3 + 3 cos ydx2dy - 3 sin ydxdy2 - cos ydy3).
8.6. Дифференцирование сложных функций
1°. Функция вида z = f(u, v,..., w) называется сложной фун-
кцией от независимх переменных х,у,..., t, если она задана по-
средством промежуточных аргументов: и = u(x,y,...,t),
V = v{x, y,...,t), ... , w= w(x, y,...,t)
Частная производная сложной функции по независимой пе-
ременной равна сумме произведений ее частных производных
по промежуточным аргументам на частные производные от этих
аргументов по независимой переменной
dz _ dz ди + dz dv + dz dw
дх ди Эх dv dx Эх
dz dz du dz dv dz 9w
— — ~-----1-----F... 4-г— J
dy du dy dv dy dw dy
dz dz du dz dv dz dw
dt du dt dv dt dt
Если все промежуточные аргументы будут функциями толь-
ко одной независимой переменной и = w(x), v = п(х), w = w(x),
то z будет функцией только х и производная такой сложной фун-
кции называется полной производной
412
Гпава 8
dz dz du dz dv dz dw
— =---------+--------+ ... +--------. (2)
dx du dx dv dx dw dx
Если функция z вида z = f(x,u,v,...,w), где u,v, ...,w —
функции только x, то полная производная определяется по фор-
муле
dz dz dz du dz dv dz dw
----— ТГ----h “-----1 h • • • 4* ~-•
dx dx du dx dv dx-----------------------------dw dx
(3)
2°. Если функция z = f (u,v,...,w) сложная, то дифферен-
циал первого порядка сохраняет свой вид (свойство инвари-
антности формы первого дифференциала) и находится по
формуле
, dz , dz . dz ,
dz = —du-\-dv+ ... +—-dw,
du dv aw
(4)
Дифференциал 2-го порядка от сложной функции находит-
ся по формуле
j2 ( d j d J Э . Y
d z = \—~du + —dv+ ... + ^—dw z +
I du dv dw
dz ,2 dz ,, dz ,2
+ ——d u + ——d v+ ... + ——d w. (5)
du dv aw
6.1. Найти производные сложных функций:
а) z = \lu2 +v2, u = cosx, a = sinx; 6) z=x3lny, х=2н+3и, y = —;
v
в) U =xyz, X = lnr, y-l + t2, z = sinZ; r) z=xlnusma, w=cosx,
V = x2 -1.
Решение, а) Поскольку промежуточные аргументы u,v яв-
ляются функциями только одной независимой переменной х, то
производную находим по формуле (2)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
413
dz и . V . . л
--= sinx + —. cosx = — cosx sinx + sinx cosx = 0
dx y/u2+v2 yju2 + v2
б) Промежуточные аргументы x,y являются функциями двух
независимых аргументов u,v. В этом случае формулы (1) примут
вид
3z 3z Эх 3z ду
ди дх ди ду ди ’
dz _ dz дх dz ду
dv дх ди ду dv '
Отсюда
dz 2 х3 1 2, “ (2w + 3n)3
— = Зх In у • 2 ч-= 6(2и + 3v) In —и -----
ди у v v и ’
3z „ „ х3 ( и} и (2u + 3v)2
— = 3х21пу-3 + — —г =9(2и+Зу)21п-------------
dv у v2 ) V V '
в) Функция и зависит от трех промежуточных аргументов,
которые в свою очередь зависят только от одной независимой
переменной, поэтому по формуле (2)
du 1 „ 1 + Z2 . „ . . ,, 2м
— = yz- + xz2t + xycost =-sinr + 2rlnfsin t + (1 +1 )lnfcos{
dt t t
г) Здесь независимая переменная x явно входит в выраже-
ние функции, поэтому воспользуемся формулой (3)
dz , . х .... . „
— = In и sin v +—sin v(-sin x) + x In и cos v • 2x =
dx и
= In cos x • sin(x2 -1)—sin(x2 -1) + 2x2 In cos x • cos(x2 -1)
X
6.2. Найти dz и <72г,если z = f(u,v), n = sin(xy), n = ln—.
У
Решение. При нахождении дифференциала 1-го порядка вос-
пользуемся формулой (4), где
414
Гпава 8
. ди , ди , z ч , , , 7
du =—dx +—ay — ycos(xy)ax + xcos(xy)ay,
дх ду
, dv , dv , dx dy
dv = —dx + ~dy =----
dx dy x у
Тогда
dz = fu {y cos(xy)dx + X cos(xy)dy) + / I-
Iх У J
При вычислении дифференциала 2-го порядка по формуле
(5) найдем сначала d'u и d2v
j2 d2u 2 d2u d2u 2
du = —-dx +2--------dxdy-\-----dy =
dx2 dxdy dy2
= —y1 sin(xy)eZx2 — 2xysm.(xy)dxdy-x2 sin(xy)cfy2
,2 Э2и , , „ Э2ц , , Э2и , 2 dx2 dy2
d v = —-dx~ + 2------dxdy-i----dy =----7-+——
Эх2 dxdy Эу x2 y2 ’
Таким образом,
d2z = /"(T cos(xy)<fr + x cos(xy)dy)2 + 2f"(y cos(xy)dx +
. x dx dy} .„(dx dy}
+xcos(xy)dy)--------+fvv---------------
x У x У
. 4Z J J 42 z-zl dy2 dx2
-fusm(xy){ydx+xdy) +fv —-----------
У x
= fuu cos2 (xy)(ydx + xdy)2 + 2f" co^xy){ydx + xdy) I — - +
Iх У )
— \~fu sin(TV)( ydx + xdy)2 + f'\
У)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
415
8.7. Дифференцирование неявных
и параметрически заданных функций
1°. Неявной функцией от нескольких независимых перемен-
ных х,у, ... , t называется переменная z, если она задана уравне-
нием F(x,y, , t, z) = 0, которое не разрешено относительно z.
Первый способ. Частные производные неявной функции z,
заданной уравнением F(x,y, ... , t,z) = 0,rpeF—дифференци-
руемая функция переменных (х,у, ... , t ,z), определяются по фор-
мулам
_ Эх . _ Эг hi
dx dFJ dy dF/ ’ dt Э77
dz dz dz
dF
при условии, что —— Ф 0 .
dz
Второй способ. Дифференцируя уравнение
F(x,y, ... , t,z) = 0 будем иметь
dF, dF, dF, dF,
— dx + ^—dy + dt-\---dz — 0.
dx dy dt dz
Находя отсюда dz и сравнивая с формулой
, dz , dz , dz ,
dz = —dx + — ay + ...Ч---------dt
dx dy dt '
находим соответствующие частные производные.
2°. Если неявная функция у задана уравнением F(x, у) = 0,
где F— дифференцируемая функция переменных х и у, то произ-
водная неявной функции будет
dF
У dFj
^.0
оу
(2)
416
Гпава 8
Производные высших порядков вычисляются последова-
тельным дифференцированием формулы (2).
3°. Пусть неявные функции и = u(x,y,z) и v = v(x,y,z) за-
даны системой уравнений
Ft(u,v,x,y, z) — 0;
F2(u,v,x,y,z) = 0.
Первый способ. Если якобиан
М Э7?-
_ ди dv
D(u,v) ~ dF2 dF2
du dv
du dv
то частные производные — и — находятся из системы
Эх дх
dF, dF. ди dF. dv
—J-+—1—+—=
Эх ди Эх dv дх
dF, dF, ди dF2 dv
—=- + —-— + —-—
дх du дх dv дх
(3)
гт ди dv ди dv
Частные производные —,— и —,— определяются ана-
ду ду dz dz
логично.
Второй способ. Дифференцируя заданные уравнения, на-
ходим два уравнения, связывающие дифференциалы всех пяти
переменных. Решая полученную систему относительно du,dv и
сравнивая эти выражения с полными дифференциалами
, ди , ди , ди ,
du =—ох4----dy 4---az;
Эх ду dz
, dv , dv , dv ,
dv = ~~dx + —~dy + —~dz,
Эх dy dz
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
417
находим искомые частные производные.
4°. Пусть функция z от переменных х,у задана параметри-
чески уравнениями
x = x(t/,u), у = у(и,и), z = z(u,v).
п г п
Первый способ. Для нахождения частных производных —
Эх
Эг
и — составим дифференцированием систему
Эу
, Эх , Эх ,
ах = —аил---dv;
ди ди
, ду ду
dy = —du + —dv;
ди до
, dz , dz ,
dz = — du + —— av.
du dv
Если якобиан
Эх Эх
J7) _ du du
D(u,v) dy dy
du dv
то решая первые два уравнения относительно du,dv и подстав-
ляя их в третье, из сравнения полученного выражения с полным
дифференциалом dz = — dx + ~dy, находим частные производ-
Эх ду
dz dz
ные — и —.
Эх ду
Второй способ. Дифференцируем сначала первые два урав-
ди ди
нения по х и, из получившейся системы, находим — и v- . Да-
Эх Эх
лее, дифференцируем первые два уравнения по у и, из
ди ди
получившейся системы, находим — и —. Затем, дифференци-
ду ду
418
Гпава 8
руя третье уравнение по х и у и подставляя туда ранее найден-
dz dz
ные частные производные от и, v по х,у, находим — и — - .
Эх ду
7.1. Найти частные производные: а) х + у2 + z2-t2 =0;
б) z3 -xyz = 2a2
Решение, а) Функция z задана неявно. Полагая
F(x, у, z,t) = х2 + у2 + z2 -t2, по формулам (1) имеем
3F <)F dF dF
—— = 2х; —— = 2у; = 2z; ~— — —2t;
dx ay dz at
dz x dz у dz t
dx z dy z dt z
С другой стороны, дифференцируя данное уравнение, бу-
дем иметь 2xdx + 2ydy + 2zdz - 2tdt = 0.
Находим отсюда dz, т. с. полный дифференциал неявной
функции
, tdt — xdx-ydv t , х , у ,
dz =---------= -dt dx — — dy.
z z z z
Сравнивая с формулой полного дифференциала
, dz , dz , dz ,
dz — — dx-\--dy + —-dt,
dx dy dt
окончательно получим
dz x dz _ у dz _ t
dx z dy z dt z
б) Полагая Р(х,у,г)=г3-хуг-2а3=0, находим частные про-
изводные
dF dF dF i
—— = — yz, -----= -xz, —— = 3z~ —xy .
dx dy dz
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
419
Отсюда по формулам (1) получим
Эг _ yz dz _ xz
Эх 3z2—xy ду 3z2—xy
Второй метод. Дифференцируем
3z2 dz - yzdx — xzdy — xydz = 0.
Находим дифференциал
, —yzdx — xzdy yz , xz
dz -----------=----------dx--------dy
3z-xy 3z2-xy 3z2-xy
Сравнивая с полным дифференциалом функции от двух пе-
ременных, получим
dz _ yz dz xz
Эх 3z2 — ху dy 3z2 — ху'
dy d2y d3y
7.2. у = x + ln у, найти —; , -yy и дифференциал dy.
dx dx dx
Решение. Пусть F(x, у) = у — x — In у = 0 . Находим частные
dF , dF , 1 у>-1 ,
производные — = —1; — -1 — = . Отсюда по формуле (2)
Эх ду у у
получим
-1 _ У
У У~Х у-1
У
Вторую производную находим дифференцированием первой
производной по х, учитывая, что у есть функция х
d2y = d_( У 1 у'(у-1)~уу' = У
dx2 dx(y-l) (у-1)2 (у>-1)3-
Аналогично, третья производная
<?У _ d_(d2y5 _ у'{у-У)~^уу' = Xl + Zy)
dx3 t/x[t/x2J Су-1)4 Су-1)5 ’
420
Гпава 8
Дифференциал функции будет dy = y'xdx = --У-dx .
j;-l
— ™ .. с) Z д Z д Z 2222
7.3. Наити —, ——, т-у, если x+y+z =a
Эх dxdy ду
Решение. Функция z от двух независимых переменных за-
дана неявно. Полагая F(x, у, z) = х2 + у2 + z2 - a2 = 0, находим
, ... dz dz
сначала по формулам (1) — и т—:
Эх ду
dF _ dF _ dF _ dz x dz у
— — 2x, — — 2y, — — 2z, — —-, — —--.
dx dy dz dx z dy z
d2z
Вторую производную т—j- находим дифференцированием
dx
первой производной по х, учитывая, что z есть функция х
X2
Э2г _ d ( х A z-xz' _ Z+ z _ z2 +х2 _ у2 - а2
Эх2 Д z J z2 z2 z3 z3
Смешанную производную находим дифференцирова-
ЭхЭу
нием первой производной по у, учитывая, что z есть функция у
d2z _ d ( х A xz'y _ ху
дхду dy[ z J z2 z3
Аналогично
d2z _ d ( у _ z - yz' _ z + ~ _ z2+y2 _ x2-a2
dy2 dy[ z J z2 z2 z3 z3
2 2 2
x у Z
7.4. Найти dz и dz, если —г+—г+—г = 1.
a b с2
аИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ
421
Решение. Дифференциал от функции z находится по форму-
, dz , dz , л ,
ле dz = —dx + — dy. Поскольку функция задана неявно, то ча-
Эх dy
стные производные находим по формулам (1), где
2 2 2
F(x,y,z) = ^ + ^ + ^-1 = 0:
а о с
Э/^_2х
Эх а1 ’ dy b2 ’ dz с2 ’
dz _ с2 х dz _ с2 у
Эх a2 z dy b2 z'
с2 х с2 у
Таким образом, dz = —-—dx—^-—dy.
az b z
Дифференциал второго порядка находится по формуле
2 Э22 2 т Э27 Э22 2
d z = —-dx +2----dxdy-\---dy
Эх2 ЭхЭу Эу2
Вычислим частные производные второго порядка
d2z _ d ' с2 х _ с2 z — xz'x _ с2 a2z2+c2x2 _ с4 Ъ2 — у1
Эх2 dx a2 z a2 z2 a2 a2z3 a2b2 z2 ’
\ 7
Э2г _ d с2 X _ c2xzr _ с4 ху
ЭхЭу dy a2 z a2z2 a2b2 z3 ’
Э22 d ( с2 у 'l _ с2 z~yz'y _ с2 b2z2 + с2у2 _ с4 а —
df " Д“F7 Jb2 z2 -V? ~~a2b2 z3
Отсюда,
d2z = —2^2 3 ((б2 - у2 )</х2 + Ixydxdy + {a2 -x2^dy2j.
7.5. Неявные функции и и v заданы системой
422
Гпава 8
u + v + x + y + z = O,
и2 + v2 +х2 + у2 +z2 =R2.
„ „ ди dv
Наши частныепроизводные —, —.
dz dz
Решение. Полагая Fi(u,v,x,y,z') = u + v + x + у + z и
F2(u,v,x,y,z) = u2 + v2+x2 + у2 + z2—R2, система для определе-
ны ди
ния — и —, аналогичная системе (3), имеет вид
dz dz
dF. dF, du dF. dv
—L + —1— + —1— = 0,
dz du dz dv dz
dF dF2 du dF2 dv
. dz du dz dv dz
Отсюда
du dv ,
— +—+1 = 0,
dz dz
_ du „ dv „
2u —- + 2v— + 2z = 0.
dz dz
Решая данную систему относительно производных, получим
ди _v — z dv _z —и
dz u—v dz u—v
Решим этот пример вторым способом. Найдем дифферен-
циалы от заданных функций
Г du + dv + dx + dy + dz = 0,
\udu + vdv + xdx + ydy + zdz = 0.
Решим полученную систему относительно du, dv
v-x v—y J v — z J
du =--------------dx 4----— dy 4---dz,
u—v u—v u—v
x—u v — u z—u
dv =----dx + ----dy +----dz.
u—v u—v u—v
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
423
Сравнивая эти выражения с полными дифференциалами,
будем иметь
du _v-z dv _z-и
dz u—v dz u-v
Замечание. Из формул для du, dv следует, что
ди _v — х dv _х —и du_v-y dv у-и
dx u — v dx u — v ду u-v ду u — v '
7.6. Функции ы и а независимой переменной х заданы систе-
2 2 2 2 п 2 о 2 i d U d V
мой уравнений: и +v —х ,и + 2v + Зх =1. Найти —у и —у.
dx dx
Решение. Функции заданы неявно. Полагая
Fi(u,v,x) = u1 + V1 -хг, F2(u,v,x) = u2 + 2v2 + 3x2-1, находим
сначала систему (3)
du dv
2и---\-2v---2х = 0,
dx dx
_ du , dv r
2u---h 4u---l-6x = 0.
dx dx
du 5x dv 4x
Отсюда первые производные: — = —, — =----.
dx и dx v
Дифференцируя повторно, получим
du
d2u d (5x\ U X dx . w2—5x2
—F =— — = 5------= 5-------j—,
dx dx\ и j и и
dv
d2v d ( 4x A ,V X dx л + 4*2
—r=— — h=~4—i= -4—з—
dx dxy и J v v
7.7. Функции и, v независимой переменной х заданы систе-
мой уравнений и + v + х - 0, uvx = 1. Найти: d2u, d2v .
424
Гпава 8
Решение. Дифференцируя, находим уравнения, связываю-
щие дифференциалы всех трех переменных
du + dv + dx — О,
xvdu + uxd v + uvdx = 0.
Решая эту систему относительно дифференциалов du,dv,
будем иметь
и(ц-х) v(x-u)
du —-------dx, dv —--------dx
x(u—v) x(u-v)
Дифференцируем повторно
_ (du(v — x) + u(dv — dx))dx(u — v)x — u(v — x)dx(dx(u — v)
x(du-dv)) _ (u(v-x)2+u(v(x-u)-x(u-v)))x(u-v)
I * ““ — — (1X I
x (u—v)~ x (u — v)
-~u(v — x)(x(u — v)2 + x(ll(v - x) - v(x - w))) _
x1(u—v)1
_ ux((v2 +x2 —uv — Xu)(u ~v) — (v — x)(u2 +V2 — их — XV)) 2
_ “ - tlx
x\u — ll)3
3(u2+x2 + tr) 2
=------5----T-^-dx
x (u—v)
__(dv(x—u)+v(\—du))x(u—v)dx—v(x—u)dx((u—v)dx+x(du—dv)) _
j^(u—v)2
_ (v(x — u)2+ v(x(u — v)—u(v— x)))x(u — v) ^2
x1 (u—v)1
—v(x — u)(x(u — v)2 + x(u(v — x) — v(x—u)))
x1 (u — v)1
_ vx(((x — и)2 + (хи —XV—VU + ux))x(u — v)
x1(u — v)1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
425
—(х — w)((w — v)2 + (UV -UX — VX + wil))) 2 _
x\u — v)3
_ vx((x2 + и2 +v2)(u —V) — (x — U)(u2 +v2 +x2)) _
X3(w —ll)3
3(w2+t?+x2) 2 ,2
=----:—ax = -d и
x\u-v)3
7.8. Функции и и v независимых переменных х и у заданы
неявно системой уравнений: х w + уи = 0, w + w + x + .y = l.
_т „ д2и д2и д2и d2v д2v d2v
Наити —- --------, —- —- ------------, —
дх2 ЭхЭу ду дх2 дхду ду
Решение. Найдем сначала первые частные производные. По-
лагая F\(u,v,x,y) — хи +yv и F2(u,v,x,y) = u + v + x + y—1,нахо-
ди
дим систему (3) для определения — -
Эх
du
дх
du dv
---F у--
дх дх
ди dv , п
— + — + 1 = 0.
дх дх
= 0,
Решая эту систему относительно производных, получим:
dv _ и — х ди _ у —и
дх х — у дх х — у ’
Аналогично
ди dv
x- + y—- + v = G,
ду ду
ди dv л
—- + —+ 1 = °,
dy dy
426
Гпава 8
ди у -v dv v-x
откуда: — = -----, —=------.
ду х — у ду х — у
Повторно дифференцируя и учитывая, что функции u,v за-
висят от переменных х,у, будем иметь:
-ч2 д ( \ ~~(х-у)-(у-и) л
д и д I у-и _ дх _2(и-у)
дх2 дх х — у (х — у)2 (х — у)2
д2и _ д (у-и2
дхду Эу I х - у
, ди ]. . , .
i-— (x-y) + (y-w)
ay ) __________x-y + v-u
(х-у)2 (x-y)2
(1
д и _ д I y — v ду ) ____________ 2(x — v)
ду2 эДх-у J (х~у)2 (х — у)2
(ди V
д v _ д и—х _ dx ) __________ 2(у — и)
дх2 J (х-у)2 (х-у)2
d2v
ЭхЭу
Эх ) ___________ у-x + u-v
(х-у)2 (х-у)2
dv, , ,
32 3 ( \ -^(x-y) + (v-x) , ,
Э v _ Э I v - х _ ду _2(v — x)
ду2 эДх-j, J (*-у)2 (х-у)2
7.9. Функции u,v независимых переменных х,у заданы неяв-
но системой уравнений: и + v = х, uv - у. Найти d2u, d2v
Решение. Найдем сначала du и dv. Для этого продифферен-
цируем заданные уравнения
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
427
] du + dv = dx,
[vdu+udv = dy.
Решая эту систему относительно du и dv, получим
, udx — dy , dy-vdx
du =--------, dv =---------.
и—v u—v
Дифференцируем повторно
,2 dudx(u-v)-(udx-dy)(du-dv)
d и =---------------------------=
(w-ц)
_ (udx - dy)dx(u — ц) — (udx - dy — dy У vdx)(udx — dy) _
(u — v)3
(udx — vdx — udx + 2dy — vdx)(udx — dy) _2(dy — vdx)(udx — dy) _
(u—v)3 (u — v)3
2(udxdy—(dy)1 — uv(dx)2 + vdxdy _ 2(uv(dx)2 — (u + v)dxdy+(dy)2)
(u—v)3 (u—v)3
2 — dvdx(u-v) — (dy — vdx)(du — dv)
d v —---------------------------=
(u-v)2
_ —(dy — vdx)(u — v)dx — (dy — vdx)(udx — 2dy + vdx) _
(u — v)3
(—udx + vdx—udx + 2dy — vdx)(dy - vdx) _2(dy- udx)(dy - vdx) _
(u — v)3 (u — v)3
2[(dy)2 —udxdy —vdxdy+ uv(dx)2^
(u-v)3
_2(uv(dx)2-(u + v)dxdy + (dy)2) _
428
Гпава 8
_ 1» it - dz dz
7.10. Наити —, —, если x = uv, y = u + v, z-u — v.
dx dy
Решение. Функция задана параметрически. Дифференцируя,
находим систему из трех уравнений, связывающую дифферен-
циалы всех переменных
dx = vdu + udv;
dy = du + dv;
dz=du-dv.
Из первых двух уравнений находим дифференциалы du и dv
, dx-udy , dx — vdy
du =---------------dv~---------—.
v—и u—v
Подставляя найденные выражения в третье уравнение и
сравнивая с полным дифференциалом dz, будем иметь
dz_dx- udy dx — vdy _
v — u
dz
dx u — v
u—v
2
2 , u + v ,
------dx H----dy
u—v u—v ’
_ u + v
dy u — v ’
7.11. Найтиdz, если x = e“sinii, y’ = e"cosf, z = uv-
Решение. Функция задана параметрически. Дифференцируя
все три выражения, находим три уравнения, связывающие диф-
ференциалы всех пяти переменных
dx = e sin vdu + e“ cos vdv,
dy = eu cos vdu-eu sin vdv,
dz — vdu + udv.
Из первых двух уравнений находим duvtdv.
, sin vdx + cos vdy , cos vdx - sin vdy
du =----------------, dv =-------------------
U 5 Al
e e
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
429
Подставляя du, dv в третье уравнение, получим
V U
dz = — (sin vdx + cos vdy) 4-(cos vdx — sin vdy) -
eu eu
= ((и sin v + u cos v)dx + (y cos v - u sin v)dy)
8.8. Замена переменных
в дифференциальных выражениях
В некоторых дифференциальных выражениях производные
по одним переменным целесообразно выразить через производ-
ные по другим переменным. Для этого используются правила диф-
ференцирования сложных функций.
8.1. Преобразовать дифференциальное уравнение
.. 2'd~y dy n
(1-* )- 2--х—- + у = 0,полагая x = sin/.
dx dx
Решение. Выразим производные от у по т через производ-
ные от у по г.
dy dy
dy Sdt ~dt
dx dx cos/i
dt
d (dy\ d2y dy .
АУ |- dt\dx dt2_____dt
dx2 dx^dx J dx cos2/cos/
dt
_ 1 d2y sin/ dy
cos2 / dt2 cos3 / dt
Подставляя полученные производные в данное уравнение и
заменяя х на sin /, будем иметь
430
Гпава 8
,, . , J 1 d2y sin? dy | sin? dy
(1-sin2?) ---------<+--------—<---------- + j^ = 0.
I cos ? dt cos ? dt I cos? dt ’
4^=o.
dt
8.2. Преобразавать уравнение — ^-у = з| j , приняв j?
dx dx I dx J
за аргумент, a x за функцию.
Решение. Выразим производные от у по х через производ-
ные от х по у
dy2 1 dy2
( dx Y ( dx Y •
J dy J
d3y _d( d2y''
dx3 dx dx2
\ /
d
dy
d2x
j dx |
J
d3x dx ' d2x
dy _ dy3 dy [ dy2
1
dx
dy
Подставляя эти производные в данное уравнение, будем
иметь
d3x dx (d2xУ
dy1 dy~ [dy2
' dx У
Jy,
d x
dy2
t.\ 7
Jy,
d3x dx
dy3 dy
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ
431
Так как обратная производная существует и — Ф 0, то урав-
dy
d"x
нение окончательно примет вид —г- = 0.
dy
8.3. Преобразовать к полярным координатам уравнение
dy _ х + у
dx х — у ’
Решение. Полярные координаты связаны с декартовыми
формулами: х = pcosip, у = р sin ср . Рассматривая р как фун-
кцию ср, дифференциалы dx,dy примут вид:
dx = coscpdp - р sincpdcp , dy = sincpdp + pcoscpdcp , откуда
dp
simp—— + pcoscp
dy _sincpdp + pcoscpdcp _ dcp
dx coscpdp - psmcpdcp „„„dp .
dcp
„ dy
Подставляя в данное уравнение х, у, —, выраженные че-
dx
рез новые переменные р, ср, получим
dp
simp——+ pcosip
dcp _ pcosip + p simp
dp . pcosip — psimp ,
cosip- —p simp к г к т
dcp
dp cos2<p + sin2ip _ sin2<p + cos2ip
dcp cosip-simp cosip-simp
~ c, dp
Таким образом, —— = p .
dcp
о . T-T r 3*2 dz ~
8.4. Преобразовать уравнение x---Fу----z = 0, перейдя
dx dy
у
к новым независимым переменным u,v, если и-х, v= —.
432
Гпава 8
Решение. Выразим частные производные от z по х,у через
частные производные от z по u,v. Воспользуемся формулами
дифференцирования сложных функций
dz_dzdu dzdv dz_dzdu dzdv
дх ди дх dv дх ’ ду ди ду dv ду '
„ ди ди п dv у dv 1
Так как - -=1, — = 0, -- = , то
дх ду дх х ду х
dz _dz у dz dz _ 1 dz
дх ди х2 dv’ ду х dv
Подставляя найденные производные в данное уравнение и
выражая х,у через u.v, будем иметь
dz dz dz „ dz
и----V — + v----z = 0 или и-—z = 0.
du dv dv du
d2z „ d2z d2z n
8.5. Преобразовать уравнение —у - 2 —-—l- —г = 0, при-
ax dxdy ду
у
няв за новые независимые переменные и-х + у, v= —, а за но-
х
z
вую функцию W = —.
X
Решение. Выразим частные производные от z по х,у через
частные производные от w по u,v. Для этого найдем дифферен-
циалы данных выражений:
, , , , xdy - ydx , xdz - zdx
du = dx + dy, dv = —-—~, dw =----j--.
С другой стороны дифференциал dw как от функции двух
, Эи , ,
переменныхu,v равен dw = ——du+——dv .
ди dv
Отсюда
, dz z ,
——du + —— dv =--ydx
du dv x x
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
433
или
dw, , , ч dw(dy у А , dz z2
—— (<& + <я[у) + -—--- к/х =------dx'
du dv I x x~ J xx
Разрешим это выражение относительно dz
, ((dw у dw z V (dw 1 dw A , ]
dz = xll ----7— + ^- Ч- + -Ч- \dy
II du x dv x J I dw x dv I I
Таким образом,
dz dw dw dz dw dw
= X V h W, -X 4
dx------------------------------du-dv-dy-du-dv '
„ _ л d2u d2u d2u Л
8.6. Преобразовать уравнение —-+—- + —— = 0, переи-
dx dy dz~
дя к сферическим координатам.
Решение. Сферические координаты связаны с декартовы-
миформулами х = р sin 0 cosip, j^ = psin0simp, z = pcos0.
Преобразование можно провести в два приема, полагая сна-
чала x = rcoscp, у — г simp (считая z неизменным), затем
z = р cos0, г = р sin0 (считая (р неизменной).
d2w d2u
Преобразуем сначала выражение ту + тт • Воспользуем-
dx dy
ся формулами дифференцирования сложных функций:
dw _ du dx dw dy du _ du dx dw dy
dr dx dr dy dr ’ d(p dx d(p dy d(p ’
тогда
dw dw . dw dw . dw dw
— = cos<p---hsimp— — = -rsimp — + rcos<p —
dr dx dy ’ d(p dx dy'
du du
Решая эту систему относительно —, —, получим
434
Гпава 8
ди ди
— — coscp ——
дх дг
sin<p ди
г дер
ди ди
—— = sin<p — +
ду dr
cos<p ди
г дер
(*)
Вторые частные производные равны
д2и Э (ди А д ( ди sinср ди
ТТ = Ч“ Н- =c°s<p— cosp-------------------
dx dxydx J dr^ or r dcp
du sinffl du A , d2u 2 sin ю cos ю d2u
coscp —------— =cos p—y-------------------+
dr r d(p J or r drdcp
sin ср d
r dcp
d2u
coscp д
г дер
sin2 cp d2u 2 sin cp cos cp du sin2 cp du
r2 dcp2 r2 dcp r dr ’
i _ d du
! дДду
du coscp ди '
smep—+---------
or r dcp
r2 dcp
d ( . du cos cp du
= smcp— sin cp-—I------ +
dr r dcp
. ? d2u 2sin®cosep d2u
= sin <p—+------—-
or r drdep
dr
d
cos2 ср д2и 2 sin ср cos ср du cos2 cp du
2 дер2
2 dcp
dr
_ д2и д2и д2и д2и д2и
Отсюда +
дх2 ду2 dz2 dz2 dr2
1 д2и 1 ди
г дг
~______ d2u d2u d2u
dx2 ' dy2 ' dz2 “Э? ' dr' ' r2 dcp2
Учитывая, что z = p cos 0 и r = p sin 0, первые два члена в
правой части последнего выражения могут быть записаны ана-
логично
д2и д2и д2и 1 д2и 1 ди
dz2 + дг2 др2 р2 д02 р др '
ди
Производная ——, аналогично (*), примет вид
дг
ди . пди cosO ди
-~ = sin0 — +------—-
дг др р д0 ‘
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
435
Таким образом, окончательно получим
Э2и д2и д2и _ д2и 1 д2и 1 д2и 2 ди ctg0 ди
дх2 ду2 dz2 др2 р2 дО2 р2 sin2 0 д(рг р др р2 дО'
8.9. Экстремум функции
1°. Экстремумом функции называется максимум или мини-
мум функции. Функция двух независимых переменных z = f(x,y)
в точке М0{х0,у0) имеет максимум (минимум), если значение
функции в этой точке больше (меньше) ее значений в любой точке
Л/(х,_у), расположенной в окрестности точки Мо, т. е.
/(Л/о)> f(M) (/(Л/о)< ф(МУ), для всех точек М, удовлетворя-
ющих условию | МаМ |< £ , где £ > 0 —достаточно малое число.
Необходимое условие экстремума. Если дифференцируемая
функция z = f(x,y) имеет экстремум в точке Мо (х0, д), то в этой
точке ее частные производные первого порядка равны нулю
d/(Xo,To)_0. d/(x0,_y0)_Q
дх ’ ду
Точки, в которых выполняются условия (1), называются
стационарными точками функции, однако не в каждой стацио-
нарной точке функция имеет экстремум.
Достаточные условия экстремума. Пусть М0(х0,у0) —
стационарная точка функции z = f(x, у), причем функция дваж-
ды дифференцируема и имеет непрерывные вторые частные про-
изводные в точке Мо. Обозначим
_ д2/(*0,Т0). в_д2/(х0,у0) с _ д2/(хо,у0)
дх2 ’ дхду ’ ду2
и П = АС-В2 .Тогда:
436
Гпава 8
1) если D > 0, то функция z = f(x,y) в точке МДха,уа~) име-
ет экстремум: максимум при А < О (С < 0) и минимум при А > 0
(ОО);
2) если D < 0, то экстремума а точке Мо нет;
3) если D = 0, то требуется дополнительное исследование.
2°. Функция нескольких независимых переменных
z = z(x,.) (г = 1,2, ... ,п) в точке М0(х°} имеет максимум (ми-
нимум), если значение функции в этой точке больше (меньше)
ее значений в любой точке М(х,), расположенной в окрестно-
сти точки Мо, т. е. /(Л/о)> f(M) (/(Л/о)</(Л/)), для всех
М, удовлетворяющих условию М0М < £, где £ > 0 — доста-
точно малое число.
Необходимое условие экстремума. Если дифференцируе-
мая функция z = z(x,.) имеет экстремум в точке Мп(х"), то в этой
точке ее частные производные равны нулю
^ = 0 (z = 1,2, ... ,д). (3)
ох,.
Точки, в которых первые частные производные равны нулю,
называюся стационарными, однако не в каждой стационарной
точке функция имеет экстремум.
Достаточные условия экстремума. Пусть Ма(х°)— ста-
ционарная точка функции z = z(x,.), причем эта функция дваж-
ды дифференцируема и имеет непрерывные вторые частные
производные в точке Мо. Тогда:
1) если второй дифференциал </2г(Мо,Дх;)<0
(z = 1,2,... ,п), то функция имеет в точке Мо максимум, а если
d2z(M0, А х,.) > 0 — минимум, причем Дх,. = х,-х,°#0
(г = 1,2,..., п) одновременно;
2) если d2z(M0, А х,.) принимает как положительные, так и
отрицательные значения при различных значениях Ах,., т. е. яв-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
437
ляется знакопеременной функцией Дх,., то точка Мо не является
точкой экстремума функции;
3) если d2z(M0, А х) = О при Ас, Ф 0 (z = 1,2,, п) одновре-
менно, то для выяснения существования экстремума функции
требуются дополнительные исследования.
Если ввести обозначения z"Xt(x°,x°, ...х°) =
= aik (i, к = 1,2, ..., ri), то достаточные условия экстремума мо-
гут быть определены знаком квадратичной формы от перемен-
И
ных Acj, ... ,Дх„. Если квадратичная форма ^айАс,-Ас4
является положительной, т. е.
а11 Я12
Я21 а22
ап1 ап2
то в стационарной точке (х^х?,... ,х°) будет минимум; если от-
рицательной, то максимум. Если квадратичная форма может
принимать значения противоположных знаков, то в стационар-
нойточке (х”,х",... ,х°) экстремума нет. При равенстве квадра-
тичной формы нулю требуются дополнительные исследования
на экстремум.
9.1. Найти экстремум функции: a) z = х2 —ху + у2 +
+ 9х-6у + 20; б) z = Зху - 4х - 8/; в) z = x3 + у3 -ex + ljy3 ;
г) Z = l + (x-l)2O + l) ; д) 7 = 1-Х/з -у.
dz
Решение, а) Находим частные производные — = 2х - у + 9;
дх
3z „
— = 2у - х - 6. Приравниваем производные нулю и находим ста-
Э.У
ционарную точку
438
Гпава 8
2х-у + 9 =0,
х-2_у + 6 =0.
Из решения системы это будет точка х0 = -4, у0 = 1. Воп-
рос о характере экстремума решается с помощью достаточного
признака. Находим: А = ^-^ = 2, В = Z =-1, С = ^- = 2 и
дх дхду ду2
D = АС-В2 =4-1 = 3 >0. Так как А > 0, то точка (-4,1) будет
точкой минимума функции z. Значение функции в этой точке
будет = 16 +4 + 1— 36 —6 + 20 = —1.
б) Находим частные производные первого порядка:
dz dz
— = 3у~4; — = Зх - 8. Приравнивая производные нулю, на-
dx ду
ходим критические точки, которые лежат внутри области опре-
деления функции: Зу-4 = 0, Зх-8 = 0, следовательно,
8 4
*о = з> Уо=у.
Воспользуемся теперь достаточным признаком. Для этого
. d2z d2z
найдем вторые производные: А = —- = 0, В=-------= 3,
-.2 дх дхду
и Z
С = уу = 0. Поскольку D = АС - В2 = -9 < 0, то экстремума в
8 4
точке х0 = -, у0=—нет.
Эг
в) Находим частные производные: — = 3х2—6,
дх
— = Зу2 + З^/j/, приравниваем их к нулю и находим критичес-
оу
кие точки: Л/Дх/2,0) и М2(-у/2,0) Область определения функ-
ции: —°о<х<+°о, 0<у<+оо представляет половину
плоскости, лежащую выше оси Ох и включающую ось Ох.
аИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ
439
Поскольку точки Mt и Л/, расположены не внутри области
определения функции, а на ее границе _у = 0, то они не являются
критическими.
Следовательно, исследуемая функция, как не имеющая кри-
тических точек, экстремума не имеет, т. к. граничные точки не
могут быть точками экстремума.
dz
г) Находим частные производные — = 2(х-1)(у + 1)4,
дх
— = 4(х -1)2 (у +1)3. Из решения системы — = 0 и — = 0 нахо-
ау дх ду
дим единственную точку Л/о(1,—1).
= 2О + 1)4,
, 32z
Вычисляем вторые производные А = —г
дх~
z г)2
® = VT*= ~ +1)3 > С-—у = 12(х- 1)2(_у + 1)2 и значение
dxdy ду1
D = АС-В2 в критической точке Л/о(1; -1). Поскольку D = О,
то требуется дополнительное исследование.
Рассмотрим знак приращения функции Az = z(M) — z(Ma) в
окрестности точки Мо. Если ум < -1, то Л? = (х -1)2 (у +1)4 > 0,
а если ум > -1, то bz > 0. Если хм < 1, то bz > 0; если хм > 1, то
Az > 0. Следовательно, вблизи Ма приращение Az > 0 и точка
Л/о(1;—1) является точкой минимума z^ =1.
Эи 2 1
д) Находим частные производные: ’
dz _ 2 1
Зу - У 1/х ’ Частные производные не равны нулю ни при каких
значениях х,у и обращаются в бесконечность в точке Л/о(0;0).
Следовательно, в точке Мо производные не существуют и точ-
ка Мо является критической, поскольку принадлежит области
определения функции.
440
Гпава 8
Исследуем знак приращения функции в точках достаточно
близких к точке Мо.
2 2
Приращение Лг = г(М)-г(М0) = -х3-у3 имеет отрица-
тельный знак при любых отличных от нуля значениях х,у. Таким
образом, точка Мо есть точка максимума zmax = 1.
9.2. Найти экстремальные значения: а) и = xyz(4 — x — y — z);
б) 5х2 + 5у2 + 5z2 -2ху — 2xz — 2yz — T2=0.
Решение, а) Функция трех переменных. Находим частные
производные:
Эм ч ди
— = yz(4 — x — y — z) — xyz, — = xz(4 — x — y — z) — xyz
дх ду
ди , А ч
— = ху(4 -x — y — z)- xyz
dz
Приравнивая их к нулю, находим стационарные точки
Mt(0;0;0) и Л/2(1;1;1).
ди
Вычисляем вторые частные производные: —-y--2yz,
дх
д2и д2и _ д2и ч ч
= _2xz, =_2ху, —-=z(4-2x-2y-z),
ду dz дхду
д и , л _ _ , д2и , х
—— = x(4-x-2y-2z), —— = у (4-2x-y-2z). Нетрудно за-
oydz дхдг
метить, что второй дифференциал в точке Л/, равен нулю. По-
этому для выяснения существования экстремума рассмотрим
приращение функции в точке Л/,(0;0;0), т. е.
Ли = u(M) — u(Mt) = xyz(4 — х — у — z)
Так как знак приращения функции в точках М, достаточно
близких к точке Л/,(0;0;0), может быть как положительным, так
и отрицательным, то экстремума функции в точке нет.
Исследуем функцию на экстремум в стационарной точке
М2 (1,1,1). Для этого выясним знак определителя (4) в точке Мг
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
441
-2 -1 -1
-1 -2 -1
-1 -1 -2
= -4<0.
Поскольку квадратичная форма отрицательна, то в точке
Л/,(1;1;1) функция имеет максимум и„/л =1.
б) Функция z двух независимых переменных х,у задана не-
явно. Найдем частные производные. Полагая
F(x,y,z) = 5х2 + 5у2 +5z2 -2xy-2xz-2yz-72 = 0, будем иметь
dF
dz _ Эх _ Юх — 2у — 2г
Эх" dF~ 10z-2x —2у’
dz
dF
dz _ dy _ 10y-2x-2z
dy~ dF^~ lOz —2x —2y
dz
Приравнивая производные к нулю: 10х-2у—2z = 0 и
10y-2x-2z = 0, будем иметь х = у, z = 5x — y = 4х. Исключая у
и z из исходного выражения 1 Ох2 + 5 • 16 х2 - 2х2 - 8х2 - 8х2 - 72 = 0 >
получим две стационарные точки х = у = ±1.
Вычислим вторые производные
А _ 32z _ (10 - 2zx )(1 Oz - 2х - 2у) — (1 Ох — 2у - 2z)(l Oz' - 2)
~dx^~ (10z-2x-2y)2
_ d2z __(-2-2z'y)(10z-2x-2y)-(10x-2y-2z)(10z'v-2)
dxdy (lOz-2x-2y)2 ’
_d2z _ (10 —2z')(10z —2x —2y)—(lOy —2x —2z)(10z'— 2)
’a/’ (lOz —2x —2y)2
Найдем значение D = AC — В2 в точке x = у = 1. Вычисляя
, 5 „1 5 _
производные: А=-----, В = —, С=-------, будем иметь
18 18 18
442
Гпава 8
D = — ------ = — > 0. Так как А < 0, то в точке х = у = 1 функ-
18 18 27 л
ция имеет максимум.
Найдем теперь значение D в точке х — у = -1. Вычисляя про-
5 „ 1 5 п 2
изводные.а =—, В =-------, С — —, получим и и
18 18 18 2 /
Поскольку А > 0, то в точке х = у = — 1 функция имеет ми-
нимум.
9.3. Найти размеры прямоугольного бассейна данного объе-
ма Vтак, чтобы на облицовку его поверхности потребовалось
наименьшее количество плитки.
Решение. Пусть х — длина, у — ширина, z — высота бас-
сейна. Тогда его объем равен И = xyz. Полная поверхность бас-
сейна S = ху + 2(х + y)z . Исключая отсюда z, будем иметь
( 7 И
Х = ху + 2 + -
Iх у )
Исследуем функцию Х(х,^) на экстремум. Найдем частные
производные
dS _ И ЭХ „V
— = у-2 —, — = х — 2 —
Эх х2 ду у
и приравняем их к нулю
х2у = 2V,
y2x = 2V.
Из решения системы имеем х0 - у0 = 0 и х = у = 1/2У По-
скольку нулевой вариант нас не устраивает, то подставляя х и у
в уравнение связи V = xyz, находим высоту z = — ^2V .
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
443
8.10. Наибольшие и наименьшие
значения функций
Пусть функция z = f (М) определена и непрерывна в неко-
торой ограниченной и замкнутой области D. Для отыскания наи-
большего (наименьшего) значения функции следует найти все
экстремумы функции, лежащие внутри I), и экстремумы на гра-
нице. Наибольшее (наименьшее) из всех этих значений и будет
искомым решением.
Если установлено, что наибольшее или наименьшее значе-
ние функции имеет место во внутренних точках области D, то,
сравнив их между собой и в тех граничных точках, которые при-
надлежат D, найдем искомое наибольшее (наименьшее) значе-
ние функции.
Если область D не является ограниченной и замкнутой, то
среди значений функции z - f(M) в ней может и не быть ни
наибольшего, ни наименьшего значения. Наличие или отсут-
ствие наибольшего (наименьшего) значения функции в этом
случае определяется из рассмотрения конкретных условий за-
дачи.
10.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
a) z = х2 — у1 — х + у; х — 0, х = 2, у = 0, у = 1;
б) z = х2 + 3у2 + х-у; х = 1, у = 1, х + у = 1;
в) z = sin х + sin у - sin(x + у); х = 0, у = 0, х + у - 2л .
Решение, а) Заданная область представляет прямоугольник.
Найдем стационарные точки функции z, лежащие внутри пря-
моугольника. Частные производные приравниваем к нулю:
z'=2x-l = 0, z' = -2у + 1 =0. Отсюда х = ^, у = ±.
1 А
Следовательно, имеется одна критическая точка М\ —.
444
Гпава 8
Значение функции в этой точке z(A/) = 0. Исследование функ-
ции на экстремум в этой точке не обязательно.
Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на
границе заданной области.
При х = 0 имеем z = -у2 + у, т. е. задача сводится к отыс-
канию наибольшего и наименьшего значения этой функции на
отрезке 0 < у < 1. Находим стационарную точку z'. = -2у +1;
1 „ 1
У - — . Поскольку zyy = — 2 < 0, то точка у = — является точкой
(п Ч 1
максимума zmaxI 0;— =-.
