Текст
СБОРНИК
по
ВЫСШЕЙ
АЛ ГЕБРЕ
л: я. окунев
СБОРНИК ЗАДАЧ
по
ВЫСШЕЙ
АЛГЕБРЕ
Рекомендовано ученой комиссией Г УВУЗ*а
Министерства просвещения РСФСР
в качестве учебного пособия
для пединститутов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»
Москва 1 964
ПРЕДИСЛОВИЕ
Этот задачник предназначен для студентов физико-математического фа-
культета педагогических институтов и содержит задачи, посвященные теории
определителей, общей теории систем линейных уравнений с несколькими не-
известными, теории матриц, группам, кольцам и полям, комплексным числам,
многочленам от одного неизвестного, алгебраическим расширениям и реше-
ниям алгебраических уравнений в квадратных радикалах, теории симметриче-
ских многочленов и теории исключения. Наряду с упражнениями, предназна-
ченными для овладения общих приемов решения типовых задач, в сборнике
имеются задачи, содействующие лучшему усвоению теоретического материала,
а также задачи, являющиеся обобщением и углублением задач курса элемен-
тарной алгебры. В задачнике содержатся некоторые методы, отсутствующие
в учебниках (например, применение способа Гаусса к нахождению линейной
зависимости и обратной матрицы, итеративный способ решения систем линей-
ных уравнений, решение в квадратных радикалах некоторых уравнений чет-
вертой степени, метод неопределенных коэффициентов при уничтожении ирра-
циональности в знаменателе). Для многих задач даны указания и для более
трудных задач — краткие решения. Ими рекомендуем пользоваться только
после неоднократных попыток самостоятельного решения предлагаемых задач.
Полезно задачи решать во всех деталях и не ограничиваться теми указания-
ми и краткими решениями, которые даны нами в ответах.
В заключение считаю своим приятным долгом выразить признательность
А. П. Дицману и Е. П. Шимбиревой за ценные указания и замечания. Выра-
жаю сердечную благодарность моему другу и помощнику -г моей жене.
Л, Я» Окунев
ГЛАВА I
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
§ 1. Определители 2-го и 3-го порядка
• 1. Непосредственно проверить справедливость следующих
свойств определителя 2-го порядка:
а) определитель 2-го порядка не изменяет своего значения,
если все его строки сделать столбцами, сохраняя их порядок сле-
дования, т. е.
| а11 °12 __ а11 а21I.
I ®21 Я22 I ^12 ^22 I
Ь) определитель 2-го порядка изменяет свой знак на противо-
положный, а по абсолютной величине не изменяется, если поме-
нять местами две его строки или два столбца, т. е.
1а11 а12
|а21 а22
а21 °22
аи а1а
а11 а12 _ _____ й12 а11
а21 а22 й22 а21
с) если в определителе 2-го порядка одинаковы две строки или
два столбца, то определитель равен нулю;
d) если элементы какого-нибудь ряда (т. е. строки или столбца)
определителя 2-го порядка обладают общим множителем, то этот
общий множитель можно вынести за знак определителя, например
/ИОц ®121 _ т |йц Й13 .
^22 I I ®21 ®22
е) если элементы какого-нибудь ряда определителя ,2-го поряд-
ка являются суммами двух слагаемых, то определитель можно
разложить на сумму двух определителей того же порядка, например
I Ьц С11 ^12 С12 _ ^11 ^12 J_ I С11 С12 I
I ^21 &22 ^21 &22 I ^21 ^221
' 2. Показать, что определитель 2-го порядка тогда и только тог-
да равен нулю, когда его строки или столбцы пропорциональны
(множитель пропорциональности может быть равен и нулю).
3
3. Показать, что значение определителя 2-го порядка не изме-
няется, если к одной строке (столбцу) прибавить другую строку
(ртолбец), умноженную на некоторое число т, например
йи а12
**21 **22
«11+"“*21
**21
а124-та22
**22
4. Вычислить следующие определители 2-го порядка:
а) 7
2
е) II
Н . Ь)
4 ’
— 1 .
cos а ’
3 —1 . с) cos а cos pi d) | sin а — cos а
2 —5’ sin а sin р|’ |cosa sin а :
f) la-|-6 — 2(a-j-d) . g) x-|-l x I
I b a—b ’ x2 x2—x-|-l|’
h)
Кб ) Igy^- 5 Igyg- 5
5
(5^5 )lgrg-j lg/5-у
j) I cos2?—sin2? 2 cos? sin?
I —2 cos? sin? cos2?—sin2?
5. Вычислить определители 2-го порядка:
аИ!а f > где e = cos-^+*sin i = у_ i ;
Ь)
cos a -]-* sin a
COS a—isina
cos p 4- i sin p I
cosp — fsinpl’
i = K—Г;
c) s-|-2 e-|-2 , где e—любой из корней уравнения
s+1 2s-4-1 x24-2x4-2 = 0;
где a—любой из корней уравнения
х44-2х3+х24-3х—6 = 0
(при вычислении определителей можно пользоваться свойством
е) задачи 1 и свойством, сформулированном в задаче 3).
6. Проверить непосредственно справедливость формул Крамера
у..___________________________ Вг
~D' У~~Б' Г«е
**11 **12
**21 **22
решения системы линейных уравнений aux a12y = bu
azix + азаУ — с двумя неизвестными
¥=0
7. Показать, что если Д = аих 4- «иУ—blt f2 = а21х-}-а^у — b2,
то всякое решение системы линейных уравнений = 0, fa = 0
является решением системы k1f1-\-kJ2 = 0, /1А. + Уг = 0, где
klt k2, lt, l2— некоторые числа.
8. Пользуясь результатами задач 6 и 7, показать, что при
с Г) _ «11 «12
1«21 «22
система линейных уравнений аих-{• аау = blt a2lx-}-a22y—b2
имеет решение, и притом единственное.
9. Показать, что при
D = ““ “12 13 = 0
«21 «22
система линейных уравнений аих 4~«iay = &х» «21Х4"«22У = Ь2
либо несовместна, либо имеет бесконечное множество решений.
10. Две системы линейных уравнений с двумя неизвестными
х, у называются равносильными или эквивалентными, если каж-
дое решение одной системы является решением другой или если
обе системы несовместны. Показать, что системы /х = 0, f2 = 0
и Wx + V2 = 0. /iA4-V2 = 0> где Л = аих4-а12у — bt,
f2 = а^х4-а22у—^равносильны в случае, если определитель
второго порядка | |, составленный из чисел klt k2, llt l2,
отличен от нуля.
11. Пользуясь формулами Крамера, решить следующие системы
уравнений:
а) 3x4- 8у = 1, Ь)
7x4- Ну = 3;
d) xsina4-ycosa = a,
xcosa—у sin a — b;
с) 31х—25у = И,
17х—43у = 12;
f) 6x4- 7у4-13 = 0,
5х— 19у —14 =0.
5х— 9у = 11,
8х4-17у = —2;
е) ах -]- by — в,
— &х 4- ay = d,
a2-j-62 =£0;
12. Исследовать, будет ли система уравнений определенной
(иметь только одно решение), неопределенной (иметь бесконечное
множество решений), несовместной (не иметь решений):
а)12х—lly = 2, b),31x4-15y = 1, c) 12x—17y = 10,
14x4~13y = l; 62x-f-30y = 0; 24x —34y = 20.
13. Исследовать, при каких значениях параметра % система ли-
нейных уравнений будет определенной, неопределенной, несовмест-
ной, и решить эти системы при тех значениях X, при которых си-
стема определенная:
а) (2 — 1)х4-6у = 1, Ь) 5х4~5у = 44~Ь:,
6х-|-(2—Х)у = 1; 7х4-3у = 1-|-Ху;
с) Хх4-(Х4-1)у = 5, d) Хх4-(Х4-10)у = — 1,
Зх4-4у = 5; (X— Ю)х4-(Х-Ь 1)у = 2.
5
14. Проверить справедливость следующего равенства:
а11 «12 . Ьц ^12 _ «11^11 + «12^21 «11^12 + «12^22
«21 «22 ^21 ^*22 «21^11 4“ «22^21 «21^12 4“ «22^22
(правило умножения определителей), пользуясь свойством е),
сформулированным в задаче 1. Пользуясь этим правилом, предста-
1 2| в виде определителя 2-го по-
о —ч- I •
14 41
вить произведение I g 71 •
рядка.
15. Система линейных уравнений апх + а12у = 0, о21х+.
4- а22у = 0 со свободными членами, равными нулю, называется
однородной. Нулевым или тривиальным решением такой системы
называется решение, при котором значения неизвестных равны
нулю: х = 0, у = 0. Показать, что однородная система тогда и
только тогда имеет ненулевое решение, когда ее определитель ра-
вен нулю.
16. Пользуясь предыдущей задачей, установить, при каких
значениях k однородная система имеет ненулевые решения, и най-
ти одно из таких решений:
а)£х4-у = 0, b) (k — 1)х4~2у = 0, с) 6x4-(6 4-1) у = О,
x-\-ky = O; 2x4-—1)у = 0; (k—1)х4-26у = 0.
17. Показать, что при справедливо равенство:
ах + b а
a b I
с d I ,
сх + d с с(сх + d)
При каком необходимом и достаточном условии дробь не
cx + d
зависит от х?
18. Проверить справедливость следующих свойств определите-
ля 3-го порядка:
а) определитель 3-го порядка не изменяет своего значения,
если все его строки сделать столбцами, сохраняя их порядок сле-
дования, т. е. . .
ап «12 «13
«21 а22 «23
«31 «32 «33
«11 «21 «31
«12 «22 «32 •
«13 «23 «33
Ь) определитель 3-го порядка при перестановке двух каких-
нибудь его строк или столбцов изменяет знак на противоположный,
а по абсолютной величине не изменяется;
с) определитель 3-го порядка с одинаковыми двумя строками
или столбцами равен нулю;
d) если элементы какого-нибудь ряда определителя 3-го поряд-
ка обладают общим множителем, то этот множитель можно вы-
нести за знак определителя;
6
е) если элементы какого-нибудь ряда определителя 3-го поряд-
ка являются суммами двух слагаемых, то определитель можно раз-
ложить на сумму двух определителей того же порядка (сравните
с задачей 1).
19. Показать, что определитель 3-го порядка равен нулю, если
•какие-нибудь две его строки или два столбца пропорциональны.
Верно ли обратное, т. е. будут ли в случае равенства нулю опреде-
лителя 3-го порядка пропорциональными какие-нибудь его две стро-
ки или два столбца?
20. Показать, что значение определителя 3-го порядка не из-
менится, если к одной его строке (столбцу) прибавить другую стро-
ку (столбец), умноженную на некоторое число (сравните с задачей 3).
21. Вычислить определители 3-го порядка:
a) Ф 1 2 1 3 4 3 7 1 7 8 1 1 1 2 4 8 3 9 27 b) » e) » 3 4 7 5 1 3 2—18 0 1 2 1 0 3 2 3 0 c) > f) » 5 -3 11 2 —9 5 1—4—12 5 9—2 3 3 0 4—5 0
22. Минором элемента ау определителя 3-го порядка назы-
вается определитель 2-го порядка, получающийся вычеркиванием
строки и столбца, проходящих через ау. Показать, что если в
определителе D третьего порядка все элементы какой-нибудь
строки (столбца), кроме ау, равны нулю, то £> = ау(—1)‘+-/Л4у, ,
где Мц—минор элемента ау.
23. Пользуясь свойствами определителя 3-го порядка, сформу-
лированными в задачах 20 и 22, вычислить следующие определители:
Ф
а)
1 9 8
— 7 3 5
6 4 —11
Ь) 9 1 1
19 1;
с)
13 14 37
— 11 19 47
51 52 63
а Ъ с
cab
Ь с а
е).
а -|-х а а
a a-j-x а
а а а
а-\-х а а
а а-|-х а
а а а-\-х
1 1 9
D
где а — корень уравнения x2-j-x-|-l =0;
к)
2 cos2 a sin2 а
1 cos2^ sin3 £
1 cos2 f sin2 т
1 cos2 a cos 2 а
1 cos2p cos2p
1 cos2 7 cos 2 7
m)
1 tga tg2a
1 tgp tg2p ;
1 tg7 tg27
7
n)
cos2 a sin 2 a sin2a
cos2p sin 2 [3 sin2p
cos2 7 sin 2 y sin27
24. Алгебраическим дополнением Ay элемента, а у определи-
теля D третьего порядка называется (—1)/+> М;у-, где Му— ми-
нор а у (см. задачу 22). Проверить справедливость следующих
равенств:
а11 ^11 + аП ^12 + а13 Лз =
аи ^11 + a2Z ^2/ а31 ^31 (t = 1, 2, 3).
25. Проверить справедливость равенств:
ап 4/1 а/2 А'2 + й13 А}з = О»
aii\j'\'a2l^2j'ira3l^3j — 0 0 ¥=/, ^, / = 1» 2,3),
где Ау—алгебраическое дополнение элемента ау (см. задачу 24).
26. Пользуясь свойством определителя 3-го порядка, сформу-
лированным в задаче 24, вычислить следующие определители:
а)
31 27 111
95 68 76
123 101 285
Ь)
85 17 —19'
37 13 21 ;
— 15 27 —43
с)
1 1 1
а b с
be са ab
1 a a3
1 b b3
Ice3
27. Элементы определителя 3-го порядка равны 1 или — 1,
причем определитель отличен от нуля. Показать, что абсолютная
величина такого определителя равна 4.
28. Показать, что определитель
й1а1 + &1 «г’зНА +
й2а1 + 62 й2а2~Н>2 й2 “з 4- К
й3а1 + &3 йЗа2~Ь^З й3аз + &3
Где alt а2, а3 — произвольные числа-, равен нулю, не развертывая
определитель, но пользуясь соответствующими свойствами.
29. Найти сумму алгебраических дополнений (см. об алгебраи-
ческих дополнениях в задаче 24) всех элементов определителя:
а) О О
О а2 0 ;
О 0 йз
Ь) О 0 Cj
О О|0 .
й3 О О
30. Не применяя правила Саррюса и пользуясь только соответ-
ствующими свойствами определителя, решить уравнения:
8
a)
2—1 2
3 5 3
1 6 x-|-5
= 0;
b)
1 4 2
2 5 4
3 6 x—10
c)
e)
1 x x2
1 2 4
1 3 9
= 0;
31. Решить по правилу Крамера системы линейных уравнений:
а) 2х -|- у 4" 3z =
8х — Зу 4~ 5z =
2х 4- 5у — z =
9,
13,
5;
Ь) 5х — 9у + 4z = 7,
7х — Зу 5z = 32,
2х 4- 4у 4~ 3z = 41;
с) Зх 4- 4у 4- lz 4- 1 = О,
— 2х 4- 5у — 3z — 1=0,
5х—бу 4-Hz4“3 = 0;
d) 2х 4- 4у 4- 8z 4- 7 = О,
3x4- 9у4~ 27? — 5 = 0,
5x4-25y4-125z—1 =0.
г = а,
а2? = р,
32. Решить по правилу Крамера следующие системы буквенных
уравнений:
a) x-J- у4~г
х4-ау4"<
x4-&y4_62z = T, b, a=h 1, b=f= 1;
b) a^-^a^y-^a^z = a,
a1x4-(aa4-61)y4-a3z=p,
a1x4~aay 4-(a34-^)2 = Ъ ai=£°. ¥= 0, &2¥=0;
C) (Oi —a1)x4-(a1—а2)у4-(а1 —a3)? = 2,
(a2 — ai) X 4- («2 — аг) У + (аг — аз)2 = 2
(a3 4- ai) x 4" («з — <*2) У + (аз + «з)г = 2,
®з 4^0, ®3 =/= <xp Oj,
d) x 4- <»y 4~0)82 = 1»
<o2x 4- 2y 4- “Z =2,
2x4-u>2y 4~<“Z = 3,
где ® — один из корней уравнения х2 4- х 4- 2 = 0.
§ 2. Определение и основные свойства определителя п-ro порядка
33. Указать транспозиции, с помощью которых можно а) от
перестановки 10, 1, 2, 8, 7, 4, 3, 6, 9, 5 перейти к перестановке
8, 9, 5, 1, 10, 7, 2, 3, €, 4; Ь) от перестановки 9, 5, 1, 8, 3, 7,
4, 6, 2 перейти к перестановке 9, 8, 7, б, 5, 4, 3, 2, 1; с) от пе-
9
рестановки 2,4, б, . .., 2п, 1,3, 5,..., 2п — 1 перейти к переста-
новке 2п, 2п —1, . . . , 4, 3, 2, 1.
34. Найти число инверсий в следующих перестановках и ука-
зать четность перестановки:
а) 8, 1, 5, 9, 7, 4, 3, 6, 2; Ь) 10, 5, 3, 8, 4, 7, 2, 6, 1, 9;
с) музыка, если в качестве исходной принимается перестановка
букв а з к м у ы.
35. Найти число инверсий в следующих перестановках и ука-
зать общий вид тех п, для которых рассматриваемая перестановка
будет четной, и тех ft, для которых она будет нечетной:
а) 2, 4, 6, ... , 2п, 1, 3, 5, .... 2п — 1;
b) 1, 3, 5, .... 2п — 1, 2, 4, 6, .... 2ft;
с) 2п, 1, 2п — 1, 2, 2ft — 2, 3, ...,«+ 1, ft;
d) 1, 4, 7, . . . , 3ft — 2, 2, 5, .... 3ft — 1, 3, 6, .... 3ft;
e) 3, 6.3ft, 1, 4, . . . , 3ft — 2, 2, 5, . . . , 3ft — 1;
f) 2ft, 2n — 2.....6, 4, 2, 2ft — 1, 2ft — 3, .... 5, 3, 1. •
36. Подсчитать число инверсий в следующих перестановках:
a) 3ft, 3ft — 3, .... 6,3,1,4,.... 3ft — 2,3ft — 1, 3ft — 4, . . ., ?
5, 2;
b) 3ft, 3ft — 3, . . . , 6, 3, 3ft — 2, 3ft—5,.... 4, 1, 3ft— 1, ...,
5, 2;
' c) 3ft — 2, 3n — 5, .... 4, 1, 3ft — 1, 3ft — 4, ... , 5, 2,3 ft,
3ft ~ 3, • • • , 6, 3.
37. Указать перестановку из n чисел 1, 2, . . . , ft, имеющую
наибольшее число инверсий, и подсчитать число инверсий в этой
перестановке.
38. Показать, что с помощью некоторой транспозиции можно
число инверсий во всякой перестановке из ft чисел 1, 2, . . ., ft
понизить на единицу, если только перестановка отлична от пере-
становки 12 ... ft.
39. Показать, что для данного числа k, удовлетворяющего ус-
ловию 0 < k < n^n~^, существует по меньшей мере одна пере-
становка из «чисел 1, 2, ... , «, содержащая k инверсий.
40. Сколько существует перестановок из п чисел 1, 2, ... , п,
содержащих С2п инверсий, С2п — 1 инверсий?
41. Показать, что всякую транспозицию чисел i, j, не стоящих
рядом, можно заменить 2т 4- 1 смежными транспозициями (т. е.
транспозициями рядом стоящих чисел), где т — число промежуточ-
ных между i и / элементов перестановки. При этом 2т + 1 явля-
ется минимальным.
42. Показать, что всегда можно от одной перестановки чисел
1, 2, . . . , ft перейти к другой перестановке из тех же чисел с по-
мощью смежных транспозиций,
1Q
43. При каком необходимом и достаточном условии транспози-
ция двух чисел, не находящихся рядом в перестановке а2 <х3 . . .
. . . ая, увеличивает число инверсий на единицу? Уменьшает число
инверсий на единицу?
44. Что произойдет с числом инверсий в некоторой перестанов-
ке чисел 1, 2, ... , п, если произвести в ней транспозицию (12)?
45. Чему равна сумма инверсий (беспорядков) и числа поряд-
ков в произвольной перестановке чисел 1, 2, .... п?
46. Показать, что если в перестановке ах a2 ... a„ чисел
1,2,... , п имеется т инверсий, то в перестановке ... <хх бу-
дет С2 — т инверсий.
47. Показать, что имеется столько перестановок чисел
1,2,..., п с т инверсиями, сколько и перестановок из тех же чисел
с С2 — т инверсиями.
48. Пусть ах а2... а„ — некоторая перестановка из п чисел
1, 2, ... , п. Что можно сказать о знаке произведения
<$ = П (at— а»)
в связи с четностью и нечетностью перестановки axa2 . . . a„?
Доказать, рассматривая произведение S, теорему об изменении
четности перестановки при транспозиции.
49. Игра в «15» заключается в следующем. В коробочке, рассчи-
танной на 16 квадратных плиток, находится только 15 пронумеро-
ванных плиток и одно пустое место. Расположив в коробочке все
15 плиток в произвольном- порядке:
«1 «2 «з «4
«5 «в а7 «8
«9 аю an а12
а13 а14 «15
с пустым местом в правом нижнем углу, пытаются затем разместить
их в порядке возрастания;
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15
с пустым местом в том же правом нижнем углу, передвигая плитки,
11
но не вынимая их из коробочки. Показать, что если перестановка
аха2. . . а14а16 нечетная, то этим способом нельзя плитки разме-
стить в порядке возрастания.
50. Выяснить, какие из следующих произведений являются чле-
нами определителя соответствующего порядка; указать при этом
порядок определителя и знак члена: a) а43ав1а52а13а25а34;
b) с) ^I5^2g^75^3e^si^43*>
d) aniO/rr-1, 2 • • • ®1л> е) ®12а23 • • • ^й»4+1 • • • Ittflnl’
1) ^13^24^35 • • • ®л-2>п^л>
g) й>21а43 • • • a»n>2n-l>(hifl3i • • • а2п-1>2п‘
51. Выбрать i и k так, чтобы произведение
было отрицательным членом определителя седьмого порядка.
52. Выбрать i, j, #так, чтобы следующие произведения были по-
ложительными членами определителей соответствующих порядков:
а) b) Q324Z5i(Z7X(Z85fl!4ya18(Ze3a2j(,.
53. Сколько членов, отличных от нуля, имеет определитель
п-го порядка, если а) ац = 0, но все остальные элементы отличны
от нуля; Ь) ау = 0, но все остальные элементы отличны от нуля;
с) ац = а12 — • . . = = 0, (k < п), но все остальные эле-
менты отличны от нуля; d) все элементы равны нулю, кроме элемен-
тов главной и побочной диагоналей?
54. Сколько членов, равных нулю, имеет'определитель n-го по-
рядка, если он имеет k равных нулю элементов (k <л), находящих-
ся в разных строках и столбцах, а все его остальные элементы от-
личны от нуля?
55. Сколько отличных от нуля членов имеет определитель п-го
порядка, у которого все диагональные элементы Оц, а^, ... ,
апп равны нулю, а остальные элементы отличны от нуля?
56. С помощью одного лишь определения определителя п-го
порядка найти, чему равен определитель D шестого порядка, у
которого первые четыре элемента в каждой из последних трех строк
равны нулю.
57.. С помощью одного лишь определения определителя п-го
порядка вычислить следующие определители:
- а) 1 1 1 ... 1 Ь) ап 0 0.. . 0
0 2 2 . . . 2 П2Х ^22 0 • • . 0
0 0 3 . . . 3 >
0 0 0 . . . п • ап1 &П2 &ПЗ • • • апп
(все элементы выше главной диагонали равны нулю);
с) '
0 0 ... 0 а1п
0 0 ... Й2Л-1 агп
«Л1 ^л2 • • • ®лп—1 ^пп
(все элементы выше побочной диагонали равны нулю);
12
d) определитель шестого порядка, у которого все элементы рав-
ны нулю, кроме элементов главной и побочной диагоналей.
58. Пользуясь свойствами
а) определитель с двумя пропорциональными строками (столб-
цами) равен нулю;
в) определитель не изменится, если к какой-нибудь строке
(столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на не-
которое число,
показать, что равны нулю следующие определители порядка
л^-3;
а)
12 3
п —1 п —|-2 и-{-3
2га-|-1 2« + 2 2« + 3
п
2п
Зп.
п(п— 1)4-1 л(п—1)+2 п(п—1)4-3 .. . п2
b) D = I а1к |, где а1к — i — k\
с) D = I а1к |, где alk = .
К
59. Как изменится определитель n-го порядка (п > 3), если
из его первой строки вычесть вторую, а из второй третью и из
третьей строки первоначальную первую строку?
60. Как изменится определитель n-го порядка (п$г2), если к
его первой строке прибавить вторую, умноженную на некоторое
число klt ко второй строке прибавить третью, умноженную на
некоторое число k2, и т. д.; наконец, к /-й строке (2 <; I п)
прибавить первоначальную первую строку, умноженную на неко-
торое число kft
61. Как изменится определитель га-го порядка, если первые его
k строк написать в обратном порядке и в обратном порядке на-
писать следующие п — k строк?
62. Как изменится определитель n-го порядка, если каждйй
его элемент atj умножить на ij?
63. Элементы определителя D n-го порядка удовлетворяют
условию а1к = — akl (кососимметрический определитель). Пользу-
ясь соответствующими простейшими свойствами, показать, что
в случае нечетного п определитель D равен нулю.
64. Показать, что если D — определитель n-го порядка с ком-
плексными элементами а1к, то определитель n-го порядка с эле-
ментами а1к, где а1к—комплексное число, сопряженное а1к, явля-
ется комплексным числом D, сопряженным D.
65. Элементы определителя D n-го порядка удовлетворяют
условию а1к = ак1, где аы — комплексное число, сопряженное ак1.
Показать, что и — действительно.
66. Показать, что всякий определитель D порядка п можно при-
вести к «треугольному» виду, т. е. к определителю, у которого все
13
элементы ниже главной диагонали аи а22. . . апп равны нулю,
если применять следующие преобразования: 1) перестановка двух
строк или столбцов; 2) вычитание из элементов одной строки со-
ответствующих элементов другой строки, умноженных на одно
и то же число.
67. Показать, что определитель D порядка п тогда и только
тогда отличен от нуля, когда все элементы главной диагонали его
треугольного вида (см. предыдущую задачу) отличны от нуля.
68. Показать, что если элементы определителя D n-го поряд-
Л
ка удовлетворяют условию |azft| < 1, то |D| < 1, где |a;ft | и
*=i
| D | означают модули чисел alk и D.
69. Показать, что если D — определитель n-го порядка с эле-
ментами, равными ± 1, то при n^>3 |D| <п!.
70. Показать, что в определителе n-го порядка при п 3 не
могут все члены, взятые с их знаками, быть положительными.
71. Показать, что для определителя D n-го порядка с элемен-
п
тами а1к справедливо неравенство | D ] < 1*1Л ... /„, где lt = | alk |
Л-1
и |D|, |alk\ означают модули чисел D и alk.
72. Показать, что если D— определитель n-го порядка с эле-
ментами alk = ± 1, то при п 3 абсолютная величина D не пре-
восходит (п — 1) (п — 1)!.
73. Пользуясь только соответствующими основными свойства-
ми определителя, найти значение определителя n-го порядка, у ко-
торого alk = (— l)'+fe (и > 2).
74. Пользуясь только соответствующим основным свойством
и определением определителя n-го порядка, вычислить определи-
тель n-го порядка, у которого элементы выше главной диагонали
равны — 1, а элементы главной диагонали и элементы ниже глав-
ной диагонали равны 1.
75. Не вычисляя определителя, решить уравнения:
1 а2
1 х а2
1 а2 х
^п—1
&n—l
«п-1
= 0;
1 (%2 С12 • • * X
Ь)
1 а2 . . .
1 Oj-f-x + l а2 . . .
1 ак а2 .. . + 1
И
с)
lx X2 ... Xя"1
Io, а2 ... a"-1
= 0, ,
1 O™.i д2 , ... a” !
“л—1 u,n—l n—1
где alt a2, ... , an^ между собой различны.
76. Вычислить миноры и алгебраические дополнения элементов
второго столбца определителя
£> = 3 a 1 3 5 6 8 1 1 с —1 —I 2 d 7 2 •
и разложить определитель по элементам второго столбца.
77. Путем разложения по элементам третьей строки вычислить
12 3 4
2 3 4 1
3 4 12
4 115
D =
78. Найти сумму алгебраических дополнений всех элементов
следующих определителей п-го порядка:
а) a 0 0 . 0 a 0 . .. 0 .. 0 Ь) » а а а . . 0 a a . . . а . а
ООО. • • а ООО.. . а
с) 0 0... 0 а d) а а ... а а
0 0... а 0 » а а . . . а 0
a 0 ... 0 0 а 0 ... 0 0
79. Пользуясь лишь соответствующими свойствами определи-
тел а) Ь) я п-го порядка, показать, что справедливы еле 1 ОС-^0^2 #1^4 ^2 2 1 2 2 aia2 a2 ~ 1 a2a3 a2a4 ai a2 ““ a1^3 ®2a3 аз 1 &3a4 a2 2 i 2 2 axa4 a2a4 a3a4 a4 — 1 04 a2 aj— 1 «ia2 . .. дующие равенств; 2 2 a3 «4 -la2 a2 o 4 2 i 2 a3 — 1 a4 a| a2 — 1 1 «1 • • • an i: i
aia2 af 1 ♦ . • а2ал = (aj -J- ... 4- —1) aia4 a?a„ ... a2 — 1 1 1 «2 q • J2 St tO ►—I •
15
(слева и справа определители n-го порядка).
80. Все элементы первой строки определителя n-го порядка
одинаковы и равны а#= 0, и значение определителя равно D. Чему
равна сумма алгебраических дополнений всех элементов опреде-
лителя?
81. Показать, что^(—l)z = 0, где t — число инверсий в пе-
рестановке ... ап из л чисел 1, 2, ..., и и сумма распро-
странена на всевозможные перестановки из п чисел.
82. Найти сумму определителей n-го порядка
а. • • • а\п
*а1 1ап
а ... а
nat * * Пап
где ар а2, .... а„ пробегают всевозможные перестановки чисел
1, 2, ..., п.
83. Дан определитель Д порядка п, все элементы равны 1,
кроме элементов главной диагонали, которые равны нулю:
011 ... 1
Д =
1 1 1 ... о
Определитель D получается путем замены t-й строки определите-
ля Д строкой, все элементы которой равны 1. Показать, что
D — Аи+1, где Аи+1 — алгебраическое дополнение элемента ац+1 оп-
ределителя Д.
16
1 2 3 4 5
5 12 3 4
4 5 1 2 3 ;
3 4 5 1 2
2 3 4 5 1
h)
23 11 48 106
19 32 45 116
7 25 43 83
67 73 81 289
85. Вычислить определители:
Ф
с)
О /2 /3 /5
— /2 0 /3 /5
_/5 _/з 0 /7
-/5 -/5-/7 О
О /2
_/2 О
-/6 -/3
/6 /10
/3 /7
О /5
_/10-/7 -/5 О
§ 4. Буквенные определители
Обычный метод вычисления, применяемый для числовых опреде-
лителей, в случае буквенных определителей часто приводит к
весьма громоздким выражениям. Существуют, однако, особые ме-
тоды, позволяющие получать более простые выражения для цело-
го ряда буквенных определителей, а также определителей с чис-
ловыми элементами, но произвольного порядка п. Мы укажем наи-
более распространенные методы.
Г. Метод приведения определителя ктре-
угольному виду. Идея этого способа довольно проста —
данный определитель преобразуют так, чтобы все элементы, ле-
жащие по одну сторону диагонали, стали равны нулю. Если полу-
чается определитель, у которого все элементы, лежащие по одну
сторону главной диагонали, равны нулю, то такой определитель
будет равен произведению элементов главной диагонали. Если же
получается определитель, у которого все элементы, лежащие по
одну сторону от побочной диагонали, равны нулю, то такой опре-
делитель будет равен произведению элементов побочной диагонали,
взятому со знаком (—I)2 , где п — порядок определителя.
' 17
Пример 1. Вычислить определитель л-го порядка
1 2 3 .. . п
— 1 0 3 .. . п
D = — 1 — 2 0 . .. п
— 1 —2 —3 ... О
Прибавляем первую строку ко всем остальным: получаем определитель
треугольного вида, все элементы которого ниже главной диагонали равны нулю:
D =
12 3... п
О 2 6 ... 2п
О 0 3 ... 2п
О 0 0 ... п
Следовательно, D=s 1.2.3 ... п = л!.
Пример 2. Вычислить определитель n-го порядка:
а а
а а
а п +
а + х а
D =
а + х а ... а а
Прибавляем к последнему столбцу предыдущие столбцы:
а а ... а па-\-х
а а ... а + х па + х
<* + х а ... а па-\-х
Выносим за знак определителя общий множитель па + х элементов последне-
го столбца и затем вычитаем из предыдущих столбцов последний столбец,
умноженный на а. Получаем определитель треугольного вида, у которого
элементы, лежащие выше побочной диагонали, равны нулю:
о о ... о 1
D = (па -|“ х)
Следовательно,
О 0 ... х 1
О х ... О 1
х о.;. о 1
Ц л(п— 1)
D = (— 1)2 (х 4- па)хп~\
В задачах 86—93 вычислить
определители путем приведения
их к треугольному виду.
86. а) 1 1 1 ... 1 Ь) 2 2 2... 2
1 2 1 ... 1 3 4 3... 3
1 1 3 ... 1 > 336... 3
1 1 1 ... п 3 3 3 ... 2п
1$
1 a2 a2 ... an-\-bn
1 1 ... 1 11
1 1 ... 1 I-Hj Г
1 1 . .. 14-a, 1 1
1-K 1 ... 1 1 1
87. a)
b)
c)
88. a)
b)
e)
1 3
— 1 0
— 1 —3
n n— 1
n n— 1
n n— 1
.. 3 2
.. 3 a2
. • a3 a2 ax
n ... a3 a2 ал
an an_l ... a3 a2 a2
5
5
0
2n—1
2n—1
2n—1
— 1 —3 —5 ... 0
ai
Я1
°1
fl3 . . . On_2 an~i &n
Cl3 . . . &П—2 0 «n
<z2 a3 . .. 0 Ад-J oa
0 — a2 — a3 .
X X ... X X 1
x x ... x 2 x
x x ... 3 x x
• •••••»
X n . . . X X X
X X ... X X X
5 3 3
3 5 3
3 3 5
3
3
3
3 3 3 ... 5
1
• • an~2 an-l an
(порядок определителя n);
1 1 0
1 0 1
0 1 1
(порядок определителя n);
0 1 ... 1 1 1
19
С)
х я1 й2
а, х а2
йх й2 х
а„
п
ап
аг й2 а3 ... х
89. а) 1 2 3 ... п — 2 п— 1 п
— 1 1 0 ... 0 00
0 — 1 1 ... 0 0 0
0 0 0 ... -1 1 0
0 0 0... 0 —1 1
Ь) ЙХ а2 а3 .. Сл-1ал
— ь 62 0 .. . 0 0
О —b* Vs ... О О
О 0 0.. .—6я-1 6"
90. а)
а2 а3
Ь2 О
«1
О — Ь2 Ь3
@п—1
О '
О
оя
О
о
О 0 0 ... -Vi6„
b)
«о Й! а2 ... ап_х ап
— 1 х 0 ... О О
0—1 х ... О О
О О 0 ... — 1 х
91. а)
йх х х ... х
х а2х ... х
х х а3 ... X ;
х х х ... ап
Ь)
«1 + *1 йз ... й„
ai а2 + х2... й„
йх az •... ап -}- хп
— 1 с2 —1
- 1 —1
— 1 — 1
— 1 ...- 1 —1
— 1 ... — 1 — 1
с3 — 1 ... — 1 — 1
— 1... —1 сл—1
20
92. a)
„2 1 «2
“1 1 а2
2 „2
Я1 Я2
<
Ь)
af — 1 а^з а^з
я1яз <*2 — 1 а2а3
2 ,
я1яз а2аз я3 — 1 . . •
Я1Я«
«3%
аза„
2 .
Я1ЯЛ Я2ЯЛ Я3ЯЛ • • • % 1
93. а)
Ь)
1 2 3 ... п— 1 п
п 1 2 . .. п — 2 п— 1
п—1 п 1 ... п — 3 п — 2 ;
2 3 4 ... п 1
1 2 3 ... п— 1 п
2 3 4 ... п 1
3 4 5 ... 1 2
п 1 2 ... п — 2 п— 1
с)
а 4-1
а-}-п
а ci — 1
а 4” 2 ci 4~ з
a 4~ 1 ci 4- 2
ci 4- fi ci 4~ 1
a-\-n — 1 a-^-n
a-j-n — 2 a-j-ci—1
ci 4~ ci — 3 ci 4- ti 2
ci 4~ 2 ci 4" з ci 4“ 4 ... ci 4“ ci ci 4" 1
a4~l a-\-2 a-j-3 . .. a-j-n—1 a-j-n
a-j-2 a-i~3 a-i~4 • • • ct~i~n a-j-l
a-\-3 a-}-4 a4-5 ... a4-1 a-j-2
a-j-n a4“l a-j-2 . . . a-j-n — 2 a-j-n—1
2°. Метод выделения линейных множите-
лей. Сущность этого способа заключается в том, что буквенный
определитель n-го порядка рассматривается как многочлен /п-й
степени от одной или нескольких неизвестных (букв). Непосредствен-
но или после некоторых преобразований находят т взаимно про-
21
стых линейных множителей, на которые данный определитель
делится. Тогда с точностью до постоянного множителя с опреде-
литель будет равен произведению этих линейных множителей.
Постоянное с находится путем сравнения соответствующего члена
определителя с членом произведения линейных множителей.
Пример 1. Вычислить определитель п-го порядка
1 2 3 ... п
1 х + а 3 ... п
D = 1 2 х 4- л ... п
1 2 з ... х 4- а
Произведение диагональных элементов этого определителя содержит х в
наивысшей, а именно п—1-й степени. Следовательно, данный определитель
есть многочлен от х степени п — 1. При х = 2 - а, х = 3 — а, . . . , х = п — а
определитель обращается в нуль, так как при этих значениях х становятся
одинаковыми соответственно первая и вторая, первая и третья, . . первая
и n-я строки. Таким образом, D делится на
х + а — 2, х + а — 3, . . х + а —- п,
и потому
£> = с(х + а —2)(х4-а —3). . . (х + а — n). (1)
Для определения с сравниваем член хЛ-1, получаемый при перемножении эле-
ментов главной диагонали определителя, с членом схл-1, получаемым в правой
части равенства (1.) Так как эти члены должны совпадать, то с = 1 и оконча-
тельно
D = (х + а — 2) (х + а — 3). . . (х + а — п).
Пример 2. Вычислить определитель
— х а b с
а —х с b
b с— х а •
с b а — х
Прибавляем к первому столбцу остальные; тогда все элементы первого
столбца станут равными — (х — а — b — с). Определитель D, следовательно,
делится на х — а — Ь — с. А если из первого столбца вычесть второй, приба-
вить третий и вычесть четвертый, то все элементы первого столбца с точно-
стью до множителя 4г 1 станут равными х 4- а — b 4- с, в силу чего D делится
на x-j-n —& + с. Если же к первому столбцу прибавить второй и вычесть
третий и четвертый столбцы, то элементы первого столбца с точностью до
множителя ±1 станут равными х —в силу чего D делится на
х—п + + Наконец, если из первого столбца вычесть второй и третий
столбцы и прибавить четвертый, то с точностью до множителя ± L элементы
первого столбца станут равными х-|-а + & — с, в силу чего D делится на
х + а + b — с. Отсюда
D = m (х — а — b —с) (х 4- а — Ь 4- с) (х — а^Ь 4-с) (х 4- а 4- b — с), (2)
где т не зависит от х, a, Ь, с. Для определения tn сравниваем член х* опре-
делителя D, получающийся при перемножении • элементов главной диагонали, с
членом тх< в правой части равенства (2). Находим, что zn= 1, и окончатель-
но
D = (x~ а — Ь — с) (х + а — Ь 4- с) (х а 4- b 4~ £) (* 4~а 4~ с)-
22
определители методом выделения
В задачах 94—98 вычислить
линейных множителей.
,94. a) 2 3 1 2
2 7 —x® 1 2
• 5 3 8 6
5 3 8 15 —x2
12 3 ...
1 *4-2 з ...
1 2 х+2...
b) 2 3 1 2
2 7 —x® 1 2
5 6 8 3 »
5 15 —x® 8 3
п
п
п
1 2
Ф
ал а2 а3
«1 х4“а аз
а2 * +
ах а2 а3 '. ..* + а
95. а)
1 X} Х2 ... Хп
1 х х2 . . . хп
1 Х^ X • » • Хп
1 Xi х2• • • %
а2 • . • ап
х а2 « • •
а2 х ... ап
, • • • •
а3 а3 . > • х
96. а)
97.
98.
abed
b a d с
с d а b
d с b а
abode
a b d с е
b а се d .
b а е d с
a b d е с
1 хг х\
X3 1 Xt xt
xl x32 1 X2
X xr2 X3 1
Xg ^2 Л2
1 at a2 . .. a" 1
1 a2 a22 ... a""’
1 an a2... an~l
(определитель Вандермонда).
3°. Метод рекуррентных соотношений. Вы-
ражают данный определитель D n-го порядка через один или несколь-
ко определителей того же вида, но низшего порядка. Для этого
определитель D разлагают по некоторой строке или столбцу. Иног-
да приходится соответствующим образом преобразовать D, а затем
уже его разлагать по строке или столбцу. Равенство, при котором
определитель D выражается через один или несколько определи-
телей низшего порядка того же вида, принято называть рекуррент-
ным или возвратным соотношением. Затем, пользуясь методом ма-
тематической индукции, находят, исходя из рекуррентного соотно-
шения, общее выражение данного определителя D.
Впрочем, возможно и такое видоизменение этого способа: в
рекуррентное соотношение, выражающее определитель n-го по-
рядка через определители низшего порядка, подставляют выраже-
ние определителя п — 1-го порядка, получающееся при замене
в рекуррентном соотношении п через п — 1; затем подобным же
образом подставляют выражение определителя и — 2-го порядка
и т. д., пока не придем к общему выражению данного определителя
n-го порядка. Остается лишь убедиться в правильности этого вы-
ражения с помощью метода математической индукции.
Пример 1. Вычислить определитель (п-|-1)-го порядка
«0 — 1 0 0« . . 0 0
X -1 0 . . . 0 0
^/2+1 в 0 X — 1. . . 0 0
ап~1 0 0 0 . . . X — 1
0 0 0 . . . 0 X
Разлагаем Dn+i по последней строке
— 1 0 . .. 0 во -1 0 Л . 0
Dn+1 => °л (— 0я X — 1 ... 0 + * . X — 1 ... 0
• • • * • • « •
0 0 .. . -1 0 0 ... X
Первый определитель в правой части этого равенства имеет треугольный
вид; второй определитель того же типа, что и Dn+i, но n-го порядка и ап уже
не содержит. Следовательно, получается рекуррентное соотношение
Dn+i = ап xDn. (1)
Для установления общего выражения определителя D„+1 рассмотрим £>х
и (т. е. определители 1-го и 2-го порядка того же типа):
£>i = По. “ | х | ~ a°* °1'
Мы видим; что Di —многочлен от х нулевой степени с коэффициентом и
— многочлен первой степени с коэффициентами Oq и а^.
Покажем, что для Dn+1 имеет место аналогичное выражение:
D„+i = о<Л" + в**”"1 + .. • +«4.
24
Пусть доказано, что Dn = + atxP^ + • • • 4* ая_х. Подставляя это
выражение Dn в рекуррентное соотношение (1), получаем, что
Ол+1 = аохп + ъх”-1 +. 4- ап.
Тем самым справедливость общего выражения Dn+1 уже не вызывает сом не*
НИИ.
Пример 2. Вычислить определитель п-го порядка:
2 cos2 — 2 COS0 0 ... 0 0
1 2 cos2 — 2 cos 0 n 0 ... 0 0
0 1 2 cos2— 2 0 0
• • • » • • • • • • • •
0 0 0 ... 2 cos2 — 2 cos 0 20
0 0 0 1 2cos— 2
Разлагая по первому столбцу, COS0 1 получаем: 0 0 2 cos2 *7 2 0 cos 0 ... 0 0 0 0
Dn = 2 cos2 — . Dn. -1~
О О О ...1 2cos2 —
2
Второй определитель в правой части этого .равенства разлагаем по первой
строке. Получаем рекуррентное соотношение:
Dn=а 2 cos2 cos 0 • 1^я_2>
или после замены 2 cos2 — через 1 4- cos 0t
2
® 0 4“ cos °) ^л-i — cos 0 * Dn^. (2)
Заменяем в рекуррентном соотношении (2) п через п—1:
Ря-1 = (1 + cos 0) Dn^ — cos 0 • Dn~3.
Подставляем это выражение Dn^ в равенство (2):.
Dn == (1 4- cos 0 4- cos2 0) Dn^ — (14- cos 0) cos 0 Dn^ (3)
Далее, заменяем в рекуррентном соотношении (2) п через п —2:
(1 4" cos cos 0 • Dn^.
Это . выражение Dn^ подставляем в равенство (3):
/)я =□ (1 + cos 0 4- cos2 0 + cos3 0) Dn^ — (I 4- cos 0 4- cos2 0) cos 0 • £>яМ
и т. д., пока не придем к равенству:
25
Dn я (1 4- cos 0 + ... + cos'1-2 0) D2 — (1 + COS 0 + ... + COS'*-3 0) cos 0 . Dlt
где .
2 cos2 — cos 0
2
1 2 cos2—
2
= 1 + cos 0 + cos2 0,
Di =□ 1 4-cos
или окончательно:
Dn = 1 4- cos 0 4- . •. + cos'* 0.
Справедливость этого выражения Dn проверяется с помощью метода матема-
тической индукции.
Способ рекуррентных соотношений требует умения правильно
подмечать общий вид данного определителя, и в этом, пожалуй,
наибольшая трудность метода. Впрочем, для некоторых определи-
телей такого умения и не требуется. Ограничимся определителями,
удовлетворяющими рекуррентным соотношениям вида:
Dn = PDn-i + <7D(r-2 . (4)
с постоянными коэффициентами р и q (р и q не равны одновремен-
но нулю).
Для решения рекуррентного соотношения (4) рассмотрим квад-
ратное уравнение х2— рх—q = 0 и обозначим через гг и г2 корни
уравнения. Представляются только две возможности: либо a) ri¥=r2>
либо b) г\ = г2 = г.
Пусть а) гг Ф г2. Тогда, пользуясь формулами Виета р = rj4-r2
и q=—i\r2, можно соотношение (4) преобразовать двояким обра-
зом:
Dn r?Pn-l ~ rl ^Ptr-l r2^n-i)> (5)
Вп ГтРп-1 = Г2 (Рп_! (6)
Из равенства (5) видно, что ип = Dn — г2Оп-1 (п — 2, 3, ...) можно
рассматривать как члены геометрической прогрессии со знаменате-
лем гь а из равенства (6) видно, что vn — Dn — можно рас-
сматривать как члены геометрической прогрессии со знаменателем
г2. Отсюда
1 > — ^2^2 *
ИЛИ
Dn - = (D2 - (7)
^-/•iDtt_1 = (D2-r1D1)rT2. (8)
Умножая равенство (7) на гх и равенство (8) на —г2 и почленно
складывая, получаем:
(Г1 Г2> — (^2 Г2^1) Г1 1 (^2 Л1^1) Г2 >
26
откуда
оп = с1Гпг1+с^-1>
где
Коэффициенты Сг и С2 можно вычислять следующим образом:
при п = 1 и п = 2 получаем два линейных уравнения относитель-
но С, и С», а именно: С, + С2 = D, С,г, 4- C,r2 = D,.
Ь)1 гх = ;8 = г. Здесь п^тупаем так:
Dn — rDn-i = г (D^ — rDn_J
и ип = Da — rDn_r являются членами геометрической прогрессии
со знаменателем г. Следовательно,
Dn — rDn^ *= (D2 — rDj) г»-» = Crn,
где C =-5-(Da —/А), или
r2
Prt___ Q
rn rn-i *
т. e. является членом арифметической прогрессии с разностью С.
Отсюда
~ = ^+С(п-2), D^r^+CJ,
где С1 = ^-2С.
Г2
Постоянные Ct и С можно определить из системы линейных
уравнений, получающейся при и == 1 и и = 2.
Пример. Вычислить определитель n-го порядка:
7 4 0 0 ... О О
3 7 4 0
Dn == 0 3 7 4
0 0
0 0
0 0 0 0 ... 3 7
Разлагая по первой строке, получаем:
= 7Dn^ — 12Z\-2‘
Соответствующее этому рекуррентному соотношению квадратное уравнение
х2 — 7х + 12 = 0 имеет корни гх = 3, г2 = 4, Гх ^г2« Следовательно,
рл-^.з»-1+с2.^.
Полагая n = 1 и п => 2, получаем:
Dxs=7, Da=| ? * I =.37, Ci + C2 = 7, 3CX 4-4Ca = 37,
откуда Gj = —9, C2 = 16, Dn = 4"+» - Зл+Ч
27
В задачах 99 —108, пользуясь методом рекуррентных соотно-
шений, вычислить определители.
99.
а0 •• • &п
— х х 0 ... 0
О —х х ... О
О 0 0 ... х
100.
Go flj й2 . . . ^п-1
— у х 0 ... О О
О — ух... О О
О 0 0... —у х
' 101. а0 atj «• • ctfi 102. 0 Й! а2 ... а„_! ап
х0 хг 0 ... 0 0 ... 0 0
0 Xi х2 ... 0 • а2 0 62 ... 0 0
0 0 0 . .. хп ап 0 0 ... 0 Ьп
103.
а О 0 ... О 01
— 1 а 0 ... О 0 1
О —1 а ... О 0 1
О О 0 ... —1 а 1
О О 0 ... О —1 а
104.
а)
8
3
О
5
8
3
О
5
8
О
о
5
О О
О О
О О
О О О 0 ... 8 5
О О О 0 ... 3 8
с)
1 10 0 ... 0 0
— 1 1 10... 0 0
0 — 1 1 1 ... 0 0
0 ООО... 1 1 ’
0 ООО... — 1 1
28
d)
а-|-р ар 0 0 ... 0 0 1 а-j-p ар 0 ... 0 0 0 1 а р ар ... 0 0 0 0 0 0 ... а 4- р ар 0 0 0 0 ... 1 a-j-p •
105. 2 cos? 1 0 1 2 cos? 0 0 0 ... 0 0 ... 0 1 ... 0 0 ... 2cos? 0 ... 1 ! 0 0 0 • 1 2 cos? (порядок определителя и).
1 0 0 0 2 cos? 1 0 0
106. 0 а 0 0 .. . 0 0 107. 1 ( ) 0 ... 0 1
а 0 а 0 .. . 0 0 2 ] I 0 ... 0 x
0 а 0 а .. . 0 0 3 2 1 ... 0 х2
108. 0 0 0 0 ... а 0 10 0 0 1110 0 1 2 21 0 1 3 2!С32 3! 1’ п 2!С* ЗЮ® 0 0 0 0 . . . (n — 1)!< 4 3 2 ...Ox3. ri n— 1 n—2 ... 2 x” 1 X X2 Xя . ;
4°. Метод разложения определителя на сумму
определителей. Иногда удается довольно просто вычислить
буквенный определитель h-го порядка путем разложения его на
сумму двух или нескольких определителей.
Пример 1. Вычислить определитель n-го порядка
Д =
а Ь 0 0 ... О О
О а b 0 ... О О
О 0 а Ь ... О О
О 0 0 0 .... а Ь
О 0.0 0 ... О а
29
Разлагаем его по первому столбцу:
Д = а а b 0 ... 0 0 а b ... 0 + (— iyi+ib b 0 0 ... 0 а b 0 ... 0
0 0 0 ... а 0 0 0 ... b
= ап + (— 1)я+1дя,
так как получились определители треугольного вида.
Пример 2. Вычислить определитель
X + а1 02 03 • • • 0«
01 х + 02 а3 ... ап
Д == 01 0з х+оз... ап
01 02 0з ••• х + ал
Записываем данный определитель в виде:
х + 0i 0 4* 0а 0 0з ••• 0 “Ь 0/1
0 -|” 01 х -J* 02 0 4- 0з • • • 0 4” 0//
Д = 0 4~ 01 0 -f- 02 х 4" 0з •Ч" 0/i
/ 04~01 04-02 04-0з ... х4“0/2
По известному свойству Д можно разложить на сумму 2Л определителей п-го
порядка, если рассматривать последовательно элементы каждого столбца как
суммы двух слагаемых. При этом часть определителей разложения будет иметь
одинаковые столбцы и их можно отбросить, так как они равны нулю.
Таким образом, получаем, что
х 0 0 ... О
О х 0 ... О
0 0 .. . х
п
+S
1=1
х 0 ... (ц ... 0
0 х ... <ц ... 0
0 0 ... 0/ ... х
[fli находится в Z-м столбце).
Определитель
х 0 ... ... 0
0 х . ♦. а/ ... 0
0 0 ... at ... х
можно разложить по последнему столбцу, полученный при этом определитель
п — 1 -го порядка опять можно разложить по последнему столбцу и т. д.,
пока не дойдем до определителя /-го порядка треугольного вида, у которого
последний столбец состоит из элементов, равных 0/, и тогда окажется, что
х 0 ... at
Di = xn~l 0 х . . . (ц => Х?~1 • Х1~х • 0/ в Лл*10/.
0 0 ... ai
30
Так как определитель n-го порядка
х 0 0 ... О
О X 0 ... О
О О х ... О
О 0 0 ... х
равен хп2 то отсюда окончательно находим, что
А = х” + У х"-1 аг = X"-1 (•» + «1 + ... 4-аи).
6=1
В задачах 109—114 вычислить определители с помощью ме-
тода разложения на сумму определителей.
109.
fli4“ 2&i tZj 26, ... 01 26п
O2-I-2&1 о24-26а ... аг-\-2Ьп
ап + 261 + 2\ • ♦ ♦ ап + 26„
(п>2).
ПО.
1+*1У1 14-Х^ . .. 1+Х1У„
14-Х2У1 1 +х2у2 ... 14-ХаУп
(П>2).
1+*ПУ1 1+*П?2 ... 1+^пУл
111. X 02 а3 ... Оп
01 х. о3 ... ап
01 Оз х ... а» .
•
01 08 03 . . . X
112.
Xj Оа 03
^1 ^2^3
Од а%
а„
п
#2 . . . Xrt
из. а1?2 ах83 ... а1?л
а2^1 62 а233 . а2?л
- а3?1 а3?2 &з ... а3?п .
ал?2 0А • • • ьп
114.
01+*1 014-ха ... а1-[-хп
Oa+^i Оз + ха ... а2-рх„
««-Hi ап + х2 ... ал4-х„
(п >2).
31
115. Показать, что
Оц4“ • • • &1П "1“ %
• •
a„i + x ... апп + х
п
= D-|-x 2 Ла
i. i=i
где
Лц ... aln
• •
• •
• •
ЛП1 . . . й/щ
и Ау—алгебраическое дополнение элемента atJ определителя D.