В граничных точках функция равна z(0,0) = 0; z(0,1) = 0.
При у - 0 имеем z = х2 - х . Исследуем эту функцию на от-
резке 0 < у < 2.
Находим zx-2x —1;
z" =2>0. Точка * = - —
,1 1 „
точка минимума; zminI—;0 1=. На границе отрезка
г(0,0) = 0и z(2,0) = 2.
, (1)1
При у = 1 имеем z = x —х. Отсюда zmin — ;1 1=-—. На
границе отрезка z(0,1) = 0 и z(2,1) = 2 .
При х = 2 имеем z = 2 - у2 + у . Исследуем эту функцию на
отрезке 0 < у < 1.
Находим z' = -2у +1, У = ^> z"v =~2<0.Точка У = ~—
Л П 1 тт
точка максимума, zml2;— =2—. На границе отрезка
z(2,0) = 2, z(2,l) = 2.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
445
Сравнивая вычисленные значения z во внутренней стацио-
нарной точке и на границе заданной области, находим, что наи-
. ж Гл И 9
большее значение функция имеет в точке zml 2;— 1=—.
Наименьшее значение функции равно zmin =—Наименьшее
значение функция принимает в двух точках и
б) Заданная область представляет треугольник (рис. 8.1).
Найдем стационарные точки: z' = 2х +1, z' = бу -1, х0 = - ^,
1
У о — —. Поскольку имеется одна стационарная точка и она ле-
6
жит вне треугольника, то функция может иметь наименьшее и
наибольшее значения только на границе области. Исследуем
функцию на наибольшее и наименьшее значения на границе.
Рис. 8.1
При х = 1 имеем z = 2 + Зу2 - у. Исследуем эту функцию на
отрезке 0 < у < 1.
Находим z„=6y-l, У = 7, z"=6>0. Точка у =7
6 6
446
Гпава 8
точка минимума; zmin 1;— = —. На границе отрезка
z(l,0) = 2, z(l,l) = 4.
При у = 1 имеем z = х2 + х + 2. Исследуем эту функцию на
отрезке 0 < х < 1.
Находим z' = 2х + 1, х = — —. Так как точка х = -— лежит
2 2
вне отрезка, то вычисляем значения функции на границе отрез-
ка: z(0,l) = 2 и z(l,l) = 4.
При х+ у = 1 имеем z = 4у2 - 4у + 2. Исследуем эту функ-
цию на отрезке 0<у<1. Находим zy-8y-4, у = у;
„ _ 1 (1 1А
zyy = 8 > 0 . Точка У - — — точка минимума zmin —= 1. В
2 12 2 1
граничных точках функция равна z(0,1) = 2, z(l, 0) = 2.
Сравнивая значения функции на границе заданной облас-
(1 М ,
ти, находим наименьшее значение zmin —=1 и наибольшее
^тах(1Д) = 4.
в) Заданная область представляет треугольник (рис. 8.2).
У
2-к
2п -’с
Рис. 8.2
Ищем стационарные точки, лежащие внутри области. На-
ходим производные и приравниваем их к нулю
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
447
dz . . „ Эг . . „
— = cos x-cos(x + y) = 0, — = cos y-cos(x + y) = 0
dx dy
Из решения системы имеем: cosx —cosy = 0,
sin —^-sin —“— = О, У = ±х + 2Атг . Поскольку х изменяется в
промежутке 0 < х < 2л:, то достаточно рассмотреть случай у = х.
Функция при у—х примет вид z = 2sinx — sin 2х . Откуда
z'=2 cosx —2 cos 2x, cosx — cos 2x = 0, 2x = ±x + 2to.
Значение x = 2кл не лежит внутри области и его не следует
рассматривать.
2
Следовательно, у = х = —кл и при к - 1 это будет точка
2л: 2л:
х0 = —, у0 = —. Так как точка (х0, у0) — единственная ста-
, , зЛ
ционарная точка в области и функция в ней равна z = , то
на границе, т. е. при х = 0, у = 0, х +у = 2л функция равна нулю
z = 0. В точке (х0, у0) функция принимает наибольшее значение,
а на границе наименьшее.
10.2. На плоскости Оху найти точку М(х,у), сумма квад-
ратов расстояний которой от трех прямых:
х = 0, у = 0, х-у + 1 = 0 была бы наименьшей.
Решение. Заданные прямые в прямоугольной системе ко-
ординат образуют треугольник. Возьмем произвольную точ-
ку М(х, у) внутри треугольника и определим квадраты
расстояний до соответствующих прямых. Поскольку квадра-
ты расстояний до прямых х = 0, у = 0 соответственно равны
х2 и у2, а квадрат расстояния от точки до прямой х - у +1 = 0
\Ах+Ву + С\
по формуле а = .— — равен
\А2+В2
, то сумма
2
448
Гпава 8
квадратов расстояний будет и = х + у2 + (х - у +1)2.
Исследуем эту функцию двух переменных на экстремум:
Эи ди
— = Зх-у + 1 = 0, — = -х + Зу-1 = 0. Отсюда единственная
дх ду
стационарная точка М(х, у) имеет координаты х = — —, у = — .
4 4
„ л д2и о „ Э2н , „ д2и _
Так как А = —- = 3 , В =-----= -1, С-—т-3 и
дх2 дхду ду2
D = АС-В2 = 8 > 0 при А > О (С > 0), то в точке МI |
\ 4 4 7
функция и суммы квадратов расстояний минимальна.
10.3. Из всех треугольников данного периметра 2р найти
тот, который имеет наибольшую площадь.
Решение. Обозначим стороны треугольника через x,y,z;
тогда по формуле Герона S = р(р - х)(р - у)(р - z) или, учи-
тывая, что x+y+z=2p, будем иметь
$ = у1р(р-х)(р-уКх+у~р)
Чтобы найти наибольшее значение площади, достаточно
найти наибольшее значение подкоренной функции
н = (р-х)(р-у)(х + у-р).
Вычисляем производные и приравниваем их нулю
^- = -(Р~У)(х + у-р) + (р-у)(р-х) = 0,
дх
~ = -(р-х)(х + у-р) + (р-х)(р-у)=0.
Эу
Из решения системы уравнений находим единственную ста-
2р
ционарную точку х = у = z = . Находим вторые производные
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
449
. ди 2р в_^и_Р г-^и- 2Р
в этой точке: А = —— = —— « - —у - — —у - —.
дх 3 дхду 3 ду 3
2
Поскольку D = АС-В2 =^->0 и А<0 (С<0), то ис-
следуемая функция имеет в этой точке максимум.
_ , 2р
Вопрос о максимуме функции в точке х = у = z = мож-
но было бы решить и чисто геометрически. В данном случае мы
имеем равносторонний треугольник и площадь треугольника мак-
симальна, поскольку, чем больше отличается размер одной сто-
роны от двух других, тем площадь треугольника меньше.
10.4. Представить положительное число а в виде произве-
дения четырех положительных множителей так, чтобы их сумма
была наименьшей.
Решение. По условию задачи требуется найти наименьшее
значение суммы X=x + _y + z + ? при условии, что xyzt = а . Пред-
fl
ставляя t в виде t -- и подставляя это выражение в сумму,
xyz
будем иметь S=x + _y + z +-, т. е. функцию трех переменных,
xyz
причем х > 0, у > 0, z >0. Найдем стационарную точку.
Для этого вычислим производные и приравняем их к нулю
ЭХ _ j ayz _ Q ЭХ _ j axz _ ЭХ _ аху _
дх (xyz)2 ’ ду (xyz)2 ’ ду (xyz)2
Решая эту систему уравнений, находим, что
х = у = z = t = i/a , т. е. все множители равны. Докажем, что в
этой точке сумма принимает максимальное значение. Действи-
тельно, при приближении какой-либо переменной к пограничным
значениям х = 0, у = 0, z = 0 равно как и при удалении в беско-
нечность, функция суммы X бесконечно возрастает. Следова-
450
Гпава 8
тельно, найденная стационарная точка будет той точкой, в кото-
рой сумма S будет наименьшей.
8.11. Условный экстремум.
Метод множителей Лагранжа
1°. Условным экстремумом функции z — f(x,y) в точке
М0(х0,у0) называется экстремум этой функции, достигнутый
при условии, что переменные х,у в окрестности этой точки удов-
летворяют уравнению связи ср (х, у) = 0, т. е. f (Мо )> f (М) или
/(Л/о)</(Л/) ПРИ <Р(х,у) = 0 и М*М0.
Для отыскания условного экстремума составляют функцию
Лагранжа
и(х,у,Х) = j\x,y) + fap(x,y), (1)
где Л — неопределенный постоянный множитель (множитель
Лагранжа).
Необходимые условия условного экстремума определяют-
ся системой
Эх Эх Эх ’
Эн Э/ . д(р эГ^+А^=0 <2> <р(х,у) = 0
Пусть х0, у(|, Ло — решение этой системы. Составим опре-
делитель
£) = -
<р'Ам»)
и"АмМ
<Ру(Мо)
иъ(мМ
(3)
0
Фх(Ч)
<К(Ч>)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
451
Если D < 0, то функция z = f(x, у) имеет в точке М0 (х0, )
условный максимум, а если D > 0 —условный минимум.
2°. Функция нескольких независимых переменных z = z(x,.)
(7 = 1,2,... ,и) вточке М0(х°) имеет условный экстремум, если в
некоторой окрестности точки Мо для всех ее точек xt, удовлет-
воряющих уравнениям связи %(х;) = 0, {к = 1,2, ... ,ти; т < п),
выполняется неравенство /(Л/о) > f(M) v f(Ma)
(Mo * М).
Функция Лагранжа имеет вид
н(х., \) = z(x;) + £ (х,),
А=1
где At(Ar = l,2,... ,т) —множители Лагранжа, причем их число
соответствует числу уравнений связи.
Необходимые условия условного экстремума определяют-
ся системой п + т уравнений
— = 0 (7 = 1,2,.
. Эх,.
Ф*(1И) = 0 (к = 1,2,...,«).
Решая эту систему относительно неизвестных, находим Л° и
координаты точки х°, в которой возможен условный экстремум.
Достаточные условия условного экстремума'.
1) если второй дифференциал d2u(x°, Л“, dxt) < 0, при усло-
вии, что dxt удовлетворяет уравнениям
=0 (А = 1,2,...,т) (5)
и Эх,
при ^dx: ф 0 , то функция z = z(x,.) в точке А/0(х,°) имеет ус-
7=1
ловный максимум;
452
Глава 8
2) если > 0, при условии (5), то функция в
точке М0(х°) имеет условный минимум.
11.1. Найти условные экстремумы функций: a) z = х + 3у
при х2+у2=10; б) u=x-2y + 2z при х2 +у2 + z2 =9;
в) и= xyz при х + у + z = 5, ху + yz + xz = 8.
Решение, а) Геометрически задача сводится к отысканию
наибольшего, наименьшего значения апликаты z плоскости
z = х + Зу для точек пересечения ее с цилиндром х2 + у2 = 10.
Составим функцию Лагранжа и(х,у,Л)=
= х + 3у+ Л(х2 + у2 -10) и найдем частные производные:
ди ди
— = 1 + 2Лх; — = 3 + 2лу. Необходимые условия существова-
дх ду
ния экстремума определяются системой (2)
1 + 2Лх = 0,
- 3 + 2Лу = 0,
х2+/=10,
которая имеет решения: = 1, yi = 3, Л, = , х2 = -1, у2 = -3,
Л2=~.
2
д2и . д2и д2и .
Поскольку —— = 2Л, ----= 0, —- = 2Л, то
дх дхду ду
d2u — 2k(dx2 +dy2). При Л = d2u < 0, следовательно, фун-
кция имеет в точке Мх (1,3) условный максимум zmax = 10. При
Л = —; d2u><3, следовательно, функция имеет в точке
2
М2(- 1,— 3) условный минимум zmjn =-10.
Условный максимум, минимум функции может быть най-
ден также с помощью определителя (3). Для этого находим в
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
453
точке Мх : <р(х,у) = х2 + у2-10, (р'<(М, ) = 2 , (р'у(Мх) = 6,
м"(Л/1Д) = -1, w"(A/p Л) = °, U'yy (м„л,) = -1
0 2 6
D = — 2-10 = -40< 0,
6 0-1
т. е. функция в точке М{ имеет условный максимум.
Аналогично, вточке М2
0 -2 -6
D= — —2 1 0 = 40>0,
-6 0 1
т. е. функция имеет в точке Мг условный минимум.
б) Функция трех независимых переменных. Составим фун-
кцию Лагранжа
w = х — 2у + 2z + А(х2 +у2 + z2 —9)
dw _ .
— — 2 + 2Az.
dz
и найдем частные производные
— = 1 + 2Лх, ^ = -2 + 2U
дх ду
Запишем необходимые условия существования условного
экстремума
1 + 2Лх = 0, 1 — Ау — 0,
l + Az-О, х2 +у2 +z2 -9 = 0.
Из решения этой системы имеем
х, =-1, у, = 2, z,=-2,
Да =— xi ~ 1> J,2=—2, z2 = 2.
Вычислим вторые производные
454
Гпава 8
d2w d2w . 92w .
аг=2А’ э/°2А’ э?=2А’
32w _ 32w _ d2w
ЭхЭу dxdz dydz
и найдем второй дифференциал в первой критической точке
t/2w^-l,2,-2,y^= 1 > 0. Поскольку знак второго дифференциа-
ла функции Лагранжа положительный, то исследуемая функция
в этой точке имеет условный минимум = -9.
Знак второго дифференциала во второй критической точке
, 1
d w(l,-2, 2,——) — -1 < 0 отрицательный, следовательно, в этой
точке функция имеет условный максимум ит!и = 9 .
в) В данном случае уравнений связи два. Составляем функ-
цию Лагранжа
w = xyz + Л,(х + у + z — 5) + (ху + yz + xz — 8).
Необходимые условия существования условного экстрему-
ма определяются системой уравнений
—— = yz + Aj + Л^у + \z = О,
Ъх
Эш . . .
— = xz + A1+A2z + л^х = О,
Эу
— = ху + Aj + Л^у + Л^х = О,
dz
х + у + z = 5, ху + yz + xz =8.
Из решения этой системы уравнений находим критические
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ
455
(4471 /4 7 4 А
точки: Л/. (2,2,1), М2\ , М, (2,1,2), МД ,
' \3 3 3 ) 3 \3 3 3 )
(1 4 4 А
М5(1,2,2), М6Г,-,- 1
Вычисляем вторые частные производные
Э2и’ Э2уу d2w
дх2 ду2 dz2
d2w . d2w
—— = z + A2, ------
dxdy dydz
d2w -
----= у + Л,
dxdz Л
и определяем знак второго дифференциала в стационарных
точках. В точке Mt 6?2гу(2,2,1,Л2 =-1) = 4>0 функция име-
ет условный минимум Mni|n=4. В точке М2
,2 f4 4 7 . 7) л п ,
d и’1 /^ =— =—4<0 функция имеет условный мак-
„ 4 к
симум игаах = 4—. Аналогично вычисляется знак второго диф-
ференциала и в четырех остальных точках. Так в точках
М3,М5 функция имеет условный минимум равный umin = 4, а
4
в точках М4, М6 — максимум нтах = 4— .
11.2. В эллипсоид вписать прямоугольный параллелепипед
наибольшего объема.
Решение. В силу симметрии заданных геометрических фи-
гур достаточно исследовать на условный экстремум функцию
объема V — xyz, т. е. объема параллелепипеда расположенного
в первом октанте. Учитывая, что уравнение связи есть уравне-
ние эллипсоида, составим функцию Лагранжа
и = xyz +
.(х2 У" z2 1
Л —— ч——ч—-—1
а2 Ь2 с2
456
Гпава 8
ди . 2х
Находим частные производные — — yz + A,—y,
дх a
ди . 2у ди . 2z _
— — xz + л —, — = ху + а —, тогда необходимое условие эк-
ду b dz с
стремума будет
»2х . 2у
yz + X — = 0, xz + Л —= 0,
a b
. 2z
ху + Л —= 0,
2 2 2
X У Z
—э--!--7*"^—7
„2 l2 л2
а о с
л/3 v3
Решая эту систему, будем иметь х = ±а—^~, у = +Ь^-,
, <3
z = -с~^ Поскольку рассматривается только первый октант,
то условный экстремум будет в точке с координатами
7з 7з 7з
х = а—, y=b—, z = c — . Отсюда следует, что прямоу-
гольный параллелепипед наибольшего объема имеет измерения
2>/з , 2>/з 2>/з
х = а----, у=Ь------, z = c-----.
3 3 3
Глава 9
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ
9.1. Касательная и нормаль к плоской кривой
1°. Понятие касательной и нормали в прямоугольных коор-
динатах давалось в гл. 7. п.5.
В случае неявного задания кривой F(x, у) = 0 уравнение ка-
сательной в точке (х0,у0) имеет вид
F'(x^ У)(х~х0) + F'(x, у )(у - Уо) = 0. (1)
Уравнение нормали
F'(x, у)(х - х0) - F'(x, у)(у - Уо) = 0
или
Х-*о _У~Уо
F' F; &
2°. Если кривая задана параметрически х - у =ys(t)
у
и имеет угловой коэффициент tga = —, то уравнение каса-
х(
тельной
458
Гпава 9
v_v -У±(х~хл х-хв _у-у0
У Л ~ Ах хо) или i ~ > (3)
х0 хо У о
Уравнение (3) справедливо и для случая, когда х\ = 0, а
у' Ф 0, т. к. это означает, что равен нулю и соответствующий
предыдущий член. Только в особой точке, где х' = 0 и у' = 0,
уравнение (3) теряет смысл.
3°. Если кривая задана полярным уравнением р = р(<р), то,
переходя к прямоугольным координатам х = р cos (р, у = р sin (р,
угол наклона касательной определяется выражением
t У? p'vsin<p+pcos<p
tg а = = -7---------:— (4)
pvcos<p-psm<p >
Положение касательной в полярных координатах обычно
определяют углом в с продолжением радиус-вектора (рис. 9.1),
а не углом а с полярной осью
tge=-^. (5)
р<р
1.1. Найти уравнение касательной и нормали к кривой
2х3 — х2 у2 -Зх + у + 7 = 0 в точке Л/(1,-2).
Решение. Функция задана неявно. Для нахождения уравне-
ния касательной воспользуемся уравнением (1). Находим значе-
ния частных производных в заданной точке
ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
459
dF 2 2 dF
—— = 6х -2ху — 3; —-
дх дх
= -5-
м
= 5
м
dF „ 2 . dF
— = -2х у +1; —
ду ду
Таким образом, -5(х-1) + 5(у + 2) = 0 или х-у-3 = 0.
Уравнение нормали находим по формуле (2):
5(х-1) + 5(у + 2) = 0 или х + у + 1 = 0.
1.2. Написать уравнение касательной и нормали к циклои-
л
де x = ?-sin?; у = l-cos? в точке М, для которой t = — .
Решение. Находим координаты точки М:
ТС . 71 71 л , 71 ,
\>=y-siny = y-h ь = l-COSy = l.
„ dy sin t „ ..
Вычислим производную — =--------и найдем угловой ко-
dx 1 — cost
эффициент касательной в точке М:
. Л
sin—
/(*<>) =---^F = 1-
1 —cos —
2
Таким образом, уравнение касательной примет вид
_ ( 7Г , | 71 _ л
>’ — 1 = 11 Х-—+1 1или х-у-у+2 = 0.Уравнение нормали, со-
— 1 f 7С А 71
ответственно,будет у-1 = -1 х-у+1 1или х + у-у = 0.
1.3. Определить положение касательной и нормали к лем-
нискате р2 - 2а2 cos2(р.
Решение. Воспользуемся формулой (5). Продифференциру-
ем уравнение лемнискаты, считая р функцией ср др'=—2а2 sin2<p.
460
Гпава 9
ctg 2<р, откуда 0=— + 2<р.
Разделив это уравнение на уравнение лемнискаты, полу-
чим
Р
Р*
Если обозначить через а и /3 углы наклона касательной и
нормали к полярной оси, то получим
а~в+(р = —+3<р; р=а-—,
откуда, /3 = 3<р, т. е. угол наклона нормали к лемнискате равен
утроенному значению полярного угла.
9.2. Касательная плоскость
и нормаль к поверхности
1°. Касательной плоскостью к поверхности в заданной на
ней точке М называется такая плоскость, которая содержит ка-
сательные ко всем кривым, проведённым по поверхности через
эту точку.
Нормалью к поверхности называется прямая, перпендику-
лярная касательной плоскости в точке касания.
Если поверхность задана неявным уравнением F(x, y,z) = 0,
то уравнение касательной плоскости в точке Л/0(х0,у0,г0) име-
ет вид
dFn . . dFn . . dF0 , ч п
—^(х-х0) + —^-(^--^o) + ~-(z-zo) = O, С1)
дх ду dz
dF0 dF0 dF0
где —-, —-, —- — значения частных производных в точке
дх ду dz
М 0; х, у, z — текущие координаты касательной плоскости.
Уравнение нормали к поверхности будет
ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
461
л-Х0 _ у-уй = z~zo
Э^о Э/-, Э/-, (2)
дх Эу dz
„ ЛЭ^ dF ЭтЛ
Вектор п -<—,—,— > называется нормальным векто-
[ дх Эу dz ]
ром к поверхности. Если на поверхности есть точка, в которой
dF dF dF . с _
— = —— = — = 0, то она называется особой и в ней нет ни ка-
дх Эу dz
сательной плоскости, ни нормали к поверхности.
Если уравнение поверхности задано в явном виде
z = f(x, у), то уравнение касательной плоскости
z-z0 =у1(х-х0) + ^-(у-у0), (3)
дх ду
где —-, — — значения частных производных в точке Ма .
дх ду
Уравнение нормали в этом случае
х~х0 _ У~Уо _ z-z0
Ы -1 '
дх ду
Направляющие косинусы нормали к поверхности опреде-
ляются выражениями
, -р -q 1
cos/ =—, cos/z=—.—- cosv=—. -,
±Д + р2+?2 ±д/1 + р2+?2 ±^\ + p1+q2
(5)
Эг F' dz F'
где p = — =--q = z~ =—-. Двойной знак перед корнем
дх F2 ду F2
соответствует двум противоположным направлениям нормали.
2°. Если поверхность задана параметрическими уравне-
ниями
462
Гпааа 9
x = <p(u,v), y = yf(u,v), z = %(u,u),
то уравнение касательной плоскости в некоторой точке
(x0,y0,z0) имеет вид
У~ Уо
< Уи
< К
Направляющие косинусы нормали
„ А В
cos Л = —. =; cos и. = —=====;
±д/л2+В2+С2 +-Ja2 + B2 + C2
А
COSV =-=====
+у!а2+В2+С2 ’
(6)
(7)
где
А =
Уи
Л
Zu
Z'u
Уи
Уи
3°. Углом между двумя поверхностями в точке их пересече-
ния называется угол между касательными плоскостями, прове-
дёнными к рассматриваемым поверхностям, в данной точке.
Поверхности назыаются ортогональными, если они пере-
л
секаются под прямым углом (X = — в каждой точке линии их пе-
ресечения.
2.1. Для данных поверхностей найти уравнения касатель-
. . х
ных плоскостей и нормалей в указанных точках: a) z = arctg — в
У
точке б) х2 + у5 + z3-xj>z-10 = 0 в точке
Л/0(-1;2;1); в) x = psin<p, y-pcos(p, z-ptga в точке
М0(р0,(р0); г) r|ucosn, usinn, л/а2-и2} вточке r0{x0,y0,z0}.
ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
463
Решение, а) Уравнение поверхности задано в явном виде.
Воспользуемся формулами (3),(4). Для этого найдём частные
производные и их значения в точке М
Отсюда
*2+/’ дум 2-
уравнение касательной
плоскости
1 Z 1\ 1 7 Л 7Г
z + — = — (х + 1) +—Cv-l) ИЛИ х + J'-2z = y.
.. х + 1 у-1
Уравнение нормали ——- = х—- =
1 z-n/ s'2- 1
х + 1 _ у — 1 _ z /4
1 ” 1 “ -2
или
б) Уравнение поверхности задано неявно. Обозначив
F(x, у, z) = x3 + у3 + z3 - xyz -10, найдём частные производные в
точке М
dF . г — = 3х -yz, ОХ dF 2 = 5у — XZ, ду dfo =1 дх ’ ^ = 13
dF 2 — = 3z -ху, OZ dFn _5 dz
Используя формулы (1 ),(2), получим уравнение касательной
плоскости x + l + 13(j>-2) + 5(z-l) = 0 или x + 13j> + 5z-30 = 0 и
х + 1 у-2 z-1
уравнение нормали —j— = = —- -.
в) Поверхность задана параметрически. При нахождении
464
Гпава 9
касательной плоскости в точке (р0,<р0) воспользуемся уравне-
нием (6). Вычисляя производные в точке Мо, будем иметь
х~хо У-Уо
sin <р0 cos <р0
p0cos<Po -Posin<Po
tga
О
= 0.
Откуда при х0 - р0 sin <рп, уй- р0 cos <р0, z0 = р0 tg а полу-
чим
хр0 sin <рй tga - р2 sin2 <р0 tg a + yp0 cos <p0 tg a -
-Po cos2<p0 tga -zp0 + p2 tga = 0
или
x sin <p0 + cos <p0 - z ctg a = 0.
Уравнение нормали к поверхности (2) в точке Мо будет и
уравнением нормали к касательной плоскости. Таким образом,
x-posin<po = y-p(,cos<p0 = z-potga
sin <р0 cos<p0 -ctga0 ’
г) По условию задачи поверхность задана параметрически-
ми уравнениями х = и cos v, у = и sin и, z = \la2 -и2 . Для на-
хождения касательной плоскости в точке (x0,j>0,z0)
воспользуемся формулой (6). Находя частные производные по
u,v в точке (x0,_y0,z0), будем иметь
х-х0 У~Уо z z0
cos<j0 siny0 “о = 0.
“«о
-и0 sin <j0 и0 cosu() 0
Откуда
ПРИЛОЖЕНИЕ аИФФЕРЕНиИАПЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
465
, \ 1 < . Un Sin О0
(z-z0>0cos Ро+О'-Уо) .......-т +
yja -и
, \ ’ 2 z х «О COS Ул _
+(^-^0>0sm ^o+U-^o)-/ 2 ......°-=Q
yja —u
или, переходя к координатам x,y,z
Z-Zo + O'-J'o) — + (*-*o) — = °.
Zo z0
Преобразуя последнее выражение к виду
хх0 + ж + zz0 ~хо +Уо +zo и подставляя вместо квадратов в
правую часть их значения через криволинейные координаты,
окончательно получим хх0 + уу0 + zz0 = а2.
2.2. Написать уравнения нормали к поверхности конуса
х2 + у2 = z2 в точке (4;3;5). В какой точке конуса нормаль не оп-
ределена?
Решение. Уравнение поверхности задано неявно. Обозна-
чая F(x, у, z) = X1 + у2 - z2, находим частные производные
dF dF dF
— = 2х, — = 2у, ~— = —2z,
дх ду dz
^>=8, ^ = 6, ^>=-10.
dx dy dz
Уравнение нормали к поверхности конуса примет вид
х-4_у— 3_z-5 х — 4 _ у-3 _ z — 5
n Jar dF 9F1
Вектор n —,—, — > — есть нормальный вектор к повер-
[ dx ду dz ]
хности конуса. Поскольку в точке (0;0;0) производные
466
Гпава 9
dF dF dF e „
—— = — = — = 0, то эта точка является особой и в ней нормаль
ах dy dz
к поверхности конуса не определена.
2.3. Найти углы с осями координат нормали к поверхности
х2 + у1 - xz - yz - 0 в точке (0,2,2).
Решение. Уравнение поверхности задано неявно. Восполь-
зуемся формулами (5). Найдём сначала частные производные в
точке
dz _ dF' _ 2х - z
Эх dF' x + у
dz _ dF'_2y-z
dy dF' x + y ’
. 1 1 1
Таким образом, cos Л = —?=, cosu =—j=, cosv=—y=.
Л -J3 -J3
2.4. Определить плоскость, касательную к поверхности
х2 + 2_у2 + z2 = 4 и а) параллельную плоскости х - 2у + z = 0;
,, „х + ly-lz + l
б) перпендикулярную к прямой -= ---=-----.
2 2—1
Решение, а) Уравнение поверхности задано неявно. Обозна-
чаем F(x, у, z) = х2 + 2j>2 + z2 - 4 и находим частные производ-
dF „ dF dF
ные —— = 2х, — = 4у, — = 2z.
Эх dy dz
Воспользуемся условием параллельности касательной плос-
кости и данной плоскости
3F 3F 3F
Эх _ ду _ 9z
А В С
2х _ 4у _ 2z
Т"-2 ~Т
Решая эти уравнения совместно с уравнением поверхности
x2 + 2y2+z2=4, находим координаты точек касания
Л/,(1,-1,1) и М2(-1,1,-1).
ПРИЛОЖЕНИЕ аИФфЕРЕНиИАПЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
467
Таким образом, касательные плоскости имеют уравнения:
2(х-1) — 4(у +1) + 2(z — 1) = 0 или x-2y + z-4 = 0;
-2(х +1) + 4(у-1)-2(z +1) = 0 или x-2y + z + 4 = 0 .
б) Из условия перпендикулярности касательной плоскости
и прямой имеем
dx = _ dz
I т п
Присоединяя к этим уравнениям уравнение поверхности
X2+2у2+z2 — 4 , находим координаты точек касания
( 4 2 2 Л ,7 4 2 2
1 Н Н Н 2 М ’ М ’ Мт
х 2у 2z
или — = — =----
1 1 -1
Следовательно, касательные плоскости будут:
2 4< 4 "1 4-2< 2 2-2( 2
<7 V7 ] 41 \ 4т 4т I 41
2-4 '
41 '
4-2 '
4
Л
2 ) 2-2( 2 1 п
-=----/= z + ~r= =0
ji ] 4i I 41 ]
14 14
или 2х + 2у — z + —r= = 0, 2х + 2у — z—г= = 0-
41 41
2.5. К поверхности х2 - у2 — 3z = 0 провести касательную
плоскость, проходящую через точку Л/, (О, О,—1), параллельно
„ х у z
прямой — = — = —.
2 12
Решение. Обозначим F(x,y,z) = х2 - у2 -3z и найдём час-
dF „ dF „ dF , о
тные производные — = 2х, — = — 2у, — = —3 • Воспользуем-
ся dy dz
ся условием параллельности данной прямой и касательной
dF dF dF п о л гт
плоскостиWJ + ——H = 0 или 2х-_у-3 = 0. Присоеди-
dx dy dz
468
Гпава 9
няя к этому уравнению уравнение касательной плоскости, про-
ходящей через точку
2x(xj - х) - 2у(У1 - у) - 3(z1 - z) = О
ИЛИ 2x>/2-2/-3z-3 = 0,
и уравнение поверхности, получим систему
2х — у-3 = 0,
х2 — у2 — 3z = 0,
2x2-2/-3z-3 = 0.
Из решения этой системы находим, что координаты точки
касания раны х = 2, у = 1, z = 1. Таким образом, искомое урав-
нение касательной плоскости примет вид
4(x-2)-2(y-l)-3(z-l) = 0 или 4x-2y-3z = 3 .
2.6. Доказать, что сумма квадратов отрезков, отсекаемых
на осях координат плоскостью, касательной к поверхности
3 13 1
х3 + у3 + z3 =а3, равна постоянной величине а2 .
Решение. Обозначим F[x,y,z)=xfi +)fe —d3 и найдём
частные производные
dF 2 -4 dF 2 dF 2 Ц
—— = — X 3, — = — у 3 ----= —z.
dx 3 dy 3 dz 3
Уравнение касательной плоскости (1) в произвольной точке
(xo’To’zo) примет вид
(x~xQ) +у/3 (y~y0)+z/3 (z-Z0) = 0
или, если воспользоваться уравнением поверхности
X у Z %
1/1/1/ о '
Л 0 ™/з
А0 Z0 0
ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
469
Координаты точек пересечения этой плоскости с осями ко-
ординат соответственно равны
х = а'3^3,
у=а^3у^3, z=a^z'^
Отсюда сумма квадратов отрезков равна
Xi+y2+z1 =i/3(xfi +$ +z%3')=a%d'3 =а,
что и требовалось доказать.
2.7. Показать, что поверхности х2 + у1 + z2 = ах и
х2 + у2 +z2 = 4Ъу ортогональны друг другу.
Решение. Угол между двумя поверхностями по линии их
пересечения определяется углом между соответствующими ка-
сательными плоскостями в каждой точке линии пересечения.
Будем определять положение касательных плоскостей их нор-
малями, тогда угол между поверхностями равен углу между нор-
малями к касательным плоскостям по линии пересечения
поверхностей.
Введём обозначения Fx (х, у, z) = х2 + у2 + z2 - ах и
F2 (х, у, z) = х2 + у2 + z2 - 4Ьу и найдём частные производные
, ЭЯ, dF2 Э/^ dF2
I. = —L = 2х — a, L = —- = 2х, т,= —L = 2 у, т, = —- = 2у — 4о,
'Эх 2 Эх ’ h Эу 7 2 Эу У
^fx 3f2
И|=—— = 2z, n2=—^=2z.
dz dz
Воспользуемся условием ортогональности
/,/2 + WjWJ, + И|И, = 0 нормалей по линии пересечения повер-
хностей ах = 4 by ,
2х(2х — а) + 2у(2у — 4b) + 2z • 2z = О,
4х2 -2ах + 4_у2 -8fry + 4z2 =0, 4ах-2ах-2ах = 0,
т. е. условие ортогональности выполняется, что и требовалось
доказать.
470
Гпава 9
9.3. Кривизна плоской кривой
Кривизной кривой в точке М (рис. 9.2 ) называется предел
отношения угла поворота в касательной к длине 5 дуги MN,
, в
когда N м , т. е. k = lim—.
s-»0 5
Рис. 9.2
Кривизна кривой у = f(x) в некоторой точке характеризу-
ется отклонением кривой от своей касательной в этой точке и
определяется по формуле
(1)
Если кривая задана параметрически х = x(t), у = y(t), то
её кривизна определяется выражением
к =
(2)
Если кривая задана уравнением в неявном виде F(x, у ) = 0,
то её кривизна
(3)
ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИС ЧИСЛЕНИЯ
471
Если кривая задана в полярной системе координат
р = р (<р), то её кривизна
р +2р--рр
К ( 2 ^\3/2
(Р +Р-)
(4)
Величина, обратная кривизне, называется радиусом кри-
визны и определяется по формуле R = —. Вершиной кривой на-
k
зывается такая точка кривой, в которой кривизна имеет максимум
или минимум. Для определения вершин кривой выражение кри-
визны к исследуют на экстремум. В некоторых случаях при на-
хождении вершин кривой целесообразнее исследовать на
экстремум радиус кривизны.
Кругом кривизны кривой в некоторой её точке М называется
окружность с радиусом R, равным радиусу кривизны кривой в этой
точке, и центром С, расположенным на нормали к кривой в точке
М со стороны её вогнутости (рис. 9.3 ). Координаты (tf, ?]) центра
кривизны кривой в её точке М( х, у) определяются по формулам
Е 1+У1 2 , х2 + у2 .
£=*----—У =*-.......у;
У ху—ух
1 + у'2 х2 + у2 .
Т] = У +-7У- = У + ———X. (5)
у ху — ух ’
472
Гпава 9
Геометрическое место центров кривизны данной кривой
называется её эволютой. Обратно, данная кривая по отноше-
нию к своей эволюте называется её эвольвентой. Уравнения (5)
являются параметрическими уравнениями эволюты. Если исклю-
чить из них параметр t, то получим уравнение эволюты в неяв-
ном виде F(^,T]) = 0.
3.1. Найти кривизну кривых: а) у — х2-4х в точке (2,-4);
х2 У2
б) — + = 1 в вершинах; в) р2 = a2 cos 2<р в произвольной точ-
ке; г) х = a(t - sin t), у = а(\- cos t) при t = л .
Решение, а) Находим производные: у = 2х - 4; у” = 2 и
вычисляем их значения в заданной точке у'(2) = 0, у" = 2. Под-
ставляя найденные значения в формулу (1), получим
k =__1 х 1_= о
(1+УТ2
б) Функция задана неявно. Находим производные:
F'р" =Д- F' = —^-, р" = 2^ р" - о и их значения в
X а2 ’ XX а2 , д. Ь2 , уу Ь2, уу
2 2 2
вершине эллипса (а,0): /\=—, F" = —, F' = 0,
F" = 0. Подставляя найденные значения в формулу (3),
получим £ = 2 2 - 0 - а а 0 Р -00 а _ а ~ ъ2
8 а3
ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
473
Значения производных в вершине эллипса (0,й) будут:
2 э 2
F' = 0, F" = —, F' = — F" = —,
х ” а2 у b ” Ъ1
F" = 0. Отсюда кривизна
b
а2
а
В силу симметрии, кривая в точке (-а, 0) равна к = —, а в
точке (0,-й) равна к = —.
а 2
в) Находим производные 2pp' = -2a2sin2<p, р' = -—sin 2<р,
„ а2р' . „ 2а2 „ а4 . , „ 2а2 „
р =—^-sin2<p-----cos2<p =----sin 2(р-----cos2<p и под-
Р Р Р Р
ставляем их в формулу (4), тогда
4 /4 2
р +2 — sin’ 2(р + р -у sin 2(р + 2—cos2<p
к_ Р {Р__________Р_______
к V/2
a cos2<p + 2—у sin 2<р
Р
_ р* + 2а4 sin2 2<р + a4 sin2 2<р + 2а2р2 cos 2(р _
р2((а4 cos2 2<p + a4sin2 2<р)/р2)312
a4 cos2 2(р + a4 sin2 2(р + 2а4 sin2 2(р + 2а4 cos2 2(р _ За4р _3р
р2а6/р3 а6
474
Гпава 9
г) Находим производные:
х = а(1-cos/),v = sin/, x = asin/, у = cos t и их значения при
t = n: x = 2a, у = 0, х = 0, у = -1. Подставляя производные в
, , |-2«1 1
формулу (2), получим к =2-г1 - —- .
(2а)3 4а2
3.2. Найти радиусы кривизны в любой точке данных кри-
вых: a) _у = %3; б) х3+у3=а3; в) x = acos3t, y = asin3t;
г) р = а(р.
Решение, а) Находим производные у' = 3х2, у" = 6х и по
формуле R = — определяем радиус кривизны
(1 + У2)^ _(1 + 9х4)^
I У” I 1|
б) Функция задана неявно F(x, у) = х'3 + у'3 — а'3 = 0.
Радиус кривизны находим по формуле
ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
475
в) Находим производные: х = -3acos* 2 zsinz,
у = За sin21 cos t, x = -За(-2 cos t sin21+cos31) = 3acos t(2sin21 -cos21),
у = За(2 sin t cos21 - sin3 t) = За sin t(2 cos21 - sin2 z). Радиус кри-
визны находим по формуле
3
(9а2 cos4 Zsin2 z + 9a2 sin4 Zcos2 z)2
|-9a2 cos2 Z sin2 Z (2 cos2 Z - sin2 Z) - 9a2 sin2 Z cos2 z (2 sin2 z - cos2 Z )|
_ 3a sin3 Zcos3 Z _3a|sin2z|
|sin2 Zcos2 z(-2 +1)| 2
г) Находим производные: p' = a, p" = 0 и по формуле
R_ (P2 + P'2)'/2 p (p2+arf2
a — —5——находим радиус кривизны R = .
p + 2p -pp p +2a
2
X
3.3. Найти наибольшую кривизну параболы у — —.
Решение. Находим производные у' = х, у" = 1. Подставляя
найденные значения в формулу (1), получим к --—гг Кри-
(1 + х2/2
476
Гпава 9
визна будет наибольшей, когда знаменатель будет наименьшим,
т. е. при х = 0. Таким образом, наибольшая кривизна равна к — 1.
3.4. Найти вершины кривых: а) уГх+у[у=у/а;
б) p = asin3y, Rmin -?
Решение. а) Функция задана неявно
F(x, у) = Jx + jy - у/а - 0 .
Находим
производные:
1 — 1 — 1 -- 1 --
= F>-^x2’ ^=°>от-
сюда кривизна
2(x + j,)2
Из уравнения кривой находим, что у = (Ja - Vx)2, тогда
&(%) =
3
2(х + (д/а-Vx)2)2
Исследуем эту функцию на экстремум:
к'=-
ПРИЛОЖЕНИЕ аИфФЕРЕНиИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
477
Отсюда x+(Va—л/х)2 =0, х + а—2-Jax+x = 0, а1 +4х2 =0 —
Поскольку функция кривизны в точке —имеет экстре-
I4 4 J
а
мум, т. к. при переходе через точку х = — производная меняет
4
знак, то это вершина кривой.
б) Находим производные: р' = a sin1 2 у cos у,
„ а . (р ( _ -> (р . (р \
р = — sin— I 2 cos" у-sin'у I и по формуле (4) кривизну
a2 sin6 — + 2а2 sin4 — cos2 — - — sin4 — f 2 cos2 — - sin2 —
, 3 3333133
k=--------v—5--
2 • 4 Ф 2 • 4 Ф 2 Ф
a sin — + а sin —cos —
3 3 3
a21 3 sin4 — + 2 sin4 — cos2 — - sin4 — cos2 — + sin4 —
I 3 3 3 3 3 3
3a2 sin3 —
3
1 • <P( л 2<P 1
= —sin— 4 +cos — .
3a 3 3
Рассматривая кривизну как функцию угла (р, исследуем её
на экстремум:
,, 1(1 а>( я г<р\ 2 . <р <р . <р\
к -— -cos— 4 + cos — —sin —cos—sin— =
v 3a 3 3 3 3 3 3 3
478
Гпава 9
1 (Dt , _ . 2<р] „ . (р „
= —cos— 5-3sm — L 5-sin — ^0,
9a 31 3 J 3
• Ф
in —
3
(p „ Зтс
cos—= 0, <o= —
3 2
Зтс
При переходе (p через значение (p — — производная меня-
ет знак с плюса на минус, т. е. кривизна максимальна. Следова-
тельно, при этом значении (р радиус кривизны R = — = — a
к 4
минимален.
3.5. Найти окружность кривизны гиперболы у = — в точке
Х
, 1 „ 2
Решение. Находим производные: у — —-, у = — и их
X X
значения в точке М: у' = -\, у" = 2 и радиус кривизны
7? = ILtZ-J— - . Построим гиперболу и окружность
|У I 2
(рис. 9.4). Очевидно, что точка М и центр окружности О' лежат
на биссектрисе первого координатного угла. Спроектируем
центр окружности на ось Ох, а точку М на перпендикуляр O'N .
Это возможно, если MN = NO' = 1
Рис. 9.4
ПРИЛОЖЕНИЕ аИффЕРЕНиИАПЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
479
Таким образом, координаты центра окружности будут (2;2).
Отсюда, уравнение окружности примет вид (% - 2)2 + (у - 2)2 = 2.
3.6. Найти координаты центров кривизны и написать урав-
нения окружностей кривизны кривых: а) у = е~х в точке (0;1);
б) х - a(t - sin t), y = a(l- cos t) в точке М(ла, 2d).
Решение, а) Находим производные: у =— ё~х, у" = е~х, их
значения в точке: у' = —1, у" = 1 и радиус кривизны
1
Координаты центра кривизны кривой находим по форму-
1-^2 i . '2
Г 1 + у , „ 1 + У
лам (5) - х---—у =2, г/ = у + —— = 3.
У У
Отсюда, уравнение окружности будет (% - 2)2 + (у - З)2 = 8 •
б) Находим производные: х = a(l-cos/), y = asinr,
x = asinZ, y = acost. Определяем параметр t в точке М:
2а = a(lcosr), cos? = -1, t = Л . Вычисляем при t = -1 значения
производных: х = 2а, у = 0, х = 0, у = -а . По формулам (5)
находим координаты центра кривизны кривой £ = ла, г) = —2а.
Радиус кривизны вычисляем по формуле
RJ*2+y2L_wL=4a.
| ху — ух | | 2а(—а) |
Зная координаты центра кривизны и радиус кривизны, за-
пишем уравнение окружности кривизны кривой в точке М\
(х — Ла)2+(у + 6а)2=16а2.
3.7. Написать уравнение эволюты кривой и построить кри-
3 2 у У У
вую и её эволюту: а) У = ~^х > о) х/3 + у/3 = а/3;
в) х = cosr, у = 2sin/; г) р = аек9.
480
Гпава 9
Решение, а) По формулам (5) находим координаты центра
е Зх(1 + 9х2) п з 1+9х2 1 9 2
кривизны кривой $ = х-------= -9х ,Т]—у-\—-—=-+-х '
Исключаем из этих выражений х. Из первого равенства
/Г
имеем х - — д—. Подставляя найденное значение х во второе
выражение, получим уравнение эволюты в явном виде
1 ¥
?7 = —+—I — I . Таким образом, эволютой параболы является
полукубическая парабола (рис. 9.5).
б) Уравнение астроиды. Функция задана неявно. Находим
। , Л
производные: у = -
ные в формулы (5), получим
2 J_
г) = у + 3х3у3
. Подставляя производ-
Пользуясь уравнением самой астроиды, исключаем из этих
выражений х и у:
ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
481
£ +Т] = ^Х''3 + у''3'} , ^-Т] = ^х/3 -у''3^ , С^+Т})73 =х/3 +у/3,
(^-7])^3 =х^3-у'/}, +7])% + (% -Т})% = 2(х% + у%) = 2а%.
Если повернуть оси координат на 45° и по формулам
и +77 £ -77
*71 = ~ выРазитьновь1екооРдинать1чеРезста'
рые, то уравнение эволюты в новой координатной системе
примет вид + 77^ = (2а)^ Таким образом, эволютой ас-
троиды будет астроида вдвое больших размеров (рис. 9.6) и
с осями, повёрнутыми на 45° относительно старых коорди-
нат.
в) Параметрические уравнения эллипса. Находим производ-
ные: х = -sin/, j = 2cosz, x = -cosz, у = -2sin t. Подставляя в
формулы (5), получим
„ sin2/ + 4cos2/ _
с = cos t-------------— 2 cos t =
2sin / + 2cos t
= cos t - (1 — cos2 7 + 4 cos21) cos t = —3 cos31,
482
Гпааа 9
_ . sin2/ + 4cos2/
г) = 2 sin t--:------7—sin t =
2sin / + 2cos t
(] Аз
= 2sin/- —sin2/ + 2-2sin2/ sin/= —sin3/.
I2 J 2
Исключая параметр /, получим уравнение эволюты эллип-
са в неявном виде + (27/)^ = 3^ • Кривая напоминает астро-
иду и получается из неё путём вытягивания по горизонтальному
направлению (рис. 9.7)
г) Кривая, заданная данным уравнением, представляет ло-
гарифмическую спираль. Находим производные р' = кр,
р" = к2р. Подставляя их в формулу R = -—-, опре-
Р +2р -рр
деляем радиус кривизны R = p>Jl + k2 Поскольку кривая зада-
на в полярных координатах, то положение касательной
определяется углом Q с продолженным радиус-вектором (рис.
9.8). Имеем tg0=-^ = — -const, то есть угол между радиус-
р к
вектором и касательной сохраняет постоянную величину в каж-
ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
483
дой точке М кривой. Поскольку k = ctg#, то радиус кривизны
R = Р и, как следует из &ONM , совпадает с полярным от-
sin 0
резком нормали NM. Поскольку точка N является центром кри-
визны, то координаты центра кривизны pt, (р, в полярной системе
координат (см.рис. 9.8) примут вид pt= pctg0= к р,(р1-<р + ~.
Пользуясь уравнением логарифмической спирали, исклю-
чаем р и (р из этих уравнений, тогда уравнение эволюты при-
,( n 1
* й--
мет вид р, - кае >. Нетрудно заметить, что уравнение
эволюты также представляет уравнение логарифмической спи-
рали, которая получается из исходной поворотом полярной оси
вокруг полюса на —.
9.4. Особые точки плоских кривых
1°. Особой точкой М(х0,у0) плоской кривой F(x,y) = 0
называется такая точка, координаты которой удовлетворяют
трём уравнениям
484
Гпава 9
FUo>Jo) = O, f\CWo) = °, ^'(xo,jo) = O.
При исследовании основных типов особых точек вводят
обозначения A = F^Xg,ya), B = F"(x0,y0), С = F"(x0,j0), не
все равные нулю и D = АС — В2.
Если D > 0, то Мо — изолированная точка (рис. 9.9).
Рис. 9.10
Если D < 0, то Мо — узел, т. е. двойная точка (рис. 9.10).
Если D = 0, то Мд — точка возврата первого рода (рис.
9.11) или второго рода (рис. 9.12) или точка самоприкосновения
(рис. 9.13), или изолированная точка.
Рис. 9.11
Рис. 9.12
Для решения вопроса о виде особой точки необходимо рас-
смотреть расположение точек кривой в окрестности особой точ-
ки. Угловой коэффициент касательной к кривой в особой точке
может быть найден из выражения Ск2 + 2Вк + А = 0- В случае
изолированной точки касательных нет; в узловой точке — две
различные касательные; в точке возврата или самоприкоснове-
ния — одна общая касательная к обеим ветвям кривой.
ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
485
2°. Если кривая задана параметрическими уравнениями
x = <f>(t),y = y(t) ипри/ = /0 х'=<р'(/о) = 0 и Х=/(л) = 0,то
имеет место особая точка.
Пусть хотя бы одна из производных второго порядка х",
у" отлична от нуля, например х'о'> 0, тогда налицо точка воз-
врата. Если х'о"у'0'~ х'дУд + О 0, то Мд — точка возврата перво-
го рода; если х'дУд - х'д'у'д '= 0, то Мо— точка возврата второго
рода.
В случае трансцендентной кривой могут встретиться и дру-
гие виды точек: угловые точки, точки прекращения и т. д.
4.1. Выяснить характер особых точек кривой х2 = ау2 + у3
Решение. Обозначим F(x,y) = ах2 + у3 — х2 и найдём част-
ные производные F'x = -2х, F' = lay + 3у2. Из решения системы
уравнений
ау2 + у2 - х2 = О,
-2х = 0,
lay + ly2 =0,
находим координаты особой точки 0(0,0).
Для выяснения типа особой точки находим вторые частные
производные в ней
Г" = -2; Л = -2,
F” = 0- 5 = 0,
F" = la + 6y; С = 2а.
486
Гпава 9
Отсюда D = AC-B2 --4a . Если a > 0, то D < 0 и точка
О — узел (рис. 9.14).
У
Рис. 9.14
Составим уравнение касательной в особой точке
2ак2 -2 = 0 или к2 = —, т. е. касательные имеют углы наклона
а
у = к = ±-= Если а < 0, то D > 0 и точка О — изолированная
л/а
точка (рис. 9.15 ) и касательной нет. Если а = 0, то D = 0. Урав-
нение кривой в этом случае будет х2 = у3 или х - ±у[у* , где
у > 0, т. е. кривая симметрична относительно оси Оу, которая
будет касательной. Следовательно, точка О — точка возврата
первого рода (рис. 9.16 ).
Рис. 9.15
Рис. 9.16
ПРИЛОЖЕНИЕ НИФФЕРЕНЦИАПЬНОГО ИСЧИСПЕНИЯ
487
4.2. Показать, что особые точки кривой x = acos31,
у = a sin31 есть точки возврата первого рода.
Решение. Найдём первые производныех' = -Заcos2?sint,
j/ = За sin21 cos t. Приравнивая их нулю, получим четыре осо-
Л л Зл:
бые точки ?, =0, ?2 =у, ?3 = я, tA = — .
Вычислим вторые производные х" = За(2 cos? sin2 ? - cos3 ?),
у" = 3a(2sin?cos2 ? —sin3 ?) .
Поскольку в особых точках вторая производная х" или у”
отлична от нуля, то налицо точки возврата. Найдём третьи про-
изводные х" = 3a(7sin?cos2?-2sin3?), у"’ = 3a(2cos'1 ?-7sin2?cos?).
Так как в особых точках Л/Д? = 1,2,3,4)
х"‘’у"- х"у"= 9а2 (7 sin ? cos2 ? - 2 sin3 ?)(2 sin ? cos2 ? - sin3 ?)l -
1л/,
-9a2 (2 cos? sin2 ?-cos3 ?)(2cos3 ?-7sin2 ?cos?)| 0,
то это точки возврата первого рода. Нетрудно заметить, что за-
данная кривая есть астроида (рис. 9.17 ), декартовые координа-
ты точек возврата которой, соответственно
(а,0),(0,а),(-а,0),(0,-а).
Рис. 9.17
488
Гпава 9
9.5. Касание кривых между собой
1°. Если кривые j> = /(x) и y = g(x) имеют общую точку
М0(х0,у0) и касательные к обеим кривым в этой точке совпада-
ют, то кривые в точке Мо касаются друг друга. Условие каса-
ния двух кривых в точке Мо имеет вид
/(xo) = g(xo)> /'(хо) = /(хо)-
Если в точке Мо для функций /(х) и g(x) существуют
производные всех порядков до (и + 1) -го включительно и
выполняются условия /(xo) = g(xo)> f '(xo) ~ S (xo)>
/"(xo) = g"(xo)> - , /<”’(xo) = g<”>(xo). то говорят, что в точ-
ке Мо кривые имеют порядок касания п. При п > 2 кривые
y = f(x) и у ~ g(x) в точке Мо имеют не только общую ка-
сательную, но и одинаковую кривизну.
Если кривые у = /(х) и y = g(x) имеют общую точку
(хо’Уо), Т. е. /(x0) = g(x0), а касательные к кривым в этой
точке не совпадают /(х0) £ g(x0), то говорят, что кривые в точ-
ке Мо пересекаются.
2°. Огибающей семейства плоских кривых называется кри-
вая, которая касается каждой кривой семейства в одной или не-
скольких точках и причём вся состоит из этих точек касания.
Если уравнение семейства кривых, зависящих от одного
переменного параметра а, имеет вид F(x, у,а) = 0, то парамет-
рические уравнения огибающей определяются системой уравне-
ний
F(x,j,a) = 0; F'a(x,y,a) = f). (1)
Исключая из уравнений (1) параметр а, получим уравне-
ние
D(x,j) = 0,
(2)
ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
489
которое называется уравнением дискриминантной кривой. Дис-
криминантная кривая может содержать геометрическое место
особых точек данного семейства, не входящее в состав огибаю-
щей данного семейства.
3°. Соприкасающаяся кривая. Пусть дано уравнение кри-
вой y = f(x) и семейство кривых с п параметрами
G(x,y,a,b,... ,l) = Q. Требуется, изменяя знчения параметров,
выбрать из этого семейства такую кривую, которая с данной
кривой в некоторой её точке М0{х0,у0) имела бы наивысший
возможный порядок касания, т. е. найти к данной кривой
у = /(х) соприкасающуюся в точке Мо кривую.
Введём обозначение Ф(х,а,Ь,... ,l)-G(x,f(x),a,b,... ,1) и
запишем условия касания
Ф(х0,а,Ь, ... ,1) = 0, Ф'х(х0,а,Ь, ... ,1) = 0, ...,
Ф[£\х0,а,Ь, ...,Г) = 0. (3)
Из системы п уравнений (3) с п неизвестными находим систе-
му значений параметров а,Ь, ... ,1. Таким образом определяется
соприкасающаяся кривая, имеющая порядок касания не ниже и — 1.
5.1. Найти порядок касания цепной линии у = — (ех +е~х) с
1 7 2
параболой у = — х +1 в точке х0 = 0.
Решение. Обозначим /(х) = у(ех+е~*) и g(x) = yx2+l и
найдём последовательные производные от этих функций
Г (к) = ± (ех - ех), g'(x) = х,
/"(*) = | (ех + е~х), g"(x) = 1,
f\x)=X-(ex-ex\ g"'(x) = 0, ...
490
Гпава 9
Вычислим в точке х0 = 0 значения данных функций и их
производных
/(0) = l, g(0) = l, Г(0) = 0, g'(0) = 0,
Г(0) = 1, /'(0) = l, /"'(0) = 0, g'"(0) = 0.
Поскольку /(4)(0) = 1, a g(4)(0) = 0, т. е. /(4)(0)^ g(4)(0),
то п = 3 и кривые имеют третий порядок касания.
5.2. При каких значениях параметров a,b прямая у = 2х + b
будет иметь с кривой у = е"*в точке х0 = 0 касание первого по-
рядка?
Решение. Пусть f{x)-2x + b и g(x) = e“• Условия каса-
ния этих линий в точке хо=0 имеют вид:
/(0) = g(0), /'(0) = g'(0). Таким образом, 2 0 + й = е“ 0;
2 = ае“0 . Отсюда а = 2, b = 1.
5.3. Найти огибающую семейства окружностей
(х-Я)2+/=у.
Решение. Данное семейство окружностей зависит от пара-
метра а. Дифференцируя по а, составим систему уравнений (1)
1
/ \2 2
(х-а) +у =у,
2х = а.
Рис. 9.18
ПРИПОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
491
Исключая а, получим у = ±х — две прямые, биссектрисы
координатных углов, которые и являются огибающими данного
семейства окружностей (рис. 9.18).
5.4. Найти кривую, которую огибает отрезок длины I, когда
его концы скользят по осям координат.
Решение. За параметр возьмём угол а, который составляет
перпендикуляр к движущейся прямой с осью х, тогда уравнение
прямой примет вид
-^ + ^ = /.
sin a cos а
Дифференцируя по а, получим
xcosa ysina х у
-------1----5 = " ИЛИ 1— =---з— .
sin a cos a sin a cos а
Определяя из этих уравнений х,у, будем иметь
sin а sin3 а
sin2 а у ,3
—-—ун—-— = /, у -/cos а,
cos а cos а
т. е. огибающей будет астроида (рис. 9.17).
5.5. Исследовать характер дискриминантной кривой куби-
ческой параболы у = (х - а)3
Решение. Дифференцируем данную кривую по параметру а
и составляем систему
_у = (х —а)3,
О = -3 (х - а )“.
Исключая отсюда параметр а, находим дискриминантную
кривую у = 0, которая является геометрическим местом точек
перегиба и огибающей данного семейства (рис. 9.19).
492
Гпава 9
5.6. Найти соприкасающуюся кривую для семейства окруж-
ностей (x-a)2 +(y-b)2 =R2.
Решение. Поскольку семейство окружностей содержит три
параметра a,b,R, то наивысший порядок касания будет второй.
Полагая у = f(x), будем иметь
Ф(х, a, b, R) = (x — а)2 + (y-b)2 - R2,
Ф' (х, a,b,R) = 2(х - а) + 2(у - Ъ~)у ,
Ф" (x,a,b,R) = 2 + 2y2 +2{y—b)y".
Обозначим значения у, у, у", отвечающие выбранному зна-
чению х = х0, через Уо,Уо,Уо- Тогда для определения парамет-
ров a,b,R получим систему (3)
(х0-а)2+(у0-Л)2=Т?2,
хо-а + (3’о-/’)То=°>
1+Х2+(л - ь)у'о = °-
Из двух последних уравнений этой системы находим коор-
динаты центра zi+j;2 а~хо у0 ; Уо Ь = Уо+^ Уо
ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
493
Г1 I \/2
Из первого уравнения находим радиус R = -—.
1л1
Найденные параметры a,b,R и устанавливают характер
соприкасающейся кривой.
9.6. Производная вектор-функции
1°. Пусть а (/) — непрерывная вектор-функция, где t — ска-
лярный аргумент. Если откладывать значения вектора а (/) при
различных значениях t, от общего начала О, то конец вектора
опишет некоторую непрерывную кривую, которую называют
годографом вектора а(Г).
Предел отношения приращения вектор-функции к прираще-
Да
нию аргумента— при Д/—>0 называется производной вектор-
Дг
функции при взятом значении /0 и обозначается
da а(?0 + Д/)-а(/0) Да
— = hm —------------= hm —.
dt Д/ Д/
Если вектор а задан проекциями на оси координат
a(t) = ax(t)i +ay(t)J + a2(t)k , то производная вектор-функции
имеет вид
(1)
da da, - da _ da, Г
— = —-i +—- /+—-k.
dt dt dt dt
Вектор а направлен по касательной к годографу вектора
а в сторону возрастания аргумента t. Если вектор а(/) изменя-
ется только по направлению, то его годограф определяет линию,
расположенную на сфере радиуса R =| а | с центром в начале
координат. Если вектор a(t) изменяется только по модулю, то
его годограф определяет луч, исходящий из начала координат.
Вектор а в этом случае направлен по лучу.
494
Гпава 9
2°. Основные правила дифференцирования вектор-функции
скалярного аргумента:
,, d da db
’ dt dt dt
de „
2) — = 0, где c — постоянный вектор;
dt
d da
3) — (ma) - m~, где m— постоянный скаляр;
d da .dp.
4) —(Jia)-p.—+a —, где p = p(f) — скалярная функ-
ция от t;
d - - da ~db
5) — (ab) = b---+ a —
dt dt dt’ _
d - da - _ db
’ dt dt dt
d da dtp
7) —a(tp(t))-------, где tp = tp(t) — скалярная функ-
dt dtp dt
ция от t.
3°. Если кривая задана параметрическими уравнениями
x = x(t), y = y(t), z — z(t) или векторным уравнением
г = x(t)i + y(t) j + z(t)k , то производная вектор-функции опреде-
ляется по формуле
Дифференциал дуги пространственной кривой вычисляется
по формуле
ds = у]х2 + у2 +z2dt. (3)
4°. Если взять за a(t) радиус-вектор г некоторой движу-
щейся точки М, а за t — время, то скорость движущейся точки
ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
495
есть производная её радиус-вектора по времени r(t), а годог-
раф вектора г есть траектория движения точки М. При этом
направление вектора г (t) указывает направление скорости (век-
тор r{t) направлен по касательной к траектории), а модуль |F(Z)| —
величину скорости и равен производной от пути по времени
. л । ds
| г |= —. Вектор г = w — есть вектор ускорения, равный
dt
d2r _ d f dr } ( d2x d2y d2z
dt2 dt ( dt J dt2 ' dt2 ' dt2
Если точка движется в пространстве, то её уравнение дви-
жения имеет вид r(t) = rx(t)i + r(t)j + r:(f)k . Проекции скорос-
ти суть: ил = rx(t), vy = ry(t), vz=r,(t).
Величина скорости находится по формуле
/ 2 Г 1
V = \VX +Vv +VZ ’
Чтобы найти траекторию движения, надо исключить пара-
метр t из параметрических уравнений траектории
6.1. Найти годограф вектор-функции
г (Z) = cos t i + sin t • j + k, t & R.
Решение. Запишем параметрические уравнения годографа
x = cosz, у = sin t, z = \. Исключая параметр t, будем иметь
х2 + у2 -1; z = 1. Следовательно, годографом вектор-функции
г(Г) является окружность.
6.2. Определить годограф вектор-функции г = at2 + bt, где
а и Ь —постоянные векторы, перпендикулярные друг другу.
496
Гпава 9
Решение. Совмещая направление вектора а с осью х, а век-
тора Ь с осью у, будем иметь x = t2, y = t Исключая пара-
метр t, получим X = у2 •
Таким образом, годографом вектор-функции г является
парабола.
6.3. Найти производную вектор-функции
г = sin2 ti + sin/cos/ j + costk , /е [0,2л].
Решение. По формуле (1) будем иметь
//F Tz2 • 2 , "I Г
— = 2sin/cos/i +(cos /-sin t)j-costk =
= sin2 ti +cos2 /j -costк
6.4. Найти производные вектор-функции:
a) r =cos/F + e7 + ('2+l)£ в точке Л/(1;1;1);
б) F = /4/+(/2+1)7 + 7/3-4^ при / = 2.
Решение, а) Подставляя координаты точки М в параметри-
ческие уравнения годографа x = cos/, у = е', z = /3 +1, нахо-
дим, что в точке М параметр /0 = 0. Производная вектор-функции
• - I- о V .. 4/г(0) -
— = - sin ti + е ] + 3t к в точке М равна-= /.
dt dt
„тт dr . зт _ З/2 -
б) Находим производную — = 4/ z + 2tj ч-, отсю-
dt 2ф}-4
да ^21 = 32/ + 4J+3k .
dt - d7
6.5. Показать, что векторы г = / + sin/ / + cost к и — пер-
dt
пендикулярны.
Решение. Находим вектор — = cos ti - sin tk. Условием пер-
dt
пендикулярности двух векторов является равенство нулю их ска-
лярного произведения. Из выражения 1 0 + sin / cos / — cos / sin / = О
следует перпендикулярность данных векторов.
ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
497
6.6. Даны две вектор-функции: a = i+tj+t2k и
b =ti + t2J + t3k Найти: а) ^-(а Ь) : б) -f-(axft).
dt dt
Решение, а) По формуле (5) пункта 2° имеем, что
—(zz Л) = (ti +t2 J + t3k )(y + 2z£) + (z' +1 j + Pk^fj + 2z j + 3z2£) =
dt
= t2 + 2z4 +1 + 2t2 + 3z4 =1+ 3z2 + 5?.
б) По формуле (6) пункта 2° имеем, что
— (zz xZ>) — (j + 2/A')x(7z + Z2 j + t3k) + (z +Z j + /2£)x(z + 2z j + 3t2k\ —
dt
= t3i +2t2j -tk -2t3i +3t3i +2tk +t2j -tk -2t3i -3t2j =0.
6.7. Найти —, если а = u3i +u2l + uk , где u=const.
dt
Решение. По формуле (7) пункта 2° имеем:
— = 3w2(-sinz)z + 2w(-sinZ)/ — sin /Л =sinZ(3zz2z + 2uJ + k ).
dt
6.8. Найти вторые производные вектор-функций:
a) r(z)=cos3zz +sintj + -J2tk ; 6) r(z) = (z4-3)z + (/3+4)j+ln/£;
Zo = l.
Решение. а) Находим первую производную
— = —3 sin 3ti + cos t j + -J2k . Вторая производная равна произ-
dt
d2r n - -r
водной от первой производной —— = -9 cos 3ti -sm tj.
dt
б) Находим сначала первую, а затем вторую производную
JF . j- - 2~ 1/ d27 - 1 Г гт , ,
— = 4/г+3/ уч—к~, —- = 12z z +6tj—-к . При /0 = 1 произ-
dt t dt t
d2r , - r
водная равна —— =12z +bj — к .
dt
498
Гпава 9
6.9. Дано уравнение движения г (/) = 3 cos ti + 3 sin tj + 2tk
Определить траекторию движения, скорость и ускорение движе-
ния. Найти величины скорости и ускорения движения и их на-
Л я
правления для моментов / = 0 и t = —.
Решение. Траектория точки определяется параметрически-
ми уравнениями x = 3cos/, y = 3sinz, z = 2t и представляет
винтовую линию.
Скорость v и ускорение w движения найдём как первую и
-dr - - -. „
вторую производные v=—= -3 sin ti + 3 cos tj + 2k ;
w = —— = -3 cos ti - 3 sin t j . Величина скорости
dt2
v = д/(-3 sin t)2 + (3 cos Z)2 + 22 - л/13 ,
ускорения
w = >/(-3 cos t)2 + (-3 sin t)2 = 3 при любом t. При t = 0 скорость
- - _ Tt
равна ц1=Зу+2Л:, ускорение wt=-3i ; при t= — скорость
v2 = -3i + 2к , ускорение w2 = -3j -
Траектория точки и найденные векторы её скорости и уско-
71
рения в моменты t = 0 и t = — показаны на рис. 9.20.
w2
Рис. 9.20.
ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
499
6.10. Дано уравнение движения r(/) = cosrz + sinry+-^72£ .
Определить ускорение w движения и его тангенциальную wr и
нормальную w„ составляющие в любой момент t и при t = 0.
Решение. Находим вектор скорости и ускорения
Jr . т ~ г d2r
v = — = —sin/z +cosz / +tk\ w = —— = —cos ti — sin/ / +k
dt dt2
Величина скорости определяется модулем вектора скорос-
ти v = л/sin2 г + cos2 г + /2 = -xll + t2 . Тангециальня составляющая
dv
ускорения определяется по формуле wr —— и равна
dt
а нормальная по формуле w — Jw2 — w2 , где
а/1 + Г ___________"
Г~2-2----2 I 2 ~ /2+/2
w = \wx +wj +wz , и равна w„ = Jcos r+sm /+ 1— -—— = J .
Отсюда, при t = 0 получим wT = 0, wn = >/2 .
6.11. Если пренебречь сопротивлением воздуха, то уравне-
ние движения снаряда, выпущенного под углом а к плоскости
горизонта с начальной скоростью и0, имеет вид
- ( Rt2 'V
r{t) — {v0tcosa)i + u0/sina—— п .Определить скорость и тра-
екторию движения?
Решение. Находим вектор скорости
Jr - . .
v= — = v0cosai + (vosma — gt)j . Величина скорости равна
dt
| v |= y](v0 cos а)2 + (и0 sina -gr)2 = -2vogt sin a + g2t2
Параметрическое уравнение траектории будет
x-vot cos а,
gt2
у - vot sin a - ° ~
500
Гпава 9
Исключая отсюда время t, находим уравнение траектории
gx2
движения у = xtga---—--------т. е. движение снаряда про-
гу2 cos a
исходит по параболической траектории.
6.12. Найти дифференциал дуги кривой
x = acosz, у - asinZ, z = nlncosZ.
Решение. Находим производные i = -a sin Z, у = a cos t,
sin/
z = -a---. Отсюда по формуле (3) дифференциал дуги равен
cosZ
J. . ч2 , .2 f sinzY , adt
(-asinz) +(acosZ) +1—a---ldt =---.
cost j cost
9.7. Естественный трёхгранник
пространственной кривой.
Касательная и нормальная плоскость
к пространственной кривой
1°. Естественный трёхгранник, составленный из трёх вза-
имно перпендикулярных плоскостей, можно построить в любой
неособой точке M0(x0,y0,z0) пространственной кривой. Пусть
пространственная кривая задана вектор-функцией скалярного
аргумента г = r(t), тогда естественный трёхгранник (рис. 9.21)
состоит из:
а) соприкасающейся плоскости МйМхМ1 —содержащей век-
dr d2r
торы — и —г-; б) нормальной плоскости МйМ2М2 —перпенди-
dt dt
dr
кулярнои к вектору —; в) спрямляющей плоскости
dt
M0MtM3 —перпендикулярной первым двум плоскостям.
При пересечении этих плоскостей образуются три прямые:
ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
501
а) М0М{ — касательная, направляющий вектор касатель-
ной f = — •
dt
б) М0М3 — бинормаль, направляющий вектор бинормали
dr d2r
dt ’ dt2 ’
в) МаМг — главная нормаль, вектор главной нормали
N =[В,Т]. Соответствующие им единичные векторы:
- Т в В _ N
т = р V = —=~ вычисляются по формулам
|Т| К |5| |У|
dr
где 5 — длина дуги кривой.
2°. Уравнение касательной к пространственной кривой
x = x(t), y = y(t), z = z(t) в точке M0(x0,y0,z0) имеет вид
dx dy dz
dt .... dt dt
‘-<o ‘-«0 «-«0
(2)
502
Гпава 9
ИЛИ
х~х0 _У~Уо = z~z0 (3)
Тх Tv Тх ’
где х, у, z — текущие координаты точки касательной; коорди-
наты x0,y0,z0 соответствуют значению параметра t0;
тт=— т=—
dt’ у dt’ z dt'
Уравнение нормальной плоскости в точке Мо вытекает из
условия перпендикулярности прямой и плоскости
или
(x-xo)71 + (y-yo)7;+(z-zo)7;=O. (5)
Аналогично определяются: уравнение главной нормали
Х-Хр = у-уо _z~z0
Nx Ny Nz ’
(6)
уравнение спрямляющей (касательной) плоскости
(х-хо)У1+(у-уо)Уу+(г-2о)^=О, (7)
уравнение бинормали
Х~Х0 =У~У0 = Z-Z0 z84
Вх Ву В, ’
уравнение соприкасающейся плоскости
(.x~x0)Bx+(y-y0)By+(z-z0)Bz =0. (9)
3°. Если пространственная кривая задана линией пересече-
ния двух поверхностей F(x,y,z) = 0 и G(x,y,z) = 0, то вместо
d2r ,
векторов и —у можно брать векторы ar\dx,dy,dz\ и
ПРИЛОЖЕНИЕ аИФФЕРЕНиИАПЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
503
d2r [d2x,d2y,d2z}_ В данном случае одну из переменных x,y,z
можно считать независимой и её второй дифференциал прирав-
нивать нулю.
7.1. Дана кривая x = t, y-t2, г = /3.Вточке Л/о(2,4,8) най-
ти: а) основные единичные векторы f; v, Д ; б) уравнения каса-
тельной, главной нормали и бинормали; в) уравнения
касательной, нормальной и соприкасающейся плоскости.
Решение, а) Составим уравнение вектор-функции
г - ti + t2j + t'k и найдём производные
- _ - , d2r - . -
— = i+2tj + 3t2k, —— = 2j+6tk.
dt dt
Поскольку в точке Мо параметр t0 = 2, то вектор касатель-
ной будет
T = — = i+4j + 12k,
dt J
вектор бинормали
dr d2f
dt ' dt2
i j к
1 4 12
0 2 12
= 24i-V2j+2k,
вектор нормали
jV=[B,f] =
24
1
-12
4
к
2
12
= -1527-286j + 108Л.
Таким образом, основные единичные векторы будут
__i+4j+12A з _ 24/ —12j + 2к _ 12/ — 6j +к
Т~ ЛбТ ’ V724 ~ 7181
504
Гпава 9
~ _-152Г-28б7 + 108£ _-76f-143j+54£
V116564 ” л/29141
б) Поскольку в точке Мо координаты х0 = 2, _v(l = 4, z0 = 8
. о , dy . dz , „
и производные при t0 = 2 равны — = 1, — = 4, — = 12, то урав-
dt dt dt
нение касательной (2) будет
х-2 _ у-4 _ z-8
4
Уравнение главной нормали (6)
х-2 _ _у-4 _ z —8 х — 2_y-4_z— 8
-152--286-'108’ -76 “ 143
Уравнение бинормали(8)
х — 2 _у — 4 z —8 х—2_у — 4_z — 8
-----=-----—--- ИЛИ -------=----=-----•
24 -12 2 12 -6 1
в) Уравнение касательной плоскости (7)
-152(x-2)-286(y-4)+108(z-8) = 0 или 76x+143y-54z = 292.
Уравнение нормальной плоскости (5)
(х —2) + 4(у —4) + 12(z-8) = 0 или x + 4y + 12z = 114.
Уравнение соприкасающейся плоскости (9)
24(x-2)-12(y-4) + 2(z-8) = 0 или 12x-6y + z = 8 .
7.2. Найти основные единичные векторы f; v, Д кривой
у = х2, z = 2x в точке х0 =2.
Решение. Пространственная кривая задана пересечением
параболического цилиндра у = х2 и плоскости z = 2х. Диффе-
ренцируя эти уравнения, считая х независимой переменной, по-
лучим dy = 2xdx и dz = 2dx, d2y = 2dx2 и d2z = 0-
Отсюда при x0=2 получим dr {dx,4dx,2dx} и
d2r {o, 2<r/.t2, о} или <7г{1,4,2} и t/2r{0,l,0}.
ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
505
Таким образом, единичные векторы равны:
_ Т i+4j + 2k
Т = =----7=--,
21
B = [rfF,J2F] =
к
2=-2i+k, j} =
0
В _-2i +к
В\~ V5
N = [В, f] =
-2
1
к
1 =—4Г + 57-8&,
2
_ N -4?+57-8Л
У_|^Г >/105
1
О
4
1
0
4
7.3. Найти уравнения касательной прямой и нормаль-
ной плоскости к линии: a) x = t, y = t2, z = t\ ?0=1;
б) r(?)=sin2?z +sin?cos?j+cos2?/c, ?0=^;в) 2x2+3y2+z2 =9,
3x2 +y2 — z2 =0 в точке Af0(l,-l,2).
Решение, а) Находим производные: x — 1, у = 2?, z = З?2 и
вычисляем их значения при ?0 = 1: х(1) = 1, у(1) = 2, z(l) = 3.
Определяем координаты точки касания х0 = 1, _v(l = 1,
z0 = 1. Отсюда, уравнения касательной прямой (2) и плоскости
(4) примут вид: ——- = ——- = ——1, (х -1) + (у -1)2 + (z -1)3 = 0
1 2 3
или х + у + z — 6 = 0.
б) Параметрические уравнения линии имеют вид х = sin2 ?,
у = sin t cos t, z = cos21 - Подставляя ta = — в эти уравнения, оп-
1 _ 1 _ 1
ределяем координаты точки касания Мй: х0 = —, Уо - ~, zo -
Находим производные: х — 2 sin t cos t — sin 2t ,
y = cos2t — sin2? = cos2?, z = — 2 cos? sin? = — sin 2t и вычисляем
506
Гпава 9
• | ] I ’ I I п • I I 1
их значения в точке касания: х — = 1, у — = О, z — = —1.
^4) ^4) \4 J
Подставляя координаты точки касания и значения произ-
водных в этой точке в уравнение касательной прямой (2), по-
лучим:
1
z —
2
1 1
__ у------
2 _ 2 _
1 0 -1 •
Поскольку в уравнении прямой (3) Т = 0, то касательная
лежит в плоскости, перпендикулярной оси у.
Уравнение нормальной плоскости (5), в нашем случае, при-
мет вид | Х-— |+| у-— 1-0 + ( Z-— 1=0 или x + z-l = 0.
2) { 2) 2)
в) Если линия определена пересечением двух поверхностей:
tp(x,y,z) = 0 и </(х,у,z) = 0, то, полагая, например, x = x(t) и
исключая попеременно другие переменные, находим у = y(t),
z — z(t) (вообще говоря, бесчисленное множество различных па-
раметрических уравнений).
Пусть х = t, тогда из решения системы:
2?+3j2+z2 =9,
3?+y2-z2=0
находим: у — V9-5Z2, z = -V?F + 9 . Знак минус переменной
2 2
у ставит в соответствие координаты точки Мп и параметр Z, рав-
ный для этой точкм единице.
5 t
Находим производные: х = 1, у =----------.
_ t 2 л/9-St1
- _ 7 1 5
z~ 2 + g и их значения в точке Ma: х(1) = 1, j>(1) = —,
ПРИЛОЖЕНИЕ аИФФЕРЕНиИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
507
z(l) - —. Таким образом, уравнения касательной прямой и нор-
О
мальной плоскости в точке Мо имеют вид:
х-1 у + 1 z-2 , 5, ,ч 7Z п
— = = (x-l) + -(y+l) + -(z-2) = 0
4 8
или
lzl=y±L = ^zl 8x + 10y + 7z —12 = 0
8 8 8 z
7.4. Написать уравнения касательной прямой к винтовой
линии х = a cos t, y = asint, z = bt в любой точке и при t = я .
Показать, что винтовая линия пересекает образующие цилинд-
ра х2 + у2 = а2 под одинаковым углом.
Решение. Находим производные x = -asin/, j> = acos/,
i = b. Отсюда уравнение касательной прямой в любой точке
х-acos/ у-asin/ z — bt х + а у z-Ья
----: = = —-—, а при t = я -----= — =------,
-asm/------------------------------------------------a cos/-b 0 -а b
т. е. при t = я касательная лежит в плоскости, перпендикулярной
оси х и отстоящей от начала координат на расстоянии х — — а.
Образующие цилиндра х2+у2-а2 параллельны оси Oz.
Находим направляющий косинус угла, образованного касатель-
ной с осью Oz:
_ z _ b _ b
yjz2 + у2 +z2 Va2sin2/ + z>2 cos2/ + Z>2 x/a2 + b2
Поскольку касательные к винтовой линии образуют с осью
Oz один и тот же угол, то они отсекают и образующие под этим
же углом.
7.5. Найти уравнение соприкасающейся плоскости к кри-
вой: х2 + у2 +z2 - 9, х2-у2 - 3 в точке Мо(2,1,2).
508
Гпава 9
Решение. Пространственная кривая задана пересечением
двух поверхностей. Дифференцируя уравнения поверхностей,
считая х независимой переменной, будем иметь
xdx + ydy + zdz = 0, xdx — ydy = 0
dx1 + dy1 + yd1 у + dz2 + zd2z = 0, dx2 — dy2 - yd2y = 0-
Отсюда, полагая x0 =2, _v0 = 1, z0 = 2, получим dy = 2dx,
dz = —2dx, d2y = —3dx2, d2z = -3dx2-
Таким образом, соприкасающаяся плоскость определяется
векторами [dx, 2dx,—2dx] и {0,-3dx2,— 3dx‘’} или{1,2,—2} И
{о,-3,3}.
Следовательно, нормальный вектор соприкасающейся плос-
кости будет
В =
J
2
-3
к
—2
-3
= —12г + 3j—3k.
Отсюда уравнение соприкасающейся плоскости
—12(х-2) + 3(у-1)—3(z —2) = 0 или 4x-y + z-9 = 0.
9.8. Кривизна и кручение пространственной
кривой
1°. Кривизна пространственной кривой в точке М опреде-
ляется аналогично кривизне плоской кривой. Если кривая зада-
на уравнением г = г (s), где 5 — длина дуги, то
где R — радиус кривизны.
Если кривая задана параметрическим уравнением г = г (Z),
то кривизна определяется выражением
ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
509
к =
dr d2r
dt ’ dt1
(2)
2°. Под кручением или второй кривизной кривой в точке М
понимается число
1 е
<т =— — ит—,
Р Ду—>0 Ду < >
где Q — угол поворота бинормали на участке кривой As, р —
радиус кручения или радиус второй кривизны. Если кривая за-
дана уравнением г = r(s), то
= 1 = +^.
р ds
dF d2r d3F
ds ds1 ds3
/ i \2
f—1
(4)
Знак минус соответствует тому случаю, когда векторы v и
Л
— имеют одинаковое направление; знак плюс — в противопо-
ds
ложном случае.
Если кривая задана уравнением г = r{t), т. е. параметри-
чески, то
1
<т = —
Р
3°. Формулы Френе.
df _ v dv
ds R ds
dr d2r d3r
ds ds2 ds3
Г - 2 "I 2
dr d r
dt ’ dt2
_f + P dP _ V
R p’ s p
(5)
510
Гпава 9
8.1. Вычислить кривизну и кручение винтовой линии
х = a cos/, у = a sin t, z = bt {a > 0) в любой точке.
Решение. Уравнение винтовой линии представим вектор-
функцией г = ia cos t + ja sin t + kbt
Кривизну и кручение определяем по формулам (2) и (5). Для
этого сначала найдём производные
dr г . ~
— = -iasin/ + ia cos / + kb
dt
d2r -
—z- = -ia cos t- ja sin t,
dt2
d3r -r . -
—r = ia sin/- lacost.
dt3
Тогда
dr d2r
dt ’ dt2
i j к
- a sin/ a cos/ b
- a cos / -a sin / 0
tab sin / — jab cos t + ka2.
dr d2r d3r
dt dt2 dt3
-a sin/ a cos/ b
-acos/ -a sin/ 0 =a2b.
asin/ -acos/ 0
Окончательно получим
a2b2 sin2 t + a2b2 cos2 t + a4^ a(b2+a2Ji a
(a2sin2/ + a2cos2/ + Z>2)2 (a2 +Z>2)2 a +b
_ a2^ _ b
a2b2 sin2 t + a2b2 cos2 t + a4 a2+b2
Отсюда следует, что для винтовой линии кривизна и круче-
ние постоянны.
ПРИЛОЖЕНИЕ аИФФЕРЕНиИАПЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
511
8.2. Найти радиус кривизны линии: х2 — у2 + z2 = \,
у2-2x + z = 0 в точке (1,1,1).
Решение. Пространственная кривая задана пересечением
двух поверхностей. Дифференцируем уравнения поверхностей,
считая х независимой переменной
xdx - ydy + zdz = 0, 2ydy-2dx + dz = 0
и
dx2 — dy2 — yd2y + dz2 + zd2 z = 0, 2 dy2 + 2yd2y + d2z = 0.
Полагая x0 = 1, y0 = 1, z0 = 1, получим
2 2
dy = dx, dz = 0, d2y = ——dx2, d2z = -—dx2.
г 2,2 1
Отсюда dr {dx;dx;0} и d2r 0;-y dx2;-y Jx2 > или
dr {1;1;0} и d2r {0;—1;-1}.
Воспользуемся формулой (2). Находим векторное произве-
дение
к
0 =-i+j-к.
-1
Таким образом,
d2r ]| л/3 3
8.3. Найти кривизну и кручение линии: х2 = 2ау, х3 = 6а2 z
в произвольной точке M(x,y,z).
Решение. Дифференцируем уравнения обеих поверхностей,
считая х независимой переменной
х х2
xdx = ady, dy = —dx, x2dx = 2a2dz, dz = —т-dx
a 2a
и
512
Гпава 9
j2 j3 л j2 % j 2 j3
d у —--, d у = 0, d z~—rdx , d z ——
a a a
Отсюда
„ dx1 x , 2
0,----,-ydx2
a a
<ЛЧ0,0,^-
a
Кривизна и кручение определяются по формулам (2),(4),
соответственно. Для этого находим
х х2
a 2a2
drd2rd2r =0 1
0 0
Таким образом, кривизна кривой в точке М равна
кручение
а + у
к =
Глава 10
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
10.1. Первообразная функция
и неопределенный интеграл.
Свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных интегралов
и простейшие примеры
1°. Пусть дана функция f (х), требуется найти такую фун-
кцию F(x), производная которой равна /(х), то есть
Г(х) = /(х).
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной
от функции /(х) на отрезке [а;Ь], если во всех точках этого от-
резка выполняется равенство Fz(x) = /(х).
Всякая непрерывная функция f (х) имеет бесчисленное мно-
жесво различных первообразных функций, которые отличаются
друг от друга постоянным слагаемым, то есть, если F(x) есть
первообразная от фукнции /(х),то F(x) + C есть также перво-
образная от /(х), ибо (F(x) + C)' = F'(x) = f(x). Здесь С —
произвольная постоянная.
514
Гпава 10
Определение 2. Если функция F{x) является первообраз-
ной для /(х), то выражение F(x) + C называется неопреде-
ленным интегралом от функции f (х) и обозначается
J/(X)6&.
Таким образом, по определению
j f (x)dx = F(x) + С,
если 7?'(х) = /(х).
Функцию /(х) называют подынтегральной функцией,
f(x)dx — подынтегральным выражением', С— постоянной ин-
тегрирования.
Нахождение первообразной для данной функции /(х) на-
зывается интегрированием функции f (х). Отсюда видно, что
интегрирование есть действие обратное дифференцированию.
Правильность интегрирования всегда можно проверить, выпол-
нив обратное действие, т. е. найдя производную функции, полу-
чившейся в результате интегрирования.
Производная должна быть равна подынтегральной функции.
2°. Свойства неопределенного интеграла.
1. Производная от неопределенного интеграла равна
подынтегральной функции, то есть, если F'(x) = f (х), то
(|/(х)^)' = №) + С)' = /(х).
2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен
подынтегральному выражению
3. Неопределенный интеграл от дифференциала или произ-
водной некоторой функции равен этой функции плюс постоян-
ная интегрирования
j</77(x) = 7?(x)+C или jF'(x)t/x = F(x) + C.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
515
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух
или нескольких функций равен сумме их интегралов
J (Z (х) + fi (х) ~ fi (x))dx = j f (x')dx + J f2 (x)dx - j f3 (x)dx.
5. Постоянный множитель можно выносить за знак интег-
рала, то есть, если а — const, то
j af (x)dx = a j f (x)dx.
3°. Таблица основных интегралов. Таблица интегралов
вытекает непосредственно из определения неопределенного ин-
теграла и таблицы производных:
1. [x“dx = —--i-С; а*-1.
J a+1
г dx . . . „
2. — = In | x | +C;
J x
3. jsinxdx = — cosx + C;
4. jcosx6tr = sinx + C;
r dx „
5. |---— = tgx + C;
J COS X
г dx „
6. —— =-ctgx+C,
J sin X
7. [axdx = — +C;
J In a
8. jexdx = ex + C;
г dx 1 x
9. —-----2=—arctg —+ C;
J a +x a a
10. J
dx
4a1-x1
= arcsin —+ C;
a
dx
x 7л
1 , x — a
= —In-----
2a x + a
+ C
516
Гпава 10
12.
x + a
x-a
+ с
13.
14.
15
16. shx6/r = chx + C;
17. jchx<fe = shx + C;
r dx , „
18. —— = thx+C;
J ch x
19 f = -cthx+C.
Jsh2x
Так как неопределенный интеграл не зависит от выбора
переменной интегрирования, то все табличные интегралы име-
ют место для любой переменной.
Процесс нахождения первообразной сводится к преобразо-
ванию подынтегральной функции к табличному виду.
Простейшие интегралы могут быть найдены путем разло-
жения подынтегральной функции на слагаемые. В состав каж-
дого интеграла входит постоянная интегрирования, но все они
могут быть объединены в одну, поэтому обычно при интегриро-
вании алгебраической суммы функций пишут только одну по-
стоянную интегрирования.
4°. Существуют целые классы интегралов, которые в зави-
симости от постоянных сомножителей или показателей степеней
могут быть найдены по обобщенным формулам интегрирования.
Приведем некоторые из них.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
517
где Р(х) — целый относительно х многочлен.
2 . j Р(х) cos axdx = sin --+... j+ cos -—
г (Р Р' Р" \
3 [P(x)e“dx = e“-------+ — - +С;
J a a a J
4 [xm In" xdx = —!—xm+l In" х-
J 7И+1 7И + Р
где п — любое вещественное число п/- 1; т = 1,2,3,...
г „ , , b sin bx + a cos bx „ _
5 e“costa<Zx =-------z--------------------е“+С;
J a2+b2
Г , a sin bx — b cos bx „ „
6 e sin bxdx = --;---+ C;
J a +b
7. j\/x2 +adx = (x\/x2 +a + a In (x + д/х2 + C;
8 [ 7a2 -x2dx = — I хл/a2-x2 + a2 arcsin — |+ C;
J a)
г dx
9. Если обозначить I = —--z— (и = 1,2, 3,...),то
" J(x2 + a2)"
1 x 2n —11
2na2 (x2 +a2)" 2n a2
10. [sin" xdx = -—cosxsin"-’ x + -—- [sin"“2xdx;
J n n J
Г n г 1 и—I И 1 Г n—2 i
11. cos xdx = — sinxcos xd-cos xox;
J n n J
l2 = ^(Ц-О^с, (» = 1,2,...);
2' J sin x 2Л-1
rsin(2« + l)x , sin 2kx „ , , „ ,
13.--------I—-------’-dx^x + T^ +C (« = 1,2,...);
J sin x 2k
518
Гпава 10
г dx _ sinx f 1 Ar dx
14- J cos2i+1 x~ 2kcos2* X + [ 2Л JJ cos2*'1 x’
r dx _ 1 cosx f 1 Ar dx
15’ J sin2*+l x 2k sin2* x 2k J-* sin2*'1 x’
16 . jx"e~xdx = — x" ex + xn! e'dx',
rax + b , a bc-ad, , ,, „
17 ------dx = — xH---z—lncx+J+C;
' }cx + d c c2 1 1
r dx 1 , x + b
18 -------------=----In--------------------+C.