116. Вычислить определитель п-го порядка (n> 1):
1 X Xi., X
X 1 X . . X X 1 . . . X . X
XXX.. . 1
пользуясь задачей 115.
117. Пользуясь задачей 115, показать, что при п> 2 определи-
тели задач 109 и 114 равны нулю.
118. Пользуясь задачей 115, вычислить:
а)
-|-’х аг
ai ax-}-x
«i
01
b)
аг ах ... aj-j-x
ах4-х ах ... аа
а2 ааЧ-х ... а2
’ а„ ап ...а„ + х
119. Показать, что если /\(х), ..., fn(х) — многочлены от
степени не выше п — 2 и alt ..., ап — произвольные числа, то
X
f 1 (а1) • • • /1 (ап)
/П(О1) ... fn(on)
Некоторые определители можно вычислить путем сведения
их к определителю Вандермонда (см. пример 2 на стр. 37 учебни-
ка Окунева «Высшая алгебра», Учпедгиз, 1958 или пример
4 на стр. 50 учебника А. Г. Куроша «Курс высшей алгебры»,
Физматгиз, 1959).
32
Пример. Вычислить
I
п п-1 д fin
а| aj Pl • • • Pj
П п—1 о лП
a2 a2 • • • ^’2
П П—1 Q ftn
n+1. n-H P«+l * * * ?n+l
путем сведения к определителю Вандермонда.
Выносим за знак определителя множители а", а2» •••» an+i C00TBet'
i ственно из первой, ..., п+ 1-й строк. Получаем определитель Вандермонда:
,„П п
i=cl а
1 2
—.„П пп rrn ТТ а' ^1 — __ ТТ / в О\
“ а2 •••“„+! Н--------—----------/I Mi-M/).
l>j aia> 1>1
' В задачах 120—123 вычислить определители путем приведения
их к определителю Вандермонда.
120. а)
xt Xt ... X,
ха х2 ... х2
Хп Хп ... Хп
Ь)
sin"-1^ sin"-2?! ... sin?x 1
sin"-1?2 sin"-2?a ... sin?2 1
sin"-1?,, sin"-2?„ ... sin?„ 1
c) 1 COS?! COS2?! • . . COS"-1 ?!
1 COS?2 COS2?2 . . . COS"-1 ?2 •
•
1 COS?„ cos2 ?„ . . . COS"-1 ?„
d)
sin"?j sin'?-1?! cos?! • • • cos"?!
sin" ?2 sin"-1 ?2 cos ?2 ... cos"?2
sin"?„+i sin«-1?„+icos?„+i .. . cos"?„+1
e)
1 1 ... 1
*! 4-1 xz 4- 1 ... Xn 4- 1
X j 4-X1 X2 4“ '2 • ^n “F’l'n
n—1 I xn—2 n—1 I n—2 n-1 [ n—2
X\ + I" X2 +X2 ••• Xn -TXn
2 Л. Я.- Окунев
1
1
1
g)
h)
121.
123.
Xj -J- 3Xi
X^ -f" Зх2
хп “1“ Зх„
хя *+мхя 2 хя пхя 2
1
.2
1
.2
1
ax
хх — 1 Xj — 1
•2
'2
л
'л-1 •
Л
л—1
1
а2-Н
^2 ~Г ^2 I *
,fl—1
х" —1
х^-1
122.
Л
'"п
л—1
. . U
*1
1
xa
L
х2
Л2
к
Xя"1
Л2
хп — 1 х2 — 1 ... хпп — I
n»-i (п — 2)"-'
ПЛ"2 (П _ 1)Л-2 (П _ 2)«-2
a)
1
1
xn
х"“1
Лп
b)
124.
делители:
а) 1 1
2 3
5 1
п
1
ап
а”"1
а
1
п— 1
1
(а-1)«
(а — I)"-1
п — 2
1
... (а —п)я
... (а — п)я-1
а— 1
1
а — п
. 1
Перемножить всеми четырьмя способами следующие опре-
1
1
6
и
1
2
3
— 1
— 1
5
1
3
—6
Ь)
2
4
5
2
1
2
1
4
3
1
3
3
4
3
2.
5
и
5 1
1 —2
1
1
1
1
4
1
1
1
1
34
125. Вычислить следующие определители путем возведения их
в квадрат с помощью одного из четырех способов умножения опре-
делителей п-го порядка:
а)
Ь)
abed
—b a d —с
—с —d а b '
d —с b —а
at а2 а3 at аъ ав а1 а»
а3 а3 — а3 а3 а$ а^
аа а^ — с^ — Оъ — ат^-аь а5 ав
^4 aig о2 — ах Og ач яв о5
fls а3 a, Og Oj a3 a3 a3
a3 — a3 ал a^ a3 a^ a$ • a3
a<j ““ Og a3 a3 a3 a3 a^ a3
Og a^ — ag — ag at а3 — а3 — а1
Задачи 126—136 посвящены вычислению определителей п-го по-
рядка различными способами. В тех случаях, когда в формулиров-
ке задачи не указан метод вычисления, выбор наиболее целесооб-
разного способа представляем вам самим.
126. 1 3 5 ... 2п—1
1 2 5 ... 2п —1
1 3 4... 2п — 1 •
1 3 5 ... 2п —2
127. а Ьг 0 0 ... 0 0
— а а- — 62 0 ... 0 0
0 — а а — Ь3 . Ь3 ... 0 0
0 ООО ... a—b^i bn
Z 0 0 0 0 ... —a Q’—bn
128. 1 — Ь3 0 0 .. 0 0
—1 1— bg, bg 0 .. . 0 0
0 0 0 0.. 1 1 bn
0, 0 0 0 ,.. -1
2*
35
129.
130.
1 14-л 14-2й ... i4-(n—1)й
1 —1 о ... о
о 1 —1 ... о
0 0 О ... —1
1 с1 С2 ... С"-1 сп
п п • п п
1 с* . с2 ... сп~\ о
п—1 п—1 п—1
131.
1 ^2 С2 Ь2 ... 0 0
1 0 ... 0 0
а0 «1 а2 • • • 1 ая
1 X X2 ... х"-2 х"-1
1 х. 0 ... 0 0
0 - •1 X ... 0 0
О О О ...—1 X
132. 1 3 5... 2л — 3 2л — 1 2л—1 1 3 ... 2л — 5 2л — 3 2л—3 2л—1 1 ... 2л — 7 2л — 5 3 5 7 ... 2л — 1 1
133. а)
а 1 1 ... 1
—1 а 1 ... 1
—1—1 а ... 1 ;
—1 -1 —1 ... а
Ь) вычислить путем приведения к определителю типа а):
1 3 5 ...
— (2л—1) 1 3 ...
— (2л —3) —(2л—1) Г...
2л— 3 2л—1
2л— 5 2л— 3
2л— 7 2п — 5
—3 —5 —7 ... —(2л—1) 1
36
134
136.
а —Ь 0 0 .. . 0 135.
ас а —Ь 0 .. . 0
ас2 ас а —Ь .. . 0 •
ас* асп~ 1 ас"-2 асп~® .. . а
0 1 1 • • « 1
1 0 ai+a3 • • • «1 + ая
1 a2 + «i 0 • • » аа
О 1 1 ... 1 1
1 0.а ... а а
1 а О ... а а
1 а а ... О а
1 а а ... а О
1 аг ап-\-а2 ... О
В задачах 137—140 вычислить определители способом приведе-
ния к треугольному виду.
137. 139.' 0 а2 ... ап Pi Ii о • • • о & о i2 ... о • 3 -1 -1 138. ... л—1 ... —1 ... —1 I | 3" . 2® 2° о — ►- В О . О R Я «2 • •• »Л ' а ... а а ...а ) ... а С •
М ) о ... ъ 1 2 п— Г— 1 - —1 п—1 -
-1 —1 - -1 ... п—1 —1
140. (определитель поря | * 1 « «1 • cl СЧ I e I С оз | е | 1 е сз =' 2 2 1 а . । а I а а | . а | а | 1 ND 1 ND 1 ND Is Is to * а II а 1 | 1 ND 1 ND
141. О о о о о о сч о >е> 1 «" o’
an-i 0 0 0 ... -1 Vi ап ООО... 0—1
37
142. 1 a a2 a3 ... an
b 1 a a3 ... a"-1
b2 b 1 a ... a"~2
143.
bn b”-1 bn~2 bn~3 ... 1
«1 a2 a3 • • • a«-l an
—1 x 0 ., 0 0
0 —2 x ., 0 0
0 0 0., .'. X 0
0 0 0.. . —(«- 1) X
144. Вычислить определитель 2n-ro порядка:
аг 0 0 . 0 0 Pi
0 a2 ,0 . 0 Pa 0
0 0 «3 •• • Рз 0 0
• • • • • • • • • •
0 0 p2n-2 • • • a2n~2 0 0
0 Ргп—1 0 .. . 0 а2д-1 0
- Ргп 0 0 . 0 0 ®2n
145. (X-l)3 1 1 ... 1
1 (x-l)3 1 ... 1
1 ’ - 1 1 ... (x -I)2
ГЛАВА II
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ СО МНОГИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ
§ 1. Правило Крамера. Способ Гаусса
В задачах 146—155 решить по правилу Крамера системы ли-
нейных уравнений.
146. Зхх 4- Зх2 4- 4х3 — 5х4 = 9, 5хх — 7х2 4- 8х3 4~ 2х4 =18, 4хх 4~ 5х2 — 7х3 — Зх4 = — 5, 7хх 4- Зх2 4- Зх3 4- 4х4 = — 2.
147. Зхх 4~ 5х2 — Зх3 4" 2х4 = 12, 4хх — 2х2 4- 5х3 4- Зх4 = 27, 7хх 4- 8х2 — х3 4- 5х4 = 40, 6хх 4- 4х2 4~ 5х3 4~ Зх4 = 41.
148. 2хх 4~ *зЧ" *зЧ- •'чЧ* — X] 4~ 2х2 4* х3 4* х4 х6 = 9, хх 4- х2 4- 2х3 4“ 4“ х3 = 8, х1+ *зЧ- х34-2х44- х5=5, *1+ Х2-Ь *8 + Х44~2х5 = 7-
149. Х| | Х2 4~ х& 1 х3 = 2, Х| 4- 2х2 4- Зх3 4* 4х4 4- 5х6 = 4, хх 4- бх2 4~ 2х3 4~ Зх4 4“ 4хе = 3, *•1 "Ь 4*2 Н- Зх3 Ч~ 2х4 Ч" Зх6 = 2, хх 4~ Зх2 4- 4х3 4- бх4 4~ 2х6 = 9.
39
150. x4 4" 2x2 "I- 3x3 4x4 == 1,
Xj + 4x2+ 9x3-|- 16x4 = I,
' x4”j“ 8x24-27x3-|- 64x4=1,
x4 4- 16x2 -f- 81 x3 -f-256x4 = 0.
151
*1+ хг + xs4" x«4*
х4 + 2x2 + 3x3 — x4 —
x4 3x2 4~ 2x3 4“ 3x4 —
Xj I X2 X3 x4
x5 = 10,
•^5 = 2,
x6 = 1,
= 0,
xi — 2x2 — 3x3 — 4x4 — 5x5 — — 8.
152.
153.
2x — 5y4-3z— 4t = 8,
3x — 4y 4- 5z 4- t — 0,
5x — Эу 4“ — t = 0,
4x —6y-j-3z4- /=!.,
Xi — x2 4- 4x3 — x4 4- 2x8 = 12,
x24-5x8 — 4x44- x5 = 6,
2x4 — 3x3 4~ 4x3 — 8>
XX4-5X2 —2x44~3x6=11,
3x4 4~ 4x2 “ x3 = 4.
154.
2xx — x2 4~ 3x3 — x4 — x5 — 3,
x4 4- 2xa — 4x3 4= 3x4 4- 2x6 = — 13,
3xj4~ x2 — 5xs4~ xi — 2x3 = — 14,
xi4“ x2— x3 — 3x4 — 4xs = 4,
3x2 4“ 3x4 — 3xs = 1.
155.
2x, 4- 3x2 — 2x3 — 3x4 4~ 4x6 = 5,
xi 2x2 -f~ x3 — x4 4” 8x5 = 3,
x4 —r. Xg 4* 0x4 4“ 12x3 = 2,
2x2 4"5x4— x5 = —j
xi4-2xa4-3x34-4x44- 6x5 = —1
u
156. Найти многочлен / (x) = a0 4~ °ix 4" a2 x2,
что /(1) = 1, /(2) = 2, /(3) = 3.
157. Найти f(x) = a0-j-a1x-}-aax2, если f(2)
/(4) = 5.
если известно,
= 1, f(3) = 0 и
40
158. Найти параболу третьей степени, проходящую через точки
(2, —1), (4, 5), (6, 10) и пересекающую ось абсцисс в точке х = 1.
159. Даны и 4~ 1 различных значений хр ..., хп+1 неизвестного
х и соответствующие значения f(x1),...,f(xn+1) многочлена
f(x) = a0-\-a1x-{- ... апхп с комплексными коэффициентами
а0, а1г ..., ап, имеющего степень не выше п. Показать, что такой
многочлен существует и единственный.
160. Те же условия, что и в предыдущей задаче. Показать, что
• 1 х х2 ... х" f(x)
lx. х? ... х" f (х.)
Л 1 1 1 I V V _____ п
1 хп+1 Хп+1 ••• Хп+1 /(Хл+1) I
и, разлагая определитель А по последнему столбцу, найти окон-
чательное выражение искомого многочлена f (х).
161. Два многочлена f(х) = ал4-ахх 4~... +апх"’ ё(х) —
— Ч" х • • • Ч" Ьт хт называются равными, если их степени
равны и равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.
Показать на основании задачи 159, что два многочлена f(x)ng(x)
равны, если они имеют одинаковые значения при любом значении х.
162. При каких значениях k однородная система линейных урав-
нений может иметь и ненулевые решения:
kx 4" у 4- 2 4- = 9,
х4-(£4-1)у4-?4-/ = о,
x4-y4-(*4-2)z-H = o,
X-j-y-j-Z ~Н =0.
163. Три прямые, заданные уравнениями
а1х4-61У4-С1 = 0> а2х-]-Ь2у-\-с2 = 0, а3х4-Ь3у4-с3 = 0,
проходят через одну точку. Какому условию удовлетворяют коэф-
фициенты их уравнений?
164. Показать, что если система п 4- 1 линейных уравнений
с п неизвестными
&11 Х1 Ч” ^12 Х2 Ч" • • • Ч- «1л Хп ~ ^1»
^21 Х1 4- ®22 Х2 4- • • • Ч- ^2л Хп ~ ^2>
ал+1>1 Х1 Ч~ ®л+1>2 Х2 Ч” • ' • Ч~ ^л+1>л Хп = ^л+1
совместна, то определитель п + 1-го порядка
°11 Я12 • • • «1Л
д __ ^21 ®22 • • • ®2л ^2
ал+1,1ал+1>2 ••• °л+1>л ^П+1
41
составленный из коэффициентов и свободных членов системы, ра-
вен нулю.
165. Показать, пользуясь задачей 164, что определитель Д
задачи 160 равен нулю.
166. Четыре точки М1(х1,у1), М3(х3,у2), М3(х3,у3), М^.у^
лежат на одной окружности. Какому условию-должны удовлетво-
рять их координаты?
167. Показать, что если определитель однородной системы п ли-
нейных уравнений с п неизвестными xv ..., хп равен нулю, но
хотя бы один минор Му 0, то система имеет ненулевое решение
х4= Ац> хг = Лз.....хп = Лп> гДе &ik — алгебраическое допол-
нение элемента alk.
168. Пользуясь предыдущей задачей, найти ненулевое решение
системы:
а) х + у + z -|- и = 0,
х — 2у Зг — и = 0,
x~l~4y-]-5z-{-2u — 0,
х — z 4- 3« = 0;
Ь) 2х— У.4~5г— 4ы ==0,
Зх + 2у — г 4- Зм = 0,
4x4~3y4“2z4- 5u = 0,
5х 4" бу — 4x4- 12и = 0.
169. Показать, что если хотя бы один из определителей Dlt
встречающихся в формулах Крамера xt = («=!,...,«), от-
личен от нуля, а определитель D системы п линейных уравнений
с п неизвестными равен нулю, то система несовместна,
170. Показать, что система уравнений
Х2~\~ *з + *4=1,
хг-\-кх3+ х3 4- Х4=1,
*14“ x24-Aixs4- х4 = 1,
х, 4“ х2 4- х3 4- &х4 1
при k, отличном от 1 и —3, имеет единственное решение. Найти
это решение с помощью достаточно простого способа (не прибе-
гая к формулам Крамера).
•171. Показать, что система уравнений
*1+ + х«+ ••• + Л.-14- *«=!',
Ьх1 4-ах2-|-ах34- ... -}-ахп_1-\-ахп = с2,
Ьхг 4-6х24-а*з4“ • • • +ахл-14-ахп = сз>
bxL -|-Ьх24-Ьх34- . .. 4-6x„_44-ахп = сп,
а ¥= Ь,
42
имеет единственное решение. Найти это решение достаточно про-
стым способом, не прибегая к правилу Крамера.
172. Показать, что система уравнений
ах! -f- bx2 4- ... + Ьхп = ср
••• ~\~bxn — c2,
bx^bx^ ... 4-ax„ = c„,
(а — на главной диагонали), где а Ъ и а =(= — (п — 1)6, имеет
единственное решение. Найти это решение достаточно простым
способом, не прибегая к формулам Крамера.
173. Показать, что система уравнений
xi 4~ 2х2 4“ Зх3 4~ • • • 4- Пхп =
«•V1+ х24-2х34- ... 4- (п— 1)х„ = а2,
(п— 1)х14-пх24- >з+ ••• + («—2)Хп = «з>
2xj 4~ Зх2 4“ 4х3 4- ... 4- х„ = ап
имеет единственное решение. Найти это решение достаточно про-
стым способом, не прибегая к правилу Крамера.
174. Показать, что система
хг 4~ хз 4~ • • • 4“ хп—14” хп ~ 1 >
' xi 4-хз4" ••• 4-xn-i4”хп — 2>
-ч4-*2 4-*з4- • •• 4-*л-х ==«
имеет единственное решение. Найти это решение достаточно про-
стым способом, не прибегая к правилу Крамера.
175. При каком условии система
Х1 4* Х2 = ®1> Х2 4- Х3 ~ ®2> • • • > Хп~ 1 4- Хп ~ ®/г-1» Хп 4“ Х1
имеет единственное решение? Найти это решение достаточно прос-
тым способом, не прибегая к правилу Крамера.
176. Показать, что система уравнений
(а4- l)Xj4" ах2 4- ахз 4- • •• 4~ал-я = п,
axj 4* (а 4-с) хз 4~ ахз 4";-- -}~ах„ = а,
aXj-j- ах2 4-(а4-с2)х34- ... 4-ахп = а,
axj4- ах2 4-, ах3 4х • • • 4" GH-c”-1) Хп=а
с + 1) при с Ф 0 и 1 4~°д(<$~ 'р имеет единственное
решение. Найти это решение одним из достаточно коротких спо-
собов, не прибегая к формулам Крамера.
43
177. Найти, при каком условии система
у + аг 4- аЧ = 1,
х -j-a2z-j-al =—1,
ах +a2y + t = 1,
а2х-j-ay-j-z = — 1
имеет единственное решение. Найти это решение возможно простым
способом, не прибегая к правилу Крамера.
178. Как известно, метод неопределенных коэффициентов реше-
ния системы линейных уравнений
anXi+... +atex„ = &z (i = 1,2, .... /г)
заключается в том, что первое, второе, .... n-е уравнения системы
умножают соответственно на надлежащим образом подобранные
числа ти, т21, ..., тп1 и почленно складывают; затем первое,
второе, ..., n-е уравнения системы умножают соответственно на
надлежащим образом подобранные числа т12, т22, ..., тп2 и по-
членно складывают и т. д. В результате получается новая система
п линейных уравнений с п неизвестными. Показать, что если
определитель
тпт12 ... т1п
т21т22 ... т2п
тп1тп2 .... тпп
отличен от нуля, то новая система линейных уравнений эквива-
лентна первоначальной.
179. Показать, что если определитель D системы линейных урав-
нений предыдущей задачи отличен от нуля, а определитель Д
равен нулю, то новая система линейных уравнений, полученная
с помощью метода неопределенных коэффициентов ту, уже не
будет эквивалентна первоначальной системе. При этом следует
пользоваться тем, что система не может быть определенной, если
ее определитель равен нулю (см. задачу 181).
180. Пусть
aaxx+ ... ~{-alhxn = bl (1=1,2-, .... n)
система п линейных уравнений с п неизвестными и с определите-
лем D, отличным от нуля. При решении системы линейных урав-
нений с несколькими неизвестными по методу Гаусса применяются,
как известно, следующие преобразования: 1) перестановка двух
уравнений; 2) умножение обеих частей уравнения на число, отлич-
ное от нуля; 3) почленное прибавление к одному уравнению другого
уравнения системы, умноженного на некоторое число. Показать,
что при таких преобразованиях получается эквивалентная система
44
Di Dn
с определителем, отличным от нуля, и отношения . . . ,
фигурирующие в формулах Крамера, не изменяются. Рассуждения
провести, не пользуясь теоремой о единственности решения при D =/=
=£ 0 и выражениями неизвестных по формулам Крамера.
181. Показать, пользуясь только способом Гаусса и предыду-
щей задачей, что система «линейных уравнений с п неизвестными
имеет единственное решение, когда ее определитель отличен от
нуля. Обратно, если система п линейных уравнений с п неизвест-
ными имеет единственное решение, то ее определитель отличен от
нуля.
182. Показать, что всякую определенную систему га линейных
уравнений с п неизвестными можно привести к диагональному виду
Ci Xj = dlt с2 х2 = d2, ...» сп хп = dn, ct 0, 4 = 1,2, • • •, «,
с помощью преобразований, указанных в задаче 180.
183. Пользуясь тольйо способом Гаусса и задачами 180 и
182, вывести правило Крамера решения системы п линейных урав-
нений с п неизвестными, имеющей отличный от нуля определитель.
184. Показать, что если определитель однородной системы п
линейных уравнений с п неизвестными равен нулю, то система
имеет и ненулевые решения (даже бесконечное множество таких
решений).
Продемонстрируем на конкретном примере, как целесообразнее
применять способ Гаусса решения системы линейных уравнений с не-
сколькими неизвестными.
Пример. Решить по способу Гаусса систему
*1+Х2+ хз4~ Х4 = К
xi + х2 — 2х3 — х4 = 0,
Хх 4" хз 4~ 4х3 4- Зх4 = 2,
xi 4* х2 4~ ?х3 + 5х4 = 3.
Составляем матрицу из коэффициентов и свободных членов
системы:
(так называемая расширенная матрица системы; вертикальной
чертой отделен столбец из свободных членов); Вместо того чтобы
подвергать элементарным преобразованиям уравнения системы,
будем этим преобразованиям подвергать строки матрицы М.
Приводим матрицу УИ к виду, при котором данная система в
случае ее совместности имеет треугольный или трапецеидальный
45
1
0
0
0
вид. Сперва вычитаем первую строку из остальных строк матрицы М.
Получаем;
111 1\
0—3—2 —1 I
0 3 2 1
0 6 4 ' 2 /
(знак равенства писать нельзя, так как получилась уже другая
матрица). Вторую строку полученной матрицы прибавляем к треть-
ей и, умножая на 2, прибавляем вторую строку К четвертой. Тогда
третья и четвертая строки станут нулевыми, и мы их можем отбро-
сить. Получаем:
М->(1 1 1 1 I П
м \0 0 — з. — 2 | — If
Этой матрице соответствует система линейных уравнений трапецеи-
дального вида, эквивалентная данной системе:
xi + х2 + хз 4“ = U —Зх3 — 2х4 =— 1.
Следовательно, данная система совместна и притом неопределенная.
Из последнего уравнения полученной системы выражаем х3 через
х4:
1 — 2Х4
Х3 = ---5
л Я
и подставляем в первое уравнение, в результате чего будем иметь:
х1+х2+1±^=1,
откуда
_ 2 — Зх2-х4
1 3
Получились выражения неизвестных хх и х3 через так называемые
свободные неизвестные х2 и х4:
2 1 12
х, = — — х»----х., х, =-------х4.
1 3 3 4 3 3 3
Совокупность таких выражений называется общим решением. Давая
свободным неизвестным произвольные значения, мы, таким образом,
получим все бесконечное множество решений неопределенной си-
стемы.
В задачах 185—197 решить по способу Гаусса системы линей-
ных уравнений.
185. 2х4 —|— х2 4“ хз 4" ^4 = 1»
Зх4 -j- 4х2 — х3 — х4 = 0,
х4 -|- Зх2 — х3 4~ х4 = 2, '
5х4 — Зх2 4- 6х3 4~ Зх4 =• 3.
46
*-< О СЧ
К * Ц н
СЧ со ю
^-7 о* о
СО СО со со
Н Н Ц ц
со ю
I + I +
N N С1 «
ц Ц ч н
сч СО ю
»-~7 оГ со
14 11
со со со со
сосх>
+ I ++.
и* Ц* Ц* Ц*
со <м ю о
Ч ц Ц н
со сч
СО
00
00
00
00
о
00
о
о
о
OJ
ео
о
b) 2xj4- Зх2— x3— 6X4 = 0,
4xx - - 6x2 4- 2x3 — x4 = 0,
2хг 4- 3x2 — 5x3 — 1 4x4 = 0,
10Xj 4“ 1 5x2 4~ 3x3 — 7x4 = 0;
c) 3xx — 2x2 4- x3 — 4x4 = 0,
6xx — 4x2 -f- 3x3 4* 2x4 = 0,
Зхг — 2x2 — 14x4 = 0,
12xj — 8x2 — 3x3 — 26x4 = 0,
9xx — 6x2 4“ 2x3 — 22x4 = 0.
194.
195.
196.
197.
xx4~2x2— x34-2x4 —
a)
2x_
Xi 4- 2x2 — 5x3 4~ 3x4 — 5xl
3xj — 6x24~4x3-- x44- x6 = 0, .
xx 4" 2x2 4* 3x3 4-
b) 2xx -J- 3x2 4- 5x3 4~ X4 4- 4x6 =0,
4x3 4- 6x4 — x5 =0,
4x34-llx4 4- 7x6 =0,
5x24~ 9x3— 2x4 =0,
хБ = 0,
ЗхБ 4~ 2хБ = 0,
;5 = o,
X4 3x6 — 0;
5xx— x2 —
4xj4~ ” _
3xx 4~ 8x2 4- 1 1x3 — 2x4 4- 13x8 =0.
ax 4- у
x
и = 1,
a,
и = a2,
,3
z
ay 4- z4- и
x4~ y4~a2
z 4* a« = a;
x„ 4~ xn+1 — bv
xn—l T xn+l ~ ^2>
-^-xn+1 = bn,
a(X1 4- ... 4--U — xn+1 = 0.
axi4-ax24- . .. ax„_x4* (a 4- 1) x„ = blf
axx 4~<ix2 4“ ... 4- (a 4-1) xn_j 4~fl-'fn — ^2>
x
У
(a4-l)Xi4-ax24- ... 4-ax^.14-ax„ = b„,
n > 1.
§ 2. «-мерные векторы. Линейная зависимость
198. Найти линейную комбинацию:
а) Зах — 2a2 4~ 8а3 системы векторов аг = (1,2,1,2), а2 = (— 1,
— 3,4,5), а3 = (—5,0,2,3);
b) 2a14~3a2 —8а34-4а4 системы векторов = (1, — 1,2, — 4,1),
а2 = (3,1,1, — 3, 4), аа = (3,1, — 1, 2,4), а4 = (— 5, — 2, — 3, 1, 2).
48
с) 5&х—6&2 4-7&з—&4, если Ьг = аг— ey-f- а3, Ь2 = 2аг — а2,
b3 = «j4-2а2 — За3, Ьл = ал4-«2 + 2аз и «1 = (1,-1,2, —2),
а2 = (1,1, —1,—1), а3 = (3,0,—1,2).
199. Решить следующие уравнения:
a) 2Oj 4- Заз — а3 — 7х = «4, где at = (— 1,2, — 3,4), а2 = (— 1,
-1,-1,5), а8 = (2, — 5, — 1,3), а4 = (2,1, — 2, — 1);
Ь) 3 (а. — 2х) + 5 (а2 4~ ®3 — Зх) = 2 (а3 — 4х), где аг = (4,3,
1,2,), а2 = (2, —1, —3,4), Оз = (—1,4, —5,3);
• с) 2(х—4-л3) — 5(х — 2а2 — а3)4-3(2х4-«з + л4) = х — а4,
где ^ = (1,1, —1,-1), а2 = (3,0, — 5,1), а3= (1, — 3,0, — 4)
и а4 = (2,3, 4, — 5);
d) х 4- у — z = Лр х — у 4- z = а2, 2х 4~ у 4- 3 г = а3, где аг = (О,
5,2,1), а2 = (2, — 3,0,1), «з = (13, — 10,3, — 2).
200. Показать, что система т линейных уравнений с п неиз-
вестными
ад 4- ад2 4- ... 4- = bt |
(/=1,2.......т) /
равносильна «векторному», уравнению
а1х1 + «Л + • • • + апхп — Ъ,
где
ak = (alk,a2k, ... ,amk),k=l,2, ... ,п,.
b = (blt Ь2, ... , Ьт).
201. Скалярным произведением n-мерных векторов х =
. <= (а1г . .. , ап) и у = (blt ... ,bn) с действительными компонента-
ми называется число
(х,у) = аД4-а2&24- ,.ч 4-аЛ-
Найти скалярные произведения векторов:
а) х = (1,-1,2,3), у = (1,2,3, — 1); b) х = (1, — 1, — 4, 5,4),
у = (2, — 1,8, — 3,11); с) х = (2, — 1,3, 4, 5), у = (1,2,1, — 2, —3).
202. Показать, что скалярное произведение (х, у) п-мерных
векторов х, у с действительными компонентами обладает следую-
щими свойствами:.
1) (х,у) = (у, х); 2) (сх, у) = (х, су) = с (х, у), где с —произ-
вольное действительное число; 3) (хг 4- х2, у) = (х1( у) 4- (х2,у)
и (х,У14-у2) = (X, У4 4-(х,у2); 4) (х,х)>0, если х—ненуле-
вой вектор и (х, х) = 0, когда х — нулевой вектор. .
203. Показать, что следующие системы векторов линейно
зависимы:
а) ^ = (1,1,1,1), а2 = (4,4,4,4);
Ь) = (2,3,6, - 1), а2 = (4,6,12, - 2);
с) oj = (1,2,3,4), а2 = (4,3,2,1), Оз = (5,5,5,5);
d) ^ = (1,-1,!, —1), а2 = (1.0.1.0). а3 = (1.-3,1,-3).
49
204. Показать, что система из двух /i-мерных векторов av а2
тогда и только тогда линейно зависима, когда векторы О] и а2
пропорциональны: а% = саи где с — некоторое число.
205. Поставим в соответствие точке плоскости двумерный век-
тор (х, у), где х, у— координаты точки. Что геометрически пред-
ставляет собой 1) множество векторов, пропорциональных ненуле-
вому вектору (а, Ь):
(х, у) = а (а, &),
где а — произвольное действительное число; 2) множество линейных ,
комбинаций двух линейно независимых векторов (ах, &х) и (а2, Ь2):
(х,у) = а(а1,61) + р(а2,&2),
где а, — произвольные действительные числа?
206. Поставим в соответствие каждой точке пространства
трехмерный вектор (х, у, z), где х, y,z— координаты точки. Что
геометрически представляет собой:
а) множество векторов, пропорциональных ненулевому вектору
(а, Ь, с);
Ь) множество векторов, являющихся всевозможными линейны-
ми комбинациями двух линейно независимых векторов (alt bv cj
и (Oj, 62, с2);
с) множество всевозможных линейных комбинаций системы
трех линейно независимых векторов (а1} bit q), (а2, &2, ct) и (а3, Ь8, с3)?
207. Показать, что следующие системы векторов линейно
независимы:
а) <?! = (!, 1,1), а2 = (1,2,3), а3 = (1,3,3);
b) Oj = (l, 1,1,1), а2 = (1, —1,1, —1), а, = (2,3,1,4), а4 =
= (2,1,1,3);
с) аг = (1, 2, 3, 4), аа = (4,1,2,3), а8 = (3,4,1,2), а4 = (1, — 1,
-1,-1);
d) а, = (—2,3, — 4,1), а2 = (1,— 2, — 4,1), а3 ='(5,1,1,0),
а4 = (—4,-5?—2,1).
208. Показать, что если определитель «-го порядка
а11 а12 • • • а1п
Г) _ &21 @22 • • • &2П ,
! ®я1 &п2 • • • &пп
отличен от нуля, то система «-мерных векторов at = (а(1, ... , а/л)
(/ = 1,2, ... ,п) линейно независима.
209. Показать, что система векторов
«1 = (1,0, . . . , 0, ап....alk),
л2 = (0,1, ... ,0, а21, . . . , a2k),
ат = (6,Ь, . .. ,i,aml......amk),
где atj — произвольные числа, линейно независима,
50
210. Показать, что система n-мерных векторов
^ = (1,0,0........0), е3 = (0,1,0.........0).......... #„ = (0,0,
О, ... ,1) нв= (а1(а3, . .. ,#„), где at — произвольные числа,
линейно зависима.
211. Показать, что система n-мерных векторов
= (#ц, #12. #13, • • • , #1*» • • • , #щ),
#2 ~ (0, #21» #23» • • • , #2.4» • • • » #2л)»
#3 = (0, 0, #зз, . . . , #3£, . . . , #3л),
aft = ’(0,0,0, . .. ,акк, .. ..,akn)K
(k с n)
линейно независима, когда все числа ап =/= 0 (/ = 1,2, ... ,k).
212. Пусть
Л1 = (flu, #12, . . • , #ш), #2 = (#21» #22» • • • , #2л)» • • •
• • • » “ (йлг1» й/п2> • • • > atnk)
некоторая система fe-мерных векторов. Показать, что если система
n-мерных «удлиненных» векторов
bi = (#ц, #12» • • • , #ife, blk+1, ;. . , bln),
bi = (#21, #22....#2Й» ^2й+1> • • • » ^2л)>
Ьт = (#ml» йтп2» t • • » йтй> ^тй+1> • • • » ^mn)’
где бу (/=1,2, ... ,т; j = ..., п) — произвольные чи-
сла, линейно зависима, то система векторов а2, ... -, ат также
линейно зависима. Может ли система векторов «!,#,, ... ,ат_
быть линейно зависимой в случае линейной независимости систе-
мы &i, Ь2, ... , Ьт?
213. Показать, что если система n-мерных векторов alt ... , ак
линейно независима, а система векторов а^, .. . ,ак,Ь — линейно
зависима, то вектор Ь линейно выражается через систему
#!, ... , ак и притом единственным образом.
- 214. Элементарными преобразованиями системы n-мерных век-
торов #1,#2» • • • ,ат называются следующие преобразования:
1) перестановка векторов системы;
2) умножение какого-нибудь вектора системы на число с =}= 0;
3) замена какого-нибудь вектора at системы вектором
a'i = at-\-caj, где /¥=/ и с—произвольное число.
Пользуясь непосредственно понятием линейной зависимости век-
торов, показать, что элементарные преобразования линейно зави-
симую систему векторов сохраняют линейно зависимой, а независи-
мую систему — линейно независимой.
Способ Гаусса решения систем линейных уравнений может быть
использован и для обнаружения линейной зависимости «-мерных
векторов. А именно пусть для' системы n-мерных векторов
= (йд* й/2» . .. , ato) (/ = 1, 2, ... , /п)
51
имеет место равенство
+ хаа2 + ... 4- хтат = 6,
где хи ... , хт — некоторые числа и 0 — нулевой вектор.
Подставляя в левую часть этого равенства координатные вы-
ражения векторов ait получаем:
(шт т\
S • • • > S а^к = °-
k=\ 6=1 6=1 /
откуда
ЗД + а2,х2 + ... + ат)хт = 0, |
(j=l, 2, ... , n). )
Эту однородную систему линейных уравнений можно решить с по-
мощью метода Гаусса, причем достаточно ограничиться матрицей
из коэффициентов уравнений системы, так как столбец из свобод-
ных членов является нулевым, и его можно опустить, поскольку
при элементарных преобразованиях он остается нулевым. Обра-
щаем внимание на то, , что i-й столбец (t = 1,2, . . . , m) матрицы
является вектором at данной системы векторов.
Пример 1. Рассмотрим систему векторов
ai = (l, 1, 1, 1), а2 = (1, 2, 3, 4), а, = (!, —!, —1, 3).
Составляем матрицу, первым столбцом которой является ах, вторым — а2,
третьим — аз, и применяем способ Гаусса:
(1 1 1\ /11 1 \ /11 1 \ /11 1 \ /11 1 \
1 2 —1 1-1 ° 1 —2 0 1 —2 \ / 0 1 —2 \ ( 0 1 —2 )
1 3 —1 / 1 0 2 —2 / 100 2/ l00 2/ ' и u z 1' -
14 3/ \0 3 2/ \0 0 8/ \0 0 0/
Получился треугольный вид, в силу чего система линейных однородных
уравнений имеет только нулевое решение хг я х2 == х3 = 0, т. е. данная сис-
тема векторов линейно независима.
Пример 2. Рассмотрим систему векторов
^=(1, 1, 1, 1), а2 = (1, —1, 2, —2), а3=ЛЬ 3, 0, 4), а4 = (1, 5, —1, 7).
Составляем матрицу и применяем способ Гаусса:
111 1 \ /1 1 1 1\ /1 1 1 1 \ /11 1 1
1-13 5 | / 0 —2 2 4 \ / 0 1 —1 —2 К \ 0 1 —1 —2
1 2 0 —1 /I 0 1—1—2/100 0 0 /
1 —2 4 7/ \0—3 3 6/ \0 0 0 0 /
Получился трапецеидальный вид, и потому данная система векторов ли-
нейно зависима. Можно, впрочем, пойти и дальше и найти, какова здесь ли-
нейная зависимость. А именно из последней матрицы имеем: х2 — х3— 2х4=0,
откуда х2 = х3 + 2х4. Далее, подставляя в уравнение xt + х2 + х3 + х4 = 0
найденное выражение х2, получаем, что хг = — 2х3 — Зх4. Неизвестным х3 и
х4 можно давать любые значения. Полагая х3 = 0, х4 = 1, получаем: хх =»— 2,
52
х2 = Г и — 2«i + а2 + а3 == 0 или а3 = 2а± ~а2. Полагая х3 = 0 и х4 = 1, по-
лучаем: Xi = — 3, х2 = 2 и — 3«! + 2а2 + а4 = ° или а\— За* — 2а2.
В задачах 215 — 218 с помощью метода Гаусса выяснить ли-
нейную зависимость систем векторов.
215. аг = (3, —4, 1, 2), а2 = (4, —3, 1, 2), а3 = (1, —6, 1, 2),
а4 = (1, —1, —1, —1).
216. ах = (1, 2,-1, 0, 3), а2 = (1, 1, —1, 3, —3),
а3 = (2, 3, 2, —1, 4), а4 = (2, 3, 0, 1, 2), а5 = (1, 5, —1, —9,21).
217. »! = (!, 1, 1, 1, 1), а2 = (1, 2, 3, 4, 1), а3 = (2, 1,3,4, 5),
Л4 = (1, 2, — 1, 4, 3).
218. а, = (3, 1, 1, 1, 1), а2 = (1, 1, 2, 3, 1), as = (1, 2, 9, 1, 4),
а4 = (1, 1, 3, 8, 2).
219. Показать, пользуясь методом Гаусса, что если даныдвесис-
темы «-мерных линейно независимых векторов, состоящих из одно-
го и того же числа векторов, и каждый вектор первой системы ли-
нейно выражается через векторы второй системы, то каждый век-
тор второй системы линейно выражается через векторы первой.
220. Показать, пользуясь методом Гаусса, что если система
«-мерных векторов вх, . . . , ak линейно зависима, то существу-
ет бесконечное множество ненулевых систем чисел с1г ... , ck,
для которых . .. -\' ckak — 0-
221. Показать, что упорядоченная система ненулевых «-мер-
ных векторов д1( fl2, . .. , ат тогда и только тогда линейно не-
зависима, когда ни один ее вектор не выражается линейно через
предыдущие. _
222. Пусть «J,..., ат — линейно независимая система «-мер-
ных векторов с действительными компонентами. Показать, что ес-
ли Ь — ненулевой «-мерный вектор с действительными компонен-
тами и скалярные произведения (а^ &), ... , (ат, Ь) равны ну-
лю, то система векторов а1г ... , ат, Ь также линейно незави-
сима (определение скалярного произведения см. в задаче 201, а
основные свойства скалярного произведения см. в задаче 202).
223. Два «-мерных вектора х и у с действительными компо-
нентами называются ортогональными, если их скалярное произ-
ведение (х, у) равно нулю. Система «-мерных векторов а1г ... , ат
с действительными компонентами называется ортогональной,
если векторы системы попарно ортогональны: (at, dj) — 0 при
i ¥= /. Показать, что ортогональная система ненулевых векторов
линейно независима.
224. Показать, что система «-мерных векторов at = (an, aZ2, ...
... , az„) (i = 1, 2, ... , т; т<п) линейно независима, если
т
12а//1 >S 1ау1» /= 1» 2, . . . , т.
53
225. а) Известно, что вектор а3 = (1, 3, —8) линейно выра-
жается через векторы ^ = (1, 1, 2) и л2 = (3, 4, 1). Найти ли-
нейное выражение а3 через alt а2.
Ь) Известно, что вектор а4 = (2, 3, 4, 1) линейно выражается
через векторы а1 = (1, 1, 1, 1), о2 = (—1, —1, —1, 1), а3 = (1,
2, 3, —4). Найти линейное выражение а4 через ах, а2,а3.
§ 3. Ранг и база
Вычисление ранга матрицы можно проводить с помощью мето-
да окаймления миноров или метода элементарных преобразований.
О методе окаймления миноров см. на стр. 77—78 (первый способ)
учебника Л. Я. Окунева «Высшая алгебра», Учпедгиз, 1958
или на стр. 73—74 учебника А. Г. Куроша «Курс высшей алгеб-
ры», Физматгиз, 1959. О методе элементарных преобразований
см. на стр. 78—79 (второй способ) того же учебника Л. Я. Окунева
или на стр. 75—77 учебника А. Г. Куроша.
В задачах 226—230 вычислить методом окаймления миноров рав-
на указанных матриц.
226. /2 —4 3 — 35
| 1 —2 1 5 3
\1 -2 4 —34 0
227. /2 3 1 —1
1 3 1 4 2
/ - 1 1 2 3 —1
\1 —4 _ -7 5
228. /1 2 3 —2
1 2 — 3 Г—4
I 1 9 8 —2
—7
-2
1
—12
229. /3 4 — 1 5 —2>
/ 1 5 —2 3 4
2 — 1 1 2 3
\ 3 — 7 4 1 —7
\о -11 —5 4 —4/
230. / 4 2 3 —1 5
/ 2 1 —1 3 — 2
2 1 —6 10 — 11
Д 2 1 9 — 11 16
\ 10 5 10 —6 17
54
В задачах 231—235 вычислить ранг матриц с помощью элемен-
тарных преобразований.
231.
/ 17 51 27 31 \
! 93 25 14 121 I
I 94 27 15 120 Г
к 18 53 28 30 /
232. /12 — 51 23 48 94
I 25 31 48 73 —103
1 11,-186 21 71 385
\ 19 203 27 39 111
233. / 3 18 23 / 17 15 31 23 27 42 \ 4 6 27 \ 26 21 30 48 \ — 47 \ 33 . —НО / 67/
234. /85 3 /467 7 1 2\ 9 11 12 \
3 0—1 у 15 11 9 \ 17 10 2 2 7 11. 13 19 15 1 —5 6 3/
235. /3—2 4 -1 — 1 2
/ —5 3 2 8—5 3 0 — 4 3 4 1—3
I 7 —5 19 1 —10 9
\ 11 12 —15 8 17 —20
236. Найти ранг каждой из следующих матриц в зависимости от
значений параметра X:
В задачах 237 — 240 вычислить ранги систем векторов.
237. ^ = (1, 3, 1, —3), g2=(2, 1, 1, 1), а3=(3, -11, -1, 19),
(1, 12, 2, —16)
55
238. flx = (l, —2, 3, —1, —1), a2 = (2, —1, 1, 0, —2),
Лз = (1. —1. —1. —1. О, «4 = (1, 3, —10, 1, 3).
239. Oi = (3, 2, —1, 2, 0, 1), Ла = (4, 1, О, —3, 0, 2),
л3 = (2, —1, —2, 1, 1, —3), «4 = (3, 1, 3, —9, —1, 6),
аъ = (3, —1, —5, 7, 2, —7).
240. ах = (2, 1, 1, 1), л2 = (1, .3, 1, 1), а3 = (1, 1, 5, 1),
Л4 = (1, —4, 4, 0), а6 = (О, 1, —13, —1), а, = (2, 3, —3, 1).
Базой (или базисом) системы n-мерных векторов с^, ... ,ат
называется такая линейно независимая подсистема векторов на
at, at, .... alr, через которую выражаются линейно все векторы
системы. В частности, если вся система векторов а^, ... , ат линейно
независима, то базой является вся эта система. Количество векторов
базы равно рангу системы векторов. Если все векторы системы ну-
левые, то система не имеет базы, и ее ранг считается равным нулю.
Базы, отличающиеся лишь порядком следования векторов, счита-
ются одинаковыми.
241. Показать, что если линейно независимая подсистема век-
торов ах, а2, . . . , ак данной системы векторов ах, . . . , ат не явля-
ется базой, то можно к подсистеме присоединить такие векторы сис-
темы, чтобы подсистема превратилась в базу.
242. Показать, что всякая линейно независимая подсистема г
векторов системы векторов ранга г является базой системы.
В задачах 243—245 требуется найти ранг и указать всевозмож-
ные базы данной системы векторов.
243. ах = (1, 2, 2), а2 = (1, 2, 3), а3 = (1, 2, —2).
244. ах = (1, —1, 1, —1), а2 = (1, —2, 0, —3),
а3 = (1, 1, —2, 3), а4 = (2, 2, —4, 6).
245. а) = (1, 1, 1, 1), а2 = (1, 2, 1, 1), а8 = (1, 1, 3, 1),
а4 = (1, 2, — 1, 1).
Ь) ^ = (1, —3, 5, 6), а2 = (1, —3, 1, 1), а3 = (1, —3, 13, 16),
Л4 = (1, -3, 9, 11).
246. Известно, что «-мерные векторы а1г а2, а3, а± линейно
выражаются через систему «-мерных векторов &х, &2, b3, bt. Най-
ти ранг и всевозможные базы системы аи а2, as, ait если
а) система векторов blt b2, b3, bt линейно независима и
а1 = Ь1 — Ь2 4* &з — &4, с2 = — &2 4- Ь3 4- &4,
а3 = bi — b2 — Ь3 — 3&4, «4 = 2&х — 2Ь3 — 2Ь3 — 6&4;
Ь) подсистема векторов Ьи Ь2, Ь3 линейно независима,
&4 = &1 + &2 —2&з и
«1 = &14“ Ь2 4~ Ь3 4“ bit а3 = bi 4~ &2 — Ь3 — bit
а3 — + ь2 — Ь3 — 2&4, «4 = bi -J- &3 4” з&з 4~
56
247. При каком необходимом и достаточном условии систе-
ма из т n-мерных векторов ранга т — 1 имеет единственную
базу?
248. При каком необходимом и достаточном условии система т
n-мерных векторов ранга г < т имеет единственную базу?
249. При каком необходимом и достаточном условии система
г 4- 1 «-мерных векторов ранга г имеет 1) всего две базы; 2) всего
s баз (1<з<г 4- 1)?
В задачах 250—252 требуется найти ранг данной системы век-
торов, какую-нибудь базу этой системы и выразить через базу все
остальные векторы системы.
250. ^ = (1, 2, 3, 1), а2 = (2, 3, 1, 2), а3 = (3, 1, 2, —2),
а4 = (0, 4, 2, 5).
251. <Z! = (3, 1,.—2, 4), а3 = (1, 3, 1, 2), а3 = (1, 5, 0, 1),
а4 = (3, —5, 1, 7), аъ = (7, —15, —11, 8).
252. «! = (!, 1, 1, 1, 1), а2 = (1, 2, 3, 4,5), а3=(5, 1,2, 3,4),
а4 = (4, 5, 1, 2, 3), л8 = (3, 4, 5, 1, 2), ай = (2, 3, 4, 5, 1).
В задачах 253—256 требуется найти ранг системы линейных форм,
найти также какую-нибудь ее базу и выразить через базу осталь-
ные формы системы.
253.
254.
255.
256.
Д = 4х14-Зх2 — х3 + х4,
f2== 2xj — - х2 Зх3 | Зх4,
/ з = *14“ *а+ хз~ xi>
/4 = 6х14-5х24- х3 — х4.
Л = Зх, -4- 2х, — 4х, 4- Зх4,
/2 = 2хх + х2 — Зх3 — х4,
fs = Х1 Зх2 х4,
/4= X! — 2х3 — ох4,
h — Зх2 4- 2х3 + 4х4.
Д = Зх4 — Зх2 + 2х3 — х4+ 4х8,
h= Xi-HXa— х34-2х4— х8,
/з = 2х4 х2 —|~Зх3 х4 | - Зх8,
ft = . Х2 + 4х3 + Зх4— 2х6.
/1 = х4 — 2х2 4~ Зх3 — 2х4 х8,
/2 = Xj + Зха— х3— х4 — х8,
/з = х1 х2 ~Н 2Х3 “I- Я4 ЗХ8,
/4 = —х4 4- 8х2 — 7х3 — 8х4 — 7х8,
/6= 2хх — 9х2-4-Юх8 — 5х44-4х8.
257. Подобрать k так, чтобы следующая система линейных форм
была линейно зависимой; при этом значении k найти ранг и какую-
57
нибудь базу системы линейных форм и выразить через эту базу ос-
тальные формы системы:
а)
/з= -«14- х2 —2х3-|-Зх4,
f4 = 2х4 — х2 4- х8 4~ &х4.
Ь). fi — хх 4~ 2х2 — Зх3 4х4 -ф- 2х5,
/2 — 2х4 х2 | х3 Зх4 | х5,
fa = х4 I Зх2 2х3 | х4 4х3,
/4 = 19х2—17х3-|-21х4-|-&х5.
с)
fl = Х1 + 2х2- - Зх3 4* 4х4 - -5х6,
/2 — 5х4 ^2 - - 2х3 — Зх4 - -4х6,
fa = 4хх 4- 5х2- - х» — 2х. - - Зх5,
Л — Зхд 4- 4х24-5х3— х4 — ~ 2х5,
fa = 1 Зх4 4- 10х2 4- 9х3 — 2х4 4- kx3.
258. Даны две системы n-мерных векторов а2, .... ат и &1(
&2, . . . , Ьт по т векторов в каждой и векторы второй системы
линейно выражаются через векторы первой:
bi = aaa1+alipa+ . .. 4- а1тат (t = l,‘2..........m).
Показать, что если определитель D = | а/у. | отличен от нуля, то
первая и вторая системы имеют одинаковый ранг.
259. n-мерные векторы х и у с действительными компонента-
ми называются ортогональными, если их скалярное произведение
(л, у) равно нулю (см. задачи 201 и 202). Пусть alt а2, ..ат —
некоторая система n-мерных векторов с действительными коорди-
натами.^ Производим следующий процесс (называемый ортогонали-
зацией векторов системы): полагаем &х = аи Ь2 = а2 4- Х^ и под-
бираем число X так, чтобы векторы bt и Ь2 были ортогональны.
Затем полагаем Ь3 = а3 4- \bi 4“ Х2&2 и подбираем числа Х4 и Х2
так, чтобы вектор Ь3 был ортогонален к векторам й4 и Ь2 и т. д.
Показать а) что такой подбор чисел X, Хх, Х2, ... всегда возмо-
жен; Ь) при таком процессе система векторов qlt ... , ат ранга
г преобразуется в систему . .. , Ьт, у которой п — г векто-
ров нулевые, а г векторов попарно ортогональны и линейно незави-
симы.
260. Показать, что если каждый вектор системы и-мерных век-
торов а1( . .. , ат линейно выражается через систему п-мерных
векторов Ьг, ... , bk, то ранг первой системы не превосходит
ранг второй системы.
261. Даны две системы n-мерных векторов а2, ... , ат
и Ьи b2, . .. , Ьт (по т векторов в каждой системе). Показать,
58
что ранг системы векторов <h + &i, л24*^2, ••• > ат~\~Рт не
превосходит сумму рангов систем ах......ат и blt ... , bm.
262. Что произойдет с рангом г системы «-мерных векторов
а^, а2, ... , ат, если присоединить к ней k произвольных «-мер-
ных векторов?
263. Пусть г — ранг системы «-мерных векторов аг, ... , ат.
Показать, что ранг любой подсистемы этой системы векторов не
меньше, чем r-\-k— т, где k — число векторов подсистемы.
264. Главным минором k-ro порядка квадратной матрицы А
n-го порядка называется минор, составленный из элементов, на-
ходящихся на пересечении k строк с номерами 4, /2, ... , ik и k
столбцов с теми же номерами ilt i2, ... , ik. Показать, что если
А — симметрическая матрица и некоторый ее главный минор М
г-го порядка не равен нулю, а все окаймляющие его главные ми-
норы г 4-1-го порядка равны нулю, то с помощью элементарных
преобразований можно матрицу А привести к симметрической мат-
рице В с тем же главным минором Ми с дополнительным мино-
ром М (при « > 1), имеющим элементы главной диагонали равны-
ми нулю, причем все элементы матрицы В, находящиеся вне ми-
норов М и М, также равны нулю.
265. Пусть А — квадратная симметрическая матрица порядка
« и некоторый ее главный минор М порядка г отличен от нуля, а
все ее главные миноры г 4- 1-го и г 4- 2-го порядков, окаймляющие
М, равны нулю. Показать, что с помощью элементарных преобра-
зований матрицу А можно привести к такой симметрической мат-
рице В, у которой главный минор М тот же, но все элементы вне
главного минора М уже равны нулю. Какое можно сделать заклю-
чение о ранге матрицы А?
266. Показать, что если порядок « квадратной кососимметри-
ческой матрицы А является нечетным числом, то ранг А не может
превосходить « — 1.
267. Показать, что если некоторый главный минор М г-го поряд-
ка квадратной кососимметрической матрицы А порядка « > 1 от-
личен от нуля, то с помощью элементарных преобразований мат-
рицу А можно привести к кососимметрической матрице В с тем же
главным минором М, причем все элементы матрицы В, находящие-
ся вне главного минора М и дополнительного минора М, равны
нулю.