J (x + a)(x + 6) a-b x + a
1.1. Найти интегралы: a)
e
.2
dx
sin2 x cos2 x
Решение, а) Представим интеграл как сумму интегралов и
воспользуемся табличными интегралами
j x3dx + $2xdx + j— = ^j- + 2^- + ln|x|+C = -^-x4 +x2 +ln|x|+C;
Проверка: [-!-x4+x2+ln|x| + C ] =x3+2x + -> т. e. произ-
l4 J x
водная равна подынтегральной функции.
б) Внесем первый множитель в скобки и представим интег-
рал в виде разности двух интегралов
exdx— [^- = ех - [х 3dx = ех —1-С = ех +—^- + С.
J х3 J -2 2х2
в) Сделаем следующие преобразования
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕ ГРАП
519
cos2 х
1-sin2 x r dx t , _
--- dx— —- rfx = -ctgx-x + C.
sin x J sin x J
г) Вычтем и прибавим в числителе единицу
.2
г. 2 , С dx х3 _
= (х - 1)</х + ---- =---x + arctgx + C.
J J 1 + х 3
д) Заменим корни отрицательными степенями и представим
интеграл в виде разности двух интегралов
I 3 д 2 I
[х \1х — [х Adx = — х2 — 4х* + С = —у[х2—4у[х + С.
J J 2 2
е) Считаем, что в числителе множителем стоит тригономет-
рическая единица 1 = sin2 х + cos2 х, тогда
• 2 2
г sin x + cos х
1-2 2
J sin XCOS X
dx
dx
< „2 ’
dx г dx
---— + ~= tgx-ctgx + C.
cos х J sin x
r dx
1.2. Найти интегралы: а) —з—
J х —9
dx
Jylx2-1 'J —x2+2'
Решение, а) Представим 9 как З2 и воспользуемся таблич-
ным интегралом (11), где а = 3
1-Ат-—
J х -3 2-3
х — 3
х — 3
+ С =—In
6
б) Приведем подынтегральную функцию к виду — - и
л/52—х2
воспользуемся табличным интегралом (10)
г dx х „
, = arcsin — + С.
5
520
Гпава 10
в) Воспользуемся табличным интегралом (12)
г dx
= ln
+ С.
г) Объединим множители в подынтегральной функции и вос-
пользуемся табличным интегралом (7)
[(2eYdx = -^2-g-)- + С = 2 g + С.
J ln(2e) In 2 + 1
д) Преобразуем следующим образом
г dx 1 х „
— ~т= arctg -7= + С.
V2 д/2
10.2. Непосредственное интегрирование
В простейших случаях, применяя следующие преобразова-
ния дифференциала
dx = — d(ax + b); nx"~'dx = dx"; cosxtZr = rf(sinx);
a
dx dx
sin xdx = —d (cosx); — = rf(lnx); -------j— = rf(tgx);
x cos x
dr ,. . dx ,. .
—y—= -d(ctgx); ----------y = d(arctgx);
sin X 1 + x
-- - = d(arcsin x); edx - d(e ),
i _
их возможные комбинации и обозначая мысленно выражение в
скобках за новую переменную t, интегралы сводятся к таблич-
ным.
f -2x f ^X
2.1. Найти интегралы: a) \e dx; 6) J----------уi
* COS 4X
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
521
в) /(2-Зх)‘Л; г) д) J,е) ) Лд
Решение, а) Вносим (-2) под знак дифференциала и делим
на (-2), тогда интеграл равен
J e~2xdx = -||е^б/(-2х) = ~^е~2х + С.
б) Приводим к одному аргументу 4х
г dx 1г rf(4x) 1 . „
---5— = - \ = - tg 4х + С.
J cos 4х 4J cos 4x 4
в) Запишем под знаком дифференциала такое же выраже-
ние,что и в скобках
| (2 - Зх)5 dx = |(2 - Зх)5 d (2 - Зх) =
= _1£z^ + C = __L(2-3x)4C.
3 6 18
г) Преобразуем интеграл следующим образом
| = | (6 - 5xydx = | (6 - 5х)Л/(6 - 5х) = (6 - 5х)5 + С.
д) Запишем под знаком дифференциала выражение такое
же, что и в знаменателе, тогда
Jl-6x 6J 1—6х 6 1 . 1
е) Преобразуем интеграл следующим образом
г e2xdx _ г de2x _ fd(-2e2x) =
' 3-2е2х ~ 2'3-2е2х ~ 4-1 3-2e2t "
= _lf^-2f)=_lln|3_2^| + C
4J 3-2е2х 4 1 1
522
Гпава 10
г cos х t dx
2.2. Найти интегралы: a) J 7^—б) J х(1 + 1пх)’
г dx г , ? Г sinx . е x2dx
"'J— г) Р' *•«’е) fc?
Решение, а) Вносим косинус под знак дифференциала и пре-
образуем интеграл к табличному
cosх _ f ^sinx _1 rrf(4sinx)
l + 4sinx J l + 4sinx 4-'l + 4sinx
1 r rf(l + 4sinx) 1,. . . 1 „
= _ ---------L = -in 1 + 4sinx + C.
4J l + 4sin x 4
б) Выполнив преобразование дифференциала, получим
r^(l±tai) =i„h+h J+c.
J x(l + In x) ' 1 + In X J 1 + In X
в) Вносим Jx под знак дифференциала
e
г) Преобразовав дифференциал, получим
[х2ех dx = — [ех dx3 = —ех + С.
J 3J 3
д) Вносим синус под знак дифференциала и преобразуем
г sin xdx г d cos х г _5 , 1 4 „
---;— = - ------— = - cos xd cos х = —cos x + С.
J cos x J cos x J ( 4
e) Вносим x2 под знак дифференциала и преобразуем к таб-
личному виду
с 1 г dx l x
т- = - -5---гт = -arctg — + С.
6 3J 32 +(x3)2 9 3
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
523
dx
2.3. Найти интегралы: a) f----------. ,
(arcsin х)3 Vl-x2
С х + 1 , , Г sin2xtZx <
в) —-------------dx-, Г) I .---------д) I
Jx2+2x + 3 J V1 +cos2 X J
arctg Vx ,
r— -----dx.
xdx
esm 1 sin 2xdx;
'> I-Fr
J л/1-х8 Jl + tgx
Решение, а) Преобразуем дифференциал и приведем интег-
рал к табличному виду
г dx
d arcsin х
(arcsinх)3Vl-x2 J (arcsinx)3
= f (arcsin x) 3 d arcsin x =-!----- + C.
3 2(arcsinx)~
б) Вносим x под знак дифференциала и преобразуем интег-
рал к табличному
xdx
dx2
= = -1п
|2 2
в) Выполнив преобразования, получим
x + 1 , lr 2x + 2 ,
--——dx = — —-----dx =
x2 + 2x + 3 2 J x2 +2x + 3
1 r<7(x2 + 2x + 3) 1 , I 2 ,i „
= - —Ц—------------- = - In x + 2x + 3 + C.
2J x +2x+3 2 1 1
г) Вносим sin 2x под знак дифференциала и преобразуем
sin2xtZx г dcos2x г., , x-i/2 >/, 2 x
- = - . = - (1 + cos2 x) J(1 + cos2 x) =
У1 + cos2 x J Vl + cos2 x
= -2(1+cos2 х)1/2 + С.,_
524
Гпава 10
д) Вносим под знак дифференциала sin 2х следующим об-
разом
J esi”2* sin 2xdx = J e^^d sin2 x = esi"2 x + C.
e) Вносим x3 под знак дифференциала и преобразуем интег-
рал к табличному
.8
1 • 4 „
= = —arcsinx + С.
,2 4
ж) Преобразуем подынтегральную функцию
1-tgx , rcosx-sinx, rd(cosx + sinx) , , ,
—-^-dx = ---------—dx - -----------= In cos x + sm x
1 + tgx J cosx + sinx J cosx + sinx
з) Преобразуем дифференциал следующим образом
i+(V^)2
10.3 . Интегрирование методом замены
переменной
1°. Пусть требуется найти интеграл J f (x)dx, причем не-
посредственно подобрать первообразню для /(х) мы не можем.
Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении
x = <p(t), где <p(t) непрерывная функция, имеющая обратную
dt 1 -г- , >, ,
производную х = — = ——. Тогда dx = <p (f)dt.
dx (р (t)
В этом случае имеет место следующее равенство
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
525
Если полученный интеграл с новой переменной интегриро-
вания t будет найден, то преобразовав результат к переменной
х, получим искомое выражение.
Общего правила выбора требуемой подстановки нет, поэто-
му некоторые частные правила рассмотрим на примерах.
2°. Тригонометрические подстановки.
1. Если интеграл содержит радикал -\/«1 2 — х2 , то обычно
полагают x = asinZvx = acosf; отсюда у]а2—х2 =acosZ vasin? •
2. Если интеграл содержит радикал л/х2 — а2 , то полагают
_ а I-----
х~----> отсюда <x2-a2 = atgZ-
cos t °
3. Если интеграл содержит радикал у/х2 +а2 , то полагают
. П 2 а
х = atgf; отсюдаух +а =-----.
cosx
3°. Некоторые другие подстановки:
1. Интегралы вида |т?(ех)о5с, где?? — некоторая рациональ-
ная функция, приводятся к рациональному алгебраическому виду
- х , , dt
подстановкой е = t, х = Int, dx- —.
t
2. Интегралы вида 17?(1п х)—, где R — некоторая рацио-
нальная функция, приводятся к рациональному алгебраическо-
, dx ,
му виду подстановкой In х = г, — = at.
г dx
3. Интегралы вида ---г- .— приводятся к рацио-
1 хт4(.ах2+Ь)п
1 j dt
нальному виду подстановкой х = ах = -—.
526
Гпава 10
3.1. Найти
интегралы: a) Jx(2x + 3)’t&; б)
dx
x-Jx2 -2
1
в) г) f sinVx + 1
J sin2x J
dx ч r л/l —Inx , ч r x + 1 ,
; Д) ----------dx; e) I-t=—dx.
Vx + 1 J xlnx J VX + l
Решение, а) Сделаем замену переменной 2x + 3 = t,
Z-3
x -----
2
, 1 Л
dx - — dt , тогда будем иметь
7=| x(2x + 3)9dx = | J(Z-3)t9dt = J (Z10—3t9)dt =
1 £__Az>o
4 11 10
J_jlOM___
4 111 10
Переходя к переменной x, получим
I = ^(2x + 3)10f^^-^l+C = -^-(2x + 3)10(2x-27/10) + C.
б) Сделаем замену переменной — = t, x = ~, dx-—=,тог-
x t r
да получим
j_ г dx _ г dt _ г dt _(
J xylx2-2 J t21 V1-2Z2 J V1-2Z2
t t
Переходя к переменной x, будем иметь
в) Преобразуем подынтегральную функцию
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
527
1 = f=1 f-=1 г .Ми А
J sin2x 2Jsinxcosx 2Jsinx 2
-----------------------------COS X
cosx
„ . j. ,1 flnz ,
и сделаем замену tgx = t, —— = at, тогда получим / - — I — dt
cos x 2J t
। dt . _
Сделаем еще одну замену In t = z, — = dz, тогда будем
t
1г 1 ,
иметь I = — zdz ~—z +C. Перейдем теперь к переменнойх
2J 4
I =-In2 Z + C = — In2 tgx + C.
4 4
г) Сделаем замену переменной x + l = z2, dx = 2tdt, тогда
получим
г Г • /--7 dx г • tdt . г . , _
I = sinyx + l , = 2 sinz— = 2 sm tdt = —cosZ + C.
J Vx+1 J t J
Переходя к переменной x, будем иметь I — —2 cos dx +1 + C.
д) Сделаем замену In x=t, — — dt, тогда получим
Чтобы избовиться от радикала сделаем еще одну замену
переменной 1 — z = z2, z — 1 - z2, dt — -2zdz, тогда будем иметь
, r2z2dz .rz2-1 + 1 , .rf, 1 , Л 1. z-1 A
/= —----= 2 —-------dz=2 14—-—\dz = 2 z + — In-- +C.
J z2-l J z -1 z2-l J [ 2 z + 1 J
Теперь перейдем к переменной х
528
Гпава 10
= 2д/1-1пх + In
In х+ 2-71-In х-2
In х
е) Сделаем замену переменной x = t2, dx = 2tdt, тогда по-
лучим
г X 4-1 - г t 4-1 . _ г / 4-t
I — —=—dx = 2 ---------tdt = 2 -dt.
J dx + l J t + \ J t + l
Деля числитель на знаменатель, выделим целую часть в
подынтегральной функции
/34-/ 2 „ 2
----= /2-/ + 2----.
/4-1 /4-1
Таким образом
7 = 2
Переходя к переменной х, окончательно получим
7 = 2 --у4-2л/х — 21п|>/х4-1|
г х ax
3.2. Найти интегралу: a) J ~] ~=
2
—dx
Решение, а) Сделаем замену x = sin/, тогда dx = cos tdt и
л/1-х2 = cost. Подставим эти выражения под знак интеграла,
проинтегрируем и перейдем к старой переменной
г х2 , г sin2/cos/ , г • 2 > 1 г,, - „ ,
—== dx = ------------dt - sin tdt = — (1 - cos 2t)dt -
J COS/ j 2j
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
529
—I t ——sin2/ |+C = — (t — sintcost) + C =
2 2 2
1 I---гг 1
= — (7-sin Zx/l-sin’ t) + C = — (arcsin x
6) Сделаем замену x = tgt, тогда dx =----— и
cos’ t
— 1
+1 - • Переходим под знаком интеграла к новой пере-
менной
dx
хд/х2 +1
С costdt
' tgzcos21
r dt . t
= -----= In tg— + C = In
J sinZ 2
sin t
1 + cosz
— In
tg*
1 + \/l + x2
+ C = ln
X
1 + \/l + x2
. a , asinZ ,
в) Сделаем замену x =------, тогда dx =-----т—dt и
cos t cos t
x2 - a2 =atgt. Преобразуем интеграл к новой переменной
а1
atgZcosZasin t , r , , rl-cos2Z ,
— ------------dt = a tg tdt = а --т— dt =
a cos t J J cos t
= а
1= a(tgZ — z) + С = а
-cos21
cos t
2 а
— a -arccos —+ С.
г в “Зе г c
3.3. Найти интегралы: a) J———— dx; 6) —^—^dx;
530
Гпава 10
в) [__ г) f-----; д) f_____________
Л2МГ J(oxW/2’ J е2х-6ех +13’
Решение, а) Делаем замену ех =t, тогда dx = — и интеграл
t
примет вид
te2x — Зех , ct2—3tdt г t — 3 , г tdt dt
J e +1 J t +1 t Jz2 + 1 Jz +1 t+l
= -| | - 3 t = 2 + 0 ~ 3 arctg t + C =
1
= — ln(e2* +1) - 3 arctg ex + C.
б) Делаем замену e2x =t, тогда dx = ^— и интеграл при-
мет вид
е d — 1 Г Ж
(1 + е3х/ -Р(1 + Г)2Т
=-----?—+С = —
3(1+0 :
i|j(i+<rW+0 =
—Ц—+с-
3(1 + е3х)
f
. п 1 , dt
в) Воспользуемся подстановкой х = ~, dx = —тогда
t Г
получим
г dx
—— = - Г(3 + It2 )’1/2 d(3 + 2t2) =
1+20 4J
1 к , о,2 , _ ^х2+2
----+ +С —---------------h С.
2 2х
г) Используем подстановку х = dx = — тогда будем
t t
иметь
НЕОПРЕДЕПЕННЫЙ ИНТЕ ГРАП
531
Г...3/2 =-Г-----------^-377 = -—f(a + ftr2)-3/2J(a + ^) =
J(ox2+ft)3/2 J(a + ftZ2)3/2 2bJ
b \la + bt2 b ax2 +b
x r, x , dt
д) Заменяем e — t, ax = —, тогда
t
r ex dx _ г dt _ г dt d(t — 3) _
J e2jr —6^+13 “ J r-6z + 13 - J (z-3)2 +4 ” J (z-3)2+22 ”
1 Z-3 _ 1 ex-3
= —arctg—^— + C = —arctg—-— + C.
10.4. Интегрирование по частям
1°. Формула интегрирования по частям
judv =uv-jvdu. (1)
Для применения формулы интегрирования по частям
подынтегральное выражение следует представить в виде произ-
ведения двух множителей и и dv. За и выбирается функция, кото-
рая при дифференцировании упрощается, а за dv выбирается
такое выражение, содержащее dx, из которого посредством ин-
тегрирования можно найти V.
По этой формуле отыскание интеграла от udv сводится к
отысканию интеграла от vdu, причем применять ее следует в тех
случаях, если интеграл от vdu проще исходного интеграла
2°. Есть целые классы интегралов, например:
| х" In xdx, | x'eaxdx, J x" sin bxdx,
f x" cos bxdx, f x" arcsin bxdx, | x" arctg bxdx,
532
Гпава 10
J е“ sin bxdx, | e“ cos bxdx
и t. д., которые вычисляются именно с помощью интегрирова-
ния по частям.
Формула интегрирования по частям может применяться нео-
днократно и в некоторых случаях получают выражение, из ко-
торого определяется исходный интеграл. Так последние два
интеграла могут быть найдены по формулам
г , , ftsinftx + acosftx „ _
е cos bxdx =----------------е + С;
J a2+b2
г , a sin bx — b cos bx _
sin bxdx =-----z-z------+ C. (2)
J a2+b2 ’
3°. Интегрируя по частям, можно вывести формулы "пони-
жения степени" для интегралов
[sin" xdx = —-cosxsin"-1 х + -—- Г sin”-2 xdx,
J n n J
Г cos" xdx = — sin x cos"-1 x + -—- f cos"-2 xdx. (3)
J n n J
4.1. Найти интегралы: a) jxe2dx; 6) |xarctgxdx-, в)|1пх<Ух;
Г 2 f x<^x Г
г) x sin xdx; д) -т-z—; e) arcsin xdx.
J J sin X J
X
Решение, а) Положим x = и и e2dx - dv, тогда du — dx и
v — 2e2. Запишем по формуле интегрирования по частям интег-
рал в виде
J xe2dx = 2хе2 — 2^e2dx = 2xe2 — 4е2 +С = 2е2(х —2) + С.
dx
б) Положим arctgx = u, xdx = dv, тогда du =----------z-,
2 1 + Х
X
По формуле (1) имеем:
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
533
г , х2 1 г х2dx х2 1 rx2+l — \dx
J««rctg** = Tarctgx--J??; = Tare.gx--J—?7r =
X2 1 f , 1 f (fc 1 / , \ „
= —arctgx—I <Ух + —I —— = — (x arctgx-x-arctgx) + C.
% dx
в) Положим1пх = м, dx = dv, тогда du = —, v=x. По
формуле (1) имеем x
J In xdx = x In x — Jx— = x(ln x — 1) + C.
г) Положим x2 = и, sin xdx = dv, тогда du = 2xdx, и = -cos x.
По формуле (1) имеем
J x2 sin xdx = —x2 cos x + 2| x cos xdx.
Применим еще раз формулу интегрирования по частям, по-
ложив х = и и cosxt/x = dv , тогда получим
|х2 sin xdx = —х2 cos х + 2(х sin х — J sin xdx) —
= (2 — х2) cos х + 2х sin х + С.
dx
д) Положим х = и, —-— = dv, тогда du=dx, v= -ctgx.
sin x
По формуле (1) имеем
। xdx _ _х ctg х +1 ctg x(jx _ _х ctg х + [n |sjn х| + (j
е) Полагаем arcsin х = и, dx = dv, тогда du = —, , v-x.
По формуле (1) имеем
г , .г xdx
arcsin xdx = х arcsin x — -- = x arcsin x +
J x2
, i ___
+—f(l-x2) 2d(l-x2) = xarcsinx + yl-x2 +C.
2J
534
Гпава 10
4.2. Найти интегралы: a) ]dx2 +kdx;
в) |e2t cos3x<7x.
Решение, а) Положим \]х2 +к = и,
б) |cos(ln x)dx-,
dx = dv, тогда
du — —--, v = х. По формуле (1) имеем
х+ к
Г~2 ~ 'Х2+к-к
xdx + к - I —, == =-dx =
J dx2+k
= xdx2 +к — Г dx2 +kdx + к [ :
J 347Тк
= ху[х2 + к + Л1п х + хл/х2 + к — [dx2 +kdx.
Перенося последний интеграл в левую часть равенства, по-
лучим
2 Г Vx2 + kdx = хл/х2 + А + к In х + Vx2 + А
откуда
|д/х2 +Wx =
б) Положим cos(lnx)-w, dx = dv, тогда du=—ШП dx,
х
и = х По формуле (1) имеем
J cos(ln x)dx = х cos(ln х) + J sin(ln x)dx.
rr /, x , , , cos(lnx)
Положим теперь sm(lnx)-и, dx = dv тогда du=--------Ldx,
x
v = x. Применяя еще раз формулу (1), получим
J cos(ln x~)dx = х cos(ln x) + x sin(ln x) — J cos(ln x~)dx.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
535
Переносим последний интеграл в левую часть
2| cos(ln x)dx = x(cos In x + sin In x)
откуда
J cos In xdx = (cos In x + sin In x) + C.
в) Полагаем cos3x = u, e2xdx = dv, тогда du = -3 sin 3xdx,
1
f=-e . По формуле (1) имеем
[ е2х cos 3xdx - — е2х cos Зх + — f е2х sin 3xdx.
J 2 2J
Полагаем теперь sin3x = w, e2xdx = dv, тогда
1 2
du = 3 cos 3xdx, v—-^e x. Применим еще раз формулу (1)
13 9
|e2jI cos3x<7x =— e2x cos3x + — e2x sin3x— | e2x cos3xd5c.
J 2 4 4J
Переносим последний интеграл в левую часть
13 Г 2х , 1 2х( п 3 . _
— cos3xdx = —е cos3x +—sin3x ,
4 J 2 2
откуда
2 । 3 i
I e2x cos 3xdx = —e2x\ cos3x +—sin3x +C.
J 13 2 J
Этот же результат можно получить сразу, если воспользо-
ваться формулами (2).
f Л j f x2 arctgx
4.3. Найти интегралы: a) Je dx; 6) J— -------5—ax',
dx.
536
Гпава 10
Решение, а) Сделаем замену переменной х = t2, dx = 2tdt,
тогда fe^dx = 2J te'dt.
Теперь обозначим t-и, e‘dt-dv, тогда du-dt, v=e‘.
По формуле (1) будем иметь
J te'dt = te' — J e' dt = e' (t — 1) + C.
Переходя к переменной x, окончательно получим
б) Делаем замену arctgx = t, тогда = dt и x2 = tg2t.
1 + x
Интеграл примет вид
Полагаем / = и, tg2 tdt = dv, тогда du=dt, v = tgt -1. По
формуле (1) имеем
Jr tg2 tdt = t(\.gt-t)- J(tgr-t)A = Z(tgt-t) + ln|cost| + ^- + C.
Переходя к переменной x, получим
x2 arctgx , . . 1, „ 2ч 1 ,
--------------—dx-arctgx(x-arctgx)—In(l + x ) +—(arctgx) +C =
1 + x--2 2
1 2 1 2
= xarctgx-—ln(l + x )-—(arctgx) + C.
в) Делаем замену arcsin x[x
dx .
r - 2 sin tdt. Интеграл примет вид
тогда >/x = sint,
dx - 2| t sin tdt.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
537
Интегрируем по частям: t = u, sintdt = dv и
du=dt, v = - cos t. Откуда
Jz sin Z dt = -Zcosz + |coszdz =-tcost + sint + C.
Окончательно
arcsm
4.4. Найти интегралы: a) jcos7 xdx: 6) Jsin'“ xdx.
Решение, а) Воспользуемся второй формулой (3)
[ cos7 xdx = — sin x cos6 x + — f cos5 xdx = — sin x cos6 x +
J 7 7J 7
6(1 . 4 4r j
+ — —sinxcos x + — cos xdx
7 5 5J
1 .
= —sin
7
6 6(1 . 4 4(1 . 2 2 .
xcos X + — —sin XCOS XH— —sin XCOS X4—sin X
7 5 5l3 3
1 ( л 6 ( 4 4 . э л.
= —sin X cos х + — cos х +—(cos х + 2)
7 I 5 3
б) Воспользуемся несколько раз первой формулой (3)
f sin10 xdx = ——cosxsin9 x + — f sin8 xdx = -—cos xsin9 x +
J 10 10J 10
9(1 .7 7 г . 6 , A 1
-I------cosxsin x + — sin xdx =-cosxsin x +
10^ 8 8J J 10
9 ( 1 . 7 7( 1 ,5 5 f . 4 ,
4— —cosxsin x + — —cosxsin x + — sin xdx =
10 8 81 6 6J
1 -9 I * • 7 /|A -5
—----cosxsin x4— —cosxsin x4— —cosxsin x +
10 10 8 8 6
538
Гпава 10
5( 1 . 3 3 Г . з ,
:+— —cosxsm х + — sin xdx
6 4 4J
1 -9 9 Г 1
=-----cosxsin хч----—cosx
10 10 8
5(1 . з 3( 1 . 1
+ — —cosxsin х + — —cosxsinx + —
6^ 4 4^ 2 2
10.5. Интегралы от функций,
содержащих квадратный трехчлен
г AX + JtS ,
1 . Рассмотрим интеграл вида —---------dx.
J ax~ +bx + c
Путем выделения полного квадрата в квадратном трехчле-
2 L b
не и замены ax + ох + с = t, х Ч-= z интеграл приводится к
2а
табличным (2,9,11) интегралам
А .. п АЬ
С 2а аХ+ )+ ~~2а dz
J ах2+bx + c 2а-' t а^ 2а jz2±k2’
2 С ( ь Y
где к =— — .
а ^2а )
С помощью аналогичных преобразований решаются интег-
ралы вида
У1Х то , г / 2 > ,
—j== dx; \yjax +bx + cdx.
•J ax2 +bx + c
2°. Интегралы вида
Mx + N
---------. =dx сводятся к
(mx + n)k V ax2 + bx + c
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
539
рассмотренным выше интегралам с помощью подстановки
1
тх + п = -.
t
3°. Интегралы вида
а.х" + а}хт~1 + ... +ат ,
—-----. ' ..... —dx
у/ ах2 +bx + c
находятся методом выделения алгебраической части по формуле
аохт + а,хт~'+ ... +ат =
у] ах2 +Ьх +с
= (4хт’’+ ... + Am_,)y]ax2+bx + c+Am$ dx ц)
V ах +Ьх + с
где коэффициенты Д (г' = О,1,... ,т) находятся приравниванием
коэффициентов правой и левой части при одинаковых степенях
неизвестных х после дифференцирования равенства и освобож-
дения его от знаменателя.
Аналогичным путем можно найти и интеграл
Г (аахт + а|хтЧ + ... + am)yj ах2 + bx + cdx =
= (4/”+1
. + Ат+})у]ах2+Ьх + с + Ат+21 -----.
у/ах +Ьх + с
Неопределенные коэффициенты определяются путем диф-
ференцирования правой и левой части и сравнения коэффициен-
тов при одинаковых степенях х.
.о „ , г (Mx+N)dx
4°. Интегралы вида / - ----ь------ 7 —; гдекор-
(х2 + рх + q)" у! ах2 +Ьх + с
ни трехчлена x2 + px + q мнимые, находятся подстановкой
at + Р
х =--—. Интеграл в этом случае принимает вид
540
Гпавв 10
<рА*)л
(At2 +Bt + С)" ^А/2 + В^ + С\
где <pn (t) — полином степени п.
Приравнивая коэффициенты В и В} нулю, получим урав-
нения В = 2aj3 + p(a+ fty + lq = 0; Bl=2aa/3 + b(a + /?) + 2с = 0
для определения вещественных значений а и fl .
При этом интеграл представляется суммой интегралов двух
видов:
t2k+'dt
(Л г + С)" G
t2kdt
(аА + су^а^ + с/
(к = 0,1,2, ...),
которые интегрируются подстановками, соответственно,
А^2 + С}=и2 и Л1+С)Г2=и2.
Если р = Ь = 0, то интеграл представляется суммой двух ин-
тегралов
, ..г xdx г dx
1 = М\---------г==. + N -----------
(х2 + q)"у/ах2 + с (х2 + q)"\1 ах2 +с ’
2 2
которые находятся подстановками, соответственно, ах +с = и
и а + сх~2 = V2.
г (5х —3)Лх г xdx
5.1. Найти интегралы: а) 6)
г xdx г х+3 ._---- С 2х dx
»»-17Г^7-г>1;^А^)рх+2х-2Л; e)J2l,_4 2,+--.
Решение, а) Выделим в знаменателе полный квадрат
г (Sx~?>)dx _ г (5х-3)Лх
J х2-6х + 9-16 ~ J (х-3)2-16
НЕОПРЕДЕ ПЕННЫЙ ИНТЕГРАП
541
и сделаем замену х - 3 = t, dx = dt, х = t + 3, тогда получим
5Г + 12 5rd(t2—16) 1пГ dt 5. |2 12,
-----<Й=- -Ц------ + 12 - ? = -1пГ-16+---In
Г2-16 2J t2-16 J/2-42 2 1 1 2-4
t—4
t+4
+С =
5 । 2 х 3
= — In х -6х-7+—In
2 I I 2
х-7
+ С.
6) Выделим в знаменателе полный квадрат
xdx
2 4 4 5
— X _|-------1--
3 9 9 3
xdx
2? 11
— I “I-
3 9
2
и сделаем замену x + — = t, dx = dt,
2
х = t - —, тогда получим
_2
‘ t, , 1 r tdt
---TTdt=-\---ГГ
2 11 3J 2 11
+— t +—
9 9
dt
/11
3
1.21123 3/ „
= —In t +--?= arctg —7= + C =
6 9 9 Vil VTT
11
Зг
9 VI1
11
2 3
2
1
9
1, 2 4 15
= — In X +— ХН--------j=
3 9 Зд/П
6
2 3x + 2
arctg—=- + C.
Vh
в) Выделим под корнем полный квадрат
г xdx _ г xdx
[5 (1+2х+хЛ” FT f
I г 2. гХ I I 1_ х I
Д/4 I 4 2 I 21
1 j j 1
и сделаем замену х + — = t, dx — dt,x — t-—, тогда получим
542
Гпава 10
1 . 2г (5 2 А 1 . 2г „
—arcsin-7=- = - —г —arcsin—т=-+С =
2 45 ^2 ) 2 45
/1 2 1 . 2х + 1
= -л/1~х—х —arcsin—f^-4-С.
2 45
г) Выделим под корнем полный квадрат
Г (х + 3) г (x+3)dx
J л/х2+2х + 1-1 7(х + 1)2-1
и сделаем замену х +1 = г, dx — dt, х = г -1, тогда получим
144=| jo2 - 1ГЬ</= -1)+2 j +
+2 In |г + л/г2 —1| + С — у/х2 + 2х + 2 In |х +1 + у] х2 + 2х| + С.
д) Выделим под корнем полный квадрат
J 4x2 + 2x + l — 3dx = j ^(х + Г)1 — 3dx
и сделаем замену х +1 = г, dx = dt, тогда получим j 4t2 -3dt.
При нахождении данного интеграла воспользуемся обоб-
щенной формулой (7.П.10.1).
J 4t2^3dt = | (гд/г2-3 - 3 In (г + д/г2-3)) + С =
(х +1)"\/ + 2х — 2 — 3 In (х +1 + л/ х^ + 2х “ 2 j j + С.
е) Сделаем замену 2Л = t, 2х In 2dx = dt, тогда получим
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
543
lr dt 1 г dt 1 Г d(t-2)
1п2 J г2 —4z + 2 " 1п2 J Z2-4Z + 4-2 “1п2-1 (г-2)2-2
1
2^2 In 2
Г-2-У2
f-2 + >/2
—------In
2V21n2
2х—2 —>/2
2 х—2+л/2
+ С.
5.2. Найти интегралы: а) -----------------. =;
(х+1)л/х + 2х + 2
, dx Г_________________г dx
б) xbx-x1 1'’ В) (*-1)2а/х2-4х + з’ Г) J х2л/1 —х + 2х2'
__ 4 1 ? dt
Решение, а) Сделаем подстановку х +1 = -, dx = —тог-
да получим
1 + л/х + 2х+ 2
х + 1
1 dt
б) Делаем замену х = dx = , получим
1 j.tZ(2/-l)_ 1(2Z-1/
2J(2Z-1^“ 2
+ C = -(2r-l)^ + C = -[--l
. , 1 , dt
в) Делаем замену х-1 = dx = —тогда получим
544
Гпава 10
dx
(x-l)2^/(x-2)2-l
г tdt
J 71-2г'
1-z2
Сделаем еще замену 1 - It = z2, t = —-—, dt = -zdz, будем
иметь
г) Сделаем замену х = ~, dx = —тогда получим
t г
r t1 dt _ г tdt _ г tdt
V t t1 2 J 4
Сделаем еще замену t- — = z, t — z + —, dt — dz, будем
2 2
иметь
+ C — —a/z~ — z + 2 —
' 2 7 1,
z +-------In
4 2
i, 1 Fi—;
—In z—+Vz -t+2
2 2
+ C=
Vl-x+2x2 1,_ Vl-x+2x2 +1 £
2
—In
2
+ C.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
545
г х + 4х ,
5.3. Найти интеграл: a) J 2 “
(2x + l)d5c
(Зх2 + 4х + 4)л/х2 +6х —1
Решение, а) Воспользуемся формулой (1), тогда получим
г х + 4х , , , „, г~-, ~ ~ . ах
I —, • dx — (АдХ + At )у х + 2х + 2 + А2 —, ..
х/х2 + 2х + 2 х/х2+ 2х + 2
Продифференцируем правую и левую часть
= Л, 4:4+21 + 2 + '++«»') + л2
ух + 2х + 2 х/х2 + 2х + 2 х/х2 + 2х + 2
Приведем к общему знаменателю и приравняем правую и
левую части
х + 4х — Лд(х + 2х + 2) + (AqX + А^ )(х +1) + А2.
Приравниваем неопределенные коэффициенты при одина-
ковых степенях неизвестных
х 1 — + Aq,
х 4 = 2 Ад + Ад + At,
X 0 = ^-Ад + А^ + А2.
л 1 л 5
Решая данную систему уравнений, получим Ад — —, At=—,
л _ 7
А — ——. Таким образом, интеграл примет вид
х2 +4х
л/х + 2х + 2
= — (х + 5)Vx2 +2х + 2 -—In lx +1 + ^х1 + 2х + 2| + С.
2 2 1 I
546
Гпава 10
ъ at + р J _ a~p
б) Воспользуемся подстановкой х = , ах --^——^at,
тогда интеграл примет вид
(2х + l)dx
(Зх2 + 4х + 4)Vx2 + 6x-1
Г_________________(2cg+2/3+f+l)(g-/fy#_______________
J (Цса+р)2 +4(сй+^+1)+4(г+1)27(сй+Д)2+6(сй+ДХг+1)-(г+1)2’
Приравнивая в квадратных трехчленах коэффициенты при
t к нулю, запишем систему уравнений относительно а, Р
6а/3 + 4(а + j8)+8 = 0,
2aj8 + 6(a +j8)-2 = 0,
откуда а = -1, j8=2.
Интеграл в этом случае будет
(t — 5)dt _ 1 г tdt 5r dt
(г2 + 8)л/15-6г2 Тз\г2 + 8)^5-2г 7з + 8)>/5 - 2/2 ’
Первый интеграл находим с помощью подстановки
5 —2z2=m2, t2 =^(5—и2), tdt = —^udu, тогда
1г tdt 1 г du 1 , и + V21
V3J(Z2+8)a/5-2?2 V3J21-w2 6V7 w->/21
1 , (M + V21)2
&J7 и2 -21
(7х2+6х-1+ (х + 1)х/?)2
д/4(Зх2+4х+4)2
1 >/х2 +6х—1 + (х + 1)л/7
V7 у12(Зх2+4х + 4)
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
547
Второй интеграл решаем посредством подстановки
_ , _2 , dt 1 , 2 5
-2 + 5Z =и , — = —vdv, t =—-, тогда
t 5 v +2
5 г dt _1гЦ2+2^_1^5гЛ>_
ТЗ-* (?2+8)V5-2/2 ” 73 J 8u2 +21 V~&/3V 87з^8и2+21“
1 5 ГГ
= —-----1= arctg.—v+ C =
8>/3 48V14 V21
л/x2 +6x-l
8(2-x)
5
----t= arctg
48714
>/8(x2+6x-l)
(2-x)V7
Окончательно получим
7x2 +6x-l 5 >/8(x2 + 6x-l)
8(2-x) 48 714 arCtg (2-x)V7
---J^ln
3V7
10.6. Интегрирование рациональных дробей
1°. Если подынтегральная функция представляет непра-
р М
вильную рациональную дробь —-—- т. е. т > п , то следует
QAX)
выделить целую часть делением числителя на знаменатель
«уголком». В этом случае дробь представляется в виде сум-
мы многочлена и правильной рациональной дроби, у кото-
рой степень числителя ниже степени знаменателя.
548
Гпава 10
2°. Интегрирование правильной рациональной дроби —-,
6ЛХ)
где т < и производится разложением ее на сумму простых все-
гда интегрируемых дробей. Для этого необходимо:
1. Разложить знаменатель Q„(x) на простейшие множите-
ли, причем могут встретиться следующие случаи:
а) корни знаменателя действительны и различны;
б) корни знаменателя действительные и некоторые из них
кратные;
в) среди корней знаменателя есть комплексные;
г) среди корней знаменателя есть комплексные кратные.
В общем случае разложение имеет вид
Q„(x) = a0(x — a)m ... (x-b)"(x2 + px + q)k • ... • (x2 + ex + d)1,
где m,n,k,/ = 1,2,3, ...; a0,a,b,p,q,c,d— постоянные, причем
p2 — 4г/< 0, c2 — 4J < 0.
2. Написать схему разложения данной дроби на сумму про-
стых дробей
_ А + А. + + + А + + Вп +
Qn(x) x — a (x — a)2 " (х-a/ x — b " (х-Ь)”
M.x + N. Mtx + Nk C.x + D. C.x + D.
-l----!--—+... 4----------—I--------—+... 4----------—,
x2+px + q (x2+px + q)k x2+cx + d (x2 + cx + d)'
где Д,4, ... ,Л,Д, ... ... ,Мк, N}, ..., Nt,Ct, ..., С„
Dt, ... ,Dt —некоторые неопределенные постоянные. Для каж-
дого множителя в разложении знаменателя Qn (х) выписывает-
ся столько простых дробей, какова его кратность (т,п,к,1).
Знаменателями простых дробей являются целые степени каждо-
го множителя, начиная с первого и кончая той степенью, кото-
рую множитель имеет в разложении.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
549
3. Освободиться от знаменателей, умножая обе части ра-
венства на Q„(x)
4. Составить систему уравнений, сравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях х в обеих частях тождества (метод нео-
пределенных коэффициентов). Число уравнений должно быть
равно числу неопределенных коэффициентов.
5. Решить систему и подставить найденные значения нео-
пределенных коэффициентов AX,BX,MX,NVCX,DX, ... в схему раз-
ложения.
Неопределенные коэффициенты можно найти, если поло-
жить х в разложении равным действительным значениям корней
знаменателя Q„(x) или подходяще выбранным числам. При ре-
шении некоторых примеров этот метод определения коэффици-
ентов целесообразно комбинировать с методом неопределенных
коэффициентов.
3° . Метод Остроградского. Если многочлен Qn{x) имеет
кратные корни, то справедлива формула
J бя(х) Й(х) J &(х)
где Qx(x) —наибольший общий делитель многочлена £?„(*) и
его производной Q'„(x)’ определяется делением
Q,(x)/Q(x); PS.X), Р2(.х)—многочлены с неопределенными ко-
эффициентами, у которых степени на единицу меньше, соответ-
ственно, степеней Qx(x) и Q2(х).
Дифференцируя формулу Остроградского, представим ее в
виде
ВД j ! Р2(х)
е„(х) [a(x)J е2(х)‘
Для определения неопределенных коэффициентов
550
Гпава 10
Р}{х), Р2(х) можно использовать метод неопределенных коэф-
фициентов,
г х4 г xdx
6.1. Найти интегралы: а) J ~^idx> б) J (х __ 2)2 i
г dx г dx f 2x + l___________f dx
B ' (x+a)(x+Z>)’ Г •'x4+4x2 Д) J(x-1)(x2+1) ’e Jx4-x2-6‘
Решение, а) Выделим целую часть в подынтегральной фун-
4 4
X 2 2 Л
кции —-----2~х ~а +~-----г> тогда
х~+а х~+а~
—-dx — f х2 -а2 + -^-—-Xfx = [x2dx— [a2dx+a4 {-2^* Х -2~ =
Jx2+a2 x2+a2J J J J x +a2
X 2 3 X
=----a x+a arctg —+C.
3 a
6) Учитывая кратность корней, подынтегральную функцию
представим в виде суммы простых дробей
х _ А В С
(х-1)(х-2)2 “7^1 х-2 (х-2)2’
Приводя к общему знаменателю в правой части, приравни-
ваем числители
х = А(х - 2)2 + В(х - 1)(х - 2) + С(х -1)
или
х = Ах2 - 4 Ах + 4А + Вх2 - ЗВх + 2В + Сх — С.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, по-
лучим
х2 0^=А + В,
х 1 = -4А-ЗВ+С,
х° 0 = 4А + 2В-С.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
551
Из решения этой системы имеем: А = 1; В = -1; С = 2.
Таким образом
г xdx _ Г dx г dx г _
J (х-1)(х-2)2 -L-2+ ' (х-2)2 “
э х —1 2
= Inlx — 11 —1п|х —2|-=—+ С = 1п --— +С.
1111 х-2 х-2 х-2
в) Так как (х + а) — (х + 6) = а-Ь, то
1 _ 1 (х + а) — (х + b) _ 1 [ 1 1
(x+a)(x + b) a — b (х + а)(х + 6) a—b^x+b х + а
Отсюда
г dx _ 1 (г dx г dx А
J (х + а)(х + 6) a-il'x+fi 'x + aj
-—-—(1п|х + б|-1п|х + а|)+ С = —-—In
а-ЬК * 1 1 1 17 а — Ь
х + а
г) Раскладываем подынтегральную функцию на множите-
ли и, учитывая кратность корней, представим ее в виде суммы
простых дробей
1 _ А В Cx + D
х2(х2 +4) х х2 + х2 + 4 ’
Откуда 1 = Ах3 +4Ах+ Вх2 +4В+ Сх3 +Dx2. Составляем
систему
х3 0 = А + С,
х2 0 = B + D,
х 0 = 4Л,
х° 1 = 4В.
552
Гпава 10
Из решения системы имеем: А = О, В = —, С = О, D = —.
4 4
Таким образом
f _ 1 1 Г _
•'х4+4х1 2 4-1 х2 4'х2+4
11 х 1 f 1 1 х I
=-------arctg — + С = — — + —arctg— +С.
4х 8 2 4^х 2 2)
д) Поскольку один корень действительный, а два комплек-
сные, то подынтегральная функция может быть представлена в
виде
2х + 1 _ А Вх + С
(х-1)(х2 + 1) ~ х-1 х2 + 1
Откуда 2х +1 = Ах2 + А + Вх1 +Сх — Вх-С. Приравнивая
коэффициенты, имеем
х2 0 = А + В,
х 2 = С-В,
х° 1 = А — С.
3 3 1
Из решения системы находим: А = —, В = ——, С = —. Та-
ким образом
г 2х + 1 , 3 г dx 1 гЗх — 1 ,
------5---dx = —--------—dx =
J(x-l)(x2 + l) 2Jx-l 2Jx2 + l
3, , ,, 3d? + l 1 dx
-In x-1------- +---
2 1 4 x +1 2x2 + 1
= |ln|x-l|-^ln(x2 + l) +
1 ^3, (x-1)2 1
+—arctgx +C =—In :——+—arctgx + C.
2 4 x2 +1 2
e) Раскладываем знаменатель подынтегральной функции
на множители и представим ее в виде простых дробей
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
553
1 _ 1 _Ах+В Cx+D
х4—х2—6 (х2-3)(х2+2) х2-3 х2 +2
Откуда 1 = Ах? +2Ах+Вх2 +2В+Сх? — 3Cx+Dx2 —3D. Состав-
ляем систему
х3 О — А + С,
х2 Q = B + D,
х 0 = 2А — ЗС,
х° 1 = 2В-3£>.
Из решения системы имеем: А = 0, 5 = —, С = 0, £> = -—.
Таким образом
г dx _ 1 г dx 1 г dx _
j х4-х2-6 " 5 J х2-3 " 5 J х2 + 2 "
г их г *гХ — Ч-Х + /
6.2. Найти интегралы: а) ——; б) -—————----------— dx.
Jx4+1 ’ J(x+l)(2x-3)(2x + 5)
Решение, а) Воспользуемся разложением
х4+ 1 = (х4+ 2х2+1)-2х2 =(х2+1)2-(х>/2)2 =
= (х2 + х>/2 + 1)(х2 — х>/2 +1)
и представим подынтегральную функцию в виде
1 _ Ах + В Cx + D
х +1 х2+х>/2 + 1 х2—хд/2+1
554
Гпава 10
Отсюда имеем
1 = (Ах + В)(х2 -ху/2 +1) + (Сх + D)(x2 + Ху/2 +1).
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х
х3 0 = А + С,
х2 Q^-jlA + B + JlC+D,
х 0 = A — у[2В + С + л/2 Z),
х° \=B + D.
Из решения системы уравнений получим
-С = Ц=, B = D = -.
2V2 2
Таким образом, решение примет вид
г dx 1г х + л/2 , 1 г х-д/2 .
J х +1 2у2 х2 + ху2 +1 2>/2Jx2-xV2 + 1
1 , x2 + xd2+l 1 , /т- 1 . /т- _
= —7=ln-------— H-----T=arctg(x>/2 +1)4-=arctg(x>/2 -1) + C.
4V2 x2-xV2+1 2d2 2d2
б) Представим подынтегральную функцию в виде
4^-4х+7 _ х2-х+7/4 _ А В С
(х+1Х2х-ЗХ2х+5)~(х+1Хх-3/2Хх+5/2)-х+1 х-3/2 х+5/2’
откуда следует равенство
х2 -х+7/4 = Я(х-3/2)(х+5/2)+5(х+1)(х+5/2)+С(х+1)(х-3/2).
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
555
Вместо приравнивания коэффициентов при одинаковых сте-
пенях слева и справа будем полагать в этом равенстве последо-
вательно х = -1, 3/2, -5/2, тогда сразу получим А = -1,
В = —, С = —, т. к. справа всякий раз остается лишь один член.
Таким образом,
г 4х2 — 4х + 7 , г dx 1 г dx 7 г dx
------------------dx — —------1—--------1— -------—
J (x + l)(2x—3)(2x + 5) Jx+1 4Jx-3/2 4Jx + 5/2
= - 1п|х + 1|-Д1п|х-3/2| + ^1п|х + 5/2| + C =
_1 (2x+5)(2x —3)7
4 256(x + l)4
. r 2-3x + x2
6.3. Наити интегралы: a) --------------
1 7 J (x + l)2(x2 + x + l)2
[• 4x5-l ч f (x2-1)2 J (• dx
J (x5 + X +1)2 J (x + l)(x2 + l)3 J (x-1)2(x2-1)3
Решение, а) Воспользуемся методом Остроградского
2 — Зх + x2 _ Ах2 + Вх + С Dx2 +Ex + F
(х + 1)2(х2 + х +1)2 х3 + 2х2 + 2х +1 х3 + 2х2 + 2х +1
откуда 2 - Зх + х2 = (2Лх + В)(х3 + 2х2 + 2х +1) -
-(Ах2 + Вх + С)(3х2 + 4х + 2) + (Dx2 + Ex + F)(x3 + 2х2 + 2х +1).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в
обеих частях, получим систему уравнений, из которой и опреде-
ляются неопределенные коэффициенты
х5 0 = 0,
х4 0 = 2A-3A + 2D + E,
х3 0 = 4A + B-4A-3B + 2D + 2E + F,
556
Гпава 10
X2 l = 4A + 2B-2A-4B-3C + D + 2E + 2F,
х -3 = 2A + 2B-4C-2B + E + 2F,
x° 2 = B-2C+F.
Из решения данной системы уравнений получим:
А = -9, В = -20, С = -7, D = 0, Е - -9, F = -2. Интеграл при-
мет вид
, г 2-Зх+х2 , 9х2+20х+7 г 9х+2
/ = ----z— ------- dx=---------------------=-----dx.
J(x+l)2(x2+x+l)2 (х+1)(х2+х+1) J(x+l)(x2+x+l)
Пользуясь методом неопределенных коэффициентов, пред-
ставим подынтегральную функцию в виде
9х+2 А Вх+С
-------т------ —------'--7-----’
(х + 1)(х +х + 1) х + 1 х + х +1
откуда 9х + 2 = А(х2 + х +1) + (Вх + С)(х +1),
х2 0 = А + В,
х 9 = А + В + С,
х° 2 = А + С.
Из решения системы имеем А = — 7, В = 2, С = 9. Таким
образом,
. 9х2 + 20х + 7 _r dx г 7х + 9 ,
I =---------------+ 7--------------dx =
(х + 1)(х2 + X + 1) Jx+l J X2 + X + 1
9х2 + 20х + 7
(х + 1)(х2 +х + 1)
7х + 9 ,
----5 dx.
1 Y 3
4— I Ч—
2 J 4
В последнем интеграле сделаем замену х + = t, dx = dt,
1
——, тогда получим
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
557
7, . 2 11 2х + 1 _
= —ln(x +х + 1) + -у= arctg +С.
Окончательный результат будет
, 9х +20х + 7 . ,, 7, , 2 ,ч П 2х + 1
1 =------;------+ 7 In х +1 — 1п(х + х+1) —arctg —+ С.
(х+1)(х2 + х+1) 1 1 2 Л 73
б) Воспользуемся методом Остроградского
4х5—1 _ ( Ахл + Вх3+Сх2+Dx+E \ Fx* + Gx3+Hx2+Ix+J
(х + х +1) х + х +1 х3 + х +1
4х5 -1 = (4 Лх3 + 35х2 + 2Сх + 7))(х5 + х +1) - (Лх4 + Вх3 +
+Сх2 + Dx + 5)(5х4 +1) + (Fx4 + Gx3 + Нх2 +Ix + J)(x5 + х +1),
х’ 0 = F,
х8 0 = 4Л-5Л + С,
х7 0 = 35-55 + 77,
х6 0 = 2С-5С + 7,
х5 4 = D — 5D + J + F,
х4 0 = 4A + 5E-A + F + G,
х3 0 = 4/ + 35-5 + G + 77,
х2 0 = 35 + 2С —С + 77 + 7,
х 0 — 2С + D — D +1 +17,
х° -1 = £)-E + J.
Из решения системы А = 0, 5 = 0, С = 0, D = -1, Е = 0,
F = 0, G = 0, 77 = 0, 7 = 0, J = 0.
558
Гпава 10
Интеграл примет вид
г 4х5-1 , х
—s--------г = —5-------+ С.
* (х + х +1) х + х +1
в) Воспользуемся методом Остроградского
(х2—I)2 _ГЛх3 + Ях2 + Сх + £>Т Е Fx + G
(х + 1)(х2+1)3 (х2+1)2 х +1 х2 + 1
х —2х2 + 1— (3.4х2 + 2/?х + С)(х3 + х +х+1)—4(^4х + Ех +Сх +
+О)(х2 + х) + Fix' + Зх4 + Зх2 +1)+(£х+G)(x5 + х4 + 2х3 + 2х2 + х +1).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях не-
известных, получим
х6 Q=E + F,
х5 0 = —A + F + G,
х4 1 = -A~2B + 3>E + 2F + G,
х3 0 = 3A-2B-4C + 2F + 2G,
x2 -2 = 3A + 2B-4C-4D + 3E + F + 2G,
x 0 = 2B + C-4D + F + G,
x° l = C + £ + G.
1 1 2
Из решения системы: A=—, B = —, C = —, Г> = 0,
3 2 3
E = 0, F = 0, = Интеграл примет вид
1 з 1 2 2
г (x -1) = 3 2 3 1 dx =
J (x + l)(x2+l)3 (x2+l)2 3x2+l
+ arctg x +C.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
559
г) Представим подынтегральную функцию в виде
1 _ 1
(х-1)2(х2-1)3 “(х-1)5 (х + 1)3
и воспользуемся методом Остроградского
1 ГЛх5+Дх4+ Сх3+ Z>x2+ £x + fT G Н
(х-1)5(х + 1)3(х-1)4(х + 1)2 J х-1 х + 1’
Найдем производную, приведем к общему знаменателю и
приравняем числители
1 = (5Лх4 + 4Вх3 + ЗСх2 + 2Dx + £)(х2 -1)-(Ах5 + Вх4 + Сх3 + Dx2 +
+Ех + F)(6x + 2) + G(x6 - Зх4 + Зх2 - 1)(х -1) + Н(х} - Зх2 +
+3х —1)(х4 — 2х2+1).
х7 0 = G + H,
х6 0 = 5A = 6A-G-3H,
х5 0 = 4B-2A-6B-3G-2H + ЗН,
х4 0 = —5А + ЗС-2В-6С+ 3G + 6H—Н,
x3 0 = -4B + 3D-6D-2C + 3G + H-6H,
x2 Q = -3C + E-2D-6E-3G + H,
x 0 = -2D-2E-6F-G + 3H,
x° 1 = -E-2F + G-H.
Из решения системы имеем:
п _ 23 1 11 1
36 18 36 6
интеграл будет равен
A = —, B = -~, C = -—,
3 6 9
H = Таким образом,
6
1 5 1 4 5 3 23 2 1 И
, -х —X —х + — х---------х------
dx _ 3 6 9 36 18 36 ,
(х-1)2(х2-1)3 (х-1)4 (х + 1)2
560
Гпааа 10
1 г dx 1 г dx _ 12х5 — 6х4 — 20х3+23х2 — 2х —11
+ 6 J - 6 J 7+Т " (х-1)4(х + 1)2 +
10.7. Интегралы от иррациональных функций
Интегралы от иррациональных функций берутся только в
некоторых частных случаях. Основным приемом интегрирова-
ния является отыскание таких подстановок, которые приводят
подынтегральное выражение к рациональному виду.
1°. Интегралы вида /?(х,х”‘, х"!, ... )dx, где R — некото-
рая рациональная функция; т!,т2,и1,и2 — целые числа, приво-
дятся к интегралу от рациональной функции с помощью
подстановки x = tk’ dx = ktk~'dt, где А— общий знаменатель
дробных показателей.
2°. Интегралы более общего вида
j7?(x,(ax + Z>)“,(ax + Z>)/i... )dx ИЛИ
/ 1 \a / i \Р А
( ax + b ] ( ax + b i ,
x, -------------- , ------------ , ... ax
l ex + d I I ex + d I
k v 7 v 7 У
приводятся к рациональному виду с помощью аналогичных под-
. . дх + b к
становок ax + b — t , -= t , где к— общий знаменатель
cx + d
дробей а,Д, ....
3°. Интеграл от дифференциального бинома
j х" {а + Ьх" у dx, где т,п,р,а,Ь — постоянные числа, преобра-
зуется с помощью подстановки х=У^п к виду — [ z4 (а + bz)p dz,
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
561
Ш + 1 1 -л,
где q =------1 и приводится к интегралу от рациональной фун-
п
кции в следующих трех случаях:
1. Если р — целое, то подстановка z = t"', где и, — знаме-
к т\
натель дроби q = —L.
»>
т с m + 1 m + 1 ,
2. Если-------целое, то и-----1 — тоже целое и подста-
п п
/И
новка а + bx" = a + bz = t"', где п, — знаменатель дроби р = —.
о с т+1 , т + 1 , ,
3. Если —---ь р — целое число, то p + q=----------1 + р —
п п
( a + bz\’
тоже целое и интеграл равен [ z4 (а + bz)p dz = z?+p - dz
J I z J
Интеграл приводится к интегралу от рациональной функции
, a+bz .
подстановкой ах +Ь =-------= t1, где пх — знаменатель дро-
z
к т\
би р = —.
«1
4°. Интегрирование выражений вида 7?(х,^ах2 +bx + c\
Подстановки Эйлера.
1. Если а > 0, тогда у/ах2 +bx + c = t- Jax , откуда
t2 -с I—г—;------ 4at2 +bt + cja
x = —j=----, V ax +bx + c =---------------
2-qat + b 2-Jat + b
, „ Jat2 +bt + c>fa ,
dx = 2-----=-------dt.
{2-Jat + b)2
2.Если c > 0, тогда yjax2 +bx + c =xt + Jc, откуда
24at — b I 2 , 2 —bt + y/c
X-------2-- , Л'аХ +bx + C=--------2-----•
a-t a-f
562
Гпава 10
(«-<")"
3. Если квадратный трехчлен ax2+bx + c имеет различные
вещественные корни,т. е. ах1 + bx + с = а(х- Л)(х-у), тогда
ylax2+bx + c - t(x- Л), откуда
-ay + Xt2 I 2 j a(k-y)t
х = —£----- у! ах + Ьх + с = —!-z-
t2-a ' Г-а
, „ а(и-Л)/
dx = l-~---’-dt.
(г2-а)2
Замечание. При а > 0, с > 0, т. е. в первой и второй подста-
новках можно было бы положить, соответственно,
у/ах2 +bx + c = t + у[ах , у/ах2 +bx + c =xt — Jc .В третьей подста-
новке yjax2 +bx + с = t(x-у) • Следует заметить, что в большин-
стве случаев подстановки Эйлера приводят к более длинным
вычислениям, чем другие методы.
5°. Интегралы вида jR(x,у!Ах4 + Вх3 + Сх2 +Dx + E)dx, где
R — рациональная функция, называемые эллиптическими, во-
обще говоря не интегрируются, если между коэффициентами фун-
кции R или полинома под знаком радикала нет особых
соотношений. В ряде случаев, при наличии возвратных полино-
1
мов, интеграл находится с помощью подстановок х + — = t или
х
1
х---= t .
X
7.1. Найти интегралы: а) (------^=dx; б) [ху/3>- xdx;
J х + у/х j
в) г) f7 д)
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
563
Решение, а) Общий знаменатель дробных показателей сте-
пеней равен четырем, поэтому делаем замену х — t4, dx = 4t3dt.
Отсюда
1 + t з> +t j А, 1~1 ,
—-----rdt = 4i--dt = 41 1 + -- \dt =
t4 + r }t2+t I t2+tj
-i г tdt dt । . । 1, 9 _. । _
= 4 z + J7T7-7T; l=4|/ + -ln(/2+l)-arctg/ +C =
1 I I I I I I I 1 b I
= 4^Vx +^ln + 1)-arctg C.
б) Чтобы избавиться от радикала, сделаем замену 3 - х = t2,
х = 3 -12, dx- -ltdt, тогда получим
j xx/3--xcZx = -2 j (3 -12 )t2dt =
= -2 J(3r -t4)dt = -2^/3 -115 у C = -1 (3 - x)3'2 (x + 2) + C.
в) Общий знаменатель дробных показателей равен шести,
поэтому делаем замену х +1 = /6; dx = 6t5dt. Отсюда
+ ^х +1 — In | х/х +1 +1| J+ С.
г) Чтобы избавиться от радикала, сделаем замену
х + 1 2 t+l , 4tdt
----= t х = ——dx-— ----------7, тогда получим
Х-1 t -1
564
Глава10
Г* 1 2 * * * *—1 t2 , „г t2dt
r2 + l(/2—I)2 J (/2 + l)(z2-l)
Представим подынтегральную функцию в виде суммы двух
более простых дробей с неопределенными коэффициентами
—-—= + /2 = At2-A + Bt2 +В;
(r2 + l)(z2-l) /2 + 1 t2 —1
{1 = А + В, О = -Л + .б}=> А = —; £ = таким образом
1,
arctg/+ — In
1 г dt
2 J /2 + 1
г-1
t +1
+ с =
= - 2 arctg
+ С.
д) Умножим числитель и знаменатель на
тогда будем иметь
dx- — fx 2dx + -(dx-
2-1 2J
1 f Д+* J Г 1 1 f [i+x ,
— J-----dx = Vx +—x— ,------dx.
2JV x 2 2J\ x
p. rl+x. „
Рассмотрим ------dx-I отдельно. Сделаем замену
J x
1 + x 2 1 , ^-tdt
----= t , x = —---, dx =-------—. Интеграл примет вид
X---t -1
, »г t dt V 7
7 = ^2—jyT • Подынтегральную функцию представим в виде
суммы двух более простых дробей
t2 _At + B Ct + D
(r2-l)2-(r-l)2 + (r + l)2'
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
565
Приравниваем числители
t1 = (At + B)(t2 + 2t +1) + (Ct + D)(t2 -2t +1)
и неопределеные коэффициенты при одинаковых степенях t
t3 0 = А + С,
t2 \ = 2A + B-2C + D,
t Q = A + 2B + C-2D,
t° 0 = B + D.
Решая данную систему уравнений, находим: А = —, В = О,
1 4
С =—, 0 = 0.
4
Отсюда
, 1 г tdt 1 г tdt 1( r dt r 2
2J(r-l)2 2J(z + l)2 2(/z—1 J J
+-f f—-f(z + l)-2rfzW(-ln|z-l| + — + ln|z + l| + — + c =
2|/Z + 1 J J 2 1 1 r-1 11 / + 1
z + 1
7Й
= —In
2
H—- + C — In |>/x + a/1 + x| + x(\ + x) + C.
Таким образом, окончательно получим
= ^(х + 2у/х — In |Vx + -s/l + x j — y]x(l + x) j + C.
7.2. Найти интегралы:
dx sf (x2—l)<Zr
6) —7----F=V’ B) —i------- . -
J x2^x + Vx2+lj J xVx4 +3x“ +1
a)
Решение, а) Подынтегральное выражение представляет диф-
ференциальный бином, р = — 2 — целое число, поэтому приме-
няем подстановку х = z4, dx = 4z3t/z. Интеграл примет вид
566
Гпава 10
б) Подынтегральное выражение представляет дифференци-
111 т + 1 „
альныи бином р = —, т = —, п = — , -= 2—целое чис-
3 2 4 и
ло, поэтому применяем подстановку x = zA, dx = zidz, получим
г \1 + д/х , ty/l + Z j г ,
I — -=—dx = 4 --—zdz = 4 z(l + z)/3 dz.
J -Jx J z J
Поскольку
— целое число, то ис-
пользуем подстановку 1 + z = г3, z = t3 -1, dz = 3t2dt. Отсюда
I = 12j(?-\ydt = 12j(/6
t t
t = \2--------+C =
7 4
z-|Vl + z)^ + C = yfc-^Vl + V^ + C.
в) Подынтегральное выражение представляет дифферен-
1 т + 1
циальныибином т = — 2, п=3, р =—,------\-p = —z—целое
3 п
/ 1 -V
число, поэтому применим подстановку x = z7i dx = -z 73 dz, и
3
получим
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
567
~%dz 1 г z~%z
dz.
l+z з
ции с помощью подстановки----= t ,
Z
I z J
Интеграл приводится к интегралу от рациональной функ-
1 3t2dt
z=—,---, dz =-------
t3-!
_5 t2dt г/3-1, (dt r
' ---т = - —-Г”\dt =
J t Jt J
--Z--t + С — —
2г
+ С =
2 1 + х3
(i Y3
- —+1 +с.
7.3. Найти интегралы:
dx
.2
1
Зх2 — 5х
dx
----1 — ; в) I Л —=dx.
х + ух2-х + 1 J V3-2x-x2
Решение, а) Воспользуемся первой подстановкой Эйлера
/2-1 , /2 + 1 ,
Возводя в квадрат, получим х = ——, dx = —dt.
Подставляя под знак интеграла, будем иметь
dx
x2(x + \lx2 +1)
_______(?+l)<fr________ r f2+l
o2f<2-n7/2-i r2+n- W-1)2
It2 --- ------+----
It I It 2/1
\ ) V. /
Воспользуемся методом Остроградского. Представим
подынтегральную функцию в виде
568
Гпава 10
t +1 At + В C Dt + Е
/7-7 "L f2-i J +7+ ?-i ’
Найдем производную, приведем к общему знаменателю и
приравняем коэффициенты при одинаковых степенях неизвестных
/4 0 = C + Z),
е 0 = -А + Е,
t2 \=-2B — 2C-D,
t 0 = -А-Е,
t° 1 = С.
Отсюда: А = О, В = -1, С = 1, D = -1, Е = 0. Интеграл при-
мет вид
Переходя к переменной х, окончательно будем иметь
б) Воспользуемся второй подстановкой Эйлера
д/х2 — х + 1
= /х + 1. Возводя в квадрат, получим х =
2/ + 1
I-/2 ’
, J 12 1 I "Г I ‘Г 1 тт
dx = 1 ——jp-dt, Ах — х +1 = ——j—. Подставляя все это под
знак интеграла, будем иметь
т Г г /2+/ + 1
I = [----. ......- -2 [ —------------dt.
Jx + >/x2-x + l J 7-1)7 +3/ + 2)
Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
569
?+/ + ! _ А В С D
(?-l)(/2+3f + 2) ~/-1 / + 1 (Z + 1)2 7+2’
t2 + t + 1 = A(t + 2)(t2 + 2t + 1) + B(t + 2)(t2 -1) +
+C(t - 1)(Z + 2) + D(t +1)02 -1),
t2 0 = A + B + D,
t2 1=4A + 2B + C + D,
t \ = 5A-B + C-D,
t° \ = 2A-2B-2C-D.
Отсюда A = — , B = —, C = —1, D=—. Таким образом:
6 2 3
1 r dt t dt r dt 10 r dt
1 = —------3 ---+ 2-------- +— ---=
3-4-1 Ъ + l J0 + l)2 3Jr + 2
= -- Ink —11 —31nk + l|——+—lnk + 2| + C.
3 1 1 1 1 / + 1 3 1 1
Переходя к переменной x, получим
1 = ——In |Vx2 — x + 1 — 1 — x| — 3 In |Vx2 —x + 1 — 1 + x| +
I I----- I 2x
+10 In у x2 —x + 1 —1 + 2x —. - =-h C.
' ' Vx2 —x + 1 —1+x
в) Поскольку подкоренное выражение имеет два действи-
тельных корня, то воспользуемся третьей подстановкой Эйлера
I-------у „ 1-3/2 8tdt
V3-2x-x =(3 + x)Z, откуда х =---dx =--------г-т-.
1 + Г (1 + г)
Интеграл примет вид
Зх2 — 5х
>/3 —2х —х2
1 + 4Z2-21г4 J
----5---i—dt-
(?+1)3
Воспользуемся методом Остроградского
570
Гпава 10
l + 4r2-21Z4 [ At3+Bt2+ Ct + Dl' Et + F
(z2 + l)3 (z2 + l)2 J z2 + l ’
откуда 1 + 4? -2k4 = (3At2 + 2Bt + C)(Z2 + l)-4Z(Jz3 + Bt2 + Ct +
+jD) + (Ez + F)(Z4+2z2+1)
t5 Q = E,
z4 -21 = ЗЛ-4Л + Г,
Z3 0 = 25-45 + 2E,
z2 4 = 3A + C — 4C + 2F,
t 0 = 2B-4D + E,
Z° 1 = C + F.
f2Z(7Z2+4) п А
—Ц-------7 arctg z +С.
(Z2+l)2
Отсюда: A = 14, В = 0, C = 8, D = 0, E = 0, F = -7. Таким
образом,
<14Z3+8Z r dt
(z2 + l)2 Jz2+1
1 = 4
= 4
Учитывая, что t =-----, и переходя к переменной х, окон-
3 + х
чательно получим
Z = — (19 - 3x)a/3 —2x —x2 - 28 arctg, — + C.
2 V 3 + x
7.4. Найти интегралы: a) J——;
б> г .
J хл/х4 +Зх2 +1
1
Решение, а) Воспользуемся подстановкой х + —= z,
х2—! , х
—z—dx = dt.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
571
х2+1
Выведем некоторые нужные соотношения ----------= t,
х2 1 Х ’
х4 +1 = (t2 - 2)х2, —--- = —--, тогда интеграл примет вид
(х2 — I)2 t2- 4
У _ г х2 4-1 dx _ г tdt
J *2 -1 7х4+1 J (t2 - 4)д/<2-2
Сделаем еще одну замену t2 -2 = z2, tdt- zdz и предста-
вим интеграл в виде
Переходя к переменной а затем к х, будем иметь
б) Воспользуемся подстановкой х — = t, —— dx = dt.
X X
х2 -1
Введем некоторые дополнительные соотношения----= t9
2 J _______ X
л/х4 +3х2 +1 = x-xlt2 +5, -- = л/г +2 . Интеграл в этом слу-
х
чае примет вид
г (х2—l)Jx _г tdt
J xVx4+3x2 + l J ^t2+2y/t2+5'
Сделаем еще одну замену t2 + 2 = z2, tdt — zdz, тогда интег-
рал преобразуется к виду
572
Гпава 10
Переходя к переменной t, а затем к х, получим
I = in k/t2 +2 + л/?2+ 51 + С = In
x2 +1 + a/x4 +3x2 +1
X
10.8. Интегрирование тригонометрических
функций
(1)
1°. Интеграл от четной степени sinx, cosx можно найти
путем понижения степени вдвое по формулам
2 1 2 1
sin х = —(l-cos2x), cos х = —(l + cos2x).
2°. Интеграл от нечетной степени sinx, cosx можно найти
путем отделения от нее одного множителя и замены его произве-
дения на дифференциал новой переменной.
3°. Интегралы вида jsin™ xcos" xdx можно найти по прави-
лу (1°), если т и п оба четные неотрицательные числа, или по
правилу (2°), если т или п (или и т и п) нечетно. Если т + п = — 1k,
т. е. четное отрицательное число, то целесообразно использовать
, dt
подстановку tgx = t или ctgx = t, откуда dx =----или
, _ dt +t
ax - + В общем случае интегралы данного вида, где тип
целые числа, находятся с помощью рекурентных формул, кото-
рые выводятся интегрированием по частям.
4°. Если подынтегральная функция зависит только от tgx
или ctg х, то применяют замену tg х = t или ctg х = t.
5°. Если интеграл имеет вид j^(sinx,cosx)t/x, где sinx,
cos х входят только в четных степенях, то применяется подста-
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРА Л
573
1
1 + t2'
. . , dt . 2 2
новка tgx -1, dx =------, поскольку sin x и cos x выражают-
1 + Г
• 2 t2 2
ся через tgx рационально sin x-------- и cos
1 + t
6°. Если интегралы имеют вид: jsinaxcosfcaZx;
j sin ax sin bxdx\ J cos ax cos bxdx, то их можно найти путем раз-
ложения на слагаемые по формулам:
sin ax cos bx = (sin(a — b)x + sin(a + b)x),
sin ах sin bx = у (cos(a — b)x — cos(a + b')x~),
(2)
cos ах cos bx = (cos(a — b)x + cos(a + b)x).
7°. Интегралы от рациональной функции вида
J/?(sinx,cosx)d5c с помощью подстановки tg—= / всегда сво-
дятся к интегралам от рациональной функции, т. к. sin х, cos х и
dx выражаются через t рационально
2t X-t1
sinx =-------cosx =------
1 + r 1 + t2
(3)
J 2dt
dx-----—
1 + ?
Рассмотренная подстановка позволяет проинтегрировать
любую функцию вида A(sinx,cosx), поэтому ее иногда назы-
вают «универсальной тригонометрической подстановкой».
8°. Интегралы от произведения трех тригонометрических
функций могут быть найдены по формулам
574
Гпава 10
j cos ax cos bx cos cxdx =
_ 1 ( sin(a+Z>+c)x sin(Z>+c—a)x sin(a+c—b)x sm(a+b-c)x
~4
j cos ax sin bx sin cxdx =
_lfsin(a+b-c)x sin(a+c-Z>)x sin(a+6+c)x sin(6+c-a)x ,
_—I-------------1--------------------------------------j+C,
4^ a+b-c a+c-b a+b+c b+c—a
j sin ax cos bx cos cxdx =
_ 1 (cos(a+Z>+c)x cos(Z>+c-a)x cos(a+Z>-c)x cos(a+c-Z>)x
4
j sin ax sin bx sin cxdx =
_ 1 (cos(a+b+c)x cos(a-6+c)x cos(Z>+c-a)x cos(a+b-c)x
~4
a+b+c
a+b+c
a+b+c
------_ + --v~ ' .p i. - -
b+c-a a+c-b a+b-c I
----^+—x„. -z.. + —y..- . c
b+c—a a+b—c a+c—b I
a-b+c
b+c—a
। c-
a+b-c I
8.1. Найти интегралы: a) Jsin4xcZx; 6) Jcos3xcZx;
в) jcos2 xsin4 xt/x; r) jsinxcos5 xdx-, д) J Sm4* <Zx; e) Jtg35xd5c.
COS X
Решение, а) Пользуемся формулами тригонометрии для по-
ловинного угла
j sin4 xdx = J (sin2 x)2 dx = i j (1 - cos 2x)2 dx =
= -jj(l-2cos2x + cos2 2x)dx = -^(x — sin2x) + ^-jcos2 2xdx =
= ± (x - sin 2x)+j (1+cos 4x)dx = -^ (x - sin 2x) + (x+sin 4x) + C.
б) Отделяем от нечетной степени один множитель первой
степени и вносим его под знак дифференциала
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
575
jcos3 dx = jcos2 x cos xdx = J(1 - sin2 x)d sin x = sin x -—sin3 x + C.
в) По формулам половинных углов имеем
J cos2 xsin4 xdx = j(l + cos 2x)(l - cos 2x)2 dx =
= J (1 - cos2 2x)(l - cos 1x)dx = (1 - cos 2x - cos2 2x + cos3 2x)dx =
= ^(x--^sin2x) — ^7j(l + cos4x)tZx + -^j(l-sin2 2x)t/sin 2x =
= - (x -—sin 2x) -—(x +—sin 4x) + — (sin 2x - - sin3 2x) + C.
8 2 7 16 4 7 16v 3 7
г) Вносим синус под знак дифференциала
Jsin х cos5 xdx = - j cos5 xd cos x = cos6 x + C.
д) Отделяем в числителе от нечетной степени один множи-
тель первой степени и вносим под знак дифференциала
sin3x , rl-cos2x , rdcosx rdcosx
---T~ acosx = -| -—h —
COS X J COS X J COS X J cos X
cos'4 xd COS X + f cos 2 xd COS X = — cos3 X---h C.
J 3 cosx
e) Делаем замену tg5x = /, тогда x = —arctg/ и
dx =
менной
dt
5(1 + /2)
Переходим под знаком интеграла к новой пере-
Г з г > If t3 dt
f'6 '“'‘=1(777
Выделяем, деля числитель на знаменатель, целую часть
576
Гпава 10
1 г t3dt _
5 J ,2+Г
1? 1 r^+l)^
10 10J t2+l
= (t2 - ln(Z2 +1) + C = (tg2 5x - ln(tg2 5x +1)) + C.
rsin2xcZx r
8.2. Найти интегралы: a) ------7—6) cos3xcos7xax;
J cos x J
dx r .
„ , 11 I-;—; д) cos2xsin3xsin4xdx;
2cosx + 3sinx + 2 ’ J cos5 x ’ J
dx
dx
. 2 „ . 2 ; ж) J . tgX—dx.
sin x —osinxcosx —cos x Jsinxcosx
Решение, а) Поскольку синус и косинус в четных степенях,
, dt
используем подстановку tg х -1; dx =--7, тогда
1 + t
sin2x<7x rsin2x dx r „ 2,2 dt
----s—= ----3------7— = C(l + r) ----t
COS X J COS X COS X J 1 + t
= —t3+—t5+C = —tg3 x + —tg5 x + C.
3 5 3 6 5
б) Преобразуя по формулам (2), имеем
cos3xcos7xo!x = — f(cos4x + cosl0x)dx — ~ fcos4xJ(4x) +
+ — fcosl0xt/(10x) =— sin 4x +—sinlOx + C.
20J 8 20
в) Пользуемся универсальной тригонометрической подста-
новкой tg — = t, тогда по формулам (3) получим
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
577
dt
dx = 2 f 1+t2 = 2 f dt
2cosx+3sinx+2 +2 2-2t2+6z + 2+2t2
i+?+ i+?+
1 1 Y
= -ln|3/ + 2| + C =-In 3tg- + 2 +C.
r dt
J 3/4-2
г) Воспользуемся обобщенной формулой интегрирова-
ния (13)
г dx sinx
dx sinx
sinx
cos5x 4cos4x 4-'cos3x 4cos4x 412cos2x 2cosx
sinx 3( sinx I., 1 I _
=------—h— ------z—I—In tgx + secx +C
4cos4x 4^2cos2x 2 J
д) Пользуясь формулами пункта (8°), имеем
J cos 2х sin Зх sin 4xdx = (sin(2 + 3 - 4)х + ~ sin(2 + 4 - 3)х -
~ sin(2 + 3 + 4)х - sin(3 + 4 - 2)х) + С = (sin х + sin Зх -
-^sin9x—~sin 5х) + С.
е) Разделим числитель и знаменатель на cos" х, будем иметь
^tgx = г rf(tgx-4) = 1
tg2x-8tgx-l J(tgx-4)2—17 2л/17
tgx-4-V17
tgx-4 + V17
+ С.
ж) Умножим числитель и знаменатель на cosx, получим
Г C0SXyl^ — dx = [Х d tgx = f tg 2 xd tgx = 2^/tgx + C.
J sinxcos x J tgx J
578
Гпава 10
10.9. Интегрирование гиперболических
функций
1°. Интегрирование гиперболических функций производит-
ся аналогично интегрированию тригонометрических функций.
Интегралы от квадратов и других четных степеней sh х, ch х на-
ходятся применением формул:
ch2x-sh2x = l; sh2x = 2shxchx; ch2x = ^-(ch2x + l);
sh2x = ^-(ch2x-l); sch2x = l-th2x; csch2x = l-cth2x.
Интегралы от нечетных степеней sh х, ch х находятся так
же, что и интегралы от нечетных степеней sin х, cos х.
2°. Гиперболические подстановки могут пременяться при
нахождении интегралов вида
|я(х,л/х2 -a2 рх —подстановкой x = acht;
jR(х,а/х2 +а2 ) с/х — подстановкой х = ashх;
j R (х, л/а2 — х2) dx — подстановкой х = a th х •
х + д/х2 +а2
При этом: если х = ash t, то t = In-----,
a
, x + In-Jx2 —a2
если x = a ch x, to t = In-------.
a
9.1. Найти интегралы: a)jsh22xcZx; 6) jsh* ch3 xdx;
<• . r dx c dx c 2 ,
в) th xdx; r) —-----------д) ——; e) x shxdx;
J J ch x +1 J sh x J
ж) jvchx-lcZx; 3)j----------------; и) jsinxshxc/x.
ch x -I- sh x
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
579
Решение, а) Пользуясь формулами понижения степени, имеем
fsh2 2хб&=— f (ch 4х -1)<&=—| [ ch 4х<74х -х |=—| — sh 4х -х 1+ С.
J 2J J 2^4 J
б) Внесем ch х под знак дифференциала, тогда будем иметь
|sh2xch3xcZx = |sh2xch2xt/shx = |sh2x(l + sh2x)t/shx =
= [ sh2 xd sh x + sh4 xd sh x = — sh3 x +—sh5 x + C.
J 3 5
\ dx >. i dt
в) Сделаем замену th x = t; —-— = dt; dx =-, тогда полу-
ch x 1-t
чим
(1 , , . 1,
-th x + thx +—In
I3 2
thx-1
thx + 1
г) Преобразуем подынтегральную функцию по формулам поло-
винных углов
г dx
•I ch х +1
, x „
— th —h C.
2
д)
г dx
' sh х
dx
ch —t/x
2
2sh —ch — 2sh —ch —
2 2 2 2
d th —
----— = In
th-
2
th—+C.
2
e) Воспользуемся дважды формулой интегрирования по частям,
принимая х2 = и, sh xdx = dv, Ixdx = du, v = ch x. Будем иметь
[x2 shxcZx = x2 chx-2[xchxo!x.
580
Гпава 10
ж) J Veh т — Xdx - J
Принимаем х = и, chxdx = dv, отсюда dx = du, u = shx.
Окончательно получим J х2 sh xdx - х ch х - 2(т sh х - ch х) + С.
2 sh2 -dx = 141 [sh - d- = 2л/2 ch-+ C.
2 J 2 2 1 2
з) Воспользуемся заменой sh x = — (ex - ex), ch x = — (ex + e x),
тогда будем иметь
f = 2[--------------= \dx = x + C.
J chx+shx J ex +e x +ex —e x J
и) Раскроем гиперболический синус и воспользуемся обобщен-
ной формулой (6)
j"sin xshxtZx = у jе1 sin xdx--^- fe~x sin xdx = -^-(sin x—cos x)ex +
+ i(sin x + cos x)e~x + C = (sin x ch x - cos x sh x) + C.
. r-^- r x2dx
9.2. Найти интегралы: a) н.г+4Л; б) I 1—.—7?
J dx —a
C dx
Решение, а) Сделаем замену x = 2 sh t; dx = 2 ch xdt, тогда
J4x2 +4dx = 4 J>/sh2 / + 1 ch tdt = 4jch2 tdt - 2 j(ch 2t + \)dt =
= sh2z+2Z + C = 2shzVl+sh2 Г +2z + C =—д/4+х2 +2 In-l-C.
2 2
б) Сделаем замену x = a ch tdt, dx = as}\ tdt, тогда
r x2dx , r ch2 tshtdt 2 f . 2 , я2 f, , ,
I ...... = a I-------= a21 ch21dt = — J (ch 2t + \)dt =
3 dx2 — a2 2
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
581
2 _______
= ~ (sh 2t +1) + С = a2 (ch t Veh2 z-1 +t) + C =
— а2 +а2 In
—+c.
а
в) Выделяя полный квадрат и делая замену 1 -х = Z, dx - —dt,
получим
г dx
J F> 2
\ 2x — x
dx t dt
, dz
Сделаем еще одну замену t - tn z, dt - , тогда
dt г dz r ch zdz r dshz , , „
---5- = - = - -— = - -----— = -arctg shz + C =
1-t2 Jchz-J ch2z -’l + sh2z
th2 z Z2 (I-*)2 ~
= - arctg---— + C = - arctg------ + C = - arctg1-— + C.
1-th2 z 1-z2 zx —x2
10.10 Задачи, приводящие к понятию
неопределенного интеграла
Из геометрического смысла первообразной следует, что
производная функции у = F(x) дает угловой коэффициент ка-
сательной к соответствующему графику у = F(x) + С • Поэто-
му задача отыскания первообразной для заданной функции
f (х), равносильна задаче нахождения кривой, для которой за-
кон изменения углового коэффициента известен tga = f (х).
Поскольку кривые отличаются друг от друга на постоян-
ную интегрирования, то для того, чтобы из этого множества кри-
вых выбрать одну кривую, достаточно задать точку (х0,_у0),
через которую кривая должна проходить, т. е. определить посто-
янную интегрирования.
582
Гпава 10
Из механического истолкования неопределенного интегра-
ла следует, что если задан закон изменения скорости от времени
v = /(х), то зависимость пути S от времени определяется интег-
ралом S = j f(t)dt, т. к. скорость движения точки есть производ-
ная — . Постоянная интегрирования находится из заданного
dt
начального условия, иначе получим бесчисленное множество
решений.
10.1. Составить уравнение кривой, проходящей через точку
М (1,2), если угловой коэффициент касательной в каждой точке
кривой равен обратной величине абсциссы точки касания.
Решение. Закон изменения углового коэффициента извес-
тен /(х) = —. Поскольку производная от (1пх)' = —, то
х х
у = In х + С — искомая кривая.
Для определения постоянной интегрирования воспользуем-
ся условием, что кривая проходит через точку М, тогда
2 = 1п1 + С и С = 2. Таким образом: у = In х + 2 .
10.2. Скорость тела задана функцией v - 3t2 м/с.Найти за-
кон изменения пути S, если за t — 2с, тело прошло путь S - 20м.
Решение. Имеем: S = jvdt =3$t2dt = t3+С Согласно на-
чальному условию: 20 = 23 + С, откуда С = 12. Таким образом,
искомый закон S = t3 +12.
Глава 11
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
11 .1. Определение определенного
интеграла. Свойства.
Формула Ньютона-Лейбница
1° . Пусть на отрезке [а,Ь] задана непрерывная функция
у = f(x). Разобьем отрезок [а,Ь] на и частей. В каждом из отрез-
ков Дх(. = xf —х1Ч возьмем по точке^, и вычислим значение фун-
п
кции /(£.).Сумма )Дх( называется интегральной суммой
1=1
для функции /(х) на отрезке [а,Ь\. В зависимости от деления
отрезка [а,Ь\ на п частичных отрезков и выбора точек можно
составить бесчисленное множество интегральных сумм.
Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке
[а,Ь] называется число, равное общему пределу всех интеграль-
ных сумм при стремлении к нулю максимального отрезка раз-
биения
г л
j/(x)<Zx= lim У M)Ax,..
J тахЛх,—>0
а
584
Гпава 11
Числа а и b называются, соответственно, нижним и верх-
ним пределами интегрирования, отрезок \a,b\— промежутком ин-
тегрирования.
2° . Свойства: 1. Определенный интеграл зависит только от
вида функции f (х) и пределов интегрирования, но не зависит
от обозначения переменной интегрирования, т. е.
ь ь
а а
2. Определенный интеграл меняет знак при перестановке
пределов интегрирования
Ь а
jf(x)dx = -jf(x)dx.
а b
3. Интеграл с одинаковыми пределами интегрирования ра-
вен нулю
а
j f(x)dx = 0.
а
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интег-
рала
b ь
j Af(x)dx -A^f (x)dx.
a a
5. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от
этих функций
ь ь ь
j (Z О) + Л (x))dx = j/ (x)dx + j f2(x)dx +.
a a a
6. Отрезок интегрирования можно разбивать на части
Ь с Ь
j f(x)dx = j f(x)dx + j f(x)dx,
a b c
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
585
причем точка с может быть как внутренней точкой деления от-
резка (а < с < b), так и внешней (а < b < с )
3°. Формула Ньютона-Лейбница. Если F(x) есть первооб-
разная от непрерывной функции f (х), то справедлива формула
ь
\f(x)dx = F(x)\ba=F(b)-F(a).
а
По формуле Ньютона-Лейбница сначала находят первооб-
разную, а затем находят разность первообразных, соответствен-
но, при верхнем и нижнем значении предела.
4°. Нахождение интегралов от четных и нечетных функций
с симметричными пределами интегрирования можно упростить,
а а
применяя формулы j f(x)dx = 2 j f(x)dx, если f(x) —четная
-а О
a
функция, j f (x)dx = 0, если f (x) — нечетная функция.
—a
5°. Если функция периодическая с периодом Т, то
Ь Ь+пТ
^f(x)dx = j f(x)dx\ (п = 0,±1,+2, ... ).
а а+пТ
1.1. Вычислить интегралы:
гз , г4 т г7 dt г* . Я ,
а) [ (Зх + 1)</х; б) £ (l+e*)dx; в) г) £ Slny^
Решение, а) Представим определенный интеграл в виде сум-
мы двух интегралов и для каждого из них воспользуемся форму-
лой Ньютона-Лейбница
3 3 3
J(Зх2 + 1)с/х = 3 Jx2dx + J dx = X3 [ + x|, = (З3 -13) + (3 -1) = 28.
1 1 1
б) По формуле Ньютона-Лейбница имеем
586
Гпава 11
в) По формуле Ньютона-Лейбница имеем
Г -7Д= = | j (3t + 4)'h(3z + 4) = | (3z + 4)2
J,V3r + 4 3^ 3
= |(a/21 + 4 - V-3 + 4) = |.
г) Пользуемся формулой Ньютона-Лейбница
г . X 1 _ X _ 7Г _ x _
sin — ax = -2 cos — = ~2(cos-------cos 0) = 2.
J„ 2 2 „ 2
0
0
Г f х? ($х
1.2. Вычислить интегралы: a) sin xdx-, б) | —------:---;
7я 2 -3* +4Х +7
3 . 2 • л
х г sin х +sin 2.x ,
в) I ------------dx.
cos х
~4~
Решение, а) Подынтегральная функция есть произведе-
ние двух нечетных функций, т. е. является четной функцией,
поэтому
2 _ п
2 2 2 / ।
J sin2xo!r = 2jsin2x<Zx = j(l—cos2x)<Zx = x-sin2.x
_£ 0 0 к 2
~2
б) В силу нечетности подынтегральной функции и симмет-
ричности пределов интегрирования данный определенный интег-
рал равен нулю
[—-ХЧХ....= 0
”3 х6 + 4х2 + 7
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
587
в) Подынтегральная функция имеет период л, поэтому из
верхнего и нижнего пределов интегрирования можно вычесть 2л.
Определенный интеграл примет вид
7я л
г sin2 х + sin 2х , г sin2 Х +sin 2.x ,
I --------4-----= I-------------5---=
cos x ' cos x
“ 7
11.2. Замена переменной в определенном
интеграле
ь
Пусть дан интеграл ^f(x)dx, где функция /(х) непрерыв-
на на отрезке [а,Ь\. Введем новую переменную t по формуле
x = (p(t).
Если <р(а) = а; <р(/3) = Ь, функция <р(г) и ее производная
непрерывны на отрезке [а, /3 ] и f (<р (г)) определена и не-
прерывна на отрезке [а, /3 ], то
Ь Р
j f(x)dx = j f((p(t))<p'(t)dt.
2.1. Вычислить определенные интегралы:
О
|ПГ dx | dx г 1 + tg2 X г x2<Zx
о) —----—; в) ----------; г) ---------dx-, д) . — ;
i„2e ~е '3 + 2cosx J (1 + tgx) W16-x2
4
588
Гпава 11
г 1п(х + 1)
I *2+1
, . г xsinx
ах; ж) -------—ах.