268. Пусть А.—кососимметрическая матрица порядка « и ее-
некоторый главный минор М г-го порядка отличен от нуля, а все ее
главные миноры г 4- 2-го порядка, окаймляющие М, равны нулю.
Показать, что матрицу А можно с помощью элементарных преоб-
разований привести к такой кососимметрической матрице В, у ко-
торой тот же главный минор М, а все элементы вне М уже равны
нулю. Какое заключение можно сделать относительно ранга мат-
рицы А?
59
§ 4. Системы линейных уравнений
В задачах 269—284 исследовать, совместны ли системы ли-
нейных уравнений, и решить их.
269.
270.
271.
272.
273.
274.
275.
276.
60
2хх— Зх24-4х3— х4 = 1,
2xt — Зх2 -- 2х3 4- -Зх4 = 2,
2хх— Зх24~2х3— 11х4 =.—4.
Хх---Х2 + 2*;
Х-^ Х% •“ “ Хд Х&
Х1 -- Х2 4“ бХ;
Х1---Х2-|-6Х;
:3 —х4 = 1,
= 0,
:3 —х4 = 4,
з х4 “ 5.
4хх + Зх2 — Зх3 — х4 = 4,
Зхх— х2-|-Зх3 — 2х4=1,
Зхх 4~ х2 — х4 = 0,
5хх Ц-’ 4х2 — 2х3 х4 = 3.
*1+ ха— *3+ *4 = 2>
xi — хг + хз — х4 = 0>
2хх 4~ Зх2 2х3 — Зх4 = 3,
хх— 2ха — Зх34~4х4 = 0.
2хх — 4х2 Зх3 — 2х4 = 3,
хх — 2х2 — 2х3 —’ х4 = —2,
Зхх — 6х2 + 5х3 — Зх4 = 5,
4хх — 8х2 — Зх3 — 4х4 = —3.
2хх-|-Зх2— х3 = 1,
Зхх — 2х2 4- Зх3 = 0,
хх 4~ Зх2 4- 2х3 = 5,
Зхх 4; 2ха 4- 2х3 = 3.
2хх 4- х2 4- х4 = 2,
Зхх — х2 — 2х3 4-Зх4 = 1,
4хх 4~Зх24* хз — 2х4 — —1,
9хх--Зх2— х34-2х4 = 2,
хх —Зх2 4- 2х3 -““ х^ — 3.
2хх — Зх2 — х3 4~ 2х4 = 3,
Зхх 4- бх2 4~ 9х3 — 4х4 = —8,
4хх — Зх2 4* 5х3 4- 7х4 =14.
Ci
to
00,
CD 03
>c <*: и
*
.h
* * *
to
H
03
*
*
* H
to»— СП
to
00
03
СЯ
. to 03 to
3* 3* 2* ,2* 2*
****><
О »Л »A - Ж» '
И >t >s >t
A £A СЛ M >1 '
H >< ><
b ifcb .r< •
И- Юн-
ою »—* co cn
to
00
to
03
*
и >< >r ><
ьэ ьэ м к> fc*
to co to
H ><><>< H
•A £A л.* Ал C1S
CD £- 00 4^ CO
* .2е * *
£» tU 1Й
* * * * *
O’ O’ 0’ 0’ 0’
to
GO
to
* *
* * * *
03 to
H
pl p co
H
to 03 to 4^ co
* * * * *
to
00
to
CD
to
00
to
*
*
to
*
*
*
*
to
*
03
* *
to
.* eh
cn to
a *
to to 4^ to
* * H *
to
2* *
to 03 СИ co
и H J* >< *<
н и
»A АЛ РЛ fiA *.«
*
to pl Ca3
2< * h
СП L-
**<***
co to to
to
* >c *
to to
>t * 2*
to to to to
.* *
*
О CO О CO
to
* * * * H
(А KA KA Г5 kb '
СП to О to CO
H ><><«*: ><
м ea ел ea '
H и 2^
ifsb lb. 1^
ю си оз
В задачах 285—297 исследовать и решить при соответствующих
значениях параметров системы линейных уравнений.
285. Зхх4- х2 — х3— х4 - хх х2 | х3 х4 х4 4- Зх2 — Зх3 4~ х± — 5х2 4- 5х3 — Зх4 = 2, = 0, = 2, = Х.
286. 4хх - 7хх- *1- Ххх - 5х2 -6х2- -4х2- -9х2- И *з- - Зх3 - -7х3- - 8х3 - -Зх4 : -2х4 -4х4 = -7х4 = = 1, = 2, = 0, = 1.
.. 287. Зхх- 5хх _ Зхх — хи - 8х24-2х3— х - 7х2 — Зх3 — 8х. -11х24-5х34~ 2х. - Хх2— х--|-2Хх 4 1 4 = 3, = 5, = з, =—X.
288. Ххх - *1+: Хх хх 4- -х2 1+Х)х -х2 -х2 + *3 2 + , Х3 4-(l“H)X3 4~ хз 1 1 1 -Г II II II II
289. (X 3)хх -j* 2х2 — х3 4х4 = X, Xxr —(X.—1)х24~2х3— х4 = 2, 4* Зх2 — х3 11х4 =—10, Xj —|— 4х2 — х3 4~ 18х4 =—18.
290. (Х4- i)xi ~ Ххх - Ххх - (Х4-4)хх- — Зх2 4~ 2х3 х2 4- 4х3 - — 2ха 2х3 ~ - (X 4~ 7)ха 4- 2х3 - 5х4 — X, Зх4 == X, 2х4 = Х—1, 12х4 = Х— 1.
29L Xxj —р 2х2 — * Зх3 — ™ Зх4 — 1.
2хх -|“(3 + ~ 6х8 - 6х4 = X - hl.
3xj 4~ 6х2 - -(84-Х)х3 - 9х4 = X - -2,
Зх^ 6х2 ~ 9х3 - -(84-Х)х4 = Х- -2.
292.
Ххх 2х2 4- Зх3 4- 2х4 = 3,
2хх 4~ Хх2--Зх3 4"2х4 = 3,
2хх ~ Зх2 — Хх3 — “ 2х4 —— 3,
2хх 4- Зх2 4~ 2х3 — Хх4 = 3,
2хх 4" Зх2 4- 2х3 4" Зх4 = X.
62
293.
Хх4 4- х2 4- 2х3 4- Зх4 = 1
х4 — Хх2 4" Зх3 4- 2х,
Xj “* — Х2 “ —
Xj — —• Х2 — 4х3 —
х3 4- 4х,
4 — 1,
:4=1,
х4 — X,
3
294.
295.
-|- 2х2 + 2х3 + Зх4 = 5,
хг — 2х2 - - х3 -|- 2х4 = 1,
Xi 2х2 + 4" 5х4 = 13,
хг 4- 2х2 + Зх3 4- ^4 ==
2хх "т" Зх% 4~ Хх34- х& = О,
2Xi 4- Зх2 — 2х34- 7х4 = -р
2х4 4- Зх2 4~ 7х3— 2х4 = — 1.
296.
3xj 4~ 5х2 4- х3 -р- х4 = Хх3 — 3,
Зх4 4- 5х2 4~ Х8 4~ Х4 = f'X4 -3.
297. а) (64-с)(у4-z) —ах — 6 — с,
(с 4~ а) (х 4- z) — by = с — а,
(a -J- 6) (х 4-у) — cz — а — 6.
Ь) ах2 4~ 6х4 = с,
сх4 - -axs = Ь,
bx3 -J- сх2 = а.
с) (c4-a)y4"(a + 6)z — (6-/с)х = а®,
(а --6)г(6 - - с)х — (с4-а)у = 6?,
(6 4~ с)х 4- (с 4- а)у — (а 4“ b)z = с3.
298. Найти, при каких значениях Л следующие однородные си-
стемы линейных уравнений имеют и ненулевые решения:
а) у4-г
X
х -f- у
Хх,
z =—Ху,
Xz/
t = Ху,
t = Xz,
с) 2у 2z 4- 2и = Хх,
2х -j- 2z -j- 2и = Ху,
2х -|- 2у -f- 2и — Xz,
2х 4- 2у -J- 2z = Х«. ,
299. Указать необходимое и достаточное условие того, чтобы в
однородной системе п линейных уравнений с п неизвестными, об-
63
ладающей ненулевыми решениями, неизвестное xk равнялось всег-
да нулю.
300. При каких условиях система уравнений
х = by + cz + du -j- ev,
, уcz + du + ev 4~ ax,
z = du-\-ev-\-ax+by,
и = ev + ax 4- by 4- cz,
v — ax-\-by-\-cz-\-du
имеет и ненулевые решения?
301. При каких необходимых и достаточных условиях система
линейных уравнений
ру 4-iz 4-&* = о»
$Х — р.2 4- Ш = О,
7Х + р-у — Xu = О,
8х — vy 4" Xz = О
имеет и ненулевые решения?
В задачах 302—305 найти фундаментальную систему решений
для однородной системы линейных уравнений.
302.
303.
хг 4- х2 — х3 — 2х4 = О,
хх 4- х2 4- Зх3 4” ^х& = о,
Xi 4" х2 — 5х3 — 8х4 = О,
х4 4- х2 — 9х3 — 14х4 = 0.
хх 4“ 2х3 4“ Зх3 4" *4 = о,
2xx4-3x2-j- х34-2х4=0,
Зхх 4- х3 4- 2х3 — 2х4 = О,
4х2 4" 2х3 4~ 5х4 = 0.
304. 2хх — х2 4” Зх3 4- 4х4 — х6 — О,
хх 4“ 2х2 — Зх3 4- х4 4~ 2х3 == О,
5хх — 5х2 4- 12х3 4- 11х4 — 5х5 = О,
хх — Зх2 4~• 6х3 4~ Зх4 — Зх5 =, 0.
305. хх 4~2х2 — х3 4- Зх4 — х5 4~ 2хв = О,
2хх — х2 4~ Зх3 — 4х4 4* хъ хв = 9,
Зхх 4- х2 — х3 4- 2х4 4- х5 4- Зх6 = о,
4хх — 7х24“8х3—15х44~6х6 — 5хв = О,
5хх 4" 5х2 — 6х3 4~ 1 lxi 4“ — О*
64
306. Найти для однородной системы линейных уравнений
2хх 4- х2 — Зх3 4- 5х4 = 0, *
3xj — 2х2 4- х3 — Зх4 = О,
х4 4~* 4х2 — 7х3 4~ Зх4 == о,
Зх4 4~ 5х2 — Юх3 4- 18х4 = 0.
такую фундаментальную систему решений, чтобы она состояла из
попарно ортогональных векторов (см. задачу 259).
307. Для вектора а = (1,1,—1,0) найти максимальную (т. е. с
наибольшим числом векторов) линейно независимую систему четы-
рехмерных векторов, ортогональных а.
308. Для векторов а = (1,1,1,1,1) и р = (1,—1,1,1,1) найти мак-
симальную линейно независимую систему пятимерных векторов,
ортогональных аир.
309. Показать, что если а4, . . . , ak—линейно независимая систе-
ма n-мерных векторов, то существует по меньшей мере одна одно-
родная система линейных уравнений с п неизвестными ранга п — k,
для которой рассматриваемая система векторов является фундамен-
тальной системой решений (fe < п).
310. Показать, что если
Ч------\-а1пХп = 0, i = 1,2,.. .,m,
— система линейных однородных уравнений с действительными
коэффициентами ранга г < п и (blt • • • ,6П) — ненулевое решение этой
системы, то после присоединения к системе уравнения &1х14~
4-...4-&пхп=0 ранг системы увеличивается на единицу.
311. Пусть
/аи---а1п\
Л=М :
\апГ"апп/
— квадратная матрица с определителем, равным нулю. Показать,
что ранг матрицы
где Ац — алгебраическое дополнение элемента atJ определителя
матрицы А, не выше 1.
312. Показать, что если az =» (azl, . .., aZn), (1 = 1,2, ...» m), —
некоторая система n-мерных векторов ранга г, то максимальная
линейно независимая система n-мерных векторов, ортогональных
ai. • • •, аот» должна состоять из k = п — г векторов.
313. При каком необходимом и достаточном условии три точ-
ки А (х2, у4), В (х2, у2), С (х3, у3) лежат на одной прямой?
3 Л. Я. Окунев
65
314. При каком необходимом и достаточном условии п точек
Л1(х1, Ух), As (*2> Уа). • • • > Л (хп> Уп) лежат на одной прямой?
315. При каком необходимом и достаточном условии четыре
точки А (хр ylt zj , В (х2, у2, z2), С (х3, у3, z3), D (х4, у4, z4) лежат на од-
ной плоскости?
316. При каком необходимом и достаточном условии «точек
Л4 (xi> У1> 2i) > • • •» (хп> Уп’ zn) лежат на одной плоскости? На одной
прямой?
317. При каком необходимом и достаточном условии три прямые
а1Х + ^1У + С1 = 0> а2Х + М + С2= °. азх + &зУ + сз = °
пересекаются в точке? Аналогичный вопрос для случая п прямых
ai-« + M + ci = 0....аях4-дя^4-ся = 0.
318. При каком необходимом и достаточном условии 1) четыре
плоскости
Л4х 51У + C1Z 4- Dj = 0, А^х 4“ В2у 4- C2z 4- г>2 = о
л3х 4- В3у 4" c3z 4- в3 ~ о, Л4х 4- в4у 4“С4г 4-о4 = о
пересекаются в одной точке, 2)п(п>4) плоскостей
A1x4-B1y4-C1z4- Di = 0......Лях 4- Впу 4" Спг 4~ Dn = 0
пересекаются в одной точке? При каком необходимом и достаточ-
ном условии эти п плоскостей пересекаются по прямой?
319. Даны п прямых на плоскости своими уравнениями:
atx 4- b4y 4~с; = 0 (i = 1, 2, ..., «).
При каких необходимых и достаточных условиях каждая пара этих
прямых пересекается и никакие три из них не проходят через одну .
точку?
320. Найти уравнение шара, проходящего через четыре задан-
ные точки
Аг (otj, ft), Л2(а2, р2, 72), Л3(а3, р3, 7з)> ^<(а4> Р«> !«)•
321. Даны координаты центров
О4(Я1, бр), О2(а2, &2), О3(а3, Ь3), О4 («4, 64)
и радиусы rv г2, г3, г4 четырех окружностей на плоскости. Пока-
зать, что если эти окружности имеют одну точку общей, то оп-
ределитель
1 О1 Ъг а] 4-^— г,
1 &2 «2 4“ ^2 “ ^2
1 а3 Ь3 а3 4~ Ь3 г3
1 а4 &4 г4
равен нулю.
66
322. Показать независимо от теоремы Кронекера—Капелли, что
векторное уравнение
«Л + «аха 4-. .. + а„хп = Ъ,
где
aj = (av, а2у...amj), b = (blt b2....bm), j = I, 2, . . n,
тогда и только тогда разрешимо, когда ранг системы векторов
Ох, а2,.. ап совпадает с рангом «расширенной» системы векто-
ров Ох, а2,..,ап, Ь.
323. Показать, что если векторное уравнение задачи 322 раз-
решимо и ранг системы векторов а^, а2, .... а„ равен г, то в
случае г = п векторное уравнение имеет единственное решение,
а в случае г < п, когда, например, alt . . ., аг — база системы
вдкторов ар..., ап (и расширенной системы) и
Г г
I = 1 I “ 1
п
получается, что xz = cz— cijxp * = 1>2.............г. Рассужде-
j=r+i
ния вести, не обращаясь к соответствующей системе линейных
уравнений. Какой при г < п получается вывод относительно числа
решений векторного уравнения? '
324. Показать, что система п линейных уравнений с п неизве-
стными хг = ^ — — ... — а/м хм — аи+1 хм — . . . — а1п хп
(I — 1,2, ... ,п), где и — действительные числа, является
определенной при
п
I ли I < 1» / 4 •
/=1
325. Те же условия, что и в задаче 324. Показать, что если
п
S i< л < 1 (f = 1,2............и; /¥=0 и х^ = в — апх^"” —
... ) an+i х\+\ • • • ainx\t * О’ = 1» 2, .. .),
где x*°j, ... ,х((’’—произвольная система значений неизвестных
(она может и не быть решением системы), то | xj”+1) — xzv) | < ЛХ,
где е0 — наибольшее из абсолютных величин | xj°—х,0) ...
326. Те же условия, что и в предыдущих двух задачах. По-
казать, что при v -♦ <z> система значений х,’’, . . . , х^1 неизвестных
сходится к решению данной системы линейных уравнений. Пока-
3* 67
I b) i / A* eo
зать при этом, что | х{ — х\' | < у—где Х1, ... , хп — решение
системы.
Задачи 324—326 дают Ъбоснование итеративному способу ре-
шения системы п линейных уравнений с п неизвестными.
Пример. Решим приближенно с точностью до 0,001 с помощью спосо-
ба итераций систему уравнений
20х + у = 11, 2х + 37у = 23.
Преобразуем эту систему в следующую:
х = 0, 5500 — 0, 0500 у, у = 0, 6216 — 0, 0541 х.
В качестве начального приближения возьмем = 0,5500, у<0) = 0,6216.
Тогда
8<°> = - 0,0500 у(0’ = — 0,0311,
&<1> = — 0,0500 8^0) = 0,0015,
8^ = — 0,0500 8^> = — 0,0001,
6<3> = — 0,0500 6<2) = — 0,0000,
6<0) = — 0,0541 х<°> = — 0,0298,
6<,D =_ 0,0541 8J0) =0,0017,
8<2> ==—0,0541 8(0 = — 0,0001,
8<3) = — 0,0541 6<2) = 0,0000.
Требуемая точность уже достигнута, так как все четыре знака б[3> и 8^3)
после запятой равны нулю. Таким образом, с точностью до 0,0001
х « х<°> + 8|°> + 8<° + 6<2> = 0,5500 — 0,0311 -}- 0,0015 — 0,00011= 0,5203,
у « у<°> + 6<0) 4- 8<° + 8р = 0,6216 — 0,0298 + 0,0017 — 0,0001 = 0,5934.
327. Решить по спосрбу итераций с точностью до 0,001 следую-
щие системы линейных уравнений:
а) lOOx-f-Зу = 10, 3x4- ЮОу = 20;
Ь) 200х4-7у = 30, 5х-|-217у = 10;
с) ЮОх 4- 2у 4- z = 10, Зх 4- ЮОу — 2z = 100,
х — 4у — 100z = — 50.
328. На двух станциях отправления и Л2 сосредоточено со-
ответственно 20 и 30 единиц некоторого однородного груза. Этот
груз следует доставить в три пункта назначения Blt В2, В3, при-
чем в каждый из них должно быть завезено соответственно 5,30 и
15 единиц этого груза. Стоимость с1}- перевозки единицы груза из
пункта в пункт В; дана в следующей таблице:
(-и = 4, с12 =9, Си = 3,
c2i = 4, с22 = 8, с28 = 1.
Пусть Хц означает количество единиц груза, предназначенного к
отправке из пункта At в пункт Bj. При каких значениях х;/- общая
стоимость перевозок груза будет наименьшей?
329. Предприятию задан план производства по времени и но-
менклатуре, а именно не более чем в 6 единиц времени требуется вы-
68
пустить 30 единиц продукции вида Лх и 96 единиц продукции вида
А2. Каждый из видов продукции может производиться двумя ма-
шинами и с различными мощностями и работающими одно-
временно. Мощности заданы следующей таблицей:
А А
Mj 6 24
м2 13 13
Число 6, находящееся на пересечении строки Л1 х и столбца Л1( озна-
чает количество единиц продукции вида Лх, произведенной машиной
Mi в единицу времени. Аналогичный смысл имеют и остальные чис-
ла этой таблицы.
Расходы, вызванные изготовлением каждого из видов продук-
ции той или иной машиной, заданы следующей таблицей:
Mj
м2
А1 ^2
4_____47
13 ' 26
Например, 4 означает стоимость единицы рабочего времени маши-
ны /Их при изготовлении продукции вида Лх.
Пусть xtj (I — 1,2 и / = 1,2) — количество времени, потрачен-
ного машиной Mt на изготовление продукции вида Лу. Требуется
найти, при каких значениях стоимость всей продукции предприя-
тия является минимальной при выполнении заданного плана как
по времени, так и по номенклатуре.
ГЛАВА III
МАТРИЦЫ
§ 1. Действия над матрицами
В задачах 330—334 найти произведения квадратных матриц.
330. а) /3 5\/11 3\. Ь) /—2 3\ /5 2\.
\7 9/\9 12/’ К—5 —6/\4 —7>’
с) /3 5\/ 8 5\ /2 —1\
\7 9/\ 11 6/ ДЗ — 5/’
d) /cose?! — sin<Pj\ /cos<p2— sin<p2\
Vsin?! cos^/ \simp2 c°s?8/
331. a) /1 1 3\ / 1 — 1 2\
2 2 1—2 1 2 1;
\3 2 1/ \ 1 0—1/
b) / 1 2 3\/2 1 —2\
(—2 1 4 3 2 —1);
\— 3 —4 l/\2 —3 1/
c) / 3 5 — 6\/ 2 1 8\
24 3 —3—1—2.
\—3 1 l/.\ 4 5—3/
332. a) /J 2 3 4\ /7 8 6 2\
14-1 2 3 II 4567 1.
I 3 4 —1 — 2 II 2 1 1 2 f
\2 1—1 3/ \5 4 7 8/
b) / 2 — Г— 3 4\ /2 1 —2 5\
8 —7 —6 5 1 3 —5 4 6
-3 4 2 -6 1 1 1 — 2 2 — 7
4 3 —7 8/ \2 3 1 — 2
70
333. /3 5 1 1\/2 1 —1 2\/ 1 — 1 — 1 —1\
1 2 —1 0 3 1/ 1 —2 3 —5 II 1—3 1 1|
12— 21— 1 II 9— 6 8 3 1| 2 1 0 11
\4 —3 2 5/\4 5 1 —1/\— 1 1 1 3/
334. /а ь с d\ /1 с d а\
[da6c||ldab|
Icdablll а b с Г
\1 1 1 1/ \1 b с d)
335. Вычислить степени следующих квадратных матриц:
а) /1 —2\3. Ь) /3 —IV с) /1 1 — IV
(5 -7/ ’ \2 —5/ ’ d) la OV. е) /coscp— sincpV. \0 b) ’ \sin<p cos<p/ ’ 336. Вычислить n-ю степень матрицы 337. Найти: . а) /1 —1 0 0\3 I 0 1—1 0 1. 1 0 0 1 — 1 Г \0 0 0 1/ Ь) /1 — 1 0 0\ * 1 0 1-1- 0 ] 1 0 0 1 — 1 1 • \0 0 0 1/ 338. Найти" /111 [111. \1 1 1 и /1 —1 1 [ —1 1 — 1 \(—1)« (-l)n+1 (—1)«+2 . . . 3—1 2 ; \2 —1 0/ f) /а a\". g) (а IV (0 а) ’ \0 а) ’ /аь\ 1 lY i j । \ (квадратная I матрица п-го L j / порядка) (- 1)ЛА . (- 1)л+1 . . . . 1/
71
339. Найти:
а) восьмую степень матрицы
/ 1 1 0 0 0 0 \
— 1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0;
00—11 00
0 0 0 0 1 1
у 00 0 0 —1 1 у
Ь) /0 0 . . . О а,
10 0 . . . а2'0
ап 0 . . 0 0
340. Найти все квадратные матрицы того же порядка, переста-
новочные с матрицей Л:
Ь)л_/2—1\ с) /1 0 0\
Ь — 1/’ Л = | 1 2 0);
\! 13/
О 0\ е) /0 1 0 0 0\
—1 01 /001001
* . ; А = 0 0 0 1 0 .
1 — 1 I I 0 0 0 0 1 I
0 1/ \о о о о о/
341. Найти все квадратные матрицы В четвертого порядка с эле-
ментами, равными нулю ниже главной диагонали, для которых
(1 1 1 1\ /1—10 0\
о 1 1 1 |_ I о 1-1 О I
О 0 1 1 I “ I О 0 1—11
О 0 0 1/ \0 0 0 1/
342. Показать, что если для квадратных матриц А, В, С, D по-
рядка п имеют место равенства А = CBD и DC = Е, где Е — квад-
ратная единичная матрица n-го порядка, то для всякого целого по-
ложительного k Ak = CBkD. Найти, чему равна степень
/4 — 2\к
\1 1/ ’
используя равенства
/4 —2\ _ /1 2\ /2 0\ (— 1 2\
\1 1/“U 1Д03/\ 1—U’
7—1 2\ 71 2\ _ 71 0\ _ р
1 — 1/ и 1) - \о 1) _с-
72
343. Найти, чему равна степень
1 2 — 2\й
2 1—2,
2 2—3/
используя равенства
/1 2 — 2\ /11 1\/1 0 0\ / 1 1 — Л
(21—2=1 2 3 НО—1 0 1—3 2 1,
\2 2 —3/ \1 3 4/\0 0—1/\—1 2—1/
1 1 1\/ 1 1 — 1\
1 2 3 1 —3 2 = £,
1 3 4/\—1 2—1/
где Е — единичная матрица третьего порядка.
344. Найти все матрицы второго порядка, квадраты которых рав-
ны нулевой матрице второго порядка.
345. Найти все матрицы второго порядка, квадраты которых рав-
ны скалярной матрице
12 0\
\0 2)'
346. Пусть Л #=0, В =# 0 — квадратные матрицы п-го порядка,
О — нулевая квадратная матрица п-го порядка. Показать, что ес-
ли АВ — 0, то обе матрицы А й В — вырожденные.
347. Показать, что квадратная матрица А п-го порядка тогда и
только тогда перестановочна со всеми квадратными матрицами то-
го же порядка, когда она скалярна, т. е. когда А — аЕ, где а —
некоторое число, Е — единичная матрица п-го порядка.
348. Перемножить прямоугольные матрицы;
d) /1—1 1\ е) /2 Л
|2 10 1/5—12 1—1\ 3— 3 fl— 10
1 5 7 112 2 0 1 1 Г. \5 2/\2 4 3/
\1 4 3/\1 — 1 5 4 4/
73
349. Показать, что всякую систему п линейных уравнений с п
неизвестными aaXj + + • •• ~\~ainxn — ^i 0 = 1, 2, ... ,n)
можно представить в виде матричного уравнения АХ = В, где
А = (ау) — матрица из коэффициентов системы,
одностолбцовая матрица, составленная из неизвестных, В =
одностолбцовая матрица, составленная из свободных членов.
350. Пусть А — квадратная матрица л-го порядка ранга г < л.
Показать, что матричное уравнение АХ = 0, где
/Х1 \
Х = Н —
\Л'л /
одностолбцовая матрица из п неизвестных и 0 — нулевая одно-
столбцовая матрица, имеет максимальную линейно независимую
систему п — г решений Хх......Хп_г, причем каждое решение
матричного уравнения есть линейная комбинация системы реше-
ний Xlt . . . , Х„_г и всякая линейная комбинация системы реше-
ний Xlt . .., Х„_г есть решение матричного уравнения.
351. Показать независимо от правила Крамера, что матричное
уравнение АХ = В задачи 349 имеет решение и притом единствен-
ное, когда А — невырожденная матрица.
352. Показать, что, если
квадратная невырожденная матрица, то
74
— квадратные матрицы n-го порядка, причем С — невырожден-
ная матрица. Кроме того, пусть AXj = \jXj (/ = 1,2, ... ,п),
где Ху — некоторое число и
/ CV \
\cnj /
(/-й столбец матрицы С). Показать, пользуясь задачей 352, что
354. Пусть
где А и С — квадратные матрицы n-го порядка, причем С —
невырожденная матрица. Показать, что AXj = \jXj (j = 1,
2, ... , ri), где Xj — одностолбцовая матрица, представляющая
j-й столбец матрицы С.
В задачах 355—357 найти обратные матрицы для заданных
матриц.
355.
а) /2 4\; Ь) /3 5\. с) / a b\ d) (а Ь\
\3 5)’ \7 —9}’ \—b а)' \с d)’
356.
а) /1 2 — 3\ Ь) / 1 2 1\
I 0 1 2 I; 4 3—2;
\1 0 4/ 5 — 4 — 1/
с) /1 1 1\ d) / 4 _8 — 5\
2—3 11; —4 7—1.
\4 . 1 — 5/ \-3 5 1/
357.
а) /1 1 1 1\ Ь) / о 1 1 1\
/01111 1—1 0 1 1 |
I о о 1 1 Г l—1—i о 1 г
\0 О О 1/ \—1 — 1 — 1 о/
75
С) /1 1 3 2\ d) /4 7 о О\
12212 J (12 О О |
I 1 2 3 4 Г IOO 7 —4 Г
\1 1 2 3/ \0 0 — 5 3/
Обратные матрицы можно иногда находить следующим обра-
зом: пользуясь методом Гаусса, находят для линейного преобразо-
вания
= •• - +а1пх„, 1= 1,2, . . . ,п, (S)
с данной матрицей А обратное линейное преобразование S-1, т.е.
выражают неизвестные хх, ... , хп через неизвестные ух, .. ., уп.
Матрица S-1 и будет искомой матрицей Л-1.
В задачах 358—366 найти обратные матрицы для заданных
матриц n-го порядка.
358. а) /1 1 1 ... 11
(oil . . 11
\0 0 0 ... 0 1
Ь) /1 1 . . . 1 1 1\
/ 1 1 ... 1 1 01
1 1 ... 1 0 0
\1’о’. ’. .’о’о’о?
359. а) /1 1 1 ... 1
/ 1 l-Hi 1 • • • 1
1 1 1-|-а2.. . . 1
\1 Г ' ’ i ' ’ 1 -Н,.-!
Ь)/а-}-1 а а .. . а \
( a a -j-1 а . . . а |
\ а а а ...
360.
1 а 0 ... 00
01а ... 00
000 ... 1а
0 0 0 ... 0 1?
76
/ 1—1 о о... о о\
— 1 2—1 О . . . О О
0—1 2 — 1 . . . О О
О О 0 0 . . . 2 — Г
О О О 0 ... — 1 2
362. ~ /2 — 1 0 ... О О
/О 2 — 1 ... О О
10 О 0 ... 2 —1
\0 О 0 ... О 27
363. / 1 000... 01
/ —1 100... 01
0—110... 0 1
\ ’ 6 ’ bob'... —1’1
364.
365г /о а а ... а
I а 0 а ... а
а а а ... О
а а а
а 0 а
а а а
367. Найти квадратную матрицу А третьего порядка, если
дано, что С~гАС — диагональная матрица
/4 0 0\ '
с-мгс =000
' ’ \0 0 9/
и
При решении матричных уравнений вида АХ=В или УЛ=В,
где А, В — квадратные матрицы п-го порядка, а X— искомая
квадратная матрица того же п-го порядка, надо различать два
случая.
77
1°. A — невырожденная матрица. В этом случае каждое из
уравнений АХ = В и YA = В имеет единственное решение:
X = Л-1В и Y = ВА~1. В самом деле, легко непосредственно про-
верить, что А~гВ удовлетворяет уравнению АХ = В и В А"1
удовлетворяет уравнению YA = В. Если Xt и Х2 — решения урав-
нения АХ = В, то АХг — В и АХ2 — В, откуда АХг — АХ2. Умно-
жая обе части последнего равенства слева на обратную матри-
цу Л-1, получаем Х± = Х2. Аналогично убеждаемся в единствен-
ности решения уравнения YA = В.
Пример. Найти матрицу X второго порядка, удовлетворяющую
уравнению
Здесь матрица А = (। 1) невырожденная. Находим, что
2°. А — вырожденная матрица. В этом случае предыдущий спо-
соб непригоден и приходится пользоваться другим приемом, кото-
рый мы поясним на следующем примере.
Пример. Решить матричное уравнение
где X — искомая матрица 2-го порядка. Полагаем
Уъ)
Тогда после перемножения матриц Q и X получаем:
/2*1 + 3*2 2yi + Зу2\ __ (1 2\
\4*i + 6*2 4yj + буг/ \2 4/’
откуда
2*1 + 3*2 — 1, 1 /.г 2yi + Зу2 = 2,1
4*1+ 6*2 = 2./ 4у1 + 6у2 = 4. J
Системы (I) и (И) являются совместными и неопределенными. Находим, что
1 — 3*2 2 — Зу2 g,
--------2----общее решение системы (I) и yi =----------общее решение
системы (II). Полагая *2 = 2а+1, у2 = 2?, получаем:
/_За-1 1 —3?\
2« + 1 23?
где а, р — произвольные числа.
Обращаем внимание на то, что матричное уравнение АХ == В или YA=*B
в случае вырожденной матрицы А может оказаться неразрешимым (т. е. не
имеющим решения), так как соответствующие системы линейных уравнений
могут быть и несовместными.
78
В задачах 368—372 решить матричные уравнения относитель-
но квадратной матрицы X соответствующего порядка.
368. а)/3 5\„ /1 2\. b)y/7 9\_ ( 4 IV
\2 4^л=\2 4j, Л\4 5) \— 1 — 3/’
м1 -ч
I \2—3/
с)
/2 — 1 \ у / — 5 1
^3—2^ 2 3
369. а) /2 — 3\ v _ /3 1\.
\8 —12P“U 1)’
с) х( 5 — 3\ /1 2\-
ЦО — б/ U 4?
Ъ) /3 2\у _ /1 —1\.
\6 4/ Н — 2?
d) у/3 — 5\ _ /9— 15\.
Л \9 —15/“ U—Ю?
370. а) /2 3 1\ /1 — 3 2\
I 4 — 1 1 IX = [ 5 — 1 5 ;
\5 11/ \1 — 1 3/
Ь) / 1-1 -2\ /-1 1 -1\
X 2 — 1 —11 = 1 3—1 21.
\— 1 3 2/ \ 2 2 1/
371. а) /1 2 3\ / 8 9 9\
[3 1 2 |Х = [ 7 8 81;
\1 7 10/ \25 28 28/
Ь) /2—1 3\ / 6 4 4\
Х[ 3 2 2 1 = 1 0 0 01;
\1 3—1/ \18 12 12/
с) /4 5 1\ /1 1 1\
XI 3 4 0 ) = I 1 1 1 •
\1 11/ \2 2 2/
372.
(1 1 1 ... 1\
1 2 2 ... 2 1
1 3 3 ... 3 И = 0,
1 п п ... п/
где 0 — квадратная нулевая матрица п-го порядка.
79
373. Найти квадратную матрицу А третьего порядка, если:
a) Z1 \ / Ц / Л Z1 \ / 3\ /0 \
4(2] = 1—1), 41 2 1 = 10 I, 41 1) = (1);
\3 / \ 1/ \— 1/ \1 / \—V \0 /
Ь) /1 \ /2 \ /2 \ /4 \ /3 \ /1 \
413 | = 11), 411) = 12), 4(2) = 11).
\2 / \4 / \3 / \8 / \1 / V /
374. Пусть 4, В, С — квадратные невырожденные матрицы /г-го
порядка. Найти квадратную матрицу X того же порядка из урав-
нения 4Х-1В = С. Будет ли это уравнение разрешимо, когда А, В —
невырожденные, а С— вырожденная матрица?
375. Показать, что матричные уравнения АХ = В и ХА = В,
где А, В и X — квадратные матрицы /г-го порядка, неразрешимы,
когда ранг В больше ранга 4. Матрица X является неизвестной.
376. Показать, что матричное уравнение АХ — В, где 4, В, X —
квадратные матрицы n-го порядка, X — неизвестная матрица, раз-
решимо тогда и только тогда, когда ранги матрицы 4 и С сов-
падают, где С — матрица, получаемая приписыванием к 4 справа
матрицы В.
377. Показать, что если 4 — квадратная вырожденная матри-
ца /г-го порядка, то существует бесконечное множество таких квад-
ратных матриц В того же порядка, что АВ = 0, где 0 — квадрат-
ная нулевая матрица /г-го порядка.
378. Пользуясь правилом умножения матриц, показать, что
(АВ)'— В' А', где 4, В — квадратные матрицы /г-го порядка,
(АВ)', В' и. А' — транспонированные матрицы АВ, В и 4.
379. Квадратная матрица 4 n-го порядка с действительными
элементами называется ортогональной, если А' = 4-1, где А' —
транспонированная матрица 4. Показать, что
а)|4| = ±1;
Ь) произведение двух и нескольких ортогональных матриц ор-
тогонально.
380. Пусть 4 и В — квадратные матрицы /г-го порядка. Пока-
зать, что 4 = В тогда и только тогда, когда имеет место равенство
АХ = ВХ для любой одностолбцовой матрицы X из п элементов.
381. , Пусть 4 — квадратная матрица n-го порядка. Если f(x) =
= аохп4-а1хя-14- .... —некоторый многочлен от х, то под f(A)
обычно подразумевается матрица, равная а04”+а14п-14- ... -|-а9Е,
где Е — единичная матрица/г-го порядка. Показать, что если f(x),
g(x) и h (х) — произвольные многочлены от х, то
f(A)g(A) = g(A)f(A),
[f (Л) ± g (4)] h (4) = f (A) h(A)±g (A) h (А),
If (4) + g (4)] + h (A) = f (A) + [g (A) + h (4)],
(4) g (4)] Л (4) = f(A)\g(A)h(A)}.
80
382. Показать, что если <р (х) = где/(х), g(x)— некоторые
8 (*)
многочлены от х, и определитель | g (Л) | матрицы g (Л) отличен
от нуля, то f (Л) и я-1 (Л) перестановочны: f (Л) g-1 (Л) = g~l (Л) f (Л)
f (Л)
(таким образом, можно определить (Л) = как f (A)-g~1 (Л) =
8(A)
= g~1(A)f(A)).
383. Вычислить <р(Л), если:
/1 3 1\
а) Л = 1 2 3 1 ), ?(х) = —;
М 1 о/ х~2
/2 1 2\
Ь) Л= ( 1 о 11, <р(х) = х ~х + 2.
\oi-i/ x + 1
384. Проверить, что всякая матрица Л второго порядка удо-
влетворяет уравнению | \Е — А | = 0, где Е — единичная матрица
второго порядка, |ХЕ— Л| — определитель матрицы ХЕ — Л.
- 385. Обозначим через epq (р, q = 1, 2, ..., п) квадратную,
матрицу n-го порядка, у которой элемент на пересечении р-й стро-
ки и q-ro столбца равен 1, а остальные элементы равны нулю.
Показать, что п2 таких матриц epq образует базис множества М
всех квадратных матриц n-го порядка с комплексными элементами,
т. е. ерд линейно независимы и всякая матрица Л множества М
п
линейно выражается через epq. А= J] apqePq> гДе % —элемен-
р, q=i
ты матрицы Л.
386. Квадратная матрица Л — (av) порядка п называется сим-
метрической, если для ее элементов имеет место равенство aJt =
=а1}. Обозначим через epq (1 < р <q < п) квадратную матрицу
n-го порядка, у которой элементы apq и aqp равны единице, а
остальные элементы равны нулю. Затем обозначим через ерр
(1<р<п) квадратную матрицу n-го порядка, у которой элемент
арр равен 1, а остальные элементы равны нулю. Показать, что
все эти матрицы epq и ерр образуют базис множества S всех сим-
метрических матриц, т. е. что epq и ерр образуют линейно незави-
симую систему, через которую линейно выражается любая сим-
метрическая матрица.
387. Показать, что всякая квадратная матрица В порядка п, пе-
рестановочная со всеми симметрическими матрицами того же по-
рядка, является скалярной, т. е. В = аЕ, где а — некоторое чис-
ло и .Е — единичная матрица h-го порядка.
81
388. Показать, что в множестве М всех квадратных матриц п-го
порядка с комплексными элементами всякие ns + 1 матрицы уже
линейно зависимы.
389. Показать, что всякая квадратная матрица А #=0 п-го поряд-
ка с комплексными элементами удовлетворяет равенству f(A) = О,
где f(x) — некоторый многочлен от х с комплексными коэффициен-
тами степени k>l, а 0, как обычно, квадратная нулевая матрица
п-го порядка.
390. Пусть ер — однострочная матрица (0, 0, ..., 1, ..., 0)
(п—1 элементов, равных нулю, и элемент, равный 1, на р-м месте),
А = (ау)—квадратная матрица п-го порядка с комплексными эле-
п
ментами. Показать, что ерА = У apqep.
<7=1
§ 2. Группа, кольцо, поле i
Выяснить, образует ли группу каждое из следующих множеств. |
391. Целые неотрицательные числа относительно арифметичес- )
кого сложения. 1
392. Целые числа относительно а) арифметического сложения;
Ь) арифметического вычитания.
393. Целые числа, кратные некоторому целому k, относительно
арифметического сложения. _
394. Множество чисел вида а + 61/5, где а, b — произвольные i
рациональные числа относительно арифметического сложения, ариф- ‘
метического умножения.
395. Множество рациональных чисел относительно арифмети-
ческого сложения, умножения.
- 396. Множество отличных от нуля рациональных чисел относи- .
тельно арифметического умножения. J
397. Множество положительных действительных чисел относи- i
тельно арифметического умножения.
398. Множество чисел вида а + bV5 , где а, Ь — рациональные
числа, не равные одновременно нулю, относительно арифметичес-
кого умножения. г
399. Множество всех квадратных матриц п-го порядка относи-
тельно умножения матриц.
400. Множество всех квадратных невырожденных матриц п-го
порядка относительно умножения матриц. j
401. Множество всех ортогональных матриц (см. задачу 379) п-го
порядка относительно умножения матриц.
402. Множество матриц вида , где а, Ь —действительные
\О о/
числа, не равные одновременно нулю, относительно сложения, ум-
ножения матриц.
82
403. ’ Множество матриц вида [ ? М, где а, & — действительные
\—b a j
числа, а2 + 62=/=0 относительно умножения матриц.
404. Множество всех корней га-й степени из единицы относитель-
но арифметического умножения.
405. Множество подстановок n-й степени относительно опера-
ции умножения подстановок.
406. Множество нечетных подстановок n-й степени относитель-
но умножения подстановок.
407. Множество четных подстановок n-й степени относительно
умножения подстановок.
408. Множество квадратных матриц четвертого порядка
относительно умножения матриц.
409. Множество подстановок
Р _/ 1 2 3 4\ л _ 11 2 3 4\
U 2 3 4)' \2 1 4 3)’
д /1 2 3 4\ г _ ( 1 2 3 4\
U 4 1 2/’ \4 3 2 I)
относительно умножения подстановок.
410. Пусть Р — множество всех положительных действитель-
ных чисел. Обозначим через © следующую алгебраическую опера-
цию: aQb = аь, где а, Ь — числа из Р. Образует ли Р группу отно-
сительно этой операции?
411. Даны шесть функций от х:
fe(x) = x, Д(х)='р /2(х)=1 — х, =
Под произведением fjj понимается Д(/? (х)). Показать, что это.мно-
жество функций образует конечную группу и притом неабёлеву
относительно такой операции умножения.
412. Показать, что всякая конечная группа второго порядка
является абелевой; всякая конечная группа третьего порядка также
абелева.
83
413. Показать, что для всякого элемента а конечной группы по-
рядка п существует такое наименьшее натуральное число k и,
что ak — 1, где 1 — единица группы. (Это число k называется по-
рядком элемента а.)
414. Показать, что группа положительных действительных чи-
сел относительно умножения изоморфна группе всех действитель-
ных чисел относительно арифмётического сложения.
В задачах 415—422 выяснить, являются ли кольцами и полями
заданные множества.
415. Множество а) целых положительных чисел; Ь) всех целых
чисел относительно арифметических действий сложения и умно-
жения. ! -
416. а) Множество нечетных чисел; Ь) множество четных чисел;
с) множество целых чисел, кратных некоторому целому числу k\
d) множество чисел вида ах + Ь, где а =И= О, Ь — данные комплекс-
ные числа, х принимает всевозможные целые значения, относитель-
но арифметических действий сложения и умножения.
417. Множество а) чисел вида а-]-Ь]^3, где а, b — произ-
вольные целые числа; Ъ) чисел вида а-^-Ы^З, где а, Ь — про-
извольные рациональные числа, относительно арифметических дей-
ствий сложения и умножения.
418. Множество а) рациональных чисел; Ь) действительных чи-
сел относительно арифметических действий сложения и умножения.
419. Множество квадратных матриц n-го порядка с действитель-
ными элементами относительно операций сложения и умножения
матриц.
420. Множество а) матриц вида где а, b — произволь-
ные рациональные числа; Ь) матриц вида где а, b — про-
извольные целые числа; с) матриц вида где а, b — про-
извольные рациональные числа; d) матриц вида где а,
Ь — произвольные действительные числа относительно операций
сложения и умножения матриц.
421. Множество а) матриц вида (___® где а, b — произ-
вольные действительные числа; Ь) матриц вида
где а, b, с, d — произвольные действительные числа, относительно
операций сложения и умножения матриц.
422. Множество действительных функций от одного действитель-
ного аргумента х, непрерывных на отрезке (—2, 2), относительно
операций сложения и умножения функций. _
423. Показать, что множество чисел вида а + b где а, b —
рациональные числа, не образует кольца относительно арифмети-
ческих действий сложения й умножения, исходя из того, что у/3
не может быть корнем квадратного уравнения с рациональными
коэффициентами.
424. Показать, что множество матриц вида( ? где а, b —
\—0 а /
действительные числа, с алгебраическими операциями сложения и
умножения матриц изоморфно полю комплексных чисел.
425. Показать, что поле, состоящее из конечного множества эле-
ментов, не может быть изоморфно полю действительных чисел.
426. Могут ли быть изоморфными поле действительных и поле
комплексных чисел?
427. Могут ли быть изоморфными поле рациональных и поле
действительных чисел?
428. Показать, что если в множестве К. определены алгебраиче-
ские операции «сложение» и «умножение» так, что 1) имеет место
для этих операций ассоциативный закон, 2) имеют место левый и
правый дистрибутивные законы, 3) выполнимо вычитание, 4) су-
ществует единица е, то К образует относительно этих операций
кольцо.
429. Для каких колец с единицей совпадают нулевой и единич-
ный элементы?
430. Автоморфизмом кольца (поля) называется изоморфное ото-
бражение кольца (поля) на себя. Показать, что если К — ненулевое
кольцо с единицей, то не существует автоморфизма, отображающего
нулевой элемент на единицу.
431. Показать, что для поля рациональных чисел существует
только один автоморфизм, а именно тождественный.
432. Может ли при автоморфизме поля действительных чисел
j/ 2 отображаться на р^З?
433. Показать, что множество всех элементов поля R рациональ-
ных чисел относительно сложения не изоморфно с множеством не-
нулевых элементов этого поля относительно умножения.
434. Для множества пар (а, Ь) действительных чисел а, b опе-
рации сложения и умножения определены следующим образом:
(«1. Ьг) + (а2, Ь2) = (ах + а2, Ьг + &2),
(ах, 6х)(а2, &2) = (аА4-аД,
Показать, что это множество К относительно таких операций
образует кольцо с делителями нуля. Найти все делители нуля
кольца К. >
85
435. Показать, что кольцо /< предыдущей задачи изоморфно коль-
цу М квадратных матриц второго порядка вида^ , где а, b —
действительные числа.
436. Показать, что тело матриц задачи 421 Ь) изоморфно телу
квадратных матриц второго порядка вида:
• I a-}-bi
\— c-\-di а — bi)’
где а, Ь, с, d — действительные числа, i = V =1.— мнимая еди-
ница. Предварительно убедиться, что совокупность квадратных
матриц второго порядка этого вида образует тело (относительно сло-
жения и умножения матриц).
ГЛАВА IV
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Действия над комплексными числами
437. Представить в тригонометрическом виде комплексные числа:
а) 1; Ь) —2; с) 7; d) — i; е) —1 — i.
438. Представить в тригонометрическом виде комплексные
числа:
. 1 . V з ... 1 . ]Лз . . 1 V Т . .. 1 У"з .
а)—к-—г, b)-----------к*—t; с)------------—t; d) —t.
' 2 ' 2 2 2 2 2 2 2
439. Представить в тригонометрическом виде комплексное чис*
ло 3 —[— i.
440. Представить в тригонометрическом виде комплексное чис-
ло (2—/З-)—t.
441. Представить в тригонометрическом виде комплексные числа:
a) cos<p—isin<p; b) —cos<pisin<p; c) —cos<p— isin®;
d) 1 4" cos a i sin a; e) 1—cos a -|- i sin a; f) sina -|~ i(l -|~cosa);
g) —sina — «(l-|-cosa); h) —sina-|~ i(1-|-cosa).
442. G помощью логарифмической линейки представить в
тригонометрическом виде: а) 4 + 3i; b) 1 + 3i; с) —5 — г, d) 4 — 2t;
е) — 3 — 51.
В задачах 443—448 вычислить выражения.
443. (2-ЗО«-(1+ОЧ5-0- 444 (-2 + 2ZP , 2._5.
(4 — 304 — i{\ + 2Z)3 (— 1 -J- i)3 '
445. J1 +^П,, (n > 2 — целое).
446. — (n > 3 — целое).
2(1- i)n~3 ’
447. 0-^1)6 + (1 + б(3-0- 448.
87
449. Вычислить: а) (а-\-Ьы)(а-\-Ьы2)-, b) (а b<s> со>2) {а
450. Вычислить:
(1 +z/3~)(cos6 4-/sinfl)
(1 + I) (cos 6 — / sin fl) *
451. Вычислить:
П-НГТ)»
(1+/)W '
452. Вычислить:
(l + i/T)4n
(14-О8" ’
где п—целое положительное.
453. Вычислить шп -j- и", где п—целое положительное и <о, <о —
недействительные сопряженные корни третьей степени из единицы.
В задачах 454—455 найти действительные значения х и у из
уравнения.
454. (5 — 8г) х 4- (7 + Зг) у = 2 — i.
’ 455. (7 + 2t)-x — (5 — 40 у = — 1 — i.
456. Найти действительные значения х, у, г из уравнения
(7 — 20 х + (5 4- 40 у 4- (3 + 0 z = 21 — 3.
. 457. Найти действительные значения х и у из уравнения:
а) (3 — 0 х2 — (3 4- 2г) х — (1 — 0 у = 13 — Юг;
Ь) (2 4- Зг) х2 4- (2 4- 0 х 4- (4 — 30 «/ = 8 4- 17г.
В задачах 458—459 решить системы линейных, уравнений с
комплексными коэффициентами с двумя неизвестными.
458. (2 4- 0 х — (3 4- О У = i,
(3 4- 0 х 4- (2 — 0 у = г.
459. (2 — 0 х 4- (5 — Зг) у = 2 4- 3/,
(7 4- 40 х — (4 4- 5г) у = 4 4- А
460. Показать, что если Vа 4- Ы’ = а 4~ РА то Vа — Ы =
=а —рг, где а, р— действительные числа.
461. Извлечь корень квадратный из следующих комплексных
чисел: а) К i; b) V—г'; с) K44~3i; d) —15г;
е) И—4—Зг; f) 7 + 24/; g) /5 — 2г.
86 '
Решить следующие квадратные, уравнения:
462. х2 — (4 4- 3i) х + (1 + 5«) = 0.
'463. х2 — (3 4- 70 х — 10 + Ш = 0.
464. (3 + 0 х2 + (1 — 0 х — 6Z = 0.
В задачах 465—469 решить уравнения.
465. х4 + 5х2 + 9 = 0.
466. х4 + 8х3 + 16х2 + 9 = 0.
467. х4 + 4х2 — 32х + 64 = 0.
468. (х + '1) (х 4- 2) (х + 3) (х + 4) = —5.
469. а) I х I + (1 + i) х = 4 4- 7i; b) | (2-р) х |—(3-Z) х= — 5i;
' с) |х + »| + |х— Z| = 2; d) |x| + |x + i| = 1.
470. Показать, что для любых действительных чисел а^, ..ak
и blf ..., bk справедливо неравенство
& & k
2«/+2 v.< (2 )2-
S=1 S=1 s=l
471. Выразить через cosx и sinx:
a) cos 5х; b) sin 5x; c) sin 6x 4~ cos 6x; d) cos 8x; e) sin 8x.
472. Выразить отношения и ~ — через tgx.
cos" x cos" X
473. Пользуясь тригонометрическим видом комплексного числа,
показать, что для действительных чисел р, q У= 0 равенства
cos 2 <рр cos <р 4-<7 = 0, sin 2 <р + р sin <р = 0
одновременно имеют место для некоторого <р тогда и только тогда,
когда q = 1 и р2 — 4q 0. \
474. Выразить tg 7х через tg х.
475. Выразить tg пх через tg х, где п — целое положительное.
476. Показать, что и при целом отрицательном п
[г (cos <р 4~ t s’n ?)]“ = гП (cos <s*n ”?)•
477. Доказать, что если х4~^-1 = 2cos<p, то хп 4-х~" = 2cosn<p,
где п > 0 — целое.
478. Показать, что sin" х и cos" х (п — целое положительное)
можно выразить в виде многочлена первой степени от косинусов
и синусов углов, кратных х.
479. Пользуясь результатами предыдущей задачи, выразить
в виде многочлена первой степени от тригонометрических функций
углов, кратных х: a) sin5x; b) cos6x; с) cos7x4~sin7x.
480. Рассматривая ш" = (п— целое поло-
жительное), вычислить суммы
т tnf
Sn = 2 (- Th = £(_ l)ft3ftc^+’,
89
где C„l—биномиальный коэффициент, tn = т' — (под
[г], где х — действительное число, подразумевается целое число'а,
для которого х — 1 < а < х).
Найти суммы.
т
481. J (- \)кС*,
k-Q
т'
£(-1>‘сг, m=w. -х'-М-
л=о L J
482.
tn
483-
k~0
т
т
485. £(-1)*[3* + (-1)‘1С**, т =
л=о
486. £ (— 1 )*[3* + (— 1)*] С2к+\ т =
6 = 0
п — Г
2
В задачах 487—498/ пользуясь представлением комплексного ~
числа в
487.
тригонометрическом виде, вычислить заданные суммы,
л—1 л—1
S = 2 cos
£ = 0
*=о
488.
489.
S == cos x 4“cos + ... + cos kxt
T == sin x +sin 2x+ ••• 4-sin£x.
(2£—1)k
OSV-----
2k + 1
490.
Sk » Зк
= cos---h cos----
2k + 1 1 2^+1
rp • к I • Зя
T = sin---k sin----
2* 4-1 2* 4-1
о 2к । 4k
S = cos----k cos--
2^+1 26+1
.in as--U-?.
2k + 1
2kn
2^ + 1’
rn * 2я । • 4к
T = sin--------k- sin-----
2*4-1 1 2*4-1
2kn
2k+V
90
491. S — 1 4~ C'n cos x -j- ... 4~ C" cos nx,
T = C^sinx-j-C^ sin2x4~ ••• 4-C'^sinnx.
(C*.— биномиальный коэффициент).
492. S = cos x — Cln cos 2x-f- ... + (— l)nC“ cos(n + 1) r,
T — sin x — sin 2x 4- ... +(— 1)"C^ sin («4" l)x.
493. S = 1 -f-flcos x 4~a2cos2x 4- ... -}-akcoskx,
T — asinx 4-«?sin 2x -}- ... -\-aks\nkx.