' 1 + cos х
Решение, а) Сделаем замену переменной х = t2, тогда
dx = 2tdt. Находим новые пределы интегрирования: при х = О,
t = 0 и при х = 3, t = л/з . Интеграл примет вид
г yfxdx
1 1 + *
Уз . Уз .2 , i i Уз Уз ,
Г t , „ г Z +1 — 1 , _ г, „ г dt
---— tdt = 2 —---dt = 2 dt - 2 —----
J 1 + r2 J 12+1 J J t +1
o 1 ~1 o£T1 о о £ ~1
= 2r|^-2arctgz|^ = 2(л/з-arctgТз) = 2| ^3-j
б) Полагаем ex = t, тогда dx = —. Находим новые пределы
интегрирования: при х = In 2, t = 2 и при х = In 3, t = 3 . Отсюда
f dx г dt } dt 1, Z-1 3 If, 2 , П 1, 3
Lex-ex \(t-t~')t Jf2-1 2 Z+l , 2l 4 3 2 2
, X , 2dt l-t2
в) Сделаем замену t = tg—, тогда dx = -—-, cosx = -—-.
Перейдем к новым пределам интегрирования: при х = 0, t = 0 и
при х = —, t = 1. Интеграл примет вид
£ dt
Т 2 Г 1 + г2 = 2 Г dt
'3 + 2cosx J03 + 2lzli {2> + 3t2+ 2-2t2
\ + t2
‘г dt 2 x ‘ 2a/5 t V5
=21?7?=У5агс,8У5 .““Г 8T‘
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
589
dt гт -
---j-. Перейдем к
г) Сделаем замену tg х = t, тогда dx =
новым пределам интегрирования: при
_ гт
х~~^’ - v3 . Интеграл примет вид
—, t = 1 и при
г 1 + tg2 х г 14- dt
J 0 + tgx)2 (l + Z)2 1 + t2
41
J (l + t)“2 t/(l + t) =
1
1 +1 .
i t i _ Уз —i _t Уз
1 + 7з 2 —2(1 + л/3)— 2
д) Сделаем замену х = 4 sin t, тогда dx = 4 cos tdt. Перейдем
к новым пределам интегрирования: при х = 0, t = 0 и при х=4,
л
t=~. Интеграл примет вид
5. ZE л
г xzdx _} sin2 /4cos tdt „к, , У 1 . 2
: — = 16----------------=8 (l-cos2/)<7/ = 8 t—sm2t
Jo 716^7 о 4 cost J 2 Jo
= 4л.
e) В данном определенном интеграле первообразная не вы-
ражается через элементарные функции. Воспользуемся искусст-
_ , dx
венным приемом. Сделаем подстановку х = tg t, тогда dt =--
1 + х*
Л
иприт = 0, / = 0,априт = 1, / = — . Таким образом,
(1п(х + 1) , г. , ,. , г, sint + cost ,
—--------- dx = ln(tg t + \)dt = In----------dt =
n *’+l n i cost
590
Гпава 11
4 / \ 4
Л - - Г, . ( It 1 , Г, .
= — 1п2+ Insin —+t \dt — In cos/щ.
8 J I 4 J
0 V/0
Последние два интеграла равны между собой, т. к. приво-
дятся один к другому с помощью подстановки t- —-ср . Дей-
„ _ л п
ствительно, dt = -dtp, причем при t = 0, ф - —, а при t = —,
т 4 4
ср = 0 и интеграл равен
rln(x + l)
I *2+1
0 (тс А 4
jInsin------tp Idtp — jlncostJt =
я V 2 J о
л л
я: 4 4 п
- — In 2 + j In cos (pdtp - J In cos tdt = — In 2.
8 о о 8
ж) Воспользуемся подстановкой x = л — t,, тогда при х = 0,
t = л и при х = л, t-О. Интеграл примет вид
•xsinx , г (л —/) sin Z , г (л -1) sin t ,
-------— dx = - -----Ц— dt = —dt =
1 + cos x Jx 1 + cos t Jo 1 + cos t
r sin/ , r tsint
-------7~ dt - -------Г- dt-
Jo 1 + cos t Jo 1 + cos t
Поскольку величина определенного интеграла не зависит
от переменной интегрирования, то, заменяя в последнем интег-
рале t на х и перенося его в левую часть, будем иметь
г xsinx , л} sin tdt Л рт
J 17с^л=i^o?7=
О 1 I Wo A. Z. Q 1 I Wo I
7C , z TC
= --(arctg(-l)-arctg 1) = —
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
591
11.3. Интегрирование по частям
1°. Интегрирование по частям в определенном интеграле
выполняется по формуле
ь ь
judv=uvfa~jvdu. (1)
а а
2°. Обобщенная формула интегрирования по частям имеет
вид
ь
J !W(”+1)<Zx = (uv("’ + ... + (— 1)” +
a
b
+(-l)"+' Ji/(n+'W. (2)
a
Пользуясь обобщенной формулой интегрирования по час-
тям, можно вывести ряд рекурентных формул:
1. Интегралы Im = £2 sin™ xdx, I'm = £2 cos™ xdx находятся с
помощью рекурентной формулы 1т ———и равны
т
[2 sin™ xdx = f2 cos™ xdx =
Jo Jo
(т -1)!! л
т\\ 2’
(гп — 1)!!
т!!
при m - четном,
при m - нечетном.
2. Если тип натуральные числа, то интеграл
п
|2 sin™ xcos" xdx =
'о
(w-!)!!(«-!)!! л:
(ти + п)!! 2’
(ти-!)!!(« — !)!!
(ти + п)!!
при тип- четных;
во всех других случаях.
592
Гпава 11
3. Интеграл вида Inm — х" In™ xdx находится по рекурент-
ной формуле 1пт =-------I , и равен
п + 1
т I
I =(-1)т-------:—
"'™ (и + 1)™+1
4. Если т и п натуральные числа, то имеет место следую-
щий интеграл
Ji
(\—x)nxmdx =———.
° (и + ти + 1)!
я
5. Интеграл вида Im = j2 cos™ х sin mxdx находится по реку-
, т 4 1 г 1
рентной формуле Im = — —H Im_x и равен
2l m I
T 1 (2 22 23 2™
7 —------г----1---1---h.„-|--
2™ 12 3 m
Г л
6. Интеграл вида Im = j^2 cos™ х cos mxdx равен Im = .
7. Приведем еще некоторые известные соотношения:
а) £2 cos™ х cos(m + 2)xdx = 0;
— 1
б) 12 cos™ х sin(m + 2) xdx --;
Jo т + 1
. тл
л sin-
в) j2 sin™ tcos(»i + 2)xdx =------
тл
X COS----
r) £2 sin™ _rsin(m + 2)xdx =-y-
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
593
3.1, Вычислить интегралы: a) f xsinxtZx; б) [ (х + 2)е5\&.
J-я Jo
Решение, а) Полагаем и=х; smxdx = dv, тогда du=dx-,
v = - cosx. Пользуемся формулой (1)
[ хsinxdx = —xcosх|^ +j cosxt£c =
= -(л COS Л + It COS ft) + sin x|’ = 2л.
б) Полагаем и = x + 2;
По формуле (1) имеем
e5ldx = dv, тогда du = Jx;
1 .
v =—e
5
= i(3e5-2)-—еЧ’ =— (14e5 — 9).
5 25 lo 25
Л
3.2. Вычислить интегралы: a)|2cosб * * 9xJx;
Jo
JT л!
6) jj sin5 x cos4 xJx; в) £ x4 in3 xdx', r) j2 sin5 x cos 7 xdx.
Решение, а) Воспользуемся формулой пункта 1. При т = 9,
т. е. нечетном, будем иметь
г- 8!!
2 cos9x<Zx = —
J° go
2-4-6-8-
3-5-7-9-
= 0,406.
б )По формуле пункта (2), где т = 5; п = 4, получим
г- < л 4!!3!1 2-4-3
12 sin5 х cos4 xdx =--=---------~ 0,0254.
Jo 9п 3.5.7-9
в) По формуле пункта 3, где п = 4, т = 3, имеем
[ ’ х4 In3 xdx = (-1)3 —= -0,0096.
Jo V (4 +1)3 5
594
Гпава 11
г) По формуле в) пункта 7 имеем
П • s „ 1 • 5я 1
2 sin х cos" xdx =—sin — =—.
Jo 6 2 6
11.4. Теоремы об оценке определенного
интеграла
1°. Если функция f(x) > 0 в промежутке [а,Ь], то
ь
^f(x)dx>0.
a
2°. Если функции f(x) и <р(х) интегрируемы в промежутке
ь ь
[а,Ь], причем а < b и /(х) < <р(х), то J/(x)dx < j<p(x)dx.
а а
3°. Если функция f(x) интегрируема в промежутке [а,6],
причем а < b, то справедливо неравенство
ь ь
\f(x)dx < J|/(x)|dv.
а а
4°. Теорема об оценке определенного интеграла. Если фун-
кция непрерывна и интегрируема в промежутке [а,Ь\, причем
а < b, и если во всем этом промежутке выполняется неравен-
ство т < f(x)< М, то
ь
m(b - а) < j f (x)dx < M(b-a),
a
гдетиМ—наименьшее и наибольшее значения f(x) в проме-
жутке [а, 6].
5°. Обобщенная теорема об оценке определенного интегра-
ла. Если функция /(х) непрерывна в промежутке [а,6], а
<р (х) > 0 интегрируема на [а,Ь], то
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
595
ь ь ь
m^(p(x')dx < j/(x)<p(x)<Zx < М J<p(x)<Zx.
а а а
6°. Теорема о среднем значении. Если /(х) непрерывна в
промежутке [а,Ь], то существует такая точка с е (а, Ь), что спра-
ведливо равенство
ь
\f(x)dx = (b-a)f(c).
1 ь
Число f (с) =-----Г f (x)dx — называется средним значе-
Ь-а{
нием функции /(х) в промежутке [а,й].
7°. Обобщенная теорема о среднем. Если /(т) и <р(х) ин-
тегрируемы в промежутке [а,Л], <р(х) во всем промежутке не
меняют знака <р(х) > 0 (<р(х) < 0) и выполняется неравенство
т < f(x) < М , то существует такая точка с е (а, Ь), что справед-
ливо равенство
ь ъ
j f{x)<p(x)dx = f(c) j <p(x)dx.
8°. Неравенство Коши-Бу няковского. Если квадраты функ-
ций /2(х) и (р2 (х) интегрируемы в промежутке [а,Ь], то
J/(*)<?(*)<& <
Y z> Y
J/2(x)<Zxj<jD2(x)Jx .
4.1. Не вычисляя интегралов, определить их знак: a) J x3dx;
б) j i xexdx; в) jj х2 In xdx.
2
Решение, а) Разобьем отрезок интегрирования на отрезки
[-2,-1] и [-1,1]. Поскольку подынтегральная функция нечетная,
596
Гпава 11
то на отрезке [-1,1] интеграл равен нулю. На отрезке [-2,-1]
подынтегральная функция отрицательна, следовательно, интег-
рал имеет знак минус.
б) Поскольку подынтегральная функция на отрезке [-1,1]
положительна, то интеграл имеет знак плюс.
в) Так как логарифм при хе ^,1 отрицательный, то
подынтегральная функция то же отрицательна, следовательно,
интеграл имеет знак минус.
4.2. Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из интегра-
лов больше: а) £л/1 +х3dx или j°xdx. б) £x2cos2x<Zx или
[ xsin2x<Zx.
Jo
Решение, а) Поскольку на отрзке [0,1] выполняется нера-
венство л/1 -ь х3 > х, то J а/1 + х3 dx > J xdx.
б) Поскольку на отрезке [0,1] выполняется неравенство
x2cos2x<xsin2x, то ( x2cos2x<Zx< f xsin2x<Zx.
’ Jo Jo
4.3. Оценить интеграл .. .==.
Jo a/3 + 2cos x
Решение. При 0<х<2я имеем l<3 + 2cosx<5, т. е.
т — , М = 1. Поскольку Ь - a = 2 л:, то по теореме 4° имеем
2л: г2* dx
л/5 J” л/3 + 2со8х
4.4. Оценить интеграл £^/х(1 + х3)й&, пользуясь: а) обоб-
щенной теоремой об оценке интеграла; б) неравенством Коши-
Буняковского.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
597
Решение, а) Пусть <р (х) = л/х , а /(х) = >/1 + х3 . Найдем наи-
большее и наименьшее значение /(х) на [0,1]: т = 1, М =41-
'о
о
По теореме 5° имеем J(| Vxa
2 < Г1 / л + И , . 2>/2
откуда — < jo -^х(1 + х )ах < .
б) Поскольку f2 (х) -1 + х3 и ср2 (х) = х интегрируемы на
[0,1], то неравенство Коши-Буняковского имеет вид
.2
1 \
/10
4
4
2
о
о
4.5. Найти средние значения функций на заданных проме-
жутках: а) /(х)=х2, 0<х<1; б) cos3x, 0<х<у.
Решение, а) Находим, что b — а = 1. Среднее значение функ-
ции (6°) на отрезке [0,1] находим по формуле
1 rb fl - 1
/Xе) — 7--[ /(х)йЬс=[ X dx = ~.
b-aJa Jo 3
б) Среднее значение функции равно
f(c)=—j2 cos3 хА=—j2(l-sin2 x)d sinx=— sinx—sin3x
Л Л Л1 3
2 _ 4
11.5. Определенный интеграл как функция
верхнего предела
Если функция f (х) интегрируема в промежутке [а,Ь\, то она
интегрируема и в промежутке [а,х], где хе [а,Ь]. Заменяя верх-
ний предел b переменной х, получим выражение
598
Гпава 11
которое является функцией от х. Чтобы не смешивать перемен-
ную интегрирования с ее верхним пределом х, здесь она обозна-
чена через t.
1°. Если функция непрерывна в точке t = х, где х е [а, й], то
в этой точке функция Ф(х) имеет производную
Ф'(х)= \f(f)dt = /(х).
2°. Если функции <р(х) и 1/(х) дифференцируемы в любой
точке х, принадлежащей промежутку [а,Ь], и f(t) непрерывна
при <p(a)< t , то справедливо равенство
j f(t)dt = f(w(x))w'(x)- /(<р(х))<р'(х).
5.1. Найти производные следующих функций:
а) Ф(х) = [ ^-dt; б) Ф(х) = [ sin 4tdt.
Jo [ Jyjx
Решение, а) Используя свойство (1°), находим
е
Ф'(х)=
г
б) Используя свойство (2°) и учитывая, что (р(х) = 4х,
, 1
1/л(х) = х , (р (х)= г, 1/л (х) = 2х, находим
1 .
—sinx —sin
2х
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
599
5.2. Найти точки экстремума функции
ф(х) = £^^, (х>0).
Решение. Находим производную от функции Ф(х) и при-
. Z/ . sin х . л ,
равниваем ее к нулю Ф(х) =-----; smx = 0, отсюда х = лк,
(£=0,1,2,...).
5.3. Найти производные от интегралов:
Решение, а) Используя свойство (1°), имеем
J гх dt _ 1
dx'" InZ Inx
б) Если изменить пределы интегрирования в определенном
интеграле, то справедливы преобразования
— Г y/l-Pdt = yll-t3dt = -Vl-f3-
da Ja da Jb
11.6. Несобственные интегралы
Интегралы с бесконечными пределами или от разрывных
функций называются несобственными.
f ь
1°. Если существует конечный предел lim J f (x)dx, то этот
предел называется несобственным интегралом первого рода от
функции /(х) на интервале [а, оо [ и обозначается
j f(x)dx — lim j f(x)dx. (1)
600
Гпава 11
Несобственный интеграл существует или сходится, если
существует конечный предел. Если несобственный интеграл ко-
нечного предела не имеет, то интеграл расходится.
Для других бесконечных интервалов несобственные интег-
ралы выражаются аналогичным образом
h b
J f (x)dx - lim J f(x)dx\ (2)
—« a
eo c oo
j f(x)dx = J f(x)dx + J f(x)dx. (3^
С геометрической точки зрения определенный интеграл
J'b
f{x)dx выражает площадь области, ограниченной кривой
a
f(x) > 0, прямыми х = а, х = Ь и осью абсцисс. Несобственный
интеграл в этом смысле выражет площадь неограниченной об-
ласти, ограниченной кривой у = f(x), осью абсцисс и прямой
х — а.
2°. Если функция f (х) имеет бесконечный разрыв в точке
х = с, принадлежащей отрезку [а,Ь] и непрерывна во всех дру-
гих точках этого отрезка, то интеграл от функции f (х) называ-
ется несобственным интегралом второго рода и вычисляется
по формуле
h C-е b
j f (x)dx = lim J f (x)dx + lim J f (x)dx, (4)
a a c+e
где £ — произвольная бесконечно малая величина.
Геометрически несобственный интеграл (4) есть сумма пло-
щадей двух фигур, ограниченных графиком функции у = /(х),
прямыми х = а, х = Ь, вертикальной асимптотой х = с и осью
абсцисс.
При с = а или с —Ь несобственные интегралы равны
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
601
h b h h—£
j/(x)dx = lim J f(x)dx; j/(x)dx = lim j f(x)dx',
a a+E a a
3°. Признаки сходимости и расходимости несобственных
интегралов.
1. Пусть при а < х < +«> имеет место равенство f (х) < <р(х),
тогда из сходимости интеграла [ (p(x)dx следует сходимость
Ja
интеграла | f(x)dx, а из расходимости f f(x)dx^ следует рас-
J0 Ja
ходимость J <p(x)dx
2. Если при а<х<+°° существует конечный предел
lim—= (0 < к < +°°), то интегралы [ f(x)dx и f (p(x)dx
<р(х) Ja Ja
сходятся или расходятся одновременно.
3. Если при х—функция /(х)>0 имеет вид
f(х) = (а>0),топри а>1 и <р(х) < с <+°° интеграл
[ f(x)dx сходится, а при а < 1 и <р(х) > с > 0 расходится.
Ja
4. Если сходится интеграл j \f (х)| dx, то тем более и сходит-
ся и интеграл I f(x)dx. Последний интеграл называется абсо-
Ja
лютно сходящимся, а функция f(x) — абсолютно
интегрируемой в промежутке [а,+ оо[.
5. Признак Абеля. Если функции /(х) и <р(х) определены
на отрезке [а, оо), причем функция f (х) интегрируема на этом
отрезке, т. е. интеграл | f(x)dx сходится, а функция <р(х) —
Ja
602
Гпава 11
монотонна и ограничена | (р(х) |< L (L - const, х&[а,°0)), то
интеграл J /'(х)ф(х)<£г сходится.
6. Признак Дирихле. Если функция f (х) интегрируема на
любом конечном отрезке [а,6] (Ь>а), причем интеграл
j f(x)dx < L
J а
(L — const, a<b<°°) оказывается ограничен-
ным, а функция (p{x) монотонно стремится к нулю при х
то интеграл f(x)tp(x)dx сходится.
Ja
1. Признаки сходимости и расходимости несобственных
интегралов от неограниченных функций аналогичны.
Если для достаточно близких к с значений х функция f (х)
имеет вид /(х) = ----- (а >0), то при а<1 и tp(x)<L<+°°
(с-х)“
[•б
(L — const) интеграл f(x)dx сходится (а < с < b ), при а > 1 и
Ja
(р(х) > L > 0 интеграл расходится.
6.1. Вычислить несобственный интеграл или установить его
расходимость: а) Г Х б) 7------—---- в) [° Хе 1 2dx;
J1 1 + х6 ^х2+2х + 2
Решение, а) Преобразуем подынтегральное выражение и
воспользуемся формулой (1)
г- x2dx
1 + хб
1 fP dx 1 3i0
= - lim --------7-7 = - пт arctg x =
3/i^Ji l + (x ) 3^“ 11
1 7Г
= 7 lim(arctg Д3 - arctg 1) = —
3 0->“ 12
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
603
б) Разбиваем точкой х = 0 промежуток интегрирования на
два интервала, а интеграл на два несобственных интеграла
dx _ t7(x + l) _ го d(x +1) г- d(x +1) _
J-“x2+2x + 2 - J-(x + 1)2+1 -J-“(x + 1)2+1+J<> (x + l)2 + l ~
.. ro d(x + l) .. tV d(x+V)
lim —-—-^-+ lim —-——
^-J/i(x + l)2 + l (* + !) +1
= Jim arctg(x +1)|°
+ Jim arctg(x + l)|o = Jim (arctg l-arctg(/3 + l)) +
+ lim (arctg(/3 +1) - arctg 1) = — -i— = n.
2 2
в) Представим несобственный интеграл с помощью предель-
ного перехода в виде определенного и воспользуемся формулой
интегрирования по частям, полагая х =и, е 2dx = dv; dx = du,
v = —2е 2
— _ рО
хе 2dx = lim
Интеграл расходится.
г) Перейдем к новой переменной х = /2; dx = 1tdt. При
х = 1, t = 1, при х = оо, t = оо и интеграл примет вид
г“ dx г“ ltdt Г“
J’ >/х(1+х) — 1 /(1+?2)- 1 1+/2’
С помощью предельного перехода приводим интеграл к оп-
ределенному интегралу и вычисляем значение предела
604
Гпава 11
2 Г = 2 lim [~——х = 2 lim arctgt\^ =
Ji 1 + г2 i + r2 p-,~ b и
= 2 lim(arctg Д -arctg 1) = 2“
p->”° 12 4 1 2
д) Сделаем следующие преобразования
f~ dx rfi _3 1
-----;— — hm In xd In x — — hm
J<) x In3 x J<) 2^“
1,. Г 1 1 ]
— lim —— —
2^“ 1пД In2 9 1
1 1
21n29 81n23
6.2. Вычислить интегралы:
. r2 dx ti dx . pi dx . ti dx
a) , ; 6) ----; в) —----r) —-------------.
'-i зДх _ i)2 xlnx ’° x3 -3x2 J°x-6x + 5
Решение, а) Поскольку в точке x — 1, принадлжащей про-
межтку интегрирования, функция терпит разрыв, то интеграл
относится к несобственным интегралам второго рода и вычис-
ляется по формуле (4)
, 2 2
[ , Х = lim [ (х-1) 2dx + lim [ (х — l)2dx =
•>-1з/(х_ I)2 е-»0 J-l е-»0 Jl-c
= lim 3 л/х —11 + lim 3 д/х —11 = 3 limfx/l—£ —1 — V—2)+
£—>0 1-1 £~>0 11 + £ £—>0
+3 lim( V1 -</1 + Е-1) = 3(^2 +1).
£—>0
б) Подынтегральная функция терпит разрыв в точке х = 1,
т. е. на конце промежутка [1,2]. Следовательно, интеграл отно-
сится к несобственным интегралам второго рода и вычисляется
[ =lim[ ^^=limlnlnx|2 =lnln2—limlnln(l+£)=lnln2+°o=oo.
h xlnx г-ioJiw Inx £^° +C £^°
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
605
в) При х = 0 подынтегральная функция обращается в бес-
конечность, во всех остальных точках промежутка [0,1] она не-
прерывна. Следовательно, имеем
dx ri dx | 1 1 1 l,
-:--7 = lim —------= lim----------- +----- dr =
:3—3x2 ^oj£x2(x-3) ^o| 9x Зх2 9(x-3) I
( 1 , 111,..) 1 1, „
= hm—Inx-t--h—Inx — 3 = — + — ln2-
£->°l 9 3x 9 1 3 9
x Ze
,. ( 1 1 1, 1 , I ol | 1 I, 1 , r, 1 z, ,x 1, Z.A
-lim------1пЕ+-1пЕ-3 =- 1h—ln2+-lim(lns+l)—ln3
с-х^Зе 9 9 J 3^ 3 3^-x> 3 J
t. e. интеграл расходится.
г) Подынтегральная функция непрерывна в промежутке [0,2]
за исключением точки х — 1, в которой она терпит разрыв. Сле-
довательно,
Г2 dx ,. fi-£ dx dx
-------= lim -------------+ hm -------------.
Iox2-6x + 5 e^oJo (x-3)"-4 (x-3)'-4
Первый интеграл равен
lim f -------------= — lim In
£->°Jo (x—3) —4 4£->0
x-5
x — I
lr (. £ + 4
= — hm In------ln5
4 ( £
и представляет неограниченную площадь криволинейной трапеции
(рис. 11.1), ограниченную осьюу, кривой у = —->0 надан-
х -6х+5
ном промежутке, осью абсцисс и вертикальной асимптотой х = 1.
Второй интеграл равен
dx
lim [ ,
£^0 Jl+E (x-3)2 -4
= — lim In
4 £-»o
x-5
x — 1
1 £ — 4
= —lim ln3-ln---------
4 e^o p
l+E \
и представляет неограниченную площадь криволинейной трапе-
606
Гпава 11
ции (рис. 11.1), ограниченную осью х, прямой х = 2, вертикаль-
ной асимптотой х = 1 и функцией у = —;— -< 0 на данном
X -6х + 5
промежутке.
Рис. 11.1
Данный интеграл представляет два расходящихся интегра-
ла,т. е. расходится.
6.3. Исследовать на сходимость интегралы: а) f -—-;
l + 3x1 2+x6
Г "7. \ f“Sinx г- 2х2 + J(x-l)3 * *
б) е 2 dx; в) —— dx (а > 0); г) ---------VL_ dx;
Jo Ja * J1 3x3+V7 + 2
д) £eSinxsm2xA (а>0).
1
Решение.а) Подынтегральная функция J W - -j——5----7
A. I jX I X
в промежутке интегрирования меньше, чем<р(х) =—. Так как
J( — сходится,то данный интеграл тем более сходится.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
607
б) Разобьем промежуток интегрирования
£ е 2 dx = £ е 2 dx + е 2 dx.
Первый интеграл в правой части не является несобствен-
ным, а второй сходится, так как е 2 < е 2 при х > 1, а
[ е 2dx = -2\ime 2
J1
Р (
= —2 lim е
Р _i \ J.
2 -е 2 = 2е 2.
Следовательно, данный интеграл сходится.
в) Пользуясь признаком Дирихле, полагаем /(x) = sinx,
/ ч 1 • I I
(р(х) = —. Поскольку sin xdx = cos а - cos b < 2 (a < b < «>) и
x Ja ' '
1
функция —, монотонно убывая, стремится к нулю при х —> °°,
г" sin х
то интеграл —— dx при а > 0 сходится.
Ja X
г) Сравним подынтегральную функцию
с функцией (р(х) = —. Найдем предел их
отношения
2x3+xJ(x-l)3
hm---------------
х->” Зх3 + У х4 +2
2
3'
Поскольку [ — расходится, то на основании второго при-
•п х
знака сходимости несобственных интегралов расходится и дан-
ный интеграл.
608
Гпава 11
д) Пользуясь признаком Дирихле, полагаем f (х) = е5,"Л sin 2х,
<р (х) = —. Функция-----> 0 при х —> оо, монотонно убывая. Де-
х х“
лая замену z = sinx, ]х = 0, r = 0; x = b, t = sin£>|, получим
[ eslnA sin2xdr
Jo
fsint
= 2 te dt
Jo
Интегрируя по частям, будем иметь
fsinZ> . I I , isin b
2[ ^/| = 2|e'(/-l)|fl < 2e,
t. e. интеграл от функции /(x) ограничен.
Поскольку условия признака Дирихле выполнены, то дан-
ный интеграл сходится.
, . , г2 dx
6.4. Исследовать сходимость интегралов: a)
г' dx . f1 dx х fr, . . , Inx ,
6) -----; в) , —; г) 2 In sin xdx; Д) —-----dx.
Jolnx }ol]x(ex-e~x) Jo J«x2+1
Решение, а) В точке x — 1 подынтегральная функция имеет
разрыв, т. е. обращается в бесконечность. Разложим подкорен-
ное выражение на множители
1 ______________1___________ 1___________1
л/х4 — 1 у1(х-\)(х + \)(х2 +1) Л/(х + 1)(х2+1)’
1 1 1
Отсюда, при х—>1 будем иметь , -----
Vx4-1 2Vx-l
Так как интеграл
f —. - lim [ (х-1) 2dx = 21im-\/x-l| =2
Ji 1 /i-^iJ/з Ip
(х-1)2
ОПРЕПЕПЕННЫЙ ИНТЕГРАП
609
сходится, то данный интеграл также сходится.
б) В точке х = 1 подынтегральная функция имеет разрыв.
Найдем предел отношения подынтегральной функции и функ-
/ х 1
ции <р(х) =---
х-1
1- lnx 1
hm----= 1.
х-1
Поскольку порядок подынтегральной функции по отноше-
нию к функции----равен единице (а = 1), то данный интеграл
расходится.
в) В точке х = 0 подынтегральная функция имеет разрыв.
Поскольку
lim-—— = limg +g = 2,
>0 х х-,0 1
1
то порядок подынтегральной функции относительно — равен
2
а = — <1. Следовательно, данный интеграл сходится.
г) В точке х = 0 подынтегральная функция имеет разрыв.
Воспользуемся интегрированием по частям. Полагая u = In sinx,
dv = dx\ du = C°S X dx, v = x, получим
sinx
* n p— me Y /•— Y/7y
[2 Insinxdr = xlnsinx|2 — [2x---dx = — [2----.
J° Ю Jo sjnx Jo tgx
Поскольку lim—^- = 1 и lim ——=0 , то последний ин-
M+o tg X x^-otgX
теграл является собственным. Следовательно, данный интеграл
сходится.
610
Гпава 11
д) Представим исходный интеграл в виде суммы двух ин-
тегралов
Сделаем во втором интеграле замену переменной х = ~,
dx — —р- и воспользуемся свойствами определенного интегра-
ла, тогда получим
г °° In х _ ро у / _ f0 In tdt _ г|1пгЛ_ f'lnxdr
'» x2 +1 ~ fl? 7^' Z2+l ” W + l’ J»x2+1'
- +1
V )
Отсюда следует сходимость и данного интеграла.
Глава 12
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА К ЗАДАЧАМ ГЕОМЕТРИИ,
МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ
12.1. Общая схема применения
определенного интеграла к вычислению
различных величин
Определенный интеграл широко используется для вычисле-
ния различных геометрических и физических величин. Рассмот-
рим общую схему применения определенного интеграла к
вычислению некоторой величины и в заданных пределах или на
отрезке [а,6].
1°. а) Заданный отрезок разделим на п промежутков точка-
ми а = х0 < х, < х2 <... < х„_, < хп — b и найдем длину каждого из
этих частичных промежутков
х, —х0 = АХ(, х2 —х, = Дх,, ... , хп —хп_! = Дхп.
б) Выберем в каждом из этих промежутков произвольную
точку так, что х4_, <£к хк, определим соответствующее зна-
чение функции в этой точке f(Zk) и представим приближенное
612
Гпава 12
значение каждого элемента Ди* в виде произведения
= Ж)М-
в) Составим сумму таких произведений по всем промежут-
кам заданного отрезка
/(^)Дх,+/(§2)Дх2 + ... + Ж)Ч=ХЖ)Ч.
t=i
Выражаемая этой суммой величина будет тем ближе к ис-
тинному значению и, чем меньше каждый из промежутков Дх*.
г) Истинная величина и определяется пределом, к которому
стремится указанная сумма, при условии, что каждый из проме-
жутков Дх* 0, т. с.
В предложенной схеме определенный интеграл рассматри-
вается как предел интегральной суммы.
2° . Некоторые величины целесообразнее вычислять посред-
ством определенного интеграла, пользуясь другой схемой.
а) Пусть некоторая часть искомой величины и есть неизве-
стная функция Ди от переменной х, которая изменяется в извес-
тном из условия задачи интервале хе [а,6].
б) Представим дифференциал функции du в виде произве-
дения du = f (x)dx, где f (х) — заданная из условия задачи фун-
кция от х.
в) Поскольку дифференциал функции du при dx —> 0 и при-
ращение Ди есть бесконечно малые величины одного порядка
малости, то искомая величина и находится интегрированием du
в пределах от х = а до х = b, т. е.
h
u=\f{x)dx
ПРИПОЖЕНИЕ ОПРЕДЕПЕННОГО ИНТЕГРАПА
613
1.1. Найти площадь криволинейного треугольника, ограни-
ченного параболой у — х2, осью Ох и прямой х - Г. а) рассмат-
ривая определенный интеграл как предел интегральной суммы;
б) посредством дифференциала искомой площади.
Решение, а) Разобьем отрезок интегрирования [0,1] на п рав-
, .12 п-1
ных частей точками деления с абсциссами 0, — , — , ..., -,1 и
и п и
выберем из полученных и частичных отрезков правые концы, т.
12 n—1
е. х, = —, х2 =—, ... ,х„_, =-, хп =1. Длина каждого из этих
п
д 1
частичных промежутков равна /Ухк = —.
2 "
Так как у = х , то
п
п
(1 V ( 2 У ( n Y
/(*,)= - >/(A)= - f(Xn)= -
Ini In) \n J
и приближенное значение каждого элемента выразится в
виде произведения
InIn п
Составим сумму таких произведений
" " 1г2 1
\=Х^=Х^ = ~(12 +22 +32 + ... + п2).
*=1 *=1 п п
Пользуясь формулой суммы квадратов целых чисел
,2 _ и(п + 1)(2п + 1)
К-------------------
находим
п
6
1 1 1
—I----1----7.
3 2и 6п2
614
Гпава 12
Искомая площадь определяется пределом при Дх4 —> 0, т.
е. при п —> оо
„..(11 М 1
S = liml —ч-+ —- = -.
"->“^3 2и би2 J 3
б) Для криволинейного треугольника, прилежащего к оси
Ох (рис. 12.1) дифференциал переменной площади S(x) = SOMx
есть площадь прямоугольника со сторонами у и dx, т. е. dS - ydx.
Подставляя сюда значение функции и интегрируя в задан-
ных пределах a = О, Ь = \, получим
12.2. Площадь плоской фигуры
Площадь всякой плоской фигуры в декартовой системе ко-
ординат может быть составлена из площадей криволинейных
трапеций, прилежащих к оси Ох или Оу.
1°. Площадь криволинейной трапеции aABb (рис. 12.2), при-
лежащей к оси Ох находится по формуле
rb
5 = J f{x)dx=\ ydx- (О
Ja Ja
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
615
2°. Площадь криволинейной трапеции cCDd(рис. 12.3), при-
лежащей к оси Оу находится по формуле
f «7 pd
s = Jc (p(y)dy = | xdy.
Puc. 12.2
Puc. 12.3
3°. Если фигура образована пересечением кривых так, что
любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает ее границы не
более чем в двух точках (рис. 12.4), то ее площадь равна разно-
сти площадей соответствующих криволинейных трапеций и оп-
ределяется по формуле
(3)
Рис. 12.5
Рис. 12.4
616
Гпава 12
Если фигура образована пересечением кривых так, что лю-
бая прямая, параллельная оси Ох, пересекает ее границы не бо-
лее, чем в двух точках (рис. 12.5), то ее площадь определяется по
формуле
= £ (ф2 (У) - (УУ^У = £ (х2 ~ xi )аУ- (4)
4°. Площадь всякой плоской фигуры в полярной системе
координат может быть составлена из площадей криволинейных
секторов.
Площадь криволинейного сектора ОЛУ? (рис. 12.6) находит-
ся по формуле
Рис. 12.6
5°. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кри-
вой, заданной в параметрической форме х = у где
Ze [а; Д] и <р(а) = а; <р(Д) = Ь, определяется по формуле
s=£ydx=£
2.1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = х + 2, у2 = 9х; б) Ху = 1, y = Jx,x = 4, у = 0; в) х = ±у2,
осью ординат и прямыми у = 1, у = -3; г) у = х2, у2=-х;
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
617
д) =х3, х=±1; е) у — хе 2 и ее асимптотой; ж) у1 = х(х—а)2.
Решение, а) Построим графики (рис. 12.7) и найдем точки
пересечения этих линий. Для этого решим систему
у = х + 2;
у2 =9х.
Откуда (х + 2)2 = 9х или х2 - 5х + 4 = 0. Точки пересечения
- Л+ & х =4’ х =1
1,2 2 V 4 2 2
Применяя формулу (3), будем иметь
[л/9х—(x+2)]alr=3j -Jxdx—J (х+2)аЕг=|3—х2 —
С з г у . ,
= 2х2———2х = 2-8-8-8-2 +—+2 = —.
2 2 2
\ 71
б) Построим графики (рис. 12.8) и найдем координаты точ-
ки А пересечения гиперболы и параболы, решая их уравнения
совместно; Л(1,1). Поскольку криволинейная трапеция сверху ог-
раничена различными кривыми, то разбивая промежуток интег-
рирования на два промежутка и пользуясь формулой (1), получим
618
Гпава 12
з j
S = [ -Jxdx+ f — = — x^ +ln|x||4 =—+ln4-lnl = — + 21n2.
Jo Ji x з 1 ‘h 3 3
0
Puc. 12.8
в) Площадь криволинейной трапеции ABCD (рис. 12.9) на-
ходим по формуле (2)
_ 1 г' , , 1 зи 1,, 14
S = — ydy=—y\ =-(1 + 27) = —.
2J-3 6 I’3 6 3
г) Построим графики (рис. 12.10) и из решения системы:
у = х\ у1 = —х найдем точки пересечения этих линий (0,0),
(-1,1). Применяя формулу (3), получим
s=£(^-^)^=[-|(-x)L^° =|_1Л.
ПРИПОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
619
д) Сделаем чертеж (рис. 12.11). Пределы интегрирования
даны по условию. Искомая площадь будет
е) Функция нечетная, следовательно, ее график симметри-
чен относительно начала координат. Найдем ее асимптоту
х2
У --- X
у = кх + Ь: £ = lim —= lime 2 =0, b = lim_y = lim—г = 0,
Л->оо д- X-)-» Х->«> Х-»°° Х
е2
таким образом, асимптотой будет прямая у = 0, т. е. ось Ох
(рис. 12.12).
620
Глава 12
У
Рис. 12.12
Вследствие симметрии, достаточно найти половину площади
— 5 = [ хе 1 dx = — lim е 2 d
2 Jo p->~Jo
= -lime 2 = -lim(e 2 -1) = 1, 5 = 2.
P~p—^oo
Q
ж) Функция четная относительно переменной у, следова-
тельно, фигура, ограниченная заданной кривой, симметрична от-
носительно оси Ох (рис. 12.13).
Найдем точки пересечения с осью Ох. Полагая у = 0, будем
иметь х = 0, х = a, следовательно, х изменяется от 0 до а.
Половину площади найдем по формуле (1)
— 5= Г \fx(x—a)dx=[
2 Jo Jo
-2
4 г
----ay а.
15
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
621
Знак минус означает, что фигура расположена ниже оси Ох.
Это, кстати, следует даже из того, что подынтегральная функ-
ция на промежутке интегрирования отрицательна \[х (х — а) < О
при х 6 [0, а\. Следовательно, найденный результат надо взять с
противоположным знаком. Таким образом, вся площадь будет
8 г~
равна S = —а>]а.
2.2. Найти площадь, ограниченную: а) эллипсом х = a cos Z,
у = Ъ sin Z; б) одной аркой циклоиды х = a(t - sin z), у - а(1 - cos t)
и осью х; в) астроидой x = acos3Z, y = asin3Z; г) кривой
x = 2(Z2—1), y = Z(4 —Z2).
Решение, а) Оси координат делят эллипс на четыре одина-
ковые части (рис. 3.32). Найдем площадь, расположенную в пер-
вом квадранте
1 Га
45 = Jo^
Поскольку эллипс задан уравнениями в параметрическом
я
виде, то преобразуем интеграл к переменной Z. При х — О, Z = —,
а при х = a, Z = 0. Таким образом
ro , Л ( 1 . )
S = -4j„ ab sin2 tdt = 2aft j 2 (1 - cos 2t)dt = lab Z—sin It
2 ° ( 2 I
,7
-яаЪ.
о
б) При х = О, Z = 0; при у = 0, Z = 2л (рис. 3.67). По фор-
муле (6) имеем
5 = £ a2(l-cosZ)2c?Z = a2£ (l-2cosz + cos2Z)c?Z =
2| 3 „ . 1 . „
= a —z-2sinZ4—sin2z
2 4
2л
= 3ла2.
О
622
Гпава 12
в) Оси координат делят астроиду на четыре одинаковые ча-
сти (рис. 7.63). Найдем площадь, расположенную в первом квад-
7Г
ранте. При х - 0, t = —; при у = 0, t = 0. Отсюда по формуле (6)
вся площадь будет равна
о 3 -
5 - -4|л За2 sin31 cos21 sin tdt =—a J2 (1 - cos It - cos2 2t+cos3 2t)dt =
2 2 0
£
= -|a2 ~(l-cos4/)cfr+-^JJ(l-sin22/)c?sin2z -
3 2(л л ) 3 2
= — a------=— na .
2 (2 4 J 8
г) Найдем точки пересечения кривой с осями координат.
Если х - 0, то t - ±1; если у = 0, то t = 0, t - ±2. Отсюда полу-
чим следующие точки: при t - -1 (0,-3), при t = 1 (0,3); при
/ = 0 (-2,0); при t = ±2 (6,0).
Если 16 [-2,0], то у < 0; если t е [0,2], то у > 0. Точка (6,0)
является точкой самосопряжения кривой. Следоватльно, кривая
имеет форму петли (рис. 12.14).
Рис. 12.14
Вследствие симметрии фигуры относительно оси х, доста-
точно найти половину площади; тогда вся площадь по формуле
(6) будет равна
ПРИПОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
623
/3
3 5
S = 2£2 г (4 -12 )4tdt = 8£ (4r2 - /4 * )dt = 8 4 -—
512
2.3. Найти площадь, ограниченную линиями: а) одним вит-
ком спирали Архимеда р=аср; б) кардиоидой р = a(l + cos<p);
в) лемнискатой (х2+у2)2 =2а2(х2-у2); г) окружностями
р - acoscp и р = VJasintp; д) х1 * 3 + у3 -Заху = 0 (декартов лист).
Решние. а) Один виток спирали Архимеда (рис. 3.58) опи-
сывается концом полярного радиуса при изменении полярного
угла (р от 0 до 2л:. По формуле (5) находим
с, 1 Г2” 2 2j 3|2л 4 з 2
5 = — acpd<p =— ср \ = —л а .
2 Jo 6 1о 3
б) Поскольку кардиоида симметрична относительно поляр-
ной оси (рис. 3.61), то достаточно найти половину ее площади,
когда полярный угол изменяется от 0 до л. Отсюда по фор-
муле (5) имеем
S = 2-—£ a2(l + cos<p)2c?<p = а2 £ (l + 2cos<p + — (l + cos2<p))c?<p =
1 з 1 Аз
= а — <p + 2sin<p +—sin 2<р I =— ла.
Ь 4 2
в) Лемниската симметрична относительно координатных
осей и делится ими на четыре равные части (рис. 3.62). Если пе-
рейти к полярным координатам х = р cos <р, у = р sin ср, то урав-
нение лемнискаты в полярных координатах примет вид
р2 = la2 cos2<p.
Четвертой части площади соответствует изменение поляр-
7Г
ного угла от 0 до —. Отсюда вся площадь по формуле (5) будет
4
равна
624
Гпава 12
S = 4~£42a2cos2<pc?<p = 2a2sin 2<р|^ = 2а .
г) Решая совместно уравнения окружностей, находим точ-
ку (рис. 12.15) их пересечения Al a —. Искомая площадь
12 6
равна сумме площадей двух сегментов ОвА и ОСА.
Рис. 12.15
Дуга ОСА описывается концом полярного радиуса боль-
„ тс
шои окружности при изменении полярного угла (р от 0 до —,
6
следовательно
If-,, 3
Soca = -J„63« Sin <pd<p = -a
2 Г6 (l-cos2<p)c?<p =
JO
3 2( 1 . _
= — a I <Р~~sm2<p
3 2
= — a
4
6 4
/о
Дуга ОВА описывается концом полярного радиуса мень-
я я
шеи окружности при изменении <р от — до , следовательно,
6 2
1 а1 tKA
cos" (pd(p = — I (1 + cos 2<p)d<p =
4 /6
е —
аовл —
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
625
л
а^г
4
a2f 1 . -
= ~1 <р +—Sln 2<р
Л
6
Таким образом, искомая площадь
s=s0CA+s0BA=—(-
(s^A UdA I
3 4
д) Переходя к полярным координатам x = pcos<p,
y = psin<p в уравнении декартова листа, получим
3asin<pcos<0 _
р = —-— -----г2—. 1 ак как петля кривой соответствует измене-
sin (р + COS (р
л
нию полярного углаф от 0 до у (рис. 12.16), то площадь будет
равна
1 ry 9а2 sin (р cos2 ср ,
- 2--------:----- ,...--dtp.
2Jo (sin3<p + cos3<p)
Деля числитель и знаменатель на cos6 (р, получим
„ _ 9 2 2rtg2 <p<7tg<p 3 2 2fJ(l + tg>) _ _ 3 2 1 2 _ За2
О w I _ Сл I - - CL
2 J0(l + tg3<p)2 2 J(l + tg3<p)2 2 l + tg3<p0 2
Рис. 12.16
626
Гпава 12
12.3. Объем тела
1°. Объем тела по площадям его параллельных сечений.
Пусть известна площадь S(x) любого сечения тела плоскостью
перпендикулярной оси х (рис. 12.17). Если х — расстояние сече-
ния от начала координат, то при изменении х на величину dx диф-
ференциал объема тела равен объему прямого цилиндра с
высотой dx и площадью основания S(x), т. е. dV = S(x)dx.
Объем всего тела выражается интегралом
V = | S(x)dx,
Ja
где а, b — левая и правая границы тела
(1)
2°. Если тело образовано вращением вокруг оси Ох криво-
линейной трапеции аАВЪ (рис. 12.18), то любое его сечение, пер-
пендикулярное к оси Ох, будет круг, площадь которого равна
тс у2. Объем тела вращения вычисляется по формуле
Рис. 12.18
(2)
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
627
Если тело образуется вращением криволинейной трапеции
вокруг оси Оу (рис. 12.3), то объем тела находится по формуле
V - л J x2dy, (3)
где с и d— ординаты границ тела.
Если тело образовано вращением вокруг оси Оу криволи-
нейной трапеции аАВЬ (рис. 12.2), то элемент объема равен объе-
му тела, образованного вращением вокруг оси Оу
прямоугольника со сторонами у и dx и отстоящего от оси Оу на
расстоянии х. Объем тела вращения в этом случае равен
V = 2л \ xydx.
Ja
(4)
В более общих случаях объемы тел, образованных вра-
щением криволинейных трапеций, ограниченных кривыми
У, = /. (х) У 2= fl (.х) , если / (х) < /2 (х), и прямыми х = а,
х — Ь, вокруг координатных осей Ох,Оу, соответственно
равны
ь ь
K=^^(.yf-yl)dx и Vy =2л\х{у1-ух)(1х- (5)
а а
Если кривая задана параметрически, то, в приведенных фор-
мулах вычисления объема тел вращения, следует сделать соот-
ветствующую замену переменной интегрирования.
3°. Если криволинейный сектор вращается вокруг полярной
оси и ограничен кривой р = р(ур) и лучами= а; = Д , то
объем тела вращения определяется по формуле
2 3
7 = —л]р sin <pd(p.
(6)
х2 у"
3.1. Найти объем трехосного эллипсоида -г + —г-
а b
628
Гпава 12
Решение. В сечении плоскости, перпендикулярной к оси у
и отстоящей от начала координат на расстоянии I, будет эллипс
(рис. 12.19).
Рис. 12.19
Подставляя вместо у в уравнение эллипсоида I, находим
уравнение проекции эллипса на плоскость xz
-4 -
2
a
/2
Полуоси эллипса будут, соответственно, a. 1—и
V b
/2
с J1 —у, а его площадь (см. 2.2, а) в функции переменной I Рав‘
V Ъ
ь ( /2 '
V = nac\ 1—- dl =
А Ъ1
I г
на S(J) =яас
Таким образом, по формуле (1) искомый объем равен
ь
4 ,
= —7tabc.
3
-ь
3.2. Два круговых цилиндра радиуса г пересекаются под
прямым углом. Найти объем тела, ограниченного этими цилинд-
рами.
ПРИПОЖЕНИЕОПРЕЛЕПЕ ИНОГО ИНТЕГРАЛА
629
Решение. На рис. 12.20 показана восьмая часть интересую-
щего нас объема. В сечении искомого тела плоскостью, прове-
денной на расстоянии у от начала координат перпендикулярно к
оси Оу, получается квадрат ABCD. Из треугольника АВО сто-
рона квадрата равна АВ — у/r2- у2 . Площадь квадрата в функ-
ции у будет S(j>) = г2 - у2. Отсюда, по формуле (1) имеем
И = 8}(г2-у2)^ = 8ру-у
О I
3
о
3.3. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси
Ох фигуры, ограниченной кривой у = хех и прямыми у = 0 и х = 1.
Решение. Сделаем чертеж (рис. 12.21) и воспользуемся фор-
мулой (2), тогда
1
V = л fx2e2xdx.
о
Интегрируя дважды по частям, получим
630
Гпава 12
о 4
3.4. Найти объем тела, образованного вращением вокруг
оси Оу фигуры, ограниченной кривой у1 — 4х и прямыми х = 0
и у = 4.
Решение. Сделаем чертеж (рис. 12.22) и воспользуемся фор-
мулой (3), тогда
И = тг|" 4xc& = 2^x2| = 32л\
Jo Io
Рис. 12.22
3.5. Найти объем кольца (тора), образованного вращением
окружности х2 +(у-4)2 =9 вокруг оси Ох.
Решение. Центр окружности сдвинут на четыре единицы
вверх, а радиус окружности равен R = 3 (рис. 12.23). Решая урав-
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
631
нение окружности относительно у, находим уравнение верхней и
нижней дуги полуокружности 2 = 4 ± \j9-x2 . Объем тора пред-
ставим как разность тел вращения, ограниченных этими окруж-
ностями. Учитывая симметрию относительно оси Оу, будем иметь
V = 2лгJ3(у2 -у2)dx = 2л£3(25-х2 + ъЬ~х2 -
Сделаем замену: x = 3sinz, dx = 3> cos tdt; при х = 0, / = 0;
при х = 3, t = у. Тогда получим
V = 16^J^9cos2 tdt = 72л (1 + cos 1t)dt =
Л
/ ] A 2
= 72л /Ч—sin 2/ = 36л2.
I 2 Jo
3.6. Найти объем тела, образованного вращением вокруг
оси Ох фигуры, ограниченной полуокружностью х2 + у2 = 1 (при
, 2 3
х > о) и параболой у = — х.
Решение. Сделаем чертеж (рис. 12.24) и из решения системы
632
Гпава 12
2 i 2
у = 1 — X
найдем абсциссу точки пересечения кривых: 2х2+Зх-2 = 0;
- 3 ± л/9 + 16 -3±5 1
х,, =-----------=-------; х = —.
Поскольку криволинейная трапеция, которая вращается
вокруг оси Ох, ограничена различными кривыми, то, вычисляя
объем тела вращения по формуле (2), представим его в виде сум-
мы двух интегралов
С 2 7 3 . fl , 2ч 7 3 X 2
И = 7Г| у dx = 7tl 2 — xdx + TTli (1 — х )dx = it------------------
0 2 2 2 2 О
(31,11 1 Л 19
— Я--hl---1-I—--
12 8 3 2 24 I 48
3.7. Доказать, что объем параболоида вращения равен по-
ловине объема кругового цилиндра, имеющего то же основание
и ту же высоту.
Решение. Считаем, что параболоид образован вращением
параболы у2 = 2 рх вокруг оси Ох, причем сечение возьмем в
произвольной точке с абсциссой х (рис. 12.25). Тогда его объем
равен
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАПА
633
Vn = 7г£ Ipxdx = 7rpx2|o -тсрх2.
Рис. 12.25
Объем цилиндра, имеющего то же основание и ту же высо-
ту, равен = тсу2х. Поскольку j>2 = 2 рх , то Ич = 2тс рх2.
Сравнивая результаты, получим Уч = 2И„, что и требовалось
доказать.
3.8. Найти объем тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями: у = cos х и у = -1 вокруг прямой у = -1
при — тс < х < —тс .
Решение. Тело, образованное вращением фигуры, ограни-
ченной заданными линиями, показано на рис. 12.26.
Поскольку кривая вращается вокруг прямой у = — 1, то
целесообразно перейти к новой системе координат
634
Гпава 12
х' = х; у' = у +1. Тогда объем тела вращения равен
К-л[ (у')2 dx' = Я [ (у + 1)с6с = яГ (cosx + l)2fifr =
J-Я J-Я J-л
= л1 —+ cos2x + 2cosx dx = 7t — х
J-^2 J 2
= 3я2.
3.9. Найти объем тела, образованного вращением вокруг
полярной оси: а) кардиоиды р = a(l-cos<p); б) лемнискаты
р2 - a2 cos2<p.
Решение, а) Очевидно, что (р изменяется от 0 до я (рис. 3.61).
Отсюда по формуле (6) имеем
2 2 л
V = уя£ a3(l-cos<p)3 sin<peZ<p = — (1 - cos <р)3 c?(l - cos <р) =
= — ла3 (l-cos<p)4 * *r =— ла3.
6 lo 3
б) Так как лемниската симметрична относительно начала
координат (рис. 3.62), то половина объема по формуле (6) равна
1 2 гп/ - 2 ея/ “
— V = уЯ^/4а3(соз2<р)2 sin= — яга3Jo 4(2cos2 <р-1)2 sincpdcp.
„ 1 COS/й?/
Сделаем замену: cos<p = —j=--, sm (pd(p = —t=-; при
V2sin/ a/2 sin2 г
, л л л
<p = U, t =—;при<р = —, z = —, тогда
4
r=—7=яа3Г
3^2 <
4 1
ЗЛ sin2/
— 2 +sin2/ dt =
4 3( , If 1 . ,
— —1=ла -ctg/-2/ + — /-----sin2/
3V2 I 21 2
2 V2
=-----ла
л 6
,3|5- —
2
4
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
635
3.10. Найти объем тела, образованного вращением: а) од-
ной ветви циклоиды x = a(t — sin t), y~a(l — cost) вокруг оси
Ох, б) фигуры, ограниченной кривой х = Зг2, у = 2 In t и осями
координат, вокруг координатных осей; в) астроиды х = а cos3t,
у = a sin3t вокруг прямой х = а.
Решение, а) Одна ветвь циклоиды получается при измене-
нии t от 0 до 2 я , а х от 0 до Ina (рис. 3.67). Следовательно,
искомый объем равен
р2яа -
И = я|о y2dx.
Используя параметрические уравнения циклоиды, получим
js = na ja (1-cos?) dt = ла l-3cos/ + —(1 +
3 ,f5 3 1
(1—sin Z)cosZ at=na I — Z-4sin t+—sin2/ +-sin t
2п
= 5л2а3.
О
б) Фигура, ограниченная заданной кривой и осями коорди-
нат, показана на рис. 12.27, где t е]0,1]. Объем тела вращения
вокруг оси Ох находим по формуле
И = л £ y2dx или V = 24я J t In2 tdt.
Рис. 12.27
636
Гпава 12
При t — 0 подынтегральная функция терпит разрыв. Интег-
рируя несобственный интеграл дважды по частям: In21 = и,
I t1
2-\ntdt = du; tdt-dv, u = —, получим
(t2 , Il fl
И - 24л lim —In2? - zln/Л
P^O 2 'v
= 24л
.. In2/?
-hm—-—
fi—^Q
2 9 u
Z : Z I = 24л
2 4
+ lim —- 1п?ч—
Р>П
-hm-1-—-—
p^o 4
в2
+ limr— In
P^o 2
= 6л.
= 24л
.In/? 1
lim—v-+ —
p^o 1 4
P2
Объем тела вращения вокруг оси Оу находим по формуле
(3). При у = -«о, t = 0; при у = 0, t -1, отсюда
9
= —л.
тг Г° 2 . г. г1 4 dt 9
И = лj х dy = 9л]о? — = —л?
в) Поскольку астроида симметрична относительно оси Ох,
то достаточно найти половину объема тела вращения (рис. 12.28).
Так как астроида вращается вокруг прямой х — a, то перенесем
начало координат в точку (а,0), тогда в новой системе координат
х’ = х - а, у = у формула для вычисления объема примет вид
I v = л £ (х)2 dy = л £ (х - a)2 dy.
Рассматривая только объем тела, получающийся от враще-
ния вокруг прямой х — а фигуры, ограниченной верхними вет-
ПРИПОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
637
вями астроиды, и переходя к переменной представим его как
разность интегралов
V = 6гга3( (cos3 Z-1)1 2 sin21costdt - (cos3 Z-1)2 sin21 costdt) -
Jn JO
= бла ([^ (2 - 3 sin21 + 3 sin41—sin6t) sin2 td sin t -1 f72 cos41 sin2 tdt -
Jjt Jjl
- (2 - 3 sin2 Z + 3 sin41 - sin6t) sin2 td sin Z + 2 cos4 Z sin2 tdt) =
JQ Jn
( 2 3 3 1
6?ra3( —sin3Z — sin5Z +—sin7Z—sin9Z
3 5 7 9
1 ~ 1
+ cos 2z — (1 + cos 4z) — (1 — sin 2z) cos 2z \dt —
2 3 3 1
—sin3 Z-sin5 Z + — sin7 Z-sin91
3 5 7 9
1 0 1
— (l + cos4z) —(1-sin 2z)cos2z c?Z) =
Я
3 3
---1---
5 7
П 1 2
Puc. 12.28
638
Гпава 12
12Л. Длина дуги кривой
1°. Если плоская кривая отнесена к прямоугольной систе-
ме координат и задана уравнением у = f(x) или х = F(y), или
параметрически х = <p(z), у = \y(t), то дифференциал dl длины
ее дуги (рис. 12.29) определяется, соответственно, по форму-
лам
J/ = yfl + (y')2dx = ^\+(x')2dy = yjx2 +у2dt. (1)
Интегрируя дифференциал дуги в заданных пределах, на-
ходим длину дуги
Ь Ь ________ d __________ Р
L-^dl = ^71 +(У)2dx ~ f ^ + (.х')2dy = j7У +У2dt- (2)
a a с a
2°. Если плоская кривая отнесена к полярной системе коор-
динат и задана уравнением р = р(<р) (рис. 12.30), то дифферен-
циал дуги равен dl = -Jр2 + (р')2dtp, а длина дуги определяется
по формуле
Р _________
L = ^P2 + (p')2d(p. (3)
Рис. 12.29
Рис. 12.30
ПРИПОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРА ЛА
639
3°. Длина дуги пространственной кривой, заданой парамет-
рически уравнениями х = x(t), у = y(t), z = z(/) при изменении
г от Of до /3, определяется по формуле
L = J л]х2 +у2 +z2dt. (4)
а
4.1. Найти длину дуги: а) кривой у — Incosx от % = 0 До
б) астроиды х2'3 + у2'3 = а2'3; в) кривой у2 =9-х между
точками пересечения ее с осью Оу; г) полукубической параболы
у1 = х3, заключенной внутри окружности х2 + у2 = 6х.
Решение, а) Применяя формулу (1), имеем
L = М Jl + [(ln cos
Jq
x)']2dx = ^2
L sin2 x , r’/ dx
1 +---Y~dx= -------
cos x Jo cosx
= lim In
= lim In/gf—+ —
о I2 4
(X 7Г
tgl - + —
2 4
б) Поскольку астроида симметрична относительно коорди-
натных осей (рис. 12.28), то достаточно найти длину одной ее
ветви. Дифференцируя уравнение астроиды, имеем у =— (у/х)|/3.
Д лина одной четверти астроиды находится по формуле (2) и равна
1 ,_________ | 2/3 . ,.2/3
- а=£ ^i+cy/x)2'3^=j; ^.^^dx=
а
О
3
= — а.
2
Отсюда длина всей астроиды L-6a-
в) Кривая представляет параболу симметричную относи-
тельно оси Ох (рис. 12.31).
640
Гпава 12
Рис. 12.31
Найдем точки пересечения с осью Оу. при х = 0, у = ±3 .
Вследствие симметрии кривой относительно оси Ох достаточно
найти половину длины заданной кривой. Используя формулу (1),
будем иметь
= Jo 71+ (/)2dy = J3 71 + 4/Jy.
Интегрируя по частям ф + 4у2 -и, dy=dv,
4ydy
du = ~ =- -, v = y, получим
71 + 4/
= j71 + 4J?2| ~J / + 4y2dy+( -~===.
2 Л lo Jo J» 7/77
Отсюда
L = y71 + 4y2 + - In by + 71 + 4/13 = ЗТ37 + - ln(6 + Т37).
2 I I о 2
г) Сделаем чертеж (рис. 12.32) и найдем точки пересечения
окружности и параболы.
Для этого решим систему / = х3, х2 — 6х + у2 = 0. Абсцис-
сы точек пересечения будут 0 и 2.
Вследствие симметрии достаточно найти половину длины
дуги. По формуле (1) имеем
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
641
_ 16
Таким образом, L = —
27
4.2. Найти длину дуги кривой: a) x = a(cosz + ?sinz),
у = a(sin t -1 cos t) от точки t, = 0 до точки t2 = 2л:; б) одной арки
циклоиды x = a(?-sinr),
t6
y = a(l-cosz); в) х = —,
6
между точками пересечения с осями координат.
Решение, а) Заданная кривая представляет эвольвенту (раз-
вертку) окружности (рис. 12.33). Находим производные
х = at cost, у = at sin t. Длина дуги кривой находится по фор-
муле (2)
642
Гпава 12
,z II л
Рис. 12.33
L = Г ^а212 cos2 Z + a2Z2 sin2 tdt = a f tdt = = 2ая2.
б) Здесь t изменяется от 0 до 2я (рис. 3.67). Находим произ-
водные х = а(1 - cos t), у = a sin t. Длина одной арки циклоиды
по формуле (2) равна
L = f ^/a2(l-cosZ)2 +а2 sin2 tdt - a-j2 f Vl-cosZJz =
(•21 t [
= 2a\ sin — dt = -4a cos — =8a.
2 2n
в) Найдем пределы интегрирования: при х = 0, t = 0; при
у = 0, t = у/% Вычисляя производные x = ts, y = -t3 и исполь-
зуя формулу (2), находим
£=f Тлча*=f е =If «<+.Mi+<•>=
1 з
= ^(r4 + i)2
6
4.3. Определить длину дуги кривой: а) первого витка спи-
рали Архимеда р-а(р; б) кардиоиды р = a(l + cosp);
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
643
• з <Р
в) Р - a sin у; г) логарифмической спирали р = ае”“р (т > 0),
находящейся внутри круга р=а.
Решение. а)Длина дуги первого витка (0 < <р < 2л) спирали
Архимеда (рис. 3.58) определяется по формуле (3) и равна
L = £ д/(аф)2 +а2dcp = а£ y]l + <p2d(p.
Интегрируя по частям 1 + р2=и, d<p = dw, <Р = и,
, <Pd<P
du = г-—- -, получим
|2гг
L = a
lo
откуда
L =
=аЛ\Ь+4л2 + In ^2л+71+4л2 j.
б) Вследствие симметрии кардиоиды относительно поляр-
ной оси (рис. 3.61) достаточно вычислить половину ее длины. По
формуле (3) имеем
'о
a2 sin2 (pd(p = 2>/2aJ ,J\ + cos(pd(p =
гтс ф (p
= 4al cos—dm = 8asin— =8a.
Jo 2 2
о
в) Изменяя (р от 0 до 2>л , получим кривую (рис. 12.34). На-
, • г <Р <Р
ходим, что р -asm у cos у. Отсюда по формуле (3) имеем
3
, (0 . (О ,(О (-31 . , (р
. a sin — + а sin —cos — d(p = a\ sin —dcp =
о V 3 3 3 Jo
z \ z _ \ 3^
3
-—ал.
о 2
к а( 3.2
“Ф = у1 ф_у8Шуф
644
Гпава 12
Рис. 12.34
г) При ср = 0 из уравнения логарифмической спирали нахо-
дим, что р=а.
Следовательно, (р изменяется от -оо до 0. Представим ло-
гарифмическую спираль и круг р ~ а на рис. 3.60. Находим про-
изводную р' = amemv.
Длина дуги логарифмической спирали, находящейся внут-
ри круга, по формуле (3) равна
Z,=J° 4агё^ +m2a2e2n>d(p = а>/1+w2 J° d^dcp^
-a\li + m2 lim — f emil’d(m(p) = —\ll + m2 lim em’’| =—\ll + m2.
mJp m <p m
4.4. Найти длину дуги пространственной кривой: а) одного
витка винтовой линии x = acos/, y = asinf, z = c7;
11 х2
б) у = —тх, z ——отх = 1дох = 2.
2 2
Решение, а) При изменении t от 0 до 1л получим один ви-
ток (рис. 4.20). Находим производныех = -asint, y = acost,
z = c. Длина дуги по формуле (4) будет равна
L = [2*х/а2 sin2 Z + a2' cos2 Z + с2dt = У a2 +с2 Р*dt = 2л^а2 +с2.
Jo Jo
б) Запишем уравнение пространственной кривой в парамет-
11 ‘2
рическом виде. Пусть x = t, тогда У~~Inf, z— —; при
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИН ТЕ ГР А ЛА
645
х = 1, t = l; при х = 2, t = 2. Найдем производные х = 1,
у = ±t, z = t и воспользуемся формулой (4). Тогда
. Г2 1 2 j r2>/4z4+4z2+l , 1 \
L — I , /1Ч-— +1 dt — I ----------dt — I I 14 \dt —
J1 V 4Г 2t Jl ( 2t J
1 7 |2 1
= -(z2 + lnO|I =-(3+ln2).
12.5. Площадь поверхности вращения
Если поверхность образована вращением дуги АВ плоской
кривой у = f(x) вокруг оси Ох (рис. 12.35), то площадь поверх-
ности, образованная вращением дуги, определяется по формуле
S = 2trj ydl = 2trj yjl + (y')2dx. (1)
При вращении дуги вокруг оси Оу (рис. 12.3) площадь по-
верхности вращения определяется по формуле
S = 2тг| xdl = 2л J Хд/1 + (х')2dy. (2)
Если дуга задана параметрически уравнениями х = х(г),
у = y(t), a<t< Д, то площадь поверхности вращения вокруг
оси Ох равна
Рис. 12.35
646
Гпава 12
S = 2л £ j(oV(i(O)2+(jW)2^- (3)
Если дуга кривой задана в полярной системе координат
р = Р(ф), а <ф< Д, то
5 = 2л р sin еру]р2 +(p')2d(p. (4)
Если дуга кривой вращается вокруг произвольной оси, то
площадь поверхности вращения определяется по формуле
S = 2л С Rdl, (5)
J a
где R — расстояние от произвольной точки кривой до оси вра-
щения; dl — дифференциал дуги; a, b — пределы интегрирова-
ния, соответствующие концам дуги. Здесь R и dl следует выразить
через переменную интегрирования.
5.1. Найти площадь поверхности, образованной вращени-
X
ем: а) цепной линии у = ach— вокруг оси Ох от х = 0 до х = а;
а
х2
б) эллипса —+
а
9ау2 = х(За-х)2 вокруг оси Ох и оси Оу.
Решение, а) Поверхность, образованная вращением дуги
цепной линии вокруг оси Ох показана на рис. 12.36. Находим
— = 1 вокруг оси Ох и оси Оу; в) петли кривой
производную у' = sh — и значение Jl + (j/)2 = ch —. Тогда по
а 1 а
формуле (1) имеем
„ „ г» , 2 х , га/ , 2х , 1 ,
о =2л1 a ch — с1х = ла\ ch — + 1 ldx =
J° a Jo I a I
a
0
= ла2\ — sh2 + l
2
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
647
Рис. 12.36
б) Пусть эллипс вращается вокруг оси Ох, причем а > b,
Ь2 Ь2
тогда у2 =Ь2 —-х2, уу' = —-х. Воспользуемся формулой (1)
а а
и найдем подынтегральную функцию
т71+(У)2 = 4у2 +(<ууУ = \Р2 +~тх4 =
у а а
а2—Ь2 2
~^х
а
-£2Х2
где а2— Ь =с , — -£ — эксцентриситет эллипса. Таким об-
а
разом,
S = 2я Г л/а2— £2x2dx = 4л: — Г^а2-£2x2dx.
J—a & Jo
Интегрируя по частям: 7а2 -£2х2 =и,
dx = dv;
—£2xdx
....— ? = du, x = v, имеем
1а2-£2х2
S-4л—f—xVa2 -£2х2 +—arcsin —
al 2 2е а
= 2л — (a\la2-£2а2 + a2 arcsin £= 2лЬ(Ь + — arcsinе).
а \ > £
648
Гпава 12
Если эллипс вращается вокруг оси Оу, то пользуемся фор-
« 2 2^2 /
мулои(2): х =а —-у , хх =—-у,
b ь
хф+(х')2 = yfx2 +(хх')2 = da2-^уУ2 +^лУ2 =
V о о
Интегрируя по частям:
= w,
dy = du;
и —У, получим
„ — и 1 li? с у Ь ,
8 = 2л — -yjb2+—y2-i--In
b 2 У b2 2c
= 2ка л/b2
—г b2 - db2 +c2 +c
+ C In —. ' —
2c db2+c2 -c
Так как b2 + с2 = a, c = га, то окончательно имеем
„ „ ( b2 , a+Ea
S = 2яа1 a-I-In----
I 2ea a-Ea
. ( b2 . l + £
= 2ла\ аЛ-----In----
2sa 1-E
в) Петля данной кривой описывается текущей точкой при
изменении х то 0 до За (рис. 12.37). Дифференцируем уравнение
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕЛЕПЕННОГО ИНТЕГРАЛА
649
кривой 1 Ъауу' = (За - х)2 - 2х(3а - х), уу’ = (3а х^аДля
6а
нахождения площади поверхности, образованной вращением
петли вокруг оси Ох, преобразуем формулу (1)
S = 2я f ^у1 +(yy')1dx = 2я Г . — (За-х)2 +——— ——dx =
Jo Jo V9a 36a2
7Г г^а I т 7 7Г Г3д о -)
—Jo (3a-x)ya + 2ax + x dx — — JQ (3a +2ax-x )dx =
7C (-> 2 -X
= — 3a’x + ax---
3a 3
3a
= 3ла2.
о
5.2. Найти площадь поверхности, образованной вращени-
ем: а) астроиды х-а cos31, у = a sin31 вокруг оси Ох; б) одной
арки циклоиды х = a(t - sin t), у = a(l - cos t) вокруг ее оси сим-
метрии.
Решение, а) Вследствие симметрии астроиды относительно
координатных осей, достаточно найти площадь поверхности,
описанной дугой астроиды, лежащей в первом квадранте
л
(О < t < —). Воспользуемся формулой (3). Вся площадь враще-
ния будет равна
650
Гпава 12
S = 2 • 2я£ 2 a sin3 tyj(3a cos2t sinZ)2 + (3a sin2t cost)2 dt =
~> & 2 э \к/ 12 7
-\2ла sin tcostdt= — it a sin Z„ =—Ла .
Jo 5 0 5
б) При у = 0, cos z = 1, Z = 0 и z = 2д. Циклоида при Z = 2д
имеет координату х = 2лa. Следовательно, ось симметрии (рис.
7.64) проходит через точку с координатами (ла ,0). Воспользу-
емся формулой (5): R = ла-a(t~sinz) = а(л-t + sinZ),
dl - y](x)2 +(y)2dt = ^/a2(l-cosZ)2 + a2 sin2 tdt = aj2\]l-cos tdt =
. Z
- 2a sm—dt. Поверхность вращения образуется вращением по-
ловины арки циклоиды вокруг оси симметрии, т. е. переменная Z
изменяется от 0 до л .
Таким образом,
$ = 4ла2{ (яг — Z + sin z) sin —dt = 4лa2[2л^ sin—d — —[ Zsin—dt +
Jo' 2 Jo 2 2 J° 2
. p . Z , . Z _ „ , f Z Z „ . Z 2 . 3 z ’
+4 sin —asm—| = 8zra -zrcos— + Zcos — 2sin — 4—sin —
Jo 2 2 ( 2 2 2 3 2 Jo
( 7 Ч о
= 8да21 zr-2 + у 1= -ла2 (Зтг-4).
5.3. Найти площадь поверхности, образованной вращени-
ем: а) лемнискаты р2 = 2a2 cos2<p вокруг полярной оси; б) кар-
диоиды р =a(l + cos(p) вокруг полярной оси и вокруг
касательной в ее вершине (2a,0).
Решение, а) Вследстие симметрии лемнискаты относитель-
но полярной оси достаточно найти половину поверхности вра-
щения (рис. 12.13). Тогда по формуле (4) имеем
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
651
S' = 2-2тг[/4л/2 aJcos2(psin(p 2а2 cos2<p + 2a2 S*n ^-d<p =
Jo у cos2<p
у
— 8яа2 j /4 sin (pd(p- -%Ла2 cos
.к/ , V2
<4=8тг« 1-—.
б) Воспользуемся формулой (4). Пределы интегрирования
О < <р < л легко установить из рассмотрения рис. 3.64. Площадь
поверхности равна
S = 2лJ а(1 + cos<р)sin <р\]а2(1 + cos <р)2 + a sin2 pdp =
2 ф т л Ф Ф
= 4ла (l + cosq9)sinpcos-|-dq9 = -167Ta cos ^-Jcos-^- =
32 2 s <P
----ла cos —
5 2
32 2
= —ла
5
о
12.6. Вычисление статических моментов
и моментов инерции
1°. Статическим моментом материальной точки массы т
относительно оси I называется произведение ее массы на рассто-
яние d от оси т, = md .
Статическим моментом системы п материальных точек на-
зывается сумма произведений масс этих точек т,, т2,... ,тп на
п
расстояния их от оси т, = mjdi, причем расстояния точек, ле-
>=1
жащих по разные стороны от оси /, берутся с разными знаками.
Если массы непрерывно заполняют линию у = /(х),
а < х < Ь, то статические моменты относительно осей выража-
ются интегралами
652
Гпава 12
тх = J 8(x)ydl = j 8(х)уф + (_/)1 2Jx;
т =[ 8(x)xdl = [ 3(x)xJl + (y')2dx, (1)
y Ja Ja
где <5(x) — плотность, dl — дифференциал дуги.
Статические моменты относительно координатных осей
дуги кривой, уравнение которой дано в полярных координатах
р - р(ф), выражаются формулами
тх = Р р sin (pJp2 + р'2 d<p,
т = P P cos P\/p2 + P'2d<p, (2)
здесь плотность полагается равной единице.
Статические моменты плоской фигуры, ограниченной кри-
вой y = f (х), осью Ох и прямыми х = а, х = Ь, выражаются ин-
тегралами
т = — [ 3(M)ydS = —\ 8(M)y2dx;
2Ja 2Ja
1 1
т =-| 3(M)xdS=—\ 3(M)xydx; (3)
Л 2Ja 2Ja
где 8(М) — плотность в точке М, dS = ydx — дифференциал
площади.
Для случая геометрических фигур плотность считается рав-
ной единице.
Статический момент тела относительно данной плоскости,
если известны площади поперечных сечений тела параллельных
этой плоскости S(x) в функции расстояния х от нее, при плотно-
сти, равной единице, определяется интегрированием статичес-
кого момента элементарного слоя тела на расстоянии х от
плотности dm = xS(x)dx в заданных пределах
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
653
т^ = [ xS(x)dx. (4)
Статический момент тела вращения относительно плоскости,
перпендикулярной оси вращения х, определяется по формуле
pb 2
/и = л\ ху dx. (5)
Если поверхность образована вращением кривой y=f (х)
(а < х < b ) вокруг оси Ох (рис. 12.38) и поверхностная плотность
ее равна единице, то статический момент относительно плоско-
сти, перпендикулярной оси вращения, находится интегрировани-
ем элементарного кольцевого слоя htydl в заданных пределах
т,„ = 2л J xydl = 2л J хуф + ^у')2dx. (6)
Рис. 12.38
Статические моменты относительно координатных плоско-
стей для цилиндрической поверхности х = x(z), у = у(Р) с обра-
зующими параллельными оси z (рис. 12.39) и ограниченной сверху
кривой z = z(f) находятся по формулам
my.=\Lxzdl’ ma=jLyzdl; mxy=^^z2dl, (7)
где dl = д/х2 + у2 dt; L — проекция поверхности на плоскость
хОу.
654
Гпава 12
Рис. п.39
2°. Моментом инерции материальной точки массы т отно-
сительно оси I называется произведение ее массы на квадрат рас-
стояния d от оси It = md2.
Моментом инерции системы п материальных точек называ-
ется сумма произведений масс этих точек т2,... ,тп на квад-
рат расстояния их от оси 7, = mldt2 .
i=i
Моменты инерции относительно координатных осей плос-
кой кривой у= f{x) (a<x<b) вычисляются по формулам
ix=£s(x)y2di=£<5(х)/71+(У)2^;
Iv = £ 8(x)x2dl = £ 8{х)х2 ^ + (y)2dx, (8)
где <5(х) —плотность, dl—дифференциал дуги.
Моменты инерции криволинейной трапеции, ограниченной
кривой у — f(x), осью Ох и двумя прямыми х = а и х = b вычис-
ляются по формулам
Ix=— f 8(M)y3dx; I = f 3(M)x2ydx. (9)
3 Ja Ja v '
Моменты инерции плоской фигуры (рис. 12.40), ограничен-
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИН ТЕ ГР А ЛА
655
ной кривыми y,=f (х), у2 = /2 (х), относительно осей коорди-
нат вычисляются по формулам
Рис. 12.40
1Х =£ 8{М)у2 (^2(у)-<р,(у))^;
Iy=\dc8(M)x2(f2(y)-fSy)}dx- (10)
здесь функции ф, (у) = х,, (р2(у) = х2 представляют уравнения
заданных кривых, разрешенных относительно переменной х.
6.1. Найти статические моменты и моменты инерции отно-
сительно оси Ох дуги: а) кривой у = ех (0 < х < 1); б) астроиды
л/з + лежащей в первом квадранте, <5(х) = 1; в)окружности
х2 + у2 =а2, расположенной в первом квадранте, если в каждой
ее точке плотность пропорциональна произведению координат
точки.
Решение, а) Статический момент относительно оси Ох на-
ходим по первой из формул (1), полагая плотность равной еди-
нице
т=[ ех\/1 + е2хdx
х Jo
Делая замену t = ех, dt = exdx, получим тх = J >Jl + t2 dt.
656
Гпава 12
Интегрируя по частям: м = <1 + z2, dv = df, du= -r.
, к \h+t2
t = v, будем иметь
По первой из формул (8) находим момент инерции относи-
тельно оси Ох
+ (1+)в rf(l+е2" )=
= + = |«1 + «,)”-2'/2).
б) Запишем уравнение астроиды в параметрическом виде
x = acos3Z, y = asin3Z.
При нахождении статического момента относительно оси
Ох воспользуемся формулами (1), для этого вычислим диффе-
ренциал дуги
dl = ^х2 + y2dt = Зал/cos4 Zsin2 Z + sin4 Z cos2 tdt - 3a sin Zcos tdt,
-к/ гк/ 3a i7/ 3
m = 2 ydl = 3a /2 sin3 Z sin t cos tdt =---sin5Z/2= — a2.
Jo J Jo 5 1° 5
Момент инерции по формулам (8) равен
.л/ .я/ $/ 3
I = Г 2 y2dl = 3a2 [/2sin6ZsinZcosZJz =-----sin8 Z /2 = —a3.
x Jo ' Jo 8 '° 8
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
657
Следует заметить, что в силу симметрии астроиды относи-
тельно координатных осей тх
3 2 Г , 3 3
= ту=-а и1х = 1у=—а .
J о
в) Статический момент и момент инерции находим по фор-
мулам (1) и (8).
Дифференциал дуги равен dl - л/1 + (y')2dx , где у на-
ходим из дифференцирования уравнения окружности
, / х
2х + 2уу =0, У —---.
Окончательно
11 к % i 1 / 2 2 j & j
dl = l + —dx = — y/y + х dx = —dx.
N у у у
Таким образом,
Га г 1 i I 2 2 1 Са / 2 2x1/2 fz 2 2\
тх = кху-у—dx = ka\ хуа -x dx =----------(а —х) d(a —х) =
JO у JO 2
— (а2-х2)3/2|“= —
3 1о 3
/х = £ кху у2—dx = ka^ ху2dx = ka£ x(a2—x2)dx =
Здесь к—коэффициет пропорциональности.
6.2. Найти статический момент и момент инерции полуок-
ружности радиуса а относительно ее диаметра.
Решение. Расположим декартову систему координат таким
образом, чтобы ось Ох совпала с диаметром, а начало коорди-
нат с центром окружности. В этом случае уравнение окружнос-
ти в параметрической форме примет вид: х = a cos t, у = а sin t.
658
Гпава 12
Тогда дифференциал дуги будет dl = у/a2 sin2 t + a2 cos2 tdt = adt.
Воспользовавшись формулами (1) и (8), получим
тх =£ ydl = a2j° sintdt = 2a2, Л=/о ,у2<# = а3£ sin2tdt = ~4tas.
6.3. Найти статические моменты относительно осей Ох и Оу
дуги окружности р = la sin <р.
Решение. Воспользуемся формулами (2). Поскольку
yjp2+p'2 = у]4a2 sin2 <р+4а2 cos2 <р = 2a (0<(р<я) (рис. 12.41),
ТО
Рис. 12.41
тх = 4а2£ sin2 (pd(p = 2a2 (l — cos2(p)d(p = 2xa2;
2
mv=4a j sintpcoscpdtp -0.
To, что my = 0 и следовало ожидать, так как дуга окружно-
сти симметрична относительно оси Оу.
6.4. Найти статические моменты и моменты инерции пря-
моугольника со сторонами а и Ъ относительно его сторон.
Решение. Расположим оси координат так, как показано на
рис. 12.42.
Воспользуемся формулами (3),(9), полагая плотность рав-
ной единице. Будем иметь:
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
659
m =— Г y2dx = — f b2dx = — ab2,
а 2 '° 2
Га Го 1 7
ти4 - xydx = Jo bxdx =—a b,
/ = — f y3dx = — f b3dx = —ab3,
" 3 Jo з Jo з
Ib = £ x2ydx = Jo x2bdx = ^a3b.
Puc. 12.42
6.5. Найти статические моменты и моменты инерции треу-
гольника, ограниченного линиями х = О, у = 0 и х + у = а; а) от-
носительно координатных осей; б) прямой, параллельной
основанию и проходящей через вершину; в) прямой, параллель-
ной основанию и проходящей через центр тяжести треугольника.
Решение, а) Статический момент и момент инерции треу-
гольника (рис. 12.43) относительно оси Ох находим по форму-
лам (3)и(9)
660
Гпааа 12
В силу симметрии тх
б) Обозначим прямую, проходящую через вершину, за I.
Через av обозначим ширину сечения, параллельного оси Ох, на
расстоянии h от вершины треугольника. Из подобия трегольни-
ау h , „
ков — = — и а =п. Отсюда, статический момент и момент инер-
а а
ции
га га -
т, = | a hdh - | h2dh - —;
' Jo у Jo 3
1,= Га h2dh = Vh3dh=—.
' Jo y Jo 4
1
в) Центр тяжести треугольника расположен на ~ высоты
от основания. Проведем через центр тяжести ось I (рис. 12.44).
Обозначим через ау ширину сечения, параллельного оси I, на
расстоянии h от нее. Ширина сечения выше оси I равна
2 2
а— a — h, ниже a = — a + h.
> 3 у 3
Поскольку ось I проходит через центр тяжести, то статичес-
кий момент треугольника относительно ее равен нулю. Действи-
тельно, для верхней части треугольника
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
661
Рис. 12.44
'3“(~a-h}hdh=(-a-—
° I 3 3 2
2
~ 27 3’
з
О
для нижней
а
2 h1 h3
—а------1- —
3 2 3
27 3
2
|—а
\ 7 \ /0
При вычислении статических моментов расстояния точек,
лежащих по разные стороны от оси I, берутся с разными знака-
ми, следовательно, = т“ -т“ = 0.
Момент инерции верхней части треугольника относительно
оси I равен
2
г» гИ2 aW f2 h3 h*
I. = —a — h \h dh = —a----------I =--------.
I 3 I 3 3 4 1 81 3
\ / \ ylo
Момент инерции нижней части треугольника
а
3
” 8112'
о
Таким образом, момент инерции всего треугольника равен
г -а'(4 НУ
' 1 811 3 12 ) 36
rff 2 >2„ (2 h3 hA
3 — a + h \hdh=\—a-----1--
1(1 I 3 3 3 4
662
Гпава 12
6.6. Найти статический момент и момент инерции фигуры,
ограниченной линиями у = х2 и у = -Jx относительно оси абс-
цисс.
Решение. Плоская фигура, ограничения заданными линия-
ми, показана на рис. 12.45. Ширина сечения на расстоянии у по
оси х опредляется разностью абсцисс х2(у) — х1(у) = у[у.
Статический момент определяем по формуле
Рис. 12.45
3
20
о
Момент инерции находим по первой из формул (10)
2 5
га =
х Jo
'О
-у5'2-^
5 4
_3_
~ 35
о
6.7. Найти статический момент относительно основания:
а) кругового конуса; б) полусферы; в) поверхности кругового
конуса; г) поверхности полусферы.
Решение. а)Расположим оси координат относительно кону-
са, как показано на рис. 12.46. Из подобия треугольников ОАВ и
Я R л(, х}
MNB имеем------= —, у = R 1---. Статический момент от-
Н-х у \ н)
носительно плоскости основания находим по формуле (5)
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
663
б) Расположим оси координат относительно полусферы, как
показано на рис. 12.47. Из треугольника OMNимеем у2 -R2 -х2.
Статический момент относительно плоскости основания вычис-
ляем по формуле (5)
в) Поскольку поверхность кругового конуса представляет
поверхность вращения вокруг оси Ох (рис. 12.46), то статичес-
664
Гпава 12
кий момент относительно плоскости основания вычисляем по фор-
муле (6)
=^-4h~2+r
н
2 ЗЯ
\ - 70 3
г) Статический момент поверхности полусферы (рис. 12.47)
относительно плоскости основания вычисляем по формуле (6)
т„ = 2тг£ xyy]l + у'2 dx.
Производную у находим из дифференцирования выраже-
ния у2 = R2 -х2: 2уу' = -2х, у = —. Х . Радикал под зна-
yJR2-x2
L /о н Л
ком интеграла примет вид -^1 + у -. П—----у - . =.
N R -х 'Jr2—x2
Таким образом,
rn = 2л [ x^Ir2-х2 ....К dx - 2nR — — TtR3.
Jo 2
6.8. Найти статические моменты относительно координат-
ных плоскостей цилиндрической поверхности х2 + у2 = R2, ог-
раниченной плоскостями z = 0 и z = у (у>0).
Решение. Заданная цилиндрическая поверхность показана
на рис. 12.48.
Статические моменты находим по формулам (7), учитывая,
что
э 2 г*2 / %
z^y, х-+у =R , у=—,
dR2-x2
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
665
dl = Jl + y'2dx = -y3dx.... .
Jr2^2
f" ,7/ (" Rdx of" J n
=Lxzdl=Lxy ^R2_x2 = xdx=°-
m = [ yzdl = Г у2 , i = R [* -Jr2-x2dx.
J~x J-R J-*
Puc. 12. 48
Интегрируя по частям, будем иметь
m
n --------
- xjR2-x2
2
R
= -R3.
-R
m
Rdx
R2-x2
Используя вычисления предыдущего интеграла, получим
= -R3
4
666
Гпава 12
6.9. Найти момент инерции эллипса -у + —у = 1 относитель-
a b
но его осей.
Решение. Поскольку эллипс симметричен относительно
координатных осей, то достаточно найти момент инерции ча-
сти эллипса, расположенной в первом квадранте, и умножить
результат на 4. Согласно формулам (10) будем иметь
Iу = 4 ( — л/а2 - х2x2dx . Делаем замену х = a sin t, тогда
jo a
dx~ a cos tdt и
4Z> t*/ еяА
I = — \/2 a cos ta2 sin2 ta cos tdt = a2b /2 sin2 2tdt =
•v a Jo Jo
a36 rK/2,. ... a2b
= — Jo (1 - cos 4/)Л = л.
Аналогично находим момент инерции относительно оси х
1Х = 4£ ~У2У1 ^у- Делаем замену y = 6sinr, тогда
dy = b cos tdt и
т 4а С/, ,2-21 , a^3
1=— bcostb sm tb cos tdt---------л.
b Jo 4
6.10. Найти момент инерции: а) цилиндра; б) конуса отно-
сительно его оси, высота которого Н, а радиус основания R.
Решение, а) Разобьем цилиндр на элементарные цилиндри-
ческие трубки параллельно оси цилиндра (рис. 12.49). Объем та-
кой элементарной трубки V — 2луШу, где у — радиус трубки
толщиной dy и высотой Н.
Момент инерции элементарной трубки относительно оси
равен dlx = 2лНу*Лу.
Суммируя, получим момент инерции цилиндра относитель-
но его оси
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
667
I, = | dl =2тгя| yidy = —nHRA.
1 Jo х Jo Л Л 2
б) Разобьем конус на элементарные цилиндрические труб-
ки параллельно оси конуса (рис. 12.50 ). Объем элементарной
трубки равен dV = Inyhdy , где у— радиус трубки толщиной dy
и высотой h. Из подобия треугольников ОАВ и MNB находим,
что й = Я 1—— . Момент инерции элементарной трубки
dl =2яЯ| 1-^ |Л/у.
R I
Суммируя, получим момент инерции конуса относительно
его оси
668
Гпава 12
JR ?R
di =2лН\
чх Jo
4 5R
7
= — я HR*.
10
6.11. Найти момент инерции боковой поверхности: а) ци-
линдра, высота которого Н, а радиус основания R, относительно
его оси; б) шара радиуса R относительно его диаметра.
Решение, а) Масса элементарной полоски боковой поверх-
ности цилиндра (рис. 12.51) на расстоянии R от оси вращения
есть 82лRdx.
Рис. 12.51
Момент инерции элементарной полоски относительно оси
Ох равен dlx = R282л Rdx.
Суммируя, получим момент инерции цилиндрической повер-
хности, высота которой Н
/ = Г dI=2n8Ri[H dx = 2n3R3H = mR2,
х Jo х Jo
где т = 2л8КН —масса боковой поверхности цилиндра.
б) Рассечем поверхность шара двумя параллельными плос-
костями, отстоящими друг от друга на расстоянии dx, и парал-
лельными плоскости Оуг(рис. 12.52).
Масса элементарной полоски боковой поверхности шара на
расстоянии у от диаметра, расположенного по оси Ох, есть
82nydl.