494.
S = cos i -f- cos (2x 4~ a) 4- cos (4x 4~ a) 4“ • • • + cos a)>
T = sina4-sin(2x4~«)4's*n(4x4"a) 4~ ••• 4“ sin (2£x 4" »)•
495. ". "
S= ycos2£x, T = у sin2£x.
fe-i . fe-i
496. "
S = у cos2 (2k 4- 1) x, T — V sin2 (2k 4~ 1) x.
Л-0 . * = 0
S = у cos3 kx,
*=i
sin3 kx.
498. "+* "+*
S = у k cos (k — 1) x, T = у k sin (k — 1) x.
k=0 *=0
§ 2. Геометрическое истолкование комплексного числа
499. В круг радиуса г с центром в начале координат вписан пра-
вильный n-угольник. Указать, какие комплексные числа соответ-
ствуют его вершинам, если известно, что одна из них находится
а) на положительной части действительной оси; Ь) на отрицатель-
ной.части действительной оси; с) на мнимой оси вверх от начала;
d) на мнимой оси вниз от начала; е) в точке, соответствующей ком-
плексному числу с аргументом ф.
91
500. Написать условие, означающее, что расстояние между точ-
ками, изображающими комплексные числа zx и z2> равно d.
501. Найти геометрическое место точек, изображающих ком-
плексные числа г, для которых а) модуль равен 2; )э) аргумент
равен <р; с) | z | < 3; d) | г — 1 4* i | < 5;. е) одновременно | z—i | <2
и | г i | < 2; f) одновременно | z 4- i — 11 < 5 и arg z = р
502. Найти геометрическое место точек для комплексных
чисел z, удовлетворяющих условию: a) arg (z 4- 2 —
b) arg (z4- z0) = <?.
503. Показать справедливость равенства
I^ + ^|24-|2i-^|2 = 2(| zJ^IW
для произвольных комплексных чисел zlt z2 и выяснить, какой »
геометрический смысл имеет это равенство.
504. Точка, соответствующая комплексному переменному z,
описывает окружность радиуса г — 1 с центром в начале координат. ,
Какую линию описывает точка, соответствующая
a) w = z4--4-2 — i; b)« = z4--4-l?
2 2
505. Показать, что три точки 0, г1 и га лежат на одной пря-
мой в том и только в том случае, когда za = czlt где с — некото-
рое действительное число1.
506. Показать, что три точки zlf z2, г3 тогда и только тогда
лежат на одной прямой, когда существуют такие не все равные
.нулю одновременно действительные числа сх, са, с3, что q 4" са +
4-с3 = 0 и ^4-^4-^ = 0.
507. Четырехугольник имеет вершины О, А, В, С, соответствую-
щие комплексным числам 0, 3, 14~f и 2 4~3/. Пользуясь геомет-
рическим истолкованием арифметических действий над комплекс-
ными числами, найти комплексное число z, соответствующее точ-
ке D пересечения диагоналей четырехугольника.
508. Треугольник имеет вершины О, А и В, соответствующие
комплексным числам 0,2 4* и 4. Точка С находится на стороне
О А, причем ОС — О А. Через эту точку С проведена прямая,
параллельная стороне ОВ и пересекающая сторону АВ в точке D.
Пользуясь геометрическим истолкованием арифметических действий
над комплексными числами, найти комплексное число г, соответ-
ствующее точке D. к
509. Точки, изображающие комплексные числа гх, г2 и 0, не
1 Мы иногда говорим «точка г», понимая под этим точку, соответ-
ствующую комплексному числу г, или «вектор г», понимая под этим вектор,
соответствующий числу z.
92
лежат на одной прямой. Найти геометрическое место точек, изо-
бражающих комплексные числа z = z1-|-Xz2, где X принимает все-
возможные действительные значения.
510. Точки, соответствующие комплексным числам 0, гх и z2, не
лежат на одной прямой. Найти геометрическое место точек, со-
ответствующих комплексным числам z = Xzx 4~ (2Х 4~ 5) z2, где X
принимает всевозможные действительные значения.
511. Показать, что если точки, соответствующие комплексным
числам 0, гх и г2, не лежат на одной прямой и z = р-гх 4* \z2, где
[л, X — некоторые действительные числа, то эта пара чисел р., X
для комплексного числа z является единственной, т. е. если
z — [ixzx 4~ Xxz2, то Хх = X, Рх = р.' Найти геометрическое место то-
чек, соответствующих комплексным числам z = pzx -ф- Xz2, где p и
X независимо друг от друга принимают всевозможные действи-
тельные значения.
512. Показать, что если комплексные числа г1 и z2 имеют мо-
дуль, равный единице, и изображаются перпендикулярными век-
торами, то для всякого комплексного числа z найдется и притом
единственная пара таких действительных чисел р и X, что z =
= pzx Xz2 и | z | = Кр-2 4~ X2. Обратно, если zx, z2 — такие ком-
плексные числа, что для любого комплексного числа z имеет мес- .
- то равенство z = pzx -f- Xz2 при некоторых действительных р и X и
Pl = tV+P, то векторы, изображающие числа гх и z2, перпен-
дикулярны и имеют длину, равную единице.
513. Показать, что равенство | г2 — гх |2 = | гх — z® I2 + 1 г2 — ?0 |г
имеет место тогда и только тогда, когда г2 — z0 = Xi (zx — z0), где
X — некоторое действительное число. Дать геометрическое истол-
кование исследуемому равенству.
514. С помощью операции умножения комплексных чисел уста-
новить, как изменятся координаты точек г комплексной плоско-
. ста, если каждый вектор, имеющий начало в О и. конец в точке z,
повернуть на угол <р против часовой стрелки. Получить отсюда фор-
мулы поворота прямоугольной системы координат.
515, Найти геометрическое место точек z = * ~*~ **, где t—про-
извольное действительное число.
516. Показать, что уравнение zz4-az-|-az-|-6 = 0 (b— дей-
ствительно), где z сопряженно с г и а сопряженно с а, равно-
сильно уравнению |г— c|2=d, где с— —а и d — некоторое действи-
тельное число. Какое геометрическое место точек образуют z, удо-
влетворяющие данному уравнению?
517. Найти геометрическое место точек г, для которых
= cos <р 4- ^sin <р,
где <р принимает произвольные значения и а Ь.
93
518. Найти геометрическое место точек г, для которых
1^=-2| = Х,
I 2— Ь I
где X — данное неотрицательное число и а Ф Ь.
При решении следующих задач исходить из определения комп-
лексного числа, приведенного в учебниках А. Г. Куроша и Л.Я. Оку-
нева. Под модулем комплексного числа г, как обычно, следует
понимать длину вектора, изображающего г, а под аргументом z—
угол, образуемый этим вектором с положительным направлением
действительной оси ОХ, причем положительное направление от-
счета угла — против часовой стрелки. Умножение чисел, задан-
ных в тригонометрическом виде, не считается известным.
519. Пусть а 0 — действительное число, аг — комплексное
число с аргументом <р и модулем г. Показать с помощью чисто гео-
метрических рассуждений, что вектор zx = az,получается путем
поворота вектора а на угол <р против часовой стрелки и умножения
длины вектора а на число г.
520. Пусть z — снова комплексное число с аргументом <р и
модулем г, Ы 0, где b — действительное, at — мнимая еди-
ница. Показать с помощью чисто геометрических рассуждений,
что вектор zx — (bi) г получается путем поворота вектора Ы
на угол <р против часовой стрелки и умножения его длины на
число г.
521. Пусть и — а + Ы 0 и z =}= 0 — два комплексных числа.
Пользуясь двумя предыдущими задачами, показать, что вектор
Zi — иг = аг + (Ы) г получается путем поворота вектора и на
угол <р = arg z против часовой стрелки и умножения длины и на
число г = | z |.
522. Исходя из предыдущей задачи, получить правило умноже-
ния комплексных чисел, заданных в тригонометрическом виде.
523. Пользуясь предыдущей задачей, доказать теорему Пифа-
гора о прямоугольном треугольнике и, в частности, получить, что
cos2<p4-sin2<p — 1.
524. Исходя из правила умножения комплексных чисел, задан-
ных в тригонометрическом виде, и из правила умножения комп-
лексных чисел, заданных в двучленном виде, вывести формулы для
cos (<pj ± <р2) и sin (?! ± <р2).
525. В качестве угла между векторами, изображающими комп-
лексные числа zx =# 0 и z2 у= 0, принимается тот угол 0 < ш < к,
на который надо повернуть один из векторов против часовой стрелки,
чтобы его аргумент стал равен аргументу другого вектора. Пока-
зать, что если при повороте против часовой стрелки на угол
0 < <о < к аргумент вектора гх становится равным аргументу век-
тора z2, то и = arg —. Пользуясь этой формулой, найти угол
Z2 ___
между векторами------рг и l-j-iy 3.
94 х
526. Вершины треугольника находятся в точках zlt z2, га (в на-
правлении обхода сторон треугольника против часовой стрелки).
’ Пусть а, р, [ — внутренние углы треугольника соответственно при
вершинах zu z2, za. Показать, что
а = arg , р = arg г-}~^ t 7 = arg ,
^2 — 23 — 22 — ^3
и проверить справедливость равенства а-|~Р+\ =*.
527. Пользуясь предыдущей задачей, найти длины сторон и вну-
тренние углы треугольника, вершинами которого являются точки:
а)21 = 3-Н, z2 = 5 + 3i, z3= (7 —2/3) + 3i;
b) 21 = — 3 +1, z2 = 1 4-3Z, z3 = — V S’4- i (10— зУз).
528. а) Показать, что четыре точки z1( z2, z3, z4 тогда и только
тогда лежат на одной окружности, когда
(г3 — Zj) (г4 — га) _ а
(г< — «О (z3 — %)
есть действительное число;
Ь) пользуясь только условием (А), найти уравнение окружнос-
ти, описанной вокруг треугольника с вершинами в точках zt —
= 1 + i, z2 = 2 + 3i, z3 = 3 + 2i.
§ 3. Извлечение корня /г-й степени
529. Извлечь корень соответствующей степени из комплексного
__________________ ____ 6 г~^-—~
числа: а) р' —4; b) V —i; с) yG"; d) "1/ У3 ;
а\ 3 /» I . п 3 /(зК~3+4)-<(4ГЗ -3) .
) |/ 1-г 2 • ) у 3 — 41 ’
8 / 1 + 7 <
g) У (4 — зУз) + (4УГ+3) Г
530. Пользуясь логарифмической линейкой или таблицами, из-
влечь корни: a) y^3—2i; b)fO-|-2t; с) У—2—4Z.
531. Показать, что все корни уравнения
/1 Zx\ п 1 + cil
\1 — ~ I- al’
п>1—целое, а—действительно, действительны и различны.
532. Найти корни из единицы степени: а) 2; Ь) 3; с) 6; d) 8; е) 12;
1) 16.
95
9 ' ' t
533. Показать, что число в = cos — -4- i sin — (& > 1, n > 2—
n n
целые числа) является первообразным корнем степени — из еди-
d
ницы, где d— наибольший общий делитель чисел k и п (отсюда
следует, что е тогда и только тогда первообразный корень п-й
степени из единицы, когда k и п взаимно просты).
534. Пользуясь предыдущей задачей, найти первообразные кор-
ни из единицы степеней, указанных в задаче 532.
Если корень n-й степени из единицы является первообразным
корнем степени 8 из единицы, то обычно 8 называется показате-
лем, к которому принадлежит этот корень.
535. Найти корни 24-й степени из единицы, принадлежащие к
показателю 5, 8, 12.
536. Для каждого корня а) 12-й; Ь) 16-й; с) 24-й степени из еди-
ницы указать показатель, которому он принадлежит.
537. Доказать, что если
Ьк = а0 4* «1 + п2 е2А, £ = 0,1, 2,
где а0, Oj, а2 — действительные числа и s — первообразный корень
третьей степени из единицы, то
. 1М2+1М2+Р2|2 = з(^+^+^).
538. Найти все комплексные корни уравнения х2 = х"-1, где
х — число, сопряжённое х, n> 1.
В задачах 539—542 решить уравнения (n> 1—целое).
539. (х 4~ 2)" — (х — 2)в = 0.
540. (х 4“ 5i)n— (х — 5г)" = 0.
541. (x4-3t)n4-*(* — 3t)" = 0.
542. (х 4~ ш)п — (cos 9 4- i sin 9) (x — ai)n = 0, 9 =/= 2£rc, а Ф 0 —
действительно.
543. Показать, что корни уравнения
где а, Ь, Л — комплексные числа, а =# 6, лежат на одной окру Ясности,
которая может в частном случае выродиться в прямую (п — целое
положительное число).
В задачах 544—547 известно, что е — корень n-й степени из
единицы. Вычислить указанные выражения.
544. 14_е4-е24- ... 4-®"-1- 545. l4-2e4~3s24- ...
546. j? 6М-1. 547.
6=1 4=1
e*-i.
96
549. £
Й=1
п
В задачах 548—551 числа ек—корень л-й степени из единицы.
Найти суммы.
п
548.
П
550. 2«;.
k~l
. п п
552. Найти суммы cos—, JJ&sin-—.
*=i - *=i
Л
553. Найти, чему равно произведение П (а -|- Ъ еД где —корень.
А = 1
n-й степени из единицы,
2т+1
554. Рассматривая произведение П (1“|~еА) = 2, п —
4=1 ........' ’
(см. предыдущую задачу), показать, что
™ 1 Kk il\™
П cos-----= I — I .
/Д 2m-J-l \2/ •' ।
4 Л. Я> Окунев
ГЛАВА V
МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОГО НЕИЗВЕСТНОГО
§ 1. Действия над многочленами
555. Найти сумму коэффициентов многочлена f(x), равного
(2 — 5х Ц- х3)211 (3 — 7х + 9х2 — 5х3)135.
556. Показать, что коэффициент при четной степени х члена
многочлена f (х) = (2 -f- Зх2 — х5)" не меньше коэффициента при
той же четной степени х члена многочлена g (х) = (2 — Зха—х5)".
557. Доказать, что
a) ‘+f^ + fc:+
,___1 = 2n+1 - 1 .
п+1 п «4-1 *
Ь)
...
(C°J2 + (C*)2+... + (c:F=^;
С) С'п + С*+ ... н-с^+,= с“+с:+ ... + С>2-\
. где k и s — целые числа, такие, что
s < — <s-f- I;
2
Ф £« + <+... + (2^+ 1)С^+,= 2С’+4С*П+ ... +
4-2sC2s = п2«-2, - • .
где k и s — те же целые числа, что и в с).
558. Найти необходимые и достаточные условия делимости
многочлена x84-px-J-g на х2-{-1.
559. Найти необходимые и достаточные условия делимости
1
а) многочлена x?-\-px-{-q на х2-(-ах
Ь) многочлена x^-j-px — q на х2— ах
с) многочлена x5-f-px—q на х2 -f-ax-f-1.
560. Пользуясь схемой Горнера, выполнить деление (с остатком):
а) х4-(-5х3 — 6х24"8х — 3 на х — 2;
98
b) 2x54-7x4 — 8x24-3x — 5 на *4-2; .
с) Зх« —г^ + бх3—8x-f-ll нах-|-у;
d) 4х54~(2—/)х* — 5<х34*0 — 0х — 2f на *4-1— I»
561. Вычислить значение /(х0) многочлена /(х) с помощью схе-
мы Горнера:
а) f(x) = 5x4— 7х34"8х2 — Зх-{-7 при х0 = 3; -
b) f (х) = 2х®4~2х4 — Зх34-4х2— 6х-|-5 при х0 = — ;
с) /(х) =х®4-(1 — (34- t)x24“7f при х„ —— 14-2г.
562. Показать, что если многочлен f (х) с целыми коэффициен-
тами принимает при х= 1, 2, 3, 4 значение, равное некоторому
простому числу р, то он не может принимать значение 2р ни при
каком целом значении х.
563. Найти остаток от деления многочлена /(х) = 1 4"x4-x34~
4-Х94-х274-х814-х243 на а) х2— 1; b) x2-f-1; с) х4— 1, не при-
меняя алгоритма деления с остатком.
564. Некоторый многочлен /(х) при делении на х—1 дает
остаток, равный 1, при делении на х — 2 — остаток, равный 3, при
делении на х — 3 — остаток 5 и при делении на х—4—остаток 6.
Какой получается остаток при делении этого многочлена на про-
изведение (х — 1) (х — 2) (х — 3) (х — 4)?
565. Показать, что многочлен
f (х) = 2х (хл-14- ахп~2 4- ... 4- ал-1) — па"-1 (х 4- а) — л2 а"-1 (х—а)
делится на (х — а)2.
566. Показать, что многочлен
f (х) = 2хл+1— п(п-р 1)ап-1х2 4~2(п2— 1)а"х — п(п— l)on+1
делится на (х — а)3. .
567. Показать, что
а) многочлен '
f (х) = (cosа — x2sina)n— cosпа -|-х2 sin па
делится на х4 -|- 1;
Ь) многочлен
f (х) = х2л sin а — г"-1 х2 sin п а rn sin (и — 1) а
делится на х4 — (2г cos а) х2 4- г2.
568. Показать, что при нечетном п выражение
(a4-&4-c)n — ап — Ь" — сп
делится на (a4"&4~f)3 — a3 —&3—;с3.
569. Найти, при каком необходимом и достаточном условии
многочлен а3 4- б8 с8+mabc делится на а + ^4- с-
570. Доказать, что (а 4~ 6)6л+1 — а8л+1 — 6вл+1 делится на а2 4-
-\-db-^-b3, а также на a, & и на а-\-Ь.
4* 99
571. Найти, чему равен многочлен f(x) степени п, если при
делении на х — ai он дает остаток Ло и частное Д (х), при деле-
нии Д (х) на х — Оз получается остаток /Д и частное Д(х), при
делении ’/2(х) на х — а3 получается остаток А2 и частное Д(х)
и т. д. Наконец, /л-1 (х) при делении на х — ап дает остаток Ап-г
и частное Ап. Что получается при ах = а2 = ... = ап = а?
572. Пользуясь схемой Горнера, разложить многочлен f(x) по
степеням х — а:
a) f(x) — а^Н-Зх3 — 4х24~6х— 5, а = —2;
Ь)/(х) = 2х®— Зх3-}-6х2— 8х— 4, а=3;
с) / (х) = 2х7 -|- х5 — Зх3 4~ 4х — 7, а = — 4;
d) / (х) = х» 4- (2 — 0 х* 4- (/ — 1) х8 + (14-/) х2 — (14-Z) х4-3—/,
а — /.
573. Пользуясь схемой Горнера, найти значения многочлена
f(x) и его производных при х = а:
а) /(х) = 4х8 — 2х24*5х—1, а = 2;
b) f (х) = Зх4 4- Sx3 — 2х2 4- 6х — 5, а = — 3;
с) f(x) = x54-9x44-7x3 — 2x2— 11x4-7, а = —4;
d)/(х) = 2х6 4~ Зх4 — х2 — 5х-|-1, а = — 1 4~/-
574. С помощью схемы Горнера разложить по степеням х:
a) f(x4-2), /(х) = 2х4 — Зх34-5х24-6х— 1;
Ь) / (х) = (х 4- З)5 — 2 (х 4- З)3 4- 3 (х 4- З)2 4- 7 (х -J- 3) — 8.
575. Показать, что многочлен /(х) тогда и только тогда де-
лится на многочлен g(x), когда все комплексные корни g(x) явля-
ются также корнями f (х). Показать, пользуясь этим, что многочлен
хз*_|_Л.з;+1_|_хзт+2>
где k, I, т— целые положительные числа, делится на х24*х4-1-
Показать также, что многочлен
х4* 4-х«+ъ4- х«»+2 4- Х4п+3,
где k, I, tn, п — целые положительные числа, делится на
х3 4* х2 4~х 4* 1 •
576. При каких целых положительных значениях п многочлен
(14- х)" — х"—1 делится на х24-х-|-1?
577. Показать, что (2х 4- 2)" — хп -{- 1 не делится на х2—2х—2.
578. Найти кратность корня
a) Xj = 3 для многочлена f (х) = х4 — 6х3 4- 10х2 — бх 9;
b) Xj = — 2 для многочлена f (х) = х6 4- бх4 4~ 1 lx3 4" 2х2 —
— 12х — 8.
579. Многочлен /(х) четвертой степени со старшим коэффи-
циентом, равным единице, имеет число — 2 трехкратным корнем
-и при делении на х-}-3 дает остаток, равный—1. Найти этот
многочлен. •
100
- 580. Многочлен f (х) степени п. с действительными коэффициен-
тами имеет действительный корень кратности п—1. Могут ли
у него быть недействительные корни?
581. Показать, что корень х0 многочлена /(х) тогда и только
тогда имеет кратность, равную k, когда /' (х0) = f" (х0) ==...=
= /<А-1>(хо) = 0, но ^>(хо)=#О.
582. При каких а, Ь, с многочлен х4 -|- ах3 -|- Ьх2 4- сх -|-1 имеет
х = — 1 корнем не ниже третьей кратности?
583. При каком необходимом и достаточном условии многочлен
f (х) = х3 -f- рх 4- q имеет кратный корень?
584. При каком необходимом и достаточном условии многочлен
f(x) = х44-рх-{-<7 имеет кратный корень?
. 585. При каком необходимом и достаточном условии много-
член f (х) = х6 4- рх 4" Я имеет кратный' корень?
586. Показать, что трехчлен f (х) = хпрхтq (д О, т<п) ;
не может иметь корней выше второй кратности.
587. Показать, что А-членный многочлен x"i 4“ аг4“ • • • "Ь
акхпк (пк>пг> ... > > 0, а; ¥= 0) не может иметь корней,,
отличных от нуля, выше k—1-кратности.
588. Показать, что многочлен f (х) = 1 4- ~т 4- — 4“ • • • 4~
7 1 11 1 21 я!
не имеет кратных корней.
589. Является ли 1 четырехкратным корнем многочлена
/ (х) = х2" — п2 хл+1 4- 2 (п2 — 1) хл — п2 х””14- 1 ?
590. Какой многочлен n-й степени делится на свою производ-
ную?
591. Найти кратность корня а многочлена
f(x) — (x — a)f'(a)— ... —(х—
К1
где f (х) — некоторый многочлен степени п и 1 < k < п...
592. Показать, что всякий многочлен / (х) степени п можно вы-
разить в виде
п+1
f (х) === t (X (х Х2) . . * (X 1) ^$+1) • • • х/1+1),
s=i \
где хр ..., хп между собой различны, и найти, чему равны коэф-
фициенты As (получается так называемая интерполяционная фор-
мула Лагранжа).
593. Показать, что не существует многочлена /(х) с целыми ко-
эффициентами степени 1, значения которого являются прос-
тыми числами при всех целых значениях х.
594. Пусть комплексное число а является корнем некоторого
многочлена от х степени п 1 над числовым полем Р и пусть р(х) —
многочлен наименьшей степени над Р, для которого а еще являет-
42 Л. Я» Окунев
101
ся корнем. Показать, что многочлен f (х) над Р тогда и тЪлько тог-
да имеет а корнем, когда f(x) делится на р(х).
595. Показать, что комплексное число а предыдущей задачи
является корнем единственного многочлена р(х) наименьшей сте-
пени и со старшим коэффициентом, равным единице, над полем Р.
596. Показать, что если f(x") делится на (х— а)4, то /(хл)
делится на (хл — ап)к, (k > 1, и > 1, а =# 0).
597. Пусть / (х) и g (х) — некоторые многочлены от х. Пока-
зать, что если f(g(x)) делится на (х — а)4 (& > 1) и g'(a)=£0,
то f(g(x)) делится и на [g(x)— g(a)]k.
598. Пусть f (х) = <р (хл) + g (х) <]> (хл), где g (х) — многочлен сте-
пени не ниже единицы и не выше п—2. Показать, что если /(х)
делится на хл-14-хл-24- . .. 4-1, то <р(х) и<]>(х) делится на х—1.
599. Показать, что если /(х)—такой многочлен выше нулевой
степени, что для некоторого многочлена g(x) сумма f(x)-\-g(xn)
делится на хл~14-хл~24~. ••• 4*Ь то степень /(х) не может быть
ниже п— 1.
§ 2. Наибольший общий делитель
600. Найти наибольший общий делитель многочленов с помо-
щью алгоритма Евклида:
a) f(x) = х4 4- х3 4- 2х2 4- х 4; 1,
g(x) = х8 — 2х2 + х — 2;
Ь) Дх) = х4 4- 2х3 4- 2х2 4- 2х 4- 2,
g(x) = х8 4- Зх 4- 2;
с) Дх) = х4 4- 6х3 4- 17х2 4- 24х 4- 12,
g(x) = х3 — 2х2 — 13х — 10;
d) Дх) = х5 4- х4 4- Зх3 4- 4х2 4- 4х 4- 2,
g(x) = х5 4- 2Х4 4- Зх3 4- 6х2 -j-бх + 2;
е) Дх) = х6 4- 6х> 4- 2х3 4- Зх2 4- 6х 4- 1,
g(x) = х5 4- бх4 4- 4х2 4- 4х 4- 6.
601. Пользуясь алгоритмом Евклида, подобрать для данных
многочленов Дх) и g(x) такие многочлены <р(х) и ф(х), чтобы
Дх)ф(х) 4- б(х)Ф(х) = D(x), -
где £>(х) — наибольший общий делитель Дх) и g(x):
а) Дх) = х3 — х2 — 4х — 6, g(x) = х3 4- х2 — 10х — 6;
Ь) Дх) = х4 + х3 — Зх2 — 6х — 3, g(x) = Xs 4- 2х2 + 2х 4- 1;
с) /(х) = х5 — х3 4- 2х2 — 2х 4- 2,
g(x) = х4 4- 2х3 4- 7х2 + 2х 4- 6;
d) Дх) = Xе 4- х8 — Зх4 4- 2х3 4- 4х — 2,
g(x) = х5 4- Зх4 4- х3 4- 6х2 4- 4х 4- 6;
102
e) /(х) = х4 4- бх5 — 4х* + 4х3 + 12х2 —8х + 4,
g(x) = х5 — х4 — х3 + 2х2 — 2х —2.
602. Показать, что если D (х) — наибольший общий делитель мно-
гочленов f (х) и g (х), то многочлены и взаимно просты.
603. Показать, что если произведение Л(х)/2(х) многочленов
Д (х) и f2 (х) делится на многочлен g (х), причем Д (х) и g (х)
взаимно просты, то /2(х) делится на g(x).
604. Показать, что если /(х) и g(x)— взаимно простые много-
члены соответственно степени п и т, то можно подобрать такие
многочлены <р (х) степени не выше т — 1 и ф (х) степени не выше
п— I, чтобы f(x)<p(x) -f-g(x)ф(х) = 1, причем существует только
одна пара таких многочленов <р(х) и ф(х).
605. Пусть D (х) — наибольший общий делитель степени k
многочленов/(х) степени п и g(x) степени т. Показать, что
можно и притом единственным образом подобрать такие много-
члены <р(х) степени не выше т—k—1 и ф(х) степени не выше
п—1, чтобы f (х)<р(х)4-5г(х)ф(х) = 7>(х).
Задачи 604 и 605 приводят к так называемому способу неопре-
деленных коэффициентов нахождения многочленов <р(х) и ф(х)
в равенстве f (х) <р (х) -f- g (*) ф (х) = D (х), где D (х) — наибольший
' общий делитель многочленов t(x) и g(x). Покажем этот метод
на примере.
Пример. Зная, что D (х) => х2 + х + 1 — наибольший общий делитель
f (х) =: л:5 4- х4 + 2л:3 + 2лс2 + 2х + 1 и g (х) =з х4 -р 4х3 + 6х2 + 5х -f- 2, подо- .
брать такую пару многочленов <р (х) и ф (х), чтобы
f(x)<f(x) + g (x)ty(x) = D(x).
Делим прежде .всего /(х) и g(x) на Щх):
Z1(x)== щ7) = х3+*+1 (л = 3)’
gl(x) = Fw=x2+3x+2 (m = 2)-
Согласно 602 многочлены ^(х) и gj(x) взаимно просты. Поэтому
должен существовать такой многочлен <р(х) степени выше 1
и многочлен ф (х) степени не выше 2, чтобы Д (х) <f (х)-}-^ (х) ф (х)=1.
Полагаем <р (х) = а0 -f- х, ф (х) = Ьо 4- х -ф- &2 х2 и получаем:
(х3 + х + 1) (а0 4-0! х) + (х2 + Зх + 2) (&0 + &1 х + М2) = 1 (1)
а
ИЛИ
(«X + М X4 4- (а0 4- Ьг 4-3*2) Xs 4- («14- *0 4- 3*! 4- 2*3) х2 4-
+ (ao + ai + 360 + 2&1)x+Ja04-2d0-l) = 0.
Приравнивая в последнем равенстве коэффициенты нулю, по-
лучаем относительно а0, Ьо, Ь1г Ь3 пять линейных уравнений.
42»
103
Впрочем, можно здесь поступить еще проще, а именно легко заме-
тить, что х — — 1 и х = —2 — корни gj (х). Таким образом, пола-
гая в равенстве (1) х — — 1 и х — —2, получим:
—а0= 1, 2ах —a0 = i,
17 8
откуда а0 = ——, — -
и
Т(Х)=—
Отсюда
(х2 4- Зх 4- 2) ф (х) = У+ 17х34-8х2+ 25x4- 26 .
производя деление на х2 4" 3x4- 2, получаем:
ф(х) = ±(13-7х4-8х2).
606. Зная, что многочлены /(х) и g(x) взаимно просты, спо-
собом неопределенных коэффициентов подобрать такие многочлены
<р (х) и ф (х) наименьшей степени, чтобы f (х) <р (х) 4- g (х) ф (х) = 1:
/ a) f (х) = х3 4" Зх 4- 3, g(x) = x2— х — 2;
b) f(x) = x4, g(x) =х3 —Зх24-4;
с) Дх) = х5, g(x) = (х — 2)3;
d) f(x) = х3 + х2 — х — 2, g(x) = х3 — 4х2 + 5х — 2.
607. Зная наибольший общий делитель/) (х) многочленов Дх) и • >' J
g(x), способом неопределенных коэффициентов подобрать такие i
многочлены <р(х) и ф(х) наименьшей степени, чтобы имело место ра- 1
венство Дх)ф(х) 4- ё(х)ф(х) ='D(x): 1
а) Кх) = х3 — 4х2 + х + 6, g(x) = х3 + 2х2 + 2х + 1, 5
£>(х) = х + 1; 1
b) Дх) = х5 + 2Х4 + 4х3 + 10х2 + 16х + 12, i
g(x) = х4 4- 2х3 + Зх2 + 2х + 2, D(x) = х2 + 2х + 2. - л
608. Показать равносильность следующих двух определений ,
наибольшего общего делителя: 1) наибольшим общим делителем
многочленов Дх) и g(x) называется такой их общий делитель D(x), »
которььй делится на любой общий делитель Дх) и g(x); 2) наиболь- ;
шим общим делителем многочленов Дх) и g(x) называется их общий
делитель наибольшей степени.
609. Общим кратным многочленов Дх) #= 0 и g(x) 0 называ-
ется такой многочлен М(х), который делится на Дх) и на g(x).. Общее ,
кратное т(х) наименьшей степени называется наименьшим общим
кратным многочленов Дх) и g(x). Показать, что наименьшее общее J
104
кратное mix) является делителем общего кратного М(х) многочле-
нов fix) и g(x). В каком смысле общее кратное является единствен-
ным?
610. Показать, что для многочленов /(х)У= 0 и g(x) 0 наи-
меньшее общее кратное т(х) выражается формулой
т«=^Г'
где D(x) — наибольший общий делитель fix) и g(x). Что получает-
ся отсюда, когда /(х) и g(x) взаимно просты?
611. Найти многочлен Дх) наименьшей степени, дающий при де-
лении на (х — I)8 остаток — 2, а при делении на (х 4- 2)4 оста-
ток — 3.
612. Найти такие многочлены <р(х) и ф(х) наименьшей степени,
чтобы (х — яУМх) 4- (х — 6)тф(х) = 1, a b.
613. Вычислить корни многочленов:
fix) = Зх4 + х3 + 2х2 — х 4- 1, g (х) = Зх4 — 5х3 4- бх2 — 3x4-1
путем нахождения их наибольшего общего делителя и решения
квадратных уравнений.
614. Отделить кратные множители следующих многочленов:
a) f^) = х8 — 8Х4 4- 25х3 — 38х2 4- 28х — 8;
b) fix) = 2х5 4- Зх4 4- 4х3 4- х2 — Г.
с) fix) = 2х® 4- бх5 4- бх4 4- х3 — Зх2 — Зх — 1;
d) fix) = х6 4- бх5 4- Зх4 4- 6xs 4- 9х2 4- 12х 4- 3.
615. Пусть а — иррациональное число, fix) — многочлен над
полем рациональных чисел наименьшей степени, для которого а
еще является корнем. Показать, что fix) не имеет кратных мно-
жителей.
§ 3. Основная теорема алгебры
616. Подобрать для данного е>0 такое 8>0, чтобы при
| х — Хц | < 8 имело место неравенство | f (х) — f (х0) | < е:
а) / (х) — х34- (1 -\-i)x3 — ix-j-2, s = 0,05, х0=1;
b) /(x) = ix44-(2 —i)x2 + 5ix —(7 —i), s = 0,01, x0 = — 1;
c) fix)— 2x* — 5x3 4- 2x2 — x 4- 1, e = 0,02, x0 = —i.
617. Для данного e = 0,02 подобрать такое 8 > 0, чтобы при
| х [ < 8 следующие многочлены без свободного члена были по мо-
дулю меньше е: a) fix) = 2Х4 — (5 4- 0х2 4- 2ix;
b) fix) = (1 4- 0Х5 — Six4 4- (3 4- 20х3 4- х.
618. Подобрать такое 8 > 0, чтобы а) при |х — i | <8 имело
место неравенство 11 f (х) | — | f (011 < 0,001, где f (х) = х4 — 2х2 4~
4- 2х — 2; Ь) при | х — 1 -j- i | < 8 имело место неравенство
||/(х)|-И(1-0|| <0,001, где f(x) = (l+0x4-2jx3 + 5x2-
— бх Ц-1.
105
619. Подобрать такое AZ > О, чтобы при | х| > N имело место
неравенство | f (х) | > | f (а) | для следующих многочленов f (х) и чи-
сел a: a) f(x) = x4— 4х3-|-2х2— 2, а = 2; b) f(x) = 2x5 — х4-}-
х3 — (2 -|- О х2 + ix — (3 4~ 2t), а = — 1 г.
620. Для следующих многочленов /’(х) и чисел, а определить
некоторую область таких значений х, для которых | f (х) | < | / (а) |:
а) К*) = — х3 + 2х2 — х 4- 2, а = 2;
b) f(x) = 2Х4 — 8х3 4- (Н 4- Ох2 — (6 4- 2i) х 4- (1 4- 20, а = 1;
с) f(x) = х4 + (2 — 4i)x3 — (5 4- 5i)x2 — (5 — 2i)x 4- Зг, а = i.
621. В комплексной плоскости аргумента х указать для следу-
ющих многочленов Дх) такой круг с центром в начале достаточно
большого радиуса, чтобы внутри круга лежала точка х0, для кото-
рой имело бы место неравенство |Дх) | | f(x0)\ для всех точек х
плоскости аргумента х:
a) f (х) = х’ — 2/х4 4-х — 1;
b) f(x) = 2х8 4- бх4 4- 4х8 4- 2х2 — 2х 4- 2.
622. Найти такое достаточно большое положительное число
чтобы все комплексные корни следующих многочленов Дх) были по
модулю меньше 7V:
а) Дх) = ix5 4- (i — Ox4 4- 5х3 — (2— 3i)x2 4-х — 2i;
b) Дх) = 2x® — 4x5 4- (8 4- Ox4 — (9 4- 2i)x2 — 4x 4- 3.
623. Разложить следующие многочлены на неприводимые мно-
жители над полем комплексных чисел:
а) х2 4- 5х 4- 6; Ь) 2х2 4- 4х2 4- 4;
с) х2 4- (1 + Ох 4- i\ d) х4 4- 16; е) х4 4- 4r, f) х4 4- 2х2 4-
+ (1 - 20;
g) х4 4- 8х8 4- 8х — 1; h) х3 4- х + 2; 1) х4 + 2х3 4- Зх2 4- 2х —
— 3;
к) х5 4- х4 + х3 4- х2 4- х 4- 1; 1) х12 4- 2х* 4- 1.
624. Разложить следующие многочлены на неприводимые мно-
жители над полем действительных чисел: а) х2 4- 2х 4- 3; b) Xs 4-
4- х 4- 2; с) х4 4- 16; d) х4 4- 8х3 4- 8х — 1; е) х4 4- 2х3 4- Зх2 +
4- 2х — 3; f) х4 — ах2 4- 1, | а | < 2; g) х4 4- х3 4- х2 4- х 4- Г,
h) х10 — 2Х5-!- 2.
625. Разложить следующие многочлены на линейные и квад-
ратные множители с действительными коэффициентами: а) Дх) =
= х2" — 1; Ь) Дх) = x2n+1 — 1.
626. Разложить на линейные и квадратные множители с дейст-
вительными коэффициентами многочлены:
п
a) f (х) = J с£+1 х2"-2й+1(х2-1)*;
k=0
106
b) f (x) = £ C* х2я~2* (x2 — l)ft,
4=0
где Cpq — биномиальные коэффициенты.
627. Зная, что многочлен /(х) = хя4~а1Хя~1-|- ••• +a« имеет
корнями хх....х„, вычислить произведения:
а) (хх + 1)(х2 + 1) ... (х„4-1);
Ь) (^-1)^-1) ...
с) (xi +0(х2Ч~0 •••
d) ••• (хп — 0» зная, кроме того, что в слу-
чае последнего произведения многочлен f (х) при делении на
х2-|-хЧ-1 дает остаток, равный Ах-\-В. - .
628. Пусть хх, ..., х„_х — корни уравнения хп — 1, отличные
от единицы. Найти, чему равны: а) (1 — хх)(1 — х2) ... (1—х„_х);
Ь) (2-хх)(2-х2) ... (2-х„_х).
629. Показать, что условие
Р«/(х) = (-1)”/(х-₽х) (?¥=0)
является необходимым и достаточным для того, чтобы комплекс-
ные корни х1г ..., хп многочлена/(х) = а0хпх"-1 + ... Ч~а„
были связаны соотношением xft-}-px„+x_ft = а (6=1,' .... п) при
соответствующей нумерации корней.
630. Комплексные корни хх, .... х2п многочлена /(х) четной
степени 2п связаны соотношением
xk + Р x2n+i-k — а> Р ¥= 0, k — 1,2, ..., 2п.
Показать, что корни производной f'(x) связаны аналогичным со-
отношением
У4 + РУп-24 = « (£=1,2 .... 2л—1),
и найти один из ее корней при — 1.
631. Показать, что если многочлен /(х) с действительными
коэффициентами и со старшим коэффициентом аа > 0 не имеет
действительных корней, то /(х) > 0 при всех действительных зна-
чениях х и обратно,
632. Показать, что всякий многочлен с действительными коэф-
фициентами и со старшим коэффициентом ай > 0, не имеющий действи-
тельных корней, можно представить в виде / (х) = [g (х)]2 + [h (х)]2,
где g(x), й(х) — многочлены с действительными коэффициентами.
633. Корни хх, ..., х„ многочлена / (х) степени л > 2 со стар-
шим коэффициентом, равным единице, образуют арифметическую
прогрессию. Чему равно f (xft)?.
634. Многочлен /(х) степени п имеет корни хх. х„. Какие
корни имеют а) /(а) -J-(x — b) f'(а)(х — Ь)г ••• 4~
21
107
fin) (a) f(n) (a)
•-H* — b)n—; b) 6nf(a) + 6n-1xf (a)+ ... + xn—nj-- ?
635. Исходя только из разложения многочлена f(x) степени
п>1'с действительными коэффициентами на линейные и квадрат-
ные множители над полем действительных чисел, показать, что
если f(a) и [(b) (а <Ь — действительные числа) имеют одинаковый
знак, то на отрезке [а, 6] многочлен f(x) имее'т четное число дей-
ствительных корней (число 0 считается четным), а если [(a) и /(&)—
противоположного знака, то на отрезке [а, &] многочлен f(x)
имеет нечетное число действительных корней. При этом каждый
корень считается столько раз, какова его кратность.
636. Пусть f(x) — снова многочлен степени 1 с действитель-
ными коэффициентами. Пользуясь только предыдущей задачей и
разложением на множители многочленов над полем действитель-
ных чисел, доказать, что в интервале, образуемом соседними дей-
ствительными корнями многочлена f(x), лежит нечетное число дей-
ствительных корней производной Л(х), считая при этом каждый,
корень f'(x) столько раз, какова его кратность. Под соседними
действительными корнями многочлена подразумеваются такие два
корня, между которыми уже нет действительных корней многочлена.
637. Пользуясь формулами Виета, найти многочлен наимень-
шей степени с действительными коэффициентами, если его старший
коэффициент равен 2, число 1 является его простым корнем й 3 i —
двойным корнем.
638. Пользуясь формулами Виета, найти многочлен наимень-
шей степени со старшим коэффициентом, равным 3, если мнимая
единица i является его двойным корнем и 1 + i является также
его двойным корнем.
639. Пользуясь формулами Виета, найти многочлен третьей
степени со старшим коэффициентом, равным единице, зная, что его /
корни равны
х1 = а+^> хг ~ ae-j-bes, х3 = ае2be,
где е — первообразный корень третьей степени из единицы.
640. Пользуясь формулами Виета, найти многочлен /(х) наи-
меньшей степени со старшим коэффициентом, равным единице,
если его производная f'(x) имеет простым корнем 2 и 1 — i, дву-
кратным корнем i, а 1 есть корень самого многочлена f(x).
641. Найти многочлен третьей степени со старшим коэффици-
ентом, равным 2, если его корни х1( х2, х3 удовлетворяют следую-
щим условиям:
J-+± + -L==2, _J_+_L_+_’_ = 4, =Л
Х1 Х2 Х3 Xi Х2 Xi Х3 Х2 Х3 X] х2 х3
642. Какому необходимому и достаточному условию удовлет-,
воряют коэффициенты уравнения х8 + рх + q = 0, если сумма
его корней х1 и х2 равна а? Решить затем это уравнение.
108
643. Какому необходимому и достаточному условию удовлет-
воряют Коэффициенты уравнения х3 4- рх2 4- qx 4- г = 0, если
один из его корней равен сумме других? Решить уравнение, удов-
летворяющее этому условию.
644. Коэффициенты уравнения третьей степени
х3-|-а1х2-]-а2х-|-а3 = 0
все положительны. Пользуясь формулами Виета, найти необхо-
димое и достаточное условие, которому удовлетворяют коэффици-
енты уравнения, когда два корня имеют вид Ы и — bi (I —мнимая
единица).
645. Показать, пользуясь формулами Виета, что действитель-
ные части всех корней уравнения
х34-а1х2-|-а2х-|-а3=0
с действительными коэффициентами тогда и только тогда отрица-
тельны, когда Oj > 0, а2 > 0, а8 > 0 и а3 < ах а3.
646. Пусть ,
f(x) =а0хп4-а1х'1-1-{- ... +ап, ао> 0, ¥= 0, n > 1,
многочлен с действительными коэффициентами. С помощью фор-
мул Виета показать, что при четном п и ап > 0 число положитель-
ных корней и число отрицательных корней четное, а при четном п
и ап < 0 число положительных и число отрицательных корней не-
четное. При этом каждый корень считается столько раз, какова его
кратность. Что можно сказать о числе положительных и о числе
отрицательных корней этого многочлена при нечетном и?
647. " Корни биквадратного уравнения х4 + ах2-)- b — 0- и
удовлетворяют, как нетрудно проверить, соотношениям Xj-}^ = 0 и
х3 + х4 = 0 (при соответствующей нумерации корней). Показать
с помощью формул'Виета, что если корни хп х2, х3, х4 уравнения
четвертой степени
х4 4- рх3 + дх2 + гх + s = О
удовлетворяют условию Xj + х2 = Xg + х4 = 0, то уравнение
является биквадратным, т. е. р = г = 0.
648. Сумма двух корней уравнения четвертой степени
/ х44- рх3\ + qx3 4- гх + s = 0
равна сумме двух других корней. Найти, какому при этом соотно-
шению должны удовлетворять коэффициенты уравнения.
649. Показать, пользуясь формулами Виета, что при подста-
flSl <9
новке х — у------ уравнение п-и степени
И -
хп аг хп~* + ... + ап = 0
преобразуется в уравнение, у которого коэффициент при (п — 1)-й
степени неизвестного равен нулю.
109
650. Показать, что если коэффициенты уравнения четвертой
степени
х4 4- рх3 + qx3 + rx + s = 0
удовлетворяют соотношению р3— 4pq 4-8г = 0, то после под-
становки х = у — — уравнение приводится к биквадратному. Ка-
4
кое отсюда можно сделать заключение о сумме двух корней урав-
нения?
651. Пользуясь задачей 650, решить уравнения:
а) х4 4- 4х3 4- Зх2 — 2х — 6 = 0; •
Ь) х4 4- 2х3 4- 5х2 4- 4х — 5 = 0.
652. Произведение двух корней уравнения четвертой степени
х4 4- рх3 4- qx3 4- гх 4- s = 0
равно произведению двух его других корней. Какому соотноше-
нию удовлетворяют коэффициенты уравнения?
653. Показать,' что если p3s = г3, р #= 0, г 4= 0, то уравнение
четвертой степени х4 4- рх3 4- qx3 4- гх 4- s = 0 путем деления
на х2 и подстановки у = х 4- — сводится к квадратному уравне-
рх
нию. Будет ли при соблюдении условия p3s — г3 произведение
двух корней данного уравнения равно произведению двух его дру-
гих корней (при соответствующей нумерации корней)? '
654. Пользуясь предыдущей задачей, решить уравнения:
а) х4 4-х3 4-2х2 4-2х 4-4 = 0;
Ь) х4 — 2х3 — 9х2 4- бх 4- 9 = 0.
655. Показать, что если х1( х2, х3, х4 —корни уравнения чет-
вертой степени' х4 -|- а± х3 4- а2 х* 4~ азх+ai = 0 удовлетворяют со-
отношению
Х3 — Х1 _ х4 — хг
Хд ~~ Х% Х4 “““ Х^
то они могут быть найдены с помощью решения квадратных урав-
нений.
656. Один из корней х3 уравнения третьей степени
xs4-px24-gx4-r = 0, г Ф 0, q 0,
является средней геометрической остальных двух корней: х3 = х2х2.
Какому необходимому и достаточному условию должны удовлет-
ворять коэффициенты уравнения, чтобы это имело место? Найти
2
корни уравнения при х3 = хх х2.
657. Какому необходимому и достаточному условию удовлет-
воряют коэффициенты уравнения
х3 4- рх3 + qx + г ~ 0, г =# 0, q =# 0,
НО
если его корни связаны соотношением-----1---= — ? Решить
X! Х4 х3
уравнение. . »
658. Корни уравнения х3 + ах2 4- Ьх + с = 0 образуют гео-
метрическую прогрессию. Каким при этом соотношением связаны
коэффициенты данного уравнения?
659. Показать, что если коэффициенты уравнения х3 4- ах2 4-
4- Ьх 4- с = 0 связаны соотношением Ь3 = а3с, то корни уравне-
ния образуют геометрическую прогрессию.
660. Решить уравнение х4 — 16х3 4- 86х2 — 176х 4- 105 = 0,
зная, что его корни образуют арифметическую прогрессию.
661. Пусть хъ .... xn-i — корни уравнения хп — 1, отличные
от единицы. Вычислить сумму
s = ——|—-—н ... 4-.
1 — <^1 1—“Х2 1—^/1—1
662. Решить систему^линейных уравнений:
Х1 х2 4“ *3 Ч~ • • • Ч“* ~ ,
Xi 6Z2 Х2 4" ^2 Ч" • • • Ч~ ^2 %п = 2^2 9
*1 + ал*2 + <*з+ ••• +<“Ч = 2а".
663. Найти корни уравнения x"4-^iXn-1+ ... 4~a«.= 0, п>2,
зная, что они образуют, арифметическую прогрессию.
664. Дан многочлен f(x) = xn-f-a1xn~1-^ ... Найти
а) сумму квадратов его корней; Ь) сумму кубов его корней.
.665. Показать, что если в многочлене/(х)=хя4-а1хп-14- ... 4“ал
с действительными коэффициентами для некоторого v (1 < v < и)
имеет место неравенство <2av_tav+t (ав = 1), то все корни
многочлена не могут быть действительными.
§ 4. Алгебраическое решение уравнений
666. Решить по формуле Кардано следующие уравнения третьей
степени:
а) х3 4- 9х—26 = 0; Ь) Зх3 — 8х 4- 8 = 0; с) х3 — 3x4- 2 = 0;
d) 4х3 — Зх — 1 = 0; е) х3 — 2х — 2 = 0; /) х3 — Зх — 3 = 0;
g) х3 — Зх 4- 6х — 6 = 0; h) х3 — 5х2 4- 20х — 16 = 0;
i) х3 — Зх2 4- 3 = 0; j) х3 4- Зх2 — х 4- 4 = 0;
к) х3 4- Згх2 — 3 (1 4- 2t) х 4- Ю — 5i = 0;
1) х3 — 3 (2 4- 0 х2 4- 18 (2 4- 0 х — 1087 = 0.
667. С помощью формулы Кардано решить уравнения:
а) х3 4- 3ух2 4- 3 (у2 — ар) х — (а3 4- Р3 — У3 4- Зар у) = 0;
Ь) х3 — Зах2 4- (2а2 — 362) х — 2а2Ь + ЗаЬ2 4- 263 = 0.
Ill
668. Решить уравнение '
(* + «х + а2)(х + Ох + аз)(* + «2 + 0з)(01 + «2 + «з) — «i<W = 0.
669. Решить следующие уравнения четвертой степени по способу
Феррари:
а) х4 4- 2х3 4- х2 — 1 = 0; Ь) х4 4- 8х3 + 15х2 — 4х — 2 = 0;
с) х4 + 2х3 — х2 + бх + 9 = 0; d) х4 4- 2х3 4- 2х2 4-х — 7 = 0;
е) х4 + 2х3 4- 5х2 4- 4х — 3 = 0; f) х4 4- Зх3 + 7х2 4- 9х 4-
4-9 = 0;
g) х4 4- Зх3 4- 5х2 4- 5х 4- 2 = 0; h) х4 4- 12х 4- 3 = 0; i) х4 —
— 36х2 — 28х 4- 9 = 0; j) 4Х4 4- 1бх3 4- 32х2 4- 8х — 39 = 0.
Следует разделить обе части уравнения j) на 4 и с помощью соответ-
ствующей подстановки уничтожить член с кубом неизвестного, а затем решать
по способу Феррари. _
670. Решить следующие уравнения четвертой степени:
а) (х 4- 2а)4 4- (х 4- 26)4 = 2с;
Ь) (х 4- 2а) (х 4- 26) (х 4- 2с) (х 4- 2d) = е, а 4- 6 = с 4- d;
с) х4 4- бх3 4- сх2 4- (1 — с) х 4- (6 4- с) = 0.
671. Показать, что если
/ (х) = х4 4- ах2 4- бх 4- с = (х2 4- рх 4- я) (х2 4- рхх 4- qj,
то р2 должен быть корнем кубического уравнения
t3 4- 2at2 4- (а2 — 4с) t — b2 = 0, .
причем рх = —р,. a q и qr являются корнями квадратного урав-
нения
и2 — (р2 4- а) и 4- с = 0
и должны удовлетворять условию р (<?х — q) = b. Какой отсюда
получается способ решения уравнения четвертой степени? ,
672. Пользуясь предыдущей задачей, решить следующие урав-
нения четвертой степени: а) х4 — 4х3 4- 24х — 36 = 0; b) 4Х4 4-
4- 16х3 4- 12х2 4- 8х 4- 5 = 0; с) х4 4- 8х3 4- 26х2 4- 41х 4- 28 = 0.
673. Дано, что cos 5<р = а. Полагая 2cos<p = х, составить урав-
нение относительно х и показать, что оно решается в радикалах.
674. Дано, что cos п<? = а, где п 2 — целое число. Полагая
2cos<p = х, показать, что относительно х получается алгебраиче-
ское уравнение степени п, разрешимое в радикалах.
675. Найти рациональные корни следующих многочленов:
а) f(x) = x3—11х24-38х—40; b) f(х) = 6х4 + х34-2х2 — 4х+ 1;
с) /(х) = 3х4— 2х34~4х2 — х-4-2; d) /(х) = 8х5—14х4 — 77х*4-
-4-128х24-45х—18; е) /(х) = 15х» — 8х44-46х3-|-21х2 —21x4-3;
f) f(x) = 8x4 — бх8 — 7х24-6х— 1; g) /(х) = 10х54-17х4+13х3-|-
-4-2х2 —5х—1; h) f(x) = 9x5 —33х44-58х3—144х24-88х —48;
112
i) /(x) = 5xe4-45xs4-137x44-155x34-72x24-108x-|-54; j) Дх) =
= 8x54-28x4 — 2x3 — 67x2—12x4-45; к) /(x) = 3x54-17x44-
4-36x34-38x24- 19x-|-5; 1) Дх) = 24X5— 11 Ox4-J- 199X3 — 196x24-
4-llOx —21.
676. Показать, что многочлен f (x) = аохл a^x11-1 -|-... 4~ an
с целыми коэффициентами не имеет целых корней, если при некото-
ром целом т числа f(m) и являются нечетными.
677. Пользуясь методом вычисления рациональных корней,
найти рациональный корень кубической резольвенты и решить
способом Феррари уравнения четвертой степени: а) 4х44-6х3-|-
4-12х24-4х4-5 = 0; Ь) х4 —4х34-^х2 —9х—^ = 0; с) Зх4 —
— 6х3—Их2—18х —8 = 0; d) х44-8х3—12х24-104х—20 = 0.
678. Выяснить, какие многочлены третьей степени неприводимы
над полем рациональных чисел, а в случае приводимости разло-
жить на множители, неприводимые над полем рациональных чисел:
a) f(x) = х3 4- 6х2 — 8х + 12; b) f (х) = Зх3 4- 5х2 + 5х 4- 2;
с) f (х) = ЗОх3 + 19х2 — 1; d) f (х) = Зх3 4- 4х2 4- 4х 4- 4.
679. Показать, что если многочлен f (х) неприводим над полем
рациональных чисел, то многочлен g (х) — f (хх 4- р)> где а =# 0,
Р — рациональные числа, также неприводим над полем рациональ-
ных чисел.
680. Пользуясь критерием неприводимости Эйзенштейна, об-
наружить неприводимость (над полем рациональных чисел) сле-
дующих многочленов: а) Зх4 — 15х3 4- 10х2 — 20х 4- 35; Ь) 2х® 4-
4- 14х3 — 35х2 — 56х 4- 63; с) х4 — 2х 4- 3; d) 2Х4 4- 9х3 4- 20х2 4-
4-15x4- 32; е) хр — рх-\-(2р— 1), где р — простое число; fjxp-j-
4-рх?-14* рх 4-(Зр 4" 1), Р>,2— простое число.
681. Пользуясь задачей 671, показать, что многочлен f (х) =
= х4 4~ ах2 4- Ьх 4- с с рациональными коэффициентами, не об-
ладающий рациональными корнями, тогда и только тогда приводим
над полем рациональных чисел, когда один из корней /0 кубической
резольвенты t3 4- 2а/2 4- (а2 — 4с) t — 62 = 0 является .квадратом
рационального числа и когда корни уравнения и2 — (/20 4- а) и 4-
4- с = 0 рациональны. , >
682. Пользуясь предыдущей задачей, установить, какие многочле-
ны неприводимы над полем рациональных чисел, а в случае приво-
димости разложить на множители, неприводимые над полем рацио-
нальных чисел: a) f (х) — х?— Зх2 4- 6х 4- 6; b) f (х) = xi 4- 12х34-
4- 38х2 4- 44х 4- 5; с) / (х) = х4 4- 4х3 4- ^х2 4- х — d) f (х) =
= х4 4- 2х3 4- Зх2 4- 4х 4- 5; ,е) f (х) = х4 — 4х3 4-х2 — 8х —2.
683. Найти необходимое й достаточное условие неприводимости
над полем рациональных чисел многочлена /(х) — х4 4- рх2 4- q
с рациональными коэффициентами.
из
684. Пусть
f (х) = х4 -f- а2х2 4~ аз* 4"
— многочлен четвертой степени с рациональными коэффициентами,
не имеющий действительных корней. Кроме того, пусть / (х)
разлагается над полем действительных чисел на квадратные мно-
жители со старшими коэффициентами, равными единице, причем не
все коэффициенты у этих множителей рациональны. Показать, что
в таком случае многочлен f (х) неприводим над полем рациональ-
ных чисел.
685. Пользуясь предыдущей задачей или задачей 683, показать
неприводимость над полем рациональных чисел следующих много-
членов:
a) f (х) = х4 + 1; b) f (х) = (х — а)4 + 1, где а —целое число;
с) f (х) = (х — а)2 (х — Ь)2 + 1, где а, b — целые.
686. Показать, что
а2 + 62 + с2 — ab — ас — Ьс
неразложимо не только над полем рациональных, но даже и над
полем действительных чисел.
687. Показать, что если многочлен f (х) с целыми коэффициентами
при целых значениях х принимает значения, среди которых беско-
нечное множество простых чисел, то f (х) неприводим над полем ра-
циональных чисел.
- 688. Показать, что если многочлен /(х) степени n 1 с целыми
коэффициентами принимает значение ±1 более чем при п целых
значениях х, то f (х) неприводим над полем рациональных чисел.
689. Показать, что многочлен f (х) = (х — aj (х — а2)... (х —
— ап) — 1, где alt а2,.,ап — различные между, собой целые чис-
ла, неприводим над полем рациональных чисел.
§ 5. Численное решение алгебраических уравнений
690. Найти» верхнюю и нижнюю границы положительных^ а
также верхнюю и нижнюю границы отрицательных корней следу-
ющих многочленов, пользуясь тем, что ——[-1 есть верхняя
1ао1
граница модулей'всех комплексных корней многочлена:
а) f(x) = x44-7x3—15х24-8х —3;
Ь) /(х) = х6— -х4+4х3—4х2 + 4х—1;
с) / (х) = Зх6 —бх4 + 4Х3 — 8х2 — 7х 4-4;
d)/(х) = 5х« —4х4+10х3 —Зх+1.
114
691. С помощью способа Ньютона найти верхнюю и нижнюю гра-
ницы положительных и отрицательных корней следующих много-
членов: ’
a) f (х) = х4— Зх3 + 8х2 + 7х — 6;
b) f (х) = 2х5 + 8х* — Их3 + 21х2 + 12х — 31;
с) f (х) = Зх6 — 17х3 — 12Х4 + 22х3 + 19х2 — 8х — 7;
ф f (х) — хв — 2Х4 — 2х3 — 2х2 — 2х + 6.
692. Показать, на основании способа Ньютона, что действительное
число а > 0 есть верхняя граница положительных корней много-
члена f (х) = ОоХ" -j- аххп~х -j-... + ап> ао > с действительными
коэффициентами, если все числа fk (а) = а0а*4~ + • • • + °* >
k = 0,1......п, положительны (способ Лагерра).
693. С помощью способа Лагерра (см. предыдущую задачу)
ограничить сверху и снизу действительные корни многочленов за-
дачи 690.
694. Показать, что модули комплексных корней многочлена
f (х) — а^х" + а^х"-1 + ... + ап с комплексными коэффициен-
тами не превосходят единственного положительного корня много-,
члена «р (х) = &ох“ — ^х"-1 — ... — Ьп с действительными коэф-
фициентами, где 0 < Ьо < | а01 , bt >.| at | (i = 1, 2, . . . , п).
695. Отделить при помощи графика действительные корни сле-
дующих многочленов (в случае надобности можно применять и тео-
рему Декарта):
a) f (х) = х3 — Зх2 4- 15х — 7;
b) f (х) = 2Х4 4- Зх3 — 5х2 + бх — 1;
с) f (х) = бх4 + 4х3 + Зх2 — 7х —8;
ф f (х) = х* — 4х3 4- 9х2 + 12х — 4;
е) / (х) = 42х5 — 140х3 + 35х — 1.
696. Пользуясь теоремой Штурма, отделить действительные кор-
ни следующих многочленов:
a) f (х) = х3 — Зх — 3;
b) f (х) = х3 + 4х2 — 2х — 2;
с) f (х) = х4 — 4х3 + 4х2 — 4;
Ф f (х) = х* — 10х8 + 8х2 — 4х — 2;
е) f (х) = х5 4- бх4 + 5х2 — 15х — 5;
О f (х) = х5 х4 — Зх3 — 4х2 + 2х 4- 4.
697. Пусть Дх) — многочлен с действительными коэффициента-
ми, не имеющий кратных действительных корней на отрезке [а,
[а < Ь], и пусть
f<>~ f (.Х), fi, f%, . . ., f[
—упорядоченная система многочленов с действительными коэффи-
циентами, обладающая на отрезке [а, Ь] свойствами многочленов
системы Штурма, т. е.
115
1) никакие два соседних многочлена системы не имеют на отрез-
ке [а, Ь} общего корня;
2) если а — корень какого-нибудь промежуточного многочлена
fk (х), лежащий на отрезке [а, 6], то два соседних многочлена
fk-i (х) и (х) имеют при х = а противоположные знаки;
3) если х, возрастая на отрезке [а, &], проходит через действи-
тельный корень «.многочлена /(х), то между многочленами /0 =
— f(x) и fi теряется одна перемена знака;
4) последний многочлен Д системы не обращается в нуль на
отрезке [а, Ь}.
Показать, что для такой системы многочленов имеет место
следующая теорема: если а и Ь не являются корнями многочлена
fa = f(x), то число действительных корней f(x) на отрезке [а, Ь]
равно числу потерянных перемен знаков в системе многочленов
f0,fi,f2..ft при возрастании х от а до Ь.
Теорема, высказанная в задаче 697, позволяет при составле-
нии многочленов Штурма сокращать на многочлены, принимающие
в рассматриваемом отрезке положительные значения.
Например, для многочлена f (х) = 2х3 — 9ха + 12х — 8 получаем:
/' (х) = 6х* — ,18х 4- 12 = 6 (х — 1) (х — 2).
При х > 2 .и х < 1 производная f'(x) положительна. Следовательно, при
х > 2 и при х < 1 в качестве системы многочленов Штурма можно взять
f0=2x3-9x2+12х —8, /1=1.,
При 1 < х<2 положительным будет х—1, и мы можем в интервале (1,2)
производную /'(х) сократить на х— 1. Таким образом, при 1 < х < 2 в каче-
стве системы многочленов Штурма можно взять
/0 = 2хЗ —9х4 + 12х —6,
/1 = х — 2,
Л=1.
так как остаток при делении /(х) на х — 2 есть отрицательное число. А те-
перь для х < 1 получаем:
X /о /1 Число перемен
— оо — + 1
1 — + 1
Мы видим отсюда, что многочлен не имеет действительных корней в интер-
вале (— оо, 1), причем и число 1 не является его корнем. Далее, для х>2
получаем:
X /о 71 Число перемен
2 — + 1
3 + + 0
П6
Таким образом, здесь получается единственный действительный корень, лежа-
щий в интервале (2,3). Наконец, для 1 < х< 2 получаем:
х
1
2
fo | fi fi Число перемен
- - + 1
— 0+1
Мы видим, что в интервале (1,2) многочлен f (х) не имеет действительных
корней, причем 1 и 2 также не являются его корнями. Итак, данный много-
член имеет только один действительный корень, лежащий в интервале (2,3).
698. Составить для соответствующих областей значений х си-
стемы многочленов Штурма, используя сокращение на многочлены,
принимающие положительные значения в рассматриваемой области,
и отделить действительные корни следующих многочленов:
a) f (х) = 2Х4 — 2х3 + 4х2 — 6х — 5; b) f (х) = 12х&— 15х* +
+ ЗОх2 — 60х + 8; с) f (х) = 16х5 — Юх4 + 20х2 — 80х + 99;
d) Л (х) =2х5 — Юх4 — 20х2 — Юх + 7; е) f (х) = х5 — бх4 +
+ Юх2 — 5х + 19; f) f (х) = 12х5 — ЮБх4 +'340х3 — 510х2 +
+ 360х — 540.
В задачах 699—703 предполагается, что многочлен /(х) не имеет
кратных корней. "
699. С помощью теоремы Штурма определить число действитель-
ных корней многочлена f (х) = х5 + рх + q с действительными
Р и q.
700. С помощью теоремы Штурма определить число действитель-
ных корней многочлена f (х) — хп + рх + q с действительными р
и q (п > 2). '
701. Показать, что корни многочлейа f (х) с действительными
коэффициентами n-й степени тогда и только тогда все действитель-
ны, когда его система Штурма состоит из n + 1 многочленов с по-
ложительными старшими коэффициентами.
702. Показать, что если система Штурма многочлена f (х) сте-
пени п с действительными коэффициентами состоит из п +1 мно-
. гочленов, то число перемен знаков в ряду старших коэффициентов
равно числу пар сопряженных комплексных корней данного мно-
( гочлена f (х).
703. Показать, что в случае действительности всех корней мно-
гочлена f (х) корни каждого многочлена его системы Штурма, кро-
ме последнего, также все действительны.
Задачи 704—709 решаются способами, не связанными с теоре-
мой Штурма.
704. Многочлены Д(х) и g (х) n-й степени с действительными
коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным 1, имеют
все корни действительными, причем аг < Ьг < а2 < Ь2 < ... < ап <
< Ьп, где av а2, ...,ап — корни f (х), bu b2,..., Ьп — корни g (х). По-
казать, что все корни многочлена ср (х) = f (х) \g (х) при любом
действительном X + 0 действительны, и отделить эти корни.
117
705. Сколько действительных корней имеет уравнение /(х)4~
4~ tf'(x) = 0, где f (х) = а„хп 4-... а„ — многочлен с действи-
тельными коэффициентами и с действительными простыми корнями»
X #= 0 — действительное число?
706. Определить число действительных корней многочлена
f(x) = nxn— х"-1— хл~2—...— 1.
707. Определить число действительных корней многочлена
ч ь
708. Определить число действительных корней многочлена
709. Пусть /(х) — многочлен с действительными коэффициен-
тами степени п, не имеющий кратных множителей. Показать, что при
[Л (*о)12 < f (xo) F" (*о) этот многочлен не может иметь все корни
действительными, где х0 —некоторое действительное значение х.
710. С помощью способа Горнера вычислить с точностью до
0,001 действительные значения: а) ; Ь) уПб; с) у^ —21.
711. С помощью способа Горнера вычислить с точностью до
0,001 действительные корни уравнения: а) х®— 2х — 2 = 0;
Ь) х3 — бх + 2 = 0.
712. Отделить и вычислить с точностью до 0,0001 действитель-
ные корни следующих уравнений третьей степени, пользуясь пред-
варительно способом Горнера, а затем комбинируя способы Ньюто-
на и прямолинейной интерполяции:
а) х8 — 9х + 6 = 0;
Ь) х® 4-Зх2 + х —6 = 0;
с) Зх® — 4х2 + 2х — 2 = 0;
d) 2х® — Зх2 + Зх — 15 = 0.
713. Образующая прямого кругового конуса I = 3, а его объем
вдвое меньше объема цилиндра, радиус основания которого равен 1,
а высота равна 2. Вычислить высоту конуса с точностью до 0,0001,
пользуясь предварительно способом Горнера, а затем комбинируя
способы Ньютона и прямолинейной интерполяции.
714. Комета движется по параболе, в фокусе которой находится
Солнце. Если обратиться к полярной системе координат с полюсом
в фокусе и с полярной осью, направленной в сторону перигелия
(наименьшего расстояния кометы от Солнца), то уравнение орбиты
кометы можно написать в виде
г= —.
, 1
COS2 — V
2
118
Полярный угол v называется истинной аномалией, a q есть периге-
лййное расстояние кометы от Солнца. Истинная аномалия о может
быть найдена из уравнения
х3 + Зх — 2d = О,
где х = tg^- v и d = 0.01824558М. Величина М называется средним
движением кометы и является некоторой функцией времени. Опре-
делить с точностью до 0,0001, во сколько раз комета находится от
Солнца дальше.при М = 200, чем в момент перигелия.
715. Согласно одной из гипотез сила тяжести g внутри Земли
находится по формуле g = g0 [Ах — (А — 1) х3] (Л — некоторая
г
R’
константа), где ga — сила тяжести на поверхности Земли и х =
где —радиус Земли и г — расстояние от центра Земли. На неко-
тором расстоянии от центра отношение — достигает максимума,
go
равного 1,05. Найти с точностью до 0,001 величину х, при которой
достигается этот максимум.
716. Деревянный бакен имеет форму полусферы и его основа-
ние погружено в воду на расстоянии I от поверхности воды. Вы-
числить с точностью до 0,001 отношение — к радиусу R бакена,'
R
если известно, что плотность бакена равна 0,5 (по отношению к
воде).
717. Стрела f провисания электрического провода при темпе-
ратуре t определяется из кубического уравнения
г-[п
р__
64£f/0.
-^- = 0,
64££
о
где Д,—стрела провисания при начальной температуре /0, I — рас-
стояние между столбами, на которых подвешен провод, q—вес
единицы длины провода, Е— модуль упругости провода, F —
площадь поперечного сечения провода и а — коэффициент линей-
ного расширения провода. Комбинируя способы Ньютона и пря-
молинейной ийтерполяции, найти с точностью до 0,001 стрелу
провеса f, если известно, что /0 = 0,25 м, /0 = 10°С, t 30°С, а =
= 24. IO"8, q = 2.7F, Е = 7,5-105 кг/см2 и I = 40 м.
718. Найти sin 10° с точностью до 0,0001, зная, что sin 30° =
1
= и пользуясь выражением синуса тройного угла через синус
простого угла. Вычисления вести сперва с помощью способа Горне-
ра, а затем комбинируя способы Ньютона и прямолинейной ин-
терполяции.
719. Вычислить с точностью до 0,0001 действительные корни
следующих уравнений, пользуясь предварительно способом Гор-
119
нера, а затем комбинируя способы Ньютона и прямолинейной ин-
терполяции:
а) х4 + 5х8 + 5х2 — 6 = 0;
Ь) х4 — Зх8 — Их2 — 6х + 12 = 0; i
с) х4 + Юх8 + 22х2 — 16х — 8 = 0. J
720. Показать, что положительное значение квадратного корня |
из действительного числа а > 0 можно вычислить с помощью еле- 1
дующего итеративного процесса: если х0 — приближенное значе- I
ние j/fl, то следующее приближение
। а а
*0 Н---
Показать при этом, что
|хх-1^1 =
2х0
Зная, что_|/Л2 1,41 с точностью до 0,001, вычислить этим спо-
собом Vе! с точностью до 0,000001.
721. Показать, что действительное значение кубического корня
из действительного числа а>0 можно вычислить с помощью
следующего итеративного процесса: если х0 — приближенное зна-
чение а , то следующее приближение
причем
|хх — |<с|х0— |2>
где е = £- и (а, В,) — интервал, содержащий /а их0(3>а).
Зная, что_ « 1,25 с точностью до 0,01, вычислить этим
способом 1^2 с точностью до 0,0001.
722. Пусть f(x)— многочлен с действительными коэффициен-
тами, не имеющий кратных множителей, и пусть внутри отрезка
[а, 6] (а < Ь) лежит только один действительный корень х0 много-
члена, а и b не являются корнями /(х) и производная
на отрезке [а,. &]. Показать, что можно подобрать такое действи-
тельное число л, что последовательность ак = — \f (xs-i) (k =
= 1,2,...; a<a0<6) будет сходиться к x0. Оценить степень
приближения на л-м шагу.
§ 6. Решение алгебраических уравнений в квадратных радикалах
723. Какой вид имеют элементы простого расширения 7? (я)
поля R рациональных чисел, получающегося путем присоедине-
ния к R числа я (отношения длины окружности к диаметру)?
120
«мВ
724. Какой вид имеют элементы простого расширения 2? (а)
поля рациональных чисел 2?, если а) а = е; Ь) а = е2, где е — не-
перово число?
725. Пусть D — поле действительных чисел. Что можно сказать
о простых расширениях D («) и D (е), где л — отношение длины
окружности к диаметру и е — неперово число? Что можно сказать
о простом расширении D (а), где а — некоторое действительное
число?
726. Что представляет собой простое расширение 2? (i) поля 2?
рациональных чисел, простое расширение D (г) поля D действи-
тельных чисел, если I — мнимая единица?
727. Из каких элементов состоит простое алгебраическое рас-
ширение 2? (я) поля 2? рациональных чисел,, если а) а — Кб";
Ь) а = К2?
728. Покажите, что множество чисел вида а + 60, где а, 6 —
рациональные числа и 0 — один из корней уравнения х2 — 2х —
— 2 = 0, образует простое алгебраическое расширение 2? (0) поля 2?
рациональных чисел. Покажите также, что каждый элемент такого
расширения представляется однозначно в виде указанногодвучлена
а + 60, и найдите в 2? (0) элемент, обратный элементу а = 2 4- 30.
729. Покажите, что множество чисел вида а 4- 60, где а, 6 —
рациональные числа и 0 — один из корней многочлена р (х),
неприводимого над 2?, образует простое алгебраическое расширение
поля R рациональных чисел и что каждый элемент расширения
представляется однозначно в виде а 4- 60, если а) р (х) = х2—
— х 4- 2; Ь) р (х) = 2х2 —.Зх — 15. Найти при этом а"1, если а =
= 14- 20.
730. Покажите, что множество чисел вида а 60 -|- с0а, где
0 = Кз”> а,Ь,с — рациональные числа, образует простое алгебраи-
ческое расширение поля 2? рациональных чисел (под К3 подра-
зумевается одно из значений корня), причем каждый элемент это-
го расширения представляется однозначно в виде а4~60 4~с02-
731. Найти в расширении 2?(0) предыдущей задачи а-1, если
а=1—©4-02.
732. Убедиться, что многочлен р (х) = х3 4- 2х2 4- 4х — 2 не-
приводим над полем 2? рациональных чисел, и затем показать, что
множество чисел вида а 4- 60 4- с®2, где а, Ь, с — рациональные
числа, 0 — один из корней р (х), образует простое алгебраическое
расширение 2? (0) поля 2? рациональных чисел, причем каждый
элемент этого расширения представляется однозначно в виде а 4-
4- 60 4- с®2.
733. Найти в расширении 2?(0) предыдущей задачи аг1, если
а = 2 + 20 4- 02. _
734. ’Пусть 0 = Кб—одно из значений кубического корня.
Образует ли а) множество элементов вида a-f-60, где а, b — ра-
циональные числа, простое алгебраическое расширение поля 2?
5 Л. Я. Окунев
рациональных чисел; b) множество элементов вида а-\-№2, где
а, b — рациональные числа, простое алгебраическое расширение
поля Л рациональных чисел? _
735. Показать, что если я = У2, р = V3 , то 2?(а,р) есть
простое алгебраическое расширение поля /? рациональных чисел,
а именно /? (а, р) = /? (я 4- р). _
736. Показать, что если а — Кб , р = 1^7 , то 7? (я, р) есть про-
стое алгебраическое расширение поля R рациональных чисел, а
именно R (я, р) = R (я -f- Р) •
737. В простом алгебраическом расширении R (0), полученном
путем присоединения к полю R рациональных чисел иррациональ-
ного корня 0 многочлена f (х) = х4 4- х3 — 2х2 4* 6х — 6, найти
число, обратное а = 1 4- 0.
738. Найти нормальное поле (см. стр. 223 учебника Л. Я. Оку-
нева «Высшая алгебра», Учпедгиз, 1958) многочлена: а) х2 — Зх 4-
4- 2; Ь) х2 — 2х 4- 2.
739. Найти нормальное поле уравнения: а) х3 —1=0; Ь) хп—
— 1= 0; с) х5 —2 = 0; d) х44~1 =0; е) хп — а = 0, а * 0, аф 1.
740. Найти нормальные поля следующих уравнений и показать
при этом, что они являются простыми алгебраическими расширения-
ми поля R рациональных чисел: а) (х2 — 2) (х2 4- 3) = 0;
Ъ) (х2 4- х — 1) (х2 4- 2х 4- 6) = 0.
741. Покажите, что корни уравнения 2х3 — 7х2 4- 6х — 2 = 0
нельзя построить с помощью циркуля и линейки.
742. Можно ли построить корни уравнения х3 — 5x 4-4 = 0 с
помощью циркуля и линейки.
743. Покажите, что если два корня многочлена f (х) = х^ 4-
4- ах3 4- Ьх2 4- сх 4- d с рациональными коэффициентами можно
построить с помощью циркуля и линейки, то и остальные его два
корня можно построить с помощью циркуля и линейки.
744. Покажите, что если многочлен f (х) = х4 4- ах3 4- Ьх2 4-
сх 4- d не имеет корней в области его рациональности, то либо
все корни f (х) могут быть построены с помощью циркуля и линейки,
либо ни один корень не может быть этим способом построен.
745. Показать, что всякий многочлен f (х) = х4 4- ах3 4- Ьх2 4-
4- сх 4- d четвертой степени может быть представлен в виде ,
(1 \ 2
х2+jax4-y0 ) — (4x4-В)2,
где
42= -a2 — b-\-2y0, B2 — y2 — d, 2АВ = ауй— с
4
и у0 —корень уравнения третьей степени:
(ау — с)2 = (у2 — d) (а2 — 4Ь 4" 8у)
(кубической резольвенты многочлена /(х)). Показать далее, что
у0 = Y (ххха 4- х3х4), где х1( х2, х3, х4 — корни f (х).
122
746. Показать, что все корни многочлена четвертой степени
f (х) = х*-)-ах?-}-Ьх2-]-сх-1-(1, не имеющего корней в области ра-
циональности Р, тогда и только тогда могут быть построены с
помощью циркуля и линейки, когда кубическая резольвента f(x)
имеет по меньшей мере один корень, лежащий в области рацио-
нальности Р.
747. Выяснить, сколько корней многочлена f (х) четвертой сте-
пени может быть построено с помощью циркуля и линейки:
a) f (х) = х4 + х3 — 2х2 — 4х — 2; b) f (х) = х* — х3 + х2 +
+ 6х — 4; с) / (х) = х4 + 2х3 + 8х2 + 6х + 9; d) f (х) = х4 —
— х3 + 2х2 — 2x4-4; е) /(х)=х4—4х3-{-6х2— 7х-|-1.
748. Можно ли с помощью циркуля и линейки построить точ-
ки пересечения следующих линий: а) прямой у = 2х—1 и эллипса
— -J" = 1; Ь) прямой у = Зх — 2 и линии у = х3; с) прямой у—
= 2х — 5 и линииу = х3; d) параболы у = Зх2 — х — 2 и куби-
ческой параболы у = х3; е) параболы у = 2х2— 7х—10 и кубиче-
ской параболы у — Зх3; f) гиперболы ху = 1 и эллипса --}-— =
= 1; g) параболы у = 2х2— Зх-|-2 и гиперболы ху = у; h) пара-
болы у = х2 и линии у24~5ху4-9у-|-5х— 4 = 0; к) параболы
у = х2-|-х-|-1 и линии 2у2-{-Зху — у-]-х— 3 = 0.
749. Показать,
что угол
т (т2 — Зп2)
а = arc cos —---------
2т2
где т,п—целые взаимно простые числа, можно разделить на
три равные части с помощью циркуля и линейки.
750. Показать, что угол а = arc cos , где р — простое число,
нельзя разделить на три равные части с помощью циркуля и
линейки.
751. Показать, рассматривая соответствующее алгебраическое
уравнение, что правильный пятиугольник можно построить с помо-
щью циркуля и линейки.
752. Показать, что правильный семиугольник нельзя построить
с помощью циркуля и линейки.
753. Дано, что биссектриса угла В равнобедренного треуголь-
ника АВС (АВ = ВС) равна /, а биссектриса угла при основании АС
равна 41. Можно ли такой треугольник построить с помощью
циркуля и линейки?
754. Показать, что правильный девятиугольник нельзя пост-
роить с помощью циркуля и линейки.
755. Можно ли с помощью циркуля и линейки провести прямую
через точку. Л (2,1) так, чтобы оси Ох и Оу прямоугольной системы
координат отсекали на этой прямой отрезок в длиной s = 5?
5*
123
ГЛАВА VI >
СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ. РЕЗУЛЬТАНТ f
§ 1. Симметрический многочлен
756. Выразить следующие симметрические многочлены через i
основные симметрические многочлены <з2....................вп: I
а)/ = *? + 4 + хз — 2xi 4 — 2xi хз — 2х2хз> I
Ь) f = X? + Х2 + Х3 — Х2Х3 — Х1Х3 — Х1 Х2> ¥
с) /= + + ' *
Ф f = (Xj + sx2) (x2 + sxx) (xx 4- ex3) (X3 + sxx) (x24- ex3) (x3-|- ex2), i
е=£1, e3=l;
e) f = (xi — x2)2(x! — x3)2(x2— x3)2; j
f) f = (x1 + x2 + 1)(x1 + x3 + 1)(x24-x3+1); . |
g) f = (xxX2 4- X3X4) (XxX3 4- x2x4) (XjX4 4- x2x3).
Монотонным многочленом от n неизвестных x1( x2,..., xn на-
зывается однородный симметрический многочлен, состоящий из |
члена Лх|*х|»... х„п (&i >&!>-...>&„> 0), а также из различ- »
ных членов, получающихся из Ах|‘х^...х*« при всевозможных - *
перестановках неизвестных. Монотонный многочлен обычно обозна-
чается через S (Лх^х|»... х*« ). , <
757. Выразить через основные симметрические многочлены еле- £
дующие монотонные многочлены от п. неизвестных:
a) S(x|); b) 3 (х3); с) S(xj); d) 3(х|х2); е) 3(х|х2); f) 3(х3х|);
g) S(xfx2x3); h) S(x3x2x3); j) S(x2x|x|).
758. Показать, что всякий симметрический многочлен есть сум-
ма монотонных.
* (
759. Пусть F = у SI ...хтт j — симметрический мно-
ь=1 \ J
124
гочлен от т неизвестных .......хт. Показать, что если F — 0, то
и симметрический многочлен от п неизвестных х1( *. ,,х„ (т<п)
* / (О (о\
Ф = <S.| . Хтт I равен нулю. ~
<-1 \ /
760. Степенной суммой Sk от п неизвестных хг...хп называ-
ется моногенный многочлен S (х*) от этих п неизвестных (k — це-
лое неотрицательное число). Показать, что при k^>n
Sk — i -J- ^Sk—2 —... -f- (— 1)" Sk—n an = 0,'
причем So = n (вторая формула Ньютона для степенных сумм).
761. Показать, пользуясь задачей 759, что при £<и для сте-
пенных сумм Sk от п неизвестных имеет место равенство
Sk - OiSs-t 4-... 4- (- \)Чгъ = 0
(первая формула Ньютона для степенных сумм).
762. Выразить S (х^х|) через степенные суммы, а затем, поль-
зуясь задачами 760 и 761, выразить через основные симметриче-
ские многочлены.
763. Вычислить <S(x^x|) от корней уравнения х4— 2х3—2х3 —
— 2х — 2 = 0.
764. Вычислить S(xjx2x3) от корней уравнения Зх4 — 2х34~
4- 2х2 — 6x4-10 = 0.
765. Найти, чему равна сумма
^,2 „2 „2 2
*1 । х2 । х3 I *4 *
Х14-1 *а4* 1 *з 4" 1 -ч 4- 1
предполагая, что хх, х2, х3, х4 — корни уравнения х4 4~ Рх3 4~ Я = 0-
766. Найти, чему равно (хг 4- х2 — х3 — х4) (х4 — х2 4~ х3 —
— х4)(х4—х2 — х34-х4), предполагая, что х1,х2,х3,х4—корни
уравнения х4 4“ рх* 4“ 4х 4" г = 0 •
767. Найти, чему равно значение У (xz — xk )2 от корней мно-
t>k
гочлена f (х) = х" 4~ OiX"-14~ •.. 4" ап ПРИ «1 = а2 = а.
768. Найти сумму пятых и сумму шестых степеней корней
уравнений: а) х5 — х4 — х3 — 1 = 0; Ь) х® — 2х'* — 2х2 —. 2х — 2 = 0.
769. Найти степенные суммы Sk (k < п) от корней уравнения
770. Для каких уравнений n-й степени все степенные суммы
Sx, S2,..., Sn_j равны нулю?
771. Вычислить площадь треугольника зная, что длины его
сторон являются корнями уравнения а^-^-с^х2-}-aax-}-a3 = Q,
о0 0.
125
772. Пусть 0—корень многочлена р(х) степени п, неприводи-
мого над полём рациональных чисел. Рассмотрим число а вида
« = «о + + • • • + ^-i®"-1 ¥= О,
где ап_г — рациональные числа, и назовем число
а = Ьо &J0 +... 4-
где 60, 6„-i — также рациональные числа, сопряженным
множителем относительно а, если произведение аа есть рациональ-
ное число.
Доказать, что для всякого числа а 0 и произвольного рацио-
нального числа tn =f= 0 существует такой сопряженный множитель
а, что аа = tn.
Задача 772 приводит к довольно простому способу освобожде-
ния от иррациональности в знаменателе. Прежде всего отметим,
что число
а = а04-а1@4-... 4-а„_10п-1,
упомянутое в задаче 772, единственным образом выражается че-
рез 0, так как если бы
а = «о' + я/® + • • • + «'л-1®"-1.
где а/, а/,.. — также рациональные числа, то
(«о — «о') + (01 — О ® + •. • + (оп-1 — а'^) 0я-1- = О,
откуда в силу неприводимости многочлена р(х) следует, что
«о — а0' = 0,..., — а'п^ = 0 или ай' = а0,.. .^а'п^ = а^. По-
этому для отыскания сопряженного множителя а можно восполь-
зоваться методом неопределенных коэффициентов. А именно ищем
а в виде x0-{-*i®4“-••+хя-1®я~1- Перемножая а и а и понижая,
степень 0 с помощью равенства р (0) = 0, получаем:
п—1
2 (Vo+ %•«! + • •. + @z=m = m4-O.04-...4-0.0я-1.
i=A
В силу единственности выражения через 0 мы должны считать
коэффициенты при одинаковых степенях 0 слева и справа равны-
ми. Отсюда получается следующая система п линейных уравне-
ний с п неизвестными х0, ..., х„_х:
а00х0 4- «оЛ 4-... 4- йо, п-iX"-! = т,
а10Х0~}~а11Х1 + • • • 4"al.n—1Хп-1 =
.................................... (1)
On— 1,О^о4"Оп—1,1%1 4“ • • • 4“ап— 1,л— 1хп~1 = о.
В силу единственности выражения а через © эта система урав-
нений должна быть определенной и потому ее определитель отличен
126
от нуля. Отсюда по меньшей мере один из миноров элементов первой
строки определителя D отличен от нуля, и мы получаем следующий
способ нахождения сопряженного множителя; рассматриваем одно-
родную систему линейных уравнений, которая получается при от-
брасывании первого уравнения системы (1). Ранг этой однородной
системы будет равен п — 1, а потому ка'кое-то неизвестное будет
свободным; даем этому неизвестному произвольное (рациональное)
значение, отличное от нуля, получим ненулевое решение (Ьй, Ь1г . . .
. . . , bn-i)> компоненты которого можно даже получить целыми.
Так как D =4= 0, то можно быть уверенным, что
‘ аыьо + а0А + • • • + Оо.л-iVi = т ф О,
и мы получаем сопряженный множитель:
а = Ьй 4- &!© + ... + Vi0"-1
такой, что аа == т. .
Покажем теперь на конкретном примере, как этим способом на-
ходить сопряженный множитель и как избавиться от иррациональ-
ности в знаменателе.
Пример. Освободить выражение
1
05 4- 1
от иррациональности в знаменателе, если 0 — корень многочлена р (х) = х4 —
— 2х — 2 (с помощью критерия Эйзенштейна легко убедиться, что этот мно-
гочлен неприводим над полем рациональных чисел).
Прежде всего снижаем степень знаменателя, пользуясь равенством р (0) =
= 04 — 20 — 2 = 0:
04 = 20 4- 2, 05 = 202 4- 20.
и а = 05 4~ 1 — 202 + 20 + 1. Затем ищем сопряженный множитель в виде
а = Xq 4- Xj0 4~ *2024“*з®8*
А именно:
аа = (1 4* 20 4“ 202) (х0 4- х3 0 4» х202 + х303) = х0 4~ (2х0 + хг) 0 +
4- (2х0 + 2хх 4- х2) 02 + (2хг 4- 2х2 4- х3) 03 4- (2х2 4- 2х3) 04 + 2х305.
Снижаем степень 0, пользуясь тем, что 04 = 20 4- 2, 05 = 202 4- 20.
Получаем:
аа = (Xq 4" 4*а 4“ 4х3) 4- (2х0 4“ *i 4" 4~ 8*з) 0 4“ (2х0 4~ 2хх 4“ х2 4- 4х3) 02 4~
+ (2*1 4- 2х2 4~ *з)
Рассматриваем систему линейных однородных уравнений:
2*о 4” *i “h 4х2 4- 8*з « 0,
, 2х0 -j- 2*i + *2 4~ 4х3 = 0,
2х£'4~ 2*2 + *з 0*
Она имеет общее решение
33 5 9
127
Полагаем х3=>— 16 и получаем ненулевое решение (33, —10, 18, —16) и
т = х3 + 4л:2 + 4*з =з 33 + 72 — 64 = 41. Таким образом,
7 = 33 — 100 + 1802 — 1603.
гг л 1 1
Наконец, умножаем числитель и знаменатель дроби — = 1,3 сопряжен-
ный множитель а. Получаем:
—I—=-4г-= — = — (зз — юе + iso2 — 1603).
0б + 1 аа т 41
773. Уничтожить иррациональность в знаменателе следующих
выражений:
^‘/5-1 . -----У5------.
J/25 + 4 + 1 3|/2$ + 3?/S + l
С) 8/_ --- Ф
3/2 -14-/2
_____]Л9______.
2/з" —/2” 4-1
е) __----L_---f) -------_ У* _----L;
/44-/З4-/2 /4 4-2/2
g) —-— , где © — корень уравнения х3 — 2х — 2 = 0;
0 — 1
h)
1)
j)
k)
0 04 4-1 ’ где © — корень уравнения [ х3-|-Зх2 — Зх —|— 6 = 0;
1 0 4-2 ’ где © — корень уравнения х4 — Зх 4~ 6 = 0;
0 03 + 5’ где © — корень уравнения х3 —8x4-2 = 0;
02 0« 4-1 ’ где © — корень уравнения х4_|_2х+2 = 0.
774. Найти уравнение третьей степени, если его корни равны
х], х|, х|, где x^'Xj, х3 — корни уравнения Зх3 — 4х2 -|- 6х 10 = 0.
775. Найти уравнение третьей степени, если его корни xlt ха, х3
удовлетворяют соотношениям
128
776. Найти уравнение третьей степени, если его корни равны
х|4-х2, х^4-х3, где хх, ха, х8 — корни уравнения 2х3-}-
4-6х24-6х —3 = 0.
§ 2. Результант. Дискриминант. Исключение неизвестного
777. Вычислить результант следующих многочленов:
а) Зх2-}- х —2 и х2 — 2х — 2;
Ь) 2х®— х2-}-Зх—.1 и х2— х -}-5;
с) х3-}—2х2 —}—2х— 2 и х2 — 2х -{-4;
d) х3 — Зх -|-6 и х3 -}- х2 — х—1.
778. С помощью результанта найти значения параметра р, при
которых многочлены /(х) й g(x) имеют общий корень:
a) f(x) = х3-[-рх.-}-1 и g(x) = х2 + рх-4-1;
b) f (х) = х8-}-рх —3 и g(x) = x2-j-px — 3;
с) f (х) = х?рх2— 20 и g\x)=x2-]-px—14.
779. Найти дискриминант многочлена:
а) х3 — 2х2 — 4х + 6;
Ь) Зх3 + 2х2 — х 4- 5;
с) 2Х4 — Зх3 — бх2 — 2х — 1;
d) х4 + рх + q-
780. Найти дискриминант многочлена f. (х) = х" 4- рх + q.
781. Исключить х из системы уравнений:
а) х.2 — Зху 4- у2 = 2, 2х2 — ху 4- Зу2 = 1;
Ь) х3— Зху + у3 — у2 = 1, 2х2 — ху 4- Зу2 = 2;
с) у = Зх3 — 4х2 — х — 5, у = х3 — 2х — б.
782. Решить с помощью результанта следующие системы урав-
нений:
а) 11х2 + Збху + ЗОу2 — 14х — 24у = 0,
•' 10х2 + 28ху 4- 19у2 — 8х — 10у = 0;
Ь) Зх2 4-4ху — 2у2 4-бх 4-24у — 24 = 0,
8х2 4- 20ху 4- 11у2 — 12х — бу — 8 = 0;
с) 2х2 4- Юху 4- 13у2 — 2х — 4у 4- 1 = 0,
х2 4- 2ху — у2 — 4х — 8у — 1 =0;
d) 4х2 — 7ху 4- у2 4- 28х — 11у 4- 24 = О,
9х2 — 14ху 4- Уа 4- 60х — 20у 4-51=0;
е) х3 — 4х2 4- бх — Зху2 4- 4у2 — 4 = 0,
у3 — Зх2у 4- 8ху — бу = 0; *
f) х4 — 6х2у2 4- у4 4- бх3 — 12ху2 4- 13х2 — бу2 4- 14х 4- 6 = О,
х3 — ху2 4- 5х2 — у2 4- 7х 4- 3 = 0.
129
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ
Глава I. Определители
4. а) —6; Ь) —13; с) sin (3 —«); d) 1; е) 2cosa-~; f) (a + b)2; g) 1;
1
h) 6; i) 1; j) 1. 5. a)-----M—; b) 2Zsin(a — ₽); c) —2; d) 6. 9. Если
a21 = man, a22 =» ^12, H0 ^2 mbi, то система несовместна, а если a21 — таи,
.а22» ma12i b2 == mblt то система совместна и имеет бесконечное множество ре-,
• it ч 13 2 . . 169 98 ч 173 185
шении. И. а) х = , у =д-------; Ь) х= — , у =----с) х=»—, у=>----------:
23 23 157 157 908 908
И) х = a sin a 4- b cos a у = a cos a — b sin a; e) x = aC~ , у = . + -
a2 + b2 a2 + b2
f) x =□ у =з — 1. 12. а) Система определенная; Ь) система несовместная; с) систе-
ма неопределенная. 13. а) Система определенная при Х^— 4 и Х^8и имеет
при этих значениях X решение х=*----J—, у =----------. При Х = — 4 си-
X — 8 X — 8
стема неопределенная и при Х = 8 система несовместна; Ь) система определен-
ная при значениях X, отличных от —2 и 10, и имеет при этих значениях ре-
шение х «---------—— , у =------------Lzi?3—. При — 2 и ПрИ х = 10
(Х4-2)(Х— 10) (Х + 2)(Х— 10)
система несовместна; с) система определенная при X 3 и имеет решение
х = — 5, у = 5. При X ==> 3 система неопределенная; d) система определенная
3 (Х | 7) ЗХ________10
при X — 100 и имеет решение х -------L-Zl__L. у =---------. При Х=—100
х + юо х+юо
система несовместна. 15. Воспользоваться правилом Крамера в случае,
когда определитель отличен от нуля, и пропорциональностью строк опреде-
лителя, когда он равен нулю. 16. а) k= ± 1. При k = 1 ненулевым реше-
нием будет, например, х = 1, у = — 1, а при 6 = — 1 х = у =1; b) k =— 1,
& = 3. При &==—1 ненулевым решением будет, например, х = у= 1, а при
k в= 3 х = 1, у = — 1; с) k = ± it где / = 1^—1 — мнимая единица. При '
& = — 1 ненулевым решением будет, например, x=l-|-i, у— — 1, а при
k = i x = i — 1, у = 1.21.а)0;Ь) —152; с) 564; d) 12; е) 12; f) 54. 23. а)Пер-
вая строка, умноженная на 7, прибавляется ко второй и умноженная на
6 вычитается из третьей строки. Определитель равен —844; Ь) 704; с) из
первого столбца вычитается второй, затем первая строка, умноженная на 30,
вычитается из второй и из третьей строки вычитается первая. Определитель
равен — 29968; d) указание: прибавить к первому столбцу остальные и
делать нули в первом столбце. Определитель равен (a + b + с) (а2 + &2 +
с2 — ab — ас — Ьс)\ е) указание: вычесть последний столбец из преды-
дущих. Определитель равен ax2; f) указание: вычесть из каждой строки
нижележащую. Определитель равен (За + х) х2; g) указание: вычесть из
130
каждого столбца предыдущий, умноженный на а, или из каждой строки вы-
честь предыдущую. Определитель равен (6 — а) (с — а) (с — 6); h) указа-
ние: за знак определителя выносятся множители а, р, 7 из первой, второй
и третьей строк соответственно; затем из каждой строки вычитается ниже-
лежащая и множители а, р, 7 вносятся соответственно в первый, второй и
третий столбцы. Определитель равен а2 + ?2 + 72+1; i) 0; к) указание:
прибавить ко второму столбцу третий. Определитель равен sin2f—sin23; 1) ука-
зание: выразить косинус двойного угла через тригонометрические функции
Л ч sin(p—a) sin (7—a) sin (7 — р)
простого угла. Определитель равен нулю; гл) ——— ----------— -----———;
. cos2 a cos2 3 cos2 7
п) указание: выразить синус двойного угла через косинус и синус просто-
го и вынести за знак определителя множители cos2 a, cos2p, cos2 7. . Опреде-
литель равен 2 sin ф — a) sin (7 — а) sin (7 — р); о) а0х2 + а±х + а* 26. а) 20836;
Ь) — 96704; с) (b — а) (с — а) (с — b)\ d) (6 — а) (с — а) (с — b) (а + b + с).
27.. Если рассматривать определители, отличные от нуля, то с точностью до
порядка следования строк и столбцов возможны только два случая:
1 1 1 — 1 1 1
1 — 1 1 = 4 и 1 -1 1 = 4.
1 1 — 1 1 1 — 1
28. Вычесть первый столбец из остальных. 29. а) ct1a2a3(— + — + — ) ;
\ ai ^2 а3 /
(1 1 1 \
---1 1 ]• Указание. Надо искать такое значение
#2--------^3 /
х, чтобы одна строка (столбец) была суммой или разностью других строк
(столбцов) или чтобы определитель имел две одинаковые или пропорциональ-
ные строки (столбцы); а) х== —4; b) х=16; с) х=9; d) х = 0; е) х=2,
- х= 1, х = —2. 31. а) х= 1, у = —2, z = —3; Ь) х = —2, у = 3,
у = 15, z=—— .
30
(3 — а) (&2 — 1) —
4; Ь) 16; с) х =
х = 3; f) х=1, х = -2. 31. а) х=1, у = —2, z = -
„ \ 3 1 3 769
z=H;c)№ — , у= —, z =-; d) х = ,
88 .8 30
32 а) X--- (1 —а&)(а~О0"№~аа)(Ь~1)6 .... — <Х —а)<а*—1)
(6 —а) (а—1) (*—1) ’ (& — а)(а—1)(6—1) ’
г= О —а)(а~ О ——а) (&—О . Ь) х = Л _ дз (7 — а) _ «г(Р — «)
(& — а) (а— 1) (6— 1) ’ ai агЬ2 a2bi
8—а 7 — а ч 2а3 2 2af .. 14со-М2
у= -—, z = J; с) х=------— , у=---, z=-------; d)x= -—
Ьх Ь2 ^(«i—аз) “2 аз) 2—За> *
у= 15(й+12( г = —ю + 2 . 33. а) (10,8), (1,9), (2, 5), (1, 10), (7,10), (7,4),
2 — За» 2 — 3(о
(2, 3), (3, 6), (4, 6); Ь) (5, 8), (1, 7), (5, 6), (3, 5), (1, 4), (1, 3), (2, 1);
с) сперва производятся транспозиции (2, 2л), (4, 2п— 2), ..., пока не полу-
чится 2л, 2л— 2, ... ,2, 1, ,3, ... , 2л— 1. Затем 2л—1 транспонируется
с каждым из непосредственно предыдущих чисел, пока 2п — 1 не окажется
между 2л и 2л —2. Аналогично для 2л —3 и т. д. 34. а) 23; Ь) 27; с) 10,
35. а) — л (л + 1) инверсий. Четное число инверсий только при л=з4£и
п = 4&4-3; Ь) — л (л — 1) инверсий, четное число только при
2
n = 4£+ 1; с) и2 инверсий, четное число только при четном n; d)
л = 4k и
«(«-О
инверсий, четное число только при л == 4k и л == 4k + 1; е) “ п (Зл+1) инвер-
131
сий, четное число только при п — 4k и п=з4&-|-1; f) -|-n(3n—-1) инвер-
сий, четное число только при n — 4k и п=4^+3. 36. a) -i-n(5n — 1) ин-
версий; Ь) п(3п—1) инверсий; с) Зп(п—1) инверсий. 37. Перестановка п,
n—1, ... ,2, 1 с числом инверсий С^. 38. В рассматриваемой перестановке
существует по меньшей мере одна такая napata^, а^+1, что > а^>+1. Транс-
позиция (ak, ak+1) понижает число инверсий на единицу. 39. Для k = 0 и
k=Cn утверждение очевидно. Воспользоваться методом математической ин-
дукции и показать, что с помощью соответствующей транспозиции можно
число инверсий увеличить на единицу в перестановке, отличной от п, п— 1,...
... , 2, 1. 40. Существует только одна перестановка с С2 инверсиями и п—1...
перестановок с С2 — 1 инверсиями. 43. Пусть производится транспозиция
(t, j) в перестановке Аиг ... imjB, р—количество чисел из ilt i2t ..., im, на-
ходящихся в инверсии с i и q — количество чисел из ... , 1т, находя-
щихся в инверсии с /. Тогда при t < / число инверсий возрастает на 1 толь-
ко при р-\- q — т и убывает на 1 только при р + q = т + 1, а при i > j чи-
сло инверсий возрастает на 1 только при р + q =>т — 1 и убывает на 1 при
р_р^ = /п. 44. Число инверсий изменится на ± 1. 45. С2. 46. Если в пере-
становке ага2 ... ап относительно получается рх инверсий, относительно а2,
(«! исключается) получается. р2 инверсий и т. д., то в перестановке алал-1...
^относительно аь а2, ... будет получаться соответственно (п—1) — рь
(п— 2) — р2, ... инверсий. 47. Поставить во взаимно однозначное соответ-
ствие перестановке аха2 ... ал перестановку алал_х ... ах.» 49. Условимся
рассматривать пустое место как 16. Каждое перемещение 16 равносильно не-
которой транспозиции в перестановке аха2 ... а15а1б. При возвращении на
прежнее место, т. е. в правый нижнцй -угол, 16 совершит четное число пе-
ремещений, т. е. произойдет четное число транспозиций. Поэтому если по-
лучится перестановка 1, 2, 3, ... 16, то она должна быть того же класса,
что и первоначальная перестановка ai«2 ... а15а1б. 50. а) Членом определи-
теля не является; Ь) является членом определителя седьмого порядка со
знаком плюс; с) членом определителя нс является; d) является членом опреде-
1)
лителя п-го порядка со знаком (—1) ; е) является членом определи-
теля п-го порядка со знаком (—1)M; f) является членом определителя п-го по-
рядка со знаком плюс; g) является членом определителя 2п-го порядка со
знаком (— 1)я2. 51. i = 6, k = 7. 52. a) i = 4; j == 6, k = 2, или i = 6, j = 2,
k » 4, или i = 2, j = 4, k = 6; b) i = 6, j = 4, k = 7, или i=l, /=6, k = 4, или
Z = 4, / = 7, fc = 6. 53. a) (n—1)! (n—1); b) (n— 1)! (n— 1); c) (n — 1)!X
X(n—k)\ d) обозначая искомое число через ип, имеем, что u2ft+1 = и2^ = 2*
(k = 0, 1, ...). Для ип получается рекуррентное соотношение w2fc+i =* u*k =?
= 2n2£_2. 54. Членов, равных нулю, будет (п — 1)! — С^(п — 2)! +
+ (—l)*~x С^(п—£)!, где число сочетаний из k элементов по v. Это
число членов, равных нулю, получается следующим образом. Членов, содер-
жащих один и тот же элемент, равный нулю, будет (п—1)!. Отсюда всех
членов, имеющих по меньшей мере один равный нулю элемент, будет
С\(п — 1)!. Членов, имеющих общими два равных нулю элемента, будет
(п — 2)!. Отсюда всех членов, имеющих по меньшей мере два равных нулю
элемента, будет С|(п —2)! и т. д. Когда подсчитывалось количество чле-
нов, содержащих по меньшей мере один равный нулю элемент, дважды счи-
тался член, содержащий два равных нулю элемента. Поэтому надо из
С|(п — 1)! вычесть С|(п —2)!. Вообще, при получении выражения С|(п—1)1 —
132
— C|(n — 2)! + ... + (— l)^2 *(n — s + 1)! член, содержащий s (s < k)
равных нулю элементов, считался C*s раз при подсчете членов, имеющих по
меньшей мере v равных нулю элементов (м == 1, 2, ... , s — 1). Поэтому он
был учтен всего С* — С2 + ... + (— 1)*~2 1 + (— 1)*— (1 — 1 )* == 1 +
+ (- 0* = { 2 J^nn?HH4eTHOMMsS >и ПОЭТОМУ надо к выражению С1(л-1)! -
— C2k(n — 2)!+ ... 4-(— l)^-2—s + !)! прибавить (— I)5”1 Csk(n— s)l.
55. n\ —^4~ ... + (-— членов. 56. Определитель равен нулю.
~1п(п— 1)
57. а) и!; Ь) 0ц022 ... с) ( 1) ~ aina2n-i • •• апъ
d) Лца22а33а44а55^вв — ^11^22а34а43а55^6в — аЦ025аЗЗа44а52авв +
+ ^Ц^25^34а43а52авв — ^16^26^34^43^62^61 4” ^16^25^33^44^52^61 —
— 016022033^44055061 + ^16^22^34^43^65^61- 59. Станет раВНЫМ НуЛЮ. 60. [1 +
+ (— 1)*~^1^2 ••• где D — первоначальное значение определителя.
61. Будет отличаться знаком (—1)а , где о==-^-^---Я — k(n—k). 62. (n!)2D,
2
где D —первоначальное значение определителя. 63. Показать, что ан = 0
(i =s 1....п), и затем вынести из всех строк за знак определителя мно-
жите л ь_— 1._64. Воспользоваться свойствами комплексных чисел: 2^22 + .. • +
4- Zfc = zx + z2 + . .^4~2ь 2^2 ... zft == zx • z2 ... zft. 65. Покажите, что
D = Z>. 68. Воспользоваться методом математической индукции и разложе-
нием определителя по строке. 69. Для п = 3 утверждение верно (см. зада-
чу 27). Воспользоваться методом математической индукции и разложением
определителя по строке. 70. Воспользоваться предыдущей задачей. 71. Вы-
нести за знак определителя множители llt l2i ... , 1п соответственно из 1-й,
2-й, ... , л-й строк и воспользоваться задачей 68. 72. Для и = 3 утвержде-
ние верно (см. задачу 27). Воспользоваться методом математической индук-
ции. 73. Определитель равен нулю. 74. 2я-1. 75. а) х = аь ... , * = 0п_л.
При х = а; совпадают две строки; Ь) —1, —2, ... , — и + Г, с) alt а2, ...,
0/2—1. 76. Afi2 = 2, Л12 = —2, Л122 = 38, Л22 = 38, Л4з2 = 76, Лз2=—76,
М42 =— 54, Л42 =— 54, D = — 2а 4- 385 — 76с — 54d. 77. 164. 78. а), па*"1.