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
669
Момент инерции элементарной полоски относительно диа-
метра равен dl = y282nydl Суммируя, получим момент инер-
ции поверхности шара относительно его диаметра
Ix=\RidIi=2n8\Ri(yidl.
Учитывая, что х2 + у2 - R2, у - ^R2-х2, у - —, Х.
dl = ф +у'2 dx = ,
R2—x2
находим
, \ R
*4 8 CD4 2 D2
— =-n8R = — mR,
3 3 3
/ -К
где т = 4n3R2 — масса поверхности шара.
Ix = 2n8R\) r(R2 -x2)dx = 2n8R
12.7. Координаты центра тяжести
Точка С, являющаяся центром параллельных сил тяжести
частиц тела, называется центром тяжести данного тела.
1°. Для материальной дуги АВ плоской кривой прямоуголь-
ные координаты центра тяжести определяются по формулам
670
Глава 12
fb fb
m I 8(M)xdl m I 8{M)ydl
Y —___У. — Ja______. ,, _ x __ Ja__________
c rb ’ Ус (>b 9 {J')
m J 8{M)dl m j 8(M)dl v }
где m — масса дуги AB-, mx, my — статические моменты этой
дуги относительно осей х,у; 8(М) —линейная плотность рас-
пределения массы в точке М(х, у); dl — дифференциал дуги.
Декартовы координаты центра тяжести дуги кривой L, урав-
нение которой задано в полярной системе координат S = 8((р),
определяются по формулам
1 СФ2 1 ГФ
хс= — J pcosrpdL; ус=— I psmrpdL, (2)
где dL = y]p2 + р d(p —дифференциал дуги; L= [dl. —дли-
на дуги.
Здесь плотность дуги принята равной единице.
2°. Координаты центра тяжести криволинейной трапеции,
прилежащей к оси Ох, определяются по формулам
т Г8(M)xydx т j 8(M)y2dx
х<=—=р------------; Ус=—> (з)
т f 8{M)ydx т 2| 3(M)ydx
Ja Ja
где т — масса плоской фигуры; тх, ту — статические моменты
этой фигуры относительно осей х,у.
3°. Если плоская фигура ограничена линиями ух = f^x);
Л ~ x = a; x-b (рис. 12.4), то координаты центра тяже-
сти определяются по формулам
f 6
J 5(М)х(/2(х)-^(х))^
Хе ’
f 3(M\f2(x)-fl(x))dx
Ja
fotMXf^-f^xVdx
> =—------------------.
с (>b
J 3(M)(f2(x)-fl(x))dx
Ja
(4)
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
671
Здесь 8(М) — поверхностная плотность, т. е. масса едини-
цы площади поверхности фигуры.
Если плотность 8(М) постоянна, то в предыдущих форму-
лах 8 может быть вынесена за знак интегралов и на ее величи-
ну можно сократить.
Если однородная материальная линия или фигура имеет ось
симметрии, то центр тяжести лежит на этой оси.
Координаты центра тяжести криволинейного сектора, ог-
раниченного двумя полярными радиусами и кривой р = р (<р),
определяются по формулам
1 t<h з , 1 fft 3 . ,
= Р cos(pd(p’ Ус = 35^Р sm(pd(p’ (5)
„ 1 Р2 2 J
где 5 = — р dip — площадь сектора.
2
4°. Расстояние хс центра тяжести тела от данной плоскости
находится по формуле
(6)
xS(x)dx
х =—----------
Лс fb ’
Г S(x)dx
Ja
где S(x)dx — объем элементарого слоя тела на расстоянии х от
плоскости; S(x) — площадь сечения тела плоскостью параллель-
ной данной плоскости и отстоящей от нее на расстоянии х.
Для тела, образованного вращением кривой У = f(*)
(а<х<Ь) вокруг оси х (рис. 12.18), расстояние хс центра тяже-
сти от плоскости yOz определяется по формуле
(7)
672
Гпава 12
Расстояние хс центра тяжести поверхности вращения от
плоскости, перпендикулярной оси х, опредляется по формуле
f Г. 7Г .
ту:
Х= —
S
(8)
(9)
5°. Координаты центра тяжести цилиндрической поверхно-
сти, перпендикулярной плоскости хОу (рис. 12.29), образующие
которой ограничены кривой z - z(f), определяются формулами
т._ т т,„
х =----, Ус=^г'^ zc =—
S S S
где,*»—площадь цилиндрической поверхности; т„, т^, т
статические моменты (12.6 (7)) относительно координатных
плоскостей.
6°. Теоремы Гульдина.
1) Площадь поверхности, полученной вращением дуги плос-
кой кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, но ее не пересе-
кающей, равна длине этой дуги, умноженной на длину
окружности, описанной ее центром тяжести.
2) Объем тела вращения, образованного вращением плос-
кой фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости этой фигуры и ее
не пересекающей, равен произведению площади этой фигуры
на длину окружности, описанной центром тяжести площади фи-
гуры.
7.1. Найти координаты центра тяжести дуги: а) цепной ли-
нии y = ach— (0<х<а);^б) арки циклоиды x = a(r-sin/),
а
у = а(1 — cos г), если линейная плотность в каждой ее точке про-
порциональна абсциссе точки; в) кардиоиды р=а(1 + cos <р)
Решение, а) Воспользуемся формулами (1), полагая, что
плотность равна единице. Для этого найдем дифференциал дуги
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
673
dl — -Jl + j/2dx — Jl + sh2 —dx — ch — dx. Длина дуги равна
V a a
£=[ dl — f ch — dx = ash— =ashl.
Jo Jo a a 0
Находим статические моменты:
wi,, = f xch — dx; m=af ch2— dx.
y J° a J° a
Интегрируя по частям: x-u, ch—dx-dv; dx — du,
v = a sh ха, будем иметь
a
X ta X XX
m —axsh — a sh—d5c = (axsh— a2 ch—) =a2(shl —chl + 1).
' a '° a a a n
a2(. 1 A
= — 1h—sh .
2 2
Таким образом, координаты центра тяжести дуги будут
Хс
ту
L
— (shl-shl + l) = a| 1-th— |;
shP 2 J
mr a (, 1 , „ 1 a, ........
У = —=------- 1 +—sh2 =— (cschl + chl).
c L 23111^ 2 J 2
б) Для определения массы дуги арки циклоиды т при задан-
ной линейной плотности 8 (М) = х найдем дифференциал ее дуги
dl — yjx2 +y2dt = лУа2(1 - cos/)2 + a2 sin2 tdt = 2asindt
и вычислим интеграл
J‘2^ п t -)(t
xdl=2a (Z-sinOsin—dt = 2a Zsin—dt-\ sinZsinz/Z
о Jo v 2 I Jo 2
674
Гпава 12
/ . \21
- ,( - t . . t 4 . 3 / 1 „ ,
= 2a -2/cos— + 4sin------sm — = 8a it.
2 2 3 2 „
Статический момент относительно оси Оу равен
г2я t
mv=J(l x dl = 2a ]o (/-sin Z) sin—Л =
_ 1 I 2 . t . _ f2?r , . t , f2?r ф 2 . Z _
= 2a t sin—dt-2\ zsin/sin — dt+l sin /sin — dt
I Jo 2 Jo 2 Jo 2
Интегрируя первые два интеграла по частям, получим:
т„ = 2a3
-2/2cos — + 4[
2 J(
•г* t , 8 . з t 8 . j t
, /cos—dt—(sin 1 1
Io 2 3
sin3— dt-
2
2яГ| 2 'l 2^1
1 —cos — cos —rfcos—
2 2 2
'о
= 2a
—2/2cos— + 8/sin — + 16 cos —
2 2
2я
8 . з / 16 ( t
—/sin — + — cos —
3 2 3 2
1 3 1 I
—cos —
3 2 I
2я
8
-cos
3
n \|2тг \
3 t 8 5 / V
I-------cos — I
2 5 2 j0
• з t
2
о
2
, з(О/ 2 64 32 А 3( 2 16^
= 2a I 8(7/ -4) +— + — = 16а к----------.
I 3 15 J I 15 J
Статический момент относительно оси Ох равен
С^л t
mx = Jo xydl = la Jq (Z - sin z)(l - cos Z) sin — dt =
2 Z r2n I p2n Z
= 2a /sin—dt—\ Zcos/sin—dt-
I J° 2 J» 2
г2* . . t , f21 . . t .
sm/sin—dt+\ sm/cos/sin—dt
’o 2 Jo 2
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
675
Интегрируя первые два интеграла по частям, получим
т — 2а3([ — 2/cos — + 4sin — | +2/| — cos3— — cos—
I 2 2 Jo I3 2 2
4 Г2гг з t , „г2* t , 4 . j t
— cos — dt + 21 cos —dt— sin —
3 Jo 2 Jo 2 3 2
, Г2я . 2 t t ( 2 t • 2 t I j x
+2 sin —cos— cos —sin — d/) =
2 2 2 2
= 2a3
. 4
4я + —я
3
f8f . t 1.3
sin----sin
H 2
In
+
0
. ( 1 . 3 t 2 . 5 t
+ 4 —sin-----------sin —
I 3 2 5 2
, 3( . 4 А 32а3я
= 2a 4я + —я =---------
3 3
0 7
Координаты центра тяжести находим по формулам (1)
m 2a ( , 16
— =----- Я‘-----
m я I 15
rn 4
Ус - — --a.
m 3
в) Найдем дифференциал дуги:
dL = (a2 (1 + cos tp)2 +a2 sin2 tp)',2dfp = 2a cos у dtp.
о
РП (p ф
Длина дуги: L = 2a\ cos—dtp = 4asm— =4a.
Jo 2 2
Координаты центра тяжести находим по формулам (2):
If” П J а f ” Z1 X (р J
= 4~Jo PC0S<P’2aC0S 2 = ^Jo (1+cos <Р) cos tp cos у dtp =
676
Гпава 12
If'. Ф , at*,, , . Ф ,
ус= —Jo psin(p-2acos^-a(p = —J^ (l+cos(p)sin(pcosya(p =
a
[ cos2 — <7 cos——4 f f2cos2—-1
2 2 Jo I 2
2ф , ф ]
:os —a cos— =
2 2
о Г1
= -2al -cos
3
з Ф 2 5 <р 1 з ф
; —+-cos ——cos —
2 5 2 3 2
4
— —a.
0 5
7.2. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограничен-
ной: а) осью Ох и полуокружностью у = \Ja2 — х2; б) осями ко-
ординат и дугой эллипса х = a cos t, у = bsmt, раположенной в
первом квадрате, если плотность в каждой ее точке пропорцио-
( 7
нальна оси ординат; в) линиями у = ах и х = а;; г) правой пет-
лей лемнискаты Бернулли р2 = a2 cos 2tp.
Решение, а) Поскольку полукруг симметричен относитель-
но оси координат, то центр тяжести находится на оси Оу и коор-
дината хс = 0.
Для вычисления координаты ус воспользуемся формулами
(3). В знаменателях формул (3) интегралы при <5(Л/) = 1 есть не
что иное, как площадь фигуры, ограниченной криволинейной тра-
____________________________________________ 2
Г11 / 2 2~ j 7Cd
пецией и осью абсцисс. Для полукруга Ча — х ах = —~.
J-a 2
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕПЕННОГОИНТЕГРАПА
677
Таким образом
= (a2-x2)dx = -^-
Ла ла J~a ла
2 л
а х-------
3
4£
3 л
б) Так как плоская фигура прилежит к оси Ох, то восполь-
зуемся формулами (3). Масса плоской фигуры равна m = j y2dx.
В первом квадранте при возрастании х от 0 до а величина t убы-
вает от — до 0, поэтому
m = Г b2 sin21(—a sin f)dt — ab2 f ,(l-cos2 f)dt =
J/2
m,
l2( 1 3
= ab cost—cos t
I 3
Найдем статические моменты:
=—£ у dx =—J Z>3 sin t(-a sin f)dt = —— j^,—(1—cos 2t)2 dt =
= -ab2.
V 3
/2
.3
ab4 • „ If 1 • л
—— z-sm2z + — z + — sin 4/
8 2 4
0
= — nab2,
32
ea 9 rO 2 7 2 2 • 3
m = xy'dx= \ acostb sin t(-asmt)dt = — a b ,sin Z</sin/ =
——a2b2 sin4 zl
4 %
a2b2
4
"*y J fit 27 .
Окончательно получим x =—- = — a, у =—- = —7tb.
m 8 m 64
678
Гпава 12
в) Сделаем чертеж (рис. 12.53). Поскольку парабола сим-
метрична относительно оси х, то ус = 0 . Уравнения ветвей пара-
болы будут: у = Tax и у = -у[ах Отсюда по формуле (4) имеем
г) Поскольку правая петля лемнискаты симметрична отно-
сительно оси абсцисс^ то центр тяжести находится на оси Ох и
ус = 0. Для нахождения координаты хс воспользуемся форму-
лами (5). Площадь петли равна
4 _ а1
Таким образом
2 3 > 2ц (•*/ \3/2 >
хс-—- р cos(pa(p — — (cos2<p) coscpacp-
За 3
7/7 Гп/
= — (1-2 sin2 <p)3/2 cos (pdcp.
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
679
Делая замену sin<р = —j=sint; cos (pd ср = -j= cos tdt при
It Tt 7t 7t
^ = -7^ — (P = —, ПОЛуЧИМ
4 2 4 2
x = ^~a cos4 tdt = f 1 + 2 cos It +—(1 + cos 4?) \lt =
c 3 }-Vi 12 2 J
VW . „ If 1 . .
=---- Z + sin2/+— t + — sin4/
12 I 2 4
Jltta
8
7.3. На каком расстоянии от основания лежит центр тяжес-
ти: а) тела, ограниченного параболоидом вращения и плоскостью,
перпендикулярной его оси, если высота параболоида равна Я;
б) конуса, высота которого равна Я; в) полушара радиуса R1
Решение, а) Поскольку параболоид образован вращением
кривой х = у2 вокруг оси Ох, то для нахождения центра тяжес-
ти воспользуемся формулой (7)
_Г^_Г^^2?\2
' j"y2dx j"xdx Зх\ 3
Следовательно, от плоскости основания центр тяжести ле-
1 „
жит на расстоянии —Н .
б) Для нахождения центра тяжести конуса воспользуемся
результатами задачи 6.7,а (рис. 12.46). Так как объем конуса ра-
1 ,
вен V =—nRH , то координата центра тяжести находится по
формуле
nR2H2-3 1
хс = -^- =------— =—Н.
V \2tiR2H 4
680
Гпава 12
Этот же результат получается при вычислениях по формуле
(7), т.к. расчеты в обоих случаях тождественны.
в) При вычислении центра тяжести полушара воспользуем-
ся результатами задачи 6.7,6 (рис. 12.47). Зная, что объем полу-
гг 2
шара равен V = —itR , расстояние от плоскости основания
находим по формуле
дЯ4-3 3
х„ ~ -------- = -R.
с V 4-2лЯ3 8
Этот же результат получается при вычислениях по формуле (7).
7.4. Найти центр тяжести поверхности полусферы.
Решение. При вычислении центра тяжести полусферы вос-
пользуемся результатами задачи 6.4,6 (рис. 12.47). Поскольку по-
лусфера представляет поверхность вращения, то по формуле (8)
имеем
т xR3 xR3 1
х„ = =----------------------=------г =—R-
s , я а м 2
7.5. Найти координаты центра тяжести цилиндрической по-
верхности x2+y2=R2, ограниченной плоскостями z = 0 и
z = y (у>0).
Решение. Координаты центра тяжести цилиндрической по-
верхности, перпендикулярной плоскости Оу (рис. 12.39), опреде-
ляем по формулам (9).
Площадь цилиндрической поверхности равна
sfzdl = j ^Zyjl+у'2dx. Поскольку z=y, =R^, у ,
TO
S= л/я2-х2 . R dx=Rx^ =3R2.
J-* Jr2-x2 '*
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
681
Используя статические моменты, вычисленные в задаче 6.8.,
. 77 R 77 п
получим хс=0, ус 2д2 =~4 Z<
77 R 77
------г- — — R.
4 2Л2 8
7.6. Пользуясь теоремой Гульдина, найти координаты цент-
ра тяжести: а) дуги астроиды х = а cos31, у — a sin3t, лежащей в
первой четверти; б) полукруга.
Решение, а) Вследствие симметрии дуги астроиды относи-
тельно биссектрисы первого координатного угла, координаты
центра тяжести равны хс - ус. На основании первой теоремы
Гульдина площадь поверхности, полученной вращением астро-
иды вокруг оси Ох, равна длине дуги астроиды, умноженной на
длину окружности, описанной ее центром тяжести, т. е.
S = L-2.77ус.
Площадь поверхности вращения астроиды найдена в зада-
че 5.2 и равна 5 = —77а2. Длина дуги найдена в задаче 4.1,6 и
3 5 6яа22 2
равна L = — а . Таким образом у, = -— = —---= — а.
1 2 L277 5-За2т7 5
б) Выберем оси координат таким образом, чтобы ось Ох
совпадала с диаметром, начало координат с центром круга.
Вследствие симметрии полукруга относительно оси Оу имеем
хс =0.
При вращении полукруга вокруг оси Ох получим шар, объем
4 1 2
которого равен V = ~nR Площадь полукруга равна 5' — -^77R .
Пользуясь второй теоремой Гульдина, имеем V = S- 277ус. Отсю-
4лЯ3 2 4Я
ДД Ус ~ - D2 П ~ 1
377R 277 377
7.7. Найти поверхность и объем тела, которое получается
при вращении окружности (х-а)2 + у1 = R2, 0 < R < а вокруг
оси Оу (такое тело называется тором).
682
Гпава 12
Решение. Центр тяжести окружности совпадает с ее цент-
ром и отстоит от оси вращения Оу на расстоянии а. Используя
первую теорему Гульдина, находим площадь поверхности
5 = Ыла = 2л R 2ла = 4я2аЯ. Объем тора находим по второй
теореме Гульдина Г = лР2 2ла — 2л1 aR2.
12.8. Приложение определенного интеграла
к задачам механики и физики
1°. Сила давления жидкости на вертикальную пластинку
согласно закону Паскаля (рис. 12.54) равна произведению пло-
щади пластинки S на глубину ее погружения х и определяется по
формуле Р = yxS или
P = yj = xydx, (1)
где у = f(x)— известная функция, зависящая от формы плас-
тинки; а и b — значения переменной интегрирования, соответ-
ствующие граничным точкам пластинки; у — удельный вес
жидкости.
2°. Работа переменной силы f(s) при перемещении едини-
цы массы из положения s = a в положение s = b численно равна
определенному интегралу
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
683
f(s)ds. (2)
Ja
Если переменная сила f (х) действует в направлении оси Ох,
то работа силы равна
А=\ f(x)dx. (3)
Ja
Если положение точки на траектории ее движения s = s(i)
описывается с помощью переменной t,a<t< fi и величина прой-
денного пути является непрерывно дифференцируемой функци-
ей, то работа определяется по формуле
гД
А = J f(s(ty)s (t)dt. (4)
Ja
3°. Если задан закон изменения скорости v = f(f) при не-
равномерном движении тела, где t — время, то пройденный путь
определяется по формуле
fZ> rb
S = J vdt = \ f(t)dt, (5)
Ja Ja
где a, b — значения переменной t на концах пройденного пути.
4°. Скорость истечения жидкости из отверстия на расстоя-
нии h от свободной поверхности по закону Торичелли равна
v ~ /J-yjZgh , где // —коэффициент, зависящий от вязкости жид-
кости, формы сосуда и отверстия (для воды Ц - 0,6), g — уско-
рение свободного падения.
Если за время t уровень жидкости в сосуде понизился на
величину х, то, допуская, что скорость истечения в течение ма-
лого периода Аг постоянна, ее значение определяется выраже-
нием v = /J.y]2g(h-x).
Из равенства объема жидкости вытекшей через отверстие и
объема опорожнившейся за этот же промежуток части сосуда
)J.Sy]2g(h-x)&l - 5(х)Ах, где j — площадь отверстия, S(x) —
684
Гпава12
площадь поверхности жидкости, находим, что время полного опо-
рожнения сосуда равно
1 ем S{x)dx
Т =----== (6)
/J.sj2gio y/h-x
5°. Зависимость между объемом V и давлением р газа при
изотермическом изменении состояния газа, т. е. постоянной тем-
пературе, согласно закону Бойля-Мариотта имеет вид
pV = рм> =с — const. Работа при изменении объема газа от зна-
чения до V2 определяется по формуле
A = ^pdV (7)
или на основании закона Бойля-Мариотта по формуле
Л = ср —= с In —= с In—, (8)
V Pl
где pt и p2 — давления в начале и в конце процесса.
Работа, затрачиваемая на сжатие газа в цилиндре при из-
менении поршня на величину h, находится по формуле
г* dx
'° Н-х
(9)
где Н— высота цилиндра.
В случае адиабатического процесса, когда при расширении
объема газа температура понижается, а при сжатии — повыша-
ется, объем V и давление связаны соотношением Пуассона
pVk = poVo -с-const, где А— постоянная для данного газа ве-
личина, всегда большая единицы (для воздуха к —1,4).
Работа при адиабатическом изменении объема газа равна
Vk
(Ю)
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
685
При движении поршня в цилиндре работа определяется, со-
ответственно по формуле
с <* dx _ poVok fl 1 А
- 5*^ J» (Н-х)к ~ Sk-'(k-l)\{H-h)k-x~ Нк-' J (1
6°. Кинетическая энергия материальной точки массы т, об-
, и mv1
ладающеи скоростью v, определяется по формуле К =------.
При расчете кинетической энергии тела его разбивают на эле-
ментарные частицы. Суммируя кинетические энергии этих час-
тиц, в пределе при н —> , посредством интегрального перехода,
1 "
находят кинетическую энергию всего тела К = — lim У, тр2.
2 ;=|
Если материальная точка вращается вокруг неподвижной
v
оси с угловой скоростью (о — —, то ее кинетическая энергия оп-
г
ределяется по формуле К = ^1(02, где I = тг2 — момент инер-
ции относительно оси вращения, г — расстояние от оси
вращения. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси, находится аналогично, посредством интег-
рального перехода.
8.1. Плотина имеет форму трапеции с верхним основанием
200 м, нижним 150 м и высотой 10м. Определить давление воды
на плотину.
Решение. Сделаем чертеж (рис. 12.55). В силу симмтрии давле-
ние на всю плотину равно удвоенному давлению на половину плотн-
ив
ны. Согласно формуле (1) имеем Р = 2/J^ xydx, где у = 1 т/м<
Найдем зависимость у от х. Возьмем на прямой АВ произ-
вольную точку F с координтами (х,у) и рассмотрим два треу-
гольниа АВС и AEF.
686
Гпава 12
Рис. 12.55
EF АЕ
Из подобия треугольников имеем -------=--- или
СВ АС
EF 10-х S 5
— = ~т—, откуда £F = 25--x; y = 75 + £F = 100—х.
25 10 2 2
Таким образом
10
= 10328т.
г10 Г 5 А ( х2 5 х3 А
Р = 2[ х J00--X \dx = 2 100——
Jo I ( 2 2 2 3
V / \ 7
о
8.2. Цилиндрическая цистерна наполовину наполнена мас-
лом у — 0,9 т/м3. Определить давление масла на каждую из плос-
ких стенок цилиндра, если радиус ее равен 1 м.
Решение. Сделаем чертеж (рис. 12.56). По условию
у = -71-х2 . Согласно формуле (1) имеем
Рис. 12.56
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГОИНТЕГРАПА
687
Р ~ ~ ’Jo x^~xlfifc = ~/'^J0(l~*2)2^(l~*2) =
1 2 Л
= —у-(1-х У
2 3
у _ 0,9
= 0,Зт.
8.3. Найти давление жидкости на прямоугольную пластин-
ку длиной а и шириной Ь, наклоненной к поверхности жидкости
под углом а и находящейся на глубине h.
Решение. Выделим на глубине х элементарную полоску
(рис. 12.57), площадь которой равна dS = . Используя фор-
sin а
мулу (1), получим
Рис. 12.57
ph+bsina nV fA+6sina /7V л
Р = у xdS=—^—f xdx = -^—x2
Jh sinajA 2 sin a
(W э э 1
= —-—(2hbsina + b sin a) = yab(h +—bsina).
2sina 2
8.4. Найти силу, с которой выталкивается круговой ко-
нус с радиусом основания R и высотой Н, погруженный в воду
вершиной вниз так, что его основание находится на поверхно-
сти воды.
Решение. Конус, опущенный в воду, выталкивается верти-
кальной составляющей сил давления (рис. 12.58) Рь - Pcosa .
688
Гпава 12
Рис. 12.58
Силы давления действуют на поверхность конуса. Выделим
элементарное кольцо, площадь которого равна dS = litydl, где
dl = +у2dx — дифференциал образующей. Уравнение обра-
/ х у
зующеи имеет вид +
Отсюда у - 1 —— I, a dl =---±----dx.
I Н J Н
По формуле (1) при у = 1 будем иметь
п , f, х ^H2+R2 ,
Р = 2л R\ х 1----------dx =
{ Н) Н
=—Jh2+r2 f—1 = -лЯЯх/я2+Д2.
Я 2 ЗЯ 3
\ /1о
R 1 2
Поскольку cos а =—. , то Pb ——kR Н.
dR2+H2 3
8.5. Найти давление воды на поверхность шара радиса а,
если его центр находится на глубине b от поверхности воды
(6> а)-
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
689
Решение. Выделим двумя горизонтальными плоскостями эле-
ментарную поверхность шара (рис. 12.59), площадь которой
dS = 1nydl. Из уравнения окружности х2+у2—а2 найдем
I 2~
у' = — и dl = ф + у2dx = 14—-dx = — dx Поскольку элемен-
У V У х
тарное кольцо отстоит от поверхности воды на расстоянии Ь + х,
то пользуясь формулой (1) при у = 1, получим
Р — 2л: [ (b + x)y—dx = 2xa bx + —
J-а у 2
z V ) -а
- ЬлаЬ.
8.6. Найти работу, которую необходимо затратить для за-
пуска ракеты массы т с поверхности Земли на высоту h.
Решение. Сила притяжения тела землей, согласно закону
_ , тМ ,,
всемирного тяготения, равна F = к ——, где М — масса земли,
х2
х — расстояние ракеты от центра земли, к — гравитационная
постоянная. Поскольку на поверхности земли при х = R сила рав-
на F = mg, где g — ускорение свободного падения, то
тМ , R2
mg = к —. Отсюда имеем, что кМ = gR~ nF- mg —.
R‘ x
690
Гпава 12
Используя формулу (3), находим работу
R2 , R2
I mg—dx = -mg—
К Y Y
R+h x
= -mgR21 —-—
к \R + h
П D h
— \=m%R---
R) R + h
Если ракета уходит в бесконечность, т. е. 7г —> , то работа
h
А = lim mgR ——— = mgR.
8.7. Вычислить работу, которую необходимо затратить для
выкачивания масла из корыта, имеющего форму полуцилиндра
длиной а и радиусом R.
Решение. Выделим двумя горизонтальными плоскостями
элементарный слой масла (рис. 12.60), находящийся на глубине
х. Ширина элементарного слоя равна 2у = 2^1 R2 — х2, объем
dV = 2aydx = 2ajR2 — х2dx.
Работа, необходимая для выкачивания этого элементарно-
го слоя масла на высоту х, равна dA = 2yax^R2 -x2dx, vjig у —
удельный вес масла.
Искомую работу А находим интегрированием
А = £ 2'yax'jR2 —х2 dx = —ya у (Л2 — х2 )2
= —yaRi.
3
о
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕПЕННОГОИНТЕГРАПА
691
8.8. Высота пирамиды с квадратным основанием Н, сторо-
на основания а, удельный вес материала у. Вычислить работу,
затраченную при ее постройке на преодоление силы тяжести.
Решение. Выделим двумя плоскостями параллельными ос-
нованию элементарный объем пирамиды (рис. 12.61), находящий-
ся на высоте х. Из подобия треугольников дАВС и bMNB
находим, что ширина выделенного сечения равна
Л/TV Н — х ( х А
---=------, 2у = а 1 = — . Элементарный объем будет
dx. Работа, затраченная на поднятие элементар-
ного объема на высоту х, будет dA = у а 1 - — I xdx.
С О А У
Рис. 12.61
Интегрируя последнее выражение в пределах от 0 до Н,
вычисляем работу, затраченную на преодоление силы тяжести
при подъеме пирамиды
1о
692
Гпава 12
8.9. Шар радиуса R с удельным весом у лежит на дне бас-
сейна глубиной Н > R. Какую работу необходимо затратить, что-
бы извлечь шар из воды?
Решение. Поскольку сила подъема шара до поверхности по-
стоянна и равна разности между силой веса шара и силой, вы-
4 4
талкивающей шар из воды Р = —улР3 ——лР3, то работа на этом
участке определяется произведением силы Р на высоту подъе-
ма Н -2R
4
Д =|лЯ3(/-1)(Я-2Я).
При извлечении шара из воды сила, совершающая работу,
будет изменяться в зависимости от величины надводной части
шара, которая представляет шаровой сегмент (рис. 12.62) объе-
ма V = —лх2 (3R-x), здесь х — высота сегмента. Определяя силу
подъема как разность между силой веса шара и силой, выталки-
вающей шар из воды Р2 = уутЛ3 -^уЯЯ3 ~nx2(3R-x) j и ин-
тегрируя по формуле (2) в пределах от 0 до 2R, находим работу
4=jJo (4R3(y — Y) + 3Rx2—x3)dx =
х4\
4Я3(/-1)х + Ях3--
4 Jo
4
= -д??4(2У-1).
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
693
Таким образом, вся работа по подъему шара равна
4
А = 4 + А2 = - TtR3 (R + (у - 1)Я).
8.10. Деревянный поплавок цилиндрической формы, пло-
щадь основания которого S - 4000 см2, а высота Н = 50 см, пла-
вает на поверхности воды. Какую работу надо затратить, чтобы
вытащить: а) поплавок из воды? б) погрузить поплавок в воду
целиком, если удельный вес дерева у = 0,8 г/см2?
Решение, а) Вес поплавка равен Рп — ySII. Из условия ра-
венства силы веса поплавка и силы Pv=Sh, выталкивающей
поплавок из воды, находим высоту погруженной части поплав-
ка: 0,8-4000 50 = 4000/1; h = 40 см.
Сила, совершающая работу при подъеме поплавка, изменя-
ется от высоты его подводной части и равна разности между его
весом и силой, выталкивающей поплавок из воды
Р = Рп - Pv = ySH -S(h — x). Отсюда, работа при извлечении по-
плавка из воды равна
/ 2 \4°
НО ( Г
Л = £ S(yH — h+x)dx = S\,yHx — hx +— —
I 2 Jo
( 402 А
= 4000 0,8-50-40-402 +---- = 32кГм.
I 2 J
б) Надводная высота поплавка равна 10 см. Сила, кото-
рую необходимо приложить для погружения поплавка, равна
разности между силой выталкивания его из воды Pv = (/i + х)5
и силой веса поплавка Рп = ySH. Следовательно, работа рав-
на
2 \|'°
:] =4000—= 2 кГм.
/10
Г10 X
A = jg ((40+x)S-ySH)dx = S 40х+у-уЯх
694
Гпава 12
8.11. Вычислить работу при растяжении на 2 мм медного
стержня длиной 0,5 м с радиусом сечения 4 мм.
Решение. Если совместить ось Ох со срединным волокном
стержня, то растягивающая сила по закону Гука равна F =Е—,
где 5 — площадь поперечного сечения стержня, I—длина стер-
жня, Е — модуль упругости (для меди £ = 12 104 н/мм2), х —
удлинение в направлении оси Ох.
Подставляя растягивающую силу F в формулу (3), находим
работу
. , 12 IO4 f2
А- Е—хах =---------л:16 хах = 7,68л нм.
Jo I 500 Jo
8.12. Два электрических заряда е0 и е находятся на оси Ох,
соответственно, в точках х0 = 0 и х, = а. Найти работу при пе-
ремещении второго заряда в точку х, = b (Ь>а).
Решение. По закону Кулона заряд е0 отталкивает заряд е с
епе
силой, равной F = -у-, где х — расстояние между зарядами. Ис-
х
пользуя формулу (3), работа при перемещении заряда из точки
х, в точку х2 будет
t tbdx (1 1 А
Л = еое| — = еое\--- •
Ja х ya о)
8.13. Сжатие винтовой пружины пропорционально прило-
женной силе. Вычислить работу при сжатии пружины на 10 см,
если для сжатия на 1см нужна сила в 1кг.
Решение. По условию F = ks. Определим коэффициент про-
F
порциональности к. При j = 0,01m,£ = 1кг,откуда к= — = 100.
Согласно формуле (2) имеем
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
695
А= Г’’ 100^ = 100—
Jo 2
= 0,5кгм.
о
8.14. Скорость движения тела определяется по формуле
v = if - 2t м/с. Какой путь пройдет тело за 5сек ?
Решение. Путь, пройденный телом, определяется по форму-
ле (5)
5 = J5 (3t2 - 2t)dt = (13 -11) £ = 100 м.
8.15. Скорость падения парашютиста определяется по форму-
kt
mg —
ле v = — (1-е т), где g — ускорение свободного падения, т —
к
масса парашютиста, А:—коэффициент пропорциональности, за-
висящий от размеров парашюта. Определить, с какой высоты
прыгал парашютист, если падение продолжалось три минуты.
Решение. Поскольку закон изменения скорости известен, то,
пользуясь формулой (5), получим
180 / /
да? I, _. ( т -
=— 180+1—е
t
о
8.16. Скорость движения точки v = 0, lie-0,01' м/с. Найти
путь, пройденный точкой от начала координат до полной ос-
тановки.
Решение. Пройденный путь определяем по формуле (5), учи-
тывая, что полная остановка точки произойдет при t °°
180А
-1
,пл / к1 \ ( к!
г'вотст — ] mgl т —
— 1-е т Wt=— t+—e т
1о А Г к I А
т
к
S = [”о,11е’001'Л.
Jo
Интегрируя по частям: t = u, е-0,01'dt = dv; dt = du,
-0,011
_ е
v ~ 0 01 ’11олучим
696
Гпава 12
Р
о
S = 0,1 lim
Ге-0,01' е^0"
0,01 0,012
1
0,012
= 103м.
8.17. Скорость точки изменяется по закону v = 2(6 —t) м/с.
Найти наибольшее удаление точки от начала движения.
Решение. Путь пройденный точкой определяем по формуле
(5) с переменным верхним пределом
S = |'2(6-/)Л =12z-f2.
Наибольшее удаление точки находим, рассматривая путь в
функции времени: S' = 12 -2г, 5 = 0 при t = 6, следовательно,
5п;ах = 12-6 —62 =36м.
8.18. Коническая воронка имеет размеры: высота Н — 40см,
радиус нижнего основания г — 0,3см и верхнего R - 6см. За ка-
кое время вода вытечет из воронки: а) полностью; б) если бы
убыль воды постоянно возмещалась.
Решение, а) За время t уровень воды в воронке будет
Н —х. Найдем площадь поверхности воды при этом уровне.
С целью упрощения вычислений считаем, что осевое сече-
ние воронки представляет треугольник, вследствие малости
г в сравнении с другими размерами воронки, а не трапецию
(рис. 12.63).
Рис. 12.63
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
697
Из подобия треугольников Я ВО и MNO имеем:
ОА МА Н Н-х хА
OB MN R у I И I
Площадь поверхности 5(х) = л:Л211 —— I .
Учитывая, что // = 0,6, s-Лг2, по формуле (6) находим
время полного опорожнения воронки
rf I-' Л
r=—1
R2
J-0 -
;/(H-x)2J(H-x) =
2R2H2 2-36 40
= —;—г-т= =-----т л----= 3,8с.
3r//\/2g 3 0,32 \ 2-9,81
б) В случае, если убыль воды постоянно возмещается, то
есть при х = 0, время истечения будет равно отношению объема
воды, вмещающейся в воронке, к объему воды, вытекающей че-
рез отвеостие за одну секунду 0,6лг2 y]2gH , т. е.
36
Т = ---г= =-----——rJ * * * * 40 = 32 с-
0,6лг2^Н 3-0,6-0,32 \ 2-9,81
8.19. Определить расход жидкости через водослив прямоу-
гольного сечения. Высота водослива h, ширина Ь.
Решение. Пусть водослив находится на расстоянии h(l от
поверхности воды (рис. 12.64). Выделим на глубине х элемен-
тарную полоску ширины dx. Поскольку площадь элементарной
полоски равна bdx, а скорость истечения воды через нее
v = ’то Расх°Д воды будет dQ = tJ.y]lgxbdx. Интегрируя
дифференциал расхода воды по высоте водослива, получим
698
Гпава 12
Рис. 12.64
Q = pb\ y[2^dx = ^iJ.by[2gx2
Jha 3
2 i—( - 1
=—/j.by/2g I (Л + Ло)2-A)2
ь,
Если верхняя кромка водослива совпадает со свободной
поверхностью воды, т. е. hn = 0, то расход воды через прямоу-
гольный водослив определяется по формуле
Q^pbJTgh2.
8.20. При устновившемся ламинарном течении определить
расход жидкости через трубу круглого сечения радиуса а.
Решение. Скорость течения в точке, находящейся на рас-
стоянии г от оси трубы, определяется по формуле
Р 2 п
и =---(а ~г'), где Р — разность давлений жидкости на кон-
A/J.I
цах трубы длиной I, р —коэффициент вязкости.
Разобьем трубу цилиндрическими поверхностями, оси ко-
торых совпадают с осью трубы, на элементарные цилиндричес-
кие части толщиной Аг.
Тогда через сечение, заключенное между цилиндрическими
поверхностями площадью 2дгАг, элментарный расход жидко-
сти, т. е. количество жидкости, протекающей через поперечное
сечение в единицу времени, будет равно dQ = v itrdr. Отсюда
расход жидкости через всю трубу
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
699
„г" 2тсР г» 2 2\ , лР( 2г2 г4
0=1 v-2nrdr =-------- (а — x )rd.r =---- а--------
Jo 4/zZ Jo 2д/1 2 4
лРа4
8/J.I
8.21. В цилиндре под поршнем находится воздух объемом
Уо = 0,1 м3 при атмосферном давлении Ро = 10330 кг/м2. Какую
работу надо затратить, чтобы при неизменной температуре объем
воздуха уменьшить в два раза?
Решение. Поскольку температура постоянна, то процесс
изотермический и следует воспользоваться формулой (8). Из ус-
ловия с = Р0Р0 = 1033 кгм, И, = 0,05 м3.
Таким образом, учитывая, что по условию задачи у нас
сжатие, работа будет равна
Л = сГ“ —= 1О331пИ“' = 10331п2кгм.
Jr, JZ 10,05
8.22. Цилиндр с подвижным поршнем диаметра D = 20см и
длины L = 1м заполнен паром при давлении Рй = 10 кг/см2. Най-
ти работу при адиабатическом сжатии, если поршень перемеща-
ется на I = 80см внутрь цилиндра.
Решение. Работа при движении поршня в цилиндре при ади-
абатическом сжатии определяется по формуле (11). Из условия
задачи имеем: с-РоРок = Pn(nR2L)k, к = 1,4. Таким образом,
с dx P0Vk ( 1 ____1_"|
S*4 Jo (L - х)к ~ Sk~' (к -1) [ (L - /)*"' Lk~' j
= Wof{ 1 Г _ J L ( L Г _ (5о,4 _ п
к-1 I L — l I fc-1 I L — l I 0,4 1 '
7 / \v 7 7
8.23. Найти кинетическую энергию однородного шара ра-
диуса R и плотности у, вращающегося с угловой скоростью (О
вокруг своего диаметра.
700
Гпава 12
Решение. Разбиваем шар на элементарные цилиндрические
трубки, осью которых является данный диаметр (рис. 12.65). Эле-
ментарный объем трубки равен dV = 27irhdr , где г — радиус
трубки. Высота трубки по теореме Пифагора равна
Рис. 12.65
Учитывая, что плотность шара равна у, находим
dm = 47r/r\iR2 -r2dr и элементарный момент инерции dl = г1 dm.
Таким образом, кинетическая энергия шара, вращающего-
ся вокруг своего диаметра, равна
f a>2dl = — f г2 dm = Тлагу f r3V^2 —r1 dr.
2 Jo 2 "> Jo
Делаем замену: R2 - r2 = t2, rdr = tdt, тогда
К = 2лгц)2у J" (Л2 -12 )t2dt = ^nafyR5.
8.24. Пластинка в форме параболического сегмента враща-
ется вокруг оси параболы с постоянной угловой скоростью (о.
Основание сегмента а, высота h, толщина пластинки d, плотность
материала у. Найти кинетическую энергию пластинки.
Решение. Расположим координатные оси, как показано на
рис. 12.66, тогда уравнение параболы будет у = 2рх2 Зная ко-
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕПЕПЕННОГО ИНТЕГРАЛА
701
Разобьем параболический сегмент на элементарные части
плоскостями, параллельными оси Оу, перпендикулярными плос-
кости сегмента и отстоящими друг от друга на расстоянии Дг.
Объем элементарной части будет ДК =| QN | </Дг. Переходя к
дифференциалу, масса элементарной части равна
dm = у | QN | ddr. Подставляя сюда высоту элементарной части
4/и2 4г2 f 4г2 А
\QN\=h—y = h--~ = h 1 у ’ получим dm — yhd 1----— \dr.
а \ а J I а J
Элементарный момент инерции равен dl = г2dm . Таким об-
разом, кинетическая энергия сегмента будет
2
1 4r2 L
1---— dr =
а
й)2 (г3
— —^ynd — —
г
3 5 а2
= ^—yhda3.
_,/ 60
/2
702
Гпава 12
8.25. Определить количество тепла, выделяемое перемен-
ным синусоидальным током I = Io sin cot в течение периода Т в
проводнике с сопротивлением R.
Решение. По закону Джоуля-Ленца количество тепла, выде-
ляемого постоянным током за время t, определяется по форму-
ле Q = 0,241 ~Rt. Учитывая, что у нас ток переменный, количество
тепла за промежуток времени AQ = 0,241% sin2 COtRAt или
dQ = 0,24 Rll sin2 cotdl.
-г к T
Таким образом, количество тепла за период 1 =— равно
со
т 2л~
Q = j dQ = 0,24Я72 J “ sin2 cotdt =
= 0,12Я/2 F (1 - cos 2cot)dt = 0,24^^-.
Jo CO
8.26. Вертикальный вращающийся вал веса Р и радиуса a
опирается на подпятник. Найти работу силы трения между осно-
ванием вала и прилегающей к ней поверхностью опоры при од-
ном обороте вала.
Решение. Сила трения между основанием вала (пятой) и
прилегающей к ней поверхностью опоры (подпятником) равна
F = pps, где р — давление вала на поверхность опоры в рас-
сматриваемой точке, отнесенное к единице площади опоры, р —
коэффициент трения. Поскольку вес вала Р, то давление на еди-
Р
ницу площади опоры равно р = —-.
па
Рассматриваяр как функцию радиуса-вектора г при вычис-
лении полного давления, воспользуемся методом суммирования
бесконечно малых элементов.
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕПЕПЕННОГО ИНТЕГРАЛА
703
Разобьем поверхность трения на элементарные концентри-
ческие кольца, так что все давление сложится из элементарных
давлений, соответствующих отдельным кольцам. Рассмотрим
кольцо, ограниченное окружностями г и r + dr. Площадь этого
кольца приближенно равна 27irdr Сила трения от кольца шири-
нои dr, удаленного от центра вала на г, равна ——гаг.
а
Работа силы трения на элементарном кольце при одном обо-
4лцР 2 , -г с, с-
роте 2лг равна <1А =—— г dr. Таким образом, полная работа
а
силы трения будет
. r°4TqiP 2, 4/qiPa 4 п
А=\ -F—r2dr=-~-------=~70lPa.
а2 а2 3 3
8.27. Найти силу притяжения, с которой действует матери-
альный стержень длины / и массы М на материальную точку
массы т, находящуюся на одной прямой со стержнем на рассто-
янии а от одного из его концов.
Решение. Сила F взаимодействия двух точечных масс опре-
ктМ
деляется законом Ньютона г = —2—, где г — расстояние меж-
г
ду точками, т и М — массы точек, к — коэффициент
пропорциональности.
Масса единицы длины стержня (линейная плотность)
М
— = const — величина постоянная. Выделим элемент стержня
длиной dx, отстоящий от его конца на расстоянии х. Сила взаи-
модействия выделенного элемента с точечной массой т равна
ктМ
dF =-----z- dx. Отсюда вся сила притяжения будет
(а + х) I
„ г' ктМ , ктМ 1 ктМ
F - ---------dx =------------=----------.
lal(a + xy I а + х о а(а + Г)
ЛИТЕРАТУРА
{.Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и
аналитическая геометрия. М.: Наука, 1984. — 190с.
2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интег-
ральное исчисление. М.: Наука, 1984. — 431с.
3. Воеводин В. В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980. — 400с.
4. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. М.:
Наука, 1999. — 232с.
5. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. М.: Наука,
1983. — 317с.
6. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа.
Альфа, т. 1, 1998. — 687с., т. 2, 1998. — 584с.
7. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по
математическому анализу. М.: Высшая школа, 1999. —
695с.
8. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры. М.: Наука, 1984. — 320с.
9. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисле-
ние. М.: Наука, т. 1, 2001. — 415с., т. 2, 2001. — 544с.