Прибавить i-й строке определителя остальные строки и разложить по эле-
ментам г-й строки (/=1, ... , п). Ь) ал-1. При разложении по первой стро-
ке можно получить сумму алгебраических дополнений элементов первой
строки. Если заменить Z-ю строку строкой элементов, равных а, то получит-
ся определитель, равный нулю (I > 2). Разлагая его по г-й строке, можно
получить сумму алгебраических дополнений элементов Z-й строки; с)
(-1) C»na«-i; d) (- 1) сп ап~\ где (?п = у п (п — 1). 80. у. 81. 2 (~ О'
есть определитель, все элементы которого равны 1.82. Равна нулю. 84. а)—1;
Ь) —'3; с) 255; d) — 299; е) 396; f) 394; g) 1875; h) — 8204. 85. а)
Ь) 1680’ С) + — d) 2(1/‘5 + /15-/2Г)«. 86. а)
n(n-H)
(П— 1)1; b) 2 [1 • 3 ... (2л — 3)]; c) Ь^2 ... bn\ d) (-1) 2 ...an ;
-i n(n—о
e) (—1) 2 0i(a2-2) ... (an-n). 87. a) 1. 3. 5... (2n-l);b)
-|n(n—1) 1)
( — I)2 aia2 ... an; c) (— 1) 2 x(x— 1) ... (x —n). 88. a)
4(n-l)(n+2)
2«-i(3n4-2); b) (—1) 2 (n— 1); c) (*4-014- ••• + 0Л)(^ —0i) •••
133
... (х — ап). Указание. Эти определители легко приводятся к треуголь-
ному виду, если предварительно к первому столбцу прибавить остальные
столбцы. 89. а) п(п + Ч Ь) Ь2(а^-^ + а2Ьп~2 + ... 4-а„). Пер-
вый-определитель легко приводится к треугольному виду, если ко второму
столбцу прибавить первый, к третьему преобразованный второй столбец и
т. д. , а затем разложить по последнему столбцу. 90. а) bib2 • • • Ьп ( — +
\6i
+ ~“2 + ••• + — )• Выносятся за знак определителя множители blt b2, ... , Ьп
^2 Ьп]
соответственно из первого, второго, ... , n-го столбца, дальнейшее вычи-
сление аналогично вычислению определителей задачи 89. b) aQxn + ajX71-1 +
+ ... +ая.91.а)(-1)'’-»(х-а1)...(х-в„){^-+ ...,+—-----------1 V
\х— ах х — ап ]
.. „ /<>!, а2, . ап , , \ . 4п<л-1>с"+1 — 2сл+1
b) xj.x2 ... хп —+ — + ••• + — + 1 ; с) с 2 ---------— при
\ хт х2 хп / с — 1
с 1 и — (п—-1) при с»1, п>2. Эти определители преобразуются в опре-
делители типа задачи 90, а) путем вычитания из каждой строки предыдущей,
начиная с последней и кончая второй строкой. 92. а) (— 1 )й-1 (af + ... +
+ ал—Ь) (— 1)п-1(а1+ ... +<х2—1). Определитель Ь) преобразуется
в определитель а)' путем вынесения за знак определителя из каждой строки
соответствующего множителя и затем соответственного внесения этих мно-
жителей в каждый столбец. 93. а) (—-----(п~Ь 0. (—1) х
2
х п" •>с) (—1)л-1«л_1^4~-^; Ф (—1рл<п_1)«л-1^+^У
Определитель а) приводится к треугольному виду следующим образом: из каж-
дой строки вычитается нижележащая, начиная с первой; затем из первых
п—1 столбцов вычитается последний; наконец, к последнему столбцу при-
бавляются предыдущие столбцы, умноженные на — . Определитель Ь) вычи-
п
сляется сходным образом или сводится к определителю а) с помошью соот-
ветствующей перестановки строк. Определитель с) вычисляется аналогично
определителю а) и определитель d)—аналогично определителю Ь). 94.
а) 16 (х2,— 4) (х2 — 9); Ь) 0; с) х (х— 1) ... (х — п + 2); d) ах (* + а — а2) X
Х(* + « —а3) ••• (^ + а~л/г)- 95. а) (х — Х1) ... (х — хп)\ Ь)(х+ах+...+
+ ал) (х — аг) ... (х — ап). 96. а) (а + b + с — d) (а + b — с — d) (a-b-\-c—d)X
X(a — b— c + d); b) 0. Вычитая из суммы первых двух столбцов сумму по-
следних трех, умноженную на произвольное число k, получаем бесконечное
множество делителей D: a-\-b — kc—~ kd~ ke. 97. Показать, что определи-
тель делится на xf — 1 и х4 — 1 и при х2= —, х2 = —- имеет пропорцио-
2 Xi
нальные столбцы, в силу чего определитель делится и на х2х2—1. Опре-
делитель равен (Xj —1) (xg—1) (1 — х|х|). 98. JJ (а/ — ау). Обозначим дан-
i>i
ный определитель через Un и заменимте нем r-ю строку (г = 1, 2, ... , п)
строкой-1, х, х2, ... , Xй-1. Получим определитель Д, являющийся много-
членом от х степени и — 1. Он обращается в нуль при x~alt ... , a4_i,
d'i+u • • • , ап* Следовательно, Д делится на (х — ах) ... (х — a/_i) (х—ц/+1)...
... (х — ал), а потому Un делится на (а/ — ai)... (а,- — а^) (at — ам) ,..
134
... (сц — ап). Отсюда, так\как i = 1, 2, ... , л, Un делится на П («/ — «/).
’ t>j
Для получения окончательного выражения Un остается сравнить член опре-
делителя Uny получающийся при перемножении элементов на главной диаго-
нали с членом а2а| ... а”-1 произведения П (dj—aj). 99. (а0+ ••• 1
i>i
Рекуррентное соотношение можно получить путем разложения по последне-
му столбцу. 100. аъхп + а^^у апуп. 101. *oxi ... хпI — ——+ •+
ч L*o
+ (— 1)п — , п> 1. Разложить по последнему столбцу. 102. —Ь162 ...
Хп1
/ \
... b„ _! + ... 4-Z2 ], n> 1. 103. £>„ = а" + а«-2 + ая-з4- ... + 1. Ре,-
\ bi Ьп) j
куррентное соотношение Dn = aDn_i -f-1, n > 2. 104. a) — (5”+1— 3n+1);
i Г/1-и/’5\л+1 /1—Vr5’\"+1l ал« —R»+i
b)3«(n+l);.c)-^p±f^ _ 1—;d)-------------------2--- при
]Л5 |_\ 2 / \ 2 / J “ — ₽
а p и ая(п+1) при а = p. 105. При <р xk, где k — целое.
£)п=21е!1±211. при = о„ = (—1)*л(п+1). юб. о2й = (—1)М*и
sin<p
D2ft+1 = 0. 107. При и>2 определитель равен хп~2(х — I)2. Разложить по
первой строке; алгебраическое дополнение Д1п+1 = 0 при п > 2, так как при
вычитании из первого столбца минора Min+1 второго столбца и из второго
третьего столбца два первых столбца становятся одинаковыми. Рекуррентное
соотношение: Dn+1 = xDn (и > 2). 108. Dn+1 = (х— 1)л 1! 2! ... (и— 1)!. Для
получения рекуррентного соотношения из каждой строки (кроме последней)
вычитается нижележащая (и > 2). 109. 0. ПО. 0. 111. (х — а±) ... (х — ап)Х
X / i-j-51—-----------5^—], Представить элементы /-го столбца (/== 1,
\ х — ai х — ап]
2.....л) в виде суммы двух слагаемых O-f-ay, O-j-ay, ...» (х—aj) + aj9...
... , 0 + а/ и разложить затем определитель на сумму двух определителей.
Отличными от нуля будут
х — ai 0 ... 0
0 х—а2 ...0
0 0 ... х — ап
и определители, содержащие только один столбец из элементов, равных а/.
112. (хх — ах) ... (хп — ап) f 1-|-—---------——V Тот же способ,
что и в задаче 111. ИЗ. (b. - а^).. .(bn- ап8л)( +’ ‘ ’+ Ь
\ \ Vi— aiPi . Ьп—а.$п /
Путем вынесения за знак определителя соответствующих множителей можно
привести к определителю типа задачи 112. 114. 0. См. задачу 109. 116.
(1—х^^Цл—1)*+ 1]. Элементы, равные 1, представить в виде суммы
(1 — х)-}-х, а остальные элементы—в виде суммы 0 + х. 117. Вынести за знак
определителя задачи 114 множители аъ a2t ... , ап из первой, второй, ... ,
n-й строк и рассматривать в качестве определителя D определитель с эле-
ментами —. 118. а) хп-Цпа!х); Ь) +^ + ... + ал); с) л(х+«1)+1.
119. Рассматривать элемент /-го столбца в виде суммы:
= aikai 3+ •••+Ял-2,120. а) х^... хп П — -V);
i>!
135
b) 2^ П(" ° JJ cos sin
1 l<i /'
c) 2 2 ” Д sin -П+УЛ sin Z1=^L.,
i<j
d) П sin — <jy); e) П (xt — Xj). Из второй строки вычитается первая, из
i<i i>i
третьей — преобразованная вторая и т. д.; f) JJ (Х} — лу); g) хгх2 ... xn_r (xt —
~ 1) ... (хл_! — 1) П (xi — xj). Первая строка вычитается из всех остальных
i>i
строк и выносятся соответствующие множители за знак определителя;
h) П (а/ - а7). 121. (хх - 1) ... (х„ - 1) П (х, - xj). 122. Г (хх - 1) xt...
«>/>/>! i>j [
п 1
• •• хп-}- П (xi— 1) . П (xi — xj)t Представить элементы первого столб-
f = 2 J 2</</<п
Ца в виде сумм (*i —1)4-1, 0 4-1............ 0 4-1 и разложить данный
определитель на сумму определителей. 123. а) 1! 2! ... (и — 1)!; Ь) 1121... п!.
Сводятся к определителям Вандермонда. '
124. а)
6 3
И 0
25 24
4 15
-1 2
— 2
5
—28
—17
12
20 22 -23
10 1 4 ♦
21 28 —32
1 4 2
0 4 15
10 27 — 16
21 1 28 13
12 2 11 8
22 7 19 10
30 5 20 14
6 19 —28
Ь) 18 7 19 10
26 4 13 10
31 8 20 11
22 2 23 14
125. a) D = — (а2 4- 62 4- с2 4- ^2)2' Комбинировать строки со строками;
b) D = — (al Ч-а2 + ... + а2)4. 126. (— I)"-1. 127. а«+1. 128. Dn = 1 — 6Х+
4- btb2 — ... 4* (— 1)я b±b2 ... Ьл. Разложение по последней строке дает ре-
куррентное соотношение Dn — ^_1(1-^)+^Д-2- I29- (—i)*-i-K”,
-|n(n+i)
Приводится к треугольному виду. 130. (—1) 2 («o’7ai+* • *4~(—1)%?)*
Из первого столбца вычитается второй, прибавляется третий и т. д. 131. пхп
132. (— \)п^2.п^ппл Приводится к треугольному виду. 133. a) —У
Если к первой строке прибавить последнюю и затем разложить по первой
строке, то нетрудно получить рекуррентное соотношение Dn~ (а— 1)ЬД_14-
4-(а4~1)л~1- Другое, более изящное решение заключается в том, что анало-
гичным образом получают еще одно рекуррентное соотношение Drt=(a4-l)Drt_1—
— (я—1)?~х, прибавляя к последней строке данного определителя первую и
разлагая по последней строке. Из этих двух рекуррентных соотношений на-
ходим Dn путем исключения Ол-1. Ь) 2я~2[(п4- 1)я4- (п — l)rtb Из каждой
строки, начиная с первой,- вычитается нижележащая; затем из первых п — 1
строк выносятся за знак определителя общие множители, равные 2, и, нако-
нец, к последней строке прибавляются предыдущие строки. 134. a(a^-bc)nt
Приводится к треугольному виду. 135. (—1)л”х(п—1)ая”2. Умножаются
136
\ ' '
первая строка и первый столбец на а и полученный таким образом определи-
тель приводится к треугольному виду. 136. (— 1)я 2Л-1 ауаг ... ап( — 4- — +
\ \^1 ^2
+ Первая строка;, умноженная на alt а2........ап, вычитается
ап/ „
соответственно из второй, третьей, ... , n-й строк. Затем первый столбец,
умноженный на alt а2, ... , ал, вычитается соответственно из второго, треть-
его.....n-го столбца. Полученный определитель можно довольно легко вычис-
лить путем приведения к треугольному виду .137. —7172 • — + — +
\ 71 72
+ . • • + П П } • 138. ап 1(«1р2 + а2?3 + • • • + --а1?1— а2?2-• • •—
139. (~ 1)л-1--. Первый шаг — прибавить к последнему столбцу
предыдущие. 140. + 4я — ” + 2) 141 (—1)«-J(ai + а,Ьх 4-+
пп
+ ... 4-а/А&2 ... ^л-1). Можно воспользоваться методом рекуррентных со-
отношений. 142. (1—ab)n. Приводится к треугольному виду. 143. Dn =
= (и — 1)!ал 4- (и — 2)\ап^х 4- ... 4~ а1хп^1. При разложении по последнему
столбцу получается рекуррентное соотношение. 144. D2n=(a1a2rt—- 3i32n)(a2a2/z_i~
— p2₽2n-i) • • • (anan+i — РлЗл+i)’ Для получения рекуррентного соотношения
определитель разлагается по последней строке. 145. хп~г (х-— 2)л~1[(х — 1 )24-
4-(п—1)]* Приводится к треугольному виду, для чего предварительно при-
бавляются к последнему столбцу остальные.
Глава II. Линейные уравнения со многими неизвестными
146. х1 = х3= 1, х2=х4 = —1. 147. Xi—1, х2 = 2, х3 = 3, х4 = 4.
148. Хх = 1, х2 = 3, х3 = 2, х4 = — 1, х6 — 1. 149. xt = 1, х2= х3 = 0, х4=2,
х5 = —1. 150. х4 = — , х2 = — —, х3= — , х4 = ——. 151. х1= —,
6 4 6 24 1Г
50 25 . 16 28 129 19
х2 = — —, х3 =—, х4 = —, х5 = — . 152. х = 21, у — — , 2 =— —-.
Н 11 Н 11 11 11 ’
Х4 =х5-.
t = — у? . 153. х4 = х2 = 1, х3 = х4 = 2, х5 = 3. 154. х4 =— 2, х2 = 1, х3 =2,
1. 155. х1=—, х2=—, х8=- —, х4=-—, х5=—. 156./(х)=х.
2 3 2 3 4
109 27 7
157. / (х) = 21 —- 16х + Зх2. 158. у = 6 —— х+— х2 —— х3. 160. / (х) =
Д.-|_ |
VI (•* — *1) ... (х — xft_x)(x — xft+1) ... (х — х„+1) , ,
= JL <«»—.>•••<». -««) <ч . о» - «„о 1 (и""рп“’-
ционная формула Лагранжа). Равенство нулю определителя Д получается из
того, что, как нетрудно усмотреть, последний столбец есть линейная комби-
нация предыдущих. Разлагая по последнему столбцу, получаем: f (х) М —
— f (х^Мх 4- .4- (— 1)л+1 Mn+l f (хП41) = 0, где М, Мъ ... — миноры эле->
.ментов f (х), f(xx) ... Миноры Mt Mlt ... вычисляются как определители
Вандермонда. 162. При & = —1; 0 и 1. 163. При условии, что
ai Ьх Сх
Ь2 с2
#3 Ьз сз
= 0.
137
164. Рассмотреть однородную систему 4- ./. . + ainxn + Ь[Хп+1 == 0,
' 1 п " ' ’ показать, что она имеет ненулевое решение.
| = 1,2,
166.
* 1 У1 *12 + У?
* 2 У2 + у22
* 3 Уз *3* + Уз2
х4 у4 х42 + у42
и
1
1
1
1
== 0. 167. Разложить определитель по ьй строке.
168. а) х = - 1, у = 10, *=-7, н=-2; Ь) х = 22, у = - 77, г=-1,
и = 29. 169. Обратить внимание на то, что решение данной системы является
также решением системы Dxr == Dlt Dx2 = D2, . . . , Dxn = Dn независимо
от того, равен ли определитель D системы нулю или не равен. 170. =х2 =
х3 == х4 = -—-. Решение легко находится путем прибавления к первому
k + 3
уравнению остальных и вычитания преобразованного первого уравнения из
2-го, 3-го и 4-го уравнений, умноженных на k + 3. 171. х± ==-----------------,
а — b
С2 — с3 СП-1 — сп сп — b
х2 =-----—, . . . , —---------—, хя =----Решение легко полу-
,а — о а — о а — о
чается путем вычитания первого уравнения, умноженного на Ь, из остальных.
,72- ~ (а-жЙ (7-1)М: ^== 1 ’2, .... и. К первому урав-
нению прибавляются остальные, затем обё части первого уравнения делятся
на а + (п — 1) b и преобразованное таким образом первое уравнение, умно-
д. 4 ““ at *4“ у
женное на 6, вычитается из остальных уравнений. 173. хх= —----------
2
2 2 е/
. / = 1 — Яп + У
у = —----__ ^-12, . . . , п— 1, хл — . Чтобы решить систе-
му 4-1) п
1 п
му, складываем почленно все уравнения и получаем:—п (п 4- 1) у = aj,
2 /=1
где у = Xi + ... 4- хп, откуда определяем значение у. Затем из первого
• л п (п 4- 1)
уравнения вычитаем второе, из второго третье и т. д. 174. Х[=^^---— I
Z = 1,2, . . . , п. Из первого уравнения вычитается второе, из второго
ап — аП-1 + аП-2 — ... 4~ 01 01 — 4*
третье и т. д. 175. хх —-----------------------------, х2_
4“ 0n~i — ... 4“ 02 02 — 01 4" ап — . . . + 0з
--------------------, х3 =----------------------- и т.д., п должно быть
нечетным. Для решения системы выражаем неизвестные х2, ... , хп через
хь подставляя в уравнение хп 4- хг = ап выражение хп через xlt находим х4.
а
176. хь =------г------:-------- , & = 1,2, ...» п. Полагаем х± 4- х2 4-
^-.Г, . . °<^-D т
L C«~1(C-1) J
4- . . . 4-хл=/. Тогда xx-\-at = a, сх2 4- at = а, ... , сп~г хп 4- at = а.
Выражаем неизвестные х4, . . . , хп через tt после чего нетрудно найти зна-
чение /. 177. Единственное решение при а2 Ф ± (1 — а) и о2 ± (1 4- 0),
и в этом случае х = —у = ^ — — / = — —----------—. Решается система так:
J 7 1— а 4-а2
к первому уравнению прибавляется второе и вычитаются третье и четвертое
138
уравнения; после сокращения на 1 — а — а2 0 получается х 4* У — z — t~3.
Затем к первому уравнению прибавляются остальные; после сокращения на
1 4- а 4- л2 0 получается \ 4-y4-z4-f = 0. Отсюда х = — у и z = — t, и
первое и четвертое уравнения принимают вид у + az (1 — а) = 1, ay (1 — а) 4-
4-z = — 1, откуда без труда определяются у и г. 178. Решение. Пусть
Сд*! 4~ . ... +Vae4 i = 1,2, . . . , п, новая система линейных уравне-
ний. Тогда су = т^ау4-т-^ 4- . . . . . , п. Так
как д 0, то можно обратно ау внразить через с1у-, .. . , ау = 1цСу 4*
4- ... 4- hncnj- Отсюда с помощью метода неопределенных коэффициентов
можно получить из новой системы первоначальную. 1^9. Обратить внимание
на то, что D1 = Da=0, где Dx— определитель новой системы. 180. При
умножении обеих частей какого-нибудь уравнения на число с 0 определи-
тель D умножается на с; при перестановке двух уравнений определитель D
принимает противоположное значение; наконец, при почленном прибавлении
к одному уравнению другого уравнения системы, умноженного на некоторое
число, определитель D не изменяется. Отсюда видно, что при таких преобра-
зованиях определитель остается отличным от нуля. При каждом из таких
преобразований определитель D, изменяется так же, как и D, а потому отно-
шение не изменяется. 184. В этом случае система приводится к трапецеи-
21 33 16
дальнему виду. 185. xt = —, х2 = —4, х3== ——, х4=—. 186. Система
о о о
16 3 7
несовместна. 187. х4 = — + х3 — х4 —— х3, х2 = — —+ 2хз — Зх4 + —х5.
... = х„-1 = — (а — 1), хя = (п — 1)(« — 0+1 • *89. Xi = —
2
1 3 1 1 1 59 3 , 67
* = Ч - -, xt - 190. Xi = - *4. хг - — 6o xit х3 —+~х4-
191. Система несовместна. 192. хх = х2 = —---
32 . 4
х3 = 15-21X4—ЗОХ5 193 а) Х1 —2х2 —41х4, х3 = 15х4; Ъ) х4 = -|-х2+
.11 9 Ч 2 Л Ч 26х2 — 21хй,
4---хз =-------х&> с) Х1 =--х2> Х3 = х4 — о. 194. а) Хх=--------
8 4 3
16 12 ..
х3 = — — Хб, х4 = —х5; Ъ) Х1 = —х3,
13 13
195. При а = 1 система неопределенная и имеет общее решение х = 1
— г — и. При а =— 3 система несовместна. *
а2 + 2а + 2
система определенная и х =----5--5—,
\ а 4~ 3 .
188. Хх = х2
13
*4 = хь = 0.
х2 = — х3,
I—У~
При а, отличном от 1 и — 3,
а2 4“ а — 1 2а 4- 1
у =-------J-----1 z=—!.
а 4- 3 а 4“ 3
п
. 196. При па 4- 1 = 0, bs ~ 0 система неопре-
аз 4. 3 а2 +• 2 а 4- 1
и =—J--!---
а 4- 3
деленная с общим решением х^ = — хп+1 (Л =1,2, . . . , и). При
п
па 1 = 0 и система несовместна. При па 4- 1 =£ 0 система опре-
а 2 bs а 5 bs
деленная: хк = &л_*+1-----, x«+i = s=,’ , . 6=1,2, . . . , п. 197. При
па 4-1 па 4-1 •
139
п п
ла + 1 — 0 и 2 система несовместна. При па 4- 1 = 0 и bs~ О
s=l z S“1
система неопределенная с общим * решением х^ = bn^+i — h + xnt k = 1,
п
a^bs
2.......п — 1. При па + 1 0 система определенная: xk = Ь„_*+1----——,
па + 1
k = 1,2, ... , л. Данную систему можно свести к системе уравнений зада-
чи 196, полагая a (xj. + ... + хп) = хп+1. 198. а). (—35,12, 11,20);
Ь)(—33,—15,3,—29,—10); с) (—41,15,2,—48). 199.a)f — -у, — у, 3 Y
(IQ 1R 97 ЯЧ \ 1
—, —, с) (—23,10,16,24); d) х = (1,1,1,1),
13 13 13 13 Г \
у= (2,0,1,-1), z=(3,—4,0,—1). 201. а) (х,у) = 2; Ь) (х,у) = 0;
с) (х,у) = — 20. 203. а) а2 = 4а!; Ь) а2 = 2аъ с) а3 = а± + «2; d) а3 — За± — 2а2.
205. 1) Прямая, проходящая через начало О и точку Л(а,д); 2) все точки
плоскости. 206. а) Прямая, проходящая через начало О и точку А (а, 5,с);
Ь) плоскость, проходящая через начало О и точки Ai (ai,5x,Ci), А2 (а2,62,с2);
с) все пространство. 207. Свести к системе линейных однородных уравнений
и рассмотреть определитель системы. 210. а = агет + а2е2 4- . . .. 4~апел.
214. У к а за ни е: обратить внимание на то, что соотношение ^14- . . . +
4- ckak + ... 4- стат = 0, где clf . . . , ck, . . . , ст — некоторые числа,
тождественно преобразуется в + ... 4- — (cak) 4- . . . + cmam — 0
о
и в CiOi + • • • + (cz — cck) al + • • • + ck (ak + cai) 4- ... + стат = 0.
215. Линейно зависима; например, Зах — 2а2 — а3 = 0. 216. Линейно зави-
сима, например, 5ai — 2a2 4- a3 — 2a4 — a6 = 0. 217. Линейно независима.
218. Линейно независима. 219. Если система векторов ai,a2, ... ,a# линейно
выражается через систему векторов 61,62> • • • » Ь&
ai = a/i^i + . . . 4" aikbk G — 1,2, . . . , k)t (А)
то в силу линейной независимости ai,a2......a& система равенств (А) с по-
мощью метода Гаусса приведется к треугольному виду. 222. Если система
аь . . . , ат,6 линейно зависима, то 6 — 31^1 + . • . +$тат (см. задачу 213).
Отсюда (М) = (М1Л1+ . • . = + = 0
и b — 0, что невозможно. 223. Подсистема из одного вектора ах^0 линейно
независима. Пусть доказано, что подсистема аъ . . . ,аь при некотором
1 < k < т линейно независима. Тогда, согласно задаче 222, линейно независи-
ма и подсистема аи ... , a^,a^+i. Отсюда и получается линейная независи-
мость всей системы векторов. 224. Пусть данная система векторов линейно
т
зависима: 2 ^iat= 0* Обозначим через Х5 наибольшее по модулю число
* » т т
среди , \т. Из равенства = 0 вытекает, что 2 ^iaik = 0,
i=i
т
£=1, . . . ,п. Отсюда при k = s получается: ^sass — —. 2 * 4s s,
i = l
ц । /п । x. I
I ass | < У y-y- | ais | < У | ai$ |, i s, так как 0 < —v < 1. Тем самым
। I f = l I I
tn
| 2ass ] < 2 I ais I (здесь i может равняться s), что противоречит условию
1-1
140
I ^aJJ I > 3 1 aV Ь 225e $ аз “ 2fl2 b) a4 s» 3ai + 2a2 + a3. 226. Ранг—2.
f=l
227. Ранг = 3. 228. Ранг = 2. 229. Ранг = 3. 230. Ранг = 2.
231. Ранг » 3. 232. Ранг = 4. 233. Ранг = 4. 234. Ранг — 5. 235. Ранг = 4.
236. а) При Х = ± 3 ранг равен 3; при остальных значениях X ранг.равен 4;
Ь) при 1 ранг равен 1; при остальных значениях X ранг равен 4; с) при
значении X, отличном от — и 1, ранг равен 4, а при X = — и X = 1 —ра-
4 4
вен 3. 237. Ранг — 3. 238. Ранг = 3. 239. Ранг = 3. 240. Ранг = 3.
243. Ранг = 2, базы — любые два вектора системы. 244. Ранг = 3, базы ai,
а2,а3 и alta2iaA. 245. а) Ранг = 3, любые три вектора образуют базу;
Ь) ранг == 2, любые два вектора системы образуют базу. 246. а) Ранг — 3,
базаци являются aita2fa3 и alta2ta^ b) ранг = 2, любые два вектора системы
образуют базу. 247. Один вектор нулевой, а остальные векторы линейно не-
зависимы. Воспользоваться тем, что ненулевой вектор системы можно допол-
нить до базы. 248. Подсистема г векторов линейно независима, остальные
векторы нулевые. 249., 1) Существование подсистемы из двух ненулевых про-
порциональных векторов; 2) существование линейно зависимой подсистемы
из s векторов, у которой любые s — 1 векторов линейно независимы.
250. Ранг=3. 251. Ранг = 3/ 252. Ранг = 5, ав — — а2 — а3 — а4 — аб.
253. Ранг = 2, А = /2.+ 2/3, /4 = f2 + 4/3. 254. Ранг = 3, /4 = 2/2 - flt fb ==
==/i—• 2/2 + /3. 255. Ранг = 4, все формы линейно независимы.
256. Ранг = 4, /б — 3/х —/2. 257. а) £ = —3, ранг = 3, /4 == 2А +/2 — f3;
b) k = — 15, ранг. = 3, /4 = 2/i — 3/2 + 4/3; с) k = 10, ранг = 4, /5 = fi + /2 +
+ /з + /<• 258. При D =/= 0 первая система линейно выражается через вторую.
Воспользоваться основной теоремой о линейной зависимости. 259. Имеем:
(Ь1,&2) = (^2,^1) + X (ai,ai) = 0. Если а± Ф 0, то (ax,ai) ^0 и Х =-- -—
fat, я’1)
Если же аг = 0, то (bltb2) — (at,b2) = (0,b2) == 0, и можно положить X = 0,
Ь2 = а2. Затем имеем: , b3) = (а3, bL) + Xi (6Х, bi) = 0, (b2, b3) = (a3, b2) +
+ X2 (b2,b2) — 0, откуда находим Xx и X2 при bi и b2, отличных от нулевого
вектора. Если же bi = 0, b2 + 0, то Хх = 0, Х2 = — \ А если 0,
(Ь2,д2)
Ь2 = 0, то Xi = — LAL-!', Х2 = 0. При Ьх = Ь2 — 0 можно положить Хх = Х2=
(bi, bi)
== 0 и т.д. Этот процесс представляет собой совокупность элементарных
преобразований данной системы векторов и потому не изменяет ее ранга.
Далее следует воспользоваться тем, что система ненулевых попарно орто-
гональных векторов линейно независима (задача 223). 260. Воспользоваться
основной теоремой о линейной зависимости. 261. Следует присоединить к си-
стеме векторов ai + di, a2+b2f ... , ат + bm векторы аь . . . ,ат и
bi, . . . , Ьт, затем удалить ах -j- br, . . . , ат 4- Ьт и воспользоваться тем,
что присоединение вектора может ранг системы векторов увеличить на
единицу, а присоединение или удаление вектора, линейно выражающегося
через остальные, ранга не изменяет. 262. Ранг не будет превосходить г + k.
263. Воспользоваться результатом предыдущей задачи. 264. Пусть для оп-
ределенности главный минор М находится в левом верхнем углу (при дру-
гом его расположении рассуждения проводятся аналогично). Пусть
,ац Я12 ... а1г аи
;. М * о: :
&Г2 * * * &гг ®ri
=0 (f=r+l,
. , n)
@11 * * * &1г
какой-нибудь главный минор г + 1-го порядка, окаймляющий Л1. Так как
141
Д/ = 0 и М =£ О, то последняя строка минора Дг- является линейной комби-
г
нацией его первых г строк: а/у = 2 cikakj (/=1,2, . . . , r,Z). В силу
Л=1
симметричности А последний столбец минора Д/ будет точно такой же ли-
г
нейной комбинацией его первых столбцов: aji~ 2 cikajk (/=1,2, ... , г,/).
А=1
Отсюда, если из i-й (z—r-pi, . . . , п) строки матрицы А вычесть
г
линейную комбинацию ctkak первых г строк аь . . . ,аг матрицы Л,
fc=i
то /-я строка а; преобразуется в а. = (0,0......0,а. , . . . , а. (г ну-
I I* +'1 Itl
f Т г
лей), где ап = ап— 2 cik^kl> (Z = г + 1, . . . , п). После этого
k 1
вычитаем из /-го столбца матрицы точно такую же линейную комбинацию
ее первых г столбцов. В результате всех таких преобразований получится
указанная в задаче матрица В. 265. С помощью элементарных преобразова-
ний приводим матрицу А к симметрической матрице В, упомянутой в преды-
дущей задаче. Предполагая для определенности минор /Й лежащим в левом
верхнем углу, возьмем какой-нибудь главный минор Д/у порядка г+ 2,
окаймляющий Af:
о о
= 0.
о о
0 arij
ajif о
кака. = а,.. Отсюда а.?М. = 0 и
tj tj
= 0, так как М Ф 0. Теперь ясно, чему равен ранг В й тем
• • • а1г
: М Ф 0 J
ап «*« агг
0 ... 0
0 ... 0
'2
Легко увидеть, что Д/у = — а.. М, так
потому
самым ранг Л. 266. Воспользоваться известным свойством кососимметриче-
ского определителя нечетного порядка. 267. Те же рассуждения, что и в за-
даче 264. 268. Те же рассуждения, что и в задаче 265. Ранг Л равен г.
2 5 3
269. Система неопределенная. Общее решение: х2 — — xlt х3 = —, х4 = —.
3 14 7
270. Система неопределенная. Общее решение: х2=1~|-х1 — х4, х3=1.
271. Система несовместна. 272. Система несовместна. 273. Система неопре-
деленная. Общее решение: х± == 2х2 + х4, х3 — 1. 274. Система определен-
11 24 27
ная: Xi ==------, х2 ——, х3 =—. 275. Система неопределенная. Общее
23 23 23 *
решение: хг — 6х4 — 11, х2 = — 13х4 + 24, х3 = 17х4— 29. 276. Система неоп-
148 — 61х4 49 —23х4
ределенная. Общее решение: л* ==---------—-----х2-----------------~
227 — 99х4 ~ 1
=------------277. Система определенная: хх == —,
278. Несовместна. 279. Неопределенная. Общее
*з =
10
9
*2 =-----,
41
х3 = х4 == 0.
„ _ 2
6’
решение:
х2 ------х5, х3 = —хъ, х4 = — хб. 280. Неопределенная. Общее решение:
3 6 2
хг = х3 + х4 + 2х6, х2 — х4. 281. Неопределенная. Общее решение: = — х4,
х2 = 0, х8 — х4, х6 — 0. 282. Несовместна. 283. Несовместна. 284. Неопреде-
142
ленная. Общее решение: xt = — х4 + 2хб, х2 = — 1 — 2х4 + 4хб, х3 = — 3 —
— 6х4+10х5. 285. При к Ф—2 система несовместна. При к =— 2 система
b 1 + х4 14- 2х3 — х4 ЛОЛ г,
неопределенная с общим решением х± = —2^"’ *2 = ——%---------------236.
ч к z* 4 + З1х3 + 8х4 1 4- 27х3 + 1 Зх4 __
к = 5 общее решение хг = —!-----j-y—!--х2 —-----------!-----------?. При
ч . ~ а Л 7 17х4 4 4- 8х4 о _
к =4= 5 общее решение хх — О, х2 =-----:, х3 »--------!. 287. При
к = — 1 общее решение = 1 + 2х3 + Зх4, х2 = х3 + х4. При к =/= — 1 общее
решение хх = — 1— Зх4, х2 — — 1 — 2х4, х3 = — 1 — Зх4. 288. При к = О
система несовместна. При к=1 имеет общее решение — — 4 — х4, х2 —2,
\ 2
х3 = 3. При к, отличном от 0 и 1, система определенная и %i = 0, х2 =—,
к
х3 =—, х4 =----------. 289. При к’= —2 система несовместна. При к —2
к — 4 21к —18
--------Х3 =-------------, х4 = —
к + 2 7к + 14
несовместна. При к =£ 1 система опре-
Зк—11 • 2к—12
14(Х — 1)’ Х*~ 7(Х — 1) ’
7
Х4-22 ’
Л 1 . При к = — 22 система несовместна. При к = 1
к+ 22
система
определенная и хт = 1, х2
х4
—- 290. При к = 1 система
7к+14
, 2
деленная: хх = 1, х2 = —-——,
291. При к, отличном от 1 и — 22, система определенная и хх
к + 8
—!—, х3 = х4
к + 22
х2
система неопределенная с общим решением х1 = 1 — 2х2 — Зх3 — Зх4.
292. При к, отличном от 2,3 и —10, система несовместна. При к = — 10
система определенная и х± = х2 = х3 == х4 = — 1. При к = 2 система неопре-
деленная с общим решением хх = —~-^3, х2 = х3, х4 = — 1. При к = 3
2
' 3
система неопределенная с общим решением хх = х2 =---------х4, х3 = х4.
5
„ ч . 1 2 4к + 2
293. При к ф 1 система определенная и xt =-------, х2 =------, х3 =---!—,
3 3 15
у__
х4 =--------. При к = 1 система неопределенная с общим решением = 1 —
Д 5
— х2 — 5х4, я3 = л:4. 294. При к 4 система несовместна. При к = 4 неопре-
деленная с общим решением = — 3 — 2х2 — х4, х3 = 4 — х4. 295. Система
несовместна при к, отличном от 4 и — 5. При к = 4 система неопределенная
+ 15х4 — 4 Зх4 — 1 п ч к
с общим решением ——------------, х3 =---------. При к = — о си-
6 3
g, 6х2 +1 1
стема неопределенная с общим решением х4 ==-------5—, х3 =---, х4 =
4 .6
»—296. При к, отличном от —4, — 2, 0 и 10, система имеет единст-
3
2(к—11) Зк —28 о
венное решение xi — х2 =---------------—, х3 = х& ---------------. При
(Х + 4)(к—10) (к + 4)(к—10)
143
Х =— 4 и X = 10 система несовместна. При Х = — 2 система неопределенная
* 19—18х& 2х4 —5 т-г 1 л
с общим решением = -------------х2 = —--------, х3 = х4. При X = 0 систе-
л 17 4" 4х4 7 — Хл
ма неопределенная с общим решением х1~х2 =----------~——, х3 = —"
с —— b
297. а) При а + b + с =f= 0 единственное решение х =----------------, у ==
Q 4“ Ь -|" С
а — с b — а _
==----------, z =--------. Оно довольно просто получается при почленном
.а + 6 + с а + 6 4- с
сложении всех трех уравнений. При а-|- bс = 0, а =£ 0 система несовмест-
на. При а + Ь + с = 0, а = 0, но д 0, с =/= 0 система неопределенная с общим
решением х = 1 — у — z. При а = b = с = 0 коэффициенты и свободные члены
уравнений системы все равны нулю. Ь) При abc 0 единственное решение-
Ь2 4- с2 — а2 а2 + с2 — Ь2 а2 4- Ь2 — с2 _
х =-----:-------- х2 ---------------, х3 =---!-------. Проще ваити это
2bc 2ас 2аЬ
решение не по правилу Крамера. А именно делим первое уравнение на ab,
, Xi х2 с Xi . х3 b
второе на ас, третье на ос; получается —— 4—- = —, —- 4—— = —
a b ab а с ас ,
—=- 4—— = —• Эти уравнения почленно складываются, после чего решение
b с Ьс
системы легко находится. Если равен* нулю только один из сомножителей,
например а, то при Ь2 Ф с2 система несовместна; при Ь2 = с2 система совме-
стна и неопределенная, а именно при b =4zc имеет общее решение х± = ±1,
х2 = 4-х3. Если равны нулю оба из сомножителей а,,Ь,с, а третий отличен от
нуля, то система несовместна, с) При (а 4- Ь) (а 4- с) (Ь 4- с) =/= 0 единственное
Ь2 — Ьс 4- с2 а2 — ас 4- с2 а2 — ab 4- Ь2 ~
решение х=--------—!—, у = ----------—*---, г —------—i-----. Оно легко
находится при почленном сложении всех трех уравнений. Если равен нулю
только один из сомножителей а 4- Ь, а 4- с, Ь + с» то система неопределен-
ная; например, если а + 6 = 0, но а + с Ф 0 и & 4-с^0, то система имеет
А2 ___ г I r»2 I А/. _ | f}2
общее решение х =---------—, у » —Те. % ? = а> где а — произ-
вольное число. Если равны нулю оба из сомножителей а 4- Ь, а-}-с, Ь 4- с,
а третий сомножитель отличен от нуля, то система неопределенная. Напри-
мер, если а4-6 = а4-с== 0, Ь + с ¥= 0, то система имеет общее решение
а2
х=----------, у = a, z = p, где а,р — произвольные числа. Наконец, при
ь 4”
а 4- Ь = а + с = Ь 4- с = 0 равны нулю и а,Ь,с. 298. а) Х = 1, Х = —2;
b) X — 2 и X = - 2; с) X ±= — 2, X — 6. 299. Если г — ранг системы, то ра-
венство нулю всех миноров r-го порядка матрицы системы, не содержащих
коэффициенты при хк. 300. Когда по меньшей мере две из величин a,b,c,d,e.
t < л , Ь , с
равны —1 и когда ни одна из них не равна — 1, но--------1-------1------|-
а 4“ 1 Ь 4" 1 £ 4-1
4-------------— = 0. Из каждой строки определителя системы, начиная
d 4~ 1 с 4" 1
с первой, вычитается нижележащая, выносятся за знак определителя из
каждого столбца множители «4-1, 6 4-1, с 4-1, ^4-Ь после чего опреде-
литель легко приводится- к треугольному виду. 301. При условии, что
5р. 4- ^7 4- Хр = 0. Определитель системы нетрудно вычислить, если его разло-
жить, например, по последней строке и затем получившиеся при этом миноры
третьего порядка вычислить по правилу Саррюса. Но возможно и другое,
более изящное решение, а именно 2-е, 3-е и 4-е уравнения умножаются
144
соответственно на Х,\,р. и почленно складываются; 1-е, 3-е, 4-е уравнения
умножаются соответственно на Х,5,— 7 и почленно складываются; 1-е, 2-е,
4-е уравнения умножаются соответственно на v, — 5,3 и почленно склады-
ваются, наконец, 1-е, 2-е, 3-е уравнения умножаются соответственно1 на р.,7,
— 3 и почленно складываются. Получается (ЗХ + vy + р.5) х = О, (ЗХ + ^7 +
4- рЛ) у = О, (ЗХ 4- ^7 + |л5) 2 = О, (ЗХ + \»7 + р.5) и = 0. Таким образом, если
данная система имеет ненулевое решение, то ₽Х 4- 4- р.5 == 0. Обратно,
если ₽Х + v-f 4-р.5 = 0 и по меньшей мере одно из чисел X,v,p. отлично от
нуля, то последние три строки определителя системы линейно зависимы.
А если все X,p.,v равны нулю, то определитель системы также равен нулю.
302. Фундаментальной системой решений является, например,
Х1 х2 *3 *4
1 0 — 3 2
0 1 -3 2
303. Фундаментальная система состоит из одного решения, например,
*1 Х2 хз х4
17 — 25 5 18
304. Фундаментальной системой решений будет, например,
Х1 х2 хз Х4 хъ
3 — 9 — 5 0 0
9 — 2 0 — 5 0
0 1 0 0 —1
305. Фундаментальной системой решений будет, например,
Х1 х2 Хз Xi х5 хв
0 — 1 1_ 1 0_ 0
8 — 14 -5 0 — 15 0
2 . 1 — 2 0 0 — 3
306. Такой фундаментальной системой решений будет, например,
Х1 х2 хз
— 1 — 3 0 1
17 7 77 38
307. (1,— 1,0,0), (1,0,1,0), (.0,0,0,1). 308. (1,0,— 1,0,0), (1,0.0,— 1,0),
(1,0,0,0,— 1). 309. Если (5Д,5Й, . . . , 6/Л), i = 1,2, . . . , n — kt фунда-
ментальная система решений системы линейных однородных уравнений
+ а&Хъ + . . . 4- asnxn = 0, s = 1,2...........k, причем az = (aZ1,a/2, . . .
. . ., aZn), TO alta.2f . . ., a* будет для ЬцХг 4- bi2x2 + • • • + binxn = 0, i = 1,
2, ...» n — kt фундаментальной системой решений. 310. Предположим про-
тивное. Тогда всякое решение данной системы является решением и присое-
диняемого уравнения. В частности, этим решением будет вектор (blf ... ,6П),
Г/ — комплексное число, сопряженное 5/, и получается невозможное равен-
ство |&i|2+ . . . 4- ]6л|2 = 0, где есть модуль 5/. 311. В случае, когда
ранг матрицы А меньше п — 1, ранг А*, очевидно, равен нулю. Предпола-
гая ранг матрицы А равным n — 1, рассмотреть систему линейных однородных
уравнений а^х^ 4- • . . + ainxn s Vя 1» . . . , п, и выяснить, сколько реше-
145
ний имеется в фундаментальной системе. Обратить внимание на то, что
(Лд, . . . ,Л/л), / = 1, . . . , я, есть решение рассматриваемой системы ли-
нейных однородных уравнений. 313. Х1 У1 1 х2 у2 1 = 0. 1 *з Уз 1
314. Ранг матрицы /*1 У1 1\ j х2 у2 1 j \*« Уп 1/
не выше
315. Х1 У1 Zi 1 х2 у2 Z2 1 *3 Уз 2з 1 = 0.
х4 у4 z4 1
316, Для того чтобы п точек лежали в одной плоскости, необходимо
и достаточно, чтобы ранг матрицы
'Х1 У1 Z1 Г
х2 у2 z2 1
Л» Уп гп 1.
был не выше 3, на одной прямой — не выше 2.
317. (а^ ЬЛ /#х Ь± сЛ
Ранг I а2 b2 I = рангу а2 b2 с2 1 = 2
\л3 Ь3/ \о3 Ь3 с3/
318. /Д1 Bt Сх \ /Д1 Вх Ci Di
Ранг! Сг | = рангу I В* С* D*
\Ля &п Сп / \ЛД Вп Сп Dn
и=3,=2.
319. Любые две строки матрицы
(ах Ьх
о2 Ь2
ап Ьп
линейно независимы, а в матрице
линейно независимы любые три строки.
146
320.
Х2 + У2 + ^2Х у 2 1
+ 0i2 + 712 «1 01 71 1
а22 + 022 + 7 г2 а2 02 7г 1
«з2 + 0з2 + 7з2 «з 0з 7з 1
«? + 042 + 7? «4 04 74 1
= 0.
322. Если векторное уравнение + а2х2 + . . . + апхп === Ь разреши-
мо, то вектор b линейно выражается через систему векторов «1,а2, . . . ,ап,
'вследствие чего ранги систем «1, . . . ,ая и а19 . . . >ап,Ь одинаковы. Если
ранги систем ах, . . . ,ап и. ах; . . . ,ап,Ь одинаковы и равны г, то пусть
при соответствующей нумерации «х, . . . ,аг— база системы векторов
01 > • • • ,#я* Следует далее показать, что alt . . . tar будет базой и систе-
п п
мы векторов «1, . . . tantb. 323. Если при г == n д = — 20/то
1^1 1=1
п
2 (а‘““ W = °’ 0ТКУДа ai“?i = ° или ai = 06 i = 1,2, . . . , п. При г < п
1=1
пусть #1,02, ... , аг— база системы векторов «1,а2» • • • , 0л» Тогда #7 =
г г п г
= 2С‘А*’ &== /=г + 1> • • • »п- Отсюда b = 2X^“3X^ +
l~l i=l Z-1 /=1
4“ 5 •'7®/ ~ х1а1 4" 2 jZj ~ 2 + S \ 2 СЧХ] ) O'! =
j=r-f-l i = l /=r+l i = l f = l Z = 1 /
r / n \ r
= 2|*i-+ 2 cijxj\ai- Сравнивая c b — 2ciai> получаем, что
i=i \ y-H-i / i=i
n
Xi — c-L — 2 cijxi* 324. См. задачу 224. 325. Если обозначить — x^
i=r+\
через то получается, что — . . . — —
n
— <41+1 5^n -• ••-“<» ‘Г1’’ откуда I 8Г I < jS| <4j 11
j^i, где —положительное число, для которого | | < f. От-
сюда в “^2£v_2= • =-4vs0. 326. Сходимость процесса видна из
того, что Ave0 -> 0 при v -> оо. Обозначим lim через xt (i = 1,2, . . ., п).
V -»• <х> *
Следует показать, что Xi, . . . txn — решение данной системы линейных
уравнений. Далее сумма == + • • • +^v+^ равна
=□ — хр’). Отсюда lim = lim _x(v) =
09 «0
t. e. Xi — xp) = 4- . . . (бесконечная сумма). Таким
образом,
|xi-x(’)|<|6<’)| + p<’+»|+... <tv + 4s + 44+ ... =__2_
327. а) x ss 0,094, у « 0,197; b) х« 0,148, у « 0,043; с) х « 0,075,.
у « 1,007, г» 0,461.
147
828. Хц = 5, *12—"15, Х1з = 0, *21 = 0, х22=15, *23=15. Задача сво-
дится к нахождению такого решения системы линейных уравнений
*11 + *21 == 5,
*12 *4" *22 = 50,
*1з + *гз ~ 15, (А)
*и + *12 + *13 = 20,
*21 4“ *22 *4“ *23 — 50
с неотрицательными значениями неизвестных, при которых линейная форма
f = 4*ц + 9*12 + 3*хз + 4*21+ 8*22 + *2з принимает наименьшее значение.
Легко убедиться, что система (А) линейных уравнений является неопреде лен-’
ной с общим решением, содержащим два свободных неизвестных. Если выб-
рать в качестве свободных неизвестных *Хз и *2i, то получится следующее
общее решение системы (А): *1Х = 5 —- *21, *Х2 = 15 — *хз 4- *2i, *22 = 15 +
+ *13 — *21» *23 = 15 — *13. При этом f == 290 4- *13 + *21 и сразу видно, что
наименьшее значение формы при неотрицательных значениях неизвестных по-
72
лучается, когда *13 = *2Х « 0. 329. *ц = 5, *12=1, *22== — и *21 = 0. Об-
13
щий ход решения таков. Время работы машины Ах равно *хх 4- -*12 и время
работы машины Д2 равно *2Х + *22» Отсюда *хх + *Х2 < 6, *2Х + *22 < 6. Да-
лее, 6*хх 4~ 13*2Х есть количество единиц продукции вида Ах, .которое дол-
жно по плану выпустить предприятие, т. е. 6*хх + 13*2Х = 30. Аналогично
24*Х2 -f- 13*22 = 96.
Наконец, общая стоимость всей продукции равна
f = 4*1Х -J- 47*х2 + 13*21 4~ 26*22»
Введем дополнительные неизвестные:
У1=6 —*1Х —*Х2, У2 = 0 — *2Х — *22»
Тогда задача сведется к следующей: дана система линейных уравнений с
шестью неизвестными
*и + *1г + У1 = 5,
*21 + *22 + = 6, /Г>\
6*Х1 + 13*21 = 30, w
24*12 4" 15*22 “ 96.
Следует найти такое неотрицательное решение этой системы, при котором
линейная форма / = 4*Х1 + 47*12 + 13*2Х + 26*22 имеет наименьшее значение.
Можно убедиться, что система (В) линейных уравнений является неопреде-
ленной. Для более быстрого нахождения неотрицательного решения, миними-
зирующего форму Д рекомендуем взять в качестве свободных неизвестных
*21 и ух.
Глава III. Матрицы
330. а) ( .78
t 158
331. а) / 2
I —1
\ 0
69 \ Ь) ( 2 —25\ . с) ( 293 —304 \ .
129 р —49 32J ’ к 577 —600 ) ’
d) / cos (<?! + <p2) —sin (<pi + <p2) \
k sin (<px + <?2) cos (<pi + <Рг) ) ‘
0 1 \ b) / 14 — 4 — 1 \ c) / —33 —32 32\
0 7; 7 —12 7 ; 4 13-1
—19/ \ —16 —14 11 / \ — 5 1 —29/
148
332. a) /41 зу 49 54 \ b) / 6 25 —10 17 \
I 43 41 41 29 | 1 — 1 70 —51 30 1
I 25 35 27 16 I I 1 — 4 —45 20 7 I •
\ 31 32 38 33 / \ 26 27 — 2 71 /
333. / 75 4 —49 — 62 \
/ 24 —68 10 20 I
I —18 25 6 41 I
\ 58 —80 4 60/
334. /a^.b + c-{-d 2(ac+bd) (a+c)(b-t-d) a2+b2+c2-j-d2\
I a+b + c + d (a + c)(b + d) a2+b2+c2+d2 (a+c)(b+d) I
I a + &4-c + d a^ + ^ + ^ + d2 (a+c)(64-d) 2(ac + bd) I
^4 a b c -J— d g-{~ g -j- b *4~ c -j- d J
335. a) ( 51 — 66 \ b) ( 41 60 \ c) / 7 0 0 \ d) / an 0 \ .
t 165 —213 J ’ —120 521 ) ’ 0 7 0; 0 bn J ’
. \ 0 0 7 /
e) / cos n <? — sin n <p V f) n ( ! n V g) „_х ( a n X
I, sinn<p cosn? J’ a V 0 1 )• a \0 a )•
336.
/ ab \n=4 (a + b)" + (a — b)n (a + b)n — (a — b)n \
\. b a / 2 \ (a+&)n — (a — b)n (a + b)n + (a — b)n J *
Ход решения следующий. Полагаем
\ b а ) \ tn Ч /
Легко заметить, что ax = bx — а, рх = ^ = Ь. Пусть для некоторого п — 1
ал-1 = 0л-1 — 7л-ь т. е.
/ а b \л“1= / an-i \
\ Ь а ) \ 0л-1 ал_Х /
Тогда
/ a 6 ( ап fin \ д- ( ^-п-1 fin-i W а Ь \
\ Ь а ) \ Ъ / \ 0я-1 «л-i ) \ b а Г
Отсюда, перемножая матрицы в правой части последнего равенства, получаем
ап = = g ал_х + b Зл-Х,
0/1 = Ь + а 0Л_1.
Далее находим, что
ап + fin — (а + b) (o-n-l + Рл-1), ал — 0л — (а — (ал-1-0Л-1).
Пользуясь тем, что ах + 0Х = а + b и ах — 0Х = а — bt получаем отсюда, что
алч+ fin = (а + Ь)п, ап fin~(a Ь)п,
и теперь без труда определяем ап и рл.
337. а) / 1 _2 1 0\ Ь) / 1 _4 6 _4\
/О 1—2 11 /О 1—4 6 |
I 0 0 1 —2 Н I 0 0 1 —4 ’
\ 0 0 0 1J \0 0 0 1/
338. Квадратная матрица п-го порядка, элементы которой равны
квадратная матрица п + 1-го порядка, равная (n + l)fe''14, где Л —первона-
чальная матрица. 339. а) Матрица, у которой элементы на главной диагонали
149
равны 16, а остальные элементы равны нулю; Ь) если k = 2s — четное число,
то получается
(a\asn 0 ... О \
О а2ап—\ ••• О I
О 0 ... asna* I
а если k = 2s -|- 1 — нечетное число, то получается
343. При k == 2т получается единичная матрица, а при k = 2т 4- 1 — исход-
ная матрица.
344 / аЗ Я2 \
* I _‘а2 _I» где а, (3 — произвольные комплексные числа.
345.
( ± /2 0 \ / 2~а2\
I -.1’1 ? I’ ГДе а> ?=£ О произвольные числа.
\ О ±/2/ \ ₽ —а /
347. Обозначим через еРЯ матрицу n-го порядка, у которой элемент, нахо-
дящийся на,пересечении р-йстроки и g-го столбца, равен 1, а остальные эле-
п п
менты равны нулю. Тогда, если А = (а/7), то А= apqepq* Отсюда при
Р«=1?=1
п п п
k eklA = Vj apqeklepq = У alqekqt так как eklelq 1=3 ekq и eklepq = О
z р=1^=1 ^=1
при р /. Аналогично
п
^kl У аръРр1*
р=1 .
150
Пусть теперь А перестановочна со всеми матрицами n-го порядка. Тогда, в
частности, *
п п
ekiA = Ae^i = o>iq^kq 5=8 У apkepV>
q=\ р=1
откуда atq = 0 при I q и аа = akk = а.
348. а) (11, —15); Ь) матрица первого порядка (42);
с) / 6 8 10 0 2 \ d)
/ 15 20 25 0 5 1
I 345011;
I -3 -4 -5 0-1 ]
\ 12 16 20 0 4 /
4 —4 7 4 2
12 0 4 3 — 1
40 8 15 16 6
16 4 17 17 15
е) / 4 2 5\
-3 -15 -6
V 9 3 11/
350. Свести к системе п линейных однородных уравнений с п неизвест-
ными.
351. Предполагая, что Хо — решение, получаем после умножения обеих час-
тей равенства АХ0 = В слева на Д-1, что Х0 = Д“'1В, и единственность реше-
ния становится очевидной. Легко проверить, что является решением.
354. Воспользоваться равенством АС — СВ, где . ч
0 ... 0
0 Х2 ... 0
0 0 ... Xrt
355. а)
а2 4- 0;
d) Л-1 =--!--( d b V ad-be * 0.
ad — be \ —c a /
356. a) i /
H
4—8 7 \
2 7—2
—12 1/
b) 1 /
16 I
—11
14
- 1 -6
357. a)
c)
1 / 14 6 4 \
'14—9 1
14 3 —5 /
d) 1
13
—2
4
—7
6
—5
1 —1 0 0\
0 1—1 0 |
о o i—il;
0 0 0 1/
b) / o—i i — i \
/1 0—1 1
-i i o—il;
\ i—i i о /
c) / 2 3—7 6 \ Ф f 2 —7 0 0 \
U -1 2 7 —10 1 /—1 4 0 0 1
7I 4—1 0 — 2 В I 0 0 3 4 b
у __ 3—10 5 / \ 0 057/
151
358. a) /1 —1 О О ... О
/О 1—1 О ... О
I О О 1 —1 ... О
I О * 0 ‘ О ’ О * Г
\О О О О ... О
О\ Ь) /О О 00... О 1
о \ Го О О О ... 1 -1
4* I I О 1 —1 0 ... О О
1/ \1 — 1 00...О о
360.
359. а)
_ 1
аП—1
О ... О
1... о :
л2
< ап-1 ап~л )
ai аг
1 о
02
—а —а
—а —а
—а —а
—а (и — 1)а4~ 1
О 0 0 ... 1
1 -а а2 ... (-1)"-1
О 1 -а ... (—1)*-2ал-2
О 0 1 ... (—1)л“3ал-3
361. / п п — 1 и —2 п —3 ... 2 1
/ и—1 и—1 п — 2 п —3 ... 2 1
I п—2 и —2 п —2 п —3 ... 2 1
\ 2 * 2 * 2 * * 2 * *..*. * 2 1
\ 1 1 1 1 ...11
362. [ill L
1 2 4 2Л“А
2 0 1 ~2 2Я~2
О 0 0 ‘ * Г
Приводится к частному случаю матрицы, задачи 360 [ а =---
363. / п— 1 —1 —1 ... —1 —1
। / п — 2 п—2 —2 ... —2 —2
п I 11 1 ... 1
\ 1 1 1 ... 1 1
152
364.
1
a
2—п
1
1
1 1
—1 о.
о~-1
1
О
О
1
О
о
1
О
О
О — 1
365.
1
(п—1)а
2—п
1
1
2-п
1
1
1
1
366.
в
367.
А
1
1
2-п
368,
369.
370.
371.
372.
373.
«131 + а13г
аг31 «гЗз +
а13л-1
азЗл-1
—ах
—а2
ал-131
—3i
1 / 5 2
= ± - -12
2 1-12
—3 —6
2 4
ал-13г ••
—Зг
л—1
8 = 1 — 2 “аЗа
А^1
аЛ-13л-1+^ ал—1
Зл-1
1
—3 \ 1/1
3 и А = ± - -5
3 / 2 \ _5
а) Уравнение неразрешимо;
Ь)
1 — 2а
3
а
» +23
3
3
С]
а)
/ —16 29 \ с)
< — 7 12 h
уравнение неразрешимо;
/ 3 —За (
I 2 -33 f
а \ е) / 2 (1 +Р) а \
3 Г I 2« в з /
1 / - 8
Т ~12
8 к 60
а) /1 — а
2 —7а
\1 +5а
— 2
—26
4 — 2 \ Ь) 1
-7 ; -
41 / 6
1- 3
1-73
2+53
О
«1+ • • • + аЛ-2
—ах
an.-2
a) 1 / —4
Л = ~ 7
20 \ —4
9
-16
— 1
—2 -3
—2
—2
3
3
Х = 2
17 \ 9
— 6
16
10
3
—2
7
5
14
J- 1 \ Ь) / а
i-7i ; 3
24-51 ) \ 1
О
31+ • • • + Зл—2
-31
—?П-2
12 О
-6-5
12 О
6 Л. я. Окунев
2—а
~3
6-7
а
1
<°1
с) / 1—а
I 1—₽
\ 2—1
О
—<°1
—®П-2
а—1
3~1
7-2
а.
7
b) 1 / 1 — 5 25
Д = -- 4 — 2 10
18 к —5 —11 55
153
374. X = BC^IA. При вырожденном С уравнение неразрешимо. 375. Предпо-
лагая противное, получим, что столбцы матрицы В линейно выражаются че-
рез столбцы матрицы А и потому ранг В не превосходит ранга А, что про-
тиворечит условию. 376. Воспользоваться теоремой Кронекера— Капелли.
378. Пусть А = (а/у), В == (6/у), АВ = (с/У). Тогда А'= (а'и ), В'= (6J, ),
(ЛВ)'= ), где а;7 = а/г, ^, = 6/;, с1ц=сп. Отсюда ^=<77 =
п п
= cijk^ki =^j &'ikakj> т- tyr-элемент произведения В'А'. 382. Реше-
Л=1 £ = 1
ниями уравнений g (А)Х = f (А) и Yg(A) = f(A) являются X = g~HA)f(A)9
У = f(A)g~\A). С другой стороны, f(A) = /(A) [gCAJg-iCAJ^^AJgCAJjg-^A)^
= ^(А)/(А)1Г1И) = ^(А)1/(А)^1(А)]=5г(А)У=5г(А)Х, откуда Х = У.
383. а) 1 / 7 28 8 \ Ь) / 4 — 7 6 \
?(Л)= — 20 23 12 I; ?И)= 1—2 5 .
19 \ 4 16 — 9 / \ —4 13 —11 /
387. Указание. Согласно задаче 386 матрица В тогда и только тогда пе-
рестановочна с произвольной симметрической матрицей n-го порядка, когда
В перестановочна с epq (1 < р < q < и) и с ерр (1 < р < п). Рассмотреть по-
следовательно равенства Верр~ еррВу а затем Bepq — epqB. 388. Система п24~1
матриц линейно выражается через систему и2 матриц предыдущей задачи.
Воспользоваться основной теоремой о линейной зависимости (см. стр. 67 учеб-
ника Л. Я. Окунева «Высшая алгебра»,. Учпедгиз, 1958). Эта теорема рас-
пространяется и на квадратные матрицы n-го порядка, и ее доказательство
остается тем же. 389. Рассмотреть степени А° = Е, А, А2, ... , Ая2 и вос-
пользоваться предыдущей задачей. 412. Пусть е, а, b — элементы группы третье-
го порядка, причем е —единица группы. Тогда ab a, ab Ф b и ba а,
ba 6. Следовательно, ab = Ьа = е. 413. В ряду п 4- 1 степеней а°—1, ...
... , ап, где 1 — единица группы, должны быть по меньшей мере две рав-
ные степени: ат — а1 при 0 < I < т < и. Отсюда ат~1 == 1, 0 < т — I < п,
и существование наименьшего натурального числа k становится очевидным.
414. Поставить в соответствие каждому числу х из первой группы число
у = logi0x из второй группы и показать, что это соответствие является изо-
морфизмом. 416. d) данное множество образует кольцо при целых а и Ь, при-
чем b кратно а. В самом деле, пусть это множество образует кольцо /С.
Очевидно, что b = а • 0 4~ b и а — (а • 1 + Ь) — b являются элементами К. От-
сюда 26 есть также элемент X, т. е. 26 = 4-6 при некотором целом kt
а потому 6 =а ak. Следовательно, ах + 6 == ау, где у = х 4- k — целое число.
В силу того, что х — произвольное целое число, отсюда получается, что К
есть совокупность элементов вида ау, где у — произвольное целое число.
Так как а — элемент кольца К, то и а2 —элемент К, а потому а2 =>а/, где
/ — целое число, откуда а==/ — целое число. 421. 6) Образует тело (т. е.
некоммутативное кольцо с делением). 422. Образует кольцо с делителями
нуля. 423. Показать, что не принадлежит данному множеству. 426. Не
могут. 427. Не могут. 428. Возьмем два каких-нибудь элемента а, 6 , мно-
жества К. Тогда (е 4- е)(а + 6) = е(а + 6) 4~ е(а + 6) == а 4- 6 4- а + 6, (й-е)Х
Х(я 4“ &) = (е + е)а + (е + е)Ь =* а + а + Ь 4- Ь, откуда а4-б4-а+6 = а4-
4-я +Ь 4- 6 и в силу выполнимости вычитания 6 4- я = а 4- 6. 432. Не может.
433. Множество всех элементов поля 7? образует группу относительно сло-
жения; обозначим ее через А. Множество ненулевых элементов поля обра-
зует группу относительно умножения. Обозначим эту группу через 44. Сле-
дует показать, что группы А и 44 не изоморфны. Предположим противное—
пусть группа 44 изоморфно отображается на группу А. Тогда некоторое ра-
циональное число а из М должно быть прообразом 1: а«->1. Отсюда am<->m,
1 т
где tn — целое число. Пусть п ^0 —целое число. Рассмотрим — и обозна-
п
154
чим через b прообраз—. Тогда bn++n-—— в силу чего Ьп^ат, отку-
п п
т
да Ь — ап , что при произвольных тип невозможно. 434. Делителями нуля
являются (а,
Глава IV. Комплексные числа
437: a) cos 0 + i sin 0; b) 2 (cos к + i sin к); c) cos ~ + r* sin
d) cos ( — — + i sin ( — — \ ; e) cos — 4- tsin — . 438. a) cos — 4-
\ 2 / ’ \ 2 )' 2 \ 4 4 / 3
. . . я .к 2я , . . 2я 4 4k , . , 4k .. 5k . . 5k
4-t sin —; b) cos----k 1 sin —; c) cos------ki sin — ; d) cos-----u sin — .
3 3 3 ' 3 3 3 3
439. 2 (cos — 4-Z sin — V 440. 2^2—V*3~ ( cos — 4-* sin — . Воспользо-
\ 6 6 j \ 12 12 /
ваться тем, что —-—- = -------— = sin — = cos ~ . 441. a)
2 2 12 12
cos (— <p) 4- i sin (— <p); b) cos (к — <p) 4- / sin (к — ср); c) cos (к 4- <p)4- f sin(K4~ <p);
полагая а==0 4-2£я, где 0 < 0 < 2к, имеем: d) при О<0<яг=
0 / 0 . 0 \ л л 0 / 04-2к
= 2 cos — ( cos--U sin — ); при к < 0 < 2 к z —— 2 cos — ( cos —-k
2 \ 2 2 / 2 \ 2
, . . 0 + 2k \ 0/ я — 0 . я — 0 \ n л _
4-t sin —- I; e) z = 2 sin —-1 cos ——f-i sin----I; f) при 0 < 0 < к
0/ к — 0 . я — 0 \ ло о ® / Зя—0 i
г = 2 cos —(cos--И sin-----]; при к < 0 < 2я z =— 2cos —| cos----U
2^2 2 ) 2\ 2
. Зя —0\ . _ _ - 0/ Зя —0 . Зя —0\
4-Z sin---I ; g) при 0 < 0 < я г = 2cos — ( cos-М sin---); при
2 / 2 \ 2 2 /
я < 0 < 2я z =— 2cos — cos 5-^—. 4-/ sin j J h) при 0 < 0 < к z—
о 0 / Я 4- 0 ... Я 4- 0 \ дл л в / Зя4~6
= 2cos — ( cos —J-р sm —!— | ; при к < 0< 2я z =— 2cos — cos —— 4-
2 \ . 2 2/ 2 \ 2
frl sin j . 442. a) 5 (cos 37° -f- i sin 37°); b) /П (cos 72° +1 sin 72°);
c) /26 (cos 191° + i sin 191°); d) 2 /5 (cos 333° + i sin 333°); e) /34(cos 240°+
+ i sin 240°). 443. 7'~J419t- 444‘ —5 — 621. 445. Равно 2 при . n = 4k + 1,
равно — 2 при n = 4k 4- 3, равно 21 при n == 4k 4- 2 и равно — 21 при n — 4k.
446. Равно — 1 — i при n — 4kt равно 1— i при n = 4k 4- 1, равно .1 4- * при
n = 4&4-2 и равно —1 4-при тг = 4k-±3. 447. 2 4- 2r(]/r3 4- !)•
448. cos (к—10<p) 4- i sin (я—10cp). 449. a)aa — ab + b2; b) a24*524-c2 —
'ге+ — 'j +/ sin ^20+ — )]. 451. 21°. i.
12 ) \ 12/J
i V з
452. При n = 3k равно 1, при n = 3k 4- 1 равно--i -— , при n= 3k 4-2
2 2
— ab — ас — be.
1 уз
равно — — + i . 453. Равно 2 при п — 3k и равно — 1 при п = 3k ± 1.
б*
155
лел *3 11 лее 9 5 22+7Z 8—13z
454. х — —, у = —. 455.x—-----, у =-----. 456. х =----1-—, у=-------
71 71 38 38 38 38
457. а) X! = 3. у,. = 5; х2 = — ± , у2 =— ; b) Х1 = 2, У1 =—1; х2 =— у,
1 иго 6+13t 6+13Z
у2 = — . 458. х= —!----, у =------1-----
81 41 205
207 + 164/
-----!------, у = —.
725
. 459. х==
- -3—• 461. а) ± 1Q- (1 + 0; Ь)± (1 - 0; с) ± (3 -F0;
III
d) ± ^-(5 - 30; е) ±^-{1 - 30; f) ± (3 + 40; g) ± ( j/_
. 462. Xi = 3 + 21, х» = 1 +1. 463. Xi = 2 + 31, х2=1+4/.
464. Xi = 1 + i. х2 =- 1 (6 + 30. 465. х1>2 = ± 1 (I +1/ТТ), х3(1 = ±
5 2
± 1 (1 - »• /ГТ). 466. х1>2 = -i-1(3/2- 4) ± I /2], х3,4 =--1 [(3/2+4)±
Л Z
r_, 1//65 —1 (1 Г /65 +1
± ^/2]. 467. хЪ2=- |/ —2------± |/ "— +1) ,
Ч //бб' - 1 , ,( -1 [/65 + 1 1 ( 1 //89 + 5
*3>4 — j/ 2 i у у 2 /’ 468. х1>2——|/ g —
, Л//89-5 _ 1 f -1//89 +5 , + //89-5
—5J у 2 ’ *з>4— - — у |/ 2 4"5yi^ у 2
5
Положить х = z — t после чеГо получится, биквадратное уравнение.
469. а) х = 3 + 4/; b) х = 1 + 27; с) х = р/, где — 1 < Р < 1; d) х — р/, где
— 1 < Р < 0. 470. Следует -рассмотреть комплексные числа zL = а* + Ь^, ...,
zk = ak + bki. 471. a) cos 5x = cos5x — 10 cos3x sin2x + 5cos x sin4 x*t b) sin5x=
a= 5 cos4 x sin x — 10 cos2 x sin3x+sin6x; c) cos6x + 6 cos6 x sin x—15 cos4xsin2 x—
— 20 cos3 x sin3 x + 15 cos2 x sin4 x + 6 cos x sin5 x — sin6 x; d) sin8x =
= 8 cos7 x sin x — 56 cos5 x sin3 x + 56 cos3 x sin5 x — 8 cos x sin7 x, cos 8x =
= cos8 x — 28 cos6 x sin2 x + 70 cos4 x sin4 x — 28cos2 x sin6 x + sin8x.
j
472. I _ d tg2x + C* tg«x- ... + А, где A = (- 1) 2" tgnx при
cos"x
четном n, Л = (—1)2<" 1)C"~1tg"-1x при нечетном п и ^n”x =clntgx —
n—2 ~
— tg3 x + ... + В, где 5 —(—1) 2 C"-*1 tg”-1 x при четном n, B =
n—1
= (—1) 2 tg^x при нечетном n. 473. Обратить внимание на то, что если для
некоторого <? одновременно имеют место равенства cos 2<р + pcos + q = 0,
sin 2<р + р sin «р = 0, то г = cos <р + i sin <р и z = cos <р — i sin <р — корни квад-
ратного уравнения х2 + рх + q = 0. Обратно, если q = 1 и р2 — 4q < 0, то
квадратное уравнение х2 + рх + q = 0 имеет два сопряженных комплексных
л
.4
156
4-21tg8x — tg7x
+ 35tg4 х — 7tge х '
— ' . 7tg х — 35tg3 x 4-
корня г и z, равных по модулю единице. 474. tg7x= ——--------------—
1—21tg«x4-
2 (- l)ft C“+1 tg«*+J х,
475. tg пх , где т, I -п-
2 (-l)ftC2‘tg^x
Л = 0-
< п — 1 п , , п
1 <т <-------,-------1 < I < — .
2 2 2 2
477. Следует решить квадратное уравнение х2 — 2 xcos 4-1 == 0.
— / 1 \ и-i
478. При нечетном /г = 2/ -J- 1 sin" х = (— 1) 2 ( — ) У (— l)kC% sin (n —
n— 1
кие целые числа, что
*=о
п I— 1
— 2k) х. При четном п = 21 sin"x=(—-I)2 (—V * У (~* 1)*С*
U=o
— 2&)х + (— l)z« — СИ. При нечетном n —2/-J-1
I
cos (п —
COS" X = (г")71 1 S ^C0S(n“"^)X-
fc=0
При четном п = 21
cos" X =
Ckn cos(n-2£) + 1 Cl„
Для решения этой задачи
следует рассмотреть z = cos х + i sin х, z = cos х — i si n x. Отсюда cos x =
sinx= — (z — z) И COS" X = 1(2 4-2)" =
21 2"
n n
= - У sin"x= _L_(z-?)"== — V (-i)*c*z"^P.
2" " (20" (20" n
k=0 k=Q
Далее, следует группировать члены с одинаковыми биномиальными коэффи-
циентами, выносить общий множитель zkl^=\ и пользоваться формулой
Муавра. 479. a) sin5 х = — (sin 5х — 5 sin Зх 4-10 sin х); b) cos6 х =
= 1- (cos 6х + 6 cos 4х + 15 cos 2х 4-10); с) cos7 х 4- sin7 х =s ^ [(cos 7х —
— sin 7х) 4“ 7 (c6s 5х 4- sin 5х) 4- 21 (cos Зх — sin Зх) 4- 35 (cos х + sin х)].
480. Sn = (— 1 )"2" cos , Тя = (—I)"-1 sin — . Следует возвести со
3 у 3 3
в n-ю степень по биному Ньютона:
«ж U 4- где U — действительная часть, V — мнимая часть разложения-
. 157
Легко видеть, что
1 1/ ч
v = (- V" Тп' С другой сторо'
, м п t • • 2кп _р“ ПК
ны, по формуле Муавра <&п = cos---р t sin — . 481. 2J cos — и
3 3 4
п
22 sin —. Следует найти
4
с помощью формулы Муавра.
степень (1 + i)n
.оп 2я пк
482. , . cos —
(Кз)" б
Тот же прием, что и в предыдущей задаче, относительно
по биному Ньютона,
2п
(Гз)"-1
а также
. ПК
sin — .
6
\ п
и
484.
2
1 / — пк\
483. у 12п~1 + 22 cos Воспользоваться равенством
/ = г«].
2 L 2 I
6=о
п m
+ 22 sin . Воспользоваться равенством 2 с«+1 =
*=о
= £ (_ 1)6 с^+Ч о + 1)"-(1-»)я t t = р-п.
2 I 2 I
л=о
ш
2^
1 ^2Л=’1+
2 \
485. 2п~'1 1 +
I
+ (—l)n2cos —5 . Воспользоваться задачей 480 и тем, что V =
3 J
k=Q
- О + 0" 4-(1 — 1)” = 2п-1 /= [—1. 486. 2»-1 Г1 + (— 1 )»-1 -sin —- .
2 |_2 J L И 3 3 J
kx^ (* + 0* . kx . (£4-1)*
Sin — COS - !—Sin — Sin i
487. S - T *= 0. 488. S = -—---------, T == ----------------
sin — sin —
2 2
Общее указание к решению задач 487 — 498: следует составить сумму S + iT,
489. $= —, Т = — ctg----------. 490. S = ——, T = lctg —----- '
2 2 s 2 (2£ 4- 1) 2 2 2(2*4-1)
491. 3 = 2”cos” — cos—, T = 2”cos“— sin — .
2 2 2 2 ’
492. 3 = 2” sin" — cos X~K. , T = 2” sin” — sin * .
2 2 2 2
• 493 5 — Q^+2cos^ —afe+1 cos(fe+ 1)* —acosx+ 1
a2 —2a cos*+1
T =: s*n kx s*n (& + 1) + Д sin JT
a2 — 2a cos x + 1
158
494 S=s sin(6 + l)*cos(6* + <z)
sin*
495. S = — + sinnjrcos (” + 0*
т =. s*n (& + *)* s*n (&* +g)
sin*
_ n sinn*cos(n4-1)* „
T =--------------i—J—i—.Следует
2 2 sin*
n
выразить cos2 6* и sin2 kx через cos 26* и вычислить суммы U = 2 cos 26*,
6=1
V = 2 sin 26* путем составления выражения U 4-iV. 496. S=---1------,
2 4sin2*
Ssin^cos-^ + l^ sin —cos
T = —_______si»±g-. 497. s_____?---------------4-----2---------2___,
2 4 sin 2* A . * A . 3*
4 sin — 4sin —
2 2.
rt . n* . (n + 1)* . 3n* . 3(n+l)* ,
3 sin — sin ——-— sin — sin —' '
2 2 2 2
T = —------------------------------------. Следует выразить
A . x. . . 3*
4 sin — 4 sin —
2 2
cos8 kx и sin3 kx через cos 36*, cos kx, sin 36*, sin kx и вычислить соответствуй
(«+l)sin ?«+lx Sin <MJl±sin
2 2 2
клцие суммы. 498. S = -:-------------------- — ---——,
2 sin — 2 sin2 —
2 2
. (n+1)* (rt—1)* t , 1Чл 2n+l
sin -—!—-—cos i----— (n4-l)cos ------!—*
, 2 2 2
T =----------- — ------------------------------ . После приведе-
2 sin2 — 2 sin —
2 2
n-H
ния к сумме S 4- iT == 2 где z == cos * +1 sin *, надо эту сумму
fc=o
n
умножить на 1 —zt после чего получится (S + fT) (1 — z) » 2 з*-(л +
Л=0
4-1)гя+1.
499. а) г (cos i sin^^V ^ = 0,1, n —1;
\ n n j
. ч Г (2k 4- n) те , . . (2k + n) те! Л t .
b) r cos T - + t sink, 6 = 0,1, П —1}
n nJ
• (4k 4- П) к . . (46 + n) к!
c) r cos'—<—4-4 sin'— , 6 ==0,1, ...» n—1;
L 2n 2n
[(46 — n) л , . . (46 ~ n) тс-] . _ . .
cos '------—f- isin'-— , .6 ==0,1,...» /г—H
2n 2n J
[2кб + пф , s . 2кб 4- пф 1 • Л , ,
cos,.-4—£-4-/sin----- I, 6 = 0,1, ..., n—1.
n n J
159
500. |?i — z2| = d. 501. а) Окружность радиуса r= 2 и с центром в начале;
b) луч, исходящий из начала (начало исключается), образующий угол ? с
действительной осью; с) внутренность круга радиуса г —Зи с центром в на-
чале координат; d) внутренность и граница круга радиуса г = 5 с центром в
точке 1 — i\ е) если Сг окружность радиуса 2 с центром в точке zY~ i и С2—
. окружность радиуса 2 с центром в точке z2 =— i, то z— точки общей части
этих окружностей, исключая точки, лежащие на окружности Сх; f) если А —
к
точка пересечения прямой, наклонной к оси ОХ под углом — и проходящей
, ~ 3
через начало О, с окружностью радиуса 5 с центром в точке 1 — /, то г ле-
жат на отрезке ОА, исключая точки О и А. 502. а) Луч, имеющий начало в
я
точке —2 +3t (точка — 2 + 31 исключается), с углом наклона — к дей-
6
ствительной оси; Ь) луч, имеющий начало в точке — z0 (точка — z0 исключает-
ся), с углом наклона у к действительной оси. 504. а) Отрезок [0,4] прямой
у = — 1 (проходится точкой z дважды в противоположных направлениях);
(х _ 1 )2
Ь) эллипс ——~—-—|- у2 == 1. 505. Обратить внимание на то, что два век-
тора, имеющие начало в точке О, тогда и только тогда лежат-на одной пря-
мой, когда их аргументы равны или отличаются друг от друга на я.
3 9
506. Свести к предыдущей задаче. 507. z —--1--ь Решение. Нетрудно
4 8
заметить, что АВ — ОВ— О A, AD = \*AB, где X — некоторое Действитель-
ное число. Далее, имеет место равенство OD^OA-^-AD. Отсюда z=3 +
+ X [(1 + i) ~ 3] = (3 — 2Х) + tX. С другой стороны, OD == где Xt — не-
которое действительное число. Отсюда z = Хг (2 + 3i). Таким образом,
(3 — 2Х) + /X — 2Хх + 3krit Сравнивая действительные и мнимые части, нахо-
дим, чему равны X, Хь z. 508. z = Прямая, проходящая через
точку zt и параллельная вектору z2. 510. Прямая, проходящая через точку
5z2 и параллельная вектору z1-f-2z2. 511. Вся комплексная плоскость.
513. Рассмотреть треугольник с вершинами в точках г0, zlt z2. 514. Коорди-
наты точек z = х + iy комплексной плоскости изменятся следующим образом:
х' = х cos ? — у sin % у' = х sin + у cos Для получения формул поворот
Та прямоугольной системы координат следует заменить через —у. Пово-
рот вектора, изображающего число z, на угол <р против часовой стрелки рав^
носилен умножению числа z = х + iy на число ц — cos 7 +1 sin <?. Далее, если
новая ось ОХ' составляет угол <? (против часовой стрелки) со старой осью
ОХ, то вектор, изображающий z, будет составлять с ОХ' угол а — где
а—-аргумент z. Таким образом, поворот прямоугольной системы координат
на угол (против часовой стрелки) равносилен повороту вектора, изображаю-
щего произвольное комплексное число z, на угол —<?. 515. Окружность ра-
диуса г = 1 с центром в начале 0. 516. В случае d < 0 уравнение не имеет
решения. В случае^ = 0 получается точка z = c. В случае d>0 —окруж-
ность радиуса У d с_центром в точке с. Указание. Данное уравнение
преобразовать в (z + а) ( z + а) = аа — Ь. 517. Перпендикуляр к прямой, сое-
диняющей точки а и Ь, проходящий через середину отрезка этой прямой
между точками а, Ь. 518. При Х = 0 —точка z = a; при Х — 1 прямая задачи
517; при X, отличном от 0 й 1, —окружность радиуса г=» —E_L
|1—Х2|
а — х26 ’
с центром в точке с = —--Замечание. При X, отличном от 1, урав-
160
нение ------ = Х можно преобразовать в уравнение типа задачи 516, а
1 z — b I
именно уравнение | z — а |2 = Х^ | z — 6 |2 можно переписать в виде
(z — a) Cz —'а) = X2 (z — 6) (z — b)или после некоторых преобразований
-т , х2У—"а . \2Ь — а — , а а — Х2Ь b Л ' „
zz + —------2 4- ------ z 4- ---------------= 0. 519. Указание. Пусть
1—X2 1-Х2 1-Х2
конец вектора z находится в первой четверти. Остальные случаи разбираются
аналогично. Предполагая а > б, рассмотреть треугольники ОМА и O/WiAlt
где А и —концы векторов г и zlt а ОМ и ОМ± — проекции на ось ОХ
векторов z и Zi. Показать, что эти треугольники подобны. В случае а < 0
имеем, что Zi = — (| а\ г). Вектор zr = — (| а | z) имеет ту же длину, что и
| а | z, но его аргументом будет уже + я. 523. Указание. Рассмотреть
произведение zz~, где z — комплексное число, сопряженное z. 525. со =
— 1 _l i я тс 7я
— аГсг L— = — . 527. а) а — — , р = —, т = —; длины сторон
8 1 4-//3 12 6 4 12
2^2 (УЗ — 1), 2У2, 2 (У3—1). Ь) а = , 3 = , •( = ; длины
4 о 12
сторон (3 —УТ) УТ0> 21^5, 2У*5 (УТГ— 1). 528. а) Указанное в задаче
условие равносильно следующему условию: arg -2-------i _ arg ——- = 0
Z3 — Z2 Z4 — z2
или я. (В) Обозначим через угол между прямой, проходящей через точ-
ки z3, Zx и прямой, проходящей через точки z3, z2. Обозначим через <р2 угол
между прямой, проходящей через точки z4, zlt и прямой, проходящей через
точки z4, z2; тогда условие (В) означает, что <?i — = 0 или я. Опишем
окружность через три точки zx, z2, z3. Можно показать, что точка z4 лежит
на этой окружности тогда и только тогда, когда <рх— или тс (в зави-
симости от того, что рассматривать в качестве угла между прямыми); Ь) по-
лагая z4 = * + iy, находим из условия (А) систему двух линейных уравнений
относительно х и у. Исключая затем а, получаем уравнение окружности;
Зх2 + Зу2 — 11у — 11х + 16 = 0.
529. a) |/T|cos + sin, fe = 0,1.............7;
L 8 8 J
• (46 + 3) я , . . (46 + 3) я , Л , o o
b) cos *--*——Hsin -------1—— » 6 = 0,1,2,3;
~ 8 8
4 (46 + 1) я . (46 + 1) я a i n о л г
с) cos у —l I sin i——— - , 6 = 0,1,2,3,4,5;
7 12 ~ 12
.. 1эгп-Г (246+ 13) я , . . (246+ 13) я] . Л . _ о . е
d) у 2 cos -— р i sin ------------! *— , 6= 0,1,2,3,4,5;
v L 72 72 J
\ 'Г1/Т Г (246—1) я . . (246— 1) я 1 ,
е) у 2 + У 3 cos—-------------isin—-----------— ,6 = 0,1,...,6,
L 84 84 J ’
Обратите внимание на то, что
.______/ ! . /L
Кг + Кз 1 / + 2
2 “ I/ 2 ’
и воспользуйтесь выражением косинуса половинного угла.
161
f) t^/r2 (cos 12fe~h-1- я +1 sin я V 6 = 0,1....9;
v \ 60 60 )
. 1 / 246—1 ... 246 — 1 \ . _
g) ____I cos--------я + fsin -------я I , k — 0,1,...,7.
1fyr2\ 96 96 )
530. a) |/I3(cosl09°4-Isinl09°)eft, где efe = cos 120°6 +isin 120%,
6=0,1,2; b) iyt(cos 12°42' + i sin 12°42') eb tk = cos 72%+ i sin 72%,
k - 0,1,2,3,4; c) *|<20 (cos 34°47' + I sin 34°47') tk, zk = cos (51®26') k +
+ »sin(51°26')6, 6 = 0,1,2,3,4,5,6. 531. x = tga + 2*- , a = 2arctga,
2n
6 = 0,1....n— 1. 532. a) 1,-1; b) 1,— — ±i-^; c) ±1,
2 2 2 2
d) ±1, ±i, ^-(l±0. - J^(l±0; e)±l, ±1,
4 ± <V3 -1 ±» Гз Гз±1 -Тз±1 . ,
2 ’ 2*2* 2 ’ — ’ ~ '
~ (I ± 0. — (1 ± 0» ± -7 (/2 + К2 ± i 1^2~У2 ) ,
А А л
± -7(/2-/2 ±i /.2+ /2). 533. Р е ш е н и е. k~ kYdt п = nYd,
А "
где «1 и «1 уже взаимно просты. Отсюда е = cos —- 4-1 sin —-ф
th п±
Возводя е в степень I < nlf I > 0, получаем: — cos -- + i sin -- .
fh
- r , 2kZZ?x kA
Если e4=sl, to ------==2ks, где s —целое, или — = s, т. e..
kit делится на nr. Ho kr взаимно c nlt Следовательно, l делится на что
противоречит условию 0 < I < nlt Таким образом, ez 1 при 0 < I <
А при / = »1 получается, что Л = cos + i sin 2^i == 1. Мы видим, что
е — первообразный корень степени И]. = — из единицы. 534. а) — 1;
d
ь>4±4^ с) ±±^ d) 11<1±0. -^(.±0; '
е) V7±<, =£|±L; ,)
±± (/2-/2 ±i V2 + V2 ) • 535. Корней, принадлежащих к показа-
1/^
телю 5, не существует. К показателю 8 принадлежат (1 ± г) и
—-ИА (1 J- i). К показателю 12 принадлежат — СКз± t), —- (|/r3-±z).
162
536. а) Если = cos + i sin принадлежит к показателю то $0= 1,
$1 = $б — $7 — $ц = 12, $2 = — 6, b3 = b9 = 4, $4 = $8 = 3, Ьб = 2;
2я£
b) для е* == cos --1- i sin — имеем: b0 = 1, = = b5 - о7 =$9 = $ц »
16 16
— $1з — Ь-у. = 16, b2 = Ьб = $io = Ьц = 8, $4 = 012 — 4, $8 = 2; с) для
$1 = Ьб = Ь7 = $11 — $13 = $i7 = $i9 =з
>9 = $i6 = $21 = 8, Ь4 =
. 537. Указание. Рассмот-
2я£ , . . 2к£
X =□ COS-----k I sin ----,
n + 1 Л + 1
x =з bi, где a, b — произвольные дей-
Из равенства х2 = л^1 получается,
либо х = 0, либо | х | = 1. Если
tk = cos — + i sin — имеем: $0 = 1
' 24 24
= ^23 = 24, $2 == Ью = $14 =s b22 =. 12, $3 = $<
— Ьго bg — $ig = 4, $g = $io = 3, $12 — 2<
реть | bk |2 = bkbk* 538. При n *£ 3 x = 0 и
k = О, Г, ..., n. При n = 3 x = a и
ствительные числа. Решение,
что | х [2 = | xj2 «ж | х l7*"* 1, откуда
| х | =з 1, то хх = 1, и уравнение преобразуется в хл+1 =» 1. При п = 3 полу-
чается уравнение х2 = х2, откуда х = -^х, х=*а, x—bt, где а, b —про-
извольные действительные числа. 539. —-2fctg —(k = 1,2,..., п — 1).
п
2те£ 2я£
Р е ше ние. х + 2 = (х —2) £#, гдее^ = со$--f-г sin—, £е=1,,..
п п
. ..,л—1, случай £ = О исключается, так как х-^2^х — 2. Отсюда
2(l+efe) „
——!Преобразуя соответствующим образом последнее выраже-
1—ч
ние, получаем: х = —2/ctg540. х = 5 ctg— , k = 1,2, ..., п — 1.
п п
541. х = 3 ctg + 3 я, £ = 0,1, ..., л — 1. Указание. Исходить из урав-
4л
нения х + 3Z — (х — 3Z) ak, ak = t = cos - я + i sin я,
2n 2n
£ = 0,1, ..., n — 1. 542. actg ?5^zLi. ^«-.0,1, 1. 543. Указание,
2n
yC4" | =X > 0. См. далее задачу 518. 544. Равно n при
и равно нулю при в 1. 545. Равно ~ п (п + 1) при £ = 1 и равно
при £ + 1. Указание. При £ ^ 1 умножить S = 1 + 2в + ... + Л£л-1
1 . ,ч____ , ______ п2(1—в)+2п
6 ' ‘ 1 ' 1 ’ (1 —£)2
п
при £ + 1. Указание. При £ 1 умножить S = 2 на 1 — е.
£=1
t п3(1 — £)2+ Зп(п— 1)(1 — 0+ 6л
при £ = 1 и равно--*----—----ь----—---------
и- .1 (1—£)3
при в Ф 1. Тот же прием умножения при £ ^ 1 на 1 — е. 548. Равно нулю
при л>1 и единице при л = Г. 549. При п = 1 равно (х 4-1)2, при л = 2
равно 2х2 + 2 и при л > 2 равно лх2. 550. Равно нулю, когда v не делится
X —
z— а
z—b
Имеем -
£= 1
п
£-- 1
на 1 — е. 546. Равно — л (п + 1) (2п + 1) при е = 1 и равно —
12
547. Равно [у п (п + 1)
163
№
на ли равно л, когда v делится’ на л. Обратить -внимание на то, что
=== где в — первообразный корень л-й степени из единицы. 551. При
»<л равно пх* , при \ = л равно л(хя+ 1). 552. Первая сумма равна
— л, а вторая сумма равна —- п ctg — . Решение. Составляется S-|- IT,
2 2
п
п
п
где S» V £cos Т =* V ksin . Получается S 4~ iT »
л " п -
Л=1
n
=Skzk
Л=1
п
«£* У
S- 1
Л-1 Л-1
пени из единицы. Далее, с помощью соответствующих преобразований полу-
чается, что S 4- iT = ------ { sin — — i cos' — \ . 553. an 4- (~
o . я \ л n I
2 sin — <
л
2?с
где е = cos------р i sin----корень"л-й сте-
п п
n—1
Воспользоваться тем, что xn— 1 — п (X — tk).
554. Решение.
2т+1
Л-1
2т
2m
II(n-cos
Л«=0
2яЛ
2m + 1
. . 2яЛ
l sin -----
2m + 1
яЛ . n.
------- 4- 2i cos
2m + 1
я/г
-----------sin
2m 4- 1
nk
2m, + 1
2т
«22/п+1* ТТ
2m
II I cos
Kk
2m 4-1
Л=о
вилу перемножения комплексных чисел, заданных в тригонометрическом виде:
2т
П/ Kk ... кЛ \ (0 4-1 4- ... 4-2m)к
/ cos------ 4- 1 sin ------] = cos -——-----—---------1
\ 2m 4- 1 2m 4-1
... «Л
4- i sin --
2m + 1 2m + 1
ТТЛ
по пра-
яЛ
2т-\- 1
Л=0
•t • • “F 1 4- • • • 4- 2m) к ...
4-1 sin ——!---5-----5----—= cos wm 4-1 sin кт == (— l)m. Следовательно, •
2/й+1
2т +1
2т
Л/и+1
Л-1
(—\\m
= i---<- , Так как при
22/n r
I Г cos ——
xx 2m 4- 1
Л-1
Лф Z = 2m-|- 1,
2т
2, откуда I I cos —
хх 2m +1
1 < k < 2m, 1 < I < 2m,
я/ Kk
cos-------- = — cos ---------
2m + 1 2m + 1
2m
IT cos-
2/n+ 1
т
Л=1
после чего легко убедиться в справедливости утверждения.
ncos2------,
2m4-l
Л=1
164
Глава V. Многочлены от одного- неизвестного
555. Равна нулю. ‘556. Рассмотрим f (— х) = (2 + Зх2 4- хъ)п. Члены f.(x)
и f (—х) с четными степенями х совпадают. Но коэффициент члена / (— х) с
четной степенью х не меньше коэффициента члена g (х) с той же четной сте-
пенью х, так как при раскрытии скобок в выражении (2 + Зх2 + хБ)я получим
подобные члены с положительными коэффициентами. 557. а) (1 4-х)я+1 — 1 +
+ Cxn+l X + С*+1 * + ... + С«+} Отсюда 1L+£*LZ-L = х +
“I" 1
4- .L с’х» +... + —1— С"л-"+1.
2 n ~n+ 1 п
п
Ь) (l+*)rt<s2j ^nxS* Отсюда
s=0
2/1
= (1+х)5«=2 С2пхк-
Полагая х₽=1, получаем требуемое.
п п 2п
2 сп*° 2 с^х‘= 2
s=0 *=0 й-0
Сравнивая коэффициенты
при одинаковых
степенях xkt . получаем первое тождество,
тождества следует в первом, тождестве положить
петь (1+*)"-(!-*)” й
2 2
Для получения второго
k = п. с) Следует рассмот-
d) Следует продифферен-
цировать обе части равенств
(1 +x)^-(l—х)«
2
р=0
х2^+1,
(1+*)” +(1 —х)я. V ciPxiP
2- ’
558. р = 1, q = 0. 559. а) р = I — cP,
Р=0
q ® — а- Ь) р = (а2 — 2) а, q == а2 — 1; с) р = — а4 + За2 — 1, q ® — а3 + 2а.
560. а) Частное q (х) = х3 4- 7х2 + 8х + 24, остаток г ==» 45; b) q (х) = 2х4 4~
Q 1О О 97
+ Зх3 — 6х2 + 4х — 5, г = 5; с) q (х) = Зх5-х4 4-х3-х2 4-х —
. / *> к / 2 4 816
~^2’ Г= d) ?W=W_(2-3‘)x3_(1+ll),'>'r2 + (11+9‘)'r_
— (21— 31), /’=18 — 261. 561. a) f(3) =286;
с) /(—14-20 = 5 + 221. 562. f(x) = (x—1)(х —2)(х —3)9(х) + р, где
q (х) — многочлен с целыми коэффициентами. Пусть f (х0) = 2р при некотором
целом х0. Тогда р == (х0 — 1) (х0 — 2) (х0 — 3), что противоречит простоте р.
, 563. а) г (х) = 6х + 1;. b) г (х) == 1; с) г (х) — Зх3 + Зх + 1. Остаток г (х) при
делении f (х) на х2 — 1 имеет вид ах 4- Ь. Полагая х = 1, х = — 1(1, — 1—
корни х2—1), получаем систему двух линейных уравнений для нахождения
а и 6. Аналогичным образом решаются Ь) и с). 564. г (х) =—- х3 + х2 +
6
-|— х. 565. Воспользоваться схемой Горнера. Впрочем, многочлен можно пре-
6 _
образовать следующим образом: f (х) = 2х [(хя-1 — я'2-'1) + а (хп -2 — ап 2) + ...
4- ап~2(х — а) + па"-1]— па^1 (х + а) — п^а^1 (х — а) — 2х [(хя-1— а71”1)-]-...
- - аЛ“2 (х — а)} + па^1 (х —а) — г&ап~х (х а) = (х — а) [2хл“4 + 4а%л~2
+ 2 (п — 1) ал~2х — п (п — 1) а”"1], и легко видеть, что 2ап^1 + 4ап 1 + ...
-}-2 (и— 1)ал-1 — п (п — 1) а^1 = 0. 568. Указание. Так как (а4-^ +
4- с)3 — а3 —Ъ3 — с3 == 3 (а 4- Ь) (а 4- с) (Ь 4- с), то достаточно* обнаружить
делимость на а4-Ь, а-)-с, Ь-}-с. Для этого следует рассмотреть многочле-
ны t М = (х + Ь 4- 0й — хл — Ьп — и g (х) = (х 4- а 4- с)п — хп — ап — сп.
165
569. tn = —3. .570. Многочлен f (x) = (x + б)бЯ+1 — хбЯ+* _ ^бп+i имеет корни
х = 0их = “ b. Отсюда f (x) = x (x + b) q (x), а потому (а4-б)6Я+1 — .
— двл+i _ fcen+i = а (а b) q (а). Аналогично, рассматривая многочлен g (х) = .
= (х + а)бЯ+* — хбЯ+1 — а6Я+1, обнаруживаем делимость данного выражения I
на а. Пусть теперь в =# 1 — корень третьей степени из единицы. Нетрудно . i
убедиться, что f (бе) = 0, пользуясь тем, что е3 = 1 и е2 + е -|- 1 = 0. Анало-
гично находим, что бе2 — также корень fM- Следовательно, f (х) — (х—
— бе) (х — бе2) q (х) = (х24- bx 4- №) q (х). Полагая х = а, получаем дели-
мость данного выражения на а2 + ab 4- б2. 571. f (х) = Ао + At (х — ах) + :
+ Л2(х —ах)(х — а2)4-...4-Art(x —aj... (х —ап). При ^ = а2 =...= ал= а
получается разложение по степеням х — а\ f (х) = Ао 4- Ai (х — а) -f- А2 (х — 1
—а)2 + ... + Ап (х — а)п. 572. а) / (х) = — 41 + 26 (х + 2) + 2 (х + 2)2 — 5 (х 4- *
+ 2)3+(х 4-2)4; b) f (х) = 431 4-757 (х-3) 4-519 (х —З)2-]-177 (х —3)3 +
4- 30 (х — З)4 4- 2 (х — 3)5; с) f (х) = — 33623 + 58484 (х 4- 4) — 43612 (х 4-
4- 4)2 4- 18077 (х 4- 4)3 — 4500 (х 4- 4)4 + 673 (х 4- 4)5 — 56 (х 4- 4)« 4- 2 (х 4- 4V; ’
d) / (х) = 5 — 3/ 4- ( —4 — 4Z) (х— j) 4-(14-40 (х — О2 4-(3 — 110 (х —/)3 —
— (13 4-0 (я- 04 + &(х — 7)54-(х — 0е- 573. а) /(2) = 33, /'(2) = 45,
/"(2) = 44, /"'(2) = 24; Ь) / (—3) = — 14, /'(— 3) = — 90, /"(—3) = 176, !
/"'(_ 3) = — 168, /IV(~3) = 72; с) /(-4) = 851, /'(-4) = -683, j
/"(—4) = 276, /"' (-4) = 138, /IV (-4) = -264, /V(-4) = 120;
d) /(— 1 4-0 —-6 4- 13/, /'(— 1 4-0 = 69 — 26/, /" (—1 4-0 = — 242 — 72/,
/"'(—I 4- 0 = 408 4-552/, /IV (-1 4-0 = 72— 1440/, /V (—1 4-/) = 1
= -1440 4-1440/, /VI (—1 4-0 = 1440. 574. а) / (х 4-2) = 39 4-54х 4-
4- 35х2 4- 1 Зх3 4- 2х4; Ъ) / (х) = 229 4- 376х 4- 255х2 4- 88х3 4- 15х4 4- х3. '
576. Пусть а — произвольный корень х2 4- * 4- 1. Тогда а 4- 1 = — а2. Отсюда а
(1 4- а)я — ая — 1 = (— 1)я а2Я — ая — 1. Исследуйте затем случаи п = 6k, 1
66 4-1, 6k 4- 2, 6&4-3, 6^4- 4, 6^4-5, где k— произвольное целое неотри- j
цательное число. Ответ: делится при п = 6k 4- 1 и 6k 4~ 5. 577. Если а — один
из корней х2 — 2х — 2, то а2 = 2а 4-2. Подставляя а в (2х4-2)я — Xя 4-1,
получаем: (2а 4- 2)я — ая 1 = а2Л — ая 4- 1. Если (2х 4- 2)я — Xя 4- 1
делится на х2 — 2х — 2, то а2Я — ая 4- 1 = 0. Отсюда (ап -J- 1) (а2Я — ая 1)=
= азя 4- 1 = 0. Таким образом, | а ] = 1. Но корни х2 — 2х — 2 не могут быть I
все по модулю равны единице. 578. а) 2; Ь) 3. 579. / (х) = (х 4- 2)3 (х 4“ 4).
(л \ 2 ।
2 ) ?
+ (—V = 0. 584. При (£Г = 0. 585. При р-У+(-У=0- i
\ 3/ \3 / к \4/ ’ \ 5/ ’
587. Доказывается с помощью метода математической индукции. 589. Явля-
ется. 590. / (х) = а0 (х — а)я. Решение. Поскольку / (х) делится на f'(x),
все корни /'(х) являются корнями /(х). Пусть аъ ...,а5 — все различные кор- I
ни f'(x) соответственно кратности klt ...,ks. Тогда 4-... 4-= л— 1» i
а для / (х) корни alt..., а5 будут соответственно кратности ki 4- 1,..., ks 4- 1,
причем (&14- 1) 4~... 4- (ks+ 1) =« или n— 1 4-s = п, откуда $ = 1,
и/(х)=а0(х — а)я. 591. Кратность 4-1.
592. At——------т--------------, 593, Предполо- j
(х£ — Xi) ... (xt — х^) (Xi — х£+1) ... (xt — хп)
жим противное. Пусть х0 — какое-нибудь целое значение х. Тогда / (х0) = р—
простое число, и при произвольном целом k f (х0 + М = р + kp —-f-
+ ... 4- (kp)n , откуда f(XQ^kp) делится на p. Но согласно допуще- j
n! 1
нию / (х0 + kp) может быть только простым числом; следовательно, / (х0 4~
4- kp) = р. Получается, таким образом, что уравнение n-й степени / (х) — р =
= 0 имеет бесконечное множество корней. 594. Выясните, чему равно г (а), •
где г (х) — остаток от деления /(х) на р(х), и воспользуйтесь минимально- 4)
стью степени р (х). 596. Решение: / (хя) = (х — а)к g (х); отсюда / (ап) = 0,
166
т. е. ап~ корень f (х), *в силу чего f (х) = (х — ап) h (х), 7(хя) = (хя —
— an)h(xn). Но хп — ап делится на х — а, но не делится на (х — а)2. Сле-
довательно, h(xn) делится на (х — a)k~l. Для h (хп) повторяем те же рас-
суждения, что и для f(xn)9 и т. д. 597. Тот же способ решения, что и в
предыдущей задаче. 598. Решение. Если е — какой-нибудь корень хя-1 +*
+ хя-2 + ... + 1, то легко видеть, что ея= 1. Далее, если ф (х) делится на
х — 1, то ф(1) = 0. Отсюда f (е) = ф (1) + g (е) ф (1) = ? (1) = 0, т. е. <р (х)
делится на х—1. Пусть теперь ф(1) 0. Тогда из f (е)= ср (1)+ g (е) ф (1) =
ф (1)
= 0 получается, что уравнение g (х) + с = 0, где с = имеет п — 1
корней elt е2, что невозможно, так как степень g(x) не превосходит
п —2. 599. Решается аналогично предыдущей задаче. 600. а) х2+Г, b) 1;
с)х2 + Зх + 2; d) х34-2х + 2; е) 1. 601. a)D(x) = x —3,. <? (х) =
= ф(* + 4), ф(х) = - ф (х4-2); b)D(x)=x+l, ? (х) = 1 (Зх + 1),
4 4 7
Ф (х) = — ф (Зх2 — 2х — 10); с) D(x) = x24-1, = Ф(*)~
= - ~+202~30 ; Ф DW=* + X+1> (*+16x4-49),
ф(х)= — — (х34- 14х24- 19х — 74); е) D(x) = x34-2, <? (х) =
346
= — —~ (4х — 13), ф (х) == (4х2 + 15х — 7б). 602. Следует разделить
обе части равенства f (х) <р (х) + g (х) ф (х) == D (х) на D (х). 604. Разделим
<р(х) на g(x). Пусть q(x) и (х) — частное и остаток. Тогда <? (х) =
= ^(х)^(х) + 91 (х). Отсюда f (х) (х) + g (х) ф! (х) = 1, где ф1 (х) =
= f (x)q (х) + ф (х). Степень f (х) (рх (х) не превосходит п + tn — 1. Следова-
тельно, степень £(х)ф1(х) также не должна превосходить п-]-т—1, в си-
лу чего степень фх (х) не должна превосходить n — 1. Пусть еще / (х)ср2(х)+
+ g W Фг (*) == L где степень <р2 (х) < т — 1 и степень ф2 (х) < п — 1. Тогда
f (*) [?i (*) — <р2 W ] = g (х) [ф2 (х) — ф1 (х)], откуда ф2 (х) — фх (х) делится на
/(х). Если бы ф2(х)— Ф1 (х) 0, то эта разность не могла бы делиться ла
/(х), так как ее степень меньше п. Следовательно, ф2 (х)—фа (х) = 0.
605. Сводится к предыдущей задаче путем деления равенства f (х) <р (х) +
4-^(х)ф(х)=О(х) на D(x). 606. а) 7(х)= 1(6х-11), ф(х) = -
—L(6x2 — 5х 4- 25); Ь) <р (х) = - (х2 — 6х 4- 9), ф (х) = — — (х3 — Зх2 — 4);
17 16 16
с) <f (х) = — (15х2 — 70х 4- 84), ф (х) = — — (15х* 4- 20 х3 + 24х2 4-
128 128
4- 24х 4-16); d) <р (х) = — (41 х2 — 114х 4- 65), ф (х) = — i (41х2 4- 91х 4-
8 8
+ 69). Обратить внимание на то, что х—1—двукратный и х = 2 — простой
корень g(x). 607. а) <? (х) = (6х 4- 11), ф (х) = — ^ (6х — 25);
Ь)чр(х)= — — (х — 6), ф(х)=—(х2 — 6x4- 1). 609. Является единствен-
37 37
ным с точностью до множителя нулевой степени. 610. Очевидно, что
т (х) = f (х) = g(x)
D{x) D(x)
167
общее кратнбе f (х) и g(x). если Л4 (х) — какое-нибудь общее кратное
f (х) и S (*). ТО М (х) => f (х) qt (х) = g (xj q2 (x); отсюда = ft (x) q2 (xj =
D(x)
“ gi (x) q2 (x), где (x) = , g2 (x) = . Так как Д (x) и gi (x)
D(x) D (x)
взаимно просты, то (х) делится на (х): qt (х) = gr (х) q (х). Отсюда
= fi (х)gi(x)q (х) или М (х) = ^7+ 9 (х) = m (х) q (х), т. е. т (х)—
D(x) D(x)
наименьшее общее кратное. 611. / (х) = [ (х 2)4 (10х2 — 32х + 31) — З7].
612. <F(x)= -1- Г1 + Л_ + M1+1L ...+
(b—а)" [ 1.1 \а—Ь/ 21 \a — b)
□_ »(» + >) (» + /п —2) /х—6X^-11 = 1 Г . mfx—a\
a — b) J’ V ' (а — 6)т[ 1!\6—а/
/п(/п+1) ... (/п + п — 2) /х —
(/72—1)!
। m(m+ О / х —а\ 2
+ 2! \Ь — а/ ’ ' (д — 1)! \b — a) J’
Решение. Дифференцируя равенство (х — а)п у (х) + (х — Ь)т ф (х) =□ 1
по х, получаем: (х — а)”-1 М (х) + (х — b)”1-1 N (х) = 0, где М (х) =*
= (х — а) у' (х) + п <р (х), N (х) =в (х — Ь) ф' (х) + т ф (х). Отсюда М (х) =
ев с (х — b)m~\ N (х) = d (х — a)rt—*, где end — некоторые числа. Таким
образом, (х — а) у' (х) + п с? (х) = с (х — b)m~l. (1) Дифференцируя это ра-
венство k раз (k < tn — 1), получаем: (х — а) (х) + (и + (х) «
= с (т — 1) (т — 2) ... (tn — k)(x — (2) Полагая в равенствах (1)
и (2) х = Ь, получаем далее: <р' (Ь) = П У (Ь) ==
а — b
Отсюда (b) в —, Полагая
a — b
в равенстве
1
(a-b)k+1
(x — a)n у (x) + (x — b)m ф (x) == 1 x = b, находим, что 7 (b) ®
(b — a)n
Наконец, подставляя эти выражения (6), / (Ь) и (Ь) в разложение
9 (х) в строку Тейлора по степеням х—Ь, получим окончательное выраже-
ние <р (х). Аналогично, исходя из равенств (х — а)п (х) + (х — Ь)т ф (х) == 1
и (х— Ь) ф' (х) + /пф (х) = d (х —а)п—\ найдем и ф (х). 613. — (— 1+//3),
2
— (1 ±1 У“2)-корни f(x), а ф(1±*/3), - (1-UK2") —корни
3 2 з
g (х). 614. а) (х — I)2 (х — 2)3; Ь) (х2 + х + 1)2 (2х — 1); с) (х + I)3 (2х3 — 1); •
d) не имеет кратных корней. 615. Обратите внимание на то, что многочлен
над полем рациональных чисел, имеющий кратные множители, приводим над этим
полем. 616. а) 5 = ——L------; Ь) В =----Д ; с) В = — -Д .
20/26+1 100 /29+ 1 50 /325 + 1
617. а)& =-----Д-----; Ь) В = —. 618. а) В =---------Д------ ;
50 /26+ 1 251 1000 /68+1
Ь) В = ----Д=-----. 619. a) N = 9; b) N = /13. + 1. 620. a) arg (х—2)=к,
1000/740+ 1 у > > ,
[ х — 21 < ; b) arg (х — 1) = * (7г—целое), ] х ~ 11 < Т7у ’
168
ЧГ 1
c) arg (x — Z) = —» I x — ? | . 621. а) Радиус круга/? = 5; b)/? = 7.
2 3
622. a) W==6; b) N = (1485 +2). 623. a) (x + 2)(x + 3); b) 2(x+l-f-
+ 0 (* +1 - 0; c) (x +J) (x + i); d) [x - V 7(1 +0] [x - 147 (1 -0] [x +
+ V" 2 (1 -|- 0] [x 4- 1Л 2 (1 — t)]; e) распадается на линейные множители
j4 2 — 147 + i V 2 + 147 , V 2 + /7— I К 2 —147
142 “ 142
0 распадается на линейные множители х ± ’77="
±------------~; g) (х~0 (х+0 (х + 4 - Г17) (х + 4 + Г17) .
Сгруппировать члены многочлена следующим образом; (х*—1) 4-(8х3 4-8х);
.. , , 1 + *147\/ 1—/147\ ~
п) (х -J- 1) f х — —— I I х-------~— 1. Сгруппировать члены много-
члена следующим образом: (х3 + 1) + (х+1); i) I х —
, 147+1 \1 , 1+Г14ПЛ/ , 1—f|4TT\
_i_ I--1— н v i---— 11 х 4-----у-----I. Обратите
& / \ Л /
внимание на то,
2
что х4 + 2х3 + Зх2 + 2х+1 = (ха + х + I)2; k) (х + 1) (х — Hilf3 Ц * _
1-Z14TW , 1+/Кз\/ , .... • I
:--2^ / \* + ~2 ) V "*-7 ) ’ ) < ~ х ~
Гз+М7- . 143" + <у/ . Г'з-м*
2 / \* 2 / Г+ 2 ) 2 )
624. а) Неприводим; Ь)(х + 1),(х2 — х + 2); с) (х2 — 2x142 + 4) (х2 +
i
it
+ 2x142 +_4); d) (х2 + 1)(х + 4—К17)(х + 4+1417);
е) (х— - 5о~ 1 ) (-^ + 52+ 1 ) (х2 + *+3); 1) (х2 —х Va+2 +
\ ^ / \ /
+ 1)(х«+ X 14^+2 + 1); g) (х2-145"1 х+1)(х2 + 1<^+--х+1) .
4
Вынести х2 за скобки и положить #4-----------= у; h) ПР-
.-о'
п—\
— 2 *-^7cos 1 я + |47 Y. 626. а) (х2—1) Ц(х2 —2xcos — + ’»
4* V / , \ fl - /
k ж 1
Л П —1
Ь) (х—1) J~J х2 — 2х cos + 1 У 62в- a) f (х) = 22л х х2 —
л-1 2Л"^1 л^о
— cos2 к Y Указание. Полагая x = cos/, получаем: /(cos0=s
4п4-2 /
п
= У (— 1)* С2** cos2'1—2^1 t sin2* I = cos (2n 4- 1)/, после чего довольно
,4j 2п-н 1
Л=0
169
легко найти корни / (х). Старший коэффициент многочлена f (х) определяется
из соотношения а0==1+с2 + + • • • + С2п = + 0 ~1 )2^ass
и 1 2п-Н 1 2п+1 г 2п+1 2
п—1 . '
П/ 2k 4- 1 \
lx2 —cos2—тс). Решается тем же спосо-
л=о 7
бом, что и а). 627. а) (—1) — 1 — аг 4- п2 — ... + (— 1)пап*,
b) (ап + + ... + аг 4- 1) (ап ~ ап_1 + ... 4- (—1)я); с) (ап — ап_2 +
+ ...)*+(ап_х-ап_3+ ... )2; Ф (—1)Л/(1)/(р)/(р2) = (—1)Л(а0 +
4- ai 4- + ап) И2 — АВ + ^2)> гДе р —. корень х2 4- х 4-1 (р2 — другой
корень того же многочлена). 628. а) п; Ь) 2я— 1. 629. Решение. Если
л=-а> то f (a“W имеет те же корни, что и f (х) и потому
. f (х) = с f (а — $х), где с — некоторое число. После сравнения старших членов
f(x) и f (а — рлс) находим, что 3я f (х) = (~1 )л f (а — Зх). Обратно, если
3я f (х) = (—1)я / (а — 3*)> то многочлены f (х) и f (а — 3*) имеют одни и те
же корни и при'соответствующей нумерации получается: а — Зх^^ = xk .
630. При 3 + — 1 °Дин из корней равен —— . Указание. Продифферен-
14”?
цировать равенство $2nf(x)=f(a— 3*) по х и воспользоваться предыдущей
задачей. В случае 3 ¥= — 1 один из корней найдется при k = и. 632. Реше-
ние. Так как комплексные корни попарно сопряжены, то, полагая п — 2 k,
k k
можем написать, что f (х)=а0 П (х — х3) • П (х — xs) = <р (х) 7 (х) = [g (х)+
s=] s=l
+ ih (х)] [g (x) - ih (x)] = g2 (х)+Л2 (x). 633. f' (xft)=(-l)""*(*-l)! (п-ЫХ
X Указание. Продифференцировать по x разложение f (x) на линей-
ные множители и положить х = xk . 634. a) xk 4- b — а (& = 1, 2, ..., п);
Ь) при b 0 корнями будут b (xk — a) (k = 1, 2, ..., и), а при 6 = 0 полу-
чается n-кратный корень, равный нулю. 636. Решение. Пусть
*1 < х2 < ... < xs — все действительные различные корни соответственно
кратности kltkb .. ., ks и пусть а0 > 0. Тогда f (х) = (х — хх)Л1 (х —
— х2)^2 ... (х — xs)ks <р (х), где <р (х) — многочлен с действительными коэф-
фициентами, не имеющий действительных корней. Так как а0 > 0, то (х) >0
при всех действительных значениях х. Дифференцируя f (х) лю х, получаем:
g W- .Х) (х-х^-1= <*—**> ••• ••• +
+ (х — Xi) ... (х — xs) (х). Обращаясь к многочлену g (х), находим, что
знаки у g (х,) = k„ (xv — Xi) ... (x, — xv_j) (xv— x,+1)... (x, — xs ) <p (x, )
и g (*v4-l) = ^4-1 (xv+l — *1) • • • (•*!)+! — xt—1) (*•»+! x-> ) • • •
—Xs )<? (x,+1) противоположны, и утверждение становится очевидным.
637. 2xs —26х<+136х3 —352х24-440х —200. 638. Зх« — 6(1+20х3 —
— 3(5 —60х24-6(3 + 0х —6Z. 639. х3 — ЗаЬх— (а3— &3). 640. /(х) =
= х» — — (3 + () х< + — (3 + 4») х3— — (1 + 50 х2 — 10 (1—0 х+ —.(123—ЗЙ).
4 3 .2 -12
641. f (х)=2х3—х2 4- х —Сперва следует найти многочлен, корнями кото-
рого являются —, —, —. 642. q = а3 4- ар, х{ 2 = 4"а i
Х1 х^ Х3 » 2
х3 = — а, 643. р3—4рд + 8г = 0, х; 2 = —- р ± — У*5р2 —
4 4
16<7, х3=-^-.
170
644. a3 = axa2. Легко заметить, что при a3 = aia2 одним из корней уравне-
ния является х = — ах. 645. Пусть действительные части всех корней отрица-
тельны. Тогда по меньшей мере один корень действителен и отрицателен.
Обозначим его через хх. Сумму остальных корней х2 и х3 обозначим через 2/.
Очевидно, 2/— действительное отрицательное число. Далее, обозначим через т
произведение х$х3; оно является действительным положительным числом.
Теперь, пользуясь формулами Виета, получаем: а4 — — х4— х2— х3 —
= —хх —2Z >0, а2 «в х4 х2 + Xi х3. + х2 х3 => 2/хх + т > 0, а3 = — х4 х2 х3 =
= — тх4 >0. Отсюда а2 — т = 21 х4 >0 или, так как т = — —, получаем,
*1
что а2 — т = а2 + — >0, откуда а2 х4 + а3 < 0 или — а2 (а4 4- 21) + а3 < 0,
*1
а3 < а4 а2 + 2/ а2 < а4 а2. Обратно, пусть аг >0, а2 > 0, а3 >0, а3 < а4 а2.
Тогда уравнение не имеет положительных корней. Если все корни отрицатель-^
ны, то действительные части всех корней отрицательны. Если только один
корень действителен и отрицателен: хх < 0, то остальные два корня комплекс-
ные сопряженные: х2 = а 4- х3 — а — [К, 3 0, а =£ 0 (см. задачу 644).
Как и выше, получаем, что а2 — т = 21хъ причем здесь I = а. Предполагая
противное, а именно а > 0, получаем, что а2 — tn < 0 или а2 + — < 0,
02 *1 + л3 > 0, а3 > а4 а2 4- 2/ а2 > а4 a2i получилось противоречие с условием
03 < 0102* 646. Если п нечетно, то.при ап > 0 число положительных корней чет-
ное, а число отрицательных корней нечетное; при ап < 0 число положительных
корней нечетное, а число отрицательных корней четное (каждый корень счи-
тается столько, раз, какова его кратность). 648. р3 —- 4р^ 4- 8г = 0. 650. При
соблюдении условия р3 — 4pg -f- 8г = 0 сумма корней равна сумме двух дру-
гих корней. Таким образом, из задач 648 и 650 получается, что условие
р3 —4pg + 8r = 0 является необходимым и достаточным, чтобы, сумма двух
корней уравнения равнялась сумме остальных двух корней. Указание. Об-
ратить внимание на то, что f' [----*) есть коэффициент преобразованного
\ 4 J
уравнения и что если х4 + х2 = х3 4- х4, то ух + у2 = у3 4- у4 и обратно.
651. a) = — 3, х2 = 1, *3>4 = — l±i; b) xlt 2= — 1(1 ±У"б),
х3 4 = —652. р2$ = г4. 653, Данное уравнение сводится
2
пл — %? л т-.
к уравнению уа + РУ + “2-------Если У1 и корни последнего квад-
Р
ратного уравнения, то корни xlf х2, х3, х4 данного уравнения найдутся при
Г Т
решении двух квадратных уравнений х2 —ухх4---------= 0, х2—у2х4----= 0.
Р ' Р
Таким образом, хх х2 = х3 х4 — 654. a) Xj 2 == — 1 ± х^ 4 =
Р . *
= 1(1 ±»Т7); Ь) 2 = - 1 (1 ± УТЗ), х3, 4 = 1 (3 ±/21). 655. Из
данного соотношения получается равенство 2 (хх х2 + х3 х4) — (хх х3 4- х± х4 -J-
+ х2 х3 + х2 х4) = 0. Складывая это равенство почленно с (х4 х2 + х3 xj Ц-
+ (Х1 хз + Х1 х4 + х2 х3 + х2 х4) = a2t получаем хх х2 + х3 х4 » — 02. Пола- s
и
гаем х4 + х2 == ух и х3 + х4 =* у2. Тогда хх + х2 + х3 + х4 = ух + -2 = — а19
2
У1 уа = xi х3 4- Xi х4 + х2 х3 + х2 х4 « а2 — (xi х2 4- х3 х4) = — а2. Таким обра-
171
2
зом ух и у2 являются корнями квадратного уравнения у2 + аху4--а2=0.
3
Полагаем, далее, zt — х4 х2 и z2 = х3 х4. Тогда + z2 — хгх2 + х3 х4 —
== — а2, zi z2 = Xi х2 х3 х4 = а4. Следовательно, Zj и г2 — корни квадратного
3
уравнения z2----а2^ + а4 «= 0. Равенство Хх*а*8+*1*2*4+*1*3*4+*2*3*4=
3
=—^преобразуется в z± y2+z2 ух — — a3t и мы можем указать, какой из корней
уравнения z2 —- а2 z + а4 = 0 является для уг корнем zt и для у2 — корнем
3 п
z2. Наконец, хи х2 и х3, х4 находятся из квадратных уравнений х2—ух x+zx=0,
х2 —y2x+z2—0. 656. При p9r = q3 корнями будут х1>2 =
= —3<? х3 = — -L , 657. При q3 — 4pqr 4- 8r2 — 0 и
2r
---. 658. b3 = a3c. 659. При соблюдении
q---~ v
корнями уравнения будут. xlt 3 »
b
•, х2 == — — , причем знаменателем прогрессии
2p
4r
1,2 -?±]/5^-16pr
соотношения b3 = a3, c, a 0,
_ a2 —Ь ТКд4 —2a2b —3b2
““ 2а
a*-b + Va*-2a3b—3b3 о Л . за-
будет q «а------------------------------------------~2Ь-* ° ~ 0 Равно НУЛЮ и а *1== У ~~с>
х2 = хх е> *з = х2 Л знаменатель прогрессии q = £, где £ — первообразный ко-
рень третьей степени из единицы и Хх—-одно из значений корня j/*—с,
660. х = 1, 3, 5 и 7. 661. S = у (п — 1). Указание. Заменить в уравне-
нии хп — 1 «в 0 неизвестное х через у 1 и сократить обе части получивше-
гося при этом уравнения на у. Затем привести — 5 — — + — + ... 4——
У1 У2 Ул-1
к общему знаменателю и соответствующим образом воспользоваться форму-
лами Виета. 662, х± =^= (— 1)п~*1 2аха2 . .. ant х2= (— 1)п~22(а1а2 ... ал_j+
+ аха2 ... ап_2ап+ ... а2а3 ... ал), ...» хп=^2(а1 + а2+ . .. +ая).
В выражении неизвестного xk сумма всевозможных произведений по
п—k + 1 сомножителей из п. элементов аъ а2, ...» ап.
663. xk =>2&~d, где d = л Решение.
n Z nr — ]
По формулам Виета ax = — (jq + ... + *я) == — + (n~ 0
' П \2 n
S-*
.*=1 / k=l
n n
2
п
2оа.= 2(х1х2+ ... +х„.
6=1
“ £ [*1+(*-1И18== «*1+2^2 (й-1)4-<р £(й-1)4 = лх2 +
k=\ ft=l
п
-f- dn (n — 1) Xi + ———IL Отсюда nip + n (n — 1) </xj +
6 ‘
. n(n— 1) (2n—-1) 2 О J
_|--i----£2-------- 2a2. Остается решить относительно xx и d
172
систему двух уравнений. 664. а) —2а2 (см. решение задачи 663),
п п п
Ь) — + Зах а2 — За3. Решение. Обозначим xk , х^ , х$ , где
Л=1 Л = 1 л=1
xlt • ••» хя —корни данного уравнения, соответственно через Sx, S2, <S3.
п
Получим, руководствуясь формулами Виета: S2 ах = $3 ± х^ Xj ,
п
Sxa2 = х% Xj — Зя3 (/ /). Кроме того, согласно а) имеем, что
2^’/eeI
S2 = а? — 2а2. Отсюда получается искомое выражение S3. 665. Следует по-
казать, что а* — х^ х^ . . . х^ , где /х, /2, . . ., iv прини-
мают целые значения от 1 до п так, что 1± < t2< ... < (xL, ... , хя —
корни многочлена). 666. a) xt = 2, x2t 3 == — .1 ± 21 У 3 ; b) xt =s — 2,
х2> з — — (3 ± i]/" 3); c) xx = — 2, x2 = x3 = 1; d) xx = 1, x2 ±= x3=-- ;
e) Xi « 1,7693, x2> 3 « —0,8846 ±/.0,5897; f) xx « 2,1038, x2 3 « —l,0519±
±/•0,5652; g) xx « 1,5961, x2> з » 0,7020 ±/. 1,8073; h) xt = 1, x2> 3 = 2 ±
±2/Кз; i) xx « 2,5321, x2 «—0,8794, x3 « 1,3473; j) x3,5891,
x2> 3 « 0,2946±/. 1,0138; k) xx = x2 => — 1 — 2/, x3 = 2±/; 1) xx = 3/,
x2 з = 3±3//3. Воспользоваться тем, что 2±ll/ = (2±/)3 и — 52 ±
+ 47i = (-4 + 0’. 667. a) X^a + p-f. x2> 3 = -l(a + p4-27) ±
- j; i (a—3) 3 - j; b) = 2a•+ b, x2= b, x3 = a — 2b. 668. Указание/
Формулу Кардана применять нецелесообразно. Проще заметить, что
— ях — а2 — а3 — корень, и сделать подстановку х = у — (ах ± а2 ± а3).
669. а) л1>2 = -1(1±Г5).Хз>4 = --А(1±«/Т);Ь)х1>2 =
= _2± УП6. х3>4 = -2±КЗ; с) Ч 2=1 (2/7-1 ±
±1 (/з+4/Т), х3> 4=_1(2/Т+1±К4/7-3); d) х,. 2 =
--1(1 ±//2/29+1). х3>4 = -1 (1 ±/2/29-1); е) х1( 2 =
= - у (1 ± i /4/7-7). х3^ - - 1 (1 ± i /4/7+7) ; 1) хь 2 =
= -1(з-/7±//34 + 6/Т), х3,4 = -1 (з+/Т±
±i/34-6/5j;g) Х1 = х2 = -1, х3> 4 = -1(1±//7); h) х1>2=а
= -1 (/б’±/4/'б-б). х3> 4 = 1 (/6 ± f/4/б’+б) ; >) хь 2 =
= -/7±/11-/7, х3, 4=/7 ±/11+/7; j) х1>2 = -1(3±
173
±«’V"17), х3>4 = -1(1±/7). 670. а)у1>213>4
= ±K±V8(a— ft)* H-c — 3(a —
d)2. Уничтожить член с кубом неизвестно-
го с помощью подстановки х = у — а — b
ь) У1, 2, з, 4 —
= ± У (° - + (с - dp ± V {(а ~ ъу-(с - d)*\* + 4е~. зараНее можно
заметить, что коэффициентом при члене с х3 является 2(a+& + c + d).
Следовательно, для уничтожения члена с кубом неизвестного надо произвести
1 '
подстановку х = у —-(a4-64-c4-d) = y — а — Ь == у — сd; с) хь 2 =
= ” (1 i < V* 3), х3> 4 ——(6 + 1 + I)2 — 4с). Можно решить
с помощью метода Феррари, причем следует обратить внимание на то, что
с+у | х2 4- (с — 14 by ) х 4- ( --b — с | превращается в пол-
4------------------------------------------/ \ 2-/ Д 4-)
ный квадрат при у = 6-|-с-|-1. Но гораздо изящнее следующее решение.
Преобразуем данное уравнение: (х4 + х) + b (х3 4- 1) J- с (х2 — х 4-1) = 0,
х(х+ 1) (х2 —х+ 1) + b (%+ 1) (х2 —х+ 9 с(х2 —х+ 1) = 0, (х2 — х 4-
4~ 1) (•* (х + 0 4- & (х + 0 + С1 = 0. Дальнейший ход решения уже ясен.
672. а) хь 2 = ±Гб, х3.4 = 2±гГ2’; Ь)Х1>2=±ЦА, х3 4 =
= -2±^;с) х|>2 = -у (5±^ГЗ), х3> 4 = -^(3±(-/Т). .
673. х5 — 5х3 4- 5х — 2а = 0, х = а 4- I 1 — а2 4- а — i ]/* 1 — а2 .
674. х = /а 4- i ]<1 — а2 4- j/'a — i 1 — а2 • 675. а) 2, 4, 5; Ь)
с) не имеет рациональных корней; d) 2, 3, — 3,-- , —е) —
2 4 3’5
f) 1, —1, 1, 1, g) —1,1, —1; Ь) 3; 1) —3; j) 1, — А, -А; к) не
2 4 2 5 2 2
13 7
имеет рациональных корней; 1) —, у, 676. Решение. Пусть х0 —
целый корень. Тогда f (х) = (х — х0) q (х), где q (х) — многочлен с целыми
коэффициентами. При х = т, х = т + 1 получаем, что / (tn) = (m — х0) q (m),
f (tn + 1) = (tn 4-1 — x0) q (tn + 1). Отсюда tn — x0 и tn — x0 + 1 — оба нечет-
ные, что невозможно. 677. а) х^ 2 = ± — i ]/~2~, хъ, 4 = ** ~ i •
Ь) ХЬ з =4 (3±3 Г 2), Х3, 4 = 1 (1 ± / Ум); с) 2=1(3 ± /Й), х3> 4 =
2 2
= — 1(3±/К39); d) xlf 2=1±3Z, х3> 4= — 5-j-3 ]/~3 . 678. а) Непри-
водим; b) f(x) = (3x + 2)(x2 + x+l); с) f(x) = (2х-}-1) (5х—1) (3X-J-1);
d) неприводим. 680. Указания, с) Положить х = у + 1; d) положить
х = у —2; е) положить х = у4-1; 9 положить х = у — 1. 682. а) Неприво-
дим; b) (х24-8х4-1) (х24-4х4-5). Предварительно сделать подстановку
х — у — 3, уничтожающую член с кубом неизвестного; с) неприводим; d) не-
приводим; е) (х24-2)(х2 — 4х— 1). 683. Квадратный трехчлен a24-pw + ^ не
должен иметь рациональных корней. 684. Решение. Данный многочлен,
174
очевидно, не имеет рациональных корней. Следовательно, если он приводим
над полем рациональных чисел, то f (х) = g (х) h (х), где g (х) и h (х) — мно-
гочлены второй степени с рациональными коэффициентами и со старшими
коэффициентами, равными 1. Рассматривая это разложение над полем дейст-
вительных чисел, получаем в силу единственности разложения многочлена
на неприводимые над полем действительных чисел квадратные множители
противоречие с иррациональностью коэффициентов. 685. с) Следует положить
д -1 Ь
х — у ----и- затем воспользоваться задачей 683. 686. Указание. Рас-
2
смотреть уравнение х2 — (6 + с) х + (Ь2 + с2 — Ьс) — 0. 687. Решение. Еслц
бы многочлен / (х) был приводим, то f (х) = g (х) h (х), где g (х) и h (х) —
многочлены с целыми коэффициентами выше, нулевой степени. Пусть при не-
котором целом значении х = a f (а) = р, где р — простое число; тогда g (а)
или h (а) равнялось бы4;1« Таким образом, получилось бы, что g(x) nh(x)
при бесконечном множестве целых значений х принимают значения 1 (или —1),
что невозможно, так как многочлен g (х) — 1 (h (х) — 1) или g (x)-f-l (h (х)+1)
выше нулевой степени не может иметь бесконечное множество корней.
688. Решение. Пусть*/(*) « g (х) h (•*). Степень одного из сомножителей,
[п 1 Г п “1
у , где — — целое число, удов-
п
< у +1. Очевидно, что g (х) принимает зна-
п Г и
летворяющее условию — < ре-
чения ± 1 более чем при п целых значениях х. Отсюда g (х) принимает либо
значение 1 более
Гп ]
— значениях
[2 J
член нулевой
причем степени
чем при значениях х, либо значение — 1 более чем при
х. Таким образом, получается, что / g (х) — много-
степени. 689. Решение. Пусть / (х) ® g (х) h (х),
g(x) и h(x) меньше и. Тогда если g (ai) == + 1, то
Л*(а/) = ф1, в силу чего g(x) + ft(x)==0, /(х)== —g2(x), что невозможно,
так как старший коэффициент f (х) положителен. 690. а) -----—16 j и
/±. 1в\; Ь) (_Л, » (А, с) (_!, _1\ „6П , 11Y
\6 ) \ 107 2/ \107 2/ \ 3 3/ \3 3}
. 691. а) (—2, — 1) и (1, 1Ь) (—6. —1) и
d) — 3,
с) 1> —— j и 7J; d) , 2J , отрицательных корней
нет. 692. Воспользоваться схемой Горнера для вычисления /(а),
Яя) (а)
fr (а), ...» '—— и обратить .внимание на то, что все коэффициенты част-
п\
кого от деления f (х) на х — а в, силу условий задачи положительны.
693. а) (—9, 2); Ь) (0, 2); с) (—2, 2); d) (—2, 1). 694. Единственность поло-
жительного корня а > 0 многочлена <р (х) вытекает из монотонного возраста-
ния <р(х) = хп ( Ьо— — — .. . — —^при х > 0. Воспользоваться затем неравен-
\ х хп]
ством | f (х) | > ср (| х |) > 0, имеющим место при | х | > а. 695. а) (0,5; 0,6).
Производная /' (х) > 0, так как не имеет действительных корней, и ее стар-
ший коэффициент положителен. Отсюда / (х) имеет только один корень и
притом положительный, так как f (0) < 0 и f (+ оо) > 0; Ь) (—2,8; —2,7)
и (0,1; 0,2). Производная f (х) = 8х3 + 9х2 — 10х + 6 > 0 при х > 0, так как
9ха•— 10х -|- 6 > 0 при любом действительном значении х. Далее, / (0) < 0,
175
f (+ оо )> 0. Отсюда f (x) имеет один положительный корень. Поскольку
/(—оо) >0 и /(0) < 0, многочлен f(x) имеет один или три отрицательных
корня. Заменяя в f (х) неизвестное х через — х, получаем / (—х) = 2х4 — Зх3—
— 5х2 — 6х — 1. Отсюда, по теореме Декарта, получается, что данный много-
член f (х) имеет только один отрицательный корень; с) (—0,9; —0,8) и
(1; 1,1). Пользуясь теоремой Декарта, находим, что «многочлен имеет один
положительный и три или один отрицательный. корень; Но —/'(—х) =>
— 20х3 — 12х2+ 6х + 7 = х (20х2 — 12х + 6) + 7 > 0 при х > 0, так как
20х2—12х + 6 не имеет действительных корней. Следовательно, данный мно-
гочлен может иметь только один отрицательный корень; d) (—2, —1), (—1,0),
(0,1) и (3,4). Пользуясь теоремой Декарта, находим, что многочлен имеет
два или ни одного положительного корня и два или ни одного отрицатель-
ного корня. Но / (0) > 0, f (1) < 0 и / (—1) < 0. Следовательно, многочлен
имеет два положительных й два отрицательных корня; е) (—2, —1) и (0,1).
Пользуясь теоремой Декарта, находим, что многочлен имеет три корня или
один положительный и один отрицательный корень. Имеем, что — /' (х) =
= х» — 2х24-3x4-2, — (х) = 5х« — 4x4-3
и £/'" (х) = 5х3 — 1.
Корень
производной третьего порядка (х) является точкой
минимума
для /" (х), причем /"
(П)
>0.
Следовательно, /" (х) > 0 при х > 0.
Таким образом, f'(x) возрастает при х > 0. Так как f' (0) >0, то /' (х) > 0
при х > 0. Следовательно, f (х) также возрастет при х > 0 и потому не может
иметь три положительных корня; f) три действительных корня, лежащие
в интервалах (—2, —1), (—1,0) и (1,2). 696. а) Система многочленов Штурма
Д = х3 —Зх —3, Д = х2—1, /2 = 2х-}-3, Д = —1. Имеет единственный
действительный корень в интервале (2,3); Ь) система многочленов Штурма
Д = х3 + 4х2 —2х— 2, Д = 3х2 + 8х— 2, Д — 22x4-5, /3=1. Имеет три
действительных корня в интервалах (—5, —4), (—1,0) и (0,1); с) система
многочленов Штурма - Д = х4 — 4х3 4- 4х2—4, fi = х3— Зх2+ 2х, Д=х2—2х+4.
Имеет. два действительных корня в интервалах (—1,0) и (2,3); d) система
многочленов Штурма Д == хб 4- 5х4 + 5х2 — 15х — 5, Д = х4 -j- 4х3 -j- 2х — 3,
Д = 4х3 —Зх2 4- 14x4-2, Д = — х24-42х4-86, Д = — 1493х —5187, Д = 1.
Имеет один действительный корень в интервале (1,2); е) система многочленов
Штурма /0 == xs -}- х4 — Зх3 — 4х2 + 2х + 4, Д = 5х4 -|- 4х3 — 9х2 — 8х 4- 2,
Д = 34*3 4- 51х2 —48х — 98, Д = — 9х2 — 4х 4- 22, Д = — 97х 4- 52, Д == —1.
Имеет три действительных корня в интервалах (—2, —1), (1,2; 1,3) и (1,4;
1,5). 697. Провести рассуждения, аналогичные рассуждениям при доказатель-
стве теоремы Штурма. 698. а) В интервале (—оо, 4-°°) система многочле-
нов Штурма Д — 2x4 — 2х3 4х2 — 6х — 5, Д — 4х — 3, Д = 1. Имеет два
действительных корня в Интервалах (—1,0) и (1,2); Ь) в интервале (—оо,
4- оо) система многочленов Штурма Д = 12х5 — 15х4 + 30х2 — 60х 8,
Д — х2—1, Д=48х — 23, Д = 1. Имеет три действительных корня в интер-
валах (—2, —1), (0,1), (1,2); с) в интервале (— оо, +°°) система многочле-
нов Штурма Д = 16х5 — 10х4 + 20х2 — 80х + 99, Д = х3 — 1, Д = 64х — 109,
Д = —1. Имеет один действительный корень в интервале (-—2,—1); d) в интер-
вале (— оо, 4- о°) система многочленов Штурма /0 — 2х5 — 1 Ох4 — 20х2 —
— 1 Ох 4- 7, Д = х2 — 4х — 1, Д = 200х + 39, f3 = 1. Имеет три действитель-
ных корня в интервалах (—1,0), (0,1) и (5,6); е) в интервале (—1,1) система
многочленов Штурма Д = х5 — 5х4 + Юх2 — 5х + 19, Д == —х2 + 4х — 1,
Д = 9х — 7, Д = —1; в интервалах (—оо, —1) и (1, +©о) система много-
членов Штурма /0 = х5 — 5х4 + Юх2 — 5х 4- 19, Д = х2- 4х.+ 1, Д — 9х—7,
Д=1. Имеет три действительных корня в интервалах (—2, —1), (2,3) и
(4,5); f) в интервале (2,3) система многочленов Штурма Д = /(х), Д = —1;
176
в интервалах (—<*>, 1), (1,2), (3, +<х>) система многочленов Штурма
/0 = /(х), Л=1. Имеет один действительный корень в интервале (4,5).
699. Система многочленов Штурма /0==^б+РА:+^> Л =® 5х* + Р» /2= —^Рх—&Ь
(д \ 4 / п \ б
2L j X. j , при Д > 0 — один действительный,
4 / \ 5 /
а при Д < 0 — три действительных корня. 700. Система многочленов Штурма
/о = хп + рх + q, /1 = nx"'1 + р, = — (п — 1) рх — nq, f3 = — рп~1 А (при
(q / n \n
------— I j_ [ I . При n четном два действительных
n — i/ An J
корня в случае Д > 0 и ни одного действительного корня в случае Д < 0;
при нечетном п три действительных корня в случае Д < 0 и один действи-
тельный корень в случае Д > 0. 702. Решение. Пусть р — число перемен,
q — число постоянств в ряду старших коэффициентов. Тогда р + q = л.
С другой стороны, число перемен в системе многочленов Штурма при
х = — оо равно q, а при х == + оо равно р. Следовательно, число s действи-
тельных корней равно q — р. Отсюда 2р = и— s. 703. В противном случае
какой-нибудь промежуточный многочлен fk можно было бы сократить на мно-
гочлен, принимающий положительные значения при всех действительных зна-
чениях х, и получилась бы система Штурма, состоящая из tn < л + 1 много-
членов, что невозможно в случае действительности всех корней f (х).
704. При X — 1 многочлен ср (х) имеет п действительных корней
xi, ...» хл*1, хл, причем at < Х[ < ai+i (i = 1,2, . . . , п — 1), а хп < аг
в случае •— 1 < X < 0, хп > Ьп в случае X < — 1 и ап < хп < Ьп в случае
X > 0. При X = — 1 многочлен ср (х) имеет п — 1 действительных корней,
лежащих по одному в интервалах (fli,a2), ...» (Я/г-1,Лл)- Решение.
Имеем, что ср (aft = \g (a j)t ср (ai+1) = X g (a£-+i). Так как at <bt< at-+1 и
bi......—простые корни g(x>, то <p(az) и ср (at+1) имеют разные знаки.
Следовательно, для ср (х) получается по меньшей мере п—1 действительных
корней в интервалах (aba2), ... , (an^lt ап). Далее, ср (6П) = / (Ьп) > 0 и
(ап) = X g (ап). Таким образом, при Х>0 знаки ср (ап) и ср (Ьп) разные. При
X ==— 1 <р(х) имеет всего п — 1 действительных корней, так как в этом слу-
чае степень <р (х) равна п — 1. Если —1 < X < 0, то при достаточно большом
по абсолютной величине отрицательном значении х знак ср (х) равен знаку
(—1)я , а знак ср (cii) равен знаку — g(ai)> т. е. равен знаку (—1)я+1. Отсюда
при — 1 < X < 0 корень хп < Если X < — 1, то при достаточно большом
положительном значении х многочлен ср (х) имеет отрицательное значение,
а ср (Ьп) > 0. Следовательно, при X < — 1 хп > Ьп. Из всего этого и полу-
чается приведенный выше ответ. 705. Все корни уравнения действительны
и различны. Указание. По теореме Ролля /' (х) должна иметь п — 1 различ-
ных действительных корней b±t b2, ...» Ьп_х таких, чтоЯ1< <л2< . . . <
< < Ьп_। < ап (at —корень f (х)). Дальнейшее решение аналогично реше-
нию предыдущей задачи. 706. При четном п многочлен f (х) имеет два действи-
тельных корня (в том числе х==1), а при нечетном п только один действи-
тельный корень х=1. Р.ешени.е, Непосредственно видно, что х=1 —
корень f (х). Рассматривая F (х) = (х — 1) f (х) = лхл+1 — (n + 1) хл+1, нахо-
дим, что корнями производной F' (х) являются хх = 0, х2 = 1. Нетрудно уста-
новить, что при четном л функция F (х) имеет максимум при. х=0 и Минимум при
х=1. Следовательно, при четном л функция F возрастает в интервале (—оо, 0)
от — оо до F (0) = 1, убывает в интервале (0,1) от Г до F(l) = 0 ив интер-
вале (1,+ оо) возрастает от 0 до + оо. Отсюда при четном л многочлен
F(x), кроме х = 1, имеет еще один отрицательный корень. При нечетном л
функция F(x) при х==1 имеет, минимум, равный нулю, ах = 0 не является
точкой экстремума F(x). Следовательно, в этом случае F (х) > 0 при х =/= 1,
т.е. имеет единственный корень х==1. 707. При четном л не имеет действи-
тельных корней, а при нечетном л имеет только один действительный корень.
708. При четном л не имеет действительных корней, а при нечетном л
имеет только один действительный корень. Указание. Обратить внима-
ние на то, что /' (х)—многочлен того же вида, и ' воспользоваться методом
математической индукции. 709. Решение. Если хь ... , хп — все комплекс-
/' (х) v 1 п
ные корни, то нетрудно получить, что —^2- = У -----------. После диффе-
f(x) ^x — xk
k=i
ренцирования по х обеих частей этого равенства получается:
rwfw —tf'Wl2 v I тл
-——— -------- ' = — У,------------. Из этого соотношения легко вы-
вести требуемое. 710. а) 1,259;. Ь) 2,155; с) —2,758. 711. a) J,769; Ь)0,340;
2,262; —2,602. 712. а) 0,7057; 2,5842 и —3,2899; Ь) 1,0946; с) 1,2316;
d) 2,2825. 713. Л = 0,3376 и 2,8169. 714. —«3,0712. 715. х я 0,852. При
Я
этом А ~ 1,8479 с точностью до 0,0001. 116. — я 0,347 . 717. 0,295 м.
R
718.0,1736.719. а) 0,7912 и —3,7912; Ь) 0,7639 и 5,2361; с) —5,6458;
— 4,8284; —0,3542 и 0,8284. 720. 1,414214. Сходимость процесса обнаружи-
। - г— f I *о а I
вается с помощью равенства | хх — у а | =-----\ 721. 1,2599. Нера-
2Xq
венство | Хг — |/*а | < с |х0 — Р . получается следующим образом:
3/— 1 L , о. А 3,- 2x02Uo — Va )— у/~а (х02— fr?)
x^fra^-^-f.—J-fra^-------------------------—-----------------
(х0 — УаУ{2х0 + 3/а) Л 3/_ ’ р 3 р
= —----г-—' \ . Отсюда X! — fra < х0 — /а .
Зх0а а2 |
722. Решение. Здесь <р (х) = х — X f (х). Поскольку ff (х) 0 на отрезке
[а,6], fr (х) > 0 или < 0 на этом отрезке. Обозначим через М максимальное
значение |f'(x)| на отрезке [а,6]. Тогда при ff (х) > 0 берем Х> 0, <?'(х) ==
= 1 — Xf' (х), | ср' (х) I = 11 — fx | . | /' (х) 11. При fr (х) < 0 берем X < 0' и
| / (х) | =х 11 — | X 11(х) ] |. Таким образом, в том и в другом случае
|ср' (х) | = 11 — | X | «| fr (х)| |. Выбирая далее | X | < —, получаем, что 0 < 1 —
— | X | М. Если т — минимальное значение | f' (х) | на отрезке {а, 6], той
подавно 0 < 1 — |Х[ т. Отсюда 1 — |Х| М и 1 — |Х| tn меньше 1. Следовательно,
I?' (*) I < с < 1, и сходимость процесса обеспечена (см. стр. 264—265 учеб-
ника Л. Я. Окунева «Высшая алгебра», Учпедгиз, 1958). Оценку погреш-
ности можно провести, исходя из неравенства | ak — хь | < ck (b — а),
723. — трансцендентное расширение и состоит из элементов вида
где f (х) и g (х) ф 0 — всевозможные многочлены от х над полем 2?.
g (я)
724. R (е) и R (е2) — трансцендентные расширения, причем элементы 7? (е)
f (в) f (в2)
имеют вид 2-12, а элементы R (е2) имеют вид 4 /где f (х) и g (х)^0—
£(«) „ „ «М
всевозможные многочлены от х над R. Расширение R (е2) содержится в рас-
ширении R(e). 725. Совпадают с D. 726. R(i) состоит из комплексных чисел
а + Ы с рациональными а и 6, D (i) — поле всех комплексных чисел, причём
R (i) и D (i) — алгебраические расширения соответственно поля R и поля D.
727. а) Из элементов вида а-f- &У*5, где а,b — рациональные числа; Ь) из эле-
178
ментов вида а + b у/Т + сУ4, где а, Ь,с — рациональные -числа. 728. Одно-
значность представления элемента w в виде а + b 0 обнаруживается сле-
дующим образом. Пусть еще ю = а± + Ь± 0. Тогда (a —^i) + (6 — di) 0 == 0.
Но 0 — корень неприводимого многочлена р (х) = х2 — 2х — 2. Следователь-
" но, 0 не может быть корнем уравнения низшей степени, а потому а — = 0,
Ь — = 0, т.е. а = at, b = Обратный элемент а-1 = х + у 0 проще всего
найти исходя из равенства (х + у 0) (2 + 30) = 1 и пользуясь тем, что
02 = 20 + 2. а-1 = — 4 + 0. 729. a) a-i = J- (3 — 2 0); b) ст* =
= — (0 — 2). 731. а"1 = — (1 + 0). 733. — (2 + 3 0 + 02). 734. а) 'Не об-
13 4 10
разует, так как, с одной стороны, 02 должно лежать в простом расширении,
а с другой стороны, 02 нельзя . представить в виде двучлена а + b 0, по-
скольку 0 —корень неприводимого (над полем рациональных чисел) много-
члена р(х) = х3 — 5; Ь) не образует. 735. Решение. Очевидно, что
#(<* + 0) <ZR(a,0), так как а,0 — элемент R (а,0). Но, с другой стороны,
а = -1- (ш3 — 9ю), 0 = — (11 <*> — <й3), где ш == а + 0, являются элементами
2 2
R (а + 3). Следовательно, R (М) + ?)• Отсюда R (а,0) = R (ч + 0).
Выражения а и 0 через cd .получились у нас из уравнений <d = a + 0,
со2 = 5 + 2a 0, ю3 — 2a + 30 + За 0 cd. Пользуясь формулами Виета, нетрудно
составить многочлен четвертой степени с целыми коэффициентами и со
старшим коэффициентом, равным единице, корнями которого являются
<ох = cd = а + 0, cd2 — — « + ₽, °>з “ — a— w4==a — 0. Это будет f (х)—
= х* — Юх2 + 1, в силу чего R (а + 0) — алгебраическое расширение.
736. a = — (со3 — 22cd), 0 = — (26о> — <*>3)» где ю = a -{- 0 и cd — корень
4 4
многочлена f (х) = х4 — 24х2 + 4.
737. а-1 = (1 — 0 — 02). Обратить вни-
мание на то, что х = 1 — единственный рациональный корень данного много-
члена f (х) и 0 — корень неприводимого (над R) многочлена р (х) ==
х—1
= х3 4-2х2 + 6. 738. а) Поле R рациональных чисел; Ь) поле R(i), где i —
мнимая единица. 739. а) R (е), где £ — первообразный корень третьей степе-
ни из единицы; b) R(e), где £—первообразный корень n-й степени из еди-
ницы; с) R(a,£), где a — действительное значение ^2" и £ — первообразный
корень пятой степени из единицы; d) R (a,£), где a = cos— + i sin — =
’ 4 4
V 2
= 0 + 0 и £ — первообразный корень
четвертой степени из единицы
е) R(a,£), где a — какое-нибудь \ значение У а и е — первообразный корень
n-й степени из единицы. 740. а) R (cd), где <d = a + 0 и а — У2, 0 =/ Уз\
b) R (со), где со = а + 0, а — какой-нибудь корень многочлена х2 + х-— 1 и
0 — какой-нибудь корень многочлена х2 + 2х + 6. При этом в а) элемент со
является корнем уравнения четвертой степени со старшим коэффициентом,
равным единице, а остальные корни этого уравнения равны — a + 0, — a — 0,
a—0; в b) элемент cd является корнем уравнения четвертой степени со стар-
шим коэффициентом, равным единице, а остальные корни этого уравнения
равны аг + 02, a2’+01? а2 + 02, где dx =а и а2 —корни X2 + X — 1 и 01 = 0
и 02 — корни х2 + 2х + 6 (см. решение задачи 735). 741. Данное уравнение
не имеет рациональных корней. 742. Можно. 743. Решение. Если alta2 —
корни f (х), которые можно построить с помощью циркуля и линейки, то
179
f W = (x “ ai) (* — (x* + Px + где P и q лежат в R (аг ,a2), т. e. p и q
выражаются через квадратные радикалы, В свою очередь, корни х2 -j- рх + q вы-
Р 1 р2
ражаются через — — и у £_— <?, в СИЛу чего они выражаются через квадрат-
ные радикалы. 744. Решение. Пусть один корень а выражается через квад-
ратные радикалы. С помощью рассуждений, аналогичных рассуждениям на
стр. 226—227 учебника Л. Я. Окунева «Высшая алгебра» (Учпедгиз, 1958),
можно показать, что еще один корень, отличный от а, выражается через
квадратные радикалы. Тем самым все корни выражаются через квадратные
радикалы (см. задачу 743). 745. Указание. Воспользоваться методом
Феррари решения уравнения четвертой степени. Обозначить корни квадрат-
ных уравнений х2 + — Л \ х + (у0 — В) = О, х2 f — Д- Д х Д-
\ 2 ] о у 2 J
+ (Уо + £) = на которые распадается уравнение четвертой степени, соот-
ветственно через xltx2 и х3,х4 и показать, что у0 = у (ххх2 + х3х4)..
746. Решение. Если все корни f(x) выражаются через квадратные ради-
калы, то согласно предыдущей задаче корень у0 — —(*i*2 + xaxt) кубической
резольвенты также выражается через квадратные радикалы, в силу чего
кубическая резольвента должна иметь корень в Р. Обратно, если кубическая
резольвента имеет корень у0 в Р, то в силу предыдущей задачи f (х) =
= Гхг+[ + * + (Уо+ 5)1 • Р® + ( —5)1. Отсюда
I \ & ' j JL \ £ / J
корни / (х) выражаются через квадратные радикалы. 747. а) Один корень;
Ь) все четыре корня; с) все четыре корня; d) все четыре корня; е) корни f (х)
нельзя построить с помощью циркуля и линейки. 748. а) Можно; Ь) можно;
с) нельзя; d) можно; е) нельзя; f) можно; g) можно; h) можно; к) нельзя.
' w . о m(m?-3n2) л w т
749. Уравнение х3 — Зх----*--------= 0 имеет рациональный корень —.
750. Уравнение х3 — Зх —- = 0 не имеет рациональных корней. 751. Рас-
Р
смотреть многочлен х4 + х3 + х2 + х + 1. 752. Решение. Обе части уравне-
ния х6 + х5 + х4 + х3 + х2 + х + 1 =0 делим на х3 и полагаем х-|- 1 = у,
. х
Получится уравнение у3 + у2 — 2у — 1 — 0, корни которого нельзя построить
с помощью циркуля и линейки. 753. Решение. Обозначим через 2a угол
при вершине В и через Е—точку пересечения биссектрисы угла при вершине А
со стороной ВС. Тогда АЕВ = —(тс— 2a) (составьте сами соответствую-
4 ,
щий чертеж). Далее имеем, что АВ cos а — I. Пользуясь теоремой синусов,
3
АВ 1 sinT(K-2a)
получаем:-----= ----------------------
АЕ 4 cos a sin 2 a
да из предыдущего равенства получается:
по . о 3sinр — 4sin33
и cos 2 3 через sin 0: ---------£
. Полагаем ~ (тс — 2 а) = 0. Tor-
sin 30 1 . О0
.... ---- = —, или, выражая sin 3 0
.. cos 2 0 2
—. Полагая 2 sin 0 «= х, после неко-
1—2sin20 2 •
торых преобразований получаем кубическое уравнение 2х3 — х2 — бх + 2 — 0,
корни которого нельзя построить с помощью циркуля и линейки. 754. Сле-
дует рассмотреть уравнение х8 -}- х7 4* Xе + хЪ + х* + х3 + х2 + х + 1 = 0
180
и разделить обе части этого уравнения на х4 и, полагая х — = у, свести
х
к уравнению четвертой степени. 755. С помощью циркуля и линейки прове-
сти прямую нельзя.
Глава VI. Симметрические многочлены. Результант
756. a) f = g48 — 2g2 —— 3g4g2 *4“ 3g3 ~|- 4gxg3; b) f = g44 — 4gx2g2 g22 6gxg3j
с) f =» gx8g2 — 3gxg22—Gx2g3 + 5g2g8; d) f = gx2g22 — 3gx8g8 — 3g23 + 10эда8 — 8g32;
е) f ® gx2g22 — 4а18а3 — 4g23 + 1 — 27g82; f) f = ai<J2 + °i2 + 2gi + g2 —
— g3 + Г» g) f = ai2(34 + аз2 — 4g2g4. 757. a) gx2 — 2g2; b) gx8 — 3axa2 + 3g8;
c) gx* —4g12g2 + 2g22 + 4g1gs —4g4; d) Gxg2 — 3g3; e) g22 — 2sp3 -j- 2g4;
f) gxg22 — 2gx2g3 — g2g8 + 5gxg4 — 5g6; g) g2g8 — Ззр4 -j- 5g6; h) gx2g3 — 2g2g8 —
7“aia4 + 5g6; j) G32 — 2g2g4 + 2gxg6 — 2g6. 760. Указание. Умножить обе
части равенства xj — sixf~1 + • • • + (— 1)%1 — 0 на х%~п и суммировать
по г = 1,2, . . . , п. 761. Решение. При k = п согласно предыдущей
задаче Sn — GfS^i + . . . + (— 1)л п<5п == 0. Отсюда для k неизвестных
хъ . . . , xk (k < п) F = Sk — + ...+(— \)kk,k = 0, где St и аг —
степенные суммы и основные симметрические многочлены от k неизвестных
хх, . . . •, х^. < Рассмотрим еще Ф = Sk — GxS^i + ..•+(—
Так как g/S^-/ и ySk-j получаются из членов типа х^~i+*x2 . . . ху,
х*“"^х2 . . . ху+1 (1 1) при всевозможных перестановках неизвест-
ных, то F и Ф удовлетворяют условиям задачи 759, вследствие чего Ф = 0.
762. g22 — 2gxg3 2g4. 763. g28 — 3gxg2g8 -|- 3gj2g4 3g82 — 3g2g4 » - 8.
764. — 3O1aaa8 — + За3® + 2ааа4 = —. 765. -Ч
9 1—p+q
766. ai® — 4siaa + 8a3 = — p® — 8q. 767. (n — 1) oi® — 2noa = (n — 1) a® — 2na.
768. a) S5=16, Se=24; b) SB=10, S„ = 24. 769. Si= —1,
S2= . . . =Sn = 0. 770. Для хя — а = 0. 771. —]/’a(4ab — a3 — 8c).
4
772. Решение. Обозначим через 0i = 0,02, ...» 0Я все п корней много-
п
члена р (х). Нетрудно убедиться, что произведение I = П (а0 + +
+ . . . + an^in^1) есть рациональное число. При этом I Ф 0, так как
в силу неприводимости р (х) а0 + 010/ + . . . + Ф 0, i — 1, ... , n.
tn n
Таким образом, aa = m, где a=— П (a0 + ai^i+ • • * + Рас-
- * f=2
сматривая a как симметрический многочлен от 02, ...» 0Л над полем рацио-
нальных чисел, мы можем его выразить через 0Х = 0: а = Ьо + ^0 +
+ . . . + бл-х&я-1, где 60»Ьх, ...» Ьп-~у рациональные числа (см. стр.
289—290 учебника Л. Я. Окунева «Высшая алгебра», Учпедгиз, 1958).
773. а) 1(13 —З^/Т —|/25); Ь) — (15 - 22у<5 + 211<25);
22 338
С) Id+^-^a +|<4); d) -L(2V3 +/2+0(156 +
5 911
+ 60/3 -47 /9); е) -1-(/2+ГЗ--/Т)(2/2 +2/6-
15 263
— 5)(161 + 52/2"+396/4); 1) — (/Г—2/2 - 1)(20 — 57/2 —
527
-22/4); б) |(<Э2 + 0+2); h) 1(24-50-30®); i) 1(11-40 +
о 25 2о
181
4-202 — 03); j) -JL. (128 — 90 4-240а); к) -L (8 — 80 — 0«-}-20»).
774. 9х34-20х2 4-116х— 100 = 0. 775. 5х» 4-24№ 4- 32х 4- 16 = 0.
776. 8х3 — 12x2 4- 726х — 291 = 0. 777. a) R (f ,g) =» — 26; b) R (f ,g) = 252;
c) R (f,g) =252; d) R (f,g) = — 256. 778. a) p = — 2; b)p = 2; c)p=3
и остальные значения являются корнями уравнения 5р»— 29р»— 6р—18 = 0.
779. а) 404; Ь) — 6759; с) —36 995; d) 256g3 — 27р«.
1) Г/ а \П-1 / п\
780. (— I)2 пл(п— l)"-i —^—) — — —
\ л 1 / \ /
-I- + 9 = 0; Ь) 18у6 + 88у* + 86у< — 149уЗ — 8у2 + 36у
+ 92у + 263) = 0. 782. а) х± = ух = 0; х2 = — 2, у2 = 2; х3 = 4,
х4 = “ 6, у4 = 4; b)*x = 2, yi = 0; х2 = —2, у2 = 2; х3 = — 4.
дс4=з —8, У4 = б; с) X! = 2i, у1 = —t; х2 = —2Z, у2 —G x3 = 64-2t,
у3 == — 2 — f; = 6 — 2i, у4 = — 2 + г; d) *1 = 0, ух = 3; х2 = 1, у2 = 4;
*з = — Ь Уз = 0; *4 = —3, У4 = 2; e)*i = 2, yi = 0; *23==1±/, у2<3 = 0;
Х4,5=1» У4,5= ±1; х6,7=~г(3 + *), уб7= ± ---(1+0; ^8,9 ” (3 О»
Л Z
У8,9==±у(1— 0; 0 *1 = — 1, У1 = 0; Хз = —3, уа = 0; х34 =
= — ( 3 4-/5 ), у3 4 = ± — /14 4- ю/5 ; = —— (3 4- /5 ); у5 6 =
4 - * \
781. а) 41у« +
0;с) (у+7) (8у«+ '
2; *3 = 4, Уз — — 2;
2; х3 = — 4, уз = 4;
21, у2
= ±— К14 — 10/5 .
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . • ’......................................... . 2
Глава I. Определители
§ 1. Определители 2-го и 3-го порядка............................ 3
§ 2. Определение и основные свойства определителя п-го порядка . . 9
§ 3. Определители с числовыми элементами . ...................... 16
§ 4. Буквенные определители..................................... 17
Глава II. Линейные уравнения со многими неизвестными
§ 1. Правило Крамера. Способ Гаусса ............................ 30
§ 2. n-мерные векторы. Линейная зависимость...................... 48
§ 3. Ранг и база................................................. 54
§ 4. Системы линейных уравнений................................ 60
Глава III. Матрицы
§ 1. Действия над матрицами..................................... 70
§ 2. Группа, кольцо, поле........................................ 82
Глава IV. Комплексные числа
§ 1. Действия над комплексными числами........................... 87
§ 2. Геометрическое истолкование комплексного числа . . ; . . . . 91
§ 3. Извлечение корня n-й степени................................ 95
Глава V. Многочлены от одного неизвестного
§ 1. Действия над многочленами .................................. 98
§ 2. Наибольший общий делитель.................................. 102
§ 3. Основная теорема алгебры................................... 105
§ 4. Алгебраическое решение уравнений............................111
§ 5. Численное решение алгебраических уравнений..................114
§ 6. Решение алгебраических уравнений в квадратных радикалах . . 120
Глава VI. Симметрические многочлены. Результант
§ 1. Симметрический многочлен................................... 125
§ 2. Результант. Дискриминант. Исключение неизвестного.......... 129
Ответы, указания и решения *.<**«•...........................130
183
Леопольд Яковлевич Окунев
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ
Редактор В. Г. Долгополов
Художественный редактор А, В. Сафонов
Технический редактор М. И. Смирнова
Корректор В. Ф. Малышева
* * *
Сдано в набор 17/Ш-1964 г. Подписано к
печати 17/V П-1964 г. бОХЭО1/^. Печ. л. 11,5.
Уч.-изд. л. 10,63. Тираж 50 тыс. экз.
(пл. 64 г. № 31)
♦ * *
Издательство «Просвещение» Государствен-
ного комитета Совета Министров РСФСР
по печати. Москва, 3-й проезд Марьиной
рощи, 41.
Саратовский полиграфический комбинат Рос-
главполиграфпрома Государственного коми-
тета Совета Министров РСФСР по печати,
г. Саратов, ул. Чернышевского, 59. Заказ 50.
Цена без переплета 32 к., переплет 10 к.
Цена 42 коп.